Jabarkan Contoh dari Jumlah langsung

Bidang , sebuah ruang vektor dua dimensi, dapat dianggap sebagai penjumlahan langsung dari dua ruang vektor satu dimensi, yaitu sumbu  x  dan  y  . Dalam penjumlahan langsung ini, sumbu  dan  hanya berpotongan di titik asal (vektor nol). Penambahan didefinisikan secara koordinat, yaitu , yang sama dengan penjumlahan vektor.

Diberikan dua struktur  dan , jumlah langsungnya ditulis sebagai . Diberikan keluarga terindeks struktur , diindeks dengan , jumlah langsung dapat ditulis . Pada Ai disebut penjumlahan langsung dari . Jika kumpulan indeks terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Dalam kasus grup, jika operasi grup ditulis sebagai  frasa "jumlah langsung" digunakan, sedangkan jika operasi grup ditulis  frasa "hasilkali langsung" digunakan. Ketika himpunan indeks takhingga, jumlah langsung tidak sama dengan hasilkali langsung karena jumlah langsung memiliki persyaratan tambahan bahwa semuanya.

Jumlah langsung internal dan eksternal

Perbedaan dibuat antara jumlah langsung internal dan eksternal, meskipun keduanya isomorfik. Jika faktor ditentukan terlebih dahulu, dan kemudian jumlah langsungnya ditentukan dalam faktor, kita memiliki jumlah. Misalnya, jika kita mendefinisikan bilangan real  dan kemudian tentukan  jumlah langsung dikatakan eksternal.

Sebaliknya, jika kita mendefinisikan beberapa struktur aljabar terlebih dahulu  dan kemudian tulis  sebagai penjumlahan langsung dari dua substruktur  dan , maka jumlah langsungnya dikatakan internal.  Dalam kasus ini, setiap elemen  diekspresikan secara unik sebagai kombinasi aljabar dari elemen  dan elemen dari . Untuk contoh jumlah langsung internal, pertimbangkan  (bilangan bulat modulo enam), yang elemennya . Ini diekspresikan sebagai jumlah langsung internal .