internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x✝ : ℝ
hx : 1 ≤ x✝
key : ‖S x✝ (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∃ C, ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ C
Tactic:
use 1
Proof state after:
case h
n : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
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Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
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key3 : ‖S x✝ (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
x : ℝ
l1 : AEStronglyMeasurable (fun x_1 => cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))) volume
⊢ ∀ (x_1 : ℝ), ‖cexp (-(2 * ↑π * (↑x_1 * ↑x) * I))‖ ≤ 1
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
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C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
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x : ℝ
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key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
⊢ S1 x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) = S1 x ψ.toFun - S1 x (Ψ R).toFun
Tactic:
simp [S1, S1_sub_1, mul_sub]
Proof state after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
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S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
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S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
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Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
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x : ℝ
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key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
⊢ ∑' (n : ℕ), (f n / ↑n * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑n / x).log) - f n / ↑n * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑n / x).log)) =
    ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑n / x).log) -
      ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑n / x).log)
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
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S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
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Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
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x : ℝ
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key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Tactic:
have := summable_fourier x (by positivity) ψ ⟨_, hcheby⟩
Proof state after:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
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M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
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hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
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x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => ‖f i / ↑i * 𝓕 ψ.toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)‖
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
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key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
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M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
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x : ℝ
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key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => ‖f i / ↑i * 𝓕 ψ.toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)‖
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Tactic:
rw [summable_norm_iff] at this
Proof state after:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
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M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
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x : ℝ
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key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => f i / ↑i * 𝓕 ψ.toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
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S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
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key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
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x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => f i / ↑i * 𝓕 ψ.toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 ψ.toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
⊢ 0 < x
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Tactic:
have := summable_fourier x (by positivity) (Ψ R) ⟨_, hcheby⟩
Proof state after:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => ‖f i / ↑i * 𝓕 (W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)‖
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => ‖f i / ↑i * 𝓕 (W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)‖
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Tactic:
rw [summable_norm_iff] at this
Proof state after:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => f i / ↑i * 𝓕 (W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
this : Summable fun i => f i / ↑i * 𝓕 (W21.ofCS2 (Ψ R)).toFun (1 / (2 * π) * (↑i / x).log)
⊢ Summable fun b => f b / ↑b * 𝓕 (Ψ R).toFun (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑b / x).log)
Tactic:
simpa using this
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
S1_sub : S1 x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) = S1 x ψ.toFun - S1 x (Ψ R).toFun
⊢ S2 x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) = S2 x ψ.toFun - S2 x (Ψ R).toFun
Tactic:
simp [S2, S1_sub_1]
Proof state after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
S1_sub : S1 x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) = S1 x ψ.toFun - S1 x (Ψ R).toFun
⊢ ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ.toFun (u / (2 * π)) - 𝓕 (Ψ R).toFun (u / (2 * π)) =
    (↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ.toFun (u / (2 * π))) -
      ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 (Ψ R).toFun (u / (2 * π))
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
case hf
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
S1_sub : S1 x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) = S1 x ψ.toFun - S1 x (Ψ R).toFun
⊢ Integrable (fun u => 𝓕 ψ.toFun (u / (2 * π))) (volume.restrict (Ici (-x.log)))
Tactic:
exact ψ.integrable_fourier (by positivity) |>.restrict
Proof state after:
no goals
Theorem: limiting_cor_W21
Proof state before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ✝ Ψ✝ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
ψ : W21
hf : ∀ (σ' : ℝ), 1 < σ' → Summable (nterm f σ')
hG : ContinuousOn G {s | 1 ≤ s.re}
hG' : EqOn G (fun s => LSeries f s - ↑A / (s - 1)) {s | 1 < s.re}
S1 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ∑' (n : ℕ), f n / ↑n * 𝓕 ψ (1 / (2 * π) * (↑n / x).log)
S2 : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => ↑A * ∫ (u : ℝ) in Ici (-x.log), 𝓕 ψ (u / (2 * π))
S : ℝ → (ℝ → ℂ) → ℂ := fun x ψ => S1 x ψ - S2 x ψ
g : trunc
Ψ : ℝ → CS 2 ℂ := fun R => g.scale R * ψ
C : ℝ
hcheby : chebyWith C f
hC : 0 ≤ C
key2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, dist (W21.norm (ψ.toFun - (Ψ x).toFun)) 0 < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
M : ℝ := C * (1 + 2 * π ^ 2) + ‖↑A‖ * (2 * π ^ 2)
R : ℝ
hRψ : W21.norm (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) < ε / 2 / (1 + M)
key✝ : ∀ (R ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
key : ‖S x (Ψ R).toFun‖ < ε / 2
key3 : ‖S x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun)‖ < ε / 2
S1_sub_1 : ∀ (x : ℝ), 𝓕 (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) x = 𝓕 ψ.toFun x - 𝓕 (Ψ R).toFun x
S1_sub : S1 x (ψ.toFun - (Ψ R).toFun) = S1 x ψ.toFun - S1 x (Ψ R).toFun
⊢ 2 * π ≠ 0
Tactic:
positivity
Proof state after:
no goals