internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n : ℤ
⊢ Extendable (fourier n) c r
Tactic:
have mh : ∀ n : ℕ, HarmonicOn (fun z ↦ ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r) := by
  intro n; apply AnalyticOn.harmonicOn; refine AnalyticOn.mono ?_ (Set.subset_univ _)
  rw [analyticOn_iff_differentiableOn isOpen_univ]; apply Differentiable.differentiableOn
  apply Differentiable.pow; apply Differentiable.mul (differentiable_const _)
  apply Differentiable.sub differentiable_id (differentiable_const _)
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n : ℤ
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
⊢ Extendable (fourier n) c r
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
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r : ℝ
rp : r > 0
n : ℤ
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
⊢ Extendable (fourier n) c r
Tactic:
induction' n using Int.induction_overlap with n n
Proof state after:
case hi
S : Type
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T : Type
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r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ Extendable (fourier ↑n) c r

case lo
S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ Extendable (fourier (-↑n)) c r
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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r : ℝ
rp : r > 0
n : ℤ
⊢ ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
Tactic:
intro n
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
Tactic:
apply AnalyticOn.harmonicOn
Proof state after:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
Tactic:
refine AnalyticOn.mono ?_ (Set.subset_univ _)
Proof state after:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) univ
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) univ
Tactic:
rw [analyticOn_iff_differentiableOn isOpen_univ]
Proof state after:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) univ
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case fa
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
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r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) univ
Tactic:
apply Differentiable.differentiableOn
Proof state after:
case fa.h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Differentiable ℂ fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case fa.h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Differentiable ℂ fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n
Tactic:
apply Differentiable.pow
Proof state after:
case fa.h.ha
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Differentiable ℂ fun x => (↑r)⁻¹ * (x - c)
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case fa.h.ha
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Differentiable ℂ fun x => (↑r)⁻¹ * (x - c)
Tactic:
apply Differentiable.mul (differentiable_const _)
Proof state after:
case fa.h.ha
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Differentiable ℂ fun y => y - c
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case fa.h.ha
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
n✝ : ℤ
n : ℕ
⊢ Differentiable ℂ fun y => y - c
Tactic:
apply Differentiable.sub differentiable_id (differentiable_const _)
Proof state after:
no goals
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case hi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ Extendable (fourier ↑n) c r
Tactic:
exists fun z : ℂ ↦ ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n
Proof state after:
case hi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ HasExtension (fourier ↑n) (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) c r
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case hi
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ HasExtension (fourier ↑n) (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) c r
Tactic:
exact
  { gh := mh n
    b := by
      intro t; rw [rir rp]
      apply Eq.trans fourier_apply
      simp only [natCast_zsmul, toCircle_smul, SubmonoidClass.coe_pow] }
Proof state after:
no goals
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ ∀ (t : Real.Angle), (fourier ↑n) t = ((↑r)⁻¹ * (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t) - c)) ^ n
Tactic:
intro t
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
t : Real.Angle
⊢ (fourier ↑n) t = ((↑r)⁻¹ * (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t) - c)) ^ n
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
t : Real.Angle
⊢ (fourier ↑n) t = ((↑r)⁻¹ * (c + ↑r * ↑(AddCircle.toCircle t) - c)) ^ n
Tactic:
rw [rir rp]
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
t : Real.Angle
⊢ (fourier ↑n) t = ↑(AddCircle.toCircle t) ^ n
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
t : Real.Angle
⊢ (fourier ↑n) t = ↑(AddCircle.toCircle t) ^ n
Tactic:
apply Eq.trans fourier_apply
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
t : Real.Angle
⊢ ↑(↑n • t).toCircle = ↑(AddCircle.toCircle t) ^ n
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
t : Real.Angle
⊢ ↑(↑n • t).toCircle = ↑(AddCircle.toCircle t) ^ n
Tactic:
simp only [natCast_zsmul, toCircle_smul, SubmonoidClass.coe_pow]
Proof state after:
no goals
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case lo
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ Extendable (fourier (-↑n)) c r
Tactic:
exists fun z : ℂ ↦ conj (((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n)
Proof state after:
case lo
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ HasExtension (fourier (-↑n)) (fun z => (starRingEnd ℂ) (((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n)) c r
Theorem: fourierExtend'
Proof state before:
case lo
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
c : ℂ
r : ℝ
rp : r > 0
mh : ∀ (n : ℕ), HarmonicOn (fun z => ((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n) (closedBall c r)
n : ℕ
⊢ HasExtension (fourier (-↑n)) (fun z => (starRingEnd ℂ) (((↑r)⁻¹ * (z - c)) ^ n)) c r
Tactic:
exact
  { gh := (mh n).conj
    b := by
      intro t; rw [rir rp]
      apply Eq.trans fourier_apply
      simp only [neg_smul, natCast_zsmul, toCircle_neg, toCircle_smul, coe_inv_unitSphere,
        SubmonoidClass.coe_pow, Complex.inv_def, map_pow, normSq_eq_of_mem_circle, one_pow,
        inv_one, Complex.ofReal_one, mul_one] }
Proof state after:
no goals