Jabarkan Bukti dari Identitas Bézout

Diberikan bilangan bulat taknol  dan , dan misalkan  Himpunan  tidak kosong karena berisi  ataupun  (dengan  dan ). Karena  adalah himpunan bilangan bulat positif takkosong,  memiliki anggota minimum , berdasarkan well-ordering principle. Untuk membuktikan bahwa  adalah faktor persekutuan terbesar dari  dan , maka harus dibuktikan bahwa  adalah pembagi persekutuan dari  dan , dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya , maka .

Pembagian Euklides dari  oleh  dapat ditulis  dengan . Sisa pembagian  terdapat di , sebabDengan demikian,  adalah bilangan dari bentuk , dan karena itu . Akan tetapi,  dan  adalah bilangan bulat positif terkecil di , maka sisa pembagian  tidak terdapat di , sehingga mengakibatkan  menjadi 0. Maka dari itu, dapat disiratkan bahwa  pembagi . Dengan cara yang serupa,  juga pembagi , dan demikian  adalah pembagi persekutuan dari  dan .

Sekarang, misalkan  adalah sebarang pembagi persekutuan dari  dan , dalam artian bahwa akan ada  dan  sehingga  dan . Jadi,Maka dapat dikatakan bahwa  adalah pembagi , dan demikian bahwa .