Tolong jelaskan mengenai H adalah aljabar Boolean; dari Aljabar Heyting

setiap x dalam H adalah reguler;

setiap x dalam H adalah kelengkapan.

Dalam hal ini, elemen  adalah sama dengan

Elemen reguler (resp. kelengkapan) dari setiap aljabar Heyting H membentuk aljabar Boolean Hreg (resp. Hkomp ), dimana operasi ∧, ¬ dan →, serta konstanta 0 dan 1, bertepatan dengan "H". Dalam kasus Hcomp dengan operasi ∨, maka Hcomp adalah subaljabar dari H. Namun secara umum, Hreg bukan sebagai subaljabar dari H, karena operasi gabungan ∨reg mungkin berbeda dari ∨. Untuk  maka kita menggunakan sebagai  Lihat di bawah untuk kondisi perlu dan cukup agar ∨reg bertepatan dengan ∨.

Hukum De Morgan dalam aljabar Heyting

Salah satu dari dua hukum De Morgan terpenuhi dalam setiap aljabar Heyting, yaitu

Namun, hukum De Morgan lainnya tidak berlaku. Sebagai gantinya, kita memiliki hukum de Morgan lemah:

Pernyataan berikut ekuivalen untuk semua aljabar Heyting H:

H memenuhi kedua hukum De Morgan,

Kondisi 2 adalah hukum De Morgan lainnya. Kondisi 6 menyatakan bahwa operasi gabungan ∨reg pada aljabar Boolean Hreg elemen reguler H bertepatan dengan operasi ∨ dari H. Kondisi 7 menyatakan bahwa setiap elemen kelengkapan reguler, yaitu Hreg = Hkomp.

Dengan membuktikan ekuivalen, jelas metaimplikasi   dan  adalah trivial. Selanjutnya,  dan  hasil sederhana dari hukum De Morgan pertama dan definisi elemen reguler. Dengan menunjukkan bahwa  dengan mengambil ¬x dan ¬¬x menggantikan x dan y di 6 dan menggunakan identitas  Perhatikan bahwa  mengikuti dari hukum De Morgan pertama, dan  hasil dari fakta bahwa operasi gabungan ∨ pada subaljabar Hcomp hanyalah pembatas ∨ ke Hkomp, dengan mempertimbangkan karakterisasi yang telah kami berikan untuk kondisi 6 dan 7. Metaimplikasi  adalah konsekuensi trivial dari hukum De Morgan lemah, dengan ¬x dan ¬y menggantikan x dan y di 5.

Aljabar Heyting yang memenuhi sifat- di atas terkait dengan logika De Morgan dengan cara yang sama seperti aljabar Heyting pada umumnya terkait dengan logika intuisionis.