Jabarkan Bukti eksponen nyata dari Aturan pangkat

Untuk memulai, kita harus memilih definisi kerja dari nilai , darimana  adalah bilangan real apa pun. Meskipun layak untuk mendefinisikan nilai sebagai batas urutan kekuatan rasional yang mendekati kekuatan irasional setiap kali kita menemukan kekuatan seperti itu, atau sebagai batas atas terkecil dari sekumpulan kekuatan rasional kurang dari kekuatan yang diberikan, jenis definisi ini tidak dapat menerima diferensiasi. Oleh karena itu lebih disukai untuk menggunakan definisi fungsional, yang biasanya dianggap sebagai  untuk semua nilai , dari mana  adalah fungsi eksponensial natural dan  adalah Nomor Euler. Pertama, kami dapat menunjukkan bahwa turunan dari  is .

Bila , maka , dari mana  adalah fungsi logaritma natural, fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial, seperti yang ditunjukkan oleh Euler. Karena dua fungsi terakhir sama untuk semua nilai , turunannya juga sama, setiap kali salah satu turunannya ada, jadi kita punya, menurut aturan rantai,

atau , seperti yang diminta.

Oleh karena itu, terapkan aturan rantai ke nilai , kami melihat: