Jabarkan Sejarah dari Teori Galois

Teori Galois berasal dari studi tentang fungsi simetris, koefisien dari sebuah polinomial monik adalah (sampai tanda) polinomial simetris elementer di akar. Misalnya, , dimana 1,  dan  adalah polinomial dasar derajat 0, 1 dan 2 dalam dua variabel.

Ini pertama kali diresmikan oleh ahli matematika Prancis abad ke-16 François Viète, dalam Rumus Viète, untuk kasus akar nyata positif. Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, ekspresi koefisien polinomial dalam hal akar (tidak hanya untuk akar positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard; Hutton menulis:

...[Girard adalah] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien pangkat dari penjumlahan akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahkan pangkat dari akar persamaan apa pun.

Dalam urat ini, diskriminan adalah fungsi simetris dalam akar yang mencerminkan sifat-sifat akar, nilai nol jika dan hanya jika polinomial memiliki akar ganda, dan untuk polinomial kuadrat dan kubik bernilai positif jika dan hanya jika semua akar nyata dan berbeda, dan negatif jika dan hanya jika terdapat sepasang akar konjugasi kompleks yang berbeda. Lihat Diskriminan:Sifat dasar untuk detailnya.

Kubik pertama kali sebagian diselesaikan oleh ahli matematika Italia abad ke-15-16 Scipione del Ferro, yang tidak mempublikasikan hasilnya; metode ini, meskipun, hanya menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Solusi ini kemudian ditemukan kembali secara independen pada tahun 1535 oleh Niccolò Fontana Tartaglia, yang membaginya dengan Gerolamo Cardano, memintanya untuk tidak menerbitkannya. Cardano kemudian memperluas ini ke banyak kasus lain, dengan menggunakan argumen serupa; lihat detail selengkapnya di Metode Cardano. Setelah penemuan karya del Ferro, ia merasa bahwa metode Tartaglia bukan lagi rahasia, dan karenanya ia menerbitkan solusinya pada tahun 1545. Ars Magna. Muridnya Lodovico Ferrari memecahkan masalah polinomial kuartik; solusinya juga disertakan Ars Magna. Namun, dalam buku ini, Cardano tidak memberikan "rumus umum" untuk penyelesaian persamaan kubik, karena ia tidak memiliki bilangan kompleks yang tersedia, atau notasi aljabar untuk dapat menggambarkan persamaan kubik umum. Dengan keunggulan notasi modern dan bilangan kompleks, rumus-rumus dalam buku ini berfungsi dalam kasus umum, tapi Cardano tidak mengetahui hal ini. Adalah Rafael Bombelli yang berhasil memahami cara bekerja dengan bilangan kompleks untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan kubik.

Langkah selanjutnya adalah kertas 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations oleh matematikawan Prancis-Italia Joseph Louis Lagrange, dalam metode resolusi Lagrange, di mana ia menganalisis solusi kubik dan kuartik Cardano dan Ferrari dengan mempertimbangkannya dalam istilah  permutasi  dari akar, yang menghasilkan polinomial tambahan dengan derajat yang lebih rendah, memberikan pemahaman terpadu tentang solusi dan meletakkan dasar untuk teori grup dan teori Galois. Yang terpenting, bagaimanapun, dia tidak mempertimbangkan  komposisi  permutasi. Metode Lagrange tidak meluas ke persamaan kuintik atau lebih tinggi, karena resolvent memiliki derajat yang lebih tinggi.

Quintic hampir terbukti tidak memiliki solusi umum oleh radikal oleh Paolo Ruffini pada tahun 1799, yang wawasan utamanya adalah menggunakan permutasi  grup , bukan hanya permutasi tunggal. Solusinya mengandung celah, yang dianggap Cauchy kecil, meskipun ini tidak ditambal sampai karya matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel, yang menerbitkan bukti pada tahun 1824, sehingga menetapkan Teorema Abel-Ruffini.

Sementara Ruffini dan Abel menetapkan bahwa kuintik umum tidak dapat diselesaikan, beberapa quintics tertentu dapat dipecahkan, seperti , dan kriteria yang tepat untuk menentukan polinomial kuintik  yang diberikan  atau lebih tinggi dapat dipecahkan atau tidak diberikan oleh Évariste Galois, yang menunjukkan bahwa polinomial dapat dipecahkan atau tidak sama dengan apakah grup permutasi akarnya atau tidak dalam istilah modern, its Galois group memiliki struktur tertentu dalam istilah modern, apakah itu adalah kelompok yang dapat dipecahkan. Kelompok ini selalu dapat dipecahkan untuk polinomial dengan derajat empat atau kurang, tetapi tidak selalu demikian untuk polinomial derajat lima dan lebih besar, yang menjelaskan mengapa tidak ada solusi umum dalam derajat yang lebih tinggi.