internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
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inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
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Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
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inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
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inst✝³ : IndexType ι
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E : ι → Type ?u.34186
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c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
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Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
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inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
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K : Type u_3
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.34023
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Y✝ : Type ?u.34042
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inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
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inst✝² : LawfulIndexType ι
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c : Prop
t e : X → Y
h : c
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⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
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inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
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K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
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Y✝ : Type ?u.34042
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ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
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Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y

case isTrue
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
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ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.Inner.inner.arg_a0.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.35451
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.35457
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.35470
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.35481
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.35492
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.35519
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.35554
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.35565
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.35576
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.35587
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.35614
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
y : Y
⊢ (semiAdjoint K fun x => ⟪f x, y⟫_K) = fun z => (starRingEnd K) z • semiAdjoint K f y
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.Inner.inner.arg_a1.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.37944
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.37950
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.37963
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.37974
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.37985
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.38012
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.38047
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.38058
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.38069
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.38080
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.38107
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
y : Y
⊢ (semiAdjoint K fun x => ⟪y, f x⟫_K) = fun z => z • semiAdjoint K f y
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.starRingEnd.arg_a0.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.40021
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40027
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40040
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40051
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.40062
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40089
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.40124
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40135
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40146
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40157
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40184
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
⊢ (semiAdjoint K fun x => (starRingEnd K) (f x)) = fun z => semiAdjoint K f z
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.semiAdjoint.SciLean.semiAdjoint.arg_y.semiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.40582
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40588
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40601
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40612
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.40623
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40650
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40696
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40718
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40745
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
a3 : W → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
ha3 : HasSemiAdjoint K a3
⊢ (semiAdjoint K fun w => semiAdjoint K f (a3 w)) = fun x =>
    let y := f x;
    semiAdjoint K a3 y
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals