Jabarkan Contoh dari Aljabar Lie

Untuk , komutator dari dua elemen maka  adalah subaljabar kecuali ideal. Maka, karena setiap ruang sub-vektor satu dimensi dari aljabar Lie menghasilkan struktur aljabar Lie abelian induksi, yang umumnya tidak ideal. Untuk aljabar Lie sederhana, semua aljabar Lie abelian tidak menjadi ideal.

Jumlah langsung dan produk setengah langsung

Untuk dua Aljabar Lie  dan , jumlah langsung Aljabar Lie adalah ruang vektor

terdiri dari , dengan operasi tersebut

sehingga salinan :  Maka  menjadi aljabar Lie dan  ideal dari . Jika peta kanonik  (yaitu, menerima bagian), maka  dikatakan sebagai produk setengah langsung dari  dan , . Lihat pula jumlah setengah langsung dari aljabar Lie.

Teorema Levi mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya (Levi subaljabar).