Jelaskan . dari Teorema Lagrange (teori grup)

jadi pembaginya adalah . Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup  pada  dengan .

Misalkan  menjadi subgrup non-cyclic dari  yang disebut [[Klein empat grup] ].

Maka . Karena  dan  adalah subgrup dari ,  juga merupakan subgrup dari .

Dari teorema Lagrange, urutan  harus membagi  dan , urutan  dan {{mvar | V} } masing-masing. Dua bilangan bulat positif yang membagi  dan  adalah  dan . Begitu  atau .

Menganggap , menjadi . Jika  tidak berbagi elemen apa pun dengan , maka 5 elemen di  selain Elemen identitas  harus menjadi dari bentuk  dimana  adalah elemen berbeda di .

Karena setiap elemen bentuk  kuadrat adalah , dan , any element of  dalam bentuk  harus dipasangkan dengan kebalikannya. Secara khusus, 5 elemen yang tersisa dari  harus berasal dari pasangan elemen yang berbeda di  yang tidak ada di . Hal ini tidak mungkin karena pasangan elemen harus genap dan tidak dapat berjumlah hingga 5 elemen. Jadi, asumsi  salah, jadi .

Kemudian,  dimana ,  harus dalam bentuk  dimana  adalah elemen yang berbeda dari . Empat elemen lainnya dalam  adalah siklus dengan panjang 3.

Perhatikan bahwa coset dihasilkan oleh subgrup grup adalah partisi dari grup. Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau disjoint. Indeks subgrup dalam satu grup  adalah jumlah koset yang dihasilkan oleh subkelompok itu. Karena  and ,  akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan  dan yang lainnya, , yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di  tidak termasuk .

Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh , maka  harus normal. Karena, . Secara khusus, ini benar untuk . Karena .

Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan . Kemudian . Bertransformasi kembali, kita dapatkan . Karena  berisi semua transposisi terputus-putus dalam , . Hence, .

Karena , kami telah menunjukkan bahwa ada elemen ketiga di . Tapi sebelumnya kami berasumsi seperti itu , jadi kami memiliki kontradiksi.

Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa ada subgrup berorde 6 tidak benar dan akibatnya tidak ada subgrup orde 6 pada  dan kebalikan dari teorema Lagrange belum tentu benar.