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champions et les bourses les armes. Dans les procès civils, le Gouvernement ne s'inquiète guère plus qu'autrefois de faire rendre justice à la partie lésée; en pratique, son représentant veille seulement à ce que les règles du combat soient observées, le résultat dépendant moins de l'équité de la cause que de la supériorité d'une bourse bien garnie et de l'habileté de l'avocat. » « Dans un écrit lu devant la Société de Statistique en mai 1873, dit-il encore, M. Janson, vice-président de la Société de Législation, a constaté que depuis le statut de Merton (20, Henri III) jusqu'à la fin
le statut de Merton (20, Henri III) jusqu'à la fin de 1812, on a voté dixhuit mille cent dix mesures législatives, dont les quatre cinquièmes, d'après son estimation, avaient été abrogées entièrement ou en partie. Il a aussi constaté que le nombre des mesures législatives abrogées entièrement ou en partie, ou amendées pendant les trois années 1870, 1871, 1872, avait été de trois mille cinq cent trente-deux, dont deux mille sept cent cinquante-neuf avaient été complètement abrogées. Sans doute quelques lois ont été abrogées parce qu'elles étaient surannées, d'autres par suite du changement des circonstances, d'autres simplement parce qu'elles étaient
suite du changement des circonstances, d'autres simplement parce qu'elles étaient inefficaces, et certaines l'ont été parce qu'on en a condensé plusieurs en une seule; mais il est hors de doute que, dans la plupart des cas, les lois ont été abrogées parce qu'elles avaient produit de mauvais effets. Nous parlons à notre aise de pareils changements; nous pensons avec indifférence aux mesures législatives annulées. Nous oublions que les lois, avant d'être abolies, ont généralement causé des maux plus ou moins sérieux, les uns pendant peu d'années, d'autres pendant des dizaines d'années, d'autres pendant des siècles. Changez votre idée vague d'une
d'années, d'autres pendant des siècles. Changez votre idée vague d'une mauvaise loi en une idée définie; songez-y comme à une cause qui agit sur la vie des peuples, et vous verrez qu'elle signifie tel nombre de souffrances, tel nombre de maladies, tel nombre de décès... Les arguments qui viennent d'être proposés étaient destinés à montrer que l'assistance des faibles est conforme à la plus rigoureuse justice. Notons en passant qu'ils peuvent aussi bien légitimer certaines mesures propres à empêcher les abus dont les succès des forts, dans la lutte pour la vie, pourraient être la source. Le troisième argument d'Herbert
la vie, pourraient être la source. Le troisième argument d'Herbert Spencer contre la bienfaisance est tiré de l'intérêt supérieur de l'espèce. Cette sympathie qui nous pousse à assister nos semblables « favorise la multiplication des hommes les moins propres à l'existence et empêche par conséquent la multiplication des hommes les plus propres à l'existence, laissant moins de place pour ces derniers. Elle tend à remplir le monde de gens à qui la vie apportera le plus de souffrances et à en fermer l'entrée à ceux à qui elle apportera le plus de plaisirs. » Elle prépare ainsi la dégénération de
plus de plaisirs. » Elle prépare ainsi la dégénération de l'espèce. Peut-on, en effet, prétendre « qu'il n'en résultera aucun mal si les individus peu doués sont mis dans la possibilité de prospérer et de se multiplier autant ou plus que les individus bien doués ? » Une société humaine, étant ou bien en lutte ou bien en concurrence avec d'autres sociétés, peut être considérée comme une espèce, ou plutôt comme une variété d'espèce; et on peut affirmer que, pareillement aux autres sociétés ou variétés, elle sera incapable de rester debout dans la lutte avec d'autres sociétés si elle avantage
debout dans la lutte avec d'autres sociétés si elle avantage ses unités inférieures aux dépens de ses unités supérieures. M. Herbert Spencer attribue ici à l'assistance ou aux mesures destinées à relever les classes laborieuses un effet qu'elles n'ont évidemment pas. Elles ne tendent pas, elles ne peuvent ni ne doivent tendre à mettre « les individus peu doués dans la possibilité de prospérer autant ou plus que les individus bien doués. » Un semblable régime aurait nécessairement des résultats désastreux. Elles ne tendent pas à une substitution partielle du régime de la famille, où les bienfaits reçus sont en
régime de la famille, où les bienfaits reçus sont en raison inverse de la force ou de l'adresse de celui qui les reçoit, au régime naturel de la société ou de l'espèce dans lequel les bienfaits sont en proportion du mérite, les récompenses en proportion des services. Non, la lutte pour la vie, telle qu'elle s'exerce au sein des sociétés, est de nature à produire des conséquences d'une extrême dureté et d'une extrême injustice, à porter trop loin cet écrasement des faibles par les forts que M. Herbert Spencer considère dans son application à l'ensemble des êtres comme le décret
dans son application à l'ensemble des êtres comme le décret d'une bienveillance immense et prévoyante; elle est de nature enfin, dans un trop grand nombre de cas, à rendre désormais toute concurrence impossible. Ces souffrances de l'extrême misère jointes à la maladie, aux infirmités, à la vieillesse, l'assistance tend à en diminuer l'acuité, ou à les guérir si la guérison est possible; cet écrasement des faibles, cet anéantissement de la concurrence auquel aboutit la concurrence elle-même, elle est destinée à les empêcher de devenir irrévocables; elle tend la main aux vaincus quand la défaite les a laissés trop bas; son
vaincus quand la défaite les a laissés trop bas; son objet consiste au moyen de secours qui ne doivent jamais porter l'homme en état de se suffire à envier le sort des secourus, à aider ces vaincus à sortir d'une condition misérable, à les relever, à leur faciliter la reprise d'une vie indépendante. Ainsi entendue, l'assistance est-elle un danger pour le développement de la société et le progrès de l'espèce? Les forts peuvent prospérer et se multiplier malgré elle. Si elle contribue dans quelque mesure, mesure assurément bien faible, à permettre aux faibles de faire souche, elle empêche la dégradation
permettre aux faibles de faire souche, elle empêche la dégradation d'atteindre chez eux sa dernière limite. La misère et l'immoralité seraient sans elle mille fois plus hideuses, mille fois plus indignes de la civilisation. Non seulement l'assistance oppose un obstacle à une telle dégradation, mais elle peut mettre certains individus en état de se relever et de reprendre honorablement leur rang dans la lutte. Si celui qui a une fois goûté le pain de l'aumône n'est pas mis hors d'état de vivre ensuite du libre travail de ses bras, si l'être vicieux lui-même, réduit au dénûment par la paresse et
l'être vicieux lui-même, réduit au dénûment par la paresse et l'imprévoyance, est susceptible de s'amender — la plupart des dispositions des codes criminels modernes ont pour fondement cette aptitude de l'homme à se corriger — nous avons deux raisons pour une de penser que l'assistance, judicieusement organisée, est plus propre à favoriser qu'à contrarier le progrès de l'espèce. Quand un ménage sans fortune disparaît laissant des enfants en bas âge, hors d'état de se suffire, sera-t-il conforme ou contraire à l'intérêt de la société et de l'espèce de laisser périr ces enfants ? A l'appui de sa thèse, M. Herbert
ces enfants ? A l'appui de sa thèse, M. Herbert Spencer rapporte ici un fait assez curieux, digne à ce titre d'être cité. Il a été constaté dans une contrée de l'Hudson supérieur, remarquable par la proportion entre le nombre des criminels et des indigents et le chiffre de la population. Il y a de longues années vivait une certaine fille, enfant du hasard, et connue sous le nom de Marguerite; elle fut la mère prolifique d'une race prolifique. Outre un grand nombre d'idiots, d'imbéciles, d'ivrognes, de lunatiques, d'indigents et de prostituées, « le registre du comté contient les noms
de prostituées, « le registre du comté contient les noms de deux cents de ses descendants qui furent des criminels. » Était-ce la bonté ou la cruauté, dit M. Herbert Spencer, qui a mis ces gens, une génération après l'autre, dans la possibilité de se multiplier et de devenir un fléau de plus en plus grand pour la société au milieu de laquelle ils vivaient ? On peut répondre d'abord qu'il ne faut pas attacher une importance excessive à un fait particulier, parfois effet du hasard autant et plus que des lois naturelles. Il convient de faire remarquer ensuite :
des lois naturelles. Il convient de faire remarquer ensuite : 1° que le pain de la débauche a probablement plus contribué que celui de l'assistance à la multiplication de ces individus dégradés; il n'est pas dit que la mère prolifique de cette race prolifique ait été secourue; 2° que si ces générations dégradées sont imputables à un régime d'assistance, on peut bien critiquer l'organisation de ce régime, mais il ne faudrait pas pour cela condamner l'assistance elle-même, évidemment susceptible d'une meilleure organisation. La nature elle-même semble tracer ici la voie à l'humanité. Parmi les êtres inférieurs, elle a entièrement sacrifié
à l'humanité. Parmi les êtres inférieurs, elle a entièrement sacrifié l'individu à l'espèce. Les germes, les petits, sont dès l'origine abandonnés à eux-mêmes, il faut qu'ils se développent tout seuls. Aussi la plupart périssent-ils avant d'éclore ou d'arriver à la maturité. La conservation de l'espèce n'est assurée que par l'excessive fécondité des adultes. Dans les espèces supérieures, au contraire, et surtout dans l'espèce humaine, c'est de l'individu avant tout que la nature paraît avoir eu souci; si elle n'a pas sacrifié l'intérêt de l'espèce, elle a voulu l'assurer par la conservation et le progrès de l'individu. Les générations n'y produisent
conservation et le progrès de l'individu. Les générations n'y produisent guère que des sujets uniques, sur lesquels se portent, pendant le temps voulu, tous les soins, toute l'attention, toute l'affection des parents; tout tend à sauvegarder leur existence, à favoriser leur développement. C'est une raison de penser que l'homme ne contrarie pas le vœu de la nature et ne compromet pas l'intérêt de l'espèce quand il donne satisfaction à ce besoin naturel de sympathie, particulier à sa espèce, qui le pousse à soulager l'infortune, à assister et à protéger le faible. N'est-il pas aussi un don de la nature ce
faible. N'est-il pas aussi un don de la nature ce penchant de l'homme vivant en société à nouer avec ses semblables des relations d'une variété infinie, dont certaines lui permettent et surtout lui ont permis dans le passé de trouver son intérêt dans la protection et dans la conservation de son prochain? On peut en dire autant enfin de cette aptitude à s'associer qui, si elle n'est pas propre à la race humaine, est du moins susceptible chez elle d'applications particulières. Grâce à elle, il est loisible à l'homme de s'unir à ses pareils par un libre contrat et de
s'unir à ses pareils par un libre contrat et de trouver dans l'appui de leur nombre la force qui lui manque à l'état d'isolement. Cette précieuse faculté a maintes fois contribué à la conservation et au relèvement des faibles, et ses applications deviennent heureusement chaque jour plus communes et plus efficaces. Enfin, M. Herbert Spencer a entièrement négligé le côté moral de la question. On arrivera nécessairement à de tout autres conclusions si l'on prend davantage en considération la valeur de l'être humain. « Un homme peut avoir peu de valeur comme animal, être dépourvu de force, de richesse, d'habileté,
valeur comme animal, être dépourvu de force, de richesse, d'habileté, c'est-à-dire de cette intelligence inférieure qui se met au service des appétits; mais il a, même alors, beaucoup de valeur comme être libre et raisonnable, c'est-à-dire comme être moral. » On sera plus indulgent pour la protection des faibles si, au lieu de regarder, suivant l'expression de M. Marion, la société comme une agrégation d'égoïsmes réunis par les circonstances historiques et géographiques, mais voués entre eux à toutes les rigueurs de la concurrence vitale, on la conçoit comme « une association morale, comme un groupe de personnes unies dans un
association morale, comme un groupe de personnes unies dans un mutuel sentiment d'indulgence et d'assistance, de sacrifice et de perfectionnement. » On se gardera de condamner cette protection si l'on songe enfin à la solidarité naturelle qui lie entre eux les membres de l'humanité. Leur intérêt, vu l'infirmité de leur nature et les risques de toute sorte auxquels ils sont exposés, leur commande, dit M. de Molinari, « de s'assister les uns les autres, car cette assistance constitue à l'avantage commun une assurance contre les risques individuels ». Étant donnés 1° un carré géométrique divisé au moyen de parallèles horizontales
1° un carré géométrique divisé au moyen de parallèles horizontales et verticales en un nombre déterminé de petits carrés, et 2° une progression arithmétique, si on dispose les termes de la progression dans les carrés de telle manière que la somme des nombres inscrits dans chaque bande horizontale, verticale ou diagonale de cases soit égale à un nombre constant, on obtient un carré magique. Si la somme des nombres n'est égale que dans les rangées verticales et horizontales et qu'elle diffère dans l'une des rangées diagonales ou dans chacune d'elles, le carré n'est plus que semi-magique. Cette distinction se présente
le carré n'est plus que semi-magique. Cette distinction se présente fréquemment dans les permutations dont les carrés sont susceptibles. Les carrés magiques sont pairs ou impairs. Sont impairs tous les carrés qui ont pour racine un nombre impair. Les carrés pairs se subdivisent en deux catégories : ils sont pairs pairement ou pairs impairement. Les carrés pairement pairs sont ceux dont le facteur 2 de la racine est multiplié par un nombre pair; les impairement pairs, ceux dont le même facteur 2 est multiplié par un nombre impair. Le carré dont la racine est 6 est impairement pair. Un carré
dont la racine est 6 est impairement pair. Un carré magique quelconque peut subir diverses transformations au moyen desquelles on obtient des solutions différentes sans lui faire perdre ses propriétés. Il y a des transformations communes à tous les carrés. Tout carré est susceptible de recevoir huit positions différentes; tout carré est sujet à révolution, c'est-à-dire qu'on peut faire mouvoir, sur un plan donné, tous les nombres autour d'une axe, une diagonale par exemple. Il y a, en outre, des transformations particulières à certaines catégories de carrés. C'est à tort que l'on a considéré les opérations qui s'effectuent sur les
que l'on a considéré les opérations qui s'effectuent sur les croix, les châssis, les cubes, les cercles, les parallélogrammes, les parallélipipèdes comme des modes de transformation du carré magique. Les conditions du problème sont différentes; il est permis d'y voir seulement quelques analogies. Les transformations s'effectuent de deux manières : 1° par la rupture des carrés, et 2° par la permutation des rangées et des nombres. Les procédés de construction déterminent les catégories. Au-dessus des carrés de 9 et de 16 termes, nous remarquons deux catégories : les carrés simples et les carrés encadrés. Les carrés simples peuvent être diaboliques
et les carrés encadrés. Les carrés simples peuvent être diaboliques ou semi-diaboliques. Outre la propriété essentielle de produire une somme constante par chaque rangée de termes verticale, horizontale et diagonale, commune à tous les carrés magiques, le carré diabolique, ainsi qualifié par M. Lucas, professeur au lycée Saint-Louis, jouit de la propriété secondaire de subir la transposition de droite à gauche, de gauche à droite, de haut en bas et de bas en haut de n'importe quel nombre de ses bandes. Lorsqu'on ne peut faire permuter que les bandes horizontales seules ou les bandes verticales, le carré n'est plus que
seules ou les bandes verticales, le carré n'est plus que semi-diabolique. Cette distinction résulte des calculs mis au jour par un ingénieur russe, M. Frolow. Les carrés encadrés, aussi appelés carrés à enceinte ou à bordure, sont dus à un procédé spécial de construction. Le carré encadré est celui dont on peut détacher les deux bandes verticales et les deux bandes horizontales extérieures, c'est-à-dire une bordure, un cadre, ou successivement l'une après l'autre plusieurs bordures, jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un carré de 9 ou de 16 cases. Le cadre ou les cadres successivement détachés et le carré central,
cadre ou les cadres successivement détachés et le carré central, ou carreau magique, possèdent, indépendamment l'un de l'autre, les propriétés magiques et ils les conservent par conséquent lorsqu'on les sépare. Les carrés de 25 et de 36 termes peuvent donner un encadrement; ceux de 49 et de 64, deux; ceux de 81 et de 100, trois, et ainsi de suite. On peut construire, au moyen des encadrements, plus d'un millier de carrés magiques de 6. La rupture et les permutations des rangées et des nombres permettent d'effectuer des opérations plus ou moins ingénieuses et compliquées: 1° De transformer en carrés
ou moins ingénieuses et compliquées: 1° De transformer en carrés magiques des carrés semi-magiques; en carrés diaboliques des carrés semi-diaboliques; 2° De tirer d'un carré donné un nombre déterminé de nouveaux carrés; Et 3° de tomber dans le vague avec un carré indéterminé, sorte de carré innommé entre les diaboliques et les semi-diaboliques, et que l'on pourrait qualifier de satanique ou d'infernal pour ne pas s'écarter de la logique métaphorique. Si l'on considère les carrés au point de vue de l'intérêt qu'ils présentent, on remarque que les plus curieux sont les carrés de 4. Frénicle a démontré qu'il en existe
les carrés de 4. Frénicle a démontré qu'il en existe 8801. On a cru en découvrir un plus grand nombre, mais on ne les a pas positivement démontrés. Ceux qui présentent, après eux, les propriétés les plus remarquables sont les carrés de 5. Les carrés magiques jouissent enfin d'une dernière propriété à peu près inconnue, le plus souvent négligée et très curieuse, celle de produire, par la direction des termes consécutifs de la progression, une figure géométrique souvent d'une parfaite harmonie. Ces développements, ces entrelacements linéaires, conduits dans le sens de la progression, constituent la description graphique du carré magique,
de la progression, constituent la description graphique du carré magique, description qui peut servir à déterminer, sans le secours des chiffres, la nature d'un carré donné ou à vérifier l'exactitude du procédé de construction. Enfin, une dernière singularité ressort des expériences que nous avons faites sur le terrain de la description graphique. Un carré magique étant donné, on peut toujours tirer de celui-ci un carré différent par la disposition des termes, mais présentant les mêmes propriétés magiques et se décrivant par une figure identique. Cette observation à établir que tout carré magique dont la racine est supérieure à 3 a
carré magique dont la racine est supérieure à 3 a son correspondant magique. Telle est la théorie très abrégée de cette opération. On trouvera ailleurs les applications variées des règles que nous avons essayé de formuler ; on ne trouvera pas les formules. Cette théorie présentée sous la forme d'un traité méthodique et complet n'existe pas. L'histoire des carrés magiques est aussi incomplète que la théorie de ce problème est imparfaite. Le premier traité connu est celui d'Emmanuel Moschopule, scoliaste né en Crète, en 1392, selon quelques biographes, et dont les œuvres furent imprimées à Bâle en 1540. Mais on
les œuvres furent imprimées à Bâle en 1540. Mais on n'est pas sûr que ce traité n'appartienne pas à un autre Emmanuel Moschopule, neveu du précédent. Celui-ci serait né à Byzance, d'où il émigra pour aller en Italie vers 1453. Ce qui est certain, c'est que La Hire traduisit en latin le traité de Moschopule et le présenta à l'Académie des sciences en 1691. En 1544, quatre ans après l'édition de Bâle, parut à Nuremberg l'Arithmetica intégra de Stifels. Ce moine saxon, qui devint pasteur luthérien, fut un des grands mathématiciens de son temps. « On fabrique tous les jours,
mathématiciens de son temps. « On fabrique tous les jours, écrit-il, des traités d'arithmétique, mais ils sont tous incomplets, imparfaits: Quotidie plures novi gignuntur. Nullum vidi qui integram artem traderet, » et il composa ex professo un traité complet, et rempli, selon le mot du président de Thou, « de ce qu'il y a de plus beau dans la science des nombres. » On ignore aujourd'hui qu'il y a dans ce livre, alors si estimé, une théorie des carrés magiques, suite naturelle des progressions arithmétiques ; une méthode pour la construction des carrés impairs, comme dans le Moschopoulos, et une
construction des carrés impairs, comme dans le Moschopoulos, et une méthode pour la construction des carrés pairs comme il n'en existait pas ailleurs. Les savants de tous pays firent au traité de Stifels un accueil digne de ses mérites. Ce traité, en effet, était plein de germes féconds. L'Écossais Napier en cueillit les premiers fruits au chapitre Tractatio regularum Cossoe quas Algébroe vocant; il y trouva toute la Rhabdologie, et tandis que chacun appliquait la Rhabdologie, selon l'étendue de ses connaissances, à quelque invention numérale, Fermat l'appliquait au jeu des carrés magiques et des nombres planétaires dont le mystère hantait
carrés magiques et des nombres planétaires dont le mystère hantait sa sagesse, la ravissait et la troublait. Mais il y avait, dans cet art, un mathématicien qui n'était pas moins habile, Frénicle qui consacra quarante ans à le perfectionner. Les travaux de M. de Frénicle sont connus ; on les trouvera dans les Mémoires de l'Académie des sciences. Ils furent très appréciés à l'étranger ; nous en voyons la preuve dans les Acta eruditorum, du mois de mars 1675. Assurément, Frénicle est un des hommes qui ont le mieux connu les propriétés abstruses et transcendantes des nombres, mais il ne
les propriétés abstruses et transcendantes des nombres, mais il ne convient pas de lui attribuer l'invention des carrés à bordure. Il est, à cet égard, un des nombreux héritiers de Stifels qui, le premier, a imaginé le procédé du sectionnement des carrés en enceintes, per ambitum. On voit dans Stifels, écrit Mollweide, les carrés qu'on appelle en France carrés à bordure. Mais nous avons la preuve que Mollweide, le seul mathématicien qui ait signalé ce fait, n'est pas mieux connu que Stifels ; la réputation de Frénicle s'en est accrue. Il ne convient pas non plus de déprécier Frénicle, comme
Il ne convient pas non plus de déprécier Frénicle, comme l'a fait Saverien dans son dictionnaire des mathématiques, parce que Frénicle a fait pendant quarante ans de l'arithmétique per longum et latum et diagonaliter, c'est-à-dire des carrés magiques. C'est ne pas comprendre la portée arithmétique de cette opération. Saverien la dédaignait parce qu'il n'en saisissait pas bien le mécanisme, malgré tout le soin qu'il apporte, dans un long article, à vouloir paraître aussi exercé que compétent. Il était excusable ; tout le monde jugeait ainsi le problème au dix-huitième siècle. Mais il ne nous persuadera pas, parce qu'il ne forme
Mais il ne nous persuadera pas, parce qu'il ne forme les constructions de M. Frénicle « qu'en tâtonnant », que ces constructions « ne sont point démontrées. » Nous savons aujourd'hui, après les travaux de M. de Vielle, de M. Lucas et de M. Frolow, que les 880 carrés de 16 termes sont parfaitement démontrables et démontrés. La réputation de Frénicle, de ce chef, reste intacte. Un autre mathématicien aussi distingué que Frénicle a joui, au point de vue qui nous occupe, d'une réputation plus étendue, plus durable et moins légitime. Bachet de Méziriac n'a pas poussé aussi loin l'étude