Jelaskan Homomorfisme grup unik dari Grup Abelian

Homomorfisme ini adalah surjektif, dan kernel-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk gelanggang Noetherian). Pertimbangkan matriks  dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke  adalah koefisien dari generalisasi kernel . Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap kokernel dari peta linear yang ditentukan . Sebaliknya, setiap matriks bilangan bulat mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit  sama dengan mengalikan  sebelah kiri dengan matriks unimodular (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel  sama dengan mengalikan  sebelah kanan dengan matriks unimodular.

Bentuk normal Smith dari  adalah sebuah matriks

dimana  dan  unimodular, dan  adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol  adalah yang pertama, dan  adalah pembagi dari  untuk . Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga  adalah jumlah langsung

dimana  adalah jumlah baris nol di bagian bawah  (dan peringkat grup). Ini adalah teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.