Jelaskan Objek dengan aritmetika modular dari Aritmetika modular

Penerapan aritmetika modular tertua ada pada bilangan bulat. Setelah menetapkan sebuah bilangan bulat , yang disebut dengan modulus, kekongruenan modulo n dilakukan dengan melakukan perhitungan terhadap sisa hasil pembagian bilangan-bilangan terhadap n. Dua bilangan bulat dikatakan kongruen modulo, jika selisih kedua bilangan tersebut merupakan kelipatan (yaitu, jika ada bilangan bulat  sehingga ).

Kekongruenan modulo n adalah sebuah relasi kekongruenan, artinya kekongruenan adalah relasi ekuivalensi yang kompatibel dengan operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Kekongruenan modulo dilambangkan:

Tanda kurung mengartikan bahwa  berlaku untuk kedua ruas persamaan. Notasi ini berbeda dengan notasi  (tanpa tanda kurung), yang mengacu pada operasi modulus. Notasi  merujuk pada sebuah bilangan bulat unik  dengan  dan memenuhi  (Dengan kata lain, sisa  ketika dibagi dengan ).

Sebagai contoh, dalam modulus 12 seseorang dapat menyatakan bahwa , karena  merupakan kelipatan 12. Cara lain untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa 38 dan 14 memiliki sisa yang sama, yakni 2, ketika dibagi dengan 12.

Himpunan  adalah himpunan semua bilangan bulat yang kongruen dengan a modulo n. Himpunan ini disebut kelas kekongruenan, kelas residu, atau cukup dengan residu dari a modulo n; dan dilambangkan dengan . Gauss berkontribusi dengan menganalisis struktur himpunan kelas kekongruenan ini, yang sekarang dikenal dengan gelanggang bilangan bulat modulo , dan dilambangkan , , atau . Namunn, notasi  tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan bilangan bulat adic-. Gelanggang   fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat  di bawah).

Gelanggang ini didefinisikan untuk  n > 0 sebagai:

Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian di  adalah analogi dari kekongruenan bilangan bulat:

Dalam hal ini,  adalah gelanggang komutatif. Misalnya, di gelanggang , dapat ditulis

seperti dalam aritmetika modular untuk sistem 24 jam.