Решение задач на признаки и свойства равнобедренного треугольника. Часть 2.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: организовать углубленное изучение учащимися признаков и свойств равнобедренного треугольника с помощью усложненных задач на признаки и свойства равнобедренного треугольника.

Здравствуйте!

В прошлый раз мы выяснили, когда треугольник может оказаться равнобедренным, кроме того мы знаем свойства равнобедренного треугольника. Давайте теперь попробуем применить обретённые знания в несколько большем наборе задач.

Пример 1.

На диагонали AC квадрата ABCD взята точка M, причём AM = AB. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная прямой AC и пересекающая BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC.

Для решения задачи нам потребуется вспомнить, что такое квадрат. Квадрат – это четырёхугольник с равными углами и сторонами. Построив чертеж, заметим, что отрезки, равенство которых требуется доказать, лежат в треугольниках ABH и AMH, доказать равенство которых выглядит весьма нетрудным делом. А равенство отрезков HM и MC мы можем поискать в треугольнике HMC.

Треугольник HMC – прямоугольный и равнобедренный (прямоугольный по условию, равнобедренный, поскольку ∠HCM = 45°). Поэтому HM = MC.
Треугольники ABH и AMH равны по катету и гипотенузе (оба треугольника прямоугольные, AM=AB, AH – Общая). Следовательно, BH = HM.

Таким образом, из того, что HM = MC и BH = HM, следует, что BH = HM = MC.

Пример 2.

Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину АО, если ВО = 10 см.

Для решения этой задачи просто построим чертеж и выпишем все известные нам равенства для периметров из условия задачи.

По условию АС + ВС = AD + BD, АС + AD = BC + BD (см. рис.).

Записав второе равенство в виде АС – BC = BD – AD и сложив его с первым, получим 2АС = 2BD, то есть АС = BD. Значит, AD = BC, следовательно, треугольники ADB и BСА равны (по третьему признаку). Поэтому ∠ABD = ∠BAC, то есть треугольник AОB – равнобедренный. По условию, BO=10, следовательно, (поскольку AОB – равнобедренный), AO=10 см.

Пример 3.

Пусть AF – медиана треугольника ABC, D – середина отрезка AF, E – точка пересечения прямой CD со стороной AB. Оказалось, что BD = BF. Докажите, что AE = DE.

Для решения этой задачи, кроме чертежа, нам потребуется отметить все равные стороны и заметить равенство некоторых треугольников.

Треугольник BDF – равнобедренный, поэтому ∠BDF = ∠BFD. Значит, ∠ADB = ∠DFC. (как смежные)
Поэтому треугольники ADB и DFC равны по двум сторонам и углу между ними. (FC=FB=BD, AD=DF по условию). Значит, ∠EAD = ∠BAD = ∠FDC = ∠ADE. Следовательно, треугольник AED – равнобедренный. Следовательно, AE = DE.

Сегодня с помощью признаков и свойств равнобедренного треугольника мы решали интересные и непростые задачи. Заметим, что даже такие несложные конструкции, как равнобедренные треугольники, часто помогают решить довольно трудные задачи.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Найдите угол CBA

Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если BC = 12

Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BO = CO. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Рекомендуемые тесты: