Goal:
  
  A : Type
  P : A → A → Type
  l : list A
  l' : list A
  t : A
  Hall : All2 P l l'
  ============================
   (∀ n : nat,
      nth_error l' n = Some t → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t)


DEBUG:Going to execute:
induction Hall

Goals:
    A : Type  P : A → A → Type  t : A
  ============================
   (∀ n : nat,
      nth_error [] n = Some t → ∑ t' : A, nth_error [] n = Some t' × P t' t)

  
  A : Type
  P : A → A → Type
  t : A
  x : A
  y : A
  l : list A
  l' : list A
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t
             → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t
  ============================
   (∀ n : nat,
      nth_error (y :: l') n = Some t
      → ∑ t' : A, nth_error (x :: l) n = Some t' × P t' t)


DEBUG:Going to execute:
destruct n
DEBUG LTAC Evaluated term: Hall

Goals:
    A : Type  P : A → A → Type  t : A
  ============================
   (nth_error [] 0 = Some t → ∑ t' : A, nth_error [] 0 = Some t' × P t' t)

    A : Type  P : A → A → Type  t : A  n : nat
  ============================
   (nth_error [] (S n) = Some t
    → ∑ t' : A, nth_error [] (S n) = Some t' × P t' t)

  
  A : Type
  P : A → A → Type
  t : A
  x : A
  y : A
  l : list A
  l' : list A
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t
             → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t
  ============================
   (nth_error (y :: l') 0 = Some t
    → ∑ t' : A, nth_error (x :: l) 0 = Some t' × P t' t)

  
  A : Type
  P : A → A → Type
  t : A
  x : A
  y : A
  l : list A
  l' : list A
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t
             → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t
  n : nat
  ============================
   (nth_error (y :: l') (S n) = Some t
    → ∑ t' : A, nth_error (x :: l) (S n) = Some t' × P t' t)


DEBUG:Going to execute:
simpl

Goals:
    A : Type  P : A → A → Type  t : A
  ============================
   (None = Some t → ∑ t' : A, None = Some t' × P t' t)

    A : Type  P : A → A → Type  t : A  n : nat
  ============================
   (None = Some t → ∑ t' : A, None = Some t' × P t' t)

  
  A : Type
  P : A → A → Type
  t : A
  x : A
  y : A
  l : list A
  l' : list A
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t
             → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t
  ============================
   (Some y = Some t → ∑ t' : A, Some x = Some t' × P t' t)

  
  A : Type
  P : A → A → Type
  t : A
  x : A
  y : A
  l : list A
  l' : list A
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t
             → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t
  n : nat
  ============================
   (nth_error l' n = Some t → ∑ t' : A, nth_error l n = Some t' × P t' t)


DEBUG:Going to execute:
try congruence