Jabarkan Dimensi dari Gelanggang komutatif

Dimensi Krull (atau dimensi) redup R gelanggang R mengukur "ukuran" gelanggang dengan menghitung elemen independen dalam R. Dimensi aljabar di atas bidang K dapat diukur dengan empat properti:

Dimensi adalah sifat lokal: redup R = supp ∊ Spec R redup Rp.

Dimensi tidak bergantung pada elemen nilpoten: jika I ⊆ R adalah nilpoten maka redup R = dim R / I.

Dimensi tetap konstan di bawah ekstensi hingga: jika S adalah aljabar-R yang dibuat tak hingga sebagai modul-R, maka redup S = redup R.

Dimensi dikalibrasi dengan redup k[X1, ..., Xn] = n. Aksioma ini dimotivasi oleh tentang gelanggang polinomial dalam variabel n sebagai analog aljabar dari ruang dimensi-n.

Dimensi ditentukan, untuk setiap gelanggang R, sebagai supremum panjang n kaidah ideal utama

p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn.

Misalnya, sebuah bidang berdimensi nol, karena satu-satunya ideal prima adalah ideal nol. Bilangan bulat adalah satu dimensi, karena kaidah berbentuk (0) ⊊ (p), dengan p adalah bilangan prima. Untuk gelanggang non-Noetherian, dan gelanggang non-lokal, dimensinya mungkin tidak hingga, tetapi gelanggang lokal Noetherian memiliki dimensi hingga. Di antara empat aksioma di atas, dua yang pertama adalah konsekuensi dasar dari definisi, sedangkan dua sisanya bergantung pada fakta penting dalam aljabar komutatif, teorema naik dan teorema ideal utama Krull.