Jabarkan Teorema dari Teorema Sylow

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Sylp(G), semua anggota sebenarnya  isomorphic satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika |G| = pnm dengan n > 0 dimana  p  tidak membagi  m , maka setiap Sylow subgrup  p  , P  memiliki urutan |P| = pn. Artinya,  P  adalah grup  p  dan gcd(|G : P|, p) = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur  G .

Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada Mathematische Annalen.

Teorema 1: Untuk setiap faktor prima  p  dengan  kelipatan  n  dari urutan grup hingga  G , terdapat Sylow subgrup  p  dan  G , berurutan pn.

Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh Augustin-Louis Cauchy, dan dikenal sebagai  Teorema Cauchy.

Korolari: Diberikan kelompok terbatas  G  dan bilangan prima  p  membagi urutan  G , maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde  p  pada G.

Teorema 2: Diberikan grup terbatas  G  dan bilangan prima  p , pada Sylow subgrup  p  dari  G  adalah  konjugasi satu sama lain, yaitu jika  H  dan  K  adalah Sylow subgrup  p  dari  G , maka terdapat elemen  g  di  G  dengan g−1Hg = K.

Teorema 3: Misalkan  p  menjadi faktor prima dengan kelipatan  n  dari urutan grup hingga  G , sehingga urutan  G  dapat dituliskan sebagai , dimana  dan  p  tidak membagi  m . Maka np jadilah jumlah Sylow subgrup  p  dari  G . Kemudian penangguhan berikut:

np membagi  m , yang merupakan  indeks dari Sylow subgrup  p  pada  G .

np ≡ 1 (mod p).

np = |G : NG(P)|, di mana  P  adalah sembarang Sylow subgrup  p  dari  G  dan NG menunjukkan penormal.