Деление, как умножение на обратное. Коммутативность деления, как алгебраического умножения.
Предмет: Математика, 5 класс
Автор: Витова Алёна Витальевна

Цели и задачи урока: актуализировать представления об операции деления, о взаимно обратных числах, об операции деления, как об обратной операции умножения, с учащимися сформулировать правила деления, а также с использовать эти правила при решении несложных задач.

Здравствуйте, ребята.

Все вы помните правило деления дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число обратное делителю.

1) Разделим 2 2/5 на 1 1/15, представив сначала числа в виде неправильных дробей,
2 2/5 : 1 1/15 = 12/5 : 16/15 = 12/5 * 15/16 = 12 *15 / 5 * 16 = 3 * 3 / 4 = 9/4 = 2 ¼

Разделим 7/8 на 6. Числом обратным делителю является 1/6 , так как 6 * 1/6 = 1, тогда получим
7/8 : 6 = 7/8 * 1/6 = 7*1 / 8*6 = 7/48

Вспомнили, что два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, 2/5 и 5/2 взаимно обратные числа, так как 2/5 * 5/2 = 10/10 = 1. Числа 0,01 и 100 взаимно обратны, так как 0,01 * 100 = 1. Проверим будут ли взаимно обратны числа -3/7 и -7/3, для этого найдем их произведение -3/7 * (- 7/3) = 21/21 = 1, то есть они взаимно обратны. Могут ли быть взаимно обратными числа разных знаков? Действительно, нет, в этом случае произведение будет числом отрицательным, а значит не равно 1.
Всякое число кроме 0 имеет обратное.
Число 1 обратно само себе. И число -1 обратно само себе, так как (-1)*(-1) = 1.

Разделить на некоторое число означает умножить на обратное к нему число. Получаем, что деление обратно умножению, также как раньше мы рассматривали, что вычитание обратно сложению.

Итак, обратная операция для умножения — это нахождение одного из множителей по известному произведению и второму множителю, то есть задача выполнения действия, обратного умножению. Записываем так: а * х = с.

Если множитель отличен от 0, то всегда можно найти второй множитель. Потому что всегда можно найти обратное число 1/а. Тогда умножим обе части на 1/а и получим а * х *1/а = с * 1/а, тогда от перестановки множителей произведение не меняется и получаем а * 1/а * х = с * 1/а, но так как произведение а * 1/а = 1, получаем 1 * х = с * 1/а, или х = с *1/а.

Это позволяет заменить деление на число, отличное от 0, умножением на обратное к нему.
Рассмотрим пример, -2 : 0,5 = -2 * 10/5 = -2 * 2 = -4.
Или еще один пример, 7,2 : (-6) = 7,2 * (-1/6) = - 7,2 * 1/6 = -1,2

Давайте несколько примеров решим вместе.
Задание: записать частное в виде произведения и вычислить.

5/9 : (-8/3) = 5/9 * (-3/8) = - 5*3 / 9*8 = - 5/24

(- 27/10) : (- 8/11) = -27/10 * ( - 11/8) = 27*11 / 10*8 = 297/80

216 : (-216) = 216 * (- 1/216) = -1

Рассмотрим несколько свойств связанных с делением рациональных чисел.

Деление суммы на число, (a + b ) : c = a : c + b : c, где с ≠ 0.

Например, 42 28/29 : (-14) = ( 42 + 28/29) : (-14) = 42 : (-14) + (28/29) : (-14) = -3 + (-2/29) = - 3 2/29

Деление произведения на число, (a * b ) : c = (a : c ) * b = a * (b : c), где с ≠ 0.

Например, ( - 45 * 96 ) : 48 = -45 * (96 : 48) = -45 * 2 = - 90.

Обобщая все сказанное:

Деление — операция, обратная умножению: нахождение одного из сомножителей (частного) по произведению (делимому) и второму сомножителю (делителю). С другой стороны, операцию деления можно рассматривать как умножение делимого на величину, обратную делителю.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

Выполните деление, заменяя его умножением
а) 10 1/3 : 2 2/3=
б) 1 : 3/11 =

Найдите по формуле площади прямоугольника S = ab значение а, если S= 15, b=7 ½

Представьте делитель в виде обыкновенной дроби и выполните деление
а) 4/25 : 0,2 =
б) 2/9 : 0,6 =

Докажите, что числа взаимно обратные
а) 0,5 и 2
б) 1,25 и 4/5

Рекомендуемые тесты:

Выполните деление, заменяя его умножением: 3/8 : 3 =

Представьте делитель в виде обыкновенной дроби и выполните деление 3/8 : 0,375 =

Докажите, что числа взаимно обратные 6 2/3 и 0,15.