Jabarkan Konstruksi universal dari Aljabar Heyting

Aljabar Heyting rumus proposisional dalam variabel n hingga dengan ekuivalen intuisi

Metaimplikasi  pada bagian "identitas pembuktian" dibuktikan dengan menunjukkan bahwa hasil konstruksi berikut yang merupakan aljabar Heyting:

Pertimbangkan himpunan L dari rumus proposisi dalam variabel A1, A2,..., An.

Diberikan L dengan preorder ≼ dengan mendefinisikan F≼G jika G adalah (intuisionis) konsekuensi logika dari F, yaitu jika G membuktikan dari F. Bahwa ≼ adalah preorder.

Pertimbangkan relasi ekuivalensi F∼G induksi dari preorder F≼G. Didefinisikan oleh F∼G jika dan hanya jika F≼G dan G≼F. Sebenarnya adalah hubungan ekuivalen logika (intuisionis).

Misalkan H0 sebagai himpunan hasil bagi L/∼. Ini akan menjadi aljabar Heyting yang diinginkan.

Dengan menulis [F] untuk kelas ekuivalensi dari rumus F. Operasi →, ∧, ∨ dan ¬ yang didefinisikan oleh L. Verifikasi bahwa rumus yang diberikan F dan G, kelas ekuivalensi [F→G], [F∧G], [F∨G] dan [¬F] hanya bergantung pada [F] dan [G]. Ini mendefinisikan operasi →, ∧, ∨ dan ¬ pada himpunan hasil bagi H0=L/∼. Lebih lanjut definisikan 1 sebagai kelas pernyataan yang terbukti benar, dan himpunan 0=[⊥].

Verifikasi bahwa H0, bersama dengan operasi ini, adalah aljabar Heyting. Dengan menggunakan definisi seperti aksioma dari aljabar Heyting. H0 memenuhi kondisi MAKA-1 sampai SALAH karena semua rumus dari bentuk yang diberikan adalah aksioma logika intuisionis. MODUS-PONENS mengikuti dari fakta bahwa jika rumus ⊤→F, dimana pembuktian benar, maka F adalah pembuktian benar (dengan penerapan kaidah modus ponens inferensi). Akhirnya, hasil EKUIV dari fakta bahwa jika F→G dan G→F keduanya terbukti benar, maka F dan G dapat dibuktikan satu sama lain (dengan penerapan kaidah modus ponens inferensi) dengan [F]=[G].

Seperti biasa di bawah definisi aljabar Heyting seperti aksioma, kita mendefinisikan ≤ pada H0 dengan syarat bahwa x≤y jika dan hanya jika  x→y=1. Karena, dengan teorema deduksi, rumus F→G dengan pembuktian benar jika dan hanya jika G dapat dibuktikan dari F, maka [F]≤[G] jika dan hanya jika F≼G. Dengan kata lain, adalah relasi order pada L/∼ yang diinduksi oleh preorder ≼ pada L.

Aljabar Heyting bebas pada himpunan generator sebarang

Bahkan, konstruksi sebelumnya dapat dilakukan untuk setiap Himpunan variabel {Ai : i∈I} (secara khusus tak hingga). Dengan cara ini diperoleh aljabar Heyting bebas pada variabel {Ai}, yang akan dinyatakan kembali dengan H0. Dalam arti "bebas" bahwa aljabar Heyting "H" yang diberikan bersama dengan keluarga elemen〈ai: i∈I〉, apabila terdapat morfisme unik f:H0→H dari suatu f([Ai])=ai. Keunikan f tidak sulit untuk dilihat, dan keberadaannya pada dasarnya berasal dari metaimplikasi  dari bagian "Identitas pembuktian" di atas, dalam bentuk akibat wajarnya bahwa setiap kali F dan G adalah rumus pembuktian ekuivalen, F(〈ai〉)=G(〈ai〉) untuk setiap keluarga elemen 〈ai〉dalam H.

Aljabar Heyting rumus ekuivalen yang berhubungan dengan teori T

Diberikan satu himpunan rumus T dalam variabel {Ai}, dilihat sebagai aksioma, konstruksi yang sama dapat dilakukan terhadap suatu relasi F≼G mendefinisikan pada L berarti bahwa G adalah konsekuensi pembuktian dari F dan himpunan aksioma T. Maka dengan menunjukkan HT sebagai aljabar Heyting yang diperoleh. Maka HT memenuhi sifat universal yang sama dengan H0 di atas, namun apabila aljabar Heyting H dan keluarga elemen 〈ai〉 memenuhi sifat J(〈ai〉)=1 untuk setiap aksioma J(〈Ai〉) dalam T. Maka dengan memperhatikan bahwa HT, diambil dengan keluarga elemen 〈[Ai]〉sendiri yang memenuhi sifat ini. Keberadaan dan keunikan morfisme pembuktian dengan cara yang sama untuk H0, kecuali bahwa apabila memodifikasi metaimplikasi  di "Identitas pembuktian" sehingga 1 terbaca "pembuktian benar" dari T," dan 2 terbaca "setiap elemen a1, a2,..., an dalam H pernyataan rumus T."

Aljabar Heyting HT yang baru saja didefinisikan apabila dilihat sebagai hasil bagi dari aljabar Heyting bebas H0 pada himpunan variabel yang sama, dengan sifat universal H0 sehubungan dengan HT, dan keluarga elemen 〈[Ai]〉.

Setiap aljabar Heyting isomorfik ke salah satu bentuk HT. Untuk melihat ini, misalkan H berupa aljabar Heyting, dan maka 〈ai: i∈I〉 sebagai keluarga elemen dengan hasil H (misalnya, keluarga surjektif). Dengan memperhatikan himpunan T dari rumus J(〈Ai〉) dalam variabel 〈Ai: i∈I〉 seperti J(〈ai〉)=1. Maka, memperoleh morfisme f:HT→H dengan sifat universal HT , yang jelas-jelas surjektif. Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa f adalah injektif.