Jelaskan Definisi aksiomatik dari Konstruksi bilangan real

Bilangan real didefinisikan secara aksiomatik sebagai unsur-unsur medan terurut lengkap. Definisi yang lebih presisinya adalah sebagai berikut: Model bilangan real terdiri dari himpunan , dua unsur 0 dan 1 dari , dua operasi biner  (penambahan) dan  (perkalian) di , dan relasi biner  di . Model tersebut memenuhi sifat-sifat berikut.

membentuk suatu medan. Dengan kata lain,

Untuk semua , , dan  di , berlaku asosiatif penambahan dan perkalian  dan .

Untuk semua  dan  di , berlaku komutatif penambahan dan perkalian  dan .

Untuk semua , , dan  di , berlaku distributif penambahan dan perkalian .

Untuk semua  di , berlaku identitas penambahan  dan identitas perkalian .

Untuk setiap  di , terdapat unsur  di , sehingga .

Untuk setiap  di , terdapat unsur  di , sehingga .

membentuk suatu himpunan terurut total. Dengan kata lain,

Untuk semua  di , . (refleksivitas)

Untuk semua  dan  di , jika  dan , maka . (antisimetri)

Untuk semua , , dan  di , jika  dan , maka . (transitif)

Untuk semua  dan  di ,  atau . (totalitas)

Operasi  dan  di medan  dikatakan kompatible (compatible) dengan urutan . Dengan kata lain,

Untuk semua , , dan  di , jika , maka .

Untuk semua , , dan  di , jika  dan , maka .

Urutan  dikatakan lengkap dalam artian berikut: setiap subhimpunan tak kosong dari batas atas  mempunyai batas atas terkecil. Dengan kata lain, jika  mempunyai batas atas, maka  setidaknya mempunyai batas atas , sehingga untuk setiap batas atas  dari , .