Theorem: SciLean.SciLean.norm₂.arg_x.HasAdjDiffAt_rule
Proof state before:
case left
K✝ : Type ?u.86209
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.86215
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.86228
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.86239
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.86250
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.86277
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.86293
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.86299
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.86312
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.86323
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.86334
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.86345
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.86372
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hfz : f x ≠ 0
⊢ CDifferentiableAt R (fun x => ‖f x‖₂[R]) x

case right
K✝ : Type ?u.86209
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.86215
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.86228
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.86239
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.86250
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.86277
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.86293
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.86299
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.86312
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.86323
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.86334
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.86345
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.86372
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hfz : f x ≠ 0
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun x => ‖f x‖₂[R]) x)
Tactic:
fun_prop (disch:=assumption)
Proof state after:
case right
K✝ : Type ?u.86209
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.86215
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.86228
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.86239
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.86250
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.86277
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.86293
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.86299
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.86312
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.86323
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.86334
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.86345
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.86372
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hfz : f x ≠ 0
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun x => ‖f x‖₂[R]) x)