Урок 39. Свойства делимости
Предмет: Математика, 5 класс

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок №39

Свойства делимости

Перечень рассматриваемых вопросов:

- свойства делимости;

- чётные и нечётные числа;

- кратность чисел.

Глоссарий по теме:

Деление – действие, обратное умножению.

Кратное натурального числа – это число, которое делится на данное натуральное число без остатка

Умножение – это арифметическое действие, в котором первое число повторяется в качестве слагаемого столько раз, сколько показывает второе число.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. //

И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы будем изучать свойства делимости, так как деление – это одно из основных арифметических действий в математике.

Для начала вспомним, что такое деление. Это действие, обратное умножению. Т. е. говорят, что натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует число с, при умножении которого на число b получается число а. При дальнейших рассуждениях слова «натуральные», «нацело» будем опускать для краткости.

Прежде чем рассмотреть свойства делимости, введём определение кратного числа.

Кратное натурального числа – это число, делящееся на данное целое число без остатка.

Если а делится на b, то говорят ещё, что а кратно b, при этом a ≥ b.

Например, число36 кратно числу 12, т. к. 36 : 12 = 3.

Теперь рассмотрим свойства делимости.

Первое свойство. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это же число.

Например, двадцать пять делится на пять, значит и произведение чисел двадцать пять и двенадцать делится на пять. Т.к. число двадцать пять можно разложить на множители пять и пять. И наш делитель пять входит в это произведение. Следовательно

это произведение делится на заданное число.

25 · 12 = (5 · 5) · 12 = 5 · (5 · 12)

Рассмотрим второе свойство. Оно заключается в том, что если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

Например, 168 делится на 56, т. к. 168 – это результат произведения 56 и 3.

56 делится на 8, т. к. 56 – это результат произведения 7 и 8.

Следовательно, 168 делится на 8, т. к. 168 – это результат произведения трёх чисел – 8, 3 и 7. Если поделить 168 на 8, получится 21.

168 делится на 8, т. к. 168 : 8 = 8 · (3 · 7) : 8 = 21.

Рассмотрим третье свойство. Оно заключается в том, что если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.

Например,

200 делится на 2, т. к. 200 – это произведение 2 и 100.

24 тоже делится на 2, т. к. 24 – это произведение 2 и 20.

Следовательно, 224 делится на 2, т. к. это число есть сумма 200 и 24, или сумма произведений чисел 2 и 100 и 2 и 12.

Используя распределительное свойство, получим произведение числа 2 на сумму чисел 100 и 12. Или, иначе говоря, произведение числа 2 и числа 112.

224 делится на 2, т. к.

224 = 200 + 24 = 2 · 100 + 2 · 12 = 2 · (100 + 12) = 2 · 112.

Теперь возьмём число 35. Оно делится на 5. Представим его как разность 100 и 65. Т. к. 100 – это произведение 5 и 20, а 65 – это произведение 5 и 13, то получим следующее выражение:

35 = 100 – 65 = 5 · 20 – 5 · 13 = 5 · (20 – 13) = 5 · 7.

35 – это разность 100 и 65, или разность произведений чисел 5 и 25 и 5 и 13. Используя распределительное свойство, получим произведение 5 и разности чисел 20 и 13. Выполнив действие вычитания, получим результат произведения чисел 5 и 7.

Рассмотрим четвёртое свойство. Оно заключается в том, что если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

Например,

48 делится на 2, т. к. 48 = 2 · 24.

15 не делится на 2.

Следовательно, 48 + 15 и 48 – 15 не делятся на 2.

В противном случае это противоречило бы свойству три. Итак, сегодня мы познакомились со свойствами делимости и научились применять их к выражениям.

Занимательная задача

Решим занимательную задачу, основываясь на свойствах делимости, но с большим количеством слагаемых.

В цветочном магазине имеются 33 розы, 27 хризантем и 21 лилия. Возможно ли из них составить три одинаковых букета? Если да, то сколько цветов будет в каждом букете?

Решение:

Для решения задачи составим следующее выражение:

(33 + 27 + 21) : 3

Исходя из свойства 3 (если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число), мы можем разделить как два числа, так и все три числа на 3.

33 : 3 = 11

27 : 3 = 9

21 : 3 = 7

Все числа делятся на 3, следовательно, букет с одинаковым количеством цветов собрать можно. Теперь посчитаем, сколько цветов будет в каждом букете. Для этого найдём сумму следующих чисел

11 + 9 + 7 = 27 цветов

Ответ: можно составить букеты, в каждом будет 27 цветов

Тренировочные задания.

№ 1. Какие из чисел 28; 25; 23; 22 делятся на 14?

Решение: для решения задачи достаточно найти числа, кратные числу 14. Начнём проверку кратных с числа 2, т.к. при умножении 14 на 1 кратное будет само число 14;

14 · 2 = 28 – это число есть в условии;

14 · 3= 42 – это число уже больше тех, что даны по условию задачи. Следовательно, остальные числа не будут делиться на 4.

Ответ: 28.

№ 2. Делится ли сумма (54 + 12) на 9?

Решение: исходя из свойства 3 (если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число), проведём рассуждения для этого задания:

54 делится на 9, т. к. 54 = 9 · 6

12 не делится на 9, т. к. 12 = 4 · 3 = 2 · 2 · 3

Следовательно, (54 + 12) не делится на 9.

Ответ: сумма чисел не делится на 9.