internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HAdd.hAdd.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.67033
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.67168
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.67176
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => f x + g x) x = fun dx => fwdFDeriv K f x dx + fwdFDeriv K g x dx
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.67033
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.67168
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.67176
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x + g x) x, (fderiv K (fun x => f x + g x) x) dx)) = fun dx =>
    (f x, (fderiv K f x) dx) + (g x, (fderiv K g x) dx)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HAdd.hAdd.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.67033
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.67168
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.67176
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x + g x) x, (fderiv K (fun x => f x + g x) x) dx)) = fun dx =>
    (f x, (fderiv K f x) dx) + (g x, (fderiv K g x) dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HSub.hSub.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.78255
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.78390
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.78398
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => f x - g x) x = fun dx => fwdFDeriv K f x dx - fwdFDeriv K g x dx
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.78255
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.78390
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.78398
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x - g x) x, (fderiv K (fun x => f x - g x) x) dx)) = fun dx =>
    (f x, (fderiv K f x) dx) - (g x, (fderiv K g x) dx)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HSub.hSub.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.78255
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.78390
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.78398
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x - g x) x, (fderiv K (fun x => f x - g x) x) dx)) = fun dx =>
    (f x, (fderiv K f x) dx) - (g x, (fderiv K g x) dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.Neg.neg.arg_a0.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.89916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.90051
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.90059
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → Y
⊢ fwdFDeriv K (fun x => -f x) x = fun dx => -fwdFDeriv K f x dx
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.89916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.90051
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.90059
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → Y
⊢ (fun dx => ((fun x => -f x) x, (fderiv K (fun x => -f x) x) dx)) = fun dx => -(f x, (fderiv K f x) dx)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.Neg.neg.arg_a0.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.89916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.90051
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.90059
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → Y
⊢ (fun dx => ((fun x => -f x) x, (fderiv K (fun x => -f x) x) dx)) = fun dx => -(f x, (fderiv K f x) dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HMul.hMul.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.97547
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.97682
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.97817
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.97825
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => f x * g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdFDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdFDeriv K g x dx;
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.97547
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.97682
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.97817
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.97825
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x * g x) x, (fderiv K (fun x => f x * g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HMul.hMul.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.97547
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.97682
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.97817
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.97825
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x * g x) x, (fderiv K (fun x => f x * g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.107074
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.107209
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.107217
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => f x • g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdFDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdFDeriv K g x dx;
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.107074
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.107209
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.107217
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x • g x) x, (fderiv K (fun x => f x • g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.107074
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.107209
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.107217
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x • g x) x, (fderiv K (fun x => f x • g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ fwdFDeriv K (fun x => f x / g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdFDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdFDeriv K g x dx;
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
funext dx
Proof state after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx) =
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx) =
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
simp
Proof state after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx = ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx = ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2
Tactic:
conv =>
  lhs
  simp[div_eq_inv_mul]
  fun_trans (disch:=assumption)
Proof state after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x) x) dx * (g x)⁻¹ + (fderiv K (fun x2 => x2⁻¹) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x) x) dx * (g x)⁻¹ + (fderiv K (fun x2 => x2⁻¹) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2
Tactic:
field_simp
Proof state after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fderiv K (fun x => f x) x) dx + (fderiv K (fun x2 => 1 / x2) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x * g x) *
      g x ^ 2 =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) * g x
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fderiv K (fun x => f x) x) dx + (fderiv K (fun x2 => 1 / x2) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x * g x) *
      g x ^ 2 =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) * g x
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
case funProp.discharger
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx✝ dx : X
⊢ g x ≠ 0
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.FinType.sum.arg_f.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => ∑ i : ι, f x i) x = fun dx =>
    let ydy := fun i => fwdFDeriv K (fun x => f x i) x dx;
    ∑ i : ι, ydy i
Tactic:
unfold fwdFDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x => ∑ i : ι, f x i) x, (fderiv K (fun x => ∑ i : ι, f x i) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, (fderiv K (fun x => f x i) x) dx);
    ∑ i : ι, ydy i
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.FinType.sum.arg_f.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x => ∑ i : ι, f x i) x, (fderiv K (fun x => ∑ i : ι, f x i) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, (fderiv K (fun x => f x i) x) dx);
    ∑ i : ι, ydy i
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (∑ i : ι, f x i, Finset.sum Finset.univ ((fderiv K (fun x i => f x i) x) dx))) = fun dx =>
    ∑ x_1 : ι, (f x x_1, (fderiv K (fun x => f x x_1) x) dx)
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.FinType.sum.arg_f.fwdFDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (∑ i : ι, f x i, Finset.sum Finset.univ ((fderiv K (fun x i => f x i) x) dx))) = fun dx =>
    ∑ x_1 : ι, (f x x_1, (fderiv K (fun x => f x x_1) x) dx)
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y

case isTrue
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y