Bilangan hiperkompleks itu apa sih?

Dalam matematika, bilangan hiperkompleks adalah istilah tradisional untuk elemen dari satuan aljabar di atas bidang.

Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori representasi grup modern.

Pada abad kesembilan belas sistem bilangan disebut kuaternion, tessarin, kokuaternion, bikuaternion, dan oktonion menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan bilangan kompleks. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.

Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika Benjamin Peirce pertama kali menerbitkan  Aljabar asosiatif linear , dan dibawa oleh putranya Charles Sanders Peirce.  Mengidentifikasi nilpoten dan elemen idempoten sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. Konstruksi Cayley–Dickson menggunakan involusi untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: Teorema Hurwitz menyatakan bahwa komposisi aljabar riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan Teorema Frobenius menyatakan bahwa satu-satunya aljabar pembagian asosiatif adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 J. Frank Adams menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang- H  yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.

Aljabar matriks yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti matriks real 2 × 2. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka.  Pada tahun 1907 Joseph Wedderburn menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks. Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi aljabar asosiatif seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di Universitas Edinburgh. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan kuaternion hiperbolik mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.

Sebagai Hawkins menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori grup Lie dan representasi grup. Misalnya, pada tahun 1929 Emmy Noether menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi". Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.

Karen Parshall telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks, termasuk peran matematikawan termasuk Theodor Molien dan Eduard Study.<ref>{{citation |author-link=Eduard Study |first=Eduard |last=Study |year=1898 |chapter=Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen |title=[[Klein's encyclopedia|Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften]] |volume=I A |issue=4 |pages=147–183}}</ref> Untuk transisi ke aljabar modern, Bartel van der Waerden menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam  Sejarah Aljabar .