Проценты. Вычисление процентов от числа и числа по известному проценту, выражение отношения в процентах.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать представления обучающихся о процентах, разработать с учащимися методы нахождения процента от числа, числа по его проценту, процентного отношения, рассмотреть использование этих методов при решении несложных задач.

Добрый день, дорогие ребята!

В повседневной жизни вам наверняка приходилось слышать слово «процент» и видеть значок, его обозначающий. Они встречаются во всех сферах деятельности человека. Например: загрузка файла выполнена на 53 %, победитель конкурса набрал 82 % голосов, жирность сметаны составляет 20 % и т. д. На клавиатуре компьютера даже есть специальная клавиша со значком процента. О процентах знали и в Древнем Вавилоне, и в Древней Индии, и в Древнем Риме. С процентами вы познакомились в младших классах, а сегодня вы разберётесь с этим понятием подробнее и научитесь решать основные задачи на проценты.

Начнём по порядку. Вспомним, что понимают под словом «процент».

Процент от некоторой величины – это одна сотая её часть. Чтобы найти один процент от величины, нужно разделить её на сто.

Для обозначения слова «процент» применяют знак %.

1 % – это величины. Очевидно, что вся величина составляет 100 сотых своих долей, или 100 %. Например, если на коробочке с соком вы видите надпись «100 % натуральный сок», то вы вправе ожидать, что в данном соке нет никаких дополнительных ингредиентов.

Слово «процент» происходит от латинского термина «pro centum», и в переводе означает «на 100». Выражение «на 100» можно встретить и в современной речи. Например: «По результатам одного из опросов, в России на каждые 100 человек старше 18 лет приходится 70 пользователей Интернета». Это означает, что 70 % населения России, старших 18 лет, пользуются Интернетом.

Существует разные версии происхождения символа %. По одной из версий, он появился в XVII из-за опечатки. В одной из книг наборщик по ошибке слово «cto» которым тогда обозначали проценты, принял за дробь и напечатал «%».

Любое число процентов можно записать в виде десятичной или обыкновенной дроби.

Чтобы выразить проценты числом, надо число процентов разделить на 100.

Например: .

Полезно помнить некоторые часто встречающиеся проценты и соответствующие им дроби.

Проценты

10 %

20 %

25 %

50 %

75 %

Дроби

Наоборот, чтобы выразить число в процентах, нужно умножить его на 100 и дописать знак процента.

Например:

И в повседневной жизни, и при решени задач, полезно понимать разные формулировки одного и того же изменения величины: без процентов и с процентами. Например: в сообщениях телевизионных новостей «За последнюю неделю заболеваемость гриппом увеличилась на 50 %» и «За последнюю неделю заболеваемость гриппом увеличилась в 1,5 раза» говорится об одном и том же.

В этом легко убедиться, если проиллюстрировать изменение величины с помощью схемы.

Аналогично, увеличить в 2 раза – это значит увеличить на 100 %», увеличить в 3 раза – это значит увеличить на 200 %, уменьшить в 2 раза – это уменьшить на 50 %.

При всём многообразии задач на проценты, мы можем выделить три основных типа задач.

Познакомимся с ними подробнее.

Рассмотрим задачу:

Туристы за первый час прошли 30 % всего маршрута. Сколько километров прошли туристы за первый час, если весь планируемый путь равен 20 км?

1 способ:

Будем рассуждать, опираясь на определение процента, так как вы это делали в младших классах.

Сначала найдём, сколько км приходится на 1 % всего пути. Очевидно, весь путь – это 100 %. Значит, нужно 20 км разделить на 100.

Теперь вычислим 30 % пути, для этого 0,2 умножим на 30.

2 способ:

Вы знаете, что 30 % какой-либо величины – это этой величины. Чтобы найти от 20 км, нужно умножить на 20.

Понятно, что мы получили такой же ответ.

В данной задаче мы находили 30 % процентов от числа 20. Для этого мы выразили 30 % дробью и умножили на 20. Такой тип задач называется «Нахождение процента от числа». Сформулируем правило в общем виде:

Чтобы найти процент от числа нужно выразить процент дробью и умножить на это число.

Например, 180 % от 50 кг равны

Рассмотрим следующую задачу:

В школьной библиотеке 80 % книг – это учебники. Сколько всего книг в библиотеке, если учебников насчитывается 12000 штук?

1 способ:

Начнём решать, опираясь на определение процента.

12 000 учебников – это 80 % от общего количества книг. Найдем, сколько книг приходится на 1 %. Для этого разделим 12 000 книг на 80.

Общее количество книг в библиотеке соответствует 100 %, значит, чтобы найти это количество, нужно 150 умножить на 100.

2 способ:

Вы знаете, что 80 % какой-либо величины это . В данной задаче всех книг равны 12 000.Чтобы найти всё количество книг, нужно 12000 разделить на .

Т. е.

Мы получили такой же ответ.

В данной задаче мы находили число, зная его часть, а именно, что 80 % этого числа равны 12 000. Для этого мы 12 000 разделили на 80 %, выраженных дробью. Такой тип задач называется «Нахождение числа по его проценту».

В общем виде это правило звучит так:

Чтобы найти число по его проценту, нужно разделить часть числа, соответствующую данному проценту, на число процентов, выраженных дробью.

Например, если 9 % некоторой суммы денег составляют 360 рублей, то вся сумма равна

Рассмотрим следующую задачу:

В 6А классе учится 12 девочек и 18 мальчиков. Сколько процентов составляют мальчики от общего числа учеников в классе?

Общее число учеников в 6А классе равно 30. Вы умеете находить отношение числа мальчиков к общему числу учеников класса, это будет дробь . Выразим дробь в процентах. Мы сегодня вспоминали, что для этого нужно дробь умножить на 100 и дописать знак процента. . Т. о. число мальчиков составляет 60 % от общего числа детей 6А класса. В данной задаче, для того, чтобы узнать, сколько число 18 составляет от числа 30, мы составили отношение этих чисел и выразили его в процентах, т. е. нашли процентное отношение этих чисел. Отношение, выраженное в процентах, называется процентным отношением двух чисел. Такой тип задач так и называется «Нахождение процентного отношения двух чисел».

Сформулируем правило:

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно найти отношение этих чисел и выразить его в процентах.

При решении задач с процентами нужно в первую очередь понять, какая из сравниваемых величин принимается за 100 %, и какое из трёх правил необходимо применить.

Следует запомнить, что за 100 % принимается та величина, с которой сравнивается другая.

Например, вопрос: на сколько процентов число 4 меньше числа 5?

Число 4 сравнивают с числом 5, значит за 100 % следует принять число 5. Найдем сколько процентов составляет число 4 от числа 5, . Значит, число 4 на 20 % меньше числа 5.

Сформулируем вопрос по другому: на сколько процентов число 5 больше числа 4?

Число 5 сравнивают с числом 4, значит за 100 % следует принять уже число 4. Найдем, сколько процентов составляет число 5 от числа 4, . Значит, число 5 на 25 % больше числа 4. Согласитесь, что действительно важно понять, какую величину следует принять за 100 %.

Давайте рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 1.

Согласно российскому законодательству человек с каждого заработка обязан платить подоходный налог в размере 13 %. Какой налог должен заплатить человек, имеющий заработную плату 22 000 рублей?

Рассуждаем: 100 % – это заработная плата без вычета налога. Мы должны вычислить 13 % от 22 000 р., т. е. найти процент от числа, это 1 тип задач. Значит, нужно выразить 13 % дробью и умножить на 22 000.

Т. е.

Ответ: 2860 рублей.

Рассмотрим ещё одну задачу:

За сборку шкафа покупатель должен заплатить 420 рублей, что составляет 7 % от стоимости шкафа. Сколько стоит шкаф

Рассуждаем: 100 % – это стоимость шкафа, 7 % – это 420 рублей. Мы должны найти число по его проценту, это 2 тип задач.

Значит, нужно 420 разделить на 7 %, выраженных дробью. Т. е.

Ответ: 6000 рублей.

Предлагаю решить ещё одну задачу:

В школе учится 1200 учеников. Из них в день выборов председателя совета старшеклассников проголосовали 780 школьников. Сколько процентов школьников приняли участие в голосовании?

Рассуждаем. 100 % – это число учеников в школе. Нам нужно найти, сколько процентов от их количества составляют 780 учеников, т. е. нам нужно вычислить процентное отношение. Для этого мы 780 разделим на 1200, умножим на 100 и припишем знак процента.

Ответ: 65 %.

Дорогие ребята, нам пора подводить итоги!

Давайте ещё раз остановимся на основных правилах и формулировках, изученных сегодня на уроке.

Процент от некоторой величины – это одна сотая её часть.

Чтобы выразить проценты числом, надо число процентов разделить на 100.

Чтобы выразить число в процентах, нужно умножить его на 100 и приписать знак процента.

Чтобы найти процент от числа, нужно выразить процент дробью и умножить на это число.

Чтобы найти число по его проценту, нужно разделить часть числа, соответствующую данному проценту, на число процентов, выраженных дробью.

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно найти отношение этих чисел и выразить его в процентах.

Отношение, выраженное в процентах, называется процентным отношением двух чисел.

Надеюсь, что при решении задач на проценты вы будете чувствовать себя спокойно и уверенно, так как имеете возможность пользоваться любым удобным для вас способом: опираться на смысл понятия процента, как вы это делали в младших классах или применять основные правила решения задач на проценты, изученные сегодня. Открою вам небольшой секрет: на следующем уроке вы узнаете, как можно решать задачи на проценты ещё одним способом, а именно – с помощью пропорции. Всего доброго!

Успехов в дальнейшем изучении математики!

1. Дополнительная информация:

Рекомендуемые тренажёры:

№ 1.Запишите число 0,456 в виде процентов:

А

4,56 %

Б

45,6 %

В

0,0456 %

Г

456 %

№ 2. Выразите 1,9 % числом:

А

19

Б

190

В

0,19

Г

0,019

№ 3. На сколько процентов изменилась величина, если она увеличилась в 5 раз?

А

увеличилась на 5 %

Б

увеличилась на 500 %

В

увеличилась на 600 %

Г

увеличилась на 400 %

№ 4. Продолжите предложение: « 45 %..»

А

больше половины

Б

Меньше четверти

В

Меньше трети

Г

Меньше половины

№ 5. Найдите 5 % от числа 7:

А

0,35

Б

1,4

В

3,5

Г

0,035

Проверь себя:

№ 1 – Б , № 2 – Г , № 3 – Г , № 4 – Г , № 5 – А

Рекомендуемые тесты:

№ 1. Найдите число, если 8 % от него равны 21,6:

А

2,7

Б

27

В

270

Г

0,27

№ 2. Выплачена ли вся сумма займа, если в первый раз выплачено 75 %, а во второй раз – 25 % остатка?

А

да

Б

нет

№ 3. В магазине было 180 кг черешни. В первый день продано 60 % черешни. Сколько черешни не продано?

А

108 кг

Б

300 кг

В

40 кг

Г

72 кг

№ 4.Дима прочитал 180 страницы, что составило 60 % книги. Сколько страниц в книге?

А

300 страниц

Б

72 страницы

В

720 страниц

Г

30 страниц

№ 5 . Сколько процентов составляют 3 мм от 6 дм?

А

50 %

Б

0,5 %

В

5 %

Г

20 %

Ответы:

№ 1 – В, № 2 – Б , № 3 – Г , № 4 – А , № 5 – Б.