Theorem: intervalIntegral.integral_bilin_deriv_eq_deriv_bilin
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁸ : CompleteSpace G
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField S
inst✝⁶ : NormedSpace S G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ S
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ S G
inst✝³ : IsScalarTower ℝ S G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 S
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 S G
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 S G
a b : ℝ
u u' : ℝ → E
v v' : ℝ → F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
hu : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt v (v' x) x
hu' : ContinuousOn u' (Set.uIcc a b)
hv' : ContinuousOn v' (Set.uIcc a b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (B (u x)) (v' x) =
    (∫ (x : ℝ) in a..b, (B (u' x)) (v x) + (B (u x)) (v' x)) - ∫ (x : ℝ) in a..b, (B (u' x)) (v x)
Tactic:
rw [← integral_sub]
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁸ : CompleteSpace G
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField S
inst✝⁶ : NormedSpace S G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ S
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ S G
inst✝³ : IsScalarTower ℝ S G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 S
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 S G
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 S G
a b : ℝ
u u' : ℝ → E
v v' : ℝ → F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
hu : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt v (v' x) x
hu' : ContinuousOn u' (Set.uIcc a b)
hv' : ContinuousOn v' (Set.uIcc a b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (B (u x)) (v' x) = ∫ (x : ℝ) in a..b, (B (u' x)) (v x) + (B (u x)) (v' x) - (B (u' x)) (v x)

case hf
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁸ : CompleteSpace G
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField S
inst✝⁶ : NormedSpace S G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ S
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ S G
inst✝³ : IsScalarTower ℝ S G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 S
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 S G
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 S G
a b : ℝ
u u' : ℝ → E
v v' : ℝ → F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
hu : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt v (v' x) x
hu' : ContinuousOn u' (Set.uIcc a b)
hv' : ContinuousOn v' (Set.uIcc a b)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (B (u' x)) (v x) + (B (u x)) (v' x)) volume a b

case hg
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁸ : CompleteSpace G
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField S
inst✝⁶ : NormedSpace S G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ S
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ S G
inst✝³ : IsScalarTower ℝ S G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 S
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 S G
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 S G
a b : ℝ
u u' : ℝ → E
v v' : ℝ → F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
hu : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Set.uIcc a b, HasDerivAt v (v' x) x
hu' : ContinuousOn u' (Set.uIcc a b)
hv' : ContinuousOn v' (Set.uIcc a b)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (B (u' x)) (v x)) volume a b