Jabarkan Sejarah dari Ruang Hilbert

Sebelum pengembangan ruang Hilbert, generalisasi lain dari ruang Euklides diketahui matematikawan dan fisikawan. Secara khusus, gagasan tentang ruang linier abstrak (ruang vektor) telah mendapatkan daya tarik menjelang akhir abad ke-19: ini adalah ruang yang elemen-elemennya dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan skalar (riil atau bilangan kompleks) tanpa perlu mengidentifikasi elemen-elemen ini dengan vektor "geometris", seperti vektor posisi dan momentum dalam sistem fisik. Objek lain yang dipelajari oleh ahli matematika pada pergantian abad ke-20, dalam ruang tertentu urutan (termasuk deret) dan ruang fungsi, secara alami dapat dianggap sebagai ruang linier. Fungsi, misalnya, dapat ditambahkan atau dikalikan dengan skalar konstan, dan operasi ini mematuhi hukum aljabar yang dipenuhi oleh penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor spasial.

Pada dekade pertama abad ke-20, perkembangan paralel mengarah pada pengenalan ruang Hilbert. Yang pertama adalah pengamatan, yang muncul selama David Hilbert dan Erhard Schmidt mempelajari persamaan integral, bahwa dua fungsi bernilai nyata square-integrable  dan  pada interval  memiliki  produk dalam

yang memiliki banyak sifat familiar dari perkalian titik Euklides. Secara khusus, gagasan tentang keluarga fungsi ortogonal memiliki makna. Schmidt mengeksploitasi kemiripan hasil kali dalam ini dengan hasil kali titik biasa untuk membuktikan analog dari dekomposisi spektral untuk operator bentuk

di mana  adalah fungsi kontinu yang simetris di  dan . Perluasan fungsi eigen yang dihasilkan menyatakan fungsi  sebagai rangkaian bentuk

dimana fungsi  ortogonal dalam arti bahwa  maka . Istilah individu dalam seri ini terkadang disebut sebagai solusi produk dasar. Namun, ada perluasan fungsi eigen yang gagal untuk menyatu dalam arti yang sesuai ke fungsi yang dapat diintegrasikan persegi: bahan yang hilang, yang memastikan konvergensi, adalah kelengkapan.

Perkembangan kedua adalah integral Lebesgue, alternatif dari integral Riemann yang diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1904. Integral Lebesgue memungkinkan untuk mengintegrasikan kelas fungsi yang lebih luas. Pada tahun 1907, Frigyes Riesz dan Ernst Sigismund Fischer secara independen membuktikan bahwa ruang  of fungsi terintegralkan Lebesgue persegi adalah ruang metrik komplek. Sebagai konsekuensi dari interaksi antara geometri dan kelengkapan, hasil abad ke-19 Joseph Fourier, Friedrich Bessel dan Marc-Antoine Parseval pada deret trigonometri dengan mudah dibawa ke ruang yang lebih umum ini, menghasilkan aparatus geometris dan analitik yang sekarang biasanya dikenal sebagai teorema Riesz–Fischer.

Hasil dasar lebih lanjut dibuktikan pada awal abad ke-20. Misalnya, Teorema representasi Riesz secara independen ditetapkan oleh Maurice Fréchet dan Frigyes Riesz pada tahun 1907. John von Neumann menciptakan istilah  ruang Hilbert abstrak  dalam karyanya pada Operator Hermitian. Meskipun ahli matematika lain seperti Hermann Weyl dan Norbert Wiener telah mempelajari ruang Hilbert tertentu dengan sangat rinci, sering kali dari sudut pandang motivasi fisik, von Neumann memberikan perlakuan pertama yang lengkap dan aksiomatik terhadap mereka. Von Neumann kemudian menggunakannya dalam pekerjaan penting tentang dasar-dasar mekanika kuantum, dan terus bekerja dengan Eugene Wigner. Nama "ruang Hilbert" segera diadopsi oleh orang lain, misalnya oleh Hermann Weyl dalam bukunya tentang mekanika kuantum dan teori grup.

Signifikansi konsep ruang Hilbert digarisbawahi dengan kesadaran bahwa ia menawarkan salah satu formulasi matematis kuantitatif Singkatnya, status sistem mekanik kuantum adalah vektor di ruang Hilbert tertentu, yang dapat diamati adalah operator pertapa di ruang tersebut, kesimetrian dari sistem adalah operator kesatuan s, dan pengukuran adalah proyeksi ortogonal. Hubungan antara kesimetrian mekanika kuantum dan operator kesatuan memberikan dorongan untuk pengembangan kesatuan teori representasi dari grup dimulai pada tahun 1928 karya Hermann Weyl. Di sisi lain, pada awal tahun 1930-an menjadi jelas bahwa mekanika klasik dapat dijelaskan dalam istilah ruang Hilbert (Mekanika klasik Koopman-von Neumann) dan beberapa sifat klasik sistem dinamis dapat dianalisis menggunakan teknik ruang Hilbert dalam kerangka teori ergodik.

Aljabar teramati dalam mekanika kuantum secara alami adalah aljabar operator yang ditentukan pada ruang Hilbert, menurut formulasi mekanika matriks kuantum th Werner Heisenberg Von Neumann mulai menyelidiki operator aljabar pada tahun 1930-an, sebagai gelanggang operator di ruang Hilbert. Jenis aljabar yang dipelajari oleh von Neumann dan orang-orang sezamannya sekarang dikenal sebagai aljabar Von Neumann. Pada tahun 1940-an, Israel Gelfand, Mark Naimark dan Irving Segal memberikan definisi sejenis aljabar operator yang disebut C*-aljabar yang di satu sisi tidak referensi ke yang mendasari  dan di sisi lain mengekstrapolasi banyak fitur berguna dari aljabar operator yang sebelumnya telah dipelajari. Teorema spektral untuk operator self-adjoint khususnya yang mendasari banyak teori ruang Hilbert yang ada digeneralisasikan menjadi C*-aljabar. Teknik-teknik ini sekarang menjadi dasar dalam analisis harmonik abstrak dan teori representasi.