Jabarkan Wakilan adjoin dari Aljabar Lie

Untuk aljabar Lie , maka didefinisikan wakilan

given by  adalah wakilan pada ruang vektor  yang merupakan wakilan adjoin.

Salah satu aspek penting dari studi Lie aljabar (terutama aljabar Lie semi-sederhana) adalah studi tentang wakilan. Memang, sebagian besar buku yang tercantum di bagian referensi mencurahkan sebagian besar halaman untuk teori wakilan. Meskipun teorema Ado adalah hasil yang penting, tujuan utama dari teori wakilan bukanlah untuk menemukan wakilan yang tepat dari aljabar Lie yang diberikan . Dalam kasus semi-sederhana untuk wakilan adjoin adalah setia. Sebaliknya, tujuannya adalah untuk memahami semua kemungkinan wakilan , hingga gagasan alami tentang kesetaraan. Dalam kasus semi sederhana di atas bidang karakteristik nol, teorema Weyl untuk setiap wakilan berdimensi-hingga adalah jumlah langsung dari wakilan yang tidak dapat direduksi (tidak memiliki subruang invarian nontrivial). Wakilan yang tidak dapat direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan dengan teorema dengan bobot tertinggi.