Jabarkan Teorema terkait dari Transversal (geometri)

Rumus Euklides dari postulat paralel dapat dinyatakan dalam bentuk transversal. Khususnya, jika sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal kurang dari dua sudut siku-siku maka garis tersebut adalah irisan. Bahkan, Euklides menggunakan frasa yang sama dalam bahasa Yunani yang biasanya diterjemahkan sebagai "transversal".

Proposisi Euklid 27 menyatakan bahwa jika sebuah garis melintang memotong dua garis sehingga sudut-sudut dalam berseberangan kongruen, maka garis tersebut sejajar. Euklid membuktikan ini dengan kontradiksi: Jika garis-garis tersebut tidak sejajar maka ia adalah potongan/irisan dan terbentuknya sebuah segitiga. Maka salah satu sudut berseberangan adalah sudut luar yang sama dengan sudut lainnya yang merupakan sudut dalam berlawanan dalam segitiga. Hal ini bertentangan dengan Proposisi 16 yang menyatakan bahwa sudut luar segitiga lebih besar dari sudut dalam berlawanan.

Proposisi Euklid 28 diperluas hasil ini dalam dua cara. Pertama, jika sebuah garis melintang memotong dua garis sehingga sudut-sudut yang bersesuaian kongruen, maka garis-garis itu sejajar. Kedua, jika sebuah transversal memotong dua garis sehingga sudut-sudut dalam pada sisi yang sama dari garis transversal suplemen, maka garis-garis tersebut sejajar. Ini mengikuti dari proposisi sebelumnya dengan menerapkan fakta bahwa sudut berlawanan dari garis potongan adalah sama (Prop. 15) dan bahwa sudut damping pada suatu garis adalah suplemen (Prop. 13). Sebagaimana dicatat oleh Proclus, Euklid hanya memberikan tiga dari enam kemungkinan kriteria untuk garis paralel tersebut.

Proposisi Euklid 29 adalah kebalikan dari dua sebelumnya. Pertama, jika sebuah transversal memotong dua garis sejajar, maka sudut-sudut dalam berseberangan adalah kongruen. Jika tidak, maka yang satu lebih besar dari yang lain, yang berarti suplemennya lebih kecil dari suplemen sudut lainnya. Ini menyatakan bahwa sudut dalam pada sisi yang sama dari transversal yang kurang dari dua sudut siku-siku, bertentangan dengan postulat kelima. Proposisi dilanjutkan dengan menyatakan bahwa pada transversal dua garis sejajar, sudut-sudut yang bersesuaian kongruen dan sudut-sudut dalam pada sisi yang sama sama dengan dua sudut siku-siku Pernyataan ini mengikuti dengan cara yang sama seperti Prop.28 mengikuti dari Prop.27.

Bukti Euklid membuat penggunaan penting dari postulat kelima, namun, perawatan modern geometri menggunakan aksioma Playfair sebagai gantinya. Untuk membuktikan proposisi 29 dengan asumsi aksioma Playfair, maka sebuah transversal melintasi dua garis sejajar dan bahwa sudut-sudut dalam berseberangan tidak sama. Gambarlah garis ketiga melalui titik dimana garis melintang memotong garis pertama, tetapi dengan sudut yang sama dengan sudut yang dibuat garis transversal dengan garis kedua. Ini menghasilkan dua garis yang berbeda melalui suatu titik, keduanya sejajar dengan garis lain, bertentangan dengan aksioma.