Решение текстовых задач с помощью уравнений. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Какие эмоции вы испытываете, когда видите перед собой текстовую задачу? Кто-то, наверное, радуется: наконец-то не бессмысленные циферки складывать, а хоть какой-то сюжет, а значит смысл. Но уверен, большинство испытывает некоторый трепет, особенно, перед контрольными работами: в задаче «много букв», поди пойми её смысл, а ещё ведь и решить надо… А решать их надо, ведь жизнь крайне редко подкидывает готовые выкладки, которые надо рассчитать, обычно искомые уравнения или выражения ещё нужно составить – как раз из контекста. Надеюсь, после сегодняшнего занятия многим людям из второй группы сильно полегчает! Итак, порешаем текстовые задачи. И начнём с примера.

Задача 1. А) Некоторое число увеличили на 20 и получили число 75. Найти исходное число.

Б) Некоторое число увеличили на 20 и получили число, превышающее исходное в 5 раз. Найти исходное число.

Решение. Эту задачу можно решать по-разному. Например, можно пойти с конца: раз получили 75 после увеличения на 20, то если обратно уменьшить число 75 на 20, получится исходное число. Значит, сперва было число 55.

Но можно решить и более универсальным методом: ввести переменную. Решение текстовой задачи с помощью введения переменной состоит из нескольких стадий. Первая: собственно, ввести переменную. Далее – составить уравнение (или несколько уравнений, неравенств – что получится) с помощью новой переменной. И последнее – из составленного найти все значения переменной, при которых получаются верные равенства или неравенства, после чего записать ответ.

И сразу же первый важнейший совет: если в задаче вы сомневаетесь, что обозначить за х – обозначайте то, что спрашивают! Тут двойная польза: во-первых, так обычно легче составить уравнение, а во-вторых, не запутаешься: нашел х – запиши в ответ. А если брать за х что-то другое – надо ещё вспомнить, что спрашивали не об этом.

Так что в нашей задаче берём за х искомое число. Тогда увеличивая его на 20, получаем С другой стороны, это же число равно 75 по условию. Значит, . Кстати, заметьте: не зря мы учились решать подобные уравнения – это помогло нам решить задачу! Так что если когда-нибудь у вас возникнет вопрос, зачем учиться решать новые типы уравнений, ответ прост: затем, чтобы с их помощью решать более сложные задачи.

Теперь разберём пункт б. Здесь пойти с конца уже не получится: мы же не знаем, что получилось. Так что введём переменную: пусть х – это искомое число. Тогда после увеличения в 5 раз мы получаем 5х, а значит, . Дальше переносим х слева направо, получаем: .

Задача 2. 2 туриста вышли из двух городов, расстояние между которыми 287 километров, и встретились через 7 дней. Один проходил 20 километров в день. Сколько километров в день проходил второй турист?

Решение. Поступим по плану. Пусть второй проходил в день по х км. Тогда за 7 дней он прошел 7х. А первый прошёл 140 км. Ну а раз они встретились, то в сумме они прошли аккурат 287 км.

Получаем уравнение: . Ответ: 21 км. Не забывайте размерность!

Задача 3. В прямоугольнике периметром 2 м 8см одна из сторон на 1 дм короче другой. Найти площадь этого прямоугольника.

Решение. А вот тут посложнее. Да, можно обозначить через х то, что спрашивают – площадь, но тогда мы не сможем выразить стороны, а без них трудно найти периметр. Так что отступим немного от плана и обозначим меньшую сторону прямоугольника через х. Тогда большая будет… Не спешите кричать «х + 1». Ведь тут весь вопрос, какие единицы измерения нам удобнее. В таких случаях всегда работайте с меньшими единицами, то есть с сантиметрами. Так что меньшую сторону мы взяли за х сантиметров, большая – х + 10. Тогда периметр равен: А по условию он равен 208 см. Получаем: см. Всё? Нет, конечно! Ведь это только меньшая сторона, а надо найти площадь! Так что сперва ищем большую сторону (47 + 10 = 57 см), а затем площадь: Ответ: .

Что ж, сегодня мы разобрали самые простые ситуации, впереди ещё три урока по этой теме, дальше будет сложнее! До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Некоторое число увеличили на 30 и получили число, вдвое большее исходного. Найти исходное число Ответ: 30.
2. Сумма двух чисел, одно из которых больше другого в 8 раз, равна 126. Найти разность этих чисел. Ответ: 98

3. В прямоугольнике периметром 1м 4 см одна из сторон на 3 дм длиннее другой. Найти площадь этого прямоугольника. Ответ: .

Рекомендуемые тесты:

1. Некоторое число увеличили на 30 и получили число, превышающее исходное в 4 раза. Найти исходное число. Ответ: 10.

2. Разность двух чисел, одно из которых меньше другого в 7 раз, равна 312. Найти разность этих чисел. Ответ: 416.

3. Пешеход отправился из Павловска в Санкт-Петербург со скоростью 5 км/ч, а через час навстречу ему выехал велосипедист, ехавший втрое быстрее. Сколько времени будет ехать велосипедист до встречи с пешеходом, если расстояние между городами составляет 30 км? Ответ: 1 ч 15 мин.