jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
et les photons, et une pour la détermination du choix entre les états de sortie multiples apparaissant dans les modèles du type FHP. Comme nous sommes limités à 16 bits par site sur un RAP1, cela laisse trois variables booléennes disponibles pour "compter" les micro-pas de temps jusqu'à r+1. La distance maximale d'interaction du modèle est donc r = 7. A cette distance le graphe de la fonction d'état p7μ(ρ) présente une pente négative ce qui permet de prédire une transition de phase. On observe une telle transition, caractérisée par une décomposition spinodale semblable à celle observée pour les modèles
une décomposition spinodale semblable à celle observée pour les modèles de la référence [4]. La propagation explicite des photons utilisée sur la machine RAP1 n'est pas nécessaire sur les calculateurs électroniques classiques, qui peuvent effectuer l'évaluation directe (c'est-à-dire sans tables) du membre de droite de (2) en un seul pas de temps. Cette évaluation ne requiert qu'un petit nombre d'opérations élémentaires par direction, et nécessite un effort de calcul inférieur à celui exigé pour le calcul de l'opérateur W sans interactions. On peut donc envisager de réaliser le modèle à D = 3 sans difficultés particulières. Notons aussi que les
D = 3 sans difficultés particulières. Notons aussi que les principes des interactions ci-dessus peuvent être étendus à des modèles colorés. Dans ces modèles les tables de collisions à plusieurs couleurs sont difficiles à manipuler. Cette difficulté peut être évitée par des interactions du type de la figure. Enfin, le formalisme présenté ici pourrait sans doute s'appliquer à d'autres modèles avec des interactions à distance comme les vols de Levy introduits par Hayot [14]. Note remise le 10 septembre 1992, acceptée après révision le 8 janvier 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] U. FRISCH, B. HASSLACHER et Y. POMEAU, Phys. Rev. Lett.,
U. FRISCH, B. HASSLACHER et Y. POMEAU, Phys. Rev. Lett., 56, 1986, p. 1505-1508. [2] D. H. ROTHMAN et J. M. KELLER, J. Stat. Phys., 52, 1988, p. 1119-1127. [3] H. CHEN, S. CHEN, G. D. DOOLEN, Y. C. LEE et H. A. ROSE, Phys. Rev., A 40, 1989, p. 2850-2853. [4] C. APPERT et S. ZALESKI, Phys. Rev. Lett., 64, 1990, p. 1-4. [5] J. L. LEBOWITZ, E. ORLANDI et E. PRESUTTI, J. Stat. Phys., 63, 1991, p. 933-974. [6] D. H. ROTHMAN dans Discrete Kinetic Theory, Lattice-Gas Dynamics, and Foundations of Hydrodynamics, R. MONACO éd., World Scientific, Singapore,
and Foundations of Hydrodynamics, R. MONACO éd., World Scientific, Singapore, 1989, p. 286-299. [7] C. APPERT, V. POT et S. ZALESKI, Bull. Soc. Fr. Phys., 83, 1992, p. 8-11. [8] D. H. ROTHMAN et S. ZALESKI, J. de Physique, 50, 1989, p. 2161-2174. [9] C. APPERT, D. d'HUMIÈRES, V. POT et S. ZALESKI, Proceedings of Euromech n 287, Discrete Models in Fluid Dynamics, Theory and Experiment, Transport Theory and Statistical Physics (soumis). [10] D. d'HUMIÈRES et P. LALLEMAND, Complex Systems, 1, 1987, p. 599-632. [11] U. FRISCH, D. d'HUMIÈRES, B. HASSLACHER, P. LALLEMAND, Y. POMEAU et J.-P. RIVET, Complex Systems,
HASSLACHER, P. LALLEMAND, Y. POMEAU et J.-P. RIVET, Complex Systems, 1, 1987, p. 649-707. [12] C. APPERT et S. ZALESKI, J. de Physique (à paraître). [13] A. CLOUQUEUR et D. d'HUMIÈRES, Complex Systems, 1, 1987, p. 585-597. [14] F. HAYOT, Phys. Rev. A 43, 1991, p. 806-810. Laboratoire de Physique Statistique, École Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France, Méthodes numériques appliquées à la mécanique/Computational Mechanics Un schéma conservatif à pas fractionnaires pour résoudre les équations d'Euler en maillage non structuré Thierry BUFFARD et Jean-Marc HÉRARD Résumé Pour résoudre les équations d'Euler non isentropiques, on définit une
Pour résoudre les équations d'Euler non isentropiques, on définit une méthode conservatrice à pas fractionnaires utilisant des linéarisations de type Roe permettant d'éliminer la correction entropique au voisinage des points soniques. On montre que la précision spatiale est équivalente à celle obtenue par le schéma de Roe classique avec correction entropique. A conservative splitting scheme to solve Euler equations on unstructured meshes Abstract — In order to solve full Euler equations, we derive a conservative fractional step method which utilizes Roe's schemes and enables one to get rid of entropic corrections around sonic points. Spatial accuracy is shown to be
corrections around sonic points. Spatial accuracy is shown to be the same as the one obtained using Roe's standard scheme with entropic correction. Abridged English Version — We consider Euler equations for a compressible fluid which are written: (Euler) ~Wf +-FX (W) + G , (W) = 0 in bounded open set Ω in ffl2 with initial data and boundary conditions such that (1) is a well posed initial boundary value problem (cf. [6]). We define: (i) <W, > = <F (W) + <G (W); (ii) </ (W, >) = <Fw (W)+ < Gw (W), whatever F and G stand
<Fw (W)+ < Gw (W), whatever F and G stand for, and where < = (<1 <2)T designates a non-zero vector of ℝ2. We aim here to compare two different algorithms: Roe's standard scheme which constitutes a convenient procedure provided that an entropic correction is included, and a two-step splitting technique (including no correction around sonic points) as defined below. In the first step, we solve the generalized convection problem in conservative form: (E1) W. + F^W + G^CVlO-yO ~where: f 1 (W) T = (p u, ρu2, ρuv, uE) and Y 1 CW) T = (p v, puv, ρv2,
and Y 1 CW) T = (p v, puv, ρv2, vE) In the second step, we solve : (E2) + where: ~f 2 (W) T = (0, p, 0, up) and G2 (W) T = (0, 0, p, vp). Note that the first system is degenerated whereas the second one is not. For both of these, Roe's average schemes do exist. In order to derive both schemes, we define an unstructured finite-volume approach based on a regular triangulation of the domain and colocated average values are chosen to be cell-centred values; subscripts or j refer to discrete values on either
values; subscripts or j refer to discrete values on either side of the interface. Explicit Euler integration is achieved in both steps to give: Step 1: Note présentée par Paul GERMAIN. 0764-4450/93/03160575 $ 2.00 e Académie des Sciences The first one deals with the supersonic shock tube problem (T1 non-stationary case); the second one (T2 stationary case) has been defined in [13] and represents supersonic shock reflection on a wall. Density profiles and iso-pressure levels are plotted in figure 1 and figure 3 (for T1 and T2 respectively); comparison of spatial convergence is displayed on figures 2a (T1) and 2b
spatial convergence is displayed on figures 2a (T1) and 2b (T2). As expected, no numerical disturbance arises around the sonic point (see T1) and a similar rate of convergence is obtained. It should also be noted that implementation of the second step requires no conditional test; moreover, only one square root function is needed per time step, since prediction of the density function is done only in the first step. Hence, this method implies no increase of computational time and represents an interesting alternative for solving the Euler system. INTRODUCTION. — Dans le cas d'un système hyperbolique du premier ordre
— Dans le cas d'un système hyperbolique du premier ordre (Saint-Venant, Euler.), la technique des pas fractionnaires est généralement utilisée dans le but de relaxer la contrainte de type CFL sur le pas de temps ou de se ramener à la résolution de sous-systèmes physiques plus simples (cf. [1], [2]). Dans cette étude, l'introduction de cette technique se justifie d'une part par le choix du schéma, d'autre part par les propriétés de certains systèmes continus. En effet, on sait que l'utilisation d'un solveur de Riemann approché de type Roe reste, à l'heure actuelle, une alternative intéressante pour des systèmes admettant
à l'heure actuelle, une alternative intéressante pour des systèmes admettant une forme conservative. Ces schémas présentent le principal avantage de résoudre exactement les discontinuités stationnaires pour des coûts relativement faibles. Cependant, dans le cadre des écoulements monophasiques par exemple, ils permettent l'apparition de chocs de détente stationnaires; il est alors nécessaire d'introduire localement au schéma une correction entropique généralement paramétrique (cf. [3]) ou non triviale (cf. [4]). De plus, la méthode de splitting apparaît également intéressante pour traiter certains modèles diphasiques eulériens pour lesquels l'hyperbolicité du système continu est conditionnelle (cf. [5]). L'application à de tels systèmes d'un schéma de
(cf. [5]). L'application à de tels systèmes d'un schéma de type Roe pose alors des problèmes numériques importants. On se propose ici de comparer une technique à pas fractionnaires conservative et une résolution globale du système dans le cas des équations d'Euler 2D sur deux tests numériques pour une formulation volumes finis en maillage non structuré utilisant des linéarisées de Roe. 2. PROBLÈME CONTINU. On considère le système des équations d'Euler bidimensionnel écrit sous forme conservative : (1) WT + F(W)x + G(W)y = 0 dans un ouvert borné de R2 avec une condition initiale et des conditions aux limites
R2 avec une condition initiale et des conditions aux limites telles que le problème (1) soit bien posé (cf. [6]). On a : WT = (ρ, pu, pv, E), F(W)T = (ρw, ρu2+p, ρv, u(E+p)), G(W)T = (ρv, ρ uv, ρ v2+p, v(E+p)) auquel on ajoute une loi d'état p = (γ-1)(E - (p/2) (w2 + v2)). On désigne par γ l'indice adiabatique du gaz, ρ la densité, u et v les composantes du vecteur vitesse, p la pression et E l'énergie totale volumique. On note pour tout n = (nx, n2)T dans R2 de norme L2 non nulle I!JI
(nx, n2)T dans R2 de norme L2 non nulle I!JI : (i) ^(W,n) = niF(W) + n2G(W); (ii) jf(W,ç) = „i Fw(W) + n2 Gw(W). Les valeurs propres de la matrice jacobienne A(W, n) sont : λ1(W, n)=J.n-cn, λ2 (W, n) = λ3 (W, n) = U .n, λ4(W, n)= J.n + cn où c est la célérité du son (c2 = (γ p/ρ), et la matrice est diagonalisable. 3. DISCRÉTISATION DE (1) EN VOLUMES FINIS. — Le système (1) est discrétisé par une formulation volumes finis colocalisées pour laquelle on peut considérer différents recouvrements non structurés du domaine Ω.
on peut considérer différents recouvrements non structurés du domaine Ω. Ainsi, dans [7], deux constructions possibles de cellules d'intégration basées sur une triangulation préalable de R2 sont comparées. Pour la première, le point ai de colocation est le nœud sommet et la cellule associée est construite en joignant les barycentres et les milieux des arêtes des triangles ayant ai pour sommet (cf. [8]). La seconde dite barycentrique a ses points de colocation situés au barycentre des triangles qui constituent alors les cellules d'intégration. Les simulations numériques ont alors montré qu'à nombre de degrés de liberté équivalent, on obtient la même
nombre de degrés de liberté équivalent, on obtient la même précision dans les deux cas pour une simplicité et surtout un coût en faveur de la formulation barycentrique qui est retenue. Le schéma en temps considéré est de type Euler explicite et le schéma en espace de type solveur approché de Roe (cf. [9]). Sur chaque portion d'arête ôKij entre deux nœuds ai et aj, on doit approcher le flux à l'interface permettant la résolution d'un problème de Riemann entre les états Wi et Wj. On note Yij la normale extérieure unitaire à ôKij et (iii) J/(Wh W -) a
extérieure unitaire à ôKij et (iii) J/(Wh W -) a ses valeurs propres réelles et les vecteurs propres associés engendrent RPN si p est la dimension du système (1). Pour certains systèmes, cette matrice peut être recherchée comme la matrice jacobienne continue ~(W, n) appliquée à ~W, un état moyen entre Wi et Wi à déterminer. Dans le cas Euler, la moyenne de Roe s'écrit : où h est l'enthalpie spécifique donnée par h = ((E+p)/ρ). Le flux de Roe (2) peut s'écrire sous les deux formes équivalentes suivantes : Fig. 1. — Profil de densité pour le schéma de
Fig. 1. — Profil de densité pour le schéma de Roe corrigé et pour le schéma à pas fractionnaires. Fig. 1. — Density profiles using Roe's corrected scheme and fractional step method. (a) (b) Fig. 2. a, b : Erreur spatiale en norme L1 pour les deux schémas à nombre de CFL constant (CFL = 0,9). Fig. 2. — a, b: L1 spatial error norm for both schemes with fixed CFL number (CFL = 0.9). On remarque ainsi que le schéma de Roe s'identifie à un décentrement total amont du flux lorsque toutes les valeurs propres sont de même signe
flux lorsque toutes les valeurs propres sont de même signe : Cependant, afin d'éviter l'apparition de chocs stationnaires non admissibles physiquement, il faut modifier le calcul des flux au voisinage des points où une valeur propre A(W, n) est proche de 0. La correction testée ici est celle proposée par Roe (cf. [3]). Il apparaît numériquement qu'elle n'est en fait nécessaire que pour les valeurs propres 1.1 (W, n) et 1.4 (W, n). 4. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE A PAS FRACTIONNAIRES. Les deux pas fractionnaires pour résoudre (1) correspondent respectivement à : (7) Wt + El, x (W) + F1,
à : (7) Wt + El, x (W) + F1, Y (W) = 0 avec : F1 (W)T = (ρu, ρu2, puv, uE) et G1 (W)T = (ρv, ρuv, ρv2, vE) (8) Wt + F2,x(W) + G2, y(W) = 0 avec : F2 (W)T = (0, p, 0, up) et G2 (W)T = (0, 0, p, vp). Le système de convection (7) est dégénéré : la vitesse U. n est valeur propre d'ordre 4 et la matrice jacobienne du flux n'est pas diagonalisable. On a utilisé dans ce cas un schéma basé sur l'expression (6) du schéma de Roe (cf.
schéma basé sur l'expression (6) du schéma de Roe (cf. [2] et [10] pour une approche différente). L'existence d'une moyenne de Roe, dont on donne l'expression ci-dessous, détermine alors complètement le schéma. Le système de propagation (8) est hyperbolique avec comme valeurs propres : Il admet également une moyenne de Roe : Le schéma à pas fractionnaires se résume donc ainsi : Soit Δt le pas de temps et soit V (i) l'ensemble des nœuds voisins de αi. Soit ~W" l'approximation de la solution dans le triangle Ki à l'instant n At. Étape de convection. — On suppose ~W" connu;
n At. Étape de convection. — On suppose ~W" connu; on calcule une approximation numérique du système (7) par : Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée par un décentrement extérieur, en sortie par un décentrement intérieur, et aux parois par un flux nul. Étape de propagation. — À partir des champs à l'instant * donnés par (11), on calcule une approximation numérique du système (8) par : avec ϕ2(~Wf, ~Wf, -nt.j .) défini par (4) ou (5) et çî2 (W?-, «0) calculée à partir de (10). Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée
Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée et en sortie par un flux de Steger et Warming, et aux parois par la définition d'un état miroir (cf. [7], [11]). Remarque. — Ce splitting n'est a priori pas admissible ou consistant avec la condition d'entropie de (1) au sens défini dans [12]. 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. — La comparaison du schéma de Roe, associé à la formulation volumes finis bidimensionnelle définie au paragraphe 3, entre cette technique des pas fractionnaires et le traitement du système complet d'Euler (avec correction entropique) est présentée sur deux tests analytiques : l'un est
entropique) est présentée sur deux tests analytiques : l'un est 1D instationnaire (cas T1), l'autre 2D stationnaire (cas T2). On présente dans un premier temps le cas du tube à choc pour des rapports de détente conduisant à un régime supersonique : avant rupture de la membrane, les deux états du fluide dans le canal sont : à gauche de la membrane : uG = 0, pG = 5, ρG = 5; à droite de la membrane : uD = 0, pD = 0,1, ρD = 0,125. L'étude est menée dans un intervalle de temps tel que l'onde de choc
dans un intervalle de temps tel que l'onde de choc n'a pas atteint la frontière. La figure 1 qui compare la variable densité à T = 9 s pour un pas d'espace Δx de 0,2 et un pas de temps de 0,04 s entre les deux approches montre que la qualité des résultats est comparable. Ceci est confirmé par le calcul d'erreurs en norme L1 de la densité à T = 9 s dont on montre (fig. 2 a) l'ordre réel de convergence à CFL constante (CFL = 0,9). On remarque de plus que le fait de scinder le système
remarque de plus que le fait de scinder le système ne modifie pas la vitesse de convergence du schéma (l'erreur est en 0 (ho. 7) pour un schéma d'ordre 1). Le cas de la réflexion simple d'un choc sur une paroi (cf. [13]) a pour conditions aux limites : en entrée 1 (x = 0) : ρ = 1, u = 2,9, v = 0, p = 5/7; en entrée 2 (y= 1): ρ = 1,699966, u = 2,619 342, v= -0,506 32, p = 1,528 194; en sortie (x = 4) : ρ = 2,687 225, u = 2,401
= 4) : ρ = 2,687 225, u = 2,401 487, v = 0, p = 2,933 961. Fig. 3. Iso-pressions pour le schéma de Roe corrigé et pour le schéma à pas fractionnaires. Fig. 3. Pressure contours using Roe's corrected scheme or full-staggered step method. (a) (b) Fig. 4. a, b Résidu temporel en norme L2 pour le schéma à pas fractionnaires (cas T1 et T2). Fig. 4. a, b: L2 temporal residual norm (cases T1 and T2). L'état initial du calcul est constant dans tout le domaine et égal aux conditions de l'entrée 1. La CFL utilisée est
égal aux conditions de l'entrée 1. La CFL utilisée est de 0,8 et correspond à la CFL maximum envisageable. On constate que ce test numérique conduit à des résultats similaires (fig. 3 pour des isopression sur un maillage avec Δx = Δy = 0,025 et pour un pas de temps de 0,0025 s, fig. 2 b pour la convergence). L'erreur varie ici comme O(h0,9). Notons toutefois que la convergence vers l'état stationnaire est moins bonne avec le splitting (fig. 4); sur le maillage le plus fin le résidu stationnaire pour les variables densité et énergie oscille autour de 10-5 (on
les variables densité et énergie oscille autour de 10-5 (on observe un comportement similaire pour une extension du schéma à l'ordre 2 de type MUSCL sur le système complet). 6. CONCLUSION. — Au vu des cas tests réalisés, l'introduction d'une technique à pas fractionnaires permet de s'affranchir de la correction entropique dans le cadre Euler tout en donnant des résultats équivalents à ceux obtenus par une approche globale du système. Cette approche est moins coûteuse que l'approche directe globale. Ce résultat semble également constituer une alternative intéressante pour aborder des systèmes diphasiques eulériens à deux fluides conditionnellement hyperboliques qui deviennent
systèmes diphasiques eulériens à deux fluides conditionnellement hyperboliques qui deviennent inconditionnellement hyperboliques dans le cas de régime de convection pure ou de propagation pure. Note remise le 6 juillet 1992, acceptée après révision le 19 janvier 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] S. ABARBANEL, P. DUTH et D. GOTTLIEB, Computers and Fluids, 17, n° 1, p. 1-12. [2] R. BARAILLE, G. BOURDIN, F. DUBOIS et A. Y. LE Roux, C. R. Acad. Sci. Paris, 314, série I, 1992, p. 147-152. [3] P. L. ROE, Lectures in applied mathematics, 22, Engquist, Osher, Somerville éd., AMS, 1985, p. 163-193. [4] F. DUBOIS et G.
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que chaque chaîne entre nœuds de réticulation est confinée par la présence des autres chaînes et des autres nœuds de réticulation dans son volume r3 = r0^p~1, où p est la concentration, ce confinement est quelque peu différent du confinement des chaînes dans leur tube décrit par Marcussi et Gaylord. L'équation de Mooney et Rivlin et sa dépendance avec la concentration est alors expliquée si l'on tient compte de l'énergie de confinement de ces chaînes. Remark on the elasticity of polymers: the Mooney and Rivlin equation Abstract — Crosslinked polymers are assumed to be equivalent to N interpenetrated networks of
are assumed to be equivalent to N interpenetrated networks of mesh size r = r0ϕ 1/3, r0 ~ being the distance between two consecutive crosslinks and ϕ the concentration of monomers. Each chain of mass Mc is confined by the other chains in the mesh volume r3 which deform affinely during the macroscopic deformation. It is shown that in this case, the confinement energy leads to the Mooney and Rivlin equation and its dependence with the concentration, without adjustable parameter. This confinement model is somewhat different from the tube confinement of Marcussi and Gaylord. Mooney et Rivlin ([1]-[3]) ont montré
of Marcussi and Gaylord. Mooney et Rivlin ([1]-[3]) ont montré que l'énergie d'un caoutchouc incompressible et déformé pouvait se mettre sous la forme : O W = C1I1+C2I2 où les invariants de la déformation sont : I1 = 1 + et I2 = YJK2K étant les rapports d'extension selon les trois axes principaux, et C1 et C2 des paramètres du même ordre de grandeur dans les caoutchoucs et les polymères fondus (aux temps courts). Le premier terme de l'équation (1) est expliqué par la théorie de l'élasticité ([3], [5]) caoutchoutique, le deuxième est l'objet d'un vaste débat; il serait dû
le deuxième est l'objet d'un vaste débat; il serait dû soit aux corrélations d'orientation à faible portée entre chaînes voisines [6], soit au confinement des chaînes dans leur tube ([7], [8]). Il n'y a pas à notre connaissance de modèle prédisant la dépendance de C2 avec la concentration ϕ. L'objet de cette Note est de reprendre l'idée de confinement de Marcussi [7] et Gaylord [8] mais sans faire intervenir la notion de tube pour expliquer l'équation de Mooney et Rivlin. MODÈLE. Soit un polymère réticulé, ayant N chaînes par unité de volume dans l'état sec, ces chaînes ayant une masse
de volume dans l'état sec, ces chaînes ayant une masse Mc et une distance bout à bout r0~ pc entre deux points de réticulation. Le fondu est analogue à une série de réseaux interpénétrés de maille r0 [9]. Chaque réseau ayant un module le nombre de réseaux interpénétrés étant N : Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0764-4450/93/03160583 $ 2.00 0 Académie des Sciences Cette analyse ne conduit pas à l'expression correcte du module dans le cas où \(r_0 \ll a_0\), ni à sa dépendance avec la concentration. EFFET DE LA CONCENTRATION. — Plaçons-nous dans le domaine concentré où \(r_0\)
LA CONCENTRATION. — Plaçons-nous dans le domaine concentré où \(r_0\) ne dépend pas de la concentration. Soit \(p\) la concentration de chaînes, le matériau gonflé est alors déformé dans les 3 directions de rapports \(X_t\). La déformation totale \(X\) par rapport au matériau sec est : \[ X = \frac{1}{3 } \] Chaque chaîne est piégée dans la maille déformée de son réseau, le volume de la maille étant \(r_0^3 p - 1\). L'énergie libre correspondante à chaque maille est alors : \[ l'énergie totale par unité de volume est alors : \] avec \(C_1 = 1\) et \(C_2 =