Jelaskan Pernyataan dari Induksi-epsilon

Ini menyatakan, untuk suatu sifat , bahwa untuk setiap himpunan , kebenaran  mengikuti dari kebenaran  untuk semua unsur , maka sifat  ini berlaku untuk semua himpunan. Dalam simbol:

Perhatikan bahwa untuk "kasus bawah" dimana  melambangkan himpunan kosong, .  adalah kebenaran hampa.

Perbandingan dengan induksi bilangan asli

Di atas dapat dibandingkan dengan induksi- atas bilangan asli  untuk sifat-sifat bilangan . Ini dapat diungkapkan sebagai

Memperkenalkan beberapa konvensi untuk karena pencerminan Induksi Himpunan, ini dapat diutlis sebagai

dimana untuk "kasus bawah"  kita ambil "" menjadi benar oleh definisi. Perhatikan bahwa induksi-himpunan dapat juga diperlakukan dalam sebuah cara yang memperlakukan kasus bawah dengan eksplisit.

Dengan tautologi klasik seperti , prinsip induksi- di atas dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut:

Ini mengungkapkan bahwa, untuk suatu sifat , baik terdapat suatu bilangan (pertama)  yang mana  tidak berlaku, meskipun  berlaku untuk kasus sebelumnya, atau - jika tidak ada seperti kasus palsu -  adalah benar untuk semua bilangan.

Demikian, dalam teori Zermelo–Fraenkel klasik, induksi-himpunan dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut, menjelaskan bentuk apa mengenai contoh berlawanan mencegah sebuah sifat himpunan  berlaku untuk semua himpunan:

Ekspresi ini bahwa, untuk suatu sifat , baik ada sebuah himpunan  yang mana  tidak berlaku sementara  menjadi benar untuk semua unsur , atau  berlaku untuk semua himpunan.

Untuk suatu sifat, jika salah satu dapat membuktikan bahwa .  menyiratkan , maka kasus palsu dikesampingkan dan rumusnya menyatakan bahwa  terpisah harus berlaku.