Решение арифметическим методом простых задач и задач повышенной трудности. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: познакомить обучающихся с решением задач арифметическим методом, и продемонстрировать основные модели рассуждений позволяющие избегать преждевременного появления алгебраических конструкций.

Предметные результаты: закреплять умения решать простые арифметические задачи и примеры. Развивать вычислительные умения и навыки, логическое мышление, память.

Метапредметные и личностные результаты: воспитывать познавательный интерес к предмету, уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач.

Здравствуйте. Безусловно довольно часто и достаточно рано нам приходится если не от учителей, то от родителей перенимать все особенности алгебраического метода решения задач: мы радостно хватаемся за переменные, лепим «иксы» и «игрэки» где не попадя (хотя, они безусловно бывают очень полезны!) и в итоге разрушаем хрупкие строения математических рассуждений с помощью гигантского молота алгебраической универсальности. Давайте посмотрим, что случится, если мы запретим себе пользоваться всеми подсмотренными и подслушанными изысками, и попробуем работать исключительно своим собственным умом.

Задача 1.

Вася нашел на 36 грибов больше, чем его сестра Лена. По дороге домой, сестра стала просить Васю: «Дай мне столько грибов, чтобы у меня стало столько же грибов, сколько и у тебя!». Сколько грибов должен брат отдать Лене?

Предположим, что брат отложит свои «лишние» грибы. Тогда у брата и сестры грибов останется поровну. Значит для достижения поставленной цели Васе достаточно разделить эти «дополнительные» грибы поровну, то есть отдать Лене 18 грибов.

Задача 2.

На скотном дворе гуляют гуси и поросята. Петя сосчитал количество голов, их оказалось 30, потом сосчитал, сколько всего ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят на скотном дворе?

Предположим, что на дворе гуляют одни гуси. Сколько у них ног? 60! Откуда тогда взялись 24 «лишних» ноги? Они принадлежат поросятам, по 2 ноги на каждого. Итак, на дворе гуляют 12 поросят, остальные – гуси.

Задача 3.

На поляне паслись ослы. К ним подошло несколько мальчиков. «Сядем на ослов по одному!» -- предложил старший. Двум мальчикам ослов не хватило. «Попробуем сесть по двое!» -- снова предложил старший. Тогда один осёл остался без седока. Сколько ослов и сколько мальчиков на поляне?

Представим себе сначала, что мальчики сели на ослов по одному, и двум мальчикам ослов не досталось.

Теперь посадим мальчиков на ослов по два. Сделаем так:

- один мальчик сидевший на осле пересаживается к кому-то вторым (тогда один осёл свободен, как нас и просили)

- два других мальчика – те, которым первоначально ослов не хватило – подсаживаются вторыми. Итого: три осла заняты, один свободен. Следовательно, мальчиков – 6, а осла – 4.

Задача 4.

Когда Ваню спросили сколько ему лет, он подумал и сказал: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Серёжи». Тут подбежал маленький Серёжа, и сообщил, что папа старше его на 40 лет. Сколько лет Ване?

Папа в три раза старше Вани, который в три раза старше Серёжи, следовательно, папа на в девять раз старше Серёжи. Другими словами, папа старше Серёжи на восемь возрастов Серёжи, что составляет 40 лет, следовательно Серёже 5 лет, а раз Ваня старше Серёжи в три раза, то ему 15 лет.

Задача 5. Из прошлого.

Для покупки порции мороженого Пете не хватает 7 копеек, а Маше 1 копейка. Тогда они сложили все имеющиеся у них деньги. Но и тогда их не хватило на покупку даже одной порции. Сколько стоила порция мороженого?

Если бы у Пети был хотя бы одна копейка, то он отдал бы её Маше, и ей бы хватило на мороженое. Значит у Пети нет ни одной копейки, а тогда стоимость мороженого – 7 копеек. И это на самом деле было так: в 60-70 годы фруктовое мороженое стоило 7 копеек.

Задача 6.

Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равно количеству девочек не решивших эту задачу. Кого в классе больше: решивших задачу, или девочек?

Давайте посмотрим, какие в классе есть девочки: решившие задачу девочки, и не решившие задачу девочки. Кроме этого все решившие задачу ученики делятся на решивших задачу девочек и решивших задачу мальчиков. Но так как количество не решивших задачу девочек, равно количеству решивших задачу мальчиков, то получается что к одной и той же величине (решивших задачу девочек) мы прибавляем равные величины. Ну а тогда, и получившиеся величины равны.

Итак, сегодня мы с вами обсудили как решать достаточно разноплановые задачи, причём не одна переменная при этом не пострадала…

Дополнительная информация

Рекомендуемые практикумы:

Задача 1. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 тетрадей, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько больше тетрадей в первой стопке, чем во второй?

Задача 2. Для покупки одной шоколадки Тане не хватает 20 рублей. Если же она купит пять шоколадок, то у неё останется 100 рублей. Сколько денег у Тани?

Задача 3. Для покупки альбома Маше не хватало 2 копеек, Коле – 34 копеек, а Васе 35 копеек. Когда они сложили деньги, у всё равно не хватило денег на покупку даже одного альбома. Сколько стоил альбом?

Задача 4. Когда отцу было 27 лет, сыну было 3 года. А сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько сейчас лет каждому из них?

Задача 5. В комнате стоят стулья и табуретки. У каждой табуретки 3 ножки, у каждого стула 4 ножки. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, то в комнате всего 39 «ног». Сколько стульев и сколько табуреток в комнате?