Jelaskan Sejarah dari Identitas Sophie Germain

Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikut

Mengubah persamaan ini dengan mengalikan  oleh  memberikan

sebuah ekspresi berupa selisih dari dua bilangan kuadrat, yang menghasilkan identitas Germain. Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh Leonard Eugene Dickson dalam karyanya History of the Theory of Numbers. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari Leonhard Euler kepada Christian Goldbach.

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku faktorisasi bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan. Sebuah bukti tanpa kata juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan teorema Pythagoras.

Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat

Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk

tidak dapat berupa bilangan prima untuk . (Untuk , hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika  adalah bilangan genap, dan jika  bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan  dan . Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari ) membentuk barisan bilangan bulat

Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan  dan  dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi

dengan  adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum,  adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari  sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.