Jabarkan Asumsi Hausdorff dari Ruang vektor topologis

Beberapa penulis (misalnya, Walter Rudin) memerlukan topologi pada  menjadi T1; kemudian mengikuti bahwa ruang adalah Hausdorff, dan bahkan Tychonoff.

Sebuah ruang vektor topologis dikatakan terpisah jika itu adalah Hausdorff; yang terpenting, "dipisahkan" tidak berarti dapat dipisahkan.

Struktur aljabar topologi dan linier dapat diikat lebih dekat lagi dengan asumsi tambahan, yang paling umum tercantum di bawah.

Kategori ruang vektor topologis di atas bidang topologi tertentu  biasanya dilambangkan RVT or TVekt. Objek adalah ruang vektor topologis di atas  dan morfisme adalah peta linear- kontinu dari satu objek.

Homomorfisme RVT atau homomorfisme topologi adalah bersambung peta linear  antara ruang vektor topologis (RVT) sehingga peta induksi  adalah pemetaan terbuka ketika , yang merupakan rentang atau gambar dari , diberi topologi subruang diinduksi oleh  Y .

RVT embedding atau topologi monomorfisme adalah homomorfisme topologi injektif. Dengan kata lain, RVT-embedding adalah peta linear yang juga merupakan topologi embedding.

RVT isomorfisme atau isomorfisme dalam kategori RVT adalah sebuah bijektiva linier homeomorfisme. Sama halnya, ini adalah dugaan RVT embedding

Banyak properti TVS yang dipelajari, seperti konveksitas lokal, Metrizability, kelengkapan, dan normabilitas, tidak berubah di bawah isomorfisme RVT.

Kondisi yang diperlukan untuk topologi vektor

Kumpulan  subset dari ruang vektor disebut aditif if for every , there exists some  such that .

Semua kondisi di atas secara konsekuen merupakan kebutuhan suatu topologi untuk membentuk suatu topologi vektor.

Mendefinisikan topologi menggunakan lingkungan asalnya

Karena setiap topologi vektor adalah invarian terjemahan (yaitu untuk , peta  didefinisikan oleh  adalah homeomorfisme), untuk mendefinisikan topologi vektor, cukup mendefinisikan basis lingkungan (atau subbasis) untuk itu di asalnya.

Secara umum, himpunan semua himpunan bagian yang seimbang dan menyerap dari ruang vektor tidak memenuhi syarat dari dalil ini dan tidak membentuk basis ketetanggaan pada asal mula topologi vektor.