Jabarkan Gelanggang lokal reguler dari Gelanggang komutatif

Ruang vektor-k m/m2 adalah inkarnasi aljabar dari ruang kotangen. Secara informal, elemen m sebagai fungsi lenyap pada titik p, sedangkan m2 adalah dengan urutan hilang setidaknya 2. Untuk setiap gelanggang lokal Noetherian R, pertidaksamaan

redupk m/m2 ≥ redup R

sebagai gagasan bahwa ruang kotangen (atau ekuivalen dengan tangen) memiliki dimensi dari ruang Spek R. Jika pertidaksamaan benar dalam perkiraan ini, maka R disebut gelanggang lokal reguler. Gelanggang lokal Noetherian adalah teratur jika dan hanya jika gelanggang (yang merupakan gelanggang fungsi pada kerucut tangen)

isomorfik ke gelanggang polinomial di atas k. Secara garis besar, gelanggang lokal biasa agak mirip dengan gelanggang polinomial. Gelanggang lokal biasa adalah DFU.

Gelanggang penilaian diskrit dilengkapi dengan fungsi bilangan bulat ke setiap elemen r. Bilangan ini, disebut penilaian r secara informal sebagai urutan nol atau kutub dari r. Gelanggang penilaian diskrit tepatnya adalah gelanggang lokal biasa satu dimensi. Misalnya, gelanggang kuman fungsi holomorfik pada permukaan Riemann adalah gelanggang penilaian diskrit.