Формулы нахождения компонент пропорции. Решение уравнений.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Васильева Ирина Викторовна

Цели и задачи урока: актуализировать понятие пропорции, повторить её свойства, сформировать умения применять свойства пропорции при нахождении неизвестных компонентов пропорции и при решении уравнений.

Добрый день, дорогие ребята. Сегодня на уроке мы более подробно поговорим о пропорции и её свойствах, научимся их применять при нахождении членов пропорции.

Почему именно о пропорции? Она является математической моделью многих практических задач. Интересно, что задачи, приводящие к пропорции, решали ещё в глубокой древности.

Так, например, по одному из преданий, в VI в. до н. э. древнегреческий философ и математик Фалес Милетский, с помощью пропорции смог вычислить высоту пирамиды Хеопса.

Предлагаю вспомнить основные определения и формулировки. Пропорцией называется верное равенство двух отношений. В буквенном виде пропорцию можно записать так: , а прочитать: «от­но­ше­ние a к b равно от­но­ше­нию c к d», или: «a так от­но­сит­ся к b, как c от­но­сит­ся к d». Участ­ву­ю­щие в про­пор­ции числа на­зы­ва­ют чле­на­ми про­пор­ции. Счи­та­ют, что все члены отличны от нуля.

Напомню, что a и d в данной пропорции являются край­ним чле­на­ми про­пор­ции, а b и c – средними чле­на­ми. Дей­стви­тель­но, в за­пи­си числа b и c на­хо­дят­ся по­се­ре­дине, а числа a и d – с краю.

Любая про­пор­ция обладает свойством: про­из­ве­де­ние край­них чле­нов пропорции равно про­из­ве­де­нию её сред­них членов. Его называют основным свойством пропорции. Чтобы не перепутать, какие члены пропорции нужно перемножить, можно воспользоваться правилом «крестика».

Также отметим, что из основного свойства можно получить ещё одно очень удобное свойство: Если в пропор­ции по­ме­нять места­ми сред­ние или край­ние члены, то получивше­е­ся новые пропор­ции тоже верны. Т. е. из пропорции мы можем получить, например такие пропорции .

Эти свойства применяют при нахождении неизвестных членов пропорции и при решении уравнений.

Например, рассмотрим задачу: Автомобилист заметил, что расстояние 58 км он проехал за 45 мин. За сколько времени он преодолеет оставшиеся 174 км, если будет ехать с той же скоростью?

Рассуждаем: Скорость равна отношению пути ко времени. По условию она не изменяется, поэтому 58 относится к 45 так же, как и 174 к х, где х – искомое время. Т. е. Данное выражение является пропорцией. Воспользуемся основным свойством пропорции .

Найдем неизвестный множитель х . Можно сократить дробь на 58, получаем , а значит оставшееся расстояние автомобиль пройдёт за 135 мин = 2 ч 15 мин.

Обратите внимание на то, что х в данной пропорции является крайним членом, и чтобы его найти, мы умножили средние члены и разделили на известный крайний член. Будет ли это справедливо для любой пропорции?

Рассмотрим пропорцию в общем виде. Воспользуемся основным свойством пропорции, найдём крайний член а , как неизвестный множитель:

Т. о. правило нахождения крайнего члена пропорции можно сформулировать следующим образом: Чтобы найти крайний член пропорции, надо произведение её средних членов разделить на второй крайний член.

Подумайте, а как можно найти средний член пропорции? Я думаю, вы догадались, что, чтобы найти средний член пропорции, нужно произведение крайних членов разделить на второй средний член. Действительно,

Т. о. по трём известным членам пропорции всегда можно найти её неизвестный (четвёртый) член. Где это может нам пригодиться? В первую очередь при решении уравнений.

Например, вам нужно решить уравнение . Данное уравнение является пропорцией, х является средним членом пропорции, значит, чтобы его найти, мы должны перемножить крайние члены 3 и 7 и разделить на средний член 12.

Уравнение может быть и более сложным. Например, . Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

А когда удобно воспользоваться перестановками крайних и средних членов?

Так, решая пропорцию , поменяем крайние члены местами. . Дробь можно сократить на 3, и мы получим более простую пропорцию.

, отсюда

Существуют и другие, менее очевидные свойства пропорции.

Если

Если

Пропорции, получаемые подобными преобразованиями, называются производными пропорциями. Как их можно использовать?

Рассмотрим пропорцию, которую мы уже решали. Воспользуемся тем, что пропорция не нарушится, если одновременно к первому крайнему члену прибавить второй средний и к первому среднему прибавить второй крайний. Согласитесь, что пропорция стала несколько проще.

.

В заключение хочу рассказать вам одну ещё одну легенду о Фалесе Милетском. Фалес был не только математиком и философом, но и удачливым коммерсантом и просто очень умным человеком. Есть рассказ о том, как он проучил своего мула (мул – это гибрид лошади и осла). Однажды груженный солью мул, переходя вброд речку, внезапно поскользнулся. Содержимое тюков растворилось, а животное, поднявшись налегке, сообразило, в чём дело, и с тех пор при переправе мул намеренно окунал мешки в воду, наклоняясь в обе стороны. Прослышав об этом, Фалес велел наполнить мешки вместо соли шерстью и губками. Гружёный ими мул попытался проделать старый трюк, но добился обратного результата: поклажа стала значительно тяжелее. Говорят, что впредь он переходил реку так осторожно, что ни разу не замочил груз даже нечаянно.

Это та и другие легенды о Фалесе рисуют нам пример человека, математический ум которого нашёл много применений в жизни.

Я уверена, что и вы, дорогие ребята, в своей практической жизни ещё не раз встретитесь с пропорций и сможете её применить.

Давайте подводить итоги. Сегодня на уроке вы продолжили своё знакомство с пропорцией, изучили более обстоятельно её свойства и, надеюсь, научились их применять. Согласитесь, что теперь просто необходимо самостоятельно приступить к решению пропорций.

Всего доброго!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Составьте пропорцию, в которой каждое отношение равно 7.

2. Составьте, если это возможно, пропорцию из данных четырёх чисел 3; 4; 18; 24.

3. Используя пропорцию , запишите ещё три верные пропорции.

4. Составьте различные пропорции из равенства .

5. Найдите устно неизвестный член пропорции.

.

6.Найдите неизвестный член пропорции .

7. Решите пропорцию .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение . (Замечание: попробуйте применить следующее свойство пропорции: если ).

10. Где на координатном луче должно быть изображении число х, чтобы была верна пропорция ?

Ответы:

1. Например: 14 : 2 = 21 : 3.

2. Например: .

3. .

4.

5.

6. .

7.

8.

9.

10.

Рекомендуемые тесты: из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С. М. Никольский,

М. К. Потапов и др.) Глава 1, § 1.4 № 55, 57, 61 (или аналог).