ნატურალური რიცხვი

ნატურალური რიცხვი (სიმბოლო: ) — მთელი დადებითი რიცხვი (1, 2, 3, 4, ...). ნატურალურს უწოდებენ რიცხვებს, რომლებიც საგნების დასათვლელად გამოიყენება.

ნატურალური რიცხვების დაყოფას თვისებების მიხედვით რიცხვთა თეორია შეისწავლის. თვლასთან დაკავშირებული პრობლემები კი, მაგალითად როგორიცაა რამსეის თეორია, ისწავლება კომბინატორიკაში.

ნატურალური რიცხვების დაყოფა განიხილება სხვადასხვა ნიშნების მიხედვით, მაგალითად 2-ზე გაყოფადობის მიხედვით: გვაქვს ლუწი და კენტი ნატურალური რიცხვები. გამყოფთა რაოდენობის მიხედვით კი მარტივი და შედგენილი.

ნატურალური რიცხვების ისტორია და ნულის სტატუსი
ნატურალურს უწოდებენ რიცხვებს, რომლებიც საგნების დასათვლელად გამოიყენება.

დათვლის პროცესის განვითარებისათვის უდიდესი როლი შეასრულა ადამიანის ხელმა, როდესაც ადამიანის ხელის თითებს შეუსაბამებოდნენ ხოლმე დასათვლელ საგნებს. ასე ისწავლა ადამიანმა ჯერ ხუთამდე და შემდეგ ათამდე დათვლა. ამიტომ დათვლის მთელი სისტემა თანამედროვე ერების დიდ უმრავლესობაში ნატურალურ რიცხვს 10-ს ემყარება, ანუ ათობითია (მაგალითად ). ზოგ ენაში ნატურალური რიცხვების თვლა ნატურალურ რიცხვს 20-ს ემყარება, ანუ ოცობითია. ზოგი ხალხი ითვლიდა მხოლოდ ერთი ხელის საშუალებით, და ისიც ოთხი თითის ფალანგების დახმარებით, ცერით კი გადაითვლიდნენ მისი სათანადო სახსრისადმი მიდებით. აქედან წარმოიშვა თორმეტობითი თვლა. აქედან უფრო გვიან წარმოიშვა სამოცობითებური თვლაც: ერთი ხელის ოთხი თითის სახსრებზე ცერით გადათვლიდნენ თორმეტს და ყოველი ასეთ თორმეტეულის გადათვლისას ერთი მეორის შემდეგ მოღუნავდნენ მეორე ხელის თითებს, სანამ არ მიაღწევდნენ სამოცს.

პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი რიცხვთა სისტემის განზოგადებაში იყო ციფრების გამოყენება რაოდენობის გამოსახატავად. ამან განვითარების საშუალება მისცა რიცხვების ჩაწერის სისტემას გაცილებით უფრო დიდი რიცხვების გამოსახვისთვის. მაგალითად, ბაბილონელებმა განავითარეს მძლავრი აღრიცხვის პოზიციური სისტემა, რომელიც მნიშვნელოვანწილად შედგებოდა 1-დან 10-მდე ციფრებისგან. ძველ ეგვიპტელებს გააჩნდათ აღრიცხვის სისტემა, სხვადასხვა იეროგლიფებისაგან შემდგარი, რომელნიც 1-დან 10-მდე ციფრებს აღნიშნავდნენ და ასევე 10-ის ყველა ხარისხს მილიონამდე. წარწერა ქვაზე კარნაკიდან, რომელიც თარიღდება ძვ. წ. 1500 წლით და რომელიც ამჟამად ლუვრში ინახება, გამოსახავს 276-ს როგორც 2 ასეულს, 7 ათეულს და 6 ერთეულს; იმავენაირად 4622-საც.

გაცილებით გვიანდელი წარმოჩენა განზოგადების განვითარებაში იყო 0-ის აღნიშვნის იდეა თავისი ციფრით. ნული, როგორც ციფრი გამოიყენებოდა პოზიციურ სისტემაში ბაბილონელების მიერ ჯერ კიდევ ძვ. წ. 700 წელს, მაგრამ ისინი ცარიელს ტოვებდნენ იმ ადგილს, თუ ის იყო რიცხვის უკანასკნელი სიმბოლო. ოლმეკი და მაიას ტომები იყენებდნენ ნულს როგორც ცალკე ციფრს ძვ. წ. საუკუნეში. ეს დამოუკიდებელი მიღწევა იყო, თუმცა ის არ გასცდენია მესოამერიკას. ცნების თანამედროვე გამოყენება სათავეს იღებს ინდოელი მათემატიკოსი ბრაჰმაგუპტასგან 628 წელს. მაგრამ, აღსანიშნავია, რომ კომპუტისტები (აღდგომა დღის გამომთვლელები), დაწყებული დიონისე მცირით 525 წელს, ხმარობდნენ ნულს ჩაწერისას რომაული ციფრების გამოუყენებლად. სამაგიეროდ ისინი იყენებდნენ ლათინურ სიტყვას „ნულუს“-ს („“ - არაფერი).
ციფრების, როგორც აბსტრაქტული ცნებების პირველ სისტემატიკურ მოკვლევას მიაკუთვნებენ ძველ ბერძენ ფილოსოფოსებს, პითაგორასა და არქიმედეს. თუმცა, დამოუკიდებელ შესწავლებს ჰქონდათ ადგილი დაახლოებით იმავე პერიოდში ინდოეთში, ჩინეთში, მესოამერიკაში.

მეცხრამეტე საუკუნეში ნატურალური რიცხვების სიმრავლეთა თეორიული განმარტება განვითარდა. ამ განმარტებით, ნული (ცარიელი სიმრავლის აღმნიშვნელი) განეკუთვნება ნატურალურ რიცხვებს. ამჟამად ნულს, ჩვეულებისამებრ მიაკუთვნებენ ნატურალურ რიცხვებს სიმრავლეთა თეორეტიკოსები, ლოგიკოსები და კომპიუტერული მეცნიერები. სხვა მათემატიკოსები მაგალითად, რიცხვთა თეორეტიკოსები, ძველ ტრადიციას მისდევენ და ნატურალური რიცხვების პირველ წევრად 1-ს მიიჩნევენ.

ჩაწერის სისტემა
მათემატიკოსები იყენებენ \{}-ს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის აღსანიშნავად. ეს სიმრავლე არის თვლადად უსასრულო: ის არის უსასრულო, მაგრამ თვლადი განსაზღვრების მიხედვით. ნატურალური რიცხვების რაოდენობა (იგივე კარდინალობა) აღინიშნება სიმბოლოთი ალეფ-ნული (\_0).

ბუნდოვნების გასაფანტავად, რომ ნული არის ან არ არის ჩათვლილი მოცემულ სიმრავლეში „0“-ს უმატებენ ინდექსად ან „*“-ს ზედა შტრიხად:

\{}0 = { 0, 1, 2, ... } ; \{}* = { 1, 2, ... .

(ზოგჯერ ინდექსი ან ზედა შტრიხი „+“ გამოიყენება „დადებითი“-ს აღსანიშნავად. თუმცა, ეს ხშირად გამოიყენება „არაუარყოფითი“-ს გამოსახვისთვის სხვა შემთხვევებში, როგორიც არის + = [0,∞) და + = { 0, 1, 2,... }, ყოველ შემთხვევაში ევროპულ ლიტერატურაში მაინც. სიმბოლო „*“, როგორც წესი არის „ნულისაგან განსხვავებული“-ს, ან უფრო სწორად, შექცევადი ელემენტების აღმნიშვნელი სიმბოლო.

სიმრავლეთა თეორეტიკოსები ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს საკმაოდ ხშირად გამოსახავენ ბერძნული ანბანის პატარა ასო „ომეგა“-თი: . ეს გამომდინარეობს რიგობითი რიცხვების გაიგივებიდან უფრო მცირე ყველა რიგობით რიცხვთა სიმრავლესთან. როდესაც ეს ჩაწერა გამოიყენება, ნული აუცილებლად იგულისხმება ნატურალურ რიცხვთა შორის.

ალგებრული თვისებები
ფორმალური განსაზღვრებები
ისტორიულად, ნატურალური რიცხვის საბოლოო განმარტება გარკვეული სიძნელეებით მოხერხდა. პეანოს პოსტულატების მიხედვით ყოველი მომდევნო პირობა უნდა იქნას დაკმაყოფილებული. გარკვეული აგებულებები აჩვენებენ, რომ სიმრავლეთა თეორიის მოცემულობით, პეანოს პოსტულატების მოდელები უნდა არსებობდნენ.

პეანოს აქსიომები
პეანოს აქსიომათა სისტემა შედგება 5 აქსიომისგან:
არსებობს ნატურალური რიცხვი 0.
ყოველი ნატურალური რიცხვ -სთვის არსებობს მომდევნო ნატურალური რიცხვი .
არ არსებობს ნატურალური რიცხვი, რომლის მომდევნო 0-ია.
განსხვავებულ ნატურალურ რიცხვებს განსხვავებული ნატურალური რიცხვი მოსდევთ: თუ ≠ , მაშინ ≠ .
თუ რაიმე თვისება ახასიათებს 0-ს და ყოველ მომდევნო ნატურალურ რიცხვს, მაშინ ის ახასიათებს ყველა ნატურალურ რიცხვს. (ეს პოსტულატი ადასტურებს, რომ მათემატიკური ინდუქციის ტექნიკა მართებულია.)

უნდა აღინიშნოს, რომ „0“ ზემოთ ხსენებულ განმარტებებში არა აუცილებლად ნიშნავს ჩვენთვის ჩვეულებისამებრ ცნობილ ციფრ ნულს. „0“ უბრალოდ ნიშნავს რაღაც ობიექტს, რომელიც შესაფერის მომდევნო ფუნქციასთან შერწყმისას აკმაყოფილებს პეანოს აქსიომებს. ყველა სისტემა რომელიც აკმაყოფილებს ამ აქსიომებს იზომორფულია. სახელწოდება „0“ აქ გამოყენებულია პირველი წევრის აღსანიშნავად, რომელიც არაფრის მომდევნოა. მაგალითისთვის, ერთით დაწყებული ნატურალური რიცხვებიც აკმაყოფილებენ ამ აქსიომებს.

აგებულებები სიმრავლეთა თეორიის მიხედვით
სტანდარტული აგებულება
სტანდარტული აგებულება სიმრავლეთა თეორიაში, ფონ ნეიმანის რიგობითის კონსტრუქციის მიხედვით ნატურალურ რიცხვებს განსაზღვრავს, როგორც:

შემოვიტანოთ შემდეგი აღნიშვნა, 0 := { }, ცარიელი სიმრავლე,
და განვსაზღვროთ = ∪ {}, -ს ყოველი სიმრავლისთვის. არის -ს მომდევნო რიცხვი და არის მიმდევრობის ფუნქცია.
თუ უსასრულობის აქსიომა მართებულია, მაშინ ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე არსებობს და წარმოადგენს ყველა იმ სიმრავლის გადაკვეთას, რომლებიც შეიცავენ 0-ს და განეკუთვნებიან ამ მიმდევრობის ფუნქციას.
თუ ყველა ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არსებობს, მაშინ ის აკმაყოფილებს პეანოს აქსიომებს.
მაშინ ყოველი ნატურალური რიცხვი უდრის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს გამოკლებული თვით ეს რიცხვი, ისე რომ

0 = { } = \
1 = {0} = = } =