Jelaskan Topologi urutan dari Urutan rapi

Setiap himpunan terurut rapi dapat dibuat menjadi sebuah ruang topologis dengan memberkahinya dengan topologi urutan.

Terhadap topologi ini, dapat menjadi dua jenis unsur:

titik pencil — terdapat minimum dan unsur dengan sebuah pendahulu.

titik limit — tipe ini tidak berlangsung dalam himpunan hingga, dan dapat atau tidak dapat berlangsung dalam sebuah himpunan takhingga, himpunan takhingga tanpa titik limit adalah himpunan tipe urutan , contohnya .

Untuk himpunan bagian, kita dapat membedakan:

Himpunan bagian dengan sebuah maksimum (yakni, himpunan bagian yang terbatas oleh mereka sendiri), ini dapat menjadi sebuah titik pencil atau sebuah titik limit dari seluruh himpunan, dalam kasus terakhir, ini dapat atau tidak dapat juga menjadi sebuah titik limit dari himpunan bagian.

Himpunan bagian yang tak terbatas oleh mereka sendiri tapi terbatas dalam seluruh himpunan, mereka tidak memiliki maksimum, tapi sebuah supremum di luar himpunan bagian, jika himpunan bagian adalah takkosong, supremum ini adalah sebuah titik limit dari himpunan bagian dan karena itu juga dari seluruh himpunan; jika himpunan bgian adalah kosong, supremum ini adaloah minimum dari seluruh himpunan.

Himpunan bagian yang tak terbatas dalam seluruh himpunan.

Sebuah himpunan bagian adalah kofinal dalam seluruh himpunan jika dan hanya jika hal tersebut adalah takterbatas dalam seluruh himpunan atau memiliki sebuah maksimum yang juga maksimum dari seluruh himpunan.

Sebuah himpunan terurut rapi sebagai ruang topologis adalah sebuah ruang tercacah pertama jika dan hanya jika hal tersebut memiliki tipe urutan lebih kecil atau sama dengan  (omega-satu), yakni, jika dan hanya jika himpunannya tercacahkan atau memiliki tipe urutan taktercacahkan yang terkecil.