internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMap
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ (fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMap g f) f) df =
    (∑ i : ι, ContinuousLinearMap.comp (compContinuousLinearMapUpdate g i f) (ContinuousLinearMap.proj i)) df
Tactic:
rw [fderiv_compContinuousLinearMap_apply]
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ ∑ j : ι, compContinuousLinearMap g (Function.update f j (df j)) =
    (∑ i : ι, ContinuousLinearMap.comp (compContinuousLinearMapUpdate g i f) (ContinuousLinearMap.proj i)) df

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMap g f) f
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMap
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
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D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ ∑ j : ι, compContinuousLinearMap g (Function.update f j (df j)) =
    (∑ i : ι, ContinuousLinearMap.comp (compContinuousLinearMapUpdate g i f) (ContinuousLinearMap.proj i)) df
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMap
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
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D : Type u_3
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMap g f) f
Tactic:
sorry
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no goals
Theorem: ContinuousMultilinearMap.hasFDerivAt_compContinuousLinearMapL
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𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
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D : Type u_3
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ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
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f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q : ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ HasFDerivAt (fun f => compContinuousLinearMapL f) q f
Tactic:
sorry
Proof state after:
no goals
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
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D : Type u_3
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f = q f
Tactic:
refine ContinuousLinearMap.ext ?_
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i), (fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) x = (q f) x
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i), (fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) x = (q f) x
Tactic:
intro df
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ (fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) df = (q f) df
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ (fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) df = (q f) df
Tactic:
refine ContinuousLinearMap.ext ?_
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ ∀ (x : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G),
    ((fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) df) x = ((q f) df) x
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
⊢ ∀ (x : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G),
    ((fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) df) x = ((q f) df) x
Tactic:
intro m
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ ((fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) df) m = ((q f) df) m
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
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inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ ((fderiv 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f) df) m = ((q f) df) m
Tactic:
rw [← fderiv_clm_apply_comm]
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
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⊢ (fderiv 𝕜 (fun y => (compContinuousLinearMapL y) m) f) df = ((q f) df) m

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun f => compContinuousLinearMapL f) f
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ (fderiv 𝕜 (fun y => (compContinuousLinearMapL y) m) f) df = ((q f) df) m
Tactic:
simp only [compContinuousLinearMapL_apply]
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ (fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f) df = ((q f) df) m
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ (fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f) df = ((q f) df) m
Tactic:
refine ContinuousMultilinearMap.ext ?_
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i), ((fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f) df) x = (((q f) df) m) x
Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i), ((fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f) df) x = (((q f) df) m) x
Tactic:
intro x
Proof state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
x : (i : ι) → E i
⊢ ((fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f) df) x = (((q f) df) m) x