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conditions nécessaires pour que la somme d'une série de Taylor se prolonge en dehors de son disque de convergence. On indique une méthode pour trouver le prolongement d'une telle fonction. 1. INTRODUCTION. — Nous conservons les notations de notre Note précédente (1). L'ensemble ouvert A contenu dans le corps valeur K est dit analytique si tout élément analytique sur A, nul au voisinage d'un point de A est nul dans A. On trouvera dans (2) une caractérisation géométrique des ensembles analytiques et quelques propriétés de ceux-ci. Les ensembles analytiques sont semi-connexes, on peut donc leur appliquer les résultats de (1).
semi-connexes, on peut donc leur appliquer les résultats de (1). Enfin les quasi-connexes sont analytiques (3). Soit une fonction analytique f définie au voisinage d'un point de K qu'on supposera être 0 pour simplifier. On dira que \(f\) se prolonge analytiquement au point \(y\) s'il existe un ensemble analytique \(A\) contenant \(0\) et \(y\) et un élément analytique \(g\) sur \(A\) coïncidant avec \(f\) au voisinage de \(0\). \(A\) étant choisi, \(g\), s'il existe, est entièrement déterminé par la donnée de \(f\). Le prolongement \(g(y)\), obtenu en \(y\), peut dépendre de l'ensemble analytique choisi ; par contre, si \(A\) est
de l'ensemble analytique choisi ; par contre, si \(A\) est pris quasi-connexe, \(g(y)\) ne dépendra pas du quasi-connexe choisi (principe du prolongement analytique uniforme). Au voisinage de \(0\), \(f\) se développe en série de Taylor. La somme de cette série définit un prolongement de \(f\) dans son disque de convergence \(D\). Le problème est donc de savoir si \(f\) se prolonge en dehors de \(D\). 2. CRITÈRES DE NON-PROLONGEMENT. PROPOSITION 1. — Si \(f\) se prolonge analytiquement en dehors de son disque de convergence \(D\), \(f\) est un élément analytique sur \(D\). Dans le cas où on s'intéresse à un
sur \(D\). Dans le cas où on s'intéresse à un prolongement sur un quasi-connexe, ce théorème est dû à M. Krasner. Cette série entière. On établit des conditions nécessaires que doivent vérifier les coefficients \(a_n\) d'un élément analytique sur \(D\), ce qui, par application de la proposition 1, nous donne des critères de non-prolongement. G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 831 Trois cas se présentent : 1. \(f\) est un élément analytique sur \(D\). On sait qu'il n'existe alors pas de prolongement de \(f\) sur un quasi-connexe \(A\) (3). Mais la situation est
\(f\) sur un quasi-connexe \(A\) (3). Mais la situation est différente lorsqu'on cherche à prolonger \(f\) sur un ensemble analytique. Exemple. — Soient \(a_n \in \mathbb{K}\) tels que \(|a_n|\rightarrow 0\) en décroissant strictement. Soient \(p_n \in \mathbb{R}\) tels que \(p_n = 0\) produit infini \(I \{x-n\}(x-a_n)\) converge uniformément sur \(A\) vers un élément analytique \(f\). On vérifie que \(r\) est le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) en \(0\), et que \(lim |a_n|^n = 0\). Alors \(f(x)\) n'est pas bornée sur \(D\) et n'est donc pas un élément analytique sur \(D\). tricement en dehors de \(D\).
un élément analytique sur \(D\). tricement en dehors de \(D\). DÉFINITION. — Le sous-ensemble \(J\) de \(\mathbb{N}\) est dit lacunaire si, quel que soit \(T \in \mathbb{N}\), il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(J_n [N, N + T) = 0\). THÉORÈME 2. — Supposons que \(lim |a_n|^n = 0\). Soit \(J\) (resp. \(I\)) l'ensemble des \(n\) tels que \(a_n r^n = 0\) (resp. \(|a_n|^n > 0\)). Si \(J\) est lacunaire ou si \(I\) n'est pas borné, \(f\) ne se prolonge pas analytiquement en dehors de \(D\). C'est en particulier le cas si \(r\) n'appartient pas au groupe des valeurs.
le cas si \(r\) n'appartient pas au groupe des valeurs. prolongent pas analytiquement en dehors de \(D = \{ x : |x| < 1\}\). 832 — Série A C. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) 2° Soit \(K\) de caractéristique nulle avec un corps de restes \(k\) de caractéristique \(p\). Soit \(f(x) = e^x = 2^n/n!\). On trouve \(J\) est lacunaire. \(f(x)\) ne se prolonge pas analytiquement en dehors de \(D\). On peut améliorer ces résultats lorsqu'on fait des hypothèses supplémentaires sur \(K\). On suppose que le corps de restes \(k\) est de caractéristique \(p\) et que,
corps de restes \(k\) est de caractéristique \(p\) et que, dans \(k\), tout élément est une racine de l'unité. Ces conditions sont réalisées dans le cas de clôture algébrique de \(\mathbb{Q}_p\), complété de \(\mathbb{Q}\) pour la valuation \(p\)-adique. THÉORÈME 3. — Soient \(K = \mathbb{K}\) un élément analytique sur \(D = \{ x : |x| < 1 \}\) et un nombre réel positif. Il existe \(n_0\) et \(m\) tels que pour \(n > n_0\), on ait \(|a_{n+m} - a_n| < X\). Ce dernier résultat est à rapprocher d'un résultat de F. Bertrandias sur les coefficients de Taylor d'une fraction rationnelle
F. Bertrandias sur les coefficients de Taylor d'une fraction rationnelle ("). 3. MÉTHODE DE PROLONGEMENT. — Nous dirons que le domaine de convergence est fermé si \(lim |a_n|^n = 0\), et sinon nous dirons qu'il est ouvert. Les cas suivants se présentent : a. Le disque de convergence \(D\) est fermé [c'est le cas vu en 2 (i)]. Il n'existe alors pas de prolongement de \(f\) sur un quasi-connexe. Nous ne connaissons pas de critère assurant si \(f\) se prolonge en dehors de \(D\), ni de méthode permettant d'en obtenir le prolongement éventuel. b. Le disque de convergence \(D\) est
le prolongement éventuel. b. Le disque de convergence \(D\) est ouvert. (i) \(f\) n'est pas un élément analytique sur \(D\). Alors \(f\) ne se prolonge pas en dehors de \(D\) (proposition 1). Le paragraphe 2 donne des conditions suffisantes pour que cette situation se produise. (ii) \(f\) est un élément analytique sur \(D\). Alors \(r\) appartient au groupe des valeurs (théorème 2) ; les trous de \(D\) sont donc, d'une part le trou de centre \(T_M = \{ x : |x| > r \}\), d'autre part les trous \(T_i = \{x : x - a_i < r\}\) avec \(a_i =
\{x : x - a_i < r\}\) avec \(a_i = r\), \(j = a_j = r\) pour \(i \ne j\). D'après le théorème de Mittag-Leffler ('), on a pour \((D)\) la somme étant effectuée sur les \(T\). \(T\) est un élément analytique sur \(D\); \(f\) se prolonge donc dans \(T\) si et seulement si \(f_T\) se prolonge dans \(T\). Prolongement de \(fr\) dans \(T\). — On développe \(fr\) en série de Taylor autour de \(0\) si \(T = T_M\), et en série de Laurent autour de \(a_i\) si \(T = T_i\). (Dans le cas où le corps de restes de
T_i\). (Dans le cas où le corps de restes de \(K\) est dénombrable, on a un procédé pour calculer les coefficients du développement en série de \(fr\) à partir de ceux de \(f\).) Lorsque le domaine de convergence de la série de Taylor (resp. de Laurent) de \(fr\) est \(T\), ce domaine est fermé et on ne peut rien dire sur le prolongement de \(ft\) (cas a). Autrement on a obtenu un prolongement de \(f_T\) donc de \(f\). Pour trouver alors un prolongement de \(f_T\) en dehors du domaine de convergence de sa série, on lui applique la même méthode
convergence de sa série, on lui applique la même méthode qu'à \(f\). Tout ce que l'on a dit sur les séries entières s'applique, moyennant des changements évidents, aux séries de Laurent. Remarques. — Si l'on s'intéresse au prolongement sur un quasi-connexe, le processus s'arrête lorsque la série de Taylor (resp. de Laurent) n'est pas un élément analytique dans son domaine de convergence ou a un domaine de convergence fermé. Lorsque f se prolonge au point y sur un quasi-connexe, ce prolongement est obtenu en un nombre fini d'étapes. Séance du 28 février 1972. (1) P. ROBBIA, Comptes rendus, 274, série
28 février 1972. (1) P. ROBBIA, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 532. (2) E. MOTZKIN et P. ROBBIA, Prolongement analytique en analyse p-adique (Séminaire de théorie des nombres, Bordeaux, 1968-1969) (Polycopié). (3) M. KHASNER, Prolongement analytique uniforme et multiforme dans les corps values complets (Colloques internationaux du C. N. R. S. : Les tendances géométriques en théorie des nombres [143, Clermont-Ferrand, 1964], p. 97-141. (4) F. BERTRANDIAS, Séries de Taylor à coefficients rationnels. {Séminaire Delange-Pisoi, 1962-1963) (Polycopié). 138, rue Nationale, 75-Paris, 13e. 834 — Série A G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE MATHÉMATIQUE.
Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Quelques résultats d'analyse harmonique concernant les algèbres Ap et Bp. Note (*) de M. IDRISS KHAML, présentée par M. Jean Leray. On énonce quelques propriétés concernant : 1° les rapports entre les algèbres Bp (R) et BP(Z); AP(R) et AP(Z); Mp (R) et M,(Z); 2° les multiplicateurs de 9 L,P qui tendent vers zéro à l'infini; 3° les algèbres de restrictions Bp (E). De plus, on obtient un résultat de synthèse harmonique relativement à l'algèbre Ap du groupe (non commutatif) des transformations linéaires affines de la droite. NOTATIONS. —
commutatif) des transformations linéaires affines de la droite. NOTATIONS. — Si G est un groupe localement compact, et si 1 < p < on considère les espaces Ap (G), Bp (G) et C:VP (G). On note PFP (G) l'adhérence de L1 (G) dans l'espace de Banach CVP (G), Si G est abélien, de groupe dual T, on note Mp (G) l'espace de Banach des multiplicateurs des transformées de Fourier de fonctions de Lp (r), et DKP (G) la fermeture de A (G) dans Mp (G). On note la masse unité au point x. 1. RAPPORT ENTRE CERTAINES ALGÈBRES SUR R
au point x. 1. RAPPORT ENTRE CERTAINES ALGÈBRES SUR R ET SUR Z. — Soit f une fonction définie sur R. Pour tout réel X, on note f la fonction définie sur Z par THÉORÈME 1. — Soit u une fonction continue et bornée sur R, et soit c une constante positive. Les deux assertions suivantes sont équivalentes : 1° u appartient à Bp (R) et 2° Pour tout nombre réel X > 0, la fonction u appartient à Bp (Z) et Sup > THÉORÈME 2. — Le même énoncé est valable en remplaçant partout les Bp par les Mp.
est valable en remplaçant partout les Bp par les Mp. Nous ne sommes pas parvenus à prouver l'énoncé analogue au théorème 1, où l'on remplacerait les Bp par les Ap. Néanmoins nous obtenons le résultat partiel suivant : PROPOSITION 1. — Soit T une pseudo-mesure sur R à support compact. On suppose que : Alors T appartient à PFq (R), où (1/p) + (1/q) = (3/2). Faisant p = 2 dans la proposition 1, on obtient que, si u est une fonction continue bornée sur R à spectre compact telle que, pour tout X > 0, on ait U G
que, pour tout X > 0, on ait U G A (Z) et telle que alors u appartient à A (R). Les démonstrations des théorèmes 1 et 2 reposent essentiellement sur l'idée d'approximation des intégrales par des sommes de Riemann, ainsi que sur une estimation, pour X suffisamment petit, de la norme dans Mp (R) d'une fonction de la forme où (R) est à support compact. En appliquant le théorème 1, on peut préciser un résultat de N. Lohoué(2). Soit u une fonction continue et bornée sur R. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1° u appartient à Bp
conditions suivantes sont équivalentes : 1° u appartient à Bp (R) ; 2° Sup où la borne supérieure est étendue à tous les systèmes finis de nombres complexes Ci, et de progressions arithmétiques x1 G R, telles que 2. CARACTÉRISATION DE mp (G) DANS MP (G). THÉORÈME 3. — Soit G un groupe abélien localement compact, de dual T. Soit u G Mp (G), les trois assertions suivantes sont équivalentes : (i) u appartient à mp (G) ; (ii) lim u lim y u — u (iii) lim Ex u — = 0 et : pour tout > 0, il
— = 0 et : pour tout > 0, il existe un compact K de G tel que, pour toute fonction f continue sur G et à support compact disjoint de K, on ait Ce critère permet, par exemple, de retrouver un résultat de L. Hörmander (3) selon lequel, pour 1 < p < q < 2, on a l'inclusion où C5o désigne l'espace des fonctions continues qui tendent vers zéro à l'infini. De plus, pour 1 < p < 2 et 2 p/(3 p — 2) < q < 2, il fournit l'inclusion topologique : Bp < S0 C
2, il fournit l'inclusion topologique : Bp < S0 C 3lq, ce qui précise un résultat de L. S. Hahn (4) 3. SUR LES RESTRICTIONS DES FONCTIONS DE Bp (R). — Soit E G R. On cherche une condition suffisante, de type Bochner-Schoenberg, d'appartenance à Bp (E). C'est ce qui a été fait par Krein (5), pour p = 2, quand E est un intervalle, et plus généralement par H. P. Rosenthal (6), pour p = 2, quand E est un ensemble de mesure positive au voisinage de chacun de ses éléments. Citons aussi le résultat de Y. Meyer (7),
ses éléments. Citons aussi le résultat de Y. Meyer (7), pour p = 2, quand E est un ensemble de Cantor avec un rapport de dissection égale à l'inverse d'un nombre de Pisot. Nous généralisons le résultat de Rosenthal comme suit. THÉORÈME 4. — Soit E une partie fermée de R. Supposons que, pour tout S G E, et tout intervalle ouvert Ix de centre x, la mesure de Ix E soit non nulle. Soit c une constante positive. Soit \(p\) une fonction mesurable bornée définie dans \(E\). Les assertions suivantes sont équivalentes : 1° \(Ci(x) - C, pour tous
suivantes sont équivalentes : 1° \(Ci(x) - C, pour tous les systèmes finis de nombres complexes \(Ci\) et de nombres réels \(Xi \in E\) tels que \(\sum Ci < 1\); 2° Il existe une fonction appartenant à \(B_p(R)\) telle que \(\| c \|\) et telle que \((x) = (x)\) pour presque tout \(x \in E\). 4. UN RÉSULTAT DE SYNTHÈSE SPECTRALE. — \(G\) désigne maintenant le groupe des transformations \(g(a, b) : x \mapsto ax + b\) de \(R\) dans \(R\), où \(a > 0\) et \(b\) sont des nombres réels. Soit \(H\) le sous-groupe (non distingué, et non compact)
réels. Soit \(H\) le sous-groupe (non distingué, et non compact) de \(G\) formé des \(g(a, 0)\), où \(a > 0\). Nous obtenons le résultat suivant : THÉORÈME 5. — Soit \(1 < p < \infty\). Alors \(H\) est un ensemble de synthèse pour l'algèbre \(A_p(G)\). Soient \(\rho_1\) et \(\rho_2\) les deux représentations continues unitaires irréductibles de dimension infinie de \(G\) dans \(L^2(H)\). En utilisant le fait que \(H\) est dense, au sens de la topologie de Fell, dans \(G\), on se ramène à prouver que si \(S\) est une pseudo-mesure à support compact contenu dans \(H\), et si \(p_1\) et
à support compact contenu dans \(H\), et si \(p_1\) et \(p_2\) sont dans \(L^2(H)\), on a : \(\langle S, p_1 \rangle = \langle S, p_2 \rangle = 0\) où \(p_1(g) = p_2(g)\) oui vaut 1 et qui vaut zéro sinon. On peut montrer de façon précise que \(\| p_1 - p_2 \|_2 \leq 2 \|S\|_1 \|p_1 - p_2\|_\infty\) et l'identité s'en déduit en faisant tendre vers zéro. L. S. HAHN, Trans. Amer. Math. Soc, 128, p. 321. J. P. KAHANE, Séries de Fourier absolument convergentes, Springer-Verlag, Berlin, 1970, p. 44-47. H. P. ROSENTHAL, Pacif. J. Math., 23, 1967, p. 403-418.
H. P. ROSENTHAL, Pacif. J. Math., 23, 1967, p. 403-418. Y. MEYER, Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, 3, fasc. 1, 1970. Herz vient de nous communiquer qu'il a prouvé plus généralement que tout sous-groupe moyennable d'un groupe localement compact \(G\) est un ensemble de synthèse pour \(A_p(G)\). Néanmoins notre démonstration, spécialement adaptée à notre cas particulier, pourrait avoir son intérêt propre. J. M. G. FELL, Canad. J. Math., 1962, p. 237-268. Institut Élie Cartan, Université de Nancy I, Case officielle n° 72, M-Nancy, Meurthe-et-Moselle. C. R. Acad. Se. Paris, t. 274(6 mars 1972) Série A — 837 ANALYSE
Paris, t. 274(6 mars 1972) Série A — 837 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Points extrémaux des familles de fonctions univalentes. Note de MM. WALTEH HENGARTNER et GLENN SCHOBER, transmise par M. Henri Cartan. Soit \(S^2\) une partie compacte dans l'ensemble \(H(D)\) de fonctions analytiques dans un domaine \(D\) muni de la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de \(D\). Une fonction est dite un point extrémal si \(f\) ne peut s'écrire sous forme de combinaison convexe propre d'autres éléments de \(S\). On désignera par \(E\) l'ensemble de points extrémaux de \(S\). Il est bien connu que \(E\) est
extrémaux de \(S\). Il est bien connu que \(E\) est non vide et que pour chaque fonctionnelle linéaire continue \(L\) sur \(H(D)\) il existe une \(\bar{f}\) telle que \(L(f) = L(\bar{f})\). THÉORÈME 1. — Soit \(CH(D)\) la partie compacte des fonctions univalentes telle que \(f(p) = q\) et \(f'(p) = 1\) où \(p \in D\) et \(q \in C\) sont fixés. Si \(f \in E\) alors \(f(D) = C\) et chaque composante connexe de \(af(D)\) est, soit un point, soit un arc de Jordan qui rencontre chaque cercle \([w : |w - q| = r}\), \(r > 0\), tout au
|w - q| = r}\), \(r > 0\), tout au plus en un point. De plus, dans ce cas, une composante seulement est non bornée. L. Brickman a démontré ce théorème dans le cas particulier où \(D = \{ z : |z| < 1 \}\), \(p = q = 0\) et \(f'(0) = 1\). En modifiant cette démonstration pour une composante connexe de \(df(D)\), le théorème 1 est établi. THÉORÈME 2. — Soit \(DH(D)\) la partie compacte formée des fonctions univalentes telle que \(f(p) = p\) et \(f(q) = q\) où \(p, q\) sont fixés dans \(D\). Si alors \(f(D)
où \(p, q\) sont fixés dans \(D\). Si alors \(f(D) = G\) et chaque composante connexe de \(df(D)\) est, soit un point, soit un arc de Jordan qui rencontre chaque ellipse de foyers \(p\) et \(q\), au plus en un point, et une composante seulement est non bornée. Démonstration. — Soit \(f \in E\) et soient \(a\) et \(b\) deux points différents dans une même composante connexe de \(af(D)\). On peut donc choisir \([(w - a) (w - b)]^{1/2} = (w)\) comme une fonction analytique dans \(f(D)\). En posant Cette dernière équation est satisfaite si \(p\) et \(q\) sont liés
dernière équation est satisfaite si \(p\) et \(q\) sont liés sur une ellipse avec les foyers \(p\) et \(q\). THÉORÈME 3. — Soit \(S\) l'ensemble de fonctions analytiques et injectives dans \(\{ z : |z| < 1 \}\) normalisées par \(f(0) = 0\) et \(f'(G) = 1\). Si \(f \in E S\), alors \(2. [f(z) z]. [z. f'(0)]^{1/2} \in S\). Esquisse de la démonstration. — \(f\) étant de caractéristique de Nevanlinna bornée, log \(if(z)\) possède une représentation de Herglotz. En ajoutant une transformation de Möbius dans le z-plan, on déduit de (3) que log \((f/z)\) est univalente et que l'intersection
de (3) que log \((f/z)\) est univalente et que l'intersection de l'image \([\)log \((f/z)\) \(\}\) avec une droite verticale est un intervalle de longueur plus petite que 2, \(\pi\). Donc \((f/z)\) est univalente. W. H. : Département de Mathématiques, Université Laval, Québec 10, Canada; G. S. : Indiana University, Bloomington, Indiana, U. S. A. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 839 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Intégrales normales et mesures paramétrées en calcul des variations. Note (*) de MM. HENRI BERLIOCHI et JEAN-MICHEL LART, transmise par M. Henri Cartan. On introduit certains convexes compacts de
par M. Henri Cartan. On introduit certains convexes compacts de mesures et une classe de fonctions dont l'étude nous permet d'établir un résultat de relaxation en calcul des variations. Donnons d'abord un énoncé du théorème de Scorza-Dragoni (13) avec des hypothèses plus faibles que celles de Castaing (3). La démonstration peut se faire par des méthodes élémentaires. THÉORÈME 1. — Soit X (resp. Y, resp. Z) un espace topologique quelconque (resp. à base dénombrable, resp. métrisable séparable). Soit une tribu sur X qui contient les boréliens et m une mesure sur X positive, finie, extérieurement régulière en ce sens que
sur X positive, finie, extérieurement régulière en ce sens que pour tout E G Soit f une application de Carathéodory de X X Y dans Z, c'est-à-dire telle que l'application : x f (x, y) est mesurable pour tout y € Y et que l'application : y -> f (x, y) est continue pour tout x € X. Alors pour tout £ > 0 il existe un fermé F de X tel que m (X — F) < £ et que f restreinte à F x Y est continue. On appelle intégrande positive normale sur X x Y une fonction
appelle intégrande positive normale sur X x Y une fonction de X x Y dans [0 ; +] qui vérifie les quatre propriétés équivalentes du théorème suivant : THÉORÈME 2. — Soient X un espace localement compact polonais, m une mesure de Radon sur X, Y un espace souslinien et f une application de X x Y dans [0, Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) Il existe une suite de fonctions de Carathéodory fn de X X Y dans telle que f (x, y) = Sup fn (x, y) pour presque tout x (p. p. x) ; (b) Pour
pour presque tout x (p. p. x) ; (b) Pour tout compact K de X et, tout £ > 0 il existe un compact K* tel que m (K — K*) < £ et f restreinte à K* x Y est semi-continue inférieure (s. ci.); (c) Il existe une fonction borélienne g de X X Y dans [0, + ∞] telle que pour presque tout x : l'application y -> g (x, y) est s. c. i. et g (x, y) = f (x, y) pour tout y € Y; (d) La multiapplication est mesurable à valeurs fermées (p. p.
(d) La multiapplication est mesurable à valeurs fermées (p. p. x), au sens de Castaing (4). Les intégrandes normales convexes de Rockafellar (10) sont, lorsqu'elles sont positives, des intégrandes positives normales. On trouvera aussi 840 — Série A G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) des propriétés des fonctions d'épigraphes sousliniennes dans Ioffe-Tikhomirov (°) dans le cas où Y est un espace vectoriel topologique. Dans la suite X et Y sont des espaces localement compacts polonais et m (= dx) est une mesure de Radon positive sur X. DÉFINITION 1. — Nous appellerons mesure paramétrée sur X
X. DÉFINITION 1. — Nous appellerons mesure paramétrée sur X x Y une mesure de Radon positive sur X x Y qui se projette sur X selon m. On note M l'espace des mesures paramétrées muni de la topologie vague. Toute intégrande positive normale est u-mesurable pour tout u € M. Si f1, ..., fk sont des intégrandes positives normales sur X x Y on note M sousespaces de M : Pour toute mesure paramétrée [J € M il existe une application mesurable de X dans M| (Y) telle que unique modulo l'égalité m-presque partout [Bourbaki (2)]. DÉFINITION 2. —
unique modulo l'égalité m-presque partout [Bourbaki (2)]. DÉFINITION 2. — On note B l'ensemble des classes d'applications mesurables modulo l'égalité m-presque partout de X dans Y et a l'injection de B dans M définie par THÉORÈME 3. — Soient des intégrandes positives normales sur X x Y telles que quand y tend vers l'infini. (1) L'application [J. H[J(f) est affine s. c. i. de M dans [0, +]; (2) L'espace M (f1, ..., fk) est convexe compact métrisable; (3) Les points extrémaux de M (f1, ..., fk) sont des combinaisons convexes d'au plus (k - 1) mesures appartenant à a
convexes d'au plus (k - 1) mesures appartenant à a (B); (4) Si m est sans atomes, alors ..., fk) est dense dans M(fi,...,fk). La démonstration utilise un théorème de section [cf. Kuratowski (7), Castaing (4'), Valadier (12)], le théorème de Krein-Milman et le théorème de Lyapounov [Lyapounov (8)]. DÉFINITION 3. — Soient f et g deux applications de X x Y dans [−∞, +∞], on dit que g majore intégralement f et on écrit g > f si pour tout > 0 il existe (m) tel que PROPOSITION 2. — Soit f une fonction borélienne de X x Y
— Soit f une fonction borélienne de X x Y dans [−∞, +∞] telle que l'application y f' (x, y) est s. c. s. pour presque tout x. Soit g une intégrande positive normale sur X x Y telle que f+ = Sup (0, f) g. Alors G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A—841 pour tout, on a et l'application (f) est s. c. s. de M (g) dans PROPOSITION 3. — Soit f une intégrande positive normale sur X x Rk; Dans la suite, on suppose Y = Rk. COROLLARY. — Soit g une
on suppose Y = Rk. COROLLARY. — Soit g une intégrande positive normale sur X x Rk telle que g > II, où Pour on peut définir R*) par L'application est continue de M (g) dans L1 (X, m, Rk) faible. Du théorème 3 et de la proposition 3 on déduit un résultat de relaxation : THÉORÈME 4. — On suppose la mesure m (= dx) sans atomes. Soient f une fonction de Carathéodory de X x (R1 x Rk) dans R et g, g1, ..., gn, h des intégrandes positives normales sur X x Rk telles que : Soit
positives normales sur X x Rk telles que : Soit une application continue de faible dans hp (X, R') fort, où On considère les problèmes : Le problème relaxé (PR) a une solution optimale et le minimum de (PR) est égal à la borne inférieure du problème original (PO). De toute suite minimisante de $(PO)$ on peut extraire une sous-suite qui converge vaguement (c'est-à-dire dont l'image par $a$ converge dans $M$) vers une solution optimale de $(PR)$. LEMME. — Soient $f$ une fonction de Carathéodory de $X \times (R' \times RA)$ à valeurs dans $R_+$, $g$ une intégrande positive normale