Второй признак равенства треугольников
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: вспомнить понятие равенства фигур и доказать первый признак равенства треугольников, проиллюстрировав его полезность следствиями.

Здравствуйте! Давайте попробуем разобраться: правда ли, что только равенство сторон треугольников и угла между ними позволяет утверждать, что треугольники равны?

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих угла треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, ∠А = ∠А1, ∠B = ∠B1. Докажем, что ΔABC = ΔA1B1C1.

Так как АВ = A1B1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, стороны АВ и А1С1 совместятся, причем C и C1 окажутся в одной полуплоскости. Поскольку ∠А = ∠А1, то луч AC совместится с A1C1, аналогично BC совместится с B1C1, а тогда и точки их пересечения совпадут. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Заметим, что в дальнейшем будет доказано, что сумма углов треугольников есть величина постоянная, поэтому на самом деле имеет место расширенная версия второго признака равенства треугольников, которая не требует того, чтобы углы были обязательно прилежащими.

Давайте немедленно попробуем убедиться, насколько полезно данное утверждение.

Следствие:

Если в прямоугольном треугольнике катет и прилежащий острый угол соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Непосредственно вытекает из теоремы.

Заметим, что с помощью расширенной версии второго признака можно расширить и данный признак, не требуя того, чтобы острый угол прилежал катету.

Пример №1:

Известно, что ∠A = ∠C, AO = OC. Докажите, что OB = OD.

Треугольники АОB и OCD равны по второму признаку, значит в них равны соответственные элементы.

Пример №2:

Известно, что ∠D = ∠C, OC = OD. Докажите, что OВ = OА.

∠ACO = ∠BDO как смежные с равными углами, ∠AOC = ∠BOD как вертикальные, а тогда по второму признаку треугольники равны, а значит соответственные элементы равны.

Пример №3:

На рисунке ∠DBC = ∠DAC, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D.

COD = DOB как смежные с совпадающим, значит треугольники ACO и BOD равны по стороне и двум прилежащим углам, а тогда и соответствующие углы равных треугольников равны.

Пример №4:

∠1 = ∠2, AO = OD. Докажите, что прямая, проходящая через O перпендикулярно BC делит отрезок BC пополам.

∠BAO = ∠ODC как смежные с равными, ∠AOB = ∠DOC как вертикальные, а тогда ∆AOD = ∆COB и BO = OC. Тогда треугольник BOC равнобедренный, и высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой.

Таким образом мы с вами сегодня доказали один из мощнейших инструментов для дальнейшей работы, который чрезвычайно обогатит нас всевозможными фактами из всех разделов геометрии.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 9: 1.1, 2.1, 3.1.

Рекомендуемые тесты:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 9: 4.1, 5.1, 6.1