Jabarkan Determinan Jacobi dari Matriks Jacobi

Fungsi  memiliki matriks Jacobi berupa matriks persegi, sehingga matriks tersebut juga memiliki determinan. Determinan ini disebut dengan determinan Jacobi, determinan Jacobian, atau Jacobian. Determinan Jacobi di suatu titik memberikan informasi penting mengenai perilaku fungsi  di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi terdiferensialkan secara mulus memiliki invers di sekitar titik , jika determinan Jacobi di  tidak bernilai 0. Contoh itu adalah teorema invers fungsi. Lebih lanjut, jika determinan Jacobi di  bernilai positif, maka fungsi  akan mempertahankan orientasi di sekitar . Sebaliknya jika determinan tersebut bernilai negatif, maka fungsi  membalikkan orientasi. Nilai mutlak dari determinan Jacobi di  memberikan besaran perubahan volume di sekitar  akibat pemetaan oleh ; ini adalah alasan determinan Jacobi muncul dalam rumus subtitusi integral.

Determinan Jacobi digunakan dalam membuat variabel subtitusi ketika menghitung integral lipat fungsi atas suatu daerah di domain fungsi tersebut. Dalam penerapan ini, determinan Jacobi digunakan sebagai faktor pengali pada integral, yang mengoreksi perubahan koordinat akibat subtitusi variabel. Determinan Jacobi juga digunakan untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial, dengan memberikan hampiran perilaku fungsi di sekitar titik kesetimbangan. Hal ini digunakan contohnya untuk menentukan kestabilan kesetimbangan tanpa-penyakit pada permodelan penyakit (disease modelling).