Множества и отношения между ними. Множество, характеристическое свойство множества, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное множество
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: ввести понятия: множество, элемент множества, характеристическое свойства множества, пустое множество; сформировать у учащихся представление о различной природе элементов множеств и о записи элементов теории множеств.

Предметные результаты: формирование представлений об отношениях между объектами.

Метапредметные и личностные результаты: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке с помощью решения различных задач, интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, способность к оценочным действиям, обобщению.

Всем привет!

Сегодня речь пойдет о множествах, и этим уроком мы открываем новую тему, которая имеет огромное значение для понимание всей математики. Слово «множество» звучит не так уж и страшно – наверняка, многие из вас с ним сталкивались. Согласитесь, проще говорить о слове, про которое что-то слышал, чем о чем-то совершенно непонятном, вроде икосаэдра. Но не будем отвлекаться. Наверное, у вас «множество» ассоциируется с тем, когда чего-то где-то много. Скажем, на Земле есть множество деревьев. Или «Сколько ты получил пятерок за всю начальную школу? Великое множество!» В математике под множеством понимают чуть-чуть другое. Поясним на примерах!

Довольно часто нам приходится иметь дело с несколькими похожими объектами. Например, я захожу в класс – и там сидит 30 учеников. Все они – ученики одного класса. Тогда, как математик, я могу назвать присутствующих множеством учеников пятого «А» класса. Аналогично я могу рассмотреть множество стульев, стоящих в этой комнате, множество девочек, живущих на планете Земля, множество цифр от 1 до 9 и даже множество слонов, которые летали в космос. Казалось бы, таких слонов нет, но множество такое рассмотреть можно, чуть подробнее мы его рассмотрим ближе к концу урока. Пока же остановимся на том, что точного определения давать не будем, но осознаем, что множество – это несколько объектов, объединенных по общему признаку.

Для множеств есть специальные обозначения. Так, например, множество нот записывается так:

А{до, ре, ми, фа, соль, ля, си}

А – это обозначение множества, чтобы не писать полное слово, а дальше мы в фигурных скобках перечислили все ноты. Каждая нота называется элементом данного множества. Рассмотрим и другие множества.

B{сложение, вычитание, умножение, деление} – множество всех арифметических действий.

С{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье} – множество дней недели. Еще раз отметим, что понедельник, среда – это элементы данного множества.

D{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} – множество цифр. 1 и 5 принадлежат данному множеству, а вот 15 и 239 – нет. Обратите внимание, это числа, а не цифры, не путайте! Записать это можно так:

Кстати, а насколько вы ленивы? Могли бы вы выписать, например, множество всех двузначных чисел? Мне лично ужасно неохота выписывать все 90 чисел. И ладно двузначные. А пятизначные? А 20-значные? Этих совсем много, наверняка математики придумали что-нибудь более удобное, кроме как выписывать все элементы множеств. И точно, существуют разные способы задания множеств. Мы рассмотрели один из них – перечислением. Но перечисление уместно, когда элементов не очень много. Более того, ладно, если элементов просто много, но что делать, если их бесконечное количество? Например, если я захочу перечислить все натуральные числа, то не смогу это сделать никогда… Поэтому, был придуман еще один способ задания множеств – с помощью характеристического свойства.

Например, я говорю: пусть G – это множество всех людей на Земле, которых зовут Георгий. Могу я их всех перечислить? Вряд ли, их слишком много. Но это и не требуется, множество просто определено по-другому. В данном случае определяющим является то самое характеристическое свойство: «Люди по имени «Георгий»». И мы можем отметить, что я этому множеству принадлежу, а например, полузащитник сборной России по футболу Олег Шатов – не принадлежит.

Точно так же можно сказать, что N – множество натуральных чисел. Разумеется, при этом мы их не перечисляем. Но мы точно понимаем, что

.

Заметьте, что множества, которые мы рассматриваем, можно разделить на две группы: конечные множества и бесконечные. Как понятно из названий, все элементы конечных множеств можно перечислить (теоретически). Скажем, множество слов русского языка или множество всех людей на Земле конечны, но перечислять мы их, наверное, не будем – слишком много времени займет. Но есть и бесконечные множества, их даже теоретически не получится перечислить: например, все те же натуральные числа, или, скажем, все точки, лежащие на одной прямой. Главное, не путайте бесконечные множества и множества, которые слишком долго перечислять: к примеру, множество песчинок в пустыне Сахара очень-очень велико, но отнюдь не бесконечно!

Важное замечание: хотя слово множество и происходит от слова «много», но элементов там может быть и мало. Например, множество Георгиев Вольфсонов в этом помещении состоит лишь из одного элемента – из меня. А множество слонов, побывавших в космосе, и вовсе не имеет элементов (насколько мне известно). Такое множество, не содержащее элементов вовсе, называют пустым множеством. Так что и множество слонов, побывавших в космосе, и множество цифр, больших 10, и множество семиногих людей – все это одно и то же пустое множество.

Кстати, обратите внимание еще на один момент. Если два множества заданы перечислением, то мы легко можем понять, идет ли речь об одном и том же множестве, или о разных. Достаточно просто сравнить элементы, правда? Но если задавать множества характеристическим свойством, то одно и то же множество можно описать по-разному! Взять тот же пример со слонами и цифрами больше 10: эти два множества оказываются одним и тем же пустым множеством! А вот вам математический пример: множество всех чисел, делящихся на 10 без остатка, и множество всех чисел, оканчивающихся на 0 – совпадают!

Что ж, сегодня мы хорошо поработали, до встречи на следующих уроках!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Является ли пустым множество круглых нечетных чисел?

2. Сколько элементов в множестве всех двузначных чисел, делящихся на 3?

3. Задайте перечислением множество всех четных цифр.

4. Задайте характеристическим свойством множество А{10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90}.

Ответы: 1) Да, 2) 30 3) A{0;2;4;6;8}, 4) Множество круглых двузначных чисел.

Рекомендуемые тесты:

1. Является ли пустым множество четных чисел пятизначных чисел, делящихся на 7 без остатка?

2. Сколько элементов в множестве всех трехзначных чисел, делящихся на 9?

3. Задайте перечислением множество всех двухзначных чисел, в записи которых не используются никакие цифры, кроме 1 и 2.

4. Задайте характеристическим свойством множество А{0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81}.

Ответы: 1) Нет, 2) 100 3) A{11; 12; 21; 22}, 4) Множество квадратов цифр.