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car les discordances qui se sont manifestées entre les mesures directes de longitude et les résultats des triangulations peuvent tenir aux erreurs systématiques des premières, tout autant ou même beaucoup plus qu'aux anomalies locales dont on a tant parlé. Le réseau télégraphique qui recouvre la France permettra d'étendre à notre territoire, sans grands frais et en peu d'années, le bénéfice de ces nouvelles opérations, qui sont appelées à donner une grande valeur scientifique aux travaux des officiers attachés à la Carte de France, c'est-à-dire à la plus vaste triangulation qui existe au monde. En opérant la jonction des observatoires étrangers,
existe au monde. En opérant la jonction des observatoires étrangers, on comblera un desideratum astronomique, et surtout on réunira, comme en un vaste faisceau, toutes les triangulations européennes. Ces travaux se rattacheraient, d'ailleurs, à certains projets que les Anglais ont déjà réalisés en partie, chez eux, pour le plus grand avantage de la navigation et de la régularité du service des chemins de fer. C'est ainsi que les progrès des sciences pures entraînent d'autres progrès dans l'ordre des applications journalières et d'une utilité immédiate; progrès dont l'Observatoire de Paris provoquera sans relâche la réalisation la plus prochaine, et pour l'accomplissement
sans relâche la réalisation la plus prochaine, et pour l'accomplissement desquels il osera réclamer, en temps et lieu, l'appui de l'Académie. ASTRONOMIE PHYSIQUE. Sur les réfractions atmosphériques; par M. Biot. Dans la dernière séance de l'Académie, je me suis engagé à établir la proposition suivante : Remonter de la réfraction opérée entre des signaux terrestres, à la réfraction astronomique, par des résultats transportés de la première à la seconde, c'est un mode de réduction, qui, bien que théoriquement admissible au point de vue mathématique, conduirait à des conséquences vicieuses dans l'application. Une étude plus attentive du sujet m'a fait reconnaître
l'application. Une étude plus attentive du sujet m'a fait reconnaître que la première partie de cet énoncé renferme une concession beaucoup trop large. Lorsque la formule approximative qui donne la réfraction terrestre proportionnelle à l'angle au centre, a eu son coefficient de proportionnalité numériquement déterminé par des observations faites à de petites hauteurs, elle n'est plus assez générale pour qu'on puisse l'étendre, même comme hypothèse analytique, à toute la masse gazeuse de notre atmosphère, parce que la valeur particulière assignée ainsi à ce coefficient serait presque toujours autre que la stabilité de cette masse ne l'exige, dans l'état de stratification
stabilité de cette masse ne l'exige, dans l'état de stratification qu'on lui attribue. Cette impossibilité, dont on verra ci-après la preuve, rend mon dissentiment avec M. Faye encore plus complet que je ne l'avais témoigné d'abord. Ces dénominations, de réfraction terrestre et de réfraction astronomique, sont impropres. La première n'est que la petite partie de la seconde, qui s'opère dans les couches d'air les plus basses et les plus rapprochées de l'observateur, aux distances restreintes où des signaux érigés sur la surface convexe de la Terre peuvent lui être visibles. Concevez une trajectoire lumineuse, qui, partant d'une étoile, parvienne à
Concevez une trajectoire lumineuse, qui, partant d'une étoile, parvienne à son œil sous une certaine distance zénithale apparente, après avoir traversé toute l'atmosphère. La somme des déviations que le pouvoir réfringent des couches aériennes aura fait subir au rayon lumineux, dans le sens vertical, sur toute l'étendue de ce trajet, composera la réfraction astronomique, qui, ajoutée à la distance zénithale apparente, donnera la distance zénithale vraie, sous laquelle l'étoile aurait été vue directement à travers le vide. Maintenant supposez, que, dans le plan vertical qui contient cette trajectoire, on érige un signal vertical qui l'intercepte, et qui demeure seul visible
un signal vertical qui l'intercepte, et qui demeure seul visible pour l'observateur par la lumière propre qui en émanera. Ce signal devra être d'autant plus élevé au-dessus de la surface convexe de la Terre qu'il sera plus distant et cette condition de visibilité met des bornes très restreintes à son éloignement, si on le compare à tout le reste de l'espace que la trajectoire lumineuse venue de l'étoile, a dû parcourir avant d'arriver au signal qui l'a interceptée. La faible portion de la réfraction totale qui se produit alors entre le signal et l'observateur, sur cette même trajectoire lumineuse idéalement
le signal et l'observateur, sur cette même trajectoire lumineuse idéalement continuée, constitue ce que l'on appelle la réfraction terrestre, pour les circonstances ici assignées à l'observation. Ces définitions étant établies, je me suis proposé de caractériser exactement les relations, tant mathématiques qu'expérimentales, qui existent entre ces deux parties du même phénomène. Les premières sont énoncées et fixées, dans le livre X de la Mécanique céleste, avec un détail et une rigueur de démonstration qui ne laissent rien à désirer. Je les ai tirées de là, en conservant scrupuleusement les mêmes notations symboliques avec lesquelles l'illustre auteur les a exprimées, et
notations symboliques avec lesquelles l'illustre auteur les a exprimées, et qui doivent être familières à tous ceux qui ont voulu étudier, après lui, ce problème, où il faut faire concourir des considérations de mécanique, de physique, d'astronomie, si délicates et si multipliées. Quant au complément des données expérimentales que le progrès du temps a permis d'ajouter à celles qu'il avait rassemblées, je les ai puisées, en grande partie, dans une longue pratique personnelle des divers genres d'observations qui s'y combinent. J'ai espéré pouvoir ainsi résumer utilement ce que la science nous fournit aujourd'hui de connaissances positives sur un sujet si
nous fournit aujourd'hui de connaissances positives sur un sujet si important pour l'astronomie, sans y chercher le futile intérêt d'une polémique individuelle qui ne conviendrait ni à mon âge ni à mes goûts, mais en conservant toutefois l'entière liberté de discussion que l'indépendance académique autorise, et qui est indispensable pour séparer l'erreur de la vérité. N'ayant pas ici pour but de suivre les trajectoires lumineuses dans toute l'étendue de leur cours à travers l'atmosphère terrestre, mais seulement d'étudier par la théorie et par l'observation des portions de ces trajectoires comprises entre des rayons vecteurs qui ne sous-tendent au centre de
entre des rayons vecteurs qui ne sous-tendent au centre de la Terre qu'un angle très restreint, presque toujours moindre que 1 degré, j'emprunte au chapitre II du livre X de la Mécanique céleste leur équation différentielle générale, mise sous la forme la plus appropriée à cette recherche, et qui est r est le rayon vecteur mené du centre de la sphère terrestre à un point quelconque de la trajectoire, où la densité de l'air est p, et k son pouvoir réfringent, la vitesse de la lumière dans le vide étant 1. Le coefficient différentiel (-) exprime donc la variation de
1. Le coefficient différentiel (-) exprime donc la variation de la densité à cette hauteur entre deux couches d'air infiniment voisines; dv est l'élément de l'angle au centre compris entre deux rayons vecteurs infiniment voisins; et dB est l'angle infiniment petit formé par les tangentes de la trajectoire, aux deux points extrêmes du petit arc que ces rayons vecteurs interceptent. La relation différentielle ainsi établie suppose que l'atmosphère considérée a une composition chimique uniforme, et que, dans la portion actuellement traversée par la trajectoire lumineuse, les couches d'égale densité sont concentriques à la région de la surface terrestre sur laquelle
concentriques à la région de la surface terrestre sur laquelle elles reposent; leur mode de répartition à diverses hauteurs pouvant d'ailleurs être quelconque. La même relation pourrait, avec une légère modification de symboles, être étendue à une atmosphère dont la composition chimique serait variable; mais je ne considère pas ici ce cas. Si l'on pouvait obtenir la somme des angles, qui se succèdent entre deux points de la trajectoire, situés à une distance finie l'un de l'autre, et que je désigne par M', M" dans la figure ci-jointe, cette somme ou intégrale représenterait l'angle aigu T"IM', ou T'IM", compris entre
ou intégrale représenterait l'angle aigu T"IM', ou T'IM", compris entre les tangentes menées à la trajectoire en ces deux points extrêmes M', M", dont les rayons vecteurs embrassent l'angle au centre v. Or, dans les limites d'application ici assignées, la valeur de Q peut être obtenue de deux manières par la théorie, par l'observation. Pour suivre la première voie, il faut adapter l'équation différentielle Pour aller plus loin, il faudrait connaître la composition analytique de p et de (-£) en fonction de s, dans les couches d'air que traverse la portion de la trajectoire lumineuse comprise entre les deux stations
portion de la trajectoire lumineuse comprise entre les deux stations M', M". Vouloir l'assigner à priori, ce serait se jeter dans les hypothèses. Mais, en examinant les circonstances dans lesquelles cette difficulté se produit, on va voir, qu'à l'aide de quelques déterminations expérimentales aujourd'hui très-faciles, on peut toujours l'éluder avec une approximation suffisante pour toutes les opérations pratiques, et dont j'apprécierai plus loin les limites d'erreur. Les portions de trajectoires lumineuses que nous avons ici à considérer, sont toujours comprises dans des couches d'air peu distantes, de la surface terrestre. Or, les plus simples notions de physique font pressentir que
Or, les plus simples notions de physique font pressentir que la distribution des densités, et par suite des pouvoirs réfringents dans le sens vertical, y doit être extrêmement variable, et soumise à de continuelles fluctuations. L'expérience ne confirme que trop ces prévisions de la science. C'est ce que savent, ou doivent savoir, tous les observateurs qui ont exécuté de grandes opérations géodésiques, et qui se sont rendu compte des conditions d'application restreinte que nous voulons lui donner, lesquelles exigent que les rayons vecteurs menés aux points M', M" diffèrent très peu l'un de l'autre dans les étroites limites que la
peu l'un de l'autre dans les étroites limites que la convexité de la Terre apporte à la possibilité d'une visibilité réciproque. Désignant donc le premier de ces rayons par r, faisons généralement s être une nouvelle variable qui restera toujours très-petite dans la portion restreinte de la trajectoire à laquelle notre application peut s'étendre. Par exemple, si la station M' était située au niveau de la mer, et que M" fût un signal élevé de 2400 mètres au-dessus de ce niveau, la plus grande valeur de s, sur la trajectoire lumineuse qui joindrait ces deux points, serait 0,000 376 84g,
lumineuse qui joindrait ces deux points, serait 0,000 376 84g, et elle se réaliserait à ce signal même. Cet exemple justifie suffisamment le caractère de petitesse qu'on peut lui attribuer dans les applications plus restreintes. Introduisant donc cette variable s dans notre équation différentielle, elle devient C'est ce qui arrive en général dans les temps calmes, quand les circonstances météorologiques sont à peu près fixes. L'expérience, d'accord avec le raisonnement, montre qu'alors la variation des densités suit une marche très lente; de sorte que leurs valeurs, même extrêmes, diffèrent peu entre elles, dans l'amplitude restreinte que l'intégrale doit embrasser. Admettant
entre elles, dans l'amplitude restreinte que l'intégrale doit embrasser. Admettant donc qu'un tel état existe actuellement, dans la mince épaisseur d'air parcourue par la trajectoire lumineuse, ou qu'il n'y soit que peu troublé, on voit que l'on aura déjà une valeur très approchée de l'intégrale, en substituant, au coefficient variable de dv, un coefficient moyen et constant, formé avec les valeurs moyennes des quantités qui composent le coefficient théorique rigoureux. D'après cela, si l'on désigne par s1 et s2 les valeurs de et de p_ à la station M", comme elles sont à la station M' que nous avons prise
elles sont à la station M' que nous avons prise pour origine des s-, la valeur cherchée de 6 sera Nous apprécierons tout à l'heure les limites d'erreur de cette expression approximative, mais il faut d'abord définir les caractères physiques des éléments qui la composent. Les densités p1 et p2 s'obtiendront immédiatement par les observations du baromètre et du thermomètre, faites simultanément aux deux stations. Les coefficients différentiels (ï£) (ï£) représentent la variation virtuelle as/<i ds/<i de la densité en chacun de ces points. On les obtiendrait par des observations météorologiques analogues, effectuées à de petites hauteurs, tant au-dessus qu'au-dessous
météorologiques analogues, effectuées à de petites hauteurs, tant au-dessus qu'au-dessous de chacun d'eux, dans leurs verticales propres, comme je les ai obtenus pour les diverses stations de Gay-Lussac, dans son voyage aérostatique. À défaut de pareilles observations, on pourra, mais avec une approximation moins sûre, quoique très souvent suffisante, supposer ces coefficients différentiels égaux entre eux aux deux stations, et alors leur valeur commune s'obtiendrait par les observations météorologiques simultanées qu'on y aurait faites, puisque, à cause de la minceur de la couche d'air qui est censée les séparer, on pourrait prendre, pour cette valeur, le rapport S1/S2 dans lequel
pourrait prendre, pour cette valeur, le rapport S1/S2 dans lequel s2 se déterminerait par la formule barométrique, avec toute l'exactitude nécessaire. Cette égalité des deux coefficients deviendrait rigoureuse, si la variation des densités s'opérait en progression arithmétique avec les s, ce qui, dans les temps calmes, et pour de petites différences de hauteur, s'écarte habituellement très peu de la réalité. Pour apprécier le degré d'approximation de cette formule, je me suis formé un type de comparaison exact, qui embrasse et dé passe toutes les amplitudes d'angle au centre, non seulement admises, mais physiquement admissibles, dans les opérations géodésiques. Prenant comme
admises, mais physiquement admissibles, dans les opérations géodésiques. Prenant comme exemple, l'état des couches inférieures de l'atmosphère, qui s'est réalisé dans l'ascension de Gay-Lussac, j'ai supposé que, dans ces circonstances, un astronome placé à l'Observatoire de Paris eût dans son méridien un signal dont la verticale fit avec la sienne un angle au centre de 1030'; et qu'à cette distance, plus grande que le plus grand côté de nos triangles d'Espagne, ce signal lui fut visible à la distance zénithale apparente de 90 degrés, c'est-à-dire dans l'horizon même. Comme seconde épreuve, j'ai réduit l'angle au centre à 30 minutes, ce
épreuve, j'ai réduit l'angle au centre à 30 minutes, ce qui rentre dans les conditions ordinaires des opérations géodésiques. Alors, pour chacun de ces cas, j'ai calculé rigoureusement toutes les particularités de la trajectoire lumineuse, qui, partant des deux signaux, arrivait à l'observateur sous la distance zénithale apparente convenue de 90 degrés. La même analyse m'a donné, avec une égale rigueur, les hauteurs verticales relatives des deux signaux, qui satisfaisaient aux conditions de visibilité supposées; et, de ces calculs bien vérifiés, j'ai déduit les deux tableaux suivants, auxquels j'ai comparé les résultats de l'expression approximative, lesquels ne s'en écartent que
les résultats de l'expression approximative, lesquels ne s'en écartent que dans d'étroites limites d'erreurs, que les praticiens peuvent négliger; et pour l'angle au centre de 30 minutes, ces erreurs deviennent tout à fait insensibles. Coefficient de la réfraction terrestre conclu de ces nombres C = 0,156807. Résultats analogues déduits de la formule approximative, en évaluant les coefficients différentiels (ï£) (ï£) par la parabole la plus basse conclue de l'ascension de Gay-Lussac: 6 = 0,156446'; J,H = + 4'46" 60". Erreur de l'approximation: 0",65o. Tous les calculs sur lesquels ces résultats sont fondés, se trouvent rapportés en détail dans les Additions
sont fondés, se trouvent rapportés en détail dans les Additions à la Connaissance des Temps pour l'année 1842. Je profite de cette circonstance pour indiquer une faute d'impression qui existe à la page 54 du Mémoire auquel je renvoie. Elle porte sur l'expression approximative de 8, qui est écrite avec le signe –, au lieu du signe +. On lui a donné en outre pour facteur – "l = 1 tandis qu'il faut – "2 – Ces fautes n'existaient point dans le manuscrit, et tous les calculs qui suivent ce passage du Mémoire ont été effectués sur la formule exacte.
passage du Mémoire ont été effectués sur la formule exacte. Elle a été reproduite et employée sous sa forme correcte, dans les Notes du tome 8er de mon Traité d'Astronomie, pages 262 et suivantes. TABLEAU A. Angle au centre α = 1030'. Hauteur de la station M" au-dessus du niveau sphérique de la station M' r. r, = 1846m,06o. STATION INFÉRIEURE M'. STATION SUPÉRIEURE M". SOMME DIFFÉRENCE DISTANCE DISTANCE DISTANCE des des zénithale apparente des zénithale Traîné zénithale apparente de M", réfraction zénithale apparente de M", en M". locales. T1 de M". vu de M". 2, Z|-|-O| 3, 2, z2-t-Oj
de M". vu de M". 2, Z|-|-O| 3, 2, z2-t-Oj 31 3|+03-2 5|, – 5 9 90" 9006'55",89 + 6' 55", 89 1°16'27",9° 91°23'4",11 -h 6' 36", 21 -t-13'32/7,10 -+• 19",68 Coefficient de la réfraction terrestre conclu de ces nombres C = 0,1503889. Résultats analogues déduits de la formule approximative, en évaluant les coefficients différentiels (ï£) (ï£) par la parabole la plus basse conclue de l'ascension de Gay-Lussac 6 = 0,1473852 v; (ï£ +03-2 = 1 3' 1 5" 56'. Erreur de l'approximation: 16",54. TABLEAU B. Angle au centre = 0°,30. Hauteur de la station M' au-dessus du niveau sphérique
0°,30. Hauteur de la station M' au-dessus du niveau sphérique de la station M, rsr, = 204m,313. STATION SPÉCIALE M'. STATION SUPÉRIEURE M". – – – SOMME DIFFÉRENCE DISTANCE DISPARITÉ DISTANCE des différences DISTANCE DISTANCE DISTANCE zénithale apparente zénithale vraie zénithale apparente vraie des réfractions sans réfractions propre de M', réfraction propre de M", réfraction locale de M", réfraction locale de M'. réfraction locale en N'. de M'. -en M". locale en M". vu de M' vu de M'. ZI 2,1 0*, 5, 22 22 r 5. Si ^1+02 S, – o2 90° 90° 22'25",746 90° 27'38",454 +4'42",254 +0",658 »
– o2 90° 90° 22'25",746 90° 27'38",454 +4'42",254 +0",658 » Connaissant, par cette étude préliminaire, les caractères géométriques des portions de trajectoires lumineuses qui ont pu se former entre des signaux terrestres situés à diverses distances, dans un état régulier des couches inférieures de l'atmosphère, qui a effectivement existé, cherchons quels sont ceux de ces caractères que l'on pourra constater et apprécier par des observations de distances zénithales, effectuées aux deux stations qui les terminent. » Si deux observateurs placés en ces points extrêmes prennent simultanément les distances apparentes Z1, Z2 de l'autre signal, séparé d'eux par l'angle au centre
Z2 de l'autre signal, séparé d'eux par l'angle au centre v, la considération du quadrilatère plan CM'IM", dont les angles internes doivent former en somme quatre angles droits, leur donnera immédiatement l'angle intérieur T"IM' ou d, lequel aura pour expression (5) e=2°+i°+(z1 + z1). » Mais cette relation ne s'appliquera à une même trajectoire lumineuse que sous la condition rigoureuse que les distances zénithales réciproques auront été observées simultanément. Car si elles étaient seulement réciproques sans être simultanées, elles appartiendraient généralement aux tangentes extrêmes de deux trajectoires différentes; et la valeur de 0, fournie par la même relation, exprimerait l'angle
valeur de 0, fournie par la même relation, exprimerait l'angle formé par ces tangentes, qui n'auraient entre elles aucune connexité physique dont on pût se prévaloir. » La valeur de 0 obtenue ainsi par des observations, même simultanées, représente seulement la somme ât +â2 des deux réfractions locales qui ont eu lieu à un même instant, aux deux extrémités d'une même trajectoire. Mais cette donnée est insuffisante pour que l'on puisse en conclure la différence de niveau des deux stations, ce qui est l'usage spécial auquel ce genre d'observations s'emploie dans les opérations géodésiques. Il devient alors nécessaire de connaître
dans les opérations géodésiques. Il devient alors nécessaire de connaître aussi la différence des ât des deux réfractions locales, afin d'avoir chacune d'elles individuellement. On y supplée en les supposant égales, ce que nos tableaux A et B montrent devoir être peu en erreur, aux distances restreintes où la convexité de la Terre oblige de placer les signaux géodésiques. Cela revient à considérer comme circulaire la portion de la trajectoire lumineuse, qui est comprise entre eux. Mais cette hypothèse, suffisante pour la pratique de l'ingénieur, n'est pas théoriquement acceptable comme réalité. » Ayant ainsi constaté l'excessive variabilité physique du coefficient
réalité. » Ayant ainsi constaté l'excessive variabilité physique du coefficient lorsqu'on l'applique à des couches d'air minces, peu étendues, et peu élevées au-dessus de la surface terrestre, comme sont toujours celles qui se trouvent comprises entre deux signaux géodésiques, supposons que, par des observations de distances zénithales réciproques et simultanées, faites entre deux signaux pareils, on ait, à un certain jour, à un certain instant, déterminé sa valeur actuelle, sur la ligne d'air suivie par la trajectoire lumineuse qui va de l'un à l'autre, et qu'on l'ait trouvée égale à – m étant un nombre connu. On n'en pourra nullement
– m étant un nombre connu. On n'en pourra nullement conclure qu'il aurait encore cette même valeur, à ce même instant, sur les trajectoires lumineuses qui parcourraient des portions de la même masse d'air, comprises entre des signaux moins ou plus distants; et nos tableaux A et B offrent des exemples du contraire. Toutefois, admettons hypothétiquement qu'il en soit ainsi. Alors, tous les éléments de l'intégrale 6, se trouvant constants, et égaux à – dv entre les limites d'amplitude qu'elle doit embrasser, on en conclura 2 m immédiatement, dans ces limites, de dv, dans l'expression différentielle Alors – sera ce
limites, de dv, dans l'expression différentielle Alors – sera ce que l'on appelle le coefficient de la réfraction terrestre dans les circonstances supposées; et il est remarquable qu'il sera essentiellement propre et spécial à ces circonstances. » Concevons maintenant que l'on demande quel mode de variation des densités il faudrait idéalement établir dans la masse d'air considérée, pour que le coefficient de dv eût précisément cette valeur constante 2 m dans l'amplitude d'épaisseur et d'étendue qu'elle embrasse? La condition à remplir s'exprimera en posant l'égalité Sous cette seconde forme, l'intégrale se présente immédiatement, et elle est » Si l'on a
se présente immédiatement, et elle est » Si l'on a bien suivi les détails de cette déduction analytique, on doit reconnaître avec évidence que la formule (6), à laquelle nous venons de parvenir, n'est légitimement applicable qu'à la masse restreinte d'air où l'on a déterminé par observation le coefficient m; et même, qu'elle ne s'étend à tous ses points intérieurs, qu'au moyen de la généralisation hypothétique sur laquelle l'intégration est fondée. Or, non-seulement M. Faye lui attribue virtuellement ce caractère d'application locale, mais, par une extension d'idées bien autrement hypothétique, et, je l'ose dire, contraire à toutes les notions de