Jabarkan Bukti Newman tentang TBP dari Teorema bilangan prima

Fungsi Chebyshev pertama dan kedua masing-masing

Deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan  dari yang pertama. TBP setara dengan  atau .

Jumlah untuk adalah  dan  jumlah parsial dari koefisien dari deret Dirichlet

dimana  adalah fungsi zeta Riemann. Seperti jumlah parisal, deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan  dari yang pertama. Deret Dirichlet dibentuk oleh suku-suku dengan  didominasi oleh deret Dirichlet untuk  untuk setiap positif , jadi turunan logaritmik  dan  berbeda dengan sebuah holomorfik fungsi dalam , dan oleh karena itu memiliki singularitas yang sama pada garis .

Mengintegrasi dengan bagian diberikan untuk ,