Jelaskan Konsep lainnya mengenai keterhinggaan dari Himpunan hingga

Dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pemilihan, konsep-konsep berikut mengenai keterhinggaan untuk sebuah himpunan  adalah berbeda. Mereka disusun dalam orde jumlah anggota yang menurun sempurna, yaitu jika sebuah himpunan  bertemu sebuah kriteria dalam daftar maka  bertemu semua dari kriteria berikut. Dalam absen dari aksioma pemilihan, implikasi yang dibalik semua tak dapat dibuktikan, tetapi jika aksioma pemilihan diasumsi maka semua konsep-konsep ini adalah setara. (Catatan bahwa tidak ada dari definisi-definisi ini membutuhkan himpunan terhingga bilangan ordinal yang didefinisikan pertama; mereka semua definisi "himpunan teoretis" murni dalam istilah dari persamaan dan hubungan keanggotaan, tidak melibatkan .)

Terhingga-I. Setiap himpunan takhingga dari himpunan bagian  memiliki sebuah unsur maksimal-⊆. (Ini setara dengan membutuhkan keberadaan unsur minimal-⊆. Ini juga setara dengan konsep numerik standar mengenai keterhinggaan.)

Terhingga-Ia. Untuk setiap partisi  menjadi dua himpunan, setidaknya salah satu dari dua himpunan merupakan terhingga-I.

Terhingga-II. himpunan monoton-⊆ takkosong dari himpunan bagian  memiliki sebuah unsur maksimal-⊆.

Terhingga-III. Himpunan kuasa  merupakan terhingga Dedekind.