internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ ENNReal.ofReal (-y) < ENNReal.ofReal (-x)
Tactic:
apply (ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff _).mpr
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x

S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
Theorem: ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ -y < -x

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
Tactic:
simp only [xy, neg_lt_neg_iff]
Proof state after:
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
Theorem: ENNReal.ofReal_neg_lt_ofReal_neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
x y : ℝ
xy : x < y
xn : x < 0
⊢ 0 < -x
Tactic:
simp only [xn, Right.neg_pos_iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => ENNReal.ofReal (-f z)) (volume.restrict s)
Tactic:
apply ENNReal.measurable_ofReal.aemeasurable.comp_aemeasurable
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => -f z) (volume.restrict s)
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ AEMeasurable (fun z => -f z) (volume.restrict s)
Tactic:
apply fs.cont.neg.aemeasurable sm
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
⊢ ∀ (c : ℂ),
    ∀ r > 0,
      closedBall c r ⊆ s →
        ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z)
Tactic:
intro c r rp cs
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z)
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ (z : ℂ) in closedBall c r, ENNReal.ofReal (-f z)
Tactic:
rw [← ofReal_integral_eq_lintegral_ofReal]
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ENNReal.ofReal (∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)

case hfi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ Integrable (fun z => -f z) (volume.restrict (closedBall c r))

case f_nn
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (volume.restrict (closedBall c r)).ae.EventuallyLE 0 fun z => -f z
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal (π * r ^ 2)⁻¹ * ENNReal.ofReal (∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)
Tactic:
rw [← ENNReal.ofReal_mul]
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal ((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ ENNReal.ofReal (-f c) ≥ ENNReal.ofReal ((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x)

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Tactic:
apply ENNReal.ofReal_le_ofReal
Proof state after:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x ≤ -f c

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (x : ℂ) in closedBall c r, -f x ≤ -f c

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Tactic:
rw [integral_neg, mul_neg]
Proof state after:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ -((π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a) ≤ -f c

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Tactic:
apply neg_le_neg
Proof state after:
case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Theorem: SubharmonicOn.neg
Proof state before:
case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : ℂ) in closedBall c r, f a

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹
Tactic:
rw [←Complex.volume_closedBall' rp.le, ←smul_eq_mul, ←setAverage_eq]
Proof state after:
case h.a
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ f c ≤ ⨍ (x : ℂ) in closedBall c r, f x

S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
s : Set ℂ
fs : SubharmonicOn f s
fn : ∀ z ∈ s, f z ≤ 0
sm : MeasurableSet s
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
cs : closedBall c r ⊆ s
⊢ 0 ≤ (π * r ^ 2)⁻¹