Jelaskan Sifat gelanggang Boolean dari Gelanggang Boolean

Setiap gelanggang Boolean R memenuhi x ⊕ x = 0 untuk semua x dalam R, maka

x ⊕ x = (x ⊕ x)2 = x2 ⊕ x2 ⊕ x2 ⊕ x2 = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

dan karena (R,⊕) adalah grup abelian, apabila mengurangkan x ⊕ x dari kedua ruas persamaan ini, yang menghasilkan x ⊕ x = 0. Bukti serupa menunjukkan bahwa setiap gelanggang Boolean adalah komutatif:

x ⊕ y = (x ⊕ y)2 = x2 ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y2 = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y

dan ini menghasilkan xy ⊕ yx = 0, yang berarti xy = yx (menggunakan sifat pertama di atas).

Properti x ⊕ x = 0 menunjukkan bahwa sembarang gelanggang Boolean adalah aljabar asosiatif atas medan F 2 dengan dua elemen, dengan tepat satu cara. Secara khusus, setiap ring Boolean berhingga memiliki kardinalitas dari sebuah dua pangkat. Tidak setiap aljabar asosiatif satuan atas F2 adalah gelanggang Boolean: misalnya gelanggang polinomial F2[X].

Gelanggang hasil bagi R/I dari setiap gelanggang Boolean R modulo setiap ideal I salah satu dari gelanggang Boolean. Demikian pula, setiap subgelanggang dari gelanggang Boolean adalah ring Boolean.

Setiap lokalisasi  dari gelanggang Boolean R dengan himpunan  adalah gelanggang Boolean, karena setiap elemen dalam lokalisasi adalah idempoten.

Gelanggang maksimal hasil bagi  (dalam pengertian Utumi dan Lambek) dari gelanggang Boolean R adalah gelanggang Boolean, karena setiap endomorfisme parsial dengan sifat idempoten.

Setiap ideal prima P dalam gelanggang Boolean R adalah maksimal: gelanggang hasil bagi R/P adalah domain integral dan juga gelanggang Boolean, jadi isomorfik ke medan F2, yang menunjukkan maksimum P. Karena ideal maksimal adalah prima, ideal prima dan ideal maksimal bertepatan dalam gelanggang Boolean.

Gelanggang Boolean adalah cincin beraturan von Neumann.

Gelanggang Boolean memiliki sifat datar: ini berarti bahwa setiap modul di atasnya adalah datar.

Setiap ideal gelanggang Boolean dibangun hingga adalah prinsipal (bahkan, (x,y) = (x + y + xy )).