Среднее гармоническое нескольких чисел
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: дать первичное представление о среднем гармоническом нескольких чисел, пропедевтика средних степенных.

Предметные результаты: закрепить с учащимися алгоритм нахождения среднего гармонического; показать практическую значимость нахождения среднего гармонического.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Здравствуйте. В прошлый раз мы немного посмотрели на среднее гармоническое двух чисел, с момента появления и до применения в тех или иных ситуациях. Сегодня же мы посмотрим на это соотношение более внимательно, в том числе и для большего количества величин.

Вводная задача.
Вася и Маша складывают бумажные кораблики на уроке труда, который длится 45 минут. Вася тратит на один кораблик 5 минут, а Маша 3 минуты. Определите время на складывание одного кораблика.

Давайте посмотрим. Всего Вася сложит корабликов, Маша корабликов, вместе тогда они сложат кораблика, потратив время 45+45 минут. Тогда средняя скорость складывания кораблика (равная отношению всего затраченного времени к количеству сложенных корабликов) равняется . Можно спросить – а причём тут среднее гармоническое?

Давайте внимательно присмотримся к данному выражению. В общем-то это какая-то дробь с неполадками в знаменателе. По основному свойству дроби её числитель и знаменатель тогда можно разделить на одно и то же число! 45 отлично для этого подходит!

А это уже и правда среднее гармоническое 3 и 5.

За общими рассуждениями не забудем дать ответ задаче:

Заметим, что в данной задаче нам оказалось совершенно не принципиально, какова длительность урока. Важно лишь что работали оба персонажа одно и то же время.

Задача 2.

Вася, Маша (по прежнему складывающие кораблик за 5 и 3 минут соответственно) не успели за урок сделать все необходимые кораблики и они решают попытаться исправить положение, проработав над той же задачей всю большую перемену. Им в этом начинает помогать Миша, который складывает один кораблик за 9 минут. Вместе они всё равно работают всю перемену. Какова же среднее время необходимое на складывание одного кораблика теперь?

Давайте изучим сложившееся обстоятельство. Понятно, что каждый из них сложит во столько раз меньше корабликов за всю перемену, во сколько раз (в минутах) перемена больше требуемого времени. При этом каждый из учащихся проработает всю перемену.

Значит, воспользовавшись наблюдениями их прошлой задачи, получаем, что

Заметим, что так как Миша помогает а не мешает, то количество сложенных корабликов увеличится, и соответственно увеличится и среднее количество сделанных корабликов. Из чего казалось бы логично было предположить, что и средняя время складывания одного кораблика должно уменьшиться. Однако же, как мы видим, это совершенно не факт: в данном случае время на один кораблик в среднем увеличилось, так как вместе с выполняемой в единицу времени частью работы добавилось ещё и время. Поэтому никакого парадокса тут нет, всё дело только тонкости связей между величинами. При этом, если бы помогать стал более быстрый учащийся, то ситуация больше отвечала бы нашим интуитивным представлениям.

С другой стороны, если мы считаем среднее время, на один кораблик, то добавление медленного учащегося, может подтолкнуть нас к мысли, что в среднем время увеличится.

Задача 3.

Вася, Маша (по прежнему складывающие кораблик за 5 и 3 минут соответственно) не успели за урок сделать все необходимые кораблики и они решают попытаться исправить положение, проработав над той же задачей всю большую перемену. Им в этом начинает помогать умелый Сережа, который складывает один кораблик за 1 минуту. Вместе они всё равно работают всю перемену. Какова же среднее время необходимое на складывание одного кораблика теперь?

Давайте изучим сложившееся обстоятельство. Понятно, что каждый из них сложит во столько раз меньше корабликов за всю перемену, во сколько раз (в минутах) перемена больше требуемого времени. При этом каждый из учащихся проработает всю перемену.

Значит, воспользовавшись наблюдениями их прошлой задачи, получаем, что

Теперь мы видим, что в данном случае обе идеи дали один и тот же результат.

Задача 4.

Раньше в продаже было три сорта конфет --- по 2 и по 3 и по 5 тургиков за килограмм. После реформы стали продавать их смесь, в которой их было на равную сумму денег. Сколько должна стоить смесь?

Поровну стоят 1/2 кг первого сорта, 1/3 кг второго сорта и 1/6 кг третьего сорта. Поэтому если их смешать -- получится кусок правильной смеси. В ней будет 1/2+1/3+1/6 кг веса, и стоить это будет 1+1+1=3 тугрика. Поэтому 1 кг такой смеси будет стоить 3/(1/2+1/3+1/6) тугриков, то есть 3 тугрика.

Таким образом мы с вами рассмотрели некоторые ситуации при которых среднее гармоническое и упрощает работу и позволяет получить результат по довольно скудным начальным условиям, в случае если мы понимаем как устроен данный процесс.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

Задача 2. Рассмотрим поезд, который половину пути прошел со скоростью в два раза ниже, чем средняя по расписанию, во сколько раз ему надо ускориться, чтобы прибыть вовремя?

Задача 3. Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?