Theorem: Regex.NFA.done_iff_zero_pushRegex
Proof state before:
case inr
r₁ r₂ : Data.Expr
ih₁ :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }},
    nfa.pushRegex next r₁ = result →
      0 < nfa.nodes.size →
        (∀ (i : ℕ) (isLt : i < nfa.nodes.size), nfa[i] = Node.done ↔ i = 0) →
          ∀ (i : ℕ) (isLt : i < (↑result).nodes.size), (↑result)[i] = Node.done ↔ i = 0
ih₂ :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }},
    nfa.pushRegex next r₂ = result →
      0 < nfa.nodes.size →
        (∀ (i : ℕ) (isLt : i < nfa.nodes.size), nfa[i] = Node.done ↔ i = 0) →
          ∀ (i : ℕ) (isLt : i < (↑result).nodes.size), (↑result)[i] = Node.done ↔ i = 0
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
h₁ : 0 < nfa.nodes.size
h₂ : ∀ (i : ℕ) (isLt : i < nfa.nodes.size), nfa[i] = Node.done ↔ i = 0
nfa₁ : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
start₁ : Fin (↑nfa₁).nodes.size
nfa₂ : { nfa' // (↑nfa₁).nodes.size < nfa'.nodes.size }
start₂ : Fin (↑nfa₂).nodes.size
inBounds✝ : (Node.split ↑start₁ ↑start₂).inBounds ((↑nfa₂).nodes.size + 1)
nfa' : { nfa' // (↑nfa₂).nodes.size < nfa'.nodes.size }
property : nfa.nodes.size < (↑nfa').nodes.size
eq₁ : nfa₁ = nfa.pushRegex next r₁
a✝¹ : start₁ = (↑nfa₁).start
eq₃ : nfa₂ = (↑nfa₁).pushRegex ⟨↑next, ⋯⟩ r₂
a✝ : start₂ = (↑nfa₂).start
eq₅ : nfa' = (↑nfa₂).pushNode (Node.split ↑start₁ ↑start₂) inBounds✝
eq : nfa.pushRegex next (r₁.alternate r₂) = ⟨↑nfa', property⟩
i : ℕ
isLt✝ : i < (↑nfa').nodes.size
isLt : i < (↑nfa₂).nodes.size + 1
lt✝ : i.succ < (↑nfa₂).nodes.size + 1
lt : i < (↑nfa₂).nodes.size
⊢ (↑nfa₂)[i] = Node.done ↔ i = 0
Tactic:
apply ih₂ eq₃.symm (Nat.zero_lt_of_lt nfa₁.property) ?_ i lt
Proof state after:
r₁ r₂ : Data.Expr
ih₁ :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }},
    nfa.pushRegex next r₁ = result →
      0 < nfa.nodes.size →
        (∀ (i : ℕ) (isLt : i < nfa.nodes.size), nfa[i] = Node.done ↔ i = 0) →
          ∀ (i : ℕ) (isLt : i < (↑result).nodes.size), (↑result)[i] = Node.done ↔ i = 0
ih₂ :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }},
    nfa.pushRegex next r₂ = result →
      0 < nfa.nodes.size →
        (∀ (i : ℕ) (isLt : i < nfa.nodes.size), nfa[i] = Node.done ↔ i = 0) →
          ∀ (i : ℕ) (isLt : i < (↑result).nodes.size), (↑result)[i] = Node.done ↔ i = 0
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
h₁ : 0 < nfa.nodes.size
h₂ : ∀ (i : ℕ) (isLt : i < nfa.nodes.size), nfa[i] = Node.done ↔ i = 0
nfa₁ : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
start₁ : Fin (↑nfa₁).nodes.size
nfa₂ : { nfa' // (↑nfa₁).nodes.size < nfa'.nodes.size }
start₂ : Fin (↑nfa₂).nodes.size
inBounds✝ : (Node.split ↑start₁ ↑start₂).inBounds ((↑nfa₂).nodes.size + 1)
nfa' : { nfa' // (↑nfa₂).nodes.size < nfa'.nodes.size }
property : nfa.nodes.size < (↑nfa').nodes.size
eq₁ : nfa₁ = nfa.pushRegex next r₁
a✝¹ : start₁ = (↑nfa₁).start
eq₃ : nfa₂ = (↑nfa₁).pushRegex ⟨↑next, ⋯⟩ r₂
a✝ : start₂ = (↑nfa₂).start
eq₅ : nfa' = (↑nfa₂).pushNode (Node.split ↑start₁ ↑start₂) inBounds✝
eq : nfa.pushRegex next (r₁.alternate r₂) = ⟨↑nfa', property⟩
i : ℕ
isLt✝ : i < (↑nfa').nodes.size
isLt : i < (↑nfa₂).nodes.size + 1
lt✝ : i.succ < (↑nfa₂).nodes.size + 1
lt : i < (↑nfa₂).nodes.size
⊢ ∀ (i : ℕ) (isLt : i < (↑nfa₁).nodes.size), (↑nfa₁)[i] = Node.done ↔ i = 0