Jabarkan Contoh dari Kategori (matematika)

kelas dari semua himpunan (sebagai objek) bersama dengan semua fungsi di antara mereka (sebagai morfisme), dimana komposisi morfisme adalah komposisi fungsi biasa, membentuk kategori besar, Himpunan. Kategori paling dasar dan paling umum digunakan dalam matematika. Kategori Rel terdiri dari semua himpunan (sebagai objek) dengan relasi biner di antara mereka (sebagai morfisme).  Mengabstraksi dari relasi alih fungsi menghasilkan alegori, kelas khusus kategori.

Setiap kelas dapat dilihat sebagai kategori yang morfisme satu-satunya adalah morfisme identitas. Kategori seperti itu disebut diskrit. Untuk setiap himpunan  I ,  kategori diskrit pada I  adalah kategori kecil yang memiliki elemen  I  sebagai objek dan hanya morfisme identitas sebagai morfisme. Kategori diskrit adalah jenis kategori yang paling sederhana.

Setiap himpunan preorder ( P , ≤) membentuk kategori kecil, di mana objeknya adalah anggota  P , morfismenya adalah panah yang menunjuk dari  x  ke  y  adalah x ≤ y. Lebih lanjut, jika  ≤  adalah antisimetrik, paling banyak terdapat satu morfisme antara dua objek. Keberadaan morfisme identitas dan komposabilitas morfisme dijamin oleh refleksivitas dan transitivitas dari preorder. Dengan argumen yang sama, setiap himpunan berurutan sebagian dan relasi ekuivalen dapat dilihat sebagai kategori kecil. Semua bilangan ordinal dapat dilihat sebagai kategori jika dilihat sebagai himpunan urutan.

Setiap monoid (struktur aljabar dengan satu asosiatif operasi biner dan elemen identitas) membentuk kategori kecil dengan satu objek  x  . ( x  adalah himpunan tetap.) Morfisme dari  x  hingga  x  tepatnya adalah elemen monoid, morfisme identitas  x  adalah identitas monoid, dan komposisi kategorikal morfisme diberikan oleh operasi monoid. Beberapa definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan untuk kategori.

Maka, grup dapat dilihat sebagai kategori dengan satu objek di mana setiap morfisme adalah  dapat dibalik , Artinya, untuk setiap morfisme  f  ada morfisme  g  yang keduanya terbalik kiri dan kanan hingga  f  di bawah komposisi. Morfisme yang bisa dibalik dalam pengertian ini disebut isomorfisme.

Grupoid adalah kategori di mana setiap morfisme adalah isomorfisme. Grupoid adalah generalisasi dari grup, tindakan grup dan relasi ekuivalen. Sebenarnya, dalam pandangan kategori, perbedaan antara groupoid dan group adalah bahwa groupoid dapat memiliki lebih dari satu objek tetapi grup tersebut harus memiliki hanya satu. Pertimbangkan ruang topologi  X  dan tetapkan titik dasarnya  dari  X , maka  adalah grup fundamental dari ruang topologi  X  dan titik dasar , dan sebagai himpunan memiliki struktur grup; jika titik dasar  di atas  titik  X , dan gabungan dari , maka himpunan yang kita dapatkan hanya memiliki struktur grupoid (yang disebut sebagai grupoid fundamental dari  X ): dua loop (di bawah relasi ekivalensi homotopi) mungkin tidak memiliki titik dasar yang sama sehingga tidak dapat menggandakan satu sama lain. Dalam kategori, ini berarti di sini dua morfisme mungkin tidak memiliki objek sumber yang sama (atau objek target, karena dalam morfisme objek sumber dan objek target adalah sama: titik dasar) sehingga tidak dapat saling menyusun.

Semua grafik arah menghasilkan kategori kecil: objeknya adalah simpul dari graf, dan morfisme adalah jalur dalam grafik (ditambah dengan loop sesuai kebutuhan) di mana komposisi morfisme merupakan rangkaian jalur. Kategori seperti itu disebut  kategori bebas  yang dihasilkan oleh grafik.

Kelas dari semua grup dengan homomorfisme grup sebagai morfisme dan komposisi fungsi sebagai operasi komposisi membentuk kategori besar. Contoh lain dari kategori konkret diberikan oleh tabel berikut.

Fiber bundel dengan bundel map di antaranya membentuk kategori beton.

Kategori Cat terdiri dari semua kategori kecil, dengan funktor di antaranya sebagai morfisme.