Jelaskan Contoh dari Kelas konjugasi

Gugus simetris S3, terdiri dari 6 permutasi dari tiga elemen, memiliki tiga kelas konjugasi:

tidak ada perubahan (abc → abc)

transposisi dua (abc → acb, abc → bac, abc → cba)

permutasi siklik dari ketiganya (abc → bca, abc → cab)

Ketiga kelas ini juga sesuai dengan klasifikasi  isometri dari segitiga sama sisi.

Grup simetris S4, terdiri dari 24 permutasi dari empat elemen, memiliki lima kelas konjugasi, terdaftar dengan struktur dan urutan siklusnya:

(1)4    tidak ada perubahan (1 elemen: { (1, 2, 3, 4) }).  Baris tunggal yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan sebagai deretan lingkaran hitam di tabel yang berdekatan.

(2)      interchanging two (6 elements: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }).  6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna hijau di tabel yang berdekatan.

(3)      permutasi siklik dari tiga (8 elemen:  { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }).  8 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan cetakan normal (tanpa huruf tebal atau sorotan warna) pada tabel yang berdekatan.

(4)      permutasi siklik dari keempat (6 elemen: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }).  6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna oranye di tabel yang berdekatan.

(2)(2)  mempertukarkan dua, dan juga dua lainnya (3 elemen:  { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }).  3 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan entri huruf tebal di tabel yang berdekatan.

rotasi kubus yang tepat, yang dapat dicirikan dengan permutasi diagonal tubuh, juga dijelaskan dengan konjugasi dalam S4 .

Secara umum, jumlah kelas konjugasi dalam grup simetris Sn sama dengan jumlah partisi bilangan bulat dari  n . Ini karena setiap kelas konjugasi sesuai dengan satu partisi dari {1, 2, ..., n} menjadi  siklus, hingga permutasi elemen {1, 2, ..., n}.

Secara umum, grup Euklides dapat dipelajari dengan konjugasi isometri dalam ruang Euklides.