Jelaskan Relasi diantara sifat dari Aljabar non-asosiatif

Setiap dua dari tiga sifat alternatif kiri, alternatif kanan, dan fleksibel, adalah yang ketiga.

Fleksibel adalah pangkat asosiatif ketiga.

Pangkat asosiatif kedua dan pangkat komutatif kedua adalah hakiki.

Pangkat asosiatif ketiga dan pangkat komutatif ketiga adalah ekuivalen.

Pangkat asosiasi ke- adalah pangkat komutatif ke- .

Nok dari indeks 2 adalah antikomutatif.

Nol dari indeks 2 adalah identitas Jordan.

Nilpoten indeks 3 adalah identitas Jacobi.

Nilpoten indeks  adalah nol indeks  dengan .

Unital dan nol indeks  bukan kompatibel.

Identitas Jordan dan komutatif adalah pangkat asosiatif.

Alternatif kanan adalah pangkat asosiatif.

Demikian pula, alternatif kiri adalah kekuatan asosiatif.

Unital  dan  identitas Jordan adalah fleksibel.

Identitas Jordan dan fleksibel adalah pangkat asosiatif.

Komutatif dan antikomutatif adalah nilpoten indeks 2.

Antikomutatif adalah nol dari indeks 2.

Unital dan antikomutatif bukan kompatibel.

Unital dan identitas Jacobi bukan kompatibel.

Komutatif dan  (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan pangkat asosiatif keempat) adalah pangkat asosiatif.

Pangkat asosiatif ketiga dan  (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan pangkat asosiatif keempat) adalah pangkat asosiatif.

Komutatif dan antikomutatif adalah ekuivalen.

Asosiasi pada A adalah peta multilinear-K  diberikan oleh

Ini mengukur tingkat nonasosiasi dari , dan apabila digunakan untuk mengekspresikan beberapa kemungkinan identitas yang dipenuhi oleh A.

Misalkan ,  dan  menyatakan elemen aljabar sebarang.

Alternatif:  (alternatif kiri) dan  (alternatif kanan).

Ini menyatakan bahwa mengubah dua suku maka hal itu mengubah tanda: ; konversinya hanya berlaku jika .

Ini menyatakan bahwa mengubah istilah ekstrem mengubah tanda: ; konversinya hanya berlaku jika .

Identitas Jordan:  atau  tergantung penulisannya.

Inti adalah himpunan elemen yang terkait dengan semua elemen lain: yaitu,  di A sebagai

Inti adalah subgelanggang asosiatif dari A.

Pusat dari A adalah himpunan elemen komutatif dan terkait dengan suatu di A, yang merupakan perpotongan dari

dengan inti. Ternyata untuk elemen C(A) cukup dua himpunan  adalah  untuk yang ketiga juga merupakan himpunan nol.

Ruang Eullides R3 dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar yang antikomutatif dan bukan asosiatif. Produk silang juga memenuhi identitas Jacobi.

Aljabar Lie adalah aljabar yang memenuhi antikomutatifitas dan identitas Jacobi.

Aljabar medan vektor pada lipatan terdiferensiasi (jika K adalah R atau bilangan kompleks C) atau sebuah variasi aljabar (untuk umum K);

Aljabar Jordan adalah aljabar yang memenuhi hukum komutatif dan identitas Jordan.

Setiap aljabar asosiatif memunculkan aljabar Lie dengan menggunakan komutator sebagai tanda kurung Lie. Sebenarnya setiap aljabar Lie apabila dikonstruksi dengan cara ini, atau merupakan subaljabar dari aljabar Lie yang dibuat dengan cara ini.

Setiap aljabar asosiatif pada medan karakteristik selain 2 memunculkan aljabar Jordan dengan mendefinisikan perkalian yang baru x*y = (xy+yx)/2. Berbeda dengan kasus aljabar Lie, tidak semua aljabar Jordan dapat dibuat dengan cara ini. Apabila yang bisa disebut khusus.

Aljabar alternatif adalah aljabar yang memenuhi sifat alternatif. Contoh aljabar alternatif yang paling penting adalah oktonion (aljabar atas riil), dan generalisasi oktonion atas medan lain. Semua aljabar asosiatif adalah alternatif. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif riil dengan dimensi hingga, aljabar pembagian (lihat di bawah) adalah riil, kompleks, kuaternion dan oktonion.

Pangkat aljabar asosiatif, adalah aljabar yang memenuhi pangkat identitas asosiatif. Contohnya mencakup semua aljabar asosiatif, semua aljabar alternatif, aljabar Jordan pada medan selain GF(2) (lihat bagian sebelumnya), dan sedenion.

Aljabar kuaternion hiperbolik atas R, yang merupakan aljabar eksperimental sebelum adopsi ruang Minkowski untuk relativitas khusus.