Goal:
  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
        (a :: ls1)
  X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
  X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) 
         (S n) ls1
  ============================
   (All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2)


DEBUG:Going to execute:
<coq-core.plugins.ltac::constructor@0>

Goals:
  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a :: ls2)) n []
  ============================
   (All (λ x : A, Alli (P x) n []) ls2)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  n : nat
  X : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) []
  ============================
   (Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) []) (S n) ls1)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) (a0 :: ls2)
  X0 : Alli (P a0) n (a :: ls1)
  X1 : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2
  ============================
   (P a0 n a)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) (a0 :: ls2)
  X0 : Alli (P a0) n (a :: ls1)
  X1 : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2
  ============================
   (All (λ x : A, P x n a) ls2)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) (a0 :: ls2)
  X0 : Alli (P a0) n (a :: ls1)
  X1 : All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2
  ============================
   (Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) (S n) ls1)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
        (a :: ls1)
  X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
  X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) 
         (S n) ls1
  ============================
   (P a0 n a)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
        (a :: ls1)
  X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
  X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) 
         (S n) ls1
  ============================
   (Alli (P a0) (S n) ls1)

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → nat → B → Type
  a : B
  ls1 : list B
  IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
         All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
         Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
  a0 : A
  ls2 : list A
  n : nat
  X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
        (a :: ls1)
  X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
  X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) 
         (S n) ls1
  ============================
   (All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2)


DEBUG:Going to execute:
try apply IH; clear IH => //
Level 0: Backtrace:

In environment
A : Type
B : Type
P : A → nat → B → Type
a : B
ls1 : list B
IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
       All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
       Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
a0 : A
ls2 : list A
n : nat
X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
      (a :: ls1)
X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) (S n) ls1
Unable to unify "All ?M3293 (?M3294 :: ?M3295)" with
 "All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2".
Level 0: Backtrace:

In environment
A : Type
B : Type
P : A → nat → B → Type
a : B
ls1 : list B
IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
       All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
       Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
a0 : A
ls2 : list A
n : nat
X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
      (a :: ls1)
X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) (S n) ls1
Unable to unify "All ?M3293 (?M3294 :: ?M3295)" with
 "All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2".
Level 0: Backtrace:

In environment
A : Type
B : Type
P : A → nat → B → Type
a : B
ls1 : list B
IH : ∀ (ls2 : list A) (n : nat),
       All (λ x : A, Alli (P x) n ls1) ls2 <~>
       Alli (λ (n0 : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n0 y) ls2) n ls1
a0 : A
ls2 : list A
n : nat
X : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) n
      (a :: ls1)
X0 : All (λ x : A, P x n a) (a0 :: ls2)
X1 : Alli (λ (n : nat) (y : B), All (λ x : A, P x n y) (a0 :: ls2)) (S n) ls1
Unable to unify "All ?M3293 (?M3294 :: ?M3295)" with
 "All (λ x : A, Alli (P x) n (a :: ls1)) ls2".