internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.or
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun x => P x ∨ Q x) (p ⋎ q).val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∨ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋎ q).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.or
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∨ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋎ q).val
Tactic:
simp [hp.df.iff, hq.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.negSigma
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun x => ¬P x) p.negSigma
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun x => ¬P x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.negSigma.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.negSigma
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun x => ¬P x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.negSigma.val
Tactic:
simp [hp.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.negPi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun x => ¬P x) p.negPi
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun x => ¬P x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.negPi.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.negPi
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun x => ¬P x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p.negPi.val
Tactic:
simp [hp.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.not
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun x => ¬P x) (~p).val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun x => ¬P x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (~p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.not
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun x => ¬P x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (~p).val
Tactic:
simp [hp.proper.eval_neg, hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.imp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ ∀ (x : Fin k → M), P x → Q x ↔ ¬P x ∨ Q x
Tactic:
intro x
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
x : Fin k → M
⊢ P x → Q x ↔ ¬P x ∨ Q x
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.imp
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
x : Fin k → M
⊢ P x → Q x ↔ ¬P x ∨ Q x
Tactic:
simp [imp_iff_not_or]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ ∀ (x : Fin k → M), (P x ↔ Q x) ↔ (P x → Q x) ∧ (Q x → P x)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (P v ↔ Q v) ↔ (P v → Q v) ∧ (Q v → P v)
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (P v ↔ Q v) ↔ (P v → Q v) ∧ (Q v → P v)
Tactic:
simp [iff_iff_implies_and_implies]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ball
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.ball t p)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.ball t p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ball
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.ball t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ball
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.ball t p)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.ball t p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ball
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.ball t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ball
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.ball t p).val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.ball t p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ball
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.ball t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.bex t p)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.bex t p)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m + 1)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∃ x, P (x :> v)) p.ex
Tactic:
intro _
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m + 1)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x, P (x :> v)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) p.ex.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.ex
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m + 1)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x, P (x :> v)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) p.ex.val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.all
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m + 1)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∀ (x : M), P (x :> v)) p.all
Tactic:
intro _
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m + 1)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ (x : M), P (x :> v)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) p.all.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.all
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m + 1)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin k → M
⊢ (fun v => ∀ (x : M), P (x :> v)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) p.all.val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.Definable.mkPolarity
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin k → M) → Prop
Γ : Polarity
p : Semiformula L M k
hP : ∀ (v : Fin k → M), P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p
hp : Hierarchy 𝚺 m p
⊢ DefinedWithParam P (HSemiformula.mkSigma p hp)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
P : (Fin k → M) → Prop
Γ : Polarity
p : Semiformula L M k
hP : ∀ (v : Fin k → M), P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) p
hp : Hierarchy 𝚺 m p
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.mkSigma p hp).val