Jelaskan Dalam teori kategori dari Grup automorfisme

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika  X  adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari  X  adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari  X  untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari  X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika  adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan  dari semua  adalah kiri -torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar  dibedakan secara jelas oleh elemen dari , atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika  dan  adalah objek dalam kategori  dan , dan jika  adalah functor memetakan  ke , kemudian  menginduksi homomorfisme grup , karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika  G  adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika  G  adalah groupoid, maka setiap functor , C kategori, disebut aksi atau representasi  G  pada objek , or the objects . Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek  (sebagaimana mereka ditindaklanjuti ); lih. -object. Jika  adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka  -objek juga disebut  -modul.