internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
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F : Type u_2
G : Type u_3
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F : Type u_2
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Tactic:
. simp [one_le_mul_of_one_le_of_one_le]
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⊢ ‖f x‖ ≤ max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hf0.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
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Tactic:
. exact le_trans (hC_f0 x) (by simp)
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
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case hf0.refine_1
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x : E
⊢ 1 ≤ max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
Tactic:
simp [one_le_mul_of_one_le_of_one_le]
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hf0.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
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exact le_trans (hC_f0 x) (by simp)
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
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Tactic:
simp
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no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
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case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
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Tactic:
intro i hi
Proof state after:
case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
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hg : HasTemperateGrowth g
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n k_g : ℕ
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Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
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case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
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Tactic:
refine le_trans (hC_g i hi (f x)) ?_
Proof state after:
case hC
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F : Type u_2
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Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
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case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
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Tactic:
refine mul_le_mul_of_nonneg_left ?_ hC_g_nonneg
Proof state after:
case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
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Proof state before:
case hC
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F : Type u_2
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Tactic:
exact pow_le_pow_left (by simp) hf0 k_g
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
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x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
i : ℕ
hi : i ≤ n
⊢ 0 ≤ 1 + ‖f x‖
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
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k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
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C_f0 : ℝ
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hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Tactic:
intro i _ hi
Proof state after:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
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C_f0 : ℝ
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hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
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k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Tactic:
refine le_trans (hC_f i hi x) ?_
Proof state after:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Tactic:
refine le_trans (mul_le_mul_of_nonneg_right (le_max_right 1 C_f) (by simp)) ?_
Proof state after:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Tactic:
refine le_self_pow ?_ (by linarith)
Proof state after:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ 1 ≤ max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ 1 ≤ max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
Tactic:
exact one_le_mul_of_one_le_of_one_le (le_max_left 1 C_f) (by simp)
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ k_f
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ i ≠ 0
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
i : ℕ
a✝ : 1 ≤ i
hi : i ≤ n
⊢ 1 ≤ (1 + ‖x‖) ^ k_f
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.clm_apply
Proof state before:
D : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : D → E →L[ℝ] F
hf : HasTemperateGrowth f
g : D → E
hg : HasTemperateGrowth g
⊢ HasTemperateGrowth fun x => (f x) (g x)
Tactic:
refine ⟨hf.1.clm_apply hg.1, ?_⟩
Proof state after:
D : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : D → E →L[ℝ] F
hf : HasTemperateGrowth f
g : D → E
hg : HasTemperateGrowth g
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ k C, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => (f x) (g x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.clm_apply
Proof state before:
D : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : D → E →L[ℝ] F
hf : HasTemperateGrowth f
g : D → E
hg : HasTemperateGrowth g
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ k C, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => (f x) (g x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
intro n
Proof state after:
D : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : D → E →L[ℝ] F
hf : HasTemperateGrowth f
g : D → E
hg : HasTemperateGrowth g
n : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => (f x) (g x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k