internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
⊢ ¬3 ∣ p
Tactic:
intro H
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ False
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝³ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝² : ¬Even 3
this✝¹ : ¬Even (u - 3 * v)
this✝ : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
⊢ False
Tactic:
have : 3 ∣ 2 * p := H.mul_left 2
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝⁴ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝³ : ¬Even 3
this✝² : ¬Even (u - 3 * v)
this✝¹ : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this✝ : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
this : 3 ∣ 2 * p
⊢ False
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝⁴ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝³ : ¬Even 3
this✝² : ¬Even (u - 3 * v)
this✝¹ : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this✝ : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
this : 3 ∣ 2 * p
⊢ False
Tactic:
have := IsCoprime.isUnit_of_dvd' hgcd ‹_› ‹_›
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝⁵ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝⁴ : ¬Even 3
this✝³ : ¬Even (u - 3 * v)
this✝² : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this✝¹ : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
this✝ : 3 ∣ 2 * p
this : IsUnit 3
⊢ False
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝⁵ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝⁴ : ¬Even 3
this✝³ : ¬Even (u - 3 * v)
this✝² : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this✝¹ : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
this✝ : 3 ∣ 2 * p
this : IsUnit 3
⊢ False
Tactic:
rw [isUnit_iff_dvd_one] at this
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝⁵ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝⁴ : ¬Even 3
this✝³ : ¬Even (u - 3 * v)
this✝² : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this✝¹ : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
this✝ : 3 ∣ 2 * p
this : 3 ∣ 1
⊢ False
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝⁵ : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝⁴ : ¬Even 3
this✝³ : ¬Even (u - 3 * v)
this✝² : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
this✝¹ : 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
this✝ : 3 ∣ 2 * p
this : 3 ∣ 1
⊢ False
Tactic:
norm_num at this
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ p ^ 2 + 3 * q ^ 2
Tactic:
apply dvd_add
Proof state after:
case h₁
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ p ^ 2

case h₂
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ 3 * q ^ 2
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
case h₁
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ p ^ 2
Tactic:
rw [pow_two]
Proof state after:
case h₁
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ p * p
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
case h₁
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ p * p
Tactic:
exact H.mul_left _
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
case h₂
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
H : 3 ∣ p
⊢ 3 ∣ 3 * q ^ 2
Tactic:
apply dvd_mul_right
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
⊢ ¬3 ∣ u - 3 * v
Tactic:
intro hd2
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
hd2 : 3 ∣ u - 3 * v
⊢ False
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
hd2 : 3 ∣ u - 3 * v
⊢ False
Tactic:
apply hddd
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
hd2 : 3 ∣ u - 3 * v
⊢ 3 ∣ p
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
hd2 : 3 ∣ u - 3 * v
⊢ 3 ∣ p
Tactic:
rw [hpfactor]
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
hd2 : 3 ∣ u - 3 * v
⊢ 3 ∣ u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
hd2 : 3 ∣ u - 3 * v
⊢ 3 ∣ u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
Tactic:
exact (hd2.mul_left _).mul_right _
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
⊢ ¬3 ∣ u + 3 * v
Tactic:
intro hd3
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
hd3 : 3 ∣ u + 3 * v
⊢ False
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
hd3 : 3 ∣ u + 3 * v
⊢ False
Tactic:
apply hddd
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
hd3 : 3 ∣ u + 3 * v
⊢ 3 ∣ p
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
hd3 : 3 ∣ u + 3 * v
⊢ 3 ∣ p
Tactic:
rw [hpfactor]
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
hd3 : 3 ∣ u + 3 * v
⊢ 3 ∣ u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 2 * p = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
hd3 : 3 ∣ u + 3 * v
⊢ 3 ∣ u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
Tactic:
exact hd3.mul_left _
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd1
Proof state before:
case ha
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : IsCoprime (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)
r : ℤ
hr : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
this✝² : Odd 3
hcuberight : ∃ e, p ^ 2 + 3 * q ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hpfactor : p = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hq : q = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
u_ne_zero : u ≠ 0
haaa : 2 * p = 2 * u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
this✝¹ : ¬Even 3
this✝ : ¬Even (u - 3 * v)
this : ¬Even (u + 3 * v)
notdvd_2_2 : ¬2 ∣ u - 3 * v
hddd : ¬3 ∣ p
not_3_dvd_2 : ¬3 ∣ u - 3 * v
notdvd_3_3 : ¬3 ∣ u + 3 * v
s : ℤ
hs : 2 * p = s ^ 3
⊢ 2 * u ≠ 0
Tactic:
apply mul_ne_zero two_ne_zero u_ne_zero
Proof state after:
no goals