internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
⊢ ∃ C > 0,
    ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
obtain ⟨c, hc, h_inv⟩ := ZetaNear1BndExact
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
⊢ ∃ C > 0,
    ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
⊢ ∃ C > 0,
    ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
refine ⟨(2 * C) ^ ((1 : ℝ)/ 4) * c ^ ((3 : ℝ)/ 4), by positivity, ?_⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
⊢ ∀ {σ : ℝ},
    σ ∈ Ioc 1 2 →
      ∀ (t : ℝ),
        3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
⊢ ∀ {σ : ℝ},
    σ ∈ Ioc 1 2 →
      ∀ (t : ℝ),
        3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
intro σ hσ t t_gt
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ : ℝ
hσ : σ ∈ Ioc 1 2
t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ : ℝ
hσ : σ ∈ Ioc 1 2
t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
obtain ⟨σ_gt, σ_le⟩ := hσ
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
have ht' : 3 < |2 * t| := by simp only [abs_mul, Nat.abs_ofNat]; linarith
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
have hnezero: ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4 : ℝ) ≠ 0 := by
  have : (σ - 1) / c ≠ 0 := ne_of_gt <| div_pos (by linarith) hc
  contrapose! this
  rwa [Real.rpow_eq_zero (div_nonneg (by linarith) hc.le) (by norm_num)] at this
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
⊢ (2 * C) ^ (1 / 4) * c ^ (3 / 4) > 0
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ 3 < |2 * t|
Tactic:
simp only [abs_mul, Nat.abs_ofNat]
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ 3 < 2 * |t|
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ 3 < 2 * |t|
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
Tactic:
have : (σ - 1) / c ≠ 0 := ne_of_gt <| div_pos (by linarith) hc
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
this : (σ - 1) / c ≠ 0
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
this : (σ - 1) / c ≠ 0
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
Tactic:
contrapose! this
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = 0
⊢ (σ - 1) / c = 0
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = 0
⊢ (σ - 1) / c = 0
Tactic:
rwa [Real.rpow_eq_zero (div_nonneg (by linarith) hc.le) (by norm_num)] at this
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
⊢ 0 < σ - 1
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = 0
⊢ 0 ≤ σ - 1
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = 0
⊢ -3 / 4 ≠ 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Tactic:
simp only [norm_div, norm_one, norm_mul, norm_norm]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ * ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ * ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Tactic:
convert ZetaInvBound1 σ_gt using 2
<;> exact abs_eq_self.mpr <| Real.rpow_nonneg (apply_nonneg _ _) _
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖ ≤ ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Tactic:
have bnd1: ‖ζ σ‖ ^ (3 / 4 : ℝ) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-(3 : ℝ) / 4) := by
  have : ((σ - 1) / c) ^ (-(3 : ℝ) / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1 : ℝ)) ^ (3 / 4 : ℝ) := by
    rw [← Real.rpow_mul ?_]; ring_nf; exact div_nonneg (by linarith) hc.le
  rw [this]
  apply Real.rpow_le_rpow (by simp [apply_nonneg]) ?_ (by norm_num)
  convert h_inv σ ⟨σ_gt, σ_le⟩ using 1; simp [Real.rpow_neg_one, inv_div]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖ ≤ ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖ ≤ ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) * ‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Tactic:
simp only [norm_div, norm_one, norm_mul]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ * ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖ ≤
    ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)‖ * ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ * ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖ ≤
    ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)‖ * ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Tactic:
apply (mul_le_mul_right ?_).mpr
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ ≤ ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)‖

A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ 0 < ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ ≤ ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)‖

A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ 0 < ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Tactic:
convert bnd1 using 1
Proof state after:
case h.e'_3
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)‖ = ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4)

case h.e'_4
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ ‖((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)‖ = ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)

A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
bnd1 : ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
⊢ 0 < ‖‖ζ (↑σ + 2 * ↑t * I)‖ ^ (1 / 4)‖
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
Tactic:
have : ((σ - 1) / c) ^ (-(3 : ℝ) / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1 : ℝ)) ^ (3 / 4 : ℝ) := by
  rw [← Real.rpow_mul ?_]; ring_nf; exact div_nonneg (by linarith) hc.le
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4)
Tactic:
rw [this]
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ^ (3 / 4) ≤ (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
Tactic:
apply Real.rpow_le_rpow (by simp [apply_nonneg]) ?_ (by norm_num)
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-1)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ‖ζ ↑σ‖ ≤ ((σ - 1) / c) ^ (-1)
Tactic:
convert h_inv σ ⟨σ_gt, σ_le⟩ using 1
Proof state after:
case h.e'_4
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-1) = c / (σ - 1)
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
case h.e'_4
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
this : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-1) = c / (σ - 1)
Tactic:
simp [Real.rpow_neg_one, inv_div]
Proof state after:
no goals
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = (((σ - 1) / c) ^ (-1)) ^ (3 / 4)
Tactic:
rw [← Real.rpow_mul ?_]
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = ((σ - 1) / c) ^ (-1 * (3 / 4))

A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 0 ≤ (σ - 1) / c
Theorem: ZetaInvBound2
Proof state before:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) = ((σ - 1) / c) ^ (-1 * (3 / 4))

A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 0 ≤ (σ - 1) / c
Tactic:
ring_nf
Proof state after:
A : ℝ
ha : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C : ℝ
hC : 0 < C
h : ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
c : ℝ
hc : 0 < c
h_inv : ∀ σ ∈ Ioc 1 2, ‖ζ ↑σ‖ ≤ c / (σ - 1)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_gt : 1 < σ
σ_le : σ ≤ 2
ht' : 3 < |2 * t|
hnezero : ((σ - 1) / c) ^ (-3 / 4) ≠ 0
⊢ 0 ≤ (σ - 1) / c