Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Часть 1 (теория)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления о действиях с положительными и отрицательными числами, разработать с учащимися на примерах правила умножения и деления отрицательных чисел, а также использовать эти правила при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята. Мы уже умеем складывать и вычитать отрицательные числа, а сегодня мы с вами научимся их умножать и делить.

Для начала давайте рассмотрим несколько ситуаций.

В столовой продавались вкусные булочки по 15 рублей, но у трех подружек не было с собой денег, и буфетчица дала им булочки в долг. Как найти их общий долг?

Надо сложить долг каждой из девочек: -15 + (-15) + (-15) = - 45, получается, что вместе они должны 45 рублей. Но мы знаем, что по-другому сумму равных между собой слагаемых можно записать как произведение 3 * (-15) = -15 + (-15) + (-15) = - 45. Получается, что при умножении положительного числа 3 на отрицательное число -15 получилось отрицательное число -45, обозначающее долг девочек.

Другой пример. Фабрика выпускает в день 200 мужских костюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменился на -0,4 кв.м. На сколько изменился расход ткани на костюмы за день?

Расход ткани на костюм уменьшился на 0,4 кв.м, на все костюмы тогда (0,4 * 200 = 80) уменьшился на 80 кв.м. Это значит, что изменился на -80 кв.м. Получается, что произведение -0,4 на 200 дает нам -80. Получаем -0,4 * 200 = - 80

И наконец, третий пример. (Может быть картинку с воздушным шаром, который летит вверх от какой-то отметки). Воздушный шар поднимается вверх со скоростью 5 м/мин. Через 4 минуты он поднимется на 5 * 4 = 20 (м). Четыре минуты назад (или за 4 минуты до данного момента) шар был ниже на 20 метров: 5 * (-4) = -20. Значение времени -4 означает 4 минуты назад, значение расстояния -20 означает, что шар находился на 20 метров ниже, чем сейчас.

Обобщим все вышесказанное.
3 * (-15) = - 45
-0,4 * 200 = -80
5 * (-4) = -20
Сформулируем общее правило умножения чисел с разными знаками:
Чтобы умножить два числа с разными знаками нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «минус».
Раньше мы бы вычислили так: (-2) *4 = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8
А теперь по правилу (-2) * 4 = - (2*4) = - 8.
Получаем, что умножение отрицательного числа на положительное или положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число.

Как же поступить, когда два числа отрицательных? Ситуации из жизни, как только что подобрать очень сложно. Долг можно обозначить с помощью знака минус, а вот девочек — нет. Будем рассуждать по-другому.
Мы знаем правило умножения числа на 1.
Если умножать любое число на 1, то получаем само это число.
Записывается это так: 1 *а = а. Умножение подчиняется переместительному закону, поэтому запишем: а * 1 = а. Это же будет верно и для отрицательных чисел, если -5 * 1 = - 5 и 1 * (-5) = -5.
А что будет если умножать на -1? При умножении на -1 число меняется на противоположное. Часто это записывают так: а*(-1) = (-1) * а = - а.
Дадим этому факту определение: Произведение числа на -1 есть число, противоположное данному.
(-1) * 4 = (любое произведение можно представить в виде суммы) = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4, то есть при умножении на -1 число 4 поменялось на противоположное себе число -4. Все верно.
Пользуясь этим правилом получаем -1 * (- 7) = 7 (произведение числа -7 на -1 есть число ему противоположное, значит число 7).
Рассмотрим произведение -2 на 4:
-2 * 4 = (-1 * 2) * 4 = (используя сочетательный закон умножения получаем) = - 1* (2 * 4) = -1 *8 = -8.
Правило умножения чисел с разными знаками работает: при умножении чисел с разными знаками умножаем модули этих чисел и перед произведением ставим знак «минус». -2 * 4 = - 8.

Но давайте все же вернемся к умножению двух отрицательных чисел. Рассмотрим -6 * ( -5).
Заменим один из множителей на произведение противоположного числа и -1
-6 * ( -5) = -1 * 6 * (-5) = (используя сочетательный закон умножения получаем) = - 1* (6 * (-5)) =
= (по правилу умножения чисел с разными знаками 6 на -5 дает нам -30) = -1 * (-30) = (по правилу умножения на -1 получаем число противоположное -30) = 30.
Таким образом, -6 * ( -5) = 30.
При умножении заметим, что при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, то мы должны дважды поменять знак (для одного множителя и для другого). Получается, что мы меняем знак с положительного на отрицательный, а второй раз этот отрицательный меняем обратно на положительный, то есть у произведения знак не меняется.
-7 * (-2) = - 1 * 7 * (-1 * 2) = -1 * (-1) * (7*2) = -1 * (-1) * 14 = -1 * ((-1) * 14) = -1 * (- 14) = 14.
Сформулируем правило:
Что бы умножить два отрицательных числа надо перемножить их модули.
- 4 * (-3) = 4 * 3 = 12
-2 * (-5) = 2 * 5 = 10

Делая общий вывод можно сказать так:
перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число,
перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

Можно записать это в виде таблички (в интернете есть много табличек положение знака при умножении, вставить любую)
Положение знака при умножении изменяется таким образом:
положительное число * положительное число = положительное число;
отрицательное число * положительное число = отрицательное число;
положительное число * отрицательное число = отрицательное число;
отрицательное число * отрицательное число = положительное число.
Или более кратко:
( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( - ) =( - )
( - ) * ( + ) = ( - )
( - ) * ( - ) = ( + )

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. По данному произведению и одному из множителей найти второй множитель.
Например, разделить -16 на 2, это значит найти такое число х, что 2* х = -16. Сначала определим знак числа х. При умножении на положительное число 2 получилось отрицательное число -16 значит 2 и х должны иметь разные знаки, откуда следует, что х число отрицательное. Теперь найдем модуль числа х. 16:2=8. Значит х=-8. Получили -16 : 2 = -8.
Еще один пример, разделить -15 на -5. Поступаем так же: надо найти такое число х, которое при умножении на -5 даст -15. Запишем -5 * х = -15. Определим знак числа х. При умножении отрицательного числа на другое число получилось отрицательное число, значит перемножаемые числа были разных знаков, значит х — положительное число. При этом должно выполняться равенство 5 * х = 15, а значит х = 15 : 5 = 3. Получили -15 : (-5 ) = 3.
Сформулируем правила деления отрицательных чисел:
При делении чисел с разными знаками надо разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед полученным числом знак «минус».
При делении отрицательного числа на отрицательное число надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
-20 : 4 = -5
-24 : ( -6) = 4
50 : (-10) = -5
Правила деления можно проверить, воспользовавшись свойством того, что деление действие противоположное умножению.
Например, -20 : 4 = -5 означает, что -5 * 4 = -20 (по правилу умножения это действительно так).

Часто, чтобы запомнить правила умножения и деления отрицательных чисел приводят такой пример:
друг — это хорошо, это плюс
враг — это плохо, это минус.

Друг моего друга мой друг ( + на + получается + )
Друг моего врага мой враг ( + на — получается - )
Враг моего друга мой враг ( - на + получается - )
Враг моего врага мой друг (- на — получается + )

Осталось сказать об умножении и делении отрицательных чисел на 0.
Произведение любого числа а и 0 всегда равно 0.
3 * 0 = 0
-5 * 0 = 0
0 * 4 = 0
0 * ( -7) = 0
0 : 2 = 0
0 : (-6) = 0
Напоминаю, что на нуль делить нельзя!

Знак произведения не двух, а большего числа сомножителей будет зависеть от числа отрицательных сомножителей. Например, -6 * (-2) * 3 * (-5) = можно конечно умножать поочередно -6 на -2, полученное на 3 и так далее, но лучше находить произведение так:
определить количество отрицательных сомножителей и если оно четное, то произведение положительное, а если нечетное — то произведение отрицательное.
В нашем примере, три отрицательных множителя, это число нечетное, значит произведение будет отрицательное. -6 * (-2) * 3 * (-5) = - (6 * 2 * 3 * 5) = - 180.
Сформулируем правило умножения нескольких чисел разных знаков: определяем знак произведения по количеству отрицательных множителей, если оно четное, то произведение положительное, если нечетное — то отрицательное и затем находим произведение модулей всех множителей.

Вывод:
1. Чтобы умножить (или разделить) два числа с разными знаками надо:
перемножить (или разделить) модули этих чисел
поставить перед полученным произведением (или частным) знак «минус»
2. Чтобы умножить (или разделить) два числа с одинаковыми знаками надо:
перемножить (или разделить) модули этих чисел
поставить перед полученным произведением (или частным) знак «плюс»
3. В примерах, где есть только умножение и деление чисел с разными знаками — знак можно определить по числу сомножителей. Если число отрицательных сомножителей четное, то знак произведения будет «плюс», а если нечетное — то «минус».

Не смотря на все правила умножения я вам желаю, чтобы ваше настроение всегда было со знаком плюс!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Найдите значение выражения:
а) (-1,5) * 2 =
б) (-6)*(-1,1) =
в) (-10)* 8,5 * (-2) =

2. Сравните с нулем выражение:
а) (-2346)*(-17891)
б) 600 *(-101)
в) (-35) * (-24) * (-57)

Выполните действия:

а) 7,2 : (-12) — 1 =
б) (45 — 100) : (-5,5) =

Рекомендуемые тесты:
1. Найдите значение выражения:
а) 3 * (-1/2) *2,5 =
б) (-3,5) * (-2) * (-5) =
2. Сравните с нулем выражение: (-1000)* 0, 085 * 2
3. Выполните действия: ( 18 *(-5)) : (-45) =