Jabarkan Hubungan induk/anak dari Rangkap tiga Pythagoras

Melalui sebuah hasil dari , semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga  dengan menggunakan tiga transformasi linear , ,  di bawah, dimana  adalah sisi rangkap tiga:

Dengan kata lain, setiap rangkap tiga primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tambahan rangkap tiga primitif. Mulai dari simpul awal dengan , , , operasi  menghasilkan rangkap tiga baru

dan dengan cara yang serupa  dan  menghasilkan rangkap tiga  dan .

Transformasi linear , , dan  memiliki sebuah interpretasi geometrik dalam bahasa bentuk kuadrat. Mereka terhubung erat dengan (tapi tidak sama dengan) cerminan menghasilkan grup ortogonal  atas bilangan bulat.

Hubungan dengan bilangan bulat Gauss

Secara bergantian, rumus Euclid dapat dianalisis dan dibuktikan menggunakan bilangan bulat Gauss. Bilangan bulat Gauss merupakan bilangan kompleks dari bentuk , dimana  dan  adalah bilangan bulat biasa dan  adalah akar kuadrat dari negatif satu. Satuan bilangan bulat Gauss adalah  dan . Bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat rasional dan dilambangkan sebagai . Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai . Ruas sebelah kanan dari teorema Pythagoras dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss: