Jelaskan Aljabar Komutatif von Neumann dari Aljabar von Neumann

Hubungan antara komutatif von Neumann aljabar dan ruang ukur s sama dengan hubungan antara komutatif C * -aljabar s dan kompleks lokal ruang Hausdorff. Aljabar von Neumann komutatif isomorfik terhadap L∞(X) untuk beberapa ruang ukur ( X , μ) dan sebaliknya, untuk setiap ruang ukur σ-hingga  X , * -aljabar L∞(X) adalah aljabar von Neumann.

Karena analogi ini, teori von Neumann algebras disebut teori ukuran nonkomutatif, sedangkan teori aljabar-C* terkadang disebut topologi nonkomutatif .

Produk Tensor dari von Neumann algebras

Hasil perkalian tensor ruang Hilbert dari dua ruang Hilbert adalah penyelesaian perkalian tensor aljabar. Seseorang dapat mendefinisikan perkalian tensor von Neumann aljabar (penyelesaian perkalian tensor aljabar dari aljabar yang dianggap sebagai gelanggang), yang juga merupakan aljabar von Neumann, dan bekerja pada hasil kali tensor ruang Hilbert. Hasil kali tensor dari dua aljabar berhingga adalah berhingga, dan hasil perkalian tensor dari aljabar tak hingga dan aljabar bukan nol adalah tak hingga. Jenis hasilkali tensor dua von Neumann aljabar (I, II, atau III) adalah jenis maksimumnya. Teorema pergantian untuk produk tensor menyatakan bahwa

di mana  M ′ menunjukkan komutan dari  M .

Sebagai gantinya  menunjukkan bahwa seseorang harus memilih keadaan pada setiap aljabar von Neumann, gunakan ini untuk mendefinisikan keadaan pada perkalian tensor aljabar, yang dapat digunakan untuk menghasilkan ruang Hilbert dan aljabar von Neumann (cukup kecil).  mempelajari kasus di mana semua faktor adalah aljabar matriks hingga; faktor-faktor ini disebut faktor Araki-Woods atau faktor ITPFI (ITPFI adalah singkatan dari "produk tensor tak terbatas tipe I hingga). Jenis produk tensor tak hingga dapat bervariasi secara dramatis seiring perubahan status; misalnya, hasil kali tensor tak hingga dari jenis bilangan tak hingga I2 faktor dapat memiliki tipe apa pun tergantung pada pilihan negara bagian. Khususnya  tak terhitung jenis hiperfinit non-isomorfik IIIλ faktor untuk 0 <λ <1, disebut Faktor kekuatan, dengan mengambil hasil kali tensor tak hingga faktor tipe I2, masing-masing dengan keadaan yang diberikan oleh:

Semua aljabar von Neumann hiperfinit bukan tipe III0 isomorfik terhadap faktor Araki–Woods, tetapi ada banyak tipe III0 yang tidak bisa dihitung.