Jelaskan Perubahan dari variael Grassmann dari Integral Berezin

Misalkan , adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris . Matriks Jacobian bisa ditulis

dimana  merujuk turunan sebelah kanan (). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil

Sekarang pertimbangkan aljabar  dari fungsi dari variabel komutatif real  dan variabel antikomutatif  (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi ). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi  adalah sebuah fungsi dari variabel  genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel  ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota  adalah sebuah fungsi dari argumen  yang bervariasi di himpunan terbuka  dengan nilai di aljabar . Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak . Integral Berezin adalah

Perubahan variabel genap dan ganjil

Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh , dimana  genap dan  adalah polinomial ganjil dari  bergantung pada variabel genap . Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

dimana setiap turunan genap  komuter dengan semua anggota dari aljabar , turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal  dan  adalah genap dan entri dari blok off-diagonal , , dimana  lagi berarti turunan kanan.

Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks , yang dimana fungsi genap

mendefinisikan ketika fungsi  invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam . Andaikan bahwa fungsi real  mendefinisikan pemetaan invertible mulus  dari himpunan terbuka  dalam  dan bagian linear dari  invertible untuk setiap . Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

dimana  adalah tanda dari awalnya  pemetaan . Superposisi  mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi  tidak bergantung pada . Dalam kasus umum, kita tulis , dimana  adalah anggota nilpoten genap dari  dan himpunan