Площадь круга
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

В прошлый раз мы с вами говорили про окружность и её длину. Кратко напомню: мы установили гипотезу, что длина окружности вычисляется по формуле: где – число, примерно равное 3,14. Точно мы посчитать его, увы, не можем. Соответственно, сегодня мы поговорим о круге и о том, как искать его площадь.

И снова, зачем это вообще надо? Может, какому-то особо вредному учителю математики взбрело в голову взять и вычислить площадь круга? Нет, как всегда эта задача появилась в математике из практики. Предположим, что нам требуется прикинуть, сколько теста пойдет для приготовления одной пиццы. Для этого не худо было бы рассчитать её площадь, не так ли? Или другой пример: есть в городе площадь в форме круга, например, Дворцовая площадь в Петербурге. И её надо замостить камнями. Сколько камней потребуется? Вопрос. Для того, чтобы ответить на последний вопрос, нужно найти площадь площади.

Но как это сделать? Тут идея с ниточкой, увы, не пройдёт. Зная длину окружности, мы не сможем автоматически найти площадь круга. В идеале бы разбить круг, например, на квадратики или прямоугольнички, площади которых мы можем посчитать. Или разбить на какие-то фигуры, из которых можно сложить прямоугольник. Но увы, ученые доказали, что эта задача – так называемая задача квадратуры круга – неразрешима.

Хорошо, тогда попробуем сделать так. Сперва впишем в круг квадрат. Затем в оставшиеся кусочки впишем по прямоугольнику поменьше. Потом – еще меньшие прямоугольники и т. д. Тогда мы сможем посчитать площадь круга сколь угодно точно!

Но есть и другая идея, более наглядная.

http://www.etudes.ru/ru/models/circlearearectangle/

Давайте разрежем круг пополам, а каждую половинку – на сектора. Затем из этих секторов сложим что-то вроде прямоугольника (только стороны у него будут не совсем прямыми, но чем больше секторов, тем «прямее» будет прямоугольник). Тогда его площадь легко считается: ширина равна половине длины окружности, а длина равна радиусу. Значит, если сделать сектора маленькими и взять их очень много, то площадь будет сколь угодно близка к площади прямоугольника. А её можно посчитать:

Ура, теперь мы умеем считать площадь круга, зная лишь его радиус. Число Пи в формуле всё то же, для вычислений можно подставлять вместо него 3,14, а можно так и оставлять Пи в ответе, чтобы ответ был точным, а не приблизительным.

Задача 1. Найти площадь круга, радиус которого равен 2 см.

Решение. По формуле, площадь равна

При желании можно подставить Пи:

Задача 2. Найти площадь круга, диаметр которого равен 1 м.

Решение. Не забудем, что в формуле у нас радиус, так что первым делом найдём его. Чтобы не уйти в дроби, перейдём к дм: r = 5 дм. А теперь считаем:

Задача 3. Во сколько раз увеличится площадь круга, если радиус увеличить в 3 раза?

Решение. Пусть исходно радиус был равен r. Тогда площадь была равна:

После увеличения радиус стал равен 3r, а тогда площадь –

Значит, площадь увеличилась в 9 раз.

Так что не перепутайте: длина окружности пропорциональна радиусу, а вот площадь круга не пропорциональна, а, скажем так, квадратно-пропорциональна: то есть увеличение радиуса в х раз влечёт увеличение площади в х2 раз.

На этом всё на сегодня. Теперь можете смело считать даже площадь площади. До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Найти площадь круга радиуса 15 см.

2. Во сколько раз изменится площадь круга, если радиус уменьшить в 2 раза?

3. Во сколько раз изменится длина окружности, если радиус увеличить на 50 %?

Рекомендуемые тесты:

1. Найти площадь круга радиуса 1,3 см.

2. Во сколько раз изменится радиус круга, если площадь уменьшить в 16 раз?

3. На сколько процентов увеличится площадь круга, если длина окружности увеличилась на 20 %.