Jelaskan Contoh dari Grup terbangkit terbatas

Jika n ≥ 3, maka grup SLn(Z) yang merupakan terbangkit terbatas dengan subgrup dasarnya, dibentuk oleh matriks yang berbeda dari matriks identitas hanya dalam satu entri off-diagonal. Pada tahun 1984, Carter dan Keller memberikan bukti dasar dari hasil tersebut, yang termotivasi oleh pertanyaan dalam aljabar .

Grup bebas pada setidaknya dua pembangkit bukan merupakan terbangkit terbatas (lihat di bawah).

Grup SL2(Z) bukan merupakan terbangkit terbatas, karena berisi subgrup bebas dengan dua generator indeks 12.

Grup hiperbolik Gromov merupakan terbangkit terbatas jika dan hanya jika siklik virtual (atau elementer), yaitu berisi subgrup siklik dari indeks hingga.

Grup bebas yang bukan merupakan terbangkit secara terbatas

Dalam literatur matematika, beberapa penulis telah menyatakan dengan jelas bahwa grup bebas bangkit terhingga bukan merupakan terbangkit terhingga. Bagian ini berisi berbagai cara yang jelas dan kurang jelas untuk membuktikan hal ini. Beberapa metode yang melibatkan kohomologi terbatas penting karena lebih geometris dibandingkan aljabar, sehingga dapat diterapkan pada kelas grup yang lebih luas, misalnya grup hiperbolik Gromov.

Karena untuk setiap n ≥ 2, grup bebas pada 2 generator F2 berisi sebagai grup bebas pada pembangkit n yaitu  Fn yang dikenal sebagai subgrup indeks hingga (yang sebenarnya adalah n − 1), sekali satu grup bebas non-siklik pada banyak generator diketahui yang bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk semuanya. Demikian pula, karena SL2(Z) berisi F2 sebagai subgrup indeks 12 yang cukup untuk mempertimbangkan SL2(Z). Dengan kata lain, untuk menunjukkan bahwa tidak ada Fn dengan n ≥ 2 memiliki generasi terbatas, cukup untuk membuktikan ini untuk salah satu dari mereka atau bahkan hanya untuk SL2(Z) .