jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
la technique de corrélation s'avère efficace pour traiter le mode q L pour deux angles d'observation successifs, puisque le paquet d'onde longitudinal conserve une allure temporelle voisine au cours du balayage (cf figure 1 b pour un angle d'observation de 60°). Cette relative invariance du mode q L jusqu'à des valeurs très importantes de l'angle d'observation, est particulièrement avantageuse, car elle permet d'opérer un suivi par autocorrélation du temps d'arrivée du front d'onde q L, et donc de mesurer précisément la vitesse de propagation correspondante. La figure 2 fournit des résultats analogues, cette fois-ci pour une lame de composite carbone/époxy.
résultats analogues, cette fois-ci pour une lame de composite carbone/époxy. Dans ce cas, et malgré de multiples efforts, il ne fut malheureusement pas possible d'isoler le mode multiple 3 L, trop fortement atténué. Toutefois, le mode quasi transverse (q T) rapide est sans ambiguïté présent pour la configuration à l'épicentre (noté par T sur la figure 2 a), ainsi que pour des angles d'observation différents de zéro, permettant ainsi d'effectuer de nouveau des mesures précises par autocorrélation sur ce mode, tout du moins pour une excursion angulaire faible. 3. RÉSULTATS ET DISCUSSION. Les mesures de vitesse obtenues pour les deux
ET DISCUSSION. Les mesures de vitesse obtenues pour les deux matériaux composites décrits ci-dessus sont rassemblées sur la figure 3. Dans les deux cas, les lenteurs théoriques (traits continus) sont déterminées à partir des valeurs des constantes élastiques obtenues par inversion des vitesses de propagation mesurées à l'aide du banc à immersion. En clair, les résultats rassemblés sur les figures 3 sont une comparaison des mesures obtenues en immersion avec celles fournies par la technique laser. L'accord général est acceptable pour le composite verre/époxy, et devient excellent pour le composite carbone/époxy. Sur ces figures sont reportées à la fois les
carbone/époxy. Sur ces figures sont reportées à la fois les lenteurs théoriques de phase et de groupe (les dernières étant souvent appelées surfaces d'onde). Il est remarquable de constater que dans le deuxième cas, les valeurs expérimentales obtenues par génération laser sont confondues avec les surfaces d'onde. Ceci atteste clairement que ce sont des vitesses de groupe qui sont effectivement mesurées. Ce résultat était déjà connu pour des monocristaux (Every, 1990 a et b), et les résultats décrits dans cette Note ne sont qu'une confirmation de ce qui pouvait être attendu dans des matériaux composites. Il faut noter que l'utilisation
attendu dans des matériaux composites. Il faut noter que l'utilisation de la transformée de Hilbert (Audoin, 1990) fournit des résultats légèrement différents mais qui reste analogues. La figure 4 présente de façon alternative les mêmes résultats expérimentaux, en s'appuyant sur les diagrammes de visualisation de fronts d'onde, i. e. les temps d'arrivée des différents modes de volume en fonction de l'angle d'observation (Castagnède, 1992 a). En ce qui concerne les modes directs, cette représentation est complémentaire de la précédente, et les caustiques en forme de cornes de croissant y sont visibles aussi (Auld, 1990; Castagnède, 1992 a). Du fait de
visibles aussi (Auld, 1990; Castagnède, 1992 a). Du fait de la très forte anisotropie sur le mode qT du carbone/époxy, la corne de croissant du mode 3T est très étendue, venant partiellement recouvrir le mode qT. Ceci ne signifie pas pour autant que la vitesse d'énergie sur le mode 3T dépasse celle du mode transverse direct, mais nécessite néanmoins une analyse complémentaire en cours. L'accord théorie-expérience est modeste pour le matériau verre/époxy. Par exemple, il n'est pas vraiment possible de trancher, en ce qui concerne la lenteur qL, entre la surface d'onde et la lenteur de phase. Plusieurs raisons peuvent
surface d'onde et la lenteur de phase. Plusieurs raisons peuvent expliquer ce désaccord relatif, à savoir : (i) Le fait déjà souligné que les lenteurs théoriques furent calculées à l'aide des constantes élastiques déterminées en interférométrie ultrasonore par immersion. Il est évident que la technique laser mesure des vitesses de propagation sensiblement différentes de celles déterminées par la méthode en immersion. Il faut d'ailleurs noter que dans l'état actuel de développement du système laser, la méthodologie en immersion est sans conteste plus précise, (ii) Une limitation intrinsèque de la détection utilisée dans ce travail tient à l'ouverture finie du capteur
utilisée dans ce travail tient à l'ouverture finie du capteur piézoélectrique (1,3 mm de diamètre) par rapport à l'épaisseur des plaques de composites (5,250 et 3,438 mm respectivement pour le verre/époxy et le carbone/époxy). Dès lors, il est manifeste que les mesures obtenues par autocorrélation, par transformation de Hilbert, ou par tout autre mode de traitement du signal ne peuvent prétendre qu'à une précision très relative. Il reste surprenant que dans le cas du carbone/époxy, les résultats obtenus soient si corrects, et attestent sans discussion possible que les vitesses mesurées sont voisines des vitesses de groupe. Il faut noter à
sont voisines des vitesses de groupe. Il faut noter à ce sujet que les différences entre les lenteurs de phase et de groupe sont très importantes (3614 et 7 184 m/s pour les vitesses respectives à 45° pour le mode qL). L'utilisation de capteurs quasi ponctuels devrait permettre d'améliorer l'ensemble de ces résultats. La technologie des capteurs piézoélectriques permet de fabriquer des détecteurs minuscules (0,5, 0,3, voire 0,1 mm). Certes la sensibilité, inversement proportionnelle au carré du rayon diminue d'autant. De plus, les sondes interférométriques laser large-bande sont aujourd'hui très au point (Monchalin, 1985 et 1986; Royer, 1986), et pourraient
au point (Monchalin, 1985 et 1986; Royer, 1986), et pourraient éventuellement trouver une application de choix en caractérisation de matériaux composites, si tenté que leur sensibilité soit suffisante. Pour des composites thermostructuraux (aspect noir mat, mauvais état de surface, hétérogénéité et porosité de surface), une telle caractérisation n'est pas triviale. Le fait de mesurer avec précision un grand nombre de vitesses qL sur une excursion anglulaire importante, ainsi que quelques valeurs de vitesse qT (au moins une à incidence normale) est particulièrement encourageant, puisque dans ce cas il fut démontré numériquement (Castagnède, 1992b; Every, 1992) que certains algorithmes d'inversion fournissent
numériquement (Castagnède, 1992b; Every, 1992) que certains algorithmes d'inversion fournissent des valeurs précises des constantes élastiques d'un plan principal donné. Il faut toutefois indiquer que ces conclusions furent obtenues en considérant les vitesses de phase, et qu'il resterait à vérifier pour des algorithmes d'inversion à partir de vitesses de groupe (Every, 1990b). Note remise le 1er février 1993, acceptée le 18 février 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES B. AUDOUIN et J. ROUX, Traitement du signal ultrasonore adapté à l'évaluation non destructive de matériaux dispersifs, Revue Phys. Appl., 25, 1990, p. 1011-1017. B. A. AULD, Acoustics fields and waves in solids, Wiley, New
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CASTAGNEDE, J. ROUX et B. HOSTEN, Correlation method for normal mode tracking in anisotropic media using an ultrasonic immersion system, Ultrasonics, 27, 1989, p. 280-287. B. CASTAGNEDE, J. T. JENKINS, W. SACHSE et S. BASTE, Optimal determination of the elastic constants of composite materials from wavespeed measurements, J. Appl. Phys., 67, 1990, p. 2753-2761. B. CASTAGNEDÉ, K. Y. KIM, W. SACHSE et M. O. THOMPSON, Determination of the elastic constants of anisotropic materials using laser-generated ultrasonic signals, J. Appl. Phys., 70, 1991, p. 150-157. B. CASTAGNEDÉ et A. MOURAD, Visualization of divergent acoustical wavefronts in an anisotropic plate, C. R.
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of anisotropic solids from acoustic wave group velocity measurements, Phys. Rev. B, 42, 1990, p. 8196-8205. A. G. EVERY, B. CASTAGNEDÉ et W. SACHSE, Numerical instabilities in inversion algorithms for recovering the elastic constants of anisotropic solids from wavespeed data, Proceedings of Ultrasonics International' 91, p. 459-462; Voir aussi A. G. EVERY et W. SACHSE, Ultrasonics, 30, 1992, p. 43-48. B. HOSTEN, M. DESCHAMPS et B. TILMANN, Inhomogeneous wave generation and propagation in lossy anisotropic solids. Application to the viscoelastic characterization of composite materials, J. Acoust. Soc. Am., 82, 1987, p. 1763-1770. B. HOSTEN, Reflection and transmission of acoustic plane
p. 1763-1770. B. HOSTEN, Reflection and transmission of acoustic plane waves on an immersed orthotropic and viscoelastic solid layer, J. Acoust. Soc. Am., 89, 1991, p. 2745-2752. D. A. HUTCHINS, Ultrasonic generation by pulsed lasers, in Physical Acoustics, 18, W. P. MASON et R. N. THURSTON, éd., Academic Press, New York, 1988, p. 21-123. J.-P. MONCHALIN, Optical detection of ultrasonic waves at a distance using a confocal Fabry-Perot interferometer, Appl. Phys. Lett., 47, 1985, p. 14-16. J.-P. MONCHALIN, Optical detection of ultrasound, IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq. Contr., UFFC-33, 1986, p. 485-499. J.-P. MONCHALIN, J.-D. AUSSEL, P. BOUCHART et
1986, p. 485-499. J.-P. MONCHALIN, J.-D. AUSSEL, P. BOUCHART et R. HEON, Laser-Ultrasonics for industrial applications, in Review of Progress in QNDE, Plenum Press, New York, 7B, 1988, p. 1607-1614. L. PICHE, B. CHAMPAGNE et J.-P. MONCHALIN, Laser ultrasonic measurements of elastic constants of composites, Mater. Eval., 45, 1987, p. 74-79. J. ROUX, B. HOSTEN, B. CASTAGNEDÉ et M. DESCHAMPS, Caractérisation mécanique des solides par spectrointerférométrie ultrasonore, Revue Phys. Appl., 20, 1985, p. 351-358. D. ROYER et E. DIEULESAINT, Optical detection of sub-Angstrom transient mechanical displacement, IEEE Ultrason. Symp. Proc., 1986, p. 527-530. C. B. SCRUBY, Some applications of laser
1986, p. 527-530. C. B. SCRUBY, Some applications of laser ultrasound, Ultrasonics, 27, 1989, p. 195-209. C. B. SCRUBY et L. E. DRAIN, Laser Ultrasonics: Techniques and applications, Adam Hilger, Bristol, 1990. A. M. : Laboratoire de Mécanique Physique, URA-CNRS n° 867, Université de Bordeaux-I, 351, cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France; B. C. : Laboratoire d'Acoustique, URA-CNRS n° 1101, Université du Maine, avenue O. Messiaen, 72017 Le Mans Cedex, France. Chimie théorique / Theoretical Chemistry État cohérent linéairement couplé avec des oscillateurs initialement dans leur état fondamental. Étude dynamique Paul BLAISE, Michel GIRY et Olivier HENRI-ROUSSEAU Résumé
Étude dynamique Paul BLAISE, Michel GIRY et Olivier HENRI-ROUSSEAU Résumé — La dynamique de N oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés est étudiée à l'aide de la méthode d'ordonnancement des opérateurs en considérant qu'au temps initial l'un des opérateurs est dans un état cohérent alors que les autres sont dans leur état fondamental. L'expression des opérateurs densités réduits de chacun des oscillateurs est obtenue de manière analytique en termes de propriétés des modes normaux. Il apparaît que chacun des opérateurs devient, comme requis, un état cohérent. Les formules analytiques obtenues permettent de calculer rapidement avec un micro-ordinateur la dynamique d'un nombre
de calculer rapidement avec un micro-ordinateur la dynamique d'un nombre élevé d'oscillateurs (104 par exemple). Coherent state linearly coupled with N oscillators initially in their ground states. Dynamical study Abstract — The dynamics of N quantum harmonic oscillators coupled linearly and subject to the boundary condition that only the kth oscillator is in an excited coherent state whereas the others are in the ground state, is studied using the normal ordering formalism. The time-dependent reduced density operators of the individual oscillators are derived and found to be those of coherent states. The solutions are expressed, as required, in terms of
states. The solutions are expressed, as required, in terms of the normal modes. They allow easy calculation of the dynamics of a very large set of oscillators such as 104. Abridged English Version — In order to approach the dynamics of a system involving a high number of degrees of freedom, we study the dynamics of N quantum harmonic oscillators coupled linearly and subject to the boundary condition that only the k-th oscillator is in an excited coherent state at initial time, whereas the others are in their ground state. The Hamiltonian H of N quantum harmonic oscillators is: where
The Hamiltonian H of N quantum harmonic oscillators is: where h-fi-j are the energetic parameters, whereas the aj a1 are the raising and lowering operators. We suppose that at initial time t = 0, the set of oscillators is described by |j>(0>, where the kth oscillator is a coherent state |oc> (Carruthers, 1968) whereas the others are in their ground state |o>. We start from the Schrodinger equation. In order to solve it, we use the normal ordering formalism and, with the aid of the N1 operator (Louisell, 1973), we obtain Again, performing the variable change: where it must be
obtain Again, performing the variable change: where it must be kept in mind that G(0) = 0 in order to have U(0) = 1, we obtain: Note présentée par Raymond DAUDEL. Académie des Sciences Moreover, it is suitable to write G as: where Ars(t) are time-dependent parameters that must be zero at initial time in order to verify U(0) = 1, i.e. A_r(0) = 0. After some transformations, we obtain from equation (5) the set of equations: where the crs are the eigenvectors of the matrix h_m of the parameters h_rojl involved in equation (7) whereas the λ_r are the
h_rojl involved in equation (7) whereas the λ_r are the corresponding eigenvalues. Next, by aid of the N operator and of equation (6) we obtain for the time evolution operator: Again, by action on the initial state (2) one finds, after some manipulation: where the α_kl(t) are given by: This result enables the full density operator of the set of oscillators to be obtained. Then, performing the partial trace on the full density operator, the reduced density operator characterizing the jth oscillator may be found, i.e. As it appears, the reduced density operator (12) characterizing any jth oscillator is that
reduced density operator (12) characterizing any jth oscillator is that of a coherent state (Carter, 1968). That result is in agreement with a general theorem (Glauber, 1966) which states that quantum harmonic oscillators coupled to a coherent state must become coherent. The expressions (12) have allowed us to calculate easily with a microcomputer the energy of any oscillator at a given time for a very large set involving, for instance, 104 oscillators. INTRODUCTION. — L'étude de la dynamique des polymères à grand nombre de degrés de liberté a fait de très grands progrès ces dernières années (Cammay, 1987; Brooks, 1988).
très grands progrès ces dernières années (Cammay, 1987; Brooks, 1988). Les approches les plus typiques sont les expériences de simulation dynamique comme celles de Elber et Karplus (1987). Généralement les approches théoriques sont de type semi-classique avec résolution pas à pas d'équations différentielles couplées. On peut cependant citer des approches de type semi-quantique (Durup, 1986) dans lesquelles une partie des degrés de liberté est traitée de manière quantique et l'autre de manière classique. Nous proposons ici une approche purement quantique qui intègre les aspects semi-classiques de ces problèmes en jouant sur les conditions initiales. LE MODÈLE ET LA MÉTHODE DE
sur les conditions initiales. LE MODÈLE ET LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION. Nous étudions ici la dynamique de N oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés, en partant d'une situation où l'un des oscillateurs est dans un état cohérent tandis que les autres sont dans leur état fondamental. Comme le système est quadratique, les solutions doivent être des fonctions des modes normaux de vibration du système. Par ailleurs, comme les oscillateurs sont forcés les uns par rapport aux autres et que, au temps initial, l'un des oscillateurs est dans un état cohérent alors que les autres sont dans leur état fondamental, on peut
que les autres sont dans leur état fondamental, on peut s'attendre à ce que progressivement tous les oscillateurs deviennent cohérents (Glauber, 1966). Plutôt que d'utiliser la méthode usuelle, faisant appel à l'opérateur d'évolution exprimé en terme d'exponentielle de l'hamiltonien, nous préférons ici nous servir de la méthode des opérateurs d'ordonnancement. Nous partons de l'hamiltonien des oscillateurs harmoniques couplés: où les facteurs h_ijjl sont des facteurs énergétiques tandis que les opérateurs a_i† a_j sont les opérateurs usuels de création et d'annihilation. Nous considérons qu'à t = 0 l'ensemble des oscillateurs est décrit par l'état |v>(0), où le k-ième oscillator est dans
décrit par l'état |v>(0), où le k-ième oscillator est dans un état cohérent |afc) tandis que les autres oscillateurs sont dans leur état fondamental |0l>, c'est-à-dire: Notons que par définition (2) un état cohérent est défini par: L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER EN TERMES D'OPÉRATEURS ORDONNÉS. — Nous partons de l'équation de Schrödinger: Nous résolvons cette équation en utilisant la méthode de l'ordonnancement normal (Louisell, 1973), ce qui conduit, à l'aide du théorème: Ensuite, à l'aide de l'opérateur N-1, qui autorise le passage des fonctions d'opérateurs ordonnés aux scalaires correspondants, nous obtenons: Maintenant nous effectuons le changement de variable suivant: Remarquons que
Maintenant nous effectuons le changement de variable suivant: Remarquons que pour vérifier la condition selon laquelle au temps initial l'opérateur d'évolution doit être: U(0)=1, il faut que l'on ait G(0) = 0. Par dériviation de l'équation (8) par rapport aux variables scalaires, nous obtenons: En outre, compte tenu de l'équation (8), la partie gauche de l'équation devient: Par ailleurs, grâce aux équations (9) et (10), l'équation (7) se transforme en: RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER. Maintenant, dans le but de résoudre cette dernière équation il est bon d'écrire la fonction G(t) sous la forme: où les paramètres Ars(t) dépendent du
G(t) sous la forme: où les paramètres Ars(t) dépendent du temps. Il faut remarquer que pour vérifier la condition U(0, ∞, t) = 1 au temps t = 0, il est nécessaire que Ars(0) = 0. Dérivons l'équation (12) par rapport au scalaire a* Ce dernier résultat permet d'écrire l'équation (11) sous la forme: D'un autre côté, par dériviation de l'équation (12) par rapport au temps on trouve: Dans ces conditions, en combinant les équations (14) et (15) on obtient le système suivant d'équations linéaires couplées Les solutions de ces systèmes d'équations sont de la forme: où les crs sont
systèmes d'équations sont de la forme: où les crs sont les vecteurs propres de la matrice h_ m formée par les paramètres h_i^j_ intervenant dans l'équation (1) et où les λ_r sont les valeurs propres correspondantes. L'OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION. Grâce à l'utilisation de l'opérateur N, autorisant à passer des scalaires aux opérateurs, l'opérateur d'évolution s'écrit: Cherchons maintenant l'action de l'opérateur d'évolution sur l'état initial défini par l'équation (2): Supposons que, sauf le premier, tous les paramètres r_i caractérisant les états cohérents tendent vers zéro. À t = 0 on obtient l'état (2), tandis que l'équation (19) devient: Souvenons-nous qu'un état cohérent
(2), tandis que l'équation (19) devient: Souvenons-nous qu'un état cohérent |ak> peut être écrit en fonction de l'état fondamental |0k> d'un oscillateur harmonique sous la forme: Compte tenu de cette équation l'expression (20) devient: ce qui peut s'écrire sous la forme condensée: LES OPÉRATEURS DENSITÉS. On peut remarquer que l'évolution temporelle de l'opérateur densité p(t), peut être exprimée en fonction de ce même opérateur p(0) au temps t = 0 à l'aide de : En utilisant les équations (23) et (24), on obtient pour l'opérateur densité (25) : A présent, considérons l'opérateur densité réduit caractérisant le j-ième oscillateur, qui est
considérons l'opérateur densité réduit caractérisant le j-ième oscillateur, qui est obtenu en effectuant la trace partielle sur tous les sous-espaces correspondant aux divers oscillateurs à l'exception du j-ième. Alors, en utilisant l'équation (26) et les propriétés d'orthogonalité de la base on obtient, à partir de l'équation (27), le résultat : Par ailleurs, compte tenu de ce que l'opérateur densité réduit doit être normalisé, on a : de sorte que le terme Kj(t) doit être donné par : Il en résulte que l'opérateur densité réduit (28) peut s'écrire : Il apparaît alors que cet opérateur a la même structure que celui
alors que cet opérateur a la même structure que celui d'un état cohérent. Pour terminer, nous donnons l'expression de l'opérateur d'évolution pour un oscillateur j quelconque. Cette expression peut être obtenue à partir de l'équation (28) en cherchant quelle est la transformation unitaire qui permet de passer de l'opérateur densité au temps initial caractérisant un état fondamental à l'opérateur densité réduit (28). CONCLUSION. — La dynamique d'un système quelconque d'oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés a été étudiée en partant d'un état initial où l'un des oscillateurs est quasi classique tandis que les autres sont dans leur état d'énergie fondamentale. Nous
que les autres sont dans leur état d'énergie fondamentale. Nous avons obtenu la dépendance par rapport au temps de l'opérateur densité total et des opérateurs densité réduits caractérisant chacun des oscillateurs, chacun des deux types d'opérateurs étant exprimé en termes des modes normaux de vibration de l'ensemble du système. Nous avons trouvé que chacun des oscillateurs au cours du temps devient progressivement un état cohérent dont nous avons pu préciser les propriétés caractéristiques. Ce modèle nous servira de référence dans nos études ultérieures concernant la dynamique des polymères, utilisant le formalisme mis au point par Zereg et Durand (1992). Ajoutons
formalisme mis au point par Zereg et Durand (1992). Ajoutons que les formules analytiques que nous avons obtenues nous ont permis de calculer sans difficulté, pour un temps donné, l'énergie d'un oscillateur quelconque faisant partie d'un ensemble important (par exemple 104 oscillateurs). Note remise le 17 septembre 1992, acceptée après révision le 4 février 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES C. L. BROOKS, M. KARPLUS et M. PETTITT, A theoretical perspective of dynamics, Structure and thermodynamics, Adv. Chem. Phys., 71-1, Wiley, New York, 1988. J. Mc. CAMMON et S. HARVEY, Dynamics of proteins and nucleic acids, Cambridge University Press Cambridge, 1987. P. CARRUTHERS