რიცხვი

რიცხვი — მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება, რომელიც გამოიყენება დასათვლელად, გასაზომად და ნიშანდებისათვის. მისი ყველაზე ელემენტარული მაგალითებია ნატურალური რიცხვები: 1, 2, 3, 4 და ა.შ. რიცხვები გამოისახება სიმბოლოებით, რომლებსაც ციფრები ეწოდება. ენაზე მათი წარმოდგენა შესაძლებელია რიცხვითი სახელებით. რადგანაც შედარებით მცირე რაოდენობის სიმბოლოების დამახსოვრებაა შესაძლებელი, ძირითადი ციფრებისგან შედგენილია თვლის სისტემა, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვის წარმოდგენის ორგანიზებული საშუალება. ყველაზე გავრცელებული თვლის სისტემაა ინდურ-არაბული სისტემა, რომელიც იძლევა ნებისმიერი არაუარყოფითი მთელი რიცხვის წარმოდგენის საშუალებას. გარდა მათი დათვლისა და გაზომვისა, ციფრებს ასევე ხშირად იყენებენ ნიშანდებისას (მაგ., ტელეფონის ნომრებში), დალაგებისას (მაგ., სერიული ნომრებით), კოდებისთვის (როგორც -ების შემთხვევაში) და ა.შ.

ჩაისახა უძველეს დროში, შემდეგ თანდათანობით გაფართოვდა და განზოგადდა. ცალკეული საგნების დათვლისას წარმოიქმნა ცნება ჯერ ნატურალური რიცხვის, ხოლო შემდეგ ნატურალური მწკრივის უსასრულობის შესახებ. ნატურალური რიცხვის ცნება იმდენად მარტივ და ჩვეულებრივ ცნებად მიაჩნდათ, რომ დიდხანს არ დასმულა ამ რიცხვის დასაბუთების საკითხი. მხოლოდ საუკუნის შუა წლებში, ერთი მხრით, დედუქციური მეთოდის გავლენით, ხოლო, მეორე მხრით, მათემატიკური ანალიზის საფუძვლების კრიტიკული გადასინჯვის შედეგად წარმოიშვა ამ რიცხვების დასაბუთების აუცილებლობა, რაც სხვადასხვა გზით განახორციელეს გ. კანტორმა და ჯ. პეანომ. შემდგომ, ნატურალური რიცხვის ცნების განვითარებასთან ერთად შემოიღეს მოქმედებანი (ჯერ შეკრება და გამოკლება, შემდეგ გამრავლება და გაყოფა) ამ რიცხვებზე. მოქმედებათა წესებისა და თვისებების შესწავლამ წარმოშვა არითმეტიკა, ნატურალურ რომელთა მწკრივის ღრმა კანონზომიერების კვლევამ კი — რიცხვთა თეორია.

სიგრძეების, ფარდობებისა და სხვა გამოთვლის ამოცანებმა და სახელდებულ სიდიდეთა ნაწილების გამოყოფის საკითხებმა განაპირობეს წილადი რიცხვების შემოღება. რიცხვის ცნების შემდგომი გაფართოება (უარყოფითი რიცხვების შემოღება) განაპირობა არა უშუალოდ თვლისა და გაზომვის მოთხოვნებმა, არამედ მათემატიკურმა განვითარებამ. კერძოდ, უარყოფითი რიცხვების შემოტანა აუცილებელი გახდა ალგებრის, როგორც მეცნიერული, ჩამოყალიბებისა და განვითარებისათვის და საჭირო აღმოჩნდა ჯერ კიდევ ერთუცნობიანი წრფივი ამოცანების ამოხსნისას (შესძლო უარყოფითი პასუხი განიმარტებოდა მიმართულების მქონე უმარტივესი სიდიდეების მაგალითებზე). ხოლო იმ შემთხვევაში, როცა ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო იყო შეკრებისა და გამოკლების მრავალგზისი შესრულება, ამოხსნა უარყოფითი რიცხვების გარეშე მოითხოვდა, მრავალი შემთხვევის განხილვას. ეს იმდენად შრომატევადი პროცესი იყო, რომ იკარგებოდა ამოცანის ალგებრული ამოხსნის უპირატესობა არითმეტიკულთან შედარებით. უარყოფითი რიცხვების ცნება ჩამოყალიბდა ინდოეთში - საუკუნეებში. ევროპაში ეს რიცხვები საბოლოოდ დამკვიდრდა რ. დეკარტის დროიდან ( საუკუნე).

მთელი დადებითი (ნულზე მეტი) და უარყოფითი (ნულზე ნაკლები) მთელი რიცხვები, დადებითი და უარყოფითი წილადები, აგრეთვე ნული შეადგენენ რაციონალურ რიცხვებს. მიუხედავად იმისა, რომ მოქმედებანი წილადებზე ჯერ კიდევ ძველი აღმოსავლეთის ხალხებისათვის იყო ცნობილი, წარმოდგენა რაციონალურ რომელთა სიმრავლეზე, როგორც განყენებულ რიცხვებზე, ჩამოყალიბდა მხოლოდ საუკუნეში. არითმეტიკულ მოქმედებათა ოთხივე მოქმედების მიმართ ეს სიმრავლე ჩაკეტილი აღმოჩნდა, რაც იმას ნიშნავს, რომ ორი ნებისმიერი რაციონალური რიცხვის ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და განაყოფი (გარდა ნულზე გაყოფის განაყოფისა) კვლავ რაციონალური რიცხვებია.

უწყვეტად ცვლად სიდიდეთა შესასწავლად საჭირო გახდა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის შემოღება, რაც მიღწეულ იქნა ირაციონალური რიცხვების შემოღებით, რიცხვებიც რაციონალური რიცხვებით მხოლოდ მიახლოებით გამოისახება. თუმცა ირაციონალური ფარდობის (მაგალითად, კვადრატის დიაგონალისა მის გვერდთან) არსებობა (ცნობილი იყო ჯერ კიდევ ძველი ბერძნებისათვის, მაგრამ იდეა ამის შესახებ, რომ არათანაზომადი მონაკვეთების სიგრძეთა ფარდობა შეიძლება განხილულ იქნეს როგორც ირაციონალური რიცხვი, მათ გააზრებული არ ჰქონდათ. ირაციონალურ რიცხვთა თეორია საბოლოოდ ჩამოყალიბდა მხოლოდ საუკუნის ნახევარში მათემატიკური ანალიზი: მოთხოვნებთან დაკავშირებით.

რიცხვთა ცნების განვითარების შემდეგი ეტაპია კომპლექსური რიცხვების შეზოღება. ამ რიცხვების შვმოღება დაკავშირებულია კვადრატულ და კუბურ განტოლებათა ამოხნასთან და, როგორც ჩანს, აგრეთვე იტალიელი მათემატიკოსების ჯ. კარდანოსა ა რ. ბომბელის (1530-1572) სახელებთან. კომპლექსური რიცხვები და მათზე მოქმედებები ძნელად მკვიდრდებოდა და მათზე მოიქმედებების ჩატარება საეჭვოდ მიაჩნდათ, რაც კიდევაც აისახა დღემდე შემორჩენილ ტერმინში „წარმოსახვითი რიცხვი“. მაგალითად, გ. ლაიბნიცი წერდა: „წარმოსახვითი რიცხვები არის ღვთაებრივი სულის საუცხოო და სასწაულებრივი თავშეაფარი, თითქმის შუამავალი ყოფნასა და არყოფნას შორის“. ეს ეჭვები საბოლოოდ გაქარწყლდა მას შემდეგ, რაც დადგინდა მათი, როგორც სიბრტყის წერტილების, გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

რიცხვის ცნების ძირითადი მიმართულებით განვითარებასთან ერთად (ნატურალური რიცხვი → რაციონალური რიცხვი → ნამდვილი რიცხვი → კომპლექსური რიცხვი) მათემატიკური ზოგიერთი დარგის სპეციფიკურმა მოთხოვნებმა განაპირობა რიცხვის ცნების განზოგადება სხვა მიმართულებითაც. მაგალითად, სიმრავლეთა თეორიასთან დაკავშირებულ მათემატიკის დარგებში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს კარდინალური რიცხვი (ზოგჯერ მას ტრანსფინიტულ რიცხვსაც უწოდებენ). კარდინალური რიცხვი არის სიმრავლის ისეთი მახასიათებელი, რომელიც აქვს სიმრავლის სიმძლავრის მქონე ნებისმიერ სიმრავლეს). ამასთან, ორ და სიმრავლეს ეწოდება ტოლსიმძლავრიანი, თუ არსებობს ურთიერთცალსახა ასახვა :-> სიმრავლისა სიმრავლეზე. კარდინალური რიცხვისთვის განსაზღვრულია შეკრების, გამრავლების, ახარისხების, ლოგარითმების აღებისა და ფესვის ამოღების ოპერაციები.

გარდა ზემოთ განხილული რიცხვებისა, ალგებრაში შეისწავლება იმ ობიექტთა სხვადასხვა სისტემა, რომელთა თვისებები მეტ-ნაკლებად ემსგავსება ამ რიცხვების თვისებებს.