Jabarkan identitas (identitas; 1) dari Simetri oktahedral

rotasi sekitar sumbu dari pusat wajah ke pusat wajah yang berlawanan dengan sudut 90°: 3 sumbu, 2 per sumbu, dengan 6 ((1 2 3 4), dll; ((1 ± i)/, dll)

sama dengan sudut 180°: 3 sumbu, 1 per sumbu, bersama-sama 3 ((1 2) (3 4), dst.; i, j, k)

rotasi sekitar sumbu dari pusat tepi ke pusat tepi yang berlawanan dengan sudut 180°: 6 sumbu, 1 per sumbu, dengan 6 ((1 2), dll.; ((i ± j)/, dll. )

rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120°: 4 sumbu, 2 per sumbu, dengan 8 ((1 2 3), dst.; (1 ± i ± j ± k' ')/2)

Sama dengan inversi (x dipetakan ke x) (juga 24 isometri). Perhatikan bahwa rotasi dengan sudut 180° terhadap sumbu yang digabungkan dengan inversi hanyalah refleksi pada bidang tegak lurus. Kombinasi inversi dan rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120° adalah rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 60°, dikombinasikan dengan refleksi pada bidang tegak lurus (rotasi itu sendiri tidak memetakan kubus ke sendiri; irisan bidang refleksi dengan kubus adalah segi enam biasa).

Sebuah isometri kubus dapat diidentifikasi dengan berbagai cara:

oleh wajah tiga wajah yang berdekatan yang diberikan (katakanlah 1, 2, dan 3 pada dadu) dipetakan ke

dengan gambar kubus dengan satu wajah tanda non-simetris: wajah dengan tanda, apakah itu normal atau bayangan cermin, dan orientasi

dengan permutasi dari empat diagonal tubuh (masing-masing dari 24 permutasi dimungkinkan), dikombinasikan dengan sakelar untuk inversi kubus, atau tidak

Untuk kubus dengan warna atau tanda (seperti yang dimiliki dadu), grup simetri adalah subgrup dari Oh.

Contoh:C4v, [4], (*422): jika satu wajah memiliki warna berbeda (atau dua wajah berlawanan memiliki warna berbeda satu sama lain dan dari empat lainnya), kubus memiliki 8 isometri, seperti persegi dalam 2D.D2h, [2,2], (*222): jika wajah yang berlawanan memiliki warna yang sama, berbeda untuk setiap himpunan dua, kubus memiliki 8 isometri, seperti kuboid.D4h, [4,2], (*422): jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 16 isometri, seperti persegi prisma (kotak persegi).C2v, [2], (*22):

jika dua wajah berdekatan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri.

jika tiga wajah, yang dua berhadapan satu sama lain, memiliki satu warna dan tiga lainnya satu warna lain, maka kubus memiliki 4 isometri.

jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan dua wajah berlawanan lainnya juga, dan dua yang terakhir memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri, seperti selembar kertas kosong dengan bentuk dengan simetri cermin.Cs, [ ], (*):

jika dua wajah berdekatan memiliki warna berbeda satu sama lain, dan empat lainnya memiliki warna ketiga, maka kubus memiliki 2 isometri.

jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 2 isometri, seperti selembar kertas kosong asimetris.C3v, [3], (*33): jika tiga wajah, tidak berhadapan satu sama lain, yang memiliki satu warna dan tiga lainnya memiliki warna lain, maka kubus memiliki 6 isometri.

Untuk beberapa subgrup lebih besar, kubus dengan grup dikenal sebagai grup simetri yabg tidak mungkin dilakukan hanya dengan mewarnai seluruh wajah. Apabila harus menggambar beberapa pola wajah.

Contoh:D2d, [2+,4], (2*2): jika satu wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, dan berlawanan memiliki arah tegak lurus, maka kubus memiliki 8 isometri; bidang simetri dan simetri putar lipatan-2 dengan sumbu dengan bentuk sudut 45° pada bidang tersebut, dan sebagai hasilnya, apabila bidang simetri lain tegak lurus dengan yang pertama, dan sumbu lain dari simetri rotasi lipatan-2 tegak lurus terhadap yang pertama.Th, [3+,4], (3*2): jika setiap wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah yang berdekatan "tidak" bertemu di tepi, maka kubus memiliki 24 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi (x dipetakan ke x).Td, [3,3], (*332): jika kubus terdiri dari delapan kubus kecil, empat putih dan empat hitam, disatukan secara bergantian di ketiga arah standar, kubus memiliki lagi 24 isometri: kali ini permutasi genap dari diagonal tubuh dan kebalikan dari rotasi tepat lainnya.T, [3,3]+, (332): jika setiap wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-2, apabila ia adalah huruf S, sehingga pada semua sisi salah satu sisi S bertemu dengan sisi S lainnya, maka kubus memiliki 12 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh.

Simetri penuh kubus, Oh, [4,3], (*432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama sehingga simetri penuh persegi, dengan untuk persegi suatu grup simetri, Dih4, [4], urutan 8.

Simetri penuh kubus bawah rotasi ketepatan, O, [4,3]+, (432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-4, C4, [4]+.

Simetri oktahedral dari permukaan Bolza

Dalam teori permukaan Riemann, permukaan Bolza, biasanya disebut juga kurva Bolza, diperoleh sebagai penutup ganda bercabang dari bola Riemann, dengan lokus cabang pada himpunan simpul dari oktahedron tertulis biasa. Grup automorfisme termasuk involusi hiperelips invers antara dua lembar penutup. Hasil bagi subgrup urutan 2 dihasilkan oleh involusi hiperelips dengan grup simetri oktahedron tepat. Di antara banyak sifat luar dari permukaan Bolza adalah ia memaksimalkan sistolik di antara semua permukaan hiperbolik genus 2.

Padatan dengan simetri kiral oktahedral

Padatan dengan simetri oktahedral penuh