internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Tactic:
rcases hf₂.bounded with ⟨bf₂, hbf₂⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Tactic:
rcases hf₃.bounded with ⟨bf₃, hbf₃⟩
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case mk.intro.mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mk.intro.mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Tactic:
rcases hf₄.bounded with ⟨bf₄, hbf₄⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro.mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
⊢ Definable L Γ fun w =>
    R ((fun x => (fun x => (fun x => w x.succ) x.succ) x.succ) 0) ((fun x => (fun x => w x.succ) x.succ) 0)
      ((fun x => w x.succ) 0) (w 0)
Tactic:
simpa using hR.retraction (n := k + 4) ![3, 2, 1, 0]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
⊢ ∀ (x : Fin k → M),
    R (f₁ x) (f₂ x) (f₃ x) (f₄ x) ↔
      ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M x id bf₁,
        ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M x id bf₂,
          ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M x id bf₃,
            ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M x id bf₄, z₁ = f₁ x ∧ z₂ = f₂ x ∧ z₃ = f₃ x ∧ z₄ = f₄ x ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v) ↔
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v) →
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
Tactic:
intro h
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
    ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
      ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
        ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
    ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
      ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
        ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
Tactic:
exact ⟨f₁ v, hbf₁ v, f₂ v, hbf₂ v, f₃ v, hbf₃ v, f₄ v, hbf₄ v, rfl, rfl, rfl, rfl, h⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄) →
    R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Tactic:
rintro ⟨_, _, _, _, _, _, _, _, rfl, rfl, rfl, rfl, h⟩
Proof state after:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
left✝³ : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝² : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
left✝¹ : f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
left✝ : f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
bf₄ : Semiterm L M k
hbf₄ : ∀ (v : Fin k → M), f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃,
          ∃ z₄ ≤ Semiterm.valm M v id bf₄, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ z₄ = f₄ v ∧ R z₁ z₂ z₃ z₄
v : Fin k → M
left✝³ : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝² : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
left✝¹ : f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
left✝ : f₄ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₄
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Tactic:
exact h
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableFunction₁.bcomp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M
g : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₁ L Γ f
hg : DefinableBoundedFunction L Γ g
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g v)
Tactic:
have := Definable.bcomp₂ (k := k + 1) (R := Function.Graph f) (DefinableBoundedFunction.var 0) (hg.retraction Fin.succ)
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M
g : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₁ L Γ f
hg : DefinableBoundedFunction L Γ g
this : Definable L Γ fun v => Function.Graph f (v 0) (g fun i => v i.succ)
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableFunction₁.bcomp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M
g : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₁ L Γ f
hg : DefinableBoundedFunction L Γ g
this : Definable L Γ fun v => Function.Graph f (v 0) (g fun i => v i.succ)
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g v)
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableFunction₂.bcomp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M → M
g₁ g₂ : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₂ L Γ f
hg₁ : DefinableBoundedFunction L Γ g₁
hg₂ : DefinableBoundedFunction L Γ g₂
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g₁ v) (g₂ v)
Tactic:
have := Definable.bcomp₃ (k := k + 1) (R := Function.Graph₂ f) (DefinableBoundedFunction.var 0) (hg₁.retraction Fin.succ) (hg₂.retraction Fin.succ)
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M → M
g₁ g₂ : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₂ L Γ f
hg₁ : DefinableBoundedFunction L Γ g₁
hg₂ : DefinableBoundedFunction L Γ g₂
this : Definable L Γ fun v => Function.Graph₂ f (v 0) (g₁ fun i => v i.succ) (g₂ fun i => v i.succ)
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g₁ v) (g₂ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableFunction₂.bcomp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M → M
g₁ g₂ : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₂ L Γ f
hg₁ : DefinableBoundedFunction L Γ g₁
hg₂ : DefinableBoundedFunction L Γ g₂
this : Definable L Γ fun v => Function.Graph₂ f (v 0) (g₁ fun i => v i.succ) (g₂ fun i => v i.succ)
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g₁ v) (g₂ v)
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableFunction₃.bcomp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M → M → M
g₁ g₂ g₃ : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₃ L Γ f
hg₁ : DefinableBoundedFunction L Γ g₁
hg₂ : DefinableBoundedFunction L Γ g₂
hg₃ : DefinableBoundedFunction L Γ g₃
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g₁ v) (g₂ v) (g₃ v)
Tactic:
have := Definable.bcomp₄ (k := k + 1) (R := Function.Graph₃ f) (DefinableBoundedFunction.var 0) (hg₁.retraction Fin.succ) (hg₂.retraction Fin.succ) (hg₃.retraction Fin.succ)
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M → M → M
g₁ g₂ g₃ : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₃ L Γ f
hg₁ : DefinableBoundedFunction L Γ g₁
hg₂ : DefinableBoundedFunction L Γ g₂
hg₃ : DefinableBoundedFunction L Γ g₃
this :
  Definable L Γ fun v => Function.Graph₃ f (v 0) (g₁ fun i => v i.succ) (g₂ fun i => v i.succ) (g₃ fun i => v i.succ)
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g₁ v) (g₂ v) (g₃ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableFunction₃.bcomp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : M → M → M → M
g₁ g₂ g₃ : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction₃ L Γ f
hg₁ : DefinableBoundedFunction L Γ g₁
hg₂ : DefinableBoundedFunction L Γ g₂
hg₃ : DefinableBoundedFunction L Γ g₃
this :
  Definable L Γ fun v => Function.Graph₃ f (v 0) (g₁ fun i => v i.succ) (g₂ fun i => v i.succ) (g₃ fun i => v i.succ)
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f (g₁ v) (g₂ v) (g₃ v)
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.sub_existsUnique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a✝ b✝ c a b : M
⊢ ∃! c, (a ≥ b → a = b + c) ∧ (a < b → c = 0)
Tactic:
have : b ≤ a ∨ a < b := le_or_lt b a
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a✝ b✝ c a b : M
this : b ≤ a ∨ a < b
⊢ ∃! c, (a ≥ b → a = b + c) ∧ (a < b → c = 0)