Урок 11. Понятие объема
Предмет: Геометрия, 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №11

Понятие объёма

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Понятие объёма.

Свойства объёмов.

Объём прямоугольного параллелепипеда.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

Тезаурус

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

- равные тела имеют равные объёмы;

- если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Основная литература:

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см3). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Пример:

Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см3.

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n3

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см3). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n3.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Теорема

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10n, b∙10n, c∙10n, являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙103n равных кубов с ребром 1/10n. Так как объём каждого куба равен 1/103n, что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.

Случай второй.

Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: an, bn, cn, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, an ≤ a ≤ an’, где an’ = an+1 : 10n. Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение anbncn ≤ abc ≤ an’bn’cn’, где bn’= bn+1 : 10n, cn’ = cn+1 : 10n

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Решение:

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см3

Ответ: V = 7500 см3.

№2.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см3, AB = 8 см, АА1 = 20 см.

Варианты ответов:

220 см2

100 см2

400 см2

200 см2

Решение.

Найдём длину АD:

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см2.

Ответ: площадь закрашенной фигуры 200 см2.

Верный ответ: 200 см2.