Jabarkan Grup torsi dari Grup Abelian

Grup abelian disebut periodik atau torsi, jika setiap elemen memiliki terbatas tatanan. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. Teorema Prüfer pertama dan kedua menyatakan bahwa jika  adalah grup periodik, dan memiliki eksponen terbatas, yaitu  untuk beberapa bilangan asli , atau dihitung dan tinggi- elemen  terbatas untuk setiap , maka  adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga.

Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke  dalam dekomposisi invarian dari . Teorema ini kemudian dimasukkan dalam kriteria Kulikov. Di arah yang berbeda, Helmut Ulm menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup- yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui invarian Ulm mereka.

Grup bebas torsi dan campuran

Grup abelian disebut bebas torsi jika setiap elemen bukan nol memiliki urutan tak hingga. Beberapa kelas dari grup abelian bebas torsi telah dipelajari secara ekstensif:

Grup abelian bebas, yaitu jumlah langsung trivial

Kotorsion dan kompak secara aljabar grup bebas torsi bilangan -adik