Jelaskan Sifat lainnya dari Topologi operator lemah

Operasi adjoin  T  →  T* , sebagai konsekuensi langsung dari definisinya, adalah kontinu dalam TOL.

Perkalian tidak kontinu dalam TOL: maka  menjadi pergeseran sepihak. Jika Cauchy-Schwarz, salah satunya memiliki keduanya Tn dan T*n konvergen ke 0 dalam TOL. Maka T*nTn adalah operator identitas untuk semua . (Karena WOT bertepatan dengan topologi σ-weak pada himpunan terbatas, perkalian tidak terus menerus secara bersama-sama dalam topologi-σ.)

Namun, klaim yang lebih lemah dapat dibuat: perkalian secara terpisah terus menerus dalam TOL. Jika jaring Ti → T pada TOL, maka STi → ST dan TiS → TS dalam TOL.

TOK dan TOL pada B(X,Y) ketika  X  dan  Y  adalah ruang bernorma

Kita dapat memperluas definisi TOK dan TOL ke pengaturan yang lebih umum di mana  X  dan  Y '' adalah ruang bernorma dan  adalah ruang operator linear berbatas dari formulir . Dalam hal ini, pada  and  mendefinisikan sebuah seminorma  on  via the rule . Grup seminorma yang dihasilkan menghasilkan topologi operator lemah pada .  Sama halnya, TOL pada  dibentuk dengan mengambil lingkungan terbuka dasar himpunan formulir tersebut

dimana  adalah himpunan hingga,  juga merupakan himpunan hingga, dan . Ruang  adalah ruang vektor topologi konveks lokal bila diberkahi dengan TOL.

Topologi operator kuat pada  dihasilkan oleh grup seminorma  via the rules . Jadi, basis topologi untuk TOK diberikan oleh lingkungan terbuka dari formulir

dimana sebelumnya  adalah himpunan hingga, dan