Jelaskan Hasil fusi dari Teorema Sylow

Argumen Frattini menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan faktorisasi dari grup hingga.  Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai Teorema fusi Burnside menyatakan Bahwa jika  G  adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup  p  dan dua himpunan bagian  A  dan  B  dinormalisasi oleh  P , lalu  A  dan  B  adalah konjugasi  G  jika dan hanya jika ada konjugasi NG(P).  Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika B=Ag, maka penormal  B  tidak hanya berisi  P  tetapi juga Pg (karena Pg terkandung dalam penormal dari Ag).  Dengan teorema Sylow  P  dan Pg terkonjugasi tidak hanya dalam  G , tetapi dalam penormalisasi  B . Karenanya gh−1 menormalkan  P  untuk beberapa  h  yang menormalkan  B , lalu Agh−1 = Bh−1 = B, so that A dan  B  adalah konjugasi NG(P).  Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut produk setengah langsung: jika  G  adalah grup terbatas yang Sylow  p  - subkelompok  P  terdapat di tengah penormalnya, lalu  G  memiliki subgrup normal  K  dengan urutan coprime ke  P , G = PK and P∩K = {1}, yaitu,  G  adalah   p  nilpotent.

Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk teorema subkelompok fokus, yang mempelajari kontrol Sylow  p  - subkelompok dari subgrup turunan memiliki struktur keseluruhan.  Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap klasifikasi grup sederhana hingga, dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein yang mengklasifikasikan hingga grup sederhana yang subgrup Sylow 2-nya adalah grup kuasi-dihedral.  Ini bergantung pada J. L. Alperin memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.