internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
have hxδ : x - δ < x := sub_lt_self x hδ0
Proof state after:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
obtain ⟨z, hz1, hz2⟩ := exists_rat_btwn hxδ
Proof state after:
case inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
refine ⟨z, hz2, ?_⟩
Proof state after:
case inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
rw [Real.dist_eq, abs_sub_comm, abs_of_pos (sub_pos.mpr hz2)]
Proof state after:
case inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
constructor
Proof state after:
case inr.intro.intro.left
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ

case inr.intro.intro.right
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
obtain ⟨z, hz1, hz2⟩ := exists_rat_btwn xpos
Proof state after:
case inl.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ ∃ z, ↑z < x ∧ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
refine ⟨z, hz2, ?_⟩
Proof state after:
case inl.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ dist (↑z) x < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
rw [Real.dist_eq, abs_sub_comm, abs_of_pos (sub_pos.mpr hz2)]
Proof state after:
case inl.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ ∧ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ ∧ 0 < ↑z
Tactic:
constructor
Proof state after:
case inl.intro.intro.left
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ

case inl.intro.intro.right
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ 0 < ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl.intro.intro.left
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl.intro.intro.right
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h3 : x ≤ δ
z : ℚ
hz1 : 0 < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ 0 < ↑z
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr.intro.intro.left
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ x - ↑z < δ
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr.intro.intro.right
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
h4 : δ < x
hxδ : x - δ < x
z : ℚ
hz1 : x - δ < ↑z
hz2 : ↑z < x
⊢ 0 < ↑z
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
have hufp : u x - f x < 0 := by linarith
Proof state after:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
hufp : u x - f x < 0
⊢ u x < u ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
hufp : u x - f x < 0
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
have hua : ε = -(u x - f x) := abs_of_neg hufp
Proof state after:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
⊢ u x < u ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
rw [hua, Real.dist_eq] at hbzb
Proof state after:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
⊢ u x < u ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
obtain h5 | h6 := em (f x < u z)
Proof state after:
case inl
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h5 : f x < u ↑z
⊢ u x < u ↑z

case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
⊢ u x < u ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
⊢ u x - f x < 0
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inl
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h5 : f x < u ↑z
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
have : u z - f x ≤ 0 := by linarith
Proof state after:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
this : u ↑z - f x ≤ 0
⊢ u x < u ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
this : u ↑z - f x ≤ 0
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
rw[abs_eq_neg_self.mpr this] at hbzb
Proof state after:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : -(u ↑z - f x) < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
this : u ↑z - f x ≤ 0
⊢ u x < u ↑z
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : -(u ↑z - f x) < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
this : u ↑z - f x ≤ 0
⊢ u x < u ↑z
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h1 : u x < f x
z : ℚ
h_z_lt_x : ↑z < x
hxz : dist (↑z) x < δ
zpos : 0 < ↑z
hbzb : |u ↑z - f x| < -(u x - f x)
hufp : u x - f x < 0
hua : ε = -(u x - f x)
h6 : ¬f x < u ↑z
⊢ u ↑z - f x ≤ 0
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inl
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h2 : u x = f x
⊢ False
Tactic:
exact hx h2
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
⊢ False
Tactic:
have : ∃ z : ℚ, x < z ∧ dist (z:ℝ) x < δ := by
  have hxδ : x < x + δ := lt_add_of_pos_right x hδ0
  obtain ⟨z, hz1, hz2⟩ := exists_rat_btwn hxδ
  refine ⟨z, hz1, ?_⟩
  . rw [Real.dist_eq, abs_of_pos (sub_pos.mpr hz1)]
    exact sub_left_lt_of_lt_add hz2
Proof state after:
case intro.intro.inr.inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
this : ∃ z, x < ↑z ∧ dist (↑z) x < δ
⊢ False
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inr
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
this : ∃ z, x < ↑z ∧ dist (↑z) x < δ
⊢ False
Tactic:
obtain ⟨z, h_x_lt_z, hxz⟩ := this
Proof state after:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
⊢ False
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
⊢ False
Tactic:
have hbzb := hδ z hxz
Proof state after:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
hbzb : dist (f ↑z) (f x) < ε
⊢ False
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
hbzb : dist (f ↑z) (f x) < ε
⊢ False
Tactic:
rw [←h z] at hbzb
Proof state after:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
⊢ False
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
huzuy : u ↑z < u x
⊢ False
Tactic:
have := u_mono x z xpos.le h_x_lt_z.le
Proof state after:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
huzuy : u ↑z < u x
this : u x ≤ u ↑z
⊢ False
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
case intro.intro.inr.inr.intro.intro
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
z : ℚ
h_x_lt_z : x < ↑z
hxz : dist (↑z) x < δ
hbzb : dist (u ↑z) (f x) < ε
huzuy : u ↑z < u x
this : u x ≤ u ↑z
⊢ False
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: Imo2002P5.extend_function_mono
Proof state before:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
⊢ ∃ z, x < ↑z ∧ dist (↑z) x < δ
Tactic:
have hxδ : x < x + δ := lt_add_of_pos_right x hδ0
Proof state after:
u f : ℝ → ℝ
u_mono : ∀ (x y : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ y → u x ≤ u y
f_cont : Continuous f
h : ∀ (x : ℚ), u ↑x = f ↑x
x : ℝ
xpos : 0 < x
hx : u x ≠ f x
ε : ℝ := |u x - f x|
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ0 : δ > 0
hδ : ∀ (a : ℝ), dist a x < δ → dist (f a) (f x) < ε
h3 : f x < u x
hxδ : x < x + δ
⊢ ∃ z, x < ↑z ∧ dist (↑z) x < δ