Jelaskan Definisi formal dari Modul (matematika)

Misalkan R adalah gelanggang dan 1 adalah identitas perkaliannya.

Modul kiri-R pada M yang terdiri dari grup abelian  dan operasi  maka r, s di R dan x, y di M, memiliki:

Pengoperasian gelanggang pada M disebut perkalian skalar, dan biasanya ditulis dengan penjajaran, yaitu sebagai rx untuk r pada R dan x pada M, meskipun dilambangkan sebagai  untuk membedakannya dari operasi perkalian gelanggang, yang dilambangkan dengan penjajaran. Notasi RM menunjukkan modul kiri-R pada M. Sebuah modul kanan-R pada M atau MR didefinisikan serupa, kecuali bahwa gelanggang itu bekerja di sebelah kanan; yaitu, perkalian skalar mengambil bentuk , dan aksioma atas ditulis dengan skalar r dan s sebelah kanan x dan y.

Penulis yang tidak memerlukan gelanggang menjadi unital untuk menghilangkan ketentuan 4 atas dalam definisi modul R, dan apabila struktur yang didefinisikan atas "unital kiri R". Dalam artikel ini, sesuai dengan glosarium teori gelanggang, semua gelanggang dan modul dianggap tidak sama.