Theorem: newmans_lemma
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.left
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
norm_R : normalizing R
weak : weakly_confluent R
x✝ : A
norm_trans : normalizing fun x x_1 => trans_clos R x x_1
y✝ z✝ : A
wedge✝ : refl_trans_clos R x✝ y✝ ∧ refl_trans_clos R x✝ z✝
x : A
ih : ∀ (y : A), trans_clos R x y → ∀ (y_1 z : A), refl_trans_clos R y y_1 ∧ refl_trans_clos R y z → joins R y_1 z
y z : A
wedge : refl_trans_clos R x y ∧ refl_trans_clos R x z
y' : A
red_x_y' : R x y'
red_y'_y : refl_trans_clos R y' y
z' : A
red_x_z' : R x z'
red_z'_z : refl_trans_clos R z' z
w : A
h' : refl_trans_clos R y' w ∧ refl_trans_clos R z' w
w1 : A
h1 : refl_trans_clos R y w1 ∧ refl_trans_clos R w w1
w2 : A
h2 : refl_trans_clos R z w2 ∧ refl_trans_clos R w w2
red_x_w : trans_clos R x w
omega : A
h3 : refl_trans_clos R w1 omega ∧ refl_trans_clos R w2 omega
⊢ refl_trans_clos R y omega
Tactic:
apply refl_trans_clos_transitive
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.left.a
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
norm_R : normalizing R
weak : weakly_confluent R
x✝ : A
norm_trans : normalizing fun x x_1 => trans_clos R x x_1
y✝ z✝ : A
wedge✝ : refl_trans_clos R x✝ y✝ ∧ refl_trans_clos R x✝ z✝
x : A
ih : ∀ (y : A), trans_clos R x y → ∀ (y_1 z : A), refl_trans_clos R y y_1 ∧ refl_trans_clos R y z → joins R y_1 z
y z : A
wedge : refl_trans_clos R x y ∧ refl_trans_clos R x z
y' : A
red_x_y' : R x y'
red_y'_y : refl_trans_clos R y' y
z' : A
red_x_z' : R x z'
red_z'_z : refl_trans_clos R z' z
w : A
h' : refl_trans_clos R y' w ∧ refl_trans_clos R z' w
w1 : A
h1 : refl_trans_clos R y w1 ∧ refl_trans_clos R w w1
w2 : A
h2 : refl_trans_clos R z w2 ∧ refl_trans_clos R w w2
red_x_w : trans_clos R x w
omega : A
h3 : refl_trans_clos R w1 omega ∧ refl_trans_clos R w2 omega
⊢ refl_trans_clos R y ?intro.intro.intro.intro.left.y

case intro.intro.intro.intro.left.a
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
norm_R : normalizing R
weak : weakly_confluent R
x✝ : A
norm_trans : normalizing fun x x_1 => trans_clos R x x_1
y✝ z✝ : A
wedge✝ : refl_trans_clos R x✝ y✝ ∧ refl_trans_clos R x✝ z✝
x : A
ih : ∀ (y : A), trans_clos R x y → ∀ (y_1 z : A), refl_trans_clos R y y_1 ∧ refl_trans_clos R y z → joins R y_1 z
y z : A
wedge : refl_trans_clos R x y ∧ refl_trans_clos R x z
y' : A
red_x_y' : R x y'
red_y'_y : refl_trans_clos R y' y
z' : A
red_x_z' : R x z'
red_z'_z : refl_trans_clos R z' z
w : A
h' : refl_trans_clos R y' w ∧ refl_trans_clos R z' w
w1 : A
h1 : refl_trans_clos R y w1 ∧ refl_trans_clos R w w1
w2 : A
h2 : refl_trans_clos R z w2 ∧ refl_trans_clos R w w2
red_x_w : trans_clos R x w
omega : A
h3 : refl_trans_clos R w1 omega ∧ refl_trans_clos R w2 omega
⊢ refl_trans_clos R ?intro.intro.intro.intro.left.y omega

case intro.intro.intro.intro.left.y
A : Type
R : A → A → Prop
inhabited_A : Nonempty A
norm_R : normalizing R
weak : weakly_confluent R
x✝ : A
norm_trans : normalizing fun x x_1 => trans_clos R x x_1
y✝ z✝ : A
wedge✝ : refl_trans_clos R x✝ y✝ ∧ refl_trans_clos R x✝ z✝
x : A
ih : ∀ (y : A), trans_clos R x y → ∀ (y_1 z : A), refl_trans_clos R y y_1 ∧ refl_trans_clos R y z → joins R y_1 z
y z : A
wedge : refl_trans_clos R x y ∧ refl_trans_clos R x z
y' : A
red_x_y' : R x y'
red_y'_y : refl_trans_clos R y' y
z' : A
red_x_z' : R x z'
red_z'_z : refl_trans_clos R z' z
w : A
h' : refl_trans_clos R y' w ∧ refl_trans_clos R z' w
w1 : A
h1 : refl_trans_clos R y w1 ∧ refl_trans_clos R w w1
w2 : A
h2 : refl_trans_clos R z w2 ∧ refl_trans_clos R w w2
red_x_w : trans_clos R x w
omega : A
h3 : refl_trans_clos R w1 omega ∧ refl_trans_clos R w2 omega
⊢ A