Matriks Jacobi itu apa sih?

Matriks Jacobi dari fungsi multivariabel bernilai vektor memperumum konsep gradien fungsi multivariabel bernilai real; yang selanjutnya merupakan perumuman dari konsep turunan fungsi satu variabel bernilai real. Misalkan  adalah fungsi yang semua turunan parsial pertamanya terdefinisi di . Fungsi ini memetakan titik  di  dengan vektor  di . Matriks Jacobi  dari fungsi  didefinisikan sebagai matriks berukuran  adalah matriks yang elemen ke--nya adalah , atau secara eksplisit,

Simbol  menyatakan vektor baris hasil transpos dari gradien fungsi komponen ke-. Beberapa penulis mendefinisikan matriks Jacobi sebagai  transpos dari bentuk yang disajikan di atas. Jika fungsi terdiferensialkan di suatu titik, diferensialnya dapat digunakan untuk menyusun matriks Jacobi. Tetapi fungsi tidak perlu terdiferensialkan supaya matriks Jacobinya terdefinisi, karena hanya turunan-turunan parsial pertama dari fungsi yang perlu terdefinisi.

Untuk setiap titik  dimana fungsi  terdiferensialkan, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai ukuran perubahan yang dilakukan fungsi di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, jika  digunakan untuk mentransformasi sebuah gambar secara mulus, matriks Jacobi  menjelaskan bagaimana gambar di lingkungan titik  berubah bentuk. Transformasi linear yang direpresentasikan oleh  adalah hampiran linear terbaik dari nilai fungsi  di sekitar , dalam artian

dengan  adalah besaran yang menuju nol jauh lebih cepat daripada jarak antara  dan  ketika  bergerak menuju . Hampiran ini tereduksi menjadi polinomial Taylor untuk fungsi satu variabel bernilai real, yakni