Решение задач на смеси и сплавы.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать представления обучающихся о процентах, сформировать умение решать задачи на сплавы и смеси различными методами.

Добрый день, дорогие ребята!

На предыдущих уроках мы с вами решали различные задачи на движение, на работу, на куплю-продажу, на сушку и т. д. Всех их объединяет то, что в них встречались проценты. Есть ещё одна группа задач на проценты – это задачи на сплавы и смеси. Сегодня мы и займёмся их решением.

Для начала разберёмся с некоторыми терминами, которые встречаются в задачах данного типа.

Процентным содержанием вещества в сплаве называется отношение массы этого вещества к массе всего сплава, выраженного в процентах.

Например, если в 10 кг сплава меди с оловом содержится 7 кг меди, то процентное содержание меди в сплаве равно

Концентрацией раствора называется отношение массы растворённого вещества к массе всего раствора, выраженное в процентах.

Например, если в 200 г воды растворили 50 г сахара, то концентрация сахара в растворе равна .

Вместо слова «раствор» в задаче может использоваться слово «смесь».

Рассмотрим конкретную задачу:

Задача 1.

Одним из первых сплавов, который люди стали использовать, был электр – сплав золота с серебром, в котором процентное содержание серебра составляло 20–30 процентов. На фотографии изображён шумерский шлем из электра, изготовленный более 5000 лет назад. Сколько кг серебра нужно добавить к 1,4 кг золота, чтобы получить электр с содержанием серебра, равный 30 %.

Рассуждаем:

Если в сплаве золота с серебром содержится 30 % серебра, значит, золото составляет 100 % – 30 % = 70 % сплава. Массу золота мы знаем – 1,4 кг, значит, можем найти массу всего сплава по правилу нахождения числа по его проценту. 70 % = 0,7 1,4 : 0,7 = 2 (кг). Осталось вычитанием найти массу серебра 2 – 1,4 = 0,6 (кг).

Запишем решение по порядку действий:

1) 100 % – 30 % = 70 % – процент содержания золота в сплаве;

2) 70 % = 0,7;

3) 1,4 : 0,7 = 2 (кг) – масса сплава;

4) 2 – 1,4 = 0,6 (кг) – масса серебра;

5) 0,6 кг = 600 г

Ответ: 600 г серебра.

Задача 2.

Смешали 120 г 80% -го сахарного сиропа и 480 г 20%-го сахарного сиропа. Какова концентрация полученной смеси?

Рассуждаем:

Чтобы найти концентрацию полученной смеси, нужно знать массу смеси и массу сахара. Массу смеси мы можем найти 120 + 480 = 600 (г). Масса сахара в смеси складывается из масс сахара в 1-ой и 2-ой смеси.

Найдём массу сахара в первой смеси 80 % = 0,8, и во второй смеси 20 % = 02 . Т. о. масса сахара в смеси 96 + 96 = 192 (г). Теперь мы можем найти концентрацию смеси .

Ответ: 32 %.

Задача 3.

Я собралась мариновать огурцы. По рецепту мне нужно добавить на 1 литровую банку огурцов 1 столовую ложку 9 % уксуса. К сожалению, у меня была только 70 % уксусная кислота. Сколько же нужно добавить в маринад уксусной кислоты, чтобы не нарушить привычный вкус маринованных огурцов?

Рассуждаем: 1 столовая ложка содержит 14 г уксуса. Вычислим, сколько (100 %) кислоты содержится в14 г 9 % уксуса, для этого выразим 9 % дробью и умножим на 14. . Значит, по рецепту я должна добавить в маринад 1,26 г чистой кислоты. Найдём, какое количество 70 % кислоты содержит 1,26 г чистой кислоты. Воспользуемся правилом нахождения числа по его проценту. 70 % = 0,7; . Получили, что нужно добавить 1,8 г 70 % уксусной кислоты. Возникает вопрос, как их отмерить?

По статистике 1 чайная ложка содержит 5 г уксусной кислоты, 1,8 г это примерно её третья часть. Мы справились с задачей!

При решении некоторых задач ход рассуждений удобно записывать в таблицу.

Задача 4.

Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3 % до 2 %?

Рассуждаем:

В задаче речь идёт о пресной воде и о двух растворах морской воды. Характеристиками этих растворов будут следующие величины: масса раствора, концентрация раствора и масса соли в растворе. Т. о. нам нужна таблица из 4 строчек и 4 столбиков.

Масса раствора

Концентрация раствора

Масса соли в растворе

1 раствор морской воды

пресная вода

2 раствор морской воды

Внесём данные в таблицу:

Масса раствора

Концентрация раствора

Масса соли в растворе

1 раствор морской воды

20 кг

3 %

пресная вода

0 %

2 раствор морской воды

2 %

Обратите внимание, что пресная вода не содержит соли, поэтому соответствующую концентрацию мы запишем как 0 %.

Нам нужно найти массу пресной воды, предлагаю ввести переменную, обозначить массу пресной воды за х кг. Тогда массу нового раствора мы можем выразить, как (20 + х) кг.

Масса раствора

Концентрация раствора

Масса соли в растворе

1 раствор морской воды

20 кг

3 %

0,6 кг

пресная вода

х кг

0 %

0 кг

2 раствор морской воды

(20 + х) кг

2 %

кг

Вычислим массу соли в первом растворе 3 % = 0,03; , масса соли в пресной воде 0 кг. Выразим массу соли в новом растворе 2 % = 0,02; кг. Масса соли в новом растворе равна массе соли в первом растворе, так как от добавления пресной воды количество соли в растворе не изменилось. Т. о. мы можем составить уравнение

Вернёмся к вопросу задачи. Нам нужно было найти массу пресной воды, именно её мы обозначили буквой х, значит, мы нашли ответ на вопрос задачи.

Ответ: 10 кг.

Уважаемые шестиклассники, нам пора подводить итого урока!

Сегодня на уроке мы решали, на мой взгляд, очень интересные задачи на сплавы и смеси. Надеюсь, что у вас возникло желание самостоятельно приступить к решению таких задач!

Успехов вам в изучении математики!

2.Дополнительная информация:

Рекомендуемые тренажёры:

Решите уравнение:

1) Имеются два раствора соли массой 80 г и массой 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, во втором – 15 г соли. Какой будет концентрация, если оба раствора смешать?

2) Морская вода содержит 5 % соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация в ней увеличилась до 20 %?

3) Сколько воды надо добавить к 300 г раствора, содержащего 5 % сахара, чтобы получился раствор, содержащий 2 % сахара?

4) Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30 %, а в другом – 50 % золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42 % золота?

5) Перерабатывая цветочный нектар и мёд, пчёлы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70 % воды, а мёд 16 %. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

Ответ:

1) 13,5 %

2) 60 кг

3) 450 г

4) 15 кг

5) 2,8 кг

Рекомендуемые тесты:

(Из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С. М. Никольский,

М. К. Потапов и др.) Глава 1, §1.6–1.7, № 106, 107, 125 (или аналог).