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par Newton : Si l'on mène dans le plan d'une courbe géométrique une série de transversales parallèles à une ligne droite fixe, et si l'on prend sur chacune de ces transversales le centre des moyennes distances des points où elle rencontre la courbe, tous ces centres seront sur une même ligne droite. M. Chasles appelle cette droite un diamètre de la courbe conjugée à la droite fixe à laquelle les sécantes sont parallèles. Il donne une démonstration analytique de ce théorème, et en conclut les deux suivants : Si l'on a une surface géométrique et si l'on mène une série
a une surface géométrique et si l'on mène une série de transversales parallèles à un axe fixe, puis que l'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des points où elle rencontre la surface, tous ces centres seront sur un même plan, qu'on appellera plan-diamètre conjugué à l'axe fixe. Si l'on a une courbe géométrique à double courbure, qu'on mène une série de plans parallèles à un plan fixe et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où chaque plan rencontre la courbe, tous ces centres seront sur une même ligne droite. M. Chasles appelle cette
seront sur une même ligne droite. M. Chasles appelle cette droite axe de la courbe conjugué au plan fixe. Quand plusieurs droites sont dans un même plan, on peut les regarder comme formant une courbe géométrique; ces droites auront donc une infinité de diamètres, dont chacun sera conjugué à une droite donnée de direction. Si les droites passent par un même point, leurs diamètres passeront par ce point. De même le système de plusieurs plans a un plan-diamètre conjugué à un axe donné. Un système de lignes droites dans l'espace a un axe conjugué à un plan donné. M. Chasles
a un axe conjugué à un plan donné. M. Chasles déduit du théorème de Newton que si, dans le plan d'une courbe géométrique, on tire par un point quelconque une transversale parallèle à un axe fixe, et qu'on mène les tangentes à la courbe aux joints où la transversale la rencontre, le diamètre de ces tangentes conjugué à l'axe fixe se confondra toujours avec le diamètre de la courbe conjugué au même axe. On a deux théorèmes analogues pour les surfaces et les lignes à double courbure. Dans le 2e §., appliquant la méthode des transformations paraboliques aux théorèmes qui
§., appliquant la méthode des transformations paraboliques aux théorèmes qui précèdent, M. Chasles parvient aux suivants : Si l'on a une courbe plane géométrique et une droite fixe tracée dans son plan, et que, par chaque point de cette droite, on mène un faisceau de tangentes à la courbe et le diamètre de ce faisceau conjugué à la droite fixe, tous ces diamètres passeront sur un même point. Quand la courbe est une conique, le point par où passent les diamètres des faisceaux de tangentes issues des différents points de la droite fixe, est le pôle de cette droite par
la droite fixe, est le pôle de cette droite par rapport à la conique. C'est pourquoi M. Chasles appelle aussi ce point, dans le cas d'une courbe géométrique quelconque, le pôle de la droite fixe par rapport à cette courbe. En supposant la droite fixe à l'infini, on a ce théorème : Si l'on mène à une courbe géométrique toutes les tangentes parallèles à une même droite, le diamètre de ces tangentes passera par un point fixe, quelle que soit la direction de cette droite. M. Chasles nomme ce point fixe centre de la courbe. Il déduit de là que
fixe centre de la courbe. Il déduit de là que si l'on mène à une courbe géométrique toutes ses tangentes parallèles à une même ligne droite, et qu'on applique aux points de contact des forces égales dirigées suivant ces tangentes, leur résultante passera par un même point fixe, quelle que soit la direction des tangentes. En considérant un système de points donnés comme une courbe géométrique, on obtient cet autre théorème dû à M. Poncelet : Si l'on a dans un plan un système de points et une droite fixe, et si l'on mène d'un point quelconque de la droite
et si l'on mène d'un point quelconque de la droite fixe des droites à tous les points donnés, le diamètre de ce faisceau de droites, conjugué à la droite fixe, tournera autour d'un point fixe. M. Chasles nomme ce point fixe le pôle de la droite fixe par rapport au système des points donnés. Il prouve ensuite qu'étant données une courbe géométrique et une droite fixe, si d'un point quelconque de cette droite on mène les tangentes à la courbe, le pôle de la droite fixe par rapport au système des points de contact sera toujours le même, quel que
des points de contact sera toujours le même, quel que soit sur cette droite le point par lequel on a mené les tangentes à la courbe; et ce pôle sera précisément celui de la droite par rapport à la courbe. Si la droite est à l'infini, le théorème prend cet énoncé : si l'on mène à une courbe géométrique toutes les tangentes parallèles à une droite donnée, leurs points de contact auront pour centres des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des tangentes : ce point fixe sera le centre de la courbe. Dans le
point fixe sera le centre de la courbe. Dans le 3e §, M. Chasles, passant aux surfaces, établit les théorèmes suivants : Si l'on a une surface géométrique et un plan fixe, et que, par une droite prise arbitrairement dans ce plan, on mène les plans tangents à la surface, et le plan-diamètre de ces plans tangents conjugué au plan fixe, ce plan-diamètre passera par un point fixé. L'auteur appelle ce point fixe le pôle du plan donné, par analogie avec la dénomination admise pour les surfaces du second degré. Si l'on circonscrit à une surface géométrique une infinité de
Si l'on circonscrit à une surface géométrique une infinité de cônes ayant tous leurs sommets dans un même plan, et qu'on coupe tous ces cônes par un plan parallèle à ce premier plan, puis, qu'on joigne par une droite le sommet de chaque cône au centre de la section, toutes ces droites iront passer par un même point. D'où il suit que si l'on circonscrit à une surface géométrique des cônes ayant tous leurs sommets sur une même droite, tout plan parallèle à cette droite coupera les cônes suivant des courbes dont les centres seront sur une même droite parallèle
courbes dont les centres seront sur une même droite parallèle à la droite, lieu des sommets des cônes. M. Chasles avait déjà démontré ce théorème dans le cas particulier où la surface est du second degré. En supposant, dans le 1er théorème de ce §, que le plan fixe soit à l'infini, il en résulte que, si l'on mène à une surface géométrique tous ses plans tangents parallèles à un même plan, puis le plan-diamètre de tous ces plans tangents, ce plan-diamètre passera par un point fixe, quelle que soit la direction des plans tangents. Ce point fixe est appelé
la direction des plans tangents. Ce point fixe est appelé le centre de la surface. Il jouit de la propriété que la somme algébrique de ses distances à tous les plans tangents à la surface parallèles à un même plan quelconque est toujours nulle. Étant donnés un système de points dans l'espace et un plan fixe, si, par une droite prise arbitrairement dans ce plan, on mène des plans passant par tous les points du système, le plan-diamètre de ces plans, conjugué au plan fixe, tournera autour d'un point fixe, quelle que soit la droite prise dans le plan donné.
quelle que soit la droite prise dans le plan donné. Ce plan fixe s'appelle le pôle du plan par rapport au système de points. Étant donnés un système de points dans l'espace et un plan fixe, et que, par un point pris arbitrairement dans ce plan, on mène un faisceau de droites aboutissant à ces points, l'axe de ce faisceau de droites conjugué au plan donné, passera par un point fixe : ce point fixe est le pôle du plan par rapport au système de points. Étant donnés une surface géométrique et un plan, si, par une droite prise à
géométrique et un plan, si, par une droite prise à volonté dans le plan, on mène les plans tangents à la surface, le pôle du plan, par rapport aux points de contact, sera un point fixe, et ce point fixe sera précisément le pôle du plan par rapport à la surface. En particulier, en supposant le plan donné à l'infini, si l'on mène à une surface géométrique tous les plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances au point fixe, quelle que soit la direction commune des plans
point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents : ce point fixe sera le centre de la surface. Si l'on circonscrit à une surface géométrique des cônes ayant tous leurs sommets sur une même droite, les plans-diamètres de ces cônes conjugués à cette droite, passeront tous par une seconde droite; et, si l'on coupe une surface géométrique par des plans menés par une même droite, les pôles de cette droite, par rapport aux sections de la surface par ces plans, seront tous en ligne droite. On en conclut que les sections faites dans une surface géométrique par
conclut que les sections faites dans une surface géométrique par des plans parallèles entre eux, ont leurs centres situés sur une même ligne droite. Dans les §§ 4e et 5e de son mémoire, M. Chasles considère les courbes à double courbure et les surfaces développables pour lesquelles il établit des théorèmes analogues aux précédents. Il arrive à cette nouvelle propriété générale des surfaces géométriques : Si l'on circonscrit à une surface géométrique une infinité de cônes ayant tous leurs sommets sur un même plan, ce plan aura le même pôle par rapport à toutes les courbes de contact des cônes
par rapport à toutes les courbes de contact des cônes et de la surface; ce sera le pôle du plan par rapport à la surface. En supposant que ce plan soit à l'infini, on a cet énoncé : Si l'on circonscrit à une surface géométrique une infinité de cylindres, toutes leurs courbes de contact avec la surface auront un même centre, qui sera le centre de la surface. Dans le § 6e, l'auteur démontre analytiquement ces propositions : Quand plusieurs courbes géométriques ont toutes, deux à deux, les mêmes points d'intersection (réels ou imaginaires), leurs diamètres conjugués à une même
d'intersection (réels ou imaginaires), leurs diamètres conjugués à une même droite passent tous par un même point. Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes, deux à deux, la même courbe d'intersection, leurs plans-diamètres conjugués à une même droite passent tous par une autre droite. Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes, trois à trois, les mêmes points d'intersection, leurs plans diamètres conjugués à une même droite passent tous par un même point. En appliquant à ces théorèmes la transformation parabolique, on obtient les suivants : Quand plusieurs courbes ont toutes, deux à deux, les mêmes tangentes communes, réelles ou imaginaires, leurs pôles
deux, les mêmes tangentes communes, réelles ou imaginaires, leurs pôles relatifs à une même droite sont tous sur une autre droite. Si la droite proposée est à l'infini, on en conclut que quand plusieurs courbes géométriques ont toutes, deux à deux, les mêmes tangentes communes, leurs centres sont tous en ligne droite. Quand plusieurs surfaces géométriques sont toutes inscrites dans la même développable, les pôles d'un même plan par rapport à toutes ces surfaces sont sur une même droite. D'où il suit que, quand plusieurs surfaces géométriques sont toutes inscrites dans la même développable, leurs centres sont tous en ligne
dans la même développable, leurs centres sont tous en ligne droite. Quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes, prises trois à trois, les mêmes plans tangents communs, les pôles d'un même plan par rapport à toutes ces surfaces sont sur un autre plan. Si le premier plan est à l'infini, on en conclut que, quand plusieurs surfaces géométriques ont toutes, trois à trois, les mêmes plans tangents communs, leurs centres sont tous sur un même plan. À la suite du mémoire de M. Chasles, on trouve la fin de la Note sur le mouvement vibratoire d'une membrane élastique, insérée à la
sur le mouvement vibratoire d'une membrane élastique, insérée à la page 227 du tome V, par M. Pagani. (V. Bulletin d'août 1829). Vient ensuite un mémoire de M. Timmermans, officier d'artillerie, sur le centre de gravité d'une pièce de 24 en bronze. L'auteur détermine, à l'aide du calcul intégral, le centre de gravité de chacune des parties qui composent la pièce. Le docteur Reiss a résolu la question suivante, qui avait été proposée par M. Quetelet : Étant donnée une courbe fermée, déterminer 1° un point tel que la somme de ses distances à tous les points de cette courbe
de ses distances à tous les points de cette courbe soit un minimum ; 2° un point tel que la somme de ses distances à tous les points de la courbe soit un maximum ; ce dernier point devant être dans l'intérieur de la courbe. La même livraison contient trois articles de physique qui offrent un intérêt plus particulier, et qui seront présentés plus loin séparément. C. S. SUR LES DIVERSES MÉTHODES À L'AIDE DESQUELLES ON PEUT ÉTABLIR LES ÉQUATIONS qui représentent les lois d'équilibre, ou le mouvement intérieur des corps solides ou fluides ; par M. CAUCHY. (Lu à
corps solides ou fluides ; par M. CAUCHY. (Lu à l'Académie royale des Sciences, le 8 mars 1830). Lorsqu'on recherche les équations qui représentent l'équilibre ou le mouvement intérieur d'un corps solide ou fluide, on peut ou considérer ce corps comme une masse continue, ou le regarder comme un système de points matériels qui s'attirent ou se repoussent à de très-petites distances. Dans le premier cas, il faut d'abord établir la théorie des pressions ou tensions exercées en un point donné d'une masse continue contre les divers plans qu'on peut faire passer par ce même point. J'ai donné le premier
faire passer par ce même point. J'ai donné le premier cette théorie, qui offre quelque analogie avec la théorie de la courbure des surfaces, dans un mémoire présenté à l'Académie des sciences le 30 septembre 1822, et relatif à l'équilibre, ainsi qu'au mouvement intérieur des corps solides élastiques ou non élastiques. Une note résumant les principaux résultats auxquels j'étais parvenu, a été insérée dans le Bulletin de la Société philomathique de janvier 1823, en ces résultats ont été reproduits encore dans les tomes 2 et 3 des Exercices de mathématiques. J'ai fait voir en particulier que les pressions ou tensions
J'ai fait voir en particulier que les pressions ou tensions exercées en un point d'un corps contre divers plans passant par ce point étaient en général obliques par rapport aux plans qui les supportaient, et ne pouvaient devenir toutes normales à ces plans que dans le cas où elles étaient égales entre elles; que pour chaque point il existait trois plans principaux rectangulaires entre eux, et supportant des pressions ou tensions normales, parmi lesquelles se trouvaient toujours les pressions ou tensions maxima ou minimales; qu'on pouvait toujours, en s'appuyant sur la considération d'un tétraèdre infiniment petit, déduire la pression exercée
la considération d'un tétraèdre infiniment petit, déduire la pression exercée contre un plan quelconque des trois pressions supportées par des plans parallèles aux plans coordonnés; et que les 9 composantes de ces 3 dernières pressions se réduisaient à 6; enfin, que les intensités des pressions supportées par divers plans et de leurs composantes normales, pouvaient être facilement déterminées moyennant la construction d'ellipsoïdes dont chacun devait être remplacé dans certains cas par deux systèmes d'hyperboloïdes conjugués. Enfin, j'ai donné les relations qui existent dans l'état d'équilibre d'un corps solide ou fluide entre les pressions ou tensions et les forces accélératrices. Les
entre les pressions ou tensions et les forces accélératrices. Les équations qui expriment ces relations, et celles qu'on en tire lorsqu'on tient compte de la force accélératrice qui serait capable de produire le mouvement observé de chaque point, si ce point devenait libre, sont les véritables équations d'équilibre et de mouvement des corps solides ou fluides élastiques ou non élastiques considérés comme des masses continues. Ces équations, dans le cas d'équilibre, se réduisent à où désignant la densité du corps au point (x, y, z); X, Y, Z les projections algébriques de la force accélératrice f sur les axes des
algébriques de la force accélératrice f sur les axes des coordonnées supposées rectangulaires, et A, B, C, D, E, F, les projections algébriques sur les mêmes axes des forces supportées au point (x, y, z), par trois plans parallèles aux plans coordonnés. Dans le cas du mouvement, les équations (1) doivent être remplacées par les suivantes: , y, z, t étant les variables indépendantes, et x, y, z, désignant les déplacements d'une molécule mesurés parallèlement aux axes x, y, z. Pour déduire des équations (1) et (2) les lois d'équilibre ou de mouvement d'un corps, il est nécessaire de connaître
ou de mouvement d'un corps, il est nécessaire de connaître les relations qui existent entre les pressions A, B, C, D, E, F, et les placements x, y, z. On peut faire à ce sujet les remarques suivantes: Lorsqu'un corps se condense ou se dilate, la distance r entre deux molécules très voisines croît ou diminue dans un certain rapport, et la différence δ de ce rapport à l'unité est une quantité positive ou négative, qu'on peut nommer la condensation ou dilatation linéaire dans le sens du rayon vecteur r. Or, cette condensation linéaire varie dans les diverses directions, et
Or, cette condensation linéaire varie dans les diverses directions, et j'ai fait voir que si les déplacements x, y, z, sont très petits, ses différentes valeurs seront réciproquement proportionnelles aux puissances des rayons vecteurs d'un ellipsoïde ou de deux hyperboloïdes conjugués. C'est ce qui résulte immédiatement de la formule v dans laquelle α, β, γ désignent les angles que forme le rayon v avec les demi-axes des coordonnées positives. Les compressions ou dilatations mesurées suivant les trois axes de l'ellipsoïde, sont celles que j'ai nommées compressions ou dilatations linéaires principales. Parmi elles se trouvent toujours les compressions maxima ou minima.
Parmi elles se trouvent toujours les compressions maxima ou minima. Il résulte encore de la formule (3), qu'en chaque point d'un corps les compressions et dilatations linéaires, mesurées dans des directions quelconque sont complètement déterminées, dès que l'on connaît, pour même point les valeurs des six quantités. Pour appliquer la théorie que nous venons de rappeler, au corps élastique, il suffit d'admettre un principe que j'ai posé dans le mémoire de 1822, savoir : qu'en chaque point d'un corps parfaitement élastique la pression ou tension exercée contre un plan quelconque dépend uniquement des compressions ou dilatations linéaires, en sorte que
dépend uniquement des compressions ou dilatations linéaires, en sorte que le système de ces compressions ou dilatations étant connu, on peut en déduire le système entre des pressions ou tensions dans les différents sens. À la vérité, en appliquant ce principe, j'avais implicitement supposé dans le mémoire de 1822, que la nature du corps ou plutôt son élasticité était la même dans tous les sens. Mais rien n'empêche d'étendre le même principe au cas où cette condition n'est pas remplie, et dès lors les six pressions A, B, C, D, E, F ne peuvent être que des fonctions des quantités
E, F ne peuvent être que des fonctions des quantités a, b, c, d, e, f; or, si après avoir développé ces fonctions suivant les puissances ascendantes des quantités dont il s'agit, on néglige les termes proportionnels aux carrés ou aux puissances supérieures des mêmes quantités, et si l'on suppose d'ailleurs les pressions nulles dans l'état naturel, on trouvera La2, a3, a4, a5, a6, b1, etc., désignant des coefficients qui seront déterminés pour chaque point, mais pourront varier avec x, y, z. Ces équations sont celles que M. Poisson a données dans son dernier mémoire, et qu'il a déduites d'une
données dans son dernier mémoire, et qu'il a déduites d'une méthode peu différente de celle que nous venons d'indiquer. Pour établir les formules (6), qu'il regarde comme applicables aux corps solides élastiques, dont les molécules sont très-peu écartées des positions qu'elles occupaient dans l'état naturel, M. Poisson part de ce principe, que les pressions A, B, C, D, E, F, correspondant au point (x, y, z), dépendent uniquement des déplacements relatifs des molécules dans le voisinage de ce point, et par conséquent des neuf quantités Puis en considérant ces quantités comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment
comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, il réduit les valeurs de A, B, C, D, E, F, à des fonctions linéaires des quantités dont il s'agit. Enfin il ramène ces fonctions à la forme sous laquelle elles se présentent dans les équations (6), en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel du corps, et en observant que cet état continue de subsister, quand on imprime à tous les points un mouvement commun de rotation autour de l'une des axes coordonnées. Chacune d'elles, prise à part, est de la même forme qu'une
d'elles, prise à part, est de la même forme qu'une des équations inscrites sous les numéros (5) et (6) à la page de la 37e livraison des Exercices de mathématiques; seule différence il n'arrive plus ici, comme dans les Exercices, que quelques-uns des coefficients qui servent à déterminer la pression A soient égaux à quelques-uns de ceux qui servent à déterminer chacune des autres pressions B, C, D, E, F; et les trente-six coefficients a1, b1, c1, d1, e1, f1; a2, b2, c2, etc., sont tous distincts les uns des autres. Si l'élasticité du corps est la même dans tous
autres. Si l'élasticité du corps est la même dans tous les sens, les axes suivant lesquels se mesurent les compressions ou dilatations principales doivent être perpendiculaires aux plans qui supporteront les pressions principales. De plus, ces pressions ne peuvent être que des fonctions de e', ε", ε", tellement choisies que, leurs valeurs ne soient pas altérées par un échange opéré entre les axes des xy. Pour remplir cette condition, en négligeant les puissances supérieures de ε", il faudra supposer p' = (7) ε"+k2(ε'+ε") + ε"'+k2(ε" + ε"), désignant des coefficients qui soient déterminés pour chaque point, mais puissent varier avec
qui soient déterminés pour chaque point, mais puissent varier avec x, y, z. Si l'on fait pour abréger u, ainsi que je l'ai remarqué, représenter la dilatation ou compression de volume au point (x, y, z), et en écrivant k, K, au lieu de k1, k2 on réduira les formules (7) à u = k"'+Ku; puis, en raisonnant comme dans le tome 3 des Exercices de mathématiques (pages 167 et suiv.), on en conclura Enfin, si l'on substitue les valeurs précédentes de A, B, C, D, E, F, dans les formules (8) ou (9), on obtiendra précisément les équations que
formules (8) ou (9), on obtiendra précisément les équations que j'ai données dans le tome 3 des Exercices de mathématiques page 179, comme représentant l'équilibre ou le mouvement d'un corps élastique dont l'élasticité reste la même dans tous les sens. Ces équations, qui renferment deux coefficients dépendants de la nature du corps, comprennent, comme cas particulier, d'autres équations qui n'en renferment qu'un seul, savoir celles auxquelles MM. Navier et Poisson étaient parvenus dans des mémoires présentés à l'Académie, le 14 mai 1821 et le 1er septembre 1827, par des méthodes très-différentes de celle que je viens d'indiquer, et les équations
très-différentes de celle que je viens d'indiquer, et les équations que j'avais données dans le mémoire déjà cité de 1822. On peut se proposer de trouver les équations qui devraient remplacer les formules (6), si l'on considérait un corps élastique passant d'un premier état dans lequel les pressions ne seraient pas nulles à un second état distinct du premier. Or, en se servant de la méthode par laquelle M. Poisson a établi les équations (6), et des formules que j'ai données dans le premier volume des Exercices de mathématiques, page. 33, on obtient, au lieu des équations (6), celles qui