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r 61,40 I 685 1 ,Ann. ORL-EUU. 5 â7 50 Jj j» . FRANÇAISES B „„ Suez 50/0.... 565 ]J 562 ), P.fond. Pauama '5P 4475 4-4/5 x Ce "ÏO I^IRT « IVIV 1^ '.j'TTTOJF.g.de'Paris 37 8 75 578 /« Bône il Guelma. e70 » 370 » Hippodrome... ^LO ': ^20 » PTNFM du Gaz.. 1532 50 là3o » 1O3D 154L) * I ALLUM. chimiq.. 4.25 * * » Ch. deler-Brésif 460 460 Espag. 20/076. 44 * 44 » PT Pet. Journal, ^25 >' 8.0 » 11 ^31 2A J Cie Immobilière _1S 18 50 Charente3C/Û-I 30 » 30 1
Cie Immobilière _1S 18 50 Charente3C/Û-I 30 » 30 1 Hongroises50/0 2 90 7 291 75 Vieille-Montag. PU » 288 75 OUR NUÎ i Cie Transatlant 570 * 575 > Boas 6 0/0 28 50 28: » Emp. rüm.'Soffl 95 » 95 » Carr. et const. 150 J, » » Part de C,^7" «4^ S Y 1 I Messag. marit.. -I&O 1' 825 I Est 31010 inc.. 390 389 50 Russe 4-.0/0 67. 3S8 50 385 » Transp. Paris.. 1.35 » 140 ,. FFI&F?62;* CX 650 « À ' I Vxutures paris: 713 75 515 » nouveau ,382 >5 382
Vxutures paris: 713 75 515 » nouveau ,382 >5 382 75 ;Rom.act. trent." 485 » ... Tabacs d'Italie. ;S80 > 880 » N2SI , V 5UN -ÎOA AT I Salines de l'Est 195 » * » Ardennes^O'/O. ,)8i » 87 -i YAst.,Gal.etLéore 292 » 292 50 Omn. Londres. 220 » » » unif. àSOO 4QO 50 /QO RN O391 25 TéI.PaTisN:Yor. 410 z410 3 Grandeceinture 385 J) 3X5 f:: Ch. autrie. anc. 384 » tiSO » Obi. Lille-Val.. 175 « 175 » RRNME. '/CV ITr, 492 510 J° 4% 25 * '• Autr.'!:>O/O arg. 6Q 69 * Hérault 3 0/0'..
* '• Autr.'!:>O/O arg. 6Q 69 * Hérault 3 0/0'.. 170 l, 175 . S ane..2« hyp. o79 ,J> > G.Lux.3 0/0 395 » 391 25 °ON 40 5S? m *<$ ^ * 'ESPAGUT^./O^ VS3&623. 1/4 LiRe à -Déthane. i380 K 37;> notrv!LERHYP. 372 :50 372 50 --Méridionai,278 75 .276 25 K rX i$ 2X 91 3 EU-Unis 5 ÚjO. 1055/^10533(4 Lyon 1855 ^0 :m * gel « ^MIO&5 (#.. 509* V-N.-O. Espag. 38 * • » « I»N» I *Qi ,N(0, Î*X -L70 BONGR. EOP-ÔR. 102-60 1'03 » BOUAOJTN.STFA 388 1 LO^'ardes^ac. 28.4 50 284:75 ïConi. courtisa S25 >
388 1 LO^'ardes^ac. 28.4 50 284:75 ïConi. courtisa S25 > .523 75 iM 50 llî M' 772 672 50' Ob.Vkt.Em,63 280 ^ 279 > Da iiné 3.0/0. 385 %S86 L» ~ .280 75281 ' •' ~886 5 25 >,. 523 75 R^IQ",W ?, O;.? S0 672 50 Pérou :60/0... 25 » » ' Gcriëve gaç,30/0'3S7 * 3 ti >x .S^ESÀ, W^HYP. 336 V '3® * Ç)b.DcickS-Ouen 333 75, 327 50 CLÂ' «Ï" -AI && ,1 840 »'| Russe^0/070. .olt/90 1/4 Fusion anc-Jo;o 330 ^ 389 75 2e byp. 322 322 50 -"Trw'.-Roubx lë5 » 165 » SNR ,? 8û? 50
50 -"Trw'.-Roubx lë5 » 165 » SNR ,? 8û? 50 797 50 807 5C i .Russe's 0/077. 96 55 95 ',IL) --7110 uveile3olo, 282 AO 3®2 2e Pampekiafc-30/0 ^ 50 'J18 50 Charb.Nord. » « . » » 718 2tîO 75 725 « TLI W, 7*26 2A | DeHetunisienne 415 425 > Vict. Em. iM2. 378 v 3Bu * POKAPS^O/O. 324 » 321 Var.. 7 75 8 50 R P,L 50 ?&: 25 258 75 I OTTOMAN ««0.. 8," -o 50 87-50 MédOC 3 °/0... &R5 2; 28L, » Romains 30/0. 370 50 370 25 Entar.P.L.M. 130 r 125 »
30/0. 370 50 370 25 Entar.P.L.M. 130 r 125 » bàb »TL 1861.. M 25 92 ^ Midia.0/0 390 »3¡H *«aragwse«)/0.343 75|343 75 — Tab. d'Italie 517 50 517 50 àl« t drid Saïagosse 482 50 4SE 7A i82 50 490 ^|. -■ 186S.. 4o I 88; 50 bia-nuwa O/O.235 -» Z,90 S Gu>âadrid5OlO .510 4510 » — HirendeUes435 » 432 5Û BULLETIN FINANCIER 13 mai 1881 Les gens superstitieux viennent déprouver une heureuse déception. Le vendredi 13 a été marqué par un événement historique. Le bey de Tunis a signé un traité qui donne à la France toutes les
signé un traité qui donne à la France toutes les garanties qu'elle avait le droit de demander et d'obtenir. Cette bonne nouvelle a été le signal d'une détente générale aussi bien sur les Rentes françaises que sur les Rentes et valeurs étrangères. Les baissiers n'ont plus eu dès lors qu'un seul souci: celui de reprendre en toute hâte les valeurs qu'ils avaient cru pouvoir vendre en prévision de complications heureusement écartées, on peut et on doit l'espérer. La maison de Rothschild a aussitôt profité de ces circonstances favorables pour mettre à exécution le traité de conversion dont elle est concessionnaire.
à exécution le traité de conversion dont elle est concessionnaire. La conversion porte sur une première série de nouveau Rente hongroise 4 0/0 au capital nominal de 400 millions de francs. Parmi les valeurs qui ont repris le plus vivement on remarque la Banque de France, l'Union générale, le Crédit foncier et la Banque des Pays Hongrois. INFORMATIONS. — Les RECETTES DES CHEMINS DE FER FRANÇAIS pendant la dix-neuvième semaine de l'exercice courant présentent une augmentation moyenne de 6 0/0 par rapport à la semaine correspondante de l'exercice 1880. — Les bénéfices de l'exploitation du TÉLÉGRAPHE DE PARIS À NEW-YORK
Les bénéfices de l'exploitation du TÉLÉGRAPHE DE PARIS À NEW-YORK se sont montés à 300,583 fr.; cette somme ne permettant pas de répartition a été reportée à l'exercice courant; D'après les explications fournies à l'assemblée générale par M. Pouyer-Quertier on doit compter que les recettes s'élèveront à 4 millions en 1881, chiffre qui permettrait la répartition d'un dividende convenable. Le conseil pense pouvoir distribuer au mois de septembre prochain un dividende de 12 50 fr. par action, le solde devant être réparti après la clôture de l'exercice et l'approbation des comptes. — Le bilan de la Banque d'Angleterre fait ressortir
comptes. — Le bilan de la Banque d'Angleterre fait ressortir une proportion de 48 1/8 0/0 de la réserve aux engagements.
REVUE D'ARTILLERIE SANCV. Mr. B F. G V. REVUE D'ARTILLERIE Paraissant le 15 de chaque mois DOUZIÈME ANNÉE TOME XXIV (Avril-Septembre 1884.) BERGER-LEVRAULT ET CIE, LIBRAIRES-ÉDITEURS PARIS RUE DES BEAUX-ARTS, 5 NANCY RUE JEAN-LAMOUR, 11 1884 MÉMOIRE SUR L'APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS À DES QUESTIONS D'ARTILLERIE AYANT-PROPOS Le but de ce mémoire est d'indiquer une marche à suivre certaine pour éviter, dans les applications du calcul des probabilités aux questions d'artillerie, une faute de principe, que l'on commet habituellement, et dont les conséquences erronées ont été signalées par M. le major Siacci, de l'armée italienne, dans un article publié
le major Siacci, de l'armée italienne, dans un article publié par la Revue d'artillerie au mois de septembre dernier. Vu la nature du sujet, nous espérons que notre travail ne sera pas sans intérêt pour un grand nombre d'officiers d'artillerie, et qu'il pourra particulièrement être utile à ceux qui font partie des commissions d'expériences. Les conclusions auxquelles nous sommes arrivés, pourraient certainement se déduire assez facilement des formules obtenues par Bravais dans un très savant mémoire ayant pour titre : « Analyse mathématique sur les probabilités des erreurs de situation d'un point », qui est inséré dans le recueil des
d'un point », qui est inséré dans le recueil des mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie des sciences en 1846. Mais ce travail de haute analyse nous était inconnu, quand nous avons abordé la même question, et la marche que nous avons suivie est bien différente de celle de l'illustre professeur; nous sommes néanmoins parvenus, en ne nous appuyant que sur des considérations élémentaires, à des lois d'une simplicité aussi élégante qu'imprévue, et dont l'application sera toujours extrêmement facile. L'étude de l'influence du nombre des observations sur le degré d'approximation avec lequel sont obtenus les résultats qu'on en conclut,
d'approximation avec lequel sont obtenus les résultats qu'on en conclut, est une question importante au point de vue des applications; elle se présente comme le complément naturel de nos recherches, et pour cette raison il nous a paru utile de la traiter dans une note spéciale qu'on trouvera à la suite de ce mémoire. D'après une règle dictée par le seul bon sens, l'on a coutume de regarder comme un axiome que si la mesure d'une quantité L a été obtenue par plusieurs observations immédiates, faites avec le même soin et dans des circonstances semblables, la moyenne arithmétique des mesures
et dans des circonstances semblables, la moyenne arithmétique des mesures observées sera la valeur la plus probable de cette quantité, sinon en toute rigueur, du moins avec une très grande approximation, de sorte que le plus sûr sera toujours de s'y arrêter. Cette règle sert de base à l'appréciation des résultats de toutes les sciences d'observation. Supposons qu'il s'agisse d'abord de déterminer la position d'un point m sur une ligne. Cette question est traitée dans tous les ouvrages relatifs à la théorie des erreurs d'observations, mais il nous paraît opportun d'en reproduire la solution pour avoir l'occasion de rappeler quelques
d'en reproduire la solution pour avoir l'occasion de rappeler quelques définitions fondamentales dont nous aurons besoin dans la suite. En partant d'un point fixe 0, pris pour origine des mesures, l'on obtiendra différentes longueurs X0, X2, au nombre de M, et l'on considérera la longueur X0, telle qu'on a, comme la valeur la plus plausible de la longueur inconnue. Le point ainsi déterminé par l'abscisse X0 sera le centre de gravité des points dont les abscisses x, xv X2 ont été fournies par les observations. Mais X0 n'étant pas la valeur exacte de la longueur cherchée, il est nécessaire de
valeur exacte de la longueur cherchée, il est nécessaire de se rendre compte de l'erreur qu'on peut commettre en prenant X0 pour la valeur exacte de la longueur inconnue X. Soient A, A2 les écarts de chaque observation, l'on aura X = x + A, X = x + A, X — x3 — Aj — Aj et par suite nx = 2a;24, d'où est la moyenne des écarts, et cette moyenne représentera la grandeur de l'écart commis, quand on adoptera X0 au lieu de X pour déterminer la position du point. De la relation nx = 2A = A
du point. De la relation nx = 2A = A + A + Aj, l'on conclut nas = sa2 + et par suite 1 est ce qu'on appelle l'écart moyen des observations; il est égal à la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts. 1, qui est l'écart moyen du résultat, quand on prend la moyenne X0 des longueurs observées pour la valeur de la quantité inconnue X, est égal à l'écart moyen des observations divisé par la racine carrée du nombre des observations. Mais les écarts A, à, à, dont la connaissance équivaudrait à celle de la
à, à, dont la connaissance équivaudrait à celle de la quantité inconnue X, qu'il s'agit de déterminer, ne sont pas connus; ils ne peuvent donc pas servir à calculer l'écart moyen s, et, pour l'évaluer au moins approximativement, nous devrons employer les différences 8, 8X, 8Z entre la moyenne X0 et les valeurs observées x, xv c'est-à-dire les écarts rapportés à la moyenne X0. On aura X0=x+dX0 == 8, d'où 8X0=x+8, et par conséquent 28 = 8. On aura aussi X — X0 = — X — X — 8 — 8 — 8 — 8 X — x —
— 8 — 8 — 8 X — x — (— A, d'où l'on conclut A = > + 8 A, = X + 8, et par suite 2A2 = n1 + 2). Les valeurs de s et de X ainsi trouvées ne peuvent être qu'approximatives, et il faut avoir recours au calcul des probabilités pour apprécier le degré de confiance qu'on doit leur accorder. Nous nous occuperons plus loin de cette question. De la relation trouvée plus haut, 2s2 est un minimum, c'est-à-dire que la somme des carrés des écarts est plus petite que si ces écarts étaient comptés
écarts est plus petite que si ces écarts étaient comptés à partir d'un point autre que celui déterminé par la longueur moyenne X0; cela résulte de ce que l'on a Comme conséquence les écarts moyens e et X sont aussi des minima. Occupons-nous maintenant du cas où il s'agit de déterminer dans un plan la position la plus plausible d'un point, pour lequel un certain nombre d'observations, également précises, ont fourni des positions différentes. Ce problème, qui se présente dans toutes les questions relatives au tir des bouches à feu, est particulièrement intéressant pour l'artillerie. Soit toujours n le nombre
est particulièrement intéressant pour l'artillerie. Soit toujours n le nombre des observations. Supposons tracés dans le plan deux axes rectangulaires quelconques, auxquels sont rapportées les positions des points observés; désignons par x et y, xt et Y1, X2 et Y2 les coordonnées de ces points, par X et Y celles inconnues du point cherché, et par X0 et Y0 celles du point obtenu par la règle de la moyenne arithmétique : ce dernier point sera le centre de gravité du système des points observés. Remarquons ici que, si les coordonnées x et y d'un point peuvent être quelconques, elles ne
x et y d'un point peuvent être quelconques, elles ne doivent cependant pas être considérées comme indépendantes, puisqu'elles sont fournies par une même observation. On aura Les écarts des points observés, rapportés à un système d'axes parallèles aux premiers et ayant leur origine au point G, dont X0 et Y0 sont les coordonnées, auront pour expressions et il en résultera 2g = 0, Zjj = 0 ; d'où l'on doit conclure comme plus haut que 2g2 et 2yj2 seront des minima, c'est-à-dire que les sommes des carrés des écarts estimés parallèlement aux axes seront plus petites que si ces écarts
parallèlement aux axes seront plus petites que si ces écarts étaient comptés à partir d'un point autre que le centre de gravité. La somme des carrés des écarts absolus sera aussi un minimum, puisqu'elle a pour valeur 2 (e2 + f2 + g2); Des deux relations = 0 et Syj = 0 l'on conclut que, si l'on avait rapporté les écarts à d'autres axes rectangulaires G' et G') de même origine, et tels que le nouvel axe des fût incliné sur l'ancien axe des d'un angle quelconque IX, l'on aurait eu aussi : lf = 0 et 2f = 0.
eu aussi : lf = 0 et 2f = 0. Les deux systèmes d'axes sont, en effet, liés par les relations x = x cos a + y sin a, y' = — x sin a + y cos a; d'où l'on conclut L'on a également = X0' - x = (X0 - x) cos a + (Y0 - y) sin a, = Y0' - y = —(X0 - x) sin a + (Y0 - y) cos a, et par suite 2g' = cos2 a (e + sin a (f + g sin a + n cos a), yi' =
+ g sin a + n cos a), yi' = g sin a + n cos a; et par suite 2g'2 = cos2 a (e2 + 2 sin a f + g sin2 a) + sin2 a (f + g sin a)2, 2yj'2 = sin4 a + 2 sin2 a cos2 a (e2 + f2 + g2); ce qui prouve que 2g'2 et 2yj'2 seront aussi des minima comme 2g2 et 2yj2, c'est-à-dire des quantités plus petites que si l'on mesurait les écarts à partir d'une origine autre que le point G, centre de gravité des points observés. Mais il
point G, centre de gravité des points observés. Mais il faut remarquer que les sommes des carrés des écarts 2g'2 et 2yj'2 dépendent de la somme des produits des écarts mesurés 1e, 1f, et que, tout en restant des minima, elles varient avec l'angle ex. On a, en effet : 2g'2 = cos2 a (e2 + 2 sin a f + g sin2 a) + sin2 a (f + g sin a)2, 2yj'2 = sin4 a + 2 sin2 a cos2 a (e2 + f2 + g2); Dans ces formules, la somme 1e1) n'est pas nulle nécessairement; elle ne le
la somme 1e1) n'est pas nulle nécessairement; elle ne le serait que si les points observés étaient symétriquement distribués par rapport aux deux axes des coordonnées, et il ne faut pas perdre de vue que, d'après les conditions exprimées par 2g = 0 et 2yj = 0, ils ne sont assujettis qu'à être à peu près symétriquement répartis par rapport au centre de gravité, pris pour origine des axes. On doit donc admettre qu'en général 1e1) est différent de zéro. Pour nous rendre compte de la variation de l'angle ex, considérons l'expression de 2yj'2, qui représente la somme des carrés
considérons l'expression de 2yj'2, qui représente la somme des carrés des écarts mesurés perpendiculairement à la direction de l'axe G', incliné de l'angle ex sur la direction de l'axe des faisons y varier l'angle ex, nous aurons en différentiant d'où nous conclurons que 2yj'2, sans cesser de rester un minimum, comme nous l'avons vu plus haut, passe par un maximum ou un minimum pour les valeurs de a qui satisfont à l'équation sin 2a [sp - V] - 2 cos 2a Zfr = 0, ou Il y a donc deux angles 2a, ou quatre angles a, qui déterminent un système
angles 2a, ou quatre angles a, qui déterminent un système d'axes rectangulaires unique, tel que les sommes des carrés des écarts estimés parallèlement à ces axes sont les plus grandes ou les plus petites possible. Soit a0 un des angles pour lequel on a ce sera, par exemple, le plus petit des quatre, il en résultera: cos2 a = cos2 a. Il est évident que, dans le cas où l'on aurait A2 = B2, et seulement dans ce cas particulier, les sommes 2 et 2y2 pourront être regardées comme indépendantes, quel que soit le système d'axes rectangulaires auxquels les écarts
quel que soit le système d'axes rectangulaires auxquels les écarts sont rapportés. Les considérations, que nous venons de développer, sont importantes, parce qu'elles démontrent l'erreur de principe que l'on commet habituellement dans les applications à l'artillerie, en admettant comme indépendants les écarts parallèles aux axes quelconques, auxquels on a rapporté les positions des points observés. Cette indépendance n'existe que si les axes sont ceux pour lesquels les sommes des carrés des écarts sont A2 et B2. Les axes déterminés par l'angle a0, calculé plus haut, pourraient s'appeler axes de groupement des points observés; et il est à peine besoin de
des points observés; et il est à peine besoin de faire remarquer qu'ils coïncident avec les axes principaux d'inertie du système formé par ces points. Revenons à la formule, divisons tous les termes par n - 1, et posons a, b et hw seront les écarts moyens des observations mesurés parallèlement à l'axe Gl, à l'axe G2, et à la direction définie par l'angle a0. Ces quantités seront liées par la relation. Divisons de même tous les termes de cette dernière équation par n, et posons A, b et v+ seront les écarts moyens de la position du point cherché,
seront les écarts moyens de la position du point cherché, quand on le place au centre de gravité G des points observés. Ces écarts moyens sont mesurés parallèlement à l'axe G1, à l'axe G2, et à la direction définie par l'angle a0; et l'on aura entre eux la relation. Les valeurs des écarts moyens a, b, h, et celles des écarts moyens X, Y, Z ne peuvent être qu'approximatives et nous verrons plus loin quel parti l'on en peut tirer pour appliquer le calcul des probabilités à la question qui nous occupe. Mais il est essentiel d'insister sur cette remarque
nous occupe. Mais il est essentiel d'insister sur cette remarque que a et b sont des quantités indépendantes entre elles, comme les quantités A et B dont elles dérivent, et qu'il en est de même des quantités X et Y. Les écarts moyens a et b, ainsi que les écarts moyens X et Y, sont les seuls qui jouissent de cette propriété d'être indépendants l'un de l'autre. Le problème de la détermination d'un point de l'espace, pour lequel des observations d'égale précision auraient fourni différentes positions, se traiterait d'une façon analogue à celui de la détermination d'un point dans un
analogue à celui de la détermination d'un point dans un plan. Après avoir calculé les coordonnées du centre de gravité des points observés, il faudrait déterminer les trois axes de symétrie du système formé par ces points, ou, ce qui revient au même, ses trois axes principaux d'inertie, et enfin calculer comme plus haut, en les rapportant à ces trois derniers axes, les écarts moyens des observations, ainsi que les écarts moyens à craindre sur les positions du point cherché, quand on le suppose confondu avec le centre de gravité. La solution de cette question, qui ne diffère pas au
La solution de cette question, qui ne diffère pas au fond de celle de la détermination des axes principaux d'inertie en mécanique, dépend comme cette dernière de la résolution d'une équation du troisième degré. Les écarts moyens parallèles aux trois axes principaux d'inertie seront les seuls indépendants des sommes des produits des écarts 2 £ irj, StjÇ, , et les seuls que, par suite, l'on sera en droit de considérer comme indépendants entre eux. Le mode de solution, que nous venons d'indiquer, trouvera son application en artillerie dans les questions relatives au tir fusant, lorsqu'on aura à déterminer la position
relatives au tir fusant, lorsqu'on aura à déterminer la position d'un point d'éclatement en l'air d'après un certain nombre d'observations. On démontre, dans tous les traités de calcul des probabilités, que la probabilité de commettre une erreur, comprise entre les limites — x et + x, sur la mesure d'une grandeur X, est représentée par l'intégrale définie dans laquelle z est le rapport de la circonférence au diamètre, e la base des logarithmes népériens et h une constante caractéristique du degré d'exactitude des observations. Cette constante est, en effet, déterminée par la relation où a est l'écart moyen des observations,
par la relation où a est l'écart moyen des observations, c'est-à-dire la quantité que nous avons désignée, au début de ce travail, par la lettre s. Il convient de remarquer que la valeur de P est l'aire de la courbe prise entre les limites — x et + x. On peut dire aussi que l'expression P de la probabilité d'un écart compris entre — x et + x est celle du poids de la portion de la ligne des abscisses comprise entre les mêmes limites, dans l'hypothèse où la densité 8, variable en chaque point de cette ligne, serait exprimée
8, variable en chaque point de cette ligne, serait exprimée par la fonction on aurait, en effet, pour le poids d'un élément dx de la ligne, et pour le poids total entre les limites — x et + x c'est-à-dire la valeur de P. Mais si l'on pose l'on voit que la probabilité P est donnée par la formule dans laquelle t est un nombre, représentant le rapport de la limite de l'erreur ou de l'écart à craindre, c'est-à-dire de x, à l'écart moyen a multiplié par V2. Pour t = + co, l'on a 0 (t) = 1, ou
= + co, l'on a 0 (t) = 1, ou P = 1, comme on devait le prévoir. La démonstration de ce théorème dû à Laplace, se trouve dans tous les traités de calcul intégral. On trouve dans les ouvrages spéciaux des tables de la fonction au moyen desquelles on obtient la valeur de la fonction, quand t est donné, ou la valeur de t, quand c'est la fonction qui est connue. Ces tables, dont on trouvera plus loin un extrait (table A), permettent donc de savoir quelle est la probabilité qu'un écart restera compris entre les limites données —
probabilité qu'un écart restera compris entre les limites données — x et + x, ou bien de trouver, au moyen de la relation x = l'écart limite, qui correspond à une probabilité donnée. Pour 0 (t) = , l'on a t = 0,4769363 = p ; on en conclut que l'écart probable r, c'est-à-dire celui qu'on a au tant de chance de dépasser que de ne pas dépasser, a pour expression : r = aV2 p = 0,6744897 a. En appliquant ces notions au problème dont nous nous sommes occupé d'abord, l'on voit que l'expression donne les limites entre lesquelles
d'abord, l'on voit que l'expression donne les limites entre lesquelles sont contenus la moitié des écarts observés, et qu'il y a un contre un à parier qu'on ne dépassera pas dans des observations nouvelles. L'on voit de même que l'expression est l'erreur probable à craindre sur la vraie position du point cherché, quand on le place au centre de gravité déterminé par l'abscisse Xo; ce qui signifie qu'il y a une probabilité que la grandeur X est comprise entre les limites Xo + r0, et qu'elle y restera maintenue, si l'on fait de nouvelles observations. D'une façon générale, si P
l'on fait de nouvelles observations. D'une façon générale, si P est une certaine probabilité, et si t est la valeur correspondante pour laquelle on a P = 0(0, il en résultera x = ± a /21, ou en posant, comme Poisson dans son mémoire inséré au troisième volume du Mémorial d'artillerie, D'où l'on conclut que sont les limites qu'il y a une probabilité de ne pas dépasser. En remplaçant, dans les expressions précédentes, l'écart moyen a par sa valeur en fonction de l'écart probable r, on trouve que t x = dfc rP sont les limites qu'il y a une