internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da : AnalyticAt ℂ d z
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Tactic:
clear hd ex ex' xt t e fa ga f g xs hz x sp ht
Proof state after:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da : AnalyticAt ℂ d z
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da : AnalyticAt ℂ d z
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Tactic:
rcases da.exists_ball_analyticOn with ⟨r, rp, da⟩
Proof state after:
case cl.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
case cl.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Tactic:
rcases Filter.frequently_iff.mp d0 (isOpen_ball.mem_nhds (mem_ball_self rp)) with ⟨z0, m0, ze⟩
Proof state after:
case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ (𝓝 z).EventuallyEq d 0
Tactic:
refine eventually_nhds_iff.mpr ⟨_, ?_, isOpen_ball, mem_ball_self rp⟩
Proof state after:
case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ ∀ x ∈ ball z r, d x = 0 x
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
case cl.intro.intro.intro.intro
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
d : E → F
z : E
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
da✝ : AnalyticAt ℂ d z
r : ℝ
rp : 0 < r
da : AnalyticOn ℂ d (ball z r)
z0 : E
m0 : z0 ∈ ball z r
ze : (𝓝 z0).EventuallyEq d 0
⊢ ∀ x ∈ ball z r, d x = 0 x
Tactic:
exact da.eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero (convex_ball _ _).isPreconnected m0 ze
Proof state after:
no goals
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
Tactic:
rw [← ht] at xt
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
Tactic:
exact xt.mp (eventually_of_forall fun _ e ↦ e.self_of_nhds)
Proof state after:
no goals
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : (𝓝 z).EventuallyEq d 0
⊢ x ∈ t
Tactic:
simp only [← hz, ← extChartAt_map_nhds' J x, Filter.eventually_map, Filter.EventuallyEq,
  ← ht] at h ⊢
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
⊢ x ∈ {x | ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, f x = g x}
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
h : ∀ᶠ (a : M) in 𝓝 x, d (↑(extChartAt J x) a) = OfNat.ofNat 0 (↑(extChartAt J x) a)
y : M
gm : g y ∈ (extChartAt K (g x)).source
fm : f y ∈ (extChartAt K (g x)).source
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : ↑(extChartAt K (g x)) (f y) = ↑(extChartAt K (g x)) (g y)
⊢ f y = g y
Tactic:
exact (extChartAt K (g x)).injOn fm gm e
Proof state after:
no goals
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
Tactic:
rw [← hz]
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑(extChartAt J x) x), (𝓝 y).EventuallyEq d 0