Решение задач на совместную работу
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: Актуализировать представления связи между целым и его частью, осветить применение этих соображений в простых и более сложных задачах на совместную работу. Ознакомить с концепцией совместной работы как противоположно направленного и сонаправленного движения.

Предметные результаты: познакомить с решением задач на совместную работу в случае работы, не равной 1.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Здравствуйте, уважаемые дамы и господа. Человеческий труд, ровно как и труд нечеловеческий, является одним из тех чудесных проявлений воли, которое меняет окружающий мир. Не было ямы – мы захотели, чтобы она появилась – мы поработали – и ура, окружающий мир невообразимо изменен согласно нашим пожеланиям! Что же может быть в этом сложного? Ответ напрашивается сам собой, для каждого кто развлекался подобным образом. Конечно же это социальное взаимодействие, а именно, столкновение воли нескольких людей. Что будет если Вася тоже хочет, чтобы яма появилась? Как его работа повлияет на нашу? А если Петя против этой ямы, и начнет её стремительно засыпать, то что получится тогда? Как не странно, математика предлагает (оставляя за скобками те или иные житейские неурядицы) создавать математические модели подобных процессов и давать неутешительные ответы на подобные вопросы.

Давайте рассмотрим какую-нибудь ситуацию, например применительно к уже знакомой нам яме.

1. Вводная задача о работе в команде.
Владимир старательно копал яму, причём делал это не просто так, а с целью получить 600 кг плодородного грунта для дачи. За первые два дня он добыл таким образом 100 кг грунта, и поняв всю трудность задачи, позвал на помощь соседа Васю, про которого всем известно, что он профессионально копает ямы, поэтому работу, которую Владимир делает за два дня, он делает за пол дня. Через сколько дней после начала раскопок земельные работы закончатся?

Давайте посмотрим: за день Владимир добывает 50 кг, а Вася, 200 кг. При этом к моменту, когда Вася приступал к работе, уже прошло 2 дня и осталось выкопать 500 кг.

Не сложно заметить, что в день они будут выкапывать по 250 кг грунта (они считаются достаточно умелыми чтобы не мешать друг другу при работе) и с оставшейся задачей справятся за 2 дня.

Значит всего на эту работу уйдут 4 дня (2 с Васей и 2 до его появления).

Что нам очень помогло в данной задаче? То, что мы знали, сколько килограммов земли в день вынимают наши деятели, и поэтому смогли всё довольно точно и непосредственно рассчитать. Легко догадаться что такая удобная ситуация будет возникать не всегда…

2. Вводная задача о вредительстве
Уже знакомый нам Вася, который способен добыть по 200 кг земли в день, начинает по ночам со страшной силой похищать эту самую землю у Владимира (того самого, добывающего по 50 кг в день), перетаскивая на свой участок землю Владимира, решив что такая отличная земля и ему тоже пригодится (мы же помним, что у Владимира на участке скопилось 600 кг плодородной земли по итогам прошлой задачи). Заметив это безобразие Владимир, в течении дня, пока Вася на работе, со всей возможной скоростью возвращает грунт назад. На какой день после начала этого увлекательного процесса вся добытая соседями земля окажется на участке Васи впервые?

Заметим, что по условию этой задачи все участники процесса уклоняются от личной встречи и предполагаемого насилия.

Давайте изучим путешествие земли за сутки. Сначала 600 кг спокойно лежали у Владимира, потом за ночь 200 кг перемещается на участок Васи, а за день 50 кг грунта вернулись назад. Значит за сутки 150 кг земли оказывается перемещено. А значит на четвертый день вся эта земля удачно сменит место пребывания.

Опять же, что нам помогает? То, что мы можем вычислить количество перемещенного грунта в каждый момент, и таким образом узнать, когда же процесс прекратится.

Задача 3.
Для библиотеки требуется переплести 64800 книг. Одна мастерская берется выполнить заказ за 12 дней, другая – за 15 дней, третья – за 20дней. За сколько дней выполнят этот заказ все три мастерские, работая одновременно?

Первый способ:

Давайте посмотрим. Первая мастерская переплете 64800:12=5400 книг в день, вторая 64800:15=4320, третья 64800:20=3240 книг в день. Значит вместе они переплетут 5400+4320+3240=12960 книг в день, и полностью справятся за 64800:12960=5 дней.

Второй способ:

Давайте посмотрим. Первая мастерская выполняет за первый день заказа, вторая заказа, а третья всего заказа. Значит, работая вместе они будут выполнять часть заказа.

Тогда, если каждый день выполняется часть, то не трудно заметить, что весь заказ будет выполнен за 5 дней.

Заметим очень интересную вещь – оказывается мы можем выяснить за какое время управятся мастерские не имея информации о размере и структуре заказа. И это очень ценное наблюдение!

Задача 4.
Барану стога сена хватает на 10 дней, а овце на 15 дней. На сколько дней его хватит им обоим?

Баран съедает в день стога, а овца стога. Что означат, что в месте, за день, они съедят часть стога, а значит хватит его на 6 дней.

Задача 5.

Сивый мерин проскачет расстояние между городами за 60 минут, а Конек-Горбунок за 40 минут. Через сколько минут они встретятся, если выедут из этих городов навстречу друг другу?

За одну минуту мерин проходит расстояния, а Горбунок расстояния. Значит, так как они движутся навстречу, то за минуту они проходят часть расстояния, что значит, что всё расстояние они пройдут за 24 минуты.

Задача 6.

Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через 20 минут, а ещё через 25 минут первый пешеход пришёл в В. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришел в А?

Давайте разбираться. За минуту они вместе проходят часть пути, а первый пешеход часть пути. Значит за минуту второй пешеход проходит часть пути, что значит, что весь путь он пройдёт за 36 минут, а тогда после встречи до его финиша проёдет 36-20=16 минут.

Задача 7.

Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 3 часа 36 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 6 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Пер­вая труба за час на­пол­ня­ет бас­сей­на, а две трубы за час наполняют часть бассейна.

Сле­до­ва­тель­но, вто­рая труба за час за­пол­няет часть бас­сей­на. По­это­му весь бас­сейн она за­пол­нит за 9 часов.

Задача 8.

Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 мин 20 с. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

За секунду холодной водой заполняется часть ванны, а горячей часть. В то же время вытекает из неё часть ванны. Это значит, что за секунду набирается часть ванны, и закончится всё это за 300 с, то есть за 5 минут.

Что мы таким образом научились делать на данном занятии? Мы научились учитывать совместную работу, как при помощи так и при помехе, а кроме этого узнали, что совершенно не обязательно всё понимать про саму работу, для нахождения многих интересных результатов.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тесты:

Задача 1.

Черный и красный дракончики способны выжечь 12 га леса за 4 дня. Черный дракончик в одиночестве может сделать это за 6 дней. За сколько дней одинокий красный дракончик может совершить данное злодеяние? Попробуйте выяснить это двумя способами.

Задача 2.

В подсобке хранятся фарфоровые кошки. Балбесу, чтобы хлороформировать их, требуется 3 минуты, а Трусу – 6 минут. За сколько минут они обезвредили бы кошек, действуя вместе?

Задача 3.

Если бы в баке не было дырки, то он наполнялся бы из крана за 7 минут. Вся вода вытекает из полного бака за 56 минут. За сколько минут наполнится дырявый бак из того же крана?

Задача 4.

Первая бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, а потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней выполнено всё задание?

Задача 5.

Петя и Ваня вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Петя от­ве­ча­ет за час на 8 во­про­сов теста, а Ваня – на 9. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Петя за­кон­чил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?