jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
surfaces cylindriques de rayon p et p + dp, et un élément de cette couche compris entre deux plans tels que AB parallèles à l'axe du cylindre et coupant les rayons sous un angle de 45°, ou bien encore la couche ABCD supposée développée. Les glissements à 45° des rayons transforment ABCD en ABC'D', le glissement relatif étant : Dans cette déformation, la circonférence AC devient AC' et sa dilatation relative est : D'après la relation (1), on tire de là la loi suivante : 7*a = C, les glissements à 45° sont inversement proportionnels aux carrés des rayons. (n
à 45° sont inversement proportionnels aux carrés des rayons. (n est bien entendu qu'il est ici question de glissements et non de forces tangentielles ou forces de glissement.) Ces glissements seront, par suite, représentés, en fonction des rayons, par une hyperbole équilatère A'B' (fig. 78). Si les déformations sont très grandes, on aura pour p > RO: et y.P* > 7ûK04. En tout cas, les glissements seront représentés par une courbe de la forme de l'hyperbole A'B' (fig. 78) et plus ou moins rapprochée d'elle; ils diminueront très rapidement de l'intérieur à l'extérieur du cylindre. Il est, du reste, facile
l'intérieur à l'extérieur du cylindre. Il est, du reste, facile de calculer les glissements exacts, qu'ils soient plus ou moins grands, au moyen de l'équation : La courbe A'B' (fig. 78) représente les glissements, ainsi calculés, d'un cylindre OAB ayant primitivement un calibre d'épaisseur (AB = 2.0A), et ayant subi une dilatation de 45 p. 100, ou un glissement y = 0,90 (bA devient OA1B1). Malgré la grandeur de la déformation, la courbe A'B' se confond très sensiblement avec l'hyperbole r.2 = c. La courbe qui représente, en fonction des glissements (y), les forces tangentielles (g), se déduit de la
glissements (y), les forces tangentielles (g), se déduit de la courbe des angles de torsion en fonction des moments de torsion (1). La figure 79 représente une de ces courbes de glissement relative à un acier doux ayant pour limite d'élasticité g = 22k, pour résistance à la rupture G = 45k par millimètre carré et pour glissement extérieur y = 1,3 ou 130 p. 100. Si les glissements à 45° des forces principales étaient des glissements simples, nous pourrions construire immédiatement la courbe des forces tangentielles maxima, en portant en chaque point de AlBI (fig. 78) une ordonnée correspondant
en chaque point de AlBI (fig. 78) une ordonnée correspondant au glissement d'après la courbe (79); ainsi en Al et BI on porterait les longueurs A A', et BIB'I' égales aux forces tangentielles correspondant aux glissements AA' et BB' : soit, dans le cas particulier figuré, A1 A= 45k et BjB'j = 30k environ. Comme toutes les courbes de glissement des matières douces, les seules qui soient susceptibles des grandes déformations qui nous occupent dans ce paragraphe, ont une forme analogue à celle que nous représentons (fig. 79), comme les grands glissements croissent beaucoup plus rapidement que les efforts correspondants,
grands glissements croissent beaucoup plus rapidement que les efforts correspondants, à tel point que les glissements extrêmes, dans une notable partie de leur développement, se produisent sous une charge sensiblement constante, la courbe A' lB' 1 (fig. 78), contrairement à la courbe A'B', sera toujours très peu inclinée sur l'axe OAB. Mais les glissements simples ne correspondent pas au développement maximum des forces tangentielles; ils ne se produisent qu'aux points où il y a à la fois pression et tension et suivant les éléments dont l'inclinaison sur les forces principales a pour tangente V, inclinaison généralement différente de 45°, et
a pour tangente V, inclinaison généralement différente de 45°, et d'autant plus que les quantités p et t diffèrent elles-mêmes davantage. Dans le cylindre déformé, les glissements à 45° seront donc, en général, accompagnés d'une force normale qui sera toujours une tension à l'extérieur et qui pourra être une pression ou une tension à l'intérieur. Dans le cas du cylindre OAlBl, représenté (fig. 78), la composante normale à l'intérieur est une compression, Po étant supérieur à t0, comme nous le verrons par la suite. Nous ne connaissons pas actuellement la courbe des glissements sous pression ou traction; mais il est
courbe des glissements sous pression ou traction; mais il est permis de penser que la pression, à égalité de glissement, augmente la force tangentielle et qu'au contraire la traction la diminue. Sous des efforts très légèrement supérieurs aux limites d'élasticité de glissement (g), de traction (.c) et de compression (æ), se produisent des déformations d'un même ordre de grandeur. Dans une barre étirée longitudinalement, les éléments à 45° sont, à l'instant où se produisent les premières déformations permanentes, sollicités par une force tangentielle et une tension normale p G égales à dans le cas des métaux. Dans une barre comprimée,
à dans le cas des métaux. Dans une barre comprimée, ils sont sollicités par une force tangentielle e q et une force normale égales à tandis que, dans la torsion, ils ne sont soumis qu'à une force tangentielle g. Si donc on se rappelle que les déformations permanentes (allongements, raccourcissements, contractions, glissements, etc.) sont beaucoup plus grandes que les déformations élastiques, que ces déformations croissent beaucoup plus rapidement que les efforts, dès que la limite d'élasticité est dépassée, on comprendra qu'un petit glissement permanent, ayant telle valeur qu'on voudra (glissement petit, mais de l'ordre des glissements permanents, 1 p. 100
petit, mais de l'ordre des glissements permanents, 1 p. 100 par exemple), correspondra, dans les trois cas de traction, compression, torsion, à des forces tangentielles différant très peu de = ~1£12' == ü£1s et G et à des forces normales très peu en de 2 1,2' 2 0,8 les différant très peu de A, on zéro. Ainsi, le même glissement, produit par une force tangentielle unique g, correspond à une force tangentielle plus petite t-x, lorsque celle-ci est accompagnée d'une traction normale, et à une force tangentielle plus grande t-'s' lorsque la composante normale est une compression. En supposant que,
lorsque la composante normale est une compression. En supposant que, pour les grandes déformations, les forces tangentielles varient à peu près dans les mêmes proportions, la courbe A'lC'B't (ûg. 78) devra être remplacée par A2C'B2 un peu plus inclinée sur l'axe OAB. Quoi qu'il en soit, on peut être assuré que les forces tangentielles maxima T varient beaucoup moins rapidement que les glissements. Si l'on se rappelle que T = 1 et que, dans les petites déformations élastiques, (p + t) est inversement proportionnel au carré du rayon; que, par conséquent, suivant que les déformations sont très petites ou grandes,
conséquent, suivant que les déformations sont très petites ou grandes, (p + t) est représenté par A'B' ou A2B2, on sera convaincu que cette somme (p + t) diminue beaucoup moins rapidement, de l'intérieur à l'extérieur, dans les grandes déformations que dans les petites. Et, comme la pression intérieure augmente avec les déformations, que la pression extérieure est constamment nulle et que par suite la pression décroît de plus en plus rapidement de l'intérieur à l'extérieur, il faut que la tension croisse beaucoup moins vite ou même décroisse de l'intérieur à l'extérieur. Pour nous rendre compte de ces variations, supposons
à l'extérieur. Pour nous rendre compte de ces variations, supposons que T ou (p + t) ne varie pas d'un point à l'autre ou que la courbe A2B2 soit parallèle à l'axe des abscisses, sauf à corriger ensuite les erreurs provenant de cette hypothèse. La condition Po + to = P + t = tt, jointe à l'équation différentielle (p + 0 dp + dp = dp établie (§ 28) sans le secours d'aucune supposition sur la construction du cylindre ou la grandeur des déformations, donne immédiatement : tt dp=P dp, ou et Pour P = 0, t = 00,
dp, ou et Pour P = 0, t = 00, j) = + °0) R et b restant constants : R, p décroissant, t décroît, p > t décroît; R, P croît, p < t, décroît; t < t croît, p < t décroît; p= e < 1 p = 0. p=Rn = 1, jp = 0. Les valeurs de p représentent les rayons d'une couche quelconque, soumise à une pression normale p, d'un cylindre ayant une couche extérieure de rayon R1 soumise à une tension tx quant au rayon intérieur Ro, il aura telle valeur qu'on voudra; les formules
intérieur Ro, il aura telle valeur qu'on voudra; les formules précédentes déterminent, en fonction de cette valeur arbitrairement choisie, la pression et la tension intérieures p0 et to. Les valeurs de p peuvent aussi être considérées comme représentant les rayons intérieurs (R. = p) des cylindres de rayon extérieur RI soumis à une pression intérieure po = p. Fig. 80. La courbe Bcad (fig. 80) est une logarithmique asymptote à l'axe Op et tangente en B à la ligne BO'; rapportée aux axes Op et Op, elle représente en abscisses les rayons intérieurs R., et en ordonnées les pressions p0
les rayons intérieurs R., et en ordonnées les pressions p0 des cylindres, de rayon extérieur R1 = OB, ayant à l'extérieur une tension to=00'. Rapportée aux axes O'p et O't, elle représente les tensions intérieures to des mêmes cylindres. E, = OB, to = 0'0: p=OC>OA, p-Ce, t=C'o, p + 1 = CC' = t1. (p = OC représente, soit le rayon d'une couche du cylindre Ro = OA, R, = OB, soit le rayon intérieur du cylindre R,, = OC, R1 = OB.) Pour R0 = OD < OA, p0 = Dd > t1 t,, = D'd 0, P.
p0 = Dd > t1 t,, = D'd 0, P. + t. = Dd D'd Ainsi, pour une tension et un rayon extérieurs donnés, la couche intérieure est d'autant plus pressée suivant le rayon, et d'autant moins tendue ou d'autant plus comprimée normalement aux plans diamétraux, que l'épaisseur est plus grande. Dans le cas particulier où l'épaisseur R1 — Ro = 1,7 R0, il n'y a à l'intérieur qu'une seule force principale, une pression suivant le rayon égale à la tension de la couche extérieure. Examinons maintenant quelles sont les erreurs qui proviennent de la supposition que nous avons faite
erreurs qui proviennent de la supposition que nous avons faite de la constance de p + t. En réalité, cette somme p + t diminue de l'intérieur à l'extérieur où elle est égale à tt; elle est représentée par la courbe A2B2 (fig. 78). Il résulte de là que la courbe Bm (fig. 80), qui représente les vraies valeurs de p en fonction de p, est plus inclinée sur l'axe Op que la logarithmique Bcad, car l'inclinaison de la tangente en un point quelconque est pour l'une, Bm: et pour l'autre, Bead: Connaissant les valeurs de p + t, ordonnées
l'autre, Bead: Connaissant les valeurs de p + t, ordonnées de la courbe A2 B2 (fig. 78), il est facile de construire, avec telle approximation qu'on voudra, la courbe Bm tangente en B à la courbe Ba ou à la droite BO', et d'en déduire la courbe Bn qui représente les valeurs correspondantes de t. Pour R0 = OA, Po = Aa, to = (p + 1) - Act = a3, les pressions étant toujours rapportées aux axes Op et Op, et les tensions aux axes O'p et O't. Les courbes Bm et Bn, représentées par la figure 80, sont
courbes Bm et Bn, représentées par la figure 80, sont relatives à l'acier doux caractérisé par la courbe de glissement de la figure 79. Elles montrent que, dans un cylindre de rayon intérieur R = OD, ayant, après sa déformation, environ un calibre et demi d'épaisseur (Rt = OB), et une tension extérieure tl = B6, 60 kil. environ par millimètre carré, la couche intérieure n'éprouverait aucune tension et serait soumise normalement à une pression d'environ 130 kil. par millimètre carré. L'acier en question serait incapable de supporter une telle pression, sa résistance à la compression étant seulement de 110
pression, sa résistance à la compression étant seulement de 110 kil.; mais on conçoit très bien que, dans un cylindre construit avec un métal d'une qualité différente, il puisse arriver que la couche intérieure n'éprouve aucune tension, ou même soit comprimée normalement aux plans diamétraux et, dans ce cas, elle pourrait supporter une pression beaucoup plus forte. Nous ferons remarquer en terminant qu'il doit y avoir égalité de superficie entre les surfaces aa2Bb et OAaO' (p0 R0 = J* ltd^j, lorsqu'il y a tension en tous les points. Mais, lorsqu'il existera des couches comprimées normalement aux plans diamétraux, comme cela
existera des couches comprimées normalement aux plans diamétraux, comme cela arriverait pour des cylindres OMB, le rectangle OMm sera seulement équivalent à la différence des surfaces D'Bb et D'nri. § 36. — Résistance élastique d'un tube primitivement déformé. Lorsqu'un tube a été suffisamment déformé par une pression intérieure p0, la limite d'élasticité est dépassée en chacun de ses points. Si la pression cesse d'agir, le tube se détend, se contracte; mais, les déformations totales produites dans les différentes couches n'étant nullement proportionnelles aux forces élastiques qui les accompagnent, toutes ces forces ne peuvent s'évanouir à la fois; les couches extérieures
forces ne peuvent s'évanouir à la fois; les couches extérieures restent tendues et exercent sur les couches intérieures une pression suivant le rayon; inversement, les couches intérieures réagissent sur les autres et sont comprimées normalement aux plans diamétraux, comme cela arrive dans les cylindres frettés. Dans ces conditions, une nouvelle pression inférieure à p0 ne produira qu'une déformation élastique; au contraire, toute pression supérieure à p0 donnera naissance à une nouvelle déformation permanente. La limite ou résistance élastique du tube primitivement déformé est donc égale à la pression p0 qui a produit la déformation initiale. Sous l'action nouvelle de la
a produit la déformation initiale. Sous l'action nouvelle de la pression p., chaque couche éprouve une déformation correspondant à sa limite d'élasticité actuelle; et, p et t étant la pression et la tension principales développées en un point quelconque, on aura en chaque point: mp + nt = g ('). Seulement g, qui dépend de la déformation initiale, varie d'un point à l'autre et diminue de l'extérieur à l'intérieur. À l'extérieur Pt = 0 et g = ntt; en tout autre point, q a une valeur moindre, et il résulte de là, d'après ce qui a été dit au §
de là, d'après ce qui a été dit au § 33 (a), que la résistance élastique du tube est en tout cas supérieure à h: La pression intérieure capable de déformer le tube en amenant la couche extérieure tout juste à sa limite d'élasticité naturelle X, est certainement supérieure à mais elle en diffère très peu; car, en chaque point, même à l'intérieur, les déformations produites sont assez faibles pour que les forces élastiques développées soient très peu différentes de celles qui correspondent à la limite d'élasticité naturelle. Prenons comme exemple un cylindre d'acier à 30 kil. de limite de
exemple un cylindre d'acier à 30 kil. de limite de simple traction, ayant un calibre d'épaisseur, J:= 30k, R, = 3 Ro. Sa résistance élastique naturelle est: Po = 1580 atmosphères (2); toute pression supérieure produira une déformation permanente. Une pression légèrement supérieure à soit environ 4000 atmosphères, produira des déformations permanentes en tous les points, et amènera la couche extérieure tout juste à sa limite d'élasticité naturelle, £ = 30 kil., en l'allongeant de la couche intérieure éprouvera, sous la même action, une dilatation neuf fois plus grande, ou 1,35 p. 100. Ainsi, par une simple dilatation initiale intérieure
1,35 p. 100. Ainsi, par une simple dilatation initiale intérieure de 1,35 p. 100, produite uniquement par une pression intérieure, Ct) Voir Revue d'artillerie, t. XXIV, mai 1884, p. 140. (a) Voir Revue d'artillerie, t. XXIII, mars 1884, p. 511, § 31. (3) Voir Revue d'artillerie, t. XXIV, mai 1884, p. 143, fig. 76. on augmentera la résistance élastique d'un tube d'acier doux de 1 calibre d'épaisseur de 1600 à 4000 atmosphères, et l'on obtiendra ainsi un cylindre plus résistant que tous les cylindres frettés de même matière et de mêmes dimensions en réalisant le solide d'égale résistance parfait dont
mêmes dimensions en réalisant le solide d'égale résistance parfait dont il a été question au § 33. En considérant la figure 76 (2), dont la courbe AB'M représente les résistances des cylindres de différentes dimensions, et qui coupe la courbe AA'M, on voit que le point de rencontre M correspond à peu près à RI = 3Ro, c'est-à-dire au cylindre de 1 calibre d'épaisseur; cela veut dire que, dans ce cylindre au repos, la compression à l'intérieur est égale à la limite de compression Xb; avec des cylindres plus épais, cette compression serait supérieure à la limite d'élasticité. Ainsi donc,
cette compression serait supérieure à la limite d'élasticité. Ainsi donc, dans un cylindre métallique de 1 calibre d'épaisseur, ayant subi une légère dilatation permanente, la couche intérieure sera comprimée à sa limite élastique, et lorsque le cylindre supportera de nouveau la pression p0 égale à celle qui l'a déformé, c'est-à-dire une pression un peu inférieure à la limite de compression Xb, la couche extérieure atteindra sa limite élastique £ et, dans toutes les couches, la limite d'élasticité sera légèrement dépassée. Évidemment, en augmentant la déformation initiale, en prenant un cylindre plus épais, on arrivera à une résistance élastique plus élevée,
plus épais, on arrivera à une résistance élastique plus élevée, et, s'il s'agissait d'employer les cylindres ainsi préparés à la construction de presses hydrauliques, dans lesquelles la pression serait constamment exercée, nous n'aurions rien à ajouter. Mais de tels cylindres sont surtout destinés à supporter les énormes pressions des gaz de la poudre et les canons passent à chaque instant de l'action au repos. Dans ces conditions, un cylindre très épais, ou très déformé, a ses différentes couches, particulièrement la couche intérieure, soumises alternativement à des dilatations et à des contractions bien supérieures à celles qui correspondent à la limite
contractions bien supérieures à celles qui correspondent à la limite d'élasticité; ces circonstances amèneront fatalement un énervement rapide et, de ce fait, des ruptures. Avec le cylindre de 1 calibre d'épaisseur, légèrement dilaté initialement, la couche intérieure n'éprouvera que des contractions élastiques au repos et, dans l'action, toutes les couches ne seront tendues que très légèrement au-delà de la limite d'élasticité naturelle; nous pensons qu'un tel tube durera bien plus longtemps et l'expérience, ou plutôt l'observation des faits, nous donne raison. Il y a bien longtemps, en effet, que les ingénieurs militaires ont adopté un calibre pour l'épaisseur au tonnerre
ingénieurs militaires ont adopté un calibre pour l'épaisseur au tonnerre des canons en bronze; ces canons servaient indéfiniment ou, pour parler plus exactement, leur service était limité par des dégradations toutes spéciales, tels que logements produits par les battements du boulet, érosions causées par le vent des gaz passant entre la paroi et le projectile. C'est que les vieux artilleurs étaient arrivés empiriquement à la solution que la théorie nous indique comme la plus parfaite : un calibre d'épaisseur, un métal doux et une légère déformation initiale qui ne manquait pas de se produire aux premiers coups du tir d'épreuve.
pas de se produire aux premiers coups du tir d'épreuve. Aujourd'hui, on produit systématiquement cette déformation, soit par un tir de matage, soit par un mandrinage ou une pression hydraulique. Mais là n'est pas le grand progrès, peut-être même y a-t-il lieu de douter un peu des bons résultats des grandes déformations initiales; la grande amélioration dans l'industrie des canons en bronze consiste surtout dans l'amélioration du métal, rendu plus doux et plus homogène. Le bronze est toujours légèrement poreux et susceptible d'une augmentation de densité; aussi, sous l'action d'une forte pression intérieure, la densité augmente-t-elle à l'intérieur et, de
forte pression intérieure, la densité augmente-t-elle à l'intérieur et, de ce fait, les déformations intérieures sont-elles relativement augmentées. Pour arriver à la limite d'élasticité de la couche extérieure, il faudra donc une déformation intérieure un peu plus grande que celles qui sont indiquées par la courbe A'B' [fig. 78]. Dans les conditions que nous venons de dire, les canons en bronze luttent avec les canons en acier à un ou deux rangs de frettes; mais, dans l'état actuel de la métallurgie, il n'est pas douteux qu'on n'obtienne des résultats bien supérieurs à tous les autres, en employant des cylindres d'acier
supérieurs à tous les autres, en employant des cylindres d'acier doux de calibre d'épaisseur, non frettés, avec une déformation initiale intérieure de 1 à 2 p. 100 environ; par un tir de matage, à fortes charges et avec de gros projectiles, on obtiendra cette déformation dans le tonnerre, en même temps qu'il se produira dans la volée une déformation moindre, ce que nous croyons préférable à la déformation uniforme produite par le mandrinage. Le canon, bien entendu, ne devra être terminé, alésé, rayé, etc., qu'après que la déformation aura été effectuée, et le tir d'épreuve pourra être supprimé ou au
effectuée, et le tir d'épreuve pourra être supprimé ou au moins fort réduit. Nous avons dit qu'il était impossible d'arriver par le frettage à une compression initiale égale à la limite de compression P0 et, par conséquent, aux résistances élastiques représentées par AM [fig. 76] e), avec des cylindres d'épaisseur inférieure à 1 calibre; mais nous n'avons parlé que d'un frettage opéré à l'aide d'un métal ayant même limite d'élasticité que le tube. En employant des frettes à limites plus élevées, on arrivera évidemment à une compression initiale plus énergique et à une plus grande résistance. On pourra, par exemple,
et à une plus grande résistance. On pourra, par exemple, employer pour les frettes le même métal que pour le tube, mais après lui avoir fait subir une très forte déformation initiale; et cela n'aura pas d'inconvénient au point de vue de l'énervement, parce que dans les couches extérieures, une fois en place, les variations de forces élastiques, pendant le tir, ont peu d'amplitude. Dans un cylindre ainsi fretté, il conviendra de superposer les frettes dans l'ordre de leurs raideurs absolues. Nous ne pousserons pas plus loin ces réflexions; de plus grands détails seraient ici déplacés. C'est au constructeur de
plus grands détails seraient ici déplacés. C'est au constructeur de canons qu'il appartient de déterminer, dans chaque cas particulier, quelles conditions sont les meilleures; les considérations théoriques et générales que nous venons de exposer pourront le guider dans ses études spéciales et techniques. § 37. — Résistance d'un tube soumis à une dilatation croissante. Après tout ce que nous avons dit sur les déformations élastiques ou permanentes, il est facile de se rendre compte des variations de pressions et de tensions dans un cylindre de plus en plus dilaté. Pour examiner cette question avec la plus grande généralité possible, nous
examiner cette question avec la plus grande généralité possible, nous supposerons que le cylindre est primitivement très épais et se dilate indéfiniment; nous traiterons, un peu plus loin, de la rupture. Tant que la pression intérieure n'atteint pas la valeur Pu c'est-à-dire la résistance élastique naturelle, les pressions et tensions croissent avec la pression intérieure et, à égalité de pression, décroissent rapidement de l'intérieur à l'extérieur, comme l'indique la figure 73 (i) et les équations suivantes : (P + 0 P2= C, t -p = K. Les tensions, quelle que soit l'épaisseur primitive du tube, sont toujours inférieures à la
soit l'épaisseur primitive du tube, sont toujours inférieures à la limite élastique de simple traction X1. Sous une pression très supérieure à P., la tension extérieure devient égale à L); alors toutes les couches sont déformées un peu au-delà de leur limite d'élasticité. Dans ce cylindre, légèrement déformé d'une façon permanente, les tensions décroissent de l'extérieur jusqu'à l'intérieur, où elles peuvent être des compressions si le cylindre est assez épais. La courbe AB'M [fig. 76] (2) représente les pressions et les tensions intérieures des cylindres de différentes dimensions dont la couche extérieure est tendue à sa limite d'élasticité. Elle représente