Jabarkan Aksiomatik dari Aljabar Boolean (struktur)

Aksiomatisasi pertama kekisi/aljabar Boolean secara umum diberikan oleh filsuf dan matematikawan Inggris Alfred North Whitehead pada tahun 1898.

Itu termasuk di atas aksioma dan tambahan x∨1=1 dan x∧0=0.

Pada tahun 1904, matematikawan Amerika Edward V. Huntington (1874–1952) memberikan aksiomatisasi yang pelit berdasarkan ∧, ∨, ¬, bahkan membuktikan hukum asosiatif (lihat kotak).

Ia juga membuktikan bahwa aksioma-aksioma ini independen satu sama lain.

Pada tahun 1933, Huntington menetapkan aksiomatisasi elegan berikut untuk aljabar Boolean. Ini hanya membutuhkan satu operasi biner + dan simbol fungsional uner n, untuk dibaca sebagai 'kelengkapan', yang memenuhi hukum berikut:

Komutatif: x + y = y + x.

Asosiatif: (x + y) + z = x + (y + z).

PERSAMAAN Huntington: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Herbert Robbins segera bertanya: Jika persamaan Huntington diganti dengan dualnya, yaitu:

4. Persamaan Robbins: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x,

apakah (1), (2), dan (4) dalam bentuk basis untuk aljabar Boolean? Menyebut (1), (2), dan (4) sebuah Aljabar Robbins, pertanyaannya kemudian menjadi: Apakah setiap aljabar Robbins merupakan aljabar Boolean? Pertanyaan ini (yang kemudian dikenal sebagai konjektur Robbins) tetap terbuka selama beberapa dekade, dan menjadi pertanyaan favorit Alfred Tarski dan murid-muridnya. Pada tahun 1996, William McCune di Laboratorium Nasional Argonne, berdasarkan pekerjaan sebelumnya oleh Larry Wos, Steve Winker, dan Bob Veroff, menjawab pertanyaan Robbins dengan tegas: Setiap aljabar Robbins adalah aljabar Boolean. Penting bagi bukti McCune adalah program penalaran otomatis EQP yang dia rancang. Untuk penyederhanaan bukti McCune, lihat Dahn (1998).

Pekerjaan lebih lanjut telah dilakukan untuk mengurangi jumlah aksioma; lihat Aksioma minimal untuk aljabar Boolean.