Jabarkan Sifat dari Subgrup normal

Jika  adalah subgrup normal dari , dan  adalah subgrup dari  berisi , maka  adalah subgrup normal dari .

Subgrup normal dari subkelompok normal dari suatu kelompok tidak harus normal dalam kelompok tersebut. Artinya, normalitas bukanlah hubungan transitif. Grup terkecil yang menunjukkan fenomena ini adalah grup dihedral berorde 8. Namun, subgrul karakteristik dari subkelompok normal adalah normal. Sebuah kelompok yang normalitasnya transitif disebut  T-grup.

Dua grup  dan  adalah subgrup normal dari  produk langsung .

Jika grup  adalah produk setengah langsung , maka  adalah normal dalam , meskipun  tidak perlu menjadi normal dalam .

Normalitas dipertahankan di bawah homomorfisme dugaan, yaitu jika  adalah homomorfisme kelompok dugaan dan  adalah normal di , lalu gambar  normal dalam .

Normalitas dipertahankan dengan mengambil  gambar terbalik, i.e. if  adalah homomorfisme grup dan  normal dalam , maka gambar terbalik  pada .

Normalitas dipertahankan pada pengambilan  produk langsung, yaitu jika  dan , maka .

Setiap subgrup  indeks 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, , dari indeks hingga, , pada  berisi subgrup, , normal di  dan pembagi indeks  disebut normal core. Khususnya, jika  adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan , maka setiap subgrup indeks {{math |  p } } normal.

Fakta bahwa subgrup normal dari  adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada  G  menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah  sederhana jika dan hanya jika isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya, sebuah grup berhingga adalah  sempurna jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime  indeks, dan sebuah grup adalah  tidak sempurna jika dan hanya jika subgrup turunan tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.