Jabarkan Teorema Birkhoff dari Varietas (aljabar universal)

Diberikan kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama, kita dapat mendefinisikan pengertian homomorfisme, subaljabar, dan produk.  Garrett Birkhoff membuktikan bahwa kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan produk arbitrari. Ini adalah hasil dari kepentingan fundamental aljabar universal dan dikenal sebagai  Teorema Birkhoff  atau sebagai  Teorema HSP .  H ,  S , dan  P , masing-masing, untuk operasi homomorfisme dan produk.

Kelas aljabar yang memenuhi beberapa grup identitas akan ditutup di bawah operasi HSP. Membuktikan konvers, kelas aljabar yang ditutup di bawah operasi HSP harus persamaan lebih sulit.

Dengan menggunakan teorema Birkhoff, kita dapat misalnya memverifikasi klaim yang dibuat di atas, bahwa aksioma medan tidak dapat diekspresikan oleh kumpulan identitas yang mungkin: produk dari bidang bukanlah bidang, jadi bidang tidak membentuk variasi.