Понятие инварианта и полуинварианта.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Скажите, вы любите перемены? Нет, ну школьные-то конечно, но я имею в виду то, когда что-то изменяется. Вот многие математики, да и не только они, не очень любят изменения, так как если что-то наоборот не изменяется, его поведение легко предсказать. Например, представляете, что было бы, если бы каждый из нас менял имя каждый день? Все бы быстро запутались, правда? Или вот, когда дети каждый урок пересаживаются на новые места, учителю очень трудно их запомнить, особенно, если класс для него новый. То ли дело наоборот. Ты сегодня Миша – значит и завтра ты Миша, и послезавтра. На первой парте сидят Катя и Лиза – и завтра они там же! Красота!

В математике даже есть специальное слово, обозначающее величину или свойство объектов, которое не изменяется – инвариант. К примеру, я старше своей сестры на 3 года. Изменится ли что-то через год, через два? Нет, конечно! Значит, разница между нашими возрастами – инвариант. Другой пример: предположим, вы с другом плывёте в одной лодке, друг сидит на переднем сидении, а вы на заднем. Меняется ли расстояние между вами, пока плывет лодка? Нет, если считать, что вы оба не встаёте с мест. Значит, это расстояние – инвариант. Ещё пример: шахматный слон, как вы наверное, знаете, ходит только по полям одного цвета (чернопольный – по чёрным, белопольный – по белым). Значит, цвет клетки, на которой стоит слон – инвариант.

Можно привести и математические примеры. Допустим, есть какое-то чётное число, скажем, 12. Каждую минуту мы умножаем данное число на любое целое число. Заметим, что какие бы числа мы не выбрали, результат останется чётным! Значит, чётность – инвариант для наших получающихся чисел. Кстати, чётность, пожалуй, самый популярный из инвариантов, помогающих решать задачи. И в этом мы сейчас убедимся.

Задача 1. На доске написано число 366. Каждую минуту Максим либо вычитает из числа на доске 2, либо прибавляет к числу на доске 4. Может ли Максим с помощью таких операций получить число 239?

Решение. Нет, не сможет. Заметим, что исходно на доске было чётное число. После вычитания чётного или добавления чётного числа результат всё равно будет чётным. Значит, чётность числа на доске – инвариант! Таким образом, нечётное число 239 никогда не получится.

Задача 2. На столе стоит 5 стаканов – все они стоят вверх дном. За ход можно перевернуть любые два стакана. Можно ли такими ходами добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?

Решение. Тут всё немного сложнее. Напрашивается сказать, что нет, ибо за два хода мы перевернём 4 стакана, а пятый не сможем. Ведь вместе с ним придётся перевернуть ещё один – сделать его вверх дном. Но это, увы, не решение: а вдруг есть какая-то другая последовательность ходов, приводящая к успеху? Мы пока доказали, что наш метод не сработает – может, сработает другой? По такому принципу мы могли в первой задаче получить числа 240 и 238, а потом заявить, что 239 не получается. Поэтому, давайте докажем более строго – поищем инвариант.

Заметим, что мы каждый раз либо переворачиваем два стакана, стоящих одинаково (тогда количество стаканов, стоящих дном вверх уменьшается или увеличивается на 2), или два стакана, стоящих по-разному (тогда количество стоящих дном вверх не меняется). Значит, количество стаканов, стоящих дном вверх либо не изменяется, либо меняется на 2 в одну из сторон. Но тогда не меняется его чётность! Итак, инвариант – чётность количества стаканов, стоящих дном вверх. Исходно их было 5 (нечётное), а надо сделать 0 (чётное). Противоречие!

Иногда бывает не менее полезно использовать то, что величина «почти» не меняется, точнее, меняется, но по какому-то определённому правилу, независимо от производимых нами действий. Такую закономерность называют полуинвариантом, то есть почти инвариантом. Например, рассмотрим шоколадку прямоугольной формы, 4 × 5 плиточек. Предположим, что я ломаю её на более мелкие кусочки, причём каждый раз я ломаю любой имеющийся у меня кусок по углублениям – и так до тех пор, пока все кусочки не станут плиточками 1 × 1, то есть ломать будет нечего. Сколько таких ходов я смогу сделать? Казалось бы, это зависит от того, как я буду ломать, но на самом деле это не так! Заметим, что количество кусков каждый раз будет увеличиваться строго на 1. Изначально их было 1, а в конце станет 20. Значит, разломов я сделал 19! Вот он полуинвариант: количество кусочков каждый раз увеличивается на 1 независимо от моего действия! Решим более сложную задачу.

Задача 3. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 9, 10. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1. Какое число может остаться на доске после 9 таких операций?

Решение. Заметьте, что если бы мы меняли два числа на их сумму, задача стала бы куда проще. Ведь тогда общая сумма всех чисел на доске не изменится (то есть она является инвариантом!) Значит, ответ был бы равен сумме всех чисел от 1 до 10, то есть 55 – независимо от порядка ходов. Но в нашем случае так рассуждать мешает единица… Но позвольте! Ведь тогда получается, что если рассмотреть сумму всех чисел, то она просто каждый раз будет уменьшаться на 1! Вот и полуинвариант: независимо от порядка ходов, после первого хода сумма всех чисел на доске станет 54, затем 53, и так далее. Ну а после 9-го хода будет, конечно, 45 – это и есть ответ.

Что ж, сегодня мы с вами познакомились с двумя очень интересными понятиями – инвариантом и полуинвариантом. И я очень надеюсь, что их нахождение в вашей памяти будет инвариантом ещё долгое время!

До встречи!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. На доске написано число 2016. Каждую минуту Максим либо вычитает из числа на доске 2, либо прибавляет к числу на доске 6. Может ли Максим с помощью таких операций получить число 2017? Ответ: нет.

2. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 9, 10. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 2. Какое число может остаться на доске после 9 таких операций? Ответ: 37.

3. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка? Ответ: нет.

Рекомендуемые тесты:

1. На доске написано число 366. Каждую минуту Максим либо вычитает из числа на доске 3, либо прибавляет к числу на доске 6. Может ли Максим с помощью таких операций получить число 239? Ответ: нет.

2. 100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке? Ответ: нет.

3. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число ab. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций? Ответ: 20.