Формула разности квадратов
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомиться и изучить формулу разности квадратов.

Всем привет!

Давайте, проверим ваше умение считать! Сколько будет 89 ⋅ 91? Или 48 ⋅ 52? Только без калькуляторов. Посчитали сходу? Оказывается, это можно сделать. А вот как, узнаем далее.

Сегодня мы с вами будем говорить о такой формуле как разность квадратов. Вообще, что такое формула? С понятием формулы, я думаю, вы знакомы: например, вы знаете формулу S = V ⋅ t, где S – расстояние, V – скорость, t – время. В чём суть этой записи: если мы подставим вместо букв S и t конкретные х-значения, то мы найдём расстояние.

Рассмотрим выражение (х – у)(х + у,) раскроем скобки и приведём подобные:

(х – у)(х + у) = х2 – ху + ху – у2 = х2 – у2

Уберём промежуточное действие и получим:

(х – у)(х + у) = х2 – у2 или х2 – у2 = (х – у)(х + у)

Вот это и называется формулой разности квадратов.

Почему разность квадрата, думаю, вы уже поняли, потому что мы из х2 вычитаем у2. Из одного квадрата вычитается другой квадрат. Суть этой формулы в том, что какие числа вы бы не подставили вместо х и у, у вас всё равно получится верное равенство.

Пример 1:

Подставим в формулу х2 – у2 = (х – у)(х + у) вместо х = 25, у = 15, получим:

252 – 152 = (25 – 15)(25 + 15) = 400

Это гораздо легче, чем сначала 25 возвести в квадрат, затем 15 в квадрат и ещё произвести вычитание.

Пример 2:

1752 – 752 = (175 – 75)(175+ 75) = 100 ⋅ 250 = 25 000

Согласитесь, в этом примере уж точно легче воспользоваться формулой разности квадратов, чем напрямую производить вычисления.

Пример 3:

Можно в качестве одного подставлять число, а другое оставлять буквой

х2 – 9 = (х – 3)(х + 3)

Т. е. с помощью формулы можно раскладывать на множители такого вида выражения.

Пример 4:

х6 – х2 = (х3)2 – х2 = (х3 – х)(х3 + х)

В этом примере мы выделили квадрат одного из множителей.

Так же данная формула работает и наоборот.

Пример 5:

(30 – 5)(30 + 5) = 302 – 52 = 900 – 25 = 875

Вернёмся к тем примерам, которые были у нас в самом начале

89 ⋅ 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 902 –12 = 8100 – 1 = 8099

Надеюсь, что многие уже догадались, что делать во втором примере

64 ⋅ 56 = (60 + 4)(60 – 4) = 602 – 42 = 3600 – 16 = 1584

Обратите внимание, что здесь всё-таки приходится поработать головой, чтобы понять, в виде какой суммы и разницы представить, чтобы получилась формула разности квадратов.

Пример 6:

(m – 4)(m + 4) = m2 – 42 = m2 – 16

Пример 7:

(3 + 2x)(2x - 3) = (2х – 3)(2х + 3) = (2х)2 – 32 = 4х2 – 9

Пример 7:

(0,5 ⋅ mn3 + 3b4) ⋅ (0,5 ⋅ mn3 – 3b4) = (0,5 ⋅ mn3)2 – (3b4)2 = 0,25m2n6 – 9b8

Пример 8:

В этом примере применим формулу два раза

(х – у)(у + х)(х2 + у2) = (х – у)(х + у)(х2 + у2) = (х2 – у2)( х2 + у2) = х4 – у4

Пример 9:

x2=25

x2–25=0

(x–5)(x+5)=0

x=5; x= –5

Подведём итог нашего урока. Сегодня мы сделали огромный скачок по царству алгебры. Мы с вами прошли целую огромную и очень важную формулу, формулу разности квадратов. На самом деле, это только первая формула из так называемых формул сокращённого умножения, которые мы будем проходить в дальнейшем.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 28, № 28.20; 28.22; 28.26.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 28, № 28.39; 28.41; 28.43.