Занимательные задачи: метод от противного. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: закрепить метод доказательства от противного.

Предметные результаты: истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждению.

Метапредметные и личностные результаты: развивать вычислительные навыки, умения решать задачи, развивать логическое мышление учащихся, воспитывать интерес к математике.

Здравствуйте. В прошлый раз мы с вами изучили метод доказательства, который позволяет упрощать себе жизнь проводя рассуждение не с самим доказываемым утверждением, а с утверждением связанным с ним. Давайте продолжим изучать как работает этот подход.
Задача 1. Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.

Пусть A и B – множества соответственно синих и красных точек. Предположим утверждение задачи неверно. Тогда найдется такое натуральное число a, что A содержит лишь конечное число точек с координатами, кратными a. Также найдется такое натуральное число b, что B содержит лишь конечное число точек с координатами, кратными b. Но тогда A ∪ B содержит лишь конечное число точек, с координатами, кратными ab. Противоречие, так как число таких точек бесконечно.

Задача 2. Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Предположим, что можно разложить гирьки в соответствии с условием задачи. Сумма масс всех гирек равна 5050. Масса самой тяжёлой кучки должна быть больше, чем среднее арифметическое масс всех кучек, то есть больше, чем 505. Так как в наборе нет гирек массы больше 100, то в самой тяжёлой кучке должно быть не меньше 6 гирек. Значит, общее количество гирек должно быть не меньше, чем 6 + 7 + 8 + ... + 15 = 105 > 100. Противоречие.

Задача 3. Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

Возьмем произвольный бюллетень из 11-й урны. Пронумеруем кандидатов, фамилии которых встречаются в этом бюллетене. Предположим, что требуемое в задаче не выполнено. Тогда в k-й урне (k=1,2,...10) найдется бюллетень, не содержащий фамилии k-го кандидата. Набор этих бюллетеней вместе со взятым вначале бюллетенем из 11-й урны противоречит условию задачи.

Задача 4. На русско-французской встрече не было представителей других стран. Суммарное количество денег у французов оказалось больше суммарного количества денег у россиян, и суммарное количество денег у женщин оказалось больше суммарного количества денег у мужчин. Обязательно ли на встрече была француженка?

Пусть на встрече не было француженок, то есть все женщины были россиянками. Тогда суммарное количество денег у россиянок больше, чем у всех мужчин. Следовательно, у россиянок больше денег, чем у французов. Но это противоречит условию, по которому суммарное количество денег у французов больше суммарного количества денег у россиян.

Задача 5. В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух?

Оценка.

Пусть Винни-Пух не сможет взять хотя бы килограмм мёда. Значит, в любой паре горшочков, стоящих рядом, меньше килограмма мёда. Это справедливо как для двух крайних горшочков справа, так и для двух крайних горшочков слева. Но тогда в среднем горшочке – больше килограмма мёда (иначе всего мёда было бы меньше, чем 3 кг). Противоречие. Таким образом, Винни-Пух всегда сможет взять не меньше килограмма мёда.

Пример.

Если в первом, третьем и пятом горшочке – по 1 кг мёда, а второй и четвёртый горшочки пустые, то больше килограмма мёда Винни-Пух съесть не сможет.

Подведем итог:

мы удостоверились что мы умеем достаточно свободно применять метод от противного при решении задач.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

Задача 2. В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

Задача 3. В шахматном турнире каждый из восьми участников сыграл с каждым. В случае ничьей (и только в этом случае) партия ровно один раз переигрывалась и результат переигровки заносился в таблицу. Барон Мюнхгаузен утверждает, что в итоге два участника турнира сыграли по 11 партий, один – 10 партий, три – по 8 партий и два – по 7 партий. Может ли он оказаться прав?

Задача 4. Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы 5×8 по одной цифре таким образом, чтобы каждая цифра встречалась ровно в четырёх рядах. (Рядами мы считаем как столбцы, так и строчки таблицы.) Докажите, что у неё ничего не получится.