Урок 10. Комбинации тел вращения
Предмет: Геометрия, 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №10. Комбинации тел вращения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

комбинации конуса и цилиндра, конуса и усеченного конуса, цилиндра и усеченного конуса, нескольких сфер;
цилиндр, описанный около конуса, конус, описанный около цилиндра, усеченный конус, описанный около конуса и цилиндра;
цилиндр, вписанный в конус, конус, вписанный в цилиндр, усеченный конус, вписанный в конус и цилиндр.

Глоссарий по теме

Определение

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

Определение

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

Определение

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Комбинации цилиндра и конуса

Определение

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

В любой конус можно вписать цилиндр.

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

Осевое сечение цилиндра, вписанного в конус - представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

SO=H — высота конуса

OA=OB=R — радиус конуса

OF=OM=r — радиус цилиндра

OO1=h — высота цилиндра

SA=SB=L — образующие конуса

NF=KM=h (l)— образующие цилиндра.

∆SOB и ∆KMB - прямоугольные

∆SOB∆KMB (по общему острому углу B)

Поэтому:

, то есть: .

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра (через радиусы основания и образующие)

, то есть .

Таким образом:

.

Определение

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

В любой цилиндр можно вписать конус.

OS - ось цилиндра и ось конуса, высота цилиндра и конуса

OA - радиус конуса и радиус цилиндра

SA=SB=L - образующие конуса,

CA=DB=l - образующие цилиндра

∆SOA, ∆SCA, ∆SDB и ∆SOB - прямоугольные

∆SOA=∆SCA, ∆SDB = ∆SOB, поэтому 2S∆ASB=2SACDB.

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности описанного около него цилиндра (через радиус основания и высоту)

, то есть .

.

2. Комбинация двух конусов

Определение

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

OS - ось конусов, высота большого конуса

OH - высота малого конуса

OA - радиус большого конуса

CH - радиус малого конуса

AS=SB=L

OC=OD=l

Задача

В дне кашпо, имеющего форму конуса с площадью боковой поверхности 15π дм и радиусом основания 3 дм, сделано отверстие для того чтобы в него можно было вставить горшок для цветов, имеющий форму цилиндра. Определите радиус этого отверстия так, чтобы горшок для цветов был вписан в конус и имел форму равностороннего цилиндра.

Дано:

Цилиндр вписан в конус

Sб.п.к.=15π дм

R=3дм

dц =lц

Найти r.

Решение:

AS=L - образующая конуса

KC=l - образующая цилиндра

AO=R – радиус основания конуса

KO=r - радиус цилиндра

πRL=15π

L=15π: (3π)=5

Рассмотрим подобные треугольники AKC и AOS.

В них: .

АО=3 (по условию)

KA=3-r

OS=4 (из прямоугольного треугольника AOS с катетом 3 и гипотенузой 5.

KC=2r

6r=4(3-r)

6r=12-4r

10r=12

r=1,2 (дм)

Ответ: r=1,2 (дм)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник, вписан равносторонний цилиндр. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и цилиндра.

Решение:

Сделаем чертеж осевого сечения

Обозначим радиус цилиндра ЕО= r. Выразим через него все остальные элементы тел вращения.

Так как цилиндр равносторонний, то высота цилиндра равна h=СЕ=2r.

Так как сечение конуса ASB - прямоугольный треугольник и SO - его высота, то SO=OB. То есть высота конуса H равна радиусу R.

Образующая конуса равна L=SA=R .

∆SHD∆DKB∆OSB - прямоугольные равнобедренные треугольники.

Радиус конуса R=OB=OK+KB.

OK=r, KB=h=2r.

Поэтому R=3r, образующая конуса равна SA=3r .

Выразим площади полных поверхностей конуса и цилиндра.

Sп.п.ц. =2πr(r+h)= 2πr(r+2r)=6πr2.

Sп.п.к. =πR(R+L)= π3r(3r+3r)=9πr2(1+ )

Теперь найдем отношение: .

Ответ: .

2. Усеченный конус вписан в цилиндр. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус цилиндра равен 16, высота равна 6 а радиус меньшего основания усеченного конуса в два раза меньше радиуса цилиндра.

Решение:

Сделаем чертеж осевого сечения:

O1B - радиус меньшего основания усеченного конуса.

OC- радиус большего основания усеченного конуса и радиус цилиндра.

BH - высота цилиндра и высота усеченного конуса

По условию OC=2O1B, ОС=16, BH=6.

Так как OC=2O1B и ОС=16, то O1B=8.

Рассмотрим треугольник BHC.

В нем HC=OC-OH=8, BH=6. По теореме Пифагора BC=10.

Теперь нам известен радиус меньшего основания усеченного конуса: он равен 8, радиус большего основания усеченного конуса: он равен 16, образующая усеченного конуса: она равна 10.

Найдем площадь боковой поверхности:

Sб.п.у.к. =πL(r+R)

Sб.п.у.к. =10π(8+16)=240π

Площадь полной поверхности найдем, прибавив две площади оснований:

Sп.п.у.к. =240π+64π+256π=560π

Ответ: Sп.п.у.к. =560π