internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => (f x).1
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, (f x).1⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).1
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, (f x).1⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).1
Tactic:
. apply Exists.intro (fun y => semiAdjoint K f (y,0)) _
  intros; rw[semiAdjoint_move]; simp[Inner.inner]
  sorry_proof
  repeat assumption
Proof state after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).1
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).1
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, (f x).1⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun y => semiAdjoint K f (y,0)) _
Proof state after:
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, (f x).1⟫_K = ⟪(fun y => semiAdjoint K f (y, 0)) y, x⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, (f x).1⟫_K = ⟪(fun y => semiAdjoint K f (y, 0)) y, x⟫_K
Tactic:
intros
Proof state after:
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (f x✝).1⟫_K = ⟪(fun y => semiAdjoint K f (y, 0)) y✝, x✝⟫_K
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hx
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
repeat assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case hf
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f
Tactic:
assumption
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.fst.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.25914
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.25920
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.25933
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Z✝ : Type ?u.25944
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.25955
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.25966
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.25993
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.26050
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.26061
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.26088
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).1
Tactic:
fun_prop
Proof state after:
no goals
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => (f x).2
Tactic:
constructor
Proof state after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, (f x).2⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).2
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Z), TestFunction x → ⟪y, (f x).2⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).2
Tactic:
. apply Exists.intro (fun z => semiAdjoint K f (0,z)) _
  intros; rw[semiAdjoint_move]; simp[Inner.inner]
  sorry_proof
  repeat assumption
Proof state after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).2
Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.snd.arg_self.HasSemiAdjoint_rule
Proof state before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.28947
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.28953
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.28966
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.28977
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.28988
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.28999
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.29026
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.29083
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.29094
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.29121
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y × Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (f x).2
Tactic:
. fun_prop
Proof state after:
no goals