Jabarkan Secara umum, berlaku ortogonalitas dari Polinomial Hermite

di mana  adalah delta Kronecker

Dengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar.

Sifat rekursif dari Polinomial Hermite adalah

Persamaan ini didapat dapat diturunkan menggunakan fungsi pembangkit.

Operator Hamiltonian, operator mekanika kuantum umum untuk energi, mencakup operator energi kinetik, , dan operator energi potensial,

Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik. Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut

Untuk suatu osilator sederhana  diberikan oleh,