Решение сложных текстовых задач на смеси и сплавы
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: рассмотрение различных задач на смеси и сплавы; развитие у учащихся интереса к предмету через решение задач, связанных с жизнью.

Здравствуйте!

В текстовых задачах на смеси и сплавы также нет ничего сложного. Надо лишь грамотно составить уравнение или систему уравнений. А иногда даже это не требуется! Впрочем, обо всём по порядку.

Пример 1. Задача о соотношении.

Имеется 2 сплава с разным содержанием меди: в 1-м содержится 60 %, а во 2-м – 45 % меди. В каком отношении надо взять 1-ый и 2-ой сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55 % меди?

Решение.

Если 1-го сплава взять х кг, то меди в нём 0,6х кг; если 2-го сплава взять у кг, то меди в нём 0,45у кг.

В новом сплаве меди 0,55(х + у) кг. Значит 0,6х + 0,45у = 0,55(х + у). Раскрывая скобки, получаем х = 2у.

Таким образом, 1-го сплава следует взять в 2 раза больше, чем 2-го.

Ответ: 1-го сплава следует взять в 2 раза больше, чем 2-го.

Небольшой фокус.

Рассмотрим процентные концентрации сплавов на числовой оси.

Число 55 делит отрезок от 45 до 60 в отношении 2 : 1. Если представить себе своеобразные качели, закреплённые в точке 55, то, чтобы их уравновесить, надо на вдвое более короткое плечо поместить вдвое большую массу.

Такой метод масс безотказно работает для поиска соотношений сплавов и смесей.

Пример 2. Задача о массе.

1-й сплав содержит 5 % меди, 2-й – 13 % . Масса 2-го сплава больше массы 1-го на 4 кг. Из этих двух сплавов получили 3-й сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу 3-го сплава.

Решение.

Пусть 3-го сплава х кг, тогда меди в нём 0,1х кг.

В то же время 1-го сплава 0,5(х – 4) = 0,5х – 2 кг и меди в нём 0,05 ⋅ (0,5х – 2) = 0,025х – 0,1 кг.

Соответственно, 2-го сплава 0,5х + 2 кг и меди в нём 0,13 ⋅ (0,5х + 2) = 0,065х + 0,26 кг.

Тогда 0,025х – 0,1 + 0,065х + 0,26 = 0,1х; 0,01х = 0,16; х = 16.

Ответ: 16 кг.

Пример 3. Задача о разных смесях.

Смешав 60%-й и 30%-й растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 60%-го раствора использовали для получения смеси? В этой задаче слишком много разных смесей, поэтому лучше решать подробно.

Решение.

Обозначение неизвестных величин.

Пусть 60%-го раствора было х кг, тогда кислоты в нём 0,6х кг.

Пусть 30%-го раствора было у кг, тогда кислоты в нём 0,3у кг.

20%-го раствора получили х + у + 5 кг и кислоты в нём 0,2(х + у + 5) кг.

70%-го раствора получили бы тоже х + у + 5 кг, но кислоты в нём было бы 0,7(х + у + 5) кг.

Составление и решение системы уравнений.

1-е уравнение: 0,6х + 0,3у = 0,2(х + у + 5); 0,4х + 0,1у = 1; 4х + у = 10.

2-е уравнение: 0,6х + 0,3у + 0,9 ⋅ 5 = 0,7(х + у + 5); 0,1х + 0,4у = 1; х + 4у = 10.

Из 1-го уравнения у = 10 – 4х, тогда х + 4(10 – 4х) = 10; 15х = 30; х = 2 и у = 2.

Проверка и ответ.

Если 60%-го и 30%-го растворов было по 2 кг, то их смесь можно считать 4-мя кг 45%-го раствора, содержащего 1,8 кг кислоты.

Добавляя 5 кг воды, получаем 9 кг раствора, в котором 1,8 : 9 ⋅ 100 % = 20 % кислоты – истина.

Добавляя 5 кг 90%-го раствора, получаем 9 кг раствора, в котором (1,8 + 4,5) : 9 ⋅ 100 % = 70 % кислоты – истина.

Значит, задача решена верно.

Ответ: 2 кг.

Подведём итоги. Мы разобрали разные виды текстовых задач на смеси и сплавы и убедились, что в них также нет ничего сложного. Более того, некоторые из них можно решать устно – например, с помощью метода масс.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: № 648, (Ответ: 19 г.), № 649, (Ответ: 8,8 кг.), № 756, (Ответ: 750 и 800 кг.)

Рекомендуемые тесты:

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: № 766, (Ответ: 30 г.), № 1116, (Ответ: 7,8 и 8,3 г/ .), № 1119, (Ответ: 1,65 и 1,35 л.)