Kuantifer (logika) itu apa sih?

Dalam bahasa alami, kuantifer mengubah kalimat tentang sesuatu yang memiliki beberapa properti menjadi kalimat tentang jumlah (kuantitas) benda sifat. Contoh bilangan dalam bahasa Inggris adalah "all", "some", "many", "few", "most", dan "no"; Contoh kalimat terkuantifikasi adalah "semua orang fana", "beberapa orang fana", dan "tidak ada orang yang fana", adalah benar, dan salah.

Dalam logika matematika, khususnya dalam logika orde pertama, kuantifer mencapai tugas serupa, beroperasi pada rumus matematika dari kalimat bahasa Inggris.

Lebih tepatnya, pembilang menentukan jumlah spesimen dalam domain wacana yang menggunakan rumus terbuka. Dua bilangan formal yang umum adalah "kuantifikasi universal" (pembilang universal, secara tradisional dilambangkan dengan "∀" ), dan "  eksistensial kuantifikasi" (pembilang eksistensial, "∃"). Misalnya, dalam aritmetika, bilangan memungkinkan bahwa bilangan asli berlangsung, dengan menulis bahwa "untuk bilangan asli n, bilangan asli m yang terbesar dari n "; ditulis sebagai formal sebagai "∀ n ∈ℕ. ∃ m ∈ℕ. m > n ". Contoh di atas dapat diformalkan sebagai "∀ p ∈ P. M ( p )", "∃ p ∈ P. M ( p )", dan " ¬ ∃ p ∈ P. M ( p )", ketika P menunjukkan himpunan, dan m ( p ) menunjukkan "p adalah fana".

Rumus dimulai dengan kuantifer disebut rumus kuantifikasi. Kuantifer formal membutuhkan variabel, yang dikatakan terkait, dan subrumus menentukan sifat variabel.

Pengukur formal digeneralisasikan dengan karya Mostowski dan Lindström.

Relasi dengan konjungsi dan disjungsi logis

Untuk domain hingga wacana D = {a 1, ... a n }, pembilang universal ekuivalen dengan konjungsi logis dari proposisi dengan istilah tunggal a i (dengan bentuk Pa i untuk predikat monadik).

Pengukur eksistensial ekuivalen dengan disjungsi logis dari proposisi digunakan struktur yang sama seperti sebelumnya. Untuk wacana yang tak hingga, persamaannya serupa.