Jabarkan . dari Persamaan Diophantus

Sebagai polinomial homogen di  indeterminates mendefinisikan hiperpermukaan dalam ruang proyektif dimensi , memecahkan persamaan Diophantus homogen sama dengan mencari titik rasional dari hiperpermukaan proyektif.

Memecahkan persamaan Diophantus yang homogen umumnya merupakan masalah yang sangat sulit, bahkan dalam kasus taktrivial yang paling sederhana dari tiga faktor tak tentu (dalam kasus dua tak tentu, masalahnya setara dengan pengujian jika bilangan rasional adalah pangkat  dari bilangan rasional lain). Saksi dari kesulitan soal adalah Teorema Terakhir Fermat (untuk , tidak ada penyelesaian integer dari persamaan di atas), yang membutuhkan lebih dari tiga abad upaya matematikawan untuk memecahkannya.

Untuk derajat yang lebih tinggi dari tiga, hasil yang paling dikenal adalah teorema yang menyatakan bahwa tidak ada penyelesaian (misalnya Teorema terakhir Fermat) atau bahwa jumlah penyelesaiannya terbatas (misalnya Teorema Falting).

Untuk tingkat tiga, ada metode penyelesaian umum, yang bekerja pada hampir semua persamaan yang ditemui dalam praktik, tetapi tidak ada algoritme diketahui yang berfungsi untuk setiap persamaan kubik.