Jelaskan Contoh pertama dari Grup Lie

Matriks riil 2 × 2  sebuah grup dalam perkalian, dilambangkan dengan  atau dengan GL2(R):

Ini disebut sebagai grup Lie riil empat dimensi non-kompak adalah himpunan bagian dari . Grup ini menghubungkan dua komponen diantara nilai positif dan negatif dari determinan.

Matriks rotasi sebagai subgrup dari  yang dilambangkan dengan . Ini disebut sebagai grup Lie dalam sendiri: khususnya, grup Lie menghubungkan kompak satu dimensi difeomorfik ke lingkaran. Menggunakan sudut rotasi  sebagai parameter, grup ini dapat berupa parametrized sebagai berikut:

Penjumlahan sudut sesuai dengan perkalian elemen , dan mengambil sudut berlawanan sesuai dengan inversi. Jadi perkalian dan inversi adalah peta yang dapat dibedakan.

Grup affin satu dimensi adalah grup Lie matriks dua dimensi yang terdiri dari  matriks segitiga atas dengan entri diagonal pertama positif dan entri diagonal kedua adalah 1. Jadi, grup tersebut terdiri dari matriks formulir