Решение задач на степень с целым показателем
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления степени числа, рассмотреть различные задачи на нахождение степени, разработать с учащимися правила решения таких задач.

Здравствуйте, ребята.

Сегодня мы будем решать задачи на степень с рациональным показателем. Но для начала вспомним все свойства степени, которые нам известны на данный момент:

1. Степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.
a n = a *a *a *a * … * a
n множителей

2. Четная степень отрицательного числа — число положительное,
нечетная степень отрицательного числа — число отрицательное.

3. Знаем, что а -1 = 1/а.
Тогда мы сможем определить любую отрицательную степень, как а - n = (а -1 ) n , то есть как n-ую степень числа а-1 .

4. Для натуральной степени рационального числа справедливо известное нам свойство: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются: a n * a m = a n +m.

5. Для натуральной степени верно равенство a n * b n = (a * b ) n

Рассмотрим несколько задач, для решения которых наши знания нам очень пригодятся.

Задача 1.
Записать в виде произведения и вычислить
а) 25
б) (-6)3
в) (-2/3) 4
г) 7 -2
д) (2 1/3) 3
Решение:
будем находить значение выражения по определению степени, как произведение одинаковых сомножителей
а) 25 = 2*2*2*2*2 = 32
б) (-6)3 = (-6)* (-6) * (-6) = -216
в) (-2/3) 4 = (-2/3) * (-2/3) * (-2/3) * (-2/3) = 16/81
г) 7 -2 = (7 -1 ) 2 = ( 1/7) 2 = (1/7) * (1/7) = 1/49
д) (2 1/3) 3 = (7/3) 3= (7/3) * (7/3) * (7/3) = 343/27 = 12 19/27

Задача 2.
Вычислите
а) 34 - (- 2)4 = 81 — 16 = 65
б) (1/4) -2 + 4 -2 = 16 + 1/16 = 16 1/16
в) (-14) 5 * (- 3/14) 5 = ((-14)*(- 3/14)) 5 = ( 3) 5 = 243
г) (-2) 3 *(-0,5)3 = ((-2) *(-0,5))3 = (1)3 = 1

Задача 3.
Сравните
а) (-0, 01)12 и (-5,25)19
Знаем, что четная степень отрицательного числа будет числом положительным, а нечетная степень отрицательного числа будет числом отрицательным, поэтому в левой части получается положительное число, а в правой части — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного, значит выражение в левой части больше, чем выражение в левой части.
(-0, 01)12 > (-5,25)19
б) (-2,17)16 и (-20,17)15
Аналогично рассуждаем как в пункте а)
(-2,17)16 > (-20,17)15
в) 3,33 18 и ( – 3,33)18
Аналогично рассуждаем, но в данном случае оба числа получаются положительные и одинаковые, поэтому между ними ставим знак равенства.
3,33 18 = ( – 3,33)18

Задача 4.
Найти числовое значение выражения, при указанных значениях переменных
а) а3 – b3 при a= -1/2, b= -1/4
б) (1 – а) 3 при а = 1 2/3
в) – b2 при b = -9
г) х -3 при х = 1/6
Рассмотрим решение в каждом случае, подставляя в выражение указанные значения:
а) (-1/2)3 – (-1/4)3 = - 1/8 - (- 1/64) = -1/8 + 1/64 = -8/64 +1/64 = -7/64
б) (1 – 1 2/3) 3 = (- 2/3) 3 = - 8/27
в) – b2 = – (-9) 2 = - 81
г) х -3 = (1/6) -3 = (6) 3 = 216

Задача 5.
Запишите выражение и найдите его значение
а) Найти частное от деления суммы квадратов двух данных чисел на квадрат разности этих чисел, если первое число равно 3, а второе (-7).
Сумма квадратов двух чисел запишется, как ( 32 + (-7)2 ), квадрат разности запишется, как ( 3 - (-7))2, частное запишем в виде дроби ( 32 + (-7)2 ) / ( 3 - (-7))2 .
Теперь вычислим полученное выражение ( 32 + (-7)2 ) / ( 3 - (-7))2 = (9 +49) / (10 )2 = 58/100 = 0,58
б) Найти произведение разности квадратов двух данных чисел на квадрат суммы этих чисел, если первое число равно (-4), а второе (-3).
Рассуждаем аналогично и получаем выражение ( (- 4)2 - (- 3)2 ) * (- 4 + (-3))2 = ( 16 — 9) * (-7)2 =
= 7 * 49 = 343

Таким образом, мы убедились в том, что различные задачи решаем, используя свойства степени, которые нужно помнить и уметь применять.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Задание 1.
Вычислите
а) 4 4
б) (-2) 5
в) (1/5) 4
г) 5 -3
д) (1,2) 3

Ответы
а) 256
б) - 32
в) 1/625
г) 1/125
д) 1,728

Рекомендуемые тесты:

Задание 1.
Найдите значение выражения при указанных значениях переменной
а) а 4 + b 5 = при а=10, b= - 2
б) – b2 + (– b)2 при b = -3

Задание 2.
Вычислите, используя свойства степени
а) ( 2, 5 ) 3 * 4 3 =
б) (- 2) 3 * (-2) 5 =

Ответы:
1. а) 9968; б) 0
2. а) 1000; б) 256