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circonférence, en particularisant convenablement les fonctions A(x,y) et ϕ(y). Staude (Otto). — Sur un système de coordonnées transcendantes. (183-200). Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point, λ, μ, v ses coordonnées elliptiques; on passe du premier système au second par les formules suivantes. L'auteur indique trois méthodes permettant d'exprimer les radicaux qui figurent dans les formules (i) par des fonctions uniformes de trois paramètres u1, u2, u3. Dans la première, on prend pour u1, u2, u3 les sommes de trois intégrales de seconde espèce relatives à la relation de genre 2 v2= r(ρ) = (a - p) (P
de genre 2 v2= r(ρ) = (a - p) (P - P) (γ - P) (μ0 - ρ) (λ0 ρ) ; en appliquant les résultats de Clebsch et Gordan relatifs au problème de l'inversion généralisé (Theorie der Abelschen Functionen, p. 150), M. Staude obtient des expressions de x, y, z où figurent des fonctions 0 des deux variables u1, u2, et où m3 entre linéairement. Si l'on attribue à u1 et u2 des valeurs constantes a, et a2, le point x, y, z décrit une tangente commune aux deux surfaces du second degré A = λ0, μ = μ0. On
du second degré A = λ0, μ = μ0. On retrouve aisément les formules de Jacobi relatives au mouvement d'un point matériel libre en coordonnées elliptiques et les formules de M. Weierstrass donnant les lignes géodésiques de l'ellipsoïde. Dans le deuxième système, on prend pour u1, u2, u3 les sommes de trois intégrales de troisième espèce relatives à la courbe v2 = r(ρ) =— (a - p) (p - p) (y - p) (μ0 - p) (λ0 ρ) ( λ1 p) ; parmi les résultats qui se déduisent des formules obtenues, je citerai les formules donnant le mouvement d'un point
obtenues, je citerai les formules donnant le mouvement d'un point matériel sur un ellipsoïde, attiré par le centre proportionnellement à la distance. Dans le troisième système, u1, u2, u3 sont les sommes de trois intégrales de première espèce relatives à la courbe de genre 3 v2 = r(ρ) = (a - p) (p - p) (y - ρ) (μ0 - p) p) (λ1 p) (λ2 - ρ) ; x, y, z sont données par des quotients de deux fonctions 0 d'indices différents des trois variables u1, u2, u3 et prennent des valeurs réelles lorsque les arguments u1, u2, u3 sont
des valeurs réelles lorsque les arguments u1, u2, u3 sont eux-mêmes réels. Si l'on pose u = a, u2 = b, u3 = c + gt, les formules obtenues représentent la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action de forces pour lesquelles il existe un potentiel U = — — g2 [ L (a+μ + v ) — ( λ2 + μ2 + v, ) — ( μν + νλ + λμ )]. Les sept quantités a, b, c, μn, λ2, qui doivent vérifier la relation μ0 + A2 + = L, peuvent être considérées comme les six constantes d'intégration.
= L, peuvent être considérées comme les six constantes d'intégration. L'auteur donne en terminant les conditions que doivent remplir ces constantes pour que le mouvement soit périodique. Lecornu. — Sur les surfaces possédant les mêmes plans de symétrie que l'un des polyèdres réguliers. (200-280). La première Partie de ce Mémoire contient d'abord l'exposition d'une méthode synthétique pour former l'équation générale des surfaces possédant une certaine symétrie. Si L = 0, M = 0, N = 0 sont les équations de trois surfaces possédant la symétrie demandée, il est clair que toute surface représentée par une équation de la forme cp(L,
toute surface représentée par une équation de la forme cp(L, M, N) =0 jouira de la même symétrie; de plus, et c'est là le point essentiel de la méthode, l'équation générale précédente sera l'équation générale des surfaces cherchées pourvu que le produit des degrés des surfaces L = 0, M = 0, N = 0 soit égal à l'ordre du groupe qui correspond à la loi de symétrie. Si donc on peut trouver trois éléments simples L, M, N satisfaisant à la condition précédente, on aura immédiatement l'équation générale demandée. Dans le cas de la symétrie polyédrique, ces éléments simples
Dans le cas de la symétrie polyédrique, ces éléments simples s'obtiennent sans difficulté; on a d'abord l'élément L = x2 + y2 + z2, fourni par la sphère : les deux autres s'obtiennent en prenant pour chaque polyèdre les deux systèmes de plans les plus simples possédant la symétrie de ce polyèdre. L'auteur indique ensuite quelques propriétés générales des surfaces élémentaires ou linéaires, c'est-à-dire dont l'équation ne contient qu'un ou deux des éléments simples, y compris l'élément sphérique, et des courbes qu'il appelle sphérosymétriques, qui résultent de l'intersection des surfaces élémentaires avec les sphères centrales. Dans les trois autres Parties
élémentaires avec les sphères centrales. Dans les trois autres Parties de son travail, M. Lecornu examine séparément les trois types de symétrie. Pour la symétrie tétraèdrique, on peut prendre comme éléments simples u = x2 + y2 + z2, v = x2y2 + y2z2 + zzx2, w = xyz, de sorte que l'équation générale des surfaces ayant les mêmes plans de symétrie que le tétraèdre régulier est de la forme (u2 + v2 + w2) = 0 ; parmi ces surfaces, il y a lieu de distinguer les surfaces binaires ϕ(x2 + y2 + z2, xyz) = 0, engendrées par
ϕ(x2 + y2 + z2, xyz) = 0, engendrées par des sphérosymétriques du sixième ordre, surfaces qui coupent orthogonalement tous les cônes du second ordre circonscrits aux axes ternaires. Les plus simples sont les cubiques représentées par l'équation xyz + A(x2 + y2 + z2) + B = 0, qui dépendent de deux paramètres. La disposition des 27 droites de la surface, l'intersection avec des sphères concentriques sont étudiées en détail; chemin faisant, on rencontre quelques surfaces remarquables déjà étudiées, telles que la surface simple xyz = const., la surface réciproque de la surface de Steiner et la surface tétraédrale
réciproque de la surface de Steiner et la surface tétraédrale symétrique qui a pour équation t2 + u3 + v3 + w3 = 0 ; à propos de cette dernière surface, l'auteur donne un procédé élégant pour déterminer les lignes asymptotiques des surfaces tétraèdrales t2 + um + v2 + wm = 0. Ces lignes sont algébriques, toutes les fois que m est commensurable. Dans le cas de la symétrie cuboctaédrique, on peut prendre pour éléments simples L = x2 + y2 + z2, M = x4 + y4 + z4, N= x2y2z2 ; les surfaces binaires ϕ(L, M) =
z4, N= x2y2z2 ; les surfaces binaires ϕ(L, M) = 0 sont encore les trajectoires orthogonales des cônes ayant pour équation où a + b + c = 0. Les surfaces les plus simples admettant les neuf plans symétrie d'un cube sont par conséquent, après la sphère, les surfaces du quatrième ordre y2 + y2 z2 + z2x2 + A (x2 + y2 + z2)2 + 2 B(x3 + y2 + z2) + C = 0. Parmi les nombreuses questions que l'on peut se proposer sur ces surfaces, l'auteur étudie en détail les suivantes : génération par des biquadratiques gauches,
en détail les suivantes : génération par des biquadratiques gauches, disposition des plans tritangents, recherche de celles de ces surfaces qui ont des nœuds ou qui contiennent des droites. La détermination des surfaces qui admettent les mêmes plans de symétrie que l'icosaèdre régulier s'effectue sans difficulté en appliquant la méthode générale exposée dans la première Partie. Si, par le centre de l'icosaèdre, on mène des plans parallèles aux faces de ce solide, on forme évidemment un système de 10 plans admettant la symétrie demandée; il en est encore de même si l'on mène des plans parallèles aux faces du dodécaèdre,
si l'on mène des plans parallèles aux faces du dodécaèdre, ce qui donne un système de six plans possédant la même propriété. Si M = 0, N = 0 sont les équations de ces deux systèmes de plans, on peut prendre pour éléments simples L = x2 + y2 + z2, M, N ; le produit des degrés de ces trois surfaces est, en effet, égal à 120, ce qui est précisément le nombre des points qui se déduisent d'un point quelconque de l'espace par la loi de symétrie. L'équation générale des surfaces demandées est donc ϕ(L, M, N) =
générale des surfaces demandées est donc ϕ(L, M, N) = 0 ; les surfaces les plus simples, abstraction faite de la sphère, sont les surfaces du sixième ordre N + A (x2 + y2 + z2)3 + B (x2 + y2 + z2)2 + C (x2 + y2 + Z2) + D = 0. M. Lecornu détermine complètement les surfaces de cette famille qui ont des nœuds ou qui contiennent des droites. Parmi les surfaces obtenues, il y a lieu de citer particulièrement des surfaces passant par les arêtes de l'icosaèdre ou du dodécaèdre. Humbert (G.). — Sur les intégrales
l'icosaèdre ou du dodécaèdre. Humbert (G.). — Sur les intégrales algébriques des différentielles algébriques. (281-298). Soient f(x,y) = 0 l'équation d'une courbe algébrique, ϕ(x,y) une fonction rationnelle de x et de y; dans quels cas l'intégrale 1 = y) dx est-elle une fonction algébrique de x? Abel a montré que, si l'intégrale 1 est une fonction algébrique de x, elle s'exprime rationnellement en x et y. Un grand nombre de géomètres, entre autres Liouville et Zeuthen, ont donné des méthodes permettant de reconnaître par des calculs algébriques s'il en est ainsi et de trouver la valeur de l'intégrale. M. Humbert
ainsi et de trouver la valeur de l'intégrale. M. Humbert se place, dans son Mémoire, à un tout autre point de vue. Il part des conditions données par Briot et Bouquet pour que l'intégrale I = ∫ϕ(x,y) dx soit algébrique. Ces conditions sont de deux sortes; il faut et il suffit: 1° que l'intégrale I n'ait pas de cycle polaire; 2° que ses périodes soient nulles. Les premières conditions peuvent toujours se vérifier sans difficulté; mais, sauf des cas simples, il n'en est pas de même des secondes. Ce sont ces conditions que M. Humbert s'est proposé de transformer. La
ces conditions que M. Humbert s'est proposé de transformer. La méthode suivie repose sur l'emploi des fonctions fuchsiennes; si la relation proposée est de genre p, il résulte des travaux de M. Poincaré que x et y peuvent être exprimés par des fonctions fuchsiennes d'une variable t, le polygone générateur R0 du groupe ayant 4p côtés, tels que les côtés opposés sont conjugués deux à deux. La question proposée est alors ramenée à celle-ci : Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale I = ∫Θ(t) dt soit une fonction fuchsienne, Θ(t) étant une fonction thêtafuchsienne du premier degré,
fonction fuchsienne, Θ(t) étant une fonction thêtafuchsienne du premier degré, c'est-à-dire telle que l'on ait en désignant par (t, une des substitutions du groupe fuchsien. On voit d'abord que tous les résidus de 0(t) à l'intérieur du polygone R0 doivent être nuls; ces conditions sont équivalentes aux premières conditions de Briot et Bouquet. Soit, d'autre part, 0 (t) une fonction thêtafuchsienne holomorphe de degré un; l'intégrale ∫ I(t) θ(t) prise le long du contour de R0 aura tous ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, si I(t) est une fonction fuchsienne, de sorte que la somme des
est une fonction fuchsienne, de sorte que la somme des résidus de I(t) θ(t) à l'intérieur de R0 devra être nulle. Comme il existe p fonctions thêtafuchsiennes holomorphes de degré un, on obtient ainsi p conditions nouvelles; ces conditions nécessaires ne sont pas suffisantes, mais il est aisé de démontrer que, si elles sont remplies, on peut mettre I(t) sous la forme I(t) = F(t) + λ1G1(t)+... + λpGp(t), où F (t) désigne une fonction fuchsienne, une constante et où l'on a posé Gi(t) = ∫θi(t) dt. Il suffira donc d'exprimer que l'on a 0: l'auteur considère, à cet effet,
d'exprimer que l'on a 0: l'auteur considère, à cet effet, p fonctions thêtafuchsiennes du premier degré ζ1(t), ..., ζp(t) n'ayant chacune à l'intérieur du polygone R0 qu'un pôle double, les p pôles doubles P1, β2, ..., βp étant pris arbitrairement. En exprimant que les p intégrales sont nulles, on est conduit aux p équations ( βi) + ... + ( βi) = 0 (i = 1, 2, ..., p), qui n'admettent pas d'autres solutions que À1 = À2 =... = λp = 0, si l'on choisit les p quantités arbitraires βi de façon à ne pas annuler le déterminant de
βi de façon à ne pas annuler le déterminant de ces p équations. En revenant aux variables primitives x, y, M. Humbert énonce le théorème suivant, qui est la conclusion de son travail : « Soient f(x, y) = 0 l'équation d'une courbe algébrique de genre p; ϕ(x,y) une fonction rationnelle quelconque de x et de y; G1, G2, ..., Gp, p intégrales abéliennes de première espèce distinctes; H1, H2, ..., Hp, p intégrales de deuxième espèce appartenant à la courbe f= 0. Pour que l'intégrale ∫ϕ(x, y) dx se réduise à une fonction rationnelle de x et de y,
réduise à une fonction rationnelle de x et de y, il faut et il suffît : 1° Que cette intégrale n'ait pas de période polaire; 2° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales ∫Gj(x) dx soit nulle; 3° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales ∫Hi(x) dx soit nulle. » Une Note du Rédacteur nous apprend que les résultats de M. Humbert avaient déjà été obtenus depuis longtemps par M. Weierstrass comme corollaire du théorème sur la réduction d'intégrales abéliennes à une somme d'intégrales normales des trois espèces. D'ailleurs, on s'aperçoit aisément que les
normales des trois espèces. D'ailleurs, on s'aperçoit aisément que les fonctions fuchsiennes ne jouent qu'un rôle secondaire dans le Mémoire de M. Humbert, et que leur emploi ne constitue au fond qu'un changement de notations. Ce qui caractérise, en effet, cette méthode, c'est qu'au lieu de considérer la surface T de Riemann et d'intégrer le long des coupures qui la transforment en une surface simplement connexe, on commence par appliquer cette surface sur un polygone fuchsien et l'on intègre ensuite le long du contour de ce polygone. De même, si l'on considère une courbe gauche dépendant de n + 1
l'on considère une courbe gauche dépendant de n + 1 paramètres, il existe une forme des différentielles qui, égalée à zéro, exprime la condition nécessaire et suffisante pour que cette courbe rencontre la courbe infiniment voisine. Cette forme M(M du), dont l'évanouissement exprime la condition de contact dans le cas des surfaces et la condition de rencontre dans le cas des courbes, peut être appelée forme fondamentale pour le système d'éléments considérés. L'objet principal du Mémoire de M. Kœnigs est l'étude des deux problèmes suivants, qu'il résout complètement : 1° Sous quelles conditions nécessaires et suffisantes une forme de différentielles
Sous quelles conditions nécessaires et suffisantes une forme de différentielles peut-elle être la forme fondamentale considérée? Construire le type général de ces formes. 2° Sachant qu'une forme M(u du) peut jouer le rôle de forme fondamentale, trouver tous les systèmes d'éléments qui l'admettent en effet pour forme fondamentale. Considérons d'abord une surface s = ϕ (x, y, u); la forme fondamentale M(u, du) est le résultat de l'élimination de x et y entre les trois équations ϕ, du = 0, p, du = 0, q, du = 0, où l'on pose, pour abréger, si, dans cette forme, on remplace du
pose, pour abréger, si, dans cette forme, on remplace du par t et qu'on y regarde les u comme des constantes données, on a une relation homogène entre n + 1 variables, t1, t2, tn+, qu'on peut regarder comme l'équation d'une surface dans un espace à n dimensions. Si l'on convient d'employer le langage de la Géométrie à n dimensions, les propriétés caractéristiques de la forme M(u, t) se présentent de la manière la plus nette. En effet, l'équation M(u, t) = 0 résulte évidemment de l'élimination de x et y entre les trois équations dont la première représente un
y entre les trois équations dont la première représente un espace linéaire à n - 1 dimensions ou plan, dépendant de deux paramètres variables x et y. Il suit de là que : « Dans l'espace à n dimensions dont les t sont les coordonnées ponctuelles, l'équation M(M t) = 0, où les u sont regardés comme constants, représente une surface En-1, 2, dont les plans tangents sont seulement deux fois indéterminés. » Si le plan tangent à cette surface a pour équation T, tl + T2 + ... + 1 tn+1 = 0, les T, ne dépendant que de
1 tn+1 = 0, les T, ne dépendant que de deux variables, devront vérifier un système de n - 2 relations homogènes M1 (u T) = 0, ..., (u T) = 0, de sorte que la forme M(u, t) possède un système adjoint de n - 2 formes. Si n+1 = 4, les propriétés précédentes ne constituent aucune singularité, mais il n'en est plus de même si n+1 > 4; les formes fondamentales M(u, du) ne peuvent être prises que parmi celles qui possèdent un système adjoint de n - 2 formes simultanées. Ce caractère purement algébrique n'est pas suffisant
2 formes simultanées. Ce caractère purement algébrique n'est pas suffisant pour définir la forme M(u, du); mais nous savons que l'équation du plan tangent à la surface M(u, t) = 0 peut être mise sous la forme Par conséquent, le système des n - 2 équations doit admettre une intégrale y = u) z contenant trois constantes arbitraires x, y, z dont l'une z est nécessairement additive. Inversement, si ces conditions sont remplies, la forme M(u, du) est la forme fondamentale pour le système de surfaces z = y, u) = 0, et la première question posée par M. Kœnigs
= 0, et la première question posée par M. Kœnigs se trouve ainsi complètement résolue. On voit en même temps que la recherche des systèmes de surfaces admettant la forme fondamentale M(u, du) est ramenée à la recherche des intégrales complètes du système (E). Si l'on part d'une première intégrale complète supposée connue, l'intégrale générale s'obtiendra par le procédé usité dans la théorie des équations aux dérivées partielles, et la discussion de ce système conduit l'auteur à la conclusion suivante : "Si deux éléments, surfaces donnent lieu à la même forme fondamentale, on peut passer de l'un à l'autre par
forme fondamentale, on peut passer de l'un à l'autre par une transformation de contact." Il résulte aussi de cette recherche que, si la fonction θ(u) vérifie les équations (E) soit identiquement, soit en vertu de la relation θ(u) = 0, cette dernière équation exprime que les surfaces (u) qui la vérifient touchent une courbe ou une surface fixe ou bien passent par un point fixe. Le cas où l'élément est une courbe se ramène immédiatement au cas où l'élément est une surface par une transformation de contact et les conclusions précédentes s'appliquent encore. Si l'on appelle formes équivalentes les formes
précédentes s'appliquent encore. Si l'on appelle formes équivalentes les formes qui se transforment les unes dans les autres par un changement de variables, et si l'on convient de dire que les systèmes d'éléments transformables les uns dans les autres par des transformations de contact forment un groupe, deux systèmes d'éléments qui donnent lieu à deux formes fondamentales équivalentes appartiennent à un même groupe. Ainsi, quand on prend pour forme fondamentale la sphère ou la droite, on sait qu'on peut ramener la forme fondamentale à la forme il doit donc exister une transformation de contact qui change la sphère en droite.
une transformation de contact qui change la sphère en droite. Cette transformation est, comme on sait, une des belles découvertes de M. Sophus Lie. Il suit de là que le cas d'un élément courbe ne diffère pas essentiellement du cas d'un élément surface. Cependant un système de surfaces ne peut pas, en général, se transformer en un système de courbes par une transformation de contact. M. Kœnigs est ainsi conduit à diviser les formes fondamentales en deux classes, les formes de la seconde classe pouvant seules convenir à un système de courbes. Les formes de cette classe se distinguent par
de courbes. Les formes de cette classe se distinguent par deux caractères : 1° Un caractère algébrique; la surface S est le lieu d'un espace linéaire S et tout plan mené par l'un de ces espaces générateurs touche la surface en tous les points d'un espace linéaire à trois dimensions. 2° Un caractère transcendant; les équations (E) forment un système complet semi-linéaire, c'est-à-dire admettent une solution de la forme x ϕ(α u) + p + (α. u) — γ, où a, β, y sont trois constantes. Les courbes x = ϕ(z u), y = ψ(z u), prises pour éléments, donnent
ϕ(z u), y = ψ(z u), prises pour éléments, donnent la forme fondamentale M(u du). Les derniers paragraphes du Mémoire sont consacrés à l'étude des cas où quelques-unes des équations du système adjoint sont linéaires, et du cas où la forme fondamentale est quadratique. On arrive, en particulier, à cette conclusion intéressante que les systèmes d'éléments qui donnent lieu à une forme quadratique ne peuvent contenir plus de quatre paramètres. Stenberg (E.-A.). — Sur un cas spécial de l'équation différentielle de Lamé. (339-348). Étude du cas spécial où l'équation de Lamé admet pour intégrales des fonctions doublement périodiques de seconde
Lamé admet pour intégrales des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, appartenant à la catégorie particulière signalée par M. Mittag-Leffler. La méthode générale donnée par M. Hermite exige alors quelques modifications. COMPTES RENDUS HEBDOMENAIRE DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Tome CVII; 1888 (i). Perrin. — Sur les critères des divers groupes de solutions multiples communes à deux équations. (22-24). En s'appuyant sur le théorème général qu'il a établi dans sa précédente Communication, l'auteur calcule les critères qui permettent de reconnaître si deux polynômes ont un, deux, trois ou quatre facteurs linéaires communs (ces facteurs pouvant ne pas entrer au
facteurs linéaires communs (ces facteurs pouvant ne pas entrer au même degré dans la composition de ces deux polynômes). Saint-Loup. — Sur la représentation graphique des diviseurs des nombres. (24-26). Jensen. — Observations sur une Communication récente de M. Cesaro. (81-82). Lemoine. — De la mesure de la simplicité dans les constructions géométriques. (169-171). Bertrand. — Note sur le tir à la cible. (205-207). Dans une Note précédente, M. Bertrand a indiqué l'équation des ellipses de même probabilité dans une série de tirs dont le résultat est connu. L'équation des ellipses étant k2x2 + 2λxy + k'2y2 = H, il
ellipses étant k2x2 + 2λxy + k'2y2 = H, il a donné, dans une seconde Note, neuf valeurs de la constante H, telles que la probabilité pour que la balle se place dans la plus petite des ellipses correspondantes, ou en dehors de la plus grande, ou entre deux ellipses consécutives, soit toujours M. Bertrand a pu appliquer les formules aux résultats fournis par 1000 épreuves faites à 200m avec dix fusils de même modèle, chaque tireur ayant tiré dix balles avec chaque fusil. L'accord de l'expérience avec la théorie s'est montré aussi satisfaisant que possible. De Jonquières. — Nouvelles
s'est montré aussi satisfaisant que possible. De Jonquières. — Nouvelles recherches sur la construction, par deux faisceaux projectifs, de la surface générale du troisième ordre. (209-214). 1° Construire la surface du troisième ordre, connaissant trois de ses droites (qui ne se rencontrent pas deux à deux), une autre droite s'appuyant sur deux de celles-ci et cinq points. 2° Construire la surface du troisième ordre, connaissant une de ses droites, sept points que l'on sait être situés sur une même courbe gauche du quatrième ordre et de première espèce, et cinq autres points indépendants entre eux. Dans chacun de ces deux
autres points indépendants entre eux. Dans chacun de ces deux problèmes, qui sont en un certain sens corrélatifs l'un de l'autre, les données sont équivalentes à dix-neuf conditions. La solution de ces nouveaux cas porte à six le nombre des cas de construction de la surface générale du troisième ordre, traités par M. de Jonquières (voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CVI, p. 526 et 527). L'auteur donne quelques indications utiles pour la solution des cas qui n'ont pas encore été abordés. Perrin. — Sur les critères des divers genres de solutions multiples communes à trois
critères des divers genres de solutions multiples communes à trois équations à deux variables. (219-221). Trois polynômes u, v, w entiers en x, y, de degrés m, n, p, et dont le résultant est R, sont liés, ainsi que leurs dérivées partielles, par relations, savoir et celles qu'on en déduit par differentiation. (Pour les notations, voir plus haut.) De là, M. Perrin déduit que toute courbe u qui passe par les points communs aux courbes v et w satisfait à une relation de la forme umnp = V + W, où V, W sont des polynômes en u, v, w