Tolong jelaskan mengenai Subgrup Lie dari Grup Lie

Subgrup Lie  dari grup Lie  adalah grup Lie himpunan bagian dari  dan peta inklusi dari  ke  yang merupakan injektif pencelupan dan homomorfisme grup. Menurut teorema Cartan, subgrup tertutup dari  mengetahui struktur halus unik yang menjadikannya sebuah subgrup tancapan Lie dari , yaitu sebuah subgrup Lie sedemikian rupa sehingga peta inklusi adalah penyematan mulus.

Banyak contoh subgrup non-tertutup; misalnya mengambil  sebagai torus berdimensi 2 atau lebih besar, dan  sebagai subgrup satu parameter dari lerengan irasional, yaitu salah satu dalam G. Maka grup Lie homomorfisme  dengan . penutupan dari  sebagai sub-torus .

peta eksponensial menghasilkan korespondensi satu-ke-satu antara subgrup Lie  terhubung dari grup Lie yang terhubung  dan subaljabar dari aljabar Lie . Biasanya, subgrup yang sesuai dengan subaljabar bukanlah subgrup tertutup. Tidak ada kriteria yang didasarkan pada struktur  untuk menentukan subaljabar, dimana yang sesuai dengan subgrup tertutup.