Первый признак равенства треугольников
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: вспомнить понятие равенства фигур и доказать первый признак равенства треугольников, проиллюстрировав его полезность следствиями.

Здравствуйте! Давайте поставим на плоскости три точки, соединим их отрезками и рассмотрим получившуюся фигуру как часть плоскости, ограниченную описанным образом. Более строго можно сказать, что мы рассмотрим часть плоскости, ограниченную замкнутой трёхзвенной ломаной линией.

Данная фигура называется треугольником. Выбранные точки называют вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника.

Среди всех треугольников часто выделяют:

1. Равнобедренные – у которых длины двух сторон равны между собой (равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием)

2. Равносторонние – у которых длины всех сторон равны между собой (является также равнобедренным)

3. Прямоугольные – у которых есть угол, мера которого равна 90о (сторона напротив 90о гипотенуза, остальные – катеты)

4. Остроугольные – у которых все углы острые

5. Тупоугольные – у которых есть тупой угол

Более того, в треугольниках различают три вида отрезков, кроме сторон:

1. Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середины у противоположной стороны

2. Биссектриса – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий углы треугольника на два равных угла

3. Высота – отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную его сторону

В целом, отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на его противоположной стороне, называется медианой.

Кроме этого, давайте вспомним, что фигуры называются равными, если существует какое-то движение, при котором одна фигура совпадает с другой.

Тем не менее, таким определением равенства фигур далеко не всегда удобно пользоваться, и полезно будет сформулировать и доказать более применимые признаки равенства. В частности, треугольников.

Заметим, что признаком называется утверждение следующего вида: если объект обладает некоторым свойством, то он принадлежит некоторому классу объектов.

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1. Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся, соответственно, на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС – со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Давайте немедленно попробуем убедиться, насколько полезно данное утверждение.

Следствия:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Проведём биссектрису равнобедренного треугольника. Она разобьёт его на два равных треугольника, так как боковые стороны равнобедренного треугольника равны, биссектриса общая и она делит угол треугольника на равные углы. Тогда образовавшиеся треугольники равны по первому признаку и тогда их соответствующие элементы равны, а значит, равны углы при основании.

2. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

Воспользуемся наработками прошлого следствия: из равенства треугольников биссектриса оказалась ещё и медианой, а кроме этого два смежных угла оказались равны, а тогда они по 90о, и тем самым биссектриса оказалась ещё и высотой.

3. Если в прямоугольном треугольнике катеты попарно равны, то эти треугольники равны.

Непосредственно вытекает из теоремы

4,

1. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Пусть даны треугольники ABC и A1B1C1, причём углы С и С1 – прямые, BC = BC1, AB=A1B1. Так как они прямые, то нам удастся совместить их так, чтобы A, C, C1 лежали на одной прямой, причём в силу равенства, если BC и BC1 будут лежать в одной полуплоскости, то точки B и B1 совпадут. А тогда получается, что треугольник ABA1 равнобедренный, BС1 его высота и биссектриса, таким образом, исходные треугольники равны по первому признаку.

Мы с вами сегодня доказали один из мощнейших инструментов для дальнейшей работы, который чрезвычайно обогатит нас всевозможными фактами из всех разделов геометрии.

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые задачи:

1. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство:

Рекомендуемые тесты:

1. Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство: