Jabarkan Struktur simplektis ganjil dari Supermanifold

Dalam berbagai penerapan fisika dan geometri, supermanifold dilengkapi dengan struktur simplektis ganjil Grassmann. Semua objek geometris di supermanifold bertingkat. Secara khusus, bundel dari dua bentuk dilengkapi dengan penilaian. Sebuah bentuk simplektis ganjil  di supermanifold tertutup, bentuk ganjil, menginduksikan pasangan nondegenerasi pada . Seperti supermanifold yang disebut manifold-P. Dimensi bertingkatnya diperlukan , karena bentuk simplektis ganjil menginduksikan sebuah pasangan dari variabel ganjil dan genap. Ada versi dari teorema Darboux untuk manifold-P, yang memperkenankan salah satunya untuk melengkapi manifold-P secara lokal dengan sebuah kumpulan dari koordinat-koordinat dimana bentuk simplektis ganjil  ditulis sebagai

dimana  adalah koordinat-koordinat genap, dan  adalah koordinat-koordinat ganjil. (Sebuah bentuk simplektis ganjil jangan bingung dengan sebuah bentuk simplektis genap Grassmann pada sebuah supermanifold. Sebaliknya, versi Darboux dari sebuah bentuk simplektis genap adalah

dimana  adalah koordinat-koordinat genap,  adalah koordinat-koordinat ganjil dan  adalah  atau .)