Theorem: HolomorphicAt.extChartAt_symm
Proof state before:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x : M
y : E
ys : y ∈ (_root_.extChartAt I x).target
y' : M := ↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y)
a : (_root_.chartAt A x).symm.trans (_root_.chartAt A (↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y))) ∈ analyticGroupoid I
⊢ AnalyticAt 𝕜
    (fun x_1 =>
      ↑(_root_.extChartAt I (↑(_root_.extChartAt I x).symm y))
        (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(PartialEquiv.refl E).symm x_1)))
    y
Tactic:
simp only [mem_analyticGroupoid_of_boundaryless, PartialHomeomorph.trans_symm_eq_symm_trans_symm,
  Function.comp] at a
Proof state after:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x : M
y : E
ys : y ∈ (_root_.extChartAt I x).target
y' : M := ↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y)
a :
  AnalyticOn 𝕜
      (fun x_1 =>
        ↑I
          (↑((_root_.chartAt A x).symm.trans (_root_.chartAt A (↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y))))
            (↑I.symm x_1)))
      (↑I '' ((_root_.chartAt A x).symm.trans (_root_.chartAt A (↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y)))).source) ∧
    AnalyticOn 𝕜
      (fun x_1 =>
        ↑I
          (↑((_root_.chartAt A (↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y))).symm.trans (_root_.chartAt A x).symm.symm)
            (↑I.symm x_1)))
      (↑I '' ((_root_.chartAt A x).symm.trans (_root_.chartAt A (↑(_root_.chartAt A x).symm (↑I.symm y)))).target)
⊢ AnalyticAt 𝕜
    (fun x_1 =>
      ↑(_root_.extChartAt I (↑(_root_.extChartAt I x).symm y))
        (↑(_root_.extChartAt I x).symm (↑(PartialEquiv.refl E).symm x_1)))
    y