Равносильные преобразования уравнений и уравнения-следствия
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: дать определения терминам: уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область определения, равносильные уравнения, уравнения-следствия, равносильные преобразования.

Всем привет!

Сегодня мы начинаем новую и очень важную для нас тему. Мы будем говорить об уравнениях. Прежде всего, давайте, поговорим вот о таком примере.

Задача :

Если бы мне было вдвое больше лет, чем сейчас, то через год мне исполнился бы 61 год. Сколько мне лет сейчас?

Такая запутанная задача, но я думаю, вы с такими уже встречались. Всё, что нужно здесь сделать – это ввести переменную.

Решение:

Пусть сейчас мне x лет, тогда, если бы я был вдвое старше – 2x, 2x+1 – через год, а через год исполнилось 61. Значит, имеем:

2х + 1 = 61

Вот то, что мы получили, некое равенство, которое содержит переменную, это и называется уравнением. В данном случае это уравнение относительно переменной x.

Определение:

Уравнение – это равенство, содержащее переменную или переменные.

При этом буквы могут быть в любых степенях.

Примеры:

2x – 3 =0 – уравнение относительно одной переменной x;

xy + 1 = 5 – уравнение относительно двух переменных x и y;

(5 – x) : x = 7 – уравнение относительно одной переменной x.

Обычно уравнения возникают при решении текстовых задач, когда можем что-то посчитать двумя способами. Именно это мы и сделали в начале урока в первой задаче.

Введём ещё одно понятие.

Определение:

Корень уравнения (решение уравнения) – значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти всего корни или доказать, что их нет.

Важно доказать, что найденные корни – это все корни, что других больше нет.

Область определения – это множество значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл.

Определение:

Уравнения называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Равносильные преобразования:

1. Добавление и вычитание любого выражения к обеим частям (перенос через знак равенства);

2. Домножение или деление обеих частей на число, отличное от нуля;

3. Тождественное преобразование любой части (или обеих), не меняющее области определения.

Приведём примеры равносильных уравнений:

В последнем примере второе уравнение – следствие первого. Это значит, что все корни первого являются корнями второго, но не наоборот.

Это означает, что если мы решим второе уравнение, то мы должны сделать проверку: подойдут ли найденные корни первому уравнению.

Пример неравносильного преобразования:

x(x + 1) = x

x + 1 = 1

Делить на x нельзя! Потому что мы не знаем значение x.

Итак, подведём итоги сегодняшнего занятия. Сегодня мы с вами изучили очень много новых терминов: уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область определения, равносильные уравнения, уравнения-следствия, равносильные преобразования.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк и др.) Глава 1, § 3, № 111; 113; 122 (а).

Рекомендуемые тесты (из учебника Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк и др.) Глава 1, § 3, № 121, 122 (б)