Натуральный ряд чисел и его свойства. Изображение натуральных чисел точками на числовой прямой
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: ввести основные понятия: натуральные числа, ряд натуральных чисел, десятичная запись;

Предметные результаты: учащихся ознакомятся с правилами чтения натуральных чисел;

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Здравствуйте, ребята. Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами. Таким образом, один, два, три,... сто,.. миллион - натуральные числа.

Самое маленькое натуральное число – 1.

Отсутствие предметов для счёта принято обозначать числом 0. (нуль) Обратите внимание, что нуль не является натуральным числом!

Натуральные числа, записаные в порядке возрастания и без пропусков, образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел. Ряд натуральных чисел начинается с единицы. За каждым натуральным числом в ряду следует ещё одно натуральное число, большее предшествующего на единицу.

Задача 1. (или аналог) Представьте число 203 в виде суммы натуральных чисел так, чтобы произведение этих чисел так же равнялось числу 203.

Решение:

Попробуем число 203 разложить на множители:

203 = 7 * 29

Сложение 7 и 29 (7+29=36) не даст нам 203: будет не хватать 167.

Где же его взять?

Заметим, что если число умножить на 1, то оно не изменится.

Допишем к разложению числа 203 ещё 167 множителей, равных 1:

Тогда при сложении получим:

Существует ли самое большое натуральное число?

Пусть существует. Прибавим к нему единицу. Заметим, что только что мы молучили натуральное число, большее, чем самое большое натуральное число.

Значит, ряд натуральных чисел бесконечный и самого большого натурального числа не существует.

Как же его записать?

Будем выписывать лишь несколько первых чисел, разделяя их запятой, а в конце ставим многоточие:

1, 2, 3, 4, 5, …

Вопрос: будет ли запись «2, 3, 4, 5, …» обозначать натуральный ряд?

Ответ: нет. Поскольку натуральный ряд начинается с числа 1.

Промежуточный вывод:

Свойства натурального ряда:

- начинается с числа 1;

- каждое число в нём на единицу больше предыдущего;

- натуральный ряд бесконечен.

Точки, соответствующие натуральныцм числам, удобно отмечать на числовом луче.

Рассмотрим такой луч. Пусть точка О – начало луча. Она называется началом отчсёта и соответствует числу 0.

Выберем единичный отрезок.

Тогда точка А будет соответствовать числу 1.

Второй раз отложив этот отрезок, получим точку В, которая будет соответствовать числу 2.

А вот, например, точка С будет соответствовать числу 5.

Будем записывать это в виде: А(1), В(2), С(5) и читают как «точка А имеет координату 1, точка В имеет координату 2, точка С имеет координату 5».

Иногда этот луч называют ещё координатным лучом.

Вопрос: как изобразить точку D с координатой 45?

Ответ: изменим масштаб координатного луча, например, так, чтобы один единичный отрезок соответствовал 10. Тогда точка D будет серединой отрезка с концами в точках с координатами 40 и 50.

Заметим, что если на кординатном луче точка M лежит правее точки N, то она будет соответствовать большему числу.

А теперь отметим точку Р, которая будет правее точки М. Таким образом, мы получим иллюстрацию одного очень интересного свойства: если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое меньше третьего. Это свойство транзитивности натуральных чисел.

И действительно, посмотрим на картинку и убедимся, что это верно, и точка P действительно правее точки N.

В настоящее время принята десятичная система записи чисел или десятичная система счисления, в которой все числа могу быть записаны при помощи знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти знаки называются цифрами.

При этом одна и та же цифра имеет различное значение в зависимости от того места, где она расположена в записи числа. Например, в числе 333 первая справа цифра 3 означает 3 единицы, вторая - три десятка, а третья - три сотни.

Поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.

Место, на котором стоит цифра, называется разрядом числа. Первая цифра справа в десятичной записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа - цифрой второго разряда и т.п.

Пример 1. (или аналог) Рассмотрим число 327.

Цифра 7 в нём находится в разряде единиц, цифра 2 в разряде десятков, цифра 3 – в разряде сотен.

Натуральные числа, записанные одной цифрой, называют однозначными, записанные несколькими цифрами - многозначными.

Пример 2. (или аналог) Числа 2, 3, 9 - однозначные, 77, 45 - двузначные, 100, 239 - трёхзначные, 537 633, 987 345 - шестизначные.

Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого разряда). Первую цифру слева в записи натурального числа называют цифрой высшего разряда. Заметим, что она всегда отлична от нуля.

Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых.

Рассмотрим пример.

Пример 3. (или аналог)

Число 3278 состоит из 3 тысяч, 2 сотен, 7 десятков и 8 единиц, поэтому:

3278 = 3*1000+2*100+7*10+8*1

Чтобы прочитать многозначное число, цифры в его записи разбивают слева направо на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево образуют единицы, десятки и сотни этого класса. Первый класс справа называют классом единиц, второй - классом тысяч, третий - классом миллионов, чертвёртый - классом милиардов и т.д.

Пример 4. (или аналог) Чтобы прочитать число 156489753524, выделим в нём классы: 156 489 753 524 и прочитаем число единиц каждого класса слева напрво: 156 миллиардов 489 миллионов 753 тысячи 524.

Пример 5. (или аналог) Представим любое трёхзначное число в виде суммы разрядных слагаемых:

Задача 2. (или аналог) Запишите наименьшее натуральное число, составленное из всех цифр, делящееся на 5 без остатка.

Решение: Раз число наименьшее натуральное, то, оно начинается с 1. Так же число должно делиться на 5, значит, на конце либо 5, либо 0. Но 0 очень хорошо бы поставить на второе место, чтобы конечное число стало меньше. Тогда на последнее место поставим 5. Остальные цифры расставим так, чтобы в предыдущем разряде оказывалась наименьшаа из всех доступных нам цифр на текущий момент. Таким образом получилось число: 1023467895.

Задача 3. (или аналог) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то число уменьшится на 72. Найдите задуманное число.

Решение: Перепишем условие задачи по-другому.

Заметим, что a>7. То есть, либо а = 8, либо а = 9.

Пусть а = 8. Тогда b =1. Проверим: 81 – 18 не равно 72.

Тогда а = 9 и b = 2. Проверим: 91 – 19 = 72.

Таким образом, задуманное число – 91.

Задача 4. (или аналог) На листе бумаги записано число 686. Как, не выполняя никаких записей и вычислений, получить число, большее данного на 303?

Решение: перевернуть лист бумаги.

Итак, сегодня мы познакомились с понятием натурального ряда чисел и его свойствами, а также с изображением натуральных чисел точками на числовой прямой.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.) Глава 1, параграф 1.1-1.2, №4, 5, 17, 18, 23 (или аналог).

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.) Глава 1, параграф 1.1-1.2, №6, 19, 24 (или аналог).