Урок 16. Многогранники. Методы решения
Предмет: Геометрия, 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класса

Урок №16. Многогранники. Методы решения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Учить анализировать целесообразность использования метода решения данной задачи
Научиться находить необходимую для решения задачи информацию.
Решать исследовательские задачи.
Формулировать цель своей деятельности.
Демонстрировать умение составлять план решения задачи.
Решение задач с помощью метода объемов

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

1) как длину отрезка АВ, если отрезок АВ удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;

2) по формуле

2. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

3. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Методом объёмов называется приравнивание двух подходящих выражений для объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или угол).

Метод объёмов можно использовать, вычисляя:

- расстояние от точки до плоскости;

- угол между плоскостями;

- угол между прямой и плоскостью;

- расстояние между скрещивающимися прямыми.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC. Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA=√(5), AB–AC=5, BC=2√(5)

Решение:

Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SA ⊥ AB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда СК= √(5), AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK = =2√(5

Поскольку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем SA2=SK*SH, то есть SH = 1. Тогда HK = 4, следовательно, AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.

№2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB=6, AD=8, CC1=16. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Решение.

Плоскости ABC и A1DB имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр AH к BD. По теореме о трех перпендикулярах A1HBD. Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и A1DB – это угол A1HA. Из прямоугольного треугольника BAD находим:

Из прямоугольного треугольника A1AH находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

№3.Дан прямоугольный параллелепипед АBСDA1B1C1D1 со сторонами AB=2, BC=4, AA1=6. Найдите Н - расстояние от точки D до плоскости АСD1

Решение.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Искомым расстоянием будет высота h пирамиды ACD1D, опущенной из вершины D на основание ACD1
Вычислим объем пирамиды ACD1D двумя способами.

Вычисляя, первым способом за основание примем ∆ ACD1, тогда

Вычисляя, вторым способом за основание примем ∆ ACD, тогда

Приравняем правые части последних двух равенств, получим

Из прямоугольных треугольников АСD, ADD1, CDD1 найдем гипотенузы, используя теорему Пифагора

Вычислим площадь треугольника ACD

Вычислим площадь треугольника АСD1, используя формулу Герона