Jelaskan Pendahuluan dan definisi dari Modul (matematika)

Dalam ruang vektor, himpunan skalar adalah medan dan bekerja pada vektor dengan perkalian skalar, apabila aksioma tertentu seperti hukum distributif. Dalam modul, skalar digunakan gelanggang, jadi konsep modul mewakilan generalisasi yang signifikan. Dalam aljabar komutatif, ideal dan gelanggang hasil bagi adalah modul, sehingga banyak argumen tentang ideal atau gelanggang hasil bagi yang menggabungkan satu argumen tentang modul. Dalam aljabar non-komutatif, perbedaan antara ideal kiri, ideal, dan modul menjadi lebih jelas, meskipun beberapa kondisi teori gelanggang apabila diekspresikan baik tentang ideal kiri atau modul kiri.

Sebagian besar teori modul terdiri dari perluasan sebanyak mungkin properti ruang vektor yang diinginkan ke ranah modul melalui gelanggang, seperti prinsip ideal. Namun, modul bisa sedikit lebih rumit daripada ruang vektor; misalnya, tidak semua modul memiliki basis, dan bahkan yang memiliki, modul bebas, tidak perlu memiliki peringkat unik jika gelanggang yang mendasarinya tidak memenuhi kondisi bilangan basis invarian, tidak seperti ruang vektor, yang selalu memiliki basis (mungkin tak hingga) yang kardinalitasnya kemudian unik. Dua pernyataan terakhir ini membutuhkan aksioma pilihan secara umum, tetapi tidak dalam kasus ruang berdimensi hingga, atau ruang berdimensi tak hingga tertentu yang berperilaku baik seperti Ruang Lp.