Jabarkan Teorema Feit–Thompson dari Grup hingga

Teorema Feit–Thompson, atau teorema urutan ganjil, menyatakan bahwa setiap terbatas gruo ganjil urutan adalah dapat diselesaikan.

Klasifikasi grup sederhana hingga adalah teorema yang menyatakan bahwa setiap grup sederhana hingga milik salah satu keluarga berikut:

Grup siklik dengan orde utama;

Grup alternatif dengan gelar minimal 5;

Salah satu dari 26 grup sederhana sporadis;

Grup Tits (terkadang dianggap sebagai grup sporadis ke-27).

Grup sederhana hingga dapat dilihat sebagai blok bangunan dasar dari semua grup hingga, dengan cara yang mengingatkan pada cara bilangan prima s adalah blok bangunan dasar dari bilangan asli.  Teorema Jordan–Hölder adalah cara yang lebih tepat untuk menyatakan fakta tentang kelompok berhingga. Namun, perbedaan yang signifikan sehubungan dengan kasus faktorisasi bilangan bulat adalah bahwa "blok penyusun" seperti itu tidak selalu menentukan secara unik sebuah grup, karena mungkin ada banyak grup non-isomorfik dengan rangkaian komposisi yang sama atau, dengan kata lain, masalah ekstensi tidak memiliki solusi unik.

Pembuktian teorema terdiri dari puluhan ribu halaman dalam beberapa ratus artikel jurnal yang ditulis oleh sekitar 100 penulis, diterbitkan sebagian besar antara tahun 1955 dan 2004. Gorenstein (d.1992), Lyons, dan Solomon secara bertahap menerbitkan versi bukti yang disederhanakan dan direvisi.

Jumlah grup dengan urutan tertentu

Diberikan bilangan bulat positif  n , itu sama sekali bukan masalah rutin untuk menentukan berapa banyak isomorfisma jenis kelompok urutan  n  ada. Setiap kelompok dari prime adalah siklik, karena Teorema Lagrange menyiratkan bahwa subgrup siklik yang dihasilkan oleh salah satu elemen non-identitasnya adalah seluruh grup.

Jika  n  adalah kuadrat dari sebuah bilangan prima, maka ada dua jenis isomorfisme yang mungkin dari kelompok ordo  n , keduanya adalah abelian. Jika  n  adalah pangkat yang lebih tinggi dari sebuah bilangan prima, maka hasil dari Graham Higman dan Charles Sims berikan perkiraan yang benar secara asimtotik untuk jumlah jenis isomorfisme dari kelompok ordo  n , dan jumlahnya tumbuh sangat cepat dengan meningkatnya kekuatan.

Bergantung pada faktorisasi prima  n , beberapa batasan dapat ditempatkan pada struktur kelompok orde  n , sebagai konsekuensi, misalnya, dari hasil seperti Teorema Sylow. Misalnya, setiap grup pesanan  pq  bersiklus ketika  adalah bilangan prima dengan  tidak dapat dibagi oleh  q . Untuk kondisi yang diperlukan dan cukup, lihat bilangan siklik.

Jika  n  adalah squarefree, maka setiap grup order  n  dapat dipecahkan. Teorema Burnside, dibuktikan menggunakan karakter grup, menyatakan bahwa setiap grup orde  n  dapat dipecahkan ketika  n  habis dibagi kurang dari tiga bilangan prima yang berbeda, yaitu jika , di mana  p  dan  q  adalah bilangan prima, dan  a  dan  b  adalah bilangan bulat non-negatif. Dengan teorema Feit–Thompson, yang memiliki bukti panjang dan rumit, setiap kelompok ordo  n  dapat dipecahkan bila  n  ganjil.

Untuk setiap bilangan bulat positif  n , kebanyakan grup orde  n  adalah dapat dipecahkan. Untuk melihat ini untuk urutan tertentu biasanya tidak sulit (misalnya, ada, hingga isomorfisme, satu gugus tak terpecahkan dan 12 gugus terlarut berorde 60) tapi bukti ini untuk semua pesanan menggunakan klasifikasi grup sederhana hingga. Untuk sembarang bilangan bulat positif  n  paling banyak ada dua grup orde sederhana  n , dan ada banyak bilangan bulat positif  n  yang memiliki dua grup ordo sederhana non-isomorfik n.

Tabel grup ordo yang berbeda  n