Theorem: HDiv.hDiv.arg_a0a1.revDerivProjUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → K
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDerivProj K Unit (fun x => f x / g x) x;
      (ydf'.1, fun i de dx => dx + ydf'.2 i de)) =
    fun x =>
    let ydf := revDerivUpdate K f x;
    let zdg := revDerivUpdate K g x;
    (ydf.1 / zdg.1, fun x dx' dx =>
      let c := 1 / (starRingEnd K) zdg.1 ^ 2;
      let a := -(c * (starRingEnd K) ydf.1);
      let b := c * (starRingEnd K) zdg.1;
      zdg.2 (a • dx') (ydf.2 (b • dx') dx))
Tactic:
fun_trans (disch:=assumption)
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f g : X → K
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
⊢ (fun x =>
      (f x / g x, fun i de dx =>
        dx +
          ((starRingEnd K) (g x) ^ 2)⁻¹ •
            (revDerivUpdate K (fun x => g x) x).2 (-((starRingEnd K) (f x) * de))
              ((starRingEnd K) (g x) • (revDeriv K (fun x => f x) x).2 de))) =
    fun x =>
    (f x / g x, fun x_1 dx' dx =>
      (revDerivUpdate K g x).2 (-(((starRingEnd K) (g x) ^ 2)⁻¹ * (starRingEnd K) (f x) * dx'))
        ((revDerivUpdate K f x).2 (((starRingEnd K) (g x) ^ 2)⁻¹ * (starRingEnd K) (g x) * dx') dx))