internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
⊢ ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X, t < f x y0
Tactic:
by_contra hinfi_le
Proof state after:
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ¬∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X, t < f x y0
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ¬∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X, t < f x y0
⊢ False
Tactic:
push_neg at hinfi_le
Proof state after:
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ False
Tactic:
obtain ⟨a, ha, ha'⟩ := LowerSemicontinuousOn.exists_forall_le_of_isCompact
  ne_X kX (f := fun x ↦ f x y1 ⊔ f x y2) (by
    apply LowerSemicontinuousOn.sup
    exact hfy y1 hy1
    exact hfy y2 hy2)
Proof state after:
case intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
case intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
⊢ False
Tactic:
obtain ⟨t', htt', ht'⟩ := exists_between (ht a ha)
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
⊢ False
Tactic:
let J1 := J X Y f t t' ⟨y1, hy1⟩ ⟨y2, hy2⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
⊢ False
Tactic:
have mem_J1_iff : ∀ (z : F) (hz : z ∈ segment ℝ y1 y2),
    ⟨z, hz⟩ ∈ J1 ↔ ERealSion.C X f t z ⊆ ERealSion.C X f t' y1 :=
  fun z _ ↦ by simp [J1, J]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
mem_J1_iff :
  ∀ (z : F) (hz : z ∈ segment ℝ y1 y2), { val := z, property := hz } ∈ J1 ↔ ERealSion.C X f t z ⊆ ERealSion.C X f t' y1
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
mem_J1_iff :
  ∀ (z : F) (hz : z ∈ segment ℝ y1 y2), { val := z, property := hz } ∈ J1 ↔ ERealSion.C X f t z ⊆ ERealSion.C X f t' y1
⊢ False
Tactic:
let φ : segment ℝ y1 y2 ≃ₜ segment ℝ y2 y1 := by
  apply Homeomorph.subtype (Homeomorph.refl F)
  intro x
  rw [segment_symm ℝ y2 y1]
  simp only [Homeomorph.refl_apply, id_eq]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
mem_J1_iff :
  ∀ (z : F) (hz : z ∈ segment ℝ y1 y2), { val := z, property := hz } ∈ J1 ↔ ERealSion.C X f t z ⊆ ERealSion.C X f t' y1
φ : ↑(segment ℝ y1 y2) ≃ₜ ↑(segment ℝ y2 y1) := Homeomorph.subtype (Homeomorph.refl F) ⋯
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
mem_J1_iff :
  ∀ (z : F) (hz : z ∈ segment ℝ y1 y2), { val := z, property := hz } ∈ J1 ↔ ERealSion.C X f t z ⊆ ERealSion.C X f t' y1
φ : ↑(segment ℝ y1 y2) ≃ₜ ↑(segment ℝ y2 y1) := Homeomorph.subtype (Homeomorph.refl F) ⋯
⊢ False
Tactic:
let J2 := φ ⁻¹' (J X Y f t t' ⟨y2, hy2⟩ ⟨y1, hy1⟩)
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : ∀ x ∈ X, f a y1 ⊔ f a y2 ≤ f x y1 ⊔ f x y2
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < f a y1 ⊔ f a y2
J1 : Set ↑(segment ℝ ↑{ val := y1, property := hy1 } ↑{ val := y2, property := hy2 }) :=
  ERealSion.J X Y f t t' { val := y1, property := hy1 } { val := y2, property := hy2 }
mem_J1_iff :
  ∀ (z : F) (hz : z ∈ segment ℝ y1 y2), { val := z, property := hz } ∈ J1 ↔ ERealSion.C X f t z ⊆ ERealSion.C X f t' y1
φ : ↑(segment ℝ y1 y2) ≃ₜ ↑(segment ℝ y2 y1) := Homeomorph.subtype (Homeomorph.refl F) ⋯
J2 : Set ↑(segment ℝ y1 y2) :=
  ⇑φ ⁻¹' ERealSion.J X Y f t t' { val := y2, property := hy2 } { val := y1, property := hy1 }
⊢ False
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y1 ⊔ f x y2) X
Tactic:
apply LowerSemicontinuousOn.sup
Proof state after:
case hf
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y1) X

case hg
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y2) X
Theorem: ERealSion.exists_lt_iInf_of_lt_iInf_of_sup
Proof state before:
case hf
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y1) X

case hg
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y2) X
Tactic:
exact hfy y1 hy1
Proof state after:
case hg
β : Type u_3
E : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module ℝ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul ℝ E
F : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module ℝ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul ℝ F
X : Set E
ne_X : Set.Nonempty X
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
Y : Set F
ne_Y : Set.Nonempty Y
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
f : E → F → β
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DenselyOrdered β
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y => f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y => f x y
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x => f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < f x y1 ⊔ f x y2
hinfi_le : ∀ y0 ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ LowerSemicontinuousOn (fun x => f x y2) X