Jabarkan Sketsa bukti dari Lemma Zorn

Sketsa bukti lemma Zorn berikut, dengan asumsi aksioma pilihan. Misalkan lemma salah. Kemudian ada himpunan terurut sebagian, atau poset,  P  sedemikian rupa sehingga setiap himpunan bagian yang dipesan seluruhnya memiliki batas atas, dan untuk setiap elemen di  P  ada elemen lain yang lebih besar darinya. Untuk setiap subset terurut total  T  kita kemudian dapat mendefinisikan elemen yang lebih besar  b ( T ), karena  T  memiliki batas atas, dan batas atas itu memiliki elemen yang lebih besar. Untuk benar-benar mendefinisikan fungsi  b , kita perlu menggunakan aksioma pilihan.

Menggunakan fungsi  b , kita akan mendefinisikan elemen a0 < a1 < a2 < a3 < ... di  P . Urutan ini adalah sangat panjang: indeksnya bukan hanya bilangan asli, tetapi semua ordinal. Faktanya, urutannya terlalu panjang untuk himpunan  P ; ada terlalu banyak ordinal (sebuah kelas sesuai), lebih dari jumlah elemen di set mana pun, dan set  P  akan habis tak lama kemudian dan kemudian kita akan mengalami kontradiksi yang diinginkan.

ai didefinisikan oleh rekursi transfinite: kami memilih a0 di  P  sewenang-wenang (ini dimungkinkan, karena  P  berisi batas atas untuk himpunan kosong dan karenanya tidak kosong) dan untuk ordinal lainnya w ke himpunan aw = b({av : v < w}). Karena av benar-benar tertata, ini adalah definisi yang beralasan.

Bukti ini menunjukkan bahwa sebenarnya versi lemma Zorn yang sedikit lebih kuat adalah benar: