Занимательные задачи: раскраски. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с основными применениями шахматной раскраски а также введенияшахматной раскраски для решения задач.

Предметные результаты: показать возможности математики в различных сферах нашей жизни.

Метапредметные и личностные результаты: формирование общих способов интеллектуальной дея­тельности, характер­ных для мате­матики и являющихся осно­вой познавательной куль­туры, значимой для различных сфер человеческой деятельности.

Здравствуйте. Достаточно часто в мире нам встречаются закономерности, которые сложно описать и формализовать. При этом часто это в конце концов получается сделать, после изучения какого-нибудь вполне знакомого объекта с новой стороны появляется опыт, а из опыта вырастает метод, который в свою очередь находит те или иные неожиданные применения.

Задача 1.

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, разрезать на доминошки 1 на 2?
б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

а) Да, можно. Легко привести пример такого разрезания.
б) Нет, нельзя. Действительно, мы вырезали две белые клетки; но каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку, поэтому если бы мы замостили всю доску, то белых и черных клеток было бы покрыто одинаковое число, но белых клеток осталось 30, а черных 32. Значит, разрезать получившуюся доску доминошками нельзя.

Задача 2. Вася решил поэксперементировать с шахматами. Он взял шахматного коня, и, поставив его на доску сделал 15 ходов, в результате чего вернулся на исходное поле. Докажите, что он не мог этого сделать, не нарушив правил игры в шахматы.

Заметим, что если мы просто попытаемся перебрать какие-то варианты, то мы немедленно потонем в количестве развилок и случаев, поэтому попробуем понаблюдать за происходящим при ходе шахматного коня: глядя на шахматную доску заметим, что конь при своём ходе меняет цвет поля на котором стоит. Значит после чётных ходов он будет стоять на поле цвета поля старта, а после нечётных ходов -- на поле второго цвета. А чтобы вернуться ему хотя бы нужно попасть на поле цвета старта.

Заметим, что раскраска шахматной доски подталкивала нас к тем или иным решениям. Теперь возникает вопрос: нельзя ли временами пользоваться подобной раскраской, даже если изначально её не было?

Задача 3. Лягушонка долго тренировали, чтобы он научился прыгать только по кочкам, расположенным на 1 см справа от него, слева от него, перед ним или за ним и разучился поворачиваться. Может ли случиться так, что лягушонок сделает ровно 25 прыжков и вернется в исходное положение?

Покрасим кочки в шахматную раскраску. Заметим, что при каждом прыжке меняется цвет кочки пребывания лягушонка. А значит, через 25 прыжков ему придётся сидеть на кочке другого цвета, что в свою очередь значит, что в исходное положение ему вернуться не удастся.

Задача 4. На каждой клетке доски 5х5 сидит один дрессированный таракан. По команде «Ужин!» каждый таракан переползает на одну из соседних по стороне клеток. Докажите, что после команды «Ужин!» какие-то два таракана окажутся на одной клетке.

Нарисуем доску 5х5 и раскрасим её в шахматную раскраску. Заметим, что у нас получится не равное количество клеток чёрного и белого цветов. Допустим, клеток белого цвета у нас получилось 13, а чёрного – 12. По условию таракан может переползти с одной клетки только на соседние по стороне клетки. То есть, с белой – только на чёрные, а с чёрной – только на белые. Таким образом мы замечаем, что со всех 13 белых клеток тараканы не могут переползти на 13 чёрных клеток, потому что последних всего 12. Значит, какие-то два таракана окажутся на одной клетке. Что и требовалось доказать.

Задача 5. Треугольник разбит на треугольнички (25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?

Используем шахматную раскраску. У нас получилось 10 треугольников одного цвета, и 15 другого цвета. Заметим, что при описанном переходе жук меняет цвет треугольника на котором он оказывается. Значит он может посетить не более 21 клетки (если он стартует и финиширует на клетке более распространенного цвета). А пример для 21 клетки существует, вот он.

Задача 6. Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?

У каждого малого бруска поверхность распилов составляет половину всей его поверхности. Раскрасим малые бруски в чёрный и белый цвета, как на рисунке (невидимый брусок – чёрный). Тогда каждые два одинаковых соприкасающихся на распиле прямоугольника – разного цвета. Поэтому сумма площадей чёрных распилов равна сумме площадей белых. А тогда и сумма площадей поверхностей белых брусков равна сумме площадей поверхностей чёрных. Отсюда площадь поверхности невидимого чёрного бруска равна (148 + 46 + 72 + 28) – (88 + 126 + 58) = 22.

Итак, сегодня мы познакомились с нашей первой раскраской: шахматной, и выяснили что никто не запрещает нам красить объекты данные нам в условии так как нам нравится, в случае если это поможет нам решить задачу.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Хулиган Вася вырезал из шахматной доски левую-верхнюю и правую-нижнюю угловые клетки.

Сможет ли он оставшуюся часть доски разрезать на доминошки?

Задача 2. Можно ли доску размером 10×10 клеток разрезать на фигурки в форме буквы «T» из четырёх клеток ()?

Задача 3. Кусок сыра имеет форму кубика 3×3×3, из которого вырезан центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик 1×1×1. После того, как мышь съедает очередной кубик 1×1×1, она приступает к съедению одного из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?

Задача 4. На каждой клетке доски 99 × 99 сидит жук. В некоторый момент каждый жук перелетает в соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что после этого останется хотя бы одна пустая клетка.

Задача 5. "Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при N = 2 "крокодил" – это шахматный конь). При каких N "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?