Jelaskan adalah subgrup dari dari Ideal (teori gelanggang)

Untuk  dan , produk  adalah .

Ideal kanan didefinisikan dengan  digantikan oleh . Ideal dua sisi adalah ideal kiri yang juga ideal kanan, dan kadang-kadang disebut ideal. Dalam bahasa modul, definisi berarti bahwa ideal kiri (resp. Kanan, dua sisi) dari  R  adalah kiri (resp. Kanan, bi-) submodul-R dari  R  ketika  R  dilihat sebagai modul  R . Ketika  R  adalah gelanggang komutatif, definisi ideal kiri, kanan, dan dua sisi bertepatan, dan istilah ideal.

Untuk memahami konsep ideal, perhatikan bagaimana ideal muncul dalam konstruksi gelanggang "elemen modulo".  Untuk konkretnya, lihat gelanggang ℤn dari bilangan bulat modulo bilangan bulat tertentu n ∈ ℤ (perhatikan bahwa ℤ adalah gelanggang komutatif). Pengamatan utama di sini adalah yang kita dapatkan ℤn dengan mengambil garis bilangan bulat ℤ dan berbagai bilangan bulat dapat diidentifikasi. Dalam melakukannya, kita harus memenuhi dua persyaratan: 1)  n  harus diidentifikasikan dengan 0 karena  n  kongruen dengan 0 modulo  n , dan 2) struktur yang dihasilkan harus berupa gelanggang. Persyaratan kedua kita membuat identifikasi tambahan (yaitu, menentukan cara yang tepat di mana kita harus membungkus ℤ ). Gagasan tentang ideal muncul ketika kita mengajukan pertanyaan:  Jawabannya, himpunan  dari semua bilangan bulat kongruen dengan 0 modulo  n . Artinya, kita harus membungkus ℤ di sekitar, sehingga bilangan bulat..., , , , , ... akan sejajar dengan 0. Bila kita melihat sifat apa yang harus dipenuhi oleh himpunan ini untuk memastikannya ℤn adalah sebuah gelanggang, maka kita sampai pada definisi ideal. Memang, seseorang dapat secara langsung memverifikasi bahwa nℤ adalah ideal dari ℤ.

Remark. Identifikasi dengan elemen selain 0 juga perlu dilakukan. Misalnya, elemen dalam  harus diidentifikasi dengan 1, elemen dalam  harus diidentikkan dengan 2, dan seterusnya. Maka, secara ditentukan oleh nℤ karena ℤ adalah grup aditif.