Jelaskan Sketsa bukti dari Polinomial simetri elementer

Teorema dapat dibuktikan untuk polinomial homogen simetris dengan induksi matematika ganda sehubungan dengan jumlah variabel  dan, untuk , sehubungan dengan derajat dari polinomial homogen. Kasus umum kemudian diikuti dengan pemisahan polinomial simetris arbitrer menjadi komponen homogen (simetris).

Dalam kasus  hasilnya jelas karena setiap polinom dalam satu variabel secara otomatis simetris.

Asumsikan teorema telah terbukti untuk semua polinomial untuk  variabel dan semua polinomial simetris dalam variabel  dengan derajat . Setiap polinomial simetris homogen  dalam  dapat diuraikan sebagai jumlah dari polinomial simetris homogen

Di sini "bagian lacunary"  didefinisikan sebagai jumlah dari semua monomial di  himpunan bagian dari variabel  ke , yaitu, di mana setidaknya satu variabel  ditemukan.

Karena  simetris, bagian lacunary ditentukan oleh suku-suku yang hanya berisi variabel , yaitu, tidak menggunakan . Lebih tepatnya: Jika  dan  adalah dua polinomial simetris homogen di  memiliki derajat, dan jika koefisien dari  sebelum setiap monomial yang hanya berisi variabel  sama dengan koefisien yang sesuai dari , maka  dan  memiliki bagian lacunary yang sama. (Karenaarena setiap monomial yang dapat muncul di bagian lacunary harus kekurangan setidaknya satu variabel, dan dapat diubah dengan permutasi variabel menjadi monomial yang hanya berisi variabel .)