Berikan bukti bahwa akar kuadrat dari 2 adalah irasional

Berikut adalah bukti kontradiksi bahwa akar kuadrat dari 2 adalah irasional. Pertama, ingat bahwa bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai p / q untuk bilangan bulat p dan q. Sekarang dengan q^2 untuk mendapatkan 2^2 q^2 * p^2 perhatikan bahwa akar kuadrat dari 2 adalah rasional, yang berarti bahwa sqrt{\displaystyle p^{2}} = p / q untuk beberapa bilangan bulat p dan q. Selanjutnya anggap tanpa kehilangan generalisasi bahwa pecahan ini dalam bentuk dikurangi, yang berarti bahwa p dan q tidak memiliki faktor umum. Kita dapat menganggap ini karena setiap pecahan bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk dikurangi, sehingga keberadaan setiap representasi rasional untuk sqrt{\displaystyle sqrt{\displaystyle sqrt{\displaystyle q^{2}}) akan menyiratkan keberadaan satu kuadrat dalam bentuk dikurangi. Sekarang kita kedua sisi persamaan di atas, menghasilkan 2 = p^2 / q^2 untuk beberapa bilangan bulat p dan q tidak berbagi faktor umum. Sekarang dengan q^2 untuk mendapatkan 2^2 q^{\displaystyle q^{2}} * 2^{\displaystyle q^{2}} * r^{\displaystyle p^{2}} * r^{2}} * q^{\displaystyle q^{\displaystyle p^{2} *x^{2}}