Tolong jelaskan mengenai , dari Grup berpenyelesaian

di mana setiap subgrup adalah subgrup komutator dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari . Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup  dan setiap subgrup normal  dari , hasil bagi  adalah grup Abel jika dan hanya jika  termasuk subgrup komutator dari . Nilai  terkecil sehingga  disebut panjang jabaran dari grup berpenyelesaian .

Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan deret komposisi yang semua faktornya adalah grup siklik dari urutan bilangan prima. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel sederhana adalah siklik orde utama. Teorema Jordan–Hölder menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk grup Galois dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar  (radikal) di beberapa  medan. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup  dari bilangan bulat di bawah penambahan adalah  isomorfis pada , tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal , dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga , membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.