Jabarkan Definisi dari Grup kelas ideal

Jika R adalah domain integral, tentukan relasi ~ bukan nol ideal pecahan dari R ke I ~ J bukan nol a dan b dari R sehingga (a)I = (b)J. (Dimana notasi (a) berarti prinsip ideal dari R terdiri dari semua kelipatan a.) Dengan mudah ditunjukkan bahwa ini adalah relasi ekuivalen. Kelas kesetaraan disebut kelas ideal dari R.

Kelas ideal dapat dikalikan: jika [I] menunjukkan kelas ekivalen dari ideal I, maka perkalian [I][J] = [IJ] didefinisikan dengan komutatif. Ideal utama membentuk kelas ideal [R] yang berfungsi sebagai elemen identitas untuk perkalian. Jadi kelas [I] invers [J] jika dan hanya jika ada ideal J sehingga IJ adalah prinsip ideal. Secara umum, J tidak termasuk himpunan kelas ideal dari R mungkin hanya sebuah monoid.

Namun, jika R adalah gelanggang bilangan bulat aljabar dan bidang bilangan aljabar, atau domain Dedekind, perkalian didefinisikan di atas mengubah himpunan kelas ideal pecahan menjadi grup abelian, grup kelas ideal dari R. Sifat grup elemen invers dengan mudah dari fakta bahwa, dalam domain Dedekind, setiap ideal bukan-nol (kecuali R) adalah produk dari ideal prima.