Jabarkan Spektrum dari Gelanggang komutatif

Spektrum gelanggang R,  dilambangkan dengan SpekR, adalah himpunan dari semua ideal utama dari R. Digunakan dengan topologi yaitu topologi Zariski dimana sifat aljabar R dasar himpunan bagian terbuka diberikan oleh

D(f) = {p ∈ Spek R, f ∉ p}, dimana f adalah elemen gelanggang.

Menafsirkan f sebagai fungsi yang mengambil nilai f mod p (yaitu, gambar f dalam bidang residu R/p), himpunan bagian ini adalah lokus dimana f bukan nol. Spektrum membuat intuisi yang tepat bahwa lokalisasi dan gelanggang faktor saling melengkapi: peta alam R → Rf dan R → R / fR setelah diberikan spektrum gelanggang tersebut dengan topologi Zariski, untuk melengkapi terbuka dan tertutup. Bahkan untuk gelanggang dasar dengan diilustrasikan untuk R = Z bagian kanan, topologi Zariski sangat berbeda dari himpunan bilangan riil.

Spektrum dengan himpunan ideal maksimal yang terkadang dilambangkan dengan mSpek (R). Untuk medan tertutup aljabar k, mSpek (k[T1, ..., Tn] / (f1, ..., fm)) terdapat dalam bijeksi dengan himpunan

{x =(x1, ..., xn) ∊ kn | f1(x) = ... = fm(x) = 0.}

Dengan demikian, ideal maksimal merumuskan sifat geometris himpunan solusi polinomial merupakan motivasi awal untuk mempelajari gelanggang komutatif. Namun, pertimbangan ideal non-maksimal sebagai bagian dari sifat geometris sebuah gelanggang berguna karena beberapa alasan. Misalnya, ideal prima minimal (yaitu, tidak hanya berisi yang lebih kecil) sesuai dengan komponen tak tersederhanakan dari Spek R. Untuk gelanggang Noetherian R, Spek R menggunakan banyak komponen tak tersederhanakan. Pernyataan kembali geometris dari dekomposisi primer dengan setiap ideal diuraikan sebagai produk dari banyak ideal primer. Fakta ini adalah generalisasi akhir dari dekomposisi menjadi ideal utama dalam gelanggang Dedekind.