Jabarkan Struktur grup dari Grup titik dalam tiga dimensi

SO(3) adalah subgrup dari E+(3), yang terdiri dari isometri langsung; yaitu, isometri kelestarian orientasi tersebut berisi beberapa yang meninggalkan asal tetap.

O(3) adalah produk langsung dari SO(3) dan grup yang dihasilkan oleh inversi (dilambangkan dengan matriks−I):

O(3) = SO(3) × { I , −I }

Jadi, korespondensi 1-ke-1 antara semua isometri langsung dan semua isometri tidak langsung, melalui inversi. Juga korespondensi 1-ke-1 antara semua grup isometri langsung H di O(3) dan semua grup K dari isometri di O(3) yang berisikan inversi:

K = H × { I , −I }

H = K ∩ SO(3)

Misalnya, jika H adalah C2, maka K adalah C2h, atau jika H  adalah C3, lalu K adalah S6 (lihat bagian bawah untuk definisi grup ini).

Jika grup isometri langsung H memiliki subgrup L dari indeks 2, maka, selain dari grup sesuai yang mengandung inversi, grup sesuai yang berisi isometri tidak langsung, namun tidak memiliki inversi:

M = L ∪ ( (H ∖ L) × { −I } )

dimana isometri ( A, I ) diidentifikasi dengan A. Contohnya adalah C4 untuk H dan S4 untuk M.

Jadi M diperoleh dari H dengan inversi isometri di . Grup M ini sebagai grup abstrak isomorfik dengan H. Sebaliknya, untuk semua grup isometri yang mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak memiliki inversi, apabila memperoleh grup rotasi dengan inversi isometri tidak langsung. Ini menjelaskan ketika mengkategorikan grup isometri, lihat di bawah.

Dalam 2D grup siklik dari lipatan-k rotasi Ck adalah untuk setiap bilangan bulat positif k subgrup normal dari O(2,R) dan SO(2,R). Dengan demikian, dalam 3D, untuk setiap sumbu, grup siklik dari rotasi lipatan-k pada sumbu tersebut adalah subgrup normal dari grup semua rotasi terhadap sumbu tersebut. Karena setiap subgrup indeks dua adalah normal, grup rotasi (Cn) adalah normal baik pada grup (Cnv) diperoleh dengan menjumlahkan (Cn) bidang pantul melalui sumbu dan dalam grup (Cnh) diperoleh dengan menjumlahkan (Cn) bidang pantul yang tegak lurus sumbunya.

Isometrik 3D terluar dari asal tetap

Isometri dari R3 terluar asal tetap, dalam bentuk grup O(3,R), apabila dikategorikan sebagai berikut: