Jabarkan Permukaan integral bidang vektor dari Permukaan integral

Pertimbangkan bidang vektor v pada permukaan S, yaitu untuk setiap x dalam S, v (x) adalah vektor.

Integral permukaan dapat didefinisikan secara komponen sesuai dengan definisi integral permukaan dari suatu bidang skalar; hasilnya adalah vektor. Ini berlaku misalnya dalam ekspresi medan listrik di beberapa titik tetap karena permukaan bermuatan listrik, atau gravitasi di beberapa titik tetap karena selembar material.

Alternatifnya, jika kita mengintegrasikan komponen normal bidang vektor di atas permukaan, hasilnya adalah skalar, biasanya disebut fluks yang melewati permukaan. Bayangkan kita memiliki fluida yang mengalir melalui S, sehingga v (x) menentukan kecepatan fluida di x. Fluks didefinisikan sebagai jumlah fluida yang mengalir melalui S per satuan waktu.

Ilustrasi ini menyiratkan bahwa jika bidang vektor tangen ke S di setiap titik, maka fluksnya nol karena fluida hanya mengalir di paralel ke S, dan tidak masuk maupun keluar. Ini juga menyiratkan bahwa jika  'v'  tidak hanya mengalir di sepanjang S, yaitu, jika v memiliki komponen tangensial dan normal, maka hanya komponen normal yang berkontribusi fluks. Berdasarkan alasan ini, untuk mencari fluks, kita perlu mengambil perkalian titik dari v dengan satuan permukaan normal n menjadi S di setiap titik, yang akan memberi kita bidang skalar, dan mengintegrasikan bidang yang diperoleh seperti di atas. Kami menemukan rumusnya

Perkalian silang di sisi kanan ekspresi ini adalah permukaan normal (tidak harus unital) yang ditentukan oleh parametrisasi.

Rumus ini mendefinisikan integral di sebelah kiri (perhatikan titik dan notasi vektor untuk elemen permukaan).

Kami juga dapat menafsirkan ini sebagai kasus khusus untuk mengintegrasikan 2 bentuk, di mana kami mengidentifikasi bidang vektor dengan 1 bentuk, dan kemudian mengintegrasikan Hodge dual di atas permukaan.

Ini sama dengan mengintegrasikan  di atas permukaan yang terbenam, di mana  adalah bentuk volume yang diinduksi pada permukaan, diperoleh dengan perkalian interior dari metrik Riemannian dari ruang ambien dengan normal luar permukaan.

Sintegral permukaan dari bentuk-2 diferensial