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la valeur de o(x), il suffira généralement de transformer la fonction f(x) en une somme de termes proportionnels à des exponentielles de la forme e". Supposons en effet, a, b, désignant des coefficients réels ou imaginaires dont le second change de valeur avec le premier, et la somme qu'indique le signe S pouvant se transformer en une intégrale définie. L'équation (7) donnera Remarquons d'ailleurs que la formule (19) continuera de subsister, si l'on suppose la valeur de f(x) donnée par une équation de la forme (20), où A et B étant des fonctions de a. Revenons maintenant à l'équation (5).
étant des fonctions de a. Revenons maintenant à l'équation (5). On en tirera. Dans cette dernière formule, l'intégrale peut être censée renfermer une constante arbitraire. En déterminant cette constante de manière que f'(x) s'évanouisse pour x = x, on aura Lorsque dans l'équation (16) on substituera pour f(x) sa valeur tirée de la formule (12) ou (13), on obtiendra, pour f(x) une fonction complètement on déduira immédiatement la suivante suivant la puissance ascendante de Ax. On pourrait aussi, en partant de la formule (10), développer f(x) en une série de termes proportionnels à la fonction dérivée f'(x) et à ses
termes proportionnels à la fonction dérivée f'(x) et à ses différences finies des divers ordres. Mais les valeurs de f(x) ainsi déduites des formules (8) et (13), ne subsisteraient que dans le cas où les séries obtenues seraient convergentes, et cette convergence exige que la série formée avec les différences finies de la fonction f(x) ou f'(x) ait pour module un nombre inférieur ou tout au plus égal à l'unité. Pour montrer une application très-simple des formules que nous venons d'établir, supposons déterminée, et cette fonction sera certainement une valeur de l'intégrale 2 f(x), ou, ce qui revient au même,
de l'intégrale 2 f(x), ou, ce qui revient au même, une valeur de f(x) propre à vérifier l'équation (2 ). Car on tire de l'équation (16) et, en vertu de la formule (9), jointe à l'équation (12) ou (13), le second membre de l'équation (17) se réduira précisément à f(x). Au lieu de tirer de la formule (12) ou (13) la valeur de f(x), on pourrait développer f(x) en une série de termes proportionnels à la fonction f(x) et à ses différences finies des divers ordres; et, pour y parvenir, il suffirait de développer, dans le second membre de la
il suffirait de développer, dans le second membre de la formule (8), l'expression symbolique la fonction f(x) étant déterminée par la formule (23). Si à la formule (i3) on substituait la formule (ro), on en déduirait immédiatement la valeur de 21 (je) développée en une série de termes proportionnels à la fonction x et à ses différences finies des divers ordres. ORGANOGRAFIE VÉGÉTALE. – Carpophilie anatomique (troisième Mémoire); par M. Lestiboudois. Après avoir montré que les divers modes de soudure des carpelles n'altèrent pas leur structure fondamentale, M. Lestiboudois montre que les divers modes de partition et de déhiscence n'indiquent
que les divers modes de partition et de déhiscence n'indiquent pas davantage des changements essentiels dans les feuilles carpellaires. Comme cela a été fait pour les soudures, tous les modes de séparation n'ont pas été reconnus et les mêmes modes n'ont pas été considérés comme identiques, lorsqu'on les rencontrait dans diverses espèces de fruits; il est donc essentiel d'en faire l'énumération. La partition divise les fruits en portions closes la déhiscence en ouvre les cavités. La partition est intercarpellaire quand elle sépare les carpelles les uns des autres elle est carpellaire quand elle partage les carpelles mêmes en plusieurs portions.
carpellaire quand elle partage les carpelles mêmes en plusieurs portions. La partition intercarpellaire peut rester incomplète elle est septicide si elle sépare seulement les lames de la cloison; axicide si elle sépare les bords des carpelles voisins qui constituent l'axe. La partition carpellaire peut présenter aussi différentes modifications elle est lomentacée quand elle partage le carpelle transversalement en pièces placées bout à bout; axifrage quand elle détache les faisceaux trophospermiques des carpelles, comme dans les Ombellifères; nervifrage quand elle détache la nervure médiane des carpelles, comme dans le Magnolia grandiflora, etc. Irégulière quand elle n'observe pas de règle fixe. C'est
etc. Irégulière quand elle n'observe pas de règle fixe. C'est à cette variété qu'il faut rapporter la décortication de certains péricarpes, la fatiscence de l'endocarpe de certains autres, etc. La déhiscence est aussi intercarpellaire et carpellaire. La déhiscence intercarpellaire seule n'ouvre pas les loges dans les fruits synaxiles, car les bords des carpelles sont soudés entre eux; la cavité péricarpique ne devient béante que si le carpelle lui-même est entamé. Dans les fruits anaxiles, au contraire, les feuilles carpellaires n'étant pas closes, la déhiscence intercarpellaire qui les sépare les unes des autres, suffit pour ouvrir la cavité commune du péricarpe.
des autres, suffit pour ouvrir la cavité commune du péricarpe. Ces fruits anaxiles sont ceux qu'on a dits à trophospermes marginaux. L'analogie de leur déhiscence avec la partition intercarpellaire n'a point été indiquée. La déhiscence carpellaire, comme la partition, peut être transversale; elle est dite alors circumscissile cette dernière a de l'analogie avec la partition lomentacée; irrégulière, c'est celle qu'on rencontre dans les fruits nommés ruptiles par C. Richard; foraminaire quand, par la destruction ou le retrait du tissu péricarpique, il se forme une ouverture arrondie, etc. Le plus souvent la déhiscence carpellaire est longitudinale. Selon son siège, elle est
la déhiscence carpellaire est longitudinale. Selon son siège, elle est 1°. Méricide, si elle a lieu le long de la ligne médiane de la feuille carpellaire; elle a reçu, à tort, des noms différents dans les différents fruits. Dans les dialycarpelles, on dit que la déhiscence a lieu par la suture externe; ex. dans les gousses, les Magnolia; dans les fruits synaxiles elle est dite loculicide; ex. Tulipa, Feronica dans les fruits anaxiles, pour l'exprimer, on dit que les trophospermes pariétaux sont médians. 2°. Latéricide, si elle s'opère sur les côtés de la ligne médiane. Les fruits dialycarpellés qui la
côtés de la ligne médiane. Les fruits dialycarpellés qui la présentent, ex. Epimedium, ont été appelés bivalves, comme ceux qui s'ouvrent à la fois sur la ligne médiane et par la suture interne, comme les gousses; les fruits anaxiles qui la présentent ont été dits réples parce que les parties médianes des valves ne forment plus que des filets qui entourent, en forme de châssis, les portions trophospermiques, ex. les Orchidées; enfin, dans les fruits synaxiles, cette déhiscence a été nommée septirage. 3°. Méridienne si la division des carpelles a lieu près de leurs bords. Dans les fruits synaxiles, elle
lieu près de leurs bords. Dans les fruits synaxiles, elle se combine avec la partition septicide pour ouvrir les carpelles; on l'a confondue avec cette dernière; dans les fruits anaxiles, elle donne lieu à cette disposition des trophospermes dits intervalvaires dans les fruits anaxiles et dans les dialycarpellés, cette déhiscence se combine avec la déhiscence latéricide. 4°. Placentide, si la déhiscence sépare le corps trophospermique des valves; ex.: les Aselepias, X Androsèmeum etc. Les fruits chorisaxiles ne sont que des fruits anaxiles dont les trophospermes sont séparés des valves avant la déhiscence. 5°. Suturicide, si les bords des carpelles se
la déhiscence. 5°. Suturicide, si les bords des carpelles se séparent. Lorsque cette déhiscence se rencontre dans les fruits dialycarpellés, on dit qu'ils s'ouvrent par leur suture interne; dans les fruits synaxiles, elle doit nécessairement, pour ouvrir les loges, se combiner avec la partition intercarpellaire ou avec la partition septicide seulement, comme dans les Linuces. Si l'on considère l'étendue de ces diverses déhiscences, on voit qu'elles sont denticides si les feuilles carpellaires ne sont divisées qu'au sommet ou à la base; fissuraires si elles sont divisées dans la partie médiane; valvaires, de haut en bas; etc., etc. Les différents modes
valvaires, de haut en bas; etc., etc. Les différents modes de déhiscences peuvent se combiner de mille manières ainsi elle est méricide et latéricide dans le Datte; méricide et suturicide dans les fruits dialycarpellés des Légumineuses, des Magnolia, dans les fruits gamocarpellés des Acanthes, etc.; septicide et latéricide dans le Scrophularia et dans bien des fruits synaxiles; placenticide et suturicide, dans l'Aselepias, etc. Dans le Linum, la déhiscence méricide et suturicide, à la fois, se combine avec la partition septicide, dans d'autres genres avec la partition intercarpellaire. La consistance des fruits n'est pas moins variable que leurs autres qualités les
fruits n'est pas moins variable que leurs autres qualités les péricarpes sont membraneux, ligneux, osseux, charnu; ces différents modes de développement des tissus péricarpiques ont fait donner des noms divers aux fruits; et, sous ce rapport, on a fait d'aussi nombreuses confusions que sous d'autres. Ainsi, l'on a nommé baie les fruits charnus, et cependant ils sont tels dans des circonstances bien différentes. On a considéré comme baie le fruit dont le mésocarpe est succulent, comme celui de la Belladone; dont le mésocarpe et les trophospermes soudés sont gorgés de sucs, comme dans le Solanum; dont l'endocarpe se revêt de
sucs, comme dans le Solanum; dont l'endocarpe se revêt de corps pleins de sucs, comme dans l'Orange; dont l'arille est charnu, comme dans l'Evonimus; dont l'épisperme est charnu, comme dans le Grenadier; dont le calice, devenu charnu, enveloppe le fruit, comme dans l'Hippophae, le Mûrier; dont le réceptacle se développe et s'amollit, comme dans la Fraise; dont la partie pulpeuse est formée par une capule comme dans l'If, par des bractées éparses comme dans le Genévrier, par le pédoncule comme dans l'Anacardium, par un phoranthe comme dans la Figue. Ces faits énoncés, M. Lestiboudois pose les principes de la classification
faits énoncés, M. Lestiboudois pose les principes de la classification des fruits. Classification des fruits. – Des considérations précédentes, il résulte que la structure fondamentale des fruits est constante. Ils sont formés de feuilles séminifères en leurs bords; que les modifications subies par les feuilles carpellaires sont innombrables et que l'intervalle de toutes ces modifications est comblé par des nuances infinies. La conséquence d'un tel état de choses est qu'il n'est pas rationnel de vouloir faire des espèces de fruits au moyen des modifications des feuilles carpellaires. Elles ne seraient pas fondamentalement distinctes, puisque l'organisation primordiale des feuilles carpellaires est
pas fondamentalement distinctes, puisque l'organisation primordiale des feuilles carpellaires est la même; elles seraient trop nombreuses, puisque les modifications sur lesquelles reposeraient les distinctions sont sans borne; elles ne seraient pas nettement caractérisées, puisque l'on passe d'une modification à l'autre par des transitions insensibles. Enfin, en créant pour ces variétés de structure des entités diverses, exigeant des noms distincts, on détruirait le moyen de saisir les analogies de structure. Il faut donc, pour les fruits, comme pour les autres organes des végétaux, se contenter de désigner les altérations successives de structure par des épithètes qu'on peut nuancer, tempérer, corroborer, modifier
structure par des épithètes qu'on peut nuancer, tempérer, corroborer, modifier autant qu'on veut, et qu'on dispose méthodiquement pour faire apercevoir les liens qui rattachent les unes aux autres les transformations des feuilles carpellaires. Pourtant, il est des distinctions si naturelles, il est des modifications qui se présentent si fréquemment dans le règne végétal, qu'il est bon d'avoir un nom propre pour les désigner, afin d'abréger les descriptions. Mais il faut que les classes fondées sur les distinctions avouées par la nature soient peu nombreuses; il faut que les modifications admises pour types de division dans les classes soient simples, nettes
pour types de division dans les classes soient simples, nettes et fréquemment observées; il faut enfin admettre les mêmes dans toutes les classes, puisque dans toutes, les carpelles diversement associés sont fondamentalement identiques. Tous les botanistes sont d'accord pour distinguer les fruits formés de carpelles appartenant à une même fleur, nés sur un même réceptacle (thalamus), des fruits formés de carpelles appartenant à des fleurs distinctes, nés sur des réceptacles différents. Les noms employés pour les désigner me paraissant n'avoir pas de précision, on peut nommer les premiers Monothalamiques, les seconds Polythalamiques. Parmi les Monothalamiques, les uns sont formés de
seconds Polythalamiques. Parmi les Monothalamiques, les uns sont formés de feuilles carpellaires distinctes, ils sont Dialycarpellés, les autres sont formés par la soudure de plusieurs feuilles carpellaires, ils sont Gamocarpellés. Les Dialycarpellés sont tantôt à un seul carpelle ou Monocarpelles tantôt à plusieurs carpelles ou Poly carpellés, les Gamocarpellés sont tantôt à un seul carpelle fertile, ou Monocarpellides, tantôt à plusieurs carpelles fertiles ou Poly carpellides. Voilà donc cinq classes de fruits. Si l'on veut désigner substantivement les fruits que chacune renferme, on peut nommer Les dialycarpellés à un seul carpelle, Monocarpelles. Les dialycarpellés à plusieurs carpelles, Poly carpelles. Les
carpelle, Monocarpelles. Les dialycarpellés à plusieurs carpelles, Poly carpelles. Les gamocarpellés, un seul carpelle fertile, Monocarpellides. Les gamocarpellés à plusieurs carpelles fertiles, Polycarpelliennes. Les polythalamiques, Polythalamiques. Si l'on examine les fruits qui sont renfermés dans chacune de ces classes, la première par exemple, on voit qu'ils se distinguent les uns des autres par des caractères simples, fréquemment observés, et adoptés par les botanistes pour établir les divisions méthodiques. Ces caractères sont la soudure du péricarpe avec le tégument de la graine, la consistance du péricarpe, le nombre de graines qu'il renferme, sa déhiscence. Au moyen de ces caractères, on peut
renferme, sa déhiscence. Au moyen de ces caractères, on peut délimiter quelques espèces de fruits qui comprennent la grande masse des péricarpes, et qui, pour cette raison, ont été adoptées par l'universalité des observateurs. Ce sont Parmi les fruits secs et indéhiscents, la Caryopse, qui est monosperme, et dont le péricarpe est soudé avec l'épisperme; l'Akène, qui est monosperme, et dont le péricarpe est distinct de l'épisperme; la Nucelle, dont le péricarpe est osseux; la Carcasse, dont le péricarpe est polysperme. Les fruits secs déhiscents constitueront la Capselle. Parmi les fruits charnus seront la Drupelle, dont l'endocarpe est ligneux; la
fruits charnus seront la Drupelle, dont l'endocarpe est ligneux; la Bacle, dont l'endocarpe est mince ou disparu. Ces sept espèces de fruits simples peuvent être adoptées; il n'en faut pas plus. Les mêmes espèces doivent se retrouver dans les quatre dernières classes, car les fruits qu'elles contiennent ne sont constitués que par l'agrégation variable de carpelles identiques, ayant la même origine, la même conformation, les mêmes altérations. On peut les désigner seulement par une désinence différente dans chaque classe. Ainsi les Monocarpelles seront simplement appelés Caryopses, Akènes, Nucelles, Carcasses, Capselles, Drupelles, Bacles, ou Monocaryopses, Mono akènes, etc. Les Poly carpelles,
Drupelles, Bacles, ou Monocaryopses, Mono akènes, etc. Les Poly carpelles, en raison du nombre des carpelles qui les composent, seront des di-tri-tétra-penta-poly-caryopses, akènes, bi-tri-quadri-quinque-hectaires, nucelles, carcères, capselles, etc. Les Monocarpellides seront des di-tri-tétra-penta-poly-caryopsides, etc. Les Polycarpelliennes seront des di-tri-tétra-penta-poly-caryopsies, akénies, etc., etc. Les Polythalamiques seront des di-tri-tétra-penta-poly-caryopsions, akénions, etc. On le voit, au moyen des sept espèces primitives de fruits répétées dans les cinq classes et distinguées seulement par la terminaison, on a trente-cinq espèces de fruits, et ce nombre est ensuite multiplié par le nombre des carpelles. C'est largement tout ce qu'exige la pratique. Il faut s'arrêter là. La
tout ce qu'exige la pratique. Il faut s'arrêter là. La multitude de modifications que présentent les fruits seront désignées par des épithètes clairement définies, logiquement coordonnées. En raison du nombre des spires formées par les carpelles, les fruits seront monospirés ou polyspirés. En raison du mode et du degré de soudure des feuilles carpellaires, les fruits seront anaxiles, chorisaxiles, synaxiles, choriscéphaliques, chorisbasiques, chorismériques, chorisphragmatiques, choristhécaux, synthécaux, synnerviques, syntrophospermiques, synlomatiques. Leur partition sera intercarpellaire, septicide, nervifrâge, axifrage, lomentacée, etc. Leur déhiscence sera intercarpellaire, etc., ou méridienne, latéricide, marginicide, placenticide, suturicide, denticide, fissuraire, valvaire, circumscissile, foraminaire, etc. Leur état charnu sera mésocarpique,
fissuraire, valvaire, circumscissile, foraminaire, etc. Leur état charnu sera mésocarpique, endoarpicen, arilléen, épispermien, polyphorien, calycéen, bractéen, cupuléen, pédunculéen, phoranthéen, etc. Tous ces mots diversement assemblés permettront de caractériser laconiquement les innombrables modes de structure que présentent les fruits. Quelques exemples feront voir combien il est facile de caractériser tous les fruits admis par les botanistes. La Cariope ou l'Akène, conservent leurs noms. La Noix est une nucule ou une nucellule, selon le nombre de carpelles. La Carcérielle, une carcérielle ou une carcérée, selon le nombre des carpelles. La Samare, un akène, une akénie, etc., ailé. La Caisse, une uni-bi-tri-capselle, etc.,
akène, une akénie, etc., ailé. La Caisse, une uni-bi-tri-capselle, etc., suturicide. La Gousse, une capselle méricide et suturicide. La Drupe, une drupelle. Le Nucule, une drupellide. Le Gland, une aliénide cupulifère. La Noisette, une nucellide cupulaire. Le Poliakène conserve son nom, ou est plus ou moins un akène. Le Gynobase est un tétrakène choristhécal. La Coque est une aliène, une 2-3-carcérielle, une 2-3-capselle, chorisphragmatique. Le Foliage, une dicapselle chorisbasique. La Silique, une dicapselle marginicide. La Paragne, une capsule circumscissile. La Capsule, une capselle. La Baccule, une baccelle synlomatique. L'Hyesprie, une baccelle endo-carpière. La Balauste, une baccelle polyspirée, épispérmiene. La Mélonide,
baccelle endo-carpière. La Balauste, une baccelle polyspirée, épispérmiene. La Mélonide, une baccelle inférieure, perforée au sommet. La Xylodie, un aliène, dont la partie charnue est pédunculée. Le Sorose, un baccellion calycéen. La Spike, un baccellion phoranthéen. Le Pseudocarpe, un baccellion bractéolé. Ainsi, tous les fruits sont définis avec plus de précision. L'idée de leur structure et de leurs affinités est conservée; de nombreuses distinctions sont faites là où la confusion existait, et l'on conserve, à l'aide des principes exposés, la faculté de caractériser les espèces de fruits non distingués par les auteurs, espèces bien plus nombreuses que celles qui ont
les auteurs, espèces bien plus nombreuses que celles qui ont été acceptées. Paléontologie. – Mémoire sur le Rhinocéros minutus de Saint-Martin d'Arènes, près de Nîmes, département du Gard; par M. d'Hombres-Firmas. (Extrait.) Les Nouvelles études sur les Rhinocéros fossiles publiées par M. Duvernoy, sont un résumé de tout ce qu'on avait écrit jusqu'à présent sur ces animaux et de ses propres observations. Il discute, en profond anatomiste, les caractères d'après lesquels ses prédécesseurs ont déterminé leurs diverses espèces; il décrit et énumère les diverses localités dans lesquelles on a découvert des ossements de Rhinocéros, en Angleterre, en Allemagne, en Belgique,
des ossements de Rhinocéros, en Angleterre, en Allemagne, en Belgique, en Italie, comme en France. Une seule a été oubliée, selon moi. Je ne me propose pas de suivre les études du savant professeur qui me semble ne rien laisser à désirer; mais une sorte d'amour-propre, s'il faut l'avouer, m'a porté à lui faire connaître une localité de plus, dans mon pays, où j'ai trouvé des restes de Rhinocéros. Je les adressai à l'Institut (en octobre 1839) et je les offris au Muséum d'Histoire naturelle, s'ils étaient assez intéressants pour y figurer. Une Commission, composée de MM. de Blainville, Flourens
y figurer. Une Commission, composée de MM. de Blainville, Flourens et Cordier, sans conteste très compétente, fut chargée de les examiner, et le premier dans son Rapport, que je rappelai à M. Duvernoy, dit qu'ils ont reconnu une portion subterminale supérieure du cubitus, un fragment inférieur du radius, une tête supérieure articulaire d'os métacarpien qui ont appartenu à une fort petite espèce de Rhinocéros ou peut-être à un Anthropothérium. Il propose à l'Académie des Sciences de me répondre que de nouvelles recherches à Saint-Martin d'Arènes ne pouvaient qu'être utiles et profitables à la science, et de me remercier au nom
profitables à la science, et de me remercier au nom de l'Administration du Muséum qui acceptait avec empressement, dans l'intérêt de ses riches collections, les ossements que je lui offrais. On m'objectera que le Rapporteur semble incertain entre le Rhinocéros et l'Anthropothérium je répondrai avec lui que ces deux genres pourront bien un jour se rapprocher, lorsque le dernier, encore peu connu, sera plus soigneusement étudié; j'ajouterai qu'après un nouvel examen, il m'a écrit et répété, à Paris, être persuadé que les os d'Arènes appartenaient à un Rhinocéros. M. Duvernoy, dans une Lettre qu'il m'a adressée l'an passé, m'assurait qu'il
dans une Lettre qu'il m'a adressée l'an passé, m'assurait qu'il s'empresserait de réparer, dans un nouveau Mémoire, l'omission contre laquelle j'avais réclamé, s'il acquérait la conviction que les ossements d'Arènes fussent en effet du Rhinoceros minutus. Il est très vrai que M. Blainville ne fait pas mention de cette espèce, établie par Cuvier, mais parce qu'il ne l'adoptait point et qu'il en faisait une variété très petite du Rhinoceros incisivus. Personne ne le sait mieux que mon savant confrère qui le dit formellement. Ce n'est donc pas sur le Rapport de son prédécesseur, ni d'après les souvenirs de MM. Flourens
de son prédécesseur, ni d'après les souvenirs de MM. Flourens et Cordier, mais sur les pièces originales qu'il a pu se convaincre; j'ignore s'il les a vues. M. Duvernoy m'écrit qu'il n'en trouve aucune trace dans l'Ostéographie; que Cuvier n'en parle pas dans ses Recherches qu'il n'en est fait aucune mention dans l'article Rhinocéros de M. Laurillard, imprimé dans le Dictionnaire d'Histoire naturelle. Si je ne me trompe, ces ouvrages sont antérieurs à ma découverte. Cette petite digression m'a éloigné d'Arènes, qui est pour les naturalistes, ainsi que je le ferai voir bientôt, une des localités les plus intéressantes des
ferai voir bientôt, une des localités les plus intéressantes des Cévennes. Je ne vois pas parmi les anciens naturalistes, que l'abbé de Sauvages; l'abbé Soulavie, Astruc et Gensanne, qui ont publié leurs observations dans ce pays, aient cité la localité d'Arènes; je l'ai donc signalée le premier depuis 1817, dans divers écrits présentés à l'Institut, à l'Académie du Gard, ou aux diverses Académies dont j'ai l'honneur d'être associé. Je les ai fait imprimer dans le Recueil de mes Mémoires dont j'ai fait hommage aux grandes bibliothèques, à beaucoup de mes honorables confrères et à tous mes amis. J'ai servi de