Jelaskan Definisi dari Varietas (aljabar universal)

Sebuah  tanda tangan  (dalam konteks ini) adalah himpunan, yang elemennya disebut  operasi , yang masing-masing diberi bilangan asli (0, 1, 2, ...) yang disebut  ariti . Maka tanda tangan  and a set , yang elemennya disebut  variabel ,  kata  adalah berakar planar hingga pohon di mana setiap node diberi label oleh variabel atau operasi, node yang diberi label oleh variabel tidak memiliki cabang jauh dari akat dan setiap node yang diberi label oleh operasi  memiliki banyak cabang dari root seperti ariti dari .  Sebuah  hukum persamaan  adalah sepasang kata; aksioma yang terdiri dari kata-kata  dan  sebagai .

Sebuah  teori  adalah tanda tangan, satu set variabel dan satu set hukum persamaan. Setiap teori varietas aljabar sebagai berikut. Diberikan teori , sebuah  aljabar  dari  terdiri dari himpunan  bersama dengan, untuk operasi  dari  dengan ariti , sebuah fungsi  sedemikian rupa sehingga untuk setiap aksioma  dan setiap penempatan elemen  ke variabel dalam aksioma, pegangan persamaan yang diberikan dengan menerapkan operasi ke elemen  seperti yang ditunjukkan oleh pohon yang mendefinisikan  dan .  Kita menyebut kelas aljabar dari teori tertentu  sebagai  varietas aljabar .

Namun, pada akhirnya yang lebih penting daripada kelas aljabar ini adalah kategori aljabar dan homomorfisme di antara mereka.  Diberikan dua aljabar teori , katakanlah  dan , sebuah  homomorfisme  adalah sebuah fungsi  dirumuskan

untuk setiap operasi  arity . Setiap teori memberikan kategori di mana objeknya adalah aljabar dari teori tersebut dan morfismenya adalah homomorfisme.