Занимательные задачи: задачи на разрезание. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: познакомить обучающихся с идеей решения задач на разрезания через эксперимент, анализ эксперимента и корректирование последующих экспериментов в связи с проделанным анализом.

Предметные результаты: развитие наглядного воображения; развитие логичности и внимательности; развитие познавательного интереса к начальному курсу геометрии.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте. Безусловно каждый из нас держал в руках ножницы, бумагу и с трепетом скульптора, удаляющего из глыбы льда всё лишнее пытался сделать что-то интересное из не столь интересного листа бумаги. Не знаю как у вас, а у меня далеко не всегда получалось задуманное именно таковым, каким рисовало объект воображение. Более того, иногда это не получалось не по злому умыслу, а потому что можно доказать, что такое невозможно в принципе. Давайте поговорим о рассуждениях такого сорта.

Задача 1. Можно ли квадрат 5 на 5 разрезать на прямоугольнички 1 на 2?

(В дальнейшем такие прямоугольнички мы будем называть «доминошками».)

Давайте пробовать. Хм… что-то не получается. И так не получается… Может быть ответ нельзя? Мы прекрасно понимаем, что из того что мы несколько раз попробовали и у нас что-то не получилось, не следует то, что ни у кого не получится. Вдруг придёт Умная Маша, и у неё всё получится? Ну или Мудрый Волшебник сможет это сделать? Наша задача доказать что вообще никто и никогда такого сделать не сможет. Разбирать варианты – грустно и тоскливо. Давайте попробуем найти какую-нибдь другую причину. Каждый раз у нас возникала проблема с одной клеткой. Так может быть дело в ней? Всего клеточек 25, а в доминошке 2. Но 25 на 2 не делится. Вот и объяснение!

Задача 2. Вася купил шоколадку 5 на 5, разделенную по бороздкам на 25 маленьких квадратиков. Удастся ли ему разломать эту шоколадку на уголки из трех квадратиков?

Увы, чтобы такое разрезание было возможно, необходимо, чтобы количество квадратиков делилось на 3. Что для числа 25 не характерно.

Задача 3. Можно ли прямоугольник a) 6 на 9 b) 5 на 9 разрезать на уголки из трех клеток?

a) Да, можно, так как из уголков легко составляется прямоугольник 2 на 3, которым прямоугольник 6 на 9 замощается легко.

b) Пробуем мы пробуем, что-то не получается. Но и причин того чтобы это было невозможно сделать у нас нет… может быть всё-таки можно? Ну вот тут нам как раз может помочь Умная Маша.

Задача 4. Хулиган Вася вырезал угловую клетку из квадрата 5 на 5. Можно ли теперь разрезать его на доминошки?

Заметим, что 24 на 2 делится, но это ещё не значит, что разрезать на доминошки такую фигуру можно! Например, две клетки соприкасающиеся только углом, имеют площадь очевидно делящуюся на 2, а вот разрезать на доминошки такую фигуру затруднительно. Так что это всего лишь отсутствие именно такого препятствия, а совсем не гарантия того, что это сделать можно.

Задача 5. Покажите, как разрезать квадрат размером 5×5 клеток на "уголки" шириной в одну клетку так, чтобы все "уголки" состояли из разного количества клеток. (Длины "сторон" уголка могут быть как одинаковыми, так и различными).

Идеология: площадь квадрата – 25 клеток, а самого маленького "уголка" – 3 клетки. Представим число 25 в виде суммы различных слагаемых, начиная с трёх: 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7, и разрежем квадрат на пять "уголков" с таким количеством клеток. Например:

Задача 6. Докажите, что никакой прямоугольник с целыми сторонами даже Мудрому Волшебнику не удастся разрезать на фигурки вида ,не смотря на то, что он может вращать их и переворачивать.

Рассмотрим какой-нибудь угол. Заполним его -- ведь как-то он заполнится. Заметим, что буквально под носом у этой фигурки будет находиться пустая клеточка. Заполним и её. И будем действовать в том же духе, пока не упрёмся в стенку. Увы, клеточку под носом у этой фигурки не заполнить. Теперь заполним исходную клеточку иначе, и удостоверимся, что проблема сохранилась.

Задача 7. Можно ли квадрат 8 на 8 разрезать на фигуры вида: a) б)

Фигурки можно вращать и переворачивать как нам захочется.

а) ответ да, так как во всех пунктах можно сложить квадрат 4 на 4.

б) да, так как можно сложить прямоугольник 2 на 4, а тогда и 4 на 4.

Подведем итог:

если нам требуется разрезать что-то согласно некотором условиям, то нужно попробовать это сделать несколько раз. Если сделать это не получается – попробовать понять, что нам мешает, и постараться доказать невозможность этого в общем случае. А если это не получается – то вернуться к попыткам построить пример, пытаясь строить разрезание совершенно по новому.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Можно ли квадрат 8 на 8 разрезать на фигуры вида: a) b) ?

Фигурки можно вращать и переворачивать как нам захочется.

Задача 2. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?

Задача 3. Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3*3?

Задача 4. Можно ли прямоугольник 5 на 6 разрезать на уголки из трех клеток?