Theorem: HolomorphicAt.comp
Proof state before:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O
g : M → N
x : M
fh :
  ContinuousAt f (g x) ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(extChartAt K (f (g x))) ∘ f ∘ ↑(extChartAt J (g x)).symm)
      ((↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x))
gh : ContinuousAt g x ∧ AnalyticAt 𝕜 (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)
e : ↑(extChartAt J (g x)) (g x) = (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ AnalyticAt 𝕜 (↑(extChartAt K (f (g x))) ∘ (fun x => f (g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)
Tactic:
apply (fh.2.comp gh.2).congr
Proof state after:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : N → O
g : M → N
x : M
fh :
  ContinuousAt f (g x) ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(extChartAt K (f (g x))) ∘ f ∘ ↑(extChartAt J (g x)).symm)
      ((↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x))
gh : ContinuousAt g x ∧ AnalyticAt 𝕜 (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)
e : ↑(extChartAt J (g x)) (g x) = (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ (𝓝 (↑(extChartAt I x) x)).EventuallyEq
    ((↑(extChartAt K (f (g x))) ∘ f ∘ ↑(extChartAt J (g x)).symm) ∘ ↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt K (f (g x))) ∘ (fun x => f (g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)