Jabarkan untuk , dari Persamaan Diophantus

Sistem ini setara dengan yang diberikan dalam pengertian berikut: Matriks kolom bilangan bulat  adalah penyelesaian dari sistem yang diberikan jika dan hanya jika  untuk beberapa matriks kolom bilangan bulat  sehingga .

Oleh karena itu, sistem memiliki penyelesaian jika dan hanya jika  membagi  untuk  dan  untuk . Jika syarat ini terpenuhi, penyelesaian dari sistem yang diberikan adalah

dimana  adalah bilangan bulat acak.

Bentuk normal Hermite dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan Diophantus linear. Namun, bentuk normal Hermite tidak langsung memberikan penyelesaian; untuk mendapatkan penyelesaian dari bentuk normal Hermite, salah satunya harus memecahkan beberapa persamaan linier secara berturut-turut. Namun demikian, Richard Zippel menulis bahwa bentuk normal Smith "itu agak lebih dari sebenarnya dibutuhkan untuk memecahkan persamaan Diophantus linear. Daripada mereduksi persamaan menjadi bentuk diagonal, kita hanya perlu membuatnya menjadi segitiga, yang disebut bentuk normal Hermite. Bentuk normal Hermite jauh lebih mudah dihitung daripada bentuk normal Smith."

Pemrograman linear pada bilangan bulat berarti menemukan beberapa penyelesaian bilangan bulat (optimal dalam beberapa hal) dari sistem linear yang juga mencakup pertidaksamaan. Jadi sistem persamaan Diophantus linier adalah dasar dalam konteks ini, dan buku teks tentang pemrograman bilangan bulat biasanya membahas sistem persamaan Diophantus linear.