internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.semiAdjoint.arg_y.IsSmoothLinearMap_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.6147
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.6158
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.6169
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.6196
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
⊢ IsLinearMap K fun y => semiAdjoint K f y

case right
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.6147
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.6158
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.6169
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.6196
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
⊢ CDifferentiable K fun y => semiAdjoint K f y
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.6147
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.6158
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.6169
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.6196
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
⊢ CDifferentiable K fun y => semiAdjoint K f y
Theorem: SciLean.semiAdjoint.arg_y.IsSmoothLinearMap_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.6147
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.6158
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.6169
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.6196
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
⊢ CDifferentiable K fun y => semiAdjoint K f y
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.hasSemiAdjoint.IsSmoothLinearMap
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.10028
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.10039
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.10050
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.10077
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.IsSmoothLinearMap K f
Tactic:
constructor <;> fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.id_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∃ f', ∀ (x y : X), TestFunction x → ⟪y, x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.id_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∃ f', ∀ (x y : X), TestFunction x → ⟪y, x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x
Tactic:
. apply Exists.intro (fun x => x) _
  simp
Proof state after:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.id_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.id_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∃ f', ∀ (x y : X), TestFunction x → ⟪y, x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun x => x) _
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∀ (x y : X), TestFunction x → ⟪y, x⟫_K = ⟪(fun x => x) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.id_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∀ (x y : X), TestFunction x → ⟪y, x⟫_K = ⟪(fun x => x) y, x⟫_K
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.id_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.11860
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.11871
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.11882
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.11893
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.11920
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => 0
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => 0
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => 0
Tactic:
. apply Exists.intro (fun _ => 0) _
  simp; sorry_proof
Proof state after:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => 0
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => 0
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun _ => 0) _
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪(fun x => 0) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪(fun x => 0) y, x⟫_K
Tactic:
simp
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪0, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, 0⟫_K = ⟪0, x⟫_K
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.13191
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.13202
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.13213
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.13240
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => 0
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f (g x)
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, f (g x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f (g x)
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, f (g x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f (g x)
Tactic:
. apply Exists.intro (fun z => semiAdjoint K g (semiAdjoint K f z)) _
  intros; rw[semiAdjoint_move]; rw[semiAdjoint_move]
  sorry_proof repeat assumption
Proof state after:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f (g x)
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f (g x)
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, f (g x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun z => semiAdjoint K g (semiAdjoint K f z)) _
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, f (g x)⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K g (semiAdjoint K f z)) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, f (g x)⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K g (semiAdjoint K f z)) y, x⟫_K
Tactic:
intros
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, f (g x✝)⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K g (semiAdjoint K f z)) y✝, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, f (g x✝)⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K g (semiAdjoint K f z)) y✝, x✝⟫_K
Tactic:
rw[semiAdjoint_move]
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, f (g x✝)⟫_K = ⟪semiAdjoint K f y✝, g x✝⟫_K

case hx
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g