Урок 10. Математические модели. Стохастические модели
Предмет: Информатика, 11 класс

Конспект урока

Информатика, 11 класс. Урок № 10.

Тема — Математические модели. Стохастические модели

Цели и задачи урока:

Сформировать представление о понятии математической модели, познакомиться с моделированием и его этапами.
Сформировать умение строить модели для прикладных задач (в математике и биологии).
Научиться пользоваться математическим моделированием для решения биологической задачи «Жертва-хищник».

На уроке вы узнаете:

Основные этапы математического моделирования.
Отличие между детерминированными и стохастическими моделями.
Как решаются методами математического моделирования биологические задачи на численность хищников и травоядных.

Важную роль в изучении закономерностей объективного мира играет математическое моделирование. Наряду с теорией и практикой математическое моделирование является одним из методов познания.

Одним из основоположников математического моделирования в России был академик Александр Андреевич Самарский. Согласно его высказыванию математическое моделирование состоит в замене исходного объекта его образом — математической моделью. И дальнейшее изучение этой модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительных алгоритмов. Достоинствами такого метода является:

— Дешевизна процесса, по сравнению с экспериментальными исследованиями.

— Исследование различных вариантов.

— Анализ вклада различных факторов и влияния различных условий.

— Возможность исследовать объекты вообще не доступные для экспериментального наблюдения, например, черные дыры.

Основным инструментом математического моделирования является проведение вычислительного эксперимента (как теоремы и доказательства в теории, наблюдения и измерения в практике).

Проведение вычислительного эксперимента требует четкого плана действия. Можно выделить три этапа вычислительного эксперимента: 1) модель, 2) алгоритм, 3) программа.

На первом этапе формируется некий теоретический эквивалент — модель. Модель может быть как функциональной, то есть в ней описаны уравнения всех процессов явления, так и вариационной, то есть известен отклик системы на некоторые входные данные.

Модель может быть детерминированной, то есть модель описана ясными соотношениями, а может быть стохастической, когда явление описывается вероятностными функциями.

Модель может быть прямая, это когда уравнения заданы и надо найти их решения, а может быть обратная, заключающаяся в том, что надо найти по решению характеристики этой системы.

При любом моделировании существует иерархия моделей. То есть ряд моделей, учитывающих с большей или с меньшей подробностью процессы. Особенно это важно в многофакторных задачах. Например, экологические задачи, где можно учитывать очень много процессов. Но не стоит думать, что если модель учитывает наибольшее количество факторов, то это лучше. Ничего подобного, так как увеличение количества факторов ведет к усложнению модели, а значит решение ее может занимать не оправданно большой объем вычислений.

Вторым этапом математического моделирования является разработка алгоритма, который должен удовлетворять трем принципам:

Проверка адекватности модели.
Экономичности по времени решения.
Адаптивности, то есть применимости к этой модели и вычислительным средствам.

Третий этап состоит в создании программы по алгоритму, которая в свою очередь должна быть экономичной и адаптивной.

Давайте рассмотрим этапы математического моделирования на примере биологической задачи «Жертва-хищник». Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа «хищник — жертва».

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид — хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида.

Это могут быть: зайцы и волки, львы и зебры, щуки и караси, микробы и антитела, лиса и курица, кошки и мыши, и другие.

Обозначим через N0 начальную численность, а через Ni — численность в i -й год с момента наблюдения.

Так как количество умерших и родившихся животных пропорционально численности, то годовой прирост можно найти как:

kр*Ni–kc*Ni, где kр и kc — коэффициенты рождаемости и смертности, определяемые экспериментально. Тогда в i+1 год количество животных можно выразить через Ni:

Ni+1=Ni+kp·Ni–kc·Ni=(1+K)·Ni, где K=kc–kp — коэффициент прироста.

Если K=0 (рождаемость равна смертности), K>0 (количество животных увеличивается),

K<0 (животные вымирают).

Эта модель называется моделью Мальтуса.

Однако такая модель адекватна только при небольших интервалах наблюдения. Поэтому введем максимальную численность популяции L и построим модель таким образом, чтобы в момент, когда численность приближалась к L, коэффициент прироста уменьшался, а значит рост замедляется:

, где k — начальный коэффициент (при нулевой численности).

Очень часто животные разводятся искусственно, например, в рыбоводческих хозяйствах или на зверофермах. Тогда в эту модель можно ввести понятие допустимый отлов (R):

Давайте рассмотрим, взаимодействие двух видов: «хищник» и «жертва».

Пусть встреча хищника и жертвы пропорциональна произведению их численностей NiZi. В результате каждый год будет гибнуть bNNiZi жертв, а хищников появляться bZNiZi. Коэффициенты bN и bZ находятся экспериментально.

Тогда численность популяций будет находиться из системы:

Попробуйте самостоятельно получить графики зависимостей численности жертв и хищник для L=100, N0=50, Z0=10, D=0.8, bN=0.01 и bZ=0.012, k=0,5. Для этого:

Откройте Excel.
В столбце введите значения i от 0 до 30.
В ячейку C2 и D2 введите начальное значение численности жертвы и хищника соответственно.
В ячейку В2 введите формулу для нахождения коэффициента прироста и скопируйте ее до строки 32.
В ячейку С3 введите формулу зависимости численности жертвы и скопируйте ее до строки 32.
В ячейку D3 введите формулу зависимости численности хищника и скопируйте ее до строки 32.
Начертите точечный график зависимостей столбцов C и D от A.

Как видно из графика в течении 20 лет происходит «переходный период», когда их численность довольно сильно меняется. Далее наступает равновесие — количество каждого вида остается постоянным. Таким образом в природе соблюдается равновесие.

* Более подробно о математическом моделировании в биологии вы можете посмотреть в учебнике К. Ю. Поляков, Е. А. Еремин. Информатика, 11 класс, ч.1, М: БИНОМ, 2016.