Jelaskan Definisi dari Objek grup

Secara formal, dengan kategori C dengan produk hingga (misalkan, C memiliki objek terminal 1 dan dua objek C memiliki hasil kali). Objek grup dalam C adalah objek G dari C dengan morfisme

m : G × G → G (sebagai "perkalian grup")

e : 1 → G (sebagai "penyertaan elemen identitas")

inv : G → G (sebagai "operasi inversi")

sedemikian rupa sehingga sifat berikut (dimodelkan pada aksioma grup, pada definisi grup digunakan dalam aljabar universal)

m adalah asosiatif, yaitu m ( m × id G ) = m (id G × m ) sebagai morfisme G × G × G → G, dan misalnya m × id G : G × G × G → G × G ; di sini kami mengidentifikasi G × ( G × G ) secara kanonik dengan ( G × G ) × G.

e adalah satuan dua sisi m, yaitu m (id G × e ) = p 1, di mana p 1 : G × 1 → G adalah proyeksi kanonik, dan m ( e × id G ) = p 2, di mana p 2 : 1 × G → G adalah proyeksi kanonik

inv adalah invers dua sisi untuk m, yaitu jika d : G → G × G adalah peta diagonal, dan e G : G → G adalah komposisi morfisme unik G → 1 (disebut juga kounit) dengan e, lalu m (id G × inv ) d = e G dan m ( inv × id G ) d = e G.

Perhatikan bahwa ini dinyatakan dalam peta, produk dan invers harus peta dalam kategori, dan tanpa referensi yang mendasari "elemen" objek grup, kategori secara umum tidak memiliki elemen objek mereka.

Cara lain untuk menyatakan hal di atas adalah dengan G adalah grup objek dalam kategori C jika untuk objek X dalam C, terdapat struktur grup pada morfisme Hom ( X, G ) dari X ke G sedemikian rupa sehingga asosiasi X ke Hom (X, G) adalah (kontravarian) funktor dari C ke kategori grup.