Jelaskan Definisi formal dari Elemen invers

Maka  menjadi himpunan tertutup di bawah operasi biner  (yaitu, magma). Jika  adalah elemen identitas dari  (yaitu, S adalah magma unital) dan , lalu  disebut inversi kiri dari  dan  disebut invers kanan dari . Jika sebuah elemen  merupakan invers kiri dan invers kanan , maka  disebut dua sisi invers, atau hanya sebuah invers, dari . Elemen dengan inversi dua sisi di  disebut invertibel pada . Sebuah elemen dengan elemen invers hanya di satu sisi adalah invers kiri atau invers kanan. Magma unital di mana semua elemen dapat dibalik disebut putaran. Sebuah loop yang operasi binernya memenuhi hukum asosiatif adalah grup.

Seperti  dapat memiliki beberapa identitas kiri atau beberapa identitas kanan, hal ini dimungkinkan untuk elemen memiliki beberapa invers kiri atau beberapa invers kanan (tetapi perhatikan bahwa definisi mereka di atas menggunakan identitas dua sisi ). Ia bahkan dapat memiliki beberapa inversi kiri dan beberapa invers kanan.

Jika operasi  adalah asosiatif maka jika sebuah elemen memiliki invers kiri dan invers kanan, keduanya sama. Dengan kata lain, dalam monoid (magma unital asosiatif) setiap elemen memiliki paling banyak satu invers (seperti yang didefinisikan di bagian ini). Dalam monoid, himpunan elemen pembalik (kiri dan kanan) adalah grup, yang disebut satuan grup dari , dan dilambangkan dengan  atau H1.

Sebuah elemen pembalik kiri adalah kiri, pembatalan, dan analog untuk kanan dan dua sisi.