Jabarkan Kontribusi Carl Friedrich Gauss dari Aritmetika modular

Ketika berusia 17 tahun, Gauss membuktikan teorema quadratic reciprocity. Setahun kemudian, pada 30 Maret 1796, ia menyadari kalkulasi aritmetika-nya memungkinkan untuk mengontruksi heptadekagon (poligon dengan 17 sisi) dengan menggunakan jangka dan penggaris, sebuah permasalahan yang tidak terjawab sejak masa kuno. Akhirnya pada 1801, ia mempublikasikan Disquisitiones Arithmeticae (Penelitian tentang Aritmetika), dan dijuluki pangeran matematikawan.

Dua penemuan Gauss tersebut berasal dari pendekatan yang sama, dengan peralatan yang lebih maju ketimbang pada masa Fermat maupun Euler. Hal ini memungkinkan untuk menulis pembuktian yang lebih sederhana, walau menjadi lebih abstrak. Pendekatannya adalah dasar bagi aritmetika modular.

Aritmetika modular awalnya diterapkan kepada bilangan bulat, lalu ke polinomial, dilanjutkan kepada himpunan bilangan baru yang sekarang disebut dengan bilangan Gaussian.

Semua persamaan Diofantin Fermat sudah terselesaikan saat ini, kecuali untuk teorema terakhirnya. Beberapa konjektur baru muncul. Sebagai contoh, jika a dan b saling koprima, apakah barisan aritmetika dengan nilai awal a dan kelipatan b memiliki bilangan prima, jika iya berapa banyak? Gauss dan matematikawan lain seperti Legendre berhipotesis bahwa ada takhingga prima di barisan tersebut, namun mereka tidak mampu membuktikannnya.

Aritmetika modular juga semakin diperkaya. Dirichlet, seorang siswa Gauss membuktikan teorema aritmetic progression dengan mengembangkan konsep karakter, sekaligus memberi dasar formal untuk ilmu teori bilangan analitik.