Урок 69. Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел
Предмет: Математика, 6 класс

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 69

Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел

Перечень рассматриваемых вопросов:

– десятичная дробь, приближённое значение, округление;

– значащая цифра десятичной дроби;

– приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.

Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.

Значащая цифра десятичной дроби – это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зачастую необходимо быстро прикинуть результат, который получается при сложении, вычитании, умножении или делении двух десятичных дробей. Если дроби имеют много знаков после запятой, выполнить эти действия быстро довольно сложно. Для этого используют правила приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближений.

Поясним на примере.

1,45 + 2,32

Округлим данные числа до десятых.

1,45 ≈ 1,5

2,32 ≈ 2,3

Сложим приближённые значения дробей.

1,5 + 2,3 = 3,8

Проверим с исходными числами.

1,45 + 2,32 = 3,77

Округлим сумму до десятых.

3,77 ≈ 3,8

Получили тот же результат.

Итак, чтобы вычислить приближённую сумму или разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, то есть до одного и того же разряда. Затем сложить или вычесть полученные приближения.

Рассмотрим пример.

23,184567 + 4,4486

Округлим эти числа с точностью до одной сотой.

23,184567 ≈ 23,18

4,4486 ≈ 4,45

Найдём сумму приближённых значений.

23,18 + 4,45 = 27,63

23,184567 + 4,4486 ≈ 27,63

Теперь рассмотрим умножение и деление.

Чтобы вычислить приближённое произведение или частное двух чисел, надо округлить эти числа с точностью до одной и той же значащей цифры, перемножить или разделить полученные приближения и результат округлить до той же значащей цифры.

Пусть даны числа.

246,76556 и 0,0078653

Найдём их произведение и частное.

Округлим числа до трёх значащих цифр.

246,76556 ≈ 247

0,0078653 ≈ 0,00787

Вычислим произведение их приближений.

247·0,00787 = 1,94389

Округлим результат также до трёх значащих цифр.

1,94389 ≈ 1,94

Получаем, что

246,76556 · 0,0078653 ≈ 1,94

Вычислим частное приближений этих чисел и тоже округлим его до трёх значащих цифр.

247 : 0,00787 = 31385,00635… ≈ 31400

Получаем, что

246,76556 : 0,0078653 ≈ 31400

Точность вычислений находится в противоречии с простотой вычислений. Чем большим количеством цифр мы пользуемся, тем точнее наш результат.

Пример

Вычислить 2,26372.

Для простоты вычислений округлим до одной значащей цифры.

2,2637 ≈ 2

Тогда 22 = 4.

Округлим до двух значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,3

Тогда 2,32 = 5,29

Округлим до трёх значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,26

2,262 = 5,1076

Если же посчитать не приближённый, а реальный результат, то получается

2,26372 = 5,12433769

Видим, что наиболее приближённый к реальному результат дало нам округление до трёх значащих цифр. А самый далёкий от реального результат дало округление до одной значащей цифры.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Вставьте вместо пропусков верные цифры.

Задание. Вычислите приближённое значение произведения, округлив множители до двух значащих цифр.

2,465·1,923 ≈ ...

Решение

Округлим множители до двух значащих цифр.

2,465≈ 2,5

1,923≈1,9

Найдём произведение приближённых значений.

2,5·1,9=4,75

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

4,75≈4,8

Ответ:2,465·1,923 ≈4,8.

Тип 2. Подстановка элементов в пропуски в тексте

Нахождение приближённого значения частного десятичных дробей

Задание. Вставьте вместо пропуска цифру, чтобы получилось верное равенство.

3,_781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Решение. При нахождении приближённого значения частного, числа были округлены до двух значащих цифр. В делимом третья значимая цифра 7, значит, при округлении ко второй цифре прибавили единицу. Получилось 6, значит, исходная цифра – это 5.

Ответ: 3,5781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Тип 3. Добавление подписей к изображениям

Нахождение приближённого значения произведения и частного десятичных дробей

Задание. Округлив числа a и b с точностью до двух значащих цифр, найдите и впишите результаты действий.

a = 191,452; b = 0,004868

a : b =

a · b =

Решение

Округлим числа до двух значащих цифр.

191,452 ≈ 190

0,004868 ≈ 0,0049

Найдём частное приближённых значений.

190 : 0,0049 = 38775,5

Округлим до двух значащих цифр.

38775,5... ≈ 39000

Найдём произведение приближённых значений.

190 · 0,0049 = 0,931

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

0,931 ≈ 0,93

Ответ:

a : b = 39000

a · b = 0,93