internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.emb
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚷, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ DefinedWithParam R (HSemiformula.emb L p)
Tactic:
intro _
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚷, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.emb
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚷, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
simp [h.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.emb
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M (HSemiformula.emb L p)
Tactic:
simpa using h.proper
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.emb
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam R (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
intro _
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.emb
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
simp [h.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ P Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
p : HSemiformula L M k Γ
H : DefinedWithParam Q p
⊢ DefinedWithParam P p
Tactic:
rwa [show P = Q from by funext v; simp [h]]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.of_iff
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ P Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
p : HSemiformula L M k Γ
H : DefinedWithParam Q p
⊢ P = Q
Tactic:
funext v
Proof state after:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ P Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
p : HSemiformula L M k Γ
H : DefinedWithParam Q p
v : Fin k → M
⊢ P v = Q v
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.of_iff
Proof state before:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ P Q : (Fin k → M) → Prop
h : ∀ (x : Fin k → M), P x ↔ Q x
p : HSemiformula L M k Γ
H : DefinedWithParam Q p
v : Fin k → M
⊢ P v = Q v
Tactic:
simp [h]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p)
Tactic:
intro
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p)
Tactic:
intro
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
intro
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.verum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
⊢ DefinedWithParam (fun x => True) ⊤
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
v : Fin k → M
⊢ (fun x => True) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) ⊤.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.verum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
v : Fin k → M
⊢ (fun x => True) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) ⊤.val
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.verum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M ⊤
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.verum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun x => True) ⊤.val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
v : Fin k → M
⊢ (fun x => True) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) ⊤.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.falsum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
⊢ DefinedWithParam (fun x => False) ⊥
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
v : Fin k → M
⊢ (fun x => False) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) ⊥.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.falsum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
v : Fin k → M
⊢ (fun x => False) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) ⊥.val
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.falsum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M ⊥
Tactic:
simp
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.falsum
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun x => False) ⊥.val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
v : Fin k → M
⊢ (fun x => False) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) ⊥.val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.and
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ DefinedWithParam (fun x => P x ∧ Q x) (p ⋏ q)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.and
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Tactic:
simp [hp.iff, hq.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.and
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ DefinedWithParam (fun x => P x ∧ Q x) (p ⋏ q)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.and
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Tactic:
simp [hp.iff, hq.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.and
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun x => P x ∧ Q x) (p ⋏ q).val
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
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inst✝⁴ : LT M
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Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
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L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
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inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
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Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Tactic:
simp [hp.df.iff, hq.df.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.or
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
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inst✝⁷ : One M
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inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
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⊢ DefinedWithParam (fun x => P x ∨ Q x) (p ⋎ q)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
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inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∨ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋎ q).val
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.or
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∨ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋎ q).val
Tactic:
simp [hp.iff, hq.iff]
Proof state after:
no goals
Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.or
Proof state before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ DefinedWithParam (fun x => P x ∨ Q x) (p ⋎ q)
Tactic:
intro v
Proof state after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
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inst✝⁹ : L.ORing
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n : ℕ
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inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
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Proof state after:
no goals