internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_apply
Proof state before:
case succ.h.e_6.h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
hn : ↑n < N
⊢ (Fin.cons (Pi.single (js 0) (m 0)) fun i => Pi.single (Fin.tail js i) (Fin.tail m i)) = fun i =>
    Pi.single (js i) (m i)
Tactic:
simp only [Fin.tail]
Proof state after:
case succ.h.e_6.h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
hn : ↑n < N
⊢ (Fin.cons (Pi.single (js 0) (m 0)) fun i => Pi.single (js (Fin.succ i)) (m (Fin.succ i))) = fun i =>
    Pi.single (js i) (m i)
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_apply
Proof state before:
case succ.h.e_6.h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
hn : ↑n < N
⊢ (Fin.cons (Pi.single (js 0) (m 0)) fun i => Pi.single (js (Fin.succ i)) (m (Fin.succ i))) = fun i =>
    Pi.single (js i) (m i)
Tactic:
funext i
Proof state after:
case succ.h.e_6.h.h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
hn : ↑n < N
i : Fin (n + 1)
⊢ Fin.cons (Pi.single (js 0) (m 0)) (fun i => Pi.single (js (Fin.succ i)) (m (Fin.succ i))) i = Pi.single (js i) (m i)
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_apply
Proof state before:
case succ.h.e_6.h.h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
hn : ↑n < N
i : Fin (n + 1)
⊢ Fin.cons (Pi.single (js 0) (m 0)) (fun i => Pi.single (js (Fin.succ i)) (m (Fin.succ i))) i = Pi.single (js i) (m i)
Tactic:
refine Fin.cases ?_ ?_ i <;> simp
Proof state after:
no goals
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_apply
Proof state before:
case hn
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
hn : ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
⊢ ↑n < N
Tactic:
refine lt_of_lt_of_le ?_ hn
Proof state after:
case hn
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
hn : ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
⊢ ↑n < ↑(Nat.succ n)
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_apply
Proof state before:
case hn
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
hn : ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
⊢ ↑n < ↑(Nat.succ n)
Tactic:
norm_cast
Proof state after:
case hn
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
hn : ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
⊢ n < Nat.succ n
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_apply
Proof state before:
case hn
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
x : (i : ι) → M i
n : ℕ
hn : ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
m : (i : Fin (Nat.succ n)) → M (js i)
⊢ n < Nat.succ n
Tactic:
exact Nat.lt_succ_self n
Proof state after:
no goals
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_eq_compContinuousLinearMap
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
⊢ orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x =
    ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)
Tactic:
ext m
Proof state after:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_eq_compContinuousLinearMap
Proof state before:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m
Tactic:
rw [orderedIteratedFPiDeriv_apply hn hf]
Proof state after:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ ((f' x n) fun i => Pi.single (js i) (m i)) =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m
Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_eq_compContinuousLinearMap
Proof state before:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ ((f' x n) fun i => Pi.single (js i) (m i)) =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.differentiable_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n < N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
⊢ Differentiable 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
Tactic:
rcases hf with ⟨f', hf⟩
Proof state after:
case intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f'✝ : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n < N
js : Fin n → ι
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
⊢ Differentiable 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
Theorem: ContDiff.differentiable_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f'✝ : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n < N
js : Fin n → ι
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
⊢ Differentiable 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
Tactic:
exact hf.differentiable_orderedIteratedFPiDeriv hn
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.differentiableAt_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n < N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f) x
Tactic:
rcases hf with ⟨f', hf⟩
Proof state after:
case intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f'✝ : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n < N
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f) x
Theorem: ContDiff.differentiableAt_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case intro
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f'✝ : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n < N
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f) x
Tactic:
exact hf.differentiableAt_orderedIteratedFPiDeriv hn
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_apply_eq_iteratedFDeriv_apply_single
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (k : Fin n) → M (js k)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)
Tactic:
rw [contDiff_iff_ftaylorSeries] at hf
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f (ftaylorSeries 𝕜 f)
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (k : Fin n) → M (js k)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_apply_eq_iteratedFDeriv_apply_single
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f (ftaylorSeries 𝕜 f)
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (k : Fin n) → M (js k)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)
Tactic:
rw [hf.orderedIteratedFPiDeriv_apply hn]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f (ftaylorSeries 𝕜 f)
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (k : Fin n) → M (js k)
⊢ ((ftaylorSeries 𝕜 f x n) fun i => Pi.single (js i) (m i)) = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_apply_eq_iteratedFDeriv_apply_single
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f (ftaylorSeries 𝕜 f)
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (k : Fin n) → M (js k)
⊢ ((ftaylorSeries 𝕜 f x n) fun i => Pi.single (js i) (m i)) = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_eq_iteratedFDeriv_comp_single
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
⊢ orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x =
    ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)
Tactic:
ext m
Proof state after:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i =>
        ContinuousLinearMap.single (js i))
      m
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_eq_iteratedFDeriv_comp_single
Proof state before:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i =>
        ContinuousLinearMap.single (js i))
      m
Tactic:
rw [orderedIteratedFPiDeriv_apply_eq_iteratedFDeriv_apply_single hn hf]
Proof state after:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ ((iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)) =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i =>
        ContinuousLinearMap.single (js i))
      m
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_eq_iteratedFDeriv_comp_single
Proof state before:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiff 𝕜 N f
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ ((iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun k => Pi.single (js k) (m k)) =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i =>
        ContinuousLinearMap.single (js i))
      m
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals