jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
par dans les deux équations; substitution qui ne changera rien au second membre de l'équation différentielle. Les expressions du multiplicateur \(µ\) et du module \(h\) peuvent être présentées sous différentes formes, équivalentes aux formules (11) et (13). Les trois équations (9), (12) et (14), sont aussi équivalentes: elles font connaître les valeurs de \(\sin 4 \cos\), et \(h^2 \sin^2\), relatives à l'amplitude de la fonction cherchée, au moyen du sinus de l'amplitude de la fonction donnée et de son module \(k\). Si l'on voulait avoir immédiatement l'amplitude \(Ψ\), on emploierait la formule dans laquelle est déterminé par l'équation 137. NOTE
la formule dans laquelle est déterminé par l'équation 137. NOTE SUR LA probabilité DU RÉSULTAT MOYEN DES OBSERVATIONS; par M. Poisson. C'est à Laplace que l'on doit la formule d'après laquelle on détermine cette probabilité dans le cas où les observations ont en très-grand nombre, et quelle que soit la loi de possibilité des erreurs dont elle est indépendante, pourvu seulement que les erreurs égales et de signes contraires soient également possibles. Elle ne suppose pas que cette loi reste la même dans toute la série des observations, ainsi que je l'ai déjà fait voir dans mon dernier Mémoire sur
je l'ai déjà fait voir dans mon dernier Mémoire sur ce sujet; et cela permet de s'appliquer à des expériences faites par des observateurs et avec des instruments différents. Voici en quoi consiste cette formule que son illustre auteur a donnée, dont il a fait les applications les plus intéressantes, dans la Théorie Analytique des Probabilités. Appelons \(A\) la chose quelconque que l'on a mesurée, et \(x\) sa valeur inconnue. Soit \(n\) le nombre des mesures que l'on a faites. Désignons par \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\), les valeurs égales ou négatives qu'elles ont données pour \(A\). Soit \(1\) leur somme
négatives qu'elles ont données pour \(A\). Soit \(1\) leur somme et \(m\) la moyenne de toutes ces valeurs, en sorte qu'on ait Si l'on retranche successivement \(m\), des valeurs particulières \(a_1\), \(a_2\) ..., \(a_n\), on aura leurs écarts de part et d'autre de la moyenne, qui seront, en général, de très-petites quantités par lesquelles on a coutume de juger de la bonté des observations. Appelons \(h\) la demi-somme de leurs carrés, et faisons \(h = \frac{1}{2} \sum (a_i - m)^2\). Il y aura une certaine probabilité, que l'erreur à craindre, en prenant m pour la valeur de A, sera comprise
en prenant m pour la valeur de A, sera comprise entre les limites; autrement dit, pour que la différence x - m n'excède abstraction faite du signe; a étant un coefficient arbitraire que l'on prendra à volonté et d'où dépendra la candeur de p. Or, si n est un grand nombre, et qu'on néglige les quantités de l'ordre de la fraction 1, la valeur de p ne s'exprime pas autrement que par la formule : Dans laquelle c'est la base des logarithmes népériens, et le rapport de la circonférence au diamètre. On trouve à la fin des Réfractions Astronomiques de
diamètre. On trouve à la fin des Réfractions Astronomiques de Kran une table des valeurs numériques de cette intégrale, d'où résulte que la probabilité p approche rapidement de la certitude à mesure que a augmente, et qu'elle n'en diffère pas, à l'exception d'un demi-millième, pour une valeur peu considérable de 2 et, telle que a = 5. Si l'on veut avoir p, il faudra prendre a = 0, 476 à très-peu près; Ainsi, il y aura un contre un à parier, que l'erreur à craindre sur le résultat moyen d'un grand nombre d'observations. tombera entre les limites : la valeur
grand nombre d'observations. tombera entre les limites : la valeur de v étant déduite de leur écarts, au moyen de la équation (1), que l'on peut aussi écrire sous cette forme équivalente : en désignant par σ la somme des carrés, des n quantités α1, α2, ... , αn, et appelant toujours la somme de ces mêmes quantités. La démonstration de l'équation (a) est fondée sur la méthode que Laplace a donnée pour réduire en séries convergentes, les intégrales relatives à des quantités affectées de très-grands exposants. Quand elle est démontrée pour le cas d'une seule inconnue mesurée directement, on
démontrée pour le cas d'une seule inconnue mesurée directement, on peut l'étendre, sans recourir de nouveau à cette méthode, à une fonction linéaire de deux qui possèdent chacune été mesurée, un très grand nombre de fois; car alors la loi de possibilité des erreurs de chaque inconnue, a une expression connue, de laquelle on peut déduire immédiatement la loi relative aux erreurs de la fonction. Pour le faire voir, soient A, A', C, trois choses quelconques dont les valeurs inconnues seront x, x', z. Supposons que ces trois quantités doivent être liées entre elles par l'équation : z k x
être liées entre elles par l'équation : z k x k' x' y dans laquelle k et k' sont des coefficients donnés. On a mesuré directement A et A', des nombres de fois très-grand et représentés par n et n'; on désigne par m et m', les moyennes de toutes les valeurs qu'on a trouvées, et par h et h', les demi-sommes des écarts de leurs écarts : si l'on fait, pour abréger y aura la probabilité p, donnée par la formule (1), que la différence x-m sera comprise entre les limites ±σ, et la même probabilité p que la
les limites ±σ, et la même probabilité p que la différence z - m' aura pour limites 1 C. Or, en prenant V k s + S", y aura encore la probabilité p que l'erreur à craindre sur la valeur k m + k' m' de C, sera comprise entre ± y, ou que la différence z - k m k' m', n'exédera pas y, abstraction faite du signe. En effet, faisons x = m + v, x' = m' + r'; les probabilités infiniment petites des erreurs représentées par v et v', seront, comme on sait à négliger les
v et v', seront, comme on sait à négliger les termes de l'ordre de 1 ou; et supprimant avancés les termes de l'ordre de −r= ou − lesquels ne renverraient que de puissances impaires de v ou r et disparaissaient, pour cette raison, dans le résultat final qui sera exact aux quantités près de l'ordre des carrés et des produits de ces mêmes fractions. La probabilité que les deux erreurs v et v' auront lieu simultanément, sera le produit des deux probabilités précédentes, ou, ce qui est la même chose, a ayant égard aux valeurs de s et s'. Si
a ayant égard aux valeurs de s et s'. Si donc on fait k v + k' v = u, ne l'on intègre la formule précédente, et qu'on étende l'intégrale à toutes les valeurs de v et v', qui satisfont à cette équation, on aura la probabilité infiniment petite qu'en prenant km + k' m' pour la valeur de C, l'erreur sera précisément égale à u. Or, soit - on aura k v + k' v' = u, quelle que soit la variable s. Il faut donc étendre l'intégrale relative à s, depuis s =−∞ jusqu'à s = ∞; d'ailleurs
à s, depuis s =−∞ jusqu'à s = ∞; d'ailleurs en substituant les variables u et s à v et v', on aura, d'après la règle connue pour la transformation des intégrales doubles, dvd v' = du de; on aura donc pour la probabilité de l'erreur u, en désignant par y la même quantité que plus haut. Mais d'après une formule connue l'intégrale relative à s a pour valeur, ce qui réduit cette probabilité à Par conséquent, si nous appelons q la probabilité que l'erreur à craindre sur la valeur k m k' m' de C, sera comprise entre les
k m k' m' de C, sera comprise entre les limites ± y, nous aurons et en faisant il en résultera finalement c'est-à-dire q = p; ce qu'il s'agissait de démontrer. Ce résultat s'étend à une fonction linéaire de trois ou d'un plus grand nombre d'inconnues. x, z', x", etc. Il s'accorde avec la régle énoncée sans démonstration pour une fonction quelconque, dans le tome IVe des Recherches statistiques sur la vie de Paris. Quoique la formule soit généralement indépendante de la loi de possibilité des erreurs, j'ai cependant eu déjà l'occasion de remarquer qu'il y a un cas singulier
déjà l'occasion de remarquer qu'il y a un cas singulier où elle n'a pas lieu, et où les limites de l'erreur à craindre sur le résultat moyen, avec une probabilité déterminée, n'approchent pas de plus en plus de la vraie valeur de l'inconnue, à mesure qu'on augmenterait le nombre des observations. Dans ce cas d'exception, dont on peut faire abstraction dans la pratique, la règle relative à une fonction de plusieurs inconnues cesserait également d'avoir lieu. ANALYSE D'UN MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS; par M. E. GALOIS. On appelle équations non-primitives les équations qui étant, par exemple, du
appelle équations non-primitives les équations qui étant, par exemple, du degré mn, se décomposent en m facteurs du degré n, au moyen d'une seule équation du degré m. Ce sont équations de M. Gauss. Les équations primitives sont celles qui ne jouissent pas d'une pareille simplification. Je suis, à partir des équations primitives, parvenu aux résultats suivants. 1° Pour qu'une équation de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que deux quelconques de ses racines soient connues, les autres s'en déduisent rationnellement. Pour qu'une équation primitive du degré m soit résoluble par radicaux, il faut que
du degré m soit résoluble par radicaux, il faut que m = pv, p étant un nombre premier. À part les cas mentionnés ci-dessus, pour qu'une équation primitive du degré pv soit résoluble par radicaux, il faut que deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s'en déduisent rationnellement. À la règle précédente échappent les cas très-particuliers qui viennent : 1° le cas de m = pv = 9, p = 3. 2° le cas de m = pv = 4, et généralement celui où a est un diviseur de y, et où on aurait, par premier et Ces
de y, et où on aurait, par premier et Ces cas s'écartent toutefois fort peu de la règle générale. Quand m= 9, 5, l'équation devra être du genre de celles qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions elliptiques. Dans le second cas, il faudra toujours que deux des racines étant connues, les autres s'en déduisent, du moins au moyen d'un nombre de radicaux du degré p, égal au nombre des diviseurs a de y qui sont tels que Toutes ces propositions ont été déduites de la théorie des permutations. Voici d'autres résultats qui découlent de ma théorie. 1°
permutations. Voici d'autres résultats qui découlent de ma théorie. 1° Soit k le module d'une fonction elliptique pour un nombre premier donné > 3 ; pour que l'équation du degré p + 1 qui donne les divers modules des fonctions transformées relativement au nombre p, soit résoluble par radicaux, il faut de deux choses l'une, ou bien qu'une des racines soit rationnellement connue, ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des autres. Il ne s'agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières du module k. Il est évident que la chose n'a pas lieu en général. Cette
évident que la chose n'a pas lieu en général. Cette règle n'a pas lieu pour p = 5. 3° Il est remarquable que l'équation modulaire générale du 6e degré, correspondant au nombre 5, peut s'abaisser à une du 5e degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s'abaisser LES RACINES PRIMITIVES DES NOMBRES PREMIERS; par M. G. LIBRI. M. Cauchy a annoncé à l'Académie des Sciences de Paris dans sa séance du 9 novembre 1829, qu'il a découvert le moyen de déterminer les racines primitives des nombres, mais qu'il ne fera
déterminer les racines primitives des nombres, mais qu'il ne fera connaître sa méthode que plus tard. Depuis quelques mois j'ai trouvé deux solutions de ce problème qui diffèrent beaucoup entre elles. J'avais l'intention de les publier dans le prochain volume de mes Mémoires de Mathématiques et de Physique; mais l'annonce de M. Cauchy me force à dire sur-le-champ quelques mots de mes recherches, afin de ne pas être prévenu par lui. Je n'entrerai point dans de grands détails, je me bornerai à un cas particulier pour faire apprécier ma méthode. Je dirai plus tard la démonstration générale; la citation que
Je dirai plus tard la démonstration générale; la citation que vais faire trouvera naturellement sa place dans cette démonstration générale. Si l'on demande les racines primitives du nombre 7, on cherchera les racines communes aux deux congruences. x3 + 1 ≡ 0 (mod. 7.), x5 - x3 - x2 + 1 ≡ 0 (mod. 7.) L'on aura la congruence x - 6 ≡ 0 (mod. 7.) Ensuite en divisant x3 + 41 par x - 6, on aura le facteur x - 3 qui est le plus grand commun diviseur des deux congruences indicera que 3 est la racine primitive
des deux congruences indicera que 3 est la racine primitive de 7. Une autre racine primitive du même nombre sera 35 ≡ 5 (mod. 7.) Les nombres 3 et 5 seront les racines primitives cherchées. La méthode dont je viens de faire une application, sert non seulement à la recherche directe des racines primitives, que l'on a tenté en vain par une foule de géomètres, mais conduit également à la résolution des congruences de tous les degrés. (Antologia; nov. et déc. 1829.) SUR L'INTÉGRATION D'UNE CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS aux différences partielles; par M. Augustin Louis CAUCHY. La solution d'un grand
partielles; par M. Augustin Louis CAUCHY. La solution d'un grand nombre de questions de physique mathématique dépend de l'intégration d'équations aux différences partielles linéaires, et à coefficients constants, dans lesquelles sont dérivées de la variable principale sont toutes du même ordre. Elles sont en particulier les équations qui expriment les lois de la propagation des ondes à la surface d'un liquide renfermé dans un canal dont la profondeur est très-petite, et les lois de la propagation du son dans un gaz, dans un liquide, ou dans un corps solide élastique. Il était important d'obtenir les intégrales générales des équations de
Il était important d'obtenir les intégrales générales des équations de ce genre sous une forme telle qu'on pût en déduire aisément la connaissance des phénomènes que ces équations représentent. Tel est l'objet de divers mémoires que j'ai présentés dernièrement à l'Académie des sciences. vais donner en peu de mots une idée des résultats auxquels suis parvenu, et qui me paraissent dignes de fixer l'attention des géomètres. Soit \(f\) une fonction des variables indépendantes \(X, y, z,...\) servant-nous d'ailleurs, pour plus de simplicité, de la solution adoptée dans le 2e volume des Exercices de mathématiques, désignons en conséquence, par \(D^kD^kD^l...D^m\) la
des Exercices de mathématiques, désignons en conséquence, par \(D^kD^kD^l...D^m\) la dérivée Une équation linéaire aux différences partielles et à coefficients constants, entre la variable principale \(\phi\), et les variables indépendantes \(x, y, z, ... / \), pourra s'écrire comme il suit \(F (Dx, Dy, Dz, ... Di) f = 0\), la fonction \(F\) \((u, v, w, s)\), étant ce qui devient le premier membre de l'équation, aux différences partielles quand on remplace les diverses valeurs de l'expression \((i)\) par les valeurs correspondantes du produit \(uv ... sm \). De plus, si, dans l'équation \((a)\), toutes les dérivées de \(\phi\) sont
si, dans l'équation \((a)\), toutes les dérivées de \(\phi\) sont du même ordre, \(F (u, v, w, ... s)\) sera une fonction homogène de \(u, v, w, s\). Cela posé, en suivant le principe que j'ai indiqué dans les Mémoires ci-dessus mentionnés, on pourra intégrer l'équation \((2)\), de manière que les fonctions arbitraires introduites par l'intégration soient les valeurs de \(\phi\), correspondantes à \(t = 0\), et l'on arrive en particulier au conclusions suivantes. Concevons, pour fixer les idées, que les variables indépendantes se réduisent à quatre, \(x, y, z, t\). Soit \(n\) l'ordre de l'équation \((a)\) réduite à la
t\). Soit \(n\) l'ordre de l'équation \((a)\) réduite à la forme \(F (Dx, Dy, Dz, Dt) = 0\), présentons par \(d_a / da / ... d_n\) les valeurs de \(D\) correspondantes à \(t = 0\). L'inégrale générale de l'équation \((3)\) sera \(p\) signe \(E\) du calcul des résidus étant rotatif à la variable \(s\) qui, à vertu de la formule \((5)\) \(F(M, v, w, r ) = 0\) étant fonction de \(u, v, w, r\), et les valeurs de \(u, v, w, r\), étant déterminées par les formules \((6)\) \(u = cos.\ p, v = sin.\ p cos.\ q, w
= cos.\ p, v = sin.\ p cos.\ q, w = sin.\ p sin.\ q\), \((7)\) \(cos.\ 1 = u cos.\ \alpha + v sin.\ p cos.\ q + w sin.\ p sin.\ q\), joutons \(1°\), qu'après avoir développé la fonction en tant que les puissances ascendantes de \(f(\lambda, u, v)\), on devra remplacer dans le développement les exposants de \(f(\lambda, u, v)\) par les indices, en écrivant, par exemple, que, \(T\) désignant une fonction quelconque de \(t\), on devra, dans le second membre de l'équation \((4)\), considérer les notations comme propres à représenter les quantités Si, pour plus de
comme propres à représenter les quantités Si, pour plus de simplicité, on suppose que les fonctions \(f(z)\), \(fr(x, y, z)\), ... \(fn-1(x, y, z)\) s'évanouissent toutes à l'exception de la première; la valeur de \(\phi\), fournie par l'équation \((6)\), deviendra le signe \(2\) indiquant une somme de termes semblables aux autres et relatifs aux diverses valeurs de \(s\) que fournit l'équation \((5)\). Dans le cas particulier où l'on suppose \((11)\) \(F (u, v, w, s) = s^2 - a^2 (u^2 + v^2 + w^2)\), l'équation \((3)\) devient et la formule \((10)\) peut être réduite à les valeurs de \(A, u,
\((10)\) peut être réduite à les valeurs de \(A, u, y\) étant \((14)\) \(\lambda = x + at cos.\ p, \mu=y+at sin.\ p cos.q, v=z+at sin.p\) On se trouve ainsi ramené à l'intégrale que M. Poisson a donnée de l'équation \((12)\). Concevons maintenant que l'équation \((3)\) se rapporte à une question de physique mathématique, dans laquelle \(t\) représente le temps, et \(x, y, z\) des coordonnées rectilignes. Supposons d'ailleurs que les valeurs initiales de \(f(x, z)\), \(y, z\), ... \(fn-1(x,y, z)\) soient sensiblement nulles pour tous les points situés à une distance sensible de l'origine des coordonnées. Au bout du
une distance sensible de l'origine des coordonnées. Au bout du temps \(t\), les valeurs de \(f(\lambda, \mu, v)\), \(f1(x, \mu, v)\) ... \(fn-1(x, \mu, v)\), ne cesseront d'être nulles pour que les différences de \(\lambda, \mu, v\), très-peu différentes de celles qui vérifient les conditions \(X = 0, \mu = 0, v = 0\) ailleurs on tire des formules \((15)\) \(t\) par conséquent \(16)\) \(+ + wz+st = 0\). Donc au bout du temps \(t\) la variable \(f\) n'aura de valeur sensible que dans les points de l'espace qui appartiendront à l'un des plans que peut représenter l'équation \((16)\), lorsqu'on
à l'un des plans que peut représenter l'équation \((16)\), lorsqu'on y regarde \(l, v, w\) comme des paramètres variables. Or ces points sont tous situés en dehors de la surface enveloppe, que touche dans ses diverses positions le plan mobile représenté par l'équation \((16)\). Cela posé, soit \((17)\) \(\psi(x,y, z, t) = 0\) l'équation de la surface dont il s'agit. Le phénomène sonore, ou lumineux, etc., qui dépendait de la valeur de \(p\), et qui dans le premier instant, n'était sensible que tout près de l'origine, ne sera sensible au bout du temps \(t\), que dans le voisinage de la
bout du temps \(t\), que dans le voisinage de la surface à laquelle appartiendra l'équation \((17)\), de sorte qu'à cette époque il cessera de se produire en-deçà de la surface. Donc la propagation de ce phénomène dans l'espace, donnera naissance à une onde sonore ou lumineuse qui ne laissera pas de traces de son passage, et dont la surface sera précisément celle que représente la formule \((17)\). Ajoutons que, pour obtenir cette formule, il suffira d'éliminer les paramètres variables \(u, v, w\), entre l'équation \((16)\) et ses dérivées relatives à \(u, v, w\), ou, ce qui revient au même, d'éliminer
\(u, v, w\), ou, ce qui revient au même, d'éliminer le variable entre les trois équations, attendu que \(s, u, v, w\) sont, en vertu de la formule \((5)\), quatre fonctions homogènes de \(u, v, w\), la première du premier degré, les trois dernières d'un degré nul. Donc \(\psi (x,y, z, t)\) sera une fonction des seuls rapports \(t\). Donc, le temps venant à croître, la surface de l'onde restera semblable à elle-même la vitesse de l'onde, suivant une droite quelconque menée de l'origine, c'est-à-dire la vitesse avec laquelle un point de la face se déplacera sur cette droite, sera
point de la face se déplacera sur cette droite, sera une quantité constante. Il est bon d'observer que la méthode par laquelle on établit l'équation, s'applique au cas même où l'équation acquerrait un second membre équivalent à une fonction donnée de x, y, z, t, et se présenterait sous la forme F (Dz, ... t) Si l'équation (3) devient ... D == f (x, y, z, ... t) A, B, C, D, E, F désignant des coefficients constants, la fonction (10) pourra être réduite à les valeurs de s, S étant déterminées par les formules (21) s2=Au2 + Bv2 +
étant déterminées par les formules (21) s2=Au2 + Bv2 + Cw2 + 2 Dvw+2Ewu+2Fuv, et les valeurs de u, v, w par les formules Alors aussi la surface de l'onde pourra être facilement déterminée par la méthode suivante. On construira d'abord l'ellipsoïde dont les coordonnées vérifient, au bout du temps t, l'équation (24) A + Bn2 + C ζ2 + 2 D n ζ + 2 F ζn=t2 puis on déterminera les coordonnées en fonctions de coordonnées l, n, l > à l'aide des formules (25) Aξ+Fn+Eζ=x, Fξ+Bn+Dζ=y, Cela posé, l'équation (24) pourra s'écrire comme il suit, (26) x ξ
l'équation (24) pourra s'écrire comme il suit, (26) x ξ + Yn + zζ = t2. Or, si, dans cette dernière équation on substitue aux coordonnées l, n, t, leurs valeurs en x, y, z, tirées des formules (25), l'équation que l'on obtiendra, savoir, présentera un second ellipsoïde dont la surface sera celle de l'onde cherchée. Si l'on nomme p, r, les rayons vecteurs menés de l'origine à deux points correspondants (l, n, t) (x, y, z) les deux ellipsoïdes, et l'angle compris entre ces rayons vecteurs, la formule (26) donnera 28) p pr cos.δ = t2. Donc, au bout
donnera 28) p pr cos.δ = t2. Donc, au bout du temps t, le produit du premier rayon vecteur, par la projection du second sur le premier, sera constamment égal à t2. Dans un second article, je montrerai comment, étant donnée la surface de l'onde, on peut retrouver l'équation aux différences partielles qui correspond à cette surface. En résolvant ce dernier problème, et considérant une onde lumineuse représentée par le système d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution dont l'axe coïncide avec le diamètre de la sphère, on se trouve ramené à une équation que j'ai déjà considérée dans un
ramené à une équation que j'ai déjà considérée dans un autre mémoire, et qui est renfermée, comme cas particulier, dans les formules propres à déterminer les vibrations de molécules qui s'attirent ou se repoussent à de très-petites distances. (Voyez le Bulletin de février 1829, page 112.) ASTRONOMIE. ASTRONOMIE PRATIQUE. USAGE ET COMPOSITION DE LA CONNAISSANCE DES TEMPS. Ouvrage destiné aux astronomes, aux marins et aux ingénieurs; par L. B. FRANCOEUR. In-8 de 550 p.; prix, 7 fr. 50 c. Paris, 1830; Bachelier. On désirait depuis longtemps la publication d'un traité qui eût pour objet spécial l'astronomie pratique, c'est-à-dire, qui offrait
qui eût pour objet spécial l'astronomie pratique, c'est-à-dire, qui offrait l'application la plus développée des formules et des éphémérides aux problèmes d'une science dont les calculs longs et compliqués présentent souvent beaucoup de difficultés. Le besoin d'un ouvrage à l'aide duquel on peut être initié promptement aux calculs astronomiques se faisait sentir particulièrement chez les personnes que la nature de leurs fonctions amène, par intervalles, à s'occuper des observations célestes, que d'autres soins détournent de cette application suivie que prescrivent assez souvent les calculs qu'il faut déduire de même observations. La nouvelle production de M. Francœur répond à ce besoin