Jabarkan dll. dari Grup titik dalam tiga dimensi

Grup simetri dalam 3D dihedral sebagai grup abstrak

Dalam 2D grup dihedral Dn mencakup refleksi, yang juga dilihat sebagai benda datar inversi tanpa membedakan bagian depan dan belakang.

Namun, dalam 3D dua operasi dibedakan: grup simetri yang dilambangkan dengan Dn berisi n sumbu lipatan 2 tegak lurus dengan sumbu lipatan n, bukan pantulan. Dn adalah grup rotasi dari sisi n prisma dengan basis reguler, dan sisi n bipiramid dengan alas beraturan, dan juga sisi beraturan n antiprisma dan sisi beraturan n trapezohedron. Grup juga merupakan grup simetri penuh dari objek setelah membuat kiral dengan tanda kiral identik pada setiap wajah, atau beberapa modifikasi dalam bentuk.

Jenis grup abstrak adalah grup dihedral Dihn, yang juga dilambangkan dengan Dn. Namun, tiga deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

Cnv urutan 2n, grup simetri dari sisi beraturan n piramida

Dnd urutan 4n, grup simetri dari sisi n beraturan antiprismaDnh dari urutan 4n untuk ganjil n. Untuk n = 1 menghasilkan D2, menjadi n ≥ 3.