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de rechercher s'il existe en outre des séries linéaires de figures convexes d'équilibre non ellipsoïdales. Pour cela, il cherche à reconnaître Parmi les ellipsoïdes de Maclaurin et ceux de Jacobi, il y a des formes de bifurcation. Pour arriver à ce résultat, il faut calculer les coefficients de stabilité de ces ellipsoïdes et rechercher dans quels cas ils s'annulent. Ces coefficients dépendant des fonctions de Lamé, on est amené à rappeler les résultats des travaux de Lamé et de Liouville au sujet de ces fonctions : c'est par là que se termine ce paragraphe. § 9. Détermination des coefficients de
se termine ce paragraphe. § 9. Détermination des coefficients de stabilité. — Pour que l'ellipsoïde x' y' z2 / p2 + p2 − b2 -1p2 − cl 1 Puisse être une forme de bifurcation, il faut que l'un des coefficients de stabilité annule; on trouve ainsi, par deux voies différentes, la condition 1 étant Une fonction de Lamé de p et de degré n, et Si la fonction conjuguée définie par l'équation § 10. Discussion de l'équation fondamentale. — On a à rechercher si l'équation (i), où p2 est l'inconnue, admet des racines comprises entre + c2 et et l'on
admet des racines comprises entre + c2 et et l'on trouve les résultats suivants : Ri divisible par ~ pas de racine; Ri non divisible par ~ − c2, n > i; une racine; Ri non divisible par ~ c n − i; pas de racine. §§ 11 et 12. Ellipsoïdes de révolution et ellipsoïdes de Jacobi. — On établit que, parmi les ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi qui sont des figures d'équilibre de la masse fluide, il y en a qui sont des figures de bifurcation. § 13. Petits mouvements d'un ellipsoïde. — On étudie successivement les petits
Petits mouvements d'un ellipsoïde. — On étudie successivement les petits mouvements absolus d'un ellipsoïde rapporté à des axes fixes et les petits mouvements relatifs d'un ellipsoïde fluide rapporté à un système d'axes mobiles tournant avec une vitesse uniforme w autour de l'axe des z. § 14. Stabilité des ellipsoïdes. — On reprend les considérations du § 7 et l'on en fait l'application aux ellipsoïdes. § 15. Conclusions. — L'auteur, après avoir rappelé les principaux résultats de son important Mémoire, les résume sous une forme concrète en exposant ce qui arrive d'une masse fluide homogène animée originellement d'un mouvement de rotation
d'une masse fluide homogène animée originellement d'un mouvement de rotation et qui se contracte en se refroidissant lentement, mais de façon à rester toujours homogène; le refroidissement est supposé assez lent et le frottement intérieur du fluide assez fort pour que le mouvement de rotation reste le même dans les diverses portions du fluide. Pincherle (S.). — Note sur une intégrale définie. (381-386). Soient A (z), ϕ(z) deux séries de Laurent, la première convergente dans l'anneau circulaire (|p2|,1), la seconde convergente dans l'anneau circulaire (R, Rj . L'intégrale prise le long d'une circonférence concentrique et interne à l'anneau (R, R,)
long d'une circonférence concentrique et interne à l'anneau (R, R,) et de rayon p, représente aussi une série de Laurent. Si l'on fixe A~ tandis que ϕ(y) est une série de Laurent quelconque, on peut regarder l'expression (*) comme un algorithme appliqué à l'objet ϕ(y), et dont le résultat est de même espèce que l'objet, c'est-à-dire une série de Laurent. M. Pincherle considère en particulier le cas où l'on a La différence A f(x) = f(x) f(p2x) est une série de Laurent convergente dans l'anneau (R, et l'on trouve que Δf(x) = ϕ(x) c0. Ce résultat sert de point de
Δf(x) = ϕ(x) c0. Ce résultat sert de point de départ à l'auteur. Runge (C.). — Sur la représentation des fonctions arbitraires. (387-392). Considérations simples sur la représentation d'une fonction arbitraire à l'aide de fonctions rationnelles. E. COSSERAT. Tome VIII; 1886. — Sur la partie du mouvement du périgée lunaire qui est fonction des moyens mouvements du Soleil et de la Lune. (1 -36). Mellin. — Sur la théorie de la fonction Γ. (37-81). Étude des fonctions de la forme où μ1, μ2, ..., μr; v1, v2, .. ., v, sont des nombres entiers positifs et a1, a2, .. ar;
sont des nombres entiers positifs et a1, a2, .. ar; b2, b, des constantes indépendantes de z. L'auteur généralise, pour ces fonctions, les beaux théorèmes que M. Pryme a donnés pour la fonction Γ dans le tome 82 du Journal de Crelle. En outre, l'application du théorème de Mittag-Leffler le conduit à un grand nombre de transcendantes nouvelles, intimement liées à la fonction Γ et, d'un autre côté, avec les intégrales de certaines équations différentielles linéaires. La fonction F (z) vérifie évidemment la relation (2) F(s + 1)=Γ(z)F(z), où chaque fonction rationnelle Γ(z) correspond une fonction et, si l'on fait
fonction rationnelle Γ(z) correspond une fonction et, si l'on fait extraction d'un facteur e2kiπz, où k est un entier, une seule fonction ayant la forme (Γ) satisfaisant à la relation (2 ). Toutes les autres fonctions qui satisfont à la même relation peuvent s'obtenir en multipliant cette fonction particulière par une fonction admettant une période égale à 1. Staude (O.). — Sur les intégrales hyperelliptiques de seconde et de troisième espèce. (61-92). La méthode de Riemann pour représenter les intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce au moyen des fonctions theta a souvent été employée, notamment par MM. Roch
fonctions theta a souvent été employée, notamment par MM. Roch (Crelle, t. 65, 68), Weber (ibid., t. 82); Thomae (ibid., t. 93, 94). M. Staude emploie au contraire un procédé tout analogue à celui dont Jacobi s'est servi plus tard dans la théorie des fonctions elliptiques. (Œuvres éditées par Weierstrass, t. I, p. 526, 533). Cette application de la méthode de Jacobi aux intégrales hyperelliptiques de premier ordre permet aussi à l'auteur d'établir simplement une formule de Weierstrass, qui donne l'expression, au moyen des fonctions hyperelliptiques, de l'arc d'une ligne géodésique de l'ellipsoïde. Stern. — Sur un théorème de M.
géodésique de l'ellipsoïde. Stern. — Sur un théorème de M. Hermite relatif à la fonction E(x). (93-95). Démonstration élémentaire de la relation Schubert. — Détermination de nombres pour les espaces linéaires à dimensions quelconques. (97-118). Ce Mémoire fait suite à celui du même auteur, inséré dans le vingt-sixième Volume des Mathematische Annalen, sous le titre : Die n-dimensionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen Anzahlen unseres Raumes. Stenberg (A.). — Quelques propriétés des équations différentielles linéaires. (119-154). Le Mémoire de M. Stenberg se rapporte à une série d'identités qui contiennent comme cas particulier les théorèmes de Lagrange sur les équations différentielles linéaires adjointes.
les théorèmes de Lagrange sur les équations différentielles linéaires adjointes. Holst. — Démonstration de ce théorème : Toute équation algébrique admet une racine. (155-160). Cette démonstration se tire de l'étude de la courbe telle que le produit des distances d'un de ses points à des points fixes soit constant. Nöether. — Sur les courbes algébriques réductibles. (161-192). On sait que, si l'équation F(s, z) = 0 représente une courbe algébrique irréductible d'ordre n et d'espèce p, il y a quelques théorèmes fondamentaux d'intersection concernant la relation de cette courbe avec ses adjointes. Ces théorèmes expriment géométriquement comment se comportent les
ses adjointes. Ces théorèmes expriment géométriquement comment se comportent les fonctions algébriques relatives à F = 0, en particulier pour ce qui est de leur nombre de constantes, et avant tout du nombre p des intégrales de première espèce, dans lesquelles les formes cp figurent comme numérateurs des expressions à intégrer. Les démonstrations purement algébriques, qui se trouvent dans le Mémoire Über die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie de MM. Brill et Nöther (Mathematische Annalen, t. VII), subsistent quels que soient les points singuliers de F = 0; elles supposent seulement que cette courbe est irréductible. Si
0; elles supposent seulement que cette courbe est irréductible. Si l'on supprime cette condition, ces théorèmes ne sont modifiés que légèrement, ainsi que le montre M. Nöther dans la première Partie de son travail : on obtient ainsi des extensions intéressantes des propositions antérieurement connues. En outre, il étudie le système d'équations linéaires auquel on est conduit en exprimant que les formes cp sont adjointes; il montre en particulier que le nombre p de ces formes constitue un critère pour l'irréductibilité de l'équation F = 0; c'est là un important résultat sur lequel M. Valentiner avait déjà appelé l'attention. M.
résultat sur lequel M. Valentiner avait déjà appelé l'attention. M. Nöther étudie aussi les théorèmes généraux concernant l'intersection des courbes gauches réductibles : il donne la condition nécessaire et suffisante pour que l'ensemble de deux courbes tracées sur une même surface, en ce qui concerne les relations d'intersection des courbes gauches, puisse être traité comme un cas particulier d'une courbe gauche irréductible. Dans son Mémoire Zur Theorie der Raumkurven (Acta, t. II), M. Valentiner avait déjà donné un des théorèmes de M. Nöther. Weber. — Des corps numériques abéliens. (193-263). On sait qu'on désigne sous le nom de corps numérique
On sait qu'on désigne sous le nom de corps numérique algébrique l'ensemble R(x) des expressions rationnelles à coefficients entiers en x, x étant racine d'une équation entière irréductible du degré n à coefficients entiers. Dans le Monatsberichte der Berliner Akademie du 20 juin 1853, M. Kronecker a donné la proposition capitale que voici : Les racines de toutes les équations abéliennes peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des racines de l'unité ; en d'autres termes, tous les corps abéliens sont identiques avec les corps circulaires, c'est-à-dire formés avec les racines de l'unité. Toutefois la démonstration présente des difficultés dans le cas
l'unité. Toutefois la démonstration présente des difficultés dans le cas où le degré de l'équation est une puissance de deux. À la vérité, la décomposition de certains nombres complexes qui se présentent dans la théorie de la division du cercle en leurs facteurs premiers idéaux peut alors être utilisée [KRONECKER, Monatsberichte, 14 avril 1856, 16 avril 1877, 7 décembre 1882; KUMMER, Theorie der idealen Primfactoren. (Abhandlungen, 1856)]. Le Mémoire de M. Weber contient une exposition d'ensemble relative au théorème de M. Kronecker; il est divisé en trois Parties, dont chacune forme un tout distinct: la première se rapporte à la
forme un tout distinct: la première se rapporte à la théorie générale des corps abéliens et des corps circulaires, et, en particulier, à leur représentation. Il y établit, en particulier, que, en généralisant les périodes de Gauss, on parvient à représenter tous les corps circulaires et chacun d'eux seulement une fois. Kronecker, dans l'une des Communications précédemment citées, avait touché ce point; mais sa démonstration ne regardait que le cas des corps circulaires réguliers. Dans la deuxième Partie, M. Weber s'occupe du cas où le degré du corps abélien est une puissance de deux, cas qui exige une étude propre
une puissance de deux, cas qui exige une étude propre particulière. Dans la troisième Partie enfin, il donne la démonstration complète du théorème de M. Kronecker. Sujet de prix de l'Académie du prince Jablonowski pour l'année 1889. (264). Appell. — Sur quelques applications de la fonction Z(x,y,z) à la Physique mathématique. (265-294). La fonction Z(x,y,z) introduite par l'auteur dans un précédent Mémoire des Acta est définie comme il suit: Soient a, b, c; a', b', c'; a", b", c" les coordonnées rectangulaires de trois points non situés dans un même plan avec l'origine; soient ensuite a_ = ma + m'a'
plan avec l'origine; soient ensuite a_ = ma + m'a' + m" a", by = mb + m'b' + m" b", cv = mc + m'c' + m"c", où m, m', m" sont des nombres entiers quelconques positifs, nuls ou négatifs; puis, où P_1, P_2 sont les deux premiers polynômes de Legendre, et où la sommation s'étend à toutes les combinaisons (v) des entiers m, m', m", sauf la combinaison 0, 0, 0. Cette fonction vérifie l'équation AZ = 0 et joue le rôle d'élément simple pour les fonctions de variables réelles qui vérifient cette équation et reprennent les mêmes
variables réelles qui vérifient cette équation et reprennent les mêmes valeurs aux sommets d'un réseau de parallélépipèdes déterminés par l'origine et les trois points a, b, c; a', b', c'; a", b", c". Cette fonction, représentée, comme on voit, par une série toujours convergente, permet à l'auteur de résoudre une série de problèmes de Physique mathématique, parmi lesquels la détermination de la fonction de Green pour le parallélépipède rectangle, obtenue par Riemann, et la détermination des vitesses d'écoulement des liquides par le fond d'un vase prismatique (1). M. Appell détermine la fonction de Green pour tout polyèdre possédant la propriété
la fonction de Green pour tout polyèdre possédant la propriété suivante: si l'on prend les symétriques du polyèdre par rapport à chacune de ses faces, puis les symétriques des nouveaux polyèdres par rapport à chacune de leurs faces, et ainsi de suite indéfiniment, les polyèdres en nombre infini ainsi obtenus ne pénètrent pas les uns dans les autres. Ces résultats s'étendent même, au moyen du principe des images (THOMSON, Journal de Liouville, t. XII), à certains volumes limités par des surfaces sphériques, sur lesquels M. Appell se réserve de revenir. Poincaré. — Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires. (295-344).
Poincaré. — Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires. (295-344). L'auteur débute par quelques considérations relatives aux séries divergentes qui, comme la série de Stirling, peuvent représenter asymptotiquement une fonction. D'une façon précise, M. Poincaré dit qu'une série divergente où la somme des n + 1 premiers termes est Sn, représente asymptotiquement Une fonction F (x), si, x croissant indéfiniment (par valeurs réelles), tend vers zéro. On peut multiplier deux séries asymptotiques par la règle ordinaire, on peut substituer une série asymptotique à la place de z dans une série convergente F (z) = B0 + B1 z + B2
convergente F (z) = B0 + B1 z + B2 z2, et ordonner ensuite suivant les puissances de z on obtient ainsi une série qui représente asymptotiquement F[J(x)]; on peut intégrer une série asymptotique. Tout ceci subsiste quand, au lieu de faire croître x par des valeurs réelles, on fait augmenter indéfiniment son module en conservant le même argument, mais il est essentiel de remarquer alors qu'une série divergente ne peut pas représenter une même fonction F quel que soit l'argument de x, quand on fait augmenter indéfiniment le module. M. Poincaré rappelle ensuite les principaux résultats dus à MM.
M. Poincaré rappelle ensuite les principaux résultats dus à MM. Fuchs et Thomé sur l'intégration par des séries des équations différentielles linéaires où les P sont des polynômes entiers en x : sauf des exceptions, qui se rapportent au cas où l'équation déterminante du point 00 a des racines dont les différences sont des entiers, ou à des cas plus particuliers étudiés par M. Fabry dans sa thèse, il y a n séries de la forme où Q est un polynôme entier en x, qui satisfont formellement à l'équation différentielle : une pareille série est dite série normale d'ordre p,
: une pareille série est dite série normale d'ordre p, en désignant par cette lettre le degré du polynôme Q : p est d'ailleurs au plus égal au nombre entier immédiatement supérieur au plus grand des nombres où Mi désigne le degré de P,. M. Poincaré étudie d'abord avec détail le cas où P = 1, en utilisant les résultats de son Mémoire Sur les équations aux différences finies, inséré dans le tome VII de l'American Journal, il montre qu'une série normale du premier ordre, alors même qu'elle est divergente, représente asymptotiquement une des intégrales de l'équation à laquelle elle
représente asymptotiquement une des intégrales de l'équation à laquelle elle satisfait formellement. D'ailleurs l'intégrale représentée par une même série normale ne reste pas en général la même, quel que soit l'argument avec lequel x croît indéfiniment. L'auteur donne ensuite une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série normale soit convergente et constitue ainsi ce qu'il appelle intégrale normale. Quelques exemples particuliers sont traités de façon à bien éclaircir la matière. Enfin, M. Poincaré s'occupe du cas où p = 2 et généralise les résultats précédents, de manière à arriver à la conclusion suivante : l'intégrale la plus générale d'une équation
la conclusion suivante : l'intégrale la plus générale d'une équation de rang quelconque est représentée asymptotiquement par une des séries normales qui satisfont formellement à cette équation. Toutefois, il peut y avoir exception dans le cas auquel on a fait allusion plus haut, où l'équation admet des séries anormales. Casorati. — Les fonctions d'une seule variable à un nombre quelconque de périodes. (345-386). M. Casorati consacre deux Mémoires à étudier en détail quelques équations différentielles très simples, de manière à bien mettre en lumière l'existence (qui nous parait d'ailleurs incontestable) de fonctions ayant le caractère analytique, c'est-à-dire susceptibles d'être représentées,
de fonctions ayant le caractère analytique, c'est-à-dire susceptibles d'être représentées, dans un certain domaine, par des séries de puissances qui peuvent être continuées sans obstacle, qui admettent une infinité de valeurs et qui ont un nombre de périodes supérieur à deux. M. Casorati avait déjà insisté sur ce point dans deux Communications insérées aux Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (décembre 1863, janvier 1864). La question nous paraît être au fond une question de mots: Quel sens faut-il attribuer au mot fonction? Doit-on, ou ne doit-on pas regarder Z, défini par l'égalité comme une fonction de z, ou
Z, défini par l'égalité comme une fonction de z, ou non, si, comme il n'est pas douteux, Z admet une infinité de valeurs? M. Casorati estime que, peut-être, Jacobi n'a pas soupçonné l'existence de cette infinité de valeurs. Bertrand (J.). — Sur les unités électriques. (387-392). Des deux systèmes électrostatique et électrodynamique, le premier « n'est acceptable qu'en vertu de ce principe : toute unité bien définie est légitime. Mais il ne satisfait pas à la condition principale imposée à tout système d'unités, celle de permettre des formules applicables à toutes les hypothèses et laissant indépendantes les trois unités de
toutes les hypothèses et laissant indépendantes les trois unités de longueur, de temps et de masse. » J. T. COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Tome CVI; 1888 (i). Bertrand. — Sur l'association des électeurs par le sort. (17-19). Étant donnés 10000000 d'électeurs, parmi lesquels 4500000 sont d'une opinion et 5500000 de l'opinion opposée, si l'on charge le hasard de former 1000000 de groupes de 10 électeurs, de réunir ensuite ces groupes dix par dix pour former 100000 groupes de 100, puis les groupes de 100 dix par dix pour former 10 000 groupes de 1000, et
par dix pour former 10 000 groupes de 1000, et enfin les groupes de 1000 dix par dix pour former 1000 groupes de 10000, voici les nombres les plus probables des groupes dans lesquels les électeurs de la première opinion seront en majorité : 261540 groupes de 10 15 766 » 100 8 » 1 000 0 » 10000. La probabilité pour que, sur 500 députés élus par cette méthode, la minorité obtienne un seul représentant est plus petite que celle de gagner deux fois six e suite à la loterie. De Conquoy. — Détermination du nombre maximum des Points
loterie. De Conquoy. — Détermination du nombre maximum des Points doubles proprement dits qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré donné n, dont la détermination est complétée par d'autres points simples donnés. (19-26). Dans une Communication précédente, l'auteur a montré qu'une surface de degré m, déterminée par 3 (m2 + 6 m + 11) points simples donnés, peut toujours être engendrée par deux faisceaux projectifs de surfaces dont la somme des degrés n + n' soit égale à m si m = 1, 2, 3 (mod. 4), ou à m + 1 si m est multiple
4), ou à m + 1 si m est multiple de 4, en excluant ceux des systèmes (n, n') où l'un des nombres n et n' est de la même forme que m par rapport au module 4. e même, toute surface de degré m, déterminée par 6 points doubles pouvant être pris arbitrairement et par ( m2 + 6 m + 11 ) 4δ autres points simples donnés, peut être engendrée au moins d'une manière à l'aide de faisceaux projectifs d'ordres n et n', tels que la somme n + n' soit égale à m (ou à m +
+ n' soit égale à m (ou à m + 1, si m est multiple de 4), quelques-unes des combinaisons (n, n') devant être exclues comme impropres si n ou n' est de la même forme que m par rapport au module 4. M. de Jonquières donne le détail des opérations qu'il faut faire pour trouver le plus grand nombre 6 que comporte le système (n, n') adopté pour la génération de la surface considérée. Appliquant sa méthode à la surface du dixseptième ordre, il trouve que le maximum absolu de nombre des points doubles qu'il est permis de lui
de nombre des points doubles qu'il est permis de lui attribuer arbitrairement est 82. Bouché. — Sur un problème relatif à la durée du jeu. (47 49). Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre, jusqu'à ce que l'un d'eux soit ruiné. A et B sont leurs fortunes primitives, a et b leurs mises à chaque partie, p et q = 1—p leurs probabilités respectives de gagner une quelconque des parties. On promet à Jean, qui ne joue pas, 1 franc par partie jouée. Quelle est la valeur vénale V de la promesse qui lui est faite? M. Bertrand a montré
la promesse qui lui est faite? M. Bertrand a montré que si le jeu est équitable, on a V = AB, a et b étant supposées égales à 1. Si le jeu n'est point équitable, on appellera avantage de Pierre à chaque partie la quantité ( a + b )p — a, et avantage total de Pierre la quantité (A + B) P — A, P désignant la probabilité pour que Pierre ruine Paul. Alors la valeur vénale de la promesse faite à Jean est égale au rapport de l'avantage total de l'un quelconque des joueurs à l'avantage du même
total de l'un quelconque des joueurs à l'avantage du même joueur dans chaque partie. Bertrand. — Démonstration du théorème précédent. (49-51). Kœnigs. — Détermination sous forme explicite de toute surface réglée rapportée à ses lignes asymptotiques et, en particulier, de toutes les surfaces réglées à lignes asymptotiques algébriques. (51-54). Toute surface réglée peut être représentée par des équations de la forme ρxi= gi(λ) + ( "X ) μ (i = 1,2,3,4), les courbes μ = const. étant les lignes asymptotiques de la surface. Les fonctions git hi sont liées par certaines relations nécessaires et suffisantes que M. Kœnigs établit et
certaines relations nécessaires et suffisantes que M. Kœnigs établit et qui le conduisent à cette représentation générale des surfaces réglées rapportées à leurs lignes asymptotiques : Dans ces formules, h1, h2, h3, h4 et u sont des fonctions arbitraires de leurs dérivées par rapport à ce paramètre sont désignées par des accents. Les quatre fonctions h1, h3, h4 vérifient une équation du quatrième ordre facile à former quand on connaît ces fonctions, h'v+ 4 P, h'" + 6 P, h" + 4 P3 h' + P4h 0, et qui fait connaître les coefficients P1, P3, P2, P4. Enfin V est
connaître les coefficients P1, P3, P2, P4. Enfin V est l'invariant de M. Halphen La formule est en défaut quand V = 0; elle doit alors être remplacée par celle-ci étant une constante. Pour h1, h2, h3, h4 et u, on prend des fonctions algébriques quelconques, les formules précédentes font connaître sous forme explicite toutes les surfaces réglées dont les asymptotiques sont algébriques. Elles fournissent aussi, sans exiger d'intégration, la solution générale de ce problème : Une courbe (h) étant donnée, trouver une courbe (g) correspondant point par point à (h), de sorte que le plan oscillateur en un point