internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hf
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
repeat assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hf
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => -f x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HAdd.hAdd.arg_a0a1.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.32371
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.32377
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.32390
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.32401
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.32412
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.32423
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.32450
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.32496
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.32507
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.32518
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.32545
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
inst✝ : ContinuousAdd Y
f g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f x + g x
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSub.hSub.arg_a0a1.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34383
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34389
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34402
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34413
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.34424
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.34435
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34462
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34508
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34519
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34530
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34557
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f x - g x
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HMul.hMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.35329
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.35335
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.35348
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.35359
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.35370
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.35381
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.35408
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.35443
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.35454
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.35465
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.35476
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.35503
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
y' : K
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f x * y'
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HMul.hMul.arg_a1.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.35765
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.35771
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.35784
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.35795
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.35806
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.35817
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.35844
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.35879
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.35890
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.35901
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.35912
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.35939
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
y' : K
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => y' * f x
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f x • y
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Tactic:
. apply Exists.intro (fun (y' : Y) => ⟪y,y'⟫[K] • semiAdjoint K f 1) _
  sorry_proof
Proof state after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun (y' : Y) => ⟪y,y'⟫[K] • semiAdjoint K f 1) _
Proof state after:
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪(fun y' => ⟪y, y'⟫_K • semiAdjoint K f 1) y_1, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪(fun y' => ⟪y, y'⟫_K • semiAdjoint K f 1) y_1, x⟫_K
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a1.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => c • f x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, c • f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => c • f x