Jabarkan Struktur topologi dari Ruang vektor bernorma

Jika ( V , ‖·‖) adalah ruang vektor bernorma, norma ‖·‖ menginduksi a metrik (pengertian  jarak ) dan karena itu topologi pada  V . Metrik ini didefinisikan dengan cara alami: jarak antara dua vektor  'u'  dan  'v'  diberikan oleh ‖ 'u'  -  'v' ‖. Topologi ini justru merupakan topologi terlemah yang membuat ‖·‖ kontinu dan yang kompatibel dengan struktur linier  V  dalam pengertian berikut:

Penambahan vektor +:  V  ×  V  →  V  secara bersama-sama kontinu sehubungan dengan topologi ini. Ini mengikuti langsung dari pertidaksamaan segitiga.

Perkalian skalar ·: K × V → V, dimana K adalah bidang skalar yang mendasari  V , terus menerus bersama. Ini mengikuti dari segitiga ketidaksamaan dan homogenitas norma.

Demikian pula, untuk ruang vektor semi-normed, kita dapat mendefinisikan jarak antara dua vektor u dan v sebagai ‖u − v‖. Ini mengubah ruang seminormed menjadi ruang pseudometrik (perhatikan ini lebih lemah dari metrik) dan memungkinkan definisi pengertian seperti kontinuitas.

Untuk membuatnya lebih abstrak, setiap ruang vektor semi-norma adalah ruang vektor topologis dan dengan demikian membawa struktur topologi yang diinduksi oleh semi-norma.

Yang menarik adalah lengkap ruang bernorma yang disebut Ruang Banach. Setiap ruang vektor bernorma  V  berada sebagai subruang padat di dalam ruang Banach; Ruang Banach ini pada dasarnya didefinisikan secara unik oleh  V  dan disebut  penyelesaian  dari  V .

Dua norma pada ruang vektor yang sama disebut  ekivalen  jika keduanya mendefinisikan topologi yang sama. Pada ruang vektor berdimensi-hingga, semua norma adalah setara tetapi ini tidak berlaku untuk ruang vektor berdimensi tak hingga.

Semua norma pada ruang vektor berdimensi-hingga adalah setara dari sudut pandang topologi karena mereka menginduksi topologi yang sama (meskipun ruang metrik yang dihasilkan tidak harus sama). Dan karena setiap ruang Euklides lengkap, kita dapat menyimpulkan bahwa semua ruang vektor berdimensi hingga adalah ruang Banach. Ruang vektor bernorma  V  adalah kompak lokal jika dan hanya jika bola satuan B = {x : ‖x‖ ≤ 1} adalah kompak, yang terjadi jika dan hanya jika  V  berdimensi hingga; ini adalah konsekuensi dari lemma Riesz.  (Faktanya, hasil yang lebih umum adalah benar: ruang vektor topologis kompak secara lokal jika dan hanya jika berdimensi berhingga. Intinya di sini adalah kita tidak mengasumsikan topologi berasal dari suatu norma.)

Topologi ruang vektor seminormed memiliki banyak properti bagus. Diberikan sistem lingkungan  sekitar 0 kita dapat membangun semua sistem lingkungan lainnya sebagai