Jabarkan Contoh dari Aljabar Boolean (struktur)

Aljabar Boolean non-trivial sederhana, dan aljabar Boolean dua elemen hanya memiliki dua elemen 0 dan 1, dan didefinisikan oleh aturan:

Ini memiliki aplikasi dalam logika, menafsirkan 0 sebagai salah, 1 sebagai benar, ∧ sebagai dan, ∨ sebagai atau, dan ¬ sebagai bukan. Ekspresi yang melibatkan variabel dan operasi Boolean mewakili bentuk pernyataan, dan dua ekspresi tersebut dapat ditunjukkan sama dengan menggunakan aksioma di atas jika dan hanya jika bentuk pernyataan yang sesuai adalah ekuivalen secara logi5.

Aljabar Boolean dua elemen juga digunakan untuk desain sirkuit di teknik elektro; disini 0 dan 1 mewakili dua status berbeda dari satu bit dalam sirkuit digital, biasanya tegangan tinggi dan rendah. Sirkuit dijelaskan oleh ekspresi yang mengandung variabel, dan dua ekspresi tersebut sama untuk semua nilai variabel jika dan hanya jika sirkuit yang sesuai memiliki perilaku input-output yang sama. Selanjutnya, setiap perilaku input-output yang mungkin dimodelkan dengan ekspresi Boolean.

Aljabar Boolean dua elemen juga penting dalam teori umum aljabar Boolean, karena persamaan yang melibatkan beberapa variabel umumnya benar dalam semua aljabar Boolean jika dan hanya jika benar dalam aljabar Boolean dua elemen (apabila memeriksa dengan algoritma paksa brute trivial untuk sejumlah kecil variabel). Ini misalnya dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa hukum berikut (Teorema konsensus) umumnya berlaku di semua aljabar Boolean:

(a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c)

(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)

Himpunan daya (himpunan dari semua himpunan bagian) dari himpunan tak kosong S dalam bentuk aljabar Boolean, sebuah aljabar himpunan, dengan dua operasi ∨ := ∪ (gabungan) and ∧ := ∩ (persimpangan/irisan). Elemen terkecil 0 adalah himpunan kosong dan elemen terbesar 1 adalah himpunan S sendiri.

Setelah aljabar Boolean dua elemen, aljabar Boolean sederhana adalah yang didefinisikan oleh himpunan daya dari dua atom:

Himpunan (dari semua himpunan bagian) dari S hingga atau kofinit adalah aljabar Boolean, sebuah aljabar himpunan.

Dimulai dengan kalkulus proposisional dengan simbol kalimat κ, bentuk aljabar Lindenbaum (yaitu, himpunan kalimat dalam modulo kalkulus proposisional ekuivalen logika). Konstruksi ini menghasilkan sebagai aljabar Boolean. Sebenarnya aljabar Boolean bebas adalah generator. Penugasan kebenaran dalam kalkulus proposisi adalah homomorfisme aljabar Boolean dari aljabar ini ke aljabar Boolean dua elemen.

Diberikan setiap urutan linearitas pada himpunan L dengan elemen terkecil, aljabar interval adalah aljabar terkecil dari himpunan bagian L yang berisi semua interval setengah terbuka [a, b) sehingga a apabila L dan b adalah L atau sama dengan ∞.  Aljabar interval berguna dalam mempelajari aljabar Lindenbaum–Tarski; setiap aljabar Boolean yang dapat dihitung adalah isomorfik terhadap aljabar interval.

Untuk sembarang bilangan asli n, himpunan semua pembagian positif dari n, mendefinisikan a≤b jika a membagi b, dalam bentuk kekisi distributif. Kekisi ini adalah aljabar Boolean jika dan hanya jika n adalah persegi bebas. Elemen bawah dan elemen atas aljabar Boolean ini masing-masing adalah bilangan asli 1 dan n. Kekomplemen dari a diberikan oleh n/a. Pertemuan dan sambungan dari a dan b diberikan oleh faktor persekutuan terbesar (fpb) dan kelipatan persekutuan terkecil (kpt) dari a dan b. Penambahan gelanggang a+b diberikan oleh fpb(a,b)/kpt(a,b). Citra menunjukkan contoh untuk n = 30. Sebagai contoh tandingan, dengan mempertimbangkan non-persegi-bebas n=60, faktor persekutuan terbesar dari 30 dan komplemennya 2 adalah 2, sementara itu harus menjadi elemen terbawah 1.

Contoh lain dari aljabar Boolean muncul dari ruang topologi: jika X adalah ruang topologi, maka kumpulan semua himpunan bagian X maupun terbuka dan tertutup dalam bentuk aljabar Boolean dengan operasi ∨ := ∪ (gabungan) dan ∧ := ∩ (persimpangan/irisan).

Jika R adalah gelanggang sebarang dan kami mendefinisikan himpunan idempoten sentral dengan  A = { e ∈ R : e2 = e, ex = xe, ∀x ∈ R }  maka himpunan A sebagai aljabar Boolean dengan operasi e ∨ f := e + f - ef dan e ∧ f := ef.