Jelaskan adalah sebuah himpunan hingga. dari Himpunan hingga

(Richard Dedekind) Setiap fungsi satu-ke-satu dari  ke sendirinya merupakan pada.

Setiap fungsi surjektif dari  pada sendirinya merupakan satu-ke-satu.

adalah kosong setiap urutan parsial  berisi sebuah elemen maksimal.

Georg Cantor mengajukan teori himpunannya untuk menyediakan sebuah perawatan himpunan takhingga matematis. Dengan demikian perbedaan antara hingga dan takhingga terletak di inti teori himpunan. Landasan-landasan tertentu, finitis yang sempurna, menolak keberadaan himpunan takhingga dan demikian menganjurkan sebuah matematika berdasarkan semata-mata pada himpunan hingga. Aliran utama matematikawan menganggap finitisme yang sempuna terlalu mengikat, tetapi mengakui konsistensi relatifnya, semesta himpunan hingga secara turun-temurun mendirikan sebuah model teori himpunan Zermelo–Fraenkel dengan aksioma takhingga digantikan oleh negasinya.

Bahkan untuk para matematikawan itu yang mencakup himpunan takhingga, dalam konteks yang penting, perbedaan formal antara hingga dan takhingga dapat tinggal sebuah materi yang sulit. Akar kata kesulitannya dari teorema ketaklengkapan Gődel. Salah satunya dapat menerjemahkan teori himpunan hingga secara turun-temurun dalam aritmetika Peano (dan tentu juga sebaliknya), jadi ketaklengkapan dari teori aritmetika Peano menyiratkannya dari teori himpunan hingga secara turun-temurun. Khususnya, terdapat kebanyakan disebut model non-standar dari kedua teori. Tampak seperti sebuah paradoks adalah bahwa terdapat model standar dari teori himpunan hingga secara turun-temurun yang berisi himpunan takhingga, tetapi himpunan-himpunan takhingga ini dilihat terhingga dari dalam model. (INi dapat terjadi ketika model kekurangan himpunan-himpunan atau fungsi-fungsi yang diperlukan untuk menyaksikan ketidakterhinggaan himpunan-himpunan ini.) Pada akun dari teorema ketaklengkapan, tidak ada predikat orde-pertama, maupun bahkan setiap skema rekursif predikat orde-pertama, dapat mengkarateristik bagian standar semua seperti model. Jadi, setidaknya dari sudut pandang logika orde-pertama, salah satunya dapat berharap untuk menjelaskan keterhinggaan sekitar.

Lebih umumnya, gagasan informal seperti himpunan, dan khususnya himpunan hingga, dapat menerima interpretasi disepanjang sebuah kisaran sistem formal beragam dalam aksiomatiknya dan aparat yang logis. Teori himpunan aksiomatik yang paling terkenal termasuk teori himpunan Zermelo–Fraenkel (ZF), teori himpunan Zermelo–Fraenkel dengan Aksioma Pemilihan, Teori himpunan von Neumann–Bernays–Gödel (NBG), teori himpunan takcukup beralasan, teori tipe Bertrand Russell dan semua teori-teori model beragamnya. Salah satunya dapat memilih diantara logika orde-pertama klasik, berbagai logika orde-tertinggi dan logika intuitionistik.

Sebuah pengikut formalisme melihat arti himpunan yang beragam dari sistem ke sistem. Beberapa jenis Platonist dapat memandang sistem formal khusus ketika mengaproksimasikan sebuah akar kenyataan.