Theorem: mean_squeeze
Proof state before:
case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
fb : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ ∫ (x : X) in s \ t, (fun x => b) x
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b

case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x
Tactic:
simp [measure_diff ts tm (lt_top_iff_ne_top.mp tf),
  ENNReal.toReal_sub_of_le (measure_mono ts) (lt_top_iff_ne_top.mp sn.finite)] at fb
Proof state after:
case refine_2
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
fb : ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ ((↑volume s).toReal - (↑volume t).toReal) * b
⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ≤ (vs - vt) * b

case refine_1
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → ℝ
s : Set X
b : ℝ
sn : NiceVolume s
lv : LocalVolumeSet s
fc : ContinuousOn f s
fi : IntegrableOn f s volume
hi : ∀ x ∈ s, f x ≤ b
x : X
xs : x ∈ s
fx : f x < b
e : ℝ
ep : e > 0
he : ∀ a ∈ s, dist a x < e → dist (f a) (f x) < (b - f x) / 2
t : Set X
vtp' : 0 < ↑volume t
ht : s ∩ ball x e = t
ts : t ⊆ s
tf : ↑volume t < ⊤
tm : MeasurableSet t
sc : s \ t ∪ t = s
m : ℝ := (b + f x) / 2
vs : ℝ := (↑volume s).toReal
vt : ℝ := (↑volume t).toReal
vsp : vs > 0
vtp : vt > 0
mb : m < b
df : ↑volume (s \ t) < ⊤
dm : MeasurableSet (s \ t)
⊢ ∀ x ∈ s \ t, f x ≤ (fun x => b) x