internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ 0 < a.norm
Tactic:
apply lt_of_le_of_ne (Zsqrtd.norm_nonneg (by norm_num) a)
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ 0 ≠ a.norm
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ 0 ≠ a.norm
Tactic:
rw [Ne, eq_comm, Zsqrtd.norm_eq_zero_iff (by norm_num : (-3 : ℤ) < 0)]
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ ¬a = 0
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ ¬a = 0
Tactic:
rintro rfl
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hcoprime : IsCoprime (Zsqrtd.re 0) (Zsqrtd.im 0)
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hcoprime : IsCoprime (Zsqrtd.re 0) (Zsqrtd.im 0)
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Tactic:
rw [Zsqrtd.zero_im, Zsqrtd.zero_re] at hcoprime
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hcoprime : IsCoprime 0 0
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hcoprime : IsCoprime 0 0
hfactor : x ∣ Zsqrtd.norm 0
⊢ False
Tactic:
exact not_isCoprime_zero_zero hcoprime
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ -3 ≤ 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ -3 < 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
⊢ x ≠ 0
Tactic:
rintro rfl
Proof state after:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hneg1 : 1 ≤ a.norm
hodd : Odd 0
hfactor : 0 ∣ a.norm
IH :
  ∀ m < Int.natAbs 0,
    ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hneg1 : 1 ≤ a.norm
hodd : Odd 0
hfactor : 0 ∣ a.norm
IH :
  ∀ m < Int.natAbs 0,
    ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
⊢ False
Tactic:
simp only [even_zero, not_true, Int.odd_iff_not_even] at hodd
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
h0 : x ≠ 0
⊢ 1 ≤ |x|
Tactic:
rwa [← Int.sub_one_lt_iff, sub_self, abs_pos]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inl
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 = |x|
⊢ ∃ c, |x| = c.norm
Tactic:
rw [← h]
Proof state after:
case h.inl
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 = |x|
⊢ ∃ c, 1 = c.norm
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inl
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 = |x|
⊢ ∃ c, 1 = c.norm
Tactic:
refine' ⟨⟨1, 0⟩, _⟩
Proof state after:
case h.inl
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 = |x|
⊢ 1 = { re := 1, im := 0 }.norm
Theorem: factors
Proof state before:
case h.inl
a : ℤ√(-3)
x : ℤ
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hodd : Odd x
hfactor : x ∣ a.norm
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
hneg1 : 1 ≤ a.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 = |x|
⊢ 1 = { re := 1, im := 0 }.norm
Tactic:
norm_num [Zsqrtd.norm_def]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
⊢ c'.norm ≠ 0
Tactic:
rwa [Ne, Zsqrtd.norm_eq_zero_iff (by norm_num) c']
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
⊢ -3 < 0
Tactic:
norm_num
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
⊢ 0 < g
Tactic:
rwa [hg, Zsqrtd.gcd_pos_iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
⊢ x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
Tactic:
rw [← hy, HC', Zsqrtd.norm_mul, Zsqrtd.norm_intCast, ← pow_two]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
⊢ ↑g ^ 2 ∣ y
Tactic:
have : (g : ℤ) ^ 2 ∣ x * y := by
  rw [h5]
  exact dvd_mul_right _ _
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ↑g ^ 2 ∣ y
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ↑g ^ 2 ∣ y
Tactic:
apply IsCoprime.dvd_of_dvd_mul_left _ this
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ IsCoprime (↑g ^ 2) x
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ IsCoprime (↑g ^ 2) x
Tactic:
apply isCoprime_of_prime_dvd
Proof state after:
case nonzero
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ¬(↑g ^ 2 = 0 ∧ x = 0)

case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ∀ (z : ℤ), Prime z → z ∣ ↑g ^ 2 → ¬z ∣ x
Theorem: factors
Proof state before:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ∀ (z : ℤ), Prime z → z ∣ ↑g ^ 2 → ¬z ∣ x
Tactic:
intro p hpprime hpdvdleft hpdvdright
Proof state after:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
⊢ False
Tactic:
have : ↑p ∣ c' + m * x := by
  rw [HC']
  exact
    dvd_add
      (dvd_mul_of_dvd_left
        ((Zsqrtd.intCast_dvd_intCast _ _).mpr (hpprime.dvd_of_dvd_pow hpdvdleft)) _)
      (dvd_mul_of_dvd_right ((Zsqrtd.intCast_dvd_intCast _ _).mpr hpdvdright) _)
Proof state after:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this✝ : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
this : ↑p ∣ c' + m * ↑x
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this✝ : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
this : ↑p ∣ c' + m * ↑x
⊢ False
Tactic:
have := Zsqrtd.coprime_of_dvd_coprime hcoprime this
Proof state after:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this✝¹ : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
this✝ : ↑p ∣ c' + m * ↑x
this : IsCoprime (↑p).re (↑p).im
⊢ False
Theorem: factors
Proof state before:
case H
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this✝¹ : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
this✝ : ↑p ∣ c' + m * ↑x
this : IsCoprime (↑p).re (↑p).im
⊢ False
Tactic:
simp only [Zsqrtd.intCast_re, isCoprime_zero_right, Zsqrtd.intCast_im, hpprime.not_unit] at this
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
⊢ ↑g ^ 2 ∣ x * y
Tactic:
rw [h5]
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
⊢ ↑g ^ 2 ∣ ↑g ^ 2 * C'.norm
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
⊢ ↑g ^ 2 ∣ ↑g ^ 2 * C'.norm
Tactic:
exact dvd_mul_right _ _
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
case nonzero
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
⊢ ¬(↑g ^ 2 = 0 ∧ x = 0)
Tactic:
contrapose! h0
Proof state after:
case nonzero
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
h0 : ↑g ^ 2 = 0 ∧ x = 0
⊢ x = 0
Theorem: factors
Proof state before:
case nonzero
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
h0 : ↑g ^ 2 = 0 ∧ x = 0
⊢ x = 0
Tactic:
exact h0.2
Proof state after:
no goals
Theorem: factors
Proof state before:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
⊢ ↑p ∣ c' + m * ↑x
Tactic:
rw [HC']
Proof state after:
x : ℤ
hodd : Odd x
IH : ∀ m < x.natAbs, ∀ (a : ℤ√(-3)) (x : ℤ), IsCoprime a.re a.im → Odd x → x ∣ a.norm → x.natAbs = m → ∃ c, |x| = c.norm
h0 : x ≠ 0
h0' : 1 ≤ |x|
h : 1 < |x|
c' m : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime (c' + m * ↑x).re (c' + m * ↑x).im
hfactor : x ∣ (c' + m * ↑x).norm
hneg1 : 1 ≤ (c' + m * ↑x).norm
h1 : c' ≠ 0
y : ℤ
hy : c'.norm = x * y
h3 : y.natAbs < x.natAbs
h4 : c'.norm ≠ 0
g : ℕ := c'.re.gcd c'.im
hg : g = c'.re.gcd c'.im
hgpos : 0 < g
C' : ℤ√(-3)
HC' : c' = ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C'
HCDcoprime : IsCoprime C'.re C'.im
h5 : x * y = ↑g ^ 2 * C'.norm
this : ↑g ^ 2 ∣ x * y
p : ℤ
hpprime : Prime p
hpdvdleft : p ∣ ↑g ^ 2
hpdvdright : p ∣ x
⊢ ↑p ∣ ↑↑(c'.re.gcd c'.im) * C' + m * ↑x