Deret konvergen itu apa sih?

Dalam matematika, deret takhingga () adalah hasil jumlah suku-suku dari suatu barisan takhingga bilangan. Lebih tepatnya, diberikan suatu barisan takhingga . Maka, dapat dikonstruksikan deret takhingga  sebagai berikut

Hasil penjumlahan parsial ke- (yang dinotasikan dengan ) adalah hasil jumlah  suku pertama barisan tersebut; yaitu,

Sebuah deret takhingga akan konvergen jika barisan  dari jumlahan parsialnya mendekati suatu limit; itu artinya, saat menambahkan suku  ke , maka hasil jumlahan parsial akan semakin dekat dengan limitnya. Lebih tepatnya, deret tersebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan  sedemikian sehingga untuk setiap sembarang bilangan positif  yang kecil, terdapat bilangan bulat  (yang cukup besar) sedemikian sehingga untuk setiap , maka

Jika deretnya konvergen, bilangan  (yang bernilai tunggal) disebut sebagai hasil jumlah deretnya.

Setiap deret yang tidak konvergen disebut sebagai deret divergen.

Contoh dari deret konvergen dan divergen

Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif menghasilkan deret divergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik) :

Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif yang berganti tanda (selang seling) menghasilkan deret konvergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik selang seling) :

Barisan invers perkalian dari bilangan prima menghasilkan deret divergen (sehingga himpunan bilangan prima termasuk "besar"; lihat divergensi dari jumlah invers bilangan prima) :

Barisan invers perkalian dari bilangan segitiga menghasilkan deret konvergen :

Barisan invers perkalian dari bilangan faktorial menghasilkan deret konvergen (lihat e) :

Barisan invers perkalian dari bilangan kuadrat sempurna menghasilkan deret konvergen (deret ini dikenal sebagai masalah Basel) :

Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 menghasilkan deret konvergen (sehingga himpunan perpangkatan 2 bernilai "kecil") :

Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan  menghasilkan deret konvergen :

Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 yang berganti tanda juga menghasilkan deret konvergen :

Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan  menghasilkan deret konvergen :

Barisan invers perkalian dari bilangan Fibonacci menghasilkan deret konvergen (lihat konstanta ψ):