internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
⊢ False
Tactic:
have h9 := eqn_9 habc hacd hbd' hbd hPmin
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ False
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ False
Tactic:
suffices dist a d ≤ P'.pathLength by linarith
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
Tactic:
have : List.Sublist [a, d] P' := by
  rw [← ha₁, List.cons_sublist_cons, List.singleton_sublist]
  have : d ∈ a₃ :: l := by rw [← hPd]; exact List.getLast_mem _
  rw [List.mem_cons]
  simp only [this, or_true]
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : [a, d].Sublist P'
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this : [a, d].Sublist P'
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
Tactic:
have := List.Sublist.pathLength_sublist this
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝¹ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this✝ : [a, d].Sublist P'
this : [a, d].pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
ha₃b₁₂ : a₃ ≠ b₁₂
hP'₂ : P'.pathLength ≤ [a₁, b, d].pathLength
hP'₃ : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) P'
hP'ns : SimpleEdges.Adj a₁ b₁₂ ∧ SimpleEdges.Adj b₁₂ a₃
this✝¹ : Delta a b c ≤ Delta b₁₂ a₂ a₃
h9 : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength < dist a d + Delta a b c
this✝ : [a, d].Sublist P'
this : [a, d].pathLength ≤ P'.pathLength
⊢ dist a d ≤ P'.pathLength
Tactic:
rwa [List.pathLength, List.pathLength, add_zero] at this
Proof state after:
no goals
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
⊢ Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
Tactic:
simp only [List.pathLength, Delta]
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
⊢ dist b₁₂ a₂ + dist a₂ a₃ - dist b₁₂ a₃ =
    dist a₁ a₂ + (dist a₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength) - (dist a₁ b₁₂ + (dist b₁₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength))
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
⊢ dist b₁₂ a₂ + dist a₂ a₃ - dist b₁₂ a₃ =
    dist a₁ a₂ + (dist a₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength) - (dist a₁ b₁₂ + (dist b₁₂ a₃ + (a₃ :: l).pathLength))
Tactic:
linarith [hb₁₂.dist]
Proof state after:
no goals
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
⊢ P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPd : (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP'✝ : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP' : List.Special a b d P'
⊢ False
Tactic:
linarith [hPmin _ hP']
Proof state after:
no goals
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
⊢ NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
Tactic:
refine NotCollinear.mk fun l hl hl' ↦ ?_
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : {a₁, b₁₂, a₃} ⊆ l
⊢ False
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : {a₁, b₁₂, a₃} ⊆ l
⊢ False
Tactic:
simp only [Set.mem_singleton_iff, Set.mem_insert_iff, Set.subset_def, forall_eq_or_imp,
  forall_eq] at hl'
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l
⊢ False
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l
⊢ False
Tactic:
exact hα.2.2.2 l hl (by simp [hl'.1, hl.close_right hl'.1 hl'.2.1 hb₁₂, hl'.2.2])
Proof state after:
no goals
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l✝ : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l✝
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l✝).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l✝).getLast ⋯ = d
l : Set V
hl : l.IsLine
hl' : a₁ ∈ l ∧ b₁₂ ∈ l ∧ a₃ ∈ l
⊢ {a₁, a₂, a₃} ⊆ l
Tactic:
simp [hl'.1, hl.close_right hl'.1 hl'.2.1 hb₁₂, hl'.2.2]
Proof state after:
no goals
Theorem: case3
Proof state before:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
b₁₂ : V
hb₁₂ : sbtw a₁ b₁₂ a₂
hba : SimpleEdges.Adj b₁₂ a₂
hb : NotCollinear b₁₂ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: b₁₂ :: a₃ :: l
hP' : Delta b₁₂ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta b₁₂ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hP'₁ : NotCollinear a₁ b₁₂ a₃
⊢ a₃ ≠ b₁₂
Tactic:
rintro rfl
Proof state after:
V : Type u_1
inst✝² : MetricSpace V
u v w : V
inst✝¹ : Finite V
inst✝ : Nontrivial V
x y z a b c d a₁ a₂ a₃ : V
l : List V
habc : SimpleTriangle a b c
habc_min : ∀ (a' b' c' : V), SimpleTriangle a' b' c' → Delta a b c ≤ Delta a' b' c'
hacd : sbtw a c d
hbd' : b ≠ d
hbd : ¬SimpleEdges.Adj b d
hPmin : ∀ (P' : List V), List.Special a b d P' → (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength ≤ P'.pathLength
ha₁ : a₁ = a
hα : NotCollinear a₁ a₂ a₃
hPc : List.Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l)
c₁1 : ¬SimpleEdges.Adj a₁ a₂
c₁2 : SimpleEdges.Adj a₂ a₃
hPd : (a₃ :: l).getLast ⋯ = d
hb₁₂ : sbtw a₁ a₃ a₂
hba : SimpleEdges.Adj a₃ a₂
hb : NotCollinear a₃ a₂ a₃
P' : List V := a₁ :: a₃ :: a₃ :: l
hP' : Delta a₃ a₂ a₃ = (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength - P'.pathLength
hd : 0 < Delta a₃ a₂ a₃
hP'lt : P'.pathLength < (a₁ :: a₂ :: a₃ :: l).pathLength
hP'ns : ¬List.Special a b d P'
hP'₁ : NotCollinear a₁ a₃ a₃
⊢ False