Jabarkan Basis Schauder dari Ruang Banach

Basis Schauder dalam ruang Banach  adalah urutan  vektor di  X  dengan properti untuk setiap vektor  di , ada skalar yang didefinisikan  secara unik   tergantung pada , seperti itu

Ruang banach dengan basis Schauder harus dapat dipisahkan, karena himpunan kombinasi linier hingga yang dapat dihitung dengan koefisien rasional (katakanlah) padat.

Ini mengikuti dari Teorema Banach–Steinhaus bahwa pemetaan linier secara seragam dibatasi oleh beberapa konstanta .

Maka  menunjukkan fungsi koordinat yang menetapkan ke setiap  di  koordinat  dari  dalam ekspansi di atas.

Mereka disebut fungsi biorthogonal. Ketika vektor basis memiliki norma , koordinat berfungsi  bersila  di rangkap dua dari .

Sebagian besar ruang terpisah klasik memiliki basis eksplisit.

Sistem Haar  adalah dasar untuk .

sistem trigonometri adalah basis dalam  adalah .

Sistem Schauder adalah dasar di ruang .

Pertanyaan apakah aljabar disk  berdasar tetap terbuka selama lebih dari empat puluh tahun, sampai Bočkarev menunjukkan pada tahun 1974 bahwa  mengakui dasar yang dibangun dari Sistem Franklin.

Karena setiap vektor  dalam ruang Banach  dengan basis adalah batas dari , dengan  dari pangkat hingga dan berbatas seragam, spasi  memenuhi properti aproksimasi terbatas.

Contoh pertama oleh Enflo dari spasi yang gagal properti aproksimasi adalah pada saat yang sama contoh pertama dari spasi Banach yang dapat dipisahkan tanpa basis Schauder.

Robert C. James mencirikan refleksivitas di ruang Banach dengan dasar: ruang  dengan basis Schauder bersifat refleksif jika dan hanya jika basisnya adalah menyusut dan lengkap terbatas.

Dalam hal ini, fungsi biorthogonal membentuk dasar dari rangkap .