Theorem: descent_gcd3
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
refine' ⟨A, B, C, HApos, HBpos, HCpos, _, _⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ Int.natAbs (A ^ 3 * B ^ 3 * C ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s))

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ A ^ 3 + B ^ 3 = C ^ 3