Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением вычитания, как алгебраического сложения. Часть 1 (теория)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: расширить представления учащихся о сочетательном и переместительном законах сложения применимо к множеству рациональных чисел, отработать навыки, связанные с вычислением алгебраических сумм различных рациональных чисел.

Здравствуйте!

Мы уже знаем, что для положительных чисел работает два закона сложения:

Переместительный: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Сочетательный: при сложении трёх чисел их можно группировать по-разному: сложить два числа и прибавить третье или к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Оказывается, что эти законы сложения верны и для рациональных чисел, к которым мы относим целые положительные, целые отрицательные, 0, дробные положительные и дробные отрицательные.

Действительно, при сложении двух рациональных чисел необходимо сложить модули слагаемых или вычесть из большего модуля меньший.

Кроме того, знак самой суммы определяется тем, одинаковые или разные знаки имеют слагаемые, что тоже не зависит от порядка слагаемых.
Все эти рассуждения и объясняют, что законы, верные для положительных чисел, верны так же и для рациональных.

Пример.

-7 1/3 + (-2 1/3) + (-1 1/3) = -7 1/3 + (-4) = -11 1/3.

Проверим, верно ли равенство: -4,83+18+(-2,17)=11.

Как можно проверить равенство? В данном случае мы просто вычислим значение левой части и сравним её с правой.
-4,83+(-2,17)=-7
-7+18=11ю Значит, исходное равенство верно.

Рассмотрим таблицу и найдём значение выражения a+b+c при заданных в таблице значениях:

a

b

c

a+b+c

-3,89

-11,2

4,89

-3,89+4,89=1; 1-11,2=-10,2

18 4/39

-4 1/3

-5 2/3

-4 1/3+ (-5 2/3)=-10; -10+18 4/39=8 4/39

-6,25

14 3/11

-3,75

-6,25-3,75=-10; -10+14 3/11=4 3/11

Рассмотрим пример, в котором будут применяться и сочетательный, и переместительный законы сложения.
-101-99-97-…+95+97.
Давайте заметим, что в этой сумму оказываются пары противоположных чисел. Сгруппируем их по парам и воспользуемся тем, что их сумма равна 0:
(-97-95-…+95+97)=0, поскольку все числа в этой сумме разбились на пары, в сумме дающие 0.
«невостребованными» в нашем случае остались лишь два числа: -101-99=-200.
Значит, ответ в примере: -200.

Рассмотрим пример ещё одной трудной задачи: 1+2-3-4+5+6-7-8+..+301+302.
Что же будет в нашей сумме после числа -8? Будет +9+10. Так у нас образовывается сумма: два подряд идущих числа со знаком «плюс», затем два подряд идущих числа со знаком «минус».
Заметим, что и в этой задаче можно придумать некоторую группировку слагаемых, которая бы ускорила процесс вычислений:
2-3-4+5=0, это и есть ключ к решению задачи!
Так же произойдёт и в следующей группе слагаемых: 6-7-8+9=0, воспользуемся этим.
1+2-3-4+5+6-7-8+…+301+302=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(298-299-300+301)+302=1+0+0+..0+302=303.
Ответ: 303.
Теперь попробуем рационализировать вычисления в других примерах.
Пример.

12+15+(-29)+(-81)+110=27+(-110)+110=27

415+(-2,3)+2,3+(-146)+4,03+(-354)=415+(-500)+4,03=419,03+(-500)=-(500-419,03)=-80,97.

3 2/9 + (-2 1/5) + (-3,3) + 4 7/9 + 12,2=3 2/9+4 7/9 + 12,2+ (-2,2)+(-3,3)=20,2+(-5,5)=20,2-5,5=14,7.

Подведём итог. Сегодня мы узнали, как законы сложения, изученные нами ранее, распространяются на множество рациональных чисел, а также применили обретённые знания на практике.