Jelaskan Konstruksi dari Fungsi Weierstrass

Dalam makalah asli Weierstrass, fungsi ini didefinisikan sebagai sebuah deret pangkat:

dengan ,   adalah bilangan ganjil positif, dan

Nilai minimum  sehingga ada  yang memenuhi syarat tersebut adalah . Definisi ini, beserta bukti bahwa fungsi tidak terdiferensialkan pada sembarang selang, disampaikan oleh Weierstrass dalam sebuah makalah yang disajikan untuk Akademi Sains Prusia pada 18 Juli 1872.

Walaupun tidak terdiferensialkan, fungsi ini kontinu. Suku-suku yang mendefinisikan jumlah tak-hingga terbatas oleh , yang memiliki nilai yang hingga untuk  . Jenis konvergensi dari jumlah suku-suku ini adalah seragam lewat uji-M Weierstrass dengan . Karena setiap jumlah parsial bersifat kontinu, dengan teorema limit seragam dapat ditunjukkan  kontinu. Terlebih lagi, karena setiap jumlah parsial kontinu seragam, fungsi  juga kontinu seragam.

Dapat dibayangkan bahwa sebuah fungsi kontinu harus memiliki turunan, atau bahwa himpunan titik yang tak terdiferensialkan harus terhitung (baik hingga atau tak hingga). Berdasarkan Weierstrass di makalahnya, banyak matematikawan di masa lalu, termasuk Gauss, sering mengasumsikan intuisi tersebut benar. Hal tersebut mungkin diakibatkan karena sulitnya menggambar atau membayangkan sebuah fungsi kontinu yang himpunan titik tak terdiferensialkannya tak terhitung.