Jelaskan Konsep dasar dari Grup Lie

Peta eksponensial untuk aljabar Lie  dari grup linear umum  ke  ditentukan dengan matriks eksponensial yang diberikan oleh deret pangkat biasa untuk matriks :

Jika  adalah subgrup tertutup dari , maka peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari  menjadi ; dengan demikian, memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks. Setiap elemen  yang hampir dekat dengan identitas adalah eksponensial matriks dalam aljabar Lie.

Definisi di atas mudah digunakan, tetapi tidak ditentukan untuk grup Lie yang bukan grup matriks, dan tidak jelas bahwa peta eksponensial grup Lie tidak bergantung pada wakilannya. Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.

Untuk setiap vektor  dalam aljabar Lie  dari  yaitu ruang bersinggungan  pada identitas, yang membuktikan bahwa  subgrup satu parameter unik  dirumuskan . Bahwa  adalah subgrup satu parameter berarti   adalah peta mulus  dan untuk semua  dan :

Operasi di sisi kanan adalah perkalian grup dalam . Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk fungsi eksponensial membenarkan definisi tersebut

Ini disebut peta eksponensial, dan memetakan aljabar Lie  dalam grup Lie . Ini memberikan diffeomorfisme antara lingkungan dari 0  dan lingkungan  dalam . Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan riil, maka  adalah aljabar Lie dari kelompok Lie bilangan riil positif dengan perkalian, untuk bilangan kompleks, maka  adalah aljabar Lie dari grup Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk matriks (karena  dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie  dari semua matriks invers).

Karena peta eksponensial bersifat konjektur di beberapa lingkungan  dari  adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie infinitesimal generator dari grup . Subgrup  sebagai  adalah komponen identitas .

Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan struktur grup lokal dari setiap grup Lie yang terhubung, karena rumus Baker–Campbell–Hausdorff: lingkungan  dari elemen nol  yang dirumuskan , maka

dimana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih. Jika  dan  komutator, rumus tersebut direduksi menjadi hukum eksponensial yang dikenal sebagai

Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie. Artinya, jika  adalah homomorfisme grup Lie dan  peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua  yaitu

Dengan kata lain, diagram berikut komutatif,

Singkatnya, exp adalah transformasi alami dari functor Lie ke identitas funktor pada kategori grup Lie.

Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu ekspresif, bahkan jika grup tersebut terhubung yang memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten.