internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.Prod.mk.arg_fstsnd.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
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ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
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inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (g x, f x)) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
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Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
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X : Type u_2
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inst✝³ : IndexType ι
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E : ι → Type ?u.22702
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hg : HasAdjDiff K g
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hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (g x, f x)) x

case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
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Y✝ : Type ?u.22558
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Z✝ : Type ?u.22569
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ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
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⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)
Theorem: SciLean.Prod.mk.arg_fstsnd.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
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⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (g x, f x)) x

case right
K✝ : Type ?u.22539
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Y✝ : Type ?u.22558
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ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
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E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
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K : Type u_1
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⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.22539
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Y✝ : Type ?u.22558
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inst✝¹² : IndexType ι✝
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E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
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K : Type u_1
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hf : HasAdjDiff K f
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⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)
Theorem: SciLean.Prod.mk.arg_fstsnd.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
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ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
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⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => g x) x dx, cderiv K (fun x => f x) x dx)
Theorem: SciLean.Prod.mk.arg_fstsnd.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => g x) x dx, cderiv K (fun x => f x) x dx)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.Prod.fst.arg_self.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
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Y : Type u_1
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W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (f x).1) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (f x).1) x

case right
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).1) x)
Theorem: SciLean.Prod.fst.arg_self.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (f x).1) x

case right
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).1) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).1) x)
Theorem: SciLean.Prod.fst.arg_self.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).1) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => f x) x dx).1
Theorem: SciLean.Prod.fst.arg_self.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.24708
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.24714
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.24727
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.24738
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.24749
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.24776
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.24833
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.24844
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.24871
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => f x) x dx).1
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.Prod.fst.arg_self.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.26502
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.26508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.26521
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.26532
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.26543
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.26570
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26627
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26638
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26665
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ HasAdjDiff K fun x => (f x).1
Tactic:
intro x
Proof state after:
K✝ : Type ?u.26502
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.26508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.26521
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.26532
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.26543
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.26570
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26627
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26638
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26665
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (f x).1) x
Theorem: SciLean.Prod.fst.arg_self.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.26502
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.26508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.26521
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.26532
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.26543
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.26570
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26627
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26638
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26665
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (f x).1) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.Prod.snd.arg_self.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (f x).2) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (f x).2) x

case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).2) x)