Jelaskan Linear maps dari Kernel (aljabar)

Misalkan V dan W menjadi ruang vektor di atas bidang (atau lebih umum, modul di atas gelanggang dan biarkan T menjadi peta liear dari V ke W. Jika 0W adalah vektor nol dari  W , maka kernel  T  adalah preimage dari nol subruang {0W}; that adalah, himpunan bagian dari  V  yang terdiri dari semua elemen  V  yang dipetakan oleh  T  ke elemen 0W. Kernel biasanya dilambangkan sebagai , atau variasinya:

Karena peta linier mempertahankan vektor nol, vektor nol 0V dari  V  harus menjadi milik kernel. Transformasi  T  bersifat injeksi jika dan hanya jika kernelnya direduksi menjadi subruang nol.

Kernel ker  T  selalu merupakan subruang linier dari  V . Jadi, masuk akal untuk membicarakan tentang ruang hasil bagi V/(ker T). Teorema isomorfisme pertama untuk ruang vektor menyatakan bahwa ruang hasil bagi ini adalah isomorfis alami ke citra dari  T  (yang merupakan subruang dari  W ). Akibatnya, dimensi dari  V  sama dengan dimensi kernel ditambah dimensi bayangan.

Jika  V  dan  W  adalah dimensi-hingga dan basis telah dipilih, maka  T  dapat dijelaskan oleh matriks M, dan kernel dapat dihitung dengan menyelesaikan sistem persamaan linear homogen . Dalam hal ini, kernel  T  dapat diidentifikasi ke kernel matriks  M , juga disebut "spasi nol" dari  M . Dimensi ruang kosong, disebut nulitas  M , diberikan oleh jumlah kolom  M  dikurangi rank dari  M , sebagai konsekuensi dari teori peringkat-nullity.

Memecahkan persamaan diferensial homogen sering kali sama dengan menghitung kernel operator diferensial tertentu.

Misalnya, untuk mencari semua dua kali - fungsi terdiferensiasi s  f  dari garis nyata ke dirinya sendiri sehingga

biarkan  V  menjadi ruang dari semua fungsi yang dapat dibedakan dua kali, biarkan  W  menjadi ruang dari semua fungsi, dan tentukan operator linier  T  dari  V  menjadi  W  oleh

untuk  f  di  V  dan  x  sembarang bilangan real.

Maka semua solusi persamaan diferensial ada di ker  T .

Seseorang dapat mendefinisikan kernel untuk homomorfisme antara modul melalui gelanggang dengan cara yang analog. Ini termasuk kernel untuk homomorfisme antara grup abelian sebagai kasus khusus. Contoh ini menangkap esensi kernel secara umum kategori abelian; lihat Kernel (teori kategori).