internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqs : cs = cs₁ ++ cs₂
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size i (↑next) cs₂
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
⊢ Expr.matches cs r.star
Tactic:
simp [eqis] at step eqs
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
⊢ Expr.matches cs r.star
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
⊢ Expr.matches cs r.star
Tactic:
simp [eqs]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
⊢ Expr.matches cs₁ r.star
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
⊢ Expr.matches cs₁ r.star
Tactic:
have loop : starLoop eq cs₁ := by
  apply starLoop.intro eq
  suffices result.val.start = nfa.nodes.size by
    rw [this] at path
    exact path
  rw [eq']
  simp
  rw [eq₄]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
⊢ Expr.matches cs₁ r.star
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
⊢ Expr.matches cs₁ r.star
Tactic:
apply matches_of_starLoop eq ?_ loop
Proof state after:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
⊢ ∀ {cs : List Char}, (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs → Expr.matches cs r
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
⊢ ∀ {cs : List Char}, (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs → Expr.matches cs r
Tactic:
intro cs path'
Proof state after:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
⊢ Expr.matches cs r
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
⊢ Expr.matches cs r
Tactic:
apply ih eq₂.symm
Proof state after:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
⊢ (↑compiled).pathToNext (↑⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩) (↑placeholder).nodes.size (↑(↑compiled).start) cs
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
⊢ (↑compiled).pathToNext (↑⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩) (↑placeholder).nodes.size (↑(↑compiled).start) cs
Tactic:
simp [eq₁]
Proof state after:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
⊢ (↑compiled).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (↑(↑compiled).start) cs
Theorem: Regex.NFA.matches_of_path.star
Proof state before:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
⊢ (↑compiled).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (↑(↑compiled).start) cs
Tactic:
have ⟨_, mem⟩ := rStart_of_spec eq
Proof state after:
nfa : NFA
next : Fin nfa.nodes.size
r : Expr
result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
cs✝ : List Char
eq : nfa.pushRegex next r.star = result
ih :
  ∀ {nfa : NFA} {next : Fin nfa.nodes.size} {result : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }} {cs : List Char},
    nfa.pushRegex next r = result →
      (↑result).pathToNext (↑next) nfa.nodes.size (↑(↑result).start) cs → Expr.matches cs r
placeholder : { nfa' // nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size }
compiled : { nfa' // (↑placeholder).nodes.size < nfa'.nodes.size }
patched : Array Node
nfa' : NFA
isLt : nfa.nodes.size < patched.size
inBounds : ∀ (i : Fin patched.size), patched[↑i].inBounds patched.size
property : nfa.nodes.size < nfa'.nodes.size
eq₁ : placeholder = nfa.pushNode Node.fail ⋯
eq₂ : compiled = (↑placeholder).pushRegex ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ r
eq₃ : patched = (↑compiled).nodes.set ⟨nfa.nodes.size, ⋯⟩ (Node.split ↑(↑compiled).start ↑next)
eq₄ : nfa' = { nodes := patched, start := ⟨nfa.nodes.size, isLt⟩, inBounds := inBounds }
eq' : result = ⟨nfa', property⟩
i : ℕ
cs₁ cs₂ : List Char
eqis : i = nfa.nodes.size ∧ cs₂ = []
path : (↑result).pathIn nfa.nodes.size (↑(↑result).start) nfa.nodes.size cs₁
step : (↑result).stepIn nfa.nodes.size nfa.nodes.size ↑next []
eqs : cs✝ = cs₁
loop : starLoop eq cs₁
cs : List Char
path' : (↑result).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (rStart_of eq) cs
left✝ : nfa.nodes.size + 1 ≤ rStart_of eq
mem : (↑result)[nfa.nodes.size] = Node.split (rStart_of eq) ↑next
⊢ (↑compiled).pathToNext nfa.nodes.size (nfa.nodes.size + 1) (↑(↑compiled).start) cs