internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x

case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.74422
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.74428
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.74441
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.74452
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.74463
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.74490
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.74536
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.74547
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.74585
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ HasAdjDiff K fun x =>  ∑ i, f x i
Tactic:
intro x
Proof state after:
K✝ : Type ?u.74422
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.74428
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.74441
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.74452
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.74463
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.74490
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.74536
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.74547
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.74585
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.74422
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.74428
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.74441
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.74452
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.74463
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.74490
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.74536
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.74547
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.74585
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
h✝ : ¬c
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x

case isTrue
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
h✝ : c
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
h : c
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x
Tactic:
case isTrue h  => simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
h : ¬c
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x
Tactic:
case isFalse h => simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
h : c
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x
Tactic:
simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76326
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76332
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76345
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76356
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76367
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76394
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76440
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76451
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76462
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76489
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiffAt K t x
he : HasAdjDiffAt K e x
h : ¬c
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => if c then t x else e x) x
Tactic:
simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
h✝ : ¬c
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x

case isTrue
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
h✝ : c
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
h : c
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
case isTrue h  => simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
h : ¬c
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
case isFalse h => simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
h : c
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.76823
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.76829
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.76842
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.76853
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.76864
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.76891
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.76937
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.76948
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.76959
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.76986
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
ht : HasAdjDiff K t
he : HasAdjDiff K e
h : ¬c
⊢ HasAdjDiff K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
simp[he,h]
Proof state after:
no goals