internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ False
Tactic:
apply H
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ Even (Zsqrtd.norm a)
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ Even (Zsqrtd.norm a)
Tactic:
apply even_iff_two_dvd.mpr
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ 2 ∣ Zsqrtd.norm a
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ 2 ∣ Zsqrtd.norm a
Tactic:
apply dvd_trans _ this
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ 2 ∣ p
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
X : Even p
⊢ 2 ∣ p
Tactic:
apply even_iff_two_dvd.mp X
Proof state after:
no goals
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
⊢ Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
Tactic:
rw [← hfactor, ← HA, abs_dvd]
Proof state after:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
⊢ p ∣ f * g
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g✝ : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g✝ ≠ 0
hfactor✝ : f * g✝ = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g✝ → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g✝ = x✝
a : ℤ√(-3)
g : ℤ
hgpos : g ≠ 0
hfactor : f * g = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs g →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
h : ¬Int.natAbs g = 1
p : ℤ
pprime : Prime p
pdvd : p ∣ g
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
⊢ p ∣ f * g
Tactic:
exact dvd_mul_of_dvd_right pdvd _
Proof state after:
no goals
Theorem: factors'
Proof state before:
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
⊢ Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
Tactic:
rw [Int.natAbs_mul, Int.natAbs_sign_of_nonzero pprime.ne_zero, one_mul]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ Int.natAbs q < Int.natAbs (p * q)
Tactic:
rw [Int.natAbs_mul]
Proof state after:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ Int.natAbs q < Int.natAbs p * Int.natAbs q
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ Int.natAbs q < Int.natAbs p * Int.natAbs q
Tactic:
apply lt_mul_of_one_lt_left (Int.natAbs_pos.mpr hqpos)
Proof state after:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ 1 < Int.natAbs p
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ 1 < Int.natAbs p
Tactic:
rw [Int.prime_iff_natAbs_prime] at pprime
Proof state after:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Nat.Prime (Int.natAbs p)
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ 1 < Int.natAbs p
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Nat.Prime (Int.natAbs p)
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ 1 < Int.natAbs p
Tactic:
exact pprime.one_lt
Proof state after:
no goals
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ ¬Int.sign p * q = 0
Tactic:
rwa [← Int.natAbs_eq_zero, this, Int.natAbs_eq_zero]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ f * (Int.sign p * q) = Zsqrtd.norm c
Tactic:
rw [← mul_right_inj' pprime'.ne_zero, ← hcd, mul_left_comm, ← hfactor, ← HA, ←
  mul_assoc (|p|), mul_comm (|p|), Int.sign_mul_abs]
Proof state after:
no goals
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
⊢ ∀ (f' : ℤ), f' ∣ Int.sign p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
Tactic:
intro f' hf'dvd hf'odd
Proof state after:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
f' : ℤ
hf'dvd : f' ∣ Int.sign p * q
hf'odd : Odd f'
⊢ ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
Theorem: factors'
Proof state before:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
f' : ℤ
hf'dvd : f' ∣ Int.sign p * q
hf'odd : Odd f'
⊢ ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
Tactic:
refine' hnotform f' _ hf'odd
Proof state after:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4
a✝ : ℤ√(-3)
f g : ℤ
hodd : Odd f
hgpos✝ : g ≠ 0
hfactor✝ : f * g = Zsqrtd.norm a✝
hnotform✝ : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
x✝ : ℕ
hg : Int.natAbs g = x✝
a : ℤ√(-3)
H : ¬Even (Zsqrtd.norm a)
p : ℤ
pprime : Prime p
this✝ : p ∣ Zsqrtd.norm a
podd : Odd p
A : ℤ√(-3)
HA : abs p = Zsqrtd.norm A
pprime' : Prime (Zsqrtd.norm A)
pdvd' : Zsqrtd.norm A ∣ Zsqrtd.norm a
c : ℤ√(-3)
hcd : Zsqrtd.norm a = Zsqrtd.norm A * Zsqrtd.norm c
q : ℤ
hgpos : p * q ≠ 0
hfactor : f * (p * q) = Zsqrtd.norm a
hnotform : ∀ (f' : ℤ), f' ∣ p * q → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p
IH :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Int.natAbs (p * q) →
      ∀ (a : ℤ√(-3)) (g : ℤ),
        ¬g = 0 →
          f * g = Zsqrtd.norm a →
            (∀ (f' : ℤ), f' ∣ g → Odd f' → ∃ p, abs f' = Zsqrtd.norm p) → Int.natAbs g = m → ∃ p, abs f = Zsqrtd.norm p
h : ¬Int.natAbs (p * q) = 1
hqpos : q ≠ 0
this : Int.natAbs (Int.sign p * q) = Int.natAbs q
f' : ℤ
hf'dvd : f' ∣ Int.sign p * q
hf'odd : Odd f'
⊢ f' ∣ p * q