Простейшие уравнения с модулем
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления о модуле числа, разработать с учащимися методы решения уравнений, содержащих знак модуля, а также научиться использовать эти методы при решении задач.

Здравствуйте, наша задача на сегодня с вами это развитие практических умений в области решения уравнений, содержащих модуль. К концу занятия мы будем решать уравнения, содержащие один, два, три модуля.

Но для начала. Повторим два определения модуля.

Модулем числа а называется расстояние от точки до начала координат.

Модулем числа а называется само число, если число неотрицательное и ему противоположное, если число отрицательное.

Уравнение, в котором переменная находится под знаком модуля, называется уравнением с модулем. Как и раньше : Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

Решить уравнение можно используя геометрический смысл понятия модуль.

Решить уравнение | х | = а, значит найти все точки на числовой оси расстояние от которых до точки О — начала отсчета равно а.

Рассмотри три случая:

а - положительное число, a > 0

| х | = а

х1 = а или х2=-а

или часто записывают х= = ± а

Получаем два корня в ответе.

Ответ: х = ± а

а = 0

| х | = а, то есть | х | = 0, расстояние равно 0, значит и х = 0

х=0

Получаем один корень в ответе.

Ответ: х=0

а — отрицательное число, a < 0

| х | = а, (a < 0)

| х | < 0

то есть получается, что расстояние от точки а до начала отсчета число отрицательное,

такого быть не может, значит, такое уравнение не имеет корней, потому что не имеет смысла.

Получаем, что корней нет, или пустое множество решений.

Ответ : ∅ .

Таким образом, в зависимости от числа а уравнение с модулем может иметь два, один или не одного корня.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить уравнение | х | = 8

Расстояние от точки х до начала координат должно равняться 8, таких точек на координатной прямой две х1 = 8 или х2= -8

Решений у уравнения два.

Сделаем проверку: | 8 | = 8, | -8 | = 8.

Пример 2. Решить уравнение | х | = -12

Расстояние не может быть отрицательным, значит, решений нет

Пример 3. | х - 7| = 2

Расстояние от точки х до точки 7 должно быть равно 2. Таких точек на координатной прямой две х=9 и х=5.

(рисунок 5)

Проверка: | 9 - 7| = 2, 2=2

| 5 - 7| = 2, 2=2

Давайте рассмотрим решение уравнений, содержащих знак модуля алгебраическим методом.

Если | х | = а, (и при этом а ≥ 0), то уравнение равносильно совокупности двух систем

Но чаще используют такую запись х= ± а.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.

| х | = 7,

х= ± 7

Пример 5.

| х | - 4 = 9,

| х | = 9 + 4

| х | =13

х= ± 13

Пример 6.

3 | х | = 12

| х | = 12: 3

| х | = 4

х= ± 4.

Обращаем внимание, что какое бы уравнение не было, сначала приводим его к простейшему виду, и затем находим модуль.

Пример 7.

| х - 3| = 9

х - 3 = ± 9

два уравнения

х - 3 = -9 или х - 3 = 9

х= -9+3 х = 9+3

х=-6 х=12

Сделаем проверку

| -6 - 3| = 9 , | 12 - 3| = 9.

Общий итог:

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. Уравнение, содержащее модуль приводим к виду | х | = а и находим решение в зависимости от знака числа а.

Если a > 0, то х = ± а.

Если а= 0, то х=0.

Если а < 0, то решений нет.

Подведём итоги урока: решить уравнение – найти все его корни или доказать, что их нет. Уравнения, содержащие модуль, приводим к виду |x|=a и решаем в зависимости от а. (Возможны три варианта: если a>0, то x = ± а. если a=0, то x=0, и, наконец, если a<0, то решений у такого уравнения нет).

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1). Найдите количество корней уравнения:

| х | = - 2

| х | = 17

| х | - 21 = 30

| х | + 12 = 6

| х + 4 | = 0

| х - 5 | = 8.

Рекомендуемые тесты:

1). Решите уравнения

| х | = 7

| х | - 2 = 10

| х | + 6 = 12

| х + 4 | = 1

| х - 2 | = 11

| х + 8 | = 0

2) Решите уравнения:

| | х |+ 3| = 7

| | х - 1 | + 5| = 3

| | | х - 3 | + 6| +1| = 7