Jelaskan Ideal dan filter dari Aljabar Boolean (struktur)

Sebuah ideal dari aljabar Boolean A adalah himpunan bagian I sehingga untuk semua x, y di I maka memiliki x ∨ y di I dan untuk semua a di A maka memiliki a ∧ x di I. Gagasan ideal ini bertepatan dengan gagasan ranah gelanggang dalam gelanggang Boolean A. Sebuah ideal I dari A disebut juga prima jika I ≠ A dan jika a ∧ b in I selalu menyiratkan a di A atau b di A. Selanjutnya, untuk setiap a ∈ A memiliki a itu ∧ -a = 0 ∈ I dan maka a ∈ I atau -a ∈ I untuk setiap a ∈ A, jika A adalah bilangan prima. Sebuah I ideal dari A disebut juga maksimal jika I'''' ≠ A dan jika satu-satunya ideal I adalah A. Untuk "I" yang ideal, jika a ∉ I dan -a ∉ I, maka I ∪ {a} or I ∪ {-a} yang terkandung dalam ideal lain J. Oleh karena itu, bahwa "I" tak maksimal dan oleh karena itu gagasan tentang ideal prima dan ideal maksimal setara dalam aljabar Boolean. Selain itu, gagasan ini bertepatan dengan teori gelanggang ranah prima dan ranah maksimal dalam gelanggang Boolean A.

Kesamaan dari ideal adalah filter. Sebuah filter dari aljabar Boolean A adalah himpunan bagian p sehingga untuk semua x, y di p memiliki x ∧ y di p dan untuk semua a di A kami memiliki a ∨ x di p. Ganda dari maksimal (atau prima) ideal dalam aljabar Boolean adalah ultrafilter. Ultrafilter sebagai alternatif dapat digambarkan sebagai morfisme nilai-2 dari A ke aljabar Boolean dua elemen. Pernyataan setiap filter dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ultrafilter disebut teorema ultrafilter dan tidak dapat dibuktikan dalam ZF, jika ZF adalah konsisten.

Teorema ultrafilter memiliki banyak rumus ekuivalen: setiap aljabar Boolean memiliki ultrafilter, setiap ranah dalam aljabar Boolean apabila diperluas ke ranah prima, dll.