Jelaskan yang berarti bahwa dari Ruang Hilbert

Norma operator dari proyeksi ortogonal  ke subruang tertutup bukan nol  sama dengan 1:

Oleh karena itu, setiap subruang tertutup  V  dari ruang Hilbert adalah citra operator  dari norma satu sehingga . Properti memiliki operator proyeksi yang sesuai menjadi ciri ruang Hilbert:

Ruang Banach dengan dimensi lebih tinggi dari 2 adalah (secara isometrik) ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup , terdapat operator  dari norma satu yang citranya adalah  maka .

Sementara hasil ini mencirikan struktur metrik ruang Hilbert, struktur ruang Hilbert sebagai ruang vektor topologis itu sendiri dapat dicirikan dalam hal keberadaan komponen:

Spasi Banach  secara topologi dan linier isomorfik ke ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup , ada subruang tertutup  sedemikian rupa sehingga  sama dengan jumlah langsung internal .

Pelengkap ortogonal memenuhi beberapa hasil yang lebih mendasar. Ini adalah fungsi monoton dalam arti jika , kemudian  dengan kepemilikan persamaan jika dan hanya jika  terdapat dalam penutupan dari . Hasil ini adalah kasus khusus dari Teorema Hahn–Banach. Penutupan subruang dapat sepenuhnya dicirikan dalam istilah komplemen ortogonal: jika  adalah subruang dari , maka penutupan dari  sama dengan . Jadi, komplemen ortogonal adalah koneksi Galois pada urutan parsial dari subruang ruang Hilbert. Secara umum, komplemen ortogonal dari sejumlah subruang adalah perpotongan dari komplemen: