Решение логических задач с помощью графов, таблиц.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Сегодня мы порешаем разные логические задачи, причём – ура, наконец-то! – мы сегодня будем применять ту теорию, которую прошли на прошлых уроках: графы, таблицы и прочие идеи, которые способствуют наглядности и более простому решению задач. Поехали!

Задача 1. Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед тренировкой. – Обратите внимание, – заметил черноволосый, – один из нас седой, другой – рыжий, третий – черноволосый. Но ни у одного из нас цвет волос не совпадает с фамилией. Забавно, не правда ли? – Ты прав, – подтвердил мастер спорта. Какого цвета волосы у кандидата в мастера?

Решение. Нарисуем таблицу:

Фамилия\цвет волос

Седой

Чёрный

Рыжий

Седов (мс)

Чернов (кмс)

Рыжов (1)

Теперь начнем её заполнять. Будем ставить минусы в тех клетках, которые не соответствуют истине, и плюсы – в соответствующих. Например, по условию цвет волос не совпадает с фамилией ни у кого, значит в клетке Седов-Седой ставим минус, аналогично – Чернов-Чёрный и Рыжов-Рыжий.

Фамилия\цвет волос

Седой

Чёрный

Рыжий

Седов (мс)

–

Чернов (кмс)

–

Рыжов (1)

–

Далее, Мастер спорта (Седов) по условию что-то ответил черноволосому, значит сам Седов не черноволосый. Ставим минус и получаем, что Седов может быть только Рыжим:

Фамилия\цвет волос

Седой

Чёрный

Рыжий

Седов (мс)

–

–

+

Чернов (кмс)

–

Рыжов (1)

–

Теперь сразу два вывода. Во-первых, раз Седов и Чернов не черноволосые, значит черноволосым может быть только Рыжов. Кроме того, раз Седов – рыжий, то Чернов – уже нет. А тогда Чернов может быть только седым. Окончательно, получаем:

Фамилия\цвет волос

Седой

Чёрный

Рыжий

Седов (мс)

–

–

+

Чернов (кмс)

+

–

–

Рыжов (1)

–

+

–

Ответ: Седов – рыжий, Чернов – седой, Рыжов – черноволосый.

Можно ли было сделать всё то же самое без таблицы? Да, но наглядности бы не было, было бы сложнее! Кстати, можно решить это же задачу и с помощью графа.

Задача 2. Когда три подруги – Надя, Валя и Маша – вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трёх цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг. Решение. Нарисуем таблицу:

Имя

Белое платье

Красное платье

Синее платье

Белые туфли

Красные туфли

Синие туфли

Надя

Валя

Маша

По условию, Валя не была в синих туфлях и в синем платье, а Маша была в красных туфлях. Заполним это:

Имя

Белое платье

Красное платье

Синее платье

Белые туфли

Красные туфли

Синие туфли

Надя

Валя

–

–

Маша

+

Далее, раз Маша была в красных туфлях, то можно сделать три вывода: 1) Маша не в синих и не в белых туфлях (ставим минусы); 2) Остальные две девочки не в красных туфлях; 3) Маша не в красном платье, так как цвет платья и туфель совпадает только у Нади.

Имя

Белое платье

Красное платье

Синее платье

Белые туфли

Красные туфли

Синие туфли

Надя

–

Валя

–

–

–

Маша

–

–

+

–

Теперь по таблице видно, что синие туфли могли быть только на Наде, а тогда Валя гуляет в белых туфлях. Далее, раз у Нади синие туфли, то и платье у нее синее, раз по условию цвет совпадает. Получаем:

Имя

Белое платье

Красное платье

Синее платье

Белые туфли

Красные туфли

Синие туфли

Надя

–

–

+

–

–

+

Валя

–

+

–

–

Маша

–

–

+

–

Осталось заметить, что тогда Маша может быть только в белом платье (синее занято, а в красном уже стоит минус), а Валя – в красном.

Имя

Белое платье

Красное платье

Синее платье

Белые туфли

Красные туфли

Синие туфли

Надя

–

–

+

–

–

+

Валя

–

+

–

+

–

–

Маша

+

–

–

–

+

–

Ответ: Надя в синих платье и туфлях, Валя в красном платье и белых туфлях, Маша – в белом платье и красных туфлях.

Задача 3. Кого больше: котов, кроме тех котов, которые не Васьки, или Васек, кроме тех Васек, которые не являются котами?

В этой задаче очень легко запутаться, если не нарисовать картинку. Пусть левый кружок – множество всех котов, а правый – всех Васек. Тогда в пересечении получатся, разумеется, все коты Васьки.

Что же спрашивается в задаче? Сперва мы говорим о котах кроме тех, которые не Васьки. Коты не Васьки – это все коты слева от общей части. Значит все коты, кроме тех, которые не Васьки – это просто коты из пересечения, коты Васьки!

Аналогично, Васьки, не являющиеся котами – справа от пересечения. Значит, все Васьки кроме этих – это Васьки из пересечения, те же самые коты Васьки. А тогда ответ в задаче – их поровну, это одно и то же множество котов по имени Васька!

Задача 4. Вера, Нина, Оля и Люба надели платья разных цветов (красное, синее, белое, голубое). На вопрос, кто в каком платье, три девочки ответили:

1) Оля – в синем, Люба в белом; 2) Оля – в красном, Нина в синем; 3) Вера – в синем, Люба – в голубом.

Известно, что в каждом ответе одна часть верна, а другая – нет. Кто в каком платье был?

Решение. Изобразим граф, в котором будут 8 вершин: сверху Вера, Нина, Оля и Люба, а снизу: красное, синее, белое и голубое. Будем проводить рёбра между верхними вершинами и нижними (такие графы, кстати, называют двудольными).

Для удобства, проведем известные нам рёбра тремя разными цветами и не забудем, что одно из рёбер каждого цвета истинное, другое – ложное:

Заметим, что Люба не может быть одновременно в белом и в голубом, так что одно из этих утверждений (или оба) точно ложно. Аналогично, три девочки не могут быть в синем платье. Пришла пора разбирать случаи!

Рассмотри чёрные ребра. Одно из них верное – разберём два варианта.

1) Люба в голубом. Тогда то, что Вера в синем и то, что Люба в белом – ложно. Но если ложно, что Люба в белом, то верно то, что Оля в синем! Получаем картинку:

Но тогда либо Нина в синем (чего быть не может, в синем Оля!), либо Оля в красном – тоже невозможно. Противоречие, значит, этот вариант невозможен.

2) Вера в синем. Тогда Нина и Оля не в синем, получается такая картинка:

Значит, Оля в красном, Люба в белом, а Нина – методом исключения, в голубом. Победа!

Ответ: Вера в синем, Оля в красном, Люба в белом, а Нина в голубом.

Ну что ж, надеюсь, сегодня я лишний раз показал вам, что наглядность – половина решения, с картинкой всё становится намного проще. Удачного применения этих идей!

До встречи!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Три клоуна – Бим, Бом и Бам – выступают в зелёной, красной и синей рубашках. Их ботинки тех же трёх цветов. У Бима цвета рубашки и ботинок совпадают. У Бома ни рубашка, ни ботинки не красные. Бам в зелёных ботинках и рубашке другого цвета. Как одеты клоуны? (У всех клоунов разные рубашки и разные ботинки). Ответ: Бим – красная, красные; Бом – зелёная, синие, Бам – синяя, зелёные.

2. На улице, встав в кружок, беседуют 4 девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зелёном платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платье на каждой из девочек?

Ответ: Аня в белом, Валя в голубом, Галя в зелёном, Надя в розовом.

3. Крас­ный, синий, желтый и зелёный карандаши лежат в четырёх коробках по одному. Цвет карандаша от­личается от цвета коробки. Известно, что зелёный карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в жёлтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?

Ответ: Красный – в зелёной, синий – в жёлтой, зелёный в синей, жёлтый в красной.

Рекомендуемые тесты:

1. На одном заводе работают три друга: токарь, слесарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семёнов. У слесаря нет ни братьев, ни сестёр. Он самый младший из друзей. Семёнов, женатый на сестре Борисова, старше токаря. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

Ответ: Иванов – слесарь, Борисов – токарь, Семёнов – сварщик.

2. На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, берёза, рябина, дуб, клён, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клёна, дуб ниже берёзы, но выше сосны, сосна выше рябины, берёза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.

Ответ: самое низкое дерево – клён, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, берёза и тополь.

3. Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (пианино, виолончели, гитаре и скрипке), причём каждая только на одном. Они же знают иностранные языки, каждая только один (английский, французский, немецкий, испанский). Известно, что:

1) Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански

2) Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского

3) Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни английского, ни немецкого

4) Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели

5) Жанна знает французский, но не играет на скрипке

Кто на чём играет и кто знает какой язык?

Ответ: Марина – гитара, испанский; Лариса – пианино, немецкий; Жанна – виолончель, французский; Катя – скрипка, английский.