Урок 17. Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный
Предмет: Геометрия, 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №17. Многогранники. Методы решения. Векторный и координатный

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие векторного и координатного метода.

Решение стереометрических задач векторным и координатным методом.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб.для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с. ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Векторный и координатный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними)

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра;
Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой;
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра (расстояние от любой точки прямой до указанной плоскости);
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра (расстояние между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью);
Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых, образованных при пересечении прямых ( 0º < < 90º);
Углом между двумя скрещивающимися прямыми, называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся;
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º;
Угол между двумя параллельными прямыми считается равным нулю;
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол межу этой прямой и ее проекцией на данную плоскость ( 0º < < 90º);
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90º;
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0º;
Двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярно его ребру, величина двугранного угла принадлежит промежутку ( 0º ;180º);
Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку ;
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным нулю.
Ax+By+Cz+D=0 - уравнение плоскости, где вектор нормали данной плоскости ;
A(x-x0 )+B(y-y0 )+C(z-z0 )+D=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M(, ;
- длина вектора ;
длина вектора или длина отрезка AB ,если A
- уравнение плоскости M(;
= - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M(, и направляющим вектором прямой l ;
x= x0+a1t, y=y0+a2t, z=z0=a3t – параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M( параллельно вектору

– скалярное произведение векторов ;
(условие перпендикулярности двух векторов);
- угол между векторами ;
- угол между плоскостями , и - векторы, перпендикулярные данным плоскостям;
угол между прямыми в пространстве есть острый угол между направляющими векторами данных прямых (прямая однозначно задается точкой и направляющим вектором данной прямой);
угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и проекцией прямой на плоскость. Для нахождения этого угла используется угол между направляющим вектором прямой и вектором нормали ( перпендикулярным ) плоскости ;

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. На диагоналях АВ1 и ВС1 граней AA1B1B и ВВ1С1С параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A1C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Решение.

Введем векторы:

Тройку некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:

Так как точка Н лежит на диагонали АВ1, то векторы коллинеарны, поэтому существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что

По правилу ломаной находим:

По условию MН A1C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:

Вследствие некомпланарности векторов и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1 – х – t = 0, t – у = 0, х – у – t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН : СА1 = 1 : 3.

Ответ: 1 : 3.

№2 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB= 16 ,а высота равна 4. На ребрах AB ,CD ,AS отмечены точки M, N и K соответственно, причем AM = DN = 4,AK = 3.Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

Решение:

Во введенной прямоугольной системе координат центр основания пирамиды совпадает с началом координат О( 0;0;0) вершины имеют координаты:

S( 0 ;0 ;4),A(0; - 8 0), B(8 ;0 ;0 ) ,C(0 ;8 ;0)и D( 0 ;- 8 ;0) .

Определим координаты точки K По условию AK= 3 , то точка K делит отрезок AS в отношении:

- координаты точки K, где координаты концов отрезка AS AK: KS= 3: 9=1: 3 ( SOA по теореме Пифагора SA =

Таким образом, = 0 ; z==1⇒ K(0 1).

Составим уравнение плоскости , причем воспользуемся другим способом задания уравнения плоскости, отличным от предыдущего. Так как плоскость проходит через точки S ( 0 ;0 ;4), B(8 ;0 ;0 )и C(0 ;8 ;0) то подставив координаты точек в общее уравнение плоскости Ax+By + Cz + D = 0, получим систему из трех уравнений:

⟺⟺

⟺

=0- уравнение плоскости (SBC),вектор нормали к плоскости.

Расстояние от точки K до плоскости : ==.

Ответ : .

№3 В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, найдите

(φ- угол между диагональю ВА1 грани АА1В1В и плоскостью ВС1D, А1М- расстояние от вершины А1 до плоскости ВС1D)

V=?
А1М=?
φ= ?

Решение:

Объем куба равен кубу его стороны, значит

2)Пусть отрезок A1М — перпендикуляр из вершины А1 на (ВС1D), М(ВС1D) (рис. 4). Тогда A1М = ρ(А1; (ВС1D)). Найдем длину отрезка A1М.

По правилу треугольника имеем:

Обозначим: а в плоскости ВС1D введем базис где и запишем разложение вектора по векторам этого базиса в виде: Тогда

Так как A1М(ВС1D), то A1МВС1, A1МВD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), значит,

Коэффициенты х и у в разложении вектора найдем, пользуясь условием:

которое равносильно системе уравнений

Прежде чем решать эту систему уравнений, найдем скалярные произведения векторов:

Так как треугольники ВС1D, A1ВС1, A1ВDv— правильные и равные, то длины их сторон равны а

Тогда:

(**)

(***)

Вернемся к решению системы уравнений (*).

Учитывая соотношения (**) и (***) и свойства скалярного произведения векторов, получаем:

Тогда и

Таким образом,

3)Обозначим (ВА1; (ВС1D)) = φ. Так как А1М (ВС1D), то ВМ — ортогональная проекция ВС1 на (ВС1D)

значит, (ВА1; (ВС1D)) = (ВА1; ВМ)= = А1ВМ = φ.

Используя соотношения (**) и (***) и то, что вектор при имеет вид находим:

Ответ:

1)

2)А1М=4√3

3) φ= arccos√(3/3)