Theorem: ContinuousMultilinearMap.fderiv_compContinuousLinearMapL
Proof state before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
x : (i : ι) → E i
⊢ ((ContinuousLinearMap.flipMultilinear (fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f)) x) df = (((q f) df) m) x

case hc
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
x : (i : ι) → E i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f
Tactic:
swap
Proof state after:
case hc
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
x : (i : ι) → E i
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
α : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup α
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 α
D : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_5
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
E₁ : ι → Type u_6
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
G : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
q :
  ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →
    ((i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
df : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E₁ i) G
x : (i : ι) → E i
⊢ ((ContinuousLinearMap.flipMultilinear (fderiv 𝕜 (fun y => compContinuousLinearMap m y) f)) x) df = (((q f) df) m) x