Tolong jelaskan mengenai untuk aljabar pertama, dari Aljabar atas medan

Aljabar keempat adalah takkomutatif, dan yang lainnya adalah komutatif.

Dalam beberapa bidang matematika, seperti aljabar komutatif, adalah umum untuk mempertimbangkan konsep yang lebih umum dari aljabar atas gelanggang, dimana gelanggang unital komutatif- menggantikan medan-. Satu-satunya bagian dari definisi yang berubah adalah bahwa A diasumsikan sebagai modul- (bukan ruang vektor atas ).

Aljabar asosiatif di atas gelanggang

Sebuah gelanggang A merupakan aljabar asosiatif atas pusat, dan atas bilangan bulat. Contoh klasik dari aljabar atas pusatn, adalah membagi-bikuaternion aljabar, yang isomorfik untuk , produk langsung dari dua aljabar kuaternion. Pusat gelanggang ini adalah , dan karena memiliki struktur aljabar atas pusat, yang bukan medan. Perhatikan bahwa aljabar biquaternion split juga secara alami merupakan aljabar-.

Dalam aljabar komutatif, jika A adalah gelanggang komutatif, maka setiap homomorfisme gelanggang unital  didefinisikan struktur modul  pada , dan inilah yang dikenal sebagai struktur aljabar . Jadi sebuah gelanggang dengan struktur modul  alami, karena homomorfisme tunggal . Di sisi lain, tidak semua gelanggang diberikan struktur aljabar atas medan (misalnya bilangan bulat). Lihat Medan dengan satu elemen'' untuk deskripsi upaya untuk memberikan setiap gelanggang struktur yang dijelaskan seperti aljabar atas medan.