internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have hYy : y = 2 * (ext (√i) Y)^2 := by simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2, hYy] using hYi
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
let X' := X % i
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
let Y' := Y % i
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have bsqi : √i ≤ (ext (√i) Y)^2 := le_sq_ext_of_seq₀_of_seqₛ hseq₀ hseqₛ (ppi.sqrt_ne_two ne2 ne4) (le_trans (by simp) hi) (ppi.sqrt ne2)
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have bi : i ≤ ext (√i) Y^4 := by simpa [pow_four_eq_sq_sq, ppi.sq_sqrt_eq ne2] using sq_le_sq.mpr bsqi
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have bX' : X' ≤ (ext (√i) Y)^4 := le_trans (le_of_lt $ by simp [X', ppi.pos]) bi
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have bY' : Y' ≤ (ext (√i) Y)^4 := le_trans (le_of_lt $ by simp [Y', ppi.pos]) bi
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y' :=
  hseqₛ.rem ppi (sq_lt_of_lt_sqrt $ ext_lt Y (ppi.sqrt ne2).pos) (le_trans (le_sq _)
    (by simp [hYy]))
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have hseqₘ' : Seqₘ x (ext (√i) Y) X' Y' :=
  ⟨√i, bsqi, ppi.sqrt_ne_two ne2 ne4, ppi.sqrt ne2,
   by have : √i < i := sqrt_lt_self_of_one_lt ppi.one_lt
      simp [X', Y', this, ext_rem, ppi, ppi.sqrt ne2, hXx]⟩
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
hseqₘ' : Seqₘ x (ext (√i) Y) X' Y'
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
hseqₘ' : Seqₘ x (ext (√i) Y) X' Y'
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
have : Exponential x (ext (√i) Y) :=
  Or.inr ⟨X', bX', Y', bY', hseq₀.rem ppi (ppi.four_lt ne2 ne4), hseqₛ', hseqₘ'⟩
Proof state after:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
hseqₘ' : Seqₘ x (ext (√i) Y) X' Y'
this : Exponential x (ext (√i) Y)
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
case neg.inr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
hseqₘ' : Seqₘ x (ext (√i) Y) X' Y'
this : Exponential x (ext (√i) Y)
⊢ ∃ y', y = 2 * y' ^ 2 ∧ Exponential x y'
Tactic:
exact ⟨ext (√i) Y, hYy, this⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx : ext i X = 2 * x + 1
hYy : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
⊢ x = ext (√i) X
Tactic:
simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2, hXx] using hXi
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
⊢ y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
Tactic:
simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2, hYy] using hYi
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
⊢ √i ≤ i
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
⊢ i ≤ ext (√i) Y ^ 4
Tactic:
simpa [pow_four_eq_sq_sq, ppi.sq_sqrt_eq ne2] using sq_le_sq.mpr bsqi
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ X' < i
Tactic:
simp [X', ppi.pos]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ Y' < i
Tactic:
simp [Y', ppi.pos]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
⊢ ext (√i) Y ^ 2 ≤ y
Tactic:
simp [hYy]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
⊢ ext (√i) X' = x ∧ ext (√i) Y' = ext (√i) Y
Tactic:
have : √i < i := sqrt_lt_self_of_one_lt ppi.one_lt
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
this : √i < i
⊢ ext (√i) X' = x ∧ ext (√i) Y' = ext (√i) Y
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.exponential_exists_sq_of_exponential_odd
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx✝ : ext i X = 2 * x + 1
hYy✝ : ext i Y = y
ne4 : ¬i = 4
hXi : ext ((√i) ^ 2) X = 2 * ext (√i) X + 1
hYi : ext ((√i) ^ 2) Y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
hXx : x = ext (√i) X
hYy : y = 2 * ext (√i) Y ^ 2
X' : M := X % i
Y' : M := Y % i
bsqi : √i ≤ ext (√i) Y ^ 2
bi : i ≤ ext (√i) Y ^ 4
bX' : X' ≤ ext (√i) Y ^ 4
bY' : Y' ≤ ext (√i) Y ^ 4
hseqₛ' : Seqₛ (ext (√i) Y) X' Y'
this : √i < i
⊢ ext (√i) X' = x ∧ ext (√i) Y' = ext (√i) Y
Tactic:
simp [X', Y', this, ext_rem, ppi, ppi.sqrt ne2, hXx]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.bit_one
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y : M
⊢ Exponential x y → Exponential (2 * x + 1) (2 * y ^ 2)
Tactic:
rintro (⟨hx, rfl⟩ | ⟨X, _, Y, _, hseq₀, hseqₛ, i, hi, ne2, ppi, hXx, hYy⟩)
Proof state after:
case inl.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x : M
hx : x = 0
⊢ Exponential (2 * x + 1) (2 * 1 ^ 2)

case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx : ext i X = x
hYy : ext i Y = y
⊢ Exponential (2 * x + 1) (2 * y ^ 2)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.bit_one
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx : ext i X = x
hYy : ext i Y = y
⊢ Exponential (2 * x + 1) (2 * y ^ 2)
Tactic:
have hxsqi : 2 * x + 1 < i ^ 2 := calc
  2 * x + 1 < 2 * i + 1 := by simp [←hXx, ppi.pos]
  _         ≤ i ^ 2     := lt_iff_succ_le.mp (two_mul_lt_sq $ ppi.two_lt ne2)
Proof state after:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y X : M
left✝¹ : X ≤ y ^ 4
Y : M
left✝ : Y ≤ y ^ 4
hseq₀ : Seq₀ X Y
hseqₛ : Seqₛ y X Y
i : M
hi : i ≤ y ^ 2
ne2 : i ≠ 2
ppi : PPow2 i
hXx : ext i X = x
hYy : ext i Y = y
hxsqi : 2 * x + 1 < i ^ 2
⊢ Exponential (2 * x + 1) (2 * y ^ 2)