Решение задач на операции над высказываниями. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: закрепление представлений о высказываниях и операциях над ними.

Предметные результаты: формирование основных понятий по теме: «Алгебра высказываний. Основные логические операции».

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте. Мы с вами в точности разобрались с тем, что представляют из себя высказывания и операции над ними. Пора применить наши знания на практике!
Задача 1. На крыльце дома сидят рядом мальчик и девочка. Саша говорит: «Я мальчик». Женя говорит: «Я девочка». Хотя бы один из них врет. Кто мальчик, а кто девочка?

Если Саша мальчик, а Женя девочка, то оба ребенка говорят правду. Противоречие. Если Саша девочка, а Женя мальчик, то оба ребенка врут, что не исключается условием «хотя бы один из них врет».

Ответ. Саша — девочка, а Женя — мальчик.

Задача 2. В некоем конгрессе заседают 100 политических деятелей. Каждый из них либо продажен, либо честен.
Известно, что:

1) по крайней мере один из конгрессменов честен;

2) из каждой произвольно выбранной пары конгрессменов по крайней мере один продажен.

Сколько честных политических деятелей в этом конгрессе?

Рассмотрим честного конгрессмена в паре со всеми остальными по очереди. По условию 2 второй в паре всегда продажен.

Ответ. Один.

Задача 3. Из трех мальчиков, которых зовут Антон, Ваня и Саша, только один всегда говорит правду. Антон

сказал: «Ваня не всегда говорит правду», Ваня сказал: «Я не всегда говорю правду», а Саша сказал: «Антон не всегда говорит правду». Кто же из них всегда говорит правду, если известно, что по крайней мере один из них солгал?

1) Легко видеть, что Ваня говорит правду (если предположить, что он лжет и высказывание «Я не всегда говорю правду» не является правдой, то правдой будет: «Я всегда говорю правду», т. е. получится противоречие).

2) Так как смысл высказывания Антона такой же, то Антон тоже говорит правду.

3) По условию, один из мальчиков солгал, значит, это — Саша.

4) Саша сказал: «Антон не всегда говорит правду» — и при этом солгал, значит, Антон всегда говорит правду.

Ответ: Антон.

Задача 4. Аня просит купить яблоки и сливы, Боря — яблоки или абрикосы, Витя — абрикосы или персики, Галя — яблоки и персики. Денег у мамы хватает только на 3 вида фруктов. Как ей выполнить пожелания всех детей? Чтобы выполнить пожелание Ани, необходимы и яблоки, и сливы. Чтобы порадовать Галю, нужны еще и персики. Остается лишь проверить, что Боря и Витя при этом тоже будут довольны.

Ответ. Надо купить яблоки, сливы и персики.

Задача 5. Первого апреля кто-то поменял таблички на дверях в учительскую, столовую и спортзал. Ни одна из трех новых табличек: «Столовая», «Спортзал», «Столовая или спортзал» не соответствует действительности. Куда ведет дверь с табличкой «Спортзал»? Третья дверь может вести только в учительскую. Значит, за дверью с табличкой «Спортзал» не спортзал и не учительская, т. е. столовая.

Ответ. В столовую.

Задача 6. Судья допрашивает трех свидетелей. Жан утверждает, что Жак лжет, Жак обвиняет во лжи Руссо, а Руссо уговаривает не верить ни Жану, ни Жаку. Кто из свидетелей говорит правду?

Если Руссо прав, то Жан и Жак оба лгут, чего не может быть (вспомните, что говорит Жан). Значит, Руссо лжет. Поэтому Жак прав. А тогда Жан лжет.

Ответ. Правду говорит только Жак.

Подведем итог:

мы всё чаще и чаще начинаем понимать, что от нас хотят хитрые составители задач, и на сколько многообразные выводы можно сделать из на первый взгляд не слишком связанной между собой информации.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Замените высказывания барона Мюнхгаузена на противоположные:

1) Луна сделана из сыра, а Солнце из масла.

2) Я видел медведя, а он меня — нет.

3) Я не боюсь ни львов, ни крокодилов.

4) Лошадь заблудилась или ее засыпало снегом.

5) Я отправился в разведку на коне или на ядре.

Задача 2. Какие из четырех утверждений верны, а какие нет? Почему?

1) Все прямоугольники — квадраты.

2) Все квадраты — прямоугольники.

3) Некоторые прямоугольники — квадраты.

4) Некоторые квадраты — прямоугольники.

Задача 3. 1) Неверно, что все друзья моего друга — мои друзья. Что тогда верно?

2) Неверно, что все ананасы неприятны на вкус. Что тогда верно?

3) Неверно, что некоторые волки — оборотни. Что тогда верно?