Jelaskan Objek adalah elemen  ; dari Grupoid

Untuk dua elemen  dan  di , morfisme dari  untuk  sesuai dengan elemen  dari  dengan  ;

Komposisi morfisme menafsirkan operasi biner  .

Lebih jelasnya, aksi grupoid adalah kategori kecil dengan  dan  dengan peta sumber target  dan  . Dilambangkan dengan  (atau  ). Perkalian (atau komposisi) di grupoid kemudian  ditentukan dengan  .

Untuk  di , grup puncak terdiri dari  dengan , merupakan subgrup isotropi di  untuk aksi diberikan grup simpul (juga disebut grup isotropi).

Cara lain untuk mendeskripsikan himpunan- adalah kategori funktor , dimana  adalah grupoid (kategori) dengan satu elemen dan isomorfik ke grup . Memang, setiap funktor  dari kategori mendefinisikan satu himpunan  dan untuk setiap  di  (yaitu untuk setiap morfisme dalam  ) dari bijeksi  :  . Struktur kategoris dari funktor  meyakinkan kami bahwa  mendefinisikan aksi- di lokasi syuting . Funktor (unik) diwakili  :  →  adalah representasi Cayley dari . Faktanya, fungsi isomorfik  dan  ke himpunan  menurut definisi "himpunan"  dan morfisme  dari  (yaitu elemen  dari ) ke permutasi  himpunan . Menyimpulkan dari embedding Yoneda grup  isomorfik ke grup , Subgrup dari grup permutasi .