Системы счисления. Часть 1
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цели и задачи урока: познакомиться с историей появления систем счисления, узнать принципы построения различных систем счисления и области их использования, получить необходимые навыки командной работы с различными источниками информации.

Предметные результаты: показать учащимся методы интеграции знаний из различных источников, создать условия для продуктивной работы в группах.

Метапредметные и личностные результаты: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, сравнивать и анализировать информацию, делать выводы на основе полученной информации.

Обратимся ещё раз к системам счисления. Мы уже говорили, что они бывают позиционные и непозиционные, рассмотрели некоторые из них.

Сейчас рассмотрим другие позиционные системы счисления, но с другим основанием системы счисления.

Что имеется в виду?

Наша система называется десятичной, потому что её разрядные единицы — это степени числа 10.

1=100,

10=101

100=102

1000=103

10000=104

….

Каждая цифра означает то, сколько соответствующих разрядных единиц надо взять.

Пример:

2016=2∙103+0∙102+1∙101+6∙100.

А если число 10 заменить на какое-то другое? Например, на 8:

2∙83+0∙82+1∙81+6∙80=1024+8+6=1038.

Итак, можно записывать числа, располагая их по степеням 8.

Определение:

Такой способ записи называется системой счисления с основанием 8.

Если бы люди договорились, что употребляется система счисления с основанием 8, то запись 2016 означала бы число 1038 в нашей обычной десятичной системе.

А так приходится обозначать основание системы счисления внизу числа: 20168.

В системе счисления с основанием 16 цифр больше десяти, поэтому цифрами там являются обычные цифры 0, 1, …, 9 и обозначенные буквами A, B, C, D, E, F (чтобы не путать запись 10 в системе счисления с цифрой 10, которая там должна появиться).

210223=2∙34+1∙33+0∙32+2∙31+2∙30=162+27+6+2=197.

Запись 20387 является неверной, поскольку цифры меньше основания системы счисления.

Цифры в системе счисления с каким-то основанием всегда меньше, чем основание системы счисления. В частности, в семеричной системе счисления цифры могут быть только от нуля до шести.

В Вавилоне применялась система счисления с основанием 60.

Следами Вавилонской системы счисления является деление часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.

Пример:

В какой системе счисления верно равенство 7∙8=51?

Решение:

Заметим, что основание системы счисления в данном случае должно быть больше 8, то есть 9 и больше.

На конце числа 51 стоит 1, значит 5610=5∙а+1, значит, а=11.

Ответ: основание системы счисления равно 11.

Особое значение имеет система счисления с основанием 2 (двоичная система).

В ней всего две цифры 0 и 1.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. а) Запишите число 2390 в системе счисления с основанием 2;

б) Запишите в десятичной системе число 10010102.

2. Запишите число 2390 в системе счисления с основанием 8. В полученной записи замените каждую восьмеричную цифру ее двоичной записью (вместо 7 напишите 111, вместо 6 -- 110, вместо 5 -- 101 и т.д., вместо 3 -- 011, вместо 2 -- 010, вместо 1 -- 001, вместо 0 -- 000). Что заметили?

Объясните полученный результат.

3. Запишите 43526 в системе счисления с основанием 7.

(из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.) Параграф «дополнения к главе 1.2», Задание: 306.

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.) Параграф «дополнения к главе 1.2», Задание: 307.