Количество натуральных делителей
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цели и задачи урока: создание условий для совершенствования знаний , умений и навыков деления натуральных чисел и способов действий в измененных условиях и нестандартных ситуациях.

Предметные результаты: моделировать арифметические действие и ход их выполнения, выбирать алгоритм решения нестандартной задачи, решать задачи на основе зависимости между компонентами и результатом арифметического действия.

Метапредметные и личностные результаты: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, сравнивать и анализировать информацию, делать выводы на основе полученной информации.

Рассмотрим, сколько натуральных делителей имеет натуральное число.

Единица имеет ровно один натуральный делитель – себя саму.

Сколько натуральных делителей имеет простое число?

По определению, их ровно 2: это единица и само простое число.

Единица и само число – те делители, которые есть у любого натурального числа, просто у составного числа есть ещё делители.

Пример:

Сколько натуральных делителей у числа 35?

Решение:

Делителем числа 35 является такая степень числа 3, у которой показатель меньше либо равен 5. (Включая единицу, т.к. 1 = 30).

Итого, всего делителей 6: 30=1, 31, 32, 33, 34, 35.

Заметим, что показатель числа равен 5, а делителей 6, т.е. 5+1.

Пример:

Сколько натуральных делителей у числа 58?

Ответ: по тем же причинам их 9=8+1. Это все степени числа 5 от нулевой до восьмой.

Пример:

Сколько натуральных делителей у числа 68?

Решение:

1. Ответ: 9 натуральных степеней числа 6 от нулевой до восьмой будет неверным, поскольку, кроме степеней числа 6, у числа 68 есть другие делители, например, 12 или 18.

2. Рассмотрим каноническую запись данного числа: 68=28∙38. Каждый делитель числа есть произведение степени числа 2, не большей 8, на степень числа 3, не большую 8

3. Рассмотрим делители, в разложение которых 2 входит в 8 степени:

28∙38, 28∙37, 28∙36, 28∙35, 28∙34, 28∙33, 28∙32, 28∙31, 28∙30.
Таких делителей 9 (столько, сколько делителей числа 38).

4. Рассмотрим делители, в разложение которых 2 входит в 7 степени:

27∙38, 27∙37, 27∙36, 27∙35, 27∙34, 27∙33, 27∙32, 27∙31, 27∙30.
Таких делителей снова 9 (столько, сколько делителей числа 38).

5. Значит, делителей, в канонической записи которых есть заданная степень двойки, будет ровно 9.

6. Различных степеней двойки в составе делителей может быть 9 (от нулевой до 8).

7. Тогда всего делителей числа 68=28∙38 будет 9∙9.

Ответ: 81 натуральный делитель.

Пример:

Сколько натуральных делителей у числа 35 * 79?

Решение:

1. В каноническом разложении его делителей должны быть только множители 3 (в степени, не большей 5) и 7 (в степени, не большей 9).

2. Делителей с определенной степенью тройки (например, 32), будет 9+1 (столько может быть допустимых степеней семерки).

3. Возможных степеней тройки в делителях 6=5+1.

4. Таким образом, количество натуральных делителей числа 35∙79 равно (5+1)(9+1).

Ответ: 60 натуральных делителей.

Пример:

Сколько натуральных делителей у числа 35*79*56?

Решение:

1. В каноническое разложение делителя такого числа должны входить множители 3 (в степени, не превосходящей 5), 7 (в степени, не превосходящей 9), 5 (в степени, не превосходящей 6).

2. Таким образом, любой делитель исходного числа есть произведение 5 в степени, не превосходящей 6, и делителя числа 35∙79.

3. Опираясь на уже полученный результат, получаем количество делителей числа 35∙79∙56 равно (5+1)(9+1)(6+1).

Ответ: 420 делителей.

Общее правило для нахождения количества натуральных делителей:

Для того, чтобы найти количество делителей натурального числа, можно:

1. Записать это число в канонической форме;

2. Перемножить показатели простых чисел канонической формы, увеличенные на 1.

Пример:

Найти все числа, меньшие 100, количество натуральных делителей которых равно 5.

Решение:

1. Заметим, что 5 – простое и не представимо в виде произведения за исключением случаев: 1*5.

2. Значит, в каноническом разложении искомых чисел есть только одно простое число, находящееся в степени 4, т.е. n = p4.

3. Выясним, какие простые числа в четвёртых степенях меньше 100:

24 = 16 < 100;

34 = 81 <100;

54 = 625 > 100.

Ответ: 16 и 81.

Использовать формулу количества натуральных делителей полезно не всегда.

Пример:

Для каких натуральных чисел количество делителей равно самому числу?

Решение:

Здесь будем опираться на мысль о том, что все делители числа, кроме него самого, меньше него.

Если количество делителей равно самому числу, значит, все натуральные числа, меньшие, либо равные, чем само это число, являются делителями этого числа.

Заметим, что такое встречается не так уж часто, поскольку предыдущее число никогда не является делителем последующего за ним (за исключением двойки).

А у числа 2 ровно 2 натуральных делителя.

В этой задаче писать формулу количества натуральных делителей, не нужно.

А есть задачи, где к решению можно прийти и написав эту формулу, и не написав её.

Пример:

Что можно сказать о натуральном числе, если его количество натуральных делителей нечётно?

Решение:

1 способ.

Количество натуральных делителей – это произведение показателей степеней в каноническом разложении, увеличенных на единицу: (a+1)(b+1)*…

Если это произведение нечётно, тогда все множители нечётны (если встретился хотя бы один чётный, то и всё произведение будет чётным).

То есть a + 1 – нечетное число;

b + 1 – нечетное число и т.д.

Значит, a, b и т.д. – чётные числа. Все степени простых в разложении будут чётными числами. Это значит, что число является квадратом натурального числа.

Пример:

24 * 32 * 56 = (22 * 3 * 53)2

2 способ.

Если число a является делителем числа n, то тогда n = a*b.

Тогда b тоже является делителем числа n. Значит, делители разбиваются на пары, в произведении дающие n. Но если так, то их количество чётно. А у нас по условию, оно нечётно. Такое может произойти, только если нашёлся делитель, который является парой к самому себе. Значит, в произведении сам на себя даёт число n. Значит, n является квадратом натурального числа.