Jabarkan Sejarah awal dari Grup Lie

Menurut sumber paling otoritatif pada sejarah awal grup Lie (Hawkins, hal. 1), Sophus Lie menganggap musim dingin tahun 1873–1874 sebagai tanggal lahir teorinya tentang grup kontinu. Namun, Hawkins menyatakan bahwa "aktivitas penelitian Lie yang luar biasa selama periode empat tahun dari musim gugur 1869 hingga musim gugur 1873" yang mengarah pada penciptaan teori (ibid). Beberapa ide awal Lie dikembangkan dalam kolaborasi erat dengan Felix Klein. Lie bertemu dengan Klein setiap hari dari Oktober 1869 hingga 1872 di Berlin dari akhir Oktober 1869 hingga akhir Februari 1870, dan di Paris, Göttingen dan Erlangen dalam dua tahun berikutnya (ibid, hal. 2). Lie menyatakan bahwa semua hasil utama diperoleh pada tahun 1884. Tetapi selama tahun 1870-an semua makalahnya (kecuali catatan pertama) diterbitkan di jurnal Norwegia yang menghambat pengakuan atas karya tersebut di seluruh Eropa (ibid, hal 76). Pada tahun 1884, matematikawan muda asal Jerman, Friedrich Engel, datang untuk bekerja dengan Lie pada risalah sistematis untuk mengekspos teorinya tentang grup kontinu. Dari upaya ini dihasilkan tiga jilid Theorie der Transformationsgruppen, diterbitkan pada tahun 1888, 1890, dan 1893. Istilah groupes de Lie pertama kali muncul dalam bahasa Prancis pada tahun 1893 dalam tesis murid Lie, Arthur Tresse.

Ide Lie tidak terpisah dari matematika lainnya. Faktanya, ketertarikannya pada geometri persamaan diferensial pertama kali dimotivasi oleh karya Carl Gustav Jacobi, pada teori persamaan diferensial parsial orde pertama dan pada persamaan mekanika klasik. Banyak dari karya Jacobi diterbitkan secara anumerta pada tahun 1860-an, membangkitkan minat yang sangat besar di Prancis dan Jerman (Hawkins, hal.43). Idée fixe Lie adalah pengembangan teori kesimetrian persamaan diferensial yang diselesaikan oleh Évariste Galois untuk persamaan aljabar: yaitu, untuk mengklasifikasikannya dalam teori grup. Lie dan matematikawan lainnya menunjukkan persamaan yang paling penting untuk fungsi khusus dan polinomial ortogonal cenderung muncul dari kesimetrian teoretis grup. Dalam karya awal Lie, idenya adalah untuk membangun teori grup kontinu, untuk melengkapi teori kelompok diskrit yang telah dikembangkan dalam teori bentuk modular, di tangan Felix Klein dan Henri Poincaré. Aplikasi awal yang ada dalam pikiran Lie adalah teori persamaan diferensial. Pada model teori Galois dan persamaan polinomial, konsep penggeraknya adalah teori yang mampu menyatukan, dengan mempelajari simetri, seluruh luas persamaan diferensial biasa. Namun, harapan bahwa Teori Kebohongan akan menyatukan seluruh bidang persamaan diferensial biasa tidak terpenuhi. Metode simetri untuk ODE terus dipelajari, namun tidak mendominasi materi. Ada teori Galois diferensial, tetapi dikembangkan oleh orang lain, seperti Picard dan Vessiot, dan ini memberikan teori kuadratur, integral tak hingga.

Dorongan tambahan untuk mempertimbangkan kelompok berkelanjutan berasal dari gagasan Bernhard Riemann, pada dasar-dasar geometri, dan pengembangan lebih lanjut mereka di tangan Klein. Jadi tiga tema utama dalam matematika abad ke-19 digabungkan oleh Lie dalam menciptakan teori barunya: ide simetri, seperti yang dicontohkan oleh Galois melalui pengertian aljabar dari grup; teori geometri dan solusi eksplisit dari persamaan diferensial mekanika, dikerjakan oleh Poisson dan Jacobi; dan pemahaman baru tentang geometri yang muncul dalam karya Plücker, Möbius, Grassmann dan lainnya, dan berpuncak pada visi revolusioner Riemann tentang subjek tersebut.

Meskipun saat ini Sophus Lie diakui sebagai pencipta teori kelompok berkelanjutan, langkah besar dalam pengembangan teori struktur mereka, yang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika selanjutnya, dibuat oleh Wilhelm Killing, yang pada tahun 1888 menerbitkan makalah pertama dalam seri berjudul Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Komposisi grup transformasi hingga kontinu) (Hawkins, hlm. 100). Pekerjaan Pembunuhan, kemudian disempurnakan dan digeneralisasikan oleh Élie Cartan, mengarah ke klasifikasi aljabar Lie setengah sederhana, Teori Cartan tentang ruang simetris, dan deskripsi Hermann Weyl tentang representasi dari grup Lie yang kompak dan setengah sederhana.

Pada tahun 1900 David Hilbert menantang ahli teori Lie dengan Masalah Kelima yang dipresentasikan pada Kongres Internasional Ahli Matematika di Paris.

Weyl membawa periode awal perkembangan teori kelompok Lie membuahkan hasil, karena tidak hanya dia mengklasifikasikan representasi tak tersederhanakan dari kelompok Lie semisimple dan menghubungkan teori grup dengan mekanika kuantum, tetapi dia juga menempatkan teori Lie itu sendiri pada pijakan yang lebih kokoh dengan secara jelas menyatakan perbedaan antara  grup sangat kecil  Lie (yaitu, Lie algebras) dan grup Lie yang sesuai, dan mulai menyelidiki topologi grup Lie. Teori kelompok Lie secara sistematis dikerjakan ulang dalam bahasa matematika modern dalam sebuah monograf oleh Claude Chevalley.

Konsep grup Lie, dan kemungkinan klasifikasi

Grup Lie dianggap sebagai grup kesimetrian yang bervariasi dengan polos. Contoh kesimetrian termasuk rotasi di sekitar sumbu. Yang harus dipahami adalah sifat transformasi 'kecil', misalnya, rotasi melalui sudut-sudut kecil, yang menghubungkan transformasi di dekatnya. Objek matematika yang menangkap struktur ini disebut aljabar Lie (Lie sendiri menyebutnya "grup infinitesimal"). Dapat didefinisikan karena grup Lie adalah lipatan polos, sehingga memiliki ruang tangen pada setiap titik.

Aljabar Lie dari setiap grup Lie kompak (kira-kira: salah satu yang kesimetriannya membentuk himpunan hingga) dapat didekomposisi sebagai jumlah langsung dari aljabar Lie Abelian dan sejumlah sederhana. Struktur aljabar Lie abelian secara matematis tidak menarik, karena tanda kurung Lie identik dengan nol, minatnya terdapat pada ringkasan sederhana. Karenanya muncul pertanyaan, sebagai berikut: Apa aljabar Lie sederhana dari grup kompak? Ternyata mereka kebanyakan ke dalam empat keluarga tak hingga, "aljabar Lie klasik" An, Bn, Cn dan Dn, yang dimiliki deskripsi sederhana dalam hal kesimetrian ruang Euklides. Tetapi hanya ada lima "aljabar Lie eksepsional" yang tidak termasuk dalam salah satu keluarga ini. E8 adalah yang terbesar.

Grup Lie diklasifikasikan menurut sifat aljabar, yaitu sederhana, semi-sederhana, berpenyelesaian, nilpoten, abelian, keterhubungan, yaitu terkoneksi atau terhubung sederhana, dan kekompakan.

Hasil utama pertama adalah dekomposisi Levi yang mengatakan bahwa setiap grup Lie yang terhubung sederhana adalah produk semilangsung dari subgrup normal yang dapat dipecahkan dan subgrup semisederhana.

Grup Lie kompak yang terhubung yang diketahui: pusat hasil bagi hingga dari produk salinan grup lingkaran S1 dan grup Lie kompak sederhana, yang sesuai dengan diagram Dynkin yang terhubung.

Setiap gugus Lie berpenyelesaian secara sederhana adalah isomorfik ke subgrup tertutup dari grup matriks segitiga atas invers dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup seperti itu adalah 1-dimensi. Grup berpenyelesaian terlalu berantakan untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.

Setiap grup Lie nilpoten yang terhubung sederhana adalah isomorfik ke sungrup tertutup dari grup matriks segitiga atas yang dapat dibalik dengan 1 dalam diagonal dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup adalah 1-dimensi. Seperti grup berpenyelesaian, grup nilpoten untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.

Grup Lie sederhana terkadang didefinisikan sebagai grup yang sederhana sebagai grup abstrak, dan terkadang didefinisikan sebagai grup Lie yang terhubung dengan aljabar Lie sederhana. Misalnya, SL(2, R) sederhana menurut definisi kedua tetapi tidak menurut definisi pertama. Seluruhnya telah diklasifikasikan (untuk kedua definisi).

Grup Lie Semisederhana adalah grup Lie yang aljabar Lie merupakan produk dari aljabar Lie sederhana. Seluruhnya adalah perluasan utama dari produk grup Lie sederhana.

Komponen identitas dari setiap grup Lie adalah subgrup normal terbuka, dan grup hasil bagi adalah grup diskrit. Sampul universal dari setiap grup Lie yang terhubung adalah grup Lie yang terhubung secara sederhana, dan sebaliknya setiap grup Lie yang terhubung adalah hasil bagi dari grup Lie yang terhubung secara sederhana oleh subgrup normal diskrit dari pusat. Setiap grup Lie G diuraikan menjadi grup diskrit sederhana, dan abelian dengan cara kanonik sebagai berikut. Ditulis sebagai:

Gcon untuk komponen identitas yang terhubung

Gsol untuk subgrup berpenyelesaian normal terbesar yang terhubung

Gnil untuk subgrup nilpoten normal terbesar yang terhubung

maka, memiliki urutan subgrup normal

1 ⊆ Gnil ⊆ Gsol ⊆ Gcon ⊆ G.