internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) ↔ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Tactic:
constructor
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) → ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂

case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂) → R (f₁ v) (f₂ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) → ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Tactic:
intro h
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Tactic:
exact ⟨f₁ v, hbf₁ v, f₂ v, hbf₂ v, rfl, rfl, h⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂) → R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
rintro ⟨_, _, _, _, rfl, rfl, h⟩
Proof state after:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
left✝¹ : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝ : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂
Proof state before:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
left✝¹ : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝ : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
exact h
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Tactic:
rcases hf₁.bounded with ⟨bf₁, hbf₁⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Tactic:
rcases hf₂.bounded with ⟨bf₂, hbf₂⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Tactic:
rcases hf₃.bounded with ⟨bf₃, hbf₃⟩
Proof state after:
case mk.intro.mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
⊢ Definable L Γ fun w => R ((fun x => (fun x => w x.succ) x.succ) 0) ((fun x => w x.succ) 0) (w 0)
Tactic:
simpa using hR.retraction (n := k + 3) ![2, 1, 0]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
⊢ ∀ (x : Fin k → M),
    R (f₁ x) (f₂ x) (f₃ x) ↔
      ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M x id bf₁,
        ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M x id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M x id bf₃, z₁ = f₁ x ∧ z₂ = f₂ x ∧ z₃ = f₃ x ∧ R z₁ z₂ z₃
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) ↔
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) →
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
Tactic:
intro h
Proof state after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
    ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
    ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
Tactic:
exact ⟨f₁ v, hbf₁ v, f₂ v, hbf₂ v, f₃ v, hbf₃ v, rfl, rfl, rfl, h⟩
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂,
        ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃) →
    R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Tactic:
rintro ⟨_, _, _, _, _, _, rfl, rfl, rfl, h⟩
Proof state after:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
left✝² : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝¹ : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
left✝ : f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₃
Proof state before:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₃ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
bf₃ : Semiterm L M k
hbf₃ : ∀ (v : Fin k → M), f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁,
      ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, ∃ z₃ ≤ Semiterm.valm M v id bf₃, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ z₃ = f₃ v ∧ R z₁ z₂ z₃
v : Fin k → M
left✝² : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝¹ : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
left✝ : f₃ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₃
h : R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
Tactic:
exact h
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₄
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
Tactic:
rcases hf₁.bounded with ⟨bf₁, hbf₁⟩
Proof state after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → M → M → Prop
f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel₄ L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
hf₃ : DefinableBoundedFunction L Γ f₃
hf₄ : DefinableBoundedFunction L Γ f₄
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)