ამორჩევის აქსიომა

ამორჩევის აქსიომა, ლოგიკური (მათემატიკური) დებულება გარკვეული ფუნქციის ან შესაბამისი სიმრავლის არსებობის შესახებ, რომელსაც გააჩნია ბევრი არც თუ ისე ტრივიალური ეკვივალენტი და რომლიდანაც ვღებულობთ დებულებებს, რომლებიც ერთი შეხედვით ინტუიციას ეწინააღმდეგებიან, ასეთია მაგალითად თეორემა, რომელიც გვეუბნება, რომ არსებობს ლებეგის აზრით არა-ზომადი სიმრავლე.

აქსიომა შემდეგში მდგომარეობს:
"თუ გვაქვს წყვილწყვილად თანაუკვეთ სიმრავლეთა რაიმე არაცარიელი ოჯახი, რომელთაგან თითოეული არაცარიელია, მაშინ მოიძებნება ისეთი სიმრავლე, რომლის თანაკვეთა თითოეულ სიმრავლესთან ამ ოჯახიდან შედგება ერთი ელემენტისგან."

თუ გვაქვს სიმრავლეთა სასრული ოჯახი , მაშინ ამორჩევის აქსიომა საჭირო არაა. თუ თითოეული სიმრავლიდან შეგვიძლია ავარჩიოთ ერთი ელემენტი, მაშინ შესაძლებელია ჩამოვუყვეთ სიმრავლეებს და თითოეულიდან ავარჩიოთ ერთი ელემენტი.

სირთულეები მაშინ იქმნება, როდესაც საქმე გვაქვს უსასრულო რაოდენობის სიმრავლეებთან, მაშინ ასეთი მარტივი მიდგომა აღარ გამოდგება და ამდაგვარი ფუნქციის არსებობის დასამტკიცებლად აქსიომის შემოტანა ხდება საჭირო.

მაგალითი
ბევრს შეიძლება მოეჩვენოს, რომ ამორჩევის აქსიომა აშკარაა, რადგან თუ თითო სიმრავლიდან თითო ელემენტის ამორჩევა შეგვიძლია, რატომ არ უნდა შეგვეძლოს ყველა სიმრავლიდან თითოს ამორჩევა.

ამ ამორჩევის სირთულისა და ამორჩევის აქსიომის საჭიროების კარგი მაგალითია ნამდვილ რიცხვთა ყველა არაცარიელი სიმრავლის ქვესიმრავლე. მართლაც განმარტებით ყველა ეს სიმრავლე არაცარიელია, ანუ თითოეულიდან შეგვიძლია მინიმუმ ერთი ელემენტი ამოვარჩიოთ. მაგრამ ვერავინ ვერ მოახერხა (და აქსიომის ლოგიკური დამოუკიდებლობის გამო არც მოხერხდება) ისეთი ფუნქციის დაწერა, რომელიც თითოეული ამ სიმრავლიდან ერთ ელემენტს ამოარჩევს.

ისტორია
სიმრავლეთა თეორიის განვითარების საწყის ეტაპზე მათემატიკოსებს ამორჩევის აქსიომა ისეთი აშკარა ეგონათ, რომ მის ჩამოყალიბებაზეც არავინ დაფიქრებულა, არათუ დამტკიცებაზე. ეს გასაგებიც იყო, რადგან სასრული რაოდენობის სიმრავლის შემთხვევაში პრობლემა არ იქმნებოდა, ამიტომ უმეტესობა ბუნებრივად მიიჩნევდა, რომ უსასრულო შემთხვევაც მსგავსი უნდა ყოფილიყო.

1904 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა ერნსტ ცერმელომ პირველად ჩამოაყალიბა ეს აქსიომა, დაზუსტებული სახით. მიუხედავად იმისა, რომ რამდენიმე მათემატიკოსს ნახსენები ჰქონდათ თავის ნაშრომებში, რომ ისინი ასეთი სახის დაშვებას აკეთებდნენ, ცერმელო მაინც ამ ამორჩევის აღმომჩენად ითვლება და აქსიომას ზოგჯერ ცერმელოს აქსიომადაც მოიხსენებენ.

ცერმელომ ეს აქსიომა (როგორც ახლა უკვე ვიცით ამ აქსიომის ექვივალენტური) თეორემის - დალაგების პრინციპის დასამტკიცებლად გამოიყენა. ამან ზოგიერთი მათემატიკოსის პროტესტი გამოიწვია, რადგან მათი აზრით აქსიომა არც ისე აშკარა იყოს, რომგორც ერთი შეხედვით ჩანდა. ცერმელომ მიუთითა, რომ ბოლო პერიოდის მათემატიკის ბევრი ნაშრომი სწორად ამ აქსიომას ეყრდნობოდა.

მე-20 საუკუნის პირველ ნახევარში კურტ გოდელის და პაულ კოენის შრომების წყალობით დამტკიცდა, რომ ცერმელო–ფრენკელის აქსიომებზე დაყრდნობით ამორჩევის აქსიომის ან მისი საპირისპიროს დამტკიცება შეუძლებელია, ანუ ამორჩევის აქსიომა ლოგიკურად დამოუკიდებელია ცერმელო–ფრენკელის აქსიომატიკის სხვა აქსიომებისგან.

დღეს არსებობს სხვადასხვა ვარიანტი სიმრავლეთა თეორიის აქსიომატიზაციისა, რომელთაგან ზოგიერთში მიღებულია ამორჩევის აქსიომა, ზოგიერთში კი მისი საპირისპირო აქსიომებიდან რომელიმე.

აზრთა სხვადასხვაობა
მას შემდეგ, რაც დამტკიცდა, რომ ამორჩევის აქსიომა (ისევე, როგორც ზოგიერთი სხვა ჰიპოთეზა, მაგალითად უწყვეტობის ჰიპოთეზა) დამოუკიდებელია სხვა აქსიომებიდან და ორივე თეორია (სიმრავლეთა თეორია ამორჩევის აქსიომით და სიმრავლეთა თერია ამორჩევის აქსიომის საწინააღმდეგო აქსიომით) თავსებადია, ბევრი მათემატიკოსი დაფიქრდა იმაზე, თუ რომელ თეორიაში გაეგრძელებინა მუშაობა.

აქსიომას ჰყავდა ბევრი მომხრე მისი ინტუიციურობის გამო. თუმცა 1924 გამოქვეყნდა ბანახ-ტარსკის პარადოქსი, რომელიც ამტკიცებდა, რომ თუ ამორჩევის აქსიომა მართალია, მაშინ შესაძლოა ბირთვი დავჭრათ რამდენიმე ნაწილად ისეთნაირად, რომ შემდეგ ამ ნაწილებიდან ორი იმავე ზომის ბირთვი ავაწყოთ. ანუ არსებობენ სიმრავლეები (ბირთვის ნაწილები) რომლებზეც მოცულობის ცნების განმარტება შეუძლებელია (მოცულობის განმარტება რომ შესაძლებელი იყოს ამ ნაწილებზე, მაშინ მოცულობის შენახვის გამო ერთი ბირთვიდან ორ იმავე ზომის ბირთვს ვერ მივიღებდით). ამ პარადოქსის გამო აქსიომას ბევრი მოწინააღმდეგე გამოუჩნდა, რადგანაც ერთი ბირთვისა და ორი ბირთვის ტოლობა ძალიან არაინტუიციური შედეგია.

დღეს არსებობენ მათემატიკოსთა მცირე ჯგუფები, რომლებიც გამოკვეთილად ეთანხმებიან ამორჩევის აქსიომას და თვლიან, რომ იგი, სხვა აქსიომების მსგავსად, უნივერსალურად უნდა იყოს მიღებული. ასევე არსებობენ მცირე ჯგუფები - კონსტრუქტივისტები, რომლებიც თვლიან, რომ ამორჩევის აქსიომა, რომელიც ისეთ არაინტუიციურ შედეგებს იძლევა როგორც ბანახ-ტარსკის პარადოქსი, არასწორი უნდა იყოს.

თუმცა მათემატიკოსების უმეტესობა სიმრავლეთა თეორიის ორივე ვარიანტს განიხილავს. როდესაც რაიმე თეორიის დამტკიცება მოიძებნება ამორჩევის აქსიომის გამოყენებით, მათემატიკოსები ყოველთვის ცდილობენ იპოვონ ისეთი დამტკიცება, რომელიც არ მოითხოვს ამორჩევის აქსიომას (კოსტრუქტივისტებისთვის მხოლოდ ასეთი დამტკიცებაა მისაღები) ან დაამტკიცონ, რომ ამორჩევის აქსიომის გარეშე ეს თეორემა არ მტკიცდება, ანუ თეორემა ამორჩევის აქსიომის ექვივალენტურია (კონსტრუქტივისტებისთვის ეს თეორემის საპირისპიროს დამტკიცების ტოლფასია).

ექვივალენტური თეორემები
ბევრი შედეგი, რომელიც თავის დროზე ამორჩევის აქსიომის გამოყენებით დამტკიცდა, მისი ექვივალენტური აღმოჩნდა. ანუ აღმოჩნდა, რომ შეუძლებელია მათი დამტკიცება ამორჩევის აქსიომის გარეშე და თუ ამ თეორემების შედეგები სწორია, მაშინ ამორჩევის აქსიომაც სწორი ყოფილა.

ამ თეორემებს შორის არის:
ცორნის ლემა
დალაგების პრინციპი
ყოველ ვექტორულ სივრცეს გააჩნია ერთი მაინც ბაზისი
ტიხონოვის თეორემა
ორი სიმრავლიდან ერთ-ერთი ყოველთვის არის მეორე სიმრავლის ქვესიმრავლის ტოლი კარდინალობის

~