Tolong jelaskan mengenai Definisi teoretis himpunan keterhinggaan dari Himpunan hingga

Dalam konteks dimana gagasan bilangan asli yang menduduki secara logis untuk setiap gagasan himpunan, salah satunya dapat mendefinisikan sebagai sebuah himpunan  sebagai terhingga jika  diterima sebuah bijeksi untuk suatu himpunan bilangan asli dari bentuk . Matematikawan lebih khusus memilih untuk gagasan dasar bilangan dalam teori himpunan, sebagai contoh mereka dapat memodelkan bilangan asli oleh tipe orde himpunan urutan rapi hingga. Pendekatan demikian membutuhkan sebuah definisi struktural keterhinggaan yang tidak bergantung pada bilangan asli.

Berbagai sifat-sifat yang memilih himpunan hingga di sekitar semua himpunan dalam teori ZFC mengeluarkan ketaksetaraan secara logis dalam sistem lemah seperti ZF atau teori-teori himpunan yang intuitionistik. Dua definisi yang menonjol dalam kepustakaan, salah satunya dikarenakan Richard Dedekind, lainnya Kazimierz Kuratowski. (Kuratowski merupakan definisi yang digunakan di atas.)

Sebuah himpunan  disebut takhingga Dedekind jika terdapat sebuah fungsi injektif, taksurjektif . Seperti sebuah fungsi menunjukkan sebuah bijeksi diantara , yaitu citra . Diberikan sebuah himpunan takhingga Dedekind , sebuah fungsi , dan sebuah unsur  yang tidak ada di citra , kita dapat membentuk sebuah barisan takhingga dari unsur  yang berbeda, yaitu . Sebaliknya, diberikan sebuah barisan dalam  yang terdiri dari unsur  yang berbeda, kita dapat didefinisikan sebuah fungsi  sehingga pada unsur dalam barisan  dan  berperilaku seperti fungsi identitas jika tidak. Dengan demikian himpunan takhingga Dedekind mengandung himpunan bagian yang padanan secara bijektif dengan bilangan asli. Tentu saja takhingga Dedekind berarti bahwa setiap injektif pemetaan diri sendiri juga surjektif.

Keterhinggaan Kuratowski didefinisikan sebagai berikut. Diberikan setiap himpunan , operasi biner memberikan himpunan kuasa  dengan struktur semikekisi. Menulis  untuk semikekisi bagian dihasilkan oleh himpunan kosong dan himpunan satuannya, disebut himpunan  takhingga Kuratowski jika  sendiri menjadi milik . Secara intuitif,  terdiri dari himpunan bagian terhingga . Yang terpenting, salah satunya tidak membutuhkan induksi, rekuris atau sebuah definisi bilangan asli untuk mendefinisikan dihasilkan oleh karena salah satunya dapat memperoleh  menyederhanakan dengan mengambil irisan semua semikekisi bagian berisi himpunan kosing dan himpunan satuannya.

Para pembaca tidak mengenal dengan semikekisi dan gagasan lainnya mengenai aljabar abstrak dapat lebih memilih sebuah rumusan elementer secara keseluruhan. Terhingga Kuratowski berarti  terletak di himpunan , dibangun sebagai berikut. Tulis  untuk himpunan semua himpunan bagian  dari  sehingga: