Деление одночлена и многочлена на многочлен
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: рассмотреть операцию деления многочлена и одночлена.

Всем привет!

Знаете ли вы, сколько всего существует арифметических действий? Все знают, что четыре. Мы разобрали сложение, вычитание и умножение, остаётся познакомиться с делением. Сегодня рассмотрим деление многочлена на одночлен.

Для начала, можно ли разделить одночлен на одночлен? Вспомним, что одночлен – это произведение чисел и букв. Т.е. если мы разделим произведение на произведение, то получится какая-то дробь. Хотелось, чтобы после деления одночлена на одночлен получился одночлен. Так вот, это будет происходить не всегда.

Разберёмся на примере.

Пример 1:

7х2у : ху

Здесь деление выполнить просто: х2 : х, а у : у, получаем

7х2у : ху = 7х – одночлен, значит деление в данном примере возможно.

Пример 2:

3х3у5z : 2x2y3

3:2 = 1,5

х3 : х2 = x

y5 : y3 = y2

Получаем:

3х3у5z : 2x2y3 = 1,5хуz – одночлен, выполнение деления возможно.

Пример 3:

5х4 : ху = 5х3/у – это не одночлен.

Сформулируем правило:

Чтобы разделить один одночлен на другой, необходимо отдельно разделить коэффициент первого одночлена на коэффициент второго и отдельно разделить по каждой букве.

Замечание: результат будет являться одночленом не всегда. Степень вхождения каждой буквы в первый одночлен делимого должна быть не меньше степени вхождения каждой буквы второго одночлена делителя.

А что делать, если мы делим многочлен на одночлен? Всё аналогично умножению. Каждый член многочлена нужно разделить на этот одночлен, полученные частные сложить.

Пример 4:

Выполнить деление

(4х3у – 3х2у2 + 2ху5) : (–7ху)

1. 4х3у: (–7ху) = –4/7х2

2. – 3х2у2 : ( –7ху) = 3/7ху

3. 2ху5: (–7ху) = –2/7у4

(4х3у – 3х2у2 + 2ху5) : (–7ху) = –4/7х2 + 3/7ху – 2/7у4

Получившиеся выражение – многочлен, потому что все члены удовлетворяли замечанию, указанному выше.

Пример 5:

Представить многочлен в виде произведения двух многочленов:

(5ху + 3ху2 + 2х3у) = 2ху ⋅ ___________

Умножение проверяется делением, поэтому, для того чтобы найти неизвестный многочлен, произведём деление:

(5ху + 3ху2 + 2х3у) : 2ху = 2,5 + 1,5у + х2 – искомый многочлен.

Можно выполнить проверку, для этого выполнить умножение:

(2,5 + 1,5у + х2) ⋅ 2ху = 5ху + 3ху2 + 2х3у

Действие выполнено верно.

Пример 6:

Каким может быть натуральное число n, чтобы в результате деления получился многочлен

(7x5y2-3xy7+2x2y4):(5xyn)?

Здесь нам опять придётся использовать замечание. Мне нужно, чтобы каждый одночлен моего многочлена в скобках разделился на 5хуn. Следуя замечанию, смотрим на степени одночленов. С х всё понятно, здесь всё удовлетворяет замечанию, вопрос со степенью у. Во-первых, у2 должен разделиться на уn, значит n ≤ 2, у7 должен разделиться на уn, значит n ≤ 7, у4 должен разделиться на уn, значит n ≤ 4. Значит ответ 1 или 2.

Итак, сегодня мы познакомились с последним, четвёртым действием. Мы поговорили о том, как одночлены и многочлены делить на одночлены. Выяснили, что разделить можно не всегда. Записали критерий, когда это возможно и разобрали примеры. На этом большой блок с одночленами и многочленами заканчивается. В следующей большой теме мы будем применять эти действия на конкретных практических задачах.

Спасибо!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 29, № 29.3; 29.6; 29.7.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А.Г. Мордкович Часть 2) Глава 6, § 29, № 29.13; 29.14; 29.16.