Jabarkan Profil dari Matriks riil 2 × 2

Dalam , perkalian dengan bilangan riil dari matriks identitas  dapat dianggap sebuah garis real. Garis real ini adalah tempat dimana semua subgelanggang komutatif datang bersama.

Misalkan  dimana . Maka  adalah sebuah subgelanggang komutatif dan  dimana gabungan pada semua  seperti .

Untuk mengidentifikasi , pertama kuadratkan matriks umum:

Ketika , kuadrat ini adalah sebuah matriks diagonal.

Jadi salah satunya mengasumsikan  ketika mencari untuk  untuk membentuk subgelanggang komutatif. Ketika , maka , sebuah persamaan menggambarkan sebuah paraboloid hiperbolik dalam ruang parameter . Seperti sebuah  berfungsi sebagai sebuah satuan khayal. Dalam kasus ini  isomorfik dengan medan bilangan kompleks (biasa).

Ketika ,  adalah sebuah matriks involutori. Maka , juga memberikan sebuah paraboloid hiperbolik. Jika sebuah matriks adalah sebuah matriks idempoten, ini pasti terletak pada  dan dalam kasus ini  isomorfik dengan gelanggang bilangan kompleks terbagi

Kasus dari sebuah matriks nilpoten, , muncul ketika hanya salah satu dari  dan  tak nol, dan subgelanggang komutatif  kemudian sebuah salinan dari bidang bilangan dual.

Ketika  dikonfigurasi ulang dengan sebuah penukaran basis, profil ini berubah menjadi profil kuaternion terbagi dimana himpunan akar kuadrat  dan  mengambil sebuah bentuk simetris sebagai hiperboloid.