Описанная, вписанная и вневписанная окружности треугольника
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с основными окружностями, связанными с треугольником.

Здравствуйте!

Когда-то мы с вами говорили о том, что в треугольнике биссектрисы и серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, а также что очень похоже себя ведут биссектриса угла треугольника и двух внешних углов треугольника. Давайте обсудим это с точки зрения окружностей.

Мы знаем, что три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, тем самым в силу понятия о серединном перпендикуляре как о ГМТ плоскости, существует точка, равноудаленная от вершин треугольника. Если мы построим окружность с центром в этой точке, и радиусом равным расстоянию до вершины, то эта окружность пройдет через все три вершины треугольника.

Определение

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной окружностью около данного треугольника.

Замечания

1. Если она проходит через все вершины многоугольника, то она называется описанной около данного многоугольника. Правда существует она не всегда, а только когда все серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.

2. Такая окружность единственна в силу единственности центра, а тем самым и радиуса.

Мы знаем, что три биссектрисы треугольника, пересекаются в одной точке, тем самым в силу понятия о биссектрисе как о ГМТ плоскости, существует точка, равноудаленная от сторон треугольника. Если мы построим окружность с центром в этой точке, и радиусом равным расстоянию до стороны, то эта окружность будет касаться всех трёх сторон треугольника.

Определение

Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника, называется вписанной в данный треугольник окружностью.

Замечания

1. Если она касается всех сторон многоугольника, то она называется вписанной в данный многоугольник окружностью. Правда существует она не всегда, а только когда все биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

2. Такая окружность единственна в силу единственности центра, а тем самым и радиуса.

Мы знаем, что биссектриса угла треугольника и две биссектрисы внешних его углов пересекаются в одной точке, тем самым в силу понятия о биссектрисе как о ГМТ плоскости, существует точка, равноудаленная от прямых содержащих стороны треугольника. Если мы построим окружность с центром в этой точке, и радиусом равным расстоянию до стороны, то эта окружность будет касаться всех трёх прямых, содержащих стороны треугольника.

Определение

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других сторон, называется вневписанной в данный треугольник окружностью.

Название становится понятным, если нарисовать три прямые содержащие стороны: всего четыре области имеют однозначно определенную вписанную окружность, одна внутри треугольника и три вне его.

Замечание

Таких окружностей три в силу единственности центра, а тем самым и радиуса, но произвольности выбора стороны касания.

Итак, сегодня мы с вами разобрались со взаимным расположением прямой и окружности.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия: 22а, 22б, 22в,

Рекомендуемые тесты:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия: 23а, 23б, 23в