internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
have r12 : r1 < r2 := by
  rw [← hr1]; apply mul_lt_of_lt_one_right r2p; rw [Real.sqrt_lt dep.le zero_le_one]
  simp only [one_pow]
  apply (div_lt_one erp).mpr; exact (ENNReal.toReal_lt_toReal df ef).mpr de
Proof state after:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
have r1r : r1 < r := by apply _root_.trans r12; rw [← hr2]; exact half_lt_self rp
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
have r1s : closedBall z r1 ⊆ s :=
  _root_.trans (Metric.closedBall_subset_ball r1r) (_root_.trans rs interior_subset)
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S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
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ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
have s12 : ∀ w, w ∈ closedBall z (r2 - r1) → closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2 := by
  intro w wr; apply Metric.closedBall_subset_closedBall'
  simp only [dist_comm, Metric.mem_closedBall, le_sub_iff_add_le] at wr; rwa [add_comm]
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S : Type
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inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
have r2s : ∀ w, w ∈ closedBall z (r2 - r1) → closedBall w r2 ⊆ s := by
  intro w ws; refine _root_.trans ?_ (_root_.trans rs interior_subset)
  simp only [Complex.dist_eq, ← hr2, Metric.mem_closedBall] at ws ⊢
  apply Metric.closedBall_subset_ball'; simp only [Complex.dist_eq]
  calc r / 2 + abs (w - z)
    _ ≤ r / 2 + (r / 2 - r1) := by bound
    _ = r - r1 := by ring_nf
    _ < r := sub_lt_self _ r1p
Proof state after:
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S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
set fi := fun z ↦ atTop.liminf fun n ↦ f n z
Proof state after:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Tactic:
have fm : ∀ n, _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1)) := fun n ↦
  AEMeasurable.mono_set r1s (fs n).AEMeasurable
Proof state after:
case neg.intro.intro.hnhds.intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[k] z, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
r1p : r1 > 0
r12 : r1 < r2
r1r : r1 < r
r1s : closedBall z r1 ⊆ s
rde : d = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹)
s12 : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall z r1 ⊆ closedBall w r2
r2s : ∀ w ∈ closedBall z (r2 - r1), closedBall w r2 ⊆ s
fi : ℂ → ℝ≥0∞ := fun z => liminf (fun n => f n z) atTop
fm : ∀ (n : ℕ), _root_.AEMeasurable (f n) (volume.restrict (closedBall z r1))
fatou : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
n : ℕ
fn : e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) ≤ ∫⁻ (a : ℂ) in closedBall z r1, f n a
w : ℂ
ws : w ∈ closedBall z (r2 - r1)
⊢ f n w ≥ d
Tactic:
calc d
  _ = e * (ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹) := by rw [rde]
  _ = e * ENNReal.ofReal (π * r1 ^ 2) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ := by rw [mul_assoc]
  _ ≤ (∫⁻ v in closedBall z r1, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ :=
    (ENNReal.mul_right_mono fn)
  _ ≤ (∫⁻ v in closedBall w r2, f n v) * ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ :=
    (ENNReal.mul_right_mono (lintegral_mono_set (s12 w ws)))
  _ = ENNReal.ofReal (π * r2 ^ 2)⁻¹ * ∫⁻ v in closedBall w r2, f n v := by rw [mul_comm]
  _ ≤ f n w := (fs n).supmean w r2 r2p (r2s w ws)
Proof state after:
no goals
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case pos
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : d = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k, f n z ≥ d
Tactic:
simp only [dz, ge_iff_le, zero_le', imp_true_iff, Filter.eventually_atTop, exists_const]
Proof state after:
no goals
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.he
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ ∅, f n z ≥ d
Tactic:
simp only [Set.mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, Filter.eventually_atTop, imp_true_iff,
  exists_const]
Proof state after:
no goals