Jelaskan Matriks khusus dari Aljabar Lie

Matriks jejak nol membentuk aljabar Lie linear khusus , aljabar Lie dari grup linear khusus .

Matriks condong-Hermitian membentuk aljabar Lie kesatuan , aljabar Lie dari satuan grup U(n).

Kompleks grup matriks adalah grup Lie yang terdiri dari matriks  dimana perkalian G adalah perkalian matriks. Aljabar Lie  ruang matriks merupakan vektor bersinggungan dengan G dalam ruang linear : terdiri dari turunan kurva halus dalam G dengan identitas: Braket Lie dari  adalah komutator matriks, . Dengan aljabar Lie, kita dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan matriks eksponensial  didefinisikan oleh , yang menyatu untuk setiap matriks : yaitu, .

Berikut ini adalah contoh aljabar Lie dari grup matriks Lie:

Grup linear khusus  terdiri dari  matriks dengan determinan 1. Aljabar Lie terdiri dari  matriks dengan entri kompleks dan jejak 0. Demikian pula, mendefinisikan grup Lie riil  dan aljabar Lie .

Grup uniter  terdiri dari n × n matriks uniter (sebagai ). Aljabar Lie  terdiri dari matriks adjoin ().

Grup ortogonal khusus , terdiri dari matriks ortogonal determinan-satu riil (). Aljabar Lie  terdiri dari matriks simetris-miring riil (). Grup ortogonal penuh , tanpa determinan-satu kondisi, terdiri dari  dan komponen terhubung yang terpisah, maka memiliki aljabar Lie sama dengan . Demikian pula, mendefinisikan versi kompleks dari grup dan aljabar ini, hanya dengan entri matriks kompleks.