Вынесение общего множителя за скобки
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: обсудить использование разложения многочленов на множители, начать изучение способов разложения многочленов на множители.

Всем привет!

Этим уроком мы с вами откроем новую страницу в изучении алгебры. Мы с вами познакомились с понятиями одночлена и многочлена, узнали, какие действия возможны с этими объектами, и сейчас мы эти действия будем применять уже на чуть более сложных примерах.

Давайте вспомним распределительный закон. Этот закон мы применяли, умножая многочлен на одночлен. Но распределительный закон может применяться и наоборот, т. е. выносить общий множитель за скобку. Если есть какой-то многочлен, и мы видим, что есть какой-то общий множитель у каждого из одночленов, входящих в состав этого многочлена, то этот общий множитель можно вынести за скобку, используя распределительный закон.

Пример1:

Вынесите общий множитель за скобку

7ху + 7х

Общим множителям для одночленов 7ху и 7х является 7х, имеем

7ху + 7х = 7х ⋅ у + 7х ⋅ 1

По распределительному закону выносим 7х за скобку

7ху + 7х = 7х ⋅ у + 7х ⋅ 1 = 7х ⋅ (у + 1)

Мы всегда сможем себя проверить, выполнив умножение.

Итак, если мы поняли, какой множитель общий, далее мы должны уметь производить деления многочлена на одночлен!

Пример 2:

Разложить на множители

3х2у3 + 6х5у2 + 9х3у4

Что здесь можно вынести за скобку?

Посмотрим по числовым множителям: 3, 6 и 9. У них есть общий делитель 3, т. е. НОД (3, 6, 9) = 3

Обратимся к х: есть вхождения х2, х5, х3. Выбираем х в наименьшей степени, т. е. х2.

Аналогично рассуждаем про у, здесь наименьшая степень у2.

Значит, общий множитель нашли, это 3х2у2. Теперь разделим каждый член данного многочлена на 3х2у2.

3х2у3 + 6х5у2 + 9х3у4 = 3х2у3 ⋅ (у + 2х3 + 3ху2)

Пример 3:

Разложить на множители

5х ⋅ (а – 8) + у ⋅ (а – 8)

Если вы внимательно посмотрите на пример, то увидите, что здесь есть общий множитель – скобка (а – 8). Вынесем данную скобку за скобку, имеем:

5х ⋅ (а – 8) + у ⋅ (а – 8) = (а – 8) ⋅ (5х + у).

Пример 4:

Разложить на множители

5х ⋅ (а – 8) + а – 8

Здесь искусственно добавим скобки

5х ⋅ (а – 8) + а – 8 = 5х ⋅ (а – 8) + (а – 8) = (а – 8)(5х + 1)

Пример 5:

Разложить на множители

5х ⋅ (а – b) + y ⋅ (b – a)

Вынесем знак «–» за скобку из выражения b – а

5х ⋅ (а – b) + y ⋅ (b – a) = 5х ⋅ (а – b) – y ⋅ (а – b) = (a – b)(5x – y)

Пример 6:

Разложить на множители (a – 2b)(c + 25) + (d – 15)(4b – 2a)

Из выражения 4b – 2a вынесем общий множитель 2. Далее внесем множитель 2 в выражение d – 15, а далее вынесем общий множитель a – 2b за скобку. И приведём подобные.

(a – 2b)(c + 25) + (d – 15)(4b – 2a) = (a – 2b)(c + 25) – 2(d – 15)(a – 2b) = (a – 2b)(c + 25) – (2d – 30)(a – 2b) =
= (a – 2b)(c + 25 – 2d + 30) = (a – 2b)(c – 2d + 55)

Пример 7:

Доказать, что данное выражение делится на 11 при любом натуральном n.

(2n + 2n+1 + 2n+3) : 11, n € N

Представим данное выражение в следующем виде

2n + 2n+1 + 2n+3 = 2n + 2n ⋅ 21 + 2n ⋅ 23

После данного разложения, мы с вами можем выделить общий множитель 2n. Вынесем его за скобку.

2n + 2n+1 + 2n+3 = 2n + 2n ⋅ 21 + 2n ⋅ 23 = 2n (1 + 2 +23) = 2n ⋅ 11

Выражение 2n ⋅ 11 делится на 11 при любом натуральном n, так как один из множителей данного выражения 11.

Итак, сегодня мы с вами познакомились с очень важным для нас моментом, под названием «вынесение общего множителя у выражения». Этот приём восходит, как мы поняли, к распределительному закону.

Урок закончен. Спасибо за внимание!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 31, № 31.8; 31.9; 31.23.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 31, № 31.24; 31.25; 31.26.