Jabarkan Aksiomatisasi setara dari Aksioma Peano

Ada banyak aksiomatisasi aritmetika Peano yang berbeda, tetapi setara. Sementara beberapa aksioma, seperti yang baru saja dijelaskan, menggunakan tanda tangan yang hanya memiliki simbol untuk 0 dan operasi penerus, penjumlahan, dan perkalian, aksiomatisasi lain menggunakan bahasa semiring terurut, termasuk simbol hubungan ketertiban tambahan. Salah satu aksiomatisasi tersebut dimulai dengan aksioma-aksioma berikut yang menggambarkan semiring terurut diskrit.

, yaitu, penambahan adalah asosiatif.

, yaitu, penambahan adalah komutatif.

, yaitu, perkaliannya adalah asosiatif.

, yaitu, perkalian bersifat komutatif.

, yaitu, perkalian mendistribusikan atas penambahan.

, yaitu, nol adalah identitas untuk penambahan, dan elemen penyerap untuk perkalian (sebenarnya berlebihan).

, yaitu, satu adalah identitas untuk perkalian.

, yaitu, operator '' adalah transitif.

, yaitu, operator '' adalah tidak refleksif.