Урок 68. Обобщение и систематизация знаний по теме «Умножение и деление дробей»
Предмет: Математика, 5 класс

Конспект урока

Математика

5 класс

Урок № 68

Обобщение и систематизация знаний по теме

«Умножение и деление дробей»

Перечень рассматриваемых вопросов:

- умножение дробей;

- деление дробей;

- сравнение дробей;

- законы умножения и деления дробей.

Тезаурус

Произведением двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Частное дробей – это дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На протяжении нескольких уроков мы изучали понятия, правила, законы умножения и деления обыкновенных дробей. Сегодня мы обобщим и закрепим пройденный материал.

Число, которое можно записать в виде , где p и q – целые числа и q ≠ 0, называют рациональным числом или дробью.

Произведением двух дробей называют дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменений.

Вспомним понятие обратной дроби.

Числа , где p и q не равны нолю, называют взаимно обратными.

Дробь называют обратной для дроби .

Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Частным дробей называют дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое.

Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби.

, где r ≠ 0.

Чтобы одну дробь разделить на другую, отличную от ноля, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Частное любых двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель – делителю.

Запишем равенство, которое можно получить на основании правила деления.

p и s – целые числа, s ≠ 0.

Значит, получаем, что дробь можно рассматривать как частное от деления её числителя p и знаменателя s.

Рассмотрим свойство деления дроби на натуральное число. Чтобы разделить дробь на целое число, нужно её знаменатель умножить на это число.

Запомните: делить на ноль нельзя.

Число 0, делённое на любую дробь, отличную от ноля, равно 0.

Распределительный закон относительно сложения: чтобы число умножить на сумму двух других чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить результат.

Распределительный закон относительно вычитания: чтобы число умножить на разность двух других чисел, нужно это число умножить на уменьшаемое и потом на вычитаемое, а после этого найти разность полученных произведений.

Переместительный закон умножения: от перестановки множителей произведение не изменится.

Сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, нужно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

При вычислении значений числовых выражений, содержащих дроби, пользуются теми же правилами порядка действий, что и для натуральных чисел.

Используя действия умножения и деления, можно находить часть от целого или определять целое по его части.

Чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь, соответствующую этой части.

Чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую дробь.

Решим задачу.

Оля и Коля заполняют аквариум ёмкостью 12 кубических единиц свежей водой. Оля заполняет в час одну кубическую единицу, Коля – четыре кубические единицы. За какое время аквариум заполнится при совместной работе Оли и Коли?

Решение.

Так как Оля за час заполняет одну кубическую единицу, а Коля – четыре кубические единицы, то за час вместе они заполнят:

1 + 4 = 5 кубических единиц.

Весь аквариум составляет 12 кубических единиц. Значит, чтобы найти количество часов работы Оли и Коли, нужно общий объём аквариума разделить на объём, который дети заполняют за час:

ч

ч

1 час = 60 минут.

минут – что составляет часа, тогда часа будет равно 24 минуты.

Значит, Оля и Коля вместе заполнят аквариум за 2 часа 24 минуты.

Ответ: 2 часа 24 минуты.

Тренировочные задания

№ 1. Какие законы умножения изображены?

(a · b) · c = a · (b · c) = а · b · c

a · (b – c) = a · b – a · с

a · (b + c) = a · b + a · c

Варианты ответа.

Сочетательный закон умножения – чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. К этому определению подходит формула:

(a · b) · c = a · (b · c) = а · b · c

Распределительный закон относительно вычитания: чтобы число умножить на разность двух других чисел, нужно это число умножить на уменьшаемое и потом умножить на вычитаемое, а после этого найти разность полученных произведений. К этому определению подходит формула:

a · (b – c) = a · b – a · с

Распределительный закон относительно сложения: чтобы число умножить на сумму двух других чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. К этому определению подходит формула:

a · (b + c) = a · b + a · c

Ответ: (a · b) · c = a · (b · c) = а · b · c – сочетательный закон умножения;

a · (b – c) = a · b – a · с – распределительный закон относительно вычитания;

a · (b + c) = a · b + a · c – распределительный закон относительно сложения.

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Произведением двух дробей называют дробь, ___ которой равен ___ числителей, а ___ – произведению знаменателей этих дробей.

Варианты слов для вставки: числитель; произведению; знаменатель; частному.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо вспомнить определение произведения двух дробей.

Правильный ответ: произведением двух дробей называют дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.