Длина окружности
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Сегодня мы с вами поговорим о том, как ищется длина окружности. Но прежде, чем мы обратимся непосредственно к теме урока, давайте сделаем две вещи. Во-первых, вспомним, что такое окружность и что такое круг, а также чем они отличаются друг от друга. А во-вторых, порассуждаем, а зачем вообще нужно уметь считать длину окружности.

Итак, напомню: окружность – это множество точек плоскости, удалённых от данной точки – центра – на заданное расстояние – радиус. То есть, окружность – это такая линия. В отличие от неё круг – это множество точек, удалённых от центра не более, чем на радиус. То есть это и окружность, и то, что внутри. Например, если я рассмотрю тарелку, то это – круг, ведь тарелка – это не только граница, но и «внутренность». А скажем, дорога, которая опоясывает город – это, скорее, окружность, ведь то, что внутри – не входит. Кстати, заметьте, что площадь окружности – странное словосочетание: как найти площадь у линии? Зато у неё есть длина. А площадь есть у круга, так что не путайте: длины круга и площади окружности не бывает, а бывает наоборот: длина окружности и площадь круга.

Что ж, когда мы определились с терминами, попробуем понять, зачем же нам нужно уметь вычислять длину окружности? Всё очень просто. Представьте себе любой круглый предмет – колесо, например. Чтобы его сделать, особенно, когда завод производит много-много колёс, необходимо довольно точно понимать, сколько материала пойдёт на него. А как это посчитать? Линейку же не приложишь к колесу, чтобы посчитать длину обода? Проблема…

Как же быть? Мудрые люди в своё время придумали: нужно взять верёвочку, обмотать вокруг колеса, затем приложить верёвочку к линейке – и готово. Есть и более хитрые способы: скажем, обмазываем колесо краской, а в одно из мест прикрепляем кнопочку остриём наружу. А дальше покатим колесо по бумаге и расстояние между двумя дырочками от кнопочки и будет равно длине окружности колеса.

И всё это хорошо, но вряд ли хочется так делать каждый раз, правда? Процесс весьма трудоёмкий. И тут выяснилась интересная вещь, постарались ещё древние греки. Можете проверить и вы. Попробуйте сами посчитать длины окружностей диаметров 1, 2, 3 и 4 см. Поставьте урок на паузу, возьмите ниточку, линейку – и вперёд! Посчитали? Оказывается, если радиус окружности равен 1 см, то длина получается примерно 3,1 см. Если радиус равен 2 – примерно 6,3. Уже интересно: в два раза увеличили радиус – примерно в два раза выросла и длина. Аналогично с 3 см – примерно 9,5 см и 12,6 см соответственно. И отсюда рождается гипотеза: во сколько раз увеличиваем диаметр, во столько же увеличится и длина! Это и логично: если мы чуть-чуть «раздуем» окружность, то все размеры, в частности и длина, должны увеличиться во столько же раз. Пока это не очень строгое доказательство, абсолютно точное будет в 9 классе, но сейчас просто отметим этот факт: длина любой окружности пропорциональна её диаметру.

Итак, длина пропорциональна радиусу. Но тогда отношение длины окружности к её диаметру постоянно независимо от окружности! То есть всегда будет получаться одно и то же число. Греки проделали множество измерений, гораздо более точных, чем вы только что, и всё время получали один и тот же ответ, что-то около 3,14. Тогда решено было обозначить это замечательное число греческой буквой «Пи», так как именно на эту букву начинаются два греческих слова: περιφέρεια – окружность, и περίμετρος – периметр.

А тогда получается вот что: длина окружности в Пи раз больше, чем её диаметр. То есть:

, где С – длина окружности, d – диаметр. Если вспомнить, что диаметр вдвое больше радиуса, то приходим к формуле .

И это круто! Теперь мы можем, зная радиус или диаметр (а это длины отрезков, их померить проще), найти длину окружности. Вот как это работает.

Задача 1. Чему равна длина окружности радиуса 6 см?

Решение: по формуле,

В принципе, это уже ответ, но если хочется без буквы, а только цифрами – можно написать приближенное значение, подставив вместо Пи 3,14:

Кстати, число Пи абсолютно точно выразить не получится, это бесконечная десятичная дробь. Но можно посчитать приближенное значение с любой точностью: 3,1415926… Сейчас науке известно более 10 триллионов знаков после запятой у числа Пи. Кстати, забавно, что существуют специальные чемпионаты по запоминанию знаков числа Пи. Чтобы запомнить первые несколько, существуют специальные «запоминалки», например:

Если очень постараться,

То запомнишь всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Или

Раз у Коли и Арины

Распороли мы перины.

Белый пух летал, кружился,

Куражился, замирал,

Ублажился,

Нам же дал

Головную боль старух.

Ух, опасен пуха дух!

Последнее стихотворение интересно тем, что если посчитать количество букв в каждом слове – получится очередная цифра числа Пи. Раз (3) у (1) Коли (4) и т. д.

Но вернёмся к формуле. С её помощью можно решать и обратную задачу.

Задача 2. Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм, при этом Пи считайте приблизительно равным 3,14.

Решение. По формуле:

На этом всё на сегодня. Впереди нас ждёт круг и его площадь. До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Найти длину окружности радиуса 15 см.

2. Во сколько раз изменится длина окружности, если радиус увеличить в 5 раз?

3. Во сколько раз изменится длина окружности, если радиус увеличить на 50 %?

Рекомендуемые тесты:

1. Найти длину окружности радиуса 1,2 см. Ответ дайте в метрах.

2. На сколько процентов изменится длина окружности, если радиус увеличить в два раза?

3. Найдите, какой длины бордюр потребуется для ограждения клумбы, имеющей форму круга с диаметром, равным 4м. Ответ округлите до сотых.