Jelaskan Representasi ekuivalen dari Bentuk kuadrat biner

Pengertian ekuivalen bentuk dapat diperluas menjadi representasi ekuivalen.  Representasi  dan  akuivalen jika matriks

dengan entri integer dan determinan 1 sehingga  dan

Kondisi di atas memberikan aksi (kanan) grup  pada himpunan representasi bilangan bulat dengan bentuk kuadrat biner. Oleh karena itu, persamaan yang didefinisikan dengan cara ini adalah hubungan kesetaraan dan khususnya bentuk-bentuk dalam representasi yang setara adalah bentuk-bentuk yang setara.

Sebagai contoh, misalkan  dan pertimbangkan representasi . Representasi semacam itu adalah solusi persamaan Pell yang dijelaskan dalam contoh di atas. Matriks

memiliki determinan 1 dan merupakan automorfisme dari  f . Bertindak atas representasi  dengan matriks ini menghasilkan representasi yang setara . Langkah rekursi dalam proses yang dijelaskan di atas untuk menghasilkan banyak solusi tak terhingga untuk . Iterasi aksi matriks ini, kami menemukan bahwa himpunan representasi tak hingga dari 1 oleh  f  yang ditentukan di atas semuanya ekuivalen.

Secara umum ada banyak kelas ekivalen yang terbatas dari representasi integer  n  dengan bentuk diskriminan bukan nol yang diberikan . Seperangkat perwakilan lengkap untuk kelas-kelas ini dapat diberikan dalam istilah  bentuk tereduksi  yang ditentukan pada bagian di bawah ini. Saat , setiap representasi setara dengan representasi unik dengan bentuk yang direduksi, sehingga satu set lengkap perwakilan diberikan oleh banyak representasi  n  yang tereduksi oleh bentuk diskrim yang dikurangi diskriminan . Maka , Zagier membuktikan bahwa setiap representasi bilangan bulat positif  n  oleh bentuk diskriminan  adalah setara dengan representasi unik  di mana  f  dikurangi dalam pengertian Zagier dan , . Himpunan dari semua representasi tersebut merupakan himpunan lengkap perwakilan untuk kelas representasi kesetaraan.