Jelaskan Sifat dari Grup Abelian

Jika  adalah bilangan asli dan  adalah elemen dari grup abelian  yang ditulis secara aditif, maka  bisa didefinisikan sebagai  () dan . Dengan cara ini,  sebagai modul di atas gelanggang  dari bilangan bulat. Maka, modul lebih dari   diidentifikasikan dengan grup abelian.

Teorema tentang grup abelian (yaitu modul di atas domain ideal utama ) digeneralisasikan ke teorema tentang modul melalui domain ideal prinsipal arbitrer. Contoh tipikal adalah klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga merupakan spesialisasi dari teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga di atas domain ideal utama. Dalam kasus grup abelian yang dihasilkan secara hingga, teorema tersebut bahwa grup abelian terbagi sebagai jumlah langsung dari grup torsi dan grup abelian bebas. Yang pertama dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari banyak grup bentuk tak hingga  untuk prima , dan yang terakhir adalah jumlah langsung dari banyak salinan .

Jika  adalah dua homomorfisme grup di antara grup abelian, kemudian jumlah semua , ditentukan oleh  adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika  adalah grup non-abelian). Himpunan  dari semua homomorfisme grup dari  hingga  merupakan grup abelian dalam itu sendiri.

Agak mirip dengan dimensi dari ruang vektor, setiap grup abelian memiliki peringkat. Ini didefinisikan sebagai kardinalitas maksimal dari satu himpunan elemen bebas linear (di atas bilangan bulat) grup. Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan bilangan rasional memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol subgrup aditif dari rasio. Di sisi lain, grup perkalian dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan bilangan prima sebagai basis (dari hasil dari teorema fundamental aritmetika).

Pusat  dari grup  adalah himpunan elemen dengan setiap elemen . Grup  adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya . Pusat dari grup  merupakan karakteristik subgrup abelian dari . Jika grup hasil bagi  grup dengan pusat siklik  adalah abelian.