internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.mpr
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  y ∈
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
⊢ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Tactic:
simp only [mem_diff, mem_inter_iff, mem_preimage] at xc
Proof state after:
case h.mpr
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  (y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ u) ∧
    ¬(y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ t)
⊢ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.mpr
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  (y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ u) ∧
    ¬(y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ t)
⊢ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Tactic:
have yz := xc.1.1
Proof state after:
case h.mpr
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  (y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ u) ∧
    ¬(y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ t)
yz : y ∈ (extChartAt I z).target
⊢ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.mpr
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  (y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ u) ∧
    ¬(y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ t)
yz : y ∈ (extChartAt I z).target
⊢ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Tactic:
use PartialEquiv.map_target _ yz
Proof state after:
case right
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  (y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ u) ∧
    ¬(y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ t)
yz : y ∈ (extChartAt I z).target
⊢ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case right
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
x : S
y : ℂ
yc : y ∈ c
yx : ↑(extChartAt I z).symm y = x
xc :
  (y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ u) ∧
    ¬(y ∈ (extChartAt I z).target ∧ ↑(extChartAt I z).symm y ∈ t)
yz : y ∈ (extChartAt I z).target
⊢ ↑(extChartAt I z) (↑(extChartAt I z).symm y) ∈ c
Tactic:
simp only [PartialEquiv.right_inv _ yz, yc]
Proof state after:
no goals
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_1
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
⊢ (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c ⊆ u \ t
Tactic:
intro x xm
Proof state after:
case h.refine_1
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xm : x ∈ (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c
⊢ x ∈ u \ t
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_1
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xm : x ∈ (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c
⊢ x ∈ u \ t
Tactic:
simp only [mem_inter_iff, mem_preimage] at xm
Proof state after:
case h.refine_1
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xm : x ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) x ∈ c
⊢ x ∈ u \ t
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_1
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xm : x ∈ (extChartAt I z).source ∧ ↑(extChartAt I z) x ∈ c
⊢ x ∈ u \ t
Tactic:
rcases xm with ⟨xz, xc⟩
Proof state after:
case h.refine_1.intro
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xz : x ∈ (extChartAt I z).source
xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ c
⊢ x ∈ u \ t
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_1.intro
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xz : x ∈ (extChartAt I z).source
xc : ↑(extChartAt I z) x ∈ c
⊢ x ∈ u \ t
Tactic:
replace xc := cs xc
Proof state after:
case h.refine_1.intro
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xz : x ∈ (extChartAt I z).source
xc :
  ↑(extChartAt I z) x ∈
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
⊢ x ∈ u \ t
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_1.intro
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xz : x ∈ (extChartAt I z).source
xc :
  ↑(extChartAt I z) x ∈
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
⊢ x ∈ u \ t
Tactic:
simp only [mem_diff, mem_inter_iff, mem_preimage, PartialEquiv.map_source _ xz, true_and_iff,
  PartialEquiv.left_inv _ xz] at xc
Proof state after:
case h.refine_1.intro
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xz : x ∈ (extChartAt I z).source
xc : x ∈ u ∧ x ∉ t
⊢ x ∈ u \ t
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_1.intro
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
x : S
xz : x ∈ (extChartAt I z).source
xc : x ∈ u ∧ x ∉ t
⊢ x ∈ u \ t
Tactic:
exact xc
Proof state after:
no goals
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_2
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
⊢ (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c ∈ 𝓝[tᶜ] z
Tactic:
rw [e]
Proof state after:
case h.refine_2
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
⊢ ↑(extChartAt I z).symm '' c ∈ 𝓝[tᶜ] z
Theorem: Nonseparating.complexManifold
Proof state before:
case h.refine_2
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
⊢ ↑(extChartAt I z).symm '' c ∈ 𝓝[tᶜ] z
Tactic:
convert Filter.image_mem_map cn
Proof state after:
case h.e'_5
X : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Y : Type
inst✝³ : TopologicalSpace Y
S : Type
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
t : Set S
h : ∀ (z : S), Nonseparating ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
z : S
u : Set S
zt : z ∈ t
un : u ∈ 𝓝 z
m : ↑(extChartAt I z) z ∈ (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t
n : (extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I z) z)
c : Set ℂ
cs :
  c ⊆
    ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' u) \ ((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)
cn : c ∈ 𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z
cp : IsPreconnected c
e : (extChartAt I z).source ∩ ↑(extChartAt I z) ⁻¹' c = ↑(extChartAt I z).symm '' c
⊢ 𝓝[tᶜ] z =
    Filter.map (↑(extChartAt I z).symm)
      (𝓝[((extChartAt I z).target ∩ ↑(extChartAt I z).symm ⁻¹' t)ᶜ] ↑(extChartAt I z) z)