Jabarkan Definisi formal dari Sifat universal

Untuk memahami definisi konstruksi universal, penting untuk melihat contoh. Konstruksi universal tidak ditentukan begitu saja, tetapi ditentukan setelah matematikawan mulai memperhatikan pola dalam banyak konstruksi matematika (lihat Contoh di bawah). Oleh karena itu, definisi tersebut mungkin tidak masuk akal bagi seseorang pada awalnya, tetapi akan menjadi jelas ketika seseorang menggabungkannya dengan contoh konkret.

Maka  menjadi fungsi antara kategori  dan . Selanjutnya, misalkan  menjadi objek , sedangkan  dan  adalah objek .

Jadi, funktor  memetakan ,  dan  pada  ke ,  dan  dalam .

Morfisme universal dari  hingga  adalah  dengan  yang memiliki sifat berikut, biasanya disebut sebagai sifat universal. Untuk morfisme bentuk

di , terdapat morfisme  sedemikian rupa sehingga diagram berikut perjalanan:

Kita bisa menggandakan konsep kategoris ini. Sebuah morfisme universal dari  hingga  adalah  yang memenuhi sifat universal berikut. Untuk morfisme bentuk  in , morfisme  sedemikian rupa sehingga diagram berikut ini berjalan:

Perhatikan bahwa di setiap definisi, panah dibalik. Kedua definisi tersebut diperlukan untuk menjelaskan konstruksi universal yang muncul dalam matematika; tetapi mereka juga muncul karena dualitas inheren yang ada dalam teori kategori.

Dalam kedua kasus, bahwa  di atas memenuhi sifat universal.

Sebagai catatan tambahan, beberapa penulis menyajikan diagram kedua sebagai berikut.

Tentu saja, diagramnya sama; memilih cara menulis adalah soal selera. Mereka hanya berbeda dengan rotasi 180°. Akan tetapi, diagram asli lebih disukai, karena menggambarkan dualitas antara dua definisi, karena jelas bahwa panah invers dalam setiap kasus.