Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖
Tactic:
calc
  _ ≥ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ := ?_
  _ ≥ C₁ * (σ' - 1) ^ ((3 : ℝ)/ 4) * Real.log |t|  ^ ((-1 : ℝ)/ 4) - C₂ * Real.log |t| ^ 2 * (σ' - σ) := ?_
  _ ≥ C₁ * (A / Real.log |t| ^ (9 : ℝ)) ^ ((3 : ℝ)/ 4) * Real.log |t| ^ ((-1 : ℝ)/ 4) - C₂ * Real.log |t| ^ (2 : ℝ) * 2 * A / Real.log |t| ^ (9 : ℝ) := ?_
  _ ≥ C₁ * A ^ ((3 : ℝ)/ 4) * Real.log |t| ^ (-7 : ℝ) - C₂ * 2 * A * Real.log |t| ^ (-7 : ℝ) := ?_
  _ = (C₁ * A ^ ((3 : ℝ)/ 4) - C₂ * 2 * A) * Real.log |t| ^ (-7 : ℝ) := by ring
  _ ≥ _ := ?_
Proof state after:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ ≥ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖

case calc_2
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≥ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)

case calc_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≥
    C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9

case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9 ≥
    C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) - C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)

case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7) ≥ 1 / (C * |t|.log ^ 7)