Tolong jelaskan mengenai Contoh dari Ruang metrik lengkap

Ruang Q dari bilangan rasional dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai mutlak dari selisih bukanlah ruang metrik lengkap. Sebagai contoh, perhatikan barisan dengan  dan  Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limit, maka dengan menyelesaikan , haruslah x2 = 2, namun tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun jika barisan tersebut dianggap sebagai barisan bilangan riil, maka barisan itu konvergen ke bilangan irasional .

Interval buka , pun dengan metrik nilai mutlak, juga bukan ruang metrik lengkap. Barisan dengan  =  adalah barisan Cauchy, tetapi tidak memiliki limit dalam ruang yang diberikan. Namun pada interval tertutup ; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.

Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rn, dengan metrik jarak biasa.

Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah ruang Banach. Ruang C dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks.

Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C fungsi kontinu , karena mungkin berisi fungsi tak terbatas.

Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, C dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang Qp of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima .

Ruang ini melengkapi Q dengan  p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.

Jika  adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut  dari semua barisan di  menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara barisan  dan  menjadi , dengan  adalah indeks terkecilnya  adalah berbeda dari , atau  jika tidak ada indeks seperti itu.

Spasi ini homeomorfik ke produk dari terhitung jumlah salinan ruang diskrit .

Manifold Riemannian kompleks disebut manifold geodesik; kelengkapan mengikuti dari teorema Hopf–Rinow.