internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
⊢ ∀ y ∈ ↑p, (Algebra.trace K L) x * y ∈ ↑p
Tactic:
intro y hy'
Proof state after:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : K
hy' : y ∈ ↑p
⊢ (Algebra.trace K L) x * y ∈ ↑p
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : K
hy' : y ∈ ↑p
⊢ (Algebra.trace K L) x * y ∈ ↑p
Tactic:
obtain ⟨y, hy, rfl : algebraMap A K _ = _⟩ := (FractionalIdeal.mem_coeIdeal _).mp hy'
Proof state after:
case intro.intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : A
hy : y ∈ p
hy' : (algebraMap A K) y ∈ ↑p
⊢ (Algebra.trace K L) x * (algebraMap A K) y ∈ ↑p
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case intro.intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : A
hy : y ∈ p
hy' : (algebraMap A K) y ∈ ↑p
⊢ (Algebra.trace K L) x * (algebraMap A K) y ∈ ↑p
Tactic:
obtain ⟨z, hz, hz'⟩ := hx _ (Ideal.mem_map_of_mem _ hy)
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : A
hy : y ∈ p
hy' : (algebraMap A K) y ∈ ↑p
z : B
hz : z ∈ a
hz' : (algebraMap B L) z = x * (algebraMap B L) ((algebraMap A B) y)
⊢ (Algebra.trace K L) x * (algebraMap A K) y ∈ ↑p
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : A
hy : y ∈ p
hy' : (algebraMap A K) y ∈ ↑p
z : B
hz : z ∈ a
hz' : (algebraMap B L) z = x * (algebraMap B L) ((algebraMap A B) y)
⊢ (Algebra.trace K L) x * (algebraMap A K) y ∈ ↑p
Tactic:
have : Algebra.trace K L (algebraMap B L z) ∈ (p : FractionalIdeal A⁰ K) := by
  rw [← Algebra.algebraMap_intTrace (A := A)]
  exact ⟨intTrace A B z, this z hz, rfl⟩
Proof state after:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝¹ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this✝ : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : A
hy : y ∈ p
hy' : (algebraMap A K) y ∈ ↑p
z : B
hz : z ∈ a
hz' : (algebraMap B L) z = x * (algebraMap B L) ((algebraMap A B) y)
this : (Algebra.trace K L) ((algebraMap B L) z) ∈ ↑p
⊢ (Algebra.trace K L) x * (algebraMap A K) y ∈ ↑p
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝¹ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this✝ : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ a_1 ∈ Ideal.map (algebraMap A B) p, ∃ x' ∈ a, (algebraMap B L) x' = x * (algebraMap B L) a_1
y : A
hy : y ∈ p
hy' : (algebraMap A K) y ∈ ↑p
z : B
hz : z ∈ a
hz' : (algebraMap B L) z = x * (algebraMap B L) ((algebraMap A B) y)
this : (Algebra.trace K L) ((algebraMap B L) z) ∈ ↑p
⊢ (Algebra.trace K L) x * (algebraMap A K) y ∈ ↑p
Tactic:
rwa [mul_comm, ← smul_eq_mul, ← LinearMap.map_smul, Algebra.smul_def, mul_comm,
  ← IsScalarTower.algebraMap_apply, IsScalarTower.algebraMap_apply A B L, ← hz']
Proof state after:
no goals
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
Tactic:
apply inv_involutive.injective
Proof state after:
case a
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹⁻¹ = (↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p))⁻¹
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case a
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹⁻¹ = (↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p))⁻¹
Tactic:
simp only [inv_inv, ha, FractionalIdeal.coeIdeal_mul, inv_div, ne_eq,
    FractionalIdeal.coeIdeal_eq_zero, mul_div_assoc]
Proof state after:
case a
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ ↑(P ^ (e - 1)) = ↑(P ^ (e - 1)) * (↑a / ↑a)
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
case a
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ ↑(P ^ (e - 1)) = ↑(P ^ (e - 1)) * (↑a / ↑a)
Tactic:
rw [div_self (by simpa), mul_one]
Proof state after:
no goals
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
⊢ ↑a ≠ 0
Tactic:
simpa
Proof state after:
no goals
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : x ∈ ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
⊢ ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p) ≠ 0
Tactic:
simpa using hp'
Proof state after:
no goals
Theorem: pow_sub_one_dvd_differentIdeal_aux
Proof state before:
A : Type u_2
K : Type ?u.19134
L : Type ?u.19140
B : Type u_1
inst✝²⁶ : CommRing A
inst✝²⁵ : Field K
inst✝²⁴ : CommRing B
inst✝²³ : Field L
inst✝²² : Algebra A K
inst✝²¹ : Algebra B L
inst✝²⁰ : Algebra A B
inst✝¹⁹ : Algebra K L
inst✝¹⁸ : Algebra A L
inst✝¹⁷ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁶ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : IsDomain B
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
inst✝¹² : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹¹ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : IsSeparable K L
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Module.Finite A B
p : Ideal A
inst✝ : p.IsMaximal
P : Ideal B
e : ℕ
he : e ≠ 0
hp : p ≠ ⊥
hP✝ : P ^ e ∣ Ideal.map (algebraMap A B) p
a : Ideal B
ha : Ideal.map (algebraMap A B) p = P ^ (e - 1) * a
hp' : ¬Ideal.map (algebraMap A B) p = ⊥
habot : a ≠ ⊥
hPbot : P ≠ ⊥
this✝ : Ideal.map (algebraMap A B) p ∣ a ^ e
this : ∀ x ∈ a, (intTrace A B) x ∈ p
hP : (↑(P ^ (e - 1)))⁻¹ = ↑a / ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p)
x : L
hx : ∀ y ∈ ↑(Ideal.map (algebraMap A B) p), x * y ∈ ↑a
⊢ ↑p ≠ 0
Tactic:
simpa using hp
Proof state after:
no goals