Построение фигур, симметричных относительно заданной точки или прямой. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться применять симметрию на практике, строить симметричные фигуры.

Всем привет!

На прошлом занятии мы с вами познакомились с таким понятием как симметрия и рассмотрели её виды. Давайте вспомним, какая бывает симметрия? Итак, симметрия бывает центральная и осевая. Центральная симметрия предполагает наличия некого центра, а осевая симметрия – наличие прямой.

Для того чтобы непосредственно перейти к теме нашего занятия, ещеё раз закрепим определение центральной и осевой симметрии.

Говорят, что точки А и В симметричны относительно точки О, если О – середина отрезка АВ. Фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, если для любой точки А фигуры, центрально-симметричная ей точка также принадлежит фигуре.

Две точки А и В симметричны относительно прямой, когда отрезок АВ делится прямой пополам и перпендикулярен прямой. Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

И для более осознанного понимания происходящего, позволю себе вспомнить, что такое отрезок и что такое луч. Под отрезком мы понимаем часть прямой, ограниченную двумя точками. А луч – это часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.

Хорошо, определения мы с вами вспомнили. Ну а сейчас перейдём непосредственно к построению фигур относительно заданной точки или прямой. Для этого вооружимся карандашом и линейкой.

Начнём с центральной симметрии. Пусть нам даны точки А и В. Задание: построить точку С, симметричную точке А относительно точки В. Т. е. центром симметрии выступает точка В. С чего же начать… а я ещё раз проговорю определение: точки А и С называются симметричными относительно точки В, если точка В – середина отрезка АС. Значит, для начала мы должны соединить точки А и В. Получим отрезок АВ и продлим его, тем самым получим луч АВ. На продолжении луча АВ отложим отрезок, равный отрезку АВ (это мы делаем в силу того, что точка В должна быть серединой отрезка АС), получим точку С. Итак, что мы имеем: имеем отрезок АС, где В – середина данного отрезка, значит, в силу определения, точка С есть искомая точка симметричная точки А относительно точки В.

А теперь, глядя на этот пример, составим с вами алгоритм построения фигур симметричных относительно точки:

1. Соединяем точки фигур с центром симметрии. Продлеваем получившие отрезки до лучей.

2. На продолжении лучей откладываем отрезки, равные отрезкам из пункта 1.

3. Соединяем точки и получаем искомую фигуру (равную данной фигуре).

Используя алгоритм, построим для квадрата АВСD квадрат, симметричный относительно точки О.

1. Соединяем точки А, В, С, D с точкой О. Получаем отрезки АО, ВО, СО, DО. Продлеваем получившиеся отрезки до лучей.

2. На луче АО откладываем отрезок, равный отрезку АО, получаем точку А/.

На луче ВО откладываем отрезок, равный отрезку ВО, получаем точку В/.

На луче СО откладываем отрезок, равный отрезку СО, получаем точку С/.

На луче ДО откладываем отрезок, равный отрезку DО, получаем точку D/.

3. Соединим последовательно точки. Получим квадрат А/В/С/D/ . Кстати, квадраты

АВСD и А/В/С/D/ равны. Совпадение? Не думаю!

Теперь поговорим об осевой симметрии. Опять-таки, вспомним определение: две точки А и В симметричны относительно прямой, когда отрезок АВ делится прямой пополам и перпендикулярен прямой. Используя это определение, построим точку В, симметричную точке А относительно прямой с. Итак, имеем точку А и прямую с; согласно определению, мы должны из точки А опустить перпендикуляр на прямую с, получим отрезок АО, перпендикулярный прямой с. Продолжим отрезок АО до луча и на этом луче отложим отрезок, равный отрезку АО. Получаем точку В – это искомая точка, т. е. точка В симметрична точки А относительно прямой с.

Опираясь на наш с вами пример, составим алгоритм построения фигуры, симметричной относительно прямой:

1. Из каждой точки фигуры опускаем перпендикуляры на данную прямую (ось симметрии). Получаем перпендикулярные к данной прямой отрезки. Продлеваем получившиеся отрезки до лучей.

2. На продолжении получившихся лучей откладываем соответственно равные отрезки из п. 1.

3. Соответственно, соединяем получившиеся точки. Получаем искомую фигуру (равную данной фигуре).

А теперь, друзья, построим треугольник, симметричный данному треугольнику АВС относительно прямой с.

1. Из точки А опускаем перпендикуляр на прямую с, получим отрезок АА1, перпендикулярный прямой с.

Из точки В опускаем перпендикуляр на прямую с, получим отрезок ВВ1, перпендикулярный прямой с.

Из точки С опускаем перпендикуляр на прямую с, получим отрезок СС1, перпендикулярный прямой с.

Из точки D опускаем перпендикуляр на прямую с, получим отрезок DD1, перпендикулярный прямой с.

2. На продолжении луча АА1, от точки А1 откладываем отрезок, равный отрезку АА1, получаем точку А/.

На продолжении луча ВВ1, от точки В1 откладываем отрезок, равный отрезку ВВ1, получаем точку В/.

На продолжении луча СС1, от точки С1 откладываем отрезок, равный отрезку СС1, получаем точку С/.

На продолжении луча DD1, от точки D1 откладываем отрезок, равный отрезку DD1, получаем точку D/.

3. Соединяем получившиеся точки, получаем квадрат А/В/С/D/, симметричный квадрату АВСD относительно прямой с.

Сегодня мы с вами познакомились с алгоритмами построение фигур, симметричных относительно точки и заданной прямой. Теперь, я думаю, вам не составит труда строить симметричные фигуры. Наслаждайтесь красотой геометрии! До новых встреч, друзья!

1. Дополнительная информации

Рекомендуемые тренажёры:

1. Постройте симметричные фигуры относительно точки для треугольника, ромба, произвольного пятиугольника.

2. Постройте окружность с центром в точке О, отметьте точку А так, чтобы она находилась от точки О на расстоянии большем, чем радиус окружности; постройте фигуру, симметричную данной окружности относительно точки А. Теперь, пусть точка О и точка А совпадают, и снова постройте фигуру, симметричную окружности относительно точки А. Сделайте вывод.

3. Постройте параллелограмм. Отметьте точку О, лежащую за пределами параллелограмма. И постройте фигуру, симметричную параллелограмму относительно точки О. Теперь возьмите за точку О точку пересечения диагоналей параллелограмма и выполните построение. Сделайте вывод.

Рекомендуемые тесты:

1. Постройте симметричные фигуры относительно прямой для трапеции, ромба и произвольного шестиугольника.

2. Отметьте произвольный отрезок АВ, постройте прямую с, параллельную прямой АВ. Теперь постройте отрезок А1В1, симметричный отрезку АВ относительно прямой с. Возьмите прямую l, которая будет не параллельна отрезку АВ и постройте отрезок А2В2, симметричный отрезку АВ относительно прямой l. Сделайте вывод об расположении полученных отрезков с исходным отрезком АВ.

3. Как можно построить фигуру, симметричную данной фигуре относительно прямой, не используя линейки, а используя мел и тёмный лист? Ответ: перегнуть лист, мелом обвести контур.