internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HAdd.hAdd.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.45755
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.45766
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.45777
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.45804
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x + g x) x, cderiv K (fun x => f x + g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy + zdz
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSub.hSub.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.50281
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.50292
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.50303
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.50330
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ fwdDeriv K (fun x => f x - g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    ydy - zdz
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.50281
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.50292
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ι : Type ?u.50303
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inst✝² : LawfulIndexType ι
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inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x - g x) x, cderiv K (fun x => f x - g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy - zdz
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSub.hSub.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.50281
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.50292
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.50303
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f g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
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⊢ (fun dx => ((fun x => f x - g x) x, cderiv K (fun x => f x - g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy - zdz
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSub.hSub.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.56351
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W : Type ?u.56362
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.56373
inst✝³ : IndexType ι
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inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
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⊢ (fwdDeriv K fun x => f x - g x) = fun x dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    ydy - zdz
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
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    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy - zdz
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSub.hSub.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.56351
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.56362
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.56373
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⊢ (fun x dx => ((fun x => f x - g x) x, cderiv K (fun x => f x - g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    ydy - zdz
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Neg.neg.arg_a0.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.63456
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W : Type ?u.63467
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.63478
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⊢ (fwdDeriv K fun x => -f x) = fun x dx => -fwdDeriv K f x dx
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.63456
inst✝⁵ : Vec K Z
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f : X → Y
⊢ (fun x dx => ((fun x => -f x) x, cderiv K (fun x => -f x) x dx)) = fun x dx => -(f x, cderiv K f x dx)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.Neg.neg.arg_a0.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.63456
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ι : Type ?u.63478
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Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HMul.hMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.67234
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.67245
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x : X
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hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ fwdDeriv K (fun x => f x * g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.67234
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.67245
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.67256
inst✝⁴ : Vec K W
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⊢ (fun dx => ((fun x => f x * g x) x, cderiv K (fun x => f x * g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HMul.hMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.67234
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.67245
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.67256
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.67267
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
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f g : X → K
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x * g x) x, cderiv K (fun x => f x * g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HMul.hMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type ?u.70409
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.70420
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.70431
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.70442
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70469
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fwdDeriv K fun x => f x * g x) = fun x dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.70409
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.70420
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.70431
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.70442
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70469
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
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hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x * g x) x, cderiv K (fun x => f x * g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HMul.hMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.70409
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.70420
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.70431
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.70442
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70469
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
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hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x * g x) x, cderiv K (fun x => f x * g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 * zdz.1, zdz.2 * ydy.1 + ydy.2 * zdz.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.73752
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.73763
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.73774
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.73801
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ fwdDeriv K (fun x => f x • g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.73752
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.73763
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.73774
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.73801
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x • g x) x, cderiv K (fun x => f x • g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.73752
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.73763
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.73774
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
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E : ι → Type ?u.73801
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x : X
f : X → K
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⊢ (fun dx => ((fun x => f x • g x) x, cderiv K (fun x => f x • g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.81613
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.81624
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.81635
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.81662
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
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g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fwdDeriv K fun x => f x • g x) = fun x dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.81613
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.81624
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.81635
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.81662
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x • g x) x, cderiv K (fun x => f x • g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.81613
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.81624
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.81635
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.81662
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x • g x) x, cderiv K (fun x => f x • g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.89713
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.89724
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.89735
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.89746
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.89773
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → K
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ fwdDeriv K (fun x => f x / g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.89713
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.89724
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.89735
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.89746
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.89773
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → K
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, cderiv K (fun x => f x / g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.89713
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.89724
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W : Type ?u.89735
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.89773
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → K
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, cderiv K (fun x => f x / g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
fun_trans (disch:=assumption)
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
case funProp.discharger
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.89713
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.89724
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.89735
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.89746
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.89773
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → K
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ g x ≠ 0
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.94465
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.94476
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.94487
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.94498
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.94525
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
⊢ (fwdDeriv K fun x => f x / g x) = fun x dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.94465
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.94476
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.94487
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.94498
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.94525
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x / g x) x, cderiv K (fun x => f x / g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.94465
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.94476
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.94487
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.94498
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.94525
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
⊢ (fun x dx => ((fun x => f x / g x) x, cderiv K (fun x => f x / g x) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
fun_trans (disch:=assumption)
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdDeriv_rule
Proof state before:
case funProp.discharger
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.94465
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.94476
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.94487
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.94498
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.94525
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
x dx : X
⊢ ∀ (x : X), g x ≠ 0
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.IndexType.sum.arg_f.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdDeriv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x = fun dx =>
    let ydy := fun i => fwdDeriv K (fun x => f x i) x dx;
     ∑ i, ydy i
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x =>  ∑ i, f x i) x, cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx);
     ∑ i, ydy i
Theorem: SciLean.fwdDeriv.IndexType.sum.arg_f.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x =>  ∑ i, f x i) x, cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx);
     ∑ i, ydy i
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ( ∑ i, f x i, ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx)) = fun dx =>
     ∑ i, (f x i, cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Theorem: SciLean.fwdDeriv.IndexType.sum.arg_f.fwdDeriv_rule_at
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.111969
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.111980
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.112018
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ( ∑ i, f x i, ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx)) = fun dx =>
     ∑ i, (f x i, cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.fwdDeriv.IndexType.sum.arg_f.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.119193
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119204
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119242
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (fwdDeriv K fun x =>  ∑ i, f x i) = fun x dx =>
    let ydy := fun i => fwdDeriv K (fun x => f x i) x dx;
     ∑ i, ydy i
Tactic:
unfold fwdDeriv
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.119193
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119204
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119242
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (fun x dx => ((fun x =>  ∑ i, f x i) x, cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx);
     ∑ i, ydy i
Theorem: SciLean.fwdDeriv.IndexType.sum.arg_f.fwdDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.119193
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119204
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119242
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (fun x dx => ((fun x =>  ∑ i, f x i) x, cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x dx)) = fun x dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx);
     ∑ i, ydy i
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.119193
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119204
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119242
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (fun x dx => ( ∑ i, f x i, ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx)) = fun x dx =>
     ∑ i, (f x i, cderiv K (fun x => f x i) x dx)