Решение задач на выигрышную стратегию при безошибочной игре. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Сегодня мы продолжим говорить об играх. И для начала поговорим о справедливости.

Вот, например, если есть вазочка с конфетами, и вы решили сыграть с сестрой в такую игру: брать конфеты по очереди и есть. Как вы должны играть, чтобы всё было по-честному? Например, так: первый берёт сколько-то конфет, а второй берёт столько же. Логично? Ну да, если первый только не возьмёт больше половины вазочки, а то будет как в анекдоте: «– Гена, нам Шапокляк прислала 10 апельсинов, по 8 каждому. – Как по 8, Чебурашка? По 5 же! – Ну не знаю, я свои 8 уже съел…»

Так или иначе, то, о чём мы говорим (съесть столько же, сколько первый) – это ведь тоже стратегия! И это один из простейших примеров так называемой симметричной стратегии. О ней сегодня и пойдёт речь. Рассмотрим один пример, который мы разбирали в прошлый раз.

Задача 1. Двое по очереди ломают шоколадку 6 × 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

Решение. Помните? Задача-шутка! Да, там выигрывает первый, причём при любой игре обоих соперников. Но на этом простом примере можно проиллюстрировать и симметричную стратегию, что я сейчас и сделаю.

Будем доказывать, что выиграет первый, приведём его стратегию игры. Для начала разломаем шоколадку на две одинаковые части, например, 3 × 8. А дальше будем в точности копировать ходы второго, но на другой половинке. То есть если второй, например, отломил кусочек 3 × 2 от левой половинки, мы отламываем такой же от правой. Если дальше он будет что-то делать с одним из правых кусочков – делаем то же самое с левыми кусочками. И так далее. Понятно, что после нашего хода правые и левые кусочки всегда будут оставаться симметричными, так что если у второго будет ход, у нас он тоже будет. Значит, проиграть в эту игру мы не можем, а тогда проиграет второй.

Итак, мы увидели в действии симметричную стратегию. Посмотрим как она работает на другом, более простом примере.

Задача 2. Имеется две кучки камней – по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет в этой игре?

Решение. Здесь всё предельно ясно. Будем играть за второго – предъявим его стратегию выигрыша. Стратегия будет симметричной. Если первый берёт сколько-то камней из одной кучки, берём столько же из второй. Тогда после хода второго кучки останутся симметричными, а значит, на ход первого всегда найдётся симметричный ответ. Значит, второй проиграть не может, а тогда он и выиграет.

Теперь чуть-чуть усложним задачу.

Задача 3. Имеется две кучки камней – в одной из них 6 камней, а в другой – 7. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет в этой игре?

Решение. Как видите, здесь разное количество камней в кучках, так что решение из прошлой задачи может не сработать… Хотя позвольте! Просто будем играть не за второго, а за первого! Первым ходом уравниваем кучки, а дальше – повторяем ходы второго! После своего первого хода (взяв 1 камень) первый как бы превратился во второго из предыдущей задачи! Так что выиграет первый.

Кстати, мы только что затронули весьма популярную идею – свели задачу к уже решённой. На эту тему есть прекрасный математический анекдот. Физику и математику предлагают вскипятить воду в чайнике. В их распоряжении есть кран с водой и чайник. Каждый из них открывает кран, наливает воду в чайник, включает чайник. Дальше им даётся вторая задача: дан чайник уже наполненный водой. Нужно вскипятить воду. Физик включает чайник, а математик выливает воду из чайника и говорит, что задача сведена к предыдущей, которую мы уже умеем решать.

И это работает! Ведь и вы по жизни часто оказываетесь в уже знакомых, «решённых», ситуациях, которые для вас гораздо проще новых, неизведанных. Так что свести задачу к уже изученной – очень полезная идея, вооружайтесь! А мы перейдём к четвёртому примеру.

Задача 4. На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведённых ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

Решение. Казалось бы, где тут симметрия? Если её сходу не видно – давайте её заработаем! Прежде всего, нам нужны две «половинки», как это было с кучками камней и кусками шоколадки. Но если кучки нам были сразу даны, то шоколадку требовалось сперва разломать пополам… Что мы и сделаем! Только пополам «разломаем» – фигурально – круг. Сделаем первый ход – соединим отрезком первую и 11-ю точки. Тогда слева и справа от этого отрезка останется по 9 точек. Далее, для удобства занумеруем точки слева от 1 до 9 и справа от 1 до 9. Теперь если второй делает ход с одной стороны от первого отрезка, мы копируем этот же ход с другой стороны! Что важно: второй может делать либо ход слева, либо справа, так как пересекать отрезки запрещено. Ну а тогда на каждый его ход мы можем сделать симметричный! Значит, первый выиграет.

Что ж, сегодня я показал вам одну очень полезную стратегию игры – симметричную. Она работает не всегда, но в ряде задач работает, так что знать её надо обязательно. Решая тренировочные задачи обратите внимание, обосновали ли вы, что у играющего симметрично всегда найдётся симметричный ответ. Так например, если бы мы в задаче про отрезки сняли ограничение, что отрезки нельзя пересекать, то на ход, ведущий из левой половины в правую, не всегда можно было бы найти симметричный ответ. Так что будьте внимательны, и да пребудет с вами симметрия! До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Имеется две кучки камней – по 9 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет в этой игре? Ответ: второй.

2. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре? Ответ: второй.

3. Дана клетчатая доска 10 × 10. За ход разрешается покрыть любые 2 соседние клетки доминошкой (прямоугольником 1 × 2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре? Ответ: второй.

Рекомендуемые тесты:

1. Имеется две кучки камней – в одной из них 9 камней, а в другой – 8. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет в этой игре? Ответ: первый.

2. Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре? Ответ: второй.

3. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет в этой игре? Ответ: а) второй б) второй.