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à gauche. REMISE HABITUELLE Agent exclusif pour la Belgique, l’Allemagne et la Hollande : VHI. MARYNEN Frères, 29, avenue du Boulevard, BRUXELLES Vient de Paraître L'Indicateur de l’Industrie Photographique ANNUAIRE GÉNÉRAL, 1927 Editeur : Paul MONTEE, 189, rue Saint-Jacques, Paris (5e) La Loi du 4 avril dernier fait une obligation à tous les commerçants de tenir un livre de recettes et de dépenses pour y inscrire, au jour le jour, leurs recettes et dépenses. “L’Indicateur de l’Industrie Photographique” facilite ce travail aux photographes professionnels puisqu’il contient réunis en un seul volume : 1° UN REGISTRE D’INSCRIPTION DES COMMANDES spécialement établi
volume : 1° UN REGISTRE D’INSCRIPTION DES COMMANDES spécialement établi sur véritable papier à registre, et permettant l’inscription de plus de 1.500 commandes; 2° UN AGENDA POUR 1927, sur lequel vous pourrez inscrire, jour par jour, vos notes et rendez-vous; 3° UN REGISTRE DE RECETTES ET DE DÉPENSES; 4° UN RÉPERTOIRE pour l’inscription de vos références et clichés. Ainsi que d’utiles renseignements techniques et commerciaux dont vous avez besoin journellement. En un mot, l'Indicateur de 1927 sera le « vade mecum » indispensable à tous les Industriels et Négociants de la Photographie. Son prix modique vous fait réaliser une sérieuse
la Photographie. Son prix modique vous fait réaliser une sérieuse économie. Le Volume Broché 25.00 — Relié 32.50 Ces prix très réduits comprennent les frais de port pour la France. BULLETIN DE SOUSCRIPTION à retourner aux Publications Photographiques Paul MONTEL, 189, rue Saint-Jacques, PARIS (5e) Je déclare souscrire à un exemplaire de l'Indicateur de l’Industrie Photographique Edition 1927. Inclus le montant en mandat, chèque ou chèque postal. Veuillez me le faire parvenir contre remboursement. Nom : Profession : Adresse : Ville : (1) Souligner le mode de paiement adopté. (SIGNATURE) Chèques Postaux Paris 6.314 (2) Frais de recouvrement 2.50 en
Chèques Postaux Paris 6.314 (2) Frais de recouvrement 2.50 en sus. — Connais-tu la bonne nouvelle ? — Laquelle donc ? — Il paraît que Bauchet a encore baissé ses prix. N. Bauchet & Cie Boulevard Léon-Louche à RUEIL (Seine-et-Oise)
JOURNAL DE MATHÉMATIQUES PURS ET APPLIQUÉES DE 1836 À 1874 PAR JOSEPH LLOUVILLE PUBLIÉ de 1875 À 1881 PAR H. RESAL ET DE 1885 À 1921 PAR CAMILLE JORDAN NEUVIÈME SÉRIE L'ÉDITEUR Par HENRI VILLAT AVEC LA COLLABORATION DE R. DE MONTESSUS DE BALLOT et E. PICARD TOME PREMIER ANNÉE 1922 FASCICULE No 4 PARIS GAUTHIER-VILLARS ET CIE, ÉDITEURS LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 55, Quai des Grands-Augustins, 55 1922 Librairie GAUTHIER-VILLARS Un volume in-8 (16x 25), de 460 pages ... 40 ^jPH^ O^positio^^^^^M a" ± bn en facteurs dans le cas où nab est un carré
en facteurs dans le cas où nab est un carré parfait avec une Table des décompositions numériques pour toutes les valeurs de a et b inférieures à *%k jflPVP^ V ^r Docteur en Sciences Physiques et Mathématiques, Ingénieur à la Société Financière des Transports et d'Entreprises Industrielles Une brochure de 16 pages dont 8 en photo-lithographie, Paris 1922 ... 8 fr.^^ **m éméKÊk^ÈKÊÊÊÊÊÊm ♦ ^ClMHHiHHiHI^^^H PRINCIPES ET PREMIERS l>l VI I lll'l'l IVII M I S DE Géométrie Générale^^thétiq^^^B | MODERNEjJMHHHU|||^^H ♦ ^ par avec .................................... Un volume in-S ^5xi6V de 218 pages, Une notice détaillée sur tout ouvrage marqué
de 218 pages, Une notice détaillée sur tout ouvrage marqué d'une astérisque (*) sera envoyée sur demande. Nuove su alcuni metodi d'approssimazione dell'analisi; MAURO PICONE. PREFAZIONE. Considerando, per esempio, i problemi nel campo delle equazioni lineari alle derivate parziali del tipo ellittico, dei quali la fisica ha chiesto la soluzione all'analisi matematica, si può ben dire che, se le trattazioni fino ad oggi date di quei problemi possono essere, alla fine, ritenute del tutto esaurienti dal matematico, esse tuttavia non contengono metodi per l'effettivo calcolo approssimato della soluzione che riescano, in ogni caso, di facile e di utile applicazione al
in ogni caso, di facile e di utile applicazione al fisico. Il potente ausilio delle equazioni integrali ha permesso oggi di conseguire, con una grande generalità, i teoremi d'esistenza per molti e per i più importanti di quei problemi, ma si deve, pur troppo, convenire che, nelle successive approssimazioni della soluzione, date con le dimostrazioni di questi teoremi, non si può vedere un pratico metodo di calcolo. Mi sono proposto di indagare se non sia possibile, in alcuni casi, di realizzare tali metodi di calcolo. L'indagine mi ha per intanto condotto ad un nuovo metodo di calcolo approssimato per la
condotto ad un nuovo metodo di calcolo approssimato per la soluzione del problema di Dirichlet, metodo che, dal punto di vista accennato, mi sembra possedere i desiderati requisiti. L'esposizione di tale metodo sarà l'oggetto di una memoria che, in questo stesso giornale, seguirà la presente. Nella presente memoria sottopongo ad una diffusa trattazione il problema generale dell' approssimazione di una assegnata funzione per combinazione lineare di assegnate altre funzioni. Sui risultati di tale trattazione si fonda l'indicato metodo d'approssimazione per la soluzione del problema di Dirichlet, ma è sperabile che questi risultati forniranno le basi per ulteriori proficue applicazioni all'integrazione
questi risultati forniranno le basi per ulteriori proficue applicazioni all'integrazione approssimata di equazioni alle derivate parziali, dei varii tipi, della fisico-matematica. I metodi classici prescrivono, quasi, lo sviluppo della soluzione in serie di note funzioni, senza domandare se, anche ottenuta una serie uniformemente ed assolutamente convergente, derivabile termine a termine quante volte si vuole, essa serie, arrestata ai primi n termini, fornisca poi, fra tutte le combinazioni lineari delle stesse n funzioni, la migliore approssimazione possibile della soluzione, in tutto il dominio r di sua esistenza nel quale deve essere considerata. Quasi sempre, invece, avviene che delle medesime funzioni che
considerata. Quasi sempre, invece, avviene che delle medesime funzioni che compaiono in quei primi n termini della serie si può trovare una diversa combinazione lineare che assai meglio approssima la soluzione in tutto l'indicato dominio r. Nelle scienze sperimentali si constata che tanto meglio si approssima quanto più piccolo è l'errore quadratico medio che si commette e che la migliore approssimazione è quella che rende minimo tale errore. A questo concetto si informa il metodo dei minimi quadrati di Gauss che ha dato e dà così cospicui frutti nella scienza della misura. Orbene, concependo anche in analisi l'errore d'approssimazione al
della misura. Orbene, concependo anche in analisi l'errore d'approssimazione al modo delle scienze sperimentali, io riprendo il metodo dei minimi quadrati e oso pensarne l'applicazione sistematica all'integrazione approssimata di intiere classi di equazioni alle derivate parziali. L'idea di introdurre tale metodo nell'analisi, non è nuova. Essa già si trova in Tchebychef (1) e fu anche, nello stesso indirizzo, successivamente elaborata da Heine (2), da Gram (3) e da altri. L'ultimo, assai (1) Journal de Mathématiques pures et appliquées (Journal de Liouville), 2° série, t. I, p. 31. (2) HEINE, Grundbuch Kugelfunktion, Bd I, Kap. V. (3) GRAM, Ueber die Entwickelung
Kugelfunktion, Bd I, Kap. V. (3) GRAM, Ueber die Entwickelung reeller Function in Reihen mittels der Methode der kleinsten Quadrate (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd 94., 1883, p. 41). più recentemente, l'applicazione del metodo a determinati problemi di fisica, dipendenti appunto dall'integrazione dell'equazione AgM = 0, è stata anche effettuata o proposta da Somigliana e Vercelli (1) e poi da Brillouin (2), non ostante che del metodo non si possedesse alcuna nozione sulla sua convergenza. Oggi però, dopo la scoperta di Lebesgue delle funzioni sommabili, dopo l'introduzione, dovuta al Fischer, della convergenza in media, il metodo dei
dovuta al Fischer, della convergenza in media, il metodo dei minimi quadrati acquista una nuova, inattesa potenza, anche nel campo della pura analisi matematica, e là dove esso non arrivava che per una congettura, vi arriva, come qui ho dimostrato (al n° 20, § V), con matematica certezza. Ai metodi classici di integrazione per serie rimane il grave compito, di interesse prevalentemente teorico, di provare l'esistenza e di trovare il numero delle soluzioni dei problemi sull'integrazione delle equazioni alle derivate parziali; ed io sarei pago se questo mio lavoro ed i successivi nei quali applicherò i risultati di questo, riuscissero,
i successivi nei quali applicherò i risultati di questo, riuscissero, almeno, a stabilire che al metodo dei minimi quadrati spetta, invece, il compito di calcolare la soluzione. Nell'esposizione del presente lavoro, per comodità del lettore e allo scopo di fare un tutto organico, non ho trascurato di trattare rapidamente alcuni risultati noti fondamentali. Degna di rilievo mi pare che sia la nuova semplicissima trattazione che qui ricevono (ai §§ VI e VII) i sistemi di infinite equazioni lineari in infinite quantità incognite, la cui soluzione si riconnette appunto alle nostre ricerche d'approssimazione. Al § VII si ritrovano i bei risultati
ricerche d'approssimazione. Al § VII si ritrovano i bei risultati di E. Schmidt su tali sistemi. SOMIGLIANA e VERCELLI, Sulla provisione matematica della temperatura, nei grandi trafori alpini (Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, t. LXIII, 1913, p. 327). BRILLOUIN, La méthode des moindres carrés et les équations aux dérivées partielles de la Physique mathématique (Annales de Physique, t. V, 1916, p. 137). I. — Sulla convergenza in media. 1. DEFINIZIONI E TEOREMA FISCHER-YVEYL. — Indicheremo sempre con la lettera E un insieme di punti, limitato, misurabile (al senso di Lebesgue) e di misura non nulla, di uno
senso di Lebesgue) e di misura non nulla, di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni. Sia P un punto variabile in E e I(P) una funzione di P definita in E, ivi di quadrato sommabile (al senso di Lebesgue), la funzione I(P) risulterà sommabile in E. Se g(P) è un'altra funzione definita in E, ivi pur essa di quadrato sommabile, le funzioni Ig(P), (f - g)(P) e (f + g)(P) risulteranno sommabili in E. Ciò posto, consideriamo il secondo concetto di convergenza in media introdotto da E. Fischer. La successione di funzioni (F1(P), F2(P), F3(P), F4(P), ... sia
La successione di funzioni (F1(P), F2(P), F3(P), F4(P), ... sia costituita di funzioni definite in E ed ivi di quadrato sommabile, si dice che la successione converge su E in media se: Si dice che la stessa successione (i) converge su E in media verso la funzione f(P) e scriveremo Evidentemente: se una successione converge su E in media, essa converge in media su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione converge su E in media verso una funzione f, essa converge in media verso la stessa funzione su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione
su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione converge su E in media verso una funzione f, ogni altra funzione verso la quale la stessa successione converge su E in media sarà equivalente alla f; condizione, necessaria affinché una successione converga su E in media verso una funzione f è che la successione converga su E in media; condizione sufficiente affinché una successione converga su E in media è che esista un insieme E', avente la misura di E e contenuto in E, nel quale la successione converge uniformemente. La convergenza in media per una serie (2) l1(P)
uniformemente. La convergenza in media per una serie (2) l1(P) + l2(P) + ... + Un(P) + ... di funzioni definite in E ed ivi di quadrato sommabile, si riporta a quella della successione (F1(P) = u0(P), F1(P) = a0(P) + u1(P), ..., Fn(P) = u0(P), A → 0 Se si scriverà f(P) = l0(P) + (P) + ... + (P) + ... Sussiste il TEOREMA FISCHER-WEYL. — Se una successione di funzioni converge su E in media, esiste una funzione, determinata quasi ovunque in E, verso la quale la successione converge su E in media. Questo fondamentale teorema è
successione converge su E in media. Questo fondamentale teorema è stato scoperto dal Fischer, e dimostrato, dal Fischer ed in seguito di nuovo dal Weyl, nel caso che l'insieme E si riduca ad un intervallo lineare. Alla denominazione del teorema da noi enunciato è giusto però aggiungere il nome di Weyl, poiché soltanto la dimostrazione di questo autore è suscettibile d'essere immediatamente estesa ad un qualsiasi insieme limitato e misurabile di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni. 2. ALCUNE PROPRIETÀ DELLA CONVERGENZA IN MEDIA. Esporremo ora alcune notevoli proprietà della convergenza in media, sostanzialmente già osservate. I. Sia
proprietà della convergenza in media, sostanzialmente già osservate. I. Sia A un insieme misurabile contenuto in E, se la successione (1) converge su E in media, esisterà un numero positivo K tale che, per ogni indice n, qualunque sia A, risulta Ed invero, dato un numero positivo e arbitrario, è possibile trovare un indice n, tale che, se n ≥ n, si ha Questo numero K, di cui abbiamo asserito l'esistenza, è il più grande fra i seguenti: II. Le successioni [Fn] e [Gl] convergono su E in media, rispettivamente, verso le funzioni f e g, dico che allora uniformemente
verso le funzioni f e g, dico che allora uniformemente per A variabile in E. III. — Sulla convergenza uniforme in generale. 5. DEFINIZIONE E TEOREMA DI WEYL. — Si deve al Weyl (loc. cit., p. 339) uno studio approfondito della convergenza in media con il quale si consegue una più adeguata conoscenza del modo di comportarsi della differenza(F(P) - F n(P)) nei punti dell'insieme. Per enunciare questo importante risultato occorre introdurre il concetto di convergenza uniforme in generale, dovuto anch'esso al Weyl. Nell'insieme E, limitato, misurabile e di misura non nulla, siano definite, nel modo più arbitrario, le funzioni
non nulla, siano definite, nel modo più arbitrario, le funzioni costituenti una successione; si dirà, con Weyl, che tale successione converge uniformemente in generale su E se: oppure che la serie (2) f'(P) + (P) + l'(P) + ... + l'I(P) + ... converge su E uniformemente in generale, se, comunque; un numero positivo ≤ E(j), è possibile costruire un insieme contenuto in E e di misura wE − £, nel quale la serie, converge uniformemente. Evidentemente: se la successione (i) converge su E uniformemente e in generale, essa converge quasi ovunque in E, esisterà, in insieme E', avente la
quasi ovunque in E, esisterà, in insieme E', avente la misura di E ed in questo contenuto, nel quale la successione (i), cioè la serie (2), converge. Ogni funzione f(P), definita in tutto E, che in E' coincide col limite della successione (I), cioè con la somma della serie (2), si dirà rappresentata dalla successione o da quella serie. Ciò posto, siamo in grado di enunciare l'accurato teorema di Weyl col seguente. TEOREMA DI WEYL. — Se la successione di funzioni definite in E, ivi ciascuna di quadrato sommabile, converge su E in media, è possibile costruire quante si vogliano
su E in media, è possibile costruire quante si vogliano successioni n1, n2, ..., ns, ... di indici crescenti, tali che la successione di funzioni (4) F1,(P), Fn,(P), ..., Fns,(P), ..., cioè la serie, converge su E uniformemente in generale. La successione (3) converge su E in media verso ogni funzione f(P) rappresentata dalla successione (4), cioè dalla serie (5). Ecco poi come il Weyl costruisce le indicate successioni di indici n1, n2, ..., ns, ... Si Sia sn l'estremo superiore dell'insieme di numeri descritto da al variare di v da 0 a oc. Per la supposta convergenza in media
da 0 a oc. Per la supposta convergenza in media della successione (3), si avrà lim En = 0. È possibile per ciò costruire quante si vogliano successioni crescenti di indici n1, n2, ..., ns, tali che la serie E1 + E2 + ... + ... converga; orbene, per ogni tale successione di indici la successione (4) converge su E uniformemente in generale. OSSERVAZIONE SULLA COSTRUZIONE DI WEYL. — La costruzione del Weyl, di dato esposta, appare in generale difficile per la ricerca, che essa richiede, per ogni valore dell'indice n, dell'estremo superiore (o di un numero a questo non
n, dell'estremo superiore (o di un numero a questo non inferiore) dell'insieme numerico descritto dall'integrale (6) al variare di v da 0 a ce. Vi è un caso però, molto importante per le nostre future applicazioni, in cui quella ricerca è immediatamente compiuta. È il caso in cui già si conosce una funzione f(P) verso la quale la successione (3) converge su E in media, e questa convergenza è tale che, posto la successione 0, 0"1, ... , 0n, ... (che ha per limite zero) non è mai (1) cf, C. SEVERINI, Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni
C. SEVERINI, Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 2° semestre 1913). In questo lavoro già si trova (al n° 6) la critica del testo alla costruzione del Weyl, però anche nel caso contemplato dal Severini si verifica la circostanza semplificatrice osservata più oltre nel testo. crescente. In tale ipotesi risulta invero: Si ha pertanto: Se la successione (3) converge su E in media verso la funzione f(P), in maniera che l'integrale (7) non cresce al crescere di n, e se, ad esempio, per la successione di indici n1, n2, ..., ns,
esempio, per la successione di indici n1, n2, ..., ns, ... si ha: la successione (4) converge su E uniformemente in generale e vi rappresenta la funzione f(P). III. — Posizione del problema d'approssimazione. 1° CONSIDERAZIONI PRELIMINARI. — Nel limite limitato e misurabile E, di misura non nulla, di uno spazio lineare S, di un numero qualunque r di dimensioni, siano assegnate le funzioni ciascuna di quadrato sommabile, costituente una successione. Come ben si sa, un problema di capitale importanza nell'analisi è il seguente: Data, arbitrariamente, una funzione f(P) in E, ivi di quadrato sommabile, approssimare la funzione, in tutto
E, ivi di quadrato sommabile, approssimare la funzione, in tutto E, per mezzo di combinazioni lineari a coefficienti costanti, delle funzioni della successione (1). È nella natura stessa del problema il fare l'ipotesi che, per ogni valore di k, le funzioni fk, siano, in E, linearmente indipendenti, siano cioè tali che non esistano n + 1 costanti non tutte nulle, per le quali si abbia, quasi ovunque in E, Ponendo f(P) = f1(P) + f2(P) + ... + fk(P) = 0, l'ipotesi ora detta, che noi appunto facciamo, equivale ad ammettere, come è noto, che per ogni valore di k
ammettere, come è noto, che per ogni valore di k si ha: Diremo in tal caso, semplicemente, che il sistema [f1, f2, ..., fk] di funzioni è di funzioni linearmente indipendenti. Il generale problema d'approssimazione, così sommariamente indicato, contiene, evidentemente, come caso particolare, il classico problema dello sviluppo di una funzione, arbitrariamente data, in serie di assegnate altre funzioni. Supposto, in particolare, che in E sia: x1, x2, ..., xr, designano coordinate di un punto di E, si ha il problema dell'approssimazione di una funzione per mezzo di polinomi. 2° CASO IN CUI LE FUNZIONI D'APPROSSIMAZIONE SONO FINO AL NUMERO
CASO IN CUI LE FUNZIONI D'APPROSSIMAZIONE SONO FINO AL NUMERO FINITO. — Rispondiamo, in primo luogo, al quesito seguente: Come si può approssimare in E una assegnata funzione f(P), di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione limitata f0, ..., fn? A tale questione si risponde subito al modo seguente: Si può determinare v + 1 costanti a0, ..., an per modo che, quasi ovunque in E, sia f = a0f0 + a1f1 + ... + anfn, oppure la richiesta approssimazione non può scendere al di sotto di un termine assegnabile ò, si può cioè determinare una quantità
un termine assegnabile ò, si può cioè determinare una quantità positiva ò, tale che, comunque si scelgano le costanti a0, a1, ..., an, quella porzione di E nei punti della quale risulta è di misura non nulla. Consideriamo invero l'integrale dipendente dai parametri a1, a2, ..., av. Esso ha un minimo determinato che raggiunge per i valori delle ai verificanti il sistema di equazioni lineari il determinante delle quali, in virtù della supposta indipendenza lineare delle funzioni fi, riesce positivo. Odesignamo con cr1 questo minimo. Se o= o, per il sistema delle ai verificanti le (3) si avrà, quasi ovunque
sistema delle ai verificanti le (3) si avrà, quasi ovunque in E, f = akf1; se (j'I> o, l'approssimazione della f, per a = o combinazioni lineari di funzioni della successione limitata fi, ..., fv, non può scendere al disotto del termine Adunque: Al problema dell'approssimazione in E di una funzione f, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione limitata fi, f2, ..., fv, si risponde al modo seguente: Se l'è nullo, le equazioni (3) determinano v costanti tali che, quasi ovunque in E, risulta f= a1f1 + a2f2 + ... + cvfv; se lo stesso determinante
+ a2f2 + ... + cvfv; se lo stesso determinante è positivo, le stesse equazioni (3) determinano v costanti tali che, detto crv l'1 valore dell'integrale I(a1, a2, ..., av) che ad esse corrisponde, la richiesta approssimazione, non scende al disotto del termine, 1/fj-v: m E. 7. POSIZIONI PRECISHE DEL PROBLEMA GENERALE D'APPROSSIMAZIONE. — Consideriamo ora il generale problema, di vero interesse, dell'approssimazione dell'assegnata funzione f, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione illimitata (i). Il problema deve ancora essere precisato. Cominciamo a far ciò dicendo: Si richiede la determinazione delle costanti, in infinità numerabile, del seguente
richiede la determinazione delle costanti, in infinità numerabile, del seguente quadro per modo che la combinazione lineare Fn(P) = fi(P) + a2f2(P) + ... + anfn(P), al divergere di n, approssimi in E l'assegnata funzione f(P) di quadrato sommabile. Occorre ancora precisare il significato della frase: « La combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P). » Per far ciò, prendendo una proprietà comune a tutti gli sviluppi in serie e a tutte le approssimazioni, fin ad oggi conosciuti, porremo la seguente. DEFINIZIONE: Diremo che la combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in
la combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P) di quadrato sommabile, se, comunque si definisca in E la funzione g(P), di quadrato sommabile, si ha: Evidentemente: Se la combinazione lineare Fn(P) approssimi in E la funzione f(P), l'approssima anche in qualunque insieme misurabile contenuto in E; se la combinazione lineare Fn(P) approssimi in E due funzioni, queste dovranno ivi essere equivalenti; se le due combinazioni lineari Fn,(P) e Fn(P) approssimano in E, rispettivamente, le due funzioni f e f indicando con a1 e a2 due costanti arbitrarie, la combinazione lineare a1Fn1 + a2Fn2 approssimi
due costanti arbitrarie, la combinazione lineare a1Fn1 + a2Fn2 approssimi in E la funzione a1f + a2f2 (6). Se, valendo la (5), le quantità akj del quadro (4) risultano, per ogni valore dell'indice 1, indipendenti dal secondo indice k, diremo che la funzione f(P) è approssimabile in E per serie delle funzioni fi Il, Posto a. = at, si avrà Fn= a1f1 + a2f2 + ... + anv; si dirà perciò anche che la serie a1fn1 + a2f2n + ... approssimi in E la funzione f. In tal caso dunque la serie, qualunque sia la funzione g(P), di quadrato sommabile,
la serie, qualunque sia la funzione g(P), di quadrato sommabile, è convergente ed ha pari somma (fg)dP. 8. E SEMPI NOTEVOLI D'APPROSSIMAZIONE. — Vediamo ora dei casi notevoli d'approssimazione nei quali è soddisfatta la condizione (5). I. Nelle scienze sperimentali, come misura dell'errore d'approssimazione commesso sostituendo, in tutto E, alla funzione f(P), la combinazione lineare Fn(P), si prende l'integrale e, fissatoci numero n, si ritiene anzi che, quella combinazione lineare Fn(P), i cui coefficienti danno all'integrale (6) il suo minimo valore, fornisca, in tutto E, la migliore approssimazione relativa alle combinazioni lineari di quel prefissato numero n di funzioni del