Jabarkan Sifat-sifat dari Topologi Zariski

Sifat terpenting dari topologi-topologi Zariski adalah mereka memiliki dasar (topologi) yang terdiri dari elemen-elemen sederhana, dinamakan  untuk tiap polinomial secara individu (atau untuk varietas projektif, polinomial homogen) . Bahwa bentuk-bentuk ini adalah dasar yang mengikuti dari formula untuk persimpangan dari dua set tertutup Zariski yang diberikan diatas (massukan secara berulang-ulang pada prinsip ideal yang dihasilkan oleh ). Set terbuka pada dasar disebut terkenal atau dasar dari set terbuka. Pentingnya dari sifat ini menghasilkan khususnya kegunaan yang didefinisikan dari sebuah skema affine.

Oleh teorema dasar Hilbert dan beberapa sifat-sifat dasar dari cincin Noetherian, setiap affine atau cincin koordinat projektif adalah Noetherian. Sebagai konsekuensinya, affine atau ruang projektif dengan topologi Zariski adalah ruang topologi Noetherian, yang menyiratkan bahwa tiap set dalam yang tertutup pada ruang-ruang ini adalah ruang padat

Namun, kecuali pada set-set aljabar terbatas, tidak ada set aljabar yang ruang Hausdorff. Dalam literatur lama topologi "padat" diambil untuk memasukan sifat Hausdorff, dan cara konvensional ini masih dihormati dalam geometri aljabar; maka kepadatan pada arti modern adalah "kepadatan semu" dalam geometri aljabar. Namun, sejak semua poin (a1, ..., an) adalah set nol dari polinomial-polinomial x1 - a1, ..., xn - an, poin-poin ini adalah tertutup dan tiap varietas memenuhi dari aksioma T1.

Tiap peta biasa (geometri aljabar) dari varietas adalah fungi kontinyu (topologi) pada topologi Zariski. Faktanya, topologi Zariski adalah topologi terlemah (dengan set-set terbuka paling sedikit) yang dimana hal ini adalah benar dan dimana poin-poin tertutup. Ini jelas mudah diperiksa dengan mencatat bahwa set tertutup Zariski adalah persimpangan mudah dari gambaran invers dari 0 oleh fungsi polinomial, termasuk sebagai peta reguler menuju