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de tant de fonctions semble accablant, elles ont aussi l'avantage de vous rapprocher de ce tribunal auguste, dont vous avez à suivre les exemples et les leçons. Tout devient aisé quand on tient à lui, moins par les liens de l'autorité souveraine qu'il exerce que par l'amour, le plus fort lien de la subordination. « Ce tribut volontaire de vos cœurs plaît encore plus à la Cour que celui des hommages qu'on lui doit. Apportez donc toujours à ses ordres une obéissance filiale, et vous trouverez en elle une bonté paternelle. Retirez-vous. » « Obéissance filiale, » « bonté paternelle,
paternelle. Retirez-vous. » « Obéissance filiale, » « bonté paternelle, » traits placés à la fin pour faire mieux accepter la « subordination. » Les Capitouls n'avaient donc pas à bouger. N'était-ce pas assez pour eux que « l'avantage de s'approcher de ce tribunal auguste ? » A la vérité, ils étaient faits à cette morgue du Parlement, qui, cette fois du moins, voulut être bienveillant, aimable et poli. Les Discours du magistrat forment la partie principale des œuvres de M. de Pégueirolles. Les Discours qu'il prononça à l'Académie des Jeux Floraux ne me paraissent pas offrir, tant s'en faut,
Jeux Floraux ne me paraissent pas offrir, tant s'en faut, le même intérêt. On peut cependant y relever quelques traits. Dans son remerciement, le jour de sa réception (janvier 1751), il disait : « C'est à regret, je l'avoue, et cet aveu doit m'être permis devant vous, c'est à regret que j'ai quitté, pour des occupations plus importantes, le doux commerce des muses; une pente naturelle me rappelait sans cesse à cet objet; et l'esprit était tout à des soins publics, que le cœur tenait encore à vous. Grâce à votre bonté, Messieurs, je reçois sans me détourner dans cette
votre bonté, Messieurs, je reçois sans me détourner dans cette carrière que j'ai tant aimée ; et vous me rendez à mes premiers goûts, sans m'arracher à mes devoirs. » Il eut, du reste, toute la modestie de la circonstance, ne s'expliquant l'honneur d'avoir été élu mainteneur que par la bonté des Académiciens de Toulouse, qui se plaisent « quelquefois à récompenser le désir, » le simple désir d'avoir du talent. Il lui semble aussi que c'est un bon exemple « en un siècle où des génies faciles, mais présomptueux, affectent des routes nouvelles et dédaignent les traces des maîtres
affectent des routes nouvelles et dédaignent les traces des maîtres de Partie 1. » À la réception de M. Castillon, le 30 avril 1751, il vanta la générosité de M. de Scopon, que celui-ci remplaçait. « Nous chérirons toujours, » dit-il, " la mémoire de ce digne confrère dont la main libérale a enrichi la plus belle de nos fleurs. C'était un de ces hommes rares, un de ces citoyens généreux, que les siècles produisent à peine, et qui, nés pour la gloire des lettres, se consacrent eux et leur fortune à cet objet. Le 14 mai suivant, recevant M.
fortune à cet objet. Le 14 mai suivant, recevant M. de Villeneuve de Beauville, il lui disait : « Vous venez nous montrer, Monsieur, ce que peuvent l'esprit et le goût embellis par le commerce du monde. Une critique fine, une éloquence naturelle, une littérature amusante fairont l'agrément de nos assemblées, et vous répandrez dans vos ouvrages cette délicatesse, ces grâces, cette liberté aimable, où ne peuvent jamais atteindre les auteurs de profession, et qui firent surnommer Ghaulieu le poète de la Bonne compagnie. » Villeneuve remplaçait M. de Crillon, archevêque de Narbonne, dont Pégueirolles avait prononcé l'éloge, le 2
archevêque de Narbonne, dont Pégueirolles avait prononcé l'éloge, le 2 mai précédent : éloge en quatre petites pages imprimé dans le Recueil des Jeux Floraux. C'est, comme les précédents, un morceau d'éloquence académique, meilleur cependant, mais froid, quelque peu déclamatoire, d'une langue précédente et pauvre. M. de Pégueirolles avait bien raison de dire aux Mainteneurs, le jour de sa réception : « Heureux si j'apprends parmi vous à suivre les parfaits modèles de l'antiquité. » Il se contenta de les admirer. Tout le monde en est-il donc capable? Il les fréquentait, du moins il se plaisait au commerce d'Horace. La
fréquentait, du moins il se plaisait au commerce d'Horace. La traduction en prose de l'Ode XII du livre Ier des Odes d'Horace, dédiée à Auguste, nous le montre à la recherche du sens littéral le plus rigoureux, un peu esclave du mot. Sa traduction, exacte quant au sens, manque cependant de jour et de lumière, du charme poétique de l'original. Après l'avoir lue, on ne s'étonne plus que le tour fin, distingué, heureux qui donne de la vie, de l'intérêt et de la vérité au discours ait fait à peu près toujours défaut à M. de Pégueirolles, écrivain et orateur.
près toujours défaut à M. de Pégueirolles, écrivain et orateur. Mais même quand il nous paraît ordinaire, il nous intéresse. Nous avons en lui la bonne mesure des esprits qui passaient pour distingués, à Toulouse, au milieu du siècle dernier. 9e SÉRIE. — TOME IV. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES PAR M. E. COSSERAT. En géométrie, comme en algèbre, la plupart des idées différentes ne sont que des transformations ; les plus lumières et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et
combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul. POINSOT. INTRODUCTION. Si l'on considère un complexe de droites, la position d'une droite du complexe dépend de trois paramètres u, v, w; en prenant pour w une fonction de u, v, on isole dans le complexe une congruence particulière. Si l'on cherche à déterminer la fonction w de u, v de façon que la congruence considérée soit isotrope, les deux conditions obtenues, en exprimant que les plans focaux sont isotropes, sont deux équations aux dérivées partielles du premier ordre qui déterminent la fonction inconnue. Ainsi, la recherche
premier ordre qui déterminent la fonction inconnue. Ainsi, la recherche des congruences isotropes contenues dans un complexe donné est identique à cette question analytique : trouver les solutions communes à deux équations aux dérivées partielles du premier ordre. Il apparaît immédiatement que si l'on veut mettre le problème en équation au moyen des formules généralement employées dans la théorie des complexes, on est conduité à des calculs inextricables; il est donc tout d'abord nécessaire de se demander quel est le système de coordonnées u, v, w qui doit être pris pour base. La réponse à cette question est suggérée par
pour base. La réponse à cette question est suggérée par la remarque suivante : étant donnée une congruence de droites, les coordonnées u, v qui se présentent naturellement dans l'étude de cette congruence sont celles pour lesquelles les surfaces u = constante et v = constante sont les développables de la congruence ; elles jouent, par rapport à la congruence, un rôle analogue à celui des lignes de longueur nulle dans le cas d'une surface. L'emploi de ces coordonnées revient à mettre en évidence le réseau sphérique qui est l'image des développables de la congruence (l'image sphérique d'une surface d'une
des développables de la congruence (l'image sphérique d'une surface d'une congruence de droites étant une courbe, trace sur la sphère de rayons parallèles aux droites de cette surface). Or, une congruence isotrope a comme propriété caractéristique d'admettre comme représentation sphérique de ses développables le réseau des lignes de longueur nulle de la sphère. On est donc amené, si l'on veut étudier les congruences isotropes contenues dans un complexe, à mettre en évidence le réseau sphérique précédent ; en adjoignant à ce réseau un trièdre mobile, on pourra étudier les complexes par le procédé qui a été employé avec tant de
par le procédé qui a été employé avec tant de succès par M. Ribaucour dans le cas des congruences de droites. Nous commençons par établir des formules relatives à deux systèmes coordonnés qui ne sont autres que ceux introduits par M. Darboux, au tome I de ses Leçons, dans l'étude des surfaces minima. Les formules sont, en partie, des particularisations de formules générales données par M. Ribaucour; on y trouvera tout ce qui est nécessaire pour passer des axes fixes aux axes mobiles, et, par conséquent, pour passer d'une définition quelconque d'un complexe à celle qui est la plus commode
quelconque d'un complexe à celle qui est la plus commode lorsqu'on veut étudier les congruences isotropes qu'il renferme. Parmi les résultats auxquels on est conduit, nous signalerons les suivants : La recherche des congruences isotropes contenues dans un complexe donné est identique à celle des surfaces orthogonales aux courbes d'une congruence dont on peut former aisément les équations différentielles. Étant donné un complexe de droites, en général, il n'y aura aucune congruence de ce complexe qui sera isotrope. Certains complexes contiennent un nombre déterminé de congruences isotropes. Certains complexes plus particuliers contiennent une infinité de congruences isotropes. Nous montrons comment
particuliers contiennent une infinité de congruences isotropes. Nous montrons comment on peut, de la façon la plus simple, définir analytiquement ces derniers complexes; si l'on se place au point de vue géométrique, on peut dire que : Ce sont les complexes formés des tangentes doubles d'une développable isotrope dont la position dépend d'un paramètre. Ils jouissent de la propriété suivante : Leur surface de singularités est une développable isotrope. 2. PREMIER SYSTÈME DE COORDONNÉES. Considérons un trièdre mobile oxyz dont le sommet o est fixe et dont la position dépendant de deux paramètres distincts w et u soit définie par
de deux paramètres distincts w et u soit définie par les formules : le tableau : faisant connaître les cosinus des angles formés par chacun des axes mobiles avec trois axes fixes oX, oY, oZ. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. Les deux systèmes d'axes n'ont pas la même disposition; on aura les relations : auxquelles il faut joindre toutes celles que l'on obtiendrait par des permutations circulaires effectuées soit sur les lettres, soit sur les indices. On aura ensuite, en posant X = : 1 + uv Calculons les quantités : vient : Ceci posé, considérons un point dont
quantités : vient : Ceci posé, considérons un point dont les coordonnées par rapport aux axes mobiles soient x, y, z ; les projections sa, by, bz, sur ces axes du déplacement du point, correspondant aux accroissements du dv, sont, comme on sait, données par les formules : qui se présentent sous la forme : avec : D'ailleurs, si l'on appelle X, Y, Z les coordonnées du point considéré par rapport aux axes fixes, on aura les formules de transformation des coordonnées : et 3. SECOND SYSTÈME DE COORDONNÉES. Considérons un trièdre mobile oxyz dont le sommet o est fixe
un trièdre mobile oxyz dont le sommet o est fixe et dont la position, dépendant de deux paramètres distincts M et v, sera définie par les formules : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. où les lettres a, b, ... ont la même signification que précédemment. Le trièdre oxyz n'aura pas la même disposition que le trièdre fixe oXYZ. Effectuons les mêmes calculs qu'au § 2. Posons : Il vient : puis : On aura ensuite les formules : avec : 4. FORMULES GÉNÉRALES. On remarquera que les formules finales donnant sa, by, bz ne diffèrent dans les deux systèmes
donnant sa, by, bz ne diffèrent dans les deux systèmes coordonnés que par la valeur de X; nous allons rattacher les deux séries de formules à des formules plus générales, qui ne seront autres que celles déjà développées par M. Ribaucour. (Mémoire sur la Théorie générale des surfaces courbes, chap. v. — Journal de mathématiques pures et appliquées, 1891.) Supposons d'abord qu'on prenne comme surface de référence une sphère de rayon unité, cette sphère étant rapportée à un système de coordonnées symétriques pour lesquelles son élément linéaire a la forme réduite : Nous lui associons le trièdre de référence (T),
réduite : Nous lui associons le trièdre de référence (T), qui admet pour axe des z la normale à la surface, pour axe des x la tangente à la courbe : et pour axe des y la tangente à la courbe orthogonale : Il reste à chercher ce que deviennent les formules (AIV) et (BIV) de la page 374 du tome II des Leçons de M Darboux. La surface de référence étant une sphère, il faut adjoindre les relations : qui expriment que l'équation des lignes de courbure est indéterminée. On pourra aussi écrire que les deux racines de l'équation
On pourra aussi écrire que les deux racines de l'équation aux rayons de courbure principaux sont égales à -1, et il vient : d'ailleurs, la relation Les formules (AIV) se réduisent alors aux suivantes : Les formules (BIV) s'appliquent, en remplaçant p, q, r, pt, qt, r, par les valeurs précédentes. Ceci posé, prenons maintenant comme trièdre instantané oxyz, le trièdre formé par les parallèles menées par le centre de la sphère aux arêtes du trièdre adjoint à la sphère; nous avons alors les formules suivantes qui déterminent les projections sur les axes ox, oy, oz du déplacement du point
sur les axes ox, oy, oz du déplacement du point (x, y, z) correspondant aux accroissements du dv, : avec : Quant à la fonction X, elle satisfait à l'équation : Il nous est bien facile maintenant de retrouver les deux systèmes coordonnés des paragraphes précédents : 490 MÉMOIRES. 1° On sait (Darboux, Leçons, t. I, pp. 37 et 245) que les coordonnées c, c', c" d'un point d'une sphère de rayon 1 s'expriment par les formules : L'élément linéaire de la sphère est alors déterminé par Considérons le trièdre oxyz; il est défini par les conditions suivantes, si on
oxyz; il est défini par les conditions suivantes, si on le rapporte à trois axes fixes oX, oY, oZ : oz a pour cosinus directeurs c, c', c" ; ox est parallèle à la tangente à la courbe sphérique oy est parallèle à la tangente à la courbe sphérique D'ailleurs, la courbe M - uv zz const. est un cercle dont le plan a pour équation : La courbe u + v zz const. est un cercle dont le plan a pour équation : et l'on retombe sur les formules du § 2. 2° Définissons c, c', c" par les
du § 2. 2° Définissons c, c', c" par les formules (Darboux, Leçons, 1.1, pp. 21 et 244) : l'élément linéaire de la sphère est défini par La courbe M - uzz const. est plane, et son plan a pour équation : La courbe u + v zz const. est plane, et son plan a pour équation : On retombe immédiatement sur les formules du § 3. Nous emploierons dans ce qui suit les formules du § 4; il suffira dans les applications de particulariser le X en recourant soit aux formules du § 2 soit à celles du §
aux formules du § 2 soit à celles du § 3. 5. FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES AUX CONGRUENCES DE DROITES. La congruence réglée la plus générale peut être définie de la façon suivante : on fera correspondre à chaque position du trièdre une droite D. En particulier, on pourra supposer D parallèle à oz et se donner les fonctions x, y de M et v, qui sont les coordonnées dans le plan des xy du pied de cette droite D. L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans
exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant
Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant : en introduisant l'indéterminée 0o. Si l'on détermine 60 par la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont l'interprétation suivante : 80 est l'angle du plan central de la génératrice D avec le plan des xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si
indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire
congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui donne, par la particularisation du Z de la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux au tome I de ses Leçons. Il suffit de définir une surface au moyen de la congruence formée par ses normales pour déduire des résultats du paragraphe précédent une méthode simple pour l'étude des surfaces. Considérons une congruence formée par les normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point
normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point de la surface situé sur la normale (x, y) ; on aura, par suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv, c'est-à-dire : 32Ç Si l'on égalait les deux valeurs de ——, déduites de ces équations, on aurait la relation à laquelle satisfont les fonctions x, y ; on en tire : L'équation définissant le plan tangent au point (x, y, z) de la normale déterminée par le déplacement dM, dv s'écrit : en posant : Cette équation permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées
permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées tangentielles M, V, Ç. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 495 L'équation des lignes de courbure sera : et celle qui détermine les rayons de courbure principaux sera : Les surfaces minima seront, par suite, définies par l'équation aux dérivées partielles : c'est-à-dire par l' équation : U étant une fonction de M et V une fonction de v. Si l'on pose : on peut dire que l'équation générale d'une surface minima est en supposant que le plan tangent à cette surface soit défini, par rapport aux axes e-X, oY,
cette surface soit défini, par rapport aux axes e-X, oY, oZ, par l'équation : Particularisons u et v en appliquant successivement les formules des §§ 2 et 3. En premier lieu, si l'on prend les formules du § 2, on a pour l'équation des surfaces minima : C'est l'équation (5) de la page 297 du tome I des Leçons de M. Darboux. 496 MÉMOIRES. En second lieu, si l'on emploie les coordonnées du § 3, on a pour l'équation des surfaces minima : c'est celle que l'on trouve à la page 356 du tome I des Leçons de M. Darboux.
page 356 du tome I des Leçons de M. Darboux. 7. LES CONGRUENCES ISOTROPES. Nous allons retrouver immédiatement les propriétés des congruences isotropes indiquées par M. Ribaucour (Étude des Élassoïdes, pp. 33 et suiv.). 1° Cherchons les congruences telles que le paramètre de distribution soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D ; on a les conditions : et la valeur de Pd est alors : 2° Si l'on cherche les congruences telles que le point central soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D, on trouve les
de la congruence contenant une droite D, on trouve les mêmes conditions, et l'on a : 3° Si l'on cherche les congruences telles que les plans focaux soient isotropes, on parvient encore aux mêmes conditions. 4° Si l'on cherche les congruences dont la représentation sphérique est formée des génératrices de la sphère, on retrouve les mêmes conditions ; c'est d'ailleurs une conséquence de 3°. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 497 Les congruences jouissant de l'une quelconque des propriétés précédentes ont reçu de M. Ribaucour le nom de congruences isotropes; leur surface focale est une développable isotrope. Elles sont définies
leur surface focale est une développable isotrope. Elles sont définies par les conditions précédemment écrites qui prennent la forme : d'où l'on déduit : U et V étant respectivement des fonctions de M et de v. Les deux points focaux d'une pareille congruence ont pour cotes : La surface enveloppe des plans moyens sera définie par l'équation tangentielle : On retrouve ce théorème de M. Ribaucour que c'est la surface minima la plus générale. 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES COMPLEXES DE DROITES. Considérons une droite parallèle à oz dont le pied sur le plan des xy ait des coordonnées x, y,
sur le plan des xy ait des coordonnées x, y, fonctions de M, V et d'un paramètre w ; lorsqu'on fera varier u, v, w, la droite engendrera un complexe ; il est bien clair, d'ailleurs, qu'on pourra obtenir ainsi le complexe le plus général. 9e SÉRIE. — TOME IV. 38 498 MÉMOIRES. ### CORRECTION ### L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v
détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant : en introduisant l'indéterminée 0o. Si l'on détermine 60 par la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60,
Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont l'interprétation suivante : 80 est l'angle du plan central de la génératrice D avec le plan des xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire :
: SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui
sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui donne, par la particularisation du Z de la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux au tome I de ses Leçons. Il suffit de définir une surface au moyen de la congruence formée par ses normales pour déduire des résultats du paragraphe précédent une méthode simple pour l'étude des surfaces. Considérons une congruence formée par les normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point de la surface situé sur la normale (x, y) ; on aura, par suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv,
suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv, c'est-à-dire : 32Ç Si l'on égalait les deux valeurs de ——, déduites de ces équations, on aurait la relation à laquelle satisfont les fonctions x, y ; on en tire : L'équation définissant le plan tangent au point (x, y, z) de la normale déterminée par le déplacement dM, dv s'écrit : en posant : Cette équation permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées tangentielles M, V, Ç. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 495 L'équation des lignes de courbure sera : et celle qui détermine les