Сумма мер углов треугольника. Внешний угол треугольника.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с утверждением о сумме углов треугольника и основных следствиях из данного соотношения, а также с применением этого утверждения при решении задач.

Здравствуйте!

Некоторое время назад мы познакомились с вами со вторым признаком равенства треугольников, и нас довольно сильно сдерживало то, что углы требовались именно прилежащие к равным сторонам. Так ли необходимо данное условие? Нет ли возможности без него обойтись?

Оказывается, обойтись без этого можно, с помощью следующего факта:

Теорема.

Сумма мер углов треугольника равна 180о

Пусть дан треугольник АВС. Проведём через вершину А прямую, параллельную ВС, и выберем на получившихся лучах с началом в точке А точки В1 и С­1­. Углы BAB1 и ABC равны между собой как накрест лежащие углы при параллельных по построению прямых BC и B1C1 и секущей AB. Аналогично для углов CAC1 и ACB и секущей AC.

Заметим тогда, что развёрнутый угол при вершине А, мера которого 180о, равен сумме мер углов B­1AB, BAC и CAC1, или из доказанных равенств – сумме мер углов треугольника.

Следствия:

1. Если в двух треугольниках две пары углов равны между собой, то и третья пара углов равна между собой.

Действительно, каждый из оставшихся углов имеет меру равную разности 180о и сумме мер данных углов, и поскольку углы попарно равны, то и разности равны как разности равных величин.

Второй признак равенства треугольников работает даже в случае, если пары равных углов не является прилежащими к паре равных сторон.

Заметим, что по предыдущему следствию, если две пары углов равны между собой, то и оставшиеся углы равны между собой, значит, в частности, попарно равны и прилежащие к равным сторонам треугольника углы.

Сумма мер острых углов прямоугольного треугольника равна 90о.

Внешний угол треугольника (это угол, смежный с одним из углов треугольника) имеет меру, равную суммы мер углов треугольника, не смежных с ним.

Пусть дан треугольник АВС, в котором сторона АС продолжена за точку С. Пусть мера этого внешнего угла α, тогда смежный с ним угол треугольника имеет меру 180о – α, и так как сумма мер углов треугольника равна 180о, то сумма двух оставшихся углов треугольника равна 180о – (180о – α) = α, что и требовалось доказать.

На самом деле из этой теоремы следует ещё много интересного: и сумма мер углов многоугольников, и соотношение сторон и углов в треугольнике… Но всему своё время, не будем пока что забегать далеко вперёд и попробуем порешать задачи.

Пример 1.

Пусть мера угла R равна 3α, тогда мера угла P – 7α,а мера угла Q – 2α. Сумма мер углов данного треугольника с одной стороны 180о, а с другой 3α + 7α + 2α = 12α.

Т. е. 12α = 180о, а α = 15о. Т. о. мера угла R равна 45o, тогда мера угла P – 105o, а мера угла Q – 30o.

Пример 2.

Пусть QPM = 2α, тогда QPK = 7α = М + Q, и таким образом M = 3α, Q = 4α.

Как же найти α?

Можно из суммы мер углов треугольника МQP: 2α + 3α + 4α = 180o, α = 20o,

M = 60o, Q = 80o, QPM = 40o.

Можно иначе: углы QPM и QPK смежные, значит 2α + 7α = 180o. Далее аналогично.

Сегодня мы с вами доказали теорему о том, что у любого треугольника сумма его внутренних углов составляет 180 градусов, а также начали применять эту теорему для решения задач.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Найдите неизвестные углы треугольника.

Рекомендуемые тесты:

Найдите неизвестные углы треугольника.