Простейшие комбинаторные задачи. Часть 1 (теория)
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: научить учащихся находить возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и отвечающие условию задачи; научить правильно решать комбинаторные задачи с помощью составления таблицы, с помощью комбинаторного правила умножения.

Предметные результаты: ознакомление обучающихся с решением комбинаторных задач с использованием метода перебора вариантов и правилом умножения.

Метапредметные и личностные результаты: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач, сравнивать и анализировать информацию, делать выводы на основе полученной информации.

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы рассмотрим простейшие комбинаторные задачи. Задачи, в которых описана система объектов с наложением некоторых условий и вопросом о количестве вариантов доступного решения, называется комбинаторной задачей.

Рассмотрим пример.

Пример 1 (или аналог). Ученики Олеся, Марианна и Данила делят между собой красную, зелёную и фиолетовую конфеты. Сколько вариантов распределения конфет у них может получиться?

Посмотрим, сколько разных вариантов конфет может попасть к Олесе. Их целых три. Допустим, Олеся выбрала один из них. Теперь очередь Марианны. У неё уже только два варианта для выбора, потому что количество конфет уменьшилось после того, как Олеся взяла себе одну. А у Данилы будет только один вариант выбрать конфету - он просто возьмёт оставшуюся.

Поскольку при любом из трёх возможных вариантов взять конфету у Олеси, у Марианны есть 2 варианта, а у Данилы 1, можно выразить общее количество вариантов в виде произведения: 3*2*1 = 6.

Итого, у ребят есть 6 различных способов разделить эти конфеты между собой.

В зависимости от понимания значения слова «распределить», задачу можно было решать и по-другому. Например, предоставив одному из учеников все три конфеты, а остальным – ни одной. Тогда возможных вариантов было бы три.

Так же слово «распределить» можно понять с той точки зрения, что одному ученику достаётся 2 конфеты, другому – одна, а третьему – ни одной. В таком случае возможных вариантов было бы 6.

И, наконец, случай, при котором каждому ученику достаётся по одной конфете (если нам не важно, какая это именно конфета), всего один.

Итого, всего 10 различных вариантов без учёта порядка конфет.

Промежуточный итог.

Важно понимать, что именно в таких задачах понимается слово «распределить»

Рассмотрим ещё пример.

Пример 2. (или аналог). У Светы 30 различных карандашей и 40 различных ручек. Сколько у неё существует способов выбрать карандаш и ручку?

Заметим, что карандаши, как и ручки, различны.

Сколько можно составить пар с одним конкретным карандашом?

К одному карандашу можно выбрать любую из сорока ручек. Но таких карандашей 30.

Значит, общее количество способов выбрать пару составляет: 30*40=1 200.

В предыдущем примере для решения задачи мы применили правило умножения, которое состоит в том, что если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами.

Рассмотрим ещё пример.

Пример 3. (или аналог) У мамы есть 5 различных карандашей, 6 различных ручек и 4 различных фломастера. Сколькими способами она сможет выбрать для сына два предмета с разными названиями?

Посмотрим на комбинацию «карандаш-ручка». Для этой комбинации способов: 5*6 = 30.

Для комбинации «ручка-фломастер»: 6*4 = 24.

И, наконец, третья комбинация «карандаш-фломастер», дает 5*4 = 20 способов.

Общее количество вариантов получается сложением всех способов, полученных в каждом из случаев: 30+24+20=74.

Решение предыдущего примера кажется довольно простым, но содержит в себе применение очень важного правила - правила сложения. Формулируется оно так: если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.

Так же при решении этой задачи мы столкнулись с разбором случаев.

Если в каких-то задачах так же необходим разбор случаев, то общий ответ получится как сложение чисел, являющихся ответами в каждом из случаев.

Главное, чтобы случаи не пересекались.

Рассмотрим термин «случаи не пересекаются» на примере.

Пример 4. (или аналог) В премьер-лиге чемпионата России по футболу принимает участие 16 команд. Сколько было сыграно игр в первом круге, если каждая команда играет с каждой?

На первый взгляд, решение кажется совсем простым. Всего 16 команд, каждая сыграла с каждой, значит, 15 матчей. Значит, всего было сыграно: 15*16=240 матчей.

Однако, при таком рассуждении есть некоторая трудность: каждая игра учтена дважды: для первой команды, и для второй команды. Но при этом игра была всего одна! Вот так и получилось «пересечение случаев».

Значит, правильными будут такие рассуждения: (16*15):2=120 матчей.

«Пересечением случаев» будем называть вариант решения задачи, в котором один и тот же случай учтён более, чем один раз.

Рассмотрим ещё пример, в котором важно пересечение и непересечение случаев.

Пример 5. (или аналог) Сколько существует чисел, не больших, чем двузначных, в записи которых используется цифра 3?

В каждом десятке тройка встречается один раз в разряде единиц. Таким образом, от 1 до 99 она встретится 10 раз. Так же цифра 3 может встречаться и на первом месте. Например, в числах 30, 31 и т.д. Здесь таких случаев 10. Значит, всего 10 +10 = 20 чисел.

Ошибочная часть этого рассуждения состоит в том, что число 33 посчитано дважды, поскольку цифра 3 есть в нём в обоих разрядах.

Значит, правильным подсчётом будет такой: 10+10-1 = 19.

Пример 6. (или аналог) Взломщик знает, что код двери состоит из 3 цифр, одна из которых расположена в верхнем ряду кнопок (то есть от 0 до 4), а две других – в нижнем. Сколько различных комбинаций ему гарантированно придётся попробовать прежде, чем он взломает замок?

Представим себе кодовый замок:

Зафиксируем какую-нибудь кнопку из верхнего ряда. Например, 2. Посмотрим, сколько для неё существует вариантов во втором ряду. Предположим, что одна из кнопок – 5. Посчитаем количество различных вариантов.

Для 5: 5-6, 5-7, 5-8, 5-9 – 4 варианта;

Для 6: 6-7, 6-8, 6-9 – 3 варианта;

Для 7: 7-8, 7-9 – 2 варианта;

Для 8: 8-9 – 1 вариант.

Всего здесь получилось: 4+3+2+1 = 10 вариантов.

Обратим внимание, что, таким образом, для одной зафиксированной кнопки в верхнем ряду у нас получилось 10 вариантов, а таких кнопок всего пять. Значит, всего вариантов будет 5*10 = 50.

Если предположить, что одна из комбинаций нажимается в течение секунды, то на взлом всего замка уйдет 50 секунд, то есть меньше минуты!

Задача 1. (или аналог) Наташа хочет подняться в гору и спуститься с неё. Сколькими способами Наташа сможет это сделать, если в гору ведёт 8 дорог?

Ответ: 64 способа.

Итак, сегодня мы познакомились с правилами суммы и произведения применяемыми при решении комбинаторных задач.

2. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры: (из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, занимательные задачи, №321, 323 (или аналог).

Рекомендуемые тесты: (из учебника Математика. 6 класс. Авторы: С.М. Никольский,

М.К. Потапов и др.) Глава 1, занимательные задачи, №322, 324 (или аналог).