internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) ∉ M
Tactic:
have h31 : i.val = n' := by omega
Proof state after:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) ∉ M
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) ∉ M
Tactic:
have h32 : ∑ j ∈ Finset.filter (fun x ↦ x ≤ i) Finset.univ, a (p j) =
           ∑ i : Fin n, a i := by
  have pb : p.toFun.Bijective := EquivLike.bijective p
  rw [←Function.Bijective.sum_comp pb (fun j ↦ a j)]
  have h33 : i.val + 1 = n := by omega
  have h10 : Finset.filter (fun x ↦ x ≤ i) Finset.univ =
              Finset.univ (α := Fin n) := by
    ext x
    rw [Finset.mem_filter]
    suffices x ≤ i from and_iff_left_of_imp fun a ↦ this
    omega
  rw [h10]
  dsimp
Proof state after:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
h32 : ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) ∉ M
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
h32 : ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) ∉ M
Tactic:
rw [h32]
Proof state after:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
h32 : ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
⊢ ∑ i : Fin n, a i ∉ M
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
case ind.inr.inl.intro.intro.inr.intro.inr
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
h32 : ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
⊢ ∑ i : Fin n, a i ∉ M
Tactic:
exact hM
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
⊢ ↑i = n'
Tactic:
omega
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
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x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
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M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
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p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
Tactic:
have pb : p.toFun.Bijective := EquivLike.bijective p
Proof state after:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
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x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
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hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a i
Tactic:
rw [←Function.Bijective.sum_comp pb (fun j ↦ a j)]
Proof state after:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
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p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Tactic:
have h33 : i.val + 1 = n := by omega
Proof state after:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
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y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
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p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Tactic:
have h10 : Finset.filter (fun x ↦ x ≤ i) Finset.univ =
            Finset.univ (α := Fin n) := by
  ext x
  rw [Finset.mem_filter]
  suffices x ≤ i from and_iff_left_of_imp fun a ↦ this
  omega
Proof state after:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
h10 : Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ = Finset.univ
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
h10 : Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ = Finset.univ
⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Tactic:
rw [h10]
Proof state after:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
h10 : Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ = Finset.univ
⊢ ∑ j : Fin n, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
h10 : Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ = Finset.univ
⊢ ∑ j : Fin n, a (p j) = ∑ i : Fin n, a (p.toFun i)
Tactic:
dsimp
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
⊢ ↑i + 1 = n
Tactic:
omega
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2009P6.imo2009_p6_aux1
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x ∉ M
y : ℤ
hy1 : x < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
⊢ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ = Finset.univ
Tactic:
ext x
Proof state after:
case a
n : ℕ
hn : 0 < n
a : Fin n → ℤ
ainj : Function.Injective a
apos : ∀ (i : Fin n), 0 < a i
asorted : ∀ (i j : Fin n), i < j → a i < a j
M : Finset ℤ
Mpos : ∀ m ∈ M, 0 < m
Mcard : M.card ≤ n - 1
x✝ : ℤ := ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => ↑x < n - 1) Finset.univ, a i
h1 : x✝ ∉ M
y : ℤ
hy1 : x✝ < y
hy2 : y ∈ M
M' : Finset ℤ := Finset.filter (fun z => z ≤ x✝) M
hyM' : y ∉ M'
h3 : M'.card ≤ n - 2
hM : ∑ i : Fin n, a i ∉ M
h7 : M'.card > 0
n' : ℕ := n - 1
a' : Fin n' → ℤ := fun i => a ⟨↑i, ⋯⟩
ainj' : Function.Injective a'
apos' : ∀ (i : Fin n'), 0 < a' i
asorted' : ∀ (i j : Fin n'), i < j → a' i < a' j
Mpos' : ∀ m ∈ M', 0 < m
hM' : ∑ i : Fin n', a' i ∉ M'
p' : Equiv.Perm (Fin n')
hp : ∀ (i : Fin n'), ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ, a' (p' j) ∉ M'
p : Equiv.Perm (Fin n) := extendPerm p' ⋯
i : Fin n
h30 : ¬↑i < n'
h31 : ↑i = n'
pb : Function.Bijective p.toFun
h33 : ↑i + 1 = n
x : Fin n
⊢ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ i) Finset.univ ↔ x ∈ Finset.univ