jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
de ce point par rapport à la sphère, divisée par le rayon. Le moment du point par rapport à la sphère est le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance moyenne à la sphère. Cela posé, un système de points matériels de masses m, m' étant donné, quelle est l'enveloppe des sphères pour lesquelles le moment du système est constant et qui coupent orthogonalement une sphère fixe? On trouve, en considérant la valeur du moment comme un paramètre, un système de cyclides homofocales générales. On peut disposer de la sphère directrice de façon qu'on
On peut disposer de la sphère directrice de façon qu'on ait des cyclides plans de symétrie. Pour une valeur donnée du rayon, le centre aura alors sept positions possibles. Quand le rayon variera, le centre décrira une cubique gauche. Enfin, si l'on cherche le lieu des points d'où l'on peut mener trois sphères orthogonales entre elles et à la sphère directrice, et doublement tangentes à trois cyclides homofocales données, on trouve une cyclide. Bioche. — Sur certaines surfaces réglées, à propos d'une Note de M. Pellet. (829-830). L'auteur donne une démonstration nouvelle des résultats que M. Pellet a indiqués dans
démonstration nouvelle des résultats que M. Pellet a indiqués dans sa dernière Communication. Il établit en outre ce théorème : « Si l'on donne une courbe de M. Bertrand (courbe dont les normales principales sont normales aux deux autres), la surface qui a cette ligne pour ligne de striction, et qui est applicable sur l'hyperboloïde de révolution à une nappe, s'obtient en menant par chaque point de la courbe donnée une parallèle à la binormale de la courbe conjuguée. » Jamet. — Sur deux systèmes de courbes orthogonales. (830-833). Intégration en termes finis de l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des
en termes finis de l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des courbes de niveau à deux masses a et b. Jensen. — Sur une généralisation du théorème de Cauchy. (833-836). 1° Si φn et sont des fonctions du nombre positif et entier n, telles que φ a une limite définie φ∞, que a∞ soit infini et que Soit toujours plus petit qu'un nombre donné, on aura Cette proposition est une généralisation du théorème de Cauchy 2° Si est une série convergente, on aura Bertrand. — Sur l'évaluation a posteriori de la confiance méritée par la moyenne d'une série de mesures. (887-891).
confiance méritée par la moyenne d'une série de mesures. (887-891). dans la mesure d'une même grandeur, la concordance des résultats inspire confiance indiscutable, c'est qu'elle fait croire avec grande raison à la précision des instruments et à l'habileté de l'observateur. Si on suppose méritée de l'observateur, celui de l'instrument et celui de la méthode assez bien connus à l'avance pour qu'on doive écarter l'idée de les accroître, quelle est l'erreur probable de la moyenne et comment dépend la concordance, alors nécessairement fortuite, des observations? Le Calcul des probabilités amène à cette conclusion inattendue qu'elle n'en dépend pas. Jonquières. — Construction
cette conclusion inattendue qu'elle n'en dépend pas. Jonquières. — Construction géométrique, par deux faisceaux projectifs de la surface du troisième degré déterminée par quatre conditions données. (907-912). M. Jonquières a déjà indiqué deux cas dans lesquels on peut construire la face du troisième ordre; actuellement, il en fait connaître deux autres: 2e cas données sont sept points et trois droites qui ne se coupent pas. L'auteur fait observer que la démonstration de ce théorème de Salmon qu'une surface du troisième ordre ne peut avoir plus de quatre points doubles s'étend aux surfaces d'ordre quelconque : "Une surface d'ordre n peut
aux surfaces d'ordre quelconque : "Une surface d'ordre n peut avoir au plus points doubles. Carvallo. — Sur l'application de la méthode des moindres carrés (924-926). Kœnigs. — Sur la distribution des volumes engendrés par un contour fermé. (927-929). Si l'on fait tourner d'un angle θ un contour fermé l autour d'une droite auquel on donne le volume engendré, dont le signe est déterminé par le sens de parcours choisi sur l, a pour expression A, B, C étant les aires des projections du contour l sur les plans coordonnés et L, M, N les demi-sommes des carrés des distances
et L, M, N les demi-sommes des carrés des distances des divers éléments de ces aires à l'origine. Si l'on imagine un segment de droite R dont A, B, C sont les projections, R fournira la distribution de l'aire de projection du contour l sur les divers plans de l'espace; et si l'on considère un système S de segments dont R sera la résultante de translation et L, M, N les moments par rapport aux axes, moment de ce système par rapport à la droite A sera précisément de là ce théorème : "À tout contour fermé l doué d'un
ce théorème : "À tout contour fermé l doué d'un sens de parcours, est attaché un système Σ de segments tel que le volume engendré par la rotation du contour autour d'un axe A est égal au produit de l'angle de rotation par le moment de S par rapport à A." La théorie des moments de Poinsot s'applique donc aux volumes de révolution. Si l'on prend pour axe Oz l'axe central du système, on a VA = 0 (Rit sin α + G cos α), α désignant l'angle de l'axe de rotation avec le segment R, π la plus courte
de rotation avec le segment R, π la plus courte distance entre l'axe central et l'axe de révolution, G le volume engendré par rotation autour de l'axe central. L'auteur fait l'application de cette formule générale à divers cas particuliers, parmi lesquels nous citerons le suivant qui comprend le théorème de Guldin : "Le volume engendré par un contour plan tournant autour d'un axe A est au chemin parcouru par le pied P de la perpendiculaire commune à l'axe et à la normale élevée au centre de gravité de l'aire plane, multiplié par la projection de cette aire sur le plan
multiplié par la projection de cette aire sur le plan méridien du point P. Bertrand. — Sur l'erreur à craindre dans l'évaluation des trois angles d'un triangle. (968-970). Lorsqu'on mesure les trois angles d'un triangle par des méthodes qui laissent pour chacun la même erreur à craindre, la probabilité d'une erreur z étant k e—k2-s2 si les trois mesures donnent pour la somme de ces angles 1800 -+α, la théorie prescrit de diminuer chaque angle de le carré de l'erreur à craindre sur chacun d'eux est ~. Cette valeur est calculée avant que les mesures soient prises. Si les mesures
calculée avant que les mesures soient prises. Si les mesures sont prises et la valeur de a connue, la valeur probable du carré de l'erreur diminue-t-elle si a est grand, accroît-elle si α est petit, la confiance due aux observations? Il faut distinguer deux cas : • Les instruments sont mal connus, la somme trouvée pour les angles est un indice précieux de la valeur des opérations. • L'instrument (c'est-à-dire k) est bien connu, la valeur de x ne change rien à l'évaluation de l'erreur probable. Bertrand montre en effet que, la somme des erreurs commises sur les angles étant
que, la somme des erreurs commises sur les angles étant α, la probabilité pour que la somme de leurs carrés soit p est 1/2. La valeur probable de p' est 1/2, on corrige chaque angle en lui retranchant la somme des carrés des erreurs et il faut démontrer. Cayley. — Note sur les surfaces minimales et le théorème de Joachimstahl. Cayley démontre par des considérations géométriques très simples ce théorème que la seule surface minimale réglée est l'hélicoïde à plan directeur. Cette remarque que deux triangles isoscèles PP'O, PP'N, à base commune PPI et situés dans deux plans différents, forment
base commune PPI et situés dans deux plans différents, forment des angles égaux OPN et O PN, déduit immédiatement le théorème de Joachimstahl et le théorème plus général de MM. Bonnet et Serret, relatifs aux lignes de courbure planes ou sphériques. Bertrand. — Sur les lois de mortalité de Gompertz et de Makeham. Simpson a proposé, pour calculer les rentes viagères sur plusieurs têtes, une méthode dont voici le principe : on peut, pour calculer les conditions d'une rente viagère sur deux têtes, substituer aux deux âges différents un âge unique convenablement choisi. Si l'on nomme cp (z) le nombre
unique convenablement choisi. Si l'on nomme cp (z) le nombre des survivants à l'âge z pour un nombre donné de naissances, le principe de Simpson donne, comme le montre M. Bertrand, pour forme de la fonction cp, cp (.z) = HeGehu + Cu, H, G, k et C étant des constantes. C'est la loi de Makeham, qui se réduit à celle de Gompertz pour G = 0. Boussinesq. — Équilibre d'élasticité d'un solide sans pesanteur, homogène et isotrope, dont les parties profondes sont maintenues fixes pendant que sa surface éprouve des pressions ou des déplacements connus, s'annulant hors d'une région
des pressions ou des déplacements connus, s'annulant hors d'une région restreinte où ils sont arbitraires. Premier cas. — On donne les déplacements u0, v0, W0, en chaque point de la surface plane d'un solide remplissant la moitié de l'espace, et l'on cherche en chaque point de l'intérieur les déplacements u, v, W et les pressions Px', Py', pz (celles-ci, comme on sait, se déduisent immédiatement des déplacements). La solution de ce problème est donnée par les formules suivantes. Si l'on pose -2πu -2 π v, -2 π y les potentiels en un point intérieur de trois couches matérielles fictives de
en un point intérieur de trois couches matérielles fictives de densités respectives u0, v, w étalées sur le plan de la surface (pris pour plan des xy), et que l'on pose μ étant les deux constantes de Lamé. Deuxième cas. — On connaît sur chaque point de la surface les trois pressions px, py, pz. On peut scinder ce cas en deux autres : 1° px = 0, Py = 0, Pz étant une fonction donnée de x, y; 2° pz = 0, Px et py étant des fonctions données de x, y; car l'addition des valeurs trouvées dans ces
de x, y; car l'addition des valeurs trouvées dans ces deux cas donnera celles qui conviennent au cas général. 1° Px = Py = 0. Si l'on pose pz = dρ, où dρ est l'élément de surface supportant la pression pz, et r la distance du point intérieur d'ordonnée z à l'élément de surface, on aura Ellet. — Sur la formule de Fourier et ses analogues. Si f (z) désigne une fonction holomorphe en tous les points situés dans le contour fermé, on a, pour tout point x d'argument z, situé sur une circonférence de rayon R ayant pour centre
situé sur une circonférence de rayon R ayant pour centre l'origine et coupant le contour en deux points A0, A1, dont les arguments sont ϕ0, ϕ1, tendant vers zéro. La formule subsiste encore pour les points A0 et A1, si la fonction f est nulle en ces points; l'intégrale du premier membre se réduisant alors à zéro. Elle se conserve encore s'il existe sur l'arc A1A2, un point critique tel que l'intégrale f prise le long d'un petit cercle entourant le point critique soit infiniment petite. En remarquant que l'intégrale du premier membre a pour valeur 2iπf(x), lorsqu'on est intérieur
du premier membre a pour valeur 2iπf(x), lorsqu'on est intérieur au contour S, on déduit de la formule qui précède divers développements d'une fonction, d'abord la formule de Fourier, ensuite le développement suivant les polynômes de Legendre et, plus généralement, suivant les polynômes qui proviennent de la réduction en fraction continue de l'intégrale ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. La méthode s'étend au développement d'une fonction de deux angles en série de fonctions sphériques. Demartres. — Sur les courbes de M. Bertrand, considérées comme lignes géodésiques de surfaces spheriques. Trouver les surfaces dont chaque génératrice circulaire est inclinée d'un
Trouver les surfaces dont chaque génératrice circulaire est inclinée d'un même angle i sur une même famille de lignes géodésiques, cet angle pouvant, d'ailleurs, varier d'une génératrice à la suivante. Voici la solution que M. Demartres donne de ce problème : On prend une ligne dont la courbure et la torsion sont liées par la relation. De chaque point de cette courbe comme centre, on décrit un cercle de rayon constant a, le plan de ce cercle passant par la normale principale et faisant un angle -i avec le plan osculateur. Le cercle ainsi défini engendre la surface cherchée. Les
osculateur. Le cercle ainsi défini engendre la surface cherchée. Les trajectoires, sous l'angle i, des génératrices circulaires sont des lignes géodésiques. Toutes les trajectoires sont des courbes de M. Bertrand, et, par suite, d’une pareille courbe on peut, par les trajectoires d’un cercle de rayon constant, en déduire une infinité d’autres aux mêmes paramètres que la première. En faisant i = », on retrouve ce théorème de M. Lie : Si de chaque point 2 d’une courbe à torsion constante on décrit, dans son plan osculateur, un cercle de rayon a, les trajectoires orthogonales de ce cercle ont une torsion
a, les trajectoires orthogonales de ce cercle ont une torsion constante et égale à - a. M. Demartres énonce, en terminant, cette proposition : Lorsqu’une surface est un canal de rayon a et admet pour axe une ligne dont la courbure est égale à lès génératrices circulaires sont divisées homographiquement par les deux série de lignes asymptotiques. Bougaief. — Sur les fonctions discontinues logarithmiques. L’auteur signale l’importance des fonctions discontinues qui dépendent de la représentation naturelle des nombres entiers n = aα bβ cγ sous la forme de produits de nombres premiers a, b, c. Parmi ces fonctions il faut
nombres premiers a, b, c. Parmi ces fonctions il faut remarquer les fonctions discontinues logarithmiques L (n), lesquelles satisfont aux deux conditions L(1) = 0, L (n' n") = L (n') + L (n"). Ces fonctions sont des fonctions linéaires des exposants a, β, γ; elles ont la forme générale L(n) = ϕ (a)α + ϕ (b) β + ϕ (c) γ, ou ϕ (n) est une fonction arbitraire analytique ou numérique. Le logarithme ordinaire l(n) est un cas particulier de ces fonctions logarithmiques discontinues, pour lequel ϕ (n) est égal à l(n). Les fonctions logarithmiques discontinues fournissent le moyen
égal à l(n). Les fonctions logarithmiques discontinues fournissent le moyen de trouver une infinité de lois numériques nouvelles. Chaque fois qu’on a une identité numérique entre deux produits de nombres entiers, en prenant le logarithme discontinu des deux produits, on obtient une nouvelle loi numérique avec une fonction arbitraire ϕ (n). En donnant à cette fonction différentes formes, on obtient des lois numériques particulières. e. Bougaief donne divers exemples de cette transformation. Loir. — Caractères de la divisibilité d’un nombre par un nombre Premier quelconque (7, 11, 13, 17, ...). (1070-1071). Tucas (F.). — Résolution des équations par l’électricité. (1072-1074)
(1070-1071). Tucas (F.). — Résolution des équations par l’électricité. (1072-1074) Pour résoudre électriquement une équation algébrique de degré p, F (z) = 0, à coefficients réels donnés numériquement, on prendra arbitrairement, sur l’axe des x, p 2 points L, dont les abscisses λ permettront de former le polynôme f (z) = (z-λ), ainsi que la fraction rationnelle En prenant pour plan de la figure une plaque conductrice et faisant arriver aux points L des extrémités d’électrodes déversant des quantités d’électricité (positives ou négatives) proportionnelles aux correspondants, on obtiendra un régime électrique dont les lignes équipotentielles auront pour points nodaux les
électrique dont les lignes équipotentielles auront pour points nodaux les points racines de l’équation proposée. Cette solution dispense de l’emploi d’une électrode supplémentaire à placer sur la périphérie de la plaque de rayon infini, qui s’introduisait dans la solution donnée par l’auteur dans une précédente Communication. Bertrand. — Sur la méthode des moindres carrés. (1115-1117) La démonstration proposée par Gauss en 1809 pour la méthode des moindres carrés supposait, pour la probabilité des erreurs, une loi très particulière, dans laquelle ne figure qu’une seule constante; celle qu’il donna en 1821 est affranchie de toute hypothèse. Comment se fait-il que l’on
est affranchie de toute hypothèse. Comment se fait-il que l’on puisse, d’une loi qui reste inconnue, déduire une loi précise? L’explication est simple, répond M. Bertrand. Gauss a fait implicitement l’hypothèse qui précise la forme de la fonction; elle consiste à supposer les erreurs infiniment petites. L’identité de tous les problèmes n’est pas dès lors plus étrange que celle de la loi des courbures, la même sur toutes les surfaces pour toutes les courbes issues d’un même point. M. Bertrand montre, en effet, que cette hypothèse revient à attribuer à la probabilité d’une erreur r la forme 2. Boussinesq. —
la probabilité d’une erreur r la forme 2. Boussinesq. — Equilibre d’élasticité d’un solide sans pesanteur, homogène et isotrope, dont les parties sont maintenues fixes pendant que sa surface éprouve des pressions ou des déplacements connus, s’annulant hors d’une région restreinte où ils sont arbitraires. Cas où les données sont mixtes, c’est-à-dire relatives en partie aux pressions et en partie aux déplacements. (i 119 1123). Après avoir traité (voir plus haut) les deux cas où l’on donne : 1° les déplacements u0, v0, w0 à la surface; 2° les pressions Px, Py, Pz à la surface, M. Boussinesq donne la
Px, Py, Pz à la surface, M. Boussinesq donne la solution des cas mixtes. 1° Les données sont u0, v0, w0. Si l’on pose 2° Les données sont px, py et w0. La solution est donnée par les formules Perrin. — Sur quelques familles d’opérateurs différentiels. ( 13 1 II 35) Parmi les opérateurs différentiels, en nombre indéfini, qu’on peut concevoir appliqués à des fonctions homogènes et isobariques de quelques séries de quantités formées, par exemple, de coefficients de μ formes binaires simultanées, quelques-uns peuvent être rattachés à un petit nombre de familles dont tous les membres jouissent de propriétés
nombre de familles dont tous les membres jouissent de propriétés offrant quelque intérêt au point de vue de la théorie des formes. Soit d’abord la famille (Ç) définie par la formule L’alternant de deux opérateurs Ç quelconques est nul, c’est-à-dire que ξp Cette relation, pour q = 1, montre que tout opérateur ξ appliqué à un péninvariant fournit un autre péninvariant. Elle montre encore que l’opérateur appliqué à un covariant ou à un semi-covariant de la forme (a0 a1... an x, γ)", fournit un semi-covariant en général du même ordre. Une seconde famille (w) est définie par la formule L’alternant
Une seconde famille (w) est définie par la formule L’alternant de deux opérateurs de la famille (w) appartient à la même famille d ou l’on conclut que les seuls opérateurs w réellement distincts sont les quatre Premiers. L'alternant d'un opérateur Ç et d'un opérateur w appartient à la famille (Ç) ; on conclut : 10 Que Ç et w, appliqués, une seule fois chacun, à un péninvariant, sont commutatifs ; 20 Que Ç peut s'exprimer ainsi en fonction de w, et de ç, Que, pour un péninvariant de degré 0, on a 31 0 o 7 4° Que, pour une
on a 31 0 o 7 4° Que, pour une fonction quelconque, on a xr − ωp, m % ξ~ Donc ωp, appliqué au coefficient du dernier terme d'un covariant ou semi-covariant d'ordre m − 1, fournit le coefficient du dernier terme d'un semi-covariant en général d'ordre m. M. Perrin montre enfin que l'opérateur appliqué à un péninvariant, donne un péninvariant; par où l'on peut, si v est un péninvariant d'étendue n, de degré 0 et de poids π, former autant de relations entre les coefficients numériques de v qu'il existe de manières de former π − 1 avec 0
existe de manières de former π − 1 avec 0 entiers au plus égaux à n. Four et. — Sur une source d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles, (i 13G-I 138). Si l'équation F(x) = a0 x^n + a1 x^(n-1) + ...+ a_n= 0 a toutes ses racines réelles, l'équation φ(x) = a0 F(x) + a1 F'(x) +...+ a_n F("(x) = 0, dans laquelle f(x) représente un polynôme d'un degré égal ou supérieur à a au moins autant de racines réelles que l'équation f(x) = 0, et, si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. De là
en a davantage, l'excédent est un nombre pair. De là suit que, si les équations F(x) = 0 et f(x) = 0 ont toutes leurs racines réelles, il en est de même de l'équation φ(x) = 0. En particulisant soit F(x), soit f(x), M. Fouret obtient des types remarquables d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles. On peut citer celle qui correspond à F(x) = (x + 1)^2, savoir qui a fait l'objet d'importantes recherches de la part d'Abel, Tchebichev, Laguerre et Halphen. Pieraf. — Sur deux théorèmes de Jacobi relatifs aux lignes géodésiques. (i 139 114 I). La ligne
relatifs aux lignes géodésiques. (i 139 114 I). La ligne géodésique qui joint deux points d'une surface n'est pas nécessairement la ligne la plus courte et n'est même pas toujours minima par rapport aux courbes infiniment voisines. Jacobi a énoncé à ce sujet (Journal de Crelle, t. 17) deux théorèmes qu'il ne démontre pas, mais dont M. Paraf donne actuellement la démonstration : 1° L'arc géodésique AB est véritablement un minimum si la géodésique voisine AM ne va pas couper AB entre A et B. 2° Sur toute surface à courbures opposées, les lignes géodésiques sont véritablement les plus courtes.
courbures opposées, les lignes géodésiques sont véritablement les plus courtes. A la suite de la Communication de M. Paraf, M. O. Bonnet fait observer qu'il a publié (Comptes rendus, t. XL et XLI) deux Notes renfermant les résultats précédents. On trouve même dans la première Note plusieurs propriétés que Jacobi n'avait pas signalées, entre autres celle-ci : si dans une surface convexe la courbure totale est toujours positive et supérieure à la constante a1 toute géodésique ne pourra être minima dans une étendue supérieure ou égale à ica. Césaro. — Sur deux récentes Communications de M. Jensen. (1142-1143). M. Césaro
Sur deux récentes Communications de M. Jensen. (1142-1143). M. Césaro revendique pour M. Kummer la priorité de la règle de convergence des séries à termes positifs, à savoir que, si le produit an un du terme général un par une fonction positive a" supérieur toujours le produit suivant an+1 un+1 d'une quantité supérieure à kun+, k étant un nombre positif, la série est convergente. D'ailleurs, M. Dini a montré qu'il existe une infinité de séries pour lesquelles il est impossible de trouver une fonction an, telle que la règle de Kummer soit décisive à leur égard. Cuoyau. — Sur une
Kummer soit décisive à leur égard. Cuoyau. — Sur une solution élémentaire du problème du gyroscope de Foucault. (1143-1146). Bertrand. — Sur la précision d'un système de mesures. (1195-1208). Fouret. — Sur certains types d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles. (1220-1222). Après avoir reconnu que le théorème démontré dans sa dernière Communication avait déjà été indiqué par M. Hermite, M. Fouret fait connaître une nouvelle source d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles : Si ϕ(x) est un polynôme entier de degré n dont les facteurs linéaires sont tous réels, f(x) un polynôme entier d'un degré égal ou supérieur
réels, f(x) un polynôme entier d'un degré égal ou supérieur à n, et a un nombre quelconque, mais non compris entre −1 et − (2 n + 1), l'équation a au moins autant de racines réelles que l'équation f(x) = 0, et, si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. En particulier, l'équation F(x) = 0 a toutes ses racines réelles, si f(x) = 0 a elle-même toutes ses racines réelles. Bertrand. — Sur les conséquences de l'égalité acceptée entre la valeur vraie d'un polynôme et sa valeur moyenne. (1259-1263). M. Bertrand montre, par un exemple, que la
moyenne. (1259-1263). M. Bertrand montre, par un exemple, que la règle de Gauss qui donne a posteriori la précision d'un système d'observations n'est pas justifiée. « Le théorème de Gauss sur la somme des carrés des erreurs indiquées par la méthode des moindres carrés, dit à la fin de sa Note M. Bertrand, n'en reste pas moins un admirable résultat algébrique, et c'est avec plaisir que je Présente à l'Académie, pour être insérée dans ce numéro de nos Comptes rendus, une élégante démonstration de M. Guyou. » Halphen. — Sur les intégrales pseudo-elliptiques. (1263-1270). Abel s'est posé le problème suivant