Урок 17. Степень с рациональным и действительным показателем
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №17. Степень с рациональным и действительным показателем.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степени;

2) определение степени с рациональным и действительным показателем;

3) нахождения значения степени с действительным показателем.

Глоссарий по теме

Если n- натуральное число, , m- целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:

.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пример: вычислим

Мы можем представить , тогда

Таким образом, мы можем записать

или

На основании данного примера можно сделать вывод:

Если n- натуральное число, , m- целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:

.

Напомним, что r-рациональное число вида , где m- целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r0 выполняется равенство

Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Рассмотрим несколько примеров:

Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:

;
;

Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

Вычислим:

Упростить выражение:

В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

Эта последовательность стремится к числу , т.е.

Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. .

Опредление степени с действительным показателем.

При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При выражение не имеет смысла.

Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.

Теорема. Пусть и . Тогда .

Доказательство:

По условию . Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂). Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .

Из данной теоремы вытекают три следствия:

Пусть Тогда
Пусть и

.

Пусть и

.

Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Сравнить числа

Сравним показатели

Т.к. , и 12 < 18, то .

Поэтому по теореме

Пример 2. Решим уравнение

.

Поэтому уравнение можно записать так:

Получим, , разделим на 2 обе части уравнения.

Следовательно,

Пример 3. Сравнить числа

Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится - наименьшее общее кратное двух и трех:

Т.к. 0<8<9 и , то , т.е. .