Jelaskan Polinomial karakteristik dari Ak dari Polinomial karakteristik

Jika  adalah nilai eigen dari matriks persegi  dengan vektor eigen , maka jelas bahwa  adalah nilai eigen dari , sebab

Perkalian tersebut dapat ditunjukkan, dan memperumum untuk setiap polinomial selain :

Ini berarti bahwa perkalian aljabar  di  sama dengan jumlah perkalian aljabar  di  atas  sehingga . Secara khusus, dan . Sebagai contoh, polinomial  dievaluasi pada matriks , yang disederhanakan sebagai .

Teorema di atas berlaku untuk matriks dan polinomial atas setiap medan atau gelanggang komutatif.  Akan tetapi, terdapat asumsi bahwa  memiliki faktorisasi ke dalam faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti ini hanya berlaku dengan matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau suatu medan tertutup secara aljabar. Dalam kasus ini, polinomial karakteristik suatu matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai

dimana  adalah eigennilai dari , kemungkinan berulang. Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa suatu matriks persegi  dapat diuraikan sebagai , dimana  adalah sebuah matriks terbalik dan  adalah matriks segitiga atas

dengan  pada diagonal (dengan setiap eigennili berulang menurut perkalian aljabarnya). (Bentuk normal Jordan memiliki sifat-sifat yang kuat, tetapi ini sudah cukup; secara alternatif penguraian Schur dapat digunakan, yang kurang populer tetapi agak lebih mudah untuk membuktikan).