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les équations différentielles qu'on se propose d'intégrer elles ne le sont pas, il donne différents moyens d'opérer cette séparation, soit par les multiplications ou les divisions, soit en transformant l'équation. Celles qu'on nomme équations linéaires, sont les premières auxquelles il applique la méthode; il enseigne comment on peut les construire dans tous les cas, & comment on peut réduire plusieurs autres qui en paraissent différentes, au cas de l'homogénéité. Seul M. Bernoulli avait donné en 1694, dans les Journaux de Leipzig, la manière d'intégrer une espèce d'équation qu'on rencontre souvent dans la solution des problèmes mais ce germe, précieux en
dans la solution des problèmes mais ce germe, précieux en lui-même, avait besoin d'être développé; c'est ce qu'a fait M. de Bougainville par une méthode particulière qu'il donne, non seulement d'intégrer ces équations lorsqu'elles se présentent sous leur forme naturelle, mais encore de rappeler à cette forme un grand nombre d'autres équations qui en paraissaient très-différentes. Plus les équations différentielles ont de termes, & plus elles sont quelquefois rebelles au calcul. Cette difficulté n'a pas arrêté M. de Bougainville; il donne la manière de reconnaître dans celles qui ont trois & quatre termes, celles qui se peuvent intégrer dans ce
& quatre termes, celles qui se peuvent intégrer dans ce nombre se retrouve la même équation de Ricati, mais elle ne s'y retrouve que comme un cas particulier de beaucoup d'autres plus compliquées. Il arrive souvent, même en Mathématiques, que les cas les plus remarquables par leur singularité rentrent dans des théories générales, dont ils ne font plus qu'une très-petite partie. Lorsque les deux différentielles sont élevées à des puissances différentes, leur intégration devient plus difficile on retrouve encore ici les équations homogènes, mais sous une forme beaucoup plus générale. M. de Bougainville fait voir comment on peut intégrer dans
M. de Bougainville fait voir comment on peut intégrer dans beaucoup d'autres cas les équations dans lesquelles les deux différentielles se trouvent mêlées ensemble, ou élevées à des puissances plus grandes que l'unité. Une autre méthode que préfente M. de Bougainville dans son ouvrage, est celle d'employer les coefficients indéterminés pour intégrer en même temps plusieurs équations qui contiennent un certain nombre de variables. La même méthode peut encore servir pour déterminer une intégrale par certaines conditions données de la différentielle. L'intégration des équations de quantités différentielles à plusieurs variables du Second ordre & au-delà, fait l'objet du second livre
du Second ordre & au-delà, fait l'objet du second livre de cette dernière partie. La théorie générale, qui en est comme la clef, est d'y supposer comme constantes, telle différentielle qu'on juge à propos. En employant cette méthode & le servant des règles que l'auteur a données précédemment, dont il ne fait que d'heureuses applications, on vient à bout de ces équations, même des plus compliquées. Cet ouvrage a paru très-propre à remplir le défaut que les Géomètres ressentent depuis longtemps; d'avoir un traité sur le calcul intégral, qui expliquât clairement tout ce qui a été fait sur cette matière.
clairement tout ce qui a été fait sur cette matière. Il avait fallu jusqu'ici le chercher avec beaucoup de peine dans plusieurs morceaux répandus dans un grand nombre d'ouvrages, & souvent très difficiles à entendre. M. de Bougainville les a ramenés dans un même corps, a complété ce qui pouvait avoir été omis par les Auteurs, & présenté sous un même point de vue tous les principes & toutes les méthodes du calcul intégral, dont il fait partout sentir l'art & l'esprit, & qu'il détaille avec tout l'ordre, toute l'intelligence & toute la clarté possibles. Un ouvrage de cette espèce
& toute la clarté possibles. Un ouvrage de cette espèce mérite de la part des Mathématiciens d'autant plus de reconnaissance, que pour mettre en usage des termes mêmes de l'auteur, il a fallu sacrifier presque partout la gloire de l'invention à la nécessité d'être utile. ASTRONOMIE. ÉTOILES QU'ATTENTION qu'eût apportée M. Picard à la mesure qu'il fit en 1700, entre Vincennes & Juvis, d'une base qui devait servir de fondement à tout l'anément de ses triangles, il n'avait cependant pas pu se mettre à l'abri de toute erreur. Nous avons dit en 1744 que l'accord que M. de Thury avait
dit en 1744 que l'accord que M. de Thury avait trouvé entre les côtés de quelques-uns de ses triangles & les bases qu'il avait mesurées lui-même; tandis que ces mêmes bases ne pouvaient cadrer avec les côtés des triangles qui partaient de la base de M. Picard, lui avait fait soupçonner une erreur dans la mesure de cette base. En effet, M. les Académiciens qui ont fait le voyage du Nord ayant voulu répéter les observations astronomiques qui servaient à déterminer le degré du Méridien aux environs de Paris, en retenant la mesure géodésique de M. Picard, avaient trouvé ce
retenant la mesure géodésique de M. Picard, avaient trouvé ce degré de 7° 48' 3 toises au lieu que le même degré déduit des mêmes observations astronomiques, mais en employant la mesure géodésique de M. de Thury & l'Abbé de la Caille, ne se trouvait plus que de 7° 474. toises, plus petit que le premier de 100 toises. différence trop sensible pour pouvoir être rejetée sur les erreurs inévitables dans les opérations. Une pareille incertitude méritait bien qu'on fit de nouveaux efforts pour s'en délivrer; mais, pour rendre la décision plus authentique, il fallait non seulement une véritable mesure
décision plus authentique, il fallait non seulement une véritable mesure faite par un Académicien, en présence de plusieurs autres, mais il fallait encore que ceux qui auraient à l'opération, y travaillaient eux-mêmes & en seraient chargés par l'Académie. Ce fut la raison qui empêcha l'Académie d'accepter la proposition que fit un Académicien de mesurer cette base, en invitant ceux de la Compagnie qui le voudraient, à y être présents. L'Académie jugea, avec raison, que l'attention des Spectateurs serait beaucoup plus grande en les rendant acteurs, & que d'ailleurs une mesure faite par ses ordres & par des Commis nommés de
faite par ses ordres & par des Commis nommés de sa part, aurait un degré de certitude bien différent de celui que pouvait donner la même mesure faite par un seul Académicien. Dans cette vue l'Académie nomma, pour cette importante vérification, huit Commis choisis presque tous dans le nombre des Académiciens qui avaient déjà exécuté en grand des ouvrages de cette espèce. On les partagea en deux bandes, qui devaient chacune de leur côté faire séparément les mêmes opérations ce qui devait donner encore un nouveau degré de certitude aux résultats, qui par-là devenaient, pour ainsi dire, un jugement contradictoire.
résultats, qui par-là devenaient, pour ainsi dire, un jugement contradictoire. La première bande qui a rendu compte de son travail, était composée de M. Bouguer, Camus, Cagnat de Thury & Pingré. Nous allons tâcher de donner une idée des précautions qu'ils ont prises pour se mettre, autant qu'il était possible, à l'abri de toute erreur. Une difficulté au premier coup d'oeil, très-difficile à vaincre, se présentait d'abord les termes de la base mesurée par M. l'Abbé Picard n'existaient plus, ou du moins ils pouvaient être méconnus. Comment donc vérifier une mesure dont il ne restait plus de vestiges certains! La
mesure dont il ne restait plus de vestiges certains! La réponse à cette objection n'est cependant pas difficile à trouver. M. Picard a mesuré trigonométriquement les distances entre différents objets, & il les a conclues d'après la mesure de sa base, en mesurant avec toute l'attention possible une nouvelle base & la liant aux mêmes triangles. Il est clair que si la base de M. Picard était exacte, on devait retrouver le même nombre de toises entre les mêmes objets. Il n'était donc plus nécessaire de s'attacher à démêler avec peine les vestiges incertains des termes de l'ancienne base; &
peine les vestiges incertains des termes de l'ancienne base; & ce fut effectivement le parti que prirent les Académiciens chargés de cette vérification. Pour ne rien négliger de ce qui pouvait contribuer à l'exécution de l'opération, on avait préparé quatre perches bien droites, de cinq toises chacune; elles étaient armées de fer à leurs extrémités, & se terminaient d'un côté par une surface absolument plane & de l'autre par une espèce de convexité. On les avait fait peindre à l'huile, pour les garantir de l'humidité et pour les remettre toujours dans le même ordre, deux étaient peintes en rouges et
dans le même ordre, deux étaient peintes en rouges et les deux autres en blanc. On les portait par deux ans placées à environ sept pieds de leurs extrémités; on leur donna d'abord un peu trop de longueur remettant à les étalonner sur le lieu même. Pour cela on avait préparé un étalon de même mesure, ayant ses extrémités deux poupées de cuivre, entre lesquelles devaient entrer les perches et comme les inégalités du terrain sur lequel on devait les poser en auraient pu altérer un peu la longueur, une des poupées avait une vis qui la traversait, et dont
des poupées avait une vis qui la traversait, et dont l'extrémité devait servir de terme; par ce moyen on pouvait toujours remédier aux changements que l'étalon aurait trouvés. On avait de plus un gros étalon de fer, de la même mesure précise d'une toise et cinq autres toises composées d'une règle de fer encadrée dans du bois, et qui débordait un peu par ses extrémités: on avait tenu ces dernières, comme les perches, un peu plus longues, pour les étalonner sur le lieu même. La toise qui servit de mesure, était la même qui avait servi aux opérations faites sous
était la même qui avait servi aux opérations faites sous le Cercle polaire elle diffère de celle qui a servi aux opérations faites sous l'Équateur, d'environ un vingtième de ligne, différence très-petite en effet, mais de laquelle cependant les Commis ont cru devoir avertir. L'attention qui leur a fait découvrir une si légère différence, est un gage de la certitude de leurs déterminations. Non seulement on doit être en garde dans de semblables opérations contre l'inexactitude de la mesure, mais il faut encore se garder de l'inexactitude accidentelle qu'y peut apporter la variation de la température de l'air. Des expériences
apporter la variation de la température de l'air. Des expériences sans nombre ont appris que les métaux s'allongeaient par la chaleur, mais on aurait peine à se souvenir combien cette variation est prompte une toise de fer qu'on vient d'étalonner et qui entre dans l'élan, cesse d'y pénétrer si on la manie pendant quelque temps; la seule chaleur de mains suffit pour la faire allonger intimement c'est pourquoi, cette raison que M. les Commis ont eu grand soin d'étalonner souvent leurs mesures et de marquer exactement le degré du thermomètre. Les précautions qu'ils prirent pour assurer la rectitude de la
Les précautions qu'ils prirent pour assurer la rectitude de la ligne pour éviter le déplacement des perches et pour échapper aux inégalités du terrain, ne furent pas moins grandes que celles qu'ils avaient prises pour s'apaiser de l'exactitude des mesures et enfin la distance entre les centres des deux pyramides élevées l'une à Villejuive et l'autre à Juvin, fut trouvée de 16 toises pieds et quelques pouces, le thermomètre de M. de Reaumur étant à -11 ou -12 degrés au dessous de la congélation. Cette base, mesurée avec tant de soin et de précautions, fut liée à trois triangules de
soin et de précautions, fut liée à trois triangules de la mesure de M. Picard le premier avait pour ses pointes les deux extrémités de la base et le moulin de Fontenay; le second, la pyramide de Juvin, le moulin de Fontenay et la tour de Montlhéry le troisième enfin avait ses trois angles, l'un au moulin de Fontenay, l'autre à Montlhéry, et le troisième au clocher de Brie-Comte-Robert. Il est évident que par cet enchaînement, ce dernier donnait la distance entre Montlhéry et le clocher de Brie-Comte-Robert en parties de la base si donc celle de M. Picard avait
de la base si donc celle de M. Picard avait été exactement mesurée, la même distance entre Montlhéry et Brie-Comte-Robert devait se déduire du triangle qu'il avait formé aux trois mêmes objets; et au contraire sa base était fautive, il devait se trouver une différence dans cette mesure. Ce fut en effet ce qui arriva; la distance entre ces deux endroits avait été conduite par M. Picard de 1321 toises pieds, et par M. de Thury de 1318, et les Commis la trouvèrent de 1208 toises seulement, avec une différence de 11 toises d'où il suit que M. Picard s'étant
de 11 toises d'où il suit que M. Picard s'étant trompé d'environ une toise sur mille, il a dû errer de 60 toises sur la mesure du degré. Cette erreur néanmoins ne rendrait pas raison, si elle était seule, de la différence d'environ 100 toises qui se trouve entre les deux déterminations tirées, l'une de la mesure géodésique de M. Picard, et l'autre de celle de M. de Thury. Mais si on fait attention que M. Picard, gêné par la saison qui s'avancait, n'a pas apporté toute la précaution nécessaire dans la mesure de la partie septentrionale de sa méridienne
dans la mesure de la partie septentrionale de sa méridienne qu'on y trouve des triangles dont les angles sont très-aigus, et d'autres dont il n'a observé que deux angles on ne sera pas surpris qu'il ait pu s'y donner quelque erreur, et en effet on trouve sur le seul côté qui mesure la distance de Sourdon à Amiens, ou 35 toises de différence entre la détermination de M. Picard et celle qui en a été faite depuis par M. de Thury et l'Abbé de la Caille. En voilà assez pour remplir presque toute la différence des deux mesures de degré,
remplir presque toute la différence des deux mesures de degré, et pour faire voir que M. Picard s'était trompé dans sa mesure géodésique, quoiqu'on trouve le contraire dans quelques ouvrages d'Astronomie. On ne doit pas, au reste, s'en étonner; on n'avait pas alors des idées bien nettes de plusieurs variations physiques que nous connaissons les instruments n'étaient ni assez parfaits ni aussi commodes qu'ils le sont et privé de ces secours, il fallait peut-être qu'il fût aussi habile qu'il l'était pour ne s'être pas trompé davantage. DES OBSERVATIONS ET DES OPPOSITIONS DES PLANÈTES AUSTÉRE, ET DE LA TERRE ET DES
OPPOSITIONS DES PLANÈTES AUSTÉRE, ET DE LA TERRE ET DES PLANÈTES, ONT D'AUTANT PLUS PLEINDE JOYE AUX ASTRONOMES QUE DANS CES POINTS LA MÊME LIGNE DROITE JOINT LES CENTRES DU SOLEIL, DE LA TERRE ET DE LA PLANÈTE. que par conséquent l'Observateur voit dans le même point du ciel où le verrait un Spectateur placé dans le Soleil; ce qui n'arrive pas dans toute autre Situation, le mouvement de la Terre dans Son orbite altérant toujours plus ou moins à nos yeux le mouvement propre de la Planète. C'est donc rendre un Service réel aux Astronomes que de leur donner
rendre un Service réel aux Astronomes que de leur donner un grand nombre de ces oppositions, déterminées d'après des observations exactes. M. Cassini avait donné, dans ses Éléments d'Astronomie, celles de Jupiter depuis 1664, et celles de Saturne depuis 1685 jusqu'en 1733, les unes et les autres déduites des observations faites à l'Observatoire royal. M. le Gentil a continué le même travail et donné les oppositions de ces deux Planètes depuis 1733 jusqu'en 1751, déduites des observations faites au même lieu ce qui fait pour Jupiter une suite de quatre-vingt-trois ans, et pour Saturne une de soixante-dix, avantage bien grand
ans, et pour Saturne une de soixante-dix, avantage bien grand pour déterminer la théorie astronomique de ces Planètes. Pour donner à ces observations tout le degré d'authenticité dont elles sont susceptibles, M. le Gentil ne s'est pas contenté de les calculer, mais il les a fournies à un sérieux examen le seul moyen assuré d'éviter les suites des erreurs qui auraient pu s'y glisser. Les oppositions des Planètes ne s'observent pas immédiatement on les déduit des observations de l'ascension droite et de la déclinaison de la Planète, faites plusieurs jours de avant et plusieurs jours après l'opposition. Dès lors il
de avant et plusieurs jours après l'opposition. Dès lors il suit que si l'observation du passage de la Planète par le Méridien, ou celle de sa hauteur, est affectée de quelqu'erreur, cette même erreur influera aussi sur la détermination du point du ciel et de l'instant auquel s'est faite l'opposition. Or la précision de ces observations dépend absolument de la justesse avec laquelle le plan de l'instrument mural est placé dans le Méridien, et de la précision avec laquelle il donne les hauteurs. Le désaccord de la première condition jettera nécessairement de l'erreur dans l'ascension droite, et le désaccord de
nécessairement de l'erreur dans l'ascension droite, et le désaccord de la Seconde altérera les déclinaisons. M. le Gentil s'est donc lovigtement appliqué à vérifier, par des hauteurs correspondantes du Soleil et de différentes étoiles, la position à l'égard du Méridien de plusieurs points du limbe; il en a confirmé une table, et l'ayant comparée avec une autre table faite par M. Cassini dix-sept ans auparavant, il n'y a presque trouvé aucune différence. Il a fait plus il a répété quelques années après les mêmes vérifications, et il a toujours eu couramment les mêmes résultats. Pour s'affurer même si le chaud
couramment les mêmes résultats. Pour s'affurer même si le chaud et le froid ne pouvaient pas y influer pour quelque chose, il a fait les mêmes observations avec des températures d'air tout-à-fait différentes, sans que jamais il ait pu trouver d'autres différences que celles qu'on peut raisonnablement attribuer aux petites erreurs inévitables dans les observations. La même confiance ne s'est pas trouvée dans les hauteurs observées par la comparaison des hauteurs de Saturne et de Jupiter avec celles du Soleil et des principales étoiles lorsqu'elles avaient à peu près la même hauteur méridienne. M. le Gentil y a reconnu une
même hauteur méridienne. M. le Gentil y a reconnu une légère variation, c'est ce qui l'a déterminé à ne rien concourir que d'après deux ou trois résultats, entre lesquels il prenait un milieu et c'en est par ce moyen qu'il a pu parvenir à dresser une table des erreurs de l'instrument sur les hauteurs, et à corriger les hauteurs apparentes de Jupiter et de Saturne. On peut s'assurer que ces hauteurs corrigées ne sont pas les véritables, elles n'en diffèrent que de peu de Secondes, qui peuvent être légitimement regardées comme un véritable insignifiant en cette occasion. M. le Gentil
comme un véritable insignifiant en cette occasion. M. le Gentil a de même pris les milieux entre les ascensions droites de Saturne et de Jupiter, conclus de la différence entre le passage de ces astres et celui du Soleil, et celle qu'il tirait de la comparaison de ce même passage au Méridien avec celui des étoiles. Les erreurs de l'instrument et leurs limites étant bien établies, M. le Gentil discute avec le même soin et la même exactitude les observations dans lesquelles il pouvait soupçonner quelque légère incertitude, et rend compte des moyens qu'il a employés pour s'en délivrer. C'est
compte des moyens qu'il a employés pour s'en délivrer. C'est en apportant une attention scrupuleuse qu'il est parvenu à dépouiller ses résultats de tout ce qui pouvait en altérer la précision, et qu'il en a dressé deux tables, l'une pour Jupiter et l'autre pour Saturne dans lesquelles on trouve pour chaque année, depuis 1733 jusqu'à comprise 1751, temps de l'opposition de la Planète avec le Soleil, la longitude et la latitude observées de la même Planète, la longitude calculée par les tables de M. Cassini, et celle qu'on déduit des tables de M. Halley, avec la différence entre ces calculs
tables de M. Halley, avec la différence entre ces calculs et l'observation seconde moyen de déterminer avec certitude les erreurs des tables et la correction que l'on doit y faire. Mais comme M. le Gentil n'a pas voulu exiger des Astronomes de s'en rapporter aveuglément à son travail, et que d'ailleurs il a cru que les observations sur lesquelles il est fondé pourraient être utiles à d'autres usages il les a jointes à son Mémoire avec toutes les circonstances qui les ont accompagnées. Des résultats travaillés avec tant de soin, sont les véritablements des théories astronomiques. Plus ce travail est
sont les véritablements des théories astronomiques. Plus ce travail est difficile et rebutant, plus on doit de reconnaissance à ceux qui veulent bien s'en charger et se garder des autres. Nous prenons dans son livre Mém. sur un Voyage entrepris par un Astronome aussi exact et aussi laborieux que M. l'Abbé de la Caille, devait produire nécessairement un grand nombre d'observations utiles. Il a communiqué cette année celles qu'il avait faites dans l'Île de France et dans ses différentes traversées. Nous n'entreprenons pas ici de parler de toutes, nous nous contenterons d'en présenter quelques résumés. On fait que l'aiguille de
contenterons d'en présenter quelques résumés. On fait que l'aiguille de la boussole d'inclinaison, quoique mise exactement en équilibre sur ses pivots avant que d'être aimantée, ne s'y trouve plus dès qu'elle a reçu la vertu magnétique, mais qu'elle prend alors une direction plus ou moins inclinée, selon qu'elle est plus près ou plus loin du pole magnétique : nous disons du pole magnétique, parce que ce pole est l'unique de celui auquel aboutissent tous les Méridiens terrestres. Une suite d'observations de ces inclinaisons était donc extrêmement utile ; l'Abbé de la Caille les a faites, non seulement dans tous les
la Caille les a faites, non seulement dans tous les endroits où il a relâché, mais même en mer ; et la table qu'il en donne, avec les longitudes et les latitudes des endroits où il a observé, peut très utilement servir à la détermination de tout le système singulier de l'équateur des poles et des lignes courbes qui y tiennent lieu de Méridiens. C'est dans cette même vue qu'il a joint les observations des variations ou décinaisons de l'aiguille aimantée, faites avec le plus grand soin. Les une et les autres peuvent être non seulement utiles à la philosophie,
les autres peuvent être non seulement utiles à la philosophie, mais on en peut encore tirer un avantage plus prochain des cartes marines où les Méridiens et les parallèles magnétiques, ou, pour parler plus justement, les courbes irrégulières qui en tiennent lieu, se trouveraient, se trouveraient très propres à faire connaître à tout instant de nuit et de jour la position du vaisseau, n'y ayant peut-être aucun point sur notre globe qui ait à la fois la même latitude, la même inclinaison et la même décinaison de l'aiguille aimantée. On pourrait peut-être objecter que l'expérience a montré que toutes ces
pourrait peut-être objecter que l'expérience a montré que toutes ces lignes magnétiques n'avaient pas une position constante, et qu'elles paraissaient affectées d'une espèce de mouvement progressif ; et que d'un autre côté des observations de cette espèce ne pourraient que très difficilement être faites en mer avec un degré de précision suffisant. Ni l'une ni l'autre de ces objections ne font sans réplique ; on parait le premier inconvénient en donnant à peu près tous les dix ans des cartes où le changement de position des lignes magnétiques serait exactement marqué, et les observations de M. l'Abbé de la Caille
marqué, et les observations de M. l'Abbé de la Caille sont elles-mêmes la meilleure réponse à la seconde objection. Il s'en est bien averté par un grand nombre d'opérations ; que sur un vaisseau percé pour soixante-quatorze canons, tel que celui où il était, on peut, dans les temps ordinaires, s'assurer de l'inclinaison et de la décinaison ou variation de l'aiguille, à moins d'un demi-degré près. Une des principales recherches de M. l'Abbé de la Caille a été à Rio, où il en a déterminé la latitude par des observations des hauteurs méridiennes du Soleil, de 22° 30' 38". À