Jabarkan Sifat dasar dari Aljabar operator verteks

Operator terjemahan  T  dalam aljabar verteks menginduksi kesimetrian yang sangat kecil pada struktur produk, dan memenuhi sifat berikut:

Tu = u–21, jadi  T  ditentukan dari  Y .

exTY(u,z)e−xT = Y(exTu,z) = Y(u,z+x)

(kesimetrisan miring) Y(u,z)v = ezTY(v,–z)u

Untuk aljabar operator verteks, operator Virasoro lainnya memenuhi sifat serupa:

Untuk u, v, w ∈ V, elemen

dalam definisi Y(Y(u,z–x)v,x)w in V((x))((z–x)).

Sifat asosiatif dari aljabar puncak mengikuti fakta bahwa komutator dari Y(u,z) dan Y(v,x) dimusnahkan oleh pangkat terbatas  z - x , yaitu, seseorang dapat mengembangkannya sebagai kombinasi linear berhingga dari turunan fungsi delta formal di (z–x), dengan koefisien dalam End(V).

Rekonstruksi: Misalkan  V  menjadi aljabar puncak, dan maka {Ja} menjadi satu set vektor, dengan bidang yang sesuai Ja(z) ∈ End(V)[[z±1]].  Jika  V  direntang oleh monomial dalam koefisien bobot positif dari bidang (yaitu, produk operator hingga Jan diterapkan ke 1, di mana  n  negatif), maka kita dapat menulis produk operator monomial seperti produk pesanan normal dari turunan pangkat terbagi bidang (di sini, urutan normal berarti istilah kutub di kiri dipindahkan ke kanan). Secara khusus,

Lebih umum lagi, jika seseorang diberi ruang vektor  V  dengan endomorfisme  T  dan vektor 1, dan satu menetapkan ke satu himpunan vektor Ja satu himpunan bidang Ja(z) ∈ End(V)[[z±1]] yang saling lokal, yang koefisien bobot positifnya menghasilkan  V , dan yang memenuhi syarat identitas dan translasi, maka rumus sebelumnya menggambarkan struktur aljabar verteks.