internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case a.h.a.h1.a.h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ phi.metaVarSet
⊢ X ∈ phi.metaVarSet
Tactic:
exact a1
Proof state after:
no goals
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case a.h'.a
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
⊢ Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi
Tactic:
apply psi_ih
Proof state after:
case a.h'.a.h1
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
⊢ ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case a.h'.a.h1
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
⊢ ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
Tactic:
intro V' X a1
Proof state after:
case a.h'.a.h1
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ psi.metaVarSet
⊢ M X V' ↔ M' X V'
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case a.h'.a.h1
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ psi.metaVarSet
⊢ M X V' ↔ M' X V'
Tactic:
apply h1
Proof state after:
case a.h'.a.h1.a
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ psi.metaVarSet
⊢ X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case a.h'.a.h1.a
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ psi.metaVarSet
⊢ X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet
Tactic:
right
Proof state after:
case a.h'.a.h1.a.h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ psi.metaVarSet
⊢ X ∈ psi.metaVarSet
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case a.h'.a.h1.a.h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
phi psi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
psi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ psi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) psi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) psi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D) (X : MetaVarName), X ∈ phi.metaVarSet ∨ X ∈ psi.metaVarSet → (M X V' ↔ M' X V')
a✝ : Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi
V' : Valuation D
X : MetaVarName
a1 : X ∈ psi.metaVarSet
⊢ X ∈ psi.metaVarSet
Tactic:
exact a1
Proof state after:
no goals
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ (forall_ x phi).metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ Holds D I V M (head✝ :: tail✝) (forall_ x phi) ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) (forall_ x phi)
Tactic:
unfold Formula.metaVarSet at h1
Proof state after:
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ Holds D I V M (head✝ :: tail✝) (forall_ x phi) ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) (forall_ x phi)
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ Holds D I V M (head✝ :: tail✝) (forall_ x phi) ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) (forall_ x phi)
Tactic:
simp only [Holds]
Proof state after:
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ (∀ (d : D), Holds D I (Function.updateITE V x d) M (head✝ :: tail✝) phi) ↔
    ∀ (d : D), Holds D I (Function.updateITE V x d) M' (head✝ :: tail✝) phi
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ (∀ (d : D), Holds D I (Function.updateITE V x d) M (head✝ :: tail✝) phi) ↔
    ∀ (d : D), Holds D I (Function.updateITE V x d) M' (head✝ :: tail✝) phi
Tactic:
apply forall_congr'
Proof state after:
case h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ ∀ (a : D),
    Holds D I (Function.updateITE V x a) M (head✝ :: tail✝) phi ↔
      Holds D I (Function.updateITE V x a) M' (head✝ :: tail✝) phi
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
⊢ ∀ (a : D),
    Holds D I (Function.updateITE V x a) M (head✝ :: tail✝) phi ↔
      Holds D I (Function.updateITE V x a) M' (head✝ :: tail✝) phi
Tactic:
intro a
Proof state after:
case h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
a : D
⊢ Holds D I (Function.updateITE V x a) M (head✝ :: tail✝) phi ↔
    Holds D I (Function.updateITE V x a) M' (head✝ :: tail✝) phi
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case h
D : Type
I : Interpretation D
head✝ : Definition
tail✝ : List Definition
tail_ih✝ :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M tail✝ F ↔ Holds D I V M' tail✝ F)
x : VarName
phi : Formula
phi_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') →
      (Holds D I V M (head✝ :: tail✝) phi ↔ Holds D I V M' (head✝ :: tail✝) phi)
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ phi.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
a : D
⊢ Holds D I (Function.updateITE V x a) M (head✝ :: tail✝) phi ↔
    Holds D I (Function.updateITE V x a) M' (head✝ :: tail✝) phi
Tactic:
exact phi_ih (Function.updateITE V x a) M M' h1
Proof state after:
no goals
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
D : Type
I : Interpretation D
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
⊢ Holds D I V M [] (def_ X xs) ↔ Holds D I V M' [] (def_ X xs)
Tactic:
simp only [Holds]
Proof state after:
no goals
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
⊢ Holds D I V M (E_hd :: E_tl) (def_ X xs) ↔ Holds D I V M' (E_hd :: E_tl) (def_ X xs)
Tactic:
simp only [Holds]
Proof state after:
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
⊢ (if X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length then
      Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M E_tl E_hd.F
    else Holds D I V M E_tl (def_ X xs)) ↔
    if X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length then
      Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M' E_tl E_hd.F
    else Holds D I V M' E_tl (def_ X xs)
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
⊢ (if X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length then
      Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M E_tl E_hd.F
    else Holds D I V M E_tl (def_ X xs)) ↔
    if X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length then
      Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M' E_tl E_hd.F
    else Holds D I V M' E_tl (def_ X xs)
Tactic:
split_ifs
Proof state after:
case pos
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length
⊢ Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M E_tl E_hd.F ↔
    Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M' E_tl E_hd.F

case neg
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : ¬(X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length)
⊢ Holds D I V M E_tl (def_ X xs) ↔ Holds D I V M' E_tl (def_ X xs)
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case pos
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length
⊢ Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M E_tl E_hd.F ↔
    Holds D I (Function.updateListITE V E_hd.args (List.map V xs)) M' E_tl E_hd.F
Tactic:
apply E_ih
Proof state after:
case pos.h1
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length
⊢ ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ E_hd.F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case pos.h1
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length
⊢ ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ E_hd.F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V'
Tactic:
simp only [no_meta_var_imp_meta_var_set_is_empty E_hd.F E_hd.args E_hd.nf]
Proof state after:
case pos.h1
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length
⊢ ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ ∅, M X V' ↔ M' X V'
Theorem: MM0.holds_coincide_meta_var
Proof state before:
case pos.h1
D : Type
I : Interpretation D
E_hd : Definition
E_tl : List Definition
E_ih :
  ∀ (V : Valuation D) (M M' : MetaValuation D) (F : Formula),
    (∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ F.metaVarSet, M X V' ↔ M' X V') → (Holds D I V M E_tl F ↔ Holds D I V M' E_tl F)
X : DefName
xs : List VarName
V : Valuation D
M M' : MetaValuation D
h1 : ∀ (V' : Valuation D), ∀ X_1 ∈ (def_ X xs).metaVarSet, M X_1 V' ↔ M' X_1 V'
h✝ : X = E_hd.name ∧ xs.length = E_hd.args.length
⊢ ∀ (V' : Valuation D), ∀ X ∈ ∅, M X V' ↔ M' X V'
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals