jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
mode 1 sont observés par Rivet [16] dans une simulation numérique 3 D par gaz sur réseau d'un écoulement à l'aval d'un cylindre circulaire de rapport d'aspect 25,6 à Re = 98 avec des conditions aux limites périodiques. 4. CONCLUSION. — En dépit de sa simplicité relative face aux équations de l'hydrodynamique, le modèle de Ginzburg-Landau est capable de rendre compte de l'instabilité de Bénard-von Karman bien au-dessus du seuil et de la morphologie des vortex créés à l'aval de cylindres droits ou de tores. Nous nous proposons dans l'étude à venir de déterminer l'importance du rapport d'aspect et de
à venir de déterminer l'importance du rapport d'aspect et de la courbure sur les propriétés de l'écoulement (seuil, amplitude) et surtout d'essayer de dégager les conditions qui favorisent l'établissement d'un mode, son domaine d'existence et par suite de le contrôler. Nous adressons nos remerciements à C. H. K. Williamson et P. Albarède pour de nombreuses discussions enrichissantes. Ce travail bénéficie du support financier de la CEE, contrat n° SC 1-02120C (TT). Note remise le 8 octobre 1992, acceptée après révision le 17 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. SLAOUTI et J. H. GERRARD, J. Fluid Mech., 112, 1981, p. 297-314.
J. H. GERRARD, J. Fluid Mech., 112, 1981, p. 297-314. [2] D. GERICH et H. ECKELMANN, J. Fluid Mech., 122, 1982, p. 108-121. [3] M. PROVANSAL, C. MATHIS et L. BOYER, J. Fluid Mech., 182, 1987, p. 1-22. [4] C. H. K. WILLIAMSON, J. Fluid Mech., 206, 1989, p. 579-627. [5] P. ALBARÈDE, Thèse, Université de Provence, 1991. [6] P. ALBARÈDE, M. PROVANSAL et L. BOYER, C. R. Acad. Sci. Paris, 310, série II, 1990, p. 459-464. [7] P. ALBARÈDE et P. A. MONKEWITZ, Phys. Fluids A, 4, 1992, p. 744-756. [8] D. S. PARK et L. G. REDEKOPP, Phys.
744-756. [8] D. S. PARK et L. G. REDEKOPP, Phys. Fluids A, 4, 1992, p. 1-10. [9] A. CHIFFAUDEL, Europhys. Lett., 18, 1992, p. 589-594. [10] D. R. MONSON, Trans. ASME, J. Fluids Engng., 105, 1983, p. 308-322. [11] M. TAKAMOTO et K. IZUMI, Phys. Fluids, 24, 1981, p. 1582-1583. [12] P. J. STRYKOWSKI, Ph. D. Thesis, Yale University, 1986. [13] M. SCHUMM, Dissertation, TU Berlin, 1991. [14] P. W. BEARMAN et M. TAKAMOTO, Fluid Dynamics Research, 3, 1988, p. 214-218. [15] G. EHRHARDT, Fortschrittsberichte der VDI-Zeitschriften, 49, Reihe 7, 1978. [16] J.-P. RIVET, C. R. Acad. Sci. Paris, 313,
1978. [16] J.-P. RIVET, C. R. Acad. Sci. Paris, 313, série II, 1991, p. 151-156. Laboratoire de Recherche en Combustion, UA n° D 1117 du CNRS, Université de Provence, Centre de Saint-Jérôme, Service 252, 13397 Marseille Cedex 20, France. Mécanique des fluides/Fluid Mechanics Formulation asymptotique de l'approximation de Boussinesq pour les mélanges de fluides. Application à l'air humide ou nuageux Pierre-Antoine Bois Résumé — Dans le cadre symétrique de l'approximation de Boussinesq, l'obtention directe de la valeur de la fréquence de Brunt-Vaisala dans les équations du mouvement d'un mélange de fluides non dissipatif est subordonnée à la forme des équations
fluides non dissipatif est subordonnée à la forme des équations décrivant les interactions entre les diverses espèces qui constituent le milieu. Dans le cas du mélange air sec-vapeur d'eau-eau liquide (nuage atmosphérique) il est possible, grâce à la formule de Clausius-Clapeyron, d'écrire l'équation de l'énergie sous une forme « conservative » qui fait apparaître directement la fréquence de Brunt-Vaisala. Asymptotic formulation of the Boussinesq approximation for the mixtures of fluids. Application to moist air and to clouds Abstract — Dans le cadre de l'approximation asymptotique Boussinesq, une expression directe de la valeur de la fréquence de Brunt-Vaisala dans les équations
la valeur de la fréquence de Brunt-Vaisala dans les équations de mouvement dépend de la forme des équations qui décrivent les interactions entre les constituants du milieu. Dans le cas du mélange air sec-eau vapeur-eau liquide (atmosphère nuageuse), il est possible, via la formule de Clausius-Clapeyron, de écrire l'équation de l'énergie dans une forme conservatrice telle que la fréquence de Brunt-Vaisala apparaît de façon immédiate dans cette équation. Abridged English Version — The Boussinesq approximation is a well known tool for convection problems dealing with buoyant fluids. Usually this model assumes that the medium is a one-component fluid. Hence the
assumes that the medium is a one-component fluid. Hence the equation of state of the medium reads p = p (p, T). For a non-dissipative fluid, as a consequence of the Boussinesq approximation, the energy equation takes the form: dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0, for a quantity p representing the perturbed density. The Brunt-Vaisala frequency N directly appears in the equation. The previously given equation of state is not always accurate enough to describe some geophysical fluids such as moist air (atmosphere) or salt water (oceans). In the present paper we choose, for the medium, the equation of
present paper we choose, for the medium, the equation of state of a mixture: p = p (p, T, q0, q1, ..., qN) where the qi (a = 0, 1, ..., N) are the massic concentrations of each constituent. We adopt, in what follows, the classical formulation of the equations of mixtures (see, for example, Bowen, [8]). For a non-dissipative mixture, the balance equations and thermodynamic equations read in the form (2), the energy equation being the only difference between a mixture and a one-component fluid. By introducing non-dimensional variables, the momentum equation reads in the form (4) and the
the momentum equation reads in the form (4) and the energy equation in the form (6). As proved elsewhere (see, for example, [1]), the Boussinesq approximation appears as the leading approximation of an asymptotic process obtained by allowing E and F to be small and related by the formula F2 = E. Then one may show that there exists a static unperturbed state of rest: p = Po, p = p0, depending on ε = E Z only. Assuming then that the variables can be expanded in the form (9), the Boussinesq equations read in the form (10). Such a
the Boussinesq equations read in the form (10). Such a form is not directly in the framework of (1), but, provided that the dqj/dt are themselves expressed as functions of dp/dt and dpj/dt, (1) may be easily recovered. In the case of moist air with clouds, the medium can be described as a mixture of three media: dry air, water vapour and condensed water. In this case additional relations must be joined to the preceding ones. These relations allow simplifications of the energy equation: first, the pressure of the liquid phase is neglected; second, the derivatives dqj/dt and dqj/dt of
phase is neglected; second, the derivatives dqj/dt and dqj/dt of the vapour and the liquid are opposite; third, in the case of saturated vapour, there exists in the phase change between the water vapour and the liquid water the additional formula (12) (Clausius-Clapeyron formula). As a consequence the rate of concentration dqj/dt can be expressed in the form (13). Finally the energy equation can be reduced to the form (1) with an expression of the Brunt-Vaisala frequency given by (14). The relation (14) provides a form of the Brunt-Vaisala frequency in a cloudy atmosphere, more precise than a previous estimation
in a cloudy atmosphere, more precise than a previous estimation performed by Lalas and Einaudi [5]. The expression is equivalent to an expression obtained by Durran and Klemp [7] by another procedure. The formulation exhibits a conservative variable θ, equivalent to the classical potential temperature used in meteorology, depending only on two thermodynamic variables. The existence of this conservative variable is necessary in order to establish the equation (1), and justifies the formalism used by Durran and Klemp. 1. INTRODUCTION. — L'un des principaux domaines d'application de l'approximation de Boussinesq est l'étude de la convection dans les fluides géophysiques. La
est l'étude de la convection dans les fluides géophysiques. La formulation thermodynamique des équations (voir [1] par exemple) utilise la loi d'état des fluides sous la forme p = p (p, T), c'est-à-dire que l'on part de l'hypothèse qu'il s'agit de fluides proprement dits. Il n'en est évidemment pas ainsi dans la pratique : l'air atmosphérique est humide ou nuageux, l'eau des océans est salée, etc. On peut donc envisager un schéma descriptif plus raffiné. De tels schémas ont été déjà proposés pour évaluer la fréquence de Brunt-Vaisala dans ces fluides, tant pour les milieux océaniques [2] que pour les
fluides, tant pour les milieux océaniques [2] que pour les milieux atmosphériques ([3] à [7]). Les résultats les plus fiables sont les résultats approchés de Lalas et Einaudi [5] (valables pour de faibles concentrations) et ceux de Durran et Klemp [6], dont l'utilisation pratique est également subordonnée à une approximation. L'objet de la présente Note est de proposer, par une analyse systématique, une méthode d'évaluation directe de la fréquence de Brunt-Vaisala dans un milieu mélangé non dissipatif. Ce calcul doit normalement être effectué en considérant les ondes linéarisées (autour d'un état statique donné par exemple) associées aux équations relatives à
état statique donné par exemple) associées aux équations relatives à tous les constituants. L'écriture des équations complètes des mouvements des mélanges introduit des inconnues propres à chaque constituant (voir [4] ou [8] par exemple), exprimant les flux de masse, de quantité de mouvement ou d'énergie dans les diverses interactions entre les constituants. Toutefois, utilisant les résultats de [1], il est possible de réduire les données concernant chacun des constituants si l'équation de l'énergie peut être ramenée, moyennant une formulation asymptotique à définir, à une équation scalaire de la forme: (1) dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0. En effet les
dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0. En effet les équations purement dynamiques pour le mélange lui-même (conservation de la masse et de la quantité de mouvement) sont inchangées par rapport à celles que l'on obtient pour un fluide pur, et l'équation (1) n'en diffère que par le coefficient de w qui y figure. En définitive l'écriture de l'équation de l'énergie sous la forme (1) définit directement la fréquence de Brunt-Väisälä dans le milieu (c'est la grandeur désignée par N (Q dans (l)). On compare pour terminer, lorsque c'est possible, la valeur obtenue pour N (Q à celles qui sont
la valeur obtenue pour N (Q à celles qui sont déterminées dans [5] et [7]. 2. ÉQUATIONS DE BASE. — Le milieu considéré est supposé constitué de N + 1 constituants fluides, repérés par les indices a = 0, 1, ..., N. Ces constituants mélangés forment un milieu de masse volumique p avec les concentrations qa. Nous supposons le mélange idéal, c'est-à-dire que la pression partielle de chaque constituant suit une loi d'état de fluide pur. Chaque fluide est supposé non dissipatif, le mélange également, ce qui implique en vertu de la loi de Fick que les vitesses de diffusion
de la loi de Fick que les vitesses de diffusion sont nulles. Ainsi le mouvement du fluide est caractérisé par la seule vitesse barycentrique. Avec des notations classiques les équations de bilan et les lois d'état s'écrivent : Dans (2) les grandeurs ha. représentent les enthalpies de chacun des constituants, cp la chaleur spécifique du mélange à pression et à concentrations constantes, À le coefficient d'expansivité à concentrations constantes, définis par : N (3) C, 1 q. c,,, À= Ijp (op/oT)p, qcz' o = 0 Les équations (2) ne sont pas les seules équations définissant le mouvement du milieu, mais
pas les seules équations définissant le mouvement du milieu, mais ce sont les seules que nous utiliserons par la suite. 3. NON-DIMENSIONNALISATION. — Pour écrire les hypothèses de Boussinesq sous forme asymptotique, il est nécessaire ensuite de non dimensionnaliser les équations. Nous utilisons pour cela (voir [1]) des grandeurs de référence U, L, 0O, p0, cpo, où cpo est une chaleur spécifique de référence. La pression de référence vaut alors Po = Po cpo 80, Nous supposons que pour chacun des constituants du milieu les mêmes grandeurs de référence sont significatives et que les échanges de masse mutuels peuvent être
significatives et que les échanges de masse mutuels peuvent être normalisés par la même quantité p0 U/L. L'équation de la quantité de mouvement prend la forme : (4) pdu/dt + e~2 grad p + F'2 pk = 0, l'écriture formelle des équations de conservation de la masse et de l'énergie restant inchangée, à cela près que les variables concernées : p, u, cp, T, p et les opérateurs %t. sont maintenant sans dimension. Il apparaît dans (4) les nombres caractéristiques e et F : (5) s = U/(cpo0o)1'2, F = U/(Lg)"2). Le nombre 8 est lié à la compressibilité thermique,
U/(Lg)"2). Le nombre 8 est lié à la compressibilité thermique, le nombre F est le nombre de Froude. L'équation de l'énergie peut être réécrite en variables p, p, qa. Si nous désignons par y le rapport des chaleurs spécifiques cp/cv, cette équation, compte tenu de l'égalité L qa. = 1, prend la forme : N (6) dp/dt-l/y(dp/dp)Tdqadp/dt + Xp £ Aadqjdt = 0, a.=1 (7) Aa. = 1 /cp[ha-h0 + cp (<dT/ôqa)p> T> J. 4. ÉQUATIONS DE BOUSSINESQ. — L'écriture asymptotique de l'approximation de Boussinesq postule qu'il existe dans le milieu un état statique pour lequel on a : (8)
milieu un état statique pour lequel on a : (8) p = Po (Ç), P = Ro (Ç), T = T 0 (Ç), C = 8Z. Les paramètres e et F sont supposés petits et vérifient l'égalité F2 = e (voir [1]) de sorte que ç est une variable lente. L'écriture de (8) n'est possible que si les concentrations qa. sont également de cette forme, soit qa Qoo (Ç). Les Qoa. (Ç) ne sont pas arbitraires : la donnée des Qoa. revient à celle des masses volumiques d'équilibre Roa. de chaque constituant, puis, à travers les lois d'état, à celles
chaque constituant, puis, à travers les lois d'état, à celles des pressions partielles P0a. Nous supposons ensuite que les diverses grandeurs admettent des développements : La première dégénérescence des équations s'écrit (w désignant la composante verticale de u) : Le système (10) représente la première approximation des équations de Boussinesq dans le mélange. L'obtention directe de la fréquence de Brunt-Väisälä dans ces équations est subordonnée à la possibilité d'écrire la troisième équation sous la forme (1). Il est nécessaire pour cela de disposer de renseignements sur les échanges (de masse par exemple) dans le système. Dans le cas d'un mélange
par exemple) dans le système. Dans le cas d'un mélange sans échange mutuel de masse (air sec-vapeur d'eau par exemple), les dqjdt sont nuls et la fréquence de Brunt-Väisälä se réduit à No (Ç). 5. EXEMPLE DE L'AIR NUAGEUX. — A titre d'application nous considérons l'air atmosphérique comme un mélange ternaire d'air sec, de vapeur d'eau saturée et d'eau condensée. Nous repérons par l'indice g l'air sec, par l'indice v la vapeur d'eau, par l'indice L l'eau liquide et par l'indice w le total eau liquide + vapeur d'eau. Suivant une approximation (classique en théorie de la condensation, voir par
une approximation (classique en théorie de la condensation, voir par exemple [6] ou [7]) la pression PL est négligée, ce qui permet de traiter le condensat comme un gaz parfait de constante caractéristique RL = O. Les trois lois d'état restantes s'écrivent : (11) pg = R, q, p T, Pv = K<lv PT, p = (Rg(-qw) + Rvqv)pT. L'échange de masse entre l'eau liquide et la vapeur d'eau dû à la vaporisation et à la condensation suit la loi de Clausius-Clapeyron qui, compte tenu des hypothèses, s'écrit : (12) dpv/dT = Lpv/(RvT2). La grandeur L dans (12) est la
dpv/dT = Lpv/(RvT2). La grandeur L dans (12) est la chaleur latente (normalisée par cpo 0O) de vaporisation de l'eau. On déduit ensuite de (12) et de la loi d'état du mélange la relation : Après insertion de (13) dans (6), l'équation (10) prend la forme (1) avec : (15) co2 = y PO/Ro, R=Rg(-qv-(h)+Rv<lv' Il est possible de comparer l'expression (14) aux résultats figurant dans la littérature ([3], [5], [6], [7]). L'approximation de Dudis ne comporte pas le terme en QQw figurant dans P©(Q : cette observation avait déjà été faite par Durran et Klemp. Les résultats de Lalas
été faite par Durran et Klemp. Les résultats de Lalas et Einaudi ne sont valables que pour de faibles concentrations (qw 1), réserve faite que ces auteurs supposent que L2 q" = 0 (1). En outre ces auteurs ont supposé que L est constant. Enfin les résultats de Durran et Klemp sont équivalents à ceux que donne (14) (exprimés avec d'autres variables). La démarche de Durran et Klemp est néanmoins différente : calculant la grandeur N (0 à partir d'une condition nécessaire de stabilité statique du milieu, ces auteurs ne font pas apparaître qu'il s'agit d'une fréquence critique. L'analyse effectuée
font pas apparaître qu'il s'agit d'une fréquence critique. L'analyse effectuée ici justifie ainsi le formalisme utilisé par Durran et Klemp. 6. CONCLUSION. Le point capital de la présente analyse, dont l'objet est l'obtention de l'équation (1), est en fait l'écriture de l'équation (13). Cette équation est en effet essentielle pour démontrer l'existence, pour le présent problème, d'une variable 9 non seulement « conservative », c'est-à-dire telle que l'équation de l'énergie puisse se ramener à une forme dQ/dt = 0, mais également que cette variable 9 puisse s'exprimer en fonction de deux grandeurs thermodynamiques uniquement. Cette propriété, qui est immédiate dans
deux grandeurs thermodynamiques uniquement. Cette propriété, qui est immédiate dans le cas des fluides purs (9 est fonction uniquement de l'entropie du milieu) est également vraie dans le cas d'un mélange lorsque les dqJ/dt peuvent s'exprimer en fonction des deux variables thermodynamiques qui ne sont pas les concentrations définissant le mélange (une grandeur équivalente à 9 généralisant pour des gaz parfaits la notion de température potentielle a été obtenue par Durran et Klemp). La formule de Clausius-Clapeyron autorise cette écriture pour le mélange eau liquide-vapeur d'eau. L'écriture directe de N2 (Q dans l'équation de l'énergie apparaît ensuite lorsque l'on choisit
(Q dans l'équation de l'énergie apparaît ensuite lorsque l'on choisit comme variables p et p. Note remise le 29 juin 1992, acceptée après révision le 18 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P.-A. Bois, Geophys. Astr. FL. Dyn., 58, 1991, p. 45-55. [2] K. BRYAN et M. D. Cox, J. Phys. Oceanography, 2, 1972, p. 510-514. [3] J. J. DUDIS, J. Atm. Sc., 29, 1972, p. 774-778. [4] F. EINAUDI et D. P. LALAS, J. Atm. Sc., 30, 1973, p. 365-376. [5] D. P. LALAS et F. EINAUDI, J. Atm. Sc., 30, 1973, p. 795-800. [6] D. P. LALAS et F.
30, 1973, p. 795-800. [6] D. P. LALAS et F. EINAUDI, J. Appl. Met., 13, 1974, p. 318-324. [7] D. R. DURRAN et J. B. KLEMP, J. Atm. Sc., 39, 1982, p. 2152-2158. [8] R. M. BOWEN, Theory of mixtures, in Continuum Physics, III, A. C. ERINGEN éd., Academic Press, 1976, p. 1-127. Laboratoire de Mécanique de Lille, URA-CNRS n° 1441, UFR de Mathématiques, Bât. M 3, USTL, 59655 Villeneuve-d'Ascq, France. La métrique qui décrit cet espace-temps peut s'écrire à l'aide des coordonnées (t, r, θ, φ), avec t, re R, O^e^Tt, 0^4^271, -lgngl : S2 (t) (1) g=-N(t)dt®dt+R2(t)(dr®dr +
R, O^e^Tt, 0^4^271, -lgngl : S2 (t) (1) g=-N(t)dt®dt+R2(t)(dr®dr + r2dθ2 + r2 sin2(θ)dφ2 + du®du / du La fonction N (t) qui assure le changement de signature est choisie de façon la plus simple : (2) N (t) = t<to, si t^O tto, si t < 0. Dans la région 1 t < to la signature de g est donc euclidienne (+ + + + +) alors qu'elle est pseudo-euclidienne (+ + + +) ailleurs. La forme précise de N (t) est en fait peu importante; seules ses caractéristiques principales comptent assurant ainsi que N (t) soit négative pendant
principales comptent assurant ainsi que N (t) soit négative pendant un bref instant et positive autrement. Le choix d'une fonction linéaire permet de mener jusqu'au bout des calculs analytiques. 2. DESCRIPTION DE LA MATIÈRE. Pour source de matière, nous prenons un champ scalaire φ (t). Dans la région où la signature est euclidienne, nous imposons au champ d'être nul; en effet dans ce cas le temps n'est plus défini et les équations décrivant la matière (par exemple l'équation dynamique sur φ) n'ont pas de sens. Le tenseur impulsion-énergie du champ peut s'écrire comme un tenseur impulsion-énergie d'un fluide parfait :
peut s'écrire comme un tenseur impulsion-énergie d'un fluide parfait : (3) Tafc = (p + p)uaub+pgab avec 1 (4) „ = p.-!-*» 3. ÉQUATIONS DU CHAMP. Les équations d'Einstein se réduisent dans ce cas au système suivant : L'équation de conservation du tenseur impulsion-énergie est : Comme toujours, cette équation n'est pas indépendante des trois équations d'Einstein. Posons En éliminant (5 a) au profit de (6), les équations caractérisant le modèle s'écrivent : (8 a) p + (3 H + qi) (p + p) = 0 4 SOLUTIONS. On trouve les solutions en résolvant le système (8) dans chaque région
les solutions en résolvant le système (8) dans chaque région de signature différente. On accorde ces solutions en leur imposant d'être continues. Nous trouvons alors : to : (9) S (to = 0 où Ro et po sont des constantes, tB est le point où R (t,) = 0 et lim oo. -~0: (12) S(to = So(fo + 0 1 (13) R (t) R, (14) φ(to = 0 O~r~~: (15) S (to = S0 (2 ÎQ2 — (t0 — t)3'2) (16) R (t) R, (17) φ(to = 0 S0 est une constante d'intégration. Ces diverses fonctions sont représentées sur la
une constante d'intégration. Ces diverses fonctions sont représentées sur la figure 1. Fig. 1. Évolution de R (t), S (t) et φ(t) pour t<to. Fig. 1. Evolution of R (t), S(t) and φ(t) when t<to. t ~2~ to : Dans cette région qui correspond à l'univers actuel, nous redéfinissons le temps t par Ainsi la métrique (1) s'écrit sous la forme habituelle suivante : (19) g= -dt + g{3) où 7 est le temps cosmique standard. Les solutions des équations d'Einstein sont dans ce cas : (20) S (?) = 2 S0 il12 (21) R (i) = ((3<cp0)"2?+RS)1'3 où Po
2 S0 il12 (21) R (i) = ((3<cp0)"2?+RS)1'3 où Po est une constante. Les fonctions sei), R (7) et <{> (?) sont représentées sur la figure 2. Fig. 2. Évolution de R, S et <)> en fonction du temps cosmique T. Fig. 2. Evolution of R, S and + with the cosmic standard time 1. 5. DISCUSSION. On remarque une singularité de type « big-bang » en t = tB pour le facteur d'échelle de l'espace externe et pour le champ scalaire. D'autre part il y a discontinuité des dérivées du champ. Cependant, le facteur d'échelle de l'espace externe, qui
du champ. Cependant, le facteur d'échelle de l'espace externe, qui est relié à la quantité physique que l'on observe (c'est-à-dire la constante de Hubble), a une dérivée première continue. Une autre caractéristique importante à souligner est le comportement du modèle pour to tendant vers zéro, c'est-à-dire pour le cas où le passage dans le régime euclidien n'a pas lieu. On constate alors qu'il n'y a plus création de l'espace interne dont le rayon tend vers zéro. Note remise le 9 novembre 1992, acceptée le 17 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. WHEELER, Ann. Phys., NY 2 604, 1957; Relativity, Groups,
J. WHEELER, Ann. Phys., NY 2 604, 1957; Relativity, Groups, and Topology, B. DE WITT éd., 1964, New York, Gordon and Breach. [2] S. HAWKING, Phys. Lett., 195B337, 1987. [3] G. T. HOROWITZ, Class. Quantum Grav, 8, 1991, p. 587-601. [4] G. W. GIBBONS et J. B. HARTLE, Phys. Rev., D, 42, 1990, p. 2458-2468. [5] G. ELLIS, A. SUMERUK D. COULE et C. HELLABY, Class. Quantum Grav., 9, 1992, p. 1535-1554. Laboratoire de Gravitation et Cosmologie relativistes, Université Pierre-et-Marie-Curie, C.N.R.S./UR.A. n° 769, Tour n° 22/12, Boîte Courrier 142, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Abstrait en Version English
place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Abstrait en Version English — The time-harmonic electric field in a source-free random medium with permittivity σ(r) obeys equation (1). Using a classical approach ([2], [3]), we introduce a dummy permittivity εg and recast (1) under the integral form (2). Eg (r) is the solution of the homogeneous equation (4) with constant coefficients. In some way, σ renormalizes ε (r). A further step is to renormalize also the local part of the propagator (3), thus using a new propagator ƒg (r) defined by (5). The field equation (2) transforms then into (6), with a