Среднее арифметическое нескольких чисел
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: Сформировать представление о среднем арифметическом нескольких чисел; познакомить учащихся с правилом нахождения среднего арифметического и его использованием при решении несложных задач.

Предметные результаты: формировать способность построения нового понятия и нового алгоритма, на примере понятия среднего арифметического; тренировать алгоритм нахождения среднего арифметического нескольких чисел.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

1. Вводная задача о средней скорости измерения шагов.
Однажды Вася захотел узнать расстояние от дома до школы. Он знал истинную длину своего шага и решил сосчитать число шагов, которое делает по дороге в школу. Туда – 417, обратно 431 шаг. Вроде бы ни дом, ни школа никуда не двигались, а разница в 14 шагов. Сбился?
Следующий день: 406 и 426, Снова сбился?
Длина шага не все время одинакова, идешь быстро - шаги длиннее, идешь медленно - шаги короче. Какое нужно взять число шагов?
(417+431+406+426) : 4=420
420 > 417, 420 > 406, 420 < 431, 420 < 426
420 – такое число шагов, которое могло бы получиться если бы Вася все время делал не широкие и не короткие, а обычные шаги. Число 420 называют средним арифметическим четырех чисел: 417, 431, 406, 426.

Может сложиться впечатление, что среднее арифметическое нескольких натрульных чисел тоже является натуральным числом. Приведём контрпример:
(12+15+13):3 = 40/3, что не является натуральным числом.

Вообще, средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Опыт 1. (Масса одной капли). Возьмём пустой стакан и поставим его на весы. Весы покажут нам 55 г. Теперь добавим туда 100 капель воды и снова поставим на весы. Теперь весы будут показывать 62 г. Значит, 7 г приходится на 100 капель воды.
И, чтобы узнать массу одной капли, нужно 7:100 = 0,07 г – масса одной капли.

Разумеется, капли, которые мы добавляли в стакан были различными. Но в среднем можно считать, что масса одной капли составляет 0,07 г.
Интересно, а сколько весит одна капля подсолнечного масла? Попробуйте дома провести такой опыт и узнайте, насколько она будет тяжелее капли воды.

Задача 1 (или аналог). Средний возраст 11 игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и покинул поле. Средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет было травмированному футболисту?
Решение:

I способ. Составим уравнение, используя среднее арифметическое 11 чисел: (пусть x – количество лет травмированному футболисту)

(21 * 10 + x) : 11 = 22
x = 22*11-21*10 = 242-210 = 32
x = 32.

II способ. Решим по действиям:
1) 22 * 11 = 242 (сумма возрастов всех футболистов)
2) 21*10 = 210 (сумма возрастов 10 членов команды, без травмированного)
3) 242 – 210 = 32 года.

Ответ: травмированному футболисту 32 года.

Задача 2. (или аналог) Купец продавал яблоки. Сначала он их продавал по цене 85 рублей за кг. Так он продал 12 кг. Затем, снизил цену до 65 рублей, и продал оставшиеся 4 кг яблок. Какова средняя цена за килограмм?
Решение: выполним действия:
1) 12*85 = 1020 (руб.) – выручка за 12 кг
2) 4*65 = 260 (руб.) – выручка за 4 кг
3) 1020 +260 = 1280 (руб.) – общая выручка
4) 1280 : 16 = 80 (руб.) – средняя стоимость 1 кг яблок
Заметим, что 80 ближе к 85, поскольку целых 12 кг продано по 85 рублей и всего 4 кг по 65 рублей

Пример 1. (или аналог) В фигурном катании каждый судья выставляет свою оценку за выступление фигуриста. В итоге спортсмену выставляется среднее арифметическое всех оценок. Перед нами результаты одного из выступлений: 5.8, 5.8, 5.7, 5.9, 5.7, 5.8, 5.8, 5.7, 5.8

Это значит, что его итоговая оценка будет вычислена как среднее арифметическое всех эти чисел:

(5.8 + 5.8 + 5.7 + 5.9 + 5.7 + 5.8 + 5.8 + 5.7 + 5.8) : 9 ≈ 5.778
Пример 2. (или аналог) В некоторой больничной палате лежат люди с температурами: 34,6; 35,6; 37,6; 38,6. При попытке посчитать среднюю температуру мы получаем:

(34,6+35,6+37,6+38,6):4 = 36,6. Получается, что в среднем все здоровы, хотя нам достоверно известно, что не всех ещё можно выписывать.

Итог: очень важно правильно учитывать среднее арифметическое нескольких чисел.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Трое детей пошли в лес за ягодами. Маша нашла 21 ягоду, Алиса - 18, а Петя – всего 6 ягод. Дети решили разделить ягоды на всех поровну. Сколько ягод получил каждый из детей?

Ответ: по 15 ягод.

В Санкт-Петербурге в течение недели измеряли температуру: в понедельник – 16 градусов, во вторник – 17, в среду – 14, в четверг – 12, в пятницу – 18, в субботу – 20, в воскресенье 16. Какова была средняя температура в Санкт-Петербурге в течение недели? (Ответ округлите до сотых)

Ответ: 16,14

У Маши было с собой 39 рублей, у Андрея – 25, а Паши – 23. На все деньги они купили билеты в кино. Сколько стоил один билет?

Ответ: 29 рублей

Рекомендуемые тесты:

1. Среднее арифметическое шести чисел равно 3,5, а среднее арифметическое четырёх других чисел равно 2,25. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

Ответ: 3.

2. В летний лагерь детей отправляли на 6 одинаковых автобусах. В автобусах оказалось 29, 41, 28, 22, 27 и 33 человека. Можно ли было отъезжающих разместить в автобусах поровну?

Ответ: да, можно.

3. Четыре поля имеют площадь по 200 га каждое. На первом поле собрали 7220 ц пшеницы, на втором – 7560 ц, на третьем – 7090 ц пшеницы и на четвёртом – 7130 ц. Определите среднюю урожайность пшеницы.

Ответ: 7250 ц с одного поля.