Jelaskan adalah simetris, dari Aljabar Bose–Mesner

Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom  mengandung 1 di :

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa.  adalah bebas linear, dan dimensi  adalah . Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa  tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif  yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada  adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks  sehingga untuk setiap , terdapat matriks diagonal  dengan . Hal ini mengartkan bahwa  adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif . Matriks kompleks n × n ini memenuhi sifat-sifat berikut.

Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten , dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan . Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga