Jabarkan untuk  dan  memberikan dari Rangkap tiga Pythagoras

Karena  tereduksi dengan penuh,  dan  adalah koprima, dan mereka tidak dapat menjadi genap. Jika mereka keduanya ganjil, pembilang dari  akan menjadi sebuah kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya  tidak akan menjadi sebuah kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum mungkin dalam penyebut, ini akan menyiratkan  menjadi genap meskipun menentukannya sebagai ganjil. Demikian salah satu dari  dan  adalah ganjil dan lainnya adalah genap, dan pembilangnya dari dua pecahan dengan penyebut  adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini adalah tereduksi dengan penuh (sebuah bilangan prima ganjil membagi penyebut ini dibagi salah satu dari  dan  tetapi bukan yang lainnya; demikian ini tidak membagi ). Salah satunya dapat demikian menyamakan penyebut, memberikan rumus Euclid.

dengan  dan  adalah koprima dan paritas yang berlawanan.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan di Maor (2007) dan Sierpiński (2003). Bukti lain diberikan dalam , sebagai sebuah contoh mengenai sebuah metode umum yang berlaku dengan setiap persamaan Diophantus homogen derajat dua.

Interpretasi mengenai parameter dalam rumus Euclid

Andaikan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang , , , dan menganggap sudutnya antara kaki dengan panjang  dan hipotenusa dengan panjang  dilambangkan sebagai . Maka  dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah , dan , dan .