Jabarkan Translasi melewati sumbu- dari Model hiperboloid

Untuk setiap bilangan real , terdapat sebuah translasi

Translasi ini menggeser sumbu- sebuah jarak dari  dalam arah  positif jika  atau sebuah jarak dari  dalam arah  negatif jika . Translasi apapun dari jarak  konjugasi ke  dan .

bisa dihasilkan oleh himpunan .

Kesimetrian dari horosphere berpusat pada sumbu- positif

Misalkan  menjadi horosphere seperti yang titik-titik dari bentuk  ada di dalam darinya untuk  besar secara sembarang. Untuk setiap vektor  dalam .

adalah hororotasi yang memetakan  ke diri sendiri. Setiap hororotasi konjugasi untuk seperti sebuah isometri. Untuk setiap  dalam .

adalah rotasi atau refleksi yang mempertahankan  dan sebuah titik di atasnya (Titik potong  dengan sumbu-). Hororotasi-hororotasi ini, rotasi-rotasi, dan refleksi-refleksi menghasilkan grup dari kesimetrian dari . Grup ini isomorfik dengan grup Euklidean .

Refleksi menukarkan dua titik tertentu

Untuk dua titik , terdapat sebuah refleksi  unik menukarkan mereka.

Misalkan . Catatan bahwa , dan demikian juga .