Jabarkan Definisi dari Aljabar asosiatif

Misalkan R adalah gelanggang komutatif tetap. Aljabar-R asosiatif (atau lebih singkatan, aljabar-R) adalah aditif grup abelian A menggunakan struktur gelanggang dan modul-R, sehingga perkalian skalar adalah

untuk r ∈ R dan x, y ∈ A. Selanjutnya, A adalah unital, artinya menggunakan unsur 1 sehingga

untuk x ∈ A. Perhatikan bahwa elemen 1 adalah sama dengan.

Maka, A adalah modul-R dengan bilinear-R operasi biner A × A → A memiliki sifat asosiatif dan identitas. Jika untuk asosiatif, maka sifat tersebut yaitu aljabar non-asosiatif.

Jika A termasuk komutatif (sebagai gelanggang) maka disebut aljabar-R komutatif.

Sebagai objek monoid dalam kategori modul

Definisi dengan asosiatif unital aljabar-R adalah objek monoid dalam  Mod-R (kategori monoidal dari aljabar-R). Menurut definisi, gelanggang adalah benda monoid di kategori grup abelian; pengertian aljabar asosiatif dengan mengganti kategori grup abelian dengan kategori modul.

Mendorong gagasan, beberapa penulis telah memperkenalkan "gelanggang umum" sebagai objek monoid di beberapa kategori lain seperti kategori modul. Maka, reinterpretasi ini memungkinkan untuk referensi eksplisit ke elemen aljabar A. Misalnya, asosiativitas dapat diungkapkan sebagai berikut: dengan sifat universal dari produk tensor modul, perkalian (peta bilinear-R) dengan peta linear-R