Jelaskan Contoh dari Grup topologi

Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan topologi diskret; grup seperti itu disebut grup diskret. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. Topologi takdiskret (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.

Bilangan real,  dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. Ruang Euklidean- dari  juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap ruang vektor topologis membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis Abel adalah grup lingkaran , atau torus  untuk bilangan asli .

Grup klasik adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, grup linear umum  mengenai semua terbalikkan matriks  kali  dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat  sebagai subruang dari ruang Euklides . Grup klasik lainnya adalah grup ortogonal , grup dari semua peta linear dari  terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan panjang dari semua vektor. Grup ortogonal adalah kompak sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari geometri Euklides dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat  mengenai isometri dari .

Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua grup Lie, artinya grup tersebut manifold halus sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah mulus, tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang aljabar Lie dan kemudian diselesaikan.

Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif  dari bilangan rasional, dengan topologi yang diwarisi dari .

Ini adalah ruang terhitung, dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk teori bilangan adalah grup  dari bilangan bulat p-adik, untuk bilangan prima , yang berarti batas balikkan dari grup hingga  karena  menuju takterhingga. Grup  is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke himpunan Cantor), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena takterhubung.

Grup  adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab  sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga  diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah grup Galois mutlak.