Jabarkan Contoh dari Objek bebas

Pembuatan objek bebas berlangsung dalam dua langkah. Untuk aljabar yang sesuai dengan hukum asosiatif, langkah pertama adalah mempertimbangkan kumpulan semua kemungkinan kata yang dibentuk dari alfabet. Kemudian seseorang membebankan satu himpunan relasi ekuivalensi pada kata, di mana relasinya adalah relasi yang menentukan dari objek aljabar. Objek bebas kemudian terdiri dari himpunan kelas kesetaraan.

Pertimbangkan, misalnya, pembangunan grup gratis dalam dua generator. Satu dimulai dengan alfabet yang terdiri dari lima huruf . Pada langkah pertama, belum ada arti yang ditetapkan untuk "huruf"  atau ; pada langkah kedua. Jadi, kita bisa memulai dengan alfabet dengan lima huruf yaitu . Dalam contoh ini, kumpulan semua kata atau string  akan menyertakan pita seperti  aebecede  dan  abdc , dan seterusnya, dengan panjang terbatas, dengan huruf yang disusun dalam setiap barisan yang memungkinkan.

Pada langkah berikutnya, seseorang memberlakukan satu set relasi ekuivalensi. Hubungan kesetaraan untuk grup adalah perkalian dengan identitas, , dan perkalian invers: . Menerapkan relasi ini ke pita di atas, maka

di mana  adalah pengganti untuk , dan  adalah pengganti untuk , sedangkan  adalah elemen identitas. Begitu pula yang dimiliki

Menunjukkan relasi ekuivalensi atau kekongruenan dengan , objek bebas kemudian adalah kumpulan kelas kesetaraan. Jadi, dalam contoh ini, grup gratis dalam dua generator adalah hasil bagi

Ini sering ditulis sebagai  dimana  adalah himpunan dari kata, dan  adalah kelas ekivalensi dari identitas, setelah relasi yang mendefinisikan kelompok diberlakukan.