Jelaskan Definisi dari Resolusi (teori Galois)

Misalkan  adalah bilangan bulat positif, derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan  daftar tak tentu. Hal ini mendefinisikan polinomial generik dari derajat

dimana  adalah ike polinomial simetris dasar.

Grup simetris  dari tindakan  dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial . Pemusat dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup . Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa subgrup non-trivial ; sebagai invarian dari . Sebaliknya, subgrup  dari , invarian dari  adalah resolusi invarian untuk  jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari .

Invarian untuk subgrup tertentu  dari  relatif mudah; menjumlahkan orbit dari sebuah monomial di bawah . Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup  dari  dari urutan 4, terdiri dari , ,  dan identitas (untuk notasinya, lihat grup permutasi). Monomial tersebut  memberikan invarian . Hal ini bukan invarian penyelesai untuk , sebagai invarian oleh , pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral , dan digunakan untuk mendefinisikan resolusi kubik dari persamaan kuartik.

Jika  adalah invarian penyelesaian untuk grup  dari indeks , maka orbit di bawah  memiliki urutan . Maka , ...,  adalah elemen orbit. Maka polinomial

adalah invarian di bawah . Jadi, ketika diperluas, koefisiennya adalah polinomial  invarian di bawah aksi grup simetri dan dengan diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Dengan,  adalah polinomial irreduksi  koefisien polinomial . Memiliki invarian resolvent sebagai akar, ini disebut resolusi (terkadang persamaan resolusi).

Pertimbangkan sekarang sebagai polinomial yang tidak dapat disederhanakan

dengan koefisien di bidang tertentu  (biasanya bidang rasional) dan akar  dalam ekstensi bidang tertutup aljabar. Mengganti  oleh  dan koefisien  oleh  yang mendahului, polinomial , juga disebut resolusi atau resolusi khusus dalam kasus ambiguitas). Jika grup Galois dari  ke , maka spesialisasi dari resolusi invarian adalah invarian oleh  dan dengan akar dari  yang dimiliki  (rasional pada ). Sebaliknya jika  adalah akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari  ke .

Beberapa varian dalam istilah tersebut.

Bergantung pada penulis atau pada konteks, resolusi merujuk ke resolusi invarian dari resolusi persamaan.

Resolusi Galois adalah pemecah sehingga invarian penentu linear di akarnya.