Jelaskan Bukti topologi dari Teorema dasar aljabar

Misalkan nilai minimal  di seluruh bidang kompleks dicapai saat ; eksistensi nilai minimal ini terlihat pada bukti yang menggunakan teorema Liouville. Fungsi   dapat dituliskan sebagai polinomial dengan variabel : ada suatu bilangan asli  dan bilangan-bilangan kompleks  dengan  dan:

Jika  tidak sama dengan nol, maka apabila  adalah akar pangkat  dari  dan jika  adalah konstanta positif yang cukup kecil, maka . Hal ini tidak mungkin, karena  adalah minimum dari  pada .

Bukti topologi lain menggunakan kontradiksi. Misalkan polinomial  tidak memiliki akar sehingga tidak pernah bernilai . Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan polinomial  adalah polinomial monik. Pandang polinomial  sebagai pemetaan dari bidang kompleks ke bidang kompleks. Pemetaan ini memetakan lingkaran  ke suatu gelung tertutup (closed loop), kurva . Pada argumen ini, tinjau bilangan lilit (winding number) dari kurva  pada dua kondisi ekstrem, yaitu saat  sangatlah besar dan . Untuk nilai  yang cukup besar, suku utama  mendominasi jumlahan suku-suku polinomial lainnya. Dengan kata lain, . Apabila  mengitari lingkaran  sekali berlawanan arah jarum jam   maka  mengitari titik pusat  kali secara berlawanan arah jarum jam , dan begitu pula . Maka, bilangan lilit dari  adalah . Pada kondisi ekstrem lain, apabila , kurva  hanyalah titik , yang tidak sama dengan nol, karena  tidak pernah nol. Oleh karena itu, bilangan lilit  haruslah . Sekarang apabila nilai  diubah secara kontinu dari  yang sangat besar ke , ini akan mendeformasi kurva gelung tertutup  secara kontinu. Dengan demikian, bilangan lilit dari kurva gelung tertutup  haruslah berubah. Namun, ini hanya mungkin terjadi, apabila  melalui titik asal  untuk suatu , yang mengimplikasikan ada  pada lingkaran itu yang membuat . Ini menunjukkan bahwa  memiliki setidaknya satu akar.