Jabarkan Definisi dari Gelanggang dekat

Himpunan K dengan dua operasi biner + (disebut penambahan) dan ⋅ (disebut perkalian) disebut (kanan) gelanggang dekat jika:

K adalah grup (non-abelian) di bawah tambahan;

perkalian adalah asosiatif (jadi K adalah semigrup dalam perkalian); dan

perkalian di sebelah kanan distribusi di atas penjumlahan: untuk setiap x, y, z dalam K, dengan (x + y)⋅z = (x⋅z) + (y⋅z).

Demikian pula, dimungkinkan untuk mendefinisikan gelanggang dekat kiri dengan mengganti hukum distributif kanan dengan hukum distributif kiri yang sesuai. Gelanggang dekat kanan dan kiri terjadi dalam literatur; misalnya, buku Pilz menggunakan tepat di gelanggang dekat, sedangkan buku Clay menggunakan gelanggang dekat kiri.

Konsekuensi langsung dari hukum distributif satu sisi adalah  0⋅x = 0 tetapi belum tentu benar bahwa x⋅0 = 0 untuk setiap x dalam K. Konsekuensi langsung lainnya adalah (−x)⋅y = −(x⋅y) untuk setiap x, y dalam K, maka itu x⋅(−y) = −(x⋅y). Gelanggang dekat adalah gelanggang (tidak harus dengan satu satuan) jika dan hanya jika penjumlahan bersifat komutatif dan perkalian bersifat distributif atas penjumlahan di kiri. Jika gelanggang dekat memiliki identitas perkalian, maka distribusi di kedua sisi sudah cukup, dan komutatifitas penjumlahan mengikuti secara otomatis.

Pemetaan dari grup ke sendiri

Misalkan G sebagai grup, ditulis secara aditif tetapi bukan abelian, dan misalkan M(G) menjadi himpunan {f | f : G → G} dari semua fungsi dari G hingga G. Operasi penambahan dapat ditentukan dalam M(G): diberikan f, g dalam M(G), lalu pemetaan f + g dari G ke G diberikan oleh (f + g)(x) = f(x) + g(x) untuk semua x dalam G. Kemudian (M(G), +) adalah grup abelian jika dan hanya jika G adalah abelian. Mengambil komposisi pemetaan sebagai produk ⋅, M(G) menjadi gelanggang dekat.

Elemen 0 dari gelanggang dekat M(G) adalah peta nol yaitu pemetaan untuk setiap elemen G ke elemen identitas G. Aditif invers –f dari f dalam M(G) bertepatan dengan definisi natural pointwise, yaitu (−f)(x) = −(f(x)) for all x in G.

Jika G memiliki setidaknya 2 elemen, M(G) bukanlah sebuah gelanggang, meskipun G adalah abelian. Pertimbangkan pemetaan konstan g dari G ke elemen tetap g ≠ 0 dari G; lali g⋅0 = g ≠ 0.) Namun, himpunan bagian E(G) dari M(G) terdiri dari semua grup endomorfisma dari G, yaitu, semua peta f : G → G dengan f(x + y) = f(x) + f(y) untuk semua x, y dalam G.  If (G, +) adalah abelian, dari kedua operasi gelanggang dekat pada M(G) ditutup sebagai E(G), dan (E(G), +, ⋅) adalah gelanggang. Jika (G, +) adalah nonabelian, E(G) umumnya tidak ditutup di bawah operasi gelanggang dekat; penutupan E(G) di bawah operasi gelanggang dekat adalah gelang dekat.

Banyak himpunan bagian dari M(G) bentuk gelanggang dekat yang menarik dan berguna. Sebagai contoh:

Pemetaan untuk f(0) = 0.

Pemetaan konstan, yaitu pemetaan yang memetakan setiap elemen grup ke satu elemen tetap.

Himpunan peta yang dihasilkan dengan penambahan dan negasi dari endomorfisme grup ("penutupan aditif" dari himpunan endomorfisme). Jika G abelian maka himpunan endomorfisme ditutup secara aditif, sehingga penutupan aditif hanyalah himpunan endomorfisme G, dan itu tidak hanya membentuk gelanggang dekat, tetapi gelanggang.

Contoh lebih lanjut terjadi jika grup memiliki struktur lebih lanjut, misalnya:

Pemetaan kontinu dalam grup topologi.

Fungsi polinomial pada gelanggang dengan identitas di bawah komposisi penjumlahan dan polinomial.

Peta affine dalam ruang vektor.

Setiap gelanggang dekat adalah isomorfik ke gelanggang subdekat M(G) untuk beberapa G.