Среднее арифметическое двух чисел
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: ввести понятие: средняя скорость; среднее арифметическое двух чисел; ознакомить обучающихся с алгоритмом вычисления среднего арифметического двух чисел и его использованием при решении практических задач.

Предметные результаты: развивать вычислительные навыки, логическое мышление; развитие коммуникативности, навыков само- и взаимоконтроля; развитие грамотной математической речи.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы познакомимся со средним арифметическим двух чисел.

Для начала рассмотрим пример.

Пример 1. (или аналог) Человек шел 2 часа со скоростью 4,6 км/ч и 3 часа со скоростью 5,1 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен был идти, чтобы пройти то же расстояние за то же время?

Для начала вычислим весь путь:

2*4,6+3*5,1 = 9,2+15,3 = 24,5 км.

Узнаем среднюю скорость: для этого общий путь разделим на общее время в пути: 24,5 : 5 = 4,9 км/ч

Значит, средняя движения: 4,9 – эта та самая постоянная скорость, с которой шел бы путник, чтобы пройти за то же время то же расстояние.

Заметим, что в данном случае мы нашли среднюю скорость.

Аналогичным образом мы в жизни можем сталкиваться с такими понятиями, как средний возраст, средняя температура и другие.

Определение: средним арифметическим двух чисел называется сумма этих чисел, делённая на два.

M = (a+b)/2

Задача 1. Средний возраст мамы и папы 36 лет. Папа на 2 года старше мамы. Сколько лет маме?

Решим эту задачу двумя способами:

I

способ.

Пусть маме х лет. Тогда папе х+2, а их средний возраст равен 36 годам, то есть:

(х+х+2)/2 = 36, то есть, 2х+2 = 72, то есть х=35. Следовательно, маме 35 лет.

II

способ.

Попробуем изобразить с помощью отрезков возраст мамы и папы.

_______ - возраст мамы

_______ __ - возраст папы

Всё вместе даёт 72 года. Удалим отрезок величиной в два года:

_______ - возраст мамы

_______ - возраст папы минус два года

Значит, удвоенный возраст мамы составляет 70 лет. Следовательно, маме 35 лет.

Рассмотрим ещё одно применение среднего арифметического.

Задача 2. (или аналог) Скорость катера по течению реки 18 км/ч, а против течения реки 14 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Заметим, что при движении по течению реки общая скорость катера больше, потому что река «помогает», а при движении против течения реки общая скорость катера меньше, потому что река «мешает».

Пусть vк км/ч – собственная скорость катера, а vт – скорость течения реки.

Тогда vк+vт = 18 км/ч – скорость по течению, а vк- vт=14 км/ч – скорость против течения.

Перед нами два верных равенства. Сложим их друг с другом. Скорость течения взаимно уничтожится и получится, что удвоенная скорость катера составляет 18+14=32 км/ч.

Следовательно, собственная скорость катера составляет 16 км/ч.

Заметим, что в данном случае собственная скорость катера получилась равна среднему арифметическому скоростей по течению реки и против течения реки.

Зная собственную скорость катера и скорость по течению, например, легко будет найти и скорость течения реки: 18-16=2 км/ч.

Поговорим о том, как НЕ следует понимать среднее арифметическое.

Пример 2. (или аналог) Летом ночью в горах температура воздуха может опускаться до 0, а днём – подниматься до 30 градусов Цельсия. Получается, что среднее температурное значение составляет 15 градусов. Если кто-то обладает такими данными, то он возьмёт с собой только лёгкую одежду, что, на самом деле, совершенно не поможет ему согреться ночью и охладиться в течение дня.

Итак, сегодня мы поговорили о среднем арифметическом двух чисел.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Опыт взвешивания массы капли. 100 капель 55 грамм, стакан с каплями 62 грамма, средняя масса 0,07 грамма. Аналогично с каплями масла делается вывод (физический) – капля масла тяжелее.
Задача о подсчете среднего арифметического нескольких числе, на примере оценок за фигурное катание.
Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Средний возраст игроков 22 года, во время матча один из игроков получает травму и уходит с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму. !различные способы решения!

Задача 2. Купец продавал яблоки. Сначала он их продавал по цене 85 рублей за кг. Так он продал 12 кг. Затем, снизил цену до 65 рублей, и продал оставшиеся 4 кг яблок. Какова средняя цена.