Описанная, вписанная и вневписанная окружности треугольника
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся со взаимосвязью между расстоянием от окружности до прямой и их взаимным расположением.

Здравствуйте!

Когда-то мы с вами говорили о двух прямых на плоскости, и совершенно определенно установили, что они могут либо пересекаться, либо быть параллельными друг другу. Давайте теперь рассмотрим окружность и прямую.

Для начала давайте определим, как они вообще могут взаимно располагаться. Наверняка они могут не иметь общих точек. Разумеется, одну общую точку они могут иметь (такое взаимное расположение называется касанием, а прямая – касательной к окружности), и две общие точки также вполне возможны (в таком случае прямую называют секущей). Может ли точек быть хотя бы три?

Пусть есть три точки пересечения. Заметим, что эти точки должны находиться на расстоянии радиуса от центра, то есть у нас получилось, что на прямой нашлось хотя бы три такие точки. Давайте проведем отрезки из центра в эти точки и рассмотрим треугольники, имеющие вершиной среднюю из данных точек. Один из них тупоугольный либо прямоугольный, но тогда сторона, содержащая среднюю точку меньше радиуса, что невозможно.

Итак, у нас есть три взаимно исключающих варианта, описывающих все возможные ситуации: нет общих точек, их одна, или их две. Кроме этого расстояние от центра до прямой может быть больше, меньше либо равно радиусу, а больше никак с радиусом быть сравнено не может.

Заметим, что эти возможности связаны между собой:

Теорема

1. Прямая является секущей по отношению к окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса

2. Прямая не имеет общих точек с окружностью тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой больше радиуса

3. Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда расстояние от ее центра до прямой равно радиусу

Если прямая является секущей, то расстояние до центра меньше радиуса: если она секущая, то есть две точки пересечения с окружностью, а значит имеем равнобедренный треугольник, в котором высота, опущенная к основанию, разумеется меньше боковой стороны, то есть радиуса.

Если прямая не имеет общих точек с окружностью, то расстояние от центра до прямой больше радиуса: если расстояние от центра до неё равно радиусу, то это означает наличие общих точек, а если меньше, то рассмотрим два луча, с началом в этой точке. Каждый из них пересекает окружность, в силу её ограниченности, а значит снова есть точка пересечения.

Если прямая является касательной к окружности, то расстояние от окружности до прямой равно радиусу: пусть расстояние больше, тогда нет точек пересечения, пусть меньше, тогда рассмотрим два луча с началом в этой точке, и значит точки пересечения две.

Если расстояние от центра меньше радиуса, то прямая является секущей.

Пусть не является, тогда она либо касательная, либо не имеет общих точек, но тогда расстояние соотносится с радиусом иначе.

Аналогично для оставшихся двух случаев.

Следствие:

Радиус, проведенный в точку касания прямой с окружностью перпендикулярен касательной.

Итак, сегодня мы с вами разобрались со взаимным расположением прямой и окружности.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Рекомендуемые задачи

1. Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 19: 3.2

Рекомендуемые тесты:

1. Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия, образцы вариантов контрольных работ по материалу главы 1. Вариант II: 3

2. Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия: № 18а, № 18б,