Преобразование выражений, содержащих степени
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: повторить алгоритм действий при вычислении значения выражений, содержащих степень, сформировать у учащихся практические навыки нестандартного мышления при выполнении действий со степенями.

Предметные результаты: отработать умение и навыки применения свойств степеней при решении типовых задач и заданий более сложного уровня.

Метапредметные и личностные результаты: развитие познавательной активности ,творческих способностей и логического мышления, формирование навыков самоконтроля.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы изучим любопытные закономерности, связанные с выражениями, содержащими степени.

Иногда действия со степенями имеют интересную геометрическую интерпретацию.

Пример 1. (или аналог) Вычислите (22).

Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. Его площадь составляет 4 см2. Это означает, что в него уместилось 4 единичных квадратика 1 на 1 см.

Пример 2. (или аналог) Рассмотрим квадратную таблицу, в которой ровно а строк и ровно а столбцов. Заметим, что количество клеток в ней составляет ровно a2. В шахматной доске, например, 8*8 = 64 клетки.

Нетрудно догадаться, какая геометрическая фигура будет интерпретировать выражение 23. Конечно, это куб со стороной 2! Туда помещается ровно 8 единичных кубиков.

Пример 3. (или аналог) На доске записано уравнение: 3x = 3 226. Имеет ли это уравнение решение в натуральных числах?

Рассмотрим степени тройки в таблице:

Степень тройки

Значение

Оканчивается на…

31

3

3

32

9

9

33

27

7

34

81

1

35

243

3

36

729

9

…

И так далее! Заметим, что мы обнаружили закономерность в последних цифрах натуральных степеней числа 3: 3, 9, 7, 1. Закономерность составляет период длины 4. Таким образом, мы сможем сказать, что, например, 38 оканчивается на 1. Более того, на другие цифры наше число, являющейся степенью тройки, оканчиваться не может. Следовательно, приведённое в условии примера уравнение неразрешимо в натуральных числах.

Пример 4. (или аналог) На какую цифру будет оканчиваться число 32014?

Исходя из предыдущего примера, мы можем увидеть, что, поскольку степень тройки чётна, то последняя цифра либо 1, либо 9. Заметим, что число 2014 – чётное, но на 4 не делится, поэтому тройка в этой степени будет оканчиваться на цифру 9.

Рассмотрим ещё один пример, в котором одно соображение о степенях поможет решить задачу.

Пример 5. (или аналог) Найдите последнюю цифру суммы: 375113 + 59921 + 32215.

Ясно, что (3 751)13 будет оканчиваться на 1, поскольку число 3 751 оканчивается на 1.

Заметим, что степени девятки оканчиваются на 1 и на 9. (91 = 9, 92 = 81, 93 = ..9 и т.д.)

То есть, у степеней девятки есть закономерность, по которой можно понять, на какую цифру оканчивается та или иная степень. 9 в нечётной степени оканчивается на 9, 9 в чётной степени оканчивается на 1. То есть, поскольку 21 – нечётное число, то 59921 будет оканчиваться на 9.

Разберемся с последним слагаемым.

21 = ..2, 22 = ..4, 23 = ..8, 24 = ..6, 25 = ..2.

В данном случае чередование происходит с периодом 4.

Легко заметить, что 32216 будет оканчиваться на 6, значит, 32215 будет оканчиваться на 8.

Сведем воедино полученный результат: 375113 + 59921 + 32215 = ..1 + ..9 + ..8 = ..8, значит, вся сумма оканчивается на 8.

Неожиданная трудность.

Задача 1. (или аналог) Сколько делителей у числа 36 * 54?

Сначала выпишем делители, являющиеся степенями тройки (их будет 7): 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36.

Аналогично поступим и с числом 5: 1, 51, 52, 53, 54.

Если любой из делителей верхней строчки умножить на любой из делителей в нижней строчке, мы получим снова делитель нашего исходного числа! (Например 32 * 53).

По правилу умножения получается, что у нас 5*7 = 35 делителей.

Заметим, что 35 = 5*7 = (4+1)*(6+1), где 4 и 6 волшебным образом являются показтелями степеней числа 3 и 5 из условия задачи.

Пример 6. (или аналог) Сколько делителей у числа 39 * 210?

Несложно догадаться, что (9+1)*(10+1) = 10 * 11 = 110.

Возведение в степень так же и для упрощения выражений:

Пример 7. (или аналог)

А) 13 * 13 * 13 + 31 * 31 * 31 = 133 + 313

Б) 47 * 47 * а * а * а * а * 47 = 473 * а4

Пример 8. (или аналог) Вычислите

А) (2+4)2 = 62 = 36. В этом случае скобки более приоритетны.

Б) 32 * 5 = 9 * 5 = 45. В этом случае приоритет у числа со степенью.

Пример 9. (или аналог) Существует ли число, квадрат которого равен самому числу?

Это верно даже не для одного числа, а для двух: для 0 и для 1.

Пример 10. (или аналог) Вычислим

А) 3^{23}. Действовать будем с конца: 23 = 8. И далее вычисляем 38

Б) (32)3. Тут приоритет у действий со скобками: (32)3 = 93

Пример 11. (или аналог) Вычислим 36 * 37 = 3 13.

Забавно, что выполнение действий со степенями может приводить к очень необычным геометрическим интерпретациям:

Рассмотрим выражение (22)2. Вычисляя алгебраически, получим: (22)2 = 42 = 16.

А геометрически квадрат как бы «удваивается»!

Первая скобка представляет из себя площадь квадратика 2х2, а последняя степень – что мы «удволили» наш квадратик. (См. Рис.1) Маленький квадрат можно рассматривать, как клетки (единичные) для нового квардата!ю

Рис. 1

Пример 12. (или аналог) Аналогичным спобосом выполните вычисления: (32)2

Ответ: 81 клетка получается.

Итак, сегодня мы познакомились с преобразованием выражений, содержащих степени.

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, параграф 1.16, №268, 270 (или аналог).

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 5 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, параграф 1.16, №272 (или аналог).