internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.revDerivProjUpdate.pi_rule
Proof state before:
case h.h.h.h
K : Type u_1
I : Type ?u.202966
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.202996
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.203007
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_3
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.203043
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.203068
EI : I → Type ?u.203073
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.203207
J : Type ?u.203210
FJ : J → Type ?u.203215
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
i : Unit
de : ι → Y
dx : X
⊢ dx +
      ((fun x =>
              let xdf := fun i => revDerivUpdate K (fun x => f x i) x;
              (fun i => (xdf i).1, fun dy => fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => (xdf i).2 (dy i) dx) 0))
            x).2
        (oneHot i de) =
    fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => (revDerivUpdate K (fun x => f x i) x).2 (de i) dx) dx
Tactic:
simp[oneHot,revDerivUpdate]
Proof state after:
case h.h.h.h
K : Type u_1
I : Type ?u.202966
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.202996
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.203007
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_3
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.203043
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.203068
EI : I → Type ?u.203073
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.203207
J : Type ?u.203210
FJ : J → Type ?u.203215
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
i : Unit
de : ι → Y
dx : X
⊢ dx + fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => dx + (revDeriv K (fun x => f x i) x).2 (de i)) 0 =
    fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => dx + (revDeriv K (fun x => f x i) x).2 (de i)) dx
Theorem: SciLean.revDerivProjUpdate.pi_rule
Proof state before:
case h.h.h.h
K : Type u_1
I : Type ?u.202966
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.202996
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.203007
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_3
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.203043
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.203068
EI : I → Type ?u.203073
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.203207
J : Type ?u.203210
FJ : J → Type ?u.203215
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
i : Unit
de : ι → Y
dx : X
⊢ dx + fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => dx + (revDeriv K (fun x => f x i) x).2 (de i)) 0 =
    fold (IndexType.univ ι) (fun dx i => dx + (revDeriv K (fun x => f x i) x).2 (de i)) dx
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.revDerivProjUpdate.pi_rule
Proof state before:
K : Type u_1
I : Type ?u.202966
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.202996
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.203007
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_3
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.203043
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.203068
EI : I → Type ?u.203073
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.203207
J : Type ?u.203210
FJ : J → Type ?u.203215
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
x : X
i : Unit
de : ι → Y
dx : X
⊢ ∀ (i : ι), HasAdjDiff K fun x => f x i
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDeriv K fun x => (g x, f x)) = fun x =>
    let ydg := revDeriv K g x;
    let zdf := revDerivUpdate K f x;
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz =>
      let dx := ydg.2 dyz.1;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDeriv K fun x => (g x, f x)) = fun x =>
    let ydg := revDeriv K g x;
    let zdf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz =>
      let dx := ydg.2 dyz.1;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDeriv K fun x => (g x, f x)) = fun x =>
    let ydg := revDeriv K g x;
    let zdf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz =>
      let dx := ydg.2 dyz.1;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Tactic:
unfold revDeriv
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x => ((fun x => (g x, f x)) x, semiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x))) = fun x =>
    let ydg := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
    let zdf :=
      let ydf := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz =>
      let dx := ydg.2 dyz.1;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x => ((fun x => (g x, f x)) x, semiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x))) = fun x =>
    let ydg := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
    let zdf :=
      let ydf := (f x, semiAdjoint K (cderiv K f x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz =>
      let dx := ydg.2 dyz.1;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Tactic:
simp
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x => ((g x, f x), semiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x))) = fun x =>
    ((g x, f x), fun dyz => semiAdjoint K (cderiv K g x) dyz.1 + semiAdjoint K (cderiv K f x) dyz.2)
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDeriv_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x => ((g x, f x), semiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x))) = fun x =>
    ((g x, f x), fun dyz => semiAdjoint K (cderiv K g x) dyz.1 + semiAdjoint K (cderiv K f x) dyz.2)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (revDerivUpdate K fun x => (g x, f x)) = fun x =>
    let ydg := revDerivUpdate K g x;
    let zdf := revDerivUpdate K f x;
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz dx =>
      let dx := ydg.2 dyz.1 dx;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
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inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => (g x, f x)) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz dx =>
      let dx := ydg.2 dyz.1 dx;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => (g x, f x)) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    ((ydg.1, zdf.1), fun dyz dx =>
      let dx := ydg.2 dyz.1 dx;
      zdf.2 dyz.2 dx)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      ((g x, f x), fun dy dx =>
        dx + (revDerivUpdate K (fun x => f x) x).2 dy.2 ((revDeriv K (fun x => g x) x).2 dy.1))) =
    fun x => ((g x, f x), fun dyz dx => dx + (revDeriv K g x).2 dyz.1 + (revDeriv K f x).2 dyz.2)
Theorem: Prod.mk.arg_fstsnd.revDerivUpdate_rule
Proof state before:
K : Type
inst✝²⁷ : RCLike K
X : Type
inst✝²⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝²⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝²⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝²³ : StructType X' Xi XI
inst✝²² : IndexType Xi
inst✝²¹ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁰ : DecidableEq Xi
Y' Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝¹⁹ : StructType Y' Yi YI
inst✝¹⁸ : IndexType Yi
inst✝¹⁷ : LawfulIndexType Yi
inst✝¹⁶ : DecidableEq Yi
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝¹⁵ : StructType Z' Zi ZI
inst✝¹⁴ : IndexType Zi
inst✝¹³ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹² : DecidableEq Zi
inst✝¹¹ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁰ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝⁷ : (i : Yi) → SemiInnerProductSpace K (YI i)
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi YI
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝⁴ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝¹ : IndexType ι
inst✝ : LawfulIndexType ι
g : X → Y
f : X → Z
hg : HasAdjDiff K g
hf : HasAdjDiff K f
⊢ (fun x =>
      ((g x, f x), fun dy dx =>
        dx + (revDerivUpdate K (fun x => f x) x).2 dy.2 ((revDeriv K (fun x => g x) x).2 dy.1))) =
    fun x => ((g x, f x), fun dyz dx => dx + (revDeriv K g x).2 dyz.1 + (revDeriv K f x).2 dyz.2)
Tactic:
simp[add_assoc, revDerivUpdate]
Proof state after:
no goals