internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => c • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => c • cderiv K (fun x => g x) x dx
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => c • cderiv K (fun x => g x) x dx
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.53539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.53545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.53558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.53569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.53580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.53607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.53653
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.53664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.53675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.53702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
⊢ HasAdjDiff K fun x => c • g x
Tactic:
intro x
Proof state after:
K✝ : Type ?u.53539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.53545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.53558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.53569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.53580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.53607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.53653
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.53664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.53675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.53702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => c • g x) x
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.53539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.53545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.53558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.53569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.53580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.53607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.53653
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.53664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.53675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.53702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => c • g x) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x • g x) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => f x • cderiv K (fun x => g x) x dx + cderiv K (fun x => f x) x dx • g x
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => f x • cderiv K (fun x => g x) x dx + cderiv K (fun x => f x) x dx • g x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.61054
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.61060
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.61073
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.61084
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.61095
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.61122
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.61157
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.61168
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.61179
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.61190
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.61217
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ HasAdjDiff K fun x => f x • g x
Tactic:
intro x
Proof state after:
K✝ : Type ?u.61054
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.61060
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.61073
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.61084
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.61095
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.61122
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.61157
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.61168
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.61179
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.61190
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.61217
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x • g x) x
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.61054
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.61060
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.61073
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.61084
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.61095
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.61122
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.61157
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.61168
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.61179
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.61190
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.61217
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x • g x) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x

case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)