Jelaskan Definisi dari Aljabar Bose–Mesner

Misalkan X adalah himpunan elemen v dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari X adalah himpunan bagian takkosong n, R1, ..., Rn sehingga:

diberikan , jumlah dari  sehingga  hanya bergantung pada i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan vi, dan

diberikan  dengan , jumlah dari  sehingga  dan  hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan .

Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R0. Hal ini memungkinkan parameter i, j, dan k mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap x,y atau z adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan Di adalah matriks yang didefinisikan sebagai:

Lalu, misalkan  adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks  dengan kompleks . Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa  adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut: