Jabarkan Transformasi Affine dari Geometri afin

Secara geometris, transformasi affine (afinitas) mempertahankan collinearity: sehingga mereka mengubah garis paralel menjadi garis paralel dan mempertahankan rasio jarak di sepanjang garis paralel.

Kami mengidentifikasi sebagai  affine theorems  setiap hasil geometris yang invarian di bawah grup affine (dalam Felix Klein program Erlangen ini adalah grup yang mendasari transformasi simetri untuk geometri affine).  Pertimbangkan dalam ruang vektor  V , grup linear umum GL ( V ). Ini bukan keseluruhan  affine group  karena kita juga harus mengizinkan terjemahan oleh vektor  v  dalam  V . (Terjemahan seperti itu memetakan setiap  w  di  V  ke w + v.) Grup affine dihasilkan oleh grup linear umum dan terjemahannya dan sebenarnya produk semidirect mereka . (Di sini kami menganggap  V  sebagai grup di bawah operasi penjumlahannya, dan menggunakan representasi penentu GL ( V ) pada  V  untuk menentukan produk semidirect.)

Misalnya, teorema dari bidang geometri segitiga tentang kesesuaian garis yang menghubungkan setiap simpul ke titik tengah sisi yang berlawanan (di  centroid  atau  barycenter ) bergantung pada pengertian  mid-point  dan  centroid  sebagai affine invarian.  Contoh lain termasuk teorema Ceva dan Menelaus.

Affine invariants juga dapat membantu perhitungan. Misalnya, garis-garis yang membagi luas segitiga menjadi dua bagian yang sama membentuk amplop di dalam segitiga. Perbandingan luas amplop dengan luas segitiga adalah affine invariant, sehingga hanya perlu dihitung dari kasus sederhana seperti satuan segitiga siku-siku untuk memberikan  yaitu 0,019860 ... atau kurang dari 2%, untuk semua segitiga.

Rumus yang sudah dikenal seperti setengah alas dikali tinggi untuk luas segitiga, atau sepertiga alas dikali tinggi volume limas, juga merupakan invarian affine.  Sementara yang terakhir kurang jelas daripada yang pertama untuk kasus umum, dengan mudah terlihat untuk seperenam dari kubus satuan yang dibentuk oleh sebuah muka (luas 1) dan titik tengah kubus (tinggi 1/2).  Oleh karena itu, ini berlaku untuk semua piramida, bahkan yang miring yang puncaknya tidak tepat di atas pusat alas, dan yang memiliki alas jajar genjang, bukan persegi.  Rumus tersebut selanjutnya digeneralisasikan menjadi piramida yang alasnya dapat dibedah menjadi jajaran genjang, termasuk kerucut dengan memungkinkan banyak jajaran genjang (dengan memperhatikan konvergensi).  Pendekatan yang sama menunjukkan bahwa piramida empat dimensi memiliki volume 4D seperempat volume 3D dari parallelepiped kali alas tingginya, dan seterusnya untuk dimensi yang lebih tinggi.