Jabarkan . dari Teorema bilangan prima

Sebuah analisis yang rumit dari persamaan ini dan sifat-sifat yang terkati dengan fungsi zeta, menggunakan transformasi Mellin dan rumus Perron, menunjukkkan bahwa untuk bukan bilangan bulat  persamaan

berlaku, dimana jumlah di atas semuanya nol (trivial dan nontrivial) dari fungsi zeta. Rumus yang mencolok ini adalah salah satu yang disebut rumus eksplisit teori bilangan, dan sudah menunjukkan dari hasil yang kita buktikan, sejak suku  (diklaim menjadi perbaikan urutan asimtotik ) muncul pada sebelah kanan, diikuti oleh (agaknya) suku asimtotik urutan lebih rendah.

Langkah selanjutnya dalam bukti melibatkan sebuah studi dari nol dari fungsi zeta. Nol trivial  bisa ditangani secara terpisahː