Jabarkan Teorema Lingkaran Descartes dari Rangkap tiga Pythagoras

Untuk kasus teorema lingkaran Descartes dimana semua peubah adalah bilangan kuadrat,

Euler menunjukkan ini adalah setara dengan tiga rangkap tiga Pythagoras simultan,

Terdapat juga jumlah penyelesaian yang takterhingga, dan untuk kasus khusus dimana , maka persamaannya menyederhanakan ke,

dengan penyelesaian yang kecil sebagai  dan dapat dipecahkan sebagai bentuk kuadratik biner.

Rangkap tiga Pythagoras hampir sama kaki

Tidak ada rangkap tiga Pythagoras adalah sama kaki, karena rasio dari hipotenusa untuk salah satu sisi lainnya adalah , tapi  tidak dapat diungkapkan sebagia rasio 2 bilangan bulat.

Itu adalah, nbnamun, segitiga bersudut siku-siku dengan sisi integral untuk yang panjangnya dari sisi takhipotenusa berbeda dengan satunya, seperti,

dan jumlah lainnya takterhingga. Mereka dapat diukur lengkap sebagai,

dimana  adalah penyelesaian untuk persamaan Pell

Jika , ,  adalah sisi-sisi tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif, maka penyelesaian untuk persamaan Pell diberikan oleh rumus rekursif