Решение более сложных задач на построение. Часть 1
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи: познакомить учащихся с необычными задачами на построение, повторить уже известные им приёмы использования программы для решения задач на построение, повторить сведения из предыдущего курса геометрии.

Здравствуйте! Сегодня мы рассмотрим более сложные задачи, связанные с построением не только треугольников, либо треугольников с использованием некоторых экзотических параметров. Например, периметра.

Нахождение центра заданной окружности.

Задача: Дана окружность.

Найти точку О – её центр.

Анализ

Предположим, задача решена, точка О найдена.

Понятно, что она является серединой любого диаметра.

А диаметр, в свою очередь, – гипотенуза прямоугольного треугольника, вершины которого принадлежат окружности.

Можно строить.

Построение.

1. Отмечаем на окружности произвольную точку А, и проводим через неё произвольную прямую а, делящую окружность на 2 заведомо неравные части.

2. Обозначаем буквой В 2-ую точку пересечения прямой а с окружностью. Через точку В строим перпендикуляр в к прямой А.

3. Обозначаем буквой С 2-ую точку пересечения прямой в с окружностью.

4. Строим отрезок АС и находим его середину – точку О.

Доказательство.

В треугольнике АВС угол АВС – прямой по построению (п.2); точки А, В и С принадлежат заданной окружности по построению (пп. 1-3). Значит, точки А, В и С равноудалены от середины гипотенузы АС. Точка О – средина гипотенузы по построению (п. 4).

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

У каждой окружности существует и единственный центр, поэтому данная задача всегда имеет решение, и это решение единственно.

Построение треугольника по периметру и 2-м углам.

Задача: Дан отрезок длиной р и углы бета и гамма.

Построить треугольник АВС, где АВ+ВС+АС=р, угол ВСА=гамма, угол АВС=бета.

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник построен.

Продлим отрезок ВС за точку В и отложим ВК=АВ; продлим отрезок ВС за точку С и отложим СЕ=АС.

Тогда в паре равнобедренных треугольников ВКА и СЕА углы при основании равны 0,5бета и 0,5гамма соответственно; значит в треугольнике КАЕ определены сторона и 2 прилегающих угла.

Можно строить.

Построение.

1. Строим произвольную прямую а, отмечаем на ней точку К и раствором циркуля, равным р, строим точку Е.

2. Строим луч КМ под углом бета к а и луч ЕР по углом гамма к а в той же полуплоскости.

3. Строим биссектрисы углов МКВ и РЕС.

4. Точку пересечения построенных биссектрис обозначаем буквой А.

5. Строим луч АО под углом 0,5бета к АК внутри треугольника КАЕ и луч АТ под углом 0,5гамма к АЕ внутри треугольника КАЕ.

6. Обозначаем точки пересечения лучей АО и АТ с прямой а буквами В и С соответственно.

Доказательство.

Треугольники АВК и АСЕ равнобедренные по построению (пп. 3 и 5), значит АВ=ВК; АС=СЕ; КЕ=КВ +ВС+СЕ=АВ+ВС+АС=р.

Углы АВС и АСВ равны бета и гамма соответственно как смежные с соответствующими углами при вершинах равнобедренных треугольников.

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

Задача имеет решение только в том случае, когда сумма 2х заданных углов меньше 180 градусов.

Это решение является единственным, т.к. все шаги построения выполнены единственным образом.

Подведём итоги.

Мы выяснили, что построения циркулем и линейкой позволяют делать достаточно необычные вещи – например, находить неизвестный центр окружности или строить треугольник по 2-м углам и периметру.

1. Рекомендуемые тренажеры

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 285, № 352, № 353.

2. Рекомендуемые тесты

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 354, № 355, № 356.