Jabarkan Radikal dari gelanggang dari Ideal (teori gelanggang)

Ideal muncul secara alamiah dalam pembelajaran modul, terutama yang berbentuk radikal.

Karena  R  menjadi gelanggang komutatif. Menurut definisi, ideal primitif dari  R  adalah annihilator dari a (bukan nol) sederhana modul- R . Radikal Jacobson  of R adalah persimpangan dari semua cita-cita primitif. Sama halnya,

Memang, jika  adalah modul sederhana dan  x  adalah elemen bukan nol di  M , maka  dan , berarti  adalah ideal maksimal. Sebaliknya jika  adalah ideal maksimal, maka  adalah annihilator dari modul sederhana . Ada juga penokohan lain (buktinya tidak sulit):

Untuk gelanggang yang tidak perlu komutatif, ini adalah fakta umum bahwa  adalah elemen unit jika dan hanya jika  adalah (lihat link) dan karakterisasi terakhir ini menunjukkan bahwa radikal dapat didefinisikan baik dari segi ideal primitif kiri dan kanan.

Fakta sederhana namun penting berikut (lemma Nakayama) adalah bawaan dari definisi radikal Jacobson: jika  M  adalah modul sehingga , maka  M  tidak menerima submodul maksimal, karena jika ada submodul maksimal ,  dan , sebuah kontradiksi. Karena bukan nol modul finiter hingga menerima submodul maksimal, khususnya, yang satu memiliki:

Jika  dan  M  dibuat tak terbatas

Ideal maksimal adalah ideal utama dan begitulah yang dimilikinya

dimana perpotongan di sebelah kiri disebut nilradikal dari  R . Ternyata,  juga himpunan elemen nilpoten dari  R .

Jika  R  adalah gelanggang Artinian, maka  adalah nilpoten dan . (Bukti: catatan pertama DCC menyiratkan  untuk beberapa  n . Jika (DCC)  adalah ideal minimal yang terakhir, lalu . Itu adalah, , kontradiksi.)