Jelaskan Ikhtisar dari Funktor fogetful

Sebagai contoh, ada beberapa fungsi pelupa dari kategori gelanggang komutatif. (Unital) gelanggang, dijelaskan dalam bahasa aljabar universal, adalah tupel (R, +, ×, a, 0, 1) memenuhi aksioma tertentu, di mana "+" dan "×" adalah fungsi biner pada himpunan  R ,  a  adalah operasi unary yang sesuai dengan pembalikan aditif, dan 0 dan 1 adalah operasi nol yang memberikan identitas.  Menghapus 1 memberikan functor pelupa ke kategori gelanggang tanpa satuan; pada "fogetful".  Menghapus "×" dan 1 menghasilkan sebuah funktor ke kategori grup abelian, yang menetapkan ke setiap gelanggang  R  grup abelian aditif yang mendasari dari  R . Untuk setiap morfisme gelanggang fungsi sebagai morfisme penambahan antara grup yang mendasari.  Menghapus semua operasi akan memberikan funktor ke himpunan yang mendasari  R .

Hal ini bermanfaat untuk membedakan antara fungsi pelupa yang "struktur foget" dengan yang "sifat foget".  Misalnya, dalam contoh gelanggang komutatif di atas, selain fungsi yang menghapus beberapa operasi, ada juga fungsi yang melupakan beberapa aksioma.  Ada seorang funktor dari kategori CGelanggang untuk Grlanggang yang melupakan aksioma komutatif, tetapi tetap menjalankan semua operasi. Kadang objek mungkin termasuk himpunan ekstra yang tidak didefinisikan secara ketat dalam hal set yang mendasarinya (dalam hal ini, bagian mana yang mempertimbangkan himpunan yang mendasari adalah masalah selera, meskipun dalam praktiknya ini jarang ambigu). Untuk objek ini, ada fungsi pelupa yang melupakan set ekstra yang lebih umum.

Objek yang paling umum dipelajari dalam matematika dibangun sebagai himpunan yang mendasari bersama dengan himpunan tambahan dari struktur pada himpunan tersebut (operasi pada himpunan yang mendasari. Untuk objek ini, functor yang sering dianggap pelupa adalah sebagai berikut.

Maka  menjadi kategori apa pun berdasarkan himpunan, misalnya grup pada himpunan elemen, atau ruang topologi pada himpunan 'titik'. Seperti biasa, tulislah  untuk objek dari  dan  untuk morfisme yang sama. Pertimbangkan aturannya: