Jabarkan Penerapan dari Pecahan tak tersederhanakan

Setiap bilangan rasional mempunyai representasi tunggal sebagai pecahan tak tersederhanakan mempunyai penerapan dalam berbagai bukti keirasionalan dari akar kuadrat dari 2, serta bilangan irasional lainnya. Sebagai contoh, ketika ingin membuktikan bahwa  dapat direpresentasikan sebagai perbandingan dari bilangan bulat, maka secara khusus menyederhanakan  sepenuhnya dengan  dan  kemungkinan merupakan nilai yang paling terkecil; tetapi karena  sama dengan . Begitupula untuk

yang memperlihatkan bahwa hasilnya sama ketika mengali-silang ekspresi tersebut dengan . Karena  dan  lebih besar dari 1, ekspresi yang terakhir merupakan perbandingan dari dua bilangan bulat yang lebih kecil. Bukti ini kontradiksi dengan pernyataan yang mengatakan bahwa akar kuadrat dari dua mempunyai representasi sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat.