Jabarkan . dari Polinomial simetri elementer

Terkadang notasi  digunakan sebagai pengganti .

Berikut daftar polinomial simetris dasar  untuk empat nilai positif pertama dari . (Dalam,  juga salah satu polinomial.)

Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas faktorisasi linear dari polinomial monik: dari identitas

Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel , monik polinomial univariat (dengan variabel ) nilai yang diganti  dan koefisien hingga adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut rumus Vieta.

Polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah contoh rumus Vieta. Akar dari polinomial adalah nilai eigen dari matriks. Maka, mensubstitusikan nilai eigen ke polinomial simetris elementer, hingga tanda koefisien dari polinomial karakteristik, yaitu invarian. Secara khusus, jejak (jumlah elemen diagonal) adalah nilai dari , dan dengan jumlah nilai eigen. Maka, determinan adalah hingga tanda suku konstanta dari karakteristik polinomial; determinan adalah nilai . Jadi determinan dari matriks persegi adalah hasil kali dari nilai eigen.

Himpunan polinomial simetris dasar dalam variabel  menghasilkan gelanggang dari polinomial simetris dalam . Lebih khusus lagi, gelanggang polinomial simetris dengan koefisien bilangan bulat sama dengan gelanggang polinomial integral . (Lihat di bawah untuk pernyataan dan bukti yang lebih umum.) Hal ini adalah salah satu dasar dari teori invarian. Untuk sistem lain dari polinomial simetris dengan properti serupa lihat jumlah pangkat polinomial simetris dan polinomial simetris homogen kompleks.

Teorema dasar dari polinomial simetris

Untuk sembarang komutatif gelanggang , gelanggang polinomial simetris dalam variabel  dengan koefisien  dari . Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer  n   untuk . (Note that  tidak termasuk polinomial ini; karena , tidak dapat menjadi anggota himpunan  sembarang  elemen yang secara aljabar independen.)