Jabarkan Invarian dan klasifikasi dari Grup Abelian

Salah satu invarian dasar dari grup abelian tak hingga  adalah peringkat: kardinalitas dari himpunan independen linear maksimal dari . Grup abelian dengan peringkat 0 merupakan grup periodik, sedangkan grup abelian bebas torsi peringkat 1 harus merupakan subgrup dari  and can be completely described. Secara lebih umum, grup abelian bebas torsi dengan peringkat terbatas  adalah subgrup dari . Di sisi lain, grup bilangan bulat -adik  adalah grup abelian bebas torsi tanpa batas peringkat- dan grup  dengan  yang berbeda adalah non-isomorfik, jadi invarian bahkan tidak sepenuhnya sifat dari beberapa grup yang sudah dikenal.

Teorema klasifikasi untuk periodik yang dihasilkan tak hingga, habis dibagi, dapat dihitung, dan grup abelian bebas torsi peringkat 1 yang dijelaskan di atas semuanya diperoleh sebelum tahun 1950 dan membentuk dasar klasifikasi grup abelian tak hingga yang lebih umum. Alat teknis penting yang digunakan dalam klasifikasi grup abelian tak terbatas adalah subgrup murni dan dasar. Pengenalan berbagai invarian dari grup abelian bebas torsi telah menjadi salah satu jalan untuk kemajuan lebih lanjut. Lihat buku oleh Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith, dan David Arnold, serta prosiding konferensi tentang Teori Grup Abelian yang diterbitkan di Catatan Kuliah di Matematika untuk temuan yang lebih baru.