internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝¹ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z✝ : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z✝
xt' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
y : E
m : y ∈ (extChartAt J x).target
e✝ : ↑(extChartAt J x).symm y ∈ {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g}
z : E
e : f (↑(extChartAt J x).symm z) = g (↑(extChartAt J x).symm z)
⊢ d z = 0 z
Tactic:
simp only [← hd, Pi.zero_apply, sub_eq_zero, ex, e]
Proof state after:
no goals
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
Tactic:
apply xt.mp
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t
Tactic:
apply ((isOpen_extChartAt_source J x).eventually_mem (mem_extChartAt_source J x)).mp
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ (extChartAt J x).source → x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝 x, x_1 ∈ (extChartAt J x).source → x_1 ∈ t → ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) x_1) ∈ t
Tactic:
refine eventually_of_forall fun y m e ↦ ?_
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ ↑(extChartAt J x).symm (↑(extChartAt J x) y) ∈ t
Tactic:
rw [(extChartAt J x).left_inv m]
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ y ∈ t
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e✝ : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
y : M
m : y ∈ (extChartAt J x).source
e : y ∈ t
⊢ y ∈ t
Tactic:
exact e
Proof state after:
no goals
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ d z
Tactic:
rw [← hd, ← hz]
Proof state after:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ
    (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y)))
    (↑(extChartAt J x) x)
Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
x : M
xs : x ∈ s
xt : ∃ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ t
ex' : ∃ᶠ (y : M) in 𝓝 x, f y = g y
ex : f x = g x
d : E → F
hd :
  (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y))) =
    d
z : E
hz : ↑(extChartAt J x) x = z
d0 : ∃ᶠ (y : E) in 𝓝 z, (𝓝 y).EventuallyEq d 0
⊢ AnalyticAt ℂ
    (fun y =>
      ↑(extChartAt K (f x)) (f (↑(extChartAt J x).symm y)) - ↑(extChartAt K (g x)) (g (↑(extChartAt J x).symm y)))
    (↑(extChartAt J x) x)
Tactic:
exact (fa _ xs).2.sub (ga _ xs).2
Proof state after:
no goals
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
⊢ ConvexOn ℝ univ fun p => max p.1 p.2
Tactic:
apply ConvexOn.sup
Proof state after:
case hf

⊢ ConvexOn ℝ univ fun p => p.1

case hg

⊢ ConvexOn ℝ univ fun p => p.2
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
case hf

⊢ ConvexOn ℝ univ fun p => p.1
Tactic:
use convex_univ
Proof state after:
case right

⊢ ∀ ⦃x : ℝ × ℝ⦄,
    x ∈ univ → ∀ ⦃y : ℝ × ℝ⦄, y ∈ univ → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (a • x + b • y).1 ≤ a • x.1 + b • y.1
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
case right

⊢ ∀ ⦃x : ℝ × ℝ⦄,
    x ∈ univ → ∀ ⦃y : ℝ × ℝ⦄, y ∈ univ → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (a • x + b • y).1 ≤ a • x.1 + b • y.1
Tactic:
intros
Proof state after:
case right
x✝ : ℝ × ℝ
a✝⁵ : x✝ ∈ univ
y✝ : ℝ × ℝ
a✝⁴ : y✝ ∈ univ
a✝³ b✝ : ℝ
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ (a✝³ • x✝ + b✝ • y✝).1 ≤ a✝³ • x✝.1 + b✝ • y✝.1
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
case right
x✝ : ℝ × ℝ
a✝⁵ : x✝ ∈ univ
y✝ : ℝ × ℝ
a✝⁴ : y✝ ∈ univ
a✝³ b✝ : ℝ
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ (a✝³ • x✝ + b✝ • y✝).1 ≤ a✝³ • x✝.1 + b✝ • y✝.1
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
case hg

⊢ ConvexOn ℝ univ fun p => p.2
Tactic:
use convex_univ
Proof state after:
case right

⊢ ∀ ⦃x : ℝ × ℝ⦄,
    x ∈ univ → ∀ ⦃y : ℝ × ℝ⦄, y ∈ univ → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (a • x + b • y).2 ≤ a • x.2 + b • y.2
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
case right

⊢ ∀ ⦃x : ℝ × ℝ⦄,
    x ∈ univ → ∀ ⦃y : ℝ × ℝ⦄, y ∈ univ → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (a • x + b • y).2 ≤ a • x.2 + b • y.2
Tactic:
intros
Proof state after:
case right
x✝ : ℝ × ℝ
a✝⁵ : x✝ ∈ univ
y✝ : ℝ × ℝ
a✝⁴ : y✝ ∈ univ
a✝³ b✝ : ℝ
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ (a✝³ • x✝ + b✝ • y✝).2 ≤ a✝³ • x✝.2 + b✝ • y✝.2
Theorem: convexOn_max
Proof state before:
case right
x✝ : ℝ × ℝ
a✝⁵ : x✝ ∈ univ
y✝ : ℝ × ℝ
a✝⁴ : y✝ ∈ univ
a✝³ b✝ : ℝ
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ (a✝³ • x✝ + b✝ • y✝).2 ≤ a✝³ • x✝.2 + b✝ • y✝.2
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: ContinuousOn.partialSups
Proof state before:
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℕ → A → ℝ
s : Set A
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) n) s
Tactic:
induction' n with n h
Proof state after:
case zero
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℕ → A → ℝ
s : Set A
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
⊢ ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) 0) s

case succ
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℕ → A → ℝ
s : Set A
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
n : ℕ
h : ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) n) s
⊢ ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) (n + 1)) s
Theorem: ContinuousOn.partialSups
Proof state before:
case zero
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℕ → A → ℝ
s : Set A
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
⊢ ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) 0) s

case succ
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℕ → A → ℝ
s : Set A
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
n : ℕ
h : ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) n) s
⊢ ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) (n + 1)) s
Tactic:
simp [fc 0]
Proof state after:
case succ
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
f : ℕ → A → ℝ
s : Set A
fc : ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (f n) s
n : ℕ
h : ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) n) s
⊢ ContinuousOn (fun x => (_root_.partialSups fun k => f k x) (n + 1)) s