Jelaskan . dari Aksioma Peano

Relasi urutan total biasa ≤ pada bilangan asli dapat didefinisikan sebagai berikut, asumsi 0 adalah bilangan asli:

Untuk semua ,  jika dan hanya jika terdapatu suatu  sehingga .

Hubungan ini stabil terhadap penjumlahan dan perkalian: untuk , jika , maka:

Jadi, struktur  adalah semigelanggang terurut; karena tidak ada bilangan asli antara 0 dan 1, ini adalah semiring terurut diskrit.

Semua aksioma Peano kecuali aksioma kesembilan (aksioma induksi) adalah pernyataan dalam logika orde pertama. Operasi aritmetika penjumlahan dan perkalian dan hubungan urutan juga dapat ditentukan menggunakan aksioma orde pertama. Aksioma induksi ada di orde kedua, karena mengkuantifikasi melebihi predikat (setara, kumpulan bilangan asli daripada bilangan asli), tetapi dapat diubah menjadi induksi orde pertama  skema aksioma . Skema seperti itu mencakup satu aksioma per predikat yang dapat didefinisikan dalam bahasa orde pertama aritmetika Peano, membuatnya lebih lemah daripada aksioma orde kedua. Alasan yang lebih lemah adalah bahwa jumlah predikat dalam bahasa orde pertama dapat dihitung, sedangkan jumlah himpunan bilangan asli tidak dapat dihitung. Jadi, ada himpunan yang tidak bisa dideskripsikan dalam bahasa urutan pertama (pada kenyataannya, sebagian besar himpunan memiliki sifat ini).

Aksiomatisasi orde pertama aritmetika Peano memiliki batasan teknis lain. Dalam logika orde kedua, dimungkinkan untuk menentukan operasi penjumlahan dan perkalian dari operasi penerus, tetapi ini tidak dapat dilakukan dalam pengaturan logika orde pertama yang lebih ketat. Oleh karena itu, operasi penjumlahan dan perkalian secara langsung dimasukkan dalam tanda tangan aritmetika Peano, dan aksioma dimasukkan yang menghubungkan ketiga operasi satu sama lain.

Daftar aksioma berikut (bersama dengan aksioma persamaan yang biasa), yang berisi enam dari tujuh aksioma aritmetika Robinson, cukup untuk tujuan ini:

Selain daftar aksioma numerik ini, aritmetika Peano berisi skema induksi, yang terdiri dari dapat dihitung secara rekursif dari aksioma. Untuk setiap rumus  dalam bahasa aritmetika Peano, aksioma induksi orde pertama untuk  adalah kalimat

dimana  adalah singkatan dari . Skema induksi orde pertama menyertakan setiap contoh aksioma induksi orde pertama, yaitu, menyertakan aksioma induksi untuk setiap rumus  φ .