Построение треугольников. Часть 2
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Вольфсон Игорь Павлович

Цели и задачи урока: познакомить учащихся с задачами на построение треугольников по двум базовым элементам и одному дополнительному.

Здравствуйте! Сегодня мы рассмотрим более сложные задачи, связанные с построением треугольников по 3-м элементам. Такими элементами, кроме сторон и углов, как правило, являются:

· высоты,

· биссектрисы

· медианы.

Пример 1. Построение по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Задача: Даны отрезки длиной а, р и угол бета.

Построить треугольник АВС, где ВС=а, угол АВС = бета, АК = р (К принадлежит (ВС) и АК перпендикулярно ВС)

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник построен.

Понятно, что одну из сторон, например ВС, можно строить на любой прямой.

Остаётся найти точку А.

Поскольку угол АВС дан – она находится на луче, отложенном от ВС под углом бета. С другой стороны, она удалена от прямой ВС на расстояние р, значит, находится на прямой, параллельной ВС. Можно строить.

Построение.

1. Строим произвольную прямую, отмечаем на ней точку В и раствором циркуля, равным а, строим точку С

2. От точки В откладываем угол бета и проводим луч ВЕ так, что угол СВЕ равен бета.

3. Строим перпендикуляр в к прямой а, пересекающийся с лучом ВЕ. Обозначаем точку пересечения а и в буквой М.

4. От точки М раствором циркуля, равным р, в той же полуплоскости, в которой находится луч ВЕ, строим точку Р на прямой в.

5. Через точку Р строим перпендикуляр с к прямой в.

6. Обозначаем точку пересечения прямой с и луча ВЕ буквой А.

7. Строим отрезок АС.

Доказательство.

В треугольнике АВС ВС=а по построению (п.1); угол АВС равен бета по построению (п. 2).

Прямые с и а перпендикулярны прямой в по построению (пп. 3 и 5), значит они параллельны как 2 перпендикуляра к одной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми равно длине отрезка общего перпендикуляра, значит оно равно р по построению (п. 4)

Точка А лежит на прямой с по построению (п. 6), значит она удалена от параллельной прямой на расстояние р, значит высота АК треугольника АВС равна р.

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

Данные 3 элемента однозначно определяют треугольник, значит задача имеет единственное решение. Действительно, катет АК и острый угол АВК однозначно определяют прямоугольный треугольник АКВ, а, значит, и от резок АВ. А отрезки АВ, ВС, и угол АВС между ними однозначно определяют треугольник АВС по 1-му признаку равенства треугольников.

Пример 2. Построение по 2-м сторонам и высоте к 3-ей.

Задача: Даны отрезки длиной в, с и р.

Построить треугольник АВС, где АВ=с; АС=в; АК = р (К принадлежит (ВС) и АК перпендикулярно ВС).

Анализ

Предположим, задача решена, треугольник построен.

Точки К, В и С лежат на одной прямой, а точка А – на прямой, параллельной ей, и удалённой на расстояние р.

Тогда, взяв произвольную точку А на одной из таких прямых, можно получить точки В и С путём пересечения другой прямой окружностями соответствующих радиусов.

Можно строить.

Построение.

1. Строим 2 параллельные прямые к и т на расстоянии р друг от друга аналогично предыдущей задаче.

2. На прямой к отмечаем точку А

3. Строим окружности с центром А и радиусами с и в соответственно. Обозначаем точки их пересечения с прямой т буквами В и С соответственно.

4. Строим отрезки АВ и АС.

Доказательство.

В треугольнике АВС АВ=с по построению (п.3); АС=в по построению (п.3).

Точка А лежит на прямой к по построению (пп. 1 и 2), значит она удалена от параллельной прямой ВС на расстояние р, значит высота АК треугольника АВС равна р.

Таким образом, задача решена верно.

Исследование.

В данной задаче весьма интересно исследование.

Данные 3 элемента не всегда и не однозначно определяют треугольник.

Действительно, для того, чтобы задача имела решение, отрезок р не должен быть длиннее в и с – высота в треугольнике не может быть длиннее стороны.

Также нет решения, если все 3 отрезка равны.

Если равна какая-либо пара отрезков, то задача имеет единственное решение (прямоугольный или равнобедренный треугольники)

А вот если все 3 отрезка разной длины, то задача имеет 2 решение в зависимости от того, расположены точки В и С по одну или по разные стороны от точки К.

Подведём итоги.

Мы выяснили, что треугольник можно строить и по набору из 3-х элементов, отличных от базовых.

Понятно, что в некоторых случаях 3-й элемент может быть задан по умолчанию – например, если требуется построить прямоугольный (сразу известен 1 угол) или равнобедренный (сразу задано равенство сторон) треугольник.

1. Рекомендуемые тренажеры

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 286, № 287, № 290а.

2. Рекомендуемые тесты

Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с., № 294, № 295, № 290б