Урок 35. Вероятность произведения независимых событий
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №35. Вероятность произведения независимых событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Теорема умножения вероятностей;
Формула полной вероятности;
Вероятность произведения двух и более независимых событий.

Глоссарий по теме

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается PA(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Гипотеза – одно из событий, которые могут привести к появлению данного события.

Формула полной вероятности

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B1, B2, B3, …, Bn, которые образуют полную группу. Будем называть события B1, B2, B3, …, Bn гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B1), P(B2), P(B3), …, P(Bn) и соответствующие условные вероятности наступления события А PB1(A), PB2(A), PB3(A), …, PBn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A) = P(B1)·PB1(A) + P(B2)·PB2(A) + P(B3)·PB3(A) +…+ P(Bn)·PBn(A).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1. с. 194-197

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Задача.

Студент из n билетов знает ответы лишь на m билетов. Найдите и сравните вероятности событий, что студент сдаст экзамен, взяв билет первым, студент сдаст экзамен, взяв билет вторым.

Решение.

Если студент берет билет первым, то вероятность равна m/n (по классическому определению вероятности).

Если студент берет билет вторым, тогда возможны две гипотезы: В1 - первый отвечающий забрал «хороший билет», В2 - первый отвечающий забрал «плохой билет». Р(В1)=m/n, Р(В2)=(n-m)/n. По формуле полной вероятности

, где Р(А) – вероятность сдать экзамен, идя вторым.

Вероятности равны.

Вспомним теорему произведения вероятностей в общем виде.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB)=P(A)∙PA(B)

Отметим, если события независимы, получаем выражение теоремы произведения вероятностей независимых событий: P(AB)=P(A)·P(B).

Введём формулу полной вероятности.

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B1, B2, B3, …, Bn, которые образуют полную группу. Будем называть события B1, B2, B3, …, Bn гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B1), P(B2), P(B3), …, P(Bn) и соответствующие условные вероятности наступления события А PB1(A), PB2(A), PB3(A), …, PBn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A)=P(B1)·PB1(A)+P(B2)·PB2(A)+P(B3)·PB3(A)+…+
+P(Bn)·PBn(A).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Из 20 экзаменационных вариантов по математике 3 варианта содержат простые задачи. Пятерым учащимся произвольно выдают варианты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется вариант с простыми задачами.

1) 137/228

2) 91/228

3) 15/39

4) 41/80

Решение:

A – хотя бы одному из пяти учащихся достанется простой вариант, сформулируем противоположное событие Ᾱ – всем пятерым достанутся непростые варианты.

Данные события являются противоположными, поэтому P(A) + P(Ᾱ) = 1.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

P(Ᾱ) =17/20·16/19·15/18·14/17·13/16 = 91/228

Тогда P(A) = 1 – P(Ᾱ) = 1 – 91/228 = 137/228 – искомая вероятность

Ответ: P(A) = 137/228 ≈ 0,6.

№2. В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар, равна:

0,4
0,48
0,52
0,6

Решение:

Рассмотрим зависимое от того, какие по цвету шары переложат из первой урны во вторую, событие А= «из второй урны извлечён белый шар».

Событие А наступает в одном из следующих случаев:

B1 – из первой урны во вторую будут переложены два белых шара;
B2 – будет переложен белый и чёрный шар;
B3 – будут переложены два чёрных шара.

Вычислим вероятность наступления события А в каждом из случаев.
Переложить два шара из первой урны можно способами.

C32 = 3 способами можно извлечь два белых шара из первой урны.

Тогда – вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 белых шара.

В этом случае во второй урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. По классическому определению вероятности: PB1(A) = 6/10 = 3/5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены 2 белых шара.

2) C31·C21 = 3·2 = 6 способами можно извлечь белый и черный шары из первой урны.

– вероятность того, что из первой урны будут переложены белый и черный шар.

В этом случае во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. Таким образом, PB2(A) = 5/10= 0,5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

C22 = 1 способом можно извлечь два черных шара из 1-й урны.

– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 черных шара.

В рассматриваемом случае во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Тогда PB3(A) = 4/10 = 2/5 – вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий получаем: P(A) = P(B1A + B2A + B3A) = P(B1A) + P(B2A) + P(B3A) = P(B1)·PB1(A) + P(B2)·PB2(A) + P(B3)·PB3(A) = 3/10·3/5 +3/5·1/2 +1/10· =13/25 = 0,52 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

Ответ: 3) 0,52