Tolong jelaskan mengenai Sifat dari Ranah integral

Gelanggang komutatif R adalah domain integral jika dan hanya jika ideal (0) dari R adalah ideal prima.

Jika R adalah gelanggang komutatif dan P adalah ideal dalam R, maka gelanggang hasil bagi R/P adalah ranah integral jika dan hanya jika P adalah prima ideal.

Misalkan R sebagai ranah integral. Maka gelanggang polinomial di atas R (dalam jumlah tak tentu) adalah ranah integral. Ini khususnya terjadi jika R adalah medan.

Sifat pembatalan berlaku dalam setiap ranah integral: untuk setiap a, b, dan c dalam ranah integral, jika a ≠ 0 dan ab = ac maka b = c. Cara lain untuk menyatakan ini adalah fungsi x  ax adalah injektif untuk sembarang a bukan nol dalam ranah.

Sifat pembatalan berlaku untuk ideal dalam ranah integral: jika xI = xJ, maka salah satu x adalah nol atau I = J.

Ranah integral sama dengan perpotongan lokalisasi pada ideal maksimalnya.

Limit induktif dari ranah integral merupakan ranah integral.

Jika  adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar k, maka  adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari nullstellensatz Hilbert, dan, dalam geometri aljabar, ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.