Jabarkan Sifat dari Peringkat grup abelian

Pangkat kelompok abelian  A  bertepatan dengan dimensi ruang vektor-Q dengan A ⊗ Q. Jika  A  bebas torsi, maka peta kanonik A → A ⊗ Q adalah injektif dan peringkat  A  adalah dimensi minimum dari ruang vektor Q yang berisi  A  sebagai subgrup abelian. Secara khusus, setiap grup perantara Zn < A < Qn memiliki pangkat n.

Kelompok abelian dengan peringkat 0 persisnya gruo abelian periodik.

Grup Q dari bilangan rasional memiliki rangking 1. Kelompok abelian bebas torsi peringkat 1 direalisasikan sebagai subkelompok dari Q dan ada klasifikasi yang memuaskan sampai isomorfisme. Sebaliknya, tidak ada klasifikasi yang memuaskan dari kelompok abelian bebas torsi dari peringkat 2.

Peringkat adalah aditif atas urutan persis pendek: jika

adalah urutan persis singkat dari grup abelian maka rk B = rk A + rk C. Ini mengikuti dari kerataan dari Q dan fakta terkait untuk ruang vektor.

Peringkat adalah aditif atas sembarang jumlah langsung:

di mana jumlah di sisi kanan menggunakan aritmetika kardinal.

Grup dengan peringkat lebih tinggi

Grup Abelian dengan peringkat lebih dari 1 adalah sumber contoh yang menarik. Misalnya, untuk setiap kardinal  d  terdapat grup abelian bebas torsi dari peringkat  d  yang tidak dapat diuraikan, yaitu tidak dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung dari pasangan. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa grup abelian bebas torsi dengan peringkat lebih besar dari 1 tidak dapat begitu saja dibangun dengan jumlah langsung dari grup abelian bebas torsi peringkat 1, yang teorinya dipahami dengan baik. Apalagi untuk setiap bilangan bulat , ada grup abelian bebas torsi dengan peringkat  yang secara bersamaan merupakan penjumlahan dari dua grup yang tidak dapat diuraikan, dan jumlah grup  n  yang tidak dapat diuraikan. Oleh karena itu, bahkan jumlah ringkasan yang tidak dapat diuraikan dari suatu kelompok dengan peringkat genap lebih besar atau sama dari 4 tidak dapat ditentukan dengan baik.

Hasil lain tentang non-keunikan dekomposisi penjumlahan langsung adalah karena A.L.S.: diberi bilangan bulat , ada grup abelian bebas torsi  A  dengan pangkat  n  sedemikian rupa sehingga untuk partisi mana pun  ke dalam rangkuman alami  k , grup  A  adalah jumlah langsung dari subgrup peringkat yang tidak dapat diuraikan . Dengan demikian urutan barisan rangkuman yang tak dapat diuraikan dalam dekomposisi penjumlahan langsung tertentu dari grup abelian bebas torsi dari rangking berhingga sangat jauh dari invarian  A .

Contoh mengejutkan lainnya termasuk grup peringkat 2 bebas torsi An,m dan Bn,m such that An isomorfik untuk Bn jika dan hanya jika  n  habis dibagi oleh  m .

Untuk grup abelian dengan pangkat tak terbatas, ada contoh grup  K  dan subgrup  G  sedemikian rupa sehingga