internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : t ∈ s ∩ Set.Ico 0 u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
simp only [← hs, Set.mem_inter_iff, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff,
  Set.mem_Ico] at ts
Proof state after:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
generalize hz : c + t * y = z
Proof state after:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
ts : f (c + ↑t * y) = f c ∧ 0 ≤ t ∧ t < u
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
rcases ts with ⟨fz, tp, tu⟩
Proof state after:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
have tz : abs (z - c) = t := by
  simp only [y1, abs_of_nonneg tp, add_sub_cancel_left, AbsoluteValue.map_mul,
    Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
Proof state after:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
have zs : z ∈ ball c r := by
  simp only [y1, abs_of_nonneg tp, Metric.mem_ball, dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs,
    AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
  exact lt_of_lt_of_le tu ur
Proof state after:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ ball c r
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
rw [← interior_closedBall _ rp.ne'] at zs
Proof state after:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
rcases fs.submean' z zs with ⟨e, ep, lo⟩
Proof state after:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
generalize he' : min (e / 2) (u - t) = e'
Proof state after:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
have e'p : e' > 0 := by rw [←he']; exact lt_min (half_pos ep) (by linarith)
Proof state after:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty
Tactic:
have e's : e' < e := by rw [← he']; exact lt_of_le_of_lt (min_le_left _ _) (half_lt_self ep)
Proof state after:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
⊢ (s ∩ Ioc t u).Nonempty