Jelaskan Relasi dengan grup unit dari Grup kelas ideal

Dikatakan di atas bahwa grup kelas yang ideal memberikan sebagian dari jawaban atas pertanyaan seberapa besar ideal dalam domain Dedekind variasi seperti elemen. Bagian lain dari jawaban disediakan oleh perkalian grup dari unit dari domain Dedekind, karena dari ideal utama untuk generator membutuhkan penggunaan unit (dan inilah alasan lainnya untuk memperkenalkan konsep ideal pecahan, juga):

Mendefinisikan sebuah peta dari R× ke himpunan dari semua ideal pecahan bukan nol dari R dengan elemen ke ideal utama (pecahan) yang dihasilkannya. Homomorfisme grup; kernel adalah grup unit R, dan kokernel-nya adalah grup kelas ideal dari R. Kegagaalan grup ini menjadi trivial adalah sebuah ukuran dari kegagalan pemetaan menjadi sebuah isomorfisme: yaitu kegagalan ideal untuk bertindak seperti unsur gelanggang, dengan kata lain, seperti bilangan.

Hubungan dengan teori medan kelas

Teori medan kelas adalah cabang dari teori bilangan aljabar untuk mengklasifikasikan semua ekstensi abelian dari bidang bilangan aljabar tertentu, artinya ekstensi Galois dengan abelian grup Galois. Contoh ini ditemukan di bidang kelas Hilbert dari bidang bilangan, didefinisikan sebagai ekstensi abelian unramifid maksimal dari bidang tersebut. Bidang kelas Hilbert L dari bidang bilangan K unik dan memiliki sifat berikut:

Ideal dari gelanggang bilangan bulat K menjadi pokok dalam L, yaitu jika I adalah ideal integral dari K maka I adalah ideal utama dalam L.

L adalah perpanjangan Galois dari K dengan grup Galois isomorfik ke grup kelas ideal K.

Tidak memiliki sifat untuk dibuktikan.