Расстояние между фигурами.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с понятием расстояния, формализовав и обосновав интуитивное представление, полученное ранее.

Здравствуйте!

В курсе геометрии мы достаточно свободно оперировали понятием расстояния между фигурами и даже смело утверждали, что расстоянием между данными фигурами является та или иная величина. Давайте попробуем поговорить об этом более подробно.

Под расстоянием между фигурами в планиметрии понимают наименьшее из расстояний между точками данных фигур.

Давайте попробуем теперь понять, чем тогда являются или не являются те или иные расстояния.

Например, расстояние между точками, как известно, длина их соединяющего отрезка. Давайте докажем, что ломаная нам не подойдет: Рассмотрим две точки, отрезок прямой их соединяющий и ломаную, также их соединяющую. Заметим, что мы можем выбрать какие-то два последовательных звена ломаной (например, первые два) и заменить их на отрезок, соединяющий начало первого звена с концом второго. По неравенству треугольников в ходе данной замены длина ломаной уменьшилась. Будем повторять это действие, пока ломаная не останется двузвенной. Заметим, что тогда всё равно два звена больше третьего отрезка, и таким образом получается, что отрезок прямой короче всего.

Разумеется, это не доказывает, что расстояние между точками - это именно отрезок прямой, только лишь то что из всех ломанных именно он, но пока что мы по строгости мы на этом остановимся и попробуем рассмотреть другую пару фигур.

Давайте посмотрим на прямую и точку – расстояние от точки до прямой – длина отрезка перпендикуляра, потому как для любой наклонной получится что так как гипотенуза больше катета, то и наклонная длиннее чем отрезок перпендикуляра. Таким образом это и правда расстояние!

А что если расстояние между точкой и отрезком? Тут всё сложнее. Если перпендикуляр падает на отрезок – то всё так же как в прямой… а если не падает? Тогда, наверное, это отрезок соединяющий ближайший из концов отрезка с нашей точкой. Докажем это легко, исходя из того, что сторона напротив тупого угла меньше других сторон.

Ну а если отрезок был без самой правой точки? Такой вот, не вполне закрытый отрезок, не включивший в себя границу? Тогда к сожалению расстояние между данными фигурами не существует, потому как для любой точки мы найдем какую-то ещё более близкую точку… что очень грустно.

А теперь давайте рассмотрим две прямые: если они пересекаются, то все понятно и расстояние равно нулю. А если нет? Тогда понятно, что для какой-то точки прямой расстояние до второй – длина отрезка перпендикуляра. Но почему для всех точек расстояние одно и то же? Давайте возьмем две произвольные точки одной из прямых и рассмотрим, расстояние от них до второй прямой. Если мы проведем диагональ получившегося четырехугольника, то у нас получатся равные треугольники, ибо прямые попарно параллельны, а тогда по второму признаку треугольники равны.

Чудесно, а что скажем точка и окружность? Понятно, что наименьшее расстояние до центра - это отрезок прямой, но тогда расстояние до окружности это оно минус радиус, ибо иначе так как вычитаем мы всегда один и тот же радиус, расстояние будет больше.

Прямая и окружность по аналогичным причинам имеет расстояние равное отрезку перпендикуляра из центра минус радиус.

Итак, сегодня мы с вами обсудили основные расстояния между фигурами на плоскости, которыми мы на данный момент пользовались.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. В равнобедренном треугольнике ABC угол B 120o и AC=8. Найдите расстояние от точки C до прямой AB.

2. Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 277, № 280

Рекомендуемые тесты:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия: № 20а, № 20б, « 27