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et que l'un de ses côtés décrive le plan normal à l'accélération angulaire, l'autre côté décrira le cône en question. L'auteur donne ensuite le moyen de construire le centre de courbure de la trajectoire décrite par un point du corps, en s'appuyant sur ce théorème : « Tous les points du corps situés sur une droite passant par le point fixe ont les centres de courbure de leurs trajectoires sur une même droite. » Frolov. — Sur les égalités à deux degrés. Cette Communication a trait aux propriétés des groupes de n nombres, dont les premières et les secondes puissances
de n nombres, dont les premières et les secondes puissances donnent des sommes respectivement égales L'auteur annonce qu'il est en possession d'une méthode pour former de pareilles égalités au moyen de simples identités ou par combinaisons données, et d'une règle pour répartir 2n nombres consécutifs d'une progression arithmétique quelconque. Caspary. — Sur une manière d'exprimer, au moyen des fonctions thêta d'un seul argument, les coefficients de trois systèmes orthogonaux dont un est composé des deux autres. Dans son Mémoire sur la rotation d'un corps, Jacobi a exprimé les neuf coefficients d'un système orthogonal au moyen des fonctions thêta d'un seul
d'un système orthogonal au moyen des fonctions thêta d'un seul argument : c'est de ces expressions qu'il a déduit la solution du problème de la rotation d'un solide qui n'est sollicité par aucune force. M. Caspary, dans ses recherches générales sur les fonctions thêta, a reconnu que le résultat obtenu par Jacobi peut se déduire des identités absolues. En appliquant à ces identités les transformations du second degré relatives aux fonctions thêta, il est arrivé au théorème suivant sur les coefficients de trois systèmes orthogonaux dont l'un est composé au moyen des deux autres. Si l'on pose iγ c31 =
moyen des deux autres. Si l'on pose iγ c31 = γ11 + γ12 γ22; γ c32 = -γ11γ21 + γ12γ22; iγ c13 = + γ11γ12+γ21γ22, γ c23 = — γ11γ12+ γ21γ22, Y = γ11 γ12 γ12γ21, y Cn = — γ11γ22 — γ12γ21; on voit aisément que les neuf coefficients cmn (m, n = 1, 2, 3) représentent les coefficients d'un système orthogonal. Il en sera de même des neuf coefficients amn et des neuf bmn obtenus en remplaçant dans les relations précédentes γkλ, y, cmn respectivement par αkλ, α, amn, puis par p, bmn. Si l'on fait (u, x,
amn, puis par p, bmn. Si l'on fait (u, x, y, z étant des arguments et A, Â1; B, B. des fonctions quelconques) a1 = A, ϑ3 (w -tx, q2), A2 ϑ3 ( w — x, q2), K + x, q2), β1 = A, ϑ2 (w — x, q2), β21 = B2ϑ3(y-z,q2), ϑ2(y+z, q2); B22 = B2ϑ2(y-z; q2), et qu'on établisse entre les αkλ, βa, γkλ les relations γkλ = α1 α2 P( k, À = 1, 2 ), on arrive, en posant w + x — 2 u1, iv — x = 2u2, y+z — 2 V, y-z —
— x = 2u2, y+z — 2 V, y-z — 2V2, et par l'emploi des transformations du second degré, à cette expression des ya T = Ak BI ( uk + x-j ), (uk vλ). Alors le système orthogonal Cmn se trouve composé au moyen des systèmes amn, bmn de la manière suivante Cmn= am1bn1+am2bn2+ am3bn3 (m, n =1, 2, 3), et les cmn sont exprimés au moyen de la seule fonction impaire Goursat. — Sur les invariants des équations différentielles. Après avoir rappelé que, depuis les recherches de M. Halphen sur les invariants différentiels des équations linéaires, divers géomètres
Halphen sur les invariants différentiels des équations linéaires, divers géomètres (MM. R. Liouville, Appell, etc.) ont étendu la notion d'invariants différentiels à certaines équations, pour des catégories spéciales de transformations, M. Goursat fait remarquer que l'existence de ces invariants peut être démontrée d'une manière générale. Les considérations, empruntées à M. Lie (Théorie des Transformations groupelles), par lesquelles il établit cette proposition pour toutes les équations différentielles ordinaires, peuvent être étendues aux systèmes de pareilles équations et même d'équations aux dérivées partielles, ainsi qu'à la théorie des formes de différentielles et des paramètres différentiels. Caspary. — Sur l'application des fonctions theta
des paramètres différentiels. Caspary. — Sur l'application des fonctions theta d'un seul argument aux problèmes de la rotation. (901-903 et 937-938). Cas d'un solide qui n'est sollicité par aucune force accélératrice.— Cas d'un solide pesant de révolution. Guccia. — Théorème concernant les courbes algébriques planes. (903-904) . Soit ƒ=0 l'équation d'une courbe algébrique plane dont le premier membre renferme linéairement des paramètres indéterminés .... Si l'on désigne par pƒ le genre d'une quelconque des courbes 1, par pƒƒ le genre de toute courbe ƒr ƒs + ƒt ƒu= 0, où ƒr, ƒs, ƒt, ƒu sont des polynômes f linéairement indépendants,
ƒr, ƒs, ƒt, ƒu sont des polynômes f linéairement indépendants, déterminés par quatre systèmes des valeurs des paramètres, et, si l'on appelle D le nombre des intersections, variables avec les A, des deux courbes f = 0, on a D + 2p. — Pƒƒ=I. Picard. — Sur une proposition générale concernant les équations aux dérivées partielles de 2e ordre. (939-941). Étant donnée l'équation linéaire dont les coefficients sont des fonctions continues de Xi et y dans les portions du plan que l'on considère, et un système (x0, y0) de valeurs de x et y pour lequel b3-ac<0, si l'on trace
de x et y pour lequel b3-ac<0, si l'on trace dans un certain domaine autour de ce point une courbe fermée c, il ne pourra exister deux intégrales uniformes et continues dans l'aire limitée par c et prenant sur cette courbe les mêmes valeurs. En second lieu, il existe effectivement autour de (x0, y0) un certain domaine, tel qu'une intégrale de l'équation sera entièrement déterminée par ses valeurs le long d'une courbe fermée c appartenant à ce domaine. Ce second point, le plus intéressant des deux, est établi par M. Picard à l'aide d'un développement en série de l'intégrale qui
Picard à l'aide d'un développement en série de l'intégrale qui avait déjà servi à M. Schwarz pour démontrer la même proposition relativement à l'équation moins générale Du Bois-Reymond (P.). — Sur les caractères de convergence et de divergence des suites à termes positifs. (942-944). Le théorème de M. Jensen, savoir que « la suite à termes positifs ∑u est convergente (divergente) si, à partir d'une certaine valeur de n, on a an et μ étant positifs, et la suite ∑ divergente », est compris, quant à la convergence, dans un théorème de M. du Bois-Reymond (Journal de Celle, t. 76,
théorème de M. du Bois-Reymond (Journal de Celle, t. 76, p. 61). La forme que M. Jensen donne à son critère de divergence donne lieu à cette question : Existe-t-il une fonction λp, telle que pour la suite ∑, soit toujours convergente? M. du Bois-Reymond démontre qu'une telle fonction n'existe pas. Raffy. — Sur la rectification des cubiques planes unicursales. (944-946). L'arc d'une courbe unicursale s'exprime par une intégrale hyperelliptique dont le genre dépend de quatre sortes de singularités, dont M. Raffy détermine la nature et l'effet. La connaissance de ces singularités permet de caractériser toutes les cubiques unicursales dont
ces singularités permet de caractériser toutes les cubiques unicursales dont l'arc est de genre inférieur à trois. I° Genre 2. — a. Rebroussement à distance finie. b. Contact avec la droite de l'infini, c. Asymptote double. 2e Genre 1. — a. Deux points d'inflexion à tangente isotrope, situés à distance finie. b. Rebroussement à distance finie et contact avec la droite de l'infini; c. Inflexion parabolique ou rebroussement parabolique à l'infini, d. Passage par les points cycliques. 3e Genre zéro. — a. Courbes représentées en coordonnées rectangulaires par le système b. Paraboles semi-cubiques, obliques ou droites. c. Cissoïdes, obliques ou
b. Paraboles semi-cubiques, obliques ou droites. c. Cissoïdes, obliques ou droites. d. Lignes de courbure (E) de la surface minima d'Enneper. Ces lignes de courbure (E) sont les seules cubiques unicursales dont la courbure soit une fonction rationnelle des coordonnées. Les seules cubiques unicursales dont l'arc soit algébrique sont les courbes (E) et les développées des paraboles du second degré. De Saint-Germain. — Sur l'extension à certains points de l'une des propriétés mécaniques du centre de gravité. (946). Gilbert. — Sur les accélérations d'ordre quelconque d'un corps solide qui a un point fixe. (946-947) Soient • o l'axe instantané; λ1,
un point fixe. (946-947) Soient • o l'axe instantané; λ1, n les accélérations angulaires des divers ordres d'un point du solide; p le rayon vecteur; v la vitesse de ce point; J1, J2, Jn les accélérations des divers ordres. On a, en désignant par un point un produit géométrique, la relation 1 qui, pour n = 1, se réduit à + À 1. v = 0. On a aussi égalité qui, pour It = 2, prend la forme remarquable mj2 = 3w.G, G étant l'axe du couple moteur. Dans le cas d'un seul point libre, l'auteur indique la relation qui,
cas d'un seul point libre, l'auteur indique la relation qui, si l'on pose p = — r, + J0 = v, n= 2, donne le théorème du viriel. Poincaré, — Sur la théorie analytique de la chaleur. (967-971). En étudiant dans une Communication précédente (Comptes rendus, t. CIV, p. 1754) le problème du refroidissement d'un solide homogène et isotrope, M. Poincaré avait considéré un polyèdre dont toutes les faces sont parallèles aux plans coordonnés, en faisant observer que l'on peut toujours trouver un pareil polyèdre différant d'un solide quelconque aussi peu que l'on veut. Il revient actuellement sur le cas
peu que l'on veut. Il revient actuellement sur le cas d'un solide convexe pour le traiter avec une entière rigueur. Picard. — Sur un théorème relatif à l'attraction. (984-985). Démonstration analytique d'un théorème énoncé par M. Bertrand et traité par lui au moyen de considérations géométriques. On a une famille de surfaces fermées, telles que, si l'on couvre l'une quelconque d'entre elles d'une couche dont la densité soit en chaque point inversement proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine, l'attraction de cette couche sur tout point intérieur est nulle. Dans ces conditions, les surfaces extérieures à la couche
nulle. Dans ces conditions, les surfaces extérieures à la couche seront pour elle des surfaces de niveau. Bertrand. — Remarques relatives à la Communication de M. Picard. (986-986). Démonstration synthétique du théorème précédent. Pincherle. — Sur le développement d'une fonction analytique en série de polynômes. (986-989). Soit une équation différentielle linéaire dont les coefficients y sont des polynômes entiers de degré h en y et de degré k en x. Pour toute valeur finie de x, il existe un développement en série de l'intégrale. En faisant nuls les m premiers coefficients Po, ..., qui sont arbitraires, et en supposant que
coefficients Po, ..., qui sont arbitraires, et en supposant que pour toute valeur de x, Rm(x, 0) soit égal à zéro, les fonctions p(x) seront des polynômes en x. Les fonctions p(n)(x) sont liées par une équation récurrente A0(n)Pn+m + A1(n, x)Pn+m-1 + ... + Am(n, x)pn = 0, où les Ah(n, x) sont des polynômes de la forme Ah(n, x) = ah0n + ah1x+ ... + ahkxk. À cette équation récurrente on peut adjoindre la suivante A0(n-m)qn-m+A1(n-m+1, z) qn-m+1 + ... + Am(n, z) qn = M, dont le second membre est nul si m ≥ m, et qui
second membre est nul si m ≥ m, et qui définit un système de fonctions qn(z) adjointes à pn(x). Si maintenant on forme les séries 1 on aura cette expression de z x qui permettra, à l'aide de la formule de Cauchy, de développer dans un certain domaine, toute fonction analytique régulière en série de polynômes Pn(x), si l'équation (i) contient le paramètre x au premier degré. Si cette équation contient x au degré k > 1, la formule (2) fera connaître un développement de la forme ANNALI DELLA R. SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA. Scienze fisiche e matematiche. In-8°.
SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA. Scienze fisiche e matematiche. In-8°. T. II; 1879. Donati (L.). — Sur la mesure électrostatique des forces électromotrices d'induction. (1-82, 2 pl.). Tonelli (A.). — Sur le théorème d'addition des fonctions abéliennes. (83-120). L'auteur généralise la méthode suivie par Weber [Über das Additionstheorem der Abelschen Functionen (Journal de Crelle, t. 70, p. Ig3)] et résout la question suivante : étant donnés les r systèmes de quantités et, au moyen des relations étant déterminés par l'inversion, les r systèmes de points déterminer les p points z1, z2, ... 1 zp où l'on a Puis il étudie
z2, ... 1 zp où l'on a Puis il étudie le problème de la multiplication en supposant les systèmes des égaux entre eux. Pennacchiotti (G.). — Sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de Dynamique. (121-178). L'auteur donne une extension de la méthode de Korkine [Stiles intégrales des équations du mouvement d'un point matériel (Math. Ann., Bd. II; 1870) au cas du mouvement d'un point dans l'espace et lorsque les forces dépendent des coordonnées et des composantes de la vitesse. Puis, il étudie le cas où les forces sont des fonctions des seules coordonnées et donne des généralisations des résultats
fonctions des seules coordonnées et donne des généralisations des résultats de Bertrand. Bianchi (L.). — Sur les surfaces applicables. (179-236). Soient C, C' deux courbes; si, pour chacune d'elles, on construit la surface gauche engendrée par une droite perpendiculaire à la normale principale, s'appuyant à la courbe et faisant avec elle l'angle constant 0, les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre lorsque l'on a R, T étant les rayons de courbure et de torsion de C, et R', T' de C'. Si, dans l'expression de l'élément linéaire d'une surface N ds = E du2 + 2 F du dv
N ds = E du2 + 2 F du dv + G dv2 les E, F, G sont des fonctions d'une seule des variables, la surface est applicable sur une surface de révolution, et les lignes qui correspondent à cette variable sont les transformées des parallèles. Les surfaces de révolution engendrées par la rotation de cycloïdes quelconques autour de leurs tangentes aux sommets sont toutes applicables les unes sur les autres. L'auteur donne aussi d'autres résultats importants qui se rapportent aux héliçoïdes, et leur applicabilité sur les surfaces de révolution aux surfaces ayant un système de lignes de courbure en
aux surfaces ayant un système de lignes de courbure en des plans parallèles. Il démontre, par exemple, que si l'on a sur une surface un système de lignes géodésiquement parallèles, et telles que sur chacune le rapport entre la courbure de la surface et la courbure géodésique de la ligne soit constant, la surface est applicable sur une moulure et les trajectoires orthogonales de ces lignes sont les transformées des profils. Il démontre aussi qu'entre les surfaces moulures, ayant pour profil une tractrice, il n'y a que celles trouvées par M. Dini qui soient applicables sur des surfaces de révolution.
M. Dini qui soient applicables sur des surfaces de révolution. Enfin, il résout le problème suivant : « Chercher s'il est possible de déformer une surface donnée, de manière qu'un système de lignes tracé sur elle devienne un système de lignes de courbure pour la déformée » ; problème dont un cas particulier (celui où les lignes sont des lignes de courbure de la surface donnée) a été traité par Codazzi (Ann. de Bologna, 1856). Les expressions des coordonnées x, y, z de la surface déformée sont les suivantes : X, Y, Z étant les coordonnées des points de la
X, Y, Z étant les coordonnées des points de la sphère représentative exprimées par u, v et r2 les rayons de courbure de la déformée, relatifs à u et v respectivement. Après les avoir trouvées, l'auteur en fait l'application aux surfaces gauches, aux surfaces moulures et aux surfaces de révolution. Gremigni (M.). — Sur la théorie des lignes de courbure. (237-284). Le travail est divisé en quatre Parties. Dans les deux premières, l'auteur démontre l'existence des lignes de courbure, la propriété de leurs développées et autres propriétés, entre lesquelles nous signalerons la notion de surface des centres géodésiques des lignes
signalerons la notion de surface des centres géodésiques des lignes de courbure d'un système. Dans la troisième, il rassemble les propositions principales de la théorie, et les démontre au moyen de la représentation sphérique. Dans la quatrième, il établit les deux formules suivantes rgu et / étant les rayons de courbure géodésique et principale correspondant à une ligne (quelconque) de courbure du système u; rgv et r2 les quantités analogues pour le système v; r'gu' r'gv les rayons de courbure géodésique des lignes sphériques correspondantes. De ces formules, il déduit ensuite les formules de M. Dini enfin, il trouve l'élément
ensuite les formules de M. Dini enfin, il trouve l'élément linéaire de la surface des centres géodésiques de courbure, expression que, en substituant à u une certaine variable α, il transforme en la suivante dont il fait quelques applications. Dans ces formules, \(p\) est le rayon de courbure ordinaire des lignes \(u = const.\) Bianchi (L.). — Recherches sur les surfaces hélicoïdales et sur les surfaces à courbure constante. (285-340). L'auteur appelle surfaces complémentaires les deux nappes de la développée d'une surface quelconque et donne, pour la complémentaire \(S'\) d'une surface \(S\) par rapport à un système de géodésiques donné
surface \(S\) par rapport à un système de géodésiques donné par \(S\), la construction suivante : Sur chaque tangente aux géodésiques du système, on prend un segment égal au rayon de courbure géodésique de la trajectoire orthogonale des géodésiques au point considéré. Le lieu des extrémités de ces segments est \(S'\). Si une surface de révolution se déforme, la série des surfaces complémentaires des déformées est constituée de surfaces applicables sur une même surface de révolution, pourvu que les systèmes de géodésiques par rapport auxquels on prend les complémentaires soient le système des déformées des méridiens. La surface complémentaire d'une
le système des déformées des méridiens. La surface complémentaire d'une surface à courbure constante négative \(—\) par rapport à un système de géodésiques de première espèce est une surface à courbure constante négative \(—\); par rapport à un système de seconde espèce elle est une surface applicable sur la surface de rotation ayant pour méridien la courbe logarithmique; enfin, par rapport à un système de troisième espèce est une surface de rotation ayant pour méridien une tractrice raccourcie, c'est-à-dire une courbe que l'on obtient en projetant la tractrice sur un plan passant par l'asymptote. Particulièrement remarquable est le cas des
plan passant par l'asymptote. Particulièrement remarquable est le cas des géodésiques de seconde espèce. Dans ce cas, l'auteur obtient une surface applicable sur la surface logarithmique de rotation, et dont l'équation en coordonnées cylindriques est Quand on applique la surface logarithmique sur cette surface, les parallèles deviennent des chaînes égales, pliées sur des cylindres circulaires concentriques. Il démontre ensuite que cette dernière propriété n'appartient qu'à la chaîne. Après cela, M. Bianchi passe à traiter des surfaces hélicoïdales. La surface complémentaire d'un hélicoïde est un hélicoïde ayant même axe et même pas. L'hélicoïde complémentaire d'un hélicoïde réglé est aussi réglé et
pas. L'hélicoïde complémentaire d'un hélicoïde réglé est aussi réglé et applicable sur lui. La développée d'un hélicoïde gauche minimum est un hélicoïde possédant un système de courbes gauches du quatrième ordre ayant un point double au point à l'infini de l'axe. L'hélicoïde complémentaire d'un autre qui ait un système de lignes de courbure planes est applicable sur la surface logarithmique de rotation. L'auteur retrouve aussi les hélicoïdes remarquables de M. Dini, et en déduit une classe de surfaces ayant une différence constante entre les rayons de courbure, et dont la développée est formée par deux hélicoïdes de Dini qui ne
développée est formée par deux hélicoïdes de Dini qui ne différent que par une translation suivant l'axe. Puis il démontre que la surface des centres géodésiques des lignes de courbure d'un hélicoïde est un hélicoïde ayant même axe et même pas. Cet hélicoïde, si le premier est de ceux de Dini à courbure constante négative, peut être engendré comme les hélicoïdes minima par une hélice d'un cylindre ayant pour base une chaîne, le pas de l'hélice et le sens étant seuls différents dans les deux cas. L'auteur détermine aussi la surface de révolution applicable sur cet hélicoïde. Enfin, il trouve
surface de révolution applicable sur cet hélicoïde. Enfin, il trouve une classe d'hélicoïdes applicables sur la surface de révolution à courbure moyenne constante. De cette classe de surfaces, il donne la construction suivante très remarquable ; On prend une sphère de rayon \(R\) et l'on en coupe un fuseau, dont l'angle soit \(\alpha\); puis, on referme la surface (qui est supposée flexible et inextensible). Si l'on donne au méridien de la nouvelle surface de révolution un mouvement hélicoïdal qui ait pour paramètre on obtient un hélicoïde applicable sur une surface de révolution à courbure moyenne constante, et cette courbure moyenne
de révolution à courbure moyenne constante, et cette courbure moyenne \(~\) est donnée par la formule Tome III; 1883. Venturi (A.). — Sur le mouvement perturbé des comètes. (1-67). L'auteur apporte des modifications à la méthode de Hansen principalement dans le but d'avoir des séries plus rapidement convergentes. Il se rapporte aux équations relatives aux coordonnées polaires, données par Hansen et les transforme par des développements en séries et puis par l'introduction d'une nouvelle variable qu'il appelle anomalie partielle. Antonelli (G.-B.). — Sur les relations indépendantes entre les coordonnées d'une forme fondamentale dans un espace d'un nombre quelconque de dimensions
forme fondamentale dans un espace d'un nombre quelconque de dimensions et sur la forme normale d'une fonction homogène de ces coordonnées. (71-77). L'auteur trouve ces relations, qui sont, comme on sait, au nombre de pour les coordonnées d'une forme fondamentale (\(k — r, l, y\). La forme normale d'une fonction des coordonnées en question est donnée par Lazzeri (G.). — Sur la représentation plane des surfaces développables rationnelles. (81-170). Après avoir établi des formules analogues à celles de Cayley-Salmon pour exprimer les singularités ordinaires d'une surface développable en fonction de son ordre, de celui de son arête de rebroussement et
son ordre, de celui de son arête de rebroussement et des singularités extraordinaires, l'auteur étudie la représentation plane des développables rationnelles. La correspondance entre les points \(x_1, x_2, x_3\) de la surface et les points \(\xi, y\), \(z\) du plan est donnée par la relation les \(O_1, O_2, O_3\) étant des fonctions homogènes des variables \(x, y, z\), dont l'ordre est égal à celui de l'arête de rebroussement; l'auteur expose les propriétés générales de cette représentation et puis il s'applique aux développables des sept premiers ordres. Dans un Tableau ajouté à ce Mémoire, l'auteur a réuni les valeurs des singularités
à ce Mémoire, l'auteur a réuni les valeurs des singularités de ces surfaces pour le cas où elles n'ont pas de singularités extraordinaires. Rindi (S.). — Sur les surfaces polaires inclinées. (175-206); Ce sont les surfaces lieux des points dont les plans polaires (par rapport à une surface générale donnée de l'ordre \(n\)) font un angle donné avec les rayons vecteurs joignant leurs pôles à un point fixe. Ce travail est une extension des recherches faites par M. le général Ed. Dewulf sur les courbes planes dans son Mémoire : Essai d'une théorie géométrique des polaires inclinées, publié dans ce
Essai d'une théorie géométrique des polaires inclinées, publié dans ce Recueil, 2e série, t. II; 1888. Le Mémoire de M. Rindi a été aussi publié dans ce Bulletin (2e série, t. IX, Ire Partie, p. 32; 1885), et c'est pourquoi nous nous dispensons d'en rendre compte avec plus de détail. Volterra (V.). — Sur quelques problèmes de la théorie du potentiel. (209-270). L'auteur commence par étudier les fonctions associées, correspondantes aux potentiels indépendants d'une coordonnée, et introduit des fonctions analogues à celles de Green. Ensuite, il s'occupe de la détermination de ces fonctions. Puis, en appliquant les résultats trouvés, il