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vertu que la plus longue de toutes est la première ou celle qui a en tête le nombre 3; les autres ont toutes, à compter depuis la première rangée, plusieurs cases vides, ce qui doit être nécessairement, ces cases ne pouvant être remplies que de produits, déjà dans la table et comme elles commencent toutes dans la rangée qui a pour premier nombre celui qui en est en haut à la tête de la colonne, les premiers produits de chaque colonne offrent la suite de tous les carrés impairs depuis 9 jusqu'à 4000; le plus grand au-dessous de 10,000. Chaque
9 jusqu'à 4000; le plus grand au-dessous de 10,000. Chaque colonne de la table contient les multiples du nombre qu'elle a en tête jusqu'à 10,000; mais la première qui a en tête le nombre 3, en la seule qui les contienne tous il en manque plus ou moins à toutes les autres. Ces termes ne manquent pas pour cela à la table, puisqu'ils se trouvent dans les colonnes précédentes: on ne trouve, par exemple, dans la colonne de aucun des multiples de ce nombre au-dessous de 8, son carré mais dans la même rangée on trouvera 27, 63, qui le
dans la même rangée on trouvera 27, 63, qui le précèdent. Tous les produits contenus dans une même colonne ont entre eux une différence constante, toujours égale au double du nombre qui en est à la tête de la colonne; ainsi, dans la colonne 3, tous les nombres se suivent les uns les autres de 6, comme 9, 15, etc., ce qui fournit une manière bien abrégée de connaître la table, la même chose se rencontre en considérant les nombres dont la suite forme les bandes horizontales ou rangées. Nous ne pouvons suivre M. du Tour dans les nombreuses applications
ne pouvons suivre M. du Tour dans les nombreuses applications qu'il fait de sa table aux différentes opérations d'arithmétique, non plus que dans les remarques curieuses qu'elle lui a donné occasion de faire sur la suite et l'arrangement des nombres qui la composent mais il a paru qu'il avait approfondi cette matière plus que ceux qui l'avaient précédé, et que les tables qu'il a calculées pourraient être, en bien des occasions, très utiles et d'une très grande commodité. GÉOGRAPHIE. L'ANNEE DONT: Personne ne fait peut-être plus d'honneur à l'esprit de l'homme que l'art ingénieux par lequel il a trouvé le
l'homme que l'art ingénieux par lequel il a trouvé le moyen de franchir, pour ainsi dire, les bornes que la Nature semblait avoir mises à nos voyages, et d'employer les vents et les eaux à nous porter dans les régions les plus éloignées. Cet art si utile et si merveilleux n'a été inventé que peu à peu, et suivant les différentes réflexions qu'une longue pratique et les circonstances où se font trouvés les Navigateurs, leur ont suggérées. Ce n'est que depuis environ un siècle qu'on a pensé à profiter du haut degré auquel les Sciences mathématiques ont été portées, pour
haut degré auquel les Sciences mathématiques ont été portées, pour donner à l'art de naviger toute la perfection dont il est susceptible. Nous avons déjà rendu compte d'un grand nombre de travaux de plusieurs Académiciens, qui avaient la recherche de cette perfection pour objet. Il est ici question de la manœuvre, c'est-à-dire, de la disposition des voiles relativement au vaisseau au vent dont on reçoit l'impulsion, et à la route qu'on veut tenir. C'est à trouver cette disposition la plus avantageuse que M. Bouguer s'est attaché dans ce Mémoire, dont nous allons essayer de donner une idée. Un navire qui
nous allons essayer de donner une idée. Un navire qui fait route expose à la fois à la force du vent qui le pousse, et à la résistance de l'eau qu'il doit divider. S'il était exactement cylindrique comme une cuve, il suivrait exactement la route que lui donnerait l'action du vent sur ses voiles mais sa forme lui permettant de fendre l'eau assez facilement par sa proue, tandis qu'il éprouve une très grande résistance à la diviser par le côté, il est clair que toutes les fois que l'action du vent sera inclinée à sa longueur, le navire suivra une
vent sera inclinée à sa longueur, le navire suivra une direction moyenne entre celle que lui donnerait le vent et celle de la quille du vaisseau, formant que la route du navire au lieu d'être parallèle à sa quille, sera avec elle un angle qu'on nomme dérive, et qui sera d'autant plus grand, que la direction du vent sera plus oblique à celle de la quille. D'un autre côté l'effort du vent sur les voiles d'un navire dépend du plus ou moins de surface qu'elles lui opposent, et de l'obliquité avec laquelle elles lui sont exposées. De ce double principe,
avec laquelle elles lui sont exposées. De ce double principe, il suit qu'on peut se proposer différents problèmes sur ce sujet et on peut, par exemple, chercher la manière de disposer, ou, comme on le dit, d'orienter les voiles d'un navire pour suivre avec la plus grande vitesse possible une route donnée, avec un vent dont la direction est connue; ou bien chercher sa manière de diriger le navire et d'orienter les voiles pour s'éloigner d'un point quelconque le plus vite qu'il est possible, sans rechercher aucune route déterminée; ou bien enfin l'angle des voiles avec la quille étant donné,
bien enfin l'angle des voiles avec la quille étant donné, reconnaître si l'obliquité avec laquelle on prend le vent, rend la vitesse du navire la plus grande dont il soit susceptible. Ce sont ces trois principaux problèmes de la manœuvre des vaisseaux que M. Bouguer s'est proposé de résoudre dans ce Mémoire. Quelque complexes que soient par eux-mêmes ces problèmes, ils le sont cependant moins qu'ils ne le paraissent être au premier coup d'œil, tout l'embarras qu'y répandent la grandeur des voiles et leur situation, relativement au centre de gravité du vaisseau, peut en être banni; l'effort absolu du vent
du vaisseau, peut en être banni; l'effort absolu du vent sur toutes les voiles, peut toujours être réduit à celui qu'il opérerait s'il n'y en avait que deux d'une certaine grandeur et dans une certaine position que M. Bouguer s'efforce à déterminer, par ce moyen, il évitent tout l'embarras qu'introduiraient dans sa recherche la position des voiles & sa grandeur de la partie de chacune qui est exposée au vent. Car, on voit bien que dès que le vent fait avec la quille un angle un peu aigu, les voiles de l'arrière dérobent en partie le vent à celles de
de l'arrière dérobent en partie le vent à celles de l'avant, & que cette diminution varie toutes les fois que l'angle de la direction du vent & de celle du vaisseau peut changer. Il était donc certain de se défaire d'un élément si incommode, & c'est aussi le premier objet qu'a rempli M. Bouguer. La vérité & la direction du vent entrent nécessairement dans la solution des problèmes que M. Bouguer s'est proposé de résoudre. Mais il faut bien distinguer la véritable & la direction absolues du vent, de la véritable & de la direction qu'il paraît avoir en l'observant
véritable & de la direction qu'il paraît avoir en l'observant de dessus un vaisseau en mouvement; la direction n'est la même que lorsque la route du vaisseau, sa quille & la direction du vent concourent ensemble, & dans ce cas-là même, la véritable du vent doit être diminuée de toute celle avec laquelle marche le vaisseau; mais hors ce seul cas, & dans tous les autres où le vaisseau ne va pas vent arrière, la véritable du navire introduit nécessairement une variation non seulement dans la véritable du vent, mais encore dans sa direction. Pour s'en convaincre, qu'on imagine une
encore dans sa direction. Pour s'en convaincre, qu'on imagine une plume emportée par le vent de dessus un vaisseau qui part du rivage, dans le moment même où il part, & que deux Observateurs, l'un sur la terre & l'autre sur le navire, observent au bout de quelques secondes, chacun sur sa bouilloire l'air de vent ou la direction de la plume, il est clair qu'ils auront l'un & l'autre un résultat différent; celui qui est demeuré immobile voit la plume aller suivant la véritable direction du vent, & celui qui l'observe de dessus le vaisseau, la voit sûrement dans
qui l'observe de dessus le vaisseau, la voit sûrement dans une autre direction, & suivant l'autre côté d'un triangle dont la plume est le sommet, & dont le mouvement de son vaisseau lui a fait parcourir la base & comme ce côté qui représente au navigateur ce dont une certaine partie de l'air s'est éloignée de lui est aussi pour lui la mesure de la véritable du vent, cette véritable sera dirigée comme les deux côtés du triangle, & celle-ci sera celle avec laquelle le vent doit agir sur les voiles du navire. Le premier problème consiste à déterminer si
voiles du navire. Le premier problème consiste à déterminer si l'angle des voiles avec la quille étant donné, celui de ces mêmes voiles avec la direction du vent rend la véritable du navire la plus grande qu'il est possible; ou, pour réduire le problème à des termes encore plus simples, l'angle des voiles avec la quille étant donné, trouver l'angle qu'on doit leur faire prendre avec la direction du vent, pour que son impulse sur les voiles soit égale à la résistance de l'eau sur la proue; car il est bien évident que pas avant ce point d'égalité, la véritable
bien évident que pas avant ce point d'égalité, la véritable n'augmentera plus, le vaisseau ne trouvant alors entre deux puissances égales & opposées. Après bien du calcul très-adroitement manié, M. Bouguer parvient à une construction géométrique, dans laquelle il se trouve deux lignes, dont l'égalité exactement requise pour que le problème soit résolu; lors même qu'on ne voudra pas s'ajuster à l'exécuter sur le papier, on pourra la suivre grosièrement à vue d'œil sur les voiles mêmes. Mais on doit observer que cette construction n'est utile que tant que les deux voiles supposées sont à une certaine distance; si on
deux voiles supposées sont à une certaine distance; si on les approche trop l'une de l'autre, l'exactitude diminue; & on les joindrait ensemble, ou, ce qui revient au même, que le navire n'en eût qu'une, les deux lignes dont l'égalité résout le problème, deviennent une seule & même ligne, & la construction n'indiquera plus rien. Alors il faut chercher une autre ligne qui puisse suppléer au défaut de la première, & M. Bouguer parvient par ce moyen à déterminer la tangente du complément de l'angle que le vent doit faire avec la voile; angle qui, comme on peut bien voir,
avec la voile; angle qui, comme on peut bien voir, se trouve droit si le navire n'a qu'une voile, d'où il suit que les bâtiments de cette espèce ne vont jamais plus vite que vent arrière, ce qui, comme on sait, n'arrive pas aux vaisseaux qui en ont plusieurs, dont la véritable est plus grande de vent largue ou un peu de côté, que de vent arrière ou absolument en poupée. Mais ce qu'on doit bien observer enfin, c'est que l'angle d'incidence du vent sur la voile, déterminé par M. Bouguer dans l'angle de la direction réelle du vent avec
Bouguer dans l'angle de la direction réelle du vent avec la voile, & non celui de la direction apparente qu'on observe dans le vaisseau ces deux directions diffèrent quelquefois de 8 degrés, & il faut, si on veut obtenir quelque exactitude dans la solution du problème, connaître cette différence en résolvant le triangle dont nous avons parlé. Si la route était donnée avec la direction du vent, on voit bien que le problème deviendrait beaucoup plus compliqué, puisqu'il faudrait trouver à la fois la disposition la plus favorable des voiles à l'égard de la quille du navire & à l'égard
à l'égard de la quille du navire & à l'égard du vent, & que de plus le chemin que fait le navire de côté, ou suivant une direction différente de celle de sa longueur ou, pour le nommer comme les Marins, la drafte qui écarte continuellement le vaisseau de la route qu'il semble suivre, doit entrer dans le calcul; ainsi la formule à laquelle arrive M. Bouguer devient-elle si compliquée, qu'elle serait comme inutile. Mais comme il s'est bien aperçu de ces inconvénients, il a pensé qu'on pourrait composer par son moyen des tables qu'on donnerait aux Navigateurs, & qui
son moyen des tables qu'on donnerait aux Navigateurs, & qui exprimeraient pour tous les cas possibles la valeur des angles qu'on cherche. En se permettant de négliger quelques-unes des conditions du problème, sa solution devient immensément plus facile. Si, par exemple, le navire n'a qu'une voile, tous les termes qui naissent de la différence entre les deux voiles s'évanouissent, et l'équation devient fort simple; elle l'est encore, lorsqu'on peut négliger la dérive. On voit bien que ces quantités qui compliquent tous les termes de l'équation étant évanouies, non seulement l'équation est plus simple en ce qu'elle ne contient plus les
est plus simple en ce qu'elle ne contient plus les symboles qui les exprimaient, mais encore parce que tous les autres termes qu'elles affectaient en deviennent plus simples et plus aisés à réduire. En supposant même les deux conditions dont nous venons de parler, réunies, c'est-à-dire un navire ayant une seule voile, et dont la dérive peut être négligée sans erreur la solution du problème se réduit à faire la tangente de l'angle de l'incidence des voiles avec la quille. Si au lieu d'avoir une route déterminée à suivre il fallait seulement chercher la manière d'orienter les voiles et de
fallait seulement chercher la manière d'orienter les voiles et de prendre le vent pour s'éloigner d'un point quelconque avec la plus grande vitesse que le navire est susceptible, les deux problèmes dont M. Bouguer a donné la solution se feront, en les employant ensemble, l'un pour résoudre cet autre beaucoup plus raclement que s'il s'attaquait nommément. Dans le cas, par exemple, que nous venons de proposer, où le navire n'aurait qu'une voile et où la dérive serait insignifiante il ne faudrait ajouter qu'une seule condition à ce que nous avons dit; c'est que la direction absolue du vent est perpendiculaire
dit; c'est que la direction absolue du vent est perpendiculaire à la voile. Si le navire a plusieurs voiles et qu'il soit excellent voilier il faudra donner beaucoup d'obliquité aux voiles par rapport à la quille sinon il est pénible et va mal, il faut les rendre moins obliques, ce qui peut aller dans quelques bâtiments jusqu'à rendre les voiles perpendiculaires et faire vent absolument arrière en un mot, en combinant ce qui a été dit sur les deux problèmes précédents on pourra toujours résoudre celui-ci. On voit aisément quel jour doit jeter cette théorie sur une matière aussi intéressante
jour doit jeter cette théorie sur une matière aussi intéressante que la manœuvre des vaisseaux mais ceci n'est encore, à proprement parler, qu'une idée de la manière dont M. Bouguer se propose de la traiter, et il promet de revenir dans un autre Mémoire. Cette année, M. de Bougainville fit jeune présent à l'Académie un ouvrage intitulé Calcul intégral des forces. Ce n'est point ici le lieu de faire voir les avantages que le calcul infinitésimal a procurés aux Sciences mathématiques. On sait qu'en général le calcul infinitésimal a deux branches principales, l'une par laquelle on trouve les grandeurs infinitésimement
branches principales, l'une par laquelle on trouve les grandeurs infinitésimement petites et les autres par laquelle on retrouve, au moyen des grandeurs infiniment petites, les grandeurs finies auxquelles elles appartiennent. Le premier calcul qui descend, comme on voit du fini à l'infiniment petit, se nomme calcul différentiel, et les principes en sont exposés dans le livre de l'Analyse des infiniment petits de M. le Marquis de l'Hôpital le second qui remonte de l'infiniment petit au fini se nomme calcul intégral et les principes de ce calcul, fruit des travaux des plus grands Géomètres, répandus dans une infinité d'endroits de leurs
plus grands Géomètres, répandus dans une infinité d'endroits de leurs écrits, n'avaient jamais été jusqu'ici rangés en un seul et unique corps. C'est ce qu'a entrepris M. de Bougainville dans l'ouvrage qu'il a présenté à l'Académie, et duquel nous avons à rendre compte. La Métaphysique et l'âme de tout le calcul géométrique; c'est aussi à expliquer celle sur laquelle le calcul infinitésimal est fondé, et à donner l'histoire abrégée de cette admirable invention, que M. de Bougainville s'est principalement attaché dans la préface qu'il a mise à la tête de son Ouvrage. Il est bien singulier qu'il ait eu à
son Ouvrage. Il est bien singulier qu'il ait eu à relever une erreur de Leibniz en ce genre, erreur qui a jeté cet illustre Mathématicien dans les plus grands embarras. Ce n'est qu'après ces notions essentielles qu'il entre, à proprement parler, en matière par une courte introduction, qui contient différentes recherches nécessaires à l'intelligence du calcul intégral. On doit se souvenir que le but de M. de Bougainville a été de donner une suite à l'ouvrage de M. de l'Hôpital c'est pourquoi il commence par expliquer le calcul différentiel des quantités logarithmiques, dans lesquelles une suite de termes en proportion
quantités logarithmiques, dans lesquelles une suite de termes en proportion géométrique répond toujours à une suite d'autres termes en proportion arithmétique, comme feraient, par exemple, les ordonnées d'une courbe qui croîtraient les unes les autres, comme 2, 8, 16, etc. tandis que les abscisses correspondantes feraient 0, 1, 2, Du calcul différentiel des quantités logarithmiques il passe au calcul des quantités exponentielles, c'est-à-dire, de celles qui sont élevées à une puissance variable, simple ou composée, comme ou car les exposants peuvent y recevoir toutes sortes de formes, même admettre les racines imaginaires. Les propriétés des nombres, connues, tangentes et écailles
racines imaginaires. Les propriétés des nombres, connues, tangentes et écailles des arcs de cercle suiviennes quantités exponentielles Fauteur se sert pour démontrer le fameux théorème de M. Cotes, et pour donner une théorie très étendue des racines imaginaires des équations, morceau d'autant plus intéressant, qu'il manquait absolument même dans les meilleurs livres d'Algèbre, et qu'il est absolument et essentiellement nécessaire au calcul intégral. Telles sont les matières dont M. de Bougainville a composé son Introduction munie de ces principes, il vient enfin au calcul intégral proprement dit, et qui fait son véritable objet. Puisque les différentielles sont les éléments infiniment
son véritable objet. Puisque les différentielles sont les éléments infiniment petits des quantités, il y en a d'autant d'espèces différentes qu'il y a de différentes quantités quelquefois les quantités s'associent entre elles; il suit aussi, dans ce cas, que les différentielles suivent la même forme quelquefois aussi cette complication n'est qu'apparente, et n'en est due qu'à la tournure du calcul et dans ce cas, un calcul mieux conduit peut les rappeler à une forme plus simple et plus aisée à intégrer. M. de Bougainville commence donc son ouvrage par la manière. intégrer les différentielles de la forme la plus simple;
manière. intégrer les différentielles de la forme la plus simple; il en donne les règles & en fait l'application à différents cas, résolvant partout les difficultés qui s'y rencontrent, & passe ensuite aux méthodes de transformer, lorsqu'il est possible, les équations différentielles trop rébelles & trop compliquées, en d'autres plus simples & plus aisées à résoudre au calcul. Les équations différentielles ne s'obtiennent qu'en supposant qu'une quantité qui va en croissant ou en décroissant, et qui par conséquent en varie, se trouve dans deux états infiniment proches. Il suit de là, que toute quantité constante, c'est-à-dire qui ne croît ni
là, que toute quantité constante, c'est-à-dire qui ne croît ni ne décroît, ne peut avoir de différence, et que par conséquent elle peut bien entrer dans une équation différentielle mais sans y introduire de nouvelles différences. On n'est donc pas sûr, quand on a une équation différentielle à intégrer, qu'elle soit exacte, convient-il de y ajouter ou en retrancher une constante, M. de Bougainville enseigne à reconnaître ce cas, & donne la manière de trouver la quantité dont l'addition ou la soustraction peut rendre l'intégrale complète. Puisqu'il y a des quantités algébriques binômes, trinômes, il y a aussi des différentielles
quantités algébriques binômes, trinômes, il y a aussi des différentielles de même nature. Le P. Reyneau avait traité de ces dernières mais dans cette partie de son ouvrage il était tombé dans quelques erreurs, que M. de Bougainville expose avec toute la clarté nécessaire. C'est rendre un service certain en cette matière, que d'avertir les commençants qu'une route dans laquelle ils pourraient s'engager sur la foi d'un auteur célèbre, les égarerait. Les fractions s'intègrent comme toutes les autres quantités différentielles, mais cette matière n'avait encore été traitée qu'imparfaitement ce qu'en avait dit M. Bernoulli dans les Mémoires de l'Académie, n'était
avait dit M. Bernoulli dans les Mémoires de l'Académie, n'était pas à beaucoup près suffisant; M. de Bougainville y supplée en donnant, non seulement le moyen d'intégrer les fractions rationnelles, mais encore celui de donner cette forme à plusieurs différences qui ne l'ont pas, en se servant des transformations dont nous venons de parler. On trouve souvent des différentielles dont l'intégration dépend de la quadrature du cercle, de l'ellipse & de l'hyperbole, ou même de la quadrature de quelqu'une des courbes du troisième ordre. On juge bien que M. de Bougainville ne donne pas la manière d'intégrer ces quantités, mais
Bougainville ne donne pas la manière d'intégrer ces quantités, mais il donne les moyens de se tirer de cet embarras, & cet endroit n'a ni moins de clarté ni moins d'exactitude que le reste de l'ouvrage. M. Newton, dans son Traité de la quadrature des courbes, avait dit quelque chose de celles dont les équations ont trois ou quatre termes; mais cet endroit avait un extrême besoin d'être étendu & d'être éclairci, & M. de Bougainville a rendu ce service dans son ouvrage. Viennent ensuite les différentielles attachées de quantités exponentielles & logarithmiques, & celles qui sont années de plusieurs
exponentielles & logarithmiques, & celles qui sont années de plusieurs siècles d'intégration. Enfin il termine la première partie de son ouvrage par ces quantités composées de plusieurs termes qui vont toujours en diminuant, & qui sont affectées alternativement des signes + et -. Ces quantités se nomment séries; il donne tous les principes nécessaires pour se mettre au fait de leur usage; il enseigne la manière de les former, de reconnaître leur convergence ou leur divergence, c'est-à-dire la promptitude avec laquelle leurs termes croissent ou diminuent, & donne leur usage dans le calcul intégral, & surtout dans la quadrature du
dans le calcul intégral, & surtout dans la quadrature du cercle & dans la construction des logarithmes. La seconde partie de cet ouvrage devait naturellement appartenir au volume de 1766, année dans laquelle elle a paru mais elle a trop de lien avec ce qui précède, pour l'en séparer & l'accueil favorable que lui a fait le Public nous a fait croire qu'il nous pardonnerait aisément cette espèce d'anticipation. L'auteur y traite de l'intégration des quantités différentielles qui ont deux ou plusieurs variables. Ces différentielles sont de plusieurs ordres différents celles du premier ordre sont la matière du premier livre
celles du premier ordre sont la matière du premier livre de cette seconde partie. Dans le nombre des quantités ou équations différentielles qui consistent le premier ordre, il s'en trouve qui peuvent aisément s'intégrer sans préparation. M. de Bougainville donne le moyen de les reconnaître & de les intégrer les autres ont besoin d'être préparées, & comme pour l'ordinaire cette préparation consiste à séparer les indéterminées, M. de Bougainville commence par enseigner à consolider une équation différentielle dans laquelle les indéterminées soient séparées; mais comme il arrive souvent que dans les équations différentielles qu'on se propose d'intégrer elles ne le