Jabarkan Keterangan lebih lanjut dari Invers perkalian

Jika perkaliannya asosiatif, elemen  x  dengan pembalikan perkalian tidak bisa menjadi pembagi nol ( x  adalah pembagi nol jika beberapa bukan nol y, ). Untuk melihat ini, cukup dengan mengalikan persamaan  dengan kebalikan dari  x  (di sebelah kiri), lalu sederhanakan menggunakan asosiatif. Dengan tidak adanya asosiativitas, sedenion memberikan contoh yang berlawanan.

Kebalikannya tidak berlaku: elemen yang bukan pembagi nol tidak dijamin memiliki pembalikan perkalian.

Dalam Z, semua bilangan bulat kecuali −1, 0, 1 memberikan contoh; mereka bukan pembagi nol dan juga tidak memiliki invers Z.

Jika gelanggang atau aljabar adalah terbatas, maka semua elemen  a  yang bukan pembagi nol memiliki invers (kiri dan kanan). Sebab, amati dulu peta itu  maka injektif:  berarti :

Elemen yang berbeda dipetakan ke elemen yang berbeda, sehingga gambar terdiri dari elemen dengan jumlah terbatas yang sama, dan peta harus subjektif. Secara khusus, ƒ (yaitu perkalian dengan a) harus memetakan beberapa elemen  x  ke 1, , jadi  x  adalah kebalikan dari  a .