Этапы решения задач на построения
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: дать представление о задачах на построение, познакомить учащихся с задачами на построение, средствами, которые используются при решении таких задач, этапами решения задач и их важностью в геометрии на простейшем примере.

Здравствуйте! Задачи на построение – важнейший элемент геометрии. Построения выполняются только циркулем и линейкой. Таким образом, мы располагаем 2-мя инструментами. С помощью 1-го строим прямые линии и их части (отрезки, лучи), с помощью 2-го – окружности и их части (дуги), а также откладываем заданные расстояния.

Этапы решения задач на построение.

Решение задачи на построение предусматривает 4 этапа:

· Анализ

· Собственно построение

· Доказательство

· Исследование

Рассмотрим каждый этап подробнее.

Анализ

На этом этапе:

· предполагаем, что задача решена,

· набрасываем схематичный рисунок

· анализируем его, в поисках соотношений, которые помогут строить

· определяем алгоритм построения

Построение

На этом этапе пошагово реализуется найденный алгоритм.

Все шаги последовательно фиксируются, а именно – действия и их возможные результаты.

Доказательство

На этом этапе доказывается, что результаты построения соответствуют условиям задачи.

Для доказательства используются аксиомы и теоремы из предшествующего курса.

Исследование

На этом этапе исследуется, при каких соотношениях исходных данных задача имеет решение,

А также – сколько решений может иметь задача.

Пример. Построение биссектрисы угла.

Анализ: Пусть дан угол АВС.

Предположим, задача решена, и биссектриса ВМ построена.

Возьмём на построенной биссектрисе произвольную точку К.

Отложим на сторонах угла равные отрезки ВЕ и ВР.

Тогда треугольники КВЕ и КВР равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, КЕ = КР. Можно строить.

Построение

1. Ставим ножку циркуля в точку В и строим окружность. Обозначаем точки пересечения со сторонами угла Е и Р.

2. Строим пересекающиеся окружности с центрами Е и Р и одинаковыми радиусами. Обозначаем точку их пересечения К внутри угла АВС.

3. Строим луч ВК.

Доказательство.

1. В треугольниках КВЕ и КВР ВЕ=ВР по построению (п.1); КЕ=КР по построению (п.2); ВК – общая, следовательно, треугольники КВЕ и КВР равны по 3-му признаку.

2. Углы КВЕ и КВР равны как соответственные элементы равных треугольников.

3. ВК – биссектриса по определению, что и требовалось доказать.

Исследование.

У каждого угла существует единственная биссектриса, поэтому данная задача всегда имеет единственное решение.

Важный вывод.

Поскольку мы умеем делить угол пополам, мы можем поделить угол на любое количество равных частей, являющееся степенью 2.

Например: дан угол 28 градусов, построить угол 38 градусов.

Угол, смежный с исходным, имеет величину 152 градуса, а 38 – его четвёртая часть.

Подведём итоги.

Мы узнали, что такое задача на построения и каковы этапы решения таких задач.

Научились строить биссектрису угла.

Узнали, что одного этого умения может быть достаточно для построения самых разных углов.

1. Рекомендуемые тренажеры

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 149, № 150, № 151

2. Рекомендуемые тесты

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 154а, № 154б, № 154в