Jabarkan Relasi dengan aljabar Boolean dari Gelanggang Boolean

Karena operasi sambungan ∨ dalam aljabar Boolean ditulis secara aditif, maka dalam konteks ini untuk menyatakan penambahan gelanggang dengan ⊕, sebuah simbol yang sering digunakan untuk menyatakan eksklusif atau.

Diberikan gelanggang Boolean R, untuk x dan y di R maka didefinisikan

x ∧ y = xy,

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy,

¬x = 1 ⊕ x.

Operasi ini kemudian memenuhi semua aksioma untuk pertemuan, sambungan, dan melengkapi dalam aljabar Boolean. Jadi setiap gelanggang Boolean sebagai aljabar Boolean. Demikian pula, setiap aljabar Boolean sebagai gelanggang Boolean sebagai berikut:

xy = x ∧ y,

x ⊕ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y).

Jika gelanggang Boolean ditranslasikan dalam aljabar Boolean dengan cara ini, dan kemudian aljabar Boolean ditranslasikan dalam gelanggang, hasilnya adalah gelanggang asli. Hasil analogi dimulai dengan aljabar Boolean.

Peta antara dua gelanggang Boolean adalah [gelanggang [homomorfisme]] jika dan hanya jika adalah homomorfisme dari aljabar Boolean yang sesuai. Selanjutnya, sebuah himpunan bagian dari gelanggang Boolean adalah gelanggang ideal (ideal gelanggang prima, gelanggang ideal maksimal) jika dan hanya jika adalah urutan ideal (urutan ideal prima, urutan ideal maksimal) dari aljabar Boolean. Gelanggang hasil bagi dari modulo gelanggang ideal Boolean sesuai dengan aljabar faktor dari modulo aljabar Boolean urutan ideal yang sesuai.