Построение фигур, симметричных относительно заданной точки или прямой. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться применять симметрию на практике, строить более сложные симметричные фигуры.

Всем привет!

Мы продолжаем путешествие по прекрасному миру геометрии. Теперь мы с вами умеем строить фигуры, симметричные как относительно точки, так и относительно прямой. У нас с вами есть алгоритмы построения фигур, которые вы уже должны были применять, выполняя задания прошлого урока.

Сегодня мы с вами продолжим строить симметричные фигуры. Но теперь мы будем использовать в построении только циркуль и карандаш, а линейкой лишь будем соединять получившиеся точки.

Начнём с самого простого. Возьмём отрезок АВ и точку О, не лежащую на этом отрезке.

Задание: построить фигуру, симметричную отрезку АВ относительно точки О. Перед построением давайте обговорим, какую фигуру мы получим в итоге? Я верю в то, что сейчас вы все хором сказали отрезок! Ведь вы все знаете определение! А кто забыл, быстро его повторите.

Вы скажете, что отрезок мы с вами уже строили, но мы его строили с использованием измерительной линейки, а сейчас мы будем использовать циркуль! Итак, возьмём в руки циркуль, иголку циркуля поставим на точку О, а грифель циркуля ставим на точку А, получаем раствор циркуля, равный расстоянию от точки А до точки О. Теперь проводим окружность с центром в точке О и радиусом ОА. Теперь возьмём линейку и проведём прямую ОА: данная прямая пересекает окружность с центром О и радиусом ОА в некой точке А/. Что мы имеем: точки А и А/ лежат на одной прямой, расстояние от точки О до точки А равно расстоянию от точки О до точки А/. Значит, по определению, точка А симметрична точке А/ относительно точки О. Аналогично строим точку В/. И получаем отрезок А/В/, симметричный отрезку АВ относительно точки О.

Предлагаю нарисовать на листе бумаги домик, который состоит из двух геометрических фигур: квадрата и треугольника. Соответственно квадрат – это стены, а треугольник – крыша. И отметим произвольную точку О, не лежащую в нашем домике. Дадим дому название АВСDЕ, где С – это вершина крыши. Берём циркуль, ставим иголку в точку О, грифель ставим на вершину крыши С, проводим окружность с радиусом ОС, получаем окружность. Проводим прямую СО, она пересекает окружность в точке С/. Далее ставим грифель на вершину В, иголка так и остаётся в точке О. Строим окружность с радиусом ОВ, проводим прямую ВО, которая пересекает окружность в точке В/. Аналогично производим эти же действия с оставшимися вершинами. Теперь поочерёдно соединяем точки: А/ с В/, В/ с С/, С/ с D/, D/ с Е/, Е/ с А/, В/ с D/. Получаем домик А/В/С/D/Е/, симметричный домику АВСDЕ относительно точки О.

Теперь поговорим про осевую симметрию. Если вы знаете определение, то должны понимать, что здесь нам надо будет научиться строить перпендикуляр с помощью циркуля. Не будем терять время, приступим к работе.

Пусть дана прямая АВ и точка О, не лежащая на данной прямой. Берём циркуль, иголку ставим в точку О, берём произвольный раствор циркуля (больше, чем расстояние от точки О до прямой), и проводим окружность. Окружность пересекает прямую АВ в двух точках С и Е. Теперь ставим иголку циркуля в точку С, раствор циркуля делаем произвольный, проводим окружность, затем ставим иголку циркуля в точку Е и проводим окружность того же радиуса. Эти две окружности пересекаются в двух точках О1 и О2, причём эти две точки лежат на одной прямой с точкой О. Соединим их и получим прямую ОО1, перпендикулярную прямой АВ. Прямая ОО1 пересекает прямую АВ в точке F. Поставим иголку циркуля в точку F, а грифель в точку О, проведём окружность с радиусом ОF, получившаяся окружность пересекает прямую ОО1 в точке О/. Итак, что мы имеем: прямая ОО1 перпендикулярна прямой АВ, точка F – точка пересечения прямой ОО1 и АВ, отрезок ОF равен отрезку FО/, значит точка О/ симметрична точке О относительно прямой АВ.

На первый взгляд это кажется сложным и долгим. Но если это проделать ни один раз, всё становится простым и понятным!

Не будем скучать, начнём построение! Задание таково: постройте фигуру, симметричную треугольнику АВС относительно прямой а. Приступим. Начнём построение с точки А. Берём циркуль, ставим иголку в точку А и проводим окружность такую, чтобы она пересекла прямую а в двух точках, из каждой получившейся точки строим окружности одного радиуса (данные точки центры окружностей), окружности пересекутся в двух точках, соединяем их прямой, и причём точка А также лежит на этой прямой, получили перпендикуляр к прямой а. Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую а в точке А1. Ставим иголку циркуля в точку А1, а грифель в точку А, проводим окружность радиусом АА1: данная окружность пересекает перпендикуляр в точке А/. А/ – искомая точка. Аналогичные действия делаем с оставшимися точками. Соединяем точку А/ с точкой В/, точку В/ с точкой С/, точку С/ точкой А/. Треугольник А/В/С/ – искомый.

Обратите внимание, что рисунок практически не зависит от прямой а. Мы можем провести эту прямую даже через треугольник – образ всё равно будет таким же треугольником, как исходный!

Сегодня мы с вами поработали с циркулем и познакомились с основами построения фигур, используя этот инструмент. Более подробно работу с циркулем вы освоите в 8 классе.

Спасибо за внимание! До новых встреч!

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры:

1. Постройте симметричные фигуры относительно точки для треугольника, ромба, произвольного пятиугольника, используя циркуль; сравните это построение с построением, используя линейку.

2. Постройте окружность с центром в точке О, отметьте точку А так, чтобы она находилась от точки О на расстоянии большем, чем радиус окружности и постройте фигуру, симметричную данной окружности относительно точки А, используя циркуль.

3. Напишите алгоритм построения фигур, симметричных относительно точки, используя циркуль.

Рекомендуемые тесты:

1. Постройте симметричные фигуры относительно прямой для трапеции, ромба и произвольного шестиугольника, используя циркуль.

2. Постройте фигуру, симметричную данной фигуре относительно прямой, используя циркуль.

Как можно упростить построение?

3. Напишите алгоритм построения фигур, симметричных относительно прямой, используя циркуль.