Jabarkan Zaman modern dari Teori bilangan analitik

Teknis pada teori bilangan analitik mengalami perubahan besar-besaran setelah tahun 1950 karena adanya pengembangan metode saringan, khususnya dalam masalah perkalian. Pengembangan tersebut kombinatorial dan cukup beragam. Sebagai gantinya, cabang ekstrem dari teori kombinatorial mempunyai dampak yang sangat besar dengan menempatkan nilai dalam teori bilangan analitik pada batas atas dan bawah kuantitatif. Pengembangan terbaru lainnya adalah teori bilangan probabilistik, yang menggunakan metode dari teori probabilitas untuk mengestimasi distribusi fungsi teoretis bilangan, sebagai contoh, berapa banyak pembagi bilangan prima yang dimiliki sebuah bilangan.

Penemuan Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao and Ben Green pada cabang teori bilangan analitik memakai metode Goldston–Pintz–Yıldırım. Mereka memakai metode tersebut untuk membuktikan bahwaSecara umum, pengembangan dalam teori bilangan analitik merupakan penyempurnaan teknik sebelumnya, yang mengurangi suku galat dan memperluas penerapannya. Sebagai contoh, metode lingkaran Hardy dan Littlewood dapat dipahami sebab mereka menerapkan deret pangkat di dekat satuan lingkaran di bidang kompleks (sekarang dipandang dalam ekspresi jumlah eksponensial terhingga, yakni pada lingkaran satuan tetapi dengan separuh deret pangkat). Aproksimasi Diophantine diperlukan sebagai fungsi bantu yang bukan fungsi pembangkit (sebagai cotoh, koefisiennya dibangun dengan menggunakan sebuah prinsip rumah burung) dan melibatkan beberapa variabel kompleks. Cabang aproksimasi Diophantine dan teori transendensi telah berkembang hingga teknik tersebut telah diterapkan ke konjektur Mordell.