არითმეტიკა

არითმეტიკა ( < ) — მეცნიერება რიცხვებისა და ამ რიცხვებზე არითმეტიკულ მოქმედებათა შესახებ.

პრაქტიკული და კულტურული მოღვაწეობისათვის აუცილებელია ადამიანს ჰქონდეს საკმაო ცოდნა რიცხვებისა და შეეძლოს მათი მეშვეობით არითმეტიკული მოქმედებათა შესრულება. სწორედ ამიტომ წარმოადგენს ა. ბავშვთა სკოლამდელი აღზრდის ერთ-ერთ ელემენტს და სასკოლო პროგრამის აუცილებელ საგანს. მისი მიზანია, შეასწავლოს ბავშვებს ნატურალური და დადებითი რაციონალური წილადი რიცხვები, მათზე არითმეტიკული მოქმედებანი: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა და მისცეს თვლასა და გაზომვასთან დაკავშირებული უმარტივესი ამოცანების ამოხსნის მტკიცე ჩვევები. ამ საგნის სწავლება ავითარებს ლოგიკურ აზროვნებას, მოსაზრებულობას და წარმოადგენს მათემატიკისა და ფიზიკის მთელი შემდგომი შესწავლის საფუძველს.

მათემატიკის მრავალი ცნება აიგება ნატურალური რიცხვების საშუალებით, ამიტომ არითმეტიკა წარმოადგენს ერთ-ერთ ძირითად მათემატიკურ მეცნიერებას. ნატურალურ რიცხვთა თეორიის აქსიომატურ აგებასთან და რიცხვის ცნების განზოგადების ლოგიკურ ანალიზთან დაკავშირებით, ხშირად იხმარება ტერმინი თეორიული არითმეტიკა. არითმეტიკის საფუძველზე აღმოცენდა ალგებრა და რიცხვთა თეორია.

არითმეტიკა შეიქმნა უძველეს დროში თვლასა და უმარტივეს გაზომვებთან დაკავშირებულ პრაქტიკულ მოთხოვნათა საფუძველზე. არითმეტიკის განვითარება დაკავშირებული იყო ადამიანთა სამეურნეო მოღვაწეობასა და სოც ურთიერთობათა გართულებასთან და იმ მოთხოვნებთან, რომლებსაც მას სხვადასხვა მეცნიერება უყენებდა. პირველყოფილი ადამიანი ფლობდა მხოლოდ საგნების მცირერიცხოვან ჯგუფთა თვლის ტექნიკას, უძველესი დროიდან შემორჩენილი კულტურული ძეგლები საშუალებას გვაძლევს ვიმსჯელოთ მაშინდელი არითმეტიკული ტექნიკის დონეზე. პირველი სარწმუნო წყარო ძველი ცივილიზაციის ეპოქაში არითმეტიკული ცოდნის შესახებ არის ძველი ეგვიპტის მათემატიკური პაპირუსები, რომლებიც დაწერილია ძვ. წ. 2 ათასი წლის წინ. ბაბილონელების არითმეტიკული კულტურის საკმაოდ მაღალ დონეზე მეტყველებს ძვ. წ 2-3 ათასი წლის წინ შედგენილი ლურსმული მათემატიკური ტექსტები. ბაბილონელების წერილობითი ნუმერაცია წარმოადგენდა ათობითი სისტემის თავისებურ გაერთიანებას სამოცობითთან. ძველ ბერძნებთან არითმეტიკის პრაქტიკული მხარე არ განვითარებულა. ანბანის ასოებით გადმოცემული ბერძენთა წერითი ნუმერაცია რთული გამოთვლებისათვის უფრო ნაკლებ მოსახერხებელი იყო, ვიდრე ბაბილონელებისა. სამაგიეროდ, ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსებმა საფუძველი ჩაუყარეს არითმეტიკის თეორიული საკითხების დამუშავებას მათ მოგვცეს რიცხვთა თეორიის პირველი თეორემები (ევკლიდე, ერატოსთენე, დიოფანტე). არითმეტიკის განვითარება დაკავშირებულია ინდურ კულტურასთან, რამაც დიდი გავლენა მოახდინა როგორც წინა აზიისა და ევროპის, ისე აღმოსავლეთ აზიის (ჩინეთი, იაპონია) ქვეყნებზე კერძოდ, ინდოელებმა შექმნეს პოზიციური ათობითი თვლის სისტემა, რომელიც ემყარება მათ მიერ შემოტანილ ათ ციფრს (ნულის ჩათვლით). შუა საუკუნეების აღმოსავლეთის და ევროპის კულტურის ადრინდელი პერიოდის მათემატიკოსები ძირითადად რიცხვებზე მოქმედებათა ხერხების გამარტივებას და დახვეწაზე მუშაობდნენ. საუკუნის დამდეგს სწრაფად გაუმჯობესდა გამოთვლის ხერხები, რაც გამოწვეული იყო გაზრდილი პრაქტიკული მოთხოვნებით (საზღვაოსნო ასტრონომიისა და მექანიკის ამოცანები, გართულებული კომერციული გაანგარიშებანი და სხვა). საუკუნის დასაწყისში გამოთვლის შესრულებისა და ჩაწერის ხერხებმა თანამედროვე სახე მიიღო.

რუსეთში საუკუნის დასაწყისში ბერძნული ნუმერაციის მსგავს სლავურ ანბანურ ნუმერაციას იყენებდნენ. კარგად იყო დამუშავებული ზეპირი ნუმერაციის სისტემაც. საუკუნის დასაწყისში რუსულ არითმეტიკულ თხზულებებს შორის განსაკუთრებული მნიშვნელობა ჰქონდა ლ. მაგნიცკის „არითმეტიკას“ (1703).

საქართველოში ძველი დროიდან საუკუნემდე იყენებდნენ ქართულ ანბანურ ნუმერაციას თუმცა საუკუნეში არაბებისაგან ინდური ციფრებიც გადმოიღეს. ქართველების არითმეტიკის ცოდნის დონეზე მეტყველებს - საუკუნეებში რამდენიმე ასტრონომიული ტრაქტატი. არითმეტიკის ზოგიერთი ცნება გვხვდება სულხან-საბა ორბელიანის ლექსიკონშიც. ჩვენამდე მოაღწია სსაუკუნეში რუსულიდან და გერმანულიდან თარგმნილმა არითმეტიკული შინაარსის რამდენიმე ხელნაწერმა. 1800 წელს გ. თარხნიშვილმა დაწერა სახელმძღვანელო, რომელიც ორი ნაწილისაგან შედგება. პირველს ეწოდება „არითმეტიკა“, მეორეს — „არითმეტიკის ვაჭრობის საქმეში გამოყენება“.

 საუკუნის მიწურულამდე ყველა ევროპულ სახელმწიფოში, ისევე როგორც ძველი აღმოსავლეთის ქვეყნებში, არითმეტიკის სახელმძღვანელოები, როგორც წესი, მხოლოდ პრაქტიკულ მიზნებს ისახავდა. გადმოცემის ფორმა დოგმატური იყო. ეს სახელმძღვანელოები ყოველგვარი დასაბუთების გარეშე მხოლოდ ზოგიერთი სახის ამოხსნილი ამოცანებისა და არითმეტიკულ მოქმედებათა წესების კრებულებს წარმოადგენდა. თეორიულ სახელმძღვანელოებში, რომელთა რიცხვი უმნიშვნელო იყოფს არითმეტიკულ დებულებათა დასაბუთება, ევკლიდეს „საწყისების“ გავლენით გეომეტრიის ბაზაზე ხდებოდა. მხოლოდ საუკუნის მიწურულში ალგებრის, ანალიზური გეომეტრიისა და უსასრულოდ მცირეთა ანალიზის განვითარებამ ცხადყო თეორიული არითმეტიკის განვითარების მიზანშეწონილობა, რიცხვის შესახებ მოძღვრებასთან დაკავშირებული საკითხების თეორიული დამუშავების აუცილებლობა. რ. დეკარტი, ი. ნიუტონი და გ. ლაიბნიცი იმ დასკევნამდე მივიდნენ, რომ ალგებრის აგება უნდა ხდებოდეს არა გეომეტრიის, არამედ არითმეტიკის საფუძველზე, ამასთანავე არითმეტიკის დაფუძნება უნდა წინ უსწრებდეს ალგებრის დაფუძნებას.

არითმეტიკის აქსიომატური აგება, რაც დაკავშირებულია მათემატიკის ლოგიკური საფუძვლების კრიტიკული განხილვის საერთო პროცესთან, იწყება საუკუნეში. ამავე საუკუნის შუა წლებში ჰ. გრასმანმა შექმნა ძირითად აქსიომათა სისტემა, რომლებიც ისე განსაზღვრავს ნატურალურ რიცხვთა შეკრებისა და გამრავლების მოქმედებებს, რომ არითმეტიკის დანარჩენი დებულებანი მათგან ლოგიკურად გამომდინარეობს. გრასმანის აგების სრულყოფაა პეანოს აქსიომები.