Умножение многочлена на многочлен
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: отработать навыки умножения многочленов.

Всем привет!

Давайте подведём итог того, что мы уже умеем. Умеем умножать многочлен на одночлен, умеем приводить подобные слагаемые, т. е. приводить многочлен к стандартному виду. Если эти действия объединить, то не сложно вывести более общее действие – умножение многочленов с последующим приведением к стандартному виду. Этим мы сегодня и займёмся. Начнём с примера.

Пример 1:

Есть два многочлена 3х3 – 2х + 1 и 3х2 + 1. Найдём их произведение.

(3х3 – 2х + 1) ⋅ (3х2 + 1) = (3х2 + 1) ⋅ 3х3 – (3х2 + 1) ⋅ 2х + (3х2 + 1) ⋅ 1

Умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен, далее воспользуемся правилом умножения многочлена на одночлен. Далее приведём подобные слагаемые:

(3х3 – 2х + 1) ⋅ (3х2 + 1) = (3х2 + 1) ⋅ 3х3 – (3х2 + 1) ⋅ 2х + (3х2 + 1) ⋅ 1 = 9х5 + 3х3 – 6х3 – 2х + 3х2 + 1 = 9х5 – 3х3 + 3х2 – 2х + 1 – многочлен стандартного вида.

Если внимательно смотреть на этот пример, то вы увидите, что каждое слагаемое из первой скобки умножили на каждое слагаемое из второй скобки.

Таким образом, мы можем сформулировать следующее правило:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

По сути, мы с вами раскрываем скобки!

Пример 2:

Упростить выражение.

(х + 1) ⋅ (х + 1)

Вспоминаем формулировку правила, сформулированного выше, и выполняем умножение. Приводим подобные слагаемые.

x ⋅ х + х ⋅ 1 + 1 ⋅ х + 1 ⋅ 1 = х2 + х + х +1 = х2 + 2х +1

Пример 3:

Упростить выражение.

(3a2 – 4ab + b2)(2a – b)

Используя правило, умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Затем пользуемся правилом перемножения одночленов, и в конце приводим подобные слагаемые:

(3a2 – 4ab + b2)(2a – b) = 3a2 ⋅ 2а – 4ab ⋅ 2a+ b2 ⋅ 2a + 3a2(–b) – 4ab ⋅ (–b) + b2 ⋅ (–b) = 6a3 – 8a2b + 2ab2 – 3a2b + 4ab2 – b3 = 6a3 – 11a2b + 6ab2 – b3

Пример 4:

Доказать, что при любом натуральном х, выражение будет делиться без остатка на 10.

(х – 1)(х + 12) – (х – 3)(х + 4)

Чтобы выполнить это задание, нужно упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, используя правило умножения многочленов:

(х – 1)(х + 12) – (х – 3)(х + 4) = х2 – х + 12х – 12 – (х2 + 4х – 3х – 12) = х2 + 11х – 12 – х2 – х +12 = 10х

Выражение 10х всегда делится на 10.

Пример 5:

Решить уравнение:

(4х – 1)(2 – 3х) – 2х(5 – 6х) = 2

8х – 2 – 12х2 + 3х – 10х + 12х2 = 2

х – 2 = 2

х = 4

Ответ: 4.

Пример 6:

Упростить выражение:

(a2 + b2 – 5ab)(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2)( a2 + b2 – 6ab)

В таких примерах будем пользоваться таким методом, как замена.

Введём замену: a2 + b2 = х; ab = у

(х – 5у)(х – у) – х(х – 6у) = х2 – ху – 5ху + 5у2 – х2 + 6ху = 5у2

Вернёмся к замене: у = ab, значит

(a2 + b2 – 5ab)(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2)(a2 + b2 – 6ab) = 5a2b2

Итак, сегодня мы с вами научились перемножать многочлены. Это одно из самых важных и не совсем уж и трудных действий в алгебре. Отрабатывайте свои умения и навыки на тренажёрах и тестах.

Всего доброго! До встречи.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 27, № 27.3 (в); 27.5 (б); 27.9 (б, г).

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 27, № 27.12 (в, г); 27.16; 27.26.