internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
Tactic:
intro a h
Proof state after:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : a ≤ t
⊢ f (p.extend a) ∈ s
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : a ≤ t
⊢ f (p.extend a) ∈ s
Tactic:
contrapose h
Proof state after:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : f (p.extend a) ∉ s
⊢ ¬a ≤ t
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : f (p.extend a) ∉ s
⊢ ¬a ≤ t
Tactic:
simp only [not_le]
Proof state after:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : f (p.extend a) ∉ s
⊢ t < a
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : f (p.extend a) ∉ s
⊢ t < a
Tactic:
replace h : ∀ᶠ b in 𝓝 a, f (p.extend b) ∉ s :=
  (fc.comp p.continuous_extend).continuousAt.eventually_mem (sc.isOpen_compl.mem_nhds h)
Proof state after:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in 𝓝 a, f (p.extend b_1) ∉ s
⊢ t < a
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in 𝓝 a, f (p.extend b_1) ∉ s
⊢ t < a
Tactic:
simp only [← hu, mem_inter_iff, mem_iInter₂, mem_Iic] at tu ⊢
Proof state after:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in 𝓝 a, f (p.extend b_1) ∉ s
tu : t ∈ Icc 0 1 ∧ ∀ (i : ℝ), f (p.extend i) ∉ s → t ≤ i
⊢ t < a
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in 𝓝 a, f (p.extend b_1) ∉ s
tu : t ∈ Icc 0 1 ∧ ∀ (i : ℝ), f (p.extend i) ∉ s → t ≤ i
⊢ t < a
Tactic:
rcases ((frequently_lt_nhds a).and_eventually h).exists with ⟨c, ca, cs⟩
Proof state after:
case intro.intro
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in 𝓝 a, f (p.extend b_1) ∉ s
tu : t ∈ Icc 0 1 ∧ ∀ (i : ℝ), f (p.extend i) ∉ s → t ≤ i
c : ℝ
ca : c < a
cs : f (p.extend c) ∉ s
⊢ t < a
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case intro.intro
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
m : t ∈ Icc 0 1
a : ℝ
h : ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in 𝓝 a, f (p.extend b_1) ∉ s
tu : t ∈ Icc 0 1 ∧ ∀ (i : ℝ), f (p.extend i) ∉ s → t ≤ i
c : ℝ
ca : c < a
cs : f (p.extend c) ∉ s
⊢ t < a
Tactic:
exact lt_of_le_of_lt (tu.2 c cs) ca
Proof state after:
no goals
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case pos
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
⊢ JoinedIn (f ⁻¹' s) b x
Tactic:
use p.symm
Proof state after:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
⊢ ∀ (t : ↑unitInterval), p.symm t ∈ f ⁻¹' s
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
⊢ ∀ (t : ↑unitInterval), p.symm t ∈ f ⁻¹' s
Tactic:
intro a
Proof state after:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ p.symm a ∈ f ⁻¹' s
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ p.symm a ∈ f ⁻¹' s
Tactic:
simp only [p.symm_apply, Function.comp, mem_preimage]
Proof state after:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ f (p (unitInterval.symm a)) ∈ s
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ f (p (unitInterval.symm a)) ∈ s
Tactic:
rw [← Path.extend_extends']
Proof state after:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ f (p.extend ↑(unitInterval.symm a)) ∈ s
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case h
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ f (p.extend ↑(unitInterval.symm a)) ∈ s
Tactic:
apply lo
Proof state after:
case h.a
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ ↑(unitInterval.symm a) ≤ t
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case h.a
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ ↑(unitInterval.symm a) ≤ t
Tactic:
rw [t1]
Proof state after:
case h.a
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ ↑(unitInterval.symm a) ≤ 1
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
case h.a
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t = 1
a : ↑unitInterval
⊢ ↑(unitInterval.symm a) ≤ 1
Tactic:
unit_interval
Proof state after:
no goals
Theorem: IsPathConnected.of_frontier
Proof state before:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t < 1
⊢ f (p ⟨t, m⟩) ∈ frontier s
Tactic:
simp only [frontier, mem_diff, sc.closure_eq]
Proof state after:
X✝ : Type
inst✝⁷ : TopologicalSpace X✝
I : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace I
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder I
inst✝⁴ : DenselyOrdered I
inst✝³ : OrderTopology I
X Y : Type
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
s : Set Y
pc : IsPathConnected (f ⁻¹' frontier s)
fc : Continuous f
sc : IsClosed s
b : X
fb : f b ∈ frontier s
j : ∀ {y : X}, f y ∈ frontier s → JoinedIn (f ⁻¹' frontier s) b y
bs : f b ∈ s
x : X
fx : f x ∈ s
p : Path x b
u : Set ℝ
hu : Icc 0 1 ∩ ⋂ a, ⋂ (_ : f (p.extend a) ∉ s), Iic a = u
bdd : BddAbove u
un : u.Nonempty
uc : IsClosed u
t : ℝ
ht : sSup u = t
tu : t ∈ u
m : t ∈ Icc 0 1
lo : ∀ a ≤ t, f (p.extend a) ∈ s
t1 : t < 1
⊢ f (p ⟨t, m⟩) ∈ s ∧ f (p ⟨t, m⟩) ∉ interior s