Jabarkan Struktur grup dari Grup dihedral

Seperti pada objek geometris lainnya, komposisi dari dua kesimetrian poligon beraturan juga merupakan simetri dari objek ini. Dengan komposisi kesimetrian untuk menghasilkan kesimetrian lain sebagai operasi biner, hal ini memberikan kesimetrian poligon struktur aljabar dari grup berhingga.

Tabel Cayley berikut ini menunjukkan efek komposisi dalam grup D3 (kesimetrian sebuah segitiga sama sisi). r 0  menunjukkan identitas; r1 dan r 2  menunjukkan rotasi berlawanan arah jarum jam masing-masing sebesar 120° dan 240°, dan s 0 , s 1  dan s<sub> 2 </ sub > menunjukkan pantulan melintasi tiga garis yang ditunjukkan pada pi yang berdekatan

Sebagai contoh, , karena refleksi s 1  diikuti oleh refleksi s 2  menghasilkan rotasi 120°. Urutan elemen yang menunjukkan komposisi adalah dari kanan ke kiri, yang mencerminkan konvensi bahwa elemen tersebut bekerja pada ekspresi di sebelah kanannya. Operasi komposisi bukanlah komutatif.

Secara umum, grup Dn memiliki elemen r 0 , ..., rn−1 dan s0, ..., sn−1, dengan komposisi yang diberikan oleh rumus berikut:

Dalam semua kasus, penambahan dan pengurangan subskrip harus dilakukan dengan menggunakan aritmetika modular dengan modulus  n .