Урок 71. Десятичные дроби. Занимательные задачи
Предмет: Математика, 6 класс

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 71

Десятичные дроби. Занимательные задачи

Перечень рассматриваемых вопросов:

– десятичные дроби, проценты;

– текстовые задачи, логические задачи.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.

Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.

Процент – сотая часть величины.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В жизни нам часто приходится решать задачи, требующие не только умения правильно выполнять арифметические действия, но и умения логически мыслить, выстраивать цепочку рассуждений, делать правильные выводы. Чтобы развить эти важные качества мышления, и дети, и взрослые решают специальные логические задачи. Рассмотрим некоторые из них.

Задача

Весы находятся в равновесии. С левой стороны на весах лежат три груши и одно яблоко. С правой стороны –гиря 20г, две груши и два яблока. Определите массу одного яблока, если известно, что все фрукты вместе весят 740 г.

Решение

Так как весы находятся в равновесии, составим равенство.

Г + Г + Г + Я = 20 + Г + Г + Я + Я

Справа и слева вычеркнем одинаковые компоненты, так как их масса одинакова.

Г + Г + Г + Я = 20 + Г + Г + Я + Я

Получим, что масса груши равна массе яблока и ещё 20 граммам, то есть масса груши на 20 граммов больше массы яблока.

Г = 20 + Я

Так как масса всех фруктов 740 граммов, составим равенство, в котором сложим массы всех фруктов, заменив грушу на полученное выражение. Груш у нас всего 5 штук, а яблок 3.

5 · (20 + Я) + 3 · Я = 740

Раскроем скобки.

100 + 5Я + 3Я = 740

Приведём подобные слагаемые и решим уравнение.

100 + 8Я = 740

8Я = 740 – 100

8Я = 640

Я = 640 : 8

Я = 80

Получим, что яблоко весит 80 граммов.

Ответ: 80 г.

Задача

5 сомов весят на 10 кг больше восьми налимов. Но при этом пять сомов весят на 20 кг меньше десяти налимов. Сколько весит один сом и один налим?

Решение

Пусть С – масса сома (в кг), Н – масса налима (в кг)

Запишем условие задачи в виде двух равенств.

5С – 10 = 8Н

5С + 20 = 10Н

Выразим массу пяти сомов из первого и второго равенств.

5С = 8Н + 10

5С = 10Н – 20

Приравняем правые части.

8Н + 10 = 10Н – 20

30 = 2Н

30 : 2 = 15 (кг) – масса налима.

Подставим массу налима в любое из верхних равенств.

5С – 10 = 8 · 15

5С – 10 = 120

5С = 120 + 10

5С = 130

С = 130 : 5

С = 26

Ответ: налим весит 15 кг, сом весит 26 кг.

Задача

Дыня весила 15 кг. В ней содержалось 90 % воды. Через несколько дней она усохла, и содержание воды снизилось до 84 %. Сколько теперь весит дыня?

Если первоначально в дыне содержалось 90 процентов воды, значит сухого вещества было 10 процентов.

100 % – 90 % = 10 % – сухого вещества в дыне.

Найдём, сколько это в килограммах.

10 % = 0,1

15 кг · 0,1 = 1,5 кг – сухого вещества в дыне.

После того, как дыня усохла, сухое вещество стало составлять 16 процентов.

100 % – 84 % = 16 %

То есть полтора килограмма это 16 процентов.

1,5 кг = 16 %

Найдём массу дыни после усушки.

16 % = 0,16

1,5 кг : 0,16 = 9,375 кг

Ответ: дыня теперь весит 9,375 кг.

Задача

Бегемотик за весну похудел на 30 %, потом поправился за лето на 20 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму его вес увеличился на 30%. Похудел или поправился бегемотик за год? На сколько процентов изменился его вес?

Решение

Поскольку нет информации об изменениях веса бегемотика в килограммах, а речь идёт только о процентах, то первоначальный вес бегемотика можно принять за любое удобное для вычислений количество килограммов.

Пусть первоначальный вес бегемотика 100 килограммов.

Найдём, как изменился его вес весной.

30 % = 0,3

100 · 0,3 = 30 (кг) – изменение веса.

100 – 30 = 70 (кг) – стал весить бегемотик после весны.

Теперь рассмотрим изменения за лето. 20 % будем высчитывать от новой массы.

20 % = 0,2

70 · 0,2 = 14 (кг) – изменение веса.

70 + 14 = 84 (кг) – стал весить бегемотик после лета.

Рассмотрим изменения в следующем периоде, осенью. Известно, что бегемотик похудел на 20 %.

84 · 0,2 = 16,8 (кг) – изменение веса.

84 – 16,8 = 67,2 (кг) – стал весить после осени.

И, наконец, последнее изменение веса – прибавил 30 %.

67,2 · 0,3 = 20,16 (кг) – изменение веса.

67,2 + 20,16 = 87,36 (кг) – стал весить бегемотик.

На первый вопрос задачи мы уже можем ответить –бегемотик похудел.

Чтобы ответить на второй вопрос, нужно сначала найти, на сколько килограммов похудел бегемотик.

100 – 87,36 = 12,64 (кг) – разница в весе.

Теперь найдём, сколько процентов это составляет от первоначальной массы бегемотика.

12,64 кг : 100 кг · 100 % = 12,64 %

Таким образом, мы определили, на сколько процентов изменился вес бегемотика.

Ответ: бегемотик похудел на 12,64 %

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Зачёркивание элементов

Выберите и зачеркните неверные ответы из предложенных.

450

445

420

На коробке с мукой написано: «Масса нетто 400 г при влажности 11 %». Какова масса муки, если она хранится при влажности 20 %?

Решение

При влажности 11 % сухой продукт составляет

100 % – 11 % = 89 % = 0,89

Таким образом, масса сухого продукта

400 · 0,89 = 356 (г).

При влажности 20 % на сухой продукт остаётся

100 % – 20 % = 80 % = 0,8

При увеличении влажности воздуха масса сухого остатка не изменится, но теперь она составляет не 0,89, а 0,8 массы коробки с мукой. Пусть x – масса коробки с мукой при влажности 20 %. Составим пропорцию:

356 : x = 0,8 : 1.

Решим пропорцию.

Получаем:

x = 356 : 0,8,

x = 445.

Ответ: 450; 445; 420

Тит 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Впишите соответствующее число.

Если производительность труда повысится на 60 %, то время выполнения задания уменьшится на … %.

Решение. Пусть за 1 единицу времени делали 100 деталей. Тогда при увеличении производительности на 60 % за 1 единицу времени будут делать 160 деталей.

Пусть x – это время, за которое будут делать 100 деталей при новой производительности.

1 ед. времени – 160 дет.

x ед. времени – 100 дет.

Зависимость между количеством изготовленных деталей и временем на их изготовление – прямая пропорциональная (чем больше количество деталей, тем больше время на их изготовление).

Составим пропорцию:

Решим пропорцию:

1 · 100 = x · 160;

x = 1 · 100 : 160;

x = 0,625.

Выразим десятичную дробь в процентах:

0,625 = 62,5 %.

То есть время изготовления 100 деталей при новой производительности труда – это 62,5 % от первоначального. Нам нужно узнать, на сколько процентов уменьшилось время выполнения задания.

Получаем:

100 % – 62,5 % = 37,5 %.

Ответ: время выполнения задания уменьшится на 37,5 %.