Goal:
  
  A : Type
  B : Type
  P : A → B → Type
  l : list A
  l' : list B
  t' : B
  Hall : All2 P l l'
  ============================
   (∀ n : nat,
      nth_error l' n = Some t' → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t')


DEBUG:Going to execute:
induction Hall

Goals:
    A : Type  B : Type  P : A → B → Type  t' : B
  ============================
   (∀ n : nat,
      nth_error [] n = Some t' → ∑ t : A, nth_error [] n = Some t × P t t')

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → B → Type
  t' : B
  x : A
  y : B
  l : list A
  l' : list B
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t'
             → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t'
  ============================
   (∀ n : nat,
      nth_error (y :: l') n = Some t'
      → ∑ t : A, nth_error (x :: l) n = Some t × P t t')


DEBUG:Going to execute:
destruct n
DEBUG LTAC Evaluated term: Hall

Goals:
    A : Type  B : Type  P : A → B → Type  t' : B
  ============================
   (nth_error [] 0 = Some t' → ∑ t : A, nth_error [] 0 = Some t × P t t')

    A : Type  B : Type  P : A → B → Type  t' : B  n : nat
  ============================
   (nth_error [] (S n) = Some t'
    → ∑ t : A, nth_error [] (S n) = Some t × P t t')

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → B → Type
  t' : B
  x : A
  y : B
  l : list A
  l' : list B
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t'
             → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t'
  ============================
   (nth_error (y :: l') 0 = Some t'
    → ∑ t : A, nth_error (x :: l) 0 = Some t × P t t')

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → B → Type
  t' : B
  x : A
  y : B
  l : list A
  l' : list B
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t'
             → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t'
  n : nat
  ============================
   (nth_error (y :: l') (S n) = Some t'
    → ∑ t : A, nth_error (x :: l) (S n) = Some t × P t t')


DEBUG:Going to execute:
simpl

Goals:
    A : Type  B : Type  P : A → B → Type  t' : B
  ============================
   (None = Some t' → ∑ t : A, None = Some t × P t t')

    A : Type  B : Type  P : A → B → Type  t' : B  n : nat
  ============================
   (None = Some t' → ∑ t : A, None = Some t × P t t')

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → B → Type
  t' : B
  x : A
  y : B
  l : list A
  l' : list B
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t'
             → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t'
  ============================
   (Some y = Some t' → ∑ t : A, Some x = Some t × P t t')

  
  A : Type
  B : Type
  P : A → B → Type
  t' : B
  x : A
  y : B
  l : list A
  l' : list B
  r : P x y
  Hall : All2 P l l'
  IHHall : ∀ n : nat,
             nth_error l' n = Some t'
             → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t'
  n : nat
  ============================
   (nth_error l' n = Some t' → ∑ t : A, nth_error l n = Some t × P t t')


DEBUG:Going to execute:
try congruence