internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ |(h'' R).toFun v| ≤ c2
Tactic:
simp [h'', CS.deriv_scale, CS.deriv_smul, abs_mul, abs_inv, abs_eq_self.mpr e1]
Proof state after:
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ R⁻¹ * (R⁻¹ * |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v|) ≤ c2
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
case h.convert_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ R⁻¹ * (R⁻¹ * |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v|) ≤ 1 * (1 * c2)
Tactic:
apply mul_le_mul e2 ?_ (by positivity) zero_le_one
Proof state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ R⁻¹ * |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v| ≤ 1 * c2
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ R⁻¹ * |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v| ≤ 1 * c2
Tactic:
apply mul_le_mul e2 ?_ (by positivity) zero_le_one
Proof state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
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bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v| ≤ c2
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v| ≤ c2
Tactic:
simp [CS.scale, e3, funscale]
Proof state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ |g.deriv.deriv.toFun (R⁻¹ * v)| ≤ c2
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ |g.deriv.deriv.toFun (R⁻¹ * v)| ≤ c2
Tactic:
apply mg''
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1 : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
⊢ 0 ≤ R
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
⊢ 0 < 1
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
⊢ 1⁻¹ ≤ R
Tactic:
simpa using hR
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
⊢ R ≠ 0
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ 0 ≤ R⁻¹ * |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v|
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1✝ : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1 : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
R : ℝ
hR : 1 ≤ R
v : ℝ
e1 : 0 ≤ R
e2 : R⁻¹ ≤ 1
e3 : R ≠ 0
⊢ 0 ≤ |(g.deriv.deriv.scale R).toFun v|
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
case h.hp.h₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1 : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1✝ : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
hc2✝ : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h'' R).toFun v| ≤ c2
R v : ℝ
hc1 : |(h' R).toFun v| ≤ c1
hc2 : |(h'' R).toFun v| ≤ c2
⊢ ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v‖ ≤ c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖
Tactic:
refine (norm_add_le _ _).trans ?_
Proof state after:
case h.hp.h₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1 : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1✝ : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
hc2✝ : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h'' R).toFun v| ≤ c2
R v : ℝ
hc1 : |(h' R).toFun v| ≤ c1
hc2 : |(h'' R).toFun v| ≤ c2
⊢ ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v‖ + ‖2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v‖ ≤ c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖
Theorem: W21_approximation
Proof state before:
case h.hp.h₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
f : W21
g : trunc
f' : W1 1 ℂ := W1.deriv f
f'' : W1 0 ℂ := f'.deriv
g' : CS 1 ℝ := g.deriv
g'' : CS 0 ℝ := g'.deriv
h : ℝ → ℝ → ℝ := fun R v => 1 - (g.scale R).toFun v
h' : ℝ → CS 1 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv
h'' : ℝ → CS 0 ℝ := fun R => -(g.scale R).deriv.deriv
ch : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑(h R v)
ch' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h' R).toFun v)
ch'' : ∀ {R : ℝ}, Continuous fun v => ↑((h'' R).toFun v)
dh : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h R) ((h' R).toFun v) v
dh' : ∀ (R v : ℝ), HasDerivAt (h' R).toFun ((h'' R).toFun v) v
hh1 : ∀ (R v : ℝ), |h R v| ≤ 1
vR : ∀ (v : ℝ), Tendsto (fun R => v * R⁻¹) atTop (𝓝 0)
F : ℝ → ℝ → ℝ :=
  fun R v => ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v + 2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v + ↑(h R v) * f''.toFun v‖
c1 : ℝ
mg' : ∀ (v : ℝ), ‖g'.toFun v‖ ≤ c1
c2 : ℝ
mg'' : ∀ (v : ℝ), ‖g''.toFun v‖ ≤ c2
bound : ℝ → ℝ := fun v => c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖ + ‖f''.toFun v‖
e1 : ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (F n) volume
hc1✝ : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h' R).toFun v| ≤ c1
hc2✝ : ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (v : ℝ), |(h'' R).toFun v| ≤ c2
R v : ℝ
hc1 : |(h' R).toFun v| ≤ c1
hc2 : |(h'' R).toFun v| ≤ c2
⊢ ‖↑((h'' R).toFun v) * f.toFun v‖ + ‖2 * ↑((h' R).toFun v) * f'.toFun v‖ ≤ c2 * ‖f.toFun v‖ + 2 * c1 * ‖f'.toFun v‖
Tactic:
apply add_le_add <;> simp <;> gcongr
Proof state after:
no goals