Tolong jelaskan mengenai Sifat dari Grup berpenyelesaian

Solvabilitas tertutup terhadap sejumlah operasi.

Jika  berpenyelesaian, dan  adalah subgrup dari , maka  adalah berpenyelesaian.

Jika  berpenyelesaian, dan terdapat homomorfisme dari  pada , maka  adalah berpenyelesaian; setara (dengan teorema isomorfisme pertama), jika  berpenyelesaian, dan  adalah subgrup normal dari , maka  berpenyelesaian.

Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut:  dapat diselesaikan jika dan hanya jika  dan  keduanya berpenyelesaian.

Secara khusus, jika  dan  berpenyelesaian, hasilkali langsung  berpenyelesaian.

Solvabilitas tertutup terhadap perluasan grup:

Jika  dan  berpenyelesaian, maka begitu juga dengan ; secara khusus, jika  dan  berpenyelesaian, produk setengah langsung mereka juga berpenyelesaian.

Itu juga ditutup di bawah produk karangan bunga:

Jika  dan  berpenyelesaian, dan  adalah himpunan , maka hasilkali karangan bunga dari  dan  terhadap  juga berpenyelesaian.

Untuk suatu bilangan bulat positif , grup berpenyelesaian dari panjang jabaran paling banyak  membentuk subvarietas dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali (langsung). Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.