Produk setengah langsung itu apa sih?

Dalam matematika, khususnya dalam teori grup, konsep produk setengah langsung adalah generalisasi dari  produk langsung. Ada dua konsep yang terkait erat dari produk setengah langsung:

produk setengah langsung  dalam  adalah cara tertentu di mana  grup dapat terdiri dari dua subgrup, salah satunya adalah subgrup normal.

produk setengah langsung  luar  adalah cara untuk membangun grup baru dari dua grup tertentu dengan menggunakan produk Kartesius sebagai himpunan dan operasi perkalian tertentu.

Seperti halnya produk langsung, terdapat persamaan alami antara produk semidirect bagian dalam dan luar, dan keduanya biasa disebut hanya sebagai "produk setengah langsung".

Untuk grup hingga, teorema Schur-Zassenhaus memberikan kondisi yang cukup untuk keberadaan dekomposisi sebagai produk semidirect (juga dikenal sebagai membelah ekstensi).

Definisi produk setengah langsung bagian dalam

Diberikan grup  dengan elemen identitas , sebuah subgrup  , dan subgrup normal , pernyataan berikut ini setara:

adalah  produk dari subgrup, , dan subgrup ini memiliki persimpangan yang sepele: .

Untuk , pada  dan  sebagai .

Untuk , pada  dan  sebagai .

Komposisi  dari embedding natural  dengan proyeksi alami  adalah  isomorfisme antara  dan grup hasil bagi .

Terdapat  homomorfisme  itu adalah identitas pada  dan yang  kernel adalah . Dengan kata lain, ada urutan yang tepat terpisah

grup (yang juga dikenal sebagai ekstensi grup dari  by ).

Jika salah satu dari pernyataan ini berlaku (dan karenanya semuanya berlaku, dengan kesetaraannya), kami mengatakan  adalah produk setengah langsung dari  dan , ditulis