internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HMul.hMul.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.55642
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55648
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.55661
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.55672
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.55683
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.55694
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55721
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.55756
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.55767
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.55778
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.55789
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55816
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (cderiv K fun x => f x * g x) = fun x =>
    let fx := f x;
    let gx := g x;
    fun dx => cderiv K g x dx * fx + cderiv K f x dx * gx
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.55642
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55648
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.55661
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.55672
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.55683
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.55694
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55721
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.55756
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.55767
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.55778
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.55789
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55816
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x * g x) x =
    let fx := f x;
    let gx := g x;
    fun dx => cderiv K g x dx * fx + cderiv K f x dx * gx
Theorem: SciLean.HMul.hMul.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.55642
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55648
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.55661
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.55672
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.55683
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.55694
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55721
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.55756
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.55767
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.55778
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.55789
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55816
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x * g x) x =
    let fx := f x;
    let gx := g x;
    fun dx => cderiv K g x dx * fx + cderiv K f x dx * gx
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.cderiv_rule_at
Proof state before:
K✝ : Type ?u.57691
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.57697
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.57710
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.57721
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.57732
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.57743
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.57770
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.57816
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.57827
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.57838
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.57865
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ cderiv K (fun x => f x • g x) x =
    let k := f x;
    let y := g x;
    fun dx => k • cderiv K g x dx + cderiv K f x dx • y
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.61995
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.62001
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.62014
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.62025
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.62036
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ι✝ : Type ?u.62047
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.62074
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.62120
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.62131
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.62142
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.62169
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (cderiv K fun x => f x • g x) = fun x =>
    let k := f x;
    let y := g x;
    fun dx => k • cderiv K g x dx + cderiv K f x dx • y
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.61995
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.62001
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.62014
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.62025
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.62036
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.62047
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.62074
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
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W : Type ?u.62131
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.62169
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x • g x) x =
    let k := f x;
    let y := g x;
    fun dx => k • cderiv K g x dx + cderiv K f x dx • y
Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.61995
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.62001
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.62014
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.62025
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.62036
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.62047
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.62074
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.62120
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.62131
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.62142
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.62169
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x • g x) x =
    let k := f x;
    let y := g x;
    fun dx => k • cderiv K g x dx + cderiv K f x dx • y
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HDiv.hDiv.arg_a0a1.cderiv_rule_at
Proof state before:
K✝ : Type ?u.67757
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.67763
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.67776
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.67787
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.67798
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.67809
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.67836
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.67871
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.67882
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.67893
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.67904
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.67931
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f g : X → K
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ cderiv K (fun x => f x / g x) x =
    let k := f x;
    let k' := g x;
    fun dx => (cderiv K f x dx * k' - k * cderiv K g x dx) / k' ^ 2
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HDiv.hDiv.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.69015
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.69021
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.69034
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.69045
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.69056
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.69067
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.69094
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.69129
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.69140
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.69151
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.69162
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.69189
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
⊢ (cderiv K fun x => f x / g x) = fun x =>
    let k := f x;
    let k' := g x;
    fun dx => (cderiv K f x dx * k' - k * cderiv K g x dx) / k' ^ 2
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.69015
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.69021
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.69034
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.69045
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.69056
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.69067
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.69094
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.69129
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.69140
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.69151
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.69162
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.69189
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x / g x) x =
    let k := f x;
    let k' := g x;
    fun dx => (cderiv K f x dx * k' - k * cderiv K g x dx) / k' ^ 2
Theorem: SciLean.HDiv.hDiv.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.69015
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.69021
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.69034
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.69045
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.69056
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.69067
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.69094
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.69129
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.69140
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.69151
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.69162
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.69189
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x / g x) x =
    let k := f x;
    let k' := g x;
    fun dx => (cderiv K f x dx * k' - k * cderiv K g x dx) / k' ^ 2
Tactic:
fun_trans (disch:=assumption)
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.69015
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.69021
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.69034
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.69045
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.69056
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.69067
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.69094
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.69129
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.69140
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.69151
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.69162
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.69189
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x / g x) x = fun dx => (cderiv K f x dx * g x - f x * cderiv K g x dx) / g x ^ 2
Theorem: SciLean.HDiv.hDiv.arg_a0a1.cderiv_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.69015
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.69021
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.69034
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.69045
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.69056
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.69067
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.69094
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.69129
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.69140
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.69151
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.69162
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.69189
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
hx : ∀ (x : X), g x ≠ 0
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x / g x) x = fun dx => (cderiv K f x dx * g x - f x * cderiv K g x dx) / g x ^ 2
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.cderiv_rule_at
Proof state before:
K✝ : Type ?u.96316
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.96322
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.96335
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.96346
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.96357
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.96368
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.96395
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.96441
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.96452
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.96490
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
x : X
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x = fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
K✝ : Type ?u.96316
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.96322
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.96335
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.96346
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.96357
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.96368
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.96395
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.96441
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.96452
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.96490
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
x : X
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => IndexType.sum (cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.cderiv_rule_at
Proof state before:
K✝ : Type ?u.96316
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.96322
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.96335
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.96346
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.96357
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.96368
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.96395
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.96441
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.96452
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.96490
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
x : X
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => IndexType.sum (cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.101094
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.101100
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.101113
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.101124
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.101135
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.101146
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.101173
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.101219
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.101230
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.101268
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
⊢ (cderiv K fun x =>  ∑ i, f x i) = fun x dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Tactic:
funext x
Proof state after:
case h
K✝ : Type ?u.101094
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.101100
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.101113
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.101124
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.101135
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.101146
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.101173
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.101219
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.101230
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.101268
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
x : X
⊢ cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x = fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.cderiv_rule
Proof state before:
case h
K✝ : Type ?u.101094
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.101100
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.101113
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.101124
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.101135
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.101146
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.101173
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.101219
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.101230
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.101268
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiable K fun x => f x i
x : X
⊢ cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x = fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Tactic:
fun_trans
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y

case isTrue
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Theorem: SciLean.ite.arg_te.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.ite.arg_te.cderiv_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h.h
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝ = (if c then cderiv K t y else cderiv K e y) x✝