Решение задач с помощью элементов теории множеств. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться представлять отношения между множествами с помощью геометрической картинки; научиться применять круги Эйлера для решения логических задач.

Предметные результаты: применять свойства действий над множествами и рассмотреть некоторые задачи, которые решаются при помощи понятия множества.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Всем привет!

Сегодня мы порешаем задачи, связанные с множествами. Наконец-то вы сможете применить свои обширные теоретические познания на практике! У нас будет всего два урока, посвященных именно решению задач, сегодня мы порешаем более простые упражнения, а на втором уроке поговорим о задачках посложнее. Вперед!

Задача 1. (или аналог) В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

Решение. Изобразим задачу в виде кругов Эйлера. Пусть круг А – розы, политые Аней, их, конечно, 1003. Круг В – политые Витей, их также 1003. При этом мы знаем, что три куста находятся в пересечении кругов. Значит, всего ребята полили 2003 куста. А значит, 3 остались не политыми. Можно было рассуждать и так. Аня полила ровно половину роз. При этом если бы Витя не поливал розы, политые Аней, то полив половину, он сделал бы так, что все розы оказались политыми. Но он случайно полил 3 розы, уже политые Аней. Значит, какие-то три розы он не полил. Именно они и являются ответом в задаче. Обратите внимание, что при этом нам не важно, сколько всего роз росло в саду (немаленький сад, кстати! Если каждую розу поливать по 10 секунд, то 1003 розы – это 10030 секунд или чуть больше 167 минут, то есть почти 3 часа… Бедные Аня и Витя…)

Задача 2. (или аналог) В гимназии учится 1000 человек, причем все ученики знают хотя бы один из древних языков – греческий или латынь, некоторые – оба языка. 850 ребят знают греческий язык и 750 знают латынь. Сколько учеников знает оба языка?

Решение. Изобразим задачу в виде кругов Эйлера. Пусть круг G – ребята, знающие греческий язык, L – латинский. Тогда в пересечении этих кругов находятся те дети, которые знают оба языка. Сколько их – мы не знаем. Но мы знаем, что всего ребят 1000, причем все они находятся внутри кругов, так как каждый знает хоть один язык. Значит, если в круге G 850 человек, то в части круга L, не пересекающейся с G, 150 человек (1000 – 850). А тогда в пересечении находится 850 – 150 = 600 человек. Кстати, а кто такие эти 150 человек? А это те ученики, которые знают латынь, но при этом точно не знают греческий. Ну а 600 – искомые ученики, знающие оба языка (впрочем, поверить в существование такой уникальной школы трудно…).

Задача 3. (или аналог) В классе учится 30 человек. 15 из них любят математику, 10 - русский язык, при этом отличник Ян (и только он!) любит и то, и то. Сколько учеников класса не любят ни математику, ни русский язык?

Решение. Изобразим задачу в виде кругов Эйлера. Пусть круг М – любящие математику, Р – русский язык (в угоду языку, назовем круг по-русски). Тогда на пересечении этих кругов будет один счастливый (или не очень) Ян. Тогда можно все посчитать: в круге М без учета пересечения будет 14 человек, а в круге Р – 9. Значит внутри кругов всего 24 человека (это можно было посчитать и так: любящих математику, но не любящих русский – 14 человек, а любящих русский всего 10, итого 24). А значит оставшиеся 6, увы, не любят ни русский (это еще можно простить), ни математику (а вот это уже преступление). Надеюсь, вы не возьмете с них пример!

Итак, сегодня мы разобрали несколько простых задач с помощью теории множеств. До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры

1. Петя и Вася решили вместе сделать домашнюю работу по математике. Из 8 заданных задач, каждый сделал по 4, причем 1 задачу они случайно сделали одну и ту же. Сколько задач осталось решить ребятам, чтобы закончить домашнюю работу?

Ответ: осталось решить 1 задачу.

2. Из 800 учеников гимназии, 530 изучают английский язык, 280 – французский. При этом каждый ученик изучает хотя бы один из этих языков (а возможно, оба). Сколько ребят изучают оба языка?

Ответ: 10 человек.

3. Из 25 игроков сборной России по футболу, 15 обладают хорошим ударом, 8 – хорошим пасом, при этом и хорошим ударом, и хорошим пасом одновременно обладают лишь два игрока. Сколько игроков сборной не обладают ни хорошим пасом, ни хорошим ударом?

Ответ: 4 игрока.

Рекомендуемые тесты

1. Аня и Света кормили 20 кошек в цирке. Каждая покормила 10 кошек, причем двух кошек покормили обе девочки. Сколько кошек пока еще не накормлены?

Ответ: ещё не накормлено 2 кошки.

2. Из 900 учеников гимназии, 270 изучают немецкий язык, 880 – английский. При этом каждый ученик изучает хотя бы один из этих языков (а возможно, оба). Сколько ребят изучают оба языка?

Ответ: 250 человек.

3. Из 35 детей, поступивших в первый класс, читать умеют 10, считать – 15, а Петя Медведев (и только он) умеет и читать, и считать. Сколько ребят не умеют ни считать, ни читать?

Ответ: 11 человек.