Jabarkan Beberapa hasil klasifikasi dari Ruang Banach

Penokohan ruang Hilbert di antara ruang Banach

Kondisi yang diperlukan dan cukup agar norma spasi Banach  dikaitkan dengan hasil kali dalam adalah identitas jajaran genjang:

Ini mengikuti, misalnya, bahwa ruang Lebesgue  adalah ruang Hilbert hanya jika .

Jika identitas ini terpenuhi, produk dalam terkait diberikan oleh identitas polarisasi. Dalam kasus skalar nyata, ini memberikan:

Untuk skalar kompleks, tentukan produk dalam -linear di , antilinear di , identitas polarisasi dirumuskan:

Untuk melihat bahwa hukum jajaran genjang cukup, kita mengamati dalam kasus nyata bahwa  adalah simetris, dan dalam kasus yang kompleks, ia memenuhi properti Simetri Hermitian dan . Hukum jajaran genjang menyiratkan bahwa  adalah aditif di .

Oleh karena itu, ia linier di atas rasio, sehingga linier oleh kontinuitas.

Beberapa karakterisasi ruang isomorfik (bukan isometrik) ke ruang Hilbert tersedia.

Hukum jajaran genjang dapat diperpanjang hingga lebih dari dua vektor, dan diperlemah dengan diperkenalkannya pertidaksamaan dua sisi dengan konstanta : Kwapień membuktikan bahwa jika

untuk bilangan bulat  dan semua famili vektor , maka ruang Banach  isomorfik ke ruang Hilbert.

Maka,  menunjukkan rata-rata selama  kemungkinan pilihan tanda .

Dalam artikel yang sama, Kwapień membuktikan bahwa validitas Teorema Parseval yang bernilai Banach untuk transformasi Fourier mencirikan ruang Banach isomorfik ke ruang Hilbert.

Lindenstrauss dan Tzafriri membuktikan bahwa ruang Banach di mana setiap subruang linier tertutup saling melengkapi (yaitu, kisaran proyeksi linier yang dibatasi) isomorfik ke ruang Hilbert.

Buktinya bersandar pada Teorema Dvoretzky tentang penampang Euklides benda cembung simetris terpusat berdimensi tinggi. Dengan kata lain, teorema Dvoretzky menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat , setiap ruang bernorma berdimensi-hingga, dengan dimensi yang cukup besar dibandingkan dengan , berisi subruang yang hampir isometrik dengan ruang Euklides berdimensi .