internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Neg.neg.arg_a0.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
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Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
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inst✝¹² : DecidableEq Zi
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y'
⊢ (revDerivProjUpdate K Yi fun x => -f x) = fun x =>
    let ydf := revDerivProjUpdate K Yi f x;
    (-ydf.1, fun i dy dx =>
      let dy' := -dy;
      ydf.2 i dy' dx)
Tactic:
unfold revDerivProjUpdate
Proof state after:
K : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
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ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y'
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDerivProj K Yi (fun x => -f x) x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf' := revDerivProj K Yi f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (-ydf.1, fun i dy dx =>
      let dy' := -dy;
      ydf.2 i dy' dx)
Theorem: Neg.neg.arg_a0.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
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Z' Zi : Type
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f : X → Y'
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDerivProj K Yi (fun x => -f x) x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf' := revDerivProj K Yi f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    (-ydf.1, fun i dy dx =>
      let dy' := -dy;
      ydf.2 i dy' dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: HMul.hMul.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
      let dx₂ := (starRingEnd K) ydf.1 * dx';
      let dx := zdg.2 dx₂;
      ydf.2 dx₁ dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
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X : Type
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X' Xi : Type
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Z' Zi : Type
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    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' =>
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Theorem: HMul.hMul.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
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    let ydf :=
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    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
      let dx₂ := (starRingEnd K) ydf.1 * dx';
      let dx := zdg.2 dx₂;
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Tactic:
unfold revDeriv
Proof state after:
K : Type
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X : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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      let ydf := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
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    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
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Theorem: HMul.hMul.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
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    let ydf :=
      let ydf := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
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    let zdg := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
      let dx₂ := (starRingEnd K) ydf.1 * dx';
      let dx := zdg.2 dx₂;
      ydf.2 dx₁ dx)
Tactic:
simp
Proof state after:
K : Type
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X' Xi : Type
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        semiAdjoint K (cderiv K f x) ((starRingEnd K) (g x) * dx'))
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Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
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inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
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⊢ (fun x =>
      (f x * g x, fun y =>
        (starRingEnd K) (f x) • semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) y +
          (starRingEnd K) (g x) • semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) y)) =
    fun x =>
    (f x * g x, fun dx' =>
      semiAdjoint K (cderiv K g x) ((starRingEnd K) (f x) * dx') +
        semiAdjoint K (cderiv K f x) ((starRingEnd K) (g x) * dx'))
Theorem: HMul.hMul.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
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Tactic:
simp [smul_push]
Proof state after:
no goals
Theorem: HMul.hMul.arg_a0a1.revDerivUpdate_rule
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → K
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDerivUpdate K fun x => f x * g x) = fun x =>
    let ydf := revDerivUpdate K f x;
    let zdg := revDerivUpdate K g x;
    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' dx =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
      let dx₂ := (starRingEnd K) ydf.1 * dx';
      let dx := zdg.2 dx₂ dx;
      ydf.2 dx₁ dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → K
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => f x * g x) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' dx =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
      let dx₂ := (starRingEnd K) ydf.1 * dx';
      let dx := zdg.2 dx₂ dx;
      ydf.2 dx₁ dx)
Theorem: HMul.hMul.arg_a0a1.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → K
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => f x * g x) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 * zdg.1, fun dx' dx =>
      let dx₁ := (starRingEnd K) zdg.1 * dx';
      let dx₂ := (starRingEnd K) ydf.1 * dx';
      let dx := zdg.2 dx₂ dx;
      ydf.2 dx₁ dx)
Tactic:
simp
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → K
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x => (f x * g x, fun dy dx => dx + (revDeriv K (fun x => f x * g x) x).2 dy)) = fun x =>
    (f x * g x, fun dx' dx =>
      dx + (revDeriv K g x).2 ((starRingEnd K) (f x) * dx') + (revDeriv K f x).2 ((starRingEnd K) (g x) * dx'))