Решение задач на доказательство неравенств. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока:

Развивать основные умения по доказательству неравенств по основному алгоритму; развивать внимание; логическое мышление;

Воспитывать у учащихся познавательную активность, самостоятельность, интерес к предмету.

Сегодня мы продолжим тему доказательства неравенств. Напомним, что число а считается большим числа b, если разностьa– b является положительным числом. Число а считается меньшим числа b, если разность a – b является отрицательным числом.

Мы уже рассмотрели некоторые свойства неравенств, попробуем их доказать!
1. Если a> b, то b< a.
Доказательство: Действительно, если разность a – b положительное число, то b – a отрицательное число, так и получается: так как по условию a> b, то a – b > 0, значит b – a < 0, а это значит, что b< a.
2. Если a < b, b < c , то a < c.
Доказательство: Докажем, что разность а – с отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и –b и сгруппируем слагаемые. Помним о том, что при перестановке слагаемых сумма не меняется.
а – c = а – c + b – b = a – b + b – c = (a – b) + (b – c)
По условию a< b и b< c, поэтому разности (a – b) и (b – c) – отрицательные числа. Значит и их сумма является отрицательным числом. Следовательно:
а – c = а – c + b – b = a – b + b – c = (a – b) + (b – c) < 0, значит a< c.
Обратите внимание на то, что доказанное для одного знака будет справедливо и для другого знака. То есть 1' будет звучать так: если a< b, то b> a. А 2' будет выглядеть так: если a> b, b> c , то a> c. Попробуйте доказать самостоятельно.
Давайте сформулируем другие, ещё не рассмотренные ранее свойства неравенств и докажем их. Будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств.
Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a < b и c – любое число, то a + c < b + c. Наряду с ним будут справедливы и такие свойства:

Если a > b, то a + c > b + c;

Если a ≤ b, то a + c ≤ b + c;

Если a ≥ b, то a + c ≥ b + c.

Итак, 3. Свойство сложения.
Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства даёт верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a < b, то для любого числа c справедливо неравенство a + c < b + c. Например, 5 < 7, 5 + 3 < 7 + 3, так как, действительно, 8 < 10. Можем проиллюстрировать это свойство с помощью координатной прямой:

Докажем, что если а > b и c – некоторое число, то a + c> b+ c.
Для доказательства рассмотрим разность двух сумм (a + c) и (b + c), (a + c) – (b + c) = a + c – b – c = a – b , так как a по условию больше b, то разность a – b > 0, значит и разность (a + c) – (b + c) > 0, значит a + c > b + c.
Сама запись доказательства неравенства будет такая:
Дано: а > b
Доказать: a + c > b + c
Доказательство: рассмотрим разность двух сумм (a + c) и (b + c), (a + c) – (b + c) = a + c – b – c = a – b, так как a по условию больше b, то разность a – b > 0, значит и разность (a + c) – (b + c) > 0, значит a + c > b + c. Что и требовалось доказать.

4. Свойство умножения.

Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство.
Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c, и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство a < b и c – положительное число, то ac < bc, а если c – отрицательное число, то ac > bc.
Давайте рассмотрим несколько примеров: 5 < 7, 5 2 и 7 2, получаем 10 и 14, 10 < 14. Теперь с отрицательными числами –3 > –10, умножим обе части на 2, получим –6 > –20, это верное неравенство. Умножим на отрицательные числа, попробуйте сами: 6 < 10, умножим обе части на –3, получаем –18 и –30, но –18 больше, чем –30 (вспоминайте температуру: –18 теплее, вспоминайте координатную прямую: –18 расположено к нулю ближе, оно правее), то есть –18 > –30, знак неравенства изменился. Попробуем с отрицательными числами: –5 > –12, умножим на –2, получаем 10 и 24, 10 < 24, верное неравенство.
Но невозможно перебрать все числа, поэтому, как и в предыдущих случаях, попробуем доказать для любых чисел:
Дано: a < b и с – положительное число
Доказать: ac < bc
Доказательство:
Докажем это, рассмотрев разность ac и bc. ac – bc = выносим общий множитель с за скобки, воспользуемся распределительным законом умножения, получаем:
ac – bc = с(a – b), знаем, что с – положительное число, а разность (a – b) – отрицательное число, потому что a < b, произведение положительного числа на отрицательное даёт отрицательное число, значит ac – bc = с(a – b) < 0, значит ac < bc, что и требовалось доказать.
Рассмотрим случай, когда с – отрицательное число.
Дано: a < b и с – отрицательное число
Доказать: ac > bc
Доказательство:
Докажем это, рассмотрев разность ac и bc. ac – bc = выносим общий множитель с за скобки, воспользуемся распределительным законом умножения, получаем:
ac – bc = с(a – b), знаем, что с – отрицательное число, и разность (a – b) – отрицательное число, потому что a < b, произведение отрицательного числа на отрицательное даёт положительное число, значит ac – bc = с(a – b) > 0, значит ac > bc, что и требовалось доказать.
Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий.
Следствие 1. Если изменить знаки обеих частей числового неравенства и знак самого неравенства, то придём к верному неравенству, то есть, если a < b, то −a > −b. (Данное следствие соответствует умножению обеих частей числового равенства на минус единицу. Оно обычно используется для перехода от неравенств, в которых фигурируют отрицательные числа, к неравенствам с положительными числами. Например, если −7 <−1, то 7 > 1).
Давайте докажем, что это действительно так.
Дано: a < b
Доказать: −a > −b
Доказательство:
Рассмотрим разность чисел a и b, так как a < b (a меньше b), то a – b < 0, тогда b − a > 0.
Рассмотрим теперь разность чисел −a и −b, −a −(−b) = −a + b = b − a > 0 по условию, отсюда следует −a − (−b) > 0, значит −a > −b.
Что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если обе части числового равенства являются положительными числами, то, заменив их обратными им числами, и изменив знак неравенства на противоположный, будет получено верное числовое неравенство. То есть, если a и b – положительные числа, причём a < b, то 1/а > 1/b. (К последнему неравенству можно прийти, если обе части неравенства a < b разделить на положительное число a · b).
Приведём доказательство этого свойства.
Дано: a < b
Доказать: 1/а > 1/b
Доказательство:
Рассмотрим разность 1/a – 1/b = (b – a): ab. Так как а и b положительные числа, то и их произведение число положительно, значит, в знаменателе дроби стоит положительное число. Рассмотрим числитель. Так как по условию a < b, то a – b < 0, тогда b ? a > 0. То есть в числителе тоже положительное число. Но при делении положительного числа на положительное получается положительное число, значит 1/a – 1/b = (b – a): ab > 0, что означает, что первое число больше второго: 1/а > 1/b.

Почленное сложение.

Если для чисел a, b, c и d справедливы неравенства a < b и c < d, то верным является и числовое неравенство a + c < b + d.
Данное свойство числовых неравенств обычно формулируют в следующем виде: можно почленно складывать верные неравенства одного знака (под этим понимают, что все неравенства записаны с помощью одного знака, например, <, и под почленным сложением понимают сложение чисел, стоящих по одну сторону этого знака).
В качестве примера давайте рассмотрим два неравенства 3 > 1 и 7 > 5, сложим левую и правую части неравенств 3 + 7 и 1 + 5, получаем 10 и 6, 10 > 6, это верное равенство.
Дано: a < b и c < d
Доказать: a + c < b + d
Доказательство:
Рассмотрим разность левой и правой части неравенства а + c < b + d. Получаем (a + c) – (b + d) = от перестановки слагаемых сумма не изменяется, перегруппируем = a + c – b – d = a – b + c – d = (a – b) + (c – d). По условию (a – b) и (c – d) отрицательные числа, так как a меньше b и c меньше d. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, значит (a + c) – (b + d) < 0, что означает, что a + c < b + d.

Главное, что надо запомнить, для доказательства неравенства необходимо:

Составить разность левой и правой части неравенства;

Преобразовать её;

Определить знак разности;

Сделать обоснованный вывод.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Если a < b и c – любое число, то, что больше: а + с или b + c?

Если a < b и c – отрицательное число, то, что больше: ас или bс?

Какой знак следует поставить между выражениями а + с и b + d, если a < b и c < d?

Рекомендуемые тесты:

Как фехтовальщик россиянин сильней, чем француз, а белорус сильней, чем бразилец. Какая пара победит в схватке, если будут драться пара на пару: россиянин и белорус против француза и бразильца?

Если числа а, b, c, d положительные и a < b, c < d, то какой знак нужно поставить между произведениями ac и bd?