Урок 33. Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а
Предмет: Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №33. Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

преобразование несложных тригонометрических выражений с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а;
вычисление значения тригонометрических выражений с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а;
доказательство несложных тригонометрических тождеств с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а;
решение несложных тригонометрических уравнений с использованием зависимости между синусами и косинусами, тангенсами и котангенсами аргументов а и –а.

Глоссарий по теме

Равносильные уравнения - Уравнения, множества корней которых совпадают.

Радианная мера угла - Отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Сегодня мы познакомимся со свойством синуса, косинуса и тангенса противоположных углов.

Давайте вспомним координаты симметричных точек. Если точки в координатной плоскости симметричны относительно оси Ох, то их абсциссы одинаковы, ординаты противоположные числа. Например, А(-2;3) симметрична В(-2; -3) относительно оси Ох.

Если точки симметричны относительно оси Оу, то у них одинаковые ординаты, абсциссы противоположны. Это точки А(-2;3) и С(2;3).

Рисунок 1 – точки A, B, C, D на координатной плоскости

Пример. Точка А(-7;8) симметрична точке В относительно оси Ох (рис. 1).

Найдите координаты точки В.

Выберите правильный ответ:

1)(7;-8); 2)(-7;-8); 3) (7;8).

Ответ: 2.

Точка С(3,5;-9) симметрична точке D относительно оси Оу. Найдите координаты точки D.

Выберите правильный ответ:

1)(3,5;9); 2)(-3,5;-9); 3) (-3,5;9).

Ответ: 2.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Рисунок 2 – точки М1, М2 на единичной окружности

Точка М1 получена поворотом точки Р(1;0) на угол , а точка М2 на угол .Точки М1и М2 будут симметричны относительно оси Ох, так как ось Ох делит угол пополам. Значит, у этих точек одна и та же абсцисса. Мы знаем, что абсцисса точки на единичной окружности это косинус угла. Значит (1).

Ординаты точек противоположные числа. А так как ордината точки на единичной окружности это синус угла, то (2).

Тангенс угла - это отношение синуса угла на косинус угла.

Получаем формулу (3)

Аналогично доказывается, что (4).

Равенства (1)-(4) позволяют сводить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Например: ;

;

.

Обратите внимание: если нам нужно вычислить квадрат числа, то правила знаков не применяем, так как в квадрате число всегда неотрицательно.

Например:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Упростим выражение .

Пример 2. Докажем тождество

Преобразуем левую часть тождества

.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.