Урок 1. Координаты в пространстве Система координат
Предмет: Геометрия, 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок № 1. Координаты в пространстве. Система координат

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Прямоугольная система координат в пространстве.
Координаты вектора, радиус-вектор.
Координаты середины отрезка, длина вектора, расстояние между точками.

Основная литература:

Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс - М.: Бином, 2010 - с. 130-148

Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение - 13-е изд-е. - М.: Просвещение, 2014. - с. 51-52

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. - М.: Просвещение, 2010. - с. 259-270.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.

Прямоугольная система координат в пространстве задана, если выбрана точка – начало координат, через эту точку проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и задана единица измерения отрезков (рис. 121). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат.

Координаты вектора

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через единичный вектор оси абсцисс, через – единичный вектор оси ординат и через – единичный вектор оси аппликат (рис. 124). Векторы , , – назовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не компланарны. Поэтому любой вектор a и можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде

причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z в разложении вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: {х; у; z}.

Нулевой вектор можно представить в виде так как все координаты нулевого вектора равны нулю.

Так как нулевой вектор можно представить в виде то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны, т. е. если векторы {х1, y1, z1} и {х2, y2, z2) равны, то х1 = x2, y1 = y2 и z1 = z2

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

1)Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если {х1, у1, z1} и {х2, у2, z2} — – данные векторы, то вектор + имеет координаты {х1+х2, у1 + у2, z1 + z2}.

2)Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если {х1, y1, z1} и b{х2 у2; z2} – данные векторы, то вектор – имеет координаты {х1 – х2, y1 – y2, z1 – z2}.

3)Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если {х; у; х} – данный вектор, α – данное число, то вектор α имеет координаты {αх; αу; αz).

1)Признак коллинеарности векторов: Для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них был произведением другого на некоторое число.

Следствие: ненулевой вектор коллинарен вектору тогда и только тогда, когда существует такое число α, что =α.

Определение: Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

2)Признак компланарности трех векторов: если вектор можно разложить по векторам и , т. е. представить в виде = x + y, где x и y — – некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Определение: Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Рис. 129

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Длина вектора вычисляется по формуле:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Выделите цветом верный ответ:

Дано: А (2; –1; 0), В (–3; 2; 1), С (1; 1; 4); CD = -2AB.

Найти: координаты точки D.

Варианты ответов:

(3; -1; 8)

(11, –5, 2)

(-6; 3; 11)

(8; 4; 2)

Решение:

Пусть D (х; у; z)

поэтому 18

Правильные ответы:

(3; -1; 8)

(11, –5, 2)

(-6; 3; 11)

(8; 4; 2)

Пример 2.

Дано: координаты точек: А (3; –1; 2), В (x; ); координаты вектора

Рис. 127

AB{5; 8; 1}

Найти: x, у, z

Решение:

Решаем уравнения и получаем: х=8; у=; z=3, z=-1

Ответ: х=8; у=; z=3, z=-1