Tolong jelaskan mengenai Segitiga dan titik Gergonne dari Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Segitiga Gergonne (dari ) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan  dilambangkan , dll.

Segitiga Gergonne, , juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari . Luasnya adalah

dimana , , dan  adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan , , serta  adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.

Tiga garis , , dan  memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai  (pusat segitiga ). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus

Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar

Sebuah lingkaran singgung luar dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks , contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari , atau pusat lingkaran singgung luar dari . Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.

Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar

Saat pusat lingkaran dalam  memiliki koordinat trilinear , pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear , , dan .

Jari-jari pusat lingkaran singgung luar

Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran singgung luar.

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan  (jadi menyentuh , berpusat di ) adalah