Jelaskan Monoid komposisi dari Komposisi fungsi

Misalkan komposisi fungsi mempunyai dua fungsi lebih ,  yang memiliki domain dan kodomain yang sama, maka komposisi fungsi tersebut dapat dibentuk rantai dari transformasi yang dikomposisi bersama, contohnya seperti . Rantai tersebut memiliki struktur aljabar dari sebuah monoid, yang disebut sebagai monoid komposisi atau (istilah yang jarang dipakai disebut) monoid transformasi. Biasanya, monoid transformasi dapat memiliki struktur yang sangat rumit. Contoh penting yang terkait dengannya adalah kurva de Rham. Himpunan semua fungsi  disebut semigrup transformasi penuh () atau semigrup simetris () pada . (Sebenarnya hal ini dapat mendefinisikan dua semigrup tergantung bagaimana caranya mendefinisikan operasi semigrup sebagai komposisi fungsi dari kiri atau dari kanan.)

Jika transformasi adalah bijektif (dan akibatnya transformasinya dikatakan terbalikkan), maka himpunan dari semua kombinasi dari fungsi-fungsi ini kemungkinan membentuk sebuah grup transformasi, dan adapula yang mengatakan bahwa grupnya dihasilkan oleh fungsi-fungsi ini.

Teorema Cayley, teorema yang menjelaskan hasil dasar dalam teori grup, mengatakan bahwa setiap grup isomorfimis ke subgrup dari grup permutasi. Himpunan dari semua fungsi bijektif  (yang disebut permutasi) membentuk sebuah grup terhadap komposisi fungsi. Grup tersebut disebut grup simetri, atau terkadang juga disebut grup komposisi.

Dalam semigrup simetrik (dari semua transformasi), ada juga yang menemukan gagasan tidak unik dan lebih lemah mengenai invers (yang disebut invers-semu), karena semigrup simetrik merupakan semigrup reguler.