Jelaskan → dari Tujuh Jambatan Königsberg dalam bahasa melayu

Oleh kerana hanya maklumat sambungan yang penting, bentuk perlambangan bergambar boleh diherotkan dengan apa cara sekalipun tanpa mengubah graf itu sendiri. Hanya kewujudan (atau ketiadaan) satu sisi di antara setiap pasangan nod sahaja yang penting. Misalnya, satu sisi boleh dilukis sama ada lurus ataupun melengkung, atau satu nod boleh berada sama ada di sebelah kiri atau kanan.

Kemudian, Euler telah memerhatikan bahawa (kecuali di titik-titik hujung satu laluan) apabila seseorang memasuki satu bucu dengan satu jambatan, ia meninggalkan bucu itu dengan satu jambatan. Dengan erti kata lain, dalam mana-mana laluan dalam graf itu, jumlah berapa kali seseorang memasuki bucu bukan penghujung bersamaan dengan bilangan kali dia meninggalkannya. Jika setiap jambatan hanya boleh direntasi tepat-tepat sekali, bermaksud yang untuk setiap daratan (kecuali yang dipilih sebagai titik permulaan dan penamat), jumlah jambatan yang menyentuhnya mestilah genap (separuh daripada bilangan itu adalah untuk ke daratan itu, dan separuh lagi adalah untuk meninggalkannya). Namun, keempat-empat daratan di dalam masalah ini disentuhi oleh jumlah jambatan yang ganjil (satu pulau mempunyai lima jambatan dan satu lagi mempunyai tiga jambatan).

Dalam istilah moden, Euler menunjukkan bahawa kemungkinan satu laluan dalam graf yang melalui satu sisi hanya sekali bergantung kepada darjah setiap nod. Darjah satu nod ialah bilangan sisi yang menyentuhnya. Hujah Euler menunjukkan bahawa keadaan yang perlu untuk berjalan dalam keadaan yang diberikan ialah graf itu bersambung dan mempunyai tepat sifar atau dua nod berdarjah ganjil. Keadaan ini rupanya cukup—satu keputusan yang dinyatakan oleh Euler dan kemudiannya dibuktikan oleh Carl Hierholzer. Perjalanan seperti ini kini dinamakan laluan Euler untuk menghargai beliau. Tambahan lagi, jika ada nod berdarjah ganjil, mana-mana laluan Euler akan bermula di satu nod dan berakhir di nod yang lain. Oleh kerana graf yang mewakili jambatan-jambatan Königsberg mempunyai empat nod berdarjah ganjil, ia tidak boleh ada satu laluan Euler.

Bentuk lain masalah ini meminta satu laluan yang melalui semua jambatan dan mempunyai titik permulaan dan penamat yang sama. Laluan sebegini dipanggil litar Euler. Litar sebegini wujud jika, dan hanya jika, graf ini bersambung dan langsung tidak ada nod berdarjah ganjil. Semua litar Euler adalah laluan Euler, tetapi tidak semua laluan Euler adalah litar Euler.

Hasil kerja Euler telah dibentangkan kepada Akademi St. Petersburg pada 26 Ogos 1735 dan diterbitkan dengan nama Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Penyelesaian satu masalah berkaitan geometri kedudukan) di dalam jurnal Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae pada 1741. Ia boleh didapati dalam bahasa Inggeris dalam The World of Mathematics.