Jelaskan . dari Rangkap tiga Pythagoras

Sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif adalah salah satu di mana  dan  adalah koprima, yaitu, mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk seperti sebuah rangkap tiga, baik  maupun  adalah genap, dan lainnya ganjil; dari ini, mengikuti bahwa  juga ganjil.

Dua faktor  dan  rangkap tiga Pythagoras setiap sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan dengan unik menjadi bilangan prima Gauss sampai dengan satuan. (Faktorisasi tunggal ini diikuti dari dari fakta bahwa, bahasa kasarnya, sebuah versi dari algoritme Euclides dapat didefinisikan padanya.) Buktinya telah memiliki tiga langkah, Pertama, jika  dan  tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi  dan  dengan bilangan bulat Gauss , , dan  dan  bukanlah sebuah satuan. Maka  dan  terletka pada garis yang sama melalui asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada seperti sebuah garis adalah kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss . Tapi kemudian bilangan bulat  membagi keduanya  dan .) Kedua, ini mengikuti bahwa  dan  juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Untuk jika melakukannya, maka pembagi persekutuan  juga akan membagi  dan . Karena  dan  adalah koprima, yang menyiratkan bahwa  membagi . Dari rumus , yang ternyata akan menyiratkan bahwa  adalah genap. Ketiga, karena  adalah sebuah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya adalah berganda, yaitu, muncul sebuah genap perkalian. Karena  dan  tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu,  dan  adalah bilangan kuadrat.

Demikian, faktor pertamanya dapat ditulis