internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_euclidean
Proof state before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (Pi.single i 1)) ((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ
Tactic:
conv at this =>
  lhs; arg 4; intro x
  simp
  conv => arg 1; arg 2; intro y; simp
  change fderiv ℝ (f ∘ ⇑(EuclideanSpace.equiv ι ℝ).symm) x (Pi.single i 1)
  rw [ContinuousLinearEquiv.comp_right_fderiv]
  rw [ContinuousLinearMap.comp_apply]
Proof state after:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ
      (fun x =>
        (fderiv ℝ (⇑f) ((ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) x))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) (Pi.single i 1)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ
Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_euclidean
Proof state before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ
      (fun x =>
        (fderiv ℝ (⇑f) ((ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) x))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) (Pi.single i 1)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ
Tactic:
exact this
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_ofOrthonormalBasis
Proof state before:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f)) ξ =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f) ξ
Tactic:
rw [RealVectorFourier.fourierIntegral_eq_fourierIntegral_euclidean_ofOrthonormalBasis v]
Proof state after:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f) ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f) ξ
Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_ofOrthonormalBasis
Proof state before:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f) ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f) ξ
Tactic:
rw [RealVectorFourier.fourierIntegral_eq_fourierIntegral_euclidean_ofOrthonormalBasis v]
Proof state after:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f) ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr)) (v.repr ξ)
Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_ofOrthonormalBasis
Proof state before:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f) ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr)) (v.repr ξ)
Tactic:
have := integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_euclidean (i := i)
  (f := compEquiv v.repr.symm f) (ξ := v.repr ξ)
Proof state after:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
this :
  𝓕ᵥ
      (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1))
          ((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.mk (LinearIsometryEquiv.symm v.repr).toLinearEquiv)) f)))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) •
      𝓕ᵥ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.mk (LinearIsometryEquiv.symm v.repr).toLinearEquiv)) f)) (v.repr ξ)
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f) ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr)) (v.repr ξ)
Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_ofOrthonormalBasis
Proof state before:
E' : Type ?u.1423541
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
v : OrthonormalBasis ι ℝ E
i : ι
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
this :
  𝓕ᵥ
      (fun x =>
        (fderiv ℝ (⇑f) ((ContinuousLinearEquiv.symm (LinearIsometryEquiv.toContinuousLinearEquiv v.repr)) x))
          ((ContinuousLinearEquiv.symm (LinearIsometryEquiv.toContinuousLinearEquiv v.repr))
            (EuclideanSpace.single i 1)))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) •
      𝓕ᵥ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.mk (LinearIsometryEquiv.symm v.repr).toLinearEquiv)) f)) (v.repr ξ)
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ ((LinearIsometryEquiv.symm v.repr) (Pi.single i 1))) f) ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr))
      (v.repr ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑(v.repr ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f ∘ ⇑(LinearIsometryEquiv.symm v.repr)) (v.repr ξ)
Tactic:
exact this
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
dξ : Fin n → E
⊢ (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
induction n generalizing ξ with
| zero => simp
| succ n IH =>
  rw [iteratedFDeriv_succ_apply_left]
  rw [← fderiv_continuousMultilinear_apply_const_apply
    (contDiff_vectorFourierIntegrand.differentiable_iteratedFDeriv (WithTop.coe_lt_top _) _)]
  simp_rw [IH]
  rw [fderiv_const_smul ((differentiable_vectorFourierIntegrand _).const_smul _)]
  simp
  rw [pow_succ']
  rw [← smul_smul]
  refine congrArg _ ?_
  rw [smul_comm]
  rw [fderiv_const_smul (differentiable_vectorFourierIntegrand _)]
  simp [-neg_smul, -smul_neg]
  rw [Fin.prod_univ_succ]
  simp only [Fin.tail]
  rw [mul_comm ⟪x, dξ 0⟫]
  rw [← smul_smul]
  refine congrArg _ ?_
  rw [fderiv_vectorFourierIntegrand]
  rw [fderivVectorFourierIntegrandCLM_apply]
  rw [smul_comm]
  simp [← smul_smul]
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case zero
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
dξ : Fin Nat.zero → E
⊢ (iteratedFDeriv ℝ Nat.zero (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ Nat.zero • (∏ i : Fin Nat.zero, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (iteratedFDeriv ℝ (Nat.succ n) (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ Nat.succ n • (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [iteratedFDeriv_succ_apply_left]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ((fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0)) (Fin.tail dξ) =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ Nat.succ n • (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ((fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0)) (Fin.tail dξ) =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ Nat.succ n • (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [← fderiv_continuousMultilinear_apply_const_apply
  (contDiff_vectorFourierIntegrand.differentiable_iteratedFDeriv (WithTop.coe_lt_top _) _)]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (fderiv ℝ (fun y => (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) y) (Fin.tail dξ)) ξ) (dξ 0) =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ Nat.succ n • (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x