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où V, W sont des polynômes en u, v, w au plus de degrés n (mp — r), p ( mn — r) en x et y. Si la relation (r) est décomposée en groupes homogènes par rapport à u, v, w, celui de ces groupes de moindre degré q dont tous les coefficients ne sont pas nuls est toujours décomposable en q facteurs linéaires, correspondant aux q points communs aux trois courbes, et les divers cas possibles d'égalité de ces facteurs correspondent aux cas possibles de coïncidence des q points entre eux. Painlevé. — Sur les équations différentielles du
points entre eux. Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (221-224). L'auteur étudie les équations du premier ordre dont l'intégrale générale ne prend dans le plan qu'un nombre fini n de valeurs ou, plus généralement, n'admet dans le plan que n déterminations se permutant autour des points critiques qui varient avec la constante d'intégration. Dans ce cas, l'intégrale générale peut se mettre sous la forme yn + A, (x, c)yn-1 + A2(x, c)yn—3 + ... + An(x, c) = 0, les A; étant des fonctions de x dont les points critiques sont fixes. M. Painlevé se borne au
les points critiques sont fixes. M. Painlevé se borne au cas où l'équation proposée est algébrique en y et y' F (y, y', x) = 0. Quand les coefficients B ne présentent pas de coupure fermée, une intégrale qui, dans l'espace où elle est définie, ne prend que n valeurs se permutant autour des points critiques mobiles, est définie dans tout le plan. Quels que soient, d'ailleurs, les coefficients B, cette intégrale vérifie une équation de la forme f[y,y0, (x)] = 0, où y. représente une des n valeurs de y, f un polynôme de degré mn en y et
y, f un polynôme de degré mn en y et ya respectivement. Étudiant de plus près les divers modes de représentation de l'intégrale, M. Painlevé montre qu'il est toujours possible, et cela d'une infinité de manières, de la mettre sous la forme (1) C = R[y, y', (x)], C désignant une constante, R une fonction rationnelle en y et y', dont les coefficients sont quelconques en x. Mais on peut toujours choisir deux formes de l'intégrale \(T = C[y, y, (x)]\), \(\gamma' = C'[y, y', (x)]\), telles qu'une intégrale quelconque se déduise de ces deux-là par une transformation birationnelle \(\phi(\gamma,
se déduise de ces deux-là par une transformation birationnelle \(\phi(\gamma, \gamma')\). Entre \(y\) et \(y'\) il existe une relation algébrique, qui n'est définie qu'à une transformation birationnelle près. Les intégrales \(y\) et \(y'\) établissent une correspondance rationnelle entre les deux courbes algébriques \(h = 0\), \(F = 0\). Schlesinger. — Sur les courbes de genre 1. (224-227) Étant données deux fonctions doublement périodiques d'ordre \(n\) aux mêmes périodes et aux mêmes infinis, les équations \(x = X(u)\), \(y = Y(u)\) représentent une courbe elliptique d'ordre \(n\), à moins qu'à chaque point \((x, y)\) ne correspondent \(p\) valeurs de \(u\). M.
point \((x, y)\) ne correspondent \(p\) valeurs de \(u\). M. Humbert (Comptes rendus des sessions de l'Académie des Sciences, p. 1137; 1883) a avancé que, dans ce dernier cas, la courbe devait être unicursale et de degré \(ce\) qui n'a pas lieu, d'après M. Schlesinger ; car les \(p\) valeurs de \(u\) devraient alors avoir une somme constante (à des multiples près des périodes), et l'auteur donne un exemple du contraire. Il annonce d'ailleurs que les Annales de Leipzig publieront un Mémoire sur ce sujet, où sera complètement élucidée la question posée par M. Humbert. Painlevé. — Sur les équations
question posée par M. Humbert. Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (320-323). L'auteur se pose ce problème préliminaire : « Trouver toutes les courbes algébriques \((\alpha)\) qui correspondent rationnellement à une courbe algébrique donnée \((p)\) ». On reconnaît, par des opérations purement algébriques, s'il existe de telles courbes \((\alpha)\) de genre plus grand que 1, et on les obtient algébriquement. Pour qu'il existe des courbes \((\alpha)\) de genre 1, il faut et il suffit qu'une intégrale de première espèce de \((p)\) se ramène aux intégrales elliptiques. Ces propositions suffisent pour résoudre la question que M. Painlevé avait
propositions suffisent pour résoudre la question que M. Painlevé avait en vue : Reconnaître si l'intégrale d'une équation différentielle du premier ordre n'admet qu'un nombre fini (d'ailleurs inconnu) de déterminations se permutant autour des points critiques mobiles. On vérifie algébriquement que l'intégrale satisfait à ces conditions lorsque la relation \(A(y, y') = 0\) (voir plus haut) est du genre \(\pi\) plus grand que 1, et l'intégrale s'obtient elle-même algébriquement. Le même problème, quand on suppose \(\pi = 1\), est plus compliqué. On reconnaît algébriquement si les conditions sont vérifiées, et l'équation s'intègre alors par quadrature, ou bien se ramène à
l'équation s'intègre alors par quadrature, ou bien se ramène à une équation linéaire d'ordre \(p\) (\(p\) étant le genre de l'équation différentielle proposée en \(y\) et \(y'\)). Dans les deux cas, si \(\pi = p\) (\(\pi\) n'est jamais supérieur à \(p\)), l'intégrale n'a que des points critiques fixes. L'hypothèse \(\pi = 0\), qui seule échappe à la méthode, est réservée par l'auteur. De Fonteniolant. — Sur les déformations élastiques dans les pièces à fibres moyennes. (383-385). Cette Note, extraite d'un Mémoire étendu, contient une généralisation du principe de réciprocité des déplacements dû à M. Krohn. Étant donné un système formé
déplacements dû à M. Krohn. Étant donné un système formé d'une pièce élastique unique ayant pour ligne moyenne une courbe plane ou gauche, ou d'un nombre quelconque de pièces de cette espèce, arbitrairement disposées dans l'espace et assemblées ou articulées entre elles, ce système pouvant d'ailleurs être ou non assujetti à des liaisons surabondantes : 1° Si une force égale à l'unité et de direction \(A_1\), appliquée à un point \((1)\) d'une pièce, imprime à un point \((2)\) un déplacement \(l_2\) estimé suivant une direction \(A_2\), réciproquement une force \(J_1\), appliquée au point \((2)\) suivant \(A_3\), imprime au point \((1)\)
appliquée au point \((2)\) suivant \(A_3\), imprime au point \((1)\) un déplacement dont la projection sur \(A_1\) a pour valeur \(l_2\). 2° Si un couple égal à l'unité et dont l'axe a une direction \(A_1\), appliquée à une section \(D_1\), imprime à un point \((2)\) une translation \(l_2\) (estimée suivant \(A_2\)), réciproquement une force \(J_1\), appliquée en \((2)\) suivant \(A_2\), imprime à \(D_1\), une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a une projection sur \(A_1\), égale à \(l_2\). 3° Si un couple unité d'axe \(A_1\), appliqué à une section \(A_1\), imprime à une section \(D_1\), une rotation qui, reportée sur
imprime à une section \(D_1\), une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a sur \(A_1\) une projection \(l_2\), réciproquement un couple unité, appliqué à \(D_1\), et d'axe \(A_2\), imprime à \(D_1\) une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a pour projection sur \(A_1\) la même valeur \(l_2\). Lévy (M.). — Sur une propriété générale des corps solides élastiques. (414-416). M. M. Lévy énonce et démontre un remarquable théorème qui joue, dans la théorie de l'élasticité, le même rôle que celui de Green dans la théorie du potentiel, mais dont la paternité, comme l'auteur l'a reconnu lui-même dans une séance ultérieure,
paternité, comme l'auteur l'a reconnu lui-même dans une séance ultérieure, appartient à M. Betti : « Si à un corps ou à un système de corps élastiques on applique successivement deux systèmes de forces en équilibre, la somme des travaux des forces de l'un de ces systèmes pour les déplacements élastiques dus à l'autre est égale à la somme des travaux des forces de ce dernier pour les déplacements dus au premier. » De Jonquières. — Construction géométrique d'une surface du quatrième ordre à points doubles. (430-431). Les méthodes employées par M. de Jonquières dans ses précédentes Communications peuvent être
par M. de Jonquières dans ses précédentes Communications peuvent être appliquées à la construction de quelques surfaces du quatrième ordre. Comme exemple, l'auteur résout le problème suivant : Construire, à l'aide de deux faisceaux projectifs, la surface, du quatrième ordre qui est déterminée par sept points doubles et six points simples, tous donnés de position. Kœnigs. — Sur le volume engendré par un contour lié invariablement au trièdre d'une courbe et, en particulier, sur une propriété des courbes de M. Bertrand. (474-476). Le mouvement d'un contour fermé est supposé dirigé par une courbe, c'est-à-dire que le contour est lié invariablement
par une courbe, c'est-à-dire que le contour est lié invariablement au trièdre \(Ox, Oy, Oz\), formé par la tangente, la normale principale et la binormale de cette courbe. Si l'on désigne par A l'aire de la projection du contour fermé sur le plan yOz, par L et N les secteurs de révolution engendrés par le contour tournant d'un angle unité autour de Ox et Oz, par s l'arc parcouru sur la courbe directrice, par a, t les arcs correspondants de l'indicatrice sphérique des tangentes et de celle des binormales, on aura, pour expression du volume engendré par le contour, V
aura, pour expression du volume engendré par le contour, V = As + Lu + Nσ. En particulier, si l'on cherche à déterminer la courbe directrice de telle manière que le volume engendré soit proportionnel à l'arc de cette courbe, on trouve une courbe de M. Bertrand. Picard. — Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles. Soit V une fonction de deux variables x et y. Si l'on pose eL = AV + A' V; -iA" V = + 2 BV, V2, + 2 B' VV, + 2 B" VV,, et que l'on considère l'intégrale double // (V,V,, l'équation
VV,, et que l'on considère l'intégrale double // (V,V,, l'équation exprimant que la variation première de cette intégrale est nulle quand V a des valeurs données sur le contour est c'est une équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle on ne peut identifier l'équation linéaire générale que sous certaines conditions imposées aux coefficients a, b, c, ...,f. Cette condition consiste dans l'évanouissement d'un certain polynôme F entier par rapport aux coefficients de l'équation (r) et à leurs dérivées partielles jusqu'au deuxième ordre. La relation F = 0 est manifestement invariante pour un changement quelconque des variables x et
manifestement invariante pour un changement quelconque des variables x et y. Quand la condition F = 0 est vérifiée, les coefficients A', B, A" de la forme quadratique sont déterminés; B", B' et A doivent seulement satisfaire à une équation aux dérivées partielles; la forme f reste donc arbitraire dans une certaine mesure. Les équations linéaires (I) jouissent alors de la propriété remarquable qui appartient à l'équation potentielle. Dans toute région du plan à contour simple où la forme est définie, il existe une seule fonction V(x, y), uniforme et continue à l'intérieur d'un contour c et prenant sur ce
continue à l'intérieur d'un contour c et prenant sur ce contour une succession donnée de valeurs. M. Picard montre, sur quelques exemples, comment on peut profiter de la latitude relative laissée à la forme f pour étendre le domaine où cette forme reste définie. Il examine, en particulier, le cas où l'équation (I) se réduit à m étant une constante positive. Il montre qu'une intégrale de cette équation est déterminée par ses valeurs le long d'un contour c, si elle reste uniforme et continue à l'intérieur de ce contour et si, pour cette courbe fermée c, la distance minimale de
si, pour cette courbe fermée c, la distance minimale de deux tangentes extrêmes parallèles à une direction donnée est moindre que m'7c (le cas le plus simple est celui d'un cercle de rayon moindre que ). Boussinesq. — Complément à la théorie des déversoirs en mince paroi qui s'étendent à toute la largeur du lit d'un cours d'eau; influence, sur le débit, des vitesses d'arrivée des filets fluides. Si l'on appelle q le débit par unité de longueur du déversoir; h la hauteur de charge; s le relèvement éprouvé par la face inférieure de la nappe déversante depuis l'arête du
la face inférieure de la nappe déversante depuis l'arête du déversoir jusqu'à la section contractée; —ρg(h — s) l'excédent de la pression exercée sous la nappe déversante sur la pression atmosphérique; la hauteur de la section contractée; on trouve, pour la vitesse V du fluide en un point quelconque de la section contractée situé à une hauteur z au-dessus du seuil, et k étant donné en fonction de n par l'équation transcendante Ces résultats, indiqués par M. Boussinesq dans trois Communications antérieures, supposent négligeables les petites vitesses déjà acquises dans la section d'amont dont la surface est à la hauteur
la section d'amont dont la surface est à la hauteur h au-dessus du seuil. Quand on tient compte de ces vitesses, les formules précédentes doivent subir des corrections que l'auteur fait connaître dans la Note actuelle. Cesaro. — Sur une récente Communication de M. M. Lévy. M. Cesaro signale, entre autres conséquences du théorème de Betti récemment retrouvé par M. M. Lévy, l'extension aux milieux à n dimensions de la formule de Laplace relative à la propagation du son. Bertrand. — Généralisation d'un théorème de Gauss. Quel que soit le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel aux différents points
corps attirant, la valeur moyenne du potentiel aux différents points d'une sphère, est égale au potentiel relatif au centre de cette sphère. Ce théorème de Gauss suppose la sphère extérieure au corps attirant. Si la sphère enveloppe le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel est égale au quotient de la masse attirante par le rayon de la sphère. Si la sphère coupe le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel est égale au potentiel, sur le centre, de la partie extérieure de la masse, plus la masse intérieure divisée par le rayon. Boussinesq. — Complément de la théorie des
par le rayon. Boussinesq. — Complément de la théorie des déversoirs en mince paroi : influence, sur le débit, des vitesses d'arrivée des filets fluides. Applications. Callandreau. — Énergie potentielle de la gravitation d'une planète. L'objet de cette Note est de démontrer que l'énergie potentielle de la gravitation d'une planète (c'est-à-dire le travail accompli par l'attraction pour amener les molécules de l'infini à leurs positions actuelles) peut être calculée à très peu près quand on connaît les dimensions de la planète, sa masse et la vitesse angulaire de rotation, sans faire intervenir la loi des densités internes. Avec les notations
faire intervenir la loi des densités internes. Avec les notations consacrées en Astronomie et en posant comme M. Radau M. Callandreau trouve, pour expression de cette énergie potentielle, = S Comme on admet que η décroit avec le rayon de la courbe, il est facile, connaissant sa valeur à la surface de la Terre η1 = 0,54, de constater que le terme de correction ne dépasse pas J3 On a donc approximativement Sur la transformation de Laplace et les équations linéaires aux dérivées partielles. (594.-597) La transformation de Laplace relative aux équations linéaires à une seule variable peut être étendue
aux équations linéaires à une seule variable peut être étendue aux équations linéaires aux dérivées partielles. Le cas le plus intéressant est celui où A, B, ..., F sont linéaires en x et y. On doit chercher les solutions de la forme, en déterminant convenablement f et en choisissant, d'une manière appropriée, le domaine de l'intégration. On transforme, en intégrant par parties, chacune des dérivées et leurs produits par x et y, en supposant que zα z'β ezx ez'y f (z, z') (α, β = 1, 2) s'annule le long du contour, qui doit être choisi ad hoc. On est
du contour, qui doit être choisi ad hoc. On est ainsi conduit, pour déterminer f, à l'équation linéaire du premier ordre, où P, Q, R sont des fonctions quadratiques de z et z', et dont l'intégration revient à celle de l'équation ordinaire complètement étudiée dans des cas assez nombreux. Un exemple très général du cas où la méthode de Laplace aboutit est fourni par l'équation. Cette méthode conduit alors à deux types distincts d'intégrales renfermant chacune une fonction arbitraire. M. Picard montre comment le calcul doit être conduit pour l'équation d'Euler et de Poisson, qui est un cas particulier de
d'Euler et de Poisson, qui est un cas particulier de la précédente. Un autre exemple où la transformation s'applique encore avec succès correspond au cas où les coefficients A, B, C sont des constantes. Stieltjes. — Sur l'équation d'Euler. (617-618). L'auteur fait connaître une nouvelle manière de représenter l'intégrale de l'équation d'Euler. Sous cette forme, on voit directement que, si l'on détermine C par l'équation, le premier membre de l'intégrale devient un carré parfait, et que cette intégrale peut s'écrire. On obtient ainsi les trois substitutions linéaires qui changent en elle-même la différentielle elliptique. Si l'on fait x = y,
elle-même la différentielle elliptique. Si l'on fait x = y, le premier membre de l'équation précédente devient un polynôme du second degré en x, qui ne diffère que par un facteur constant de y/H + CX, H étant le hessien de X. Réciproquement, si l'on connaît un polynôme ax2 + 2 βx + y proportionnel à y/H + CX, αxy + β(x+y) + y = 0 sera l'une des substitutions qui changent en elle-même. Stieltjes. — Sur la réduction de la différentielle elliptique à la forme normale. (651-653). La réduction de la différentielle elliptique à l'aide d'une substitution linéaire, peut
de la différentielle elliptique à l'aide d'une substitution linéaire, peut être représentée comme il suit. L'intégrale générale de l'équation, C étant la constante arbitraire. Si l'on détermine C par l'équation a0 C4 + b1 a, G + 6 a2 C2 + 8 a3 C + a = 0, le premier membre de l'intégrale est un carré parfait, et cette intégrale se réduit à. On obtient ainsi les quatre substitutions linéaires correspondant aux quatre valeurs de C. Cosserat. — Sur les surfaces de singularités des systèmes de courbes construits avec un élément donné. (653-656). On sait qu'à tout complexe de droites
élément donné. (653-656). On sait qu'à tout complexe de droites est attachée une surface de singularités dont l'étude est du plus haut intérêt. On peut de même associer à chacun des systèmes de courbes construits avec un élément donné une surface de singularités. Cette surface, que M. Cosserat définit analytiquement, jouit d'une propriété géométrique qui peut lui servir de définition : Si l'on considère un complexe de courbes, les courbes de ce complexe, passant par un point P de l'espace, forment une surface à point conique S; le lieu du point P, tel que l'une des courbes soit une ligne
point P, tel que l'une des courbes soit une ligne double de S, est la surface de singularités; la courbe qui forme la ligne double est une courbe singulière. Au lieu de considérer un complexe S3 ou système triplement indéterminé de courbes, on peut considérer des systèmes Sn d'indétermination quelconque. La définition précédente s'étend à tous les systèmes. Les surfaces de singularités des différents systèmes présentent entre elles une liaison indiquée par les théorèmes suivants : "1° La surface de singularités d'un système Sn contenu dans le système Sn+1 est circonscrite à la surface de singularités de Sn+1. "2° La
circonscrite à la surface de singularités de Sn+1. "2° La surface de singularités d'un système S, contenu dans le système Sn+2 est tangente en un nombre limité de points à la surface de singularités de Sn+2." Ces théorèmes peuvent servir à la recherche des surfaces de singularités, comme l'auteur le montre en considérant les systèmes linéaires de cercles. Guccia. — Sur l'intersection de deux courbes algébriques en un point singulier. (656-658). Expression générale du nombre des intersections de deux courbes algébriques confondues en un point singulier. Resal. — Essai sur la théorie du ressort Belleville. (713-718). Painlevé. — Sur les
la théorie du ressort Belleville. (713-718). Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (724-726). M. Painlevé revient, en la posant dans des termes un peu différents, sur la question qu'il a déjà traitée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de juillet 1888 : Reconnaître si l'intégrale de l'équation F[y, y', (x)] = 0 n'admet qu'un nombre donné n de déterminations se permutant autour de points critiques mobiles. On peut, par des opérations purement algébriques, reconnaître si l'intégrale d'une telle équation ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles; l'équation s'intègre alors algébriquement,
valeurs autour des points critiques mobiles; l'équation s'intègre alors algébriquement, ou par quadrature, ou se ramène à une équation de Riccati. Le genre de la relation entre les constantes intégrales est plus grand que 1 dans le premier cas, égal à 1 dans le deuxième, nul dans le troisième. Plusieurs des résultats, obtenus par M. Painlevé pour les équations du premier ordre, s'étendent aux équations d'ordre supérieur. Étant donnée, par exemple, l'équation du deuxième ordre (entière en y, y', y"), F[y", y', y, (x)] = 0, l'intégrale générale, supposée ne prendre que n valeurs autour des points critiques mobiles, satisfait
prendre que n valeurs autour des points critiques mobiles, satisfait à une équation R1[y"0, y'0, y01 (x0), ... + Rn[y"0, y'0, y0, (x0), (x)] = 0, où les R; sont uniformes en y"0, y'0, y0. Elle vérifie également des relations de la forme r [y", y', y, (x)] = const., r étant uniforme en y", y', y. On peut choisir trois relations particulières r' = y', r" = y", r"'= y'" liées par une équation algébrique M y', y", y") = 0 et telles que r soit fonction uniforme de r', r", Gilbert. — Groupement et construction géométrique des accélérations
r', r", Gilbert. — Groupement et construction géométrique des accélérations dans un solide tournant autour d'un point fixe. On sait que le lieu des points d'égale accélération est un ellipsoïde ayant pour centre le point fixe O. Tous ces ellipsoïdes étant homothétiques, il suffit de considérer l'ellipsoïde E correspondant à l'accélération I. Voici comment on utilisera cet ellipsoïde pour construire l'accélération d'un point M de sa surface. On mènera le plan tangent en M à l'ellipsoïde, et l'on considérera le système de trois demi-diamètres conjugués OL, 01, OH dont les deux premiers OL et 01 sont l'accélération angulaire et l'axe
deux premiers OL et 01 sont l'accélération angulaire et l'axe instantané. On projettera ces trois demi-diamètres sur la perpendiculaire abaissée de 0 sur le plan tangent, et l'on portera ces projections à partir de 0 respectivement sur les trois directions principales. La résultante prise en sens contraire donne la direction de l'accélération de M. Appell. — Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires. Pour qu'une équation différentielle d'ordre r à ψ(y, y', y", ..., y(n) ) = 0, algébrique et entière par rapport à une fonction y de x et à ses dérivées, admette une intégrale générale de
x et à ses dérivées, admette une intégrale générale de la forme y = c1 y1 + c2 y2 + ... + Cn+1 yn+1, où y1, y", yn+1 désignent n+1 fonctions de x linéairement indépendantes et c1, c2, Cn+1 autant de constantes liées par une relation algébrique entière ϕ(c1, c2, Cn+1) = 0, il faut et il suffit qu'il existe une fonction λ de x, telle que l'expression se décompose en deux facteurs dont l'un soit linéaire et homogène en y, y', y", Gilbert. — Sur les accélérations des points d'un solide tournant autour d'un point fixe et sur les
d'un solide tournant autour d'un point fixe et sur les centres de courbure des trajectoires. La composante tangentielle de l'accélération du point M s'obtient en multipliant le rayon vecteur de ce point par la projection de l'accélération angulaire sur la normale au cône que décrit ce rayon. De là résulte que le lieu des points du corps dont l'accélération tangentielle est nulle est un cône du second degré. Si un angle droit, ayant son sommet au point fixe, se déplace de façon que son plan passe toujours par l'axe instantané et que l'un de ses côtés décrive le plan normal