Jelaskan Automorfisme dari Grup Abelian

Menerapkan teorema fundamental untuk menghitung (dan terkadang menentukan) automorfisme dari grup abelian terbatas yang diberikan . Untuk menggunakan fakta bahwa jika  membagi sebagai jumlah langsung  dari subgrup koprima urutan, maka .

Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari  itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari Sylow  subgrup secara terpisah (yaitu, semua jumlah langsung subkelompok siklik, masing-masing dengan urutan pangkat ). Perbaiki bilangan prima  dan anggaplah eksponen  dari faktor siklik dari subgrup Sylow  disusun dalam urutan yang meningkat:

untuk beberapa . Seseorang perlu menemukan automorfisme

Satu kasus khusus adalah ketika , maka hanya ada satu faktor daya utama siklik pada subgrup Sylow  dengan . Dalam hal ini teori automorfisme grup siklik hingga digunakan. Kasus khusus lainnya adalah kapan  trivial tetapi  untuk . Mempertimbangkan  menjadi bentuk

jadi elemen subgrup ini dapat dilihat sebagai terdiri dari ruang vektor berdimensi  di atas bidang hingga elemen  pada . Oleh karena itu, automorfisme subgrup ini diberikan oleh transformasi linear invers, maka

dimana  adalah grup linear umum yang sesuai, dengan mudah terbukti memiliki tatanan

Dalam kasus umum, dimana  dan  berubah-ubah, grup automorfisme lebih sulit ditentukan. Diketahui, bagaimanapun, bahwa jika mendefinisikan