Jelaskan Sifat dari Grup kelas ideal

Grup kelas ideal adalah (yaitu hanya memiliki satu elemen) jika dan hanya jika ideal R adalah pokok. Dalam pengertian ini, grup kelas ideal mengukur R dari menjadi domain ideal utama, dan karena faktorisasi prima unik (domain Dedekind adalah domain faktorisasi unik jika dan hanya jika domain tersebut adalah domain ideal utama).

Jumlah kelas ideal ( dari R) tidak hingga pada umumnya. Maka, grup abelian isomorfik dengan grup kelas ideal dari beberapa domain Dedekind. Jika R adalah gelanggang bilangan bulat aljabar, maka bilangan kelasnya selalu hingga. Hal ini adalah salah satu hasil utama dari teori bilangan aljabar klasik.

Perhitungan grup kelas secara umum; dengan tangan untuk gelanggang bilangan bulat dalam bidang bilangan aljabar kecil diskriminan, menggunakan batas Minkowski. Hasil ini memberikan batasan, tergantung pada gelanggang, sehingga setiap kelas ideal mengandung norma ideal yang kurang dari batasan. Secara umum, batasan tidak cukup tajam untuk membuat kalkulasi praktis untuk bidang dengan diskriminan besar, tetapi komputer sangat cocok untuk tugas tersebut.

Pemetaan dari gelanggang bilangan bulat R ke grup kelas yang sesuai berfungsi, dan grup kelas dapat dimasukkan ke dalam judul teori-K aljabar, dengan K0(R) menjadi funktor  R  grup kelas yang ideal; lebih tepatnya, K0(R) = Z×C(R), dimana C(R) adalah grup kelas. Grup K yang lebih tinggi juga dapat digunakan dan diinterpretasikan secara aritmetika sehubungan dengan gelanggang bilangan bulat.