Jabarkan Varietas Affine dari Topologi Zariski

Pertama, kita definisikan topologi pada ruang affine  dibentuk oleh Ntupel dari elemen . Topologi didefenisikan dengan menspesifikasi set tertutupnya, daripada set terbukanya, dan ini dapat diambil dengan semua set aljabarnya dalam  Itu, adalah set tertutup dari bentuk  dimana S adalah tiap set dari polinomial dalam variabel n atas k. Ini juga adalah verifikasi langsung untuk menunjukkan bahwa:

V(S) = V((S)), dimana (S) adalah ideal (teori cincin) yang dibuat oleh elemen dari S;

Untuk dua polinomial ideal I, J, kita mempunyai

Hal ini mengikuti bahwa gabungan terbatas dan persimpangan sewenang-wenang dari set V(S) juga bagian dari bentuk ini, jadi set-set ini membentuk set tertutup dari sebuah topologi (sama seperti, komplemennya mereka, dilambangkan D(S) dan dipanggil prinsip set terbuka, bentuk dari topologi itu sendiri). Ini adalah topologi Zariski dalam

Jika X adalah set aljabar affine (bisa direduksi atau tidak) maka topologi Zarsik dalam definisinya cukup menjadi topologi subspace yang diinduksi oleh penyertaan menjadi beberapa  Sama saja, bisa dicek dengan:

Elemen-elemen dari koordinat cincin affine  berfungsi sebagai fungsi dalam X sama seperti pada elemen dari  yang berfungsi sebagai fungsi dalam ; disini, I(X) adalah bentuk ideal dari semua polinomial yang hilang dalam X.

Untuk tiap set dari polinomial S, biarkan T menjadi set dari gambaran pada A(X). Kemudian, subset dari X  (notasi ini tidak standar) adalah sama dengan persimpangan oleh X dari V(S).

Ini mendirikan bahwa persamaan diata, jelas bisa menggeneralisasi dari sebuah definisi dari set tertutup pada  diatas, mendefinisikan topologi Zariski pada varietas affine apa saja.