Тождество. Тождественные преобразования выражений
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: рассмотреть понятие тождества и тождественные преобразования.

Всем привет!

Сегодня мы с вами начинаем большую новую главу. Мы будем говорить о различных алгебраических выражениях, в частности о дробях. Но конкретно сегодняшний урок будет посвящён более общему понятию, понятию тождества. Прежде чем мы поговорим о тождестве, давайте посмотрим на такие примеры:

х + х = 2х

х ⋅ х = х2

х ⋅ 1/х = 1

(х +1)2 = х2 + 2х + 1

х3 + 1 = (х + 1)(х2 + х + 1)

Что объединяет эти примеры? А то, что какое х не подставь, равенство будет верным. Надеюсь, вы заметили ошибку! В последнем примере должно быть х3 + 1 = (х + 1)(х2 – х + 1). Оставим пока так, но вернёмся к этому примеру чуть позже. Обратим внимание, что первые четыре примера верны при любых х, а последний, пятый, верен при х = 0, но не при любом!

Вот такие примеры, которые верны при любых допустимых х, называются тождествами.

Определение: тождество – это равенство, которое верно при любых допустимых значениях переменной.

Возвращаясь к примерам: первые четыре примера были тождествами, а пятый пример не был тождеством.

В качестве примера тождеств можно привести вообще все формулы сокращённого умножения. Другие примеры тождеств – это законы, например a + b = b + a. Кстати, примером тождества является и верное числовое равенство
4 + 2 = 6. Свойства действий также являются тождествами, к примеру, а ⋅ 0 = 0 для любого а; а ⋅ 1 = а, для любого а;
а + 0 = а, для любого а.

Важно ввести понятие о том, что такое тождественно равные выражения? А это собственно те выражения, значения которых совпадают при любых значениях переменных.

Пример:

(а2)3 = а6

аb(–аb3) = –а2b4

х15х2 : х3 = х14, х ≠ 0

Можно ввести понятие тождественных преобразований, когда мы одно выражение заменяем на другое, тождественное ему, равное. Все наши формулы – это тождественные преобразования.

Примеры простейших тождественных преобразований:

х + х = 2х

х ⋅ х = х2

х ⋅ 1/х = 1, при х ≠ 0

По сути, ведь всё, что мы делали – это тождественные преобразования. Все свойства, формулы, которые мы выводили практически, всё это было тождественное преобразование. Свойства степеней – тождественное преобразование. Формулы сокращённого умножения – тождественное преобразование. Разложение на множители, которое мы делали на предыдущих занятиях – тождественное преобразование. Раскрытие скобок тоже тождественное преобразование.

Теперь вопрос. А зачем вообще это надо? Зачем нужно понятие тождества, зачем нужны тождественные преобразования?

Прежде всего, самое главное применение – это решение уравнений. Ведь что значит решить уравнение? Найти все х, при которых уравнение превращается в верное равенство. Как мы обычно решаем уравнения? Мы как-то его преобразовываем. Но где гарантия, что уравнение, которое у нас получается, после преобразования будет аналогичным тому уравнению, которое было до преобразования. Т. е., почему то х, которое обращает исходное уравнение в верное равенство, обратит в верное равенство и получившееся уравнение. Гарантия как раз этому – тождественные преобразования.

В этой главе, когда мы будем говорить про дроби, мы с вами будем часто пользоваться тождественными преобразованиями, так что надеюсь, что сегодняшний урок останется у вас в памяти.

На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 36, № 36.6; 36.7; 36.9.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 36, № 36.12; 36.13; 36.17.