Занимательные задачи: принцип Дирихле. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: расширить границы применения принципа Дирихле и рассмотреть работу метода на задачах смешанного типа.

Предметные результаты: уметь решать задачи с помощью принципа Дирихле; показать его применение для решения разнообразных задач.

Метапредметные и личностные результаты: развивать вычислительные навыки, умения решать задачи, развивать логическое мышление учащихся, воспитывать интерес к математике.

Здравствуйте, уважаемые дамы и господа. В прошлый раз мы познакомились с принципом Дирихле, и рассмотрели его работу в типичных для него условиях. Давайте попробуем понять, на сколько данный метод универсален:

Задача 1. В шкафу в перемешку лежат 5 пар светлых и 5 пар темных ботинок одинакового размера и фасона. Кокое наименьшее количество ботинок нужно взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хотя бы одна пара (на правую и левую ногу) одинакового цвета?

Давайте попробуем вытащить не более 10 ботинок. Может оказаться что мы сначала вытаскивали левые светлые ботинки, а потом левые темные. Разумеется, в такой ситуации 10 и меньше ботинок вытащить окажется недостаточным для составления описанной в условии пары. Хватит ли нам 11 штук? Да, конечно! Ведь, если не хватило, это значит что светлые и темные ботинки попадались подходящими только лишь для одной ноги, а значит всего их было не более 10. А мы вытащили 11.

Задача 2. Пять мальчиков собрали вместе 14 грибов, причём каждый нашел хотя бы один гриб. Докажите, что хотя бы два мальчика нашли одинаковое число грибов.

Пусть это не так, и все мальчики нашли различное число грибов. Давайте выстроим мальчиков по возрастанию числа собранных ими грибов. Тогда первый мальчик нашел хотя бы один гриб, второй хотя бы два, третий хотя бы три, четвертый хотя бы четыре а пятый хотя бы пять грибов, а в сумме тогда они набрали хотя бы 15 грибов, что противоречит условию задачи, что и значит, что нашлись хотя бы два мальчика с равным количеством добытых грибов.

Задача 3. В первенстве по футболу участвует 18 команд. Первенство разыгрывается в один круг, любые две команды встречаются только один раз. Известно, что любая команда сыграла хоть сколько-то игр. Докажите, что найдутся две команды сыгравшие одинаковое количество игр.

Пусть это не так, и все команды сыграли разное число игр. Давайте упорядочим команды по числу сыгранных игр. Тогда первая сыграла хотя бы одну игру, вторая хотя бы две… и так далее. 18я сыграла хотя бы 18 игр. Что значит что всего сыграно хотя бы 171 игра. Как это быстро посчитать? Давайте сгруппируем слагаемые попарно, первое с последним, второе с предпоследним… получим 9 групп, в каждой из которых сумма чисел равна 19. Но тем не менее, никакого противоречия тут нет… А с чем оно может быть? С максимальным числом сыгранных игр.

А каково оно? Давайте разбираться. Наибольшее число игр произойдет если каждая команда сыграла с каждой (потому что если какие-то из них не играли – пусть сыграют, и общее число игр вырастет). Тогда каждая из 18 команд сыграла с 17 противниками, но каждая игра оказалась нами посчитана дважды (со стороны каждого из соперников). Значит наибольшее число игр равно произведению 9 и 17, то есть 153, что явно меньше чем 171. И вот оно противоречие, что и значит, что найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр.

Можно ли было упростить вычисления? Конечно! Нам нужно сравнить две величины: 9х9 и 9х17. Думаю, что при такой постановке вопроса, соотношение между ними бросается в глаза без всякого вычисления.

Задача 4. В классе 25 учеников. Из них 20 занимаются английским, 17 увлекаются пением, 14 посещают математический кружок. Докажите что в классе найдется ученик, посещающий все кружки.

Пусть это не так, и такого ученика нет. Тогда заметим, что занимаются английским языком и увлекаются плаванием, не меньше чем 20+17-25=12 человек, кроме них в классе не больше 25-12=13 человек, а в математическом кружке занимается 14 человек, что приводит нас к противоречию, а значит наше предположение было не верно, и найдётся ученик посещающий все кружки.

Задача 5. На шахматной доске стоит 51 ладья. Докажите, что любая ладья бьет какую-нибудь другую.

Пусть нашлась ладья, которая никого не бьет, то есть в ее строке и столбце нет больше ни одной ладьи. За пределами этого креста всего 49 клеток, значит, всего поместится (с учетом нашей) не больше 50 ладей. А должно быть 51 --- противоречие.

Задача 6. 10 школьников на олимпиаде решили в сумме 35 задач, причем известно, что среди них есть школьник, решивший ровно одну задачу, есть школьник, решивший ровно две задачи и есть школьник, решивший ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее 5 задач.

Если мы откинем известных школьников, то ситуация будет такова: 7 школьников и 29 задач. Если бы все 7 школьников решили не более 4 задач, то количество решённых задач было бы не более 28 задач. Значит, кто-то решил более четырёх задач. То есть не менее 5 задач.

В ходе этого занятия, мы с вами укрепились во мнении о полезности и многообразии применения принципа Дирихле.

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. В коробке, которая стоит в темной комнате лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного размера. Сколько перчаток нужно взять из коробки, чтобы среди них попалась пара перчаток одного цвета?

Задача 2. Учительница объявила результаты диктанта. Больше всех ошибок – 13 – было у Пети. Докажите, что среди 28 учащихся допустивших ошибки найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Задача 3. В городе живет 200 тысяч жителей. Докажите, что в городе найдется хотя бы два человека с одинаковым числом волос на голове. Считайте, что у человека на голове не более 150 тысяч волос.