Jabarkan Aplikasi dari Teorema Lagrange (teori grup)

Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa urutan elemen apa pun  dari grup berhingga (yaitu bilangan bulat positif terkecil  dengan , di mana  adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan  sama dengan urutan subgrup siklik dihasilkan dari . Jika grup memiliki elemen , maka grup akan mengikuti

Ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema kecil Fermat dan generalisasinya, Teorema Euler. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan sederhana. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan teorema Wilson, bahwa jika  adalah bilangan prima maka  adalah faktor dari .

Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar , kemudian pembagi prima  dari bilangan Mersenne  akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan  dalam grup perkalian  (lihat aritmatika modular) membagi urutan , yaitu . Karenanya , bertentangan dengan asumsi bahwa  adalah bilangan prima terbesar.

Keberadaan subkelompok dengan urutan tertentu

Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas  G  dan pembagi  d  dari |G|, belum tentu ada subgrup  G  dengan urutan  d . Contoh terkecil adalah A4 (grup bergantian dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan.  Diketahui bahwa grup CLT harus solvable dan setiap grup selesaikan adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya,  A  4 ) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya,  S <sub> 4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, Teorema Cauchy menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. Teorema Sylow memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup.  Untuk grup yang dapat dipecahkan, Teorema Hall menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan pembagi kesatuan mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange

Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika  adalah pembagi dari urutan grup , maka terdapat subgrup dimana .

Jika memeriksa grup bergantian , himpunan genap permutasi sebagai subgrup dari Grup simetris .