Цепные дроби
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с понятием «цепная дробь», рассмотреть особенности строения цепных дробей, сформировать понимание о применении цепных дробей в практических ситуациях.

Предметные результаты: обобщение и систематизация знаний, умений, навыков учащихся при выполнении арифметических действий над обыкновенными и десятичными дробями.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Всем привет!

Сегодня мы поговорим о цепных дробях. Каких-каких дробях? Да-да, не об обыкновенных, и не о десятичных, а о цепных. Само название «цепные» навевает ассоциации с некоторой цепочкой, звенья которой связаны друг с другом. Что-то похожее мы и увидим сегодня.

Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнем с такого примера. Рассмотрим дробь `10/7` и найдем ее целую часть, то есть наибольшее целое число, не превосходящее данной дроби. Конечно, это 1. Теперь представим дробь в виде суммы: `10/7=1+3/7=1+1/(7/3)`

Далее, аналогичным образом поступим с дробью `7/3: 7/3=2+1/3; 10/7=1+1/(7/3)=1+1/(2+1/3) `

То, что у нас получилось – и есть цепная дробь. Она позволяет, например, найти приближенное значение исходного числа. Теперь мы можем сказать, что `10/7` - это примерно 1, если нужно точнее – `1 + 1/2` ; если же хотим совсем точно - `1+1/(2+1/3)`. Оказывается, что таким способом можно представить абсолютно любое число. Пока мы с вами умеем работать только с целыми числами и дробями – любое дробное число можно представить в виде конечной цепной дроби. В дальнейшем же, речь пойдет и о так называемых иррациональных числах – которые нельзя представить в виде дроби – их также можно быть записать в виде цепной дроби, правда, бесконечной. Заинтригованы? Тогда потерпите чуть-чуть, сегодня мы разберем самое основное, а дальше, по мере изучения курса математики, Вы доберетесь и до иррациональностей! Пока разберем еще один пример, побольше. `687/365=1+322/365=1+1/(365/322)=1+1/(1+43/322)=1+1/(1+1/(322/43))=1+1/(1+1/(7+21/43))= =1+1/(1+1/(7+1/(43/21)))=1+1/(1+1/(7+1/(2+1/21)))`.

Вот такая лесенка у нас получилась. Можно сказать, цепочка: одна дробная черта, под ней другая, и так далее. Заканчиваем алгоритм, когда мы дошли до дроби с числителем «1». Выглядит довольно забавно, но… Как говорилось в старом анекдоте, когда ученые скрестили арбуз с елкой, теперь их мучает всего один вопрос: зачем? А действительно, зачем все это было? Ну да, пригодится для каких-то там непонятных иррациональных чисел, и все? Оказывается, не все. Теория цепных дробей нашла свое применение очень давно – сейчас я об этом расскажу. Представьте себе, что примерно 400 лет назад одному ученому – Христиану Гюйгенсу – пришло в голову создать модель нашей солнечной системы. Но ведь в этом случае нужно учесть, что солнце и планеты вращаются с разной скоростью! А как это учесть? С помощью специальных шестеренок: если у них будет разное количество зубцов, то и вращаться они будут по-разному. Уже тогда ученые знали, что Земля делает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней, а Марс за 687 дней.

Что же, делать шестеренку с 687 зубцами? Это очень сложно! И тут на помощь пришли цепные дроби! Смотрите: давайте возьмем не дробь `687/365`, а ее приближенное значение! Да, конечно, модель будет не совсем точная, но если она будет почти точная – нас это устроит, основные представления о системе мы сможем получить! А дальше делаем так. Если взять первое приближение, получаем: `1+1/1=2`. Значит, Марс движется примерно в два раза быстрее Земли, а значит, зубцов должно быть примерно в два раза больше. Впрочем, при этом получится довольно большая погрешность, идем дальше. Если оставить две дроби, то будет: `1+1/(1+1/7)=15/8`.

Значит, на шестеренке Марса нужно сделать 15 зубцов, а на шестеренке Земли – 8. Согласитесь, это не 687 и 365! А погрешность не такая и большая: всего 1 оборот на 139! Если взять еще точнее, `1+1/(1+1/(7+1/6))=92/49`. Значит, на шестеренке Марса нужно сделать 92 зубца, а на шестеренке Земли – 49. Многовато, но тоже не 687. И тогда погрешность будет всего в один оборот на каждые 6205! Согласитесь, практически ничто! Другой, и, наверное, самый известный, пример использования цепных дробей – это календарь. Ведь тропический год составляет 365,2422 суток. Разлагаем дробную часть в цепную дробь и получаем 0,2422 =

` 2422/10000=1/(5000/1211)=1/(4+156/1211)=1/(4+1/(1211/156))=1/(4+1/(7+119/156))=1/(4+1/(7+1/(1+37/119)))=1/(4+1/(7+1/(1+1/(3+8/37))))=1/(4+1/(7+1/(1+1/(3+1/(4+5/8)))))`=`1/(4+1/(7+1/(1+1/(3+1/(4+1/(1+3/5))))))=1/(4+1/(7+1/(1+1/(3+1/(4+1/(1+1/(1+2/3)))))))=1/(4+1/(7+1/(1+1/(3+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/2))))))))`

Первая подходящая дробь равна `1/4`, то есть один лишний день на четыре 365-ти суточных года. Отсюда, собственно, и пошло, что каждый четвертый год - високосный год в юлианском календаре. Вторая подходящая дробь `7/29` ни в одном календаре зафиксирована не была. Третья подходящая дробь `8/33`, т.е. 8 високосных лет из каждых 33-х, получила жизнь в персидском календаре, предложенном группой средневековых иранских астрономом во главе с Омаром Хайямом.

Вот так цепные дроби помогли при решении столь важной астрономической задачи.

Надеюсь, они пригодятся и вам! До встречи!

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры

1) Переведите в цепную дробь дроби: `9/2;13/7;127/13;12,53`;

2) Представьте в виде обыкновенной дроби цепные дроби: `1+1/(2+1/4);2+1/(3+1/(2+1/5))`.

Ответы: 1) `4+1/2; 1+1/(1+1/6)`; `9+1/(1+1/(3+1/3))`;`12+1/(1+1/(1+1/(7+1/(1+1/5))))` ;

2) `13/9; 87/38`.

Рекомендуемые тесты

1) Переведите в цепную дробь дроби: `12/7;17/5;135/11;11,44`

2) Представьте в виде обыкновенной дроби цепные дроби: `2+1/(1+1/3);1+1/(2+1/(5+1/2))`.

3) Земля делает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней, а Венера за 226 дней. Сколько зубцов следует сделать на соответствующих шестеренках, чтобы модель получилась максимально правдоподобной, но число зубцов не превышало бы 10?

Ответы: 1) `1+1/(1+1/(2+1/2)); 3+1/(2+1/2); 12+1/(3+1/(1+1/2));11+1/(2+1/(2+1/(1+1/3)))`;

2) `11/4`; `35/24`;

3) `365/226=1+139/226=1+1/(1+87/226)=1+1/(1+1/(2+52/87))=1+1/(1+1/(2+1/(1+35/52)))=⋯`

Имеем: `1+1/(1+1/3)=7/4`, т.е. 7 зубцов для Земли и 4 для Венеры.