internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
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ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
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ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
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Z : Type ?u.200246
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ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
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inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
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c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
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inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y

case isTrue
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule
Proof state before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: LeanColls.Indexed.get.arg_cont.IsLinearMap_rule_simple
Proof state before:
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ IsLinearMap R fun xs => xs[idx]
Tactic:
constructor
Proof state after:
case map_add
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ ∀ (x y : Cont), (x + y)[idx] = x[idx] + y[idx]

case map_smul
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ ∀ (c : R) (x : Cont), (c • x)[idx] = c • x[idx]
Theorem: LeanColls.Indexed.get.arg_cont.IsLinearMap_rule_simple
Proof state before:
case map_add
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ ∀ (x y : Cont), (x + y)[idx] = x[idx] + y[idx]

case map_smul
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ ∀ (c : R) (x : Cont), (c • x)[idx] = c • x[idx]
Tactic:
. intros; simp
Proof state after:
case map_smul
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ ∀ (c : R) (x : Cont), (c • x)[idx] = c • x[idx]
Theorem: LeanColls.Indexed.get.arg_cont.IsLinearMap_rule_simple
Proof state before:
case map_smul
K : Type
inst✝⁷ : RCLike K
Cont : Type
Idx Elem : outParam Type
inst✝⁶ : ArrayType Cont Idx Elem
inst✝⁵ : IndexType Idx
inst✝⁴ : LawfulIndexType Idx
inst✝³ : DecidableEq Idx
R : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommGroup Elem
inst✝ : Module R Elem
idx : Idx
⊢ ∀ (c : R) (x : Cont), (c • x)[idx] = c • x[idx]
Tactic:
. intros; simp
Proof state after:
no goals