Jabarkan Himpunan bagian varian dari Tindakan grup (matematika)

Jika  Y  adalah himpunan bagian dari  X , salah satunya akan menulis  GY  untukhimpunan tersebut . Himpunan bagian  Y  dikatakan  invarian di bawah G  jika  (yang setara dengan ). Dalam hal ini,  G  juga beroperasi pada  Y  dengan membatasi tindakannya menjadi  Y . Himpunan bagian  Y  disebut  tetap di bawah G  jika  untuk  g  di  G  dan semua  y  di  Y . Setiap himpunan bagian yang ditetapkan di bawah  G  juga invarian di bawah  G , tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah himpunan bagian invarian dari  X  di mana G bertindak secara transitif. Sebaliknya, setiap himpunan bagian invarian dari  X  adalah gabungan orbit. Tindakan  G  pada  X  adalah  transitif  jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen  G-invarian  dari  X  adalah  dirumuskan  untuk . Himpunan dari semua  x  dilambangkan XG dan disebut  G-invarians  dari  X . Ketika  X  adalah Modul-G, XG adalah grup zeroth kohomologi dari  G  dengan koefisien dalam  X , dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah functor turunan dari functor dari  G -invarian.

Titik tetap dan subgrup penstabil

Diberikan  g  dalam  G  dan  x  dalam  X  dengan , dikatakan bahwa " x  adalah titik tetap dari  g " atau " g  memperbaiki  x ". Untuk setiap  x  dalam  X , subkelompok penstabil dari  G  sehubungan dengan  x  (juga disebut  grup isotropi  atau  kelompok kecil ) adalah himpunan semua elemen di  G  yang memperbaiki  x :

Ini adalah subgrup dari  G , meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan  G  pada  X  adalah bebas jika dan hanya jika semua penstabil trivial. Kernel  N  dari homomorfisme dengan grup simetris, , diberikan oleh persimpangan dari penstabil Gx untuk  x  dalam  X . Jika  N  sepele, tindakan tersebut dikatakan sesuai (atau efektif).

Misalkan  x  dan  y  menjadi dua elemen dalam  X , dan biarkan  g  menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga . Kemudian dua grup penstabil Gx dan Gy dihubungkan oleh . Bukti: menurut definisi,  jika dan hanya jika . Menerapkan  g  −1  ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan ; itu adalah, . Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil  dan seandainya .

Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah konjugasi satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan kelas konjugasi dari subkelompok  G  (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan  menunjukkan kelas konjugasi  H . Kemudian orbit  O  bertipe  jika penstabil  dari beberapa/sesuatu  x  pada  O  milik . Jenis orbit mtindakanmal sering disebut jenis orbit utama.