Простейшие системы от одной переменной как операции с числовыми множествами. Графическая интерпретация
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления связи между множеством целых чисел и числовой прямой, дать понятие системы, разработать с учащимися варианты нанесения числовых множеств в зависимости от заданных в системе неравенств, а также использовать эти методы при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы поговорим о числовых множествах, координатной прямой и их взаимосвязи. На прошлом уроке мы уже научились наносить на числовой луч числовые множества. Давайте вспомним то, что нам сейчас пригодится.
Любому действительному числу на числовой прямой соответствует точка с определенной координатой, и обратно — любой точке на координатной прямой соответствует действительное число. Значит, любому числовому множеству на координатной прямой будет соответствовать множество точек или числовой промежуток.
Если числовое множество конечное или бесконечное, то на координатной прямой ему будет соответствовать в зависимости от этого числовой промежуток: открытый числовой луч; числовой луч; интервал; числовой отрезок или полуинтервал.
Любому числовому промежутку можно поставить в соответствие неравенство: строгое или нестрогое.
Например, множество всех чисел больших 5 записывается так х > 5 и на координатной прямой ему соответствует открытый числовой луч (пример 1)

То есть с одним числовым множеством все понятно. Представьте себе, что разговор пойдет не об одном числовом множестве, а сразу о двух.

Пример 1. Задумано натуральное число, которое больше 5, но меньше 7. Легко!.. Правильный ответ 6. В виде двойного неравенства мы бы записали так: 5 < 6 < 7. А если бы мы записали это в виде не одного, а двух неравенств: 5 < 6, 6 < 7, то как правильно бы прозвучал ответ на нашу задачу?.. Надо было бы сказать так: 6 > 5 и 6 < 7. Союз «и» соединил оба случая вместе. Союз «и» говорит нам о том, что оба неравенства выполняются одновременно. В таких случаях можно сказать о системе неравенств.

Пример 2. Рассмотрим более сложную задачу: сколько элементов насчитывает числовое множество натуральных чисел, в котором все элементы больше 4, но меньше 17. И эту задачу можно переформулировать с помощью двух неравенств х > 4 и x < 17. То есть х такое число, которое удовлетворяет и одному и второму неравенству одновременно. Вот это мы и называем системой неравенств.

Система неравенств с одной переменной образуется из нескольких неравенств, если необходимо найти общие решения для всех заданных неравенств. Важное слово здесь - общее решение.
То есть мы будем говорить о системе, когда необходимо найти что-то общее в двух или более числовых множествах.
Решением системы является пересечение множеств, то есть такое множество, каждый элемент которого принадлежит и первому, и второму множеству. Проще говоря, это их общая часть.

Вернемся к нашей системе неравенств х > 4 и x < 17. Принятым в математике обозначением для системы является фигурная скобка, которая ставится слева от неравенств или уравнений, записанных одно под другим.

Фигурную скобку в математику ввел Франсуа Виет в 16 веке.

Так вот, числа больше 4, это 5, 6, и так далее, числа меньше 17, это 16, 15, и так далее, есть у этих двух числовых множеств общая часть, да, общими для этих двух случаев будут числа 5, 6, … 15, 16, они удовлетворяют двум этим условиям. Множество этих чисел и будет пересечение двух числовых множеств. Графическая интерпретация более наглядно продемонстрирует нам этот факт.

(Пример 2, 3 и 4)
Теперь нам осталось только сосчитать количество чисел на числовом промежутке, интервал от 4 до 17, записывается так (4 ; 17). Таких чисел 12.

Пересечение числовых множеств — одна из операций над числовыми множествами, результатом которой является так же числовое множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно первому и второму множествам.
Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.
Пересечением числовых промежутков является такой промежуток, который содержит точки, принадлежащие двум заданным промежуткам.
Система — это и есть пересечение, то есть общие элементы, если разговор идет о числовых множествах, или общие точки, если разговор идет о числовых промежутках.

Давайте для закрепления понимания системы рассмотрим такую задачу.
Пример 3. Одно числовое множество состоит из чисел больше 10, другое числовое множество состоит из чисел меньше 20. Сколько чётных чисел будет удовлетворять этим условиям.
Запишем условия задачи в виде неравенств x >10, x<20, так как условия выполняются одновременно, то запишем их в виде системы

Пересечением числовых множеств чисел больших 10 и меньших 20 будут числа 11, 12, … 18, 19.

Эти числа одновременно принадлежат и первому и второму множеству чисел. Других таких нет. Например, если мы возьмем число 30, то оно больше 10, но не меньше 20, значит не подходит для пересечения множеств и решения системы.

Посмотрим, как это выглядит графически. Отметим на числовой оси 10 и 20 и покажем с помощью штриховки те числа, которые принадлежат множествам. Штриховку специально рисуют в разных направлениях, чтобы можно было сразу увидеть пересечение.

(Пример 5)

Иногда штриховку рисуют снизу и сверху от числовой оси для одного и другого случая, в этом случае тоже сразу видна общая часть.

(Пример 6)
Осталось сосчитать количество четных чисел, принадлежащих промежутку — их 4.
Таким образом, система — это несколько неравенств, записанных одно под другим, объединенных слева фигурной скобкой, обозначающая пересечение числовых множеств; множество всех решений, одновременно удовлетворяющих каждому из неравенств.
Осталось добавить, что система соответствует логической связке «и» (одно и другое вместе).
Все равно, что x > 7 и x< 10.

Сделаем вывод из всего вышесказанного: Система неравенств с одной переменной образуется из нескольких неравенств, если необходимо найти общие решения для всех заданных неравенств. Решение системы — это пересечение множеств решений неравенств в неё входящих.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Записать соответствующую числовому промежутку систему неравенства)

б)

в)

Изобразить на координатной прямой числовые промежутки

а) x > - 10
б) x < 5
в) 3 < x < 7

Ответы:

Рекомендуемые тесты:

3. Записать, что является пересечением:

а) множество всех целых чисел и множество четных чисел,

б) множество чисел кратных 5 и чисел, заканчивающихся на 0,

в) множество чисел, расположенных правее точки с координатой 5 и множество чисел, расположенных левее точки с координатой 12.

а) x > 3 б) x < 8

3. а) множество четных чисел

б) числа, заканчивающиеся на 0

в) числа от 5 до 12.