Линейные уравнения с параметром, Часть 2.
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться решать линейные уравнения, используя графический метод.

Всем привет!

Сегодня мы продолжим решать различные задачи с параметром, которые решаются графическим методом. Как и в прошлый раз, большинство задач будут сформулированы так: сколько корней имеет уравнение при каких-то a.

Сегодня задачи будут более сложными, а идеи останутся теми же. Мы снова будем говорить о различных графиках линейных функций и выяснять, когда эти графики пресекаются и в каком количестве.

Пример 1:

Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение: ax – a – 2 = 0.

Решение:

Вопрос можно переформулировать графически: в скольких точках в зависимости от a прямая y = ax – a – 2 пересекает ось абсцисс (то есть прямую y = 0)?

у = 0 – это прямая, у = 0х + 0.

Значит, если a ≠ 0, то прямые пересекаются в одной точке, то есть уравнение имеет одно решение.

Если же a = 0, то прямые могут либо совпасть, либо быть параллельными. В нашем случае прямые параллельны, так как –2 ≠ 0. Значит, уравнение не имеет решений при a = 0.

Ответ: при a = 0 – 0 решений, при a ≠ 0 – 1 решение.

Пример 2:

Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение: ax + 2 – a = 3x + a – 4.

Решение:

Вопрос можно переформулировать графически: в скольких точках в зависимости от a прямая y = ax + 2 пересекает прямую y = 3x + a – 4?

Если a ≠ 3, то прямые пересекаются в одной точке, то есть уравнение имеет одно решение.

Если же a = 3, то прямые могут либо совпасть, либо быть параллельными. В нашем случае – совпадают: 3x – 1 = 3x – 1. Значит, уравнение имеет бесконечно много решений при a = 3.

Ответ: при a = 3 – бесконечно много решений, при a ≠ 3 – 1 решение.

Пример 3:

При каких значениях a уравнение имеет ровно 1 корень:

ax – 2a2 – 3a3 + 2a – x = 3ax – a + x + 1

Решение:

Каждую часть можно преобразовать к линейной функции. Значит, уравнение будет иметь одно решение, когда графики будут пересекаться ровно в 1 точке, то есть, когда угловые коэффициенты не равны.

Получаем:

а – 1 ≠ 3а + 1

–2а ≠ 2

а ≠ –1

Ответ: a – любое число, кроме –1.

Пример 4:

При каких значениях a уравнение имеет не менее 3 корней:

ax + 2a2 – |3a3 + 2a – 1| + a – 7x = 2ax + a + 3x – a2

Решение:

Каждую часть можно преобразовать к линейной функции. Модуль – не помеха, так как при каждом конкретном значении a это всё равно будет некоторое число.

Значит, уравнение будет иметь не менее 3 корней только в том случае, если графики совпадут. Прежде всего, угловые коэффициенты должны быть равны:

a – 7 = 2a + 3

a = –10

Это ещё не ответ: нужно проверить, что при a = –10 они именно совпадут, а не будут параллельны.

При a = –10:

2 ⋅ (–10)2 – |–3 ⋅ (–10)3 + 2 ⋅ (–10) – 1| – 10 = –10 – (–10)2

200 – |3000 – 20 – 1| – 10 = –10 – 100

200 – |2979| – 10 = –110

200 – 2979 – 10 = –110

–2769 = –110 – ложно!

Значит, таких a не существует.

Ответ: ни при каких a.

Сегодня мы с вами порешали чуть более сложные задачи на использование параметра и графического метода одновременно. Мы выяснили, что далеко не всегда нужно приводить подобные слагаемые, выполнять громоздкие вычисления, а достаточно понимать, когда прямые пересекаются, когда они параллельны, а когда совпадают. Естественно, это работает в задачах, в которых нужно определить количество корней, а не сами корни.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 8 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 3, § 9, № 640.

Рекомендуемые тесты: (из учебника Алгебра 8 кл., Макарычев, Миндюк и др. 2013) Глава 3, § 9, № 641.