Jelaskan Sifat universal dari Produk Tensor

Dalam konteks ruang vektor, hasil kali tensor  dan peta bilinear terkait  dicirikan hingga isomorfisme oleh properti universal terkait peta bilinear. (Ingatlah bahwa peta bilinear adalah fungsi yang  terpisah  linier di setiap argumennya.) Secara informal,  adalah peta bilinear yang paling umum .

Karakterisasi ini dapat menyederhanakan pembuktian tentang produk tensor. Misalnya, hasil kali tensor simetris, artinya terdapat isomorfisma kanonik:

Untuk membuat, katakanlah, peta dari  ke , itu sudah cukup untuk memberikan peta bilinear  peta itu  ke . Kemudian properti universal  berarti faktor  ke dalam peta .

A map  dalam arah yang berlawanan didefinisikan dengan cara yang sama, dan seseorang memeriksa bahwa dua peta linier  dan  adalah invers satu sama lain dengan kembali menggunakan properti universal mereka.

Properti universal sangat berguna dalam menunjukkan bahwa peta ke produk tensor bersifat injektif. Misalnya, kita ingin menunjukkan  is isomorphic to . Karena semua tensor sederhana berbentuk , dan karenanya semua elemen produk tensor adalah bentuk  dengan aditifitas pada koordinat pertama, kita memiliki kandidat alami untuk isomorfisme  diberikan oleh pemetaan  ke , dan peta ini sangat meyakinkan.

Menunjukkan suntikan secara langsung akan melibatkan entah bagaimana menunjukkan bahwa tidak ada hubungan non-sepele di antara keduanya  dan  ke , yang tampaknya menakutkan. Namun, kita tahu bahwa ada peta bilinear  diberikan dengan mengalikan koordinat, dan properti universal produk tensor kemudian melengkapi peta ruang vektor  peta  ke , dan karenanya merupakan kebalikan dari homomorfisme yang dikonstruksi sebelumnya, segera menyiratkan hasil yang diinginkan. Perhatikan bahwa, apriori, bahkan tidak jelas bahwa peta terbalik ini terdefinisi dengan baik, tetapi properti universal dan peta bilinear yang terkait bersama-sama menyiratkan bahwa memang demikian.

Penalaran serupa dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa produk tensor bersifat asosiatif, yaitu terdapat isomorfisme alami

Oleh karena itu, biasanya tanda kurung dihilangkan dan ditulis .

Kategori ruang vektor dengan hasil kali tensor adalah contoh dari sebuah kategori monoidal simetris.

Definisi properti universal dari produk tensor valid di lebih banyak kategori daripada hanya kategori ruang vektor. Alih-alih menggunakan peta multilinear (bilinear), definisi produk tensor umum menggunakan multimorfisme.