Множество целых и множество рациональных чисел. Изображение чисел на числовой прямой. Сравнение чисел. Противоположные числа. Часть 2 (разбор задач).
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: ввести понятия сравнения отрицательных чисел, понятие рационального числа; дать учащимся представления о мощностях множеств натуральных, целых и рациональных чисел и отношении между ними.

Здравствуйте, ребята!

На прошлом уроке мы познакомились с отрицательными числами, как противоположные положительным.

Если мы говорим «+300 рублей», то это означает прибыль, если говорим «-300 рублей», то это означает убыток.

Числа 300 и -300 – противоположные.

Например, числу -2,3 противоположно число 2,3, а числу 10 противоположно число -10.

А как же сравнивать эти числа?

1<2 1/7, число 2 1/7 лежит на координатной прямой правее, чем число 1.

Если вы приедете в Якутск в марте, то можете услышать такой разговор: «Сегодня у нас тепло: всего -20 градусов мороза!» «Да! А вчера было холодно, было -35!»

Из этого разговора следует понимать, что -35 < -20.

И это согласуется с нашими предыдущими договорённостями: ведь число -20 на координатной прямой лежит правее, чем число -35. Но, с другой стороны, 20 < 35, а -20 > -35.

Если нам придётся сравнить -3,8 и 0,008, то мы вспомним, что быть в плюсе выгоднее, поэтому сразу же сможем сказать, что -3,8 < 0,008.

На координатной прямой это выглядит так:

Сделаем вывод: из двух чисел больше то, которое изображается на координатной прямой правее, и меньше то, которое изображается левее.

Примеры.

5>0, -3<0. Значит, любое положительное число больше 0, а любое отрицательное число – меньше 0.

20>-100,3. Значит, любое положительное число больше любого отрицательного.

-2,3<-2. Значит, из двух отрицательных чисел больше то, которому соответствует меньшее противоположное положительное.

Сравним числа:

а)
2 1/9
2 1/8

б)
-2 1/9
2 1/ 8

в)
-2 1/9
-2 1/8

г)
-2 1/9
0

д)
0
2 1/8

Задача. Каковы могут координаты точек A, B, C, D и E из предложенных?

Заметим, что точка D лежит левее точки, с соответствующей координатой -3. Поэтому похоже, что у D может быть координата -3,2. Больше претендентов нет.

Разберёмся с точками C и B. Точка В лежит ближе к числу -1, а точка С на рисунке лежит ближе к точке -2. Соответственно, кандидаты на координаты для этих точек: это -1,3 и -1,8. Ясно, что координата -1,3 скорее всего будет соответствовать точке В, а координата -1,8 скорее всего соответствует точке С.

Теперь попробуем разобраться с координатами для точек А и Е. А лежит ближе к точке 2, чем точка Е. Поэтому, скорее всего, у А будет координата 2 81/480. Заметим, что 81/480 < ½ и на рисунке похоже, что точка А лежит левее середины отрезка между точками 2 и 3. Поэтому, скорее всего, это и есть координата точки А.

А вот для координаты точки Е мы не видим здесь возможностей. Оставшиеся отрицательные числа отпадают сами собой, а 3 2/25 явно не подходит, поскольку наша точке Е лежит левее 3, то есть, её координата должна быть меньше числа 3.

В следующих примерах требуется сравнить числа, если вместо некоторых из них поставлены звёздочки.

1

-4488

-4,8**

4,488

4,8**

2

-**,412

-*,*9*

**,412

*,*9*

3

-*,***7

0

*,***7

0

4

-*,***

-**,**

*,***

**,**

5

-95,0**

-*4,*3*

95,0**

*4б*3*

Заметим, что во всех примерах в третьем и четвёртом столбцах стоят числа, противоположные тем, что находятся в первых и вторых столбцах соответственно. Сравним вначале их, затем и отрицательные:

1

-4488

-4,8**

4,488

<

4,8**

2

-**,412

-*,*9*

**,412

>

*,*9*

3

-*,***7

0

*,***7

>

0

4

-*,***

-**,**

*,***

<

**,**

5

-95,0**

-*4,*3*

95,0**

<

*4,*3*

На основании написанных сравнений сделаем вывод и сравним числа из первого и второго столбцов.

1

-4488

>

-4,8**

4,488

<

4,8**

2

-**,412

<

-*,*9*

**,412

>

*,*9*

3

-*,***7

<

0

*,***7

>

0

4

-*,***

>

-**,**

*,***

<

**,**

5

-95,0**

<

-*4,*3*

95,0**

>

*4,*3*

Попробуем проследить, как появлялись новые числа.

Сначала были натуральные числа и 0. Нам их явно не хватало. Например, требовалось решить уравнение: х+3=1. Ясно, что такого натурального х не существует, чтобы в сумме с числом 3 давало число 1. Но откуда могло взяться такое уравнение?

Например, мы играли в покемонов, и в начале игры было 3 покемона. Но под конец игры остался только один. Ясно, что двух покемонов мы потеряли, то есть х=-2. Появились числа, противоположные натуральным. Они, как в зеркале отразились относительно 0. И, таким образом, образовалось множество целых чисел, куда входят натуральные, им противоположные и число 0.

Напомним, что множество целых чисел можно записать так: 0, ±1, ±2 и так далее.

Вернёмся снова к натуральным числам.

Рассмотрим ещё пример, в котором мы не сможем обойтись только ими.

Пример. Кусок проволки длиной 2 метра необходимо разрезать на три равные части. Сколько метров приходится на каждый кусок?

Можем составить уравнение: 3х=2, где х – и есть то количество метров, которое приходится на каждый кусок. Ясно, что ответ: х=2/3. Так появились дробные числа.

На прошлом уроке мы уже говорили о том, что для каждого положительного числа существует ему противоположное.

Попробуйте придумать задачу, в ходе решения которой возникает ответ х=-2/3.

Подведём итог.

Вначале были натуральные числа. Обозначим это множество буквой N. (Числа 1, 2, 3 и т.д.).

После этого появились целые числа, которые включали натуральные, им противоположные (-1, -2, -3 и т.д. ) и 0. Обозначим множество целых чисел буквой Z. Множество Z включает в себя множество N и добавляет к ним ещё новые числа.

После мы поговорили о том, что на сегодняшний день мы работаем уже в множестве рациональных чисел. Обозначим его буквой Q. Сюда входят целые, которые, в свою очередь, включают натуральные, а так же дробные числа и им противополжные. (Например, здесь находятся -1/3 и 1/3, 2,1 и т.д.)

Так что же такое рациональное число?

Рациональным числом называется такое число, которое можно представить в виде несократимой дроби m/n, где m – целое число, а n - натуральное.

Заметим, что НОД(m,n)=1. (Так же можно сказать, что числа m и n взаимно простые).

Давайте попробуем провести эксперимент и представим число 2,1 в виде несократимой дроби: 21/10.

-3 1/8 = - 25/8 – это тоже рациональное число

6 = 6/1

0,(3) = 1/3

Возникает вопрос: есть ли ещё числа, кроме рациональных? Конечно, есть! Мы познакомимся с ними позднее, но сейчас всё-таки приведём пример одного такого числа.

Давайте рассмотри дробь: 0,10011000111… (далее будут следовать четыре нуля и четыре единицы)

На самом деле, мы просто указали способ записи такого числа, но это число уже не будет являться рациональным, поскольку его нельзя представить в виде несократимой дроби m/n.

Вывод: сегодня мы с вами подробно познакомились со сравнениями отрицательных чисел, а так же ввели довольно важное понятие рационального числа, которое очень пригодится нам в дальнейшем.