Jelaskan Gelanggang Cohen–Macaulay dari Gelanggang komutatif

Kedalaman dari gelanggang lokal R adalah jumlah elemen dalam beberapa urutan reguler maksimal, yaitu urutan a1, ...,

an ∈ m dengan semua ai adalah pembagi bukan nol dalam

R / (a1, ..., ai−1).

Untuk gelanggang Noetherian lokal, pertidaksamaan

kedalaman (R) ≤ redup (R).

Lingkaran lokal dimana keekuivalen terjadi disebut gelanggang Cohen–Macaulay. Lingkaran persimpangan kompleks lokal, dan fortiori, lingkaran lokal reguler adalah Cohen–Macaulay, tetapi tidak sebaliknya. Cohen–Macaulay menggabungkan sifat yang diinginkan dari gelanggang biasa (seperti sifat gelanggang katener universal, yang berarti bahwa dimensi (ko)bilangan prima), tetapi lebih dalam mengambil hasil bagi dari gelanggang lokal biasa.