internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ -(2 * ↑π * I) •
      (∫ (x : E),
          ((vectorFourierIntegrand ξ)
              (innerSL_smul
                ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                  f)))
            x)
        (m 0) =
    -(2 * ↑π * I) • ∫ (x : E), (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
refine congrArg _ ?_
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∫ (x : E),
        ((vectorFourierIntegrand ξ)
            (innerSL_smul
              ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                f)))
          x)
      (m 0) =
    ∫ (x : E), (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
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inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
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inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∫ (x : E),
        ((vectorFourierIntegrand ξ)
            (innerSL_smul
              ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                f)))
          x)
      (m 0) =
    ∫ (x : E), (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [ContinuousLinearMap.integral_apply (by exact integrable _)]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ∫ (a : E),
      (((vectorFourierIntegrand ξ)
            (innerSL_smul
              ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                f)))
          a)
        (m 0) =
    ∫ (x : E), (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ∫ (a : E),
      (((vectorFourierIntegrand ξ)
            (innerSL_smul
              ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                f)))
          a)
        (m 0) =
    ∫ (x : E), (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
refine congrArg _ ?_
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (fun a =>
      (((vectorFourierIntegrand ξ)
            (innerSL_smul
              ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                f)))
          a)
        (m 0)) =
    fun x => (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (fun a =>
      (((vectorFourierIntegrand ξ)
            (innerSL_smul
              ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
                f)))
          a)
        (m 0)) =
    fun x => (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
funext x
Proof state after:
case succ.h
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
x : E
⊢ (((vectorFourierIntegrand ξ)
          (innerSL_smul
            ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
              f)))
        x)
      (m 0) =
    (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ.h
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
x : E
⊢ (((vectorFourierIntegrand ξ)
          (innerSL_smul
            ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
              f)))
        x)
      (m 0) =
    (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [Fin.prod_univ_succ]
Proof state after:
case succ.h
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
x : E
⊢ (((vectorFourierIntegrand ξ)
          (innerSL_smul
            ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
              f)))
        x)
      (m 0) =
    (⟪x, m 0⟫_ℝ * ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ.h
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
x : E
⊢ (((vectorFourierIntegrand ξ)
          (innerSL_smul
            ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ))
              f)))
        x)
      (m 0) =
    (⟪x, m 0⟫_ℝ * ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp only [vectorFourierIntegrand_apply, ContinuousLinearMap.smul_apply, innerSL_smul_apply,
  hasTemperateGrowth_smul_apply]
Proof state after:
case succ.h
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
x : E
⊢ ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • ⟪x, m 0⟫_ℝ • (∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ) • f x =
    (⟪x, m 0⟫_ℝ * ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ) • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ.h
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
x : E
⊢ ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • ⟪x, m 0⟫_ℝ • (∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ) • f x =
    (⟪x, m 0⟫_ℝ * ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ) • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x
Tactic:
simp [smul_comm (_ : ℂ), smul_smul]
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
E' : Type ?u.1677399
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
IH :
  ∀ {f : 𝓢(E, F)} {ξ : E} {m : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ Integrable fun x =>
    ((vectorFourierIntegrand ξ)
        (innerSL_smul
          ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m (Fin.succ i)⟫_ℝ)) f)))
      x
Tactic:
exact integrable _
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_integral_vectorFourierIntegrand_apply'
Proof state before:
E' : Type ?u.1736571
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin n → E
⊢ (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ∫ (x : E), ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) m =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ n •
      ∫ (x : E),
        ((vectorFourierIntegrand ξ)
            ((hasTemperateGrowth_smul (_ : Function.HasTemperateGrowth fun x => ∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ)) f))
          x
Tactic:
induction n generalizing f ξ with
| zero => simp [vectorFourierIntegrand_hasTemperateGrowth_smul]
| succ n IH =>
  rw [iteratedFDeriv_succ_apply_left]
  rw [← fderiv_continuousMultilinear_apply_const_apply
    (ContDiff.differentiable_iteratedFDeriv (WithTop.coe_lt_top n)
      contDiff_integral_vectorFourierIntegrand ξ)]
  simp_rw [IH]
  simp only [Fin.tail]
  rw [fderiv_const_smul (differentiable_integral_vectorFourierIntegrand _)]
  rw [ContinuousLinearMap.smul_apply, pow_succ', mul_smul]
  refine congrArg _ ?_
  rw [fderiv_integral_vectorFourierIntegrand', ← neg_smul, ContinuousLinearMap.smul_apply]
  refine congrArg _ ?_
  rw [ContinuousLinearMap.integral_apply (by exact integrable _)]
  refine congrArg _ ?_
  funext x
  simp only [vectorFourierIntegrand_hasTemperateGrowth_smul]
  rw [Fin.prod_univ_succ]
  simp only [vectorFourierIntegrand_apply, ContinuousLinearMap.smul_apply, innerSL_smul_apply,
    hasTemperateGrowth_smul_apply]
  simp [smul_comm (_ : ℂ), smul_smul]
Proof state after:
no goals