Урок 25. Решение практических задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектора
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля

Решение практических задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектора

Задача №1.

Площадь не закрашенного сектора круга равна 10π. Вычислите радиус R.

О

260°

R

Воспользуемся формулой вычисления площади сектора круга:

Отсюда выразим значение R:

Обратим внимание, что в условии речь идет о площади не закрашенной части круга, а на рисунке дан угол закрашенной части круга.

Так как полный круг содержит 360°, вычтем известное нам значение угла закрашенной части сектора: α = 360° – 260° = 100°

Подставим значения в формулу и после преобразований получим искомое значение радиуса сектора круга:

Задача решена.

Задача №2.

Вычислите хорду окружности MN, если l длина дуги, угол дуги α = 120°.

α

l

О

M

N

Для решения задачи нужно вычислить значение радиуса окружности и затем по правилу прямоугольного треугольника рассчитать длину хорды.

Вычислим радиус окружности.

Длины дуги окружности с углом альфа:

Выразим отсюда значение радиуса и подставим в формулу значение угла α, после преобразований получим:

Обратим внимание на рисунок.

Два радиуса и хорда образуют равнобедренный треугольник.

Радиусы, то есть стороны треугольника вычислены. Можно приступать к расчету длины хорды окружности, являющейся основанием треугольника.

Проведем высоту треугольника из его вершины к основанию.

Она является биссектрисой угла, перпендикуляром к основанию треугольника и делит основание пополам.

α

l

О

M

N

К

Получен прямоугольный треугольник с двумя известными углами ∠OKM = 90°, ∠MOK = 60°.

Применяя правила соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике рассчитаем половину длины хорды:

Подставим значения:

После преобразований получим длину половину хорды:

Для получения полной длины хорды умножим полученное значение на два и после преобразований получим:

Задача решена.

Задача №3.

Вычислить площадь описанной окружности вокруг квадрата, сторона которого, а = 2 см.

2

Воспользуемся формулой расчета стороны правильного четырёхугольника зная радиус описанной окружности.

Сторона квадрата:

Выразим значение радиуса описанной окружности:

Площадь круга:

Подставим в формулу значение радиуса и значение стороны квадрата:

см2

Задача решена.

Задача №4.

В окружность вписан правильный многоугольник со стороной a. Какова площадь закрашенной части окружности?

R

a

Для решения данной задачи необходимо вычесть площадь описанной окружности из площади вписанного многоугольника.

Так как известен радиус окружности рассчитаем её площадь. Обозначим площадь окружности Sо . Площадь окружности:

Рассчитаем площадь многоугольника. Обозначим площадь многоугольника Sм. Площадь правильного многоугольника:

В приведенном примере рассматриваем шестиугольник, поэтому периметр будет равен

Выразим расчет стороны правильного многоугольника через радиус описанной окружности. Сторона правильного многоугольника:

Подставим это значение в формулу периметра многоугольника и после преобразований получим: .

Для вычисления площади правильного многоугольника также необходимо рассчитать значение радиуса вписанной в этот многоугольник окружности.

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник:

Подставим в формулу количество сторон многоугольника и после преобразований получим:

Подставим полученные значения периметра и радиуса вписанной окружности в формулу расчёта площади правильного многоугольника:

Вычислены площади окружности и многоугольника. Рассчитаем площадь закрашенной части окружности. Для этого вычтем из всей площади окружности площадь многоугольника. Получим площадь закрашенной части окружности:

Задача решена.