Jabarkan Membandingkan definisi dari Grupoid

Definisi aljabar dan teori kategori adalah ekuivalen, sebagai contoh di atas tunjukkan. Diberikan grupoid dalam pengertian teori-kategori, misalkan G adalah satuan disjoin dari semua himpunan G( x, y ) (yaitu himpunan morfisme dari x ke y). Kemudian  dan  menjadi operasi parsial pada G, dan  sebenarnya akan ditentukan dimana. Mendefinisikan ∗ menjadi  dan −1 menjadi , memberikan grupoid dalam arti aljabar. Referensi eksplisit ke G 0 (dan karena ) bisa dijatuhkan.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen  pada elemen  iff a ∗ a −1 = b ∗ b −1. Misalkan G 0 adalah himpunan kelas ekiuvalensi , yaitu  . Maka a ∗ a −1 dengan  jika  dengan .

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen  pada elemen  iff a ∗ a −1 = b ∗ b −1. Misalkan G 0 adalah himpunan kelas ekiuvalensi , yaitu  . Maka a ∗ a −1 dengan  jika  dengan .

Sekarang jelaskan  sebagai himpunan dari semua elemen f sedemikian rupa . Diberikan  dan  komposit didefinisikan sebagai . Untuk melihat bahwa ini didefinisikan dengan baik, amati  dan , begitu pula  . Morfisme identitas pada x kemudian , dan kebalikan teori kategori dari f adalah f −1 .

Himpunan dalam definisi di atas dapat diganti dengan kelas, seperti yang umumnya terjadi dalam teori kategori.