internlm/Lean-Github huggingface dataset:
Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners ℝ F G
N : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
hn : finrank ℝ F = n
hr : r > m - n
f : M → N
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inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : J.Boundaryless
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e : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
μ : Measure F
hμ : μ.IsAddHaarMeasure
y : N
e' : PartialHomeomorph N G := chartAt G y
w : Set E := ↑(e.extend I) '' (e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
s_better : Set E := ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
f_local : E → F := (↑J ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm
⊢ IsOpen w
Tactic:
refine e.extend_isOpenMapOn_source I ?_ (inter_subset_left _ _)
Proof state after:
E : Type u_1
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H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
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inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
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inst✝⁸ : TopologicalSpace G
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inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
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Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
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Tactic:
exact e.open_source.inter (e'.open_source.preimage hf.continuous)
Proof state after:
no goals
Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
E : Type u_1
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inst✝² : BorelSpace F
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hwopen : IsOpen w
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Tactic:
apply image_subset
Proof state after:
case h
E : Type u_1
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inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
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I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
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Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
case h
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
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inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
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F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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G : Type u_5
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inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
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Proof state after:
case h
E : Type u_1
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inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
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f : M → N
hf : ContMDiff I J (↑r) f
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inst✝ : J.Boundaryless
f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
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hf' : ∀ x ∈ s, HasMFDerivAt I J f x (f' x)
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Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
case h
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
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inst✝⁷ : TopologicalSpace N
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inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
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hf : ContMDiff I J (↑r) f
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f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
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Tactic:
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Proof state after:
no goals
Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
E : Type u_1
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H : Type u_2
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F : Type u_4
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inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
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Tactic:
apply image_subset
Proof state after:
case h
E : Type u_1
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inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
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inst✝⁸ : TopologicalSpace G
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N : Type u_6
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Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
case h
E : Type u_1
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F : Type u_4
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N : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
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inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
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rw [inter_comm s, inter_assoc]
Proof state after:
case h
E : Type u_1
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H : Type u_2
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M : Type u_3
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inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
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N : Type u_6
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inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
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hr : r > m - n
f : M → N
hf : ContMDiff I J (↑r) f
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : J.Boundaryless
f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
s : Set M
hf' : ∀ x ∈ s, HasMFDerivAt I J f x (f' x)
h'f' : ∀ x ∈ s, ¬Surjective ⇑(f' x)
x : M
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
μ : Measure F
hμ : μ.IsAddHaarMeasure
y : N
e' : PartialHomeomorph N G := chartAt G y
w : Set E := ↑(e.extend I) '' (e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
s_better : Set E := ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
f_local : E → F := (↑J ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm
hwopen : IsOpen w
hsw : s_better ⊆ w
⊢ e.source ∩ (s ∩ f ⁻¹' e'.source) ⊆ e.source
Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
case h
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners ℝ F G
N : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
hn : finrank ℝ F = n
hr : r > m - n
f : M → N
hf : ContMDiff I J (↑r) f
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : J.Boundaryless
f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
s : Set M
hf' : ∀ x ∈ s, HasMFDerivAt I J f x (f' x)
h'f' : ∀ x ∈ s, ¬Surjective ⇑(f' x)
x : M
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
μ : Measure F
hμ : μ.IsAddHaarMeasure
y : N
e' : PartialHomeomorph N G := chartAt G y
w : Set E := ↑(e.extend I) '' (e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
s_better : Set E := ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
f_local : E → F := (↑J ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm
hwopen : IsOpen w
hsw : s_better ⊆ w
⊢ e.source ∩ (s ∩ f ⁻¹' e'.source) ⊆ e.source
Tactic:
exact inter_subset_left _ _
Proof state after:
no goals
Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners ℝ F G
N : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
hn : finrank ℝ F = n
hr : r > m - n
f : M → N
hf : ContMDiff I J (↑r) f
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : J.Boundaryless
f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
s : Set M
hf' : ∀ x ∈ s, HasMFDerivAt I J f x (f' x)
h'f' : ∀ x ∈ s, ¬Surjective ⇑(f' x)
x : M
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
μ : Measure F
hμ : μ.IsAddHaarMeasure
y : N
e' : PartialHomeomorph N G := chartAt G y
w : Set E := ↑(e.extend I) '' (e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
s_better : Set E := ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
f_local : E → F := (↑J ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm
hwopen : IsOpen w
hsw : s_better ⊆ w
hsbetter₀ : s_better ⊆ ↑(e.extend I) '' e.source
this : s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source ⊆ e.source
⊢ ↑(e.extend I).symm ∘ ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source) = s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source
Tactic:
apply e.extend_left_inv' _ this
Proof state after:
no goals
Theorem: sard_boundaryless
Proof state before:
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners ℝ F G
N : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
hn : finrank ℝ F = n
hr : r > m - n
f : M → N
hf : ContMDiff I J (↑r) f
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : J.Boundaryless
f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
s : Set M
hf' : ∀ x ∈ s, HasMFDerivAt I J f x (f' x)
h'f' : ∀ x ∈ s, ¬Surjective ⇑(f' x)
x : M
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
μ : Measure F
hμ : μ.IsAddHaarMeasure
y : N
e' : PartialHomeomorph N G := chartAt G y
w : Set E := ↑(e.extend I) '' (e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
s_better : Set E := ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
f_local : E → F := (↑J ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm
hwopen : IsOpen w
hsw : s_better ⊆ w
hsbetter₀ : s_better ⊆ ↑(e.extend I) '' e.source
⊢ s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source ⊆ e.source
Tactic:
rw [inter_comm s, inter_assoc]
Proof state after:
E : Type u_1
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹³ : SecondCountableTopology M
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
G : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners ℝ F G
N : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ChartedSpace G N
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners J N
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝³ : MeasurableSpace F
inst✝² : BorelSpace F
m n r : ℕ
hm : finrank ℝ E = m
hn : finrank ℝ F = n
hr : r > m - n
f : M → N
hf : ContMDiff I J (↑r) f
inst✝¹ : I.Boundaryless
inst✝ : J.Boundaryless
f' : (x : M) → TangentSpace I x →L[ℝ] TangentSpace J (f x)
s : Set M
hf' : ∀ x ∈ s, HasMFDerivAt I J f x (f' x)
h'f' : ∀ x ∈ s, ¬Surjective ⇑(f' x)
x : M
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
μ : Measure F
hμ : μ.IsAddHaarMeasure
y : N
e' : PartialHomeomorph N G := chartAt G y
w : Set E := ↑(e.extend I) '' (e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
s_better : Set E := ↑(e.extend I) '' (s ∩ e.source ∩ f ⁻¹' e'.source)
f_local : E → F := (↑J ∘ ↑e') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm
hwopen : IsOpen w
hsw : s_better ⊆ w
hsbetter₀ : s_better ⊆ ↑(e.extend I) '' e.source
⊢ e.source ∩ (s ∩ f ⁻¹' e'.source) ⊆ e.source