Jabarkan Grup rotasi dari Grup titik dalam tiga dimensi

Grup rotasi, yaitu subgrup hingga SO(3), adalah: grup siklik Cn (grup rotasi dari piramida kanonik), grup dihedral Dn (grup rotasi seragam prisma, atau kanonik bipiramid), dan grup rotasi T, O dan I dari tetrahedron reguler, oktahedron/kubus dan icosahedron/dodecahedron.

Secara khusus, grup dihedral D3, D4 dll. adalah grup rotasi dari poligon beraturan bidang yang tertanam dalam ruang tiga dimensi, dan sosok seperti itu dapat dianggap sebagai prisma reguler yang merosot. Oleh karena itu, ia juga disebut dihedron (Yunani: padat dengan dua wajah), yang menjelaskan nama grup dihedral.

Sebuah objek dengan grup simetri Cn, Cnh, Cnv atau S2n memiliki grup rotasi Cn.

Objek dengan grup simetri Dn, Dnh, atau Dnd memiliki grup rotasi Dn.

Sebuah objek dengan salah satu dari tujuh grup simetri lainnya memiliki grup rotasi yang sesuai tanpa subscript: T, O atau I.

Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek tersebut kiral. Dengan kata lain, objek kiral adalah objek dengan grup simetrinya dalam daftar grup rotasi.

Diberikan dalam notasi Schönflies, notasi Coxeter, (notasi orbifold), subgrup rotasi adalah:

Korespondensi antara grup rotasi dan grup lain

Grup berikut berisi inversi:Cnh dan Dnh untuk nilai genap nS2n dan Dnd untuk nilai ganjil n (S2 = Ci adalah grup yang dihasilkan oleh inversi; D1d = C2h)Th, Oh, dan IhSeperti dijelaskan di atas, ada korespondensi 1-ke-1 antara grup ini dan semua grup rotasi:Cnh untuk nilai genap n dan S2n untuk nilai ganjil n sesuai dengan CnDnh untuk nilai genap n dan Dnd untuk nilai ganjil n sesuai dengan DnTh, Oh, dan Ih sesuai dengan T, O, dan I.

Grup lain mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak inversi:CnvCnh dan Dnh untuk nilai ganjil nS2n dan Dnd untuk nilai genap nTdSesuai dengan grup rotasi H dan subgrup L dari indeks 2 dalam arti bahwa apabila diperoleh dari H dengan membalikkan isometri di H \ L, seperti yang dijelaskan di atas:Cn adalah subgrup dari Dn dari indeks 2, menghasilkan CnvCn adalah subgrup dari C2n dari indeks 2, memberikan Cnh untuk nilai ganjil n dan S2n untuk nilai genap nDn adalah subgrup dari D2n dari indeks 2, memberikan Dnh untuk nilai ganjil n dan Dnd untuk nilai genap nT adalah subgrup dari O dari indeks 2, memberikan Td Simetri maksimal

Ada dua grup titik diskret dengan sifat yang tidak dimiliki grup titik diskret sebagai subgrup yang tepat: Oh dan Ih. Subgrup umum terbesar adalah Th. Kedua grup diperoleh dari mengubah simetri putar lipatan 2 menjadi lipatan 4, dan masing-masing menambahkan simetri lipatan 5.

Ada dua grup titik kristalografi dengan sifat yang tidak dimiliki kelompok titik kristalografi sebagai subgrup yang tepat: Oh dan D6h. Subgrup umum maksimal, bergantung pada orientasinya, adalah D3d dan D2h.

Grup tersusun berdasarkan tipe grup abstrak

Di bawah grup yang dijelaskan di atas disusun berdasarkan jenis grup abstrak.

Grup abstrak terkecil yang bukan merupakan grup simetri dalam 3D, adalah grup kuaternion (urutan 8), Z3 × Z3 (urutan 9), grup disiklik Dadu3 (urutan 12), dan 10 dari 14 grup urutan 16.

Kolom "# elemen urutan 2" pada tabel berikut menunjukkan jumlah total subgrup isometri tipe C2, Ci, Cs. Jumlah total ini adalah salah satu karakteristik yang membantu membedakan berbagai jenis grup abstrak, sedangkan tipe isometrinya membantu membedakan berbagai grup isometri dari grup abstrak yang sama.

Dalam kemungkinan grup isometri dalam 3D, ada banyak sekali tipe grup abstrak dengan elemen 0, 1 dan 3 urutan 2, ada dua dengan 2n + 1 elemen urutan 2, dan ada tiga dengan 2n + 3 elemen orde 2 (untuk masing-masing n ≥ 2 ). Tidak pernah ada bilangan genap positif dari elemen urutan 2.

Grup simetri dalam 3D siklik sebagai grup abstrak

simetri kelompok untuk lipatan-n rotasi simetri adalah Cn; tipe grup abstraknya adalah grup siklik Zn, yang juga dilambangkan dengan Cn. Namun, ada dua deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

Untuk urutan genap 2n ada grup S2n (notasi Schoenflies) yang dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 180°/n terhadap sumbu, digabungkan dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. Untuk S2 digunakan notasi Ci; itu dihasilkan oleh inversi.

Untuk setiap urtan 2n dimana nilai gankil n, memiliki Cnh; ia memiliki sumbu rotasi lipatan n, dan bidang refleksi tegak lurus. Ini dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 360°/n tentang sumbu, dikombinasikan dengan refleksi. Untuk C1h digunakan notasi Cs; itu dihasilkan oleh refleksi dalam bidang.

Jadi, dengan huruf tebal dari 10 grup titik kristalografi siklik, dimana pembatas kristalografi berlaku: