jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
que les ligules; celles-ci glabres. Style jaune, bifide à divisions écartées. Achaines rouges plus courtes que l'aigrette, feuilles glabres en-dessus, un peu réticulés-blanchâtres en dessous, légèrement hérissées sur les nervures principales; les inférieures détruites à la floraison, spatulées, obtuses, entières, rétrécies en pétiole ailé; les suivantes munies de dents étalées dont le nombre augmente à mesure qu'elles s'élèvent sur la tige, et de spatulées devenant lancéolées, très-rapprochées et très-nombreuses; les supérieures irrégulièrement dentées, profondément sinuées, tortillées, crispées et atténuées en pointe tordue au sommet. Tiges de 5-40 décimètres de la grosseur d'une plume d'oie, un peu hérissées à la base,
grosseur d'une plume d'oie, un peu hérissées à la base, glabres au sommet, dressées. Souche vivace à fibres étalées. Cette espèce est commune dans les bois de pins de la Teste et d'Arcachon (Gironde). Elle est moins sujette que la précédente aux variations, ce qui tient à ce qu'elle croît toujours dans des stations à peu près identiques. Néanmoins, elle présente aussi des formes luxuriantes ou grêles qui modifient peu ses caractères essentiels; ce n'est que lorsqu'elle est attaquée par les insectes qui déposent leurs œufs dans les bourgeons terminaux qu'elle subit des transformations tératologiques analogues. De Lavernelle, qui avait
qu'elle subit des transformations tératologiques analogues. De Lavernelle, qui avait découvert cette espèce dans la même région, l'avait confondue avec l'H. umbellatum L. dont elle est voisine, mais nettement distincte par tous ses caractères (4). Cette erreur est d'ailleurs d'autant plus excusable, que Froelich lui-même, le créateur de l' H. jacobaeaefolium, a réuni sous ce nom deux espèces distinctes, l'une provenant des Pyrénées, qui est la vraie, l'autre du Caucase. Mais cette dernière en est différente et se rapporte plutôt à une des formes hybrides que nous allons signaler. C'est en 1859 que le regretté de Lavernelle (Bull. Soc. Bot.
en 1859 que le regretté de Lavernelle (Bull. Soc. Bot. Fr. VI, p. 476) signala pour la première fois un hybride des H. eriophorum et H. umbellatum L., qu'il avait rencontré au Moulau, près d'Arcachon. Il n'en avait rencontré qu'un seul individu, et il proposa de lui donner le nom d'H. umbellato-eriophorum. La même année, la Société botanique de France vint herboriser à Arcachon, mais il fut impossible de retrouver ladite hybride. Nous faisions partie de cette excursion, et nous pûmes aussi constater que l' H. eriophorum St-Am. lui-même était rare. Cela tient à ce que notre exploration porta en
rare. Cela tient à ce que notre exploration porta en majeure partie sur le littoral, au lieu de se diriger vers les dunes de l'intérieur et les forêts de pins voisines où il abonde. Mais plusieurs années après, nous trouvant de nouveau à Arcachon, nous en profitâmes pour étudier l'influence du littoral océanique sur quelques espèces du bassin sous-pyrénéen, telles que : Mentha aquatica L., Plantago cynops L., Solidago virga-aurea L., Melampyrum pratense L., etc., etc., et aussi pour récolter les Hieracium. Cette fois nos recherches furent couronnées de succès, car nous pûmes recueillir en quantité l'H. eriophorum St-Am., et
car nous pûmes recueillir en quantité l'H. eriophorum St-Am., et le prétendu H. umbellatum de Lavernelle, c'est-à-dire l'H. jacobaeaefolium Froel, ainsi que une foule de formes hybrides croissant pêle-mêle avec eux. Nous désignerons l'ensemble de ces hybrides sous le nom de H. Lavernellei Nob., en mémoire du regretté botaniste, qui le premier a appelé sur eux l'attention, et appliquant ensuite la nomenclature de Scheide, généralement adoptée aujourd'hui, nous grouperons ces diverses formes en deux séries, l'une sous le nom d'H. jacobaea + eriophorum, celles dont les organes de reproduction se rapprochent davantage du premier, et ceux de la végétation du
rapprochent davantage du premier, et ceux de la végétation du second; l'autre, celles où ces organes auront subi la modification inverse, et qui prendra le nom d'H. eriophorum - jacobaeaefolium. Hieracium Lavernellei, Nob. 4° H. JACOBÆUS | ERIOPHORUM Nob. Calathides en très-grande panicule thyrsoïde terminale, accompagnée de rameaux secondaires naissants le long de la tige à l'aisselle des feuilles. Pédoncules allongés, bifurques, très-hérissés, mais non laineux. Pericline à écailles appliquées obtuses et scarieuses aux bords. Feuilles très-rapprochées nombreuses, les inférieures spatulées, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 437 les suivantes dentées, puis incisées plus ou moins profondément et crispées. Tige simple, dressée,
incisées plus ou moins profondément et crispées. Tige simple, dressée, sans feuilles à la base. Toute la plante est plus ou moins couverte de poils simples. On trouve des individus mêlés ensemble, les uns presque glabres, les autres à poils peu nombreux, la plante est alors d'un vert-cendré, d'autres enfin dont le dessus des feuilles est d'un vert glabrescent, tandis que le dessous est d'un blanc laineux. La grandeur des feuilles varie aussi considérablement, il en est qui les ont larges et crispées, ondulées aux bords, tandis que les autres les ont très-étroites, lancéolées et finement dentées. 2° H. ERIOPHORUM
les ont très-étroites, lancéolées et finement dentées. 2° H. ERIOPHORUM JACOBAEAEFOLIUM Nob. Calathides en ombelles; pas de rameaux à la base de l'ombelle, ou du moins fort peu. Feuilles plus grandes que dans l'hybride précédent, mais offrant toutes les modifications dans la forme, le tomentum, les découpures que nous avons signalées. Comme on le voit, la principale différence qui existe entre les deux séries d'hybrides dont nous venons de parler, consiste dans l'inflorescence, qui en grande panicule avec rameaux complémentaires à la base, chez la première, est en ombelle simple, dans la seconde, le système végétatif restant à peu près
dans la seconde, le système végétatif restant à peu près également variable dans toutes les deux. Et l'on conçoit fort bien qu'en ne tenant aucun compte de l'hybridité et en ne faisant intervenir que les perturbations dues aux influences physiques et chimiques du sol, Jacques Gay n'ait vu dans toutes ces formes qu'une seule espèce avec deux extrêmes, l'un glabre, l'autre laineux, réunis par une foule d'intermédiaires présentant l'un ou l'autre de ces caractères à un degré différent. Mais à notre sens et en s'appuyant sur l'ensemble des caractères cités plus haut, il est impossible de pouvoir réunir l'Hieracium eriophorum
plus haut, il est impossible de pouvoir réunir l'Hieracium eriophorum St-Am., à l'H. jacobaeum Froel., pas plus qu'à l'H. umbellatum L. ; ce sont des types parfaitement tranchés qui ne sauraient être confondus qu'au mépris de l'évidence. Et quant aux formes intermédiaires qui leur servent de lien apparent, il faut y voir des hybrides à divers degrés, hybrides sans aucune fixité qui ne tardent pas à rentrer dans le type, par des générations successives, ou qui s'éteignent sans postérité par l'avortement du pollen des anthères. Admirable mécanisme de la nature, qui pour veiller plus sûrement à la conservation de l'espèce,
qui pour veiller plus sûrement à la conservation de l'espèce, emploie ce moyen détourné de fécondation anormale, qui semble au premier abord devoir l'éloigner de son but, et qui néanmoins finit toujours par l'atteindre, grâce à cette grande loi de l'atavisme qui, par la voie des générations successives, reproduit toujours le type primitif. On trouve dans ses ouvrages une élimination faite par un procédé qui lui appartient, et qui consiste à éliminer par réduction d'abord le 1er terme des deux équations qui sont supposées du même degré; puis on élimine le dernier, et en supprimant la 1re puissance de l'inconnue
le dernier, et en supprimant la 1re puissance de l'inconnue on obtient deux équations d'un degré moindre d'une unité. On abaisse ensuite le degré des deux nouvelles équations d'une autre unité, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation indépendante de l'inconnue à éliminer, ce qui est le résultat de l'élimination. Cette méthode fort simple dans la pratique, a le grave inconvénient d'introduire de nombreux facteurs étrangers. Euler, qui dans un mémoire de 1748 a exposé cette méthode, a donné le moyen de supprimer ces facteurs, mais alors les calculs deviennent très complexes. Je ne parle ici
alors les calculs deviennent très complexes. Je ne parle ici de cette méthode que pour mémoire. Une autre méthode fort connue est celle par le plus grand commun diviseur. C'est la seule, avec celle des fonctions symétriques, que l'on ait enseigné jusqu'à ce jour en France, et rien ne justifie cette préférence, car non seulement elle est défectueuse, mais encore elle est incommode et presque toujours inapplicable. Elle introduit des facteurs étrangers que MM. Labatie et Sarrus ont appris à supprimer, dans deux mémoires qui ont été publiés presque simultanément, ce qui a donné lieu à quelques contestations de priorité.
ce qui a donné lieu à quelques contestations de priorité. L'attention vient d'être appelée récemment sur d'autres méthodes déjà anciennes et qui sont restées dans l'oubli. En 1764, Euler a présenté à l'Académie de Berlin, dans un second mémoire sur ce sujet, une nouvelle méthode qui a l'avantage, vainement recherché jusqu'alors, de ne pas introduire des facteurs étrangers. Par une remarquable coïncidence, Bezout, la même année et presque en même temps, a présenté à l'Académie de Paris la même solution de cette question. On connaissait alors la méthode générale de résolution des équations du 4e degré de Cramer. C'est le
résolution des équations du 4e degré de Cramer. C'est le point de départ des premiers travaux sur les Déterminants, qui se sont aujourd'hui constitués en une théorie nous donnant un puissant instrument de calcul. La méthode d'Euler et Bezout repose sur les formules de Cramer. Toute simple qu'elle est en théorie, elle devient impractique lorsque le degré des équations s'élève tant soit peu. Ainsi Bezout, dans son mémoire, l'applique à deux équations : l'une du 2me degré, et l'autre du 5me, et les formules auxquelles il arrive remplissent une demi-page in-4°. Avec deux équations du 4me degré le nombre des
in-4°. Avec deux équations du 4me degré le nombre des termes de l'Eliminant serait de plus de 40 mille. Dans le même mémoire de 1764, Bezout donne une autre méthode remarquable, qui donne la solution la plus satisfaisante de la question, et l'on est tout étonné qu'il ne paraisse pas y attacher toute l'importance qu'elle mérite. Il la relègue dans un 6me et dernier paragraphe qu'il intitule : Réflexions qui tendent à abréger l'élimination. C'est cependant le point saillant de son travail, c'est incontestablement ce que nous avons de mieux sur cette matière. C'est la méthode que j'expose avec tous
sur cette matière. C'est la méthode que j'expose avec tous les détails qu'elle comporte, et avec les simplifications d'exposition que nous permet de faire aujourd'hui la théorie des déterminants. M. Cauchy a aussi publié dans ses exercices de mathématiques un très beau mémoire sur l'élimination. Dans un 1er §, il expose la méthode d'Euler et Bezout; dans un 2e, la méthode abrégée de Bezout, avec une légère modification dans la manière de calculer les équations de Bezout, ce qui a fait dire que Cauchy avait perfectionné la méthode de Bezout. Après avoir comparé les deux mémoires, je n'y ai trouvé
Après avoir comparé les deux mémoires, je n'y ai trouvé aucun perfectionnement, et pour le point où ils diffèrent, je préfère le procédé de Bezout. Mais dans un 5e et dernier §, Cauchy, après avoir exposé la méthode d'Elimination par les fonctions symétriques à laquelle se rapportent d'autres travaux remarquables de ce savant, établit une série de théorèmes sur l'Eliminant, sur l'impossibilité de le décomposer en facteurs rationnels et entiers des coefficients, dont le but est de préciser le degré de l'Eliminant, afin de pouvoir juger des facteurs étrangers introduits par une méthode quelconque d'Élimination. Bien d'autres travaux ont encore
par une méthode quelconque d'Élimination. Bien d'autres travaux ont encore été publiés sur cet important sujet. M. Liouville, dans son Journal de mathématiques, a donné une méthode fort élégante pour former l'équation adjointe. Abel a aussi résolu la même question : La méthode abrégée de Bezout comporte une solution très simple de cette question que j'ai développée. M. Poisson dans le 9e cahier de l'École polytechnique a étendu le théorème de Bezout sur le degré de l'équation finale, à plus de deux équations, par les fonctions symétriques. M. Sylvester, en 1840, dans le Philosophical Magazine, a donné une nouvelle méthode
1840, dans le Philosophical Magazine, a donné une nouvelle méthode d'Élimination qui rentre dans celle d'Euler et Bezout, mais qui a l'avantage d'une plus grande symétrie de calcul. M. Cayley a aussi fait subir une modification à la même méthode d'Euler et Bezout. Tels sont les principaux travaux qui se rapportent au sujet que j'ai traité et que j'ai cru devoir rappeler. THEORÈMES SUR LE RÉSULTANT. Définitions. — Éliminer x entre deux équations f(x)=0 F(x)=0 c'est trouver la relation nécessaire et suffisante entre les coefficients de ces équations, pour qu'elles admettent une solution commune. Si p=0 est cette relation, la
admettent une solution commune. Si p=0 est cette relation, la quantité f a été nommée l'Éliminant ou le Résultant. THÉORÈME I. — Le résultant des deux équations est une fonction entière des coefficients, du degré de la 2me équation par rapport aux coefficients de la 1re, et du degré de la 1re équation par rapport aux coefficients de la 2me. Soient a, b, y les racines de la 1re équation, exprimées en fonction des coefficients p, q, r...; substituons-les dans F (x). Pour que les deux équations données aient une racine commune, il faut et il suffit que l'un des
racine commune, il faut et il suffit que l'un des résultats F (a), F (b), F (y)... soit nul, et par conséquent que si donc les coefficients p, q, r... sont fonction d'une seconde inconnue y, l'équation (5) qui ne contient que cette inconnue en donnera toutes les valeurs. Le résultat des deux équations est le 1er membre de l'équation (3). On voit d'abord qu'il est une fonction entière et du degré m par rapport à g₁, g₂, g₃... Car, comme a, p, y... sont indépendants de g₁, g₂, g₃... , cette quantité est bien entière et du degré m
, cette quantité est bien entière et du degré m par rapport à ces coefficients. Pour prouver qu'elle est aussi entière et du degré n par rapport à a, p, p₂p₃... , nous allons l'écrire d'une autre manière. Désignons par A, B, v... les racines de l'équation (2); le raisonnement que nous avons fait prouve que le résultat de l'élimination est aussi Le résultat se présente ici sous une forme différente en apparence mais la même en réalité, au signe près. En effet, comme F(a) = (a−X)(a−Y)(a−Z)... il en résulte. D'autre côté, comme f(x) = (x−a)(x−b)(x−c)..., on a aussi Dans
D'autre côté, comme f(x) = (x−a)(x−b)(x−c)..., on a aussi Dans l'une comme dans l'autre expression, nous y trouvons le produit des différences de toutes les racines de la 1ère équation avec celles de la 2e. Ces différences dans la 2e sont de signe contraire à celles de la 1ère, ces deux quantités sont donc égales, ou égales et de signe contraire, suivant que le nombre des facteurs m est pair ou impair. En prenant le résultat sous la forme (4), nous avons. nous y trouvons une fonction entière et de degré n des coefficients P1, P2, P3... Observation. — Le
degré n des coefficients P1, P2, P3... Observation. — Le résultat sous la forme (5) a été donné par Euler dans un mémoire sur l'Elimination, Académie de Berlin, 1748. THÉORÈME II. — Dans le résultat des deux équations (1) et (2) (lequel est un polynôme entier des coefficients p, p2... q, q1, q2... d'après le théorème précédent) la somme des indices des facteurs de chaque terme est égal au produit des degrés des deux équations par rapport à x, c'est-à-dire à mn. Soit en effet c[p, p1, p2, qt, q2... ] ce résultat. Nous avons: multiplions les racines des équations
] ce résultat. Nous avons: multiplions les racines des équations (1) et (2) par K, en posant x= les équations en a seront, et le résultat de ces nouvelles équations sera Mais il sera aussi, d'après la forme que lui a donné Euler, et comme le nombre des facteurs binômes est mn, et que K est facteur dans chacun, il devient ou bien Donc si l'on changeait les indices de p et de q en exposants dans le résultat cp(p1)2, ql, q2... , celle quantité, qui est entière, deviendrait une fonction homogène et du degré mn. C'est bien ce qu'il
fonction homogène et du degré mn. C'est bien ce qu'il fallait démontrer. THÉORÈME III. — Le résultat des équations est un polynôme entier par rapport aux coefficients des deux équations, homogène et du degré n par rapport à ceux de la première équation, homogène et du degré m par rapport à ceux de la deuxième, et la somme des indices de A et B dans chaque terme est mn. On ramène ces équations à la forme (1) et (2), en divisant la 1ère par A0 et la 2e par B0 et le résultat sera Il sera homogène et du degré
et le résultat sera Il sera homogène et du degré 0 par rapport aux coefficients des équations (8) et (9), mais il sera fractionnaire par rapport à ces coefficients et contiendra en dénominateur des puissances de A0 et B0. Pour le ramener à la forme entière il faudra le multiplier par A0B0m, et en posant la quantité, qui sera le résultat, sera non seulement entière mais encore homogène et de degré n par rapport à A0, A1, ..., Am, homogène aussi et de degré m par rapport à B0, B1, ..., Bm, et en outre la somme des indices de
..., Bm, et en outre la somme des indices de A et B dans chaque terme sera mn THÉORÈME IV. Le résultat de deux équations complètes à deux inconnues de degré m et n respectivement, sera du degré mn par rapport à la 2e inconnue, et ces deux équations admettront mn systèmes de solutions. Supposons que les équations (8) et (9) soient à deux inconnues et complètes, alors A0, A1, A2, ... B0, B1, B2... dépendront de y et seront par rapport à cette inconnue du degré marqué par l'indice. Le résultat de l'élimination de x sera, est entier par
Le résultat de l'élimination de x sera, est entier par rapport aux coefficients, et d'un degré, relativement à y, marqué par la somme des indices dans chaque terme, il sera donc du degré mn d'après le théorème 3. Cette équation fournira donc mn valeurs pour y, à chacune desquelles il correspondra une valeur pour x, qui sera la solution commune aux deux équations (8) et (9). Le nombre des systèmes de solution sera donc mn. THÉORÈME V. — Supposons que dans les équations (8) et (9) les coefficients A0, A1, ..., A2m soient respectivement de degré p, p-1, p-2, ...,
..., A2m soient respectivement de degré p, p-1, p-2, ..., p-m, par rapport à y, et B0, B1, ..., Bn sont de degré q, q-1, ..., (q-n), de sorte que le degré de la 1ère équation par rapport à x et y est m-p, et celui de la 2e, n-q, mais ces équations sont incomplètes, le résultat sera dans ce cas d'un degré inférieur au produit des degrés, qui est (m-p)(n-q), du produit pq, il sera donc (m-p)(n-q)−pq = mn−np−mq. En effet, dans le résultat [k0k1ka, B0BiBa...] la somme des indices dans chaque terme est mn, mais il y a
indices dans chaque terme est mn, mais il y a n facteurs en A et le degré de chacun est supérieur de p à son indice, ce qui augmente le degré par rapport à y de np; il y a aussi m facteurs en B dont le degré par rapport à y est supérieur de q à son indice, ce qui augmente le degré de mq; le degré de chaque terme par rapport à y est donc mn−np−mq qui est égal à (m-p)(n-q)−pq. Ce qu'il fallait démontrer. Entre ces deux équations on peut éliminer par réduction les deux groupes de
équations on peut éliminer par réduction les deux groupes de terme car ces groupes contiennent le facteur xmp et peuvent s'écrire de sorte qu'il suffit de multiplier la première équation par B0ep + B1ep-1 + ... + Bp, la deuxième par A0ep + A1ep-1 + ... + Ap, et de retrancher membre à membre : on a ainsi. Cette nouvelle équation sera du degré (m—1) en x, Les coefficients C0, C1, C2, ..., Cm, seront du premier degré par rapport aux coefficients de chacune des équations données, et du deuxième degré par rapport aux coefficients des deux équations simultanément. En
degré par rapport aux coefficients des deux équations simultanément. En prenant p successivement égal à 0, 1, 2,...(m—1) nous aurons m équations du degré (m—1), qui devront exister en même temps pour la racine commune, lorsque les deux équations en auront une. Supposons que ces équations soient. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 453 Entre ces m équations on élimine, par un déterminant, les (m—1) puissances de x, et l'on obtient ainsi : qui devra subsister entre les coefficients des deux équations pour qu'elles aient une racine commune, c'est le résultat de l'élimination, et l'on voit presque immédiatement que le premier membre
l'élimination, et l'on voit presque immédiatement que le premier membre est le résultant des deux équations, sans introduction de facteurs étrangers, car ce déterminant du même ordre est un polynôme entier et du même degré de ses éléments. Ces éléments sont eux-mêmes entiers et du premier degré par rapport aux coefficients de chacune des équations, donc ce déterminant sera entier et du même degré par rapport aux coefficients de chacune des équations. Nous avons supposé que les deux équations données étaient du même degré. Le cas où la deuxième est d'un degré inférieur à celui de la première, rentre dans
d'un degré inférieur à celui de la première, rentre dans le cas général en supposant Bo=0 B1=0 etc. Mais il est préférable alors de procéder de la manière suivante. Soient les équations données MÉMOIRES On multiplie la deuxième successivement par x jusqu'à ce que son degré s'élève à (m — 1). On obtient ainsi une suite de (m—n) équations qui ne contiennent pas x à un degré supérieur à (m—1). On multiplie une nouvelle fois par x, le degré s'élève à m et entre les deux équations du même degré. on forme, comme dans le cas général, n nouvelles équations
on forme, comme dans le cas général, n nouvelles équations du degré (m — 1) en x, et on élimine les (m—1) puissances entre ces m équations, par un déterminant. Soient ces n équations Le résultat de l'élimination sera Le premier membre sera le résultant des deux équations sans introduction de facteurs étrangers, car tous les éléments de ce déterminant dépendent de B0, B1, ..., Bn sont du premier degré par rapport à ces coefficients, donc ce déterminant sera du même degré par rapport à ces coefficients. Mais les coefficients A0, A1, ..., Am de la première équation n'entrent que
A0, A1, ..., Am de la première équation n'entrent que dans les éléments des n dernières lignes, de sorte que ce déterminant sera seulement du même degré par rapport à ces coefficients; donc, d'après le théorème 1, ce sera le résultant sans introduction de facteurs étrangers. Équation adjointe. — Si le but de l'élimination entre les équations (11) et (12) est de trouver les systèmes de solutions communes à ces deux équations, on forme une équation du premier degré en oe donnant la valeur de cette inconnue en fonction de y dont les valeurs sont fournies par l'équation (14). Pour
y dont les valeurs sont fournies par l'équation (14). Pour chacune des racines de cette équation, les m équations (15) se réduisent à (m—1) distinctes; l'une d'elles, la dernière par exemple, est une conséquence des autres. Entre ces (m—1) équations on élimine les (m—2) puissances de x, et on ne conserve que la première. Le résultat de cette élimination s'exprime par le déterminant suivant. Pour résoudre cette équation du premier degré en x on sépare ce déterminant en deux autres, et l'on met x en facteur commun. d'où l'on tire APPLICATION À DEUX ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ, ET À DEUX