Jelaskan Definisi dari Fungsi Lipschitz

Untuk dua ruang metrik  dan , dengan  menyatakan metrik pada himpunan  dan  menyatakan metrik pada himpunan , sebuah fungsi  dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real  sedemikian sehingga, untuk semua  dan  di  akan berlaku

Setiap  yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai konstanta Lipschitz untuk fungsi , walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai  yang terkecil. Fungsi  terkadang juga disebut fungsi Lipschitz-. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real  disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif  sehingga untuk setiap real  dan , berlaku

Dalam kasus ini  adalah himpunan bilangan real  dengan metrik standar , dan  adalah subset dari .

Secara umum, pertidaksamaan (secara trivial) terpenuhi ketika . Selain kasus itu, fungsi kontinu Lipschitz dapat didefinisikan dengan keberadaan konstanta  sehingga untuk semua ,

Untuk fungsi multivariabel bernilai real, definisi terpenuhi jika dan hanya jika semua nilai mutlak kemiringan garis sekan pada fungsi terbatas oleh . Himpunan semua garis sekan pada fungsi dapat digunakan untuk membentuk kerucut ganda (lihat gambar), dan sebuah fungsi dikatakn Lipschitz jika dan hanya jika keseluruhan fungsi terletak di luar kerucut ganda ini.

Sebuah fungsi dikatakan kontinu Lipschitz [secara] lokal jika untuk setiap  ada sebuah lingkungan  dari  sehingga  kontinu Lipschitz di .

Secara lebih umum, sebuah fungsi  yang terdefinisi pada  dikatakan kontinu Hölder atau memenuhi kondisi Hölder pangkat (orde)  pada , jika ada sebuah konstanta  sedemikian sehingga

untuk semua  dan  di . Terkadang kondisi Hölder pangkat α juga disebut sebagai kondisi Lipschitz seragam pangkat .