Разность и сумма кубов
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: изучить формулы разности кубов и суммы кубов.

Всем привет!

Настало время вывести ещё две важные формулы: сумма кубов и разность кубов.

Начнём с суммы кубов. Рассмотрим выражение:

(a + b) (a2 – ab + b2)

Раскроем скобки, применив распределительный закон, и приведём подобные слагаемые:

(a + b) (a2 – ab +b2) = a3 – a2b +ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 +b3 или a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) – это формула суммы кубов.

Примеры:

Разложить на множители, использую формулу суммы кубов.

1. х3 + 8

2. у3 + 125

3. 8z3 + 1000

Решение:

1. х3 + 8 = х3 + 23 = (х + 2)(х2 – 2х + 4)

2. у3 + 125 = у3 + 53 = (у + 5)(у2 – 5у + 25)

3. 8z3 + 1000 = (2z)3 + (10)3 = (2z + 10)(4z2 – 20z + 100)

Теперь поговорим о разности кубов. Конечно, мы могли бы сделать аналогичную запись, но можно вывести разность кубов через сумму. Так мы и поступим:

a3 – b3 = a3 +(–b)3 = (a +(–b)) (a2 – a(–b) +(–b)2) = (a – b) (a2 + ab +b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab +b2) – формула разности кубов.

Обратите внимание на те формулы, которые мы с вами сегодня вывели. В первых скобках в формуле всегда стоит тот знак, который дан в исходном выражении. Когда сумма, в первой скобке разложения будет сумма, а когда разность, соответственно, в первой скобке разложения будет также разность. Во второй же скобке знак будет противоположный. Выражение, стоящее во второй скобке, называют неполным квадратом суммы, если стоит знак «+», и неполным квадратом разности, если стоит знак «–».

Примеры:

Разложите на множители, используя формулу разности кубов.

1. 1/8а3 – 0,001

2. a6 – b6

Решение:

1. 1/8а3 – 0,001 = (1/2а)3 – (0,1)3 = (1/2а – 0,1)((1/2а)2 + 1/2а⋅ 0,1 + (0,1)2) = (1/2а – 0,1)(1/4а2 + 1/20а + 0,01)

2. a6 – b6 = (a2)3 – (b2)3 = (a2 – b2)(a4 + a2b2 + b4)

Теперь посмотрим, как формула работает в обратную сторону.

Раскрыть скобки.

Пример:

(1 – m)(1 + m +m2)

Что это такое? Во-первых, понятно, что это формула разности кубов, потому что в первой скобке стоит знак «–». Значит, мы должны возвести в куб каждое их выражений первой скобки

(1 – m)(1 + m +m2) = 13 – m3 = 1 – m3

Проверьте, чтобы и вторая скобка была как в формуле.

Пример:

(3а + 2)(9а2 + 6а + 4)

Данное выражение можно раскрыть, используя формулу суммы кубов

(3а + 2)(9а2 – 6а + 4) = (3а)2 + 22 = 9а2 + 4

Пример:

(а + 1)(а2 + а +1)

Если вы внимательно посмотрите на выражение, то увидите, что здесь нет ни одной из наших формул. Потому что знаки в первой и во второй скобке совпадают, такого быть не должно.

Пример:

Доказать, что (183 – 113) : 7

Доказательство:

Применим формулу разности кубов к нашему выражению

183 – 113 = (18 – 11)(182 + 18⋅ 11 + 112) = 7⋅ (182 + 18⋅ 11 + 112)

Исходное выражение мы разложили на множители, один из которых 7, значит, выражение делится на 7. Что и требовалось доказать.

Итак, сегодня мы с вами прошли две новые формулы: разность кубов и сумма кубов. Пожалуйста, выучите формулы и не путайтесь в знаках!

Спасибо за внимание!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 28, № 28.31; 28.32; 28.47.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 28, № 28.53; 28.63