Jelaskan Permukaan Riemann G\H∗ dari Bentuk modular

Misalkan adalah subgrup dari  yang memiliki indeks berhingga. Grup beraksi pada H dengan cara yang sama seperti . Ruang topologi hasil bagi G\H dapat ditampilkan sebagai ruang Hausdorff. Biasanya ruang ini tidak kompak, tetapi dapat dikompakkan dengan menambahkan sejumlah berhingga titik yang disebut katup (cusps). Ini adalah titik-titik di batas H, yaitu di Q∪{∞}, sedemikian rupa sehingga ada elemen parabolik dari  (matriks dengan teras ± 2) yang menetapkan titik. Ini menghasilkan ruang topologi yang kompak G\H∗. Terlebih lagi, ruang ini dapat diberikan struktur permukaan Riemann, yang memungkinkan konsep fungsi holomorfik dan meromorfik didefinisikan pada ruang ini.

Salah satu contoh penting subgrup  adalah subgrup kongruensi. Untuk setiap bilangan bulat positif N, berikut ini beberapa contoh subgrup kongruensi:

Untuk G = Γ0(N) atau , ruang G\H dan G\H∗ masing-masing dilambangkan Y0(N) dan X0(N) dan Y(N), X(N).

Geometri dari G\H∗ dapat dipahami dengan mempelajari domain fundamental untuk G, yaitu subhimpunan D ⊂ H sedemikian rupa sehingga  D  melalui setiap orbit dari aksi pada H tepat satu kali dan penutupan D melalui semua orbit. Misalnya, genus dari G\H∗ dapat dihitung.