Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y × Z), TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Tactic:
. apply Exists.intro (fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) _
  intros; dsimp[Inner.inner]
  rw[SemiInnerProductSpace.add_left]
  rw[semiAdjoint_move]; rw[semiAdjoint_move]
  repeat aesop
Proof state after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)