Jelaskan Dasar untuk kategori himpunan dari Kategori himpunan

Dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel kumpulan semua himpunan bukanlah himpunan; ini mengikuti dari aksioma fondasi. Satu mengacu pada koleksi yang tidak ditetapkan sebagai kelas yang tepat. Seseorang tidak dapat menangani kelas karena maka disebut Himpunan; Secara khusus, tidak dapat menulis bahwa kelas-kelas yang tepat itu milik sebuah koleksi (baik sekumpulan atau kelas yang sesuai). Masalah karena ini berarti bahwa kategori himpunan tidak dapat diformalkan secara langsung dalam pengaturan ini. Kategori seperti Himpunan yang kumpulan objeknya membentuk kelas yang tepat dikenal sebagai kategori besar, untuk membedakannya dari kategori kecil yang objeknya membentuk satu himpunan.

Salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan bekerja dalam sistem yang memberikan status formal ke kelas yang sesuai, seperti teori himpunan NBG. Dalam pengaturan ini, kategori yang dibentuk dari himpunan dikatakan  kecil  dan (seperti Himpunan) dibentuk dari kelas dikatakan  besar .

Solusi lain adalah dengan mengasumsikan keberadaan semesta Grothendieck. Secara kasar, alam semesta Grothendieck adalah himpunan yang dengan sendirinya merupakan model ZF (C) (misalnya jika himpunan semesta, unsur-unsurnya dan pangkatnya akan menjadi semesta).  Keberadaan semesta Grothendieck (selain himpunan kosong dan himpunan  dari semua himpunan hingga herediter) tidak tersirat oleh aksioma ZF biasa; itu adalah aksioma tambahan, independen, kira-kira setara dengan keberadaan kardinal insesibel. Dengan asumsi aksioma ekstra ini, seseorang dapat membatasi objek Himpunan ke elemen alam semesta tertentu. (Tidak ada "himpunan dari semua himpunan" dalam model, tapi kita masih bisa bernalar tentang kelas  U  dari semua himpunan dalam, yaitu elemen  U .)

Berbagai solusi lain, dan variasi di atas, telah diusulkan.

Masalah yang sama muncul dengan kategori konkret lainnya, seperti kategori grup atau kategori ruang topologi.