Свойства параллельных прямых
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: рассмотреть свойства параллельности двух прямых, пересеченных третьей, а также доказать их; научить учащихся решать задачи на применение свойств параллельности прямых; развитие умения выстраивать логическую цепочку рассуждений при решении задач на доказательство.

Здравствуйте! С признаками параллельных прямых мы уже познакомились, давайте теперь выясним, есть ли у параллельных прямых какие-то специальные свойства. Напоминаю, что свойством называется утверждение следующего класса: если объект принадлежит какому-нибудь классу, то он обязательно обладает теми или иными атрибутами.

Теорема

При пересечении параллельных прямых секущей:

1. Накрест лежащие углы равны

2. Соответственные углы равны

3. Сумма мер односторонних углов равна 180о

Заметим, что нам совершенно не важно, равны внешние или внутренние накрест лежащие углы, так как они вертикальные друг относительно друга, а значит, из равенства одной пары углов следует равенство другой пары.

Итак, докажем первый пункт.

Пусть a||b, p – секущая. Попробуем доказать от противного – пусть накрест лежащие углы не равны, а, не теряя общности, 1 > 2. Проведём через точку пересечения p и a прямую, которая будет отсекать угол, равный углу 2. Но тогда, по признаку параллельности прямых, эта прямая тоже параллельна b. Но получается, что через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, что противоречит аксиоме параллельных прямых.

Заметим, что два оставшихся пункта являются следствием первого:

Если соответственные углы равны, то вертикальный по отношению к одному из них – накрест лежащий по отношению ко второму.

С другой стороны, если сумма односторонних углов равна сумме смежных углов, то и накрест лежащие углы равны.

Пункты данной теоремы во многих источниках называются, соответственно, первым, вторым и третьим свойство параллельных прямых.

Пример 1.

Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Углы 1 и 2 – внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.

∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 – х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим

х + 30° + х = 180°.

Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.

∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° – 75° = 105°.

Пример 2.

Дано: a || b; c - секущая, AM - биссектриса ∠DAK; DB - биссектриса ∠ADM, AD=DM.

Доказать: AM ⊥ DB.

Доказательство: По условию AM — биссектриса угла DAK, тогда ∠1 = ∠2. По условию DВ - биссектриса угла ADM, следовательно, ∠3 = ∠4.

Рассмотрим треугольники ADB и DMB. Заметим, что они равны по второму признаку. ( AD=DM по условию, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4). Следовательно, треугольники ADB и DMB равны.

∠ABD = ∠MBD под доказанному, а также ∠ABD + ∠MBD = 180o. (как смежные). Следовательно, ∠ABD = ∠MBD = 90о. Поэтому DB ⊥ АМ.

На сегодняшнем уроке мы познакомились со свойствами параллельных прямых: при пересечении параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма мер односторонних углов равна 180 градусам, а также применили доказанные свойства для решения задач.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Рекомендуемые тесты: