Grupa - we matymatyce je to para zbajstlowano ze skuplowanio myngi (formula_1) a dwuargumyntowego dziołanio (formula_2) cuzamyn, przi czym prawe muszōm być take regle: Jak formula_3 a formula_4 sōm elemyntōma ôd formula_1, to tyż formula_6 je elemyntym ôd formula_1. Dziołanie jest asocjatywne: formula_8, przi czym formula_3, formula_4, formula_11 noleżōm do formula_1. Je taki elemynt formula_13 we formula_14, aże: formula_15 lo kożdygo elemyntu formula_16 we formula_14. Elemynt formula_13 mianujymy "neutralnym". Lo kożdygo elemyntu formula_16 we formula_14 do sie znojść elemynt formula_21, kery tyż noleżi do formula_1 taki, aże: formula_23. Elemynt formula_21 mianujymy "uodwrotnym" abo "inwersyjōm ôd formula_16". Jeli krōm tygo prawe je: formula_26 lo kożdych elemyntōw formula_27 ôd formula_1 to grupa tako mianowano je "abelowōm". Grupa je szrajbowano zauobycz we postaci formula_29 kaj formula_1 je myngōm, a formula_2 dziołaniym. Roz a kedy używany je szrajbōnek formula_32, kaj formula_13 je neutralnym elemyntym a formula_21 ôdwrotnym. Tajla matymatyki, ftoro bado własności grupōw to teoryjo grupōw. Piyrszym co doł anfang tymu pojyńciu bōł Évariste Galois we 1830. formula_35, kaj formula_36 je myngōm cołkowitych nōmerōw a formula_37 dodowaniym. Neutralny elemynt: formula_38 Lo kożdygo formula_39 ôdwrotnym elemyntym je formula_40. formula_41, kaj formula_42 je myngōm realnych nōmerōw a formula_37 dodowaniym. Neutralny elemynt: formula_38 Lo kożdygo formula_39 ôdwrotnym elemyntym je formula_40. formula_47, kaj formula_48{formula_49}, a formula_2 je takim dziołaniym, aże wert dziołanio formula_6 je resztōm ze tajlowanio bez formula_52 ilorazu formula_3 i formula_4. Na tyn przikłod formula_55. Neutralny elemynt: formula_56 Lo formula_56 ôdwrotnym elemyntym je formula_56 Lo formula_59 ôdwrotnym elemyntym je formula_60 Lo formula_60 ôdwrotnym elemyntym je formula_59 Lo formula_63 ôdwrotnym elemyntym je formula_63 Diederowo grupa lo kwadratu (fachowo szrajbowano formula_65): Ji mynga mo wszyjske mogebne symetryje kwadrata, a dziołanie je kōplowaniym tych symetryjōw tak, aże lo formula_66 (kaj formula_67) formula_11 je symetryjōm zbajstlowanōm bez zrobiyniy nojsamprzōd symetryji formula_3, potym formula_4 na kwadracie. Tako grupa mogymy zapisać kej: formula_47, kaj formula_48{formula_73}. Neutralnym elemynt: formula_74 Inwerysjo ôd kożdygo elemyntu pokozano je we tabōli niżyj: