Jabarkan Konstruksi dan penyelesaian bebas dari Kekisi lengkap

Seperti biasa, konstruksi objek bebas bergantung pada kelas morfisme yang dipilih. Maka pertimbangkan dulu fungsi semua gabungan (yaitu adjoin yang lebih rendah dari koneksi Galois), karena kasus ini lebih sederhana dari situasi untuk homomorfisme kompleks. Menggunakan terminologi yang disebutkan di atas, ini bisa disebut sebagai join-semilattice kompleks bebas.

Menggunakan definisi standar dari aljabar universal, kisi kompleks bebas di atas himpunan pembangkit S adalah kisi kompleks L dengan fungsi i : S → L, sehingga fungsi f dari S ke himpunan yang mendasari beberapa kisi kompleks M dapat difaktorkan secara unik melalui morfisme f ° dari L ke M. Dinyatakan secara berbeda, untuk elemen s dari S bahwa f ( s ) = f ° ( i ( s )) dan f ° adalah morfisme dengan sifat. Pada dasarnya sama dengan funktor dari kategori himpunan dan fungsi ke kategori kisi lengkap dan fungsi menjaga gabungan yang dibiarkan berdampingan dengan funktor fogetful dari kisi lengkap ke himpunan dasar.

Kisi kompleks bebas dalam pengertian dapat dibuat dengan: kisi kompleks yang dihasilkan oleh beberapa himpunan S pangkat 2 S, yaitu himpunan dari semua himpunan bagian S, diurutkan berdasarkan penyertaan himpunan bagian. Satuan yang digunakan i: S → 2 S memetakan setiap elemen s dari S ke tunggal himpunan {s}. Diketahui pemetaan f di atas, fungsi f °: 2 S → M ditentukan oleh

Pertimbangan pula menghasilkan konstruksi bebas untuk morfisme pertemuan, bukan gabungan (yaitu sambungan atas dari sambungan Galois). Maka, menggandakan dari objek bebas sebagai rangkaian pangkat yang diurutkan dengan inklusi terbalik, sehingga himpunan union menyediakan operasi meet, dan fungsi f ° didefinisikan dalam istilah meet, bukan join. Hasil dari konstruksi ini dapat disebut pertemuan semilattice lengkap bebas. Kita juga harus memperhatikan bagaimana konstruksi gratis ini memperluas yang digunakan untuk mendapatkan semilattice bebas, di mana kita hanya perlu mempertimbangkan himpunan hingga.