Jelaskan Definisi dari Relasi kekongruenan

Kekongruenan memiliki definisi yang bergantung pada tipe struktur aljabar yang sedang dibahas. Definisi kekongruenan yang spesifik dapat dibentuk untuk grup, gelanggang, semigrup, modul, dan lain-lainnya. Tema yang umum dari definisi kekongruenan adalah suatu relasi ekuivalensi pada objek aljabar yang tetap berlaku pada struktur aljabar yang bersangkutan; dalam artian operasi untuk anggota struktur tersebut terdefinisi dengan baik untuk kelas-kelas ekuivalennya. Sebagai contoh, sebuah grup adalah objek aljabar berisi himpunan yang dilengkapi oleh sebuah operasi biner, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Untuk sebuah grup  dengan operasi , relasi kekongruenan pada  adalah relasi ekuivalensi  pada elemen-elemen  yang memenuhi

untuk setiap , , , . Untuk kekongruenan pada sebuah grup, kelas kesetaraan yang mengandung elemen identitas selalu merupakan subgrup normal, dan kelas-kelas ekuvalen lainnya adalah coset dari subgrup ini. Secara keseluruhan, kelas-kelas kesetaraan ini adalah elemen dari grup hasil bagi.

Jika struktur aljabar memiliki lebih dari satu operasi, relasi kekongruenan perlu berlaku untuk setiap operasi. Sebagai contoh, sebuah gelanggang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga relasi kekongruenan perlu memenuhi

untuk setiap . Untuk kekongruenan pada sebuah gelanggang, kelas kesetaraan yang mengandung unsur 0 selalu merupakan ideal dua sisi; dan dua operasi pada himpunan kelas-kelas kesetaraan, dapat mendefinisikan gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Bentuk umum relasi kekongruenan dapat didefinisikan secara formal dalam konteks aljabar universal, sebuah bidang ilmu yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar. Dalam bidang ini, relasi kekongruenan adalah relasi ekuivalensi  pada struktur aljabar yang memenuhi

untuk setiap operasi -ary , dan untuk semua elemen  dengan   untuk setiap