internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_exists_unique
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ < ⟪log a, log b⟫ + 1
Tactic:
simp [lt_succ_iff_le]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ ≤ ⟪log a, log b⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_exists_unique
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ ≤ ⟪log a, log b⟫
Tactic:
exact pair_le_pair (le_log_of_mem hy) (le_log_of_mem hz)
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ x ∈ a ×ʰᶠ b ↔ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Tactic:
simp [mem_product_iff]
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) ↔ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) ↔ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Tactic:
constructor
Proof state after:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b

case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Tactic:
rintro ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩
Proof state after:
case mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ π₁⟪y, z⟫ ∈ a ∧ π₂⟪y, z⟫ ∈ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
case mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ π₁⟪y, z⟫ ∈ a ∧ π₂⟪y, z⟫ ∈ b
Tactic:
simp [*]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
rintro ⟨h₁, h₂⟩
Proof state after:
case mpr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
h₁ : π₁ x ∈ a
h₂ : π₂ x ∈ b
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
case mpr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
h₁ : π₁ x ∈ a
h₂ : π₂ x ∈ b
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
exact ⟨π₁ x, h₁, π₂ x, h₂, by simp⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff'
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
h₁ : π₁ x ∈ a
h₂ : π₂ x ∈ b
⊢ x = ⟪π₁ x, π₂ x⟫
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.pair_mem_product_iff
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y a b : M
⊢ ⟪x, y⟫ ∈ a ×ʰᶠ b ↔ x ∈ a ∧ y ∈ b
Tactic:
simp [mem_product_iff']
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.pair_mem_product
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y a b : M
hx : x ∈ a
hy : y ∈ b
⊢ ⟪x, y⟫ ∈ a ×ʰᶠ b
Tactic:
simp [mem_product_iff]
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y a b : M
hx : x ∈ a
hy : y ∈ b
⊢ x ∈ a ∧ y ∈ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.pair_mem_product
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y a b : M
hx : x ∈ a
hy : y ∈ b
⊢ x ∈ a ∧ y ∈ b
Tactic:
exact ⟨hx, hy⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
⊢ u = a ×ʰᶠ b → ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
rintro rfl x _
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b x : M
a✝ : x < (a ×ʰᶠ b) + (a + b + 1) ^ 2
⊢ x ∈ a ×ʰᶠ b ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b x : M
a✝ : x < (a ×ʰᶠ b) + (a + b + 1) ^ 2
⊢ x ∈ a ×ʰᶠ b ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
simp [mem_product_iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
⊢ (∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → u = a ×ʰᶠ b
Tactic:
intro h
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ u = a ×ʰᶠ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ u = a ×ʰᶠ b
Tactic:
apply mem_ext
Proof state after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ ∀ (i : M), i ∈ u ↔ i ∈ a ×ʰᶠ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ ∀ (i : M), i ∈ u ↔ i ∈ a ×ʰᶠ b
Tactic:
intro x
Proof state after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ x ∈ a ×ʰᶠ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ x ∈ a ×ʰᶠ b
Tactic:
simp [mem_product_iff]
Proof state after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
constructor
Proof state after:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

case h.mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → x ∈ u
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
intro hx
Proof state after:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
exact h x (lt_of_lt_of_le (lt_of_mem hx) (by simp)) |>.mp hx
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ u ≤ u + (a + b + 1) ^ 2
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h.mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → x ∈ u
Tactic:
rintro ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩
Proof state after:
case h.mpr.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ ∈ u
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
case h.mpr.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ ∈ u
Tactic:
exact h ⟪y, z⟫ (lt_of_lt_of_le (pair_lt_pair (lt_of_mem hy) (lt_of_mem hz))
  (le_trans (pair_polybound a b) <| by simp)) |>.mpr ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ (a + b + 1) ^ 2 ≤ u + (a + b + 1) ^ 2
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_defined
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
⊢ 𝚺₀-Function₂ fun x x_1 => x ×ʰᶠ x_1 via productDef
Tactic:
intro v
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
v : Fin (Nat.succ 2) → M
⊢ (fun v => v 0 = (fun v => (fun x x_1 => x ×ʰᶠ x_1) (v 0) (v 1)) fun x => v x.succ) v ↔
    (Semiformula.Evalbm M v) (HSemiformula.val productDef)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_defined
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
v : Fin (Nat.succ 2) → M
⊢ (fun v => v 0 = (fun v => (fun x x_1 => x ×ʰᶠ x_1) (v 0) (v 1)) fun x => v x.succ) v ↔
    (Semiformula.Evalbm M v) (HSemiformula.val productDef)
Tactic:
simp [productDef, product_graph]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
⊢ ∃! d, ∀ (x : M), x ∈ d ↔ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
have : 𝚺₁-Predicate fun x ↦ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s :=
  DefinablePred.of_iff (fun x ↦ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s)
    (fun x ↦ ⟨by rintro ⟨y, hy⟩; exact ⟨y, lt_of_le_of_lt (le_pair_right x y) (lt_of_mem hy), hy⟩,
              by rintro ⟨y, _, hy⟩; exact ⟨y, hy⟩⟩)
    (by definability)
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃! d, ∀ (x : M), x ∈ d ↔ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃! d, ∀ (x : M), x ∈ d ↔ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact finite_comprehension₁!
  this
  (⟨s, fun x ↦ by rintro ⟨y, hy⟩; exact lt_of_le_of_lt (le_pair_left x y) (lt_of_mem hy)⟩)
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
⊢ (∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s) → (fun x => ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s) x
Tactic:
rintro ⟨y, hy⟩
Proof state after:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact ⟨y, lt_of_le_of_lt (le_pair_right x y) (lt_of_mem hy), hy⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
⊢ (fun x => ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s) x → ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
rintro ⟨y, _, hy⟩
Proof state after:
case intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x y : M
left✝ : y < s
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
case intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x y : M
left✝ : y < s
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact ⟨y, hy⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
⊢ 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
definability
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
x : M
⊢ (∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s) → x < s
Tactic:
rintro ⟨y, hy⟩
Proof state after:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
x y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ x < s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_exists_unique
Proof state before:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
this : 𝚺₁-Predicate fun x => ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
x y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ x < s
Tactic:
exact lt_of_le_of_lt (le_pair_left x y) (lt_of_mem hy)
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
⊢ u = domain s → ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
Tactic:
rintro rfl x _
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
⊢ x ∈ domain s ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
⊢ x ∈ domain s ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
Tactic:
simp [mem_domain_iff]
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
⊢ (∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s) ↔ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
⊢ (∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s) ↔ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact ⟨by rintro ⟨y, hy⟩; exact ⟨y, lt_of_le_of_lt (le_pair_right x y) (lt_of_mem hy), hy⟩, by
  rintro ⟨y, _, hy⟩; exact ⟨y, hy⟩⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
⊢ (∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s) → ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
rintro ⟨y, hy⟩
Proof state after:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact ⟨y, lt_of_le_of_lt (le_pair_right x y) (lt_of_mem hy), hy⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
⊢ (∃ y < s, ⟪x, y⟫ ∈ s) → ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
rintro ⟨y, _, hy⟩
Proof state after:
case intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
y : M
left✝ : y < s
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s x : M
a✝ : x < domain s + s
y : M
left✝ : y < s
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact ⟨y, hy⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
⊢ (∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫) → u = domain s
Tactic:
intro h
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
⊢ u = domain s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
⊢ u = domain s
Tactic:
apply mem_ext
Proof state after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
⊢ ∀ (i : M), i ∈ u ↔ i ∈ domain s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
⊢ ∀ (i : M), i ∈ u ↔ i ∈ domain s
Tactic:
intro x
Proof state after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ x ∈ domain s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ x ∈ domain s
Tactic:
simp [mem_domain_iff]
Proof state after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
constructor
Proof state after:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ x ∈ u → ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s

case h.mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ (∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s) → x ∈ u
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
⊢ x ∈ u → ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
intro hx
Proof state after:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
rcases h x (lt_of_lt_of_le (lt_of_mem hx) (by simp)) |>.mp hx with ⟨y, _, _, hy, rfl⟩
Proof state after:
case h.mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
hx : x ∈ u
y : M
left✝ : y < s
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
case h.mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
hx : x ∈ u
y : M
left✝ : y < s
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ ∃ y, ⟪x, y⟫ ∈ s
Tactic:
exact ⟨y, hy⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_graph
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u s : M
h : ∀ x < u + s, x ∈ u ↔ ∃ y < s, ∃ z ∈ s, z = ⟪x, y⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ u ≤ u + s
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals