Урок 22. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №22. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

простейшие показательные уравнения;
решение показательных уравнений: замена переменной, разложение на множители;
однородные показательные уравнения;
графический метод решения показательных уравнений;
системы показательных уравнений и их решение.

Глоссарий по теме

Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.

Теорема - основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:

Здесь f и g функции вида: , коэффициенты.

Основная и дополнительная:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 216-220, 223-230.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 288 с.: ил. - ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.

Открытые электронные ресурсы:

https://ege.sdamgia.ru/ - решу ЕГЭ образовательный портал

http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Рассмотрим показательные уравнения.

Показательным называется уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.

Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.

В самом простом случае уравнение принимает вид: .

Так как множество значений показательной функции - множество положительных чисел, то при уравнение решений не имеет.

Теперь рассмотрим случай b>0.

Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонно возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. В случае 0<a<1 показательная функция монотонно убывает и также принимает все положительные значения, каждое ровно один раз.

Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , a>1.

Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , 0<a<1.

Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение , нужно число b представить в виде степени числа a.

Рассмотрим пример: .

Представим в виде степени числа 13: .

Теперь перепишем данное уравнение в виде: , поэтому x=2/5.

Ответ: x=2/5.

2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных уравнений.

2.1. Рассмотрим уравнение вида:

.

То есть мы видим, что левая часть этого уравнения представляет собой сумму, слагаемые которого отличаются коэффициентами и показатели степеней с одинаковыми основаниям отличаются слагаемыми .

Для решения таких уравнений левую часть преобразуют следующим образом: выносят за скобку степень (часто, чтобы избежать дробных коэффициентов, выносят степень с наименьшим показателем):

Мы видим, что выражение в скобках представляет собой число.

Поэтому выразим и решим простейшее показательное уравнение.

Рассмотрим пример:

.

Решение:

Преобразуем левую часть и вынесем за скобку :

x-1=0

x=1

Ответ: x=1.

2.2. Рассмотрим еще одно уравнение, которое решается с помощью вынесения за скобку общего множителя.

.

Решение:

Преобразуем уравнение: перенесем степени с одинаковыми основаниями в одну часть:

,

Вынесем за скобку множители с одинаковыми показателями:

, .

Теперь преобразуем полученное уравнение к виду: . Для этого разделим обе части уравнения на и на 3:

.

x-0,5=1

x=1,5.

Ответ: x=1,5.

2.3. Еще один вид показательных уравнений – уравнения, сводящиеся к квадратным:

.

В этом случае вводят новую переменную: . Получим вспомогательное уравнение: .

После решения этого уравнения получим простейшие показательные уравнения.

Рассмотрим пример:

.

Решение:

Введем новую переменную: .

Запишем вспомогательное уравнение: .

. Вернемся к переменной х:

, .

Ответ:

2.4. Еще один вид уравнений, который сведется к решению квадратного или уравнения третей степени, это однородное уравнение.

Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:

Здесь f и g функции вида: , коэффициенты.

Однородные показательные уравнения решаются делением на или на и последующей заменой: .

Рассмотрим пример:

.

Решение:

Заметим, что , , . То есть уравнение можно записать в виде:

.

Разделим уравнение на , получим уравнение: . Теперь введем новую переменную: и получим вспомогательное уравнение:

, решим его:

.

, .

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Решите уравнение:

Решение: Запишем уравнение в виде:

Таким образом, уравнение является однородным относительно функций: и .

Разделим уравнение на и получим:

.

Введем новую переменную: .

Вспомогательное уравнение:

Вернемся к исходной переменной:

.

Ответ: .

Пример 2.

Решите систему:

Решение: Введем новые переменные: .

Рассмотрим вспомогательную систему:

.

Возведем второе уравнение в квадрат:

. Решим полученную систему относительно и .

или .

Так как , то есть положительные, то

или .

Вернемся к исходным переменным.

или .

Отсюда:

или .

Ответ: (1/6; 1/4); (1/4; 1/6)