Jelaskan Contoh dan sifat dari Ideal (teori gelanggang)

Beberapa hasil dinyatakan hanya untuk ideal kiri tetapi biasanya juga berlaku untuk ideal kanan dengan perubahan notasi yang sesuai.

Dalam gelanggang  R , himpunan  R  itu sendiri membentuk ideal dua sisi dari  R  yang disebut unit ideal. Dilambangkan dengan  karena ini merupakan ideal dua sisi yang dihasilkan (lihat di bawah) oleh kesatuan . Juga, himpunan  hanya terdiri dari identitas aditif 0R membentuk ideal dua sisi yang disebut nol ideal dan dilambangkan dengan . Setiap ideal (kiri, kanan atau dua sisi) berisi ideal nol dan terdapat dalam unit ideal.

Sebuah ideal (kiri, kanan atau dua sisi) yang bukan unit ideal disebut ideal proper (karena ini adalah himpunan bagian proper). Catatan: ideal kiri  tepat jika dan hanya jika tidak mengandung elemen unit, karena jika  adalah elemen unit, maka  adalah . Biasanya ada banyak cita-cita yang tepat. Faktanya, jika  R  adalah bidang miring, maka  adalah satu-satunya ideal dan sebaliknya: artinya, gelanggang bukan nol  R  adalah bidang miring jika  adalah satu-satunya ideal kiri (atau kanan). (Bukti: jika  adalah elemen bukan nol, maka ideal kiri utama  (lihat di bawah) adalah bukan nol dan dengan ; yaitu,  untuk beberapa  bukan nol. Demikian pula,  untuk beberapa  bukan nol. Kemudian .)

Bilangan bulat genap membentuk ideal dengan gelanggang  dari semua bilangan bulat; dilambangkan dengan . Karena jumlah dari semua bilangan bulat genap, dan hasil kali dari bilangan bulat apa pun dengan bilangan bulat genap juga genap. Demikian pula, himpunan semua bilangan bulat habis dibagi dengan bilangan bulat tetap  n  adalah ideal dilambangkan .

Himpunan dari semua polinomial dengan koefisien riil yang habis dibagi oleh polinomial x2 + 1 adalah ideal di atas semua polinomial.

Himpunan semua n-oleh-n matriks yang baris terakhirnya nol membentuk ideal kanan di ring semua matriks n-oleh-n. Ini bukanlah ideal kiri. Himpunan dari semua matriks n-oleh-n yang  kolom  terakhirnya nol membentuk ideal kiri tetapi bukan ideal kanan.

Gelanggang  dari semua fungsi kontinu s  f  dari  ke  di bawah perkalian pointwise berisi ideal dari semua fungsi kontinu  f  sehingga f(1) = 0. Ideal lain dalam  diberikan oleh fungsi-fungsi yang menghilang untuk argumen yang cukup besar, yaitu fungsi berkelanjutan  f  yang memiliki bilangan L > 0 seperti f(x) = 0 adalah  > L.

Sebuah gelanggang disebut gelanggang sederhana jika bukan nol dan tidak memiliki dua sisi ideal selain . Jadi, bidang miring sederhana dan gelanggang komutatif sederhana adalah bidang. Gelanggang matriks di atas bidang miring adalah gelanggang sederhana.