Tolong jelaskan mengenai untuk semua  dan . dari Grup dengan operator

Subgrup S dari G disebut subgrup stabil,  atau subgrup invarian- jika didukung homotetis, yaitu

Dalam teori kategori, grup dengan operator dapat didefinisikan sebagai objek dari kategori fungtor  dimana  adalah monoid (yaitu kategori dengan satu objek) dan  menunjukkan kategori grup. Definisi ini setara dengan definisi sebelumnya, asalkan  adalah monoid (jika tidak, apabila dapat memperluas untuk memasukkan identitas dan semua komposisi).

Sebuah morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara dua fungtor (yaitu dua grup dengan operator pembagian ranah operasi yang sama M).  Sekali lagi apabila memulihkan definisi diatas tentang homomorfisme grup dengan operator (dengan dari komponen dari transformasi alami).

Grup dengan operator juga merupakan pemetaan

dimana  adalah himpunan endomorfisme grup G.