Tolong jelaskan mengenai Struktur utama dari Algebra linear dalam bahasa melayu

Struktur utama algebra linear ialah ruang vektor dan peta linear di antaranya. Ruang vektor ialah satu set yang elemen-elemennya boleh ditambah bersama dan didarab dengan skalar atau nombor. Dalam kebanyakan aplikasi fizikal, skalar adalah nombor nyata, R. Secara lebih umum, skalar boleh membentuk sebarang medan F- jadi, ruang vektor dianggap melalui medan nombor rasional Q, medan nombor kompleks C, atau medan terhingga Fq. Kedua-dua operasi ini mesti bertindak serupa dengan penambahan dan pendaraban nombor biasa: penambahan adalah kalis tukar tertib dan kalis sekutuan, pendaraban adalah kalis agihan ke atas penambahan, dan seterusnya. Dalam erti kata lain, kedua-dua operasi mesti memenuhi senarai aksiom yang dipilih untuk menyamai sifat penambahan dan pendaraban skalar vektor Euclid dalam koordinat ruang-n Rn. Salah satu aksiom tersebut menentukan kewujudan vektor sifar, yang bertindak sama seperti nombor sifar dalam penambahan. Elemen-elemen ruang vektor umum V boleh menjadi sebarang bentuk objek, contohnya fungsi atau polinomial, tetapi apabila ia dilihat sebagai elemen dalam V, ia sering dipanggil vektor.

Diberi dua ruang vektor V dan W di medan F, transformasi linear ialah satu peta

yang serasi dengan penambahan dan pendaraban skalar:

untuk sebarang vektor u,v ∈ V dan skalar r ∈ F.

Peranan asas dalam algebra linear dimainkan oleh tanggapan kombinasi linear, rentangan, ketakbersandaran linear vektor serta asas dan dimesi ruang vektor. Diberi ruang vektor V di medan F, satu ungkapan untuk bentuk

di mana v1, v2, …, vk adalah vektor dan

r1, r2, …, rk adalah skalar, dikenali sebagai kombinasi linear vektor-vektor v1, v2, …, vk dengan pekali r1, r2, …, rk. Set untuk semua kombinasi linear vektor-vektor v1, v2, …, vk dipanggil sebagai rentangannya. Kombinasi linear bagi sebarang sistem vektor dengan semua pekali sifar ialah vektor sifar V. Jika ini adalah satu-satunya cara untuk mengungkap vektor sifar sebagai kombinasi linear v1, v2, …, vk, maka vektor-vektor ini adalah tak bersandaran secara linear. Set vektor yang tak bersandaran secara linear yang merangkumi satu ruang vektor V ialah asas bagi V. Jika satu ruang vektor menyetujui asas terhingga maka sebarang dua asas memiliki jumlah elemen yang sama (dipanggil dimensi V) dan V ialah satu ruang vektor dimensi terhingga. Teori ini dapat juga diaplikasi pada ruang dimensi tak terhingga.

Terdapat perbezaan penting di antara koordinat ruang-n Rn dengan ruang vektor dimensi terhingga V. Sementara Rn memiliki satu asas piawai {e1, e2, …, en}, satu ruang vektor V secara tipikalnya tidak dilengkapi dengan asas dan banyak asas yang berbeza wujud (walaupun kesemuanya mengandungi jumlah elemen yang sama dengan dimensi V). Dengan memiliki asas tertentu {v1, v2, …, vn} untuk V, sistem koordinat boleh dibina dalam V: vektor dengan koordinat (r1, r2, …, rn) ialah kombinasi linear

Keadaan yang v1, v2, …, vn merentangi V menjamin yang setiap vektor v boleh diberi koordinat, sementara ketakbersandaran linear v1, v2, …, vn menjamin yang koordinat-koordinat ini ditentukan dengan cara yang unik (i.e. terdapat hanya satu kombinasi linear bagi vektor asas yang sama dengan v). Dengan cara ini, apabila satu asas ruang vektor V pada F telah dipilih, V mungkin boleh ditentukan dengan koordinat ruang-n-space Fn. Di bawah penentuan ini, penambahan dan pendaraban skalar vektor-vektor dalam V adalah berpadanan dengan penambahan dan pendaraban skalar vektor koordinatnya dalam Fn. Selain itu, jika V dan W adalah ruang vektor n-dimensi dan m-dimensi pada F, dan asas bagi V dan asas bagi W telah ditetapkan, maka sebarang transformasi linear T: V → W boleh dikodkan oleh m × n matriks A dengan kemasukan dalam medan F, dipanggil matriks T berdasarkan asas-asas ini. Kesimpulannya, kajian transformasi linear yang ditakrifkan secara aksiomatik, boleh digantikan dengan kajian matriks, yang merupakan objek yang konkrit. Ini merupakan antara teknik utama dalam algebra linear.

Beberapa teorem berguna yang utama

(AC) Setiap ruang vektor memiliki asas.

(AC) Sebarang dua asas ruang vektor yang sama akan mempunyai kekardinalan yang sama. Begitu juga, dimensi bagi ruang vektor adalah tertakrif rapi.

Satu matriks adalah boleh songsang, atau tidak singular, jika dan hanya jika peta linear yang diwakili oleh matriks adalah satu isomorfisme.

Sebarang ruang vektor pada satu medan F di dimensi n adalah isomorfik dengan Fn sebagai satu ruang vektor pada F.

Korolari: Sebarang dua ruang vektor pada F dalam dimensi terhingga yang sama adalah isomorfik di antara satu sama lain.