internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Tactic:
have : f = g := by funext v; simp [h]
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
this : f = g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
this : f = g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Tactic:
rcases this
Proof state after:
case refl
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), g v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_iff
Proof state before:
case refl
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), g v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Tactic:
exact H
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
⊢ f = g
Tactic:
funext v
Proof state after:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
v : Fin k → M
⊢ f v = g v
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_iff
Proof state before:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
v : Fin k → M
⊢ f v = g v
Tactic:
simp [h]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.var
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
i : Fin k
⊢ Bounded L fun v => v i
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.var
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
i : Fin k
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => v i
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.const
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
c : M
⊢ Bounded L fun x => c
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.const
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
c : M
⊢ DefinableFunction L Γ fun x => c
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.term_retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M n
e : Fin n → Fin k
⊢ Bounded L fun v => Semiterm.valm M (fun x => v (e x)) id t
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.term_retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M n
e : Fin n → Fin k
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => Semiterm.valm M (fun x => v (e x)) id t
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.term
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M k
⊢ Bounded L fun v => Semiterm.valm M v id t
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.term
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
t : Semiterm L M k
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => Semiterm.valm M v id t
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)
Tactic:
rcases hf.bounded with ⟨bf, hbf⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)
Tactic:
have : Definable L Γ fun v ↦ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z :=
  bex_le₀ (by simp) (and hf.definable <| hP.retraction (fun _ ↦ 0))
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ fun v => Semiterm.valm M v id bf
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
⊢ ∀ (x : Fin k → M), P (f x) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M x id bf, z = f x ∧ P z
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Tactic:
constructor
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) → ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z

case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ (∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z) → P (f v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) → ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Tactic:
intro h
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
h : P (f v)
⊢ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
h : P (f v)
⊢ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Tactic:
exact ⟨f v, hbf v, rfl, h⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ (∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z) → P (f v)
Tactic:
rintro ⟨_, _, rfl, h⟩
Proof state after:
case mpr.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
left✝ : f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
h : P (f v)
⊢ P (f v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁
Proof state before:
case mpr.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
left✝ : f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
h : P (f v)
⊢ P (f v)
Tactic:
exact h
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
rcases hf₁.bounded with ⟨bf₁, hbf₁⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
rcases hf₂.bounded with ⟨bf₂, hbf₂⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun w => R ((fun x => w x.succ) 0) (w 0)
Tactic:
simpa using hR.retraction (n := k + 2) ![1, 0]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
⊢ ∀ (x : Fin k → M),
    R (f₁ x) (f₂ x) ↔ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M x id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M x id bf₂, z₁ = f₁ x ∧ z₂ = f₂ x ∧ R z₁ z₂
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) ↔ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂