internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case a.a
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
⊢ ∀ ⦃c : β⦄, c < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y → c < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Tactic:
intro t ht
Proof state after:
case a.a
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case a.a
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Tactic:
let X' (y : F) := ({x ∈ X | f x y ≤ t} : Set E)
Proof state after:
case a.a
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case a.a
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Tactic:
suffices hs : ∃ s : Set F, s ⊆ Y ∧ s.Finite ∧ (⋂ y ∈ s, X' y) = ∅ by
  obtain ⟨s, hsY, hs, hes⟩ := hs
  suffices hst : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ s, t < f x y by
    obtain ⟨y0, hy0, ht0⟩ := exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_finite
      X ne_X cX kX Y cY f hfx hfx' hfy hfy' hs hst hsY
    simp only [lt_iSup_iff, exists_prop]
    use y0, hy0
    obtain ⟨a, ha, h⟩ := LowerSemicontinuousOn.exists_forall_le_of_isCompact
      ne_X kX (hfy y0 hy0)
    exact lt_of_lt_of_le (ht0 a ha) (le_iInf₂_iff.mpr h)
  intro x hx
  by_contra hx'
  push_neg at hx'
  rw [Set.eq_empty_iff_forall_not_mem] at hes
  apply hes x
  simp only [mem_iInter, mem_setOf_eq, X', forall₂_and]
  exact ⟨fun _ _ ↦ hx, hx'⟩
Proof state after:
case a.a
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
⊢ ∃ s ⊆ Y, Set.Finite s ∧ ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
hs : ∃ s ⊆ Y, Set.Finite s ∧ ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Tactic:
obtain ⟨s, hsY, hs, hes⟩ := hs
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
⊢ t < ⨆ y ∈ Y, ⨅ x ∈ X, f x y
Tactic:
suffices hst : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ s, t < f x y by
  obtain ⟨y0, hy0, ht0⟩ := exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_finite
    X ne_X cX kX Y cY f hfx hfx' hfy hfy' hs hst hsY
  simp only [lt_iSup_iff, exists_prop]
  use y0, hy0
  obtain ⟨a, ha, h⟩ := LowerSemicontinuousOn.exists_forall_le_of_isCompact
    ne_X kX (hfy y0 hy0)
  exact lt_of_lt_of_le (ht0 a ha) (le_iInf₂_iff.mpr h)
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
⊢ ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ s, t < f x y
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
⊢ ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ s, t < f x y
Tactic:
intro x hx
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
x : E
hx : x ∈ X
⊢ ∃ y ∈ s, t < f x y
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
x : E
hx : x ∈ X
⊢ ∃ y ∈ s, t < f x y
Tactic:
by_contra hx'
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ¬∃ y ∈ s, t < f x y
⊢ False
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ¬∃ y ∈ s, t < f x y
⊢ False
Tactic:
push_neg at hx'
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ False
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ⋂ y ∈ s, X' y = ∅
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ False
Tactic:
rw [Set.eq_empty_iff_forall_not_mem] at hes
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ∀ (x : E), x ∉ ⋂ y ∈ s, X' y
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ False
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ∀ (x : E), x ∉ ⋂ y ∈ s, X' y
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ False
Tactic:
apply hes x
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ∀ (x : E), x ∉ ⋂ y ∈ s, X' y
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ x ∈ ⋂ y ∈ s, X' y
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ∀ (x : E), x ∉ ⋂ y ∈ s, X' y
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ x ∈ ⋂ y ∈ s, X' y
Tactic:
simp only [mem_iInter, mem_setOf_eq, X', forall₂_and]
Proof state after:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ∀ (x : E), x ∉ ⋂ y ∈ s, X' y
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ (∀ x_1 ∈ s, x ∈ X) ∧ ∀ x_1 ∈ s, f x x_1 ≤ t
Theorem: ERealSion.minimax
Proof state before:
case intro.intro.intro
β : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : CompleteLinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
t : β
ht : t < ⨅ x ∈ X, ⨆ y ∈ Y, f x y
X' : F → Set E := fun y => {x | x ∈ X ∧ f x y ≤ t}
s : Set F
hsY : s ⊆ Y
hs : Set.Finite s
hes : ∀ (x : E), x ∉ ⋂ y ∈ s, X' y
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ y ∈ s, f x y ≤ t
⊢ (∀ x_1 ∈ s, x ∈ X) ∧ ∀ x_1 ∈ s, f x x_1 ≤ t
Tactic:
exact ⟨fun _ _ ↦ hx, hx'⟩
Proof state after:
no goals