Jabarkan Jumlah minimum generator ideal-. dari Teori gelanggang

Dimensi gelanggang  (ekuivalen 1 ditambah derajat dari polinomial Hilbert).

Gelanggang komutatif  R  digunakan gelanggang Catenary jika ideal utama , kaidah ideal utama hingga  dalam ideal prima tambahan antara dua ideal dalam rantai, dan kaidah antara  dan  . Gelanggang noetherian dalam aplikasi bersifat katener. Ratliff membuktikan bahwa domain integral lokal noetherian  R  adalah Catenary jika dan hanya jika untuk prima ,

dimana  adalah ketinggian dari .

Jika  R  adalah domain integral merupakan aljabar  k  tak hingga maka dimensi derajat transendensi dari bidang pecahan di atas  k . Jika  S  adalah ekstensi integral dari gelanggang komutatif  R , maka  S  dan  R  memiliki dimensi.

Konsep terkait adalah konsep kedalaman dan dimensi global. Secara umum, jika  R  adalah gelanggang lokal noetherian, maka kedalaman  R  kurang dari atau sama dengan. Jika kesetaraan  R  disebut gelanggang Cohen–Macaulay. Gelanggang lokal reguler adalah contoh gelanggang Cohen–Macaulay. Teorema Serre bahwa  R  adalah gelanggang lokal jika dan hanya jika dimensi global hingga dan dimensi global adalah dimensi Krull dari  R . Dari hal ini adalah bahwa dimensi global adalah homologis.