Решение сложных текстовых задач с помощью уравнений. Часть 1.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Всем привет!

Итак, мы с вами разобрались со стандартными текстовыми задачами, где по сути, самое главное – грамотно ввести переменную и нигде не запутаться. Но иногда этого бывает мало: существуют задачи, в которых надо ещё немножко подумать, чтобы составить нужное уравнение. И начнём мы с такого примера.

Задача 1. Прямоугольник разрезали на 5 одинаковых квадратов. Найти периметр прямоугольника, если он на 48 дм меньше суммы периметров всех квадратов.

Решение. Если вы опытный решатель задач, то здесь, конечно, напрашивается взять за х дм сторону квадрата. И тогда периметр квадрата 4х, а значит, сумма периметров всех квадратов – 20х. А чему же равен периметр прямоугольника? Разумеется, он не равен сумме периметров квадратов, а равен он, конечно, 12х. Действительно, одна сторона получается 5х, а другая – х. Получаем уравнение:

12х + 48 = 20х, 8х = 48, х = 6. И снова не забываем, что найти надо периметр прямоугольника, то есть 12х, а значит ответ – 72 дм.

Ответ: 72 дм.

Но это была совсем простая «нестандартная задача». А вот потруднее.

Задача 2. В каждой клетке прямоугольной таблицы, в которой 2016 строк, написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1. Сколько столбцов в таблице?

Решение. Поступим как обычно: раз спрашивают, сколько в таблице столбцов, то давайте обозначим это число через х. Далее, применим такую идею: посчитаем двумя способами сумму всех чисел в таблице: сначала по строкам, затем по столбцам. Сумма по всем строкам будет равна 2016, так как есть 2016 строк, в каждой из которых сумма равна 1. А сумма по всем столбцам равна х, так как есть х столбцов, и в каждом сумма равна 1. Но с другой стороны, сумма чисел во всей таблице одинаковая! Мы посчитали одно и то же число двумя способами! Значит, х = 2016.

Кстати, этот приём – подсчёт двумя способами – это самая распространённая идея решения текстовых задач. Любое составленное нами уравнение, на самом деле представляет из себя подсчёт двумя способами. Например, в первой задаче мы двумя способами посчитали периметр прямоугольника: через х и через сумму периметров квадратов. А в задачах на движение мы, допустим, знаем расстояние, а затем считаем его же через введённое х с помощью данных из условия. Так что метод вам знаком, пользуйтесь!

Задача 3. Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное 210 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния, а остальную треть – матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния, а остальные две трети – матери». У вдовы сенатора родились близнецы – мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

Решение. Формально, задача, конечно, не очень определена. Наверное, кто-то из вас предположит, что можно разбить 210 на две части, одну разделить по первому способу (треть матери, две трети сыну), а другую – по второму. С другой стороны, мне кажется более логичным такое рассуждение. Раз сенатор хотел оставить две трети матери и треть дочери, то мать должна получить вдвое больше дочери. Аналогично, сын должен получить вдвое больше матери. Но сколько это в талантах? Пора вводить переменную!

Пусть х – то, сколько получит дочь (помните, самое маленькое берем за х!). Тогда мать получит 2х, а сын – 4х. Получаем: х + 2х + 4х = 210. 7х = 210, х = 30. Значит, дочь получит 30 талантов, мать – 60, а сын – 120.

Ответ: 30, 60 и 120.

Задача 4. На выставке животных каждая третья кошка белая. Каждое шестое белое животное — кошка. Кого больше: белых животных или кошек?

Решение. Те из вас, кто внимательно смотрел мои уроки, уже знают, что такую задачу можно решить с помощью картинки. Но можно и ввести переменную х! Пусть х – количество всех белых кошек. Мы знаем, что каждая третья кошка – белая, значит, всего кошек – 3х. Аналогично, всего белых животных – 6х. Значит, белых животных больше, чем кошек. Победа!

Итак, сегодня мы рассмотрели несколько менее стандартных задач, которые решаются с помощью введения переменной. А в следующий раз поговорим о самых сложных нестандартных задачах на эту тему. До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. В каждой клетке прямоугольной таблицы, в которой 2016 строк, написано число. Сумма чисел в каждой строке равна 2, а в каждом столбце равна 1. Сколько столбцов в таблице? Ответ: 1008.
2. На выставке животных каждая вторая собака чёрная. Каждое третье чёрное животное — собака. Кого больше: чёрных животных или собак? Ответ: чёрных животных.

3. Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное 390 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику три четверти состояния, а остальную четверть – матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну четверть состояния, а остальные три четверти– матери». У вдовы сенатора родились близнецы – мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания? Ответ: 30, 90, 270.

Рекомендуемые тесты:

1. В каждой клетке прямоугольной таблицы, в которой 2015 строк, написано число. Сумма чисел в каждой строке равна 1, 3 или 5, а сумма чисел в каждом столбце равна 4. Докажите, что такой таблицы не существует.

2. Квадрат разрезали на один большой и 5 маленьких квадратов. Во сколько раз сторона исходного квадрата больше стороны маленького квадрата? Ответ: три.

3. Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное 390 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику три четверти состояния, а остальную четверть – матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния, а остальные две трети – матери». У вдовы сенатора родилась тройня – мальчик и 2 девочки. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между четырьмя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания? Ответ: 39, 39, 78, 234.