internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
⊢ plus (~P) X
Tactic:
intro notP_in_X
Proof state after:
case intro.intro.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notP_in_X : ~P ∈ ↑X
⊢ Evaluate (M, X) (~P)
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notP_in_X : ~P ∈ ↑X
⊢ Evaluate (M, X) (~P)
Tactic:
unfold Evaluate
Proof state after:
case intro.intro.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notP_in_X : ~P ∈ ↑X
⊢ ¬Evaluate (M, X) P
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notP_in_X : ~P ∈ ↑X
⊢ ¬Evaluate (M, X) P
Tactic:
exact minus_IH notP_in_X
Proof state after:
no goals
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
⊢ minus (~P) X
Tactic:
intro notnotP_in_X
Proof state after:
case intro.intro.right.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
⊢ ¬Evaluate (M, X) (~P)
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.left
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
⊢ ¬Evaluate (M, X) (~P)
Tactic:
rcases i X with ⟨X_saturated, _, _⟩
Proof state after:
case intro.intro.right.left.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝¹ : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
⊢ ¬Evaluate (M, X) (~P)
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.left.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝¹ : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
⊢ ¬Evaluate (M, X) (~P)
Tactic:
cases' X_saturated P ⊥ with doubleNeg
Proof state after:
case intro.intro.right.left.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝² : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝¹ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
doubleNeg : ~~P ∈ ↑X → P ∈ ↑X
right✝ : (P⋀⊥ ∈ ↑X → P ∈ ↑X ∧ ⊥ ∈ ↑X) ∧ (~(P⋀⊥) ∈ ↑X → ~P ∈ ↑X ∨ ~⊥ ∈ ↑X)
⊢ ¬Evaluate (M, X) (~P)
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.left.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝² : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝¹ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
doubleNeg : ~~P ∈ ↑X → P ∈ ↑X
right✝ : (P⋀⊥ ∈ ↑X → P ∈ ↑X ∧ ⊥ ∈ ↑X) ∧ (~(P⋀⊥) ∈ ↑X → ~P ∈ ↑X ∨ ~⊥ ∈ ↑X)
⊢ ¬Evaluate (M, X) (~P)
Tactic:
unfold Evaluate
Proof state after:
case intro.intro.right.left.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝² : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝¹ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
doubleNeg : ~~P ∈ ↑X → P ∈ ↑X
right✝ : (P⋀⊥ ∈ ↑X → P ∈ ↑X ∧ ⊥ ∈ ↑X) ∧ (~(P⋀⊥) ∈ ↑X → ~P ∈ ↑X ∨ ~⊥ ∈ ↑X)
⊢ ¬¬Evaluate (M, X) P
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.left.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝² : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝¹ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
doubleNeg : ~~P ∈ ↑X → P ∈ ↑X
right✝ : (P⋀⊥ ∈ ↑X → P ∈ ↑X ∧ ⊥ ∈ ↑X) ∧ (~(P⋀⊥) ∈ ↑X → ~P ∈ ↑X ∨ ~⊥ ∈ ↑X)
⊢ ¬¬Evaluate (M, X) P
Tactic:
simp
Proof state after:
case intro.intro.right.left.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝² : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝¹ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
doubleNeg : ~~P ∈ ↑X → P ∈ ↑X
right✝ : (P⋀⊥ ∈ ↑X → P ∈ ↑X ∧ ⊥ ∈ ↑X) ∧ (~(P⋀⊥) ∈ ↑X → ~P ∈ ↑X ∨ ~⊥ ∈ ↑X)
⊢ Evaluate (M, X) P
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.left.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝² : oh P X
notnotP_in_X : ~~P ∈ ↑X
X_saturated : Saturated ↑X
left✝ : ⊥ ∉ ↑X
right✝¹ : ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
doubleNeg : ~~P ∈ ↑X → P ∈ ↑X
right✝ : (P⋀⊥ ∈ ↑X → P ∈ ↑X ∧ ⊥ ∈ ↑X) ∧ (~(P⋀⊥) ∈ ↑X → ~P ∈ ↑X ∨ ~⊥ ∈ ↑X)
⊢ Evaluate (M, X) P
Tactic:
exact plus_IH (doubleNeg notnotP_in_X)
Proof state after:
no goals
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.right
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
⊢ oh (~P) X
Tactic:
intro notPp_in_X Y X_rel_Y
Proof state after:
case intro.intro.right.right
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notPp_in_X : □~P ∈ ↑X
Y : { x // x ∈ Worlds }
X_rel_Y : M.Rel X Y
⊢ ~P ∈ ↑Y
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro.right.right
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P : Formula
IH : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
X : ↑Worlds
plus_IH : plus P X
minus_IH : minus P X
right✝ : oh P X
notPp_in_X : □~P ∈ ↑X
Y : { x // x ∈ Worlds }
X_rel_Y : M.Rel X Y
⊢ ~P ∈ ↑Y
Tactic:
exact iii X Y (~P) X_rel_Y notPp_in_X
Proof state after:
no goals
Theorem: truthLemma
Proof state before:
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P Q : Formula
IH_P : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
IH_Q : ∀ (X : ↑Worlds), plus Q X ∧ minus Q X ∧ oh Q X
X : ↑Worlds
⊢ plus (P⋀Q) X ∧ minus (P⋀Q) X ∧ oh (P⋀Q) X
Tactic:
rcases IH_P X with ⟨plus_IH_P, minus_IH_P, _⟩
Proof state after:
case intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P Q : Formula
IH_P : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
IH_Q : ∀ (X : ↑Worlds), plus Q X ∧ minus Q X ∧ oh Q X
X : ↑Worlds
plus_IH_P : plus P X
minus_IH_P : minus P X
right✝ : oh P X
⊢ plus (P⋀Q) X ∧ minus (P⋀Q) X ∧ oh (P⋀Q) X
Theorem: truthLemma
Proof state before:
case intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P Q : Formula
IH_P : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
IH_Q : ∀ (X : ↑Worlds), plus Q X ∧ minus Q X ∧ oh Q X
X : ↑Worlds
plus_IH_P : plus P X
minus_IH_P : minus P X
right✝ : oh P X
⊢ plus (P⋀Q) X ∧ minus (P⋀Q) X ∧ oh (P⋀Q) X
Tactic:
rcases IH_Q X with ⟨plus_IH_Q, minus_IH_Q, _⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
Worlds : Set (Finset Formula)
X✝ : ↑Worlds
P✝ : Formula
M : KripkeModel { x // x ∈ Worlds }
i : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }), Saturated ↑X ∧ ⊥ ∉ ↑X ∧ ∀ (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X → (~·pp) ∉ ↑X
ii : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (pp : Char), (·pp) ∈ ↑X ↔ M.val X pp
iii : ∀ (X Y : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), M.Rel X Y → □P ∈ ↑X → P ∈ ↑Y
iv : ∀ (X : { x // x ∈ Worlds }) (P : Formula), ~(□P) ∈ ↑X → ∃ Y, M.Rel X Y ∧ ~P ∈ ↑Y
plus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => P ∈ ↑X → Evaluate (M, X) P
minus : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => ~P ∈ ↑X → ¬Evaluate (M, X) P
oh : Formula → ↑Worlds → Prop := fun P X => □P ∈ ↑X → ∀ (Y : { x // x ∈ Worlds }), M.Rel X Y → P ∈ ↑Y
P Q : Formula
IH_P : ∀ (X : ↑Worlds), plus P X ∧ minus P X ∧ oh P X
IH_Q : ∀ (X : ↑Worlds), plus Q X ∧ minus Q X ∧ oh Q X
X : ↑Worlds
plus_IH_P : plus P X
minus_IH_P : minus P X
right✝¹ : oh P X
plus_IH_Q : plus Q X
minus_IH_Q : minus Q X
right✝ : oh Q X
⊢ plus (P⋀Q) X ∧ minus (P⋀Q) X ∧ oh (P⋀Q) X