Отношение, масштаб, пропорция. Свойства пропорций.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: сформировать понятия отношения, масштаба, пропорции, рассмотреть свойства пропорции, познакомиться с золотым сечением.

Добрый день, дорогие ребята! Сегодня вы познакомитесь с понятиями отношения и пропорции, узнаете, что такое масштаб, изучите свойства пропорции.

Для решения практических задач человеку часто приходится сравнивать числа и разные значения одной и той же величины – массы, расстояния, времени, скорости, стоимости, объёма и т. д. Для сравнения чисел и величин существуют два способа. Первый состоит в нахождении их разности и отвечает на вопрос «На сколько больше (меньше)?». Второй состоит в нахождении частного и отвечает на вопрос «Во сколько раз больше (меньше)?». Например: Арбуз массой 12 кг тяжелее арбуза массой 4 кг на 8 кг, т. к. или в 3 раза, т. к. .

Эти два способа довольно часто встречаются в практической жизни, но служат разным целям. К делению прибегают в тех случаях, когда дают качественную оценку отличия.

Пусть, например, зарплата человека увеличилась на 2000 р. – много это или мало? Очевидно, что если его зарплата была 4000 р., то новая зарплата стала в 1,5 раза больше, т. к. 6000 : 4000 = 1,5. В данном случае прибавка была существенной. Если же старая зарплата была, допустим, 50 000 р., то увеличилась она всего в 1,04 раза, т. к. 52 000 : 50 000 = 1,04, а это не столь значительное увеличение. Т. о. ответ на поставленный вопрос много это или мало зависит не от самой величины прибавки, а от того, во сколько раз новая зарплата стала больше старой.

В тех случаях, когда величины сравнивают с помощью деления, вместо слова «частное» обычно используют термин «отношение». Иными словами, отношением двух чисел – это частное этих чисел. Вы знаете два способа записи частного: с помощью знака деления и с помощью дробной черты. Поэтому отношение можно записать или

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого.

Если мы находим отношение массы большего арбуза к массе меньшего то оно показывает, что арбуз массой 12 кг тяжелее арбуза массой 4 кг в 3 раза. Если находим обратное отношение – массы меньшего арбуза к массе большего , то оно показывает, что арбуз массой 4 кг составляет

массы 12-ти килограммового арбуза.

Для отношения двух чисел, как и для любого частного двух чисел, справедливы все свойства деления. В частности, отношение не изменится, если все его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. На основании этого свойства отношения можно упрощать. Для упрощения можно также использовать основное свойство дроби.

Например, отношение 4 к 12 из предыдущего примера мы можем заменить отношением 1 к 3, т. к.

Итак, мы видим, что с точки зрения математики в понятии отношения нет ничего нового: отношение чисел – это их частное. Возникает естественный вопрос: почему в математике употребляются оба эти названия?

Всё дело в том, математика как наука возникла прежде всего для решения практичекских задач, а в реальной жизни при сравнении величин используется обычное слово «отношение», а не математический термин «частное», а находят отношение именно вычислением частного.

Отношение одноимённых величин (длин, площадей, масс и т. д.) выражается числом. В таких случаях важно следить за тем, чтобы величины были выражены в одних и тех же единицах. Например, отношение 2 м к 5 см равно не , а . Действительно, чтобы получить правильный результат, надо выразить эти длины в одних единицах измерения, например в сантиметрах.

Если же находят отношение разноимённых величин, то получают новую величину. Так, отношение пути ко времени – это скорость Если путь был измерен в километрах, а время – в часах, то скорость будет выражена в километрах в час. Например, Существуют и другие примеры отношения разноимённых величин, например:

· Цена – отношение стоимости товара к его количеству

· Плотность – отношение массы вещества к его объему

· Производительность труда – отношение объёма выполненной работы ко времени, за которое выполняется эта работа

В практической жизни человека – при использовании кулинарных рецептов, при приготовлеии смесей и растворов, при распределении доходов – часто приходится решать такую задачу: разделить величину на части в данном отношении.

Например: Для учащихся пятых и шестых классов школа приобрела 35 билетов в цирк. В пятых классах учится 54 человека, а в шестых – 72. Как разделить билеты между пятиклассниками и шестиклассниками?

Согласитесь, что справедливо будет разделить билеты в том же отношении , в котором находится число пятиклассников и шестиклассников, т. е. в отношении 54 к 72. Упростим это отношение . Т. о., 35 билетов надо разделить в отношении 3 : 4. А для этого надо решить знакомую вам задачу на «части». Всего имеется 3 + 4 = 7 частей, и на каждую приходится 35 : 7 = 5 билетов. Поэтому пятикласскикам следует выделить билетов, а шестиклассникам – билетов.

А сейчас мы познакомимся с одним очень распространённым примером отношения, имеющим специальное название – масштаб. В практической жизни человек часто пользуется не столько самими предметами, сколько их изображениями – географическими картами, чертежами, фотографиями, макетами. Географические карты с древних врёмен помогают находить путь путешественникам. Расстояния на них во много раз меньше, чем на местности. Поэтому на карте обязательно указывают её масштаб. Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Другими словами, масштаб показывает, во сколько раз расстояния на карте меньше, чем на местности. Слово масштаб происходит от немецких слов масс – «мера» и штаб – «палка» и, по-видимому, непосредственно связано с процессом измерения расстояний.

Масштаб географических карт обычно записывают в виде отношения, первый член которого равен 1. Так на экране вы видите карту Российской Федерации, масштаб которой 1 : 20 000 000. Это означает, что 1 см на карте изображает 20 000 000 см в реальности. Масштаб на физической карте – это всегда число меньшее единицы.

Слово «масштаб» употребляется и тогда, когда речь идет о копии какого-либо объекта, выполненной с уменьшением или увеличением размеров.

Например, в Японии, недалеко от Токио, есть парк, в котором представлены мировые архитектурные достопримечательности, выполненные в масштабе 1 : 25.

А на следующем фото вы видите каплю росы на паутинке в масштабе 10 : 1, т. е. реальные размеры увеличены в 10 раз. Числом, большим 1, масштаб может быть и при выполнении технических чертежей, когда нужно изобразить детали очень маленького размера, например, детали наручных часов.

Для того, чтобы лучше усвоить понятие масштаба, предлагаю решить две задачи:

Задача 1. Расстояние между двумя городами на местности равно 288 км, а на карте – 9,6 см. Найдите масштаб карты.

Найдем, во сколько раз уменьшены действительные размеры. Напоминаю, что нам нужны одинаковые единицы измерения. Поэтому сначала выразим 288 км в см. 1 км = 100 000 см, значит 288 км = 28 800 000 см. Делим 28 800 000 на 9,6, получаем 3 000 000. Т. о. масштаб .

Задача 2. Длина крыла насекомого, нарисованного в масштабе 20 : 1, равна 4 см. Чему равна его длина в действительности?

Масштаб 20 : 1 показывает, что размеры крыла насекомого на рисунке в 20 раз больше, чем реальные. Или, что реальные размеры в 20 раз меньше. Разделим 4 см на 20, получаем 4 : 20 = 0,2 (см). 0,2 см – это 2 мм. Т. о. реальные размеры крыла 2 мм.

Рассмотрим два отношения 1,2: 0,4 и 6 : 2. Каждое из них равно 3, значит равенство 1,2 : 0,4 = 6 : 2 будет верным. Равенства такого вида называют пропорцией. Задачи, приводящие к равенству двух отношений, возникли примерно в VI веке до н. э. в эпоху Пифагора. Древние греки называли равенство двух отношений аналогией. Латинское слово «пропорция» для обозначения равенства двух отношений стали использовать, начиная с I века нашей эры. Означает это слово соразмерность.

Итак, пропорцией называют верное равенство двух отношений. В буквенном виде пропорцию можно записать так: а прочитать «от­но­ше­ние a к b равно от­но­ше­нию c к d», или: «a так от­но­сит­ся к b, как c от­но­сит­ся к d». Участ­ву­ю­щие в про­пор­ции числа на­зы­ва­ют чле­на­ми про­пор­ции. Счи­та­ют, что все члены отличны от нуля.

Числа a и d на­зы­ва­ют край­ним чле­на­ми про­пор­ции, а числа b и c – средними чле­на­ми. Дей­стви­тель­но, в пер­вом ва­ри­ан­те за­пи­си числа b и c на­хо­дят­ся по­се­ре­дине, а числа a и d – с краю.

В пропорции 1,2 : 0,4 = 6 : 2 1,2 и 2 – крайние члены пропорции, 0,4 и 6 – средние.

Заметим, например, что отношения 4 : 2 и 6 : 9 не равны, поэтому образовать пропорцию они не могут.

Для пропорции 1,2 : 0,4 = 6 : 2 найдём произведение крайних членов и произведение средних членов . и . Эти произведения равны. Такое свойство присуще любой пропорции. Его называют ос­нов­ным свой­ством про­пор­ции.

Про­из­ве­де­ние край­них чле­нов пропорции равно про­из­ве­де­нию её сред­них членов.

Чтобы не перепутать, какие члены пропорции нужно перемножить, посмотрите, как они расположены в пропорции. Иногда так и говорят, правило «крестика»:

Из равенства

следует ещё одно свойство пропорции : Если в пропор­ции по­ме­нять ме­ста­ми сред­ние или край­ние члены, то по­лу­чив­шие­ся новые про­пор­ции тоже верны.

Пе­ре­ста­вим в пропорции сред­ние члены.

Проверим: Дей­стви­тель­но, про­из­ве­де­ние сред­них и край­них не из­ме­ни­лось, зна­чит, по­лу­чен­ная про­пор­ция верна.

Пе­ре­ста­вим край­ние члены.

В этом слу­чае про­из­ве­де­ние сред­них и край­них членов тоже не из­ме­ни­лось. Мы снова по­лу­чи­ли вер­ную про­пор­цию.

Пример:

Из пропорции мы можем получить следующие верные пропорции:

Пропорция является математической моделью многих практических задач, решение которых мы рассмотрим на следующих уроках.

А в заключение немного о самой знаменитой пропорции, о «золотом сечении». Приблизительно сто лет назад был проведён следующий эксперимент. Нарисовали 10 разных прямоугольников. Каждому опрошенному предложили выбрать среди них один самый приятный для глаз. В этом «конкурсе красоты» с большим отрывом победил прямоугольник, отношение сторон которого приближенно равно 0,618. И это не случайно. С древности людей интересовало, что является основой красоты, порядка, гармонии, почему некоторые предметы, созданные как природой, так и человеком, привлекают внимание и даже вызывают восхищение. С древних времён именно с этим отношением люди связывали своё представление о красоте и гармонии. Скульпторы, зодчие, художники использовали его в своих бессмертных творениях. Так, отношение высоты Парфенона, храма в Афинах, построенного в V веке до н. э., к его длине приближенно равно 0,618.

Посмотрите: на отрезке АВ точка М отмечена так, что выполняется пропорция

т. е. длина большей части отрезка относится к длине всего отрезка так, как длина меньшей части к длине большей части. Оказывается, что каждое из отношений, входящих в эту пропорцию, приближенно равно 0,618. Гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи назвал его «золотым сечением»

На флагах едва ли не половины стран мира реет пятиконечная звезда. А знаете ли вы, что первые её изображения появились практически 3000 лет назад, и вся она буквально соткана из золотых пропорций. Например,

Золотую пропорцию можно увидеть в скульптуре и архитектуре и более поздних творений, таких, например, как храм Василия Блаженного в Москве, собор Парижской Богоматери, памятник «Тысячелетие России» в Великом Новгороде. С ней можно встретиться в природе, в музыке, в литературе.

Давайте подводить итоги урока.

Коротко о самом главном:

• Отношение двух чисел – это частное этих чисел

• Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности

• Пропорция – это верное равенство двух отношений

• Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции

• Если в пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны

На этом ваше знакомство с отношениями, масштабом, пропорцией не заканчивается. Вы будете встречаться с ними постоянно, и не только на уроках математики.

Всего доброго!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

№ 1. Из 20-литрового бидона , наполненного малиновым сиропом, отлили 8 литров. Найдите отношение количества вылитого сиропа к оставшемуся.

№ 2. Найдите отношение 40 ц к 180 кг.

№ 3. Разделите число 147 на части в отношении 3 : 7 : 11.

№ 4. Длина Москвы реки примерно 470 км. Чему равна её длина на карте, масштаб которой 1 : 5 000 000?

№ 5. Составьте, если это возможно, пропорцию из чисел 6, 9, 10, 15.

Рекомендуемые тесты:

1. Найди отношение 6 мин к 1 ч.

2. Расстояние между двумя городами равно 560 км. Найти длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1 : 4 000 000.

3. На изучение математики в седьмом классе отводится 170 уроков. Это время распределяется между алгеброй и геометрией в отношении 3 : 2. Сколько в учебном году уроков алгебры?

4. Участок шоссе на карте изображён линией длиной 20 см. Масштаб карты 1 : 200 000. Вертолёт наблюдает за движением транспорта и летит над шоссе со скоростью 100 км/ч. За какое время он пролетит над этим участком?

5. Дана тройка чисел 5, 10, 25. Подберите четвёртое число так, чтобы из них можно было составить пропорцию. Найдите пропорцию, в которой это число было бы её средним членом.