Jabarkan Penjelasan lebih teliti dari Tangen dalam bahasa melayu

Untuk membuatkan preceding reasoning lebih teliti, seorang haris menjelaskan apa yang dimaksudkan oleh darjah perbezaan mendekati sesetengah nilai berhad k. Rumusan matematik lebih tepat diberikan oleh Cauchy pada abad ke-19 dan berasaskan pada tanggapan had. Anggapkan bahawa graf tidak mempunyai suatu pecahan atau suatu tepi di p dan ia bukannya plumb atau terlalu wiggly berhampiran p. Kemudian adanya suatu nilai unik k yang mana h mendekati 0, darjah perbezaan menjadi semakin hampir dan hampir dengan k, dan jarak di antara mereka menjadi terabai dibandingkan dengan saiz h, jika h cukup kecil. INi membawakan ke definisi cerun pada garis tangen pada graf sebagai had darjah perbezaan untuk fungsi f. Had ini adalah derivatif pada fungsi f di x = a, menandakan f ′(a). Menggunakan derivatif, persamaan garis tangen dapat dikatakan seperti yang berikut:

Kalkulus memberikan peraturan untuk mengira derivatif fungsi-fungsi yang diberikan oleh rumusan, seperti fungsi kuasa, fungsi trigonometri, fungsi eksponen, logaritma, dan  perlabagai gabungan mereka. Oleh itu, persamaan tangen pada graf pada kesemua fungsi ini, dan juga yang lain, dapat ditemukan oleh kaedah-kaedah kalkulus.