Jelaskan Menghasilkan sebuah rangkap tiga dari Rangkap tiga Pythagoras

Rumus Euclid merupakan sebuah rumus dasar untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras yang diberikan sebuah pasangan sembarang bilangan bulat  dan  dengan . Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat

membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras. Rangkapya dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika  dan  adalah koprima dan keduanya bukan bilangan ganjil. Ketika keduanya  dan  adalah ganjil, maka , , dan  akan menjad genap, dan rangkap tiganya tidak akan menjadi primitif, namun, membagi , , dan  oleh 2 akan menghasilkan sebuah rangkap tiga primitf ketika  dan  adalah koprima dan keduanya ganjil.

Setiap rangkap tiga primitif muncul (setelah pertukaran  dan , jika  adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal bilangan koprima , , salah satunya yang genap. Ini mengikuti bahwa terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif banyak. Hubungan ini mengenai , , dan  dengan  dan  dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa halaman ini.

Meski menghasilkan semua rangkap tiga primitif, rumus Euclid tidak menghasilkan semua rangkap tiga—contohnya,  tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat  dan . Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan sebuah parameter tambahan  ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua rangkap tiga Pythagoras dengan tunggal:

dimana , , dan  adalah bilangan bulat positif dengan , dan dengan  dan  adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Bahwa rumus-rumus ini menghasilkan rangkap tiga Pythagoras dapat diverifikasikan dengan memperluas  menggunakan aljabar elementer dan memverifikasikan bahwa hasilnya sama dengan . Karena setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dibagi melalui oleh suatu bilangan bulat  untuk memperoleh sebuah rangkap tiga primitif, setiap rangkap tiga dapat secara tunggal dengan menggunakan rumus dengan  dan  untuk menghasilkan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan melalui oleh  seperti dalam persamaan terakhirnya.

Memilih  dan  dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika  dan  adalah bilangan Pell berturut-turut,  dan  akan berbeda oleh 1.

Banyak rumus-rumsu untuk menghasilkan rangkap tiga dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan sejak zaman Euclid.