Jabarkan Panjang busur dari Sinus dan kosinus

Panjang busur dari kurva sinus diantara  dan  adalah , dengan   menyatakan integral eliptik tak lengkap jenis kedua (incomplete elliptic integral of the second kind) dengan modulus .

Panjang busur untuk satu periode penuh adalah  dengan  menyatakan fungsi gamma. Solusi persamaan ini dapat dihitung dengan cepat menggunakan rataan arimetik-geometrik: . Lebih lanjut,  sebenarnya adalah keliling dari elips dengan panjang sumbu semi-major sebesar  dan panjang sumbu semi-minor sebesar .

Panjang busur dari kurva sinus dari  sampai  adalah , ditambah suatu faktor koreksi yang bernilai periodik dalam  dan memiliki periode . Deret Fourier dari faktor koreksi ini dapat dituliskan dalam bentuk tertutup dengan menggunakan sutu fungsi spesial. Panjang busur kurva sinus dari  sampai  adalahdengan  menyatakan fungsi hipergeometrik. Suku-suku pada ekspresi di atas dapat diaproksimasi dengan