Jabarkan Aplikasi dari Uji turunan

Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian masalah optimisasi dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Disertai dengan penggunaan teorema nilai ekstrem, uji ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu interval yang terbuka dan terbatas. Terlebih lagi, dengan disertai informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, uji ini dapat digunakan untuk menggambar grafik dari fungsi.

Uji turunan kedua (variabel tunggal)

Setelah menemukan titik-titik kritis dari fungsi, uji turunan kedua menggunakan nilai dari turunan kedua pada titik-titik itu untuk menentukan apakah titik tersebut adalah sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal. Jika fungsi  dapat diturunkan dua kali pada suatu titik kritis  (yaitu, sebuah titik dengan ), maka:

Jika , maka  memiliki sebuah maksimum lokal pada .

Jika , maka  mempunyai sebuah minimum lokal pada .

Jika , maka hasil uji ini tidak meyakinkan.

Untuk kasus terakhir, teorema Taylor dapat digunakan untuk menentukan perilaku  di sekitar nilai  dengan menggunakan turunan tingkat tinggi.

Bukti dari uji turunan kedua

Misalkan kita mempunyai  (bukti untuk  analog). Dengan asumsi, . Maka

Dengan demikian, untuk  yang cukup kecil kita mendapatkan