Нанесение числовых множеств на координатный луч.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: познакомить с видами числовых промежутков: луч, открытый луч, интервал, отрезок; научить изображать их на координатной прямой, записывать аналитическую модель, символическую запись; развивать математическую речь и мышление.

Здравствуйте, ребята!
Прежде чем перейти к новой теме, давайте вспомним:

Какая прямая называется координатной?

Как называются числа, которые на координатной прямой изображаются левее точки 0?

Как называются числа, которые на координатной прямой изображаются правее точки 0?

Что такое неравенство?

Какие неравенства называют строгими какие – нестрогими?

Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот.
Сейчас мы разберём все виды числовых промежутков, дадим им названия, введём обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют.
Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

- название числового промежутка

- отвечающее ему неравенство или двойное неравенство

- обозначение

- и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой

Любой числовой промежуток может быть задан любым из трёх последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причём по данному способу задания, например, по неравенству, с лёгкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).
Непосредственно перейдём к координатной прямой. Договорились обозначать её (–∞; + ∞) и показывать штриховкой.
(рисунок 1)

(Рисунок 1)

Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырёх сторон.

Начнём с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч.

Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида x < a или x > a, где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все действительные числа, которые меньше числа a (в случае неравенства x < a), или все действительные числа, которые больше числа a (в случае x > a).
Множество чисел, удовлетворяющих неравенству x < a, условились обозначать как (−∞; a), а удовлетворяющих неравенству x > a, как (a; +∞).

Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно.
Обратимся к координатной прямой. Известно, что между её точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего.
Исходя из этих соображений, неравенству x < a отвечают все точки координатной прямой, лежащие левее точки с координатой a, а неравенству x > a – точки, лежащие правее точки a. Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже, её изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:
(рисунок 2 и 3)

(Рисунок 2) (Рисунок 3)

Из приведённых чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a, но исключая саму точку a. Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.

Приведём несколько конкретных примеров открытых числовых лучей.
Пример 1. Строгое неравенство x > −8 задаёт открытый числовой луч. Его же задаёт запись (−8; +∞). А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −8, не включая саму эту точку.
(рисунок 4)

(Рисунок 4)

Пример 2. неравенство x < 7,5, как и запись (−∞; 7,5), задаёт открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой:
(рисунок 5)

(Рисунок 5)

Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам. В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.

Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x ≤ a или x ≥ a. Для них приняты обозначения (−∞; a] и [a; +∞) соответственно, квадратная скобка означают включение записанного рядом с ней числа в множество.
Для наглядности зададим конкретный числовой луч.
Пример 3. Неравенству x ≥ 11, как и записи [11; +∞), отвечает множество точек на числовой прямой, представляющее собой луч следующего вида
(рисунок 6)
(Рисунок 6)

Переходим к следующему числовому промежутку – интервалу. Интервалы задаются двойными неравенствами вида a < x < b, где a и b – некоторые действительные числа, причём a меньше b, а x – переменная. То есть, такой числовой промежуток как интервал представляет собой множество всех таких чисел, которые больше, чем a, но меньше, чем b.

Для таких интервалов принято обозначение (a; b), круглые скобки указывают на то, что ни число a, ни число b не включаются в множество. На координатной прямой интервал представляет собой отрезок прямой, заключённый между точками с координатами a и b, причём эти точки – концы отрезка – не включаются.
(рисунок 7)

(Рисунок 7)

Пример 4. Рассмотрим интервал: −10 < x < 8,5, что то же самое (−10 ; 8,5), и изобразим его на координатной прямой
(рисунок 8)

(Рисунок 8)

Числовой отрезок – следующий вид числового промежутка – отличается от только что рассмотренного интервала тем, что включает в себя граничные точки. Числовым отрезкам отвечают нестрогие двойные неравенства вида a ≤ x ≤ b. В обозначении используются квадратные скобки, в которых через запятую заключены числа a и b: [a; b]. А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:

(рисунок 9)
(Рисунок 9)

Пример 5.Рассмотрим числовой отрезок, который задаётся двойным неравенством –2 ≤ x ≤3. Его так же можно обозначить как [–2; 3], на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты –2 и 3.
(рисунок 10)

(Рисунок 10)

Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами. Они представляют собой, если так можно сказать, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a < x ≤ b или a ≤ х < b, которым соответствуют обозначения (a; b] и [a; b). Несложно представить и их геометрическую интерпретацию:

(рисунок 11 и 12)

(Рисунок 11) (Рисунок 12)

Пример 6. Полуинтервал (–1; 2] можно обозначить как –1 < x ≤ 2, а на числовой прямой он представлен отрезком с концами в точках с координатами –1 и 2, причём первую из них следует исключить.
(рисунок 12)

(Рисунок 13)

Итак, мы определили и описали следующие числовые промежутки:

- открытый числовой луч

- числовой луч

- интервал

- числовой отрезок

- полуинтервал

Для удобства сведём все данные о числовых промежутках в таблицу.
Занесём в неё название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой.
Получаем следующую таблицу числовых промежутков:

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Назовите промежуток, изображённый на рисунке

2. Изобразите промежуток на координатной прямой: (–2; 4]

3. По данной аналитической модели назовите соответствующий числовой промежуток x > 5

Рекомендуемые тесты:

1. Выберите целые числа, принадлежащие данному промежутку (–3; 2]

2. На координатной прямой отмечены точки a, b, с.

Сравните: b и –с; с и –а.