Jelaskan Sifat-sifat dari Sifat Baire

Keluarga himpunan dengan sifat Baire membentuk sebuah aljabar-σ. Yaitu, komplemen mengenai sebuah himpunan hampir buka adalah hampir buka, dan hanya gabungan atau irisan tercacahkan mengenai himpunan hampir buka adalah hampir buka lagi. Karena setiap himpunan buka adalah hampir buka (himpunan kosongnya ramping), ini mengikuti bahwa setiap himpunan Borel adalah hampir buka.

Jika sebuah himpunan bagian ruang Polish memiliki sifat Baire, maka permainan Banach–Mazur berpadanannya ditentukan. Kebalikannya tidak berlaku, namun, jika setiap permainan dalam sebuah kelas titik memadai  ditentukan, maka setiap himpunan dalam  memiliki sifat Baire. Oleh karena itu, ini mengikuti dari penentuan projektif, yang ternyata mengikuti dari kardinal besar cukup, bahwa setiap himpunan projektif (dalam sebuah ruang Polish) memiliki sifat Baire.

Ini mengikuti dari aksioma pemilihan bahwa terdapat himpunan-himpunan real tanpa sifat Baire. Khususnya, himpunan Vitali tidak memiliki sifat Baire. Versi yang sudah lebih lemah mengenai pemilihan sudah cukup, teorema ideal prima Boole menyiratkan bahwa terdapat sebuah ultratapis takprinsip pada himpunan bilangan asli, masing-masing imbas ultratapis, melalui wakilan biner real, sebuah himpunan real tanpa sifat Baire.