Jabarkan Sifat batas atas terkecil dari Infimum dan supremum

Sifat batas atas terkecil adalah sebuah contoh sifat kelengkapan yang dijelaskan sebelumnya, yang khususnya untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.

Jika suatu himpunan terurut  memiliki sifat bahwa setiap himpunan bagian tak kosong  memiliki suatu batas atas yang juga memiliki suatu batas atas terkecil, maka  dikatakan memiliki sifat batas atas terkecil. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan  dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil. Demikian pula, himpunan  dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika  adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari  dan ada suatu bilangan  sehingga setiap anggota  dari  lebih kecil dari atau sama dengan , maka terdapat suatu batas atas terkecil  untuk , sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk  dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk . Himpunan terurut rapi juga memiliki sifat batas atas terkecil, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki suatu batas atas terkecil, yaitu anggota terkecil dari seluruh himpunan.

Ada sebuah contoh untuk himpunan yang memiliki sedikit sifat batas atas terkecil, yaitu , himpunan bilangan rasional. Misalkan  adalah himpunan dari semua bilangan rasional , sehingga . Maka  memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, atau 6) tetapi tidak ada batas atas di . Jika memisalkan  adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real  dan  (seperti  dan ), terdapat suatu bilangan rasional , yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika ). Contoh lainnya adalah bilangan hiperreal sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan infinitesimal positif.

Terdapat sebuah sifat batas bawah terbesar yang sama, suatu himpunan terurut memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila himpunan tersebut juga memiliki sifat batas atas terkecil; batas atas terkecil dari himpunan batas bawah dari himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas atas terkecil dari himpunan.

Jika setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan terurut parsial , maka ini juga berlaku bahwa untuk setiap himpunan , akan ada semua fungsi yang dipetakan dari  ke  dalam ruang fungsi, dengan  jika dan hanya jika  untuk semua  dalam . Sebagai contoh, pernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, bilangan real -tupel dan barisan bilangan real, sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus.

Sifat batas atas terkecil adalah indikator dari supremum.

Infimum dan supremum bilangan real

Dalam analisis matematika, infimum dan supremum himpunan bagian  dari bilangan real sangat penting. Sebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremumnya adalah 0 (yang bukan bilangan real negatif). Kelengkapan bilangan real mengimplikasikan (dan ekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas  dari bilangan real memiliki satu buah infimum dan satu buah supremum. Jika  tidak berbatas bawah, maka umumnya ditulis secara formal, yaitu . Jika  kosong, maka ditulis .