internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProj_rule
Proof state before:
case h.h.h.inr.h.e_f
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
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inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
⊢ (fun b => if h : val✝ = b then ⋯ ▸ dyz else 0) = fun i' => if h : val✝ = i' then h ▸ dyz else 0
Tactic:
funext i
Proof state after:
case h.h.h.inr.h.e_f.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
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g : X → Y'
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hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
i : Zi
⊢ (if h : val✝ = i then ⋯ ▸ dyz else 0) = if h : val✝ = i then h ▸ dyz else 0
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProj_rule
Proof state before:
case h.h.h.inr.h.e_f.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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g : X → Y'
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hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
i : Zi
⊢ (if h : val✝ = i then ⋯ ▸ dyz else 0) = if h : val✝ = i then h ▸ dyz else 0
Tactic:
congr
Proof state after:
case h.h.h.inr.h.e_f.h.e_t
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
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Z : Type
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X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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g : X → Y'
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x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
i : Zi
⊢ (fun h => ⋯ ▸ dyz) = fun h => h ▸ dyz
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProj_rule
Proof state before:
case h.h.h.inr.h.e_f.h.e_t
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
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Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
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Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
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x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
i : Zi
⊢ (fun h => ⋯ ▸ dyz) = fun h => h ▸ dyz
Tactic:
funext h
Proof state after:
case h.h.h.inr.h.e_f.h.e_t.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
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W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
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val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
i : Zi
h : val✝ = i
⊢ ⋯ ▸ dyz = h ▸ dyz
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProj_rule
Proof state before:
case h.h.h.inr.h.e_f.h.e_t.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
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inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
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inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
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hg : HasAdjDiff K g
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val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
i : Zi
h : val✝ = i
⊢ ⋯ ▸ dyz = h ▸ dyz
Tactic:
subst h
Proof state after:
case h.h.h.inr.h.e_f.h.e_t.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
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Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
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inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
⊢ ⋯ ▸ dyz = ⋯ ▸ dyz
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProj_rule
Proof state before:
case h.h.h.inr.h.e_f.h.e_t.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
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inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
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hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
val✝ : Zi
dyz : Sum.rec YI ZI (Sum.inr val✝)
⊢ ⋯ ▸ dyz = ⋯ ▸ dyz
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDerivProjUpdate K (Yi ⊕ Zi) fun x => (g x, f x)) = fun x =>
    let ydg := revDerivProjUpdate K Yi g x;
    let zdf := revDerivProjUpdate K Zi f x;
    ((ydg.1, zdf.1), fun i dyz dx =>
      match i, dyz with
      | Sum.inl j, dyz => ydg.2 j dyz dx
      | Sum.inr j, dyz => zdf.2 j dyz dx)
Tactic:
unfold revDerivProjUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDerivProj K (Yi ⊕ Zi) (fun x => (g x, f x)) x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    fun x =>
    let ydg :=
      let ydf' := revDerivProj K Yi g x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    let zdf :=
      let ydf' := revDerivProj K Zi f x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de);
    ((ydg.1, zdf.1), fun i dyz dx =>
      match i, dyz with
      | Sum.inl j, dyz => ydg.2 j dyz dx
      | Sum.inr j, dyz => zdf.2 j dyz dx)
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
case h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ (fun i de dx =>
      dx +
        match i, de with
        | Sum.inl j, dyz => (revDerivProj K Yi (fun x => g x) x).2 j dyz
        | Sum.inr j, dyz => (revDerivProj K Zi (fun x => f x) x).2 j dyz) =
    fun i dyz dx =>
    match i, dyz with
    | Sum.inl j, dyz => dx + (revDerivProj K Yi g x).2 j dyz
    | Sum.inr j, dyz => dx + (revDerivProj K Zi f x).2 j dyz
Tactic:
funext i de dx
Proof state after:
case h.h.h.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
i : Yi ⊕ Zi
de : Sum.rec YI ZI i
dx : X
⊢ (dx +
      match i, de with
      | Sum.inl j, dyz => (revDerivProj K Yi (fun x => g x) x).2 j dyz
      | Sum.inr j, dyz => (revDerivProj K Zi (fun x => f x) x).2 j dyz) =
    match i, de with
    | Sum.inl j, dyz => dx + (revDerivProj K Yi g x).2 j dyz
    | Sum.inr j, dyz => dx + (revDerivProj K Zi f x).2 j dyz
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
case h.h.h.h
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y'
f : X → Z'
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
x : X
i : Yi ⊕ Zi
de : Sum.rec YI ZI i
dx : X
⊢ (dx +
      match i, de with
      | Sum.inl j, dyz => (revDerivProj K Yi (fun x => g x) x).2 j dyz
      | Sum.inr j, dyz => (revDerivProj K Zi (fun x => f x) x).2 j dyz) =
    match i, de with
    | Sum.inl j, dyz => dx + (revDerivProj K Yi g x).2 j dyz
    | Sum.inr j, dyz => dx + (revDerivProj K Zi f x).2 j dyz
Tactic:
induction i <;> simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.fst.arg_self.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDeriv K fun x => (f x).1) = fun x =>
    let yzdf := revDerivProj K (Unit ⊕ Unit) f x;
    (yzdf.1.1, fun dy => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy)
Tactic:
unfold revDerivProj
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDeriv K fun x => (f x).1) = fun x =>
    let yzdf :=
      let ydf' := revDeriv K f x;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de));
    (yzdf.1.1, fun dy => yzdf.2 (Sum.inl ()) dy)