Jelaskan Asosiatif:   . dari Aljabar universal

Elemen identitas:    ; secara resmi: ∀x. e∗x=x=x∗e.

Elemen invers:       secara resmi: ∀x. x∗~x=e=~x∗x.

Untuk meringkas, definisi biasa memiliki:

operasi biner tunggal (tanda tangan (2))

2 hukum terukur (identitas dan invers)

sedangkan definisi aljabar universal memiliki:

3 operasi: satu biner, satu unary, dan satu nullary (tanda tangan (2,1,0))

3 hukum persamaan (asosiativitas, identitas, dan kebalikan)

tidak ada hukum terukur (kecuali bilangan universal terluar, yang diperbolehkan dalam varietas)

Poin utamanya adalah bahwa operasi tambahan tidak menambahkan informasi, tetapi mengikuti secara unik dari definisi grup yang biasa. Meskipun definisi biasa tidak secara unik menentukan elemen identitas  e , latihan mudah menunjukkannya unik, seperti halnya masing-masing elemen invers.

Sudut pandang aljabar universal disesuaikan dengan baik dengan teori kategori. Misalnya, ketika mendefinisikan objek grup dalam teori kategori, di mana objek yang dimaksud mungkin bukan himpunan, seseorang harus menggunakan hukum persamaan (yang masuk akal dalam kategori umum), daripada hukum terkuantifikasi (yang mengacu pada elemen individu). Selanjutnya, kebalikan dan identitas ditentukan sebagai morfisme dalam kategori. Misalnya, dalam sebuah grup topologi, invers tidak hanya harus ada berdasarkan elemen, tetapi harus memberikan pemetaan berkelanjutan (morfisme). Beberapa penulis juga mensyaratkan peta identitas menjadi inklusi tertutup (kofibrasi).