Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. Часть 2 (разбор задач).
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: расширить представления учащихся о сложении; рассмотреть сложение с отрицательными числами, как сложение с числами, противоположным слагаемым.

Здравствуйте!
Посмотрим, как можно играть в игру «кубики», используя положительные и отрицательные числа.

Лена
Вадим Николаевич

12 (+5)
7 (-5)

5 (-3)
8 (+3)

7 (+0)
7 (+0)

Итого: =+2
Итого: =-2

Итого: в данной игре выиграла Лена, поскольку у неё два очка «в плюсе».

Пример 1.

Попробуем складывать уже теперь три числа:

-7,2+(-3,5)+10,63=-10,7+10,63=-(10,7-10,63)=-0,07;

(-11 4/9)+3 5/12+7 7/18 = (-11 4/9) + (3 + 7 + (15 + 14)/36) = (-11 4/9) + 10 29/36 = - (11 4/9 – 10 29/36) = - (10 – 10 + 16+36-29) = - ((52-29)/36) = -23/36.

Пример 2.

Сравним значение выражений, не вычисляя их самих.

1
3,87+(-2,63)
5,29+(-1,79)
(Разность модулей справа больше, чем слева)

2
-7,35+(-1,8)

-7,35+2,3

(Справа мы прибавляем положительное, а слева – отрицательное)

3
3 8/11 + (-5 4/9)
1 2/9 + 10/11
(Ясно, что слева получается положительное, а справа – отрицательно)

4
(-5,68)+1,95
2,63+ (-11,1)
(По модулю отрицательное число справа больше, чем отрицательное число слева)

Таким образом, мы можем сравнить все пары:

3,87+(-2,63) < 5,29+(-1,79)

-7,35+(-1,8) < -7,35+2,3

3 8/11 + (-5 4/9) < 1 2/9 + 10/11

(-5,68)+1,95 > 2,63+ (-11,1)

Пример 3.

Выполним вычисления:

3,8-6,4 = 3,8+(-6,4) = -(6,4-3,8)=-2,6

(-7,2)-2,8=-7,2+(-2,8) = -10

(-3 2/15) – (-5 7/18) = -3 2/15 + 5 7/15 = 5 7/18 – 3 2/15 = 2 23/90

-5,3-(-5,3) = 0

0-7,1 = 0+(-7,1) = -7,1

0 – (-7 10/11) = 0 + 7 10/11 = 7 10/11

Продолжаем эксперименты. Теперь из числа вычитаем сумму двух чисел: 12 – (3+15) = 12-18=-6.
Однако, можно рассуждать и по-другому: 12 – (3+15) = (12- 3)-15=9-15=-6;
Либо: 12-(3+15)=(12-15)-3=-3-3=-6;

Приведённая ситуация очень похожа на школьный буфет: вне зависимости от того, что вы купите первым, а что вторым из булочки и чая, карманных денег останется ровно столько, сколько было изначально минус стоимость булочки и минус стоимость чая.

Подведём итог и запишем обнаруженное свойство в буквенной форме.
a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b.

Другими словами, если из числа предлагается вычесть сумму двух чисел, то можно вначале вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем второе.

Проверим на конкретных примерах другое свойство: если из числа вычитать разность двух чисел, то можно вначале вычесть уменьшаемое, а затем прибавить вычитаемое.
a-(b-c)=(a-b)+c.

Пример 4.

23-(16-5) = (23-16)+5=7+5=12.

Проверим ещё одно свойство: a+b-c=a-c+b при а=0.

Заметим, что в таком случае у нас получится: 0+b-c = -c+b.

Как будто мы переставили b и с местами. Очень похоже на переместительный закон сложения. А на самом деле, мы просто разность двух чисел заменили их суммой.

Другими словами, для того, чтобы из b вычесть с (из уменьшаемого вычесть вычитаемое) есть не что иное, как к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому. И это верно для любых чисел b и c.

На досуге предлагается провести эксперименты и с другими свойствами, касающимися сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел (вместо буквы а подставим число 0):

a – (b-c) = (a-b)+c

-(b-c)=-b+c

a-(b+c)=(a-b)-c=(a-c)-b

-(b+c)=-c-b

Подведём итог: сегодня мы разобрали, что сложение с торицательным числом, есть не что иное как сложение с числом, противоположным отрицательному слагаемом. Это знание в дальнейшем нам очень пригодится при вычислениях значений выражений.