Множество целых и множество рациональных чисел. Изображение чисел на числовой прямой. Сравнение чисел. Противоположные числа. Часть 1 (теория).
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: актуализировать представления о числовой прямой; ввести понятия множества рациональных чисел, противоположных чисел.

Здравствуйте! Сегодня мы узнаем кое-что новое о множестве чисел.

Пример 1.

Рассмотрим задачу. Портовый кран движется по рельсам вдоль причала с запада на восток. Начав работу, кран проехал в направлении на восток 300 метров, а потом в направлении на запад: а) 200м, б) 400м. На сколько метров он в результате переместился?

В обоих случаях кран переместился на 100 метров. Разница между пунктами задачи лишь в том, что в первом варианте кран переместился на 100 метров на восток, а во втором варианте кран переместился на 100 метров на запад.

Таким образом, в этой задаче мы столкнулись с понятием противоположности.

Вообще, в жизни очень много противоположностей: северный и южный полюса, добро и зло, притяжение и отталкивание, тепло и холод.

Пример 2.

Чтобы выступить в определённой весовой категории, боксёр начал следить за своей массой. За первый день он стал тяжелее на 300 грамм, а во второй день он стал легче на: а) 200г, б) 400 г. Легче или тяжелее стал боксёр после двух дней и на сколько?

В обоих случаях масса изменилась на 100 грамм, только в первом случае она увеличилась, а во втором случае – уменьшилась.

Как же отразить эти изменения с помощью математики?

Рассмотрим уличный термометр.

Когда на улице мороз, мы говорим, что температура отрицательная, или противоположная +6-ти градусам.

Попробуем посмотреть, где же располагаются такие числа на числовой прямой.

Рассмотрим координатный луч и несколько точек на нём.

Куда мы сможем поставить числа, противоположные данным? Логично будет расположить их слева от нуля. Отложить единичный отрезок влево, затем ещё один и ещё. Так и получится точка А-кучерявое. Заметим, что А-кучерявое будет противоположно точке А. Так же заметим, что начало координатной прямой в данном случае является серединой отрезка АА-кучерявое.

Аналогично построим точку В-кучерявое, ей будет соответствовать координата, противоложная координате точки В. То есть В-кучерявое(-5,5).

Числа, располагающиеся справа от нуля, мы называем положительными, справа от нуля – отрицательными.

Теперь перед нами уже не координатный луч, а координатная прямая. Для её задания необходима: точка отсчёта, направление и единичный отрезок. Такую прямую так же иногда нзывают числовой прямой.

Изменения величин очень удобно записывать положительными и отрицательными числами.

Как, например, можно записать время, эквивалентное пяти часам назад? (-5 часов) А через 5 часов? (+5 часов)

При денежных расчётах +5 рублей будет означать «добавить 5 рублей, прибыль в количестве 5 рублей», а -5 рублей будет означать «убыток, понесённый в количестве 5 рублей».

Можно ли считать числа -3 и 4,1 противоположными? С одной стороны, одно из них отрицательное, другое положительное… Но беда в том, что расстояние от этих точек до точки отсчёта координатной прямой разное. Кроме того, числу -3 противоположно число 3.

Мы с вами договорились, что факт противоположности мы будем записывать, используя знак «-». Но имеет ли смысл запись «-(-3)»? Конечно, да! Эта запись всего лишь означает, что мы ищем число, противоположное «-3». Разумеется, это число 3.

Запишите числа противоположные данным:

4
-4

2 5/7
- 2 5/7

1/3
-1/3

-20,03
20,03

а
-а

-3b
3b

Совершенно не значит, что, если у нас есть запись «–а», то число а – отрицательное. Минус в данном случае является лишь неким символом, который говорит о том, что это число противоположно а.
-(-а) = а

Решите уравнения:

–x=2,73 => x=-2,73

–(-r)=2,7 => -r=-2,7 => r=2,7

–t=-1/7 => t=1/7

–(-n)=-3 => -n=3 => n=-3

Разеберём пример с координатной прямой, на которой отмечены точки.

Попробуем узнать, чем равно каждое из расстояний между точками

|OB|=1,5
|CD|=2,7
|BC|=2,8
|BE|=4
|ED|=9,5

Подведём итоге: противоположные числа отличаются друг от друга только знаком. Каждое число имеет только одно противоположное ему число. Число, противополжное положительному, является отрицательным. Число, противополжное отрицательному, является положительным. И только 0 противоположен сам себе. Поэтому формально мы можем писать +0=-0.

Так же мы научились изображать на координатной прямой положительные числа – натральные и дробные, а так же, противополжные им.

Все вместе эти числа: натуральные, дробные положительные, ноль, противоположные вышеперечисленным, называются рациональными числами. Среди всех рациональных чисел особенно выделяют целые числа: натуральные, им противоположные и ноль. Записывают это так:

0, ±1, ±2, и так далее. Для сокращения записи мы у положительных чисел будем «откидывать» +. То есть, писать просто: 1.

Сейчас попробуем сыграть в математическое лото и заполнить таблицу.

Целые
-239
-80
1
9
0

Дробные
7/3
-2/5
-1 52/53
0,2
2,26
3 5/11

Неотрицательные
7/3
0,2
2,26
3 5/11
9
0

Отрицательные
-239
-2/5
-1 52/53
-80

Натуральные
1
9

Перед нами рациональные числа!

Древнегреческий философ Сократ однажды сказал: «Я знаю, что ничего не знаю». Нет ли в этом противоположности?

Вывод: сегодня мы познакомились с понятием противоположного числа, расширили понятие координатного луча до понятия координатной прямой, познакомились с множеством рациональных чисел.