Jelaskan Bilangan real dari Urutan rapi

Pengurutan standar  mengenai suatu selang real bukan sebuah pengurutan rapi, karena, contohnya, selang buka  tidak berisi sebuah unsur terkecil. Dari aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel mengenai teori himpunan (termasuk aksioma pemilihan), salah satunya dapat menunjukkan bahwa ada sebuah urutan rapi dari bilangan real. Juga Waclaw Sierpiński membuktikan bahwa teori himpunan Zermelo–Fraenkel + Hipotesis kontinum rampat menyiratkan aksioma pemilihan dan karena itu sebuah urutan rapi dari real. Namun, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel + Hipotesis kontinum rampat sendiri tidak cukup untuk membuktikan keberadaan mengenai sebuah urutan rapi (oleh sebuah rumus) terdefinisikan dari real. Namun ini konsisten dengan teori himpunan Zermelo–Fraenkel yang sebuah urutan rapi terdefinisikan dari real ada—contohnya, ini konsisten dengan teori himpunan Zermelo–Fraenkel bahwa V=L, dan ini mengikuti dari teori himpunan Zermelo–Fraenkel + V=L yang sebuah rumus khusus urutan rapi real, atau bahkan suatu himpunan.

Sebuah himpunan bagian taktercacahkan dari bilangan ral dengan pengurutan standar  tidak dapat menjadi sebuah urutan rapi. Andaikan  adalah sebuah himpunan bagian terurut rapi  oleh . Untuk setiap  dalam , misalkan  menjadi penerus dari  dalam pengurutan  pada  (kecuali  adalah unsur terkecil ). Misalkan  yang unsur-unsurnya takkosong dan selang lepas. Masing-masing selang berisi setidaknya satu bilangan rasional, jadi ada sebuah fungsi injektif dari  ke . Terdapat sebuah injeksi dari  yang dapat dipetakan ke nol setelahnya). Dan ini terkenal bahwa ada sebuah injeksi dari  ke bilangan asli (yang dapat menjadi terpilih untuk menghindar pencapaian ke nol). Demikian terdapat sebuah injeksi dari  ke bilangan asli yang berarti bahwa  adalah tercacahkan. Di sisi lain, sebuah himpunan bagian takhingga tercacah dari real dapat atau tidak dapat menjadi sebuah urutan rapi dengan standar "". Contohnya,

Bilangan asli adalah sebuah urutan rapi terhadap pengurutan standar .

Himpunan  tidak memiliki unsur terkecil dan oleh karena bukan sebuah urutan rapi terhadap pengurutan standar .