Применение пропорций при решении задач. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать представления обучающихся о видах пропорциональной зависимости между величинами, сформировать умение решать задачи с помощью пропорции с учётом вида зависимости.

Добрый день, дорогие ребята!

Математика применяется практически во всех сферах деятельности человека. И пропорция, как универсальный метод решения, используется при решении задач в биологии, в географии, в медицине, в кулинарии, в архитектуре, в физике, в повседневной жизни человека.

Давайте вспомним основные этапы решения задач с помощью пропорции:

1) Определяем, о каких величинах идёт речь в задаче

2) Записываем, если нужно, краткое условие задачи

3) Составляем пропорцию с учётом вида зависимости

4) Решаем пропорцию

5) Записываем ответ

Обратите внимание на 3 этап решения: определение вида зависимости между величинами. В задачах, как вы уже знаете, чаще всего встречаются два вида пропорциональной зависимости: прямая и обратная.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. В задачах с прямой пропорциональностью мы составляем пропорцию , где х1 и х2 – это два значения одной величины, а у1 и у2 – два значения второй величины. Для прямой пропорциональности это означает, что, если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. В задачах с обратной пропорциональностью мы составляем пропорцию , где х1 и х2 – это два значения одной величины, а у1 и у2 – два значения второй величины. Для обратной пропорциональности это означает, что, если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Пропорция в кулинарии

Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся следовать рецепту, использовать тот перечень и то количество продуктов, которое указано в поваренной книге. Соль и специи мы добавляем тоже строго по рецепту. Т. е. мы соблюдаем пропорции. Это делается для того, чтобы блюдо получилось максимально вкусным. Кроме этого, пропорция позволяет рассчитать количество продуктов согласно количеству гостей.

Задача: (картинки двух чайных чашек разного размера) Дома я всегда пью чай из своей любимой чашки и добавляю 1 ложку сахара. Я пришла в гости к подруге. Она налила чай вот в такую чашку. Сколько я должна положить сахара в чай, чтобы он был с привычным уровнем сладости? (Две чашки, сахар, ложечка, салфетка, сахарница).

Вместимость первой чашки – 240 мл, второй – 360 мл.

Рассуждаем: рассматриваемые в задаче величины – это объём и количество сахара. Они прямо пропорциональны, т. к. чем больше объём жидкости, тем больше нужно положить сахара. Составим краткое условие. Обозначим неизвестное число сахара буквой х. Стрелками, направленными вверх, отметим увеличение величин.

Объём

Кол-во сахара

240 мл

1 л.

360 мл

х л.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Составим пропорцию .

Ответ: 1,5 ложки сахара.

Пропорция в медицине

(картинки с медицинской тематикой)

В медицинской практике врачи строго следят за правильной дозировкой лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – не помогает, в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима особая точность, иначе может получиться не лекарство, а яд.

Задача: (тематическая картинка) Для приготовления лекарственного отвара шалфея необходимо 15 г сухого шалфея залить 200 г кипятка. Сколько граммов шалфея необходимо для приготовления 500 граммов отвара?

Рассуждаем: Рассматриваемые в задаче величины: количество воды и количество сухого шалфея. Они прямо пропорциональны, т. к. чем больше кипятка, тем больше нужно шалфея. Составим краткое условие. Обозначим неизвестное количество шалфея буквой х. Стрелками, направленными вверх, отметим увеличение величин.

Масса воды

Масса

шалфея

200 г

15 г

500 г

х г

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины. Составим пропорцию

Ответ: 37,5 г сухого шалфея.

Пропорция в физике

(рисунки различных видов ножниц: канцелярских, портновских, маникюрных, парикмахерских, ножниц по металлу)

Вы не задумывались, почему существует столько видов ножниц? Канцелярские, портновские, маникюрные, парикмахерские, ножницы по металлу и т. д. Они отличаются друг от друга размерами, формой, устройством. Как вы думаете, почему ножницы для резания металла имеют более длинные рукоятки, чем ножницы, предназначенные для резания бумаги?

Всё дело в том, что ножницы относятся к простейшим рычагам. Более подробно вы познакомитесь с ними в 7 классе на уроках физики. Выигрыш, который даёт рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией , где F1 и F2 – действующие силы, а L1 и L2 – плечи рычага. Т.е. силы обратно пропорциональны плечам этих сил.

Для резки бумаги не требуется большой силы, поэтому рукоятки короткие. Ножницы для резки металла имеют рукоятки гораздо длиннее лезвий, так как сила сопротивления металла велика и для её уравновешивания плечо действующей силы приходится значительно увеличивать.
Пропорция в географии

На предыдущих уроках вы уже решали задачи, связанные с понятием масштаба. Давайте попробуем решить задачу такого типа с помощью пропорции.

Задача:

Отрезку на карте длиной 4,5 см соответствует расстояние на местности 18 км. Каково расстояние между городами на местности, если на этой карте расстояние между ними равно 14 см?

Рассуждаем: рассматриваемые в задаче величины – расстояние на карте и расстояние на местности. Очевидно, что они прямо пропорциональные величины, так как увеличение одной в несколько раз приводит к увеличению другой в такое же число раз.

Составим краткое условие. Обозначим неизвестное расстояние между городами буквой х. Обратите внимание, что при таком способе решения не нужно выражать все расстояния в одних единицах измерения, достаточно, чтобы значения каждой величины имели одинаковые наименования. Т. е. расстояния на карте, например, – в см, на местности – в км. Вид пропорциональности можно обозначить стрелками, направленными в одну сторону, или просто записать словами.

На карте

На местности

4,5 см

18 км

14 см

х км

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Составим пропорцию .

Проверим: нас просили найти расстояние на местности, оно было обозначено буквой х, мы нашли значение х.

Ответ: 56 км.

Отмечу, что, конечно, эту задачу можно было решить и по действиям, но тогда решение было бы более громоздким, потому что нам пришлось бы сначала найти масштаб карты, а потом искать нужное расстояние.

Пропорция в повседневной жизни человека

Задача: (Рисунок старинного двухколёсного велосипеда).

Маленькое колесо старинного двухколёсного велосипеда, имеющее длину окружности 2,4 м, при прохождении некоторого расстояния сделало 1250 оборотов. Сколько оборотов при прохождении этого же расстояния делает большое колесо, длина окружности которого равна 8 м?

Рассуждаем: рассматриваемые в задаче величины – длина окружности колеса и число оборотов. Эти величины обратно пропорциональны, так как с увеличением длины окружности несколько раз число оборотов уменьшится в такое же число раз.

Составим краткое условие. Обозначим неизвестное число оборотов буквой х. Вид пропорциональности можно обозначить стрелками, направленными в разные стороны, или просто записать словами.

Длина окружности

Число оборотов

2,4 м

1250 об.

8 м

х об.

Если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Составим пропорцию .

Ответ: 375 оборотов.

Дорогие ребята, сегодня на уроке мы с вами решали задачи из различных сфер деятельности человека. Надеюсь, что вы хорошо усвоили метод решения с помощью пропорций, и сможете в дальнейшем его применять на уроках математики, физики, химии, биологии, в повседневной жизни.

Всего доброго!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Решите задачи с помощью пропорции:

№ 1. Газопровод протяжённостью 18,5 км на карте изображён отрезком, равным 5см. Определите масштаб карты.

№ 2. Из 10 кг бананов получается 12 кг пюре. Сколько бананов понадобится для получения 15 кг пюре?

№ 3. Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько тонн руды необходимо для выплавки 10 т железа?

№ 4. Самолёт пролетел расстояние между двумя аэродромами за 6 ч со скоростью 850 км/ч. За сколько времени пролетит это расстояние другой самолёт, скорость которого на 150 км/ч больше?

№ 5. Для отопления здания заготовлено угля на 180 дней при норме расхода 0,6 т угля в день. На сколько дней хватит этого запаса, если расходовать 0,5 т угля в день?

Ответы:

№ 1. 1 : 3 700 00

№ 2.12,5кг

№ 3. 18 т

№ 4. 5,1 ч.

№ 5. 216 дней

Рекомендуемые тесты:

№ 1. На изготовление 8 деталей требуется г серебра. Сколько граммов серебра потребуется для изготовления 12 таких деталей?

№ 2. 24 человека за 6 дней пропололи участок клубники. За сколько дней выполнят ту же работу 36 человек, если будут работать с такой же производительностью?

№ 3. Воду из котлована планировали откачать за 30 дней с помощью 24 насосов. Сколько таких же насосов надо добавить, чтобы откачать воду за 20 дней?

№ 4. От своего дома до дома друга Коля ехал на велосипеде 0,8 ч со скоростью 12 км/ч. Обратный путь он проехал в автобусе за 0,3 ч. Найдите скорость автобуса.

№ 5. За 6 кг конфет заплатили 510 рублей. Сколько килограммов таких конфет можно купить на 1190 рублей?

№ 1. 1,8 г

№ 2. 4 дня

№ 3. 12 насосов

№ 4. 32 км/ч

№ 5. 14 кг

ножницы рычаг

https://yandex.ru/images/search?text=%D1%80%D1%8B%D1%87%D0%B0%D0%B3%20%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D1%86
%D1%8B&img_url=http%3A%2F%2F900igr.net%2Fdatas%2Ffizika%2FRychagi%2F0002-002-Nozhnitsy-eto-rychag.jpg&pos=0&rpt=simage