internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((c + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) / (q + 2)) + 1 +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Tactic:
rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((c + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) / (q + 2)) +
        nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd +
      1
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((c + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) / (q + 2)) +
        nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd +
      1
Tactic:
rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) / (q + 2) * (d + 1)) (_ : (c + 1) / (q + 2) * (d + 1) > 0) + 1
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
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n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) / (q + 2) * (d + 1)) (_ : (c + 1) / (q + 2) * (d + 1) > 0) + 1
Tactic:
have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
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n c : ℕ
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q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) / (q + 2) * (d + 1)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) / (q + 2) * (d + 1)) (_ : (c + 1) / (q + 2) * (d + 1) > 0) + 1
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) / (q + 2) * (d + 1)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) / (q + 2) * (d + 1)) (_ : (c + 1) / (q + 2) * (d + 1) > 0) + 1
Tactic:
simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
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hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) / (q + 2) * (d + 1)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : 0 < Nat.succ c * Nat.succ d) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) + 1
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
hey : (c + 1) * (d + 1) / (q + 2) = (c + 1) / (q + 2) * (d + 1)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : 0 < Nat.succ c * Nat.succ d) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) hp ((c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) * (d + 1) / (q + 2)) + 1
Tactic:
apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
Proof state after:
no goals
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
Tactic:
apply Nat.le_of_lt_succ
Proof state after:
case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
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h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
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hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) < Nat.succ n
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) < Nat.succ n
Tactic:
apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) < Nat.succ c + Nat.succ d
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) < Nat.succ c + Nat.succ d
Tactic:
apply Nat.add_lt_add_right
Proof state after:
case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) < Nat.succ c
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case h
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ (c + 1) / (q + 2) < Nat.succ c
Tactic:
apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < c + 1
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < c + 1
Tactic:
rw [Nat.add_comm]
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < 1 + c
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ 0 < 1 + c
Tactic:
apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
Proof state after:
no goals
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p = 0
h' : (d + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Tactic:
subst hq
Proof state after:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Tactic:
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
Proof state after:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      (nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1)
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      (nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1)
Tactic:
have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
  apply Nat.le_of_lt_succ
  apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
  apply Nat.add_lt_add_left
  apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
  rw [Nat.add_comm]
  apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
Proof state after:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      (nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1)
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      (nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) + 1)
Tactic:
rw [← add_assoc]
Proof state after:
case inl.inr
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (d + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : c + 1 + (d + 1) / (q + 2) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
        nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((d + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (d + 1) / (q + 2)) +
      1