Решение арифметическим методом простых задач и задач повышенной трудности. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: Продемонстрировать обучающимся возможности арифметического метода решения задач, в частности решения задач с конца, в частности задачи на переливание.

Предметные результаты: закреплять умения решать простые арифметические задачи и примеры. Развивать вычислительные умения и навыки, логическое мышление, память.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте, уважаемые дамы и господа. Периодически жизнь заставляет нас отмерять какую-то жидкость или нечто сыпучее. Например, мы хотим приготовить пюре быстрого приготовления, либо отмерить крупу в кашу. Чудесным и прекрасным является для нас наличие мерного стаканчика, с помощью которого все эти операции становятся тривиальными. Но что делать когда его нет?

1. Вводная задача

Например пусть у нас есть трёхлитровая и пятилитровая банки. Как с их помощью налить из крана 4 литра воды?

Конечно, мы можем пуститься в безудержные приключения с двумя банками и надеяться, что рано или поздно мы достигнем успеха. Но нельзя ли как-то этого избежать?

Давайте попробуем изучить, что нам необходимо получить. 4 литра воды мы сможем получить только лишь в пятилитровой банке, после того как отольём оттуда 1 литр. А для этого в трёхлитровой банке нам нужно оставить 2 л. Как получить 2 л? Отлить из пятилитровой банки 3 л. А это мы явно можем сделать.

Итого: наливаем воду в пятилитровую банку, выливаем 3 л в трёхлитровую, после чего опорожняем её и выливаем туда оставшиеся 2 л. После этого наполнив пятилитровую банку мы сможем 1л перелить в трёхлитровую банку.

Задача 2.

Как имея лишь сосуды 5л и 7л налить из крана 6л воды?

6л можно получить в 7л сосуде вылив 1л. Для этого в 5л нам нужно получить 4л. Их можно получить отлив от 7л 3литра. А для этого в 5литровом сосуде нужно оставить 2л, которые лего можно получить перелив воду из 7литрового сосуда в пятилитровый.

Задача 3.

В первый сосуд входит 8 л и он наполнен водой. Имеются ещё 2 пустых емкости объемом 5л и 3л. Как с помощью этих сосудов отмерить 1л?

Для того чтобы получить 1л достаточно из 5литрового сосуда влить 4 литра. Но это не получится сделать, потому что трёхлитровый 4л не влезет, а в восьмилитровый заведомо лезет вся вода которая у нас есть. Значит необходимо вылить 2 литра из трёхлитровой емкости. Для этого достаточно набрать в пятилитровую емкость 3 литра воды, что легко можно сделать с помощью трёхлитровой емкости.

Задача 4.

Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 мин а другие 11 мин. Как с их помощью отмерить 15 минут, необходимых чтобы сварить вкрутую яйцо?

Изучаем ситуацию в которую попали: 11 минут мы отмерим без труда, а как быть с ещё четырьмя минутами? Заметим, что 11-7=4. Значит если мы запустим часы одновременно, то через 7 минут мы с уверенностью сможем сказать что в больших песочных часах осталось песка на 4 минуты. Если в этот момент мы включим газ, и по прошествию этих 4 минут просто перевернем 11-минутные часы, то яйцо таким образом будет вариться требуемое время.

Задача 5.

На блюде лежало несколько плюшек. Иногда прилетает Карлсон, пересчитывает плюшки и съедает ровно одну треть. После того, как Карлсон прилетал три раза, на блюде осталось 8 плюшек. Сколько плюшек было на блюде изначально?

Опять же, исследовать сложившуюся ситуацию удобнее с конца: если осталось 8 плюшек, то это две трети от всех плюшек, которые были до его последнего прилета. Значит после второго прилета было 12 плюшек, что составляет две трети от того что осталось после первого прилёта, а значит после первого прилёта оставалось 18 плюшек, что опять таки составляет две трети от того что было изначально, что и подсказывает нам, что изначально было 27 плюшек.

Задача 6.

В трёх кучках находятся 22, 14 и 12 орехов. Требуется путём трёх перекладываний уравнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую лишь столько орехов, сколько их в этой кучке.

Итак, если мы справились, то в каждой кучке по 16 орехов. Это прекрасно!

Поскольку можно перекладывать только описанным образом, то давайте посмотрим, во второй кучке, скажем, после перекладывания туда получится неизбежно 28 орехов. Чтобы получилось 16 нужно убрать 12, что мы можем сделать переложив в третью кучку. Но тогда там 24 ореха. Нужно куда-то деть 8. И тут мы вспоминаем сколько орехов в первой кучке. 22-14=8. Победа!

Сегодня мы с вами осознали, что далеко не всегда идея просто брать задачу и пытаться хоть как-то преобразовывать условия в надежде получить ответ хорошая и рациональна. Иногда бывает очень выгодно сначала изучить что нас спрашивают и нельзя ли оттолкнуться от этого.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Имеются два сосуда 8л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить их крана 7 л воды?

Задача 2. Как имея лишь сосуды 5л и 17л налить из крана 13л воды?

Задача 3. В первый сосуд входит 12 л воды и он наполнен водой. Имеются ещё 2 пустых сосуда ёмкостью 5 и 8 л. Как разделить воду на две равные части?

Задача 4. Положите на стол 3 кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, в другую 7 спичек а в третью 6. Перекладывая спички из одной кучки в другую нужно за три операции сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. К любой кучке разрешается добавлять столько спичек, сколько в ней есть.