Решение задач на инвариант и полуинвариант. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Сегодня мы продолжим говорить об инвариантах, решим несколько более трудные задачи, связанные с этим понятием.

Задача 1. На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

Решение. Итак, ищем, что же у нас тут не меняется. Сумма явно меняется – причём каждый раз на 2. Но тогда не меняется её чётность! Итак, чётность суммы всех чисел – инвариант. Исходно сумма равна 21. А если все числа станут равными – например, по х, то сумма всех чисел будет 6х – чётная! Значит, такого быть не может, ведь чётность суммы не может поменяться.

Обратите внимание, что нельзя было рассуждать в стиле «попробуем сделать равными, делаем так и так, и ничего не получается, единички не хватает». Ведь нам надо доказать ,что при любой последовательности действий ничего не получится, а не только при выбранной нами. Это всё равно, что сказать, что задача не решаема, если она не решилась у вас. Так что инвариант – наш выбор.

Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке, и каждая либо снимает, либо вешает ровно один платок. Может ли после ухода девочек на вешалке остаться 10 платков?

Решение. И снова у нас проблемы: сходу не видно, что ж тут не меняется. Впрочем, давайте смотреть. Первая девочка сняла или повесила платок, значит, после неё осталось 19 или 21 платок. После второй, соответственно, 18, 20 или 22. Кажется, есть: чётность количества платков после каждой девочки всегда одинакова! То есть после первой девочки останется нечётное число платков, после второй – чётное и так далее. Значит, инвариант – чётность количества платков для каждой девочки (но не для всех, конечно). А тогда после 17-й девочки будет нечётное количество платков – простое чередование. Значит, их не может остаться 10.

Задача 3. Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

Решение. На первый взгляд очень сложная задача: здесь нет каких-то численных характеристик, чтобы мы могли найти инвариант. Хотя стоп, кое-что есть: мы взяли 3 ложки из стакана с молоком и перелили в чай, а потом снова три ложки – обратно. Что же при этом не изменится? Ну конечно, объём жидкости в каждой чашке! Независимо от перемешивания, мы, по сути, вылили три ложки, а потом их же добавили. Значит, объёмы остались прежними.

Далее, в стакане с молоком теперь не только молоко, но и чай. Предположим, что общий объём молока в стакане был V, а чая теперь в нём х. Но тогда молока осталось V–x, логично? А где же оставшееся молоко? Конечно, в стакане с чаем. А сколько этого «оставшегося» молока? V – (V–x), то есть тот же х. Значит, молока в стакане с чаем столько же, сколько чая в стакане с молоком, и от помешивания это совершенно не зависит.

Итак, сегодня мы решили ещё несколько задач на инварианты, надеюсь, теперь эта тема стала вам ближе!

До встречи!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. В саду растет десять кустов малины. На первом кусте растет 56 ягод, а на каждом следующем – на 2 ягоды больше или меньше, чем на предыдущем. Может ли на последнем кусте расти 47 ягод? Ответ: нет, не может

2. На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно? Ответ: нет.

3. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0? Ответ: нет.

Рекомендуемые тесты:

1. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10? Ответ: нет.

2. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей? Ответ: нет.

3. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого? Ответ: нет.