jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
entier non nul. Soit \(A[[X]]\) l'anneau des séries formelles à une indéterminée \(X\). Si \(A\) est un Gq-anneau, alors: (i) \(A[[X]]\) vérifie la condition (Sq); (ii) Pour tout idéal maximal \(m\) de \(A[[X]]\) de hauteur inférieure ou égale à \(q - 1\), le localisé \(A[[X]]_m\) est de Gorenstein. Utiliser d'abord [(11), (7.6.2)] et [(10), th. 4]. Cette proposition démontre partiellement la conjecture de [(5), p. 1350]. (*) Séance du 21 février 1972. (1) ISCHEBECK, J. Algebra, 11, 1969, p. 510-531. (2) AUSLANDER et BRIDGER, Memoirs Amer. Math. Soc, n° 94, Stable module theory, 1969. (3) M.-P. MALLIAVIN, Bull. Soc. Math.
Stable module theory, 1969. (3) M.-P. MALLIAVIN, Bull. Soc. Math. Fr., 96, 1968, p. 193-196. (4) J. DIEUDONNÉ, Topics in local algebra, Notre Dame, Indiana, 1967. (5) W. V. VASCONCELOS, Proc. Amer. Math. Soc, 19, 1968, p. 1349-1355. (6) R. FOSSUM, Math. Scand., 26, 1970, p. 165-176. (7) H. BASS, Math. Z., 82, 1963, p. 8-28. (8) AUSLANDER, Nagoya J. Math., 27, 1966, p. 361-369. (9) WATANABE, ISHIKAWA, TACHIBANA et OTSUKA, J. Math. Kyoto Univ., 9-3, 1969, p. 413-423. (10) T. MILLEVOI, Seminario. Math. Univ. Padova, 41, 1968, p. 319-325. (11) I. H. E. S., E. G. A., n° 4,
(11) I. H. E. S., E. G. A., n° 4, 1960. Université de Caen, Esplanade de la Paix, 14-Caen, Calvados. 824 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ALGÈBRES DE LIE. — Polynômes invariants sur les algèbres de Lie banachiques complexes classiques d'opérateurs compacts dans l'espace hilbertien. Note (*) de M. PIERRE DE LA HARPE et ROALD RAMER, présentée par M. André Lichnerowicz. Soit \(G\) un groupe de Lie banachique complexe d'opérateurs compacts dans un espace de Hilbert, \(g\) son algèbre de Lie, \(u\) la forme compacte de \(g\), et \(U\) le groupe réel
la forme compacte de \(g\), et \(U\) le groupe réel classique qui correspond à \(u\). Soit \(Ic(G)\) [resp. \(Ic(U)\)] l'algèbre graduée des fonctions polynômes continues de \(g\) dans \(G\) [resp. de \(u\) dans \(\mathbb{R}\)] qui sont invariantes par l'action adjointe du groupe \(G\) [resp. \(U\)]. De même qu'en dimensions finies, la relation \(Ic(G) = Ic(U) \otimes_\mathbb{R} G\) est banalement vraie. Nous nous proposons ici de calculer \(Ic(G)\), en vue d'applications aux espaces classifiants des fibres vectoriels de dimension finie, et selon le projet esquissé dans une Note récente (G). Selon les notations que nous avons déjà utilisées dans le même
les notations que nous avons déjà utilisées dans le même contexte (5), les algèbres de Lie banachiques complexes classiques d'opérateurs compacts dans l'espace de Hilbert se répartissent en trois classes: Chacune de ces algèbres possède une unique forme compacte, définie explicite dans (4) pour le cas \(p = 2\): où \(H\) [resp. \(HR\), \(HQ\)] est un espace de Hilbert complexe [resp. réel, quaternionien], séparable et de dimension infinie. Classe 'A. — Fixons \(p \in \mathbb{R}\), \(1 < p < \infty\), et soit \(U = U(H; L^p C)\) le groupe unitaire d'algèbre de Lie \(u(H; L^p C)\). À toute base orthonormale
d'algèbre de Lie \(u(H; L^p C)\). À toute base orthonormale \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de \(H\) correspond un tore maximal \(T\) dans \(U\), formé des opérateurs de \(U\) dont la représentation matricielle relativement à \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est diagonale. Soit \(t\) l'algèbre de Lie de \(T\). En tant qu'espace de Banach, \(t\) est isomorphe à l'espace de suites si \(p < \infty\), et à l'espace \(c_\mathbb{R}\) si \(p = \infty\); la base \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définit l'isomorphisme \(j\) de \(c_\mathbb{R}\) sur \(t\) qui envoie la suite \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sur l'opérateur de matrice Diag \((e_nx_n)_{n \in \mathbb{N}}\). De même qu'en dimensions
de matrice Diag \((e_nx_n)_{n \in \mathbb{N}}\). De même qu'en dimensions finies [voir, par exemple, (8)], on va ramener le calcul de \(Ic(G)\), c'est-à-dire de \(Ic(U)\), à un problème facile concernant \(c_\mathbb{R}\). Définissons encore \(N = \{ X \in U | X t X^{-1} \in t\}\), qui est un sous-groupe de \(U\), et l'espace \(Ic(T)_N\) des fonctions invariantes par l'action adjointe de \(N\) sur \(t\), qui est une sous-algèbre graduée de \(Ic(T)\). C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 825 LEMME 1. — L'application de restriction \(Ic(U) \to Ic(T)_N\) est un morphisme injectif. Preuve. —
restriction \(Ic(U) \to Ic(T)_N\) est un morphisme injectif. Preuve. — La seule chose à prouver est l'injectivité. Vu le théorème spectral pour les dimensions finies, tout opérateur de rang fini dans \(u\) est conjugué à un élément de \(t\) par un automorphisme intérieur de \(U\). Comme les éléments de rang fini sont denses dans \(u\), l'injectivité en résulte. Nous verrons plus bas que le morphisme est aussi surjectif. Soit \(Pc(Zg)\) l'algèbre graduée des fonctions polynômes sur \(\mathbb{Z}\), continues et à valeurs réelles (modifications évidentes lorsque \(p = \infty\)). Soit \(WA\) le groupe des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels.
le groupe des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels. [Remarquons que \(WA\) est le groupe de Weyl (1) de la \(L^*\)-algèbre \(gl(H; L^2 C)\).] Le groupe \(WA\) agit de façon naturelle dans \(Pc(Zg)\) et les éléments \(WA\)-invariants forment une sous-algèbre graduée notée \(Pc(\mathbb{Z})_{WA}\). Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(p\), soit \(b_k\) la fonction réelle sur \(\mathbb{Z}\) définie par LEMME 2. — L'algèbre \(Pc(\mathbb{Z})_{WA}\) est une algèbre de polynômes dont \((b_k)_{k \in \mathbb{N},\,k \geq p}\) est un système de générateurs. Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément
le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut
homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte
Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs
envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O
classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O
1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Pontrjagin. PROPOSITION C. — Soit p comme dans la proposition B et soit L'algèbre Ic (Sp)
comme dans la proposition B et soit L'algèbre Ic (Sp) est isomorphe à Ic (O). Remarques. — Soit g l'une des algèbres gl(H; L1 C), O(H, JR; Lp C), sp (H, JR; Lp C), avec p ∈ R, 1 < p < ∞; soit G le groupe classique correspondant. En comparant les résultats de cette Note avec ceux d'un autre travail [voir (3), muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G) est isomorphe à l'algèbre de cohomologie réelle de la grassmannienne ad hoc, c'est-à-dire d'un espace classifiant pour les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs
les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs arbitraires de p. Soit g comme immédiatement ci-dessus. Soit J*(g) l'algèbre des cocycles continus invariants sur g, à valeurs scalaires. À chacun des cocycles primitifs calculés, par Dynkin pour le cas des dimensions finies [voir références dans (7)], on peut associer dans J*c (g) un cocycle défini formellement de la même manière. L'algèbre J*(g) est alors isomorphe à l'algèbre extérieure engendrée par ces cocycles « primitifs ». Chacun d'entre eux peut être mis en parallèle avec les générateurs des algèbres de polynômes dont la liste est donnée aux propositions A,
de polynômes dont la liste est donnée aux propositions A, B et C. Cette correspondance généralise aux algèbres de Lie du titre certains aspects de la théorie de la transgression. Cette Note s'insère donc dans un projet plus étendu qui consiste à étudier l'algèbre de Weil d'une algèbre de Lie banachique complexe classique d'opérateurs nucléaires dans l'espace hilbertien. Nous poursuivrons ce projet dans d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre, M. Didier Robert (Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 301) traite de problèmes voisins au sujet de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème
de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème 3.1 permet de retrouver immédiatement notre proposition A. WORK ### Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu
1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble
de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de
isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel;
B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le
de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O),
(Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Pontrjagin. PROPOSITION C. — Soit p comme dans la proposition B et soit L'algèbre Ic (Sp) est isomorphe à Ic (O). Remarques. — Soit g l'une des algèbres gl(H; L1 C), O(H, JR; Lp C), sp (H, JR; Lp C), avec p ∈ R, 1 < p < ∞; soit G le groupe classique correspondant. En comparant les résultats de cette Note avec ceux d'un autre travail [voir (3), muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G)
muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G) est isomorphe à l'algèbre de cohomologie réelle de la grassmannienne ad hoc, c'est-à-dire d'un espace classifiant pour les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs arbitraires de p. Soit g comme immédiatement ci-dessus. Soit J*(g) l'algèbre des cocycles continus invariants sur g, à valeurs scalaires. À chacun des cocycles primitifs calculés, par Dynkin pour le cas des dimensions finies [voir références dans (7)], on peut associer dans J*c (g) un cocycle défini formellement de la même manière. L'algèbre J*(g) est alors isomorphe à l'algèbre extérieure engendrée par ces
J*(g) est alors isomorphe à l'algèbre extérieure engendrée par ces cocycles « primitifs ». Chacun d'entre eux peut être mis en parallèle avec les générateurs des algèbres de polynômes dont la liste est donnée aux propositions A, B et C. Cette correspondance généralise aux algèbres de Lie du titre certains aspects de la théorie de la transgression. Cette Note s'insère donc dans un projet plus étendu qui consiste à étudier l'algèbre de Weil d'une algèbre de Lie banachique complexe classique d'opérateurs nucléaires dans l'espace hilbertien. Nous poursuivrons ce projet dans d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre,
d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre, M. Didier Robert (Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 301) traite de problèmes voisins au sujet de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème 3.1 permet de retrouver immédiatement notre proposition A. WORK ### Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme
la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui
j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée
algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont
fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements
permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle
où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et MURAKAMI, Osaka Math. J., 8, 1956, p. 187-224. (10) H. OMORI et P. DE LA HARPE, About interactions between Banach-Lie groups and finite dimensional manifolds (à paraître). Voir aussi Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 395. Mathematics Institute, University of Warwick, Coventry, Grande-Bretagne. 828 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars
A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE. — Extension de théories d'homologie. Note (*) de M. RENZO A. PICCININI, présentée par M. André Lichnerowicz. Soit Top0 la catégorie des espaces topologiques pointés (le point base sera toujours supposé non dégénéré) ayant comme morphismes les fonctions continues que préservent les points de base. On dit qu'une sous-catégorie T de Top0 est admissible si elle est non vide, pleine, fermée sous la construction des cônes de fonctions et enfin, si elle contient tous les espaces pointés qui ont le même type d'homotopie d'objets de T. On
qui ont le même type d'homotopie d'objets de T. On vérifie aisément qu'une telle catégorie contient points et qu'elle est fermée sous suspension; cet endofoncteur sera indiqué ici par S. Soit az la catégorie des groupes abéliens gradués et des homomorphismes de degré zéro. On appelle p : az -> az l'automorphisme qui change le degré de -1. Une théorie d'homologie sur T est un foncteur covariant h : T -> az (où T est la catégorie d'homotopie associée à T) avec les propriétés suivantes : (A 1) ph et hS sont naturellement équivalentes; (A 2) si on se donne
hS sont naturellement équivalentes; (A 2) si on se donne une f ' P f suite A -> X -> Cf dans T, OÙ Cf est le cône de f, alors la suite de groupes gradués h (A) -> h (Cf) -> h (Cf) est exacte. Soient maintenant données deux catégories admissibles T0 et T1 et supposons que T0 soit une sous-catégorie pleine de T1. Pour chaque objet X€ T1 on forme la catégorie T01 (X) qui a pour objets les morphismes f : Y -> X dans T1 avec Y € T0, et pour morphismes u : f1 ->
Y € T0, et pour morphismes u : f1 -> f2, les morphismes u : Y1 -> Y2 dans T0, de façon que f1 = f2 u. On dit que T0 est T1-petite si, pour chaque X € T1, T01 (X) est petite. Par exemple, la catégorie des espaces pointés avec type d'homotopie des espaces CW finis (dénombrables) est Top0-petite; elle est bien sûr T1-petite pour toute catégorie admissible T1. THÉORÈME. — Soient T0 CT1 deux catégories admissibles et supposons que T0 soit T1-petite. Soit ho une théorie d'homologie sur T0. Alors, il existe une théorie d'homologie hi sur T1
T0. Alors, il existe une théorie d'homologie hi sur T1 qui restreinte à T0 coïncide avec h0. L'esquisse de la démonstration est la suivante. En premier lieu on prend les catégories stables s0 et s1 associées à T0 et T1 respectivement. Soit h0 l'extension canonique de h0 à s0. On associe à chaque objet X de S, l'ensemble P (X) = {(a, f) | a e h0 (Y), f : Y -> X, Y.€|s0 | } modulo la relation d'équivalence (a, f) ~ (a', f ') si, et seulement si, il existe un C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274
il existe un C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 829 diagramme commutatif avec Y, Y', Y0 € | S0 | et tel que hS0 (u) = hso (u') a'. On remarque ici que seulement la transitivité présente des difficultés; elle est démontrée comme conséquence du fait que toute catégorie admissible stable est fermée sous « pushouts » de cofibrations. D'autre part, on peut donner à hs1 (X) = P (X)/~ une structure de groupe abélien gradué en prenant où <( f 1, f 2 est le coproduit de f 1 : Y 1
2 est le coproduit de f 1 : Y 1 -> X, f 2 : Y2 -> X et i1, î2 sont les inclusions de Y4, Y2 dans Y1 V Y2. Incidemment, on note que hsl (X) est naturellement équivalent à l'extension de Kan du foncteur h : Soi (X) -> az tel que h (f) = hso (Y), f : Y -> X, Y € | s0 |, par rapport au foncteur trivial de S01 (X) dans la catégorie x. qui a pour unique objet X; en effet, hs1, est naturellement équivalent au Jusqu'ici on a hl comme extension
est naturellement équivalent au Jusqu'ici on a hl comme extension de hs0 en tant que foncteur covariant; pour montrer que hs1 est une théorie d'homologie on se sert du fait que la suspension S dans s1 a un adjoint à gauche S' dont la restriction à S0 donne un endofoncteur de S0. Enfin, on remonte à T1 en prenant pour h1 le composé de hs1 avec le foncteur canonique T1 -> s1. L'extension hi ne peut pas être considérée comme une extension de Kan de h0. Ces résultats peuvent être comparés avec ceux obtenus par MM. Deleanu et Hilton en
comparés avec ceux obtenus par MM. Deleanu et Hilton en cohomologie dans (1) et (2). (*) Séance du 21 février 1972. (1) A. DELEANU et P. J. HILTON, Math. Scand., 22, 1968, p. 227-240. (2) A. DELEANU et P. J. HILTON, Battelle Institute Report n° 28, Genève, 1969. Forschungsinstitut für Mathematik, Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich, Suisse. 830—Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE ULTRAMÉTRIQUE. — Prolongement analytique en analyse ultramétrique. Note (*) de M. PHILIPPE ROBBA, transmise par M. Henri Cartan. On établit des conditions nécessaires pour que la somme d'une série de Taylor