Jabarkan Spiral Euler dari Integral Fresnel

Spiral Euler, atau dikenal juga sebagai Cornu spiral atau clothoid, adalah kurva yang dihasilkan oleh plot parametrik dari  melawan . Spiral Cornu diciptakan oleh Marie Alfred Cornu sebagai nomogram untuk komputasi difraksi dalam sains dan teknik.

Dari definisi integral Fresnel, infinitesimal  dan  demikian:

Dengan demikian panjang spiral yang diukur dari asal dapat dinyatakan sebagai

Artinya, parameter  adalah panjang kurva yang diukur dari titik asal , dan spiral Euler memiliki panjang tak terbatas. The vector  juga mengekspresikan satuan vektor tangen di sepanjang spiral, memberi . Karena t adalah panjang kurva, maka kelengkungan tersebut  dapat dinyatakan sebagai

Dengan demikian laju perubahan kelengkungan terhadap panjang kurva adalah

Spiral Euler memiliki sifat bahwa kelengkungan pada titik mana pun sebanding dengan jarak sepanjang spiral, diukur dari titik awalnya.  Properti ini membuatnya berguna sebagai kurva transisi dalam teknik jalan raya dan perkeretaapian: Jika kendaraan mengikuti spiral dengan kecepatan satuan, parameter  di turunan di atas juga mewakili waktu. Akibatnya, kendaraan yang mengikuti spiral dengan kecepatan konstan akan memiliki laju konstan percepatan sudut.

Bagian dari spiral Euler biasanya digabungkan ke dalam bentuk loop roller coaster untuk membuat apa yang dikenal sebagai lingkaran clothoid.