Решение задач на действия с периодическими десятичными дробями.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: освоить сложение и вычитание периодических десятичных дробей.

Здравствуйте!

Сегодня мы попробуем освоить простейшие действия с периодическими десятичными дробями – сложение и вычитание.
Важное замечание: даже если Вы умеете складывать и вычитать периодические десятичные дроби, иногда разумнее перевести их в обыкновенные.

Сложение чисто периодических дробей с одинаковым периодом без переноса.
Производится точно так же, как и сложение непериодических десятичных дробей.
Целая часть суммы равна сумме целых частей слагаемых.
Период суммы равен сумме периодов слагаемых.
Например, 1,(33) + 1,(57) = 2,(90).

Вычитание чисто периодических дробей с одинаковым периодом без заимствования.
Производится точно так же, как и вычитание непериодических десятичных дробей.
Целая часть разности равна разности целых частей уменьшаемого и вычитаемого.
Период суммы равен разности периодов уменьшаемого и вычитаемого.
Например, 3,(49) – 2,(13) = 1,(36).

Сложение чисто периодических дробей с одинаковым периодом с переносом.
Отличие от сложения без переноса в том, что и к периоду, и к целой части дополнительно добавляется 1.
Например, 21,(7) + 13,(8) = 35,(6).

Вычитание чисто периодических дробей с одинаковым периодом с заимствованием.
Отличие от вычитания без заимствования в том, что и из периода, и из целой части дополнительно вычитается 1.
Например, 21,(7) – 13,(8) = 7,(8).

Сложение периодических дробей с одинаковым периодом.
Перед сложением слагаемые преобразуются так, чтобы период начинался с одинакового десятичного разряда.
Затем применяются уже известные правила.
Например, 1,23(117) + 5,3(246) = 1,23(117) + 5,32(462) = 6,55(579).

Вычитание периодических дробей с одинаковым периодом.
Перед вычитанием уменьшаемое и вычитаемое преобразуются так, чтобы период начинался с одинакового десятичного разряда.
Затем применяются уже известные правила.
Например, 4,1(4) – 4,012(3) = 4,144(4) – 4,012(3) = 0,132(1).

Сложение периодических дробей с разным периодом.
Перед сложением слагаемые преобразуются так, чтобы период стал одинаковым. Для этого длина его делается равной НОК длин периодов слагаемых.
Затем применяются уже известные правила.
Например, 1,(312) + 7,8(94) = 1,3(123) + 7,8(94) = 1,3(123123) + 7,8(949494) = 9,2(072618).

Вычитание периодических дробей с разным периодом.
Перед вычитанием уменьшаемое и вычитаемое преобразуются так, чтобы период стал одинаковым. Для этого длина его делается равной НОК длин периодов уменьшаемого и вычитаемого.
Затем применяется уже известное правило.
Например, 11,12(6) – 8,(48) = 11,12(6) – 8,48(48) = 11,12(66) – 8,48(48) = 2,64(18).

Подведём итоги.
Мы научились складывать и вычитать периодические десятичные дроби.
Для выполнения указанных действий необходимо:
Выровнять начальный разряд и длину периодов операндов, если у исходных чисел они различны.
Определить наличие переноса при сложении и заимствования при вычитании.

Рекомендуемые тренажеры
1) Вычислить 35,(46) + 12,(72) Ответ: 48,(19)
2) Вычислить 35,(46) – 12,(72) Ответ: 22,(73)
3) Вычислить 17,18(19) + 19,(189) Ответ: 36,371(108381)

Рекомендуемые тесты
1) Вычислить 29,334(87) – 13,4(12) Ответ: 15,922(75)
2) Вычислить 14,(4) + 12,(8) – 2,(3) Ответ: 25
3) Вычислить 77,5(963) – 61,(4251) Ответ: 16,1712(538821449712)