Простейшие неравенства с модулем.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления абсолютной величины, модуля числа, разработать с учащимися методы нахождения решений неравенств, а также с использованием этих методов решить несложные задачи.

Здравствуйте, ребята!

Мы уже знаем, что такое модуль числа, мы научились решать уравнения, содержащие модуль, сегодня настала очередь научиться решать неравенства.

Давайте вспомним, что значит решить неравенство.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Рассмотрим координатную прямую и отметим на ней все точки, которые удовлетворяют условию

| х | < 3.

(рисунок 10)

Действительно получаем числовой промежуток — интервал (-3;3). Можем записать в виде системы неравенств:

Всегда ли неравенства вида | х | < а будут иметь решение — интервал (-а; а) или систему неравенств

Давайте рассуждать, модуль — это расстояние в единичных отрезках от начала отсчета до точки, если модуль меньше заданного числа, значит, и расстояние должно быть меньше заданного числа, то есть все точки должны находится к 0 ближе, чем число, то есть попадать внутрь промежутка.

Как изменится ответ и решение, если | х | ≤ а.

Действительно, в этом случае к интервалу добавляются две точки- концы интервала, получаем отрезок [ -a ; a] или в виде системы неравенств запишем так:

Давайте рассмотрим пример решения неравенства

| х | ≤ 4

(рисунок 11)

Ответом будет отрезок координатной прямой [-4; 4].

Помним, что систему неравенств иногда удобно записывать в виде двойного неравенства.

В нашем случае с первым примером

| х | < 3

-3 < x < 3.

Во втором примере

| х | ≤ 4

- 4 ≤ х ≤ 4.

Сделаем общий вывод:

Неравенства вида | х | < а и | х | ≤ а имеют решение, записанное в виде двойного неравенства

-а < x < а или - а ≤ х ≤ а во втором случае или же записанное в виде системы неравенств

Теперь давайте рассмотрим случай, когда модуль больше заданного числа, | х | > a. Для начала обратимся к координатной прямой и отметим на ней точки, удовлетворяющие условию | х | > 2.

(рисунок 12)

Получаем, что так как модуль — это расстояние в единичных отрезках от начала отсчета до точки, и так как модуль больше 2, то и расстояние от точки до начала отсчета должно быть больше 2, но точки могут располагаться на числовом луче как вправо, так и влево. Таким образом, мы получаем два открытых луча ( - ∞; -2) и (2; +∞) или можно записать в виде совокупности неравенств

Аналогично получаем в случае с нестрогим неравенством | х | ≥ 5. Попробуйте порассуждать самостоятельно.

Действительно в ответе получаем два луча ( - ∞; -5] и [5; +∞) или совокупность неравенств

Здесь в отличии от первого случая возможности записать в виде двойного неравенства нет, так как здесь речь идет об объединении решений, а не об их пересечении.

Давайте сформулируем общее правило и рассмотрим несколько примеров.

Правило:

Решение неравенства вида | х | > a записывается в виде совокупности неравенств

Решение неравенства вида | х | < a записывается в виде системы неравенств

или в виде двойного неравенства -а < x < а.

Правило в случае с нестрогим неравенством будет полностью аналогично правилу, которое мы сформулировали сейчас для строгих неравенств.

Рассмотрим примеры решения неравенств с модулем.

Пример 1.

| х | > 7

На координатной прямой это два луча ( - ∞; -7) и (7; +∞). Или ответ записанный в виде совокупности неравенств:

Пример 2.

| х | - 4 > 2

Сначала необходимо привести неравенство к виду | х | > а.

Вспоминая свойство неравенства прибавим к обеим частям неравенства 4, от этого неравенство не изменится.

| х | - 4 + 4 > 2 +4

| х | > 6

На координатной прямой это два луча ( - ∞; -6) и (6; +∞). Или ответ записанный в виде совокупности неравенств:

Пример 3.

| х + 2| < 8

Решение неравенства запишем в виде двойного неравенства, модуль попадает внутрь числового промежутка (-8; 8)

-8 < х + 2 < 8

По свойству неравенств, для того чтобы найти х, нужно отнять 2 от всех частей неравенства

-8 - 2 < х + 2 - 2 < 8 - 2

- 10 < х < 6

Это и есть решение неравенства.

Рассмотрим пример неравенства, содержащего два знака модуля.

Пример 4.

| | х | - 2| + 3 ≤ 7

Сложности нет, важна последовательность действий.

Сначала приведем к виду | х | ≤ а

Для этого вычтем 3 из обеих частей неравенства

| | х | - 2| + 3 - 3 ≤ 7 — 3

| | х | - 2| ≤ 4

Запишем решение этого неравенства в виде системы двух неравенств

Мы умеем решать систему неравенств, для этого решим каждое неравенство отдельно и затем найдем пересечение решений

Решаем первое неравенство системы

| х | - 2 ≤ 4

| х | - 2 + 2 ≤ 4 +2

| х | ≤ 6

Ответ запишем в виде двойного неравенства -6 ≤ х ≤ 6. Или в виде промежутка [ -6; 6].

Решим второе неравенство системы

| х | - 2 ≥ - 4

| х | - 2 +2 ≥ - 4 +2

| х | ≥ - 2

Помним, что модуль число не отрицательное, значит он больше любого отрицательного числа всегда, то есть решение будет все числа на координатной прямой, ( - ∞; +∞).

Найдем пересечение [ -6; 6] и ( - ∞; +∞).

[ -6; 6] ∩ ( - ∞; +∞) = [ -6; 6] .

Ответ: [ -6; 6] .

Давайте подробнее остановимся на случае, когда может встретиться ситуация | х | > а, при этом а число отрицательное. Еще раз проговорим: так как модуль число положительное, а положительное всегда больше отрицательного, то | х | > а при a < 0 имеет решение ( - ∞; +∞).

А вот случай | х | < а при отрицательном значении а не будет иметь решений, так как положительное число не может оказаться меньше отрицательного. У такого неравенства решений нет.

Рассмотрите самостоятельно будет ли иметь решение неравенство | х | ≤ а при a < 0, а при а ≤ 0.

Подумайте!

Действительно в случае | х | ≤ а при a < 0 решений не будет, а вот в случае | х | ≤ а при а ≤ 0 можем получить неравенство | х | ≤ 0, в этом случае решением неравенства является не промежуток, а единственная точка, х=0.

Сегодня мы с вами рассмотрели различные простейшие неравенства с модулем и способы их решения.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1). Отметьте на координатной прямой множество точек, удовлетворяющих условию:

| х | ≤ 4,

| х | > 5,

| х | > 0,

| х | ≤ 0,

| х | ≥ - 6,5.

2). Запишите в виде двойного неравенства решение неравенств:

| х | ≤ 2,

| х | < 4,35

| х | - 6 ≤ 1,

| х + 3 | ≤ 11 1/2.

Рекомендуемые тесты:

1). Запишите решение неравенства в виде системы или в виде совокупности решений:

| х | < 5,2

| х | > 5,2

| х +3| > 11.

2). Решите неравенства:

| | х | + 2 | - 4 ≤ 8

| | х | - 2| + 3 ≥ 7.