Jabarkan atau , dari Matriks idempoten

yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat θ, matriks

bersifat idempoten. Namun,  pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

Satu-satunya matriks idempoten yang tidak singular adalah matriks identitas. Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan ; dengan mengasumsikan  memiliki peringkat penuh (tidak singular), dan mengalikan kedua ruas dengan , akan didapatkan bentuk  . Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas, memiliki jumlah baris (dan jumlah kolom) yang saling bebas linear lebih sedikit daripada total jumlah baris (dan kolom) pada matriks.

Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten, hasilnya juga berupa matriks idempoten, karena

Jika sebuah matriks  idempoten, maka untuk setiap bilangan bulat positif  akan berlaku . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika: Jelas hal ini berlaku untuk , karena . Anggap bahwa . Selanjutnya  dapat dituliskan sebagai , karena  idempoten. Berdasarkan prinsip induksi, pernyataan terbukti.