Jabarkan Bukan contoh dari Ranah integral

Gelanggang berikut adalah ranah integral bukan contoh.

Gelanggang nol yang merupakan .

Gelanggang hasil bagi  ketika m adalah bilangan komposit. Memilih faktorisasi : artinya  dan  tidak sama dengan  or . Maka  dan , melainkan .

Produk adalah dua gelanggang komutatif bukan nol. Dalam produk , memiliki .

Gelanggang hasil bagi  untuk . Citra dari  dan  adalah bukan nol, sedangkan produknya adalah 0 di gelanggang ini.

Gelanggang dari  matriks n × n untuk setiap gelanggang bukan nol n ≥ 2. Jika  dan  adalah matriks sedemikian rupa sehingga citra  dimuat dalam kernel , maka . Misalnya, untuk .

Gelanggang hasil bagi  untuk setiap medan  dan semua polinomial tidak konstan . Citra dari  dan  dalam gelanggang hasil bagi ini adalah elemen bukan nol yang hasil kalinya 0. Argumen ini menunjukkan, secara ekuivalen, bahwa  bukanlah prima ideal. Interpretasi geometris dari hasil ini adalah bahwa nol dari  bentuk himpunan aljabar affin yang tidak direduksi (yaitu, bukan variasi aljabar) secara umum. Satu-satunya kasus dimana himpunan aljabar ini mungkin tidak direduksi adalah ketika  adalah pangkat dari polinomial tak tereduksi, yang mendefinisikan himpunan aljabar yang sama.

Gelanggang fungsi kontinu pada interval unit. Pertimbangkan fungsi

Baik  maupun  terdapat dimana-mana adalah nol, tetapi  ada.

Produk tensor . Gelanggang ini memiliki dua non-trivial idempoten,  and . Salah satu dari semua adalah ortogonal, artinya , dan karenanya  bukan ranah. Faktanya, terdapat isomorfisme  didefinisikan oleh . Kebalikannya yang ditentukan oleh . Contoh ini menunjukkan bahwa produk serat dari skema affin yang tidak direduksi tidak perlu tereduksi.

Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi

Di bagian ini, R adalah ranah integral.

Diberikan elemen a dan b dari R, bahwa a dibagi b, atau bahwa a adalah pembagi dari b, atau b adalah kelipatan dari a, jika elemen x dalam R sedemikian rupa sehingga .

Unit dari R adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di R. Unit membagi semua elemen lainnya.

Jika a membagi b dan b membagi a, maka a dan b adalah elemen asosiasi atau asosiasi.  Secara ekuivalen, a dan b adalah asosiatif jika  untuk beberapa unit u.

Elemen tak tereduksi adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.

Bukan nol bukan unit p adalah elemen prima, jika setiap p membagi produk ab, maka p membagi a atau p membagi b. Secara ekuivalen, elemen p adalah bilangan prima jika dan hanya jika ideal utama (p) adalah ideal prima bukan nol.

Kedua gagasan tentang elemen tak tersederhanakan dan elemen prima menggeneralisasi definisi biasa dari bilangan prima di gelanggang  jika kita menganggap bilangan prima negatif sebagai prima.

Setiap elemen utama tidak direduksi. Kebalikannya tidak benar secara umum: misalnya, dalam gelanggang bilangan bulat kuadrat  elemen 3 tidak direduksi (jika difaktorkan secara nontrivial, faktor tersebut harus memiliki norma 3, tetapi tidak ada elemen norma 3 karena  tidak memiliki solusi bilangan bulat), tetapi tidak prima (karena 3 membagi  tanpa membagi salah satu faktor). Dalam domain faktorisasi unik (atau lebih umum, ranah GCD), elemen yang tidak direduksi adalah elemen prima.

Sementara faktorisasi unik tidak berlaku , terdapat faktorisasi unik dari ideal. Lihat teorema Lasker–Noether.