Jabarkan Contoh dari Transpos

Misal  dan  adalah matriks dan  adalah sebuah skalar. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos:

Jika matriks  berukuran  dan  adalah transposnya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi:  yang berukuran  dan  yang berukuran . Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks  adalah hasil kali dalam baris dari  dengan kolom dari . Namun karena kolom pada  adalah baris pada , setiap elemen di  adalah hasil kali dalam dua baris matriks . Jika  adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke- dan ke- di . Nilai elemen  juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga , dan menyebabkan  simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian  juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks  didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

Implementasi transpos matriks di komputer

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, namun kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritme transformasi Fourier cepat, melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpos matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.