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pour l'estimation de la prévisibilité. Error growth in a simple atmospheric model: comparison between the logistic and Gompertz laws Abstract — A model dynamical system introduced by Lorenz as a simplified representation of atmospheric circulation is studied. It is shown that a doubly exponential law, known as Gompertz law, describes in a satisfactory manner the gross features of the time evolution of the root mean square distance between two initially nearby trajectories. This result has interesting implications for predictability estimates. Abridged English Version — Error growth dynamics is of fundamental interest in predictability studies [1]. It has been suggested [2]
interest in predictability studies [1]. It has been suggested [2] that the evolution of the mean error E can be represented in a qualitative manner by the logistic equation (1) in which E undergoes an initial stage of exponential growth with a rate given by the largest positive Lyapunov exponent λ of the system, followed by a saturation to some value E∞. In this Note we compare the logistic law as defined above with a two-parameter doubly exponential one known as Gompertz law, equation (3), using a simple low-order atmospheric model (5) proposed by Lorenz [4]. For the parameter values
model (5) proposed by Lorenz [4]. For the parameter values a = 0.25; b = 4; F = 8; G = 1.25 the model gives rise to chaotic dynamics with a single positive Lyapunov exponent σ = 0.64 [5]. The evolution of the mean error averaged over 1,000 realizations and sampled every time unit is given in figure 2 (squares) whereas the full line represents a best fit with Gompertz law. For comparison we present in figure 3 (curves A and B) two possible fits with the logistic equation (1). Clearly the Gompertz representation of error evolution reproduces globally the
Clearly the Gompertz representation of error evolution reproduces globally the experimental points in a more satisfactory manner than the logistic one which seems to grow for short times slower and for large time faster than the error in the numerical experiment. Simulation of the fine structure of error growth using 10,000 simulations and a higher sampling rate (fig. 4) shows that the Gompertz law is not able to reproduce the more complex behaviour of initial error growth, which will require further studies. The success of Gompertz law does not appear to have a deep physical significance, but merely to result
to have a deep physical significance, but merely to result from the fact that the logarithmic term In (E∞/E) in (4 b) is a simple way to accelerate the growth of errors smaller than E1 = E∞ exp (-1), when compared to the linear term (1 -E/E∞) in the logistic law (1). Note présentée par Jean-Claude ANDRE. 0764-4450/93/03160193 $ 2.00 6 Académie des Sciences La croissance de l'erreur initiale dans les modèles atmosphériques est un phénomène d'intérêt fondamental pour l'étude de la prévisibilité et fait l'objet de nombreuses recherches (voir par exemple [1]). Les progrès accomplis ces dernières années en
par exemple [1]). Les progrès accomplis ces dernières années en théorie des systèmes dynamiques non linéaires et, en particulier, en dynamique chaotique ont permis de poser ce problème sur une base quantitative solide. La sensibilité aux conditions initiales liée à la divergence des trajectoires dans l'espace des phases s'avère être, en effet, la principale signature du chaos et se manifeste par l'existence d'au moins un exposant de Lyapounov positif. L'un des objectifs des études sur la sensibilité aux conditions initiales est d'arriver à une représentation fonctionnelle paramétrique fiable des données expérimentales ou des simulations réalisées à l'aide de modèles plus
expérimentales ou des simulations réalisées à l'aide de modèles plus ou moins simplifiés, afin de dégager les caractéristiques principales de la croissance de l'erreur. Une telle représentation pourrait en effet constituer un outil intéressant permettant d'estimer l'évolution de l'erreur dans les prévisions opérationnelles ou d'extrapoler vers les domaines de valeurs de celle-ci inaccessible à l'expérience. Une loi très répandue proposée dans ce but est la loi logistique [2]. (1 a) E(t) = Eo {1 + (Eo/E∞ -1) e^σt}-1 qui est solution de l'équation différentielle dE/dt = σE (1 — E/E∞). Eo est l'erreur initiale au temps t = 0, E∞
Eo est l'erreur initiale au temps t = 0, E∞ est la valeur de saturation de l'erreur E (atteinte lorsque t --> ∞). Le paramètre σ décrit la croissance exponentielle de petites erreurs initiales (pour lesquelles le terme de freinage en 1 E/E∞ peut être négligé) et est habituellement identifié à l'exposant de Lyapounov positif le plus grand du système. Stroe et Royer [3] ont considéré une généralisation du modèle logistique de croissance, donnée par la famille de fonctions (2) E(t)=f(α, Eo, E∞, p; t) = Eo {1 + [(E0/E∞)"' 1 ]}" "» En ajustant ce modèle généralisé aux résultats
1 ]}" "» En ajustant ce modèle généralisé aux résultats obtenus dans une série d'expériences de prévision à 45 jours d'échéance réalisées avec un modèle de circulation générale de l'atmosphère, on a trouvé que la puissance p qui donnait l'ajustement optimal était généralement proche de zéro. Ce cas limite correspond à une loi de croissance doublement exponentielle, comme en biologie sous le nom de loi de Gompertz, (3) E (t) = E∞, exp [ln (Eo/E∞, ) e "] En dérivant par rapport au temps, on obtient l'expression (4 a) (1/E) dE/dt = ln (E∞/Eo)e-αt qui montre que le taux relatif
dE/dt = ln (E∞/Eo)e-αt qui montre que le taux relatif de croissance de l'erreur a une décroissance exponentielle en fonction du temps. On peut mettre cette équation sous la forme d'une équation différentielle autonome (4 b) (1/E) dE/dt = α ln (E∞/E) En l'exprimant en fonction du logarithme de l'erreur y = ln (E), cette équation devient une équation différentielle linéaire non homogène : (4c) dy/dt = A + B y avec (4 d) A = α In (E∞,), et B= - α. Les valeurs expérimentales de l'erreur prises en compte dans les expériences de prévision considérées dans [3] ne
compte dans les expériences de prévision considérées dans [3] ne couvrent qu'une gamme restreinte par rapport à la valeur de saturation de l'erreur, à cause du choix de conditions initiales provenant d'observations réelles de situations atmosphériques successives décalées de 24 h. Ceci pose la question de l'applicabilité de (3) et (4) dans le domaine des valeurs beaucoup plus petites de l'erreur initiale. L'objectif de cette Note est d'approfondir cette question au moyen d'un modèle dynamique simple permettant un nombre élevé de réalisations, afin de réduire les imprécisions dues à l'échantillonnage. L'un des systèmes dynamiques les plus simples permettant de reproduire
L'un des systèmes dynamiques les plus simples permettant de reproduire un comportement chaotique présentant qualitativement des analogies avec la circulation atmosphérique est le modèle proposé par Lorenz en 1984 [4], qui est tout à fait différent du célèbre modèle de Lorenz publié en 1963 comme représentation simplifiée de la convection. Il est basé sur un système de trois équations différentielles : Ce système d'équations, utilisé avec les valeurs des paramètres a = 0,25, b = 4, F = 8, G = 1,25, engendre une dynamique chaotique avec un seul exposant de Lyapounov positif, qui a été estimé à 0,64 par
de Lyapounov positif, qui a été estimé à 0,64 par Benzi et Carnevale [5]. Des simulations de croissance de l'erreur ont été effectuées par Nicolis [6], qui a calculé l'évolution de l'écart entre un grand nombre de trajectoires issues de conditions initiales voisines. Ces trajectoires ont été engendrées en choisissant 1000 conditions initiales réparties sur l'attracteur du modèle, et en les modifiant par l'introduction dans chacune des variables du modèle de petites perturbations (tirées aléatoirement d'une distribution uniforme) couvrant la gamme entre 10-4 et + 10-4 de la valeur de saturation. Cette étude a montré qu'une loi logistique [équation (1)]
saturation. Cette étude a montré qu'une loi logistique [équation (1)] dont les valeurs sont ajustées par exposant de Lyapounov a = 0,64 et le niveau de saturation de l'erreur Eoo fournis par le modèle (5) ne donne pas une bonne représentation de l'erreur moyenne, en ce sens que le régime initial de période d'induction (croissante rapide de l'erreur) et le régime intermédiaire (croissance linéaire) autour du point d'inflexion sont raccourcis. La prise en compte d'un bruit aléatoire, censé représenter la variabilité de la dynamique sur l'attracteur, conduit à modéliser l'évolution de l'erreur par une équation différentielle stochastique. Elle améliore sensiblement
de l'erreur par une équation différentielle stochastique. Elle améliore sensiblement l'accord global tout en permettant de reproduire également les propriétés statistiques plus fines de la croissance de l'erreur. Nous considérons ici le problème plus limité de parvenir à une meilleure description de la courbe de croissance de l'erreur moyenne sans passer par une théorie statistique. Compte tenu des résultats obtenus dans les études mentionnées ci-dessus [3], la loi de Gompertz apparaît comme une possibilité. La figure 1 représente les valeurs expérimentales de la variable y = ln E, calculées à partir de l'intégration de (5) sur 1000 réalisations et prélevées
partir de l'intégration de (5) sur 1000 réalisations et prélevées avec un échantillonnage de 1 point par unité de temps, dans le plan (y, dy/dt}. La dérivée a été calculée par différence entre 2 valeurs successives et représentée en fonction de la valeur moyenne de ces 2 valeurs. On a également fait girer la droite donnant l'ajustement par la loi de Gompertz (3), obtenue par une simple graduation linéaire qui a fourni les valeurs α = 0,1011 et E∞ = 1,876. En utilisant ces valeurs pour α et E∞, et la valeur initiale E0 = 0,00048, on a construit l'évolution
la valeur initiale E0 = 0,00048, on a construit l'évolution de l'erreur suivant l'équation (3). Cette courbe ainsi que les points expérimentaux sont représentés sur la figure 2 a, la figure 2 b représentant les résidus des valeurs expérimentales par rapport aux valeurs calculées. Les résultats sont assez spectaculaires et montrent à l'évidence que la courbe en question fournit un ajustement très précis des valeurs expérimentales sur tout l'intervalle de variation considéré. Un ajustement, réalisé par moindres carrés dans le plan (E, t), de la loi logistique démarrant avec la même valeur de l'erreur initiale (fig. 3, courbe A) révèle
même valeur de l'erreur initiale (fig. 3, courbe A) révèle une croissance initiale beaucoup plus lente que celle prévue par la loi de Gompertz. Il est à noter que le paramètre σ fourni par cet ajustement (σ = 0,32) est très inférieur à l'exposant de Lyapounov du système donné auparavant (σ = 0,64). Comme il a été montré dans [6], l'emploi de celui-ci conduirait, au contraire de la figure 3 à une croissance plus rapide que celle correspondant aux points expérimentaux, ou à la loi de Gompertz. La suppression de la contrainte sur la valeur initiale permet d'améliorer l'ajustement de
la contrainte sur la valeur initiale permet d'améliorer l'ajustement de la loi logistique, mais au détriment des valeurs initiales qui sont surestimées (fig. 3, courbe B). L'ajustement de la loi généralisée (2) donne une valeur de la puissance optimale très proche de zéro, et n'apporte qu'une amélioration insignifiante de la qualité de l'ajustement par rapport à la loi de Gompertz (tableau). TABLEAU Valeurs des paramètres déterminés en minimisant l'erreur d'ajustement par rapport aux points expérimentaux (N = 100) de la loi logistique (α = σ, p = 1), de la formule généralisée (2) (puissance optimale), et de la loi de
formule généralisée (2) (puissance optimale), et de la loi de Gompertz (p = 0), sans imposer la valeur de l'erreur initiale. Values of the parameters determined by minimizing the adjustment error to experimental points (N = 100) of the logistic law (α = σ, p= 1), of the generalized formula (2) (optimal power), and of Gompertz law (p = 0), without imposing the initial value. Puissance Logistique Gompertz optimale p = 1 0 -0,076 σ 0,145 0,097 0,094 E0 1,840 1,864 1,867 E0 4,6.10-2 9,0.10-4 1,2.10-4 H 0,0451 0,0211 0,0208 En conclusion, il semble qu'il existe des systèmes dynamiques chaotiques
En conclusion, il semble qu'il existe des systèmes dynamiques chaotiques dont la loi de croissance des erreurs est représentée avec une excellente précision par la loi de Gompertz, même pour des erreurs initiales très faibles, alors que dans les mêmes conditions la loi logistique est mise en échec. À titre de corollaire, pour ces systèmes le taux de croissance relative de l'erreur décroît exponentiellement au cours du temps [équation (4 a)]. Nos résultats montrent cependant que le taux de saturation de l'erreur relative [paramètre α dans l'équation (4 a)] n'est pas nécessairement égal au plus grand exposant de Lyapounov du
pas nécessairement égal au plus grand exposant de Lyapounov du système, contrairement à l'observation faite par Trevisan et al. [7] à partir d'études effectuées sur un autre système. Il semble donc qu'il n'y ait pas de lien simple entre les paramètres de la loi de Gompertz et les caractéristiques dynamiques du chaos sous-jacent. Au vu de la constatation que le désaccord entre la loi de Gompertz et la loi logistique est surtout apparent dans le domaine des petites erreurs et dès lors aussi des temps courts, nous avons étudié la structure fine de la phase initiale de l'erreur au cours
structure fine de la phase initiale de l'erreur au cours du temps (ligne pleine), de la loi de Gompertz de la figure 2 (pointillé) et de la loi logistique A de la figure 3 (tiretée). La moyenne est prise sur 10000 réalisations et l'échantillonnage est de 100 points par unité de temps. Fig. 4. — Fine structure of the initial phase of error growth as a function of time (continuous line) of the Gompertz law of figure 2 (dotted), and of the logistic law A of figure 3 (dashed). Averaging has been performed over 10,000 realizations and with a sampling
has been performed over 10,000 realizations and with a sampling rate of 100 points by time unit. courts, nous avons étudié la structure fine de la croissance d'erreur dans ce domaine en faisant des données de l'intégration numérique des équations (5) sur 10000 réalisations toutes par centième d'unité de temps. Le résultat (fig. 4) est assez inattendu. Il montre que, tout en assurant une représentation globale plus satisfaisante de la croissance de l'erreur, la loi de Gompertz ne parvient pas à reproduire les détails de la partie initiale de cette croissance. Il apparaît en effet que l'évolution des données expérimentales
croissance. Il apparaît en effet que l'évolution des données expérimentales pour des temps t de l'ordre de 1 fait apparaître un point d'inflexion supplémentaire qui ne peut en aucune façon découler d'une des lois évoquées ci-dessus. Une conjecture raisonnable serait que la dynamique de petites erreurs pour des temps courts comporte une série de sous-régimes distincts. Cette complexité supplémentaire pourrait être due à l'orientation de perturbations initiales génériques par rapport aux vecteurs de Lyapounov ou à la variabilité des exposants de Lyapounov suite au caractère multifractal de l'attracteur. Des études plus détaillées seront nécessaires pour clarifier ce point important. Nous
plus détaillées seront nécessaires pour clarifier ce point important. Nous terminons cette Note par quelques commentaires sur l'origine du succès (hors du problème de la structure fine évoquée ci-dessus) de la loi de Gompertz par rapport à la loi logistique. Ainsi que nous l'avons remarqué à propos de la figure 3, une loi dynamique fournissant un ajustement raisonnable des données, y compris celles du régime de saturation, est vouée à engendrer une évolution pour des temps courts plus lente que les valeurs expérimentales. Pour accélérer cette étape, il est nécessaire de diminuer l'importance du terme de freinage (1 — E/E∞)
de diminuer l'importance du terme de freinage (1 — E/E∞) dans l'équation (1), voire même de le remplacer par un terme qui engendrerait une accélération importante (par rapport logistique) pour les temps courts tout en préservant la possibilité de freinage pour les temps longs. Le terme ln (E∞/E) dans l'équation (4b) constitue un moyen simple de remplir cet objectif, puisqu'il est supérieur à 1 (et dès lors accélérateur) pour les erreurs initiales inférieures à E1 = E00 exp (1) et décélérateur (< 1) lorsque les erreurs dépassent ce seuil et se rapprochent du niveau de saturation. Ce seuil E1 correspond
se rapprochent du niveau de saturation. Ce seuil E1 correspond au point d'inflexion de la courbe de Gompertz (3). Lorenz [8] avait étudié un mécanisme de croissance initiale rapide de l'erreur et de ralentissement ultérieur de la croissance nant de la coexistence de plusieurs échelles de mouvement ayant des temps caractéristiques différents. Un tel mécanisme pourrait constituer une explication du succès de la loi de Gompertz pour l'ajustement de la croissance de l'erreur dans un système ayant un grand nombre de degrés de liberté, tel que le modèle de circulation générale de l'atmosphère considéré dans [3]. Mais dans le système
générale de l'atmosphère considéré dans [3]. Mais dans le système à 3 degrés de liberté étudié ici, c'est plus vraisemblablement la forte variabilité du taux de croissance de l'erreur en fonction de la position sur l'attracteur, autrement dit le caractère multifractal de cet attracteur, qui peut intervenir à ce point de vue. Il se pourrait bien que la loi de Gompertz soit dépourvue de toute signification physique profonde, mais constitue plutôt une loi asymptotique, cas limite de (2), permettant d'accommoder au sein d'un même formalisme deux tendances à courte et à longue terme contradictoires. L'intérêt principal de la loi de
à longue terme contradictoires. L'intérêt principal de la loi de Gompertz semble être essentiellement de permettre un meilleur ajustement et une meilleure description des caractéristiques de croissance de l'erreur dans divers modèles météorologiques, ce qui est utile pour caractériser leur prévisibilité dynamique. Ce ene ICle de supports financiers émanant du programme national d'Étude de la Dynamique du Climat du Programme Global Change du gouvernement Belge, et de la Commission des Communautés européennes. Note remise le 6 octobre 1992, acceptée après révision le 25 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. NICOLIS et G. NICOLIS, éd. Irreversible Phenomena and Dynamical Systems Analysis
et G. NICOLIS, éd. Irreversible Phenomena and Dynamical Systems Analysis in Geosciences, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland, 1987, 578 p. [2] E. N. LORENZ, J. Atmos. Sci., 26, 1969, p. 636-646. [3] R. STROE et J. F. ROYER, C. R. Acad. Sci. Paris, 315, série II, 1992, p. 445-451. [4] E. N. LORENZ, Tellus, 36 A, 1984, p. 98-110. [5] R. BENZI et F. C. CARNEVALE, J. Atmos. Sci., 46, 1989, p. 3595-3598. [6] C. NICOLIS, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 118, 1992, p. 553-568. [7] A. TREVISAN, P. MALGUZZI et M. FANTINI, J. Atmos. Sci., 49, 1992, p.
MALGUZZI et M. FANTINI, J. Atmos. Sci., 49, 1992, p. 713-719. [8] E. N. LORENZ, Tellus, 21, 1969, p. 289-307. Météo-France, Centre National de Recherches Météorologiques, GMGEC/UDC, 42 avenue G.-Coriolis, 31057 Toulouse Cedex, France; R. S. (t 18 novembre 1992) en détachement temporaire de l'Institut National de Météorologie et Hydrologie, Bucarest, Roumanie; C. N. : Institut Royal Météorologique de Belgique, avenue circulaire 3, B-1180 Bruxelles, Belgique. Chimie et géochronologie isotopiques/Isotopic Geochemistry and Geochronology Un segment de croûte continentale juvénile d'âge protérozoïque inférieur : Le complexe de Caicô (Rio Grande do Norte, NE-Brésil) Zorano Sérgio DE SOUZA, Hervé MARTIN, Maria Helena
Norte, NE-Brésil) Zorano Sérgio DE SOUZA, Hervé MARTIN, Maria Helena de Freitas MACEDO, Jean-Jacques PEUCAT et Emmanuel Ferraz JARDIM DE SÀ Résumé Le complexe de Caicô (Rio Grande do Norte, NE-Brésil) est constitué de deux grands ensembles orthogneissiques : (i) des gneiss gris à grain fin et moyen (âge Rb-Sr = 2,23 ± 0,07 Ga et Sr = = 18 ± 0,01 Ga) et (ii) des gneiss œillés intrusifs dans les précédents (âge Rb= 2,18 ± 0,01 Ga). Ces deux unités jouent le rôle de socle vis-à-vis des formations plus récentes. Contrairement à ce qui était généralement admis, il n'a
récentes. Contrairement à ce qui était généralement admis, il n'a pas été possible, trouver de traces directes ou indirectes d'un socle archéen dans la région. Ce segment de croûte continentale correspond à un important épisode de différenciation et de genèse crustale; il ne possède plus les caractéristiques archaïques de la période antérieure à 2,5 Ga, mais ne montre pas encore tous les caractères propres à la croûte continentale moderne. A lower proterozoic juvenile crustal segment: the Caicó complex (Rio Grande do Norte, NE-Brazil) (i) Abstract The Caicó complex (Rio Grande do Norte, NE-Brazil) comprises two orthogneissic units: (i) fine to
do Norte, NE-Brazil) comprises two orthogneissic units: (i) fine to medium-grained grey gneisses (Rb-Sr whole rock and single zircon ages are respectively 2.23 ± 0,07 and 2.18±0.01 Ga) and (ii) augen gneisses intruded into the grey gneisses (Rb-Sr x= 0.06 Ga, and single zircon age = 2.17 ±0.01 Ga). These two units are the oldest basement so far recognized in the area; indeed no direct or indirect evidence of Archaean crust was found. This crustal segment was generated during a main crustal differentiation event recognized not only in South America but also in West Africa; it no longer shows archaic
but also in West Africa; it no longer shows archaic characteristics but it is not yet a typical modern crust. Abridged English Version — The Lower Proterozoic is the period when crustal petrogenetic processes changed from archaic to modern ones [2]. The purpose of this paper is to study one of these crustal segments in the Rio Grande do Norte state (NE-Brazil). The Seridó belt belongs to the Borborema Province (fig. 1 A) [3] which extends to West Africa ([4], [5]). It is made up of five main lithological and chronological units ([4], [6]): a) The Caicó Complex basement: this
chronological units ([4], [6]): a) The Caicó Complex basement: this is the oldest unit so far recognized in the area. b) The Seridó Group composed of pre to synorogenic supracrustal sequences. c) The transamazonian "G2" granitoids emplaced between 2.0 and 1.9 Ga ([6], [7], [8]). d) The "G3" granites intruded during the Brasiliano orogeny (0.75-0.55 Ga) ([6], [9]). e) Mesozoic and Cainozoic sedimentary covers. The Caicó Complex is the basement on which the Seridó group was deposited (fig. 2). It is made up of supracrustal formations intruded by two main generations of granitoids, then transformed into high-grade orthogneisses: 1) Grey
generations of granitoids, then transformed into high-grade orthogneisses: 1) Grey gneisses: They are fine to medium-grained tonalitic to granitic grey gneisses (fig. 3 in a K-Na-Ca diagram they follow a classical calc-alkaline trend (fig. 3 B). These characteristic are clearly different from those of typical Archaean TTG suites ([2], [14]). The grey gneisses gave a Rb-Sr whole rock isochron age of 2.23 ± 0.07 (2 σ) Ga. This result is corroborated by a single zircon age of 2.18 ± 0.01 (2 σ) Ga (fig. 4 A). 2) Augen gneisses: They consist of granodioritic to granitic, K-feldspar megacryst-bearing rocks, intrusive into
consist of granodioritic to granitic, K-feldspar megacryst-bearing rocks, intrusive into the grey gneisses. Their chemical characteristics are broadly similar to those of the grey gneisses (fig. 3 A and B). They yielded a Rb-Sr whole rock age of 2.18 ±0.06 (2 σ) Ga, as well as a single zircon age of 2.17 ±0.01 (2 σ) Ga (fig.4B). Both Rb-Sr whole rock and single-zircon dates are consistent and interpreted as the emplacement ages of the gneiss protoliths. These data are significantly younger than the 2.0 to 1.9 Ga ages measured on the transamazonian "G2" granites ([6], [8]), thus indicating that the