Jelaskan . dari Rangkap tiga Pythagoras

Menggunakan fakta bahwa bilangan bulat Gauss adalah sebuah ranah Euclides dan bahwa untuk sebuah bilangan bulat Gauss ,  selalu sebuah bilangan kuadrat ini, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa sebuah rangkap tiga Pythagoras berpadanan dengan kuadrat bilangan bulat Gauss prima jika hipotenusanya adalah prima.

Jika bilangan bulat Gausas bukanlah prima, maka darab dua bilangan bulat Gauss  dan  dengan bilangan bulat  dan . Karena besarannya dikalikan dalam bilangan bulat Gauss, darabnya harus , yang ketika dikuadratkan untuk mencari sebuah rangkap tiga Pythagoras harus komposit. Kontrapositifnya melengkapi pembuktiannya.

Relasi untuk elips dengan dimensi integral

Dengan acuan ke gambar dan definisi dari fokus elips,  dan , untuk suatu titik  pada elips,  adalah tetapan.

Karena titik  dan  adalah keduanya elips, . Karena simetri, , dan . Karena itu, .

Demikian, jika  adalah sebuah segitiga sudut siku-siku dengan sisi integral, pemisahan dari fokus, eksentrisitas linear, sumbu pendek dan sumbu panjang juga bilangan bulat semua.