Простейшие комбинаторные задачи. Часть 2 (разбор задач)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: формирование у учащихся навыка решения простейших комбинаторных задач с помощью правил сложения, умножения, с помощью разбора случаев.

Предметные результаты: развитие навыков решения комбинаторных задач с использованием метода перебора вариантов и правилом умножения.

Метапредметные и личностные результаты: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, сравнивать и анализировать информацию, делать выводы на основе полученной информации.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы рассмотрим простейшие комбинаторные задачи, в которых при выборе объектов важен порядок среди них.

Рассмотрим пример.

Пример 1. (или аналог) Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга.

Белого короля можно поставить на любое из 64 полей, однако занятая им позиция влияет на количество клеток, в которые можно поставить второго короля. Рассмотрим случаи.

Допустим, белый король поставлен в угол шахматной доски. Так может случиться только с 4 клетками, составляющими, собственно, углы доски. В каждом таком случае недоступными для чёрного короля становятся 3 клетки + та, на которой уже стоит белый. То есть, остаётся 60 клеток, в каждую из которых можно поставить чёрного короля.

В это случае всего вариантов получается: 4 * 60 = 240

Допустим, белый король на краю доски, но не в углу. Тогда чёрного нельзя ставить уже в 5 клеток + уже занятая, то есть, свободных мест будет: 64-6=58. Белый король при этом может занимать одну из 24 «сторонних» клеток.

В этом случае количество способов составит: 24 * 58 = 1 392

Если белый король не находится на краю доски, то он бьёт 8 полей, + ещё на одном находится сам. Тогда для чёрного короля возможных мест: 64 – 9 = 55. А способов расположить белого короля не на краю доски 36.

Тогда здесь всего 36 * 55 = 1 980 вариантов.

Просуммируем все эти случаи: 4*60+24*58+36*55 = 3 612 способов!

В комбинаторике мы часто сталкиваемся с задачами, в которых при подсчёте количества способов необходимо учитывать порядок.

Пример 2 (или аналог). Фирме с 10 сотрудниками нужно назначить директора и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Для выбора директора у нас 10 вариантов. При каждом выборе директора остаётся ещё 9 вариантов выбрать заместителя. Значит, получаем: 10*9=90 способов.

Заметим, что если человек А был директором, а В – заместителем, то у нас учтён и вариант, при котором В – директор, а А – заместитель.

В этой задаче был важен порядок. Рассмотрим пример задачи, в которой порядок не важен.

Пример 2. (или аналог) В той же фирме с 10 сотрудниками необходимо выбрать 2 человек для покупки ёлки к Новому году.

В этой задаче не важно, кто из выбранных людей будет первым из двух выбранных, а кто – вторым. В таком случае количество вариантов будет ровно в два раза меньше, чем в предыдущем примере, поскольку варианты, в которых А – первый, а В – второй можем считать одинаковыми.

Получается: (10*9):2=45 способов.

Пример 4. (или аналог) Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в записи которых эти цифры не повторяются? (543 подходит, например)

На первое место мы можем поставить 5 различных цифр, на втором месте – любая из четырёх оставшихся, а на третьем месте – любая из трёх оставшися.

Итого: 5*4*3 = 60

Пример 5. (или аналог) Сколько существует способов выбрать 3 кнопки из 10 на кодовом замке из предыдущего урока?

Вспомним, для начала, как выглядит кодовый замок:

Заметим, что кодовый замок открывается одновременно нажатием трёх кнопок, то есть, порядок нажатия кнопок не важен. На первом месте может оказаться 10 цифр, на втором – 9, на третьем 8. Казалось бы, что задача решена, но не самом деле не совсем так, поскольку для кодового замка набирать «345» и набрать «543» - одинаковое действие. Сколько же различных комбинаций можно оставить из трёх цифр:

543

534

453

435

345

354

Заметим, что таких комбинаций всего 6 и применим это к задаче: (10*9*8):6 = 120.

Пример 7. (или аналог) На празднике планируется 7 гостей, двое из которых (Ваня и Катя), хотят сидеть вместе за круглым столом. Сколькими способами можно спланировать их рассадку?

Если Ваня и Катя хотят сидеть вместе, примем два их места за одно. Тогда количество способов рассадить оставшихся гостей можно вычислить с помощью выражения: 5*4*3*2*1 = 120. Теперь примем во внимание, что рассадка «Ваня – Катя» и «Катя – Ваня» могут считаться одинаковыми, поэтому при каждом из уже посчитанных способов Ваня и Катя могут поменяться местами, отчего остальная рассадка не изменится. То есть, количество способов рассадить гостей удваивается:

120*2 = 240.

Пример 4. (или аналог) На доске было написано трёхзначное число. Вася стёр две последние цифры этого числа и написал такие новые, что они либо на 1 больше, либо на 1 меньше, чем исходные. Можно ли за 4 попытки угадать, какое число было написано на доске изначально, если сейчас на доске написано число 238?

Число 238 могло получиться из 247, 227, 249, 229.

Итак, сегодня мы научились решать простейшие комбинаторные задачи, в которых важен или не важен порядок при подсчёте количества способов.

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, занимательные задачи, №325, 326 (или аналог).

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, занимательные задачи, №334, 335 (или аналог).