Jelaskan Sejarah dari Aritmetika modular

Pada abad ke-3 SM, Euklides merumuskan fondasi-fondasi aritmetika dalam bukunya Element. Di dalamnya, terdapat sebuah lema yang umum dirujuk sebagai lema Euklides, versi awal dari teorema dasar aritmetika dan studi mengenai bilangan sempurna dalam proposisi 36 pada bukunya ke-9. Diofantos dari Alexandria (sekitar 250 M) menulis buku Arithmetica yang memuat 130 persamaan. Sebagian besar isinya membahas permasalahan yang memiliki hanya satu solusi, baik dalam bentuk pecahan maupun bilangan bulat. Buku tersebut juga menunjukkan bahwa jumlah dari dua bilangan sempurna tidak pernah dalam bentuk . Bentuk persamaan yang ia bahas, dengan koefisien persamaan dan solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat, saat ini dikenal sebagai persamaan Diofantin.

Aritmetika modular juga berkembang di Cina. Sekitar 300 M, Sunzi Suanjing menulis risalah matematika, yang pada permasalahan ke-26 di bab ke-3 berisi: "Anggap ada barang yang jumlahnya tidak kita ketahui. Dengan menghitung tiga demi tiga, ada tersisa dua barang. Dengan menghitung lima demi lima, ada sisa tiga barang, dan ketika dihitung tujuh demi tujuh, ada sisa dua. Berapa banyak barang yang ada disana?".

Qin Jiushao (1202-1261) mengembangkan teorema sisa Cina dalam risalah matematika yang ia tulis. Materi pada risalah tesebut sangat dalam; membahas sistem kekongruenan linear pada kasus modulus-modulus pada sistem tidak saling koprima. George Sarton menyatakan bahwa karyanya pada sistem kekongruenan melebihi Leonhard Euler dan Gauss. Namun, karya Qin Jiushao tidak tedengar di luuar Cina sebelum abad ke-20. Karyanya ditemukan ulang oleh sejarawan Joseph Needham. Di sisi lain, kemiripan notasi yang digunakan di Arab dan Cina mengusulkan ada kontak yang terjadi pada periode-periode sebelumnya.

India juga memiliki tradisi kuat dalam aritmetika. Aryabhata (476 - 550) secara sistematik mencari solusi bilangan bulat dari persamaan linear dengan dua variabel dan koefisien bilangan bulat. Algoritmanya dirujuk sebagai "Kuttaka" pada bukunya Âryabhatîya. Persamaan Diofantin derajat dua dipelajari Brahmagupta (598 - 668). Pada abad ke-12, Bhāskara II menyempurnakan metode Chakravala.

Masa Islam abad pertengahan memegang peran ganda dalam perkembangan aritmetika: menggabungkan pengetahuan yang didapatkan di Yunani, India, Cina, dan Eropa, dan menciptakan penemuan baru. Hal ini termasuk studi mengenai sifat dari himpunan bilangan, seperti prima, sempurna, ramah (amicable), dan poligonal. Dalam konteks ini, Qusta bin Lûqâ melakukan terjemahan parsial buku Arithmetica milik Diofantos dari Alexandria, di akhir abad ke-9. Pada masa yang sama, Al-Hajjaj menerjemahkan Elemen milik Euclid. Koleganya, Al-Kharizmi (sekitar 783 - 850), menulis buku mengenai numerisasi. Terjemahan bahasa Latin dari buku ini adalah Algoritmi de numero Indorum. Tsabit bin Qurrah (836-901) mempelajari bilangan amicable dan bilangan sempurna. Ibnu Haitham (965 - 1039) melanjutkan hasil kerjanya dan menemukan teorema Wilson.