Jelaskan Geometri hiperbolik dari Grup terbangkit terbatas

Ada juga bukti geometris sederhana bahwa G = SL2(Z) tidak dihasilkan secara terbatas. Hal ini bertindak dengan transformasi Möbius pada medan setengah atas H, dengan metrik Poincaré. Semua penyangga kompak bentuk-1 α pada ranah fundamental dari G meluas secara unik ke invarian-G bentuk-1 pada  H. Jika z adalah H dan γ adalah geodesik dari z ke g(z), fungsi didefinisikan oleh

memenuhi kondisi pertama untuk karakter semu karena teorema Stokes

dimana Δ adalah segitiga geodesik dengan simpul z, g(z) dan h−1(z), dan segitiga geodesik memiliki luas terbatas oleh π. Fungsi yang dihomogenkan

mendefinisikan karakter semu, hanya bergantung pada α. Sebagaimana diketahui dari teori sistem dinamik, orbit apapun (gk(z)) dari elemen hiperbolik g memiliki himpunan batas yang terdiri dari dua titik tetap pada sumbu real diperluas; maka segmen geodesik dari z ke g(z) memotong hanya sedikit translasi domain fundamental. Oleh karena itu mudah untuk memilih α sehingga fα sama dengan satu pada elemen hiperbolik tertentu dan menghilang pada himpunan berhingga elemen hiperbolik lain dengan titik tetap yang berbeda. Karena G memiliki ruang dimensi tak hingga dari karakter semu, ia tidak dapat dibangkitkan secara terbatas.

Sifat dinamis elemen hiperbolik juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa setiap grup hiperbolik Gromov non-dasar tidak dihasilkan secara terbatas.