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: La surface polaire d'une conique, par rapport à une sphère, est un cône dont les sections circulaires sont dans des plans perpendiculaires respectivement aux deux lignes focales du cône qui a pour base la conique et pour sommet le centre de la sphère; et dont les lignes focales sont perpendiculaires aux plans des sections circulaires de ce second cône. Deuxième PARTIE. — Propriétés générales des surfaces du second degré de révolution. Cette seconde partie du mémoire est divisée en 8 paragraphes. Dans le premier paragraphe intitulé : Préliminaires, on établit que la surface polaire d'une sphère, par rapport à
établit que la surface polaire d'une sphère, par rapport à une seconde sphère, est une surface de révolution dont un des foyers est au centre de la seconde sphère. On donne la construction du plan directeur de cette surface de révolution, de son centre et de son cône asymptotique; et la discussion des différentes formes que peut prendre la surface. Le second paragraphe intitulé : Rayons vecteurs et plans vecteurs menés d'un foyer de la surface, contient dix théorèmes différents qui sont des conséquences immédiates des propriétés les plus simples de la sphère; ils sont tous faciles à exprimer; nous
de la sphère; ils sont tous faciles à exprimer; nous ne citerons que celui-ci : Les rayons vecteurs menés d'un foyer aux extrémités d'une corde d'une surface de révolution, sont également inclinés sur le rayon vecteur mené au point où cette corde rencontre le plan directeur. Le troisième paragraphe, intitulé : Propriétés de deux droites polaires réciproques par rapport à une surface de révolution, contient six théorèmes, dont le principal est celui-ci : Deux droites quelconques, polaires réciproques par rapport à une surface du second degré de révolution, étant vues d'un foyer de la surface, paraissent se couper à angle
d'un foyer de la surface, paraissent se couper à angle droit. Le paragraphe 4e, intitulé : Cônes circonscrits à une surface de révolution, contient onze théorèmes, parmi lesquels on distingue les suivants : Un cône étant circonscrit à une surface de révolution, tous les plans menés par la droite d'intersection du plan de la courbe de contact et du plan directeur de la surface, coupent ce cone suivant des coniques qui, étant vues du foyer correspondant au plan directeur, semblent être des cercles, concentriques; le centre commun de ces cercles est sur le rayon visuel mené au sommet du cône
est sur le rayon visuel mené au sommet du cône circonscrit. Ce théorème comprend ces deux-ci : Tout cône circonscrit à une surface de révolution coupe le plan directeur, suivant une conique qui, étant vue d'un foyer, paraît être un cercle ayant son centre sur le rayon visuel mené au sommet du cône. Toute courbe plane tracée sur une surface de révolution, étant vue d'un foyer de la surface, paraît être un cercle dont le centre est sur le rayon visuel mené au sommet du cône circonscrit à la surface, suivant cette courbe. On conclut de là que : Toute
suivant cette courbe. On conclut de là que : Toute courbe plane tracée sur un paraboloïde de révolution se projette orthogonalement sur un plan perpendiculaire à l'axe de révolution, suivant un cercle qui a pour centre la projection du sommet du cône circonscrit au paraboloïde, suivant cette courbe. On fait voir que ce théorème n'est qu'une conséquence d'une propriété générale des paraboloïdes, qui elle-même est un cas particulier d'un théorème général sur les projections stéréographiques, insertié dans la Correspondance Mathématique et Physique de M. Quetelet, 5e n° du IV. vol. Voici cette propriété des paraboloïdes : Si plusieurs surfaces du
Voici cette propriété des paraboloïdes : Si plusieurs surfaces du second degré sont inscrites ou circonscrites à un paraboloïde quelconque, tous les cylindres circonscrits à ces surfaces ayant leurs arêtes parallèles à l'axe du paraboloïde sont semblables entre eux, et leurs axes passent respectivement par les sommets des cônes circonscrits au paraboloïde, suivant ses courbes de contact avec les différentes surfaces. Deux cônes circonscrits à une surface de révolution se coupent suivant deux courbes planes qui, étant vues d'un foyer, paraissent se couper à angles droits. Si par deux sections planes d'une surface de révolution on fait passer deux cônes,
planes d'une surface de révolution on fait passer deux cônes, les droites qui joindront un point d'intersection des deux courbes aux sommets des deux cônes, étant vues d'un foyer, sembleront être à angle droit. Le cinquième paragraphe, intitulé: Lignes focales des cônes circonscrits à une surface de révolution ; intersection de deux cônes circonscrits, contient onze théorèmes qui ont pour base la propriété des lignes focales d'un cône du second degré, démontrée dans la première partie du mémoire. Voici quelques-uns de ces théorèmes : Les deux droites menées du sommet d'un cône circonscrit à une surface de révolution aux deux
d'un cône circonscrit à une surface de révolution aux deux foyers, sont les lignes focales de ce cône. Tout plan mené par le foyer d'une surface de révolution la coupe suivant une conique qui a pour foyer celui de la surface, et pour directrice l'intersection du plan directeur de la surface par le plan de la courbe. D'où l'on conclut que : Dans toute section plane d'un cône droit, la somme ou la différence des distances du sommet du cône et d'un foyer de la courbe à un point quelconque de cette conique est constante, théorème qui fait partie d'un
de cette conique est constante, théorème qui fait partie d'un beau mémoire de M. Quetelet, sur les sections planes d'un cône droit. Dans un cône du second degré on peut inscrire une infinité de surfaces de révolution du second degré; leurs foyers sont tous sur les deux lignes focales du cône. Dans chaque nappe d'un cône du second degré on peut inscrire deux paraboloïdes de révolution; leurs axes sont parallèles aux deux lignes focales du cône. Quand deux cônes sont circonscrits à une surface de révolution, le cône qui a pour base une de leurs courbes d'intersection et pour sommet
pour base une de leurs courbes d'intersection et pour sommet un foyer de la surface, a pour lignes focales les deux droites menées de ce foyer aux sommets des deux cônes. Ce théorème donne lieu à plusieurs corollaires. Le sixième paragraphe, intitulé : Propriétés relatives aux deux foyers d'une surface de révolution considérés simultanément ; et propriétés générales des cônes du second degré, contient vingt-quatre théorèmes, parmi lesquels on distingue les suivants : Deux plans menés respectivement par les deux foyers d'une surface de révolution et par une même tangente à la surface, font des angles égaux avec le plan
à la surface, font des angles égaux avec le plan tangent conduit par le point de contact de la tangente. Si par les deux foyers d'une surface de révolution, on mène deux plans vecteurs passant par la droite d'intersection de deux plans tangents à la surface, ces deux plans vecteurs feront respectivement avec les deux plans tangents des angles égaux. Si autour d'un point pris arbitrairement, on fait tourner une droite constamment tangente à une surface de révolution, la somme ou la différence des angles qu'elle fera avec les deux droites fixes, menées de ce point aux deux foyers de
droites fixes, menées de ce point aux deux foyers de la surface, sera constante. Les pieds des perpendiculaires abaissées d'un foyer d'une surface de révolution, sur les plans tangents à un cône circonscrit à la surface, sont un cercle. La perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le plan de ce cercle, passe par le second foyer de la surface. Si deux surfaces de révolution ellipsoïdale et hyperboloïdale à deux nappes ont mêmes foyers, de quelque point de l'espace qu'on les considère, leurs contours apparents paraîtront toujours se couper à angles droits. D'où il résulte que : Un ellipsoïde et
angles droits. D'où il résulte que : Un ellipsoïde et un hyperboloïde de révolution qui ont mêmes foyers, peuvent être regardés comme les deux nappes de la surface, lieu des centres de courbure d'une certaine surface inconnue. Les lignes de courbures sphériques de cette surface inconnue sont les développantes du cercle. Les mêmes propriétés ont lieu à l'égard de deux paraboloïdes de révolution autour du même axe, qui ont même foyer et dont les sommets sont situés de part et d'autre de ce foyer. Les théorèmes de ce paragraphe relatifs aux surfaces de révolution, donnent lieu à des propriétés générales
aux surfaces de révolution, donnent lieu à des propriétés générales des cônes du second degré. Ainsi : Dans tout cône du second degré, les plans menés respectivement par les deux lignes focales et par une même arête, font des angles égaux avec le plan tangent au cône suivant cette arête. Dans tout cône du second degré, deux plans menés par les deux lignes focales, et se coupant suivant la droite d'intersection de deux plans tangents au cône, font respectivement avec ces deux plans tangents des angles égaux. La somme ou la différence des angles que chaque arête d'un cône du
la différence des angles que chaque arête d'un cône du second degré fait avec les deux lignes focales, est constante. Les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point d'une ligne focale d'un cône du second degré sur ses plans tangents, sont un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la seconde ligne focale du cône. Dans tout cône du second degré, le produit des sinus des angles que chaque plan tangent fait avec les deux lignes focales, est constant. Le septième paragraphe, intitulé : Problèmes sur les surfaces de révolution ; propriétés générales des tétraèdres, contient quelques problèmes et huit propriétés
propriétés générales des tétraèdres, contient quelques problèmes et huit propriétés générales des tétraèdres, dont voici quelques-unes : Si par un point fixe O, on mène un plan passant par chaque arête d'un tétraèdre, puis par cette arête un second plan faisant avec une des faces du tétraèdre, qui se coupent suivant cette arête, un angle égal à celui que le premier plan fait avec l'autre face, les six plans ainsi menés par les six arêtes respectivement, se couperont en un même point O'; Les pieds des perpendiculaires abaissées des deux points O, O' sur les quatre faces du tétraèdre, seront
points O, O' sur les quatre faces du tétraèdre, seront huit points situés sur une même sphère, ayant son centre au milieu des deux points O, O'. Si le point O se meut sur un plan, le point O' aura pour lieu géométrique une surface du troisième degré. Si d'un point pris arbitrairement dans l'espace, on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces d'un tétraèdre, puis, que de chaque sommet on mène une perpendiculaire sur le plan déterminé par les pieds des perpendiculaires aux trois faces qui passent par ce sommet, ces quatre nouvelles perpendiculaires passeront par un même point.
sommet, ces quatre nouvelles perpendiculaires passeront par un même point. Tous les paraboloïdes de révolution tangents aux quatre faces d'un tétraèdre, ont leurs foyers situés sur une surface du troisième degré. D'où l'on conclut que : Le point de l'espace qui jouit de la propriété, que les pieds des perpendiculaires abaissées de ce point sur les quatre faces d'un tétraèdre, soient dans un même plan, a pour lieu géométrique une surface du troisième degré. Le paragraphe 8, intitulé : Surfaces de révolution ayant un foyer commun; nouvelle manière de démontrer les propriétés des surfaces de révolution, contient douze propositions dont
les propriétés des surfaces de révolution, contient douze propositions dont plusieurs sont relatives aux propriétés de deux surfaces de révolution qui ont un foyer commun; on fait voir que ce foyer est toujours un centre d'homologie des deux surfaces. D'après cela, si une sphère a pour centre le foyer d'une surface de révolution, ce point est le centre d'homologie de ces deux surfaces. Ce théorème offre une seconde méthode facile pour démontrer les propriétés des surfaces de révolution; quelques propositions démontrées par ce moyen prouvent combien il offre de ressources. Ce paragraphe est terminé par une note où se trouve
Ce paragraphe est terminé par une note où se trouve cette proposition : Deux coniques dont chacune est le lieu des foyers de l'autre, étant vues d'un point quelconque de l'espace, paraissent toujours se couper à angles droits. IIIe PARTIE. — Quelques propriétés générales des surfaces du second degré, et construction des directions des lignes de courbure des surfaces du second degré. Cette troisième partie est divisée en deux paragraphes. Dans le premier, on donne plusieurs propriétés des surfaces du second degré, dont il a été fait usage dans la seconde partie du mémoire. Nous citerons les suivantes : Quand
seconde partie du mémoire. Nous citerons les suivantes : Quand on fait passer deux cônes par deux sections planes d'une surface du second degré, le plan polaire du sommet de l'un de ces cônes, par rapport à la surface, passe par le sommet de l'autre cône et par la droite d'intersection des plans des deux courbes. Quand par deux sections planes d'une surface du second degré qui se coupent en un point, on fait passer deux cônes, les droites qui vont de ce point aux sommets des cônes, sont deux tangentes conjuguées de la surface. Deux cônes circonscrits à une
tangentes conjuguées de la surface. Deux cônes circonscrits à une surface du second degré, se coupent suivant deux courbes planes dont les plans sont respectivement les plans polaires des sommets des deux cônes, qu'on peut faire passer par les courbes de contact des cônes circonscrits. Quand deux cônes sont circonscrits à une surface du second degré, si leurs courbes d'intersection se coupent, les tangentes à ces courbes en un de leurs points d'intersection, sont deux tangentes conjuguées de la surface. Deux cercles étant tracés sur un cône du second degré, toute arête du cône fait des angles égaux avec les
toute arête du cône fait des angles égaux avec les deux cercles. Le second paragraphe, intitulé : Construction des directions des lignes de courbure d'une surface du second degré, contient dix théorèmes, dont voici les plus importants : Les tangentes aux lignes de courbure d'une surface du second degré en un point, sont les arêtes des deux cônes qu'on peut faire passer par les deux cercles menés sur la surface par ce point. Les tangentes aux lignes de courbure d'une surface du second degré en un point quelconque, divisent en deux également l'angle et le supplément de l'angle des tangentes
deux également l'angle et le supplément de l'angle des tangentes aux deux sections circulaires de la surface menée par ce point. C'est ce théorème qui donne la construction des directions des lignes de courbure d'une surface du second degré. Les sections normales faites en un point d'une surface du second degré, suivant les tangentes aux deux sections circulaires menées par ce point, ont des rayons de courbure égaux. Les tangentes aux deux sections circulaires d'un hyperboloïde à une nappe, menées par un point, font respectivement avec les deux génératrices de l'hyperboloïde, qui passent par ce point, des angles égaux. Dans
l'hyperboloïde, qui passent par ce point, des angles égaux. Dans tout hyperboloïde à une nappe, le produit des sinus des angles que chaque génératrice fait avec les plans des sections circulaires est constant. Tout plan mené par deux arêtes d'un cône du second degré, coupe les deux plans fixes auxquels sont parallèles les plans des sections circulaires du cône, suivant deux droites qui font respectivement avec les deux arêtes des angles égaux. Tout plan tangent à un cône du second degré, fait avec les plans des sections circulaires deux angles, dont la somme ou la différence est constante. Chaque arête
dont la somme ou la différence est constante. Chaque arête d'un cône du second degré, fait avec les plans des sections circulaires, des angles, dont le produit des sinus est constant. L'enveloppe des bases de tous les triangles sphériques qui ont l'angle au sommet commun et même surface, est une conique sphérique. ASTRONOMIE. 9. MÉMOIRE SUR LA COMÈTE PÉRIODIQUE de 6 ans 4 ; par M. DAMOISEAU. (Mém. de l'institut, Acad. roy. des sciences; Tome VIII, p. 215-220. Cette comète fut découverte par M. Biel, le 27 février 1826, à Josephstadt en Bohême, et par M. Gambart, à Marseille, le
Josephstadt en Bohême, et par M. Gambart, à Marseille, le 9 mars. Elle fut ensuite observée, depuis le 10 mars, à Göttingen, par M. Harding à Altona, par M. Clausen, et successivement dans presque tous les observatoires de l'Europe, et disparut vers le commencement de mai. On entrevit, par le calcul des orbites paraboliques, que les éléments de la nouvelle comète, avaient une grande ressemblance avec ceux des comètes de 1772 et 1806. MM. Clausen et Gambart, après quelques essais, ont trouvé, chacun séparément, une ellipse qui représente les observations assez exactement pour ne laisser aucun doute sur l'identité de
assez exactement pour ne laisser aucun doute sur l'identité de ces 3 comètes. M. Damoiseau a rapporté dans son mémoire les éléments de ces ellipses calculés par ces deux astronomes. Il a déterminé les perturbations que la comète a éprouvées et doit éprouver par l'action de différentes planètes, et en partant des éléments de M. Gambart, il a obtenu les éléments suivants pour 1832 : Passage au périhélie en 1832, novembre 27,4808 temps moyen au méridien de Paris, compté de minuit, Longitude du périhélie 109°.56'.45" Longitude du nœud ascendant. 148.12. Inclinaison 13. 13. 13 Excentricité.... 0,7517481 Demi-grand axe. 3,53683 Il
Inclinaison 13. 13. 13 Excentricité.... 0,7517481 Demi-grand axe. 3,53683 Il y a joint une éphéméride pour faciliter la recherche de la comète lors de sa réapparition. C. S. MÉTHODE DE RÉDUIRE LES DISTANCES APPARENTES DE LA LUNE EN DISTANCES RÉELLES ; par l'académicien SCHUBERT. (Zapiski izdavaîémouya gossoudarstvennogo imèe admiraltyiskim departamentomme.— Mémoires publiés par le département impérial de l'Amirauté; Tom. XI, p. 1-42. St.-Pétersbourg, 1826. ) Le passage d'une planète sur le soleil, ou l'interception d'une étoile fixe par la lune, sont des phénomènes qui donnent avec la plus grande exactitude la longitude du lieu où ils sont observés. Ce moyen
la longitude du lieu où ils sont observés. Ce moyen de détermination n'est malheureusement ni si utile ni si commode sur mer que sur terre, par un grand nombre de raisons : 1° Ces phénomènes sont très-rares, et ne permettent qu'une ou deux observations, l'entrée et la sortie; tandis qu'il faut aux navigateurs des phénomènes qui se renouvellent à chaque instant, et dont l'observation se répétant un grand nombre de fois, puisse amener le résultat le plus exact. 2° Le mouvement du vaisseau empêche d'observer les entrées et les sorties avec toute l'exactitude voulue. Le navigateur se borne ordinairement à
avec toute l'exactitude voulue. Le navigateur se borne ordinairement à employer le sextant à réflexion, dont la lunette est trop imparfaite pour observer les interceptions. 3° Le calcul de ces observations est si long et si compliqué que les navigateurs, accablés de plusieurs autres occupations, ne peuvent l'entreprendre, eussent-ils même toutes les connaissances astronomiques requises pour s'y livrer. 4° Après avoir fait l'observation et le calcul d'une interception, on ne peut cependant rien conclure sur la véritable longitude d'un endroit, puisque l'on n'a pas en même temps les observations faites sur le même phénomène dans un autre lieu, dont la
sur le même phénomène dans un autre lieu, dont la longitude est connue. Le navigateur, ne pouvant recevoir ses observations correspondantes avant la fin de son voyage, et se trouvant dans la nécessité de connaître la longitude de son vaisseau immédiatement après l'observation, il est évident que les passages des planètes sur le soleil, les interceptions des étoiles par la lune, et les éclipses de soleil et de lune, ne présentent aucun avantage à la navigation, malgré toute l'utilité dont elles sont pour la géographie. Le navigateur se borne donc aux éclipses des satellites de Jupiter, aux chronomètres et aux
aux éclipses des satellites de Jupiter, aux chronomètres et aux distances de la lune. Les observations des premières, ne donnant que peu d'exactitude, ne sont presque plus employées dans la navigation. Les chronomètres sont un moyen beaucoup plus simple, lorsque la marche en est régulière, ou bien lorsque le navigateur est pourvu d'un grand nombre de montres dont il peut corriger les erreurs en prenant un juste milieu entre elles. Mais la marche des meilleures montres ou pendules devant être de temps en temps vérifiée par les observations astronomiques, et le navigateur ne pouvant, dans un voyage de long cours,
le navigateur ne pouvant, dans un voyage de long cours, s'en rapporter uniquement aux chronomètres, il est presque toujours forcé de recourir aux distances de la lune, qui, toutes, se trouvent calculées dans l'Almanach de la marine. Ces observations qui lui indiquent la longitude de quart d'heure en quart d'heure, il peut les faire tous les jours et à toute heure, à l'exception de cinq ou six jours vers l'époque de la nouvelle lune. Mais comme chaque observation peut se trouver défectueuse, le navigateur ne doit pas se borner à une seule; il doit la réiterer autant de fois que
une seule; il doit la réiterer autant de fois que le temps et les circonstances le permettent, afin d'en obtenir le résultat moyen le plus certain. Pour arriver à ce but, et calculer le plus grand nombre possible de distances lunaires, il est nécessaire qu'il emploie un calcul dont la simplicité paraît s'allier à la plus grande exactitude. Ce moyen a été trouvé par M. Horner, célèbre astronome qui a fait le voyage autour du monde avec M. Krusenstern, et voici, d'après M. Schubert, les avantages qu'il présente sur les autres, sous le rapport de l'exactitude. Lorsqu'on a pris une
autres, sous le rapport de l'exactitude. Lorsqu'on a pris une distance de la lune au soleil, ou à une étoile quelconque, il est nécessaire de réduire cette distance apparente en la distance réelle, qui, dans le même moment, aurait été prise du centre de la terre. Cette opération, connue sous le nom de réduction, dépendant de la réfraction et de la parallaxe, suppose déjà connues les élévations des deux corps célestes, d'où dépendent les réfractions et les parallaxes. Il faut donc, en même temps, outre les distances, observer aussi les élévations, ce qui amène à résoudre le problème suivant :
élévations, ce qui amène à résoudre le problème suivant : d'après la distance connue de deux astres, et leurs élévations apparentes ou variables par la réfraction et la parallaxe, trouver la distance véritable. à l'affranchir de toute influence de réfraction et de parallaxe. De tous les moyens tendant à résoudre cette question de la manière dont elle vient d'être posée, le plus connu, comme aussi le plus simple et le plus exact, est celui de Borda; ses formules se calculent facilement d'après les logarithmes, et il ne se trouve presque jamais plus d'une seconde d'erreur. Avec un peu de pratique,
jamais plus d'une seconde d'erreur. Avec un peu de pratique, il est aisé de terminer cette opération en dix minutes; et tout navigateur tant soit peu familiarisé avec les formules trigonométriques, fera toujours mieux de suivre la méthode de Borda que d'avoir recours aux tables qui ont été composées pour éviter du travail aux marins, et leur épargner la fatigue des calculs trigonométriques. L'autre moyen consiste à calculer, au lieu de la distance réelle même, les différences entre elle et la distance apparente, ou bien la rectification qu'il appartient de faire de cette dernière, pour la réduire ensuite en distance
faire de cette dernière, pour la réduire ensuite en distance réelle. Comme cette rectification n'entraîne pas un long travail, et que la différence se trouve toujours fort peu considérable, il est sans doute beaucoup plus certain de chercher cette petite différence que de calculer la distance elle-même qui, dans certains cas, peut être la même que la distance apparente. Cependant l'expression de cette rectification étant une progression composée d'un grand nombre de membres assez compliqués, on s'est contenté d'en calculer la partie principale, et d'en exposer les résultats dans des tables particulières. Ces tables ne peuvent donc fournir la grandeur