Jelaskan Tes untuk kesederhanaan dari Grup sederhana

Pengujian Sylow: Misalkan  n  adalah bilangan bulat positif yang bukan prima, dan misalkan  p  menjadi pembagi prima dari  n . Jika 1 adalah satu-satunya pembagi dari  n  yang sama dengan 1 modulo p, maka tidak ada grup orde sederhana  n .

Bukti: Jika  n  adalah kekuatan-prima, maka segrup urutan  n  memiliki nontrivial pusat dan, oleh karena itu, tidaklah sederhana. Jika  n  bukan pangkat utama, maka setiap subkelompok Sylow adalah tepat, dan, menurut Teorema Ketiga Sylow, kita tahu bahwa jumlah subgrup p Sylow dari kelompok orde  n  sama dengan 1 modulo  p  dan membagi  n . Karena 1 adalah satu-satunya bilangan tersebut, subgrup p Sylow unik, dan oleh karena itu normal. Karena ini adalah subkelompok non-identitas yang tepat, kelompok ini tidak sederhana.

Burnside: Grup sederhana hingga non-Abelian memiliki urutan yang habis dibagi oleh setidaknya tiga bilangan prima yang berbeda. Ini mengikuti dari Teorema p-q Burnside.