internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ x_1 : Fin (n + 1),
      ↑(Nat.choose n ↑x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑x_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑x_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : Fin (n + 1),
      ∑ x_2 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑x_1) },
        ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i x_1 ↑x_2)) *
          ∏ x_3 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_3 ↑(Sym.fill i x_1 ↑x_2)) (f x_3) s x‖
Tactic:
refine Finset.sum_le_sum ?_
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
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inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
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N : ℕ∞
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IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
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        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∀ i_1 ∈ Finset.univ,
    ↑(Nat.choose n ↑i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑i_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
      ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑i_1) },
        ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) *
          ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
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A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
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N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
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i : ι
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hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∀ i_1 ∈ Finset.univ,
    ↑(Nat.choose n ↑i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑i_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
      ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑i_1) },
        ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) *
          ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Tactic:
simp only [Finset.mem_univ, forall_true_left]
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case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
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X : Type u_2
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∀ (i_1 : Fin (n + 1)),
    ↑(Nat.choose n ↑i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑i_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
      ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑i_1) },
        ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) *
          ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∀ (i_1 : Fin (n + 1)),
    ↑(Nat.choose n ↑i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑i_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑i_1) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
      ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑i_1) },
        ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) *
          ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i i_1 ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Tactic:
intro m
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
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m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
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N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
⊢ ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
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m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p in Finset.sym u n,
            ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
⊢ ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Tactic:
specialize IH hf.2 (n := n - m) (le_trans (WithTop.coe_le_coe.mpr (n.sub_le m)) hn)
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
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f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
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IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
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hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun y => ∏ i in u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Tactic:
refine le_trans (mul_le_mul_of_nonneg_left IH (by simp [mul_nonneg])) ?_
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
        ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
        ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖ ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Tactic:
rw [Finset.mul_sum, ← Finset.sum_coe_sort]
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ∑ i_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
        (↑(Multiset.multinomial ↑↑i_1) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖) ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Theorem: norm_iteratedFDerivWithin_prod_le
Proof state before:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ∑ i_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
        (↑(Multiset.multinomial ↑↑i_1) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖) ≤
    ∑ x_1 : { x // x ∈ Finset.sym u (n - ↑m) },
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) *
        ∏ x_2 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Tactic:
refine Finset.sum_le_sum ?_
Proof state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
A' : Type u_3
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x => ∏ j in u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p in Finset.sym u (n - ↑m),
      ↑(Multiset.multinomial ↑p) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
⊢ ∀ i_1 ∈ Finset.univ,
    ↑(Nat.choose n ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
        (↑(Multiset.multinomial ↑↑i_1) * ∏ j in u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖) ≤
      ↑(Multiset.multinomial ↑(Sym.fill i m ↑i_1)) *
        ∏ x_1 in insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_1 ↑(Sym.fill i m ↑i_1)) (f x_1) s x‖