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gravité n'a plus de sens. En dernier lieu, on a six propositions des aires. Les conditions d'équilibre découlent immédiatement des équations qu'on vient d'établir. Les notions qu'on a mises en usage dans les trois premiers paragraphes étant indépendantes du nombre des dimensions, leurs résultats peuvent être étendus à un nombre quelconque de dimensions. Les méthodes de Hamilton et de Jacobi se prêtent en outre sans difficulté à être appliquées aux formes non euclidiennes de l'espace; ce qu'il faut étudier, c'est la relation qu'elles ont avec les coordonnées de M. Weierstrass. Pour faire voir la souplesse de ces méthodes, l'auteur entre
Pour faire voir la souplesse de ces méthodes, l'auteur entre dans le détail de la solution de plusieurs Problèmes : 1° Trouver la ligne géodésique sur une figure à un nombre quelconque de dimensions; 2° Mouvement d'un point libre attiré par un point fixe selon une fonction arbitraire de la distance; 3° Dans une forme de l'espace à n dimensions un point mobile est sollicité par deux forces dirigées vers deux centres fixes et inversement proportionnelles au carré du sinus de la distance divisée par k. Extension de la loi newtonienne. La recherche du potentiel dans les espaces à n
newtonienne. La recherche du potentiel dans les espaces à n dimensions, devancée par un Mémoire de M. Schering (Bulletin, t. XI, p. 273) de 1873, montre que les propriétés du potentiel subsistent, elles aussi, et diffèrent très peu de celles de l'espace euclidien à trois dimensions. Mouvement infiniment petit d'un corps solide. — L'étude de ce mouvement repose sur les propriétés d'un déterminant A et conduit à plusieurs théorèmes dont quelques-uns ont été déjà énoncés par d'autres géomètres, notamment par MM. Jordan et Beltrami. Les considérations sur le mouvement fini d'un corps solide (§8) sont précédées de la théorie des
d'un corps solide (§8) sont précédées de la théorie des moments d'inertie (§7). Les équations de ce mouvement se trouvent déjà dans le Mémoire de Clifford : « On the free motion under no forces of a rigid system in an n-fold homaloid » [Bulletin, (2), 12 p. 201], mais son observation sur la possibilité de les intégrer en toute généralité n'est pas juste, parce qu'elle suppose des conditions initiales toutes particulières. Hazzidakis (J.-N.). — Génération de surfaces par des lignes de courbure. (49-67). Voici la question proposée par l'auteur : Quelles sont les conditions pour qu'une courbe de forme
: Quelles sont les conditions pour qu'une courbe de forme invariable engendre, en se mouvant, une surface dont elle soit, en toute position, une ligne de courbure? I. La courbe est gauche, mais non sphérique. Alors la surface engendrée est l'hélicoïde x = u COS v, y = u sin v, z = kv + f(u). Réciproquement, toute ligne de courbure de l'hélicoïde remplit cette condition. (Toute courbe sphérique est ligne de courbure de la sphère à laquelle elle appartient, et se maintient comme telle pendant un mouvement quelconque sur la sphère.) II. La courbe est plane. Il y a
la sphère.) II. La courbe est plane. Il y a plusieurs solutions : 1° La courbe plane est une ligne de courbure de la surface engendrée par elle, lorsque son plan se meut de telle sorte que l'axe des x soit normale principale, l'axe des y tangente d'une courbe directrice à première courbure constante (mais à torsion quelconque). La surface en question a pour équations x = ds, y = ds, z = ds. 2° La courbe engendre une surface sur laquelle elle reste toujours ligne de courbure, quand elle se meut, de telle sorte que le plan passant par
se meut, de telle sorte que le plan passant par l'axe des y et perpendiculaire au plan de la courbe touche sans cesse une surface cylindrique arbitraire, la ligne de contact et l'axe des y étant parallèles. La vitesse angulaire relative à la ligne de contact et la vitesse de glissement ont le rapport dw / b N -, où R désigne la distance de la ligne de contact à l'axe des y. 3° Toute courbe plane est ligne de courbure de la surface que canal engendrée par elle lorsque son plan roule sur une surface quelconque développable. 4° La
son plan roule sur une surface quelconque développable. 4° La circonférence jouit encore de la propriété en question quand un plan passant par l'un de ses diamètres, et perpendiculaire au plan du cercle, roule sur une surface quelconque développable. Boltzmann (Ludwig). — Sur les propriétés des systèmes monocycliques et d'autres systèmes analogues. (68-94). La deuxième loi de la théorie mécanique de la chaleur pourrait sans doute trouver la démonstration la plus complète dans la Mécanique analytique si l'on parvenait à prouver qu'il existe, pour un procédé quelconque de Mécanique, des équations qui sont analogues à celles de la Thermodynamique. Or,
équations qui sont analogues à celles de la Thermodynamique. Or, il semble que la proposition, prise dans cette généralité, ne soit pas juste, et que nous ignorons la nature de ce que nous appelons atomes, à tel point que nous ne sommes pas à même d'indiquer les conditions exactes qui président au mouvement de la chaleur; donc nous voilà vis-à-vis de la question : dans quel cas et dans quelle étendue les équations de la Mécanique sont-elles l'analogue de celles de la théorie mécanique de la chaleur? C'est M. H. von Helmholtz qui a posé le premier la question sous
von Helmholtz qui a posé le premier la question sous cette forme (voir Bulletin XII, P. 121), et, en considérant quelques systèmes intimement liés aux systèmes monocycliques, M. Boltzmann tâche de pousser plus loin l'analogie que son illustre prédécesseur a découverte entre les systèmes monocycliques et les lois de la théorie mécanique de la chaleur. Ayant discuté plusieurs exemples où la force vive se transforme en travail, comme dans la Thermodynamique, l'auteur parvient au point où il n'est plus d'accord avec M. von Helmholtz. Il trouve qu'il existe des systèmes isokinétiques (expression introduite par M. von Helmholtz) où la force
isokinétiques (expression introduite par M. von Helmholtz) où la force vive n'est plus dénominateur intégrant, et il soupçonne que, dans l'équation de ce géomètre dQ = 2L dlog(Lt), la quantité Lt ne dépend pas seulement de l'état actuel, mais encore de la voie par laquelle le système a dû passer pour entrer dans cet état; il croit donc qu'on n'est pas en droit de conclure de cette équation que L soit toujours denominateur intégrant de dQ. Cayley (A.). — Note en connexion avec les intégrales hyperelliptiques de première espèce. (95-96, anglais). Démonstration d'une équation de M. Weierstrass contenue dans un
anglais). Démonstration d'une équation de M. Weierstrass contenue dans un Mémoire de 1858 et identique à une formule de M. Hermite dans une Note de 1855. Königsberger (L.). — Sur les intégrales de fonctions transcendantes. (97-125). On sait qu'Abel a établi le théorème fondamental « Si l'intégrale f(y)d(x), où y désigne une fonction algébrique de x, est, elle aussi, une fonction algébrique, cette dernière fonction permet d'être mise sous la forme de fonction rationnelle de x et y. » Dans le Mémoire original d'Abel, ce théorème est suivi d'autres propositions analogues et relatives aux intégrales de fonctions algébriques lorsqu'il est
analogues et relatives aux intégrales de fonctions algébriques lorsqu'il est possible de les réduire à des logarithmes et intégrales elliptiques. M. Königsberger s'attache d'abord à démontrer plusieurs généralisations de ces théorèmes pour une intégrale d'une équation différentielle linéaire ou non linéaire d'ordre quelconque. Puis, pour montrer l'utilité des propositions qui découlent de son analyse, il aborde la question principale, qui est d'étudier la nature de toutes les transcendantes dont l'intégrale permet d'être représentée en fonction algébrique de la variable indépendante et de cette transcendante. Il trouve tout de suite qu'il faut qu'une telle transcendante soit l'intégrale d'une équation différentielle algébrique
faut qu'une telle transcendante soit l'intégrale d'une équation différentielle algébrique de premier ordre, et qu'elle ne peut donc appartenir à une équation différentielle irréductible d'ordre supérieur. Si la transcendante satisfait en même temps à une équation différentielle d'ordre m, il faut que l'intégrale générale de la première équation soit une fonction homogène et linéaire de m intégrales particulières de l'autre dont les coefficients sont fonctions d'une même constante arbitraire. D'après une Investigation antérieure de l'auteur, cette propriété n'appartient qu'à l'équation différentielle linéaire de premier ordre ou aux équations différentielles qui en dérivent par une substitution algébrique. Les coefficients de la
en dérivent par une substitution algébrique. Les coefficients de la substitution doivent encore remplir quelques conditions que l'auteur étudie de plus près. Grube (F.). — Détermination du potentiel d'un ellipsoïde homogène. (126-130). La solution repose sur la décomposition de l'ellipsoïde en couches homothétiques infiniment minces, concentriques à la surface limite, et procède par la voie de l'intégration directe. Lilienthal (R. von). — Propriétés générales de surfaces dont les coordonnées permettent d'être représentées par les parties réelles de trois fonctions analytiques d'une variable complexe. (131-147) Les recherches se composent de trois Parties. La première s'occupe des surfaces caractérisées au titre. L'auteur
Parties. La première s'occupe des surfaces caractérisées au titre. L'auteur prend pour point de départ l'observation suivante : Les expressions de Gauss A, B, C, D, D', D", E, F, G ne gardent leurs significations que quand elles sont formées de variables réelles. Donc, dès que l'on emploie les variables complexes u = p - jqi, v = p - qi pour étudier les surfaces, il faut développer les relations qui lient les quantités A, ..., G, formées en p et q, aux quantités corrélatives en u et v. Désignons par le nom de fonctions génératrices les fonctions analytiques dont
par le nom de fonctions génératrices les fonctions analytiques dont les parties réelles représentent les coordonnées des surfaces en question. Trois fonctions génératrices donneront lieu à deux surfaces : les parties réelles de ces fonctions fournissent les coordonnées de l'une, les coordonnées de l'autre dérivent de leurs parties imaginaires divisées par i. Cette seconde surface s'appelle la parente de la première. Après cela, une surface possédra une seule Parente ou en aura plusieurs, à mesure qu'elle peut descendre d'un seul système de trois fonctions génératrices ou de plusieurs. La deuxième Partie développe les relations qui existent entre les surfaces en
Partie développe les relations qui existent entre les surfaces en question et leurs parentes. Dans la troisième Section, l'auteur examine les conditions auxquelles une surface doit satisfaire pour appartenir à celles considérées dans le Mémoire, c'est-à-dire pour posséder une fonction génératrice. Krause (Martin). — Contribution à la théorie des fonctions hyperelliptiques de premier ordre. (148-174). En partant des théorèmes d'addition pour les fonctions theta, l'auteur indique une méthode qui enseigne à établir les équations différentielles auxquelles satisfont les modules de périodicité des intégrales hyperelliptiques et les fonctions theta à plusieurs variables pour les valeurs nulles des variables. Tandis que les
variables pour les valeurs nulles des variables. Tandis que les autres travaux qui traitent le même sujet ont eu recours à considérer la nature des intégrales, le point de départ choisi par M. Kratčev ne semble pas être dépourvu d'intérêt. Car ni le principe ni la marche du raisonnement ne s'écartent du caractère vraiment élémentaire; encore est-ce ainsi que ces équations différentielles se rangent sous un même point de vue comme anneaux d'une chaîne indéfiniment longue d'équations dont chacune jouit d'une certaine importance dans la théorie des transcendantes hyperelliptiques. Quoique restreinte, dans le Mémoire de M. Krause, aux fonctions hyperelliptiques
restreinte, dans le Mémoire de M. Krause, aux fonctions hyperelliptiques de premier ordre, cette méthode n'y est point bornée. Du reste, la tentative de prendre la théorie des fonctions theta pour fondement des transcendantes hyperelliptiques n'est pas d'origine récente; signalons seulement les Leçons de Jacobi sur les fonctions elliptiques, publiées pages 497-538 du tome 1 de ses Œuvres, et les réflexions faites sur ce procédé par M. Weierstrass dans les Comptes rendus des séances de l'Académie de Berlin. En terminant son travail, M. Krause cite ce passage remarquable de Jacobi (Œuvres, t. II, p. 173) : « Considérons la série
(Œuvres, t. II, p. 173) : « Considérons la série y = 1 + 2 q + 2q^4 + 2 q^9 + ..., dont la loi de formation est extrêmement simple. Malgré cette simplicité, il n'y a pourtant pas de moyen pour reconnaître, par la nature même de cette série, si elle peut être définie par une équation finie aux différentielles, c'est-à-dire par une équation algébrique entre elle, la variable indépendante et ses coefficients différentiels. Et qu'il soit possible de trouver une telle équation à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques : combien les considérations requises sont-elles compliquées et
fonctions elliptiques : combien les considérations requises sont-elles compliquées et indirectes ! » On comprend la satisfaction de l'auteur, qui ajoute ces paroles : « Tout au contraire, la méthode développée sur la base du théorème d'addition paraît aussi simple que succincte. » Anglin (A.-H.). — Contribution à la théorie des fonctions symétriques. (175-176). Soit f(x) = x^m + ... + c_n d_n se propose de représenter le reste de la division x^m+n : f(x) par certaines fonctions symétriques des racines de l'équation f(x)=0. Le résultat se trouve aussi dans la dissertation inaugurale de Jacobi publiée sous une forme amplifiée
la dissertation inaugurale de Jacobi publiée sous une forme amplifiée dans les Œuvres de Jacobi (t. II, n° 23). Meyer (A.). — Sur le nombre de classes des formes ternaires quadratiques qui admettent une représentation rationnelle du zéro. (177-230). La théorie des formes ternaires quadratiques a été fondée par Gauss et par Eisenstein. M. Meyer soumet celles de ces formes qui se prêtent à représenter la valeur nulle au moyen de valeurs entières des variables à une analyse détaillée et qui conduit à diviser ces formes nulles en genres et classes, et à déduire le nombre de classes appartenant à
classes, et à déduire le nombre de classes appartenant à chaque genre. Dans la première Partie du Mémoire on trouve, pour une forme nulle, démonstration des critères de Smith, critères que le géomètre anglais avait publiés sans en indiquer la preuve. Les caractères quadratiques (selon Gauss) de la forme et de son adjointe fournissent le principe de la division des formes en genres. La représentabilité du zéro, par une forme ternaire quadratique indéfinie, se trouve être indépendante seulement de ces caractères quadratiques. Par conséquent, ou toutes les formes d'un genre permettent de représenter zéro, ou aucune ne l'admet. Enfin, l'équivalence
permettent de représenter zéro, ou aucune ne l'admet. Enfin, l'équivalence de deux formes ternaires réduites se reconnaît à l'aide d'une ample discussion des six équations de transformation. Le critère simple et complet qu'on gagne ainsi sert à ranger en classes les formes réduites du genre nul. Dans la deuxième Partie, l'auteur résout la question, déjà abordée par Gauss, de représenter une forme ternaire nulle aux invariants Ω, A par une forme binaire au déterminant ΩM, M étant un nombre entier quelconque. Ce cas comprend, comme cas spécial, la représentation d'un nombre par la forme ternaire. Trois certaines congruences, qui doivent
nombre par la forme ternaire. Trois certaines congruences, qui doivent être remplies en même temps, font voir que les genres des deux formes se déterminent complètement l'un l'autre. Dans la troisième Partie, on étudie le nombre de classes pour un genre ternaire nul aux invariants impairs positifs Ω, A, Une investigation savante mène enfin au théorème principal : « Dans tout genre de formes ternaires quadratiques nulles à déterminant impair, le nombre de classes est une puissance (assignable) de 2 ». L'auteur finit par mettre ce nombre sous diverses formes élégantes. Heymann (W.). — Sur les intégrales supplémentaires. (231-240). On
élégantes. Heymann (W.). — Sur les intégrales supplémentaires. (231-240). On peut effectuer quelquefois l'intégration d'équations différentielles linéaires non réduites pn y(n) + p_0y = q sans appliquer la méthode de la variation des constantes. Soit Y l'intégrale complète de l'équation réduite, on aura pour l'intégrale complète de l'équation non réduite : y = Y - tÇ, où Ç dénote une solution particulière, libre de constantes arbitraires, de l'équation à second membre. Cette fonction Ç est ce que l'auteur appelle l'intégrale supplémentière, appartenant à q, de l'équation proposée. Sans aucune connaissance préalable des solutions particulières de l'équation réduite, on ne saurait
préalable des solutions particulières de l'équation réduite, on ne saurait en général donner de préceptes pour la déduction de l'intégrale supplémentaire. Cependant une première hypothèse sur la forme de l'intégrale conduit souvent au but, ou l'on réussit aussi parfois à modifier la méthode qui est à appliquer à l'intégration de l'équation réduite, de telle sorte qu'on gagne immédiatement une intégrale particulière de l'équation non réduite. Quelques exemples servent à montrer l'efficacité de ces observations. Heymann (W.). — Sur une transformation dans la théorie des équations différentielles linéaires simultanées. (241-243). Frobenius (G.). — Sur les facteurs constants des séries theta. (244-263).
(G.). — Sur les facteurs constants des séries theta. (244-263). Suivant M. Weierstrass, on peut démontrer la relation de Jacobi : Sr = 1/2 ~S(r1, S(r2, en s'aidant de l'équation aux différentielles partielles C'est ce que fait l'auteur dans le premier paragraphe de son Mémoire, en recourant tout à la fois au développement en séries de quelques formules connues. Après cela, il emploie la même méthode pour démontrer les formules analogues des fonctions thêta à deux et trois variables, enfin, plus généralement, des fonctions thêta hyperelliptiques. Sans entrer dans le détail des notations et du calcul, contentons-nous de mentionner que
détail des notations et du calcul, contentons-nous de mentionner que M. Frobenius donne la formule définitive sous cette forme : C'est à dire que la relation a lieu pour une valeur quelconque de p, pourvu que le système fondamental soit déterminé et que les paramètres τ1, τ2 satisfassent aux conditions propres aux fonctions hyperelliptiques. Pour p = 2, la relation a été communiquée sans démonstration dans les Mémoires des Savants étrangers, t. XI, par Rosenhain qui semble l'avoir prouvée par une généralisation de la méthode de Jacobi. L'existence d'une équation semblable pour p = 3 se fit deviner à l'aspect
semblable pour p = 3 se fit deviner à l'aspect de la formule donnée par M. Weber pour le rapport de deux déterminants qui ont la même forme (Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht, 3, p. 42). Pour les fonctions hyperelliptiques, M. J. Thomsen a déduit la relation en question de la théorie des intégrales hyperelliptiques. Hofmann (Fritz). — Réduction à la forme √x de l'équation du tétraèdre. (264). Schönflies (Arthur). — Contribution à la théorie du mouvement des systèmes solides de l'espace. (265-280). Considération de trois ou de plus de trois positions successives du solide. Citons quelques-uns des exemples
de trois positions successives du solide. Citons quelques-uns des exemples : Tous les points du système solide pour lesquels trois positions successives appartiennent à une même droite forment en général une courbe cubique gauche qui passe par les points à l'infini des deux droites du système, axes des deux mouvements hélicoïdaux que subit le système. Dans un système solide S il y a un nombre infini de points P tels que les quatre positions successives P, P1, P2, Pa appartiennent à un seul plan. L'ensemble de ces points forme en général une surface cubique Fa, lieu de la courbe que
général une surface cubique Fa, lieu de la courbe que nous venons de mentionner. Il y a un nombre infini de points du système solide tels que les cinq positions P, P1, P2, P3, P4 appartiennent à un même plan. Ils forment en général une courbe gauche c6 de sixième ordre. Il existe en général neuf points du système solide pour lesquels six positions successives appartiennent à un même plan. Dans le système solide, il y a un nombre infini de points tels que quatre positions successives appartiennent à une même circonférence; ils forment une courbe cG de sixième ordre,
même circonférence; ils forment une courbe cG de sixième ordre, située sur la surface FI. Dans le système solide, il y a un nombre infini de points tels que cinq positions successives restent sur une même surface sphérique; ils forment une surface FI de quatrième ordre, etc. Weingarten (J.). — Note sur les lignes focales d'un faisceau de rayons infiniment mince. (281 -283). Pour éviter à quelques objections qu'on a cru devoir faire contre les théories des systèmes de rayons de Hamilton, de Ch. Sturm et de Rumer, M. Weingarten signale une ambiguïté inhérente à la définition des lignes focales.
signale une ambiguïté inhérente à la définition des lignes focales. Si l'on ne trouve pas, dans les théories devenues classiques des géomètres illustres, la preuve de l'existence de lignes focales qui ne rencontrent pas sous un angle droit l'axe du faisceau infiniment mince (par exemple, des normales d'une surface), cette circonstance se trouve assez éclaircie quand on observe que le but de ces recherches demandait justement de faire un choix convenable de certaines lignes focales privilégiées par leur position. Reye (Th.). — Sur les espèces principales des complexes générales quadratiques de rayons et sur les tissus de ces complexes. (284-300).
de rayons et sur les tissus de ces complexes. (284-300). La division en genres des complexes quadratiques de rayons, prévue et ébauchée par M. F. Klein dans sa dissertation inaugurale (1868), a été achevée par M. Weierstrass (1874) qui s'inspirait de la théorie des diviseurs élémentaires de M. Weierstrass, et tout récemment (1884), M. C. Segre l'a reprise sur une base géométrique plus amplifiée. L'un et l'autre sont d'accord en trouvant quarante-neuf genres de complexes quadratiques irréductibles. Le premier de ces genres comprend les complexes généraux de second degré qui dépendent de dix-neuf constantes; les autres quarante-huit genres contiennent les
dépendent de dix-neuf constantes; les autres quarante-huit genres contiennent les complexes particuliers dotés de rayons doubles. Une division ultérieure des genres en espèces, par rapport au nombre des diviseurs élémentaires, n'a été abordée nulle part jusqu'à présent. Cependant, au point de vue géométrique, les espèces diverses de complexes quadratiques pourraient jouir d'un plus grand intérêt que leurs genres divers. Car ces derniers, on peut les obtenir par spécialisation en partant des complexes généraux, de même qu'on descend de la surface générale du second degré à la surface du cône et de là au couple de plans. Tout au contraire, il
de là au couple de plans. Tout au contraire, il est beaucoup plus difficile de créer une image intuitive de la métamorphose d'un complexe quadratique en un autre d'espèce différente. M. Reye enseigne à distinguer les complexes hyperboliques, paraboliques, elliptiques et imaginaires, mais parmi les espèces paraboliques et elliptiques, encore plusieurs espèces principales. Tandis que les complexes paraboliques ont un nombre infini de rayons communs avec tout complexe linéaire, et les hyperboliques même avec toute congruence linéaire, les complexes elliptiques ne sont pas coupés par tout complexe linéaire en rayons réels, et les imaginaires jamais. Des faisceaux réels de rayons