Урок 9. Взаимное расположение сферы и тел вращения
Предмет: Геометрия, 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №9. Взаимное расположение сферы и тел вращения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

взаимное расположение сферы и цилиндра, конуса и усеченного конуса;
цилиндр, конус, усеченный конус, описанный около сферы;
касательная прямая к сфере и ее свойства;
цилиндр, конус, усеченный конус, вписанный в сферу.

Глоссарий по теме

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.

Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности.

Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности.

Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной прямой):

Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы

проведенному к точке касания

Теорема (признак касательной прямой):

Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.

Теорема:

Отрезки касательных к сфере, проведенных из одной точки, равны.

Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере.

Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.

Конусом, вписанным в сферу, называют такой конус, окружность оснований которого и вершина лежат на сфере.

Если конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около конуса.

Усеченным конусом, вписанным в сферу, называют такой усеченный конус, окружности оснований которого лежат на сфере.

Если усеченный конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около усеченного конуса

Равносторонним называется цилиндр, высота которого равна диаметру основания

Равносторонним называется конус, образующая которого равна диаметру основания

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и его боковой поверхности.

Появляется рисунок

O и O1 - точки касания сферой оснований цилиндра

Окружность, проходящая через точки C, D и E - окружность, по которой сфера касается боковой поверхности цилиндра

Осевое сечение цилиндра с вписанной в него сферой - квадрат с вписанной в него окружностью

Определение

Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности.

O - точка касания сферой основания конуса

Окружность, проходящая через точки C, D и E - окружность, по которой сфера касается боковой поверхности конуса

Осевое сечение конуса с вписанной в него сферой - равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью

Определение

Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований усеченного конуса и его боковой поверхности.

O и O1 - точки касания сферой оснований усеченного конуса.

Окружность, проходящая через точки C, D и E - окружность, по которой сфера касается боковой поверхности усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса с вписанной в него сферой - равнобедренная трапеция с вписанной в нее окружностью

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ И ПРЯМОЙ

dR, d=OH

Прямая является секущей.

MC - хорда, OHMC

dR, d=OH

Прямая не имеет со сферой общих точек

OH

d=R

OH=R=d

Прямая касается сферы.

Определение

Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной прямой):

Касательная прямая перпендикулярна радиусу сферы

проведенному к точке касания

Теорема (признак касательной прямой):

Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.

Теорема:

Отрезки касательных к сфере, проведенных из одной точки, равны.

Определение

Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере.

Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.

Появляется рисунок

Определение

Конусом, вписанным в сферу, называют такой конус, окружность оснований которого и вершина лежат на сфере Если конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около конуса

Определение

Усеченным конусом, вписанным в сферу, называют такой усеченный конус, окружности оснований которого лежат на сфере.

Если усеченный конус вписан в сферу, то сферу называют описанной около усеченного конуса

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Конус с углом 1200 при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R. Найдите Sсф, если:

1) r=3

2) r=4

3) r=2

Решение:

Сделаем чертеж: осевое сечение конуса с описанной сферой.

Ридиус сферы - это отрезок Осф А.

Так как АСВ=120°, то АСОсф=60°. ∆АСОсф равносторонний, поэтому Осф А=АС.

Из треугольника АСОкон найдем АС.

.

То есть R=.

Площадь сферы равна S=4πR2=

Теперь найдем значение площади сферы для каждого значения r.

1) r=3

S=

2) r=4

S=

3) r=2

S=

2. Усеченный конус вписан в сферу. Найдите площадь шарового слоя, ограниченного основаниями конуса, если радиусы усеченного конуса равны 4 и 10, а образующая равна 10.

Решение:

Сделаем чертеж: осевое сечение усеченного конуса, на котором обозначены радиусы описанной сферы.

Площадь шарового слоя равна S=2πRh, где h - его высота, R - радиус сферы.

Фактически для ответа на вопрос задачи требуется найти высоту трапеции и радиус описанной около трапеции окружности.

По условия задачи:

АВ=10

ВС=2rв.о. =8

AD=2rн.о. =20.

Найдем высоту трапеции из прямоугольного треугольника АВН.

Так как трапеция равнобедренная, то АН=6. Поэтому ВН=8.

Теперь нужно найти R. Радиус описанной около трапеции можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника ABD.

Найдем радиус описанной окружности, используя формул площади треугольника:

.

Для того чтобы использовать эти формулы, нам нужно найти длину стороны BD.

Из треугольника BDH длина BD=2.

Тогда подставим все значения в равенство: .

.

Отсюда R= .

Теперь найдем искомую площадь:

S=2πRh= .

Ответ: Sш.п. .