internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
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inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
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inst✝⁸ : RCLike K
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inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
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inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, (f x).2⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun z => semiAdjoint K f (0,z)) _
Proof state after:
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
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inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
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Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, (f x).2⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K f (0, z)) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
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X : Type u_4
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
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inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, (f x).2⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K f (0, z)) y, x⟫_K
Tactic:
intros
Proof state after:
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
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W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
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inst✝³ : IndexType ι
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inst✝¹ : DecidableEq ι
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inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (f x✝).2⟫_K = ⟪(fun z => semiAdjoint K f (0, z)) y✝, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hx
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
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inst✝¹² : IndexType ι✝
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E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
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hf : HasSemiAdjoint K f
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⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
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Z✝ : Type ?u.28977
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W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
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inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
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K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
repeat assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hf
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
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W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).2
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
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Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
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Z : Type ?u.31308
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W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => -f x
Tactic:
have : HasSemiAdjoint K f := sorry_proof
Proof state after:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => -f x
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
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Z : Type ?u.31308
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W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => -f x
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
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Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, -f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => -f x
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
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Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, -f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => -f x
Tactic:
. apply Exists.intro (fun y => semiAdjoint K f (-y)) _
  intros; rw[semiAdjoint_move]; unfold Inner.inner; sorry_proof
  sorry_proof
  repeat assumption
Proof state after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => -f x
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => -f x
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, -f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun y => semiAdjoint K f (-y)) _
Proof state after:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, -f x⟫_K = ⟪(fun y => semiAdjoint K f (-y)) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, -f x⟫_K = ⟪(fun y => semiAdjoint K f (-y)) y, x⟫_K
Tactic:
intros
Proof state after:
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, -f x✝⟫_K = ⟪(fun y => semiAdjoint K f (-y)) y✝, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Neg.neg.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hx
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.31319
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.31330
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
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Z✝ : Type ?u.31213
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.31224
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.31235
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.31308
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W : Type ?u.31319
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inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.31357
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
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a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
sorry_proof
Proof state after:
case hf
K✝ : Type ?u.31183
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.31189
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.31202
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W✝ : Type ?u.31224
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ι✝ : Type ?u.31235
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inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.31262
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
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inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
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inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y
this : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f