Jabarkan . dari Aljabar atas medan

Aljabar isomorfisme- adalah bijektif homomorfisme aljabar-. Untuk semua tujuan praktis, aljabar isomorfik hanya berbeda dalam notasi.

Sebuah subaljabar dari sebuah aljabar atas medan K adalah subruang linear yang memiliki sifat bahwa produk dari dua elemen pada subruang. Dengan kata lain, subaljabar dari suatu aljabar adalah himpunan bagian tak kosong dari elemen yang tertutup dalam penjumlahan, perkalian, dan perkalian skalar. Dalam simbol, apabila himpunan bagian L dari aljabar-K pada A adalah subaljabar jika untuk setiap x, y di L dan c di K, maka memiliki x · y, x + y, dan cx semua di L.

Dalam contoh bilangan kompleks atas yang dilihat sebagai aljabar dua dimensi atas bilangan riil, garis riil satu dimensi adalah subaljabar.

Sebuah ideal kiri dari aljabar-K adalah subruang linear yang memiliki sifat bahwa setiap elemen dari subruang dikalikan sebelah kiri oleh setiap elemen aljabar menghasilkan elemen subruang. Dalam simbol, apabila himpunan bagian L dari aljabar K pada A adalah ideal kiri jika untuk setiap x dan y di L' ', z di A dan c di K, maka memiliki tiga pernyataan berikut.

x + y di L (L penutupan bawah penambahan),

cx di L (L penutupan bawah perkalian skalar),

z · x di L (L penutupan bawah perkalian kiri dengan elemen arbitrer).

Jika (3) diganti dengan x · z di L, maka ini akan menentukan ideal kanan. Sebuah ideal dua sisi adalah himpunan bagian yang merupakan ideal kiri dan kanan. Istilah "ideal" itu sendiri biasanya diartikan sebagai ideal dua sisi. Tentu saja ketika aljabar komutatif, maka semua gagasan ideal ini adalah setara. Perhatikan bahwa kondisi (1) dan (2) bersama setara dengan L sebagai subruang linear dari A. Ini mengikuti dari kondisi (3) bahwa setiap ideal kiri atau kanan adalah subaljabar.

Penting untuk diperhatikan bahwa definisi ini berbeda dengan definisi ideal gelanggang, disini kita memerlukan kondisi (2). Tentu saja jika aljabar itu unital, maka kondisi (3) mengimplikasikan kondisi (2).