Theorem: Sieve.selbergBoundingSum_ge_sum_div
Proof state before:
case h
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ √s.level ≤ s.level

case pos.h₂
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ 1 ≤ (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p

case pos.c0
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ 0 ≤ 1

case pos.b0
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ 0 ≤ ⌊s.level⌋₊

s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
⊢ m ≠ 0
Tactic:
apply sqrt_le_self _ s.one_le_level
Proof state after:
case pos.h₂
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ 1 ≤ (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p

case pos.c0
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ 0 ≤ 1

case pos.b0
s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
p : ℕ
hy_mul_prod_nonneg : 0 ≤ ⌊s.level⌋₊ * (∏ p ∈ m.primeFactors, p).factorization p
hpp : p.Prime
hpdvd : p ∣ m
⊢ 0 ≤ ⌊s.level⌋₊

s : SelbergSieve
hP : ∀ (p : ℕ), p.Prime → ↑p ≤ s.level → p ∣ s.prodPrimes
hnu : CompletelyMultiplicative s.nu
hnu_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ s.nu n
hnu_lt : ∀ (p : ℕ), p.Prime → p ∣ s.prodPrimes → s.nu p < 1
m : ℕ
hm : 1 ≤ m ∧ ↑m ≤ √s.level
hprod_pos : 0 < ∏ p ∈ m.primeFactors, p
hprod_ne_zero : (∏ p ∈ m.primeFactors, p) ^ ⌊s.level⌋₊ ≠ 0
hm_ne_zero : m ≠ 0
⊢ m ≠ 0