internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case h.e'_4
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
this✝ : ‖S x (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun‖ ≤ W21.norm (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun * M
this : 0 < 1 + M
⊢ ε / 2 = ε / 2 / (1 + M) * (1 + M)
Tactic:
field_simp
Proof state after:
case h.e'_4
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
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ψ : W21
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⊢ ε * (2 * (1 + M)) = ε * (1 + M) * 2
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case h.e'_4
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
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ψ : W21
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this✝ : ‖S x (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun‖ ≤ W21.norm (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun * M
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Tactic:
ring
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
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ψ : W21
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this : ‖S x (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun‖ ≤ W21.norm (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun * M
⊢ M ≤ 1 + M
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
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A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
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F G : ℂ → ℂ
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inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
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Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
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this : ‖S x (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun‖ ≤ W21.norm (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun * M
⊢ 0 ≤ M
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
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F G : ℂ → ℂ
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g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
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key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
this : ‖S x (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun‖ ≤ W21.norm (ψ - W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun * M
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Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
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ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
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x✝ : ℝ
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key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
⊢ 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
Tactic:
have l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 : ℝ ↦ cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume := by
  refine (Continuous.mul ?_ continuous_const).neg.cexp.aestronglyMeasurable
  apply continuous_const.mul <| contDiff_ofReal.continuous.mul continuous_const
Proof state after:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
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S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
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C : ℝ
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key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
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x✝ : ℝ
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key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
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𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
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key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
Tactic:
simp [Real.fourierIntegral_eq', mul_sub]
Proof state after:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
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S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
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Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
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M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
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key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∫ (v : ℝ), cexp (-(2 * ↑π * (↑v * ↑x) * I)) * ψ.toFun v - cexp (-(2 * ↑π * (↑v * ↑x) * I)) * (Ψ R).toFun v =
    (∫ (v : ℝ), cexp (-(2 * ↑π * (↑v * ↑x) * I)) * ψ.toFun v) -
      ∫ (v : ℝ), cexp (-(2 * ↑π * (↑v * ↑x) * I)) * (Ψ R).toFun v
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
Tactic:
refine (Continuous.mul ?_ continuous_const).neg.cexp.aestronglyMeasurable
Proof state after:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
⊢ Continuous fun x_1 => 2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x)
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
⊢ Continuous fun x_1 => 2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x)
Tactic:
apply continuous_const.mul <| contDiff_ofReal.continuous.mul continuous_const
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ Integrable (fun a => cexp (-(2 * ↑π * (↑a * ↑x) * I)) * ψ.toFun a) volume
Tactic:
apply ψ.hf.bdd_mul l1
Proof state after:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∃ C, ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ C
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∃ C, ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ C
Tactic:
use 1
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ 1
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ 1
Tactic:
simp [Complex.norm_eq_abs, Complex.abs_exp]
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ Integrable (fun a => cexp (-(2 * ↑π * (↑a * ↑x) * I)) * (Ψ R).toFun a) volume
Tactic:
apply (Ψ R : W21) |>.hf |>.bdd_mul l1
Proof state after:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∃ C, ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ C