Прямоугольная система координат.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: получить представление о системе координат, её применении и основных объектах, связанных с ней. Узнать о способе записи координат любой точки плоскости.

Всем привет!

Некоторые вещи вокруг нас настолько естественны, что мы их не замечаем, не правда ли? Мы не видим кислород, но если его убрать, долго не протянем. Вот пример из математики: запись цифр. Трудно себе представить, но когда-то цифр не было! Представляете, как тяжело было, например, указывать цены или отмечать время. А как насчёт прямоугольной системы координат? Думаю, большинство из вас скажет, что уж без этого как-то живём и не имеем проблем, не так ли?

А вот и нет. Допустим, мы пришли в кинотеатр, где всего 400 мест, и все места пронумерованы от 1 до 400. У нас 284 место. Как его найти? Проблема… Нет, найдём, конечно, но попотеем изрядно, правда? А как насчёт сектора на стадионе, где таких мест – десятки тысяч?

Или такой вопрос. Допустим, у вас есть карта мира, и вы хотите помочь другу из другой страны найти город Краснодар, о котором тот никогда не слышал. Что вы сделаете? Правильно, можно просто указать координаты – широту и долготу. Тогда друг легко найдёт город. А если бы была просто карта? Да, есть слова левее-правее или выше-ниже, но объяснить с их помощью куда сложнее.

А ведь этого всего могло не быть, если бы не замечательный учёный Рене Декарт! Именно он впервые высказал идею, что любые плоские данные можно поместить на координатную плоскость. Но позвольте, мы же на математике, давайте дадим определения вводимых понятий.

Система, состоящая из двух перпендикулярных прямых с заданными на них направлениями, и их точки пересечения, а также единичными отрезками на каждой из прямых, называется прямоугольной системой координат. При этом прямые называют координатными осями, а точку пересечения – началом координат.

Выглядит это примерно так.

Направления, как вы видите, отмечают стрелками. Принято направлять оси вправо и вверх, но это не обязательное требование, как и обозначение начала координат через О. У осей есть специальные названия: горизонтальная называется осью абсцисс, а вертикальная – осью ординат.

Зачем это надо? А затем, что теперь каждая точка плоскости может быть задана с помощью этой системы. Вот как это делается. Предположим, что есть некоторая точка А, и нам нужно её описать. Допустим, что в начале координат сидит улитка, которая умеет ползать только вправо-влево или вверх-вниз, но не по диагонали. Как этой улитке попасть в А? Сначала пусть она проползёт по горизонтальной оси. Да, разумеется, ей надо проползти три шага. В этом случае будем говорить, что абсциссой или первой координатой точки А будет число 3. А теперь улитка ползёт вверх – два шага. Тогда логично считать ординатой или второй координатой точки А число 2. Как видите, всё аналогично координатам на прямой с той лишь разницей, что теперь координат стало две.

Записывается это так: А (3;2). Обязательно пишите между координатами точку с запятой, а не запятую, если написать запятую, то будет похоже на десятичную дробь!

Окей, а если посложнее? Возьмём точку В симметрично А относительно оси ординат. Все помнят урок про симметрию? Да-да, это здесь. Какие тогда будут координаты? Вроде, улитка тоже ползёт сначала на три клетки, потом – на две. Но теперь три не вправо, по направлению стрелки, а влево! Так что как и на числовой прямой, просто приписываем минус. Получаем В (–3;2). Аналогично, если взять точку С, центрально-симметричную А относительно начала координат, то улитка ползёт влево и вниз. Влево – берём с минусом первую координату. Вниз – берём с минусом и вторую. Получаем С (–3;–2).

Разумеется, это работает и наоборот. Давайте найдём точку Р, координаты которой (1;–3). Сначала улитка ползёт на 1 вправо, затем на 3 вниз. Получили точку Р! И точно так же работает кинотеатр. Если у меня билет в 9 ряд на 11 место, то я как улитка сначала поднимаюсь на 9 ряд, а затем продвигаюсь на 11 место. Так что можно сказать, что координаты моего места (9;11). И с картой так же, только там нет минусов, вместо этого используют северную или южную широты (северная для положительных координат, южную – для отрицательных), и западную-восточную долготы.

Словом, спасибо тебе, Декарт!

До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Найти координаты точки, симметричной точке А (4;–7) относительно оси ординат. Ответ: (4; 7).

2. Найти координаты точки, симметричной точке В (3;3) относительно начала координат. Ответ: (–3; –3).

3. Отметить на координатной плоскости все точки, обе координаты которых по модулю не превосходят единицы. Ответ: (0;0), (0;1), (0;–1), (1;0), (1;–1), (1;1), (–1;0), (–1;1), (–1;–1).

Рекомендуемые тесты:

1. Найти координаты точки, симметричной точке А (4;–7) относительно оси абсцисс. Ответ: (–4;–7)

2. Найти координаты точки, симметричной точке В (–3;3) относительно начала координат. Ответ: (3;–3).

Отметить на координатной плоскости все точки, сумма модулей координат которых не превосходит двух. Ответ: (0;0), (0;1), (0;–1), (1;0), (1;–1), (1;1), (–1;0), (–1;1), (–1;–1), (2;0), (0;2), (–2;0), (0;–2).