Jabarkan Himpunan tertutup dari Ketertutupan (matematika)

Himpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan.  Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai aksioma ketertutupan. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan grup sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah operasi ary- pada S hanyalah himpunan bagian dari .  Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian. Jadi subgrup dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan operasi uner dari balikan memenuhi aksioma ketertutupan.

Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan titik batas dari himpunan bagian dari ruang topologis. Himpunan yang ditutup terhadap operasi ini biasanya disebut sebagai himpunan tertutup dalam konteks topologi. Tanpa kualifikasi lebih lanjut, frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini. selang tertutup seperti  ditutup dalam pengertian ini.

Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah himpunan tertutup ke bawah (disebut sebagai himpunan bawah) jika untuk setiap unsur dari himpunan tersebut, semua unsurnya juga di himpunan bagian. Ini berlaku misalnya untuk selang real  dan , dan untuk bilangan ordinal  diwakili sebagai selang . Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal. Himpunan tertutup ke atas (juga disebut himpunan atas) didefinisikan dengan cara yang sama.