Tolong jelaskan mengenai Penerapan barisan eksak dari Barisan eksak

Dalam teori kategori abelian, barisan eksak pendek seringkali digunakan sebagai media untuk membicarakan subobjek dan objek faktor.

Masalah ekstensi pada dasarnya adalah pertanyaan "Misalkan  dan  adalah suku akhir tidak nol pada barisan eksak pendek, apa yang dapat dikatakan mengenai suku tengah  ?" Dalam kategori grup, ini ekuivalen dengan pertanyaan, "Grup  apakah yang memiliki  sebagai subgrup normalnya dengan  merupakan grup hasil baginya?" Masalah ini penting dalam klasifikasi grup. Lihat pula grup automorfisme luar.

Perhatikan bahwa komposisi  dalam barisan eksak merupakan pemetaan  dari  ke , sehingga setiap barisan eksak adalah rantai kompleks. Selanjutnya, hanya peta dari   yang dipetakan ke  oleh , sehingga homologi dari rantai kompleks (yaitu ) semuanya trivial (merupakan grup nol). Dalam bahasa rantai kompleks, barisan eksak disebut rantai asiklik. Dari pembahasan sebelumnya, hal ini ekuivalen dengan rantai kompleks yang memiliki homologi trivial

Pada sembarang rantai kompleks, homologi dapat dianggap sebagai alat yang mengukur kegagalan rantai kompleks menjadi barisan yang eksak.

Jika barisan eksak pendek dihubungkan sedemikian rupa menjadi sebuah rantai kompleks (yaitu, barisan eksak pendek yang sukunya berupa rantai kompleks, atau dari sudut pandang lain, rantai kompleks yang sukunya berupa barisan eksak pendek), maka barisan eksak panjang''' dari homologi (yaitu barisan eksak yang tidak terbatas) dapat dikonstruksi dengan menggunakan lema zig-zag. Hal ini muncul di topologi aljabar dalam studi tentang homologi relatif; barisan Mayer–Vietoris adalah contoh lain. Praktik mengkonstruksi barisan eksak panjang dari barisan eksak pendek seperti ini juga muncul pada pembahasan funktor turunan.

Funktor yang mengirimkan barisan eksak ke barisan eksak disebut funktor eksak.