Jelaskan Definisi topologi dari Grup Lie

Grup Lie dapat didefinisikan sebagai (Hausdorff) grup topologi dimana elemen tersebut adalah identitas, terlihat seperti grup transformasi, tanpa referensi ke lipatan yang dibedakan. Pertama, definisikan grup Lie linear jauh menjadi subgrup G dari grup linear umum  maka

untuk beberapa lingkungan V dari elemen identitas e dalam G, topologi V adalah topologi subruang  dan V sebagai penutupan dalam .

G memiliki hitung komponen yang terhubung.

Misalnya, subgrup tertutup dari ; yaitu, matriks grup Lie memenuhi kondisi di atas.

Maka grup Lie didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung. Menunjukkan definisi topologi ekuivalen dengan yang biasa bersifat teknis (dan pembaca pemula harus melewatkan yang berikut) tetapi dilakukan sebagai berikut:

Diberikan grup Lie  G  dalam arti berjenis biasa, korespondensi grup Lie–aljabar Lie (atau versi teorema ketiga Lie) membentuk subgrup Lie terbenam  maka  dibagikan aljabar Lie yang sama; dengan demikian, isomorfik secara lokal. Oleh karena itu, G memenuhi definisi topologi di atas.

Maka G sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear  lokal isomorfik ke G. Kemudian, dengan versi teorema subgrup tertutup,  adalah lipatan analitik-riil dan isomorfisme lokal, G memperoleh struktur lipatan ganda dekat elemen identitas. Maka ditunjukkan hukum grup G diberikan deret pangkat formal; jadi operasi grup adalah analitik-riil dan G adalah lipatan analitik-riil.

Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie. Faktanya, prinsip umum bahwa untuk sebagian besar, topologi grup Lie dengan hukum grup menentukan geometri grup.