Jabarkan Jika  juga ditutup, maka dari Ruang Hilbert

Ada teori spektral yang dikembangkan dengan baik untuk operator self-adjoint di ruang Hilbert, yang secara kasar dapat dianalogikan dengan studi matriks simetris pada real atau matriks adjoint sendiri pada bilangan kompleks. Dalam pengertian yang sama, seseorang dapat memperoleh "diagonalisasi" dari operator adjoint sendiri sebagai jumlah yang sesuai (sebenarnya merupakan integral) dari operator proyeksi ortogonal.

Spektrum operator , dilambangkan dengan , adalah himpunan bilangan kompleks  sedemikian rupa sehingga  tidak memiliki pembalikan terus menerus. Jika  dibatasi, maka spektrum selalu merupakan himpunan kompak dalam bidang kompleks, dan terletak di dalam cakram . Jika  adalah self-adjoint, maka spektrumnya nyata. Faktanya, itu terkandung dalam interval  dimana

Selain itu,  dan  keduanya sebenarnya berada dalam spektrum.