internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) ↑s + Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = ↑s
Tactic:
rw [Multiset.filter_eq_self.mpr]
Proof state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ↑s + Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = ↑s

case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ ↑s, x ≠ a
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ↑s + Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = ↑s
Tactic:
rw [add_right_eq_self]
Proof state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = 0
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ Multiset.filter (fun x_1 => x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = 0
Tactic:
rw [Multiset.filter_eq_nil]
Proof state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ Multiset.replicate (↑m) x, ¬x ≠ a
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ Multiset.replicate (↑m) x, ¬x ≠ a
Tactic:
exact fun j hj ↦ by simp [Multiset.mem_replicate.mp hj]
Proof state after:
no goals
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
j : α
hj : j ∈ Multiset.replicate (↑m) x
⊢ ¬x ≠ j
Tactic:
simp [Multiset.mem_replicate.mp hj]
Proof state after:
no goals
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ ↑s, x ≠ a
Tactic:
exact fun j hj h ↦ hx <| by simpa [h] using hj
Proof state after:
no goals
Theorem: Sym.multinomial_coe_fill_of_not_mem
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
j : α
hj : j ∈ ↑s
h : x = j
⊢ x ∈ ↑s
Tactic:
simpa [h] using hj
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case empty
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
hf : ∀ i ∈ ∅, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in ∅, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym ∅ n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in ∅, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
cases n with
| zero => simp [Sym.eq_nil_of_card_zero]
| succ n => simp [iteratedFDerivWithin_succ_const _ _ hs hx]
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case empty.zero
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
hf : ∀ i ∈ ∅, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s
hn : ↑Nat.zero ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 Nat.zero (fun x => ∏ j in ∅, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym ∅ Nat.zero,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in ∅, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
simp [Sym.eq_nil_of_card_zero]
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case empty.succ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
hf : ∀ i ∈ ∅, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s
n : ℕ
hn : ↑(Nat.succ n) ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Nat.succ n) (fun x => ∏ j in ∅, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym ∅ (Nat.succ n),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in ∅, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
simp [iteratedFDerivWithin_succ_const _ _ hs hx]
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
hf : ∀ i_1 ∈ insert i u, ContDiffOn 𝕜 N (f i_1) s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in insert i u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
conv => lhs; simp only [Finset.prod_insert hi]
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
hf : ∀ i_1 ∈ insert i u, ContDiffOn 𝕜 N (f i_1) s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => f i x * ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
hf : ∀ i_1 ∈ insert i u, ContDiffOn 𝕜 N (f i_1) s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => f i x * ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
simp only [Finset.mem_insert, forall_eq_or_imp] at hf
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => f i x * ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => f i x * ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
refine le_trans (norm_iteratedFDerivWithin_mul_le hf.1 (contDiffOn_prod hf.2) hs hx hn) ?_
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 in Finset.range (n + 1),
      ↑(Nat.choose n i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 in Finset.range (n + 1),
      ↑(Nat.choose n i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym (insert i u) n,
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
Tactic:
rw [← Finset.sum_coe_sort (Finset.sym _ _)]
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 in Finset.range (n + 1),
      ↑(Nat.choose n i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1 : { x // x ∈ Finset.sym (insert i u) n },
      ↑(Multiset.multinomial ↑↑i_1) * ∏ j in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖