Jabarkan Contoh dari Aljabar operator verteks

Contoh: boson bebas peringkat 1

Contoh dasar dari aljabar simpul nonkomutatif adalah boson bebas rank 1, juga disebut aljabar operator simpul Heisenberg. Maka "dihasilkan" oleh satu vektor  b , dalam arti bahwa dengan menerapkan koefisien bidang b(z) = Y(b,z) ke vektor  1 , kami mendapatkan satu set rentang. Ruang vektor yang mendasari adalah gelanggang polinomial variabel tak terhingga C[x1,x2,...], dimana untuk positif  n , koefisien b–n dari Y(b,z) sebagai perkalian dengan xn, dan bn bertindak sebagai  n  kali turunan parsial dalam xn.  Aksi dari b0 is perkalian dengan nol, menghasilkan representasi Fock 'momentum nol" V0 dari aljabar Heisenberg Lie (dihasilkan oleh bn untuk bilangan bulat  n , dengan relasi pergantian [bn,bm]=n δn,–m), yaitu, diinduksi oleh representasi sepele dari subaljabar yang direntang oleh bn, n ≥ 0.

Ruang Fock V0 dapat dibuat menjadi aljabar verteks dengan rekonstruksi berikut:

dimana :..: menunjukkan urutan normal (yaitu memindahkan semua turunan dalam  x  ke kanan). Operator simpul juga dapat ditulis sebagai fungsi dari fungsi multivariabel f sebagai:

jika kita memahami bahwa setiap suku dalam pemuaian f adalah urutan normal.

Peringkat  n  boson gratis diberikan dengan mengambil produk tensor  n  lipat dari peringkat 1 boson bebas. Untuk vektor apa pun  b  dalam  n -ruang dimensi, memiliki bidang b(z) yang koefisiennya adalah elemen pangkat  n  aljabar Heisenberg, yang relasi pergantiannya memiliki suku perkalian dalam tambahan: [bn,cm]=n (b,c) δn,–m.

Contoh: Aljabar operator verteks Virasoro

Operator puncak Virasoro aljabar penting karena dua alasan: Pertama, elemen konformal dalam aljabar operator verteks secara kanonik menginduksi homomorfisme dari aljabar operator verteks Virasoro, jadi mereka memainkan peran universal dalam teori. Kedua, mereka terkait erat dengan teori representasi kesatuan dari aljabar Virasoro, dan ini memainkan peran utama dalam teori medan konformal. Secara khusus, model kesatuan Virasoro minimal adalah quotients sederhana dari aljabar verteks ini, dan produk tensornya memberikan cara untuk secara kombinatorial membangun aljabar operator verteks yang lebih rumit.

Aljabar operator puncak Virasoro didefinisikan sebagai representasi terinduksi dari aljabar Virasoro: Jika muatan pusat  c , terdapat modul satu dimensi yang unik untuk subaljabar C[z]∂z + K untuk itu K acts by cId, dan C[z]∂z bertindak sepele, dan modul yang diinduksi terkait direntang oleh polinomial di L–n = –z−n–1∂z karena rentang  n  di atas bilangan bulat lebih besar dari 1. Modul kemudian memiliki fungsi partisi