Jabarkan Persamaan kuintik yang terpecahkan dari Fungsi kuintik

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial tersederhanakan, seperti . Sebagai contoh, persamaantelah diperlihatkan mempunyai solusi dalam ekspresi akar jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi bilangan bulat atau  bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.

Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Kuintik terpecahkan () adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.

Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, Évariste Galois mengembangkan teknik yang memunculkan teori grup dan teori Galois. Ketika menerapkan teknik tersebut, Arthur Cayley menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan). Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.

Diberikan persamaan maka transformasi Tschirnhaus , yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan dengan

Kedua persamaan kuintik di atas terselesaikan dengan akar jika dan hanya jika kedua persamaan tersebut dapat difaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial , yang bernama resolven Cayley, mempunyai akar rasional di, dengandan Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.

Pada tahun 1888, George Paxton Young menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh Daniel Lazard.

Solusi selain dalam ekspresi akar

Sekitar tahun 1835, Jerrard memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan ultraradikal (atau juga dikenal sebagai radikal Bring), sebuah akar real dari persamaan  untuk bilangan real . Pada tahun 1858, Charles Hermite memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam fungsi theta Jacobi dan fungsi modular eliptik iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan persamaan kubik melalui fungsi trigonometri. Di sekitar waktu yang sama, Leopold Kronecker dan Francesco Brioschi menggunakan teori grup dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. Felix Klein kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari ikosahedron, teori Galois, dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan fungsi hipergeometrik diperumum. Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau persamaan septik) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.

Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa

Memecahkan lokasi titik Lagrangian dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

Lebih tepatnya, lokasi  dan  adalah solusi untuk persamaan berikut, dengan gaya gravitasi dua objek bermassa terhadap objek ketiga (sebagai contoh, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti Gaia di  dan SOHO di ) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

Tanda ± mewakili masing-masing  dan ;  adalah konstanta gravitasi,  adalah kecepatan sudut,  adalah jarak satelit ke Bumi,  jarak Matahari ke Bumi (yaitu, sumbu semi-mayor orbit bumi), serta , , dan  adalah massa satelit, Bumi, dan Matahari.

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler  dan menyusun ulang semua partisipan persamaan menghasilkan kuintik:

dengan , , ,  (jadi  untuk ), , .

Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan  untuk  dan  untuk . Titik Lagrangian Matahari–Bumi  dan  biasanya menggunakan jarak sejauh 1,5 juta km dari Bumi.

Jika massa dari objek yang lebih kecil ( jauh di bawah massa objek yang lebih besar (), maka persamaan kuintiknya dapat direduksi, serta  dan  akan kurang lebih berada pada radius bola Hill, sesuai dengan:

yang juga akan menghasilkan  untuk satelit pada  dan  dalam sistem Matahari-Bumi.