Teori gelanggang itu apa sih?

Dalam aljabar, teori gelanggang adalah studi tentang gelanggang struktur aljabar di mana penjumlahan dan perkalian ditentukan dan memiliki sifat yang mirip dengan operasi ditentukan untuk bilangan bulat. Teori gelanggang mempelajari struktur gelanggang, representasi, atau, dalam bahasa yang berbeda, modul, kelas khusus gelanggang (grup gelanggang, gelanggang pembagian, aljabar pembungkus universal), serta sifat yang terbukti dalam teori dari sifat homologis dan identitas polinomial.

Gelanggang komutatif jauh lebih dipahami dari gelanggang nonkomutatif. Geometri aljabar dan teori bilangan aljabar, yang memberikan banyak contoh alami gelanggang komutatif, telah mendorong banyak perkembangan teori gelanggang komutatif, yang sekarang, dengan nama  aljabar komutatif , bidang utama matematika modern. Karena tiga bidang (geometri aljabar, teori bilangan aljabar, dan aljabar komutatif) saling terkait, biasanya sulit dan tidak berarti untuk memutuskan bidang. Misalnya, Hilbert Nullstellensatz adalah teorema fundamental untuk geometri aljabar, dan dibuktikan dalam aljabar komutatif. Maka, teorema terakhir Fermat dalam istilah dasar aritmetika, yang merupakan bagian dari aljabar komutatif, tetapi pembuktiannya melibatkan hasil yang mendalam dari teori bilangan aljabar dan aljabar.

Gelanggang nonkomutatif memiliki sifat tidak biasa. Sedangkan teori telah berkembang dengan sendiri, telah berusaha untuk paralel dengan perkembangan komutatif dengan membangun teori kelas dari gelanggang nonkomutatif dalam gaya geometri adalah gelanggang dari fungsi pada 'ruang nonkomutatif'. Hal ini dimulai pada 1980-an dengan perkembangan geometri nonkomutatif dan dengan penemuan grup kuantum. Hal ini mengarah pada pemahaman yang lebih baik tentang gelanggang nonkomutatif, terutama gelanggang Noetherian nonkomutatif.

Untuk definisi gelanggang dan konsep dasar serta propertinya, lihat  gelanggang (matematika) . Definisi dari istilah yang digunakan di seluruh teori gelanggang dapat ditemukan di  Glosarium teori gelanggang .