Jabarkan Spektrum gelanggang komutatif dari Gelanggang komutatif

Seperti disebutkan di atas, Z adalah domain faktorisasi tunggal. Tentu tidak benar untuk gelanggang lebih umum, seperti yang disadari oleh aljabar-wan pada abad ke-19. Misalnya, dalam

ada dua cara yang sangat berbeda untuk menulis 6 sebagai produk:

Ideal utama, sebagai lawan dari elemen utama, sebagai cara untuk menghindari masalah ini. Ideal utama adalah ideal yang tepat (yaitu, secara ketat terkandung dalam R) p sedemikian rupa, setiap produk ab dari dua elemen gelanggang a dan b dengan p, setidaknya satu dari dua elemen sudah tersedia dalam p. Kesimpulan yang berlawanan berlaku untuk ideal, menurut definisi. Jadi, jika sebuah ideal prima adalah prinsipal, ia secara ekuivalen dihasilkan dari elemen prima. Namun, dalam gelanggang , ideal utama tidak menjadi prinsipal. Membatasi penggunaan elemen prima dalam teori gelanggang. Landasan teori bilangan aljabar adalah, bagaimanapun, fakta bahwa dalam gelanggang Dedekind (yang mencakup  dan lebih umum gelanggang bilangan bulat dalam bidang bilangan) setiap ideal (seperti yang dihasilkan oleh 6) terurai secara unik sebagai produk dari ideal prima.