Jabarkan Motivasi dari Ruang vektor topologis

Setiap ruang vektor bernorma memiliki struktur topologis: norma menginduksi sebuah metrik dan metrik menginduksi sebuah topologi. Ini adalah ruang vektor topologis karena:

Penambahan vektor  secara bersama-sama berkelanjutan sehubungan dengan topologi ini. Ini mengikuti langsung dari pertidaksamaan segitiga yang dipatuhi oleh norma.

Perkalian skalar , dengan  adalah bidang skalar yang mendasari , kontinu bersama. Ini mengikuti dari segitiga ketidaksamaan dan homogenitas norma.

Jadi semua Ruang Banach dan Ruang Hilbert adalah contoh ruang vektor topologis.