Формулы простых и сложных процентов. Кредит, ипотека, вклады. Часть 2.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Соломин Вадим Николаевич

Цели и задачи урока: ввести понятие простых и сложных процентов, на примере показать обучающимся алгоритмы вычисления различных прибылей по различным банковским вкладам.

Здравствуйте!

Однажды американский писатель Роберт Фрост сказал: «Банк – это то место, где вам одалживают зонтик в ясную погоду, а потом просят вернуть, когда начинается дождь».

Допустим, вы выиграли в лотерею 1 000 000 рублей. Как распорядиться таким выигрышем?

С одной стороны, вы можете положить эти деньги в банк, с другой стороны – купить драгоценности, в третьей стороны – хранить сумму дома. Последнее, вероятно, вряд ли выгодно, да и не очень-то безопасно.

Давайте предположим, что вы отнесли эту сумму в банк и оформили срочный вклад под проценты, разумеется. Что такое срочный вклад? Срочный вклад – это банковский вклад, по которому устанавливается определённый срок хранения. То есть, в определённый момент времени деньги находятся в банке. Вы не можете их изъять и не можете пополнять денежными средствами этот вклад. Но за это время на эту сумму начисляются проценты. В итоге ваш миллион рублей вырастет.

Например, вы положили 1 000 000 рублей в банк на 6 месяцев под 8%.

Это означает, что по истечении 6 месяцев вы получите сумму 1 000 000 + 1 000 000 * 0,08 = 1 080 000 рублей.

Пусть один банк предлагает вам 12,9 % годовых, другой 15% на срочный вклад сроком на полгода и так далее. Как разобраться в этом? Куда выгоднее вложить свои средства?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, мы вспомним основные операции, связанные с процентами.

1. Нахождение процентов от данного числа.

Чтобы найти а% от b, необходимо вычислить b* 0,01a.

Пример. Найти 30% от 60: 60*0,3 = 18.

2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что а% числа х равно b, то х=b: 0,01*a.

Пример. 3% числа х равняются 150. Найти само число. Для этого 150:0,03. Получаем 5 000. Значит, х = 5 000.

3. Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%.

Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600? Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, вычислим: 150:600 * 100% = 0,25*100% = 25%.

Рассмотрим схемы расчётов банков с вкладчиками. В зависимости от способов начисления, проценты делятся на простые и сложные.

Простые проценты.

Представим себе, что вы внесли сумму S на какой-то временной промежуток. Допустим, на год. Тогда банк объявляет вам процентную ставку: p процентов за год. Таким образом, в конце года вы получите сумму S + S*0,01p.

За год в итоге вы заработаете S*0,01p рублей. Но эти деньги не причисляются на следующий год к вашей сумме и на эту сумму уже не накладываются проценты. Эту сумму банк либо отдаёт вам, либо хранит у себя: в зависимости от того, как вы договоритесь.

На второй год у вас остаётся «голая» сумма S. На ней снова начисляются проценты. Итого за два года вы получите прибыль: 2S*0,01p. Соответственно, за n лет вы получите прибыль в размере: n*S*0,01p.

Вывод: итак, формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются ко вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счёт.

То есть, расчёт простых процентов не предусматривает капитализацию. Что же такое эта самая капитализация?

Капитализация процентов – процесс постоянного начисления процентов к сумме.

Схема расчёта, в которой капитализация учитывается, называется сложные проценты. Прежде чем перейти к ним, ещё раз обозначим формулу для расчёта простых процентов.

Для расчёта потребуется знать некоторые величины: S – первоначально внесённая сумма, P – прибыль, представляющая собой начисленные проценты, d – количество дней, за которые начисляется процент, p% - годовая процентная ставка, указанная в договоре, 365 (или 366) – количество календарных дней в году. Тогда формула для прибыли будет выглядеть так:

P = S*0,01p*d/365

Начисленные деньги аккумулируются на другом счету, их можно снимать, не затрагивая основную сумму.

Пример расчёта вклада с простым процентом.

Пусть на депозит положено 100 000 рублей, процентная ставка составляет 10% годовых. Узнаем, какую прибыль принесёт вклад, размещённый на 91 день?

По нашей формуле, эта прибыль составит: P = 100 000 * 0,01*10*91/365 = 2 493,15 рубля.

Тот же самый вклад, размещённый на 180 дней, принесёт вам прибыль: P = 100 000*0,01*10*180/365 = 4 931,51 рублей.

Простые проценты хороши тогда, когда вы вносите сумму на небольшой временной промежуток. Скажем, на полгода-год. Если вы хотите, чтобы сумма, которую вы вложили, работала на вас больше года, то лучше её оформить под сложные проценты.

Сложные проценты.

Допустим, вы внесли S0 в банк. Тогда, по истечении первого года при p% годовых вы получите сумму S1 = S0 + S0 * (0,01p). В отличие от простых процентов, теперь уже вся эта сумма будет работать на вас. Обозначим её S1.

К концу второго года вы получаете: S2 = S1 + S1*(0,01p)=[подставим S0 вместо S1]= S0 + S0 * (0,01p) + (S0 + S0 * (0,01p))*(0,01p) = S0 *(1+0,01p) + S0*(1+0,01p)*(0,01p) = S0*(1+0,01p)(1+0,01p) = S0*(1+0,01p)2

Проделав аналогичные операции, мы получим, что через n лет вы сможете получить сумму:

Sn = S0 (1+0,01p)n. Вот так работают сложные проценты.

Пример.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 000 рублей по 12% на 3 года. Рассчитайте начисленную сумму, если проценты а) простые; б) сложные.

Начнём с пункта а)

Воспользуемся формулой простых процентов: P = 50 000 + 50 000 * 0,12 * 3 = 50 000 * (1+0,36) = 1,36*50 000 = 68 000 рублей.

Теперь пункт б)

По формуле сложных процентов: S3 = (1+0,12)3 * 50 000 = 70 246 рублей.

Этот пример доказывает, что сложные проценты работают на вас более значимо.

Рассмотрим ещё пример. Допустим, в банке открыт срочный депозит на сумму 50 000 рублей по 12% на 3 год. Рассчитайте начисленную сумму, если сложные проценты начисляются ежеквартально. (то есть три раза в год).

Рассчитаем полученную прибыль по формуле сложных процентов: S3 = ((1+0,12/4)3)4*50 000 = 1,0312 * 50 000 = 71 288.

Заметим, что в этом случае мы получили сумму большую, чем в любом из пунктов предыдущего примера.

Подведём итог: сегодня мы научились работать с простыми и сложными процентами. Это умение ещё очень пригодится вам в жизни, рекомендуем не терять его!