Построение треугольников. Часть 1
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: продемонстрировать учащимся возможность построения треугольников по любому набору базовых элементов, фигурирующему в признаках равенства треугольников, а так же алгоритмы, с помощью которых эти построения выполняются.

Здравствуйте! Сегодня мы рассмотрим базовые виды построения треугольников, связанные с признаками равенства:

· По 3-м сторонам,

· по 2-м сторонам и углу между ними

· по стороне и 2-м углам

Построение по 3-м сторонам.

Задача: Даны отрезки длиной а, в и с.

Построить треугольник АВС, где АВ=с; АС=в; ВС=а.

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник построен.

Понятно, что одну из сторон, например ВС, можно строить на любой прямой.

Остаётся найти точку А.

Поскольку она удалена от В на расстояние с и от С на расстояние в – достаточно пересечь 2 окружности с соответствующими радиусами. Можно строить.

Построение

1. Строим произвольную прямую, отмечаем на ней точку В и раствором циркуля, равным а, строим точку С

2. Строим окружности с центрами В и С и радиусами с и в соответственно. Обозначаем точку их пересечения буквой А.

3. Строим отрезки АВ и АС.

Доказательство.

В треугольнике АВС ВС=а по построению (п.1); АВ=с и АС=в по построению (п.2), значит задача решена верно.

Исследование.

Очевидно, что в п.2 окружности могли не пересекаться или касаться. Задача имеет решение только в том случае, если для исходных отрезков выполняется неравенство треугольника.

Задача имеет единственное решение по 3-му признаку равенства треугольников.

Построение по 2-м сторонам и углу между ними.

Задача: Даны отрезки длиной а, в и угол гамма.

Построить треугольник АВС, где ВС=а; АС=в; угол ВСА=гамма.

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник построен.

Понятно, что одну из сторон, например ВС, можно строить на любой прямой.

Остаётся найти точку А.

Поскольку она удалена от С на расстояние в; угол ВСА дан – достаточно построить луч СА под соответствующим углом и отложить на нём отрезок длиной в. Можно строить.

Построение

1. Строим произвольную прямую, отмечаем на ней точку В и раствором циркуля, равным а, строим точку С

2. От точки С откладываем угол гамма (считаем, что мы уже умеем откладывать данный угол от данной прямой через равные треугольники) и проводим луч СЕ так, что угол ВСЕ равен гамма.

3. На луче СЕ раствором циркуля, равным в, строим точку А.

4. Строим отрезок АВ.

Доказательство.

В треугольнике АВС ВС=а по построению (п.1); угол АСВ равен гамма по построению (п2) и АВ=с по построению (п.3), значит задача решена верно.

Исследование.

Задача всегда имеет решение. Это решение – единственное по 1-му признаку равенства треугольников.

Построение по стороне и 2-м углам.

Задача: Дан отрезок длиной а и углы бета и гамма.

Построить треугольник АВС, где ВС=а, угол ВСА=гамма, угол АВС=бета.

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник построен.

Понятно, что ВС можно строить на любой прямой.

Остаётся найти точку А.

Если от точек В и С отложить углы вета и гамма соответственно, то лучи пересекутся в точке А. Можно строить.

Построение

1. Строим произвольную прямую, отмечаем на ней точку В и раствором циркуля, равным а, строим точку С

2. От точки В откладываем угол бета и проводим луч ВК так, что угол КВС равен бета.

3. От точки С откладываем угол гамма и проводим луч СЕ так, что угол ВСЕ равен гамма.

4. Точку пересечения лучей ВК и СЕ обозначаем буквой А.

Доказательство.

В треугольнике АВС ВС=а по построению (п.1); угол АВС равен бета по построению (п2) и угол АСВ равен гамма по построению (п3), значит задача решена верно.

Исследование.

Очевидно, что в п.4 лучи могли не пересечься. Задача имеет решение только в том случае, если сумма двух данных углов меньше 180 градусов.

Задача имеет единственное решение по 2-му признаку равенства треугольников.

Подведём итоги.

Мы научились треугольники по любому набору базовых элементов, фигурирующему в признаках равенства треугольников.

Понятно, что если бы в 3-ем примере были даны не прилегающие к стороне углы, 3-ий угол можно было построить как дополнение суммы двух данных до 180 градусов.

1. Рекомендуемые тренажеры

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 291а, № 291б, № 291в

2. Рекомендуемые тесты

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 291г, № 292а, № 292б