Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (f x✝).2⟫_K = ⟪(0, y✝), f x✝⟫_K

case hx
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
simp[Inner.inner]
Proof state after:
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪0, (f x✝).1⟫_K = 0

case hx
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f