internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
case hf
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f

case hx
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g
Tactic:
repeat assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
case hf
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.comp_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.18668
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.18679
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.18706
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
hg : HasSemiAdjoint K g
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f (g x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => x i
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ ∃ f', ∀ (x : (i : ι) → E i) (y : E i), TestFunction x → ⟪y, x i⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x i
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ ∃ f', ∀ (x : (i : ι) → E i) (y : E i), TestFunction x → ⟪y, x i⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x i
Tactic:
. apply Exists.intro (fun (y : E i) j => if h : i=j then h▸y else 0) _
  intros; simp[Inner.inner]; sorry_proof
Proof state after:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x i
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x i
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ ∃ f', ∀ (x : (i : ι) → E i) (y : E i), TestFunction x → ⟪y, x i⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun (y : E i) j => if h : i=j then h▸y else 0) _
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i) (y : E i), TestFunction x → ⟪y, x i⟫_K = ⟪(fun y j => if h : i = j then h ▸ y else 0) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i) (y : E i), TestFunction x → ⟪y, x i⟫_K = ⟪(fun y j => if h : i = j then h ▸ y else 0) y, x⟫_K
Tactic:
intros
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
x✝ : (i : ι) → E i
y✝ : E i
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, x✝ i⟫_K = ⟪(fun y j => if h : i = j then h ▸ y else 0) y✝, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
x✝ : (i : ι) → E i
y✝ : E i
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, x✝ i⟫_K = ⟪(fun y j => if h : i = j then h ▸ y else 0) y✝, x✝⟫_K
Tactic:
simp[Inner.inner]
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
x✝ : (i : ι) → E i
y✝ : E i
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, x✝ i⟫_K = ∑ i_1, ⟪if h : i = i_1 then h ▸ y✝ else 0, x✝ i_1⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
x✝ : (i : ι) → E i
y✝ : E i
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, x✝ i⟫_K = ∑ i_1, ⟪if h : i = i_1 then h ▸ y✝ else 0, x✝ i_1⟫_K
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.apply_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type ?u.19500
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.19513
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.19524
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.19535
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
i : ι
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => x i
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.pi_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.22409
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.22420
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22431
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), HasSemiAdjoint K fun x => f x i
⊢ HasSemiAdjoint K fun x i => f x i
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => (g x, f x)
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y × Z), TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y × Z), TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) _
Proof state after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y × Z),
    TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y × Z),
    TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y, x⟫_K
Tactic:
intros
Proof state after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (g x✝, f x✝)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y✝, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (g x✝, f x✝)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y✝, x✝⟫_K
Tactic:
dsimp[Inner.inner]
Proof state after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪semiAdjoint K g y✝.1 + semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝
Tactic:
aesop
Proof state after:
no goals