internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
have hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
Proof state after:
case hC_g_nonneg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
⊢ 0 ≤ C_g

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
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inst✝² : NormedSpace ℝ E
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hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case hC_g_nonneg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
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hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
⊢ 0 ≤ C_g

case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
. have := le_trans (norm_nonneg _) (hC_g 0)
  simpa using this
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
Tactic:
use max k_f k_g
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∃ C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
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hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∃ C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
use C_f + C_g
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
⊢ ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
intro x
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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hf : HasTemperateGrowth f
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hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => f x + g x) x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
change ‖iteratedFDeriv ℝ n (f + g) x‖ ≤ _
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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hf : HasTemperateGrowth f
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hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (f + g) x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (f + g) x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
rw [iteratedFDeriv_add_apply (hf.1.of_le le_top) (hg.1.of_le le_top)]
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x + iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x + iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
refine le_trans (norm_add_le _ _) ?_
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ (C_f + C_g) * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
simp [add_mul]
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g + C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g + C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
refine add_le_add ?_ ?_
Proof state after:
case h.refine_1
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g

case h.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h.refine_1
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g

case h.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
. refine le_trans (hC_f x) ?_
  refine mul_le_mul_of_nonneg_left ?_ hC_f_nonneg
  exact pow_le_pow_right (by simp) (by simp)
Proof state after:
case h.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
. refine le_trans (hC_g x) ?_
  refine mul_le_mul_of_nonneg_left ?_ hC_g_nonneg
  exact pow_le_pow_right (by simp) (by simp)
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case hC_f_nonneg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
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k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
⊢ 0 ≤ C_f
Tactic:
have := le_trans (norm_nonneg _) (hC_f 0)
Proof state after:
case hC_f_nonneg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
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hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
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k_g : ℕ
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this : 0 ≤ C_f * (1 + ‖0‖) ^ k_f
⊢ 0 ≤ C_f
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case hC_f_nonneg
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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this : 0 ≤ C_f * (1 + ‖0‖) ^ k_f
⊢ 0 ≤ C_f
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case hC_g_nonneg
E : Type u_1
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⊢ 0 ≤ C_g
Tactic:
have := le_trans (norm_nonneg _) (hC_g 0)
Proof state after:
case hC_g_nonneg
E : Type u_1
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this : 0 ≤ C_g * (1 + ‖0‖) ^ k_g
⊢ 0 ≤ C_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
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case hC_g_nonneg
E : Type u_1
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⊢ 0 ≤ C_g
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
Proof state before:
case h.refine_1
E : Type u_1
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case h.refine_1
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⊢ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
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case h.refine_1
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⊢ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
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case h.refine_1
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⊢ (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.add
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⊢ (1 + ‖x‖) ^ k_f ≤ (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g
Tactic:
exact pow_le_pow_right (by simp) (by simp)
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⊢ 1 ≤ 1 + ‖x‖
Tactic:
simp
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n k_f : ℕ
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⊢ k_f ≤ max k_f k_g
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E : Type u_1
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f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
g : E → F
hg : HasTemperateGrowth g
n k_f : ℕ
C_f : ℝ
hC_f : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g : ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
hC_f_nonneg : 0 ≤ C_f
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⊢ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ max k_f k_g