Jabarkan Konjugasi dari Grup titik dalam tiga dimensi

Saat membandingkan tipe simetri dari dua objek, titik asal yang secara terpisah, yaitu tidak perlu memiliki pusat yang sama. Selain itu, dua objek bertipe simetri yang sama jika grup simetri adalah subgrup konjugat dari O(3) (dua subgrup H1, H2 dari grup G adalah konjugasi, apabila jika g ∈ G sedemikian rupa sehingga H1 = g−1H2g ).

Misalnya, dua objek 3D memiliki tipe simetri yang sama:

jika keduanya memiliki simetri cermin, namun pada bidang cermin yang berbeda

jika keduanya memiliki simetri putar 3 kali lipat, namun pada sumbu yang berbeda.

Dalam kasus beberapa bidang cermin dan/atau sumbu rotasi, dua grup simetri memiliki tipe simetri yang sama jika dan hanya jika rotasi memetakan seluruh struktur grup simetri pertama ke struktur kedua. Definisi konjugasi juga akan memungkinkan bayangan cermin dari struktur, tetapi ini tidak diperlukan, struktur itu sendiri adalah akiral. Misalnya, jika grup simetri berisi sumbu rotasi 3 kali lipat, hal tersebut apabila rotasi dalam dua arah yang berlawanan. (Struktur adalah kiral untuk 11 pasang ruang grup dengan sumbu sekrup.)