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des sections coniques. Malgré son titre modeste, ce traité offre un article que l'on trouve dans bien peu d'ouvrages de ce genre. C'est une digression sur l'histoire des sections coniques. En voici le précis : Platon, à qui on attribue les premières applications de l'analyse à la géométrie, doit avoir été le premier inventeur des sections coniques, 400 ans avant l'ère vulgaire. Cette théorie encore peu avancée fut perfectionnée par Ménechme, élève de Platon. Un autre disciple de ce philosophe, Aristée, a écrit le premier sur les sections coniques un ouvrage composé de quatre livres. Pappus en fait mention dans
ouvrage composé de quatre livres. Pappus en fait mention dans la précieuse collection qu'il nous a laissée, et où il rapporte les méthodes, les fameux et les solutions des mathématiciens. Euclide, cent ans avant J.-C., avait aussi écrit sur les sections coniques. Pappus dit qu'il avait beaucoup développé la théorie et fait une partie des quatre premiers livres d'Apollonius. Archimède (280 ans avant J.-C.) paraît n'avoir rien composé sur les sections coniques. Le principal ouvrage sur ce sujet est le célèbre écrit d'Apollonius de Perge (270 ans avant J.-C.), désigné, dans l'antiquité, sous l'épithète honorable de Grand-Géomètre. Le traité d'Apollonius
dans l'antiquité, sous l'épithète honorable de Grand-Géomètre. Le traité d'Apollonius est divisé en huit livres. Les quatre premiers, que nous possédons encore dans la langue de l'auteur, traitent de l'origine des sections coniques et de leurs principales propriétés, des diamètres et des asymptotes, et de plusieurs applications très-ingénieuses de ces courbes. Les trois derniers sont une traduction latine, faite d'après l'arabe, et le huitième a été rétabli par Halley, d'après une table de l'ouvrage d'Apollonius. Ces quatre derniers livres contiennent de nombreuses recherches très-difficiles, qui prouvent la sagacité de l'auteur. Cet écrit porte ce titre : Apollonii Pergæi conica cum
Cet écrit porte ce titre : Apollonii Pergæi conica cum Leonis ac Eutocii commentario et Sereni Antissensis opere cylindricorum et conorum. Lib. II, ex editione Hallei. Oxonii, O. Fol. Nous ne croyons pas devoir donner ici la liste de différents ouvrages cités en cet endroit par l'auteur. Avant de finir, ajoute que ce traité, modestement appelé populaire, contient plusieurs séries de questions, qui semblent très-propres à exercer les étudiants. B—y. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE ET LA DÉTERMINATION DE L'ÉQUATOR DU SYSTÈME SOLAIRE; par M. POINSOT. On sait que dans le mouvement de plusieurs corps libres réagissant les uns sur les
mouvement de plusieurs corps libres réagissant les uns sur les autres, si l'on projette sur un même plan les aires que tracent autour d'un point fixe ou foyer, les vecteurs menés de ce foyer à toutes les particules égales du système, la somme de ces aires projetées est toujours la même en temps égaux ; et c'est dans cette propriété générale consiste le principe de la conservation des aires. M. Poincaré fait précéder son mémoire de quelques considérations philosophiques sur la manière dont les géomètres se sont élevés successivement à la découverte de ce principe ; il fait voir que
la découverte de ce principe ; il fait voir que la marche qu'ils ont suivie est dans la nature même de l'esprit humain qui ramène toujours le composé au simple, et qui connaît avec pleine évidence qu'une seule loi, celle de la constance et de l'uniformité. L'auteur compare ensuite les valeurs des aires projetées dans les différents plans menés par le foyer, que l'on place ordinairement au centre de gravité du système. Il fait voir qu'il y a un pour lequel cette valeur est maximum, et c'est celui-là que Laplace a nommé plan invariable. « La considération de ce plan
a nommé plan invariable. « La considération de ce plan remarquable, dit M. Poincaré, s'était déjà présentée aux géomètres dans la recherche analytique du mouvement de quelques systèmes : et elle avait même été employée dans le problème de la rotation d'un corps solide qui tourne librement autour de son centre de gravité. En cherchant à simplifier le calcul, on était arrivé naturellement à ce plan de projection, comme l'un des trois plans coordonnés qu'on devait choisir de préférence, afin de rendre nulle la somme des aires sur les deux autres axes, et de faire ainsi disparaître deux intégrales ou
autres axes, et de faire ainsi disparaître deux intégrales ou constantes arbitraires. Or, il faut faire ici une remarque essentielle : à ce seul cas particulier de la détermination du plan invariable dans le mouvement d'un corps ou système solide, en contient au fond toute la théorie; car, comme l'expression des aires décrites par les différents points d'un système ne dépend ni de la liaison ni de l'attraction mutuelle de ces points, il est évident que le même calcul, ou la même transformation de coordonnées, qui détermine ce plan dans un système de points liés entre eux, le donne également
un système de points liés entre eux, le donne également dans un système de points invariablement liés entre eux d'une manière quelconque. Ainsi on voit que la théorie du plan invariable se trouvait connue parce que cette théorie étant indépendante de la nature du système, un seul exemple qu'on en donne suffit pour la démontrer toute entière. Mais on doit dire que Laplace est le premier qui considéra et détermina ce plan dans notre système planétaire, et qui lui ait donné un nom. Or, ayant eu l'occasion d'examiner cette analyse, j'ai remarqué qu'elle ne pouvait être exacte que dans l'hypothèse
j'ai remarqué qu'elle ne pouvait être exacte que dans l'hypothèse où les planètes seraient regardées comme autant de points massifs, chargés de la masse entière de la planète et de ses satellites; et qu'ainsi, pour déterminer le plan invariable au maximum des aires, Laplace n'avait considéré que les aires dues aux seuls mouvements de révolution des planètes autour du soleil. En appliquant nos principes à cette détermination, j'ai trouvé que la position du plan invariable dans le système du Soleil ne dépendait pas seulement des aires que décrivent les planètes en vertu de leurs révolutions autour du soleil, mais qu'elle
en vertu de leurs révolutions autour du soleil, mais qu'elle dépendait encore d'autres aires, auxquelles on avait point songé, savoir : de celles qui sont dues aux révolutions particulières des satellites autour de leurs planètes principales, et de celles qui naissent de la rotation de ces planètes autour du Soleil lui-même sur leurs propres axes. Il résulte en effet, de notre théorie des couples, que le plan dont il s'agit n'est fondé que celui de l'aire qui proviendrait de la combinaison de toutes ces aires simultanées, si on les composait entre elles la manière des simples forces appliquées sur un
entre elles la manière des simples forces appliquées sur un point ; que ce plan de cette aire résultante est le seul dont on puisse affirmer qu'il demeure immobile dans le ciel, ou qu'il reste toujours parallèle à lui-même, quels que soient les changements de la suite des siècles puisse amener dans les mouvements, dans la figure et la position mutuelle des différents corps célestes. Que si l'on ne composait entre elles qu'une partie de ces aires simultanées, on ne pourrait plus dire que l'aire partielle qui en résulte est invariable de grandeur et de position dans l'espace : d'où
invariable de grandeur et de position dans l'espace : d'où il faut conclure que le plan invariable déterminé par Laplace peut changer, et qu'ainsi il n'est pas propre à faire reconnaître, dans la suite des temps, les changements qui peuvent survenir dans la position des orbites et des quadratures planétaires. Pour remplir ce grand objet, et donner aux astronomes futurs le moyen de comparer avec précision les observations réparties par de longs intervalles de temps, il faut donc recourir à ce nouveau plan que je propose, et qui forme en quelque sorte l'immuable équateur du système du monde. Voici l'expression
quelque sorte l'immuable équateur du système du monde. Voici l'expression la plus simple de la règle qui le détermine. Considérez d'abord, pour chacun des corps célestes, l'aire résultante de celles que décrivent toutes ses particules autour de son propre centre de gravité, aire qui tombe sur le plan de l'équateur du corps, et qui a pour mesure le produit de son moment d'inertie par sa vitesse angulaire de rotation ; et regardez maintenant les centres de ces corps comme autant de points où leurs masses respectives seraient concentrées. Considérez ensuite, pour chaque groupe formé d'une planète et de ses satellites,
pour chaque groupe formé d'une planète et de ses satellites, l'aire que chacun des corps y décrit dans son orbite autour du centre de gravité de ce groupe, laquelle se trouve en multipliant la masse du corps par le carré du rayon vecteur et la vitesse angulaire de révolution ; et réduisez maintenant ce groupe à son centre de gravité comme à un seul point où toute la masse serait concentrée. Considérez enfin les aires que les centres de ces groupes et ceux des corps qui n'ont point de satellites, décrivent dans leurs orbites autour du commun centre de gravité
décrivent dans leurs orbites autour du commun centre de gravité de tout le système, et dont chacune se mesurera de même en multipliant la masse par le carré du rayon vecteur et la vitesse angulaire de révolution. Si, par ce même centre de tout le système, vous menez des lignes perpendiculaires aux plans respectifs de toutes les aires que je viens de considérer, et proportionnelles à leurs grandeurs, et que vous composiez entre elles toutes ces lignes à la manière des forces, la ligne résultante sera perpendiculaire au plan de l'équateur cherché, et sa longueur représentera la quantité de l'aire
l'équateur cherché, et sa longueur représentera la quantité de l'aire totale qui s'y décrit. Sur quoi il faut observer que les lignes composantes dont il s'agit doivent être tirées d'un même côté de l'écliptique, parce que, dans notre système, les différentes aires que ces lignes représentent, étant vues de ce même côté, paraissent se décrire dans le même sens. Ainsi en supposant toutes ces lignes menées du côté boréal de l'écliptique, la ligne résultante prolongée jusqu'au ciel, ira marquer le pôle boréal de l'équateur du système du monde. Par cette règle générale (ou les formules qu'on en peut facilement déduire),
règle générale (ou les formules qu'on en peut facilement déduire), si l'on suppose connues les masses et les moments d'inertie des corps célestes, il est évident qu'à une époque donnée, et par les distances et les mouvements mêmes des corps célestes, observés à cette époque, on pourra déterminer la position de cet équateur par rapport au plan mobile de l'orbite planétaire, tel, par exemple, que le plan de l'écliptique. Si donc on imagine que la recherche en soit faite à des époques différentes, et qu'on le trouve situé dans des positions différentes, comme on est sûr que ce plan, n'aura
positions différentes, comme on est sûr que ce plan, n'aura pas changé, on conclura au changement réel survenu dans la position de l'écliptique et des différentes orbites qu'on y aurait portées. C'est ainsi que les observations des mouvements célestes peuvent être ramenées à des termes fixes, et dégagées de l'incertitude et de l'erreur que les variations de l'écliptique ou le mouvement propre des étoiles auraient pu à la longue introduire. Quant à ces aires nouvelles qui doivent entrer dans la terminaison de notre plan invariable, on pourrait dire que celles qui viennent des mouvements particuliers des satellites, même de la
qui viennent des mouvements particuliers des satellites, même de la rotation de quelques planètes, sont des quantités assez petites, et que le plan invariable déterminé en ne obligeant que ces petites quantités différerait peu du véritable. Mais il faut remarquer que l'aire due à la rotation du soleil est une quantité considérable, et qui ne peut être omise dans ce cas; car en supposant d'abord le soleil homogène, je trouve que cette aire vaut plus de 50 fois celle que la terre en vertu de son mouvement dans son orbite annuelle. Si, comme il est vraisemblable, la densité du soleil
annuelle. Si, comme il est vraisemblable, la densité du soleil n'est pas uniforme, mais qu'elle augmente de la surface au centre en raison de la profondeur, on peut encore suivant cette loi de densité que Laplace emploie pour la figure de la terre, dans le tome de sa Mécanique céleste, et qui fait la densité proportionnelle à la racine carrée de la pression, je trouve que l'aire dont il s'agit a encore les deux tiers de la valeur précédente. Et dans l'hypothèse même où la densité irait en croissant, depuis la surface où elle serait nulle, jusqu'au centre où elle
la surface où elle serait nulle, jusqu'au centre où elle deviendrait finie, comme ferait l'ordonnée d'une hyperbole équilatère s'avancerait parallèlement à elle-même pour se confondre avec l'asymptote, je trouve que l'aire dont il s'agit vaudrait encore la moitié de celle qui a lieu dans le cas de la homogénéité. De sorte que, dans cette hypothèse qui paraît extrême, le plan invariable de Laplace, déterminé sans tenir compte de cette quantité, diffère autant du véritable que si l'on eût oublié dans le calcul au moins 25 globes tels que le nôtre, qui auraient circulé comme lui, à la même distance du
qui auraient circulé comme lui, à la même distance du soleil, et dans un plan incliné d'environ 70° au plan de notre écliptique. Cette omission altère donc d'une manière très sensible la position du plan invariable; car il est aisé de voir qu'elle change de plusieurs minutes son inclinaison à l'écliptique, et de plusieurs degrés, la longitude de son nœud ascendant. Ainsi, il paraît aussi nécessaire pour l'application que pour la théorie, d'avoir au moins égard, dans le système du monde, à cette partie des aires qui vient de la rotation connue du soleil. Il peut paraître surprenant que Laplace,
rotation connue du soleil. Il peut paraître surprenant que Laplace, qui le premier a eu l'idée de chercher, dans le système du monde, la position d'un plan invariable déterminé par la condition que la somme des aires projetées y soit un maximum, n'ait considéré dans son analyse que les aires décrites par les planètes en vertu de leurs mouvements de révolution autour du soleil, et qu'il ait oublié, non seulement les aires dues aux révolutions particulières des satellites, mais encore celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du soleil lui-même sur leurs propres axes. Et, si l'on
du soleil lui-même sur leurs propres axes. Et, si l'on est surpris que cette omission singulière ait pu avoir lieu, on ne l'est pas moins qu'elle ait échappé jusqu'ici à ceux qui ont pu étudier ce point important de la Mécanique céleste. Par le peu qu'on a dit, on voit bien ce qui doit manquer aux formules de Laplace; le défaut est sensible; mais ce qu'on cherche ici est la cause naturelle qui y a fait tomber. Or, avec un peu de réflexion, il n'est pas difficile de remonter à la source de cette erreur, et de la trouver dans
la source de cette erreur, et de la trouver dans cette théorie même qu'on avait autrefois des aires ou des moments: théorie imparfaite où l'on ne savait pas d'une manière précise ce que ces quantités représentent, je ne dis pas dans le calcul, mais dans la science des forces considérée en elle-même. Et en effet, pour Laplace, comme pour les anciens auteurs, les moments ou les aires ne sont que de simples quantités numériques ou géométriques, de pures expressions d'analyse, qui se présentent dans les équations de l'équilibre ou du mouvement des systèmes, et auxquelles on aurait simplement donné un
mouvement des systèmes, et auxquelles on aurait simplement donné un m pour abréger le discours. Sous ce point de vue géométrique, le plan invariable que l'auteur considère n'est donc qu'un certain plan choisi entre les autres par la condition que la projection des aires y soit la plus grande; ou plutôt, c'est l'un des trois plans coordonnés, choisi de manière que la projection des aires soit nulle sur les deux autres; ce qui est une transformation de coordonnées, qui paraît propre à simplifier le calcul, en faisant disparaître, comme on l'a dit, deux constantes arbitraires. Or, on ne voit là
l'a dit, deux constantes arbitraires. Or, on ne voit là que des quantités abstraites, de simples formules d'analyse, sans aucune idée de la science de l'équilibre ou du mouvement des systèmes. Et, même l'idée de considérer les aires dans le système du monde en vertu de cette fameuse loi de Kepler, qui n'est relative qu'aux ces tores décrits par les rayons vecteurs des planètes dans leur mouvement elliptique autour du soleil, il est assez naturel que l'on ne songe qu'à ces mêmes aires dues aux révolutions des planètes, et que, dans la théorie de son plan invariable, oublie toutes les
dans la théorie de son plan invariable, oublie toutes les autres. Il semble d'ailleurs que ces autres forces, produites par les mouvements particuliers des satellites, par la rotation des planètes sur elles-mêmes, n'étant point affectées comme les premières, autour d'un même centre, mais décrivant à part autour de divers centres particuliers, elles sont en quelque sorte des aires indépendantes, et qu'elles ne vont point entrer dans la combinaison dont il s'agit. Ainsi, en supposant même que la considération de ces quantités se présente un moment à l'esprit, on voit qu'elle aurait pu être aussitôt écartée comme une idée étrangère, et
aurait pu être aussitôt écartée comme une idée étrangère, et sans qu'on fit aucune mention. C'est ce qui explique naturellement l'omission dont je parle et qui a pu si facilement arriver dans l'ancienne théorie. Mais dans nos principes, cette omission est impossible ; car, pour nous, les aires ne sont pas seulement des surfaces qu'on projette sur tel ou tel plan, mais des véritables forces de rotation ou des couples qui s'exercent dans le système : et il ne s'agit pas ici de simplifier un calcul, ou de chercher un plan sur lequel la projection des aires soit un maximum,
plan sur lequel la projection des aires soit un maximum, mais bien de composer entre eux ces couples qui agissent, de déterminer la grandeur et la position du couple unique qui résulte ; couple remarquable, dont on démontre que le plan et la grandeur se conservent les mêmes dans tout le cours du moment, malgré les changements qui arrivent aux grandeurs et aux inclinaisons mutuelles des différents couples qui le composent. Par cette notion dynamique des aires, il suffit donc de jeter les yeux sur le système du monde pour voir que l'aire maximum, ou pour mieux dire, que l'aire
voir que l'aire maximum, ou pour mieux dire, que l'aire résultante doit être composée, non seulement de celles qui viennent du mouvement des planètes dans leurs orbites, mais encore de celles qui naissent des mouvements particuliers des satellites et de la rotation de ces corps sur leurs propres axes : car, bien que ces aires soient décrites autour de différents centres, comme elles ne sont qu'une expression géométrique des couples qui les produisent, il est évident qu'elles doivent être toutes rapportées à un seul et même foyer, et se composer ensemble comme si leurs plans y étaient tous transportés parallèlement
ensemble comme si leurs plans y étaient tous transportés parallèlement à eux-mêmes. Ainsi, la composition des couples, qui a étendu et simplifié toute la doctrine des aires, aura encore servi à nous faire découvrir une erreur qui pouvait rester longtemps cachée dans une application de la Mécanique à l'un des plus grands objets du système du monde. Cet exemple nous fait sentir toute l'importance qu'on doit attacher aux notions primitives et aux vrais principes des choses ; car le calcul n'est qu'un instrument, qui ne produit rien par lui-même, et qui ne rend en quelque sorte que les idées qu'on
qui ne rend en quelque sorte que les idées qu'on lui confie. Si nous n'avons que des notions imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question que d'un point de vue borné, ni l'analyse ni le calcul ne lui apporteront plus de lumière, et ne donneront à nos résultats plus de justesse ou plus d'étendue : au contraire, on peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de fausses ou de vagues conceptions, n'est propre qu'à rendre l'erreur plus durable en lui donnant, pour ainsi dire, une sorte de consistance. M. Poinsot passe ensuite au
dire, une sorte de consistance. M. Poinsot passe ensuite au calcul de l'erreur commise en supposant les planètes et le soleil réduits à de simples points massifs. Il fait observer de plus qu'on avait encore oublié les aires dues aux révolutions des satellites autour de leurs planètes respectives, sans compter celles qui proviennent de la rotation de ces satellites sur eux-mêmes. Ainsi, continue M. Poinsot, les formules employées par Laplace ne peuvent même en faisant abstraction des satellites exprimer exactement les aires décrites que dans le cas où les corps m, m', m", etc., seraient dépourvus de toute rotation sur
m, m', m", etc., seraient dépourvus de toute rotation sur eux-mêmes, ou bien encore seraient des points massifs (et dont il faudrait même supposer que la rotation n'est pas infinie); car il n'y a que l'une ou l'autre de ces hypothèses qui puisse faire disparaître les termes qu'il a oubliés dans son analyse. Ces formules ne donnent donc point, et ne donneront jamais les valeurs des aires décrites dans le système des corps élantis ; car tous ces corps sont de dimension finie, et ils tournent actuellement sur leurs axes : et quand bien même il arriverait, par quelque cause
: et quand bien même il arriverait, par quelque cause que ce soit, que chacun d'eux se condensât, et se réduisît en quelque sorte à son centre de gravité, les aires actuelles dues à leurs mouvements de rotation ne s'évanouiraient point. Par le principe même des aires, à mesure que chaque corps se condense, serait, pour ainsi, forcé de tourner plus vite, et de manière que l'aire due à sa rotation serait toujours conservée : d'où l'on voit que les expressions qui forment les premiers membres des équations de Laplace n'en seraient pas moins incomplètes qu'auparavant, et qu'ainsi ces équations
n'en seraient pas moins incomplètes qu'auparavant, et qu'ainsi ces équations ne peuvent jamais donner le plan du maximum des aires, le seul qui soit rigoureusement invariable. À la vérité, si chaque corps était infiniment petit, et que la conséquence les distances de ses différentes molécules à un point extérieur d'attraction pussent être regardées comme égales entre elles, on pourrait dire que la rotation de ce corps sur lui-même ne serait point altérée par l'attraction des autres. De même, si chaque corps, au lieu d'être un simple point massif, était un globe parfait de dimension finie, formé de couches concentriques dont
globe parfait de dimension finie, formé de couches concentriques dont chacune serait d'une densité uniforme dans toute son étendue; car, pour chacun de ces lobes, les attractions des autres se réduisant toujours à une force simple qui passerait par le centre de ce globe, il est évident que son mouvement de rotation n'en serait pas plus affecté que dans le cas précédent. Dans l'une ou l'autre de ces deux suppositions, on pourrait donc dire que la projection des aires dues aux rotations des corps serait à part une quantité constante sur chacun des plans coordonnés ; que par conséquent les
sur chacun des plans coordonnés ; que par conséquent les projections des aires dues aux seuls mouvements de révolution seraient aussi à part des quantités constantes sur les mêmes plans, et qu'ainsi le plan déterminé par les équations de M. Laplace, s'il n'est plus, comme je l'ai fait voir, le plan du maximum des aires, est du moins un certain plan qui demeure invariable de position, malgré l'action mutuelle des différents corps du système. « Quoique les deux hypothèses précédentes n'aient point lieu dans la nature, et qu'on puisse se dispenser de les examiner, il n'est peut-être pas inutile de