Tolong jelaskan mengenai Aplikasi untuk masalah eigen dari Algoritma Lanczos

Algoritma Lanczos paling sering digunakan dalam konteks menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari sebuah matriks. Namun berbeda dengan diagonalisasi matriks yang menghasilkan vektor-vektor eigen dan nilai-nilai eigen terlihat jelas dari pemeriksaan, tridiagonalisasi yang dilakukan algoritma Lanczos memerlukan langkah-langkah tambahan yang nontrivial bahkan untuk menghitung satu nilai atau vektor eigen. Meskipun demikian, menerapkan algoritma Lanczos sering kali merupakan langkah signifikan yang dalam menghitung dekomposisi eigen. Jika  adalah nilai eigen dari  dan  adalah vektor eigen dari  (sehingga ), maka  adalah vektor eigen yang bersesuaian dari ; karena Hal ini mengartikan algoritma Lanczos mengubah masalah dekomposisi eigen matriks  menjadi masalah dekomposisi eigen matriks .

Terdapat sejumlah algoritma khusus untuk memroses matriks tridiagonal, sering kali dengan kompleksitas komputasi yang lebih baik daripada algoritma yang umum. Misalkan  adalah matriks simetris tridiagonal berukuran . Beberapa algoritma tersebut diantaranya:

Rekursi kontinu (continuant recursion) memungkinkan komputasi polinomial karakteristik dengan  operasi, dan mengevaluasinya pada sebuah titik dalam  operasi.

Algoritma nilai eigen bagi-dan-taklukkan (divide-and-conquer) dapat digunakan untuk menghitung seluruh dekomposisi eigen dari  dalam  operasi.

Metode Multipole Cepat (Fast Multipole method) yang dapat menghitung semua nilai eigen hanya dengan  operasi.

Beberapa algoritma dekomposisi eigen yang umum, terutama algoritma QR, diketahui konvergen lebih cepat pada kasus matriks tridiagonal daripada pada matriks yang umum. Kompleksitas asimtotik QR untuk matriks tridiagonal adalah , sama seperti untuk algoritma bagi-dan-taklukkan (meskipun faktor konstantanya mungkin berbeda). Mengingat semua vektor eigen memiliki   total elemen, algoritma ini optimal secara asimtotik. Bahkan untuk algoritma yang tingkat konvergensinya tidak terpengaruh oleh transformasi uniter (seperti metode daya dan iterasi invers), dapat menikmati manfaat kinerja ketika diterapkan ke matriks tridiagonal  daripada matriks asli . Karena struktur  yang sangat rongga dengan semua elemen bukan nol dalam posisi yang dapat diprediksi, hal ini memungkinkan penyimpanan yang ringkas dengan kinerja yang sangat baik jika dibandingkan dengan menggunakan tembolok (caching). Selain itu,  berupa matriks real dengan semua vektor eigen dan nilai eigen berupa real, sedangkan matriks  secara umum mungkin memiliki elemen kompleks dan vektor eigen; penggunaan aritmetika real cukup untuk mencari vektor eigen dan nilai eigen dari .

Jika  sangat besar, nilai  dapat dikurangi sehingga matriks   yang dihasilkan masih memiliki ukuran yang dapat dikelola. Pengurangan ini masih memungkinkan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen yang ekstrem dari . Dalam keadaan , algoritma Lanczos dapat dianggap sebagai skema kompresi lossy untuk matriks Hermite, yang mengutamakan meyimpanan nilai-nilai eigen ekstrem.

Kombinasi kinerja yang baik untuk matriks rongga dan kemampuan untuk menghitung beberapa (tanpa menghitung semua) nilai eigen adalah alasan utama untuk memilih menggunakan algoritma Lanczos.