Jabarkan Latar Belakang dari Presentasi grup

Grup bebas pada himpunan  S  adalah grup di mana setiap elemen dapat  secara unik  dijelaskan sebagai produk panjang terbatas dari bentuk:

dimana si adalah elemen S, berdekatan si berbeda, dan  a i   adalah bilangan bulat bukan nol (tetapi  n  bisa jadi nol). Dalam istilah yang kurang formal, grup tersebut terdiri dari kata-kata di generator  dan inversnya , hanya tunduk pada pembatalan generator dengan kejadian invers yang berdekatan.

Jika  G  adalah grup apa pun, dan  S  adalah subset yang menghasilkan dari  G , maka setiap elemen  G  juga berbentuk di atas; namun secara umum, produk ini tidak akan  secara unik  menggambarkan elemen  G .

Misalnya, grup dihedral D 8  berorde enam belas dapat dihasilkan oleh rotasi,  r , berorde 8; dan flip, f, of order 2; dan tentunya setiap elemen D  8  adalah produk dari r dan f.

Namun, kami memiliki, misalnya, , , dll., jadi produk seperti itu  tidak unik  di D 8 . Masing-masing produk ekuivalen dapat diekspresikan sebagai persamaan dengan identitas, seperti