Jabarkan Contoh 2 dari Vektor koordinat

Matriks Pauli, yang mewakili operatorn spin ketika mengubah eigenkeadaan spin menjadi koordinat vektor.

Misalkan  dan  menjadi dua basis yang berbeda mengenai sebuah ruang vektor , dan misalkan kita tandai dengan , matriks yang memiliki kolom terdiri dari wakilan  dari vektor basis .

Matriks ini dirujuk sebagai matriks transformasi basis dari  dan . Ini dapat dianggap sebagai sebuah keautomorfan atas . Setiap vektor  diwakili dalam  dapat berubah menjjadi sebuah wakilan dalam  sebagai berikut:

Jika  merupakan basis standar, notasinya dapat disederhanakan dengan menghilangkannya, denan transformasi dari  ke  mewakili