jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
P into a positive half-space. Axes xi are presented in Figure 1. Fig. 1. — A fractal punch and coordinate axes. Fig. 1. — Le poinçon fractal et les axes de coordonnées. After the punch contacted with the half-space x3=0, displacements ut and stresses σij are generated. The relative proximity between the punch and the half-space is denoted by α. In the contact problem it is supposed that the shape of the punch and the compressing force P are given and one must find the finite region G on the boundary plane R2 of the half-space at the points of
boundary plane R2 of the half-space at the points of which the punch and the medium are in mutual contact, the quantity 1, the displacements ut and the stresses σij. Since the compressing force P is a parameter characterizing the contact problem, we shall write it among the arguments of the unknown quantities. The sought quantities must satisfy the following equations (2) σij, j = 0, i,j = 1,2,3; σij = a(εkl)/aEkj, εij = (Mjk + Uji)/2; u(x;P) → — 0, |x| → ∞ ; o2, (x1, x2, 0; P) = 0, (x1, x2)∈R2G(P); UI(XL, x2, 0; P) = α(P)
= 0, (x1, x2)∈R2G(P); UI(XL, x2, 0; P) = α(P) — f(x1, x2), (x1, x2)∈G(P); σ33 (X1, x2, 0; P) = σ32 (X1, X2, 0; P) = 0, (X1, x2)∈G(P); ∬R2 (σ33 (x1, x2, 0; P) dx1 dx2 = — P, in which, ε0 are the components of strain tensor and U is the stress potential. The material behaviour of the medium may be anisotropic or isotropic, depending on the form of the stress potential. 3. THE GENERALIZED-HOMOGENEOUS FRACTAL PUNCHES. — We shall say that a function of coordinates x1, x2 and positive parameter y is a positive generalized-homogeneous function
x2 and positive parameter y is a positive generalized-homogeneous function of degree d if for each fixed y the following conditions are met: (3) f(0; y) = 0; f(x; y) ≥ 0, x∈R2{0}; f (7 xi, 1'X2; 1') = 1'df(x1, x2; 7). If in addition its graph has a fractal dimension D then it is called a fractal, generalized-homogeneous function. We consider the punches whose graphs are described by such functions, because they possess the features convenient to use the similarity method ([8]-[11]). Let the function of punch shape fo be described in polar coordinates r, θ by (4) fO
be described in polar coordinates r, θ by (4) fO (X1, X2; y) = A (0) W (r; A(θ)), r = (x1 + x2)1/2, where W is Weierstrass-Mandelbrot function. Then, it satisfies condition (3). Indeed, the positive function was constructed by Mandelbrot as an extension of the Weierstrass function. This function is continuous everywhere and differentiable nowhere. In addition, its graph is a curve whose box dimension D exceeds unity ([1], [2], [6], [13]). Using (5), the fractal function W can easily be shown to obey the generalized-homogeneous rule ([1], [13]). (6) W (y; r) = y(2 - D) W
[13]). (6) W (y; r) = y(2 - D) W (r; y). Comparing (6) with (3) and (4) leads to the conclusion that fo is a fractal, generalized-homogeneous function of degree d=(2 — D) and O<d<1. If we suppose that the function A of the angle θ is smooth, then its fractal dimension is equal to 1. In this case, using the empirical Mandelbrot rule ([1], [2]), we can obtain that the fractal dimension of fo is equal to D + 1. The equation (6) implies that the whole function W can be reconstructed from its values in the range
W can be reconstructed from its values in the range r0≤r≤yr0 [13]. Figure 2 shows the Weierstrass-Mandelbrot fractal punch fo in the case y = 1.5 and D = 1.5. Fig. 2. The Weierstrass-Mandelbrot punch in the case y = 1.5; D= 1.5. Fig. 2. — Poinçon de Weierstrass-Mandelbrot dans le cas y = 1, 5; D = 1, 5. We suppose that the region of contact G (P) between the fractal punch and the half-space is discrete, G (P){0} is not empty and G (P) can be described by (7) G (P) = ∪ gn (P), n = 1
(7) G (P) = ∪ gn (P), n = 1 where gn (P) is a point or closed line (in the case when A (θ) is a smooth function) on R2. If A (θ) is constant (i.e. the contact problem is axisymmetric) then each gn (P) is a circle. 4. SIMILARITY CONSIDERATIONS. We consider the contact problems for the elastic media the stress potentials of which U are homogeneous functions of degree μ + 1 with respect to the components of strain tensor εkl, i.e. for each positive À we have (8) U(^,) = V + 1U(e_,) (0<n<1) PROPOSITION. —
have (8) U(^,) = V + 1U(e_,) (0<n<1) PROPOSITION. — Let the shape of the punch be determined by a fractal, positive, generalized-homogeneous function f satisfying (3), where d > 0, and f(x1, x2; y)∈C(R2), f(x1, x2; y)∉C1(R2). In addition let the stress potential U satisfy (8). Assume further that for any value of the compressing force Po the solution of the contact problem (2) is given by the functions cij (x; Po), εij (x; Po), uj (x; Po), quantity α (Po) and region G (Po). Then, for each force Pk = yk[2 + μ(d-1)]Po, (k = 0, ± 1,
Pk = yk[2 + μ(d-1)]Po, (k = 0, ± 1, ± 2, .) the boundary-value problem (2) is satisfied by (9) u3 (x1, x2, 0; Pk) = (y-kx1, y-kx2)∈G(Po) = ykd [α(Po) — f(y-kx1, y-kx2; y)] = α (Pk) - (y-kx1, y-kx2; y). The validity of the other conditions from (2) is proved in the same way as in [12]. Note that equalities (9) are exact for discrete collection of loads Pk only. Let Gn (P) be the convex hull of the discrete contact region G(P) described by (7). Then, this region Gn (P) can be taken as an effective
this region Gn (P) can be taken as an effective region of contact. Evidently, Gn (P) will be changed by homotopic transformation too. The theorem provides the following qualitative corollaries (which hold under the assumptions made above): (i) the size l of the nominal region of contact varies proportionally to the load raised to exponent 1/[2 + μ(d — 1)]; (ii) the approach of the punch with half-space is proportional to the load raised to exponent d/[2 + μ(d — 1)], namely (11) l(Pk) = [l(Po) P^ 1 /[2 + μd 1]] P~/[2 + μ (d 1)], (12) α (Pk)
μd 1]] P~/[2 + μ (d 1)], (12) α (Pk) = [α (Po) P~-d/[2 + μ(d-1)]] P^ 2+μ(d~1)]. Indeed, choose the point of contact on the boundary of region Gn (Po), i.e. (x1, x2)∈G(Po)∩∂Gn(Po). The definition of the region Gn(Po) and (10) imply that for this point (y-kx1, y-kx2) ∈ G (Pk) ∩ ∂Gn (Pk), therefore the size varies proportionally to yd, i.e. l(Pk) = l(Po)yk. Substitution yk into this equality results in (11). The second assertion follows from (9). Finally, note that for Weierstrass-Mandelbrot punch, i.e. when f in (1) is equal to fo, (11) and (12) give (Pk)~P~1/[2
(1) is equal to fo, (11) and (12) give (Pk)~P~1/[2 + μ(1-D)], α (Pk)~P[2"D)/[2 + μ D~1]. In the case of linear elasticity, i.e. for u = 1 we have (Pk) P~, α (Pk) P~. It is surprising that the similarity consideration leads to the exact conclusions on the character of the contact between such a "mathematical monster" as Weierstrass-Mandelbrot fractal punch and non-linear elastic half-space. Note remise le 6 novembre 1992, acceptée le 12 novembre 1992. REFERENCES [1] B. B. MANDELBROT, Fractals: form, chance, and dimension, San-Francisco, Freeman, 1977. [2] J. FEDER, Fractals, N.-Y., London, Plenum Press, 1988. [3]
[2] J. FEDER, Fractals, N.-Y., London, Plenum Press, 1988. [3] A. MAJUMDAR and B. BHUSHAN, Trans. A.S.M.E., J. Tribology, 113, 1991, pp. 1. [4] J. FLECKINGER and D. G. VASIL'EV, C. R. Acad. Sci. Paris, 311, série I, 1990, pp. 867-872. [5] M. L. LAPIDUS, Trans. Amer. Math. Soc., 325, 1991, pp. 465-529. [6] K. FALCONER, Fractal geometry: mathematical foundations and applications, N.-Y., Wiley, 1990. [7] K. L. JOHNSON, Contact Mechanics, Cambridge, Cambridge University Press, 1985. [8] F. M. BORODICH and A. B. MOSOLOV, J. Tech. Phys., 61, 1991, No. 9, pp. 50-54. [9] F. M. BORODICH, J. Appl. Math.
9, pp. 50-54. [9] F. M. BORODICH, J. Appl. Math. Mech. (PMM), 47, 1983, pp. 519-521. [10] F. M. BORODICH, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 25, 1984, pp. 324-326. [11] R. HILL, B. STORAKERS and A. B. ZDUNEK, Proc. R. Soc. Lond., A423, 1989, pp. 301-330. [12] F. M. BORODICH, Problemy Prochnosti, 1989, No. 12, pp. 47-53. [13] M. V. BERRY and Z. V. LEWIS, Proc. R. Soc. Lond., A 370, 1980, pp. 519-521. Division of Technical Mechanics, Moscow Institute of Radio Engineering, Electronics and Automation, prosp. Vernadskogo 78, Moscow, 117454, Russia. Mécanique des fluides/Fluid Mechanics Sillage tridimensionnel d'un obstacle
117454, Russia. Mécanique des fluides/Fluid Mechanics Sillage tridimensionnel d'un obstacle torique et modélisation par l'équation de Ginzburg-Landau Thomas LEWEKE, Michel PROVANSAL et Louis BOYER Résumé — L'adéquation du modèle de Ginzburg-Landau à la description du sillage à l'aval d'un cylindre droit est étendue au cas du tore pour lequel des conditions aux limites périodiques doivent être appliquées. Les expériences réelles effectuées sur un tore de dimensions 3-57 mm révèlent l'existence de différentes structures prévues par le modèle. Three-dimensional wake of a torus and its modelling by the Ginzburg-Landau equation Abstract — The Ginzburg-Landau model for the wake of a straight
— The Ginzburg-Landau model for the wake of a straight circular cylinder is extended to the case of a torus, for which periodic boundary conditions apply. Experiments done on a real torus of dimensions 3-57 mm reveal the existence of different structures predicted by the model. Abridged English Version — INTRODUCTION. — The structure of the vortex path behind a straight cylinder depends on several factors, e.g. aspect ratio, boundary conditions, and Reynolds number Re. For Re between 50 and 150, shedding of parallel, oblique, or curved vortices, spanwise cells of different shedding frequencies, or dislocations are observed ([1]—[4]). We
of different shedding frequencies, or dislocations are observed ([1]—[4]). We recently showed that the one-dimensional Ginzburg-Landau model, in which the wake is considered as a diffusively coupled chain of oscillators, could account for the phenomena observed in this domain ([5]-[7]). Numerical simulations of this model with "zero" boundary conditions (i.e. no oscillation at the ends of the cylinder) reproduced most of the observed 3D structures. Recent numerical [8] and analytical [9] studies of two-dimensional Ginzburg-Landau models, including the downstream direction, have shown very similar results. In this paper we present results concerning a torus. For the model this means that
results concerning a torus. For the model this means that the boundary conditions to be respected are periodic in the spanwise direction. Visualizations of the flow behind this type of body are compared to the predictions of the Ginzburg-Landau model. 1. EXPERIMENTAL SETUP. — The wake of the torus is studied in a wind tunnel with a 25 x 25 x 100 cm3 test section. Non-uniformity of the incoming flow is less than 1% and the turbulence level less than 0.5%. The brass torus of thickness d= 3 mm and outer diameter D = 57 mm (aspect ratio nDjd =60)
outer diameter D = 57 mm (aspect ratio nDjd =60) is held by three metal wires (0.08 mm) in a plane perpendicular to the flow. The wake structure is visualized by a cylindrical smoke sheet, concentric with the torus, created by a circular smoke wire upstream of the body. The Reynolds number is Re =105 for all visualizations presented here. 2. STRUCTURE OF THE PERIODIC TORUS WAKE. — Figure 1 shows smoke visualizations of the torus wake. The smoke tube is distorted by the wake vortices and the bright lines show their structure (isophase lines). In figure 1 (a) the
show their structure (isophase lines). In figure 1 (a) the vortices are closed, i.e. the wake consists of counter-rotating vortex rings, parallel to the torus, which is the intuitively expected wake structure, already observed in previous studies ([10], [11]). Other structures can also be observed. In figure 1 (b) the vortices shed inside and outside the torus form helices, i.e. after one "round" along the body a vortex connects to its next neighbour (helix of step 1). This agrees with the results of Monson [10], who observed two modes of vortex shedding (parallel rings and helices) for 20<πD/d<80. Figure 1
vortex shedding (parallel rings and helices) for 20<πD/d<80. Figure 1 (c) finally shows a wake consisting of two interwoven helices of step 2, a structure not observed before. It has to be pointed out that each of the three helix modes (of step "0", 1, or 2) is obtained for the same set of parameters. The appearance of one mode rather than another depends only on initial conditions, which are not controlled and not yet well known in the present experiments. Another frequently observed wake configuration is the one consisting of vortex rings inclined with respect to the torus [fig.
of vortex rings inclined with respect to the torus [fig. 1 (d)]. This inclination is due to a local defect of the velocity U in the bottom part of the body, caused here by the visualization setup. 3. ADEQUACY OF THE GINZBURG-LANDAU MODEL. — 3.1. The model. — We recall this model only briefly, presented in more detail elsewhere ([5], [6]). In the periodic wake regime (Re>Rec≈49), the fluctuating velocity is proportional to the real part of a complex amplitude A (z, t), depending on the spanwise position z and time t. A is solution of the Ginzburg-Landau equation (1),
time t. A is solution of the Ginzburg-Landau equation (1), where the complex coefficients are given by equations (2)(7). For a body situated in the interval 0 < z < L the periodic boundary conditions are given by equation (8). When choosing this model to describe the wake of a torus, one neglects the effects of curvature of the body (and the vortices). However, previous studies ([14], [15]) have shown that these effects are small for the aspect ratio considered here, and that the wake of the curved body behaves locally as the one of a straight body. 3. Results.
locally as the one of a straight body. 3. Results. — Figure 2 represents the results of equation (1) with boundary condition (8) and a white noise with an r.m.s. = 0.09 | Amx as initial condition. The calculations are carried out with the same values for Re and aspect ratio as in the experiments, and one notices that the structures shown above appear in the model as well. The first three "wakes" [fig. 2 (a)(c)] are obtained under uniform flow conditions (Re independent of z), the one of fig. 2 (d) with a velocity defect of about 10% at
2 (d) with a velocity defect of about 10% at z = L/4. A small reservation has to be mentioned, however, concerning the step 2 helix mode, which did not evolve out of the noise, but which nevertheless remains stable, once it is established, under the random perturbation. Similar results for the mode 1 are found by Rivet [16] in a 3D lattice gas simulation of a circular cylinder wake with an aspect ratio 25.6, Re = 98, and periodic boundary conditions. 4. CONCLUSIONS. — Despite its simplicity, the Ginzburg-Landau model can account for the Bénard-von Kármán instability well above
model can account for the Bénard-von Kármán instability well above the threshold and for the wake structures behind cylinders and tori. As a next step we will investigate the effects of aspect ratio and curvature on the flow properties and try to define the conditions leading to one particular mode, in order eventually to be able to control it. We are grateful to C. H. K. Williamson and P. Albarède for many fruitful discussions. This work was supported by the EC under contract No. SC1-0212-C(TT). INTRODUCTION. — La morphologie de l'allée de vortex en aval d'un cylindre droit dépend de
l'allée de vortex en aval d'un cylindre droit dépend de différentes conditions comme le rapport d'aspect, le profil de l'écoulement, en particulier aux extrémités, et bien sûr le nombre de Reynolds. Pour des valeurs du nombre de Reynolds comprises entre 50 et 150 environ, on observe l'émission de vortex parallèles, obliques ou courbés, des cellules aux fréquences d'émission de vortex différentes et des dislocations ([1]-[4]). Nous avons montré récemment que le modèle de Ginzburg-Landau à une dimension, dans lequel le sillage périodique est considéré comme une chaîne continue d'oscillateurs non linéaires avec un couplage diffusif, selon l'axe de l'obstacle, pouvait
linéaires avec un couplage diffusif, selon l'axe de l'obstacle, pouvait rendre compte des phénomènes observés dans le domaine considéré ([5]-[7]). En imposant des conditions aux limites nulles (pas d'oscillation aux extrémités du cylindre qui est également la condition de vitesse nulle à la paroi), les simulations numériques effectuées à partir de ce modèle permettent de retrouver la plupart des structures 3 D observées dans les expériences. Des résultats similaires ont été trouvés dans d'autres études numérique [8] et analytique [9] de modèles de Ginzburg-Landau à deux dimensions. L'objet de cette Note est de présenter les résultats obtenus dans le cas
Note est de présenter les résultats obtenus dans le cas d'un tore : cette situation implique donc des conditions aux limites périodiques qui doivent être respectées dans toute simulation. Les visualisations de l'écoulement derrière ce type d'obstacle sont comparées aux prévisions du modèle Ginzburg-Landau. 1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL. — Le sillage en aval du tore est étudié dans une soufflerie à air avec une veine d'essai de section carrée (25 x 25) cm2 et de longueur 100 cm. L'écoulement à l'entrée de la veine est uniforme à 1 près et le taux de turbulence résiduel est inférieur à 0,5 Le tore
taux de turbulence résiduel est inférieur à 0,5 Le tore en étain, d'épaisseur d = 3 mm et de diamètre D = 57 mm (rapport d'aspect π D/d= 60), est suspendu par trois fils métalliques de diamètre 0,08 mm dans un plan perpendiculaire à l'écoulement, à 10 cm en aval de l'entrée de la veine. La structure du sillage est visualisée à l'aide d'une nappe de fumée cylindrique de diamètre 37 mm, coaxiale au tore. Elle est créée en amont par vaporisation d'huile sur un fil métallique chauffé électriquement. Le nombre de Reynolds Re = U d/v (U : vitesse
nombre de Reynolds Re = U d/v (U : vitesse en amont, v : viscosité) est Re= 105 pour toutes les visualisations présentées. 2. STRUCTURE DU SILLAGE PÉRIODIQUE DU TORE. La figure 1 montre le sillage du tore visualisé par la fumée. La nappe cylindrique est déformée par les tourbillons et les lignes claires indiquent leur forme (lignes isophases). Sur la figure 1 (a) les tourbillons sont fermés sur eux-mêmes, le sillage est formé d'anneaux de vortex contrarotatifs, parallèles et de même axe de révolution que le tore. C'est la structure attendue en premier, elle a déjà été observée dans
structure attendue en premier, elle a déjà été observée dans d'autres études ([10], [11]). D'autres configurations peuvent être également observées. Sur la figure 1 (b) les tourbillons émis à l'intérieur et à l'extérieur du tore ont une forme d'hélice : après un « tour » le long du tore le vortex se reboucle avec son premier voisin (hélice de pas 1). Cette structure est en accord avec les résultats de Monson [10], qui observe l'existence de deux modes d'émission de vortex (anneaux parallèles et hélices) dans l'intervalle du rapport d'aspect 20<πD/d<80. La figure 1 (c) enfin montre le sillage sous
20<πD/d<80. La figure 1 (c) enfin montre le sillage sous forme de deux hélices interlacées de pas 2, structure qui n'avait pas été observée jusqu'à présent. Il est à souligner que chacun de ces trois modes, que l'on peut regrouper sous la désignation « hélice de pas 0, 1 ou 2 », est obtenu pour le même jeu de paramètres. L'installation d'un mode plutôt que d'un autre dépend uniquement des conditions initiales, non contrôlées et méconnues pour l'instant dans les présentes expériences. Une autre configuration fréquemment observée est celle d'anneaux de vortex inclinés par rapport au tore [fig. 1 (d)].
de vortex inclinés par rapport au tore [fig. 1 (d)]. Cette inclinaison est due à un défaut local de la vitesse U en bas du tore, créé ici par le dispositif de visualisation. ({[ ) (b) (c) (d) Fig. 1. Sillage derrière un tore de rapport d'aspect π D/d= 60 à Re= 105. (a) Anneaux de vortex parallèles. (b) Hélices de vortex de pas 1. (c) Hélices de vortex de pas 2. (d) Anneaux de vortex inclinés. Fig. 1. Wake behind a torus of aspect ratio π D/d = 60 at Re= 105. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices
at Re= 105. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices of step 1. (c) Helical vortices of Step 2. (d) Inclined vortex rings. 3. ADÉQUATION DU MODÈLE DE GINZBURG-LANDAU. — 3.1. Le modèle. — Ce modèle a déjà été présenté ([5], [6]), il est ici rappelé brièvement. Dans le régime d'oscillations périodiques du sillage, pour Re>Rec=49, la vitesse est proportionnelle à la partie réelle d'une amplitude complexe A (z, t) qui dépend de la coordonnée z le long de l'obstacle et du temps t, solution de l'équation de Ginzburg-Landau : (1) dA/dt = iCTA - |A|2A + |i<32 A/dz2. Les
(1) dA/dt = iCTA - |A|2A + |i<32 A/dz2. Les coefficients complexes c1, c2 et c3 sont donnés par (2) c2 = k (Re Re,) vid avec k = 0, 2 d'après les résultats de Provansal et al. [3]; (3) G, = H,or/lr = [a + b Re] vid2 avec a/2 n= 5,1064 et b/2 n = 0,217 5 (cf Williamson [4]); (4) H/l, = 3,0 (cf. Strykowski [12] et Schumm [13]); et (5) Hr = 25/v (en x/d= 5, dépend de la position aval), (6) HJ Hr = 0,65, (7) Hr = 32v d'après les résultats d'Albarède [5]. Pour
(7) Hr = 32v d'après les résultats d'Albarède [5]. Pour un obstacle situé dans l'intervalle 0:9 z:g L les conditions aux limites périodiques s'écrivent : (8) A(z=O, t)=A(z=L, t). Fig. 2. Simulation des structures à partir de la résolution numérique de l'équation de Ginzburg-Landau. On a représenté la partie réelle de A en échelle de gris dans le plan (z, t). Les lignes d'égal noircissement sont des isophases. Cette représentation est identique à l'image du sillage que l'on peut observer à l'instant t= 1,5 s = 2,5 d2/v, date d'émission du dernier vortex : dans ce cas le tore est
du dernier vortex : dans ce cas le tore est à l'extrémité droite de la figure, les lignes sont les vortex entraînés par le fluide qui s'écoule de droite à gauche, (a) Anneaux de vortex. (b) Hélices de vortex de pas 1. (c) Hélices de vortex de pas 2. (d) Anneaux de vortex inclinés. Fig. 2. — Simulation of the wake structures by numerical resolution of the Ginzburg-Landau equation. The real part of A is plotted in the (z, t)-plane using a grey-scale. This representation corresponds to a visualization of the wake at t= 1.5 s = 2.5 d2/v, time
the wake at t= 1.5 s = 2.5 d2/v, time of shedding of the last vortex; in this case the body is on the right-hand side and the lines are vortices convected by the flow which is from right to left. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices of step 1. (c) Helical vortices of step 2. (d) Inclined vortex rings. En choisissant ce modèle pour décrire le sillage d'un tore, on néglige les effets de courbure de l'obstacle (et des vortex), présents dans le système réel. Cependant, des études précédentes ([14], [15]) ont montré que ces effets sont faibles
précédentes ([14], [15]) ont montré que ces effets sont faibles pour le rapport d'aspect considéré ici et que, dans ce cas, le sillage d'un obstacle courbé se comporte localement comme celui d'un obstacle rectiligne. 3.2. Résultats. — La figure 2 représente les résultats de (1) avec les conditions aux limites périodiques (8) et un bruit initial sur l'écoulement à partir duquel les structures se développent. Il s'agit d'un bruit blanc d'écart type L = 0,091 Amax. Les calculs sont effectués avec les mêmes valeurs du rapport d'aspect et du nombre de Reynolds que dans l'expérience. On peut constater que les
de Reynolds que dans l'expérience. On peut constater que les structures décrites ci-dessus apparaissent également dans le modèle. Les trois premiers « sillages » sont obtenus avec des conditions d'écoulement uniforme (Re indépendant de z), le quatrième avec un défaut de vitesse à z = L/4 de l'ordre de 10%. Une petite réserve doit être faite sur le mode hélice de pas 2 qui n'est pas apparu à partir du bruit mais qui néanmoins paraît stable une fois établi, même en présence de l'excitation aléatoire. Des résultats semblables pour le mode 1 sont observés par Rivet [16] dans une simulation