Jelaskan , dari Kelas konjugasi

atau pada himpunan subgrup dari .

Konjugasi subgrup dan himpunan bagian umum

Secara lebih umum, jika himpunan bagian  S  dari  G  ( S  belum tentu merupakan subgrup), kami mendefinisikan subset  T  dari  G  menjadi konjugasi menjadi  S  jika terdapat beberapa  g  dalam  G  sedemikian rupa T = gSg−1. Kami dapat mendefinisikan Cl(S) sebagai himpunan semua himpunan bagian  T  dari  G  sehingga  T  dikonjugasikan menjadi  S .

Teorema yang sering digunakan adalah bahwa, dengan subset  S  dari  G ,  indeks dari N( S ) (penormal dari  S ) di  G  sama dengan urutan Cl(S):

Ini mengikuti karena, jika  g  dan  h  ada di  G , maka gSg−1 = hSh−1 jika dan hanya jika g−1h ada di N (S), dengan kata lain, jika dan hanya jika  g  dan  h  berada dalam kohimpunan yang sama N(S).

Perhatikan bahwa rumus ini menggeneralisasi yang diberikan sebelumnya untuk jumlah elemen dalam kelas konjugasi (maka S = {a}).

Di atas sangat berguna ketika berbicara tentang subgrup  G . Dengan demikian, subgrup dapat dibagi menjadi kelas konjugasi, dengan dua subgrup yang termasuk dalam kelas yang sama jika dan hanya jika.

Subgrup konjugat adalah  isomorfis, tetapi subgrup isomorfik tidak perlu konjugasi. Misalnya, sebuah grup abelian mungkin memiliki dua subgrup berbeda yang isomorfik, tetapi mereka tidak pernah konjugasi.