Умножение многочлена на одночлен
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомиться и научиться умножать многочлен на одночлен.

Всем привет!

На прошлом уроке мы начали такую важную тему как действия с многочленами и поговорили о первых таких простых действиях как сложение и вычитание. Следующее на очереди, конечно же, умножение. И начнём мы с наиболее простого случая: будем умножать многочлен на одночлен. Т. е. будем умножать многочлен на многочлен, состоящий из одного слагаемого.

Рассмотрим такой пример:

(3х3 – 2х + 1) ⋅ 3х2

3х3 – 2х + 1 – многочлен.

3х2 – одночлен.

По сути, мы должны с вами раскрыть скобки, т. е. применить распределительный закон. Напоминаю, как этот закон применятся: умножить каждое слагаемое в скобках на то, на что умножается скобка. В данном случае, всё, что стоит в скобках, умножаем на 3х2.

(3х3 – 2х + 1) ⋅ 3х2 = 3х 3⋅ 3х2 – 2х ⋅ 3х2 + 1 ⋅ 3х2

Теперь мы должны вспомнить правило умножения одночленов: перемножаем числовую часть и каждую букву отдельно, не забываем свойство степени. Получаем:

(3х3 – 2х + 1) ⋅ 3х2 = 3х3 ⋅ 3х2 – 2х ⋅ 3х2 + 1 ⋅ 3х2 = 9х5 – 6х3 + 3х2

Правило: чтобы умножить одночлен на многочлен нужно умножить этот одночлен на каждый член исходного многочлена, после чего полученные произведения сложить.

По сути, мы просто раскрываем скобки.

Пример:

3х(7х – 2) – 2х(5х – 3)

Нужно раскрыть скобки, первая скобка раскрывается просто: мы 3х умножаем на 7х и на –2, а вот перед второй скобкой стоит знак минус, здесь ещё нужно поменять знаки в скобке на противоположные. После раскрытия скобок привести подобные. Приступим:

3х(7х – 2) – 2х(5х – 3) = 3х ⋅ 7х – 3х ⋅ 2 – 2х ⋅ 5х – 2х ⋅ (–3) = 21х2 – 6х – 10х2 +6х = 11х2

Пример:

(3х3 + у2 – 6у) ⋅ ( –1/3у2)

Раскрываем скобки, не важно, где стоит одночлен в начале и в конце, суть не меняется.

(3х3 + у2 – 6у) ⋅ ( –1/3у2) = 3х3 ⋅ (–1/3у2) + у2 ⋅ (–1/3у2) – 6у ⋅ (–1/3у2) = –х3у2 – 1/3у4 + 2у3

Пример: Раскрыть скобки –b3 ⋅ (–0,1ab(3a-4)+1) ⋅ 1/6a2b2

1. Выполним раскрытие скобок внутри скобок:

–0,1ab(3a – 4) + 1 = –0,1ab ⋅3a – (–0,1ab) ⋅ 4 + 1 = –0,3a2b + 0,4ab + 1

2. Перемножим первый и третий множители:

–b3 ⋅ 1/6a2b2 = –1/6a2b5

3. Получаем выражение –1/6a2b5 ⋅ (–0,3a2b + 0,4ab + 1). Теперь раскрываем скобки привычным образом:

–1/6a2b5 ⋅ (–0,3a2b + 0,4ab + 1) = (–1/6a2b5) ⋅ (–0,3a2b) + (–1/6a2b5) ⋅ 0,4ab + (–1/6a2b5) ⋅ 1 = 1/20 a4b6 – 1/15 a3b6 – 1/6a2b5

Пример: каким одночленом нужно заменить звёздочку, чтобы при умножении на многочлен a2 + 2ab получился многочлен 1,7a3 + 3,4a2b?

*( a2 + 2ab) = 1,7a3 + 3,4a2b

* = 1,7a2

Пример: упростить выражение и найти его значение при а = –20.

3 ⋅ (1,6а2 – 0,5а + 1,4) – 4 ⋅ (1,2а2 + 0,6а + 0,3)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

3 ⋅ (1,6а2 – 0,5а + 1,4) – 4 ⋅ (1,2а2 + 0,6а + 0,3) = 4,8а2 – 1,5а + 4,2 – 4,8а2 – 2,4а – 1,2 = –3,9а + 3

При а = –20 : –3,9 ⋅ (–20) + 3 = 81

Пример: не выполняя умножения, т. е. не раскрывая скобок, найти степень многочлена.

–3x2(4x8 – 2x5 + x) и его старший коэффициент. Степень: 11, коэффициент: –12.

А если рассмотреть многочлен –3x3(4x8 – 2x5 + 4x8)? Степень: 8, коэффициент: 6.

Сегодня мы с вами поговорили о том, как умножать многочлен на одночлен. Впереди умножение многочлена на многочлен.

До встречи.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 26, № 26.4 (б, в); 26.6 (г); 26.8 (б, г).

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 26, № 26.15 (а, в); 26.19, 26.23.