Урок 85. Итоговое обобщение и систематизация знаний по темам «Обыкновенные дроби и смешанные дроби»
Предмет: Математика, 5 класс

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 85

Итоговое обобщение и систематизация знаний по темам «Обыкновенные дроби и смешанные дроби»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– дробь в математике;

– правильная дробь;

– неправильная дробь;

– смешанная дробь;

– несократимая дробь;

– сократимая дробь.

Тезаурус

Дробь в математике – число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильная дробь – это дробь, в которой числитель меньше знаменателя.

Неправильная дробь – это дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.

Смешанная дробь – это дробь, которая представляет из себя сумму натурального числа и правильной дроби.

Несократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель (1).

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

Список литературы

Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе», – однажды сказал Карл Якоби. Но стоит добавить, что математика становится ясной только тем, кто хочет её изучать. Мы изучали математику на протяжении большого количества занятий. И сегодня настал момент повторить некоторые новые понятия, изученные нами в 5 классе. Одно из таких понятий – дроби.

Давайте вспомним, что мы знаем о дробях.

Во-первых, дробь показывает какую-то часть от целого или единицы.

Например, дробь показывает одну девятую часть от единицы.

Любую дробь можно записать в виде буквенного выражения (рациональное число), где p – числитель, q – знаменатель.

Натуральное число можно тоже записать в виде дроби = р.

Во-вторых, дроби можно разделить на следующие виды: правильные, когда числитель меньше знаменателя, и неправильные, когда числитель равен или больше знаменателя.

Например, – правильная дробь, а и – неправильные дроби.

Дробь можно разделить и на другие виды: сократимые и несократимые

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

Например, .

Стоит отметить, что для любой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь.

Если же числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (т. е. имеют только один общий делитель (1), то такая дробь называется несократимой.

Например, .

Ещё есть дроби, которые называются смешанные, т. е. это дробь, которая представляет из себя сумму натурального числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть)

Например, смешанная дробь .

Теперь вспомним все изученные нами арифметические действия с дробями, а точнее, сложение, вычитание, умножение и деление.

Вспомним правило сложения (или вычитания) дробей. При сложении (или вычитании) дробей с одинаковым знаменателем, складываются числители, а знаменатель переписывают.

Например, сумма или разность .

При сложении (или вычитании) дробей с разными знаменателями, дроби приводятся к общему знаменателю, а затем складываются (или вычитаются) числители, а знаменатель переписывают.

Например, сумма одной второй и одной восьмой даст пять восьмых, а их разность даст три восьмых.

Чтобы найти сумму (или разность) смешанных дробей, необходимо сложить (или вычесть) отдельно целые части и отдельно дробные части, а затем сложить результат.

Например, так выглядит сумма и разность смешанных чисел четыре целых одна пятая и две целых две пятых:

Произведение дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Например,

Если дробь смешанная, то её надо записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения обыкновенных дробей.

5) Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Если дроби смешанные, то сначала их надо записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления обыкновенных дробей.

Решим задачу из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона: трое рабочих могут выполнить работу, при этом А сможет выполнить её один раз за 3 недели, В – три раза за 8 недель, С – пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. Следует считать, что в неделе 6 рабочих дней по 12 часов.

Решение. Для решения задачи примем работу, которую выполняют рабочие, за 1. Тогда можно найти работу, которую выполняют рабочие А, В, С отдельно за неделю.

По условия задачи рабочий А выполняет работу 1 раз в 3 недели, следовательно, за неделю он выполнит работу, равную .

По условия задачи рабочий В выполняет работу 3 раз в 8 недель, следовательно, за неделю он выполнит работу, равную .

По условия задачи рабочий С выполняет работу 5 раз за 12 недель, следовательно, за неделю он выполнит работу, равную

Тогда вместе они в неделю могут выполнить следующую часть от работы:

Тогда всю работу они будут выполнять вместе:

(недель)

Так как в неделе 6 рабочих дней по 12 часов, то в неделю рабочие работают .

За недели они отработают:

часа.

Или

64 : 12 = .

Ответ: 64 часа = 5 дней 4 часа.

Тренировочные задания

№ 1. В классе 25 человек. Из них 10 человек ходят на танцы. Какая часть детей из класса не ходит на танцы?

Решение: для решения этой задачи найдём число детей, которые не ходят на танцы:

25 – 10 = 15

Теперь найдём ту часть детей, которая не ходит на танцы и сократим результат на 5:

Ответ: .

№ 2. На праздник в городе был устроен салют, длившийся ч. При этом выстрелы следовали друг за другом через мин. Сколько залпов салюта было сделано?

Решение: для решения этой задачи нужно перевести часы в минуты:

. – время салюта.

По условию задачи между выстрелами было Найдём частоту выстрелов:

выстрела.

Прибавим к этому количеству первый выстрел. Итого получается 54 + 1 = 55 выстрелов было на празднике.

Ответ: 55 выстрелов.