Прямая и обратная пропорциональная зависимость между величинами.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: сформировать представление о прямой и обратной пропорциональности, сформировать умение составлять пропорцию с учётом вида пропорциональности.

Добрый день, дорогие ребята!

Люди постоянно описывают окружающую их реальность, и делают они это с помощью различных величин. Величиной мы называем такое свойство предмета или объекта, которое можно измерить. Например, высота дома, пройденное расстояние, стоимость покупки и т. д. При этом некоторые величины зависят друг от друга, некоторые нет.

Представьте, что вы идёте в школу. Скорость вашего движения – это одна величина, время движения – вторая величина, количество карандашей в вашем пенале – третья величина. Очевидно, что при изменении скорости время вашего движения изменится, а количество карандашей в вашем пенале – нет. Т. о. время и скорость – это зависимые величины, а скорость и количество карандашей – независимые.

В различных практических си­ту­а­ци­ях важно по­ни­мать связь между одной ве­ли­чи­ной и дру­гой, знать, как из­ме­не­ние одной ве­ли­чи­ны по­вли­я­ет на из­ме­не­ние дру­гой ве­ли­чи­ны. Например, в физике далеко не всякую величину можно измерить непосредственно каким-либо прибором, и, открывая связи между величинами, физики получают возможность вычисления таких величин с помощью формул.

Рассмотрим такой пример. Периметр квадрата вычисляется по формуле , где а – сторона квадрата. Если изменяется сторона квадрата, то изменяется и периметр. Например, если сторона квадрата равна 1 см, то периметр равен 4 см. Если сторона – 1,5 см, то периметр – 6 см, если сторона 2 см, то периметр – 8 см, если сторона – 2,5 см, то периметр – 10 см, если сторона – 3 см, то периметр – 12 см и т. д.

Заметим, что если сторону квадрата увеличить в 2 раза, например с 1 см до 2 см, то периметр тоже увеличится в 2 раза, с 4 см до 8 см. Или, если, наоборот уменьшить сторону в 3 раза, например, с 3 см до 1 см, то периметр тоже уменьшится в 3 раза. Понятно, что увеличение стороны в несколько раз приводит к соответствующему увеличению периметра. Аналогично, уменьшение стороны в несколько раз приводит к соответствующему уменьшению периметра.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Так, величины а и Р прямо пропорциональны.

Рассмотрим ещё один пример.

Ученики 6 класса собрались вместе пойти в кино. Цена билета составляет 100 рублей. Очевидно, что стоимость билетов можно рассчитать по формуле , где п – количество шестиклассников, которые выразили желание пойти в кино.

Величины С и п прямо пропорциональны. В этом легко убедиться, если проанализировать данные из таблицы.

п

6

8

9

11

12

15

С

600

800

900

1100

1200

1500

Рассмотрим отношения . Все они равны 100.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.

В рассмотренных примерах для величин Р и а это отношение было равно 4, а в примере для величин С и п – 100. .

Обозначим две прямо пропорциональные величины буквами х и у, а постоянное число, равное их отношению, буквой k. Возьмём два значения первой величины, допустим х1 и х2, и два значения второй величины, например у1 и у2. В общем виде это свойство тогда можно записать так .

Если в этой пропорции поменять местами крайние члены, мы получим пропорцию. Что же это равенство означает? Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Не всякая зависимость между величинами является прямой пропорциональностью.

Рассмотрим конкретную ситуацию. Вы знаете, что расстояние 600 м от вашего дома до школы вы проходите за 15 минут, т. е. скорость вашего движения равна 40 м/мин. Но сегодня вы встали позже и вышли из дома, когда до начала уроков осталось 10 мин. Чтобы успеть, вы должны идти со скоростью 600 : 10 = 60 (м/мин). А если вы хотите дойти до школы за 5 мин, ваша скорость должна быть 600 : 5= 120 (м/мин).

время

15

10

5

скорость

40

60

120

Мы видим, что увеличение скорости в 3 раза с 40 м/мин до 120 м/мин, привело к уменьшению времени в 3 раза. И наоборот, если уменьшить скорость в 2 раза, с 120 м/мин до 60 м/мин, то время увеличится в 2 раза.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Итак, скорость и время являются обратно пропорциональными величинами.

Рассмотрим пример ещё одной обратной пропорциональности. Пусть стороны прямоугольника , а площадь прямоугольника равна 36 см2. Величины обратно пропорциональные. Действительно, если одну сторону увеличить в несколько раз, то, чтобы площадь прямоугольника не изменилась, другую сторону надо уменьшить во столько же раз.

Сказанное можно подтвердить с помощью таблицы.

2

3

4

6

9

12

18

12

9

6

4

3

площадь, см2

36

36

36

36

36

36

Рассмотрим произведения . Все они равны 36.

Если две величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.

В первом примере это произведение было равно 600, во втором – 36.

Обозначим две обратно пропорциональные величины буквами х и у, а постоянное число, равное их произведению, буквой k. Возьмём два значения первой величины, допустим х1 и х2, и два значения второй величины, например у1 и у2. В общем виде это свойство тогда можно записать так

Перепишем это равенство в виде пропорции . Что же это равенство означает?

Если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Отметим, что не всякая зависимость между величинами является прямой или обратной пропорциональностью.

Например, возраст человека и его рост. С увеличением возраста рост человека, конечно, тоже увеличивается, но эта зависимость не является прямо пропорциональной. Согласитесь, что если в возрасте 12 лет рост человека был 130 см, то в возрасте 36 лет его рост не может быть 390 см, т. е. почти 4 метра.

Другой пример: площадь квадрата со стороной 6 см равна 36 см2, а со стороной 3 см – 9 см2. При уменьшении стороны в 2 раза площадь уменьшилась, но не в 2, а в 4 раза.

Подумайте, является ли прямой пропорциональностью зависимость между временем и уровнем зарядки батареи аккумулятора мобильного телефона? С одной стороны, с увеличением времени зарядки уровень зарядки увеличивается, но наступает момент, когда батарея заряжена полностью, т. е. время увеличивается, а уровень – нет.

Попробуйте самостоятельно определить, какие величины являются прямо пропорциональными, какие обратно пропорциональными, какие – ни теми, ни другими.

а) Количество купленного товара и его стоимость.

б) Скорость движения и пройденное расстояние.

в) Грузоподъёмность автомобиля и количество автомобилей, необходимых для перевозки груза.

г) Производительность труда и затраченное время.

д) Длина ребра куба и его объём.

е) Возраст дерева и его высота.

ж) Расстояние между двумя городами на карте и в действительности?

Проверьте:

Прямо пропорциональные: количество купленного товара и его стоимость; скорость движения и пройденное расстояние; расстояние между двумя городами на карте и в действительности.

Обратно пропорциональные: грузоподъёмность автомобиля и количество автомобилей, необходимых для перевозки груза; производительность труда и затраченное время.

Ни те, ни другие: длина ребра куба и его объём; возраст дерева и его высота.

Зачем мы так подробно разбираемся с видами пропорциональности? Пропорциональные величины очень часто встречаются в различных задачах, при их решении важно определить вид пропорциональности, чтобы правильно составить пропорцию.

Рассмотрим задачу: Скорый поезд движется с постоянной скоростью и проходит 45 км за 15 мин. Какое расстояние он пройдёт за полтора часа?

Время и расстояние при постоянной скорости – прямо пропорциональные величины, т. к. с увеличением времени в несколько раз расстояние тоже увеличится в это же число раз. Обозначим неизвестное расстояние буквой х и составим краткое условие. Выразим время в одних единицах измерения, например, в минутах.

время

расстояние

15 мин

45 км

1,5 ч = 90 мин

х км

В краткой записи условия задачи стрелкой вверх покажем увеличение величины. Стрелки, направленные в одну сторону – это для нас напоминание о прямой пропорциональности.

Составим пропорцию, исходя из свойства прямой пропорциональности: Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Ответ: 270 км.

Рассмотрим теперь такую задачу:

Бригада из 15 рабочих может отремонтировать школу за 46 дней. Сколько требуется рабочих, чтобы отремонтировать школу за 30 дней, если производительность труда всех рабочих одинакова?

Количество дней и количество рабочих – обратно пропорциональные величины, так как с уменьшением числа дней в несколько раз, число рабочих увеличится в такое же число раз. Обозначим неизвестное количество рабочих буквой х и запишем краткое условие.

Кол-во дней

Кол-во рабочих

46 дней

15 рабочих

30 дней

х рабочих

Как и в предыдущей задаче, покажем стрелкой, направленной вверх, увеличение величины, стрелкой вниз – уменьшение величины. Стрелки, направленные в противоположные стороны – это напоминание о том, что пропорциональность обратная. Составим пропорцию, исходя из свойства обратной пропорциональности: Если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Ответ: 23 рабочих.

Интересно, что прямую и обратную пропорциональности можно встретить и в литературе, и в устном народном творчестве:

Прямая пропорциональность:

Чем дальше в лес, тем больше дров.

Много снега – много хлеба.

Много гостей – много и новостей.

Обратная пропорциональность:

Тише едешь – дальше будешь.

Дальше положишь – ближе возьмёшь.

Меньше знаешь – крепче спишь.

Или, например, у П. Вяземского:

«…Чтоб меня более читали,

Я буду менее писать».

А, на ваш взгляд, какая пропорциональность спряталась в этих строчках Самуила Яковлевича Маршака:

«Дни растущие, а ночи –

Что ни сутки, то короче»?

Давайте подводить итог урока:

Коротко о самом главном:

Прямо пропорциональная зависимость между величинами:

1. При увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

2. Отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу .

3. Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины .

Обратно пропорциональная зависимость между величинами:

1. При увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

2. Произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу .

3. Если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины .

Надеюсь, что вы научились не только различать такие виды зависимостей, как прямая и обратная пропорциональности, но и учитывать их при решении задач. Советую самостоятельно выполнить задания по данной теме и проверить себя.

Успехов вам в изучении математики!

Всего доброго!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Определите, является ли зависимость между величинами прямой или обратной пропорциональностью.

а) Скорость и время движения на участке длиной 100 км;

б) Объём работы, выполненной за 8 часов, и производительностью труда;

в) Цена тетрадей и их количество, которое можно купить на 200 р.;

г) Скорость движения и путь, пройденный за 6 ч;

д) Производительность станка и время изготовления на нём 1000 деталей.

2. Заполните таблицу для прямо пропорциональных величин.

Время работы, ч

3

5

2

Объём работы, детали

192

240

480

3. Заполните таблицу для обратно пропорциональных величин

Цена товара, руб.

120

240

400

Количество товара, шт.

12

5

4

4. Каждая из зависимостей, приведённых в таблице, является прямой или обратной пропорциональностью. Установите вид зависимости и заполните таблицы.

х

0,5

1

1,5

2

2,5

у

30

15

х

1

5

10

15

20

у

4

20

5. Решите задачи:

а) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушёных. Сколько килограммов получится из 160 кг свежих вишен?

б) Зубчатое колесо имеет 95 зубцов и делает 92 оборота в минуту. Сколько оборотов сделает колесо с 5 зубцами, скреплённое с первым?

Ответы:

1. Прямо пропорциональная зависимость:

б) Объём работы, выполненной за 8 часов, и производительностью труда;

г) Скорость движения и путь, пройденный за 6 ч.

Обратно пропорциональная зависимость:

а) Скорость и время движения на участке длиной 100 км;

в) Цена тетрадей и их количество, которое можно купить на 200 руб.;

д) Производительность станка и время изготовления на нём 1000 деталей.

2.

Время работы, ч

3

4

5

2

10

Объём работы, детали

144

192

240

96

480

3.

Цена товара, руб.

120

100

240

400

300

Количество товара, шт.

10

12

5

3

4

4. Обратная пропорциональность

х

0,5

1

1,5

2

2,5

у

30

15

10

7,5

6

Прямая пропорциональность

х

1

5

10

15

20

у

4

20

40

60

80

5. а) 24 кг; б) 1748 оборотов.

Рекомендуемые тесты:

1. Являются ли величины х и у прямо пропорциональными?

х

24

16

1

40

4

у

3

2

8

5

32

А) да Б) нет В) невозможно определить

2. Являются ли величины х и у обратно пропорциональными?

х

1

20

40

8

4

у

400

20

10

50

100

А) да Б) нет В) невозможно определить

3. Какая пропорция составлена по условию задачи:

12 тракторов одинаковой мощности могут вспахать поле за 88 часов. Сколько нужно таких же тракторов, чтобы вспахать это поле за 33 часа?

А

Б

В

Г

4. За 5 кг сахара заплатили 100 рублей. Какова стоимость 15 кг сахара? Укажите верно составленную пропорцию по тексту задачи.

А

Б

В

Г

5. Почтальон шёл 4 мин со скоростью 60м/мин. За сколько минут он прошёл бы это же расстояние, если бы шёл со скоростью 80 м/мин?

А

2 мин

Б

5 мин

В

12 мин

Г

3 мин

Проверьте себя: 1 – Б; 2 – А; 3 – Б; 4 – А; 5 – Г.