Распределительный закон
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цели урока: ознакомиться с распределительным законом умножения.

Предметные результаты: знать и уметь применять распределительный закон умножения для вычисления значений числовых выражений; записывать его с помощью букв.

Метапредметные и личностные результаты: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, сравнивать и анализировать информацию, делать выводы на основе полученной информации.

В данном уроке рассмотрим распределительный закон умножения.

Определение:

Распределительный закон умножения гласит: чтобы умножить сумму чисел на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и полученный результат сложить.

a * (b + c) = a * b + a * c

Обратите внимание на порядок действий: слева стоят скобки – это означает, что вначале складываются числа «b» и «c», которые потом умножаются на число «а». А справа стоят произведения чисел «а» и «b» и чисел «а» и «с», которые затем складываются.

Распределительный закон также существует и для разности чисел.

Определение:

Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить уменьшаемое и вычитаемое на это число и полученные результаты вычесть.

a * (b - c) =a * b – a * c (также, обратите внимание на порядок действий).

Слева: скобки, которые означают, что сначала выполняется вычитание, а потом умножение.

Справа: сначала выполняются два умножения, а потом – вычитание.

Интересно:

В левой части выполняется два действия: сложение и умножение, в правой части – три действия: два умножения и одно сложение. Таким образом, используя распределительный закон умножения, можно уменьшить количество вычислений, тем самым сократить время и возможность ошибки в расчетах.

Легко проиллюстрировать распределительный закон умножения с помощью модели клетчатого многоугольника, так, как это делали древние греки.

У древних греков произведение двух натуральных чисел изображалось как площадь соответствующего прямоугольника. Итак, если площадь соответствующего прямоугольника (одного и второго) – это произведение их сторон и при этом одна из этих сторон одинаковая (что видно на рисунке), эти прямоугольники могут соединиться одной стороной и получится прямоугольник, у которого одинаковая сторона осталась такой же, а вторая сторона стала равной сумме сторон бывших прямоугольников.

Иллюстрация распределительного закона умножения:

Как можно применить распределительный закон умножения?

Примеры:

1) 239 * 411 + 239 * 589 =

Если считать в таком виде, потребуется 2 умножения и 1 сложение, причем числа достаточно большие и операция будет трудоемкая.

Если использовать распределительный закон умножения, то есть вынести общий множитель «239» за скобки,

239 * (411 + 589) =

то в скобках получается сумма, которая равна 1000,

239 * 1000 = 239000,

а значит все произведение равно 239000 (практически устный пример).

2) Иногда, применение распределительного закона умножения не так легко увидеть и тем не менее он может существенно упростить вычисление.

116 * 240 – 239 * 86 =

Никаких общих множителей нет, казалось бы где здесь применять распределительный закон.

Единственным намеком является то, что «240» и «239» достаточно близкие числа и можно написать так:

(239 + 1) * 116 – 239 * 86 =

Теперь распределительный закон умножения применяется очевидней, мы раскрываем скобки:

239 * 116 + 1 * 116 – 239 * 86 =

Поменяем местами порядок слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 239:

116 + 239 * (116 – 86) = 116 + 239 * 30 = 116 + 7170 = 7286.

Как «239» умножить на «30»? Нужно умножить на «3» и приписать «0».

Как «239» умножить на «3»? Можно умножить в столбик, а можно сказать, что «239» – это почти «240», а «240» умножить на «3» легко: «24» умножить на «3» - это «72», приписываем «0» = «720». Отсюда, «239» умножить на «3» - это «720» минус «3» = «717».

239 * 3 = (240 – 1) * 3 = 720 – 3 = 717 (и здесь мы тоже воспользовались распределительным законом умножения для вычитания).