Tolong jelaskan mengenai Sifat dasar dari Subgrup karakteristik

Jika , setiap automorfisme  menginduksi automorfisme grup hasil bagi , yang menghasilkan homomorfisme .

Jika  memiliki subgrup unik  dari indeks tertentu, maka  adalah karakteristik dalam .

Sebuah subgrup dari  yang invarian di bawah semua automorphisms dalam disebut  normal; juga, subkelompok invarian.

Maka  dan subkelompok karakteristik tidak berubah di bawah semua automorfisme, setiap subkelompok karakteristik adalah normal. Namun, tidak setiap subkelompok normal memiliki karakteristik.  Berikut beberapa contohnya:

Misalkan  menjadi grup nontrivial, dan biarkan  menjadi  produk langsung, .  Kemudian subgrup,  dan , keduanya normal, tetapi tidak ada karakteristiknya. Secara khusus, tak satu pun dari subgrup ini yang invarian di bawah automorfisme, , yang mengubah dua faktor.

Untuk contoh konkretnya, misalkan  menjadi Klein empat grup (yaitu  isomorfis ke hasil kali langsung, ).  Karena grup ini adalah  abelian, setiap sub grup adalah normal; tapi setiap permutasi dari 3 elemen non-identitas merupakan automorfisme dari , jadi 3 subgrup dari orde 2 bukan karakteristik. Jadi . Consider  dan pertimbangkan automorfisme, ; maka  tidak terkandung dalam .

Dalam grup hasil bagi dari orde 8, masing-masing subgrup siklik dari orde 4 adalah normal, tetapi tidak satupun dari ini adalah karakteristik.  Namun, subgrup, , merupakan karakteristik, karena merupakan satu-satunya subgrup dari orde 2.

Jika  genap, grup dihedral berurutan  memiliki 3 subgrup  index 2, yang semuanya normal. Salah satunya adalah subkelompok siklik, yang merupakan karakteristik. Dua subkelompok lainnya adalah dihedral; ini diizinkan oleh  automorfisme luar dari grup induk, dan oleh karena itu bukan karakteristik.

Subgrup dengan karakteristik yang ketat

, atau , yang invarian di bawah surjektif endomorfisme. Untuk grup hingga, dugaan endomorfisme menyiratkan injektifitas, jadi endomorfisme dugaan adalah automorfisme; sehingga menjadi  karakteristik ketat  setara dengan  karakteristik . Ini tidak berlaku lagi untuk grup yang tidak terbatas.