Jabarkan Contoh dari Rank (aljabar linear)

Matriksmemiliki besar peringkat 2. Hal ini didapatkan dengan mengamati bahwa dua kolom pertama matriks tersebut saling bebas linear, sehingga besar peringkat dari matriks setidaknya sama dengan 2. Tapi karena kolom ketiga adalah kombinasi linear dari dua kolom pertama (yakni kolom kedua dikurang kolom pertama), maka ketiga kolom (dan sebagai akibatnya, matriks) saling bergantung linear, sehingga peringkat dari matriks harus kurang dari 3.

Contoh lain adalah matriksyang memiliki peringkat 1. Dalam kasus ini, matriks memiliki kolom yang tak-nol, sehingga besar peringkat lebih besar dari nol. Tapi setiap pasangan kolom-kolom saling bergantung linear, mengakibatkan peringkat matriks  haruslah kurang dari 2. Serupa dengan itu, transpos matriks ini,

juga memiliki peringkat 1. Karena vektor-vektor kolom dari matriks  adalah vektor-vektor baris dari matriks , pernyataan peringkat kolom dari sebuah matriks sama dengan peringkat baris matriks tersebut, akan sama dengan pernyataan peringkat sebuah matriks sama dengan peringkat dari transpos matriks itu; dengan kata lain, .

Menghitung peringkat dari sebuah matriks

Peringkat dari bentuk eselon baris

Salah satu cara yang umum untuk menentukan peringkat adalah mengubah matriks menjadi bentuk yang lebih sederhana; umumnya bentuk eselon baris, dengan menggunakan operasi baris elementer. Operasi-operasi baris tidak mengubah ruang baris (sehingga tidak mengubah peringkat baris) dan bersifat invertibel (sehingga tidak mengubah peringkat kolom karena memetakan ruang kolom ke ruang lain yang isomorfik). Setelah matriks dalam bentuk eselon baris, besar peringkatnya sama dengan banyaknya baris tak-nol.

Sebagai contoh, matriks  yang didefinisikan sebagaidapat disusun menjadi bentuk eselon baris [tereduksi] dengan menerapkan operasi-operasi baris berikut:Matriks terakhir yang dihasilkan memiliki dua baris tak-nol, sehingga peringkat dari matriks  adalah 2.