internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case inr.h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] (A * (b - a)), c ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
have key : 0 < A := lt_of_le_of_ne hA h.symm
Proof state after:
case inr.h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] (A * (b - a)), c ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case inr.h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
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hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] (A * (b - a)), c ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
filter_upwards [WI_tendsto_aux' a b key l_inf] with x hx
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
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hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
x : ℝ
hx : x ∈ (fun c => b - a - c / A) ⁻¹' {x | A * (b - a - x) ≤ liminf (S Iab) atTop}
⊢ x ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
x : ℝ
hx : x ∈ (fun c => b - a - c / A) ⁻¹' {x | A * (b - a - x) ≤ liminf (S Iab) atTop}
⊢ x ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
simp at hx
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
x : ℝ
hx : A * (x / A) ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ x ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
x : ℝ
hx : A * (x / A) ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ x ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
convert hx
Proof state after:
case h.e'_3
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
x : ℝ
hx : A * (x / A) ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ x = A * (x / A)
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h.e'_3
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
l_inf : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
h : A ≠ 0
key : 0 < A
x : ℝ
hx : A * (x / A) ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ x = A * (x / A)
Tactic:
field_simp
Proof state after:
no goals
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
filter_upwards [interval_approx_inf ha hb] with ε ⟨ψ, h1, h2, h3, h5, h6⟩
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
have l1 : Tendsto (S ψ) atTop _ := wiener_ikehara_smooth_real hf hcheby hG hG' h1 h2 h3
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
have l2 : S ψ ≤ᶠ[atTop] S Iab := by
  filter_upwards [eventually_gt_atTop 0] with x hx using WI_sum_le hpos h5 hx h2 hIab
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
l2 : S ψ ≤ᶠ[atTop] S Iab
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
l2 : S ψ ≤ᶠ[atTop] S Iab
l4 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S ψ)
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
have l3 : liminf (S ψ) atTop ≤ liminf (S Iab) atTop := liminf_le_liminf l2 l4 Iab0
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
l2 : S ψ ≤ᶠ[atTop] S Iab
l4 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S ψ)
l3 : liminf (S ψ) atTop ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Theorem: WienerIkeharaInterval
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
l2 : S ψ ≤ᶠ[atTop] S Iab
l4 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S ψ)
l3 : liminf (S ψ) atTop ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S Iab) atTop
Tactic:
apply le_trans ?_ l3
Proof state after:
n : ℕ
A a b c d u x y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f✝ : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
f : ℕ → ℝ
hpos : 0 ≤ f
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm (fun n => ↑(f n)) σ')
hcheby : cheby fun n => ↑(f n)
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries (fun n => ↑(f n)) s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
ha : 0 < a
hb : a < b
S : (ℝ → ℝ) → ℝ → ℝ := fun g x => (∑' (n : ℕ), f n * g (↑n / x)) / x
hSnonneg : ∀ {g : ℝ → ℝ}, 0 ≤ g → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S g x
hA : 0 ≤ A
Iab : ℝ → ℝ := (Ico a b).indicator 1
hIab : HasCompactSupport Iab
Iab_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ S Iab x
Iab2 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
Iab3 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab0 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S Iab)
Iab1 : IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop (S Iab)
sup_le : limsup (S Iab) atTop ≤ A * (b - a)
ε : ℝ
ψ : ℝ → ℝ
h1 : ContDiff ℝ ⊤ ψ
h2 : HasCompactSupport ψ
h3 : closure (Function.support ψ) ⊆ Ioi 0
h5 : ψ ≤ (Ico a b).indicator 1
h6 : b - a - ε ≤ ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y
l1 : Tendsto (S ψ) atTop (𝓝 (A * ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, ψ y))
l2 : S ψ ≤ᶠ[atTop] S Iab
l4 : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) atTop (S ψ)
l3 : liminf (S ψ) atTop ≤ liminf (S Iab) atTop
⊢ A * (b - a - ε) ≤ liminf (S ψ) atTop