Jabarkan Diskusi dari Produk (teori kategori)

Contoh dimana produk tidak ada: Dalam kategori bidang, produk  ×  tidak ada, karena tidak ada bidang dengan homomorfisme untuk  dan .

Contoh lain: Produk kosong (misal  adalah himpunan kosong) sama dengan objek terminal, dan beberapa kategori, seperti kategori grup tak hingga, tidak memiliki objek terminal: mengingat grup  tak hingga ada banyak morfisme , jadi  tidak bisa menjadi terminal.

Jika  adalah himpunan sehingga semua produk untuk keluarga indeks dengan , maka dapat memperlakukan setiap produk sebagai funktor   Bagaimana fungsi ini memetakan objek sudah jelas. Pemetaan morfisme tidak kentara, karena produk morfisme yang didefinisikan di atas tidak sesuai. Pertama, pertimbangkan fungsi produk biner, yang merupakan bifunktor. Untuk  maka mencari morfisme  . Dengan memilih . Operasi morfisme ini disebut produk morfisme kartesian. Kedua, pertimbangkan fungsi produk umum. Untuk keluarga  kita harus menemukan morfisme  . Kami memilih produk dari morfisme  .

Kategori dimana setiap himpunan objek hingga memiliki produk kadang-kadang disebut kategori kartesian (meskipun beberapa penulis menggunakan frasa ini untuk berarti "kategori dengan semua batas terbatas").

Produk bersifat asosiatif. Misalkan  adalah kategori kartesian, fungsi produk telah dipilih seperti di atas, dan  menunjukkan objek terminal  Kami kemudian memiliki isomorfisme alami.

Sifat ini secara formal dengan sifat monoid komutatif; kategori kartesius dengan produk hingga adalah contoh kategori monoidal simetris.