Jelaskan Definisi dari Matriks normal

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan  adalah matriks kompleks berukuran , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.

Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari  yang membangun basis ortonormal bagi .

Norma Frobenius dari  dapat dihitung dari nilai-nilai eigen , yakni .

Bagian Hermite  dan bagian skew-Hermitian  dari  saling komutatif.

suatu polinomial (dengan derajat maksimum ) dalam .

untuk suatu matriks uniter .

dan  saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub  dengan suatu matriks uniter  dan suatu matriks semidefinit positif .

saling komutatif dengan suatu matriks normal  yang nilai-nilai eigennya yang unik.

untuk semua , dengan  dan  masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari .

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau  (skew-)Hermite. sebagai contoh,

tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena