internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
⊢ s ⊆ {x | HolomorphicAt I J f x}
Tactic:
exact fa
Proof state after:
no goals
Theorem: HolomorphicOn.continuousOn_tangentMap
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
s : Set M
fa : HolomorphicOn I J f s
t : Set M
ht : {x | HolomorphicAt I J f x} = t
o : IsOpen t
sub : s ⊆ t
⊢ HolomorphicOn I J f t
Tactic:
simp only [HolomorphicOn, mem_setOf_eq, imp_self, implies_true, ← ht]
Proof state after:
no goals
Theorem: extChartAt_symm_map_nhds'
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x).symm) (𝓝 (↑(extChartAt I x) x)) = 𝓝 x
Tactic:
convert extChartAt_symm_map_nhds (mem_extChartAt_target I x)
Proof state after:
case h.e'_3.h.e'_3
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ x = ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x)
Theorem: extChartAt_symm_map_nhds'
Proof state before:
case h.e'_3.h.e'_3
𝕜 : Type
inst✝²⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁶ : CompleteSpace E
inst✝²⁵ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²² : CompleteSpace F
inst✝²¹ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace D
M✝ : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹³ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹² : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹¹ : TopologicalSpace P
inst✝¹⁰ : I✝.Boundaryless
inst✝⁹ : ChartedSpace A M✝
cm : AnalyticManifold I✝ M✝
inst✝⁸ : J.Boundaryless
inst✝⁷ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁶ : K.Boundaryless
inst✝⁵ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝⁴ : L.Boundaryless
inst✝³ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝² : I.Boundaryless
M : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace A M
x : M
⊢ x = ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x)
Tactic:
simp only [PartialEquiv.left_inv _ (mem_extChartAt_source I x)]
Proof state after:
no goals
Theorem: AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
Tactic:
have p := Module.punctured_nhds_neBot 𝕜 E (extChartAt I x x)
Proof state after:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : (𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x).NeBot
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
Theorem: AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : (𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x).NeBot
⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
Tactic:
simp only [← Filter.frequently_true_iff_neBot, frequently_nhdsWithin_iff, ←
  extChartAt_symm_map_nhds' I x, Filter.frequently_map, true_and_iff,
  mem_compl_singleton_iff] at p ⊢
Proof state after:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∃ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), ↑(extChartAt I x).symm a ≠ x
Theorem: AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∃ᶠ (a : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), ↑(extChartAt I x).symm a ≠ x
Tactic:
apply p.mp
Proof state after:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x
Theorem: AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x
Tactic:
apply ((isOpen_extChartAt_target I x).eventually_mem (mem_extChartAt_target I x)).mp
Proof state after:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x),
    x_1 ∈ (extChartAt I x).target → x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x
Theorem: AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x),
    x_1 ∈ (extChartAt I x).target → x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x → ↑(extChartAt I x).symm x_1 ≠ x
Tactic:
refine eventually_of_forall fun y m h ↦ ?_
Proof state after:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : y ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
Theorem: AnalyticManifold.punctured_nhds_neBot
Proof state before:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : y ≠ ↑(extChartAt I x) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
Tactic:
contrapose h
Proof state after:
𝕜 : Type
inst✝²⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁵ : CompleteSpace E
inst✝²⁴ : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝²¹ : CompleteSpace F
inst✝²⁰ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace D
M : Type
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹² : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝¹¹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace P
inst✝⁹ : I✝.Boundaryless
inst✝⁸ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I✝ M
inst✝⁷ : J.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝⁵ : K.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝³ : L.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : Nontrivial E
x : M
p : ∃ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 (↑(extChartAt I x) x), x_1 ≠ ↑(extChartAt I x) x
y : E
m : y ∈ (extChartAt I x).target
h : ¬↑(extChartAt I x).symm y ≠ x
⊢ ¬y ≠ ↑(extChartAt I x) x