Jelaskan Adjunsi foget bebas dari Monad (teori kategori)

Misalnya, karena  menjadi funktor fogetful dari kategori Grp dari grup ke kategori Himpunan, dan maka  menjadi fungsi grup bebas dari kategori himpunan ke kategori grup. Kemudian  adalah ujung kiri dari . Dalam hal ini, monad terkait  maka himpunan  dan himpunan yang mendasari dari grup bebas .

Peta satuan monad ini diberikan oleh peta

termasuk set apapun  ke dalam himpunan  dengan cara alami, sebagai pita panjang 1. Selanjutnya, perkalian dari monad ini adalah peta

terbuat dari rangkaian atau 'perataan' alami dari 'pita'. Maka berarti dua transformasi natural.

Contoh sebelumnya tentang grup bebas dapat digeneralisasikan ke semua jenis aljabar dalam arti Varietas aljabar dalam aljabar universal. Jadi, setiap jenis aljabar menimbulkan monad pada kategori himpunan. Yang penting, jenis aljabar dapat dipulihkan dari monad (sebagai kategori aljabar Eilenberg–Moore), jadi monad juga dapat dilihat sebagai varietas umum dari aljabar universal.

Monad lain yang muncul dari sebuah adjunsi adalah saat  adalah ujung fungsi pada kategori ruang vektor yang memetakan ruang vektor  ke aljabar tensor , dan yang memetakan peta linier ke produk tensornya. Kami kemudian memiliki transformasi alami yang sesuai dengan penyematan  ke dalam aljabar tensor, dan transformasi alami yang sesuai dengan peta dari  untuk  diperoleh hanya dengan memperluas semua produk tensor.