jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
les axes les angles dont les cosinus sont c, c". Les composantes des pressions étant ainsi déterminées, M. Poisson en déduit les équations d'équilibre du corps après son changement de forme produit par les forces données dont les composantes sont X, Y, Z, en considérant un parallélépipède, extrêmement petit, dont les arêtes sont parallèles aux axes dans l'état primitif du corps; il exprime qu'il est en équilibre, après le changement de forme sous l'action des forces X, Y, Z et des pressions dues aux actions moléculaires qui s'exercent sur ses différentes faces. Il obtient ainsi, en désignant par ρ la
différentes faces. Il obtient ainsi, en désignant par ρ la densité du corps en un point quelconque, les 3 équations suivantes: Poisson trouve ensuite les équations relatives à la surface du corps comme dans son premier mémoire. Ces équations sont X, + P1 c" + P2 c' + P3 c = 0, Y, + Q1 c" +Q2c' + Q3 c = 0 (2) Z, +R1c"+R2c'+R3c = 0. Y, Z, étant les composantes de la pression appliquée au point de la surface que l'on considère, et c, c', c", les cosinus des angles que la normale en ce point fait avec
des angles que la normale en ce point fait avec les axes; ces équations n'ont pas lieu pour les points situés à une distance insensible ou nulle d'une pointe ou d'une arête vive. M. Poisson fait plusieurs remarques et fait voir que dans un corps homogène ou hétérogène soumis à des forces données qui varient comme on voudra, la pression intérieure ne peut être mâle au plan sur lequel elle s'exerce et la même en tout autour d'un même point, à moins que la dilatation linéaire ne soit aussi la même suivant toutes les directions au-delà de ce point, et
même suivant toutes les directions au-delà de ce point, et vice versa. Ces équations (1) et (2) peuvent être remplacées par d'autres qui sont équivalentes, mais dont l'usage sera quelquefois plus commode. Ces dernières équations avaient été données par M. Poisson dans son premier mémoire; elles ont été portées à la page 106 du Bulletin de février 1829. Le corps n'est pas en équilibre et que ses molécules font très-petites oscillations, on aura les équations différentielles de son mouvement, en remplaçant dans celles de l'équilibre les forces X, Y, Z, par X— Le corps est homogène et si l'on prend
par X— Le corps est homogène et si l'on prend pour son état naturel l'état dans lequel la surface est soumise à une pression normale et la même dans tous ses points, on aura les trois équations suivantes : On fera disparaître, si l'on veut, les seconds membres de ces équations, en comprenant dans les déplacements u, v, w ceux qui résultent de la compression du corps produite par la pression. Le chapitre IV du mémoire a pour objet le calcul des pressions moléculaires dans les corps cristallisés, où l'on suppose que les molécules sont régulièrement distribuées et qu'elles s'attirent
suppose que les molécules sont régulièrement distribuées et qu'elles s'attirent ou se repoussent inégalement par leurs différents côtés. Pour cette raison il n'est plus permis de regarder l'action mutuelle des deux molécules comme une simple fonction de la distance qui les sépare. Pour donner un exemple du calcul des pressions moléculaires dans les cristaux, M. Poisson considère un corps composé de molécules dont les centres de gravité sont rangés sur des droites parallèles aux axes des x, y, z, et équidistants sur chaque droite, mais dont les intervalles ne sont pas les mêmes parallèlement à deux axes différents. Il termine
pas les mêmes parallèlement à deux axes différents. Il termine ce chapitre par des réflexions suivantes, qui conviennent aux corps solides et aux fluides. « Si l'on considère les corps comme des masses continues, qu'on les décompose en éléments différents, les composant de la pression sur un plan passant par un point intérieur M seront exprimées par des intégrales sextuples, qu'on pourra réduire à des intégrales triples; et la valeur de chaque force sera proportionnelle au carré de la densité, puisqu'elle provient de l'action exercée par tous les points d'une partie du corps sur tous les points d'une autre partie
partie du corps sur tous les points d'une autre partie contiguë. Si le point M est placé à une distance insensible de la surface, la pression sur un plan perpendiculaire à la normale fera équilibre à la pression extérieure; par conséquent, si l'on désigne celle-ci par p, on aura la pression étant la densité au point M, et h un coefficient dépendant de la nature du corps et de la quantité de chaleur de ses molécules, mais indépendant de son degré de compression. Augmentons la pression Π, et supposons qu'elle devienne n + n ; supposons aussi qu'on empêche la
devienne n + n ; supposons aussi qu'on empêche la chaleur de se dissiper, qu'on rend à les molécules du corps, la chaleur que la compression leur ferait perdre : la densité p variera ; nous représenterons par p (1 + 4δ) ce qu'elle deviendra; mais le coefficient h ne changera pas, et nous aurons n + n = 5 ( 1 + 4δ )2 h ρ2 ; ul'on conclut n = 7 ( a 4δ2 ) n. Dans les corps solides et dans les liquides, la contraction est très-petite pour une très-grande augmentation de la pression extérieure ; ε
pour une très-grande augmentation de la pression extérieure ; ε est donc une très-petite fraction, quoique n' soit très-grand multiple de Π; ce qui rend l'équation précédente possible. Dans les fluides aériens, les variations de la pression sont considérables ; et il n'est pas impossible à priori, à la pression y être proportionnelle au carré de la densité, et à la quantité de chaleur rester la même ; mais l'expérience prouve que cette relation n'a pas lieu dans la nature. En effet, le cas d'une quantité constante de chaleur est celui des condensations et dilatations alternatives qui accompagnent les vibrations
celui des condensations et dilatations alternatives qui accompagnent les vibrations sonores, et sont si rapides que la chaleur des molécules de l'air n'a pas le temps de se dissiper. Or, on sait que la vitesse du son observée indique que dans ces variations de densité, la force élastique de l'air, ou la pression qui lui sert de sure, croît ou diminue plus rapidement que la densité, mais dans un rapport moindre que sa seconde puissance. A la vérité, pour expliquer comment la force élastique varie dans ce phénomène, moins rapidement que le carré de la densité, on suppose que pendant
que le carré de la densité, on suppose que pendant la durée de chaque vibration de l'air, une partie de la chaleur de ses molécules perd sa force répulsive et vient à ce qu'on appelle chaleur latente, dont on détermine la quantité d'après la vitesse du son à laquelle on veut satisfaire. Mais la supposition qu'une substance matérielle perd et prend, suivant qu'elle en a besoin, l'action mutuelle de ses molécules, est trop vague pour continuer d'être admise dans la théorie de la chaleur; et l'explication que nous citons n'a sans doute été donnée que parce qu'on regardait comme nécessaire
sans doute été donnée que parce qu'on regardait comme nécessaire la loi de la pression proportionnelle au carré de la densité, dans le cas où la quantité de la chaleur ne varie pas. Maintenant en calculant les pressions moléculaires, si l'on garde aux espaces vides qui séparent les molécules, la pression s'exprimera par une somme qui ne se réduira pas nécessairement à une intégrale. Dans la supposition que les intervalles des molécules sont très-petits par rapport à leur rayon actif, on pourra toujours concevoir la valeur de cette somme réduite en série très-convergente, qui procédera suivant les puissances croissantes de
en série très-convergente, qui procédera suivant les puissances croissantes de l'intervalle moyen, ou, ce qui est la même chose, suivant les puissances décroissantes de la cinquième puissance de la densité, et dont le premier terme sera la pression qui aurait lieu dans le cas d'une masse continue. Nous n'avons donné des exemples de cette réduction ; et si nous considérons la forme de la série relativement à l'intervalle moyen ou à la densité, il y a lieu de croire qu'elle ne tient pas à la supposition particulière que nous avons faite sur la constitution intime du corps, et que cette
faite sur la constitution intime du corps, et que cette forme de la pression fonction de la densité convient à tous les assemblages de molécules, dans lesquels la pression est égale en tous sens autour de chaque point. En raison des facteurs dont ils dépendent, l'on peut aussi supposer que tous les termes de cette série, à partir du troisième, sont insensibles et négligeables par rapport au second ; mais la valeur de celui-ci peut être comparable à celle du premier terme, parce que l'action moléculaire provient de deux forces qui agissent en sens contraire, et pourvu que cette action
qui agissent en sens contraire, et pourvu que cette action change de signe dans l'étendue de ses valeurs sensibles. Ainsi, dans les corps solides non cristallisés, dans les liquides et dans les gaz, si l'on appelle p la pression égale à tous sens qui répond à la densité p, nous admettrons qu'on a a et b étant des coefficients qui ne dépendront que de la nature du corps et de sa quantité de chaleur ; en sorte que, pour un même corps, si la densité et la température changent de manière que la quantité de chaleur ne varie pas, ces
manière que la quantité de chaleur ne varie pas, ces coefficients ne varieront pas non plus, et, au contraire, si la densité l'est la même et que la température vienne à changer, ou réciproquement, a et b pourront rester constants, ou varier suivant une loi qui ne nous est pas connue. Les corps solides et les liquides pouvant conserver leur état sans le secours d'aucune pression extérieure, il faut que la valeur de p puisse être nulle pour une valeur convenable de ce qui exige que les coefficients a et b soient de signes contraires. En désignant par α cette
b soient de signes contraires. En désignant par α cette valeur particulière de la densité, et supposant que p devienne (1 + ω) pour une pression donnée g étant une fraction très-petite dont on négligera le carré on voit que le coefficient a sera positif, et que les valeurs solides des deux termes de la pression seront très-grandes par rapport à leur différence. Dans les gaz, les coefficients a et b seront de même signe ; et l'expérience prouve que A est still dans le cas de l'air à la température ordinaire. « En effet, si l'on combine l'expression de
température ordinaire. « En effet, si l'on combine l'expression de p avec les lois de l'ariotie et de M. Gay-Lussac, qui sont des données certaines, l'observation, on trouve désignant le rapport de la chaleur spécifique d'un poids donné sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous volume constant ; 6 représentant la température, «le coefficient de la dilatation des gaz, et k le rapport de la pression à densité, qui répond à c dans le fluide que l'on considère. est évident que y doit, surpasser l'unité; car il faut sans doute la plus grande quantité de chaleur pour élever
sans doute la plus grande quantité de chaleur pour élever la température de l'air en le dilatant que pour produire le même effet sans changer son volume. La vitesse du son observée, dont V est un facteur, prouve que y doit être moindre que a, et à peu près égale à 1/2 ; il faudra donc que b soit positif, comme nous l'avons dit. Pour un poids donné d'un même fluide, le coefficient b dépendra uniquement de la quantité de chaleur ; sa valeur changera, si l'on fait varier successivement la pression ou la température 6.; il demeurera constant, si
la pression ou la température 6.; il demeurera constant, si p et e varient de la même façon que la quantité de chaleur reste la même; alors la différence 2-y variera en raison inverse de la racine cubique du produit p (1 + ωθ) 2. » Le coefficient b doit être positif ou négatif, suivant que l'action fr qui exprime l'excès de l'attraction sur la répulsion, est positive ou négative pour r == 0. Dans le S 5, M. Poisson s'occupe de l'équilibre des fluides, explique d'abord les différences qui existent entre les fluides et les solides. « Lorsque la
existent entre les fluides et les solides. « Lorsque la forme d'un corps solide est changée et que ses molécules sont déplacées par des forces quelconques, agissant dans son intérieur ou à sa surface, tous les points matériels qui étaient primitivement situés sur une même droite, d'une longueur insensible, sont encore en ligne droite après leurs déplacements. Si M et M' sont les centres de gravité de deux molécules extrêmement rapprochées l'une de l'autre, la droite M M rencontre la même série de molécules dans les deux états successifs du corps; par conséquent l'augmentation ou la diminution de longueur primitive
corps; par conséquent l'augmentation ou la diminution de longueur primitive fait naître la dilatation ou la contraction linéaire du corps suivant la direction M M'. Il arrive en général que la contraction, positive ou négative, est différente en différents sens autour d'un même point M, et qu'il y a même dilatation dans un sens et contraction dans une autre direction. En même temps, la pression exercée sur un plan passant par le point M varie avec la direction de ce plan; mais dans le cas particulier où la contraction linéaire est la même en tous sens, la pression est aussi
est la même en tous sens, la pression est aussi la même et normale au plan sur lequel elle s'exerce; et réciproquement, la pression ne peut être normale et constante autour d'un point M, sans que la contraction linéaire ne soit aussi la même, suivant toutes les directions autour de ce point. Il n'en est plus ainsi relativement aux fluides. Lorsque les molécules d'un fluide homogène ou hétérogène sont sollicitées par des forces données, ou qu'une pression est appliquée à sa surface, il se comprime ou se dilate également en tous sens autour de chacun de ses points. Une droite
tous sens autour de chacun de ses points. Une droite M M', aussi petite qu'on voudra, qui joint deux points du fluide, ne rencontre plus les mêmes molécules avant et après l'application de ces forces. Une partie des molécules qu'elle traversait d'abord reste sur cette droite ; une autre partie s'en écarte de différens côtés, et d'autres molécules viennent s'y ranger : d'où il résulte que l'allongement ou le raccourcissement de la droite MM ne peut pas faire connaître la dilatation ou la contraction du fluide suivant sa direction, et qu'il est même possible que le fluide change de forme,
qu'il est même possible que le fluide change de forme, sans qu'il y ait contraction ou dilatation dans aucune de ses parties, ce qui n'a jamais lieu à l'égard des corps solides. Après les déplacements de ses molécules, un fluide se trouve donc constitué autour de chaque point M comme il l'était auparavant ; et l'on doit se représenter les momèment comprises dans la sphère d'activité de M, comme un système qui reste semblable à lui-même, et qui est seulement structuré sur une plus petite ou sur une plus grande échelle, considérant toutefois ce système dans son état moyen, après
échelle, considérant toutefois ce système dans son état moyen, après l'action faite des irrégularités de la distribution des molécules avec lesquelles il est composé. D'un point M à un autre, la contraction, la dilatation égale en tous sens varie d'ailleurs, dans l'intérieur du fluide, suivant des lois dépendantes de sa nature et des forces appliquées à ses molécules, ou autrement dit, leur valeur moyenne, tel qu'il a été défini au commencement de ce mémoire, est une fonction des coordonnées du point M où il répond, qui dépend de la nature du fluide dans son état naturel, et se change ensuite
du fluide dans son état naturel, et se change ensuite en une autre fonction, dont la forme résulte de la nature du fluide et des forces données en fonctions de ces mêmes coordonnées. Les fluides jouissant de la propriété de se contracter ou de dilater également en tous sens autour de chacun de leurs points, il s'ensuit que la pression est aussi la même sur tous les plans passant par un même point intérieur, et normale à chacun de ces plans, du moins quand on néglige la variation de nature du fluide et de l'intervalle moyen de ses molécules, et
du fluide et de l'intervalle moyen de ses molécules, et l'étendue de leur sphère d'activité. Ainsi qu'on vient de le voir, ces deux propriétés sont liées intimement l'une à l'autre; la seconde ne peut s'observer, sans que la première ait lieu également. Le principe de l'égalité de pression en tous sens étant regardé comme un fait d'expérience, que l'on a pris depuis longtemps pour base de l'hydrostatique, nous pourrions, si l'on voulait, considérer la propriété des fluides, de se reconstituer autour de chaque point, comme une donnée ou une conséquence nécessaire de l'observation; mais il est bon de se rendre
nécessaire de l'observation; mais il est bon de se rendre raison, à priori, de cette propriété fondamentale des fluides qui les distingue essentiellement des corps solides. La propriété dont il s'agit peut être attribuée à la parfaite sphéricité des molécules, résultant de ce qu'elles sont sphériques, assez éloignées les unes des autres pour que leur forme n'ait aucune influence sensible sur leur action mutuelle, ni par conséquent sur leur arrangement dans l'étendue de la sphère d'activité moléculaire. Dans les corps solides cristallisés ou non, la cause principale qui retient les molécules sur les directions où elles se trouvent plus ou
molécules sur les directions où elles se trouvent plus ou moins resserrées ne peut être que la partie de leur interaction qui dépend de leur forme et de leur situation relatives, et qu'on écarte les molécules par une addition de calorique, ce second terme diminue en général plus rapidement que l'autre partie de leur action mutuelle : son effet peut devenir insensible, et le corps passe alors à l'état fluide. Dans les corps qui ne sont pas élastiques, c'est sans doute cette même force secondaire qui maintient les molécules dans les positions dans lesquelles les forces étrangères les ont amenées,
les positions dans lesquelles les forces étrangères les ont amenées, et chaque corps sous la forme qu'elles lui ont fait prendre, après même que ces forces ont cessé d'agir. Quoiqu'il en soit, la force secondaire dont est question, est nécessaire à la stabilité de l'équilibre des molécules dans les corps solides; ce qui n'empêche pas qu'on ne puisse faire abstraction dans le cas des corps non cristallisés, lorsqu'il s'agit de calculer l'action mutuelle de deux parties de grandeurs insensibles, qui comprennent cependant des nombres extrêmement grands de molécules. Si un fluide est en contact avec un corps solide, susceptible d'agir
fluide est en contact avec un corps solide, susceptible d'agir sur ses molécules, cette action produira une compression particulière qui peut se transmettre de proche en proche, jusqu'à une distance extrêmement petite, mais sensible de la surface du solide, quoique l'action immédiate de ce corps n'ait lieu qu'à une distance insensible. Il se peut que dans l'épaisseur de cette couche, ainsi comprimée, le fluide perde fluidité, ou, autrement dit, il est possible que ses molécules soient assez rapprochées les unes des autres, pour que leur forme influence sur leur action mutuelle, comme dans les corps solides. Dans cette hypothèse, la
mutuelle, comme dans les corps solides. Dans cette hypothèse, la contraction linéaire, et par suite, la pression moléculaire, n'y seront plus égales en tous sens autour de chaque point; et c'est sans doute ce qui a lieu dans la couche extrêmement mince qui s'attache à un corps mouillé par un liquide et ne coule plus le long de sa surface ce qui est un effet distinct de l'adhésion apparente, due à la même cause que les phénomènes de la capillarité. D'après les différences essentielles entre les solides et les fluides que nous venons de signaler, on conçoit que le problème
que nous venons de signaler, on conçoit que le problème de l'équilibre ne sera pas le même pour ces deux espèces de corps. Dans le cas des solides, il y a trois inconnues sont les déplacements de chaque point intérieur suivant les directions rectangulaires, et que nous avons précédemment représentées par u, ν, w; et au moyen de ces inconnues, on peut satisfaire aux trois équations de l'équilibre communes à tous les points intérieurs, quelles que soient les forces dont elles lui sont appliquées. Les valeurs de a, v, w, en fonctions des coordonnées primitives du point M auquel elles
en fonctions des coordonnées primitives du point M auquel elles résident, feront connaître la position subséquente de ce même point M considéré isolément. Mais dans le cas des fluides, on se, par ce qui précède, qu'il n'y aura pas lieu de déterminer le changement de position de chaque molécule isolée : il n'y a qu'une seule inconnue, savoir, l'intervalle moyen des mouvements, pour satisfaire aux trois équations d'équilibre relatives à l'intérieur d'un fluide ; et, pour cette raison, l'équilibre n'est pas possible, à moins que les forces données, en fonctions des coordonnées d'un point quelconque, ne soient telles que trois
des coordonnées d'un point quelconque, ne soient telles que trois équations se réduisent à une seule ; ce qui restreint la nécessité de ces fonctions. Le problème du mouvement est aussi très-différent dans les deux cas. Lorsqu'il s'agit d'un corps solide, les équations différentielles du mouvement de ses molécules se déduisent immédiatement de celles de l'équilibre, par le principe général de la dynamique. Mais, relativement aux fluides, il faut avoir égard à une circonstance qui ne peut influer que sur le mouvement, et nullement sur l'équilibre. En effet, lorsque les molécules d'un fluide se déplacent, elles emploient un certain temps,
molécules d'un fluide se déplacent, elles emploient un certain temps, quelque petit qu'on le suppose, pour parvenir, autour de chaque point, à une disposition semblable à leur arrangement primitif, et pour exercer de nouveau une pression égale en tous sens. Pendant ce temps court, qui peut être néanmoins très-différent pour les divers fluides, la pression n'est pas nécessairement la même dans toutes les directions ; toutefois, il serait impossible de n'apercevoir dans l'état d'équilibre qui ne s'observe qu'après cet intervalle de temps est écoulé. Mais, dans le cas du mouvement, la position respective des molécules changeant constamment, on comprend que
la position respective des molécules changeant constamment, on comprend que la considération du temps dont ilagit peut donner lieu à une modification dans le principe de l'égalité de pression en tous sens et dans la forme des équations différentielles qui s'en déduisent. Ce sera ce que nous expliciterons, lorsqu'il sera question du mouvement des fluides en attendant, il convient d'observer qu'on ne doit pas considérer l'effet que nous ne faisons maintenant qu'indiquer, avec la viscosité des fluides imparfaits. L'effet dont il est question peut avoir lieu dans les liquides qui n'ont aucune viscosité sensible et même dans les fluides aériformes,
n'ont aucune viscosité sensible et même dans les fluides aériformes, où il est surtout nécessaire d'y avoir égard, lorsque leurs vibrations deviennent extrêmement rapides. La viscosité est ce qui empêche les liquides où elle existe d'exercer, après un intervalle de temps plus ou moins court, une pression égale en tous sens ; on peut l'attribuer à une influence de la forme des molécules sur leur action mutuelle, et considérer les liquides visqueux comme une sorte d'intermédiaire entre les corps solides et les fluides parfaits, auxquels nous nous occuperons dans la suite de ce mémoire. L'auteur calcule la pression due à
suite de ce mémoire. L'auteur calcule la pression due à l'action moléculaire dans un fluide en ayant égard aux variations soit de la densité du fluide soit de l'intervalle moyen de ses molécules, parce que les termes qui en résultent ne sont point insensibles, étant même d'ordre de grandeur que la partie de la pression qui dépend de la courbure des surfaces, et à laquelle sont dus, comme on sait, les phénomènes de la capillarité. En tenant compte de ces variations et de la forme de la surface, la pression dans le fluide en équilibre se compose de deux parties,