Jelaskan Relasi H dan D dari Relasi Green

Relasi yang tersisa diturunkan dari  L  dan  R . Persimpangan mereka adalah  H :

a H b jika dan hanya jika a L b dan a R b.

Ini juga merupakan hubungan kesetaraan pada  S . Kelas Ha adalah persimpangan dari La dan Ra. Lebih umum lagi, perpotongan dari setiap kelas  L  dengan kelas  R  bisa berupa kelas  H  atau himpunan kosong.

Teorema Green menyatakan bahwa untuk semua kelas , H dari semigrup S juga (i)  atau (ii)  dan  H  adalah subgrup dari  S . Sebuah konsekuensi penting adalah bahwa kelas kesetaraan He, di mana  e  adalah idempoten, adalah subgrup  S  (identitasnya adalah  e , dan semua elemen memiliki invers), dan memang merupakan subgrup terbesar dari  S  mengandung  e . Tidak ada  -kelas yang dapat berisi lebih dari satu idempoten, sehingga  adalah  pemisah idempoten . Dalam monoid  M , kelas H1 secara tradisional disebut grup unit. (Hati-hati bahwa unit tidak berarti identitas dalam konteks ini, yaitu pada umumnya terdapat elemen non-identitas pada H1. Terminologi "satuan"  berasal dari teori cincin.) Misalnya, dalam transformasi monoid pada elemen  n , Tn, kelompok unit adalah grup simetris Sn.

Akhirnya,  D  didefinisikan:  a   D   b  jika dan hanya jika ada  c  di  S  sehingga  a   L   c  dan  c   R   b . Dalam bahasa  kisi,  D  adalah gabungan dari  L  dan  R . (Gabungan untuk relasi ekivalen biasanya lebih sulit untuk didefinisikan, tetapi disederhanakan dalam hal ini oleh fakta bahwa  a   L   c  dan  c   R   b  untuk beberapa  c  jika dan hanya jika  a   R   d  dan  d   L   b  untuk beberapa  d .)

Karena  D  adalah relasi ekivalen terkecil yang mengandung  L  dan  R , kita tahu bahwa  a   D   b  menyiratkan a J b , jadi  J  berisi  D . Dalam semigroup terbatas,  D  dan  J  adalah sama, seperti juga dalam monoid rasional.  Selanjutnya mereka juga bertepatan di epigrup.

Ada juga rumusan  D  dalam istilah kelas kesetaraan, yang diturunkan langsung dari definisi di atas:

a D b if and only if the intersection of Ra and Lb is not empty.

Consequently, the D-classes of a semigroup can be seen as unions of L-classes, as unions of R-classes, or as unions of H-classes. Clifford and Preston (1961) suggest thinking of this situation in terms of an "egg-box":