Вынесение за скобку общего множителя. Рационализация вычислений.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи: совершенствование практических умений и навыков учащихся при вычислении значений выражений путем вынесения общего множителя за скобки.

Здравствуйте!

Сегодня мы будем вычислять значение выражений путём вынесения за скобки общего множителя. Основная идея урока: Рациональные действия – это действия «с умом», то есть, выполненные наиболее оптимальным и эффективным способом – быстрее и проще. Секрет рационализации чаще всего состоит в изменении порядка действий, а иногда – и чисел, участвующих в этих действиях. Рассмотрим несколько идей.

Представление одного из сомножителей в виде суммы или разности.

Если Вам нужно перемножить 2 больших числа не торопитесь выполнять действия в столбик. Возможно, один из сомножителей легко представить в виде суммы или разности.
356*1001=356*(1000+1)=356*1000+356*1=356000+356=356356

Эта же идея для дробных чисел:
21,33*20,1=21,33*(20+0,1)=21,33*20+21,33*0,1=426,6+2,133=428,733

Фокус в том, что число, на которое «неудобно» умножать превращается в пару чисел, на каждое из которых умножать вполне себе удобно.

То же с разностью
122*9,97=122*(10–0,03)=122*10–122*0,03=1220–3,66=1216,34

Для нескольких слагаемых.

Один из сомножителей можно разбить и более, чем на 2 слагаемых
125*8,24=125*(8+0,2+0,04)=125*8+125*0,2+125*0,04=1000+25+5=1030

Использование распределительного закона в «обратном» направлении.

Вычислить 3,7*6,11+3,89*3,7=3,7*6,11+3,7*3,89=3,7*(6,11+3,89)= 3,7*10=37

Для большей наглядности мы первым делом поменяли местами сомножители во 2-м произведении.

«Кубковый» вариант.

Иногда нужно сложить или вычесть кучу произведений. Конечно, в этом случае можно разобраться с порядком действий и заняться подсчётами в столбик. Но лучше действовать так, как показано выше.

Вычислить 1,77*19–11*1,77+8*4,23+5,11*8 = 1,77*(19–11)+8*(4,23+5,11) = 8*1,77+8*9,34= 8*(1,77+9,34)=8*11,11=88,88.

Фактически, мы «сыграли» 2 «полуфинала» и «финал»

«Цепочка».
3,99*0,85+3,66*21+20,15*6,34+0,85*2,35=0,85(3,99+2,35)+3,66*21+20,15*6,34=0,85*6,34+3,66*21+ 20,15*6,34=6,34*(0,85+20,15)+3,66*21=6,34*21+3,66*21=21(3,66+6,34)=21*10=210

Предварительный вывод
Что за «магия» была применена? Ничего особенного – обыкновенная наблюдательность вместе с пониманием распределительного закона – каждый раз мы выбирали такие пары произведений, в которых есть общий сомножитель; выносили этот сомножитель за скобки и производили сложение в скобках. Парадоксально, но более рациональным оказалось не раскрытие скобок, а «закрытие» их, то есть применение распределительного закона в «обратном» направлении.

А если – нет?
Что делать, если нет произведений с одинаковыми сомножителями? Сначала – изучить условие, и лишь потом приступать к действиям.
36,6*14,3+18,3*171,6=36,6*14,3+18,3*2*85,8=36,6*14,3+36,6*85,8=36,6*(14,3+85,8)=36,6*100,1=3663,66
Нам достались 4 разных числа. Но, заметив, что 36,6=18,3*2, мы всё свели к предыдущей идее

Заключительное замечание.
Изучение условия, безусловно, важный элемент, но во всём нужна мера. Если Вы час изучали условие, а потом за минуту решили рационально, то, в целом, 10-минутные вычисления в столбик гораздо продуктивнее (если, конечно, не ошибётесь), Не забывайте про это!

Рекомендуемые тренажеры
Вычислить 89,9*10,01 Ответ: 899,899
Вычислить 17,5*0,994+0,12*200,11 Ответ: 19,7962
Вычислить 99,1*100,5+99,5*99,1 Ответ: 19820

Рекомендуемые тесты
Вычислить 23,4*100,3+11,7*199,8 Ответ: 4684,68
Вычислить 3,21*9,97 Ответ: 32,0037
Вычислить 2,001*1,002-2,002*1,001 Ответ: 1