Одночлен. Стандартный вид одночлена и его степень
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомить с понятием одночлена, его стандартным видом, определить степень одночлена.

Всем привет!

Рад вас приветствовать не только на первом уроке 7 класса, но и в начале абсолютно новой для вас темы, которая называется алгебра.

Алгебра – наука очень простая для тех, кто действительно в ней начинает разбираться. Потому что алгебра обладает простым и наиболее ясным набором правил, если вы каждое правило осознаете и научитесь применять, то никаких сложностей не будет. Самое главное – ничего не пропускать! Ну что ж, в добрый путь.

И сегодня мы с вами начнём, как я уже сказал, новую тему. А с чего вообще начинается изучение новой темы? Вы изучаете новый язык. С чего вы начинаете? Правильно, с букв данного языка. Потому что из букв впоследствии вы сможете составить слова. Точно так же в арифметике мы начинаем с цифр, а уже из этих цифр составляем числа.

Сейчас мы от чисел переходим к буквенным выражениям. Вы все знаете, что это такое.

А из чего же состоят буквенные выражения? Они состоят из каких-то кирпичиков. Об этих кирпичиках сегодня и пойдёт речь. И так, рассмотрим вот такой пример:

выражение 3x2 + 5ху – 56ху2 – у3

Какие кирпичики здесь можно выделить?

Я бы выделил каждое слагаемое, т. е. 3x2 отдельно, 5ху отдельно, –56ху2 отдельно и –у3 отдельно. Почему я вот так говорю с минусом, потому что мне так будет удобно рассматривать эти кирпичики как слагаемые.

Дадим определение нашим кирпичикам, которые в математике называются одночленами.

Определение: Одночлен – это произведение числовых и буквенных множителей.

Рассмотрим примеры одночленов:

5ху: 5 – число, х – буква, у – буква, произведение числовых и буквенных множителей есть одночлен.

3х: 3 – число, х – буква, произведения числа и буквы, согласно определению, есть многочлен.

Напомню, что если между числом и буквой нет знака, то там подразумевается умножение.

4 – одночлен, в котором нет буквенной части. Такое вполне может быть.

х2 – тоже одночлен, в котором нет теперь уже числового множителя. А х2 = х ⋅ х, т. е. произведение буквенных множителей.

3,5х – одночлен, числовой множитель может быть любым числом.

3ху2ху – одночлен, потому что есть произведение, в котором представлены два числа и буквы.

1/2х – одночлен. Произведение числа и буквы, по определению, есть одночлен.

Теперь приведём примеры не одночленов.

х + у – это не произведение двух букв, а сумма, поэтому это не одночлен. Можно сказать, что это сумма двух одночленов х и у, но вместе это не одночлен.

1/х – это частное числа и буквы, также не является одночленом.

(х + у)(у + z) – это также не одночлен. Здесь представлено произведение буквенных выражений, а не произведение букв и чисел.

(a + b)2 – данное выражение не одночлен. (a + b)2 = (a + b)(a + b) – это произведение буквенных множителей, что противоречит определению.

Вернёмся к примеру: 3ху2ху

Запись данного многочлена не очень удобна. Здесь можно применить соответствующий закон умножения и получить более сжатую запись, т. е. 3ху2ху = 6х2у2. Такая сжатая запись называется стандартным видом.

Итак, одночлен, в котором выполнены все возможные действия по упрощению, и в котором первым стоит числовой множитель, называется одночленом стандартного вида.

2ху и х2у – один и тот же одночлен, но записанный по-разному. Поэтому математики договорились, что числовой множитель всегда выносится в начало, а буквы лучше писать по алфавиту.

Обозначение:

2ху – это стандартный вид одночлена

2 – числовой множитель и коэффициент одночлена

ху – буквенная часть

–14х2у – это стандартный вид одночлена

–14 – коэффициент одночлена –14х2у

х2у – буквенная часть одночлена –14х2у

Заметьте, что знак, стоящий перед одночленом, включается в его числовой множитель.

2х – это стандартный вид одночлена

2 – числовая часть

х – буквенная часть

у2 – это стандартный вид одночлена, причём обратите внимание, что здесь как бы нет числовой часть, но на самом деле она есть и равна 1

1 – коэффициент

у2 – это буквенная часть

6ху – стандартный вид одночлена

6 – коэффициент

ху – буквенная часть

х2 – нестандартный вид одночлена. Почему?

Ответ: потому что числовой коэффициент 2 стоит не в начале одночлена.

А вот уже 2х – стандартный вид одночлена.

уу – данное выражение не упрощено, поэтому считается, что одночлен записан не в стандартном виде. Его стандартный вид у2.

2х3у – данное выражение не упрощено. Чтобы привести к стандартному виду, надо упростить. 6ху – стандартный вид данного одночлена.

Если вы заметили, то все нестандартные одночлены мы привели к стандартному виду. Поэтому в алгебре есть такое действие как приведение одночлена к стандартному виду.

Рассмотрим примеры приведения одночлена к стандартному виду:

3х : 2 = 1,5х

Здесь мы произвели действия с числами.

х3х

Что здесь плохо?

Во-первых, 3 нужно переместить в начало одночлена. Во-вторых, х и х можно перемножить. Получаем одночлен 3х2 – стандартного вида.

Приведём слова к стандартному виду:

МАМА = М2А2 = А2М2

МАТЕМАТИКА2 = 2А3ЕИКМ2Т2

Вопрос: для чего приводить одночлен к стандартному виду?

Ответ: для того, чтобы одночлены, похожие друг на друга, выглядели одинаково.

Пример: 2ху + ху2 + у2х

Выражение состоит их суммы трёх одночленов, приведём каждый одночлен к стандартному виду, имеем: 2ху + 2ху + 2ху = 6ху

А как определить степень одночлена?

х8 – 8-я степень одночлена

а2 – 2-я степень одночлена

в3 – 3-я степень одночлена

А если записан одночлен 2х2у3z4. Какая же здесь степень одночлена, если в одночлене несколько букв? Здесь воспользуемся определением.

Определение: степенью одночлена, называется сумма всех степеней переменных, входящих в этот одночлен. Переменная, т. е. буква. Степень обозначается deg.

Значит, степень одночлена 2х2у3z4 будет равна 9, т. е. 2 + 3 + 4 = 9.

3ху

х – 1 степень

у – 1 степень

deg = 2

х2у

х – 2 степень

у – 1 степень

deg = 3

х3у2z

deg = 3 + 2 + 1 = 6

23⋅ 52хуz2

deg = 1 + 1 + 2 = 4

Показатели чисел нам не важны!

Итак, сегодня мы познакомились с новым понятием одночлен, его стандартным видом и степенью. Впереди – действия с ними.

До новых встреч.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 5, § 20, № 20.4; 20.6; 20.8; 20.15 (б, в); 20.16 (б).

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 5, § 20, № 20.5 (б, г); 20.1 (в, г); 20.3; 20.4.