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de revient sur les chemins de fer. (534-564, 2 pl.). Suite de la discussion engagée et réponse aux conclusions développées (Annales, t. XIV, p. 682) par M. Noblemaire. Tourtay. — Détermination des pressions réelles dans les voûtes surbaissées en forme de chaînette. (565-636, 14 fig., 1 pl.) Il y a intérêt, pour les grandes arches surbaissées en maçonnerie, à adopter pour l'intrados et l'extrados la forme en arc de chaînette. La courbe moyenne de la voûte constitue une courbe de pression qui, si elle était réalisée, donnerait en tous les points de cette voûte une pression à peu près uniforme.
points de cette voûte une pression à peu près uniforme. Tavemier (R.). — Note sur l'exploitation locale des grandes Compagnies. (637-683, 3 pl.). Nouveaux développements donnés aux idées exposées déjà sur des questions analogues dans différents articles des Annales. L'auteur insiste sur la nécessité de réformes décentralisatrices, et il appuie ses propositions de résultats statistiques dont la discussion, pour être concluante, paraît devoir être guidée par des procédés mathématiques. Bosramier (S.). — Note sur le tracé des paraboles des moments fléchissants. (699-704, 4 fig.). L'auteur fait connaître que la méthode graphique et la propriété de la parabole exposées dans un
graphique et la propriété de la parabole exposées dans un précédent article (Annales, t. XIV, p. 401) avaient été rencontrées par lui indépendamment de M. d'Ocagne. Il les a utilisées depuis 1880 à la recherche des moments fléchissants. Il croit devoir y revenir pour signaler un nouveau procédé graphique plus simple encore, plus rapide et présentant l'avantage de s'appliquer aussi bien aux tracés sur le terrain et sur le chantier que sur la feuille de dessin. Saint-Venant (de) et Flamant. — De la houle et du clapotis. (705-809, 1 pl.). Ce savant travail est divisé en deux Parties. La première,
Ce savant travail est divisé en deux Parties. La première, due à M. de Saint-Venant, renferme l'historique succinct des recherches sur les ondes. L'auteur établit la part qui revient à chacun des géomètres, physiciens et ingénieurs que ce sujet d'études a intéressés. Dès le XVème siècle, Léonard de Vinci avait reconnu que la vitesse de propagation des ondes marines excédait toujours considérablement celle que possède leur eau, car leur eau, le plus souvent, ne change pas de lieu, et il comparait ce mouvement aux ondulations des céréales sous l'impulsion du vent. Il avait distingué aussi les vagues d'une deuxième espèce,
vent. Il avait distingué aussi les vagues d'une deuxième espèce, qui oscillent sur place sans se propager. Deux siècles après, Newton faisait une tentative pour soumettre ces mouvements au calcul. Il les assimilait à ceux de l'eau dans un tube recourbé. Daniel Bernoulli, dans un Mémoire de 1757, s'est aussi occupé de la figure ondoyante de la mer, mais accessoirement et dans le but d'apprécier plus ou moins l'influence de ces mouvements sur le roulis des navires. Laplace, en 1777, a donné le premier une solution du problème des ondes liquides, basée sur des considérations analytiques rigoureuses. En 1781, La
liquides, basée sur des considérations analytiques rigoureuses. En 1781, La grange a résolu pour la première fois un problème d'ondes se propageant. Il est vrai que ces ondes ne sont pas celles de la houle, mais les ondes qui se propagent isolément dans un canal. C'est dans ce célèbre Mémoire que Lagrange donne pour la première fois l'idée de prendre, pour les composantes u, v, w des vitesses qu'il considère, les dérivées dx dy dz d'une même fonction de cp des coordonnées x, y, z et du temps, et qu'on appelle aujourd'hui potentiel de ces vitesses. Les résultats obtenus par
appelle aujourd'hui potentiel de ces vitesses. Les résultats obtenus par Lagrange ont été vérifiés par des expériences dues à MM. Scott Russel (1834), Bazin (1863) et de Caligny (1844 à 1869). Il est vrai que ce n'est qu'exceptionnellement, dans le grand phénomène du raz de marée, que la mer offre les ondes considérées dans l'étude de Lagrange. De nouveaux progrès restaient à réaliser. Nous ne trouvons, en France, de publications sur les vagues, faites depuis le siècle dernier jusqu'en 1816, que la Théorie des vents et des ondes (1802) par MM. de la Coudraye, et le Mémoire sur le mouvement
MM. de la Coudraye, et le Mémoire sur le mouvement des ondes (1809) du célèbre ingénieur du remblayage des dunes de la Gascogne, Brémontier. L'Institut ayant mis au concours le problème des ondes liquides, le prix fut remporté par Cauchy, dont le Mémoire, déposé le 30 septembre 1815, fut imprimé seulement en 1827. Le 2 octobre 1815, Poisson présentait aussi, sous le titre de Mémoire, sur la théorie des ondes, un travail remarquable, dans lequel il perfectionna et étendit le problème de Laplace, grâce à l'emploi de la formule récemment découverte par Fourier. Ostrogradski présenta à Paris, le 6 novembre
découverte par Fourier. Ostrogradski présenta à Paris, le 6 novembre 1826, un Mémoire sur la propagation des ondes dans un bassin cylindrique, mais il n'a pas donné à son analyse tout le développement dont elle était susceptible. Parmi les travaux divers sur ce sujet, nous signalerons notamment le Mémoire de Corancez Sur le mouvement d'oscillation de l'eau dans un vase, présenté le 23 juin 1818, et dans lequel on trouve une élégante application de la formule de Fourier; puis la Science des ondes, par les frères Weber, de Halle (1821); cet Ouvrage est le premier, où il soit fait mention
cet Ouvrage est le premier, où il soit fait mention de la théorie de Gerstner, dont on y trouve une appréciation détaillée; puis une étude du colonel Emy (1831), intitulée : Du mouvement des ondes. Aux mêmes époques, d'importants travaux étaient publiés en Angleterre. Depuis 1834, M. J. Scott Russel a fait, sur les ondes, des expériences très remarquables dont les résultats sont résumés au tome XIV (1836) des Transactions d'Édimbourg. Il a distingué nettement, des ondes oscillatoires ou périodiques comme celles de la mer, l'onde première, la grande onde de translation, ou ce qu'on appelle l'onde solitaire, pour laquelle
de translation, ou ce qu'on appelle l'onde solitaire, pour laquelle il retrouva la célérité de propagation obtenue déjà par Lagrange. Aussi M. Russel fut-il désigné pour être rapporteur de la Commission des ondes, sujet dont s'occupait avec zèle l'Association britannique pour l'avancement des Sciences dans ses réunions tenues à Bristol, en 1836, à Liverpool, en 1837, et à York, en 1844. On trouve, dans le Rapport de ce dernier meeting, les résultats détaillés d'expériences nouvelles faites en 1842 et 1843, ainsi que des recherches théoriques dont M. Russel attribue la priorité à M. Kelland et la continuation à M. Airy,
priorité à M. Kelland et la continuation à M. Airy, enfin une équation complète des mouvements de la houle, conforme à celle de Gerstner, dont la théorie des vagues, rapportée par les frères Weber, est, de la part de M. Russel, l'objet de grands éloges. M. Kelland n'a pas eu connaissance du Mémoire de Gerstner, et l'on peut lui attribuer la priorité quant à la détermination analytique des mouvements dans la houle pour une profondeur quelconque (1839 et 1841) Les articles de M. Airy, sur les Marées et vagues, édités en 1822 et d'autres parus en 1845, renferment des résultats
en 1822 et d'autres parus en 1845, renferment des résultats nouveaux sur les marées fluviales, dont plusieurs ont été confirmés par l'observation. Il a emprunté à Gerstner une de ses figures, sans pourtant le citer. Par contre, la connaissance ou l'étude du Mémoire de Gerstner eut épargné aux physiciens et éminents analystes anglais des tâtonnements inutiles et des assertions peu justifiées qui ont continué, même après que M. S. Russel, en 1844, l'a eu mentionné (d'après les frères Weber) avec les plus grands éloges et une approbation complète. En effet, M. Earnshaw a fait, en 1845, sur ce même sujet
M. Earnshaw a fait, en 1845, sur ce même sujet une tentative dont il se déclare tout le premier peu satisfait. Après avoir vainement abordé ce problème en 1858 et en 186, ce n'est qu'en 1863 que Rankine a lu un Mémoire où, sans citer Gerstner, il arrive exactement aux mêmes lois des vagues que lui, en se servant presque de la même méthode géométrique. Stokes On theory of oscillatory waves, lue le 1er mars 1847, a mérité une attention spéciale, car plusieurs personnes ont opposé ses résultats à ceux de Gerstner; mais, en réalité, ces résultats ne se contredisent
de Gerstner; mais, en réalité, ces résultats ne se contredisent nullement d’après ce qu’ont montré Rankine à la fin de son Mémoire de 1863 et tout récemment M. Boussinesq, qui ont rendu raison de leur opposition purement apparente due à une circonstance délicate et singulière que ce dernier a surtout signalée et éclaircie. La connexion entre le mouvement non permanent des eaux, tel que celui qui a lieu dans les rivières en temps de crue et la propagation des ondes longues et continues sur leur surface, il est juste de citer ici, au nombre des auteurs dont les travaux ont
citer ici, au nombre des auteurs dont les travaux ont pu servir à avancer la théorie des ondes, MM. les ingénieurs Dupuit (1863), Partiot (1858, 1861, 1871), et en particulier, MM. Kleitz (1858) et Graeff (1870 à 1873) dont les travaux ont donné l’idée à M. Boussinesq d’ajouter, à son Essai sur les eaux courantes, un Chapitre où il traite du régime appelé par lui quasi-permanent, dont la considération suffit le plus souvent pour les calculs relatifs aux crues et décrues des rivières. Parmi les écrits publiés en France depuis 1868, il convient de citer les remarquables travaux de MM.
1868, il convient de citer les remarquables travaux de MM. Reech, Bertin, de Bénazet, auxquels il faut joindre aussi M. B. de Saint-Venant, mais ces quatre auteurs avaient été précédés par M. Boussinesq, car son grand Mémoire sur les Ondes liquides périodiques avait été présenté à l’Académie le 19 avril 1869. Il s’était occupé de ce sujet, à l’occasion de la théorie nouvelle qu’il a donnée des ondes lumineuses propagées dans les corps pondérables et des phénomènes de diffraction dont il démontre que des ondes liquides sont susceptibles aussi. En y joignant un second Mémoire du 13 novembre 1871 sur
y joignant un second Mémoire du 13 novembre 1871 sur les ondes isolées et non périodiques se propageant dans un canal, on a un ensemble à peu près complet de ce que la Science peut Présenter, dans son état actuel, sur la théorie des ondes quelconques propagées dans un liquide pesant. Après cette revue succincte des recherches théoriques sur les ondes liquides diverses, il y a intérêt à signaler les recherches expérimentales et observations dont elles ont été l’objet. On en trouvera un long Catalogue, commencé à partir de l'antiquité, dans le Sull' moto ondoso del mare, Ouvrage considérable, où
dans le Sull' moto ondoso del mare, Ouvrage considérable, où elles sont toutes analysées et discutées succinctement et par ordre, publié à Rome, en 1866, par le commandant Cialdi. L’auteur en a conclu, comme aussi de ses observations personnelles, l’existence d’un courant ou transport superficiel (0,20 ou 0,30 par seconde) produit par l’action du vent, surtout dans les parties peu profondes où il peut s’étendre jusqu’au fond, et le besoin d’une amélioration de l’estime de la marche à suivre pour le navire. Ces deux constatations avaient été du reste signalées par d’autres observateurs (Aimé, 1840 et 1845; Keller, 1858, et
par d’autres observateurs (Aimé, 1840 et 1845; Keller, 1858, et Dupouy, 1817). D’autres expériences et observations sur l’onde solitaire ont été faites par le général Morin (1838) et par M. de Caligny; enfin, nous devons citer, en Amérique, M. Dyar (1843); à Alger, M. Aimé (1845); puis, de 1867 à 1870, M. Pâris; vers 1874, M. Bertin; et, relativement au clapotis, les observations des frères Weber, à Halle, et de MM. Boussinesq et Terquem, à Lille. À la suite de l'historique des travaux anciens sur la question des ondes liquides, M. de Saint-Venant voulait placer un exposé de la théorie
M. de Saint-Venant voulait placer un exposé de la théorie qui pouvait être aujourd'hui donnée de la houle et du clapotis. Il a à peine ébauché cette dernière partie de son œuvre, dans laquelle il avait l’intention de faire, des travaux de M. Boussinesq, une analyse détaillée, en y ajoutant les résultats de ses propres recherches. M. Flamant a entrepris de présenter les principes de cette théorie, et il a heureusement comblé une lacune qui subsistait dans la traduction, publiée un an auparavant, de la Theorie der Wellen de Gerstner. Nous ne ferons ici que mentionner les principales subdivisions de
Nous ne ferons ici que mentionner les principales subdivisions de ce travail : 1. Conditions générales. 2. Houle simple. Profondeur indéfinie. 3. Houle simple. Cas d’une profondeur finie. 4. Comparaison du niveau d'équilibre et du niveau moyen. 5. Superposition de deux houles de même sens. 6. Superposition de deux houles égales et de sens contraires. Clapotis. 7. Lois du clapotis à une seconde approximation. 8. Superposition de deux clapotis égaux. Laroche. — Méthode élémentaire pour calculer la résistance des portes d'écluse. (1018-1028, 4 fig.). Cette méthode est fondée sur deux lemmes préliminaires, dont l’un est déjà connu, et dont l’autre,
lemmes préliminaires, dont l’un est déjà connu, et dont l’autre, qui paraît assez simple, fait l’objet de cette Note. Laterrade et Durand-Claye (L.). — Note sur les opérations au niveau-tangentes. (1032-1034)• Remarques additionnelles et rectificatives aux articles du tome XIII sur ce sujet (339 et 684). Tome XVI; 2e semestre 1888. D'Ocagne (M.). — Note sur le tracé de l’axe longitudinal des voûtes. (76-86, 4 fig.). Si l’on appelle section isogonale le segment rectiligne coupant les profils d’intrados et d’extrados sous des angles égaux et de sens contraires, l’axe longitudinal (d’après la terminologie de M. J. Resal) sera le lieu
(d’après la terminologie de M. J. Resal) sera le lieu des milieux des sections isogonales. Pour le construire, l’auteur indique un procédé graphique très simple, qui donne une exactitude très satisfaisante. Thiéry (E.). — Note sur les barrages curvilignes. (87-98, 6 fig.). La théorie exposée dans un précédent travail de M. Pelletreau (1879, t. IX, p. 198) a fait entrevoir à l’auteur la possibilité de réduire, dans de très notables proportions, l’épaisseur des barrages curvilignes. C’est pourquoi il s’est appliqué à chercher de nouveaux arguments pour démontrer que, dans une section horizontale quelconque, la pression qui s’exerce dans chaque joint
section horizontale quelconque, la pression qui s’exerce dans chaque joint est appliquée, sinon au milieu, du moins en un point très voisin de ce milieu. Pesso (L.) et Perilli (M.). — Sur l’équerre cyclographe. (106-109, 3 fig.). Description et emploi d’une modification de l’équerre d’arpenteur, imaginée par les ingénieurs italiens L. Pesso et M. Perilli, et qui donne le moyen de tracer des arcs de cercle sur le terrain. Collignon (E.). — Note sur le calcul des ponts métalliques. (137-172, 1 fig., 2 pl.). L'auteur a publié, en 1864, dans les Annales, une formule qui fait connaître le poids propre
les Annales, une formule qui fait connaître le poids propre d'une poutre droite de hauteur uniforme, soumise à une surcharge donnée, également répartie. Depuis cette époque, les idées sur la résistance des matériaux se sont modifiées, et l'on admet généralement aujourd'hui que les résistances-limites, au lieu de rester fixes comme on les supposait autrefois, doivent varier suivant les efforts auxquels le métal est appelé à résister. Il est donc nécessaire de tenir compte de ces variations, et pour cela il parait avantageux d'adopter la formule proposée par M. Séjourné pour représenter les lois que Voigt a reconnues dans cette nouvelle
représenter les lois que Voigt a reconnues dans cette nouvelle théorie. Durand-Claye (L.). — Mémoire sur les procédés d'essai de la résistance des pierres, ciments et autres matériaux de construction. (173-211, 20 fig., 1 pl.). Trois procédés sont en usage pour réaliser ces essais : 1° la compression, ou l'écrasement; 2° la traction, ou l'arrachement; 3° la flexion. Ces trois modes d'essai fournissent des coefficients de résistance qui ne sont pas du tout les mêmes et, pour le même mode d'essai, les résultats varient suivant la forme des éprouvettes. La présente Note a pour objet d'indiquer la manière dont les
présente Note a pour objet d'indiquer la manière dont les forces agissent dans chaque cas, et les conclusions que l'on doit tirer des nombres constatés dans les expériences. Vicat a publié sur la même question, dans les Annales de 1833, un remarquable travail, qui peut encore être consulté avec fruit. Les progrès de la théorie sur la résistance des matériaux et les perfectionnements apportés aux appareils d'essai ont permis à l'auteur d'aborder ce même sujet, en y jetant peut-être quelque jour nouveau. Ocagne (M.). — Sur le tracé de l'intrados des voûtes elliptiques. (262-263, 1 fig.). Construction pratique, par des
des voûtes elliptiques. (262-263, 1 fig.). Construction pratique, par des lignes droites seulement, des divers points d'une ellipse inscrite dans un rectangle donné. Bonhomme (P.f.). — Étude sur les câbles porteurs aériens employés aux usages agricoles. (364-387, 4 fig., 2 pl.). L'auteur a entrepris, pour les câbles qui fonctionnent sur plusieurs points de l'arrondissement de Barcelone, une description analogue à celle que M. Gros a fait paraître dans le même Recueil (2e semestre 1887) pour les câbles transporteurs employés aux usages industriels. Collignon (E.). — Note sur la détermination d'une parabole qui englobe un certain nombre de points donnés. (388-392,
parabole qui englobe un certain nombre de points donnés. (388-392, 3 fig.). Ce problème se présente lorsqu'on évalue la charge continue équivalente, au point de vue des plus grands moments flexissants réalisés dans une poutre droite, à un ou plusieurs systèmes de forces discontinues données. Il consiste à faire passer par les points A et B, appuis de la poutre, la parabole de moindre montée qui laisse au-dessous d'elle des points donnés m1, m2, ..., mN situés au-dessus de la droite AB, et entre les perpendiculaires indéfinies Ae, Bb, élevées à ses extrémités; ces points forment les sommets d'un polygone
à ses extrémités; ces points forment les sommets d'un polygone convexe A1m1...mNB. L'axe de la parabole est d'ailleurs vertical. Bazin (H.). — Expériences nouvelles sur l'écoulement en déversoir. (393-448, 3 pl., 27 tabl.). La théorie des déversoirs est certainement la partie la moins avancée de toute l'Hydraulique; les coefficients dont on fait usage dans la pratique varient entre des limites très étendues, sans qu'on puisse le plus souvent faire un choix raisonné entre les nombreuses valeurs numériques qui leur ont été assignées. Les expériences que l'on possède ont presque toujours été exécutées sur une très petite échelle et dans des
été exécutées sur une très petite échelle et dans des conditions peu comparables. Les influences perturbatrices s'y trouvent mélangées et combinées de telle sorte que la discussion de ces éléments disparates est extrêmement difficile. L'auteur a entrepris, en 1886, avec l'appui du Ministère des Travaux publics, un travail de coordination de nouvelles expériences faites avec plusieurs déversoirs successifs, établis sur un même canal de largeur constante. Ce premier Mémoire résume seulement l'étude du déversoir type sans contraction latérale, auquel seront rapportés tous les autres. Heude (H.). — Note sur le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (498-500, 2 fig.).
tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (498-500, 2 fig.). Comme suite à des Notes publiées par M. d'Ocagne (Annales, 1er 1886 et 2e 1888). Le procédé en question repose sur cette propriété géométrique : L'abscisse du pied N, de la normale MN en un point M est une fraction constante de l'abscisse du point M de l'ellipse : ce rapport est D'Ocagne (M.). — Remarque au sujet de la Note de M. Heude sur le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (782-783). L'auteur fait observer que son procédé est une transformation de celui de M. Heude, et qu'il
est une transformation de celui de M. Heude, et qu'il parait assez difficile de décider d'une façon générale que l'une des manières de procéder est plus simple que l'autre. Toutes dérivent de propriétés tout à fait classiques de l'ellipse. H. B. JOURNAL FÜR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK, herausgegeben von L. KRONECKER und K. WEIERSTRASS. Tome XCVIII; 1885 (i). Killing (W.). — La Mécanique dans les formes non euclidiennes de l'espace. (i-48). On sait que les équations du mouvement qui ont lieu dans l'espace euclidien à trois dimensions permettent d'être étendues à un nombre quelconque de dimensions. Cela étant, l'auteur
étendues à un nombre quelconque de dimensions. Cela étant, l'auteur se propose de déduire des principes de Mécanique celles d'entre les équations du mouvement qui résultent quand on fait abstraction aussi bien du nombre trois des dimensions que de l'axiome des parallèles. Le résultat qu'on obtient admet d'être mis sous cette forme : Déterminons, dans une forme euclidienne de l'espace à n+1 dimensions, les équations du mouvement pour des points qui appartiennent, dès le commencement du mouvement, à une figure sphérique de n dimensions et qui sont astreints à y rester pendant le mouvement : les équations ainsi obtenues auront
rester pendant le mouvement : les équations ainsi obtenues auront lieu pour une forme non euclidienne de l'espace à n dimensions. Pour un espace fini, le rayon et toutes les coordonnées doivent être réels; pour la forme de l'espace, selon Lobatschewsky, le rayon et l'une des coordonnées doivent être imaginaires, les autres coordonnées réelles. Le Mémoire comprend sept paragraphes. Le premier sert à discuter le mouvement d'un point libre dans un espace non euclidien à trois dimensions. Les notions de masse, densité, vitesse et force ne dépendent pas de la longueur infinie d'une droite ni, pour des droites infinies, de
longueur infinie d'une droite ni, pour des droites infinies, de l'axiome des parallèles; elles ne subissent donc aucune modification dans les formes non euclidiennes de l'espace. Tout de même, celle d'inertie reste inaltérée et l'unité de force peut se réduire, d'après les méthodes connues, aux unités de temps et de masse; aussi la mesure de la force ne présente-t-elle pas de difficultés. Enfin, le principe du parallélogramme des mouvements et des forces subsiste pour un domaine indéfiniment petit. Après avoir développé, pour les coordonnées de M. Weierstrass, les équations différentielles du mouvement d'un point libre, l'auteur les applique au mouvement
du mouvement d'un point libre, l'auteur les applique au mouvement planétaire appartenant à la loi newtonienne dûment modifiée pour cet espace. La loi de Kepler sur la forme de l'orbite n'a pas besoin d'être modifiée; la deuxième subsiste sous cette forme : Prolongeons le rayon vecteur au-delà de la planète jusqu'au double de sa longueur; ce rayon double décrira des aires égales dans des intervalles de temps égaux. La troisième loi concernant la durée de révolution subit une légère modification. Dans le deuxième paragraphe, l'auteur étudie le mouvement d'un point assujetti à rester sur une surface, et l'exemple du pendule
assujetti à rester sur une surface, et l'exemple du pendule montre que l'isoéhronisme des petites oscillations existe aussi dans les formes non euclidiennes de l'espace. Pour un nombre quelconque de points dans l'espace non euclidien, les équations différentielles du mouvement s'obtiennent aussi bien dans la première forme de Lagrange que dans celle qui constitue le principe de d'Alembert, et enfin l'on en tire le principe de Hamilton. On conclut de là que le principe des forces vives subsiste sans aucune modification, mais que le principe du mouvement du centre de gravité n'a plus de sens. En dernier lieu, on a