Jelaskan Untuk , misalkan dari Teorema bilangan prima

yang holomorfik pada garis . Konvergensi dari integral  dibuktikan dengan menunjukkan bahwa . Ini melibatkan perubahan urutan limit karena itu dapat ditulis sebagai

dan karena itu digolongkan sebagai teorema Tauberian.

Selisih  diekspresikan dengan menggunakan rumus integral Cauchy dan kemudian taksirannya diterapkan ke integral. Tetapkan  dan , seperti  holomorfik dalam daerah dimana  dan  dan misalkan  menjadi batasnya. Karena  ada di bagian dalam, rumus integral Cauchy memberikan