Jabarkan Gelanggang homomorfisme dari Gelanggang komutatif

Gelanggang homomorfisme atau peta adalah peta f:R → S maka

f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) dan f(1) = 1.

Kondisi ini memastikan f(0) = 0. Mirip dengan struktur aljabar lainnya, homomorfisme gelanggang dengan demikian merupakan peta yang kompatibel dengan struktur objek aljabar yang dimaksud. Dalam situasi, S disebut sebagai R, dengan memahami bahwa s dalam S dapat dikalikan dengan beberapa r dari R, dengan

r · s := f(r) · s.

Kernel dan citra dari f didefinisikan oleh ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} dan im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R}. Kernel adalah ideal dari R dan citra adalah subgelanggang dari S.

Homomorfisme gelanggang disebut isomorfisme jika bersifat bijektiva. Contoh isomorfisme gelanggang, yang dikenal sebagai teorema sisa Tiongkok, adalah

dimana n = p1p2...pk adalah produk dari bilangan prima yang berbeda berpasangan.

Gelanggan komutatif dengan homomorfisme gelanggang membentuk kategori. Gelanggang Z adalah objek awal dalam kategori ini, yang berarti bahwa untuk setiap gelanggang komutatif R maka homomorfisma gelanggang unik adalah Z → R. Melalui peta ini, bilangan bulat n sebagai elemen R. Misalnya, rumus binomial

yang berlaku untuk dua elemen a dan b dalam setiap gelanggang komutatif R dipahami dalam pengertian dengan menafsirkan koefisien binomial sebagai elemen R menggunakan peta.

Diberikan dua aljabar-R dengan S dan T, produk tensor