Jelaskan Kefungtorialan dari Grup dasar

Jika  adalah peta kontinu,  dan  dengan , maka gelung  dengan titik dasar  dengan  ke gelung  dengan titik dasar . Operasi serasi dengan hubungan kesetaraan homotopi dan dengan komposisi gelung. Homomorfisme kelompok yang dihasilkan, disebut homomorfisme terinduksi, sebagai  maka:

Pemetaan dari peta kontinu hingga homomorfisme grup serasi dengan komposisi peta dan morfisme identitas. Dalam kategori teori, pembentukan asosiasi ke ruang topologi grup dasar adalah funktor

dari kategori ruang topologi dengan titik dasar ke kategori grup. Funktor peta homotopik relatif terhadap titik dasar: jika  adalah peta kontinu dengan , serta  dan  adalah homotopik , maka . Sebagai akibatnya, dua ruang terhubung lintasan setara memiliki grup dasar isomorfik:

Misalnya, penyertaan lingkaran di bidang citra

adalah kesetaraan homotopi dan isomorfisme grup dasarnya.

Funktor grup dasar dari hasilkali ke produk dan koproduk ke kohasilkali. Artinya, jika  dan  adalah terhubung lintasan, maka