Jelaskan . dari Teorema bilangan prima

untuk semua . Misalkan bahwa . Tentu saja  bukan nol, karena  memiliki sebuah kutub sederhana pada . Misalkan bahwa  dan misalkan  cenderung ke  dari atas. Karena  adalah sebuah kutub sederhana pada  dan  tetap analitik, sisi kiri di pertidaksamaan sebelumnya cenderung ke , sebuah kontradiksi.

Terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa TBP secara heuristik benar. Untuk menyelesaikan bukti dengan teliti, masih ada teknik-teknik yang serius untuk diatasi, karena faktanya bahwa penjumlahan pada nol zeta dalam rumus eksplisit untuk  tidak konvergen sepenuhnya tetapi hanya bersyarat dan dalam sebuah arti "nilai utama". Terdapat beberapa cara di sekitar masalah ini tapi banyak dari mereka membutuhkan perkiraan analisis kompleks yang agak rumit. Buku Edward menyediakan detailnya. Metode lainnya adalah menggunakan teorema Tauberian Ikehara, meskipun teorema ini sendiri cukup sulit untuk membuktikan. D. J. Newman mengamati bahwa kekuatan penuh dari teorema Ikehara tidak dibutuhkan untuk teorema bilangan prima, dan salah satunya bisa lolos dengan sebuah kasus spesial yang jauh lebih mudah untuk membuktikan.