internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
refine' factors' _ x z hodd h8 h6 _
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
⊢ ∀ (f' : ℤ), f' ∣ z → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
⊢ ∀ (f' : ℤ), f' ∣ z → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
Tactic:
intro w hwdvd hwodd
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
w : ℤ
hwdvd : w ∣ z
hwodd : Odd w
⊢ ∃ p, abs w = Zsqrtd.norm p
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
w : ℤ
hwdvd : w ∣ z
hwodd : Odd w
⊢ ∃ p, abs w = Zsqrtd.norm p
Tactic:
refine' IH w.natAbs _ C' w HCDcoprime hwodd _ rfl
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
w : ℤ
hwdvd : w ∣ z
hwodd : Odd w
⊢ Int.natAbs w < Int.natAbs x

case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
z : ℤ
hz : y = ↑g ^ 2 * z
h6 : x * z = Zsqrtd.norm C'
h8 : z ≠ 0
w : ℤ
hwdvd : w ∣ z
hwodd : Odd w
⊢ w ∣ Zsqrtd.norm C'
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ 1 ≤ Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self]
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ 0 < Zsqrtd.norm a
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ 0 < Zsqrtd.norm a
Tactic:
apply lt_of_le_of_ne (Zsqrtd.norm_nonneg (by norm_num) a)
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ 0 ≠ Zsqrtd.norm a
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ 0 ≠ Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [Ne.def, eq_comm, Zsqrtd.norm_eq_zero_iff (by norm_num : (-3 : ℤ) < 0)]
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ ¬a = 0
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ ¬a = 0
Tactic:
rintro rfl
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hcoprime : IsCoprime 0.re 0.im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hcoprime : IsCoprime 0.re 0.im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Tactic:
rw [Zsqrtd.zero_im, Zsqrtd.zero_re] at hcoprime
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hcoprime : IsCoprime 0 0
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hcoprime : IsCoprime 0 0
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Tactic:
exact not_isCoprime_zero_zero hcoprime
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ -3 ≤ 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ -3 < 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
⊢ x ≠ 0
Tactic:
rintro rfl
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x
hfactor✝ : x ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x = x✝
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
hodd : Odd 0
hfactor : 0 ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs 0 →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x
hfactor✝ : x ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x = x✝
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
hodd : Odd 0
hfactor : 0 ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs 0 →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
⊢ False
Tactic:
simp only [even_zero, not_true, Int.odd_iff_not_even] at hodd
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
⊢ 1 ≤ abs x
Tactic:
rwa [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self, abs_pos]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 = abs x
⊢ ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
Tactic:
rw [← h]
Proof state after:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 = abs x
⊢ ∃ c, 1 = Zsqrtd.norm c
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 = abs x
⊢ ∃ c, 1 = Zsqrtd.norm c
Tactic:
refine' ⟨⟨1, 0⟩, _⟩
Proof state after:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 = abs x
⊢ 1 = Zsqrtd.norm { re := 1, im := 0 }
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a✝
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm a
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm a
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 = abs x
⊢ 1 = Zsqrtd.norm { re := 1, im := 0 }
Tactic:
norm_num [Zsqrtd.norm_def]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
⊢ Zsqrtd.norm c' ≠ 0
Tactic:
rwa [Ne.def, Zsqrtd.norm_eq_zero_iff (by norm_num) c']
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
⊢ -3 < 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
⊢ 0 < g
Tactic:
rwa [hg, Zsqrtd.gcd_pos_iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
⊢ x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
Tactic:
rw [← hy, HC', Zsqrtd.norm_mul, Zsqrtd.norm_int_cast, ← pow_two]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
⊢ ↑g ^ 2 ∣ y
Tactic:
have : (g : ℤ) ^ 2 ∣ x * y := by
  rw [h5]
  exact dvd_mul_right _ _
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
x✝¹ : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hodd✝ : Odd x✝¹
hfactor✝ : x✝¹ ∣ Zsqrtd.norm a
x✝ : ℕ
hx' : Int.natAbs x✝¹ = x✝
x : ℤ
hodd : Odd x
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs x →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ),
        IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ Zsqrtd.norm a → Int.natAbs x = m → ∃ c, abs x = Zsqrtd.norm c
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ abs x
h : 1 < abs x
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
hneg1 : 1 ≤ Zsqrtd.norm (c' + m * ↑x)
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : Zsqrtd.norm c' = x * y
h3 : Int.natAbs y < Int.natAbs x
h4 : Zsqrtd.norm c' ≠ 0
g : ℕ := Int.gcd c'.re c'.im
hg : g = Int.gcd c'.re c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(Int.gcd c'.re c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * Zsqrtd.norm C'
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ↑g ^ 2 ∣ y