Способ группировки
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: познакомиться с другими способами разложения многочлена на множители.

Всем привет!

Мы с вами научились выносить общий множитель за скобку, если в выражении встречается одно и то же слагаемое или один и тот же множитель, то по распределительному закону мы его можем вынести за скобку. Но не всегда бывает так хорошо, что во всех слагаемых есть общий множитель. В такой ситуации общий множитель можно заработать с помощью метода группировки. Об этом мы сегодня и поговорим.

Начнём с примеров.

Разложить на множители:

Пример1:

b(a + c) + 2a + 2c

Сгруппируем 2a + 2c, далее у них вынесем общий множитель 2, а далее вынесем общий множитель у всего выражения.

b(a + c) + 2a + 2c = b(a + c) +(2a + 2c) = b(a + c) + 2(a + c) = (a + c)(b +2)

Пример 2:

na + nb + 5a + 5b

Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым, в полученных скобках вынесем общий множитель, а далее найдём общий множитель у всего выражения.

na + nb + 5a + 5b = (na + nb) + (5a + 5b) = n(a + b) + 5(a + b) = (a + b)(n + 5)

В этом примере мы могли бы сделать другую группировку, т. е. первый с третьим, второй с четвёртым, получаем

na + nb + 5a + 5b = (na + 5a) + (nb + 5b) = a(n + 5) + b(n + 5) = (n + 5)(a + b)

Результат один и тот же.

Пример 3:

10a + by + 10b + ay

Сгруппируем первое с третьим, а второе с четвёртым, имеем

10a + by + 10b + ay = (10a + 10b) + (by + ay) = 10(a + b) + y(b + a) = 10(a + b) + y(a + b) = (a + b)(10 + y)

Пример 4:

pq – x – px + q

Сгруппируем первое слагаемое с третьим слагаемым, а второе с четвёртым

pq – x – px + q = (pq – px) + (q – x) = p(q – x) + (q – x) ⋅ 1 = (q – x)(p + 1)

Пример 5:

х4 + 3х3 – х – 3

Группировать можно по-разному, давайте я сгруппирую первое со вторым, третье с четвёртым

х4 + 3х3 – х – 3 = (х4 + 3х3) – ( х + 3) = х3(х + 3) – (х + 3) ⋅ 1 = (х3 - 1)(х + 3)

Пример 6:

m3n – 2m3 + mn – 2m

Группируем первое со вторым, третье с четвёртым

m3n – 2m3 + mn – 2m = (m3n – 2m3) + (mn – 2m) = m3(n – 2) + m(n – 2) = (n – 2)(m3 + m) = m(n – 2)(m2 + 1)

На примерах мы с вами увидели, как с помощью того, что мы сгруппировать первое слагаемое со вторым, а третье, к примеру, с четвёртым, получить некий общий множитель, который потом выносится за скобку. Вот такой метод называется группировка.

Суть метода в том, чтобы сгруппировать по парам ваше выражение и затем вынести общий множитель за скобки.

Разберём более сложные примеры.

Пример 7:

х2 – 5х + 6

Дано такое выражение, которое сходу группировкой не раскладывается на множители, в данном случае дан нам трёхчлен, т. е. выражение, состоящее из трёх слагаемых, а для группировки нужны пары. Идея, которую я вам сейчас покажу, называется «расщеплением»:

х2 – 5х + 6 = х2 – 2х – 3х + 6 = (х2 – 2х) – (3х – 6) = х(х – 2) – 3(х – 2) = (х – 2)(х – 3)

Пример 8:

х2 – х – 30 = х2 – 6х + 5х – 30 = (х2 –6 х) + (5х – 30) = х(х – 6) + 5(х – 6) = (х – 6)(х + 5)

Обратите внимание: чтобы решить методом «расщепления», нужно догадаться, как это сделать. Здесь вам поможет опыт, метод проб и ошибок. А также обращайте внимание на последние слагаемые, ведь мы подбираем числа, которые являются их делителями.

Итак, подведём итоги нашего урока. Сегодня мы с вами поговорили о таком замечательном методе разложения многочлена на множители как группировка, выяснили, что это такое, а также познакомились с подметодом этого метода, «расщеплением», т. е. иногда нам не везёт, что можно сразу сгруппировать друг с другом, а нужно сначала «расщепить» то выражение, которое нам дано.

Урок окончен. Спасибо за внимание.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 32, № 32.4; 32.6; 32.10.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 32, № 32.19; 32.22; 32.23.