Jabarkan L(X,Y)=0 dari Ruang singgung Zariski

adalah "versi linear" dari F(X, Y) yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, L bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus L bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva C di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika L merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva C adalah garis L itu sendiri, dengan menganggap L sebagai ruang afin. Jika P bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di C, lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik P adalah ruang afin dan P merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor.

Pada lapangan real, ruang L dapat dicari dengan menggunakan turunan parsial pertama F. Jika turunan parsial pertama F terhadap X dan Y di titik P bernilai 0, maka P disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik P disebut titik singular kurva C  apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.