Jabarkan dan diikuti dengan dari Persamaan pembezaan separa dalam bahasa melayu

Sebaliknya, memberi apa-apa fungsi harmonik dalam dua dimensi, ia adalah sebahagian sebenar fungsi analisis, sekurang-kurangnya dalam cara tersendiri. Butir-butir yang lain diberikan dalam persamaan Laplace.

Sebuah masalah nilai sempadan biasa

Sebuah masalah biasa bagi persamaan Laplace adalah untuk mencari penyelesaian yang memenuhi nilai sewenang-wenangnya di sempadan sebuah domain. Sebagai contoh, kita boleh mendapatkan fungsi harmonik yang mengambil nilai-nilai u(θ) pada bulatan berjejari satu. Penyelesaian telah diberikan oleh Poisson:

Petrovsky (1967, p. 248) menunjukkan bagaimana formula ini boleh diperolehi dengan menjumlahkan siri Fourier untuk φ. Jika r<1, derivatif φ boleh dikira dengan membezakan di bawah tanda penting, dan satu boleh mengesahkan φ yang dianalisis, walaupun u adalah berterusan tetapi tidak semestinya berbeza. Kelakuan ini adalah khas untuk penyelesaian persamaan pembeza separa eliptik: penyelesaian yang boleh menjadi lebih lancar daripada data sempadan. Ini berbeza dengan penyelesaian berkenaan persamaan gelombang, dan lebih umum persamaan pembezaan separa hiperbola, yang biasanya tidak mempunyai lebih terbitan (matematik) daripada data.