Tolong jelaskan mengenai Batas dari sebuah batas dari Batas (topologi)

Untuk suatu himpunan , , dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas  tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika  baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup,  untuk suatu himpunan . Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)