Theorem: MainTheoremOfPolytopes
Proof state before:
case refine_2.hf
E✝ : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ E✝
inst✝⁸ : CompleteSpace E✝
E P : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor E P
inst✝² inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
S : Set E
hS : Set.Finite S
hSnontrivial : Set.Nontrivial S
this✝ : Nontrivial ↑S
hSnonempty : Set.Nonempty S
this : Nonempty ↑S
s : E
hs : s ∈ S
hsaff : s ∈ affineSpan ℝ S
SpanS : AffineSubspace ℝ E := affineSpan ℝ S
s' : ↥SpanS := { val := s, property := hsaff }
x : ↥(AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ S))
hx : x ∈ interior (⇑(AffineIsometryEquiv.VSubconst ℝ { val := s, property := ⋯ }) '' (Subtype.val ⁻¹' (convexHull ℝ) S))
⊢ Function.Injective (LinearMap.toAffineMap (Submodule.subtype (AffineSubspace.direction SpanS))).toFun

case refine_2.hs
E✝ : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ E✝
inst✝⁸ : CompleteSpace E✝
E P : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor E P
inst✝² inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
S : Set E
hS : Set.Finite S
hSnontrivial : Set.Nontrivial S
this✝ : Nontrivial ↑S
hSnonempty : Set.Nonempty S
this : Nonempty ↑S
s : E
hs : s ∈ S
hsaff : s ∈ affineSpan ℝ S
SpanS : AffineSubspace ℝ E := affineSpan ℝ S
s' : ↥SpanS := { val := s, property := hsaff }
x : ↥(AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ S))
hx : x ∈ interior (⇑(AffineIsometryEquiv.VSubconst ℝ { val := s, property := ⋯ }) '' (Subtype.val ⁻¹' (convexHull ℝ) S))
⊢ S - {s} ⊆ Set.range ⇑(LinearMap.toAffineMap (Submodule.subtype (AffineSubspace.direction SpanS)))
Tactic:
all_goals (try rw [AffineMap.toFun_eq_coe])
Proof state after:
case refine_2.hf
E✝ : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ E✝
inst✝⁸ : CompleteSpace E✝
E P : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor E P
inst✝² inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
S : Set E
hS : Set.Finite S
hSnontrivial : Set.Nontrivial S
this✝ : Nontrivial ↑S
hSnonempty : Set.Nonempty S
this : Nonempty ↑S
s : E
hs : s ∈ S
hsaff : s ∈ affineSpan ℝ S
SpanS : AffineSubspace ℝ E := affineSpan ℝ S
s' : ↥SpanS := { val := s, property := hsaff }
x : ↥(AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ S))
hx : x ∈ interior (⇑(AffineIsometryEquiv.VSubconst ℝ { val := s, property := ⋯ }) '' (Subtype.val ⁻¹' (convexHull ℝ) S))
⊢ Function.Injective ⇑(LinearMap.toAffineMap (Submodule.subtype (AffineSubspace.direction SpanS)))

case refine_2.hs
E✝ : Type
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ E✝
inst✝⁸ : CompleteSpace E✝
E P : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor E P
inst✝² inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
S : Set E
hS : Set.Finite S
hSnontrivial : Set.Nontrivial S
this✝ : Nontrivial ↑S
hSnonempty : Set.Nonempty S
this : Nonempty ↑S
s : E
hs : s ∈ S
hsaff : s ∈ affineSpan ℝ S
SpanS : AffineSubspace ℝ E := affineSpan ℝ S
s' : ↥SpanS := { val := s, property := hsaff }
x : ↥(AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ S))
hx : x ∈ interior (⇑(AffineIsometryEquiv.VSubconst ℝ { val := s, property := ⋯ }) '' (Subtype.val ⁻¹' (convexHull ℝ) S))
⊢ S - {s} ⊆ Set.range ⇑(LinearMap.toAffineMap (Submodule.subtype (AffineSubspace.direction SpanS)))