Jelaskan Aljabar dari Aljabar asosiatif

Gelanggang A dapat dianggap sebagai aljabar-Z. Homomorfisme gelanggang dari Z hingga A, 1 ke identitas A. Oleh karena itu, gelanggang dan aljabar-Z adalah konsep ekuivalen, dengan modul grup abelian dan ekuivalen-Z.

Gelanggang karakteristik n adalah aljabar-(Z/nZ) dalam penggunaan yang sama.

Maka modul-R dari M, gelanggang endomorfisma dari M, dilambangkan EndR(M) adalah aljabar-R dengan mendefinisikan (r·φ)(x) = r·φ(x).

Gelanggang matriks dengan koefisien dalam gelanggang komutatif R membentuk aljabar-R di bawah penjumlahan dan perkalian matriks. Sebagai contoh sebelumnya ketika M adalah modul-R yang dihasilkan secara hingga.

Persegi n-oleh-n matriks dengan entri dari bidang K membentuk aljabar asosiatif di atas K. Secara khusus, 2 × 2 matriks real membentuk aljabar asosiatif yang berguna dalam pemetaan bidang.

Bilangan kompleks membentuk aljabar asosiatif 2 dimensi di atas bilangan riil.

Kuaternion membentuk aljabar asosiatif 4 dimensi di atas riil (tetapi bukan aljabar di atas bilangan kompleks, karena bilangan kompleks tidak berada di tengah kuartenion).

Polinomial dengan koefisien riil membentuk aljabar asosiatif di atas real.

Gelanggang polinomial R[x1, ..., xn] adalah aljabar komutatif R. Maka, aljabar komutatif bebas R di himpunan {x1, ..., xn}.

Aljabar-R bebas pada himpunan E adalah aljabar dari 'polinomial' dengan koefisien dalam R dan tak tentu tidak komuter yang diambil dari himpunan E.

Aljabar tensor dari modul-R secara alami adalah aljabar-R. Hal yang sama juga berlaku untuk hasil-hasil seperti eksterior dan aljabar simetris. Berbicara secara kategoris, funktor yang memetakan modul-R  ke aljabar tensor adjoin kiri ke funktor yang mengirimkan aljabar-R ke modul-R yang mendasari (struktur perkalian).

Gelanggang berikut digunakan dalam teori gelanggang-λ. Gelanggang komutatif A, misalkan  himpunan deret pangkat formal dengan suku konstanta 1. Merupakan gru0 abelian dengan operasi grup yaitu perkalian deret pangkat. Kemudian gelanggang dengan perkalian, dilambangkan dengan , sehingga  ditentukan dengan aksioma gelanggang. Identitas aditif adalah 1 dan identitas perkaliannya adalah . Then  memiliki struktur kanonik aljabar- oleh homomorfisme gelanggang

Di sisi lain, jika A adalah gelanggang-λ, maka ada homomorfisme gelanggang