jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
RA)$ à valeurs dans $R_+$, $g$ une intégrande positive normale sur $X \times R^k$ telle que $g > H$, et $f(x, z, y) \geq g(x, y)$ pour tout $(x, z, y) \in X \times R^1 \times R^k$. On note $f^{**}$ la convexifiée s.c.i. de $f$ par rapport à la troisième variable [Moreau (9)]; c'est une intégrande positive normale sur $X \times (R' \times R'')$. COROLLAIRE. — Soient $f, f^{**}$ et $g$ les fonctions introduites dans le lemme. On suppose de plus, que : Soit $y - y z$ une application continue de $L^1 (X, RA)$ faible dans $(X, R')$ forte.
continue de $L^1 (X, RA)$ faible dans $(X, R')$ forte. On considère les problèmes : Le problème $(P^{**})$ a une solution optimale et le minimum de $(P^{**})$ est égal à la borne inférieure de $(P)$. De toute suite minimisante du problème $(P)$ on peut extraire une sous-suite convergeant faiblement vers une solution du problème $(P^{**})$. Le théorème 4 et son corollaire étendent les résultats obtenus par Ekeland (3) et par Berliozci-Lasry (1). Ils s'appliquent aux exemples donnés précédemment dans (1). (*) Séance du 28 février 1972. (1) BERLIOTCHI-LASRY, Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 1222. (2) BOURBAKI, Intégration, Hermann,
273, série A, 1971, p. 1222. (2) BOURBAKI, Intégration, Hermann, Paris, chap. 4 et 5. (3) CASTAING, Comptes rendus, 271, série A, 1970, p. 396. (4) CASTAING, Thèse, Faculté des Sciences de Caen, 1967. (5) EKELAND, J. Funct. Analysis, 9, n° 1, 1972. (6) IOFFE-TIKHOMIROV, Russian Math. Rev., 23, n° 6, 1965, (7) KURATOWSKI et RYLL-NARDZEWSKI, Bull. Acad. Se. Polonaise, 13, 1965, p. 397-403. (8) LYAPUNOV, Bull Acad. Se. U. R. S. S., 4, 1940, p. 465-478. (9) MOREAU, Séminaire Leray, 1966-1967, Collège de France. (10) ROCKAFELLER, J. Math. Anal., 28, 1969, p. 43. (11) SCORZA-DRAGONI, Séminario Math. Universita di
28, 1969, p. 43. (11) SCORZA-DRAGONI, Séminario Math. Universita di Padova, 17, n° 1, 1948. (12) VALADIER, Thèse, Faculté des Sciences de Paris, 1970. H. B. : 174, rue Lecœurbé, 75-Paris, 15e (E. N. S., Saint-Cloud); J.-M. L. : 18, avenue de la Motte-Picquet, 75-Paris, 7e (C. N. R. S., ERA n° 249). ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Stabilité de solutions d'équations hyperboliques non linéaires. Application à l'espace-temps de Minkowski en Relativité générale. Note (*) de Mme YVONNE CHOQUET-BRUHAT, présentée par M. Jean Leray. Nous montrons que, pour une équation hyperbolique quasi-linéaire d'ordre m, sur R', admettant une solution globale (régulière)
quasi-linéaire d'ordre m, sur R', admettant une solution globale (régulière) u0 correspondant à des données de Cauchy (hypersurface spatiale de R'), il existe, quel que soit T > 0, un voisinage de ces données de Cauchy tel que l'équation ait une solution (régulière) sur [−T, T] pour toutes les données de Cauchy. Ce théorème, joint au théorème précédemment démontré pour les équations des contraintes en Relativité générale, démontre l'existence sur toute bande R1 x [− T, T] de solutions voisines de la solution de Minkovski des équations d'Einstein. La démonstration utilise la théorie de Leray des équations hyperboliques dans les
utilise la théorie de Leray des équations hyperboliques dans les espaces de Sobolev Hp. et le théorème des fonctions implicites. 1. DÉFINITIONS. — On considère une équation aux dérivées partielles quasi-linéaire, d'ordre m, sur R'. Dm désigne l'ensemble des dérivations d'ordre m, Dm celles d'ordre m. Nous supposons, pour simplifier l'exposé, que les variables ne figurent pas dans les coefficients, non plus que les dérivées d'ordre m − 1 dans les coefficients principaux. Les résultats peuvent être obtenus en supprimant ces hypothèses simplificatrices. Nous désignerons par XT la bande R/_1 x [−T, T], par LL. (XT) l'espace de Sobolev usuel
x [−T, T], par LL. (XT) l'espace de Sobolev usuel sur XT. Nous supposerons toujours désormais 1/2 + m − 1. Nous ferons sur a et b l'hypothèse habituelle des théorèmes de Leray (1) précisés par Dionne (2): Hypothèse 1. — Si { (Dm1 u) (x) Y, ouvert de RN, a et b sont des fonctions C°~~ des (Dm2 u) (x) et (Dm1 u) (x), a est hyperbolique strict et x° = Cte régulièrement spatial. On sait que, puisque il existe un ouvert O dans EL. (XT) tel que eu entraîne { (Dm1 u) (x) }€ Y, pour tout €XT.
entraîne { (Dm1 u) (x) }€ Y, pour tout €XT. Nous considérons pour (1) le problème de Cauchy sur S (x° = 0) de donnée = { tel que: Hypothèse 2. — Dx étant une dérivation d'ordre | A |, on a et, Y0 désignant un compact inclus dans Y: Nous supposerons, d'autre part: Hypothèse 3. — Le problème (1), (2) admet pour une solution 2. ÉQUATIONS DÉRIVÉES. — Dérivons (1) par rapport à x°. On obtient une équation d'ordre m + 1: Le problème de Cauchy pour (1), dérivé de (2) et (1) par des méthodes standard, sera encore
de (2) et (1) par des méthodes standard, sera encore désigné par f. Sous les hypothèses faites, on a Soit p (XT), remplaçons dans (1)' toute dérivée Da », | oc | ^ m − 1, par Da p; on obtient une équation hyperbolique, linéaire, d'ordre m +1, de la forme: dont les coefficients sont dans PROPOSITION 1. — La résolution du problème de Cauchy pour l'équation (3), avec définit une application C1 de dans (XT). Preuve. — Le théorème d'existence (global) de Leray-Dionne du cas linéaire assure la définition de cette application et le fait que On montre que
de cette application et le fait que On montre que cette application est différentiable et admet pour différentielle l'application linéaire continue: telle que [ci-dessous noté alors que est noté soit la solution, dans de l'équation linéaire hyperbolique d'ordre m + 1 à coefficients dans (XT) solution du problème de Cauchy dépend continuément de et C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 845 Désignons par la dérivée partielle de par rapport à v, application linéaire continue de LL. (XT) dans lui-même. PROPOSITION 2. L'application id est un isomorphisme de (XT): Preuve. — h [avec AeH(l(XT)]
est un isomorphisme de (XT): Preuve. — h [avec AeH(l(XT)] est la solution, unique, continue en h, nulle pour h = 0, de l'équation linéaire (4), où l'on fait = u0, pour les données de Cauchy On vérifie que l'application linéaire continue injective est surjective en écrivant une équation déduite de (4) vérifiée par h = k. Nous pouvons, vu les propositions 1 et 2, appliquer le théorème des fonctions implicites à l'équation u = F(u, = 0, qui est équivalente au problème (1)', (2)', au voisinage de la solution Une solution du problème (1)', (2)', vérifiant aussi (1), (2)
Une solution du problème (1)', (2)', vérifiant aussi (1), (2) (théorème d'unicité de Leray-Dionne), on a : 3. THÉORÈME. — Sous les hypothèses 1, 2 et 3, il existe un voisinage tel que, pour tout problème de Cauchy l'équation (1) ait une solution où WT (u0) est un voisinage de u0 dans 4. APPLICATION A LA STABILITÉ DE L'ESPACE-TEMPS DE MINKOVSKI. — Le système d'Einstein en coordonnées harmoniques est essentiellement du type (1). On vérifie les hypothèses 1, 2, 3 en prenant u = r - g (avec métrique de Minkovski), on a la solution globale (dans le vide) Mo
Minkovski), on a la solution globale (dans le vide) Mo = 0 pour = 0. L'étude précédente, jointe aux résultats classiques concernant les coordonnées harmoniques et le problème de Cauchy donne le THÉORÈME. — Pour tout T > 0, il existe un voisinage VT des données initiales minkovskiennes sur R 3, et un voisinage WT de l'espace-temps de Minkovski sur T], tels que à toute donnée initiale compatible avec les contraintes, corresponde un espace-temps einsteinien du vide L'existence de telles données initiales (non minkovskiennes) résulte des travaux de H. Araki, D. Brill, A Vaillant. Leur étude fera l'objet d'un prochain
D. Brill, A Vaillant. Leur étude fera l'objet d'un prochain travail. (*) Séance du 21 février 1972. (1) J. LERAY, Hyperbolic differential equations, Princeton, 1952, (2) P. DIONNE, J. Anal. Jérusalem, 1962. U. E. R. 49, Mécanique, Université Paris VI, 11, quai Saint-Bernard, 75-Paris. 5e. 846 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE NUMÉRIQUE. — Mise en œuvre de schémas A-stables du type de Runge-Kutta pour l'intégration des systèmes différentiels. Note (*) de MM. RENÉ ALT et FRANCIS CESCHINO, transmise par M. Léopold Escande. On propose deux schémas d'ordres 3 et 4, ayant
Escande. On propose deux schémas d'ordres 3 et 4, ayant la propriété très forte de A-stabilité au sens de Dahlquist (3). On donne, en outre, pour chacun, un procédé de contrôle de l'erreur de discrétisation et de détermination du pas d'intégration. On désire résoudre numériquement l'équation : où p et où l'on suppose que la fonction f vérifie les conditions d'existence et d'unicité de la solution dans l'intervalle et que y admet des dérivées au sens de Fréchet jusqu'à l'ordre qui sera nécessaire. DÉFINITION 1. — Un schéma numérique à un pas : yn+1 est A-stable si, lorsque appliqué à
un pas : yn+1 est A-stable si, lorsque appliqué à toute équation scalaire de la forme DÉFINITION 2. — Un schéma du type de Runge-Kutta simplement implicite (2) de rang q est défini par . h désignant le pas d'intégration, les a et b des paramètres (non indépendants). Remarque. — À titre de comparaison, dans le cas où (1) est linéaire, un schéma totalement implicite (Vi = q, V i) nécessite à chaque pas le calcul de q2 éléments et de l'ordre de q3 p3j3 opérations arithmétiques (résolution de système linéaire), alors que pour un schéma simplement implicite, ces nombres
linéaire), alors que pour un schéma simplement implicite, ces nombres sont ramenés à Les paramètres a et b étant choisis convenablement, les deux méthodes proposées, notées RKSI 3 et RKSI 4, sont respectivement d'ordre 3 et 4. Les coefficients an. s'expriment en fonction des (L soit : C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 847 C. Lemaréchal (4) a démontré que pour que ces méthodes soient A-stables, il est suffisant que l'on ait : pour q pour 1. On peut montrer que ces conditions sont aussi nécessaires. En effet, lorsqu'on applique l'un ou l'autre
sont aussi nécessaires. En effet, lorsqu'on applique l'un ou l'autre schéma à l'équation y' = -y, et qu'on remplace les ay par les expressions ci-dessus, on obtient où R (A) est une fraction rationnelle en A dont les coefficients sont des polynômes en 9. Pour que RKSI 3 et RKSI 4 soient A-stables, il faut et il suffit que pour soit, d'après le principe du maximum : (a) | pour die = 0; (P) 'R.(A) holomorphe dans le demi-plan La condition ((3) conduit à prendre les au strictement positifs. La condition (a) s'exprime simplement en fonction de G si q
condition (a) s'exprime simplement en fonction de G si q = 2 ; pour q = 3, l'expression de R est nettement plus compliquée, et l'on est conduit à l'étude assez laborieuse du signe d'un polynôme de degré 8 à deux variables. Pour plus de précision, voir Alt (1). On trouve que (a) et ((3) sont équivalentes à : L'évaluation de l'erreur de discrétisation est faite par différence (sur un pas) entre les résultats donnés par RKSI 3 (ou RKSI 4) et par une méthode de Runge-Kutta explicite notée RKE 4 (ou RKE 5), d'ordre immédiatement supérieur. La méthode explicite
4 (ou RKE 5), d'ordre immédiatement supérieur. La méthode explicite n'est pas A-stable, mais l'instabilité ne se déclare pas sur un seul pas. En faisant coïncider certaines des abscisses intermédiaires Té de RKE 4 ou 5 avec des il est possible de ramener le nombre, par pas, d'évaluations de f dans le schéma complet (nombre qui caractérise numériquement le coût d'une méthode) à celui de la méthode RKE 4 ou 5 — non compris, évidemment, la résolution du système (2). Ce choix 848 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) fournit en outre une
Paris, t. 274 (6 mars 1972) fournit en outre une initialisation pour la résolution itérative des équations implicites dans le cas non linéaire. On dispose alors d'un certain nombre de paramètres arbitraires, à savoir : Si q = 2, G (à choisir > 1) et l'abscisse T1 du schéma RKE 4. Si q (à choisir > 1) et les abscisses T2 et T3 du schéma RKE 5 (en réalité, la façon dont a été mené le calcul des coefficients nous a conduits, à définir T2 en fonction de G4 et 92). Le but est d'obtenir (par exemple en minimisant la
92). Le but est d'obtenir (par exemple en minimisant la somme des valeurs absolues des coefficients des différents termes de l'erreur) une erreur sur la méthode explicite suffisamment petite par rapport à l'erreur sur la méthode implicite de façon à évaluer correctement cette dernière, et simultanément une méthode implicite elle-même suffisamment précise. Dans le cas du couple (RKSI 3, RKE 4), l'étude a pu être réalisée analytiquement, tandis que le second couple a dû être traité numériquement. Les valeurs retenues pour les paramètres (a, b) et (c, d) correspondant respectivement aux schémas RKSI et RKE sont les suivantes: Remarque. —
aux schémas RKSI et RKE sont les suivantes: Remarque. — Les coefficients de chaque ligne du tableau ont pour dénominateur commun le nombre placé à la fin de cette ligne. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274(6 mars 1972) Série A — 849 Les méthodes A-stables se prêtent bien à l'étude des solutions de systèmes mal conditionnés, spécialement dans leur partie asymptotique, où la A-stabilité permet de déterminer le pas d'intégration uniquement en fonction de l'erreur de discrétisation. Les schémas proposés offrent l'avantage d'être complets (stabilité et évaluation de l'erreur) et de ne nécessiter aucune dérivation ou renseignement particulier sur
et de ne nécessiter aucune dérivation ou renseignement particulier sur le système à intégrer. Séance du 21 février 1972. (1) R. ALT, Méthodes A-stables pour l'intégration de systèmes différentiels mal conditionnés (Thèse 3e cycle, Paris, 1971). (2) F. CESCHINO et J. KUNTZMANN, Problèmes différentiels de conditions initiales, Dunod, Paris, 1963. (3) G. DAHLQUIST, Math. Scand., 4, 1956, p. 33. (4) C. LEMARÉCHAL, Comptes rendus, 272, série A, 1971, p. 397. R. A.: Institut de Programmation, Tour 55, place Jussieu, 75-Paris, 5e; F. C.: 36, place Jules-Ferry, 92-Montrouge, Hauts-de-Seine. 850 — Série A G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6
Série A G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) OPTIMISATION. — Localisation d'un objet de forme convexe donnée. Note (*) de MM. JEAN-PAUL ZOLESIO et MICHEL KOENIG, présentée par M. Jean Leray. On présente une méthode pour localiser un objet de forme convexe donnée; que l'on explique sur un exemple simple: disque de rayon donné. Ce problème se pose de façon naturelle, lorsqu'on recherche le minimum d'une fonctionnelle sur l'ensemble des fonctions caractéristiques de disques de rayon donné. On construit un repérage de cet ensemble et une approximation de la solution d'un tel problème. 1. ÉTUDE DU
approximation de la solution d'un tel problème. 1. ÉTUDE DU REPÉRAGE. — 1° Définitions et notations. — O ouvert relativement compact et convexe de R2, K un compact convexe inclus dans O, vérifiant la propriété suivante: Si u" est la prolongée de u à R2, on note fonction u est continue pour tout u de L1 (Q) et strictement convexe pour tout u de U; elle atteint son minimum sur K en un point que l'on note a*; on pose On définit, en outre Il est facile de voir que si On note sup 2° Repérage de C. — Soit
si On note sup 2° Repérage de C. — Soit Si il existe un k positif tel que (u) '= 0, alors, u appartient à C. Réciproquement, si u appartient à C, alors, pour tout k positif, on a Les pour t dans forment une base du filtre des voisinages de C, dans L2 (Q). Plus précisément on a, On voit que est une approximation de d(u, C), ce qui justifie le rôle privilégié joué par G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 851 Les u de U possèdent de plus la propriété suivante:
Les u de U possèdent de plus la propriété suivante: 2. APPLICATION: APPROXIMATION DE LA SOLUTION DU PROBLÈME: J est une fonctionnelle définie sur U, faiblement semi-continue intérieurement telle que; on suppose que possède une solution unique u. THÉORÈME 1. — Pour tout k > 1, le problème admet au moins une solution. Pour tout E > 0, il existe tel que toute solution uk de soit dans et on a La démonstration de ce théorème utilise en particulier le résultat suivant: Un calcul aisé montre qu'un bon choix de k est le suivant: Les solutions du problème possèdent de
k est le suivant: Les solutions du problème possèdent de plus, la propriété suivante: On récupère donc une approximation interne de la solution du problème 3. ÉTUDE DU PROBLÈME — s'écrit encore inf Q (x) où Le convexe U possède la propriété de régularité introduite dans (2) et, Q et Q* ont la même valeur. Dans la pratique, la contrainte p. n'étant pas gênante, on préfère à la dualité Q* la dualité partielle Q*: Soit U est l'intersection de V et d'un hyperplan affine, dans ce cas la méthode de dualité par Hahn-Banach [voir (4)] conduit au problème qui a
dualité par Hahn-Banach [voir (4)] conduit au problème qui a la même valeur que Q (x). (*) Séance du 7 février 1972. CEA, Optimisation, Théorie et algorithmes, Dunod, Paris, 1971. (2) CL. RAFFIN, Thèse, Institut Fourier, 1971. U.E.R.M.S.T., Parc Valrose, OQ-Nice, Alpes-Maritimes. G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 853 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Sur l'étude expérimentale de l'écoulement engendré par une sphère qui se déplace dans l'axe d'un cylindre au-delà du régime de Stokes. Note (*) de Mme MADELEINE COUTANCEAU, présentée par M. Henri Villat. On étudie expérimentalement, en fonction du rapport X
Henri Villat. On étudie expérimentalement, en fonction du rapport X des diamètres de la sphère et du cylindre, les limites de validité de l'hypothèse de Stokes, ainsi que la naissance du « sillage attaché ». On propose des relations empiriques qui fournissent, pour les valeurs de X inférieures à 0,8, les nombres de Reynolds caractéristiques des différentes phases de l'évolution de l'écoulement de l'écoulement. Dans une Note précédente (1), nous avons décrit les dispositifs que nous utilisons pour visualiser le champ hydrodynamique engendré par une sphère qui se déplace, à très faible vitesse, dans l'axe d'un cylindre de révolution empli
très faible vitesse, dans l'axe d'un cylindre de révolution empli d'un liquide visqueux. Sur nos clichés, nous avions constaté (2) qu'à la précision des mesures près la symétrie équatoriale des lignes de courant est assurée, donc le régime de Stokes réalisé, pour des nombres de Reynolds relatifs au diamètre de la sphère) inférieurs à 0,10. Il restait à déterminer les. valeurs « limites » ReL (X) du nombre de Reynolds, au-delà desquelles l'approximation de Stokes cesse d'être légitime, en regard d'une certaine norme fixée a priori, et à poursuivre l'étude au-delà de ces valeurs en observant, en particulier, la naissance
au-delà de ces valeurs en observant, en particulier, la naissance du « sillage attaché ». A cette fin, nous avons augmenté progressivement le nombre de Reynolds en utilisant, des huiles de silicone de viscosités décroissantes. D'autre part, nous avons apporté certaines améliorations au montage initial: — la rigidité du dispositif de prise de vue est accrue en isolant l'appareil photographique de la tige du piston qui assure son déplacement parallèlement à celui de la sphère; — les sphères, dont les poids apparents ne doivent pas dépasser quelques milligrammes pour l'expérimentation avec les huiles peu visqueuses, sont réalisées par moulage et
avec les huiles peu visqueuses, sont réalisées par moulage et centrifugation d'une quantité rigoureusement pesée de matière polymérisable; — la température du fluide est uniformisée pour éviter les courants de convection. Nous avons obtenu les clichés de visualisation, pour les nombres de Reynolds compris entre 0,10 et 45, les diamètres de la sphère valant respectivement le quart, la moitié et les trois quarts de celui du cylindre. Nous présentons, à titre d'exemple, les clichés concernant les écoulements absolus (le repère est fixe) pour A = 0,25 et Re = 6,9 (fig. 1) et pour X = 0,50 et Re =
(fig. 1) et pour X = 0,50 et Re = 6,5 (fig. 2): on voit que la dissymétrie des lignes de courant est plus accentuée pour les plus petits X. La figure 3 montre l'écoulement relatif (l'appareil photographique se déplace à la même vitesse que la sphère) pour X = 0,50 et Re = 39; on y distingue la présence d'un « sillage attaché ». Ces clichés ont permis de restituer le champ des vitesses avec une précision satisfaisante (meilleure que 4%), notamment sur l'axe du côté de l'amont (YAM) et du côté de l'aval (VAV). La figure 4 donne
et du côté de l'aval (VAV). La figure 4 donne les courbes correspondantes pour X = 0,5; à titre de courbes limites, nous avons tracé les répartissements théoriques précédemment calculées, pour le régime de Stokes (2) et pour l'écoulement irrotationnel (4). L'étude des vitesses axiales fournit les nombres de Reynolds caractéristiques des différentes phases de l'évolution de l'écoulement. Ainsi, la mesure de la différence VAM - VAV au point de l'axe où la vitesse vaut, en régime de Stokes, la moitié de la vitesse de la sphère, permet d'évaluer le rapport om = (VAM - VAV) / (1/2) (VAH +
rapport om = (VAM - VAV) / (1/2) (VAH + VAV) que nous G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 855 avons choisi pour mesurer le « taux moyen de dissymétrie ». Si l'on désigne maintenant par S_LH la valeur prise par ce paramètre dans le cas de l'écoulement illimité (X = 0) lorsque le nombre de Reynolds atteint la valeur 0,10 habituellement retenue comme limite de validité de l'approximation de Stokes, on obtient les nombres de « Reynolds limites » ReL qui entraînent ce même taux de dissymétrie; on trouve que ces ReL
ce même taux de dissymétrie; on trouve que ces ReL sont respectivement voisins de 0,6, 1,5 et 3,5 lorsque le rapport X prend les valeurs 0,25, 0,50 et 0,75. D'autre part, les « nombres de Reynolds de séparation » Res, pour lesquels un sillage attaché prend naissance à l'arrière de la sphère, valent respectivement 23, 30 et 43; une interpolation graphique donne ReSo = 20 pour X = 0. Ces résultats montrent l'importance de l'influence des parois sur l'évolution des effets dus à l'inertie du fluide. En particulier, l'apparition d'une dissymétrie mesurable des lignes de courant est retardée, ainsi que
dissymétrie mesurable des lignes de courant est retardée, ainsi que celle du tourbillon attaché. 856 — Série A G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Ecoulement Sphère Cylindre-uniforme A =0.50 Ecoulement irrotationnel En régime de Stokes, RE = 0 » RE 3.5 » » 6.5 » 16.6 23 » 38.8 Fig. 4. — Vitesses sur l'axe. Courbes expérimentales. Pour rendre compte de cet effet de paroi, nous proposons des relations empiriques qui fournissent avec une bonne approximation, pour X < 0,8, les nombres de Reynolds Res et ReL; il vient (*) Séance du 7 février 1972. (1)
ReL; il vient (*) Séance du 7 février 1972. (1) J.-M. BOUROT et M. GOUTANCEAU, Comptes rendus, 263, série A, 1966, p. 802. (2) M. GOUTANCEAU, Journal de Mécanique, 1, n° 1, 1968, p. 49. (3) M. GOUTANCEAU, Thèse de Doctorat d'État, 1971. (4) J.-M. BOUROT et M. GOUTANCEAU, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p. 707. Laboratoire de Mécanique des Fluides, 40, avenue du Recteur-Pineau, 86-Poitiers, Vienne. G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 857 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Détermination du mouvement plan irrotationnel d'un fluide parfait incompressible animé par le déplacement et
irrotationnel d'un fluide parfait incompressible animé par le déplacement et la déformation d'un profil déformable quelconque. Puissance des efforts aérodynamiques. Note (*) de M. ROLAND LAPORTE, présentée par M. Henri Villat. Dans une Note précédente (*), nous avons mis en évidence des mouvements d'un profil déformable, dans un fluide parfait incompressible, n'entraînant aucun échappement tourbillonnaire à la pointe dans le cas où l'aire du profil restait constante. Dans la même Note, nous avons signalé que les formules donnant les efforts, gardaient la forme obtenue par M. Gouchet dans le cas du profil rigide. Nous donnons aujourd'hui les expressions de ces