internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : Nat.succ 1 + q = p
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Tactic:
rw [Nat.add_comm] at hq
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + Nat.succ 1 = p
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + Nat.succ 1 = p
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Tactic:
norm_num at hq
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Tactic:
have mul_s_s : c.succ * d.succ = (c * d + c + d).succ
Proof state after:
case mul_s_s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
⊢ Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)

R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case mul_s_s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
⊢ Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)

R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Tactic:
. simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c * Nat.succ d) (_ : Nat.succ c * Nat.succ d > 0) =
    nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p hp (Nat.succ d) hd
Tactic:
simp only [←hq, mul_s_s, nat_valuation_add_two, nat_valuation_aux]
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Tactic:
simp only [hq, show c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1) by ring]
Proof state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Tactic:
cases Nat.eq_zero_or_pos ((c + 1) * (d + 1) % p) with
| inl h =>
  have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
  cases hh with
  | inl h' =>
    subst hq
    rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
    have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
      apply Nat.le_of_lt_succ
      apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
      apply Nat.add_lt_add_right
      apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
      rw [Nat.add_comm]
      apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
    rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
    rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
    have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
    simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
    apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
  | inr h' =>
    subst hq
    rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
    have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
      apply Nat.le_of_lt_succ
      apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
      apply Nat.add_lt_add_left
      apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
      rw [Nat.add_comm]
      apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
    rw [← add_assoc]
    rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
    have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
    simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
    apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h =>
  have hc := ndiv_mul_left _ _ _ (ne_of_gt h)
  have hd := ndiv_mul_right _ _ _ (ne_of_gt h)
  simp [nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hc, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ hd]
  simp [←mul_s_s, nat_valuation_aux'_of_not_dvd _ _ _ _ (ne_of_gt h)]
Proof state after:
no goals
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case mul_s_s
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
⊢ Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
Tactic:
simp [Nat.succ_mul, Nat.mul_succ, Nat.add_succ]
Proof state after:
no goals
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
⊢ c * d + c + d + 1 = (c + 1) * (d + 1)
Tactic:
ring
Proof state after:
no goals
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Tactic:
have hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0 := sorry
Proof state after:
case inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p = 0
hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p = 0
hh : (c + 1) % p = 0 ∨ (d + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Tactic:
cases hh with
| inl h' =>
  subst hq
  rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
  have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
    apply Nat.le_of_lt_succ
    apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
    apply Nat.add_lt_add_right
    apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
    rw [Nat.add_comm]
    apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
  rw [add_assoc _ 1 _, add_comm 1, ← add_assoc]
  rw [← ih ((c + 1) / (q + 2)) (d + 1) sorry sorry sum_le_n]
  have hey := nat_mul_div_assoc' (b := d+1) h'
  simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
  apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
| inr h' =>
  subst hq
  rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
  have sum_le_n : (c + 1) + (d + 1) / (q + 2) ≤ n := by
    apply Nat.le_of_lt_succ
    apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
    apply Nat.add_lt_add_left
    apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
    rw [Nat.add_comm]
    apply Nat.lt_add_right 0 1 d (Nat.lt_succ_self 0)
  rw [← add_assoc]
  rw [←ih (c + 1) ((d + 1) / (q + 2)) _ _ sum_le_n]
  have hey := nat_mul_div_assoc (a := c+1) h'
  simp only [hey.symm, mul_s_s.symm]
  apply nat_valuation_aux'_of_dvd (q+2) hp ((c+1) * (d+1)) _ h
Proof state after:
no goals
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
prime : Nat.Prime p
hp : optParam (1 < p) (_ : 1 < p)
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n : ℕ
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' p hp (c * d) (_ : c * d > 0) = nat_valuation_aux' p hp c hc + nat_valuation_aux' p hp d hd
c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
hq : q + 2 = p
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
h : (c + 1) * (d + 1) % p = 0
h' : (c + 1) % p = 0
⊢ nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ c) hc + nat_valuation_aux' p (_ : 1 < p) (Nat.succ d) hd
Tactic:
subst hq
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ c) hc +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Tactic:
rw [nat_valuation_aux'_of_dvd _ _ _ _ h']
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((c + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) / (q + 2)) + 1 +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Theorem: Int.nat_val_aux'_mul_eq_add
Proof state before:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((c + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) / (q + 2)) + 1 +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd
Tactic:
have sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n := by
  apply Nat.le_of_lt_succ
  apply lt_of_lt_of_le _ h_sum
  apply Nat.add_lt_add_right
  apply Nat.div_lt_self _ prime.one_lt
  rw [Nat.add_comm]
  apply Nat.lt_add_right 0 1 c (Nat.lt_succ_self 0)
Proof state after:
case inl.inl
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
a b : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
n c : ℕ
hc : Nat.succ c > 0
d : ℕ
hd : Nat.succ d > 0
h_sum : Nat.succ c + Nat.succ d ≤ Nat.succ n
q : ℕ
mul_s_s : Nat.succ c * Nat.succ d = Nat.succ (c * d + c + d)
prime : Nat.Prime (q + 2)
hp : optParam (1 < q + 2) (_ : 1 < q + 2)
ih :
  ∀ (c d : ℕ) (hc : c > 0) (hd : d > 0),
    c + d ≤ n →
      nat_valuation_aux' (q + 2) hp (c * d) (_ : c * d > 0) =
        nat_valuation_aux' (q + 2) hp c hc + nat_valuation_aux' (q + 2) hp d hd
h : (c + 1) * (d + 1) % (q + 2) = 0
h' : (c + 1) % (q + 2) = 0
sum_le_n : (c + 1) / (q + 2) + (d + 1) ≤ n
⊢ nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ (c * d + c + d)) (_ : 0 < Nat.succ (c * d + c + d)) =
    nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) ((c + 1) / (q + 2)) (_ : 0 < (c + 1) / (q + 2)) + 1 +
      nat_valuation_aux' (q + 2) (_ : 1 < q + 2) (Nat.succ d) hd