Решение задач на координатной плоскости. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться решать более сложные задачи, связанные с системой координат, повторить основные геометрические понятия (параллельность, перпендикулярность).

Всем привет!

Сегодня мы порешаем более сложные задачи, применяя при этом систему координат. Вперёд!

Задача 1. Точка К (3;–1) – точка пересечения диагоналей квадрата, стороны которого равны 4 и параллельны осям координат.

а) Постройте этот квадрат.

б) Запишите в виде двойных неравенств условия принадлежности точки этому квадрату.

Решение. Сначала даже не знаешь как подступиться к задаче: дана только одна точка – это тебе не три вершины прямоугольника, как это было на прошлом уроке – да и та не является вершиной. С другой стороны заметим, что если мы нарисуем квадрат, стороны которого параллельны осям, то его точка пересечения диагоналей находится на расстоянии половины стороны от каждой из сторон! Значит, мы можем изобразить прямые, ограничивающие данный квадрат:

Собственно, квадрат «нарисовался» сам собой. Действительно, если обратить внимание на точки пересечения данных прямых и обозначить их через А, В, С и D, то полученная фигура и есть искомый квадрат. Несложно убедиться, что стороны равны 4, а К – точка пересечения его диагоналей.

Соответственно, чтобы точка М принадлежала квадрату, необходимо потребовать, чтобы её абсцисса находилась между 1 и 5, а ордината, в это же время, между –3 и 1. В виде двойных неравенств это записывается так:

Задача 2. Укажите на координатной плоскости расположение всех точек, модуль абсциссы которых не больше 3, а ордината равна абсциссе.

Решение. Первым делом, давайте поймём, что значит «модуль абсциссы не больше 3». Это значит, что он равен 3 или меньше, не так ли? Но если модуль абсциссы равен 3, то сама абсцисса может быть равна 3 или –3! Аналогично, она может быть равна 2 и –2, 1 и –1… Но только ли? Ведь есть и нецелые числа! Действительно: если модуль абсциссы равен 1,5, то сама абсцисса равна 1,5 или –1,5! Да и вообще, модуль абсциссы может быть любым числом от 0 до 3 (меньше нуля никак, модуль не бывает отрицательным). А значит, абсцисса будет от –3 до 3 (включая концы). Кстати, это можно записать с помощью двойного неравенства: .

Далее, ордината равна абсциссе. Значит, нас интересуют все точки вида М (х;х), где . Разумеется, их бесконечно много, так что с изображением вроде бы будет проблема. Но попробуем начать и дальше догадаться! Отметим точки (3;3), (2;2), (1;1), (0;0), (–1;–1), (–2;–2), (–3;–3), (1,5; 1,5) и т. д. Думаю, теперь нам очевидно: искомые точки лежат на отрезке (см. рис.) Увы, строго доказать мы это пока не может, но приоткрою завесу тайны: гипотеза верна!

Задача 3. Постройте окружность радиуса 5 с центром в точке М (3;–4). Найдите точку на этой окружности, наиболее удалённую от начала координат.

Решение. Первым делом строим окружность. Для этого нужно начертить оси – не забудьте указать их направление и подписать их! Затем отметим точку М (3;–4). Теперь берём циркуль, делаем раствор, равный 5 единицам и проводим окружность. Ба, эта окружность прошла через начало координат!

Теперь дальше: требуется указать на окружности точку, наиболее удалённую от начала координат. Мы уже выяснили, что начало координат лежит на окружности. Где же самая удаленная от неё точка? Как вы возможно знаете, самый длинный отрезок, соединяющий точки окружности – это её диаметр! Значит, всё, что нам нужно – провести диаметр и найти координаты второго его конца. Если мы всё делали ровно, то получится точка К (6;–8) – это и есть ответ.

Что же, сегодня мы порешали более сложные задачи на координатной плоскости. А впереди, в 9 классе, будет ещё труднее, так что готовьтесь и не забудьте прорешать тренажёры!

До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Точка К (3;3) – точка пересечения диагоналей квадрата, стороны которого равны 4 и параллельны осям координат.

а) Постройте этот квадрат. б) Запишите в виде двойных неравенств условия принадлежности точки этому квадрату.

2. Укажите на координатной плоскости расположение всех точек, модуль абсциссы которых не больше 2, а ордината равна абсциссе.

3. Постройте окружность радиуса 4 с центром в точке М (4; 2). Сколько точек пересечения с осями координат имеет эта окружность?

Рекомендуемые тесты:

1. Точка К (2;3) – точка пересечения диагоналей квадрата, стороны которого равны 1 и параллельны осям координат.

а) Постройте этот квадрат. б) Запишите в виде двойных неравенств условия принадлежности точки этому квадрату.

2. Укажите на координатной плоскости расположение всех точек, модуль абсциссы которых не больше 4, а сумма абсциссы и ординаты равна нулю.

3. Дана окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Какой радиус может быть у второй окружности с центром в точке А (4;0), чтобы она пересекала первую?