Resolusi (teori Galois) itu apa sih?

Dalam teori Galois, disiplin dalam bidang aljabar abstrak, resolusi untuk grup permutasi G adalah polinomial koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu p dan akar rasional jika dan hanya jika grup Galois dari p termasuk dalam G. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam G, maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya jika akar rasional adalah akar sederhana.

Resolusi ditemukan oleh Joseph Louis Lagrange dan secara sistematis digunakan oleh Évariste Galois. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung grup Galois. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah

dimana  adalah diskriminan, yang merupakan resolvent untuk grup alternatif. Dalam kasus persamaan kubik, resolusi ini kadang disebut resolusi kuadrat; akar dari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.

Resolusi kubik dari sebuah persamaan kuartik, yang merupakan penyekat untuk grup dihedral dari 8 elemen.

Resolusi Cayley adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.

Ketiga resolusi ini memiliki sifat seperabel, yang berarti, jika akar polinomial p tidak dapat disederhanakan. Tidak diketahui resolusi yang dapat dipisahkan untuk grup permutasi.

Untuk persamaan, akar dapat diekspresikan dalam bentuk akar dan akar pemecah untuk grup yang dapat larut, karena gugus Galois dari persamaan di atas bidang yang dihasilkan oleh akar ini dapat diselesaikan.