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DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, PUBLIÉES SOUS LES AUSPICES DU MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE, PAR UN COMITÉ DE RÉDACTION COMPOSÉ DE MM. LES MAÎTRES DE CONFÉRENCES DE L'ÉCOLE. Troisième série, t. V, 1888. Sauvage. — Sur les solutions régulières d'un système d'équations différentielles. (9-22). Dans un Mémoire précédent, M. Sauvage a montré que le système admet, dans le domaine du point xa, où les coefficients a sont supposés holomorphes, un système fondamental de solutions régulières, c'est-à-dire de la forme ∑(x — x0)r ϕ (x — xo), où r est un nombre quelconque et ϕ(x — xa) un polynôme entier en log
quelconque et ϕ(x — xa) un polynôme entier en log (x — x0) dont les coefficients admettent le point x0 comme point ordinaire ou comme pôle. Il démontre actuellement la réciproque de cette proposition. L'ensemble des deux Mémoires de M. Sauvage concourt ainsi à l'établissement du théorème suivant : Étant donné un système d'équations différentielles linéaires, homogènes et à coefficients uniformes dans le domaine du point x0, pour que ce système ait dans ce domaine toutes ses solutions régulières, il faut et il suffit qu'on puisse le ramener à la forme par une substitution de la forme y, = ~
forme par une substitution de la forme y, = ~ = i, 2, où les exposants Pi sont des entiers tels que les coefficients b soient holomorphes dans le domaine de x0. L'auteur termine par quelques considérations sur l'équation différentielle du nème ordre qu'on obtient en éliminant n — 1 inconnues v entre les n équations du système ci-dessus. Nazimov. Sur quelques applications de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres. (23-48, 147-176). Ce Mémoire est une analyse du Traité Sur les applications de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, que M. Nazimov
fonctions elliptiques à la théorie des nombres, que M. Nazimov a publié en langue russe au commencement de 1885. Laissant de côté les Chapitres de cet Ouvrage qui ont pour objet des théories suffisamment connues, l'auteur se borne à résumer les parties de son Livre qui se rapportent à des sujets moins généralement étudiés. L'auteur a divisé le travail qu'il publie dans les Annales de l'École Normale en quatre Chapitres, qui correspondent à quatre Chapitres de son Traité. Dans le premier Chapitre, il développe la première des méthodes par lesquelles Jacobi obtient des théorèmes arithmétiques. Pour obtenir des théorèmes de
Jacobi obtient des théorèmes arithmétiques. Pour obtenir des théorèmes de cette nature, on peut employer de deux manières différentes les séries trigonométriques qui se présentent dans la théorie des fonctions elliptiques. La première manière consiste à prendre ces séries sous leurs formes générales et à en déduire des théorèmes où figurent des fonctions arbitraires; en spécialisant ces fonctions, on obtient autant de théorèmes particuliers. La seconde manière, dont le principe a été indiqué aussi par Jacobi, consiste à déduire des théorèmes particuliers par cette méthode directe que M. Bougaïeff a nommée la méthode des constantes elliptiques. Dans ce premier Chapitre,
nommée la méthode des constantes elliptiques. Dans ce premier Chapitre, M. Nazimov s'occupe uniquement d'une classe toute spéciale de théorèmes arithmétiques, ceux qui concernent le nombre des solutions de certaines équations indéterminées du second degré, théorèmes identiques ou analogues à ceux dont Liouville a fait connaître un si grand nombre dans les premiers volumes de la seconde série de son journal. Le deuxième Chapitre est consacré à l'exposition de la méthode que M. Hermite a fait usage pour démontrer les huit formules fondamentales, publiées par M. Kronecker dans le t. LVII du Journal de Crelle. C'est encore la méthode de
LVII du Journal de Crelle. C'est encore la méthode de M. Hermite que M. Nazimov applique à la démonstration des formules nouvelles de M. Gierster (Mathematische Annalen). Le troisième Chapitre se rapporte aux théorèmes arithmétiques généraux concernant les fonctions arbitraires. Il s'agit de ces identités qui ont eu lieu entre des sommes contenant des fonctions arbitraires à arguments variables; ces arguments dépendent linéairement des solutions entières de certaines équations indéterminées du second degré. Liouville a publié un grand nombre de ces théorèmes dans les premiers Volumes de la 2e série de son Journal. M. Hermite a indiqué une méthode pour
de son Journal. M. Hermite a indiqué une méthode pour obtenir des théorèmes de cette nature où intervient des fonctions à un seul argument (Journal de Liouville, 2e série, t. VII). Enfin, dans le quatrième Chapitre, M. Nazimov démontre une formule due à Dirichlet (Journal de Crelle, t. 24) et qui donne le nombre des classes des formes quadratiques binaires proprement primitives qui ont un déterminant donné. Combescure. — Sur le déplacement tangentiel de deux surfaces rigides. (49-78). Les coordonnées rectangulaires X, Y, Z d'une surface rigide S, rapportée à trois axes fixes OXYZ, sont supposées des fonctions de deux
trois axes fixes OXYZ, sont supposées des fonctions de deux paramètres indépendants α, p. Les coordonnées rectangulaires x, y, z d'une autre surface rigide S, liée à des axes mobiles O, xyz, sont supposées aussi fonctions de α, p. Même supposition pour les neuf cosinus directeurs a, a', c" du système d'axes fixes par rapport au système d'axes mobiles. La courbe cα (où a varie seul) de la surface mobile doit être constamment tangente à la courbe cα de la surface fixe. Même condition pour les courbes Cp, cβ. Enfin, les éléments correspondants des deux courbes Cα, ca doivent être
les éléments correspondants des deux courbes Cα, ca doivent être dans le rapport donné G (α, p), et les éléments correspondants de C3, dans le rapport donné G1 (α, p). Si G et G1 sont tous deux égaux à l'unité, les deux surfaces ne font que rouler sans glisser l'une sur l'autre. C'est ce dernier cas, le plus simple et le plus important, qui occupe surtout M. Combescure. Deux problèmes principaux se posent alors : 1° On regarde x, y, z comme des fonctions données de α, p et il s'agit d'en déduire toutes les autres quantités, les six composantes
s'agit d'en déduire toutes les autres quantités, les six composantes de rotation, les neuf cosinus directeurs, les coordonnées X, Y, Z; 2° On se donne le déplacement angulaire, c'est-à-dire les rotations ou bien les cosinus, et l'on cherche à en déduire x, y, z et par suite X, Y, Z. Premier problème. — M. Combescure ramène ce problème à l'intégration du système avec les deux autres équations analogues, système où les seules inconnues sont les trois indéterminées A, ja, p., de M. Darboux (voir Théorie des surfaces). Ces trois quantités une fois connues, on en déduit les six composantes de
une fois connues, on en déduit les six composantes de rotation par les formules (Darboux) Des rotations on conclut les cosinus directeurs par intégration d'un système bien connu aux différences totales, puis X, Y, Z par des quadratures. L'auteur montre que l'intégration du système (i) peut être ramenée à celle d'une équation unique du second ordre où les dérivées partielles du second ordre ne figurent que sous forme linéaire. Deuxième problème. — M. Combescure le résout par l'introduction de trois nouvelles indéterminées p, ϕ, ϕ1 définies par les formules et qui, en conséquence, sont liées à celles de M. Darboux
qui, en conséquence, sont liées à celles de M. Darboux par les relations Actuellement, les six composantes de rotation étant données, on en déduira les trois inconnues p, ϕ, a, par l'intégration du système linéaire avec les deux autres équations analogues. Cette intégration se ramène à celle d'une seule équation linéaire du second ordre. Ayant obtenu p, a, ϕ1, on aura x, y, z par des quadratures et X, Y, Z par d'autres quadratures. À chaque solution particulière de l'équation du deuxième ordre dont il a été question correspond un couple de surfaces bien déterminées susceptibles de roulement réciproque l'une
couple de surfaces bien déterminées susceptibles de roulement réciproque l'une sur l'autre. Si l'on connaît deux surfaces particulières (x, y, z), (X, Y, Z) applicables l'une sur l'autre, on pourra en déduire les cosinus directeurs a, b, ... et par suite les rotations (p, q, r) (p0 q1, r1). On sera donc en mesure de construire le système (2). L'intégration fournira les quantités p, a, a, qui conduiront à la série complète des couples de surfaces à roulement réciproque répondant au mouvement angulaire donné. L'auteur fait connaître les formules qui doivent être substituées aux relations (22) quand on introduit des
doivent être substituées aux relations (22) quand on introduit des rotations imaginaires. Il revient, en terminant, sur le cas général du roulement accompagné de glissement. Il étudie le roulement et le glissement d'un plan. Il montre qu'une surface quelconque (x, y, z) étant donnée, la détermination de la surface (X, Y, Z) revient à chercher, par la théorie de l'application, toutes les surfaces dont les trois paramètres différentiels Σ Σ ont des valeurs données. Darboux. — Sur la représentation sphérique des surfaces. (79-96). M. Darboux démontre un théorème qui permet de déterminer, dans un nombre illimité de cas nouveaux, toutes
de déterminer, dans un nombre illimité de cas nouveaux, toutes les surfaces ayant une représentation sphérique donnée. Si l'on connaît quatre solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles où A, B, C sont des fonctions quelconques de p, p,, ces solutions étant liées par une relation homogène du second degré, on pourra toujours, en combinant linéairement ces solutions, ramener cette relation à la forme (2) u2 + V2 + w2 = Ps. Cela posé, les équations définissent toujours un système orthogonal (A) formé des lignes p = C, p,= C,. En outre, si O désigne une solution nouvelle quelconque de
En outre, si O désigne une solution nouvelle quelconque de l'équation (i), le plan u X + v Y + w Z = O enveloppera, quand p et p, prendront toutes les valeurs possibles, une surface dont les lignes de courbure auront pour image sphérique les courbes du système (A). Si, en particulier, on considère l'équation, elle admet les quatre solutions u = P1 Q2 + PaQ, w = P1Q1 P2Q2, v = i (P2Q1 − P,Q.) P = P,Q,+ P2Q2, qui satisfont à la relation (2), P1, P2 et Qn, Q1, étant respectivement les intégrales des équations P"= P[f(α
Qn, Q1, étant respectivement les intégrales des équations P"= P[f(α + iβ) + m], Q"= Q [ϕ (α — iβ) + m], Où m désigne une constante. Si / et cD sont imaginaires conjugués et si Qn, Q1 sont respectivement conjugués de P1, P2, ce système qui, comme dit M. Darboux, correspond à l'équation linéaire y" = y[J(x) + m], sera réel et isotherme. L'application de cette théorie à l'équation d'Euler qui se ramène à la forme (3), conduit à la conclusion suivante : On saura trouver toutes les surfaces ayant pour représentation sphérique les systèmes isothermes correspondant aux trois
ayant pour représentation sphérique les systèmes isothermes correspondant aux trois équations y" = y [ m ( m + I) k2 sn2x + h ], dont la dernière est l'équation de Lamé. Les formules d'intégration définissant la surface ne contiendront les fonctions arbitraires sous aucun signe d'intégration définie, tant que m sera entier. Cette proposition comprend tout ce que l'on sait relativement aux surfaces à lignes de courbures planes, aux surfaces à représentation sphérique elliptique, etc. Elle fournit une infinité de surfaces algébriques à lignes de courbure algébriques. Voici maintenant comment on peut étendre les résultats précédents à des systèmes
comment on peut étendre les résultats précédents à des systèmes isothermes contenant des constantes dont le nombre croîtra indéfiniment : Toutes les fois qu'on saura résoudre le problème de la représentation sphérique pour les systèmes orthogonaux correspondant à l'équation y" = yf(x), on saura le résoudre pour les systèmes correspondant à l'équation où O désigne une solution de l'équation précédente. D'ailleurs, la dernière équation s'intègre immédiatement par la formule dès que l'on connaît l'intégrale générale u de l'équation y" = y[f(x) + m]. La méthode suivie par M. Darboux, dans le cas des systèmes orthogonaux et isothermes, s'applique aux systèmes
le cas des systèmes orthogonaux et isothermes, s'applique aux systèmes orthogonaux les plus généraux. Toute surface, en effet, peut être considérée comme l'enveloppe du plan (x + y) X + (1 — xy) Y + i(1 + xy) Z = P, où x, y sont les variables de M. Bonnet. La représentation sphérique de la surface étant donnée, x, y doivent être considérés comme des fonctions données des paramètres α, β. Alors les dérivées partielles ∂P, ∂y de P, par rapport à x, y, s'obtiendront par l'intégration du système X étant fourni par les équations concordantes. L'intégration du système précédent
étant fourni par les équations concordantes. L'intégration du système précédent se ramène immédiatement à celle de l'équation aux dérivées partielles et l'étude que M. Moutard a faite des équations de cette forme conduit à la conclusion suivante : On peut obtenir tous les cas dans lesquels le problème de la représentation sphérique est susceptible d'une solution en termes finis; Toutes les fois que le problème de la représentation sphérique aura été résolu d'une manière quelconque pour un système de courbes orthogonales, on pourra déduire de la solution obtenue celle qui se rapporte à toute une suite illimitée de systèmes sphériques
se rapporte à toute une suite illimitée de systèmes sphériques orthogonaux. M. Darboux montre, en terminant, le parti que l'on peut tirer pour le problème de la représentation sphérique, et aussi pour la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée, de la considération de l'équation auxiliaire d'une équation aux dérivées partielles définissant une fonction ζ de plusieurs variables indépendantes : cette équation auxiliaire est l'équation linéaire obtenue en remplaçant dans la proposée z par z + εz', développant suivant les puissances de z et égalant à zéro le coefficient de ε. Kœnigs. — Détermination de toutes les surfaces plusieurs
de ε. Kœnigs. — Détermination de toutes les surfaces plusieurs fois engendrées par des coniques. (177-192). Le plan et les quadriques sont les seules surfaces qui puissent contenir deux séries de droites. Dans le même ordre d'idées, on peut se proposer de chercher les surfaces par chaque point desquelles il passe deux ou plusieurs coniques tracées sur ces surfaces. Il y a lieu de distinguer deux cas : celui où la famille de coniques est simple, c'est-à-dire où une seule conique passe par un point de la surface, et celui où cette famille est multiple, c'est-à-dire où, par un point,
où cette famille est multiple, c'est-à-dire où, par un point, passent plusieurs coniques de la famille. 1° Surfaces qui admettent au moins deux familles simples de génératrices du second degré. — Ce cas se divise en deux autres : (a) La rencontre de deux coniques de systèmes différents n'a lieu qu'en un seul point Variable avec ces coniques. Alors, si l'on désigne par A1, B1, C1, trois coniques du premier système, par A2, B2, C2 trois coniques du second, par p un point de A1, par q un point de A2, et si l'on représente par λ, μ les rapports
A2, et si l'on représente par λ, μ les rapports anharmoniques suivants : A1, A2 étant le point de rencontre de A1, et de A2, la surface est déterminée en coordonnées homogènes x1, x2, x3, xi par les équations pxi = φ(λ, μ) (i = 1, 2, 3, 4), Où μ) est un polynôme du second degré en A et du second degré en μ. Cette surface, du huitième ordre, est représentable sur le plan. M. Kœnigs l'appelle conicoïde. Les coniques des deux systèmes se coupent en deux points variables. Soient X, une conique du premier système, et x, x'
Soient X, une conique du premier système, et x, x' ses deux points de rencontre avec une conique X', du second système. La droite xx' passera par un point fixe ξ1 (pôle d'involution de X1). Les pôles d'involution du premier système sont en général situés sur une droite D1 (axes d'involution). Mais les coniques d'un système peuvent avoir un pôle d'involution fixe, et alors ce point est aussi un pôle d'involution fixe pour les coniques du second système. Dans le cas de deux axes d'involution, la surface cherchée ne peut être qu'une quadrique. Dans le cas d'un pôle d'involution unique,
être qu'une quadrique. Dans le cas d'un pôle d'involution unique, la surface est du quatrième ordre et possède une conique double. M. Kœnigs étend cette théorie aux surfaces engendrées par une famille simple de courbes unicursales. Si, en dehors de cette famille, il existe sur la surface une autre courbe unicursale, la surface est représentable point par point sur le plan. Si l'on considère deux familles de courbes unicursales ne se coupant qu'en un point variable, les courbes génératrices étant du degré p d'un côté, et du degré q de l'autre, on arrive à cette expression générale d'une surface de
l'autre, on arrive à cette expression générale d'une surface de degré 2 pq : pxi = (ai λP + a'i λp-1 + ...) μp + (bi λp + ...) μp-1 + ... 2° Surfaces recouvertes plusieurs fois par une même famille de coniques. — Si une famille de coniques recouvre n fois la surface, deux quelconques de ces coniques se coupent. Si la rencontre a lieu en deux points variables, la surface est une quadrique. Reste le seul cas intéressant, celui où les coniques n'ont qu'un point mobile commun. Lorsque n est égal à 2, les surfaces qui répondent à
n est égal à 2, les surfaces qui répondent à la question sont généralement des surfaces de Steiner, ou exceptionnellement des cubiques réglées, ou plus exceptionnellement encore des quadriques ou des plans. Elles sont toutes données par les formules pxi =ϕi (p, q) (i = 1, 2, 3, 4), où ϕi(p, q) est un polynôme du second degré des deux variables p et q, ces deux variables étant, l'une la somme, l'autre le produit de deux valeurs, et [x, du paramètre qui correspond anharmoniquement aux points d'une conique de la famille considérée. M. Darboux a prouvé que les surfaces (D)
famille considérée. M. Darboux a prouvé que les surfaces (D) sont les seules qui puissent contenir une double infinité de coniques. Ces surfaces rentrent dans le type des conicoïdes de M. Kœnigs. D'ailleurs, si l'on prend arbitrairement une surface (D) et si l'on considère une développable de la classe m circonscrite à la surface, les plans tangents à cette développable couperont chacun la surface (D), suivant deux coniques; or les coniques ainsi définies engendrent une famille qui recouvre m fois la surface. De là résulte qu'avec une surface (D) quelconque on peut réaliser le fait d'une surface recouverte autant de
on peut réaliser le fait d'une surface recouverte autant de fois qu'on voudra par une famille de coniques. Reste à savoir si les surfaces (D) fournissent toutes les solutions du problème. M. Kœnigs se borne pour le moment au cas où la surface est représentable point par point sur le plan. Il trouve effectivement que la solution générale est donnée dans ce cas par une surface (D). Guichard. — Sur les intégrales ~ (1 92-210). AI. Guichard étudie les intégrales où G (x) représente une fonction holomorphe et R(x) un polynôme du degré 2p + 2. Il montre que G
polynôme du degré 2p + 2. Il montre que G (x) est décomposable, et cela d'une seule manière, en une somme de la forme ϕ (x) étant une fonction holomorphe, et X1, ... des constantes qui peuvent être calculées au moyen de la formule générale les λi, n sont fournis par la relation récurrente les A" sont les coefficients du polynôme R(x), et les Bn les coefficients de la série de Maclaurin qui représente G(x). De cette décomposition de G(x) résulte immédiatement celle de l'intégrale u en deux parties : l'une immédiatement intégrable et qui n'a pas de périodes l'autre
l'une immédiatement intégrable et qui n'a pas de périodes l'autre qui est l'intégrale d'une différentielle algébrique On peut disposer de la fonction G (x) de façon que les 2p + 1 périodes de cette intégrale aient des valeurs arbitraires. Après avoir effectué cette réduction, l'auteur s'occupe de la formation des intégrales qui n'ont qu'une période. On peut choisir les X de manière à former 2p + 1 intégrales particulières v1 .... v2p+1' ayant une période égale à 2πi. La forme générale des intégrales jouissant de la même propriété sera v = m1v1 + m2 v2 + ...+ m2p + 1
= m1v1 + m2 v2 + ...+ m2p + 1 v2p + 1' m1, m2, ..., m2p + 1 étant des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. La connaissance de ces intégrales à une seule période conduit à la solution de ce problème : « Trouver toutes les fonctions uniformes d'un point de la courbe y2 = x (x), qui n'ont que des points singuliers à l'infini et qui ne s'annulent jamais. » Un premier type de pareilles fonctions est donné par la formule TT = ϕ et ψ étant des fonctions entières; un autre type particulier a pour
étant des fonctions entières; un autre type particulier a pour expression sauf dans le cas exceptionnel où l'intégrale v; devient infinie comme un logarithme. M. Guichard établit que toutes les fonctions cherchées s'obtiennent en multipliant ou divisant les fonctions du type it par les fonctions du type πi. La résolution de ce problème établit une différence entre les fonctions uniformes sur un plan et les fonctions uniformes sur une sphère de Riemann. Dans le premier cas, une fonction qui a un seul point singulier et pas de zéros a son logarithme uniforme. Il n'en est pas de même dans le
logarithme uniforme. Il n'en est pas de même dans le second cas. Ce problème se rattache directement à la question suivante : « Trouver tous les couples de fonctions entières X et Y qui satisfont à l'équation Xs + Y* − 1 = 0 ; autrement dit, trouver toutes les transformations entières d'un cercle en une courbe algébrique. » Pour certaines courbes particulières, il peut se faire que X et Y soient des polynômes; les modules de périodicité des intégrales de première et de troisième espèce satisfont à des relations qui sont indiquées par M. Guichard. Enfin les intégrales qui
qui sont indiquées par M. Guichard. Enfin les intégrales qui ont deux périodes 2πα, 2πβ sont comprises dans la formule Elles permettent de trouver les transformations uniformes de la courbe Y2 = (1 − X2)(1 − k2X2). Appell. — Sur les équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction ζ. (211-218). L'auteur indique une équation différentielle linéaire avec second membre, dont les coefficients sont composés avec des fonctions 0 et leurs dérivées et dont l'intégrale générale s'exprime à l'aide de fonctions 0 et de la fonction ζ, qui joue un rôle fondamental dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de
rôle fondamental dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce en éléments simples. Si l'on prend d'abord la fonction X1 (α, z) définie par la série l'équation qu'a en vue M. Appell est Elle a pour intégrale générale 7c zi u = X1 (α, z) + e2K H1 (a), À désignant une constante arbitraire. Si l'on passe maintenant à la fonction Xm (a, z) définie par la série et que l'on introduise la fonction entière on pourra au moyen de ces fonctions intégrer l'équation où B désigne une constante. L'intégrale générale est U = Xm(a, z+ go (z)
constante. L'intégrale générale est U = Xm(a, z+ go (z) + λm-1 S m-1 (z), ..., λm-1 étant les n constantes arbitraires. Stouff. — Sur la transformation des fonctions fuchsiennes (21-326). Le travail de M. Stouff a son point de départ dans les Mémoires de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes. Il se divise en deux Parties, précédées d'une introduction dans laquelle l'auteur rend compte de certaines définitions et propositions empruntées à la Géométrie non euclidienne. La première Partie débute par l'établissement d'une formule de correspondance entre deux surfaces de Riemann S et T, respectivement de genre p et q,
Riemann S et T, respectivement de genre p et q, sur lesquelles on fait les deux hypothèses que voici : 1° Entre les points de ces deux surfaces il existe une correspondance analytique, c'est-à-dire laissant les angles inaltérés, de telle sorte qu'à un point M de S répondent m points de T et à un point N de T n points de S. 2° Les points N cessent d'être fonctions uniformes du point M lorsque M vient coïncider avec un nombre fini de points de S, A1, A2, ..., An. Alors, lorsque M vient successivement en A1, A2, An, il