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par les extrémités de ces lignes et par le point m, on fera passer un cercle; son centre sera sur la normale à la tangente au point m. On pourrait construire directement la normale. Pour cela, on porterait sur les 2 transversales issues du point m des lignes proportionnelles aux rapports par les extrémités de ces lignes et par le point m, on ferait passer un cercle; son centre sera sur la normale à la courbe au point m. Construction des cercles osculateurs. Pour déterminer le cercle osculateur en un point m d'une courbe géométrique, on mènera par ce point
point m d'une courbe géométrique, on mènera par ce point la tangente à la courbe, et une transversale quelconque mA; on prendra les produits des segments compris sur ces 2 droites entre le point m et les autres branches de la courbe; soient T et P ces 2 produits. Par un point p, pris arbitrairement dans le plan de la courbe, on mènera deux parallèles à la tangente et à la transversale; on fera les produits des segments compris sur ces 2 parallèles entre le point p, et la courbe; soient t et T' ces 2 produits. On porterait sur
soient t et T' ces 2 produits. On porterait sur la transversale mA une ligne égale à l'extrémité de cette ligne sera sur le cercle osculateur cherché. Il suit de cette construction que si l'on désigne par 6 l'angle que la transversale mA fait avec la tangente, le rayon de courbure sera égal à R = 2 sin. 6 Quand la courbe sera tracée, ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales; et quand la courbe sera définie par son équation, on connaîtra immédiatement, au moyen de cette équation, les valeurs des quatre produits P, T, ce qui résulte,
les valeurs des quatre produits P, T, ce qui résulte, comme on sait, de la théorie générale des équations. Quand la courbe est tracée, il faut qu'elle le soit complètement, c'est-à-dire que toutes ses branches soient décrites, puisque les transversales la rencontrent en autant de points indiqués par le degré de la courbe. Par exemple, si la courbe est une des courbes du quatrième degré, appelées Ovales Descartes, il faut connaître sa compagne, qui est une seconde ovale, jouissant des mêmes propriétés que la première, qui n'est point indiquée par la construction géométrique que Descartes et d'autres géomètres ont donnée
la construction géométrique que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes, mais qui est contenue dans la même équation. Quand on ne connaîtra point l'équation d'une courbe, ni sa description complète, on aura recours à une méthode graphique dont on a décrit sur la théorie des surfaces réglées, que M. Hachette a exposée dans ses Éléments de géométrie à trois dimensions, et dont un extrait se trouve dans le Bulletin de la Société, année 1826. Cette méthode graphique s'applique aussi, comme on a dit, à la construction des plans osculateurs des lignes à double courbure, et même à
plans osculateurs des lignes à double courbure, et même à la détermination de leurs centres de courbure sphérique. Les constructions que je viens d'exposer s'appliquent aux rayons de courbure des sections planes des surfaces géométriques; elles conduisent à quelques propriétés nouvelles de ces surfaces, relatives particulièrement aux courbes que M. Ch. Dupin a appelées indifférente, dans sa théorie de la courbure des surfaces. (Voyez l'ouvrage publié par ce dernier, sous ce titre: Développements de géométrie, in-4°). Faisons observer, en terminant cette note, que nos constructions, ci-dessus énoncées, peuvent être simplifiées, parce qu'au lieu de quatre transversales parallèles on peut en
parce qu'au lieu de quatre transversales parallèles on peut en mettre que trois, dont une issues du point de la courbe et la 3e tout-à-fait arbitraire; cette modification des solutions ci-dessus repose sur une propriété générale des courbes géométriques due à Carnot, et dont celle que nous avons citée n'est qu'un corollaire. 214. SUR LE CALCUL DES ANNUITÉS, et sur quelques questions de la théorie des probabilités; par J. W. LUBBOCK. (Transactions of the Cambridge philos. Society; Tom. III, 1re part.) On sait que le calcul de la valeur mathématique ou moyenne des annuités est fondé sur l'usage des tables
ou moyenne des annuités est fondé sur l'usage des tables de mortalité. Nommant généralement yx le nombre de personnes vivantes de l'âge x que l'on trouverait en faisant le dénombrement d'un pays, la probabilité qu'une personne de l'âge a vive au moins jusqu'à l'âge x est exprimée par ~X. Les nombres yx peuvent même s'obtenir par le dépouillement des registres des décès. Cette expression de la probabilité dont il s'agit devrait effectivement être considérée comme la véritable, si le nombre des observations ou les nombres inscrits dans la table de mortalité étaient très grands. Le nombre des observations étant assez
mortalité étaient très grands. Le nombre des observations étant assez petit, dans plusieurs des tables qui sont en usage, cette circonstance donne lieu à appliquer ici les considérations d'après lesquelles les probabilités des événements futurs se déduisent des événements observés. On peut voir sur ce sujet le chapitre 6 du 2e livre de la Théorie analytique des probabilités. M. Lubbock trouve, d'après ces considérations, que la probabilité qu'une personne qui vient de naître vive au-delà de l'âge x, au lieu d'être exprimée par ~^-, doit l'être par k désignant le dernier des âges marqués dans la table, 100 par exemple,
dernier des âges marqués dans la table, 100 par exemple, si la table est portée jusqu'à ce nombre. Cette considération apporte un léger changement au résultat du calcul des annuités, des assurances sur la vie, etc. D'après les tables données par l'auteur, la valeur d'une annuité de 1 fr. pour une personne de 20 ans, calculée d'après les tables de Chester 011/04=1927, est de 19 fr. 43, à 3 pour 100; tandis qu'elle serait, d'après le calcul ordinaire, de 19 fr. 29. Les calculs relatifs aux rentes viagères, fondés sur les tables de Deparcieux, où le nombre des observations est
les tables de Deparcieux, où le nombre des observations est moindre que le précédent, comporteraient des corrections plus importantes. Mais il est essentiel de remarquer que les lois exprimées par les tables de Deparcieux ayant été confirmées par des observations beaucoup plus nombreuses faites en Angleterre, il ne peut y avoir aucune erreur sensible à regarder les nombres contenus dans ces tables comme étant très grands, et à négliger les nombres x et h de l'expression précédente. 215. MEMOIRE SUR LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'ÉQUILIBRE et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides, lu à l'Académie roy. des
solides élastiques et des fluides, lu à l'Académie roy. des sciences, le 12 octobre 1829, par M. Poisson. Ce Mémoire fait partie du 20e cahier du Journal de l'École polytechnique, qui ne tardera pas à paraître. M. Poisson a pris les questions qu'il avait déjà traitées dans deux mémoires précédents; il s'est proposé dans son nouveau travail d'établir avec toute la simplicité et la rigueur désirables les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides et fluides; ses recherches ne l'ont point conduit à des résultats différents de ceux qu'il avait obtenus dans ses deux premiers mémoires, quoiqu'il
ceux qu'il avait obtenus dans ses deux premiers mémoires, quoiqu'il ait modifié sa théorie sur quelques points essentiels. Après une courte introduction, l'auteur expose dans le premier § les notions physiques sur la constitution intime des corps, qu'il a prises pour bases de ses calculs. Cette partie du mémoire étant d'un intérêt très général, nous croyons devoir la reproduire ici. « Toutes les parties de la matière sont soumises à deux sortes d'actions mutuelles. L'une est attractive indépendante de la nature des corps, proportionnelle au produit des masses, et en raison inverse du carré des distances : elle s'étend indéfiniment
raison inverse du carré des distances : elle s'étend indéfiniment dans l'espace, et produit la pesanteur universelle et tous les phénomènes d'équilibre et de mouvement qui sont du ressort de la mécanique céleste. L'autre est attractive ou répulsive : elle dépend de la nature des particules et de leur quantité de chaleur ; son intensité décroît très-rapidement quand la distance augmente, et devient insensible, dès que la distance a acquis une grandeur sensible. Le calcul des effets mécaniques de cette seconde force sera l'objet général de ce nouveau mémoire. Les corps sont formés de molécules disjointes, c'est-à-dire, de portions de
corps sont formés de molécules disjointes, c'est-à-dire, de portions de matière pondérable, d'une grandeur insensible, séparées par des espaces vides, ou des pores, dont les dimensions sont aussi imperceptibles à nos sens. Les molécules sont si petites et si rapprochées les unes des autres, qu'une portion d'un corps, qui en renferme un nombre extrêmement grand, peut encore être supposée extrêmement petite, et la grandeur de son volume insensible. Cela étant, si d'un point M comme centre et d'un rayon insensible, on décrit une sphère dans l'intérieur d'un corps, qui comprenne un nombre extrêmement grand de ses molécules ; si l'on
un nombre extrêmement grand de ses molécules ; si l'on désigne par m la somme de leurs masses, par v le volume de la sphère, et qu'on fasse ce rapport p est ce qu'on appelle la densité du corps au point M, quelles que soient d'ailleurs l'inégalité de masses des molécules et leur distribution régulière ou irrégulière dans l'ensemble de v. De même, en désignant par n le nombre de molécules que v renferme, et faisant cette ligne 1, de grandeur insensible, sera ce que nous appellerons l'intervalle moyen des molécules qui répond au point M. Indépendamment de la matière
molécules qui répond au point M. Indépendamment de la matière pondérable dont elle est formée, chaque molécule renferme en outre une certaine quantité de la substance impondérable, à laquelle on attribue les phénomènes de la chaleur. Cette substance est retenue plus ou moins fortement dans la molécule par l'attraction de la matière pondérable. Une partie s'en échappe à chaque instant sous forme rayonnante; une autre partie provenant de ce rayonnement des autres particules, est absorbée ou réfléchie à la rencontre de cette molécule. Nous n'avons point à examiner ici les lois et les causes de cet échange continuel, par suite
lois et les causes de cet échange continuel, par suite duquel le calorique propre à une même molécule peut être constant ou variable; nous dirons seulement que la quantité de calorique contenu dans le vide, doit être regardée comme insensible eu égard à celle qui s'attache aux particules matérielles; car, d'après une expérience de M. Gay-Lussac, lorsque l'on diminue ou que l'on augmente subitement un espace vide, on ne voit se manifester aucune variation de chaleur, ni dans cet espace, ni dans les corps environnants, contrairement à ce qui arrive, dès que ce même espace contient un peu d'air ou
dès que ce même espace contient un peu d'air ou d'un gaz quelconque. Il résulte de là que les forces répulsives que nous considérerons ne devront émaner que des points matériels des corps, et nullement des espaces vides qui séparent leurs molécules. Celles-ci peuvent encore renfermer les fluides électriques ou magnétiques; mais nous supposerons qu'ils y sont à l'état neutre, et nous n'aurons égard qu'aux forces moléculaires qui proviennent de l'attraction de la matière pondérable et de la répulsion du calorique. Cela posé, appelons m et m' les masses de deux molécules voisines, c et c' leurs quantités de chaleur,
deux molécules voisines, c et c' leurs quantités de chaleur, M et M leurs centres de gravité, et r la distance MM'; et considérons l'action exercée par m' sur m, laquelle est égale et contraire à l'action de m sur m. Supposons d'abord les dimensions de m et m' très-petites par rapport à la distance qui les sépare. L'action dont il s'agit se réduira alors à une force unique, dirigée suivant la droite MM', et dont l'intensité sera une fonction que nous représenterons par R. En même temps, leur réaction mutuelle sera proportionnelle au produit de c et c' et
mutuelle sera proportionnelle au produit de c et c' et à l'attraction, au produit de m et m'. En considérant la force comme positive ou négative, selon qu'elle tendra à augmenter ou à diminuer la distance r, sa valeur sera l'excès de la réaction sur l'attraction; et si l'on suppose que l'attraction réelle de la matière et du calorique qui retient celui-ci dans chaque molécule, s'étend au-dehors, il faudra retrancher de l'excès l'attraction du calorique de m' sur la matière de m, et de la matière de m' sur le calorique de m; lesquelles seront proportionnelles, la première au produit
calorique de m; lesquelles seront proportionnelles, la première au produit mc' et la seconde à m' c. De cette manière la valeur complète de R sera R = c c' r − m m' a − m c' 6 − m'c g'; coefficients y, a, 6, t, étant des quantités positives: le premier sera indépendant de la nature de m et de celle de m', le second dépendra de l'une et de l'autre, le troisième ne dépendra de la nature de m, et le 4e, de celle de m'. En réunissant les trois derniers termes de R en un seul,
réunissant les trois derniers termes de R en un seul, on pourra écrire sa valeur sous cette forme: R = F r − f r. Une des deux fonctions F r et f r n'aura que des valeurs negatives; ces valeurs décroîtront très-rapidement et sans alternative, à mesure que la variable r augmentera: elles deviendront insensibles pour toute valeur sensible de r. Pour une certaine valeur de cette distance, on pourra avoir F r = f r = 0; le signe de R sera différent en-deçà et au-delà, à la répulsion F r l'emporte d'abord sur l'attraction f r puis
répulsion F r l'emporte d'abord sur l'attraction f r puis décroît ensuite plus rapidement, soit que le contraste ait lieu à l'égard de ces forces; et l'on verra par la suite quels deux cas se présentent effectivement dans la réalité, lorsque les molécules m et m' ne seront pas assez éloignées pour que leur forme n'ait aucune influence sur leur action mutuelle, l'action de m' sur m ne sera plus nécessairement suivant la droite MM', et il pourra même arriver qu'elle ne se réduise point à une seule force. composantes seront toujours des fonctions de r qui n'auront de valeurs
seront toujours des fonctions de r qui n'auront de valeurs sensibles que pour des valeurs insensibles de cette variable; mais elles dépendront, en outre, des angles qui déterminent la direction de la droite MM' par rapport à des sections fixes dans l'intérieur de ni et m'; en sorte qu'elles varieront, si l'une des molécules vient à tourner autour de l'autre, ou sur elle-même, sans que la distance MM' de leurs centres de gravité ait changé. Ce cas général est celui qui a lieu dans les corps solides; le cas particulier, dans lequel l'action moléculaire se réduit à la force R,
dans lequel l'action moléculaire se réduit à la force R, celui des fluides, ainsi qu'il résulte, comme on l'expliquera plus tard, de la parfaite mobilité de leurs parties. Dans tous les cas, nous supposerons que la sphère d'activité de chaque point d'un corps, quoique son rayon soit insensible, comprend néanmoins un nombre extrêmement grand de molécules. Cette hypothèse, la seule que je fasse dans ce mémoire, sera sans doute admise par les physiciens, comme étant conforme à la nature. Elle nous permettra d'exprimer les résultats de ses actions moléculaires dans l'intérieur des corps, en fonction des coordonnées de leurs différents
l'intérieur des corps, en fonction des coordonnées de leurs différents points, lors même que les molécules seront disposées et distribuées sans aucune régularité dans l'étendue de leur sphère d'activité; ce qu'on doit supposer, en effet, à l'égard des corps qui ne sont pas cristallisés. Il suit de là que si l'on considère deux parties A et B d'un corps non cristallisé, qui soient d'une étendue insensible, mais dont chacune comprenne cependant un très-grand nombre de molécules, et qu'on veuille déterminer l'action totale de A sur B, on pourra supposer dans ce calcul que l'action mutuelle de deux molécules m et
ce calcul que l'action mutuelle de deux molécules m et m' se réduit, comme dans le cas des fluids, à une force R dirigée suivant la droite qui joint les centres de gravité M et M', et dont l'intensité ne sera fonction que de la distance MM'. En effet, quelle que soit cette action, on peut la remplacer par une semblable force, qui sera moyenne des actions de tous les points de m' sur tous ceux de m, et que l'on combinera avec une autre force R', ou, s'il est nécessaire, avec deux autres forces R' et R", dépendantes de
nécessaire, avec deux autres forces R' et R", dépendantes de la disposition respective des deux molécules. Or, cette disposition, n'ayant pas hypothèse aucune sorte de régularité dans A les nombres de molécules de A et B étant extrêmement grands et comme infinis, on conçoit que toutes les forces R' et R" se compenseront sans altérer l'action totale de A sur B, qui dépendra par conséquent que des forces B. Il faut d'ailleurs observer que pour un même accroissement dans la distance, l'intensité des forces R' et R" diminue plus rapidement en général que celle des forces B; ce qui contribuera
en général que celle des forces B; ce qui contribuera encore à faire disparaître l'influence des premières forces sur l'action mutuelle A sur B. Mais il n'en sera plus de même, lorsqu'il s'agira d'un corps cristallisé, où les molécules sont disposées symétriquement les uns par rapport aux autres, et distribuées avec régularité dans la partie qui en contient un très-grand nombre. C'est d'après ces principes que M. Poisson détermine les actions dues à l'action moléculaire dans les corps. Mais avant s'occuper d'un corps quelconque, il a cru devoir, pour jeter de clarté sur cette théorie, traiter le cas le plus
de clarté sur cette théorie, traiter le cas le plus simple qu'elle présente, en considérant un système de molécules rangées en ligne droite et soumises à leurs actions mutuelles. C'est ce qu'il fait dans le S 2 du mémoire. Comme ce paragraphe n'est guère conceptible d'analyse, nous passerons immédiatement au prochain général, S 3. « Un corps est parfaitement élastique lorsqu'il reprend sa forme naturelle et que tous ses points reviennent à leurs positions primitives, dès que les forces données lui les en ont écartés ont cessé d'agir. Tous les corps jouissent de cette propriété lorsqu'un changement de forme est
corps jouissent de cette propriété lorsqu'un changement de forme est extrêmement petit; mais lorsqu'il est un peu considérable, il y en a qui conservent la forme que les forces étrangères leur avaient donnée, ou qui ne reviennent qu'imparfaitement à leur forme primitive. Dans ces corps non élastiques, la forme peut être différente pour les mêmes forces données, ou la même pour les forces différentes. Nous ne nous occuperons pas dans ce mémoire. De plus, dans ce paragraphe, il ne sera question que de corps élastiques non cristallisés; et nous allons d'abord considérer leur état naturel, c'est-à-dire, l'état dans lequel les
d'abord considérer leur état naturel, c'est-à-dire, l'état dans lequel les molécules ne sont soumises, qu'à leur action mutuelle, et auxquelles ni pressions étrangères sont supposées nulles. Dans cet état, soit M un point situé dans l'intérieur du corps, à une distance sensible de la surface. Par ce point, menons un plan qui partage le corps en deux parties, et que nous supposerons horizontal, pour fixer les idées. Appelons A la partie supérieure et A' la partie inférieure, dans laquelle nous comprendrons les points matériels appartenant au plan men. Du point M comme centre, décrivons une sphère qui comprendra un très-grand
M comme centre, décrivons une sphère qui comprendra un très-grand nombre de molécules, mais dont le rayon soit cependant insensible par rapport au rayon d'activité des forces moléculaires. Soit ω l'aire de sa section horizontale; sur cette section élevons dans A un cylindre vertical dont la hauteur soit au moins égale au rayon d'activité des molécules; appelons B ce cylindre : l'action des molécules de A' sur celles de B, divisée par ω, sera la pression exercée par A' sur A, rapportée à l'unité de surface et relative au point M. On pourra, dans le calcul de cette force, considérer
M. On pourra, dans le calcul de cette force, considérer l'action mutuelle de deux molécules déterminées m et m' comme étant dirigée suivant la droite qui joint leurs centres de gravité, et son intensité, comme une fonction de la distance de ces deux points. Ayant ainsi défini la pression, M. Poisson fait voir qu'elle se réduit à une force verticale, et en la représentant par N. il trouve la somme z s'étendant à tous les points m de B et m' de A'. M. Poisson transforme cette expression en considérant le corps comme homogène dans l'étendue des valeurs sensibles à
le corps comme homogène dans l'étendue des valeurs sensibles à l'entour du point M, et supposant que les molécules n'ont aucune distribution particulière autour de ce point. Il reformule en désignant par e, la grandeur moyenne de l'intervalle moléculaire autour du point M, la somme 2 s'étendant à tous les points matériels du corps compris dans la sphère d'activité de M. Il démontre ensuite que cette pression N ne varie pas d'un point à un autre dans l'intérieur du corps, et que de plus elle est égale à zéro; d'où il suit que la condition de l'état naturel du corps
il suit que la condition de l'état naturel du corps est exprimée par l'équation Σ. rf r = o, détermine implicitement la grandeur de t en chaque point situé à une distance sensible de la surface. M. Poisson examine ensuite l'état d'un corps dont les parties sont un tant soit peu déplacées et qui a changé de forme par l'effet de forces extérieures et de pressions exercées à sa surface. Après avoir donné, comme M. Cauchy, l'expression de la station ou condensation, soit linéaire soit cubique, autour d'un point quelconque, M. Poisson représente par ωP, ωQ, R, les trois composantes
M. Poisson représente par ωP, ωQ, R, les trois composantes parallèles aux axes des x, y,z, de l'action exercée dans le second état du corps par toutes les molécules d'une partie A' du corps sur toutes celles d'un cylindre dont la base est ω, le même dont il a été question plus haut; cylindre et sa base comprennent les mêmes points matériels avant et après le déplacement des molécules. Ne pouvant entrer dans le détail des calculs par lesquels M. Poisson évalue quantités P, Q, R, nous n'en rapporterons que les résultats. En désignant par x, y, z, les coordonnées
les résultats. En désignant par x, y, z, les coordonnées d'un point M du corps dans l'état primitif, par x + a, y + P, z + R ce qu'elles viennent après le changement de forme, par r la distance de point M à un autre point quelconque dans l'état primitif, c, c', c" les cosinus des angles que fait avec les axes la normale à l'élément de surface ω passant par le point M, et faisant sommes i s'étendent à tous les points matériels du corps autour de M, on a K est nulle si l'état primitif du corps
on a K est nulle si l'état primitif du corps est son état naturel. Si l'on suppose la normale à ω parallèle à l'axe des z, on a c = o, c' = o, c" = 1, et en représentant par P, Q, R, que deviennent alors P, Q, R, il vient En désignant de même par P2, Q2, R2 et par P3, Q3, R3 les valeurs que prennent P, Q, R, lorsque la normale à ω est parallèle à l'axe des y et à l'axe des x, et comparant ces valeurs particulières avec celles de P, Q, R on
ces valeurs particulières avec celles de P, Q, R on en conclura P = P1 c" + P2 c' + P3 c, Q = Q1 c" + Q2c' + Q3 c, R= R1 c" + R2 c' + R3 c, résultat auquel on parvient encore par la considération de pressions exercées sur les faces d'un tétraèdre infiniment petit dont le point M est un sommet qui a ses trois faces adjacentes à ce point parallèles aux plans des coordonnées, et sa 4ème face perpendiculaire à la droite qui fait avec les axes les angles dont les cosinus sont c, c".