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P le point en question; en posant BC=a, CA=b, AB=c, et en désignant par T l'aire du triangle, il trouve: M. Gergonne calcule aussi les longueurs de ces droites prolongées jusqu'à la rencontre des côtés respectivement opposés, ainsi que les segments qu'elles déterminent sur ces côtés; il signale le problème analogue, relatif au triangle sphérique, comme paraissant assez difficile. Dans l'article suivant, un anonyme démontre, fort simplement, qu'il n'est aucun nombre entier qui n'ait parmi ses multiples ou un nombre exprimé par l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros, ou un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, ou enfin
un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, ou enfin un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, suivis d'un ou de plusieurs zéros. Enfin, dans un dernier article, MM. Vallès, Pagliani et Martinelli démontrent les propositions suivantes: I. L'enveloppe de l'espace parcouru par une droite qui se meut sur le plan de deux cercles fixes, de manière que ces cercles interceptent constamment sur elle des cordes de même longueur, est une parabole dont l'axe passe par les centres de ces deux cercles. Cette parabole a son foyer au milieu de la droite qui joint ces centres, et son sommet
de la droite qui joint ces centres, et son sommet au point où cette droite est coupée par leur axe radical ou axe de symétrie. Toutes les droites communes aux deux cercles sont d'ailleurs tangentes à la parabole. II. Si, pour trois cercles, pris tour-à-tour deux à deux, on trace les paraboles (I); ces 3 paraboles auront 3 tangentes communes au plus; seules droites sur lesquelles les trois cercles puissent interrompre des cordes de même longueur. III. L'enveloppe de l'espace parcouru par un plan qui se meut de manière que deux sphères fixes interceptent constamment sur lui des cercles de
deux sphères fixes interceptent constamment sur lui des cercles de même rayon, est un paraboloïde révolution dont l'axe passe par les centres des deux sphères. Ce paraboloïde a son foyer au milieu de la droite qui joint les centres, et son sommet au point où cette droite est coupée par leur plan radical. Les cônes circonscrits à la fois aux deux sphères sont d'ailleurs circonscrits à ce paraboloïde. IV. Si, pour trois sphères, prises tour-à-tour, on trace les paraboloïdes (III); ces 3 paraboloïdes auront 3 points communs au plus; seules droites sur lesquelles les trois sphères puissent interrompre des cordes
droites sur lesquelles les trois sphères puissent interrompre des cordes de même rayon. à-tour deux à deux, il décrit les paraboloïdes; ces paraboloïdes seront tous inscriptibles à une seule et même surface développable en trois nappes, au plus; et les plans tangents à cette surface seront les seuls sur lesquels les trois sphères pourront intercepter des cercles de même rayon. Si, pour quatre sphères, prises tour-à-tour deux à deux, construit les paraboloïdes, puis les surfaces développables, ces surfaces pourront être touchées toutes quatre un un seul et même plan, lequel touchera aussi, à la fois, les quatre paraboloïdes; et les
touchera aussi, à la fois, les quatre paraboloïdes; et les plans ainsi déterminés seront les seuls sur lesquels les quatre sphères puissent intercepter des cercles de même rayon. La livraison, pour le mois de mai, est totalement occupée par un mémoire de M. Gergonne, sur les maxima et minima des fonctions d'une ou plusieurs variables. M. Gergonne rappelle, en commençant, que, dans l'exposé qu'il a précédemment publié des principes du calcul différentiel, il trouve uniquement: 1° la définition d'une nouvelle opération du calcul; 2° les règles pratiques de cette opération, sur toutes les fonctions connues, rigoureusement déduites de sa définition;
sur toutes les fonctions connues, rigoureusement déduites de sa définition; enfin, l'institution de quelques symboles généraux, propres à indiquer cette opération, exécutée une ou plusieurs fois, sur des fonctions d'une ou plusieurs variables, dont on suppose la forme tout à fait indéterminée. Quand bien même ces produits et ces symboles, ajoute Gergonne, ne seraient susceptibles d'aucune application, qui en a été dit n'en demeurerait pas moins de la plus exacte vérité; de sorte qu'il n'est plus question que d'en prouver l'utilité par diverses sortes d'applications; et comme la théorie des maxima et minima, bien qu'elle joue un rôle important dans
maxima et minima, bien qu'elle joue un rôle important dans la géométrie et dans la mécanique, n'en est pas moins un domaine de la simple analyse, l'auteur pense devoir en traiter, en premier lieu. M. Gergonne considère d'abord une fonction explicite de la seule variable x. On a coutume de dire que la valeur x qui convient au maximum de f x, est celle qui, en représentant δx une très-petite quantité, on a <fx; mais cette manière de s'énoncer n'est pas correcte, et l'auteur a grand soin de l'éviter. Il se pourrait en effet que, pour une très-petite valeur de
se pourrait en effet que, pour une très-petite valeur de δx, on eût f(x+δx) < f x et pourtant la valeur que x n'était point celle qui convient au maximum de f x. Pour qu'il en soit ainsi, il faut en outre que l'inégalité subsiste pour toutes les autres valeurs de δx depuis δx jusqu'à zéro; ce que la plupart des auteurs d'éléments négligent de faire formellement ressortir. Après avoir exposé les règles connues pour la détermination des maxima et minima des fonctions explicites d'une seule variable, et avoir enseigné à distinguer le maximum du minimum, M. Gergonne ramène d'une
à distinguer le maximum du minimum, M. Gergonne ramène d'une manière fort simple à ce qu'il a dit sur ce sujet, ce qui concerne les fonctions de plusieurs variables. Soit, dit-il, S = f(x,y) une fonction de deux variables x et y, tout-à-fait indépendantes l'une de l'autre, concevons qu'on établit deux équations tout-à-fait arbitraires, entre ces deux variables et une troisième variable z; alors s pourra être considérée comme connue étant uniquement fonction de cette dernière; d'où il suit que la condition commune au maximum et au minimum sera exprimée par l'équation et qu'il y aura l'un ou l'autre, selon
par l'équation et qu'il y aura l'un ou l'autre, selon que pour une valeur de z, tirée de cette équation, la fonction z sera négative ou positive. On convient de représenter simplement par la caractéristique et, la différentielle ou variation relative à z, on aura donc, parce que les relations supposées entre x, y et z sont arbitraires, δx et δy doivent demeurer indépendants, de sorte que, ne pourra être nul, qu'autant qu'on aura séparément telles seront conséquemment les équations qui donneront les systèmes de valeurs de x et y qui puissent répondre aux maxima et minima de la fonction
qui puissent répondre aux maxima et minima de la fonction S. Au moyen de ces équations on aura simplement, pour que cette fonction, conserve constamment le même ordre, quels que soient x et y, comme il le faut, soit pour maximum, soit pour le minimum, il faudra qu'on ait, addition omise par Euler et donnée par Lagrange. Mais M. Gergonne fait observer que, si Euler n'a point exigé cela, Lagrange, à son tour, a exigé un peu trop. Si, en effet, on avait, résulterait seulement que est de la forme M (Pδz + Q δy), que conséquemment, quelque valeur qu'on
M (Pδz + Q δy), que conséquemment, quelque valeur qu'on attribue à x et y, S ne prendra jamais un signe différent de M. Mais, si l'on prend x et y de telle sorte qu'on ait x + y = 0; comme, en général, en vertu de cette hypothèse, S ne deviendra pas identiquement nul, il s'ensuit qu'alors il aura, généralement parlant, ni maximum ni minimum, ce qui est conforme aux théories connues. Mais si y contient un facteur P x Q y, et que S garde invariablement le même signe que M, quelles que soient x et y; il
signe que M, quelles que soient x et y; il y aura aussi maximum ou minimum, bien que la condition exigée par Lagrange ne soit pas satisfaite. M. Gergonne traite, dans la même forme et avec la même rigueur logique, ce qui concerne les maxima et minima des fonctions explicites de plus de deux variables indépendantes. Il passe ensuite au cas où ces variables sont liées entre elles par des relations plus ou moins nombreuses; et il termine en par la recherche des maxima et minima, dans les fonctions implicites d'un ou de plusieurs variables; de telle sorte que son
d'un ou de plusieurs variables; de telle sorte que son mémoire, bien que d'une étendue assez bornée, peut être considéré comme un traité à peu près complet sur la matière. MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE PURE SUR LES SYSTÈMES DE FORCES et les systèmes d'aires planes ; et sur les polygones, les polyèdres et les centres des moyennes distances; par M. CHASLES. (Corresp. Mathémat. et Physiq., par M. Quetelet Tom. VI, 2e livraison.) Quand plusieurs forces sollicitent un corps solide libre, on peut les remplacer d'une infinité de manières par d'autres forces; on dit que le système de ces nouvelles forces est
on dit que le système de ces nouvelles forces est équivalent au système des forces proposées. Deux pareils systèmes ont entre eux certaines relations, dont plusieurs sont d'un usage continuel dans la mécanique, et qu'on a coutume de démontrer par l'analyse. M. Chasles s'est proposé dans cet écrit de démontrer quelques-unes de ces relations, et d'autres plus générales, ou nouvelles d'une manière purement rationnelle, et sans le secours des formules analytiques. Il lui suffit de démontrer le théorème suivant, dont tous les autres ne sont que des conséquences : Quand on a 2 systèmes de forces (tout-à-fait arbitraires l'un par
on a 2 systèmes de forces (tout-à-fait arbitraires l'un par rapport à l'autre), si l'on multiplie chaque force du premier système par chaque force du second système, et par le cosinus de l'angle de ces forces, la somme de tous ces produits sera la même que la somme des produits semblablement faits à l'égard de deux autres systèmes équivalents respectivement aux 2 proposés. En supposant que les deux systèmes proposés soient équivalents entre eux, on conclut de là l'expression connue de la rélative d'un système de forces appliquées à un même point, en fonction de ces forces et des cosinus
même point, en fonction de ces forces et des cosinus des angles qu'elles font entre elles. Pour passer de ce premier théorème à d'autres, non moins généraux, M. Ch. démontre le lemme suivant : Si l'on projette une aire plane sur 3 plans coordonnés quelconques, et si l'on décompose une force de grandeur donnée et perpendiculaire au plan de cette aire en 3 autres dirigées suivant 3 axes respectivement perpendiculaires aux 3 plans coordonnés, les composantes de cette force seront aux projections de l'aire plane, comme la force elle-même sera à cette aire. Ce lemme n'est au fond, ainsi que
à cette aire. Ce lemme n'est au fond, ainsi que M. Ch. en fait lui-même la remarque, que le principe dont M. Poinsot s'est servi pour la composition et la décomposition des couples; envisagé d'une manière générale par rapport à des aires planes quelconques, il rend tout-à-fait évidentes des vérités qui ont été longtemps le sujet de beaux théorèmes sur la projection des aires planes et sur la composition des moments. Ces divers théorèmes, qu'on pourrait énoncer sur-le-champ comme traductions directes, en vertu du lemme, des propriétés des systèmes de forces, peuvent être tous représentés par un principe général semblable
forces, peuvent être tous représentés par un principe général semblable au théorème sur les systèmes de forces, que nous avons cité. Il suffit de substituer des aires planes aux forces, et les angles des plans de ces aires aux angles que les directions de ces forces font entre elles. Ce principe s'applique à 2 systèmes de couples, et aux moments de 2 systèmes de forces; de sorte que : Quand on a 2 systèmes de forces et qu'on prend les moments des forces du premier système par rapport à un point fixe, et les moments des forces du second système
point fixe, et les moments des forces du second système par rapport à un second point fixe, puis qu'on multiplie chaque moment du premier système par chaque moment du second et par le cosinus de l'angle compris entre les plans des 2 moments, la somme de tous ces produits conservera la même valeur si on substitue aux 2 systèmes de forces 2 autres systèmes équivalents, dont on prendra les moments par rapport aux 2 mêmes points fixes. En supposant que l'un des 2 systèmes (qui sont tout-à-fait arbitraires l'un à l'égard de l'autre), se réduise à une seule force; ou
l'égard de l'autre), se réduise à une seule force; ou bien que les deux systèmes soient équivalents entre eux, on en conclut immédiatement l'expression et les propriétés du moment principal d'un système de forces relatif à un point, ainsi que plusieurs autres propositions. Au lieu de remplacer dans le premier théorème cité les 2 systèmes de forces par les 2 systèmes d'aires planes, si on ne remplace qu'un de ces systèmes de forces par un système d'aires planes, on obtient un 3ème principe général qui conduit à plusieurs théorèmes intéressants. Nous citerons le suivant : Quand on a 2 systèmes
Nous citerons le suivant : Quand on a 2 systèmes de forces, si sur chaque force du premier système et chaque force du second système, comme arêtes opposées, on construit un tétraèdre, la somme des volumes de tous ces tétraèdres aura une valeur qui restera la même quand on substituera aux 2 systèmes de forces 2 autres systèmes qui leur soient équivalents respectivement. M. Ch. détermine le signe du volume de chaque tétraèdre de cette manière : Il faut voir dans quel sens l'une des 2 forces qui forment ce tétraèdre tend à tourner autour de l'autre force, l'œil étant
tétraèdre tend à tourner autour de l'autre force, l'œil étant situé à l'extrémité de cette seconde force, et la vue étant dirigée vers son point d'application; on donnera au volume du tétraèdre le signe + ou le signe — suivant que la rotation se fera dans un sens ou dans l'autre. De ce théorème M. Ch. en conclut plusieurs autres moins généraux, qu'il avait eu occasion d'énoncer ailleurs, et dont le Bulletin a déjà entretenu ses lecteurs à l'occasion des démonstrations que MM. Gergonne et Möbius ont données de ces théorèmes. (V. les cah. du Bulletin de sept. 1828 et
théorèmes. (V. les cah. du Bulletin de sept. 1828 et sept. 1829.) M. Ch. annonce que M. Giorgini, de Florence, à qui il a aussi communiqué ces théorèmes et d'autres sur le même sujet, lui apprit qu'il était parvenu à des résultats semblables qui font partie d'un travail destiné à faire suite à sa Théorie analytique des projections, dont il a été rendu compte dans le T. IV du Bulletin, p. 129. Une des conséquences du théorème général de M. Ch. est que, de quelque manière qu'on remplace par 2 forces uniques un système de forces appliquées à un corps
forces uniques un système de forces appliquées à un corps solide libre, le tétraèdre construit sur ces 2 forces, comme arêtes opposées, a toujours le même volume. M. Ch. fait voir que ce théorème résulte aussi de la propriété suivante des couples donnée par M. Dans la seconde partie de son mémoire, M. Ch. déduit des principes généraux exposés dans la première, plusieurs propriétés des polyèdres gauches, des polyèdres et des centres des moyennes distances. Quelques-unes de ces propriétés sont connues, d'autres sont nouvelles; mais toutes se présentent naturellement et une manière presque évidente. M. Ch. fait voir, d'ailleurs, que
une manière presque évidente. M. Ch. fait voir, d'ailleurs, que les propriétés des polyèdres sont des conséquences de celles des polygones au moyen de cette proposition : Étant donné un polyèdre quelconque, on peut former, d'une infinité de manières, un polygone dont les côtés sont proportionnels aux aires des faces du polyèdre, et forment entre eux des angles égaux respectivement aux listes diédres que forment entre elles les faces du polyèdre. Il en résulte de là, entre autres théorèmes, le suivant : Si par des points respectivement sur les faces d'un polyèdre, on mène, du côté de leurs revers, des
d'un polyèdre, on mène, du côté de leurs revers, des droites proportionnelles aux aires de ces faces et perpendiculaires à leurs plans, 1° la somme des volumes de ces tétraèdes construits par ces droites, prises 2 à 2, comme droites opposées, sera égale à zéro; 2° le centre des moyennes distances des extrémités de ces droites sera le même que le centre des moyennes distances des points pris sur les faces du polyèdre. M. RAPPORT SUR L'OUVRAGE DE M. JACOBI, intitulé : Fundamenta nova theoricae functionum ellipticarum, lu à l'Académie des Sciences, le 21 décembre 1829 ; par M. POISSON.
des Sciences, le 21 décembre 1829 ; par M. POISSON. Pour expliquer, autant qu'il sera possible sans le secours des algébriques, l'objet de cet ouvrage dont l'Académie m'a chargé de lui rendre compte, et surtout pour faire connaître l'extension nouvelle et inattendue que l'auteur a donnée à cette théorie, je rappellerai d'abord les travaux de ses prédécesseurs dans la même matière. Les fractions rationnelles et quelques formules qui s'y trouvent immédiatement ou par une transformation très-simple sont les seules différentielles dont on sache trouver les intégrales indéfinies. Relativement aux intégrales définies, le nombre de celles que l'on sait déterminer par
définies, le nombre de celles que l'on sait déterminer par différents moyens est beaucoup plus considérable; mais ce nombre est encore très-moderne, eu égard à celui des intégrales qui peuvent rencontrer dans les diverses applications de l'analyse; et plus souvent on est obligé de calculer leurs valeurs approchées soit par la réduction en séries convergentes, soit par la méthode des quadratures. Il y a lieu de penser que la plupart des intégrales qui ont résisté jusqu'à présent aux efforts si souverains et répétés des géomètres, et qui échappent à des méthodes où l'on a mis en œuvre toutes les ressources
méthodes où l'on a mis en œuvre toutes les ressources de l'analyse, sont impossibles sous forme finie, quoique cette impossibilité n'ait encore été démontrée pour aucune d'elles. Cela étant, on cherche à diminuer le nombre de ces quantités transcendantes, en les faisant dépendre les unes des autres, ce qui a donné naissance à une branche d'analyse, très-étendue et d'une grande importance, qui a pour objet la comparaison et la réduction des intégrales. Les principales classes d'intégrales que l'on ait comparées entre elles, se réduisent à trois. Les unes sont les intégrales définies que M. Legendre a nommées intégrales Euleriennes de
intégrales définies que M. Legendre a nommées intégrales Euleriennes de première et de seconde espèce, et dont il a exposé la théorie avec tous les développements que l'on peut désirer. Les autres constituent les fonctions elliptiques qui doivent être l'objet spécial de ce rapport. Ces fonctions sont susceptibles de trois formes distinctes, et se divisent, en conséquence, en fonctions elliptiques de première, de seconde et de troisième espèce; chacune des fonctions des deux premiers ordres ne renferme qu'une seule constante qu'on nomme le module; la fonction de seconde espèce est l'arc d'ellipse; celle de troisième espèce est plus compliquée, et
l'arc d'ellipse; celle de troisième espèce est plus compliquée, et contient deux quantités constantes. La variable d'où dépend chaque fonction s'appelle l'amplitude. On compare les fonctions elliptiques sous deux points de vue différents : par rapport aux grandeurs de l'amplitude d'une même fonction, et relativement aux grandeurs du module de deux fonctions de même espèce, ou de deux fonctions d'espèce différente. Le théorème de Fagnani par lequel on assigne, sur une même ellipse, deux arcs dont la différence est une quantité donnée, et la division de la Lémniscate en parties égales, que ce géomètre a fait dépendre d'équations algébriques, se
égales, que ce géomètre a fait dépendre d'équations algébriques, se rapporte au premier mode de comparaison. Ce sont les premières questions de ce genre, dont les géomètres se soient occupés: elles datent de 1750; et on les citera toujours dans l'histoire du calcul intégral, comme le germe et l'origine de la théorie des fonctions elliptiques. Vient ensuite (en 1761) une des plus belles découvertes d'Euler, l'intégration sous forme finie, d'une équation à deux termes dont aucun ne peut s'intégrer séparément. L'intégrale qu'Euler a obtenue, fait connaître les sinus et cosinus de la somme et de la différence des amplitudes de
de la somme et de la différence des amplitudes de deux fonctions données; elle comprend les résultats particuliers que Fagnani avait donnés, et tout ce qui concerne le premier mode de comparaison des fonctions elliptiques et leur division en parties égales. Sur ce premier point, Euler n'a rien laissé à faire à ses successeurs, si ce n'est la résolution même des équations algébriques, d'où dépend la division d'une fonction donnée; résolution qui a été trouvée quatre-vingts ans plus tard, ainsi que nous le dirons à la fin de ce rapport. Mais M. Legendre remarque comme une chose singulière, qu'Euler ne
Mais M. Legendre remarque comme une chose singulière, qu'Euler ne se soit jamais occupé de l'autre mode de comparaison et de réduction des fonctions elliptiques. Le premier pas qu'on a fait dans cette seconde partie, est le théorème de Landen, sur la réduction de l'arc d'hyperbole aux arcs d'ellipse. Quelque temps après (en 1784), Lagrange donna une méthode applicable à toutes les fonctions elliptiques, dont le but est d'en faciliter le calcul numérique, en augmentant ou diminuant de plus en plus la grandeur du module. Et, en effet, après qu'on a rendu, par ce procédé, le module d'une fonction très-peu
a rendu, par ce procédé, le module d'une fonction très-peu différent de zéro ou de l'unité, on achève ensuite, sans difficulté, le calcul de sa valeur approchée. En la considérant comme une méthode d'approximation, celle que l'on doit à Lagrange ne laisse donc rien à désirer; mais indépendamment de leurs valeurs numériques, il existe entre les fonctions elliptiques, des relations nombreuses qu'il est intéressant de connaître, et qu'on doit regarder comme autant de théorèmes d'analyse, ou bien encore, comme autant d'intégrales particulières d'une équation à deux termes, d'où il est facile de conclure son intégrale complète. Or, à cet égard,
facile de conclure son intégrale complète. Or, à cet égard, Lagrange est loin d'avoir épuisé la matière; et il ne paraît pas même qu'il ait envisagé la question sous ce point de vue. Quoiqu'il en soit, par sa méthode on établit entre deux fonctions de première espèce, un rapport constant ou indépendant des amplitudes. Leurs modules se déduisent très simplement l'un de l'autre; et en répétant indéfiniment la même opération, on obtient une suite de fonctions équivalentes dont le rapport change continuellement d'un terme à l'autre, et l'on forme en même temps la série de leurs modules, ascendante dans un
même temps la série de leurs modules, ascendante dans un sens et descendante dans le sens opposé. Cette série est ce qu'on appelle une échelle de modules : celle qui se déduit de la méthode de Lagrange était la seule que l'on connût jusqu'à ces derniers temps. Tel était l'état de cette partie de la science en 1786, lorsque M. Legendre donna un premier mémoire sur la comparaison des arcs d'ellipse. Depuis cette époque, jusqu'à la publication de son Traité des fonctions elliptiques, en 1825, M. Legendre est à peu près le seul géomètre qui se soit occupé de cette
près le seul géomètre qui se soit occupé de cette théorie. Après en avoir perfectionné successivement toutes les parties notre illustre confrère les a réunies en un corps de doctrine qui contient un grand nombre de réductions et de propriétés des fonctions elliptiques que l'auteur a le premier fait connaître, et particulièrement une nouvelle échelle de module dont la découverte lui est également due. L'ouvrage de M. Legendre renferme les méthodes les plus simples pour réduire en tables, les valeurs numériques des trois espèces de fonctions elliptiques; et joignant l'exemple aux préceptes, l'auteur a formé effectivement des tables de ces