Jabarkan Konstruksi dari Grup bebas

Grup bebas FS dengan genset bebas  S  dapat dibuat sebagai berikut. S adalah satu set simbol, dan kami anggap untuk setiap  s  di  S  ada simbol "invers" yang sesuai, s−1, dalam satu himpunan S−1. Karena T = S ∪ S−1, dan tentukan kata di  S  menjadi produk tertulis dari elemen  T . Artinya, kata dalam  S  adalah elemen monoid yang dihasilkan oleh  T . Kata kosong adalah kata tanpa simbol sama sekali. Misalnya, jika S = {a, b, c}, then T = {a, a−1, b, b−1, c, c−1}, dan

adalah kata dalam  S .

Jika elemen  S  terletak tepat di sebelah kebalikannya, kata tersebut dapat disederhanakan dengan menghilangkan c, c−1 pair:

Kata yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut disebut dikurangi.

Grup gratis  F S   didefinisikan sebagai grup dari semua kata tereduksi dalam  S , dengan rangkaian kata (diikuti dengan pengurangan jika perlu) sebagai grup operasi.  Identitas adalah kata kosong.

Sebuah kata disebut berkurang secara siklis jika huruf pertama dan terakhirnya tidak saling bertolak belakang. Setiap kata konjugasi menjadi kata yang direduksi secara siklis, dan konjugasi yang berkurang secara siklis dari kata yang dikurangi secara siklis adalah permutasi siklik dari huruf-huruf dalam kata tersebut.  Contohnya b−1abcb tidak direduksi secara siklis, tetapi dikonjugasikan menjadi  abc , yang direduksi secara siklis. Konjugat  abc  yang berkurang secara siklis adalah  abc ,  bca , dan  cab .