Решение задач на доказательство неравенств. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока:

Повторить числовые неравенства, свойства числовых неравенств, понятия, связанные с числовыми неравенствами; ввести понятие доказательство неравенства, научить доказывать неравенства;

Воспитывать у учащихся познавательную активность, самостоятельность, интерес к предмету.

Сегодня мы продолжаем говорить с вами о числовых неравенствах. Вспомним, что при сравнении чисел возможны три случая: одно число больше другого, или одно число меньше другого или одно число равно другому

Если a > b, то a – b > 0;

Если a < b, то a – b < 0;

Если a = b, то a – b = 0.

И самое главное, что из этого следует (и что мы будем сегодня использовать): число а считается большим числа b, если разность a – b является положительным числом. Число а считается меньшим числа b, если разность a – b является отрицательным числом.

Сегодня будем решать задачи на доказательство неравенств, для этого используют несколько разных способов, остановимся на одном из них: оценка знака разности между частями неравенства.

Задача 1.
Например, по свойству транзитивности из неравенств –1 < 5 и 5 < 8 можно заключить, что –1 < 8. Но действительно ли это так? Докажем, что это так. Составим разность левой и правой частей неравенства –1 – 8 = –9 < 0, значит первое число меньше второго, –1 < 8.
Аналогично, из числовых неравенств 1/2 > 1/8 и 1/8 > 1/32 вытекает, что 1/2 > 1/32. Докажем, что это верно. Составим разность между левой и правой частями неравенства 1/2 – 1/32 = 16/32 – 1/32 = 15/32 > 0, значит первое число больше второго, 1/2 > 1/32.

Задача 2.
Сравните: а + 2; а – 3; а; а + 8; а – 8. Простыми рассуждениями можно предположить, что чем больше к числу прибавляют, тем больше оно становится, а чем больше от него отнимают, тем меньше оно становится, поэтому самое маленькое число будет а – 8, потом а – 3, затем само число а, потом а + 2 и самое большое а + 8.
Но давайте докажем, что а – 8 действительно меньше а – 3. Для этого рассмотрим их разность: (а – 8) – (а – 3) = а – 8 – а + 3 = приводим подобные слагаемые = –5 < 0, что означает, что первое выражение меньше второго: а – 8 < a – 3.
Аналогично доказываем и про остальные выражения. Например, докажем, что а + 8 больше, чем а + 2. Можете попробовать самостоятельно, а потом уже посмотреть на слайд. Итак, рассмотрим разность (а + 8) и (а + 2). Получаем (а + 8) – (а + 2) = а + 8 – а – 2 = после приведения подобных слагаемых = 6 > 0, что означает, что первое выражение больше, то есть (а + 8) > (а + 2).

Задача 3.
Сравнить значения выражений 17 · 48 и 17 · 15. Составим разность 17 · 48 – 17 · 15 = используя распределительный закон умножения получим = 17(48 – 15) = 17 · 33 = при умножении двух положительных чисел получаем число положительное > 0, значит мы доказали, что 17 · 48 > 17 · 15.

Задача 4.
Известно, что х > у, тогда доказать, что верны следующие неравенства:
а) х + 2 > у + 2
б) х – 3,5 > у – 3,5
в) –5,2 х < –5,2 у
г) х/5 > y/5
Рассмотрим первое из них. По условию х > у, что означает х – у > 0. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства х + 2 > у + 2, запишем (х + 2) – (у + 2) = х + 2 – у – 2 = х – у. Но по условию х – у > 0, значит и (х + 2) – (у + 2) > 0, раз разность положительная, то первое выражение больше второго, значит х + 2 > у + 2 верно.
Самостоятельно рассмотрите остальные случаи.

Задача 5.
Натуральное число меньше 4 удовлетворяет неравенству 18 + 19 < a + 41 – 5. Докажем, что число а, удовлетворяющее данным условиям, равно 2 или 3.
Для этого запишем данное неравенство, выполнив действия 37 < а + 36, запишем разность между левой и правой частями неравенства 37 – (а + 36) = 37 – а – 36 = 1 – а, по условию, так как первое число меньше второго, разность должна быть отрицательная, то есть 1 – а < 0. Что, в свою очередь, обозначает, что 1 < a. А так как, по условию, а меньше 4, то остаются из натуральных чисел больше 1 и меньше 4 только 2 и 3. Что и требовалось доказать.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

Вопросы на проверку понимания доказанных свойств:

Как правильно продолжить фразу: «Если a < b, то b…»?

Как правильно продолжить фразу: «Если а < b, и b < c, то a…»?

Шарик бежал за Бобиком, а Бобик за Барбосом. Бобик увидел кошку и побежал за ней, сошёл с дистанции. За кем стал бежать Шарик?