Применение пропорций при решении задач. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать представления обучающихся о видах пропорциональной зависимости между величинами, сформировать умение решать задачи с помощью пропорции с учётом вида зависимости.

Добрый день, дорогие ребята!

Наш урок сегодня я хотела бы начать с небольшого стихотворения Самуила Яковлевича Маршака «Три мудреца».

Три мудреца в одном тазу

Пустились по морю в грозу.

Будь попрочнее старый таз,

Длиннее был бы мой рассказ.

Как вы думаете, что объединяет его со сказкой о жадном богаче, который хотел как можно больше шапок сшить из одной шкуры?

Надеюсь, вы догадались, что речь идёт о прямой и обратной зависимости между величинами. Действительно, если бы прочность таза была больше, рассказ был бы длиннее – прямая зависимость. Во втором случае, если увеличить количество шапок, то размеры шапок, конечно, уменьшатся, шкура-то одна.

Вспомним, что вы знаете о прямой и обратной пропорциональности.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если две величины обратно пропорциональны, то, произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.

Для любой пропорциональной зависимости можно построить пропорцию, для этого нужно два значения одной величины, допустим х1 и х2, и два значения второй величины, например у1 и у2. В задачах с прямой пропорциональностью мы составляем пропорцию , в задачах с обратной пропорциональностью одно из отношений мы переворачиваем, например, .

Сегодня на уроке мы с вами будем решать задачи, в которых будут встречаться различные пропорциональные величины. Как вы понимаете, их в окружающей жизни достаточно большое разнообразие. Но в задачах чаще всего используются такие зависимости:

Некоторые задачи решаются очень легко, практически устно.

Рассмотрим задачу № 1: Поезд проходит расстояние между станциями за 2,4 часа. Сколько времени ему понадобится, чтобы с той же скоростью пройти расстояние в 5 раз большее?

Рассуждаем: Рассматриваемые в задаче величины – это расстояние и время. При постоянной скорости они прямо пропорциональны, значит, чтобы расстояние увеличилось в 5 раз необходимо время увеличить тоже в 5 раз. Вычисляем

Ответ: 12 ч.

При решении данной задачи мы воспользовались определением прямой пропорциональности.

Задача № 2. Следующая задача, которую я предлагаю вам решить, из учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. Напомню, что Леонтий Филиппович Магницкий – это русский математик, педагог, автор первой в России учебной математической энциклопедии.

Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?

Хочу обратить ваше внимание на то, что в этой задаче, как и во многих других, пред­полагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу.

О каких величинах идёт речь в задаче? Количество работников и время работы. Объём работы одинаковый – двор. Количество рабочих и время работы связаны обратно пропорциональной зависимостью. Чтобы уменьшить время работы в 30 : 5 = 6 (раз), надо увеличить число работников тоже в 6 раз.

Чтобы найти ответ на вопрос задачи, мы воспользовались определением обратной пропорциональности.

Рассмотрим задачу № 3:

Маятник настенных часов совершает 198 колебаний за 3,3 мин. Сколько колебаний делает маятник за 12 мин?

Составим краткое условие задачи. Рассматриваемые в задаче величины – число колебаний

и время колебаний маятника.

Число колебаний, шт.

Время, мин

198

3,3

х

12

Обозначим неизвестное число колебаний буквой х. Если время увеличится, значит, число колебаний тоже увеличится, причём в такое же число раз. Значит, число колебаний и время – прямо пропорциональные величины. Покажем увеличение величин стрелками, направленными вверх. Стрелки, направленные в одну сторону – это для нас напоминание о прямой пропорциональности. Если кому-то не нравится работать со стрелками, можно их не ставить, а просто подписывать вид пропорциональности.

Составим пропорцию:

Воспользуемся правилом нахождения среднего члена пропорции

Ответ: 720 колебаний.

Решим следующую задачу № 4: Фермер заготовил для 240 лошадей сена на 19 дней. На сколько дней хватит этого сена, если число лошадей увеличится до 304, а потребляют они все одинаковое количество корма?

Рассматриваемые в задаче величины – количество лошадей и количество дней. Составим краткое условие, обозначив неизвестное число дней буквой х.

Кол-во лошадей

Кол-во дней

обратная

пропорциональность

240 л.

19 дн.

304 л.

х дн.

Если фермер увеличит число лошадей, то сена ему понадобится больше, значит, его хватит на меньшее число дней, т. е. мы имеем дело с обратной пропорциональностью.

Составим пропорцию: . Помним, что одно из отношений нужно заменить на обратное. Выразим средний член пропорции х:

Ответ: 15 дней

Ещё одна задача № 5.

Туристы планировали пройти маршрут за 6 дней, но из-за плохой погоды им пришлось двигаться медленнее и вместо предполагаемых 52 км в день они проходили 39 км. За сколько дней туристы прошли свой маршрут?

Величины, рассматриваемые в задаче – время и скорость.

Кол-во дней

Кол-во км в день

обратная

пропорциональность

6

52

х

39

Поскольку туристы не изменили планировавшийся маршрут, количество дней обратно пропорционально расстоянию, которое проходили туристы за день. Обозначим число дней, затраченных на прохождение всего маршрута, буквой х и составим пропорцию.

Чтобы у вас не сложилось впечатление, что зависимость бывает только двух видов – прямой или обратной пропорциональностью и, что любую задачу можно решить с помощью пропорции, давайте рассмотрим следующие задачи.

Задача № 6. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

О каких величинах идёт речь в задаче? О числе пойманных карасей и времени рыбной ловли. Какая между ними зависимость? Можно ли утверждать, что с увеличением времени в несколько раз количество пойманной рыбы увеличится в такое же число раз?

На мой взгляд, нет. Можно ловить рыбу 10 часов и не поймать ни одной рыбки.

Ещё одна задача № 7: Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?

Рассматриваемые в задаче величины – количество людей и количество найденных гвоздей. Условие задачи провоцирует на составление пропорции, но есть ли здесь пропорциональная зависимость? Надеюсь, вы понимаете, что нет.

А сможете справиться с такой задачкой № 8? Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц? Не спешите, подумайте! Ваш ответ 30? Ещё раз подумайте!

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность, так как чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Но обратите внимание на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.

Чтобы в этом убедиться, достаточно вычислить число страниц в книге 10 + 90 = 100 страниц. Значит, когда Вася прочитает 30 страниц, ему останется прочитать 70 страниц!

Давайте вернёмся к задачам, которые можно решить с помощью пропорции, и вспомним основные моменты их решения.

1) Определяем, о каких величинах идёт речь в задаче;

2) Записываем, если нужно, краткое условие задачи;

3) Определяем вид зависимости между величинами;

4) Составляем пропорцию с учётом вида зависимости;

5) Решаем пропорцию;

6) Записываем ответ.

В заключение хочу обратить ваше внимание, на то, что одну и ту же задачу нередко можно решить различными способами. Поэтому, составляя план решения, всегда полезно подумать, нельзя ли решить её проще? Чем проще решение, тем меньше вероятность допустить ошибку.

На этом ваше знакомство с пропорцией не заканчивается. Вы будете встречаться с ней постоянно и на уроках математики, и на уроках физики и химии, и в реальной жизни. Поэтому имеет смысл сменить мышку компьютера на ручку и попробовать самостоятельно решать задачи.

Всего доброго!

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Решите с помощью пропорции задачу.

1. Для изготовления 8 одинаковых приборов необходимо 18 кг металла. Сколько таких же приборов можно изготовить из 27 кг металла?

2. В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150 г?

3. Из 79 л молока получается 3,2 кг сливочного масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 16 кг масла?

4. Три комбайна могут убрать урожай за 20 дней. За какое время будет убран урожай пятью комбайнами той же производительности?

5.Из 15 кг томатов получается 8 кг кетчупа. Сколько томатов понадобиться для получения 12 кг кетчупа?

6. Бригада из 15 рабочих может отремонтировать школу за 46 дней. Сколько потребуется рабочих, чтобы отремонтировать эту школу за 30 дней, если производительность труда всех рабочих одинаковая?

7. Путь между городами поезд со скоростью 36 км/ч преодолевает за 12 часов. За сколько часов преодолеет этот путь поезд, если будет ехать со скоростью 54 км/ч?

8. Для перевозки урожая зерна потребовалось 20 машин грузоподъёмностью 4,8 т. Сколько машин грузоподъёмностью 8 т понадобиться для перевозки этого урожая

9. Автомобиль проехал 48 км за определённое время. Какое расстояние он проедет за это же время, если увеличит скорость в 1,2 раза?

10. 36 монтажников могут смонтировать и пустить в эксплуатацию оборудование телефонного узла за 120 дней. Сколько монтажников потребуется, чтобы выполнить эту работу на 40 дней быстрее?

Ответы:

1. 12 приборов (Подсказка: прямо пропорциональная зависимость).

2. 80 пачек (Подсказка: обратно пропорциональная зависимость).

3. 380 литров (Подсказка: прямо пропорциональная зависимость).

4. 12 дней (Подсказка: обратно пропорциональная зависимость).

5. 22,5 кг (Подсказка: прямо пропорциональная зависимость).

6. 23 рабочих (Подсказка: обратно пропорциональная зависимость).

7. 8 часов (Подсказка: обратно пропорциональная зависимость).

8. 12 машин (Подсказка: обратно пропорциональная зависимость).

9. 57,6 км (Подсказка: прямо пропорциональная зависимость).

10. 54 монтажника (Подсказка: обратно пропорциональная зависимость).

Рекомендуемые тесты:

(Из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С. М. Никольский,

М. К. Потапов и др.) Глава 1, § 1.5, № 74, 86, 89 (или аналог).