Theorem: IntuitionisticPropositionalLogic.soundness_theorem
Proof state before:
case ax
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ : Formula
a✝ : A✝ ∈ Γ✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v A✝

case impI
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : insert A✝ Γ✝ ⊢ B✝
a_ih✝ : insert A✝ Γ✝ ⊨ B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ ⇒ B✝)

case impE
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝¹ : Γ✝ ⊢ A✝ ⇒ B✝
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝
a_ih✝¹ : Γ✝ ⊨ A✝ ⇒ B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v B✝

case andI
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝¹ : Γ✝ ⊢ A✝
a✝ : Γ✝ ⊢ B✝
a_ih✝¹ : Γ✝ ⊨ A✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ && B✝)

case andE1
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝ && B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝ && B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v A✝

case andE2
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝ && B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝ && B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v B✝

case orI1
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ || B✝)

case orI2
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ || B✝)

case orE
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ C✝ : Formula
a✝² : Γ✝ ⊢ A✝ || B✝
a✝¹ : insert A✝ Γ✝ ⊢ C✝
a✝ : insert B✝ Γ✝ ⊢ C✝
a_ih✝² : Γ✝ ⊨ A✝ || B✝
a_ih✝¹ : insert A✝ Γ✝ ⊨ C✝
a_ih✝ : insert B✝ Γ✝ ⊨ C✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v C✝

case botE
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ bot
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ bot
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v A✝
Tactic:
solve_by_elim
Proof state after:
case impI
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : insert A✝ Γ✝ ⊢ B✝
a_ih✝ : insert A✝ Γ✝ ⊨ B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ ⇒ B✝)

case impE
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝¹ : Γ✝ ⊢ A✝ ⇒ B✝
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝
a_ih✝¹ : Γ✝ ⊨ A✝ ⇒ B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v B✝

case andI
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝¹ : Γ✝ ⊢ A✝
a✝ : Γ✝ ⊢ B✝
a_ih✝¹ : Γ✝ ⊨ A✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ && B✝)

case andE1
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝ && B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝ && B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v A✝

case andE2
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝ && B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝ && B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v B✝

case orI1
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ A✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ A✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ || B✝)

case orI2
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ B✝
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ B✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v (A✝ || B✝)

case orE
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ B✝ C✝ : Formula
a✝² : Γ✝ ⊢ A✝ || B✝
a✝¹ : insert A✝ Γ✝ ⊢ C✝
a✝ : insert B✝ Γ✝ ⊢ C✝
a_ih✝² : Γ✝ ⊨ A✝ || B✝
a_ih✝¹ : insert A✝ Γ✝ ⊨ C✝
a_ih✝ : insert B✝ Γ✝ ⊨ C✝
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v C✝

case botE
H✝ : Type ?u.104354
inst✝ : HeytingAlgebra H✝
v✝ : Variable → H✝
A B : Formula
Γ Δ Γ✝ : Set Formula
A✝ : Formula
a✝ : Γ✝ ⊢ bot
a_ih✝ : Γ✝ ⊨ bot
H : Type
hH : HeytingAlgebra H
v : Variable → H
c : H
hv : ∀ B ∈ Γ✝, c ≤ eval v B
⊢ c ≤ eval v A✝