Операции над отрезками и углами как над геометрическими объектами
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Суслина Мария Евгеньевна

Цели и задачи урока: ввести понятие сравнения отрезков и углов; понятие середины отрезка; биссектрисы угла; определить действия над отрезками: сложение, вычитание, деление отрезка на равные части.

Предметные результаты: развивать умение ясно выражать свои мысли, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения, развивать грамотную математическую речь.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Отрезок
- часть прямой, заключенная между двумя точками, обозначим их . Обозначается. Точки и называются концами отрезка. Концы отрезка принадлежат отрезку и являются различными точками. Все точки отрезка, кроме концов называются внутренними точками отрезка

Луч (или полупрямая)
- часть прямой, лежащая с одной стороны от точки на прямой, обозначим эту точку . Тогда точка называется концом этого луча. Если – точка на луче, то луч обозначают .
Точка на прямой является началом для двух лучей этой прямой. Такие лучи называются дополнительными лучами.

Определение

Два отрезка называются равными, если один из них можно наложить на другой так, чтобы их концы совпали.

Правило откладывания отрезков

Пусть имеется луч с началом и отрезок . Тогда на луче найдется ровно одна точка такая, что отрезки и равны.

Сравнение отрезков

Пусть имеются отрезки и . На луче отметим точку такую, что . Возможны 3 ситуации

Точка лежит внутри отрезка . Тогда

Точка совпала с точкой . Тогда

Точка лежит вне отрезка . Тогда

На каждом отрезке найдется ровно одна точка, делящая отрезок на 2 равных отрезка. Такая точка называется серединой отрезка.

Сложение отрезков

Пусть имеются отрезки и . На дополнительном луче к лучу отметим точку такую что . Тогда . Сложение отрезков обладает теми же свойствами, что и сложение чисел.

Определение

Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами с общим началом.

Угол, ограниченный лучами и обозначается .

Лучи и называются сторонами угла, а точка вершиной угла.

Говорят, что луч идет внутри угла, если его начало совпадает с вершиной

Определение

Два угла называются равными, если их можно совместить наложением. То есть вершина второго совпадет с вершиной первого, и стороны второго совпадут со сторонами первого.

Правило откладывания углов

Пусть имеется луч и некоторый данный угол . Тогда из точки выходит ровно один луч , лежащий в данной полуплоскости относительно прямой такой, что равен данному.

Сравнение углов и сумма углов

Пусть имеются углы и . Сравним их. Отложим от луча в ту же полуплоскость относительно прямой , где лежит точка угол, равный углу , пусть этот угол ограничен лучами и

Луч прошел внутри . Тогда

Лучи и совпали. Тогда .

Луч прошел внутри . Тогда .

Определим сумму наших углов. Отложим от луча в ту полуплоскость относительно прямой , где не лежит точка , угол, равный углу , пусть этот угол ограничен лучами и .
Тогда . Сложение углов тоже обладает свойствами сложения чисел.

Определение

Пусть имеется угол . Тогда найдется единственный луч внутри этого угла, который делит его на два равных угла. Такой луч называется биссектрисой угла.

Тренировочные задания

На луче с началом О отмечены точки А, В, С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А – между точками О и С. Сравните отрезки ОВ и ОА, ОС и ОА, ОВ и ОС.

Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС.

На рисунке отрезки АВ, ВС, CD и DE равны.

Укажите:

а) середины отрезков АС, АЕ, СЕ;

б) отрезок, серединой которого является точка D;

в) отрезки, серединой которых является точка С.