Свойства делимости
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цели и задачи урока: отработка навыков устного счёта; навыков решения задач с применением признаков и свойств делимости чисел.

Предметные результаты: формирование понятия свойств делимости, организация работы учащихся по самостоятельному нахождению некоторых свойств делимости чисел, формирование умений применять свойства в простейших ситуациях, закрепление вычислительных навыков.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Определение:

Одно число делится нацело на другое, если его можно разделить с нулевым остатком, то есть получится частное, которое при умножении на это другое число даст первое.

Свойства.

1. Любое натуральное число делится на 1.

В самом деле, а=1∙а.

2. Любое натуральное число делится само на себя.

В самом деле, а=а∙1.

3. Если натуральное число а делится на b, то а≥b.

4. Если а делится на b, то для любого натурального k число а∙k будет делиться на b∙k, причем частное останется тем же.

В самом деле, если нашлось с такое, что a=b∙c, то получаем, что a∙k=(b∙c)∙k.

Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами умножения, получаем a∙k=(b∙k)∙c.

5. Если два числа кратны третьему числу, то их сумма и разность также кратны этому числу.

Пусть a и b кратны числу с. Это значит, что нашлись такие числа k и l, что a=c∙k и b=c∙l.

Тогда a+b=c∙k+c∙l=c∙(k+l).

Это значит, что нашлось частное k+l от деления a+b на с.

Отметим, что частные от деления суммы и разности равны сумме и разности частных исходных чисел, если исходные числа делятся на наше число.

6. Если один из множителей делится на число, то и произведение делится на это число

В самом деле, пусть а делится на с. Тогда есть частное k такое, что a=c∙k. Тогда a∙b=(c∙k)∙b=c∙(k∙b).

Итак, нашлось частное k∙b от деления a∙b на с.

7. Если одно число кратно другому, а другое кратно третьему, то первое число кратно третьему.

В самом деле, пусть а делится на b. Тогда есть частное k такое, что a=b∙k.

Пусть теперь b делится на с. Тогда есть частное l такое, что b=c∙l.

Подставим: a=(c∙l)∙k=c∙(l∙k). Итак, нашлось частное l∙k от деления a на с.

Таковы основные свойства делимости чисел.

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые упражнения:

1. Докажите, что если одно слагаемое кратно числу, а другое не кратно тому же числу, то сумма также не кратна числу. Сформулируйте такое же утверждение про разность.

2. Верно ли, что: а) если два числа делятся на 5, то их сумма делится на 5?

б) Если сумма двух чисел кратна 5, то каждое из них кратно 5?

в) Если произведение двух чисел кратно 5, то каждое из них кратно 5?

г) Если произведение двух чисел кратно 5, то хотя бы одно из чисел кратно 5?

д) Если произведение двух чисел кратно 6, то хотя бы одно из чисел кратно 6?

Рекомендуемые задания:

1. Несколько одинаковых бригад сторожей проспали больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если всего они проспали 1001 человеко-ночь?

2. Ковбой Джо приобрел в салуне (маленькое дикое кафе на большом Диком Западе) несколько бутылок кока-колы по 1 доллару 40 центов за штуку, некоторое количество сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен сказал, что с ковбоя 20 долларов 50 центов. Докажите, что бармен обсчитал ковбоя Джо.