Tolong jelaskan mengenai Semantik formal dari Kuantifer (logika)

Semantik matematika adalah aplikasi matematika untuk mempelajari makna ekspresi dalam bahasa formal. memiliki tiga elemen: spesifikasi matematis dari kelas objek melalui sintaks, spesifikasi matematis dari berbagai domain semantik dan hubungan antara keduanya, yang biasanya dinyatakan sebagai fungsi dari objek sintaksis ke objek semantik. Artikel ini hanya membahas masalah bagaimana elemen pembilang diinterpretasikan.

Sintaks rumus dapat digunakan oleh pohon sintaks. Kuantifer memiliki ruang lingkup, dan variabel x adalah bebas jika tidak berada dalam lingkup perhitungan untuk variabel. Maka

kemunculan x dan y dalam C(y, x) bebas, sedangkan kemunculan x dan y dalam B(y, x) bond (yaitu tidak bebas).

Interpretasi untuk kalkulus predikat orde pertama mengasumsikan sebagai domain individu X. Rumus A dari variabel bebas x1, ..., xn diinterpretasikan sebagai fungsi Boolean F(v1, ..., vn) dari argumen n, di mana setiap argumen berkisar pada domain X. Nilai Boolean berarti bahwa fungsi tersebut mengasumsikan salah satu nilai T (ditafsirkan sebagai kebenaran) atau F (ditafsirkan sebagai kepalsuan). Penafsiran rumus

adalah fungsi G dari n-1 argumen G(v1, ..., vn-1) = T jika dan hanya jika F(v1, ..., vn-1, w) = T untuk w in X. Jika  F(v1, ..., vn-1, w) = F untuk setidaknya satu nilai w, maka G(v1, ..., vn-1) = F. Demikian pula interpretasi rumusnya

adalah fungsi H dari n-1 argumen sedemikian rupa H(v1, ..., vn-1) = T jika dan hanya jika F(v1, ..., vn-1, w) = T untuk setidaknya satu w dan jika tidak H(v1, ..., vn-1) = F.

Semantik untuk kuantifikasi keunikan membutuhkan kalkulus predikat orde pertama dengan persamaan. Artinya predikat dua tempat yang dibedakan "="; semantik juga dimodifikasi sedemikian rupa sehingga "=" selalu diartikan sebagai relasi persamaan dua tempat pada X. Interpretasinya adalah

kemudian adalah fungsi dari n-1 argumen, yang merupakan logika dari interpretasi

Jenis kuantifikasi mendefinisikan operator penutupan yang sesuai pada himpunan rumus, dengan menambahkan, untuk setiap variabel bebas x, pembilang untuk x. Misalnya, penutupan eksistensial dari rumus terbuka n>2 ∧ xn+yn=zn adalah rumus tertutup ∃n ∃x ∃y ∃z (n>2 ∧ xn+yn=zn); rumus terakhir, ketika ditafsirkan di atas bilangan asli, diketahui salah oleh teorema terakhir Fermat. Sebagai contoh lain, aksioma persamaan, x+y=y+x, biasanya dimaksudkan untuk menunjukkan penutupan universal ∀x ∀y (x+y=y+x) untuk mengekspresikan komutatif.

Paucal, multal dan kuantifer derajat lainnya

Dari bilangan yang dibahas sebelumnya berlaku untuk bilangan seperti

Ada banyak bilangan bulat n < 100, sehingga n habis dibagi 2 atau 3 atau 5.

Salah satu mekanisme interpretasi yang mungkin dapat diperoleh sebagai berikut: Misalkan sebagai tambahan untuk domain semantik X, ukuran probabilitas P yang ditentukan pada X dan bilangan Cutoff 0 < a ≤ b ≤  1.  If A adalah rumus dengan variabel bebas x1,...,xn yang interpretasi