Вычитание, как сложение с противоположным. Коммутативность вычитания, как алгебраического сложения
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: расширить представления учащихся о вычитании; рассмотреть вычитание, как сложение с числом, противоположным вычитаемому.

Здравствуйте!

Давайте посмотрим на разность чисел 5 и 2. Нам всем известно, что это число 3, которое показывает, насколько число 5 больше, чем число 2.
Вообще говоря, всегда можно проверить, верно ли мы выполнили вычитание. Разумеется, проверка будет осуществляться с помощью сложения. Для проверки выполним 2+3=5.

Таким образом, мы можем сказать, что вычитание – действие, обратное сложению.

Каким образом мы тогда сможем вычислить разность чисел 2-5?

На прошлом уроке мы говорили, что такая разность означает смещение точки 2 на координатной прямой на 5 единичных отрезков влево. То есть 2-5=-3.

Тогда можно сказать, что разность чисел c и a – это такое число b, что выполнено равенство: a+b=c.

В нашем примере c=2, a=5, b=-3.

Проверим, верно ли мы выполнили вычитание: для этого вычислим 5+(-3)=2.

Так же заметим, что 2+(-5)=-3.

Таким образом, действие вычитания мы свели к действию сложения. Но не просто к сложению, а к сложению с числом, противоположным вычитаемому.
2 в последнем примере является уменьшаемым, 5 – вычитаемым, разность заменяется на сумму с числом, противоположным вычитаемому.

Следовательно, чтобы вычесть из числа число, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Запишем: c-a=c+(-a).
Этой формулой мы можем пользоваться, чтобы находить разность любых чисел: и отрицательных, и положительных.

Пример.
6-(-9)=6+(-(-9))=6+9=15.
-7-(-3)=-7+3=-4
-9-1,5=-9+(-1,5)=-(9+1,5)=-10,5

Для любых двух чисел можно найти число, равное их разности.
Формула для разности применима для любых чисел.
Например, для с=0: 0-а=0+(-а)=-а.
При а=0: с-0=с+(-0)=с+0=с.
Отсюда вывод: 0-а=-а, а-0=а.

Попробуем из суммы двух чисел вычесть третье число. Это можно сделать тремя способами.

Пример.
(10+3)-7=13-7=6
(10+3)-7=(10-7)+3=6
(10+3)-7=(3-7)+10=6

Подытожим: (a+b)-c=(a-c)+b=(b-c)+a.

Иначе говоря, чтобы из суммы вычесть число, можно сначала из любого слагаемого вычесть это число, затем прибавить второе слагаемое.

Продолжаем эксперимент.

Теперь из числа мы будем вычитать сумму двух чисел.
12-(3+15)=12-18=-6
12-(3+15)=(12-3)-15=-6
12-(3+15)=(12-15)-3=6

Приведённая ситуация очень похожа на школьный буфет: вне зависимости от того, что вы купите первым, а что вторым из булочки и чая, карманных денег останется ровно столько, сколько было изначально минус стоимость булочки и минус стоимость чая.

Подведём итог и запишем обнаруженное свойство в буквенной форме.
a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b.

Другими словами, если из числа предлагается вычесть сумму двух чисел, то можно вначале вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем второе.
Проверим на конкретных примерах другое свойство: если из числа вычитать разность двух чисел, то можно вначале вычесть уменьшаемое, а затем прибавить вычитаемое.
a-(b-c)=(a-b)+c.

Пример.
Выполним вычисления:

3,8-6,4 = 3,8+(-6,4) = -(6,4-3,8)=-2,6

(-7,2)-2,8=-7,2+(-2,8) = -10

(-3 2/15) – (-5 7/18) = -3 2/15 + 5 7/15 = 5 7/18 – 3 2/15 = 2 23/90

-5,3-(-5,3) = 0

0-7,1 = 0+(-7,1) = -7,1

0 – (-7 10/11) = 0 + 7 10/11 = 7 10/11

Подведём итог: сегодня мы разобрали, что вычитание, есть не что иное как сложение с числом, противополжным вычитаемому. Это знание в дальнейшем нам очень пригодится при вычислениях значений выражений.