Jabarkan Kesetaraan dan rasionalitas birasional dari Geometri birasional

Variasi X dikatakan rasional jika birasional untuk menyatakan ruang (atau ekuivalen, ke ruang proyektif) dari beberapa dimensi. Rasionalitas adalah sifat yang sangat alami: itu berarti bahwa  X  dikurangi beberapa subset dimensi lebih rendah dapat diidentifikasi dengan ruang affine dikurangi beberapa subset dimensi lebih rendah.

Kesetaraan birasional dari kerucut bidang

Misalnya lingkaran  dengan persamaan  di bidang affine adalah kurva rasional, karena ada peta rasional f:  ⇢ X diberikan oleh

yang memiliki rasional invers g: X ⇢  maka oleh karena itu

Menerapkan peta  f  dengan  t  a bilangan rasional memberikan konstruksi sistematis Triple Pythagoras.

Peta rasional  tidak ditentukan pada lokus di mana . Jadi, pada garis affine yang kompleks ,  adalah morfisme pada subset terbuka , . Begitu pula dengan peta rasional g: X ⇢  tidak didefinisikan pada saat itu  in .

Kesetaraan birasional dari kuadrat halus dan Pn

Secara umum, kuadris (derajat 2) permukaan hiper yang halus  X  dari setiap dimensi  n  adalah rasional, dengan proyeksi stereografik. (Untuk  X  sebuah kuadrik di atas bidang  k ,  X  harus diasumsikan memiliki k-titik rasional; ini otomatis jika  k  ditutup secara aljabar.) Untuk menentukan proyeksi stereografik, misalkan  p  menjadi titik di X. Kemudian peta birasional dari  X  ke ruang proyektif  garis melalui  p  diberikan dengan mengirimkan titik  q  dalam  X  ke garis melalui  p  dan  q . Ini adalah kesetaraan birasional tetapi bukan isomorfisme varietas, karena gagal didefinisikan di mana  q  =  p  (dan peta terbalik gagal didefinisikan pada garis-garis itu melalui  p  yang merupakan X).