Степень с натуральным показателем
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цель урока: ввести понятия «степень с натуральным показателем»,«степень», «показатель степени», «основание степени».

Предметные результаты: формирование умения представлять произведение чисел в виде степени и наоборот; находить значение квадрата и куба числа, применять полученные знания при выполнении сравнения дробей.

Метапредметные и личностные результаты: развитие умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие внимания.

Определение:

Степень с натуральным показателем – это произведение нескольких одинаковых сомножителей.

Количество сомножителей записывается «сверху» от того, чему они равны.

Примеры:

1) Если мы одно и то же число «а» умножаем само на себя, например, два раза, то это записывается как «а» и «2» наверху:

a * a =a2, читается эта запись, как «а» во второй степени.

2) Если мы записываем три сомножителя, равных «а», то получаем:

a * a * a=a3, читается, как «а» в третьей степени.

3) Если мы записываем четыре сомножителя равных «а», то получаем:

a * a * a * a =a4, читается, как «а» в четвертой степени.

Определение:

Произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен «a», записывают в виде an (читается «а в степени n»). Такую запись называют степенью числа а с показателем n.

Отдельно считают, что «a» в первой степени равно «а». То есть первая степень числа – это оно само.

В записи an число «а» называют основанием степени, а число «n» называют показателем степени.

Пример:

1) 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35

здесь пять цифр «3», поэтому получается 3 в степени «пять» (или «три в пятой степени»).

2) Давайте вычислим два в шестой степени.

Что такое два в шестой степени? Это произведение шести двоек.

Если мы перемножим первые две из них, то получим – 4, домножим на 2, получим – 8, умножим еще на 2, получим - 16, умножим на 2, получим - 32 и, наконец, умножим на 2 и получим - 64.

Вот этапы вычисления этого произведения. Итак, два в шестой – это 64.

Для прочтения степеней с показателями 2 и 3 существует отдельное правило:

«а» во второй степени может быть произнесено, как «а в квадрате» или «а квадрат»

«а» в третьей степени может быть произнесено, как «а в кубе» или просто «а куб»

Понятно, с чем это связано.

Ведь «а» умножить на «а» - это площадь квадрата со стороной «а», поэтому говорят «а в квадрате» или «а квадрат».

А что такое «а» умножить на «а» умножить на «а»? Это объем куба, сторона которого равна «а», поэтому называют «а в кубе» или просто «а куб».

Современная запись степени, которую мы рассмотрели, впервые была введена выдающимся французским ученом Рене Декартом.

Рассмотрим свойства степени с натуральным показателем:

Примеры:

Если в выражении появляются степени, их вычисление производится самым первым (затем умножения и деления, затем сложения и вычитания), если нет скобок.

Таким образом, возведение в степень – это действие более высокой ступени, чем умножение и деление, сложение и вычитание.

Например, вычислим такого выражения:

Здесь скобок не стоит. Вначале вычисляем степени.

После того, как мы вычислили степени, производим умножение.

Наконец, последнее действие – сложение.

Окончательный ответ – 103.