its5Q/resh-edu huggingface dataset:
Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться определять количество корней уравнения, не решая его.

Всем привет!

– Что такое линейное уравнение?

– Это уравнение вида ах = b.

Соответственно, уравнение, сводящееся к линейному – это любое уравнение, которое тождественными преобразованиями можно свести к уравнению ах = b. Таким образом, если у меня дано какое-то либо уравнение, в левой и правой частях находятся либо слагаемые вида ax, либо числа, то такое уравнение сводится к линейному.

Сегодня мы будем разбирать похожие уравнения, причём будем разбирать вот с какой стороны: заметим, что линейные уравнения имеют прямое отношение к линейной функции, графиком линейной функции является прямая. Значит, мы будем говорить о том, как располагается данная прямая. На основании этого будем делать вывод о количестве корней уравнения, не решая их.

Пример 1:

Сколько же корней имеет линейное уравнение ax = b?

Если а ≠ 0, то слева задается график прямой пропорциональности, то есть прямая, проходящая через начало координат.

Правая же часть задаёт горизонтальную прямую у = b.

Так что, если а ≠ 0 – решений нет.

Если а = 0, то при b = 0 – любое число, а при b ≠ 0 – нет решений

Пример 2:

Сколько корней имеет уравнение 5х = 2?

Ответ: 1 корень.

Пример 3:

Сколько корней имеет уравнение 3х + 2 = 2х + 3?

Решение:

Прямые, задаваемые частями уравнения, имеют разные угловые коэффициенты, значит, они пересекаются ровно в 1 точке.

Ответ: 1.

Пример 4:

Сколько корней имеет уравнение

2x + 3x – 7,6 + 17x – 4,2 = 5x + 15x – 2,73 + 2x.

Решение:

Приведём подобные в правой и в левой части уравнения:

22x – 11,8 = 22x – 2,73

В левой части угловой коэффициент получается 22, в правой – тоже 22. При этом свободные коэффициенты не равны. Значит, прямые параллельны и решений нет.

Ответ: 0.

Пример 5:

Сколько корней имеет уравнение

Решение:

В левой части угловой коэффициент получается положительным, в правой – отрицательным. Значит, угловые коэффициенты не равны. Значит, прямые пересекаются в одной точке

Ответ: 1.

Обратите внимание, как сработал наш способ в последнем примере. Если бы мы решали алгебраически, то нам бы пришлось делать очень серьёзные выкладки. Но так как я понимаю, что разные угловые коэффициенты соответствуют пересекающимся прямым, а одинаковые угловые коэффициенты параллельным прямым, то задача становится легче.

Обратите внимание, что этот графический способ прекрасно помогает справиться с задачей «сколько корней имеет уравнение». Если угловые коэффициенты не совпадают, то мы сразу можем писать в ответ – один корень, потому что прямые могут пересекаться только в одной точке. Если же угловые коэффициенты совпали, как в примере № 4, то тут нужно понять, параллельны ли прямые, в таком случае решений нет, или прямые совпадают – в таком случае бесконечно много решений.

До скорых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 2, § 10, № 10.3; 10.5; 10.6.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 2, § 10, № 10.8; 10.9.
Решение задач повышенной сложности. Часть 1
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с основными видами задач, решающихся с помощью различных признаков равенства треугольников.

Здравствуйте!

Сегодня мы продолжим решать сложные задачи на признаки равенства треугольников. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

Отметим равные отрезки (см. рис. – здесь мы пользовались тем, что в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны).

Видим, что длина меньшей стороны равна a + b. Значит, a + b = 8 и большая сторона имеет длину a + b + 4 = 8 + 4 = 12.

Пример 2.

Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует медиана с этой стороной.

Пусть BM и B1M1 – медианы треугольников ABC и A1B1C1, BM = B1M1, AC = A1C1, ∠BMC = ∠B1M1C1. Поскольку MC = M1C1, то треугольники BMC и B1M1C1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, ∠ACB = ∠A1C1B1, BC = B1C1. Поэтому треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними: BC = B1C1, AC = A1C1 и ∠C = ∠C1.

Пример 3.

На стороне AC треугольника ABC нашлись такие точки K и L, что K – середина AL и BL – биссектриса угла KBC. Оказалось, что BC = 2BK.

Докажите, что LC = AB.

Пусть M – середина BC. Тогда BM = СM = ½ BC = BK. Треугольники BKL и BKM равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AK = LK = ML и ∠AKB = 180 – ∠BKL = 180° – ∠BML = ∠CML.

Треугольники AKB и MLC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB = LC.

Сегодня мы с вами обсудили уже более содержательные задачи, решающиеся с помощью различных признаков равенства треугольников. Как видите, для решения задачи бывает важно воспользоваться не одной парой равных треугольников, а иногда и двумя.

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые задачи:

1. Высота треугольника ABC является медианой треугольника BDE, AD = EC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

2. Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия, дидактические материалы, 7 класс, С-10, вариант 4. (стр. 34)

Рекомендуемые тесты:

1. Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия, дидактические материалы, 7 класс, С-10, вариант 7. (стр. 57)
Прямоугольный параллелепипед
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Суслина Мария Евгеньевна

Цели и задачи урока: наглядно познакомить учащихся с прямоугольным параллелепипедом и научить отличать зрительно от других пространственных тел. Познакомить учащихся с названиями составных частей прямоугольного параллелепипеда. Познакомить с частным видом прямоугольного параллелепипеда –кубом и свойствами его составных частей и с отличием от свойств составных частей прямоугольного параллелепипеда.

Предметные результаты: формулировать понятия о прямоугольном параллелепипеде и его измерениях; научиться вычислять площади поверхности прямоугольных параллелепипедов.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Спичечная коробка, ящик, кусок мыла, кирпич и многие другие окружающие нас предметы имеют форму

Прямоугольного параллелепипеда.

Название «параллелепипед» произошло от греческого слова «параллелос» - идущие рядом и «епипедон» - плоскость.

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, которые называют гранями

Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют основаниями

Нижнее основание и верхнее основание

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

У прямоугольного параллелепипед противоположные грани равны.

Стороны прямоугольников – граней параллелепипеда – называют ребрами.

Концы ребер называют вершинами.

Каждая вершина является общим концом трех ребер.

Длины двух ребер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.

Длину бокового ребра называют высотой.

Таким образом, длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой.

Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом

Каждая грань куба – квадрат, все грани куба равны между собой.

Задача:

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 7 м, 5 м и 3 см.

Вычислите сумму площадей всех граней прямоугольного параллелепипеда.
Равнобедренный треугольник
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с признаками равнобедренного треугольника

Здравствуйте!

В самом начале, после доказательства первого равенства треугольников, мы с вами сформулировали свойства равнобедренного треугольника и доказали их. А именно, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны и что в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

Давайте теперь попробуем доказать, что эти свойства являются и признаками. А именно:

Теорема №1:

Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.

Проведём биссектрису, получившиеся треугольники равны по общей стороне и двум углам. Значит, равны их соответствующие стороны и треугольник равнобедренный.

Теорема №2:

Если в треугольнике совпадает биссектриса и медиана, то он равнобедренный.

Удвоим медиану, AM треугольника ABC, получив, что AM = MA1, треугольники AMB = A1MC, тогда углы ABM = MA1C, а тогда треугольник AA1C равнобедренный, и тогда AC = A1C = AB.

Теорема №3:

Если в треугольнике совпадает биссектриса и высота, то он равнобедренный.

Проведём биссектрису, получим, что прямоугольные треугольники равны по острому углу и катету.

Теорема №4:

Если в треугольнике совпадает медиана и высота, то он равнобедренный.

Проведём медиану, прямоугольные треугольники равны по двум катетам.

Таким образом мы с вами сегодня вспомнили свойства равнобедренных треугольников и кроме того, сформулировали и доказали их признаки.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 8: 3.1, 3.2, 5.1, 5.2

Рекомендуемые тесты:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 8: 5.2

Через вершины A и C треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC и пересекающие прямые CB и BA в точках K и M соответственно. Найдите AB, если BM = 8, KC = 1.

Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон AB и AC.
Теорема о соотношении сторон и углов треугольника
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: ознакомить учащихся с соотношениями между сторонами и углами в одном и том же треугольнике.

Здравствуйте!

Интуитивно мы представляем, что в тупоугольном треугольнике, сторона напротив тупого угла больше чем оставшиеся стороны и наоборот, если мы будем увеличивать сторону треугольника, сохраняя оставшиеся две, то рано или поздно треугольник станет тупоугольным, то есть один из его углов (лежащий напротив всё увеличивающейся стороны) окажется больше двух других. Давайте теперь попробуем выяснить, нет ли в треугольнике каких-то взаимосвязей, связанных с углами и сторонами.

Теорема 1.

Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Пусть сторона AB треугольника ABC больше стороны AC. Отложим на стороне AB отрезок AD, равный AC. Тогда точка D лежит между точками A и B. В равнобедренном треугольнике ADC углы при основании CD равны, а так как угол ADC -- внешний угол треугольника DBC, то ∠ACB > ∠ACD = ∠ADC = ∠ABC + ∠DCB > ∠ABC.

Теорема 2

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Пусть известно, что один угол треугольника больше другого, докажем тогда, что напротив большего угла лежит большая сторона. Пусть не так: пусть либо стороны равны, либо напротив большего угла лежит меньшая сторона.

Если равны, то треугольник равнобедренный, углы при основании равны, а у нас они связаны неравенством. Плохо.

Если напротив большего угла лежит меньшая сторона, то применим теорему 1. Получается, что углы должны быть связаны другим неравенством. Тоже плохо…

Пример 1.

Докажите, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.

Сторона, лежащая против прямого угла - гипотенуза. Остальные углы острые, значит, стороны, лежащие против них (катеты), меньше неё.

Пример 2.

Докажите, что высота треугольника ABC, проведенная из вершины A, не может быть больше стороны AB.

Пример 3

Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

Если треугольник прямоугольный, то две его высоты совпадают с катетами, а одна меньше соответствующей стороны. Тогда сумма длин высот меньше суммы длин сторон (периметра треугольника).

Если треугольник остроугольный или тупоугольный, то длина каждой его высоты меньше длины соответствующей стороны, а значит, сумма длин высот меньше суммы длин сторон.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 19: 2.2, 4.2, 5.1, 5.2, 6.1

Рекомендуемые тесты:

Б.Г.Зив «Задачи к урокам геометрии 7-11 классы», 7класс (в более поздних изданиях «параграфы» превратились в С9, первая цифра – в вариант, вторая цифра – в номер задачи.)

Параграф 19: 5.1, 5.2, 6.1
Урок 18. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение в координатах

Пусть нам даны два вектора . Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы и , равные данным. Полученный угол АОВ будет являться углом между векторами .

Угол между век­то­ра­ми не за­ви­сит от вы­бо­ра точки, от ко­то­рой от­кла­ды­ва­ют­ся дан­ные век­то­ры. Для обозначения угла между векторами используют специальное обозначение: .

Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба вектора – нулевые, то угол между ними равен 0: если , то , если =, то .

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90.

, т.к. .

Мы знаем, как выполнять сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами – скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

=

Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен, косинус угла между векторами равен 0. Поэтому скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0: если , то = = 0

Верно и обратное утверждение: если скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, то эти векторы перпендикулярны: если = 0, то = 0, тогда = 0.

Следовательно, , т.е. .

Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение

– скалярный квадрат вектора .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: = = = = = .

Скалярное произведение векторов встречается и в физике. Работа постоянной силы при перемещении тела из точки К в точку М равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними. То есть работы силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения.

A =

A =
Урок 17. Решение треугольников. Измерительные работы
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля

Решение треугольников. Измерительные работы

Элементами треугольника являются его стороны и углы.

Решить треугольник – это найти его неизвестные элементы, по каким-нибудь трём данным элементам.

Решим треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Дано: a, b, C

Найти: с, А, B

Зная две стороны и угол между ними, по теореме косинусов можно найти третью сторону треугольника.

Решение.

1) c2 =

с =

Запишем теорему косинуса для одной из известных сторон и выразим из этой формулы косинус противолежащего угла.

2) a2 =

=

А находим по таблице или с помощью калькулятора.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180, можно вычислить третий угол.

3) В = 180 АС.

Решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дано: с,А, B

Найти: b, C

Решение.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180, вычислим третий угол.

1)C = 180 АВ.

Запишем теорему синусов данного треугольника и выразим неизвестные стороны треугольника.

2) ;

Решение треугольника по трём сторонам.

Дано: b, с

Найти:А, B, C

Решение.

Чтобы найти неизвестный угол треугольника, воспользуемся теоремой косинусов.

Вычислив косинус угла, сам угол находим по таблице или с помощью калькулятора.

1) a2 =

=

А находим по таблице или с помощью калькулятора.

Так же, с помощью теоремы косинусов, найдём величину другого угла.

2) b2 =

=

B находим по таблице или с помощью калькулятора.

Для вычисления третьего угла воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника.

3) А +B + C = 180

C = 180 А B

С помощью тригонометрических формул можно определить высоту предмета, например, дерева.

Для этого отметим точку В на определённом расстоянии от точки Н, которая является основанием дерева, и измерим угол АВН. Из прямоугольного треугольника АВН, найдём высоту дерева.

Н

AH = a tg

Если основание дерева недоступно, то на прямой, проходящей через основание дерева – точку Н, отметим точки В и С на определённом расстоянии друг от друга. Измерим углы АВН и АСН. Решим треугольник АВС: найдём величину угла А и длину АВ.

В A=

=, тогда =.

AB = .

Из прямоугольного треугольника АВН найдём высоту дерева – длину отрезка АН.

В : AH = AB.

Следовательно, AH =.

Предположим, что нам нужно найти расстояние от точки А до недоступного объекта С.

Выберем точку В и измерим длину отрезка АВ.

Измерим углы А и В, это можно сделать с помощью астролябии.

Зная сторону АВ треугольника АВС и значение двух углов, прилежащих к этой стороне, можно найти длину отрезка АС.

C=

2) =;

AC=
Урок 16. Теорема косинусов
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля

Теорема косинусов

Мы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы. Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста градусов). Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен девяноста градусам). Тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол тупой (то есть больше девяноста градусов).

Сформулируем и докажем теорему косинусов, которая даст нам возможность находить длину стороны треугольника, если известны две другие его стороны и угол между ними и определять вид треугольника, зная длины его сторон.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними: а2 = b2 + c2 2bc cos A

Введём систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Ах, а точка С имела положительную ординату.

В этой системе координат определим координаты точек А, В и С. Выразим квадрат расстояния между точками В и С через их координаты:

ВС2 = , a2 =

Раскроем скобки и преобразуем получившееся выражение:

a2 =

a2 =

a2 =

a2 =

a2 =

Эта тео­ре­ма спра­вед­ли­ва для всех сто­рон тре­уголь­ни­ка:

b2 =

c2 = .

Теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора, так как теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Запишем теорему косинусов для гипотенузы прямоугольного треугольника:

c2 =

,

c2 =

То есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Зная три стороны треугольника, можно найти косинусы его углов, а значит, и сами углы.

a2 = ,

= a2,

= .

Если

Если

Если

Таким образом, определив знак косинуса большего угла треугольника с заданными сторонами, мы можем определить вид данного треугольника.
Свойство равнобедренного треугольника.  Третий признак равенства треугольников.
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: доказательство третьего признака равенства треугольников.

Здравствуйте! Неужели нам всегда необходимо знать что-то про углы треугольников для того, чтобы уяснить для себя их равенство? Оказывается, нет!

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Давайте попробуем доказать это утверждение. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1, BС = B1 C1. Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Совместим треугольники так, что B = B1, C = C1, A и A1 лежат в разных полуплоскостях от BC.

Заметим, что если С лежит на AA1, то мы победили, так как у нас есть равнобедренный треугольник, который медиана разбивает на два равных треугольника.

Тогда точка С может быть снаружи или внутри треугольника ABA1.

Пусть снаружи:

Получаем, что треугольники ABA1 и ACC1 равнобедренные, а значит BAA1 = BA1A, CAA1 = CA1A, а тогда CAB = CA1B как сумма мер равных углов. А значит, по первому признаку равенства треугольников, ABC=A1B1C1.

Пусть внутри:

Получаем, что треугольники ABA1 и ACC1 равнобедренные, а значит BAA1 = BA1A, CAA1 = CA1A, а тогда CAB = CA1B как разность мер равных углов. А значит, по первому признаку равенства треугольников, ABC = A1B1C1.

Таким образом, мы доказали третий признак равенства треугольников!

Давайте немедленно попробуем убедиться, насколько полезно данное утверждение.

Пример 1.

На АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Найти угол D.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС – общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.

Пример 2.

Треугольники ABC‍ и ABC‍1 – равнобедренные с общим основанием AB.‍ Докажите равенство треугольников ACC‍1‍ и BCC‍1.‍

AC = BC‍ и AC‍1 = BC‍1‍ как боковые стороны равнобедренных треугольников, CC‍1 – общая сторона треугольников ACC‍1‍ и BCC‍1.‍ Поэтому они равны по трём сторонам.

Подведём итог урока: мы с вами сегодня доказали, что, имея информацию только лишь о сторонах треугольника, можно выносить суждение о равенстве треугольников, тем самым получая всё же информацию про углы!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Рекомендованные тесты: