internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hInmax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | U.ExtIndep e I}
hBmax : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | U.ExtIndep e I}
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax : I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ I ∪ B}
⊢ ∀ (x : Set α), U.ExtIndep e x → x ⊆ insert e M.E
Tactic:
exact  fun _ ↦ ExtIndep.subset_insert_ground
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hInmax :
  ¬(M.cl (I \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
      (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥)
hBmax :
  M.cl (B \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ B ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
    (M.cl (B \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ B ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
⊢ False
Tactic:
replace hBmax := show M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B by
  simpa [← spanning_iff_cl hBeE, he] using hBmax
Proof state after:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hInmax :
  ¬(M.cl (I \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
      (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥)
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hInmax :
  ¬(M.cl (I \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
      (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥)
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
⊢ False
Tactic:
replace hInmax := show M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I by
  simpa [← spanning_iff_cl hIeE, he] using hInmax
Proof state after:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
hInmax : M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
hInmax : M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I
⊢ False
Tactic:
replace hImax := show M.Spanning (I \ {e}) ∧ e ∈ I by
  simpa [hBmax.2, he, hBmax.1.cl_superset_eq hss, ← spanning_iff_cl hIeE] using hImax
Proof state after:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
hInmax : M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I
hImax : M.Spanning (I \ {e}) ∧ e ∈ I
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
hInmax : M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I
hImax : M.Spanning (I \ {e}) ∧ e ∈ I
⊢ False
Tactic:
exact hInmax hImax.1 hImax.2
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hInmax :
  ¬(M.cl (I \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
      (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥)
hBmax :
  M.cl (B \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ B ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
    (M.cl (B \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ B ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
⊢ M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
Tactic:
simpa [← spanning_iff_cl hBeE, he] using hBmax
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hInmax :
  ¬(M.cl (I \ {e}) = M.cl (insert e M.E \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ insert e M.E) ∨
      (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl (insert e M.E \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl (insert e M.E \ {e}) ∈ ⊥)
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
⊢ M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I
Tactic:
simpa [← spanning_iff_cl hIeE, he] using hInmax
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hI : ⊥.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬⊥.ExtIndep e (insert x I)
hB : ⊥.ExtIndep e B
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ ⊥
hrw : {J | ⊥.ExtIndep e J} = {J | ⊥.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ e ∈ B
hInmax : M.Spanning (I \ {e}) → e ∉ I
⊢ M.Spanning (I \ {e}) ∧ e ∈ I
Tactic:
simpa [hBmax.2, he, hBmax.1.cl_superset_eq hss, ← spanning_iff_cl hIeE] using hImax
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
⊢ False
Tactic:
obtain (heI | heI) := em (e ∈ I)
Proof state after:
case inr.inl.inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∈ I
⊢ False

case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
⊢ False
Tactic:
replace hInmax := show ¬ M.Spanning (I \ {e}) by simpa [heI, hU] using hInmax
Proof state after:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.Spanning (I \ {e})
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.Spanning (I \ {e})
⊢ False
Tactic:
replace hImax := show M.cl (I \ {e}) = M.E by simpa [hsp.cl_eq, heI, he, hU] using hImax
Proof state after:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.Spanning (I \ {e})
hImax : M.cl (I \ {e}) = M.E
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.Spanning (I \ {e})
hImax : M.cl (I \ {e}) = M.E
⊢ False
Tactic:
rw [spanning_iff_cl hIeE] at hInmax
Proof state after:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.cl (I \ {e}) = M.E
hImax : M.cl (I \ {e}) = M.E
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl.inr
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.cl (I \ {e}) = M.E
hImax : M.cl (I \ {e}) = M.E
⊢ False
Tactic:
contradiction
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl.inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∈ I
⊢ False
Tactic:
replace hImax := show M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) by
  simpa [hsp.cl_eq, heI, hU, ← hyperplane_iff_covBy] using hImax
Proof state after:
case inr.inl.inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∈ I
hImax : M.Hyperplane (M.cl (I \ {e}))
⊢ False
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
case inr.inl.inl
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∈ I
hImax : M.Hyperplane (M.cl (I \ {e}))
⊢ False
Tactic:
exact hInmax.2 hImax heI
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∈ I
⊢ M.Hyperplane (M.cl (I \ {e}))
Tactic:
simpa [hsp.cl_eq, heI, hU, ← hyperplane_iff_covBy] using hImax
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hInmax : (M.Spanning (I \ {e}) → ¬(e ∈ I → False ∧ e ∉ M.E)) ∧ (M.Hyperplane (M.cl (I \ {e})) → e ∉ I)
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
⊢ ¬M.Spanning (I \ {e})
Tactic:
simpa [heI, hU] using hInmax
Proof state after:
no goals
Theorem: Matroid.ModularCut.extIndep_aug_of_not_coloop
Proof state before:
α : Type u_1
M : Matroid α
I J B F₀ F F' X Y : Set α
e f : α
U✝ U : M.ModularCut
he : M.cl (M.E \ {e}) = M.E
hI : U.ExtIndep e I
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬U.ExtIndep e (insert x I)
hB : U.ExtIndep e B
hIeE : I \ {e} ⊆ M.E
hBeE : B \ {e} ⊆ M.E
hss : B \ {e} ⊆ (I ∪ B) \ {e}
hIBe : I ∪ B ⊆ insert e M.E
hIBe' : (I ∪ B) \ {e} ⊆ M.E
hImax :
  M.cl (I \ {e}) = M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∧ ((e ∈ I ↔ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U) → e ∉ I ∪ B) ∨
    (M.cl (I \ {e}) ⋖[M] M.cl ((I ∪ B) \ {e})) ∧ e ∈ I ∧ M.cl ((I ∪ B) \ {e}) ∈ U
hrw : {J | U.ExtIndep e J} = {J | U.ExtIndep e J ∧ J ⊆ insert e M.E}
hU : M.E ∈ U
hBmax : M.Spanning (B \ {e}) ∧ (e ∈ B → False ∧ e ∉ M.E) ∨ M.Hyperplane (M.cl (B \ {e})) ∧ e ∈ B
hsp : M.Spanning ((I ∪ B) \ {e})
heI : e ∉ I
hInmax : ¬M.Spanning (I \ {e})
⊢ M.cl (I \ {e}) = M.E
Tactic:
simpa [hsp.cl_eq, heI, he, hU] using hImax
Proof state after:
no goals