Решение задач на простые и сложные проценты. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: сформировать умение решать задачи на простые и сложные проценты, научить переводить реальные ситуации в соответствующие математические модели.

Добрый день, дорогие ребята!

На предыдущих уроках вы познакомились с формулами простых и сложных процентов. Вы учились применять эти формулы при решении различных задач: на вклады, кредит, штрафы, налоги и т. д.

Давайте вспомним, что если при вычислении процентов всё время исходят из начального значения величины, то речь идёт о простых процентах.

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят из величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов («процентов на проценты»).

При решении задач важно понять, с задачей какого типа мы имеем дело, уметь различать задачи на вычисление простых и сложных процентов. В этом мы сегодня с вами и потренируемся.

Давайте рассмотрим задачу:

Задача 1.

По закону о защите прав потребителя продавец несёт ответственность за каждый день задержки выполнения требований потребителя о замене некачественного товара в размере 1 % цены вещи. Чему была равна стоимость товара, если продавец был вынужден заплатить (включая стоимость товара) 18 400 рублей из-за задержки на 15 дней?

Рассуждаем: по условию задачи продавец в случае невыполнения требования покупателя должен заплатить штраф в размере 1 % от цены вещи за каждый день просрочки, т. е. речь идёт о простом процентном росте. Действительно, цена будет возрастать на одну и ту же сумму. Воспользуемся формулой простых процентов:

, где а – первоначальная цена вещи, p % – процент штрафа, n – число просроченных дней, S – сумма, которую должен вернуть продавец. По условию задачи p = 1 %, n = 15 дн., = 18 400 р., а – неизвестно.

Подставим данные в формулу: Получаем уравнение с переменной а. Решим уравнение:

Т. о. первоначальная стоимость товара составляла 16 000 рублей.

Ответ: 16 000 рублей.

Задача 2.

Новый компьютер был куплен за 40 000 рублей. Каждый год его амортизация составляет 10 % первоначальной стоимости. Сколько будет стоить компьютер через 6 лет?

Решение:

Выражение «амортизация составляет 10 % в год» означает, что каждый год первоначальная стоимость компьютера уменьшается на 10 % от его первоначальной стоимости. Из условия понятно, что речь идёт о простом процентном росте, вернее о его уменьшении. Воспользуемся формулой

, где а – первоначальная цена компьютера, p % – процент амортизации, n – количество лет эксплуатации, S – стоимость после нескольких лет эксплуатации. По условию задачи

Ответ: через 6 лет компьютер будет стоить 16 000 рублей.

Очевидно, эту задачу можно было решить другим способом, не используя формулу простых процентов. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Вы, наверное, уже заметили, что большая часть задач на простой и сложный процентный рост связана с денежными расчётами, но не всегда. Например, давайте рассмотрим следующую задачу:

Задача 3.

Население города N ежегодно увеличивается в среднем на 2 %. На сколько увеличится население через 3 года, если сейчас оно составляет 900 тыс. человек? Результаты вычислений округлите до единиц тысяч.

Решение:

Рассуждаем: по условию задачи население города ежегодно увеличивается на 2 %. Речь идёт о сложном процентном росте, так как 2 % необходимо находить от величины населения, полученной на предыдущем шаге вычисления. Значит, мы можем воспользоваться формулой:

, где а – количество людей в городе на данный момент, p % – процент прироста, n – число лет, S – количество людей в городе через три года. Подставим численные значения в формулу:

Округлим до единиц тысяч число 955 087,2

Т. о. через три года население города составит примерно 955 000 человек. Возвращаем к вопросу задачи: на сколько увеличится население через три года? Для ответа на этот вопрос достаточно из 955 000 вычесть 900 000.

955 000 – 900 000 = 55 000 (ч.)

Ответ: через три года население города N увеличится примерно на 55 000 человек.

Как вы уже наверняка заметили, вычисления, связанные с возведением в степень, могут быть достаточно трудоёмкими, поэтому в отдельных случаях можно воспользоваться калькулятором.

Предлагаю рассмотреть ещё одну задачу, связанную с процентными вычислениями.

Задача 4.

В первый год фермер обработал 20 га земли. Затем, переходя к интенсивным способам земледелия, он в течение трёх лет сокращал посевные площади на 10 % по сравнению с предыдущим годом. Сколько составили посевные площади через три года?

Рассуждаем:

По условию задачи фермер в течение трёх лет сокращал посевные площади на 10 % по сравнению с предыдущим годом. Из этого мы можем сделать вывод, что речь идёт о сложном процентном росте, вернее об убывании. Значит, мы можем воспользоваться формулой сложных процентов, но нужно заменить знак «плюс» на знак «минус».

, где а – количество гектаров посевных площадей в первый год, p % – процент уменьшения посевных площадей, n – число лет, S – количество гектаров посевных площадей через три года. Подставим численные значения в формулу:

Ответ: посевные площади через три года составили 14,58 га.

Дорогие ребята!

Сфера практического приложения процентов очень широка. Это требует от всех людей умения производить хотя бы несложные процентные расчёты. Вы научились находить процент от числа и число по его проценту, научились решать задачи на проценты с помощью пропорции, с помощью формул простого и сложного процентного роста. Я надеюсь, эти знания и умения окажутся востребованными и полезными не только при изучении других предметов, но в вашей дальнейшей жизни. Советую прямо сейчас попробовать самостоятельно решить различные задачи на проценты.

Всего доброго!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.) Глава 4, § 4.8, № 869 (б), 870 (б), 871 (или аналог).

Рекомендуемые тесты:

1. Новый планшет был куплен за 35 000 рублей. Каждый год его амортизация составляет 8 % первоначальной стоимости. Сколько будет стоить компьютер через 5 лет?

А

21 000 р.

Б

32 200 р.

В

49 000 р.

Г

23 068 р.

2. Верно ли начислена пеня, если при квартплате 1500 р., величине пени 0,1 % за день просрочки и просрочки на 24 дня сумма к оплате составила 1544 р.?

А

Пеня начислена верно.

Б

Нет, неверно. Верный ответ: 1536 р.

3. За последние 3 года товарооборот фирмы снижается ежегодно на 20 % от товарооборота предыдущего года. На сколько процентов снизился её товарооборот за эти 3 года?

А

На 60 %

Б

На 40 %

В

На 51,2 %

Г

На 48,8 %

Проверьте себя: 1 – А; 2 – Б; 3 – Г.