Урок 49. Системы тригонометрических уравнений
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

что такое система тригонометрических уравнений;
как решать системы тригонометрических уравнений;
какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака {

– система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Основная литература:

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. - 368 с.

Дополнительная литература:

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

- метод подстановки

- метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

Пример 1.

Решение:

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

.

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.

.

Теперь введем новые переменные:

, (*) и решим вспомогательную систему:

.

Решим ее методом подстановки.

.

Решим уравнение (**).

.

. Вернемся к исходным переменным.

,

.

С учетом условия получим две системы:

Или

или

Ответ:

Или

.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 2.

Решение:

С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:

.

Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:

,

,

.

Теперь выразим из второго уравнения y:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Решение:

Введем новые переменные: .

Тогда вспомогательная система будет иметь вид:

.

,

или

.

Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:

; ; ; .

Так как , то решение имеет только первая система: .

.

Пример 2.

Решите систему уравнений: .

Решение:

Пусть .

Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.

Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:

,

,

,

,

.

Ответ:.