Teorema Stokes rampat itu apa sih?

Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan) adalah pernyataan tentang integrasi dari bentuk diferensial pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial  di atas batas dari beberapa berorientasi lipatan  sama dengan integral turunan luar  di seluruh , yaitu:

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945, mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, Édouard Goursat, dan Henri Poincaré.

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh Lord Kelvin dikomunikasikan kepada George Stokes dalam surat tertanggal 2 Juli 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name.  It was first published by Hermann Hankel in 1861. Kelvin–Stokes teorema klasik tersebut menghubungkan integral permukaan dari curl dari bidang vektor  di atas permukaan (yaitu, fluks dari ) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

Contoh analisis vektor klasik sederhana

Mari  menjadi sedikit demi sedikit mulus kurva bidang Jordan. Teorema kurva Yordania menyiratkan hal itu  membagi  menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan  menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh  dan misalkan  halus, dengan . Jika  adalah kurva spasi yang ditentukan oleh  dan  adalah bidang vektor mulus pada , kemudian:

Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.