Jabarkan Tipe tindakan dari Tindakan grup (matematika)

Tindakan G pada X disebut:

jika X adalah himpunan kosong dan jika untuk setiap pasangan  x ,  y  pada  X  maka  g  pada  G  dirumuskan . Misalnya, tindakan grup simetris  X  bersifat transitif, tindakan grup linear umum atau grup linear khusus ruang vektor  V  pada  bersifat transitif, tetapi tindakan grup ortogonal dari ruang Euklides  E  tidak transitif pada  (ini transitif pada unit bola dari  E , meskipun).

(atau ) jika untuk setiap dua  g  yang berbeda,  h  pada  G  dengan  x  pada  X  sehingga ; atau setara, jika untuk  pada  G  ada  x  di  X  seperti itu .  Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen  G  yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari  X . Dalam istilah aljabar, grup  G  bertindak tepat pada  X  jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, , memiliki trivial kernel. Jadi, untuk tindakan yang setia,  G  embed ke grup permutasi pafa  X ; khusus,  G  isomorfik untuk citra Sym(X). Jika G tidak bertindakan tepat pada  X , kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan , maka  N  adalah subgrup normal dari  G ; memang, itu adalah inti dari homomorfisme . Grup faktor G/N bertindakan tepat pada  X  dengan menetapkan . tindakan asli G pada X sesuai jika dan hanya jika . Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:

Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris S5, grup ikosahedral, dan grup siklik .himpunan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.

Grup abelian ukuran 2 n  menyertakan grup siklik  serta  (produk langsung dari  n  salinan ), tetapi yang terakhir bertindak dengan sesuai pada himpunan ukuran 2n , sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan sesuai pada himpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.

(atau semiberaturan atau titik tetap bebas) jika, diberikan  g , h dengan G, adanya x di X  dengan  menyiratkan . Setara: jika  g  adalah elemen grup dan terdapat  x  di  X  dengan  (yaitu, jika  g  memiliki setidaknya satu titik tetap), maka  g  adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada himpunan yang tidak kosong adalah tepat.

(atau  atau  transitif tajam ) jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua  x ,  y  dalam  X  tepat ada satu  g  dalam  G  sehingga .  Dalam hal ini,  X  disebut sebagai ruang homogen utama untuk G atau torsi G. tindakan grup G  pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym( G ). Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cayley.

jika  X  memiliki setidaknya  n  elemen, dan untuk semua yang berbeda x1, ..., xn dan berbeda y1, ..., yn, jika  g  pada  G  dirumuskan  untuk .  tindakan 2-transitif juga disebut , tindakan 3-transitif disebut juga  transitif tiga kali, dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: Grup 2-transitif dan lebih umum perkalian grup transitif. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen n  selalu n -transitif; tindakan dari grup selang-seling adalah (n - 2)-transitif.

jika memang ada satu seperti  g .

jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari  X . Lihat grup permutasi primitif untuk detailnya.

Bebas secara lokal  jika G adalah grup topologi, dan ada lingkungan U dari e dalam G sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi U bebas; yaitu jika   untuk beberapa  x  dan beberapa  g  di  U  lalu .

Selanjutnya, jika G bekerja pada ruang topologi  X , maka tindakannya adalah:

Pengembaraan jika setiap titik x pada X memiliki lingkungan U  sehingga  is terhingga. Misalnya, tindakan  pada  oleh translasi mengembara. tindakan grup pengembaraan pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.

Jika  X  adalah ruang kompak lokal dan untuk setiap himpunan bagian kompak K ⊂ X thehimpunan  terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan  pada  given by  wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.

jika  G  adalah grup topologi dan peta dari  adalah layak. Jika  G  adalah diskrit maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan  G .

Dikatakan memiliki  orbit diskrit  jika orbit setiap  x  dalam  X  di bawah tindakan  G  diskrit dalam  X .

tindakan ruang  jika setiap titik  x  di  X  memiliki lingkungan  U  sedemikian rupa sehingga .

Jika X adalahbukan nol modul atas gelanggang R dan tindakan G adalahlinear-R maka dikatakan

Taktereduksikan jika tidak ada submodul invarian wajar taknol.