Jelaskan Grup kecil tidak sederhana dari Teorema Sylow

Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan grup sederhana terkecil yang bukan  siklik. Teorema Burnside pa qb menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua pangkat utama s, maka ia  dapat dipecahkan, sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 .

Jika  G  sederhana, dan |G| = 30, kemudian n3 must divide 10 ( = 2 · 5), dan n3 harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika n3 = 1 kemudian, seperti di atas,  G  akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana.  G  kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti  G  memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.

Juga,  n  5  = 6, karena  n   5  harus membagi 6 (= 2 · 3), dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi  G  juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde  G  hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.

Selanjutnya, misalkan |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini  n  7  harus membagi 6 ( =  2 · 3) dan n7 harus sama dengan 1 (mod 7), jadi  n  7  = 1. Jadi, seperti sebelumnya,  G  tidak bisa sederhana.

Di sisi lain, untuk |G| = 60 = 22 · 3 · 5, maka  n  3  = 10 dan  n  5  = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah A5, grup bergantian lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 permutasi siklik dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.