Jabarkan Jujukan Cauchy dari 0.999... dalam bahasa melayu

Satu lagi pendekatan ialah dengan menakrifkan nombor nyata sebagai had satu jujukan nombor-nombor nisbah Cauchy. Pembinaan nombor nyata ini menggunakan pengurutan nombor nisbah secara kurang terus. Pertama sekali, jarak antara x dan y ditakrifkan sebagai nilai mutlak |x – y|, di mana nilai mutlak |z| ditakrifkan sebagai maksimum z dan –z, oleh itu ia tidak pernah bernilai negatif. Kemudian nombor-nombor nyata ditakrifkan sebagai jujukan nombor nisbah yang mempunyai sifat jujukan Cauchy menggunakan jarak ini. Dengan kata lain, dalam jujukan (x0, x1, x2, ...), pemetaan dari nombor-nombor asli ke nombor-nombor nisbah, bagi sebarang nombor nisbah positif δ terdapat satu angka N di mana |xm – xn| ≤ δ bagi semua m, n > N. (Jarak antara sebutan-sebutan menjadi lebih kecil daripada mana-mana nombor nisbah positif).

Jika (xn) dan yn) adalah dua jujukan Cauchy, ia ditarifkan sebagai sama nilai sebagai nombor nyata sekiranya jujukan (xn − yn) mempunyai had 0. Pemendekkan nombor perpuluhan b0.b1b2b3... menghasilkan satu jujukan nombor nisbah yang bersifat Cauchy; ini diambil untuk menakrif nilai sebenar nombor tersebut. Oleh itu dalam formalisme ini apa yang perlu dilakukan adalah menunjukkan bahawa jujukan nombor-nombor nisbah

mempunyai had 0. Mengambil kira sebutan ke-n jujukan tersebut, bagi n = 0, 1, 2, ..., ia perlu ditunjukkan bahawa

Had ini jelas jika seseorang memahami takrifan bagi had. Maka sekali lagi, 0.999... = 1.