Jabarkan Teori modern dari Teori bilangan aljabar

Sekitar tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua yang tampaknya sangat berbeda, cabang matematika, kurva elips dan bentuk modular. Teorema modularitas yang dihasilkan (pada waktu itu dikenal sebagai dugaan Taniyama-Shimura) menyatakan bahwa setiap kurva eliptik adalah modular, artinya dapat dikaitkan dengan bentuk modular unik.

Awalnya dianggap tidak mungkin atau sangat spekulatif, dan dianggap lebih serius ketika ahli teori nomor André Weil menemukan bukti yang mendukungnya, tetapi tidak ada bukti; Akibatnya "luar biasa" Dugaan ini sering dikenal sebagai dugaan Taniyama – Shimura-Weil. Ini menjadi bagian dari Program Langlands, daftar dugaan penting yang perlu dibuktikan atau dibongkar.

Dari 1993 hingga 1994, Andrew Wiles memberikan bukti teorema modularitas untuk kurva elips semistabel, yang, bersama-sama dengan teorema Ribet, memberikan bukti untuk Theo Terakhir Fermat. Hampir setiap ahli matematika pada saat itu sebelumnya menganggap Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Modularitas tidak mungkin atau hampir tidak mungkin untuk dibuktikan, bahkan diberi perkembangan paling canggih. Wiles pertama kali mengumumkan buktinya pada Juni 1993 dalam versi yang segera dikenali memiliki celah serius pada poin kunci. Buktinya dikoreksi oleh Wiles, sebagian bekerja sama dengan Richard Taylor, dan versi terakhir yang diterima secara luas dirilis pada September 1994, dan secara resmi diterbitkan pada 1995. Pembuktiannya menggunakan banyak teknik dari geometri aljabar dan teori bilangan, dan memiliki banyak percabangan dalam cabang-cabang matematika ini. Ia juga menggunakan konstruksi standar geometri aljabar modern, seperti kategori dari skema dan teori Iwasawa, dan teknik abad ke-20 lainnya tidak tersedia untuk Fermat.