Jabarkan atau dari Persamaan pembezaan separa dalam bahasa melayu

dimana Δ adalah pengoperasi Laplace.

Persamaan haba dalam ruang satu dimensi

Persamaan pengaliran haba dalam satu dimensi untuk badan homogen mempunyai

dimana u(t,x) adalah haba, dan α ialah pemalar positif yang menggambarkan kadar penyebaran. Masalah Cauchy untuk persamaan ini terdiri daripada menentukan u(0, x)= f(x), di mana f(x) adalah fungsi sewenang-wenangnya.

Penyelesaian am bagi persamaan haba boleh didapati dengan kaedah pemisahan pembolehubah. Beberapa contoh muncul dalam persamaan haba artikel. Mereka adalah contoh siri Fourier untuk berkala f dan Fourier kerana bukan berkala f. Menggunakan jelmaan Fourier, penyelesaian am bagi persamaan haba mempunyai bentuk

dimana F adalah fungsi sewenang-wenangnya. Untuk memenuhi syarat awal, F diberikan oleh jelmaan Fourier dari f, iaitu

Jika f merupakan satu sumber haba yang sangat kecil tetapi kuat, maka penting sebelumnya boleh dianggarkan oleh pengedaran delta, didarabkan dengan kekuatan sumber. Untuk sumber yang kekuatan adalah normal kepada 1, hasilnya adalah

dan penyelesaian persamaan haba yang terhasil adalah

Ini adalah kamiran Gaussian. Ia boleh dinilai untuk mendapatkan

Keputusan ini sepadan dengan ketumpatan kebarangkalian normal bagi x dengan min 0 dan varian 2α t. Persamaan haba dan persamaan penyebaran yang sama adalah alat yang berguna untuk mengkaji fenomena rawak.

Persamaan gelombang dalam ruang satu dimensi

Persamaan gelombang adalah satu persamaan untuk fungsi yang tidak diketahui u (t, x) dalam bentuk

Berikut u mungkin menggambarkan anjakan rentetan diregangkan dari keseimbangan, atau perbezaan dalam tekanan udara dalam tiub, atau magnitud medan elektromagnet dalam tiub, dan c adalah nombor yang sepadan dengan halaju gelombang. Masalah Cauchy untuk persamaan ini terdiri dalam menetapkan anjakan awal dan halaju tali atau medium yang lain:

di mana f dan g adalah fungsi sewenang-wenangnya diberikan. Penyelesaian masalah ini diberikan oleh formula d'Alembert:

Formula ini menunjukkan bahawa penyelesaian di (t, x) hanya bergantung kepada data pada segmen garis permulaan yang dipotong oleh keluk ciri

yang telah disediakan ke belakang dari sudut itu. Lengkung ini sesuai dengan isyarat yang menyebarkan dengan halaju c ke hadapan dan ke belakang. Sebaliknya, pengaruh data pada salah satu diberikan pada garis permulaan merambat dengan halaju terhingga c: tiada kesan di luar segi tiga melalui tempat yang yang pihak adalah keluk ciri. Kelakuan ini adalah sangat berbeza daripada penyelesaian bagi persamaan haba, di mana kesan daripada sumber titik muncul (dengan amplitud kecil) serta-merta pada setiap titik di ruang angkasa. Penyelesaian yang diberikan di atas adalah juga sah jika t<0, dan formula yang jelas menunjukkan bahawa penyelesaian yang lancar bergantung kepada data: kedua-dua ke hadapan dan ke belakang masalah Cauchy bagi persamaan gelombang yang dikemukakan dengan baik.

Persamaan haba yang umum seperti dalam ruang satu dimensi

Jika persamaan seperti haba bermakna persamaan dalam bentuk:

di mana  adalah pengoperasi Sturm-Liouville (Walau bagaimanapun ia harus diperhatikan operator ini mungkin sebenarnya bentuk

di mana w (x) adalah rangkap pemberat berkenaan dengan mana fungsi eigen bagi  adalah ortogon) dalam koordinat x. Tertakluk kepada syarat sempadan: