Kekisi (tatanan) itu apa sih?

Kisi adalah struktur abstrak digunakan dalam subdisiplin matematika dari teori order dan aljabar abstrak. Himpunan terurut sebagian di mana dua elemen memiliki supremum (juga disebut batas atas terkecil atau gabung) dan infimum (juga disebut batas bawah terbesar atau bertemu). Contoh dari bilangan asli, dengan diurutkan oleh pembagian, dimana supremum adalah kelipatan persekutuan terkecil dan infimum adalah pembagi persekutuan terbesar.

Kisi dikarakterisasi sebagai struktur aljabar menggunakan aksioma atik identitas. Karena kedua definisi tersebut ekuivalen, teori kisi yang menggunakan teori urutan dan aljabar universal. Semikisi salah satu bagian kisi adalah aljabar Heyting dan Boolean. Struktur "kisi" digunakan teori-urutan serta deskripsi aljabar.

Kisi sebagai himpunan berurutan sebagian

Jika  adalah himpunan berurutan sebagian (pohimpunan), dan  adalah himpunan bagian arbitrer, maka elemen  adalah sebagai batas atas dari S jika  untuk . Batas atas u dari S sebagai batas bagian atas, atau gabung, supremum, jika  untuk batas atas x dari S. Satu himpunan dari batad atas terkecil, tidak lebih dari satu. Dualitas  sebagai batas bawah dari S jika  untuk . Batad bawah l dari S sebagai batas bawah terbesar, atau bertemu, minimal, jika  untuk batad bawah x dari S.

Rangkaian urutan sebagian  disebut gabung-semikisi jika himpunan bagian dua elemen  memiliki gabungan (yaitu batas atas terkecil), dan disebut bertemu-semikisi jika himpunan bagian dua elemen memiliki pertemuan (yaitu batas bawah terbesar), dilambangkan dengan  dan .  disebut kisi jika gabungan dan bertemu-semikisi.

Definisi ∨ dan ∧ adalah operasi biner. Kedua operasi tersebut monoton dengan urutan:  dan  dengan  dan .

Argumen induksi bahwa himpunan bagian hingga tidak kosong dari kisi memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Dengan asumsi tambahan, kesimpulan lebih lanjut dimungkinkan; lihat Kompleknes (teori order) untuk diskusi lebih lanjut tentang subjek ini. Bagaimana dapat mengubah definisi di atas dalam kaitannya dengan keberadaan koneksi Galois diantara himpunan terurut sebagian terkait, pendekatan khusus untuk teori kategori pendekatan kisi, dan untuk analisis konsep formal.

Batas kisi adalah kisi dengan elemen terbesar (juga disebut elemen maksimum, atau atas, dan dilambangkan dengan 1, atau dengan ) dan elemen terkecil (juga disebut minimum, atau bawah, dilambangkan dengan 0 atau dengan ), yaitu

0 ≤ x ≤ 1 untuk x di L.

Kisi dibatasi dengan menambahkan elemen buatan terbesar dan terkecil, dan kisi hingga tidak kosong dibatasi, dengan gabungan (berurutan dengan gabung dan bertemu) dari semua elemen, dilambangkan dengan  (berurutan ) dimana .

Himpunan berurutan sebagian adalah kisi hingga jika dan hanya jika himpunan elemen hingga (termasuk himpunan kosong) yaitu gabungan dan pertemuan. Untuk elemen x dari sebuah poset tirivial (adalah prinsip vacuous)