Jabarkan Representasi trivial dari Grup kuaternion

Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal  N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen  N  ke 1, dan elemen di luar  N  ke -1.

Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam  Representasi matriks .

Tabel karakter dari Q 8  ternyata sama dengan D4:

Karena karakter yang tidak dapat direduksi  pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan  dekomposisi dari  aljabar grup nyata dari  menjadi minimal dua sisi  ideal: , di mana  idempotensi  sesuai dengan irreducibles: , seperti.Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata . Ideal terakhir  isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat  dengan korespondensi:Selanjutnya, proyeksi homomorfisme  diberikan oleh  memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten: sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi .

Aljabar grup kompleks dengan demikian , dimana  adalah aljabar dari bikuaternion.