Системы счисления. Часть 2
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Пратусевич Максим Яковлевич

Цели урока: закрепить знания о сиситемах счисления, научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

Продолжим разговор о системах счисления и научимся переводить из одной системы счисления в другую.

Как переводить из системы счисления с основанием 8 в систему счисления с основанием 10, мы научились на прошлом занятии. Нужно просто записать разрядные единицы в виде десятичных чисел и произвести арифметические действия в получившемся выражении.

Сегодня мы научимся переводить числа из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием.

Пример:

Переведем число 2175 в систему счисления с основанием 3.

1 способ.

Запишем разрядные единицы системы счисления с основанием 3:

1, 3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187…

36<2175<37.

Таким образом, старшим разрядом будет 36, нужно выяснить, сколько таких разрядных единиц будет – одна или две.

2175—729=1446, значит, поместится еще одна разрядная единица:

1446—729=717.

Конечно же, вместо двух вычитаний можно было сразу поделить с остатком 2175 на 729.

Теперь посмотрим, сколько раз в 717 поместится следующая разрядная единица 35=243:

717=2∙243+231;

2175=2∙36+2∙35+231.

Аналогично, 231=2∙81+69;

69=2∙27+15;

15=1∙9+6;

6=2∙3;

Таким образом, 2175=2∙36+2∙35+2∙34+2∙33+1∙32+2∙31+0∙30=22221203.

2 способ.

Представим себе, что мы уже представили число в системе с основанием 3.

Все разрядные слагаемые, кроме разряда единиц, кратны 3.

Значит, цифра в разряде единиц – остаток от деления нашего числа на 3.

Число 2175 кратно 3, значит, остаток от деления его на 3 равен 0, значит, в разряде единиц стоит 0.

Поделим наше число на 3 (если бы оно не было кратно 3, нужно было бы вычесть остаток от деления этого числа на 3):

2175:3=725.

Деление нашего числа на 3 соответствует тому, что у всех разрядных слагаемых степень числа 3 понизилась на 1.

И теперь та цифра, которая в исходном числе стояла перед 31, стала цифрой единиц в записи 725 в системе счисления с основанием 3, т.е. остатком от деления 725 на 3:

725=3∙241+2

Итак, вторая справа цифра – это 2.

Вычтем эту цифру из числа 725, получим 723=3∙241.

Снова поделив на 3, получим, что цифра, стоявшая перед 31 в записи числа 725 в системе счисления с основанием 3 (а значит, стоявшая перед 32 в записи исходного числа) стала цифрой единиц в записи числа 241.

Снова делим с остатком: 241=3∙80+1. Итак, третья справа цифра троичной записи исходного числа – это 1.

И так далее: 80=3∙26+2;

26=3∙8+2;

8=3∙2+2.

Чтобы перевести число в систему счисления, можно последовательно делить это число и получающиеся неполные частные на основание системы счисления. Полученные остатки дают цифры записи числа в данной системе счисления, в порядке справа налево.

1. Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. а) Запишите число 2390 в системе счисления с основанием 2;

б) Запишите в десятичной системе число 10010102.

2. Запишите число 2390 в системе счисления с основанием 8. В полученной записи замените каждую восьмеричную цифру ее двоичной записью (вместо 7 напишите 111, вместо 6 -- 110, вместо 5 -- 101 и т.д., вместо 3 -- 011, вместо 2 -- 010, вместо 1 -- 001, вместо 0 -- 000). Что заметили?

Объясните полученный результат.

3. Запишите 43526 в системе счисления с основанием 7.