Jabarkan Grup abelian bebas dari Grup bebas

Grup abelian bebas pada himpunan  S  didefinisikan melalui properti universal dengan cara yang analog, dengan modifikasi yang jelas:

Pertimbangkan pasangan ( F ,  φ ), di mana  F  adalah grup abelian dan φ: S → F adalah sebuah fungsi.  F  dikatakan sebagai  'grup abelian bebas di' 'S' 'sehubungan dengan φ jika untuk grup abelian  G  dan fungsi apa pun ψ: S → G, ada homomorfisme yang unik f: F → Gf(φ(s)) = ψ(s), untuk  s  dalam  S .

Grup abelian gratis pada  S  dapat secara eksplisit diidentifikasi sebagai grup gratis F( S ) modulo subkelompok yang dihasilkan oleh komutatornya, [F(S), F(S)], yaitu

nya abelianisasi. Dengan kata lain, grup abelian gratis pada  S  adalah kumpulan kata yang dibedakan hanya sampai urutan hurufnya. Oleh karena itu, peringkat grup bebas juga dapat didefinisikan sebagai peringkat abelianisasi sebagai grup abelian bebas.