Занимательные задачи: раскраски. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: дать представление относительно многообразия видов раскрасок и использование раскрасок при решениях задач.

Предметные результаты: показать возможности математики в различных сферах нашей жизни.

Метапредметные и личностные результаты: формирование общих способов интеллектуальной дея­тельности, характер­ных для мате­матики и являющихся осно­вой познавательной куль­туры, значимой для различных сфер человеческой деятельности.

Здравствуйте! На прошлом занятии мы с вами обсудили идею шахматной раскраски и научились применять её для решения задач, в том числе тех, где никакой раскраски изначально не было. Сегодня же мы с вами постараемся насладиться некоторым разнообразием в стилях и цветовой палитре всевозможных раскрасок.

Задача 1. Можно ли квадрат 10х10 разрезать на прямоугольники 1х4?

Клетки квадрата 10х10 раскрасим в 4 цвета, так, чтобы любой прямоугольник 1х4, занимал 4 разных цвета. Если нам удасться разрезать квадрат на прямоугольники, то всех цветов в квадрате будет поровну. Но (не трудно сосчитать) в нашем квадрате цветов не поровну. А именно клеток с цветом 1 ‑ 26, 2 – 25, 3 – 24, 4 – 25. Значит квадрат 10х10 нельзя разрезать на прямоугольники 1х4.

Замечание.

На самом деле считать, сколько именно клеток каждого цвета вовсе не обязательно, ведь нам важно знать поровну ли их, а если нет, то каких больше и на сколько. Выяснить это можно гораздо проще. Заметим, что в любой полоске 4×n поровну клеток всех цветов (т.к. такая полоска замощается прямоугольничками 1×4, а в каждом прямоугольнике каждого цвета по одному). Поэтому, мы можем сразу вычеркнуть из нашего прямоугольника области, где всех цветов поровну (см. рис.). Останется квадратик 2×2. В нем две клетки цвета 1 и по одной клетке цвета 2 и 4. Во всей оставшейся доске цветов поровну (пусть, например, по х), тогда во всей доске больше всего будет клеток цвета 1 (их будет x+2), всех меньше клеток цвета 3 (их только x), клеток цвета 2 и 4 по x+1.

Решение 2.

Раскрасим квадрат в 2 цвета в укрупненную шахматную раскраску как показано на рисунке. Видно, что белых клеток на 4 больше. Прямоугольник 14 занимает на доске две белые и две черные клетки. Если нам удастся разрезать квадрат на прямоугольники 14, то цветов должно быть поровну, но у нас белых клеток больше.

Задача 2. На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук, По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми. Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 9.

Покрасим вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. В результате в чёрный цвет будет покрашено 5×9 = 45 клеток (5 вертикалей), а в белый – только 36. Заметим, что с чёрной клетки жук может переползти только на белую, а белой – только на чёрную. Следовательно, после того, как жуки переползли в соседние по диагонали клетки, на 45 чёрных клетках оказалось 36 жуков. Значит, по крайней мере 9 чёрных клеток оказались незанятыми.

Задача 3. Можно ли доску размером 8×8 с вырезанной угловой клеткой разрезать на триминошки ?

Комментарий. Вообще, любой многоугольник составленный из 4 клеток называется тетрамино (от греч. τετρα – четыре). Всего существует 5 различных фигурок тетрамино. Аналогично, любой многоугольник составленный из 5 клеток называется пентамино (от греч. Πέντε - пять). Тримино – любой многоугольник составленный из трех клеток, а домино – многоугольник из двух клеток. А все многоугольники составленные из клеток называются полимино.

Раскрасим доску 8×8 в 3 цвета так, чтобы любая триминошка занимала по клетке каждого цвета. Клеток 1 – 22, 2 – 21, 3 – 21, таким образом, чтобы разрезать доску на триминошки , необходимо отрезать клетку цвета – 1 (чтобы всех цветов осталось поровну). Видно, что не все угловые клетки имеют цвет ‑ 1, значит, нам нельзя отрезать угловую клетку.

Замечание.

На самом деле считать, сколько клеток какого цвета вовсе не обязательно, ведь нам важно знать поровну ли их, а если нет, то каких больше и на сколько. Это можно сделать так же как в замечании к первой задаче.

Задача 4. На доске 1010 для "морского боя" стоит 4-палубный корабль. Какое наименьшее число выстрелов необходимо сделать, чтобы наверняка ранить его?

Решение: Воспользуемся раскраской из решения 1 задачи 0. Квадрат 1010 раскрашен так, что любой прямоугольник 14 (четырехпалубный корабль) содержит в себе клетки всех четырех цветов. Таким образом, чтобы наверняка попасть в четырехпалубный корабль достаточно стрелять по клеткам одного цвета. Как мы посчитали в 1 задаче, меньше всего клеток цвета 3 – 24 клетки. Значит для того, чтобы попасть в четырехпалубный корабль нам хватит 24 выстрелов.

Может быть хватит 23 выстрелов? Но мы можем выделить на доске 24 неперекрывающихся прямоугольника 14 (см рис. 4.2). Если мы сделали всего 23 выстрела (или меньше), то в один из этих прямоугольников не стреляли, но там вполне мог оказаться корабль! Т.о. чтобы гарантировано ранить корабль, мы должны выстрелить в каждый из этих прямоугольников, то есть сделать как минимум 24 выстрела.

Замечание.

Эта задача является типичным примером задачи, где просят найти минимальное значение какой-то величины. Для доказательства, что минимальное значение равно какому то X, необходимы две вещи: 1) нужно доказать, что меньше X величина быть не может и 2) привести пример когда она равняется этому X. Такие рассуждения часто называют “оценка+пример”. В нашем случае нам нужно найти минимальное число выстрелов. Для полного доказательства мы 1) приводим пример, как стрелять, чтобы хватило 24 выстрелов и 2) доказываем оценку – почему меньшем числом выстрелов не обойтись. Заметим, что пример часто нуждается в обосновании его правильности (мы не просто сказали, как нужно стрелять, но и обосновали, почему так стреляя, обязательно раним корабль).

Задача 5. Докажите, что при любом покрытии шахматной доски 32 костяшками домино получится чётное число вертикально расположенных и чётное число горизонтально расположенных костяшек. (Каждая костяшка покрывает ровно две клетки доски.)

Доказательство: Перекрасим шахматную доску вертикальными полосками так, как показано на рис. Вертикально расположенная доминошка закрывает 2 клетки одного цвета, а горизонтально расположенная ‑ 2 клетки разных цветов. Так как черных клеток столько же, сколько и белых, то черных вертикально расположенных доминошек должно быть столько же сколько и белых вертикально расположенных доминошек. Таким образом количество вертикально расположенных доминошек должно быть четно. Так как всего доминошек 32, то количество горизонтально расположенных доминошек тоже четно.

Задача 6. Можно ли замостить доску 1010 фигурками «Г»-тетрамино ?

Решение: Воспользуемся идеей задачи 6, но раскрасим доску 1010 в 2 цвета по-другому (см. рис.). Каждая фигурка закрывает три клетки одного цвета и одну другого. Так как цветов должно быть поровну, то фигурок закрывающих три черные клетки будет столько же, сколько фигурок закрывающих три белые клетки. Значит если нам удастся замостить квадрат 10×10 фигурками , то их будет четное число. Но их должно быть 25! Противоречие, таким образом невозможно замостить квадрат 10×10 фигурками «Г»-тетрамино .

Подведем итог: сегодня мы убедились что в достаточно большом количестве задач раскраски могут быть изящным способом избежать достаточно большого количества разборов случаев и путанных объяснений. В свою очередь раскраски могут быть достаточно разнообразными.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. В каждой клетке на доске 5х5 сидит по гусенице. По команде все гусеницы переползают на одну из соседних по диагонали клеток. Докажите, что после этого по крайней мере 5 клеток окажутся свободными.

Задача 2. На доску 8×8 уложена 21 триминошка . Где может находиться непокрытая ими клетка?

Задача 3. Можно ли из квадрата 7×7 вырезать 10 квадратов 2×2?

Задача 4. Из листа клетчатой бумаги размером 17×17 клеточек вырезали 35 квадратиков 2×2 (режут по линиям). Докажите, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Задача 5. В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу:

а) левом верхнем;

б) правом верхнем?