internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨haddcoprime, hsubcoprime, haddsubcoprime⟩ := gcd3_coprime huvcoprime huvodd
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨e, he⟩ := hcubeleft
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have : 3 ∣ e :=
  by
  rw [← Int.pow_dvd_pow_iff (by norm_num : 3 ≠ 0), ← he, hs]
  convert dvd_mul_right _ (2 * v * (u - v) * (u + v)) using 1
  norm_num
  ring
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
this : 3 ∣ e
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
this : 3 ∣ e
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨t, rfl⟩ := this
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3 :=
  by
  have : (3 ^ 3 : ℤ) ≠ 0 := by norm_num
  rw [← mul_right_inj' this, ← mul_pow, ← he, hs]
  ring
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3).natAbs ≤ (2 * (3 * s)).natAbs ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ 3 ∣ p
Tactic:
apply Int.dvd_mul_cancel_prime' _ dvd_rfl Int.prime_two
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p

a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ ¬2 ∣ 3
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p
Tactic:
zify  at hgcd
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑((2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑((2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p
Tactic:
rw [← hgcd]
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑((2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ ↑((2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) ∣ 2 * p
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑((2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ ↑((2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) ∣ 2 * p
Tactic:
exact Int.gcd_dvd_left
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ ¬2 ∣ 3
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
⊢ ¬3 ∣ q
Tactic:
intro H
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
⊢ False
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
⊢ False
Tactic:
have := hcoprime.isUnit_of_dvd' h3_dvd_p H
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : IsUnit 3
⊢ False
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : IsUnit 3
⊢ False
Tactic:
rw [Int.isUnit_iff_natAbs_eq] at this
Proof state after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : Int.natAbs 3 = 1
⊢ False
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * p).gcd (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : Int.natAbs 3 = 1
⊢ False
Tactic:
norm_num at this
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
⊢ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
Tactic:
ring
Proof state after:
no goals
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ IsCoprime s q
Tactic:
apply isCoprime_of_prime_dvd
Proof state after:
case nonzero
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ¬(s = 0 ∧ q = 0)

case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∀ (z : ℤ), Prime z → z ∣ s → ¬z ∣ q
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∀ (z : ℤ), Prime z → z ∣ s → ¬z ∣ q
Tactic:
intro k hkprime hkdvdleft hkdvdright
Proof state after:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ False
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ False
Tactic:
apply hkprime.not_unit
Proof state after:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ IsUnit k
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ IsUnit k
Tactic:
apply hcoprime.isUnit_of_dvd' _ hkdvdright
Proof state after:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ k ∣ 3 * s
Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : (2 * (3 * s)).gcd ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ k ∣ 3 * s
Tactic:
exact hkdvdleft.mul_left 3
Proof state after:
no goals