Решение простейших систем неравенств
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать решение неравенства, понятие системы неравенств, разработать с учащимися варианты решения различных систем неравенств, методы нанесения числовых множеств в зависимости от заданных в системе неравенств, а также использовать эти методы при решении несложных задач, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, интерес к изучению математике.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы поговорим о том, как решить систему неравенств с одной переменной. Мы уже умеем решать неравенства, наносить на числовую прямую решение неравенства, записывать числовые промежутки, соответствующие неравенству, всё это нам пригодится сегодня.

Рассмотрим систему неравенств:

Мы понимаем, что делать с каждым неравенством отдельно, и мы понимаем, что система – это нахождение общего решения для всех заданных неравенств. То есть решение одного и второго неравенства вместе. Значит, мы понимаем и то, что такое решение системы неравенств.

Решением системы неравенств являются такие значения х, при котором каждое неравенство обращается в верное числовое неравенство. Множеством решений системы неравенств будет пересечение множеств решений каждого неравенства в этой системе.

Получается, чтобы решить систему неравенств, надо сначала решить каждое неравенство отдельно, а потом найти пересечение множеств решений неравенств.

Это и будет план наших действий:

1. Решить первое неравенство;

2. Решить второе неравенство;

3. Найти пересечение множеств решений неравенств.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (7; +∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (–∞;10). Пересечением двух лучей является интервал (7;10) – это и есть решение системы неравенств.

Пример 2.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (17;+∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (20;+∞). Найдём пересечение двух лучей, их общую часть, общие точки – это луч (20;+∞) – это и есть решение системы данных неравенств.

Пример 3.

Решением первого неравенства является открытый числовой луч (4;+∞). Решением второго неравенства является открытый числовой луч (–∞;2). Найдём пересечение двух лучей, его нет, нет общих точек, пустое множество. Решений у данной системы нет. Напоминаю, что записывается знак пустого множества ∅ и обозначает, что в этом множестве нет ни одного элемента.

Пример 4.

Решением первого неравенства является числовой луч [11;+∞). Решением второго неравенства является числовой луч (–∞;11]. Найдём пересечение двух лучей – это единственная точка с координатой 11, она подходит и в одно и в другое неравенство, больше таких точек нет. Решением системы в данном случае является одно число = 11.

А было бы решение, если любое неравенство было бы строгое? Нет, тогда бы 11 не подходило в него в качестве решения и, значит, пересечений бы не было.

Все остальные системы, которые мы будем рассматривать, необходимо будет сначала преобразовать, то есть привести неравенство к виду x < a или x > a , или в случае с нестрогим неравенством к виду x ≤ a или x ≥ a.

Рассмотрим пример.

Пример 5.

Для преобразований неравенства вспомним свойства, которые мы доказали и значит можем использовать в своей работе.

Свойство сложения.

Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства даёт верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a < b, то для любого числа c справедливо неравенство a + c < b + c.

Свойство умножения.

Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство.

Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство a < b и c – положительное число, то a · c < b · c, а если c – отрицательное число, то a · c > b · c.

Решим первое неравенство системы: чтобы уничтожить 4, надо отнять от обеих частей 4, поступим таким образом:

2x + 4 ≤ 20

2x + 4 – 4 ≤ 20 – 4

2x ≤ 16

Чтобы получить х, надо разделить обе части неравенства на 2, разделим:

2x : 2 ≤ 16 : 2

x ≤ 8

Первое неравенство решено, решением будет числовой луч (–∞; 8].

Решим подобным образом второе неравенство системы:

3x – 1 ≥ 11

3x – 1 + 1 ≥ 11 + 1

3x ≥ 12

3x : 3 ≥ 12 : 3

x ≥ 4

Решением второго неравенства является луч [4;+∞).

Найдём пересечение множества решений неравенств.

Получаем отрезок [4;8].

Решение системы двух неравенств получился отрезок [4;8].

Пример 6.

Часто система неравенств получается при решении двойного неравенства.

–3 < x < –1

Запишем двойное неравенство с помощью знака системы, мы уже говорили об этом несколько уроков назад.

Дальнейшее решение не составляет труда. Находим пересечение, получаем интервал (–3;–1).

Давайте обобщим всё услышанное и сделанное сегодня.

Решением системы неравенств являются такие значения х, при котором каждое неравенство обращается в верное числовое неравенство. Множеством решений системы неравенств будет пересечение множеств решений каждого неравенства в этой системе.

Алгоритм решения системы неравенств:

1. Решить первое неравенство;

2. Решить второе неравенство;

3. Найти пересечение множеств решений неравенств.

Мы увидели, что решением системы может быть интервал, отрезок или полуинтервал, то есть ограниченное количество чисел, может быть луч, то есть бесконечное количество решений и может не быть решений. Всё возможно.

Перед тем как закончить урок давайте подумаем, а может ли нам умение решать системы неравенств помочь решать задачи?

Представьте себе: вы едете на дачу сначала по городу, по хорошей дороге, а потом по просёлочной дороге. Так вот известно, что по городу за 3 часа автомобиль проезжает больше 240 км, а вот по просёлку за 6 часов – не более 600 км. В каких границах может изменяться скорость автомобиля?

Надо найти скорость – х км/ч. Такую, чтобы оба условия были выполнены, то есть найти общее решение этих условий. Нашими словами – надо решить систему неравенств. Запишем оба условия в виде неравенств:

3x > 240

6x ≤ 600

Запишем их в систему, так как они должны выполняться вместе:

Решаем систему известными нам способами, сначала каждое неравенство, потом найдём общее решение:

То есть скорость автомобиля может меняться от 80 до 100 км/ч. Нам помогло умение решать систему неравенств.

Надеюсь, во время практикума у вас не возникнет больших сомнений и вопросов, удачи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Запишите систему неравенств для числового промежутка, изображённого на координатной прямой:

2. Решите систему неравенств:

3. Выберите из чисел 1, 3, 5, 10, 12 , 15 только те, которые являются решением системы: