Jelaskan Definisi dari Topologi produk

Diberikan X, juga dikenal sebagai ruang produk, sedemikian rupa

adalah produk Cartesius dari ruang topologi Xi, indeks oleh  dan proyeksi kanonik pi : X → Xi topologi produk pada X didefinisikan sebagai topologi paling kasar (mis. topologi dengan set terbuka paling sedikit) yang semua proyeksi pi kontinu. Topologi produk kadang-kadang disebut topologi Tychonoff.

Set terbuka dalam topologi produk adalah serikat (terbatas atau tak terbatas) dari set formulir , dimana masing-masing Ui adalah terbuka di Xi and Ui ≠ Xi hanya untuk banyak i. Khususnya, untuk produk yang terbatas (khususnya, untuk produk dari dua ruang topologis), himpunan semua produk Cartesius antara satu elemen dasar dari masing-masing Xi memberikan dasar untuk topologi produk . Yaitu, untuk produk yang terbatas, himpunan semua , di mana  adalah elemen dasar (dipilih) dari , adalah dasar untuk topologi produk .

Topologi produk pada X adalah topologi yang dihasilkan oleh set formulir pi−1(Ui), di mana i ada di I dan Ui adalah subset terbuka dari X i. Dengan kata lain, set {pi−1 (Ui)} membentuk subbasis untuk topologi pada X. Subset X terbuka jika dan hanya jika itu adalah (mungkin tak terbatas) persilangan persimpangan dari banyak kumpulan bentuk pi−1(Ui). pi−1(Ui) kadang-kadang disebut silinder terbuka, dan persimpangan mereka adalah set silinder.

Secara umum, produk dari topologi masing-masing Xi membentuk dasar untuk apa yang disebut topologi kotak pada X. Secara umum, topologi kotak lebih baik daripada topologi produk, tetapi untuk produk terbatas mereka bertepatan.