Зависимости между величинами: скорость, время, расстояние; производительность, время, работа; цена, количество, стоимость
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: сформулировать и обобщить основные зависимости между величинами, наиболее часто встречающимися обучающемуся в жизни и школе.

Предметные результаты: создать условия для установления зависимости между величинами – скорость, время, расстояние; учить решать задачи на нахождение скорости по известным расстоянию и времени движения используя формулу движения , составлять и решать обратные задачи.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Здравствуйте, ребята! В окружающем нас мире постоянно встречается потребность не просто описать какой-то объект, либо событие (например, «турист запасся едой» или «класс написал контрольную»), но и количественно её охарактеризовать. Это может потребоваться, во-первых, чтобы сравнивать между собой события одного характера для дальнейшего анализа (если Вася написал контрольную на 5, а Петя на 2, то можно ожидать что Вася лучше разобрался с данной темой и вполне может помочь с этим Пете), во-вторых для ответа на те или иные прикладные вопросы «а хватит ли туристу еды на маршрут? А можно ли, дополнительно исследовав возможности туриста, растянуть количество продуктов на весь поход? Сколько раз нужно дозакупаться?» Вероятно, достаточно легко заметить, что, не зная сколько же еды запас турист, на подобные вопросы найти ответы затруднительно.

В этот момент достаточно логичным является получение количественного значения посредством измерения того или иного предмета эталоном, и представления информации о данном значении посредством числа и соответствующих единиц измерения.

Давайте рассмотрим некоторое количество подобных ситуаций, которые с одной стороны каждому из нас знакомы, а с другой стороны, дают возможность осознать не только суть каждой из величин, но и связь между ними.

Задача 1. (или аналог) Из опыта существования в окружающем нас мире нам присуще представление о расстоянии между объектами, и даже сравнение подобных величин (мы понимаем, что от нас «дальше», что «ближе», можем уверенно утверждать, какая из двух палок длиннее, если нам удалось приложить одну к другой) и кроме этого, знаем, как это расстояние измерять.

Более того, мы знаем, что продолжительность того или иного события может быть измерена в единицах времени. Тут уже не получается сравнить подобные величины уж совсем наглядно, как объекты, в силу чего навык сравнения численных значений нам пригождается.

А что мы знаем про скорость? Мы знаем, что это расстояние, которое может проходить наше изучаемое тело за единицу времени.

Какие же последствия для нас кроют данные величины? Рассмотрим пример.

Пример 1. (или аналог) Пусть лошадь участвует в скачках, и должна пройти некоторое фиксированное расстояние, причем лошадь будет всю дорогу бежать ровно с одной, выбранной ей скоростью (кстати, когда это возможно? Например, когда расстояние достаточно мало, чтобы лошадь не устала в процессе забега и дистанция прямолинейна, что исключает изменение скорости в ходе поворотов). Что же мы можем про неё сказать? Если лошадь настроена победить в скачках, то она должна пройти это расстояние за минимальное время. Как этого достигнуть? Для этого достаточно за каждую единицу времени, раз она всё-таки оказывается потрачена на перемещение, проходить самое большое возможное расстояние. Иными словами, чтобы потратить меньше времени, нужно передвигаться с наибольшей скоростью. Заметим, что если в конце маршрута лошадь ждет что-то неприятное, то задача меняется: лошадь начинает растягивать время, и если предположить, что финишировать ей всё же нужно, то за каждую единицу времени она постарается пройти как можно меньше, то есть двигаться с наименьшей скоростью.

Что же случится, если ситуация другая? Пусть у той же самой, движущейся с постоянной скоростью лошади есть время, пока коварный укротитель лошадей досчитает до 10. Если все лошади одинаковы, то понятно, что погонится он за ближайшей. Значит за некоторое фиксированное время, лошадь, не стремящаяся быть пойманной, должна стремиться оказаться на наибольшем расстоянии. Для этого за единицу времени достаточно проходить наибольшее расстояние. То есть иметь наибольшую скорость. В случае же, если лошадь хочет побыстрее оказаться в уютном стойле, то нужно сделать итоговое расстояние меньшим, то есть проходить в каждую единицу времени меньшее расстояние, то есть обладать скоростью более небольшой.

Если же скорость оказывается не только постоянной, но и единственной доступной (например, лошадь очень устала, и идти может только неспешным шагом), то не трудно заметить, что чтобы уйти далеко, придется идти долго, или же наоборот, чтобы далеко не удаляться (разумеется при сохранении направления движения) нужно как можно меньшую часть времени тратить на ходьбу.

Давайте теперь отпустим на волю нашу замученную лошадь и примемся за какую-то новую ситуацию.

Задача 2. (или аналог) С тем, что такое время, мы уже разбирались, что такое работа понятно опять-таки практически любому (например, ласкающее слух словосочетание «домашняя работа»). Но что такое производительность? Предположим, что домашняя работа состоит из 20 однотипных арифметических примеров с равнозначной сложностью вычислений. Производительностью в данной ситуации называется количество примеров, которые учащийся способен решить за единицу времени. Либо, в случае если структура работы однородна, но сложно разделяема на специально названные фрагменты (например, копаем яму), то под производительностью понимается часть работы, выполненная за единицу времени.

В таком случае что мы имеем: если мы лучше научимся решать примеры, то мы улучшим нашу производительность – то есть сможем решить больше примеров за единицу времени. Тогда на то же домашнее задание у нас потребуется меньше времени, а на самостоятельной, ограниченной по времени, мы сможем решить больше примеров. В то же время, если мы не будем тренироваться, то производительность упадет, следовательно, та же работа станет требовать больше времени при том, что за то же времени мы сможем выполнить меньшую часть работы.

Вместе с этим, если нам дать больше времени, то мы сможем решить больше примеров, а если времени будет меньше – то и примеров мы решим меньше.

Заметим, что количество примеров зависит абсолютно аналогично – большее количество примеров потребуют от нас большего времени, а меньшее количество примеров – меньшего времени.

Заметим, что наша производительность при решении примеров, по связи с их количеством и затраченным временем в точности напоминает приключения лошади вместе со скоростью, временем и расстоянием… К чему бы это…

Задача 3. (или аналог) В целом, каждому понятно, что если цена одного предмета известна, а также известно количество приобретенных предметов, то произведением количества и цены можно узнать общую потраченную сумму, то есть стоимость всей покупки. Заметим, что это привычное соотношение можно понимать несколько иначе: в случае, если предметы обладают одинаковой ценой, то цена есть не что иное, как часть всей стоимости (потраченной суммы), потраченная на приобретение каждого конкретного предмета.

Если подходить к делу с этой стороны, то оказывается, что наученные двумя предыдущими соотношениями, мы можем достаточно свободно говорить о связи между этими величинами.

Если цена больше – то предметов за ту же сумму можно купить меньше, а если нам нужно купить некоторое количество предметов, то сумма будет больше. Если же цена меньше, то ситуация обратная: количество больше, сумма меньше.

Если же цена оказывается постоянной, то на большую сумму получиться купить больше предметов, на меньшую – меньше, в то время как на большее количество предметов потребуется большая сумма, а на меньшее – меньшая.

Что мы таким образом осознали? Скорость, время и расстояние, производительность, время и работа, а также цена, количество и стоимость связаны между собой совершенно родственно по характеру, и связь эта вытекает не из формальных правил, а из одинаковой сущности введенных нами величин.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Задача 1. Караван из мулов привёз товары из Новгорода в Москву.

Будет ли затраченное время больше или меньше, если караван поедет из Москвы в Новгород и вернется обратно?

Будет ли затраченное время больше или меньше, если караван заменит мулов на лошадей, которые движутся быстрее?

Ответ: а. времени будет затрачено больше; b. Времени будет затрачено меньше.

Задача 2. Вася и Маша кушали кашу, причем делали это размеренно, с одной и той же частотой махая ложками.

Правда ли что Вася, кушая бо́льшей ложкой, съест свою тарелку быстрее, чем Маша свою, если порции одинаковы?

Кто быстрее съест кашу, если ложки одинаковы, а у Маши порция больше?

Ответ: а. да, правда; b. Вася съест кашу быстрее.

Задача 3. У нас есть 500 рублей на приобретение ручек и карандашей, причем ручки дороже карандашей.

Чего мы сможем купить больше на эту сумму?

Если мы купим карандаши на 300 р и ручек на 200 р, то каких предметов мы купим больше?

Ответ: а. Карандашей мы сможем купить больше; b. Карандашей мы купим больше.

Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Караван из мулов привёз товары из Новгорода в Москву.

Если караван заменит мулов на носильщиков, которые передвигаются медленнее, сможет ли он за то же время перевезти товары из Новгорода в Тьмутаракань, если расстояние от Новгорода до Тьмутаракани больше чем от Новгорода до Москвы?

Сможет ли караван на лошадях добраться из Новгорода в Москву, пока носильщики несут товары из Новгорода в Тьмутаракань?

Ответ: а. Нет, не сможет; b. да, сможет.

Задача 2. Вася и Маша кушали кашу, причем делали это размеренно, с одной и той же частотой махая ложками.

Кто съест больше каши из общего котла, если у Маши ложка больше, и ест она дольше?

У кого ложка больше, если Вася съел свою порцию быстрее, при том, что она больше Машиной?

Ответ: а. Маша съест больше; b. У Васи ложка больше.

Задача 3. У нас есть 500 рублей на приобретение ручек и карандашей, причем ручки дороже карандашей. Если цена на ручки вырастет, а мы по-прежнему хотим купить необходимое нам количество ручек, то, потратив всю сумму, мы купим большее или меньшее количество карандашей?

Ответ: меньшее количество карандашей.