Jabarkan Kumpulan dari Algebra dalam bahasa melayu

Rencana utama: kumpulan; lihat pula Teori kumpulan, Contoh-contoh kumpulanMenggabungkan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur terpenting dalam matematik: satu kumpulan. Satu kumpulan adalah penyampuran satu set S dan satu operasi dedua '*' dengan sifat-sifat berikut:

Operasi tertutup: kalau a dan b ahli S, sama juga dengan a * b.

Maka, agak melamapau untuk menyatakan sifat-sifat ini, kerana setiap operasi dedua harus tertutup. Jadi, pernyataannya "sekumpulan adalah gabungan set S dan operasi dedua '*'" telah dikatakan bahawa operasinya tertutup. Walau bagaimanapun, Tutupan sering ditegaskankan berulang kali sebagai sebuah sifat kumpulan.

Sebuah unsur pengenalan e wujud, sebagaimana pada setiap anggota a pada S, e * a dan a * e adalah kedua-duanya seiras kepada a.

Setiap unsur mempunyai sonsangan: pada setiap a pada S, wujudnya sebuah anggota a−1 sebagaimana a * a−1 dan a−1 * a adalah kedua-duanya seiras kepada unsur pengenalan).

Operasinya kesekutuan: jika a, b dan c adalah anggota-anggota pada S, jadi (a * b) * c adalah seiras kepada a * (b * c).

Kalau sekumpulan juga ada Kalis tukar tertib - iaitu untuk setiap dua anggota-anggota a dan b pada S, a * b seiras pada b * a – jadi kumpulan tersebut dikatakan jadi Abelian.

Contohnya, set integer dalam operasi penambahan adalah satu kumpulan. Dalam kumpulan ini, undur identitinya adalah 0 dan sonsangan bagi mana-mana unsur a adalah penafiannya, -a. Keperluan kesekutuan disahkan kerana bagi mana-mana integer a, b dan c, (a + b) + c = a + (b + c).

Nombor nisbah bukan sifar membentuk satu kumpulan bawah operasi pendaraban. Di sini, unsur identiti adalah 1, memandangkan 1 × a = a × 1 = a untuk mana-mana nombor nisbah a. Sonsangan a adalah 1/a, memandangkan a × 1/a = 1.

Integer-integer di bawah operasi pendaraban, walau bagaimanapun, tidak membentuk sebuah kumpulan. Ini kerana, pada umumnya, sonsangan bagi pendaraban sebuah integer bukanlah integer. Contohnya, 4 adalah sebuah integer, tetapi sonsangan pendarabannya 1/4, yang bukanlah integer.

Teori perkumpulanan dikajikan dalam teori kumpulan. Penilaian major dalam teori ini adalah kumpulan-kumpulan mudah kelas terhad, kebanyakannya diterbitkan di antara tahun 1955 dan 1983, telah difikirkan mengkelaskan kesemuanya kumpulan-kumpulan mudah terhad ke dalam kira-kiranya 30 jenis asas.

Semikumpulan, kuasikumpulan, dan monoid adalah struktur-struktur ala kumpulan, tetapi lebih umum. Struktur-struktur ini terdiri daripada sebuah set dan operasi dedua tertutup, tetapi tidak semestinya memenuhi syarat-syarat lain. Semikumpulan mempunyai operasi dedua sekutuan, tetapi tidak semestinya mempunyai unsur identiti. Monoid adalah semikumpulan yang mempunyai identiti tetapi tidak semestinya mempunyai sonsangan bagi setiap unsur. Kuasikumpulan memenuhi keperluan bahawa sebarang mana unsur boleh ditukar menjadi unsur lain dengan suatu praoperasi atau pascaoperasi unik; walau bagaimanapun, operasi deduanya tidak semestinya merupakan sekutuan.

Semua kumpulan adalah monoid, dan semua monoid adalah semikumpulan.

Struktur gelanggang dan medan — dengan operasi dua perduaan

Rencana utama: Gelanggang (matematik), Medan (matematik); lihat pula Teori gelanggang, Daftar kata teori gelanggang, teori medan, Daftar kata teori medan.Kumpulan-kumpulan hanya mempunyai operasi satu dedua. Untuk menjelaskan dengan penuh pada sifat jenis-jenis nombor yang berlainan, struktur-struktur dengan dua pengoperasi perlu dikajikan. Yang terpenting adalah gelanggang, dan medan.

Kekalisan agihan menitlakkan hukum kalis agihan untuk nombor, dan menentukan turutan yang mana pengoperasinya harus diguna, (digelarkan prajadian). Untuk integer (a + b) × c = a×c+ b×c dan c × (a + b) = c×a + c×b, dan × dikatakan menjadi kalis agihan terhadap +.

Sebuah gelanggang mempunyai operasi dua dedua (+) dan (×), dengan × kalis agihan ke atas +. Di bawah pengoperasi pertama (+), ia membentuk sebuah kumpulan Abelian. Di bawah pengoperasi kedua (×) ianya berkenaan, tetapi ia tidak memerlukan identiti, atau sonsangan, maka pembahagian tidak dibenarkan. Campuran unsur identiti (+) ditulis sebagai 0 dan sonsangan campuran a ditulis sebagai -a.

Integernya adalah contoh sebuah gelanggang. Integer-integer ada tambahan sifat yang membuatnya sebagai sebuah domain integer.

Sebuah medan adalah sebuah gelanggang dengan sifat tambahan yang semua unsur kecuali 0 membentuk sebuah kumpulan Abelian bawah ×. Identiti pendaraban (×) ditulis sebagai 1 dan sonsangan a ditulis sebagai a−1.

Nombor nisbah, nombor nyata dan nombor kompleks adalah contoh-contoh medan-medan.