internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ e = (P ^ (e - 1) * a) ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = (P ^ e * b) ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Tactic:
simp only [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm e] at ha hb
Proof state after:
case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
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inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
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inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ e = P ^ ((e - 1) * e) * a ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = P ^ ((e - 1) * e) * b ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
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inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
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inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
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inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
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P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ e = P ^ ((e - 1) * e) * a ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = P ^ ((e - 1) * e) * b ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Tactic:
conv_lhs at ha => rw [← Nat.sub_add_cancel (Nat.one_le_iff_ne_zero.mpr he)]
Proof state after:
case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
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inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
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inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1 + 1) = P ^ ((e - 1) * e) * a ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = P ^ ((e - 1) * e) * b ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
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case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
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inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1 + 1) = P ^ ((e - 1) * e) * a ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = P ^ ((e - 1) * e) * b ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Tactic:
rw [pow_add, hb, mul_assoc, mul_right_inj' (pow_ne_zero _ hPbot), pow_one, mul_comm] at ha
Proof state after:
case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
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inst✝²² : Algebra A K
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inst✝²⁰ : Algebra A B
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inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
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inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p * b ^ (e - 1) = a ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = P ^ ((e - 1) * e) * b ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
a : Ideal B
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
b : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p * b ^ (e - 1) = a ^ e
hb : Ideal.map (algebraMap A B) p ^ (e - 1) = P ^ ((e - 1) * e) * b ^ (e - 1)
⊢ Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
Tactic:
exact ⟨_, ha.symm⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ P ^ (e - 1) ∣ differentIdeal A B
Tactic:
have hP : ((P ^ (e - 1) : _)⁻¹ : FractionalIdeal B⁰ L) = a / p.map (algebraMap A B) := by
  apply inv_involutive.injective
  simp only [inv_inv, ha, FractionalIdeal.coeIdeal_mul, inv_div, ne_eq,
      FractionalIdeal.coeIdeal_eq_zero, mul_div_assoc]
  rw [div_self (by simpa), mul_one]
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
⊢ P ^ (e - 1) ∣ differentIdeal A B
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
⊢ P ^ (e - 1) ∣ differentIdeal A B
Tactic:
rw [Ideal.dvd_iff_le, differentialIdeal_le_iff (K := K) (L := L) (pow_ne_zero _ hPbot), hP,
  Submodule.map_le_iff_le_comap]
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
⊢ Submodule.restrictScalars A ↑(↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)) ≤ Submodule.comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
⊢ Submodule.restrictScalars A ↑(↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)) ≤ Submodule.comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
Tactic:
intro x hx
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars A ↑(↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p))
⊢ x ∈ Submodule.comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars A ↑(↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p))
⊢ x ∈ Submodule.comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
Tactic:
rw [Submodule.restrictScalars_mem, FractionalIdeal.mem_coe,
  FractionalIdeal.mem_div_iff_of_nonzero (by simpa using hp')] at hx
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ y ∈ ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p), x * y ∈ ↑a
⊢ x ∈ Submodule.comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ y ∈ ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p), x * y ∈ ↑a
⊢ x ∈ Submodule.comap (↑A (Algebra.trace K L)) 1
Tactic:
rw [Submodule.mem_comap, LinearMap.coe_restrictScalars, ← FractionalIdeal.coe_one,
  ← div_self (G₀ := FractionalIdeal A⁰ K) (a := p) (by simpa using hp),
  FractionalIdeal.mem_coe, FractionalIdeal.mem_div_iff_of_nonzero (by simpa using hp)]
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ y ∈ ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p), x * y ∈ ↑a
⊢ ∀ y ∈ ↑p, (Algebra.trace K L) x * y ∈ ↑p
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ y ∈ ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p), x * y ∈ ↑a
⊢ ∀ y ∈ ↑p, (Algebra.trace K L) x * y ∈ ↑p
Tactic:
simp only [FractionalIdeal.mem_coeIdeal, forall_exists_index, and_imp,
  forall_apply_eq_imp_iff₂] at hx
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
⊢ ∀ y ∈ ↑p, (Algebra.trace K L) x * y ∈ ↑p