Jabarkan adalah bilangan prima. dari Teori model

Satu himpunan kalimat  T  disebut (urutan pertama) teori. Suatu teori memiliki model , yaitu sebuah struktur (dari tanda tangan yang sesuai) yang memenuhi semua kalimat dalam himpunan  T . Konsistensi dari suatu teori biasanya didefinisikan secara sintaksis, tetapi dalam logika orde pertama oleh teorema kesempurnaan tidak perlu membedakan antara kepuasan. Oleh karena itu, ahli teori model sering menggunakan "konsisten" sebagai sinonim untuk "statifibel".

Aksiomasibilitasi, eliminasi bilangan, dan kelengkapan model

Langkah pertama, trivial untuk menerapkan metode teori model ke kelas objek matematika seperti grup, atau pohon dalam pengertian teori grafik, adalah tanda tangan σ dan merepresentasikan objek sebagai struktur σ. Langkah selanjutnya adalah untuk menunjukkan bahwa kelas tersebut adalah kelas dasar, yaitu dapat diaksiomati dalam logika orde pertama (yaitu ada teori  T  sehingga struktur σ ada di kelas jika dan hanya jika T). Misalnya. langkah untuk pohon, karena keterhubungan tidak dapat diekspresikan dalam logika orde pertama. Aksiomatibilitasi memastikan bahwa teori model dapat berbicara tentang objek tepat. Penghapusan kuantifer dapat dilihat sebagai kondisi yang memastikan bahwa teori model tidak terlalu banyak tentang objek.

Sebuah teori  T  memiliki eliminasi pembilang jika setiap rumus orde pertama φ(x1, ..., xn) di atas tanda tangannya adalah modulo  T  setara dengan rumus orde pertama ψ(x1, ..., xn) tanpa bilangan, yaitu  berlaku pada model  T . Misalnya, teori bidang tertutup secara aljabar di tanda tangan σring = (×,+,−,0,1) memiliki eliminasi pembilang karena setiap rumus setara dengan kombinasi Boolean persamaan antar polinomial.

Substruktur dari struktur σ adalah himpunan bagian dari domainnya, ditutup di bawah semua fungsi dalam tanda tangannya σ, yang dianggap sebagai struktur σ dengan membatasi semua fungsi dan relasi di σ ke subset. Sebuah embedding dari struktur σ dengan  ke dalam struktur σ dengan  adalah peta f: A → B antara domain yang dapat ditulis sebagai isomorfisme dari  dengan substruktur . Setiap embedding adalah homomorfisme injektif, tetapi kebalikannya hanya berlaku jika tanda tangan tidak berisi simbol relasi.

Jika suatu teori tidak memiliki eliminasi pembilang, seseorang dapat menambahkan simbol tambahan ke tanda tangannya sehingga teori tersebut melakukannya. Teori model awal menghabiskan banyak upaya untuk membuktikan aksiomatizabilitas dan hasil eliminasi pembilang untuk teori tertentu, terutama dalam aljabar. Tetapi eliminasi pembilang, properti yang lebih lemah sudah cukup: