Урок 17. Вектор в пространстве
Предмет: Геометрия, 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №17. Вектор в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

знакомство с правилами действий с векторами в пространстве.

- познакомиться с основными понятиями, используемыми в данной теме;

- сформировать представление о векторных и скалярных величинах;

- научиться выполнять действия с векторами, преобразовывать векторные выражения.

учащиеся научатся различать векторные и скалярные величины, выполнять действия с векторами в пространстве и применять законы действий с векторами для преобразования и упрощения векторных выражений.

Сортировка по категориям скалярных и векторных величин. Отличительные особенности векторных величин. Повторяется определение вектора из курса планиметрии.

Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов - М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

1)Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.

КК - нулевой вектор, обозначается . Длина вектора обозначается ||.

2)Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Пусть два ненулевых вектора и коллинеарные. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы с и d противоположно направлены.

3)Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Интерактивная модель "Равные, противоположные, нулевые, сонаправленные, противоположно направленные векторы ".

4)Действия над векторами. Сложение векторов по правилу треугольника.

Для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный . Вектор называется суммой и . Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство +=

5)Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Для этого векторы откладывают от одной точки. Это правило пояснено на рисунке.

Интерактивная модель "Законы действия с векторами".

Сумма нескольких векторов в пространстве находится так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

Интерактивная модель "Правило многоугольника".

6)Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

7)Вычитание векторов: Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Разность - можно найти по формуле - = + (-), где (-) - вектор, противоположный вектору .
-=.

8)Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|·||, причем векторы и сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на произвольное число считается нулевой вектор.
Произведение вектора на число k обозначается так: k. Из определения произведения вектора на число следует, что для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны. Из этого же определения следует, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Для любых векторов , и любых чисел k, l справедливы равенства:
(kl) = k(l) (сочетательный закон);
k( + ) = k + k (первый распределительный закон);
(к+l) = k + l (второй распределительный закон).

Лемма. Если векторы и коллинеарны и вектор не равен нулевому вектору, то существует число k такое, что вектор равен k.

Интерактивная модель "Законы действия с векторами".