Jelaskan Sifat dari Kelas konjugasi

Elemen identitas selalu merupakan satu-satunya elemen di kelasnya, yaitu

Jika  adalah  abelian, maka  untuk  dan  pada ; begitu  untuk  pada .

Jika dua elemen  dan  dari  termasuk dalam kelas konjugasi yang sama (yaitu, jika keduanya konjugasi), maka mereka memiliki  urutan yang sama. Secara lebih umum, setiap pernyataan tentang  dapat diterjemahkan menjadi pernyataan tentang , karena peta  adalah  automorfisme dari . Lihat sifat berikutnya sebagai contoh.

Jika  dan  terkonjugasi, begitu juga kekuatan  dan . (Proof: if , kemudian .) Jadi, mengambil kekuatan  memberikan peta pada kelas konjugasi, dan seseorang dapat mempertimbangkan kelas konjugasi mana yang ada di preimage nya. Misalnya, dalam grup simetris, kuadrat dari elemen tipe (3)(2) (3-siklus dan 2-siklus) adalah elemen tipe (3), oleh karena itu salah satu kelas power-up dari (3) adalah kelas (3)(2) (di mana  adalah kelas power-up dari ).

Sebuah elemen  dari  terletak di  pusat  dari  jika dan hanya jika kelas konjugasinya hanya memiliki satu elemen,  itu sendiri. Secara lebih umum, jika  menunjukkan  centralizer  dari  pada , yaitu subgrup yang terdiri dari semua elemen  seperti itu , lalu  indeks  sama dengan jumlah elemen dalam kelas konjugasi  (menurut teorema penstabil orbit).

Take  and let  menjadi bilangan bulat berbeda yang muncul sebagai panjang siklus dalam jenis siklus  (including 1-cycles). Maka  menjadi jumlah siklus panjang  in  untuk  (seperti ). Kemudian jumlah konjugasi  adalah: