internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
obtain ⟨U, q, hc, hd, hp, huv, huvcoprime, descent⟩ := OddPrimeOrFour.factors' h hcoprime
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm < a.norm
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm < a.norm
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
replace descent :=
  Int.natAbs_lt_natAbs_of_nonneg_of_lt (Zsqrtd.norm_nonneg (by norm_num) _) descent
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < a.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < a.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
rw [hn] at descent
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
obtain ⟨g, hgprod, hgfactors⟩ := ih U.norm.natAbs descent huvcoprime rfl
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
refine' ⟨q ::ₘ g, _, _⟩
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ a = (q ::ₘ g).prod ∨ a = -(q ::ₘ g).prod

case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∀ pq ∈ q ::ₘ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm < a.norm
⊢ -3 ≤ 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ a = (q ::ₘ g).prod ∨ a = -(q ::ₘ g).prod
Tactic:
simp only [huv, Multiset.prod_cons, ← mul_neg]
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ q * U = q * g.prod ∨ q * U = q * -g.prod
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ q * U = q * g.prod ∨ q * U = q * -g.prod
Tactic:
exact Or.imp (congr_arg _) (congr_arg _) hgprod
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∀ pq ∈ q ::ₘ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
rintro pq hpq
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ q ::ₘ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ q ::ₘ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
rw [Multiset.mem_cons] at hpq
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq = q ∨ pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq = q ∨ pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
obtain rfl | ind := hpq
Proof state after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inl
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ pq.re
hd : pq.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
huv : a = pq * U
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
ind : pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inl
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ pq.re
hd : pq.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
huv : a = pq * U
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
exact ⟨hc, hd, hp⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
ind : pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
exact hgfactors pq ind
Proof state after:
no goals
Theorem: step4_3
Proof state before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
have hdvd : p'.norm ∣ p.norm := by rw [heq]
Proof state after:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
have him : p'.im ≠ 0 := by
  apply OddPrimeOrFour.im_ne_zero _ hcoprime'
  rwa [← heq]
Proof state after:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
⊢ p'.norm ∣ p.norm
Tactic:
rw [heq]
Proof state after:
no goals
Theorem: step4_3
Proof state before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ p'.im ≠ 0
Tactic:
apply OddPrimeOrFour.im_ne_zero _ hcoprime'
Proof state after:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ OddPrimeOrFour p'.norm.natAbs
Theorem: step4_3
Proof state before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ OddPrimeOrFour p'.norm.natAbs
Tactic:
rwa [← heq]
Proof state after:
no goals
Theorem: step4_3
Proof state before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
⊢ OddPrimeOrFour p'.norm.natAbs
Tactic:
rwa [← heq]
Proof state after:
no goals
Theorem: step4_3
Proof state before:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
rw [heq] at h1
Proof state after:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
have := Int.eq_one_of_mul_eq_self_right (Spts.ne_zero_of_coprime' _ hcoprime') h1.symm
Proof state after:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
obtain ⟨ha, hb⟩ := Spts.eq_one this
Proof state after:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
simp only [hb, Zsqrtd.ext_iff, Zsqrtd.mul_re, Zsqrtd.mul_im, add_zero, zero_add,
  MulZeroClass.mul_zero] at H
Proof state after:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
rw [H.1, H.2, abs_mul, abs_mul, ha, mul_one, mul_one]
Proof state after:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |(star p').re| = |p'.re| ∧ |(star p').im| = |p'.im|
Theorem: step4_3
Proof state before:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |(star p').re| = |p'.re| ∧ |(star p').im| = |p'.im|
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals