Простейшие построения циркулем и линейкой
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: рассмотреть наиболее простые задачи на построение и научить учащихся решать их, развить умения работы с циркулем и линейкой, формирование познавательного интереса к предмету. применить знания о этапах задач на построение к решению задач на построение перпендикуляра из точки на прямую и делению отрезка на количество равных частей, являющихся степенью двойки.

Здравствуйте! На прошлом уроке освоили суть и этапы решения задач на построение. Попробовали их на примере построения биссектрисы. Теперь поучимся строить перпендикуляры, а также делить отрезок пополам.

Пример 1. Построение перпендикуляра.

Задача: Дана прямая а и точка А.

Построить прямую с, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а.

Анализ

Предположим, задача решена, прямая с построена.

Пусть она пересекает прямую а точке О.

Где у нас встречаются перпендикуляры?

Высота, она же биссектриса и медиана к основанию равнобедренного треугольника.

Создадим же равнобедренный треугольник с вершиной А и основанием на прямой а. Можно строить.

Построение

1. Ставим ножку циркуля в точку А и строим окружность. Обозначаем точки пересечения с прямой а В и С.

2. Строим окружности с центрами В и С и радиусами АВ. Обозначаем точку их пересечения, отличную от А, буквой К.

3. Строим прямую АК.

Доказательство.

1. В треугольниках АВК и АСК АВ=АС по построению (п.1); ВК=СК по построению (п.2); АК – общая, следовательно, треугольники АВК и АСК равны по 3-му признаку.

2. Углы ВАО и САО равны как соответственные элементы равных треугольников. Значит, АО – биссектриса к основанию в равнобедренном треугольнике АВС.

3. По свойству равнобедренного треугольника биссектриса к основанию является высотой, следовательно, АО перпендикулярна прямой а, что и требовалось доказать.

Исследование.

Через данную точку к данной прямой можно провести единственный перпендикуляр, поэтому данная задача всегда имеет единственное решение. Однако при построении мы использовали тот факт, что взяли точку А вне прямой а, иначе не получили бы треугольники. А как построить перпендикуляр через точку, лежащую на прямой? Об этом чуть позже.

Важный вывод.

Поскольку мы умеем строить перпендикуляр, мы можем строить параллельные прямые – ведь 2 перпендикуляра к одной прямой параллельны.

Например, мы можем построить прямую параллельную данной, проходящую через данную точку

Пример 2. Деление отрезка пополам.

Задача: Дан отрезок ВС.

Найти его середину – точку О.

Анализ

Предположим, задача решена и точка О найдена.

Где у нас встречаются середины отрезков?

Это основание медианы, она же высота к основанию равнобедренного треугольника.

Создадим же равнобедренный треугольник с основанием ВС. Можно строить.

Построение

1. Строим пересекающиеся окружности с центрами В и С и одинаковыми радиусами. Обозначаем точки их пересечения А и К.

2. Строим прямую АК.

3. Обозначаем пересечение АК и ВС буквой О.

Доказательство.

1. В треугольниках АВК и АСК АВ=АС=ВК=СК по построению (п.1); АК – общая, следовательно, треугольники АВК и АСК равны по 3-му признаку.

2. Углы ВАО и САО равны как соответственные элементы равных треугольников. Значит, АО – биссектриса к основанию в равнобедренном треугольнике АВС.

3. По свойству равнобедренного треугольника биссектриса к основанию является медианой, О – середина ВС, что и требовалось доказать.

Исследование и важный вывод.

У каждого отрезка существует единственная середина, поэтому данная задача всегда имеет единственное решение. Кстати, научились строить перпендикуляр через точку на прямой.

Важный вывод. Поскольку мы умеем делить отрезок пополам, мы можем поделить отрезок на любое количество равных частей, являющееся степенью 2.

Например, мы можем отмерить 37,5% данного отрезка.

Вот как это можно сделать:

Подведём итоги.

Мы научились строить перпендикуляры.

Научились строить параллельные прямые.

Научились делить отрезок на количество равных частей, являющееся степенью 2.

1. Рекомендуемые тренажеры

1. Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 152

2. Построить точку пересечения высот данного треугольника

3. Построить точку пересечения биссектрис данного треугольника

2. Рекомендуемые тесты

1. Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 155

2. Построить точку пересечения медиан данного треугольника

3. Построить точку пересечения серединных перпендикуляров данного треугольника