Задание области на плоскости.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомить с понятием области, обсудить различные способы задания области на плоскости, решить задачи, связанные с аналитическим заданием области на плоскости.

Всем привет!

Ребята, думаю, каждый из вас видел карту нашей страны. Взглянем на административную карту нашей страны.

Наша страна разделена на много-много кусочков, которые называются субъектами РФ. У нас есть края, округа, области, республики. У каждого субъекта свои границы. Т.е. если говорить простым языком, то наша страна разбита различными замкнутыми кривыми на участки. Какие-то участки больше, какие-то меньше. Все они различны. Главное, что мы должны подчеркнуть из этого разговора, что все субъекты отделяются какими-то кривыми. А кривые – это понятие математическое. Сейчас мы медленно перейдем к теме нашего занятия. Сегодня будем учиться разделять плоскость на кусочки, которые называются областями.

Глядя на нашу карту, несложно сказать, что же из себя представляет область. Область – это часть плоскости, которая ограничивается геометрическими линиями. Возьмем в руки циркуль и построим окружность произвольного радиуса. Вот и появилась первая область. Причем даже две области. Первая область - круг, но есть еще и внешняя область. Линия, которая разбивает плоскость – окружность.

Теперь вспоминаем, как строить прямоугольную систему координат. Строим её. Мы построили систему координат на листе бумаге, тем самым разбили лист на четыре области. Разбиение произвели взаимно перпендикулярными числовыми прямыми.

Итак, начнем работать с данной системой. Будем в ней задавать различные области. Отметьте, пожалуйста, точка А с координатами (-6;-5), точка В с координатами (0;2), точка С с координатами (5;0). Соедините последовательно эти точки: А с В, В с С, С с А. Какую геометрическую фигуру вы получили? Верно, это треугольник. А теперь рассмотрим полученную фигуру как область. Первый вопрос: чем ограничена данная область? Второй вопрос: Сколько областей мы получили?

Даю вам три минуты на размышление. Сверяем ответы. Первый ответ: область ограничена отрезками АВ, ВС и АС. Второй ответ: две области (внутренняя и внешняя). Строя область, мы с вами всего лишь воспользовались предыдущим багажом знаний!

Построим новую систему координат и отметим в ней следующие точки с координатами: (2;6), (6;8), (8;4), (4;2). Соединяем последовательно точки. Должны получить четырехугольник, который является квадратом.

Данная фигура получилась из пересечения отрезков и разделила первую координатную четверть на две области внутреннюю и внешнюю.

На примере двух известных вам геометрических фигур, я вам показал, как можно задавать область на плоскости.

Теперь зададим плоскость следующими точками: А(0;3), В (-1;-1), С(-3;-1), D(-1;0), E(-2;-2), F (0;-1), G (2;-2), K (1;0), L (3;1), M (1;1). А теперь включаем фантазию и соединяем точки так, как вы хотите.

На данном чертеже мы получим множество областей, здесь будут треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и даже звезда. Области на этом чертеже пересекаются, к примеру, (KFG) и (KGL), лежат одна в другой, к примеру, область (AML) лежит в области (ACEGL).

А что если нужно задать область не линией на чертеже, а алгебраически? Например, все точки, которые заданы условием: x > 0. Что это? Верно, это правая полуплоскость. А как насчет ? А это будет полоса, от -2 до 2. Впрочем, можно делать и два условия, например: . Что это? Конечно, квадрат 4х4!

А сейчас пришло время сделать выводы о задании области на плоскости:

1. Область получается из геометрических линий, достаточно в прямоугольной системе координат отметить точки и затем их соединить.

2. Области могут пересекаться и лежать друг в друге.

3. Областей множество.

4. Любая фигура разделяет плоскость на внешнюю и внутреннюю плоскость.

На этом наше занятие заканчивается, а я желаю вам успехов в вашем обучении. И помните, что область своих знаний нужно всегда расширять!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Постройте область по точкам (-5,7), (-7,9), (-5,10), (-4,9), (-3,10), (-3,8), (-2,8), (-4,7), (-3,3), (-1,2),(1,5), (4,5), (6,1), (4,2),(2,0), (4,1),(6,-2), (3,-1),(5,-4),(1,-2),(-1,-3),(-1,-6), (0,-7),(-4,-7), (-2,-6), (-3,-3), (-6,-1), (-7,5), (-8,4), (-7,6), (-9,7), (-7,7),(-6,8). Точки соединяйте последовательно.

2. Постройте область, задаваемую условием .

3. Постройте область, задаваемую двумя условиями: .

Рекомендуемые тесты:

1. Найдите определение слову «область». Выпишите все возможные и подчеркните то, которое больше подходит для математики.

2. Постройте область, задаваемую условием .

Постройте область, задаваемую двумя условиями: .