internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ (fun x => ( ∑ i, f x i, fun y =>  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) y)) = fun x =>
    ( ∑ i, f x i, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy)
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
⊢ ( ∑ i, f x i, fun y =>  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) y) =
    ( ∑ i, f x i, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy)
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDeriv_rule
Proof state before:
case h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
⊢ ( ∑ i, f x i, fun y =>  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) y) =
    ( ∑ i, f x i, fun dy => semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy)
Tactic:
simp
Proof state after:
case h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
⊢ (fun y =>  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) y) = fun dy =>
    semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDeriv_rule
Proof state before:
case h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
⊢ (fun y =>  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) y) = fun dy =>
    semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy
Tactic:
funext dy
Proof state after:
case h.h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
dy : Y
⊢  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) dy = semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDeriv_rule
Proof state before:
case h.h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
dy : Y
⊢  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) dy = semiAdjoint K (cderiv K f x) fun x => dy
Tactic:
conv => rhs; rw[cderiv.pi_rule (hf := by fun_prop)];
Proof state after:
case h.h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
dy : Y
⊢  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) dy =
    semiAdjoint K ((fun x dx i => cderiv K (fun x => f x i) x dx) x) fun x => dy
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDeriv_rule
Proof state before:
case h.h
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
dy : Y
⊢  ∑ i, semiAdjoint K (fun x_1 => cderiv K (fun x => f x i) x x_1) dy =
    semiAdjoint K ((fun x dx i => cderiv K (fun x => f x i) x dx) x) fun x => dy
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
dy : Y
⊢ ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ (revDerivUpdate K fun x =>  ∑ i, f x i) = fun x =>
    let ydf := revDerivUpdate K f x;
    ( ∑ i, ydf.1 i, fun dy dx => ydf.2 (fun x => dy) dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ( ∑ i, ydf.1 i, fun dy dx => ydf.2 (fun x => dy) dx)
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁹ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁵ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁴ : IndexType Xi
inst✝²³ : LawfulIndexType Xi
inst✝²² : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²¹ : StructType Y' Yi YI
inst✝²⁰ : IndexType Yi
inst✝¹⁹ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁸ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁷ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁶ : IndexType Zi
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁴ : DecidableEq Zi
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹² : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁹ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁶ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝³ : IndexType ι✝
inst✝² : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ( ∑ i, ydf.1 i, fun dy dx => ydf.2 (fun x => dy) dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: IndexType.sum.arg_f.revDerivProj_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝³⁰ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁹ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁶ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁵ : IndexType Xi
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Xi
inst✝²³ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²² : StructType Y' Yi YI
inst✝²¹ : IndexType Yi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁸ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁷ : IndexType Zi
inst✝¹⁶ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁵ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹³ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹² : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁰ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁷ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝⁴ : IndexType ι✝
inst✝³ : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝² : IndexType ι
inst✝¹ : LawfulIndexType ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : X → ι → Y'
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ (revDerivProj K Yi fun x =>  ∑ i, f x i) = fun x =>
    let ydf := revDerivProjUpdate K (ι × Yi) f x;
    ( ∑ i, ydf.1 i, fun j dy => fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => ydf.2 (i, j) dy dx) 0)
Tactic:
unfold revDerivProj
Proof state after:
K : Type
inst✝³⁰ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁹ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁸ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁷ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²⁶ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁵ : IndexType Xi
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Xi
inst✝²³ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝²² : StructType Y' Yi YI
inst✝²¹ : IndexType Yi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁸ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁷ : IndexType Zi
inst✝¹⁶ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁵ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹³ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹² : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁰ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁷ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι✝ : Type
inst✝⁴ : IndexType ι✝
inst✝³ : LawfulIndexType ι✝
ι : Type
inst✝² : IndexType ι
inst✝¹ : LawfulIndexType ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : X → ι → Y'
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
⊢ (fun x =>
      let ydf' := revDeriv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x;
      (ydf'.1, fun i de => ydf'.2 (oneHot i de))) =
    fun x =>
    let ydf := revDerivProjUpdate K (ι × Yi) f x;
    ( ∑ i, ydf.1 i, fun j dy => fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => ydf.2 (i, j) dy dx) 0)