its5Q/resh-edu huggingface dataset:
Графический способ решения линейных уравнений
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться решать задачи, связанные с графиком линейной функции.

Всем привет!

Мы знаем, что уравнение линейной функции записывается y = kx + b, а его график – прямая.

Часто приходится решать задачи о нахождении неизвестных коэффициентов k, b при наличии каких-то сведений о графике.

Сейчас мы эти и займёмся. Перейдём к примеру.

Пример 1:

Линейная функция имеет вид y = kx + 2. Найти значение k, при котором её график проходит через точку (2; –4).

Решение:

Подставим в уравнение x = 2, y = –4 и решим уравнение относительно k.

–4 = 2k + 2

2k = –6

k = –3

Ответ: –3.

Пример 2:

Линейная функция имеет вид y = kx – 3. Найти значение k, при котором её график пересекает прямую у = 3х – 1 в точке с абсциссой 1.

Решение:

k –3 = 3 – 1

k = 5

Ответ: 5.

Пример 3:

В какой точке пересекаются прямые y = 3x – 2 и y = 5x + 1?

Решение:

3x – 2 = 5x + 1

2x = –3

х = –1,5

Подставим значение x в любую из формул:

y = 3 ⋅ (–1,5) – 2

y = –4,5 – 2

y = –6,5

Ответ: (–1,5; –6,5).

Пример 4:

Найти уравнение прямой, проходящей через точки (0; 3) и (2; 3).

Решение.

Пусть искомое уравнение: y = kx + b.

Тогда 3 = b и 3 = 2k + b. Значит, 2k = 0, k = 0. Тогда искомое уравнение: y = 3.

Ответ: y = 3.

Такие прямые (вида y = b) обычно называют горизонтальными – по понятным причинам.

Если линейная функция принимает одно и то же значение дважды, то её график – горизонтальная прямая!

Пример 5:

Определить уравнение функции по графику:

Решение:

Заметим, что график проходит через точки (2; 1) и (1; –1).

Так как это прямая, то это график функции y = kx + b.

Имеем:

1 = 2к + b

–1 = k + b

Из второго уравнения:

b = –1 – k

Тогда в первом:

1 = 2k – 1 – k,

k = 2.

Тогда b = –3.

Имеем:

y = 2x – 3.

Обратите внимание, что я вам дал не полный график функции, а обрезанный. На следующем рисунке представлен более полный вариант этого графика. По нему найти b проще всего, если подставить х = 0.

Если график такой, то сразу b = –3!

Итак, сегодня мы с вами порешали различные задачи, связанные с линейной функцией. На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 2, § 6, пункт 16, № 367 (а, б), 369.

Рекомендуемые тесты: (из учебника Алгебра 7 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 2, § 6, пункт 16, № 372.
Урок 39. Метод математической индукции
Предмет: Алгебра, 9 класс

Тезаурус основных терминов и понятий

Геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Принцип математической индукции:

Утверждение верно при любом натуральном n, если выполняются два условия:

утверждение верно при n = 1;

из того, что утверждение верно для n = k, следует, что оно верно для n = k + 1.

Дополнительная информация и полезные ресурсы:

Бурмистрова Т. А. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7–9 классы.

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, Л. М. Короткова. «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса».

Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. «Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Тематические тестовые задания».

Ю. А. Глазков, М. Я. Гаиашвили. «ОГЭ. Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций».
Урок 27. Неравенства с двумя переменными
Предмет: Алгебра, 9 класс

Тезаурус основных терминов и понятий

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих неравенство в верное числовое неравенство.

Дополнительная информация:

Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. В. Суворова]. — М. : Просвещение
Урок 46. Свойства степени с целым показателем
Предмет: Алгебра, 8 класс

Тезаурус основных терминов и понятий

Определение степени с целым отрицательным показателем

Если а не равно нулю и n – целое отрицательное число, то .

Полезная формула для решения задач

Если а и b не равные нулю числа и n – целое отрицательное число, то .

Дополнительная информация и полезные ресурсы:

Всероссийская олимпиада школьников по математике www.problems.ru

Галкин Е. В. Задачи с целыми числами: 7–11 кл. М.: Просвещение, 2011

Глейзер Г. И. История математики в школе: VII–VIII кл. – М.: Просвещение, 1982

Дорофеева А. В. Страницы истории на уроках математики. – М.: Просвещение, 2007

Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия – М.: АСТ, Астрель, 2002

Пичури Л. Ф. За страницами учебника алгебры – М.: Просвещение, 1999
Урок 44. Контрольно-обобщающий урок по теме «Неравенства»
Предмет: Алгебра, 8 класс

Конспект

Алгебра. 8 класс

Урок 44. Контрольно-обобщающий урок по теме «Неравенства»

Числовые неравенства и их свойства

Определение

Число a больше числа b, если разность a – b – положительное число.

Число a меньше числа b, если разность a – b – отрицательное число.

Если разность равна 0, то числа a и b равны.

Свойства

1. Если a > b, то b < a; если a < b, то b > a.

2. Если a < b и b < c, то a < c.

3. Если a < b и c – любое число, то a + c < b + c.

4. Если a < b и c – положительное число, то ac < bc;

если a < b и c – отрицательное число, то ac > bc.

5. Если a и b – положительные числа и a < b, то .

Сложение и умножение неравенств, возведение в степень

6. Если a < b и c < d, то a + c < b + d.

7. Если a, b, c и d – положительные числа, a < b и c < d, то ac < bd.

8. Если a и b – положительные числа, n – натуральное число и a < b, то an < bn.

Решение неравенств с одной переменной

Определения

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет, то есть найти множество решений неравенства.

В результате следующих преобразований

получается неравенство, равносильное данному:

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Определение

Неравенства вида ax < b, ax > b, ax ≤ b, ax ≥ b, где a и b – некоторые числа, называются линейными неравенствами.

Решение систем неравенств с одной переменной

Определения

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что решений нет, то есть найти множество её решений.

Чтобы решить систему неравенств, нужно:

Решить каждое неравенство системы.
Найти пересечение множеств решений всех неравенств системы.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Урок 41. Решение неравенств с одной переменной
Предмет: Алгебра, 8 класс

Конспект

Алгебра. 8 класс

Урок 41. Решение неравенств с одной переменной

Рассмотрим неравенство 7 + 2x > 23.

Если x = 0, то

7 + 2 • 0 > 23;

7 + 0 > 23;

7 > 23.

Неравенство является неверным, что очевидно из решения.

Если x = 10, то

7 + 2 • 10 > 23;

7 + 20 > 23;

27 > 23.

Число 10 является решением неравенства или удовлетворяет этому неравенству.

Неравенство может иметь несколько решений, например, 23, 70 или 80.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Основные свойства неравенств.

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

x + 5 < 21;

x < 21 – 5;

x < 16.

Ответ: (–∞; 16)

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

6x ≥ 42, | : 6;

x ≥ 7.

Ответ: [7; +∞).

Линейные неравенства с одной переменной

ax > b, ax < b, ax ≥ b или ax ≤ b, где a и b – некоторые числа, x – переменная.

Примеры: 3x > 6, 8x < 128, 31x ≥ 341, 82x ≤ 285.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Урок 26. Контрольно-обобщающий урок по теме «Квадратные корни»
Предмет: Алгебра, 8 класс

Дополнительная информация и полезные ресурсы:

Бурмистрова Т. А. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7–9 классы

Ю. Н. Макарычев. Н. Г. Миндюк, Л. М. Короткова. «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса»

Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). «Тематические тестовые задания»

Ю. А. Глазков, М. Я. Гаиашвили. «ОГЭ. Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций»
Решение практических задач с применением простейших свойств фигур. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Суслина Мария Евгеньевна

Задача 1

Территория государства имеет форму треугольника. Каждая из четырех стран имеют форму треугольников. Нарисуйте, как расположены друг относительно друга страны, если у каждой из них есть общие границы с тремя другими.

Решение

Задача 2

Вокруг бассейна размером 6 м на 12 м плиткой размером 50см х50 см выложили дорожку шириной 1 метр. Найти площадь дорожки? Сколько плиток потребуется на дорожку?

Решение

8*14 = 112 м2

6*12 = 72 м2

112 – 72 = 40 м2

Посмотрим сколько плиток нужно для покрытия одного квадратного метра плиткой.

4 плитки * 40 = 160 плиток.

Ответ: 40м2, 160плиток

Задача 3

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого 2/3 метра?

Решение

Если от шнурка отрезать четверть (для этого нужно дважды сложить его пополам), останется как раз 50 см. Действительно, 3/4·2/3 = 1/2.

Задача 4

Прямоугольный участок периметра 4км разбит на 4 прямоугольных участка садоводов, а в центре построен бассейн.

Каков периметр бассейна, если суммарная длина парадных ворот (отмечено на рисунке жирным) равна 1700м ?

Ответ. 600м.

Решение. Представим, что мы построили новые парадные ворота – парадные ворота в пруд (также отмечены жирным на новом рисунке). Заметим, что длина парадных ворот в пруд равна половине периметра пруда.

Теперь чтобы решить задачу посчитаем половину периметра участка двумя способами. Первый способ. Периметр участка равен 4км, значит, половина периметра равна 2км (2000м). Второй способ. Общая длина парадных ворот (как старых, так и новых) равна половине периметра. Действительно отрезки, выделенные на рис.1 в сумме дают одну сторону участка, а отрезки, выделенные на рис. 2 в сумме дают другую сторону участка.

Итак, 2000м = общая длина парадных ворот = длина старых ворот + длина новых = 1700м + длина новых = 1700м + половина периметра пруда. Таким образом, 2000м = 1700м + половина периметра пруда, а значит половина периметра пруда = 300м.

Соответственно периметр пруда равен 600м.

Задача 5

Вдоль двух прямолинейных парковых аллеек посажены пять дубов — по три вдоль каждой аллеи. Где посадить шестой дуб так, чтобы можно было проложить еще две прямолинейные аллеи, вдоль каждой из которых росло бы тоже по три дуба?

Решение

У нас есть две пары деревьев, не соединенных аллеями. Проведем две аллеи, проходящие около этих двух пар (это можно сделать двумя способами — выберем любой). На пересечении новых аллей посадим шестое дерево.
Урок 48. Спектр электромагнитного излучения
Предмет: Физика, 9 класс

Урок 48. Спектр электромагнитного излучения

На этом уроке

Вы узнаете:

Что такое спектр электромагнитных излучений.
Какие объекты являются источниками электромагнитных излучений во Вселенной.
Какую роль электромагнитные волны играют в нашей жизни.

Ключевые слова

Спектр электромагнитного излучения; красное смещение; реликтовое излучение; радиоволны; микроволны; инфракрасное излучение; видимый свет; ультрафиолетовое излучение; рентгеновские лучи; гамма-лучи.

Основное содержание урока

Весь диапазон электромагнитных волн носит название спектра электромагнитного излучения.
Длина волны равна отношению скорости света к частоте волны:

λ = .

Спектр электромагнитных излучений включает в себя радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи и гамма-лучи.

Космологическое красное смещение – явление, заключающееся в том, что спектральные линии от далёкого космического источника, например галактики, смещаются в сторону более длинных волн по сравнению с длиной волны тех же линий, измеренной от неподвижного источника.

Это означает, что регистрируемая длина волны излучения далёкого источника, удаляющегося от нас с высокой скоростью, становится больше.

В 1929 г. Хаббл открыл, что красное смещение для далёких галактик больше, чем для близких, и возрастает приблизительно пропорционально расстоянию между ними. Это открытие позволило сделать вывод о том, что Вселенная постоянно расширяется, а звёзды и галактики удаляются друг от друга.

Реликтовое излучение – микроволновое излучение, распространяющееся в космосе во всех направлениях и возникшее в первые мгновения рождения Вселенной

Реликтовое излучение обнаруживается в виде микроволн, распространяющихся в космосе во всех направлениях.

Человек использует все виды электромагнитного излучения.

Радиоволны применяют в радио-, телевещании, мобильной телефонии.
Микро-волны используют в радиолокации, радионавигации, системах спутникового телевидения, мобильной телефонии и т. д.
Инфракрасные лучи используют в приборах ночного видения, которые позволяют нам видеть в темноте.
На использовании видимой части электромагнитного спектра в основано устройство всех оптических приборов.
Ультрафиолетовые лучи применяются в медицине.
Рентгеновские лучи также широко применяют в медицине при диагностике переломов и различных заболеваний внутренних органов.
Гамма-лучи используют для обнаружения микротрещин в металлических конструкциях, а также при лечении злокачественных опухолей.

Разбор типового тренировочного задания

Все электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью:

340 м/с
300 000 м/с
300 000 км/с
зависящей от типа волны

Ответ: 300 000 км/с

Разбор типового контрольного задания

Чёрные дыры и центры галактик являются источником:

гамма-лучей
видимого света
инфракрасного излучения
рентгеновских лучей

Ответ: рентгеновских лучей
Урок 04. Движение тела по окружности. Период и частота
Предмет: Физика, 9 класс

Урок 4. Движение тела по окружности. Период и частота

На этом уроке

Вы узнаете:

Как движется тело по окружности.
Как направлены мгновенная скорость и ускорение тела при его движении по окружности.
Что такое центростремительное ускорение.
Что такое период и частота обращения.
Как вычислить ускорение тела, движущегося по окружности, если известны его период и частота обращения.

Ключевые слова

Движение по окружности, центростремительное ускорение, скорость при движении по окружности, период обращения, частота обращения.

Основное содержание урока

При движении тела по окружности мгновенная скорость тела в любой точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

Движение по окружности – движение с ускорением.
Ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, называется центростремительным. Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к её центру.

Модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата скорости движения тела по окружности к радиусу окружности:

.

Время, в течение которого тело совершает один полный оборот, называют периодом обращения.

Единица периода обращения в СИ — секунда.

Число оборотов в единицу времени, которое совершает тело при движении по окружности, называют частотой обращения.

Частота обращения является величиной, обратной периоду обращения.

Единица частоты обращения обратна секунде.

Связь модуля скорости с периодом и частотой:

Связь модуля ускорения с периодом и частотой:

Разбор типового тренировочного задания

При движении тела по окружности вектор мгновенной скорости направлен:

от центра окружности
к центру окружности
по касательной к окружности
по линии окружности

Ответ: по касательной к окружности.

Разбор типового контрольного задания

С помощью одного из самых высоких аттракционов «Колесо обозрения» можно подняться на высоту 135 м. Один полный оборот оно совершает за 30 мин. Скорость вращения кабинок аттракциона составляет:

24 см/с
0,5 м/с
7 м/с
14,1 м/с

υ = πh/T = 3,14·135/(30·60) = 0,24 м/c = 24 см/с.

Ответ: 24 см/с.
Решение практических задач с применением простейших свойств фигур. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Суслина Мария Евгеньевна

Задача
1. Чтобы
покрасить поверхность (все грани)
деревянного кубика высотой 1 см нужно
1 г краски. Сколько краски понадобится,
чтобы покрасить деревянный куб высотой
3 см?

Задача
2. После
стирки 7 одинаково испачканных рубашек
кусок мыла уменьшился в два раза по
длине, ширине и высоте. На сколько еще
рубашек хватит оставшегося куска?

Решение

Ответ:
на одну рубашку.

Задача
3. Длина
аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55
см. Сколько литров воды надо влить в
этот аквариум, чтобы уровень воды был
ниже верхнего края на 10см.

Решение

V
= 80*45*55 = 198000 кубических см (объем всего
аквариума)

55
см - 10 см = 45 см (уровень воды)

V
= 80*45*45 = 162000 кубических см (объем воды)

162000
= 162 л

Ответ:
нужно влить 162 литра воды.

Задача
4. Деревянный
куб покрасили снаружи черной краской,
каждое его ребро разделили на 3 равные
части, после чего куб распилили так, что
получились маленькие кубики. Сколько
получилось кубиков?

У
скольких кубиков окрашены три грани?

У
скольких кубиков окрашены две грани?

У
скольких кубиков окрашены одна грань?

Сколько
кубиков осталось неокрашенных?

Задача
5. Найдите
объем и площадь наружной поверхности
бака без крышки. Ширина
70 см, длина 90 см, высота 80 см. Сколько
понадобится краски, чтобы покрасить
этот бак снаружи и изнутри, если на
покраску 1дм2
нужно 2 г краски?

Решение:

Находим
объем: V = 90 см * 80 см * 70 см = 9 дм * 8 дм * 7 дм
= 504 дм3 =
504 литров.
Найдем
площадь:
Нижняя
часть 9дм * 7дм = 63дм2
Передняя
стенка 9дм * 8дм = 72дм2
Задняя
стенка 9дм * 8дм = 72дм2
Левая
стенка 7дм * 8дм = 56дм2
Певая
стенка 7дм * 8дм = 56дм2
Площадь
верхней стенки не считаем, по условию
задачи.
Общая
площад: 63дм2 +
72дм2 +
72дм2 56дм2 +
56дм2 =
319дм2
Сколько
понадобится краски чтобы покрасить
снаружи: 319*2 = 638 г.
Сколько
понадобится краски чтобы покрасить
изнутри: 319*2 = 638 г.
Всего
потребуется: 638г + 638г = 1276г

Сколько
литров бензина можно влить в этот бак?

Ответ:
504 дм3,
319 дм2,
1276 г, 504 л
Урок 39. Обобщение по теме «Электромагнитная природа света»
Предмет: Физика, 9 класс

Урок 39. Обобщение по теме «Электромагнитная природа света»

На этом уроке

Вы повторите и обобщите:

знания по теме «Электромагнитная природа света».

Ключевые слова

Электромагнитная природа света.

Основное содержание урока

Дисперсия света

Зависимость показателя преломления среды от цвета световых лучей называют дисперсией.
Явление дисперсии можно наблюдать при пропускании белого света через призму.

Интерференция света

Явление сложения в пространстве волн одной частоты, при котором образуется постоянное во времени и пространстве распределение амплитуд результирующих колебаний, называют интерференцией.
Впервые опыт по наблюдению интерференции света осуществил Томас Юнг.

Дифракция света

Явление отклонения волн от прямолинейного распространения, огибание волнами препятствий называют дифракцией.
Классический опыт по дифракции света был осуществлён в 1802 г. Томасом Юнгом, открывшим явление интерференции света.

Поперечность световых волн

Световая волна является поперечной.
Теория электромагнитного поля Максвелла и экспериментальной открытие электромагнитных волн Герцем позволило сделать вывод о том, что свет – это электромагнитная волна.

Разбор типового тренировочного задания

Значение скорости света в вакууме примерно равно:

100 000 км/с
200 000 км/с
300 000 км/с
400 000 км/с

Ответ: 300 000 км/с.

Разбор типового контрольного задания

На основании своих опытов по дисперсии света И. Ньютон сделал выводы:

А) существуют простые цвета, которые могут изменяться при отражении и преломлении

Б) световые пучки, отличающиеся по цвету, отличаются по степени преломляемости

В) наиболее сильно преломляются жёлтые лучи, меньше других — красные

Выберите верное утверждение:

только А
только Б
только В
Б и В

Ответ: только Б.
Урок 09. Инерция. Взаимодействие тел и масса. Измерение массы тела на уравновешенных рычажных весах
Предмет: Физика, 7 класс

Урок 9. Инерция. Взаимодействие тел и масса. Измерение массы тела на уравновешенных рычажных весах

На этом уроке

Вы узнаете:

Что такое инерция.
Что такое движение по инерции.
Как ведёт себя тело, если на него не действуют другие тела.
Что такое взаимодействие тел.
Что такое масса.

Ключевые слова

Инерция, движение по инерции, взаимодействие тел, инертность, масса.

Основное содержание урока

Если на тело не действуют другие тела, то оно или находится в покое, или движется прямолинейно и равномерно.
Явление сохранения скорости тела при отсутствии действия на него других тел называют инерцией.
Движение тела при отсутствии действия на него других тел называют движением по инерции.
Примеры инерции:

Изменение скорости тела происходит в результате действия на него другого тела.

Действие тел друг на друга называется взаимодействием.
В результате взаимодействия оба тела могут изменить свою скорость и изменить направление своего движения.

Тело, которое при взаимодействии меньше изменяет свою скорость, более инертно и имеет бόльшую массу.

Тело, которое при взаимодействии больше изменяет свою скорость, менее инертно и имеет меньшую массу.

Инертностью называют свойство тела сохранять состояние покоя или, если тело двигалось, свою скорость.
Масса тела – это физическая величина, характеризующая меру его инертности.
Единица массы в СИ – килограмм.

Килограмм – это масса эталона, который изготовлен из сплава платины и иридия и хранится во французском городе Севре.

Самый распространённые способ определения массы – это взвешивание на рычажных весах.

Разбор типового тренировочного задания

При манёвре трамвая пассажиры вдруг отклонились влево. Это значит, что:

трамвай увеличил свою скорость
трамвай повернул направо
трамвай повернул налево
трамвай уменьшил свою скорость

Ответ: трамвай повернул направо.

Разбор типового контрольного задания

Мячик лежит на столе в вагоне поезда, который движется равномерно. Если поезд уменьшит свою скорость, мячик:

покатится вперёд по направлению движения поезда
покатится назад
останется на месте

Ответ: покатится вперёд по направлению движения поезда.