its5Q/resh-edu huggingface dataset:
Линейное уравнение и уравнения, сводящиеся к нему. Количество корней данных уравнений.
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: дать определение угловому коэффициенту, рассмотреть взаимное расположение прямых относительно углового коэффициента.

Всем привет!

Рассмотрим линейную функцию: y = kx + b. Напомним, что число k называют коэффициентом, причём часто добавляют: угловой коэффициент!

Почему именно угловой? Может, речь о футбольных угловых? Конечно нет.

Ответим на вопрос:

– Когда две прямые будут параллельны?

– Когда они не имеют общих точек.

Вспомним, что график линейной функции – прямая.

Пусть даны два графика линейных функций y = k1х + b1 и y = k2х + b2.

Когда эти прямые параллельны?

Раз прямые параллельны, значит, у них нет общих точек. То есть при одном и том же х должны получиться разные у.

Значит, уравнение k1х + b1 = k2х + b2 не должно иметь решений (или иметь бесконечно много, если прямые совпадают – параллельность в широком смысле)!

k1х + b1 = k2х + b2

k1х – k2х = b2 – b1

x(k1 – k2 ) = b2 – b1

Таким образом, оно не имеет решений только тогда, когда k1 = k2.

В случае равенства этих коэффициентов, если b не равны, то прямые параллельны, а если и b равны, то совпадают.

Вывод: все прямые вида y = kx + b при фиксированном k и меняющемся b параллельны! То есть угол их наклона одинаков. А отвечает за этот угол коэффициент k – поэтому он и угловой.

Прямые на плоскости параллельны (в широком смысле, то есть могут и совпадать) в том и только в том случае, если их угловые коэффициенты равны.

Пример 1:

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; –1) параллельно прямой y = 3x – 2.

Решение:

Так как прямая параллельна y = 3x – 2, то её угловой коэффициент тоже 3. Значит, уравнение имеет вид: y = 3x + b.

Так как прямая проходит через (1; –1), то подставим в уравнение:

–1 = 3 + b

b = –4

Окончательный ответ: y = 3x – 4.

Подведём итоги нашего сегодняшнего урока. Сегодня мы рассмотрели коэффициент k из уравнения y = kx + b. Мы выяснили, почему этот коэффициент угловой. Потому что он отвечает за угол наклона прямой. Мы выяснили, что при одинаковых k и разных b прямые будут параллельны. И наоборот, если дано, что прямые параллельны, то коэффициенты k должны быть равными.

До новых встреч.

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (из учебника Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 2, § 10, № 10.2; 10.4; 10.8.

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 7 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 2, § 10, № 10.16.
Урок 30. Свойство серединного перпендикуляра
Предмет: Геометрия, 8 класс

Наименование и номер (уникальный номер)

Текст Т-2

Общая информация об элементе (название элемента, КЭС)

Резюме теоретической части (конспект)

Отрезок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой.

Материалы задания

Резюме теоретической части (конспект)

Тема: Свойство серединного перпендикуляра

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим отрезок АВ, найдем его середину, обозначим её точкой М. Через точку М проведём перпендикуляр к отрезку AВ.

a - серединный перпендикуляр к AB

Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Свойство серединного перпендикуляра

Теорема: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Дано: отрезок AB, M – середина отрезка, a – серединный перпендикуляр, K ∈ a

Доказать: KA = KB

Доказательство:

Пусть точка K совпадает с точкой M.

Тогда утверждение теоремы доказано, так как M – середина отрезка.

KA = KB, т.к. M – середина отрезка AB.

Пусть K и M различные точки.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AКМ и ВКМ.

Доказательство:

KM – общий катет; AM = BM, так как М – середина. Тогда ∆AKM = ∆BKM, значит KA = KB.

Что и требовалось доказать.

Теорема: Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Дано: отрезок AB, O – середина AB, a – серединный перпендикуляр к AB, AM = BM.

Доказать: M ∈ a.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда точка М – середина отрезка AВ. M – середина AB, тогда M ∈ a.

Рассмотрим случай, когда точка M не лежит на отрезке AB, но AM равно BM.

Получится треугольник AМВ – равнобедренный и отрезок МO является в нем медианой. По свойству равнобедренного треугольника отрезок МO является также и высотой: MO ⊥ AB. Значит, прямые МO и a совпадают и точка М принадлежит серединному перпендикуляру к АВ. MO = a, M ∈ a.

Что и требовалось доказать.

Теорема: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть прямые m и n являются серединными перпендикулярами к сторонам AВ и АС треугольника AВС и пересекаются в точке O.

По доказанной теореме OB = OA, OA = OC (m и n – серединные перпендикуляры).

Следовательно, OB = OC. Тогда точка O ∈ p (p – серединный перпендикуляр к BC).

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Опишите, как элемент должен отображаться и располагаться в рамках конкретной сцены

Отображение и расположение элемента в соответствии с дизайном портала РЭШ.
Урок 5. «Поучение» Владимира Мономаха. «Повесть о Петре и Февронии Муромских». «Повесть временных лет». Отрывок «О пользе книг»
Предмет: Литература, 7 класс

Летопись — повествование о событиях исторической важности, расположенных «по летам», то есть в хронологической последовательности.
Летописный свод — летопись более сложного состава, включающая в себя множество летописных слоёв.
Поучение — жанр, в котором излагались правила жизни. В узком смысле — церковная проповедь , в широком же — дидактическое высказывание, обращенное к слушателям или читателям.
Житие́ — (в переводе с церковно-славянского — «жизнь») жанр церковной литературы, в котором описывается жизнь и деяния святых.
Урок 29. Свойство биссектрисы угла
Предмет: Геометрия, 8 класс

Наименование и номер (уникальный номер)

Текст Т-2

Общая информация об элементе (название элемента, КЭС)

Резюме теоретической части (конспект)

Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и её свойства.

Материалы задания

Резюме теоретической части (конспект)

Тема: Свойство биссектрисы угла

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам.

AD - биссектриса угла BCA

Теорема о биссектрисе угла

Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Дано: ∠BAC, AD – биссектриса, M ∈ AD, MK ⊥ AC, MN ⊥ AB.

Доказать: MK = MN.

Доказательство:

∆AMN = ∆AMK

AM – общая гипотенуза,

∠KAM = ∠NAM из условия.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, MN = MK.

Что и требовалось доказать.

Теорема: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Дано: ∠BAC, MK ⊥ AC, MN ⊥ AB, MK = MN

Доказать: AM – биссектриса

Доказательство:

∆AMN = ∆AMK (по гипотенузе). Следовательно, ∠KAM = ∠NAM, AM – биссектриса ∠BAC.

Что и требовалось доказать

Свойство биссектрисы имеет следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: AA1, BB1, CC1 – биссектрисы ∆ABC

Доказать: AA1 ∩ BB1 ∩ CC1 = O

Проведем перпендикуляры из точки М к сторонам треугольника MK ⊥ AC, MP ⊥ BC, MN ⊥ AB. Из того, что ВВ1 и СС1 биссектрисы по доказанному ранее, следует равенство отрезков MK = MN, MK = MP. Поэтому равны отрезки MN = MP.

Получается, что точка М равноудалена от сторон угла АВС, значит лежит на его биссектрисе. Таким образом, все биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке М.

Что и требовалось доказать.

Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Опишите, как элемент должен отображаться и располагаться в рамках конкретной сцены

Отображение и расположение элемента в соответствии с дизайном портала РЭШ.
Решение задач повышенной сложности Часть 1
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: выработать представление об утверждениях, связанных с ГМТ как об инструменте решения задач.

Здравствуйте!

Мы с вами обсудили биссектрисы и серединные перпендикуляры как ГМТ точек плоскости. Давайте попробуем теперь не забывать об этом, решая задачи.

Пример 1

Диагонали четырёхугольника делят его углы пополам. Докажите, что в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

Окружность это ГМТ точек, равноудаленных от центра. Значит если она вписана – то есть касается всех сторон четырехугольника, то есть точка, равноудаленная от сторон. Но биссектрисы равноудалены от сторон, а значит их точка пересечения равноудалена от всех сторон.

Пример 2.

Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части. Если точка лежит на биссектрисе одного из четырёх полученных углов, то она равноудалена от данных прямых.

Обратно, произвольная точка плоскости, не лежащая ни на одной из данных прямых, расположена внутри одного из углов. Если она равноудалена от данных прямых, то она лежит на биссектрисе этого угла. Очевидно, что точка пересечения данных прямых также удовлетворяет условию задачи.

Пример 3.

Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что OC = OD и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырёхугольника, если ∠AOB = 110° и ∠COD = 90°.

Из условия следует, что COD – равнобедренный прямоугольный треугольник, а AO и BO – биссектрисы соответственно углов A и B четырёхугольника. Пусть OE и OF – перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые AD и BC. Поскольку точка O равноудалена от прямых DA и BC, то OF = OE. Поэтому прямоугольные треугольники OFC и OED равны по гипотенузе и катету. Далее можно рассуждать по-разному.

∠ADO = ∠BCO, значит, ∠ADС = ∠BCD. Так как ∠A + ∠B = 2∠BAO + 2∠AВO = 2∠BOС = 2(180° – 110°) = 140°, то ∠ADС = ½ (360° – 140°) = 110°. Отсюда ∠ADO = 110° – 45° = 65°, ∠BAO = ∠DAO = 90° – 65° = 25°, ∠ABO = 70° – 25° = 45°.

Пример 4.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.

Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – точка пересечения биссектрис угла и внешних углов треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а ∠A = 120°.

Сегодня мы с вами попробовали применить наши знания о соотношениях сторон и углов треугольников на практике, и у нас всё получилось!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажеры:

1. Точка O лежит на диагонали KM выпуклого четырёхугольника KLMN. Известно, что OM = ON и что точка O одинаково удалена от прямых NK, KL и LM. Найдите углы четырёхугольника, если ∠LOM = 55° и ∠KON = 90°.

Рекомендуемые тесты:

Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике» Часть I: Геометрия: № 24, № 28
Урок 9. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой.

Введём уравнение произвольной линии.

В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.

y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:

М (х1; у1) ∈ L → y1 = f (x1)

N (х2; у2) ∉ L → y2 ≠ f (x2)

Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x0 и y0, а r – её радиус.

Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:

Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC2 = r2.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром имеет вид:

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:

Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.

Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.

Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС2 = АB2, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)

Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.

После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.

Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.
Решение задач повышенной сложности Часть 2
Предмет: Геометрия, 5 класс
Автор: Черняев Игорь Владимирович

Цели и задачи урока: дать представление о применении соотношений между сторонами и углами треугольника в задачах.

Здравствуйте!

Мы с вами выяснили, каким образом в треугольнике соотносятся стороны и углы, более того, как связаны между собой длины сторон. Давайте теперь попробуем выяснить, как применять это в более сложных задачах.

Пример 1.

Из города A одновременно вылетели два самолета. Маршрут первого: A-B-D-C-A-D-B-C-A, а маршрут второго: A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A. Какой из самолетов раньше завершит полет, если их скорости одинаковы?

Давайте посмотрим. Так как скорости одинаковы, то весь вопрос в том, чей путь длиннее. Выкинув повторяющиеся ребра мы получим, что так как сумма двух сторон больше третьей, то длина второго маршрута больше, значит первый завершит первым.

Пример 2.

В треугольнике ABC проведена медиана AF (т.е. F~--- середина стороны BC). Докажите, что выполнено неравенство 2AF>AB+AC-BC.

Это просто сумма двух неравенств треугольника: AF+BF>AB$, AF+CF>AC.

Пример 3

В треугольнике ABC проведена медиана AF (т.е. F~--- середина стороны BC). Докажите, что выполнено неравенство 2AF<AB+AC.

Удвоим медиану, отложив отрезок AA1. Треугольники ABF и FCA1 равны между собой по двум сторонам и углу между ними, а тогда AB=A1C, но тогда неравенство которое нас просят доказать – это просто неравенство треугольников для треугольника AA1C.

Пример 4.

Точка B1 лежит а) на стороне BC, б) внутри треугольника ABC. Докажите, что ломаная AB1C короче ломаной ABC.

В первом случае давайте заметим, что из треугольника ABB1: AB+BB1>AB1, а B1C—общая.

Во втором случае продлим AB1 до пересечения с BC в точке B2. AB+BB2>AB2, B1B2+B2C>B1C, а значит AB1+B1C<AB2+B2C<AB+BC

Сегодня мы с вами попробовали применить наши знания о соотношениях сторон и углов треугольников на практике, и у нас всё получилось!

Дополнительная информация

Рекомендуемые задачи

1. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше его полупериметра.

2. Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого пятиугольника больше его периметра.

3. Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого пятиугольника меньше удвоенного периметра.

4. Докажите, что если медиана больше половины стороны, к которой она проведена, то угол при этой вершине острый

5. Докажите, что если медиана меньше половины стороны, к которой она проведена, то угол при этой вершине тупой.

6. Докажите, что самый длинный отрезок, содержащийся в треугольнике, ---это его наибольшая сторона.
Урок 4. Эпос народов мира. Былины
Предмет: Литература, 7 класс

Былины — жанр русского фольклора, героика-патетическая песня о богатырях и исторических событиях.
Руны — эпические песни карелов, финнов, эстонцев и других финно-угорских народов. «Ка́левала» – карело-финский поэтический эпос, состоит из 50 рун (песен).
Эпос — героическое повествование о прошлом, содержащее целостную картину народной жизни.
Основные имена: Элиас Лённрот – финский языковед, составивший сборник карело-финских рун «Калевала».
Урок 2. Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов
Предмет: Геометрия, 9 класс

Конспект объясняющего модуля.

Сумма векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов.

Рассмотрим ситуацию.

Стартовав из пункта A, туристы прошли 4 километра на запад, а затем 3 километра на север. В результате этих двух перемещений туристы переместились из пункта А в пункт С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором Перемещение из пункта А в пункт С складывается из перемещения из пункта А в пункт В и перемещения из пункта В в пункт С, поэтому вектор естественно назвать суммой векторов .

Этот пример приводит нас к понятию суммы векторов:

Даны два вектора: и Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный вектору .

Затем от точки В отложим вектор равный вектору .

.

Вектор называется суммой векторов и

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

.

Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: для произвольных точек А, В и С сумма векторов равна вектору : .

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора справедливо равенство .

Докажем законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.

От произвольной точки А отложим векторы , равный вектору и вектор , равный вектору.

, .

На векторах и построим параллелограмм АВСD.

По правилу треугольника вектор равен сумме векторов . С другой стороны, вектор равен сумме векторов и .

= = .

= + = +.

+ (переместительный закон)

При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов

Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.

Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор , равный, от точки В – вектор , равный вектору , а от точки С – вектор , равный вектору .

Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.

( = ( ) + = + =.

Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.

Построим сумму векторов , а затем к вектору прибавим получившийся результат.

) = + ) = + = .

Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.

= +
Уравнения с алгебраическими дробями, сводящиеся к линейным
Предмет: Алгебра, 5 класс
Автор: Вольфсон Георгий Игоревич

Цели и задачи урока: научиться приводить уравнения к линейным и решать их.

Всем привет!

В прошлый раз мы с вами решали уравнения, сводящиеся к линейным. При этом мы не встретились с уравнениями, в которых есть дробная черта, т. е. уравнения, в которых встречаются алгебраические дроби. Сегодня мы восполним этот пробел и порешаем различные уравнения с алгебраическими дробями, которые сводятся к линейным уравнениям. При этом у нас будут два варианта: первый – в знаменателе будут только числа, второй – буквенные выражения. В первом варианте домножим обе части уравнения на число из знаменателя. Тогда наше уравнение сведётся к типу уравнений, которые мы решали на прошлом уроке.

Пример 1:

Решить уравнение:

Пример 2:

Решить уравнение:

Пример 3:

Решить уравнение:

Что же делать, если вдруг в знаменателе есть какая-то переменная. Вспомним урок по алгебраическим дробям. Во-первых, не каждая такая дробь имеет смысл, потому что мы можем делить на выражение, отличное от нуля. Поэтому нам нужно понимать, при каких х дробь определена, а при каких – не определена. Такое ограничение называется областью определения уравнения, т. е. это те х, при которых уравнение имеет смысл, в частности, если в уравнении в знаменателе будет просто х, то в область определения необходимо вписать х ≠ 0; если там будет х + 3, х ≠ –3. Если мы учтём область определения, то мы можем домножить уравнение на выражение, стоящее в знаменателе. К чему сводится решение задачи:

1. Написать область определения;

2. Домножить на знаменатель;

3. Проверить, входит ли найденный корень в область определения.

Пример 4:

Решить уравнение:

Видим, что в знаменателе появилась переменная, значит, находим область определения:

ООУ: х ≠ 0

Обратите внимание, что если бы мы сразу взаимно уничтожили дроби, то получили бы ответ 0, а он здесь получаться не должен.

Пример 5:

Решить уравнение:

Итак, сегодня мы поработали с уравнениями, сводящимися к линейным, у которых в условии записана алгебраическая дробь. Мы поговорили о том, что бывает алгебраическая дробь, в знаменателе у которой стоит число: тогда мы просто умножаем это уравнение на число, стоящее в знаменателе. И чуть более сложный случай, когда в знаменателе находится переменная: тогда нужно не забывать про область определения уравнения и про проверку в конце.

До новых встреч!

Дополнительная информация

Рекомендуемые тренажёры: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 1, § 7, № 7.5 (а, в); 7.6 (а).

Рекомендуемые тесты: (Алгебра 8 класс А. Г. Мордкович Часть 2) Глава 1, § 7, № 7.12.