Jabarkan . dari Identitas Jacobi

Karena perkalian kurung siku adalah antisimetris, identitas Jacobi sebagai dua reformulasi yang setara. Mendefinisikan operasi adjoin  sebagai:

Dengan demikian, identitas Jacobi untuk aljabar Lie menyatakan bahwa tindakan elemen pada aljabar adalah turunan. Bentuk identitas Jacobi digunakan untuk mendefinisikan pengertian aljabar Leibniz.

Penataan ulang lain menunjukkan bahwa identitas Jacobi setara dengan identitas berikut antara operator wakilan adjoin:

Di sana, kurung siku di sisi kiri adalah operasi dari aljabar asli, tanda kurung di sebelah kanan adalah komutator dari komposisi operator, dan identitas menyatakan bahwa  peta untuk setiap elemen ke tindakan adjoin adalah aljabar Lie homomorfisme.