Jabarkan Bukti-bukti analitik dari 0.999... dalam bahasa melayu

Oleh sebab persoalan berkenaan 0.999... tidak memberi kesan kepada pembangunan formal matematik, ia boleh diketepikan seketika sehingga selepas teorem standard analisis nyata dapat dibuktikan. Satu keperluan bagi yang tersebut ialah untuk mencirikan nombor nyata yang boleh ditulis dalam notasi perpuluhan yang terdiri daripada satu tanda yang tidak semestinya ada, urutan terhingga sebarang bilangan angka yang membentuk bahagian integer, pemisah perpuluhan, dan satu urutan angka yang membentuk bahagian pecahan. Untuk tujuan membincangkan 0.999..., bahagian integer boleh diringkaskan sebagai b0 dan tanda negatif boleh ditinggalkan, supaya pengembangan perpuluhan memiliki bentuk

Perlu diperhatikan bahawa bahagian pecahan, tidak seperti bahagian integer, tidak terhad kepada satu set angka yang terhingga. Ini adalah notasi kedudukan, oleh itu angka 5 dalam 500, misalnya, menambahkan nilai satu angka sebanyak 10 kali ganda berbanding angka 5 dalam 50, manakala angka 5 dalam 0.05 menambahkan hanya sepersepuluh nilai berbanding 5 dalam 0.5.

Siri dan urutan tidak terhingga

Salah satu pembangunan paling biasa bagi pengembangan perpuluhan adalah untuk mentakrifkannya sebagai hasil tambah siri tidak terhingga. Secara amnya:

Bagi 0.999..., teorem penumpuan yang menyentuh berkenaan siri geometri boleh digunakan: