Многочлен, его степень и значения
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: дать понятие многочлена и его записи в стандартном виде, понятие степени многочлена.

Всем привет!

Сегодня поговорим о том, какие же выражения можно строить из одночленов.

Если я складываю одночлены 2х + 3у + 7ху явно, что это не одночлен. Можно сказать, что это сумма одночленов. Так вот, такая сумма одночленов называется многочлен.

Определение: алгебраическая сумма одночленов называется многочлен.

Иными словами, многочлен – это сумма одночленов.

Что значит алгебраическая сумма? Имеется ввиду, что могут стоять знаки и «+» и «–». Слагаемые одночлена – это и есть одночлены (или говорят первый член многочлена, второй член многочлена и т. д.).

Примеры:

2х – 3у + 17z – многочлен, состоящий из трёх членов: 2х, –3у, 17z.

5а + 13b2с: 5а и 13b2с – члены многочлена, т. е. одночлены. У одночлена 5а коэффициент равен 5, а степень 1. У одночлена 13b2с коэффициент равен 13, а степень 3.

х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1 – многочлен, состоит из шести слагаемых, т. е. из шести одночленов.

Является ли данное выражение многочленом (х + у)(у + z)? Ответ: нет!

Данное выражение не является суммой одночленов, а является произведением двух выражений. При этом, если вы умеете раскрывать скобки, то вы можете привезти это выражение к многочлену.

x + у – 1/z – здесь вроде бы алгебраическая сумма, но не все слагаемые являются одночленами (1/z – не одночлен).

Есть специальные обозначения для многочленов, состоящих из одного, двух и трёх членов:

1. Из одного (х) – это одночлен

2. Из двух (2х + 3у) – это двучлен (бином)

3. Из трёх (3х2 – 2х + 1)– это трёхчлен

Для больших степеней говорят просто многочлен.

Сами многочлены иногда называют полиномы.

У многочлена, так же как и у одночлена можно вычислить его значение, подставив вместо букв соответствующие значения. Рассмотрим пример:

х6 – 10х4 + 11х3 – х + 14

Вычислим значение этого многочлена при х = –1. Подставим 1 вместо каждого вхождения х в данный многочлен.

(–1)6 – 10(–1)4 + 11(–1)3 – (–1) + 14 = 1 – 10 – 11 + 1 + 14 = 5

Найти значение многочлена от двух переменных:

3ху – 2х + у; х=–1; у=–2

Имеем: 3 ⋅ (–1) ⋅ ( –2) – 2 ⋅ (–1) + (–2) = 6 + 2 – 2 = 6

У любого одночлена можно найти степень. Возникает вопрос: а как найти степень у многочлена?

Определение: степень многочлена – это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Обозначается deg.

Рассмотрим примеры:

3ху – 5хуz + 2

1. У одночлена 3ху степень 2

2. У одночлена 5хуz степень 3

3. У одночлена 2 степень 0

4. Значит, степень многочлена 3ху – 5хуz + 2 равна 3

x2z3 + 2/3x4z5

1. У одночлена x2z3 степень 5

2. У одночлена 2/3x4z5 степень 9

3. Значит, степень многочлена x2z3 + 2/3x4z5 равна 9

3 – это многочлен, состоящий из одного одночлена, его степень равна 0.

3ху + х – 3ху

1. У одночлена 3ху степень 2

2. У одночлена х степень 1

3. У одночлена 3ху степень 2

4. Значит, степень многочлена 2, НО! Многочлен 3ху + х – 3ху можно привести к виду:

3ху + х – 3ху = х и тогда степень многочлена будет равна 1. И как тогда быть?

Пока мы не научимся приводить многочлен к стандартному виду, мы не сможем чётко сказать, какая у этого многочлена степень.

Поэтому определение про степень многочлена, которое мы дали ранее, верно только для многочленов стандартного виды. Ну а что такое многочлен стандартного вида, вы узнаете в следующий раз.

До встречи.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 24, № 24.3; 24.5; 24.8 (в, г); 24.11; 24.13 (а, б).

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 24, № 24.17 (б); 24.19 (в, г); 24.21.