Jelaskan Pangkat fungsional dari Komposisi fungsi

Fungsi  dapat mengomposisikan dengan dirinya sendiri, jika  adalah subhimpunan dari . Terkadang secara simbolis, hal ini dinyatakan dalam bentuk perpangkatan fungsi. Sebagai contoh,

Lebih umumnya lagi, untuk setiap bilangan asli , pangkat fungsional ke- dapat didefinisikan secara induktif dengan. Notasi ini diperkenalkan oleh Hans Heinrich Bürmann dan John Frederick William Herschel. Komposisi berulang dari fungsi tersebut dengan sendirinya disebut fungsi teriterasi.

Menurut konvensi,  didefinisikan sebagai pemetaan identitas pada domain , .

Bahkan jika  dan  memuat fungsi invers , maka perpangkatan fungsional negatif  didefinisikan untuk  sebagai perpangkatan negatif dari fungsi inversː .

Selain itu, gagasannya dapat diperumum sehingga perhitungan berulang menjadi parameter kontinu, dalam kasus ini. Sistem tersebut dinamakan alir, yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan Schröder. Fungsi yang berulang dan alir terjadi secara alami dalam studi fraktal dan sistem dinamikal.

Sayangnya, notasi pangkat fungsional memiliki makna yang bersifat ambigu. Sebagai contoh, jika  mengambil nilainya dari gelanggang (khususnya untuk  bernilai real atau kompleks), maka yang ada menimbulkan kebingungan. Hal ini karena notasi  juga dapat diartikan sebagai darab -lipat dari , misalnya . Selain itu, dalam fungsi trigonometri, notasi yang terakhir biasanya mengartikan setidaknya untuk eksponen positif. Notasi superskrip tersebut mewakili eksponensiasi, contohnya . Namun, adapula eksponen bernilai negatif. Biasanya, eksponen bernilai negatif (khususnya hanya untuk ) merujuk pada fungsi invers, contohnya,  mengartikan invers dari tangen, bukan .

Pencegahan keambiguan pada notasi pangkat fungsional dapat dilihat di sini.