Jelaskan Dengan teori Galois dari Teorema dasar aljabar

Metode lain untuk membuktikan teorema dasar ini adalah dengan menggunakan teori Galois, cukup dengan menunjukkan bahwa  tidak memiliki perluasan lapangan sejati. Misalkan  adalah perluasan berhingga. Karena penutup normal dari  atas lapangan  berderajat hingga atas lapangan  (atau ), tanpa mengurangi keumuman, asumsikan  adalah perluasan normal dari  (sehingga merupakan perluasan Galois, mengingat setiap perluasan aljabar dari lapangan dengan karakteristik 0 bersifat terpisahkan). Misalkan  adalah grup Galois dari perluasan , dan  adalah subgrup-2 Sylow dari , sehingga orde dari  adalah perpangkatan dari bilangan 2 dan indeks subgrup  di  bernilai ganjil. Dari teorema dasar teori Galois, terdapat subperluasan  dari  sedemikian sehingga . Karena  bernilai ganjil dan tidak ada polinomial real nonlinear berderajat ganjil yang tidak dapat direduksi, maka  , sehingga  dan  adalah perpangkatan dari bilangan 2. Dengan metode kontradiksi, asumsikan bahwa , sehingga orde dari grup  adalah perpangkatan dari bilangan 2, maka terdapat subperluasan  dari  yang memiliki derajat 2. Akan tetapi, lapangan  tidak memiliki perluasan berderajat 2, sebab setiap polinomial kompleks kuadrat memiliki akar kompleks, sebagaimana yang telah disebutkan di atas. Ini menunjukkan bahwa , sehingga . Dengan demikian, bukti ini selesai.