Jabarkan Subgrup dari Grup siklik

Semua subgrup dan grup hasil bagi dari grup siklik adalah siklik. Secara khusus, semua subgrup Z berbentuk ⟨m⟩ = mZ, dengan  m  bilangan bulat positif. Semua subgrup ini berbeda satu sama lain, dan terpisah dari grup trivial {0} = 0Z, mereka semua isomorfik sampai Z. Kisi subgrup dari Z isomorfik dengan  ganda dari kisi bilangan asli yang diurutkan oleh terbagi. Jadi, karena bilangan prima  p  tidak memiliki pembagi nontrivial, pZ adalah subgrup yang tepat maksimal, dan grup hasil bagi Z/pZ adalah  sederhana; sebenarnya, sebuah gugus siklik adalah sederhana jika dan hanya jika urutannya adalah bilangan prima.

Semua grup hasil bagi Z/nZ terbatas, dengan pengecualian  Untuk setiap pembagi positif  d  dari  n , grup hasil bagi Z/nZ memiliki tepat satu subgrup orde  d , yang dihasilkan oleh  kelas residu dari  n / d . Tidak ada subgrup lain.