Jabarkan Kasus khusus dari Rangkap tiga Pythagoras

Sebagai tambahan, rangkap tiga Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu dapat dijamin untuk ada:

Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan  (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk ) merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras. (Jika bilangna bulat memiliki bentuk , salah satunya dapat mengambil  dan  dalam rumus Euclid, jika blangan bulatnya adalah , salah satunya dapat ambil  dan .)

Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras primtif atau takprimitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 bukan bagian rangkap tiga primitif, tetapi merupakan bagian dari rangkap tiga takprimitif ,  dan .

Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat satu. Seperti rangkap tiga adalah primitif perlu dan memiliki bentuk . Hasil ini dari rumus Euclid dengan berkomentar bahwa syaratnya menyiratkan bahwa rangkap tiganya adalah primitif dan harus membenarkan . Ini menyiratkan , dan demikian . Bentuk di atas dari hasil rangkap tiga mengenai substitusi  untuk  dalam rumus Euclid.

Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat dua. Mereka semua primitif, dan diperoleh dengan meletakkan  dalam rumus Euclid. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat , terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki ganjil berbeda dengan . Mereka diperoleh dengan menaruh  dalam rumus Euclid.

Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana dua kaki berbeda dengan tepat satu. Contohnya, , ini dihasilkan oleh rumus Euclid ketika  adalah konvergen dengan .

Untuk setiap bilangan asli , terdapat rangkap tiga Pythagoras  dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama.

Untuk setiap bilangan asli , terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif  yang berbeda dengan kaki  yang sama, dimana  adalah suatu bilangan asli (Panjang dari kaki genap adalah , dan cukup untuk memilih  dengan banyak faktorisasi, contohnya , dimana  adalah sebuah darab bilangan prima ganjil  yang berbeda; ini menghasilkan setidaknya  rangkap tiga primitif yang berbeda).

Untuk setiap bilangan asli , terdapat setidaknya rangkap tiga Pythagoras  yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.

Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa  dan jumlah dari kaki . Menurut Fermat, yang paling terkecil seperti rangkap tiga memiliki sisi , , . Disini  dan . Ini dihasilkan oleh rumus Euclid dengan nilai parameter  dan .

Terdapat segitiga Pythagoras takprimitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa. Seperti segitiga Pythagoras dikenal sebagai teruraikan karena mereka dapat dipisahkan sepanjang ketinggian ini menjadi dua pemisah dan segitiga Pythagoras lebih kecil.