jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
-cos a + 'dz dt -cos e+ZCOS' t + (dη dz +; COS 6. cosy T+(sin+α)CM y. COS + dz dx a. cos 6. (1) Or, on peut demander quelles conditions doivent remplir ξ, η, considérées comme fonctions de x, y, z, pour que la condensation ou dilatation linéaire du corps reste la même en tous sens autour de chaque point, c'est-à-dire, pour que la valeur numérique de s donnée par la formule qui précède, soit indépendante des angles α, β, γ. M. Cauchy trouve, par une analyse élégante, que α doit être alors une fonction linéaire de x, γ,
α doit être alors une fonction linéaire de x, γ, z, de la forme α = ax + by + cz + k, a, b, c, k étant des quantités constantes, et qu'on doit avoir en même temps η = ax+bγ + cz + k) x— + a (x2 +y2 + z2) + hy—gz 1 η = (ax + by + cz + k) γ — + b(x2 +γ2 + z2)+fz hx + m η = (ax + by + cz + k) z — + c(x2+y2+z2)+gx fγ + * f, g, h, l, m, n étant aussi des constantes.
f, g, h, l, m, n étant aussi des constantes. C. S. 46. SECOND MÉMOIRE SUR LES RÉSULTATS MOYENS, ET SUR LES ERREURS DES MESURES; par M. FOURIER (Recherches statistiques sur la ville de Paris et le département de la Seine. Paris, 1829; Imprim. roy.). La précieuse collection dont fait partie le mémoire que nous annonçons, se publie depuis plusieurs années. Il en paraît chaque année un volume qui contient, outre les tableaux et les descriptions statistiques, des mémoires destinés à l'exposition des théories nécessaires pour éclaircir et diriger les recherches, et pour soumettre les faits à une juste appréciation.
recherches, et pour soumettre les faits à une juste appréciation. M. Fourier concourt au succès de ce recueil, par le secours de ses lumières et la part qu'il prend à la rédaction. On lui est redevable de plusieurs mémoires dans lesquels il s'est proposé de faire connaître certains principes généraux que fournit l'analyse mathématique appliquée à plusieurs questions qui ont rapport à la statistique. M. Fourier a porté dans l'exposition de ces principes, la clarté et la profondeur qu'on admire dans toutes ses productions. Les géomètres doivent regretter que la nature du recueil dont ces mémoires font partie n'ait pas
nature du recueil dont ces mémoires font partie n'ait pas permis au savant auteur de donner les démonstrations des propositions qu'il ne fait qu'énoncer ; mais ces démonstrations, malgré la simplicité des théorèmes, exigent l'emploi de la plus haute analyse, et dès lors elles ne pouvaient trouver place dans ce recueil qui s'adresse à toutes les classes de lecteurs. C'est pour mettre ses théories à la portée de tous, que M. Fourier les a développées avec plus de détails qu'il ne l'eût fait sans doute, s'il n'eût écrit que pour les géomètres. Le tome III contient un mémoire où M.
les géomètres. Le tome III contient un mémoire où M. Fourier a donné une règle qui sert à estimer la précision des résultats moyens réduits d'un grand nombre d'observations. On a fait des applications remarquables de cette règle ; on peut citer comme exemple un travail dû à M. Puissant, qui, dans un supplément à son traité de géodésie, a présenté les conséquences d'un très grand nombre d'observations de latitude. On a aussi appliqué la même méthode à la détermination de la durée des générations humaines dans un pays et dans un siècle donné, question dont on avait remarqué depuis
dans un siècle donné, question dont on avait remarqué depuis longtemps l'importance, mais qui toutefois n'avait point encore été soumise au calcul. Après avoir exactement défini les éléments de cette question, on a pu faire usage de la règle dont il s'agit, et l'on a reconnu que le nombre de faits qu'il était nécessaire de recueillir, n'excède pas celui que l'on peut déduire des registres publics conservés à l'hôtel de la ville de Paris. Ce travail dont M. Villot est l'auteur, a fait connaître, avec une précision suffisante, la durée des générations viriles à Paris, durant le XVIIIe siècle et
des générations viriles à Paris, durant le XVIIIe siècle et ce qui est remarquable, on a pu déterminer les limites de l'erreur, en sorte que l'on connaît deux nombres assez peu différents, entre lesquels la valeur exacte est certainement comprise. Les résultats de cette recherche nouvelle se trouvent dans les séries des tableaux du volume qui renferme le mémoire que nous annonçons. Dans ce nouveau mémoire, M. Fourier s'est proposé de compléter l'usage de la règle qu'il a donnée dans celui du tome III, en y ajoutant un procédé du même genre, pour découvrir suivant quelle loi l'erreur d'un résultat
même genre, pour découvrir suivant quelle loi l'erreur d'un résultat dépend des erreurs partielles des mesures. L'auteur ayant donné lui-même le résumé de son travail à la fin du mémoire, nous ne pouvons mieux faire que de reproduire ce résumé, dans le Bulletin. Plusieurs quantités a, b, c, etc., sont regardées comme connues, parce que la valeur de chacune d'elles est mesurée au moyen d'un instrument dont l'application peut être répétée. Une quantité inconnue x est exprimée par une certaine fonction des données a, b, c, etc. ; la nature de cette fonction est connue, c'est-à-dire que l'on sait de
de cette fonction est connue, c'est-à-dire que l'on sait de quelle manière il faut opérer sur les données a, b, c... etc., pour que le résultat de la dernière opération soit l'inconnue x ; chacune des données a, b, c.... est sujette à une certaine erreur de mesure que l'on doit regarder comme inévitable, mais qui ne peut excéder certaines limites. Il est évident que les erreurs de toutes ces mesures influent sur l'erreur de l'inconnue x. La question consiste à déterminer exactement les limites entre lesquelles l'inconnue x est comprise, lorsque l'on connaît les limites de chacune des données
comprise, lorsque l'on connaît les limites de chacune des données a, b, c, etc. Tant que ce dernier problème n'est point résolu, on ne se forme qu'une idée imparfaite de l'erreur du résultat x. Pour résoudre la question précédente, il faut premièrement déterminer pour chacune des grandeurs a, b, c., les limites entre lesquelles leur valeur est comprise. On trouve ces limites en répétant plusieurs fois l'application de l'instrument et en faisant usage de la règle générale énoncée dans le mémoire précédent, inséré au tome III de ce Recueil. Cette règle consiste à déduire les limites cherchées des différentes valeurs
règle consiste à déduire les limites cherchées des différentes valeurs que l'on a obtenues en mesurant plusieurs fois une même quantité telle que a. On calcule d'abord la valeur moyenne de ces diverses quantités a1, a2, a3 ... aM en divisant leur somme a1 + a2 + a3 ...+ aM par leur nombre m. On prend ensuite le carré de ces différentes valeurs, et l'on divise la somme a1 + a2 + ...+ am par leur nombre m, ce qui donne la valeur moyenne de ces carrés, savoir : On compare cette valeur moyenne des carrés au carré de la
compare cette valeur moyenne des carrés au carré de la valeur moyenne, savoir : On retranche de la valeur moyenne des carrés le carré de la valeur moyenne. Le reste est ainsi exprimé : On divise le double de ce reste par le nombre m, et l'on extrait la racine carrée du quotient, désignant par g cette racine carrée, on a C'est ce nombre g qui fait connaître la limite de l'erreur de la quantité mesurée a; il suffit de prendre le triple du nombre g; on doit regarder comme certain dans la pratique que la valeur exacte de a
certain dans la pratique que la valeur exacte de a est comprise entre a — 3 g et a+ 3 g. L'erreur positive ou négative de la valeur a donnée par la mesure est donc inférieure que ± 3 g. Pour connaître le sens exact de cette proposition, il faut considérer que si l'on pouvait répéter un nombre infini de fois la mesure de la quantité a, et si l'on prenait la valeur moyenne de ce nombre infini de valeurs différentes qu'on aurait obtenues, cette moyenne serait une quantité entièrement fixe, c'est-à-dire qu'en mesurant de nouveau une infinité de fois
fixe, c'est-à-dire qu'en mesurant de nouveau une infinité de fois cette même grandeur, la moyenne que l'on obtiendrait par cette nouvelle opération ne différerait aucunement de celle que l'on aurait obtenue par l'opération précédente. La valeur moyenne d'une infinité de résultats donnés par la mesure d'une même grandeur est invariable ; on la trouverait toujours la même. Cette dernière proposition est démontrée depuis longtemps; elle dérive d'un principe fondamental de l'analyse des probabilités. Nous désignons par A ce résultat moyen et invariable d'un nombre infini de mesures d'une certaine grandeur a. Si cette grandeur n'a pas été mesurée un nombre
a. Si cette grandeur n'a pas été mesurée un nombre infini de fois, mais seulement un nombre de fois fini et désigné par m, la valeur moyenne de ces m mesures diffère en général de la quantité fixe A, et c'est la différence de cette valeur moyenne à la grandeur fixe A que nous appelons l'erreur de a : or cette erreur de a est comprise entre a - 3 g et a + 3 g. Il est nécessaire de remarquer que cette conséquence s'applique aux erreurs fortuites dont la valeur a peut être affectée soit en plus, soit en
valeur a peut être affectée soit en plus, soit en moins. Si l'instrument de mesure était sujet à une erreur constante qui se reproduirait toujours, et autant de fois qu'on appliquerait l'instrument, il est manifeste que cette erreur uniforme subsisterait aussi dans la valeur moyenne, quelque grand que puisse être le nombre des applications du même instrument. Quant aux erreurs fortuites, elles disparaissent de plus en plus à mesure que le nombre des opérations devient plus grand. On peut toujours, en répétant indéfiniment le nombre des mesures, faire disparaître toutes les erreurs fortuites, c'est-à-dire que la différence de la valeur
les erreurs fortuites, c'est-à-dire que la différence de la valeur moyenne à la grandeur fixe A, devient de plus en plus petite, lorsqu'on augmente le nombre des mesures; et cette erreur peut devenir moindre que toute quantité donnée. On détermine par un calcul semblable l'erreur moyenne de la grandeur mesurée a; pour cela on ne multiplie point par 3 le nombre précédent g; on multiplie ce nombre par le facteur 0,47708. Ce produit est l'erreur moyenne de a, et la probabilité de cette erreur est un demi, c'est-à-dire qu'on est aussi fondé à croire que l'erreur de a surpasse le
aussi fondé à croire que l'erreur de a surpasse le produit, que l'on est fondé à croire que cette erreur de a est au-dessous du même produit. Ainsi la limite de l'erreur positive ou négative dont la valeur a peut être affectée, est + 3 g, et l'erreur de a qui a pour probabilité un demi est (0,47708) 9: c'est cette dernière erreur que nous appelons moyenne. Quand au produit 3 g, il exprime la plus grande erreur que l'on puisse dans la pratique attribuer à la quantité mesurée a : cette plus grande erreur n'est pas rigoureusement impossible ;
: cette plus grande erreur n'est pas rigoureusement impossible ; mais sa probabilité est extrêmement petite; elle tombe au-dessous d'un vingt-millième. Après avoir ainsi déterminé la limite de l'erreur de a et l'erreur moyenne de cette même quantité a, il faut en déduire, 1° la limite de l'erreur de l'inconnue x; 3° l'erreur moyenne de cette même inconnue x, qui est une certaine fonction F ( a, b, c..., etc. ) des grandeurs mesurées a, b, c, d, etc. Pour résoudre ces deux questions, on opérera comme il suit sur la fonction donnée F (a, b, c... etc. ): 1°
la fonction donnée F (a, b, c... etc. ): 1° On désigne par D a la limite de l'erreur de l'une des données a, et par D b, D c..., etc., les limites des erreurs des autres données b, c, etc.; ces petites quantités D a, D b, D c, etc., sont connues par l'application du procédé que l'on vient de rapporter. Cela posé, on substitue pour a, b, c, d..., etc., dans la fonction F (a, b, c... etc. ), les valeurs qui résultent immédiatement des mesures, ce qui donne un premier résultat F; ensuite on augmente une seule
donne un premier résultat F; ensuite on augmente une seule des grandeurs telles que a de cette petite quantité D a qui exprime la limite de l'erreur de a, et l'on calcule la nouvelle valeur F (a + Da, b, c... etc. ), c'est-à-dire que l'on recommence le calcul précédent en faisant varier la seule grandeur a de l'accroissement D a, et conservant à toutes les autres données leurs valeurs précédentes. On trouve aussi un second résultat F2, qui diffère très peu de F. Nous désignons par D F la différence F1-F, pour indiquer qu'elle provient de l'accroissement D a
différence F1-F, pour indiquer qu'elle provient de l'accroissement D a attribué à la seule donnée a dans la fonction F ( a, b, c, etc. ). On opère de la même manière pour une autre donnée b, et successivement pour toutes les autres c, d, e, etc., et l'on trouve les différences D F, D bF, D cF... etc. qui répondent aux variations D a, D b, D c... etc. Il ne reste plus qu'à prendre les carrés de ces différences; et la racine carrée de la somme de ces carrés. L'expression est celle de la limite D x de
carrés. L'expression est celle de la limite D x de l'erreur de l'inconnue x : on est assuré que la valeur de x est comprise entre F ( a, c... etc. ), Dx et F ( a, b, c..., etc. ) + Dx. 2° Si maintenant on désigne par d a l'erreur moyenne de l'une des grandeurs connues a, et par d b, d c..., etc., l'erreur moyenne de chacune des autres données b, c, etc., ces erreurs moyennes seront données par l'application de la règle que l'on a rapportée plus haut, et qui consiste à multiplier g par le
plus haut, et qui consiste à multiplier g par le facteur 0,47708. On fera varier une seule des grandeurs, telles que a, de la petite différence da, et l'on obtiendra un résultat qui, étant comparé à F (a, b, c... donne une différence que nous désignons par ΔF. Ayant déterminé ces différences pour chacune des autres quantités b, c..., etc., on ajoute tous les carrés et l'on prend la racine carrée de la somme. L'expression est celle de l'erreur moyenne de l'inconnue x; la probabilité de cette erreur est il est précisément aussi possible que l'erreur commise en prenant x
est précisément aussi possible que l'erreur commise en prenant x égale à F (a, b, c..., etc.) surpasse cette erreur moyenne dx, qu'il est possible que l'erreur commise soit au-dessous de cette même erreur moyenne. On peut aussi trouver, par le calcul différentiel, les petits accroissements que nous avons désignés par DQF, DbF, De F..., etc., en différenciant la fonction donnée F (a, b, c...) par rapport aux quantités a, b, c, etc.; mais l'opération pratique qui vient d'être indiquée supplée à ce calcul; et si l'on excepte des cas très-simples où la différenciation exige peu de calcul, où trouvera
très-simples où la différenciation exige peu de calcul, où trouvera que la règle usuelle qui vient d'être donnée conduit beaucoup plus promptement à la connaissance des valeurs de ΔF, ΔbF... ΔaF, ΔbF, etc. Au reste, pour la facilité de l'application, on doit faire les remarques suivantes. Dans la fonction donnée F (a, b, c...), il s'agit de faire varier une seule des grandes valeurs, par exemple a, d'une très-petite quantité Δa que l'on vient de déterminer par la règle des résultats moyens. On fera d'abord varier a d'un petit accroissement exprimé par un nombre simple, par exemple, d'une minute ou
exprimé par un nombre simple, par exemple, d'une minute ou d'une seconde, si a est un angle, ou d'un centimètre ou d'un millimètre, si a est une longueur. On fera donc, dans la valeur précédente de x = F (a, b, c..., etc.) qui vient d'être calculée, la petite correction que doit produire cet accroissement d'une seconde ou d'un millimètre. Il ne restera plus qu'à multiplier cette correction par la valeur trouvée pour Δa, etc. En opérant de cette manière pour toutes les autres variations Δd, Δc... Δb,Δc..., on obtiendra facilement les accroissements ΔaF, ΔbF, ΔaF, ΔbF..., qui entrent sous
facilement les accroissements ΔaF, ΔbF, ΔaF, ΔbF..., qui entrent sous le signe radical dans l'expression de la limite Δx ou de l'erreur moyenne dx. Le calcul numérique que cette règle exige est beaucoup plus prompt que celui qui proviendrait des différenciations presque toujours compliquées des formules trigonométriques. Les règles précédentes déterminent donc, 1° l'expression de la limite de l'erreur d'une inconnue x qui est une fonction donnée F (a, b, c... etc.) de grandeurs mesurées a, b, c...; 2° l'erreur moyenne de cette même inconnue, c'est-à-dire, l'erreur dont la probabilité est la plus grande. Ces deux résultats complètent la connaissance
est la plus grande. Ces deux résultats complètent la connaissance que fournit le calcul, et l'on se forme ainsi une juste idée de l'erreur à laquelle on est exposé dans chaque application. L'expression analytique de la limite de l'erreur de l'inconnue ou de l'erreur moyenne conduit à une autre conséquence remarquable; elle fait connaître comment les grandeurs mesurées concourent à déterminer soit la limite Δx, soit l'erreur moyenne dx, et par conséquent elle sert à résoudre cette question : Quelles sont les valeurs des données a, b, c... les plus favorables à la précision du résultat du calcul? Ces valeurs
favorables à la précision du résultat du calcul? Ces valeurs sont celles qui donneraient la moindre valeur possible à la limite Δx de l'erreur de l'inconnue, et par conséquent à l'erreur moyenne dx. Ainsi, dans les opérations trigonométriques dont l'objet est de déduire de certaines grandeurs qui peuvent être mesurées, d'autres grandeurs que l'on ne pourrait point mesurer immédiatement, il est important de connaître quelles sont, parmi les conditions dont on peut disposer, celles qui rendraient le résultat plus précis. Il est facile de les distinguer quand l'expression trigonométrique est très-simple, par exemple lorsqu'on veut conclure une hauteur verticale de
très-simple, par exemple lorsqu'on veut conclure une hauteur verticale de la mesure d'une base horizontale et de l'angle à la base; mais dans des cas un peu plus composés, la solution régulière de la question doit être fondée sur les théorèmes énoncés dans le présent mémoire. Non seulement on parvient ainsi à connaître les conditions de figure qui doivent être préférées, ou dont il faut se rapprocher le plus qu'il est possible, mais on distingue quelles sont les quantités qu'il importe le plus de mesurer avec précision. On peut estimer par cette théorie le degré de précision du résultat, et
par cette théorie le degré de précision du résultat, et comparer numériquement celle qui résulte de certaines conditions de figures avec celle qu'on obtiendrait si ces conditions étaient différentes. Nous avons, dans notre premier mémoire sur les résultats moyens, donné une règle générale facile pour estimer le degré d'exactitude de ces résultats. Nous étendons maintenant l'usage de cette règle à tous les cas où l'on déduit par le calcul une valeur inconnue de diverses quantités qui peuvent être mesurées immédiatement, mais dont la détermination est sujette à des erreurs inévitables. Il en résulte que la valeur calculée est elle-même sujette
Il en résulte que la valeur calculée est elle-même sujette à une erreur correspondante. Nous déterminons les limites de cette erreur. L'emploi du calcul devient ainsi comparable à celui d'un instrument dont on connaît exactement la précision. Ces formules ont été obtenues au moyen de ce qu'on nomme l'hypothèse du parallélisme des tranches, établie par Daniel Bernoulli et dont ce célèbre géomètre a fait, aussi bien que D'Alembert, de nombreuses applications. En employant convenablement cette hypothèse, on parvient à des résultats sensiblement conformes à l'expérience, soit par l'évaluation des quantités de fluides écoulées dans des temps donnés, soit pour celle
de fluides écoulées dans des temps donnés, soit pour celle des retentions qui ont lieu dans les diverses parties du fluide, toutes les fois que la longueur des vases, n'étant pas très-grande par rapport à la largeur, l'adhésion du fluide aux parois influe peu sur la nature du mouvement. Lagrange a d'ailleurs remarqué que l'hypothèse dont il s'agit donnait une première approximation, et que l'emploi qu'on en faisait supposait que l'on négligeât seulement les quantités très-petites du second ordre, les largeurs du vase étant regardées comme très-petites du premier ordre. La connaissance des lois du mouvement des fluides élastiques quoique
La connaissance des lois du mouvement des fluides élastiques quoique moins importante et d'une application moins fréquente que celle des lois du mouvement des liquides, est toutefois très-digne d'intérêt. Elle pourrait surtout devenir fort utile pour guider l'établissement des conduites des gaz servant à l'éclairage ou de l'air compressé par les machines soufflantes dans les travaux d'exploitation des mines. Il n'existe encore sur ce sujet que des notions très-imparfaites, auxquelles les travaux récents de plusieurs habiles ingénieurs permettent d'en substituer de plus exactes. M. Navier a pensé qu'il pouvait être utile d'appliquer à ces questions l'hypothèse du parallélisme des tranches.
utile d'appliquer à ces questions l'hypothèse du parallélisme des tranches. Avant d'exposer les résultats auxquels il est parvenu, il rappelle brièvement les formules dues à D. Bernoulli et reproduites dans plusieurs ouvrages, par le moyen desquelles on évalue communément le produit de l'écoulement des fluides élastiques. Il fait voir que les hypothèses qui ont servi à établir ces formules ne peuvent point être regardées comme exactes. Pour écarter les principales difficultés de cette recherche, M. Navier admet que le fluide s'écoule hors d'un réservoir ou gazomètre dans lequel la pression est maintenue constante, et que le mouvement de ce fluide
est maintenue constante, et que le mouvement de ce fluide est parvenu à l'état uniforme qui peut être regardé comme un fait établi par l'observation, et qui consiste en ce que la vitesse et la pression demeurent constamment les mêmes dans chaque partie du vase. On suppose un vase ABCD où la grandeur des sections transversales ne varie d'un point à un autre que par degrés insensibles, dont l'axe MN est horizontal (ce qui permet de négliger l'influence de la pesanteur), et que l'on peut regarder comme un prolongement du gazomètre. On admet que par la manière dont le fluide
gazomètre. On admet que par la manière dont le fluide se renouvelle, ou dont le volume du gazomètre est diminué, la pression est maintenue constante dans la première section AB du vase. La section CD forme l'autre extrémité du tuyau, et la pression est aussi supposée constante à cette dernière section. L'écoulement du fluide qui s'opère dans le sens MN est le résultat de l'excès de la pression intérieure qui a lieu dans la section AB sur la pression extérieure qui a lieu dans la section CD. On nomme S l'aire de la section AB, S' l'aire de la section
l'aire de la section AB, S' l'aire de la section CD qui est l'orifice d'écoulement, S' l'aire d'une section quelconque à faite dans le vase perpendiculairement à l'axe MN, x la distance de la section à la section AB, u la vitesse de la tranche de fluide placée en la vitesse de celle qui franchit CD, P, P', P, les pressions qui ont lieu respectivement dans les sections AB, CD et aê, p la masse de l'unité de volume ou la densité du fluide qui se trouve dans la section S', k un nombre constant lorsquée la température est constante.
S', k un nombre constant lorsquée la température est constante. Cela posé l'hypothèse du parallélisme des tranches consiste, comme on sait, en ce que le fluide contenu dans le vase est supposé partagé en tranches infiniment minces par des plans perpendiculaires à l'axe MN, toutes les molécules contenues dans chaque tranche sont supposées animées de vitesses égales et supporter des pressions égales. On admet de plus que toutes ces tranches contiennent des masses égales de fluide, telle sorte que la même masse de fluide qui a formé la première tranche en AB formera successivement toutes les autres tranches, quand elle