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par -X, on voit que cette courbe se compose d'un nombre limité de courbes identiques, entièrement fermées et situées sur un même ellipsoïde de révolution. Ces courbes identiques se réunissent deux à deux par une série de points de rebroussement situés sur le plus grand parallèle de l'ellipsoïde; la longueur de chacune d'elles se trouve être indépendante de la valeur de p et égale à la circonférence de rayon k, car elle est visiblement égale à Soit, en second lieu, p> 1. On changera k en -k dans les formules (14) qui donnent x, y, z en fonction de X,
(14) qui donnent x, y, z en fonction de X, ce qui est permis, puisque cela revient à changer le sens dans lequel on compte les coordonnées positives ; on aura SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Les expressions de x et y deviennent ce qui montre que la projection de la courbe sur le plan des xy est une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence de rayon R' qui roulerait extérieurement sur une circonférence fixe de rayon R. On trouvera d'ailleurs la courbe est encore algébrique si p est commensurable. De ce qui précède, il résulte que les
est commensurable. De ce qui précède, il résulte que les équations (14) représentent une classe de courbes algébriques répondant à toutes les valeurs commensurables attribuées au paramètre p; mais on peut arriver à ce résultat par une voie plus directe, comme nous allons le montrer. Soit p=m/n, m et n étant entiers ; il vient et, en faisant = X', Par suite, les équations (14) prennent la forme Posons on en déduit Or on sait que les sinus et cosinus des arcs (n—m)X', (n+m)X, nii' peuvent s'exprimer sous forme de polynômes entiers en sin X' et cos X'. Dès lors,
polynômes entiers en sin X' et cos X'. Dès lors, au moyen des deux dernières formules, ils pourront s'exprimer aussi par des fonctions rationnelles de la seule variable u. Il en sera donc de même pour les coordonnées x,y, z, déterminées par les équations (15), en sorte que les courbes représentées par ces équations seront évidemment algébriques pour toutes les valeurs commensurables de p. Quant à l'arc d'une quelconque de ces courbes, il s'exprime par un arc de cercle, car on a s=k arc sin z/k, formule où il faudrait remplacer par sa valeur rationnelle en u. Considérons, par exemple,
remplacer par sa valeur rationnelle en u. Considérons, par exemple, le cas où p est entier : n étant égal à 1, il vient On a d'ailleurs Si l'on remplace, dans les équations (15), les sinus et cosinus des arcs (1 — m) X, (1 + m)X par des polynômes entiers en sin X, cos X, puis ces deux dernières quantités par leurs valeurs en z, on voit que x et y deviendront des fonctions algébriques de la quantité z, laquelle servira de variable indépendante; de plus, l'arc s se trouvera exprimé en fonction de cette variable par l'arc de
trouvera exprimé en fonction de cette variable par l'arc de cercle k arc sin z/k. SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Il y a une remarque à faire, suggérée par la forme des équations (14). Comme, pour une même valeur de p, chacune des coordonnées x, y, z est proportionnelle à k, il en résulte qu'aux différentes valeurs de k répond un système de courbes homothétiques ayant pour centre d'homothétie l'origine des axes. Par suite, le rayon de courbure relatif aux courbes d'un même système est proportionnel à k, ce qui a lieu aussi pour le rayon de torsion. On
qui a lieu aussi pour le rayon de torsion. On remarquera encore une propriété géométrique résultant de l'équation z=k sin X, pour une quelconque des courbes considérées. Dans le plan projetant sur le plan des xy de la tangente en un point M de la courbe, on mène par ce point sur cette tangente une perpendiculaire qui rencontre le plan des xy en N. Or, la relation dont il s'agit conduit à cette conséquence que la longueur de normale MN est constante et égale à k. Il suffît, pour le reconnaître, d'observer que l'angle α est égal à l'angle que
reconnaître, d'observer que l'angle α est égal à l'angle que fait cette normale avec sa projection sur le plan des xy. L'ANGE GARDIEN DE SOCRATE PAR M. A. DUMÉRIL. On sait que dans la religion des Perses telle qu'elle nous est présentée dans les livres sacrés de l'Orient, Ormuzd et Ahriman, le bon et le mauvais principe, étaient entourés d'un cortège de Génies, distribués dans un ordre hiérarchique. C'étaient des créatures, mais des créatures pourvues d'une intelligence et d'une force supérieures à celles de l'homme, puissantes les unes pour le bien, les autres pour le mal. Elles s'attachaient à l'homme
bien, les autres pour le mal. Elles s'attachaient à l'homme et cherchaient à l'entraîner dans des directions diverses. Tandis qu'Ahriman le sollicitait au mal par ses émissaires, Ormuzd plaçait auprès de chaque individu un de ses Férouers qui veillait et lui prêtait assistance. Telle est historiquement l'origine de cette belle et poétique idée des Anges gardiens, que le judaïsme, après la captivité de Babylone, suivant l'opinion admise par plusieurs savants de notre temps, et le christianisme, après la religion juive, auraient empruntée au culte des mages. Le nom d'Anges, il est vrai, se trouve dans la Genèse elle-même. Un Ange
est vrai, se trouve dans la Genèse elle-même. Un Ange console Agar au désert (XVI, 7) ; des Anges anéantissent Sodome et sauvent Loth (ibid., XVIII); Jacob endormi voit des Anges monter et descendre par l'échelle mystérieuse (XXVIII, 12). Mais suivant les écrivains dont je parle, le mot d'ange, dans cette première partie de la Bible, signifie simplement messagers. C'est dans le même sens certainement que Jésus disait de saint Jean-Baptiste : « C'est de lui qu'il a été écrit : Voilà que j'envoie mon Ange devant ta face pour préparer ton chemin devant toi » (Matthieu, XI, 10). Il
préparer ton chemin devant toi » (Matthieu, XI, 10). Il est vrai qu'il L'ANGE GARDIEN DE SOCRATE. L'expression de démons (en grec Δαιμόνων), qui correspondait à la fois à notre mot d'ange et à celui par lequel nous désignons les esprits malfaisants, trouve son application dans Hésiode et dans la religion égyptienne. Mais ces démons n'ont aucun rapport soit avec les Férouers d'Ormuzd, soit avec les esprits tentateurs déchaînés par Ahriman. Ce sont des âmes humaines dégagées par la mort de leurs liens corporels. Les démons d'Hésiode ont appareil dit (Genèse, III, 24) que Dieu ayant chassé Adam et Eve
(Genèse, III, 24) que Dieu ayant chassé Adam et Eve du Paradis terrestre, mit des Chérubins devant le jardin des délices, lesquels faisaient étinceler une épée de feu pour garder le chemin qui conduisait à l'arbre de vie. Ces Chérubins ne pouvaient évidemment appartenir à la race humaine, ce n'étaient pas non plus des Anges gardiens. Il y a d'ailleurs beaucoup d'obscurité sur les Anges. Que peut vouloir dire, par exemple, le chapitre de l'Epître aux Corinthiens, I, VI, 3 : « Ne savez-vous pas que nous jugerons les Anges? À plus forte raison pouvons-nous juger ce qui concerne la
À plus forte raison pouvons-nous juger ce qui concerne la vie présente. » M. Renan, l'Église chrétienne, p. 68 de la 2e édit., prétend que le mot Ange de Dieu désigne parfois dans la Bible Dieu lui-même s'adressant aux mortels. On en faisait suivant lui un Etre distinct de Dieu, comme on fit du Logos; ou de la parole divine une personne spéciale distincte de Dieu le père avec lequel il partageait la toute-puissance. L'écrivain cite dans une note la Genèse, XVI, 7, 13; XXII, 11, 12; XXXI, 11, 16; l'Exode, III, 2, 4 et le Livre des Juges, VI.
l'Exode, III, 2, 4 et le Livre des Juges, VI. 14, 22 (dans ce dernier il s'agit d'un prophète) et XIII, 18, 22. L'Ange de Jéhovah désignerait, suivant lui, l'apparence divine qui se montre aux hommes quand Dieu d'ordinaire caché se révèle aux yeux. Ce Maleak Jéhovah ne diffère en rien de Jéhovah lui-même et c'est une habitude chez les traducteurs d'une certaine époque de substituer ce mot à Jéhovah partout où Dieu est censé paraître sur la terre. Le Logos, ajoute M. Renan, arriva de même à jouer le rôle de Dieu anthropomorphisé. Nous laissons naturellement au savant érudit
rôle de Dieu anthropomorphisé. Nous laissons naturellement au savant érudit la responsabilité de son assertion qui n'est pas de notre compétence. Il parait d'après un autre passage de son livre sur l'Église chrétienne (p. 183 de la 2e édition) que suivant certaines corporations, chaque action avait son Ange. En la faisant, on devait invoquer cet esprit d'une nature étrangère à l'humanité. Il parait qu'il y eut aussi dans l'Empire un Génie des contributions indirectes. (Bulletin de l'Institut archéologique de Rome, 1868, pp. 8 et 9.) Quant au mot de Démons (δαίμονες), M. Hild, Études sur les Démons dans la littérature
(δαίμονες), M. Hild, Études sur les Démons dans la littérature grecque, en indique fort bien l'origine lorsqu'il dit (p. 11) : « Comme la Grèce n'avait pour se faire entendre que le vocabulaire usuel, elle y choisit un terme à peu près délaissé, débris de vieilles croyances que n'avaient point embellies les lettres et qui n'étaient plus au temps d'Homère qu'un lointain souvenir. » 9e SÉRIE. — TOME IV. MÉMOIRES. tenu à l'âge d'or. Le mot de « chacun a son démon, » dans le langage de ceux qui appartiennent à l'école théologique égyptienne, veut dire simplement que chacun de
à l'école théologique égyptienne, veut dire simplement que chacun de nous avait une âme destinée à survivre à son corps. Les philosophes grecs adoptaient cette signification lorsqu'ils plaçaient les Démons parmi les héros des poèmes épiques ou que, comme Proclus, ils prétendaient que le démon était la partie intellectuelle de notre être. Dans les croyances persanes, au contraire, le démon de chaque homme était une créature distincte de lui, qui le protégeait et le conduisait au moment de sa mort à une nouvelle existence. Plusieurs des néoplatoniciens l'adoptèrent ainsi, en opposition avec la doctrine de Proclus. Les Pères de l'Église
opposition avec la doctrine de Proclus. Les Pères de l'Église chrétienne se partageaient alors sur le même sujet, comme les philosophes alexandrins leurs rivaux. On trouve dans les uns cette assertion que les âmes des bons, après la mort, deviennent des Anges et celles des méchants des démons, tandis que les autres, fidèles en cela à la doctrine des Juifs, faisaient des Anges et des démons une catégorie d'êtres en dehors de notre espèce. L'Église, se fondant surtout sur un passage de l'Évangile de saint Matthieu (XVIII, 10), s'est prononcée dans le second sens et, le premier a été rangé
dans le second sens et, le premier a été rangé parmi les doctrines hétérodoxes. En 1215, le concile de Saint-Jean-de-Latran, assemblé sous le pontificat d'Innocent III, a achevé de faire prévaloir la doctrine que les Anges étaient des êtres spirituels créés sans tache. Néanmoins il est demeuré tout au moins dans le langage quelques traces de l'opinion que l'orthodoxie a condamnée. Quand un enfant en bas âge vient de rendre le dernier soupir, ceux que sa perte afflige cherchent une consolation dans l'espoir qu'il n'a cessé de vivre sur cette terre que pour prendre place parmi les Anges du ciel.
terre que pour prendre place parmi les Anges du ciel. Ida Pfeiffer, dans son Voyage autour du monde, raconte que, dans le Chili, à Valparaiso, lorsqu'un enfant en bas âge vient de mourir, ce triste événement est célébré par les parents comme une fête de joie, parce que, dans l'opinion des Chiliens, la petite créature décédée n'a quitté cette terre que pour prendre rang parmi les esprits célestes. Ils lui donnent le nom d'Angelito et le traitent de toutes les manières. « On ne lui ferme pas les yeux, dit la célèbre voyageuse, mais on les lui ouvre, au contraire,
la célèbre voyageuse, mais on les lui ouvre, au contraire, le plus possible; on lui teint les joues en rouge; on le revêt de ses plus beaux habits, en le couvrant de fleurs, et on le place sur un petit siège, dans une espèce de niche également ornée de fleurs. Les autres parents et voisins viennent féliciter le père et la mère d'avoir un petit ange. La première nuit les parents et les amis exécutent les danses les plus désordonnées devant l'angelito, et on se livre aux festins les plus joyeux. » J'aime à croire que ces festins sont plus
joyeux. » J'aime à croire que ces festins sont plus rares qu'Ida Pfeiffer ne le prétend. Mais l'opinion que l'enfant qui n'est plus n'a quitté cette terre que pour prendre place parmi les anges du ciel n'est pas rare ailleurs que dans le Chili. Et la pauvre mère, dont le chagrin est allégé par cette pensée, est loin de se douter qu'elle prend parti pour une théorie transmise à quelques-uns des Pères par la religion égyptienne et que l'Église a finalement déclarée hérétique. Les orthodoxes les plus farouches respectent sa douleur, et, près du cercueil où repose l'objet sitôt ravi
douleur, et, près du cercueil où repose l'objet sitôt ravi de tant d'amour, il se fait une transaction entre deux systèmes qui se sont combattus pendant des siècles. En Grèce, si je ne me trompe, le premier ange gardien d'une origine non humaine, intermédiaire par son essence entre l'homme et Dieu, et chargé par ce dernier de prêter appui et conseil au premier, le premier ange gardien semblable à celui que nous trouvons dans les livres sacrés des Perses qui ait paru dans l'histoire est le démon de Socrate, et, pour mon compte, je suis porté à penser que le
pour mon compte, je suis porté à penser que le grand philosophe, sans s'en rendre compte peut-être lui-même, l'avait emprunté à la doctrine persane. Depuis le commencement des temps historiques deux mouvements contraires s'étaient accomplis dans cette contrée. Originaires de l'Orient, les Grecs en avaient de plus en plus répudié les traditions politiques. Aux gouvernements monarchiques avaient succédé chez eux des républiques et même la démocratie s'était implantée dans certaines cités, parmi lesquelles Athènes joua un rôle prépondérant à partir du jour où elle secoua le joug des Pisistratides. La vieille religion des Pélasges y fut aussi transformée et remplacée
vieille religion des Pélasges y fut aussi transformée et remplacée par l'anthropomorphisme. Mais, sous ce dernier rapport, une série de réactions commença ensuite à s'opérer et les cultes orientaux vinrent se mêler à celui des divinités homériques. De la naquirent, comme on sait, les orphiques et les mystères. Les mêmes dispositions du caractère grec qui avaient amené l'affranchissement des Hellènes dans les temps primitifs contribuèrent alors puissamment au retour parmi eux des principes religieux de l'Asie. Cette même vivacité d'esprit, cette curiosité, cette facilité à tout s'assimiler qui les en avait détachés les en rapprocha lorsqu'elle leur fut devenue étrangère.
avait détachés les en rapprocha lorsqu'elle leur fut devenue étrangère. Les croyances, auxquelles les autres éléments de civilisation y étaient en quelque sorte subordonnés, y devinrent pour eux l'objet d'investigations ardentes. Ce qu'ils y trouvaient les séduisait, et aussitôt un désir irrésistible leur venait d'en doter leur propre culte. C'est ainsi qu'on les vit remplir leur Panthéon de dieux fort différents de ceux qu'Homère avait célébrés; seulement, ils les humanisaient en leur donnant une apparence hellénique. La philosophie elle-même, cette science qui, dans les écrits d'un Aristote, est devenue le nec plus ultra de l'originalité hellénique, eut, dans l'époque qui
nec plus ultra de l'originalité hellénique, eut, dans l'époque qui précède les sophistes, un caractère d'orientalisme très prononcé. Dans Pythagore, comme plus tard dans Platon, elle est une nouvelle mise en œuvre des dogmes religieux de l'Orient. Mais le génie grec n'était jamais servile. Tout en recueillant les vieilles traditions, les philosophes dont nous parlons se proposèrent d'asseoir sur de nouvelles bases les doctrines qu'elles exprimaient, d'enrichir par leurs travaux personnels et par leurs méditations cette science confuse, mêlée de puérilités, dont les castes sacerdotales de l'Egypte, de la Chaldée et de la Perse avaient bien voulu leur ouvrir en
et de la Perse avaient bien voulu leur ouvrir en partie le dépôt. Cette tendance se montre dès le premier temps. Mais elle devait produire ses fruits surtout dans l'époque qui a suivi les guerres médiques. Ce qui nous est révélé de Thalès, le père de la philosophie, atteste en lui la double nature que nous trouverons tout à l'heure dans Socrate. C'est un sage de l'Orient qui, se rattachant par sa famille à la Phénicie, a vécu longtemps en Egypte. Il mène la vie retirée d'un religieux indien, sans mortifications pourtant. Si sa mère le presse de se marier
mortifications pourtant. Si sa mère le presse de se marier alors qu'il est jeune encore, il répond qu'il est trop tôt; si elle insiste lorsqu'il a passé le temps de la jeunesse, il dit qu'il est trop tard. Il désire se réserver entièrement à l'étude des secrets de la nature. En même temps, c'est, lorsqu'il le veut bien, un homme tout pratique, capable de faire lui-même d'excellentes affaires comme de donner d'utiles conseils aux autres. Il sut si bien ménager sa santé qu'il vécut cent ans, d'après Lucien. Il eût été de notre temps un spéculateur de premier ordre. Devinant,
été de notre temps un spéculateur de premier ordre. Devinant, à certains signes, que la récolte d'olives sera excellente en Ionie, il retient d'avance tous les pressoirs d'olives et les loue ensuite, avec un immense bénéfice. Ce qui prouve, dit Aristote, que les philosophes sauraient devenir riches avec plus de facilité que les autres s'ils en avaient envie. Il cherche à déterminer les Ioniens à se constituer en fédération, en combinant l'indépendance des villes avec l'établissement d'un conseil supérieur où seraient réglées d'un accord commun toutes les affaires générales. Ainsi le sens pratique se combine en lui avec les dispositions
le sens pratique se combine en lui avec les dispositions d'un sage que les Brahmanes de l'Inde n'auraient pas répudié. Si nous parlons des doctrines de ces premiers philosophes, nous verrons que plusieurs d'entre eux les ont empruntées aux théologies orientales. Phérécyde de Syros paraît avoir voulu opérer une réforme de la mythologie hellénique au moyen des théologies asiatiques. Et, comme l'a remarqué M. Maury, les mythes qu'il raconte présentent une analogie remarquable avec ceux de la religion persane. Héraclite d'Éphèse a aussi puisé dans cette religion. Entre sa doctrine et celle des Mages, il existe des ressemblances frappantes. Au-dessus
et celle des Mages, il existe des ressemblances frappantes. Au-dessus de la nature plane pour lui la lumière pure, la lumière incréée, le feu primitif sous la figure duquel les Persans représentaient Ormuzd, et la lutte d'Ormuzd et d'Ahriman était sans doute présente à son esprit lorsqu'il disait que « le combat était le père de toutes choses ». Une tradition, peu digne de foi d'ailleurs, a fait aller Pythagore aux Indes. Il n'est guère vraisemblable qu'il les ait visitées. Mais il importa certainement de l'Asie des impressions qui se reflétèrent dans son système philosophique, lequel nous est d'ailleurs mal
reflétèrent dans son système philosophique, lequel nous est d'ailleurs mal connu. La métempsycose, dont il s'attribua l'invention d'après une conjecture à laquelle a donné lieu un passage d'Hérodote, lui fut très probablement inspirée par les Égyptiens. La confrérie qu'il forma à Crotone avait un caractère mystique et ascétique emprunté à l'Orient. La ressemblance de cette confrérie avec celle des Esséniens est frappante, et Philon lui-même l'a remarquée. Les philosophes dont nous venons de citer les noms appartenaient à la Grèce d'Asie ou aux îles de la mer Égée. Mais, après les guerres médiques, le courant oriental s'ouvrit une large voie
les guerres médiques, le courant oriental s'ouvrit une large voie dans la Grèce d'Europe, cette vraie et pure Grèce, vera et mera Graecia, pour employer l'expression de la Grèce antique. Il en fut ainsi particulièrement à Athènes. Et cependant, c'était à Athènes que se développait alors particulièrement l'hellénisme. Mais aux époques où la civilisation se fonde sur la liberté, elle peut recevoir à la fois des impulsions dans des sens opposés d'influences diverses et même contraires; qu'on songe au développement que prit en France la théologie catholique, au dix-septième siècle, par suite de la tolérance accordée aux protestants par l'édit
par suite de la tolérance accordée aux protestants par l'édit de Nantes, et à sa décadence après la révocation de ce même édit. Le mysticisme et l'hellénisme étaient loin de marcher d'accord. Mais non seulement ils eurent leurs représentants dans la capitale de l'Attique, devenue le rendez-vous général des idées et des systèmes, on vit le même peuple pratiquer la théoxénie, suivant une expression de M. Maury, et rire à l'inintelligible jargon qu'Aristophane mit dans la bouche d'un dieu triballe, dans sa comédie des Oiseaux, et Socrate, le plus Athénien d'entre les Athéniens, put faire de larges emprunts à l'esprit
d'entre les Athéniens, put faire de larges emprunts à l'esprit des sophistes qu'il combattait, en même temps qu'il jouait, à certains égards, le rôle d'un apôtre. En lui surtout se trouve cet homo duplex qu'on trouve souvent et qui cependant étonne. L'historien allemand Curtius nous paraît l'avoir très bien caractérisé dans le passage suivant : Si nous considérons Socrate dans sa manière d'être, il nous apparaît du premier coup comme n'appartenant pas du tout à Athènes, tant sa nature est étrange, tant le personnage tout entier est peu amené. Il ne se range dans aucune classe de la société civile,
ne se range dans aucune classe de la société civile, et la mesure que nous appliquons à ses concitoyens ne s'adapte pas à lui. Il est. un des plus pauvres entre les Athéniens, mais il parcourt avec une fière conscience les rues de la ville et marche de pair avec les plus riches et les plus nobles ; son extérieur, laid et négligé, fait de lui l'objet de la risée publique, et pourtant il exerce une influence sans exemple sur les petits et les grands, les savants et les ignorants. Il est un maître en l'art de parler et de
Il est un maître en l'art de parler et de penser, et, avec cela, un adversaire radical de ceux qui enseignaient cet art aux Athéniens; un homme de progrès ne laissant rien passer sans examen, et toutefois le plus zélé faiseur de sacrifices, dévot aux oracles et croyant d'une foi naïve à bien des choses dont on se moquait comme de contes de nourrices; un censeur décidé de la souveraineté populaire, et cependant un adversaire des oligarques. Tout entier à lui-même, il pense autrement que le reste des Athéniens; il va son chemin, sans se soucier de l'opinion publique, et,
va son chemin, sans se soucier de l'opinion publique, et, pourvu qu'il soit d'accord avec lui-même, aucune contradiction, aucune attaque, aucune insulte ne le fait dévier de sa route. On eût dit vraiment qu'un pareil homme avait été transporté d'un autre monde au milieu d'Athènes. Et pourtant, si unique que fût Socrate, nous ne pouvons, après un examen minutieux, méconnaître en lui le pur Athénien. Il l'était par toutes ses tendances intellectuelles, par cet amour et ce talent de la parole qui ne se développait guère que dans l'atmosphère athénienne, par cette causticité fine qui savait unir le sérieux à
par cette causticité fine qui savait unir le sérieux à la plaisanterie, par cette recherche incessante d'un lien intime de solidarité entre l'action et la connaissance. Il était Athénien de la vieille roche quand il défendait avec un ferme courage les lois de l'État contre tout arbitraire, et que, sur le champ de bataille, il ne reculait devant aucun danger ni aucune peine. Il connaissait et aimait les poètes nationaux ; il portait en lui, avec son ardeur infatigable pour la culture intellectuelle, la marque la plus noble de sa ville natale. Comme Solon, Socrate pensait qu'on n'est jamais trop