internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∀ (x_1 : (i : ι) → M i), ‖(fderiv 𝕜 f x) x_1‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖x_1‖
Tactic:
intro u
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ‖(fderiv 𝕜 f x) u‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ‖(fderiv 𝕜 f x) u‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖u‖
Tactic:
rw [fderiv_apply_eq_sum_fpideriv hf]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ‖∑ i : ι, (fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ‖∑ i : ι, (fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖u‖
Tactic:
refine le_trans (norm_sum_le _ _) ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∑ i : ι, ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∑ i : ι, ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ (∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖) * ‖u‖
Tactic:
rw [Finset.sum_mul]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∑ i : ι, ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
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hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∑ i : ι, ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Tactic:
refine Finset.sum_le_sum ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Tactic:
simp
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∀ (i : ι), ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
⊢ ∀ (i : ι), ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Tactic:
intro i
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
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hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ‖(fpideriv 𝕜 i f x) (u i)‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Tactic:
refine le_trans (ContinuousLinearMap.le_opNorm _ _) ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u i‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
u : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u i‖ ≤ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ * ‖u‖
Tactic:
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (norm_le_pi_norm u i) (norm_nonneg _)
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x‖ ≤ ∑ i : ι, ‖pideriv i f x‖
Tactic:
refine le_trans (norm_fderiv_le_sum_norm_fpideriv hf) ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ∑ i : ι, ‖pideriv i f x‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∑ i : ι, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ∑ i : ι, ‖pideriv i f x‖
Tactic:
refine Finset.sum_le_sum ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖pideriv i f x‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖pideriv i f x‖
Tactic:
simp
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
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F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
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x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∀ (i : ι), ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖pideriv i f x‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ∀ (i : ι), ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖pideriv i f x‖
Tactic:
intro i
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
⊢ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖pideriv i f x‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
⊢ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖pideriv i f x‖
Tactic:
rw [ContinuousLinearMap.opNorm_le_iff (norm_nonneg _)]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
⊢ ∀ (x_1 : 𝕜), ‖(fpideriv 𝕜 i f x) x_1‖ ≤ ‖pideriv i f x‖ * ‖x_1‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
⊢ ∀ (x_1 : 𝕜), ‖(fpideriv 𝕜 i f x) x_1‖ ≤ ‖pideriv i f x‖ * ‖x_1‖
Tactic:
intro m
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
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M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖(fpideriv 𝕜 i f x) m‖ ≤ ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖(fpideriv 𝕜 i f x) m‖ ≤ ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Tactic:
refine le_of_eq ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖(fpideriv 𝕜 i f x) m‖ = ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖(fpideriv 𝕜 i f x) m‖ = ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Tactic:
rw [fpideriv_apply_eq_smul_pideriv]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖m • pideriv i f x‖ = ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖m • pideriv i f x‖ = ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Tactic:
rw [norm_smul]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖m‖ * ‖pideriv i f x‖ = ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Theorem: norm_fderiv_le_sum_norm_pideriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
i : ι
m : 𝕜
⊢ ‖m‖ * ‖pideriv i f x‖ = ‖pideriv i f x‖ * ‖m‖
Tactic:
ring_nf
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_fpideriv_le_norm_fderiv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
simp_rw [fpideriv_eq_fderiv_comp_single hf]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖ContinuousLinearMap.comp (fderiv 𝕜 f x) (ContinuousLinearMap.single i)‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Theorem: norm_fpideriv_le_norm_fderiv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖ContinuousLinearMap.comp (fderiv 𝕜 f x) (ContinuousLinearMap.single i)‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
refine le_trans (ContinuousLinearMap.opNorm_comp_le _ _) ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x‖ * ‖ContinuousLinearMap.single i‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Theorem: norm_fpideriv_le_norm_fderiv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x‖ * ‖ContinuousLinearMap.single i‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
exact mul_le_of_le_one_right (norm_nonneg _) ContinuousLinearMap.norm_single_le_one
Proof state after:
no goals
Theorem: norm_pideriv_le_norm_fderiv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖pideriv i f x‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
simp_rw [pideriv_eq_fderiv_apply_single hf]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖(fderiv 𝕜 f x) (Pi.single i 1)‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Theorem: norm_pideriv_le_norm_fderiv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖(fderiv 𝕜 f x) (Pi.single i 1)‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
refine le_trans (ContinuousLinearMap.le_opNorm _ _) ?_
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : (ι → 𝕜) → F
x : ι → 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x‖ * ‖Pi.single i 1‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖