internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdDeriv K (fun x i => f x i) x = fun dx => (fun i => f x i, fun i => (fwdDeriv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
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ι : Type u_4
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x : X
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x i => f x i) x, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx).2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type ?u.19078
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ι : Type u_4
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x i => f x i) x, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type u_1
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X : Type u_2
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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⊢ (fun dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K : Type u_1
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⊢ (fun i => f x✝ i, cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x) = (fun i => f x✝ i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at
Proof state before:
case h
K : Type u_1
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X : Type u_2
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Tactic:
simp
Proof state after:
case h
K : Type u_1
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X : Type u_2
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
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⊢ cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x = fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at
Proof state before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
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⊢ cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x = fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x
Tactic:
rw[cderiv.pi_rule_at (hf:=by fun_prop)]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Tactic:
fun_prop
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no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule
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K : Type u_1
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⊢ (fwdDeriv K fun x i => f x i) = fun x dx => (fun i => f x i, fun i => (fwdDeriv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type ?u.24208
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ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (fun x dx => ((fun x i => f x i) x, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun x dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx).2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (fun x dx => ((fun x i => f x i) x, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun x dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
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⊢ (fun x dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun x dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
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ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
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⊢ (fun dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule
Proof state before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.24208
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inst✝⁵ : Vec K Z
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inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
x : X
⊢ (fun dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Tactic:
rw[cderiv.pi_rule_at (hf:=by fun_prop)]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.24208
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inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
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hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
x : X
⊢ ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.mk.arg_fstsnd.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.28708
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.28719
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.28746
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x : X
g : X → Y
hg : CDifferentiableAt K g x
f : X → Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ fwdDeriv K (fun x => (g x, f x)) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K g x dx;
    let zdz := fwdDeriv K f x dx;
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.28708
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.28719
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.28746
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x : X
g : X → Y
hg : CDifferentiableAt K g x
f : X → Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (g x, f x)) x, cderiv K (fun x => (g x, f x)) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (g x, cderiv K g x dx);
    let zdz := (f x, cderiv K f x dx);
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.mk.arg_fstsnd.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.28708
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ι : Type ?u.28719
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.28746
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
g : X → Y
hg : CDifferentiableAt K g x
f : X → Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (g x, f x)) x, cderiv K (fun x => (g x, f x)) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (g x, cderiv K g x dx);
    let zdz := (f x, cderiv K f x dx);
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.mk.arg_fstsnd.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.30871
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.30882
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.30909
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
g : X → Y
hg : CDifferentiable K g
f : X → Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fwdDeriv K fun x => (g x, f x)) = fun x dx =>
    let ydy := fwdDeriv K g x dx;
    let zdz := fwdDeriv K f x dx;
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.30871
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.30882
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.30909
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
g : X → Y
hg : CDifferentiable K g
f : X → Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fun x dx => ((fun x => (g x, f x)) x, cderiv K (fun x => (g x, f x)) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (g x, cderiv K g x dx);
    let zdz := (f x, cderiv K f x dx);
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.mk.arg_fstsnd.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.30871
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.30882
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.30909
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g : X → Y
hg : CDifferentiable K g
f : X → Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fun x dx => ((fun x => (g x, f x)) x, cderiv K (fun x => (g x, f x)) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (g x, cderiv K g x dx);
    let zdz := (f x, cderiv K f x dx);
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.fst.arg_self.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.33201
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.33212
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33239
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ fwdDeriv K (fun x => (f x).1) x = fun dx =>
    let yzdyz := fwdDeriv K f x dx;
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.33201
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.33212
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33239
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (f x).1) x, cderiv K (fun x => (f x).1) x dx)) = fun dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.fst.arg_self.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.33201
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.33212
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33239
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (f x).1) x, cderiv K (fun x => (f x).1) x dx)) = fun dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.fst.arg_self.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.35177
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.35188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.35215
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fwdDeriv K fun x => (f x).1) = fun x dx =>
    let yzdyz := fwdDeriv K f x dx;
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.35177
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.35188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.35215
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fun x dx => ((fun x => (f x).1) x, cderiv K (fun x => (f x).1) x dx)) = fun x dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.fst.arg_self.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.35177
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.35188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.35215
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fun x dx => ((fun x => (f x).1) x, cderiv K (fun x => (f x).1) x dx)) = fun x dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.snd.arg_self.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.37318
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.37329
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.37356
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ fwdDeriv K (fun x => (f x).2) x = fun dx =>
    let yzdyz := fwdDeriv K f x dx;
    (yzdyz.1.2, yzdyz.2.2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.37318
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.37329
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.37356
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (f x).2) x, cderiv K (fun x => (f x).2) x dx)) = fun dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.2, yzdyz.2.2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.snd.arg_self.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.37318
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.37329
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.37356
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (f x).2) x, cderiv K (fun x => (f x).2) x dx)) = fun dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.2, yzdyz.2.2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.snd.arg_self.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.39294
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.39305
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39332
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fwdDeriv K fun x => (f x).2) = fun x dx =>
    let yzdyz := fwdDeriv K f x dx;
    (yzdyz.1.2, yzdyz.2.2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.39294
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.39305
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39332
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fun x dx => ((fun x => (f x).2) x, cderiv K (fun x => (f x).2) x dx)) = fun x dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.2, yzdyz.2.2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.snd.arg_self.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.39294
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.39305
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39332
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiable K f
⊢ (fun x dx => ((fun x => (f x).2) x, cderiv K (fun x => (f x).2) x dx)) = fun x dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.2, yzdyz.2.2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HAdd.hAdd.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.41424
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.41435
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.41446
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.41473
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ fwdDeriv K (fun x => f x + g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    ydy + zdz
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.41424
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.41435
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.41446
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.41473
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x + g x) x, cderiv K (fun x => f x + g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy + zdz
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HAdd.hAdd.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.41424
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.41435
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.41446
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.41473
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x + g x) x, cderiv K (fun x => f x + g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy + zdz
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HAdd.hAdd.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.45755
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.45766
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.45777
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.45804
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fwdDeriv K fun x => f x + g x) = fun x dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    ydy + zdz
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.45755
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.45766
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.45777
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.45804
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x + g x) x, cderiv K (fun x => f x + g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy + zdz