Jabarkan Definisi lainnya dari Grup dihedral

Definisi ekuivalen lebih lanjut dari  adalah:

adalah isomorfik menjadi , grup siklik dari order 2.

adalah isomorfik menjadi , Klein empat grup.

dan  adalah satu-satunya grup dihedral abelian. Jika tidak,  adalah non-abelian.

adalah subgrup dari grup simetris  dari . Maka  dari  atau , untuk nilai-nilai ini,  terlalu besar untuk dijadikan subgrup.

Grup automorfisme dalam dari  adalah trivial, sedangkan untuk nilai genap lainnya , maka .

grafik siklus dari grup dihedral terdiri dari siklus  n  elemen dan siklus 2 elemen  n . Titik gelap pada grafik siklus di bawah dari berbagai grup dihedral mewakili elemen identitas, dan simpul lainnya adalah elemen lain dari grup. Sebuah siklus terdiri dari kekuatan berturut-turut dari salah satu elemen yang terhubung ke elemen identitas.

Grup dihedral sebagai grup simetri dalam 2D dan grup rotasi dalam 3D

Contoh grup abstrak , dan cara yang umum untuk memvisualisasikannya, adalah kelompok isometri bidang Euklidean yang menjaga asal tetap. Grup ini membentuk salah satu dari dua rangkaian diskrit grup titik dalam dua dimensi.  terdiri dari  rotasi dari kelipatan  tentang asal, dan refleksi melintasi garis  melalui titik asal, membuat sudut kelipatan  satu sama lain. Ini adalah kelompok simetri dari sebuah poligon beraturan dengan sisi  (untuk ; ini meluas ke kasus  dan  di mana kita memiliki bidang dengan masing-masing titik offset dari "pusat" dari "1-gon" dan "2-gon" atau ruas garis).

adalah dihasilkan dengan rotasi  urutan  dan refleksi  dari urutan 2 sedemikian rupa

Dalam istilah geometris: di cermin, rotasi tampak seperti rotasi terbalik.

Dalam istilah bilangan kompleks: perkalian dengan  dan konjugasi kompleks.

Dalam bentuk matriks, dengan pengaturan

dan mendefinisikan  dan  dari  kita dapat menulis aturan produk untuk  Dn sebagai

(Bandingkan rotasi dan pantulan koordinat.)

Grup dihedral D 2  dihasilkan oleh rotasi r 180 derajat, dan pantulan melintasi sumbu  x . Elemen D 2  kemudian dapat direpresentasikan sebagai {e, r, s, rs}, di mana e adalah identitas atau transformasi nol dan rs adalah refleksi melintasi sumbu  y .

D2 adalah isomorfik ke grup empat Klein.

Untuk  n > 2, operasi rotasi dan refleksi secara umum tidak perjalanan dan D   n   bukan abelian; Misalnya, di D4, rotasi 90 derajat diikuti oleh refleksi menghasilkan hasil yang berbeda dari refleksi diikuti oleh rotasi 90 derajat.

Jadi, di luar aplikasi mereka yang jelas untuk masalah simetri di bidang, grup ini adalah salah satu contoh paling sederhana dari kelompok non-abelian, dan dengan demikian sering muncul contoh tandingan yang mudah untuk teorema yang dibatasi untuk grup abelian.

elemen dari  dapat ditulis sebagai , , , ... , , , , , ... , . Pertama  elemen yang terdaftar adalah rotasi dan elemen  yang tersisa adalah refleksi-sumbu (semuanya memiliki urutan 2). Produk dari dua rotasi atau dua refleksi adalah rotasi; produk dari rotasi dan refleksi adalah refleksi.

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan  menjadi subkelompok dari , yaitu kelompok rotasi (tentang asal) dan refleksi (melintasi sumbu melalui asal) dari bidang. Namun, notasi  juga digunakan untuk subgrup SO(3) yang juga merupakan jenis kelompok abstrak : kelompok simetri yang tepat dari  poligon beraturan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi  (jika n ≥ 3). Sosok seperti itu dapat dianggap sebagai benda padat biasa yang merosot dengan jumlah muka yang dihitung dua kali. Oleh karena itu, ini juga disebut  dihedron  (Yunani: padat dengan dua sisi), yang menjelaskan nama  grup dihedral  (dalam analogi dengan  tetrahedral ,  oktahedral  dan  grup icosahedral , mengacu pada kelompok simetri yang tepat dari tetrahedron, oktahedron, dan ikosahedron reguler).