jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
(h), de sorte que le plan oscillateur en un point M de (h) passe au point correspondant M' de (g) et que le plan osculateur de (g) en passe aussi par M. Demartres. — Sur les systèmes de courbes qui divisent homographiquement une suite de cercles. (54-57). L'auteur fait connaître l'équation de tous les systèmes de courbes qui, sur une surface circlée, divisent homographiquement les génératrices circulaires. Il existe une infinité de pareils systèmes dont la détermination dépend de trois fonctions arbitraires d'un paramètre. Sur toute surface circlée, il existe trois (et seulement trois) systèmes doubles de courbes orthogonales, telles
trois (et seulement trois) systèmes doubles de courbes orthogonales, telles que les lignes de chaque famille divisent homographiquement les génératrices circulaires. Chacun de ces systèmes correspond à un couple de sécantes focales opposées. Ce théorème, M. Demartres en ajoute quelques autres : 1) Pour que les lignes de distance nulle divisent homographiquement les génératrices circulées, il faut et il suffit que la surface soit enveloppe de sphères ou à focale isotrope. 2) Sur les surfaces à focale isotrope et sur les enveloppes de sphères, les génératrices sont divisées homographiquement par toute famille de courbes tels que l'inclinaison sur la génératrice
toute famille de courbes tels que l'inclinaison sur la génératrice reste constante le long de celle-ci, l'inclinaison pouvant d'ailleurs varier suivant une loi quelconque d'une génératrice à une autre. 3) Qu'une surface à focale isotrope soit divisée homographiquement par ses deux systèmes de lignes de courbure, il faut et il suffit que cette surface soit anallagmatique. Picard. — Remarques sur les groupes de transformations relatives à certaines équations différentielles. (118-120). Soit une équation différentielle y" = f(y, y'), où ne figure pas la variable indépendante, et dont l'intégrale générale soit y = f(x, C). Désignant par Y une intégrale obtenue
y = f(x, C). Désignant par Y une intégrale obtenue en remplaçant x par x + h et C par C + k, on pourra mettre Y et Y' sous la forme Relativement à y et y', les équations (E) définissent un groupe continu de transformations à deux paramètres h et k; la transformation infinitésimale relativement à l'accroissement δh de h est Cela posé, on suppose que l'équation différentielle proposée admette un groupe (E) de transformations avec les deux paramètres h et k, et que la transformation infinitésimale correspondant à h soit précisément (S,). Soit δy = x (y, y')
h soit précisément (S,). Soit δy = x (y, y') SA-, fy' = Y (y, y') l'autre transformation infinitésimale. On conclut de là que le groupe de transformations considéré est permutable ; X et Y sont assujettis seulement à vérifier les équations. Si l'on connaît un système de fonctions X, Y de y, y' satisfaisant à ces deux équations (et différent de y', ?), on pourra exprimer x et C par des intégrales de différentielles totales en y, y'. Lucas (F.). — Généralisation du théorème de Rolle. (121-122). Riemann (J.). — Sur une généralisation du principe de Dirichlet. (123-125). Soit
— Sur une généralisation du principe de Dirichlet. (123-125). Soit S une aire plane dont le contour s'est formé extérieurement par une ligne fermée simple et intérieurement par n - 1 lignes fermées simples. On marque sur s un nombre limité de points A (points singuliers du contour). Cela posé, il existe une fonction U (x, y) possédant les trois propriétés suivantes : Elle est harmonique dans S (c'est-à-dire uniforme, continue, douée de dérivées partielles des deux premiers ordres également uniformes et continues, vérifiant l'équation ∆U = 0). Elle prend en chaque point non singulier de s une valeur donnée,
en chaque point non singulier de s une valeur donnée, mais assujettie à varier d'une manière continue tant qu'on ne rencontre aucun point singulier; en outre, cette valeur tend vers une limite quand on s'approche d'un point singulier A en marchant dans le sens positif, et vers une autre limite quand on s'en approche dans le sens négatif. Elle conserve une valeur finie dans le voisinage d'un point singulier A. Il resterait à prouver qu'il n'existe qu'une seule fonction possédant ces trois propriétés. Riemann se borne à faire observer que cette proposition cesse d'être vraie quand on fait abstraction de
cette proposition cesse d'être vraie quand on fait abstraction de la troisième propriété. Bertrand. — Sur la loi de probabilité des erreurs d'observation. (153-156). Gauss a proposé, pour représenter la probabilité d'une erreur fortuite comprise entre z et z + dz, la formule. Cette formule est liée à la règle qui prescrit de prendre la moyenne. Si l'on admettait une autre loi pour les erreurs, il faudrait adopter une autre règle pour déduire d'une série de mesures la valeur la plus probable de la grandeur inconnue. La réciproque n'est pas vraie. Si l'on se donne a priori la formule qui
vraie. Si l'on se donne a priori la formule qui lie la valeur la plus probable à les mesures directes, on trouvera dans la plupart des cas qu'aucune loi de probabilité des erreurs ne peut la justifier. Soient x1, x2, ..., xn, les valeurs observées d'une certaine grandeur; si l'on suppose que la probabilité d'une erreur est proportionnelle à une fonction de cette erreur, et que la valeur la plus probable z est une fonction déterminée de x1, ..., xn, on trouve. A chaque valeur de la fonction ψ correspondra une loi pour la probabilité des erreurs. Le choix de
une loi pour la probabilité des erreurs. Le choix de ψ se trouvera très restreint, si l'on ajoute la condition que ψ soit symétrique par rapport à x1, x2, x3. De Jonquières. — Sur un trait caractéristique de dissemblance entre les surfaces et les courbes algébriques, d'où dépendent les limites respectives des nombres de points doubles (ou, plus généralement, de points multiples d'ordre r) qu'il est permis de leur attribuer arbitrairement, (156-162). Dans une Note précédente, l'auteur avait admis que, pour une surface algébrique (comme pour une courbe), le degré de l'adjointe ne pouvait être que 1 ou 2. Ayant
de l'adjointe ne pouvait être que 1 ou 2. Ayant reconnu que ce degré peut recevoir toutes les valeurs supérieures positives, M. Jonquières remarque qu'il en résulte pour les surfaces un avantage sur les courbes : c'est qu'on obtient le nombre maximum des points doubles qu'on peut leur attribuer arbitrairement par une formule très simple qui dérive immédiatement des seules données du problème. Il est amené à rectifier sur ce point de la manière suivante les conclusions de la Note précitée. Le nombre maximum des points doubles qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré m >
d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré m > 4, dont la détermination est complétée par des points simples donnés, est égal à la partie entière du nombre. Plus généralement, le nombre maximum des points multiples d'ordre r qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface d'ordre m, est égal à la partie entière du nombre. Lelieuvre. — Sur les lignes de courbure et les lignes asymptotiques des surfaces. (183-186). M. Fuchs a fait connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle du premier ordre F (y, y', x) = 0, dans laquelle F est un polynôme
y', x) = 0, dans laquelle F est un polynôme entier en y et y', admette une intégrale générale n'ayant que des points critiques fixes; et M. Poincaré a montré que l'intégration revient, en général, à des opérations purement algébriques (à des quadratures, si le genre de la relation entre y et y' est un ; à une équation de Riccati, si ce genre est zéro). M. Lelieuvre applique ces résultats à la recherche des lignes asymptotiques et des lignes de courbure des surfaces. Étant donné sur une surface un système de coordonnées x, y, z, il indique, dans des
système de coordonnées x, y, z, il indique, dans des cas fort étendus, les conditions pour que l'équation différentielle en α, β des lignes de courbure et des lignes asymptotiques satisfasse aux conditions trouvées par M. Fuchs. Comme on connaît alors une de ces lignes sans intégration, on pourra généralement obtenir l'intégrale par des quadratures ou des opérations algébriques. Par exemple, si p est fonction rationnelle de x, y, z, il faut et il suffit que les points de rebroussement des lignes étudiées et leurs points de contact avec des lignes a = const. soient distribués le long de certaines
lignes a = const. soient distribués le long de certaines lignes a = const. Dans le cas particulier des surfaces réglées non développables, les conditions cherchées sont les suivantes : 1° Ou bien le cône des tangentes asymptotiques le long des génératrices de révolution. 2° Ou bien le cône est tangent au cône isotrope et la surface admet deux génératrices rectilignes isotropes, ou une directrice isotrope et une trajectoire orthogonale minima de génératrices, ou deux de ces trajectoires. Les surfaces contenues dans ce groupe sont imaginaires, sauf les quadriques. 3° Ou bien la surface admet quatre directrices isotropes, ou trois
Ou bien la surface admet quatre directrices isotropes, ou trois directrices rectilignes isotropes et une trajectoire minima, ou deux droites isotropes et deux trajectoires. Ce groupe ne contient que les surfaces du second degré. Lerch. — Sur une formule d'Arithmétique. (186-187). Si l'on désigne par ψ(p, q) le nombre des diviseurs de p supérieurs à q, on a la formule La première ne diffère que par la forme d'une formule de M. Catalan. Goursat. — Sur les systèmes d'équations linéaires qui sont identiques à leur adjoint. (187-190). Pour qu'un système d'équations linéaires du premier ordre où les A sont des
d'équations linéaires du premier ordre où les A sont des fonctions quelconques de x, soit identique à son adjoint Il faut et il suffit que l'on ait, Aji = 0 et Aik + Aki = 0. Les propriétés d'un pareil système, déjà étudiées par M. Darboux (théorie des surfaces) dans le cas de n = 3, appartiennent au cas où n est quelconque. D'abord entre deux solutions quelconques a1, a2, ..., an et β1, β2, ..., βn du système (T) on a la relation α1 β1 + α2 β2 + ... + αn βn = constant. Particulièrement cette dernière propriété
... + αn βn = constant. Particulièrement cette dernière propriété caractérise les systèmes en question. De là résulte que, connaissant n solutions linéairement indépendantes, on en conclut immédiatement l'intégrale générale. Si l'on connaît une solution du système (1), on pourra transformer ce système en un autre encore identique à son adjoint, mais d'ordre inférieur d'une unité. A partir de ces principes généraux l'auteur déduit que, dans le cas de n = 4, l'intégrale du système (i) peut toujours se ramener à celle de deux équations de Riccati. D'Ocagne. — Sur la détermination du chiffre qui, dans la suite naturelle des
la détermination du chiffre qui, dans la suite naturelle des nombres, occupe un rang donné. (190-191). Si l'on pose (1|1) = 1, (2|1) = 2, (3|1) = 3, (n|1) = n ... 1, M(1) = 1, M(2) = 9, M(3) = 89, M(p) = p 88...89, on pourra formuler la règle suivante pour déterminer le chiffre qui occupe le rang k dans la suite naturelle des nombres : On détermine le nombre n tel que M(n − 2) < k − 1, puis on effectue la division de k + (n|1) par n. Soient Q le quotient, R le reste.
(n|1) par n. Soient Q le quotient, R le reste. Si R n'est pas nul, le chiffre cherché est le Rème, à partir de la gauche, du nombre k. Si R est nul, le chiffre cherché est le premier (à partir de la droite) du nombre ϕ 1. Tisserand. — Remarque à l'occasion d'une Communication de M. J. Bertrand. (231-232). Dans une Note relative à la loi de probabilité des erreurs, M. Bertrand a indiqué la question suivante : « Déterminer la fonction x2, x1 − xn), de manière que cette fonction soit symétrique par rapport à x, x2, ...,
cette fonction soit symétrique par rapport à x, x2, ..., xn. » M. Tisserand donne la réponse à cette question. Si f est une fonction quelconque de x1, x2, ..., xn, on aura symétriquement Dans le cas où f est rationnelle, cette formule se réduit à f = Φ(Σy1y2, Σy1y2y3, Σy1y2...yn), y1, y2, ... désignant les écarts avec la moyenne x1, x2, ..., xn. Bertrand. — Probabilité du tir à la cible. (232-234). On a toujours admis, en étudiant la probabilité du tir à la cible, le principe suivant : Si par le centre de la cible on fait passer
Si par le centre de la cible on fait passer deux axes, l'un horizontal et l'autre vertical, la probabilité pour que l'abscisse du point frappé soit comprise entre x et x + dx étant désignée par f(x) dx et celle pour que l'ordonnée soit comprise entre y et y + dy, par ψ(y) dy, on représente par f(x) ψ(y) dx dy la probabilité pour que le point frappé se trouve dans le rectangle dx dy de coordonnées x et y. Ce principe est fort contestable, et M. Bertrand indique quelques expériences à faire pour en vérifier l'exactitude. Au cas où
expériences à faire pour en vérifier l'exactitude. Au cas où ces expériences donneraient tort au principe admis jusqu'ici, M. Bertrand en propose un autre : La probabilité pour que la balle frappe dans un élément de surface dp dω serait, en désignant par k une fonction de w, Si donc on trace la série des courbes semblables G = const., le nombre des balles ayant frappé la cible au dehors de l'une de ces courbes devra décroître en progression géométrique quand la surface augmentera en progression arithmétique. De Jonquières. — Sur quelques notions, principes et formules, qui interviennent dans plusieurs
Sur quelques notions, principes et formules, qui interviennent dans plusieurs questions concernant les courbes et les surfaces algébriques. (234-241) Rouché. Sur la durée du jeu. (253-256). « Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre avec des probabilités égales. Ils possèdent chacun n francs avant d'entrer au jeu; à chaque partie le perdant donne 1 franc au gagnant et le jeu ne cesse que lorsque l'un quelconque des joueurs est ruiné. Quelle est la probabilité P pour que le jeu se termine juste à la fin d'une partie du rang assigné? » Réponse : r désignant le plus grand nombre premier
» Réponse : r désignant le plus grand nombre premier entier contenu dans n. Voyer. — Sur un problème du Calcul des probabilités. (256-257). « Dans une urne contient a boules blanches, et b boules noires. Un joueur tire boules une à une jusqu'à ce qu'il ait amené p boules blanches. Il reçoit par boule tirée; quelle est son espérance mathématique? » Réponse : Humbert. -Sur les lignes de courbure des cyclides. (257-259). Darboux a montré qu'on peut déterminer les lignes de courbure de toute surface du quatrième degré, à conique double, quand on prend pour absolu lequel des quadriques
conique double, quand on prend pour absolu lequel des quadriques inscrites dans cette surface. M. Humbert établit que les lignes de courbure considérées restent les mêmes, quelle que soit la quadrique inscrite prise pour absolu. En particulier, les lignes de courbure d'une cyclide par rapport à une quadrique inscrite quelconque coïncideront avec les lignes de courbure ordinaires. Le théorème s'applique aux surfaces du troisième ordre. Leurs lignes de courbure ne changent pas quand on prend successivement pour absolu chacune des coniques de l'un des vingt-sept systèmes situés sur la surface. La méthode des polaires réciproques conduit à cette transformation du
La méthode des polaires réciproques conduit à cette transformation du premier théorème : la surface de quatrième classe et de douzième ordre, doublement inscrite dans un cône du deuxième degré, est coupée par toute quadrique inscrite suivant la courbe de contact, qui est du quatrième ordre, et suivant une autre courbe du seizième. Ces courbes du seizième ordre constituent le système des lignes de courbure de la surface quand on prend pour absolu une quadrique inscrite quelconque. En particulier, si la surface de quatrième classe admet le cercle à l'infini comme ligne double, les lignes précédentes deviennent des lignes de
comme ligne double, les lignes précédentes deviennent des lignes de courbure ordinaires, dont on a ainsi une détermination géométrique très simple. Hadamard. — Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. Étant donnée une série entière a0 + Ha1 + ... + am xm + ..., on demande de déterminer son cercle de convergence, si elle en a un. Dans le cas où le module de z ou de Hvam a une limite, le rayon de convergence est égal à l'inverse de cette limite (Lecornu). M. Hadamard résout le problème dans tous les cas. Il
M. Hadamard résout le problème dans tous les cas. Il montre ensuite, plus rigoureusement que ne l'avait fait M. Lecornu et en faisant une hypothèse sur la manière dont le rapport tend vers sa limite quand il en a une, que cette limite est l'affixe du point singulier de la fonction ϕ(x) représentée par la série entière. Autonne. — Sur l'application des substitutions quadratiques crémoniennes à l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre. M. Autonne développe la méthode fondée sur l'emploi des substitutions quadratiques crémoniennes, qu'il a indiquée pour l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre dans les Comptes rendus
de l'équation différentielle du premier ordre dans les Comptes rendus de l'année précédente, et il applique cette méthode à quelques cas très étendus. Pincherle. — Sur une généralisation des fonctions crémoniennes. Si l'on pose ct qu'on désigne par α1, α2, ..., am m constantes ayant leur partie réelle positive, l'intégrale représente une fonction analytique (-1)zϕ(z)(x) pour toute valeur de z dont la partie réelle est égale ou supérieure à m et pour toute valeur de x dont la partie réelle est plus grande que le rayon de convergence de la série Σknxn. M. Pincherle fait connaître les principales propriétés de
série Σknxn. M. Pincherle fait connaître les principales propriétés de cette fonction qui a la plus grande analogie avec la fonction 0 qu'a étudiée M. Appell dans son Mémoire Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions elliptiques (Math. Annalen, t. XIX). Le cas particulier le plus intéressant s'obtient en faisant χ(t) = 1. Les fonctions générales ϕ(z)(x) peuvent être développées en séries suivant les dérivées successives de la fonction qui correspond à ce cas particulier. Lucas (F.). — Résolution électrique des équations algébriques. L'auteur indique deux méthodes fondées sur l'emploi de l'électricité pour ramener la résolution d'une équation du
l'emploi de l'électricité pour ramener la résolution d'une équation du degré p, f(z) = 0, à celle d'équations de degrés inférieurs à p. On prendra la fonction primitive F(z) de f(z) sans terme constant, et, séparant les termes de degré pair des termes de degré impair, on obtiendra en égalant ces derniers à 0 une équation ψ(z2) = 0, degré p ou — suivant que p est pair ou impair. Soit λ2 une de ses racines; l'équation F(z)-ϕ(λ2) = 0 est du degré mais, connaissant déjà les deux racines + 1 et — 1, on est ramené à une équation
1 et — 1, on est ramené à une équation du degré p — 1. Les points racines de l'équation proposée f(z) = 0 sont les points nodaux des courbes équipotentielles du système des p + 1 points racines de l'équation précédente. On pourra donc, comme l'a déjà indiqué l'auteur, les obtenir soit par la méthode d'exploration galvanométrique de Kirchhoff, soit par la méthode électrochimique de M. Guébhard. Après cette méthode, M. F. Lucas en expose une moins simple, qui repose sur l'intersection de deux lignes équipotentielles distinctes qui ne se coupent pas orthogonalement, et qui introduit des points parasites
se coupent pas orthogonalement, et qui introduit des points parasites dont il faut faire le décompte. Tollmache. — Sur la durée du jeu. L'auteur indique une formule plus simple que celle qu'il a donnée dans sa communication précédente (Comptes rendus, p. 265) pour représenter la probabilité P que le jeu se termine par la ruine totale d'un des joueurs après une partie d'un rang assigné μ (chaque joueur possédant n francs avant d'entrer au jeu, et le perdant donnant chaque fois 1fr au gagnant). La nouvelle formule, proposée par M. Rouché, est Demartres. — Sur la surface engendrée par une
Rouché, est Demartres. — Sur la surface engendrée par une conique doublement sécante à une conique fixe. Les propriétés projectives des surfaces séléniques s'étendent immédiatement aux surfaces engendrées par une conique doublement sécante à une conique fixe. Parmi ces propriétés, les unes appartiennent aux lignes conjuguées des génératrices, les autres aux lignes asymptotiques. Il existe trois sortes de surfaces dont les génératrices coniques sont divisées homographiquement par les lignes conjuguées. Ce sont : 1° L'enveloppe d'une quadrique passant par une conique et assujettie à trois conditions complémentaires; 2° Les surfaces pour lesquelles la conique fixe se réduit à deux points
pour lesquelles la conique fixe se réduit à deux points (les lignes conjuguées s'obtiennent alors par une quadrature); 3° Celles dont la génératrice reste tangente à une courbe fixe dans le plan osculateur de cette courbe (les lignes conjuguées s'obtiennent sans intégration). Ces trois classes de surfaces comprennent toutes celles pour lesquelles les deux séries de lignes asymptotiques divisent homographiquement les génératrices. La recherche de ces lignes s'achève sans difficulté dans les trois cas. M. Demartres développe les calculs dans le deuxième cas et il démontre, en terminant ce théorème, qui donne comme cas particulier une propriété importante des quadriques
qui donne comme cas particulier une propriété importante des quadriques : Lorsqu'une surface est le lieu d'une conique passant par deux points fixes; si ces deux points sont des points ordinaires de la surface, les coniques génératrices sont divisées homographiquement par leurs lignes conjuguées et par chaque série de lignes asymptotiques. Fouret. — Sur quelques propriétés géométriques des stelloïdes. L'auteur énonce un grand nombre de propriétés des courbes que M. F. Lucas (Comptes rendus, t. CVI, p. 195) a appelées stelloïdes et qui sont les trajectoires orthogonales des cassinoïdes homofocales les plus générales. Les stelloïdes du premier degré sont des
les plus générales. Les stelloïdes du premier degré sont des droites, celles du deuxième degré sont des hyperboles équilatères ; celles du degré p ont p asymptotes réelles formant une rose des vents. La plupart des théorèmes énoncés par M. Fouret au sujet de ces stelloïdes sont des généralisations des propriétés bien connues de l'hyperbole équilatère. Carvallo. — Formules d'interpolation. (346-349). Quand on veut déterminer les coefficients a, b, c, ... de la formule y = ax + bv + cw + ... dans laquelle des systèmes de valeurs simultanées des variables x, y, v, ... Peuvent être déterminés expérimentalement,
des variables x, y, v, ... Peuvent être déterminés expérimentalement, on emploie habituellement la Méthode de Cauchy ou celle des moindres carrés. La seconde est seule d'accord avec le Calcul des probabilités; cependant la première est souvent préférée Pour certains avantages pratiques. M. Carvallo montre comment on peut conserver tous ces avantages en adoptant la même marche de calcul pour la méthode des moindres carrés. Bertrand. — Seconde Note sur la probabilité du tir à la cible. (388-389). Après avoir cité divers auteurs, entre autres Bravais, qui déjà avaient signalé l'impossibilité d'accepter l'indépendance (admise par Poisson) des écarts horizontaux et
l'impossibilité d'accepter l'indépendance (admise par Poisson) des écarts horizontaux et verticaux, et après avoir critiqué les démonstrations de ces auteurs, M. Bertrand retrouve la formule de Bravais en partant de cette hypothèse très plausible de Cotes : Si l'on connaît un nombre quelconque de points où la cible a été frappée, la Position la plus probable du point visé est le centre de gravité du système des points atteints. La probabilité que la balle frappe un élément dx dy est alors Les trois constantes caractéristiques d'une série d'épreuves k, k', ... X peuvent déduire des coordonnées x, y, x', y',