Решение линейных уравнений. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления уравнения и его корня, разработать с учащимися методы решения уравнений, а также рассмотреть примеры с использованием этих методов при решении несложных уравнений.

Здравствуйте, ребята.
Знаете, что говорил великий Альберт Эйнштейн? А он говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
Так поговорим о вечном – об уравнениях, точнее об их решении.

Пример 1.
Решим уравнение: 4(х + 5) = 12.
По правилу отыскания неизвестного множителя имеем х + 5 = 12 : 4, то есть х + 5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части исходного уравнения на 4. Получаем 4(х + 5): 4 = 12: 4, так как 4 : 4 = 1, и 12 : 4 = 3, то получаем х + 5 = 3. Теперь легко найти значение х. Имеем х = 3 – 5 или х = –2.
Число –2 является корнем уравнения 4(х + 5) = 12, так как 4(–2 + 5) = 12, 12 = 12.
Запоминаем правило, которым мы воспользовались: корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0.

Пример 2.
Рассмотрим уравнение: 3х + 6 = 15.
По правилу отыскания неизвестного слагаемого получим 3х = 15 – 6, то есть 3х = 9, х = 3.
Уравнения 3х + 6 = 15 и 3х = 15 – 6 имеют один и тот же корень х = 3, проверим 3 · 3 + 6 = 15 и 3 · 3 = 15 – 6, оба равенства верные.
Уравнение 3х = 15 – 6 можно записать так: 3х = 15 + (–6). Видим, что корень уравнения 3х + 6 = 15 не изменяется, если перенести слагаемое 6 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Запоминаем правило: корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Действительно, ведь если 3х + 6 =15 – верное равенство, то к нему применимы свойства равенств, а именно: мы можем прибавить или, как в данном случае, отнять от левой и правой частей равенства одно и то же число, в нашем случае 6. Получаем 3х + 6 – 6 = 15 – 6. Или 3х = 15 – 6. Это и подтверждает сформулированное нами правило.

(Две чашки от весов, на одной – 7 яблок, на другой – 3 яблока и гиря 1 кг. Если снимем с каждой чашки весов до 3 яблока, то весы останутся уравновешенными).
7х = 3х + 1
7х – 3х = 3х – 3х + 1
7х – 3х = 1
То есть мы забрали слагаемое 3х из правой части и, чтобы ничего не изменилось, пришлось то же самое сделать и с левой частью, то есть мы перенесли слагаемое 3х из правой части в левую, но со знаком «минус».
4х = 1
х = 1/4
Корень 1/4 является корнем и для уравнения 7х = 3х + 1 и для уравнения 7х – 3х = 1, давайте сделаем проверку: 7 · 1/4 = 3 · 1/4 + 1 и для уравнения 7 · 1/4 – 3 · 1/4 = 1, оба равенства верные.

Пример 3.
Решим уравнение 1/2х + 4 = х.
Умножим левую и правую части уравнения на 2, для того чтобы убрать дробь, освободиться от дробного коэффициента. Получим х + 8 = 2х. Перенесём слагаемое 8 с противоположным знаком из левой в правую, а выражение 2х из правой в левую, то же со сменой знака, получаем х – 2х = –8, или –х = –8 или х = 8.
Число 8 является корнем уравнения 1/2х + 4 = х, так как верно равенство 1/2 · 8 + 4 = 8.

Обращаем внимание ещё раз на то, что мы всегда приводим уравнение к виду ax = b, где a ? 0. Такое уравнение называют линейным уравнением с одной неизвестной. И вспомним ещё раз, с помощью каких преобразований мы это делаем:

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Во всех примерах, которые мы с вами разобрали, есть похожие действия, которые повторяются из уравнения в уравнение и могут быть сформулированы в виде алгоритма решения уравнений с одним неизвестным.
Подумайте сами, какие бы пункты решения вы выделили, план ваших действий.

Алгоритм:
1. Перенести члены, содержащие неизвестные, в одну часть уравнения, а остальные члены – в другую.
2. Привести подобные слагаемые.
3. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Мне хотелось бы вам рассказать о том, как называли эти свойства в IX веке. В 825 году арабский учёный Аль-Хорезми написал книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебру считают самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-джебр» – восполнение – так Аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака.
И раз уж мы вспомнили об истории, то давайте решим уравнение, которое было записано в папирусе Ринда. Решим его двумя способами, используя свойства и приёмы, известные нам:
х + 1/5х = 21
Первый способ: 6/5х =21
х = 21 : 6/5
х = 35/2
х = 17,5
Второй способ: умножим обе части на 5
5х + х = 105
6х = 105
х = 105 : 6
х = 17,5

Запомните одно: способов решения уравнения множество, но лучше всегда использовать более рациональный способ. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения, но уже более сложного вида.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Задание 1.
Соберите в правой части все слагаемые, не содержащие переменную, а в левой – все слагаемые с переменной:
а) 5х – 4 = 3х + 8
б) 7 + 2а = 1– а
в) –7m + 9 = –8m – 3

Задание 2.
Решите уравнения:
а) 4 + 25х = 6 + 24х
б) 11 – 5у = 12 – 3у
в) 4k + 7 = –3 + 5k

Задание 3.
С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел:
а) 1/2х + 1/6х + 5 = х
б) 0,2а + 2,3 = 0,7а – 3,2
в) 3/4у – 12,5 = 9/8у – 1/8

Задание 4.
Составьте по условию задачи уравнение (возьмите за х – количество детей в лагере «Былина» до переселения) и решите его:
В детском оздоровительном лагере «Парус» в 3 раза больше детей, чем в лагере «Былина». Если 100 детей переселить из «Паруса» в «Былину», то в лагерях детей станет поровну. Сколько детей отдыхало в каждом лагере?

Ответы:

1.
а) 5х – 3х = 8 + 4
б) 2а + а = 1 – 7
в) –7m + 8m = –3 – 9

2.
а) х = 2
б) у = –1/2
в) k = 10

3.
а) 3х + х + 30 = 6х (умножили на 6)
б) 2а + 23 = 7а – 32 (умножили на 10)
в) 6у – 100 = 9у – 1 (умножили на 8)
4.
3х – 100 = х + 100
Х = 100

Рекомендуемые тесты:
Задание 1.
Решите уравнение и сделайте проверку:
а) 44х – 17 = 10х
б) 3а = 7а
в) 0,2(х – 2) = 0,7х + 2,1

Ответы:
1.
а) х = 1/2
б) а = 0
в) х = –5