Jabarkan Istilah dari Grup abelian bebas

Setiap kelompok abelian dapat dianggap sebagai modul di atas bilangan bulat dengan mempertimbangkan perkalian skalar dari anggota kelompok dengan bilangan bulat yang didefinisikan sebagai berikut:

Sebuah modul bebas adalah modul yang dapat direpresentasikan sebagai jumlah langsung di atas cincin dasarnya, jadi grup abelian bebas dan modul  adalah konsep yang setara: setiap grup abelian bebas (dengan operasi perkalian di atas) adalah bebas , dan modul  berasal dari grup abelian bebas dengan cara ini.

Tidak seperti ruang vektor, tidak semua grup abelian memiliki basis, oleh karena itu nama khusus untuk grup yang memilikinya. Misalnya, torsi modul , dan dengan demikian setiap grup abelian terbatas, bukanlah grup abelian bebas, karena 0 dapat diuraikan dalam beberapa cara pada kumpulan elemen apa pun yang dapat menjadi kandidat untuk basis:  untuk beberapa bilangan bulat positif  n . Di sisi lain, banyak properti penting dari grup abelian gratis dapat digeneralisasikan ke modul gratis melalui domain ideal utama.

Perhatikan bahwa grup  abelian bebad  adalah  bukan  sebuah grup bebas kecuali dalam dua kasus: grup abelian bebad memiliki basis kosong (peringkat 0, memberikan grup sepele) atau hanya memiliki 1 elemen dalam basis (peringkat 1, memberikan grup siklik tak hingga).  Other kelompok abelian bukanlah kelompok bebas karena dalam kelompok bebas  ab  harus berbeda dengan  ba  jika  a  dan  b  adalah elemen dasar yang berbeda, sedangkan dalam kelompok abelian bebas mereka harus identik.  Grup bebas adalah objek bebas dalam kategori grup, yaitu grup "paling umum" atau "paling tidak dibatasi" dengan jumlah generator tertentu, sedangkan grup abelian gratis adalah objek gratis di kategori grup abelian. Dalam kategori umum grup, ini merupakan kendala tambahan untuk menuntut  ab = ba , sedangkan ini adalah properti yang diperlukan dalam kategori grup abelian.