internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b
hab✝ : a✝ ≤ b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
hb✝ : Pow2 0
IH : ∀ y < 2 * 0, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * 0)
hab : 2 * a ≤ 2 * 0
ltb : 1 < 2 * 0
⊢ False
Tactic:
simp at ltb
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
⊢ 0 < 2
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝¹ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
⊢ Pow2 a
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝¹ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
⊢ Pow2 b
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝¹ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
this✝ : Pow2 (a * b)
this : Pow2 (4 * a * b)
⊢ Pow2 (2 * a * (2 * b))
Tactic:
have : (2 * a) * (2 * b) = 4 * a * b := by simp [mul_assoc, mul_left_comm a 2 b, ←two_mul_two_eq_four]
Proof state after:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝¹ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
this✝¹ : Pow2 (a * b)
this✝ : Pow2 (4 * a * b)
this : 2 * a * (2 * b) = 4 * a * b
⊢ Pow2 (2 * a * (2 * b))
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝¹ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
this✝¹ : Pow2 (a * b)
this✝ : Pow2 (4 * a * b)
this : 2 * a * (2 * b) = 4 * a * b
⊢ Pow2 (2 * a * (2 * b))
Tactic:
simpa [this]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul
Proof state before:
M✝ : Type u_1
inst✝⁹ : Zero M✝
inst✝⁸ : One M✝
inst✝⁷ : Add M✝
inst✝⁶ : Mul M✝
inst✝⁵ : LT M✝
inst✝⁴ : M✝ ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
M : Type u_1
inst✝³ : Zero M
inst✝² : One M
inst✝¹ : Add M
inst✝ : Mul M
IH✝ : LT M
a✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
hab✝¹ : a✝ ≤ b✝
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → Pow2 (a * y)
hb : Pow2 (2 * b)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
ltb✝ : 1 < 2 * b
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
this✝ : Pow2 (a * b)
this : Pow2 (4 * a * b)
⊢ 2 * a * (2 * b) = 4 * a * b
Tactic:
simp [mul_assoc, mul_left_comm a 2 b, ←two_mul_two_eq_four]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul_iff
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
h : Pow2 (a * b)
⊢ a ∣ a * b
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul_iff
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
h : Pow2 (a * b)
⊢ b ∣ a * b
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul_iff
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
⊢ Pow2 a ∧ Pow2 b → Pow2 (a * b)
Tactic:
rintro ⟨ha, hb⟩
Proof state after:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ Pow2 (a * b)
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.mul_iff
Proof state before:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ Pow2 (a * b)
Tactic:
exact ha.mul hb
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.sq_iff
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a : M
⊢ Pow2 (a ^ 2) ↔ Pow2 a
Tactic:
simp [_root_.sq]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.sq
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a : M
⊢ Pow2 a → Pow2 (a ^ 2)
Tactic:
simp [_root_.sq]
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a ≤ b → a ∣ b
Tactic:
suffices  ∀ b : M, ∀ a ≤ b, Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b by
  intro hab; exact this b a hab ha hb
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ ∀ (b a : M), a ≤ b → Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ ∀ (b a : M), a ≤ b → Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
Tactic:
intro b
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b✝ : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b✝
b : M
⊢ ∀ a ≤ b, Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b✝ : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b✝
b : M
⊢ ∀ a ≤ b, Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
Tactic:
induction b using order_induction_iSigmaZero
Proof state after:
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ 𝚺₀-Predicate fun b => ∀ a ≤ b, Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b

case ind
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
x✝ : M
a✝ : ∀ y < x✝, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
⊢ ∀ a ≤ x✝, Pow2 a → Pow2 x✝ → a ∣ x✝
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
this : ∀ (b a : M), a ≤ b → Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
⊢ a ≤ b → a ∣ b
Tactic:
intro hab
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
this : ∀ (b a : M), a ≤ b → Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
hab : a ≤ b
⊢ a ∣ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
this : ∀ (b a : M), a ≤ b → Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
hab : a ≤ b
⊢ a ∣ b
Tactic:
exact this b a hab ha hb
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ 𝚺₀-Predicate fun b => ∀ a ≤ b, Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
Tactic:
definability
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b✝ : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b✝
b : M
IH : ∀ y < b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
⊢ ∀ a ≤ b, Pow2 a → Pow2 b → a ∣ b
Tactic:
intro a hab ha hb
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝ : Pow2 b✝
b : M
IH : ∀ y < b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
a : M
hab : a ≤ b
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a ∣ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝ : Pow2 b✝
b : M
IH : ∀ y < b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
a : M
hab : a ≤ b
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a ∣ b
Tactic:
have : b = 1 ∨ 1 < b ∧ ∃ b', b = 2 * b' ∧ Pow2 b' := Pow2.elim'.mp hb
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝ : Pow2 b✝
b : M
IH : ∀ y < b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
a : M
hab : a ≤ b
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
this : b = 1 ∨ 1 < b ∧ ∃ b', b = 2 * b' ∧ Pow2 b'
⊢ a ∣ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝ : Pow2 b✝
b : M
IH : ∀ y < b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
a : M
hab : a ≤ b
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
this : b = 1 ∨ 1 < b ∧ ∃ b', b = 2 * b' ∧ Pow2 b'
⊢ a ∣ b
Tactic:
rcases this with (rfl | ⟨ltb, b, rfl, hb⟩)
Proof state after:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝ : Pow2 b
a : M
ha : Pow2 a
IH : ∀ y < 1, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hab : a ≤ 1
hb : Pow2 1
⊢ a ∣ 1

case inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
a : M
ha : Pow2 a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hab : a ≤ 2 * b
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
⊢ a ∣ 2 * b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝ : Pow2 b
a : M
ha : Pow2 a
IH : ∀ y < 1, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hab : a ≤ 1
hb : Pow2 1
⊢ a ∣ 1
Tactic:
rcases le_one_iff_eq_zero_or_one.mp hab with (rfl | rfl) <;> simp
Proof state after:
case inl.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha✝ : Pow2 a
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 1, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 1
ha : Pow2 0
hab : 0 ≤ 1
⊢ False
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inl.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha✝ : Pow2 a
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 1, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 1
ha : Pow2 0
hab : 0 ≤ 1
⊢ False
Tactic:
simp at ha
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
a : M
ha : Pow2 a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hab : a ≤ 2 * b
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
⊢ a ∣ 2 * b
Tactic:
have : a = 1 ∨ 1 < a ∧ ∃ a', a = 2 * a' ∧ Pow2 a' := Pow2.elim'.mp ha
Proof state after:
case inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
a : M
ha : Pow2 a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hab : a ≤ 2 * b
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
this : a = 1 ∨ 1 < a ∧ ∃ a', a = 2 * a' ∧ Pow2 a'
⊢ a ∣ 2 * b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
a : M
ha : Pow2 a
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hab : a ≤ 2 * b
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
this : a = 1 ∨ 1 < a ∧ ∃ a', a = 2 * a' ∧ Pow2 a'
⊢ a ∣ 2 * b
Tactic:
rcases this with (rfl | ⟨lta, a, rfl, ha⟩)
Proof state after:
case inr.intro.intro.intro.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b✝ : M
ha✝ : Pow2 a
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
ha : Pow2 1
hab : 1 ≤ 2 * b
⊢ 1 ∣ 2 * b

case inr.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
⊢ 2 * a ∣ 2 * b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b✝ : M
ha✝ : Pow2 a
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
ha : Pow2 1
hab : 1 ≤ 2 * b
⊢ 1 ∣ 2 * b
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
⊢ 2 * a ∣ 2 * b
Tactic:
have ltb : b < 2 * b := lt_two_mul_self (pos_iff_ne_zero.mpr $ by rintro rfl; simp at ltb)
Proof state after:
case inr.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
⊢ 2 * a ∣ 2 * b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
⊢ 2 * a ∣ 2 * b
Tactic:
have hab : a ≤ b := le_of_mul_le_mul_left hab (by simp)
Proof state after:
case inr.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
⊢ 2 * a ∣ 2 * b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
case inr.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
⊢ 2 * a ∣ 2 * b
Tactic:
exact mul_dvd_mul_left 2 <| IH b ltb a hab (by assumption) (by assumption)
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
⊢ b ≠ 0
Tactic:
rintro rfl
Proof state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
hb✝ : Pow2 0
IH : ∀ y < 2 * 0, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * 0)
ltb : 1 < 2 * 0
hab : 2 * a ≤ 2 * 0
⊢ False
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
lta : 1 < 2 * a
hb✝ : Pow2 0
IH : ∀ y < 2 * 0, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * 0)
ltb : 1 < 2 * 0
hab : 2 * a ≤ 2 * 0
⊢ False
Tactic:
simp at ltb
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
⊢ 0 < 2
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
⊢ Pow2 a
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.dvd_of_le
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a✝ b✝ : M
ha✝¹ : Pow2 a✝
hb✝¹ : Pow2 b✝
b : M
hb✝ : Pow2 b
IH : ∀ y < 2 * b, ∀ a ≤ y, Pow2 a → Pow2 y → a ∣ y
hb : Pow2 (2 * b)
ltb✝ : 1 < 2 * b
a : M
ha✝ : Pow2 a
ha : Pow2 (2 * a)
hab✝ : 2 * a ≤ 2 * b
lta : 1 < 2 * a
ltb : b < 2 * b
hab : a ≤ b
⊢ Pow2 b
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a ≤ b ↔ a < 2 * b
Tactic:
constructor
Proof state after:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a ≤ b → a < 2 * b

case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a < 2 * b → a ≤ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a ≤ b → a < 2 * b
Tactic:
intro h
Proof state after:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a ≤ b
⊢ a < 2 * b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a ≤ b
⊢ a < 2 * b
Tactic:
exact lt_of_le_of_lt h (lt_two_mul_self hb.pos)
Proof state after:
no goals
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
⊢ a < 2 * b → a ≤ b
Tactic:
intro h
Proof state after:
case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a < 2 * b
⊢ a ≤ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a < 2 * b
⊢ a ≤ b
Tactic:
by_cases ea : a = 1
Proof state after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a < 2 * b
ea : a = 1
⊢ a ≤ b

case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a < 2 * b
ea : ¬a = 1
⊢ a ≤ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
a b : M
ha : Pow2 a
hb : Pow2 b
h : a < 2 * b
ea : a = 1
⊢ a ≤ b
Tactic:
rcases ea with rfl
Proof state after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
b : M
hb : Pow2 b
ha : Pow2 1
h : 1 < 2 * b
⊢ 1 ≤ b
Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Pow2.le_iff_lt_two
Proof state before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
b : M
hb : Pow2 b
ha : Pow2 1
h : 1 < 2 * b
⊢ 1 ≤ b
Tactic:
simpa [←pos_iff_one_le] using hb.pos
Proof state after:
no goals