Решение задач с помощью элементов теории множеств. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: развить у учащихся умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) посредством решения задач с помощью элементов теории множеств.

Предметные результаты: применять свойства действий над множествами и рассмотреть некоторые задачи, которые решаются при помощи понятия множества.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Всем привет!

Сегодня мы порешаем задачи, связанные с множествами. И если на первом уроке решения задач мы сталкивались, в основном, с простыми упражнениями, то сегодня задачи будут более сложными. Приступим!

Задача 1. (или аналог) Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Решение. В этой задаче очень легко запутаться, но круги Эйлера как Чип и Дейл уже спешат к нам на помощь! Итак, пусть M – круг математиков, F – круг философов. Тогда в пересечении получаем людей, являющихся одновременно философами и математиками. Давайте их количество для удобства обозначим через х.

Тогда по условию математиков всего 7х. Действительно, если каждый седьмой математик – философ, то всего математиков в 7 раз больше, чем математиков-философов. Аналогично, философов всего 9х, ведь философы-математики – это то же самое, что и математики-философы.

Ну а тогда ответ очевиден: конечно, 9х больше, чем 7х, а значит философов больше.

Задача 2. (или аналог) В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других учеников — слово "рот", а остальных — слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно? Ответ обоснуйте.

Решение. Сперва заметим, что слово "крот" не написал правильно никто, потому что никто не умеет писать одновременно и букву "р" и букву "к". Значит, все ребята, которым дали написать слово «крот», написали либо «кот», либо «рот». При этом таких ребят было 50 – 10 – 18 = 22 человека. А мы знаем, что слова «рот» и «кот» в сумме написало 30 человек. Из них 22 нам уже известны, значит, осталось еще 8 – это ребята, которым изначально дали не слово «крот», а слово «кот» или «рот». Но тогда именно эти 8 человек и справились с задачей: ведь слово «кот» могло получиться лишь у тех, кто умеет его писать, либо у тех, кто написал «крот» с ошибкой, аналогично со словом «рот».

Казалось бы, причем тут множества? На самом деле, можно решать и привычными нам кругами. Пусть круг А – дети, писавшие слово «крот», В – «рот», С – «кот». Каждый круг разделим на две части: слева те дети, которые не знают «к», а справа – не знающие «р». Дальше можем вписать в получившиеся части кругов, что получилось у детей. Посчитав эти количества, приходим к тому же ответу!

Задача 3. (или аналог) В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано "МА", на остальных — "НЯ". Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово "МАМА" могут сложить из своих карточек 20 детей, слово "НЯНЯ" — 30 детей, а слово "МАНЯ" — 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?

Решение. Поскольку у каждого ребёнка по три карточки, а надписей всего две, то обязательно две надписи должны совпадать, т. е. каждый может сложить либо слово МАМА (таких детей 20), либо слово НЯНЯ (таких детей 30). Значит, всего детей 50. Далее, заметим, что слово МАНЯ могут сложить только те дети, у которых есть на руках разные карточки – таких ребят всего 40. Значит, остальные 10 сложить МАНЯ не могут, а тогда у них на руках все карточки одинаковы. Итого, ответ: 10 человек.

Кстати, когда я попробовал проиллюстрировать эту задачу со своим сыном, он смог сложить не только МАМА, МАНЯ и НЯНЯ, но еще и АНЯ, откусив букву М у одной карточки. Хорошо, что в нашей задаче не было таких ребят, это сильно усложнило бы решение!

Итак, надеюсь, что сегодня множества стали для вас еще понятнее. До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры

1. Сколько существует трехзначных чисел, а) делящихся на 15, б) делящихся на 3 или на 5 (или на оба числа сразу)?

Ответ: а) 60 чисел; б) 420 чисел.

2. В группе детского сада учится 20 человек. Некоторые из них знают все буквы, кроме Б, а остальные знают все буквы, кроме Р. Трех ребят попросили написать слово «РОМ», еще пять – «БОМ», а остальных – «БРОМ». Оказалось, что слова РОМ и БОМ написало по 7 человек. Сколько ребят написало свои слова неправильно?

Ответ: неправильно свои слова написали 18 человек.

Рекомендуемые тесты

1. Сколько существует трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 9?

Ответ: 400.

2. Среди пианистов каждый пятый – шахматист, а среди шахматистов каждый девятый – пианист. Во сколько раз пианистов, не играющих в шахматы, больше, чем шахматистов, не играющих на пианино?

Ответ: в 2 раза.

3. В группе детского сада учится 30 человек. Некоторые из них знают все буквы, кроме Л, а остальные знают все буквы, кроме К. Трех ребят попросили написать слово «КУБ», еще шесть – «ЛУБ», а остальных – «КЛУБ». Оказалось, что слова КУБ и ЛУБ написало по 12 человек. Сколько ребят написало свои слова неправильно?

Ответ: 27 человек.