Jabarkan Jika  maka dari 0.999... dalam bahasa melayu

Oleh sebab 0.999... ialah hasil tambah seperti yang dinyatakan dengan nisbah sepunya r = , teorem ini dapat membuktikan persoalan berkenaan 0.999... dengan mudah:

Pembuktian ini (sebenarnya, pembuktian bahawa 10 bersamaan dengan 9.999...) boleh ditemui seawal tahun 1770 di dalam Elements of Algebra oleh Leonhard Euler.

Hasil tambah siri geometri adalah satu hasil yang diperolehi jauh sebelum Euler. Terbitan biasa pada abad ke-18 menggunakan manipulasi sebutan demi sebutan serupa dengan bukti algebra yang diberikan di atas, dan setakat 1811, buku teks oleh Bonnycastle, An Introduction to Algebra menggunakan argumen bagi siri geometri untuk menjelaskan kesamaan 0.999... = 1. Tindak balas melawan kaedah penghasiltambahan yang begitu liberal pada abad ke-19 menghasilkan takrifan yang masih digunapakai secara meluas pada hari ini: Hasil tambah satu siri ditakrifkan sebagai had urutan hasil tambah separanya. Pembuktian bagi teorem tersebut terang-terangan mengira urutan yang telah diberikan; ia boleh ditemui dalam sebarang pengenalan berdasarkan pembuktian kepada kalkulus atau analisis.

Satu jujukan (x0, x1, x2, ...) mempunyai had x sekiranya jarak  menjadi teramat kecil semakin n bertambah. Pernyataan bahawa 0.999... = 1 boleh dengan sendirinya diterjemah dan dibuktikan sebagai satu had:

Langkah terakhir yang menyatakan bahawa  → 0 semakin n → ∞ selalunya dijelaskan oleh sifat Archimedes nombor nyata. Penjelasan berdasarkan had bagi 0.999... selalu dinyatakan dalam istilah-istilah yang lebih menonjol tetapi kurang tepat. Misalnya, buku teks The University Arithmetic dari tahun 1846 menjelaskan ".999 +, berterusan hingga tidak terhingga = 1, kerana setiap penambahan angka 9 membawa nilai perpuluhan tersebut semakin hampir dengan 1"; Arithmetic for Schools tahun 1895 pula mengatakan "...apabila sejumlah besar angka 9 diambil kira, perbezaan antara 1 dan .99999... menjadi terlalu kecil sehingga tidak dapat dibayangkan". Heuristik sebegini selalu ditafsirkan oleh pelajar seolah-olah ia menyatakan bahawa 0.999... itu sendiri adalah lebih kecil daripada 1.

Selang tersarang dan batas atas terkecil

Takrifan siri di atas ialah cara mudah untuk menakrif nombor nyata yang dinamakan oleh satu kembangan perpuluhan. Pendekatan yang sepadan dengannya berkait dengan proses yang bertentangan: bagi sesuatu nombor nyata, berikan pengembangan perpuluhan (satu atau lebih) untuk menamakannya.

Jika satu nombor nyata x diketahui berada di dalam selang tersarang [0, 10] (maknanya ia lebih besar atau sama dengan 0 dan lebih kecil atau sama dengan 10), boleh dibayangkan selang tersarang ini dibahagikan kepada 10 bahagian kecil yang bertindih hanya pada tetitik akhirnya: [0, 1], [1, 2], [2, 3], dan seterusnya sehingga [9, 10]. Nombor x perlu berada dalam salah satu seselang tersarang ini; sekiranya ia berada dalam [2, 3] rekodkan angka "2" (angka sebelumnya) dan bahagikan lagi selang itu kepada [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Jika proses ini diteruskan, satu jujukan tak terhingga selang tersarang dapat diperolehi, yang dilabel oleh satu jujukan digit yang tidak terhingga b0, b1, b2, b3, ... Dari sini boleh ditulis

Dalam bentuk di atas, identiti-identiti 1 = 0.999... dan 1 = 1.000... masing-masing menunjukkan yang 1 berada dalam seselang tersarang [0, 1] dan [1, 2], maka sesiapa boleh memilih mana-mana subselang untuk mencari digit-digitnya. Untuk memastikan notasi ini tidak menyalahgunakan tanda "=", perlulah dicari satu cara untuk membina semula satu nombor nyata unik bagi setiap perpuluhan. Ini boleh dilakukan dengan had-had, tetapi pembinaan-pembinaan lain diteruskan dengan tema penurutan.

Satu pilihan secara terus bagi pembuktian ini ialah teorem selang tersarang yang memastikan satu jujukan selang tersarang dan tertutup yang panjangnya menjadi sangat kecil, mengandungi tepat satu nombor nyata di persilangannya. Oleh itu, b0.b1b2b3... ditakrifkan sebagai nombor unik yang terdapat dalam semua selang [b0, b0 + 1], [b0.b1, b0.b1 + 0.1] dan seterusnya. Dengan ini, 0.999... ialah nombor nyata unik yang terdapat dalam semua selang [0, 1] [0.9, 1], [0.99, 1] dan [0.99...9, 1] bagi semua rentetan terhingga angka 9. Oleh kerana 1 ialah satu elemen bagi setiap selang ini, 0.999... = 1.

Teorem selang tersarang selalunya didasarkan sifat nombor nyata yang lebih asasi: kewujudan batas atas terkecil atau suprema. Untuk menggunakan objek-objek ini secara terus, perlu ditakrifkan b0.b1b2b3... sebagai batas atas terkecil satu set malaran tak geser (aproksiman) {b0, b0.b1, b0.b1b2, ...}. Bolehlah kemudian ditunjukkan bahawa takrifan ini (atau takrifan seselang tersarang) adalah konsisten dengan prosedur pecah bahagi dan sekali lagi menunjukkan yang 0.999... = 1. Tom Apostol merumuskan,

Kenyataan bahawa satu nombor nyata mungkin mempunyai dua perwakilan perpuluhan berbeza hanya mencerminkan kenyataan bahawa dua set nombor nyata berbeza boleh memiliki suprema yang sama.

Pembuktian daripada pembangunan nombor nyata

Sesetengah pendekatan terang-terangan menakrifkan nombor-nombor nyata sebagai struktur-struktur tertentu yang dibina di atas nombor-nombor nisbah, menggunakan teori set beraksiom. Nombor-nombor asli – 0, 1, 2, 3 dan seterusnya – bermula dengan 0 dan berterusan secara menaik, maka setiap nombor mempunyai nombor selepasnya. Boleh juga dikembangkan lagi senarai nombor asli dengan nenombor negatifnya untuk memberikan semua integer, dan jika dimasukkan sekali nisbah-nisbah, nombor-nombor nisbah boleh diperolehi. Sistem nombor ini disertakan bersama aritmetik tambah, tolak, darab dan bahagi. Lebih terperinci lagi, sistem nombor ini turut menyertakan pengurutan, maka satu nombor boleh dibandingkan dengan nombor lain dan ditentukan sama ada ia sama dengan, kurang atau lebih daripada nombor lain.

Langkah daripada nombor nisbah ke nombor nyata adalah satu peluasan yang besar. Terdapat sekurang-kurangnya dua kaedah popular untuk mencapai langkah ini dan kedua-duanya diterbitkan pada 1872: potongan Dedekind dan jujukan Cauchy. Pembuktian bahawa 0.999... = 1 yang secara terang-terangan menggunakan pembinaan ini belum ditemui dalam buku-buku teks berkenaan analisis nombor nyata kerana dalam dekad-dekad yang lepas, analisis aksiom lebih kerap digunakan. Meskipun apabila satu pembinaan disertakan, ia biasanya digunakan untuk membuktikan aksiom nombor-nombor nyata, yang kemudiannya menyokong bukti-bukti di atas. Namun, sesetengah penulis menyatakan pendapat bahawa bermula dengan satu pembinaan adalah lebih sesuai secara logik, dan bukti-bukti yang terbit daripadanya akan menjadi lebih lengkap.