Jabarkan Bentuk matematis dari Persamaan medan Einstein

Persamaan medan Einstein bisa ditulis dalam bentuk:

di mana  adalah tensor lengkungan Ricci,  adalah lengkungan skalar,  adalah tensor metrik,  adalah konstanta kosmologis,  adalah konstanta gravitasi Newton,  adalah laju cahaya dalam ruang hampa, dan  adalah tensor tegangan–energi.

Persamaan EFE merupakan sebuah persamaan tensor yang menghubungkan sehimpunan tensor 4 × 4 yang simetris. Masing-masing tensor memiliki 10 komponen saling lepas. Keempat identitas Bianchi mengurangi banyak persamaan saling lepas dari 10 menjadi 6, memberikan metrik empat derajat kebebasan yang menentukan gauge, yang bersesuaian dengan kebebasan memilih sistem koordinat.

Meskipun persamaan medan Einstein awalnya dirumuskan dalam konteks teori empat dimensi, beberapa teoretikus telah mencoba mencari tahu konsekuensi persamaan tersebut dalam  dimensi. Persamaan tersebut dalam konteks di luar relativitas umum tetap disebut sebagai persamaan medan Einstein. Persamaan medan vakum (didapatkan ketika  identik dengan nol) mendefinisikan manifol Einstein.

Meskipun persamaannya tampak sederhana, persamaan ini sebenarnya cukup rumit. Jika diberikan distribusi materi dan energi dalam bentuk tensor tegangan–energi, maka persamaan EFE akan menjadi persamaan untuk tensor metrik , karena tensor Ricci dan lengkungan skalar bergantung pada metrik tersebut dalam cara nonlinear yang rumit. Bahkan, jika dituliskan sepenuhnya, persamaan EFE merupakan sebuah sistem sepuluh persamaan diferensial parsial bertautan, nonlinear dan hiperbolik-eliptis.

Persamaan EFE bisa ditulis dalam bentuk yang lebih pendek dengan mendefinisikan tensor Einstein

yang merupakan sebuah tensor simetris rank dua yang merupakan fungsi dari metrik. Setelah itu, persamaan EFE bisa ditulis

Dalam satuan standar, masing-masing suku di sisi kiri memiliki satuan 1/panjang2. Jika konstanta Einstein dipilih sebagai 8πG/c4, maka tensor tegangan–energi di sisi kanan persamaan harus ditulis dengan setiap komponennya bersatuan kerapatan energi (energi per volume).

Jika menggunakan satuan tergeometrisasi di mana , ini bisa ditulis ulang sebagai

Ekspresi di sisi kiri melambangkan kelengkungan ruang waktu sebagaimana ditentukan oleh metrik; ekspresi di sisi kanan melambangkan isi materi/energi dari ruang waktu. Persamaan EFE bisa ditafsirkan sebagai sehimpunan persamaan yang mengatur bagaimana materi/energi memengaruhi kelengkungan ruang waktu.

Persamaan ini, bersama dengan persamaan geodesik, yang mengatur bagaimana materi yang jatuh bebas bergerak melalui ruang waktu, membentuk inti dari perumusan matematis relativitas umum.