Jelaskan Funktor grup automorfisme dari Grup automorfisme

Misalkan  menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang  k  yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu,  M  adalah aljabar berdimensi-hingga di atas  k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan  k  - peta linear  yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor  dari . Grup unit dari  adalah grup automorfisme . Ketika basis pada  M  dipilih,  adalah ruang dari matriks kuadrat dan  adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya,  adalah grup aljabar linear di atas  k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor: yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif  R  di atas  k , pertimbangkan  R -peta linear  melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan . Kemudian grup unit gelanggang matriks  lebih  R  adalah grup automorfisme  dan  adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas  k  ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan .

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.