internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
case right
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h✝ : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
this : (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) u₁ = (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) u'₁
P'₁ : Submodule R S
hP₁_le : P₁ ≤ P'₁
hP'₁ : P'₁.FG
h : (LinearMap.rTensor N (Submodule.inclusion hP₁_le)) u₁ = (LinearMap.rTensor N (Submodule.inclusion hP₁_le)) u'₁
s : Finset S
hs : Submodule.span R ↑s = P'₁
w : Finset S
hw : Algebra.adjoin R ↑w = A
B : Subalgebra R S := Algebra.adjoin R ↑(s ∪ w)
hBA : A ≤ B
hP'₁_le : P'₁ ≤ Subalgebra.toSubmodule B
k : (Subalgebra.inclusion hBA).toLinearMap ∘ₗ P.subtype = Submodule.inclusion hP'₁_le ∘ₗ Submodule.inclusion hP₁_le ∘ₗ j
k' :
  (Subalgebra.inclusion hBA).toLinearMap ∘ₗ P'.subtype = Submodule.inclusion hP'₁_le ∘ₗ Submodule.inclusion hP₁_le ∘ₗ j'
⊢ (LinearMap.rTensor N (Submodule.inclusion hP'₁_le))
      ((LinearMap.rTensor N (Submodule.inclusion hP₁_le)) ((LinearMap.rTensor N j) u)) =
    (LinearMap.rTensor N (Submodule.inclusion hP'₁_le))
      ((LinearMap.rTensor N (Submodule.inclusion hP₁_le)) ((LinearMap.rTensor N j') u'))
Tactic:
rw [← hu₁, ← hu'₁, h]
Proof state after:
no goals
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
p : ↥(Subalgebra.toSubmodule A)
hp : p ∈ P
⊢ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p ∈ P₁
Tactic:
simp only [Submodule.coeSubtype, Submodule.map_sup, P₁]
Proof state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
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inst✝³ : CommRing S
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A : Subalgebra R S
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t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
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hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
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hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
p : ↥(Subalgebra.toSubmodule A)
hp : p ∈ P
⊢ ↑p ∈ Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype P ⊔ Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype P'
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
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⊢ ↑p ∈ Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype P ⊔ Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype P'
Tactic:
apply Submodule.mem_sup_left
Proof state after:
case a
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
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P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
p : ↥(Subalgebra.toSubmodule A)
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⊢ ↑p ∈ Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype P
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
case a
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
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inst✝³ : CommRing S
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p : ↥(Subalgebra.toSubmodule A)
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⊢ ↑p ∈ Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype P
Tactic:
use p
Proof state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
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A : Subalgebra R S
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hP₁ : P₁.FG
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⊢ p ∈ ↑P ∧ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p = ↑p
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
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A : Subalgebra R S
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⊢ p ∈ ↑P ∧ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p = ↑p
Tactic:
simp only [SetLike.mem_coe]
Proof state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
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⊢ p ∈ P ∧ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p = ↑p
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
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case h
R : Type u_1
S : Type u_2
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hp : p ∈ P
⊢ p ∈ P ∧ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p = ↑p
Tactic:
exact ⟨hp, rfl⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
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⊢ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p ∈ P₁
Tactic:
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Proof state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
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Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
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Proof state after:
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R : Type u_1
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Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
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Tactic:
use p
Proof state after:
case h
R : Type u_1
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Proof state before:
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R : Type u_1
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Tactic:
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case h
R : Type u_1
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Proof state before:
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R : Type u_1
S : Type u_2
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inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
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⊢ p ∈ P' ∧ (Subalgebra.toSubmodule A).subtype p = ↑p
Tactic:
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no goals
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
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inst✝³ : CommRing S
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A : Subalgebra R S
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P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
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u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
⊢ (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) u₁ = (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) u'₁
Tactic:
rw [hu₁, hu'₁]
Proof state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
⊢ (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) ((LinearMap.rTensor N j) u) =
    (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) ((LinearMap.rTensor N j') u')
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
⊢ (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) ((LinearMap.rTensor N j) u) =
    (LinearMap.rTensor N P₁.subtype) ((LinearMap.rTensor N j') u')
Tactic:
simp only [← LinearMap.comp_apply, ← LinearMap.rTensor_comp]
Proof state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
⊢ (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j)) u = (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j')) u'
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
⊢ (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j)) u = (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j')) u'
Tactic:
have hj₁ : P₁.subtype ∘ₗ j = (Subalgebra.val A).toLinearMap ∘ₗ P.subtype := by ext; rfl
Proof state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
hj₁ : P₁.subtype ∘ₗ j = A.val.toLinearMap ∘ₗ P.subtype
⊢ (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j)) u = (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j')) u'
Theorem: TensorProduct.Algebra.eq_of_fg_of_subtype_eq
Proof state before:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
hj₁ : P₁.subtype ∘ₗ j = A.val.toLinearMap ∘ₗ P.subtype
⊢ (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j)) u = (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j')) u'
Tactic:
have hj'₁ : P₁.subtype ∘ₗ j' = (Subalgebra.val A).toLinearMap ∘ₗ P'.subtype := by ext; rfl
Proof state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A : Subalgebra R S
hA : A.FG
t t' : ↥A ⊗[R] N
h : (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t = (LinearMap.rTensor N A.val.toLinearMap) t'
P : Submodule R ↥A
hP : P.FG
u : ↥P ⊗[R] N
hu : (LinearMap.rTensor N P.subtype) u = t
P' : Submodule R ↥A
hP' : P'.FG
u' : ↥P' ⊗[R] N
hu' : (LinearMap.rTensor N P'.subtype) u' = t'
P₁ : Submodule R S := Submodule.map (Subalgebra.toSubmodule A).subtype (P ⊔ P')
hP₁ : P₁.FG
j : ↥P →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
j' : ↥P' →ₗ[R] ↥P₁ := (Subalgebra.toSubmodule A).subtype.restrict ⋯
u₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j) u
hu₁ : u₁ = (LinearMap.rTensor N j) u
u'₁ : ↥P₁ ⊗[R] N := (LinearMap.rTensor N j') u'
hu'₁ : u'₁ = (LinearMap.rTensor N j') u'
hj₁ : P₁.subtype ∘ₗ j = A.val.toLinearMap ∘ₗ P.subtype
hj'₁ : P₁.subtype ∘ₗ j' = A.val.toLinearMap ∘ₗ P'.subtype
⊢ (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j)) u = (LinearMap.rTensor N (P₁.subtype ∘ₗ j')) u'