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dans le fluide en équilibre se compose de deux parties, l'une normale à la surface pressée et égale en tous sens autour d'un même point, l'autre qui n'est ni normale à cette figure ni indépendante de direction. On prouve par une analyse délicate que les composantes de la seconde partie, agissant sur une portion du fluidum de forme quelconque, se détruisent sans le secours d'aucune autre force ; en sorte que pour obtenir les équations d'équilibre relatives à l'intérieur d'un fluide, il suffit de considérer ainsi qu'on le fait ordinairement, la pression normale et égale en tous sens, et les
la pression normale et égale en tous sens, et les forces données qui agissent sur les molécules. Dans le § 6 du mémoire, M. Poisson donne les équations relatives à la surface de séparation de deux fluides superposés. Enfin, dans le § 7, il détermine les pressions dans les fluides en mouvement, et donne les équations différentielles de ce mouvement, en se fondant sur les principes exposés plus haut. NOTE SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES, par M. E. GALOIS. M. Legendre a le premier remarqué que, lorsqu'une équation algébrique était mise sous la forme y = x, y est
était mise sous la forme y = x, y est une fonction de x qui croît constamment en même temps que x, il était facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu'un nombre donné a, si < a, et la racine immédiatement plus grande que a, si > a > a. Pour le démontrer, on construit la courbe y = 9 x et la droite y=x. Soit prise une abscisse = a, et supposons, pour fixer les idées, < p a > a, je dis qu'il sera aisé d'obtenir la racine immédiate supérieure à a. En
sera aisé d'obtenir la racine immédiate supérieure à a. En effet, les racines de l'équation = x ne sont que les abscisses des points d'intersection de droite et de la courbe, et il est clair que l'on s'approchera du point le plus voisin d'intersection, en substituant à l'abscisse a une abscisse ϕ a. On aura une valeur plus approchée encore en prenant pça, puis ϕϕϕ a, et ainsi de suite. Soit F x=0 une équation donnée du degré n, et F(x,Y) = X-Y, et Y n'ayant que des termes positifs. M. Legendre met expressivement l'équation sous ces deux formes y
M. Legendre met expressivement l'équation sous ces deux formes y = 9 x et x = y, et Y sont toujours, comme on voit, plus grande, l'autre plus petite que x. Ainsi, à l'aide de deux fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'équation les plus approchées d'un nombre donné a, l'une en plus et l'autre en moins. Mais cette méthode a l'inconvénient d'exiger à chaque opération l'extraction d'une racine nème. Voici deux formes plus modestes. Cherchons un nombre k tel, que la fonction lisse avec x, quand x > 1. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les
> 1. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d'une équation qui sont plus grandes que l'unité.) Nous aurons pour la condition proposée 1. 1. Car on a identiquement n X - x X' > 0, Y - x Y' > 0, il suffit donc de pesser n X - X' x < y pour x > 1 et il suffit pour cela de prendre pour A la valeur de la fonction n X - X' x relative à x = 1. On trouvera de même un nombre h tel que la fonction croît avec x quand x
h tel que la fonction croît avec x quand x sera > 1, en changeant Y en X. Ainsi l'équation donnée pourra se mettre sous l'une des formes qui sont toutes deux rationnelles, et donnent pour la résolution une méthode facile. 217. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE; par M. Augustin-Louis CAUCHY, Lu à l'Académie des sciences le 1er mai et le 7 et le 14 juin 1830. J'ai donné le premier, dans les exercices de mathématique (3e et 4e volume), les "équations générales d'équilibre ou de mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de
système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, en admettant que ces forces fussent représentées par des fonctions des distances entre les molécules; et j'ai prouvé que ces équations, qui renferment un grand nombre de coefficients dépendants de la nature du système, se réduisaient, dans le cas où l'élasticité redevenait la même en tous sens, à d'autres formules qui ne renferment qu'un seul coefficient, et qui avaient été primitivement obtenues par M. Navier. J'ai de plus déduit de ces équations celle qui détermine les mouvements des plaques et des verges élastiques, quand on suppose que l'élasticité
plaques et des verges élastiques, quand on suppose que l'élasticité n'est pas la même en tous sens; et j'ai ainsi obtenu des formules qui comprennent comme cas particulier, celles que M. Poisson et d'autres géomètres avaient trouvées dans la supposition contraire. L'attention remarquable de ces diverses formules, et des lois qui s'en suivent, avec les observations des physiciens, et spécialement avec les belles expériences de M. Savart, devait m'inciter à suivre les conseils de quelques personnes qui m'auraient à faire des équations générales que j'avais données application nouvelle à la théorie de la lumière. Ayant suivi ce conseil, j'ai été
théorie de la lumière. Ayant suivi ce conseil, j'ai été assez heureux pour arriver aux résultats que je vais exposer dans ce mémoire, et qui me paraissent être de fixer un moment l'attention des physiciens et des mathématiciens. Les 3 équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, renferment, avec temps t, et les coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point quelconque de l'espace, les déplacements x, y, z de la molécule qui coïncide, au bout du temps t, avec le point dont agit; ces déplacements étant
temps t, avec le point dont agit; ces déplacements étant mesurés parallèlement aux axes des x, y, z. Les mêmes équations offriront 21 coefficients différents de la nature du système, si l'on fait abstraction des coefficients qui s'évanouissent, lorsque les masses m, m', m", de diverses molécules sont deux à deux égales entre elles et réparties symétriquement de part et d'autre de la molécule n des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide. Enfin ces équations seront du second ordre, c'est-à-dire qu'elles ne contiendront que des dérivées du second ordre des variables principales x, y, z, et
du second ordre des variables principales x, y, z, et l'on pourra, en considérant chaque coefficient comme une quantité constante, faire leur intégration à celle d'une équation du sixième ordre ne renfermera plus qu'une seule variable principale. Or : cette dernière pourra être facilement intégrée à l'aide des méthodes générales que j'ai données dans le 19e cahier du journal de l'École Polytechnique, et dans le mémoire sur l'application calculée des résidus aux questions de physique mathématique. En appliquant ces méthodes au cas où l'élasticité du système reste la même en tous sens, et réduisant la valeur de la variable principale
tous sens, et réduisant la valeur de la variable principale à la forme la plus simple, à l'aide d'un théorème établi depuis longtemps par M. Poisson, on obtient justement les intégrales qu'a données ce géomètre dans les mémoires de l'Académie. Mais dans le cas général, la variable principale étant représentée par une intégrale définie sextupolaire, il fallait, pour découvrir les lois des phénomènes, réduire cette intégrale sextuple à une intégrale d'un ordre moins élevé. Cette réduction m'a longtemps arrêté : mais je suis enfin parvenu à l'effectuer, pour l'équation aux différences partielles ci-dessus mentionnée, et même généralement pour toutes équations
différences partielles ci-dessus mentionnée, et même généralement pour toutes équations aux différences partielles dans lesquelles les 3 dérivées de la variable principale, prises par rapport aux 3 variables indépendantes x, y, z, t, sont des dérivées de ordre. Alors j'ai obtenu, pour représenter la variable principale, une intégrale définie quadruple, et j'ai pu rechercher les lois des phénomènes dont la connaissance devait résulter de l'intégration des équations proposées. Cette recherche a l'objet du dernier mémoire que j'ai eu l'honneur d'offrir à l'Académie, et qui renferme entre autres la proposition suivante. Étant donnée une équation aux différences partielles dont toutes les
Étant donnée une équation aux différences partielles dont toutes les dérivées de la variable principale par rapport aux variables indépendantes x, y, z, t, sont de même ordre, les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées prises par rapport au temps sont sensiblement nulles dans tous les points situés à une distance finie de l'origine des coordonnées, cette variable et ses dérivées n'auront plus de valeurs sensibles au bout du temps t, dans l'intérieur d'une certaine surface, et par conséquent les vibrations sonores, lumineuses, etc., qui peuvent être déterminées à l'aide de l'équation aux différences partielles, se
être déterminées à l'aide de l'équation aux différences partielles, se propageront dans l'espace de manière à produire une onde sonore, lumineuse, etc...., dont la surface sera précisément celle que nous venons d'indiquer. Il suffit ensuite de trouver facilement l'équation de la surface de l'onde en suivant la règle que je vais tracer. Conçevons que, dans l'équation aux différences partielles on remplace une dérivée quelconque de la variable principale prise par rapport aux variables indépendantes x, y, z, le produit de ces variables élevées à des puissances dont le degré sont marquées, pour chaque variable indépendante par le nombre des différenciations
marquées, pour chaque variable indépendante par le nombre des différenciations qui lui sont relatives. On obtiendra alors une nouvelle équation que l'on obtiendra sera de la forme F (x, y, z, t) = 0, La nouvelle fonction représentera une certaine surface courbe. Considérez maintenant le rayon vecteur mené de l'origine à un point quelconque de cette surface courbe; portez sur ce rayon vecteur, à l'endroit de l'origine, une longueur égale au carré du temps divisé par ce même rayon; menez ensuite par l'extrémité de cette longueur un plan perpendiculaire à sa direction. Ce plan sera la tangent à la surface
sa direction. Ce plan sera la tangent à la surface de l'onde, et par conséquent cette surface sera l'enveloppe de l'espace que traverseront les divers isodynamiques que l'on peut construire en opérant comme on vient de le dire. Au reste, on arrive encore aux mêmes conclusions, en prenant une autre méthode que je vais exposer en peu de mots que j'ai développée dans mes dernières tentatives au collège de France. Supposons que les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées prises par rapport au temps ne soient sensibles que pour les points situés à des distances très-petites
sensibles que pour les points situés à des distances très-petites d'un même plan mené par l'origine des coordonnées, et dépendent uniquement de ces distances. Cette même variable et ces dérivées ne seront sensibles, au bout du temps t, que dans le voisinage d'un des plans parallèles, construits à l'aide de la règle que nous avons précédemment indiquée. Par conséquent, si les vibrations sonores, lumineuses, etc., sont principalement renfermées dans une onde plane, cette onde, que nous nommerons élémentaire, se divisera en plusieurs autres qui chacune se propagera dans l'espace, en restant parallèle au même, avec une vitesse constante. Mais ces
restant parallèle au même, avec une vitesse constante. Mais ces diverses ondes auront des vitesses de propagation différentes. Si maintenant on conçoit qu'au premier instant plusieurs ondes élémentaires soient renfermées dans des plans divers menés par les directions des coordonnées, mais peu inclinés les uns sur les autres, et que les vibrations sonores, lumineuses, etc., soient si petites pour rester insensibles dans chaque onde élémentaire prise séparément; alors, ces vibrations ne pourront être sensibles que par la superposition d'un grand nombre des élémentaires, il est clair que les phénomènes relatifs à la propagation du son, de la lumière, etc., ne
à la propagation du son, de la lumière, etc., ne pourront être servis, au premier moment, que dans une très-petite région autour de l'origine des coordonnées, et au bout du temps t, dans le voisinage des diverses nappes de la surface qui sera touchée par toutes les ondes élémentaires. Or cette dernière surface sera précisément la surface courbe dont nous avons parlé ci-dessus, et que l'on nomme généralement l'enveloppe de l'onde. Cela posé, si l'on considère le mouvement de propagation des ondes planes, dans un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, pourra prendre successivement
des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, pourra prendre successivement pour variables principales les déplacements rectangulaires d'une molécule mesurés par l'élément aux trois axes d'un certain ellipsoïde qui aura son centre l'origine des coordonnées, et que l'on construira facilement dès que l'on connaît les coefficients dépendants de la nature du système proposé, et la direction du plan ABC, qui renfermait une onde plane au premier instant. Alors cette onde se divisera en six autres qui auront constamment la même épaisseur que la première, et se propageront avec des vitesses constantes, dans des plans parallèles à ABC. Ces ondes prises deux
dans des plans parallèles à ABC. Ces ondes prises deux à deux, auront des vitesses de propagation égale mais dirigées en sens contraires. De plus, ces vitesses, mesurées suivant une droite perpendiculaire au plan ABC, ne seront les mêmes pour les trois ondes qui se mouvront dans un même sens, et seront constantes et respectivement égales aux quotients qu'on obtient en divisant l'unité par les 3 demi-axes de l'ellipsoïde ci-dessus mentionné. Les points situés hors de ces ondes seront en repos et si les 3 demi-axes de l'ellipsoïde sont inégaux, le déplacement absolu et la vitesse absolue des molécules, dans
le déplacement absolu et la vitesse absolue des molécules, dans une onde plane, resteront toujours parallèles à ceux des trois axes de l'ellipsoïde qui sera réciproquement proportionnel à la vitesse de propagation de cette onde. Mais, si 2 ou 3 axes de l'ellipsoïde deviennent égaux, les ondes planes qui se propageront dans le même sens avec des vitesses réciproquement proportionnelles à ces axes, coïncideront, et la vitesse absolue de chaque molécule renfermée dans une onde plane sera, au bout d'un temps quelconque, parallèle aux directions suivant lesquelles les vitesses initiales se projetaient sur le plan mené par les deux axes
se projetaient sur le plan mené par les deux axes égaux de l'ellipsoïde, ou même, si l'ellipsoïde change en une sphère, aux directions de ces vitesses initiales. Concévons maintenant qu'au premier instant plusieurs ondes planes, peu inclinées les unes sur les autres et sur un certain plan ABC, se rencontrent et se superposent en un certain point A. Le temps venant à croître, chacune de ces ondes se propagera dans l'espace, en donnant naissance, de chaque côté du plan qui la renfermait primitivement, à trois ondes semblables renfermées dans des plans parallèles, mais douées de vitesses de propagation différentes; par
plans parallèles, mais douées de vitesses de propagation différentes; par conséquent, le système d'ondes planes que l'on considérait d'abord se subdiviera en trois autres systèmes, et le point de rencontre des trois qui feront partie d'un même système se déplacera suivant une certaine droite avec une vitesse de propagation inférieure à celle des ondes planes. Donc, au bout d'un temps conjectural, le point A se trouvera remplacé par trois autres points dont les positions dans l'espace pourront être calculées dans une direction donnée du plan ABC, et les diverses positions que pourront prendre les trois points dont il s'agit, dans
que pourront prendre les trois points dont il s'agit, dans diverses directions primitivement attribuées au plan ABC, formeront une surface courbe à trois nappes, dans laquelle chaque nappe sera constamment touchée par les ondes planes appartenant à une même famille. Or cette surface courbe précisément celle dont nous avons déjà parlé ci-dessus, que nous avons nommée surface de l'onde. Il reste, pour que la propagation des ondes planes puisse excuter dans un corps élastique, il est nécessaire que les limites, ou du moins certaines fonctions de coefficients mises dans les équations aux différences partielles qui représentent le mouvement du corps
équations aux différences partielles qui représentent le mouvement du corps élastique, restent positives. Si le cas contraire, les ondes planes ne pourraient plus se propager, et l'on en serait averti par le calcul qui donnerait les vitesses de propagation des valeurs imaginaires. Dans la théorie de la lumière, on désigne sous le nom d'éther fluide impondérable que l'on considère comme étant le véritable élastique dans lequel se propagent les ondes lumineuses. Le point de rencontre d'un grand nombre d'ondes planes dont les sens sont peu inclinés les uns aux autres est celui dans lequel on suppose que la lumière peut
est celui dans lequel on suppose que la lumière peut être perçue par l'œil. La position que ce point de rencontre prend dans l'espace tandis que les ondes se déplacent, constitue ce qu'on nomme un rayon lumineux; et la vitesse de la lumière dans le sens de ce rayon doit être soigneusement distinguée, 1° de la vitesse de propagation des ondes planes, 2°, la vitesse propre des molécules éthérées. Enfin on appelle rayons polarisés ceux qui correspondent à des ondes planes dans lesquelles les vibrations des molécules restent constamment parallèles à une droite donnée, quelle que soit l'orientation des vibrations
à une droite donnée, quelle que soit l'orientation des vibrations initiales. Pour plus de généralité, nous dirons que, dans un rayon lumineux, la lumière est polarisée parallèlement à une droite à un plan donné, lorsque les vibrations des molécules seront parallèles à cette droite ou à ce plan, sans et parallèles dans tous les cas aux directions des vibrations initiales; et nous appellerons plan de polarisation le plan qui fermera la direction du rayon lumineux, et celle de la vitesse propre des molécules éthérées. Ces définitions s'accordent comme on le verra plus tard, avec les dénominations reçues. Cela posé, il
verra plus tard, avec les dénominations reçues. Cela posé, il résulte des principes ci-dessus établis, qu'à partir d'un point, donné de l'espace, un rayon de lumière dans lequel les vitesses propres des molécules ont des directions quelconques, se subdivisera généralement en trois rayons de lumière polarisée parallèlement aux trois axes d'un certain ellipsoïde. Mais chacun de ces rayons polarisés ne pourra plus être divisé par l'action du fluide élastique dans lequel la lumière se propage. De plus, le mode de polarisation dépendra de la constitution de ce fluide, c'est-à-dire, de la distribution de ses molécules dans l'espace ou dans un
la distribution de ses molécules dans l'espace ou dans un corps transparent et du plan qui renfermait primitivement les molécules vibrantes. Si la constitution du fluide élastique est telle que les vitesses de propagation des ondes planes deviennent imaginaires, cette propagation ne pourra plus s'effectuer, et le corps dans lequel le fluide éthéré se trouve compris deviendra ce qu'on nomme un corps opaque. Si le corps reste transparent, et si dans ce corps le fluide éthéré se trouve distribué de telle sorte que son élasticité demeure la même en tous sens autour d'un point quelconque, les trois rayons polarisés, dans
sens autour d'un point quelconque, les trois rayons polarisés, dans lesquels se subdivisera généralement un rayon quelconque de lumière, seront dirigés suivant la même droite; et, comme la vitesse de la lumière sera la même dans les deux premiers rayons, ceux-ci se confondront l'un avec l'autre. Il ne restera donc alors que deux rayons polarisés, l'un simple, l'autre double, ayant la même direction. Or, le calcul fait voir que dans le rayon simple la lumière sera polarisée suivant la direction dont il s'agit, tandis que dans le rayon double la lumière sera polarisée perpendiculairement à cette direction. Si les vibrations
lumière sera polarisée perpendiculairement à cette direction. Si les vibrations initiales des molécules lumineuses sont renfermées dans un plan perpendiculaire à la direction dont il s'agit, le rayon simple disparaîtra, et les vitesses propres des molécules dans le rayon double seront constamment dirigées suivant des droites parallèles aux directions des vitesses initiales, de sorte qu'à proprement parler, il n'y aura plus de polarisation. Alors aussi la vitesse de propagation de la lumière sera équivalente à la vitesse de propagation d'une onde plane, et la même en tous sens autour de chaque point. Or, la réduction de tous les rayons à
chaque point. Or, la réduction de tous les rayons à un seul, l'absence de toute polarisation dans les milieux où la lumière se propage en tous sens avec la même vitesse étant des constats par l'expérience, nous devons conclure de ce précédent que dans ces milieux les vitesses propres des molécules éthérées sont perpendiculaires aux directions des rayons lumineux, et comprises dans les ondes planes. Ainsi l'hypothèse de Fresnel devient une réalité. Cet habile physicien, si tragiquement enlevé aux sciences par une mort prématurée, a donc eu raison de dire que dans la lumière ordinaire les vibrations sont transversales, c'est-à-dire
que dans la lumière ordinaire les vibrations sont transversales, c'est-à-dire perpendiculaires aux directions des rayons. A la vérité, les idées de Fresnel sur cet objet ont été vivement combattues par un illustre académicien dans plusieurs articles que renferment les Annales de physique et de chimie, et dont l'un est relatif au mouvement des fluides superposés. Suivant l'auteur de ces articles, les actions des molécules dans l'éther finiraient par être toutes sensiblement perpendiculaires aux surfaces des ondes que le mouvement produit en se propageant, et dès lors la polarisation, telle qu'elle a été précédemment définie, deviendrait impossible et disparaîtrait complètement. Alors
a été précédemment définie, deviendrait impossible et disparaîtrait complètement. Alors aussi la surface de l'onde serait toujours un ellipsoïde, et n'offrirait qu'une nappe, en sorte que pour expliquer la double réfraction on serait obligé de supposer deux fluides éthérés simultanément renfermés dans le même milieu. Mais on doit remarquer que l'auteur, comme il le dit lui-même, avait déduit ces conséquences de l'intégration de l'équation connue aux différences partielles qui représente les mouvements des fluides élastiques, et de celle qu'on en déduit lorsqu'on les pose inégaux les trois coefficients des dérivées partielles de la variable principale. Or, ces équations ne paraissent
partielles de la variable principale. Or, ces équations ne paraissent point applicables à la propagation des ondes lumineuses dans un fluide éthéré, et l'accord remarquable de la théorie que je propose. avec l'expérience me semble devoir confirmer l'assertion que j'ai déjà émise dans un précédent mémoire sur le mouvement de la lumière; savoir, que les équations différentielles de mouvement sont comprises dans celles que renferment les deux premières livraisons des Exercices de mathématiques. Nous allons maintenant appliquer la théorie que nous avons reproduite en peu de mots à la propagation de la lumière dans les cristaux à un axe ou
de la lumière dans les cristaux à un axe ou à deux axes optiques. Pour y parvenir, il ne sera pas nécessaire d'employer les équations générales que nous avons données dans la 3ème livraison des Exercices, comme propres à représenter le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou répulsion mutuelle, et l'on pourra réduire ces équations à formules (68) de la page 208 du troisième volume, c'est-à-dire aux formules qui expriment le mouvement d'un système de trois axes d'élasticité perpendiculaires entre eux. On pourra d'ailleurs supposer qu'aucune force intérieure n'est appliquée au système, et alors les