Jabarkan Teori bilangan aditif dari Teori bilangan analitik

Salah satu masalah terpenting dalam teori bilangan aditif adalah masalah Waring. Masalah ini menanyakan dapatkah bilangan bulat positif ditulis sebagai jumlah dari bilangan terbatas yang dipangkat dengan

untuk . Kasus untuk bilangan yang dikuadratkan, yaitu , dijawab Lagrange pada tahun 1770, yang membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif merupakan jumlah dari paling banyak empat bilangan kuadrat. Kasus umum dibuktikan Hilbert pada tahun 1909 dengan menggunakan teknik aljabar yang tidak memberikan batasan eksplisit. Penemuan penting lainnya adalah sebuah teknik analitik untuk menyelesaikan masalah Waring, yaitu metode lingkaran Hardy dan Littlewood. Dengan memberikan batas atas eksplisit untuk fungsi , maka jumlah terkecil yang dipangkat  diperlukan, contohnya seperti batas Vinogradov