Jelaskan Sebaran rangkap tiga dari Rangkap tiga Pythagoras

Terdapat sejumlah hasil mengenai sebaran rangkap tiga Pythagoras. Dalam plot pencar, sebuah bilangan mengenai pola yang jelas sudah nyata. Setiap kali  mengenai sebuah pola primitif muncul dalam plot, semua kelipatan bilangan bulat  juga muncul dalam plot, dan sifat ini menghasilkan penampakan garis yang memancar dari asalnya di diagram.

Dalam pencarnya, ada himpunan-himpunan pola parabolik dengan sebuah kerapatan tinggi titik-titik dan semua fokus pada asalnya, membuka dalam semua empat arah. Parabola yang berbeda memotong pada sumbu dan muncul untuk mencerminkan sumbu dengan sebuah sudut insidens 45 derajat, dengan sebuah parabola ketiga memasuki dalam sebuah mode tegak lurus. Dalam kuadran ini, setiap busur terpusat pada asalnya menunjukkan bahwa bagian dari parabola yang terletak di antara ujungnya dalam perpotongannya dengan rektum semi-latusnya.

Pola-pola ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika  adalah sebuah bilangan bulat, maka  adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. (Faktanya setiap rangkap tiga Pythagoras  dapat ditulis dalam hal ini dengan bilangan bulat , kemungkinan setelah penukaran  dan  ditukar, dan kurva padanan dengan  dan . Jika  beragam untuk diberikan  (yaitu, pada sebuah parabola yang diberikan), nilai bilangan bulat  berlangsung relatif dengan sering jika  adalah sebuah bilangan kuadrat atau semua kelipatan kecil dari sebuah bilangan kuadrat. Jika beberapa di antara nilai-nilainya terjadi terletak berdekatan, parabola padanan hampir berimpit, dan kelompok rangkap tiganya dalam sebuah pita parabolik sempit. Contohnya , , ,  dan , pita parabolik padanan sekitar  jelas terlihat dalam plot pencar.

Sifat-sifat sudut digambarkan di atas mengikuti dengan seketika dari bentuk fungsional dari parabola. Parabolanya dicerminkan pada sumbu- pada , dan turunan  terhadap  pada titik ini adalah , karena itu sudut insidensnya adalah . Karena kelompok, seperti semua rangkap tiga, berulang pada kelipatan bilangan bulat, nilai  juga padanan dengan sebuah kelompok. Parabola padanan memotong sumbu- pada sudut siku-siku di , dan karena itu cerminannya setelah saling tukar mengenai  dan  memotong sumbu- pada sudut siku-siku pada , tepat ketika parabola untuk  dicerminkan pada sumbu-. (Yang sama tentu saja benar untuk  dan  saling tukar.)

Albert Fässler dan lainnya menyediakan wawasan ke dalam  arti penting mengenai parabola-parabola ini dalam konteks pemetaan konformal.

Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan