jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
liées par la relation est absolument convergente. Donc ^ est, en moyenne, égale à — • Peut-on en conclure que ϕ (n) est asymptotique à — n? M. Cesaro fait voir que cette conclusion est légitime en démontrant le théorème suivant : « Si la fonction F'(n) est moyennement égale à a, la fonction nr F(n) est asymptotique à ϭnr. » L'auteur indique même une proposition plus générale. On sait que, si la série à termes positifs est divergente, on a pourvu que la limite du second membre existe, tandis que la moyenne — ( u1 + u2 + ...
que la moyenne — ( u1 + u2 + ... + un) tendrait vers une limite À. Dans ce cas, et sous la condition on a, d'après M. Cesaro, Lecornu. — Sur les mouvements giratoires des fluides. Un liquide est dit animé d'un mouvement giratoire lorsque tout s'y passe symétriquement autour d'un axe Oz. M. Lecornu examine le cas où, le fluide étant incompressible, les tourbillons seraient représentés par les vitesses des divers points d'un solide tournant uniformément autour de l'axe. Si u, v, w désignent les composantes de la vitesse : 1° dans la direction opposée à la distance
vitesse : 1° dans la direction opposée à la distance r à l'axe; 2° dans la direction de l'horizontale perpendiculaire à r; 3° dans la direction de la verticale Oz, on a, dans le cas en question, k étant une constante et cr une fonction assujettie à la condition M. Lecornu signale deux solutions simples de cette équation aux dérivées partielles où a et b désignent des fonctions quelconques du temps. En prenant la seconde solution et réduisant a et b à des constantes (mouvement permanent), on voit que les trajectoires sont situées sur des surfaces de révolution, algébriques et
trajectoires sont situées sur des surfaces de révolution, algébriques et du huitième ordre; la région où le mouvement est ascendant est séparée de celle où il est descendant par la surface du sixième ordre Si k = 0, le mouvement giratoire est dépourvu de tourbillons (au sens d'Helmholtz). Les trajectoires se réduisent alors à des loxodromies tracées sur des sphères concentriques. Defforges. — Sur un point de l'histoire du pendule. Preuves du droit de priorité de Prony dans l'indication de la méthode à suivre pour déterminer la longueur du pendule simple en faisant osciller un pendule composé autour de deux
simple en faisant osciller un pendule composé autour de deux ou de trois axes attachés à ce pendule. Wolf. — Remarques relatives à la Note de M. Defforges. Gylden. — Quelques remarques relatives à la représentation de nombres irrationnels au moyen des fractions continues. Goursat. — Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace. A toute substitution orthogonale à quatre variables on peut faire correspondre une substitution linéaire définie par les deux systèmes de formules La recherche des groupes d'ordre fini de substitutions linéaires orthogonales à quatre variables se trouve ainsi ramenée à la recherche des groupes d'ordre
se trouve ainsi ramenée à la recherche des groupes d'ordre fini composés de substitutions de la forme (A) ou de la forme (B). Après avoir donné des règles pour former ces derniers groupes, M. Goursat remarque que, si l'on désigne par x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un Point et que l'on pose toute substitution orthogonale effectuée sur les u définit un mode de transformation de l'espace qui conserve les angles. Une pareille transformation équivaut à un certain nombre d'inversions. On voit donc qu'à tout groupe fini de substitutions orthogonales à quatre variables correspond une division régulière de l'espace en
à quatre variables correspond une division régulière de l'espace en un nombre fini de régions dont chacune se déduit de la première par une suite d'inversions. Parmi les divisions ainsi obtenues, il y a lieu de considérer celles où les régions sont des tétraèdres à faces planes ou sphériques, deux tétraèdres qui ont une face commune étant symétriques par rapport à cette face; tous ces tétraèdres se déduisent de l'un d'entre eux en prenant le symétrique du premier par rapport à une de ses faces, puis le symétrique du nouveau tétraèdre et ainsi de suite. Les divisions précédentes de l'espace
tétraèdre et ainsi de suite. Les divisions précédentes de l'espace peuvent être rattachées aux figures régulières de l'espace à quatre dimensions. Perrin. — Sur la relation qui existe entre p fonctions entières de p variables. (1789-1791). Soient il, v, w, ..., p fonctions entières quelconques de p variables (non homogènes) x, y, z.... Le résultant Il de ces fonctions peut être mis sous la forme où R désigne la dérivée partielle ~-r aa'i dbr n— Cette formule établit entre ~àc... les p fonctions il, v, w, ... une relation qui est de degré μ = mnp... par rapport à x,
est de degré μ = mnp... par rapport à x, y, z, ... et de degrés — > -, —, ... par rapport aux coefficients m n p de il, v, IV, La relation précédente n'est autre que celle sur l'existence de laquelle est fondée la méthode d'élimination de Bézout. Il est donc toujours possible de donner aux polynômes multiplicateurs de Bézout (et cela de plusieurs manières) la forme de fonctions entières des fonctions données elles-mêmes. Quand on ne s'astreint pas à leur donner cette forme, la relation (1) montre entre quelles limites ils deviennent indéterminés. En la différentiant, on
entre quelles limites ils deviennent indéterminés. En la différentiant, on obtient de nouvelles relations qui peuvent s'écrire abréviativement et qui permettent de préciser les conditions d'existence des divers genres de solutions multiples d'un système (u, V, w, ...). Cesaro. — Sur un théorème de Kummer. (1791-1794). Réponse à la dernière Note de M. Jensen. ACTA MATHEMATICA Tome IX; 1886. Bendixon. — Sur une extension à l'infini de la formule d'interpolation de Gauss. (134) La formule d'interpolation de Gauss donne l'expression d'une fonction entière f (x) de degré n — 1 vérifiant les n relations f (av) = A v (v
vérifiant les n relations f (av) = A v (v = 1, 2, ..., n) sous la forme où les quantités sont formées d'après des lois très simples au moyen des quantités Av. L'auteur s'est proposé d'étendre cette formule à une fonction analytique quelconque f(x) vérifiant une infinité de relations f (av) = Av. Il est amené dans ce but à étudier d'abord les propriétés des séries de la forme Où les B v sont des constantes indépendantes de x; ces propriétés sont différentes suivant que la quantité av a une limite finie a pour v infini, ou que le
une limite finie a pour v infini, ou que le module de a augmente indéfiniment avec v. Si lim av = a pour v = ∞, les séries précédentes présentent la plus grande analogie avec les séries ordonnées suivant les puissances entières de x — a, comme cela résulte de la proposition fondamentale suivante : Si une série de la forme B ( x — a 1 ) ... ( x — av ) ou lim a— a est convergente pour x = x 1, elle est absolument convergente pour chaque valeur de x telle que x a < x
chaque valeur de x telle que x a < x 1 a. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que, si l'on a choisi un nombre entier m assez grand pour que le module du terme général de la série peut s'écrire et l'on voit immédiatement que ce module est inférieur à k v, k désignant un nombre fixe. De ce théorème on déduit une suite de théorèmes correspondant aux propositions connues d'Abel sur les séries ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une variable. Ainsi toute série (i) ou lim a, = a est absolument convergente à l'intérieur d'un
lim a, = a est absolument convergente à l'intérieur d'un cercle de rayon ayant son centre au Point a et divergente à l'extérieur; la convergence est uniforme à l'intérieur de tout cercle concentrique au premier et de rayon plus petit. Sur le cercle de convergence lui-même, la série peut être convergente ou divergente, mais, si elle est convergente en un point a de ce cercle, on a l'égalité E étant réel et positif. Il suit de là que, si une fonction f(x) peut être représentée dans le domaine du point a par une série convergente de la forme (i), cette
a par une série convergente de la forme (i), cette fonction f(x) est égale dans ce domaine à une fonction analytique de x et peut par conséquent être représentée par une série P(x — a). Inversement, étant donnée une fonction analytique régulière dans le domaine du point a, si cette fonction peut être développée en série B v (x — a 1 ) ... (x — av ), les coefficients B v se déterminent aisément des valeurs A v que prend la fonction aux points a 1, a 2, av. On a, par exemple Pour que la série ainsi obtenue
On a, par exemple Pour que la série ainsi obtenue représente la fonction f(x), il faut évidemment qu'elle soit convergente; cette condition est d'ailleurs suffisante, car, si l'on pose les coefficients B v étant calculés au moyen des égalités précédentes, l'égalité ϕ (x) = f(x) subsiste pour une infinité de valeurs dans le voisinage du point a. En appliquant cette méthode à la fonction f(x) = 1 / (a + x), on parvient à une série qui est convergente tant que x < a, et l'on a pour toutes ces valeurs de x et, en remplaçant x par α −
valeurs de x et, en remplaçant x par α − x, ou a, on obtient la nouvelle formule qui a lieu pour x < α − a. Soit maintenant F(x) une fonction analytique régulière dans le domaine du point a; les points a1, a2, ..., av et x étant pris à l'intérieur du cercle de convergence C, on a la relation l'intégrale étant prise le long d'une circonférence concentrique et intérieure à la première et comprenant toutes les quantités x, a1, a2, ..., av, .... Si l'on y remplace a1, x par le développement précédent, F(x) se présente sous la
x par le développement précédent, F(x) se présente sous la forme, suivi d'un reste tendant vers zéro lorsque v augmente indéfiniment, on en conclut que F(x) peut être développée à l'intérieur de C en une série de la forme (i) et les coefficients ont nécessairement les valeurs qui se calculent directement au moyen des valeurs A, de F(x) pour les valeurs av de x. L'auteur passe ensuite aux séries de la forme (i) où l'on a lim av= 00 pour v = ∞, et il prend d'abord un cas particulier très simple ~( 2 ) 1 + x~ + (x
très simple ~( 2 ) 1 + x~ + (x ^2 )... (x ^4 ) oc a, ( 0( a, ) (aa. ) ( 0( — ai )... ( 0( -av+1 ) dont l'étude conduit à des conclusions intéressantes. La relation nous ramène à l'étude du produit infini si la série ^ — est convergente, on voit que ce produit est convergent pour toute valeur de x, et par conséquent la série (2) sera convergente dans tout le plan. Si la série n'est pas convergente, M. Bendixon se borne au cas Où les av sont tous réels et positifs et
cas Où les av sont tous réels et positifs et où la série ^ — est divergente. L'étude du produit infini (3) le conduit à cette conclusion que la série (3) est convergente si R(α − x) < 0, et divergente dans le cas où R(a − x) > 0, R désignant la partie réelle d'une quantité imaginaire; dans la région comprise dans le domaine de convergence, la série (2) est absolument et uniformément convergente. On arrive encore à des conclusions très nettes relativement aux séries de la forme où r1, r2, ..., rv, ... sont des quantités positives telles
r1, r2, ..., rv, ... sont des quantités positives telles que lim rv = 00 et que la série ^ — est divergente. En général, pour une série de cette espèce, il existe un nombre p tel que la série est convergente si R (x) > ρ et divergente si R(x) < p. Dans toute région prise dans ce domaine, la série est uniformément convergente, mais il y a en général un domaine de convergence absolue différent du premier. Il existe, en effet, un autre nombre ϭ≧ρ tel que la série est absolument convergente, si R (x) > ϖ et
série est absolument convergente, si R (x) > ϖ et seulement dans ce cas. Le plan se trouve ainsi divisé en trois régions distinctes au point de vue de la convergence. Les résultats précédents s'étendent immédiatement aux séries de la forme ∑Bv(x..(x— où r1, ..., rv, ... sont réels et positifs, la série ^ — étant divergente. Les séries où la série ^ — est convergente, possèdent des propriétés toutes différentes. Pour assurer leur convergence ou leur convergence absolue dans tout le plan, il suffit qu'elle ait lieu pour une valeur particulière a ≠ av de la variable; de plus,
valeur particulière a ≠ av de la variable; de plus, il suffit qu'elles soient simplement convergentes en un point a pour qu'elles soient uniformément convergentes dans toute région finie du plan. M. Bendixon reprend ensuite l'étude de la série en faisant quelques hypothèses plus générales sur les a: 1° Tous les av sont est convergents ainsi que mais a V] — est divergent. La série est convergente pour toute valeur de x, et uniformément convergente dans toute région finie du plan, mais la convergence absolue n'a lieu en aucun point. 2° On conserve les hypothèses précédentes, sauf que ^ —
2° On conserve les hypothèses précédentes, sauf que ^ — est supposé divergent. Le domaine de convergence de la série se compose de la partie du plan des x située entre les deux branches de l'hyperbole — η2= R(α2); dans toute région prise dans ce domaine, la série est uniformément convergente, mais la convergence absolue n'a lieu en aucun point. Le Mémoire se termine par quelques exemples et en particulier par un développement en série de log(1 + x + r). Tchebycheff (P.). — Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. (35-56). Dans un Mémoire
des intégrales par des résidus intégraux. (35-56). Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales, publié en 1874, dans le Journal de Liouville, l'auteur a communiqué quelques résultats sur les valeurs limites des intégrales, qu'il commence par rappeler. Soit f(x) une fonction toujours positive entre les limites a et b, et soient Au, Ai, ... A2m-1 les valeurs des 2m intégrales si l'on développe en série ordonnée suivant les puissances de z1 l'intégrale ! ~f ( x) dx, on aura, en négligeant les termes de degré supérieur à 2m, ~'a -S — X La fraction rationnelle du second membre
~'a -S — X La fraction rationnelle du second membre étant réduite en fraction continue, on aura, avec le même degré d'approximation, Cela posé, soit ^ la mième réduite et soient s1, s2, ..., s2m-1, s2m les 2m racines de l'équation — 0 rangées par ordre de grandeur croissante; le résultat rappelé par M. Tchebycheff peut s'énoncer ainsi : L'intégrale est comprise entre les deux limites k où ω est une quantité positive infiniment petite et où le symbole ~[F(z) représente le résidu intégral de F(z) entre les limites h et k. Dans le Mémoire actuel, l'éminent géomètre indique un
et k. Dans le Mémoire actuel, l'éminent géomètre indique un résultat plus général relatif aux intégrales de la forme Où la limite supérieure v reste arbitraire. Dans ce cas, les valeurs limites de l'intégrale sont données par les inégalités. F(z) désigne une fonction rationnelle qui peut être représentée par une fonction continue dont les m premiers dénominateurs sont les mêmes que ceux du développement en fraction continue de l'intégrale et ne dépendent par conséquent que des intégrales supposées connues. Z est une fonction linéaire de z qui dépend de a, b, v, des intégrales A0, A1, A2m-1 et dont l'expression
b, v, des intégrales A0, A1, A2m-1 et dont l'expression est différente suivant qu'on connaît ou non l'intégrale M. Tchebycheff montre comment cette formule conduit aux résultats énoncés dans le Mémoire du Journal de Liouville, et termine par l'application au problème suivant : Trouver les valeurs limites de l'intégrale où la fonction inconnue f(x) ne devient jamais négative entre 0 et v, connaissant les trois quantités. Les quantités p, e1, k déterminent évidemment les trois intégrales de sorte qu'on a tous les éléments nécessaires pour former la fraction rationnelle F(a). Markoff (A.). — Sur une question de maximum et de
Markoff (A.). — Sur une question de maximum et de minimum Proposée par M. Tchebycheff. (57-70). L'énoncé du problème est le suivant. Soient λ1(z), X2(z), ..., Xn(z), C1(z) des fonctions données de z; a et b des nombres donnés; mv des nombres positifs et indéterminés; y1, y2, des nombres indéterminés compris entre a et b; v un nombre indéterminé; il faut trouver les nombres v, mv, y1, Y2, y3, tels que les sommes ∑m2 λ2(yi), ..., (i = 1, 2, ..., v) aient des valeurs données à l'avance α1, ..., αn+1 et en même temps tels que la somme (yi),
αn+1 et en même temps tels que la somme (yi), Rendue aux valeurs de yi, qui ne dépassent pas une certaine limite v (a < v < b), soit maximum ou minimum. On suppose que certains déterminants formés avec les fonctions Ω et leurs dérivées sont positifs pour toutes les valeurs de z comprises entre a et b. C. E. Lorentz. — Sur une démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques. (71 -72). Remarque sur une démonstration donnée par M. Holst dans le tome VIII des Acta (p. 155). Dobriner (H.). — Les surfaces à courbure constante
(p. 155). Dobriner (H.). — Les surfaces à courbure constante avec un système de lignes de courbure sphérique représentées au moyen des fonctions theta à deux variables. (73-102). Les surfaces à courbure constante admettant un système de lignes de courbure sphériques ont été étudiées par M. Enneper (Nachrichten der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 421-443; 1868). L'auteur a montré que leur représentation dépendait de trois fonctions p, q, ϕ d'une variable u, fonctions qu'il s'agit d'obtenir par l'intégration d'équations différentielles ordinaires. Les fonctions p, q satisfont à deux équations différentielles du second ordre pour lesquelles les deux intégrales
équations différentielles du second ordre pour lesquelles les deux intégrales premières sont connues. La fonction ϕ est une intégrale particulière de l'équation différentielle M. Dobriner avait reconnu depuis longtemps que les fonctions p, q étaient des quotients de fonctions theta à deux variables; d'un autre côté, ses études sur la théorie générale des surfaces qui admettent des lignes de courbure sphériques (Crelle, t. 94, p. 153-155) l'avaient amené à cette conclusion que la considération de la fonction ϕ n'était pas indispensable et que la représentation de la surface dépendait essentiellement de la détermination de deux systèmes de coefficients de substitutions
de la détermination de deux systèmes de coefficients de substitutions orthogonales, ou, au point de vue géométrique, de deux courbes imaginaires pour chacune desquelles la tangente, la normale principale et la binormale constituent un de ces systèmes orthogonaux. Or l'expression de p, q comme quotients de fonctions theta donne lieu de penser que l'un des systèmes orthogonaux cherché pouvait bien être identique avec le système orthogonal bien connu formé avec les neuf quotients de fonctions theta paires : c'est en effet ce qui arrive, et c'est un des points principaux du présent Mémoire de M. Dobriner. Les éléments de la
du présent Mémoire de M. Dobriner. Les éléments de la seconde courbe auxiliaire s'obtiennent ensuite au moyen de fonctions theta d'une seule variable, comme on pouvait le prévoir d'après le travail de M. Enneper. Weber (H.). — Théorie des corps numériques abéliens. (105-130). Dans ce Mémoire, qui fait suite à celui qui a paru sous le même titre dans le t. VII des Acta, M. Weber montre que la constitution d'un groupe abélien peut être entièrement caractérisée par une certaine suite de nombres entiers, les invariants du groupe; d'où le problème suivant : Déterminer tous les corps abéliens d'un groupe
problème suivant : Déterminer tous les corps abéliens d'un groupe donné. D'après le précédent Mémoire, on a seulement pour cela à former les périodes de la division du cercle avec certaines propriétés prescrites. Mais on a montré, dans ce même travail, qu'un même corps abélien est contenu dans plusieurs corps circulaires complets, c'est-à-dire qu'ils peuvent être représentés au moyen de racines de l'unité de différents degrés; en conséquence, le précédent problème doit être complété comme il suit : Représenter les corps abéliens d'un groupe donné par les racines de l'unité de moindre degré. C'est à l'étude de ces deux problèmes
de moindre degré. C'est à l'étude de ces deux problèmes qu'est consacré le présent travail M. Weber. Zeller (Ch.). — Formules pour le calendrier. (131-136). Mellin. — Sur la connexion entre certaines équations différentielles linéaires et certaines équations aux différences. (137-166). Le Mémoire de M. Mellin fait suite à un travail sur la théorie de la fonction T inséré dans le tome VIII des Acta, et qui a été signalé dans le Bulletin (t. XIV, p. 369). Il concerne les propriétés des intégrales d'équations linéaires de la forme (a^2x + b0) xn y(n) + (a1 - b1, x) x"-1 y(n-1)
b0) xn y(n) + (a1 - b1, x) x"-1 y(n-1) + ... + (an - bn)x)y — o. On y trouvera, en particulier, une formule qui contient comme cas très spécial la relation classique Stieltjes (T.-J.). — Note sur un développement de l'intégrale ∫ e^' dx. (167-176). Soit ∫ e^αx dx = ϕ(a) on trouve facilement le développement ∞ = a, ϕ(a) = 1 - (α^2/2^2) + (α^4/4^4) - ... La série est divergente, mais l'égalité exprime que l'on a, pour a → ∞, lim ϕ(a) = 1. La formule peut être remplacée par une formule plus précise a1, ...,
peut être remplacée par une formule plus précise a1, ..., an étant certaines constantes positives parfaitement déterminées. En effet, les deux fonctions qui figurent aux deux membres de (2) ont même dérivée, et l'on démontre facilement qu'on peut toujours choisir an de façon que ces deux fonctions soient égales pour une valeur très petite de a. Si ces constantes a1, ... sont connues, et si a tombe entre an-1 et an, on aura les deux inégalités ϕ (a) > T1 + T2 + ... + Tn-1, ϕ (a) < T1 + T2 + ... + Tn-1 + Tn, qui permettront
+ T2 + ... + Tn-1 + Tn, qui permettront de renfermer f(a) entre deux limites dont la différence est Tn. Objet principal du travail de M. Stieltjes est précisément de donner une Méthode rapide de calcul pour ces constantes. La formule (2) ne se prête pas facilement au calcul de a2; l'auteur la remplace par une autre où figure la valeur principale d'une intégrale De cette relation, qui se démontre aisément, on tire J Si l'on pose a2 = n + η, on peut développer Rn suivant les puissances de η en employant une méthode donnée par l'auteur dans
de η en employant une méthode donnée par l'auteur dans un Mémoire publié dans les Annales de l'École Normale, t. III; 1886. De ce développement on conclut que Rn s'annule pour une valeur finie de η, dont on peut trouver le développement, et l'on a ainsi Si l'on a pris n de telle façon que an-1 < a < an, l'erreur commise dans le calcul de ϕ(a) sera moindre que Tn; si a est grand, ce terme est à peu près ~°'^°^ • Dans les derniers paragraphes, M. Stieltjes montre comment on peut pousser encore plus loin l'approximation et obtenir
comment on peut pousser encore plus loin l'approximation et obtenir une valeur très approchée du terme complémentaire Rn,. Hacks. — Quelques théorèmes sur des sommes de diviseurs(177-181). Ces théorèmes se rapportent à diverses fonctions numériques introduites par M. Lipschitz; la plus simple est la somme F(m) = f(1) + f(2) + ... + f(m), où f(x) désigne le nombre des diviseurs de l'entier x. On a où [x] désigne l'entier contenu dans x. Des théorèmes de cette nature, dus à M. Lipschitz et rappelés par M. Hacks, ont été donnés dans le tome C des Comptes rendus (Bulletin, XI2, p.
dans le tome C des Comptes rendus (Bulletin, XI2, p. 160) M. Hacks donne ensuite, divers résultats intéressants concernant la parité de ces fonctions; par exemple, on a Tchebycheff. — Sur les sommes composées des coefficients des séries à termes positifs. (182-184). Intéressante application des recherches de l'auteur, dont il a été rendu compte plus haut, sur les valeurs limites des intégrales. Gyldén. — Recherches sur la convergence des séries qui servent à la représentation des coordonnées des planètes. (185-294). Netto. — Sur les substitutions orthogonales. (295-300). Réponse à une question posée par M. Stieltjes dans le tome VI des