Jelaskan Presentasi dari Klein empat grup

Tabel Cayley dari grup Klein diberikan oleh:

Empat kelompok Klein juga ditentukan oleh presentasi grup

Semua elemen non -  identitas dari grup Klein memiliki urutan 2, sehingga dua elemen non-identitas mana pun dapat berfungsi sebagai generator dalam presentasi di atas. Empat kelompok Klein adalah non-grup siklik terkecil. Namun ini adalah kelompok abelian, dan isomorfik ke kelompok dihedral urutan (kardinalitas) 4, yaitu D4 (atau D2, menggunakan konvensi geometris); selain grup urutan 2, itu adalah satu-satunya grup dihedral yang abelian.

Grup empat Klein juga isomorfik terhadap jumlah langsung , sehingga bisa direpresentasikan sebagai pasangan  di bawah penambahan berdasarkan komponen  modulo 2 (atau yang setara dengan  bit strings di bawah bitwise XOR); dengan (0,0) menjadi elemen identitas kelompok. Jadi, empat kelompok Klein adalah contoh dari  kelompok abelian dasar 2, yang juga disebut grup Boolean. Kelompok empat Klein dengan demikian juga kelompok yang dihasilkan oleh perbedaan simetris sebagai operasi biner pada himpunan bagian dari himpunan kekuatan dari suatu himpunan dengan dua elemen, yaitu di atas bidang himpunan dengan empat elemen, misalnya; himpunan kosong adalah elemen identitas grup dalam kasus ini.

Konstruksi numerik lain dari grup empat Klein adalah himpunan  dengan operasi menjadi  perkalian modulo 8. Di sini  a  adalah 3,  b  adalah 5, dan  adalah .

Empat grup Klein memiliki representasi sebagai matriks nyata 2x2 dengan operasi perkalian matriks: