Jabarkan Sistem aksioma dari Geometri afin

Beberapa pendekatan aksiomatik untuk geometri affine telah dikemukakan:

Karena geometri affine berhubungan dengan garis-garis paralel, salah satu properti paralel yang dicatat oleh Pappus of Alexandria telah diambil sebagai premis:<ref>Coxeter 1955, `` Bidang Affine , § 2: Geometri Affine sebagai sistem independen</ref>

Bial   berada di satu baris dan  di tempat lain, lalu

Sistem aksioma lengkap yang diusulkan memiliki  titik ,  garis , dan  garis yang mengandung titik  sebagai gagasan primitif:

Dua titik terkandung hanya dalam satu baris.

Untuk setiap baris  l  dan sembarang titik  P , bukan pada  l , hanya ada satu baris yang berisi  P  dan tidak berisi titik  l . Baris ini dikatakan  sejajar  dengan  l .

Setiap baris mengandung setidaknya dua titik.

Setidaknya ada tiga titik yang tidak termasuk dalam satu baris.

Menurut H. S. M. Coxeter:

Kepentingan lima aksioma ini diperkuat oleh fakta bahwa mereka dapat dikembangkan menjadi proposisi yang sangat luas, memegang tidak hanya dalam geometri Euklides tetapi juga dalam geometri Minkowski waktu dan ruang (dalam kasus sederhana dimensi 1 + 1, sedangkan teori relativitas khusus diperlukan. Perluasan baik ke geometri Euclidean atau Minkowskian dicapai dengan menambahkan berbagai aksioma ortogonalitas lebih lanjut, dll.

Berbagai jenis geometri affine sesuai dengan interpretasi apa yang diambil untuk  rotasi . Geometri euklides berhubungan dengan ide biasa tentang rotasi, sedangkan geometri Minkowski sesuai dengan rotasi hiperbolik. Sehubungan dengan garis tegak lurus, garis tersebut tetap tegak lurus saat bidang mengalami rotasi biasa. Dalam geometri Minkowski, garis yang hiperbolik-ortogonal tetap berada dalam relasi tersebut saat bidang mengalami rotasi hiperbolik.