Jabarkan Tipe-tipe struktur aljabar dari Garis besar struktur aljabar

Secara umum penuhnya, sebuah struktur aljabar dapat digunakan suatu jumlah himpunan-himpunan dan suatu jumlah aksioma-aksioma dalam definisinya. Struktur yang dipelajari paling umum, namun, biasanya melibatkan hanya satu atau dua himpunan dan satu atau dua operasi biner. Struktur di bawah diatur oleh bagaimana banyak himpunan dilibatkan, dan berapa banyak operasi biner digunakan. Lekukan yang meningkat berarti untuk mengindikasi sebuah struktur yang lebih eksotik, dan tingkatan terlekukannya adalah paling dasar.

Satu operasi biner pada satu himpunan

Struktur berikut terdiri dari sebuah himpunan dengan sebuah operasi biner. Struktur paling umum adalah grup. Struktur lainnya melibatkan aksioma yang melemahkan atau menguatkan untuk grup, dan mungkin sebagai tambahan menggunakan operasi uner.

Grup adalah struktur utama. Grup Abel adalah sebuah tipe khusus grup yang penting.

Semigrup dan monoid: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu memiliki unsur balikan.

Kuasigrup dan gelung: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu menjadi asosiatif.

Magma: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu menjadi asosiatif atau memiliki unsur balikkan.

Semikekisi: Ini pada dasarnya "setengah" struktur kekisi (lihat di bawah).

Dua operasi biner pada satu himpunan

Tipe-tipe utama mengenai struktur dengan satu operasi memiliki dua operasi biner adalah gelanggang dan kekisi. Aksiomanya mendefinisikan banyak dari struktur-struktur lainnya adalah modifikasi dari aksioma untuk gelanggang dan kekisi. Salah satu perbedaan besar antara gelanggang dan kekisi adalah bahwa kedua operasinya berkaitan dengan satu sama lain dalam cara yang berbeda. Dalam struktur seperti gelanggang, dua operasinya terjalin oleh hukum distributif, dalam struktur seperti kekisi, operasinya terjalin oleh hukum serapan.

Gelanggang: Dua operasinya biasanya dikatakan penambahan dan perkalian. Gelanggang komutatif adalah sebuah tipe yang termasuk penting mengenai gelanggang dimana operasi perkalian adalah komutatif. Ranah integral dan medan adalah tipe yang termasuk penting mengenai gelanggang komutatif.

Gelanggang takasosiatif: Ini seperti gelanggang, tapi operasi perkaliannya tidak perlu menjadi asosiatif.

Gelanggang Lie dan gelanggang Jordan merupakan contoh khusus mengenai gelanggang takasosiatif.

Semigelanggang: Ini seperti gelanggang, tapi operasi penambahannya tidak perlu memiliki balikkan.

Gelanggang dekat: Ini seperti gelanggang, tapi operasi penambahannya tidak perlu menjadi komutatif.

Gelanggang-*: Ini merupakan gelanggang dengan sebuah operasi uner tambahan dikenal sebagai sebuah involusi.

Kekisi: Dua operasinya biasanya dikatakan pertemuan dan sambungan.

Latticoid, pertemuan dan sambungan bertukar tetapi tidak perlu iring.

Kekisi pencong: pertemuan dan sambungan iring tetapi tidak perlu bertukar.

Dua operasi biner dan dua himpunan

Struktur berikut yang memiliki keistimewaan umum memiliki dua himpunan,  dan , sehingga terdapat sebuah operasi biner dari  ke dalam  dan operasi lainnya dari  ke dalam .

Ruang vektor: Himpunan  merupakan sebuah grup Abel, dan himpunan  adalah medan.

Ruang vektor bertingkat: Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah penguraian jumlah langsung menjadi subruang.

Modul: Himpunan  adalah sebuah grup Abel, tapi  hanya sebuah gelanggang umum dan tidak selalu sebuah medan.

Tipe khusus modul, termasuk modul bebas, modul projektif, modul injektif, dan modul datar dipelajari dalam aljabar abstrak.

Grup dengan operasi: Dalam kasus ini, himpunan  adalah grup, dan himpunan  hanya sebuah himpunan.

Tiga operasi biner dan dua himpunan

Banyak struktur disini sebenarnya adalah struktur hibrid dari salah satunya yang disebutkan sebelumnya.

Aljabar atas medan: Ini adalah sebuah gelanggang yang juga merupakan sebuah ruang vektor atas medan. Terdapat aksioma mengatur interaksi dari dua struktur. Perkalian biasanya diasumsi menjadi asosiatif.

Aljabar atas gelanggang: Ini didefinisikan dengan cara yang sama sebagai aljabar atas medan, kecuali bahwa medan sekarang dapat menjadi suatu gelanggang komutatif.

Aljabar bertingkat: Aljabar ini dilengkapi dengan sebuah penguraian menjadi tingkatan.

Aljabar takasosiatif: Ini adalah aljabar untuk yang asosiativitas mengenai perkalian gelanggang yang santai.

Aljabar Lie dan Aljabar Jordan adalah contoh khusus mengenai aljabar takasosiatif.

Koaljabar: Struktur ini memiliki aksioma yang membuat perkaliannya dual dengan aljabar asosiatifnya.

Bialjabar: Struktur ini sekaligus aljabar dan koaljabar yang operasinya serasi. Mereka sebenarnya ada empat operasi untuk struktur ini.

Struktur aljabar dengan struktur takaljabar tambahan

Terdapat banyak contoh-contoh mengenai struktur matematis dimana struktur aljabar ada bersama struktur takaljabar.

Ruang vektor topologis adalah ruang vektor dengan sebuah topologi serasi.

Grup Lie: Ini adalah manifold topologis yang juga membawa sebuah struktur grup serasi.

Grup terurut, gelanggang terurut, dan medan terurut memiliki struktur aljabar serasi dengan sebuah tatanan pada himpunan.

Aljabar von Neumann: ini adalah aljabar-* pada sebuah ruang Hilbert yang dilengkapi dengan topologi operator lemah.

Struktur aljabar dalam disiplin berbeda

Beberapa struktur aljabar mencari penggunaan dalam disilpin di luar aljabar abstrak. Hal berikut berarti untuk mendemonstrasikan beberapa penerapan spesifik dalam bidang lainnya.