Jelaskan Contoh dari Objek grup

Setiap himpunan G dari struktur grup ( G, m, u, −1 ) didefinisikan sebagai objek grup dalam kategori himpunan. Peta m adalah operasi grup, peta e (dimana domainnya singleton) elemen identitas u dari G, dan inv peta kebalikannya ke elemen grup. e G : G → G adalah peta order elemen G ke elemen identitas.

Grup topologi adalah grup objek dalam kategori ruang topologi dengan fungsi kontinu .

Grup Lie adalah grup objek dalam kategori lipatan halus dengan peta smuth .

Supergrup Lie adalah grup objek dalam kategori supermanifold.

Grup aljabar adalah grup objek dalam kategori varietas aljabar. Dalam geometri aljabar modern, mempertimbangkan skema grup, mengelompokkan objek dalam kategori skema.

Grup lokal adalah objek grup dalam kategori lokal .

Objek grup dalam kategori grup (atau monoid ) adalah grup abelian . Alasannya adalah, jika inv diasumsikan homomorfisme, maka G harus abelian. Lebih tepatnya: jika A adalah kelompok abelian dan kita dilambangkan dengan m perkalian kelompok A, melalui e dimasukkannya unsur identitas, dan dengan inv operasi inversi pada A, maka (A, m, e, inv) adalah objek kelompok dalam kategori grup (atau monoid). Sebaliknya, jika ( A, m, e, inv ) adalah objek grup dalam salah satu kategori tersebut, maka m harus bertepatan dengan operasi yang diberikan pada A, e adalah penyertaan elemen identitas tertentu pada A, inv adalah operasi inversi dan A dengan operasi yang diberikan adalah grup abelian. Lihat pula argumen Eckmann–Hilton .

Grup-2 adalah objek grup dalam kategori kecil .

Mengingat kategori C dengan terbatas koproduk, benda kogrup adalah G objek C dengan "comultiplication" m: G → G  G, "coidentity" e : G → 0, dan "coinversion" inv : G → G yang memenuhi versi ganda aksioma untuk objek grup. Dimana 0 adalah objek awal C. Objek kogrup terjadi di dalam topologi aljabar.