Jabarkan Contoh dari Matriks Jacobi

Misalkan sebuah fungsi  yang memetakan  lewat persamaan

Fungsi-fungsi komponen dari  adalah  dan ,  sehingga matriks Jacobi dari  adalahdan determinan Jacobi dari fungsi adalah

Contoh ini menunjukkan bahwa matriks Jacobi tidak perlu berupa matriks persegi. Matriks Jacobi dari fungsi  dengan komponen-komponen

Berikut adalah penggunaan determinan Jacobi dalam perubahan koordinat polar-Kartesius pada integral lipat. Transformasi koordinat polar  ke koordinat Kartesius  dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi  dengan komponenMatriks Jacobi dari fungsi transformasi tersebut adalah

dan determinannya sama dengan . Determinan ini digunakan sebagai faktor koreksi ketika mengubah sistem koordinat yang digunakan integral: