internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: step1''
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hq' : p.im = 1 ∨ p.im = -1
hp' : p.re = -1
⊢ p.im = -1 → p = -q
Tactic:
intro h5
Proof state after:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hq' : p.im = 1 ∨ p.im = -1
hp' : p.re = -1
h5 : p.im = -1
⊢ p = -q
Theorem: step1''
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hq' : p.im = 1 ∨ p.im = -1
hp' : p.re = -1
h5 : p.im = -1
⊢ p = -q
Tactic:
simp [Zsqrtd.ext, hp', h5]
Proof state after:
no goals
Theorem: step1''
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hq' : p.im = 1 ∨ p.im = -1
hp' : p.re = -1
⊢ p.im = 1 → p = -star q
Tactic:
intro h5
Proof state after:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hq' : p.im = 1 ∨ p.im = -1
hp' : p.re = -1
h5 : p.im = 1
⊢ p = -star q
Theorem: step1''
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hq' : p.im = 1 ∨ p.im = -1
hp' : p.re = -1
h5 : p.im = 1
⊢ p = -star q
Tactic:
simp [Zsqrtd.ext, hp', h5]
Proof state after:
no goals
Theorem: step1''
Proof state before:
case intro.intro.refine'_3
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hp' : abs p.re = 1
hq' : abs p.im = 1
⊢ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm (↑p.re * u)
Tactic:
rw [Zsqrtd.norm_mul, Zsqrtd.norm_int_cast, ← sq, ← sq_abs, hp', one_pow, one_mul]
Proof state after:
case intro.intro.refine'_3
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
h2 : a = q * u ∨ a = star q * u
hp' : abs p.re = 1
hq' : abs p.im = 1
⊢ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm u
Theorem: step1''
Proof state before:
case intro.intro.refine'_3.inr
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
hp' : abs p.re = 1
hq' : abs p.im = 1
h2 : a = star q * u
⊢ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm u
Tactic:
rw [h2, Zsqrtd.norm_mul]
Proof state after:
case intro.intro.refine'_3.inr
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
hp' : abs p.re = 1
hq' : abs p.im = 1
h2 : a = star q * u
⊢ Zsqrtd.norm (star q) * Zsqrtd.norm u = 4 * Zsqrtd.norm u
Theorem: step1''
Proof state before:
case intro.intro.refine'_3.inr
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hp : Zsqrtd.norm p = 4
hq : p.im ≠ 0
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
u : ℤ√(-3)
q : ℤ√(-3) := { re := 1, im := 1 }
hp' : abs p.re = 1
hq' : abs p.im = 1
h2 : a = star q * u
⊢ Zsqrtd.norm (star q) * Zsqrtd.norm u = 4 * Zsqrtd.norm u
Tactic:
congr
Proof state after:
no goals
Theorem: step2
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Tactic:
obtain ⟨u', h, h'⟩ := Spts.mul_of_dvd'' hdvd hpprime
Proof state after:
case intro.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
u' : ℤ√(-3)
h : a = p * u' ∨ a = star p * u'
h' : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u'
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Theorem: step2
Proof state before:
case intro.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
u' : ℤ√(-3)
h : a = p * u' ∨ a = star p * u'
h' : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u'
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Tactic:
refine' ⟨u', _, h, h'⟩
Proof state after:
case intro.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
u' : ℤ√(-3)
h : a = p * u' ∨ a = star p * u'
h' : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u'
⊢ IsCoprime u'.re u'.im
Theorem: step2
Proof state before:
case intro.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
u' : ℤ√(-3)
h : a = p * u' ∨ a = star p * u'
h' : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u'
⊢ IsCoprime u'.re u'.im
Tactic:
apply Zsqrtd.coprime_of_dvd_coprime hcoprime
Proof state after:
case intro.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
u' : ℤ√(-3)
h : a = p * u' ∨ a = star p * u'
h' : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u'
⊢ u' ∣ a
Theorem: step2
Proof state before:
case intro.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
u' : ℤ√(-3)
h : a = p * u' ∨ a = star p * u'
h' : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u'
⊢ u' ∣ a
Tactic:
obtain rfl | rfl := h <;> apply dvd_mul_left
Proof state after:
no goals
Theorem: step1_2
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm p)
hq : p.im ≠ 0
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Tactic:
obtain hp | ⟨hpprime, -⟩ := hp
Proof state after:
case inl
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u

case inr.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Theorem: step1_2
Proof state before:
case inl
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Tactic:
rw [hp] at hdvd⊢
Proof state after:
case inl
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm u
Theorem: step1_2
Proof state before:
case inl
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm u
Tactic:
have heven : Even a.norm :=
  by
  apply even_iff_two_dvd.mpr (dvd_trans _ hdvd)
  norm_num
Proof state after:
case inl
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm u
Theorem: step1_2
Proof state before:
case inl
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
heven : Even (Zsqrtd.norm a)
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = 4 * Zsqrtd.norm u
Tactic:
exact step1'' hcoprime hp hq heven
Proof state after:
no goals
Theorem: step1_2
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ Even (Zsqrtd.norm a)
Tactic:
apply even_iff_two_dvd.mpr (dvd_trans _ hdvd)
Proof state after:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ 2 ∣ 4
Theorem: step1_2
Proof state before:
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : 4 ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hp : Zsqrtd.norm p = 4
⊢ 2 ∣ 4
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: step1_2
Proof state before:
case inr.intro
a p : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : Zsqrtd.norm p ∣ Zsqrtd.norm a
hq : p.im ≠ 0
hpprime : Prime (Zsqrtd.norm p)
⊢ ∃ u, IsCoprime u.re u.im ∧ (a = p * u ∨ a = star p * u) ∧ Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm p * Zsqrtd.norm u
Tactic:
apply step2 hcoprime hdvd hpprime
Proof state after:
no goals
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
have h2 : 2 < a.norm := by
  apply lt_of_le_of_ne _ (Spts.not_two _).symm
  rw [← one_mul (2 : ℤ), mul_two, Int.add_one_le_iff]
  apply lt_of_le_of_ne _ h2.symm
  rw [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self]
  exact Spts.pos_of_coprime' hcoprime
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
obtain ⟨p, hpdvd, hp⟩ := OddPrimeOrFour.exists_and_dvd h2
Proof state after:
case intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
obtain ⟨q', hcd, hc, hd⟩ := OddPrimeOrFour.factors a p hcoprime hp hpdvd
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [← abs_dvd, hcd] at hpdvd
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
have hp' := hp.abs
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Abs.abs p)
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Abs.abs p)
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [hcd] at hp'
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
obtain ⟨u, huvcoprime, huv, huvdvd⟩ := step1_2 hcoprime hpdvd hp' hd
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huv : a = q' * u ∨ a = star q' * u
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huv : a = q' * u ∨ a = star q' * u
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
⊢ ∃ u q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
use u
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huv : a = q' * u ∨ a = star q' * u
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
⊢ ∃ q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 2 < Zsqrtd.norm a
Tactic:
apply lt_of_le_of_ne _ (Spts.not_two _).symm
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 2 ≤ Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 2 ≤ Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [← one_mul (2 : ℤ), mul_two, Int.add_one_le_iff]
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 1 < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 1 < Zsqrtd.norm a
Tactic:
apply lt_of_le_of_ne _ h2.symm
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 1 ≤ Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 1 ≤ Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self]
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 0 < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
h2 : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ 0 < Zsqrtd.norm a
Tactic:
exact Spts.pos_of_coprime' hcoprime
Proof state after:
no goals
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = q' * u
⊢ ∃ q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
use q'
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inl
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = q' * u
⊢ 0 ≤ q'.re ∧
    q'.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q') ∧ a = q' * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = star q' * u
⊢ ∃ q,
    0 ≤ q.re ∧
      q.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q) ∧ a = q * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
use star q'
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = star q' * u
⊢ 0 ≤ (star q').re ∧
    (star q').im ≠ 0 ∧
      OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm (star q')) ∧ a = star q' * u ∧ IsCoprime u.re u.im ∧ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = star q' * u
⊢ Zsqrtd.norm u < Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [huvdvd, lt_mul_iff_one_lt_left (Spts.pos_of_coprime' huvcoprime), ← hcd]
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = star q' * u
⊢ 1 < Abs.abs p
Theorem: OddPrimeOrFour.factors'
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.inr
a : ℤ√(-3)
h2✝ : Zsqrtd.norm a ≠ 1
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
h2 : 2 < Zsqrtd.norm a
p : ℤ
hpdvd✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
hp : OddPrimeOrFour p
q' : ℤ√(-3)
hpdvd : Zsqrtd.norm q' ∣ Zsqrtd.norm a
hcd : Abs.abs p = Zsqrtd.norm q'
hc : 0 ≤ q'.re
hd : q'.im ≠ 0
hp' : OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm q')
u : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime u.re u.im
huvdvd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm q' * Zsqrtd.norm u
huv : a = star q' * u
⊢ 1 < Abs.abs p
Tactic:
exact hp.one_lt_abs
Proof state after:
no goals
Theorem: step3
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
suffices
  ∀ n : ℕ,
    a.norm.natAbs = n →
      ∃ f : Multiset (ℤ√(-3)),
        (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧
          ∀ pq : ℤ√(-3), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm
  by exact this a.norm.natAbs rfl
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∀ (n : ℕ),
    Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n →
      ∃ f,
        (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
          ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Theorem: step3
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∀ (n : ℕ),
    Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n →
      ∃ f,
        (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
          ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)
Tactic:
intro n hn
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
n : ℕ
hn : Int.natAbs (Zsqrtd.norm a) = n
⊢ ∃ f,
    (a = Multiset.prod f ∨ a = -Multiset.prod f) ∧
      ∀ (pq : ℤ√(-3)), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour (Zsqrtd.norm pq)