Jabarkan Wakilan dari Grup Lie

Salah satu aspek penting dari studi grup Lie adalah wakilan, yaitu cara bertindak (secara linear) pada ruang vektor. Dalam fisika, grup Lie sering kali menyandikan kesimetrian sistem fisik. Cara menggunakan simetri ini untuk membantu menganalisis sistem sering kali melalui teori wakilan. Pertimbangkan, misalnya, persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu dalam mekanika kuantum, . Asumsikan sistem yang dimaksud grup rotasi SO(3) sebagai simetri, artinya operasi Hamiltonian  komutatif dengan aksi SO(3) pada fungsi gelombang . Salah satu contoh penting dari sistem hal itu adalah atom hidrogen. Asumsi tersebut tidak berarti bahwa solusi  adalah fungsi invarian secara rotasi. Sebaliknya, hal itu berarti bahwa ruang dari solusi  adalah invarian dalam rotasi (untuk setiap nilai tetap ). Ruang ini, merupakan wakilan dari SO(3). Wakilan ini telah diklasifikasikan dan mengarah ke penyederhanaan penyederhanaan masalah, pada dasarnya mengubah persamaan diferensial parsial tiga dimensi menjadi persamaan diferensial biasa satu dimensi.

Kasus grup Lie kompak terhubung K (termasuk kasus SO(3) yang baru saja disebutkan) sangat mudah ditangani. Dalam hal ini, setiap wakilan berdimensi-hingga dari K terurai sebagai jumlah langsung dari wakilan yang tidak direduksi. Wakilan yang tidak direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan oleh Hermann Weyl. Klasifikasi adalah dalam istilah "bobot tertinggi" dari representasi. Klasifikasi ini terkait erat dengan klasifikasi wakilan dari aljabar Lie semisederhana.

Dengan mempelajari wakilan satuan (secara umum berdimensi-tak-hingga) dari suatu grup Lie yang berubah-ubah (tidak kompak). Misalnya, untuk memberikan deskripsi eksplisit yang relatif sederhana tentang wakilan dari grup SL(2,R) dan wakilan dari grup Poincaré.