Jelaskan Sejarah dan penggunaan dari Diferensial (matematika)

Besaran infinitesimal ("yang sangat kecil") memainkan peranan penting dalam perkembangan kalkulus. Archimedes menggunakan konsep ini, walaupun ia tidak percaya argumentasi menggunakan infinitesimal bersifat tegas (rigor). Isaac Newton merujuk konsep ini sebagai fluxions. Tetapi, Gottfried Leibniz yang pertama mencetuskan istilah differential untuk besaran infinitesimal dan memperkenalkan notasi untuk mereka, yang masih digunakan saat ini.

Dalam notasi Leibniz, jika  adalah besaran yang dapat berubah (variabel), maka  menyatakan perubahan infinitesimal pada variabel . Sehingga, jika  adalah fungsi terhadap , maka turunan dari  terhadap  sering dinyatakan sebagai , yang dalam notasi Newton atau Lagrange sebagai  atau . Penggunaan diferensial dalam bentuk ini awalnya mengundang banyak kontroversi, sebagai contoh dalam pamflet terkenal The Analyst oleh uskup Berkeley. Walaupun demikian, notasi ini tetap populer karena menggambarkan ide turunan dari  pada suatu titik  sebagai laju sesaat (kemiringan dari garis singgung pada grafik fungsi), yang dapat dihitung dengan mengambil limit dari rasio perubahan nilai  terhadap perubahan nilai , yakni , ketika perubahan  dibuat sekecil mungkin. Analisis dimensi juga berlaku bagi diferensial, sehingga  memiliki dimensi yang sama dengan variabel .

Kalkulus berkembang menjadi cabang matematika tersendiri pada abad ke-17, walaupun beberapa bagian di dalamnya sudah ada sejak jaman kuno. Pendekatan yang digunakan [contohnya] oleh Newton dan Leibniz ditandai oleh definisi yang tak tegas (tidak matematis) pada istilah seperti diferensial dan "sekecil mungkin". Walaupun argumentasi uskup Berkeley dalam karya The Analyst tahun 1734 sebagian besar bersifat teologis, matematikawan modern menyadari validitas argumennya mengenai besaran infinitesimal. Pendekatan kalkulus yang modern tidak memiliki masalah teknis tersebut. Walaupun banyak hal yang tidak tegas, perkembangan kalkulus secara pesat terjadi pada abad ke-17 dan ke-18. Pada abad ke-19, Cauchy dan para matematikawan lain mulai mengembangkan pendekatan epsilon-delta untuk mendefinisikan kekontinuan, limit, dan turunan, memberikan fondasi matematis untuk kalkulus.

Pada abad ke-20, beberapa konsep baru dalam, sebagai contoh kalkulus multivariabel dan geometri diferensial, terasa memuat maksud dari definisi-definisi lawas, khususnya differential. Saat ini diferensial and infinitesimal menggunakan definisi baru yang lebih tegas dan matematis.

Diferensial juga digunakan dalam notasi integral karena suatu integral dapat dianggap sebagai penjumlahan tak hingga banyaknya besaran infinitesimal: Luas daerah di dalam grafik dihasilkan dengan membagi grafik menjadi tak hingga banyaknya persegi panjang yang sangat tipis, dan menjumlahkan semua luas persegi panjang tersebut. Pada ekspresi sepertiSimbol integral (yang merupakan huruf s yang dipanjangkan) menyatakan penjumlahan tak hingga,  menyatakan "tinggi" dari persegi panjang, sedangkan diferensial  menyatakan lebar persegi panjang yang kecilnya tak hingga.