jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
présentée par M. René Garnier. Les esquisses et les types de (1) sont des structures qui servent à définir les structures algébriques. En construisant leur esquisse nous montrons qu'elles-mêmes sont des structures algébriques, ce qui permet d'en déduire leurs propriétés générales. Les notations sont relatives à un univers ; la terminologie employée est celle de (2) Soient, et C deux graphes multiplicatifs et on note le néofoncteur constant sur e de I' vers C. Une transformation naturelle de la forme où est, un néofoncteur, s'appelle un cône projectif. Si est une catégorie soit I la catégorie obtenue en ajoutant à
une catégorie soit I la catégorie obtenue en ajoutant à un objet initial o; on note o, l'unique morphisme de o vers On notera o' l'objet initial de et l'unique morphisme de o' vers La donnée de est équivalente à celle du néfoncteur déterminé par pour tout. La donnée d'un couple où est équivalente à celle d'un néofoncteur déterminé par pour tout Si est un ensemble de catégories (ou même de graphes multiplicatifs — la généralisation se fait et sans difficultés) et une préesquisse (projective) pointée, on appelle objets et flèches de les objets et les flèches de. Les axiomes
flèches de les objets et les flèches de. Les axiomes de sont les relations de la forme, où Si est un néofoncteur, vers la catégorie des applications associée à un univers on note le néofoncteur d'hypermorphismes (3) associé : Si est l'ensemble des couples muni de la Loi de composition où, si et seulement si. Dans (2) est définie une esquisse de Catégorie dont nous reprenons le détail des notations. La proposition 4 de (2) définit un isomorphisme K de sur, en posant, où est, l'application limite projective naturalisée usuelle dans. 450 Série A C. R. Acad. Sci. Paris, t.
dans. 450 Série A C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Si Yo, nous appellerons esquisse de type, en posant la préesquisse définie ci-dessous, où est un ensemble de graphes multiplicatifs comportant tous les éléments qui seront utilisés dans la définition de. Nous adopterons les conventions suivantes : désigne le graphe multiplicatif où est un élément quelconque de des éléments quelconques respectivement de et de Si on note où et où on pose pour tout. Soit le foncteur de vers qui coïncide avec l'identité sur et tel que pour tout ; on pose. La préesquisse est alors
que pour tout ; on pose. La préesquisse est alors telle que soit une sous-préesquisse et comporte les données supplémentaires suivantes : 1° les objets 2° les flèches (voir figure) : p(0) de to vers e; de vers e; de tu vers e; de t vers de tu vers t; de vers de vers de vers de vers et quatre flèches précisées par C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 451 3° les axiomes : où sont définis par les conditions. Enfin comporte un dernier cône projectif, que nous n'expliciterons pas, qui permet de réaliser
cône projectif, que nous n'expliciterons pas, qui permet de réaliser comme noyau naturalisé de. PROPOSITION 1. — Les catégories sont isomorphes. Plus généralement, si ou construit une préesquisse projective telle que soit isomorphe à ), obtenue par recouverture d'esquisses déduites de l'esquisse ci-dessus. Partant de l'esquisse, on construit également des esquisses de -prototype, préesquisse : et, ainsi que des néofoncteurs entre ces préesquisses permettant de décrire et d'étudier les foncteurs d'oubli entre les catégories de. Soit un -type, on note la catégorie ) des homomorphismes entre -types structures. On définit de même. PROPOSITION 2 (Complétion structurée). — Supposons que H
de même. PROPOSITION 2 (Complétion structurée). — Supposons que H soit à limites inductives, que soit équipotent à un élément de et que les -limites projectives commutent avec les V-limites inductives, où et où V est la catégorie associée à un ordinal régulier majorant les ordinaux de tous les inférieurs à l'ordinal associé à l'univers. Alors les foncteurs d'oubli entre (1), et admettent des adjoints. Ce théorème généralise les théorèmes de complétion de et. Séance du juillet 1970. C. EHRESMANN, Catégories et structures, Dunod, Paris, 1965 C. EHRESMANN, Cahiers de top. et géom. diff., X, 1, Dunod, Paris, 1968. C.
top. et géom. diff., X, 1, Dunod, Paris, 1968. C. EHRESMANN, Bul. Inst. Polit. Iasi, XIV (XVIII), n°s 1-2, 1968, p. 1-14. C. EHRESMANN, Cahiers de top. et géom. diff., IX, nos 1 et 2, Dunod, Paris, 1967. C. EHRESMANN, Maitrise de mathématiques, 3, Algèbre, C. D. U., Paris, 1968. A. BURRONI, Esquisses des catégories à limites et des quasi-topologies (Thèse de 3e cycle; Esquisses mathématiques, 5, Paris, 1970). (Département de Mathématiques. Faculté des Sciences, Tours 45-55, 9, quai Saint-Bernard, 75-Paris, 5e. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 453 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Deux théorèmes
septembre 1970). Série A 453 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Deux théorèmes de stabilité. Note de M. FRANCIS SERGERAERT, transmise par M. Henri Cartan. 1. RÉSULTAT. — Soient M une variété compacte C. et f : M R une fonction C de codimension finie c (cf. 2). THÉORÈME 1. — Il existe c fonctions C, f, . . ., f, : M R, un voisinage de f dans C(M) et deux applications continues : L'application réalise le « plébiscite universel de f [selon la terminologie de Thom : son existence montre le caractère localement trivial de la stratification de C(M) par les
caractère localement trivial de la stratification de C(M) par les orbites de Diff (M) X Diff (R). 2. FONCTIONS DE CODIMENSION FINIE. — Soit définie par DÉFINITION*. — La codimension de c est la dimension (réelle) du conoyau de l'application linéaire tangente à en [id (M), id (R)] [cf. Une fonction de codimension finie n'a qu'un nombre fini de singularités de détermination finie [terminologie de Mather Dans ce qui suit, f a une codimension finie c. Soit f, : M R une base d'un supplémentaire de l'image de A dans C(M). CORRECTION ### LES SECRÉTAIRES PÉRIPHÉRÉS AVEC LE CONCOURS DU
C(M). CORRECTION ### LES SECRÉTAIRES PÉRIPHÉRÉS AVEC LE CONCOURS DU CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE TOME DEUX CENT SOIXANTE-ET-ONZIÈME SÉRIE A : SCIENCES MATHÉMATIQUES DEUXIÈME PARTIE : SEPTEMBRE-OCTOBRE 1970 PARIS GAUTHIER-VILLARS ÉDITEUR 1970 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 449 NOTES DES MÉMÈBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS ALGÈBRE DES CATÉGORIES. — Esquisses de types : catégories munies de limites. Note de M. ALBERT BURROM, présentée par M. René Garnier. Les esquisses et les types de (1) sont des structures qui servent à définir les structures algébriques. En
des structures qui servent à définir les structures algébriques. En construisant leur esquisse nous montrons qu'elles-mêmes sont des structures algébriques, ce qui permet d'en déduire leurs propriétés générales. Les notations sont relatives à un univers ; la terminologie employée est celle de (2) Soient, et C deux graphes multiplicatifs et on note le néofoncteur constant sur e de I' vers C. Une transformation naturelle de la forme où est, un néofoncteur, s'appelle un cône projectif. Si est une catégorie soit I la catégorie obtenue en ajoutant à un objet initial o; on note o, l'unique morphisme de o vers On
o; on note o, l'unique morphisme de o vers On notera o' l'objet initial de et l'unique morphisme de o' vers La donnée de est équivalente à celle du néfoncteur déterminé par pour tout. La donnée d'un couple où est équivalente à celle d'un néofoncteur déterminé par pour tout Si est un ensemble de catégories (ou même de graphes multiplicatifs — la généralisation se fait et sans difficultés) et une préesquisse (projective) pointée, on appelle objets et flèches de les objets et les flèches de. Les axiomes de sont les relations de la forme, où Si est un néofoncteur, vers
relations de la forme, où Si est un néofoncteur, vers la catégorie des applications associée à un univers on note le néofoncteur d'hypermorphismes (3) associé : Si est l'ensemble des couples muni de la Loi de composition où, si et seulement si. Dans (2) est définie une esquisse de Catégorie dont nous reprenons le détail des notations. La proposition 4 de (2) définit un isomorphisme K de sur, en posant, où est, l'application limite projective naturalisée usuelle dans. 450 Série A C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Si Yo, nous appellerons esquisse de type, en posant
1970). Si Yo, nous appellerons esquisse de type, en posant la préesquisse définie ci-dessous, où est un ensemble de graphes multiplicatifs comportant tous les éléments qui seront utilisés dans la définition de. Nous adopterons les conventions suivantes : désigne le graphe multiplicatif où est un élément quelconque de des éléments quelconques respectivement de et de Si on note où et où on pose pour tout. Soit le foncteur de vers qui coïncide avec l'identité sur et tel que pour tout ; on pose. La préesquisse est alors telle que soit une sous-préesquisse et comporte les données supplémentaires suivantes : 1°
une sous-préesquisse et comporte les données supplémentaires suivantes : 1° les objets 2° les flèches (voir figure) : p(0) de to vers e; de vers e; de tu vers e; de t vers de tu vers t; de vers de vers de vers de vers et quatre flèches précisées par C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 451 3° les axiomes : où sont définis par les conditions. Enfin comporte un dernier cône projectif, que nous n'expliciterons pas, qui permet de réaliser comme noyau naturalisé de. PROPOSITION 1. — Les catégories sont isomorphes. Plus généralement,
de. PROPOSITION 1. — Les catégories sont isomorphes. Plus généralement, si ou construit une préesquisse projective telle que soit isomorphe à ), obtenue par recouverture d'esquisses déduites de l'esquisse ci-dessus. Partant de l'esquisse, on construit également des esquisses de -prototype, préesquisse : et, ainsi que des néofoncteurs entre ces préesquisses permettant de décrire et d'étudier les foncteurs d'oubli entre les catégories de. Soit un -type, on note la catégorie ) des homomorphismes entre -types structures. On définit de même. PROPOSITION 2 (Complétion structurée). — Supposons que H soit à limites inductives, que soit équipotent à un élément de et que
inductives, que soit équipotent à un élément de et que les -limites projectives commutent avec les V-limites inductives, où et où V est la catégorie associée à un ordinal régulier majorant les ordinaux de tous les inférieurs à l'ordinal associé à l'univers. Alors les foncteurs d'oubli entre (1), et admettent des adjoints. Ce théorème généralise les théorèmes de complétion de et. Séance du juillet 1970. C. EHRESMANN, Catégories et structures, Dunod, Paris, 1965 C. EHRESMANN, Cahiers de top. et géom. diff., X, 1, Dunod, Paris, 1968. C. EHRESMANN, Bul. Inst. Polit. Iasi, XIV (XVIII), n°s 1-2, 1968, p. 1-14. C.
Polit. Iasi, XIV (XVIII), n°s 1-2, 1968, p. 1-14. C. EHRESMANN, Cahiers de top. et géom. diff., IX, nos 1 et 2, Dunod, Paris, 1967. C. EHRESMANN, Maitrise de mathématiques, 3, Algèbre, C. D. U., Paris, 1968. A. BURRONI, Esquisses des catégories à limites et des quasi-topologies (Thèse de 3e cycle; Esquisses mathématiques, 5, Paris, 1970). (Département de Mathématiques. Faculté des Sciences, Tours 45-55, 9, quai Saint-Bernard, 75-Paris, 5e. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 453 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Deux théorèmes de stabilité. Note de M. FRANCIS SERGERAERT, transmise par M. Henri Cartan. 1.
de M. FRANCIS SERGERAERT, transmise par M. Henri Cartan. 1. RÉSULTAT. — Soient M une variété compacte C. et f : M R une fonction C de codimension finie c (cf. 2). THÉORÈME 1. — Il existe c fonctions C, f, . . ., f, : M R, un voisinage de f dans C(M) et deux applications continues : L'application réalise le « plébiscite universel de f [selon la terminologie de Thom : son existence montre le caractère localement trivial de la stratification de C(M) par les orbites de Diff (M) X Diff (R). 2. FONCTIONS DE CODIMENSION FINIE. —
(M) X Diff (R). 2. FONCTIONS DE CODIMENSION FINIE. — Soit définie par DÉFINITION*. — La codimension de c est la dimension (réelle) du conoyau de l'application linéaire tangente à en [id (M), id (R)] [cf. Une fonction de codimension finie n'a qu'un nombre fini de singularités de détermination finie [terminologie de Mather Dans ce qui suit, f a une codimension finie c. Soit f, : M R une base d'un supplémentaire de l'image de A dans C(M). CORRECTION ### LES SECRÉTAIRES PÉRIPHÉRÉS AVEC LE CONCOURS DU CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE TOME DEUX CENT SOIXANTE-ET-ONZIÈME SÉRIE A :
LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE TOME DEUX CENT SOIXANTE-ET-ONZIÈME SÉRIE A : SCIENCES MATHÉMATIQUES DEUXIÈME PARTIE : SEPTEMBRE-OCTOBRE 1970 PARIS GAUTHIER-VILLARS ÉDITEUR 1970 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 449 NOTES DES MÉMÈBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS ALGÈBRE DES CATÉGORIES. — Esquisses de types : catégories munies de limites. Note de M. ALBERT BURROM, présentée par M. René Garnier. Les esquisses et les types de (1) sont des structures qui servent à définir les structures algébriques. En construisant leur esquisse nous montrons qu'elles-mêmes sont des structures alg Les difficultés, pour
nous montrons qu'elles-mêmes sont des structures alg Les difficultés, pour montrer le théorème se produisent au voisinage des singularités de f. On peut se ramener au cas suivant : soient B, B, ..., Bn exemplaires de la boule unité de R ; B, ..., B (resp. B|, ...,B) les boules fermées respectivement concentriques de rayon (resp. On pose M (resp. M', M, ..., B, U, ..., UB, B] U ..., U B ). On suppose que f : M → R ne présente de singularités qu'au centre des boules B. Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7
Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Soit K un compact de R dont l'intérieur contient f(M). On pose, si : C(M) C-applications M → R; D(M) [resp. D(R)] =; C'-diffeomorphismes de R (resp. R) induisant l'identité sur M — M (resp. R — K). En identifiant comme d'habitude D(M) [resp. D(R)] avec un voisinage de 0 de T(M) [resp. T(R)] [qu'on note encore T(M) (resp. T(R)) pour simplifier], on obtient la définition suivante de : CONSTRUCTION D'UNE SECTION DE T; PREMIÈRE ÉTAPE. LEMME 1. — Il existe EN et un système projectif d'applications continues
— Il existe EN et un système projectif d'applications continues : Démonstration (première étape). — Il faut résoudre En se ramène facilement à C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 455 DEUXIÈME ÉTAPE. — Soit l'espace des fonctions numériques continues de classe C1 en la première variable. LEMME 2. — Il existe et un système projectif d'applications linéaires continues : Démonstration. — On procède comme dans Fin de la démonstration du lemme 1. — La résolution de l'équation (2) revient à « diviser » par df df. On déduit le lemme 1 du lemme 2
df df. On déduit le lemme 1 du lemme 2 comme dans DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1. — On applique le théorème 1 de [voir aussi] L'existence d'opérateurs d'approximation résulte de [voir aussi]. Les assertions a, b, c, d, e, f ont déjà été démontrées. Pour montrer les inégalités g, h, on utilise la formule de Faà di Bruno [cf. p. 3] et les inégalités de convexité du paragraphe 4 de pour montrer le : LEMME 3. — Soient m, n, p, Il existe un réel C tel que si f, g : sont de classe C, bornées ainsi que leurs
g : sont de classe C, bornées ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre alors (pour les normes habituelles). Les inégalités g, h du théorème 1 de résultent d'une application répétée de ce lemme, car toutes les applications en cause sont bornées en La conclusion de ce théorème affirme précisément l'existence de la fonction du théorème 1. L'existence de se montre de la même façon. Séance du 17 août 1970. R. ABRAHAM et J. ROHRIN, Transversal mappings and flows, Benjamin, New York, 1967. G. LASSALLE, Une démonstration du théorème de division des fonctions différentiables (à paraître). B. MALGRANGE, Séminaire II. Cartan,
des fonctions différentiables (à paraître). B. MALGRANGE, Séminaire II. Cartan, Sec. Math, de l'I. H. P., Paris, 15, 1962-1963, exposé 11. J. MATHER, Ann. Math., 87, 1968, p. 89-104 MATHER, Stability of C mappings, III, Pub. Math, de l'I. H. E. S., 1969. J. NASH, Ann. Math., 63, 1956, p. 20-63. V. SERGEREART, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 861. R. THOM, Bull. Amer. Math. Soc., 75, 1969, p. 240-684 J. G. TOUGERON, Séminaire Bourbaki, Sec. Math, de l'I. H. P., Paris, 20, 1967-1968, exposé 336. Département de Mathématiques, Bâtiment 425, Faculté des Sciences, 91-Orsay, Essonne. G. R. Acad.
Bâtiment 425, Faculté des Sciences, 91-Orsay, Essonne. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 457 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Synthèse et extension de certaines théories variationnelles linéaires. Note de M. PAUL KRÉE, transmise par M. Jean Dieudonné. Introduction d'une équation fonctionnelle généralisant de nombreuses équations variationnelles connues et ayant de nouvelles applications. Étude de l'existence et de l'unicité de la solution de l'équation transposée, de l'approximation numérique et du contrôle. Les résultats feront l'objet d'une publication ultérieure. Dans tout ce qui suit, les espaces vectoriels considérés sont supposés réels (la transposition des résultats est possible
considérés sont supposés réels (la transposition des résultats est possible si ces espaces sont complexes). Dans la théorie des problèmes aux limites relatifs aux équations aux dérivées partielles, on connaît et on utilise de nombreuses équations fonctionnelles (dites abstraites) : a. équation Au = f, où A est un opérateur coercif défini sur l'espace de Hilbert V, à valeurs dans son dual topologique V' (avec utilisation du lemme de Visik-Lax-Milgram) ; b. équation différentielle opérationnelle du premier ordre de J. L. Lions (7) ; c. équation différentielle opérationnelle du deuxième ordre de J. L. Lions : d. équation « positive
ordre de J. L. Lions : d. équation « positive » Au = f, où A est un opérateur non borné de l'espace de Hilbert H, vérifiant les hypothèses précisées au point 1 de [voir aussi] e. équation d'évolution « positive » associée au problème stationnaire (i.d). Vus (2) et (3) l'adjectif « positive » nous semble préférable à l'adjectif « dissipative » que nous avions utilisé dans Chacune de ces équations peut donner lieu à une étude générale (existence, unicité et régularité de la solution, transposition, approximation, contrôle, identification, etc.). Les résultats ainsi obtenus peuvent être ensuite appliqués à
etc.). Les résultats ainsi obtenus peuvent être ensuite appliqués à tout problème physique ou théorique [problème aux limites ou autres problèmes : voir (3)] gouverné par l'une des équations (i.a) à (i.e). Ainsi l'équation (i.d) s'applique aux problèmes décrits dans (2). Signalons que les résultats relatifs à (i.d) et (i.e), annoncés dans la Note, sont détaillés dans [sauf les résultats relatifs aux inéquations]. Une caractéristique générale des études des équations fonctionnelles (i.a) à (i.e), est que chacune de ces études utilise des méthodes particulières, et que les résultats ainsi obtenus s'appliquent à des classes particulières de problèmes concrets. On se
s'appliquent à des classes particulières de problèmes concrets. On se propose d'étudier ci-après une équation fonctionnelle qui contient comme cas particuliers tous les modèles ci-dessus. Signalons que cette théorie s'applique au problème aux limites canoniques associé à l'équation aux dérivées partielles (définie sur ℝ²) : Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). alors qu'aucun des modèles antérieurs ne s'applique à cette équation. De la même manière, notre théorie s'applique à certaines équations du contrôle optimal sans contrainte. 2. EXISTENCE ET UNICITÉ DE LA SOLUTION; TRANSPOSITION DE L'ÉQUATION. (i) Définition, théorème d'existence et d'unicité, transposition. Soit
DE L'ÉQUATION. (i) Définition, théorème d'existence et d'unicité, transposition. Soit V un espace de Banach réflexif et soit V son dual topologique. Soit A un opérateur fermé non (forcément) borné de V dans V, à domaine dense. Soit A' le transposé de (A), au sens de la théorie des opérateurs non bornés. alors A est une application surjective de D sur V. b. D étant muni de la norme du graphe, A est un opérateur continu de D dans V. Soit A' la transposée de cette application. étant un autre opérateur non borné fermé, à domaine dense, de V dans
opérateur non borné fermé, à domaine dense, de V dans V, on suppose que (B) vérifie une relation analogue, et que la restriction de A' à DB coïncide avec B. Alors B est un isomorphisme de DR sur V. c. Si l'on a et si (A) vérifie une relation analogue, alors A (et resp. A') est un isomorphisme de et resp. DA sur V. Notons que si DA est muni de la norme du graphe, le transposé de l'opérateur borné A de DA sur V est un opérateur défini sur V, qui prolonge A. Notons que dans le cas relativement
V, qui prolonge A. Notons que dans le cas relativement à l'équation où f est donné dans V, il y a identité entre les notions de solutions faibles et fortes. Quelques exemples relatifs au cas particulier où V est un espace de Hilbert. a. Si (A) est un opérateur borné coercif de V dans V, alors les hypothèses de (3.c) sont vérifiées; donc A est un isomorphisme : on retrouve le théorème de Visik-Lax-Milgram. b. Si (A) est un opérateur non borné (fermé, domaine dense) de l'espace de Hilbert « positif » ainsi que son transposé: alors les hypothèses du
positif » ainsi que son transposé: alors les hypothèses du point (3.c) sont vérifiées. Donc A est un isomorphisme : on retrouve les résultats du point 1 de (4). c. Si l'on suppose encore que coïncide avec le lemme variationnel d'existence utilisé dans (2) par Friedrichs. Noter aussi que (3.c) est une variante (énoncé différent, applications pratiquement identiques) du lemme variationnel énoncé au chapitre 3 de (6). d. Utilisons les notations et les hypothèses habituellement associées à l'équation « parabolique » (i.b). Posons Définissons les opérateurs non bornés et de dans par Par application de (3.b), on retrouve les résultats
dans par Par application de (3.b), on retrouve les résultats connus relatifs à (i.b). e. Pour retrouver les résultats relatifs à (i.c), on utilise la remarque suivante. Soit V un espace de Banach réflexif. Soit [et resp.] un opérateur non borné de V dans V, à domaine dense. On suppose qu'il existe tel que l'on ait, quel que soit u dans (et resp. v dans ), : On suppose aussi que toute solution faible de l'équation est quelconque dans V) est une solution forte. Alors la plus petite extension fermée (B) de (B) et resp. (C) de (C)] coïncide avec
(B) de (B) et resp. (C) de (C)] coïncide avec le transposé de (C) [et resp. (B)]. De plus, (B) vérifie les hypothèses (3.c). f. On retrouve de la même façon les résultats de (7) relatifs à (i.c). D'ailleurs, (i.c) est une variante d'un cas particulier de (i.e); voir. 3. APPROXIMATION NUMÉRIQUE. Méthode de Galerkin. Soit un sous-espace vectoriel de D. On suppose qu'il existe un seul un dans Vn tel que (Noter que ceci a toujours lieu si Vn est de dimension finie;.) Soit une application linéaire de DA dans Vn telle que Alors un tend vers u quand
dans Vn telle que Alors un tend vers u quand n tend vers l'infini et l'on a la majoration suivante de l'erreur : et que les un appartiennent à un borné de V (noter que ceci a toujours lieu si Wn est de dimension finie et si les an sont uniformément positives). Soit un sous-espace de dense dans V. On suppose 4. CONTRÔLE OPTIMAL (SYNTHÈSE ET EXTENSION DES RÉSULTATS DE (8)]. — Soient U, F, Y (et resp. Z) des espaces de Banach réflexifs (resp. un espace de Hilbert). Soit C (resp. B) une application linéaire continue de l'espace des
C (resp. B) une application linéaire continue de l'espace des états Y (resp. de l'espace des contrôles U) à valeurs dans l'espace des observations Z (resp. des données F). Soit A un isomorphisme linéaire entre Y et F. Soit N un opérateur borné symétrique de U dans U' (définissant le coût). On se donne une observation désirée dans Z, une donnée f dans F, un convexe fermé K de U. yn étant défini par il existe un seul u dans K qui minimise le coût u est caractérisé par le système : où Az est l'isomorphisme canonique de Z sur