Jabarkan Evaluasi dari Integral Dirichlet

Maka  menjadi fungsi yang dapat didefinisikan . Maka Transformasi Laplace diberikan oleh

Properti dari Transformasi laplace berguna untuk mengevaluasi integral tak wajar adalah

Seseorang dapat menggunakan properti ini untuk mengevaluasi integral Dirichet sebagai berikut:

lantaran  adalah transformasi Laplace dari fungsi tersebut . (Lihat bagian 'Membedakan di bawah tanda integral' untuk penurunan.)

Mengevaluasi integral Dirichlet menggunakan transformasi Laplace setara dengan mencoba mengevaluasi integral pasti ganda yang sama dalam dua cara berbeda, dengan pembalikan urutan integral, yaitu:

Diferensiasi di bawah tanda integral (trik Feynman)

Pertama, tulis ulang integral sebagai fungsi dari variabel tambahan . Maka

Untuk mengevaluasi integral Dirichlet, kita perlu menentukan.

Diferensialkan sehubungan dengan  dan terapkan hukum Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral untuk mendapatkan

Sekarang, gunakan rumus Euler  sinusoid dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial kompleks. Jadi kami punya