Jabarkan Tabel Cayley dari Grup kuaternion

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8  diberikan oleh:

Perhatikan bahwa  i ,  j , dan  k  semuanya memiliki  urutan empat di Q 8  dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup.  Presentasi lainnya dari Q8 berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, , dan .

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai  Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah  normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.

Grup angka empat Q 8  dan grup dihedral D 4  adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian  nilpoten.

Pusat dan subgrup komutator dari Q 8  adalah subgrup . Grup automorfisme dalam dari Q 8  diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8  adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat  Representasi matriks  di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8  adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.

Grup angka empat Q 8  memiliki lima kelas konjugasi, {e }, {  }, { i,  }, { j,  }, { k,  }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2: