Преобразование обыкновенных дробей в десятичные дроби и обратно. Часть 1 (теория)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: формирование представления о том, все ли дроби можно представить в виде десятичной; ознакомление учащихся с алгоритмом перевода в десятичные дроби из обыкновенных и обратно.

Предметные результаты: возможность научиться отличать обыкновенные дроби, представляемые в виде конечной десятичной от обыкновенных дробей, не представляемых в виде конечной десятичной.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Здравствуйте. Безусловно, любопытным приключением для всех нас было знакомство как с обыкновенными, так и с десятичными дробями. Однако, периодически в разговорах о дробях проскакивало соображение о том, что десятичные дроби (конечные десятичные дроби! О бесконечных мы поговорим в шестом классе) являются ничем, иным, как десятичной формой записи обыкновенных дробей. Иными словами нам бы хотелось понять, правда ли, что конечные десятичные дроби всегда можно записать в виде обыкновенных дробей и наоборот.

Задача 1.

0,375 = 375/1000 = 3/8;

6,72 = 6+72/100 = 6+18/25;

0,065 = 65/1000 = 13/200.

Хочется сразу обратить внимание на два момента:

Так как результат до и после преобразований должен получиться по сути одним и тем же числом, то вся разница заключается в форме записи дробной части, а целая часть от этой формы разумеется не зависит. Поэтому имеет смысл оставлять целую часть без изменений, а не переводить дробь в неправильную. Можно даже выделить целую часть в отдельное слагаемое, чтобы она нам не мешала.

Обыкновенные дроби принято доводить до несократимых, ради единства записи и удобства дальнейшего использования результата, если оно предусмотрено.

Заметим, что после сокращения дробей получились такие знаменатели 8=23; 25=52; 200=23 * 52.

Из этих примеров можно сделать предположение, что если конечную десятичную дробь записать в виде обыкновенной несократимой дроби, то её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Это предположение верно: если дробь может быть записана в десятичной форме записи, то она может быть записана в виде отношения двух чисел, второе из которых (и соответственно, стоящее в знаменателе) является степенью числа 10, а значит своими простыми множителями имеет только двойки и пятерки. Всё что нам после этого остается – сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Иными словами знаменатель если и может измениться, то только на частное от деление степени 10 на что-то натуральное. От подобной болезненной операции новых простых множителей возникнуть, конечно не может.

Верно и обратное утверждение: если знаменатель в несократимой дроби не имеет двух простых делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь не может быть записана в виде конечной десятичной дроби.

Давайте подумаем почему это может быть правдой: если дробь переводиться в десятичную форму записи, то это означает что с помощью использования одной из частей основного свойства дроби (домножения числителя и знаменателя на одно и то же число) мы можем получить в знаменателе степень числа 10. В частности, это означает, что в разложении на простые сомножители знаменатель имеет только двойки и пятерки. Поэтому если в знаменателе есть какой-то множитель отличный от 2 и 5, то он оттуда никуда не денется, так как в противном случае дробь уже не может считаться несократимой.

Пример 2 (или аналог)

Предположим у нас есть дробь 4/5, и нам зачем-то хочется записать её в виде десятичной дроби. Давайте посмотрим на знаменатель, и подумаем, на что бы мы могли его домножить чтобы получить в итоге степень 10. На 2!

Аналогично поступим и в следующих примерах:

Пример 3 (или аналог)

Для разложения в конечную десятичную дробь обыкновенной несократимой дроби, знаменатель которой не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, существует два способа.

Один из них мы уже рассмотрели, он сводится к умножению числителя и знаменателя дроби на соответствующую степень числа 2 или числа 5, чтобы в знаменателе получилась некоторая степень числа 10.

Другим является способ деления числителя на знаменатель уголком. Переведём этим способом обыкновенную дробь в десятичную.

Следовательно, 3/4 =0‚75.

Итак, мы с вами выяснили, что, во-первых, переводить десятичную дробь в обыкновенную можно всегда, во-вторых, что некоторые обыкновенные дроби можно записывать в виде конечной десятичной дроби и более того, изучили способы как это делать.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 5, параграф 5.1, №961, 963 (или аналог).

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 5, параграф 5.1, №966, 967 (или аналог).