Уравнения. Понятие уравнения и корня уравнения. Линейное уравнение и его корни.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления о решении простейших уравнений, изучить и сформировать новый способ решения уравнений, содержащих переменную в левой и правой части, разработать с учащимися методы решения, развивать умение анализировать, делать выводы, создать алгоритм решения, сформировать целостную картину восприятия уравнения.

Здравствуйте, ребята.
Помните ли вы, что такое уравнение?
Например, 3х = 15 или х + 8 = 10 и другие. Это равенство, в двух частях которого стоят выражения или числа, содержащие переменные. Мы умеем их решать.
Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое].
Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность].
Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность].
Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель].
Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное].
Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное].
С понятием уравнения вы знакомы с начальной школы, вы знаете, что такое уравнение, корень уравнения, умеете находить неизвестные компоненты.

А вы не задумывались, кто и когда придумал первое уравнение?
На этот вопрос ответить практически невозможно. Задачи, сводящиеся к уравнениям, люди решали и в Древнем Вавилоне, и в Древнем Египте, и в Древнем Китае, и в Древней Индии, и в Древней Греции. Правда, они ещё не знали буквенных обозначений, не умели составлять формул.
Откуда мы это знаем? Из древних папирусов и глиняных табличек. Клинописные математические тексты Древней Вавилонии и Ассирии охватывают период от II тыс. лет до н. э. и до начала н. э. Среди них имеются и математические таблицы сложении и умножения, таблицы обратных величин и специальные математические тексты, содержащие задачи с решениями.
Наиболее известными математическими папирусами являются папирус Ринда, находящийся в Британском музее (Лондон), и Московский папирус, хранящийся в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина (Москва). Они представляют собой собрание решений задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника и круга; имеются также арифметические задачи на составление пропорции и т. д.

Итак, вспоминаем:
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестную, значение которой надо найти.
Неизвестная может обозначаться любой маленькой буквой латинского алфавита: х, у, а, m, k и другие.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором данное уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение – значит найти все его корни, или убедиться в том, что корней нет.

Основной способ решения уравнений состоит в том, что его преобразовывают, упрощают, постепенно приводят к такому, которое встречалось раньше. Как это делают, мы с вами подробнее рассмотрим на следующем уроке. А пока основное!

Все уравнения, которые можно привести к виду ax = b, где a, b – числа, а х – переменная, называют линейными уравнениями с одной неизвестной.
А уравнения, сводящиеся к виду ax = b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля, также часто называют линейными, хотя правильнее называть их уравнениями, приводимыми к линейным.

Давайте рассмотрим, какие корни и сколько может иметь такое уравнение ax = b.

а = 0, b = 0, уравнение принимает вид 0х = 0, и понимаем, что от х ничего не зависит, х может быть любым, то есть бесконечно много решений.

а = 0, b ≠ 0, уравнение принимает вид 0х = b, и понимаем, что решений у этого уравнения нет, потому что 0 не может быть равен какому-либо числу, отличному от нуля.

а ≠ 0, b = 0, уравнение принимает вид ах = 0 и понимаем, что решением может быть только одно число, х = 0, то есть единственный корень.

а ≠ 0, b ≠ 0, уравнение принимает вид ax = b, в этом случае х = b : a, то есть тоже единственное значение, один корень.

Таким образом, уравнение может иметь один корень, не иметь корней или иметь бесконечное множество корней.

По своей форме уравнения представляют собой равенства, в двух частях которого стоят выражения. Для решения уравнения будем преобразовывать эти выражения. Какие же это преобразования?

1. Выполнение промежуточных арифметических действий.
Левую часть уравнения х – 30 + 2 · 50 = 200 можно переписать, вычислив значение числового выражения –30 + 2 · 50 = –30 + 100 = 70. Получим уравнение х + 70 = 200
2. Раскрытие скобок.
В уравнении х + (х – 20) + 3(х – 30) = 840 сначала раскроем скобки, вспоминая все правила раскрытия скобок относительно знака перед скобкой и числа перед скобкой. Получаем уравнение х + х – 20 + 3х – 90 = 840. Мы преобразовали числовое выражение с переменной, при этом не изменили суть самого уравнения. При подстановке любого числа вместо х и одно и другое уравнение даст одинаковый результат.
3. Приведение подобных слагаемых.
В уравнении х + х – 20 + 3х – 90 = 840 в левой части три слагаемых с переменной х с разными числовыми множителями. Эти множители называют коэффициентами при х. Слагаемые с одинаковой буквой, но, возможно, с разными коэффициентами, называют подобными слагаемыми.
Получаем, приведя подобные слагаемые и вычисляя 5х – 110 = 840.
4. Смена местами левой и правой частей уравнения.
Например, вместо уравнения 100 = 2х, лучше и удобнее написать уравнение 2х = 100, чтобы член, содержащий неизвестное, стоял слева. Этого правила мы будем придерживаться и дальше (неизвестное слева, числа – справа).
(На рынке на уравновешенные весы вы и продавец смотрите с разных сторон, для вас яблоки справа, гири – слева, для продавца всё наоборот – яблоки слева, а гири справа, но от этого весы не перестали быть уравновешенными. Так что яблоки уравновешены гирями или гири – яблоками, всё равно).
5. Представить себе снова весы:

Если мы снимем с каждой чаши весов по два яблока, то весы останутся в равновесии.

Если мы представим, что весы – это модель уравнения, то можно сказать так: в уравнении от двух частей можно отнять одно и то же число.

А можно прибавить?..

Давайте на правую и на левую чаши весов положим одинаковые бананы.
Ничего не изменилось, весы остались в равновесии.

Таким образом, в уравнении можно прибавить одно и то же число к обеим частям уравнения или отнять.
Например, х – 70 = 200 прибавим к обеим частям 70, получаем х – 70 + 70 = 200 + 70, откуда х = 270.

Можно умножить или разделить обе части уравнения на число, отличное от нуля.

Было:

Стало при умножении на 2 в два раза больше, но показания весов не изменяются.

Надо понимать, что преобразовывая уравнения, мы не меняем его, меняем только его запись. При каждом разрешённом переходе мы сохраняем его корни – каждый корень одного уравнения является корнем и другого. Уверенность в этом основана на том, что проделывая эти действия над числовыми равенствами, мы не нарушали их верность: было верное равенство и осталось верное равенство.

Помните про некоторые приёмы для решения уравнений, они нам пригодятся в дальнейшем. Вообще, нахождение способов поиска корней различных уравнений – одна из главных задач математики. И сегодня мы только сделали первый шаг.

Дополнительная информация.

Рекомендуемые тренажёры:

Укажите, под какой буквой записано уравнение?

А

34х – 7

Б

5 + 23 = 17 + 11

В

15 : 3 +1,7

Г

3х +5 = 2х – 4

Для какого из уравнений число –2 является корнем?

А

3 + 2х = 3

Б

23 – х = 21

В

3х – 4 = –10

Г

х – 2 = 0

В каком случае верно выполнено умножение обеих частей уравнения 2х = 4 на число 3?

А

6х = 4

Б

2х = 12

В

6х = 12

Г

: 3х = 4/3

Ответы: 1 – Г; 2 – В; 3 – В;

Рекомендуемые тесты:

Соберите в левой части уравнения 2х – 5 = 3 – х все слагаемые, содержащие переменную, а в правой – не содержащие переменную.

А

2х + х = 3 + 5

Б

2х – х = 3 + 5

В

2х – х = 3 – 5

Г

2х + х = 3 – 5

Решите уравнение 3х – 1 = 8

А

2

Б

3

В

7/3

Г

–3

Ответы: 1 – А; 2 – Б.