Tolong jelaskan mengenai Isometris dari Model hiperboloid

Grup ortogonal tak terdefinisi , juga disebut grup Lorentz -dimensi, merupakan grup Lie dari matriks real  yang mempertahankan bentuk bilinear Minkowski. Dalam sebuah bahasa yang berbeda, ini merupakan grup dari isometris linear dari ruang Minkowski. Secara khusus, grup ini mempertahankan hiperboloid . Ingat bahwa grup ortogonal tak terdefinisi memiliki empat komponen yang terhubung, berkorespodensi untuk membalikan atau mempertahankan orientasi pada setiap subruang (disini 1 dimensi dan -dimensi), dan membentuk empat grup Klein. Subgrup dari  yang mempertahankan tanda dari koordinat pertama merupakan grup Lorentz ortokron, dilambangkan , dan memiliki dua komponen, berhubungan untuk mempertahankan atau membalikkan orientasi dari subruang spasial. Subgrup -nya terdiri dari matriks dengan determinannya penghubung grup Lie dari dimensi  yang bertindak pada  oleh automorfism linear dan mempertahankan jarak hiperbolik. Aksi ini transitif dan stabilisator dari vektor  terdiri dari matriks dari bentuk

Dimana  milik kompak grup ortogonal spesial  (menggeneralisasikan grup rotasi SO(3) untuk ). Dengan demikian ruang hiperbolik -dimensi bisa diperlihatkan sebagai ruang homogen dan sebuah ruang simetris Riemannian dari peringkat 1,

Grup  merupakan grup penuh dari orientasi-mempertahankan isometris dari ruang hiperbolik -dimensi.

Dalam istilah yang lebih konkret,  bisa dipisahkan menjadi rotasi  (dibentuk dengan sebuah matriks rotasi Euklidean biasa dalam blok kanan bagian bawah) dan sebuah translasi hiperbolik , yang mengambil bentuk

dimana  merupakan jarak yang ditranslasikan (sepanjang sumbu  dalam kasus ini), dan baris/kolom kedua bisa ditukarkan dengan pasangan yang berbeda untuk mengubah sebuah translasi sepanjang sebuah sumbu yang berbeda. Bentuk umum dari sebuah translasi dalam 3 dimensi sepanjang vektor  adalahː