Tolong jelaskan mengenai Pemetaan antar poset dari Himpunan terurut parsial

Diberikan dua set yang dipesan sebagian (S, ≤) dan (T, ≤), sebuah fungsi f: S → T disebut pengawetan urutan, atau monoton, atau isoton, jika untuk  x  dan  y  pada  S , x ≤ y menyiratkan f(x) ≤ f(y).

Jika (U, ≤) juga merupakan himpunan yang dipesan sebagian, dan keduanya f: S → T dan g: T → U menjaga keteraturan, komposisi mereka g∘f : S → U juga menjaga ketertiban.

Sebuah fungsi f: S → T disebut urutan refleksi jika untuk  x  dan  y  pada  S , f(x) ≤ f(y) menyiratkan x ≤ y.

Jika  f  baik untuk menjaga ketertiban maupun mencerminkan ketertiban, maka ini disebut urutan pembenaman dari (S, ≤) menjadi (T, ≼).

Dalam kasus terakhir,  f  harus injektif, karena f(x) = f(y) menyiratkan x ≤ y dan y ≤ x. Jika ada urutan pembenaman antara dua himpunan terurut parsial S dan T, satunya dikatakan bahwa S dapat menjadi terbenam ke dalam T . Jika urutan pembenaman f: S → T adalah bijektif, ini disebut  'isomorfisme tatanan' , dan urutan parsial (S,≤) dan (T ,≤) dikatakan menjadi isomorfik. Ordo isomorfik memiliki struktur serupa diagram Hasse (lih. Gambar kanan). Dapat ditunjukkan bahwa jika peta pelestarian pesanan f: S → T dan g: T → S dirumuskan g∘f dan f∘g menghasilkan fungsi identitas pada S  dan T , lalu S dan T adalah urutan-isomorfik.

Misalnya, pemetaan f: ℕ → ℙ(ℕ) dari himpunan bilangan asli (diurutkan berdasarkan pembagian) ke himpunan daya dari bilangan asli (diurutkan berdasarkan set inklusi) dapat ditentukan dengan mengambil setiap bilangan ke himpunan pembagi utama. Ini menjaga keteraturan: jika  x  membagi  y , maka setiap pembagi utama dari  x  juga merupakan pembagi utama dari  y . Namun, ini bukan injektif (karena memetakan 12 dan 6 ke {2, 3}) atau mencerminkan urutan (karena 12 tidak membagi 6). Mengambil alih-alih setiap bilangan ke himpunan pangkat utama -nya mendefinisikan peta g: ℕ → ℙ(ℕ) yaitu memelihara ketertiban, mencerminkan ketertiban, dan karenanya merupakan penyematan pesanan. Ini bukan isomorfisme urutan (karena misalnya tidak memetakan nomor apa pun ke himpunan {4}), tapi bisa dibuat dengan membatasi kodomain menjadi g(ℕ). Gambar kanan menunjukkan subhimpunan dari ℕ dan gambar isomorfiknya di bawah  g . Konstruksi isomorfisme-tatanan semacam itu ke dalam himpunan daya dapat digeneralisasikan ke kelas luas tatanan parsial, disebut kekisi distributif, lihat "Teorema wakilan Birkhoff".