Jabarkan Keputusan matematik dari Nikolai Ivanovich Lobachevsky dalam bahasa melayu

Pencapaian utama Lobachevsky ialah pengembangan geometri bukan Euclid secara berasingan daripada pengembangan János Bolyai. Sebelumnya, ahli-ahli matematik sedang mencuba menyimpul postulat kelima Euclid, berdasarkan andaian-andaian yang lain. Postulat Euclid yang kelima menyatakan (dalam perumusan semula John Playfair) bahawa bagi mana-mana garis dan titik yang tidak terletak pada garis itu, terdapat hanya satu garis selari yang merentasi titik itu dan yang tidak bersilang dengan garis tersebut. Lobachevsky sebaliknya mengembangkan geometri yang menyatakan bahawa postulat Euclid yang kelima adalah tidak benar. Gagasan ini dilaporkan buat pertama kali pada 23 Februari 1826 kepada sidang Jabatan Fizik dan Matematik, dan penyelidikannya itu diterbitkan di UMA

(Вестник Казанского университета) antara tahun-tahun 1829–1830. Lobachevsky menulis sebuah kertas kerja mengenainya yang berjudul "Garis kasar ringkas mengenai asas-asas geometri" dan menghantarnya kepada Kazan Messenger untuk diterbitkan tetapi ditolak apabila Akademi Sains St. Petersburg juga menghantarnya.

Geometri bukan Euclid yang dikembangkan oleh Lobachevsky dipanggil geometri hiperbola. Lobachevsky menggantikan postulat selari Euclid dengan postulat bahawa terdapat lebih daripada satu garis selari yang merentasi mana-mana satu titik yang diberikan; satu hasil termasyhur daripada geometri hiperbola Lobachevsky adalah bahawa jumlah darjah sudut dalam sesuatu segi tiga harus kurang daripada 180 darjah.

Penerimaan gagasan-gagasan Lobachevsky oleh komuniti matematik agak lambat. Sesetengah ahli matematik dan sejarah mendakwa bahawa Lobachevsky mencuri konsep geometri bukan Euclid daripada Gauss, tetapi ini jelas tidak benar kerana Lobachevsky tidak pernah surat-menyurat dengan Gauss ketika itu. Oleh itu, beliau patut diberikan penghargaan sepenuhnya untuk mencipta geometri bukan Euclid.  Gagasan-gagasan Lobachevsky hanya diterima dengan sepenuhnya beberapa dekad selepas kematiannya walaupun ia terbukti amat penting kepada bidang matematik dan sains; Albert Einstein, ahli fizik Jerman, mempergunakan penyeluruhan dapatan Lobachevsky dalam teori kerelatifan amnya.

Geometriya , mahakarya Lobachevsky, disiapkan pada tahun 1823 tetapi tidak diterbitkan dalam bentuk asal sehingga tahun 1909, iaitu lama selepas kematian Lobachevsky. Lobachevsky juga merupakan pengarang karya Asas-asas Baru Geometri (1835-1838), serta juga karya-karya Penyelidikan Geometri mengenai Teori Selari (1840) dan Pangeometri (1855).

Lagi satu pencapaian Lobachevsky adalah pengembangan kaedah penghampiran untuk punca kuasa persamaan algebra. Kaedah ini kini dikenali sebagai kaedah Dandelin-Gräffe sempena dua orang ahli matematik yang menemuinya secara berasingan. Bagaimanapun di Rusia, ia dikenali sebagai kaedah Lobachevsky. Lobachevsky mentakrifkan fungsi matematik sebagai kesepadanan antara dua set nombor nyata, dengan Dirichlet memberikan takrif yang sama secara berasingan tidak lama kemudian.