internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 r, (2 * π * a) • f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Tactic:
simp only [← intervalIntegral.integral_of_le rp.le, Algebra.id.smul_eq_mul,
  intervalIntegral.integral_mul_const, intervalIntegral.integral_const_mul, integral_id,
  zero_pow, Ne, bit0_eq_zero, Nat.one_ne_zero, not_false_iff, tsub_zero] at im
Proof state after:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
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inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : (∫ (x : ℝ) in 0 ..r, 2 * π * x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Tactic:
rw [intervalIntegral.integral_const_mul] at im
Proof state after:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : (2 * π * ∫ (x : ℝ) in 0 ..r, x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
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case refine_3
S : Type
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T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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rp : r > 0
i : ℝ
im : (2 * π * ∫ (x : ℝ) in 0 ..r, x) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Tactic:
simp only [integral_id, ne_eq, zero_pow, sub_zero] at im
Proof state after:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : 2 * π * ((r ^ 2 - 0 ^ 2) / 2) * f c ≤ i
⊢ f c ≤ (π * r ^ 2)⁻¹ * i
Tactic:
ring_nf at im ⊢
Proof state after:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_3
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
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inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i
Tactic:
calc f c
  _ = π⁻¹ * r⁻¹^2 * (π * r^2 * f c) := by ring_nf; field_simp [rp.ne', Real.pi_pos.ne']
  _ ≤ π⁻¹ * r⁻¹^2 * i := by bound
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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E : Type
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inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * (π * r ^ 2 * f c)
Tactic:
ring_nf
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π * π⁻¹ * r ^ 2 * r⁻¹ ^ 2 * f c
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ f c = π * π⁻¹ * r ^ 2 * r⁻¹ ^ 2 * f c
Tactic:
field_simp [rp.ne', Real.pi_pos.ne']
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
i : ℝ
im : π * r ^ 2 * f c ≤ i
⊢ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * (π * r ^ 2 * f c) ≤ π⁻¹ * r⁻¹ ^ 2 * i
Tactic:
bound
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_1
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => (2 * π * s) • f c) (volume.restrict (Ioc 0 r))
Tactic:
apply Continuous.integrableOn_Ioc
Proof state after:
case refine_1.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun s => (2 * π * s) • f c
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_1.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Continuous fun s => (2 * π * s) • f c
Tactic:
continuity
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
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H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
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c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Integrable (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (volume.restrict (Ioc 0 r))
Tactic:
refine IntegrableOn.mono_set ?_ Set.Ioc_subset_Icc_self
Proof state after:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ IntegrableOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) volume
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ IntegrableOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r) volume
Tactic:
apply ContinuousOn.integrableOn_Icc
Proof state after:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r)
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun s => s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)) (Icc 0 r)
Tactic:
apply ContinuousOn.smul continuousOn_id
Proof state after:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
Tactic:
simp_rw [← intervalIntegral.integral_of_le Real.two_pi_pos.le]
Proof state after:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in 0 ..2 * π, f (circleMap c x t)) (Icc 0 r)
Tactic:
refine ContinuousOn.intervalIntegral ?_ isCompact_Icc Real.two_pi_pos.le
Proof state after:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π))
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc 0 r ×ˢ Icc 0 (2 * π))
Tactic:
simp only [uncurry, Set.Icc_prod_Icc]
Proof state after:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π))
Theorem: SubharmonicOn.submean_disk
Proof state before:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ ContinuousOn (uncurry fun x t => f (circleMap c x t)) (Icc (0, 0) (r, 2 * π))
Tactic:
refine fs.cont.comp (Continuous.continuousOn (by continuity)) ?_
Proof state after:
case refine_2.hf
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
m :
  (volume.restrict (Ioc 0 r)).ae.EventuallyLE (fun s => (2 * π * s) • f c) fun s =>
    s • ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 (2 * π), f (circleMap c s t)
⊢ Set.MapsTo (fun a => circleMap c a.1 a.2) (Icc (0, 0) (r, 2 * π)) (closedBall c r)