its5Q/resh-edu huggingface dataset:
Обращение смешанного числа в неправильную дробь и неправильной дроби в смешанное число
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: ввести понятия «правильные и неправильные дроби, смешанные числа ».

Предметные результаты: сформировать умение выделения неправильной дроби в смешанные числа.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Рассмотрим три одинаковых яблока.

То есть, мы можем записать, что

Таким образом, мы представили смешанное число в виде неправильной дроби.

Есть ли возможность переводить смешанное число в неправильную дробь быстро?

Чтобы представить 2¾ в виде неправильной дроби сделаем следующее:

Таким образом мы можем всякое смешанное число представить в виде обыкновенной дроби.

Теперь рассмотрим обратное действие.

Пусть мы получили неправильную дробь и хотим выделить из неё целую часть. Для того, чтобы это сделать, разделим число 11 на 4 с остатком:

Неполное частное будет целой частью, остаток будем записывать в числитель дроби, а знаменатель остаётся без изменений.

Пример:

1. Выделить целую часть в числе

Решение:

Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо числитель разделить на знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, а остаток – числителем дроби в этом смешанном числе.

Пример:

2. Представить число в виде неправильно дроби.

Решение:

Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби, необходимо целую часть умножить на знаменатель и, сложив с числителем, подставить полученную сумму в числитель новой дроби, знаменатель оставив без изменений.

Пример:

3. Представить число в виде неправильной дроби.

Решение:

Заметим, что сократить дробь можно сразу же:

Результат при этом получается одинаковым.

Если мы видим, что можно сократить дробь можно в самом начале, то следует это сделать, чтобы в дальнейшем избежать ошибок при преобразованиях.
Решение сложных текстовых задач на проценты
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи: усовершенствование навыков учащихся решать сложные текстовые задачи на проценты.

Здравствуйте! На самом деле, текстовые задачи на проценты решаются достаточно просто. Даже – сложные задачи. Необходимо лишь помнить, что проценты всегда берутся от объекта, указанного в родительном падеже.

Пример 1. Задача о концентрации.

Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные – 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение.

Если в свежих фруктах содержится 86 % воды, то собственно фрукта в них 100 – 86 = 14 %, а в высушенных – соответственно 100 – 23 = 77 %, т. е. в 77 : 14 = 5,5 раз больше.

Значит, свежих фруктов следует взять в 5,5 раз больше, а именно 5,5 ⋅ 72 = 396 кг.

Ответ: 396 кг.

Пример 2. Финансовая задача.

Виктор положил в банк некоторую сумму под 40 % годовых, и через 2 года у него на счету стало 37 828 рублей. Какую сумму Виктор положил в банк?

Решение.

Пусть Виктор положил в банк х рублей.

Тогда, в соответствии с условиями вклада, через год у него стало 1,4х рублей, а через 2 года – 1,4 ⋅ (1,4х) = 1,96х рублей.

1,96х = 37828, х=37828:1,96=19300.

Ответ: 19 300 рублей.

Пример 3. Задача о соотношениях.

В 3-х гаражах стоят 248 машин. При этом в 1-м их на 25 % меньше, чем во 2-м, в котором, в свою очередь, на 20 % больше, чем в 3-м. Сколько машин в каждом гараже?

Решение.

Обозначение неизвестных величин.

Пусть х машин находится в 3-м гараже.

Тогда 1,2х машин находится во 2-м гараже.

Соответственно, 0,75 ⋅ (1,2х) = 0,9х машин находится в 1-м гараже.

Составление и решение уравнения.

х + 1,2х + 0,9х = 248; 3,1х = 248; х = 80. Таким образом, в 3-м гараже стоит 80 машин.

Тогда во 2-м гараже стоит 1,2 ⋅ 80 = 96 машин, а в 1-м – 0,75 ⋅ 96 = 72 машины.

Проверка и ответ.

Если в 1-м гараже стоят 72 машины, во 2-м – 96, а в 3-м – 80, то 72 + 96 + 80 = 248 – истина.

В то же время 25% от 96 = 24; 96 – 24 = 72 – истина; 20 % от 80 = 16; 80 + 16 = 96 – истина.

Значит, задача решена верно.

Ответ: В 1-м гараже стоят 72 машины, во 2-м – 96 машин, а в 3-м – 80 машин.

Подведём итоги. Мы разобрали разные виды текстовых задач на проценты – задачу о концентрации, финансовую задачу и задачу о соотношениях. Задачи на проценты действительно решаются проще других, если, конечно, не ошибиться в том, от чего берутся проценты.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: № 148, (Ответ: 46 и 40 деталей), № 149, (Ответ: 60 000 рублей), № 200, (Ответ: увеличится на 72,8 %.)

Рекомендуемые тесты:

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: № 202, (Ответ: на 25 %), № 764, (Ответ: 600 и 800 т), № 1230, (Ответ: приблизительно 114 кг)
Сравнение десятичных дробей
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: умение сравнивать дроби и изображать их на числовой прямой.

Предметные результаты: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Сложение и вычитание десятичных дробей”.

Метапредметные и личностные результаты: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке с помощью решения различных задач, интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, способность к оценочным действиям, обобщению.

Рассмотрим сравнение десятичных дробей

Вначале вспомним, как сравниваются натуральные числа.

Пример:

1. Сравним 738 и 735. Сравнивая поразрядно, получаем, что 738 > 735.

Когда мы говорили о числовом луче, мы заметили, что на числовом луче то число больше, которое находится правее. На самом деле, это верно для всех чисел, расположенных на числовом луче. Не все из них нами изучены, однако будет действовать постепенно.

Пример:

2. Сравним 7,38 и 7,35.

Решение:

1) Сравним целые части, они равны;

2) Сравним цифры в разряде десятых, они также равны;

3) Сравним цифры в разряде сотых. Здесь 8 > 5, значит, 7,38 > 7,35.

Ответ: 7,38 > 7,35.

Пример:

3. Сравним 4,15 и 6,5.

Решение:

Изобразим координатный луч.

Видим, что точка А находится левее точки В, на основании чего можем сделать вывод, что 6,5 > 4,15.

Ответ: 4,15 < 6,5.

В некоторых случаях ответ очевиден сразу, и нет необходимости сравнивать разряды после запятой.

Пример:

1. Сравним 24,37 и 4,05.

Решение:

Сразу заметим, что 24 > 4. Поэтому сразу можно дать ответ: 24,37 > 4,05.

Ответ: 24,37 > 4,05.

Однако ошибочно считать, что если в числе цифр больше, то оно и больше.

Пример:

2. Сравним 2,39 и 2,387.

Решение:

Начнём сравнивать поразрядно, уравняв количество цифр.

Таким образом, получится, что 2,390 > 2,387.

Ответ: 2,39 > 2,387.

Таким способом можно сравнивать любые десятичные числа, которые используются в практической деятельности человека.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: вывести алгоритм сложения и вычитания десятичных дробей.

Предметные результаты: сформировать способность к сложению и вычитанию десятичных дробей, точно и последовательно выстраивать рассуждения, оценивать собственную деятельность на уроке.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей на конкретных примерах.

Пример:

2,234 + 7,176 = 9,410 = 9,41.

12,56 + 5,8 = 12,56 + 5,80 = 18,36.

То есть, для того, чтобы сложить десятичные дроби, нужно:

1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Аналогично выполняется и вычитание десятичных дробей.

Пример:

1. 0,763 – 0,321 = 0,442.

2. 18,632 – 5,94 = 18,632 – 5,940 = 12,692.

Ещё раз проговорим правило.

Чтобы вычесть десятичные дроби друг из друга, нужно:

1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Таким образом, мы научились выполнять сложение и вычитание десятичных дробей.
Урок 13. Преобразование рациональных выражений
Предмет: Алгебра, 8 класс

Конспект

Алгебра. 8 класс

Урок 13. Преобразование рациональных выражений

Напомним формулы сокращённого умножения.

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Упростим выражение .

Заменим в последней дроби знаменатель на противоположное выражение, при этом знак перед дробью поменяется на противоположный:

Воспользуемся формулой разности квадратов:

В качестве общего знаменателя выбираем знаменатель последней дроби:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

В числителе вынесем общий множитель за скобки и сократим дробь:

Выполним умножение дробей: .

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов, а в знаменателе применим формулу квадрата суммы. В числителе и знаменателе второй дроби вынесем за скобки общие множители и выполним сокращение:

Найдём частное двух дробей: .

Разложим числитель второй дроби по формуле разности кубов, а знаменатель – по формуле разности квадратов. При этом заменим деление умножением на дробь, взаимно обратную делителю, и выполним сокращение:

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: создание условия для развития умений умножать и делить десятичную дробь на 10, 100, 1000.

Предметные результаты: развить навыки умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000 .

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

В данном уроке рассмотрим умножение и деление десятичных дробей на 10, 100 и 1000.

Вначале, вспомним связь между умножением и делением натуральных чисел.

Пример: если 8 умножить на 100 равно 800, то 800 разделить на 100 равно 8.

8 * 100 = 800

800 : 100 = 8

Задача:

В одном мотке 2,39 метра проволоки. Сколько метров проволоки будет в 10 таких кусках?

Решение:

2,39 м. * 10 = 2 м. 3 дц. 9 см. * 10 =

представим в виде слагаемых:

(2 м. + 3 дц. + 9 см.) * 10 =

воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения:

2 м. * 10 + 3 дц. * 10 + 9 см. * 10 = 20 м. + 30 дц. + 90 см. = 20 м. + 3 м. + 0,9 м. = 23 м. + 0,9 м. = 23,9 м.

То есть: 2,39 м. * 10 = 23,9 м.

Что произошло с запятой?

При умножении числа на десять, запятая переместилась на один знак вправо.

По аналогии можно произвести умножение на 100:

23,756 * 100 = (23,756 * 10) * 10 = 237,56 * 10 = 2375,6

То есть: 23,756 * 100 = 2375,6

Что произошло с запятой?

При умножении числа на сто, запятая переместилась на два знака вправо, то есть на столько знаков, сколько нулей в множителе числа 100.

Теперь выполним обратную операцию.

23,9 : 10 = 2,39

Что произошло с запятой?

При делении наоборот, запятая переместилась влево на 1 знак.

2375,6 : 100 = 23,756

Что произошло с запятой?

Запятая переместилась влево на 2 знака.

Правило:

Для того, чтобы десятичную дробь на 10, 100, 1000, …

достаточно перенести запятую на столько знаков, сколько нулей в

Иллюстрация правила:

2,39 * 10 = 23,9

23,9 : 10 = 2,39
Умножение десятичных дробей
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: отработать навык применения правила умножения десятичных дробей в решении задач.

Предметные результаты: формирование навыков и умений умножения десятичных дробей, применение их при решении задач.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения выявлять закономерности, обобщать; способствовать развитию познавательного интереса учащихся, логического мышления, развитие вычислительных навыков, устной речи, памяти, внимания.

В данном уроке рассмотрим умножение десятичных дробей на десятичную дробь и на натуральные числа.

Основа: умножение натуральных чисел, умножение поразрядно, умножение в столбик

Для разбора процедуры умножения десятичной дроби на натуральное число разберем три примера:

Правило:

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую;

2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Для разбора процедуры умножения десятичных дробей на натуральные числа 10, 100, 1000 и так далее, разберем шесть примеров:

Правило:

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Рекомендуемые информационные ЭОР:

Для вышеперечисленных примеров сделать постепенное появление чисел по мере речи лектора. Цветовые акценты: полупрозрачные нули до запятой, запятые, выделение количества знаков после запятой, зачеркивание «лишних» нулей после запятой.

Для разбора процедуры умножения десятичной дроби на десятичную дробь разберем три примера:

Правило: чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой е обоих множителях вместе;

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.
Урок 42. Учебный доклад
Предмет: Русский язык, 7 класс

Значение несловесных средств при общении

Психологи утверждают, что до 40 % всей информации при устном общении человек получает с помощью несловесных, иначе говоря, невербальных средств общения. Это очень много.
К несловесным средствам общения лингвисты относят мимику, взгляд, интонацию, жесты, телодвижения, позу. Для нас очень важно, улыбается ли человек при разговоре, говорит ли вежливым тоном, смотрит ли в глаза. Если этого не происходит, то мы настораживаемся, и это мешает установлению и поддержанию контакта.
Очень важно уместное использование несловесных средств. Например, во время общения в официальной обстановке не надо поправлять волосы, крутить ручку или карандаш, принимать развязные позы и т. д. Не следует во время ответа у доски держать руки в карманах, смотреть в потолок, топтаться на месте, говорить тихим голосом и т. д. Такой ответ снижает оценку.
Неуместные невербальные средства мешают успешному общению, так как свидетельствуют о неуверенности человека, его низкой коммуникативной культуре. Поэтому многие специалисты в области коммуникации советуют следить за своими жестами, мимикой, тоном, репетировать будущее выступление. (Н. Ладушкина)
1) Прочитайте текст учебного доклада, охарактеризуйте его речевую ситуацию.
2) Найдите в тексте вступление, основную засть и заключение, определите их функции.
3) Определите критерии для оценки доклада. Оцените доклад по данным критериям.
Деление десятичной дроби на целое число
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: формировать навык умножения-деления многозначных чисел и десятичных дробей на одно-двузначное число.

Предметные результаты: закрепление и обобщение знаний по теме «Умножение и деление целых чисел и десятичных дробей».

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Рассмотрим деление десятичной дроби на натуральные числа.

Пример:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части дроби.

Пример:

Могут быть и другие ситуации, когда целая часть меньше делителя. В таких случаях частное будет начинаться с нуля целых.

Пример:

Особо обратим внимание на случаи, когда даже после запятой в частном будет несколько нулей вначале.

Пример:

Подчеркнём, что в таких случаях нужно быть особенно внимательным и не «потерять» нолик вначале.

Теперь рассмотрим деление десятичной дроби на 10, 100, 1000.

Пример:

98,65 : 10 = 9,865;

120, 6 : 1000 = 0,1206;

20,9 : 100 = 0,209;

14,86 : 10 = 1,486;

23 40,139 : 10000 = 0,2340139.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, и т. д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби.

Пример:

Заметим, что подобная техника приведения обыкновенных дробей к десятичным весьма полезна при выполнении действий совместных действий с дробями: обыкновенными и десятичными.
Совместные действия над дробными числами
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: повторить выполнение совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями.

Предметные результаты: развитие умения думать, размышлять, отстаивать свою точку зрения, общаться друг с другом, наблюдать, классифицировать, обобщать.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Тему урока рассмотрим на конкретном примера.

Для того, чтобы выполнить решение такого сложного выражения, вспомним те законы и преобразования, которые мы уже знаем.

Причем, решить этот пример можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ 1. Решение по действиям.

Если внимательно посмотреть, то мы пойдем, что нам предстоит выполнить 11 действий:

Ответ: 2.

Способ 2. Решение методом цепочки.

Ответ: 2.

Когда мы используем законы математики и производим вычисления, всегда нужно смотреть, что удобнее, рациональней и быстрее.
Законы действий над дробными числами
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: закрепление усвоения понятия «дробь», ее образования, понятий «числитель», «знаменатель», закрепление умений совершать математические и логические действия с дробями.

Предметные результаты: развитие умения думать, размышлять, отстаивать свою точку зрения, общаться друг с другом, наблюдать, классифицировать, обобщать.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

В начальной школе, рассматривая разные действия над натуральными числами (сложение, деление, вычитание, умножение), мы с вами познакомились с некоторыми математическими законами. В частности:

· Переместительный закон сложения / умножения

· Сочетательный закон сложения / умножения

· Переместительный закон умножения относительно сложения

Продолжая знакомство с множеством чисел, в частности мы с вами познакомились с дробными числами, оказывается, что эти законы математики выполняются и для них.

В этом уроке рассмотрим переместительный закон сложения и умножения:

Рассмотрим эти законы, применительно к дробным числам, на примерах:

Мы видим, что это сложение двух смешанных чисел. Целую часть легко сложить (5+2) Заметим, 4/5 можно предоставить в виде 8/10, тогда 3/10 и 8/10 складываем и получаем 11/10. Выделяем целую часть и получаем результат: 8

Проверим и сложим смешанные числа наоборот: и получаем тот же результат

То же самое, для десятичных чисел:

Если посчитать левую часть равенства, то мы получаем 8,1. Если посчитать правую часть равенства, то получаем то же самое.

Аналогично закон действует и для умножения дробный чисел. Рассмотрим пример:

Мы помним, как умножать два смешанных числа: нужно сначала представить их в виде неправильно дроби. Получаем:

теперь посчитаем отдельно правую часть:

Аналогично, для десятичных чисел.

Рассмотрим теперь сочетательный закон сложения и умножения.

Рассмотрим на примерах:

Рассмотрим распределительный закон умножения и деления относительно сложения.

Рассмотрим на примерах:

Рассмотрим распределительный закон умножения и деления относительно вычитания.

Рассмотрим на примерах:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Тыртов Николай Николаевич

Цели и задачи урока: научить складывать и вычитать дроби с разными знаменателями

Предметные результаты: построить алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, тренировать способность к его практическому использованию, развивать познавательный интерес к математике.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Определение:

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем.

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или иначе к общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем.

2. Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры: приведение дробей к общем знаменателю.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо

1) Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю

2) Сложить или вычесть полученные дроби

Примеры (сложение дробей с разными знаменателями):

Сложение и вычитание смешанных чисел:
Решение задач на признаки и свойства параллельных прямых. Часть 2.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с основными видами задач, использующих в своем решении теорему о сумме мер углов треугольника, продемонстрировав яркость и значимость данного утверждения.

Здравствуйте!

В прошлый раз мы выяснили что из того что сумма мер углов равна 180о следует достаточно много достаточно интересных фактов. Давайте теперь попробуем применить обретенные знания на несколько большем наборе задач.

Пример 1

В четырехугольнике ABCD AB||CD и BC||AD. Диагональ BD образует углы по 45° со стороной BC и высотой, проведенной из вершины D к стороне АВ. Найдите угол АСD.

Так как углы накрест лежащие и равны, то высота || BC а значит совпадает с AD. Тогда все углы четырехугольника по 90о так как сумма односторонних 180о, а значит треугольники ABC и BCD равны, угол BCA 45о, а угол ACD=90 о -45 о =45 о.

Пример 2.

Прямая, проведённая через вершину C треугольника ABC параллельно его биссектрисе BD, пересекает продолжение стороны AB в точке M. Найдите углы треугольника MBC, если ∠ABC = 110°.

Поскольку MC || BD, то по свойству параллельных прямых ∠BMC = ∠ABD = 55°, ∠BCM = ∠DBC = 55°, аа третий угол смежный с углом ABC.

Пример 3.

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка E, а на биссектрисе BD – точка F таким образом, что EF || AC и AF = AD. Докажите, что AВ = ВЕ.

Так как AF = AD, то ∠АFD = ∠ АDF, а из параллельности EF и AC следует, что ∠АDF = ∠ЕFD (см. рис.). Следовательно, ∠АFD = ∠ЕFD, тогда равны и углы, смежные с ними: ∠АFB = ∠ЕFB. Учитывая, что ∠ АВF= ∠ЕВF, получим, что треугольники АВF и ЕВF равны по стороне и двум углам. Значит, AВ = ВЕ.

Сегодня мы с вами обсудили уже более содержательные задачи. Как видите, знание теории, и уместное её применение дают просто поразительный результат раздвигая границы возможного.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 16: 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 5.1, 5.2

Рекомендуемые тесты:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 16: 4.2, 5.1, 5.2