Coba jelasin Maka  menjadi ruang metrik. dari Ruang metrik lengkap dong

Jika  adalah subruang kompleks, maka  tertutup.

Jika  adalah himpunan dan  adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan  dari semua fungsi terbatas  f  dari  hingga  adalah ruang metrik lengkap.

Di sini kami mendefinisikan jarak dalam  dalam hal jarak di  dengan norma supremum

Jika  adalah ruang topologi dan  adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan  terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi  dari  hingga  adalah subruang tertutup dari {{math|B(X, M).

Teorema kategori Baire mengatakan bahwa setiap ruang metrik lengkap adalah ruang Baire.

Yaitu, gabungan dari terhitung banyak tempat padat himpunan bagian ruang memiliki interior kosong.

Teorema titik tetap Banach menyatakan bahwa pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap mengakui titik tetap. Teorema titik tetap sering digunakan untuk membuktikan teorema fungsi invers.