Jabarkan Definisi dari Nilai harapan

Terdapat beberapa konteks dan cara untuk mendefinisikan nilai harapan. Cara termudah dan definisi asli dari nilai harapan adalah menghitung terhingga banyaknya hasil percobaan yang mungkin (seperti hasil lemparan sebuah koin). Dengan menggunakan teori barisan tak hingga, definisi itu dapat diperumum untuk kasus tak terhingga (tapi terhitung) banyaknya hasil percobaan. Nilai harapan juga didefinisikan untuk variabel-variabel acak yang diatur oleh fungsi kepadatan peluang kontinu-(sepenggal), karena jenis variabel acak tersebut banyak ditemukan secara alami. Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalam teori ukuran dan integral Lebesgue.

Setiap definisi dari nilai harapan dapat diperluas untuk mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak multidimensi, seperti sebuah vektor acak . Pendefinisian nilai harapan pada variabel acak jenis tersebut dilakukan komponen-demi-komponen, yakni . Serupa dengan itu, nilai harapan dari matriks acak  dengan elemen-elemen  didefinisikan sebagai .

Variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil

Misalkan  adalah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil yang mungkin , masing-masing memiliki peluang  untuk terjadi. Nilai harapan dari  didefinisikan sebagai

Karena total semua peluang , wajar untuk menganggap  sebagai purata berbobot dari nilai-nilai , dengan bobot-bobot berupa nilai peluang . Pada kasus khusus ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi (yakni, ), purata berbobot akan sama dengan rata-rata yang standar. Secara umum, nilai harapan memperhatikan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin terjadi ketimbang yang lain.

Variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil

Secara informal, nilai harapan dari variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil yang mungkin, didefinisikan secara serupa sebagai purata berbobot dari dari semua hasil yang mungkin, dengan bobot-bobot didapatkan dari peluang merealisasikan setiap hasil. Menyatakan ini secara matematis,

dengan  adalah hasil-hasil yang mungkin dari variabel acak  dan  masing-masing adalalah peluang mereka. Terdapat beberapa asumsi dengan penjumlahan tak hingga, menjadikan rumus di atas tidak cocok sebagai definisi matematika. Secara khusus, teorema barisan Riemann dalam analisis matematika menunjukkan bahwa hasil penjumlahan tak hingga yang melibatkan suku positif dan suku negatif dapat berubah bergantung pada urutan penjumlahan yang dilakukan. Hal ini menyulitkan mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak jenis ini karena hasil dari variabel acak tidak memiliki urutan yang alami (karena acak).

Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut konvergen absolut, yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan. Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.