Урок 21. Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля

Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Зная, что сумма всех углов такого n-угольника равна полупроизведению числа сторон на 180 градусов, можно получить формулу для вычисления угла правильного n-угольника, разделив общую сумму на число равных между собой углов:

Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Пусть – правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов и .

Докажем, что отрезок и так далее равен . Так как многоугольник правильный, то уголравен углу, а значит, угол 1 равен углу 3. Отсюда следует, что треугольник равнобедренный, и, следовательно, равны отрезки .

Треугольники и треугольник равны по двум сторонам и углу между ними (, – общая сторона и угол 3 равен углу 4, следовательно, .

Аналогично можно доказать, что , и так далее. Таким образом, доказали, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром в точке О и радиусом является описанной около многоугольника.

Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Пусть – правильный многоугольник, О – центр описанной окружности.

В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что равны треугольники , … . Поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны, то есть . Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом проходит через точки и касается сторон многоугольника в этих точках, то есть эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.

Докажем теперь единственность окружности. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник. Тогда её центр равноудален от сторон многоугольника, то есть точка лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, то есть равен . Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Так как в равнобедренных треугольниках , … проведенные высоты являются и медианами, то имеет место следствие 1: окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

При доказательстве теоремы о вписанной в правильный многоугольник окружности было установлено следствие 2: центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Докажем теперь единственность окружности. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, . Так как через эти три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

Рассмотрим задание из открытого банка ОГЭ.

ABCDEFGHI — правильный девятиугольник. Найдите угол EAI. Ответ дайте в градусах.

Найдем угол правильного девятиугольника, воспользовавшись выведенной формулой нахождения угла.

Получаем, что угол правильного девятиугольника равен 140°.

Рассмотрим выпуклый шестиугольник AEFGHI. В нем четыре угла F, G, H, I по 140°, а оставшиеся углы равны между собой в силу того, что девятиугольник правильный.

Воспользуемся известной формулой для нахождения суммы углов выпуклого шестиугольника AEFGHI:

.

Получаем, что сумма углов выпуклого шестиугольника равна 720°.

Для нахождения искомого угла нужно найти половину разности 720° и четырех углов по 140°.

3)

Ответ: