\[section\] \[lemma\][Theorem]{} \[lemma\][Corollary]{} \[lemma\][Problem]{} \[lemma\][Proposition]{}

\[lemma\][Lemme]{} \[lemma\][Théorème]{} \[lemma\][Corollaire]{} \[lemma\][Problème]{} \[lemma\][Notations]{} \[lemma\][Remarque]{} \[lemma\][Définition]{}

Sur les espaces de modules des fibrés vectoriels de rang deux sur des hypersurfaces de ${{\bf P}}^3$ {#sur-les-espaces-de-modules-des-fibrés-vectoriels-de-rang-deux-sur-des-hypersurfaces-de-bf-p3 .unnumbered}
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[Nicole MESTRANO [Laboratoire Emile Picard UFR-MIG, Université Paul Sabatier31062 Toulouse CEDEX, Franceemail: mestrano@picard.ups-tlse.fr]{}]{}

Soit $X$ une hypersurface lisse de degré $\delta \geq 4$ dans ${{\bf P}}^3$ telle que $Pic(X)\cong {{\bf Z}}$. On désigne par $M_X(c_2)$ l’espace de modules des fibrés vectoriels sur $X$ de rang $2$, de classes de Chern $c_1 = 0 $ et $c_2$, semi-stables par rapport au diviseur hyperplan (ou, ce qui est équivalent, par rapport à n’importe quel diviseur ample) [@Gieseker].  Il est bien connu (Donaldson [@Donaldson], Taubes [@Taubes], Gieseker-Li [@GiLiJDG], O’Grady [@OGrady]) que lorsque $c_2$ est suffisamment grand, l’espace $M_X(c_2)$ est réduit et irréductible de dimension attendue.  Nous contribuons ici à la recherche, lorsque $c_2$ est petit, de différentes composantes irréductibles. 

On montre (corollaire \[L\]) que pour tout entier $c_2 \geq \delta ^3/4 - \delta ^2/2 $ l’espace des modules $M_X(c_2)$ contient une composante irréductible réduite de dimension attendue.  En utilisant un résultat de O’Grady, on en déduit (corollaire \[M\]) que pour tout entier $c_2$ tel que $
\frac{1}{4}(\delta ^3-2\delta ^2)
\leq c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3)
$ l’espace $M_X(c_2)$ possède au moins deux composantes irréductibles de dimensions distinctes. ( Pour $\delta \geq 27$, de tels entiers existent!)  On peut obtenir un résultat analogue pour les fibrés vectoriels avec $c_1 = 1$ (voir remarque \[R1\]). 

D’autre part, on prouve (théorème \[A1\]) que pour $c_2 >
\frac{1}{12}(13 \delta
^3 - 24  \delta ^2 + 8 \delta)$, le fibré général de la bonne composante de $M_X(c_2)$ que nous construisons a la cohomologie naturelle.  Plus généralement, on démontre (corollaire \[V\]) que pour toute surface projective lisse $X$ telle que le fibré canonique $K_X$ est de la forme $K_X = {{\cal O}}_X(k)$ pour un entier $k\in {{\bf Z}}$ où ${{\cal O}}_X(1)$ est un fibré ample, si $c_2$ est suffisamment grand alors, le fibré général de l’unique composante de $M_X(c_2)$ a la cohomologie naturelle où $M_X(c_2)$ est l’espace de modules des fibrés stables (par rapport à ${{\cal O}}_X(1)$) de classes de Chern $c_1=0$ dans $Pic (X)$ et $c_2$.

Les fibrés vectoriels que nous construisons ici, et qui sont dans une composante irréductible réduite de dimension attendue, sont des extensions de ${{\cal J}}_{P/X}(\sigma )$ par ${{\cal O}}_X(-\sigma )$ où $P$ est un sous schéma de dimension zéro en position spéciale dans $X$. On prend pour $P$ des intersections complètes de $X$ avec des courbes de ${{\bf P}}^3$ dont les idéaux ont les résolutions les plus simples. ( Ces courbes ont été étudiées par de nombreux auteurs e.g. [@Ellia], [@Floystad], [@Rao], [@Walter].) 

C’est un grand plaisir de remercier Carlos Simpson pour de nombreuses discussions et de lui dédier cet article. 

[**.Préliminaires**]{}

Sauf mention du contraire, $X$ désigne une hypersurface lisse de degré $\delta \geq 4$ dans ${{\bf P}}^3$ telle que $Pic(X)\cong {{\bf Z}}$.

\[A\] Soient $\sigma $ un entier positif et $C\subset {{\bf P}}^3$ une courbe lisse et irréductible de degré $d$ telle que $H^1(C,{{\cal O}}_C(2\sigma -4))\neq 0$. Quitte à translater $C$ par une homéographie générale de ${{\bf P}}^3$, si on pose $P:= C\cap X$ alors il existe un fibré vectoriel $E$ sur $X$ qui s’insére dans la suite exacte $(\ast )$ suivante: $(\ast )$ $$0\rightarrow {{\cal O}}_{X}(-\sigma )
\rightarrow E \rightarrow {{\cal J}}_{P/X} (\sigma ) \rightarrow 0.$$ On a $c_1(E)=0$ et $c_2(E)= \delta (d-\sigma ^2)$.

[*Dém:*]{} On sait (cf [@RHSRS], Theorem 4.1) que la donnée d’une courbe $C\subset {{\bf P}}^3$ de degré $d$, munie d’une section non-nulle $\eta \in H^0(C,\omega _C(4-2 \sigma ))$ est équivaute à celle d’un faisceau reflexif ${{\cal F}}$ sur ${{\bf P}}^3$ de classes de Chern $c_1({{\cal F}})=2 \sigma$ et $c_2({{\cal F}})= d$ s’insérant dans la suite exacte $$0 \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}
 \rightarrow {{\cal F}}\rightarrow {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(2 \sigma ) \rightarrow 0.$$ L’ensemble des points où ${{\cal F}}$ n’est pas localement libre est le sous schèma $Z$ de $C$ des zéros de la section $\eta$. Soit $f : {{\bf P}}^3 \rightarrow {{\bf P}}^3$ une homéographie de ${{\bf P}}^3$ telle que $X$ ne rencontre pas $f^{-1}(Z)$.

On remplace $C$ par $f^{-1}(C)$ et on pose $E:= f^{*}F(- \sigma)|_X$. [$\Box$]{}

On établit quelques propriétés de $E$.

\[B\] Soit $C\subset {{\bf P}}^3$ une courbe irréductible lisse telle que l’intersection $P := X\cap C$ soit transverse.  Si $H^0({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\tau ))= H^1({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}
(\tau -\delta ))=0$ alors $H^0({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{P/X}(\tau ))=0$.

[*Dém.*]{}  Soient $u\in H^0({{\cal J}}_{P/X}(\tau ))$ et $v \in H^0({{\bf P}}^3, {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(\tau ))$ un relevé de $u$ considéré comme une section de ${{\cal O}}_{X}(\tau )$.  La restriction $v|_C$ est une section de ${{\cal O}}_C(\tau )$ qui s’annulle sur $P$ donc, la suite exacte $$0\rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(\tau -\delta )
\rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(\tau ) \rightarrow
{{\cal O}}_{X}(\tau ) \rightarrow 0$$ restreinte à $C$ prouve qu’il existe un élément $w\in H^0(C,{{\cal O}}_C(\tau -\delta ))$ tel que $fw=v|_C$ où $f\in H^0({{\bf P}}^3, {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(\delta ))$ est l’équation de $X$. Par hypothèse $H^1({{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\tau -\delta ))=0$, donc $w$ s’étend en une section $w'\in H^0({{\bf P}}^3, {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(\tau -\delta ))$.  On a $(v-fw' )|_C = 0$. L’hypothèse $H^0({{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\tau ))=0$ implique $v-fw'=0$, et par conséquent $u = v|_X$=0. [ $\Box$]{}

\[C\] Dans la construction la proposition \[A\], si on a $\tau < \sigma$ et $H^0({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma + \tau ))=
H^1({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma + \tau -\delta ))=0$, alors $H^0(X, E(\tau ))=0$.

[*Dém.*]{}  On applique le lemme précédent en utilisant la suite exacte $(\ast )$. [ $\Box$]{}

\[D\] Dans la construction de la proposition \[A\], si $H^0({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma ))=
H^1({{\bf P}}^3 ,{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma  -\delta ))=0$ alors $E$ est stable. 

[*Dém.*]{}  Puisque $E$ est un fibré de rang $2$ sur une surface dont le groupe de Picard est de rang un, il suffit de voir que $H^0(X, E)=0$. pour cela, on applique le corollaire précédent avec $\tau = 0$. [$\Box$]{}

[*Théorie locale*]{}

Nous rappelons ici quelques définitions et observations habituelles. 

Soit $[E]$ un point de l’espace des modules $ M_{X}^{st}(c_2)$ des faisceaux sans torsion stables de classes de Chern $c_1 =0$ et $c_2$, représenté par le faisceau $E$. Le morphisme de multiplication $$H^j(X, \Omega ^2_X) \rightarrow Ext^j(E,E\otimes \Omega ^2_X)$$ donne, par dualité de Serre (cf [@LePotier-Drezet] Proposition 1.2) le morphisme [*trace*]{} $$Ext^i(E,E) \rightarrow H^i(X, {{\cal O}}_X).$$ Comme le premier morphisme est injectif pour $j=0$, le morphisme trace est surjectif pour $i=2$. Le noyau $Ext^i(E,E)^o\subset Ext^i(E,E)$ du morphisme trace s’appelle la partie [*sans trace*]{}. 

L’espace tangent en $[E]$ à $M_X^{st}(c_2)$ est l’espace vectoriel $Ext^1(E,E)^o$. D’autre part, le germe étale de l’espace des modules $M_X(c_2)$ en $[E]$ est isomorphe au germe à l’origine du sous-schéma de $Ext^1(E,E)^o$ défini par un morphisme (nonlinéaire) $\Phi :Ext^1(E,E)^o \rightarrow Ext^2(E,E)^o$. Ceci est classiquement bien connu.  Une démonstration purement algébrique est indiquée par J. Le Potier dans ses notes [@LePotierLuminy]. 

La [*dimension attendue*]{} de $M_X(c_2)$ en $[E]$ est par définition la différence $${\rm dim\; att}  := {\rm dim} \; Ext^1(E,E)^o  - {\rm dim} \; Ext^2(E,E)^o$$ Le théorème de Riemann-Roch (avec l’hypothese $c_1=0$) fournit la valeur $${\rm dim\; att} _E = 4c_2 - 3 {\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X).$$

On a $Ext^2(E,E)^o=0$ si et seulement si l’espace $M_{X}(c_2)$ est lisse de dimension ${\rm dim\; att}$ au point $[E]$. Dans ce cas, on dit que l’espace des modules est [*bon*]{} en $[E]$.

Une composante irréductible non vide $Y\subset M_{X}(c_2)$ est [*bonne*]{} si l’espace des modules est bon au point générique de $Y$ ce qui équivaut à dire que $Y$ est réduite de dimension égale à la dimension attendue. 

Nous utiliserons la proposition bien connue suivante (cf [@OGradyInvent] ou [@GiLiJDG]). 

\[E\] S’il existe une bonne composante de $M_{X}(c_2)$, alors il existe une bonne composante de $M_{X}(c_2+1)$.

[*Dém.*]{}  Soit $E'$ un bon fibré stable avec $c_1(E')=0$ et $c_2(E')=c_2$. Soit ${{\cal G}}$ le faisceau gratte-ciel de rang $1$ au-dessus d’un point $x\in X$. Soit $E_0$ le noyau d’une surjection générale $E' \rightarrow {{\cal G}}$. Alors $E_0$ est un faisceau cohérent sans torsion de classes de Chern $c_1(E_0)=0$ et $c_2(E_0)=c_2 +1$. Il a les mêmes sous faisceaux que $E'$ donc il est stable.  Montrons que $E_0$ est bon c’est-à-dire que le morphisme trace $t: Ext^2(E_0,E_0)  \rightarrow H^2(X,{{\cal O}}_X)$ est injectif.  En appliquant le foncteur $Ext(E', \ast )$ à la suite exacte $
0 \rightarrow E_0 \rightarrow E' \rightarrow {{\cal G}}\rightarrow 0
$ et en remarquant que $Ext^1( E', {{\cal G}}) = 0 $ (car $E'$ est localement libre et ${{\cal G}}$ est un faisceau gratte ciel) on obtient l’injection $f: Ext^2( E',E_0) \rightarrow  Ext^2( E',E')$. Par hypothèse $E'$ est bon, donc le morphisme trace $g: Ext^2(E',E')  \rightarrow H^2(X,{{\cal O}}_X)$ est injectif.  Soit maintenant $h: Ext^2(E',E_0)  \rightarrow Ext^2(E_0,E_0)$ le morphisme obtenu en appliquant le foncteur $Ext( \ast ,E_0)$. Comme $Ext^3( {{\cal G}},E_0) = 0 $, ce morphisme est surjectif.  On en conclut que $t$ est injectif en remarquant que $t \circ h = g \circ f$. Pour terminer la démonstration de cette proposition, il suffit maintenant de prouver que $E_0$ se déforme en un fibré vectoriel $E$. En effet, par platitude, $E$ aura pour classes de Chern $c_1(E)=0$ et $c_2(E)=c_2 +1$ et il sera stable et bon puisque ces propriétés sont des propriétés ouvertes.  On raisonne par l’absurde.  Supposons que pour toute déformation ${{\cal E}}$ de $E_0$ paramétrée par une courbe $T$ de point général $\eta$ et de point spécial $s$ avec ${{\cal E}}_s = E_0$, le faisceau ${{\cal E}}_{\eta}$ ne soit pas locallement libre.  Soit ${{\cal E}}$ une telle déformation.  Désignons par ${{\cal E}}^{\ast \ast}$ le double dual du faisceau ${{\cal E}}$ et par ${{\cal M}}$ le conoyau de l’injection de ${{\cal E}}$ dans ${{\cal E}}^{\ast \ast}$. On a la suite exacte $
0 \rightarrow {{\cal E}}\rightarrow {{\cal E}}^{\ast \ast} \rightarrow {{\cal M}}\rightarrow 0. 
$ On a l’inclusion $E_0 \subset ({{\cal E}}^{\ast \ast})_s $ donc, en remarquant que $E' = E_0 ^{\ast \ast}$, on voit que $E' \subset  ({{\cal E}}^{\ast \ast})_{s} ^{\ast \ast}$. Or ce sont deux faisceaux localement libre égaux hors codimension $2$, d’où $E' = ({{\cal E}}^{\ast \ast})_{s} ^{\ast \ast}$ et on a la double inclusion $E_0 \subset ({{\cal E}}^{\ast \ast})_s \subset E'$. Par hypothèse $longueur (E'/E_0) =1$, donc $ longueur (E'/ ({{\cal E}}^{\ast \ast})_s) + longueur ({{\cal M}}_s) = 1$. Par semicontinuité, $longueur ({{\cal M}}_{\eta}) \leq 1$ mais on a supposé que ${{\cal E}}_{\eta}$ n’est pas locallement libre, donc $longueur ({{\cal M}}_{\eta}) = 1$. Par semi-continuité, on en déduit $longueur ({{\cal M}}_s) = 1$. Par suite $longueur (E'/ ({{\cal E}}^{\ast \ast})_s) = 0$ i.e. $E' = ({{\cal E}}^{\ast \ast})_s$ et ${{\cal E}}^{\ast \ast}$ est une déformation de $E'$.

Soit $U\subset M_X^{st}(c_2)$ un voisinage ouvert de $E'$ de dimension $4c_2 - 3 {\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X)$. Soit $Z _1\subset M_X^{st}(c_2 +1)$ l’ensemble des points correspondant aux faisceaux $F$ avec $longeur(F^{\ast\ast}/F)\geq 2$ et $Z_2\subset M_X^{st}(c_2+1)$ l’ensemble des points correspondant aux faisceaux $F$ avec $longeur (F^{\ast \ast}/F)=1$ et $F^{\ast\ast} \not\in U$. Les sous-ensembles $Z_1$ et $Z_2$ sont constructibles. 

L’argument ci-dessus montre que, pour $i \in \{ 1,2 \}$, la fermeture de $Z_i$ ne contient pas $E_0$. En effet si $E_0$ était dans la fermeture de $Z_i$ alors, il existerait une déformation ${{\cal E}}$ de $E_0$ paramétrée par une courbe $T$ de point spécial $s$ avec ${{\cal E}}_s = E_0$ et de point général $\eta$ avec ${{\cal E}}_{\eta} \in Z_i$. D’aprés l’argument ci-dessus: (i) $ longueur({{\cal E}}^{\ast \ast}_{\eta}/{{\cal E}}_{\eta}) = 1$ donc ${{\cal E}}_{\eta} \not\in Z_1$ d’où la contradiction pour $i=1$. (ii) ${{\cal E}}^{\ast \ast}$ est une déformation de $E'$, donc ${{\cal E}}^{\ast \ast}_{\eta} \in U$ et on ne peut pas avoir ${{\cal E}}_{\eta} \in Z_2$; d’où la contradiction pour $i=2$.

L’ensemble $Z_1\cup Z_2$ ne contenant pas $E_0$ dans sa fermeture, son complémentaire dans $M_X^{st}(c_2 +1)$, contient un voisinage ouvert $V$ de $E_0$. Quitte à restreindre $V$, puisque $E_0$ ne se déforme pas en faisceau localement libre (par hypothèse absurde), on peut supposer que les points de $V$ représentent des faisceaux $F$ non localement libres.  Par suite, si $F$ est représenté par un point de $V$, alors $longeur(F^{\ast\ast}/F)=1$ et $F^{\ast\ast} \subset U$. Les faisceaux $F$ s’insèrent donc dans des suites exactes de la forme $$0\rightarrow F \rightarrow F^{\ast\ast} \rightarrow M\rightarrow 0$$ où $M$ est un faisceau gratte-ciel de longeur $1$. La dimension de l’ensemble de ces faisceaux $F$ est donc inférieure ou égale à $ 3+ dim(U) = 3 + 4c_2 - 3{\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X)$. Ceci nous fournit la contradiction cherchée puisqu’on sait que la dimension de $M_X^{st}(c_2+1)$ en tout point est au moins égale à $4(c_2+1) - 3{\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X)$. [$\Box$]{}

Soit $E$ un fibré vectoriel de rang $2$ et déterminant trivial.  On a $$Ext^i(E,E)^o = H^i(X, Sym ^2(E)).$$

[*Dém.*]{}  Comme $E$ est un fibré on a $Ext ^i(E,E)^o= H^i (X,End ^o(E))$ où $End
^o(E)$ est le noyau du morphisme trace $End(E)\rightarrow {{\cal O}}_X$. D’autre part, $E$ étant de rang $2$ et de déterminant trivial, $E\cong E^{\ast}$, et par suite, $End (E)= E^{\ast}\otimes E \cong E \otimes E$. Via cet isomorphisme le morphisme trace devient (au signe près) $$E\otimes E \rightarrow \bigwedge ^2E \cong {{\cal O}}_X.$$ Le noyau du morphisme trace est donc le noyau du morphisme $E\otimes E
\rightarrow \bigwedge ^2E$, c’est-à-dire $Sym ^2(E)$. [$\Box$]{}

Soit $E$ un fibré s’insérant dans la suite exacte $(\ast )$.  Alors on a la suite exacte $(\ast \ast )$ $$0 \rightarrow E(-\sigma ) \rightarrow Sym ^2(E) \rightarrow
{{\cal J}}^2_{P/X}(2\sigma )\rightarrow 0$$

[*Dém.*]{}  En tensorisant la suite exacte $(\ast )$ par $E$ on obtient le morphisme $$0 \rightarrow E(-\sigma ) \rightarrow E\otimes E$$ qui, composé avec la projection $E\otimes E\rightarrow Sym ^2(E)$ donne le morphisme $f : E(-\sigma ) \rightarrow Sym ^2(E).$ C’est un exercice d’algèbre linéaire de voir que $f$ est injective au dessus du point générique, il s’ensuit que $f$ est une injection de faisceaux. 

Soit $g: Sym ^2(E)
{\rightarrow} {{\cal O}}_X(2\sigma )$ le morphisme induit par la suite exacte $(\ast )$, en considèrant ${{\cal J}}_{P/X}(\sigma ) $ comme un sous faisceau de ${{\cal O}}_X(\sigma )$.  On a la suite suivante: $$0 \rightarrow E(-\sigma ) \stackrel{f}{\rightarrow} Sym ^2(E)
\stackrel{g}{\rightarrow} {{\cal O}}_X(2\sigma ).$$ (C’est encore un exercice d’algèbre linéaire de voir que la suite est exacte au dessus de l’ouvert complémentaire de $P$, on en déduit l’exactitude sur $X$ en utilisant le fait que toute section de $E(-\sigma )$ définie hors codimension $2$ s’étend.) 

L’image du morphisme naturel $h:
{{\cal J}}_{P/X}(\sigma )\otimes  {{\cal J}}_{P/X}(\sigma ) \rightarrow {{\cal O}}_X(2\sigma )
$ est le faisceau d’idéaux ${{\cal J}}^2_{P/X}(2\sigma )$.  Donc, le diagramme commutatif suivant: $$\begin{array}{ccc}
E\otimes E & \rightarrow & {{\cal J}}_{P/X}(\sigma )\otimes  {{\cal J}}_{P/X}(\sigma ) \\
\downarrow & & \downarrow {}^{{}_h}\\
Sym ^2(E) & \stackrel{g}{\rightarrow} & {{\cal O}}_X(2\sigma )
\end{array}$$ où les flèches verticale à gauche et horizontale en haut sont surjectives montre que l’image du morphisme $g$ est le faisceau ${{\cal J}}^2_{P/X}(2\sigma )$. [ $\Box$]{}

\[F\] Soient $\sigma  $ un entier positif et $P\subset X$ un sous-schéma fini réduit tels que: i) $\delta -4 < 2\sigma$ ii) $H^0(X,{{\cal J}}_{P/X}(\delta - 4))= 0$, et iii) $H^0(X, {{\cal J}}^2_{P/X}(2\sigma + \delta - 4))=0.$ Alors tout fibré vectoriel qui est extension de ${{\cal J}}_{P/X}(\sigma )$ par ${{\cal O}}_X(-\sigma )$ est bon. 

[*Dém.*]{}  Soit $E$ un tel fibré.  D’après le lemme 1.6 et, par dualité il suffit de montrer que $H^0(Sym^2(E)\otimes
{{\cal O}}_X(\delta -4))=0$ (car $E$ étant autodual, $Sym ^2(E)$ l’est aussi).  En tensorisant par ${{\cal O}}_X(\delta -4)$ la suite exacte $(\ast \ast )$ du lemme ci-dessus, on obtient la suite exacte: $$0 \rightarrow E (\delta -4-\sigma ) \rightarrow Sym ^2(E) \otimes
{{\cal O}}_X(\delta -4)\rightarrow {{\cal J}}_{P/X}^2(2\sigma + \delta - 4)\rightarrow 0.$$ On est alors ramenés, grâce à l’hypothèse $(iii)$, à prouver que $H^0(E(\delta -4-\sigma ))=0$.

Pour ceci, on tensorise par ${{\cal O}}_X(\delta -4-\sigma )$ la suite exacte $( \ast )$.  Les hypothèse $(i)$ et $(ii)$ permettent de conclure. [ $\Box$]{}

[*Construction via des points en position générale (d’après O’Grady)*]{}

\[G\] Soit $\delta \geq 14$ un entier.  Alors, pour tout entier $c_2$ avec $$\frac{1}{6}(\delta ^3 - 7 \delta )
 < c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3),$$ l’espace de modules $M_X(c_2)$ contient une composante irréductible de dimension plus grande que la dimension attendue. 

[*Dém.*]{}  C’est un résultat d’O’Grady (cf [@OGrady] Proposition 3.33) appliqué ici aux hypersurfaces de ${{\bf P}}^3$. La condition $\delta \geq 14$ assure l’ existence de tels entiers.  La composante irréductible obtenue ici est celle qui contient les extensions de ${{\cal J}}_{P/X}(\sigma )$ par ${{\cal O}}_X(-\sigma )$ en prenant $ \sigma = 1$ et $P$ en position générale. [ $\Box$]{}

[**.Construction de fibrés via certaines courbes de ${{\bf P}}^3$**]{}

Soit $C$ une courbe localement intersection complète dans ${{\bf P}}^3$. Rappelons les notations habituelles suivantes: $$s(C):= {\rm max} \{ s' \in {{\bf Z}}\; ; \;\; \forall s'' < s',\;\;
H^0 ({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(s'') =0\} ,$$ et $$e(C) := {\rm max} \{ e'  \in {{\bf Z}}\; ; \;\;  H^1 (C, {{\cal O}}_C(e') \neq 0 \} .$$ Posons de plus: $$t(C):= {\rm max} \{ t'  \in {{\bf Z}}\; ; \;\; \forall t'' < t',\;\;
H^1 ({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(t'') =0\}$$

\[H\] Pour tout $e' \leq e(C)$ on a $H^1 (C, {{\cal O}}_C(e')) \neq 0$. Notons aussi que $t(C)$ est toujours au moins égal à $0$. (En fait, les courbes que l’on va utiliser auront $t(C)= \infty$.)

\[I\] Soit $C\subset {{\bf P}}^3$ une courbe irréductible lisse telle que l’intersection $P:= C\cap X$ soit transverse.  Si $$H^1({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(n-\delta ))=
H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(n))=
H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(n-\delta ))=0$$ alors $$H^0(X, {{\cal J}}_{P/X}^2(n))=0.$$

[*Démonstration*]{} Soit $f\in H^0(X, {{\cal J}}_{P/X}^2(n))$ considérée comme section de ${{\cal O}}_X(n)$. La suite exacte $(\ast \ast \ast )$ $$0 \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n-\delta ) \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n)
\rightarrow {{\cal O}}_X(n) \rightarrow 0$$ et le fait que $H^1({{\bf P}}^3, {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n-\delta ))=0$ impliquent que $f$ s’étend en une section $g\in H^0({{\bf P}}^3,
{{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n))$. La restriction $g|_C$ est une section de ${{\cal O}}_C(n )$ qui s’annule sur $P$ donc c’est une section de ${{\cal O}}_C(n-\delta )$ (cf.  la suite exacte $
0 \rightarrow {{\cal O}}_{C}(n-\delta ) \rightarrow {{\cal O}}_{C}(n)
\rightarrow {{\cal O}}_P(n) \rightarrow 0
$ obtenue en restreignant $(\ast \ast \ast)$ à $C$).  Or la suite exacte $$0 \rightarrow {{\cal J}}_{C/ {{\bf P}}^3}(n-\delta ) \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n-\delta )
\rightarrow {{\cal O}}_{C}(n-\delta ) \rightarrow 0$$ et l’hypothèse $H^1({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(n-\delta ))=0$ assurent l’existence d’une section $h\in H^0({{\bf P}}^3,
{{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n-\delta )) $ telle que $h|_C = g|_C$ (considérées comme section de ${{\cal O}}_{C}(n-\delta )$).  Donc, quitte à remplacer $g$ par $g - h'$ où $h'$ est l’image de $h$ par l’injection $
0 \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n-\delta ) \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(n)$, on peut supposer que $g|_C=0$ i.e. $g \in H^0(X, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(n))$ (tout en gardant l’hypothèse $g|_X=f$ i.e. $g|_X$ s’annule deux fois le long de $P = C \cap X$).  Soit $g'$ la dérivé normale de $g$ le long de $C$ c’est-à-dire l’image de $g$ dans $H^0(X, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(n) / {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(n)) =
H^0(X, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(n))$. Comme $C$ et $X$ se coupent transversalement on a: $${{\cal J}}_{P/X}/{{\cal J}}^2_{P/X} = ({{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}/{{\cal J}}^2_{C/{{\bf P}}^3} )
\otimes _{{{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}}
{{\cal O}}_X
= ({{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}/{{\cal J}}^2_{C/{{\bf P}}^3} )\otimes _{{{\cal O}}_C}
{{\cal O}}_P = N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}|_P.$$ Donc l’hypothèse $g|_X=f \in H^0(X, {{\cal J}}_{P/X}^2(n))$ donne $g'|_P = 0$. Par suite, $g' \in H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(n-\delta ))$.  Or on a supposé $ H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(n-\delta ))=0$. Donc $g'=0$, d’ou $g\in  H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(n))$. On a aussi supposé $H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(n))=0$ donc $g=0$ d’où $f=0$. [$\Box$]{}

\[J\] Soit $\sigma >0$ et $C\subset {{\bf P}}^3$ une courbe irréductible lisse de degré $d$. Quitte à translater $C$ par une homéographie générale de ${{\bf P}}^3$, si on pose $P:= C\cap X$et si a) $2\sigma - 4 \leq e(C)$; b) $\sigma < s(C)$ et $\sigma - \delta < t(C)$; c) $\delta - 4 < 2 \sigma $; d) $\delta - 4 < s(C) $; e) $2\sigma - 4 \leq t(C)$; f) $H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}^2_{C/{{\bf P}}^3}(2\sigma + \delta - 4))=0$; et g) $H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(2\sigma - 4))=0$; alors il existe un fibré vectoriel $E$ extension de ${{\cal J}}_{P/X}(\sigma )$ par ${{\cal O}}_X(-\sigma )$.  De plus $E$ est stable, bon et a pour classes de Chern $c_1(E)=0$ et $c_2(E)= \delta (d-\sigma ^2)$.

[*Démonstration*]{} L’existence du fibré $E$ et le calcul de ses classes de Chern se déduisent de la proposition \[A\], grâce à l’hypothèse $(a)$. La stabilité est conséquence du corollaire \[D\] via l’hypothèse $(b)$. Les hypothèses $(e)$, $(f)$ et $(g)$ permettent d’utiliser le lemme \[I\] pour en déduire $H^0(X, {{\cal J}}_{P/X}^2(2\sigma + \delta - 4))=0$, puis la proposition \[F\] pour en déduire (grâce à $(c)$ et $(d)$) que $E$ est [*bon*]{}. [ $\Box$]{}

Pour obtenir, pour de nombreux entiers $c_2$, une [*bonne*]{} composante irréductible de $M_X(c_2)$ de dimension attendue, il reste à déterminer des courbes $C$ qui nous donneront une grande famille d’entiers $\sigma$ vérifiant les conditions de la proposition 2.3. 

\[K\] Pour tout entier $s \geq 1$, il existe une courbe irréductible lisse $C$ de ${{\bf P}}^3$ avec $s(C)= s$, $t(C)=\infty$ et $e(C) = s-3$ telle que $H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(\tau ))=0$ pour $\tau < s$ et $H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(\tau ))=0$ pour $\tau < 2s$.

[*Démonstration:*]{} Les [*courbes déterminentielles*]{} sont les courbes $C$ dont la résolution de l’idéal est de la forme $$0\rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-s-1) ^s \rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-s)^{s+1}
\rightarrow {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3} \rightarrow 0$$ pour un entier $s$. Floystad (cf [@Floystad]) et, indépendamment, Walter (cf [@Walter]) ont démontré que de telles courbes lisses existent pour tout $s\geq 1$. Il est facile de voir que $s(C)= s$, $t(C)=\infty$ et $e(C) = s-3$ (cf [@Floystad] ou [@Walter]).  Rao montre ( cf [@Rao] 1.12) d’une part que $H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(\tau ))=0$ pour $\tau < s$, et, d’autre part, que l’idéal ${{\cal J}}^2_{C/{{\bf P}}^3}$ a la résolution $$0\rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-2s-2) ^a \rightarrow
{{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-2s-1) ^b
\rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-2s)^c \rightarrow {{\cal J}}^2_{C/{{\bf P}}^3} \rightarrow 0.$$ En utilisant le fait que $H^i({{\bf P}}^3, {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(m))=0$ pour $i=1,2$, on en déduit facilement que $H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(\tau ))=0$ pour $\tau < 2s$. [$\Box$]{}

\[R20\][**:**]{}

Dans une première version de cet article, nous avons donné un argument géométrique pour prouver les propriétés $H^0(C, N^{\ast}_{C/{{\bf P}}^3}(\tau ))=0$ pour $\tau < s$ et $H^0({{\bf P}}^3, {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}^2(\tau ))=0$ pour $\tau < 2s$. Cet argument était basé sur une courbe déterminentielle spéciale singulière qui est une réunion de droites (“stick figure”) déjà utilisée par Fl[ø]{}ystad et Walter, avec un argument combinatoire pour les annulations.  Walter m’a ensuite fait remarquer que ces propriétés ont été prouvées par Rao. 

\[L\] Soit $X$ une hypersurface de degré $\delta \geq 4$ dans ${{\bf P}}^3$. Pour tout entier $c$ avec $c\geq \delta ^3/4 - \delta ^2/2 $ il existe un bon fibré stable sur $X$ avec $c_1=0$ et $c_2=c$. (Si $\delta$ est impair le résultat reste vrai pour $c\geq \delta ^3/4 - \delta ^2 + \frac{3}{4}\delta $.) 

[*Démonstration*]{} D’après la proposition \[E\], il suffit de construire un bon fibré stable avec $c_1=0$ et $c_2 = \frac{1}{4}\delta ^2 (\delta - 2)$ si $\delta$ est pair (resp.  $c_2 = \frac{1}{4}\delta (\delta -1)(\delta -3)$ si $\delta$ est impair).  Pour cela posons $
s= \delta -3 $ si $\delta $ est impair et $ s = \delta -2 $ si $\delta $ est pair.  Soit $\sigma = s/2$. Soit $C$ une courbe comme dans la proposition \[K\] On vérifie facilement que les conditions de la proposition \[J\] sont satisfaites et on obtient un bon fibré stable $E$ ayant pour classes de Chern $c_1(E)=0$ et $$c_2(E)= (s(s+1)/2 - \sigma ^2)\delta$$ $$= (\sigma (2\sigma + 1) - \sigma ^2)\delta$$ $$= \delta \sigma (\sigma +1).$$ En particulier, si $\delta$ est pair on a $$c_2(E)= \frac{1}{4}\delta ^2 (\delta - 2),$$ et si $\delta $ est impair on a $$c_2(E) = \frac{1}{4}\delta (\delta -1)(\delta -3).$$ [$\Box$]{}

\[M\] Pour tout entier $c_2$ dans l’intervalle non vide suivant $$\frac{1}{4}(\delta ^3-2\delta ^2)
\leq c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3)
\;\;\; \mbox {si} \; \; \delta \geq 28 \;\; \mbox{est un entier pair}$$ ou $$\frac{1}{4}(\delta ^3-4\delta ^2 + 3\delta )
\leq c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3)
\;\;\; \mbox {si} \;\; \delta \geq 21 \;\; \mbox{est un entier impair}$$ l’espace des modules $M_X(c_2)$ contient une composante irréductible de dimension égale à la dimension attendue et une autre de dimension plus grande que la dimension attendue. 

[*Démonstration*]{} C’est une conséquence directe de la proposition \[G\] et du corollaire \[L\].  La condition $\delta \geq 28$ (resp.  $\delta \geq 21$) assure l’existence d’entiers compris entre $$\frac{1}{4}(\delta ^3-2\delta ^2)
 \;\;\; \mbox{et} \;\;\;
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3)$$ resp.  $$\frac{1}{4}(\delta ^3-4\delta ^2 + 3\delta )
\;\;\; \mbox{et} \;\;\;
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 9 \delta ^2 + 26 \delta - 3).$$ [$\Box$]{}

\[R1\] [**:**]{}

Nous avons utilisé la construction d’O’Grady dans le cas où elle donne des fibrés [*stables*]{}.  On peut de même construire des extensions de ${{\cal J}}_{P/X}$ par ${{\cal O}}_X$ (donc $H=0$ suivant les notations de [@OGrady]).  On obtient alors une famille de fibrés [*semi-stables*]{} de dimension plus grande que la dimension attendue quand $$\frac{1}{6}(\delta ^3 - 6 \delta ^2 + 11 \delta ) < c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 6 \delta ^2 + 11 \delta -3).$$ D’où l’existence de deux composantes dans l’espace des modules des faisceaux sans torsion, l’une bonne et contenant des fibrés stables, l’autre de dimension plus grande que la dimension attendue contenant des fibrés semistables (mais on ne sait pas si elle contient des fibrés stables), pour $$\frac{\delta ^3}{4} - \frac{\delta ^2}{2} \leq c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 6 \delta ^2 + 11 \delta -3)
\;\;\;\;\; \mbox{si} \;\; \delta \;\; \mbox{est pair}$$ et $$\frac{\delta ^3}{4} - \delta ^2 +\frac{3}{4}\delta  \leq c_2 <
\frac{1}{3}(\delta ^3 - 6 \delta ^2 + 11 \delta -3)
\;\;\;\;\; \mbox{si} \;\; \delta \;\; \mbox{est impair}.$$ Ces intervalles sont non-vides pour $\delta \geq 16$ si $\delta $ est pair et pour $\delta \geq 9$ si $\delta$ est impair. 

\[R2\][**:**]{}

Pour simplifier la rédaction nous n’avons traité que le cas $c_1 = 0$ (c’est-à-dire, quitte à tensoriser par un fibré en droites adéquat, le cas $c_1$ pair).  La démonstration s’adapte au cas $c_1 = 1$ (c’est-à-dire au cas $c_1$ impair) et on obtient l’existence de deux composantes irréductibles de $M_X(1,c_2)$, l’une de dimension plus grande que la dimension attendue et l’autre bonne (toutes deux contenant des fibrés stables), pour $$\frac{1}{4}\delta (\delta - 1)^2 \leq c_2 <
\frac{1}{6}(2\delta ^3 - 15 \delta ^2 + 37 \delta -6)
\;\;\;\;\; \mbox{si} \;\; \delta \;\; \mbox{est impair}$$ et $$\frac{1}{4}\delta (\delta - 2)^2  \leq c_2 <
\frac{1}{6}(2\delta ^3 - 15 \delta ^2 + 37 \delta -6)
\;\;\;\;\;  \mbox{si} \;\; \delta \;\; \mbox{est pair} .$$ Ces intervalles sont non-vides pour $\delta \geq 21$ si $\delta $ est impair et pour $\delta \geq 14$ si $\delta$ est pair. 

[**.Fibrés à cohomologie naturelle**]{}

Soit $X$ une surface projective lisse telle que le fibré canonique $K_X$ soit de la forme $K_X = {{\cal O}}_X(k)$ pour un entier $k\in {{\bf Z}}$ où ${{\cal O}}_X(1)$ est un fibré ample.  Soit $M_X(c_2)$ l’espace des modules des fibrés stables (par rapport à ${{\cal O}}_X(1)$) avec $c_1=0$ dans $Pic (X)$ et $c_2$ donné. 

[**:**]{}

Un fibré $E$ sur $X$ a la [*cohomologie naturelle*]{} (cf [@AHRH]) si pour tout $n$ l’un au plus des groupes $H^i(E(n))$ est non nul pour $i=0,1,2$. Plus généralement soit $\beta \geq k/2$ un entier.  On dira qu’un fibré $E$ sur $X$ a la [*cohomologie $\beta$-naturelle*]{} si pour tout $n \geq \beta$ l’un au plus des groupes $H^i(E(n))$ est non nul pour $i=0,1,2$.

[**:**]{}

Pour tout fibré $E$ avec $c_1(E) = 0$ dans $Pic(X)$, la dualité de Serre et la condition $K_X = {{\cal O}}_X(k)$, donnent l’égalité $h^2(X,E(n)) = h^0(X,E(k -n))$ et $h^1(X,E(n)) = h^1(X,E(k -n))$. Il suffit donc d’étudier la cohomologie des $E(n)$ pour les entiers $n \geq \frac{k}{2}$. Si de plus $E$ a la [*cohomologie naturelle*]{} alors pour $n \geq \frac{k}{2}$ on a $ h^2(E(n)) = 0$ et la cohomologie des $E(n)$ se déduit de la caractéristique d’Euler ${\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}(E(n)) =
2{\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X (n)) -c_2$. Enfin on peut remarquer que si $k$ est pair et ${\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}(E(\frac{k}{2}))>0$ alors $E$ ne peut pas avoir la cohomologie naturelle. 

Nous étudions maintenant le comportement de la fonction de Hilbert de $E$ quand on applique la construction de proposition \[E\] pour passer de $c_2$ à $c_2+1$.

[**:**]{}

Soit $c_2$ un entier tel qu’il existe un bon fibré vectoriel stable $E'$ sur $X$ avec $c_1(E')=0$ et $c_2(E')=c_2$. Soit ${{\cal G}}$ le faisceau gratte-ciel de rang $1$ au-dessus d’un point $x\in X$. Soit $E_0$ le noyau d’une surjection générale $E' \rightarrow {{\cal G}}$. Soit $E$ un fibré stable et bon qui est une déformation générale de $E_0$.

\[T\] Soit $\beta \geq k/2$ un entier.  Si $E'$ a la [*cohomologie $\beta$-naturelle*]{}, alors $E$ aussi. 

[*Dém.*]{}  Soit $n \geq \beta \geq k/2$ un entier.  Notons tout d’abord l’égalité $H^2(E'(n)) = 0$. En effet, si $H^2(E'(n)) \neq 0$, alors, par dualité de Serre, $H^0(E'(k-n)) \neq 0$ donc, $\forall m \geq k-n \;  , \; H^0(E'(m)) \neq 0$. En particulier $H^0(E'(n)) \neq 0$ et ceci est impossible si $E'$ a la cohomologie $\beta$-naturelle.  De la suite exacte $$0 \rightarrow E_0 \rightarrow E' \rightarrow {{\cal G}}\rightarrow 0$$ et par semi continuité, on en déduit $H^2(E(n)) = 0$. De même, si $H^0(E'(n)) = 0$ alors $H^0(E(n)) = 0$. Enfin, si $H^0(E'(n)) \neq 0$, alors d’une part $H^1(E'(n)) = 0$ et, d’autre part, pour une surjection générale le morphisme $$H^0(E'(n)) \rightarrow H^0({{\cal G}}(n))= {{\bf C}}$$ est surjectif.  Donc, $H^1(E(n)) = 0$. [$\Box$]{}

[**:**]{}

On fixe maintenant un entier $c'_2$ tel qu’il existe un bon fibré vectoriel stable $E'$ sur $X$ avec $c_1(E')=0$ et $c_2(E')= c'_2$. (C’est toujours possible, il suffit d’avoir $c'_2$ assez grand.)  Soit $\beta $ un entier $\geq \frac{k}{2}$ tel que $E'$ a la cohomologie $\beta$-naturelle. ( Un tel $\beta $ existe car $H^1(E'(n))=H^2(E'(n))=0$ pour $n$ assez grand d’aprés les théorèmes d’annulations de Serre.)  Pour tout entier $c_2\geq c'_2$ désignons par $M_X'(c_2)$ la composante irréductible de $M_X(c_2)$ obtenue à partir de $E'$ via la construction d’augmentation de $c_2$ (itérée $c_2-c'_2$ fois) de la proposition \[E\]. 

\[U\] Soit $E \in M_X'(c_2)$ un fibré ayant la cohomologie $\beta$-naturelle.  Si ${\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}(E(\beta ))<0$, alors $E$ a la cohomologie naturelle. 

[*Dém.*]{}  Soit $n$ un entier.  On doit étudier la cohomologie de $E(n)$. Par dualité de Serre et puisque $E$ a la cohomologie $\beta$-naturelle, on peut supposer $k/2 \leq n < \beta$. L’hypothèse ${\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}(E(\beta )) < 0 $ donne $H^1 (E(\beta )) \neq 0 $ et donc, $H^0 (E(\beta )) = 0 $.  On en déduit: $$\forall m \leq \beta \; , \; H^0 (E(m)) = 0.$$ D’où $H^0 (E(n)) = 0$ et, par le même argument que précédemment, $H^2 (E(n)) = 0$. [$\Box$]{}

\[V\] On pose $\gamma := 2 {\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X(\beta ))$.  Si $c_2 > \gamma $ alors le fibré général $E$ de la composante $M'_X(c_2)$ a la cohomologie naturelle.  En particulier quand $c_2\gg 0$ le fibré général de l’unique composante de $M_X(c_2)$ a la cohomologie naturelle. 

[*Dém.*]{}  D’après le choix de $\beta$ et la proposition \[T\], le fibré général de $M'_X(c_2)$ a la cohomologie $\beta$-naturelle.  L’hypothèse $c_2(E)>
\gamma $ donne ${\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}(E(\beta ))= 2{\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X(\beta ))-c_2 < 0$, donc $E$ a la cohomologie naturelle d’après la proposition \[U\]. [ $\Box$]{}

Revenons au cas où $X$ est une hypersurface lisse de degré $\delta$ dans ${{\bf P}}^3$, avec $Pic (X)={{\bf Z}}$. On a alors $K_X = {{\cal O}}_X(\delta -4)$ si ${{\cal O}}_X(1)$ est le fibré hyperplan.  La composante $M'_X(c_2)$ est celle que nous avons construite.  Les propositions suivantes permettent de déterminer $\gamma$.

\[R\] Soit $E'$ le fibré vectoriel construit en $2.6$ avec, suivant la parité de $\delta$, $c_2(E')=\delta ^3/4-\delta ^2/2$ ou $c_2(E')=\frac{\delta ^3}{4} -\delta ^2 +
\frac{3\delta }{4}$. Soit $\beta $ le plus petit entier $>  \frac{3}{2} \delta -4$. Alors, $E'$ a la cohomologie $\beta$-naturelle. 

[*Dém.*]{}  Nous allons prouver que pour tout entier $n> \frac{3}{2}\delta -4$ on a $h^1(E'(n))= h^2(E'(n))=0$.

Par construction et d’après le corollaire $1.3$, on a $h^0(E'(n))=0$ pour $n< (\delta - 3)/2 $.  Par dualité, on en déduit $h^2(E'(n))=0$ pour $n> (\delta - 4)/2$.

D’autre part, on sait que pour les courbes $C$ considérées ici, $H^1({{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(m))=0$ pour tout $m$. Donc la suite exacte $$0\rightarrow {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma +n-\delta ) \rightarrow
{{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma +n) \rightarrow
{{\cal J}}_{P/X}(\sigma +n) \rightarrow 0,$$ donne l’implication: $$H^2({{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}(\sigma + n-\delta ))=0 \;  \Rightarrow \;
H^1(E'(n))=0$$ (en effet, d’après la suite exacte $(\ast )$ on a $h^1(E'(n)) \leq h^1({{\cal J}}_{P/X}(\sigma + n))$). 

De plus, la résolution de l’idéal homogène de $C$ donne la résolution de faisceaux $$0\rightarrow {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-s-1)^s \rightarrow  {{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(-s)^{s+1}
\rightarrow {{\cal J}}_{C/{{\bf P}}^3}\rightarrow 0,$$ d’où l’implication: $$H^3({{\cal O}}_{{{\bf P}}^3}(\sigma + n -\delta -s-1))=0 \;  \Rightarrow \; H^1(E'(n))=0,$$ ou encore: $$\sigma + n -\delta -s-1 \geq -3 \;  \Rightarrow \; H^1(E'(n))=0,$$

Rappelons que $s= \delta - 2$ ou $\delta - 3$ et $\sigma = s/2$. On en déduit facilement que, pour $n> \frac{3}{2}\delta -4$, on a $
\sigma + n -\delta -s-1 \geq -3$. [$\Box$]{}

\[A1\] Pour tout entier $c_2 > \frac{1}{12}(13 \delta ^3 - 24
\delta ^2 + 8 \delta )$, le fibré général de la bonne composante de $M_X(c_2)$ que nous avons construite a la cohomologie naturelle. 

[*Dém:*]{} D’après la proposition \[R\] on a $\beta \leq
\frac{3}{2}\delta - 3$. Soit $P(t)$ le polynôme tel que $P(n) = 2{\begin{array}{c} \rule[-.12in]{0in}{.2in}
{\bf \chi}
\end{array}\!}({{\cal O}}_X(n))$. Pour $t\geq k/2$, $P(t)$ est une fonction croissante donc $$\gamma := P(\beta ) \leq P( \frac{3}{2}\delta - 3).$$ On conclut en calculant: $$P( \frac{3}{2}\delta - 3)=
\frac{1}{12}(13 \delta ^3 - 24 \delta ^2 + 8 \delta ).$$ [$\Box$]{}

[MM]{}

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