Jabarkan Pelengkap dan proyeksi ortogonal dari Ruang Hilbert

Jika  adalah himpunan bagian dari spasi Hilbert , himpunan vektor ortogonal ke  didefinisikan oleh

adalah subruang tertutup dari  (dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan linearitas dan kontinuitas hasil kali dalam) sehingga membentuk ruang Hilbert sendiri. Jika  adalah subruang tertutup dari , maka  disebut  pelengkap ortogonal  dari . Faktanya, setiap  kemudian dapat ditulis secara unik sebagai , dengan  dan . Oleh karena itu,  adalah penjumlahan internal Hilbert dari  dan .

Operator linear  yang memetakan  ke  disebut  proyeksi ortogonal  ke . Ada korespondensi satu-ke-satu natural antara himpunan semua subruang tertutup dari  dan himpunan semua operator adjoint mandiri yang dibatasi  dirumuskan .

Maka hal ini memberikan interpretasi geometris dari : itu adalah perkiraan terbaik untuk  x  dengan elemen  V .

Proyeksi  dan  disebut saling ortogonal jika . Ini setara dengan  dan  ortogonal sebagai subruang dari . Jumlah dari dua proyeksi  dan  adalah proyeksi hanya jika  dan  ortogonal satu sama lain, dan dalam hal itu . Komposit  umumnya bukan proyeksi; pada kenyataannya, komposit adalah proyeksi jika dan hanya jika dua proyeksi tersebut berpindah-pindah, dan dalam kasus .

Dengan membatasi codomain ke ruang Hilbert , proyeksi ortogonal  memunculkan pemetaan proyeksi ; itu adalah ujung dari pemetaan inklusi