Saya mau tau Tatatanda, bahasa, dan ketelitian dari Matematik. Jelaskan dalam bahasa melayu

Kebanyakan tatatanda matematik tidak diperkenalkan sehingga kurun ke-16. Sebelum itu, rumus-rumus matematik ditulis menggunakan perkataan, satu kaedah yang menyusahkan yang menghadkan penemuan matematik. Pada kurun ke-18, Euler telah bertanggungjawab memperkenalkan banyak tatatanda seperti yang digunakan hari ini. Tatatanda moden menjadikan matematik lebih mudah untuk golongan profesional, tetapi mengelirukan golongan yang baru mempelajarinya. Tatatanda telah meringkaskan banyak keterangan, dengan beberapa simbol mengandungi maklumat yang banyak. Seperti juga notasi muzik, tatatanda matematik moden memiliki sintaks yang ketat dan mengekod maklumat yang mungkin sukar ditulis dalam cara yang lain.

Bahasa matematik boleh menjadi sukar bagi mereka yang baru mempelajarinya. Perkataan seperti "atau" dan "sahaja" mempunyai maksud yang lebih terperinci dari apa yang digunakan dalam perbualan harian. Selain itu, perkataan seperti "buka dan lapangan" telah diberikan maksud matematik yang khusus. Jargon matematik termasuklah istilah teknikal seperti homeomorfisma dan kamiran. Oleh kerana matematik memerlukan perincian yang lebih dari perbualan harian, tatatanda khusus dan jargon teknikal diperlukan. Ahli matematik menggelar perincian bahasa dan logik ini sebagai "ketelitian".

Ketelitian pada dasarnya adalah satu bukti matematik. Ahli matematik mahukan teorem-teorem mereka mengikut aksiom-aksiom hasil dari penaakulan sistematik. Ini untuk mengelakkan kesilapan teorem-teorem akibat dari intuisi yang salah, yang pernah terjadi dalam sejarah bidang ini. Tahap ketelitian dalam matematik sering berubah sepanjang zaman: orang Yunani cenderung kepada hujah yang terperinci (ketelitian tinggi), tetapi pada zaman Isaac Newton kaedah yang digunakan adalah kurang teliti. Masalah yang timbul dari kaedah yang digunakan Newton telah membawa kepada kebangkitan semula analisis terperinci dan bukti formal pada kurun ke-19. Hari ini, ahli matematik terus berhujah antara mereka tentang bukti bantuan komputer, kerana pengiraan yang besar sangat sukar disahkan dan bukti-buktinya mungkin tidak cukup teliti.

Aksiom dalam pemikiran tradisional adalah "kebenaran terbukti dengan sendiri", tetapi konsepsi ini ternyata bermasalah. Pada tahap formal, satu aksiom hanyalah satu rentetan simbol yang memiliki makna intrinsik hanya dalam konteks rumus-rumus terbitan satu sistem aksiom. Adalah menjadi matlamat program Hilbert untuk meletakkan semua matematik di atas asas aksiom yang kukuh, tetapi menurut teorem ketaklengkapan Gödel, setiap sistem aksiom (yang cukup kuat) mempunyai rumus yang tidak dapat ditentukan; jadi satu pengaksioman yang akhir untuk matematik adalah mustahil. Walau bagaimanapun, matematik sering digambarkan (sehingga kandungan formalnya) cuma teori set dalam beberapa pengaksioman, dalam erti kata yang setiap pernyataan matematik atau buktinya boleh dirangkumkan ke dalam rumus-rumus dalam teori set.