Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, -f x✝⟫_K = ⟪-y✝, f x✝⟫_K

case hx
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
unfold Inner.inner
Proof state after:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ SemiInnerProductSpace.toInner.1 y✝ (-f x✝) = SemiInnerProductSpace.toInner.1 (-y✝) (f x✝)

case hx
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f