Jelaskan Perbandingan dengan aljabar Lindenbaum dari Aljabar Heyting

Konstruksi yang diberikan memainkan peran memenuhi analog sehubungan dengan aljabar Heyting dengan aljabar Lindenbaum berhubungan dengan Aljabar Boolean. Faktanya, aljabar Lindenbaum BT dalam variabel {Ai} sehubungan dengan aksioma T bersama HT∪T1, dimana T1 adalah himpunan semua rumus dari formulir ¬¬F→F, karena aksioma tambahan T1 adalah satu-satunya aksioma yang perlu ditambahkan agar semua tautologi klasik pembuktian.

Aljabar Heyting seperti yang diterapkan pada logika intuisi

Jika menafsirkan aksioma logika proposisional intuisionistik sebagai istilah dari aljabar Heyting, apabila mengevaluasi ke elemen terbesar 1, dalam aljabar Heyting hanya di bawah penetapan nilai ke variabel rumus. Misalnya, (P∧Q)→P adalah apabila definisi kelengkapan semu dengan elemen terbesar x sehingga . Pertidaksamaan ini dipenuhi untuk setiap x, sebagai x yang terbesar adalah 1.

Selanjutnya, kaidah modus ponens memungkinkan kita untuk menurunkan rumus Q dari rumus P dan P→Q. Namun dalam aljabar Heyting, jika P bernilai 1, dan P→Q bernilai 1, maka itu berarti , dan maka ; hanya mungkin Q memiliki nilai 1.

Ini berarti bahwa jika suatu rumus dapat diturunkan dari hukum logika intuisionistik, yang diturunkan dari aksiomanya melalui kaidah modus ponens, maka apabila nilai 1 di semua aljabar Heyting di bawah penetapan nilai hanya ke variabel rumus. Namun apabila membangun aljabar Heyting di mana nilai hukum Peirce tidak selalu 1. Pertimbangkan aljabar 3-elemen {0,,1} seperti yang diberikan di atas. Jika menetapkan  ke P dan 0 ke Q, maka nilai hukum Peirce ((P→Q)→ P)→P adalah . Oleh karena itu, hukum Peirce tidak dapat diturunkan secara intuitif. Lihat isomorfisme Curry–Howard untuk konteks umum tentang apa yang menjelaskan dalam teori tipe.

Kebalikannya juga dapat dibuktikan: jika suatu rumus selalu bernilai 1, maka rumus tersebut dapat dikurangkan dari hukum logika intuisionistik, jadi rumus "valid secara intuitif" adalah rumus yang selalu memiliki nilai 1. Ini mirip dengan gagasan bahwa rumus yang "valid secara klasik" adalah rumus yang memiliki nilai 1 di aljabar Boolean dua elemen di bawah kemungkinan penetapan nilai benar dan salah ke variabel rumus—yaitu, yaitu rumus yang merupakan tautologi dalam pengertian tabel kebenaran yang biasa. Aljabar Heyting, dari sudut pandang logika, merupakan generalisasi dari sistem nilai kebenaran yang biasa, dan elemen terbesarnya 1 dianalogikan dengan 'benar'. Sistem logika dua nilai yang biasa adalah kasus khusus dari aljabar Heyting, dan yang terkecil non-trivial, dimana satu-satunya elemen aljabar adalah 1 (benar) dan 0 (salah).