Линейные уравнения с параметром. Часть 1
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: показать, как решать линейные уравнения с параметром графическим методом.

Всем привет!

Сегодня мы обсудим различные задачи с параметром, в которых фигурирует линейная функция.

Решать мы их будем с помощью графических идей.

Отметим, что в записи y = kx + b уже есть два параметра – k, b. Их чаще всего и требуется найти (либо понять, при каких значениях k, b выполняется определённое условие).

Пример 1.

При каких значениях a точка (а; 2а – 1) принадлежит графику функции y = –2x + 3?

Решение:

–2a + 3 = 2a – 1

4a = 4

a = 1

Ответ: 1.

С помощью графических идей чаще отвечают не на вопрос о точном решении, а на вопрос о количестве решений.

Пример 2.

При каком значении параметра a уравнение ax + 3 = 0 имеет более двух решений?

Решение:

Заметим, что левая часть – линейная функция, её график – прямая. Значит, вопрос в том, когда прямая пересекает ось в двух или более точках.

Но такое возможно, только если прямая совпадает с осью! А это неверно (например, в нуле значение равно 3).

Значит, ответ: решений нет!

Напомним: если угловые коэффициенты двух прямых не равны, то прямые пересекаются в одной точке.

Если же равны, то если равны и вторые коэффициенты, то прямые совпадают (бесконечно много общих точек), а если не равны – прямые параллельны (нет общих точек).

Пример 3:

При каких значениях a уравнение ax – 2 = –3x + a не имеет решений?

Решение:

Раз уравнение не имеет решений, то прямые, задаваемые каждой их частей уравнения (y = ax – 2; y = –3x + a), не должны пересекаться.

Раз прямые не пересекаются, то они параллельны. То есть a = –3.

Всё? Нет, нужно проверить, что прямые не совпадут! При a = –3 получаем:

–3x – 2 = –3x – 3.

Не совпадают.

Ответ: –3.

Пример №4:

При каких значениях a уравнение ax + 1 = x + a2 имеет решения?

Решение:

Чтобы уравнение имело решение, нужно, чтобы прямые y = ax + 1 и y = x + a2 пересекались либо совпадали.

При a ≠ 1 прямые пересекаются, так что решение есть.

Осталось проверить, не совпадут ли они при a = 1.

Получим: x + 1 = x + 1 – совпадают!

Так что решения есть при любых a.

Ответ: a – любое число

Сегодня мы с вами выяснили, как графическим методом решаются довольно несложные задачи с параметром. На следующем занятии мы порешаем более сложные задачи на эту тему.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. При каком значении параметра a уравнение ax = 0 имеет более двух решений?

2. При каких значениях a уравнение ax + 2 = 7x + a имеет два решения?

Рекомендуемые тесты: составить таблицу, в которой будет показаны все случаи расположения двух прямых на плоскости.

Решение:

1. При каком значении параметра a уравнение ax = 0 имеет более двух решений?

Решение:

Прямые либо имеют одну общую точку, либо совпадают. Значит, при a = 0 прямые будут совпадать.

Ответ: a = 0.

2. При каких значениях a уравнение ax + 2 = 7x + a имеет два решения?

Решение:

В правой и в левой частях уравнения – линейная функция, значит графиками этих функций являются прямые. Две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельны, либо совпадать. Если прямые имеют две общие точки, значит они имеют бесконечно много общих точек, т. е. совпадают. Для того чтобы прямые совпали, нужно:

a = 7 и 2 = a – одновременно такого быть не может, значит, решений нет.

Ответ: решений нет.