Урок 25. Обобщение и систематизация знаний по теме «Одночлены, многочлены»
Предмет: Алгебра, 7 класс

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок №25

Обобщение и систематизация знаний по теме «Одночлены, многочлены»

Перечень рассматриваемых вопросов:

Алгебраические выражения.
Числовые и буквенные выражения.
Многочлен и одночлен.
Действия с многочленами и одночленами (сложение, вычитание, умножение).
Стандартный вид одночлена и многочлена.
Разложение многочленов на множители.
Целые выражения.

Тезаурус:

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Вынесением за скобки общего множителя многочлена – называют преобразование многочлена в произведение одночлена и многочлена.

Разложением многочлена на множители, называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.

Целое выражение – такое алгебраическое выражение, в котором многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Числовые, буквенные, алгебраические и целые выражения – все эти понятия объединяет общая тема: «Одночлены и многочлены».Сегодня мы вспомним, что такое одночлен и многочлен и какие действия с ними можно выполнять.

Для начала вспомним, что называют числовым выражением.

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок. Если в данных выражениях выполнить все действия, т.е. получить ответ в видедействительного числа, то говорят, что получено значение числового выражения.

Например,

25– (2+14:7·3)=17

25 – (2 + 14 : 7 · 3) – числовое выражение.

17 –значение числового выражения.

Но бывают числовые выражения, которые не имеют смысла.

Выражение 245 : (25 – 12,5 : 0,5) не имеет смысла, т.к. на ноль делить нельзя:

Вспомним, какое выражение называют буквенным.

Буквенное выражение – выражение, состоящее из букв, чисел, знаков математических действий и скобок.

Например: с+а;

с :(а +3).

Стоит отметить, что буквенные и числовые выражения называют алгебраическими выражениями.

Если взять два алгебраических выражения и соединить их знаками арифметических действий (сложения, вычитания, умножения или деления), то получится алгебраическое выражение.

Алгебраические выражения:

2 + 36 : с

23 – 58 · 23

(2 +36 : с) + (23 – 58 · 23) – сумма алгебраических выражений.

(2 + 36 : с) – (23 – 58 · 23) – разность алгебраических выражений.

(2 + 36 : с)(23 – 58 · 23) – произведение алгебраических выражений.

(2 + 36 : с) : (23 – 58 · 23) – частное алгебраических выражений.

Вспомним, что такое одночлен и многочлен.

Одночлен – это алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Буквы и числа называют множителями одночлена.

Например, 20 · х · с– одночлен.

Сформулируем некоторые свойства одночленов.

Свойства одночленов:

1. Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

Например:

(-12,3) асх = а(-12,3)хс

2. Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением.

Например,

-24kх = 6 · х · (-4) · k

3. Одночлен считается равным нулю, если среди его множителей есть число ноль. Такой одночлен называется нулевым.

Например, 2х · 0с = 0 – нулевой одночлен.

4. Два одночлена считаются равными, если один получен из другого путём опускания множителя 1.

Например:

7у · 1а = 7уа.

5. Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна та же буква, соответствующей степенью этой буквы.

Например:

14ас · асх = 14асасх = 14а2с2х.

6. Если перед одночленом поставить знак «+», то получится одночлен, равный исходному.

Например:

+ах= ах.

7. А если поставить перед одночленом знак «–», то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число (-1).

Например:

-ах = (-1)ах

При этом одночлены, которые отличаются лишь знаками, называются противоположными.

ах и -ах – противоположные одночлены.

Вспомним определение многочлена.

Многочлен – сумма одночленов.

Например:

2a2bc3 +ху4 + 1,2ср – 9

Сформулируем некоторые свойства многочленов.

1. Члены многочлена можно менять местами.

Например:

2abc + 3kх = 3kх + 2abc

2. Если прибавить к многочлену ноль, то он не изменится.

Например:

-2ас + 0 = -2ас

3. В многочлене можно приводить подобные члены.

Например:

2ас + 4ас + kх – 3kх = (2+4)ас + (1+(-3))kх = 6ас – 2kх

Многочлен и одночлен можно привести к стандартному виду.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором это произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Например:

74a2bc3

2х2 + 4х + 5

Вспомним ещё одно понятие – степень многочлена и одночлена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

Например:

14a2bc3 + 7kх – многочлен 6 степени.

15х2у3 – одночлен 5 степени.

С многочленами можно выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение.

Действия с многочленами.

(6а + х) + (4а – с) = 6а+х+4а – с = 10а + с + х – сумма многочленов.

(6а+х) – (4а – с)= 6а+х – 4а+с= 2а +с +х – разность многочленов.

(6а+х)(4а – с)= 6а∙4а+ 6а∙(-с)+х∙4а+х∙(-с) =24а2 – 6ас + 4ах – сх – произведение многочленов.

Стоит отметить, что алгебраические выражения называют целыми, если многочлены в нём соединены знаками сложения, вычитания и умножения.

Например:

(а + с)(а – х) + 2аk + (4k – х)

4а(5k – х) – (12а + 4с)

Итак, сегодня мы повторили различные виды выражений, вспомнили, что значит стандартный вид многочленов и одночленов. Переходим к тренировочным заданиям.

Докажите тождество.

Докажем следующее тождество:

(х5 – 1)= (х – 1)(х4 + х3 + х2 + х + 1).

Доказательство.

Для доказательства возьмём правую часть равенства, преобразуем её, используя правило умножения многочленов, а затем приведём подобные члены и сравним с левой частью равенства.

(х – 1)(х4 + х3 + х2 + х + 1) = х ∙ х4 + х ∙ х3 + х ∙ х2 + х ∙ х + х ∙ 1 + (-1) ∙ х4 + (-1) ∙ х3 + (-1) ∙ х2 + (-1) ∙ х + (-1) ∙ 1 = х5 + х4 + х3+ х2 + х – х4– х3– х2 – х – 1 = х5 + (1 – 1)х4 + (1 – 1)х3 + (1 – 1)х2 + (1 – 1)х – 1 = х5 + 0 ∙ х4 + 0 ∙ х3 + 0 ∙ х2 + 0 ∙ х – 1 = х5 – 1.

Левая и правая часть равенства равны, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1.Каким алгебраическим выражением определяется периметр пятиугольника со сторонами: а,с, k, х,у?

Решение.

Нужно вспомнить, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. По условию нужно найти периметр пятиугольника со сторонами а,с, k, х,у, следовательно, найти сумму всех его сторон: а + с + k + х + у. Это и есть искомый ответ.

Ответ:а + с + k + х + у.

2. Упростите выражение: (2а + 7) (а – 1) + (а – 4) (3а + 2).

Решение:

Используем правила умножения многочлена на многочлен, после выполнения умножения многочленов, приведём полученное выражение к стандартному виду.

(2а + 7) (а – 1) + (а – 4) (3а + 2) = 2а ∙ а + 2а( -1) +7∙а + 7∙( -1) + а∙ 3а + а∙ 2 +( -4)∙3а + ( -4)∙2 = 2а2 – 2а +7а – 7 + 3а2+2а – 12а – 8 = 5а2– 5а – 15.

Ответ: 5а2 – 5а – 15.