Jabarkan Kernel dari Homomorfisme

Homomorfisme  mendefinisikan sebuah hubungan kesetaraan  pada  pada  jika dan hanya jika . Relasi  disebut kernel dari . Ini adalah hubungan kongruensi di . Himpunan hasil  kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti , secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh , untuk setiap operasi  dari . Dalam hal ini, gambar  di  terhadap homomorfisme  harus isomorfik menjadi ; fakta ini adalah salah satu teorema isomorfisme.

Ketika struktur aljabar adalah grup untuk beberapa operasi, hubungan kesetaraan  dari elemen identitas operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan dengan  (biasanya dibaca sebagai " mod "). Juga dalam kasus ini, ini adalah , bukan , yang disebut kernel dari . Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus grup abelian, ruang vektor dan modul, tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti subgrup normal untuk kernel homomorfisme grup dan ideal untuk kernel homomorfisme gelanggang (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalah ideal dua sisi).