Jabarkan Sifat universal dari Grup bebas

Grup bebas FS adalah grup universal yang dihasilkan oleh himpunan  S .  Ini dapat diformalkan dengan universal property: diberikan fungsi apa pun  dari  S  ke grup  G , ada homomorfisme yang unik] φ: FS → G melakukan perjalanan diagram berikut (di mana pemetaan tanpa nama menunjukkan inklusi dari  S  ke FS):

Artinya, homomorfisme FS → G berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan fungsi S → G. Untuk grup yang tidak bebas, kehadiran hubungan akan membatasi kemungkinan gambar generator di bawah homomorfisme.

Untuk melihat bagaimana ini terkait dengan definisi konstruktif, pikirkan pemetaan dari  S  ke FS sebagai pengiriman setiap simbol ke kata yang terdiri dari simbol itu. Untuk membangun  φ  untuk yang diberikan , catatan pertama bahwa  φ  mengirimkan kata kosong ke identitas  G  dan harus sesuai dengan  pada elemen  S . Untuk sisa kata (terdiri dari lebih dari satu simbol),  φ  dapat diperpanjang secara unik, karena ini adalah homomorfisme, yaitu, φ(ab) = φ(a) φ(b).

Properti di atas mengkarakterisasi grup bebas hingga isomorfisme, dan terkadang digunakan sebagai definisi alternatif.  Ini dikenal sebagai sifat universal dari grup bebas, dan set pembangkit  S  disebut basis untuk  F  S  . Dasar untuk grup bebas tidak ditentukan secara unik.

Dicirikan oleh properti universal adalah fitur standar objek bebas dalam aljabar universal.  Dalam bahasa teori kategori, konstruksi grup gratis (mirip dengan kebanyakan konstruksi objek gratis) adalah funktor dari kategori set ke kategori grup.  Funktor ini adalah penyambung kiri ke fungsi lupa dari grup ke himpunan.