Среднее гармоническое двух чисел
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: дать первичное представление о среднем гармоническом двух чисел, пропедевтика средних степенных.

Предметные результаты: закрепить с учащимися алгоритм нахождения среднего гармонического; показать практическую значимость нахождения среднего гармонического.

Метапредметные и личностные результаты: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке с помощью решения различных задач, интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, способность к оценочным действиям, обобщению.

Здравствуйте. Совсем не давно мы посмотрели на среднее арифметическое, и насладились его красотой и мощью. Теперь же давайте посмотрим, есть ли наблюдаемые в задачах другие средние, и можно ли ими как-то пользоваться.

Вводная задача о работе в команде.
Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько дней из Нижнего Новгорода до Астрахани добирается снегоход (зимой по льду), если его скорость равна собственной скорости парохода?

Мы ещё не трогали с вами задачи на движение тем более по реке, однако давайте попробуем приступить к этой суровой задаче.

А именно давайте попробуем посмотреть, какие величины всплывают у нас в ходе решения данной задачи и попытаемся внимательно к ним присмотреться.

В чем разница движения парохода по и против течения? Когда пароход движется по течению, к его собственной скорости добавляется скорость течения реки – он плывет быстрее чем плыл бы в неподвижной воде на скорость течения. Понимать это можно например так: представим себе движущуюся ленту конвеера. Если кошка бежит по ней в сторону её движения, то за единицу времени проходил расстояние равное своей скорости по ленте, а ещё лента уезжает на расстояние равное своей скорости. Аналогично при движении против течения, скорость парохода на скорость течения меньше собственной скорости парохода. Подробнее мы поговорим об этом позднее.

Вот и получается, что разница между скоростями и есть удвоенная скорость течения реки. Или иными словами, если мы сложим скорости парохода по и против течения реки, то получим удвоенную собственную скорость.

Но откуда нам взять скорость? Скорость при движении с постоянной скоростью, как известно, есть не что иное, как отношение расстояния которое проходит объёкт ко времени за которое он это расстояние проходит. Иными словами количество некоторых единиц длины проходимое в некоторою единицу времени. Давайте возьмем за единицу измерения расстояния весь путь, а за время – сутки. И посмотрим что получится.

Итак. Скорость по течению тогда составляет а скорость против течения расстояния между городами в сутки. В таком случае собственная скорость парохода есть не что иное как

Заметим что данная величина является средним арифметическим скоростей.

А тогда время, затраченное на прохождение одного пути, есть как известно отношение пути к скорости, то есть

Что выглядит не очень аппетитно. Давайте преобразуем.

Дальше мы обязательно закончим вычисление, но пока что давайте посмотрим на полученную величину. Если бы мы хотели охарактеризовать связь этой величины с данными, то мы бы сказали что это величина обратная среднему арифметическому величин обратных данным. Ещё раз давайте посмотрим пошагово. Вот были величины 7 и 5. Их обратные и . Их среднее арифметическое , величина обратная к данной. Величина, связанная с исходными величинами таким образом, называется средним гармоническим исходных величин.

Теперь давайте проведем вычисление: .

Сделаем ещё одно замечание, не связанное напрямую с решением данной задачи: если мы посчитаем среднее арифметическое чисел 5 и 7, то получим число 6. Заметим, что среднее арифметическое больше среднего гармонического. На самом деле это фундаментальный результат, который будет доказан, хоть и очень не скоро. А пока что это можно использовать например для проверки истинности нашего результата при решении подобных задач.

Задача 2.

Половину расстояния от пункта A до пункта B машина проехала шел со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути -- со скоростью 90 км/ч. Какова ее средняя скорость на протяжении всего пути?

Если обе половины пути имеют длину 1 км (а весь путь --- 2 км), то на первую половину он потратит 1/60 ч, на вторую -- 1/90 ч, всего (1/60+1/90) ч. Поэтому ответ: 2/(1/60+1/90)

Задача 3.

Раньше в продаже было два сорта конфет --- по 2 и по 3 тургика за килограмм. После реформы стали продавать их смесь, в которой их было на равную сумму денег. Сколько должна стоить смесь?

Поровну стоят 1/2 кг первого сорта и 1/3 кг второго сорта. Поэтому если их смешать -- получится кусок правильной смеси. В ней будет 1/2+1/3 кг веса, и стоить это будет 1+1=2 тугрика. Поэтому 1 кг такой смеси будет стоить 2/(1/2+1/3) тугриков, то есть 2,4 тугрика.

Задача 4.

На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня.

Давайте посмотрим: среднее арифметическое двух чисел есть сумма чисел, деленная на два. А среднее гармоническое двух чисел, есть два деленное на сумму обратных величин, либо, после избавления от двойных дробей, удвоенное произведение чисел деленное на их сумму.

Тогда получается, что на каждом шаге произведение сохраняется, так как произведение среднего арифметического и среднего гармонического есть просто произведение данных чисел.
Таким образом ответ 2.

Что же открылось нам сегодня? На самом деле, средние величины бывают не только и исключительно средним арифметическим, более того среднее гармоническое способно моделировать некоторое количество известных нам ситуаций.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тесты:

Задача 1. Теплоход, двигаясь по течению реки, прошел расстояние между пристанями А и В за 10 ч. Обратно он прошел это же расстояние за 15ч. За сколько времени теплоход проплыл бы такое же расстояние по озеру?

Задача 2. Передние покрышки автомобиля ''Антилопа Гну'' выходят из строя через 25000 км, а задние за 15000 км. Остап Бендер меняет их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние. Чему равно это расстояние?

Задача 3. На восточном базаре в одинаковых мешках продают финики за 300 драхм за мешок и фиги за 500 драхм за мешок. Можно продавать мешок их смеси в равных долях, а можно мешок, где их на одинаковую сумму. Сколько будет стоить каждый из мешков? В каком из них фиников больше?