Вычисление значений выражений, содержащих степень
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: ввести понятия «основание степени», «показатель степени», «возведение в степень»; представить учащимся алгоритм действий при вычислении значения выражений, содержащих степень, сформировать у учащихся практические навыки выполнения действий со степенями.

Предметные результаты: закрепить навыки работы со степенями при решении различных заданий, продолжить работу по развитию учебных умений и навыков.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте, ребята. Вы уже знаете, что сумму равных слагаемых заменяют произведением.

Пример 1. (или аналог).

7 + 7 + 7 + 7 = 4 * 7, было ровно четыре слагаемых, каждое из которых равнялось семи. Число 4 указывает на количество слагаемых.

Существует и способ записи, обозначающий произведение одинаковых множителей.

Пример 2. (или аналог)

7 * 7 * 7 * 7 = 74 = 2 401, было ровно четыре множителя, каждый из которых равнялся семи.

Определение: степенью числа a с натуральным показателем n (n>1) называют произведение n множителей, каждый из которых равен a.

an = a * a * a * .. * a (n раз)

Число a будем называть основанием степени, число n - показателем степени.

Читается как «а в энной степени»

Пример 3. (или аналог). Прочитаем некоторые выражения со степенями.

35 – три в пятой степени;

х3 – икс в третьей степени;

(а + b)4 – а плюс б в четвёртой степени;

(ху)n – произведение х и у в энной степени.

Таким же образом можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем, бо́льшим 1. Что же делать, если необходимо вычислить 21? (или аналог)

Принято считать, что первая степень любого числа равна ему самому, то есть 21 = 2, поскольку множитель был всего один, и он равнялся 2.

Вторую степень числа называют также квадратом числа, а третью степень числа называют кубом числа. Например, (или аналог), выражение 53 принято читать как "пять в кубе".

Пример 4. (или аналог) Сравним 23 и 32.

23 = 2*2*2=8, 32=3*3=9. 9>8, значит, 23<32

Пример 5. (или аналог) Сравним 112 и 10*12.

112 = 121, 10*12 = 120, 121>120, следовательно, 112 > 10*12.

Заметим, что в обоих предыдущих примерах нам нужно выдать ответ про числа, о которых спрашивали в задаче, а не о числах, являющихся результатами промежуточных вычислений.

Пример 6. (или аналог) Сравним 93 и 9*10*11

Попробуем обойтись без больших вычислений и сравним произведения: 9*9*9 и 9*10*11. Заметим, что 9<10 и 9<11, а так же 9=9. Значит, произведение 9*10*11>93.

Пример 7. (Или аналог)

А) 0239 = 0. Любая степень нуля равна нулю

Б) 12017 = 1. Любая степень единицы равна единице.

Ещё одна любопытная особенность квадратов чисел связана с их последней цифрой. Рассмотрим пример.

Пример 8. (или аналог) Может ли число 514 оканчиваться на 0?

514 = 5 * 5 * …. * 5 = …..5. Значит, нет, не может. То же верно и для любой степени числа 5.

Пример 9. (или аналог) Существуют ли такие натуральные m и n, что 2m = 3m?

Степени двойки всегда являются чётными числами, а степени тройки – нечётными, поэтому и ответ на вопрос задачи отрицательный: нет, не существует.

Пример 10. (или аналог). Может ли число 13 768 быть квадратом какого-нибудь натурального числа?

Посмотрим, на какие цифры может вообще оканчиваться квадрат натурального числа? Рассмотрим таблицу.

Число N

..1

..2

..3

..4

..5

..6

..7

..8

..9

..0

Последняя цифра N2

..1

..4

..9

..6

..5

..6

..9

..4

..1

..0

Таким образом, квадрат натурального числа может оканчиваться на цифры: 0, 1, 4, 5, 6, 9 и не может оканчиваться на цифры 2, 3, 7, 8.

Значит, число 13 768 не может быть квадратом какого-нибудь натурального числа.

Задача 1. (или аналог). Кубы каких чисел присутствуют в номерах машин:

о512тт98 (83 = 512)

а729мр97 (93 = 729)

а343мр97 (73 = 343)

к216рс77 (63 = 216)

Рассмотрим ряд квадратных чисел.

1, 4, 9, 16, 25, ..

Посмотрим внимательнее, как они устроены:

1 = 12;

4 = 22 = 1+3;

9 = 32 = 1+3+5;

16 = 42 = 1+3+5+7;

…

Эту закономерность использовали при строительстве в Вавилоне и Древней Индии. Основным материалом были плитки. Их укладывали так: сначала укладывали одну плитку, получали квадрат 1х1. Для того, чтобы получить квадрат 2х2, к уже уложенной плитке прибавляли ещё 3. Для того, чтобы получить квадрат 3х3, брали ещё 5 плиток. (Рис. 1)

Почему строители не укладывали сразу квадрат 3х3?

Вероятно, они заранее не могли вычислить площадь, которую придётся покрыть, поэтому двигались постепенно.

Рис. 1

Неожиданная трудность

Рассмотрим пример:

Пример 11. (или аналог). Расставим вместо звездочек в примере цифры так, чтобы получилось верное равенство: (**)3=***9.

Проверим, например, что 223 = 10 648 – уже пятизначное. Значит, наше искомое число меньше 22.

Так же заметим, что куб числа оканчивается на 9, значит, что и само число оканчивается на 9.

Далее уже нетрудно подобрать ответ и проверить его: 193 = 6 85

9

.

Пример 12. (или аналог) Запишите в ряд первые 15 последовательных нечётных чисел. Разбейте числа этого ряда на группы так, чтобы в первой группе было одно число (единица), во второй группе – последующие два числа (3 и 5), в третьей группе – три числа, и так далее. Найдите сумму чисел в каждой группе и укажите общую закономерность.

Решение:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.

Группы, сумма и закономерность:

1 = 1 = 13

3 + 5 = 8 = 23

7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 53

Итак, сегодня мы познакомились с вычислением значений выражений, содержащих степень.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, параграф 1.16, №268, 273 (или аналог).

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, параграф 1.16, №274, 277 (или аналог).