Teorem itu apa sih? Jelaskan dalam bahasa melayu ya

Teorem  ialah satu pernyataan yang telah dibuktikan berdasarkan pernyataan – pernyataan terdahulu, contohnya  teorem-teorem yang lain, dan pernyataan-pernyataan yang telah diterima sebelumnya, seperti aksiom-aksiom. Penerbitan sesuatu teorem sering diinterpretasikan sebagai bukti kebenaran sesebuah  ungkapan, tetapi jika sistem deduksi yang berbeza digunakan, ia boleh menghasilkan interpretasi yang berbeza, bergantung pada maksud-maksud hukum penerbitannya. Teorem mempunyai dua komponen, iaitu hipotesis dan kesimpulan. Bukti kepada teorem matematik ialah satu hujah logik yang menunjukkan kesimpulan adalah natijah yang perlu untuk setiap hipotesis, jika hipotesis adalah benar maka kesimpulan mesti juga benar, tanpa sebarang anggapan-anggapan yang lain. Jadi konsep sesebuah teorem secara asasnya adalah deduktif , berbeza dengan konsep teori saintifik yang  empirikal.

Walaupun boleh ditulis dalam bentuk simbolik sepenuhnya seperti kalkulus berkadar, teorem sering diungkapkan dalam bahasa sejadi seperti bahasa Inggeris. Perkara sama juga berlaku kepada bukti-bukti matematik, yang sering diungkap dalam bentuk hujah tidak formal yang disusun secara logik dan dengan kata-kata yang jelas, bertujuan untuk menunjuk yang bukti simbolik yang formal boleh dibina. Hujah-hujah sebegini biasanya mudah untuk diperiksa berbanding yang simbolik sepenuhnya – sememangnya, ramai ahli matematik lebih memilih bukti yang bukan sahaja menunjukkan kesahihan sesebuah teorem, tetapi juga yang menerangkan perkara seperti  kenapa kesahihannya sangat ketara. Dalam sesetengah kes, sekeping gambar sahaja sudah cukup untuk menerangkan sesebuah teorem. Oleh kerana teorem berada pada teras matematik, ia juga penting kepada nilai estetik matematik. Teorem sering disebut sebagai sesuatu yang  "remeh", atau "sukar",  "dalam", dan juga "cantik". Hujah yang subjektif ini berlainan bukan sahaja antara indvidu, tetapi juga antara masa: contohnya, apabila satu bukti telah diringkaskan atau lebih difahami, teorem yang dahulunya sukar boleh menjadi perkara yang remeh. Selain itu, satu teorem yang dalam mungkin dinyatakan dengan ringkas, tetapi buktinya mungkin melibatkan kaitan yang mengejutkan antara bidang-bidang yang berlainan dalam matematik. Teorem terakhir Fermat adalah antara contohnya yang terkenal.

Anggapan formal dan tak formal

Secara logik, banyak teorem adalah dalam bentuk indikatif bersyarat: Jika A, maka B. Teorem seperti ini tidak menyatakan B sentiasa benar, sebaliknya B mesti menjadi benar hanya jika A adalah benar. Dalam kes ini A dipanggil  hipotesis teorem (ambil perhatian yang "hipotesis" di sini adalah berbeza dengan satu konjektur) dan B adalah kesimpulan (A dan B boleh juga disebut antejadian dan akibat). Teorem "jika n adalah satu nombor asli yang genap, maka n/2 adalah satu nombor asli", merupakan contoh tipikal di mana hipotesisnya ialah  "n adalah satu nombor asli yang genap" dan kesimpulannya ialah "n/2 juga adalah nombor asli".

Untuk dibuktikan, satu teorem mesti dapat diungkapkan dalam pernyataan yang formal dan tepat. Walau bagaimanapun, teorem biasanya diungkapkan dalam bahasa asli, bukan di dalam bentuk simbolik sepenuhnya, bertujuan membolehkan pembaca mampu menghasilkan pernyataan yang formal dari yang tidak formal. Selain itu, ada hipotesis yang boleh difahami dalam konteks, bukan seperti yang tersurat dinyatakan.

Menjadi perkara biasa dalam Matematik untuk memilih beberapa hipotesis yang dianggap benar dalam teori yang diberi, dan kemudian isytiharkan yang teori itu terdiri dari semua teorem yang boleh dibuktikan menggunakan hipotesis-hipotesis tersebut sebagai andaian. Dalam kes ini, hipotesis-hipotesis yang membentuk asas ini dikenali sebagai aksiom (atau postulat) kepada teori.  Bidang matematik yang dikenali sebagai teori bukti mengkaji sistem-sistem aksiom formal dan bukti-bukti yang boleh dilakukan di dalamnya.

Beberapa teorem akan dianggap "remeh" jika ia mengikut dari definisi, aksiom, dan teorem yang lain secara ketara dan tidak mengandungi sebarang pemahaman yang mengejutkan. Ada juga teorem yang dianggap "dalam": bukti-buktinya mungkin panjang dan sukar, melibatkan bidang matematik yang berbeza dari pernyataan teorem itu sendiri, atau menunjukkan hubungan yang mengejutkan antara bidang-bidang yang berbeza sama sekali dalam matematik. Sebuah teorem mungkin mudah dinyatakan tetapi mendalam. Contoh terbaik adalah teorem terakhir Fermat, dan terdapat banyak contoh dalam bidang matematik yang lain seperti  teori nombor dan kombinatorik.

Terdapat teorem lain yang buktinya diketahui tetapi tidak mudah dicatat. Contoh terkenal ialah teorem empat warna dan konjektur Kepler. Kedua-dua teorem ini dibuktikan benar hanya selepas melibatkan proses pengiraan berkomputer. Pada awalnya, ramai ahli matematik tidak dapat menerima bukti dalam bentuk ini, tetapi ia telah diterima dengan meluas kemudiannya. Meskipun begitu, banyak teorem matematik sebenarnya boleh diselesaikan dengan pengiraan yang lebih ringkas, termasuklah identiti polinomial, trigonometri, dan hipergeometri.