Jabarkan Sejarah dari Fungsi Lambert W

Lambert pertama kali mempertimbangkan Persamaan Transendental Lambert terkait pada 1758, yang mengarah ke artikel oleh Leonhard Euler pada tahun 1783 yang membahas kasus khusus .

Fungsi yang dianggap Lambert adalah

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya . Mengambil batasan dia menurunkan persamaan

Dia kemudian meletakkan  dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan  x  dalam suku-suku  c .

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan  dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert  memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik model fungsi delta sumur Dirac untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer Maple melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di kinetika Michael–Menten.

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert  tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.

Sifat dasar, cabang dan jangkauan

Ada banyak sekali cabang dari fungsi , dilambangkan dengan , untuk bilangan bulat ;  menjadi cabang utama (atau kepala sekolah).   didefinisikan untuk semua bilangan kompleks  z  sementara  dengan  didefinisikan untuk semua bukan nol  z . Kita punya   dan   untuk semua .

Titik cabang untuk cabang utama ada di , dengan potongan cabang yang meluas ke  sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang  dan .  Di semua cabang  dengan , ada titik bercabang di  dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi  semuanya injektif dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai  adalah bidang kompleks.  Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan kuadratrik dari Hippias, kurva parametrik .