internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
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inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
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inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDeriv K fun x => (f x).1) = fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := revDeriv K f x;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (yzdf.1.1, fun dy => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy)
Tactic:
unfold revDeriv
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x => ((fun x => (f x).1) x, semiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).1) x))) = fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (yzdf.1.1, fun dy => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy)
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
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Z' Zi : Type
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x => ((fun x => (f x).1) x, semiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).1) x))) = fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (yzdf.1.1, fun dy => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
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    let yzdf := revDerivProjUpdate K (Unit ⊕ Unit) f x;
    (yzdf.1.1, fun dy dx => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy dx)
Tactic:
unfold revDerivProjUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
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Y' Yi : Type
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Z' Zi : Type
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDerivUpdate K fun x => (f x).1) = fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Unit ⊕ Unit) f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (yzdf.1.1, fun dy dx => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy dx)
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
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inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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Z' Zi : Type
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
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f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDerivUpdate K fun x => (f x).1) = fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Unit ⊕ Unit) f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (yzdf.1.1, fun dy dx => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
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Z' Zi : Type
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
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      let ydf := revDeriv K (fun x => (f x).1) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Unit ⊕ Unit) f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
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Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
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inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
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inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => (f x).1) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Unit ⊕ Unit) f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (yzdf.1.1, fun dy dx => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivProj_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
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Z' Zi : Type
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
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f : W → X' × Y
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDerivProj K Xi fun x => (f x).1) = fun w =>
    let xydf := revDerivProj K (Xi ⊕ Unit) f w;
    (xydf.1.1, fun i dxy => xydf.2 (Sum.inl i) dxy)
Tactic:
unfold revDerivProj
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
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inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
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ι : Type
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inst✝ : LawfulIndexType ι
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⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDeriv K (fun x => (f x).1) x;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de))) =
    fun w =>
    let xydf :=
      let ydf' := revDeriv K f w;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (xydf.1.1, fun i dxy => xydf.2 (Sum.inl i) dxy)
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivProj_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
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Z' Zi : Type
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      let ydf' := revDeriv K (fun x => (f x).1) x;
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    fun w =>
    let xydf :=
      let ydf' := revDeriv K f w;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (xydf.1.1, fun i dxy => xydf.2 (Sum.inl i) dxy)
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K : Type
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X : Type
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Y : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
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inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : W → X' × Y
hf : HasAdjDiff K f
x : W
⊢ (let ydf' := revDeriv K (fun x => (f x).1) x;
    (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de))) =
    let xydf :=
      let ydf' := revDeriv K f x;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (xydf.1.1, fun i dxy => xydf.2 (Sum.inl i) dxy)
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivProj_rule
Proof state before:
case h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
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inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
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inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
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inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
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inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
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inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
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⊢ (let ydf' := revDeriv K (fun x => (f x).1) x;
    (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de))) =
    let xydf :=
      let ydf' := revDeriv K f x;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (xydf.1.1, fun i dxy => xydf.2 (Sum.inl i) dxy)
Tactic:
fun_trans[revDerivProj]
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
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X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : W → X' × Y
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDerivProjUpdate K Xi fun x => (f x).1) = fun w =>
    let xydf := revDerivProjUpdate K (Xi ⊕ Unit) f w;
    (xydf.1.1, fun i dxy dw => xydf.2 (Sum.inl i) dxy dw)
Tactic:
unfold revDerivProjUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : W → X' × Y
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDerivProj K Xi (fun x => (f x).1) x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    fun w =>
    let xydf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Xi ⊕ Unit) f w;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (xydf.1.1, fun i dxy dw => xydf.2 (Sum.inl i) dxy dw)
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : W → X' × Y
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDerivProj K Xi (fun x => (f x).1) x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    fun w =>
    let xydf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Xi ⊕ Unit) f w;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (xydf.1.1, fun i dxy dw => xydf.2 (Sum.inl i) dxy dw)
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : W → X' × Y
hf : HasAdjDiff K f
x : W
⊢ (let ydf' := revDerivProj K Xi (fun x => (f x).1) x;
    (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    let xydf :=
      let ydf' := revDerivProj K (Xi ⊕ Unit) f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (xydf.1.1, fun i dxy dw => xydf.2 (Sum.inl i) dxy dw)