Tolong jelaskan mengenai Sifat dari kategori Grpd dari Grupoid

Grpd adalah sifat kompleks dan kompleks

Grpd adalah kategori tertutup kartesius

Inklusi  memiliki adjoint kiri dan kanan:

Maka,  menunjukkan lokalisasi kategori yang membalikkan setiap morfisme, dan  menunjukkan subkategori semua isomorfisme.

Fungsi saraf  embed Grpd sebagai subkategori kompleks dari kategori himpunan sederhana. Saraf grupoid selalu Kan kompleks.

Maka,  menunjukkan grupoid fundamental dari himpunan sederhana X.

Terdapat struktur tambahan yang dapat diturunkan dari grupoid internal ke kategori grupoids, double-groupoids. Karena Grpd adalah kategori 2, objek membentuk kategori 2 daripada kategori 1 karena terdapat struktur tambahan. Pada dasarnya, ini adalah grupoids  dengan funktorsdan embedding yang diberikan oleh sebuah fungsi identitasSalah satu cara untuk memikirkan tentang 2-grupoids ini adalah objek, morfisme, dan persegi yang dapat disusun bersama secara vertikal dan horizontal. Misalnya, persegi yang diberikan dan dengan  morfisme yang sama, digabungkan secara vertikal memberikan diagramyang dapat diubah menjadi persegi lain dengan menyusun panah vertikal. Tedapat hukum komposisi serupa untuk lampiran persegi horizontal.

Grupoid Lie dan Aljabroid Lie

Saat mempelajari objek geometris, grupoids dengan beberapa struktur diferentiabel, mengubah menjadi grupoid Lie. Dipelajari dalam istilah aljabroid Lie, dalam analogi relasi antara grup Lie dan aljabar Lie .