Занимательные задачи: задачи на разрезание. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: познакомить обучающихся с идеей разрезания фигуры на несколько равных фигур, разрезанием не клетчатых фигур и некоторыми сопутствующими рассуждениями.

Предметные результаты: развитие наглядного воображения; развитие логичности и внимательности; развитие познавательного интереса к начальному курсу геометрии.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте. В прошлый раз мы с вами познакомились с некоторыми рассуждениями связанными с возможностями или не возможностями разрезать что-то клетчатое на что-то клетчатое. Давайте задумаемся, можно ли обратиться с подобным вопросом в не клетчатых ситуациях.

Задача 1.

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

Давайте подумаем, как бы это можно было сделать. Очевидно, что если мы будем пытаться добиваться выпуклости и того и другого пятиугольника, то мы немедленно проиграем: если у одного угол меньше 180, то у другого таким образом больше, поскольку он дополняет первый пятиугольник до квадрата.

А тогда, восхитившись этой идеей, давайте попробуем разрезать. Конечно вариантов может быть много, но вот например некоторые (после того как мы поняли что могут быть не выпуклые фигуры, то нам осталось соблюсти только число вершин и отсутствие самопересечения).

Задача 2.

Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно сложить треугольник с 3 острыми углами и тремя различными сторонами.

Давайте посмотрим, так как углы получающегося треугольника не могут быть прямыми, значит при разрезании все прямые углы должны быть либо отрезаны либо разрезаны. И так как нужно разрезать фигуру на треугольники, то решение напрашивается само. Как видите, у нас всё получилось. Мы отрезаем верхний уголок, и приставляем его как показано на картинке. Тогда нам нужно просто соединить линией отреза «вершину» треугольника который мы строем с углом квадрата, чтобы всё сошлось (зелёный треугольник обязательно встав на место даст нам завершенный треугольник мы пока что можем рассуждать только на наглядном уровне, но уже довольно скоро, мы научимся это доказывать строго. Отметим, что на самом деле это конечно нуждается в обосновании).

Таким образом мы замечаем, что не смотря на то, что рассуждать не на клетчатой бумаге конечно же можно, но строгость этого рассуждения пока что страдает. А поэтому давайте вернемся в клетчатый мир.

Задача 3.

Разрежьте рамку на 16 равных частей.

Давайте разбираться. В данной рамке, как не сложно посчитать, 40 клеточек, значит каждая фигура должна содержать 2,5 клеточек. Это очень мощная подсказка относительно вида фигуры. То есть конечно же, мы можем брать фигуры произвольной паршивости и при сохранении площади, но наиболее простая идея в данном случае работает (важнее всего нам было осознать что число клеточек в разбиении может быть не целым).

Задача 4.

Разрежьте уголок из трёх клеточек на четыре равных уголка из трёх клеточек, пусть даже и других.

Вполне понятно, что разрезать уголок на четыре равных уголка равных ему не получится, больше тоже, а значит уголки на которые мы режем меньше. Пользуясь этой идеей, и необходимостью включить оба прямых угла на «сгибе» -- снаруже и внутри – в какой-то уголок, мы получаем гипотезу о том, что уголки в два раза меньше данного. После этого легко получаем разбиение.

Задача 5.

Разрежьте фигуру (см. рисунок) по линиям сетки на 4 равные фигуры.

Постараемся внимательно изучить нашу фигуру. Во-первых она состоит из 20 клеток, а значит нужно разрезать фигуру на пентамино. Во-вторых характерные выступы за пределы квадрата,

Явно напрашиваются на то чтобы принадлежать разным пентоминошкам. Откуда и получаем разрезание.

Подведем итог: мы немного продвинулись в представлениях о том, как именно устроены разрезания и на каких принципах мы можем упрощать и укорачивать себе перебор при экспериментировании.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один из которых гласит: «Ковер-самолет будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму». У Ивана-царевича был ковер-самолет размером 9×12. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1×8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать еще кусочек 1×4, чтобы получился прямоугольник 8×12, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковер на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковер-самолет размером 10×10. Сможете ли Вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала испорченный ковер?

Задача 2. Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

Задача 3. Пете и Коле выдали две одинаковые фигуры, вырезанные из клетчатой бумаги. Известно, что в каждой фигуре меньше, чем 16 клеток. Петя разрезал свою фигуру на Т-тетрамино, а Коля разрезал свою фигуру на уголки из трех клеток. Приведите пример фигуры, которую могли выдать мальчикам. Покажите, как эту фигуру разрезал на части Петя, и как ее разрезал Коля.

Задача 4. Разрежьте одну из фигур, приведенных на рисунке, на две части так, чтобы из них можно было сложить каждую из оставшихся. Нарисуйте, как вы разрезаете и как складываете.