Jabarkan Uji turunan pertama dari Uji turunan

Uji turunan pertama menguji sifat-sifat kemonotonan dari fungsi (apakah fungsi menaik atau menurun), dengan berfokus pada suatu titik tertentu dalam domain fungsi tersebut. Jika nilai fungsi "berganti" dari menaik menjadi menurun pada titik tertentu, maka fungsi mencapai suatu nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika nilai fungsi "berganti" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika nilai fungsi tidak pernah "berganti", selalu menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai oleh fungsi.

Seseorang dapat menentukan kemonotonan sebuah fungsi tanpa menggunakan kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat syarat cukup yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang umum ditemui.

Pernyataan yang formal tentang sifat-sifat kemonotonan

Dinyatakan secara formal, misalkan  adalah fungsi kontinu bernilai real dari sebuah variabel real, dan terdefinisi pada beberapa selang terbuka yang mengandung titik .

Jika terdapat sebuah bilangan positif  sehingga  menaik dengan lemah pada  dan menurun dengan lemah pada , maka  memiliki sebuah maksimum lokal di . Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya: jika  adalah sebuah maksimum lokal, maka  menaik dengan lemah pada  dan menurun dengan lemah pada .

Jika terdapat sebuah bilangan positif  sehingga  menaik dengan tegas pada  dan juga menaik dengan tegas pada , maka  menaik dengan tegas pada  dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal di .

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari cara ekstrem lokal didefinisikan. Yakni, jika  adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat  sehingga  untuk nilai  pada selang , yang mengartikan bahwa  harus menaik dari  ke  dan harus menurun dari  ke , karena  kontinu.

Perhatikan untuk dua kasus yang pertama,  tidak diperlukan menaik atau menurun dengan tegas di sekitar nilai , sedangkan untuk dua kasus terakhir,  diperlukan menaik atau menurun dengan tegas. Alasannya terletak pada definisi maksimum dan minimum lokal, yang tidak memerlukan pertidaksamaan yang tegas: misalnya setiap nilai pada fungsi konstanta dianggap sebuah maksimum lokal sekaligus minimum lokal.

Pernyataan yang formal untuk uji turunan pertama

Uji turunan pertama bergantung pada "uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi dari teorema nilai purata. Ini adalah sebuah konsekuensi langsung dari cara turunan didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

Misalkan  adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real dan didefinisikan pada beberapa interval yang berisi titik kritis . Selanjutnya misalkan  kontinu pada  dan dapat didiferensialkan pada beberapa selang terbuka yang berisi , kecuali mungkin pada titik  sendiri.

Jika terdapat sebuah bilangan positif , sehingga untuk setiap  di  kita memiliki , dan untuk setiap  di  kita memiliki , maka  mempunyai sebuah maksimum lokal di .

Jika terdapat sebuah bilangan positif , sehingga untuk setiap  di  kita memiliki , maka  menaik dengan tegas di  dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal di interval ini.

Jika tidak ada syarat di atas yang dipenuhi, maka uji turunan pertama gagal (hal ini mungkin terjadi, karena terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu ).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan tegas, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang tegas dibutuhkan.