internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
a✝¹ : 2 * i + 2 ≥ Subarray.size x
a✝ : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
hk : k < Array.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as
hge : k ≥ x.stop
⊢ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k] = x.as[k]
Tactic:
case node_odd_next x i hi hl _ _ =>
  apply Array.getElem_swap_ne <;> (dsimp; intro h; cases h)
  all_goals exact Nat.not_lt_of_le hge <| x.castIndex_lt_stop _
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case leaf
α : Type u
lt : α → α → Bool
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
k : Nat
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
a✝ : 2 * i✝ + 1 ≥ Subarray.size x✝
hk : k < Array.size x✝.as
hge : k ≥ x✝.stop
⊢ x✝.as[k] = x✝.as[k]
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ y.as[k] = x.as[k]
Tactic:
rewrite [@IH hk hge]
Proof state after:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k] = x.as[k]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k] = x.as[k]
Tactic:
apply Array.getElem_swap_ne <;> (dsimp; intro h; cases h)
Proof state after:
case hik.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥ x.stop
⊢ False

case hjk.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥ x.stop
⊢ False
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hik.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥ x.stop
⊢ False

case hjk.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥ x.stop
⊢ False
Tactic:
all_goals exact Nat.not_lt_of_le hge <| x.castIndex_lt_stop _
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≠ k
Tactic:
dsimp
Proof state after:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ ¬↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) = k
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ ¬↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) = k
Tactic:
intro h
Proof state after:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
h : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) = k
⊢ False
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
h : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) = k
⊢ False
Tactic:
cases h
Proof state after:
case hjk.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥ x.stop
⊢ False
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hjk.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 1, isLt := hl }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) ≥ x.stop
⊢ False
Tactic:
exact Nat.not_lt_of_le hge <| x.castIndex_lt_stop _
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ y.as[k] = x.as[k]
Tactic:
rewrite [@IH hk hge]
Proof state after:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k] = x.as[k]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k] = x.as[k]
Tactic:
apply Array.getElem_swap_ne <;> (dsimp; intro h; cases h)
Proof state after:
case hik.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥ x.stop
⊢ False

case hjk.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) ≥ x.stop
⊢ False
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hik.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := i, isLt := hi }) ≥ x.stop
⊢ False

case hjk.refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) < Array.size y.as},
    ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) ≥
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr })] =
        (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi }
              { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr })]
hk : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) < Array.size y.as
hge : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) ≥ x.stop
⊢ False
Tactic:
all_goals exact Nat.not_lt_of_le hge <| x.castIndex_lt_stop _
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) ≠ k
Tactic:
dsimp
Proof state after:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ ¬↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) = k
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.get_as_eq_of_ge_stop
Proof state before:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
⊢ ¬↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) = k
Tactic:
intro h
Proof state after:
case hjk
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = false
hx : lt x[i] x[2 * i + 2] = true
a✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) (2 * i + 2) y
IH :
  ∀ {hk : k < Array.size y.as},
    k ≥ (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).stop →
      y.as[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 2, isLt := hr }).as[k]
hk : k < Array.size y.as
hge : k ≥ x.stop
h : ↑(Subarray.castIndex x { val := 2 * i + 2, isLt := hr }) = k
⊢ False