Jelaskan Abelianisasi dari Subgrup komutator

Diberikan grup , sebuah grup hasil bagi  adalah abelian jika dan hanya jika .

Hasil bagi  adalah grup abelian yang disebut  'abelianization'  dari  atau  dibuat abelian. Biasanya dilambangkan dengan  atau .

Ada interpretasi kategoris yang berguna dari peta .  Yaitu  bersifat universal untuk homomorfisme dari  ke grup abelian : untuk setiap grup abelian  dan homomorfisme grup  ada homomorfisme unik  such that .  Seperti biasa untuk objek yang ditentukan oleh properti pemetaan universal, ini menunjukkan keunikan abelianisasi  hingga isomorfisme kanonik, sedangkan konstruksi eksplisit  menunjukkan keberadaan.

Functor abelianisasi adalah luar adjoint dari fungsi inklusi dari kategori grup abelian ke kategori grup. Adanya fungsi abelianization Grp → Ab membuat kategori Ab menjadi subkategori reflektif dari kategori grup, yang didefinisikan sebagai subkategori lengkap yang fungsi penyertaannya memiliki adjoint kiri.

Interpretasi penting lainnya dari  adalah , grup homologi pertama dari  dengan koefisien integral.