Решение задач на простые и сложные проценты. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать представления обучающихся о процентах, формировать умение решать задачи на простые и сложные проценты, научить переводить реальные ситуации в соответствующие математические модели.

Добрый день, дорогие ребята!

На предыдущих уроках вы познакомились с формулами простых и сложных процентов. Узнали, как использовать эти формулы при решении задач на вклады, кредит, ипотеку. Сфера практического приложения процентных расчётов очень широка. Это и штрафы, и налоги, и повышение цен, зарплат, тарифов ЖКХ, рост стоимости акций, инфляция, банковские кредиты и т. п. Всё это требует от вас умения производить хотя бы несложные процентные расчёты, поэтому сегодня мы продолжим решать различные задачи на простые и сложные проценты.

Давайте вспомним, что если при вычислении процентов всё время исходят из начального значения величины, то речь идёт о простых процентах.

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге, исходят из величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов («процентов на проценты»).

Рассмотрим задачу:

Задача 1:

Уезжая в отпуск, жильцы забыли оплатить квартплату за июнь. Сколько нужно заплатить за квартиру, если квартплата составляет 3500 р., пеня – 0,1 % от суммы квартплаты за день просрочки и оплата просрочена на 60 дней?

Напомню, что «пеня» – это штраф за невнесение своевременной платы (от латинского poena – наказание).

Решение:

Давайте сначала найдём, сколько рублей составляет пеня за один день просрочки платежа, т. е. вычислим 0,1 % от 3500 р. Выразим 0,1 % десятичной дробью и умножим на 3500 р.:

Т. о. за один день просрочки нужно заплатить штраф 3,5 рубля. Жильцы опоздали с оплатой на 60 дней. Найдём общую сумму штрафа.

Т. о. нужно заплатить за квартиру .

Так как в задаче пеня вычисляется от одного и того же числа, а именно от квартплаты, то мы могли решить эту задачу, используя формулу простых процентов.

, где а – ежемесячная квартплата, p % – пеня, n – число просроченных дней, S – сумма, которую должны заплатить жильцы после n дней просрочки.

В задаче а = 3500 р., p = 0,1 %, n = 60.

Вы можете выбрать для решения удобный для вас способ.

Задача 2.

При комнатной температуре за день вода в среднем испаряется на 2 %. Сколько литров воды останется через 2 дня от 100 литров? А через 4 дня (ответ округлите до сотых)?

Решение:

Попробуем ответить на первый вопрос задачи, решая её по действиям.

Найдём, сколько испарится воды за первый день. Для этого вычислим 2 % от 100 л.

– испарилось за первый день.

Значит, осталось 100 - 2=98 (л) воды.

Найдём, сколько испарится воды за второй день. Вычислять 2 % будем уже от оставшегося количества воды, т. е. от 98л: .

Найдем количество оставшейся воды:

98 - 1,96 + 96,04 (л).

Т. о. через два дня от 100 л останется 96,04 л воды. Мы ответили на первый вопрос задачи.

Решение по действиям для ответа на второй вопрос задачи, очевидно, будет очень продолжительным и трудоёмким. Давайте попробуем воспользоваться подходящей формулой. По условию задачи 2 % мы вычисляем от количества воды, оставшейся в предыдущий день, т. е. речь идёт о вычислении сложных процентов, и мы можем воспользоваться формулой расчёта сложных процентов.

, где а – первоначальное количество воды, p % – процент испарения, n – число дней, S – количество воды, оставшееся после n дней испарения.

В задаче: а = 100 р., p = 2%, n = 4.

. Воспользуемся калькулятором для возведения 0,98 в 4 степень.

Ответ: 96,04 л, 92,24 л.

Давайте рассмотрим следующую задачу:

Задача 3.

Пешеход перешёл улицу в городе N. в неположенном месте, и милиционер наложил штраф в 500 р. За каждый просроченный день будут начисляться дополнительно 1 % от суммы штрафа. Сколько придётся заплатить пешеходу, если он просрочит уплату на 10 дней?

Решение:

По условию задачи за каждый просроченный день начисляется 1 % от суммы штрафа, т. е. речь идёт о вычислении простых процентов, и мы можем воспользоваться формулой

, где а – сумма штрафа, p % – пеня, n – число просроченных дней, S – сумма, которую должен заплатить пешеход после десятидневной задержки.

В задаче: а = 500 р., p = 1 %, n = 10.

Конечно, вы могли решить эту задачу без использования формулы простых процентов. Для этого достаточно было вычислить 1 % от 500 р. и умножить на количество дней, т. е. на 10.

Ответ: 550 рублей.

В заключение давайте рассмотрим ещё одну задачу.

Задача 4.

Родители Васи решили положить 100 000 рублей в банк под проценты. Банк начисляет 6 % годовых. Какая сумма будет на счёте родителей Васи через три года: а) при начислении банком простых процентов; б) при начислении банком сложных процентов?

а) При простом процентном росте через три года сумма составит

.

Действительно, подставим в формулу простых процентов вместо а –100 000 р., вместо p % – 6 %, вместо n – 3.

Т. о. при начислении банком простых процентов через три года на счёте будет 118 000 рублей.

Б) Вычислим, сколько денег на счёте будет при сложном процентном росте. Воспользуемся формулой сложных процентов:

.

Т. о. при начислении банком сложных процентов через три года на счёте будет 119 101,6 рубля.

Ответ: а) 118 000 р.; б) 119 101,6 р.

Из последней задачи хорошо видно, что при начислении процентов разными способами получается достаточно значительная разница. Поэтому, желая внести деньги в банк или, наоборот, взять кредит, необходимо внимательно знакомиться с условиями начисления процентов. И судить об этом надо не только по рекламе, которая часто бывает расплывчатой, неточной, но и по тексту договора, который нужно внимательно изучить, и даже уметь самому сосчитать.

Давайте подводить итоги урока:

Сегодня на уроке вы смогли убедиться, что формулы простых и сложных процентов применимы не только к задачам о росте вклада, кредитам, но и к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов. При уменьшении величины на определённое число процентов, в формулах вместо знака «плюс» появляется «знак минус». На следующих уроках мы продолжим решать задачи, связанные с процентами, а сейчас я советую вам попробовать потренироваться в самостоятельном решении задач на простой и сложный процентный рост.

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.) Глава 4, § 4.8, № 867, 869 (а), 870 (а) (или аналог).

Рекомендуемые тесты:

1. Банк выплачивает вкладчикам ежедневно 0,008 % от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 5000 р. Какая сумма будет на его счёте через 1 год (365 дней)?

А

7920 р.

Б

5146 р.

В

5292 р.

Г

6460 р.

2. При какой месячной процентной ставке вклад на сумму 1000 рублей увеличится за год до 1060 рублей?

А

5 %

Б

0,5 %

В

6 %

Г

0,6 %

3. Начальный вклад клиента банка составил 25 000 р. Годовая процентная ставка банка 8 %. Каким станет вклад через 2 года, если банк начисляет сложные проценты?

А

29 000 р.

Б

29 160 р.

Проверьте себя: 1 – Б; 2 – Б; 3 – Б.