Jabarkan Contoh dari Matriks simetrik

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran  :

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks  dan , matriks  bersifat simetrik jika dan hanya jika  dan  saling komutatif, yakni, jika .

Untuk bilangan bulat ,  matriks simetrik jika  matriks simetrik.

Jika  ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika  simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal  menyatakan ruang matriks ukuran . Jika   adalah ruang matriks simetrik ukuran  dan  adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran , maka  dan ; yakni,

dengan  adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal . Matriks  dapat dinyatakan sebagai