Jabarkan Transformasi semigrup dan monoid dari Transformasi semigrup

Transformasi semigrup adalah pasangan ( X ,  S ), di mana  X  adalah himpunan dan  S  adalah semigrup transformasi dari  X . Di sini transformasi dari  X  hanyalah fungsi parsial dari subset  X  menjadi  X , tidak harus dapat dibalik, dan karena itu  S  hanyalah seperangkat transformasi  X  yang tertutup di bawah komposisi fungsi. Himpunan semua fungsi parsial pada himpunan dasar tertentu,  X , membentuk semigrup biasa yang disebut semigroup dari semua transformasi parsial (atau transformasi parsial semigroup pada  X ), biasanya dilambangkan dengan .

Jika  S  menyertakan transformasi identitas  X , maka itu disebut transformasi monoid. Jelas setiap transformasi semigroup  S  menentukan transformasi monoid  M  dengan mengambil penyatuan  S  dengan transformasi identitas. Monoid transformasi yang elemennya dapat dibalik adalah grup permutasi.

Himpunan semua transformasi  X  adalah transformasi monoid yang disebut transformasi penuh monoid (atau semigrup) dari  X . Ini juga disebut semigroup simetris dari  X  dan dilambangkan dengan TX. Jadi, transformasi semigroup (atau monoid) hanyalah sebuah subsemigrup (atau submonoid) dari transformasi penuh monoid dari  X .

Jika ( X ,  S ) adalah transformasi semigroup maka  X  dapat dibuat menjadi aksi semigrup dari  S  dengan evaluasi:

Ini adalah aksi monoid jika  S  adalah transformasi monoid.

Ciri karakteristik semigroup transformasi, sebagai tindakan, adalah bahwa mereka  efektif , yaitu jika

lalu  s  =  t . Sebaliknya jika semigroup  S  bekerja pada himpunan  X  sebesar T(s,x) = s • x lalu kita bisa mendefinisikan, untuk  s  ∈  S , sebuah transformasi Ts of X by

Peta mengirim 's' pada Ts bersifat injeksi jika dan hanya jika ( X ,  T ) efektif, dalam hal ini citra peta ini adalah transformasi semigrup isomorfik menjadi  S .