Взаимное расположение двух прямых. Параллельность и перпендикулярность. Смежные и вертикальные углы.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: изучить понятие параллельности и перпендикулярности прямых, дать представление об основных свойствах параллельности и перпендикулярности и об специфичных углах, возникающих при пересечении двух прямых.

Здравствуйте! Давайте начнём обсуждать всевозможные геометрические объекты и их взаимосвязи с самых простых комбинаций самых простых объектов.

Рассмотрим на плоскости две различные прямые a и b. Эти прямые могут:

1. Иметь одну общую точку и называться пересекающимися

Соответствующее обозначение взято из теории множеств: действительно, если рассмотреть прямые как множества точек, то их пересечением будет множество из одного элемента – точки М. Так исторически сложилось, что фигурных скобок, обозначающих конечное множество, в данной ситуации не ставят

2. Не иметь общих точек – тогда они называются параллельными

Соответствующий случай – когда пересечением этих прямых является пустое множество. Тем не менее, существует более короткое, равнозначное обозначение a||b.

Имеет место аксиома параллельных прямых. Напомним, что аксиомой называется утверждение, принимаемое в рамках данной теории истинной без доказательств.

Для любой прямой и любой точки, не лежащей на данной прямой, существует единственная прямая, проходящая через данную точку параллельно данной прямой.

Из этой аксиомы следует несколько любопытных фактов, которые называют свойствами параллельных прямых. Вообще, свойством называют утверждение следующего типа: «если объект принадлежит некоторому классу, то он обладает некоторой особенностью». В данном случае:

1. Если первая прямая параллельна второй прямой, а вторая прямая параллельна третьей прямой, то первая и третья прямые параллельны между собой.

Пусть даны прямые a, b, c, причём прямая a||b и прямая b||c. Докажем, что тогда прямая a||b.

Это свойство называется свойством транзитивности параллельных прямых. Действительно, если задуматься, то название кажется логичным: прямая b выполняет роль транзитного узла для параллельности между прямыми a и с.

Свойство, в отличие от аксиомы, вполне нуждается в доказательстве. Давайте его докажем от противного. Пусть утверждение неверно, и на самом деле а не параллельно b. А что это значит? Это значит, что найдётся общая точка для этих двух прямых: пускай это точка М. Но тогда через эту точку проходят две различные прямые, параллельные данной, что противоречит аксиоме. Т. о. наше предположение было не верно, а свойство – наоборот, верно.

2. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую из параллельных прямых.

Пусть даны прямые a и b, и прямая p пересекает a в точке M. Предположим, что она не пересекает прямую b. Тогда получается, что p||b. А значит, через M прошли две прямые, параллельные данной, что противоречит аксиоме параллельных прямых.

3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью, то вторая из параллельных прямых тоже пересекает третью.

Посмотрим на ситуацию под немного другим углом относительно третьей прямой. По только что доказанному свойству, если a||b, pÇa, то pÇb. Что нам и требовалось доказать.

Давайте повнимательнее присмотримся к двум пересекающимся прямым. Заметим, что, во-первых, перед нами четыре пары смежных углов (смежными называются углы, одна сторона у которых общая, а две другие дополняют друг друга до прямой), а, во-вторых, две пары вертикальных углов (вертикальными называются углы, стороны которых попарно продолжают друг друга до прямых).

Заметим, что в силу определения, сумма мер смежных углов равна 180о. Докажем тогда, что вертикальные углы равны.

Ну действительно: угол 1 и 3 – смежные, а значит сумма их мер равна 180о, тоже самое для углов 2 и 3.

Заметим тогда, что, выразив из этих равенств меры углов 1 и 2, мы получим равенство этих величин.

Обсуждённые утверждения постоянно используются при решении задач. Наиболее простые варианты следующие:

Пример 1. Найдите смежные углы, угол α и угол β, если α в три раза больше β.

α + β = 3β + β = 4β = 180о

тогда β = 45о

а α = 135о

Таким образом, если мы знаем соотношение между двумя смежными углами, то мы можем найти их меры.

Пример 2. Три прямые пересекаются в точке О. Найдите угол γ, если α = 45°, а β = 30°.

По доказанному свойству вертикальных углов имеем, что сумма мер трёх углов равна 180о, тогда искомый угол имеет меру 105о.

Из всех возможных вариантов пересекающихся прямых выделяют особую ситуацию, когда все смежные и вертикальные углы оказываются равной меры, и, как не трудно заметить, равны они 90о.

Такие прямые называют перпендикулярными.

Примем как аксиому (аксиому перпендикулярных прямых) следующее утверждение: для любой прямой и любой точки плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно данной прямой.

И докажем соответствующую теорему:

Если различные прямые перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны между собой.

Пусть это неверно, тогда они пересекаются в некоторой точке, через которую у нас в таком случае проходит две прямые, перпендикулярные данной. Что плохо.

Итак, сегодня мы с вами обсудили основные ситуации, возникающие при рассмотрении двух прямых на плоскости.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Найдите смежные углы, угол γ и угол φ , если γ = 2/3 φ .

2. Три прямые пересекаются в точке О. Найдите угол γ, если α = 3/5γ, β=1/3α.

3. На прямой MN взята точка K, лучи KP и KS лежат в одной полуплоскости относительно нее, угол PKS равен углу SKN. Найдите меру угла MKS, если мера угла PKN 40о

Рекомендуемые тесты:

1. Прямая CO перпендикулярна прямой AB, луч OЕ делит угол COB так, что ЕОВ равен 30о, луч ОD делит угол АОС пополам. Найдите меру угла DOE.

2. Взаимно перпендикулярные прямые AB и CD пересекаются в точке O, луч OE делит угол COB пополам. Найдите меру угла AOE.

3. Прямые AB, CD, EF пересекаются в точке O. FOD равен 30о, EOB равен 40о. Найдите меру угла AOC.