Jabarkan g1 g2 ··· dari Grup terbangkit terbatas

dalam generator dan kebalikannya. Ini memberikan pemadatan alami dari pohon yang diberikan oleh grafik Cayley sehubungan dengan generator. Urutan kata semi-ketakhinggaan konvergen ke kata lain yang serupa asalkan segmen awal sependapat setelah tahap tertentu, sehingga X salah satu kompak (dan termetrikkan). Grup bebas bertindak dengan perkalian kiri pada kata-kata semi-ketakhinggaan. Selain itu, setiap elemen g pada Fn memiliki tepat dua titik tetap g ±∞, yaitu kata-kata ketakhinggaan tereduksi yang diberikan oleh batas g&hairsp;n sebagai n cenderung ±∞. Selain itu, g&hairsp;n·w cenderung g ±∞ karena n cenderung ±∞ untuk kata semi-ketakhinggaan w; dan lebih umum jika wn cenderung w ≠ g ±∞, lalu g&hairsp;n·wn cenderung g&hairsp;+∞ sebagai n cenderung ∞.

Jika Fn terbangkit secara hingga dapat ditulis sebagai produk dari grup siklik Ci dihasilkan oleh elemen hi. Misalkan X0 menjadi himpunan bagian yang dapat dihitung yang diberikan oleh banyak orbit Fn berhingga

dari titik tetap hi ±∞, titik tetap dari hi dan semua konjugatnya. Karena X tidak terhitung, disitulah adalah elemen g dengan titik tetap di luar X0 dan titik w di luar X0 berbeda dari titik tetap ini. Kemudian untuk beberapa suburutan (gm) dari (gn)

gm = h1n(m,1) ··· hkn(m,k), dengan masing-masing n(m,i&hairsp;) konstan atau monoton sempurna.

Di satu sisi, dengan penggunaan aturan yang berurutan untuk menghitung batas bentuk h&hairsp;n·wn, batas sisi kanan yang diterapkan ke x tentu saja merupakan titik tetap dari salah satu konjugat-konjugat hi. Di sisi lain, batas ini juga harus g&hairsp;+∞ yang bukan salah satu dari poin ini, yaitu kontradiksi.