Theorem: FOL.NV.Sub.Var.One.Rec.not_free_in_fastReplaceFree_self
Proof state before:
case pred_const_
v t : VarName
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
h1 : ¬isFreeIn v (pred_const_ a✝¹ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (pred_const_ a✝¹ a✝) = pred_const_ a✝¹ a✝

case pred_var_
v t : VarName
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
h1 : ¬isFreeIn v (pred_var_ a✝¹ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (pred_var_ a✝¹ a✝) = pred_var_ a✝¹ a✝

case eq_
v t a✝¹ a✝ : VarName
h1 : ¬isFreeIn v (eq_ a✝¹ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (eq_ a✝¹ a✝) = eq_ a✝¹ a✝

case true_
v t : VarName
h1 : ¬isFreeIn v true_
⊢ fastReplaceFree v t true_ = true_

case false_
v t : VarName
h1 : ¬isFreeIn v false_
⊢ fastReplaceFree v t false_ = false_

case not_
v t : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v a✝.not_
⊢ fastReplaceFree v t a✝.not_ = a✝.not_

case imp_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v (a✝¹.imp_ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (a✝¹.imp_ a✝) = a✝¹.imp_ a✝

case and_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v (a✝¹.and_ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (a✝¹.and_ a✝) = a✝¹.and_ a✝

case or_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v (a✝¹.or_ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (a✝¹.or_ a✝) = a✝¹.or_ a✝

case iff_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v (a✝¹.iff_ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (a✝¹.iff_ a✝) = a✝¹.iff_ a✝

case forall_
v t a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v (forall_ a✝¹ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (forall_ a✝¹ a✝) = forall_ a✝¹ a✝

case exists_
v t a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v (exists_ a✝¹ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (exists_ a✝¹ a✝) = exists_ a✝¹ a✝

case def_
v t : VarName
a✝¹ : DefName
a✝ : List VarName
h1 : ¬isFreeIn v (def_ a✝¹ a✝)
⊢ fastReplaceFree v t (def_ a✝¹ a✝) = def_ a✝¹ a✝
Tactic:
any_goals
  simp only [isFreeIn] at h1
  simp only [fastReplaceFree]
Proof state after:
case pred_const_
v t : VarName
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
h1 : v ∉ a✝
⊢ pred_const_ a✝¹ (List.map (fun x => if v = x then t else x) a✝) = pred_const_ a✝¹ a✝

case pred_var_
v t : VarName
a✝¹ : PredName
a✝ : List VarName
h1 : v ∉ a✝
⊢ pred_var_ a✝¹ (List.map (fun x => if v = x then t else x) a✝) = pred_var_ a✝¹ a✝

case eq_
v t a✝¹ a✝ : VarName
h1 : ¬(v = a✝¹ ∨ v = a✝)
⊢ eq_ (if v = a✝¹ then t else a✝¹) (if v = a✝ then t else a✝) = eq_ a✝¹ a✝

case not_
v t : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬isFreeIn v a✝
⊢ (fastReplaceFree v t a✝).not_ = a✝.not_

case imp_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬(isFreeIn v a✝¹ ∨ isFreeIn v a✝)
⊢ (fastReplaceFree v t a✝¹).imp_ (fastReplaceFree v t a✝) = a✝¹.imp_ a✝

case and_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬(isFreeIn v a✝¹ ∨ isFreeIn v a✝)
⊢ (fastReplaceFree v t a✝¹).and_ (fastReplaceFree v t a✝) = a✝¹.and_ a✝

case or_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬(isFreeIn v a✝¹ ∨ isFreeIn v a✝)
⊢ (fastReplaceFree v t a✝¹).or_ (fastReplaceFree v t a✝) = a✝¹.or_ a✝

case iff_
v t : VarName
a✝¹ a✝ : Formula
a_ih✝¹ : ¬isFreeIn v a✝¹ → fastReplaceFree v t a✝¹ = a✝¹
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬(isFreeIn v a✝¹ ∨ isFreeIn v a✝)
⊢ (fastReplaceFree v t a✝¹).iff_ (fastReplaceFree v t a✝) = a✝¹.iff_ a✝

case forall_
v t a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬(¬v = a✝¹ ∧ isFreeIn v a✝)
⊢ (if v = a✝¹ then forall_ a✝¹ a✝ else forall_ a✝¹ (fastReplaceFree v t a✝)) = forall_ a✝¹ a✝

case exists_
v t a✝¹ : VarName
a✝ : Formula
a_ih✝ : ¬isFreeIn v a✝ → fastReplaceFree v t a✝ = a✝
h1 : ¬(¬v = a✝¹ ∧ isFreeIn v a✝)
⊢ (if v = a✝¹ then exists_ a✝¹ a✝ else exists_ a✝¹ (fastReplaceFree v t a✝)) = exists_ a✝¹ a✝

case def_
v t : VarName
a✝¹ : DefName
a✝ : List VarName
h1 : v ∉ a✝
⊢ def_ a✝¹ (List.map (fun x => if v = x then t else x) a✝) = def_ a✝¹ a✝