Урок 83. Занимательные задачи на проценты
Предмет: Математика, 6 класс

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 83

Занимательные задачина проценты

Перечень рассматриваемых вопросов:

– решение задач олимпиадного характера;

– различные типы занимательных задач;

– развитие логики, интеллекта, воображения, фантазии.

Тезаурус

Типы логических задач:

– загадки;

– старинные задачи;

– последовательности;

– задачи на переливание;

– задачи на взвешивание;

– задачи типа «кто есть кто?»;

– задачи на пересечение и объединение множеств;

– математические ребусы.

Методы решения логических задач:

– метод рассуждений;

– круги Эйлера;

– метод построения таблиц;

– метод графов;

– метод математических вычислений;

– метод перебора возможных вариантов.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Математика – наука серьёзная, сложная.

Однако без математики невозможно освоить многие другие науки.

Сегодня на уроке вас ждут занимательные, олимпиадные задачи, которые покажут, что математика тоже может быть интересной и увлекательной.

Мы рассмотрим некоторые типы задач и методы их решения. Помните, что для решения задач нужно внимательно изучить их условия и найти связь между данными и искомыми величинами.

1 тип. Логические задачи

Задача. Червяк ползёт вверх по столбу, начав путь от основания. Каждый день он проползает вверх 4 см, а за каждую ночь сползает вниз 3 см. Когда он достигнет верхушки столба, если его высота 8 см?

Решение. Поднимаясь за день и ночь на 4 – 3 = 1 (см), червяк достигнет отметки на 5 день.

Так как на 5 день он первый раз поднимется до отметки 8 см.

Ответ: на 5 день.

2 тип. Графы

Основная идея – это графическое изображение условия.

Задача 1. Три друга, Антон, Вася и Сергей, обменялись рукопожатиями. Затем они обменялись визитками. Сколько рукопожатий было сделано? Сколько было визиток?

Решение. Обозначим ребят буквами А, В и С по первым буквам их имён. Поставим три соответствующие точки. У графа 3 вершины и 3 ребра АВ, ВС, АС (рис. 1). Значит, было 3 рукопожатия. Визиток было в 2 раза больше, т.к. А отдал визитку В, и В отдал свою визитку А. Значит, визиток было 3 · 2 = 6 штук.

Задача 2. Увеличим число друзей до 4.

Получилась следующая картина (рис. 2):

рукопожатия АВ, АС, АD, ВС, ВD, DС – всего 6, значит, визиток было 6 ∙ 2 = 12.

З тип. Задачи на составление и разрезание фигур

В задачах речь о фигурах на клетчатой бумаге (стороны фигур проходят по линиям клеток). Фигурки из 2 клеток называют домино, фигурки из 3 клеток – тримино.

В задачах требуется из таких фигур составить новую фигуру, или разрезать фигуру на несколько равных частей.

Задача. Из фигур тримино составить прямоугольник размерами 5×4.

Ответ: задачу решить невозможно, т.к. 5×4 = 20,а число 20 не делится на 3.

4 тип. Исторические задачи

Задача 1. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти. Хозяин дал ему расчёт: 5 рублей и кафтан. Сколько стоил кафтан?

Решить задачу поможет таблица.

За 12 месяцев

12 рублей и кафтан

За 1 месяцев

1 рублей и 1/12 кафтана

За 7 месяцев

7 рублей и 7/12 кафтана

За 7 месяцев

5 рублей и 12/12 кафтана

Значит, 5/12 кафтана стоят 2 рубля, тогда весь кафтан стоит 12/5∙2 = 4,8 (руб).

Задача 2. Сколько учеников в школе у Пифагора?

Он ответил: «Половина изучает математику, четвёртая часть – природу, седьмая часть проводит время в размышлении, остальную часть составляют 3 девы».

Решение: 1/2 +1/4+ 1/7 = 14/28 + 7/28 + 4/28 =25/28.

Оставшиеся 3/28 – это 3 девы, значит в школе 28 учеников.

5 тип. Круги Эйлера

В классе 10 учеников изучают английский, 9 учеников – немецкий. 5 учеников изучают оба языка. Сколько учеников в классе, если известно, что каждый изучает хотя бы один язык?

Изобразим множество учеников в виде кругов.

10 + 9 = 19 – учеников всего изучают английский и немецкий языки, но среди них есть те, которых считали дважды.

Вычитаем их: 19 – 5 = 14 (учеников).

Ответ: 14 учеников.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1. Сумма двух положительных чисел равна 297. Первое число оканчивается нулём. Если нуль зачеркнуть, получится второе число. Найдите эти числа.

Решение. Из условия, что второе число получается путём зачёркивания нуля в первом числе, следует, что первое число – трёхзначное, а второе число – двузначное. Первое число оканчивается нулём, а результат сложения равен 297, значит, последняя цифра второго числа 7. Тогда первая цифра первого числа – это 2, значит, первая цифра второго числа – это тоже 2. Получается, что это числа 27 и 270.

Смотрите сложение: 27 + 270 = 297

Задача 2. За 1 час турист проходит 6 км. Сколько метров он проходит за 1 минуту?

Решение

За 1 час проходит 6 км, или за 60 мин проходит 6000метров.

Значит, за 1 минуту 6000 : 60 =100 метров.

Задача 3.Несколько работников получили 120 тысяч рублей. Если бы их было на 4 меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?

Решение

1 способ

Пусть было х работников,каждый получал 120/хрублей. Стало (х – 4), каждый получит 120/(х – 4) рублей. Известно, что при меньшем количестве работников каждый получит в 3 раза больше.

Составим уравнение:

Используем свойство пропорции: 3(х – 4) = х, откуда х=6.

2 способ: метод перебора возможных вариантов.

Ответ: 6 работников.

Задача 4. У щенят и утят вместе 42 ноги и 12 голов. Сколько утят и сколько щенят?

Решение

Используем метод перебора возможных вариантов.

Во-первых, у щенят по 4 ноги, а у утят по 2 ноги. Будем перебирать возможные варианты, данные занесём в таблицу.

1

10 щенят имеют 40 ног

2 утёнка имеет 4 ноги

2

9 щенят имеют 36 ног

3 утёнка имеют 6 ног

3

8 щенят имеют 32 ноги

4 утёнка имеют 8 ног

И так далее.

Условию задачи удовлетворяет 2-й вариант: 9 щенят и 3 утёнка – всего 12голов, и 36+ 6 = 42 ноги

Ответ: 9 щенят и 3 утёнка.