Jabarkan Ditulis dari Paravektor

dan memperkenalkan ini ke dalam ekspresi pada aksioma fundamental

kita mendapatkan ekpresi berikut setelah membandingkan dengan aksioma fundamental lagi

yang memungkinkan untuk menidentifikasikan produk skalar dengan dua vektor sebagai

Sebagai konsekuensi yang penting, kita adpat menyimpulkan bahwa dua vektor orthogoal (dengan nol produk skalar) antikomutatif

Daftar-daftar berikut mewaklili sebuah contoh pada sebuah basis yang sempurna pada ruang

yang membentuk delapan runng dimensi, dimana inceks yang banyak menunjukkan produk pada vektor-vektor basis masing-masing, sebagai contoh

Nilai pada sebuah elemen basis didefinisikan dalam perubahan pada beragam vektor, seperti

Menurut aksioma fundamental, dua vektor basis berbeda bersifat antikomutatif,

Ini berarti bahwa elemen volume  kuadrat adalah

Bahkan, elemen volume  menggantikan dengan setiap elemen lainnya pada aljabar , jadi bisa diidentifikasikan dengan bilangan kompleks , kapanpun tidak ada bahayanya pada kebingungan. Faktanya, Elemen volume  sepanjang dengan skalar real membentuk sebuah aljabar isomorfik ke aljabar kompleks standar. Elemen volume bisa digunakan untuk menulis ulang sebuah perubahan ekuivalen ke basis sebagai