Jelaskan Topologi bintang operator lemah dari Topologi operator lemah

Predual dari B(H) adalah kelas jejak operator C1(H), dan itu menghasilkan topologi-w* pada B(H), disebut topologi operator bintang lemah atau topologi σ. Topologi operator-lemah dan σ pada himpunan berbatas norma pada B(H).

Jaring {Tα} ⊂ B(H) konvergen ke  T  pada TOL jika dan hanya Tr(TαF) konvergen ke Tr(TF) untuk semua operator peringkat terbatas  F . Karena setiap operator peringkat-hingga adalah kelas-jejak. Untuk melihat mengapa klaim itu benar, ingatlah bahwa setiap operator peringkat terbatas  F  adalah jumlah hingga

Jadi {Tα} konvergen ke  T  dalam arti TOL

Memperluas, dapat dikatakan bahwa topologi operator-lemah dan σ pada himpunan hingga norma dalam  B ( H ): Setiap operator kelas jejak adalah dalam bentuk

dimana deret . Maka  dan  terdapat pada TOL. Untuk setiap kelas jejak  S ,

dengan menggunakan, misalnya, teorema konvergensi dominasi.

Maka, himpunan yang dibatasi norma menjadi kompak dalam TOL, dengan Teorema Banach–Alaoglu.