internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄, s ⊆ t → (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d
Tactic:
intro k0 k1 k01 h1
Proof state after:
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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ec : e < c
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ef : e ≠ ⊤
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k0 k1 : Set ℂ
k01 : k0 ⊆ k1
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ec : e < c
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ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
k01 : k0 ⊆ k1
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
Tactic:
refine h1.mp (Filter.eventually_of_forall ?_)
Proof state after:
case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ec : e < c
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ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
k01 : k0 ⊆ k1
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0, f x z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
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case neg.intro.intro.hmono
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
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dc : d < c
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
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h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ z ∈ k1, f x z ≥ d) → ∀ z ∈ k0, f x z ≥ d
Tactic:
exact fun n a1 z z0 ↦ a1 z (k01 z0)
Proof state after:
no goals
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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de : d < e
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ep : e > 0
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
⊢ ∀ ⦃s t : Set ℂ⦄,
    (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s, f n z ≥ d) →
      (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ t, f n z ≥ d) → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ s ∪ t, f n z ≥ d
Tactic:
intro k0 k1 h0 h1
Proof state after:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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dc : d < c
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
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h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
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Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝² : SecondCountableTopology E
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
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dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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k0 k1 : Set ℂ
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Tactic:
refine (h0.and h1).mp (Filter.eventually_of_forall ?_)
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case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
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fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
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k0 k1 : Set ℂ
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Tactic:
intro n h z zs
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case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
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d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
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z : ℂ
zs : z ∈ k0 ∪ k1
⊢ f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hunion
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
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ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
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z : ℂ
zs : z ∈ k0 ∪ k1
⊢ f n z ≥ d
Tactic:
cases' zs with zs zs
Proof state after:
case neg.intro.intro.hunion.inl
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
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df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
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k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k0
⊢ f n z ≥ d

case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hunion.inl
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k0
⊢ f n z ≥ d

case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d
Tactic:
exact h.1 z zs
Proof state after:
case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
case neg.intro.intro.hunion.inr
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
k0 k1 : Set ℂ
h0 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k0, f n z ≥ d
h1 : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
n : ℕ
h : (∀ z ∈ k0, f n z ≥ d) ∧ ∀ z ∈ k1, f n z ≥ d
z : ℂ
zs : z ∈ k1
⊢ f n z ≥ d
Tactic:
exact h.2 z zs
Proof state after:
no goals
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r2 > 0
Tactic:
rw [← hr2]
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r / 2 > 0
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
⊢ r / 2 > 0
Tactic:
exact half_pos rp
Proof state after:
no goals
Theorem: SuperharmonicOn.hartogs
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
⊢ r1 > 0
Tactic:
rw [← hr1]
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℕ → ℂ → ℝ≥0∞
s k : Set ℂ
c : ℝ≥0∞
fs : ∀ (n : ℕ), SuperharmonicOn (f n) s
fc : ∀ z ∈ s, liminf (fun n => f n z) atTop ≥ c
ck : IsCompact k
ks : k ⊆ interior s
d : ℝ≥0∞
dc : d < c
dz : ¬d = 0
dp : d > 0
df : d ≠ ⊤
drp : d.toReal > 0
e : ℝ≥0∞
de : d < e
ec : e < c
ep : e > 0
ez : e ≠ 0
ef : e ≠ ⊤
erp : e.toReal > 0
z : ℂ
zs : z ∈ k
r : ℝ
rp : r > 0
rs : ball z r ⊆ interior s
r2 : ℝ
hr2 : r / 2 = r2
r1 : ℝ
hr1 : r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt = r1
dep : d.toReal / e.toReal > 0
r2p : r2 > 0
⊢ r2 * (d.toReal / e.toReal).sqrt > 0