Погрешность измерений
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления связи между целым и его частью, разработать с учащимися методы нахождения части от числа и числа по его части, а также с использованием этих методов при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята. Познакомимся сегодня с некоторыми характерными особенностями любых измерений.

Измерение - это нахождение числового значения величины опытным путем с помощью средств измерений (линейкой мы меряем длину, транспортиром - величину угла, температуру - градусником, время — секундомером или часами и другое).

Рассмотрим пример измерения: Сколько см длина этой ручки? Для измерения необходимо приложить ручку к линейке и совместить конец ручки с началом отсчета точкой 0 на линейке. Но при этом измерения будут не идеально точными. Мы говорим - приблизительные измерения.

«Да ты вымахал сантиметров на 5!» - воскликнула бабушка, увидев Мишу после годовой разлуки.- «Дай-ка я померяю тебя, подойди к косяку двери» . Получилось 163 см 7 мм. «Значит, год назад во мне было 158 см 7 мм», - подумал Миша. Прав ли он? Бабушкины слова о 5 см были не точными, а приближенными, поэтому и говорить о том, что рост был 158, 7 не верно.

Рассмотрим еще один пример измерения деревянного бруска с помощью линейки.

Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину 22 мм. Ширина интервала «неизвестности» составляет 1мм, те есть равна цене деления. Если мы заменим линейку более чувствительным прибором, например штангенциркулем, это снизит этот интервал, что приведет к повышению точности измерения.

Но все равно измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность в измерении характеризуется погрешностью - отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения.

Погрешность - это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность сопровождает все измерения происходит по многим причинам: несовершенство метода, средства измерения, условия измерения, действий измеряющего.

Для установления точности существуют методы оценки погрешностей измерения.

Для количественной оценки качества измерений вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.

Абсолютной погрешностью измерения называется модуль разности между измеренным значения величины и ее истинным значением.

Для примера, в школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 - 197 |= 3. Абсолютная погрешность приближенного значения - это модуль разности точного значения и приближенного значения.

Если при измерении тетрадного листа мы получили 20,5см, а в тетраде написано, что он 20,7 см, то абсолютная погрешность наших измерений будет | 20,5 — 20,7 | = 0,2 см.

Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.

Часто бывает так, что точное значение не всегда можно найти, а, следовательно и абсолютную погрешность не всегда возможно найти.

Например, если мы будем вычислять расстояние между двумя точками с помощью линейки, или значение угла между двумя прямыми с помощью транспортира, то мы получим приближенные значения. А вот точное значение вычислить невозможно. В данном случае, мы можем указать такое число, больше которого значение абсолютной погрешности быть не может.

В примере с линейкой это будет 0,1 см, так как цена деления на линейке 1 миллиметр. В примере для транспортира 1 градус потому, что шкала транспортира проградуирована через каждый градус. Таким образом, значения абсолютной погрешности в первом случае 0,1, а во втором случае 1.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 секунд.

Или запись T=2,8 ± 0,1 означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 секунд до 2,9 секунд.

Когда мы говорим, что погрешность наших вычислений составляет 1 см, как понять много это или мало? Если мы измеряем длину пенала или спичечного коробка, то наверное много, а если расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга, или от Земли до Луны, то очень очень мало... Но есть и другие возможности сравнить точность измерений с помощью погрешностей.

Давайте рассмотрим два измерения: Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0,1/29,7 *100% = 0,33% измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Здесь для оценки качества приближения вводится новое понятие относительная погрешность. Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины.

Обычно, относительную погрешность выражают в процентах. В нашем примере мы получили две относительных погрешности равные 0.33% и 0.15%.

Заметим, что относительная погрешность величина всегда положительная. Так как абсолютная погрешность — модуль — всегда положительная величина, и мы делим её на модуль — положительную величину.

Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. Во время научных исследований и во время физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента.

Давайте остановимся еще на одном важном моменте. Иван на глазок прикинул, что длина прямоугольника – порядка 1 м. Сергей с помощью линейки измерила ширину прямоугольника и получила величину 33 см 5 мм. Что можно сказать о периметре этого прямоугольника? (Она приблизительно равна 2 м 67 см). Нужно ли было Саше измерять длину линейкой или достаточно было тоже прикинуть? (Если одно из измерений выполнено приблизительно, то смысла в точном втором уже нет, можно было тоже прикинуть на глаз, он мог бы сказать, что примерно 30 см, тогда величина периметра была бы 2 м 60 см, а если примерно 35, то 2 м 70 см). Однако, если говорить о математике или физике, как серьезной науке, то надо было бы вооружить Ивана линейкой и попрость его тоже измерить длину прямоугольника по линейке, чтобы периметр можно было бы посчитать точнее.

Вывод:

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Бывает абсолютной и относительной. Записывается абсолютная погрешность обычно с помощью знака ± : 47,5 ± 0,1. А относительная погрешность выражается в процентах.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Измерьте длину своего шага, в шагах сосчитайте длину и ширину комнаты. Найдите периметр комнаты, площадь комнаты.

2. Измерьте длину и ширину своей комнаты с помощью линейки. Найдите периметр и площадь своей комнаты.

3. Сравните измерения и вычисления в шагах и по линейке.

4. Найдите относительную и абсолютную погрешности измерений

5. Запишите в формате а ± b свои измерения.

Рекомендуемые тесты:

1. Измерьте длину своего шага, в шагах сосчитайте длину и ширину комнаты. Найдите площадь комнаты.

2. Измерьте длину и ширину своей комнаты с помощью линейки. Найдите площадь своей комнаты.

3. Сравните измерения и вычисления в шагах и по линейке.

4. Найдите относительную и абсолютную погрешности измерений

5. Запишите в формате а ± b свои измерения.