Jabarkan Definisi dari Peringkat grup abelian

Sebuah himpunan bagian {aα} dari grup abelian adalah independen linear (lebih Z) jika satu-satunya kombinasi linear dari elemen-elemen ini yang sama dengan nol adalah sepele: if

di mana semua kecuali banyak koefisien  n   α   adalah nol (sehingga jumlahnya, pada dasarnya, terbatas), maka semua penjumlahan adalah 0. Setiap dua himpunan independen linier maksimal di  A  memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut peringkat dari  A .

Peringkat sebuah grup abelian dapat dianalogikan dengan dimensi dari sebuah ruang vektor. Perbedaan utama dengan kasus ruang vektor adalah adanya torsi. Sebuah elemen dari grup abelian  A  diklasifikasikan sebagai torsi jika order terbatas. Himpunan semua elemen torsi adalah subgrup, yang disebut subgrup torsi dan dilambangkan dengan  T ( A ). Sebuah grup disebut bebas torsi jika tidak memiliki elemen torsi non-trivial. Kelompok faktor  A / T ( A ) adalah hasil bagi bebas torsi maksimal yang unik dari  A  dan peringkatnya bertepatan dengan peringkat  A .

Gagasan peringkat dengan properti analog dapat didefinisikan untuk modul melalui domain integral, kasus grup abelian yang sesuai dengan modul di atas Z. Untuk ini, lihat modul yang dihasilkan secara hingga#Peringkat generik.