jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
The field equation (2) transforms then into (6), with a new field E,g (r) (the so-called local field) and a modified local polarizability (8). The arbitrary constant I drives the contribution of the infinitesimal Lorentz cavity centered on each point. Now the effective permittivity kernel is derived, following Michels [4], by successive statistical projections, and assumes the form (9), with notations explicited by (10) and (11). The last expression is Terwiel's n-points ordered correlation function [5], with <Ç (r)> the average operator over disorder. Next we use the arbitrariness of σ, and I in demanding that both <Eg (r)> and
σ, and I in demanding that both <Eg (r)> and εeff (k, ω) be zero when k, ω tend to zero. For a binary insulator/metal random medium mixed in proportions (1 -f) and f, the first condition leads to the modified Bruggeman condition [1], (12) with an insulator-metal percolation transition threshold fe = I instead of the usual 1/3, while the second one explicits a dependence of I in f Such that I goes to 1/3 when σ goes to 0 or 1. The transition threshold is the physical solution of 1 (/.)=*/., and its value is determined by the
of 1 (/.)=*/., and its value is determined by the terms retained in the evaluation of the kernel Z1.ff (k, ω). For a binary perfect disordered medium (with a two-point correlation function proportional to a Dirac distribution), an expansion of (10) using a known diagrammatic technique ([6], [7]), followed by the Borel resummation of two infinite sets of diagrams (those with 0 and one crossings) allows one to compute the propagator self-consistently for arbitrary space dimensions, leading to the transition thresholds reported in table (1); these have to be compared [6] to available bond-percolation thresholds on a cubic lattice [8].
[6] to available bond-percolation thresholds on a cubic lattice [8]. The experimental results supplied concern ex-carbonyl iron spheroids embedded in epoxide resin. Note présentée par Roger BALIAN. 0764-4450/93/03160305 $ 2.00 e Académie des Sciences Les mesures de la permittivité du guide à micro-ondes sont analysées à l'aide de la formule (12), en supposant I constant (comme une sorte de moyenne sur f). Les propriétés magnétiques sont alors formellement équivalentes aux propriétés diélectriques, avec Is noté 1M et lD. À partir des données expérimentales sur le matériau résineux, on fait un ajustement de /D (resp. 1M) et de la permittivité ef
ajustement de /D (resp. 1M) et de la permittivité ef de l'inclusion (resp. de la perméabilité μ) à partir des valeurs mesurées sur le composite. Les courbes correspondantes sont représentées ensemble avec les valeurs expérimentales en figures 1, 2. On a remarqué qu'il est de crucial importance de tenir compte de la dépendance en fréquence du matériau dans l'ordre de obtenir une permittivité effective fréquence indépendante, ID (fig. 3), qui est en bon accord avec le seuil obtenu à partir de la seule mesure du seuil de conductibilité statique sur les échantillons. 1. DÉFINITION DES CHAMPS. — Au régime temporel
les échantillons. 1. DÉFINITION DES CHAMPS. — Au régime temporel harmonique, l'équation du champ électrique qui règne dans un milieu de permittivité aléatoire ε(r) s'écrit (1) V x V x E (r) - ça2 ne (r) R (r) = 0 Dans une première étape, classique ([2], [3]), on introduit une permittivité arbitraire constante eg et on récrit (1) sous forme intégrale : où la représentation dans l'espace réciproque du noyau tensoriel C1, (r) est, avec k = ça2HEr, ~g' et où E2, (r) est la solution, assujettie aux conditions aux limites adéquates, de l'équation de propagation à coefficients constants :
limites adéquates, de l'équation de propagation à coefficients constants : (4) V x V x Etf(r) - k2Etf(r)=0 D'une certaine façon eg renormalise a (r). On peut aller plus loin et, en deuxième étape, renormaliser aussi la partie locale du propagateur ug (r), définissant un nouveau propagateur fi g l(r) par : (5) (r) = k« (r)+Iyô(r) où 1 est une constante complexe quelconque et où 8 est la distribution de Dirac. L'équation (2) prend alors la forme : (6) E,(r) = E,(r) + [dVfli(r-r')[Ç,(r)E,(O] où l'on a défini un nouveau champ E, (r) par et où l'on a étendu
nouveau champ E, (r) par et où l'on a étendu la notion de polarisabilité à la quantité Le coefficient I pilote le contenu de la cavité de Lorentz infinitésimale centrée en chaque point, et définit E1 (r) comme une interpolation entre le champ électrique (pour /=0) et l'induction normalisée par eg (pour /= 1). 2. PERMITTIVITÉ EFFECTIVE. Utilisant une méthode de moyennes successives sur le désordre, précédemment employée dans le contexte électromagnétique par Michels [4], on calcule le noyau de la permittivité effective eeff (k, ω) liant les moyennes statistiques < D > (k, ω) et < E > (k,
< D > (k, ω) et < E > (k, ω). On obtient : (9) eeff(k, ω) = e,[l+(l-f)C,eff(k, ω)][l-/C,eff(k, ω)]-1 avec (10) ?/eff(k,ω)=Z f^3^. • .<3r„fi ε (r1)ε (r2-r1).ε (r3-r2-r1). n^O J x <Ç/(O)<Ç/(rl)' <Ç/(rn)T(rn. où interviennent les fonctions de corrélation ordonnées à (n + 1) points de Terwiel [5] définies par (11) < Ç, (r) Ç, (r,) Ç, (r„) >T = < Ç, (r) ( 1 ) <Ç, (r , ). ( 1 ) <Ç, (r„) avec ?J'= (. ), l'opérateur de moyenne statistique. Utilisant l'arbitraire du choix des constantes eg et I, on peut imposer < Ç,
des constantes eg et I, on peut imposer < Ç, (r) > = 0; ce qui donne, pour un milieu à deux composants, métal et isolant en proportions f et (1 -f), une formule de Bruggeman [1] modifiée: Cette équation, qui fait naturellement apparaître un seuil de transition isolant-métal fc = I, est la relation classique de Bruggeman lorsque f = 1/3. On prendra pour deuxième relation déterminant le couple (e9, 1) la condition eeff (k, ω) = 0 dans la limite de fréquence nulle, ce qui revient à écrire eeff (k, ω) = e9I (cf. 9). Résolues simultanément, ces
eeff (k, ω) = e9I (cf. 9). Résolues simultanément, ces deux équations conduisent pour le milieu à deux composants à faire dépendre de la concentration f, entre autres, de telles sorte que l'on retrouve dans les limites des faibles et fortes concentrations la valeur 1 = 1/3 de Bruggeman, alors exacte. Par ailleurs, le seuil de transition est lui-même donné par 1(h) = fc. Dans la limite de fréquence nulle, il ne dépend pas, comme il se doit, des permittivités F, et e2. Sa valeur est déterminée par la statistique et les termes retenus dans l'évaluation de ç, eff(k, co).
et les termes retenus dans l'évaluation de ç, eff(k, co). Supposant le milieu parfaitement désordonné (fonction de corrélation à deux points proportionnelle à la distribution de Dirac), on a effectué les calculs selon une méthode diagrammatique connue ([6], [7]). Une sommation de Borel de deux classes infinies de diagrammes (à 0 et 1 croisement), permet de calculer à cet ordre le propagateur de manière auto-cohérente. Les calculs s'étendent à des dimensions spatiales quelconques, on obtient finalement des seuils de transition (tableau), qu'il convient de comparer aux estimations disponibles [8] des seuils de percolation de liens sur réseau hypercubique considérés comme
seuils de percolation de liens sur réseau hypercubique considérés comme pertinents dans notre contexte [6] (car il reproduisent les résultats exacts en dimensions 1 et 2, et leur définition se prolonge aux dimensions supérieures). On constate un très bon accord entre les valeurs, qui se dégrade toutefois en dimensions élevées. On doit pourtant se garder pour l'instant d'attribuer trop de signification à des résultats numériques qui relèvent peut-être d'une coïncidence. L'exposition des calculs et des résultats, esquissée ici, sera complétée ailleurs de façon détaillée [9]. 3. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX. On a cherché à comparer les prédictions de la relation de Bruggeman
cherché à comparer les prédictions de la relation de Bruggeman modifiée avec un certain nombre de résultats expérimentaux obtenus à partir de mesures en guide d'ondes. On en fournit un exemple ici. On se place dans le cas de sphères de fer "ex-carbonyle" de diamètre micronique (3 à 5 µm), dites inclusions, dispersées dans une résine époxyde (fortement mouillante avant polymérisation), à une Fig. 1 Paramétrage de la permittivité complexe d'un mélange résine/fer ex-carbonyle à la fréquence de 4,25 GHz. La permittivité de la matrice est e. = 3,08 + i 0,14. Fig. 1. Complex permittivity of a resin-ex-carbonyl iron
i 0,14. Fig. 1. Complex permittivity of a resin-ex-carbonyl iron composite, at 4.25 GHz. The permittivity of the resin matrix is a. = 3.08 + i 0.14. Solid line is formula (12) (real and imaginary parts), with ID fitted by a least-squares method. Dots are experimental measurements. Fig. 2. Perméabilité magnétique complexe du composite étudié. Voir la légende de la figure 1. Fig. 2. — Complex magnetic permeability. Same sample as figure 1. Fig. 3. Variation en fonction de la fréquence de /D et /M pour le composite résine/fer ex-carbonyle des figures précédentes. Fig. 3. — Parameters /D and /M
des figures précédentes. Fig. 3. — Parameters /D and /M vs. Frequency. Same sample as figures 1 and 2. Initialement, la hauteur de la goutte, h, et l'angle de contact, θ, diminuent tandis que le rayon de contact, r, reste constant. Ceci continue jusqu'à une valeur limite de θ, apparemment inférieure à l'angle de reculé obtenu de manière directe. Si le solide est suffisamment lisse, la prochaine étape correspond à une réduction de h et de r, à θ constant. Finalement, h, r et θ tendent vers zéro avec la disparition de la goutte. Cette étape est probablement influencée par
disparition de la goutte. Cette étape est probablement influencée par l'état de surface du solide. Un modèle simple est proposé pour l'évaporation à r constant. Influence of evaporation on the contact angle of water drops Abstract — The contact angle of a sessile drop evolves significantly if the surrounding atmosphere is not saturated with the liquid vapour. Evaporation follows three stages. Initially, drop height h and contact angle θ diminish whilst contact radius r remains constant. This continues until a limiting value θ is reached, apparently less than the receding angle obtained by direct methods. If the solid is smooth
angle obtained by direct methods. If the solid is smooth enough, the next stage corresponds to a reduction of h and r, at constant θ. Finally, h, r and θ tend to zero with the drop disappearing. This stage is probably influenced by the surface state of the solid. A simple model is proposed for evaporation at constant r. Abridged English Version — Wetting hysteresis is related to several phenomena, but in particular to surface chemical heterogeneity and roughness [1]. Considerable differences between advancing contact angle θa and receding contact angle θr may be observed in the "static" condition, depending
angle θr may be observed in the "static" condition, depending on wetting front history. If the atmosphere surrounding a sessile drop is unsaturated in the vapour of the liquid, evaporation may take place and reduce an initially advancing value of contact angle. In this study, drops of triply distilled water of volume 1 to 15 ul were placed on smooth polyethylene and both polished (rugosity ca. 0.1 μm) and rough (rugosity ca. 1.4 μm) surfaces of an epoxy resin. The samples were kept in a hermetic box with two parallel glass sides enabling the drop to be observed by projection
glass sides enabling the drop to be observed by projection during evolution. Initial saturation within the box was assured by including an open dish of water at 2 or 3°C above the ambient temperature (ca. 25°C). After following the evolution of a drop for 20 min. in the saturated atmosphere, the water vapour source was replaced by silica gel. During the saturated stage, drop height h and contact angle θ diminished slightly from the advancing condition whilst contact radius r remained constant (zone I). This effect, more marked with the epoxy resin, is attributed to slight imbibition (see fig. 1).
epoxy resin, is attributed to slight imbibition (see fig. 1). After replacement of the water source by silica gel, r remained constant whilst h and θ diminished more rapidly until a limiting value of θ, lower than the usual θr, was attained. Reduction of h was essentially linear (zone II). In zone III, which only occurred for smooth substrates, both h and r diminished at approximately constant θ. Zone IV corresponds to the final disappearance of the drop with h, r and θ tending towards zero. This regime was difficult to observe in detail but is probably influenced by anchoring
to observe in detail but is probably influenced by anchoring effects on heterogeneities [5]. A simple model has been proposed to explain the linearity of h with time t in zone II. Assuming the drop to be a spherical segment, simple relations for liquid/vapour surface area A and volume V are known. Evaporation speed may be approximated by: D is dependent on drop size. Supposing that evaporation rate is proportional to the water vapour concentration gradient near the free liquid surface and due to prior evaporation, we define a "stagnation layer" of thickness over which the concentration drops from saturation,
layer" of thickness over which the concentration drops from saturation, Co, to zero. Simple considerations lead to the estimation of an effective diffusion coefficient D: Use of equation (9) shows D to be satisfactorily independent of drop volume (fig. 2). Differences in values of D for different substrates will be related to differences in the range of θ covered. I. INTRODUCTION. — La variabilité d'angle de contact, θ, d'une goutte de liquide sur une surface solide, ou hystérèse de mouillage, est liée à plusieurs phénomènes, notamment l'hétérogénéité chimique et la rugosité du substrat [1]. Des différences considérables entre l'angle d'avancée,
rugosité du substrat [1]. Des différences considérables entre l'angle d'avancée, θa, et l'angle de reculée, θr, peuvent souvent être observées avec des techniques de mesure telles que la goutte posée et la lame de Wilhelmy. Même dans les conditions dites « statiques », il y a un effet de « mémoire » qui traduit le sens du dernier mouvement du front de mouillage. Lorsqu'il y a transfert de masse par évaporation du liquide, l'on peut observer des effets analogues. Un angle de contact initialement imposé dans le mode avançant tend vers une valeur plus faible lorsque le liquide du ménisque
vers une valeur plus faible lorsque le liquide du ménisque commence à volatiliser [2]. A moins que l'atmosphère entourant le ménisque soit saturée en vapeur du liquide, ce transfert est inévitable et des expériences conduites dans des conditions de non-équilibre peuvent donner des mesures erronées de θ. Bien qu'assez évidente, cette complication des mesures de θ semble avoir été peu étudiée ([2], [3]). Dans cette Note, nous examinerons le comportement d'une goutte posée avec et sans environnement saturé. Un modèle simple sera proposé afin d'expliquer la cinétique d'évolution du ménisque vers des faibles valeurs de l'angle de contact. II. EXPÉRIMENTAL.
vers des faibles valeurs de l'angle de contact. II. EXPÉRIMENTAL. Des gouttes d'eau trois fois distillée de taille variant de 1 à 15 ul ont été posées avec une microseringue sur des surfaces de polyéthylène et de résine époxyde. La surface du polyéthylène était lisse tandis que deux états de surface de la résine époxyde ont été considérés : l'un étant poli (rugosité d'environ 0,1 μm) et l'autre présentant une rugosité d'environ 1,4 μm. Les substrats polymères étaient placés dans une boîte hermétique avec deux faces parallèles en verre afin d'observer les gouttes posées par projection et agrandissement (x 90)
d'observer les gouttes posées par projection et agrandissement (x 90) des images sur un écran. Initialement, des mesures de 0 ont été effectuées avec la boîte hermétique fermée et un récipient d'eau ouvert à 2 ou 3 °C au-dessus de la température ambiante (environ 25 °C) à l'intérieur. Ce dispositif assure la saturation en vapeur d'eau de l'atmosphère locale avant la pose des gouttes. L'évolution de l'angle de contact des gouttes (une goutte par expérience) a été suivie pendant 20 min et puis le couvercle de la boîte enlevé afin de remplacer le récipient d'eau par du gel de silice.
de remplacer le récipient d'eau par du gel de silice. Dans certains cas, le couvercle était remis en place, dans d'autres la boîte restait ouverte par la suite. III. RÉSULTATS ET DISCUSSION. Un exemple de l'évolution avec le temps, t, de l'angle de contact, 0, de la hauteur, h, et du diamètre, d, d'une goutte de volume initial 4 µl sur un substrat de résine époxyde polie est présenté sur la figure 1. L'angle de contact initial correspond à 61°. Quatre domaines sont apparents. Zone 1 correspond à l'atmosphère saturée où l'on voit une légère diminution de la hauteur, h,
où l'on voit une légère diminution de la hauteur, h, de la goutte et, par conséquent, de l'angle de contact, 0, tandis que le diamètre de contact, d, reste constant. Cet effet, quoique faible, est peut-être attribuable à une imbibition de la surface polymère par de l'eau de la goutte. (Nous ne pourrions que partiellement attribuer ce phénomène à une éventuelle réorientation moléculaire du polymère par affinité de groupements polaires, étant donné que la constance de d indique la disparition d'une partie de la goutte.) Après la zone I l'atmosphère n'est plus saturée, le récipient d'eau étant remplacé par du
n'est plus saturée, le récipient d'eau étant remplacé par du gel de silice. La hauteur, h, et l'angle de contact, 0, diminuent plus rapidement que dans la zone I tandis que le diamètre, d, reste constant. Dans l'exemple donné, le couvercle de la boîte était remis immédiatement après l'échange eau/gel de silice et l'on voit une transition de pente avant que l'évolution de la hauteur ne devienne linéaire. Nous attribuons cet effet à un « temps de séchage » de l'atmosphère contrôlé par la cinétique d'absorption de vapeur par le gel de silice. Lorsque la boîte reste ouverte, le changement
gel de silice. Lorsque la boîte reste ouverte, le changement de pente après l'enlèvement de la source d'eau est net: la réduction de h est linéaire et celle de 0 l'est presque. L'angle de contact descend jusqu'à environ 20° (pour la résine époxyde) avant que la zone III n'apparaisse. Ce chiffre est plus faible que la valeur de 68 obtenu par la méthode directe de rétraction de la ligne triple (68~30°). La raison pour cette différence n'est pas claire mais est peut-être liée au fait que la méthode directe implique un mouvement (quoique lent) du liquide près de la ligne
un mouvement (quoique lent) du liquide près de la ligne triple et, par conséquent, une résistance en cisaillement. Cette résistance favoriserait un léger déplacement de la ligne triple plutôt qu'une réduction de 0. Dans le cas de l'évaporation, le cisaillement sera absent. Dans la zone III, h et d diminuent ensemble de sorte que 0 reste à peu près constant et doit correspondre en effet à un angle de contact reculent. La zone III était totalement absente dans le cas de la résine époxyde rugueuse. La zone IV était présente pour tous les substrats étudiés et correspond à la disparition
pour tous les substrats étudiés et correspond à la disparition finale de la goutte. Elle est très difficile à suivre parce que la taille de la goutte devient très petite et l'angle faible — vers la fin, 0 tend vers zéro et par conséquent se trouve nettement en deçà de la valeur de 68 classique. La zone IV est mal comprise mais probablement influencée par des effets d'ancrage de la ligne triple par des hétérogénéités de surface. IV. MODÈLE DE LA ZONE II. La zone II montre une diminution linéaire de h en fonction du temps, t. Ceci peut être
de h en fonction du temps, t. Ceci peut être expliqué par la suite. En considérant une goutte posée comme une calotte sphérique (même les plus grosses gouttes étudiées n'étaient pas très loin de la sphéricité), nous avons deux expressions simples reliant l'aire de l'interface liquide/vapeur, A, et le volume, V, au rayon de contact, r, et à l'angle de contact, 0 : La vitesse d'évaporation sera proportionnelle à la surface libre de la goutte, A : où p est la masse volumique du liquide et Ô un flux d'évaporation. L'équation (3) peut être facilement résolue en utilisant les expressions
L'équation (3) peut être facilement résolue en utilisant les expressions (1) et (2) et le fait que r reste constant. En reconnaissant que tan (0/2) = h/r nous obtenons : ce qui explique la linéarité de la zone II. L'on pourrait considérer que le paramètre Ô est une constante, quelle que soit la taille de la goutte (sphérique). Toutefois, l'on trouve que Ô diminue fortement avec une augmentation du volume de la goutte, et ceci pour les trois substrats étudiés. En effet, l'évaporation à partir de la surface libre de la goutte sera conditionnée par un gradient local de la
la goutte sera conditionnée par un gradient local de la concentration de la vapeur d'eau, C. En prenant R pour la distance à partir du centre de la sphère dont la goutte correspond à une calotte, nous aurons, au-dessus de la goutte : où D est un coefficient de diffusion (unités Pr1} i ). Le gradient dC/dR sera difficile à calculer, mais en première approximation, nous supposons que la masse d'eau, pAV, évaporée de la goutte, au temps t, constituera une « couche de stagnation » autour de la surface sphérique et que cette couche aura un gradient de concentration
sphérique et que cette couche aura un gradient de concentration approximativement linéaire entre la valeur Co, correspondant à la saturation, se trouvant à la surface du liquide, et zéro à une « épaisseur de stagnation », r, de la surface. Certes A et AV changeront lors de l'évaporation mais la gamme de couverture est constante et r est constant pour une goutte pareille quelle que soit la taille de la goutte considérée et r est constant pour une goutte donnée. Par conséquent, les valeurs effectives (moyennes) de A et de AV dans l'équation (6) peuvent être exprimées : A~r2/(0)> (8)
AV dans l'équation (6) peuvent être exprimées : A~r2/(0)> (8) AV~r3/(0), (8) Pour le gradient de concentration, où f et g représentent des fonctions. En prenant Co/l pour le gradient de concentration, les équations (5) à (8) donnent : où F est égal à 2 g/f. La équation (9) montre que D dépend de 0, mais étant donné que le volume de la goutte sur sa surface libre, cette dépendance sera relativement faible et par conséquent ne devrait pas modifier la linéarité de D pour une résine époxyde (■ polie, □ Fig. 2. Dr (proportionnel au coefficient de diffusion, D),
□ Fig. 2. Dr (proportionnel au coefficient de diffusion, D), pour une résine époxyde (N polie, D rugueuse) et pour un polyéthylène (à) en fonction du volume initial, V, de la goutte d'eau posée (voir texte). T-» fnr an epoxy resin C polished, 0 rough) and Fig. 2. Dr (proportional to the of water (see text). polyethylene ( Å) vs initial volume V of sessile drop of water (see text). n pn llnitt 2 montre en umt3 de l'équation (4) de façon significative.) La figure 2 montre la goutte, V, calculée à partir de fait. Or en gcmS-I) en fonction
calculée à partir de fait. Or en gcmS-I) en fonction du volume de la goutte, V, calculé à partir de l'équation (9). Malgré un certain écart des résultats correspondant à la résine époxyde polie et des gouttes de 12 JJ.1, l'on peut voir que D est indépendant de V d'une manière satisfaisante, malgré la simplicité du modèle. La différence de valeurs de D pour les divers types de polymère sera vraisemblablement liée aux gammes de 0 implicitées dans la fonction F. V. CONCLUSIONS. — Une goutte posée sur un substrat ne présente un angle de contact d'avancée que brièvement si
ne présente un angle de contact d'avancée que brièvement si l'atmosphère locale n'est pas saturée en vapeur du liquide. Ceci peut avoir une importance considérable d'un point de vue expérimentale. Nos expériences montrent que la décroissance de la goutte par évaporation se fait par trois étapes. D'abord, la hauteur, h, et l'angle de contact, θ, diminuent à rayon de contact, r, constant jusqu'à un angle de contact limite, qui semble être inférieur à la valeur de reculée obtenue par des méthodes directes. Si le solide est suffisamment lisse, il existe ensuite une étape de diminution de h et de r