internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9
Tactic:
suffices A / Real.log |t| ^ 9 ≤ A / Real.log |t| by linarith
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ A / |t|.log ^ 9 ≤ A / |t|.log
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ A / |t|.log ^ 9 ≤ A / |t|.log
Tactic:
exact div_le_div Apos.le (by rfl) (by positivity) <| ZetaInvBnd_aux logt_gt_one
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
this : A / |t|.log ^ 9 ≤ A / |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ A ≤ A
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 0 < |t|.log
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 1 < σ'
Tactic:
simp only [σ', lt_add_iff_pos_right]
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 0 < A / |t|.log ^ 9
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 0 < A / |t|.log ^ 9
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ σ' ≤ 2
Tactic:
simp only [σ']
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 1 + A / |t|.log ^ 9 ≤ 2
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
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C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 1 + A / |t|.log ^ 9 ≤ 2
Tactic:
suffices A / Real.log |t| ^ 9 < 1 by linarith
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
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C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A / |t|.log ^ 9 < 1
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A / |t|.log ^ 9 < 1
Tactic:
apply div_lt_one (by positivity) |>.mpr
Proof state after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A < |t|.log ^ 9
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A < |t|.log ^ 9
Tactic:
exact lt_trans₄ (by linarith) logt_gt_one <| ZetaInvBnd_aux' logt_gt_one
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
this : A / |t|.log ^ 9 < 1
⊢ 1 + A / |t|.log ^ 9 ≤ 2
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 0 < |t|.log ^ 9
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A < 1
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 0 < ‖ζ s‖
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 0 < C * |t|.log ^ 7
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 0 < σ' - 1
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) - C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7) = (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7)
Tactic:
ring
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ ≥ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖
Tactic:
apply ge_iff_le.mpr
Proof state after:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≤ ‖ζ s‖
Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≤ ‖ζ s‖
Tactic:
convert norm_sub_norm_le (a := ζ s') (b := ζ s' - ζ s) using 1
Proof state after:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ = ‖ζ s'‖ - ‖ζ s' - ζ s‖

case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ = ‖ζ s' - (ζ s' - ζ s)‖