Измерение отрезков. Часть 2 (разбор задач)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Суслина Мария Евгеньевна

Цели и задачи урока: обучение решению задач по теме «измерение отрезка»

Задача 1.

На отрезке АВ отмечена точка С.

Найдите длину отрезка АС, если АВ = 25 см и ВС = 5 см.

Решение

Отрезок это гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, ко­то­рая яв­ля­ет собой часть пря­мой, за­клю­чен­ной между двумя точ­ка­ми.

Точка С лежит на отрезке. Значит, мы точно знаем порядок расположения точек: Точка С лежит между точками А и В.

Получаем, что длина отрезка

АС = АВ – ВС = 25 – 5 = 20 см

Ответ: АС = 20 см

Следующая задача

Задача 2.

На прямой АВ отмечена точка С.

Найдите длину отрезка АС, если АВ = 25 см и ВС = 5 см.

Эта зада очень похожа на предыдущую. Различие в одном слове. В первой задаче был дан отрезок АВ, а здесь появилась прямая АВ.

Как это повлияет на решение?

Посмотрим

Начертим прямую. Отметим точки А и В

Где может располагаться точка С

Отрезок АВ разбивает прямую на три части

Рассмотрим все случаи

В нашей задаче третьего случая быть не может, так как по условию задачи отрезок АВ больше отрезка ВС.

В итоге получаем два различных ответа.

В первом случае отрезок АС = 20 см

Во втором случае отрезок АС = 30 см

Задача 3.

Дан отрезок АВ = 6 см. Отметьте на прямой АВ точки, находящиеся на расстоянии 2 см от какого-либо из концов отрезка АВ. Сколько таких точек?

Решение:

Начертим прямую. Отметим точки А и В.

Посмотрим на точку А. Отметим точки, которые лежат на рас­сто­я­нии 2 сан­ти­мет­ра от точки А, –

Таких точек может быть две. Так как от точки А мы можем пойти на 2 см налево или на 2 см направо.

Посмотрим теперь на точку В. И отметем точки находящиеся на расстояние 2 см.

Таких точек может быть две. Так как от точки А мы можем пойти на 2 см налево или на 2 см направо.

Посмотрим теперь на точку В. И отметем точки находящиеся на расстояние 2 см.

Ответ: Таких точек 4

Задача 4.

Дан отрезок АВ = 6 см. Отметьте на прямой АВ точки, находящиеся на расстоянии 3 см от какого-либо из концов отрезка АВ. Сколько таких точек?

Снова знакомая задача. Условие осталось прежним.

Изменилась только расстояние. Можно сразу ответить?!

Будет ли ответ таким же, как и в прошлой задачи – четыре точки?

Давайте не будем торопиться и посмотрим внимательнее.

Начнем сначала

Начертим прямую. Отметим точки А и В, и проделаем все построения вновь.

По условию отрезок АВ = 6 см, а отрезки АС2=3 см, АС3=3 см

АВ= АС2 + С2С3+С3В = 3 + С2С3 + 3

Получаем, что длина отрезка С2С3=0.

Это значит, что точки С2 и С3 совпадают.

Ответ в этой задачи оказался другим

Таких точек 3.

Задача 5.

Точка М лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АМ, если АМ = 2BM и АВ = 6 см.

Задача 6.

Точка М лежит на прямой АВ. Найдите длину отрезка АМ, если АМ = 2BM и АВ = 6 см.

Задача 7.

Отрезок длиной 32 см разделен на четыре неравные части. Расстояние между серединами средних частей равно 7 см. Найдите расстояние между серединами

Задача 8.

Отрезок АВ разделен на четыре неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см, а между серединами средних частей – 20 см. Найдите длину отрезка АВ.

Задача 9.

Точки А, В, С лежат на одной прямой. Расстояние между точками А и В равно 7см, а расстояние между B и C равно 16 cм. Каким может быть расстояние между точками А и С?

Решение:

Рассмотрим 2 случая.

Первый случай

АС= АВ+ВС=7+16=23 (см)

Второй случай

АС= СВ - АВ=16-7=9 (см)

Ответ: 9 см или 23 см

Подведем итоги нашего занятия: в откладывании отрезков нам важно знать не только расстояние, но и направление, в котором мы откладываем или измеряем отрезок. И, что еще важнее, - задача, в зависимости от чертежа может иметь несколько решений!

Задача 1. (или аналог) У Кащея Бессмертного в любимцах 4 гадов ползучих, 9 гадов летучих, 12 гадов живучих, 11 гадов вонючих. Какую часть всех гадов составляет каждый подвид?

Для этого, наверное, не плохо понять, соотношение между какими величинами мы вычисляем. Начнём, к примеру, с гадов ползучих. Их 4, с этим всё понятно. Но какова вторая величина? Вероятно, это количество всех гадов. Для нахождения их количества, давайте сложим каждую категорию кащеевых любимцев. 4+9+12+11=36.

Тогда ползучих гадов , летучих гадов , живучих гадов , а вонючих гадов от общего числа гадов.

Что ещё можно попробовать выяснить? Например, если известно, какую часть составляет одна величина от второй, можно попробовать узнать, одну из этих величин, зная другую.

Задача 2. (или аналог) Купивши комод за 36 р., я потом вынужден был продать его за цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?

Первый способ

Давайте выясним, за какую сумму был продан комод. Видимо, дробь намекает нам на то, что цена продажи составляла 7 частей, если исходая стоимость составляла 12 частей. Тогда одна часть составляет 3 рубля, а вот стоимость продажи 21 рубль. После этого узнаем, на сколько отличается найденная величина от изначальной стоимости комода. 36-21=15 руб.

Второй способ

Если продали мы комод за цены, то видимо потеряли исходной стоимости, потому как вся стоимость составляет единицу. Значит осталось выяснить, какая же величина составляет от 36. Для этого нам придется выяснить сколько составляет двенадцатая часть цены 36:12=3, и тогда 5 таких частей составляют 15 рублей.

Ну и наконец, можно озаботиться вопросом о том, если нам известна часть, можем ли мы составить суждение о том, каким было целое.

Задача 3. (или аналог) Определите длину отрезка, которого равны 15 см.

Если 15 см составляет три части из пяти, то одна часть составляет 5, а тогда все пять частей – 25 см. Что и дает нам результат в 25 см.

Задача 4. (или аналог) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится две сумки со скрытыми дефектами. Какую часть от всех выпущенных сумок составляю не очень качественные сумки?

В решении этого вопроса постараемся быть как можно бдительнее. Нас интересует отношение количества не качественных сумок и количества всех сумок. Но всего сумок 150+2=152, что означает, что не качественных среди них =

Задача 5. (или аналог) В прошлом голу шестым классам раздали 900 новых учебников. всех книг они потеряли, а всех книг – непоправимо испортили. Сколько книг может быть выдано шестым классам в этом учебном году?

Попробуем выяснить какую часть прошлогоднего книжного фонда удалось сохранить к этому году. 1 . Выходит, нам придется выяснить, сколько составляет 7 частей, если 20 частей это 900. Одна часть в таком случае составляет 45, а 7 частей – 315.

Задача 6. (или аналог). Одна из групп, забравшаяся на вершину Эверест, состояла из спортсменов, проводников и носильщиков. Спортсменов в группе было 25, число проводников составляло от числа спортсменов, а число спортсменов и проводников вместе – лишь от числа носильщиков. Сколько было носильщиков в этой экспедиции?

Давайте потихоньку разбираться. Когда мы сможем выяснить число носильщиков? Когда мы узнаем общее число спортсменов и проводников. Число спортсменов нам дано, сможем ли мы узнать число проводников? Да. Если 5 частей составляют 25, то одна часть равна 5, а 4 части тогда составляют 20.

Значит проводников было 20, тогда вместе со спортсменами их было 45. Если 45 это 9 частей, то одна часть составляет 5, а 140 частей тогда 700. Интересная группа…

Задача 7. (или аналог) За первый переход турист потратил две трети запаса сил, на привале восстановил треть остатка, за второй переход потратил четверть текущего запаса сил, на привале восстановил половину остатка и после этого до полного изнеможения смог пройти четыре километра. Сколько километров он мог пройти с исходным запасом сил без привалов?

Давайте попытаемся переформулировать условие задачи в терминах частей от исходного запаса сил:

Первый переход: от исходного запаса сил

Первый привал: от исходного запаса сил

Второй переход: от исходного запаса сил

Второй привал: от исходного запаса сил

С помощью всех этих сил он смог пройти 4 км. Значит, исходно он мог пройти в три раза больше, то есть 8 км.

Итак, какие выводы мы можем сделать по итогам занятия? Заметим, что наш опыт можно обобщить: чтобы найти какую часть составляет одна величина от другой, достаточно найти их отношение, чтобы найти величину, составляющую известную часть от числа, нам достаточно умножить число на эту часть, и, чтобы по величине, составляющей известную часть от числа, найти само число, достаточно данную величину поделить на эту часть.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Задача 1. На покупку овощей хозяйка израсходовала 6 р., что составило имевшихся у нее денег. Затем она купила 2 кг яблок по 7 р. за килограмм. Сколько денег у нее осталось после этих покупок?

Ответ: осталось 16 рублей.

Задача 2. В коллекции имеется 45 юбилейных рублевых монет. Число 3-х и 5-ти рублевых монет составляет числа рублевых монет. Сколько всего юбилейных монет в 1, 3 и 5 рублей в коллекции?

Ответ: всего 55 монет.

Задача 3. Во всерьёз переполненном классе 35 учеников, из них контрольную по математике на 5 написали 9 учеников, на 4 – 18 учеников, на 3 – 8 учеников. Какая часть всех учеников написала контрольную на 5? На 4? На 3?

Ответ: на 5: 9/35, на 4: 18/35, на 3: 8/35.

Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Сделано задания за первый день, остатка – за второй и оставшегося в конце – за третий. Осталось выполнить 30 задач. Сколько задач было в задании?

Ответ: 120 задач было в задании.

Задача 2. У ученика 6 класса было некоторое количество долгов по математике. За первое переписывание он закрыл всех долгов, за второе – оставшихся долгов, а за третье – всех исходных долгов. Осталось девять долгов. Сколько долгов было первоначально?

Ответ: 81 долг.