Jelaskan . dari Polinomial karakteristik

Polinomial karakteristik  dari sebuah matriks  adalah monik (koefisien yang ditujunya adalah 1) dan derajatnya adalah . Fakta yang paling terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah dibahas di bagian sebelumnya: nilai eigen  tepatnya merupakan akar dari  (ini juga berlaku untuk polinomial minimal , tetapi derajatnya dapat lebih kecil dari ). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi polinomial dalam entri matriks. Secara khusus, koefisien konstan  adalah , koefisien  bernilai satu, dan koefisien  adalah , dengan  melambangkan teras . (Tanda yang diberikan tersebut sama dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya. Untuk definisi yang lain, masing-masing koefisien tersebut dapat diganti sebagai  dan .)

Untuk suatu matriks  dengan ukuran , polinomial karakterisitiknya dirumuskan dengan

Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, karakteristik polinomial dari  dengan ukuran  dapat dinyatakan sebagaidengan  menyatakan teras dari kuasa eksterior , yang memiliki dimensi . Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama  dari ukuran . Algoritme Faddeev–LeVerrier rekursif menghitung koefisien-koefisien ini agar semakin lebih efisien. Saat karakteristik dari medan dari koefisien bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai suatu determinan tunggal dari matriks ,

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa menggantikan  oleh  dalam polinomial karakteristik (dengan memandang hasil kuasa sebagai kuasa matriks, dan suku konstan  sebagai perkalian  dan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik tersendiri. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal  membagi polinomial karakteristik .

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: matrks dengan polinomial karakteristik tidaklah harus serupa.

Matriks  beserta transposnya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks  serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor linear atas  (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal ketimbang polinomial karakteristik). Dalam kasus ini,  serupa dengan matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari darab dua matriks

Jika  dan  adalah dua matriks persegi , maka polinomial karakteristik  dan  adalah sama. Dengan kata lain,Ketika  adalah matriks tak singular (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan bahwa  dan  adalah serupa:

Untuk kasus  dan  yang merupakan matriks singular, identitas yang diinginkan adalah persamaan di antara polinomial dalam  dan koefisien dari matriks. Dengan demikian, untuk memperlihatkan persamaan tersebut, cukup buktikan bahwa matriks tersebut valid pada subhimpunan buka tak kosong (untuk topologi biasa, atau lebih umumnya untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan yang bukan dari ruang semua matriks, maka hasil tersebut sudah dibuktikan.

Lebih umumnya, jika  adalah suatu matriks ordo  dan  adalah matriks ordo , maka  adalah matriks  dan  adalah matriks , sehingga memiliki

Untuk membuktikan hal tersebut, misalkan  dengan menukarkan  dan , kalaupun diperlukan. Dengan membatasi bagian bawah di matriks  oleh baris nol , dan membatasi bagian kanan di matriks  oleh kolom nol , maka didapatkan dua matriks , yaitu  dan , sehingga  dan  sama dengan  yang dibatasi oleh baris dan kolom nol . Dengan demikian, didapatkan hasil tersebut untuk kasus matriks persegi, dengan membandingkan polinomial karakteristik  dan .