Jelaskan Sejarah dari Definisi limit (ε, δ)

Meskipun orang Yunani memeriksa proses pembatasan, seperti metode Babilonia, mereka mungkin tidak memiliki konsep yang mirip dengan modern limit. Ketentuan konsep limit muncul pada tahun 1600-an, ketika Pierre de Fermat berusaha menemukan kelerengan dari garis tangen pada suatu titik  dari fungsi seperti . Menggunakan kuantitas taknol tetapi hampir nol, , Fermat melakukan perhitungan berikut:

Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak  taknol, salah satunya dapat membagi  dari , tapi ketika  dekat dengan ,  pada dasarnya adalah . Kuantitas seperti  disebut infinitesimal. Masalah dengan perhitungan ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat , meskipun itu adalah praktik umum untuk 'mengabaikan' infinitesimal pangkat yang lebih tinggi dan ini tampaknya membuahkan hasil yang benar.

Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600an di pusat perkembangan kalkulus, karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan turunan. Isaac Newton kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut fluks. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..." Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern  definisi limit. Selain itu, Newton menyadari bahwa limit rasio kuantitas lenyap adalah bukan rasio itu sendiri, saat ia menulis:

Rasio terakhirnya ... sebenarnya  bukan rasio kauntitas terakhirnya, tetapi limit ... yang mana ini dapat didekatkan lebih dekat bahwa perbedaannya lebih kecil dari suatu kuantitas yang diberikan...

Sebagai tambahan, Newton terkadang menjelaskan limit dalam istilah yang serupa dengan definisi epsilon–delta. Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan sebuah infinitesimal oleh dirinya dan mencoba untuk memberikannya dengan sebuah dasar yang setepat-tepatnya, tetapi ini tetap disambut dengan gelisah oleh beberapa matematikawan dan para filsafat.

Augustin-Louis Cauchy memberikan sebuah definisi limit dalam hal gagasan lebih primitif yang disebut sebuah kuantitas variabel. Dia tidak pernah memberikan epsilon–delta definisi limit (Grabiner 1981). Beberapa bukti Cauchy berisi indikasi metode epsilon–delta. Whether or not his foundational approach can be considered a harbinger of Weierstrass's is a subject of scholarly dispute. Grabiner feels that it is, while Schubring (2005) disagrees. Nakane concludes that Cauchy and Weierstrass gave the same name to different notions of limit.

Eventually, Weierstrass and Bolzano are credited with providing a rigorous footing for calculus, in the form of the modern  definition of the limit. The need for reference to an infinitesimal  was then removed, and Fermat's computation turned into the computation of the following limit:

This is not to say that the limiting definition was free of problems as, although it removed the need for infinitesimals, it did require the construction of the real numbers by Richard Dedekind. This is also not to say that infinitesimals have no place in modern mathematics, as later mathematicians were able to rigorously create infinitesimal quantities as part of the hyperreal number or surreal number systems. Moreover, it is possible to rigorously develop calculus with these quantities and they have other mathematical uses.