Tolong jelaskan mengenai Dengan induksi dari Teorema dasar aljabar

Seperti yang disebutkan di atas, teorema ini cukup dibuktikan dengan memeriksa pernyataan "setiap polinomial nonkonstan   dengan koefisien real berderajat  memiliki akar kompleks". Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi pada bilangan bulat nonnegatif terbesar  sedemikian rupa  habis membagi . Misalkan  adalah koefisien  pada  dan  adalah lapangan pemisahan dari  terhadap . Dengan kata lain, lapangan  memuat dan ada elemen  di  maka

Jika , maka  adalah bilangan ganjil, sehingga  memiliki akar real. Sekarang, misalkan  (dengan  bilangan ganjil dan ) dan asumsikan teorema ini telah dibuktikan untuk polinomial berderajat , dengan  adalah bilangan ganjil. Untuk setiap bilangan real , definisikan polinomial  sebagai berikut:

Maka, koefisien dari  adalah polinomial simetris dalam  dengan koefisien real. Dengan demikian, koefisien-koefisien tersebut dapat dituliskan sebagai polinomial multivariabel dengan koefisien real, dengan variabelnya berupa polinomial simetris elementer. Jadi,  adalah polinomial dengan koefisien real. Lebih jauh lagi, derajat dari polinomial  adalah  dan  adalah bilangan ganjil. Dengan menggunakan hipotesis induksi, polinomial  memiliki setidaknya satu akar kompleks, sehingga ini berarti  adalah bilangan kompleks untuk dua bilangan asli  yang berbeda. Karena banyaknya bilangan real lebih banyak daripada banyaknya pasangan  yang mungkin, terdapat dua bilangan real berbeda  dan  sehingga  dan  adalah bilangan kompleks (untuk pasangan  yang sama). Akibatnya,  dan  keduanya adalah bilangan kompleks. Mengingat setiap bilangan kompleks memiliki akar kuadrat kompleks, maka sembarang polinomial koefisien kompleks berderajat dua memiliki akar kompleks dari rumus kuadrat. Akibatnya,  dan  adalah bilangan kompleks, karena keduanya merupakan akar dari persamaan polinomial kuadrat .

Pada 2007, Joseph Shipman menunjukkan bahwa asumsi polinomial berderajat ganjil selalu memiliki akar merupakan asumsi yang dapat diganti dengan asumsi yang lebih ringan. Ia menunjukkan semua lapangan dengan sifat setiap polinomial berderajat prima memiliki akar haruslah tertutup secara aljabar (sehingga derajat "ganjil" dapat diganti dengan derajat "ganjil prima" dan ini berlaku untuk lapangan dengan sembarang karakteristik). Sifat ini dapat digunakan sebagai definisi lapangan yang tertutup secara aljabar dapat didefinisikan, karena asumsi ini sudah tidak dapat diperingan lagi, mengingat terdapat contoh penyangkal apabila ada bilangan prima ganjil yang tidak dimasukkan ke asumsi. Akan tetapi, contoh-contoh penyangkal yang diberikan hanyalah berupa polinomial yang memiliki koefisien dari lapangan yang tidak memiliki akar kuadrat dari . Pada lapangan yang memiliki akar kuadrat dari , jika setiap polinomial berderajat  memiliki akar ( adalah suatu himpunan tak hingga yang tidak memiliki anggota bilangan genap), maka setiap polinomial  berderajat ganjil memiliki akar (karena  memiliki akar, dengan  dipilih sedemikian sehingga . Mohsen Aliabadi memperluas hasil dari Shipman pada 2013, membuktikan secara independen bahwa syarat cukup untuk sembarang lapangan (dengan sembarang karakteristik) agar menjadi tertutup secara aljabar adalah dengan menunjukkan lapangan tersebut memiliki akar untuk polinomial berderajat prima.