internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ ((∏ i : Fin n, ⟪x, Fin.tail dξ i⟫_ℝ) • fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp [-neg_smul, -smul_neg]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
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inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
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inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
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inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ i : Fin n, ⟪x, Fin.tail dξ i⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ i : Fin n, ⟪x, Fin.tail dξ i⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (∏ i : Fin (Nat.succ n), ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [Fin.prod_univ_succ]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
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IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
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ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ i : Fin n, ⟪x, Fin.tail dξ i⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (⟪x, dξ 0⟫_ℝ * ∏ i : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ i)⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ i : Fin n, ⟪x, Fin.tail dξ i⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (⟪x, dξ 0⟫_ℝ * ∏ i : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ i)⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp only [Fin.tail]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (⟪x, dξ 0⟫_ℝ * ∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (⟪x, dξ 0⟫_ℝ * ∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [mul_comm ⟪x, dξ 0⟫]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    ((∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) * ⟪x, dξ 0⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
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ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    ((∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) * ⟪x, dξ 0⟫_ℝ) • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [← smul_smul]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
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inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝³ : MeasurableSpace E'
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inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    (∏ x_1 : Fin n, ⟪x, dξ (Fin.succ x_1)⟫_ℝ) • ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
refine congrArg _ ?_
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
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𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (fderiv ℝ (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) (dξ 0) =
    ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [fderiv_vectorFourierIntegrand]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x) (dξ 0) = ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ (((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x) (dξ 0) = ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [fderivVectorFourierIntegrandCLM_apply]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ -((2 * ↑π * I) • ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) =
    ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Theorem: SchwartzMap.iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply
Proof state before:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ -((2 * ↑π * I) • ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) =
    ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
rw [smul_comm]
Proof state after:
case succ
E' : Type ?u.1454638
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
IH :
  ∀ {ξ : E} {dξ : Fin n → E},
    (iteratedFDeriv ℝ n (fun ξ => ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) ξ) dξ =
      (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i : Fin n, ⟪x, dξ i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
ξ : E
dξ : Fin (Nat.succ n) → E
⊢ -(⟪x, dξ 0⟫_ℝ • (2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x) =
    ⟪x, dξ 0⟫_ℝ • -(2 * ↑π * I) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x