Jabarkan Matriks dari Elemen invers

Sebuah matriks persegi  dengan entri dalam sebuah bidang  dapat dibalik (dalam himpunan semua matriks persegi yang sama ukuran, di bawah perkalian matriks) jika dan hanya jika determinan -nya berbeda dari nol. Jika determinan dari  adalah nol, tidak mungkin untuk memiliki invers satu sisi; oleh karena itu invers kiri atau invers kanan menyiratkan keberadaan yang lain. Lihat matriks invers untuk informasi lebih lanjut.

Lebih umum lagi, matriks persegi di atas gelanggang komutatif  dapat dibalik jika dan hanya jika determinannya dapat dibalik .

Matriks non-kuadrat peringkat penuh memiliki beberapa invers satu sisi:

Untuk  kita telah meninggalkan invers, yaitu:

Untuk  kita memiliki invers yang benar, misalnya:

Pembalikan kiri dapat digunakan untuk menentukan solusi norma terkecil dari , yang juga merupakan rumus kuadrat terkecil untuk regresi dan diberikan oleh

Tidak ada matriks kekurangan peringkat yang memiliki invers (bahkan satu sisi). Namun, invers Moore-Penrose ada untuk semua matriks, dan bertepatan dengan kiri atau kanan (atau benar) terbalik jika ada.

Sebagai contoh invers matriks, pertimbangkan:

Begitu pula m < n, kami memiliki kebalikan yang benar,  Dengan komponen itu dihitung sebagai

Pembalikan kiri tidak ada, karena

yang merupakan matriks tunggal, dan tidak dapat dibalik.

M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, , p. 15 (def in unital magma) and p. 33 (def in semigroup)

contains all of the semigroup material herein except *-regular semigroups.

Drazin, M.P., Regular semigroups with involution, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46

Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp. 173–187

Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.