Jelaskan Endomorfisme dari Grup siklik

Gelanggang endomorfisme dari grup abelian Z/nZ adalah  isomorfis menjadi Z/nZ dirinya sebagai  gelanggang. Di bawah isomorfisme ini, angka  r  sesuai dengan endomorfisme Z/nZ yang memetakan setiap elemen ke jumlah salinan  r  darinya. Ini adalah bijeksi jika dan hanya jika  r  coprime dengan  n , jadi grup automorfisme dari Z/nZ isomorfik ke grup unit (Z/nZ)×.

Demikian pula, gelanggang endomorfisme dari grup aditif Z isomorfik ke gelanggang Z.  Kelompok automorfismenya adalah isomorfik terhadap kelompok satuan gelanggang Z, yaitu untuk .

Produk Tensor dan Hom dari grup siklik

Produk tensor  dapat ditunjukkan menjadi isomorfik . Sehingga kita bisa membentuk kumpulan group  homomorfisme dari Z/mZ pada Z/nZ, dilambangkan , yang merupakan grup.

Untuk produk tensor, ini adalah konsekuensi dari fakta umum bahwa , di mana  R  adalah komutatif  gelanggang dengan satuan dan  I  dan  J  adalah  ideal dari gelanggang. Untuk kelompok Hom, ingatlah bahwa itu isomorfik ke subgrup  terdiri dari unsur-unsur urutan membagi  m . Subkelompok itu adalah siklus keteraturan , yang melengkapi buktinya.