Jelaskan Untuk modul dari Deret komposisi

Definisi rangkaian komposisi untuk modul membatasi semua perhatian pada submodul, mengabaikan semua subkelompok aditif yang merupakan  bukan  submodul. Diberikan cincin  R  dan modul  R  pada  M , rangkaian komposisi untuk  M  adalah rangkaian submodul

di mana semua inklusi ketat dan Jk adalah submodul maksimal dari Jk+1 for each k. Sedangkan untuk grup, jika  M  memiliki rangkaian komposisi sama sekali, maka rangkaian submodul yang meningkat secara ketat dari  M  dapat disempurnakan menjadi rangkaian komposisi, dan dua seri komposisi untuk  M  adalah setara. Dalam hal ini, modul hasil bagi (sederhana) Jk+1/Jk dikenal sebagai faktor komposisi dari  M , dan teorema Jordan-Hölder berlaku, memastikan bahwa jumlah kemunculan setiap jenis isomorfisma modul  R  sederhana sebagai faktor komposisi tidak bergantung pada pilihan deret komposisi.

Itu terkenal bahwa modul memiliki rangkaian komposisi terbatas jika dan hanya jika itu adalah modul Artinian dan modul Noetherian. Jika  R  adalah gelanggang Artinian, maka setiap modul  R  yang dihasilkan secara halus adalah Artinian dan Noetherian, dan karenanya memiliki rangkaian komposisi hingga. Khususnya, untuk setiap bidang  K , modul berdimensi hingga apa pun untuk aljabar berdimensi hingga di atas  K  memiliki deret komposisi, unik hingga ekuivalen.