internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z e' t)
ss : closedBall z e' ⊆ closedBall c r
hi : ∀ x ∈ itau, f (circleMap z e' x) ≤ f c
fcc : ContinuousOn (fun a => f (circleMap z e' a)) itau
eys : z + ↑e' * y ∈ sphere z e'
a : ℝ
as : a ∈ Ioc 0 (2 * π)
aey : z + ↑e' * y = circleMap z e' a
fw : f (z + ↑e' * y) = f c
⊢ f (z + ↑e' * y) = f c
Tactic:
exact fw
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
⊢ Complex.abs (z - c) = t
Tactic:
simp only [y1, abs_of_nonneg tp, add_sub_cancel_left, AbsoluteValue.map_mul,
  Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ z ∈ ball c r
Tactic:
simp only [y1, abs_of_nonneg tp, Metric.mem_ball, dist_self_add_left, Complex.norm_eq_abs,
  AbsoluteValue.map_mul, Complex.abs_ofReal, mul_one, ← hz]
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
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rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ t < r
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
⊢ t < r
Tactic:
exact lt_of_lt_of_le tu ur
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ e' > 0
Tactic:
rw [←he']
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ min (e / 2) (u - t) > 0
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
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e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ min (e / 2) (u - t) > 0
Tactic:
exact lt_min (half_pos ep) (by linarith)
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
⊢ 0 < u - t
Tactic:
linarith
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + e' ≤ u
Tactic:
rw [← he']
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + min (e / 2) (u - t) ≤ u
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + min (e / 2) (u - t) ≤ t + (u - t)
Tactic:
exact add_le_add_left (min_le_right _ _) _
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
⊢ t + (u - t) ≤ u
Tactic:
simp only [add_sub_cancel, le_refl]
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ e' < e
Tactic:
rw [← he']
Proof state after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ min (e / 2) (u - t) < e
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
lo : ∀ (s : ℝ), 0 < s → s < e → f z ≤ ⨍ (t : ℝ) in itau, f (circleMap z s t)
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
⊢ min (e / 2) (u - t) < e
Tactic:
exact lt_of_le_of_lt (min_le_left _ _) (half_lt_self ep)
Proof state after:
no goals
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ closedBall z e' ⊆ closedBall c r
Tactic:
apply Metric.closedBall_subset_closedBall'
Proof state after:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + dist z c ≤ r
Theorem: SubharmonicOn.maximum_principle_ball
Proof state before:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + dist z c ≤ r
Tactic:
rw [Complex.dist_eq, tz]
Proof state after:
case h
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fs : SubharmonicOn f (closedBall c r)
rp : r > 0
cm : IsMaxOn f (closedBall c r) c
g : ℂ
gs : g ∈ closedBall c r
gc : ¬g = c
u : ℝ
hu : Complex.abs (g - c) = u
u0 : u > 0
ur : u ≤ r
y : ℂ
hy : (g - c) / ↑u = y
y1 : Complex.abs y = 1
s : Set ℝ
hs : (fun t => f (c + ↑t * y)) ⁻¹' {f c} = s
s0 : 0 ∈ s
t : ℝ
z : ℂ
hz : c + ↑t * y = z
fz : f (c + ↑t * y) = f c
tp : 0 ≤ t
tu : t < u
tz : Complex.abs (z - c) = t
zs : z ∈ interior (closedBall c r)
e : ℝ
ep : 0 < e
e' : ℝ
he' : min (e / 2) (u - t) = e'
e'p : e' > 0
teu : t + e' ≤ u
e's : e' < e
lo : f c ≤ ⨍ (t_1 : ℝ) in itau, f (circleMap (c + ↑t * y) e' t_1)
⊢ e' + t ≤ r