მათემატიკა

} < ) — მეცნიერება, რომელიც ეფუძნება აბსტრაგირებას, დედუქციურ მსჯელობას და სიმბოლურ ლოგიკას. ზოგჯერ მათემატიკას აღწერენ როგორც მეცნიერებას რიცხვების, გეომეტრიული ფიგურების და გარდაქმნების შესახებ. უფრო ფორმალური თვალთახედვით მათემატიკა სწავლობს აქსიომატურად განმარტებულ აბსტრაქტულ მათემატიკურ სტრუქტურებს.

ერთი მხრივ მათემატიკა იქმნება წმინდა თეორიული ინტერესების გამო – წმინდა მათემატიკა. მეორე მხრივ მათემატიკური კვლევა სათავეს იღებს საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებიდან, გამოიყენება ინჟინერიაში, მედიცინაში და ეკონომიკაში – გამოყენებითი მათემატიკა.

მათემატიკის ისტორია
მათემატიკა ერთ-ერთი უძველესი მეცნიერებაა. მან პირველი აღმავლობა ძველ საბერძნეთსა და ელინისტურ სამყაროში განიცადა. აქ პირველად დაინერგა მისწრაფება „წმინდა ლოგიკური დამტკიცებებისკენ“. აქვე გაჩნდა პირველი აქსიომატიზაცია, კერძოდ ევკლიდეს გეომეტრია. შუა საუკუნეებში მათემატიკა არსებობას განაგრძობდა ადრეული ჰუმანიზმის უნივერსიტეტებსა და არაბულ სამყაროში.

ადრეულ ახალ დროში ფრანსის ვიეტიმ შემოიტანა ცვლადის ცნება. რენე დეკარტმა კი, საკოორდინატო სისტემის შემოტანით გზა გაუხსნა გეომეტრიისადმი გამოთვლით მიდგომას. მოგვიანებით გოტფრიდ ლაიბნიცმა და ისააკ ნიუტონმა საფუძველი ჩაუყარეს უსასროლოდ მცირეთა ანალიზს.

გვიანდელი ახალი დროის სხვა მნიშვნელოვანი ამოცანა იყო უფრო და უფრო რთული ალგებრული განტოლებების ამოხსნა. ამ საკითხების კვლევისას ნ. ჰ. აბელი და ე. გალუა მივიდნენ ჯგუფის ცნებამდე, რაც თანამედროვე ალგებრის შექმნის ერთ-ერთი წინაპირობა იყო. მე–19 საუკუნის განმავლობაში ა. ლ. კოშის და კ. ვაიერშტრასის შრომებში განხორციელდა უსასროლოდ მცირეთა ანალიზის ზუსტი ჩამოყალიბება. ჟ. ა. პუანკარემ შექმნა ტოპოლოგია. ამავე საუკუნის ბოლოს გ. კანტორმა შექმნა სიმრავლეთა თეორია, რამაც დიდი გავლენა იქონია მათემატიკის შემდგომ განვითარებაზე.

მე–20 საუკუნის პირველი ნახევრში მათემატიკა გერმანელი მათემატიკოსის დ. ჰილბერტის მიერ შემუშავებული ე.წ. „ჰილბერტის პროგრამის“ გავლენას განიცდიდა, რაც მათემატიკის მთლიან აქსიომატიზაციას გულისხმობდა. ამავე დროს მათემატიკაში სულ უფრო ძლიერდება აბსტრაქცია, ე.ი. ცნებების მათ არსებით თვისებებზე დაყვანის ტენდენცია. ამგვარად, სხვა მათემატიკოსებთან ერთად ე. ნეოტერმა საფუძველი ჩაუყარა აბსტრაქტულ ალგებრას, ფ. ჰაუსდორფმა ზოგად ტოპოლოგიას, ს. ბანახმა ფუნქციონალურ ანალიზს. აბსტრაქციის კიდევ უფრო მაღალ საფეხურძე, მათემატიკის სხვადასხვა დარგებში მსგავსი კონსტრუქციების დაკვირვებით ს. აილენბერგმა და ს. მაკლეინმა შექმნეს კატეგორიათა თეორია.

მათემატიკური მეცნიერებები საქართველოში
საქართველოში მათემატიკური კვლევა თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის გახსნისთანავე (1918 წელი) დაიწყო. ქართველი მათემატიკოსების პირველ თაობას განეკუთნებოდნენ: ანდრია რაზმაძე, ნიკოლოზ მუსხელიშვილი, არჩილ ხარაძე და გიორგი ნიკოლაძე.

პირველი დარგი რომელშიც საქართველოში დაიწყო მეცნიერული მუშაობა იყო ვარიაციული აღრიცხვა (ა. რაზმაძე). ნ. მუსხელიშვილის, ი. ვეკუას და ვ. კუპრაძის ხელმძღვანელობით ჩამოყალიბდა კვლევითი ჯგუფი დრეკადობის თეორიასა და დიფერენციალური და ინტეგრალური განტოლებების დარგებში. შ. მიქელაძის თაოსნობით საფუძველი დაედო მეცნიერულ კვლევას რიცხვით ანალიზში. ვ. ჭელიძემ მნიშვნელოვნად შეუწყო ხელი მუშაობის ორგანიზაციას მათემატიკური ანალიზის დარგებში. გ ჭოღოშვილმა საფუძველი ჩაუყარა კვლევას ტოპოლოგიასა და აბსტრაქტულ ალგებრაში.

დღეს საქართველოში მოქმედებს რამდენიმე მათემატიკური კვლევითი დაწესებულება, მათ შორის ა. რაზმაძის სახელობის მათემატიკის ინსტიტუტი, მათემატიკური კვლევა მიმდინარეობს ასევე ქვეყნის უმაღლეს სასწავლებლებში.

მათემატიკის მეთოდები
მათემატიკა ფორმალური ენის გამოყენებით სწავლობს წარმოსახვით, იდეალურ ობიექტებს. ეს ობიექტები მოიცემა ფორმალური აღიწერით, განმარტებების საშუალებით.

მათემატიკა დედუქციური მეცნიერებაა. ეს ნიშნავს რომ, მისი თითოეული მტკიცებულება - თეორემა მიიღება სხვა უკვე ცნობილი თეორემების საფუძველზე, დამტკიცების საშუალებით. პირველადი წინადადებები, ე.წ. აქსიომები მიიღება დაუმტკიცებლად და მოცემული მათემატიკური თეორიის ლოგიკურ საფუძველს წარმოადგენს.

მათემატიკის სტრუქტურა და დარგები
შესწავლის საგნისა და მეთოდების მიხედვით საბაზისო მათემატიკა შეიძლება დაიყოს სამ ნაწილად: ალგებრა, ანალიზი, გეომეტრია. თუმცა ეს დაყოფა ძალზედ პირობითია და მათემატიკის შედარებით მაღალ საფეხურებზე კარგავს მნიშვნელობას.

უმაღლესი მათემატიკის უფრო კონკრეტული მიმართულებებია: აბსტრაქტული ალგებრა, წრფივი ალგებრა, კატეგორიათა თეორია, ალგებრული გეომეტრია, ალგებრული ტოპოლოგია, დიფერენციალური ტოპოლოგია, ფუნქციონალური ანალიზი, კომპლექსური ანალიზი, რიცხვითი ანალიზი, დიფერენციალური განტოლებები, მათემატიკური ფიზიკა, მათემატიკური ლოგიკა, ალბათობის თეორია, დისკრეტული მათემატიკა და ა.შ.

ეს მიმართულებებიც მჭიდროდ არიან ერთმანეთან დაკავშირებული და ინტენსიურად იყენაბენ ერთიმეორის შედეგებს და მეთოდებს. მათი უმრავლესობა შეიძლება ისევ დავყოთ კიდევ უფრო ვიწრო დარგებად. მაგალითად, აბსტრაქტული ალგებრიდან გამოიყოფა კომუტატური ალგებრა, უნივერსალური ალგებრა, ჯგუფთა თეორია და სხვა, დისკრეტული მათემატიკის ქვედარგებია გრაფთა თეორია, კომბინატორიკა, თამაშების თეორია და სხვა.

გამოყენებითი მათემატიკა
გამოყენებითი მათემატიკა მიზნად ისახავს განავითაროს პრაქტიკული მათემატიკური მეთოდები, ფიზიკის, ტექნოლოგიის, ეკონომიკის და სხვა სფეროების ამოცანების გადასაჭრელად. მე–20 საუკუნეში კომპიუტერული ტექნიკის განვითარებასთან ერთად მათემატიკის გამოყენების არეალი მკვეთრად გაფართოვდა და მან პირდაპირად თუ ირიბად ყოველდღიური ცხოვრების თითქმის ყველა ნაწილში შეაღწია.

გამოყენებითი მათემატიკის სამი ტრადიციული მიმართულებაა: დიფერენციალური განტოლებები, რიცხვითი ანალიზი, ალბათობის თეორია.

უშუალო პრაქტიკული გამოყენების მქონე მათემატიკის დარგებს შორისაა: მათემატიკური ფიზიკა, მათემატიკური სტატისტიკა, ფინანსური მათემატიკა, მათემატიკური ბიოლოგია, კრიპტოგრაფია, გრაფთა თეორია, თამაშების თეორია და სხვა.

ზოგადად, გამოყენებით მათემატიკად შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკის ის ნაწილი რომელიც არამათემატიკური ამოცანების მოდელირებისთვის გამოიყენება. ხშირად მსგავსი ამოცანების შესწავლა წმინდა თეორიული კვლევის განვითარებას უდებს საფუძველს და პირიქით, მათემატიკის თავდაპირველად წმინდა თეორულმა ნაწილმა შეიძლება პრაქტიკული გამოყენება ჰპოვოს.

სასკოლო მათემატიკა
სკოლებში მათემატიკა ერთ-ერთი ძირითადი საგანია. სკოლებში ისწავლება არითმეტიკა, ელემენტარული ალგებრა, ფუნქციები და ა.შ. სკოლებში როგორც წესი არ ისწავლება უმაღლესი მათემატიკა, რომელიც აბსტრაქციის მაღალ დონეს მოითხოვს.

სასკოლო მათემატიკის ტიპური თეორემებია: ბეზუს თეორემა, პითაგორას თეორემა, სინუსების თეორემა, ვიეტას თეორემა.

გამოჩენილი მათემატიკოსები
პითაგორა (ძვ. წ. 582 – ძვ. წ. 507)
ევკლიდე (ძვ. წ. 365 – ძვ. წ. 300)
ფრანსის ვიეტა (1540 – 1603)
რენე დეკარტი (1596 – 1650)
პიერ ფერმა (1607 – 1665)
ბლეზ პასკალი (1623 – 1662)
ისააკ ნიუტონი (1643 – 1727)
გოტფრიდ ლაიბნიცი (1646 – 1716)
იაკობ ბერნული (1655 – 1705)
ლეონარდ ეილერი (1707 – 1783)
ჯოსეფ-ლუი ლაგრანჟი (1736 – 1813)
პიერ სიმონ ლაპლასი (1749 – 1827)
კარლ ფრიდრიხ გაუსი (1777 – 1855)
აუგუსტინ ლუი კოში (1789 – 1857)
ნილს ჰენრიკ აბელი (1802– 1829)
ევარისტ გალუა (1811 – 1832)
კარლ ვაიერშტრასი (1815 – 1897)
გეორგ ფრიდრიხ ბერნჰარდ რიმანი (1826 – 1866)
ჟიულ კანტორი (1845 – 1918)
სოფია კოვალევსკაია (1850 – 1891)
ჟიულ ანრი პუანკარე (1854 – 1912)
დავიდ ჰილბერტი (1862 – 1943)
ფელიქს ჰაუსდორფი (1868 – 1942)

იხ. სრული ნუსხა.

ცნობილი ადამიანები მათემატიკაზე
„მათემატიკა მეცნიერებების დედოფალია“ – კარლ ფრიდრიხ გაუსი.
„მათემატიკა არის ანბანი, რომლითაც ღმერთმა აღწერა სამყარო“ – გალილეო გალილეი.
„მათემატიკა უფრო მეტად ხელოვნების დარგია“ – სეკი ტაკაკაძუ.
„მათემატიკა შეიძლება განისაზღვროს როგორც მეცნიერება, სადაც არავინ იცის რაზე საუბრობენ და არც ის, მათი ნათქვამი ჭეშმარიტია თუ არა“ – ბერტრან რასელი.

საქართველოს მათემატიკური დაწესებულებები
ა. რაზმაძის სახელობის მათემატიკის ინსტიტუტი
ი. ვეკუას სახელობის გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტი