Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.dite.arg_te.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.51406
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.51412
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.51425
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.51436
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.51447
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.51458
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.51485
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.51531
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.51542
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.51553
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.51580
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → Y
ht : ∀ (p : c), HasSemiAdjoint K (t p)
e : ¬c → X → Y
he : ∀ (p : ¬c), HasSemiAdjoint K (e p)
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.51406
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.51412
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.51425
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.51436
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.51447
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.51458
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.51485
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.51531
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.51542
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.51553
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.51580
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
ht : ∀ (p : c), HasSemiAdjoint K (t p)
e : ¬c → X → Y
he : ∀ (p : ¬c), HasSemiAdjoint K (e p)
h✝ : ¬c
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x

case isTrue
K✝ : Type ?u.51406
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.51412
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.51425
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.51436
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.51447
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.51458
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.51485
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.51531
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.51542
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.51553
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.51580
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
ht : ∀ (p : c), HasSemiAdjoint K (t p)
e : ¬c → X → Y
he : ∀ (p : ¬c), HasSemiAdjoint K (e p)
h✝ : c
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x