Jelaskan Sejarah nisbah dari Nombor dalam bahasa melayu

Penggunaan nombor tak nisbah terawal yang diketahui terdapat dalam Sulba Sutra India yang dikarang sekitar 800-500 SM. Bukti kewujudan terawal nombor tak nisbah dipercayai berpunca daripada Pythagoras, atau secara lebih khususnya pengikut beliau Hippasus dari Metapontum, yang menghasilkan bukti (paling mungkin secara geometri) ketaknisbahan punca kuasa dua dari 2. Mengikut kisah, Hippasus menemui nombor tak nisbah ketika cuba menggambarkan punca kuasa dua 2 sebagai satu pecahan. Namun, Pythagoras percaya akan kemutlakan nombor, dan tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah. Beliau tidak mampu membuktikan ketidakwujudannya melalui logik, namun kepercayaan beliau tidak mampu menerima kewujudan nombor tak nisbah maka beliau menghukum mati Hippasus dengan melemaskannya.

Abad ke-16 melihatkan penerimaan muktamad nombor negatif, integer dan pecahan oleh orang Eropah. Abad ke-17 melihatkan pecahan perpuluhan dengan notasi moden digunakan secara meluas oleh ahli matematik. Namun, hanya ketika abad-19 barulah nombor tak nisbah dibahagi kepada bahagian algebra dan transendental, dan satu kajian saintifik mengenai teori monbor tak nisbah timbul lagi setelah lama terpendam sejak zaman Euclid. Tahun 1872 menyaksikan penerbitan teori-teori Karl Weierstrass (oleh anak muridnya Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Pada tahun 1869 kajian Méray menyimpang dari titik yang serupa dengan Heine, namun teori itu dirujuk secara amnya kepada tahun 1872. Keadah Weierstrass telah dikemukakan sepenuhnya oleh Pincherle (1880), dan kadeah Dedekind pula menerima makin menonjol melalui kerja-kerja lanjutan pengarang tersebut (1888) dan disusuli dukungan oleh Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine mengasaskan teori masing-masing pada siri tak terhingga, manakala Dedekind mengasaskan teori beliau pada idea potongan (Schnitt) dalam sistem nombor nyata, maka memisahkan semua nombor nisbah kepada dua kumpulan yang melihatkan ciri-ciri biasa yang tertentu. Subjek ini kemudiannya menerima sumbangan lanjut di tangan Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), dan Méray.

Pecahan berlanjar yang berkait rapat dengan nombor tak nisbah (dan oleh sebab Cataldi, 1613), menarik perhatian di tangan Euler, dan pada awal abad ke-19 pula ditonjolkan melalui penulisan Joseph Louis Lagrange. Sumbangan penting lain turut dilakukan oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Günther (1872). Ramus (1855) mula-mula menghubungkaitkan subjek ini dengan penentu, mencetuskan sumbangan seterusnya oleh Heine, Möbius, dan Günther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga menokok tambah teori amnya, seperti mana yang dilakukan ramai penyumbang kepada aplikasi subjek ini.

Nombor transenden dan nombor nyata

Hasil kajian terulung mengenai nombor transenden merupakan bukti yang dikemukakan oleh Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 bahawa π tidak boleh berbentuk nombor nisbah, dan juga bahawa en tidak nisbah jika n nisbah (melainkan n = 0). (Pemalar e pertama kali disentuh dalam kerja John Napier tahun 1618 mengenai logaritma.) Legendre memperkuatkan bukti ini untuk menunjukkan bahawa π bukan kuasa dua kepada suatu nombor nisbah. Pencarian kuasa persamaan kuintik dan berdarjah lebih tinggi merupakan perkembangan penting, teorem Abel–Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) menunjukkan bahawa ini tidak boleh diselesaikan dengan radikal (formula yang hanya melibatkan operasi dan punca aritmatik). Maka, adalah perlu untuk mengambil kira set nombor algebra yang lebih luas (segala penyelesaian kepada persamaan-persamaan polinomial). Évariste Galois (1832) mengaitkan persamaan-persamaan polinomial  kepada teori kelompok yang membangkitkan bidang teori Galois.

Set nombor algebra pun tidak mencukupi dan set penuh nombor nyata termasuklah nombor transenden, yang kewujudannya dibutkikan puat julung kalinya oleh Joseph Liouville (1844, 1851). Pada tahun 1873, Charles Hermite membuktikan bahawa e adalah nombor transenden dan pada tahun 1882, Ferdinand von Lindemann membuktikan bahawa π juga transenden. Akhirnya Cantor menunjukkan bahawa set segala nombor nyata adalah tidak berkira dan tidak terhingga tetapi set segala nombor algebra adalah tidak terhingga tetapi berkira, maka terdapatlah bilangan nombor transenden yang tidak berkira dan tidak terhingga.