Jabarkan Monoid bertingkat dari Gelanggang bertingkat

Secara intuitif, sebuah monoid bertingkat adalah himpunan bagian dari gelanggang bertingkat, , yang dihasilkan oleh , tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah .

Secara formal, monoid bertingkat adalah monoid , dengan fungsi bertingkat  sehingga . Perhatikan bahwa bertingkat  harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa  ketika m bukanlah identitas.

Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat n digunakan  dimana g adalah kardinalitas dari himpunan pembangkit G dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi n atau kurang  (untuk ) atau . Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen n dari G, dan hanya  produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.

Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat

Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan gelanggang deret pangkat. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai , indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat n hingga, untuk setiap bilangan bulat n.

Secara lebih formal, biarkan  menjadi semigelanggang arbitrer dan  sebuah monoid bertingkat. Kemudian  menunjukkan semigelanggang dari deret pangkat dengan koefisien dalam K indeks oleh R. Elemen-elemennya adalah fungsi dari R hingga K. Jumlah dua elemen  didefinisikan berdasarkan titik, itu adalah fungsi  ke . Dan hasil kali adalah fungsi  ke jumlah tak hingga . Jumlah ini didefinisikan dengan benar (yaitu, hingga) karena, untuk setiap m, hanya sejumlah pasangan hingga  sedemikian .