internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Arith.Model.Definable.mkPolarity
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin k → M) → Prop
Γ : Polarity
p : Semiformula L M k
hP : ∀ (v : Fin k → M), P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p
hp : Hierarchy 𝚺 m p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.mkSigma p hp).val
Tactic:
simp [hP]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.mkPolarity
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin k → M) → Prop
Γ : Polarity
p : Semiformula L M k
hP : ∀ (v : Fin k → M), P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p
hp : Hierarchy 𝚷 m p
⊢ DefinedWithParam P (HSemiformula.mkPi p hp)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin k → M) → Prop
Γ : Polarity
p : Semiformula L M k
hP : ∀ (v : Fin k → M), P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p
hp : Hierarchy 𝚷 m p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.mkPi p hp).val
Theorem: Arith.Model.Definable.mkPolarity
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin k → M) → Prop
Γ : Polarity
p : Semiformula L M k
hP : ∀ (v : Fin k → M), P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p
hp : Hierarchy 𝚷 m p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.mkPi p hp).val
Tactic:
simp [hP]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
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inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q✝ Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
H : Definable L Γ Q
⊢ Definable L Γ P
Tactic:
rwa [show P = Q from by funext v; simp [h]]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
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inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q✝ Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
H : Definable L Γ Q
⊢ P = Q
Tactic:
funext v
Proof state after:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q✝ Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
H : Definable L Γ Q
v : Fin k → M
⊢ P v = Q v
Theorem: Arith.Model.Definable.of_iff
Proof state before:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q✝ Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
H : Definable L Γ Q
v : Fin k → M
⊢ P v = Q v
Tactic:
simp [h]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_oRing
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
h : Definable ℒₒᵣ Γ P
⊢ Definable L Γ P
Tactic:
rcases h with ⟨p, hP⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k Γ
hP : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L Γ P
Theorem: Arith.Model.Definable.of_oRing
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k Γ
hP : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L Γ P
Tactic:
exact ⟨p.emb L, hP.emb⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
h : Definable L (𝚫, m) P
Γ : SigmaPiDelta
⊢ Definable L (Γ, m) P
Tactic:
rcases h with ⟨p, h⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (Γ, m) P
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (Γ, m) P
Tactic:
match Γ with
| 𝚺 => exact ⟨p.sigma, by intro v; simp [HSemiformula.val_sigma, h.df.iff]⟩
| 𝚷 => exact ⟨p.pi, by intro v; simp [←h.proper v, HSemiformula.val_sigma, h.df.iff]⟩
| 𝚫 => exact ⟨p, h⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚺, m) P
Tactic:
exact ⟨p.sigma, by intro v; simp [HSemiformula.val_sigma, h.df.iff]⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam P p.sigma
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.sigma.val
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.sigma.val
Tactic:
simp [HSemiformula.val_sigma, h.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚷, m) P
Tactic:
exact ⟨p.pi, by intro v; simp [←h.proper v, HSemiformula.val_sigma, h.df.iff]⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam P p.pi
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.pi.val
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.pi.val
Tactic:
simp [←h.proper v, HSemiformula.val_sigma, h.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_delta
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
exact ⟨p, h⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
hσ : Definable L (𝚺, m) P
hπ : Definable L (𝚷, m) P
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
rcases hσ with ⟨p, hp⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
hπ : Definable L (𝚷, m) P
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
hπ : Definable L (𝚷, m) P
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
rcases hπ with ⟨q, hq⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
exact ⟨.mkDelta p q, by intro v; simp [hp.df.iff, hq.df.iff], by intro v; simp [hp.df.iff]⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M (p.mkDelta q)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).sigma.val ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).pi.val
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).sigma.val ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).pi.val
Tactic:
simp [hp.df.iff, hq.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam P (p.mkDelta q).val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).val
Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_zero
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
h : Definable L (Γ', 0) P
Γ : HierarchySymbol
⊢ Definable L Γ P
Tactic:
rcases h with ⟨⟨p, hp⟩⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L Γ P
Theorem: Arith.Model.Definable.of_zero
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L Γ P
Tactic:
exact hp.to_definable₀
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.of_deltaOne
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
h : Definable L 𝚫₁ P
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
⊢ Definable L (Γ, m + 1) P
Tactic:
rcases h with ⟨⟨p, hp⟩⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (Γ, m + 1) P
Theorem: Arith.Model.Definable.of_deltaOne
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (Γ, m + 1) P
Tactic:
exact hp.to_definable_deltaOne
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
h : Definable L Γ P
f : Fin k → Fin n
⊢ Definable L Γ fun v => P fun i => v (f i)
Tactic:
rcases h with ⟨p, h⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : Fin k → Fin n
p : HSemiformula L M k Γ
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L Γ fun v => P fun i => v (f i)
Theorem: Arith.Model.Definable.retraction
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : Fin k → Fin n
p : HSemiformula L M k Γ
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L Γ fun v => P fun i => v (f i)
Tactic:
exact ⟨p.rew (Rew.substs (fun i ↦ #(f i))),
match Γ with
| (𝚺, _) => by intro; simp [h.df.iff]
| (𝚷, _) => by intro; simp [h.df.iff]
| (𝚫, _) => ⟨h.proper.rew _, by intro; simp [h.df.iff]⟩⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : Fin k → Fin n
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
h : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun i => #(f i)) p)
Tactic:
intro
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : Fin k → Fin n
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
h : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin n → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun i => #(f i)) p).val
Theorem: Arith.Model.Definable.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : Fin k → Fin n
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
h : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin n → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun i => #(f i)) p).val
Tactic:
simp [h.df.iff]
Proof state after:
no goals