internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.term_retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M n
e : Fin n → Fin k
v✝ : Fin k → M
⊢ Semiterm.valm M (fun x => v✝ (e x)) id t ≤ Semiterm.valm M v✝ id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)
Tactic:
simp [Semiterm.val_substs]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.term
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M k
⊢ ∀ (v : Fin k → M), Semiterm.valm M v id t ≤ Semiterm.valm M v id t
Tactic:
intro _
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M k
v✝ : Fin k → M
⊢ Semiterm.valm M v✝ id t ≤ Semiterm.valm M v✝ id t
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.term
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M k
v✝ : Fin k → M
⊢ Semiterm.valm M v✝ id t ≤ Semiterm.valm M v✝ id t
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
e : Fin k → Fin n
⊢ Bounded L fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
rcases hf with ⟨t, ht⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
⊢ Bounded L fun v => f fun i => v (e i)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.retraction
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
⊢ Bounded L fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
exact ⟨Rew.substs (fun x ↦ #(e x)) t, by intro; simp [Semiterm.val_substs, ht]⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
⊢ ∀ (v : Fin n → M), (f fun i => v (e i)) ≤ Semiterm.valm M v id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)
Tactic:
intro
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
v✝ : Fin n → M
⊢ (f fun i => v✝ (e i)) ≤ Semiterm.valm M v✝ id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
v✝ : Fin n → M
⊢ (f fun i => v✝ (e i)) ≤ Semiterm.valm M v✝ id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)
Tactic:
simp [Semiterm.val_substs, ht]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.comp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
⊢ ∃ t, ∀ (v : Fin k → M), (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id t
Tactic:
rcases hf.bounded with ⟨tf, htf⟩
Proof state after:
case intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
⊢ ∃ t, ∀ (v : Fin k → M), (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id t
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.comp
Proof state before:
case intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
⊢ ∃ t, ∀ (v : Fin k → M), (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id t
Tactic:
choose tg htg using fun i ↦ (hg i).bounded
Proof state after:
case intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
tg : Fin l → Semiterm L M k
htg : ∀ (i : Fin l) (v : Fin k → M), g i v ≤ Semiterm.valm M v id (tg i)
⊢ ∃ t, ∀ (v : Fin k → M), (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id t
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.comp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
tg : Fin l → Semiterm L M k
htg : ∀ (i : Fin l) (v : Fin k → M), g i v ≤ Semiterm.valm M v id (tg i)
⊢ ∀ (v : Fin k → M), (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id ((Rew.substs tg) tf)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
tg : Fin l → Semiterm L M k
htg : ∀ (i : Fin l) (v : Fin k → M), g i v ≤ Semiterm.valm M v id (tg i)
v : Fin k → M
⊢ (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id ((Rew.substs tg) tf)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.comp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
tg : Fin l → Semiterm L M k
htg : ∀ (i : Fin l) (v : Fin k → M), g i v ≤ Semiterm.valm M v id (tg i)
v : Fin k → M
⊢ (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.valm M v id ((Rew.substs tg) tf)
Tactic:
simp [Semiterm.val_substs]
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
tg : Fin l → Semiterm L M k
htg : ∀ (i : Fin l) (v : Fin k → M), g i v ≤ Semiterm.valm M v id (tg i)
v : Fin k → M
⊢ (f fun x => g x v) ≤ Semiterm.val inst✝² (fun x => Semiterm.val inst✝² v id (tg x)) id tf
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.comp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
l k : ℕ
f : (Fin l → M) → M
g : Fin l → (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
hg : ∀ (i : Fin l), Bounded L (g i)
tf : Semiterm L M l
htf : ∀ (v : Fin l → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id tf
tg : Fin l → Semiterm L M k
htg : ∀ (i : Fin l) (v : Fin k → M), g i v ≤ Semiterm.valm M v id (tg i)
v : Fin k → M
⊢ ∀ (i : M), id i ≤ id i
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded₂.comp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
f : M → M → M
k : ℕ
g₁ g₂ : (Fin k → M) → M
hf : Bounded₂ L f
hg₁ : Bounded L g₁
hg₂ : Bounded L g₂
i : Fin (Nat.succ 0).succ
⊢ Bounded L (![g₁, g₂] i)
Tactic:
cases i using Fin.cases <;> simp [*]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded₃.comp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
f : M → M → M → M
k : ℕ
g₁ g₂ g₃ : (Fin k → M) → M
hf : Bounded₃ L f
hg₁ : Bounded L g₁
hg₂ : Bounded L g₂
hg₃ : Bounded L g₃
i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ
⊢ Bounded L (![g₁, g₂, g₃] i)
Tactic:
cases' i using Fin.cases with i <;> simp [*]
Proof state after:
case succ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
f : M → M → M → M
k : ℕ
g₁ g₂ g₃ : (Fin k → M) → M
hf : Bounded₃ L f
hg₁ : Bounded L g₁
hg₂ : Bounded L g₂
hg₃ : Bounded L g₃
i : Fin 2
⊢ Bounded L (![g₂, g₃] i)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded₃.comp
Proof state before:
case succ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
f : M → M → M → M
k : ℕ
g₁ g₂ g₃ : (Fin k → M) → M
hf : Bounded₃ L f
hg₁ : Bounded L g₁
hg₂ : Bounded L g₂
hg₃ : Bounded L g₃
i : Fin 2
⊢ Bounded L (![g₂, g₃] i)
Tactic:
cases' i using Fin.cases with i <;> simp [*]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_zero
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
Γ' Γ : SigmaPiDelta
f : (Fin k → M) → M
h : DefinableBoundedFunction L (Γ', 0) f
⊢ DefinableBoundedFunction L (Γ, 0) f
Tactic:
rcases h with ⟨hb, h⟩
Proof state after:
case intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
Γ' Γ : SigmaPiDelta
f : (Fin k → M) → M
hb : Bounded L f
h : DefinableFunction L (Γ', 0) f
⊢ DefinableBoundedFunction L (Γ, 0) f
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_zero
Proof state before:
case intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
Γ' Γ : SigmaPiDelta
f : (Fin k → M) → M
hb : Bounded L f
h : DefinableFunction L (Γ', 0) f
⊢ DefinableBoundedFunction L (Γ, 0) f
Tactic:
exact ⟨hb, .of_zero h _⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.ball_lt₀
Proof state before:
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Tactic:
rcases hf.bounded with ⟨bf, hbf⟩
Proof state after:
case mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.ball_lt₀
Proof state before:
case mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Tactic:
rcases hf.definable with ⟨f_graph, hf_graph⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.ball_lt₀
Proof state before:
case mk.intro.mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Tactic:
rcases h with ⟨p, hp⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro.mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
p : HSemiformula L M k.succ Γ
hp : DefinedWithParam (fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)) p
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.ball_lt₀
Proof state before:
case mk.intro.mk.intro.mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
p : HSemiformula L M k.succ Γ
hp : DefinedWithParam (fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)) p
this :
  DefinedWithParam (fun v => ∃ x ≤ Semiterm.valm M v id bf, x = f v ∧ ∀ y < x, P v y)
    (HSemiformula.bex (‘(!!bf + 1)’)
      (f_graph ⋏ HSemiformula.ball (#0) (HSemiformula.rew (Rew.substs (#0 :> fun i => #i.succ.succ)) p)))
⊢ Definable L Γ fun v => ∀ x < f v, P v x
Tactic:
exact .of_iff _ (fun v ↦ ⟨fun h ↦ ⟨f v, hbf v, rfl, h⟩, by rintro ⟨y, hy, rfl, h⟩; exact h⟩) ⟨_, this⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.ball_lt₀
Proof state before:
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
p : HSemiformula L M k.succ Γ
hp : DefinedWithParam (fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)) p
this :
  DefinedWithParam (fun v => ∃ x ≤ Semiterm.valm M v id bf, x = f v ∧ ∀ y < x, P v y)
    (HSemiformula.bex (‘(!!bf + 1)’)
      (f_graph ⋏ HSemiformula.ball (#0) (HSemiformula.rew (Rew.substs (#0 :> fun i => #i.succ.succ)) p)))
v : Fin k → M
⊢ (∃ x ≤ Semiterm.valm M v id bf, x = f v ∧ ∀ y < x, P v y) → ∀ x < f v, P v x
Tactic:
rintro ⟨y, hy, rfl, h⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
p : HSemiformula L M k.succ Γ
hp : DefinedWithParam (fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)) p
this :
  DefinedWithParam (fun v => ∃ x ≤ Semiterm.valm M v id bf, x = f v ∧ ∀ y < x, P v y)
    (HSemiformula.bex (‘(!!bf + 1)’)
      (f_graph ⋏ HSemiformula.ball (#0) (HSemiformula.rew (Rew.substs (#0 :> fun i => #i.succ.succ)) p)))
v : Fin k → M
hy : f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
h : ∀ y < f v, P v y
⊢ ∀ x < f v, P v x
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.ball_lt₀
Proof state before:
case intro.intro.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
f_graph : HSemiformula L M (k + 1) Γ
hf_graph : DefinedWithParam (fun v => v 0 = f fun x => v x.succ) f_graph
p : HSemiformula L M k.succ Γ
hp : DefinedWithParam (fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)) p
this :
  DefinedWithParam (fun v => ∃ x ≤ Semiterm.valm M v id bf, x = f v ∧ ∀ y < x, P v y)
    (HSemiformula.bex (‘(!!bf + 1)’)
      (f_graph ⋏ HSemiformula.ball (#0) (HSemiformula.rew (Rew.substs (#0 :> fun i => #i.succ.succ)) p)))
v : Fin k → M
hy : f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
h : ∀ y < f v, P v y
⊢ ∀ x < f v, P v x
Tactic:
exact h
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bex_lt₀
Proof state before:
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
⊢ Definable L Γ fun v => ∃ x < f v, P v x
Tactic:
rcases hf.bounded with ⟨bf, hbf⟩
Proof state after:
case mk.intro
k : ℕ
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin k → M) → M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
h : Definable L Γ fun w => P (fun x => w x.succ) (w 0)
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => ∃ x < f v, P v x