Операции над множествами. Пересечение и объединение множеств. Разность множеств, дополнение множества, Интерпретация операций над множествами с помощью кругов Эйлера. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: сформировать устойчивое представление об операциях над множествами и их визуализации.

Предметные результаты: закреплять представления о понятии «подмножество» и соответствующих ему графических моделях множеств в виде диаграмм Эйлера-Венна.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Здравствуйте. Говорить об одном объекте всегда легко и интересно, даже если под этим объектом понимается какое-то бесконечное множество. Однако, когда подобных объектов становится несколько, тем для разговора становится только больше!

Давайте рассмотрим какую-нибудь ситуацию, например нам захотелось классифицировать животных. Понятно, что есть животные умеющие плавать, например пингвин, умеющие летать, например дятел. В целом, некоторые бы на этом успокоились. Но не мы!
Давайте внимательно присмотримся к этим двум множествам. Что мы можем сказать? Во первых и то и другое – подмножества множества всех животных. Это значит что если мы поместим всех животных в круг, то круги в которых находятся те кто умеет плавать и те кто умеют летать будут находиться внутри круга животных. При этом мы можем круг животных не рисовать, а просто договориться что вся плоскость на которой мы рисуем и обозначает всех животных. Но в этом случае нужно понимать, что, например, для растений на этой плоскости места не будет!

Во-вторых, мы знаем, что существует утка. Чем хороша и интересна утка? Она умеет и плавать и летать! Так к какому же типу животных мы её отнесём? И к тому и к тому. Про такие элементы (принадлежащие и одному и другому множеству) говорят, что они принадлежат пересечению этих множеств. Иными словами, под пересечением двух множеств понимают множество тех их элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств. Если мы поместим всех летающих животных в один круг, а всех плавающих в другой круг, то пересечение этих кругов как раз и будет изображать пересечение данных множеств. Соответствующее обозначение

Теперь давайте посмотрим, как описать множество тех животных, которые смогут достать себе корм, отделенный от них водной гладью, а по суше – высокой стеной. Подкоп сделать не получится – пол бетонный. Если нам интересны такие животные, то они должны уметь или плавать, или летать, или всё это вместе. Подобное множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств (либо одному, либо другому, либо всем им одновременно) называется объединением данных множеств. Если вернуться к нашей истории с кругами, то легко заметить что объединением будет считаться область внутри данных кругов (если область содержится и в том и в другом круге, ничего страшного, мы уже обсуждали что пересечение в объединение входит). Соответствующее обозначение

А как быть скажем, с курицей? Она не умеет плавать, и не умеет летать. Но тем не менее она животное! Множество всех элементов, входящих во множество, но не в его подмножество, называют дополнением к данному подмножеству относительно данного множества. Есть ли курице и ей подобным место на нашей диограмме? Да, безусловно! К изображению этого есть два подхода, соответствующим взгляду на изображение круга животных, про которые мы уже говорили. Давайте, посмотрим на примере, когда круг внутри которого помещены все животные мы будем рисовать явно. Если мы возьмем часть круга животных, не лежащую ни в круге плавающих, ни в круге летающих, то заметим, что курице следует находиться именно там, ведь там находятся по прежнему животные, но при этом они не обладают перечисленными свойствами, так как ни в одном из соответствующих кругов не состоит. Обозначается дополнение к данному множеству чертой сверху

Наконец, давайте подумаем, как описать множество в котором находится камбала, пингвин, осётр, собака… Иными словами множество животных не умеющих летать, но вполне умеющих плавать? То есть множество элементов принадлежащих одному множеству но не принадлежащих другому? Подобное множество называется разностью этих двух множеств, и оно в точностью совпадает с пересечением первого множества с дополнением ко второму. Действительно, если мы из всех животных рассмотрим не умеющих летать, а потом выберем из них тех, кто умеет плавать, то мы добьемся того же результата! Разумеется, это также можно рассмотреть с помощью кругов Эйлера: причем как тот так и другой подход. В первом случае у нас из первого множества выбрасывается пересечение со вторым, а во втором случае – из дополнения ко второму множеству вырезается первое множество. Разность двух множеств, записанную с помощью соответствующего символа, можно записать с помощью изученных нами обозначаний:

Подведём итоги:

сегодня мы осознали как могут быть связаны разные множества, и как мы можем записать это с помощью специальных символов. Кроме того, мы даже научились зарисовывать графически данные соотношения.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Обозначим через А множество точек лежащих внутри окружности, через В множество точек лежащих вне квадрата, а через C множество точек лежащих справа от вертикальной прямой. Отметьте на рисунке все точки принадлежащие следующим множествам: