its5Q/resh-edu huggingface dataset:
Циклы с условием
Предмет: Информатика, 5 класс
Автор: Степанов Александр Николаевич

Ход урока

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебная деятельность

Теперь мы знаем, что существуют циклы с условием- это такой циклический алгоритм, который выполняется только при определенных условиях.

Актуализация знаний

А вот теперь мы можем создать игру.

Ну что ж начнем.

Наш кот будет двигаться за указателем мыши. И для него мы составим простой циклический алгоритм.

Наш герой будет, двигаться за указателем по экрану.

Добавим новый спрайт -мышь, за ней мы и будем охотиться. Для нее алгоритм будет с условием, она спокойно будет бегать по экрану, но ровно до того, пока кот ее не поймает, в этом случае она остановится, и исчезнет, ведь кот ее съест. Для того, чтобы игра была интереснее, координаты мыши в начале игры будут нам не известны, для этого используем оператор случайного числа, для того чтобы задать направление движения используем его же.

Игра готова. Запускайте.

Контроль, оценка и рефлексия

Сделайте так, чтобы кот, когда съедал мышку говорил “Ам!”

Ссылки на ресурсы:

Scratch

scratch.mit.edu

Список используемой литературы:

- Поляков К.Ю., Еремина Е.А. Информатика. Учебник для 7 класс. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний

- Босова Л.Л., Босова А.Ю. Информатика. Учебник для 7 класса. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний

- Торгашева Ю.В., Первая книга юного программиста. Учимся писать программы на Scratch. - СПб.: Питер, 2016. 128 с.: ил. -(Серия “Вы и ваш ребенок”)

- Материалы с сайта http://scratch4russia.com/

- Сайт о Scratch scratch.mit.edu
Решение задач повышенной сложности. Часть 2
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: выработать представление об утверждениях, связанных с ГМТ как об инструменте решения задач.

Здравствуйте!

Мы с вами обсудили биссектрисы и серединные перпендикуляры как ГМТ точек плоскости. Давайте попробуем теперь не забывать об этом, решая задачи.

Пример 1

Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть – при гипотенузе). Найдите этот угол.

Пусть M – середина гипотенузы AB, K – точка пересечения указанного перпендикуляра с катетом BC, 7α – искомый угол CAB. Тогда ∠CBA = ∠KAB = 2α (треугольник AKB – равнобедренный). Следовательно, 2α + 7α = 90° = 10°.

Пример 2

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причём X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причём X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Пример 3

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы при вершинах A и D равны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD. Докажите, что диагонали AC и BD равны.

Точка P лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AB и CD, поэтому AP = BP и CP = DP. По теореме о внешнем угле треугольника
∠BPD = 2∠BAD = 2∠ADC = ∠APC, значит, треугольники BPD и APC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BD = AC.

Сегодня мы с вами попробовали применить наши знания о соотношениях сторон и углов треугольников на практике, и у нас всё получилось!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия, образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1. Вариант I: 2, 3

Рекомендуемые тесты:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия, образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1. Вариант II: 2, 4а, 4б
Урок 18. Александр Иванович Куприн. «Куст сирени»
Предмет: Литература, 8 класс

Жизнь и творчество А. И. Куприна — это рассказ о высоких нравственных категориях, о человеке, о любви как высшей человеческой ценности.

Эстетические и нравственные проблемы, поднятые в произведениях писателя, являются одними из главных в русской классической литературе.
Уравнения, решающиеся с помощью разложения на множители
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться решать уравнения с помощью разложения его на множители, вспомнить формулы сокращённого умножения.

Всем привет!

Помните ли вы, когда произведение двух чисел равно нулю? Разумеется, в том и только в том случае, когда одно из этих чисел, а возможно и оба равны нулю. Это верно и для алгебраических выражений. Если произведение каких-то алгебраических выражений равно нулю, значит одно из выражений должно быть равно нулю. И это помогает решить задачу. Потому что, если мы сможем в уравнении, которое будет нам дано, перенести всё в одну часть, в правой части ноль, в левой выражение. Это выражение разложить на множители. И приравнять каждый множитель к нулю, таким образом, разобьём исходное уравнение на несколько маленьких уравнений.

Пример 1:

(х – 2)(х – 3) = 0

х – 2 = 0 или х – 3 = 0

х = 2 или х = 3

Ответ: 2; 3.

Пример 2:

х2 – 4 = 0

Раскладываем на множители, воспользуемся квадратом разности:

(х – 2)(х + 2) = 0

х = –2; х = 2

Ответ: –2; 2.

Пример 3:

х2 = 16

х2 – 16 = 0

(х – 4)(х + 4) = 0

х = –4; х = 4

Ответ: –4; 4.

Пример 4:

(х – 7)(х2 + х) = 0

Разложим выражение во второй скобке на множители:

(х – 7)х(х + 1) = 0

х = 7; х = –1; х = 0

Ответ: –7; –1; 0.

Пример 5:

Определим область допустимых значений. Разложим на множители числитель:

Итак, сегодня мы с вами решали важную задачу о том, когда же произведение двух или трёх выражений равно нулю. И мы увидели, как этот метод помогает при решении уравнений. Конечно, никто не будет вам сразу давать произведение, которое равно нулю, чаще вам придётся это выражение получить. Поэтому мы и учились раскладывать на множители.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 1, § 7, № 7.6 (б, г); 7.7 (а, б).

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 1, § 7, № 7.9.
Решение задач повышенной сложности. Часть 2
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с более сложными задачами, использующих в своём решении теорему о сумме мер углов треугольника, свойства и признаки равнобедренного треугольника, а также свойства и признаки параллельных прямых.

Здравствуйте!

Сегодня мы с вами попробуем порешать задачи, которые могут показаться нам более сложными. Уверен, у нас всё получится!

Пример 1.

В четырёхугольнике ABCD биссектрисы АЕ и СF углов A и C параллельны (см. рисунок). Докажите, что углы B и D равны.

Из условия и равенства соответственных углов при параллельных прямых следует, что ∠СFD = ∠EAD = ∠EAB и что ∠BEA = ∠BCF = ∠DCF (см. рис.). Значит, два угла треугольника АВЕ соответственно равны двум углам треугольника СDF. Следовательно, равны и третьи углы этих треугольников: ∠АВЕ = ∠СDF.

Пример 2.

Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) выбрана точка M таким образом, что ∠AMC = 2∠B. На отрезке AM нашлась такая точка K, что ∠BKM = ∠B. Докажите, что BK = KM + MC.

Продлим отрезок CM до пересечения с BK в точке L. По теореме о внешнем угле треугольника ∠KLM = ∠AMC – ∠BKM = ∠B, откуда MK = ML. ∠LCB = ∠KLM – ∠LBC = ∠B – ∠KBC = ∠ABK, ∠BAK = ∠BKM – ABK = ∠KLM – ∠BCL = ∠LBC; поэтому треугольники ABK и BCL равны. Значит, BK = CL = CM + ML = CM + MK.

Пример 3.

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

Обозначим вершины звезды последовательно: A1, A2, A3, A4, A5. Пусть M – точка пересечения отрезков A1A4 и A2A5, а N – отрезков A1A3 и A2A5. Тогда угол A1MN – внешний угол треугольника MA2A4, а угол A1NM – треугольника NA3A5. Поэтому ∠A1MN = ∠A2 + ∠A4, ∠A1NM = ∠A3 + ∠A5. Следовательно, ∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ∠A4 + ∠A5 = ∠A1 + ∠A1MN + ∠A1NM = 180°.

Дополнительная информация

Рекомендуемые задачи:

1. В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AC и AB отметили точки K и L соответственно, причём прямая KL параллельна BC и KL = KC. На стороне BC выбрана точка M так, что ∠KMB = ∠BAC. Докажите, что KM = AL.

2. В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что BD = BC. Найдите CD, если AD = 4.

3. В треугольнике ABC биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке M, а биссектриса угла A пересекает отрезок CM в точке T. Оказалось, что отрезки CM и AT разбили треугольник ABC на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника ABC.

Рекомендуемые тесты:

1. Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия, дидактические материалы, 7 класс, С-16, вариант 8. (стр. 68)
Решение задач на соотношения сторон и углов в треугольнике.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: дать представление о применении соотношений между сторонами и углами треугольника в задачах.

Здравствуйте!

Мы с вами выяснили, каким образом в треугольнике соотносятся стороны и углы, более того, как связаны между собой длины сторон. Давайте теперь попробуем выяснить, как применять это в задачах. Вдруг эти утверждения окажутся полезными?

Пример №1:

В треугольнике ABC с неравными сторонами AB и AC проведены из вершины A высота, медиана и биссектриса. Докажите, что из этих трёх отрезков наименьшим является высота.

Пример №2:

Может ли в треугольнике одна из сторон быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей?

Пусть длина первой стороны – x, второй – 2x, третьей – 4x. Такого треугольника не может быть, так как x + 2x < 4x, то есть не выполняется неравенство треугольников.

Пример №3:

Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Сколько можно составить треугольников из отрезков, равных: а) 2, 3, 4 и 5; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7?

2. Докажите, что любая диагональ четырехугольника меньше его полупериметра

Рекомендуемые тесты:

1. Стороны равнобедренного треугольника равны 1 и 3. Какая из сторон является основанием?

2. Может ли периметр треугольника быть равным 19, если одна из его сторон на 1 короче другой и на 3 длиннее третьей?

3. Может ли основание равнобедренного треугольника быть вдвое больше боковой стороны?
Урок 9. Михаил Юрьевич Лермонтов. «Мцыри»
Предмет: Литература, 8 класс

Эпиграф - изречение, краткая цитата перед произведением или его частью, характеризующая основную идею произведения.
Герой романтизма — носитель истинно человеческого нравственного начала, которого лишена действительность. Поэтому для окружающих людей он предстаёт странным.
Исповедь — литературно-художественное произведение или часть его, где повествование ведется от первого лица и рассказчик впускает читателя в самые сокровенные глубины своего внутреннего мира (в «Толковом словаре живого великорусского языка» В.И. Даля одно из значений исповеди определяется как «искреннее и полное сознание, объясненье убеждений своих, помыслов и дел»).
Романтическая поэма – крупное лирическое произведение, главным героем которой является романтический герой.
Решение задач на второй признак равенства треугольников
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: организовать усвоение учащимися второго признака равенства треугольников с помощью некоторых видов задач; продолжить развитие умений проводить рассуждения и доказательства, выполнять простейшие геометрические построения.

Здравствуйте!

В прошлый раз мы с вами выяснили более удобный способ доказательства равенства треугольников, чем доказательство просто по определению. Давайте теперь попробуем применить его.

Пример 1.

∠1 = ∠2, AB = BC. Докажите, что AE = CD.

По условию, ∠1 = ∠2. Заметим, что ∠BAE + ∠1 = 180о = ∠BCD + ∠2, поскольку ∠BAE и ∠1, а так же ∠BCD и ∠2 смежные. Значит, ∠BAE = ∠BCD как смежные с равными, ∠B общий для треугольников BAE и BCD, AB = BC по условию. Тогда треугольники BAE и BCD равны по второму признаку, и тогда AE = CD.

Пример 2.

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Докажите, что ∠B = ∠C,

∠BAD = ∠CDA как углы равные сумме равных углов, тогда треугольники ABD и ACD равны по второму признаку, а значит и ∠B = ∠C.

Пример 3.

Докажите, что у равных треугольников равны соответствующие биссектрисы.

Рассмотрим два соответственно равных треугольника: ABC и A1B1C1. Докажем, не теряя общности, что BK = B1K1, где BK и B1K1– биссектрисы.

Так как BK и B1K1– биссектрисы, то ∠CBK = 0,5∠ABC = 0,5∠A1B1C1 = ∠C1B1K1.

Так как треугольники равны, то ∠C = ∠C1 и BC = B1C1.

Тогда треугольники CBK и C1B1K1 равны по второму признаку, и тогда BK = B1K1.

Пример 4.

Докажите признак равенства треугольников по высоте и двум углам, образованным ей и сторонами треугольника.

Пусть высота упала на сторону. Тогда, так как высота общая, то соответствующие треугольники разбиения равны по второму признаку, а значит, гипотенузы соответствующих треугольников равны, углы между ними равны как суммы углов равных мер и тогда треугольники равны по первому признаку.

Если снаружи, то аналогично, только угол между гипотенузами – разность соответствующих равных углов.

Итак, все задачи, которые мы сегодня с вами изучили, сводятся к тому, чтобы использовать второй признак равенства треугольников – по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дополнительная информация.

Рекомендуемые тренажёры:

1). Найдите пару равных треугольников и докажите, что они равны:

Рекомендуемые тесты:

1). Найдите пару равных треугольников и докажите, что они равны:
Решение квадратных уравнений методом расщепления
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться решать квадратные уравнения методом расщепления, вспомнить метод расщепления и группировки.

Всем привет!

На прошлом уроке мы научились решать уравнения, в которых есть разложение на множители и произведение этих множителей равно нулю. Сегодня мы возьмём частный случай таких уравнений. Так называемые квадратные уравнения.

Квадратные уравнения – это такие уравнения, у которых наивысшая степень будет 2.

Наша основная задача: разложить выражение, стоящее в левой части на множители. Для разложения на множители будем использовать два метода – это выделение полного квадрата и расщепление.

Пример 1:

Решить уравнение:

х2 + х = 0

Разложим на множители левую часть:

х(х + 1) = 0

х = 0; х = –1

Ответ: –1; 0.

Пример 2:

Решить уравнение:

х2 – 6х + 8 = 0

Выделим полный квадрат:

х2 – 6х + 9 – 1 = 0

(х – 3)2 – 1 = 0

(х – 3 – 1)(х – 3 + 1) = 0

(х – 4)(х – 2) = 0

х = 2; х = 4

Ответ: 2; 4.

Пример 3:

Решить уравнение:

х2 – 3х + 2 = 0

Метод расщепления:

х2 – 2х – х + 2 = 0

Сгруппируем слагаемые:

х(х – 2) – (х – 2) = 0

(х – 1)(х – 2) = 0

х = 1; х = 2.

Ответ: 1; 2.

Пример 4:

Решить уравнение:

2х2 – 5х + 2 = 0

Метод расщепления:

2х2 – х – 4х + 2 = 0

Группировка:

х(2х – 1) – 2(2х – 1) = 0

(х – 2)(2х – 1) = 0

х = 2; х = 0,5

Ответ: 0,5; 2.

Пример 5:

Решить уравнение:

Итак, сегодня мы с вами научились решать довольно большой класс квадратных уравнений. Разумеется, это не все квадратные уравнения, потому что многие из них не раскладываются на множители.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 4, § 7, № 23.12 – задание: решить методом расщепления.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 4, § 7, № 23.14 – решить удобным способом.
Урок 4. Денис Иванович Фонвизин. Краткий рассказ о жизни и творчестве писателя. «Недоросль»
Предмет: Литература, 8 класс

Диалог – разговор двух или нескольких лиц. Диалог – основная форма раскрытия человеческих характеров в драматургических произведениях (пьесах, киносценариях).
Драма – произведение, предназначенное для постановки на сцене.
Комедия – основной жанр драматургии, соответствующий трем критериям:

персонажи – люди скромного положения;
счастливая развязка;
конечная цель — смех публики.

Композиция – расположение, т.е. построение произведения.
Сатира – беспощадное, уничтожающее осмеяние, критика действительности, человека, явления.
Основные даты:
1745–1792 гг. – годы жизни Д. И. Фонвизина.
1782 г. – закончена комедия «Недоросль».
24 сентября 1782 г. – премьера «Недоросля» в Петербурге в Театр Карла Книпера.
Решение задач по теме «Уравнения высших степеней»
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: решать уравнения высших степеней, закрепить умение раскладывать на множители различными способами.

Всем привет!

Сегодня мы с вами обобщим знания, полученные на предыдущих занятиях и порешаем более сложные примеры.

Пример 1:

х4 + 2х3 + 5х2 + 4х + 3 = 0;

Здесь будем выделять полные квадраты.

х4 + 2х3 + х2 + 4х2 + 4х + 1 = –2;

(х2 + х)2 + (2х + 1)2 = –2;

Это уравнение не имеет решений, так как оба квадрата неотрицательны, а значит, их сумма не может быть отрицательной.

Ответ: решений нет.

Пример 2:

х4 + 3х3 + х2 – 3х – 2 = 0;

Воспользуемся методом расщепления

х4 + 3х3 +2 х2 – х2 – 3х – 2 = 0;

х2(х2 + 3х + 2) – (х2 + 3х + 2) = 0;

(х2 – 1)(х2 + 3х + 2) = 0;

(х – 1)(х + 1)(х2 + 2х + х + 2) = 0;

(х – 1)(х + 1)(х(х + 2) + (х + 2)) = 0;

(х – 1)(х + 1)(х + 2)(х + 1) = 0;

х = 1; х = –1; х = –2.

Ответ: –2; –1; 1.

Пример 3:

(х2 + х – 6)(3х2 +11х – 4) = (х2 + 2х – 8)(2х2 + 7х + 3);

Выполним преобразования отдельно:

1. х2 + х – 6 = х2 +3х – 2х – 6 = х(х + 3) – 2(х + 3) = (х – 2)(х + 3)

2. 3х2 +11х – 4 = 3х2 +12х – х – 4 = 3х(х + 4) – (х + 4) = (3х – 1)(х + 4)

3. х2 + 2х – 8 = х2 + 4х - 2х – 8 = х(х + 4) – 2(х + 4) = (х – 2)(х + 4)

4. 2х2 + 7х + 3 = 2х2 + х + 6х + 3 = х(2х + 1) + 3(2х + 1) = (х + 3)(2х + 1)

(х – 2)(х + 3)(3х – 1)(х + 4) = (х - 2)(х + 4)(х + 3)(2х + 1);

(х – 2)(х + 3)(х + 4)(3х – 1 – (2х + 1)) = 0;

(х – 2)(х + 3)(х + 4)(3х – 1 – 2х – 1) = 0;

(х – 2)(х + 3)(х + 4)(х – 2) = 0;

х = 2; х = –3; х = –4

Ответ: –4; –3; 2.

Итак, теперь вы умеете решать уравнения высших степеней. Надеюсь, вы поняли, что вам необходимо уметь раскладывать выражения на множители и тогда задача становится легко решаемой.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: решить уравнение

Решение:

Рекомендуемые тесты: составить таблицу с правилами для решения уравнений высших степеней.
Урок 14. Лев Николаевич Толстой. «После бала»
Предмет: Литература, 8 класс

Рассказ - художественное повествовательное прозаическое произведение небольшого размера.
Рассказ в рассказе - в литературном произведении представлен еще один рассказ, с помощью которого автор пытается донести общую фабулу своего творения.
Антитеза - это оборот поэтической речи, в котором для усиления выразительности резко противопоставлены прямо противоположные явления, понятия, мысли. Эта стилистическая фигура основана на противопоставлении сравнимых образов, эпизодов, картин для наиболее точной передачи чувства и усиления выразительности речи.
Композиция произведения - построение, структура художественного произведения: отбор и последовательность элементов и изобразительных приемов произведения, создающих художественное целое в соответствии с авторским замыслом.
Урок 26. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
Предмет: Алгебра, 9 класс

Конспект

Алгебра. 9 класс

Урок 26. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Рассмотрим задачу.

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число

Данная задача подразумевает использование формулы двузначного числа.

Допустим, искомое число состоит из x десятков и y единиц.

Исходя из условия и принятых обозначений, составляем систему уравнений:

Раскроем скобки и приведём подобные в первом уравнении системы.

Воспользуемся способом подстановки, для этого выразим из первого уравнения переменную y и подставим его значение во второе уравнение системы.

Решив получившееся квадратное уравнение (2x2 + 12x – 32 = 0) найдём два корня: –8 и 2.

Очевидно, что цифра не может быть отрицательной, поэтому корень –8 не удовлетворяет условиям задачи.

Итак, значение переменной x мы нашли, осталось подставить это значение в первое уравнение системы и найти значение переменной y.

y = 2 • 2 = 4.

Обратимся ещё раз к началу нашего решения и вспомним, что мы принимали за x, что за y и что требовалось найти.

x – цифра десятков; y – цифра единиц; (10x + y) – искомое число.

Итак, искомое число равно 24.
Урок 28. Системы неравенств с двумя переменными
Предмет: Алгебра, 9 класс

Тезаурус основных терминов и понятий

Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Неравенство, запись которого содержит две различные переменные, называется неравенством с двумя переменными.

Система неравенств – это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединённых слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Дополнительная информация:

Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. В. Суворова]. — М. : Просвещение
Урок 29. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными
Предмет: Алгебра, 9 класс

Конспект

Алгебра. 9 класс

Урок 29. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными

Рассмотрим систему уравнений:

Преобразуем сначала второе уравнение системы, а точнее многочлен, который стоит в левой части уравнения:

Сгруппируем выделенные слагаемые:

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель, а саму скобку представим как выражение в второй степени, используя формулу квадрата разности. А из второй группы вынесем множитель –y за скобку.

Далее выносим общий множитель (x – 1) за скобки и получаем разложение изначального многочлена на множители:

Перепишем изначальную систему, заменив второе уравнение:

Стоит обратить внимание на второе уравнение. Произведение двух множителей равно нулю, а значит либо первый, либо второй множитель равен нулю.

Исходя из этого, мы получаем два случая, в первом (x – 1) =0, а во втором (2x – 2 – y) = 0.

Говорят, что изначальная система равносильна совокупности систем уравнений, которых мы получили в первом и во втором случае:

и

Рассмотрим первый случай:

Из второго уравнения первой системы очевидно, что x = 1. Подставим это значение в первое уравнение и получим, что или .

Т. е.

Теперь рассмотрим второй случай:

Тут рациональнее всего воспользоваться методом подстановки, выразив из второго уравнения переменную y:

y = 2x – 2.

Подставим выражение переменной y в первое уравнение, раскроем скобки, приведём подобные:

Решив квадратное уравнение и подставив получившееся корни во второе уравнение системы получим ещё две пары чисел, являющиеся решением системы:

Итак, изначальная система уравнений имеет 4 решения:

Рассмотрим ещё один пример.

Чтобы решить данную систему домножим второе уравнение на 3:

А теперь сложим почленно оба уравнения:

5y2 = 10xy.

Приведём подобные, перенесём все члены первого уравнения в левую сторону от знака равно, вынесем общий множитель и разделим обе части уравнения на 5.

Как и в предыдущем примере, первое уравнение системы разбивает решение на два случая. В первом y = 0, а во втором y – 2x =0:

и

Решив каждую из получившихся систем, получим два решения изначальной системы: (0; 0) и (–0,5; –1).