Jelaskan Konsep yang berkaitan dari Himpunan terurut parsial

Ada beberapa pengertian tentang elemen "terbesar" dan "terkecil" dalam sebuah poset  P , terutama:

Elemen terbesar dan elemen terkecil: Sebuah elemen  g  dalam  P  adalah elemen terbesar jika untuk setiap elemen  a  dalam  P , a ≤ g. Sebuah elemen  m  dalam  P  adalah elemen terkecil jika untuk setiap elemen  a  dalam  P ,  a  ≥  m . Poset hanya dapat memiliki satu elemen terbesar atau terkecil.

Elemen maksimal dan elemen minimal: Elemen  g  di P adalah elemen maksimal jika tidak ada elemen  a  di  P  sehingga  a >  g . Demikian pula, elemen  m  di  P  adalah elemen minimal jika tidak ada elemen  a  di P sehingga  a  <  m . Jika poset memiliki elemen terbesar, itu harus menjadi elemen maksimal yang unik, tetapi jika tidak, bisa ada lebih dari satu elemen maksimal, dan juga untuk elemen terkecil dan elemen minimal.

Batas atas dan bawah: Untuk subset  A  dari  P , elemen  x  dalam  P  adalah batas atas dari  A  if  a  ≤ x, untuk setiap elemen a pada A. Secara khusus,  x  tidak perlu berada di  A  untuk menjadi batas atas dari  A . Demikian pula, elemen  x  dalam  P  adalah batas bawah dari  A  jika a ≥ x, untuk setiap elemen  a  di  A . Unsur terbesar dari  P  adalah batas atas  P , dan unsur terkecil adalah batas bawah  P .

Misalnya, perhatikan bilangan bulat positif, yang diurutkan berdasarkan dapat dibagi: 1 adalah elemen terkecil, karena membagi semua elemen lainnya; di sisi lain poset ini tidak memiliki elemen terbesar (meskipun jika seseorang akan menyertakan 0 dalam poset, yang merupakan kelipatan dari bilangan bulat, itu akan menjadi elemen terbesar; lihat gambar). Kumpulan yang diurutkan sebagian ini bahkan tidak memiliki elemen maksimal, karena ada  g  yang terbagi misalnya 2g, yang berbeda dari itu, lagu  tidak maksimal. Jika angka 1 dikecualikan, sambil menjaga agar dapat dibagi sebagai urutan pada elemen yang lebih besar dari 1, maka poset yang dihasilkan tidak memiliki elemen terkecil, tetapi bilangan prima adalah elemen minimal untuk itu. Dalam poset ini, 60 adalah batas atas (meskipun bukan batas atas terkecil) dari subset {2, 3, 5, 10}, yang tidak memiliki batas bawah (karena 1 tidak ada di poset); di sisi lain 2 adalah batas bawah dari himpunan bagian dari pangkat 2, yang tidak memiliki batas atas.