Jabarkan Terbitan laluan terpendek dari Bulatan agung dalam bahasa melayu

Untuk membuktikan yang lengkok kecil bagi bulatan agung ialah laluan terpendek bagi menghubungkan dua titik bagi sebuah permukaan sfera, seseorang harus menggunakan kalkulus untuk hal tersebut.

Anggapkan yang semua jenis laluan biasa dari titik p ke titik q. Perkenalkan koordinat sfera supaya p terletak pada kutub utaranya. Sebarang lengkungan di atas permukaan yang tidak bersilang dengan mana-mana kutub, kecuali mungkin di titik akhir, boleh diparameterkan sebagai

dengan membenarkan φ menjadi sebarang nilai nyata. Panjang lengkok sangat kecil dalam koordinat ini adalah

Maka, panjang lengkungan γ dari p ke q ialah fungsi lengkungan yang diberi oleh

Perhatikan yang S[γ] ialah sekurang-kurangnya panjang meridian dari p ke q:

Memandangkan titik permulaan dan pengakhiran telah ditetapkan, S diminimiumkan jika dan hanya jika φ' = 0, supaya lengkungan tersebut terletak pada medirian sfera φ = φ0 = pemalar. Dalam koordinat Cartesian, ini ialah

iaitu satah melalui asalan, iaitu pusat sfera.