Jabarkan Sejarah dari Teorema dasar aljabar

Peter Roth, dalam bukunya Arithmetica Philosophica (diterbitkan pada 1608, di Nürnberg, oleh Johann Lantzenberger), menulis bahwa persamaan polinomial berderajat (dengan koefisien bilangan real)  mungkin memiliki  akar. Albert Girard, dalam bukunya  L'invention nouvelle en l'Algèbre  (diterbitkan tahun 1629), menegaskan bahwa persamaan polinomial berderajat  memilikiakar, tetapi dia tidak menyatakan bahwa semua solusinya harus bilangan real. Lebih jauh, dia menambahkan bahwa pernyataannya menyatakan "kecuali persamaannya tidak lengkap", yang dia maksudkan bahwa tidak ada koefisien yang sama dengan . Namun, ketika dia menjelaskan secara rinci apa yang dia maksud, jelas bahwa dia benar-benar percaya bahwa pernyataannya itu selalu benar; Misalnya, dia menunjukkan persamaan itu  meskipun tidak lengkap, memiliki empat penyelesaian (menghitung multiplisitas aljabar):  (dua kali),  dan

Seperti yang akan disebutkan lagi di bawah ini, ini dapat disimpulkan dari teorema dasar aljabar bahwa setiap polinomial tidak konstan dengan koefisien bilangan real dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial-polinomial koefisien bilangan real yang derajatnya adalah 1 atau 2. Namun, pada 1702, Leibniz secara keliru mengatakan bahwa tidak ada polinomial dari jenis  (dengan adalah bilangan real tidak 0) dapat ditulis sedemikian rupa. Belakangan, Nikolaus Bernoulli membuat pernyataan yang sama tentang polinomial , tetapi dia mendapat surat dari Euler pada tahun 1742 yang menunjukkan bahwa polinomial ini sama dengan

dengan  Selain itu, Euler menunjukkan itu

Upaya pertama untuk membuktikan teorema dilakukan oleh d'Alembert pada tahun 1746, tetapi buktinya tidak lengkap. Di antara masalah lainnya, ia mengasumsikan secara implisit sebuah teorema (sekarang dikenal sebagai Teorema Puiseux), yang tidak akan dibuktikan sampai lebih dari satu abad kemudian dan menggunakan teorema dasar aljabar. Upaya lain dilakukan oleh Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), dan Laplace (1795). Empat percobaan terakhir ini secara implisit mengasumsikan pernyataan Girard; lebih tepatnya, apabila setiap polinomial nonkonstan memiliki akar maka akarnya akan berbentuk  untuk suatu bilangan real  dan . Dalam istilah modern, Euler, de Foncenex, Lagrange, dan Laplace mengasumsikan adanya lapangan pemisah dari polinomial .

Pada akhir abad ke-18, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap. Salah satunya, oleh James Wood dengan bukti yang bersifat aljabar, diterbitkan pada tahun 1798 dan dianggap valid tanpa celah awalnya. Namun, beberapa tahun kemudian, bukti Wood didapati memiliki celah aljabar. Bukti lainnya diterbitkan oleh Gauss pada tahun 1799 dengan bukti yang bersifat geometris, tetapi memiliki celah topologi, yang dilengkapi oleh Alexander Ostrowski pada tahun 1920, seperti yang dibahas di Smale. Bukti formal pertama diterbitkan oleh Argand pada 1806 (dan ditinjau kembali pada 1813); Di sinilah, untuk pertama kalinya, teorema dasar aljabar dinyatakan untuk polinomial dengan koefisien bilangan kompleks, bukan hanya koefisien bilangan riil. Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun 1816 dan versi tidak lengkap yang lain dari bukti aslinya pada tahun 1849.

Buku teks pertama yang berisi bukti teorema dasar aljabar adalah buku karangan Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Buku tersebut menggunakan bukti dari Argand, namun tidak menyebut Argand sebagai penemu bukti tersebut.

Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah konstruktif. Hal ini pertama kali disinggung oleh Weierstrass pada pertengahan abad ke-19. Pada 1891, dia mempresentasikan bukti konstuktifnya, yang pada saat ini dikenal sebagai kombinasi dari metode Durand–Kerner dengan prinsip kelanjutan homotopi. Bukti lain yang konstruktif diberikan oleh Hellmuth Kneser pada tahun 1940 dan disederhanakan oleh putranya Martin Kneser pada tahun 1981.

Tanpa menggunakan aksioma pilihan terhitung, membuktikan teorema dasar aljabar untuk bilangan kompleks secara konstruktif adalah hal yang mustahil. Hal ini didasarkan dari konstruksi bilangan real Dedekind yang tidak setara secara konstruktif dengan bilangan real Cauchy tanpa aksioma pilihan terhitung. Namun, Fred Richman berhasil membuktikan formulasi ulang dari teorema dasar aljabar tanpa menggunakan aksioma pilihan terhitung secara konstruktif.