Операции над множествами. Пересечение и объединение множеств. Разность множеств, дополнение множества, Интерпретация операций над множествами с помощью кругов Эйлера. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: актуализировать представление об операциях над множествами и их визуализации применением к решению задач.

Предметные результаты: закреплять представления о понятии «подмножество» и соответствующих ему графических моделях множеств в виде диаграмм Эйлера-Венна.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Здравствуйте. На прошлом занятии мы с вами обсудили различные хитро устроенные взаимоотношения между множествами, а сегодня давайте попробуем применить эти знания на практике.

Задача 1. Приехало 100 иностранных туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали оба языка?

100-10=90 человек знали хотя бы один из этих языков

90-75=15 знали только французский (так как что-то знали но не немецкий)

90-83=7 знали только немецкий

90-15-7=68 знали оба языка

Задача 2. Ученик за 370 рублей купил книгу, тетрадь, ручку и карандаш. Тетрадь, ручка и карандаш стоят 190 рублей. Книга, ручка и карандаш 350р. Тетрадь и карандаш 50 р. Сколько стоит каждый предмет?

Если тетрадь, ручка и карандаш вместе стоят 190 рублей, то книга стоит 350-190=180 рублей.

Если книга, ручка и карандаш стоят 350р, то тетрадь стоит 370-350=20 р.

Если тетрадь и карандаш стоят 50 р, то ручка и книга стоят 320 р, а так как книга стоит 180р, то ручка стоит 140р.

Если тетрадь и карандаш стоят 50 р, а тетрадь 20 р, то карандаш стоит 30р.

Задача 3. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Рассмотрим людей, являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков в 7 раз их больше, а число философов — в 9 раз.

Если пересечение этих двух множеств не нуль, то философов больше. А что значит, что пересечение нуль? Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их ''поровну''. Это правильный ответ, формально удовлетворяющий условию задачи. И те, кто его заметил, вдвойне молодцы! Хотя решение засчитывается и тем, кто разобрал только случай, когда математики всё-таки есть.

Задача 4. Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл 5 кругов, изображённых на рисунке, и внутри каждого круга насчитал ровно 3 сосны.
Может ли быть, что лесник ни разу не ошибся?

Чтобы решить задачу заметим две вещи:

- лесник либо ошибся либо нет. Тут история такая же как с покупками: нам либо хватает денег на мороженое, либо нет. Даже если не хватает копейки, нам всё равно мороженое не продадут. Поэтому истории про то что он «вообще-совсем-почти-прав». Или «чуточку ошибся» не состоятельны.

- если лесник не прав, то он где-то ошибся.

Допустим, что лесник прав.

Первый способ.

Посмотрим на левый и правый маленькие круги. В каждом из них лесник насчитал по три сосны. Значит, других сосен в больших кругах не должно быть. Но тогда в маленьком центральном круге не должно быть вообще ни одной сосны.

Второй способ.

Судя по трём маленьким кругам, сосен не меньше 9. Но судя по большим кругам, сосен не больше шести. Противоречие.

Задача 5. В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 15 человек, биологией – 20, а математикой и биологией – 10?

Давайте посмотрим: у нас есть школьники трёх непересекающихся типов, которые в объединении дают весь класс: те кому интересна только математика, только биология и оба предмета. Наёдем количество учеников каждого типа и сложим: 10+5+10=25.

Задача 6. Двенадцать малышей вышли во двор играть в песочнице. Каждый, кто принес ведёрко, принес и совочек. Забыли дома ведёрко девять малышей, забыли дома совочек двое. На сколько меньше малышей, которые принесли ведёрко, чем тех, которые принесли совочек, но забыли ведёрко?

3 малыша принесли ведёрко, а значит. и совочек. 10 малышей принесли совочек. Значит, 7 малышей принесли совочек без ведёрка.

7 – 3 = 4.

Задача 7. Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух, — Говорящие Коты; все, кроме двух, — Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги?

Из условия задачи следует, что Мудрых Сов и Усатых Тараканов — двое, а Говорящих Котов и Усатых Тараканов — тоже двое. Это выполняется в двух случаях: либо Тараканов — 2, Котов и Сов — 0, либо и Котов, и Сов, и Тараканов — по одному. Первый случай не годится, так как в условии сказано, что и Совы, и Коты живут в избушке. Значит, у Бабы Яги поселились Говорящий Кот, Мудрая Сова и Усатый Таракан — всего трое.

То есть трое, не считая бабы Яги.

Подведём итоги: сегодня мы разобрались как можно применять наши представления об операциях над множествами при решении задач.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Фермер купил на рынке корову, козу, овцу и свинью за 1325 р. Коза, свинья и овца вместе стоят 425р, Корова, свинья и овца стоят 1225р. Коза и свинья вместе стоят 275 р. Сколько стоит каждое животное в отдельности?

Задача 2. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 р. А на 15 тетрадей ему не хватит 7р. Сколько денег было у школьника?

Задача 3. В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

Задача 4. В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?

Задача 5. В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано "МА", на остальных — "НЯ". Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово "МАМА" могут сложить из своих карточек 20 детей, слово "НЯНЯ" — 30 детей, а слово "МАНЯ" — 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?