Многочлены. Приведение подобных членов
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомить с понятием стандартный вид многочлена, научиться приводить многочлены к стандартному виду, дать корректное определение степени многочлена.

Всем привет!

В любом школьном журнале сначала идут фамилии, потом – имена. При этом очень легко искать ученика по алфавиту. Если бы такой упорядоченности в журнале не было, т. е. у одних бы сначала шла фамилия, а у других имя, запутались бы. Так же и с многочленами: они могут быть одинаковыми по сути, но разными по виду. И поэтому, хорошо бы было договориться о стандартном виде для многочленов, к которому мы бы могли приводить все многочлены, а потом уже выполнять различные действия с ними.

Возьмём два многочлена 4х + 1 и 2х +1 + 2х. У второго многочлена можно сложить 2х и 2х, и получить первый многочлен 4х + 1. Вроде многочлены по виду разные, а по сути одинаковые. Для того чтобы понять, как приводить многочлены к стандартному виду и что это такое, давайте введём определение.

Определение: Одночлены, которые возможно отличаются только коэффициентами, называются подобными.

Т. е. подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть и, возможно, имеют разную числовую часть, а могут и иметь одинаковую числовую часть. Выражения 2х и 2х считаются подобными слагаемыми, они просто одинаковые.

Приведём примеры подобных одночленов:

1. 2х и 4х

2. 5ху и –ху (буквенная часть ху – одинаковая, а числовая часть разная, в одном случае это 5, а в другом –1).

3. –0,5ас и 1,67ас (буквенная часть ас – одинаковая, а коэффициенты –0,5 и 1,67 различны).

Какие слагаемые (одночлены) называются не подобными?

1. 2х и 2 (числовая часть одинаковая, а буквенная часть разная).

2. –34х и 25ху (х общий, но в первом одночлене нет у).

3. 5х2 и 5х3 (очень похожие выражения, но степени у буквенной части разные! В первом одночлене х во 2-й степени, а во втором одночлене в 3-ей степени, значит буквенные части не одинаковые, следовательно, одночлены не подобные).

Дадим определение стандартного вида многочлена.

Определение: Если многочлен состоит из суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Соответственно, как привести многочлен к многочлену стандартного вида?

1. Убедиться, что все одночлены записаны в стандартном виде.

2. Найти все подобные одночлены и привести подобные.

После этого получим многочлен стандартного вида.

Разберём это на примерах.

Соответственно. теперь мы готовы вернуться к понятию, которое было затронуто на прошлом уроке.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в стандартный вид многочлена.

Примеры:

4ху + 2х – 1

Какая степень будет у данного многочлена? В данном случае многочлен стандартного вида. Определим степени входящих в него одночленов 4ху – 2-я степень, 2х – 1-я степень, –1 – 0-я степень, значит, по определению степень данного многочлена равна 2.

abсd + acb – acbd

Приведём одночлены к стандартному виду, в данном случае, переставим буквы в одночленах согласно алфавиту, получим:

abcd + abc – abcd.

Теперь приведём подобные слагаемые, а таковыми у нас являются abcd и –abcd, их сумма даст нам 0. Тогда имеем:

abcd + abc – abcd = abc.

Таким образом, многочлен стоит из одного одночлена abc, его степень совпадает со степенью одночлена и равна 3. Обратите внимание, что только после приведения одночленов к стандартному виду, мы смогли выделить подобные слагаемые.

1,5х2z3 + 3x2z5

Одночлены в стандартном виде, подобных слагаемых нет. Здесь мы просто считаем степени, у первого одночлена степень 5, у второго 7, значит степень многочлена 7.

Потренируемся приводить подобные слагаемые. Напоминаю, что слагаемые называются подобными, если имеют одинаковую буквенную часть:

2х + 1 + х – 5у

Подчеркнём подобные слагаемые, т. е. слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть:

2х

+ 1 +

х

– 5у

Складываем коэффициенты у подобных слагаемых, при этом буквенная часть остаётся неизменной, остальные слагаемые переписываем.

2х

+ 1 +

х

– 5у = 3х + 1 – 5у

х2 + 3х + 1 – х2 + 2х – 5

Подчёркиваем подобные одночлены и видим, что коэффициенты у первой пары подобных слагаемых – противоположные числа 1 и –1, таким образом, подобные слагаемые взаимно уничтожатся. Коэффициенты второй и третьей пары подобных слагаемых складываем. Заметьте, что разные пары подобных слагаемых мы подчёркиваем по-разному!

х2

+

3х

+ 1

– х2

+

2х

– 5 = 5х – 4

Оставшиеся слагаемые больше не имеют одинаковой буквенной части.

ху – х – (х + у) + 5ху

Этот пример содержит скобки, напомню, что если перед скобками стоит знак «–», то знаки в скобках меняются на противоположные. Итак, раскрываем скобки:

ху – х – х – у + 5ху

Выделим первую пару подобных слагаемых: ху и 5ху, вторая пара –х и –х, приведём подобные и запишем получившийся результат:

6ху – 2х – у

Все буквенные части разные, значит, подобных слагаемых больше нет.

х3 + х2 + 2х + 1

В этом примере ничего привести невозможно! Потому что все одночлены имеют различную буквенную часть, следовательно, данный многочлен приведён к многочлену стандартного вида.

12хх3 – 6х2х2 – 16х4 + 4х2 – х2

Приведём каждый одночлен к стандартному виду, получим следующее:

12х4 – 6х4 – 16х4 + 4х2 – х2

Приведём подобные слагаемые, получаем:

–10х4 + 3х2

Что ж, сегодня мы с вами познакомились с таким понятием как стандартный вид многочлена, научились приводить подобные слагаемые для того, чтобы приводить многочлен к стандартному виду. Кроме того, дали корректное определение степени многочлена.

Впереди ещё много интересного, до встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 24, № 24.19; 24.20.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 24, № 24.23; 24.24.