Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. Часть 1 (теория)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: расширить представления учащихся о сумме чисел; обучить сложению отрицательных чисел, а так же сложению отрицательного и положительного числа.

Здравствуйте!

Сегодня мы будем учиться складывать положительные и отрицательные числа.
Для этого нам потребуется очень такое важное понятие в математике, как модуль числа.

Что же это такое?

Возьмём два противоположных числа: а и –а.

В первом случае, а – положительное (тогда –а – отрицательное), а на второй координатной прямой а – отрицательное (тогда –а – положительное).
Заметим, что числа а и –а одинаково удалены от начала отсчёта. Для такого расстояния от этих точек до начала координат есть специальное название – модуль числа а.
Модулем числа а называется расстояние от точки, изображающей это число на координатное прямой, дор начала отсчёта. Модуль числа а обозначают так: |a|. Двумя вертикальными чертами обычно обозначают расстояние. Например, |AB| - длина отрезка АВ.

Пример. Узнаем, чему равен |5| и |-3|.

Из картинки следует, что |5|=5, |-3|=3.

Из того, что модуль числа – по сути, расстояние, мы можем сделать вывод, что модуль числа никогда не бывает отрицательным. Заметим так же, что модули двух противоположных чисел равны, поскольку противоположные числа равноудалены от начала отсчёта, то есть для точек с этими координатами верно, что расстояние от них до начала координат одинаковое.

|1/3|=|-1/3|

Сведём воедино свойства, нами обнаруженные:

|-a| = |a| (Модули противоположных чисел равны)
|0|=0 (расстояние от 0 до него же самого равно 0)
|a| >=0, для любого числа.

Если число положительно, то модуль равен самому числу, а если число отрицательно – то модуль равен числу, противоположному тому, что заключено в модуль.
Например, |-1/3|=1/3=-(-1/3). Последняя запись означает «число, противоположное числу, противоположному -1/3».
Оба этих свойства можно сформулировать так:

Теперь давайте посмотрим, что проиходит, когда склдывают два числа:
3+5

Иными словами, точка с координатой 3 перемещается на 5 единичных отрезков вправо. (Получается 8)
А что произойдёт, если к трём прибавить -5? 3+(-5).

Иначе говоря, точка с координатой 3 переместится на 5 единичных отрезков влево. (Получается -2)

То есть, прибавление отрицательного числа как бы перемещает нашу точку влево, а прибавление положительного числа перемещает точку вправо по координатной прямой.
Вообще, когда к числу а прибуаляют полжительно число b, то точка с с координатой а перемещается на |b| единичных отрезков вправо. В то же время, когда к числу а прибавляют отричательное число b, то точка с с координатой а перемещается на |b| единичных отрезков влево.

Пронаблюдаем иллюстрацию примера: (-3)+(-4).

Таким образом, точка с координатой «-3» переместится влево на 4 единичных отрезка. Отрицательное число как бы «утягивает» исходную точку влево, а полжительное – вправо.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно взять сумму их модулей со знаком «-».

(-3)+(-4)=-7.

То есть (-3)+(-4)=-(|-3|+|-4|)=-7

Рассмотрим ещё один пример.
(-3,25)+(-6,75) = -(|-3,25|+|-6,75|) = - (3,25+6,75) = -10.

Как быть, если мы складываем числа разных знаков? (Положительно и отрицательное)

Пример: (-2)+5.

Понятно, что число «-2» по нашему правилу сместится на 5 единичных отрезков вправо. То есть, мы «перешагнули» через 0 и в результате сумма стала положительным числом. (В данном случае, 3).

А что было бы, если мы бы рассматривали пример: (-10)+5?

Вряд ли бы мы «перешли» через 0, мы бы остались на стороне отрицательных чисел и получили бы «-5». Значит, в этой ситуации всё зависит от того, кто «победит»: «побеждает» то из двух чисел (Положительного и отрицательного), чей модуль больше.

Отсюда получаем простое правило.
Чтобы сложить числа разных знаков, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.

Пример.
9+(-7,5) = [|9|>|-7,5|]=+(9-7,5)=1,5.
(-9)+7,5=[|-9|>|7,5|]=-(9-7,5)=-1,5.

Подведём итог: сегодня мы с вами познакомились с алгоритмом вычисления значения суммы двух отрицательных чисел, а так же отрицательного и положительного чисел.