internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case mem
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ (c, (f c)^[n] (s.ray c (↑t * x1))) ∈ s.near

case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Tactic:
exact e1.self_of_nhds.near
Proof state after:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Tactic:
have xc : ContinuousAt (fun y : ℂ × ℂ ↦ (y.1, x1 / x0 * y.2)) (c, ↑t * x0) :=
  continuousAt_fst.prod (continuousAt_const.mul continuousAt_snd)
Proof state after:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : ContinuousAt (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (c, ↑t * x0)
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : ContinuousAt (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (c, ↑t * x0)
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Tactic:
simp only [ContinuousAt] at xc
Proof state after:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, x1 / x0 * (↑t * x0)))
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, x1 / x0 * (↑t * x0)))
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Tactic:
rw [← mul_assoc, mul_comm _ (t:ℂ), mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ x00] at xc
Proof state after:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
Tactic:
refine (xc.eventually e1).mp (eventually_of_forall ?_)
Proof state after:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ (x : ℂ × ℂ),
    Eqn s n s.ray (x.1, x1 / x0 * x.2) → s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (s.ray x.1 (x1 / x0 * x.2))) = x.2 ^ d ^ n
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ (x : ℂ × ℂ),
    Eqn s n s.ray (x.1, x1 / x0 * x.2) → s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (s.ray x.1 (x1 / x0 * x.2))) = x.2 ^ d ^ n
Tactic:
intro ⟨e, x⟩ e1
Proof state after:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
e x : ℂ
e1 : Eqn s n s.ray ((e, x).1, x1 / x0 * (e, x).2)
⊢ s.bottcherNear (e, x).1 ((f (e, x).1)^[n] (s.ray (e, x).1 (x1 / x0 * (e, x).2))) = (e, x).2 ^ d ^ n
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
e x : ℂ
e1 : Eqn s n s.ray ((e, x).1, x1 / x0 * (e, x).2)
⊢ s.bottcherNear (e, x).1 ((f (e, x).1)^[n] (s.ray (e, x).1 (x1 / x0 * (e, x).2))) = (e, x).2 ^ d ^ n
Tactic:
exact _root_.trans e1.eqn (by
  simp only [mul_pow, div_pow, ← de, div_self (pow_ne_zero _ x00), one_mul])
Proof state after:
no goals
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ ((c, ↑t * x0).1, x1 / x0 * (c, ↑t * x0).2) = (c, ↑t * x1)
Tactic:
simp only [xe]
Proof state after:
no goals
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
e x : ℂ
e1 : Eqn s n s.ray ((e, x).1, x1 / x0 * (e, x).2)
⊢ ((e, x).1, x1 / x0 * (e, x).2).2 ^ d ^ n = (e, x).2 ^ d ^ n
Tactic:
simp only [mul_pow, div_pow, ← de, div_self (pow_ne_zero _ x00), one_mul]
Proof state after:
no goals
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).1 ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).2 =
    r ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).1 ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).2
Tactic:
simp only [← hr]
Proof state after:
case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (x1 / x0 * (↑t * x0))
Theorem: Super.ray_inj
Proof state before:
case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (x1 / x0 * (↑t * x0))
Tactic:
rw [xe]
Proof state after:
case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)