Урок 32. Вписанная окружность
Предмет: Геометрия, 8 класс

Наименование и номер (уникальный номер)

Текст Т-2

Общая информация об элементе (название элемента, КЭС)

Резюме теоретической части (конспект)

Окружность, вписанная в треугольник.

Материалы задания

Резюме теоретической части (конспект)

Тема: Вписанная окружность

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим окружность с центром в точке O и некоторым радиусом

Проведем к этой окружности несколько касательных, которые попарно пересекаются.

Соединим точки пересечения касательных отрезками.

Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

Окружность с центром в точке O вписана в многоугольник ABCDEF.

Многоугольник ABCDEF описан около окружности с центром O.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Рассмотрите рисунки.

Окружность с центром O не является вписанной в четырехугольник ABCD, т.к. CD не касается этой окружности.

Окружность с центром O является вписанной в треугольник ABC, т.к. все стороны треугольника касаются этой окружности.

Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность.

Дано: ∆ABC

Доказать: существует окружность, вписанная в ∆ABC

Построим точку пересечения биссектрис треугольника, обозначим ее O.

Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника. Основания перпендикуляров обозначим точками K, M, N.

Точка О принадлежит биссектрисам углов, поэтому она равноудалена от AB, BC и AC, значит

OK = OM = ON.

Проведем окружность с центром в точке О и радиусом OK. Она будет проходить через точки K, M и N.

Стороны треугольника АВС касаются этой окружности, так как они перпендикулярны к радиусам OK, OM и ON.

Поэтому окружность с центром О и радиусом OK является вписанной в треугольник АВС.

Теорема доказана.

Показан способ построения окружности, вписанной в треугольник. А сколько таких окружностей можно вписать в треугольник?

Пусть в треугольник можно вписать две окружности.

Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника, и значит, совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. А радиус такой окружности равен расстоянию от центра до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Вывод: в треугольник можно вписать только одну окружность.

Рассмотрим четырехугольник, в который окружность вписать можно.

Напомним, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

Поэтому BK = BP, CK = CM, DM = DN, AN = AP.

Составим сумму отрезков

АВ + CD = AP + PB + DM + MC

BC + AD = BK + KC + AN + ND

Из трёх равенств следует, что АВ + CD = ВC + AD.

Свойство доказано. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Опишите, как элемент должен отображаться и располагаться в рамках конкретной сцены

Отображение и расположение элемента в соответствии с дизайном портала РЭШ.