Tolong jelaskan mengenai dimana  untuk . dari Barisan eksak

Tinjau barisan eksak grup abelian berikut:

Homomorfisme pertama memetakan setiap  ke . Homomorfisme kedua memetakan setiap  ke . Di sini panah kait  menunjukkan bahwa pemetaan  dari  ke  adalah monomorfisme, dan panah berkepala dua  menunjukkan epimorfisme (pemetaan modulo 2). Ini adalah barisan eksak, karena peta dari monomorfisme  adalah kernel dari epimorfisme. Pada dasarnya, barisan yang "sama" juga dapat ditulis sebagai

Dalam hal ini, monomorfismenya adalah pemetaan inklusi , yang meskipun terlihat seperti fungsi identitas, bukanlah fungsi identitas (bukan epimorfisme), karena bilangan ganjil bukanlah elemen . ''Peta dari  melalui monomorfisme ini adalah subhimpunan dari  yang merupakan peta dari pemetaan  yang digunakan dalam barisan eksak sebelumnya. Secara konkret, barisan eksak ini berbeda dengan barisan eksak sebelumnya, mengingat objek pertama barisan eksak ini adalah  dan objek pertama pada barisan sebelumnya adalah , meskipun keduanya isomorfik sebagai grup.

Barisan eksak pada contoh pertama juga dapat ditulis tanpa menggunakan simbol khusus untuk monomorfisme dan epimorfisme:

Di sini  menunjukkan grup trivial, pemetaan dari  ke  adalah perkalian dengan , dan pemetaan dari  ke grup faktor  adalah pemetaan modulo . adalah barisan yang eksak, mengingat:

peta pemetaan  adalah , dan kernel dari perkalian dengan  juga adalah , sehingga barisannya eksak di  pertama.

peta perkalian dengan  adalah , dan kernel dari pemetaan modulo  juga adalah , sehingga barisannya eksak di  kedua.

peta pemetaan modulo 2 adalah , dan kernel dari pemetaan nol juga adalah , sehingga barisannya eksak di .

Perhatikan kembali barisan eksak pertama dan ketiga. Pada kedua barisan tersebut, pemetaan inklusi dari  ke  merupakan endomorfisme dari  yang merupakan monomorfisme. Hal ini memungkinkan untuk , karena  adalah grup tak hingga. Tidak seperti , grup berhingga tidak mungkin dipetakan oleh pemetaan inklusi (oleh monomorfisme) sebagai subgrup sejati dari grup berhingga itu sendiri. Sebaliknya, secara umum, barisan eksak pendek grup berhingga, berdasarkan teorema isomorfisme pertama, dapat ditulis sebagai berikut

Berikut contoh yang lebih konkret dari barisan eksak grup berhingga:

dengan  adalah grup siklik dari order n dan  adalah grup dihedral dari order 2n, yang merupakan grup nonabelian.