Tolong jelaskan mengenai Definisi standar dari Bentuk modular

Bentuk modular dengan bobot  untuk grup modular

adalah fungsi kompleks  pada setengah bidang atas  yang memenuhi tiga kondisi berikut:

Untuk setiap  dan setiap matriks anggota , berlaku:

Bobot  yang digunakan biasanya bilangan bulat positif.

Untuk bilangan ganjil , hanya fungsi nol yang memenuhi kondisi kedua.

Kondisi ketiga biasanya disebut sebagai fungsi  "holomorfik di titik taring (cusp)", istilah yang akan dijelaskan di bawah. Secara eksplisit, kondisi ini mensyaratkan bahwa ada  sedemikian sehingga jika , yang berarti fungsi  terbatas pada daerah di atas garis horizontal.

Jika kondisi kedua diterapkan pada dua matriks berikut

maka dihasilkan dua persamaan berikut

Karena matriks  dan matriks  membangkitkan grup modular , kondisi kedua di atas ekuivalen dengan terpenuhinya hanya kedua persamaan ini.

Karena , bentuk modular adalah fungsi periodik, dengan periode , sehingga memiliki deret Fourier.

Definisi via kekisi atau kurva eliptik

Bentuk modular dapat secara ekuivalen didefinisikan sebagai fungsi F dari himpunan kekisi di  ke himpunan bilangan kompleks yang memenuhi kondisi berikut:

Untuk sembarang konstan  tidak nol, jika kekisi  yang dibangkitkan oleh  dan variabel , maka  adalah fungsi analitik dari .

Jika  adalah bilangan kompleks tidak nol dan  adalah kekisi yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen kekisi  oleh , tmaka , dengan  adalah suatu konstanta (biasanya bilangan bulat positif) yang disebut bobot dari bentuk modular.

Modulus dari  terbatas atas, jika modulus dari elemen terkecil tidak nol dari kekisi  memiliki batas bawah yang positif.

Ide utama yang digunakan untuk membuktikan ekuivalensi kedua definisi di atas adalah fungsi  dapat diketahui dari nilainya pada kekisi yang dapat dituliskan sebagai , dengan , karena kondisi kedua.