Рациональное вычисление значений арифметических выражений с применением деления, как алгебраического умножения. Часть 1 (теория)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления взаимно обратных чисел, разработать с учащимися правила вычисления примеров рациональными методами, а также использовать эти методы при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята.

Сегодня мы поговорим с вами о делении, как действии обратном умножению.

На прошлом уроке мы сказали, что деление — это операция, обратная умножению: нахождение одного из сомножителей (частного) по произведению (делимому) и второму сомножителю (делителю).

С другой стороны, операцию деления можно рассматривать как умножение делимого на величину, обратную делителю.
Именно это и пригодится нам сегодня для решения различных примеров более рациональным способом.

Начнем с того, что вспомним о взаимно обратных числах. 2/3 и 3/2, 7/12 и 12/7, -2/5 и -5/2. Это все примеры таких чисел.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
2/3 * 3/2 = 1,
7/12 *12/7 =1,
-2/5 * (-5/2) = 1.

Давайте найдем несколько взаимно обратных чисел:
7/10 и 10/7,
3 1/6 и 6/19,
4/11 и 11/4,
1 7/9 и 9/16.

Каждый раз мы можем убедиться в том, что произведение взаимно обратных чисел равно 1.

Задача 1.
Найти значение выражения:
5/11 : 3/7 :7/3 = 5/11 * 7/3 *3/7 = 5/11 * (7/3 *3/7 ) = 5/11 * 1= 5/11.
То есть получается, что если число х разделить на а, а потом на число обратное а, то получится опять х.
48 : ½ : 2= 48, потому что 48 * 2 * ½ = 48 *1 = 48
14 : 3 : 1/3 = 14, потому что 14 *1/3 *3 = 14* 1= 14.
А вот такой пример: 37 : 3 2/5 : 5/17 =
Сможете ли вы поверить, что его возможно вычислить за секунды, устно?
37 : 3 2/5 : 5/17 = 37, потому что 3 2/5 = 17/5 и значит является взаимно обратным числу 5/17, то есть мы делим на число и на ему обратное число, значит умножаем два взаимно обратных числа и значит получаем в произведении этих чисел 1, 37*1=37.
Попробуйте дать ответ: 5 : 3/13 : 4 1/3 =
Действительно, 5 : 3/13 : 4 1/3 = 5, потому что 4 1/3 = 13/3 и является взаимно обратным для числа 3/13.
Получаем Правило 1. При делении числа х, на число а и на обратное к числу а, получаем число х.
Мы показали это, заменив деление на умножение, а умножение двух взаимно обратных чисел дает в результате 1, поэтому и остается в ответе само число х.

Задача 2.
Решите уравнение:
¾ х = 2 , мы все помним правило нахождения неизвестного множителя - чтобы найти неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель. То есть для решения этого уравнения надо 2 разделить на ¾, а значит по правилу деления — умножить на число обратное, на 4/3. А что, если я сразу заменю деление на умножение на обратное число.
¾ х =2,
х = 2*4/3,
х=8/3,
х=2 2/3.
Давайте попробуем еще раз вместе. Решим уравнение 2/5 х= 4/5,
х = 4/5 * 5/2,
х= 2.
А теперь попробуйте сами 1 3/7 х = 3, получили ответ, проверяем, обратным к числу 1 3/7 = (1*7+3)/7 = 10/7 является число 7/10, значит надо 3*7/10,
х = 3 *7/10,
х = 21/10,
х =2 1/10 или х=2,1.
Получаем Правило 2. Для нахождения неизвестного множителя надо умножить произведение на число обратное известному множителю.

Задача 3.
Вася нарвал в лесу много орехов. По дороге домой он встретил одного за другим четырех своих друзей. Каждому он отдавал половину имеющихся у него орехов. Домой он принес 10 орехов. Сколько орехов нарвал в лесу Вася? (Может быть картинку с корзинкой, в которой орехи сначала большой горкой, потом поменьше, потом еще поменьше???)
Такие задачи иногда называют задачами на «обратный ход». Потому что решать мы ее будем с конца, двигаясь к началу, то есть в обратную сторону.
Найдем первоначальное количество орехов «обратным ходом» с помощью рисунка. Это стрелочки из одного в другое.

Получаем выражение ((((10*2)*2)*2)*2) = 160 (орехов).

Подумайте еще над одной задачей. В озере растут кувшинки. За сутки каждая кувшинка делится пополам, и вместо одной кувшинки появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся кувшинок делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось кувшинками. Через какое время озеро было заполнено наполовину? (Можно было бы нарисовать картинку, озеро, на нем одна кувшинка, потом 2, потом 4, а потом все заполнено кувшинками)
Действительно, вернемся на один день назад. Каждая кувшинка разделилась на две и получилось полностью заполненное озеро, значит день назад озеро было заполнено наполовину, то есть верный ответ через 29 дней.

Часто методом «обратный ход» решают задачи относительно задуманных чисел. Например, Аня задумала число, разделила его на 3, потом разделила на 2 и получила 5. Какое число задумала Аня?
Выполняем Анины действия в обратном порядке, заменяя деление умножением, получаем:
( 5 * 2) * 3 = 30.

Правило 3. Так как умножение и деление являются действиями обратными друг другу, то для решения задач можно заменить одно на другое двигаясь в задаче от конца к началу условия.

Таким образом, мы с вами убедились сегодня в том, что в примерах на деление можно умножать, что гораздо проще. На следующем уроке мы посмотрим более сложные примеры.