Jabarkan Sifat dari Norma (matematika)

Untuk norma  p  pada ruang vektor  V , segitiga terbalik ketidaksamaan berlaku: untuk u dan ,

p(u ± v) ≥ |p(u) − p(v)|

Jika  adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma  dan norma transpos dari  adalah sama.

Untuk Lp norma, kami memiliki pertidaksamaan Hölder

Kasus khusus tentang ini adalah pertidaksamaan Cauchy–Schwarz:

Konsep lingkaran satuan (himpunan semua vektor norma 1) berbeda dalam norma yang berbeda: untuk 1-norma, lingkaran satuan adalah  persegi, untuk 2-norma (norma Euklidean), itu adalah unit terkenal lingkaran, sedangkan untuk norma tak terhingga, itu adalah persegi yang berbeda. Untuk norma  p , itu adalah superellipse dengan sumbu kongruen (lihat ilustrasi yang menyertai). Karena definisi norma, lingkaran satuan harus  cembung dan simetris secara terpusat (oleh karena itu, misalnya, bola satuan mungkin persegi panjang tetapi tidak boleh segitiga, dan  untuk  p -norma).

Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan topologi pada ruang, dan ini adalah topologi  Hausdorff persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. Urutan vektor  dikatakan  konvergen secara normal ke , jika  sebagai . Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari  bola terbuka. Jika  adalah ruang bernorma maka  maka .

Dua norma ‖•‖α dan ‖•‖β pada ruang vektor  V  disebut ekuivalen jika mereka menginduksi topologi yang sama, yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif  C  dan  D  sehingga untuk semua  x  dalam  V

Misalnya, jika p > r ≥ 1 pada , maka