Jabarkan Fungsi zeta Riemann dari Teori bilangan analitik

Euler memperlihatkan bahwa teorema dasar aritmetika menyiratkan ekspresi dari darab EulerBukti Euler dari tak berhingganya bilangan prima melalui divergensi suku di ruas kiri persamaan untuk  (yang disebut sebagai deret harmonik), memberikan sebuah hasil analitik yang murni. Selain itu, Euler adalah tokoh pertama yang menggunakan argumen analitis yang bertujuan mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, khususnya dengan membangun deret pangkat pembangkit. Ini adalah awal dari teori bilangan analitik.

Riemann kemudian memandang fungsi tersebut untuk nilai kompleks  dan memperlihatkan bahwa fungsi tersebut dapat diperluas ke fungsi meromorfik di seluruh bidang dengan pole sederhana .  Saat ini, fungsi tersebut dikenal sebagai fungsi zeta Riemann dan dinyatakan dengan . Fungsi ini terdapat di dalam banyak makalah, serta juga merupakan kasus istimewa dari fungsi-L Dirichlet yang lebih umum.

Beberapa ahli teori bilangan analitik acapkali tertarik dengan galat aproksimasi seperti teorema bilangan prima, yakni galatnya lebih kecil daripada . Rumus Riemann untuk  memperlihatkan bahwa suku galat dalam aproksimasi tersebut dapat diekspresikan sebagai akar fungsi zeta. Dalam makalahnya tahun 1859, Riemann memandang bahwa semua akar "trivial"  terletak di garis real , tetapi ia tidak pernah memberikan bukti dari pernyataan tersebut. Konjektur yang terkenal sekaligus konjektur yang belum terpecahkan hingga saat ini, dikenal sebagai hipotesis Riemann. Dalam teori bilangan, konjektur ini mempunyai banyak sekali implikasi yang mendalam, dan bahkan ada banyak teorema penting yang telah membuktikan asumsi tersebut bahwa hipotesisnya adalah benar. Sebagai contoh, berdasarkan asumsi hipotesis Riemann, suku galat dalam teori bilangan prima adalah .

Pada awal abad ke-20, G. H. Hardy dan Littlewood membuktikan banyak hasil tentang fungsi zeta untuk membuktikan hipotesis Riemann. Bahkan pada tahun 1914, Hardy membuktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya akar fungsi zeta di garis kritisHal ini menyebabkan beberapa teorema menjelaskan kepadatan akar fungsi pada garis kritis.