Понятие о числовом неравенстве. Свойства неравенств.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: Ввести понятие о числовом неравенстве, членах неравенства, его правой и левой частях, определение строгого и нестрогого неравенства; показать три случая сравнения с помощью знаков «>», «<», «=»; научить читать и писать строгие и нестрогие неравенства, составлять двойные неравенства.
Развитие познавательного интереса учащихся; умение анализировать, сравнивать, сопоставлять; развитие наблюдательности, внимания. Формировать потребность приобретения знаний; развитие математической речи учащихся. Формирование таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность, осознание общечеловеческих ценностей.

Ребята, здравствуйте! Тема нашего урока: Числовые неравенства.
Сегодня мы познакомимся с числовым неравенством, с членами неравенства, его правой и левой частями, научимся определять строгие и нестрогие неравенства, составлять двойные неравенства; рассмотрим три случая сравнения с помощью знаков «>», «<», «=»; научимся читать и писать строгие и нестрогие неравенства.
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счётом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа ?. Ряд неравенств приводит в своём знаменитом трактате «Начала» Евклид.

Понятие неравенства, как и равенства, связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и – одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные.
Неравенство возникает в ситуациях, когда встречаются такие понятия как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удалённости от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т. п.
В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но речь идёт о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур), фигур и т. п.
Когда сравнивают числа или значения выражений и выясняют, что они не равны друг другу, то обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше, а какая – меньше. На письме приняты несколько знаков для записи неравенств.
Во-первых, знак «не равно», он представляет собой перечёркнутый знак равно: ?. Записываем 8 ? 11. Во-вторых, используются знак больше > и знак меньше <. Можем записать 8 < 11 или 8 > 5.
Давайте правильно прочитаем следующие неравенства: 15 < 28; 5 + 6 > 4; 4 < 10 – 1; 4 : 2 < 21 : 7. Попробуйте сами, а теперь проверяйте...
Числовое неравенство – ϶ᴛᴏ запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаками < (меньше), > (больше).
Дадим определение: выражение, составленное с помощью чисел или числовых выражений и знаков больше, меньше или равно называют числовыми неравенствами.
Вспомним, что при сравнении чисел возможны три случая: одно число больше другого или одно число меньше другого или одно число равно другому:

Если a > b, то a – b > 0, пример 9 – 5 = 4, 4 > 0, значит 9 > 5

Если a < b, то a – b < 0, пример 3 – 8 = –5, –5 < 0, значит 3 < 8

Если a = b, то a – b = 0 пример 28 – 28 = 0, значит 28 = 28

Вывод: число а считается большим числа b, если разность a – b является положительным числом. Число а считается меньшим числа b, если разность a – b является отрицательным числом.

Неравенство всегда имеет правую и левую части, 5 > 3; 5 называется левой часть неравенства, 3 – правой частью неравенства. 4 + 5 < 6 + 6 , выражение 4 + 5 называется левой частью неравенства, а выражение 6 + 6 – правой частью неравенства. В числовом неравенстве 7 < 3 + 5, что называется правой, а что левой частью неравенства? Подумайте... Обратили внимание, что в левой и правой части неравенства могут стоять как числа, так и числовые выражения?
Числовые равенства и неравенства бывают верные (5 + 6 = 7 + 4, 4 < 10 – 1) и неверные (5 + 6 = 7 – 4, 4 + 6 < 10). Отметим, что наряду со словосочетанием «верное неравенство» используются такие словосочетания: «справедливое неравенство», «имеет место неравенство», означающие одно и то же.
Особое внимание прошу обратить на последнее неравенство: 4 + 6 = 10, получаем 10 < 10, что действительно не верно, но если мы могли бы добавить знак равно, то неравенство стало бы верным, потому что 10 = 10. И такая возможность у нас есть!
Кроме известных знаков >, < существуют знаки ≥ , ≤ . Как вы думаете, в чём различие этих знаков? Запишем х ≤ 8; х < 8 ... Наверное, вы догадались, что в первом случае х может быть меньше или равен 8, а вот во втором случае, он только меньше 8, но уже не может оказаться равным 8. Аналогично в случае «больше» и «больше или равно». Например, х ≥ 5 читается так: икс больше или равно 5, а неравенство х > 5 читается так: икс больше 5.
Если неравенства записаны знаками < или >, то их называют строгими неравенствами. Если неравенства записаны знаками ≤ или ≥, то их называют нестрогими неравенствами.
Современные знаки неравенств появились лишь в XVII–XVIII вв. Знаки < и > ввёл английский математик Томас Хэрриот. Знаки ≤ и ≥ ввёл математик Пьер Бугер (1698–1758).
На практике сфера применения нестрогих неравенств понятна, с их помощью удобно моделировать ситуации, которые можно описать фразами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» по сути означает меньше или столько же, ей отвечает знак меньше или равно вида ≤. Аналогично, «не меньше» значит столько же или больше, ей соответствует знак больше или равно ≥.
Перейдём к графической интерпретации – сравнению с помощью координатной прямой. Расположение точек на координатной прямой позволяет наглядно сравнивать между собой числа. Раньше вы уже отмечали на координатной прямой положительные и отрицательные числа. И помним, что мы выбираем точку 0 за начало отсчёта, направление выбираем слева направо, таким образом на правом луче располагаются положительные числа, а на левом луче – отрицательные.

Сформулируем правило сравнения чисел.
Правило 1. Число а больше числа b, если на числовой оси оно располагается правее числа b.
Запись a > b.

Правило 2. Всякое положительное число больше всякого отрицательного. (Ясно, что любая точка на правом луче лежит правее любой точки на левом). Примеры: 2 > –3, 1 > –100, 10 > –2 и т. п.

Правило 3. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль. Или по-другому: учитывая, что большее число расположено правее, а на левом луче правее – значит ближе к нулю, то больше из отрицательных чисел то, расстояние до нуля у которого меньше. Примеры: –3 > –90, –5 > –15 и т. п. Чем ближе к нулю отрицательное число, тем оно правее и, значит, больше.
Чтобы стало понятнее сравнение отрицательных чисел, давайте вспомним морозную зиму, как иногда говорят про температуру: вчера было –15, сегодня –20, стало холоднее, то есть температура стала ниже, температура стала меньше, то есть –20 < –15.

Правило 4. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного.
Это можно представить в виде двойного неравенства: отрицательное число < 0 < положительное число.
Нуль оказался у нас заключён в двойное неравенство. Аналогично поступают и с другими числами, например 6 > –3 и 6 < 12, можно записать –3 < 6 < 12. Читается оно в этом случае так: 6 больше –3, и меньше 12. Такая запись неравенства называется двойное неравенство.
Можно догадаться, какое целое число можно подставить вместо звёздочки в двойное неравенство 8 < * < 10, теперь более сложный вопрос: –3 < * < –1.

Теперь, когда мы всё сказали о числовых неравенствах, настало время поговорить об их свойствах.
1. Свойство антисимметричности утверждает, что если первое число больше (меньше) второго, то второе число соответственно меньше (больше) первого. В формальной записи, если a > b, то b < a, а также, если a < b, то b > a. Если 4 меньше 7, то 7 больше 4.

Свойство транзитивности состоит в том, что если первое число меньше (больше) второго, а второе меньше (больше) третьего, то понятно, что первое число подавно меньше (больше) третьего. В записи это выглядит так: из a < b и b < c следует, что a < c, а также, из a > b и b > c следует, что a > c. Если 5 меньше 10, а 10 меньше 15, то 5 меньше 15.

Эти и другие свойства неравенств имеют большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и их доказательства. На следующем уроке мы как раз займёмся доказательством неравенств, а пока обобщим все наши знания.

Числовое неравенство – выражение, составленное с помощью чисел или числовых выражений и знаков больше, меньше или равно.

У числового неравенства есть правая и левая части, в них могут стоять числа или числовые выражения.

Числовые неравенства бывают верные и неверные.

Неравенства бывают строгие и нестрогие.

Существуют двойные неравенства.

Число а считается большим числа b, если разность a – b является положительным числом. Число а считается меньшим числа b, если разность a – b является отрицательным числом.

Давайте остальные свойства запишем в виде таблицы

Если...

То...

Если a > b

то на координатной прямой число а расположено правее числа b

Если a > b

то b < a

Если a < b и b < с

то a < c

На этом мы сегодня закончим разговаривать о неравенствах и их свойствах, но на следующем уроке мы к ним обязательно вернёмся!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Назовите верное и неверное неравенство: 5 > 5; 7 > 4; –3 > 8; –4 > –10.

2. Назовите правую и левую части неравенства: 12 > 7; 3 < 5 + 1.

3. Напишите пример строгого и нестрогого неравенства.

4. Выполните сравнение и запишите в виде неравенств: –1 и (–6); –4,1 и 2; 5/11 и 5/18; 0 и (–1); 17 и 0; 3/7 и 11/5 –1 и 1; –10 и 0; 4/9 и 0; 4 и 4; 1/4 и 1/7; 1/3 и 1.

5. Назовите, между какими соседними целыми числами заключено число:

8⅕; –3,1; 4,3; 0,9; –5,6; –0,4; –16,5; –15¾. Запишите в виде двойного неравенства.

Ответы:

1. Верные неравенства: 7 > 4; –4 > –10.

2. Правая часть неравенства: 7 и 5 + 1.

3. Например, 3 > 1 строгое неравенство.

4. Выполните сравнение и запишите в виде неравенств: –1 > –6; –4,1 < 2; 5/11 > 5/18; 0 > (–1); 17 > 0; 3/7 < 11/5; –1 < 1; –10 < 0; 4/9 > 0; 4 = 4; 1/4 > 1/7; 1/3 < 1.

5. Назовите, между какими соседними целыми числами заключено число:

8⅕ между 8 и 9; –3,1 между –3 и –4; 4,3 между 4 и 5; 0,9 между 1 и 0; –5,6 между –5 и –6; –0,4 между –1 и 0; 16,5 между 16 и 17; –15¾ между –15 и –16.

Рекомендуемые тесты:

1. Белка сидит на дереве в точке Б(4), а дятел – в точке Д(–3). Какое расстояние от дятла до белки? Кто из них дальше от дупла, если дупло принято за начало отсчёта?

2. На улице температура 12 градусов, а в квартире 20. На сколько градусов температура в квартире выше, чем на улице?

3. Известно, что х – положительное число, а у – отрицательное число, сравните х и –4, х и 0, х и у, у и 0, у и 5, у и –7. В каком из случаев сравнение невозможно?

Ответы:

1. Расстояние от дятла до белки 7, дальше от дупла белка.

2. На 8 градусов температура в квартире выше, чем на улице.

3. Получаем х > –4, х > 0, х > у, у < 0, у < 5, у и –7 сравнение невозможно.