Apa bukti bahwa ada dua bilangan irasional dimana mengangkat satu ke kekuatan yang lain menghasilkan bilangan rasional?

Berikut adalah bukti kasus bahwa ada dua bilangan irasional a dan b sehingga a^b adalah bilangan rasional. Pertama, pertimbangkan a = b = sqrt{2}. Ingat bahwa sqrt{2} adalah bilangan irasional, jadi jika a^b = sqrt{2} ^ sqrt{2} adalah bilangan rasional, kita selesai karena kita telah menemukan bilangan irasional a dan b dengan a^b adalah bilangan rasional. Jika tidak, sqrt{2} ^ sqrt{2} adalah bilangan irasional. Misalkan a = sqrt{2} ^ sqrt{2} dan b = sqrt{2}. Kemudian a ^ b = (sqrt{2} ^ sqrt{2}) ^ sqrt{2} = sqrt{2} ^ (sqrt{2} * sqrt{2}) = sqrt{2} ^ 2, yang merupakan bilangan rasional. Jadi, dengan cara apa pun, kita dapat menemukan a^b dan b^b dengan a^b adalah bilangan rasional.