Решение задач
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся теоремой об отрезках касательных, обсудить точки касания вписанной и вневписанной окружностей.

Здравствуйте!

Окружности, судя по тому, какими трудами нам далось даже просто понять, что такое расстояние между ними – весьма перспективная тема для исследований. Давайте, например, посмотрим, что можно получить из информации о том, что две пересекающиеся прямые касаются некоторой окружности.

Теорема

Отрезки пересекающихся касательных, ограниченные точкой пересечения и точками касания, равны.

Давайте проведем высоты в точки касания. Как мы знаем, они перпендикулярны касательным, а значит, если мы соединим точку их пересечения с центром окружности, то мы получим пару равных прямоугольных треугольников, у которых соответствующие катеты равны.

Давайте, воспользовавшись этой теоремой, попробуем установить, во-первых, где вписанная окружность касается сторон треугольника, а во-вторых, где прямые содержащие стороны касается вневписанная окружность.

Теорема

Пусть дан треугольник ABC с длинами сторон а,b,c (соответственно) и полупериметром p=(a+b+c)/2. Тогда расстояние от вершины A до точки касания вписанной окружностью стороны AC равно p-a.

Давайте внимательно посмотрим на наш треугольник. Каждый из его углов дает нам пару равных отрезков касательных. Обозначим их длины x,y,z. При этом периметр с одной стороны равен a+b+c, а с другой равен 2x+2y+2z. Таким образом, получается, что искомый х=p-(y+z)=p-a.

Следствие: если треугольник равнобедренный (и только в этом случае) основание биссектрисы совпадает с точкой касания.

Если равнобедренный – то p-a=p-b, а значит точка касания середина, куда и падает биссектриса.

С другой стороны, если там касается, то p-a=p-b, а значит a=b

Замечательно! Мы с вами доказали, что вписанная окружность касается стороны на расстоянии от вершины, равном разности полупериметра и длины стороны противолежащей данной вершине.

Теперь давайте рассмотрим вневписанную окружность.

Теорема

Пусть дан треугольник ABC с длинами сторон а,b,c (соответственно) и полупериметром p=(a+b+c)/2.

Вневписанная окружность, касающаяся стороны BC, касается продолжений стороны сторон на расстоянии p от вершины A и на расстоянии p-b и p-c от AC и AB соответственно. Сторону BC она делит также на отрезки p-b и p-c, считая от соответствующих вершин.

Давайте для начала рассмотрим данную структуру. Пусть окружность касается продолжений сторон в точках K и L, а стороны BC в точке M.

Тогда как отрезки касательных:

BK=BM, MC=CL, AK=KL.

Значит AK+KL=2p, что значит, при учете равенства, что AK=KL=p.

А тогда BK=p-c, CL=p-b.

Итак, сегодня мы с вами разобрались с тем, где именно окружности вписанные и вневписанные в треугольник касаются его сторон или их продолжений.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Из точки M, лежащей вне окружности радиуса 1, проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные MA и MB. Между точками касания A и B на меньшей дуге AB взята произвольная точка C, и через неё проведена третья касательная KL, образующая с касательными MA и MB треугольник KLM. Найдите периметр этого треугольника.

2. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Найдите радиус вписанной окружности.

Рекомендуемые тесты:

1. В равнобедренный треугольник с основанием, равным a, вписана окружность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три маленьких треугольника, сумма периметров которых равна b. Найдите боковую сторону данного треугольника.

2. Сторона AC треугольника ABC больше стороны AB. Вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке M, а вневписанная — в точке N. Докажите, что MN = AC - AB.