Penyeragaman (teori himpunan) itu apa sih?

Dalam teori himpunan, sebuah cabang matematika, aksioma penyeragaman merupakan sebuah bentuk lemah dari aksioma pemilihan. Ini menyatakan bahwa jika  adalah sebuah himpunan bagian dari , dimana  dan  adalah ruang Polish, maka terdapat sebuah himpunan bagian  dari  yang merupakan sebuah fungsi parsial dari  ke , dan yang ranahnya (himpunan semua  sehingga  ada) sama

Seperti sebuah fungsi disebut sebuah fungsi penyeragaman untuk , atau sebuah penyeragaman dari

Untuk melihat hubungan dengan aksioma pemilihan, amatilah bahwa  dapat dianggap sebagai menghubungkan, untuk setiap unsur , sebuah himpunan bagian . Sebuah penyeragaman  kemudian ambil tepatnya satu unsur dari masing-masing himpunan bagian, setiap kali himpunan bagiannya adalah takkosong. Demikian, memungkinkan himpunan sembarang  dan  (daripada ruang Polish) akan membuat aksioma penyeragaman setara dengan aksioma pemilihan.

Sebuah kelas titik  dikatakan memiliki sifat penyeragaman jika setiap relasi  di  dapat diseragamkan oleh sebuah fungsi parsial di . Sifat penyeragaman disiratkan oleh sifat skala, setidaknya untuk kelas titik memadai bentuk tertentu.

Ini diikuti dari teori himpunan Zermelo–Fraenkel sendiri bahwa  dan  memiliki sifat penyeragaman. Ini diikuti dari keberadaan kardinal besar yang cukup bahwa

dan  memiliki sifat penyeragaman untuk setiap bilangan asli .

Oleh karena itu, kumpulan himpunan projektif memiliki sifat penyeragaman.

Setiap relasi di  dapat diseragamkan, tapi tidak diperluakan oleh sebuah fungsi di . Faktanya,  tidak memiliki sifat penyeragaman (dengan setara,  tidak memenuhi aksioma penyeragaman).

(Catatan: trivialnya bahwa setiap relasi di  dapat diseragamkan di , asumsi  memenuhi aksioma pemilihan. Poinnya adalah bahwa setiap relasi dapat diseragamkan dalam suatu model dalam transitif  di mana aksioma determinasi berlaku.)