Простейшие совокупности от одной переменной как операции с числовыми множествами. Графическая интерпретация.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления связи между множеством целых чисел и числовой прямой, дать понятие совокупности, объединения числовых множеств, разработать с учащимися варианты нанесения числовых множеств в зависимости от заданных в совокупности неравенств, а также использовать эти методы при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята. Для начала вспомним все, что мы говорили о системах с одной переменной, это несколько неравенств, записанных одно под другим, объединенных общей фигурной скобкой слева и показывающих общее решение для всех неравенств, входящих в систему. С точки зрения числовых множеств — это пересечение числовых множеств, множество — элементами которого являются те элементы, которые входят и в одно и в другое множество. С точки зрения графической интерпретации — это числовой промежуток, пересечение числовых промежутков, указанных в системе. Системе соответствует союз «И».

Но ведь бывают и другие случаи. Например, союз «ИЛИ», что подразумевает он?

Выбор, одно или другое, нет такой строгости как в случае с «И». Мой друг должен быть красивый и умный! Звучит?.. а теперь так скажу — мой друг может быть красивым или умным, уже есть выбор, возможностей больше.

Действительно логическая связка «или» отвечает за объединение двух множеств. Это такое множество — элементы которого являются элементами одного или другого множества.
Например, рассмотрим два множества
A = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19}
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Что является пересечением этих двух множеств?
А ∩ В = {1; 3; 5; 7; 9} Это числа, которые входят и в одно и в другое числовое множество, их общая часть.
Тогда как объединение будет другим:
A U B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11; 13; 15; 17; 19} Это числа, которые входят в одно множество или в другое множество, то есть проще говоря — это все элементы обоих множеств.
В этом случае говорят о совокупности. Совокупность — это объединение множеств, объединение решений неравенств, объединение числовых промежутков.

Пример 1. Рассмотрим совокупность неравенств. Первое множество — это натуральные числа больше 10, второе множество — это натуральные числа меньше 15. Запишем соответствующие неравенства:
x >10 , x < 15.
Записывается совокупность так: неравенства записываются одно по другим, а слева ставят квадратную скобку, объединяющую оба неравенства.
.

Давайте поймем, что же это за числа — больше 10, это 11, 12, 13 и до бесконечности, их все надо брать, теперь второе множество 14, 13, 12, и так до минус бесконечности, их тоже все надо брать, то есть в совокупности мы получаем все числа от минус до плюс бесконечности, любое число.
Графическая интерпретация совокупности будет такой:

(пример 7)

Пример 2. Рассмотрим еще два множества. Множество чисел больше 100 и множество чисел меньше 10, как запишется совокупность неравенств с одной переменной соответствующая условию задачи?..

С точки зрения двух множеств совокупность — это их объединение, то есть все элементы, входящие в оба множества — значит это все числа больше 100 и все числа меньше 10. У них нет общей части, у них есть набор элементов, принадлежащих одному или другому множеству.
На координатной прямой это отобразится, как два открытых числовых луча.

(пример 8)

Пример 3. Рассмотрим случай, в котором луч будет только один. Множество А — это числа не меньше 5, а множество В — это числа не меньше 15. Понимаем, что все числа, которые не меньше 15, одновременно будут и не меньше 5, то есть одно множество является частью другого. Тогда их объединение будет множество чисел не меньше 5.
Запишем эти множества в виде неравенств х ? 5 и х ? 15. Запишем совокупность неравенств

Отобразим неравенства на координатной прямой.

(пример 9)
Видим, что точки, которые подходят в одно или другое неравенство, это точки с координатами правее 5 и сама точка с координатой 5. То есть числовой луч.

Общий вывод: совокупность есть объединение числовых множеств, объединение всех чисел, удовлетворяющих одному или второму неравенству, объединение числовых промежутков на координатной прямой. Записывается совокупность с квадратной скобкой слева от неравенств, записанных одно под другим.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Записать неравенство, соответствующее рисунку

а)

б)

2. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки, соответствующие совокупности неравенств

3. Записать, что является объединением множеств:

а) множество всех целых чисел и множество нечетных чисел,
б) множество чисел, кратных 3 и множество чисел, кратных 9.

Даны множества А = {11, 17, 25, 37, 40, 54}, В = {67, 54, 41, 37, 25, 16, 11}. Найдите множество, являющееся объединением множеств А и В. Запиши ответ в виде А U В = {…}

Ответы:

Рекомендуемые тесты:
1. Пусть A - это множество натуральных чисел, кратных 5, а В - множество натуральных чисел, делящихся на 10. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств

Запишите множество А в виде неравенства, если элементы множества А это все числа

а) больше 12
б) не больше 4
в) все положительные числа
3. Запишите совокупность неравенств
а) x ≤ 7 , x < 12
б) x > 5, x < 41
4. Изобразите графически совокупности, полученные в задании 1.
5. Возможно ли найти количество натуральных чисел, удовлетворяющих совокупности

Ответы:
1.А являются частью В
2.а) x > 12, б) x ≤ 4, в) x > 0,
3. а) x ≤ 7, б) 5<х<41
5. Нет