Jabarkan Contoh dari Bentuk kuadrat biner

Diophantus mempertimbangkan apakah, untuk bilangan bulat ganjil , adalah mungkin untuk menemukan bilangan bulat  dan  yang . Saat , adalah

jadi relasi  yang berhasil. Kita mendapatkan lebih banyak pasangan yang bekerja dengan mengganti nilai  dan  atau dengan mengubah salah satu atau keduanya dari  dan . Secara keseluruhan, ada enam belas pasangan solusi yang berbeda. Sebaliknya, jika , persamaannya

tidak memiliki solusi bilangan bulat. Untuk mengetahui alasannya, kami mencatat bahwa  kecuali  atau . Jadi,  akan melebihi 3 kecuali  adalah salah satu dari sembilan pasangan dengan  dan  masing-masing sama dengan  atau 1. Kita dapat memeriksa sembilan relasi ini secara langsung untuk melihat yang tidak , jadi persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Argumen serupa menunjukkan bahwa untuk setiap , persamaan  hanya dapat memiliki sejumlah solusi terbatas maka  akan melebihi  kecuali nilai absolut  dan  keduanya kurang dari . Hanya ada sejumlah pasangan terbatas yang memenuhi batasan ini.

Masalah kuno lain yang melibatkan bentuk kuadrat meminta kita untuk menyelesaikannya Persamaan Pell. Misalnya, kita dapat mencari bilangan bulat  x  dan  y  sehingga .  Mengubah tanda  x  dan  y  dalam suatu solusi memberikan solusi lain, jadi cukup mencari solusi saja dalam bilangan bulat positif. Salah satu solusinya adalah , Artinya, persamaan . Jika  adalah solusi untuk , maka  adalah pasangan serupa lainnya. Misalnya, dari pasangan , adalah