internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * (‖∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ‖ * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖) ≤
    (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖ * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Tactic:
rw [mul_assoc (c := ∏ j : Fin n, ‖m j‖), mul_comm (b := ∏ j : Fin n, ‖m j‖)]
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * (‖∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ‖ * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖) ≤
    (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ((∏ j : Fin n, ‖m j‖) * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖)
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝ : CompleteSpace F
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⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * (‖∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ‖ * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖) ≤
    (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ((∏ j : Fin n, ‖m j‖) * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖)
Tactic:
simp only [← mul_assoc]
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
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inst✝ : CompleteSpace F
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f : 𝓢(E, F)
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⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * ‖∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ‖ * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖ ≤
    ((2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖) * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
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    ((2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖) * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖
Tactic:
refine mul_le_mul_of_nonneg_right ?_ (by simp)
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
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⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * ‖∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ‖ ≤ (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
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inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
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⊢ ‖(-(2 * ↑π * I)) ^ n‖ * ‖∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ‖ ≤ (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Tactic:
simp only [norm_pow, norm_neg, norm_mul, IsROrC.norm_ofNat, norm_eq_abs, abs_ofReal,
  _root_.abs_of_nonneg Real.pi_pos.le, abs_I, mul_one, norm_prod, Real.norm_eq_abs]
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
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F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
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inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
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inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
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inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
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Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
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inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
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⊢ (2 * π) ^ n * ∏ x_1 : Fin n, |⟪x, m x_1⟫_ℝ| ≤ (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Tactic:
simp only [mul_assoc]
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
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inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
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⊢ (2 * π) ^ n * ∏ x_1 : Fin n, |⟪x, m x_1⟫_ℝ| ≤ (2 * π) ^ n * (‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖)
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
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inst✝⁴ : BorelSpace E
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inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ (2 * π) ^ n * ∏ x_1 : Fin n, |⟪x, m x_1⟫_ℝ| ≤ (2 * π) ^ n * (‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖)
Tactic:
refine mul_le_mul_of_nonneg_left ?_ (by simp [Real.pi_pos.le])
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∏ x_1 : Fin n, |⟪x, m x_1⟫_ℝ| ≤ ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∏ x_1 : Fin n, |⟪x, m x_1⟫_ℝ| ≤ ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Tactic:
refine le_trans (Finset.prod_le_prod (by simp) (fun j _ ↦ abs_real_inner_le_norm x (m j))) ?_
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∏ i : Fin n, ‖x‖ * ‖m i‖ ≤ ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∏ i : Fin n, ‖x‖ * ‖m i‖ ≤ ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Tactic:
rw [Finset.prod_mul_distrib]
Proof state after:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ‖x‖) * ∏ x : Fin n, ‖m x‖ ≤ ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ (∏ x_1 : Fin n, ‖x‖) * ∏ x : Fin n, ‖m x‖ ≤ ‖x‖ ^ n * ∏ j : Fin n, ‖m j‖
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ 0 ≤ ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ 0 ≤ (2 * π) ^ n
Tactic:
simp [Real.pi_pos.le]
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1628033
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, 0 ≤ |⟪x, m i⟫_ℝ|
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.norm_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_le
Proof state before:
E' : Type ?u.1649734
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
⊢ 0 ≤ (2 * π) ^ n * ‖x‖ ^ n * ‖((vectorFourierIntegrand ξ) f) x‖
Tactic:
refine mul_nonneg (mul_nonneg ?_ ?_) ?_ <;> simp [Real.pi_pos.le]
Proof state after:
no goals
Theorem: SchwartzMap.vectorFourierIntegrand_hasTemperateGrowth_smul
Proof state before:
E' : Type ?u.1666239
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
g : E → ℝ
hg : Function.HasTemperateGrowth g
⊢ ((vectorFourierIntegrand ξ) ((hasTemperateGrowth_smul hg) f)) x = g x • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp only [vectorFourierIntegrand_apply]
Proof state after:
E' : Type ?u.1666239
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
x ξ : E
g : E → ℝ
hg : Function.HasTemperateGrowth g
⊢ ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • ((hasTemperateGrowth_smul hg) f) x =
    g x • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x