Урок 31. Знаки синуса, косинуса и тангенса
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;

3) Знаки тригонометрического выражения.

Глоссарий по теме

Число (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти

у точек второй четверти

у точек третьей четверти

у точек четвёртой четверти

Пример.

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

Ответ:

A

B

C

D

E

F

2

4

2

3

1

4

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом углаявляется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Косинусом углаявляется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Если угол то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь , , значит , .

Если угол , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь , , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь , , значит ,

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол .

во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ:

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен .

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ:

Пример 3.

Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Пример 4.

Определить знаки .

Решение: Знаем, что, а . Значит, . Точка во второй четверти.

Ответ:

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Пример 5.

Определить знак тангенса угла

Решение , угол второй четверти

Ответ:

Пример 6.

Определить знак тангенса угла .

Решение: Угол в третьей четверти, тангенс положительный.

Ответ:

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

выяснить в какой координатной четверти находится угол;
знак синусов такой же, как ордината точки (у).
знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).