Простые и составные числа
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цели и задачи урока: ввести понятие простых и составных чисел; научить учащихся различать простые и составные числа; учить делать правильные математические выводы.

Предметные результаты: закрепление и расширение теоретических знаний о натуральных числах, формирование практических умений и навыков.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

В данном уроке рассмотрим простые числа.

Определение: натуральное число, большее 1, называется простым, если оно не имеет натуральных делителей, кроме 1 и самого себя.

Рассмотрим число 1 («единицу»). Конечно, но не имеет делителей, кроме 1 и самого себя, но оно имеет всего один делитель = самого себя = 1. И число «единицу» поэтому не считают простым.

Соответственно, уточненное определение: натуральное число, больше 1, называется простым, если оно не имеет натуральных делителей, кроме 1 и самого себя.

Определение: число, имеющее натуральный делитель, отличный от 1 и самого числа, называется составным.

Таким образом, натуральные числа бывают двух видов: простые, составные? Нет!

Натуральные числа бывают трех видов: простые, составные и отдельно число 1.

Рассмотрим способ как найти простые числа в натуральном ряду, который изобрел Эратосфен Киренский – «решето Эратосфена».

Запишем ряд натуральных чисел, начиная с 2.

Первое число - 2, будем простым. Ему не на что делиться, кроме 1 и 2.

Вычеркнем из этого ряда числа, которые делятся на 2, то есть четные.

Первое не вычеркнутое число – 3 будем простым, потому что оно не делится ни на что, меньшее его.

Вычеркнем теперь все числа, делящиеся на 3 (они могут совпадать с числами, вычеркнутыми раньше, например, 6).

Следующее не вычеркнутое число – 5, оно не делится ни на одно из предыдущих, оно не вычеркнуто и значит оно простое. Вычеркнем все числа, делящиеся на 5 (они могут совпадать с числами, вычеркнутыми раньше, например, 10).

Таким образом, вычеркивая постепенно все числа, и беря числа, оставшиеся не вычеркнутыми, мы получаем простые числа в ряду натуральных чисел.

Вопрос: как понять, является ли натуральное число простым.

Способы:

1. Можно написать решето Эратосфена для ряда чисел, включающего данное число (рассмотреть пример с любым числом, например, 239: придется написать ряд от 2 до 239 и вычеркивать оттуда числа).

2. Можно перебирать все простые числа, меньшие его, и смотреть, не делится ли наше число на какое-то из этих простых (если мы возьмем число 239 и будем перебирать все простые числа, меньшие его, то их получится достаточно много).

Важно!

1. Пусть у числа N есть делитель а, отличный от 1 и самого числа. Это значит, что N=ab (b – частное от деления N на а)

2. Пусть a≤b. Тогда N=ab≥a∙a=a2

Итак, если число составное, то у него есть делитель, квадрат которого меньше этого числа!

Пример определения является ли число 239 простым:

Чтобы узнать, простое ли число 239, достаточно проверить, делится ли оно на простые числа, не превосходящие 13, а таких числе достаточно мало: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Правило:

Чтобы узнать, является ли число простым, достаточно проверить, делится ли оно на простые числа, квадрат которых меньше данного числа.

Согласно теореме Евклида, простых чисел бесконечно много.