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repris la question à ce point de vue général. Je m'occupe ensuite d'une extension de ces recherches à l'espace à n dimensions et des applications que l'on peut en faire à l'espace à trois dimensions. D'Ocagne. — Sur la relation entre les rayons de courbure de deux courbes polaires réciproques. (313-316). Soient C et C' deux courbes polaires réciproques par rapport à une conique Centre O; soient w et ω' les angles de deux rayons vecteurs correspondants OM et OM' avec l'axe focal de la conique; 6 et 0' les angles des tangentes à C et C' en M et
angles des tangentes à C et C' en M et M' avec le même axe; R et R' les rayons de courbure en M et en M': N et N' les normales en M et M' limitées aux perpendiculaires élevées en O sur OM et OM'. On a la relation RR'= NN'. Dans le cas où la conique directrice est un cercle, se réduit à RR'= NN'. Dans le cas de la transformation parabolique, la relation devient p étant le paramètre de la parabole directrice. Méray. — Sur le sens qu'il convient d'attacher à l'expression nombre incommensurable et sur le
qu'il convient d'attacher à l'expression nombre incommensurable et sur le critère d'une limite pour une quantité variable de nature donnée. (341-360). Guichard. — Sur la résolution de l'équation aux différences finies G(x + i) G(x) = H(x). (377-380). M. Guichard résout cette question au moyen d'une intégrale définie contenant un paramètre variable H (z) étant uniforme entre les deux droites y = A et y = B. La fonction A admet pour coupures dans le plan des z une infinité de droites parallèles à l'axe des y et passant par les points dont l'abscisse est n. La différence des valeurs
les points dont l'abscisse est n. La différence des valeurs de H sur le bord gauche et sur le bord droit de la coupure est égale à H(z). Cela posé, on forme une fonction qui, aux points x, x + 1, x + 2, ... prend les valeurs G(x) — H(x — 1), G(x), G(x) + H (x + 1), G(x) + H(x+1) + H(x + 2), Cette fonction G(x) n'a plus de lignes de discontinuité et vérifie l'équation G(x + i) — G(x) = H(x). On obtient toutes les autres solutions en ajoutant à G une fonction uniforme ayant
autres solutions en ajoutant à G une fonction uniforme ayant pour période i. L'intégrale H cesse d'avoir un sens lorsque les droites y = A et y = B s'éloignent à l'infini. On peut, dans le cas où H est holomorphe, remédier à cet inconvénient en remplaçant H par des intégrales analogues. Les autres questions que l'auteur aborde ensuite ne sont que des applications de celle-là. Tout d'abord vient la résolution de l'équation a0 G (x + n) + a1 G (x + n — 1) + ...+ an G (x) = H (x), où les a sont des constantes.
(x) = H (x), où les a sont des constantes. Cette équation a été déjà résolue, dans le cas où le second membre est nul, par M. Picard et par M. Floquet. M. Guichard considère ensuite le groupe d'équations a0 G ( x + nω) + a1 G [x + (n 1)ω] +... + an G ( x) = H(x), b0 G (x + mω') + b1 G [ x + ( m — 1) ω'] + ...+ bm G(X) = H1(x). On trouve immédiatement la relation qui doit exister entre les deux fonctions entières H et H1. Cette relation
entre les deux fonctions entières H et H1. Cette relation étant vérifiée, les équations précédentes n'admettent en général qu'une solution entière. Il y a en outre des solutions méromorphes qu'on obtient en ajoutant à la fonction entière les solutions des équations privées de second membre. L'auteur termine par la résolution de l'équation du groupe d'équations H. ACTA MATHEMATICA. Tome VII; 1885-1886 (i). Poincaré (H.). — Sur un théorème de M. Fuchs. (1-32). Dans un Mémoire intitulé : Über Differentialgleichungen deren Integrale Verzweigungspunkte besitzen et inséré aux Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin (séance du 26 juin 1884), M. Fuchs a donné
Berlin (séance du 26 juin 1884), M. Fuchs a donné les conditions pour que toutes les intégrales particulières d'une équation différentielle du premier ordre F(z, y, y') = b (où z est la variable indépendante, y' la dérivée et dont le premier membre est un polynôme entier en y et en y', ayant pour coefficients des fonctions quelconques de z) aient les mêmes points singuliers. J'ai conçu l'intérêt qui s'attache à cette question; si l'on suppose, en effet, que F soit un polynôme entier, non seulement par rapport à y et à y', mais par rapport à z, et que
et à y', mais par rapport à z, et que les conditions énoncées par M. Fuchs soient remplies, méthode d'intégration des équations linéaires par les fonctions fuchsiennes est applicable et l'on pourrait ainsi concevoir l'espoir de découvrir une classe nouvelle d'équations différentielles intégrables par ces transcendantes. Soit p le genre de la relation algébrique établie entre y et y' par l'équation F (z, y, y') = 0, où l'on considère z comme une constante. M. Poincaré, après avoir tiré des conclusions définitives de l'étude faite par M. Fuchs des cas ou p = 0 et p = 1, montre comment
ou p = 0 et p = 1, montre comment on peut parvenir directement aux mêmes résultats et poursuivre la discussion pour le cas de p > 1. A cet effet, on considère l'équation différentielle comme représentant une surface de Riemann S, variable avec z. Les modules de cette surface S sont constants et indépendants de z. Soient S0, S1, les surfaces de Riemann qui correspondent aux valeurs z0, z1, de z. Des propositions relatives aux transformations birationnelles des surfaces de Riemann en elles-mêmes, résultent les conclusions suivantes: si jo = 0, on peut passer de S0 à S, par
= 0, on peut passer de S0 à S, par une triple infinité de transformations birationnelles; si p = 1, on peut passer de S0 à S, par une simple infinité de transformations birationnelles; si p>1, il n'y a, en général, qu'une seule transformation birationnelle qui permette de passer de S0 à S1, et il n'y en a jamais qu'un nombre fini. Ces propositions conduisent aisément à la conclusion du Mémoire de M. Poincaré, qui est la suivante : « Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fuchs ne constituent pas des classes réellement nouvelles d'équations
M. Fuchs ne constituent pas des classes réellement nouvelles d'équations différentielles. Dans le cas de p = 0, elles se ramènent aux équations linéaires. Dans le cas de p = 1, elles s'intègrent par une simple quadrature. Enfin, dans le cas de p > 1, elles s'intègrent par des procédés purement algébriques. » M. Poincaré a ultérieurement montré que, dans le cas des équations d'ordre supérieur, on arrive à des théorèmes analogues. Phragmén (E.). — Sur un théorème concernant les fonctions elliptiques. (33-42). Il s'agit du théorème suivant : « Toute fonction analytique ϕ(u) possédant un théorème d'addition ou, en
Toute fonction analytique ϕ(u) possédant un théorème d'addition ou, en d'autres termes, telle qu'il existe une relation algébrique entre les valeurs de la fonction correspondant aux valeurs de l'argument u, v, u + v, est : » 1° Ou une fonction algébrique de u; ou bien, » 2° Si to désigne une constante convenablement choisie, une fonction algébrique de la fonction e to; ou enfin, » 3° Si w, w' sont deux constantes convenablement choisies, une fonction algébrique de la fonction ( μ, μ' = 0, 1, 2, ... , sauf la combinaison μ = 0, μ' = 0 ).
sauf la combinaison μ = 0, μ' = 0 ). » M. Weierstrass a donné, de ce théorème, une démonstration qui peut être généralisée de manière à embrasser le cas des fonctions abéliennes. M. Phragmén, renonçant à cette généralisation, donne une démonstration plus simple que celle de M. Weierstrass. Phragmén (E.). — Sur les limitations de continua. L'auteur établit la proposition suivante : « Si l'ensemble de points P constitue la limitation d'un continuum (au sens de M. Weierstrass) A et s'il existe dans le plan des points en dehors de A, une partie quelconque de P doit être parfaitement
de A, une partie quelconque de P doit être parfaitement enchaînée. » Le procédé de démonstration conduit immédiatement à l'extension à l'espace à n dimensions du théorème précédent. Krey (H.). — Sur les systèmes de courbes planes. (49-94). Le Bulletin a publié (Première série, t. VII, p. 97) un compte rendu par l'auteur du Mémoire de M. Zeuthen relatif aux systèmes de courbes planes. M. Krey, Prenant pour point de départ les formules de M. Zeuthen applicables aux systèmes où il n'existe pas de courbes à branches multiples, montre dans la Première Partie de son Mémoire que l'on peut déterminer
la Première Partie de son Mémoire que l'on peut déterminer tous les nombres à considérer. La seconde Partie contient l'extension des résultats obtenus aux systèmes de courbes planes dans l'espace, en ayant égard aux formules données par M. Schubert (Math. Annalen, t. XIII, p. 445). Lipschitz (R.). — Démonstration arithmétique d'une relation due à Jacobi. (95-100). Démonstration arithmétique de la relation de Jacobi. Netto (E). — Sur la théorie de l'élimination. (101-104). Démonstration du théorème suivant : « Si une courbe algébrique F(x, y) = 0 passe par tous les points de rencontre de deux autres courbes algébriques f(x, y)
points de rencontre de deux autres courbes algébriques f(x, y) = 0, f1(x, y) = 0, il existe une puissance de la fonction F(x,y) qui est représentable par une fonction linéaire homogène de ƒ (x, y) et f1(x, y), c'est-à-dire qu'on a F(x,y)μ = ƒ(x,y)g(x,y) + f1(x,y) g1(x, y), où g, g1 sont, ainsi que f, f1, et F, des fonctions entières de x, y. » Cantor (G.). — Sur divers théorèmes de la théorie des ensembles de points situés dans un espace continu à n dimensions. Seconde Communication. (105-124). Ce travail fait suite aux Mémoires publiés par l'auteur au
Ce travail fait suite aux Mémoires publiés par l'auteur au tome II des Acta. On trouve d'abord (§ 1), sous forme résumée, les résultats obtenus par M. Cantor (Mathematische Annalen, t. XXIII, p. 453) et par MM. Bendixson et Phragmén (Acta Mathematica, t. n, p. 415, et t. V, p. 47). Les propositions rappelées se rapportent principalement aux ensembles fermés, c'est-à-dire aux ensembles P, tels que D(P, P(1)) = P(I). Elles sont ensuite étendues (§ 2) à des ensembles non fermés et l'on est ainsi conduit (§ 3) à des désignations particulières pour de nouveaux éléments qui s'introduisent. Après être
désignations particulières pour de nouveaux éléments qui s'introduisent. Après être revenu sur le cas particulier des ensembles fermés, M. Cantor indique des applications que l'on peut faire de la théorie des systèmes de points à la Physique mathématique. Gyldén (H.). — L'orbite intermédiaire de la Lune. (125-172). La théorie des orbites intermédiaires consiste, comme on sait, à substituer à l'ellipse de Kepler, comme première approximation, une autre courbe qui reçoit le nom d'orbite intermédiaire et dont le choix peut varier d'un cas particulier à l'autre. Le Mémoire de M. Gyldén, relatif à l'orbite intermédiaire de la Lune, constitue une application
relatif à l'orbite intermédiaire de la Lune, constitue une application de la solution, que l'on doit à M. Hermite, de l'équation de Lamé. Soient r et v le rayon vecteur de la Lune et la longitude dans l'orbite; r0 et v0 leurs valeurs intermédiaires; n le moyen mouvement; A la longitude moyenne de l'époque. Les mêmes lettres accentuées désignent les quantités analogues pour le Soleil. M. Gyldén introduit, au lieu de r0, r'0, deux autres variables p0, p'0 définies par les équations a, a', p, p' étant des constantes. En posant on est conduit aux équations différentielles du second ordre
posant on est conduit aux équations différentielles du second ordre suivantes, d'où l'on tirera les expressions de x et de p0, la valeur de p'Q étant supposée connue, On a négligé, dans ces équations, les termes dépendant de μ3 et des ordres supérieurs; on a supposé que l'inclinaison des deux orbites est nulle et l'on n'a conservé que les termes du premier ordre par rapport à p0 et p'Q. La méthode que M. Gyldén expose pour l'intégration des équations précédentes s'applique d'ailleurs aux équations plus complètes. La seconde équation donne M. Gyldén établit qu'on peut, au moins d'une manière approchée,
M. Gyldén établit qu'on peut, au moins d'une manière approchée, éliminer du résultat de la substitution dans la première équation différentielle le terme contenant le signe f. L'équation différentielle du second ordre obtenue est ensuite ramenée à une forme canonique en introduisant, au lieu de p0, la fonction E définie par la formule où ~ P sont de nouvelles constantes. M. Gyldén montre qu'on parvient à une grande approximation en utilisant, pour l'intégration de cette équation, la solution donnée par M. Hermite de l'équation de Lamé. Runge (C.). — Sur les équations résolubles de la forme X5 + ux +
les équations résolubles de la forme X5 + ux + V = 0. (173-186). M. Runge forme, d'après Jacobi, l'équation du sixième degré à laquelle satisfait une fonction métacyclique particulière et parvient aux deux résultats suivants : 1° Si les valeurs absolues de u et v sont entières et inférieures à un nombre entier n, le nombre des équations résolubles comprises parmi les (2n+1)2 équations obtenues est, pour n croissant indéfiniment, infiniment petit par rapport au nombre total ; 20 À et μ faisant partie d'un domaine de rationnalité, la condition nécessaire et suffisante de la résolubilité pour ce domaine
condition nécessaire et suffisante de la résolubilité pour ce domaine est que l'équation ait la forme suivante : Schläfli (L.). — Sur K et sur des intégrales qui lui sont liées. L'auteur reprend l'étude de quelques intégrales considérées par Cauchy. Falk (M.). Démonstration d'une proposition de la théorie des fonctions elliptiques. (197-200). Démonstration peu différente de celle donnée par M. Hermite des propositions bien connues relatives à K, K' et. ~ Minkowski (H.). — Recherches sur les formes quadratiques. 1. Détermination du nombre de formes différentes comprises dans un genre donné. (201-258). Ce Mémoire fait suite à celui du même
donné. (201-258). Ce Mémoire fait suite à celui du même auteur inséré dans le tome XXIX des Savants étrangers, sous le titre : Sur la théorie des formes quadratiques à coefficients entiers. Là, il avait déduit le concept de genre du concept de congruence de formes. Dans le Mémoire des Acta, M. Minkowski s'occupe des nombres qui jouent, pour les genres généraux, le même rôle que les nombres de classes pour les genres binaires, et il obtient divers résultats importants relatifs à la représentation de ces nombres. Poincaré (H.). — Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation.
Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation. (259-380). Le Bulletin a donné (2° série, t. II, IIe Partie, p. 155, 163, 204) une analyse des résultats publiés aux Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (t. C, p. 346 et 1068, et t. CI, p. 307) par M. Poincaré; c'est à leur exposition qu'est consacré cet important Mémoire dont l'objet est l'étude des deux problèmes suivants : « Quelles sont les figures d'équilibre relatif que peut affecter une masse fluide homogène dont toutes les molécules s'attirent conformément à la loi de Newton et qui est animée
conformément à la loi de Newton et qui est animée autour d'un certain axe d'un mouvement de rotation? » Quelles sont les conditions de stabilité de cet équilibre? » On en connaissait depuis longtemps deux solutions : l'ellipsoïde de Maclaurin et l'ellipsoïde de Jacobi. M. Matthiessen avait signalé dès 1859 l'existence de figures annulaires d'équilibre, et en avait commencé l'étude dans plusieurs Mémoires. MM. Thomson et Tait rappelèrent l'attention sur la question en énonçant, dans leur Treatise on Natural Philosophy, 2° édition, § 778, plusieurs propositions relatives, soit à l'existence des figures annulaires d'équilibre, soit à la stabilité des ellipsoïdes.
des figures annulaires d'équilibre, soit à la stabilité des ellipsoïdes. M. Poincaré démontre et complète quelques-unes de ces propositions et il établit l'existence de nouvelles figures d'équilibre. Nous allons chercher à donner, de la façon la plus brève qu'il nous sera possible de le faire, l'indication du contenu de ce Mémoire. § 1. Introduction. — Rappel des résultats que l'on trouve dans le Treatise on Natural Philosophy de MM. Tait et Thomson. § 2. Équilibre de bifurcation. — On considère d'abord le cas où il s'agit de l'équilibre absolu d'un système dont la position est définie par n quantités x1,
système dont la position est définie par n quantités x1, x2, qui, outre les quantités x" ..., xn, contient un paramètre variable y. Les formes d'équilibre du système considéré sont données par les n équations Ces n équations auront un certain nombre de solutions réelles et, quand y variera d'une façon continue, ces solutions varieront elles-mêmes d'une façon continue, de manière à former diverses séries linéaires de formes d'équilibre. Il pourra arriver qu'une même forme d'équilibre appartienne à la fois à deux ou plusieurs séries linéaires; on dira alors que c'est une forme de bifurcation. Pour une valeur de y
c'est une forme de bifurcation. Pour une valeur de y infiniment voisine de celle qui correspond à cette forme, on pourra trouver deux formes d'équilibre qui différeront infiniment peu de la forme de bifurcation. Il peut arriver également que deux séries linéaires de formes d'équilibre réelles viennent, quand on fait varier y, à se confondre, puis à disparaître, Parce que les racines des équations d'équilibre deviennent imaginaires. La forme d'équilibre correspondante s'appellera alors forme limite. Une forme d'équilibre ne peut être une forme de bifurcation ou une forme limite que si le déterminant fonctionnel A des n dérivées ~ ...,
si le déterminant fonctionnel A des n dérivées ~ ..., ~ par rapport aux n variables .., xn est nul. Il résulte de là que, si les équations d'équilibre admettent, pour une certaine valeur de y, une solution pour laquelle ne soit pas nul, elles en admettront encore une et infiniment peu différente de la première, pour les valeurs de y suffisamment voisines de celle considérée tout d'abord. Si l'on suit une série linéaire de formes d'équilibre réelles en faisant varier y et si A change de signe, la forme d'équilibre correspondante est une forme de bifurcation. Si enfin, en
d'équilibre correspondante est une forme de bifurcation. Si enfin, en suivant une série linéaire de formes réelles, on voit A s'annuler, mais sans changer de signe, la forme correspondante n'est pas une forme limite; elle peut être une forme de bifurcation, mais il n'en est pas toujours ainsi. . § 3. Echange des stabilités. — Décomposons la forme quadratique dont le discriminant est Â, en une somme de carrés, où Y est une fonction linéaire des X. Pour que l'équilibre soit stable, il faut et il suffit que tous les coefficients a, que l'on appelle coefficients de stabilité, soient négatifs.
coefficients a, que l'on appelle coefficients de stabilité, soient négatifs. Supposons que pour x1 = x2 = ... = xn = 0, y = 0, on ait une forme d'équilibre de bifurcation; les n dérivées partielles s'annuleront ainsi que A. On peut toujours supposer aussi que l'on a Les coefficients de stabilité sont alors Pour que A s'annule, il faut et il suffit qu'un ou plusieurs de ces coefficients s'annulent; supposons, par exemple, que s'annule et que les autres coefficients ne s'annulent pas. Supposons, enfin, que la fonction F soit holomorphe et puisse se développer suivant les puissances de x
holomorphe et puisse se développer suivant les puissances de x et de y. Les équations d'équilibre fournissent x2, ..., xn sous la forme o) x2= y), ..., xn= y), les ϕ étant holomorphes; et x, est donné par l'équation o représentant un ensemble de termes de degré supérieur au second en x, et Y' L'équation (2) représente une courbe C formée de deux branches B et B'; ce qui montre de nouveau que la forme d'équilibre considérée est une forme de bifurcation. Si, pour y positif, il y a stabilité sur la branche B, il y aura instabilité sur la
sur la branche B, il y aura instabilité sur la branche B'; ce sera l'inverse pour y négatif. De même, si, pour y positif, il y a instabilité sur la branche B, il y aura stabilité sur B', et ce sera encore l'inverse pour y négatif. En d'autres termes, il y a échange des stabilités entre les deux branches B et B' au moment où elles se croisent. M. Poincaré montre ensuite que l'hypothèse restrictive faite sur F n'est pas nécessaire et complète les résultats obtenus dans le § 2 par la proposition suivante : « Pour qu'une forme d'équilibre,
par la proposition suivante : « Pour qu'une forme d'équilibre, appartenant à une série linéaire réelle, soit de bifurcation, il suffit, non seulement que A change de signe, mais que quelque coefficient de stabilité change de signe. » § 4. Cas d'un nombre infini de variables. — Les considérations exposées dans ce paragraphe ont pour but d'étendre les résultats des §§ 2 et 3 au cas d'un système dont la figure dépend d'une infinité de variables et, en particulier au cas d'une masse fluide soumise à différentes forces. Cette extension a, en somme, pour base, le principe suivant : «
a, en somme, pour base, le principe suivant : « Si un système mécanique quelconque et en particulier une masse fluide sont en équilibre stable sous l'action de certaines forces, et si l'on vient y appliquer en outre des forces perturbatrices infiniment petites, ce système prendra, sous l'action de ces forces, une figure d'équilibre stable infiniment petite différente de sa figure primitive. » À la démonstration de ce principe, M. Poincaré ajoute la remarque suivante « Il y aurait bien des objections à faire, mais on ne saurait exiger en Mécanique la même rigueur qu'en Analyse pure pour ce qui
Mécanique la même rigueur qu'en Analyse pure pour ce qui concerne l'infini. Je ne crois pas qu'on puisse le mettre sérieusement en doute, malgré les objections dont je viens de parler et qui sont de nature à intéresser plutôt l'analyste que le mécanicien. » Première application. — Démonstration de l'existence de la forme d'équilibre qui consiste en une figure annulaire de révolution. § 6. Exemples d'équilibre de bifurcation. — Étude du problème suivant, traité par Laplace dans les nos 27 et 28 du Livre III de la Mécanique céleste : « Une sphère solide, de densité p et de rayon
« Une sphère solide, de densité p et de rayon c, est recouverte d'une couche fluide homogène de densité I. Quelle est la figure d'équilibre de cette couche fluide? Quelle sera à l'état d'équilibre la forme de la surface libre de cette couche? » § 7. Stabilité de l'équilibre relatif. — Rappel des résultats démontrés dans le Treatise on Natural Philosophy de MM. Tait et Thomson, et relatifs à la stabilité de l'équilibre relatif d'un système matériel rapporté à des axes mobiles. M. Poincaré donne sur un point des compléments qui lui sont utiles dans la suite et montre que
qui lui sont utiles dans la suite et montre que les théorèmes établis dans les paragraphes précédents subsistent encore dans le cas de l'équilibre relatif. § 8. Fonctions de Lamé. — L'auteur arrive à l'objet principal de son travail. Il s'agit de déterminer la forme d'équilibre d'une masse fluide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton et qui est animée d'un Mouvement de rotation uniforme autour de l'axe des z. Si on laisse de côté la gestion de stabilité, on peut traiter le problème comme s'il s'agissait de l'équilibre d'une masse fluide soumise seulement à l'attraction
s'agissait de l'équilibre d'une masse fluide soumise seulement à l'attraction newtonienne et à la force centrifuge ordinaire. On connaît déjà plusieurs séries linéaires réelles de figures d'équilibre, ce sont les ellipsoïdes de Maclaurin et les ellipsoïdes de Jacobi. La figure de ces ellipsoïdes dépend de la vitesse angulaire de rotation w qui joue ici le même rôle que jouait le paramètre y dans les §§ 2, 3 et 4. Outre les ellipsoïdes, il existe des figures annulaires d'équilibre, dont il a été question dans le § 5. L'auteur se propose de rechercher s'il existe en outre des séries linéaires de