Решение задач повышенной сложности. Часть 1
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с задачами на построение прямоугольных треугольников по двум элементам, когда 1 из двух заданных элементов не является базовым (сторона или острый угол), но представляет собой сумму или разность базовых.

Здравствуйте! Рассмотрим ещё более сложные задачи, связанные с построением треугольников по двум элементам. Такими элементами, помимо периметра, могут являться суммы и разности сторон и углов. Начнём с прямоугольных треугольников.

Построение по сумме катетов и острому углу.

Задача: Даны отрезок длиной р и угол альфа.

Построить прямоугольный треугольник АВС (угол АВС – прямой), где АВ+ВС=р, угол ВАС = альфа (острый).

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник АВС построен. Продлим прямую АВ за точку В и отложим на ней ВК=ВС. Тогда треугольник КВС равнобедренный и прямоугольный, значит угол СКВ равен 45 градусов. Таким образом, треугольник КСА определён по стороне АК и 2-м углам. Можно строить.

Построение.

1. Строим произвольную прямую а, отмечаем на ней точку А и раствором циркуля, равным р, строим точку К.

2. В одной полуплоскости строим лучи АЕ под углом альфа к а и КМ под углом 45 градусов к а. Точку их пересечения обозначаем буквой С.

3. Строим перпендикуляр в к прямой а, через точку С. Точку пересечения в и а обозначаем буквой В.

Доказательство.

Треугольник АВС прямоугольный по построению (п.3); угол ВАС равен альфа по построению (п. 2); ВС=ВК по построению (п.2), значит АВ+ВС=АВ+ВК=АК=р по построению (п.1).

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

Данные 2 элемента однозначно определяют треугольник, значит, задача имеет единственное решение. Решение задача имеет всегда, поскольку в условии оговаривается, что угол альфа острый.

Построение по катету и сумме гипотенузы с другим катетом.

Задача: Даны отрезки длиной с и р.

Построить прямоугольный треугольник АВС (угол АВС – прямой), где АВ=с; АС+ВС=р.

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник АВС построен. Продлим прямую ВС за точку С и отложим на ней СЕ=АС. Тогда треугольник АЕС равнобедренный с известным основанием и углом при основании. Можно строить.

Построение.

1. Строим произвольную прямую а, отмечаем на ней точку А и раствором циркуля, равным с, строим точку В.

2. Через точку В проводим прямую В, перпендикулярную а, и раствором циркуля, равным р, строим точку Е.

3. Строим отрезок АЕ и под углом ВЕА к нему строим луч АМ, пересекающий отрезок ВЕ.

4. Точку пересечения луча АМ с отрезком ВЕ обозначаем буквой С.

Доказательство.

Треугольник АВС прямоугольный по построению (п.2); АВ=с по построению (п. 1); треугольник АСЕ – равнобедренный по построению (п.3), значит АС+ВС=ВС+СЕ=ВЕ=р по построению (п.2).

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

Данные 2 элемента однозначно определяют треугольник, значит, задача имеет единственное решение. Естественно, задача имеет решение только в том случае, когда р больше с.

Подведём итоги.

Мы научились строить прямоугольные треугольники в случаях, когда 1 из двух заданных элементов не является базовым (сторона или острый угол), но представляет собой сумму или разность базовых.

1. Рекомендуемые тренажеры

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 357, № 358, № 361.

2. Рекомендуемые тесты

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 321, № 359, № 362.