internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: step5'
Proof state before:
case h.e'_4.calc_1.hp
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime
h1 : a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
HH : abs ?m.291680.re = 1 ∧ ?m.291680.im = 0
⊢ x.im = 0

a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime
h1 : a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
⊢ ℤ√(-3)
Tactic:
exact HH.2
Proof state after:
no goals
Theorem: step5'
Proof state before:
case h.e'_4.calc_1.hcoprime
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime
h1 : a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
⊢ IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im
Tactic:
cases' h1 with h1 h1 <;> rw [h1] at hcoprime
Proof state after:
case h.e'_4.calc_1.hcoprime.inl
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime✝
hcoprime : IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime✝
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
h1 : a = Multiset.prod f
⊢ IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im

case h.e'_4.calc_1.hcoprime.inr
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime✝
hcoprime : IsCoprime (-Multiset.prod f).re (-Multiset.prod f).im
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime✝
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
h1 : a = -Multiset.prod f
⊢ IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im
Theorem: step5'
Proof state before:
case h.e'_4.calc_1.hcoprime.inl
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime✝
hcoprime : IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime✝
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
h1 : a = Multiset.prod f
⊢ IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im
Tactic:
exact hcoprime
Proof state after:
no goals
Theorem: step5'
Proof state before:
case h.e'_4.calc_1.hcoprime.inr
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime✝ : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime✝
hcoprime : IsCoprime (-Multiset.prod f).re (-Multiset.prod f).im
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime✝
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
h1 : a = -Multiset.prod f
⊢ IsCoprime (Multiset.prod f).re (Multiset.prod f).im
Tactic:
rwa [← IsCoprime.neg_neg_iff, ← Zsqrtd.neg_im, ← Zsqrtd.neg_re]
Proof state after:
no goals
Theorem: step5'
Proof state before:
case h.e'_4.calc_1.a
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime
h1 : a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
⊢ x ∈ f ∧ star x ∈ f
Tactic:
refine' ⟨hx, _⟩
Proof state after:
case h.e'_4.calc_1.a
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime
h1 : a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
⊢ star x ∈ f
Theorem: step5'
Proof state before:
case h.e'_4.calc_1.a
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3)) := factorization' hcoprime
h1 : a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f
h2 : ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
hf : f = factorization' hcoprime
x : ℤ√(-3)
hx : x ∈ f
this : Even (evenFactorExp r)
A : ℤ√(-3)
HA : A ∈ f
h2x : 0 ≤ x.re ∧ x.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm x)
h : Zsqrtd.norm x = Zsqrtd.norm A
hassoc : Associated' x A
eq_or_eq_conj : x = A ∨ x = star A
H : x = star A
⊢ star x ∈ f
Tactic:
rwa [H, star_star]
Proof state after:
no goals
Theorem: step5
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Tactic:
obtain ⟨f, hf⟩ := step5' a r hcoprime hcube
Proof state after:
case intro
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Theorem: step5
Proof state before:
case intro
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Tactic:
obtain ⟨h1, -⟩ := factorization'_prop hcoprime
Proof state after:
case intro.intro
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = Multiset.prod (factorization' hcoprime) ∨ a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Theorem: step5
Proof state before:
case intro.intro
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = Multiset.prod (factorization' hcoprime) ∨ a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Tactic:
cases h1 with
| inl h1 =>
  use f.prod
  rw [h1, hf, Multiset.prod_nsmul]
| inr h1 =>
  use -f.prod
  rw [h1, hf, Multiset.prod_nsmul, Odd.neg_pow]
  norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: step5
Proof state before:
case intro.intro.inl
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Tactic:
use f.prod
Proof state after:
case intro.intro.inl
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ a = Multiset.prod f ^ 3
Theorem: step5
Proof state before:
case intro.intro.inl
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ a = Multiset.prod f ^ 3
Tactic:
rw [h1, hf, Multiset.prod_nsmul]
Proof state after:
no goals
Theorem: step5
Proof state before:
case intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ ∃ p, a = p ^ 3
Tactic:
use -f.prod
Proof state after:
case intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ a = (-Multiset.prod f) ^ 3
Theorem: step5
Proof state before:
case intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ a = (-Multiset.prod f) ^ 3
Tactic:
rw [h1, hf, Multiset.prod_nsmul, Odd.neg_pow]
Proof state after:
case intro.intro.inr.a
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ Odd 3
Theorem: step5
Proof state before:
case intro.intro.inr.a
a : ℤ√(-3)
r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hcube : r ^ 3 = Zsqrtd.norm a
f : Multiset (ℤ√(-3))
hf : factorization' hcoprime = 3 • f
h1 : a = -Multiset.prod (factorization' hcoprime)
⊢ Odd 3
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: step6
Proof state before:
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
⊢ ∃ p q, a = p ^ 3 - 9 * p * q ^ 2 ∧ b = 3 * p ^ 2 * q - 3 * q ^ 3
Tactic:
have hcube' : r ^ 3 = A.norm :=
  by
  simp only [hcube, Zsqrtd.norm_def, hA]
  ring
Proof state after:
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
⊢ ∃ p q, a = p ^ 3 - 9 * p * q ^ 2 ∧ b = 3 * p ^ 2 * q - 3 * q ^ 3
Theorem: step6
Proof state before:
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
⊢ ∃ p q, a = p ^ 3 - 9 * p * q ^ 2 ∧ b = 3 * p ^ 2 * q - 3 * q ^ 3
Tactic:
obtain ⟨p, hp⟩ := step5 A r hcoprime hcube'
Proof state after:
case intro
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
p : ℤ√(-3)
hp : A = p ^ 3
⊢ ∃ p q, a = p ^ 3 - 9 * p * q ^ 2 ∧ b = 3 * p ^ 2 * q - 3 * q ^ 3
Theorem: step6
Proof state before:
case intro
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
p : ℤ√(-3)
hp : A = p ^ 3
⊢ ∃ p q, a = p ^ 3 - 9 * p * q ^ 2 ∧ b = 3 * p ^ 2 * q - 3 * q ^ 3
Tactic:
use p.re, p.im
Proof state after:
case intro
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
p : ℤ√(-3)
hp : A = p ^ 3
⊢ a = p.re ^ 3 - 9 * p.re * p.im ^ 2 ∧ b = 3 * p.re ^ 2 * p.im - 3 * p.im ^ 3
Theorem: step6
Proof state before:
case intro
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
p : ℤ√(-3)
hp : A = p ^ 3
⊢ a = p.re ^ 3 - 9 * p.re * p.im ^ 2 ∧ b = 3 * p.re ^ 2 * p.im - 3 * p.im ^ 3
Tactic:
simp only [Zsqrtd.ext, pow_succ', pow_two, Zsqrtd.mul_re, Zsqrtd.mul_im] at hp
Proof state after:
case intro
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
p : ℤ√(-3)
hp :
  a =
      (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.re + -3 * ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.im) *
          p.re +
        -3 * (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.im + ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.re) *
          p.im ∧
    b =
      (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.re + -3 * ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.im) *
          p.im +
        (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.im + ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.re) * p.re
⊢ a = p.re ^ 3 - 9 * p.re * p.im ^ 2 ∧ b = 3 * p.re ^ 2 * p.im - 3 * p.im ^ 3
Theorem: step6
Proof state before:
case intro
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
hcube' : r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
p : ℤ√(-3)
hp :
  a =
      (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.re + -3 * ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.im) *
          p.re +
        -3 * (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.im + ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.re) *
          p.im ∧
    b =
      (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.re + -3 * ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.im) *
          p.im +
        (((p ^ 0).re * p.re + -3 * (p ^ 0).im * p.im) * p.im + ((p ^ 0).re * p.im + (p ^ 0).im * p.re) * p.re) * p.re
⊢ a = p.re ^ 3 - 9 * p.re * p.im ^ 2 ∧ b = 3 * p.re ^ 2 * p.im - 3 * p.im ^ 3
Tactic:
convert hp using 2 <;> simp <;> ring
Proof state after:
no goals
Theorem: step6
Proof state before:
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
⊢ r ^ 3 = Zsqrtd.norm A
Tactic:
simp only [hcube, Zsqrtd.norm_def, hA]
Proof state after:
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
⊢ a ^ 2 + 3 * b ^ 2 = a * a - -3 * b * b
Theorem: step6
Proof state before:
a b r : ℤ
hcoprime : IsCoprime a b
hcube : r ^ 3 = a ^ 2 + 3 * b ^ 2
A : ℤ√(-3) := { re := a, im := b }
hA : A = { re := a, im := b }
⊢ a ^ 2 + 3 * b ^ 2 = a * a - -3 * b * b
Tactic:
ring
Proof state after:
no goals
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
set d := Int.gcd a b with hd'
Proof state after:
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
obtain ⟨A, HA⟩ : ↑d ∣ a := Int.gcd_dvd_left a b
Proof state after:
case intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ?m.1006 * A
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ?m.1006 * A
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
obtain ⟨B, HB⟩ : ↑d ∣ b := Int.gcd_dvd_right a b
Proof state after:
case intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ?m.1006 * A
B : ℤ
HB : b = ?m.1144 * B
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ?m.1006 * A
B : ℤ
HB : b = ?m.1144 * B
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
obtain ⟨C, HC⟩ : ↑d ∣ c :=
  by
  rw [← Int.pow_dvd_pow_iff hn, ← h, HA, HB, mul_pow, mul_pow, ← mul_add]
  exact dvd_mul_right _ _
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ?m.1006 * A
B : ℤ
HB : b = ?m.1144 * B
C : ℤ
HC : c = ?m.1220 * C
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ?m.1006 * A
B : ℤ
HB : b = ?m.1144 * B
C : ℤ
HC : c = ?m.1220 * C
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
have hdpos : 0 < d := Int.gcd_pos_of_non_zero_left _ ha'
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
have hd := Int.coe_nat_ne_zero_iff_pos.mpr hdpos
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
have hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n :=
  by
  apply Int.eq_of_mul_eq_mul_left (pow_ne_zero n hd)
  simp only [mul_add, ← mul_pow, ← HA, ← HB, ← HC, h]
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
have hsoln' : B ^ n + A ^ n = C ^ n := by rwa [add_comm] at hsoln
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
hsoln' : B ^ n + A ^ n = C ^ n
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
hsoln' : B ^ n + A ^ n = C ^ n
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
have hcoprime : IsCoprime A B :=
  by
  rw [← Int.gcd_eq_one_iff_coprime]
  apply Nat.eq_of_mul_eq_mul_left hdpos
  rw [← Int.natAbs_ofNat d, ← Int.gcd_mul_left, ← HA, ← HB, hd', Int.natAbs_ofNat, mul_one]
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
hsoln' : B ^ n + A ^ n = C ^ n
hcoprime : IsCoprime A B
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Theorem: exists_coprime
Proof state before:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
hsoln' : B ^ n + A ^ n = C ^ n
hcoprime : IsCoprime A B
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'
Tactic:
have HA' : A.natAbs ≤ a.natAbs := by
  rw [HA]
  simp only [Int.natAbs_ofNat, Int.natAbs_mul]
  exact le_mul_of_one_le_left' (Nat.succ_le_iff.mpr hdpos)
Proof state after:
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : 0 < n
a b c : ℤ
ha' : a ≠ 0
hb' : b ≠ 0
hc' : c ≠ 0
h : a ^ n + b ^ n = c ^ n
d : ℕ := Int.gcd a b
hd' : d = Int.gcd a b
A : ℤ
HA : a = ↑d * A
B : ℤ
HB : b = ↑d * B
C : ℤ
HC : c = ↑d * C
hdpos : 0 < d
hd : ↑d ≠ 0
hsoln : A ^ n + B ^ n = C ^ n
hsoln' : B ^ n + A ^ n = C ^ n
hcoprime : IsCoprime A B
HA' : Int.natAbs A ≤ Int.natAbs a
⊢ ∃ a' b' c',
    Int.natAbs a' ≤ Int.natAbs a ∧ Int.natAbs b' ≤ Int.natAbs b ∧ Int.natAbs c' ≤ Int.natAbs c ∧ FltCoprime n a' b' c'