Jelaskan Bukti analisis kompleks dari Teorema dasar aljabar

Misalkan  adalah cakram dengan radius  berpusat di titik asal sedemikian rupa sehingga  saat .  Nilai minimal dari  pada himpunan  ada, sebab  adalah himpunan kompak, sehingga nilai minimum tersebut tercapai di suatu titik interior  dari himpunan , bukan di titik batas dari himpunan . Prinsip modulus maksimum (diterapkan ke )  kemudian menunjukkan bahwa . Dengan kata lain,  adalah akar dari .

Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum (pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik). Bagian sebelum penggunaan prinsip modulus maksimum juga dapat dilanjutkan dengan kontradiksi, i.e. memisalkan  bernilai suatu konstan  tak nol, maka  dapat dituliskan dalam deret pangkat  sebagai berikut

Di sini,  adalah koefisien dari  pada polinomial  jika dijabarkan, dan  adalah indeks dari koefisien tak nol pertama setelah suku konstan . Untuk  yang cukup dekat dengan , fungsi ini memiliki perilaku yang secara asimtotik sama dengan polinomial . Lebih tepatnya, hal ini dapat dituliskan sebagaiuntuk suatu konstanta positif  di suatu lingkungan dari . Oleh karena itu, misalkan   dan , maka untuk suatu bilangan positif  yang cukup kecil (sedemikian sehingga hingga batas  yang disebutkan di atas berlaku),

Apabila  cukup dekat dengan , argumen di atas mengakibatkan batas atas dari  lebih kecil daripada , kontradiksi dengan asumsi  merupakan titik global minimum dari  pada himpunan . Secara geometris, argumen ini memberikan arah eksplisit  sedemikian sehingga jika  mendekati  dari arah tersebut, maka  untuk  yang cukup dekat dengan 0.

Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa   di luar  mengakibatkan nilai minimum  di seluruh bidang kompleks dicapai di . Jika , maka  adalah fungsi holomorfik terbatas di seluruh bidang kompleks, karena  untuk setiap bilangan kompleks .  Namun, Teorema Liouville menyatakan bahwa fungsi holomorfik yang terbatas pada  haruslah merupakan fungsi konstan. Hal ini mengakibatkan  adalah fungsi konstan, yang merupakan kontradiksi. Maka, .

Bukti analitik lain mengandalkan prinsip argumen. Misalkan  adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar dari  memiliki nilai absolut lebih kecil dari . Bilangan  yang memenuhi sifat ini haruslah ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan berderajat  memiliki paling banyak  akar. Untuk setiap , tinjau bilangandimana  adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari   berorientasi berlawanan arah jarum jam. Dari prinsip argumen,  merepresentasikan banyaknya akar dari  (memperhitungkan multiplisitas aljabar) di dalam bola buka berpusat di  dengan radius .  Karena ,  maka bilangan  sama dengan banyaknya pembuat nol di . Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari  sepanjang kontur  oleh  sama dengan . Namun, selisih dari kedua angka tersebut adalah

Pembilang dari bentuk rasional yang diintegralkan berderajat paling besar , sedangkan penyebutnya berderajat . Oleh karena itu, integral di atas cenderung mendekati  seiring . Tetapi bilangan ini juga sama dengan , sehingga .

Bukti dengan metode analisis kompleks lain diberikan dengan mengkombinasikan aljabar linier dengan Teorema Cauchy. Memperlihatkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat  n > 0 memiliki pembuat nol dapat dilakukan dengan hanya menunjukkan bahwa setiap matriks persegi  dengan entri kompleks memiliki nilai eigen kompleks. Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi.

Misalkan  adalah matriks persegi  dengan entri kompleks dan  adalah matriks identitas perkalian dengan ukuran yang sama. Asumsikan  tidak memiliki nilai eigen, maka fungsi resolventadalah fungsi meromorfik pada bidang kompleks dengan kodomain ruang vektor matriks dengan entri kompleks. Nilai eigen dari  adalah pole dari . Karena diasumsikan  tidak memiliki nilai eigen, fungsi  adalah fungsi entire dan Teorema Cauchy mengimplikasikan bahwa

Di sisi lain, ekspansi  sebagai deret geometri memberikan

Rumus ini valid di luar cakram tertutup berjari-jari  (norm dari operator ). Misalkan . Maka

(hanya untuk  integran pada suku deret tersebut bernilai tak nol). Ini adalah kontradiksi, sehingga  memiliki nilai eigen.

Terakhir, aplikasi Teorema Rouche memberikan bukti dari teorema dasar aljabar yang barangkali paling singkat.