Identitas Pythagoras itu apa sih?

Identitas Pythagoras, atau identitas trigonometri Pythagoras (), adalah identitas yang menyatakan teorema Pythagoras dalam fungsi trigonometri. Bersama dengan rumus jumlah dan selisih sudut, identitas ini adalah salah satu relasi dasar antara fungsi sinus dan kosinus. Identitas tersebut dirumuskan sebagaiuntuk setiap bilangan riil , dengan  yang berarti .

Bukti identitas beserta hubungannya dengan teorema Pythagoras

Bukti menggunakan bangun segitiga siku-siku

Diberikan bangun segitiga siku-siku dengan panjang  sebagai sisi miringnya, serta  dan  untuk sisi lainnya, dengan  sembarang bilangan riil positif yang memenuhi teorema Pythagoras, yaitu

Dari informasi tadi, maka dapat memungkinkan untuk mengonstruksi segitiga siku-siku yang sebangun, dengan faktor dilatasi sebesar . Dengan demikian, panjang sisi miring segitiga yang baru ialah 1, dan panjang sisi yang lain ialah  dan . Karena segitiga yang telah didilatasi masih merupakan segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras,

Definisi dasar dari fungsi sinus dan kosinus terhadap panjang sisi segitiga siku-siku ialah:Substitusikan kedua definisi dasar tersebut, maka diperolehAkan tetapi, langkah pembuktiannya belum selesai, lantaran konstruksinya mengandalkan kesebangunan dua segitiga siku-siku (dengan ), sehingga relasi trigonometri akan digunakan untuk melengkapi pembuktiannya.

Selang interval π/2 sampai π

Misalkan sudut  berada pada selang interval . Maka, terdapat suatu nilai  sedemikian sehingga  Dari informasi di atas, maka diperolehsehingga diperoleh

Selang interval -π sampai 0

Misalkan sudut  berada pada selang interval . Maka, terdapat suatu nilai  sedemikian sehingga . Dari informasi di atas, maka diperolehsehingga diperolehKarena fungsi sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik, maka persamaanberlaku untuk setiap bilangan riil , dan selesailah pembuktiannya.