internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case succ.refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
⊢ ContDiff 𝕜 m ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun i => M (js i)) F)
Tactic:
exact LinearIsometryEquiv.contDiff _
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
⊢ ↑n < N
Tactic:
simp at hn
Proof state after:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + (↑n + 1) ≤ N
⊢ ↑n < N
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + (↑n + 1) ≤ N
⊢ ↑n < N
Tactic:
rw [← add_assoc] at hn
Proof state after:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n < N
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n < N
Tactic:
refine lt_of_lt_of_le ?_ hn
Proof state after:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n < m + ↑n + 1
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n < m + ↑n + 1
Tactic:
rw [← ENat.add_one_le_iff (ENat.coe_ne_top n)]
Proof state after:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n + 1 ≤ m + ↑n + 1
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n + 1 ≤ m + ↑n + 1
Tactic:
rw [add_assoc]
Proof state after:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n + 1 ≤ m + (↑n + 1)
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case hn'
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn : m + ↑n + 1 ≤ N
⊢ ↑n + 1 ≤ m + (↑n + 1)
Tactic:
exact le_add_self
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case succ.refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn' : ↑n < N
⊢ m + 1 + ↑n ≤ N
Tactic:
rw [add_assoc]
Proof state after:
case succ.refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn' : ↑n < N
⊢ m + (1 + ↑n) ≤ N
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case succ.refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn' : ↑n < N
⊢ m + (1 + ↑n) ≤ N
Tactic:
rw [add_comm 1]
Proof state after:
case succ.refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn' : ↑n < N
⊢ m + (↑n + 1) ≤ N
Theorem: ContDiff.orderedIteratedFPiDeriv_right
Proof state before:
case succ.refine_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
n : ℕ
ih : ∀ {m : ℕ∞}, m + ↑n ≤ N → ∀ {js : Fin n → ι}, ContDiff 𝕜 m (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f)
m : ℕ∞
hn : m + ↑(Nat.succ n) ≤ N
js : Fin (Nat.succ n) → ι
hn' : ↑n < N
⊢ m + (↑n + 1) ≤ N
Tactic:
exact hn
Proof state after:
no goals
Theorem: contDiff_update'
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ContDiff 𝕜 n (Function.update x i)
Tactic:
conv => arg 3; intro u; rw [← ContinuousLinearMap.updateL_apply (R := 𝕜)]
Proof state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ContDiff 𝕜 n fun u => (ContinuousLinearMap.updateL 𝕜 (fun a => M a) i) (x, u)
Theorem: contDiff_update'
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ∞
x : (i : ι) → M i
i : ι
⊢ ContDiff 𝕜 n fun u => (ContinuousLinearMap.updateL 𝕜 (fun a => M a) i) (x, u)
Tactic:
exact (ContinuousLinearMap.contDiff _).comp (contDiff_prod_mk_right x)
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑n) f
js : Fin n → ι
x : ι → 𝕜
⊢ orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
Tactic:
induction n generalizing x with
| zero => rfl
| succ n ih =>
  specialize @ih hf.of_succ
  rw [orderedIteratedPiDeriv_succ_left, orderedIteratedFPiDeriv_succ_apply_left]
  rw [← fpideriv_pideriv]
  simp
  change _ = ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) 1) 1
  rw [fpideriv_apply, fpideriv_apply]
  simp_rw [ih]
  rw [fderiv_continuousMultilinear_apply_const_apply]
  change DifferentiableAt 𝕜 (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f ∘ Function.update x (js 0)) _
  refine DifferentiableAt.comp _ ?_ ?_
  . refine hf.differentiableAt_orderedIteratedFPiDeriv ?_
    norm_cast
    exact Nat.lt_succ_self n
  . exact differentiable_update' x (js 0) _
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case zero
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
hf : ContDiff 𝕜 (↑Nat.zero) f
js : Fin Nat.zero → ι
x : ι → 𝕜
⊢ orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
Tactic:
rfl
Proof state after:
no goals
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
ih :
  ContDiff 𝕜 (↑n) f →
    ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
⊢ orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
Tactic:
specialize @ih hf.of_succ
Proof state after:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
Tactic:
rw [orderedIteratedPiDeriv_succ_left, orderedIteratedFPiDeriv_succ_apply_left]
Proof state after:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ pideriv (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) (1 0)) (Fin.tail 1)
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ pideriv (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) (1 0)) (Fin.tail 1)
Tactic:
rw [← fpideriv_pideriv]
Proof state after:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ (fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x) 1 =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) (1 0)) (Fin.tail 1)
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ (fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x) 1 =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) (1 0)) (Fin.tail 1)
Tactic:
simp
Proof state after:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ (fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x) 1 =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) 1) (Fin.tail 1)
Theorem: ContDiff.orderedIteratedPiDeriv_eq_orderedIteratedFPiDeriv
Proof state before:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ (fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x) 1 =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) 1) (Fin.tail 1)
Tactic:
change _ = ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) 1) 1
Proof state after:
case succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : (ι → 𝕜) → F
f' : (ι → 𝕜) → FormalMultilinearSeries 𝕜 (ι → 𝕜) F
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f
js : Fin (Nat.succ n) → ι
x : ι → 𝕜
ih : ∀ {js : Fin n → ι} {x : ι → 𝕜}, orderedIteratedPiDeriv js f x = (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) 1
⊢ (fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedPiDeriv (Fin.tail js) f) x) 1 =
    ((fpideriv 𝕜 (js 0) (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 (Fin.tail js) f) x) 1) 1