Jelaskan Contoh dari Modul (matematika)

Jika K adalah medan, maka ruang vektor-K (ruang vektor atas K) dan modul identik-K.

Jika K adalah medan, dan K[x] univariat gelanggang polinomial, maka modul-K[x] M adalah modul K dengan aksi tambahan x pada M pada komutatif dengan tindakan K di M. Dengan kata lain, modul K[x] adalah ruang vektor K pada M yang dikombinasikan dengan peta linear dari M ke M. Menerapkan Teorema struktur untuk modul yang dihasilkan hingga pada domain ideal utama pada contoh ini menunjukkan keberadaan rasional dan bentuk kanonik Yordania.

Konsep modul Z menyetujui dengan gagasan grup abelian. Artinya, setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat Z dengan unik. Untuk , misal  (n), , dan . Modul tersebut tidak perlu memiliki basis—grup yang berisi elemen torsi. Misalnya, dalam grup bilangan bulat modulo 3, apabila tidak menemukan satu elemenpun yang memenuhi definisi himpunan bebas linear karena ketika sebuah bilangan bulat seperti 3 atau 6 mengalikan sebuah elemen, hasilnya adalah 0. Namun, jika medan hingga sebagai modul atas medan hingga yang sama diambil sebagai gelanggang adalah ruang vektor dan memiliki basis.

Pecahan desimal (termasuk yang negatif) dalam bentuk modul atas bilangan bulat. Hanya tunggal yang merupakan himpunan bebas linear, tetapi tidak ada tunggal yang dapat digunakan sebagai basis, jadi modul tidak memiliki dasar dan tidak memiliki peringkat.

Jika R adalah gelanggang sembarang dan n sebuah bilangan asli, maka produk Kartesius Rn adalah modul kiri-R dan kanan atas R jika kita menggunakan komponen-operasi. Oleh karena itu ketika , R adalah modul R, dimana perkalian skalar hanyalah perkalian gelanggang. Kasus  menghasilkan modul R-{0} yang hanya terdiri dari elemen identitas. Modul jenis ini disebut bebas dan jika R memiliki bilangan basis invarian (misalnya gelanggang atau medan komutatif) bilangan n kemudian menjadi peringkat modul bebas.

Jika Mn(R) adalah gelanggang  matriks atas gelanggang R, M adalah modul-Mn(R), dan ei adalah matriks  dengan 1 entri  (dan nol di tempat), maka eiM adalah modul-R, karena . Jadi M dipecah sebagai jumlah langsung dari modul R, . Sebaliknya, diberikan modul-R pada M0, maka M0⊕n adalah modul-Mn(R). Sebenarnya, kategori modul-R dan kategori dari modul-Mn( R) adalah ekuivalen. Kasus khusus adalah bahwa modul M apabila R sebagai modul atasnya, maka Rn adalah modul-Mn(R).

Jika S adalah himpunan tak kosong, M adalah modul kiri-R, dan MS adalah himpunan semua fungsi , maka dengan penjumlahan dan perkalian skalar dalam MS didefinisikan titik demi titik oleh  dan , MS adalah modul kiri-R. Kasus modul-R yang tepat adalah analog. Khususnya, jika R komutatif maka himpunan homomorfisme modul-R  (lihat di bawah) adalah modul-R (dan sebenarnya adalah submodul dari NM).

Jika X adalah lipatan mulus, maka fungsi mulus dari X ke bilangan riil dalam bentuk gelanggang C∞(X). Himpunan semua medan vektor mulus yang didefinisikan pada X dalam bentuk modul atas C∞(X), dan begitu juga medan tensor dan bentuk diferensial pada X.  Lebih umum, bagian dari bundel vektor dalam bentuk modul proyektif atas C∞(X), dan dengan teorema Swan, setiap modul proyektif adalah isomorfik pada modul bagian dari beberapa bundel; kategori dari modul C∞(X) dan kategori bundel vektor atas X adalah ekuivalen.

Jika R adalah sembarang gelanggang dan I adalah ideal kiri di R, maka I adalah modul kiri-R, dan ideal kanan secara analog dalam R adalah modul kanan-R.

Jika R adalah sebuah gelanggang, apabi5 didefinisikan gelanggang berlawanan Rop yang memiliki himpunan dasar yang sama dan operasi penjumlahan yang sama, namun perkalian inversnya: jika  pada R, maka  pada Rop. Setiap modul kiri-R pada M maka dilihat sebagai modul kanan atas Rop, dan modul kanan atas-R sebagai modul kiri atas Rop.

Modu atas aljabar Lie adalah modul (aljabar asosiatif) di atas aljabar pembungkus universal.

Jika R dan S adalah gelanggang dengan gelanggang homomorfisme φ : R → S, maka setiap modul-S pada M adalah modul R dengan mendefinisikan rm = φ(r)m. Secara khusus, S sendiri adalah modul-R.