Неравенство треугольников
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с тем что не из любых трех отрезков можно составить треугольник.

Здравствуйте!

В прошлый раз мы с вами выяснили, что длины сторон треугольника и меры его углов связаны между собой. Давайте теперь попробуем выяснить, нет ли в треугольнике каких-то взаимосвязей, исключительно между длинами сторон. Более того, давайте попробуем выяснить, правда ли, что из любых трёх отрезков можно составить треугольник, а если нет, то, когда можно.

Теорема 1.

Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

На продолжении стороны AB треугольника ABC за вершину A отложим отрезок AC1, равный AC. В равнобедренном треугольнике CAC1 угол AC1C равен углу ACC1. Так как точка A лежит на отрезке BC1, то ∠BCC1 = ∠BCA + ACC1, поэтому ∠BC1C = ∠ACC1 < ∠BCC1. Таким образом, в треугольнике BCC1 против большего угла лежит большая сторона, т. е. BC1 > BC. Следовательно, BA + AC = BA + AC1 > BC.

В этот момент безусловно можно осознать, что если для трех отрезков данное неравенство, называемое неравенством треугольников не выполнено, то и треугольника с такими сторонами не существует, потому что если существует – неравенство должно быть выполнено.

Однако, давайте попробуем изучить этот момент более наглядно. Выберем какой-нибудь отрезок, и два других, которые в сумме меньше него. Докажем, что тогда треугольник построить невозможно: где находятся точки, удаленные от левого конца на одну из сторон? На окружности в центре в левом конце, и радиусом в длину стороны. Отлично! А что где же точки удаленные от второго конца на длину второй стороны? Аналогично… Но так как расстояние между центрами окружности больше суммы радиусов, то получается, что точек пересечения они не имеют (кстати, а что такое расстояние между окружностями? Это расстоянием между центрами минус два радиуса. Потому что иначе у нас вот такая ломаная, которая длиннее отрезка). А нет точки пересечения – нет и вершины треугольника, ибо нет точки с одной стороны удаленной от левого конца на длину одного отрезка, а с другой стороны от второго конца на длину второго отрезка.

Теорема 2

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Пусть известно, что один угол треугольника больше другого, докажем тогда, что напротив большего угла лежит большая сторона. Пусть не так: пусть либо стороны равны, либо напротив большего угла лежит меньшая сторона.

Если равны, то треугольник равнобедренный, углы при основании равны, а у нас они связаны неравенством. Плохо.

Если напротив большего угла лежит меньшая сторона, то применим теорему 1. Получается, что углы должны быть связаны другим неравенством. Тоже плохо…

Пример 1.

Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше половины периметра.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 18: 1.1: 3.1, 4.1, 7.1

Рекомендуемые тесты:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 18: 4.1, 7.1