internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HAdd.hAdd.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.33052
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.33058
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.33071
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.33082
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.33093
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.33120
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.33166
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.33177
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.33188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33215
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x + g x) x

case right
K✝ : Type ?u.33052
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.33058
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.33071
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.33082
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.33093
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.33120
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.33166
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.33177
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.33188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33215
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x + g x) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.33052
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.33058
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.33071
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.33082
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.33093
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.33120
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.33166
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.33177
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.33188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33215
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x + g x) x)
Theorem: SciLean.HAdd.hAdd.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.33052
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.33058
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.33071
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.33082
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.33093
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.33120
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.33166
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.33177
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.33188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33215
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x + g x) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.33052
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.33058
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.33071
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.33082
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.33093
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.33120
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.33166
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.33177
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.33188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33215
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun x => f x) x dx + cderiv K (fun x => g x) x dx
Theorem: SciLean.HAdd.hAdd.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.33052
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.33058
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.33071
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.33082
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.33093
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.33120
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.33166
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.33177
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.33188
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33215
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun x => f x) x dx + cderiv K (fun x => g x) x dx
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HAdd.hAdd.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.37696
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.37702
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.37715
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.37726
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.37737
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.37764
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.37810
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.37821
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.37832
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.37859
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ HasAdjDiff K fun x => f x + g x
Tactic:
intro x
Proof state after:
K✝ : Type ?u.37696
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.37702
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.37715
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.37726
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.37737
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.37764
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.37810
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.37821
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.37832
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.37859
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x + g x) x
Theorem: SciLean.HAdd.hAdd.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.37696
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.37702
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.37715
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.37726
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.37737
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.37764
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.37810
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.37821
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.37832
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.37859
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x + g x) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSub.hSub.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x - g x) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x - g x) x

case right
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x - g x) x)
Theorem: SciLean.HSub.hSub.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x - g x) x

case right
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x - g x) x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x - g x) x)
Theorem: SciLean.HSub.hSub.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x - g x) x)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun x => f x) x dx - cderiv K (fun x => g x) x dx
Theorem: SciLean.HSub.hSub.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case right
K✝ : Type ?u.39365
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.39371
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.39384
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.39395
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.39406
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.39433
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.39479
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39490
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39501
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.39528
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun x => f x) x dx - cderiv K (fun x => g x) x dx
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSub.hSub.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.43135
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.43141
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.43154
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.43165
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.43176
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.43203
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.43249
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.43260
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.43271
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.43298
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ HasAdjDiff K fun x => f x - g x
Tactic:
intro x
Proof state after:
K✝ : Type ?u.43135
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.43141
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.43154
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.43165
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.43176
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.43203
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.43249
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.43260
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.43271
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.43298
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x - g x) x
Theorem: SciLean.HSub.hSub.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.43135
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.43141
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.43154
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.43165
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.43176
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.43203
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.43249
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.43260
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.43271
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.43298
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x - g x) x
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => c • g x) x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case left
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => c • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)