Jabarkan Spinor dan grup modular dari Rangkap tiga Pythagoras

Rangkap tiga Pythagoras dapat juga disandikan menjadi sebuah matriks persegi dari bentuk

Sebuah matriks bentuk ini adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan  adalah

yang adalah nol tepatnya ketika  adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. Jika  berpadanan dengan sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka sebagai sebuah matriks harus memiliki peringkat 1.

Karena  adalah simetrik, ini mengikuti dari sebuah hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom  sehingga darab luar

berlaku, dimana  melambangkan transpos matriks. Vektor  disebut sebuah spinor (untuk grup Lorentz ). Dalam istilah abstrak, rumus Euclidnya berarti bahwa setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai darab luar dengan sendirinya mengenai sebuah spinor dengan entri-entri bilangna bulat, seperti di ().

Grup modular  adalah himpunan matriks 2×2 dengan entri-entri bilangan bulat

dengan determinan sama dengan satu: . Himpunan ini membentuk sebuah grup, karena inversnya matriks dalam  adalah lagi di , karena merupakan darab dua matriks di . Grup modular bertindak pada kumpulan semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grupny transitif mengenai kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Untuk jika  memiliki entri-entri relatif prima, maka

dimana  dan  dipilih (oleh algoritme Euclides) sehingga .

Dengan bertindak pada spinor  di (), tindakan  berjalan ke sebuah tindakan pada rangkap tiga Pythagoras, disediakan salah satunya memungkinkan untuk  rangkap tiga dengan komponen negatif mungkin. Demikian jika  adalah sebuah matriks di , maka

memunculkan untuk sebuah tindakan pada matriks  di (). Ini tidak memberikan sebuah tindakan didefinisikan dengan baik pada rangkap tiga primitif, karena ini dapat mengambil sebuah rangkap tiga primitif ke yang takprimitif. Ini cocok pada poin ini (tiap ) untuk menyebut sebuah rangkap tiga  standar jika  dan baik  adalah relatif prima maupun  adalah relatif prima dengan  adalah ganjil. Jika spinornya  memiliki entri-entri relatif prima, maka rangkap tiga iring  ditentukan oleh () adalah sebuah rangkap tiga standar. Ini mengikuti bahwa tindakan dari grup modular adalah transitif mengenai himpunan rangkap tiga standar.

Secara bergantian, perhatian larangan untuk nilai-nilai tersebut dari  dan  yang mana  adalah ganjil dan  adalah genap. Misalkan subgrup  dari  menjadi kernel dari kehomomorfan grup

dimana  adalah grup linear khusus atas medan hingga  dari bilangan bulat modulo 2. Maka  adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian jika entri pertama  adalah ganjil dan entri kedua adalah genap, maka yang sama adalah benar dari  untuk semua . Faktanya, terhadap tindakan (), grup  bertindak secara transitif pada kumpulan rangkap tiga Pythagoras primitif .

Grup  merupakan grup bebas yang pembangkitnya adalah matriks