Coba jelasin Aksiomatik dan perkembangan terbuka dari Geometri dalam bahasa melayu dong

Model dari Elemen Euclid, satu perkembangan dihubung dari geometri sebagai sistem aksiomatik, ialah dalam tegang dengan René Descartes dari pengurangan geometri ke algebra dengan cara sistem koordinat. Terdapat banyak juara dari geometri sintetik, perkembangan gaya Euclid dari geometri projektif, pada abad ke-19, Jakob Steiner seorang khususnya tokoh bijaksana. Dalam perbezaan kepada pendekatan seumpama ke geometri sebagai sistem tertutup, memuncak dalam aksiom Hilbert dan dianggap sebaga nilai pedagogik penting, kebanyakan geometri kontemporari ialah dari perkara gaya. Geometri sintetik komputasi kini merupakan rumpun algebra komputer.

Pendekatan Cartesia sedang berpradominan, dengan soalan geometrik diasak oleh alatan dari bahagian lain matematik, dan teori geometrik menjadi sama sekali terbuka dan diintegrasikan. Ini adalah untuk dilihat dalam konteks dari aksiomatisasi dari seluruh matematik tulen, yang terus berlalu pada tempoh c.1900–c.1950: dalam prinsip semua cara ialah pada kakian aksiomatik lazim. Pendekatan berkurang ini mempunyai beberapa kesan. Terdapat trend taksonomik yang mengikuti Klein dan program Erlangennya (satu taksonomi berdasarkan pada konsep subkumpulan) menyusunkan teori menurut pada kesimpulan umum dan keistimewaan. Contohnya goemetri afin ialah lebih umum berbanding geometri Euclid, dan lebih istimewa dari geometri projektif. Seluruh teori dari kumpulan klasikal yang demikian menjadi aspek geometri. Teori invarian, pada satu titik pada abad ke-19 diambil menjadi tuan prospektif teori geometri, ialah cuma satu aspek dari teori persembahan umum dari kumpulan Lie. Menggunakan bidang terbatas, kumpulan klasikal memberi kebangkitan pada kumpulan terbatas, intensifnya dipelajari dalam hubungan kepada kumpulan terbatas mudah; dan geometri terbatas bersekutu, yang mempunyai kedua-dua bahagian penggabung (sintetik) dan algebro-geometrik (Cartesia).

Suatu contoh dari dekad kebelakangan adalah teori twistor dari Roger Penrose, mulaannya suatu teori intuitif dari sintetik, kemudian berikutnya ditunjukkan menjadi aspek dari teori serumpun pada berganda kompleks. Dalam perbezaan, geometri bukan komutatif dari Alain Connes ialah kegunaan sedar dari bahasa geometrik untuk meluahkan fenomena dari teori algebra von Neumann, dan untuk mengembangkan geometri kepada domain teori gelang iaitu hukum komutatif dari pergandaan tidak diandaikan.

Satu lagi akibat dari pendekatan kontemporari, disifatkan dalam ukuran besar kepada dasar Procrustean dipersembahkan oleh aksiomatisasi Bourbakiste mencuba untuk melengkapkan kerja dari David Hilbert, ialah untuk mencipta pemenang dan pengalah. Ausdehnungslehre (kalkulus berkembang) dari Hermann Grassmann ialah untuk kebanyakan tahun suatu kemunduran matematikal, bersaing dalam tiga dimensi terhadap teori popular lain dalam kawasan algebra luaran, ia menjadi kefaedaan dari persembahan Bourbaki dari algebra multilinear, dan dari 1950 seterusnya telah didapati dimana-mana. Banyak dari cara sama, algebra Clifford menjadi popular, dibantu oleh buku 1957, Geometri Algebra oleh Emil Artin. Sejarah dari cara geometrik yang hilang, sebagai contoh, tak terbatasnya titik dekat, yang telah menjunam sejak mereka tidak sesuai kepada matematikal tulen dunia dahulu-Principia Mathematica, belum lagi ditulis. Situasi adalah setanding kepada pengusiran infinitesimal dari kalkulus kebezaan. Laksana pada kes itu, konsep ini mungkin dikembalikan oleh pendekatan dan definisi segar. Ini mungkin tak unik: geometri sintetik kebezaan merupakan pendekatan kepada infinitesimal dari bahagian logik kategorial, laksana analisis bukan piawai ialah dengan cara dari teori model.