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of the influence of the horizontal walls conductivity in Rayleigh-Bénard convection Abstract — The conditions for the appearance and the structure of convective cells in Rayleigh-Bénard convection in a three-dimensional fluid layer confined between insulating vertical walls and poorly conducting horizontal slabs are studied by direct numerical simulation. The results agree with the linear stability analysis. Square patterns are observed for convective motion sufficiently far from the onset of convection in agreement with small-amplitude theory and experimental results. Nevertheless, a modification of the flow pattern is obtained in the vicinity of the threshold. Abridged English Version — Many theoretical and
of the threshold. Abridged English Version — Many theoretical and numerical studies have appeared on Rayleigh-Bénard convection. Of these, the influence of finite wall conductivity on the critical Rayleigh number and wavenumber has been particularly stressed by Sparrow, Goldstein and Jonsson (1964). In the case of horizontal walls, linear stability analysis for an infinite layer (Proctor, 1981) shows that the values of both the critical Rayleigh number and wavenumber are reduced as the ratio ç of wall conductivity to that of the fluid is reduced. Moreover the weakly non-linear theory developed by Jenkins and Proctor (1984) predicts that the square
developed by Jenkins and Proctor (1984) predicts that the square pattern is the preferred planform of convection near the stability boundary if the ratio ç is sufficiently small. Recently, such square patterns have been observed experimentally by Le Gal and Croquette (1988). In the present work, numerical simulation of the coupled momentum-temperature equations with the Boussinesq approximation is carried out. The fluid domain is a rectangular box of depth h; the width of the horizontal walls is À h, the horizontal extent being denoted by Àx h and λyh respectively. The vertical walls are assumed to be insulating. The temperature
The vertical walls are assumed to be insulating. The temperature is held constant at the outer wall surface. Numerical simulations are performed using a finite element method (P1 tetrahedrons, see Carrière and Jeandel, 1991) including the calculation of the conductive heat transfer in the slabs. The time discretization is based on a fractional step finite difference method. Physical properties have been chosen to be the same as the experimental ones of Le Gal and Croquette (1988): the value of the Prandtl number is 7, λ = 4, ζ = 0.4. The main limitation of the present study is due to
The main limitation of the present study is due to the small aspect ratio used (three times the roll diameter deduced from linear stability analysis). The initial distribution is the static one perturbed by a small random deviation (0.1%) of the temperature. The calculation is started using a value of the Rayleigh number of 2,100. The resulting flow field is a steady square pattern which is shown in figures 1 and 2. Note présentée par Geneviève COMTE-BELLOT. The convective threshold is evaluated by computing successively with decreasing Rayleigh numbers until a solution whose amplitude goes to zero is obtained. The
a solution whose amplitude goes to zero is obtained. The evolution of the averaged kinetic energy of the flow with Ra is presented in figure 3. Note that it accords to a linear law in agreement with experimental results for the classical Rayleigh-Bénard problem (see Dubois and Bergé, 1978). The critical value extrapolated from this plot is 1,233; this differs by 15% from that obtained from linear stability analysis for an infinite layer and is in agreement with the experimental value of Le Gal and Croquette (1988). Evolution of the square pattern for decreasing Rayleigh number shows that, near the
square pattern for decreasing Rayleigh number shows that, near the threshold, a bifurcation occurs: the reorganization of the motion leads to a new pattern exhibiting a symmetry in the two horizontal directions, with descending fluid at the cell centre surrounded by rising fluid at the edge. The diameter of this pattern is found to be one and a half times that before bifurcation. At the present time, it is difficult to know if such a bifurcation is generic for the problem of poorly conducting horizontal boundaries. One may just note that such a bifurcation does not agree with the linear
that such a bifurcation does not agree with the linear theoretical work of Edwards (1988) on the effect of small aspect ratios, in the case of infinitely conducting horizontal walls, and, consequently, suggests that the effect of low conductivity of the horizontal walls is significant. The square pattern configuration of the flow field obtained for higher Rayleigh numbers also does not agree with the theoretical work of Edwards. In addition, it appears to be stable even far from the onset of convection (at least 16 Ra), illustrating the large effect of the finite conductivity of the walls on the cell
of the finite conductivity of the walls on the cell stability. Further calculations are currently being carried out for a larger range of c values in order, first, to compare the evolution of the corresponding critical Rayleigh numbers with those predicted by the linear stability analysis and, second, to obtain an estimate of the bounding value of L, for roll pattern stability. Additionally, more information on the influence of the lateral walls on the flow pattern in the vicinity of the convective threshold would be obtained. 1. De nombreux travaux théoriques et numériques ont été réalisés pour caractériser la convection
théoriques et numériques ont été réalisés pour caractériser la convection de Rayleigh-Bénard se développant dans une couche fluide située entre deux plans parallèles horizontaux à températures fixées. L'influence de la conductivité thermique des parois délimitant la couche fluide sur la valeur du nombre de Rayleigh et du nombre d'onde critiques a été notamment mise en évidence par Sparrow, Goldstein et Jonsson (1964). S'attachant plus particulièrement au rôle des parois horizontales, l'étude analytique de stabilité linéaire de Proctor (1981) pour une couche d'extension infinie prédit que la valeur du nombre de Rayleigh critique Rac diminue avec le rapport c entre la
Rayleigh critique Rac diminue avec le rapport c entre la conductivité thermique des parois solides et celle du fluide. En particulier, la valeur asymptotique de Rac prédite lorsque c tend vers 0 est 720. De même, la valeur du nombre d'onde critique ac diminue avec c et tend vers 0 à la limite. L'étude analytique en convection faiblement non linéaire, plus récente, de Jenkins et Proctor (1984) montre en outre qu'au voisinage du seuil de convection et pour des valeurs de c suffisamment faibles paramétrées par le nombre de Prandtl, la structure convective classique en rouleaux bidimensionnels est instable, l'écoulement
la structure convective classique en rouleaux bidimensionnels est instable, l'écoulement se présente sous la forme de cellules carrées résultant de la présence de rouleaux orthogonaux identiques. Ainsi, pour des nombres de Prandtl supérieurs à l'unité, le changement de stabilité intervient lorsque c est inférieur à une valeur limite voisine de 1. À notre connaissance, de telles structures, pour lesquelles la stabilité serait reliée à la faible conductivité des parois horizontales, n'ont été observées que dans l'étude expérimentale effectuée par Le Gal et Croquette (1988). 2. La présente étude a pour but d'étudier la stabilité des cellules carrées par la simulation
but d'étudier la stabilité des cellules carrées par la simulation numérique. On considère pour cela une couche fluide d'épaisseur h comprise entre deux plaques parallèles horizontales conductrices identiques et d'épaisseur k"h/2. Les allongements dans les directions horizontales x et y du domaine étudié sont notés Ax h et Ay h respectivement. Par la suite, l'origine des coordonnées est prise au centre de la couche fluide. Les frontières verticales délimitant le domaine sont supposées solides et parfaitement isolées. Les caractéristiques physiques du fluide et celles du solide constituant les plaques horizontales sont supposées constantes. En adoptant les approximations classiques de Boussinesq,
sont supposées constantes. En adoptant les approximations classiques de Boussinesq, on a alors, dans le milieu fluide, le système d'équations gouvernant la vitesse u, la pression p et la déviation de température par rapport à l'état de référence en l'absence de mouvement ef : tandis que dans le milieu solide, le problème se réduit à une équation de conduction sur la déviation de température es : où KS et Kf sont les diffusivités thermiques du milieu solide et du milieu fluide respectivement. On applique la condition d'adhérence sur l'ensemble des frontières limitant la couche fluide. Les températures sont supposées uniformes
frontières limitant la couche fluide. Les températures sont supposées uniformes sur les frontières extérieures des plaques horizontales et l'adiabaticité est appliquée sur les frontières verticales. Sur les frontières internes des plaques solides, les conditions de continuité de la température et du flux de chaleur conduisent à : Le nombre de Rayleigh est ici défini à partir du gradient de température vertical traversant la couche fluide en l'absence de mouvement. La méthode numérique utilisée est une méthode d'éléments finis en espace couplée à une méthode de différences finies à pas fractionnaires en temps (voir Carrière et Jeandel, 1991) permettant le calcul
en temps (voir Carrière et Jeandel, 1991) permettant le calcul simultané des solutions approchées dans le milieu fluide et le milieu solide. Les éléments finis sont des tétraèdres P1 (approximation linéaire); le maillage utilisé contient 33 145 nœuds, la couche fluide proprement dite étant décrite par (41)2.17 nœuds où sont calculées les trois composantes de vitesse et la température. 3. La configuration présentée ici a été choisie de façon à se rapprocher du cas expérimental étudié par Le Gal et Croquette. Le rapport des conductivités est égal à 0,4, le nombre de Prandtl est égal à 7. L'extension verticale des
nombre de Prandtl est égal à 7. L'extension verticale des murs conducteurs est λ = 4. Les principales différences entre le présent calcul et l'expérience (voir Le Gal et Croquette, 1988) proviennent de la nécessité de considérer un domaine de calcul de dimension finie. Compte tenu des limitations sur le plan numérique quand au nombre de nœuds du maillage, il n'a pas été possible de prendre en compte une grande extension horizontale tout en conservant une description fine de chacune des structures cellulaires de l'écoulement. La couche fluide choisie a une section horizontale carrée dont la longueur du côté est
une section horizontale carrée dont la longueur du côté est limitée à environ trois fois le diamètre des cellules déterminé par l'étude de stabilité linéaire, soit Ax = λy = 4,3. Le premier calcul a été effectué pour une valeur du nombre de Rayleigh de 2100 (correspondant à environ deux fois le Rayleigh critique obtenu par l'analyse de stabilité linéaire pour une extension horizontale infinie) à partir d'un champ initial correspondant à un champ statique auquel est superposée une faible (0,1 %) perturbation aléatoire du champ thermique. Le champ obtenu pour cette valeur du nombre de Rayleigh est stationnaire. La
pour cette valeur du nombre de Rayleigh est stationnaire. La figure 1 montre deux projections du champ de vitesse dans les plans médians verticaux. En dehors des régions proches des parois latérales et indépendamment des interactions non linéaires entre structures, on peut interpréter le champ résultant comme la superposition de trois rouleaux dans chacune des directions horizontales. Une coupe du champ de température dans le plan médian horizontal est présentée sur la figure 2. Les maximums et minimums relatifs de température sont situés à environ 1/3 et 2/3 de la largeur ce qui correspond à des axes de rouleaux situés
largeur ce qui correspond à des axes de rouleaux situés à 1/6, 1/2 et 5/6 de la largeur de la cavité. D'autre part, le champ thermique dans le plan médian horizontal présente une symétrie par rapport à la diagonale x=y et une antisymétrie par rapport à la diagonale x= - y. L'ensemble de ces résultats apparaît ainsi cohérent avec la description habituelle des cellules carrées, et notamment avec les observations expérimentales de Le Gal et Croquette (1988). 4. La recherche du seuil critique s'effectue par calculs successifs en imposant des valeurs décroissantes du nombre de Rayleigh jusqu'à obtenir une solution
valeurs décroissantes du nombre de Rayleigh jusqu'à obtenir une solution dont l'amplitude tende vers zéro. Une telle approche, pour une détermination directe du Rayleigh critique, est nécessairement limitée en précision car le taux de croissance ou de décroissance de l'amplitude de l'écoulement tend vers zéro au voisinage du seuil. La voie classique est d'interpoler la valeur critique de Ra à partir de la loi d'évolution d'une quantité caractéristique de l'amplitude de l'écoulement au voisinage du seuil; rappelons que les travaux expérimentaux de Dubois et Bergé (1978) ont montré que, pour une configuration classique (γx, γy, 1), l'amplitude de la vitesse
une configuration classique (γx, γy, 1), l'amplitude de la vitesse suit une loi de puissance en (Ra-Rac)1/2. Pour notre part, compte tenu de la non unicité du type de structure rencontré qui est décrite par la suite, seule une quantité moyennée spatialement a pu être considérée. On présente figure 3 la variation de l'énergie cinétique moyenne sans dimension u dans l'écoulement en fonction du nombre de Rayleigh. On note qu'elle vérifie remarquablement une loi linéaire au-delà du seuil critique. La valeur interpolée du nombre de Rayleigh critique est 1233 (ce qui correspond à un niveau de 15 supérieur à celui
qui correspond à un niveau de 15 supérieur à celui prédit par l'analyse de stabilité linéaire pour une extension infinie). Les résultats expérimentaux de Le Gal et Croquette (1988) se situent dans le même ordre de grandeur. Rappelons qu'il est par ailleurs connu que le fort confinement horizontal utilisé ici a pour effet d'augmenter la valeur du nombre de Rayleigh critique (voir Catton, 1972). Il faut également remarquer que, la largeur de la cavité étant imposée, la valeur du nombre d'onde critique est, bien évidemment, fortement contrainte : il apparaît néanmoins que le nombre de cellules obtenues reste cohérent avec
néanmoins que le nombre de cellules obtenues reste cohérent avec celui prédit par l'analyse linéaire. 5. L'évolution des cellules carrées pour des nombres de Rayleigh décroissants ne montre pas d'évolution particulière excepté au voisinage du seuil critique où apparaît une bifurcation vers une structure différente, de tendance torique, qui est présentée sur les figures 4 et 5. Cette structure présente une parfaite symétrie par rapport aux plans médians verticaux, le fluide froid descendant par le centre de la cavité et le fluide chaud remontant par les bords. Le diamètre de cette cellule est 1,5 fois celui des cellules carrées. La
cette cellule est 1,5 fois celui des cellules carrées. La question de l'origine d'une telle bifurcation est à l'heure actuelle ouverte, mais son existence dans cette étude pose le problème de l'influence des parois verticales sur les types de structures rencontrées. Rappelons que des structures particulières peuvent être observées pour des cavités de section carrée comme l'on a montré Storck et Müller (1972), notamment lorsque le confinement est fort. Edwards (1988) a proposé une approche linéaire théorique de l'effet des parois latérales sur la forme des cellules au seuil de convection pour cela et a mis en évidence la présence
convection pour cela et a mis en évidence la présence de rouleaux croisés. On peut noter que la structure prédite par cette analyse correspondrait plutôt à des cellules non symétriques formées par la présence de trois rouleaux dans une direction et deux dans l'autre. Concernant la structure quasi-torique prédite ici, par la simulation, au voisinage du seuil, il semble donc naturel d'invoquer, en plus de l'influence propre du confinement, l'effet de la faible conductivité des parois horizontales. En s'éloignant du seuil critique, l'influence de la condition d'adhérence aux parois latérales sur la structuration de la partie interne du domaine fluide
sur la structuration de la partie interne du domaine fluide diminue, ce qui expliquerait l'émergence de cellules carrées dont la stabilité serait bien alors reliée de façon prépondérante à la faible conductivité des murs horizontaux en accord avec les analyses en convection faiblement non linéaires. Notons que les cellules carrées obtenues sont stables même loin du Rayleigh critique (au moins 16 Rac pour les calculs déjà effectués). 6. A l'heure actuelle, des calculs complémentaires sont effectués pour couvrir une gamme plus large de valeurs de ç. Ces calculs devraient permettre, en premier lieu, de caractériser l'évolution du nombre de Rayleigh
en premier lieu, de caractériser l'évolution du nombre de Rayleigh critique en fonction de ç qui sera comparée à celle prédite par l'analyse de stabilité linéaire pour une extension infinie. De plus, il sera alors possible de distinguer les différentes structures stables au-delà du seuil critique et de rechercher ainsi un accord entre simulation numérique et analyse en convection faiblement non linéaire sur la valeur de ç limitant le domaine de stabilité des rouleaux bidimensionnels. D'autre part, cette étude permettra de mieux séparer les rôles respectifs du confinement latéral et celui de la conductivité des murs horizontaux sur le type
celui de la conductivité des murs horizontaux sur le type de structures rencontrées dans le proche voisinage du seuil de convection; on pourra également compléter l'étude par des simulations pour des géométries de sections non carrées privilégiant la formation de structure en rouleaux de façon à évaluer la stabilité intrinsèque des cellules particulières obtenues lors des présentes simulations. Note remise le 22 janvier 1993, acceptée le 8 février 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES Ph. CARRIERE et D. JEANDEL, A 3D finite element method for the simulation of thermoconvective flows and its performances on a vector-parallel computer, Int. J. numer. methodsfluids, 12, 1991,
on a vector-parallel computer, Int. J. numer. methodsfluids, 12, 1991, p. 929-946. I. CATTON, The effect of insulating vertical walls on the onset of motion in a fluid heated from below, Int. J. Heat Mass Transfer, 15, 1972, p. 665-672. M. DUBOIS et P. BERGE, Experimental study of the velocity field in Rayleigh-Bénard convection, J. Fluid Mech., 85, 1978, p. 641-653. B. F. EDWARDS, Crossed rolls at onset of convection in a rigid box, J. Fluid Mech., 191, 1988, p. 583-597. P. LE GAL et V. CROQUETTE, Appearance of a square pattern in a Rayleigh-Bénard experiment, Phys. Fluids, 31, (11),
square pattern in a Rayleigh-Bénard experiment, Phys. Fluids, 31, (11), 1988, p. 3440-3442. D. R. JENKINS et M. R. E. PROCTOR, The transition from roll to square-cell solutions in Rayleigh-Bénard convection, J. Fluid Mech., 139, 1984, p. 461-471. M. R. E. PROCTOR, Planform selection by finite-amplitude thermal convection between poorly conducting slabs, J. Fluid Mech., 113, 1981, p. 469-485. E. M. SPARROW, R. J. GOLDSTEIN et V. K. JONSSON, Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary conditions and non-linear temperature profile, J. Fluid Mech., 18, 1964, p. 513-528. K. STORCK et U. MÜLLER, Convection in boxes: experiments,
513-528. K. STORCK et U. MÜLLER, Convection in boxes: experiments, J. Fluid Mech., 54, 1972, p. 599-611. P. C. et D. J. : LMFA, URA-CNRS n° 263, 36, avenue G.-de-Collongues, 69130 Ecully, France; A. C. P. B. : Université de Brasilia, Dpt. Mech. Eng., Brasilia, Brazil. In the gaussian case, if W is not positive definite, we introduce an auxiliary norm on C in order to define a norm on Z0 z. Such an auxiliary norm is not unique, but the associated topology on z is not ambiguous. When C is a Hilbert space of functions on ℝ, and Q
is a Hilbert space of functions on ℝ, and Q a positive quadratic form on ℝ, the pair (C', C) makes a quadruplet with the Schwartz spaces S(ℝ) and Z0 (ℝ) which generalizes the Gel'fand triplet (S(ℝ) L2(ℝ) S(ℝ)). We prefer the quadruplet (7) to the triplet (8) because we need an operator D : C → Z0 more general than a map from C into itself: for instance, in quantum physics D is a differential operator. We prefer the pair (C', D) to the pair (S(ℝ), S(ℝ)) because the map G : S(ℝ) → (ℝ) does not have an
map G : S(ℝ) → (ℝ) does not have an inverse. However, we can use many results derived for Hida distributions on S(ℝ) because (9) rF(ϕ) exp (−π Q (cp))ϕ = ∫~(ℝ) F(X)dwQ(X) J(ℝ) where the Fourier transforms of the gaussians exp (−n Q_(cp)) and dWQ (X) evaluated at S(ℝ) coincide and F is a privileged extension from C to S'(ℝ) of a continuous functional F such that F e-ItQ belongs to Z0 z, analogous to the extension of a continuous function defined on the rationals to a continuous function defined on ℝ. In Quantum Field Theory, functional Z(J) is
defined on ℝ. In Quantum Field Theory, functional Z(J) is an experimental quantity in the following sense. Let generating experimental quantities the following sense. Let exp(−W0)/ZW and let T(J) be the Legendre transform of W ; = exp(−W0)/exp(−WJ) (12) T(J):=−W0) < • observable quantities. then T(JJ) is the effective action which can be used to compute observable quantities. Therefore Z (J) cannot be chosen which Whereas we can use (2) to identify -9Q explicitly, we cannot use (4) to identify e,z because they are chosen so as to make the following manipulations: namely the infinitesimal version of the invariance of
following manipulations: namely the infinitesimal version of the invariance of under translation (10) and the fundamental property, then -q2 o, z * == det M -qo, z (P(14) if * == M (p, z must be compatible with equation The choice of functional Fe^e.z of the probability distribution formula (13). Equation (14) has been used in applications of the probability distribution formulation of functional integrals: in the case of gaussian integrals, set (15) exp (-1C Q( q))!1!0 L dwo (q) and set M Wo the image of Wo by M, then the Fourier transforms of M WQ and wQ satisfy
then the Fourier transforms of M WQ and wQ satisfy the equation (M WQ) (16) M)«». where A is the transpose of M. Equation (16) has been used in many non-trivial problems. Equation (14) has also been used by Fujikawa to explain the so-called anomalies. In Quantum Field Theory, the effective action (12), T((p), is the "inverse" of W0) in the same sense that the quadratic form Q( q) is the inverse of W(U) in the gaussian case (12) (0) Therefore in the gaussian case the effective action is simply the one of a non-interacting system. Il s'agit de dégager,
the one of a non-interacting system. Il s'agit de dégager, de travaux faits par les physiciens ces 50 dernières années, une axiomatique qui clarifie et simplifie l'intégration fonctionnelle. En retour, il s'agit d'une axiomatique qui offre aux physiciens des méthodes de calcul robustes. Nous modifions, par exemple, l'intégrateur fonctionnel suivant (1) où S est l'action d'un système, intégrale de son langage lien, (P un et des physiciens et des mathématiciens vient et ~.p un intégrateur non que (C, dx, fut tout aussi, my XVIIe siècle, de la nature mythique de « dp » bien que « dx » fut tout
« dp » bien que « dx » fut tout aussi mythique au XVIIe siècle. On peut, de même, définir un intégrateur EtîQ (p sur un espace de Banach O au moyen d'une forme quadratique Q sur O par l'équation (2) exp (−K Q (cp) − 2 n i (J, cp)) S(J) cp = exp (−n W (J)) où J est un élément du dual C' de (D, et W une forme quadratique sur (D, "inverse" de Q, en ce sens : Plus généralement, étant données deux applications continues et bornées : O → C, et Z : O' →