Jelaskan . dari Fungsi aljabar

Dalam istilah yang lebih tepat, fungsi aljabar derajat  dalam satu variabel  adalah sebuah fungsi  yaitu kontinu dalam domain dan memenuhi persamaan aljabar

dimana koefisien  adalah fungsi polinomial dari , dengan koefisien integer. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi yang sama diperoleh jika bilangan aljabar diterima untuk koefisien . Jika bilangan transendental muncul dalam koefisien, fungsinya secara umum bukan aljabar, tetapi ini adalah "aljabar di atas bidang  yang dihasilkan oleh koefisien ini.

Nilai fungsi aljabar pada bilangan rasional, dan lebih umum lagi, pada bilangan aljabar selalu berupa bilangan aljabar.

Terkadang, koefisien  pada polinomial di atas gelanggang  dianggap, dan kemudian berbicara tentang "fungsi aljabar di atas ".

Sebuah fungsi yang bukan aljabar disebut fungsi transendental, seperti pada contoh kasus . Komposisi fungsi transendental dapat memberikan fungsi aljabar: .

Karena persamaan polinomial derajat  n  memiliki hingga akar  n  (dan tepat  n  akar di atas bidang tertutup aljabar, seperti bilangan kompleks), persamaan polinomial tidak secara implisit mendefinisikan fungsi tunggal, tetapi hingga  n fungsi, terkadang juga disebut cabang. Pertimbangkan misalnya persamaan dari satuan lingkaran:

Ini menentukan y, kecuali sampai tanda keseluruhan; karenanya, ia mempunyai 2 cabang:

Fungsi aljabar dalam variabel m juga didefinisikan sebagai fungsi  yang memecahkan persamaan polinomial dalam variabel m + 1:

Biasanya diasumsikan bahwa  p  harus berupa polinomial tak tersederhanakan. Keberadaan fungsi aljabar kemudian dijamin oleh teorema fungsi implisit.

Secara umum, fungsi aljabar dalam variabel  m  di atas bidang  K  adalah elemen dari penutupan aljabar dari bidang fungsi rasional K(x1, ..., xm).