Jelaskan Total antisimetri dari Kuasigrup

kuasigrup  disebut totali anti-simetri jika  dari kedua implikasi berikut:

(c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x menyiratkan x = y

x ∗ y = y ∗ x menyiratkan x = y.

Hal ini disebut anti-simetri lemah jika hanya implikasi pertama.

Sifat ini digunakan dalam Algoritma Damm.

Setiap grup adalah satu lingkaran, maka  jika dan hanya jika , dan  jika dan hanya jika .

Bilangan bulat Z dengan pengurangan (-) membentuk kuasigrup.

Bilangan rasional Q× (atau bukan nol riil R×) dengan pembagian (÷) membentuk kuasigrup.

Setiap ruang vektor di atas bidang dari karakteristik tidak membentuk dengan 2 idempoten, kuasigrup komutatif di bawah operasi .

Setiap Sistem tripel Steiner mendefinisikan kuasigrup idempoten, komutatif:  adalah elemen ketiga dari triple yang mengandung a dan b. kuasigrup  untuk x dan y dengan kuasigrup yang dikenal sebagai  kuasigrup Steiner .

The set  dimana  dan dengan semua produk lain seperti pada grup kuaternion membentuk gelung non-asosiatif dengan orde 8. Lihat kuartenion hiperbolik. (Kuartenion hiperbolik tidak membentuk lingkaran atau kuasigrup.)

Oktonion bukan nol membentuk gelung non-asosiatif dalam perkalian. Oktonion adalah tipe gelung khusus yang dikenal sebagai gelung Moufang.

Sebuah kuasigrup asosiatif kosong atau sebuah grup, karena jika ada setidaknya satu elemen, keberadaan invers dan asosiatif menyiratkan adanya identitas.

Berikut ini karena Hans Zassenhaus, pada himpunan dasar dari ruang vektor empat dimensi F4 di atas 3 elemen bidang Galois  dengan

(x1, x2, x3, x4) ∗ (y1, y2, y3, y4) = (x1, x2, x3, x4) + (y1, y2, y3, y4) + (0, 0, 0, (x3 − y3)(x1y2 − x2y1)).

Maka,  adalah grup dari komutatif gelung Moufang.

Himpunan elemen bukan nol dari aljabar pembagian membentuk kuasigrup.