План и этапы решения задачи. Анализ решения, Проверка решения, проверка обратным действием
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: рассмотреть и довести до сведения учащихся основные подходы к решению задач, а также методы самопроверки.

Предметные результаты: активизации познавательной деятельности учащихся, повышению интереса к работе.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Здравствуйте. Когда жизнь складывается так, что нам приходится отвечать на вопросы, в том числе на вопросы задачи, то многие действуют интуитивно, в панике стараясь делать что попало, некоторые рассуждают по аналогии с уже известным, но при этом мало кто выполняет эти действия осмысленно. Давайте попробуем осознать, как же решать текстовые задачи в общем случае.

В целом, можно попробовать вспомнить все наши попытки когда-либо решить хоть какую-то задачу, и изобразить все возможные этапы на схеме. Получится, скорее всего, нечто такое:

Конечно, не правда, что каждый раз мы проходим все этапы, однако придумать что-то кроме этого, возможным не предствавляется.

Задача.

За одно и то же время теплоход прошел 216 км, а пароход 72 км. Найти скорость теплохода, если скорость парохода 24 км в час.

Первый этап при решении задачи: постараться осмыслить, что же в ней дано и что от нас хотят. Заметим, что ошибки на этом этапе практически наверняка не дадут нам решить задачу верно и практически невозможно «отловить»: если мы тут ошибёмся, то просто будем решать какую-то другую задачу вместо данной. Возможно мы её даже правильно решим, только толку-то…

Итак, каковы наши цели на данном этапе?

– понять в целом ситуацию, описанную в задаче;

– выделить условия и требования;

– назвать известные и искомые объекты;

– выделить все отношения (зависимости) между объектами.

Ну, поехали:

Рассмотрим ситуацию

, описанную в данной, данной в задаче. Формы представления: словесное моделирование; зрительное представление.

По воде движутся теплоход и пароход. Теплоход движется быстрее, потому что за одно и то же время он прошел большее расстояние.

Переформулируем текст задачи, если нам так удобнее.

Часть условия выражена в повествовательной форме (в начале текста), затем следует также повествовательное предложение, включающее требование и часть условия. Вид переформулировки: перенос части условия из требования. Обоснование переформулирования: удобно выбрать количественные характеристики, связанные между собой.

За одно и то же время теплоход прошел 216 км, а пароход 72 км со скоростью 24 км/ч. Найти скорость теплохода.

Попробуем определить вид задачи, и осознать какие величины в ней присутствуют

Задача на движение двух тел. Тройка величин: скорость, время, расстояние.

Деление условия задачи на смысловые части

|Теплоход и пароход двигались одно и то же время| , теплоход прошел 216 км|, пароход прошел 72 км|. Найти скорость теплохода|, скорость парохода 24 км/ч|.

Уточнение: является ли текст задачей?

Примечание. Выявление признаков задачи: наличие условия, требования; связь условия с требованием.

В данной задаче у нас всё хорошо. При этом, известный вопрос «два гвоздя упали в воду, какова фамилия мальчика» безусловно задачей не является.

Построение вспомогательной модели

Вид модели: схематический рисунок. Соотнесение величин с языком схемы: мерка – скорость; количество мерок – время; целое – расстояние.

Построение вспомогательной модели

Вид модели: таблица. На модели указать: все объекты; величины; количественные характеристики; требования

.

Следующий этап: этап поиска плана решения текстовой задачи.

От требования к данным

Разбор задачи по тексту: обратить внимание на вопрос задачи и установить, что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для этого нужно обратиться к условию задачи и выяснить, есть ли необходимые данные. Если таких данных нет или известна только одна величина, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные.

– Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Скорость теплохода можно найти, если знать время, которое он был в пути, и пройденное им расстояние.)

– Знаем ли мы расстояние, пройденное теплоходом? (Да, 216 км.)

– Знаем ли мы время, которое теплоход находился в пути? (Нет, оно неизвестно.)

– Что можно использовать в условии задачи для нахождения времени, которое теплоход был в пути? (Можно использовать расстояние и скорость теплохода, так как время, затраченное теплоходом и пароходом, одинаковое.)

От требования к данным Разбор по вспомогательной модели:

– Что требуется найти в задаче? (Мерку, то есть скорость теплохода.)

– Что для этого нужно знать? (Целое и количество мерок.)

– Все ли известно? (Нет, не известно количе­ство мерок.)

– А что известно о количестве мерок? (Они одинаковые.)

– Как узнать количество мерок ? (Из первой части схемы находим количество мерок, це­ лое делим на мерку.)

– А теперь можно ответить на требование задачи? (Да, целое разделим на количество мерок.)

От условия к требованию

Разбор задачи по тексту: выделить в тексте задачи две данные величины и на основе знания связи между ними определить, какая неизвестная величина может быть найдена по этим данным с помощью арифметического действия; затем, считая это неизвестное данным, вновь выделить две взаимосвязанные данные величины, определить неизвестную, которая может быть найдена по ним и с помощью какого действия и т.д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомой в задаче величины.

– Что означает число 72? (Путь, пройденный пароходом.)

– Что означает число 24? (Скорость парохода.)

– Какую величину можно найти, зная расстояние и скорость? (Время движения парохода.)

– Если мы узнаем время движения парохода, то что еще мы узнаем? (Время движения теплохода).

– Что еще известно про теплоход? (Известно, что он прошел 216 км.)

– Что требуется найти в задаче? (Надо найти скорость теплохода).

– Можем ли мы ответить на вопрос задачи? (Да, мы знаем расстояние, пройденное теплоходом, и время, которое он был в пути.)

Разумеется, этот подход мы также можем проводить не только с текстом но и с условной моделью.

Этап составления плана решения задачи. Цель: осознать последовательность выполнения действий решения задачи

Построение плана решения по вспомогательной модели.

На языке схемы

Построение плана решения по вспомогательной модели

На основе взаимосвязи тройки величин

Запись шагов решения в виде выражения

Примечание. 1. Запись плана решения осуществляется поэтапно. 2. Фиксируются последовательность действий шагов, затем составляется итоговое выражение.

72 : 24 – время, затраченное пароходом; 216 : (72 : 24) – скорость теплохода.

После этого, наступает долгожданный этап реализации решения

Вариантов не много:

- По действиям с полным пояснением к каждому выполненному действию

1) 72 : 24 = 3 (ч) – прошел пароход 72 км;

2) 216 : 3 = 72 (км/ч) – скорость теплохода.

Ответ: 72 км/ч.

- По действиям с записью вопросов

1) За какое время пароход прошел 72 км?

72 : 24 = 3 (ч)

2) Какова скорость теплохода?

216 : 3 = 72 (км/ч)

Ответ: 72 км/ч.

- В виде выражения, преобразуемого после вычислений в равенство, с записью шагов по составлению выражения

Заметим, что 72 : 24 – время, затраченное пароходом, тогда 216 : (72 : 24) – скорость теплохода.

216 : (72 : 24) = 72 (км/ч)

Ответ: 72 км/ч – скорость теплохода.

Проверка решения текстовой задачи

Решение задачи другим способом

Проверка: на этапе завершения решения задачи. Примечание. Если решение другим способом приводит к тому же результату, то можно сделать вывод о том, что задача была решена верно, в противном случае – неверно.

1) 216 : 72 = 3 (раза);

2) 24 • 3 = 72 (км/ч).

Ответ: 72 км/ч – скорость теплохода

Прогнозирование результата

Проверка: на этапе подготовки решения задачи.

Время, затраченное на движение, одинаковое. Расстояние, пройденное теплоходом, больше. Следовательно, скорость у него тоже будет больше.

Проверка на психическую нормальность

Безусловно, иногда, составители задач дают достаточно странные величины: то пешеход идёт со скоростью 40 км/ч, то мороженое стоит 7 копеек. Однако, если полученное значение не соответствует нашим представлениям о возможностях данной величины, то это повод насторожиться.

Повторное решение тем же способом и методом с обоснованием каждого шага решения

Проверка: на этапе завершения решения задачи.

Составление и решение обратной задачи

Проверка: на этапе завершения решения задачи.

Одно и то же время теплоход шел со скоростью 72 км/ч, а пароход – со скоростью 24 км/ч. Найти расстояние, которое прошел теплоход, если известно, что пароход прошел 72 км.

Подведём итоги: сегодня мы разобрались подходить к решению задач, и как проверять корректность своего решения.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тесты:

Решите задачи тщательно, пусть даже и избыточно прорабатывая каждый шаг и выполните проверку:

Задача 1. Машина идёт со скоростью 60 км/ч. Как нужно увеличить её скорость, чтобы выигрывать на каждом километре по 1 минуте?

Задача 2. Шина велосипеда лопнула в тот момент, когда велосипедист проехал две трети пути. На остальной путь пешком он затратил в два раза больше времени, чем на езду на велосипеде. Во сколько раз быстрее велосипедист ехал, чем шёл?