Jabarkan Pengembangan grup permutasi dari Sejarah teori grup

Salah satu akar dasar teori grup adalah pencarian solusi persamaan polinomial dengan derajat lebih tinggi dari 4.

Sumber awal terjadi dalam masalah pembentukan persamaan derajat  m  yang berakar  m  dari akar persamaan derajat . Untuk kasus sederhana, masalahnya kembali ke Johann van Waveren Hudde (1659). Nicholas Saunderson (1740) mencatat bahwa penentuan faktor kuadrat dari ekspresi bikuadrat selalu mengarah pada persamaan sektik, dan Thomas Le Sueur (1703–1770) (1748) dan Edward Waring (1762 hingga 1782) lebih jauh menguraikan gagasan tersebut.

Landasan umum untuk teori persamaan berdasarkan kelompok permutasi ditemukan oleh Lagrange (1770, 1771), dan di atasnya dibangun teori substitusi. Dia menemukan bahwa akar dari semua resolven ( résolvantes, réduites ) yang dia periksa adalah fungsi rasional dari akar persamaan. Untuk mempelajari sifat dari fungsi ini, dia menemukan  Calcul des Combinaisons . Karya kontemporer Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) juga meramalkan teori yang akan datang.

Paolo Ruffini (1799) mencoba membuktikan ketidakmungkinan menyelesaikan kuintik dan persamaan yang lebih tinggi. Ruffini membedakan apa yang sekarang disebut kelompok intransitif dan transitif, dan grup imprimitif dan primitif, dan (1801) menggunakan kelompok persamaan dengan nama  l'assieme delle permutazioni . Ia juga menerbitkan surat dari Pietro Abbati untuk dirinya sendiri, di mana ide grup menonjol.

Galois menemukan bahwa jika  adalah akar  n  dari sebuah persamaan, segrup permutasi dari  r  itu sehingga

setiap fungsi akar tidak berubah-ubah dengan substitusi grup diketahui secara rasional, dan

sebaliknya, setiap fungsi yang dapat ditentukan secara rasional dari akar adalah tidak berubah di bawah substitusi grup.

Dalam istilah modern, solvabel dari gugus Galois yang dilampirkan pada persamaan menentukan kelarutan persamaan dengan akar.

Galois adalah orang pertama yang menggunakan kata  grup  ( groupe  dalam bahasa Prancis) dan  primitif  dalam arti modernnya. Dia tidak menggunakan  grup primitif  tetapi menyebut  persamaan primitif  sebuah persamaan yang grup Galoisnya adalah primitif. Dia menemukan gagasan subkelompok normal dan menemukan bahwa kelompok primitif yang dapat dipecahkan dapat diidentifikasi ke subkelompok grup Affine dari ruang Affine di atas bidang hingga.

Galois juga berkontribusi pada teori persamaan modular dan fungsi eliptik. Publikasi pertamanya tentang teori grup dibuat pada usia delapan belas (1829), tetapi kontribusinya menarik sedikit perhatian sampai publikasi makalahnya yang terkumpul pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI). Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang menghubungkan teori grup dan teori medan, dengan teori yang sekarang disebut teori Galois.

Grup yang mirip dengan grup Galois (sekarang) disebut grup permutasi, sebuah konsep yang diselidiki secara khusus oleh Cauchy. Sejumlah teorema penting dalam teori grup awal disebabkan oleh Cauchy. Arthur Cayley pada teori grup, tergantung pada persamaan simbolik  (1854) memberikan definisi abstrak pertama dari grup hingga.