Jabarkan Struktur semigrup dari Semigrup

Untuk setiap himpunan bagian A dari S ada himpunan bagian terkecil T dari S yang digunakan A, dan A menghasilkan T. Sebuah elemen x dari S menghasilkan sub-grup { xn  n ∈ Z+ }. Maka x dikatakan dari urutan hingga atau urutan tak hingga.

Semigrup dikatakan periodik jika semua elemennya berurutan.

Semigrup yang dihasilkan oleh satu elemen disebut sebagai monogenik (atau siklik). Jika semigrup monogenik tak hingga maka isomorfik ke semigrup positif bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.

Jika hingga dan tidak kosong, maka  setidaknya satu idempoten.

Oleh karena itu, setiap semigrup periodik tidak kosong memiliki setidaknya satu idempoten.

Sebuah subgrup yang merupakan grup disebut subgrup. Ada relasi antara subgrup dari sebuah semigrup dan idempoten. Setiap subgrup tepat satu idempoten, yaitu elemen identitas subgrup. Untuk setiap idempoten e dari semigrup dengan subgrup maksimal unik yang berisi e. Setiap subgrup muncul dengan cara tersebut, jadi, jika terdapat korespondensi satu-ke-satu antara idempotensi dan subkelompok maksimal. Di sini istilah subgrup maksimal berbeda dari penggunaan standarnya dalam teori grup.

Lebih dikatakan ketika order hingga. Misalnya, setiap semigroup terbatas tidak kosong adalah periodik, dan memiliki minimal ideal dan setidaknya satu idempoten. Jumlah semigrup hingga ukuran tertentu (lebih dari 1) (jelas) lebih besar dari jumlah grup dengan ukuran yang sama. Misalnya, dari enam belas kemungkinan "tabel perkalian" untuk satu himpunan dua elemen  delapan bentuk semigrup sedangkan hanya empat di antaranya adalah monoid dan hanya dua grup bentuk. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang struktur semigroup hingga, lihat pula Teori Krohn–Rhodes.

Metode semigrup dalam persamaan diferensial parsial

Teori semigrup dapat digunakan untuk mempelajari beberapa masalah di bidang persamaan diferensial parsial. Secara khusus, pendekatan semigrup adalah menganggap persamaan diferensial parsial dependen-waktu sebagai persamaan diferensial biasa pada ruang fungsi  Misalnya, pertimbangkan masalah nilai awal / batas berikut untuk persamaan panas pada spasial interval  dan :

Maka  menjadi ruang-Lp dari fungsi bilangan riil diintegrasikan sebagai persegi dengan domain interval  dan misalkan A menjadi operator turunan kedua dengan domain

dengan H2 adalah ruang Sobolev. Maka masalah nilai awal / batas di atas dapat diartikan sebagai masalah nilai awal untuk persamaan diferensial biasa pada ruang X:

Pada tingkat heuristik, solusi untuk masalah ini "seharusnya" ada .  Namun, untuk perlakuan yang ketat, makna harus diberikan pada eksponensial dari tA. Sebagai fungsi dari t, exp(tA) adalah semigrup operator dari X ke dirinya sendiri, mengambil u0 pada menit  ke bagian  pada waktu t. Operator A dikatakan sebagai infinitesimal generator dari semigrup.