internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: step3
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
n : ℕ
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
induction' n using Nat.strong_induction_on with n ih generalizing a
Proof state after:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
cases' eq_or_ne a.norm 1 with h h
Proof state after:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)

case h.inr
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
this :
  ∀ (n : ℕ),
    Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n →
      ∃ f,
        (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
          ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
exact this a.norm.natAbs rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
use 0
Proof state after:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ (a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0) ∧
    ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ 0 → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inl
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ (a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0) ∧
    ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ 0 → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
constructor
Proof state after:
case h.inl.left
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0

case h.inl.right
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ 0 → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inl.left
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0
Tactic:
simp only [Multiset.prod_zero, Spts.eq_one' h]
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inl.right
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
⊢ ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ 0 → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
intro pq hpq
Proof state after:
case h.inl.right
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ 0
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inl.right
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a = 1
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ 0
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
exact absurd hpq (Multiset.not_mem_zero _)
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
obtain ⟨U, q, hc, hd, hp, huv, huvcoprime, descent⟩ := OddPrimeOrFour.factors' h hcoprime
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Zsqrtd.norm U < Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Zsqrtd.norm U < Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
replace descent :=
  Int.natAbs_lt_natAbs_of_nonneg_of_lt (Zsqrtd.norm_nonneg (by norm_num) _) descent
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < Int.natAbs (Zsqrtd.norm a)
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < Int.natAbs (Zsqrtd.norm a)
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
rw [hn] at descent
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
obtain ⟨g, hgprod, hgfactors⟩ := ih U.norm.natAbs descent huvcoprime rfl
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
refine' ⟨q ::ₘ g, _, _⟩
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ a = Multiset.prod (q ::ₘ g) ∨ a = -Multiset.prod (q ::ₘ g)

case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ q ::ₘ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Zsqrtd.norm U < Zsqrtd.norm a
⊢ -3 ≤ 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ a = Multiset.prod (q ::ₘ g) ∨ a = -Multiset.prod (q ::ₘ g)
Tactic:
simp only [huv, Multiset.prod_cons, ← mul_neg]
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ q * U = q * Multiset.prod g ∨ q * U = q * -Multiset.prod g
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
hcoprime✝ : IsCoprime a✝.re a✝.im
n✝ : ℕ
hn✝ : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a✝) = n✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (m : ℕ),
    m < n →
      ∀ {a : ℤ√(-3)},
        IsCoprime a.re a.im →
          Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = m →
            ∃ f,
              (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
                ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
h : Zsqrtd.norm a ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q)
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : Int.natAbs (Zsqrtd.norm U) < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = Multiset.prod g ∨ U = -Multiset.prod g
hgfactors : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ g → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
⊢ q * U = q * Multiset.prod g ∨ q * U = q * -Multiset.prod g
Tactic:
exact Or.imp (congr_arg _) (congr_arg _) hgprod
Proof state after:
no goals