Jelaskan Gelanggang Boolean dari Aljabar Boolean (struktur)

Setiap aljabar Boolean (A, ∧, ∨) diberikan gelanggang (A, +, ·) dengan mendefinisikan a + b := (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) (operasi ini disebut perbedaan simetris dalam kasus himpunan dan XOR dalam kasus logika) dan a · b := a ∧ b). Elemen nol dari gelanggang ini bertepatan dengan 0 dari aljabar Boolean; elemen identitas perkalian dari gelanggang adalah 1 dari aljabar Boolean. Gelanggang ini memiliki sifat bahwa a · a = a untuk semua a di A; gelanggang dengan sifat ini disebut gelanggang Boolean.

Sebaliknya, jika diberikan gelanggang Boolean A, kita dapat mengubahnya menjadi aljabar Boolean dengan mendefinisikan x ∨ y := x + y + (x · y) dan x ∧ y := x · y.

Karena kedua konstruksi ini adalah invers, apabila setiap gelanggang Boolean sebagai dari aljabar Boolean, dan sebaliknya. Selanjutnya, peta f : A → B adalah homomorfisme aljabar Boolean jika dan hanya jika itu adalah homomorfisme gelanggang Boolean. Kategori gelanggang Boolean dan aljabar Boolean adalah ekuivalen.

Hsiang (1985) memberikan algoritma berbasis aturan ke pemeriksaan apakah dua ekspresi sebarang menunjukkan nilai yang sama di setiap gelanggang Boolean.

Secara umum, Boudet, Jouannaud, dan Schmidt-Schauß (1989) diberikan algoritma untuk menyelesaikan persamaan antara ekspresi gelanggang Boolean berubah.

Menggunakan kesamaan gelanggang Boolean dan aljabar Boolean, kedua algoritma memiliki aplikasi dalam pembuktian teorema otomatis.