Решение задач повышенной сложности. Часть 2
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи: познакомить учащихся со сложными задачами на построение треугольников по трём элементам, сводящимся к уже известным задачам на построение, рассмотренным в предыдущих уроках, развить логическое и аналитическое мышление.

Здравствуйте! Продолжим рассмотрение сложных задачи, связанных с построением треугольников по 3-м элементам. Мы уже использовали в ряде задач ссылки на известные простые построения – например – угла, перпендикуляра, биссектрисы и пр. Теперь мы посмотрим, как ссылаться на более крупные решённые задачи.

Построение по периметру, углу и высоте из вершины другого угла.

Задача: Даны отрезки длиной р и х, а также угол бета.

Построить треугольник АВС, где АВ+ВС+АС=р, угол АВС=бета, СК = х (К принадлежит (АВ) и СК перпендикулярно АВ).

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник АВС построен.

Треугольник АВС состоит из 2-х прямоугольных треугольников КВС и АКС.

Треугольник КВС мы можем построить по катету СК и острому углу бета.

Треугольник АКС мы можем построить по катету КС и сумме другого катета с гипотенузой.

Можно строить.

Построение.

1. Строим прямоугольный треугольник КВС по катету СК=х и острому углу бета.

2. Строим отрезок длиной у=р–ВС–ВК.

3. Строим прямоугольный треугольник КАС по катету СК=х и сумме другого катета с гипотенузой АК+АС=у.

Доказательство.

В треугольнике АВС угол АВС=бета по построению (п.1); СК = х (К принадлежит (АВ) и СК перпендикулярно АВ) по построению (п.1); АВ+ВС+АС=АК+АС+КВ+ВС=р–КВ–ВС+КВ+ВС= р по построению (пп.2 и 3).

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

Задача имеет единственное решение как композиция подзадач, имеющих единственное решение. Очевидно, что задача не имеет решения, если высота не короче периметра.

Построение по 2-м сторонам и разности углов.

Задача: Даны отрезки длиной а и в (а больше в), а также угол каппа, равный разности углов альфа и бета.

Построить треугольник АВС, где ВС=а, АС=в; угол ВАС–АВС=каппа.

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник АВС построен.

Если продлить ВА за А и отложить на ней точку К так, чтобы СК=а, то треугольник ВСК – равнобедренный, а в треугольнике АСК угол АСК=каппа, т.е. известны 2 стороны и угол между ними.

Можно строить.

Построение.

1. Строим треугольник АСК по 2-м сторонам АС=в и СК=а и углу между ними АСК=каппа.

2. Строим равнобедренный КВС по боковой стороне ВС=КС=а и углу при основании ВКС=АКС.

Доказательство.

В треугольнике АВС ВС=КС=а по построению (п.2); АС=в по построению (п.1); разность углов ВАС и СВА равна каппа по построению (пп.1 и 2).

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

Задача имеет единственное решение как композиция подзадач, имеющих единственное решение. Решение существует всегда.

Подведём итоги.

Мы научились решать очень сложные задачи на построение, используя элементы ранее решённых задач. Самым важным элементом в решении таких задач является грамотный и качественный анализ.

1. Рекомендуемые тренажеры

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 317, № 313, № 316.

2. Рекомендуемые тесты

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 318, № 319, № 320.