Jelaskan Definisi dari Aljabar von Neumann

Ada tiga cara umum untuk mendefinisikan aljabar von Neumann.

Cara pertama dan paling umum adalah mendefinisikannya sebagai tertutup lemah aljabar-* dari operator terikat (pada ruang Hilbert) yang berisi identitas. Dalam definisi ini topologi (operator) lemah dapat diganti dengan banyak topologi umum termasuk kekuatan, ultra kekuatan atau ultra rendah topologi operator. Aljabar-* dari operator terikat yang tertutup dalam topologi norma adalah aljabar-C*, jadi khususnya setiap aljabar von Neumann adalah aljabar-C*.

Definisi kedua adalah bahwa aljabar von Neumann adalah himpunan bagian dari operator terikat yang ditutup di bawah involusi (operasi-*) dan sama dengan komutan ganda, atau sama dengan komutan dari beberapa subset ditutup di bawah *. Teorema komutan ganda von Neumann  mengatakan bahwa dua definisi pertama adalah setara.

Dua definisi pertama menjelaskan aljabar von Neumann secara konkret sebagai sekumpulan operator yang bekerja pada beberapa ruang.  menunjukkan bahwa von Neumann algebras juga dapat didefinisikan secara abstrak sebagai C*-aljabar yang memiliki predual; dengan kata lain, aljabar von Neumann, yang dianggap sebagai ruang Banach, adalah rangkap dari beberapa ruang Banach lainnya yang disebut predual. Predual aljabar von Neumann pada kenyataannya unik untuk isomorfisme. Beberapa penulis menggunakan "von Neumann aljabar" untuk aljabar bersama dengan gerak ruang Hilbert, dan "W*-aljabar" untuk konsep abstrak, jadi aljabar von Neumann adalah aljabar-W* bersama dengan ruang Hilbert dan aksi unital setia yang sesuai di ruang Hilbert. Definisi konkret dan abstrak dari aljabar von Neumann dengan definisi konkret dan abstrak aljabar-C*, yang dapat didefinisikan baik sebagai norma-tertutup *-aljabar operator pada ruang Hilbert, atau sebagai Banach *-aljabar maka ||aa*||=||a|| ||a*||.