Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) ↔
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
Tactic:
constructor
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) →
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃

case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃) →
    R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)