Jabarkan Integral permukaan bidang skalar dari Permukaan integral

Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan S, kita perlu membuat parameter S dengan menentukan sistem koordinat lengkung pada S, seperti lintang dan bujur pada bola . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi x ( s, t ), di mana ( s, t ) bervariasi di beberapa daerah T di bidang . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh

di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah besarnya dari produk silang dari turunan parsial dari x (s, t), dan dikenal sebagai permukaan elemen . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen

dimana g adalah determinan bentuk fundamental pertama dari pemetaan permukaan x ( s, t ).

Contohnya, jika kita ingin mencari luas permukaan grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah , kita punya

rumus di atas adalah  . Yang seperti itu , dan  . Jika

Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai vektor normal ke permukaan.

Perhatikan, bahwa karena adanya perkalian silang, rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.

Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi bentuk volume Riemannian pada permukaan berparameter, di mana tensor metrik diberikan oleh bentuk dasar pertama permukaan.