Aljabar non-asosiatif itu apa sih?

Sebuah aljabar non-asosiatif (atau aljabar distributif) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai asosiatif. Artinya, struktur aljabar A adalah aljabar non-asosiatif atas medan K jika itu adalah ruang vektor atas K dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-K pada A × A → A yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, aljabar Jordan, oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi produk silang. Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (ab)(cd), (a(bc))d dan a(b(cd)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda.

Meskipun penggunaan "non-asosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "non-asosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk gelanggang nonkomutatif.

Aljabar adalah unital atau uniter jika memiliki elemen identitas e dengan ex = x = xe untuk semua x dalam aljabar. Misalnya, oktonion adalah unital, namun aljabar Lie bukan unital.

Struktur aljabar nonasosiatif dari A dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh endomorfisme-K pada A sebagai ruang vektor K.  Dua seperti itu adalah aljabar turunan dan (asosiatif) aljabar menyelubungi, yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil A".

Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar non-asosiatif atas gelanggang komutatif R: Sebuah modul-R kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-R. Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar R), maka secara alami adalah sebuah aljabar-, jadi beberapa penulis menyebut aljabar- non-asosiatif sebagai gelanggang non-asosiatif.