Разложение на множители путём выделения полного квадрата
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться раскладывать выражения на множители с помощью выделения полного квадрата, рассмотреть уравнения, которые решаются с помощью выделения полного квадрата.

Всем привет!

Итак, очень надеюсь, что после предыдущего урока мы с вами умеем выделять полный квадрат. Не знаю как вас, но меня в такие моменты не покидает вопрос, а зачем всё это надо? Сегодня мы это и увидим. Оказывается, всё это, во-первых, применяется для разложения выражения на множители, а во-вторых, для решения уравнений.

Разложить на множители.

Пример 1:

х2 + 2х – 3

Именно в этом выражении на прошлом уроке мы выделяли квадрат, но я ещё раз напомню. Чего нам не хватает для полного квадрата?

1. У нас есть квадрат первого слагаемого – х2

2. Есть удвоенное произведение х на 1 – 2х

Значит, мы должны прибавить 1, которой нам и не хватает, но, чтобы ничего не изменилось, эту 1 мы должны тут же вычесть, имеем:

х2 + 2х – 3 = х2 + 2х +

1

– 1

– 3 = (х + 1)2 – 4 = (х + 1)2 – 22 = (х +1 – 2)(х + 1 + 2) = (х – 1)(х + 3)

Пример 2:

х2 – 4х – 21

1. Выделяем полный квадрат

2. Применяем формулу квадрата разности

3. Применяем формулу разность квадратов

х2 – 4х – 21 = х2 – 4х

+ 4 – 4

– 21 = (х – 2)2 – 25 = (х – 2 – 5)(х – 2 + 5) = (х – 7)(х + 3)

Пример 3:

х2 – 3х – 10

1. Выделяем полный квадрат

2. Применяем формулу квадрат разности

3. Применяем формулу разность квадратов

х2 – 3х – 10 = х2 - 3х + 9/4 – 9/4 – 10 = (х – 3/2)2 – 12,25 = (х – 3/2 – 7/2)( х – 3/2 + 7/2) = (х – 5)(х + 2)

Кстати, во всех этих примерах вы сможете проверить себя и попробовать «расщепить» среднее слагаемое так, чтобы в дальнейшем получилась группировка и разложение на множители. Посмотрите, насколько быстро это у вас получится и что быстрее сделать с помощью выделения полного квадрата или расщепления. И выберите для себя удобный вариант.

Следующий пункт нашего урока, это решение уравнений.

Решить уравнения.

Пример 1:

х2 – 6х + 8 = 0

1. Выделим полный квадрат

2. Разложим на множители

х2 – 6х + 8 = (х)2 – 2 ⋅ х ⋅ 3 + 32 - 32 + 8 = (х – 3)2 – 1 = (х – 3 – 1)(х – 3 + 1) = (х – 4)(х – 2)

Вернёмся к уравнению

(х – 4)(х – 2) = 0

(х – 4) = 0 или (х – 2) = 0

х = 4 х = 2

Ответ: 2; 4.

Пример 2:

х2 + 2х – 35 = 0

1. Выделим полный квадрат

2. Разложим на множители

х2 + 2х – 35 = (х)2 + 2 ⋅ х ⋅ 1 + 1 – 1 – 35 = (х + 1)2 – 36 = (х + 1 – 6)(х + 1 + 6) = (х – 5)(х + 7)

Вернёмся к уравнению

(х – 5)(х + 7) = 0

(х – 5) = 0 или (х + 7) = 0

х = 5 х = –7

Ответ: –7; 5.

Пример 3:

х2 + 4х + 5 = 0

Выделим полный квадрат

х2 + 4х + 5 = (х)2 + 2 ⋅ х ⋅ 2 + 4 – 4 + 5 = (х + 2)2 + 1

Вернёмся к уравнению

(х + 2)2 + 1 = 0

Левую часть мы больше разложить на множители не можем. Обратите внимание, что мы к единице прибавляем квадрат некого выражения, квадрат может быть либо 0, либо число положительное. Таким образом, мы не получим в сумме 0.

Ответ: нет решений.

Подведём итоги сегодняшнего урока. Мы с вами поговорили о том, как раскладывать выражения на множители с помощью выделения полного квадрата, а так же как решать уравнения с помощью выделения полного квадрата.

До встречи!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 34, № 34.21; 34.22; 34.23.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 7, § 34, № 34.24; 34.25.