internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasAdjDiff K f
Tactic:
intro x
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K f x
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K f x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ CDifferentiableAt K f x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K f x)
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ CDifferentiableAt K f x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K f x)
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
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f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K f x)
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K f x)
Tactic:
. fun_trans; fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ CDifferentiableAt K f x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
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inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K f x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => f dx
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.hasAdjDiff
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.1953
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.1964
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.1991
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => f dx
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.id_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => x) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x) x)
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.id_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x) x)
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x) x)
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.id_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x) x)
Tactic:
. fun_trans; fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.id_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.id_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => dx
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.id_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.2465
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.2476
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.2487
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.2514
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => dx
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiff.id_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.3015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
⊢ HasAdjDiff K fun x => x
Tactic:
intro x
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.3015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => x) x
Theorem: SciLean.HasAdjDiff.id_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.3015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => x) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.const_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => y) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => y) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => y) x)
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.const_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => y) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => y) x)
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => y) x)
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.const_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => y) x)
Tactic:
. fun_trans; apply HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.const_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => y) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.const_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => y) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => 0
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.const_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3195
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3206
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3233
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
y : Y
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => 0
Tactic:
apply HasSemiAdjoint.const_rule
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAjdDiff.const_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3824
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3835
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3862
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
y : Y
⊢ HasAdjDiff K fun x => y
Tactic:
intro x
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3824
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3835
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3862
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
y : Y
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => y) x
Theorem: SciLean.HasAjdDiff.const_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.3824
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.3835
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.3862
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
y : Y
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => y) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => x i) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x i) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x i) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Tactic:
. fun_trans; fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule
Proof state before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x i) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => dx i
Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule
Proof state before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => dx i
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals