Jelaskan Grup angka empat digeneralisasi dari Grup kuaternion

Grup kuatnion umum Q4n urutan 4n  ditentukan oleh presentasi

untuk bilangan bulat , dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2.  Coxeter menggunakan Q4n grup siklik , kasus khusus dari grup polihedral biner  dan terkait dengan grup polihedral  dan grup dihedral . Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup  dihasilkan oleh

dimana . Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh  dan .

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup  abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup  p  terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo  p  adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga  F  dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, .  Maka pr menjadi ukuran  F , di mana  p  adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(F) adalah 2n, dimana .

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi