Jelaskan Ruang berdimensi hingga dari Ruang vektor topologis

Misalkan  menunjukkan  atau  dan menganugerahi  dengan normed Hausdorff topologi Euklides.  Misalkan  adalah ruang vektor di atas  berdimensi berhingga  sehingga  adalah ruang vektor isomorfik ke  (secara eksplisit, ini berarti bahwa terdapat isomorfisme linear antara ruang vektor  dan ).  Ruang vektor berdimensi-hingga ini  selalu memiliki  topologi vektor, yang menjadikannya RVT-isomorfik menjadi , dimana  diberkahi dengan topologi Euclidean biasa (yang sama dengan topologi produk). Topologi vektor Hausdorff ini juga merupakan topologi vektor (unik) terbaik pada .   memiliki topologi vektor yang unik jika dan hanya jika . Jika  kemudian meskipun  tidak memiliki topologi vektor yang unik, ia memiliki topologi vektor  yang unik.

Jika  then  memiliki tepat satu topologi vektor: topologi trivial, yang dalam hal ini (dan  dalam kasus ini) adalah Hausdorff. Topologi trivial pada ruang vektor adalah Hausdorff jika dan hanya jika ruang vektor memiliki dimensi .

Jika  maka  memiliki dua topologi vektor: topologi Euclidean biasa dan topologi trivial (non-Hausdorff).

Karena bidang  itu sendiri adalah ruang vektor topologis 1 dimensi di atas  dan karena ini memainkan peran penting dalam definisi ruang vektor topologis, dikotomi ini memainkan peran penting dalam definisi himpunan penyerap dan memiliki konsekuensi yang bergema di seluruh analisis fungsional.

Pembuktian dikotomi ini sangat mudah sehingga hanya garis besar dengan pengamatan penting yang diberikan. Seperti biasa,  diasumsikan memiliki topologi Euclidean (bernorma). Misalkan  adalah ruang vektor 1 dimensi di atas . Perhatikan bahwa jika  adalah bola yang berpusat pada 0 dan jika  adalah himpunan bagian yang berisi "urutan tak terbatas" kemudian , di mana "urutan tak terbatas" berarti urutan bentuk  dimana  dan  tidak dibatasi dalam ruang bernorma . Topologi vektor apa pun pada  akan menjadi invarian translasi dan invarian dalam perkalian skalar bukan nol, dan untuk , peta  dirumuskan  adalah kebijaksanaan linier berkelanjutan. Secara khusus, untuk  semacam itu,  jadi setiap himpunan bagian dari  bisa ditulis sebagai  untuk beberapa subset unik . Dan jika topologi vektor pada  ini memiliki lingkungan 0 yang benar-benar terkandung di , kemudian kelanjutan perkalian skalar  di asal memaksa keberadaan lingkungan terbuka asal di  yang  tidak  berisi "urutan tak terbatas". Dari sini, seseorang menyimpulkan bahwa jika  tidak membawa topologi trivial dan jika , lalu untuk bola apa pun  center di 0 dalam ,  berisi lingkungan terbuka asal di  sehingga  dengan demikian sebuah homeomorfisme linear. ∎

Jika  then  has  banyak tak terhingga  topologi vektor yang berbeda