jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
qu'aucune force intérieure n'est appliquée au système, et alors les formules dont il s'agit contiendront seulement le temps t, les coordonnées x, y, z, d'un atome quelconque m, ses déplacements ç, η, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, et neuf coefficients G, H, L, M, N, P, Q, R, dont les trois premiers seront proportionnels aux pressions supportées, dans l'état naturel du fluide éthéré, par trois plans respectivement perpendiculaires à ces mêmes axes. Les coefficients dont il est ici question, étant gardés comme constants, on construira sans peine l'ellipsoïde dont les trois axes sont réciproquement proportionnels aux trois vitesses de propagation
trois axes sont réciproquement proportionnels aux trois vitesses de propagation des ondes planes parallèles à un plan donné, et dirigés parallèlement aux droites suivant lesquelles se mesurent les vitesses propres des molécules éthérées dans ces ondes planes. On pourra aussi déterminer 1° les réactions des trois rayons polarisés produits par la subdivision d'un rayon lumineux dans lequel les vibrations des molécules se font des directions quelconques; 2° la vitesse de la lumière dans chacun de ces trois rayons; 3° les diverses valeurs que prendra cette vitesse, dans les rayons polarisés produits par la subdivision de plusieurs rayons lumineux qui partiraient
produits par la subdivision de plusieurs rayons lumineux qui partiraient simultanément d'un même point. Enfin, l'on pourra construire la surface à 3 nappes, qui, au bout du temps t, passerait par les émissements de ces rayons, et que l'on nomme la surface de lumière. Quant à l'intensité de la lumière, elle sera fournie, dans chaque rayon, par le carré de la vitesse des molécules. Cela posé, si l'élasticité du fluide éthéré reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z, on aura, G = H, L = M = 3 R, P = Q;
H, L = M = 3 R, P = Q; par conséquent les neuf coefficients dépendants de la distribution des molécules dans l'espace se réduiront à cinq, savoir : H, N, Q, R. Il y a plus : deux nappes de la surface ci-dessus mentionnée pourront se réduire au système de deux ellipsoïdes révolutionnaires circonscrites l'un à l'autre; et, pour que cette réduction ait lieu, il suffira que la condition (3R - Q)(N - Q) = 4Q2 soit remplie. Enfin l'un des deux ellipsoïdes deviendra une sphère aura pour diamètre l'axe de révolution de l'autre ellipsoïde, si l'on suppose H
l'axe de révolution de l'autre ellipsoïde, si l'on suppose H = 1; alors la marche des deux rayons polarisés sera précisément comme le indique le théorème d'Huyghens, relatif aux cristaux offrant un seul axe optique. Or, l'exactitude de ce théorème a été mise hors de doute par les nombreuses expériences des physiciens les plus habiles, il résulte de notre analyse que, dans les cristaux à un axe optique, les coefficients H, L, N, Q, vérifient les conditions (2) et (3). D'ailleurs l'élasticité du cristal éthéré n'étant, par hypothèse, la même en tous sens autour de l'axe des z, il n'est
en tous sens autour de l'axe des z, il n'est pas naturel d'admettre que l'on ait G=H=I, à moins que l'on ne suppose les trois coefficients H, L, généralement nuls. Il est donc très-probable que dans ces trois coefficients s'évanouissent, et avec eux les pressions portées par un plan quelconque dans l'état naturel. Cette hypothèse étant admise, l'ellipsoïde et la sphère ci-dessus mentionnées seront représentées par les équations suivantes, en sorte que V Q sera le demi-diamètre de la sphère, et V R le demi-diamètre de l'équateur dans l'ellipsoïde. Il importe d'observer que dans les cristaux doués d'un seul axe
importe d'observer que dans les cristaux doués d'un seul axe optique, ces deux demi-diamètres, ou leurs carrés Q, R, sont toujours très-peu différents l'un de l'autre, et qu'en conséquent l'ellipse génératrice de l'ellipsoïde offre une excentricité très-petite. En résulte aussi que la condition (8) se réduit sensiblement à la suivante N = 3 R, c'est-à-dire à une condition qui est remplie, toutes les fois que l'élasticité d'un milieu reste la même en tous sens autour d'un point quelconque. Ajoutons que l'intensité de la lumière déterminée par le calcul pour chacun des deux rayons polarisés que nous considérons ici, est précisément
des deux rayons polarisés que nous considérons ici, est précisément celle que fournit l'observation. Quant au troisième rayon polarisé, le calcul montre qu'il est très-difficile de l'apercevoir, attendu que l'intensité de la lumière y demeure toujours très-petite quand elle n'est pas rigoureusement nulle. Nous indiquerons plus tard le moyen d'en constater l'existence. Concevons à présent que, dans le fluide éthéré, l'élasticité cesse d'être la même en tous sens autour d'un axe parallèle à l'axe des z. Si l'on coupe la surface de l'onde lumineuse par le plan coordonné, les sections faites dans deux nappes de cette surface pourront se réduire
faites dans deux nappes de cette surface pourront se réduire aux trois cercles et aux trois ellipses représentées par les équations et, pour que cette réduction ait lieu, il suffira que les coefficients G, H, L étant nuls, les trois conditions ((M-P) (NP}=4P2, (N-Q) (L-Q)=4Q2, (L-R) (1'l-R) = 4 R2, toutes trois semblables à la condition (2), soient vérifiées. Il y a plus, si les excentricités des trois ellipses sont assez petites, qu'on puisse négliger leurs carrés, les conditions (6) donneront la suivante (M-P) (N-Q) (L-R)=(N-P) (L-Q) (M-R)=2PQR. Équation de la surface de l'onde lumineuse pourra être réduite à (x²
la surface de l'onde lumineuse pourra être réduite à (x² + y² + z²) (Px² + Qy² + Rz²) = [P(Q+R)x² + Q(R+P)y² + R(P+Q)z²] t² + t⁴=0. Les trois cercles, les trois ellipses, et la surface du 4e degré représentées par les équations (5), (7), sont précisément celles que Fresnel a données comme propres à indiquer la marche des deux rayons polarisés, aperçus jusqu'à ce jour dans les corps à deux axes optiques; et l'on sait d'ailleurs que, dans les cristaux, les excentricités des ellipses sont fort petites. Il est bon d'observer que, si les excentricités devenue nulles, ou
est bon d'observer que, si les excentricités devenue nulles, ou en autres termes, si l'on avait P = Q = R, conditions (6) donneraient L = M=N = 3R, que les conditions (8), (9) sont précisément celles qui doit être remplies pour que l'élasticité d'un milieu reste la même dans tous les sens. Quant au troisième rayon polarisé, comme l'intensité de sa nière est fort petite, il sera généralement très-difficile de percevoir, si ce n'est dans des circonstances particulières. Notre théorie nous permettra d'indiquer. En résumant ce qu'on vient de dire, on voit que, les conditions (6) étant supposées rigoureusement
dire, on voit que, les conditions (6) étant supposées rigoureusement remplies, les sections antiques dans la surface de l'onde lumineuse par les plans coordonnés coïncidront exactement avec celles que Fresnel a données. Quant à la surface même, elle sera peu différente de la face du 4e degré que cet illustre physicien a obtenue, et en conséquent cette dernière est, dans la théorie de la lumière, ce que le mouvement elliptique des planètes dans le système monde. Les excentricités des ellipses suivant lesquelles la surface de l'onde lumineuse se trouve coupée par les plans coordonnés sont généralement fort petites pour les
par les plans coordonnés sont généralement fort petites pour les cristaux à un seul axe ou à deux axes optiques, il en résulte qu'on peut déterminer avec une grande approximation, dans ces cristaux, les vitesses de propagation des ondes planes, et les plans de polarisation des rayons lumineux, à l'aide de la règle que je vais indiquer. Pour obtenir les vitesses de propagation des ondes planes, parallèles à un plan donné ABC, et correspondantes aux deux rayons polarisés que transmet un cristal à un ou à deux axes optiques, il suffit de couper l'ellipsoïde que représente l'équation par un plan
suffit de couper l'ellipsoïde que représente l'équation par un plan diamétral parallèle au plan donné. La section ainsi obtenue sera une ellipse dont les deux axes seront numériquement égaux aux vitesses de propagation des ondes planes dans les deux rayons. De plus, celui de ces deux rayons dans lequel les ondes planes se propageront avec une vitesse représentée par le grand axe de l'ellipse sera polarisé parallèlement au petit axe; et réciproquement le rayon dans lequel les ondes planes propageront avec une vitesse représentée par le petit axe de l'ellipse sera polarisé parallèlement au grand axe. Si l'on fait coïncider
sera polarisé parallèlement au grand axe. Si l'on fait coïncider le plan ABC avec l'un des plans principaux de l'ellipsoïde, les deux rayons polarisés suivront la même route, et les deux vitesses de la lumière dans ces rayons seront précisément les vitesses de propagation des ondes planes. Par suite les vitesses de la lumière dans les six rayons polarisés, dont les directions coïncident avec les trois axes de l'ellipsoïde, sont deux à deux égales entre elles et à l'un des nombres VP, VQ, VR. Ajoutons que les deux rayons dont la vitesse est VP sont polarisés parallèlement à l'axe des
la vitesse est VP sont polarisés parallèlement à l'axe des x, ceux dont la vitesse est VQ parallèlement à l'axe des y, et ceux dont la vitesse est VR parallèlement à l'axe des z. Dans le cas particulier où les quantités VP, VQ, deviennent égales entre elles, la surface représentée par l'équation (10), ou est un ellipsoïde de révolution dont l'axe est ce qu'on appelle l'axe optique du cristal. Alors, l'un des demi-axes de la section, faite par un plan diamétral quelconque, est constamment égal à VQ, ainsi que la vitesse de la lumière dans l'un des deux rayons polarisés.
vitesse de la lumière dans l'un des deux rayons polarisés. Le rayon dont il s'agit est celui qu'on nomme du ordinaire, et il se trouve polarisé parallèlement à la direction, qui dans le plan ABC forme le plus petit angle avec l'axe optique, tandis que l'autre rayon, appelé rayon extraordinaire, est polarisé parallèlement à la direction d'intersection du plan ABC et d'un plan perpendiculaire à l'axe optique. Alors aussi les deux rayons ordinaire et extraordinaire se percutent, quand ils sont dirigés suivant l'axe optique, et se réduisent à un rayon unique qui n'offre plus aucune trace de dichroisation. Lorsque les
unique qui n'offre plus aucune trace de dichroisation. Lorsque les trois quantités VP, VQ, VR, sont inégales entre elles, l'ellipsoïde représenté par l'équation (10) peut être coupé sur des cercles par deux plans diamétraux qui renferment les deux axes moyens. Donc les deux rayons polarisés se confondent lorsque les ondes planes deviennent parallèles à l'un de ces plans. Alors, la direction commune des deux rayons est qu'on appelle un axe optique. Donc, pour les cristaux dans lesquels l'élasticité de l'éther n'est pas la même en tous sens au-delà d'un axe, il existe deux axes optiques suivant lesquels se dirigent les
il existe deux axes optiques suivant lesquels se dirigent les rayons qui n'offrent plus aucune trace de polarisation. Toutes ces conséquences de notre analyse sont conformes à l'expérience, et même, dans des leçons données au Collège royal France, M. Ampère avait déjà remarqué que la construction de l'ellipsoïde représenté par l'équation (10) fournit le moyen de déterminer les vitesses de propagation des ondes planes et les plans de polarisation des rayons lumineux. Seulement ces plans, que l'on croyait perpendiculaires aux directions des vitesses des molécules éthérées, renferment au contraire ces mêmes directions. Nous ajouterons qu'à l'équation (10) on pourrait substituer
mêmes directions. Nous ajouterons qu'à l'équation (10) on pourrait substituer la suivante 2 (Px² + Qy² + Rz²) = 1. En effet, les deux sections faites par un même plan dans les trois ellipsoïdes que représentent les équations (10) et (12), ont pour axes parallèles, et ceux de la seconde section sont respectivement égaux aux quotients que l'on obtient en divisant l'unité par les axes de la première. SUR LA THÉORIE DES NOMBRES; par M. GALOIS. (Ce mémoire fait partie des recherches de M. Galois sur la théorie des permutations et des équations algébriques). Quand on convient de regarder comme
et des équations algébriques). Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantités qui, dans les calculs algébriques, se trouvent multipliées par un nombre premier donné p, et qu'on cherche dans cette convention les solutions d'une équation algébrique, ce que M. Gauss désigne par la notation F(x)=0, on n'a coutume de considérer que les solutions entières de ces sortes de questions. Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats que je crois nouveaux. Soit une pareille équation ou congruence, F(x)=0, et le module. Supposons d'abord, pour plus de simplicité,
F(x)=0, et le module. Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la congruence en question n'admette aucun facteur commensurable, c'est-à-dire qu'on ne puisse pas trouver 3 fonctions ϕ(x), ψ(x) et x, telles que ϕ(x) ψ(x) - F(x) = 1 + χ(x). Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entière, ni même aucune racine incommensurable du degré inférieur. Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme des espèces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas aux questions de nombres entiers, symboles dont l'emploi dans le calcul sera souvent aussi utile que celui de l'imaginaire i dans l'analyse
souvent aussi utile que celui de l'imaginaire i dans l'analyse ordinaire. C'est la classification de ces imaginaires et leur réduction au plus petit nombre possible, qui va nous occuper. Appelons l'une des racines de la congruence F(x)=0, que nous supposerons du degré v. Considérons l'expression générale a1 + a2 + a3 + ... + av-1 + iv-1 (A) où a1, a2, av, représentent des nombres entiers. En donnant à ces nombres toutes les valeurs, l'expression (A) en acquiert pν, qui jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des mêmes propriétés que les nombres naturels dans la théorie des résidus
propriétés que les nombres naturels dans la théorie des résidus des puissances. Ne prenons des expressions (A) que les pν premières valeurs où a2, ... aν-1 ne sont pas toutes nulles : soit a une de ces expressions. Si l'on élève successivement à les puissances 2e, 3e, on a une suite de quantités de même forme (car toute citation de i peut se réduire au v-1ème degré). Donc on devra avoir 1 = n, étant un certain nombre, soit n le plus petit multiple qui soit tel que l'on ait ∝n=1. On aura un ensemble de expressions toutes différentes entr'elles.
∝n=1. On aura un ensemble de expressions toutes différentes entr'elles. i g ∝2 a3 ... ∝n-1 Multiplions ces n quantités par une autre expression g de la même forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les quantités (A) ne sont pas épuisées, on multipliera encore les puissances de a par une nouvelle expression y, et si de suite. On voit donc que le nombre n divisera nécessairement le nombre total des quantités (A). Ce nombre étant — 1, on voit que n divise pν— 1. De là, suit encore
voit que n divise pν— 1. De là, suit encore que l'on a 1 = 1 ou bien - a. Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu'il y a des racines primitives a pour lesquelles on ait précisément p — 1 = n, et qui reproduisent par conséquent, par élévation aux puissances, toute la suite des autres racines. Qu'elle l'une quelconque de ces racines primitives ne dépendra d'une congruence du degré v, congruence irréductible, si quoi l'équation en x ne le serait pas non plus, parce que racines de la congruence en x sont toutes des puissances
racines de la congruence en x sont toutes des puissances de la même primitive. On voit ici cette conséquence remarquable, que toutes les quantités algébriques qui peuvent se présenter dans la théorie, ont racines d'équations de la forme px2 x — x. Cette proposition énoncée algébriquement, est celle-ci. Étant donnée une fonction F(x), et un nombre premier p, on peut oser trouver fx. F(x) = x + r, et x étant des fonctions entières, toutes les fois que la congruence F(x)=0 (mod. p) sera irréductible. Si l'on veut avoir toutes les racines d'une pareille congruence au moyen d'une seule, il
les racines d'une pareille congruence au moyen d'une seule, il suffit d'observer que l'on a généralement (Fx)Pn = F(xPn) et que par conséquent l'une des racines étant x, les autres seront xP p2 Pν-1 x x .... x (I) Il s'agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que nous venons de dire, les racines de l'équation ou de la congruence xP = x dépendront toutes d'une seule congruence du degré v. Soit en effet k une racine d'une congruence irréductible, telle que toutes les racines de la congruence xPv = x soient fonctions rationnelles de k. (Il est
xPv = x soient fonctions rationnelles de k. (Il est clair qu'ici, comme dans les équations ordinaires, cette propriété a lieu). Il est d'abord évident que le degré µ de la congruence en question doit être au plus v. Si le degré de la congruence irréductible de degré y, F(x) = 0, s'était de conclure que les racines soient toujours de quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire: La congruence irréductible donne x2 + x + 1 = 0 (mod. 2), qui se réduit à 0 = 0 (mod. p), formule qui n'apprend rien. La proposition générale dont
(mod. p), formule qui n'apprend rien. La proposition générale dont il étant donné une équation algébrique, on sait ici rationnelle de s, pourra trouver une fonction rationnelle de t toutes ses racines, de telle que chaque racine soit rationnelle en que réciproquement connue d'Able, ainsi s'exprime le théorème. Ce théorème était peut-être que ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques. Saurait être plus petit que v, sans quoi la congruence Pv - 1 x - 1 = 0. (v) Lit toutes ses racines communes avec la congruence pu! x — 1 = C, ni est absurde, puisque la
x — 1 = C, ni est absurde, puisque la congruence (v) n'a pas de racines, comme on le voit en prenant la dérivée du premier ordre. Je dis maintenant que µ ne peut non plus être > y. En effet, s'il en était ainsi, toutes les racines de la congruence xpµ ~ x auraient dépendu rationnellement de celles de la congruence. Pv x = x, il est aisé de voir que si l'on a i = i, toute fonction rationnelle h = f (i) donnera encore µ, on compte toutes les racines de la congruence xp = x qui
toutes les racines de la congruence xp = x qui sont communes avec l'équation xp = x. Ce qui est absurde. Ainsi, nous savons donc enfin que toutes les racines de l'équation congruence xp = x dépendent nécessairement d'une seule équation irréductible de degré v. Maintenant, pour avoir cette congruence irréductible d'où découlent les racines de la congruence xP = x, la méthode la plus générale sera de délivrer d'abord cette congruence de tous les facteurs communs qu'elle pourrait avoir avec des congruences de degré inférieur et de la forme Pµ x — x, on obtiendra ainsi une congruence qui
Pµ x — x, on obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en congruences irréductibles de degré v. Et comme on sait exprimer toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au moyen d'une seule, il sera aisé de les obtenir toutes à la méthode de M. Gauss. Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver par le même moyen une congruence irréductible d'un degré donné on doit en déduire toutes les autres. Soit pour exemple p = 7, v = 3. Cherchons les racines de la congruence (mod. 7). J'observe que la congruence 13 = 2
congruence (mod. 7). J'observe que la congruence 13 = 2 (mod. 7) étant irréductible et du degré 3, toutes les racines de la congruence ont dépendu rationnellement de celle de la congruence, en sorte que toutes les racines de (1) sont de forme Il faut maintenant trouver une racine primitive, c'est-à-dire une forme de l'expression (3) qui, élevée à toutes les puissances, donne toutes les racines de la congruence 73-1. 21.32.19, x — 1 savoir x = 1, (mod. 7), et nous n'avons besoin pour cela que d'avoir une racine primitive de chaque congruence. La racine primitive de la première
primitive de chaque congruence. La racine primitive de la première est — 1; celles de x1 = 2 sont données par les équations X3 = 2, X3 = 4, en sorte que i est une racine primitive de X3 = 1. Il ne reste qu'à trouver une racine de x19 = 1, ou plutôt de et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire à la question en posant simplement x=a+ a, i, au lieu de a + a, i2 nous devrons avoir (a + a, i)'9 = 1, ce qui, en développant par la formule de Newton et
ce qui, en développant par la formule de Newton et réduisant les puissances de a, de a, et de i par les formules a(p-1) = x, i3=2, se réduit à 3 1 a4 a2 + 3 (a5 a: + a* as), qui, en séparant les deux dernières équations, sont satisfaites en posant a = 1, a2 = — 1. Donc — 1, 1, une racine primitive de x19 = 1. Nous avons trouvé de plus it pour racines primitives de i et de x32=1 les valeurs i et i, il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les 3 quantités
ne reste plus qu'à multiplier entre elles les 3 quantités ' i, ' ~ I, ce produit i -ri 2 sera une racine primitive de la congruence 73-1 x — 1. Donc ici l'expression i + i3 jouit de la propriété, qu'en l'élevant à toutes les puissances, on obtient 73-1 expressions différentes et de la forme i2. Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d'où dépend notre racine primitive, il faut éliminer i entre les deux égalités P = a, α = 1 + i2, on obtient ainsi α3 = α, Hi = 0. Il sera convenable de
α3 = α, Hi = 0. Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires, et représenter par i la racine de cette équation, en sorte que P 3 i i = 0, on aura toutes les imaginaires de la forme a + fa, i + a2 il élevant i à toutes les puissances, et réduisant par l'équation (i). Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons d'exposer, est de ramener les congruences à la propriété utile d'avoir précisément autant de racines qu'il y a d'unités dans l'ordre de leur grade. La méthode pour avoir toutes ces racines
de leur grade. La méthode pour avoir toutes ces racines sera très simple. En premier lieu, on pourra toujours préparer la congruence donnée Fx = 0, de manière à ce qu'elle n'ait plus de racines égales, ou en d'autres termes, à ce qu'elle n'ait plus de facteur commun avec F' x = 0, et le moyen de le faire est évident, le même que pour les équations ordinaires. Ensuite pour avoir les solutions entières, il suffira, ainsi M. Libri paraît en avoir fait le premier la remarque, de chercher le plus grand facteur commun à F x =0 et à
plus grand facteur commun à F x =0 et à xP—1 = 0, et en général, les solutions de l'ordre seront données par le plus grand commun diviseur à F x=0 et à xP — 1 = 0. C'est surtout dans la théorie des permutations, où l'on a sa constante besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux comme je vais essayer d'en donner en deux mots une idée. Soit une équation
d'en donner en deux mots une idée. Soit une équation algébrique \(x=0\) de degré \(p\), supposée que les \(p\) racines soient désignées par \(x_k\), en donnant à l'indice \(k\) les \(p\) valeurs déterminées par la congruence \(kp = 1\) (mod. \(p\)). Prenons une fonction quelconque rationnelle \(V\) des \(p\) racines \(x_k\). Transformons cette fonction en substituant partout à l'indice \(k\) l'indice \((a+h)+b\), \(a\), \(b\), \(r\) étant des constantes arbitraires satisfaisant aux conditions de \(a^p - 1 = 1\) (mod.\(p\)) et de \(r\) entiers. En donnant aux constantes \(a\), \(b\), \(r\) toutes les valeurs dont elles sont susceptibles, on obtiendra en