Свойства модуля: линейность, неравенство треугольника, модуль разности модулей
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления модуля числа, разобрать с учащимися такие свойства модуля как линейность, неравенство треугольника, модуль разности модулей, а также объяснить, доказать эти свойства.

Здравствуйте!

Мы на прошлом уроке поговорили об абсолютной величине, о модуле, и определили модуль как расстояние от точки до начала координат.

Давайте рассмотрим модуль разности двух чисел. Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b (рисунок 6).

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b), то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b. Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчёта), то мы получим определение модуля числа, которое дали раньше.

Рассмотрим некоторые свойства модуля, которые сможем объяснить или доказать.

1. Начнём с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом. В буквенном виде это свойство имеет запись вида |а| ≥ 0 для любого числа a. Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

2. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, |а| = |–а| для любого числа a. Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта, значит модули противоположных чисел равны.

3. Следующее свойство модуля запишем в виде неравенства |a – b| ≤ |a – c| + |c – b|, a, b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника. Чтобы это стало понятно, возьмём точки A(a), B(b), C(c) на координатной прямой и рассмотрим вырожденный треугольник АВС, у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности, |a – b | равен длине отрезка АВ, |a – c | – длине отрезка АС, а |c – b| – длине отрезка СВ. Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство АВ ≤ АС + СВ, следовательно, справедливо и неравенство |a – b| ≤ |a – c | + |c – b|. В случае, если с = 0 получаем |a – b| ≤ |a| + |b|

4. Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел. Или в буквенной форме это запишется так: |a + b| ≤ |a| + |b|. Оно напрямую следует из свойства 3 – неравенство треугольника, если в нём вместо b подставить –b, а вместо с подставить 0.

|a – b| ≤ |a – с | + с - b|, подставляем

|a – (–b)| ≤ |a – 0| + |0 – (–b)|, получаем

|a + b| ≤ |a| + |b|

5. Свойство модуля разности и модуля суммы говорит о том, что модуль суммы или разности двух чисел больше или равен модулю разности модулей этих чисел. Или в буквенном виде запишем так: |a + b| ≥ | |a| – |b| | и |a – b| ≥ | |a| – |b| |.

Давайте докажем, что |a – b| ≥ |a| – |b|:

а) Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с самими числами. Поэтому |a – b| = |a| – |b|, потому что можно не брать модули вообще и тогда с двух сторон получим a – b.

б) Если a – положительное число, а b – отрицательное, то выражение |a – b| примет вид |a + b|, что больше, чем |a| – |b|.

в) Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b|, что больше, чем |a| – |b|.

г) Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a + b|. Результат этого выражения равен |b – a|, а в правой части получается –а + b, или b – a. Получаем |b – a | = b – a.

Эти неравенства удобны для оценивания модуля разности или суммы двух чисел, то есть для того, чтобы можно было указать границы их изменения, зная, как изменяются сами числа а и b. Неравенства можно использовать для оценивания как снизу, так и сверху.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1) Среди чисел выберите те, у которых модули равны: 16, –7, –20, –16, 60, 1/60, 7, 0, 1/16.

2) Укажите неверное утверждение: |8| > 0, |–188| > 0, |–18| < 0.

3) Известно, что |а| = 17, чему равен |–а|?