Jabarkan Produk langsung dari modul dari Produk langsung

Produk langsung untuk modul (jangan bingung dengan produk tensor) sangat mirip dengan yang ditentukan, menggunakan perkalian kartesian dengan operasi penjumlahan menjadi komponen, dan perkalian skalar hanya mendistribusikan ke semua komponen. Mulai dari R kami mendapatkan ruang Euklides Rn, contoh prototipe dari ruang vektor berdimensi n yang nyata. Produk langsung dari Rm and Rn is Rm+n.

Perhatikan bahwa produk langsung untuk indeks terbatas  identik dengan jumlah langsung . Jumlah langsung dan produk langsung berbeda hanya untuk indeks tak hingga, di mana elemen jumlah langsung adalah nol untuk semua kecuali untuk sejumlah entri terbatas. Keduanya memiliki arti ganda dalam arti teori kategori: jumlah langsungnya adalah koproduk, sedangkan produk langsung adalah produknya.

Misalnya, pertimbangkan  dan , produk langsung tak terbatas dan jumlah langsung dari bilangan real. Hanya urutan dengan jumlah elemen bukan nol yang terbatas yang ada di Y. Sebagai contoh, (1,0,0,0,...) ada di Y tapi (1,1,1,1, ...) tidak. Kedua urutan ini ada di produk langsung X; sebenarnya, Y adalah bagian yang tepat dari X (yaitu, Y ⊂ X).

Hasil kali langsung ruang topologi

Produk langsung untuk koleksi ruang topologi Xi untuk i pada I, beberapa kumpulan indeks, sekali lagi menggunakan produk Kartesius

Mendefinisikan topologi agak sedikit rumit. Untuk banyak faktor, ini adalah hal yang jelas dan wajar untuk dilakukan: cukup ambil sebagai basis himpunan terbuka untuk menjadi kumpulan semua produk Kartesius dari subset terbuka dari setiap faktor:

Topologi ini disebut topologi produk. Misalnya, langsung mendefinisikan topologi produk di R2 oleh himpunan terbuka R (persatuan terputus dari interval terbuka), dasar untuk topologi ini akan terdiri dari semua persatuan terputus-putus persegi panjang terbuka di bidang (ternyata, ini bertepatan dengan topologi metrik biasa).

Topologi produk untuk produk tak terbatas memiliki twist, dan ini harus dilakukan dengan kemampuan membuat semua peta proyeksi menjadi kontinu dan membuat semua fungsi menjadi produk berkelanjutan jika dan hanya jika semua fungsi komponennya berkelanjutan (yaitu untuk memenuhi definisi kategorikal produk: morfisme di sini adalah fungsi berkelanjutan): kami mengambil basis set terbuka untuk menjadi kumpulan semua produk Kartesius dari subset terbuka dari masing-masing faktor, seperti sebelumnya, dengan syarat bahwa semua kecuali banyak himpunan bagian terbuka adalah faktor keseluruhan:

Topologi yang terdengar lebih natural, dalam hal ini, mengambil produk dari subset terbuka yang tak terhingga seperti sebelumnya, dan ini menghasilkan topologi yang agak menarik, topologi kotak. Namun tidak terlalu sulit untuk menemukan contoh sekumpulan fungsi komponen kontinu yang fungsi produknya tidak kontinu (lihat topologi kotak entri terpisah untuk contoh dan lainnya). Masalah yang membuat pelintiran diperlukan pada akhirnya berakar pada fakta bahwa persimpangan set terbuka hanya dijamin akan terbuka untuk banyak himpunan yang tidak terbatas dalam definisi topologi.

Produk (dengan topologi produk) bagus dalam kaitannya dengan pelestarian sifat faktornya; sebagai contoh, produk dari ruang Hausdorff adalah Hausdorff; produk dari ruang yang terhubung terhubung, dan produk dari ruang kompak adalah kompak. Yang terakhir, disebut Teorema Tychonoff, adalah padanan lain dari aksioma pilihan.

Untuk lebih banyak properti dan formulasi yang setara, lihat entri terpisah topologi produk.

Produk langsung dari hubungan biner

Pada produk Cartesian dari dua himpunan dengan relasi biner R dan S, definisikan (a, b)T(c, d) sebagai aRc dan bSd. Jika R dan S keduanya refleksif, tidak refleksif, transitif, simetris, atau antisimetris, maka T juga akan menjadi. Menggabungkan properti berarti ini juga berlaku untuk menjadi praorder dan menjadi relasi ekivalen. Namun jika R dan S adalah relasi total, T bukan total umum.

Hasil kali langsung dalam aljabar universal

Jika Σ adalah tanda tangan tetap,  I  adalah kumpulan indeks arbitrer (mungkin tak terbatas), dan (Ai)i∈I adalah keluarga indeks dari Σ aljabar, produk langsung A = ∏i∈I Ai adalah aljabar Σ yang didefinisikan sebagai berikut:

Himpunan semesta  A  dari A adalah produk Kartesius dari himpunan alam semesta Ai of Ai, secara resmi: A = ∏i∈I Ai;

Untuk setiap  n  dan setiap  n  simbol operasi ary , interpretasinya fA dalam A didefinisikan secara komponen, secara formal: untuk semua  dan pada , komponen ke i dari  didefinisikan sebagai .

Untuk , proyeksi ke  i   didefinisikan oleh . Ini adalah homomorfisme dugaan antara Σ aljabar A dan Ai.

Sebagai kasus khusus, jika indeks ditetapkan  produk langsung dari dua aljabar A1 and A2 diperoleh, ditulis sebagai . Jika Σ hanya berisi satu operasi biner  f , definisi atas dari produk langsung grup diperoleh, menggunakan notasi , , , , and . Demikian pula, definisi produk langsung modul dimasukkan di sini.

Produk langsung internal dan eksternal

Beberapa penulis membuat perbedaan antara produk langsung internal dan produk langsung eksternal. Jika  dan , lalu kami mengatakan bahwa  X  adalah  internal  produk langsung dari  A  dan  B , sedangkan jika  A  dan  B  bukan sub-objek maka kami katakan bahwa ini adalah produk langsung  eksternal .