Jelaskan Definisi teori kisi dari Aljabar Heyting

Definisi ekuivalen dari aljabar Heyting dapat diberikan dengan mempertimbangkan pemetaan:

untuk beberapa a dalam H. Kekisi berbatas H adalah aljabar Heyting jika dan hanya jika setiap pemetaan fa adalah adjoint bawah monoton hubungan Galois. Dalam hal ini adjoin atas ga diberikan oleh ga(x) = a→x, dimana → sebagai definisi atas.

Namun definisi lain adalah sebagai kekisi residu dimana operasi monoidnya adalah ∧. Unit monoid kemudian menjadi sebagai elemen teratas 1. Komutatifitas monoid ini menyiratkan bahwa kedua residu bertepatan sebagai a→b.

Kekisi terikat dengan operasi implikasi

Diberikan kisi terbatas A dengan elemen terbesar dan terkecil 1 dan 0, dan operasi biner →, ini sebagai bentuk aljabar Heyting jika dan hanya jika yang berikut ini berlaku:

dimana 4 adalah hukum distributif untuk →.

Karakterisasi menggunakan aksioma logika intuisi

Karakterisasi aljabar Heyting ini membuat bukti fakta dasar mengenai hubungan antara kalkulus proposisional, intuisionis, dan aljabar Heyting dekat (untuk fakta ini, lihat bagian "identitas pembuktian" dan "konstruksi universal"). Orang harus menganggap elemen  sebagai makna, secara intuitif, "terbukti benar." Bandingkan dengan aksioma di Logika intuisi#Aksiomatisasi.

Diberikan satu himpunan A dengan tiga operasi biner →, ∧ dan ∨, dan dua elemen berbeda  dan , maka A adalah aljabar Heyting untuk operasi ini (dan relasinya ≤ didefinisikan oleh kondisi bahwa  maka a→b = ) jika dan hanya jika kondisi berikut berlaku untuk setiap elemen x, y dan z dari A:

Akhirnya, kita dapat mendefinisikan ¬x sebagai x→ .

Kondisi 1 mengatakan bahwa formula yang setara harus diidentifikasi. Ketentuan 2 menyatakan bahwa rumus yang terbukti benar ditutup di bawah modus ponens. Ketentuan 3 dan 4 adalah ketentuan lalu. Ketentuan 5, 6, dan 7 adalah ketentuan dan. Ketentuan 8, 9, dan 10 adalah ketentuan atau. Kondisi 11 adalah kondisi salah.

Tentu saja, jika serangkaian aksioma yang berbeda dipilih untuk logika, kita dapat memodifikasi aksioma.