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trois points fixes A, B, C. On prolonge la droite AM jusqu'à sa rencontre X avec CB, la droite BM, jusqu'à sa rencontre Y avec CA; CX, CY sont les deux coordonnées de M. Note sur un système de courbes planes. Sur la numération factorielle, application aux permutations. D'Ocagne. — Sur les systèmes de péninvariants principaux d'une forme binaire. M. d'Ocagne a montré antérieurement que l'expression est un péninvariant de la forme binaire représentée symboliquement par x2 + ay2, et que les (n — 1) péninvariants ϕ correspondant à p = 2, 3, ..., n constituent un système de péninvariants
= 2, 3, ..., n constituent un système de péninvariants principaux de cette forme. On doit donc pouvoir passer du système (ϕ) au système (v) des péninvariants principaux ordinaires définis par les formules et réciproquement. C'est ce qu'a fait M. Cesaro pour les indices pairs. M. d'Ocagne fait connaître actuellement les formules générales qui correspondent au cas des indices impairs, savoir ATTI DELLA REALE ACCADEMIA DEI LINCEI. In-40, 4e série, Rendiconti. T. IV: 1888; Ire Partie, Ier semestre. Tacchini (P.). — Sur les phénomènes de la chromosphère solaire observés à l'Observatoire royal du Collège romain dans le quatrième trimestre de
l'Observatoire royal du Collège romain dans le quatrième trimestre de 1887. (3-4). Tacchini (P.). — Observations de taches et de facules solaires faites à l'Observatoire royal du Collège romain dans le quatrième trimestre de 1887. (4). Cesaro (E.). — Sur les concepts de limite et de continuité. Cesaro (E.). — Formules relatives au mouvement d'un point. Viola (C.). — Sur les plaques minces anisotropes colorées dans la lumière polarisée parallèlement. Garibaldi (P.-M.). — Les protubérances solaires dans leurs rapports avec les variations de l'aimant de déclinaison diurne. Pincherle (S.). — Sur certaines intégrales définies. Tacchini (P.). — Sur la distribution
Sur certaines intégrales définies. Tacchini (P.). — Sur la distribution des protubérances à la surface du Soleil pendant 1887. Tacchini (P.). — Sur l'éclipsé de Lune du 28 janvier 1888. Millosevich (E.). — Observations de la petite planète (264) Libussa. Volterra (V.). — Sur une extension de la théorie de Riemann sur les fonctions de variables complexes. Note II. L'auteur établit la théorie des caractéristiques relative aux fonctions liées entre elles dans le sens de Riemann. Dans la Note III il établit la théorie des opérations de dérivation et d'intégration relative à ces fonctions. Cesaro (E.). — Sur la comparaison
relative à ces fonctions. Cesaro (E.). — Sur la comparaison des séries divergentes. Pascal (E.). — Sur un théorème fondamental dans la théorie du calcul symbolique des formes n-aires. Maschke (.H.). — La résolution de l'équation du sixième degré. L'équation générale du sixième degré peut être mise sous la forme Pr3+ x2 + y2 + 8 = 0; les racines sont ri = (p + 6(-y3-4/3-4/4), r2= ? + 6(—y3+ y3+ y4), y3 = cp + 6 ( + y2 — 4/, + 4^ ), Y4= ? +6 ( + )>, Y. = -2y — y6 = — 2y +
)>, Y. = -2y — y6 = — 2y + a 4 z1 z2 z3 z4, où 9 = x2 + z2 + x2 + z1, ψ2 = z2 z2 + 2 z2; les B étant calculés avec les intégrales normales hyperelliptiques appartenant à une forme binaire du sixième ordre dont les invariants ont les valeurs suivantes: Brioschi (F.). — Observations sur la Communication précédente. Tacchini (P.). — Sur la distribution en latitude des éruptions, taches et facules solaires pendant 1887. Paladini (B.). — Sur le mouvement de rotation que prend dans le vide ou dans un fluide incompressible un
prend dans le vide ou dans un fluide incompressible un corps soumis à des forces de potentiel cos2θ H2 cosQ. Ricci (G.). — Sur la classification des formes différentielles quadratiques. Montesano (D.). — Sur les transformations involutives de l'espace qui déterminent un complexe linéaire de rayons. Note I. Note II. Brioschi (F.). — La forme normale des équations du sixième ordre. Note II. Favero (G.-B.). — Sur une étude récente sur la gravité. L'auteur fait de justes critiques au procédé et aux résultats du Professeur J.-W. Haussier qui, dans un article publié dans le Repertorium der Physik, 1886, vol. XXII,
article publié dans le Repertorium der Physik, 1886, vol. XXII, p. 501, croyait démontrer que la gravité est une conséquence nécessaire de la rotation terrestre. Bianchi (L.). — Sur l'équation aux dérivées partielles de Gayley dans la théorie des surfaces. Si l'équation dz2 = edx + g dy2 définit l'élément linéaire d'une surface S, peut-elle ou non admettre des solutions indépendantes des flexions de cette surface? Cette question est identique avec cette autre. Un système normal de cercles orthogonaux à S peut-il rester normal après une flexion de S? L'auteur démontre que les seules surfaces pour lesquelles a lieu cette
démontre que les seules surfaces pour lesquelles a lieu cette propriété sont les surfaces applicables sur des surfaces de rotation. Bianchi (L.). — Sur une classe de transformations en soi-même de l'équation aux dérivées partielles. Cesaro (E.). — Sur les lois asymptotiques des nombres. Cesaro (E.). — Sur les systèmes de nombres entiers. Millosevich (E.). Observation de la planète (275) et de la comète Sawerthal. (504-505). Millosevich (E.). — Éléments elliptiques de 264 Libussa d'après deux oppositions (1886-87 et 1888). (405-507). Padova (E.). — Une nouvelle application des fonctions elliptiques à la Mécanique. (507-509). Le cas étudié par l'auteur est
à la Mécanique. (507-509). Le cas étudié par l'auteur est celui d'une sphère ayant le centre de gravité dans le centre et les moments principaux d'inertie égaux et qui roule sur un plan horizontal avec une vitesse initiale donnée et soumise à une force verticale constante appliquée à un de ses points. Pittarelli (G.). — Sur les formes appartenant à l'octaèdre. (509-513). Montesano (D.). — Sur les réciprocités birationnelles nulles dans l'espace. (583-590). Govi (Al.). — Nouvelle méthode pour construire et calculer le lieu, la situation et la grandeur des images données par les lentilles ou par les systèmes optiques
images données par les lentilles ou par les systèmes optiques complexes. (655-660). Tacchini (P.). — Sur les observations magnétiques faites par l'Office central de Météorologie de Rome. (689-690). Pinciter le (S.). — Sur les fonctions hypergéométriques généralisées. (694-700), Note II (792-799). Pittarelli (G.). — Sur la transformation de la différentielle elliptique faite par la représentation typique des formes binaires du troisième et quatrième degré. (703-705). Cerruti (V.). — Sur la déformation d'un corps élastique isotrope pour certaines conditions spéciales aux limites. (785-792). 2e semestre. Betti (E.). — Sur l'entropie d'un système newtonien en mouvement stable. (113-115), Note II (195-198). L'auteur
système newtonien en mouvement stable. (113-115), Note II (195-198). L'auteur démontre le théorème suivant : « Les variations du mouvement d'un système newtonien en mouvement stable ne changent pas le rapport entre le cube de la distance moyenne et le produit de la masse pour le carré du temps périodique moyen », et il en déduit que : « L'entropie du système est égale au logarithme du produit de la masse par la distance moyenne. » Dans la Note II, l'auteur démontre que le théorème de Clausius est applicable aux systèmes newtoniens en mouvement stable. Cesaro (E.). — Sur une
systèmes newtoniens en mouvement stable. Cesaro (E.). — Sur une distribution de signes (-1, +1). Dans toute série simplement convergente les termes positifs sont aussi fréquents que les termes négatifs, si leurs valeurs absolues décroissent toujours. Bianchi (L.). — Sur les surfaces fuchsiennes. (161 - 165). L'auteur appelle surfaces fuchsiennes les surfaces intégrales de l'équation (1 q^2) r + 2pqs + (1 p^2) t = 0. Il réduit le problème à représenter conformément sur le semi-plan un polygone plan, dont les côtés sont des arcs de cercle ayant les centres en ligne droite. Les formules qui donnent les coordonnées d'un
en ligne droite. Les formules qui donnent les coordonnées d'un point de la portion de surface limitée à un contour polygonal rectiligne sont et la surface est constituée de polygones courbes limités par des traits rectilignes. Chaque surface fuchsienne se transforme en soi-même par un groupe de collinéations de l'espace, holoédriquement isomorphe au groupe fuchsien. Toute substitution du groupe échange entre eux les polygones courbes qui constituent la surface. L'auteur démontre aussi qu'il existe effectivement des classes de surfaces fuchsiennes. Baltaglini (G.). — Sur les points sextatiques d'une courbe quelconque. (238-246). La méthode suivie par l'auteur est fondée sur la
(238-246). La méthode suivie par l'auteur est fondée sur la théorie des réciprocants de Sylvester. Tacchini (P.). — Sur les observations des taches, facules et protubérances solaires faites à l'observatoire royal du Collège romain dans le deuxième trimestre de 1888. (275-276). Tacchini (P.). — Sur la distribution en latitude des phénomènes solaires observés à l'observatoire royal du Collège romain dans le deuxième trimestre de 1888. (276-277). Millosevich (E.). — Sur la nouvelle comète Barnard, 30 octobre. (278). Brioschi (F.). — Les équations différentielles pour les périodes des fonctions hyperelliptiques de deux variables. (341-347). Note II (429-436). Tacchini (P.). — Sur
deux variables. (341-347). Note II (429-436). Tacchini (P.). — Sur les observations des taches, facules et protubérances solaires faites à l'observatoire royal du Collège romain dans le troisième trimestre de 1888. (349-350). Volterra (V.). — Sur les fonctions analytiques polydromes. (355-361). L'auteur démontre les cinq théorèmes suivants : « I. Étant donnée une fonction analytique quelconque, prolongée d'après la méthode de Weierstrass, on pourra choisir un ensemble dénombrable de domaines de monodromie connexes entre eux, tels que tout point analytique où la fonction se comporte monodromiquement soit contenu à l'intérieur d'un de ces domaines, et que tout point régulier de
d'un de ces domaines, et que tout point régulier de divergence soit au contour de quelques-uns d'entre eux. » II. On peut choisir un ensemble dénombrable de cercles de convergence connexes entre eux, tels que tout point analytique, où la fonction se comporte régulièrement, soit à l'intérieur d'un au moins d'entre eux. » III. A chaque point du plan complexe correspond un système dénombrable de points analytiques coïncidents en ce point, ou n'en correspond aucun. » IV. En chaque partie du plan complexe, où l'on peut prolonger la fonction, existent des points tels que, en tous les points analytiques qui
des points tels que, en tous les points analytiques qui leur correspondent, la fonction se comporte régulièrement. » V. Les points réguliers de divergence forment un ensemble dénombrable. » Padova (E.). — Sur la théorie des coordonnées curvilignes. Note 1 (369-376), Note II (454-458). Cesaro (E.). — Mouvements rigides et déformations thermiques dans les espaces courbes. (376-384). Tonelli (A.). — Sur une certaine équation différentielle aux dérivées partielles du second ordre. (384-388). Ricco (A.). — Sur l'image déformée du Soleil réfléchi dans la mer, et sur sa dépendance de la sphéricité de la Terre. (450-454). Tonelli (A.). — Sur une
sphéricité de la Terre. (450-454). Tonelli (A.). — Sur une certaine équation aux dérivées partielles du troisième ordre. (458-461). S. R. JOURNAL FÜR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK, herausgegeben von L. KRONECKER und K. WEIERSTRASS. Tome XCIX; 1886 (J). Minkowski (Hermann). — Sur les formes quadratiques positives. (1-9). A. Le genre d'une forme / = ax^2xk se compose de toutes les formes g, qui ont le même module d'inertie que / et qui sont congrues à / suivant un module quelconque N. B. Une forme g appartient au genre d'une forme f sous la condition exclusive de posséder le même
forme f sous la condition exclusive de posséder le même indice J et le même déterminant A que f, et encore d'être congrue à f suivant le module 2 A. Ces définitions servent de base aux recherches de M. Minkowski qui ont pour but de développer plusieurs formules simples pour la mesure d'un genre quelconque de formes quadratiques positives à n variables. Soient y(N) et D certains invariants du genre y, c une constante : alors la mesure M du genre s'exprime par le produit qu'il faut étendre à tous les nombres premiers 2, 3, 5, 7, .... En terminant,
les nombres premiers 2, 3, 5, 7, .... En terminant, l'auteur développe encore quelques conditions nouvelles pour les formes réduites de M. Hermite dans les cas de n = 4 et n = 5. Königsberger (Léo). — Sur les propriétés des intégrales représentables par des quadratures de fonctions algébriques et appartenant à des équations linéaires non homogènes. (87). L'auteur se propose d'étudier la forme des intégrales d'équations différentielles linéaires non homogènes qui se prêtent à être représentées comme fonctions algébriques de logarithmes et d'intégrales abéliennes, les logarithmes et les limites d'intégration étant des fonctions algébriques de la variable indépendante. Le
d'intégration étant des fonctions algébriques de la variable indépendante. Le Mémoire est donc destiné à développer plus amplement la théorie générale des théorèmes établis, pour quelques cas spéciaux et sous certaines restrictions, dans le Livre de M. Königsberger intitulé : Allgemeine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen (voir Bulletin [2], VII, p. 5-14), et qui y figurent comme généralisations des propositions connues d'Abel. Les résultats de la première Partie du travail se résument par le théorème, p. 62 et 63 : Si une équation différentielle linéaire et non homogène (où Y1, Y2, ..., Ym, sont des fonctions algébriques de x)
Y1, Y2, ..., Ym, sont des fonctions algébriques de x) possède une intégrale composée algébriquement de x et de logarithmes de fonctions algébriques de x, cette intégrale pourra se mettre sous la forme S = u1 log v1 + u2 log v2 + ... + uq log vp, à moins que l'équation différentielle réduite ne possède une intégrale composée algébriquement de x et des logarithmes de branches des logarithmes algébriques. Les fonctions a1, a2, ..., sont des intégrales particulières algébriques de l'équation différentielle réduite; de plus, elles satisfont à des équations algébriques irréductibles (les coefficients de l'équation différentielle étant adjoints
équations algébriques irréductibles (les coefficients de l'équation différentielle étant adjoints de telle sorte qu'il existe, autour de chacun de leurs points de ramification, entre p + 1 éléments d'un cycle, une relation homogène et linéaire où c1, c2, c3, sont des nombres entiers. Les quantités v1, v2, ... peuvent être exprimées comme fonctions rationnelles de u1, u2, ... et des coefficients de l'équation différentielle. Dans la seconde Partie du Mémoire on trouve des propositions analogues concernant la relation la plus générale entre des intégrales abéliennes. Thomé (L.-W.). — Remarque sur le Mémoire de M. Grünfeld contenue dans le Tome XCVIII
le Mémoire de M. Grünfeld contenue dans le Tome XCVIII de ce Journal : Pour la théorie des équations différentielles linéaires. (88). Runge (C.). — Sur la décomposition en facteurs irréductibles, des fonctions entières à coefficients entiers. (89-97). Dans le § 4 de sa Festschrift (voir Bulletin [2], VIII, p. 145) M. Kronecker a signalé une méthode dont on peut se servir pour décider sur l'irréductibilité d'une fonction entière d'une variable, à coefficients entiers. Cette méthode, qui se complique par le nombre énorme des systèmes de valeurs à considérer, subit déjà des simplifications quand on profite de plusieurs observations de
déjà des simplifications quand on profite de plusieurs observations de M. Kronecker, communiquées à ses élèves dans son Cours d'Algèbre. En y ajoutant encore quelques corollaires, M. Runge réussit à la perfectionner à un tel point que ce procédé puisse être mis très avantageusement en usage. Schoute (P.-H.). — Remarque sur le Mémoire de M. O. Hermès : Sur une certaine courbe du troisième degré. (98-109). Nous avons rendu compte du Mémoire de M. Hermes dans le Bulletin [2], XII2, p. 123. L'énoncé du problème se trouve déjà dans un Mémoire de Steiner de 1852 (Journal de Crelle, 45, p.
Mémoire de Steiner de 1852 (Journal de Crelle, 45, p. 375, et Œuvres de Steiner, t. II, p. 487). « Soient AB et CD deux segments droits d'un même plan, donnés dans une position fixe quelconque; le lieu du point d'où AB et CD se présentent sous le même angle visuel (ou bien sous des angles supplémentaires) se compose de deux courbes du troisième degré. Ces deux courbes passent par les quatre extrémités des deux segments et par le point de rencontre des deux droites; de plus, elles ont en commun les deux points d'où les deux segments se voient
commun les deux points d'où les deux segments se voient sous un angle droit. Les deux autres points communs aux deux courbes sont imaginaires et appartiennent à la droite à l'infini. La proposition comprend beaucoup de cas spéciaux dont quelques-uns sont très intéressants et qui se présentent quand on fait des suppositions spéciales sur la position et la grandeur des segments. » Le problème général, qui se trouve être en liaison intime avec la théorie des courbes du troisième ordre, a été l'objet de plusieurs travaux synthétiques, entre autres de M. Küpper et de M. Schoute. L'auteur cite en particulier
M. Küpper et de M. Schoute. L'auteur cite en particulier : C. PELZ, Ueber das Problem der Glanzpunkte (Comptes rendus de l'Ac. de Vienne, LXIV, p. 730; 1864). H. SCHROETER, Ueber eine besondere Kurve dritter Ordnung und eine einfache Erzeugungsart der allgemeinen Kurve dritter Ordnung [Math. Ann., V, p. 50, voir Bulletin [2], VIII, p. 79]. Hesse (Gusto). — Sur les substitutions linéaires et homogènes par lesquelles la somme des carrés de quatre variables se transforme en somme des carrés des quatre variables substituées. (110-127). (Communiqué par M. F. Caspary comme travail posthume de Hesse.) On a étudié, à différentes
comme travail posthume de Hesse.) On a étudié, à différentes reprises, les propriétés des substitutions linéaires et homogènes par lesquelles la somme des carrés de n variables se transforme en somme des carrés des n variables substituées. Dans les cas de n = 2 et n = 3 où ces substitutions servent à effectuer les transformations des coordonnées dans le plan et dans l'espace, il s'agit non seulement d'étudier les propriétés générales des substitutions linéaires et homogènes, mais encore et en premier lieu d'approfondir celles qui sont propres à chaque cas individuel. Une discussion semblable pour n = 4, qui
cas individuel. Une discussion semblable pour n = 4, qui n'a pas été achevée jusqu'à présent, conduit à la résolution du problème fondamental de la théorie des surfaces de second ordre: « Trouver le huitième point d'intersection de trois surfaces du second ordre quand on s'en donne sept. » Le théorème qui résume les recherches de Hesse s'énonce comme suit : « Considérons six points quelconques d'entre les huit points d'intersection de trois surfaces de second ordre comme les sommets d'un hexagone gauche U ; menons par le septième point d'intersection des trois surfaces les trois droites qui rencontrent chacun
d'intersection des trois surfaces les trois droites qui rencontrent chacun des trois couples de côtés opposés de l'hexagone; prenons les six points de rencontre, dans le même ordre que les côtés de l'hexagone U, comme les sommets d'un hexagone gauche V, inscrit à l'hexagone U; construissons tout de même un autre hexagone V, à l'aide du huitième point d'intersection : alors les deux hexagones V1 et Vi seront situés sur un même hyperboloïde H. » Caspary (F.). — Pour la construction du huitième point d'intersection de trois surfaces du second ordre. (128-130). Tandis que Hesse s'était contenté d'indiquer le chemin
ordre. (128-130). Tandis que Hesse s'était contenté d'indiquer le chemin qu'il fallait prendre pour résoudre le problème en question, M. Caspary achève la construction et trouve le point cherché comme intersection de trois plans. Schroeter (H.). — Construction du huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre dont on se donne sept points quelconques et indépendants l'un de l'autre. (141-140). M. Schroeter revient à la première solution de Hesse, insérée au t. 20 du Journal de Crelle, pour la simplifier, de telle sorte qu'il est aisé d'achever la construction. Ce procédé a l'avantage d'opérer presque exclusivement dans un même
Ce procédé a l'avantage d'opérer presque exclusivement dans un même plan. Dans des notes, MM. Caspary et Schroeter donnent la bibliographie de ce problème, où l'on rencontre les noms de Lamé, Hesse, von Staudt, H. Müller, R. Sturm, P. Serret, Picquet, Reye, Zeuthen, Schroter. Perott (G.). — Démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre. (141-146) « Telle est la fécondité des idées disséminées dans la mémorable Thèse du grand géomètre (Gauss), qu'en les recueillant avec soin, on parvient facilement à reconstituer une autre démonstration du théorème fondamental, différente de la première de Gauss. » La démonstration de l'auteur repose sur l'hypothèse
de Gauss. » La démonstration de l'auteur repose sur l'hypothèse de continuité géométrique et de l'existence d'un maximum d'une fonction algébrique. Gundeljinger (S.). — Pour la théorie des substitutions orthogonales. (147-153). Si deux fonctions quelconques entières et homogènes ϕ(ξ0, ..., ξn) et ψ(ξ0, ..., ξn) se transforment par une substitution ξk = ~ + +...+ ~ en φ(x0, x1, ..., xn) et T (x0, x1, ..., xn), on aura en même temps pour des sommations triples, quadruples, etc. Application à la théorie des coordonnées curvilignes. Stehl (Wilhelm). — Sur un certain genre de courbes gauches. (154-160). Ces courbes gauches ont
certain genre de courbes gauches. (154-160). Ces courbes gauches ont la propriété d'être placées sur une première surface du second ordre et de posséder des plans osculateurs qui touchent une autre surface de seconde classe. Elles donnent lieu à une suite de courbes qui sont alternativement collinéaires, c'est-à-dire que la première, troisième, cinquième, etc., sont collinéaires entre elles, de même que la deuxième, quatrième, sixième, etc. La courbe gauche du quatrième ordre et de seconde espèce en donne un bel exemple. Franke. -— Sur certaines lignes dans le triangle. (161-164). Hurwitz (Adolf). — Sur le nombre des classes de formes
Hurwitz (Adolf). — Sur le nombre des classes de formes quadratiques à déterminant négatif. (165-168). Extrait d'une lettre adressée à M. Kronecker. L'auteur a obtenu plusieurs relations nouvelles en combinant deux formules empruntées à la théorie des fonctions thêta avec les relations plus anciennes découvertes par M. Kronecker. Segre (Corrado). — Sur une expression nouvelle du moment mutuel de deux complexes linéaires. (169-172). En représentant par k et k' les paramètres principaux de deux complexes linéaires c et c', par x et x' leurs axes et par A et cp la distance et l'angle de ces axes, M. Klein a
la distance et l'angle de ces axes, M. Klein a nommé moment mutuel de c et c' l'expression (k + k') cosϕ — Δsinϕ. On peut donner à ce moment une forme plus simple en introduisant la conséquence de l'angle de c, c' dans le sens de M. Cayley, en prenant pour absolu de l'espace de complexes linéaires la variété quadratique des complexes spéciaux; car il existe alors la relation 2 √kk' cos (cc') = (k - ik') cosϕ — A sinϕ. M. Segre a démontré cette formule dans un Mémoire publié dans le t. XIX des Atti di Torino;
Mémoire publié dans le t. XIX des Atti di Torino; il expose maintenant une nouvelle démonstration synthétique fort simple. Wolfskehl (Paul). — Démonstration que l'unité fait le second facteur du nombre des classes pour les nombres formés des onzième et treizième racines d'unité. (173-178). von Lilienthal. — Sur les surfaces minima représentables par des intégrales elliptiques. (179-194). L'auteur établit l'existence de deux faisceaux de surfaces minima qu'il avait déjà signalés dans un Mémoire inséré au t. XCIII du même Journal (Bulletin [2], IXa, p. 47). Nommons les fonctions U, V, W dont les parties réelles représentent les coordonnées des surfaces