Геометрические и графические методы решения текстовых задач
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с графическим способом решения сложных задач на движение; научить решать текстовые задачи по алгебре, применяя графическое изображение условия задачи, научить заменять алгебраическое решение чисто геометрическим или интеграцией графического метода, метода подобия симметрии и метода уравнений и неравенств.

Здравствуйте! Это звучит парадоксально, но целый ряд текстовых задач можно решать геометрическими и графическими методами. Более того, бывают случаи, когда такие методы решения гораздо эффективнее алгебраических! Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Задача о туристе.

Турист отправился с одной турбазы на другую, удалённую от 1-й на 34 км. Первые 4 часа он шёл со скоростью 4км/ч, потом сделал двухчасовой привал, и оставшийся путь проделал, увеличив первоначальную скорость в полтора раза. Сколько времени турист добирался от одной базы до другой?

Решение.

Решим задачу графически. Рассмотрим график S(t).

На 1-м участке пути движение описывается формулой S=4t. Двухчасовой привал S=16.

На 2-м участке пути движение описывается формулой S=6(t-6)+16. Наконец, 2-я турбаза: S=34.

Турист достигнет цели, когда график его движения пересечётся с графиком неподвижной 2-й турбазы. В этой точке t=9.

Ответ: 9 часов.

Пример 2. Задача об автомобилях.

На одном из прошлых уроков мы решали такую задачу:

Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал 1-ый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч 2-ой автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.

Решим задачу теперь графически. Рассмотрим график S(t).

Движение 1-го автомобиля описывается формулой S=50t.

Движение 2-го автомобиля описывается формулой S=750–70(t-3).

Автомобили встретятся в точке пересечения графиков.

В этой точке t=8, а S=400.

Ответ: 400 км.

Пример 3. Задача о морже.

Один любитель круглогодичного купания каждый день по пути из дома на работу купается в реке. Дом и работа расположены на одном берегу реки, которую можно считать прямолинейной и пригодной для купания в любом месте. В какой точке нашему моржу выгоднее купаться, чтобы минимизировать путь от дома до работы?

Решение.

Посмотрим на картинку. Казалось бы вариантов бесконечно много.

А теперь отобразим работу симметрично относительно берега реки. Понятно, что реальный путь можно заменить равным ему условным движением по отражённому участку.

В этом случае отрезок короче любой ломаной, и ответ очевиден.

Пример 4. Бильярдная задача.

Предположим, на бильярде у левого борта расположен 1-ый шар, а у правого 2-й, и нужно 1-м шаром попасть по 2-му рикошетом от дальнего борта. В какую точку дальнего борта следует нанести удар?

Эта задача похожа на задачу о морже и логика решения та же.

Решение.

Посмотрим на картинку. Мы уже знаем идею отражения.

Применим её и найдём нужную точку. Зачем же нам 2 однотипные задачи? А вот зачем: если у нас размеры бильярдного стола и координаты шаров заданы, то мы можем составить план графического решения задачи.

Графическое решение.

Пусть на бильярде 240х100см левый шар расположен в 60 см от ближнего борта, а правый – в 80см.

Тогда координаты 1-го шара (0;60), 2-го (210;80), отражения 2-го – (210;120).

Уравнение прямой, проходящей через 1-й шар и отражение 2-го: у=60+0,25х, а дальнего борта у=100. Соответственно, прямая и дальний борт пересекаются в точке (160; 100)

Значит, надо бить в точку, удалённую на 160 см от левого борта или на 80 см – от правого.

Подведём итоги. Оказывается, текстовые задачи можно решать не только алгебраически! Таким образом, в арсенале Ваших методов появилось новое грозное оружие. Удачного применения!

Рекомендуемые тренажеры

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: № 290а, (Ответ: 2,5л), № 293а, (Ответ: 30м; 70м; 160м), № 358б, (Ответ: 3ч20мин)

Рекомендуемые тесты

Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 240 с.: № 1177, (Ответ: 6 и 2ч), № 1178, (Ответ: 3 и 2ч)

Пусть на бильярде 2х1,5м 1-й шар расположен у левого борта в 75 см от ближнего борта, а 2-й – у ближнего борта в 60 см от левого. На каком расстоянии от левого борта должна находиться точка дальнего борта, чтобы рикошетом от неё попасть 1-м шаром по 2-му? (Ответ: 20см)