Theorem: HolomorphicOn.eq_of_locally_eq
Proof state before:
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ⊆ interior t
Tactic:
apply sp.relative_clopen
Proof state after:
case ne
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ (s ∩ t).Nonempty

case op
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ t ⊆ interior t

case cl
X : Type
inst✝²³ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝²² : TopologicalSpace S
inst✝²¹ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝²⁰ : TopologicalSpace T
inst✝¹⁹ : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace U
inst✝¹⁷ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s✝ : Set ℂ
E : Type
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E
F : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹¹ : CompleteSpace F
A : Type
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
J : ModelWithCorners ℂ E A
inst✝⁹ : J.Boundaryless
B : Type
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
K : ModelWithCorners ℂ F B
inst✝⁷ : K.Boundaryless
M : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace A M
inst✝⁴ : AnalyticManifold J M
N : Type
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace B N
inst✝¹ : AnalyticManifold K N
f g : M → N
inst✝ : T2Space N
s : Set M
fa : HolomorphicOn J K f s
ga : HolomorphicOn J K g s
sp : IsPreconnected s
e : ∃ x ∈ s, (𝓝 x).EventuallyEq f g
t : Set M
ht : {x | (𝓝 x).EventuallyEq f g} = t
⊢ s ∩ closure t ⊆ t