Tolong jelaskan mengenai Relasi dengan grup dari Grupoid

Jika sebuah grupoid memiliki satu objek, maka himpunan morfismenya membentuk sebuah grup. Menggunakan definisi aljabar, grupoid seperti itu secara harfiah hanyalah sebuah grup. Banyak konsep teori grup digeneralisasi menjadi grupoids, dengan gagasan dari functor menggantikan yang dari grup homomofisme.

Setiap grupoid koneksi yaitu, dimana dua objek terhubung oleh setidaknya satu morfisme, isomorfik ke aksi grupoid (seperti yang didefinisikan di atas) . Dengan keterhubungan, hanya akan ada satu orbit di bawah aksi. Jika grupoid tidak terhubung, maka isomorfik gabungan grupoids terputus dari tipe di atas (dengan grup yang berbeda.  dan himpunan  untuk setiap komponen yang terhubung).

Perhatikan bahwa isomorfisme yang dijelaskan di atas tidak unik, dan tidak ada pilihan alami. Memilih isomorfisme semacam itu untuk groupoid yang terhubung pada dasarnya sama dengan memilih satu objek , grup isomorfisme  dari  untuk , dan untuk . Selain , morfisme dalam  dari  untuk .

Dalam istilah teori-kategori, setiap komponen yang terhubung dari groupoid adalah ekuivalen (tetapi tidak isomorfik) dengan grupoid dengan satu objek, yaitu satu grup. Jadi grupoid dengan rkuivalen multi himpunan grup yang tidak terkait. Dengan kata lain, untuk ekuivalen dan bukan isomorfisme, menentukan himpunan , hanya grup  Sebagai contoh,

Grupoid fundamental dari  dengan himpunan ekuivalen grup fundamental dari setiap komponen koneksi ke jalur , tetapi isomorfisme membutuhkan penetapan himpunan titik di setiap komponen;

Himpunan  dengan relasi ekuivalen  (sebagai grupoid) dengan satu salinan dari grup trivial untuk setiap kelas kesetaraansi, tetapi isomorfisma membutuhkan penspesifikasian apa setiap kelas ekivalen:

Himpunan  dengan aksi grup ekuivalen (sebagai grupoid) dengan satu salinan  untuk setiap orbit aksi, tetapi isomorfisme membutuhkan penentuan himpunan setiap orbit.

Grupoid menjadi himpunan grup saja kehilangan beberapa informasi, bahkan dari sudut pandang teori-kategori, karena itu tidak wajar. Jadi, ketika grupoid dari segi struktur lain, contoh di atas, akan membantu untuk mempertahankan grupoid penuh. Jika, dengan cara untuk melihat masing-masing  dalam hal satu grup, dan pilihan ini bisa berubah. Dalam contoh dari topologi, Anda harus membuat pilihan jalur yang koheren (atau kelas ekivalensi jalur) dari setiap titik  ke setiap poin  di komponen yang terhubung ke jalur yang sama.

Sebagai contoh yang lebih mencerahkan, klasifikasi grupoids dengan satu endomorfisme tidak direduksi menjadi pertimbangan teoritis grup murni. Hal ini dengan fakta bahwa klasifikasi ruang vektor dengan satu endomorfisme bersifat nontrivial.

Morfisme grupoids dalam jenis grup: misalnya, fibrasi, kovering morfisme, morfisme universal, dan morfisme hasil bagi . Jadi subgrup  dari sebuah grup  menghasilkan aksi  di kohimpunan dari  di  dan karenanya morfisme yang menutupi  dari,  untuk , dimana  adalah grupoid dengan grup verteks isomorfik . Dengan cara ini, presentasi grup  dapat "diangkat" ke presentasi grupoid , dan ini adalah cara yang berguna untuk memperoleh informasi tentang presentasi subgrup  . Untuk informasi lebih lanjut, lihat buku oleh Higgins dan oleh Brown dalam Referensi.