Tolong jelaskan mengenai Persamaan fungsional Cauchy

Persamaan fungsional Cauchy adalah persamaan fungsional dari kebebasan linear:

Solusi untuk ini disebut fungsi aditif. Melalui bilangan rasional, dapat ditunjukkan menggunakan aljabar dasar bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu  untuk setiap konstanta rasional . Selama bilangan riil, , sekarang dengan  konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; namun ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif  linier jika:

adalah kontinu (dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821). Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh Darboux yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik.

adalah monotonik pada interval apa pun.

adalah dibatasi pada interval apa pun.