Tolong jelaskan mengenai Produk titik memenuhi sifat: dari Ruang Hilbert

Simetri dalam  dan : .

Linear dalam argumen pertamanya:  untuk semua skalar , , dan vektor , , dan .

Bentuk positif: untuk semua vektor , , dengan kesetaraan jika dan hanya jika .

Operasi pada pasangan vektor yang, seperti perkalian titik, memenuhi ketiga sifat ini dikenal sebagai (riil) hasil kali dalam. Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam seperti itu dikenal sebagai ruang hasil kali dalam. Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi-hingga juga merupakan ruang Hilbert. Fitur dasar dari perkalian titik yang menghubungkannya dengan geometri Euclidean adalah bahwa ia terkait dengan panjang (atau norma) vektor, dilambangkan , dan untuk sudut  antara dua vektor  dan  melalui rumus

Kalkulus multivariabel dalam ruang Euklides bergantung pada kemampuan untuk menghitung limit, dan memiliki kriteria yang berguna pada deret matematika

terdiri dari vektor dalam  adalah konvergensi absolut asalkan jumlah panjangnya konvergen sebagai rangkaian bilangan riil biasa:

Sama seperti deret skalar, deret vektor yang bertemu secara mutlak juga konvergen ke beberapa vektor batas  di ruang Euklides, dalam arti bahwa

Properti ini mengungkapkan  kelengkapan  ruang Euclidean: bahwa rangkaian yang menyatu secara mutlak juga menyatu dalam pengertian biasa.

Spasi Hilbert sering kali diambil alih dari bilangan kompleks. Bidang kompleks yang dilambangkan dengan  dilengkapi dengan gagasan besaran, modulus kompleks  yang didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali  dengan konjugasi kompleks:

Jika  adalah dekomposisi dari  menjadi bagian nyata dan imajinernya, maka modulusnya adalah panjang dua dimensi Euklides yang biasa:

Hasil kali dalam dari pasangan bilangan kompleks  dan  adalah hasil kali dari  dengan konjugasi kompleks dari :

Ini bernilai kompleks. Bagian riil dari  memberikan Euclidean dua dimensi biasa perkalian titik.

Contoh kedua adalah ruang  yang elemennya adalah pasangan bilangan kompleks . Kemudian hasil kali dalam dari  dengan vektor lain  dirumuskan

Bagian riil dari  kemudian adalah perkalian titik Euclidean dua dimensi. Hasil kali dalam ini simetris  Hermitian , yang berarti hasil pertukaran  dan  adalah konjugat kompleks: