Aljabar von Neumann itu apa sih?

Dalam matematika, aljabar von Neumann atau aljabar-W* adalah aljabar-* dari operator terikat pada ruang Hilbert yaitu tertutup dalam topologi operator lemah dan berisi operator identitas. Ini adalah tipe khusus dari aljabar-C*.

Aljabar Von Neumann awalnya diperkenalkan oleh John von Neumann, termotivasi oleh studinya tentang operator tunggal, representasi grup, teori ergodik dan mekanika kuantum. Teorema komutan ganda menunjukkan bahwa definisi analitik sama dengan definisi murni aljabar.

Dua contoh dasar von Neumann aljabar adalah sebagai berikut:

Gelanggang  dari dasar hingga fungsi terukur pada garis riil adalah aljabar von Neumann komutatif, yang elemennya bertindak sebagai operator perkalian dengan perkalian runcing di ruang Hilbert  dari fungsi integral persegi.

Aljabar  dari semua operator terbatas di ruang Hilbert  adalah aljabar von Neumann, non-komutatif jika ruang Hilbert memiliki dimensi minimal .

Von Neumann algebras pertama kali dipelajari oleh  pada tahun 1929; dia dan Francis Murray mengembangkan teori dasar, dengan nama asli gelanggang operator, dalam serangkaian makalah yang ditulis pada tahun 1930-an dan 1940-an (; ), reprinted in the collected works of .

Catatan pengantar von Neumann algebras diberikan dalam catatan online dari  dan  dan buku oleh , ,  dan . Tiga volume  memberikan penjelasan ensiklopedis tentang teori tersebut. Buku oleh  membahas topik yang lebih lanjut.