Решение задач на рациональные вычисления. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с новыми способами действий, применимыми для рационального вычисления выражений, углубление сущности понятия расщепления, его применения для получения нового знания, совершенствование, расширение известного знания о рационализации выражений, отработка навыков, закрепление известного способа действий.

Здравствуйте! Сегодня мы продолжим решать задачи, связанные с рациональными вычислениями. Если на предыдущем уроке мы достигали рационализации чаще всего путём изменения порядка действий, то на этом мы будем преобразовывать числа, участвующие в этих действиях.

Прибавление 999; 9999; 0,99; 0,999 и т.д.

Предположим, Вам надо вычислить сумму чисел 12785 и 999. Разумно представить 999 = 1000 – 1. Тогда: 12785 + 999 = 12785 + 1000 – 1= 13785 – 1 = 13874.

Ура! Вычисления в столбик снова сменились устным счётом!

Рассмотрим ещё пример с использованием этой же идеи.

Вычислить 299,99 + 79,9 = 300 – 0,01+ 80 – 0,1 = 300 + 80 – 0,1 – 0,01 = 380 – 0,11 = 379,89.

А что, если последняя цифра не 9?

Предположим, последняя цифра равна 7.

789,45 + 99,7 = 789,45 + 100 – 0,3= 889,45 – 0,3 = 889,15.

Идея продолжает работать! Главное – не запутаться, и не забыть, что в общем случае мы из «круглого» числа вычитаем не всегда 1, а дополнение последней цифры до 10.

А теперь – другая цифра не равна 9, но окружена девятками.

639,02 + 99,49 = 639,02 + 99,99 – 0,5= 639,02 – 0,5 +99,99 = 638,52 + 99,99 = 738,51.

Мы просто свели задачу к предыдущей, которую уже умеем решать в уме.

Вычитание

А как быть в случае, если мы не добавляем, а вычитаем число, состоящее из одних девяток? Давайте попробуем поступить точно аналогичным образом. Пусть дан пример: 57836 – 9999

Нам предлагается вычесть 9999. А что, если вместо этого вычесть чуть больше, 10000? Это, разумеется, было бы куда удобнее!

Но разве мы можем просто вычесть 10000 вместо 9999? Не совсем, ведь если, например, нас просят заплатить 9999 рублей, а мы дали 10000, то мы дали на 1 рубль больше – его нам должны вернуть в качестве сдачи! Так же поступим и в примере: вычтем 10000, а затем прибавим 1 – вот она, сдача!

57836 – 9999 = 57836 – 10000 + 1 = 47836 + 1 = 47837.

Промежуточный вывод.

Обратим внимание вот на что. При сложении двух чисел нам было неважно, первое из них состоит из девяток или второе. Действительно, их же можно просто поменять местами! А что с вычитанием? Увы, при вычитании роль уменьшаемого и вычитаемого разная, их, в отличие от сложения, местами не поменяешь. То есть, поменять, конечно, можно, но получится совершенно другой пример. Как же быть?

Уменьшаемое из девяток

Обратим внимание, что уменьшаемое, состоящее из одних только девяток – сущее наслаждение. Можно поразрядно вычесть в уме. Из большего легко вычитается меньшее. Например, 999 – 347 = 652: просто из каждой девятки вычитаем нужную цифру вычитаемого. А если все разряды уменьшаемого, наоборот, малы? В самом крайнем случае уменьшаемое представляет собой единицу и множество нулей. Тогда на сцену выходит

Вычитание из 1000, 10000 и т.д.

Совсем недавно мы представляли 99999 = 100000 – 1. А что, если попробовать обратную идею: 100000 = 99999 +1. Ведь из 99999 очень легко вычитать! Давайте посмотрим, что получится:

100 – 27,84 = 99,99 + 0,01 – 27,84 = 99,99 – 27,84 +0,01 = 72,15 + 0,01 = 72,16.

Всё прекрасно работает, нет вычитания в столбик с мучительными заимствованиями из старших разрядов, портящими и настроение, и кредитную историю.

Ещё один пример на ту же идею:

100 – 73,2 = 99,9 + 0,1 – 73,2 = 99,9 – 73,2 + 0,1 = 26,7 + 0,1 = 26,8.

А знаете, чем мы занимались весь этот урок? Расщеплением! Мы расщепляли одно из данных чисел на сумму или разность двух других так, чтобы облегчить себе жизнь. Собственно, вы все этим занимались в первом классе, когда вычисляли, например, 9 + 6. Помните, как мы это считали?

9 + 6 = 9 + 1 + 5 = 10 + 5 = 15.

Общее расщепление

Если Вы уже совсем хорошо научились расщеплять и видите, сколько не хватает числу до круглого, то можно решить даже такой пример с помощью расщепления:

97,821 + 8,599 = 97,821 + 2,179 + 6,42= 100 + 6,420 = 106,42.

Подведём небольшой итог: сегодня мы расширили наш арсенал знаний о рационализации вычислений такими методами как расщепление и прибавление чисел, содержащих одни девятки, а также углубили наши знания в области рационализации вычислений выражений.

1. Рекомендуемые тренажеры

1. Вычислить

2. Вычислить

3. Вычислить 10000,00001 – 7777,77777

2. Рекомендуемые тесты

1. Вычислить

2. Вычислить

3. Вычислить