Jabarkan . dari Aljabar atas medan

Jika Anda menerapkan ini pada vektor yang ditulis dalam notasi indeks, maka akan menjadi

Jika K hanyalah gelanggang komutatif dan bukan medan, maka proses yang sama akan bekerja jika  adalah modul bebas atas . Jika bukan, maka perkalian masih sepenuhnya ditentukan oleh tindakan pada himpunan yang mencakup ; Namun, konstanta struktur tidak dapat ditentukan secara sembarang dalam kasus ini, dan hanya mengetahui konstanta struktur yang bukan menentukan aljabar hingga isomorfisme.

Klasifikasi aljabar asosiatif unital berdimensi rendah atas bilangan kompleks

Aljabar asosiatif unital dua dimensi, tiga dimensi dan empat dimensi atas medan bilangan kompleks sepenuhnya diklasifikasikan hingga isomorfisme oleh Eduard Study.

Ada dua aljabar dua dimensi. Setiap aljabar terdiri dari kombinasi linear (dengan koefisien kompleks) dari dua elemen basis, 1 (elemen identitas) dan . Menurut definisi elemen identitas,

Maka dari itu, tetap untuk menentukan