Jabarkan Masalah representasi dari Bentuk kuadrat biner

Masalah tertua dalam teori bentuk kuadrat biner adalah masalah representasi: mendeskripsikan representasi dari bilangan tertentu  dengan bentuk kuadrat  f . "Mendeskripsikan" dapat berarti berbagai hal: memberikan algoritma untuk menghasilkan semua representasi, rumus tertutup untuk jumlah representasi, atau bahkan hanya menentukan apakah representasi ada.

Contoh di atas membahas masalah representasi untuk angka 3 dan 65 dengan bentuk  dan untuk angka 1 dengan bentuk . Bahwa 65 diwakili oleh  dalam enam belas cara berbeda, sedangkan 1 diwakili oleh  dalam banyak cara dan

3 tidak diwakili semua . Dalam kasus pertama, enam belas representasi dijelaskan secara eksplisit. Bahwa jumlah representasi dari suatu bilangan bulat oleh  adalah hingga. Jumlah fungsi kuadrat  memberikan jumlah representasi  n  oleh  sebagai fungsi dari  n . Rumus tertutup

dimana  adalah banyaknya pembagi dari  n  yang kongruen sampai 1 modulo 4 dan  adalah banyaknya pembagi dari  n  dari kongruen 3 dengan 4.

Ada beberapa invarian kelas yang relevan dengan masalah representasi:

Himpunan bilangan bulat yang diwakili oleh kelas. Jika bilangan bulat  n  diwakili oleh formulir di kelas, maka itu diwakili oleh semua bentuk lain di kelas.

Nilai absolut minimum yang diwakili oleh sebuah kelas. Ini adalah nilai nonnegatif terkecil dalam himpunan bilangan bulat yang diwakili oleh sebuah kelas.

Kelas-kelas kesesuaian modulo diskriminan kelas yang diwakili oleh kelas.

Nilai absolut minimum yang diwakili oleh sebuah kelas adalah nol untuk kelas merosot dan positif untuk kelas-kelas tertentu dan tak-hingga. Semua angka diwakili oleh bentuk tertentu  memiliki tanda yang sama: positif if  dan negatif if . Untuk alasan ini, yang pertama disebut bentuk definisi positif dan yang terakhir disebut definisi negatif.

Jumlah representasi bilangan bulat  n  dengan bentuk  f  terbatas jika  f  pasti dan tak terbatas jika  f  tidak pasti. Kami melihat contohnya pada contoh di atas:   positif dan  tidak terbatas.