Jabarkan Produk Tensor dari Ruang Banach

Misalkan  dan  menjadi dua ruang vektor-. Produk tensor  dari  dan  adalah ruang vektor- dengan  dengan pemetaan bilinear  yang memiliki sifat universal berikut:

Jika  adalah setiap pemetaan bilinear menjadi a ruang vektor- pada , lalu ada pemetaan linear yang unik  dirumu .

Gambar di bawah  pasangan  pada  dilambangkan dengan , dan disebut tensor sederhana.

Setiap elemen  dengan  adalah jumlah terbatas tensor sederhana tersebut.

Ada berbagai norma yang dapat ditempatkan pada hasil kali tensor ruang vektor yang mendasarinya, antara lain norma silang proyektif dan norma silang injeksi yang diperkenalkan oleh A. Grothendieck pada tahun 1955.

Secara umum, hasil kali tensor ruang komplek tidak kompleks lagi. Saat bekerja dengan ruang Banach, biasanya dikatakan bahwa produk tensor proyektif dari dua ruang Banach  dan  adalah  penyelesaian   dari hasil kali tensor aljabar  dilengkapi dengan norma tensor proyektif, dan juga untuk produk tensor injektor  .

Grothendieck secara khusus membuktikan bahwa

di mana  adalah ruang Hausdorff yang padat,  ruang Banach fungsi kontinu dari  ke  dan  ruang fungsi yang dapat diukur dan diintegrasikan Bochner dari  hingga , dan di mana isomorfisme adalah isometrik.

Dua isomorfisme di atas adalah ekstensi masing-masing dari peta yang mengirimkan tensor  to the vector-valued function .

Produk Tensor dan properti aproksimasi

Misalkan  menjadi spasi Banach. Produk tensor  diidentifikasi secara isometrik dengan penutupan di  dari himpunan operator peringkat terbatas.

Jika  memiliki properti aproksimasi, penutupan ini bertepatan dengan spasi operator kompak pada .

Untuk setiap ruang Banach , ada norma alami  peta linear

diperoleh dengan memperluas peta identitas produk tensor aljabar. Grothendieck menghubungkan masalah perkiraan dengan pertanyaan apakah peta ini satu-ke-satu jika  adalah rangkap dari .

Tepatnya, untuk setiap ruang Banach , peta

bersifat satu-ke-satu jika dan hanya jika  memiliki properti aproksimasi.

Grothendieck menduga bahwa  dan  harus berbeda  dan  adalah ruang Banach berdimensi tak hingga.

Hal ini dibantah oleh Gilles Pisier pada tahun 1983.

Pisier membangun ruang Banach berdimensi tak hingga  maka  and  adalah sama. Lebih lanjut, seperti contoh Enflo's, spasi ini  adalah ruang "buatan tangan" yang gagal memiliki properti aproksimasi. Di sisi lain, Szankowski membuktikan bahwa ruang klasik  tidak memiliki properti aproksimasi.