Jabarkan Akibat dari Teori Galois

Teori Galois sangat sulit dipahami oleh orang-orang sezamannya, terutama pada tingkat di mana mereka dapat mengembangkannya. Misalnya, dalam komentarnya tahun 1846, Liouville benar-benar melewatkan inti teori-grup dari metode Galois. Joseph Alfred Serret yang menghadiri beberapa ceramah Liouville, termasuk teori Galois dalam bukunya tahun 1866 (edisi ketiga) Cours d'algèbre supérieure. Murid Serret, Camille Jordan, memiliki pemahaman yang lebih baik yang tercermin dalam bukunya tahun 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. Di luar Prancis, teori Galois tetap lebih tidak jelas untuk periode yang lebih lama. Di Inggris, Cayley gagal untuk memahami kedalamannya dan buku teks aljabar Inggris yang populer bahkan tidak menyebutkan teori Galois sampai jauh setelah pergantian abad. Di Jerman, Tulisan Kronecker lebih berfokus pada hasil Abel. Dedekind menulis sedikit tentang teori Galois, tetapi memberi ceramah tentangnya di Göttingen pada tahun 1858, menunjukkan pemahaman yang sangat baik. Buku Eugen Netto tahun 1880-an, berdasarkan  Traité  Jordan, membuat teori Galois dapat diakses oleh audiens Jerman dan Amerika yang lebih luas seperti halnya buku teks aljabar Heinrich Martin Weber tahun 1895.

Pendekatan kelompok permutasi terhadap teori Galois

Diketahui polinomial, mungkin beberapa akar dihubungkan oleh berbagai persamaan aljabar s. Misalnya, mungkin untuk dua akar, katakanlah  dan , bahwa . Ide utama dari teori Galois adalah untuk mempertimbangkan permutasi s (atau penataan ulang) dari akar sehingga persamaan aljabar apapun yang dipenuhi oleh akar adalah masih terpenuhi setelah akar. Awalnya, teori telah dikembangkan untuk persamaan aljabar yang koefisiennya adalah bilangan rasional. Ini meluas secara alami ke persamaan dengan koefisien dalam bidang apa pun, tetapi ini tidak akan dipertimbangkan dalam contoh sederhana di bawah ini.

Permutasi ini bersama-sama membentuk grup permutasi, juga disebut grup Galois dari polinomial, yang secara eksplisit dijelaskan dalam contoh berikut.