Урок 14. Алгебраические системы уравнений
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №14. Алгебраические системы уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) определение алгебраической системы уравнений;

2) методы решений алгебраических систем уравнений;

3) симметрические системы уравнений.

Глоссарий по теме

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.

Уравнение P(x;y)= а, где, называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

А теперь можно сформулировать определение.

Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Рассмотрим методы решения систем уравнений.

Методы решения систем уравнений.

Метод подстановки

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Рассмотрим пример.

Решить систему уравнений

Решение.

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

(5+y)y=6

5y+y²-6=0

y²+5у-6=0

у1=-6; у2=1

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

если y1=−6, то x1=5+(−6)=5−6=−1,

если y2=1, то x2=5+1=6.

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

Ответ: (−1;−6) и (6;1)

Метод алгебраического сложения

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

Метод введения новых переменных

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Пример.

Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

Решением системы является две пары чисел.

Первая пара чисел:

(3-y)y=2

y1=2, y2=1

x=3-y

x1=1, x2=2

Вторая пара чисел:

(2-y)y=3

D<0

Решений нет.

Ответ: (1;2) и (2;1)

Графический метод

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

1. строим график первого уравнения;

2. строим график второго уравнения;

3. находим точки пересечения графиков (координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений).

Рассмотрим пример.

Решение:

Построим график .

Графиком данного уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 3.

Построим график y=x-3 (выразили у)

Это прямая, для построения которой найдем две точки (0; -3) и (3; 0).

Рисунок 1 – график функции .

Окружность и прямая пересекаются в точках А и В.

Точка А имеет координаты (3;0), а точка В- координаты (0; -3).

Пары чисел (3; 0) и (0; -3) являются решениями обоих уравнений.

Ответ: (3; 0) и (0; -3)

Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.

Идея решения однородной системы достаточно проста, она сводится к тому, чтобы с помощью составления некоторой комбинации уравнений системы получить однородное уравнение. Впрочем, если в заданной системе а = 0 или b = 0, то в системе уже есть однородное уравнение, которое, как мы видели выше, решается методом введения новой переменной. Если оба числа а, b отличны от нуля, то, умножив первое уравнение системы на b, а второе — на а, получим:

откуда находим, что bP(x; y)-aQ(x; y)=0 это однородное уравнение.

Теперь поговорим о симметрических уравнениях.

Уравнение P(x;y) = а, где , называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен. Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические. Идея решения симметрической системы фактически предопределена приведенными выше рассуждениями; вводят две новые переменные: x + у = u, ху = v.

Например,

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решить систему

Левые части обоих уравнений системы - однородные многочлены одной степени от переменных х и у. Если в первом уравнении системы положить х = 0, то получим

2 · 0² + 0 · у - у² = 0 <=> у² = 0 <=> у = 0.

Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим

.

Сделав замену

получим t² -1 - 2 = 0 <=> t₁ =2, t₂ =-1.

Тогда

или

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: х₁ =1, у₁ = 2; х₂ = -1; у₂ = -2.

Вторая система несовместна. Отсюда (1;2), (—1;—2) - решения исходной системы.

Ответ: (1;2); (-1;-2)

Пример 2.

Решить систему уравнений

Решение.

Сложим уравнения почленно.

Решим полученное уравнение с одной переменной.

2х²=50

х²=25

х=5

х=-5

Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения

в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.

x2+y2=29

если х=5, то 25+y2=29

y2=4

у=2

у=-2

если х=-5, то 25+y2=29

y2=4

у=2

у=-2

Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) — решения системы.

Ответ: (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2)