Jelaskan Bentuk dan kerumitan riil dari Aljabar Lie

Diberikan aljabar Lie kompleks , aljabar Lie riil  dikatakan sebagai bentuk riil dari  jika kompleksifikasi  isomorfik untuk . Bentuk rill tidak harus unik; sebagai contoh,  memiliki dua bentuk riil  dan .

Diberikan aljabar Lie kompleks berdimensi-hingga setengah sederhana , bentuk terpisah adalah bentuk riil yang terbagi; yaitu, ia memiliki subaljabar Cartan melalui representasi adjoin dengan nilai eigen riil. Ada bentuk perpecahan dan unik (hingga isomorfisme). Bentuk kompak adalah bentuk riil yang merupakan aljabar Lie dari grup Lie kompak. Ada bentuk yang kompak dan unik.

Lie aljabar dengan struktur tambahan

Aljabar Lie dapat dilengkapi dengan beberapa struktur tambahan yang dianggap kompatibel dengan braket. Misalnya, aljabar Lie bertingkat adalah aljabar Lie dengan struktur ruang vektor bertingkat. Jika ia juga dilengkapi dengan diferensial (sehingga ruang vektor bergradasi yang mendasari adalah kaidah kompleks), maka ia disebut aljabar Lie bergradasi diferensial.

Sebuah aljabar Lie sederhana adalah benda sederhana dalam kategori aljabar Lie; dengan kata lain, itu diperoleh dengan mengganti himpunan yang mendasari dengan himpunan sederhana (jadi mungkin lebih baik dianggap sebagai keluarga Lie aljabar).