Jelaskan Grup isometri hingga dari Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri dalam 3D dikarenakan titik asal tetap sepenuhnya dicirikan oleh simetri pada bola yang berpusat di titik asal. Untuk grup titik 3D hingga, lihat pula grup simetri bola.

Hingga konjugasi, himpunan grup titik 3D hingga terdiri dari:

7 deret tak hingga dengan banyak satu sumbu rotasi lebih dari 2 kali lipat; ia adalah grup simetri terbatas pada tabung tak hingga, atau ekuivalen, dan tabung hingga. Ia terkadang disebut grup titik aksial atau prismatik.

7 grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih; ia juga dapat dicirikan sebagai grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat, karena semua 7 mencakup sumbu ini; berhubungan dengan sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih, kombinasi yang mungkin adalah:

4 sumbu 3 kali lipat

4 sumbu 3 kali lipat dan 3 sumbu 4 kali lipat

10 sumbu 3 kali lipat dan 6 sumbu 5 kali lipat

Menurut teorema restriksi kristalografi, sejumlah grup titik hingga kompatibel dengan simetri translasi diskrit: 27 dari 7 deret tak hingga, dan 5 dari 7 lainnya. Bersama-sama, ini membentuk 32 apa yang disebut grup titik kristalografi.

Tujuh deret tak hingga dari grup aksial

Deret tak hingga dari grup aksial atau prismatik memiliki indeks n, yang berupa bilangan bulat; setiap deret, grup simetri ke-n berisi lipatan-n simetri rotasi suatu sumbu, yaitu simetri terhadap rotasi dengan sudut 360°/n. n=1 mencakup kasus tidak ada simetri rotasi sama sekali. Ada empat deret tanpa sumbu simetri rotasi lainnya (lihat simetri siklik) dan tiga dengan sumbu tambahan simetri lipat 2 (lihat simetri dihedral). Apabila dipahami sebagai grup titik dalam dua dimensi diperpanjang dengan koordinat aksial dan refleksi di dalamnya. Terkait dengan grup dekorasi; yang ditafsirkan sebagai pola grup dekorasi yang berulang kali n di sekitar tabung.

Tabel berikut mencantumkan beberapa notasi untuk grup titik: notasi Hermann–Mauguin (digunakan dalam kristalografi), notasi Schönflies (digunakan untuk mendeskripsikan simetri molekuler), notasi orbifold, dan notasi Coxeter. Tiga yang terakhir tidak hanya terkait dengan sifatnya, tetapi juga dengan urutan grup. Notasi orbifold adalah notasi terpadu, juga berlaku untuk grup bingkai dan grup dekorasi. Grup kristalografi memiliki n hingga pada 1, 2, 3, 4, dan 6; menghapus pembatasan kristalografi memungkinkan setiap bilangan bulat positif.