Урок 70. Задачи на совместную работу и движение навстречу друг другу 
Предмет: Математика, 5 класс

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 70

Задачи на совместную работу и движение навстречу друг другу

Перечень рассматриваемых вопросов:

– решение задач на совместную работу без использования дробей;

– использование аналогии между задачами на совместную работу и задачами на движение навстречу;

– решение задач нестандартным способом.

Тезаурус

Наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b – наименьшее натуральное число, делящееся нацело на каждое из чисел a и b.

Производительность – часть работы, выполненной за единицу времени.

Общая производительность – объём (часть) работы, выполненной совместно всеми работниками за единицу времени.

Время работы – время, за которое выполняется работа.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущем уроке мы познакомились с понятиями производительность, совместная работа, разобрали арифметический способ решения задач на совместную работу. Но кроме рассмотренного варианта существуют другие способы и приёмы решения таких задач, познакомимся с одним из них.

Задача. Первая труба заполняет бассейн за 14 часов, а вторая за 35 часов. За какое время заполнится бассейн при одновременной работе обеих труб?

Разобранный на предыдущем уроке способ заключался в следующих действиях:

Решение:

Ответ: за 10 часов.

Решим эту же задачу другим способом.

У нас есть два времени – 14 и 35 часов. Подберём число, которое делится без остатка и на 14, и на 35. Это число 70. 70 часов – это время, за которое первая труба может наполнить пять бассейнов, а вторая труба – два бассейна. Работая вместе, за 70 часов обе трубы наполнят 7 бассейнов. Значит, один бассейн они будут наполнять за время, в семь раз меньшее 70-ти, то есть за 10 часов.

Ответ: за 10 часов.

Решим таким же способом задачу, в которой нужно найти не время общей работы, а производительность одного из работников.

Задача. Два работника обмолотили воз пшеницы за 8 часов. Известно, что первый из них, работая один, может справится за 12 часов. За сколько времени может обмолотить пшеницу второй работник, работая один?

Решение:

Подбираем число, которое делится без остатка на 8 и 12 – это число 24.

Подсчитаем, сколько возов за 24 часа они могли бы обмолотить вместе.

24 : 8 = 3 (воза) – обмолотят вместе за 24 часа

Знаем, что один работник справляется с возом пшеницы за 12 часов. Значит за 24 часа он может обмолотить: 24 : 12 = 2 (воза) – обмолотит первый работник за 24 часа

Значит, один за 24 часа молотит 2 воза пшеницы, а вдвоём – 3 воза. Тогда второй за 24 часа: 3 – 2 = 1 (воз) – обмолотит второй работник за 24 часа

Ответ: за 24 часа.

Рассмотрим ещё один тип задач.

Задача. Маша проходит расстояние от школы до дома за 30 минут, а её брат проходит это же расстояние за 20 минут. Через сколько минут Маша встретится с братом, если они выйдут одновременно навстречу друг другу?

Такие задачи относятся к задачам на «совместную работу», хотя очевидной работы нет. Здесь работой является прохождение пешеходами пути. А совместной работой – прохождение пути вместе, но не рядом, а навстречу друг другу. Чтобы каждый прошёл свою часть пути, выполнил свою часть работы.

Подберём число, делящееся без остатка на 20 и на 30 – это число 60.

1) 60 : 30 = 2 (расстояния) – может пройти Маша за 60 минут

2) 60 : 20 = 3 (расстояния) – может пройти брат за 60 минут

За 60 минут Маша успеет пройти путь 2 раза, а брат успеет пройти этот путь 3 раза.

3 + 2 = 5 (расстояний) – проходят за 60 минут вдвоём

То есть вместе за 60 минут они проходят расстояние, равное 5 расстояниям от дома до школы.

Пять расстояний за 60 минут, значит, время на одно расстояние можно найти, разделив 60 на 5.

60 : 5 = 12 (минут) – время на прохождение одного расстояния при движении навстречу

Двенадцать минут потратят на весь путь Маша и брат, двигаясь навстречу друг другу.

Ответ: встретятся через 12 минут.

Алгоритм решения задач на совместную работу (нестандартный приём):

Т1, Т2, Т3 – время, за которое объекты выполняют всю работу, работая по одному.

Всю выполненную работу принять за единицу (1);

Подобрать число Т, одновременно делящееся без остатка на Т1, Т2, Т3;

Подсчитать, сколько раз за время Т каждым работником может быть выполнена работа, принятая за 1;

Найти общее количество «работ», которое могут выполнить все работники за время Т;

Найти время совместного выполнения работы, разделив Т на общее количество «работ».

Решим задачу на совместную работу повышенной сложности.

Задача. Чтобы загрузить вагон с песком, используют два погрузчика, которые, действуя одновременно, загружают вагон за 6 минут. При загрузке оба погрузчика работали в течение 2 минут, потом работал только второй погрузчик, который через 12 минут закончил загрузку. За сколько минут каждый погрузчик, действуя один, может загрузить вагон песком?

Решение.

Известно время загрузки вагона двумя погрузчиками, найдём их общую производительность. Для этого всю работу, принятую за единицу, разделим на время выполнения этой работы:

(часть работы за 1 минуту) – общая производительность

Найдём, какую часть работы выполнят два погрузчика за 2 минуты. Для этого общую производительность умножим на время работы:

Это выполненная часть работы

Найдём оставшуюся часть работы, которую выполнял второй погрузчик, вычтя из всей работы, равной 1, выполненную часть работы:

Это оставшаяся часть работы.

Оставшуюся часть работы выполнил 2-й погрузчик за 12 минут. Найдём его производительность, разделив выполненную им часть работы на время работы:

Это производительность 2-го погрузчика.

Зная общую производительность и производительность 2-го погрузчика, найдём производительность 1-го погрузчика, вычтя из общей производительности производительность 2-го:

Это производительность 1-го погрузчика

Зная производительности, найдём время работы каждого, разделив всю работу на соответствующую производительность:

18(мин) – время работы 2-го погрузчика

9 (мин) – время работы 1-го погрузчика

Ответ: на загрузку всего вагона 1-й погрузчик затратит 9 мин. , 2-й погрузчик – 18 мин.

На уроке мы провели аналогию между задачами на движение навстречу и задачами на совместную работу; рассмотрели нестандартный способ решения задач на совместную работу и движение навстречу, который позволяет решать задачи без использования дробей.

Тренировочные задания

№ 1. Актовый зал школы оформляют к последнему звонку. 9 «A» класс может оформить зал за 4 ч, 9 «Б» – за 5 часов, 9 «В» – за 6 часов. За какое время, работая вместе, 9-е классы оформят актовый зал к празднику?

Решение.

Подберём число, делящееся без остатка на 4, 5, 6 – это 60.

Посчитаем, сколько раз каждый класс может оформить зал за 60 часов:

60 : 4 = 15 (раз) – 9 «А»

60 : 5 = 12 (раз) – 9 «Б»

60 : 6 = 10 (раз) – 9 «В»

Всего за 60 часов три класса, работая вместе, могут оформить зал:

15 + 12 + 10 = 27 (раз) могут оформить зал три класса, работая вместе.

Если за 60 часов оформляется 27 залов, значит, один зал будет оформлен за:

Ответ: 20/9 (ч) – время на оформление зала при совместной работе 3-х классов.

№ 2. Первая бригада может положить асфальт за 20 дней, второй бригаде требуется половина этого времени, а третьей бригаде – в 3 раза больше, чем второй. За сколько дней положат асфальт три бригады, работая вместе?

Решение.

Определим, сколько времени требуется каждой бригаде, если второй необходима половина времени 1-й бригады:

20 : 2 = 10 (д) – время работы 2-й бригады.

3-й бригаде времени надо в 3 раза больше, чем 2-й бригаде:

10 ∙ 3 = 30 (д) – время работы 3-й бригады.

Подберём число, делящееся на 10, 20, 30 без остатка – это число 60.

Сосчитаем, сколько «работ» может выполнить каждая бригада за 60 дней:

60 : 20 = 3 – 1-я бригада.

60 : 10 = 6 – 2-я бригада.

60 : 30 = 2 – 3-я бригада.

Найдём общее количество работ при совместной работе всех бригад за 60 дней: 3 + 6 + 2 = 11

Если за 60 дней три бригады при совместной работе могут положить асфальт 11 раз, значит, на 1 раз потребуется времени:

Ответ: 60/11 (дней) будут выполнять работу три бригады вместе.