Использование букв для обозначения чисел. Применение алгебраических выражений для записи свойств арифметических действий.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: помочь учащимся овладеть математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни и для изучения школьных естественных дисциплин на базовом уровне; пояснить учащимся значимость перехода от чисел к буквам в трактовке различных математических свойств и выражений.

Здравствуйте!

Рассмотрим пример.

Пример 1.

Поезд идёт со скоростью 70 км\ч. Какое расстояние он пройдёт за два часа? За n часов?

Решение.

Пользуясь известной формулой S=vt, мы можем легко вычислить, что за два часа поезд пройдёт 70*2=140 км.

А для того, чтобы ответить на второй вопрос задачи, нужно просто 70 умножить на n.

Подставляя вместо n различные числа, мы сможем узнать, сколько километров будет проходить поезд за любое количество часов.

Например, за 3,5 часа поезд пройдёт 70*3,5=245 километров.

Буквенное выражение, указывающее, как зависит одна величина от другой, называется формулой.

Формула – это буквенное выражение или равенство, показывающее зависимость между величинами.

Пример 2.

Рассмотрим несколько формул.

Зависимость между ценой а, количеством изделий b и стоимостью изделий с: a*b=c.

Допустим, куплено 10 тетрадей по цене 5 рублей каждая. Какова стоимость покупки?

Для вычисления стоимость нужно подставить в формулу значения: a=10, b=5. Тогда мы получим, что стоимость составит 50 рублей.

Пример 3.

Зависимость между производительностью труда k, временем t и общим числом изделий n: k*t=n.

Допустим, некто может изготовить 6 подарочных коробок за 1 час. Спрашивается, сколько получится изделий за 3,5 часа? Для того, чтобы ответить на вопрос, нужно 6*3,5=21 коробка.

Пример 4.

Пусть урожайность - p, площадь – S, общее количество урожая – m.

Собрали 3 центнера пшеницы собирают с 1 гектара. Спрашивается, каков будет урожай с 20 гектар? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо высчислить 3*20=60 гектар.

Значит, соотношение: p*S=m.

Вообще говоря, с помощью букв можно записывать свойства в математике, подразумевая, что вместо буквы можно подставить любое число и свойство будет выполняться.

Рассмотрим пример.

Пример 5.

От перестановки слагаемых сумма не меняется. В буквенной форме это свойство можно записать как a+b=b+a.

Рассмотрим сочетательный закон сложения: если к сумме прибавляется число, то можно к одному из слагаемых прибавить это число, а затем прибавить второе слагаемое. В буквенной форме этот закон можно записать так: (a+b)+c=a+(b+c).

Число умножить на 0 будет 0: a*0=0

Умножение числа на 1: a*1=a

Сочетательный закон умножения: a*(b*c) = (a*b)*c

Переместительный закон умножения: a*b=b*a

Распределительный закон умножения: a*(b+c) = ab+ac.

Какие ещё свойства в математике могут быть записаны в качестве буквенных выражений?

Какие ещё свойства в математике могут быть записаны в качестве буквенных выражений?

Свойство транзитивности: если первое число меньше второго, а второе – меньше третьего, то первое число меньше третьего: a<b, b<c => a<c.

Определение степени с натуральным показателем: an=a*a*a*a… (таких множителей будет ровно n)

Или свойство пропорции: a/b=c/d ⇔ ad=bc.

Давайте попробуем разобраться: откуда берутся формулы или когда математическое свойство можно записывать с помощью букв?

Пример 6.

(730:5):2 = 146:2=73.

Можно было бы решать и по-другому: 730: (2*5) = 73.

То есть, получаем свойство: (a:b):c=a:(b*c) – Это свойство верно для любых числовых значений, которые мы можем подставлять вместо букв a, b и c.

Пример 7.

(30*2):(15*2) = 30:15=2

То есть: (a*m):(b*m) = a:b

Известно, что любое натуральное число можно представить в виде суммы пораздрядных слагаемых. Посмотрим, как это свойство можно записать для любого трёхзначного числа с помощью букв:

abc

=100*a+10*b+c, где a – цифра в разряде сотен, b – цифра в разряде десятков, c – цифра в разряде единиц. Мы понимаем, что вместо этих букв можно подставлять любые цифры, за исключением случая, когда а=0.

Пример 8.

Сколько воскресений может быть в году?

Поделим с остатком: 365=52*7+1

Или 366=52*7+2

В первом и во втором случае мы получаем 53 воскресенья, если 365ый день в году – воскресенье, или 52, в противном случае.

При решении этой задачи мы использовали теорему о делении с остатком, которую тоже можно записать буквами: a=b*q+r. (То есть, для любых чисел a и b, существуют такие единственные числа q и r, такие что выполняется это равенство. Причём q называется неполным частным, а r – остатком.)

Пример 9.

Рассмотрим выражение (x-3):(x-3)=1. Казалось бы, здесь мы тоже можем подставить любое число, и ответ всё равно получится верным. Но это не так! При подстановке числа 3 вместо x в эту формулу получится, что мы делим на 0, а это невозможно. Значит, x<>3.

Пример 10.

Верно ли равенство: x-(a+12)=x-a+12?

Попробуем подставить x=20, a=1: 20-13=7, 20-1+12=31. То есть, мы нашли какие-то значения переменных, при которых равенство не получилось верным. Значит, оно не верно вообще, поскольку если бы оно было верным, то было бы верным при любых значениях a и x.

Пример 11.

Было исписано вначале 3 фломастера, затем ещё 2 фломастера. Всего было 13 фломастеров, следовательно, осталось 8.

Попробуем преобразовать в буквенное выражение: a-(b+c)=a-b-c.

Сегодня мы с вами разобрали, как из мира чисел перейти в мир букв и какие трудности могут нас подстерегать на этом пути.