Jabarkan Definisi dari Ruang Hilbert

adalah riil atau kompleks hasil kali dalam yang juga merupakan ruang metrik lengkap sehubungan dengan fungsi jarak yang diinduksi oleh hasil kali dalam.

Mengatakan bahwa  adalah   adalah ruang vektor kompleks yang di dalamnya terdapat bagian dalam produk  mengaitkan bilangan kompleks ke setiap pasangan elemen  dari  yang memenuhi properti berikut:

Hasil kali dalam adalah simetris konjugasi; yaitu, hasil kali dalam dari sepasang elemen sama dengan konjugasi kompleks dari produk dalam dari elemen yang ditukar:

Hasil kali dalam adalah linier pada awalnya argumen. Untuk bilangan kompleks  dan ,

Ini mengikuti dari properti 1 dan 2 bahwa produk dalam kompleks adalah , juga disebut , dalam argumen keduanya, yang berarti bahwa

didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa  adalah ruang vektor nyata dan hasil kali dalam mengambil bilangan riil. Produk dalam seperti itu adalah peta bilinear dan  akan membentuk sistem ganda.

norma adalah fungsi nilai riil

dan jarak  antara dua titik  di  didefinisikan dalam istilah dari norma oleh

Bahwa fungsi ini adalah fungsi jarak, pertama-tama fungsi ini simetris dalam  dan , kedua jarak antara  dan itu sendiri nol, dan sebaliknya jarak antara  dan  harus positif, dan terakhir pertidaksamaan segitiga tahan, artinya panjang salah satu kaki segitiga  tidak boleh melebihi jumlah panjang kedua kaki lainnya:

Properti terakhir ini pada akhirnya merupakan konsekuensi dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz yang lebih mendasar, yang menegaskan

dengan persamaan jika dan hanya jika  dan  adalah dependen linear.

Dengan fungsi jarak yang ditentukan dengan cara ini, setiap hasil kali dalam adalah ruang metrik, dan terkadang dikenal sebagai . Setiap ruang pra-Hilbert yang juga merupakan ruang kompleks adalah ruang Hilbert.

dari  diekspresikan menggunakan bentuk Kriteria Cauchy untuk urutan dalam : ruang pra-Hilbert  selesai jika setiap urutan Cauchy menyatu sehubungan dengan norma ini ke elemen dalam ruang. Kelengkapan dapat dicirikan oleh kondisi ekivalen berikut: jika serangkaian vektor

menyatu secara mutlak dalam arti itu

kemudian deret tersebut menyatu di , dalam arti bahwa jumlah parsial menyatu ke elemen .