internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDeriv K fun x => f x - g x) = fun x =>
    let ydf := revDeriv K f x;
    let ydg := revDerivUpdate K g x;
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy =>
      let dx := ydf.2 dy;
      let dy' := -dy;
      ydg.2 dy' dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
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inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
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inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
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inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDeriv K fun x => f x - g x) = fun x =>
    let ydf := revDeriv K f x;
    let ydg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy =>
      let dx := ydf.2 dy;
      let dy' := -dy;
      ydg.2 dy' dx)
Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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    let ydf := revDeriv K f x;
    let ydg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy =>
      let dx := ydf.2 dy;
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      ydg.2 dy' dx)
Tactic:
unfold revDeriv
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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Z' Zi : Type
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
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hf : HasAdjDiff K f
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⊢ (fun x => ((fun x => f x - g x) x, semiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x - g x) x))) = fun x =>
    let ydf := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
    let ydg :=
      let ydf := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy =>
      let dx := ydf.2 dy;
      let dy' := -dy;
      ydg.2 dy' dx)
Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
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Z' Zi : Type
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inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
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⊢ (fun x => ((fun x => f x - g x) x, semiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x - g x) x))) = fun x =>
    let ydf := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
    let ydg :=
      let ydf := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy =>
      let dx := ydf.2 dy;
      let dy' := -dy;
      ydg.2 dy' dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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      (f x - g x, fun y =>
        semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) y -
          semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) y)) =
    fun x => (f x - g x, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) dy + semiAdjoint K (cderiv K g x) (-dy))
Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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      (f x - g x, fun y =>
        semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) y -
          semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) y)) =
    fun x => (f x - g x, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) dy + semiAdjoint K (cderiv K g x) (-dy))
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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Z' Zi : Type
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
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      semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) y -
        semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) y) =
    (f x - g x, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) dy + semiAdjoint K (cderiv K g x) (-dy))
Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
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K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
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inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
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inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
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inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
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      semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) y -
        semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) y) =
    (f x - g x, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) dy + semiAdjoint K (cderiv K g x) (-dy))
Tactic:
simp
Proof state after:
case h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
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Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
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K : Type
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X : Type
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inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
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inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
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inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
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      semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) y -
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    fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) dy + semiAdjoint K (cderiv K g x) (-dy)
Tactic:
funext dy
Proof state after:
case h.h
K : Type
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X : Type
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Y : Type
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inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
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inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
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inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
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inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
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f g : X → Y
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⊢ semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) dy -
      semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) dy =
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Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDeriv_rule
Proof state before:
case h.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
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Z' Zi : Type
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inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
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x : X
dy : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x) x x_1) dy -
      semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => g x) x x_1) dy =
    semiAdjoint K (cderiv K f x) dy + semiAdjoint K (cderiv K g x) (-dy)
Tactic:
simp only [neg_pull, ← sub_eq_add_neg]
Proof state after:
no goals
Theorem: HSub.hSub.arg_a0a1.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDerivUpdate K fun x => f x - g x) = fun x =>
    let ydf := revDerivUpdate K f x;
    let ydg := revDerivUpdate K g x;
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy dx =>
      let dx := ydf.2 dy dx;
      let dy' := -dy;
      ydg.2 dy' dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => f x - g x) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let ydg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 - ydg.1, fun dy dx =>
      let dx := ydf.2 dy dx;
      let dy' := -dy;
      ydg.2 dy' dx)