Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением деления, как алгебраического умножения. Часть 2 (разбор задач)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления деления чисел, как действия обратного умножению, разработать с учащимися правила вычисления примеров на деление рациональными методами, а также использовать эти методы при решении задач.

Здравствуйте, ребята.

Сегодня мы продолжаем говорить с вами о делении, как действии обратном умножению.
На прошлом уроке мы рассмотрели некоторые задачи, в которых удобно было заменить деление умножением для быстрого и удобного вычисления. Продолжим.

Пример 1.
Вычислите 631 : 2 : 5, попробуйте, что получилось, 63,1 , это верно, и наверное многие из вас действовали «в лоб», конечно мы можем последовательно выполнить два этих действия и получить верный ответ, но при этом мы потратим достаточное количество времени.
Я предлагаю вам воспользоваться свойством
а : b : c = a : (b*c).
Когда мы делим на одно число мы уменьшаем в определенное количество раз, потом мы делим на второе число и еще уменьшаем на другое количество раз, таким образом мы уменьшаем число дважды, поэтому и можно уменьшить число в произведение двух чисел раз.
Например, наш пример 631 : 2 : 5 = 631 : (2*5 ) = 631 : 10 = 63,1.

Давайте рассмотрим еще два примера:

18 : 4 : 5 = 18 : (4*5) = 18 : 20 = 0,9

84 : 6 : 7 = 84 : (6*7) = 84 :42 = 2

Надо заметить, что это свойство иногда используют и в обратную сторону a : (b*c) = а : b : c.
Например, 120 : 15 = 120 : (3*5) = 120 : 3 : 5 = 40 : 5 = 8

Или такой пример, 54 : 4 = 54 : (2 * 2 ) = 54 : 2 : 2 = 27 : 2 = 13,5.

Последний пример встречается очень часто, потому что с его помощью можно очень легко устно делить любое число на 4, на 8, на 16. Надо последовательно разделить число на 2*2, 2*2*2, или на 2*2*2*2. Попробуем 304 : 16 (16 — это произведение четырех 2, значит надо разделить на 2 четыре раза подряд) 304 : 16 = 304 : 2 : 2 : 2 : 2 = 152 : 2 : 2 : 2 = 76 : 2 : 2 = 38 : 2 = 19. Устно. Обязательно попробуйте считать с помощью этого правила.

Пример 2.
(50 * 27 ) : 25 . Начните решать, я думаю, что многие начали умножать 50 на 27 и полученное произведение делить на 25.
Я же вам предлагаю воспользоваться свойством
(а * b ) : c = ( a : с ) * b = ( b : с ) * а .
Тогда вы можете обратить внимание, что (50 * 27 ) : 25 = (50 : 25) * 27 = 2 * 27 = 54
Если множитель делится на 25, то и все произведение делится на 25, этим свойством мы и пользуемся.

Давайте рассмотрим несколько примеров

(305 * 90) : 30 = (90 : 30 ) * 305 = 3 * 305 =915

( 4,8 * 25) : 48 = (4,8 : 48 ) * 25 = 0,1 * 25 = 2,5

(115 * 22) : 11 = (22 : 11) * 115 = 2 * 115 = 230

Не забывайте при необходимости о таком быстром и удобном способе вычисления.

Пример 3.
17 : 4 + 7 : 4 = 17 * ¼ + 7 * ¼ = воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, вынесем ¼ за скобку = (17 + 7 ) * ¼ = 24 * ¼ = 24 : 4 = 6
Получается, что замена деления на умножение позволило нам вынести общий множитель и вычислить гораздо проще.
Рассмотрим еще несколько примеров

32 : 2/3 — 22 : 2/3 = 32 * 3/2 — 22 * 3/2 = (32 — 22 ) * 3/2 = 10 * 3/2 = 15

¾ : 5/7 + 17/4 : 5/7 = ¾ * 7/5 + 17/4 * 7/5 = ( ¾ + 17/4 ) * 7/5 = 20/4 * 7/5 = 5 * 7/5 = 7

9,3 : 4/5 + 2,7 : 4/5 = 9,3 * 5/4 + 2,7 * 5/4 = (9,3 + 2,7 ) * 5/4 = 12 * 5/4 = 15

43 : 7/2 — 29 : 7/2 = 43 * 2/7 — 29 * 2/7 = (43 — 29 ) * 2/7 = 14 * 2/7 = 4

Такой способ вычисления называется рациональным, потому что он более простой, более быстрый, более удобный.
Чтобы считать рационально можно запомнить и использовать два правила
a : b + c : b = ( a + c ) : b = ( a + c ) * 1/ b
a : b - c : b = ( a - c ) : b = ( a - c ) * 1/ b

Пример 4.
Невозможно предугадать и рассчитать все возможные варианты примеров, которые вам могут встретиться, но можно использовать все вышесказанное сегодня для их решения.
Например,
239 : 3,5 +363 * 2/7 = 239 : 7/2 +363 * 2/7 = 239 * 2/7 +363 * 2/7 = (239 + 363) * 2/7 = 602 *2/7 , согласитесь гораздо проще умножить 602 на 2/7, чем 239 : 3,5 и 363 * 2/7. Это сокращает время на решение, а это важно! Кстати, в примере получается 172.

Давайте рассмотрим еще три подобных примера:
1) 367 : 0,5 — 167 : 0,5 = 367 : ½ - 167 : ½ = 367 *2 — 167 * 2 = (367 — 167) * 2 = 200 * 2 = 400
2) 2380 + 2527 : 7 + 693 : 7 = 2380 + 2527 * 1/7 + 693 * 1/ 7 = 2380 + (2527 + 693) * 1/ 7 =
= 2380 + (2527 + 693) * 1/ 7 = 2380 + 3220 * 1/ 7 = 2380 + 3220 : 7 = 2380 + 460 = 2840
3) 34 : 1 ¼ + 66 * 0,8 = кажется, что нет ничего хорошего для рационального вычисления, но давайте обратим внимание на 1 ¼ = 5/4, а это взаимно обратное число с 0,8 = 8/10 = 4/5, значит можно воспользоваться рациональным вычислением
34 : 1 ¼ + 66 * 0,8 = 34 : 5/4 + 66 * 4/5 = 34 * 4/5 + 66 * 4/5 = (34 + 66 ) * 4/5 = 100 * 4/5 = 80.

Действие деления с дробями всегда считалось сложной областью математики. Особенно в средние века, когда люди только начинали использовать «ломанные числа» - так они называли обыкновенные дроби. А немцы до сих пор говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».
Я надеюсь, что способы рационального вычисления, замены деления на умножения не позволят вам попадать в дроби.

Удачи!