internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
set s' := σ' + t * I
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
by_cases h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
Proof state after:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ = 0
⊢ 0 ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
positivity
Proof state after:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
apply div_le_iff (by positivity) |>.mpr <| div_le_iff' (by positivity) |>.mp ?_
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖
Tactic:
have pos_aux : 0 < (σ' - 1) := by linarith
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
⊢ 0 < A
Tactic:
have := hA'.1
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
this : 0 < A'
⊢ 0 < A
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
this : 0 < A'
⊢ 0 < A
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A ≤ 1 / 2
Tactic:
dsimp only [A]
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4) ≤ 1 / 2
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4) ≤ 1 / 2
Tactic:
apply min_le_iff.mpr
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2
Tactic:
left
Proof state after:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2
Tactic:
exact hA'.2
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < C
Tactic:
refine ZetaInvBnd_aux2 (by positivity) (by positivity) (by positivity) ?_
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Tactic:
apply min_le_iff.mpr
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A' ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A' ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Tactic:
right
Proof state after:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Tactic:
exact le_rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < A
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < C₁
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < C₂
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
⊢ A ≤ 1 / 2
Tactic:
linarith [hA'.2]
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ σ
Tactic:
apply le_trans ?_ hσ.1
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9