jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
+ 1)-saturée] ; plus généralement, nous allons donner un critère d'existence d'une n-préhomogène montrant que lorsqu'une théorie (n + 1)-complète possède un modèle (n + 1)-universel elle possède une n-préhomogène. 5.3. Théorie (n + 1)-atomique. 5.3.1. (n + 1)-atome. Soit T une théorie de ; nous dirons qu'une formule F (x1, ..., xm) de 2n+1 est un n + 1-atome de T lorsque : 1° F est consistante avec T; 2° pour toutes les formules G1 (x1, ...,xm), et G2 (x1, ...,xm) de Thn+1 telle que FG et F / G2 sont consistantes avec T, alors G1 / G2 est
G2 sont consistantes avec T, alors G1 / G2 est consistante avec T. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 817 xm de 2n+1 consistants avec F dans T est un m-type en 2n+1 maximal dans T. Il s'ensuit que ce m-type maximal contient tous les m-types en 2n+1 contenant F et donc ce m-type n'est pas contenu dans la réunion des autres m-types en 2n+1 maximaux dans T. Réciproquement si un m-type en 2n+1 maximal dans T n'est pas contenu dans la réunion des autres m-types en maximaux dans T, il contient un
des autres m-types en maximaux dans T, il contient un n + 1-atome (nécessairement non contenu dans les autres m-types maximaux). Nous dirons qu'un m-type en est atomique lorsqu'il contient un (n + 1)-atome. Nous dirons qu'une théorie est (n + 1)-atomique lorsque chaque formule de consistante avec T est contenue dans un type atomique. Nous dirons enfin qu'un modèle de T est (n + 1)-atomique lorsque tous ses m-types en 2n+1 sont atomiques. Pour n = 1 on retrouve les notions classiques de types, théorie et modèle atomiques. Pour une théorie T quelconque; un modèle dénombrable, (n + 1)-atomique
une théorie T quelconque; un modèle dénombrable, (n + 1)-atomique et ayant ses m-types en 2n+1 maximaux dans T est n-préhomogène. Réciproquement si T est n-filtrante, alors un modèle n-préhomogène ayant son 0-type en 2n+1 maximum dans T est (n + 1)-atomique. En particulier, pour une théorie n-filtrante dire qu'un modèle ayant ses m-types en 2n+1 maximaux dans T est (n + 1)-atomique revient à dire qu'il est n-préhomogène. On voit facilement qu'une théorie (n + 1) complète ayant un modèle n-préhomogène [ou même seulement (n + 1)-atomique] est (n + 1)-atomique. Nous allons établir la réciproque. LE THÉORÈME DE
+ 1)-atomique. Nous allons établir la réciproque. LE THÉORÈME DE SVENONIUS-VAUGHT POUR LES THÉORIES N + 1-COMPLÈTES. Il y a équivalence entre : (i) T est (n + 1)-atomique; (ii) T possède un modèle n-préhomogène dont tous les m-types en 2n+1 sont maximaux dans T; (iii) T possède un modèle dénombrable (n + 1)-atomique et ayant son 0-type en 2n+1 maximum dans T. Pour n = w on retrouve le théorème de Svenonius-Vaught. Mais alors que sa preuve utilise le théorème d'Ershenfeucht, nous ne savons pas ici l'appliquer, aussi nous emploierons une méthode d'amalgamation semblable à celle appliquée à notre
emploierons une méthode d'amalgamation semblable à celle appliquée à notre généralisation du théorème de Vaught. Preuve. — Les implications (ii) → (iii) et (iii) → (i) sont évidentes. Quant à (i) → (ii), la « propriété d'amalgamation des types » lemme 1 de permet de construire au moyen de limites inductives de modèles une partie dénombrable d'un modèle B de T possédant les propriétés suivantes : 1° Pour tout m-uple a1, ..., am extrait de CX, alors le m-type en 2n+1, T, de a1, ..., am est maximal et atomique dans T. 2° Pour tout autre (m + 1)-type en
dans T. 2° Pour tout autre (m + 1)-type en 2n+1, T', atomique dans T et contenant T il existe un am+1 dans tel que le m-type en 2n+1 de a1, ..., an+1 (dans B) contienne T'. On montre alors par récurrence sur le nombre d'alternance des quantificateurs des formules que B est une (n + 1)-extension de T. Comme T est n-inductive il s'ensuit que B est un modèle de T, et puisqu'il est (n + 1)-atomique il est n-préhomogène. Applications. Une théorie dénombrable ayant pour chaque m un nombre au plus dénombrable de m-types en 2m+1 maximaux, est
nombre au plus dénombrable de m-types en 2m+1 maximaux, est (n + 1)-atomique. COROLLAIRE. — Si une théorie dénombrable T possède un modèle (n + 1)-universel, alors elle est (n + 1)-atomique. Si de plus elle est n-filtrante et n-inductive alors elle possède un modèle n-préhomogène. CONCLUSION. Nous ignorons si ce modèle est saturé (au sens usuel) dans sa théorie complète; s'il l'est, alors en appliquant les résultats classiques à ce modèle, on retrouve tous les nôtres. Pour retrouver les résultats concernant les théories n-complètes à partir de ceux des théories 1-complètes, on agrandit le langage en lui rajoutant un
théories 1-complètes, on agrandit le langage en lui rajoutant un prédicat rF de poids m pour chaque formule F (x1, ..., xm) de 2n+1 et on agrandit une théorie T de ? en rajoutant les définitions des rF. On s'aperçoit que les notions définies pour n + p + 1 sont transformées en celles définies pour p + 1 [sauf celle de théorie (n + p + 1)-saturée] et donc les résultats obtenus pour n + p + 1 se déduisent de ceux obtenus pour p + 1. Le cas le plus intéressant est celui des théories 1-complètes, il sera
le plus intéressant est celui des théories 1-complètes, il sera étudié dans une prochaine publication. SÉANCE DU 21 FÉVRIER 1972. J. F. PABION, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 529. M. POUZET, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 433. M. POUZET, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 695. Département de Mathématiques, Université Claude Bernard, 43, boulevard du Onze-Novembre 1918, 69-Villeurbanne, Rhône. ALGÈBRE. — Sur une classe d'anneaux semi-simples et un type d'idempotents. Note de MM. NICOLAS FARÈS et IBRAHIM HAGE, présentée par M. René Garnier. Nous allons voir certaines propriétés des anneaux r-semi-simples (semi-simples relativement à la
voir certaines propriétés des anneaux r-semi-simples (semi-simples relativement à la propriété radicale r de régularité au sens de von Neumann [cf. (5), p. 1, (8), (3)] notamment en ce qui concerne les idempotents et le cas d'anneaux artiniens à gauche. INTRODUCTION ET PRÉLIMINAIRES. — La classe des anneaux réguliers n'est pas une classe d'anneaux semi-simples. C'est-à-dire, étant donné un anneau A, il n'existe pas un radical p (A) de A tel que A/p(A) soit régulier. En effet, 61 ne vérifie pas la condition (F) : (F) Si tout idéal non nul d'un anneau A admet une image homomorphe non nulle
nul d'un anneau A admet une image homomorphe non nulle dans , alors A est dans . qui est une condition nécessaire pour que soit la classe des anneaux semisimples relativement à une certaine propriété radicale [(5), p. 5]. Il suffit, pour le voir, de remarquer que tout idéal n Z de Z admet une image homomorphe non nulle qui est un anneau régulier (pour n = 2 considérer 2 Z/(6), pour n>2 considérer nZ/(npi p2 ... pk), où pi, p2, ..., pk sont les facteurs premiers de n — 1). Pourtant est une classe radicale [cf. (8), (3)]. Nous
1). Pourtant est une classe radicale [cf. (8), (3)]. Nous allons désigner par r (A) le radical d'un anneau A relativement à la propriété r de régularité. r (A) est le plus grand idéal (bilatère) régulier de A ; A/r (A) est un anneau r-semi-simple, c'est-à-dire n'admet aucun idéal (bilatère) régulier non nul. Loin de faire une étude de structure des anneaux r-semi-simples [une étude qui serait favorisée par d'autres caractérisations de r (A)], les résultats qui suivent permettent d'avoir d'autres idées sur ce genre d'anneaux. PROPOSITION 1. — Si A est un anneau ayant 0 et 1 comme seuls
A est un anneau ayant 0 et 1 comme seuls idempotents, il est soit r-semi-simple, soit un corps. La réciproque n'est pas vraie même dans un anneau commutatif fini. Soit, en effet, D le demi-groupe multiplicatif { 0, e, a, b, c } défini comme suit : 1° e est l'élément neutre, 0 est le zéro de D ; 2° ab = ba = b, bc = cb = ac = ca = b2 = c2 = 0, a2 = a, et soit A l'algèbre de D sur le corps Z/(2) = {0, 1}. On vérifie que A est r-semi-simple
Z/(2) = {0, 1}. On vérifie que A est r-semi-simple et admet deux idempotents distincts à la fois de 0 et de e (a, e + a). PROPOSITION 2. — Soit A un anneau r-semi-simple et soit e un idempotent central de A. L'idéal A e = e A n'est pas minimal en tant qu'idéal à gauche ou à droite. COROLLAIRE. — Dans un anneau commutatif r-semi-simple tout idéal minimal est de carré nul. PROPOSITION 2'. — Si A est un anneau commutatif artinien et si aucun idempotent primitif de A n'engendre un idéal minimal, alors A est r-semi-simple. Ces
A n'engendre un idéal minimal, alors A est r-semi-simple. Ces deux dernières propositions donnent une condition nécessaire et suffisante pour qu'un anneau commutatif artinien soit r-semi-simple. La proposition 2' est une conséquence d'un résultat plus général sur les anneaux artiniens à gauche; elle permet de penser à un type particulier d'idempotents primitifs. 2. IDEMPOTENTS FORTEMENT PRIMITIFS. ANNEAUX ARTINIENS À GAUCHE, 2.1. DÉFINITION. — Dans un anneau régulier, l'idéal d'un côté engendré par un idempotent primitif et minimal [(4), p. 84]. Dans un anneau quelconque, même unitaire et fini, l'idéal d'un côté engendré par un idempotent peut être minimal sans que
côté engendré par un idempotent peut être minimal sans que celui de l'autre côté le soit [cf. (1), p. 15]. Nous dirons qu'un idempotent e de A est fortement primitif si l'idéal à gauche A e et l'idéal à droite e A sont minimaux. Dans ce cas, A e est un A-module simple ((x . o, x A e) => (A x = A e)) et tout élément de A e est régulier. PROPOSITION 3. — La somme S de tous les idéaux A f, où f est un idempotent fortement primitif, est un idéal, bilatère de A. Démonstration. —
fortement primitif, est un idéal, bilatère de A. Démonstration. — Il suffit de montrer que pour tout idempotent fortement primitif f et pour tout a ∈ A, fa ∈ S. Si Fa ≠ 0, fa . A = f . A. L'élément fa est donc régulier et il existe un idempotent g de A tel que A f a = A g. Les idempotents f et g sont dans la même classe étant l'équivalence de Green borne supérieure de et de g [(4), p. 47], donc les A-modules A f et A g d'une part, f A et g A
et A g d'une part, f A et g A d'autre part sont isomorphes [résultats de M. Crestey, cf. (7)]. L'idempotent g est donc fortement primitif. Ainsi A g ∈ S et fa ∈ S. Remarquons que si (e_i) i ∈ I désigne la famille des idempotents fortement primitifs de A, il existe une partie J de I telle que S = 0 A e_j. PROPOSITION 4. — Soit A un anneau artinien à gauche, r (A) est un facteur direct de S. Si tout idempotent de A est central, S = r (A). Démonstration. — R = r (A)
S = r (A). Démonstration. — R = r (A) est lui-même artinien à gauche ; étant aussi semi-simple (au sens de Jacobson), il est unitaire et complètement C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 819 réductible à gauche. Son élément-unité f est un idempotent central de A et il existe n idempotents fortement primitifs f, dans R tels que et les f i sont fortement primitifs dans A. Ainsi R est contenu dans S et est, par suite, un facteur direct (comme idéal à gauche et à droite) de S [(2), § 3,
à gauche et à droite) de S [(2), § 3, n° 3]. Si tout idempotent de A est central, chaque A e_j est un corps et S est régulier d'où l'égalité S = r (A). COROLLAIRE. — Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un anneau artinien à gauche dont tout idempotent est central soit r-semi-simple est qu'aucun idempotent primitif ne soit fortement primitif. Ce qui équivaut à dire que tout idéal à gauche minimal est de carré nul ou que tout idéal à gauche non nul de A contient un idéal à gauche (non nul) de carré nul. Si A
idéal à gauche (non nul) de carré nul. Si A contient des idempotents non centraux, on a le résultat plus faible suivant : Si A est r-semi-simple et artinien à gauche, il contient des idéaux nilpotents non nuls. Ceci découle du fait que dans un tel anneau, le radical de Jacobson J (A) est non nul car, sinon, A serait régulier. 2 Partition des anneaux simples artiniens à gauche. — Pour toute propriété radicale #, il existe une partition de la classe des anneaux simples non nuls en deux classes disjointes ": C1 « la classe supérieure » qui est
disjointes ": C1 « la classe supérieure » qui est celle des an– semi-simples et C2 « la classe inférieure » celle des an– anneaux. Réciproquement, à toute partition de ce genre correspond au moins une propriété radicale [("), p. 13]. La partition de la classe C des anneaux simples artiniens à gauche correspondant à r est la suivante : G1 : Classe des anneaux r–semi-simples; C2 : Classe des anneaux de matrices sur un corps. Pour la propriété Nil [(5), p. 32], la partition de C est : C'1 : Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2
: Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2 : Classe des anneaux de carré nul. Ainsi C2 = C'1, donc C1 = G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont donc les anneaux de carré nul. Remarquons enfin que les égalités C2 = C'1 et C1 = C'2 n'impliquent pas (dans les anneaux artiniens à gauche), pour les propriétés Nil et r, que les anneaux radicaux pour l'une sont les anneaux semi-simples pour l'autre. Plus précisément, PROPOSITION 5. — Soit A un anneau artinien à gauche. On a La relation (2) n'est pas en général une équivalence.
a La relation (2) n'est pas en général une équivalence. En effet, si A = Z/(4), r (A) = (0), J (A) = { 0, 2 }. (*) Séance du 14 février 1972. (1) Avec l'aide du C. N. R. S., Liban. (S)'N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 8 : Modules et anneaux semi-simples, Hermann, Paris, 1958. (3) BROWN et McCOY, Proc. Amer. Math. Soc., 1, 1950, p. 165-171. (4) A. H. CLIFFORD et G. B. PRESTON, Amer. Math. Soc, 7, 1961. (5) N. DIVINSKY, Rings and radicals, Math. Expo., n° 14, Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de
Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de 3e cycle, Paris, 1969. (7) N. FARÈS, Comptes rendus, 269, série A, 1969, p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, p. 1240. Faculté des Sciences, Université Libanaise, Hadeth-Beyrouth, Liban. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 821 ALGÈBRE COMMUTATIVE. — Gq-anneaux et condition (aq) de Samuel. Note (*) de M. MICHEL PAUGAM, transmise par M. Henri Cartan. Résultats sur la q-torsion et la condition (aq) généralisant un lemme de Auslander (8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété
(8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété de transfert pour les Gq-anneaux. Démonstration partielle d'une conjecture de (5). Tous les anneaux sont supposés commutatifs, noethériens, et possèdent un élément unité; tous les modules sont unitaires et de type fini. DÉFINITION [cf. (1), th. 3.15). — Soient A un anneau et q un entier naturel non nul. On dit que A est un Gq-anneau s'il vérifie l'une des assertions équivalentes suivantes : (i) Pour tout idéal premier de A, on a (a) profAP Ap ^ Min (q, ht p) ; (b) dans le cas où htp^q — 1,
p) ; (b) dans le cas où htp^q — 1, Ap est un anneau de Gorenstein. (ii) Pour tout module M de type fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau (q ^ 1). Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un A-module M : (i) M vérifie la condition (aq); (ii) M est un qième module de syzygie; (iii) M est sans q-torsion. (i) ==> (ii) d'après [O, (4.4) et (4.6)] et (ii) <=> (iii) d'après [(2), (4.21)]. Remarque. — De ce résultat, on déduit la proposition 3 de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein.
de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein. Les propositions suivantes généralisent (1.6) de (5) et (10') de (6) puisqu'un anneau quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un entier non nul. Si A est un Gq-anneau et si est une suite exacte de A-modules, où M' et M" sont sans q-torsion, alors M est sans q-torsion. La démonstration se fait par récurrence en utilisant la proposition 1 et le lemme suivant : LEMME 1. — Soit q un entier, q ^ 2. Soient A un Gq-anneau et (a) une A-suite alors A/a A est un
Gq-anneau et (a) une A-suite alors A/a A est un Gq-1-anneau. PROPOSITION 3. — Soit q un entier, q^2, et soit A un Gq-anneau. Soit 0-->M-->N--> Q --> 0 une suite exacte de A-modules, où N est sans (q — 1)-torsion et Q de dimension injective supérieure ou égale à q — 2. Soit une résolution injective minimale de.Q. Alors on a les propriétés suivantes : (a) Si M est sans q-torsion, p e Ass (Qq-1) implique htA p^q — 1; (b) Dans le cas où M et Q sont sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et
sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et si p e Ass (Qq2) implique ht A p^q — 1, alors M est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass (Qq-2) = 0;. si ht p^q, soit k (p) le corps résiduel de Ap. La suite exacte des Ext (k (p), .) appliquée à et la propriété (2.7) des pi de Bass (7), donnent une contradiction. (b) Se montre par récurrence en utilisant (2.6) de (7). PROPOSITION 4 [Généralisation du lemme 2 de (8)]. — Soit A un anneau commutatif noethérien unitaire. Soit q un entier non
un anneau commutatif noethérien unitaire. Soit q un entier non nul; un A-module M est sans q-torsion si et seulement s'il satisfait aux conditions suivantes ; (a) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ^ q — 1, le Ap-module Mp est sans q-torsion; (b) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ~^.q, on a prof Mp ^ q. Preuve. — Si M satisfait (a) et (b), on montre que M est sans q-torsion par récurrence. La réciproque provient du fait que si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. —
si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. — Soit q un entier non nul. On dit que le spectre d'un anneau A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau. LEMME 2. ### CORRECTION ### 2 Partition des anneaux simples artiniens à gauche. — Pour toute propriété radicale #, il existe une partition de la classe des anneaux simples non nuls en deux classes disjointes ": C1 « la classe supérieure » qui est celle des an– semi-simples et C2 « la classe inférieure » celle des an– anneaux. Réciproquement, à toute partition de ce genre correspond
an– anneaux. Réciproquement, à toute partition de ce genre correspond au moins une propriété radicale [("), p. 13]. La partition de la classe C des anneaux simples artiniens à gauche correspondant à r est la suivante : G1 : Classe des anneaux r–semi-simples; C2 : Classe des anneaux de matrices sur un corps. Pour la propriété Nil [(5), p. 32], la partition de C est : C'1 : Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2 : Classe des anneaux de carré nul. Ainsi C2 = C'1, donc C1 = G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont
= G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont donc les anneaux de carré nul. Remarquons enfin que les égalités C2 = C'1 et C1 = C'2 n'impliquent pas (dans les anneaux artiniens à gauche), pour les propriétés Nil et r, que les anneaux radicaux pour l'une sont les anneaux semi-simples pour l'autre. Plus précisément, PROPOSITION 5. — Soit A un anneau artinien à gauche. On a La relation (2) n'est pas en général une équivalence. En effet, si A = Z/(4), r (A) = (0), J (A) = { 0, 2 }. (*) Séance du 14 février 1972.
{ 0, 2 }. (*) Séance du 14 février 1972. (1) Avec l'aide du C. N. R. S., Liban. (S)'N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 8 : Modules et anneaux semi-simples, Hermann, Paris, 1958. (3) BROWN et McCOY, Proc. Amer. Math. Soc., 1, 1950, p. 165-171. (4) A. H. CLIFFORD et G. B. PRESTON, Amer. Math. Soc, 7, 1961. (5) N. DIVINSKY, Rings and radicals, Math. Expo., n° 14, Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de 3e cycle, Paris, 1969. (7) N. FARÈS, Comptes rendus, 269, série A, 1969, p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74,
p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, p. 1240. Faculté des Sciences, Université Libanaise, Hadeth-Beyrouth, Liban. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 821 ALGÈBRE COMMUTATIVE. — Gq-anneaux et condition (aq) de Samuel. Note (*) de M. MICHEL PAUGAM, transmise par M. Henri Cartan. Résultats sur la q-torsion et la condition (aq) généralisant un lemme de Auslander (8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété de transfert pour les Gq-anneaux. Démonstration partielle d'une conjecture de (5). Tous les anneaux sont supposés commutatifs, noethériens, et possèdent un élément unité;
anneaux sont supposés commutatifs, noethériens, et possèdent un élément unité; tous les modules sont unitaires et de type fini. DÉFINITION [cf. (1), th. 3.15). — Soient A un anneau et q un entier naturel non nul. On dit que A est un Gq-anneau s'il vérifie l'une des assertions équivalentes suivantes : (i) Pour tout idéal premier de A, on a (a) profAP Ap ^ Min (q, ht p) ; (b) dans le cas où htp^q — 1, Ap est un anneau de Gorenstein. (ii) Pour tout module M de type fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau
fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau (q ^ 1). Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un A-module M : (i) M vérifie la condition (aq); (ii) M est un qième module de syzygie; (iii) M est sans q-torsion. (i) ==> (ii) d'après [O, (4.4) et (4.6)] et (ii) <=> (iii) d'après [(2), (4.21)]. Remarque. — De ce résultat, on déduit la proposition 3 de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein. Les propositions suivantes généralisent (1.6) de (5) et (10') de (6) puisqu'un anneau quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un
quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un entier non nul. Si A est un Gq-anneau et si est une suite exacte de A-modules, où M' et M" sont sans q-torsion, alors M est sans q-torsion. La démonstration se fait par récurrence en utilisant la proposition 1 et le lemme suivant : LEMME 1. — Soit q un entier, q ^ 2. Soient A un Gq-anneau et (a) une A-suite alors A/a A est un Gq-1-anneau. PROPOSITION 3. — Soit q un entier, q^2, et soit A un Gq-anneau. Soit 0-->M-->N--> Q --> 0 une suite exacte de
Gq-anneau. Soit 0-->M-->N--> Q --> 0 une suite exacte de A-modules, où N est sans (q — 1)-torsion et Q de dimension injective supérieure ou égale à q — 2. Soit une résolution injective minimale de.Q. Alors on a les propriétés suivantes : (a) Si M est sans q-torsion, p e Ass (Qq-1) implique htA p^q — 1; (b) Dans le cas où M et Q sont sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et si p e Ass (Qq2) implique ht A p^q — 1, alors M est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass
est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass (Qq-2) = 0;. si ht p^q, soit k (p) le corps résiduel de Ap. La suite exacte des Ext (k (p), .) appliquée à et la propriété (2.7) des pi de Bass (7), donnent une contradiction. (b) Se montre par récurrence en utilisant (2.6) de (7). PROPOSITION 4 [Généralisation du lemme 2 de (8)]. — Soit A un anneau commutatif noethérien unitaire. Soit q un entier non nul; un A-module M est sans q-torsion si et seulement s'il satisfait aux conditions suivantes ; (a) Pour tout idéal premier p de
conditions suivantes ; (a) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ^ q — 1, le Ap-module Mp est sans q-torsion; (b) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ~^.q, on a prof Mp ^ q. Preuve. — Si M satisfait (a) et (b), on montre que M est sans q-torsion par récurrence. La réciproque provient du fait que si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. — Soit q un entier non nul. On dit que le spectre d'un anneau A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau.
A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau. LEMME 2. Soit \(cp : A \to B\) un homomorphisme d'anneaux tels que \(B\) soit muni d'une structure de \(A\)-module plat par \(\phi\). Soit \(X = Spec(B)\), \(Y = Spec(A)\). Si \(Y\) satisfait à la condition (Gq) et si toute fibre de \(X\) au-dessus de \(Y\) est de Gorenstein, alors \(X\) satisfait à (Gq). Preuve. — On sait que \(X\) satisfait à (Sq) d'après [(4), (5.4)]. L'autre condition résulte de [(9), Déf. 1.7 et th. 1]. PROPOSITION 5. — Soient \(q\) et \(n\) deux entiers non nuls. Soient \(X_1, X_2,
\(q\) et \(n\) deux entiers non nuls. Soient \(X_1, X_2, ..., X_n\) indéterminées. Si \(A.\) est un Gq-anneau, alors l'anneau des polynômes \(A[X_1, X_2, ..., X_n]\) est un Gq-anneau. Il suffit de faire la démonstration pour \(n=1\). Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(A[X]\) et \(p = A^nq\); on remarque que \(A[X]_q\) est isomorphe à un localisé de \(A[X]\), On termine en utilisant [(10), th. 1] et le lemme 2. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 823 PROPOSITION 6. — Soit \(q\) un entier non nul. Soit \(A[[X]]\) l'anneau des séries formelles à