Jelaskan Grup abelian tak hingga dari Grup Abelian

Grup abelian tak hingga paling sederhana adalah grup siklik tak hingga . Grup abelian yang dihasilkan secara hingga  isomorfik jumlah langsung  salinan dari  dan grup abelian hingga, diuraikan menjadi jumlah langsung dari banyak grup siklik dari tatanan pangkat utama. Meskipun dekomposisinya tidak unik, bilangan  atau disebut peringkat dari , dan pangkat utama yang memberikan urutan puncak siklik hingga ditentukan secara unik.

Sebaliknya, klasifikasi grup abelian umum yang dihasilkan tanpa batas masih jauh dari lengkap. Grup divisibel yaitu grup abelian  dimana persamaan  sebagai solusi  untuk bilangan asli  dan elemen  dari , merupakan satu kelas penting dari grup abelian tak hingga yang dapat sepenuhnya dicirikan. Setiap grup divisibel adalah isomorfik ke jumlah langsung, dengan penjumlahan isomorfik sebagai  dan grup Prüfer  untuk berbagai bilangan prima , dan kardinalitas penjumlahan dari setiap jenis ditentukan secara unik. Selain itu, jika grup yang dapat dibagi  adalah subgrup dari grup abelian  maka  sebagai pelengkap langsung: subgrup  dari  sedemikian rupa maka . Dengan demikian, grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi dalam kategori grup abelian, dan sebaliknya, setiap grup abelian injeksi dapat dibagi (kriteria Baer). Grup abelian tanpa subgrup yang dapat dibagi bukan nol disebut tereduksi.

Dua kelas khusus penting dari grup abelian tak hingga dengan sifat berlawanan secara diametris adalah grup torsi dan grup bebas torsi, dicontohkan oleh grup  (periodik) dan  (bebas torsi).