Theorem: ZetaInvBnd
Proof state before:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
swap
Proof state after:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7