Jabarkan Pelengkap dari Ruang metrik lengkap

Untuk setiap ruang metrik  M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap  M ′ (yang juga dilambangkan sebagai ), yang berisi  M  sebagai subruang padat. Ini memiliki sifat universal berikut: jika  N  adalah spasi metrik lengkap dan  f  adalah fungsi kontinu seragam dari  M  hingga  N , maka ada tunggal fungsi kontinu seragam  f ''' dari  M ′ ke N. Ruang  M  'ditentukan hingga isometri oleh sifat ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung M), dan disebut pelengkap dari M.

Pelengkap  M  dapat dibangun sebagai satu set kelas ekivalen dari barisan Cauchy di  M . Untuk dua barisan Cauchy x = (xn) dan y = (yn) di  M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah relasi ekuivalen pada himpunan semua barisan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, pelengkap dari  M .  Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen  x  dari  M ' dengan kelas ekivalen barisan dalam M yang menyatu dengan x (yaitu, kelas ekivalen yang berisi barisan dengan nilai konstan  x ). Ini mendefinisikan isometri ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi pelengkap bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.