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APPLICATION À DEUX ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ, ET À DEUX ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ. 1° Eliminer x entre les deux équations On multiplie la première équation par b0, la deuxième par a0 et on retranche la première de la deuxième: x est éliminé, le coefficient de x devient a0 b0 - b0 a1, c'est le déterminant. Le terme indépendant est. On obtient ainsi : On multiplie ensuite la première équation des équations (22) par bg + bt, et la deuxième par a0x + at, on retranche la première de la deuxième, la partie (b0x + bx)(a0x + al) - (ax2
deuxième, la partie (b0x + bx)(a0x + al) - (ax2 + alx) (ay + bt) du premier membre de l'équation résiduelle se réduit à zéro. C'est le but qu'on se proposait par cette opération, et l'on obtient : Le résultat de l'élimination de x entre ces deux équations est : C'est ce que devient l'équation (14) dans ce cas particulier. En développant ce déterminant on obtient : Cette formule générale est très-simple et d'une application commode. 2° Eliminer x entre les deux équations. Les trois équations du deuxième degré que l'on doit calculer pour l'application de la méthode de Bezout,
l'on doit calculer pour l'application de la méthode de Bezout, calculées d'après la manière indiquée, sont : et le déterminant provenant de l'élimination de x2 et x entre ces 5 équations, est : C'est la Formule (14) pour ce cas particulier. Ce déterminant est symétrique, ce qui facilitera le calcul. Il est facile de saisir la loi de formation des termes de la formule (14) ; elle se manifeste déjà sur la formule (28) ; on la mettra en évidence en effectuant les calculs qui conduisent à la formule (14), au lieu de représenter les résultats par les lettres D0,
au lieu de représenter les résultats par les lettres D0, D1, D2... E0, E1, E2... Mais je ne m'arrête pas à cette question. § 5. ÉLIMINATION PAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES ; MÉTHODE D'EULER ET BEZOUT; MÉTHODE DE SYLVESTER. 1. Elimination par les fonctions symétriques. Nous avons trouvé au § 1er que l'éliminant des équations était, en désignant par x, (y, z, ..., n) les racines de la première équation Cet éliminant est une fonction symétrique des racines de l'équation. n-(l); car permutant deux quelconques de ces lettres, l'expression (5) ne change pas. En effectuant les multiplications indiquées, et en groupant
change pas. En effectuant les multiplications indiquées, et en groupant convenablement les termes, on arrivera à une somme de fonctions symétriques de même ordre que l'on pourra calculer séparément en fonctions des coefficients de (1), en les faisant dépendre des fonctions symétriques du premier ordre, par les formules de Newton. On pourra encore calculer cette fonction symétrique, sans la séparer en plusieurs autres, par le procédé que Cauchy a fait connaître dans la quatrième année de ses Exercices de Mathématiques, et qui ne demande qu'une série de divisions. Mon but ne me permettant pas d'entrer dans ces développements, je vais
ne me permettant pas d'entrer dans ces développements, je vais seulement donner un exemple d'élimination par cette méthode. Proposons-nous d'éliminer x entre les deux équations. Je désigne par K et (3) les deux racines de la deuxième équation. Le résultat de l'élimination sera : J'effectue cette multiplication, je rapproche les termes qui forment des fonctions symétriques, et j'obtiens ainsi : Mais en substituant, on obtient, pour le résultat de l'élimination. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. La méthode de Bezout nous conduirait à un résultat exprimé plus simplement au moyen de déterminants du deuxième ordre. On peut vérifier sur cette expression le
du deuxième ordre. On peut vérifier sur cette expression le théorème 2 du § 1er. 2. Méthode d'Euler et Bezout. Soient les équations entre lesquelles on veut éliminer x ? Ces équations sont supposées avoir une racine commune, et par conséquent un facteur du premier degré commun, soit : le produit des autres facteurs du premier membre de la première équation, et le produit des autres facteurs de la deuxième équation. Alors f(x) et f1(x) sont identiques. Ces expressions sont du degré (m-n-1), les premiers coefficients sont égaux à l'unité, donc les (m-n-1) autres coefficients sont égaux entre eux, ce
donc les (m-n-1) autres coefficients sont égaux entre eux, ce qui donne (m+n-1) équations entre (m-n-2) inconnues ainsi. am et bn. Le nombre des équations est donc supérieur d'une unité à celui des inconnues et en outre ces équations sont linéaires, on pourra donc les éliminer par un déterminant, ce qui donnera l'éliminant. Un des avantages de cette méthode c'est qu'elle se prête avec la même facilité à la détermination des conditions pour que les équations aient plusieurs racines communes. Mais l'un des inconvénients, c'est qu'elle conduit à un déterminant de l'ordre (m-n-1) dont le développement est fort long, et
de l'ordre (m-n-1) dont le développement est fort long, et c'est son infériorité sur la méthode simplifiée de Bezout. 3. Méthode de Sylvester. Pour éliminer x entre les équations (31) et (32), on multiplie la première équation successivement par x, x1, x2... xm-1, et la deuxième par x, x1, x2... xm. On obtient ainsi les m-n équations suivantes. Ces (m-n) équations subsistent simultanément pour la racine commune en éliminant les (m-n-1) puissances de x entre ces équations, ce qui se fait par un déterminant, on obtient l'équation finale. Cette méthode n'introduce pas de facteurs étrangers. En effet les coefficients de
n'introduce pas de facteurs étrangers. En effet les coefficients de la première équation n'entrent que dans les n premières lignes, de sorte que ce déterminant est du même degré par rapport aux coefficients de la deuxième équation. On voit de même qu'il est du même degré par rapport aux coefficients de la deuxième équation. C'est donc, d'après le théorème 1, le résultat sans introduction de facteurs étrangers. Les deux dernières méthodes au fond sont les mêmes. Cauchy l'a démontré de la manière suivante dans son mémoire déjà cité. La première méthode revient à éliminer les puissances de x entre les
méthode revient à éliminer les puissances de x entre les équations f(x)=0, f1(x)=0... xn-1, f(x)=0 par la méthode des multiplicateurs de Bezout. Sylvester effectue la même élimination directement par un déterminant. LES CAPITOULS DE TOULOUSE TENANT LE SCEAU VERT Par M. VICTOR FONS. MESSIEURS, Voici encore une de ces dépenses faites autrefois, souvent sans trop de nécessité, par les anciens administrateurs de la ville de Toulouse. Elle avait lieu à l'occasion de ce que l'on appelait LE SCEAU VERT. Qu'était-ce que le Sceau vert ? Dans le langage toulousain, on entendait par ces mots la répartition d'une somme que les
entendait par ces mots la répartition d'une somme que les règlements accordaient pour gratifier ceux des employés de la maison commune qui avaient bien mérité par les services rendus à la ville dans l'année, pendant l'administration de Messieurs les Capitouls. Anciennement, en effet, et jusque, paraît-il, vers le milieu de la première moitié du XVIIIe siècle, on voit les Capitouls de Toulouse, à la fin de leur exercice et la veille de Sainte-Lucie, c'est-à-dire le 13 décembre de chaque année, distribuer aux officiers de l'Hôtel de ville, à titre de récompense, une somme ordinairement de 7,000 livres, qui était mise
récompense, une somme ordinairement de 7,000 livres, qui était mise à ce but à leur disposition. Toutefois, il est à remarquer que, quoique le fonds du Sceau vert fût destiné à récompenser ceux qui avaient bien servi la ville, une partie de ce fonds était distribuée soit aux maisons religieuses pauvres de la ville, soit à quelques nécessiteux. De là, le grand nombre de demandes qui étaient adressées aux Capitouls, la veille de Sainte-Lucie. D'où venait, à la distribution qui se faisait ce jour-là, le nom de Sceau vert? On ne trouve pas précisément de pièces qui le disent d'une
ne trouve pas précisément de pièces qui le disent d'une manière formelle. Mais il est très-probable que la distribution dont il s'agit empruntait ce nom à cette circonstance que les Capitouls marquaient les ordonnances qu'ils rendaient, à cette occasion, d'un sceau vert que l'on peut voir aux archives de l'Hôtel de ville : S. (sigillum) VIRIDE NOBILIS CAPITOLII THLAMI pour THOLOSANI. Quoi qu'il en soit de l'origine de cette dénomination, on peut diviser en deux groupes ceux que l'on admettait à participer à la répartition du Sceau vert. Dans l'un on voit figurer tous les officiers, grands et petits, de
on voit figurer tous les officiers, grands et petits, de la maison commune : entre autres, les assesseurs des Capitouls, le syndic de la ville, le trésorier municipal, le capitaine et le lieutenant du guet, les différents greffiers : greffier criminel, greffier du domaine ou du contrôle, greffier de la police, et leurs substituts; le juge au fait de la police, le capitaine au fait de la santé, le verguier ou bedeau des Capitouls, etc., etc. Ceux-là absorbaient, on le comprendra sans peine, une très-grande partie de la somme en distribution. Dans l'autre groupe, on trouve les maisons religieuses pauvres
distribution. Dans l'autre groupe, on trouve les maisons religieuses pauvres de la ville en tête desquelles figuraient constamment le couvent des Clarisses de la porte de Saint-Cyprien, les RR. PP. Capucins, les PP. Récollets, ceux de la Grande observance, les PP. Tierçaires; et par temps, comme je l'ai déjà dit, quelques particuliers nécessiteux. À ce dernier groupe, la distribution se faisait à titre d'aumône pie; aux gens de l'autre, à titre de gratification, pour de prétendus services rendus à la ville. Au fait, ce n'était tout simplement qu'une augmentation déguisée de leurs gages ordinaires. Pour l'établir, je n'aurais qu'à mettre
de leurs gages ordinaires. Pour l'établir, je n'aurais qu'à mettre sous vos yeux le texte des mandements délivrés à ce sujet par les Capitouls sur le trésorier municipal. Mais comme les actes de ce genre sont très-nombreux aux archives de l'hôtel de ville, je n'en indiquerai que quelques-uns. Les documents que je vais citer, pris dans la foule, parleront au nom de tous. On y verra que ceux qui prétendaient à une gratification ne cherchaient point à faire sonner bien haut leur zèle par de grandes phrases. Ils savaient que cela était inutile. Il y avait une formule fort simple
cela était inutile. Il y avait une formule fort simple que l'on retrouve à peu près dans toutes les requêtes. Ils se contentaient de l'employer, assurés qu'ils étaient de voir accueillir leur demande. Il était rare, en effet, qu'elle fût rejetée. Voici de quelle manière les requêtes étaient généralement formulées et accueillies. Le 24 décembre 4665, un mandement de la somme de 300 livres fut délivré à MM. Vidal Dutil, Georges et Guillaume de Pradines, assesseurs de Messieurs les Capitouls. Il y avait cent livres pour chacun, en récompense et pour les causes exprimées dans leur requête. Ils disaient aux
pour les causes exprimées dans leur requête. Ils disaient aux Capitouls dans cet acte, c'était à peu près leur langage de tous les ans, « qu'ils avaient, pendant leur bonne et heureuse administration, vacqué, de nuit et de jour, au service du public et fait des procédures qui leur avaient été infructueuses : lesquels, d'ailleurs, ajoutaient-ils, ne gagnaient que fort peu dans l'exercice de leurs charges. » Pourquoi les avaient-ils sollicitées, et tenaient-ils tant à les conserver? Après les assesseurs, le procureur du roi : il est triste de retrouver parmi les mendiants du Sceau vert un personnage de cet
parmi les mendiants du Sceau vert un personnage de cet ordre. Les officiers du guet, le capitaine de la santé, le commis au fait de la police, le verguier des Capitouls, n'invoquaient aussi tout simplement, comme les assesseurs, comme le procureur du roi, pour justifier leur droit au Sceau vert, que leur zèle à remplir les fonctions de leurs charges. Le syndic des visites, dont les fonctions étaient réellement des plus utiles, se présentait naturellement, comme les autres officiers de l'Hôtel de ville, à la distribution du Sceau vert. Mais quel était au fait le rôle de cet officier ?
quel était au fait le rôle de cet officier ? Il va lui-même nous l'apprendre dans une requête qu'il présentait, à cette occasion, aux Capitouls de l'année 4648. Guillaume Lafaige, c'était alors le nom du syndic, exposait aux administrateurs de la commune « que pendant leur administration il se serait peiné à l'exercice de sa charge, et pour le devoir d'icelle, il aurait fait, tant de jour que de nuit, les visites par les fours ainsi que par les boutiques des maîtres boulangers ; soigné à ce que les bouchers ne fissent faux poids, dressé plusieurs verbaux de contraventions dont
ne fissent faux poids, dressé plusieurs verbaux de contraventions dont la ville en aurait retiré plusieurs amendes; et pour tout ce dessus, fourni des chandelles pour courir de nuit avec les peseurs, sans que pour raison de ce il en ait retiré aucune reconnaissance que les seuls gaiges qui ne sont suffisants pour l'entretien. À cette cause, plaira à vos grâces, ayant égard à ce dessus, vous ordonner telles sommes de deniers qu'il vous paraîtra convenable, et le suppliant priera Dieu pour votre prospérité, et ferez bien. » Les Capitouls ne se montraient pas toujours fort généreux, il faut en
ne se montraient pas toujours fort généreux, il faut en convenir, envers un auxiliaire aussi utile. En 4618, ils n'accordèrent au syndic du fait des visites, sur sa requête, que la modique somme de cinq livres. C'est de la sorte, comme je viens de le rappeler, que nos anciens Capitouls se plaisaient à gratifier les officiers de l'Hôtel de ville; et parmi ces officiers, il en était surtout deux envers lesquels ils se montraient d'une libéralité merveilleuse : c'étaient le trésorier et le syndic de la ville. Pourquoi faut-il rencontrer ce dernier dans la liste de ceux qui recevaient des
ce dernier dans la liste de ceux qui recevaient des gratifications ? À raison de sa haute position dans la maison commune, il aurait dû n'y figurer jamais. Sans doute, ses fonctions étaient multiples. Il était, à proprement parler, le gérant des affaires de la ville. C'est lui qui poursuivait à sa requête, devant le tribunal des Capitouls, les retardataires en fait d'impositions ; qui représentait la ville devant les juridictions supérieures, soit en demandant, soit en défendant dans les procès divers où elle était intéressée ; qui comparaissait et contractait en son nom dans la plupart des actes où
contractait en son nom dans la plupart des actes où elle avait aussi un intérêt quelconque à défendre ou à faire constater, etc., etc. -— Précisément, à cause de ces honorables fonctions pour lesquelles d'ailleurs il recevait annuellement de beaux gages fixes, sa place n'était pas parmi les gratifiés du Sceau vert. Et cependant, cela est pénible à dire, il n'était pas moins ardent que les autres auxiliaires de l'administration municipale à la curée. Voici, entre beaucoup d'autres, un document qui le prouve. Le syndic de la ville dont il y est question n'est autre que l'auteur des Annales de
y est question n'est autre que l'auteur des Annales de la ville de Toulouse. Le 42 décembre 4684, mandement au trésorier municipal de payer à Me Germain de Lafaille, « avocat en la cour, ancien Capitoul et syndic de la ville, la somme de 400 livres, à lui ordonnée pour les causes contenues en sa requête, » conçue tout simplement en ces termes : « À vous messieurs les Capitouls, Supplie humblement Me. Germain de Lafaille, disant que pendant l'année de votre administration, il aura porté tous ses soins imaginables aux affaires qui regardent la ville. C'est pourquoi il vous
aux affaires qui regardent la ville. C'est pourquoi il vous plaira, Messieurs, procédant au département de votre Sceau vert, lui accorder telles sommes que vous jugerez convenables en reconnaissance de ses soins et peines ; et ferez bien. » Les Capitouls firent si bien, quoique le suppliant ne donnât pas de bien grandes raisons à l'appui de sa demande, qu'ils lui accordèrent la somme portée dans le mandement précité. —Jean Palaprat, chef du Consistoire, est l'un des Capitouls qui signèrent cette ordonnance. Les Capitouls ne s'étaient pas toujours montrés aussi généreux envers M. de Lafaille. En 4662 et en 4665,
généreux envers M. de Lafaille. En 4662 et en 4665, ils ne lui avaient donné qu'une somme de 300 livres; et en 4698, ils ne donnèrent qu'une somme semblable à Pierre Baylot, son neveu et son successeur dans la charge du syndicat de la ville. Après les officiers de la maison commune, venaient, comme je l'ai annoncé, les couvents ; mais ce que les Capitouls accordaient ici, à titre d'aumône pie, était nécessairement peu de chose, par cette raison que les sommes données, à titre de gratification, aux employés de la ville absorbaient en très grande partie celle qui faisait
la ville absorbaient en très grande partie celle qui faisait l'objet de la distribution. Une somme de cinq livres est celle qu'indiquent, en général, les mandements. Ainsi, en 4698, un mandement de cette somme fut délivré « à cause de leur extrême pauvreté, » aux religieuses de Notre-Dame de la porte du faubourg Saint-Cyprien; — aux religieux du grand couvent de l'observation Saint-François, « à cause de leur grande misère; » — aux religieux pénitents du tiers-ordre de Saint-François du couvent de Notre-Dame de la Paix de cette ville, « comme ne pouvant point subvenir aux nécessités indispensables de leur
comme ne pouvant point subvenir aux nécessités indispensables de leur communauté. » Il y avait pourtant des époques où les Capitouls donnaient davantage. En voici la preuve : Le 4 décembre 4593, ils firent expédier un mandement d'une somme de quatre écus sol au profit du syndic des religieux du couvent de l'ordre de Saint-Augustin pour les causes exprimées en sa requête, où il disait « qu'à cause de l'injure et calamité du temps, la charité est si refroidie en leur endroit, que ledit couvent est réduit en telle extrême pauvreté qu'il n'y a moyen de nourrir et entretenir les
pauvreté qu'il n'y a moyen de nourrir et entretenir les prêtres et religieux d'icelui, et qu'on est contraint de les congédier; et par ce moyen, le service divin demeure diminué, » Le 4 décembre 4677, un mandement de la somme de six livres fut délivré « au questeur de la maison professe de la compagnie de Jésus pour aumône pie et pour les causes contenues en sa requête. » — Or, la requête présentée aux Capitouls, et qui plus qu'aucune autre mérite d'être reproduite, portait : « Supplie humblement le questeur de la maison professe de la Compagnie de Jésus,
questeur de la maison professe de la Compagnie de Jésus, qu'attendu qu'elle est du nombre des maisons mendiantes, et que, suivant son institut, depuis son établissement dans Toulouse, elle ne vit et ne subsiste que par la quête, il vous plaise, Messieurs, pour l'amour de Dieu, la faire participante des libéralités que vous avez coutume de distribuer en ce temps aux nécessiteux. Vous continuerez par ce moyen les bienfaits de vos prédécesseurs; et obligerez toujours plus le suppliant et les autres de ladite maison à continuer de prier Dieu pour votre santé et prospérité. » Signé : Alphonse ROBERT, de
votre santé et prospérité. » Signé : Alphonse ROBERT, de la Compagnie de Jésus. Les trois Capitouls, Géraud de Margastaud, Jacques d'Ouvrier et Bernard Descat accordèrent, comme je l'ai déjà dit, une somme de six livres au quêteur de la maison des Jésuites. Auparavant, en 4642 et en 4648, les religieux du même couvent avaient obtenu une somme de 20 livres, et le même de 60 en 4609; mais peut-être qu'en 4677, les besoins de la maison professe n'étaient pas aussi grands. Voici des demandeurs d'un autre genre : L'on sait qu'autrefois, une messe solennelle du Saint-Esprit était célébrée, chaque
sait qu'autrefois, une messe solennelle du Saint-Esprit était célébrée, chaque dimanche, au grand autel de l'église de Saint-Sernin, et ce, d'après certains documents, pour la prospérité du Roi et de son royaume. L'on sait aussi que les règlements généraux des dépenses de la ville allouaient annuellement, pour l'honoraire de cette messe, une somme de cinquante livres. Suivant une pièce que je viens de découvrir aux archives de notre Hôtel de ville, les Capitouls ou tout au moins quelques-uns d'entre eux, y assistaient. Les personnes attachées à l'église, chargées, paraît-il, de décorer les stalles du chœur où se plaçaient nos anciens
décorer les stalles du chœur où se plaçaient nos anciens magistrats municipaux, ne manquaient pas de se prévaloir de cette circonstance, lors de la distribution du Sceau vert. C'est ce qu'elles firent, le 4 décembre 1604, comme l'atteste la pièce nouvellement découverte, dont je parlais tout à l'heure. On leur accorda en récompense une somme de cinq livres. Les établissements religieux n'étaient pas les seuls admis à prendre part au Sceau vert. On y admettait également certains établissements scolaires, dont la pauvreté était notoire. Au mois de décembre 4646, on donna pour aumône pie aux prêtres et écoliers irlandais une
donna pour aumône pie aux prêtres et écoliers irlandais une somme de cinq livres (elle fut de douze livres en 1648). Il existe plusieurs mandements qui constatent que les Capitouls faisaient participer également, à la distribution du Sceau vert, à titre d'aumône, certaines personnes auxquelles ils accordaient diverses sommes, dont la quotité était déterminée par la situation des suppliants. Une requête, datée du 12 décembre 4668, nous apprend que « Marguerite Campagnac, pauvre orpheline, n'ayant père ni mère, délaissée de ses parents, et n'ayant d'autres biens dans ce monde pour pouvoir vivre que ce qu'il plaisait aux gens de bien
pouvoir vivre que ce qu'il plaisait aux gens de bien de lui aumonner, » s'adressa aux Capitouls tenant le Sceau vert, les priant « de lui accorder telle somme de deniers qu'il leur plairait. » Et les Capitouls lui accordèrent une somme de dix livres. Le 42 décembre 1678, Me Jean Chaptal, vicaire de Saint-Etienne, avait présenté aux Capitouls une requête, où il demandait que, dans la distribution du Sceau vert, « il leur plût de partir leurs libéralités à un grand nombre de pauvres tant malades que honteux de la paroisse dudit Saint-Etienne, dont le suppliant, disait-il, ne vous
la paroisse dudit Saint-Etienne, dont le suppliant, disait-il, ne vous expose point le rolle pour être presque impossible de les y comprendre tous, vous assurant que celui qui rend le centuple vous en récompensera, et que ces misérables en seront les intercesseurs. » DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 473 Les Capitouls accordèrent une somme de huit livres. Il résulte de la pièce que je viens de citer qu'il y avait à Toulouse, à l'époque qu'elle mentionne, un grand nombre de déshérités de la fortune. Il est vrai de dire qu'il y en eut toujours beaucoup. Le fonds entier du Sceau vert
en eut toujours beaucoup. Le fonds entier du Sceau vert aurait été bien insuffisant, si l'on avait voulu secourir tous les pauvres que la ville renfermait. Nos anciens administrateurs municipaux durent forcément employer d'autres moyens, faire usage d'autres ressources pour venir à leur secours. D'ailleurs, le Sceau vert ne devait pas toujours subsister. La distribution de deniers, décorée de ce nom, distribution arbitraire qui n'était soumise à aucun contrôle, donnait lieu trop souvent à des abus contre lesquels ne pourrait manquer de protester tous ceux qui avaient souci du bon emploi des finances municipales. Curés de la ville ayant présenté,
emploi des finances municipales. Curés de la ville ayant présenté, le même jour, une requête semblable à celle du vicaire de Saint-Etienne obtinrent chacun un mandement d'une égale somme de huit livres. Tous les anciens documents parlent, en effet, de la quantité de mendiants qui désolaient la ville de Toulouse. On adressait, à cet égard, à tort ou à raison, de grands reproches aux Capitouls que l'on accusait de négliger cette branche de l'administration municipale. Mais l'une des causes qui attiraient à Toulouse les mendiants et vagabonds des campagnes et des villes voisines, et provoquaient à la mendicité les pauvres