Подмножество. Отношение принадлежности, включения, равенства. Элементы множества, способы задания множеств, распознавание подмножеств и элементов подмножеств с использованием кругов Эйлера
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: ввести понятия: подмножество, равные множества, круги Эйлера. Познакомить учащихся с технологией выделения подмножеств в множестве, обучить работе с кругами Эйлера, сформировать представление о применении кругов Эйлера для решения практических задач.

Предметные результаты: познакомить учащихся со способом решения логических задач с помощью кругов Эйлера.

Метапредметные и личностные результаты: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке с помощью решения различных задач, интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, способность к оценочным действиям, обобщению.

Всем привет!

Как вы думаете, кого на свете больше: животных или кошек? Забавно, что многие дети, правда, лет на 7 моложе вас, часто отвечает «кошек», ведь кошек вокруг очень много! На самом же деле, конечно, животных больше, ведь кошка – тоже животное, а значит, все животные – это все кошки, а кроме них еще собаки, львы, жирафы и многие другие.

Впрочем, можно то же самое объяснить языком теории множеств. Допустим, этот круг – это все-все животные, то есть множество всех животных. Обозначим его буквой А – Animals. Далее, есть множество всех кошек. Как мы уже поняли, это множество входит в множество животных, то есть кружок С (cats), обозначающий кошек, должен быть полностью внутри круга А. Иначе говоря, множество С лежит «внутри» множества А. Такое множество С называют подмножеством множества А. Записывают это так: (без палочки посередине, не перепутайте). Кстати, а если рассмотреть конкретного кота, Барсика (b)? Он должен находиться в круге С, то есть . С другой стороны, Барсик находится и в множестве А, то есть . Собственно, примерно так строго и определяются подмножества: если каждый элемент множества С является также и элементом множества А, то множество С называют подмножеством множества А.

А что если С является подмножеством А, но и наоборот, А является подмножеством С? Тогда получается, что кружок А содержится в С, но и С содержится в А. Как такое может быть? А только если они совпадают! Такие множества называют равными. Строгое определение выглядит так: если каждый элемент множества А является также элементом множества С и наоборот, каждый элемент множества С является элементом множества А, то такие множества совпадают.

Казалось бы, в чем смысл? Понятно, что множество животных совпадает с множеством животных, а множество кошек с множеством кошек, да? Но ведь задать множества можно по-разному! Скажем, есть множество E{0; 2; 4; 6; 8} и множество F всех четных цифр. Эти множество, разумеется, совпадают, хотя и определяются они по-разному. Стоп, а почему они, кстати, совпадают? Как это доказать? Очень просто! Докажем, что каждый элемент множества E является элементом F и наоборот! Действительно, каждая цифра E четна, а каждая четная цифра лежит в F. Кстати, а знаете, почему «Е»? «Четный» по-английски будет «Even», запомните!

А теперь вернемся к первому примеру. Согласитесь, удобно и наглядно представлять множества кружочками? Забавно, что еще 400 лет назад, не говоря о более ранних временах, никому такое в голову не пришло. Впрочем, возможно и пришло, но до нас это не дошло. А вот в 18 веке известный математик Леонард Эйлер, который, кстати, долгое время работал в России, в Петербурге, придумал такой способ изображения множеств – с помощью кружочков! В его часть подобные кружочки называют кругами Эйлера.

Итак, с помощью кругов Эйлера мы изобразили множества А всех животных и С всех кошек. А где находится множество D (dogs) всех собак? Вот оно, внутри А, но не задевает С, ведь не может животное быть одновременно кошкой и собакой. А где находится множество всех черных котов (В)? Конечно, внутри множества С. А как насчет множества F всех четырехлапых животных? Вот оно, внутри А, но содержит в себе С и D. Не забываем, как это записывается: .

Что ж, на этом на сегодня все. Увидимся!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Чего больше: прямоугольников или квадратов?

Ответ: прямоугольников.

2. Изобразите с помощью кругов Эйлера множество N всех натуральных чисел, множество О всех нечетных положительных чисел, и точку 5. Напишите с помощью соответствующих символов, каким множествам принадлежит точка 5 и какое из множеств О и N является подмножеством другого. Дополнительное задание: почему множество нечетных чисел я обозначил через О?

Ответ: 5

O – множество нечётных чисел, поскольку odd – нечётный

3. Изобразите с помощью кругов Эйлера множество P всех растений, множество F всех цветов, множество T всех деревьев и элемент b – баобаб, растущий на плантации фермера Джо в Австралии. Каким множествам принадлежит элемент b? Какие множества из вышеуказанных являются подмножествами друг друга?

Ответ: b ; ; b

Рекомендуемые тесты:

1. Чего больше: комаров или насекомых?

Ответ: насекомых.

2. Изобразите с помощью кругов Эйлера множество N всех натуральных чисел, множество D всех цифр, множество E всех нечетных цифр и точку 3. Напишите с помощью соответствующих символов, каким множествам принадлежит точка 3 и какие из множеств D, E и N является подмножеством другого.

Ответ: 3 ; 3

3. Изобразите с помощью кругов Эйлера множество A всех животных, множество R всех животных, обитающих в России, и элемент с – кота Семена, живущего у Васи Иванова из Петербурга. Каким множествам принадлежит элемент с? Какие множества из вышеуказанных являются подмножествами друг друга?

Ответ: 3 ; 3

4. Совпадают ли множества А всех двузначных чисел, делящихся на 11 и В - всех чисел, состоящих из двух одинаковых цифр?

Ответ: да, если под множеством В понимать множество чисел, состоящих ровно из двух одинаковых цифр. (Иначе нет, поскольку 322 )