Theorem: SchwartzMap.realintegral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single
Proof state before:
case h.h.e_a
E' : Type ?u.1249490
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(ι → ℝ, F)
ξ : ι → ℝ
h_mem : ∀ (j : ι), j ∈ Finset.univ \ {i} ↔ j ≠ i
x : { j // ¬j = i } → ℝ
u : ℝ
⊢ ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-∑ x_1 : { x // ¬x = i }, x x_1 * ξ ↑x_1))) *
      ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-(u * ξ i)))) =
    ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-∑ i_1 : ι, (Equiv.piSplitAt i fun a => ℝ).symm (u, x) i_1 * ξ i_1)))

case h.h.e_a.h.e_6.h
E' : Type ?u.1249490
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(ι → ℝ, F)
ξ : ι → ℝ
h_mem : ∀ (j : ι), j ∈ Finset.univ \ {i} ↔ j ≠ i
x : { j // ¬j = i } → ℝ
u : ℝ
⊢ (Equiv.piSplitAt i fun a => ℝ).symm (0, x) + Pi.single i u = (Equiv.piSplitAt i fun a => ℝ).symm (u, x)
Tactic:
. rw [Finset.sum_eq_add_sum_diff_singleton (Finset.mem_univ i)]
  simp only [Finset.sum_subtype _ h_mem]
  simp [Finset.sum_ite]
Proof state after:
case h.h.e_a.h.e_6.h
E' : Type ?u.1249490
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(ι → ℝ, F)
ξ : ι → ℝ
h_mem : ∀ (j : ι), j ∈ Finset.univ \ {i} ↔ j ≠ i
x : { j // ¬j = i } → ℝ
u : ℝ
⊢ (Equiv.piSplitAt i fun a => ℝ).symm (0, x) + Pi.single i u = (Equiv.piSplitAt i fun a => ℝ).symm (u, x)