Решение простейших совокупностей неравенств
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать умение решения неравенства; понятие совокупности неравенств; разработать с учащимися варианты решения различных совокупностей неравенств, методы нанесения числовых множеств в зависимости от заданных в совокупности неравенств, а также использовать эти методы при решении несложных задач; воспитывать познавательную активность, самостоятельность, интерес к изучению математики.

Здравствуйте, ребята. На прошлом уроке мы с вами говорили о решении систем неравенств, теперь настала очередь поговорить о совокупности.

Чем похожи и чем отличаются системы от совокупностей неравенств? Подумаем.

Система неравенств с одной переменной образуется из нескольких неравенств, и совокупность тоже. Это похожее.

Система записывается с фигурной скобкой, а совокупность с квадратной. Это уже разное.

В системе необходимо найти общие решения для всех заданных неравенств. Важное слово здесь – общее решение. А в совокупности надо найти не общее, а решение каждого неравенства вместе. Это их различие.

Когда мы говорили про систему неравенств, мы говорили о пересечении множеств решений, а когда про совокупность — об объединении. Опять различие.

В системе мы использовали союз «и», а в совокупности союз «или».

Решением системы является пересечение множеств, то есть такое множество, каждый элемент которого принадлежит и первому и второму множеству. А множеством решений совокупности неравенств будет объединение множеств решений каждого неравенства в этой системе.

Всё же отличий у них очень много, а похожи они только двумя вещами – тем, что составлены из неравенств и планом действий для решения, но и в нём будут изменения.

Вспомните алгоритм решения системы неравенств:

1. Решить первое неравенство;

2. Решить второе неравенство;

3. Найти пересечение множеств решений неравенств.

Что меняется?

Решением совокупности неравенств являются такие значения х, при котором хотя бы одно неравенство обращается в верное числовое неравенство. Множеством решений совокупности неравенств будет объединение множеств решений каждого неравенства в этой совокупности.

Получается, чтобы решить совокупность неравенств, надо сначала решить каждое неравенство отдельно, а потом найти объединение множеств решений неравенств.

Поэтому алгоритм перепишем в таком виде:

1. Решить первое неравенство;

2. Решить второе неравенство;

3. Найти объединение множеств решений неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (5;+∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (–∞;10). Найдём объединение числовых промежутков. Наглядно видно на координатной прямой, что это вся координатная прямая (–∞;+∞). Это и есть решение совокупности.

Пример 2.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (7; +∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (17;+∞). Найдём объединение числовых промежутков. Наглядно видно на координатной прямой, что это луч (7; +∞). Это и есть решение совокупности.

Пример 3.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (4; +∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (–∞;–4). Найдём объединение числовых промежутков. Наглядно видно на координатной прямой, что у них нет общих точек, значит, объединением будут оба луча, так как решение там, где решение одного из неравенств, то есть справа от 4 и слева от –4.

Пример 4.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (11; +∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (–∞;11). Найдём объединение числовых промежутков. Наглядно видно на координатной прямой, что это вся координатная прямая (–∞; +∞), но не включена точка 11. Её нет ни в первом, ни во втором неравенстве. То есть, ответ можно записать следующим образом: (–∞;11) U (11; +∞).

Пример 5.

Решением первого неравенства является числовой луч (3;+∞). Решением второго неравенства является числовой луч (–∞;3]. Найдём объединение числовых промежутков. Наглядно видно на координатной прямой, что это вся координатная прямая (–∞;+∞). Это и есть решение совокупности. Так как цифра 3 принадлежит к решению первого неравенства, то мы обязаны взять её в объединение.

Возможен ли случай, когда в совокупности будут стоять неравенства более сложные? Конечно, возможен, но тогда мы будем поступать так, как и при решении систем. Любое неравенство с помощью доказанных свойств можно привести к простейшему виду x > a, x < a или x ≥ a, x ≤ a.

Мы рассмотрели достаточное количество таких примеров, когда решали неравенства. Давайте остановимся только на одном интересном случае:

Чтобы решить систему неравенств, будем следовать алгоритму: решаем первое неравенство, затем второе неравенство и находим объединение решений неравенств. В ответе получаем (–2;8).

Таким образом, мы увидели, что решением совокупности неравенств может быть луч, два луча, вся координатная прямая или координатная прямая без одной точки.

Обобщим всё сказанное сегодня:

Решением совокупности неравенств являются такие значения х, при котором хотя бы одно неравенство обращается в верное числовое неравенство. Множеством решений совокупности неравенств будет объединение множеств решений каждого неравенства в этой совокупности.

Получается, чтобы решить совокупность неравенств, надо сначала решить каждое неравенство отдельно, а потом найти объединение множеств решений неравенств.

Поэтому алгоритм перепишем в таком виде:

1. Решить первое неравенство;

2. Решить второе неравенство;

3. Найти объединение множеств решений неравенств.

Успехов вам в дальнейшем решении.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Решить совокупность неравенств

2. Запишите совокупность неравенств, решением которой служит пустое множество.

3. Какой совокупности соответствует рисунок: