Grup kelas ideal itu apa sih?

Dalam teori bilangan, grup kelas ideal (atau grup kelas) dari bidang bilangan aljabar  adalah grup hasil bagi  dimana  adalah grup pecahan ideal dari gelanggang bilangan bulat dari , dan  adalah subgrup dari prinsip ideal. Grup kelas adalah ukuran faktorisasi unik dengan gelanggang bilangan bulat dari . Urutan dari grup hingga, disebut bilangan kelas dari .

Teori ini meluas ke domain Dedekind dan bidang pecahan, sifat perkalian terkait dengan struktur grup kelas. Misalnya, grup kelas dari domain Dedekind trivial jika dan hanya jika gelanggang tersebut adalah domain faktorisasi unik.

Sejarah dan asal usul grup kelas ideal

Grup kelas ideal dipelajari beberapa waktu sebelum ide tentang ideal dirumuskan. Grup ini muncul dalam teori bentuk kuadrat: dalam kasus bentuk kuadrat integral biner ke dalam sesuatu seperti bentuk akhir oleh Gauss, hukum komposisi didefinisikan pada kelas ekuivalens tertentu dari bentuk. Grup abelian hingga yang diakui pada saat itu.

Kemudian Kummer mengerjakan teori medan siklotomik. Telah disadari (mungkin oleh beberapa orang) bahwa untuk melengkapi bukti dalam kasus umum teorema terakhir Fermat oleh faktorisasi menggunakan akar satuan: faktorisasi unik, yaitu teorema dasar aritmetika, untuk menambahkan gelanggang yang dihasilkan oleh akar satuan tersebut merupakan hambatan utama. Dari pekerjaan Kummer untuk pertama kalinya muncul studi tentang obstruksi faktorisasi. Sekarang mengenali ini sebagai bagian dari grup kelas ideal: sebenarnya Kummer telah mengisolasi torsi-p dalam grup untuk bidang akar satuan-p, untuk bilangan prima p, sebagai alasan metode standar serangan pada masalah Fermat (lihat bilangan prima reguler).

Dedekind merumuskan konsep ideal, Kummer bekerja dengan cara yang berbeda. Pada titik ini contoh dapat disatukan. Hal ini menunjukkan bahwa sementara gelanggang bilangan bulat aljabar tidak memiliki faktorisasi unik menjadi bilangan prima (karena mereka tidak perlu domain ideal utama), memiliki sifat bahwa setiap ideal yang tepat mengakui faktorisasi unik sebagai produk dari ideal prima (yaitu, setiap gelanggang bilangan bulat aljabar adalah domain Dedekind). Ukuran grup kelas ideal dapat dianggap sebagai ukuran penyimpangan gelanggang dari domain ideal utama; gelanggang adalah domain utama jika dan hanya jika memiliki gelanggang kelas ideal.