Jabarkan Korespondensi diberikan oleh dari Himpunan Mandelbrot

Faktanya, ini memberikan korespondensi antara seluruh ruang parameter dari keluarga logistik dan yang ada di himpunan Mandelbrot.

Douady dan Hubbard telah menunjukkan bahwa set Mandelbrot adalah terhubung. Faktanya, mereka membangun sebuah isomorfisma konformal antara komplemen himpunan Mandelbrot dan komplemen disk unit tertutup. Mandelbrot awalnya menduga bahwa set Mandelbrot adalah terputus. Dugaan ini didasarkan pada gambar komputer yang dihasilkan oleh program yang tidak dapat mendeteksi filamen tipis yang menghubungkan berbagai bagian . Setelah percobaan lebih lanjut, dia merevisi dugaannya, memutuskan itu  harus terhubung. Ada juga bukti topologi untuk keterhubungan yang ditemukan pada tahun 2001 oleh Jeremy Kahn.

Rumus dinamis untuk penyeragaman dari pelengkap himpunan Mandelbrot, yang muncul dari bukti Douady dan Hubbard tentang keterkaitan , memunculkan sinar eksternal dari himpunan Mandelbrot. Sinar ini dapat digunakan untuk mempelajari himpunan Mandelbrot dalam istilah kombinatorial dan membentuk tulang punggung Jean-Christophe Yoccoz#pekerjaan Matematika.

batas dari himpunan Mandelbrot persis lokus percabangan dari keluarga kuadrat; yaitu, kumpulan parameter  di mana dinamika berubah secara tiba-tiba di bawah perubahan kecil  Itu dapat dibangun sebagai himpunan batas dari urutan bidang kurva aljabar, yang kurva Mandelbrot, dari tipe umum yang dikenal sebagai lemniskat polinomial. Kurva Mandelbrot ditentukan oleh pengaturan p0 = z, pn+1 = pn2 + z, dan kemudian menafsirkan kumpulan poin  = 2 dalam bidang kompleks sebagai kurva dalam bidang Cartesian derajat 2n+1 in x and y. Kurva aljabar ini muncul dalam gambar set Mandelbrot yang dihitung menggunakan "algoritme waktu melarikan diri" yang disebutkan di bawah.