Jabarkan Untuk grup dari Deret komposisi

Jika grup  G  memiliki subgrup normal  N , maka grup faktor  G / N  dapat dibentuk, dan beberapa aspek studi tentang struktur  G  dapat dipecah dengan mempelajari grup yang lebih kecil  G/N  dan  N . Jika  G  tidak memiliki subgrup normal yang berbeda dengan  G  dan dari grup sepele, maka  G  adalah grup sederhana. Jika tidak, pertanyaan akan muncul secara alami, apakah  G  dapat direduksi menjadi "potongan" sederhana, dan jika demikian, apakah ada fitur unik dari cara ini dilakukan?

Lebih formal, rangkaian komposisi dari grup  G  adalah deret subnormal dengan panjang terbatas

dengan inklusi yang ketat, sehingga Hi adalah maksimal subgrup normal ketat dari Hi+1. Secara ekivalen, deret komposisi adalah deret subnormal sedemikian rupa sehingga setiap grup faktor Hi+1 / Hi adalah sederhana. Kelompok faktor disebut faktor komposisi.

Deret subnormal adalah deret komposisi jika dan hanya jika memiliki panjang maksimal. Artinya, tidak ada subgrup tambahan yang dapat "disisipkan" ke dalam rangkaian komposisi. Panjang  n  rangkaian disebut panjang komposisi.

Jika rangkaian komposisi ada untuk grup  G , maka rangkaian subnormal  G  dapat  disempurnakan  menjadi rangkaian komposisi, secara informal, dengan memasukkan subgrup ke dalam rangkaian tersebut hingga maksimal. Setiap grup hingga memiliki deret komposisi, tetapi tidak setiap grup tak hingga memiliki satu. Sebagai contoh,  has no composition series.