internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Bind.bind.arg_a0a1.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.69718
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : HasAdjDiffM K a0
ha1 : HasAdjDiffM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  HasAdjDiffM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
hf : HasAdjDiffM K f
⊢ (fun x => do
      let ydg ←
        revDerivM K
            (fun x => do
              let y ← a0 x
              pure (x, y))
            x
      let zdf ← revDerivM K f ydg.1
      pure (zdf.1, fun dz => zdf.2 dz >>= ydg.2)) =
    fun x => do
    let ydg ← revDerivM K a0 x
    let zdf ← revDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydg.1)
    pure
        (zdf.1, fun dz => do
          let dxy ← zdf.2 dz
          let dx ← ydg.2 dxy.2
          pure (dxy.1 + dx))
Tactic:
simp [RevDerivMonad.revDerivM_pair a0 ha0]
Proof state after:
no goals
Theorem: Bind.bind.arg_a0a1.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.69718
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : HasAdjDiffM K a0
ha1 : HasAdjDiffM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x => g x >>= f
Tactic:
simp[f,g]
Proof state after:
no goals
Theorem: Bind.bind.arg_a0a1.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.69718
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : HasAdjDiffM K a0
ha1 : HasAdjDiffM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ HasAdjDiffM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
Tactic:
apply RevDerivMonad.HasAdjDiffM_pair a0 ha0
Proof state after:
no goals
Theorem: Bind.bind.arg_a0a1.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.69718
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : HasAdjDiffM K a0
ha1 : HasAdjDiffM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  HasAdjDiffM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
⊢ HasAdjDiffM K f
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
h✝ : ¬c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x

case isTrue
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
h✝ : c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x
Theorem: ite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
h : c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
case isTrue h  => simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
h : ¬c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
case isFalse h => simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
h : c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94027
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
ht : HasAdjDiffM K t
he : HasAdjDiffM K e
h : ¬c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if c then t x else e x
Tactic:
simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → m Y
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h✝ : ¬c
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y

case isTrue
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h✝ : c
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : c
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : ¬c
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : c
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
case h
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : ¬c
⊢ (revDerivM K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : ¬c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Theorem: ite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
case h
ι : Sort ?u.94680
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → m Y
h : ¬c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then revDerivM K t y else revDerivM K e y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
h✝ : ¬c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x

case isTrue
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
h✝ : c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x
Theorem: dite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
h : c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x
Tactic:
case isTrue h  => simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
h : ¬c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x
Tactic:
case isFalse h => simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
h : c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x
Tactic:
simp[ht,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.HasAdjDiffM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.95642
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
ht : ∀ (h : c), HasAdjDiffM K (t h)
he : ∀ (h : ¬c), HasAdjDiffM K (e h)
h : ¬c
⊢ HasAdjDiffM K fun x => if h : c then t h x else e h x
Tactic:
simp[he,h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Tactic:
induction dec
Proof state after:
case isFalse
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h✝ : ¬c
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y

case isTrue
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h✝ : c
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Theorem: dite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : c
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : ¬c
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : c
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if h : c then t h x else e h x) y = if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Theorem: dite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
case h
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if h : c then t h x else e h x) y = if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Tactic:
simp[h]
Proof state after:
no goals
Theorem: dite.arg_te.revDerivM_rule
Proof state before:
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : ¬c
⊢ (revDerivM K fun x => if h : c then t h x else e h x) = fun y =>
    if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y
Tactic:
ext y
Proof state after:
case h
ι : Sort ?u.96370
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → m Y
e : ¬c → X → m Y
h : ¬c
y : X
⊢ revDerivM K (fun x => if h : c then t h x else e h x) y = if h : c then revDerivM K (t h) y else revDerivM K (e h) y