Tolong jelaskan mengenai Sifat barisan eksak dari Barisan eksak

Lema split menyatakan barisan eksak pendekmerupakan barisan eksak yang 'split', i.e.  , jika dan hanya jika terdapat morfisme  sedemikian sehingga   atau terdapat morfisme  sedemikian sehingga .

Lema ular memperlihatkan bahwa diagram komutatif dengan dua baris eksak menginduksi barisan eksak panjang. Lema sembilan adalah contoh khusus dari aplikasi lema ular.

Lema lima memberikan kondisi untuk pemetaan di tengah pada diagram komutatif dengan dua baris eksak memiliki panjang 5 menjadi isomorfisme; lema pendek lima merupakan contoh khusus dari aplikasi lema lima pada barisan eksak pendek.

Fakta bahwa setiap barisan eksak dapat dilihat sebagai hasil dari "menghubungkan" beberapa barisan eksak pendek yang tumpang tindih menunjukkan betapa pentingnya barisan eksak pendek. Sebagai contoh, tinjau barisan eksak berikutyang mengimplikasikan terdapat objek  pada kategori objek barisan tersebut sedemikian sehingga

Misalkan pula kokernel setiap morfisme pada barisan ada pada kategori objek barisan tersebut, dan isomorfis dengan peta morfisme setelahnya pada barisan eksak di atas:

(Ini benar untuk beberapa kategori, termasuk kategori abelian seperti kategori grup abelian, tetapi namun tidak benar untuk semua kategori yang mengenal konsep barisan eksak, dan khususnya tidak benar untuk kategori grup; spesifiknya  bukanlah , tetapi adalah grup hasil bagi  dengan tutupan normal dari , i.e. irisan semua subgrup normal dari  yang memuat .) Dengan demikian, kita mendapati diagram komutatif berikut yang setiap diagonalnya adalah barisan eksak pendek:

Bagian dari diagram ini yang bergantung pada eksistensi kokernel di kategori objek barisan adalah objek  dan pasangan morfisme terakhir . Hal ini dikarenakan adanya objek  dan morfisme  sedemikian sehingga  adalah barisan yang eksak juga membuat barisan   menjadi eksak. Dengan demikian, misalnya pada kategori grup,  adalah kernel dari suatu homomorfisme dengan domain  mengimplikasikan bahwa  adalah subgrup normal dari . Oleh karena itu,  isomorfik dengan hasil peta dari  oleh pemetaan berikutnya.

Sebaliknya, jika diberikan sembarang kumpulan barisan eksak pendek yang saling tumpah tindih, maka suku tengah barisan eksak membentuk suatu barisan eksak dengan cara yang serupa.