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question posée par M. Stieltjes dans le tome VI des Acta. Si an, (k, 1 = 1, 2, n) sont les coefficients de deux substitutions orthogonales, on peut choisir 6k = + 1, ou = — 1, de façon que le déterminant akλ + δk Akλ puisse s'annuler, si n est pair, sans que tous ses éléments s'annulent, et si n est impair sans que tous les sous-déterminants du second ordre soient nuls. Berger. — Déduction de quelques formules analytiques d'un théorème élémentaire de la théorie des nombres. (301-320). Signalons parmi les résultats obtenus par M. Berger d'une façon tout
parmi les résultats obtenus par M. Berger d'une façon tout élémentaire la proposition suivante : Si l'on désigne par n un nombre positif impair, le nombre de toutes les solutions entières de l'équation x2 + y2 = n, est égal à Où x parcourt tous les diviseurs positifs du nombre n. Cette proposition a été établie par Lejeune-Dirichlet au moyen du Calcul intégral. Dans un autre ordre d'idées, citons encore la proposition suivante : Si l'on désigne par Φ (z) une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs positives impaires de la variable z, on aura la formule Où l'on
de la variable z, on aura la formule Où l'on a à observer que dans le premier membre x0 parcourt tous les nombres pairs, et x, tous les nombres impairs positifs, et que, dans le second membre, n parcourt tous les nombres impairs positifs et 8 tous les diviseurs positifs du Nombre n, pourvu que les séries dans les deux membres convergent indépendamment de l'ordre de leurs termes. L'auteur transforme cette formule de diverses façons et en tire des conséquences, connues pour la plupart, mais que l'on ne s'attendait pas à obtenir par cette voie. Poincaré (H.). — Sur les
à obtenir par cette voie. Poincaré (H.). — Sur les résidus des intégrales doubles. (321-380). L'important Mémoire de M. Poincaré contient l'extension aux intégrales doubles du théorème célèbre de Cauchy sur les intégrales d'une fonction analytique d'une variable, prises le long d'un contour fermé. Une des premières difficultés du problème consistait dans l'absence de représentation géométrique. On sait en effet de quel secours est, pour la théorie des fonctions d'une variable, la représentation employée par Gauss et Cauchy. Si l'on veut suivre la même méthode pour étudier les fonctions de deux variables imaginaires z = x + iy, η =
deux variables imaginaires z = x + iy, η = z + it, on est conduit à regarder x, y, z, t comme les coordonnées d'un point de l'espace à quatre dimensions. Mais le langage seul a une apparence géométrique; l'image sensible fait toujours défaut. M. Poincaré n'emploie que rarement ce langage hypergéométrique; il lui emprunte cependant les termes suivants dont il paraît difficile de se passer. Un point est un système de valeurs réelles des quatre variables x, y, z, t; les hypersurfaces, les surfaces, les lignes sont constituées par les multiplicités à trois dimensions, à deux dimensions, à
par les multiplicités à trois dimensions, à deux dimensions, à une dimension, c'est-à-dire par l'ensemble des points qui vérifient une, deux ou trois relations distinctes. Dans une intégrale double ∫∫ F(ξ,η) dξ dη, le champ d'intégration est défini par deux relations entre les variables x, z, t; il y a une surface d'intégration. De même, si F(ξ, η) est une fonction rationnelle, l'ensemble des points singuliers formera une surface qui ne devra avoir aucun point commun avec la surface d'intégration. Voici comment l'auteur évite dans beaucoup de cas l'emploi de considérations hypergéométriques. Soient A, μ, v les coordonnées d'un point
considérations hypergéométriques. Soient A, μ, v les coordonnées d'un point dans l'espace ordinaire. Posons \(x = \phi_1 (\lambda, \mu, v), \quad y = \phi_2 (\lambda,\mu, \nu), \quad z = \phi_3 (\lambda, [\mu, v), \quad t = \phi_4 (\lambda, \mu, v),\) \(\phi_1, \phi_3, \phi_4\) désignant des fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pour aucune valeur réelle des variables. Lorsque le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit l'espace tout entier, le point \((x,y, z)\) décrit dans l'hyperespace une hypersurface unicursale. De même, si le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit une surface \(S\), le point \((x, y, z, t)\) décrit dans l'hyperespace une
le point \((x, y, z, t)\) décrit dans l'hyperespace une surface \(S'\); si \(S\) est une surface fermée, \(S'\) sera dite aussi fermée. On suppose de plus que lorsque le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit \(S\), le point \((x, y, z, t)\) décrit une seule fois \(S'\). Par suite, toutes les fois que le point \((x, y, z, t)\) reste sur une même hypersurface unicursale, on peut le représenter par un point \(\hat{x}\) de l'espace ordinaire, et de même toute surface d'intégration sera représentée par une surface ordinaire de l'espace \((\lambda, \mu, v)\). En posant simplement \(x = \phi_1 =
\((\lambda, \mu, v)\). En posant simplement \(x = \phi_1 = \lambda, \quad y = \phi_2 = \mu, \quad z = \phi_3 = \nu,\) \(t = \phi_4 (\lambda, \mu, \nu) = \phi_4 (x,y,z),\) la surface d'intégration sera définie par une surface \(S\) de l'espace ordinaire et une fonction rationnelle \(P\) et \(Q\) étant deux polynômes entiers tels que \(Q (x, y, z)\) ne soit nul pour aucun point réel. Il est aisé de voir que toute surface d'intégration, non susceptible de ce mode de représentation, peut être décomposée en plusieurs autres qui diffèrent très peu de surfaces algébriques susceptibles de ce
qui diffèrent très peu de surfaces algébriques susceptibles de ce mode de représentation. D'ailleurs, les théorèmes de l'auteur n'exigent pas que \(\phi_1, \phi_2,\) soient des fonctions rationnelles. Il suffit qu'elles restent uniformes et bien déterminées dans une portion de l'espace contenant la surface \(S\) qui sert d'image à la surface d'intégration. Dans le paragraphe suivant, l'auteur définit d'une façon précise les conditions d'intégrabilité des expressions de la forme \(\int \int \sum (X_i, X_k) d\hat{x} d\hat{k},\) \(X_i, X_k\) désignant des fonctions des \(n\) variables \(x_1, ..., x_n\) telles que \(X_i, X_j = O, \quad X_i, X_k = -(X_k, X_i),\) Si l'on
= O, \quad X_i, X_k = -(X_k, X_i),\) Si l'on pose dans cette expression \(dx_i = \phi_i (u, v),\) elle devient \(\int \int f(u, v) du dv,\) et elle offre un sens bien déterminé, si l'on convient de donner à \(u\) et à \(v\) toutes valeurs qui satisfont à une certaine inégalité \(v \geq 0.\) On est ainsi amené à se poser la question suivante : Que faut-il pour que cette intégrale \(J\) ne dépende pas de la surface d'intégration, mais seulement de la courbe qui limite cette surface? En termes plus précis, imaginons que l'on fasse dans l'expression (2)
termes plus précis, imaginons que l'on fasse dans l'expression (2) un autre changement de variables \(x_i = \phi_i (u, v),\) la fonction \(\phi_i\) étant en général différente de \(Pi\) mais telle que l'on ait \(\phi_i = \phi_i,\) lorsque \(\psi (u, v) = 0,\) et conservons la même inégalité (4) pour définir l'intégrale double. Si dans ces conditions l'intégrale n'a pas changé, l'expression sous le signe \(\int\) est dite intégrable. Pour trouver les conditions d'intégrabilité, M. Poincaré fait un changement de variables plus général, \(x_i = \phi_i (u, v, w)\) dépendant d'un paramètre arbitraire \(w\), les fonctions \(\phi_i\) étant telles que,
d'un paramètre arbitraire \(w\), les fonctions \(\phi_i\) étant telles que, lorsque \(\psi (u, v) = 0,\) ces fonctions sont indépendantes de \(w\). Alors la surface d'intégration variera avec \(w\), mais non la courbe qui limite cette surface. Il faut écrire que l'intégrale \(J\) ne dépend pas de \(w\), c'est-à-dire que l'on a \(\frac{dJ}{dw} = 0.\) De la formule qui donne \(J\) on tire \(\frac{dJ}{dw} =\) et quelques transformations faciles reposant sur le théorème de Green permettent de ramener cette intégrale à la forme \(J =\) le signe \(\sum\) portant sur toutes les combinaisons \((i, k, h)\), où l'on ne considère
toutes les combinaisons \((i, k, h)\), où l'on ne considère pas comme différentes deux combinaisons qui ne diffèrent que par l'ordre des lettres. L'expression doit être nulle quelles que soient les fonctions \(\phi_i\), il faudra que l'on ait \(\frac{dJ}{dw} = 0,\) \(\frac{d(n-2)}{2}\) Ainsi ce sont les conditions d'intégrabilité, au nombre \((n-1)\), pour l'intégrale double \(\int [(X, Y) dx dy + (X, Z) dx dz + (X, T) dx dt + (Y, Z) dy dz + (Y, T) dy dt + (Z, T) dz dt]\) \(J\) on aura quatre conditions d'intégrabilité. Ces conditions d'intégrabilité s'appliquent immédiatement aux intégrales doubles des fonctions
Ces conditions d'intégrabilité s'appliquent immédiatement aux intégrales doubles des fonctions de deux variables complexes. Soit \(\xi = x + iy\), \(t = x + it\), ces deux variables et une fonction que l'on peut aussi écrire \(P + iQ\), en séparant la partie réelle et la partie imaginaire; \(P\) et \(Q\) vérifient les relations connues. Imaginons dans l'hyperespace une surface d'intégration définie par une surface \(S\) de l'espace \((\lambda, \mu, v)\) et par les équations fondamentales (1). Il importe d'abord de définir avec précision ce qu'on doit entendre par l'intégrale double \(\int \int F(\xi, \eta) d\xi d\eta\), étendue à toute
double \(\int \int F(\xi, \eta) d\xi d\eta\), étendue à toute cette surface. Le produit sous le signe \(\int \int\) étant effectué d'après les règles ordinaires du calcul, cette expression devient \(\int [(P + iQ) dx + (iP - Q) dz + (iPQ) dy] \int [(P + iQ) dx + (iP - Q) dz + (iPQ) dy] + \int [(P + iQ) dy + (iP - Q) dz + (iPQ) dt] + \int [(P + iQ) dz + (iP - Q) dx + (iPQ) dt]\) Soient maintenant \(u\) et \(v\) deux variables auxiliaires telles que \(1, \mu, v\) soient des fonctions
variables auxiliaires telles que \(1, \mu, v\) soient des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\) pour tous les points de la surface \(S\); l'intégrale cherchée sera l'intégrale double ordinaire \(\int \int f(u, v) du dv\), étendue à tous les systèmes de valeurs de \(u\) et de \(v\) qui correspondent aux différents points de la surface \(S\). Si l'on ne pouvait trouver deux variables \(u\) et \(v\) satisfaisant à cette condition, on décomposerait la surface \(S\) en plusieurs régions assez petites pour que, dans chacune d'elles, on puisse exprimer \(\mu, v\) par des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\).
v\) par des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\). L'ordre des variables \(u\) et \(v\) n'est pas indifférent, puisque l'intégrale change de signe quand on permute ces deux variables. Pour ne rien laisser d'indéterminé dans l'intégrale, l'auteur convient de distinguer sur une surface fermée les deux directions qui vont vers l'intérieur et vers l'extérieur; sur une surface non fermée, on peut toujours convenir de regarder un des côtés comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur. Cela étant, imaginons un observateur ayant les pieds en un point \(0\) de la surface \(S\) et la tête dirigée vers l'extérieur, et un contour
\(S\) et la tête dirigée vers l'extérieur, et un contour fermé très petit \(C\) décrit sur la surface autour du point \(0\). Si le point \((A, \mu, v)\) décrit ce contour dans le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre par rapport à l'observateur, le point de coordonnées \((u, v)\) décrira dans son plan un autre contour fermé \(C'\). Il faudra que ce contour soit décrit dans le même sens que le premier, les axes des \(u\) et des \(v\) étant disposés comme lé sont d'ordinaire les axes des \(x\) et des \(y\) positifs. L'intégrale double est ainsi complètement
\(x\) et des \(y\) positifs. L'intégrale double est ainsi complètement définie et elle rentre dans la catégorie considérée plus haut; on a en effet ici \((X, Y) = (Z, T) = 0, \quad (X, Z) = (T, Y) = P + iQ, \quad (X, T) = (Y, Z) = iPQ,\) et les conditions d'intégrabilité sont remplies identiquement d'après les relations \((5)\). Il en résulte d'après cela que, conservant les mêmes relations fondamentales \((t)\), on fasse varier la surface \(S\) de l'espace \((A, \mu, v)\). Si l'on a d'abord deux surfaces \(S\) et \(S'\) limitées par un même contour \(C\) et
\(S\) et \(S'\) limitées par un même contour \(C\) et telles que l'on puisse, par une déformation continue, passer de \(S\) à \(S'\) sans rencontrer aucun point pour lequel \(P + iQ\) devienne infinie ou discontinue, il résulte aussitôt du théorème démontré plus haut que l'intégrale prise le long de \(S'\) est égale à l'intégrale prise le long de \(S\); proposition absolument analogue au théorème de Cauchy dont il est aisé de déduire de nombreuses conséquences. Dans l'hyperespace, les surfaces singulières sont définies par les deux équations \(0 = 0, \quad y, z, t\) étant remplacées dans ces équations par
\quad y, z, t\) étant remplacées dans ces équations par \(\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4\), les deux équations des surfaces singulières se réduisent à \(dw\)\(w\) relations \(f_1(\lambda, \mu, v) = f_2(\lambda, v) = 0,\) définissant dans l'espace \((A, \lambda, v)\) certaines courbes singulières. Les résultats précédents pourront alors s'énoncer comme il suit : étant données deux surfaces \(S\) et \(S'\) limitées à un même contour \(C\), si dans l'espace compris entre \(S\) et \(S'\) il n'y a aucune courbe singulière, l'intégrale prise le long de \(S\) est égale à l'intégrale prise le long de \(S'\). Plus généralement, si deux surfaces \(S\)
le long de \(S'\). Plus généralement, si deux surfaces \(S\) et \(S\) de l'espace \((X, \mu, v)\) contiennent à leur intérieur les mêmes courbes singulières, les deux intégrales sont encore les mêmes. En résumé, l'intégrale prise le long d'une surface fermée de l'espace \((A, \lambda, v)\) ne dépend que des courbes singulières comprises à l'intérieur de cette surface. M. Poincaré applique d'abord cette théorie générale au calcul des résidus des fonctions rationnelles de deux variables, c'est-à-dire des intégrales doubles \(\int\int F(\xi, \eta)\, d\mu\, d\nu,\) prises sur une surface fermée. La fonction \(F(\xi, \eta)\) étant de la forme où \(P, Q,
fonction \(F(\xi, \eta)\) étant de la forme où \(P, Q, R\) sont trois polynômes entiers dont les deux derniers sont irréductibles, les courbes singulières sont de deux sortes: les unes sont définies par l'équation \(Q[\phi_1 + i\phi_2, \phi_3 + \phi_4] = 0,\) et les autres par l'équation \(R[ \phi_1 + i\phi_2, \phi_3 + i\nu] = 0.\) Considérons une de ces courbes fermées \(C\) \(x = \Psi_1(w), \quad y = \Psi_2(w), \quad z = t = \Psi_4(w),\) les \(\Psi\) étant des fonctions périodiques du paramètre \(w\), dont on peut supposer la période égale à \(2 \pi\), et la surface d'intégration définie
période égale à \(2 \pi\), et la surface d'intégration définie par les formules \(S = \Psi_1(\omega) + i\nu = \rho_0 e^{i\phi},\) où l'on fait varier \(w\) et \(\phi\) de \(0\) à \(2\pi\). Si l'on pose \(\lambda' = \cos \omega + p \cos \phi, \quad \mu' = \sin \omega + p \sin \phi, \quad v' = \rho \sin \phi,\) \(x = \Psi_1(w), \quad y = \Psi_2(w), \quad z = \Psi_3(\omega) + p \cos \phi, \quad t = \Psi_4(\omega) + p \sin \phi,\) la surface d'intégration précédente appartient à l'espace \((\lambda', \mu', v')\) et a pour image dans cet espace le tore
v')\) et a pour image dans cet espace le tore dont l'équation est \(\rho = \rho_0 (\rho_0 < 1)\), tandis que la courbe singulière est représentée par le cercle \(\lambda'^2 + \mu'^2 = 1, \quad v' = 0,\) qui est évidemment à l'intérieur du tore. D'ailleurs, il est facile d'évaluer directement l'intégrale double. Si on laisse \(w\) et \(\xi\) constants et qu'on fasse varier \(\phi\) de \(0\) à \(2\pi\), on décrit une circonférence de rayon \(p_0\) ayant pour centre le point \(\Psi_3 + i\Psi_4\). L'intégrale simple \(I = \int F(\xi, \eta)\, d\nu\) est alors égale au produit de \(2 i\pi\)
\eta)\, d\nu\) est alors égale au produit de \(2 i\pi\) par le résidu de la fonction \(F(\xi, \eta)\) (re gardée comme fonction de \(\eta\) seulement) par rapport au point \(\Psi_3 + i\Psi_4\). Si l'on a par exemple, \(Q(\Psi_1 + \eta = 0,\) le résidu en question se calcule aisément, et l'on trouve pour valeur de l'intégrale simple \(I = \Psi_1 + i\Psi_2, \quad \nu = \Psi_3 + i\Psi_4.\) Si l'on fait ensuite varier \(w\) de \(0\) à \(2\pi\), on décrit dans son plan une courbe fermée et l'on est ramené à chercher l'intégrale simple prise le long d'une courbe fermée,
à chercher l'intégrale simple prise le long d'une courbe fermée, \(\eta\) et \(\nu\) étant liés par la relation \(Q(\xi, \eta) = 0\). C'est donc une intégrale abélienne relative à la courbe \(Q = 0\). Une discussion assez délicate permet de déterminer ensuite le signe. En résumé, les périodes de l'intégrale double sont les mêmes que celles des intégrales simples abéliennes relatives respectivement aux deux courbes \(Q = 0\), \(R = 0\). Ces périodes sont de deux sortes; si les courbes \(Q = 0\), \(R = 0\) sont de genres \(q\) et \(r\), l'intégrale double aura \(2q + 2r\) périodes cycliques.
et \(r\), l'intégrale double aura \(2q + 2r\) périodes cycliques. Les périodes polaires de \(J\) proviendront des points d'intersection des deux courbes \(R = 0\), \(Q = 0\) et des points doubles de la courbe \(Q = 0\). Pour les premiers, la période est égale à pour les seconds à . Où ? et sont remplacées par les coordonnées du point d'intersection ou du point double. On traite de la même façon les cas plus généraux où l'intégrale, double est de la forme . Par exemple, les périodes de l'intégrale double sont les mêmes que celles de l'intégrale simple abélienne
double sont les mêmes que celles de l'intégrale simple abélienne relative à la courbe Q = 0. Dans les deux paragraphes suivants, M. Poincaré considère une surface d'intégration définie comme il suit: ξ et n décrivent respectivement dans leurs plans deux cercles concentriques à l'origine. Les équations de cette surface sont par conséquent . Si l'on pose où 1 k2 = v2, la surface précédente appartient à l'espace (A, µ, v), pourvu que l'on ait ~p|-4-p| = p2, et elle est représentée dans cet espace par le tore qui a pour équation . De cette façon, toute intégrale double où
pour équation . De cette façon, toute intégrale double où la surface d'intégration est définie par les équations se ramène à une intégrale double ordinaire étendue à la surface d'un tore. Prenons en particulier l'intégrale double où f, g, F sont trois polynômes quelconques. Si h et k sont nuls, les surfaces singulières ont pour équations = 0, = 0 et fournissent dans l'espace (A, [1, v) deux lignes singulières, l'axe des A et cercle x = 0, µ2 + v2 = 1). Si h et k sont très petits, les équations Q = 0, R = 0 donneront dans
les équations Q = 0, R = 0 donneront dans l'espace (A, µ, v) deux lignes singulières voisines respectivement des précédentes et dont une seule (celle qui est voisine du cercle) sera comprise à l'intérieur du tore. L'intégrale cherchée aura donc une valeur finie et sera égale à une période d'une intégrale abélienne. L'application de la méthode générale montre que c'est une période polaire qui a pour valeur 4π2F(ξ0, n0), ξ0 et n0 étant les valeurs de % et de n très voisines de 0 qui satisfont aux deux équations ç - hf, n - k ϕ. De là on
ç - hf, n - k ϕ. De là on déduit sans peine une démonstration rigoureuse d'une remarquable généralisation de la formule de Lagrange, due à M. Stieltjes. M. Poincaré se sert du même tore pour l'étude d'une question tout à fait différente. Étant donnée une fonction entière de deux variables F(ξ, n), posons ξ = (α + iβ)ρ, n = (v + iδ)ρ, avec la condition α2 + β2 + γ2 + δ2 = 1; X, P, Y, S restant constants et p croissant indéfiniment, s'il arrive que F(ξ, n) tende toujours vers une limite finie et déterminée, on
n) tende toujours vers une limite finie et déterminée, on peut affirmer, d'après les théories anciennes, que F(£, n) est une constante. Grâce à la théorie actuelle, on peut faire un pas de plus. En effet, si l'on reprend les formules, à tout système de valeurs de α, P, y, 8 vérifiant la relation correspond un point de l'espace (A, [i, v), et inversement. On peut donc dire que tout point v) représente une manière particulière pour ç et n de tendre vers l'infini. Si pour certaines régions de l'espace, dont la définition est assez compliquée, on sait démontrer que
dont la définition est assez compliquée, on sait démontrer que F tend vers une limite finie, on pourra affirmer que F est une constante. Cette proposition est évidemment plus générale que le théorème déjà connu. Les périodes considérées jusqu'ici sont des constantes. Mais il existe des intégrales doubles étendues à des surfaces fermées dont la valeur est essentiellement variable. Imaginons, par exemple, dans l'espace (1, µ, v) une surface fermée S traversée en deux points par une courbe singulière C. Si la fonction F (ξ, n) devient infinie du premier ordre en ces points, l'intégrale double conserve une valeur finie
ordre en ces points, l'intégrale double conserve une valeur finie et est égale à une intégrale simple abélienne prise le long d'une portion seulement de la courbe C. Il est clair que ces intégrales doubles ne conservent pas la même valeur quand on déforme d'une manière continue la surface d'intégration. Ce sont des périodes variables. Le dernier Paragraphe contient diverses applications aux fonctions de deux variables. Lindstedt. — Sur un théorème de M. Tisserand relatif à la théorie des perturbations. (38 1-884). Stieltjes.— Sur les racines de l'équation X2 = 0. (385-400). L'auteur établit d'abord la proposition d'Algèbre que voici
0. (385-400). L'auteur établit d'abord la proposition d'Algèbre que voici : Soit Σaikxixk une forme quadratique positive dans laquelle les coefficients aik(ik) sont tous négatifs ou nuls; si les quantités sont toutes positives ou nulles, aucune des valeurs de x, x2, ..., xn tirées des équations ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn= (i = 1, 2, ..., n) ne peut être négative, et si toutes les quantités sont positives, il en est de même des x. Il déduit de là des limitations pour les racines d'un polynôme de degré n, vérifiant l'équation différentielle (1 x2) ϕ" + 2 [α ϕ'
vérifiant l'équation différentielle (1 x2) ϕ" + 2 [α ϕ' + ( a + [3) x] ϕ' + n(n + 2 a + 2 p 1) ϕ = 0, où α, β sont des constantes positives; dans le cas particulier où cette équation se réduit à celle que vérifient les polynômes de Legendre, il retrouve les limites des racines de ces polynômes obtenues par M. Bruns, et d'autres plus précises et aussi élégantes. Dans un post-scriptum, M. Stieltjes signale le fait que les mêmes formules, relatives aux polynômes Xn, avaient été trouvées, antérieurement, par M. Markoff dans un travail insertié
été trouvées, antérieurement, par M. Markoff dans un travail insertié dans le Tome XXVII des Mathematische Annalen, dont il n'avait point eu connaissance. M. Stieltjes donne une autre application, relative à un problème qui se présente dans l'étude de la distribution de l'électricité sur un système de conducteurs, de la proposition d'Algèbre que nous avons signalée tout d'abord. E. G. NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES, rédigées par MM. Cu. BRISSE et E. ROUCHÉ (1). — 3e série. Tome VII; 2e semestre 1888. B. (ÇA.). — Solution de la question proposée au Concours d'admission à l'École Polytechnique en 1888. (305-314). Propriétés diverses
Concours d'admission à l'École Polytechnique en 1888. (305-314). Propriétés diverses de deux séries de paraboles. B. (Ch.). Solution de la question d'Algèbre proposée pour l'admission à l'École Normale supérieure en 1888. (314-317). Sur le polynôme f(x) de degré n, vérifiant l'identité : nf(x) = (x-a)f'(x) + bf"(x). Malo (E.). — Solution géométrique de la question proposée au Concours général de 1885. (317-325). Sur les propriétés de deux demi-diamètres rectangulaires d'une surface du second ordre. Payet (P.). — Solution géométrique de la question proposée pour l'admission à l'École Centrale en 1887. (325-331). Sur un système de coniques ayant un foyer donné