Jabarkan yang merupakan rasional. dari Rangkap tiga Pythagoras

Dalam istilah geometri aljabar, varietas aljabar mengenai titik rasional pada lingkaran satuan adalah birasional ke garis afin atas bilangan rasional. Demikian lingkaran satuan disebut sebuah lengkung rasional, dan ini adalah fakta yang memungkinkan sebuah parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) pada hal itu melalui fungsi rasional.

Segitiga Pythagoras dalam sebuah kekisi 2 dimensi

Sebuah kekisi 2 dimensi merupakan sebuah larik beraturan mengenai titik terpencil dimana jika suatu satu titik dipilih sebagai titik asal Cartesius , maka semua titik lainnya ada di  dimana  dan  mengembara di semua bilangan bulat positif dan negatif. Suatu segitiga Pythagoras dengan rangkap tiga  dapat digambar dalam sebuah kekisi 2 dimensi dengan verteks di koordinat , , dan . Jumlah langkah titik kekisi terletak sempurna dalam batas dari segitiga diberikan oleh ; untuk rangkap tiga Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah . Luasnya (oleh teorema Pick sama dengan satu lebih kecil dari jumlah langkah kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah langkah kekisi batas) sama dengan .

Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythagoras primitif membagi luas yang sama terjadi dengan segitiga dengan sisi ,  dan luas umumnya adalah 210 . Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythgoras primitif membagi jumlah langkah kekisi dalam yang sama terjadi dengan ,  dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 . Tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: , ,  dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah langkah kekisi dalam.

Enumerasi rangkap tiga Pythagoras primitif

Oleh rumus Euclid, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat  dan  dengan ,  adalah ganjil dan . Karena itu terdapat sebuah 1 ke 1 pemetaan rasional (dalam suku terkecil) ke rangkap tiga Pythagoras primitid dimana  ada di dalam selang  dan  adalah ganjil.

Pemetaan terbalik dari sebuah rangkap tiga primitif  dimana  ke sebuah rasional  dicapai dengan mempelajari dua jumlah  dan . Salah satu dari jumlah ini akan menjadi sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan  dan lainnya akan menjadi dua kali sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan . Ini kemudian mungkin untuk menentukan rasional .

Dalam rangka untuk menghitung rangkap tiga Pythagoras primitif, rasionalnya dapat diungkapkan sebagai sebuah pasangan terurut  dan dipetakan ke sebuah bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Sebuah contoh dapat dilihat pada . Ini dimulai

dan memberikan rasional  ini, ternyata, menghasilkan rangkap tiga primitif