Tolong jelaskan mengenai Relasi Green

Dalam matematika, Relasi Green adalah lima relasi ekivalen yang mencirikan elemen-elemen dari semigrup dalam hal prinsip ideal yang mereka hasilkan. Hubungan tersebut dinamai untuk James Alexander Green, yang memperkenalkannya dalam makalah tahun 1951. John Mackintosh Howie, seorang ahli teori semigrup terkemuka, mendeskripsikan pekerjaan ini sebagai "begitu meluas sehingga, saat menghadapi semigroup baru, hampir pertanyaan pertama yang ditanyakan adalah 'Seperti apa relasi Green itu?'" (Howie 2002). Relasi berguna untuk memahami sifat perpecahan di dalam kelompok semigroup; mereka juga valid untuk  grup, tetapi dalam kasus ini tidak ada yang berguna, karena grup.

Alih-alih bekerja langsung dengan semigroup  S , akan lebih mudah untuk mendefinisikan relasi Green melalui monoid S1. (S1 adalah " S  dengan identitas yang digabungkan jika perlu"; jika  S  belum berbentuk monoid, elemen baru disambungkan dan didefinisikan sebagai identitas.) Ini memastikan bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh beberapa elemen semigroup memang mengandung elemen itu. Untuk elemen  a  dari  S , cita-cita yang relevan adalah:

Prinsip kiri ideal  dihasilkan 0ada a: . This is the same as , dim mana .

Prinsip kanan ideal dihasilkan pada a: , or equivalently .

ideal dari dua sisi utama dihasilkan pada a: , atau .

Relasi L, R, dan J

Untuk elemen  a  dan  b  dari  S , relasi Green  L ,  R  dan  J  ditentukan oleh

a L b jika dan hanya jika S1 a = S1 b.

a R b jika dan hanya jika a S1 = b S1.

a J b jika dan hanya jika S1 a S1 = S1 b S1.

Artinya,  a  dan  b  adalah  L  terkait jika mereka menghasilkan ideal kiri yang sama;  R  terkait jika mereka menghasilkan ideal hak yang sama; dan  J  - terkait jika mereka menghasilkan ideal dua sisi yang sama. Ini adalah relasi ekivalen pada  S , sehingga masing-masing menghasilkan partisi  S  menjadi kelas ekivalen. Kelas  L  dari  a  dilambangkan La (dan juga untuk relasi lainnya). Kelas  L  dan  R  dapat dipahami secara ekuivalen sebagai komponen relasi dari kiri dan kanan grafik Cayley dari S1. Selanjutnya, relasi  L ,  R , dan  J  mendefinisikan tiga preorder ≤L, ≤R, dan ≤J, dimana a ≤J b berlaku untuk dua elemen  a  dan  b  dari  S  jika kelas  J  dari  a  termasuk dalam kelas  b , yaitu S1 a S1 ⊆ S1 b S1, dan ≤L dan ≤R didefinisikan secara analogis.

Hijau menggunakan huruf kecil blackletter ,  dan  untuk hubungan ini, dan menulis  untuk  a   L   b  (dan juga untuk  R  dan  J ). Matematikawan saat ini cenderung menggunakan huruf skrip seperti  sebagai gantinya, dan ganti notasi gaya aritmetika modular Green dengan gaya infix yang digunakan di sini. Huruf biasa digunakan untuk kelas kesetaraan.

Relasi  L  dan  R  adalah kiri-kanan ganda satu sama lain; teorema tentang satu dapat diterjemahkan ke dalam pernyataan serupa tentang yang lain. Misalnya,  L  is  right-compatible : jika  a   L   b  dan  c  adalah elemen lain dari  S , maka  ac   L   bc . Dually,  R  is  kompatibel kiri : jika  a   R   b , maka ca R cb.

Jika  S  komutatif, maka  L ,  R  dan  J  bertepatan.