Jelaskan Fungsi idempoten dari Idempoten

Dalam monoid  dari fungsi-fungsi yang memetakan himpunan  ke dirinya sendiri dan dilengkapi dengan komposisi fungsi , elemen-elemen idempotennya adalah fungsi  yang memenuhi . Dengan kata lain, fungsi idempoten dalam monoid ini akan memenuhi  untuk semua  (citra dari setiap elemen di E adalah fixed point dari f ). Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak  pada himpunan bilangan bulat adalah fungsi idempoten karena  berlaku untuk setiap bilangan bulat . Hal Ini mengartikan fungsi nilai mutlak adalah elemen yang idempoten terhadap komposisi fungsi, pada himpunan semua fungsi yang memetakan bilangan bulat ke bilangan bulat. Contoh lainnya dari fungsi idempoten adalahː

fungsi identitas dan fungsi konstan;

fungsi floor, ceil, dan fractional part;

Jika himpunan  memiliki  elemen, himpunan tersebut dapat dipartisi menjadi  titik tetap (fixed point) dan  titik tak-tetap dibawah pemetaan oleh f. Hal ini menghasilkan  sebagai banyaknya fungsi idempoten yang berbeda. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan semua kemungkinan partisi,

menyatakan banyaknya fungsi idempoten yang mungkin di himpunan . Barisan dari rumus banyaknya fungsi idempoten di atas untuk n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,… adalah 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,… .

Sifat ke-idempoten-an fungsi tidak terawetkan dalam operasi komposisi. Sebagai contoh,  (dengan  menyakan operasi modulo) dan  adalah dua fungsi yang idempoten, namun fungsi komposisi  tidak. Walaupun pada kasus ini,  secara kebetulan bersifat idempoten. Contoh lain adalah fungsi negasi  pada domain Boole yang tidak idempoten, namun komposisi fungsi  bersifat idempoten.