Jabarkan . dari Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Jadi, oleh simetri, melambangkan  sebagai jari-jari lingkaran dalam,

Oleh Hukum Kosinus, kita memiliki

Menggabungkan ini dengan identitas , kita memiliki

Menggabungkan ini dengan , kita memiliki

Dengan cara yang serupa,  memberikan

Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:

Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya

Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius. Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah  dimana  adalah jari-jari lingkaran dalam dan  adalah semiperimeter dari segitiga.

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam , jari-jari lingkaran luar , semiperimeter , dan jari-jari lingkaran singgung luar , , :

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari .

Jika  adalah titik tinggi dari , maka

Segitiga Nagel dan titik Nagel

Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar  dilambangkan oleh verteks-verteks , , dan  yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan  dan dimana  adalah lawannya dari , dst.  ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar . Lingkaran luar dari singgung luar  disebut lingkaran Mandart.

Tiga garis , , dan  disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga  (atau pusat segitiga ).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,

Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.