Урок 52. Решение задач итоговой аттестации
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 52. Решение задач итоговой аттестации.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Случаи при решении задач итоговой аттестации, в которых используется метод разложения на множители;
Случаи при решении задач итоговой аттестации, в которых используется метод замены переменной;
Основные методы, которые используются при решении систем уравнений и неравенств.

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g - выражения с переменными x и y .

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.

Система неравенств. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б.Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Значение переменной, обращающее уравнение в истинное равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение - значит найти множество его корней или доказать, что их нет. Это множество называют также решением уравнения.

Множество всех x, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения уравнения. Для того, чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на которых определены данные функции f(x) и g(x) .

Два уравнения называются равносильными, если каждый корень (решение) одного уравнения является корнем (решением) другого и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений) на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g - выражения с переменными x и y .

Решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, обращающих это уравнение в верное равенство.

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Решить систему – значит найти все ее решения.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.

Областью определения неравенства является пересечение множеств, на которых определена каждая из функций входящих в неравенство.

Решение неравенств основано на их свойствах.

Еcли к обеим частям неравенства прибавить (или вычесть) одну и туже функцию область определения которой принадлежит области определения данного неравенства, то получится неравенство равносильное данному.
Любое слагаемое, можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный.
Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию g(x), определенную на области определения на определения заданного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при получится неравенство , равносильное данному, а при равносильным данному является неравенство .

Система неравенств. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Рассмотрим решение задачи.

Решите уравнение

Решение:

Уравнение имеет смысл при любых действительных значениях переменной x.

Преобразуем левую часть уравнения

Ведем новую переменную , и

получаем уравнение корни которого t =-1, t =6.

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Первое уравнение корней не имеет. Второе уравнение решается методом возведения в квадрат и его корни

Учитывая область определения уравнения получаем

Ответ:

Пример 2.

Рассмотрим решение задачи.

Решите систему уравнений

Решение:

Преобразуем втрое уравнение системы:

Заметим, что второе уравнение системы имеет смысл при x>0, y>0.

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым, получим систему:

Данная система равносильна двум системам

и

Каждая из систем решается методом подстановки.

Решение первой системы (1; 2), (2; 1)

Решение второй системы (-1; -2), (-2; -1)

Ответ: (1; 2), (2; 1)