Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪semiAdjoint K g y✝.1, x✝⟫_K + ⟪semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝
Tactic:
rw[semiAdjoint_move]
Proof state after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

case hx
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝