Jabarkan Contoh dari Aljabar Lie

Misalnya, aljabar Lie ideal  representasi adjoin  dari  bertindak sebagai turunan luar pada  karena  untuk  dan . Untuk aljabar Lie  dari matriks segitiga atas dalam , dari ideal  dari matriks segitiga atas (di mana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam  dan  givesmenunjukkan turunan luar dari  dalam .

Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua aljabar Lie  dan , jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor

terdiri dari semua , dengan operasi tersebut

maka salinan  komutatif satu sama lain:  Maka  sebagai aljabar Lie dan  ideal . Jika peta kanonik  membagi (yaitu, menerima bagian), lalu  dikatakan sebagai produk setengah langsung dari  dan , . Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi digunakan aljabar Lie berdimensi-hingga adalah hasil kali setengah-langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (subaljabar Levi).