Решение сложных текстовых задач с помощью уравнений. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Сегодня мы порешаем ещё более трудные задачи, но все они решаются тем же способом, что и раньше, введением новой переменной. Вперёд!

Задача 1. Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 57 стаканов чая, а Таня – 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в коробке?

Решение. Итак, нас спрашивают, сколько пакетиков в коробке. Взять это количество за х? Но тогда его придётся делить пополам, неудобно… Не проблема, берём за 2х! Тогда каждая девочка получила по х пакетиков.

Далее, раз Мила заварила 57 стаканов чая, а каждый пакетик можно заваривать 2 или 3 раза, Иначе говоря, х не может быть меньше 19 (иначе даже если бы мы заваривали каждый по три раза, мы бы не набрали 57), но он не может быть и больше 28 (ведь дважды 29 уже больше 57).

С другой стороны, Таня заварила 83 стакана. Значит, пакетиков не могло быть меньше 28, ведь если бы их было не более 27, то мы бы получили максимум 27 на 3, то есть 81 чашку. Но если х не более 28 и он не менее 28, то он в точности равен 28! А значит в коробке было 56 пакетиков.

Ответ: 56.

Задача 2. Чук и Гек наряжали ёлку. Чтобы они не подрались, мама выделила каждому из них по одинаковому числу веточек и по одинаковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хватило для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как вы думаете, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?

Решение. Здесь аж глаза разбегаются: можно за х брать число веток у каждого, а можно число игрушек. Мне больше нравятся ветки, и вот почему. Когда Гек будет вешать игрушки на ветки, по 2 на каждую, если веток будет х, то игрушек – 2х. А вот если игрушек – х, то веток – х : 2. Деление! Умножение, конечно, удобнее. Вспоминаем старое правило: за х надо брать то, что меньше.

Итак, пусть у каждого по х веточек. Чук вешал по одной игрушке на каждую ветку, и если бы ему всего хватило, то игрушек было бы ровно х. Но ему не хватило одной ветки, а значит, игрушек было не х, а х + 1. Запомним это.

Далее, Гек пытался повесить по 2 игрушки на каждую ветку. Если бы ему это удалось, игрушек было бы 2х. Но ему не хватило игрушек на одну ветку, значит, игрушек у него было 2х – 2. Осталось вспомнить, что у Чука их было х + 1, а нам известно, что у игрушек мама выделила поровну. Значит,

И прежде чем автоматически написать, что ответ 3, давайте вспомним вопрос. А вопрос был такой: сколько веток (их было х, то есть 3), и сколько игрушек (х + 1, то есть 4).

Ответ: каждому выделили по 3 ветки и по 4 игрушки.

Кстати, можно было решить задачу и иначе. Пусть Чук повесил свои игрушки, одна осталась лишняя. Давайте теперь Чук «поиграет в Гека», то есть попробует повесить свои игрушки по две. Как мы знаем, одна ветка при этом будет пустой – снимем оттуда игрушку Чука. Получаем одну пустую ветку, на остальных – по одной игрушке, да две игрушки пока нигде не висят. Повесим их на те ветки, на которых уже есть по одной игрушке, чтобы стало по две. Нам должно в точности хватить, значит, таких веток было 2, а тогда, считая пустую ветку, всего веток было выделено 3. Следовательно, игрушек было 4. В чём разница? Да почти ни в чём, только в первом случае мы решили с помощью х, а во втором – с помощью довольно хитрого рассуждения (перевешивания). На мой вкус, первое решение проще и оно более универсально, а второе – красивее. Ну а выбор за вами!

Задача 3. У Володи было больше орехов, чем у Павлика. Если бы Володя отдал Павлику столько же орехов, сколько у того было, то у обоих мальчиков орехов стало бы поровну. Но вместо этого Володя дал Павлику совсем немного орехов (не больше пяти), а остальные поровну разделил между тремя белками. Сколько орехов Володя дал Павлику?

Решение. Как же подступиться к этой задаче? Можно, конечно, обозначить за х то, что спрашивают. Но тогда совершенно непонятно, как записать уравнение, ведь мы не знаем абсолютно ничего! Ещё и белки какие-то… Впрочем, вот! У мальчиков стало бы поровну орехов. Пусть поровну – это по х у каждого! Точнее, нет, ещё лучше взять за х то, сколько орехов было у Павлика изначально. Тогда Володя отдал бы ему те же х орехов, и у них стало бы поровну, по 2х. А значит, исходно у Павлика было х, а у Володи – 3х. Это уже кое-что.

Далее, на самом деле, Володя дал Павлику несколько орехов, но не больше пяти, а остальное поделил поровну между тремя белками. Так это значит, что у Володи осталось количество орехов, кратное трём! Но с другой стороны, у него и было количество, кратное трём: 3х. Значит и отдал он Павлику также делящееся на три число орехов. А это может быть только число 3, ведь известно, что отдал Володя не больше пяти, а среди чисел от 1 до 5 лишь одно делится на 3 без остатка. Значит, ответ: 3 ореха.

Что ж, надеюсь, что теперь ваш страх перед текстовыми задачами нервно забился в самый дальний угол и не высовывается оттуда! До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. «То» да «это», да половина «того» да «этого» – сколько это будет процентов от трёх четвертей «того» да «этого»? Ответ: 200.

2. У Володи было больше орехов, чем у Павлика. Если бы Володя отдал Павлику столько же орехов, сколько у того было, то у Павлика стало бы вдвое меньше орехов, чем у Володи. Но вместо этого Володя дал Павлику совсем немного орехов (не больше восьми), а остальные поровну разделил между пятью белками. Сколько орехов Володя дал Павлику? Ответ: 5

3. Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 35 стаканов чая, а Таня – 50 стаканов. Сколько пакетиков могло быть в коробке? Ответ: 17.

Рекомендуемые тесты:

1. «То» да «это», да четверть «того» да «этого» – сколько это будет процентов от половины «того» да «этого»? Ответ: 250.

2. Одним пакетиком чая можно заварить три или четыре стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 46 стаканов чая, а Таня – 55 стаканов. Сколько пакетиков могло быть в коробке? Ответ: 14 или 15.

3. В ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике? Ответ: 8.