Jelaskan Sejarah dari Bilangan segitiga kuadrat

Dalam bagian akhir Bab 20, di buku Introduction to Arithmetic, Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah , maka jumlah kedua berikutnya adalah , jumlah ketiga berikutnya adalah , dan begitupula seterusnya. Nichomacus tidak menjelaskannya lebih lanjut, tetapi pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jumlah dari  pertama sama dengan jumlah dari bilangan ganjil  yang pertama, dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 sampai . Rata-rata dari bilangan tersebut adalah . dan terdapat  bilangan tersebut, sehingga jumlahnya adalah .

Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus.  mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini".  menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya Nicomachus di Jordan pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya Aryabhata di India pada abad kelima, dan karya Al-Karaji sekitar 1000 di Persia.  menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh Al-Qabisi di Arab pada abad kesepuluh, Gersonides di Prancis sekitar tahun 1300, dan Nilakantha Somayaji di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.

Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik

Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah:

0,1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... .

Bilangan segitiga kuadrat tersebut dapat dipandang sebagai bilangan figurasi, suatu perumuman hiperpiramidal empat dimensi dari bilangan segitiga dan bilangan piramidal persegi.

mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah  kisi. Sebagai contoh, titik-titik dari  kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan  menyatakan bilangan bulat yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara  dan . Maka, probabilitas mengatakan bahwa  adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan  setidaknya sebesar , dan  setidaknya sebesar Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh .