Задачи с играми
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет! Вы любите играть в игры? Кто ж не любит! Померяться силами, сразиться с другом – это знакомо всем с раннего детства. Собственно, в математике тоже есть место играм. Но даже к играм здесь подходят чуть по-другому. Давайте разбираться!

Во-первых, чаще всего в математических играх есть два игрока, делающих свои ходы по очереди (не пропуская хода). Так что, например, футбол или Dota2 не попадают под определение классических математических игр. Далее, предполагается, что игроки хотят выиграть и делают сильнейшие ходы. То есть, надеяться, что ваш оппонент ошибётся в математических играх не приходится. Если есть сильнейший ход – он обязан его сделать. В этом различие с реальными играми: в тех же шахматах иногда можно поставить ловушку, рассчитывая, что соперник ошибётся – здесь же такое невозможно. То есть шахматы, разумеется, можно рассмотреть как математическую игру, но не рассчитывая на ошибки оппонента.

В каждой математической задаче-игре есть условие (правила игры) и вопрос, который почти всегда одинаков: кто выиграет при правильной игре? Иными словами, мы должны узнать, выиграет ли начинающий или игрок, который ходит вторым. Казалось бы, это зависит от игры, правда? Не тут-то было, речь же о математической игре! Поэтому возможны три варианта:

1) У первого игрока есть выигрышная стратегия, то есть независимо от того, как будет играть второй, первый всегда может добиться победы. В этом случае мы будем говорить, что выигрывает первый

2) У второго игрока есть выигрышная стратегия, то есть независимо от того, как будет играть первый, второй всегда может добиться победы. В этом случае мы будем говорить, что выигрывает второй

3) Ни у одного из игроков нет выигрышной стратегии. Это возможно только в тех играх, в которых возможна «ничья», либо которые могут длиться до бесконечности. Такое возможно, например, в шахматах, шашках или крестиках-ноликах

Чаще всего в математике рассматриваются конечные игры без ничьих, так что всегда можно дать однозначный ответ, кто выиграет: первый или второй. Но довольно лирики, разберём пример.

Задача 1. Двое по очереди ломают шоколадку 6 × 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

Решение. Прежде чем решать эту и другие задачи-игры, очень рекомендую вам найти соперника и попробовать поиграть! Во-первых, это само по себе интересно, а во-вторых, иногда в процессе игры обнаруживается та самая выигрышная стратегия, которую надо найти. Если не хочется ломать шоколадку – можно взять клетчатый листик 6 × 8 и разрезать его без наложений по очереди.

Итак, будем считать, что вы поиграли. Кто выиграл? Допустим, тот, кто начинал. Говорит ли это нам о том, что всегда будет выигрывать первый? Нет, конечно. Ведь речь не шла о правильной игре! Может, это просто ваш соперник не нашёл лучших ходов! А если и нашёл – надо ещё доказать, что они лучшие. Короче говоря, не забывайте, что сам по себе результат одной или даже нескольких игр ни о чём не говорит!

Впрочем, разрешите запоздало покаяться. Данная игра – это так называемая игра-шутка. Шуточность её в том, что в ней всегда выигрывает первый игрок, и это не зависит ходов обоих игроков. Судите сами. Каждый раз после хода количество кусков шоколада увеличивается на 1. А когда игра закончится? Когда останутся только кусочки 1 × 1, коих будет 48. Значит, всего было сделано 47 ходов! Ну а каждый нечётный ход делается первым игроком, стало быть, и 47-й сделает он, а тогда второму будет не походить, значит он и проиграет!

Что же здесь является выигрышной стратегией первого игрока? А собственно, любая последовательность ходов! Мы доказали, что как не играй – выиграешь, так что как ни парадоксально – это и есть стратегия!

Разберём ещё одну игру-шутку.

Задача 2. Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Решение. И снова та же идея. Исходно было 3 кучки камней. А в конце их окажется, разумеется, 45 – каждый камень – отдельная кучка. Ну а с каждым ходом кучек становится на одну больше. Значит, всего было сделано 42 хода, а тогда победит второй – опять же, независимо от ходов.

Было бы неправильно с моей стороны разбирать на этом уроке только игры-шутки: вы бы ещё, чего доброго, подумали, что в математических играх и думать не надо – всё определено заранее. В предыдущих играх – да, но рассмотрим такой пример.

Задача 3. Двое по очереди пишут по одной цифре слева направо, составляя 9-значное число. Первая цифра не может быть нулём, цифры могут повторяться. Если полученное число делится на 9, то выигрывает первый, в противном случае – второй. Кто выиграет при правильной игре?

Решение. Вот здесь уже поинтереснее. Хочется предположить, что выиграет первый: именно он будет делать последний ход, значит, от него и будет зависеть делимость числа на 9. Но здесь уже очевидно, что писать абы какие цифры первый не может – не каждое 9-значное число делится на 9. Так что здесь придется немного подумать. Для начала предлагаю вспомнить признак делимости на 9: число делится на 9, когда его сумма цифр делится на 9. Значит, первому надо добиться того, чтобы сумма цифр делилась на 9. И это можно сделать, приведём, например, такую стратегию.

Докажем, что выиграет первый. Первым ходом он ставит цифру 9, а затем дополняет цифру второго до 9 (если второй ставит 1, то первый – 8, 2 – 7, 3 – 6, 9 – 0, 0 – 9). Тогда несложно заметить, что сумма цифр будет равна 45 (9 на первом месте + 4 пары, каждая из которых в сумме даёт 9). Значит, первый выиграет.

Прошу любить и жаловать – выигрышная стратегия. Обратите внимание, мы играли за первого, поэтому могли строить конкретные ходы (например, поставить в начало 9). Но мы не могли рассуждать в стиле «поставим за второго 8 на второе место»: нам надо было придумать такую стратегию, которая приводила бы к победе для любых ходов второго!

Кстати, есть и другая стратегия. Можно первые 4 цифры за первого ставить вообще любые, а когда настанет черёд девятой, заметить, что среди чисел Х0, Х1, … Х8 (9 подряд идущих натуральных чисел) всегда найдётся число, делящееся на 9 без остатка. Его и может составить первый, чтобы победить.

Что ж, пока хватит. А на следующих уроках мы разберём некоторые виды стратегий, которые часто приводят к успеху. До встречи!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Двое по очереди ломают шоколадку 5 × 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре? Ответ: первый.

2. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре? Ответ: второй.

3. Двое по очереди пишут по одной цифре слева направо, составляя 6-значное число. Первая цифра не может быть нулём, цифры могут повторяться. Если полученное число делится на 9, то выигрывает первый, в противном случае – второй. Кто выиграет при правильной игре? Ответ: второй.

Рекомендуемые тесты:

1. Двое по очереди ломают шоколадку 3 × 11. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре? Ответ: второй.

2. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй. Ответ: первый.

3. Двое по очереди пишут по одной цифре слева направо, составляя 7-значное число. Первая цифра не может быть нулём, цифры могут повторяться. Если полученное число делится на 7, то выигрывает первый, в противном случае – второй. Кто выиграет при правильной игре? Ответ: первый.