Jelaskan Deret tersebut adalah: dari Grup titik dalam tiga dimensi

Untuk ganjil n memiliki Z2n = Zn × Z2 dan Dih< sub>2n</sub> = Dihn × Z2.

Grup C (termasuk trivial C) dan D adalah kiral, yang lainnya kiral.

Istilah horizontal (h) dan vertikal (v), dan subskrip sesuai, mengacu pada bidang cermin tambahan, yang sejajar dengan sumbu rotasi (vertikal) atau tegak lurus terhadap sumbu rotasi (horizontal).

Grup aksial nontrivial paling sederhana setara dengan grup abstrak Z2:

Ci (dengan ekuivalen S) – inversi simetri

C2 – lipatan-2 simetri rotasi

Cs (dengan ekuivalen C dan C) – simetri refleksi, atau disebut juga  simetri bilateral.

Yang kedua adalah pertama dari grup uniaksial (grup siklik) Cn urutan n (juga berlaku dalam 2D), yang dihasilkan oleh satu putaran sudut 360°/n. Selain itu, apabila menambahkan bidang cermin yang tegak lurus terhadap sumbu, memberikan grup Cnh orde 2n, atau satu himpunan bidang cermin n yang berisi sumbu, memberikan grup Cnv, juga dari urutan 2n. Yang terakhir adalah grup simetri untuk piramida bersisi n beraturan. Objek tipikal dengan grup simetri Cn atau Dn adalah kitiran.

Jika bidang refleksi horizontal dan vertikal ditambahkan, perpotongannya memberikan sumbu rotasi 'n' hingga 180°, sehingga grup bukan uniaksial. Grup baru dari urutan 4n ini disebut Dnh. Subgrup rotasinya adalah grup dihedral Dn urutan 2n, yang masih memiliki sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus terhadap sumbu rotasi primer, tetapi bukan dari bidang cermin.

Catatan: dalam 2D, Dn menyertakan refleksi, yang juga dilihat sebagai inversi benda datar tanpa membedakan bagian depan dan belakang; namun dalam 3D, operasi tersebut dibedakan: Dn adalah "inversi", bukan refleksi.

Ada satu grup lagi dalam keluarga ini, yang disebut Dnd (atau Dnv), yang memiliki bidang cermin vertikal sebagai sumbu rotasi utama, namun alih-alih memiliki bidang cermin horizontal, ia memiliki isometri yang menggabungkan refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/n. Dnh adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" prisma dan juga untuk "gonal-n "biasa" bipiramid. Dnd adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" antiprisma, dan juga untuk "gonal-n "biasa" trapezohedron. Dn adalah grup simetri dari prisma yang diputar sebagian ("memutar").

Grup D2 dan D2h diperhatikan karena tidak ada sumbu rotasi khusus. Sebaliknya, ada tiga sumbu tegak lurus lipatan-2. D2 adalah subgrup dari semua simetri polihedral (lihat di bawah), dan D2h adalah subgrup dari grup polihedral Th dan O h. D2 pada homotetramer seperti Concanavalin A, dalam senyawa koordinasi tetrahedral dengan empat ligan kiral identik, atau dalam molekul seperti tetrakis(klorofluorometil)metana jika semua gugus klorofluorometil memiliki kiralitas yang sama. Unsur D2 berada dalam korespondensi 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh satuan kuaternion Lipschitz.

Grup Sn dihasilkan oleh kombinasi refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 360°/n. Untuk n ganjil ini sama dengan grup yang dihasilkan oleh keduanya secara terpisah, Cnh urutan 2n, dan oleh karena itu notasi Sn tidak diperlukan; namun, untuk n berbeda dari ganjil, dan urutan n. Seperti Dnd adalah sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.

Semua grup simetri dalam 7 deret tak hingga berbeda, kecuali untuk empat pasang yang sama besar berikut:

C1h dan C1v: grup urutan 2 dengan refleksi tunggal (Cs )

D1 dan C2: grup urutan 2 dengan satu putaran 180°

D1h dan C2v: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis pada bidang tersebut

D1d dan C2h: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis yang tegak lurus bidang tersebut.

S2 adalah grup urutan 2 dengan satu inversi (Ci ).

"Sama dengan" dimaksudkan sebagai sama hingga konjugasi dalam ruang. Ini lebih kuat dari "isomorfisme aljabar hingga". Misalnya, tiga grup berbeda dari urutan dua dalam pengertian pertama, tetapi hanya ada satu dalam pengertian kedua. Demikian pula, misalnya S2n isomorfik secara aljabar dengan Z2n.

Grup apabila dibangun sebagai berikut:

Cn. Dihasilkan oleh elemen juga disebut Cn, sesuai dengan rotasi dengan sudut 2π/n di sekitar sumbu. Unsur-unsurnya adalah E (identitas), Cn, Cn2, ..., C nn−1, sesuai dengan sudut rotasi 0, 2π/n, 4π/n, ..., 2(n − 1)π/n.

S2n. Dihasilkan oleh elemen C2nσh, dimana σh adalah refleksi dalam arah sumbu. Elemennya adalah elemen Cn dengan C2nσh, C2n3σh, ..., C2n2n−1σh.

Cnh. Generated by element Cn and reflection σh. Its elements are the elements of group Cn, with elements σh, Cnσh, Cn2σh, ..., Cnn−1σh added.

Cnv. Dihasilkan oleh elemen Cn dan refleksi v dalam arah pada bidang tegak lurus terhadap sumbu. Elemennya adalah elemen grup Cn, dengan elemen σv, Cnσv, Cn2σv, ..., Cnn−1σv.

Dn. Dihasilkan oleh elemen Cn dan rotasi 180° U = σhσv di sekitar arah pada bidang tegak lurus sumbu. Elemennya adalah elemen grup Cn, dengan elemen U, CnU, Cn2U, ..., Cnn − 1U.

Dnd. Dihasilkan oleh elemen C2nσh dan σv. Elemennya adalah elemen grup Cn dan elemen tambahan S2n dan Cnv , dengan elemen C2nσhσv, C2n3σhσv, ..., C2n2n − 1σhσv.

Dnh. Dihasilkan oleh elemen Cn, σh, and σv. Elemennya adalah elemen grup Cn dan elemen tambahan dari C elementsnh, Cnv, dan Dn.

Mengambil n ke ∞ menghasilkan grup dengan rotasi aksial kontinu:

Tujuh grup titik yang tersisa

Grup titik yang tersisa dikatakan sangat tinggi atau simetri polyhedral karena mereka memiliki lebih dari satu sumbu rotasi dengan orde lebih besar dari 2. Disini, Cn menunjukkan sumbu rotasi melalui 360°/n dan Sn menunjukkan sumbu rotasi takwajar melalui yang sama. Dalam tanda kurung adalah notasi orbifold, notasi Coxeter (diagram Coxeter), kelengkapan notasi Hermann–Mauguin, dan yang disingkat jika berbeda. Grup tersebut adalah:

Grup kontinu yang terkait dengan grup ini adalah:

∞∞, K, atau SO(3), semua kemungkinan rotasi.

∞∞m, Kh, atau O(3), semua kemungkinan rotasi dan refleksi.

Seperti disebutkan di atas untuk grup isometri tak hingga, setiap benda fisik yang memiliki simetri K juga akan memiliki simetri Kh.

Relasi antara notasi orbifold dan urutan

Urutan setiap grup adalah 2 dibagi dengan orbifold karakteristik Euler; yang terakhir adalah 2 dikurangi jumlah nilai fitur, ditetapkan sebagai berikut:

n tanpa atau sebelum * dihitung sebagai (n−1)/n

n setelah * dihitung sebagai (n−1)/(2n)

* dan × dihitung sebagai 1

Ini juga dapat diterapkan untuk grup bingkai dan grup dekorasi: bagi mereka, jumlah nilai fitur adalah 2, memberikan urutan tak hingga; lihat karakteristik Euler orbifold untuk grup bingkai