Jelaskan Sifat medan terurut dari Medan terurut

Antara −a ≤ 0 ≤ a atau a ≤ 0 ≤ −a.

Salah satu dapat "menambahkan pertidaksamaan": jika  dan , maka .

Salah satu dapat "mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif": jika  dan , maka .

Transitivitas dari pertidaksamaan: jika  dan , maka .

Jika  dan , maka .

Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena 1> 0, maka , dan , dll. Jika medan memiliki karakteristik  p > 0, maka −1 akan menjadi jumlah dari satuan, tetapi  tidak positif.)  Khususnya, medan hingga tidak dapat diurut.

Bilangan kuadrat tidak negatif:  untuk semua  di .

Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol. Setara:

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut (mewarisi pengurutan yang diinduksi). Submedan terkecil adalah isomorfik ke rasional (seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0), dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri. Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya, maka medan tersebut dikatakan sebagai Archimedes . Jika tidak, medan tersebut adalah medan terurut takArchimedes dan berisi Infinitesimal. Misalnya, bilangan real membentuk medan Archimedes, tetapi bilangan hiperreal membentuk medan takArchimedes, karena meluas bilangan riil dengan elemen lebih besar.

medan terurut  isomorfik dengan medan bilangan real  jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari  dengan batas atas di  memiliki batas atas terkecil di  .

Ruang vektor atas medan terurut

Ruang vektor (khususnya, ruang-n) atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus, yaitu: orientasi, konveksitas, dan darab dalam tentu positif. Lihat Ruang koordinat riil#Sifat dan penggunaan geometris untuk diskusi tentang sifat tersebut Rn, yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya.

Medan mana yang bisa diurutkan?

Setiap medan yang diurutkan adalah medan riil secara formal, yaitu, 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol.

Sebaliknya, setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi, yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur. (Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik). Buktinya menggunakan Lemma Zorn.

medan hingga dan yang lebih umum medan positif karakteristik tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena pada karakteristik p, elemen −1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari (p  - 1) menguadratkan 12. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena −1 adalah kuadrat (dari bilangan imajiner  i ) dan karenanya akan menjadi positif. Selain itu, nomor p-adic tidak dapat diurut, karena menurut Lemma Hensel Q2 mengandung akar kuadrat dari −7, jadi 12+12+12+22+()2=0, dan Qp (p > 2) mengandung akar kuadrat dari 1 -  p , jadi (p−1)⋅12+()2=0.