Решение задач на движение и работу. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: Осветить основные принципы решения задач на движение и добиться понимания приложения изученной взаимосвязей в количественном варианте.

Предметные результаты: отработать приемы решения задач на движение, совершенствовать вычислительные навыки.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте, уважаемые дамы и господа. Изучая математику и применяя её бывает полезно уметь рассуждать. Ведь чтобы обнаружить какое-то свойство или правило без рассуждений не обойтись. Постоянно они нужны и при решении задач.

Среди всяких задач, которые приходится решать нередко появляются и задачи на движение. В них движется всё: пешеходы, самокаты, самолеты, автомобили, велосипеды, мотоциклы, поезда… Желательно уметь решать такие задачи, к чему мы вместе с вами и будем стремиться, и для этого попробуем разобраться с основными ситуациями которые могут случиться.

Поскольку как называется то, что движется нас совершенно не волнует, то давайте рассмотрим ситуацию, где двигаться будут одни и те же лица: Антон ходит пешком со скоростью 4 км/ч, а Иван ездит на велосипеде со скоростью 20 км/ч.

1. Вводная задача

Итак, Антон и Иван отправились навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км. а) на какое расстояние они сблизятся за 1ч? 2ч? б) Через сколько часов они встретятся?
Давайте рассуждать. Антон за 1 час пройдёт 4 км, а Иван проедет 20 км. Значит сблизятся они на 20+4=24 км. За второй час они сблизятся ещё на 24 км, значит за 2ч они сблизятся на 48 км.

Количество километров, на которое сближаются Антон и Иван за единицу времени называется скоростью сближения. В этой задаче она равна 24 км/ч.

Если каждый час они сближаются на 24 км, то на 96 км они сблизятся за 96:24=4 часа.

2. Вводная задача

После встречи Антон и Иван отправились одновременно в противоположные стороны друг от друга. На какое расстояние они удалятся друг от друга за 1ч? 2ч?

Давайте рассуждать. Ясно, что расстояние между ними каждый час будет увеличиваться на 20+4=24 км. Количество километров, на которое за единицу времени удаляются Антон и Иван называются скоростью удаления друг от друга. При этом понятно что если они удаляются со скоростью 24 км/ч, то за 2 ч удалятся на 48 км.

Из этого можно сделать неутешительные выводы: При движении навстречу друг другу скорость сближения равна сумме скоростей. При движении в стороны друг от друга скорость удаления равна сумме скоростей.

3. Вводная задача

Антон и Иван отправились одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км и движутся в одном направлении так, что Иван догоняет Антона. а) на какое расстояние они сблизятся за 1ч? за 2ч? б) Через сколько часов Иван догонит Антона?

Ясно что расстояние между ними каждый час будет уменьшаться на 20-4=16 км, значит скорость их сближения равна 16км/ч, и за два часа они сблизятся на 32 км.

Тогда расстояние в 96 км они пройдут за 96:16=6 ч

4. Вводная задача

Антон и Иван отправились одновременно из двух пунктов и движется в одном направлении так, что Иван удаляется от Антона. На какое расстояние они удалилисбь друг от друга за 1ч? 2ч?

Давайте рассуждать: в этом случае каждый час расстояние между ними увеличивается на 16 км, что дает нам скорость удаления в 16км/ч. Значит за 2 ч они удалятся на на 32 км.

При движении в одном направлении скорость сближения (удаления) равна разности скоростей.

Задача 5.

Игорь обнаружил, что отец уходя на работу забыл зонт, а прогноз обещает дождь. Через сколько минут он догонит отца, если тот идёт со скоростью 65 м/мин а Игорь бежит со скоростью 80 м/мин и отец успел уйти от дома на 90 м.

Заметим, что Игорь скорость сближения составляет 15 м/мин, и расстояние в 90 м будет пройдено за 90:15=6 минут.

Задача 6.

Из двух городов, расстояние между которыми 1000 км одновременно в одном направлении выехал поезд и вылетел самолет. Самолет догнал поезд через 2ч после вылета. Найдите скорость самолета и поезда, если самолет двигался в 11 раз быстрее поезда.

Заметим, что если самолёт двигался в 11 раз быстрее поезда, то скорость сближения в 10 раз больше скорости поезда и составляет 1000:2=500 км/ч, а значит скорость поезда 50 км/ч, а скорость самолета в 11 раз больше, то есть 550 км/ч

Задача 7.

Из пункта А вышел автобус со скоростью 40 км/ч и через 12 мин догнал пешехода, который вышел из пункта Б одновременно с выездом автобуса из пункта А. Скорость пешехода 5 км/ч. Найти расстояние между пунктами А и Б.

Заметим, что скорость сближения составляет 35 км/ч, и за 12 минут (что, кстати, составляет 0,2 часа), они сблизятся на км, что и составляет расстояние между пунктами А и Б, поскольку именно это таковым было расстояние между точками старта пешехода и автобуса.

Таким образом мы с вами достаточно полно разобрали как именно можно исследовать системы из двух движущихся тел. Разумеется, в дальнейшем нам будут встречаться гораздо более сложные варианты их поведения, но тот исследовательский подход который мы тут применили, безусловно будет помогать нам и в дальнейшем.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Два мотоциклиста выехали одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 450 км. Скорость одного из них 80км/ч, скорость второго 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2ч, если они движутся:

Навстречу друг другу

Друг от друга

В одном направлении и при этом они сближаются

В одном направлении и при этом они удаляются

Задача 2. Из двух городов, расстояние между которыми 620 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 5 ч движения расстояние между ними оказалось равным 170 км. С какой скоростью двигался каждый из них, если скорость мотоциклиста в 8 раз больше скорости велосипедиста?

Задача 3. В полдень от пристани отошел теплоход со скоростью 20 км/ч. Через 2 ч от той же пристани и по тому же направлению отошел другой теплоход, который через 10 ч после своего выхода догнал первый теплоход. Определите скорость второго теплохода.

Задача 4. Расстояние от колхоза до города равно 40 км. Колхозник, возвращаясь домой из города, выщел в 6 ч утра и шел со скоростью 4 км/ч. В 7 утра из колхоза за ним выехала лошадь, на которой колхозник вернулся домой в 1ч дня. Найдите скорость лошади, если считается что до встречи с колхозником и после неё лошадь движется с одной и той же скоростью.