Jelaskan Contoh dari Fungtor

Diagram: Untuk kategori  C  dan  J , diagram tipe  J  dalam  C  adalah fungsi kovarian .

Pragemal (teori kategori): Untuk kategori  C  dan  J , a  J -presheaf pada  C  adalah fungsi kontravarian .

Pragemal: Jika  X  adalah ruang topologi, maka himpunan terbuka di  X  membentuk himpunan terurut parsial Open(X) di bawah penyertaan. Seperti setiap himpunan yang diurutkan sebagian, Open( X ) membentuk kategori kecil dengan menambahkan satu panah  jika dan hanya jika . Fungsional kontravarian pada Open ( X ) disebut  pragemal  pada  X . Misalnya, dengan menetapkan ke setiap set terbuka  U  aljabar asosiatif dari fungsi kontinu bernilai nyata pada  U , salah satunya memperoleh pragemal dari aljabar di  X .

Fungtor konstan: Fungtor  yang memetakan setiap objek  C  ke objek tetap  X  di  D  dan setiap morfisme di  C  ke morfisme identitas di  X . Functor seperti itu disebut functor  konstan  atau  pilihan .

Endofungtor: Fungtor yang memetakan kategori ke kategori yang sama; misalnya, fungsi polinomial.

Fungtor identitas: dalam kategori  C , tertulis 1C atau idC, memetakan objek ke dirinya sendiri dan morfisme ke dirinya sendiri. Functor identitas adalah endofungtor.

Fungtor diagonal: Fungtor diagonal didefinisikan sebagai functor dari  D  ke kategori fungtor  D  C yang mengirimkan setiap objek dalam  D  ke Functor konstan pada objek itu.

Limit fungsi: Untuk tetap kategori indeks  J , jika semua functor  memiliki limit (misalnya jika  C  selesai), maka fungsi limit  menetapkan batasnya ke setiap fungtor. Keberadaan fungtor ini dapat dibuktikan dengan menyadari bahwa ini adalah adjoin kanan ke diagonal fungtor dan menjalankan teorema fungtor adjoin Freyd. Ini membutuhkan versi yang sesuai dari aksioma pilihan. Komentar serupa berlaku untuk fungotor kolimit (yang menetapkan kolom ke setiap functor, dan merupakan kovarian).

Himpunan daya: Himpunan fungtor daya  memetakan setiap himpunan ke himpunan daya dan setiap fungsinya  ke peta order  ke citranya . Salah satunya juga dapat mempertimbangkan fungtor himpunan daya kontravarian order  ke peta yang mengirim  ke citra balikannya

Kaitannya dengan konsep kategoris lainnya

Misalkan C dan D menjadi kategori. Kumpulan semua fungsi dari C hingga D membentuk objek dari kategori: kategori fungtor. Morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara fungsi.

Functor sering didefinisikan oleh sifat universal; contohnya adalah produk tensor, jumlah langsung dan produk langsung dari grup atau ruang vektor, konstruksi grup dan modul bebas, limit langsung dan  invers. Konsep limit dan kolimit merampat beberapa hal di atas.

Konstruksi semesta sering kali memunculkan pasangan.