Jabarkan Grup biasa limbung dari Simetri ikosahedral

Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:

S5, grup simetris pada 5 elemen

Ih, grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai H3)

Ia sesuai dengan urutan tepat pendek berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk

adalah faktor dari , yang merupakan produk langsung

adalah grup hasil bagi dari

Perhatikan bahwa  memiliki biasa 3 dimensi representasi yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun  tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.

Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas Medan hingga dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:

Grup linear proyeksi khusus, lihat di sini untuk bukti;