Jelaskan Jika , maka . dari Matriks riil 2 × 2

Jika , maka  atau .

Jika , maka  atau  atau  atau .

Dalam kasus pertama . Dalam kasus bilangan dual . Terakhir, dalam kasus bilangan kompleks terbagi terdapat empat komponen dalam grup satuan. Komponen identitas berparameter oleh  dan .

Sekarang  terlepas dari  subbidang , tetapi argumen dari fungsi harus diambil dari komponen identitas grup satuannya. Setengah bidang hilang dalam kasus dari struktur bilangan dual, tiga per empat dari bidang harus dikecualikan dalam kasus dari struktur bilangan kompleks terbagi.

Dengan cara yang sama, jika  adalah sebuah elemen dari komponen identitas dari grup satuan dari sebuah bidang yang terkait dengan matriks 2 × 2 dari , maka fungsi logaritma tersebut menghasilkan sebuah nilai . Domain dari fungsi logaritma tersebut mendapat batasan yang sama seperti halnya fungsi akar kuadrat yang digambarkan di atas, setengah atau tiga perempat  harus dikecualikan dalam kasus  atau .

Teori fungsi yang lebih lanjut dapat dilihat di artikel fungsi kompleks untuk struktur , atau di artikel variabel motor untuk struktur kompleks terbagi.

Matriks real 2 × 2 sebagai bilangan kompleks

Setiap matriks real 2 × 2 dapat diartikan sebagai salah satu dari tiga bilangan kompleks (yang disamaratakan): bilangan kompleks standar, bilangan dual, dan bilangan kompleks terbagi. Di atas, aljabar matriks 2 × 2 diprofilkan sebagai sebuah gabungan bilangan kompleks, semua membagi sumbu real yang sama. Bidang-bidang ini diperkenalkan sebagai subgelanggang komutatif . Salah satunya dapat menentukan bliangan matriks yang mana sebuah matriks 2 × 2 yang diberikan milik sebagai berikut dan menggolongkan jenis bilangan kompleks yang bidang tersebut mewakili.

Anggap matriks 2 × 2

Bilangan kompleks  yang berisi  ditemukan sebagai berikut.

Seperti yang disebutkan di atas, kuadrat dari matriks  adalah diagonal ketika . Matriks  harus diekspresikan sebagai jumlah sebuah perkalian dari matriks identitas  dan sebuah matriks dalam hiperbidang . Memproyeksikan  secara alternatif ke subruang-subruang  ini menghasilkan