internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
⊢ ∃ l hl, Descendant i l ∧ y[k] = x[l]
Tactic:
simp only [IH, Subarray.getElem_swap]
Proof state after:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
⊢ ∃ l_1 hl_1, Descendant i l_1 ∧ (if 2 * i + 1 = l then x[i] else if i = l then x[2 * i + 1] else x[l]) = x[l_1]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
⊢ ∃ l_1 hl_1, Descendant i l_1 ∧ (if 2 * i + 1 = l then x[i] else if i = l then x[2 * i + 1] else x[l]) = x[l_1]
Tactic:
if hll : 2*i+1 = l then
  cases hll; simp only [ite_true]
  exact ⟨i, hi, .refl i, rfl⟩
else
  rewrite [if_neg hll, if_neg <| Nat.ne_of_lt <| trans (lt_child_left i) hld.le]
  exact ⟨l, hl, .trans (.child_left i) hld, rfl⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hll : 2 * i + 1 = l
⊢ ∃ l_1 hl_1, Descendant i l_1 ∧ (if 2 * i + 1 = l then x[i] else if i = l then x[2 * i + 1] else x[l]) = x[l_1]
Tactic:
cases hll
Proof state after:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1)
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[2 * i + 1]
⊢ ∃ l hl_1,
    Descendant i l ∧
      (if 2 * i + 1 = 2 * i + 1 then x[i] else if i = 2 * i + 1 then x[2 * i + 1] else x[2 * i + 1]) = x[l]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1)
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[2 * i + 1]
⊢ ∃ l hl_1,
    Descendant i l ∧
      (if 2 * i + 1 = 2 * i + 1 then x[i] else if i = 2 * i + 1 then x[2 * i + 1] else x[2 * i + 1]) = x[l]
Tactic:
simp only [ite_true]
Proof state after:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1)
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[2 * i + 1]
⊢ ∃ l hl, Descendant i l ∧ x[i] = x[l]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1)
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[2 * i + 1]
⊢ ∃ l hl, Descendant i l ∧ x[i] = x[l]
Tactic:
exact ⟨i, hi, .refl i, rfl⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hll : ¬2 * i + 1 = l
⊢ ∃ l_1 hl_1, Descendant i l_1 ∧ (if 2 * i + 1 = l then x[i] else if i = l then x[2 * i + 1] else x[l]) = x[l_1]
Tactic:
rewrite [if_neg hll, if_neg <| Nat.ne_of_lt <| trans (lt_child_left i) hld.le]
Proof state after:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hll : ¬2 * i + 1 = l
⊢ ∃ l_1 hl_1, Descendant i l_1 ∧ x[l] = x[l_1]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl✝ : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ }) (2 * i + 1) y
IH✝ :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : Descendant (2 * i + 1) k
l : Nat
hl : l < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })
hld : Descendant (2 * i + 1) l
IH : y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl✝ })[l]
hll : ¬2 * i + 1 = l
⊢ ∃ l_1 hl_1, Descendant i l_1 ∧ x[l] = x[l_1]
Tactic:
exact ⟨l, hl, .trans (.child_left i) hld, rfl⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant i l ∧ y[k] = x[l]
Tactic:
simp only [h.get_not_descendant k hdesc', Subarray.getElem_swap]
Proof state after:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant i l ∧ (if 2 * i + 1 = k then x[i] else if i = k then x[2 * i + 1] else x[k]) = x[l]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant i l ∧ (if 2 * i + 1 = k then x[i] else if i = k then x[2 * i + 1] else x[k]) = x[l]
Tactic:
rewrite [if_neg (c:=2*i+1=k) fun h => by cases h; exact hdesc' (.refl _)]
Proof state after:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant i l ∧ (if i = k then x[2 * i + 1] else x[k]) = x[l]
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant i l ∧ (if i = k then x[2 * i + 1] else x[k]) = x[l]
Tactic:
if hik : i = k then
  cases hik; simp only [ite_true]
  exact ⟨2*k+1, hl, .child_left k, rfl⟩
else
  simp only [if_neg hik]
  exact ⟨k, hk, hdesc, rfl⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h✝ : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
h : 2 * i + 1 = k
⊢ False
Tactic:
cases h
Proof state after:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : 2 * i + 1 < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1) →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[2 * i + 1] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hdesc : Descendant i (2 * i + 1)
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1)
⊢ False
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : 2 * i + 1 < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1) →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧
          y[2 * i + 1] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hdesc : Descendant i (2 * i + 1)
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) (2 * i + 1)
⊢ False
Tactic:
exact hdesc' (.refl _)
Proof state after:
no goals
Theorem: Algdata.BinaryHeap.heapifyDown.OpSpec.exists_get_descendant
Proof state before:
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i✝ : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x : Subarray α
i : Nat
y : Subarray α
hi : i < Subarray.size x
hl : 2 * i + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * i + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * i + 2] x[2 * i + 1] = true
hx : lt x[i] x[2 * i + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl }) (2 * i + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * i + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * i + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := i, isLt := hi } { val := 2 * i + 1, isLt := hl })[l]
hk : k < Subarray.size x
hdesc : Descendant i k
hdesc' : ¬Descendant (2 * i + 1) k
hik : i = k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant i l ∧ (if i = k then x[2 * i + 1] else x[k]) = x[l]
Tactic:
cases hik
Proof state after:
case refl
α : Type u
lt : α → α → Bool
x✝ : Subarray α
i : Nat
y✝ : Subarray α
k : Nat
x y : Subarray α
hk hi : k < Subarray.size x
hl : 2 * k + 1 < Subarray.size x
hr : 2 * k + 2 < Subarray.size x
hx' : lt x[2 * k + 2] x[2 * k + 1] = true
hx : lt x[k] x[2 * k + 1] = true
h : heapifyDown.OpSpec lt (Subarray.swap x { val := k, isLt := hi } { val := 2 * k + 1, isLt := hl }) (2 * k + 1) y
IH :
  ∀ (hk : k < Subarray.size (Subarray.swap x { val := k, isLt := hi } { val := 2 * k + 1, isLt := hl })),
    Descendant (2 * k + 1) k →
      ∃ l hl_1,
        Descendant (2 * k + 1) l ∧ y[k] = (Subarray.swap x { val := k, isLt := hi } { val := 2 * k + 1, isLt := hl })[l]
hdesc : Descendant k k
hdesc' : ¬Descendant (2 * k + 1) k
⊢ ∃ l hl_1, Descendant k l ∧ (if k = k then x[2 * k + 1] else x[k]) = x[l]