Jelaskan Sebagai kategori konkrit dari Kategori gelanggang

Kategori Gelanggang adalah kategori beton yang berarti bahwa objek tersebut  himpunan dengan struktur tambahan (penjumlahan dan perkalian) dan morfisme adalah  fungsi yang mempertahankan struktur ini. Ada fungsi pelupa alami

U : Gelanggang → Himpunan

untuk kategori gelanggang ke kategori himpunan yang mengirimkan setiap gelanggang ke set yang mendasarinya (sehingga "melupakan" operasi penjumlahan dan perkalian). Funktor ini memiliki penyambung kiri

F : Himpunan → Gelanggang

which assigns to each set X the free ring generated by X.

Seseorang juga dapat melihat kategori gelanggang sebagai kategori konkret di atas Ab (kategori grup abelian) atau di atas Mon (kategori monoid). Secara khusus, ada fungsi pelupa

A : Gelanggang → Ab

M : Gelanggamg → Mon

yang masing-masing "melupakan" perkalian dan penjumlahan. Kedua fungsi ini meninggalkan adjoint. Adjoint kiri  A  adalah functor yang menetapkan ke setiap grup abelian  X  (dianggap sebagai Z- modul ) gelanggang tensor  T ( X ). Adjoint kiri  M  adalah functor yang menetapkan ke setiap monoid  X  integral gelanggang monoid Z[X].