Jelaskan Eigenpaces dari operator  dirumuskan dari Ruang Hilbert

Tidak seperti matriks berhingga, tidak setiap elemen spektrum  harus berupa nilai eigen: operator linear  mungkin hanya kekurangan invers karena tidak surjective. Elemen spektrum operator dalam pengertian umum dikenal sebagai  nilai spektral . Karena nilai spektral tidak harus berupa nilai eigen, dekomposisi spektral sering kali lebih halus daripada dalam dimensi yang terbatas.

Namun, teorema spektral dari operator adjoint sendiri  mengambil bentuk yang sangat sederhana jika, sebagai tambahan,  diasumsikan jadilah operator kompak. teorema spektral untuk operator adjoint kompak menyatakan:

Operator adjoint mandiri yang ringkas  hanya memiliki banyak nilai spektral yang terhitung (atau tak terbatas). Spektrum  tidak memiliki titik batas dalam bidang kompleks kecuali mungkin nol. Eigenpaces dari  menguraikan  menjadi jumlah langsung ortogonal:

jika  menunjukkan proyeksi ortogonal ke ruang eigen , then

di mana jumlah tersebut menyatu sehubungan dengan norma di .

Teorema ini memainkan peran fundamental dalam teori persamaan integral, karena banyak operator integral kompak, khususnya yang muncul dari operator Hilbert–Schmidt.

Teorema spektral umum untuk operator self-adjoint melibatkan semacam operator bernilai integral Riemann–Stieltjes, daripada penjumlahan tak terbatas.  Keluarga spektral  yang terkait dengan  terkait dengan setiap bilangan riil λ sebuah operator , yang merupakan proyeksi ke ruang null operator , dengan bagian positif dari operator adjoint ditentukan oleh

Operator  Apakah monoton meningkat relatif terhadap urutan parsial yang ditentukan pada operator adjoint sendiri; nilai eigen sama persis dengan diskontinuitas lompatan. Seseorang memiliki teorema spektral, yang menegaskan

Integral dipahami sebagai integral Riemann–Stieltjes, konvergen sehubungan dengan norma di . Secara khusus, seseorang memiliki representasi integral nilai skalar biasa

Dekomposisi spektral yang agak mirip berlaku untuk operator normal, meskipun karena spektrum sekarang mungkin berisi bilangan kompleks non-nyata, ukuran Stieltjes yang dihargai operator  sebagai gantinya harus diganti dengan resolusi identitas.

Aplikasi utama dari metode spektral adalah teorema pemetaan spektral, yang memungkinkan seseorang untuk diterapkan ke operator adjoint mandiri  fungsi kompleks berkelanjutan apa pun  yang ditentukan pada spektrum {{math |  T ' '}} dengan membentuk integral

Kalkulus fungsional berkelanjutan yang dihasilkan memiliki aplikasi khususnya untuk operator pseudodiferensial.

Teori spektral operator self-adjoint  tidak terbatas  hanya sedikit lebih sulit daripada operator terikat. Spektrum operator tak terbatas didefinisikan dengan cara yang persis sama:  adalah nilai spektral jika operator penyelesai

gagal menjadi operator berkelanjutan yang terdefinisi dengan baik. Penyesuaian diri  masih menjamin bahwa spektrumnya riil. Dengan demikian, gagasan penting untuk bekerja dengan operator tak terbatas adalah untuk melihat resolvent  dimana  tidak nyata. Ini adalah operator normal  terbatas , yang mengakui representasi spektral yang kemudian dapat ditransfer ke representasi spektral dari . Strategi serupa digunakan, misalnya, untuk mempelajari spektrum operator Laplace: daripada menangani operator secara langsung, seseorang malah terlihat sebagai resolvent terkait.

Versi tepat dari teorema spektral dalam kasus ini adalah:

Diketahui operator adjoint mandiri yang didefinisikan secara padat  pada spasi Hilbert , terdapat kesamaan resolusi identitas  pada himpunan Borel

pada  and . Ukuran spektral  terkonsentrasi pada spektrum .

Ada juga versi teorema spektral yang berlaku untuk operator normal tak terbatas.