Theorem: lh_pow_free'
Proof state before:
case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
by_cases ha₂ : ↑p ∣ a₂
Proof state after:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ↑↑p ∣ a₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)