internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hf0
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0

case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
. rw [mul_assoc, two_mul]
  refine add_le_add ?_ ?_
  . simp [one_le_mul_of_one_le_of_one_le]
  . exact le_trans (hC_f0 x) (by simp)
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
have hC : ∀ (i : ℕ), i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
Proof state after:
case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g

case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
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g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
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hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
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x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hC
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
⊢ ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g

case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
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g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
. intro i hi
  refine le_trans (hC_g i hi (f x)) ?_
  refine mul_le_mul_of_nonneg_left ?_ hC_g_nonneg
  exact pow_le_pow_left (by simp) hf0 k_g
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
have hD : ∀ i, 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
Proof state after:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i

case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hD
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
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x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
⊢ ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i

case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
. intro i _ hi
  refine le_trans (hC_f i hi x) ?_
  refine le_trans (mul_le_mul_of_nonneg_right (le_max_right 1 C_f) (by simp)) ?_
  refine le_self_pow ?_ (by linarith)
  exact one_le_mul_of_one_le_of_one_le (le_max_left 1 C_f) (by simp)
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x => g (f x)) x‖ ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
refine le_trans (norm_iteratedFDeriv_comp_le hg.1 hf.1 le_top x hC hD) ?_
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ↑(Nat.factorial n) * (C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g) * (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ n ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ↑(Nat.factorial n) * (C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g) * (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ n ≤
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
refine le_of_eq ?_
Proof state after:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ↑(Nat.factorial n) * (C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g) * (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ n =
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case h
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
hf0 : 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i g (f x)‖ ≤ C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ i
⊢ ↑(Nat.factorial n) * (C_g * (2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0) ^ k_g) * (max 1 C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f) ^ n =
    ↑(Nat.factorial n) * C_g * (2 * max 1 C_f0) ^ k_g * max 1 C_f ^ n * (1 + ‖x‖) ^ (k_f0 * k_g + k_f * n)
Tactic:
ring_nf
Proof state after:
no goals
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hf0
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ 1 + ‖f x‖ ≤ 2 * max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
Tactic:
rw [mul_assoc, two_mul]
Proof state after:
case hf0
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ 1 + ‖f x‖ ≤ max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0 + max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
Theorem: Function.HasTemperateGrowth.comp
Proof state before:
case hf0
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ 1 + ‖f x‖ ≤ max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0 + max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
Tactic:
refine add_le_add ?_ ?_
Proof state after:
case hf0.refine_1
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ 1 ≤ max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0

case hf0.refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
g : F → G
hg : HasTemperateGrowth g
f : E → F
hf : HasTemperateGrowth f
n k_g : ℕ
C_g : ℝ
hC_g_nonneg : 0 ≤ C_g
hC_g : ∀ i ≤ n, ∀ (x : F), ‖iteratedFDeriv ℝ i g x‖ ≤ C_g * (1 + ‖x‖) ^ k_g
k_f : ℕ
C_f : ℝ
left✝ : 0 ≤ C_f
hC_f : ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i f x‖ ≤ C_f * (1 + ‖x‖) ^ k_f
k_f0 : ℕ
C_f0 : ℝ
hC_f0 : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ max 1 C_f0 * (1 + ‖x‖) ^ k_f0