Урок 36. Формулы половинного аргумента
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №36. Формулы половинного аргумента.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

2) Преобразовывать тригонометрические выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;

3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.

Глоссарий по теме

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла при помощи тригонометрических функций угла α.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.

Повторим формулу косинуса двойного аргумента .

А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:

и

Пример. а) Найти , если .

Вычислим по формуле

б) Найти , если .

Вычислим по формуле .

Запишем формулу косинуса двойного аргумента в виде и заменим х на . Тогда получим:, учтём, что

, получаем

(1) формула синуса половинного аргумента.

Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде

(2) формула косинуса половинного угла.

По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .

Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.

Например, .

Пример. Известно, что . Найдите ; ;

1) найдём по формуле: ; .

По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .

2) ; найдём по формуле ,

Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.

3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то

Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).

сократим на 2 , и учитывая, что , получим:

формула тангенса половинного аргумента (3).

Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то

Пример. Найти и , если известно, что и .

По формуле (3) находим , а Найдём положение угла

По условию ,( разделим на 2)

, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .

Выведем формулу, по которой можно найти через .

Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то

, разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(4)

Выведем формулу для через . Применим формулу косинуса двойного угла, где , , разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(5)

Пример. Найти , если .

По формуле (5) .

Если в формуле тангенса двойного угла представить , то получим ещё одну формулу, по которой тангенс угла можно найти через тангенс угла : tg=

С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.

Пример. Доказать тождество .

Представим , а , преобразуем левую часть тождества

, но , то

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Известно, что и . Найдите ; ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) cos 2)

в) tg 3)

г) ctg 4)3

5)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента.

№3.Вычислите

Ответ:12.

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№4. Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№5.Вычислите .

Ответ: 0,5.

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента.

№6. Известно, что. Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)-

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, определения тангенса и котангенса.

№7. Вычислите и установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) ; 1)

б) ; 2)

в) ; 3) 0,25

Ответ:

а

б

в

1

2

3

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где .

№8.Упростите выражения и установите соответствие между множествами выражений А и В:

А В

а); 1)

б); 2)

в) ; 3)

Ответ:

а

б

в

1

2

3

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса.

№9*. Упростите выражение .

Выберите правильный ответ:1)2)3)2.

Ответ:2)

Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .

№10*. Известно, что . Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№11*.Вычислите .

Ответ:1,5.

Подсказка: используйте формулы синуса двойного угла, где ; квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество.

№12*.Известно, что , Найти ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.

№13*.Вычислите. Установите соответствие между множествами значений А и В:

А В

а) 1)

б) ; 2)

в) 3)

г) ; 4)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса и котангенса.

№14*.Решите уравнения и выберите верный ответ:

1); 2);3)

Ответ: 2)

Подсказка: используйте формулу половинного аргумента, разделив предварительно обе части уравнения на 2.

Проверочная работа:

№1.

а) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)2

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

б) Известно, что , ,

Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:

А В

а) ; 1)

б) cos; 2)

в) ; 3)

г) ; 4)

5)

Ответ:

а

б

в

г

1

2

3

4

Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.

№2.Вычислите: а); б)

Ответ: а) 5; б) 6

Подсказка: используйте формулу тангенса двойного угла, где .

№3.

а)Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

б) Упростите выражение:

Выберите верный ответ:1)

Ответ: 1)

Подсказка: используйте определение тангенса и котангенса, основное тригонометрическое тождество, формулу синуса и косинуса двойного угла, где .