Jabarkan Geometri dari Substitusi tangen setengah sudut

Saat nilai x berganti, titik (cos x, sin x) berulang kali mengitari lingkaran satuan yang berpusat pada titik  (0, 0). Titik

hanya sekali mengitari lingkaran saat t berganti nilai dari −∞ menuju  +∞, dan tidak pernah menyentuh titik  (−1, 0), yaitu limit saat t mendekati  ±∞. Saat t berganti nilai dari −∞ ke −1, titik yang ditentukan oleh t melewati bagian lingkaran pada kuadran ketiga, dari (−1, 0) ke  (0, −1). Saat t berganti nilai dari −1 ke  0, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran keempat, dari (0, −1) ke  (1, 0). Saat t berganti nilai dari 0 ke 1, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran pertama, dari (1, 0) ke  (0, 1). Terakhir, saat t berganti nilai dari 1 ke  +∞, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran kedua, dari (0, 1) ke  (−1, 0).

Berikut adalah sudut pandang geometris yang lain. Buatlah lingkaran satuan, dan misalkan P adalah titik . Sebuah garis yang melewati P (kecuali garis vertikal) ditentukan oleh kemiringannya. Nah, setiap garis tersebut (kecuali garis vertikal) memotong lingkaran satuan pada tepat dua titik, yang salah satunya merupakan titik P.  Hal ini dapat dipandang sebagai sebuah fungsi yang memetakan titik pada lingkaran satuan ke kemiringan. Fungsi trigonometri sendiri adalah fungsi yang memetakan sudut ke titik pada lingkaran satuan, dan dengan menyatukan kedua fungsi ini, maka diperoleh sebuah fungsi yang memetakan sudut ke kemiringan.