Jelaskan Definisi dari Ruang singgung Zariski

Ruang ko-singgung (cotangent space) dari gelanggang lokal R,  dengan ideal maksimal  didefinisikan sebagai

Modul ini dapat dipandang sebagai ruang vektor-k dengan k adalah lapangan residu R/. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-k) disebut ruang tangen dari R.

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan V merupakan varietas aljabar afin dan v adalah titik di V. Secara konkret, modulo  pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan V dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung   dan ruang ko-singgung  dari skema X di titik P adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal  . Karena fungtor Spec fungtorial, homomorfisme faktor alami  menginduksi homomorfisme  dengan X =Spec(R) dan P adalah suatu titik di Y =Spec(R/I). Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen ke dalam ruang tangen  .  Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh g merupakan suatu isomorfisme. Dengan demikian, g menginduksi morfisme k antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui

Karena pemetaan ini adalah surjektif, transpose  bersifat injektif.

(Seringkali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)