Решение задач на проценты.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать представления обучающихся о процентах, сформировать умение решать задачи на проценты с помощью правил нахождения процента от числа, числа по его проценту, процентного отношения, методом пропорций.

Добрый день, дорогие ребята!

На предыдущем уроке мы с вами рассмотрели три основных типа задач на проценты. Сегодня на уроке мы продолжим решать различные задачи на проценты. Поэтому давайте вспомним основные определения и формулировки, которые нам могут пригодиться.

Процент от некоторой величины – это одна сотая её часть.

Чтобы выразить проценты числом, надо число процентов разделить на 100.

Наоборот, чтобы выразить число в процентах, нужно умножить его на 100 и дописать знак процента.

Правило нахождения процента от числа:

Чтобы найти процент от числа нужно выразить процент дробью и умножить на это число.

Правило нахождения числа по его проценту:

Чтобы найти число по его проценту, нужно разделить часть числа, соответствующую данному проценту, на число процентов, выраженных дробью.

Правило нахождения процентного отношения двух чисел:

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно найти отношение этих чисел и выразить его в процентах.

На предыдущем уроке мы с вами отметили, что при решении задач с процентами нужно в первую очередь понять, какая из величин принимается за 100 %, и какое из трёх правил следует применить.

Ещё я просила запомнить, что за 100 % принимается та величина, с которой сравнивается другая.

Давайте приступим к решению задач.

Задача 1.

Костюм стоил 6400 рублей. Сначала его цену повысили на 20 %, а потом новую цену понизили на 10 %. Сколько стал стоить костюм после всех изменений?

Рассуждаем: Примем первоначальную цену костюма за 100 %. Найдём, на сколько рублей изменилась цена после повышения на 20 %. По правилу нахождения процента от числа вычислим 20 % от 6400 р.

– изменение в цене.

Найдём новую цену костюма:

– цена после повышения.

Новая цена 7680 рублей понизилась на 10 %. За 100 % примем теперь именно её. Найдём, на сколько изменилась цена костюма после понижения на 10 %. По правилу нахождения процента от числа вычислим 10 % от 7680 р. Сделать это очень легко, т. к. 10 % величины – это её десятая часть.

– изменение в цене.

Вычислим окончательную цену костюма:

Ответ: 6912 рублей.

Задача 2.

Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада на 8 %. Какая сумма была положена в банк, если в конце первого года величина вклада составила 43 200 рублей?

Рассуждаем: Примем сумму, положенную в банк, за 100 %.

В конце первого года величина вклада составила 43 200 рублей, что соответствует 108 %, т. к. 100 % + 8 % = 108 %. По правилу нахождения числа по его проценту, найдём сумму вклада, для этого разделим 43 200 р. на 108 %, предварительно выразив проценты дробью.

.

Задача 3.

Из 5000 ноутбуков, выпущенных фирмой А, в первый же год потребовали ремонта 125 штук. А из 3000 ноутбуков, изготовленных фирмой Б, в ремонте нуждались 90 штук. Какая из фирм выпускает более качественный товар?

Рассуждаем: Просто сравнивать количество бракованных ноутбуков нет смысла, так как фирмы изготавливают разное количество товара. Давайте вычислим, какой процент составляют бракованные ноутбуки у фирм А и Б. У фирмы А: , у фирмы Б: . Вычисленные нами процентные отношения позволяют сделать вывод, что фирма А выпускает более качественный товар.

Мы с вами сегодня решали задачи, используя правила нахождения процента от числа, числа по его проценту и правила нахождения процентного отношения двух чисел. При решении задач нужно быть внимательными, чтобы правильно определить тип задачи. При решении задач на проценты мы можем воспользоваться ещё одним методом – методом пропорций.

Рассмотрим задачу:

Задача 4.

Кофейные зёрна при жарке теряют 12,5 % своей массы. Сколько сырых зёрен нужно взять, чтобы получить 35 кг жареных зёрен?

Рассуждаем. Рассматриваемые величины: масса и проценты. Зависимость между ними прямо пропорциональная. Действительно, если массу зёрен увеличить в несколько раз, то соответствующее число процентов увеличится в такое же число раз. Обозначим массу сырых зёрен буквой х. Составим краткое условие. Если массу сырых зёрен мы примем за 100 %, тогда массе жаренных будут соответствовать 100 % – 12,5 % = 87,5 %.

Масса

Проценты

х кг

100 %

35 кг

87,5 %

Составляем пропорцию

Ответ: 40 кг

Согласитесь, что использование пропорций даёт нам универсальный метод решения задача на проценты.

В заключение предлагаю вам решить ещё одну интересную задачу, в которой на первый взгляд, как будто не хватает данных:

Задача 5.

Ширину прямоугольника увеличили на 20 %, а длину увеличили на 30 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

Надеюсь, вы понимаете, что неправильно будет просто сложить 2 0% и 30 %, ведь в данном случае проценты вычисляются от разных величин!

Рассуждаем: Мы не знаем конкретных значений длины и ширины прямоугольника. В таком случае, обозначим ширину прямоугольника буквой а, а длину – буквой b. После увеличения на 20 % ширина прямоугольника составит 120 % и станет равной

После увеличения на 30 % длина прямоугольника составит 130 % и станет равной .

Площадь исходного прямоугольника была равна аb. После увеличения длин сторон его площадь стала равной . Найдём, сколько процентов составляет новая площадь от исходной, для этого вычислим процентное отношение . Т. о. площадь увеличилась на 156 %.

Ответ: площадь увеличилась на 56 %.

Дорогие ребята, на этом ваше знакомство с процентами не заканчивается. На следующих уроках вы встретитесь с не менее интересными задачами. Советую попробовать решить некоторые задачи самостоятельно и получить удовольствие от собственных успехов!

Всего доброго!

1. Дополнительная информация:

Рекомендуемый практикум:

Решите тренажёры:

№ 1. Бригада должна отремонтировать участок дороги длиной 900 м. В первый день она отремонтировала 7 % дороги, во второй день – 12 % дороги. Сколько метров дороги отремонтировала бригада за 2 дня?

№ 2. В сентябре в школу-новостройку пришло 600 учащихся. К концу года число учеников увеличилось на 40 %. Сколько учеников стало учиться в школе к концу учебного года?

№ 3. Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 60 г сахара и 440 г воды?

№ 4. Продавец продал 20 % имеющихся для продажи яблок, что составило 40 кг. Сколько всего килограммов яблок было в продаже?

№ 5. Акварельные краски в январе стоили 400 р. В марте их цену повысили на 25 %, а в мае – понизили на 20 %. Сколько стали стоить краски в мае?

Ответы:

№ 1. 171м

№ 2. 840 учеников

№ 3. 12 %

№ 4.200 кг

№ 5. 400 р.

Рекомендуемые тесты:

№ 1. В каком случае процентное отношение больше: 8 отличников из 40 или 9 отличников из 50?

№ 2. На сколько процентов изменилась цена, если была 40 рублей, а стала 60 рублей?