internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Neg.neg.arg_a0.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R : Type u_3
inst✝²³ : Ring R
X : Type u_5
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type u_6
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.252585
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_4
tag : Lean.Name
MR : Type ?u.253324
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.256466
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.257264
E : κ → Type ?u.257269
ME : κ → Type ?u.257274
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : X → Y
mx : MX
⊢ broadcast tag R ι (fun x => -f x) mx = -broadcast tag R ι f mx
Tactic:
unfold broadcast
Proof state after:
case h
R : Type u_3
inst✝²³ : Ring R
X : Type u_5
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type u_6
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.252585
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_4
tag : Lean.Name
MR : Type ?u.253324
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.256466
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.257264
E : κ → Type ?u.257269
ME : κ → Type ?u.257274
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : X → Y
mx : MX
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => -f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    -(LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i)
Theorem: Neg.neg.arg_a0.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R : Type u_3
inst✝²³ : Ring R
X : Type u_5
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type u_6
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.252585
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_4
tag : Lean.Name
MR : Type ?u.253324
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.256466
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.257264
E : κ → Type ?u.257269
ME : κ → Type ?u.257274
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : X → Y
mx : MX
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => -f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    -(LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i)
Tactic:
rw[← map_neg]
Proof state after:
case h
R : Type u_3
inst✝²³ : Ring R
X : Type u_5
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type u_6
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.252585
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_4
tag : Lean.Name
MR : Type ?u.253324
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.256466
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.257264
E : κ → Type ?u.257269
ME : κ → Type ?u.257274
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : X → Y
mx : MX
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => -f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) (-fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i))
Theorem: Neg.neg.arg_a0.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R : Type u_3
inst✝²³ : Ring R
X : Type u_5
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type u_6
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.252585
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_4
tag : Lean.Name
MR : Type ?u.253324
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.256466
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.257264
E : κ → Type ?u.257269
ME : κ → Type ?u.257274
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : X → Y
mx : MX
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => -f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) (-fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i))
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: HMul.hMul.arg_a1.broadcast_rule
Proof state before:
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
⊢ (broadcast tag R ι fun x => c * f x) = fun mx => c • broadcast tag R ι f mx
Tactic:
funext mx
Proof state after:
case h
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ broadcast tag R ι (fun x => c * f x) mx = c • broadcast tag R ι f mx
Theorem: HMul.hMul.arg_a1.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ broadcast tag R ι (fun x => c * f x) mx = c • broadcast tag R ι f mx
Tactic:
unfold broadcast
Proof state after:
case h
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => c * f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    c • (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i)
Theorem: HMul.hMul.arg_a1.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => c * f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    c • (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i)
Tactic:
rw[← map_smul]
Proof state after:
case h
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => c * f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) (c • fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i))
Theorem: HMul.hMul.arg_a1.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R : Type u_2
inst✝²³ : Ring R
X : Type ?u.266497
inst✝²² : AddCommGroup X
inst✝²¹ : Module R X
Y : Type ?u.267290
inst✝²⁰ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁹ : Module R Y
Z : Type ?u.268024
inst✝¹⁸ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁷ : Module R Z
ι : Type u_3
tag : Lean.Name
MR : Type u_1
inst✝¹⁶ : AddCommGroup MR
inst✝¹⁵ : Module R MR
inst✝¹⁴ : BroadcastType tag R ι R MR
MX : Type ?u.270309
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type ?u.271107
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type ?u.271905
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.272703
E : κ → Type ?u.272708
ME : κ → Type ?u.272713
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => c * f x) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) (c • fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i))
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: HMul.hMul.arg_a0.broadcast_rule
Proof state before:
R✝ : Type ?u.285283
inst✝²⁷ : Ring R✝
X : Type ?u.285289
inst✝²⁶ : AddCommGroup X
inst✝²⁵ : Module R✝ X
Y : Type ?u.286082
inst✝²⁴ : AddCommGroup Y
inst✝²³ : Module R✝ Y
Z : Type ?u.286816
inst✝²² : AddCommGroup Z
inst✝²¹ : Module R✝ Z
ι✝ : Type ?u.287550
tag✝ : Lean.Name
MR✝ : Type ?u.287555
inst✝²⁰ : AddCommGroup MR✝
inst✝¹⁹ : Module R✝ MR✝
inst✝¹⁸ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ R✝ MR✝
MX : Type ?u.289101
inst✝¹⁷ : AddCommGroup MX
inst✝¹⁶ : Module R✝ MX
inst✝¹⁵ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ X MX
MY : Type ?u.289899
inst✝¹⁴ : AddCommGroup MY
inst✝¹³ : Module R✝ MY
inst✝¹² : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Y MY
MZ : Type ?u.290697
inst✝¹¹ : AddCommGroup MZ
inst✝¹⁰ : Module R✝ MZ
inst✝⁹ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Z MZ
κ : Type ?u.291495
E : κ → Type ?u.291500
ME : κ → Type ?u.291505
inst✝⁸ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝⁷ : (j : κ) → Module R✝ (E j)
inst✝⁶ : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝⁵ : (j : κ) → Module R✝ (ME j)
inst✝⁴ : (j : κ) → BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ (E j) (ME j)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
tag : Lean.Name
MR : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup MR
inst✝¹ : Module R MR
inst✝ : BroadcastType tag R ι R MR
f : R → R
c : R
⊢ (broadcast tag R ι fun x => f x * c) = fun mx => c • broadcast tag R ι f mx
Tactic:
funext mx
Proof state after:
case h
R✝ : Type ?u.285283
inst✝²⁷ : Ring R✝
X : Type ?u.285289
inst✝²⁶ : AddCommGroup X
inst✝²⁵ : Module R✝ X
Y : Type ?u.286082
inst✝²⁴ : AddCommGroup Y
inst✝²³ : Module R✝ Y
Z : Type ?u.286816
inst✝²² : AddCommGroup Z
inst✝²¹ : Module R✝ Z
ι✝ : Type ?u.287550
tag✝ : Lean.Name
MR✝ : Type ?u.287555
inst✝²⁰ : AddCommGroup MR✝
inst✝¹⁹ : Module R✝ MR✝
inst✝¹⁸ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ R✝ MR✝
MX : Type ?u.289101
inst✝¹⁷ : AddCommGroup MX
inst✝¹⁶ : Module R✝ MX
inst✝¹⁵ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ X MX
MY : Type ?u.289899
inst✝¹⁴ : AddCommGroup MY
inst✝¹³ : Module R✝ MY
inst✝¹² : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Y MY
MZ : Type ?u.290697
inst✝¹¹ : AddCommGroup MZ
inst✝¹⁰ : Module R✝ MZ
inst✝⁹ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Z MZ
κ : Type ?u.291495
E : κ → Type ?u.291500
ME : κ → Type ?u.291505
inst✝⁸ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝⁷ : (j : κ) → Module R✝ (E j)
inst✝⁶ : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝⁵ : (j : κ) → Module R✝ (ME j)
inst✝⁴ : (j : κ) → BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ (E j) (ME j)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
tag : Lean.Name
MR : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup MR
inst✝¹ : Module R MR
inst✝ : BroadcastType tag R ι R MR
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ broadcast tag R ι (fun x => f x * c) mx = c • broadcast tag R ι f mx
Theorem: HMul.hMul.arg_a0.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R✝ : Type ?u.285283
inst✝²⁷ : Ring R✝
X : Type ?u.285289
inst✝²⁶ : AddCommGroup X
inst✝²⁵ : Module R✝ X
Y : Type ?u.286082
inst✝²⁴ : AddCommGroup Y
inst✝²³ : Module R✝ Y
Z : Type ?u.286816
inst✝²² : AddCommGroup Z
inst✝²¹ : Module R✝ Z
ι✝ : Type ?u.287550
tag✝ : Lean.Name
MR✝ : Type ?u.287555
inst✝²⁰ : AddCommGroup MR✝
inst✝¹⁹ : Module R✝ MR✝
inst✝¹⁸ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ R✝ MR✝
MX : Type ?u.289101
inst✝¹⁷ : AddCommGroup MX
inst✝¹⁶ : Module R✝ MX
inst✝¹⁵ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ X MX
MY : Type ?u.289899
inst✝¹⁴ : AddCommGroup MY
inst✝¹³ : Module R✝ MY
inst✝¹² : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Y MY
MZ : Type ?u.290697
inst✝¹¹ : AddCommGroup MZ
inst✝¹⁰ : Module R✝ MZ
inst✝⁹ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Z MZ
κ : Type ?u.291495
E : κ → Type ?u.291500
ME : κ → Type ?u.291505
inst✝⁸ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝⁷ : (j : κ) → Module R✝ (E j)
inst✝⁶ : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝⁵ : (j : κ) → Module R✝ (ME j)
inst✝⁴ : (j : κ) → BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ (E j) (ME j)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
tag : Lean.Name
MR : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup MR
inst✝¹ : Module R MR
inst✝ : BroadcastType tag R ι R MR
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ broadcast tag R ι (fun x => f x * c) mx = c • broadcast tag R ι f mx
Tactic:
unfold broadcast
Proof state after:
case h
R✝ : Type ?u.285283
inst✝²⁷ : Ring R✝
X : Type ?u.285289
inst✝²⁶ : AddCommGroup X
inst✝²⁵ : Module R✝ X
Y : Type ?u.286082
inst✝²⁴ : AddCommGroup Y
inst✝²³ : Module R✝ Y
Z : Type ?u.286816
inst✝²² : AddCommGroup Z
inst✝²¹ : Module R✝ Z
ι✝ : Type ?u.287550
tag✝ : Lean.Name
MR✝ : Type ?u.287555
inst✝²⁰ : AddCommGroup MR✝
inst✝¹⁹ : Module R✝ MR✝
inst✝¹⁸ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ R✝ MR✝
MX : Type ?u.289101
inst✝¹⁷ : AddCommGroup MX
inst✝¹⁶ : Module R✝ MX
inst✝¹⁵ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ X MX
MY : Type ?u.289899
inst✝¹⁴ : AddCommGroup MY
inst✝¹³ : Module R✝ MY
inst✝¹² : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Y MY
MZ : Type ?u.290697
inst✝¹¹ : AddCommGroup MZ
inst✝¹⁰ : Module R✝ MZ
inst✝⁹ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Z MZ
κ : Type ?u.291495
E : κ → Type ?u.291500
ME : κ → Type ?u.291505
inst✝⁸ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝⁷ : (j : κ) → Module R✝ (E j)
inst✝⁶ : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝⁵ : (j : κ) → Module R✝ (ME j)
inst✝⁴ : (j : κ) → BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ (E j) (ME j)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
tag : Lean.Name
MR : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup MR
inst✝¹ : Module R MR
inst✝ : BroadcastType tag R ι R MR
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => f x * c) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    c • (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i)
Theorem: HMul.hMul.arg_a0.broadcast_rule
Proof state before:
case h
R✝ : Type ?u.285283
inst✝²⁷ : Ring R✝
X : Type ?u.285289
inst✝²⁶ : AddCommGroup X
inst✝²⁵ : Module R✝ X
Y : Type ?u.286082
inst✝²⁴ : AddCommGroup Y
inst✝²³ : Module R✝ Y
Z : Type ?u.286816
inst✝²² : AddCommGroup Z
inst✝²¹ : Module R✝ Z
ι✝ : Type ?u.287550
tag✝ : Lean.Name
MR✝ : Type ?u.287555
inst✝²⁰ : AddCommGroup MR✝
inst✝¹⁹ : Module R✝ MR✝
inst✝¹⁸ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ R✝ MR✝
MX : Type ?u.289101
inst✝¹⁷ : AddCommGroup MX
inst✝¹⁶ : Module R✝ MX
inst✝¹⁵ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ X MX
MY : Type ?u.289899
inst✝¹⁴ : AddCommGroup MY
inst✝¹³ : Module R✝ MY
inst✝¹² : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Y MY
MZ : Type ?u.290697
inst✝¹¹ : AddCommGroup MZ
inst✝¹⁰ : Module R✝ MZ
inst✝⁹ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Z MZ
κ : Type ?u.291495
E : κ → Type ?u.291500
ME : κ → Type ?u.291505
inst✝⁸ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝⁷ : (j : κ) → Module R✝ (E j)
inst✝⁶ : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝⁵ : (j : κ) → Module R✝ (ME j)
inst✝⁴ : (j : κ) → BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ (E j) (ME j)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
tag : Lean.Name
MR : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup MR
inst✝¹ : Module R MR
inst✝ : BroadcastType tag R ι R MR
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => f x * c) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    c • (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i)
Tactic:
rw[← map_smul]
Proof state after:
case h
R✝ : Type ?u.285283
inst✝²⁷ : Ring R✝
X : Type ?u.285289
inst✝²⁶ : AddCommGroup X
inst✝²⁵ : Module R✝ X
Y : Type ?u.286082
inst✝²⁴ : AddCommGroup Y
inst✝²³ : Module R✝ Y
Z : Type ?u.286816
inst✝²² : AddCommGroup Z
inst✝²¹ : Module R✝ Z
ι✝ : Type ?u.287550
tag✝ : Lean.Name
MR✝ : Type ?u.287555
inst✝²⁰ : AddCommGroup MR✝
inst✝¹⁹ : Module R✝ MR✝
inst✝¹⁸ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ R✝ MR✝
MX : Type ?u.289101
inst✝¹⁷ : AddCommGroup MX
inst✝¹⁶ : Module R✝ MX
inst✝¹⁵ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ X MX
MY : Type ?u.289899
inst✝¹⁴ : AddCommGroup MY
inst✝¹³ : Module R✝ MY
inst✝¹² : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Y MY
MZ : Type ?u.290697
inst✝¹¹ : AddCommGroup MZ
inst✝¹⁰ : Module R✝ MZ
inst✝⁹ : BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ Z MZ
κ : Type ?u.291495
E : κ → Type ?u.291500
ME : κ → Type ?u.291505
inst✝⁸ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝⁷ : (j : κ) → Module R✝ (E j)
inst✝⁶ : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝⁵ : (j : κ) → Module R✝ (ME j)
inst✝⁴ : (j : κ) → BroadcastType tag✝ R✝ ι✝ (E j) (ME j)
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
tag : Lean.Name
MR : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup MR
inst✝¹ : Module R MR
inst✝ : BroadcastType tag R ι R MR
f : R → R
c : R
mx : MR
⊢ ((LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) fun i => (fun x => f x * c) ((BroadcastType.equiv tag) mx i)) =
    (LinearEquiv.symm (BroadcastType.equiv tag)) (c • fun i => f ((BroadcastType.equiv tag) mx i))