internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : a ≤ x
⊢ a ≤ b
Tactic:
rw [mem_Icc] at hx
Proof state after:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
hn : a ≤ x
⊢ a ≤ b
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_spec_of_ne_right
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (mu 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ico a b, (mu 𝕜) a x
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
hn : a ≤ x
⊢ a ≤ b
Tactic:
exact le_trans hn hx.2
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'Aux_apply
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ IncidenceAlgebra.mu'Aux 𝕜 b a = if a = b then 1 else -∑ x ∈ (Ioc a b).attach, IncidenceAlgebra.mu'Aux 𝕜 b ↑x
Tactic:
rw [mu'Aux]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_apply
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
⊢ (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = if a = b then 1 else -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
Tactic:
rw [mu', coe_mk, mu'Aux_apply, sum_attach]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_apply_of_ne
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
Tactic:
rw [mu'_apply, if_neg h]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_apply_of_eq
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a = b
⊢ (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = 1
Tactic:
rw [mu'_apply, if_pos h]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
have : mu' 𝕜 a b = _ := mu'_apply_of_ne h
Proof state after:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
by_cases hab : a ≤ b
Proof state after:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0

case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
rw [Icc_eq_cons_Ioc hab]
Proof state after:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ cons a (Ioc a b) ⋯, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ cons a (Ioc a b) ⋯, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
simp [this, neg_add_self]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
have : ∀ x ∈ Icc a b, ¬x ≤ b := by
  intro x hx hn
  apply hab
  rw [mem_Icc] at hx
  exact le_trans hx.1 hn
Proof state after:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬x ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬x ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
convert sum_const_zero
Proof state after:
case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬x ≤ b
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this✝ : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
this : ∀ x ∈ Icc a b, ¬x ≤ b
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b = 0
Tactic:
simp [apply_eq_zero_of_not_le (this ‹_› ‹_›)]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ¬x ≤ b
Tactic:
intro x hx hn
Proof state after:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : x ≤ b
⊢ False
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : x ≤ b
⊢ False
Tactic:
apply hab
Proof state after:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : x ≤ b
⊢ a ≤ b
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : x ∈ Icc a b
hn : x ≤ b
⊢ a ≤ b
Tactic:
rw [mem_Icc] at hx
Proof state after:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
hn : x ≤ b
⊢ a ≤ b
Theorem: IncidenceAlgebra.mu'_spec_of_ne_left
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup 𝕜
inst✝³ : One 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
h : a ≠ b
this : (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = -∑ x ∈ Ioc a b, (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b
hab : ¬a ≤ b
x : α
hx : a ≤ x ∧ x ≤ b
hn : x ≤ b
⊢ a ≤ b
Tactic:
exact le_trans hx.1 hn
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ mu 𝕜 * zeta 𝕜 = 1
Tactic:
ext a b
Proof state after:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ (mu 𝕜 * zeta 𝕜) a b = 1 a b
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ (mu 𝕜 * zeta 𝕜) a b = 1 a b
Tactic:
rw [mul_apply, one_apply]
Proof state after:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = if a = b then 1 else 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = if a = b then 1 else 0
Tactic:
split_ifs with he
Proof state after:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1

case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 1
Tactic:
simp [he]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (mu 𝕜) a x * (zeta 𝕜) x b = 0
Tactic:
simp only [mul_one, zeta_apply, mul_ite]
Proof state after:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ (∑ x ∈ Icc a b, if x ≤ b then (mu 𝕜) a x else (mu 𝕜) a x * 0) = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ (∑ x ∈ Icc a b, if x ≤ b then (mu 𝕜) a x else (mu 𝕜) a x * 0) = 0
Tactic:
convert mu_spec_of_ne_right he
Proof state after:
case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝¹ : a ≤ b
he : ¬a = b
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (if x✝ ≤ b then (mu 𝕜) a x✝ else (mu 𝕜) a x✝ * 0) = (mu 𝕜) a x✝

case neg.convert_3
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ One 𝕜
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_mul_zeta
Proof state before:
case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝¹ : a ≤ b
he : ¬a = b
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (if x✝ ≤ b then (mu 𝕜) a x✝ else (mu 𝕜) a x✝ * 0) = (mu 𝕜) a x✝

case neg.convert_3
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ One 𝕜
Tactic:
rw [if_pos (mem_Icc.mp ‹_›).2]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
⊢ zeta 𝕜 * IncidenceAlgebra.mu' 𝕜 = 1
Tactic:
ext a b
Proof state after:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ (zeta 𝕜 * IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = 1 a b
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ (zeta 𝕜 * IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) a b = 1 a b
Tactic:
rw [mul_apply, one_apply]
Proof state after:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = if a = b then 1 else 0
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
case h
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = if a = b then 1 else 0
Tactic:
split_ifs with he
Proof state after:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 1

case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
case pos
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 1
Tactic:
simp [he]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ ∑ x ∈ Icc a b, (zeta 𝕜) a x * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b = 0
Tactic:
simp only [zeta_apply, one_mul, ite_mul]
Proof state after:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ (∑ x ∈ Icc a b, if a ≤ x then (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b else 0 * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b) = 0
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
case neg
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ (∑ x ∈ Icc a b, if a ≤ x then (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b else 0 * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x b) = 0
Tactic:
convert mu'_spec_of_ne_left he
Proof state after:
case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝¹ : a ≤ b
he : ¬a = b
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (if a ≤ x✝ then (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b else 0 * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b) = (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b

case neg.convert_3
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ One 𝕜
Theorem: IncidenceAlgebra.zeta_mul_mu'
Proof state before:
case h.e'_2.a
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝¹ : a ≤ b
he : ¬a = b
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ Icc a b
⊢ (if a ≤ x✝ then (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b else 0 * (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b) = (IncidenceAlgebra.mu' 𝕜) x✝ b

case neg.convert_3
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝⁵ : AddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : MulOneClass 𝕜
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
a✝ : a ≤ b
he : ¬a = b
⊢ One 𝕜
Tactic:
rw [if_pos (mem_Icc.mp ‹_›).1]
Proof state after:
no goals
Theorem: IncidenceAlgebra.mu_eq_mu'
Proof state before:
𝕄 : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕝 : Type u_4
𝕞 : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : Ring 𝕜
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
⊢ mu 𝕜 = IncidenceAlgebra.mu' 𝕜
Tactic:
classical
exact left_inv_eq_right_inv (mu_mul_zeta _ _) (zeta_mul_mu' _ _)
Proof state after:
no goals