internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Zqrtd.factor_div'
Proof state before:
case h.e'_4
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
e : ℤ := m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im
he : e = m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im
⊢ c.re * c.re - -3 * c.im * c.im =
    (c + m * ↑x).re * (c + m * ↑x).re - -3 * (c + m * ↑x).im * (c + m * ↑x).im -
      x * (m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im)
Tactic:
simp only [Zsqrtd.coe_int_re, Zsqrtd.mul_im, Zsqrtd.add_im, Zsqrtd.mul_re, Zsqrtd.add_re,
  Zsqrtd.coe_int_im]
Proof state after:
case h.e'_4
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
e : ℤ := m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im
he : e = m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im
⊢ c.re * c.re - -3 * c.im * c.im =
    (c.re + (m.re * x + -3 * m.im * 0)) * (c.re + (m.re * x + -3 * m.im * 0)) -
        -3 * (c.im + (m.re * 0 + m.im * x)) * (c.im + (m.re * 0 + m.im * x)) -
      x * (m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im)
Theorem: Zqrtd.factor_div'
Proof state before:
case h.e'_4
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
e : ℤ := m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im
he : e = m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im
⊢ c.re * c.re - -3 * c.im * c.im =
    (c.re + (m.re * x + -3 * m.im * 0)) * (c.re + (m.re * x + -3 * m.im * 0)) -
        -3 * (c.im + (m.re * 0 + m.im * x)) * (c.im + (m.re * 0 + m.im * x)) -
      x * (m.re ^ 2 * x + 2 * m.re * c.re + 3 * m.im ^ 2 * x + 6 * m.im * c.im)
Tactic:
ring
Proof state after:
no goals
Theorem: Zqrtd.factor_div'
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c = x * y
⊢ 0 < Int.natAbs x
Tactic:
zify
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c = x * y
⊢ 0 < abs x
Theorem: Zqrtd.factor_div'
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c = x * y
⊢ 0 < abs x
Tactic:
exact zero_lt_one.trans h
Proof state after:
no goals
Theorem: Zqrtd.factor_div'
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
h : 1 < abs x
c m : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm c < x ^ 2
hcoprime : IsCoprime (c + m * ↑x).re (c + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c + m * ↑x)
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c = x * y
h0'' : 0 < Int.natAbs x
⊢ -3 ≤ 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
induction' hx' : x.natAbs using Nat.strong_induction_on with x' IH generalizing a x
Proof state after:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx'✝ : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x' : ℕ
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < x' →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
hx' : Int.natAbs x = x'
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx'✝ : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x' : ℕ
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < x' →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
hx' : Int.natAbs x = x'
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
subst hx'
Proof state after:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have hneg1 : 1 ≤ a.norm := by
  rw [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self]
  apply lt_of_le_of_ne (Zsqrtd.norm_nonneg (by norm_num) a)
  rw [Ne.def, eq_comm, Zsqrtd.norm_eq_zero_iff (by norm_num : (-3 : ℤ) < 0)]
  rintro rfl
  rw [Zsqrtd.zero_im, Zsqrtd.zero_re] at hcoprime
  exact not_isCoprime_zero_zero hcoprime
Proof state after:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have h0 : x ≠ 0 := by
  rintro rfl
  simp only [even_zero, not_true, Int.odd_iff_not_even] at hodd
Proof state after:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have h0' : 1 ≤ abs x := by rwa [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self, abs_pos]
Proof state after:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
cases' h0'.eq_or_lt with h h
Proof state after:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 = abs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c

case h.inr
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
obtain ⟨c', m, rfl, -, h1, ⟨y, hy, h3⟩⟩ := Zqrtd.factor_div' a hodd h hcoprime hfactor
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have h4 : c'.norm ≠ 0 := by rwa [Ne.def, Zsqrtd.norm_eq_zero_iff (by norm_num) c']
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
set g := Int.gcd c'.re c'.im with hg
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have hgpos : 0 < g := by rwa [hg, Zsqrtd.gcd_pos_iff]
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
obtain ⟨C', HC', HCDcoprime⟩ := Zsqrtd.exists_coprime_of_gcd_pos hgpos
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have h5 : x * y = (g : ℤ) ^ 2 * C'.norm := by
  rw [← hy, HC', Zsqrtd.norm_mul, Zsqrtd.norm_int_cast, ← pow_two]
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have h6 : x * z = C'.norm :=
  by
  have hgnezero := Int.coe_nat_ne_zero_iff_pos.mpr hgpos
  apply Int.eq_of_mul_eq_mul_left (pow_ne_zero 2 hgnezero)
  rw [← h5, hz, mul_left_comm]
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
have h8 : z ≠ 0 := by
  apply right_ne_zero_of_mul
  apply right_ne_zero_of_mul
  rwa [h6, ← h5, ← hy]
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c