internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.fderiv
Proof state before:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
this : ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (fun x => f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => _root_.fderiv ℝ f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k

case this
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (fun x => f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
. simpa [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_right] using this
Proof state after:
case this
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (fun x => f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.fderiv
Proof state before:
case this
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (fun x => f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
refine hC (n + 1) ?_ x
Proof state after:
case this
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
⊢ n + 1 ∈ Finset.range (n + 2)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.fderiv
Proof state before:
case this
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
⊢ n + 1 ∈ Finset.range (n + 2)
Tactic:
exact Finset.self_mem_range_succ (n + 1)
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.fderiv
Proof state before:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k : ℕ
C : ℝ
left✝ : 0 ≤ C
hC : ∀ i ∈ Finset.range (n + 2), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
x : E
this : ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (fun x => f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => _root_.fderiv ℝ f x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
simpa [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_right] using this
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
⊢ HasTemperateGrowth fun x => g (f x)
Tactic:
refine ⟨ContDiff.comp hg.1 hf.1, ?_⟩
Proof state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
intro n
Proof state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
have hg_bound := hg.bound_forall_range (n + 1)
Proof state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hg_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hg_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
have hf_bound := hf.bound_forall_range (n + 1)
Proof state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hg_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
hf_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hg_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
hf_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
simp [Nat.lt_succ] at hg_bound hf_bound
Proof state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hg_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
hf_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hg_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
hf_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
rcases hg_bound with ⟨k_g, C_g, ⟨hC_g_nonneg, hC_g⟩⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hf_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n : ℕ
hf_bound : ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
rcases hf_bound with ⟨k_f, C_f, ⟨_, hC_f⟩⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
have hf0 := hf.2 0
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
hf0 : ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ 0 f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
hf0 : ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ 0 f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
simp at hf0
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
hf0 : ∃ k C, ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
hf0 : ∃ k C, ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
rcases hf0 with ⟨k_f0, C_f0, hC_f0⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
use k_f0 * k_g + k_f * n
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∃ C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∃ C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
use n.factorial * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * (max 1 C_f) ^ n
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∀ (x : E),
    ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
      ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∀ (x : E),
    ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
      ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
intro x
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
have hf0 : (1 + ‖f x‖) ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
Proof state after:
case hf0
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0

case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)