jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
résultat de Crandall et Rabinowitz [3] pour commencer. On définit l'opérateur : de L2(0,1) à L2(0,1). Les dérivées de Fréchet sont données par : En utilisant le théorème des fonctions implicites, on obtient la branche de solutions positives minimales pour 0<X<X*. En X*, G, est singulière et l'on montre que cette branche a un point de retournement en X* (voir [3]). Tous ces résultats sont encore valables dans le cas multidimensionnel, et déjà connus pour des problèmes voisins (voir [3] et [6]). Nous allons maintenant préciser ces résultats, dans le cas de la dimension un, en donnant le nombre exact
cas de la dimension un, en donnant le nombre exact de solutions du problème (1). PROPOSITION. — L'équation (1) admet : (i) exactement deux solutions positives pour X>0; (ii) une seule solution positive pour X<0. La démonstration de ce résultat, qui repose sur un argument de degré topologique ainsi que sur la comparaison de deux solutions de (1) pour un même X, est détaillée dans [7]. D COMPORTEMENT GLOBAL. — On s'intéresse maintenant à l'équation : Introduisons : THÉORÈME. — Pour l'équation (2), V/? > 1, on a : (i) Sk est borné dans X, V k e N; (ii)
Sk est borné dans X, V k e N; (ii) Sx est connexe; chaque S2k+1, pour k > 1, a deux composantes connexes, S2k + 1 et S-k + u de classe 1; (iii) chaque S2k, k > 1 est une courbe fermée, de classe c 1; (iv) il existe une infinité de points de bifurcation que l'on notera (P2k, Q2k), k e N. De plus : (v) chaque branche Sk a au moins un point de retournement Rk, k e N. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 327 Remarque 1. — En fait,
I, n° 14, 1984 327 Remarque 1. — En fait, on obtient par une intégration, l'expression suivante pour P2k, Q2k Remarque — Les calculs numériques effectués pour le cas p = 3, donnent le diagramme qui illustre le théorème précédent. Principe des démonstrations. — On montre dans les étapes suivantes le comportement global des solutions de l'équation (2). Étape 1. — On peut prolonger par un argument de continuation, la branche positive, après le point de retournement X*; de même pour X, < 0. On montre l'existence d'une constante — M, telle qu'il n'y ait pas de solutions positives, lorsque
M, telle qu'il n'y ait pas de solutions positives, lorsque X < — M < 0. Donc il existe un point X = — Xf, où G, est singulière. Étape 2. — Si H1(/'(M)) = 0 en —X*, on peut montrer que c'est un point de retournement. Il existe alors un Xe(—Xf, — X* + e), tel que l'on ait deux solutions positives pour ce X. Ceci contredit l'unicité des solutions positives pour A < 0 (voir proposition). Comme u < 0 < u, et u < 0, on a M/'(w))=0. Étape 3. — Par un argument de comparaison de
M/'(w))=0. Étape 3. — Par un argument de comparaison de valeurs propres avec poids, on obtient les résultats suivants : (i) en X= — A.J, la deuxième fonction propre est u'(x); (ii) — X% est un point de bifurcation et il existe deux directions tangentes distinctes (du, dX) pour les branches de solutions en X%. Diagramme de bifurcation pour p = 3 (numérique). 328 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 En utilisant la technique de Crandall et Rabinowitz [3], on fait une étude locale pour obtenir les deux branches Sf U S3 et S^
pour obtenir les deux branches Sf U S3 et S^ U S^ qui se coupent en — X%. Étape 4. — Étudions ensuite la branche S2. Pour des raisons de symétrie, il suffit d'étudier les solutions uk, pour X < 0 et t4(0) > 0. On établit une correspondance entre la branche positive et S2, de la façon suivante : Prolongeons la solution positive u en X, jusqu'au premier zéro a(X), a(X) > 1, telle qu'elle satisfasse encore la même équation. Définissons : Alors (û(X), £) e S2. Dans cette partie de S2, s'il existe un point où Gu est
partie de S2, s'il existe un point où Gu est singulière, on montre que ce point est nécessairement un point de retournement. Ainsi on trouve que S2 est une courbe fermée avec deux points de bifurcation : — X.J et Xf, déjà obtenus. Étape 5. — Une transformation de Si à Sk comme dans l'étape 4 nous permet d'étudier les autres branches Sk. On obtient d'abord les constantes — X% < 0 et X% > 0 telles qu'il n'y ait pas de solution uk e Sk pour X < [ — Xk, A.J. En suivant le même raisonnement comme dans
— Xk, A.J. En suivant le même raisonnement comme dans l'étape 3, on étudie les autres points de bifurcations où u2t (/' (u)) = 0. Les démonstrations détaillées ainsi que divers essais numériques sont indiqués dans [7] et [8]. D 1 Calculs effectués à l'I.N.R.I.A. sur un DPS 68 avec une méthode de continuation (voir [7] pour les détails). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. BAHRI et H. BERESTYCKI, A Perturbation Method in Critical Point Theory and Applications, Trans. Amer. Math. Soc, 207, n° 1, 1981, p. 1-32. [2] H. BERESTYCKI, Le nombre des solutions de certains problèmes semilinéaires elliptiques, J.F.A., 40,
nombre des solutions de certains problèmes semilinéaires elliptiques, J.F.A., 40, 1, 1981, p. 1-29. [3] M. G. CRANDALL et P. H. RABINOWITZ, Bifurcation, Perturbation of Simple Eigenvalues and Linearized Stability, Arch. Rat. Mech. Anal, 52, 1973, p. 161-180. [4] H. EHRMANN, Über die Existenz der Lösungen von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann., 134, 1957, p. 167-194. [5] S. FUCIK et LOVICAR, Periodic Solutions of the Equation x"(t) + g(x(t)), Casopis Pest. Mat., 100, 1975, p. 160-175. [6] P.-L. LIONS, On the Existence of Positive Solutions of Semilinear Elliptic Equations, S.I.A.M. Review, 24, 1982. [7] M. RAMASWAMY,
Semilinear Elliptic Equations, S.I.A.M. Review, 24, 1982. [7] M. RAMASWAMY, Thèse de 3e cycle, Paris-VI, 1983. [8] M. RAMASWAMY (à paraître). M. R. : Institut National de Recherche en Informatique et en automatique, Service du Pr Glowinski, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, B.P. n° 105, 78153 Le Chesnay Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 329 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Théorèmes du Minimax. Note de Andrzej Granas et Fon-Che-Liu, présentée par Jean Leray. Remise le 12 décembre 1983. Dans cette Note nous annonçons certains théorèmes nouveaux dans la théorie du minimax. La méthode de démonstration utilise
dans la théorie du minimax. La méthode de démonstration utilise des théorèmes de points fixes et coïncidences pour les applications multivoques; en particulier celles de type O et O* (traitées dans la Note précédente [1]) ainsi que celles de type de Kakutani. Les résultats obtenus ont plusieurs applications. FUNCTIONAL ANALYSIS. — Minimax Theorems. In this Note we announce certain new minimax theorems. The proofs of these results involve fixed point and co-incidence theorems for set-valued maps. The results obtained have a number of useful consequences. MULTI-VALUED APPLICATIONS. — Dans cette Note les applications multivoques (appelées simplement applications) seront désignées en
Note les applications multivoques (appelées simplement applications) seront désignées en lettres majuscules et les fonctions univoques en lettres minuscules. Si A : X → Y est une application, l'inverse A-1 : Y → X est défini par : désigne le graphe de A. Notons que A : X → Y est surjective si et seulement si A-1 y # 0 pour chaque y e Y. Si A, B : X → Y, on dit que B est une sélection de A si TB ⊆ A; on écrit dans ce cas B<A. On dit que A, B : X → Y
B<A. On dit que A, B : X → Y ont une coïncidence si FA ∩ FB = 0. DÉFINITION 1. — Soient X, Y deux espaces topologiques et A : X → Y. (i) A est une β-application si elle satisfait aux conditions suivantes : (a) X est convexe; (b) A_1(y) est convexe, pour chaque ye Y; (c) il existe une sélection Â : X → Y de A telle que : Â est surjective et A(x) est ouvert dans Y, pour chaque xeX. (ii) A est une β*-application si A_1 eO(Y, X). L'ensemble des β-applications (resp. β*-applications) de
si A_1 eO(Y, X). L'ensemble des β-applications (resp. β*-applications) de X dans Y est noté β(X, Y) [resp. β*(X, Y)]. DÉFINITION 2. — Soient X, Y deux convexes dans les espaces linéaires topologiques. (i) On dit que A : X → Y est une K-application si le graphe FA de A est fermé dans X x Y et A ~ * a des valeurs convexes. (ii) On dit que A : X → Y est une K*-application si son inverse A_1 : Y → X est une K-application. L'ensemble de K-applications (resp. K*-applications) de X dans Y est noté K(X,
K-applications (resp. K*-applications) de X dans Y est noté K(X, Y) [resp. K*(X, Y)] et on pose : 2. DEUX RÉSULTATS GÉOMÉTRIQUES. THÉORÈME 2.1. — Soient Y un espace topologique, X un convexe dans un espace vectoriel avec topologie finie et G, S : X → Y deux applications telles que : (i) G eO(X, Y); (ii) S est compacte et pour chaque convexe C c X de la forme C = conv{x1, ..., xk} la restriction S | C est s. c. s. et acyclique. THÉORÈME 2.2. — Soient Y un convexe compact non-vide dans un e. v. t.,
Y un convexe compact non-vide dans un e. v. t., X un convexe dans un e. v. et F, G, S : X → Y trois applications telles que : (i) G_1(y) est convexe, ∀ y e Y; (ii) F c G et F x est ouvert, ∀ xe X; (iii) S x est convexe, ∀ x e X et F s (C x Y) est fermé dans C x Y pour chaque C = conv{x1, x2, ..., xk} c X. Alors au moins l'un des énoncés suivants est vrai : (a) G et S ont une coïncidence; (b) F_1(y)
: (a) G et S ont une coïncidence; (b) F_1(y) = 0 pour un certain ye Y; (c) S(x) = 0 pour un certain xe X. 3. THÉORÈMES DU MINIMAX. — Nous énonçons maintenant les principales conséquences du théorème 2.2: THÉORÈME 3.1. — Soient Y un convexe compact dans un e.v.t. (espace vectoriel topologique), X un convexe dans un e.v. et f, g, k : X x Y → R trois fonctions numériques vérifiant : (i) f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ k (x, y), ∀ (x, y), X x Y; (ii) x → g(x, y) est quasi-concave, ∀ ye
Y; (ii) x → g(x, y) est quasi-concave, ∀ ye Y, et y → f(x, y) est s. c. i., ∀ xe X; (iii) y → k (x, y) est quasi-convexe, ∀ xe X; la restriction k | C x Y est s.c. i. pour chaque convexe C = conv{x1, ..., xk} c X. Alors on a l'inégalité suivante : Préuve. — Raisonnons par l'absurde et supposons que pour un certain XeU nous avons B < A, < a. Définissons F, G, S : X → Y en posant pour chaque xe X : On vérifie aisément que les hypothèses
chaque xe X : On vérifie aisément que les hypothèses du théorème 2.2 sont satisfaites. En appliquant le théorème 2.2 il est clair que le cas (a) ne peut arriver (parce que TG H TS = 0). Nous avons donc pour un certain ye Y, F_1(y) = 0, i. e., ou bien pour un certain xe X, Sx = 0, i. e., De (*) on obtient c = inf sup f(x, y) ^ X ce qui est absurde. De la même façon, de y x (**) on déduit p = sup inf k(x, y) 2: X ce qui donne la
sup inf k(x, y) 2: X ce qui donne la contradiction. On a donc a rg (f x y et la preuve est complète. THÉORÈME 3.2. — Soient Y un convexe compact non-vide dans un e. v. t., X un convexe dans un e.v. et f, g : X x Y → U deux fonctions numériques vérifiant : (iii) x → g(x, y) est quasi-concave, ∀ ye Y. Soit S : X → Y une application telle que : (iv) Sx est convexe non-vide, ∀ xe X; (v) TS H (C x Y) est fermée dans C x Y pour
(C x Y) est fermée dans C x Y pour chaque C = conv (x1, ..., xk) c X. Alors : THÉORÈME 3.3. — Soient Y un compact convexe non-vide dans un espace linéaire topologique et X un convexe dans un espace vectoriel avec topologie finie. Soit h : X x Y → R une fonction numérique vérifiant : (i) h | C x Y est continue pour chaque C = conv { x1, ..., xk} c X; (ii) y → h (x, y) est quasi-convexe, ∀ xe X. Alors, pour chaque Ae O*(Y, X), il existe (x0, y0) e
pour chaque Ae O*(Y, X), il existe (x0, y0) e X x Y tel que : THÉORÈME 3.4. — Soient X, Y et h: X x Y → IR comme dans 3.3. Soient f, g: X x Y → R deux fonctions numériques telles que : (i) g(x, y) ≤ f(x, y); (ii) x → f(x, y) est quasi-concave, ∀ y e Y; (iii) y → g(x, y) est s. c. i., ∀ xe X. Alors il existe ye Y tel que : où : 4. COÏNCIDENCES POUR LES APPLICATIONS RENTRANTES ET SORTANTES. — Soit X un sousensemble convexe compact
RENTRANTES ET SORTANTES. — Soit X un sousensemble convexe compact non-vide d'un espace localement convexe E. Étant donné un xe X, posons : Nx (x) = {(p e E' | (p (x) = max { y }) = cône normal à X en x, y e X Tx(x) = { p e E | (p (j) ≥ 0 pour tout p e Nx(x)} = cône tangent à X en x. Rappelons qu'une application A : X → E est dite rentrante (resp. sortante au sens de Ky Fan, si A x H (x + Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈
x H (x + Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈ X [resp. Ax π (x - Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈ X]. En utilisant le théorème 2.2 et le théorème de Banach-Steinhaus on peut déduire de façon directe et simple le résultat bien connu suivant : COROLLAIRE 4.1 (Ky Fan). — Soient X un sous-ensemble convexe compact non-vide d'un espace localement convexe E, et F, G : X → E deux applications s.c.s. à valeurs convexes telles que F soit rentrante et G soit sortante. Alors F et G ont une coïncidence. COROLLAIRE 4.2 (Ky Fan-Glicksberg). — Soit X
ont une coïncidence. COROLLAIRE 4.2 (Ky Fan-Glicksberg). — Soit X compact convexe non-vide dans un espace localement convexe. Si A ∈ K (X, X) [ou A ∈ K* (X, X)], alors il existe x0 ∈ X tel que x0 ∈ A x0. THÉORÈME 5.1 (théorème de coïncidence). — Soient X, Y deux convexes compacts non-vides dans des espaces localement convexes. Si A ∈ K (X, Y) et B ∈ K* (X, Y), alors il existe (x0, y0) ∈ X x Y tel que y0 ∈ A x0 ∩ B x0. Le théorème 5.1 découle du théorème de Fan-Glicksberg. Parmi les
Le théorème 5.1 découle du théorème de Fan-Glicksberg. Parmi les conséquences des théorèmes 4.2 et 5.1, citons les deux résultats suivants : THÉORÈME 5.2. — Soient X un convexe compact dans un espace localement convexe et k : X x X → U une fonction s.c.s. telle que x → k(x, y) est quasi-concave, ∀ y ∈ Y. Alors : THÉORÈME 5.3 (6). — Soient X, Y comme dans 5.1 et k, k* : X x Y → U deux fonctions numériques telles que : (i) k (x, y) ≥ k* (x, y), ∀ (x, y) ∈ X x Y;
k* (x, y), ∀ (x, y) ∈ X x Y; (ii) k est s.c.s. et x→k(x, y) est quasi-concave, ∀ y∈ Y; (iii) k* est s.c.i. et y→k* (x, y) est quasi-convexe, ∀ x∈ Y. Alors : (') Les applications de type K* ont été considérées pour la première fois par S. Kakutani dans sa généralisation bien connue du théorème de Brouwer. (2) Parmi des cas spéciaux des théorèmes principaux de la section 3 on retrouve des résultats de Browder [2], Ky Fan [3] et Ha [4]. (3) Rappelons que : x → U est quasi-concave (resp. s.c.i. = semi-continue
: x → U est quasi-concave (resp. s.c.i. = semi-continue inférieurement) si {x | f(x) > A.} est convexe (resp. ouvert) pour chaque x∈U, et que g : X→ R est quasi-convexe (resp. s.c.s. = semi-continue supérieurement) si −g est quasi-concave (resp. s.c.i). (4) Voir [1] (5) Dans le cas où la dimension de X et Y est finie et A ∈ K(X, Y) ∩ K*(X, Y), voir [6]. (6) Ce résultat est analogue au théorème principal dans [5]; voir aussi [7]. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] H. BEN-EL-MECHAIEKH, P. DEGUIRE et A. GRANAS, Comptes rendus, 295, série I, 1982, p. 381-384.
A. GRANAS, Comptes rendus, 295, série I, 1982, p. 381-384. [2] F. E. BROWDER, Math. Ann., 177, 1968, p. 283-301. [3] K. FAN, A Minimax Inequality and Applications, in Inequalities III, O. SHISHA éd., Acad. Press, New York and London, 1972, p. 103-113. [4] C. W. HA, Pacific J. Math., 97, 1981, p. 115-117. [5] F. C. LIU, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 6, n° 2, 1978, p. 517-522. [6] J. VON NEUMANN, Ergebn. eines Math. Kolloquium, 8, 1937, p. 73-83. Des conditions nécessaires d'optimalité aux jonctions où arcs singuliers et non singuliers se rencontrent ont été obtenues plus récemment.
et non singuliers se rencontrent ont été obtenues plus récemment. Une condition, établie par McDanell et Power [8], a été mise en question par Bell [1]. Plusieurs auteurs ont ensuite cerné ce problème en montrant la validité du théorème pour certaines valeurs de paramètres et la possibilité de l'existence d'un contre-exemple pour d'autres valeurs. Une nouvelle interprétation, par les séries de Vollersta, des conditions d'optimalité d'ordre supérieur [5] a permis de clarifier des expressions compliquées apparaissant dans l'analyse des jonctions et de construire a priori un contre-exemple. La présentation de celui-ci ne nécessitant pas cette analyse, nous l'exposerons dans le
celui-ci ne nécessitant pas cette analyse, nous l'exposerons dans le formalisme hamiltonien classique. 1. LA CONJECTURE DE MCDANELL. — Reprenons le problème (1). Un calcul simple montre que la commande u n'apparaît pas explicitement dans la dérivée totale de O par rapport à t, mais intervient, de façon linéaire, dans sa dérivée seconde. D'une façon générale, il est bien connu [6] que le plus petit ordre de la dérivée totale de O par rapport à t, où u apparaît explicitement est pair : Le problème de commande optimale est dit alors problème singulier d'ordre q. La conjecture de McDanell. —
alors problème singulier d'ordre q. La conjecture de McDanell. — Soit tc un point où un arc singulier et un arc non singulier se rencontrent et soit q l'ordre de l'arc singulier. Soit r le plus petit ordre de la dérivée de u pour lequel w(r) est discontinue au point tc et soit m le plus petit ordre de la dérivée de p pour lequel p(m) est non nulle au point tc. Alors, (i) si m<r, q + r + m est un entier impair : Actuellement cette conjecture est prouvée pour certaines valeurs des paramètres N, q, m, r
prouvée pour certaines valeurs des paramètres N, q, m, r associés au problème de commande. Quand m = 2, Bell et Turpin [2] ont montré que la conjecture est vraie pour les problèmes de commande optimale avec N = 1 et q = 1 et pour une classe très particulière de problèmes avec N = 2 et q=1. Les paramètres du contre-exemple présenté ci-dessous ont pour valeur N = 2, q=1, m = 3 et r= 1. LE CONTRE-EXEMPLE. — Considérons le problème de commande N = 2 : où les fonctions f et g seront précisées plus loin. L'hamiltonien
les fonctions f et g seront précisées plus loin. L'hamiltonien et la fonction de commutation s'écrivent : L'équation canonique est : Nous proposons comme candidat à la commande optimale une solution comprenant un arc singulier sur [0, 1) et un arc non singulier sur (1, 2]. La commande apparaît explicitement avec un coefficient non trivial dans : C. R. Acad. Se Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 335 336 C. R. Acad. Se Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. J. BELL, Int. J. Contr., 33, 1981, p. 763-772. [2] D. J. BELL
J. Contr., 33, 1981, p. 763-772. [2] D. J. BELL et K. TURPIN, Int. J. Contr., 34, 1981, p. 153-158. [3] R. GABASOV et F. M. KIRILLOVA, S.I.A.M. J. Contr., 10, 1972, p. 127-168. [4] H. W. KNOBLOCH, Lect. Notes Contr. and Inf. Sc., n° 34, Springer Verlag, Berlin, 1981. [5] F. LAMNABHI-LAGARRIGUE, Proc. 1983 M.T.N.S. Beer-Sheva, à paraître dans Lect. Notes Contr. and Inf. Sc., Springer Verlag, Berlin. [6] R. M. LEWIS, S.I.A.M. J. Contr., 18, 1980, p. 21-32. [7] C. MARCHALL et P. CONTENSOU, J. Guidance and Control, 4, 1980, p. 240-252. [8] J. P. MCDANELL et W.
4, 1980, p. 240-252. [8] J. P. MCDANELL et W. F. POWERS, S.I.A.M. J. Contr., 9, 1971, p. 161-173. L.S.S. E.S.E., plateau du Moulon, 91190 Gif-sur-Yvette. C. R. Acad. Se Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 337 GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. — Le théorème des zéros centraux. Note de Christiane Saliba, présentée par René Thom. Remise le 7 novembre 1983, acceptée après révision le 13 février 1984. Dans cette Note, nous prouvons le théorème des zéros centraux de la géométrie algébrique réelle. Notre preuve repose sur la théorie du spectre réel et rend caduque la première preuve (non publiée) qui
réel et rend caduque la première preuve (non publiée) qui utilisait des anneaux de valuation [1]. Un résultat un peu plus général est montré dans [2], p. 95. ALGEBRAIC GEOMETRY. — Central Nullstellensatz. In this Note, we prove the central Nullstellensatz of real algebraic geometry. Our proof is based on the theory of real spectrum and renders obsolète the first proof (non published) which used valuation rings [1]. In [2], p. 95, we prove a slightly more general result. 1. NOTATIONS. — Soit V une variété algébrique affine définie sur un corps réel clos R. On note V(R) l'ensemble de
un corps réel clos R. On note V(R) l'ensemble de ses points R-rationnels, R[V] son anneau de coordonnées et R(V) son corps des fractions rationnelles lorsque V est une variété intègre. Si I est un idéal de R[V], V_(R) sera l'ensemble des zéros R-rationnels de I. Si V est une variété intègre, on note Cent(V) l'adhérence (pour la topologie euclidienne de V(R)) de l'ensemble, noté Reg(V), des points réguliers de V(R). 2. THÉORÈME DES ZÉROS CENTRAUX. — Le théorème des zéros réels [3] désormais classique est le résultat suivant : P est nul en tous points de V_(R) si et
P est nul en tous points de V_(R) si et seulement si il existe un entier m 2:0 et un polynôme Q de R[V] de la forme Q=P^2 + ... + P^j où P;eR[V] tels que P^2m + QeL. Nous montrons ici un nouveau théorème des zéros en géométrie algébrique réelle qui fait intervenir les points centraux de V et les polynômes qui sont des sommes de carrés dans le corps des fractions rationnelles : THÉORÈME DES ZÉROS CENTRAUX. — Soit V une variété intègre, soit I un idéal de R[V] et soit P un polynôme de R[V]. Alors les
R[V] et soit P un polynôme de R[V]. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) P est nul en tous points de V_(R) \ Cent(V). (2) Il existe un entier m2î0 et un polynôme Q de R[V] de la forme Q=U^2 + ... + U^2 où U;eR(V) tels que P^2m + QeL. Montrons que (2) entraîne (1): Si P vérifie la formule P^m + Q^1, alors P^m + Q=0 en tous points de V(R). Or si Q n'a aucune raison d'être partout positif, prendre V définie par : il l'est en tous cas sur les points centraux (cf. [4],
l'est en tous cas sur les points centraux (cf. [4], p. 288; [5], p. 8 et [2], p. 89). Donc sur V(R) \ Cent (V) on a P^m = 0 et aussi P=0. L'implication inverse est moins aisée et nécessite l'introduction des définitions et des résultats ci-après. NOTATION. — Soit A un anneau commutatif unitaire. £A 2 désigne les sommes de carrés d'éléments de A. DÉFINITION 1. — Un précône est une partie p de A vérifiant £A^2=p, p + p=p, p.p.p. Un précône p est dit propre si -1 £ p et impropre si -1 e p. DÉFINITION 2
£ p et impropre si -1 e p. DÉFINITION 2 (cf. Stengle [6]). — Soit p un précône de A et soit I un idéal de A. I est dit idéal p-radical si I = r_p(I) où : Cas particulier. — Si A est un anneau intègre de corps de fractions k et si p = A \ \(fc 2, alors un idéal I de A ne peut être à la fois premier et p-radical [car -1 e p entraîne r_p(I) = A]. REMARQUE. — Lorsque p est un précône impropre de A, un idéal I de A ne peut
impropre de A, un idéal I de A ne peut être à la fois premier et p-radical [car -1 e p entraîne r_p(I) = A]. LEMME 0 (cf. [6] prop. 2). — r_p(I) est l'intersection de tous les idéaux premiers p-radicaux contenant I. Par le lemme 0, la propriété (2) du théorème des zéros centraux est équivalente à la propriété : (2') pour tout idéal premier central J contenant I on a PeJ. DÉFINITION 3. — On rappelle que les points du spectre réel de A, Spec_A, sont les précônes premiers (les précônes a tels que abea et a£a= -bea).
premiers (les précônes a tels que abea et a£a= -bea). On appelle support de a l'idéal premier I_a = a n — a. La démonstration de (1) entraîne (2') repose alors sur les deux lemmes suivants : le premier étant purement algébrique et le deuxième étant géométrique. LEMME 1. — Si J est un idéal premier central, il existe un ordre total p de R(V) et un point a de Spec_R R [V] de support J tels que R [V] H p c a. Preuve. — L'existence d'un ordre total P de R(V) tel que J soit un idéal R
P de R(V) tel que J soit un idéal R [V] H P-radical résulte de [7], 05, p. 62. Montrons maintenant l'existence d'un précône premier a de R [V] de support J contenant R [V] H P et tel que J soit a-radical : Soit a un précône maximal parmi les précônes propres p de R [V] contenant R [V] H P et tels que J soit un idéal p-radical. (a) J = a H -a. — Il est clair que oc n - ad puisque J est a-radical. — Inversement, soit x e J et soit a[x]= {p+xq; p,
Inversement, soit x e J et soit a[x]= {p+xq; p, q e a.}. Alors J est a[x]-radical (en effet si 3m>0, 3p, q e a. tels que a^2m+p+xq e J, alors a^2m+p e J (car x e J) soit a^e(J)=J (car J est a-radical)). Ainsi par la remarque ci-dessus, a[x] est une précône propre et par maximalité de a, on a a [x] = a soit x e a. SixeJona — x e J donc -x e a. (b) a est un précône premier. Soient x, y e R [V] tels que xy e a et x $ a. Alors