Tolong jelaskan mengenai Contoh matematis dari Bijeksi

Untuk semua himpunan X, fungsi identitas 1X: X → X, 1X(x) = x adalah sebuah fungsi bijektif.

Fungsi f: R → R, f(x) = 2x + 1 merupakan fungsi bijektif karena untuk setiap y ada suatu x = (y - 1)/2 sedemikian sehingga f(x) = y. Secara umum, setiap fungsi linear real, f: R → R, f(x) = ax + b (dengan a adalah nol) adalah sebuah bijeksi. Setiap bilangan real y diperoleh dari (atau dipasangkan dengan) bilangan real x = (y - b)/a.

Fungsi f: R → (−π/2, π/2) untuk f(x) = arctan(x) adalah fungsi bijektif karena setiap bilangan real x dipasangkan dengan tepat ke satu sudut y dalam interval (−π/2, π/2) sehingga terpenuhi tan(y) = x (atau y = arctan(x)). Apabila kodomain (-π/2, π/2) dibuat lebih besar untuk menyertakan kelipatan bilangan bulat dari π/2, maka fungsi ini tidak lagi menjadi onto (surjektif) karena tidak ada lagi bilangan real yang dapat dipasangkan dengan kelipatan π/2 oleh fungsi arctan ini.

Fungsi eksponensial, g: R → R, g(x) = ex bukan fungsi bijektif karena tidak ada nilai x dalam R yang menyebabkan g(x) = −1 menunjukkan bahwa g tidak onto (surjektif). Namun jika kodomain terbatas ke bilangan real positif , maka g akan bersifat bijektif; inversnya (lihat di bawah) adalah fungsi logaritma natural ln.

Fungsi h : R → R +, h ( x ) = x 2 bukan fungsi bijektif: misalnya, h (−1) = h (1) = 1, menunjukkan bahwa h bukan fungsi satu-ke-satu (injeksi). Namun, jika domain dibatasi , maka h akan menjadi fungsi bijektif; kebalikannya adalah fungsi akar kuadrat positif.