Примеры функций, получаемых в результате исследований. Значение функции в точке.
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: на практических примерах показать, как появляется функция, научиться находить значение функции в точке.

Всем привет!

В прошлый раз мы с вами занимались функциями. Ввели понятие функции, но ввели только теоретически. Возник вопрос: «Откуда функции берутся?». Для ответа на вопрос, рассмотрим пример.

Задача 1:

Допустим, есть машина, едет со скоростью 60 км/ч. Какой путь она пройдёт?

В данной задаче не хватает одного данного – времени, за которое машина проезжает данный путь.

Решение:

Если t = 1 час, то машина проедет – 60 км, если 3 ч – 180 км, если 7 ч – 420 км.

Нужно за t обозначить время движения автомобиля, тогда имеем, что путь, который проедет машина, будет равен 60t км.

Напоминаю, что функция – это некое правило, которое сопоставляет значению нашей исходной переменной, независимой переменной, в данном случае t, значение самой функции, т. е. это правило в данном случае по каждому t найдёт путь S, умножив t на 60.

Получили функцию S = 60t или f(t) = 60t. А можно и S(t) = 60t.

Чуть усложним задачу.

Задача 2:

Допустим, нам известно, что на заводе за первый час изготовлено 200 автомобилей, а затем производительность изменилась до 300 автомобилей в час – и уже не менялась в оставшееся время.

Сколько автомобилей было изготовлено?

Решение:

Опять же, не хватает времени!

Если за 2 часа – 500 автомобилей. Если за 3 – 800.

За t часов – 200 + 300(t – 1)

f(t) = 200 + 300 (t – 1)

f(t) = 300t – 100

Мы получили функцию f(t), которая показывает, сколько автомобилей было сделано через t.

В каждом из предыдущих примеров мы получили функцию. В последнем: f(t) = 300t – 100.

Как узнать, сколько автомобилей будет изготовлено через 6 часов?

Просто подставить в формулу t = 6!

Получим: f(6) = 1800 – 100 = 1700.

Это и есть значение функции в точке 6

Пример 1:

f(x) = x2 – 3x + 1. Найти значение функции в точке x = 4, x = –0,5?

Решение:

Подставляем число вместо всех вхождений x.

f(4) = 42 – 3 ⋅ 4 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5

f(–0,5) = (–0,5)2 – 3(–0,5) + 1 =

0,25 + 1,5 + 1 =2 ,75

Иногда сначала выгодно упростить, и лишь затем вычислять значение:

Пример 2:

f(x) = x2 + 2x + 1. Найти f(49) = ?

Решение:

f(x) = (x + 1)2

f(49) = (49 + 1)2 = 502 = 2500

Как мы помним, иногда функция бывает задана графически.

В этом случае, чтобы найти значение функции в точке, например, в точке 3, нужно:

1) Найти на оси абсцисс точку 3;

2) Найти на графике функции точку с абсциссой 3 (для этого – провести мысленно вертикальную прямую!);

3) Найти ординату этой точки. Это и есть значение функции в точке 3.

Пример 3:

По графику найти значения в точках: 7; 10; 2.

Решение:

По графику видно, что

f(7) = 6,

f(10) = 4,

f(2) = 0.

Итак, сегодня мы с вами познакомились с тем, откуда появляются функции на практических задачах, а так же выяснили, как находить значение функции в различных точках.

Спасибо за внимание!

До скорых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 2, § 13, № 267; 268; § 14: № 286.

Рекомендуемые тесты: (из учебника Алгебра 7 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 2, § 13, № 269; § 14: № 285.