jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
... X peuvent déduire des coordonnées x, y, x', y', ... des points atteints par rapport à eux axes arbitraires à l'aide des équations Les courbes d'égale probabilité sont les ellipses k2 x2 + 2xy + k2y2= const. La quantité — 1 proportionnelle à la surface de l'ellipse dans laquelle a Probabilité donnée pour que la balle vienne se loger peut servir de mesure à la précision d'une arme supposée sans défaut. Entre deux coups, le plus probable est celui pour lequel la somme k2 x2 + 2xy + k2y2 a Plus petite valeur. Sylvester. — Sur les nombres parfaits.
a Plus petite valeur. Sylvester. — Sur les nombres parfaits. (403-505). On ignore s'il existe des nombres parfaits impairs. M. Servais a montré (Mémoires de l'Académie, 1887) qu'un nombre parfait (s'il en existe) qui ne contient que trois facteurs premiers distincts est divisible par 3 et par 5. M. Sylvester démontre qu'un pareil nombre ne peut exister, au moyen d'un raisonnement analogue à celui qui lui a fourni la démonstration de ce théorème, qu'il n'existe pas de nombre parfait qui contienne moins de six facteurs premiers distincts. En ce qui concerne les nombres parfaits pairs, M. Sylvester rappelle qu'Euclide a
concerne les nombres parfaits pairs, M. Sylvester rappelle qu'Euclide a fait voir que 2n(2n+1 — 1), où 2n+1 — 1 est premier, est un nombre parfait, et qu'Euler a donné la seule preuve actuellement connue de la proposition réciproque : il n'existe pas d'autres nombres parfaits pairs que ceux d'Euclide. Robin. — Distribution de l'électricité induite par des charges fixes sur une surface fermée convexe. (413-416). Si l'on répartit sur une surface fermée convexe une couche simple de densité finie quelconque f, et qu'on forme les intégrales où r désigne le rayon vecteur qui va d'un point de la surface
le rayon vecteur qui va d'un point de la surface aux divers éléments dcr, et cp l'angle de ce rayon vecteur avec la normale intérieure de ce point, ces intégrales tendent vers la valeur de la densité de la couche électrique en équilibre d'elle-même sur elle. Si maintenant le conducteur cr est soumis à l'influence de charges fixes extérieures (dont la somme algébrique est nulle) et si f désigne la composante normale des actions que ces charges exercent en un point de la surface, la densité électrique induite en ce point est donnée par la série Cette formule donne la
point est donnée par la série Cette formule donne la solution immédiate de ce problème : « Déterminer une fonction V continue, ainsi que ses dérivées premières, à l'intérieur de D', satisfaisant à l'équation AV = 0, et dont la dérivée suivant la normale intérieure est assujettie à prendre en chaque point de σ une valeur donnée. » Bertrand. — Sur la détermination de la précision d'un système de mesures. (440-443). Si l'on accepte la formule qui suppose la probabilité d'une erreur z proportionnelle à e−k2z2, la constante k mesure la précision. En égalant, lorsque les erreurs sont connues, la
la précision. En égalant, lorsque les erreurs sont connues, la valeur calculée à celle que donne le hasard, on obtient une équation qui détermine k. Au lieu de choisir, comme l'a fait Gauss, entre toutes les équations ainsi obtenues directement celle qui laisse craindre la plus petite erreur, M. Bertrand détermine l'équation elle-même par la condition que cette erreur soit rendue minima. Il est alors conduit à substituer aux formules classiques Où n désigne le nombre des observations, S, la somme des erreurs, S2 la somme de leurs carrés. Ces formules supposent les erreurs encore inconnues. Lorsqu'elles sont connues, les
formules supposent les erreurs encore inconnues. Lorsqu'elles sont connues, les valeurs moyennes de k et de k2 sont Sylvester. — Sur une classe spéciale de diviseurs de la somme d'une série géométrique. (446-450). En l'honneur de Fermat, M. Sylvester appelle fermatien de base 0 et d'indice m fonction θm — 1, où m est un entier positif et 0 un entier quelconque, et fermatien réduit la fonction 0 1 Il montre qu'un fermatien réduit à indice impair, dont le dénominateur est divisible par chaque facteur premier de son indice, est lui-même divisible par cet indice, et que le quotient de
lui-même divisible par cet indice, et que le quotient de la division de ces deux quantités est premier relativement à l'indice. C'est dans les recherches sur la possibilité de l'existence de nombres parfaits autres que ceux d'Euclide que se rencontre la théorie des fermatiens réduits. Comme application de cette théorie, M. Sylvester fait voir qu'il ne peut exister de nombre parfait de la forme 3N ± 1 et composé de sept facteurs premiers. Vicaire. Sur les propriétés communes à toutes les courbes qui remplissent une certaine condition de minimum ou de maximum. Br unel. — Sur les racines des matrices
de maximum. Br unel. — Sur les racines des matrices zéroïdales. La matrice devient la matrice zéroïdale (0) lorsque tous les éléments a sont égaux à zéro. Si l'on appelle racine nème de la matrice zéroïdale la matrice qui satisfait à l'équation les éléments a de cette matrice doivent seulement remplir les n conditions obtenues en égalant à zéro les coefficients des puissances (n), (n 2), ... de la matrice (M) dans l'équation identique bien connue à laquelle satisfait cette dernière. On peut exprimer les n2 quantités a, assujetties aux conditions prescrites au moyen de n (n - 1) quantités
conditions prescrites au moyen de n (n - 1) quantités c par des formules que donne M. Brunel. La substitution dans la matrice cherchée des valeurs des éléments a ainsi déterminés conduit à une expression de cette matrice, d'où résulte cette conséquence : La racine nème de la matrice zéroïdale peut être considérée comme fonction linéaire de n (n - 1) matrices dont les éléments contiennent n(n - 1) quantités c que M. Brunel appelle constantes intérieures ; les autres quantités c (constantes extérieures) se présentent comme coefficients de la fonction linéaire. Les matrices constituantes jouissent de propriétés remarquables :
fonction linéaire. Les matrices constituantes jouissent de propriétés remarquables : Elles sont linéairement indépendantes. n2 (n - 1)2 n(n - 1) Des 4 produits deux à deux de ces matrices, il n'y en a que — qui différent de la matrice zéroïdale: On peut enfin déterminer les conditions que doivent remplir les constantes extérieures, pour que ce soit une puissance de (M) inférieure à n qui produise la matrice zéroïdale. Poulain. — Théorème sur les équations algébriques et les fonctions quadratiques. Newton (ou plutôt Campbell) a énoncé cette règle pour reconnaître l'existence des racines imaginaires dans les équations algébriques :
reconnaître l'existence des racines imaginaires dans les équations algébriques : Étant donnée l'équation numérique A x m + A1 x m-1 + ... + A, x r + ... + Am = 0, si l'on pose r' = m - r, et si l'on écrit la suite des signes que prend la fonction quadratique B n, pour r = 0, 1, 2, ..., m, l'équation a au moins autant de racines imaginaires qu'il y a de variations dans cette suite. M. Poulain fait remarquer que cette règle subsiste : la même dans les fonctions quadratiques on supprime les et, plus
même dans les fonctions quadratiques on supprime les et, plus généralement, si l'on divise chaque facteur par on; ou 2° si l'on multiplie les A successifs par 1+1; ou 3° si l'on multiplie tous les A par un même facteur arbitraire K positif et supérieur à 1. L'auteur énonce encore deux théorèmes indépendants de la loi de Newton : Le nombre des racines positives d'une équation et celui des racines négatives n'augmentent pas quand on multiplie respectivement les coefficients par 1, P p (p + 1) q, q (q + 1) ; ces nombres ne diminuent pas en général si
1) ; ces nombres ne diminuent pas en général si l'on divise ces coefficients par 1, P p (p + 1) q ' q (q + 1). Painlevé — Sur la représentation conforme des polygones. Tous les polygones dont la représentation conforme sur le demi-plan s'effectue algébriquement se déduisent par une substitution linéaire des polygones obtenus en associant d'une manière quelconque les demi-faces sphériques des Polyèdres réguliers inscrites dans la sphère. On peut former tous ces polygones et, inversement, reconnaître si un polygone donné rentre dans la classe en question. Humbert. — Sur quelques propriétés des aires sphériques. Dans une
Humbert. — Sur quelques propriétés des aires sphériques. Dans une Note précédente, M. Humbert a fait connaître une formule simple pour la différence de deux aires découpées sur une sphère de rayon R par un cône Cette formule, comme l'a fait remarquer à l'auteur M. Darboux, est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable : la différence en question est égale au produit du diamètre de la sphère par la distance de son centre au plan mené par le sommet du cône perpendiculairement à la droite qui joint les centres de gravité des deux aires que le cône découpe sur une sphère
des deux aires que le cône découpe sur une sphère concentrique de rayon (plan d'orientation), et par le produit de l'angle conique Multiplié par la distance de ces deux centres de gravité (module du cône). Quand le cône se réduit à un trièdre, il existe une construction mécanique très simple du plan d'orientation et du module. M. Humbert énonce un certain nombre de théorèmes analogues au précédent sur les aires découpées sur une sphère par une quadrique : " 1° La différence des deux aires découpées par la quadrique sur une sphère est proportionnelle, quelle que soit la position relative
une sphère est proportionnelle, quelle que soit la position relative des deux surfaces, à la distance du centre de la sphère à l'un des plans principaux de la quadrique; ou il s'ensuit que cette différence ne varie pas quand on fait tourner la quadrique autour d'une parallèle à l'un de ses axes; 2° Les deux aires annulaires découpées sur une sphère par le solide compris entre deux quadriques homothétiques et concentriques sont égales; 3° La différence des deux aires que découpe sur une sphère un paraboloïde évolution reste constante quand le paraboloïde se déplace d'une manière quelconque dans l'espace. Bertrand.
le paraboloïde se déplace d'une manière quelconque dans l'espace. Bertrand. — Troisième Note sur la probabilité du tir à la cible. Sylvester. — Sur l'impossibilité de l'existence d'un nombre parfait impair qui ne contient pas au moins cinq diviseurs premiers distincts. De Jonquières. — Construction géométrique de la surface du troisième ordre. Réflexions sur la génération des surfaces algébriques à l'aide de deux faisceaux projectifs. Construire la surface du troisième ordre déterminée par un quadrilatère gauche et sept points donnés. Par le quadrilatère gauche et chacun des points on fera passer l'hyperboloïde à une nappe déterminée par ces conditions. On
passer l'hyperboloïde à une nappe déterminée par ces conditions. On aura ainsi sept hyperboloïdes et, en les traversant par une droite arbitraire M, on y détachera sept segments en involution, d'où l'on conclura une série de rayons rectilignes ou de points correspondant anharmoniquement à ces segments, et, par suite, aux hyperboloïdes. Il ne s'agit plus que de déterminer une droite L, axe ou base commune d'un faisceau de plans, de façon que les sept plans passant par L et par chacun des sept points correspondent anharmoniquement avec sept hyperboloïdes passant par les mêmes points, ce qu'on sait faire. Painlevé. —
par les mêmes points, ce qu'on sait faire. Painlevé. — Sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. (535-537). Pour qu'une équation différentielle linéaire et homogène s'intègre algébriquement, il faut d'abord que ses coefficients soient algébriques. Cette condition étant remplie, on peut toujours reconnaître, par des opérations purement algébriques, si l'intégrale est algébrique, ou ramener l'équation à une quadrature. Brillouin. — Déformations permanentes en Thermodynamique. (416-418, 482-485, 537-540, 589-592). On n'a étudié jusqu'ici en Thermodynamique que les corps qui, soumis à un cycle de transformations, à la même température et aux mêmes forces qu'au début, reprennent leur forme initiale. S'il
aux mêmes forces qu'au début, reprennent leur forme initiale. S'il n'y a qu'une variable géométrique x et une variable mécanique X, on suppose qu'il existe une relation finie f(x, X, T) = 0, entre ces éléments et la température. L'observation des faits (déformation résiduelle, déplacement du zéro du thermomètre, etc.) montre que cette hypothèse est inadmissible dans le cas des solides. M. Brillouin la remplace par la suivante qui rend compte de tous les faits connus. Il existe une équation linéaire entre x, X, T, dx = a dX + b dT, a, b étant deux fonctions de x, X,
b dT, a, b étant deux fonctions de x, X, T que l'expérience fera connaître. De cette hypothèse résulte que, quelle que soit la série des transformations, il y a une infinité de manières de fermer le cycle sans déformation permanente, et aussi de manière à produire une déformation permanente donnée. La loi de M. Brillouin modifie et complique les équations de la Thermodynamique : si l'on désigne par J dQ la quantité de chaleur absorbée par le corps et X dx le travail des forces extérieures pendant la transformation dx, dX, dT, le principe de l'équivalence s'exprime par la
dx, dX, dT, le principe de l'équivalence s'exprime par la relation dQ = T dS, dS où l'on déduit facilement les expressions des chaleurs spécifiques Cx, C, et des chaleurs latentes. Par l'élimination de U, on obtiendra entre les deux chaleurs spécifiques et les deux coefficients de dilatation et d'élasticité, deux équations aux dérivées partielles du deuxième ordre par rapport à x, X, T. Le cycle de Carnot le plus simple est formé de trois isothermiques et de trois adiabatiques. En le comparant à un cycle parcouru par un gaz parfait et lui appliquant le second principe, M. Brillouin trouvé
parfait et lui appliquant le second principe, M. Brillouin trouvé qu'on peut donner à la chaleur élémentaire l'expression dQ = TR dS, ® R étant deux fonctions de x, X, T, liées entre elles ainsi qu'à l'énergie. Par l'équation aux dérivées partielles dS Bertrand. — Sur la rigueur d'une démonstration de Gauss. (563-565). Par un exemple particulier, où il calcule directement la probabilité de sortie d'une boule blanche donnée par une urne qui contient des boules noires et des boules blanches en nombre inconnu, mais qui a déjà donné m boules blanches sur tirages, M. Bertrand met en défaut la
boules blanches sur tirages, M. Bertrand met en défaut la fameuse loi de probabilité de Gauss, * , Vit Bertrand estime que cette grave objection, sans nul doute aperçue par Gauss, a été la cause de ses efforts pour substituer une théorie nouvelle à celle qu'il avait d'abord établie. Lucas (F.). — Détermination électrique des lignes isodynamiques d'un polynôme quelconque. (587-589). Les points racines d'un polynôme F (Z) = X + iY du degré p étant assimilés à des points matériels de masse 1 qui repoussent un point quelconque N de masse en raison inverse de la distance, l'auteur a
de masse en raison inverse de la distance, l'auteur a nommé lignes isodynaques les lieux géométriques du point N pour chacun desquels l'intensité de l'effet électrique total reste constante. Ces lignes algébriques et du degré 2p ont pour équation M. Lucas indique comment on peut se servir de l'électricité pour tracer les lignes isodynamiques d'un polynôme dont on connaît les points racines. Bertrand. — Sur l'indétermination d'un problème résolu par Poisson. (636-638). Pour traiter expérimentalement le problème de Saint-Pétersbourg, Buffon a jeté une pièce de monnaie en l'air 4040 fois; il a obtenu 2048 fois le côté face. Poisson a
il a obtenu 2048 fois le côté face. Poisson a cherché la probabilité pour que la pièce présentât quelque défaut. Il a assimilé ce problème au suivant : On a préparé un nombre immense d'urnes semblables contenant des boules blanches et des boules noires en proportion inconnue, tous les rapports entre les deux nombres étant représentés également. On choisit au hasard une de ces urnes; on y fait 4040 tirages, on obtient 2048 boules blanches et 1992 noires. Quelle est la probabilité que l'urne choisie contienne plus de blanches que de noires? M. Bertrand montre que l'assimilation des deux problèmes
de noires? M. Bertrand montre que l'assimilation des deux problèmes n'est pas permise. Sylvester. — Sur les nombres parfaits. (641-642). Lucas (F.). — Résolution immédiate des équations au moyen de l'électricité. (645-648). L'auteur indique comment l'électricité permet de résoudre immédiatement et sans calculs une équation algébrique F (z) = 0 de degré quelconque p à coefficients numériques réels. On prendra arbitrairement p + 1 quantités réelles ..., et l'on décomposera en éléments simples la fraction. Connaissant les points 1 et les paramètres p, on fera arriver sur ces points les extrémités d'électrodes déversant sur le plan (conducteur) des z des
extrémités d'électrodes déversant sur le plan (conducteur) des z des quantités d'électricité proportionnelles aux μ. Les points nodaux des lignes équipotentielles seront les points racines de l'équation F (z) = 0. La détermination des lignes équipotentielles et des points nodaux se fera soit au moyen du galvanomètre (méthode de Kirchhoff), soit par l'électrochimie (méthode de Guébhard). Jéray. — Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont dépourvus d'intégrales, contrairement à toute prévision (648-651). On admet habituellement qu'un système d'équations différentielles possède des intégrales dans tous les cas où il est possible d'en construire les développements par la série de
est possible d'en construire les développements par la série de Taylor. Mais cette proposition souffre de nombreuses exceptions. Par exemple, si l'on cherche les fonctions u, v de x, y qui satisfont au système Ii désignant une constante réelle positive, et aux conditions initiales (2) u = y (pour x = 0), v = x (pour y = 0), On reconnaît que, si ces fonctions existent, les équations (i) et (2) différentiées de toutes manières fournissent, en y faisant x = y = 0, les valeurs correspondantes de toutes les dérivées de u, v, et permettent ainsi de développer u,
dérivées de u, v, et permettent ainsi de développer u, v en séries de Maclaurin. Pour Il = 1, ces fonctions existent et ont les expressions développables en séries convergentes. Elles existent a fortiori pour H < 1. Mais pour H > 1, elles cessent d'exister, ce que M. Méray montre en faisant voir que leur développement conduirait à des séries entières dont le rayon de convergence ne peut surpasser zéro. Darboux. — Remarque sur la Communication précédente (651-652). Mme de Kowalevsky a déjà signalé (journal de Crelle, t. 80) un exemple analogue à celui qu'indique M. Méray. Si l'on
un exemple analogue à celui qu'indique M. Méray. Si l'on cherche à déterminer la fonction qui satisfait à l'équation et qui se réduit à —— pour x = 0, on obtiendra la série i y divergente Quelque petits que soient x et y. M. Darboux lui-même a étudié (Cours de 1888) les solutions de l'équation qui se réduisent à i(x) pour y = y0, et à cp(y) pour x = X0; La solution existe sous certaines conditions de continuité. Bougaief. — Sur une intégrale numérique suivant les diviseurs. (652-653). Si l'on désigne par d un diviseur de n, la fonction
l'on désigne par d un diviseur de n, la fonction l'(n), qui satisfait à l'égalité S l'(d) = log n, Se réduit à 0 pour toutes les valeurs de n non premières et non égales aux puissances d'un nombre premier p; pour ces dernières, au contraire, l'(p) = = l'(p3) = ... = log a. Cela posé, si l'on désigne par q(n) la fonction numérique bien connue qui se réduit à zéro pour tous les nombres divisibles par un carré et à ±1 pour les autres, on a Σq (d) log(d) = l'(n). De cette identité résultent trois formules remarquables
log(d) = l'(n). De cette identité résultent trois formules remarquables : 1° Pour tout nombre premier p, on a le signe S s'étendant à tous les nombres premiers autres que p. 2° θ [n] désignant le nombre des nombres premiers non supérieurs à n, on a S s'étendant à tous les nombres premiers a, b, c, ... ; 3° B désignant un nombre de Bernoulli, on a Pellet. — Sur les surfaces réglées applicables sur une surface de révolution. (654). Par chaque point d'une courbe C on mène une droite faisant avec la tangente la normale et la binormale des
faisant avec la tangente la normale et la binormale des angles dont les cosinus x, β, y sont donnés. Cette droite engendre une surface réglée dont l'élément linéaire est p et r étant les rayons de courbure et de torsion de l'arc dϭ. Si la courbe C est telle que p = 0 et ~ y = const. (courbe dont les normales principales sont normales principales d'une deuxième courbe), la surface réglée aura C pour ligne de striction et ses génératrices auront un paramètre de distribution constant. La recherche des lignes géodésiques peut être ramenée aux quadratures. Bertrand. — Sur
lignes géodésiques peut être ramenée aux quadratures. Bertrand. — Sur la combinaison des mesures d'une même grandeur. (701-704). Jensen. — Sur un théorème général de convergence. (729-731). La série à termes positifs Σun sera convergente si, à partir d'une certaine valeur du nombre entier et positif n, an étant une fonction positive de n et μ, une constante positive. Ce critérium comprend comme cas particuliers celui de Cauchy (an = 1), celui de Duhamel (an = n), ceux de Bertrand an = n log n, n log n log log n, .... En général, on pourra toujours prendre an de
n, .... En général, on pourra toujours prendre an de façon que S− soit divergente; an suffira de faire a " = −1, restant fini et bₚ croissant constamment indéfiniment avec n. est choisi de la sorte, la série Zun sera divergente si, à partir d'une certaine valeur de n, on a Ducange. — Sur les équations algébriques à racines toutes réelles. (731-732). Si z = 0 est une équation algébrique de degré n à racines toutes réelles, réelles aussi sont les racines de l'équation de degré μ + m les km+1 étant des nombres définis par la formule récurrente
les km+1 étant des nombres définis par la formule récurrente Fabry. — Réductibilité des équations différentielles linéaires. (732-734). Étant donnée une équation différentielle linéaire d'ordre m dont les coefficients sont des fractions rationnelles par rapport à la variable indépendante, Fabry se pose et résout ce problème : « Trouver une équation d'ordre n et de même forme dont toutes les intégrales ent rel'équation proposée, et trouver dans quel cas le problème est possible. » aye— Sur certains points de la théorie des erreurs accidentelles..(783-786). Trand Sur la valeur probable des erreurs les plus petites dans une série d'observations. (786-788). Mannheim.
erreurs les plus petites dans une série d'observations. (786-788). Mannheim. — Sur certains points de la théorie des conoïdes et en particulier sur le conoïde de Plücker. (820-823). Tout conoïde droit, dont la courbe directrice se projette sur le plan suivant une circonférence qui contient le pied de la directrice rectiligne, peut être engendré au moyen du déplacement continu de cette courbe directrice. Par exemple, un hélicoïde gauche à plan directeur peut être engendré au moyen du déplacement continu d'une hélice de grandeur invariable (d'une m finie d'hélices). Le conoïde de Plücker jouit d'une propriété analogue; il peut être engendré
de Plücker jouit d'une propriété analogue; il peut être engendré au moyen du déplacement d'une ellipse invariable de grandeur, et pour cela on peut employer une infinité d'ellipses. Par exemple, une ellipse de grandeur invariable assujettie à avoir les extrémités de son petit axe sur deux des arêtes d'un trièdre trirectangle fixe et à rencontrer la troisième arête engendre un Conoïde de Plücker. Bortniker (Mlle). — Sur la théorie des cyclides. (824-829). Étant donnés une sphère et un point, l'auteur appelle distance moyenne du point à la sphère la puissance de ce point par rapport à la sphère, divisée par