Урок 4. Квадратный трёхчлен и его корни
Предмет: Алгебра, 9 класс

Конспект

Алгебра. 9 класс

Урок 4. Квадратный трёхчлен и его корни

В 7 классе вы изучали многочлены. Рассмотрим многочлен второй степени с одной переменной. Он называется квадратный трёхчлен. Его общий вид ax2 + bx + c, где а ≠ 0. При этом коэффициенты а, b и c называются также как и в квадратном уравнении. a – первый или старший коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Рассмотрим пример. Среди данных многочленов найдите квадратный трёхчлен и определите его коэффициенты.

Квадратными трёхчленами будут многочлены 2x2 – 4x + 1. Здесь а = 2, b = –4, c = 1. . Здесь , b = –3, c = 0. –x2 + 8. Здесь а = –1, b = 0 и c = 8. Оставшиеся многочлены не являются квадратными трёхчленами, так как это многочлены третьей, первой и четвёртой степеней.

Вам не раз приходилось находить значение многочлена при заданном значении переменной. Находили, при каких значениях он равен тому или иному числу. Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называется корнем многочлена.

Например, найдём корни многочлена 5x2 + 10x.

Для этого решим уравнение 5x2 + 10x = 0.

Разложив левую часть уравнения на множители, получим x = 0 или x = –2.

Таким образом, числа 0 и –2 – корни многочлена.

Значит, для того чтобы найти корни квадратного трёхчлена аx2 + bx + c, нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

Так как квадратный трёхчлен имеет те же корни, что и соответствующее квадратное уравнение, то он может как и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не иметь корней. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения. Два корня при положительном значении дискриминанта, один корень при дискриминанте равном нулю и нет корней при отрицательном значении дискриминанта.

При решении задач иногда удобно представить квадратный трёхчлен в виде суммы квадрата двучлена и числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Покажем это преобразование на примере. Выделим из трёхчлена 2x2 + 4x – 3 квадрат двучлена. Для этого вынесем за скобки множитель 2 и преобразуем выражение в скобках. Выделим в скобках квадрат суммы. Представим 2x как удвоенное произведение x и 1. Добавим и вычтем квадрат 1, получим 2 ∙ (x + 1)2 – 5. Значит, мы выделили из квадратного трёхчлена квадрат двучлена.

Рассмотрим задачу, при решении которой используется приём выделения квадрата двучлена из квадратного трёхчлена.

Докажите, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть одна сторона прямоугольника равна x сантиметров. Тогда другая сторона прямоугольника равна 10 – x сантиметров. Составим выражение для площади прямоугольника. Раскрыв скобки в этом выражении, получим квадратный трёхчлен –x2 + 10x. Выделим квадрат двучлена. Вынесем – за скобки и представим 10x как удвоенное произведение 5 и x. Так как перед удвоенным произведением стоит знак «–», будем выделять квадрат разности. Прибавим и вычтем 52. Получим –(x – 5)2 + 25. Первое выражение всегда неположительно, следовательно, сумма принимает наибольшее значение при x = 5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5 см. В этом случае и другая сторона равна 5 см. То есть прямоугольник является квадратом.

Сегодня на уроке мы узнали, какой многочлен называют квадратным трёхчленом. Рассмотрели два способа нахождения корней квадратного трёхчлена. С помощью дискриминанта и с помощью выделения квадрата двучлена.