Jabarkan Notasi dari Kuantifer (logika)

Dua bilangan yang umum adalah bilangan universal dan bilangan eksistensial. Simbol tradisional untuk pembilang universal adalah " ∀ ", huruf yang diputar " A ", yang berarti "semua". Simbol yang sesuai untuk pembilang eksistensial adalah " ∃ ", huruf " E " yang diputar, yang berarti "ada".

Contoh translasi pernyataan terkuantifikasi dalam bahasa alami seperti bahasa Indonesia adalah sebagai berikut. Dengan pernyataan, "Setiap teman Udin suka menari atau suka pergi ke pantai (atau keduanya)", aspek kunci dapat diidentifikasi dan ditulis ulang menggunakan simbol termasuk bilangan. Jadi, misalkan X adalah himpunan dari semua teman Udin, U( x ) predikat "x suka menari", dan Q( x ) predikat "x suka pergi ke pantai". Maka kalimat diatas dapat ditulis dalam notasi formal sebagai , yang dibaca, "untuk x yang merupakan anggota X, U berlaku untuk x atau Q berlaku untuk x ".

Beberapa ekspresi terkuantifikasi lainnya dibangun sebagai berikut,

untuk rumus U kedua ungkapan ini (menggunakan definisi di atas) dibaca sebagai "ada teman Udin yang suka menari" dan "semua teman Udin suka menari". Notasi varian termasuk, untuk himpunan X dan himpunan anggota x :

Semua variasi berlaku untuk penghitungan universal. Variasi lain untuk pembilang universal adalah

Beberapa versi notasi secara eksplisit menyebutkan kisaran kuantifikasi. Kisaran penghitungan harus selalu ditentukan; untuk teori matematika tertentu dapat dilakukan dengan beberapa cara:

Asumsikan domain diskursus tetap untuk setiap kuantifikasi, seperti yang dilakukan dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel ,

Perbaiki beberapa domain wacana terlebih dahulu dan mengharuskan setiap variabel memiliki domain yang dideklarasikan, yang merupakan jenis variabel itu. Ini sejalan dengan situasi dalam bahasa pemrograman komputer yang diketik secara statis, di mana variabel telah menyatakan tipe.

Sebutkan secara eksplisit kisaran kuantifikasi, mungkin menggunakan simbol untuk himpunan semua objek dalam domain itu (atau tipe objek dalam domain itu).

Menggunakan variabel apa pun sebagai variabel terkuantifikasi sebagai pengganti variabel lain, di bawah batasan tertentu di mana pengambilan variabel. Meskipun notasi menggunakan variabel yang diketik, variabel jenis itu dapat digunakan.

Secara informal atau dalam bahasa alami, "∀ x " atau "∃ x "setelah atau di tengah P ( x ). Secara formal, frase yang memperkenalkan variabel dummy ditempatkan di depan.

Rumus matematika menggabungkan ekspresi simbolis untuk bilangan dengan bilangan bahasa alami seperti,

Untuk setiap bilangan asli x ,. . .

Ada x . . .

Untuk setidaknya satu x,. . . .

Kata kunci untuk penghitungan ketunggalan meliputi:

Untuk tepat satu bilangan asli x ,. . .

Ada satu dan hanya satu x seperti itu. . . .

Selanjutnya, x dapat diganti dengan kata ganti. Sebagai contoh,

Untuk setiap bilangan asli, hasil perkaliannya dengan 2 sama dengan penjumlahannya dengan dirinya sendiri.

Beberapa bilangan asli adalah bilangan prima.