Jelaskan Contoh dari Grup automorfisme

Grup automorfisme dari himpunan  X  adalah grup simetris dari  X .

A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan  X  sama dengan aksi grup pada  X : memang, setiap kiri  G , trivial pada satu himpunan  X  menentukan , dan, sebaliknya, setiap homomorfisme  mendefinisikan aksi dengan .

Misalkan  menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan  himpunan dari semua bijeksi . Kemudian , yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak  dari kiri bebas dan secara transitif; artinya,  adalah torsor untuk  (lih. #Dalam kategori teori).

Grup automorfisme  dari grup siklik dari urutan  n  adalah isomorfis ke  dengan isomorfisme yang diberikan oleh . Secara khusus,  adalah grup abelian.

Diberikan ekstensi bidang , grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang  L  yang fix  K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari .

Grup automorfisme dari proyektif  n  - spasi di atas bidang  k  adalah grup linear proyektif

Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga]  memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika  G  adalah grup Lie dengan aljabar Lie , maka grup automorfisme dari  G  memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari .

Misalkan  P  menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang  R . Maka melekatkan , unique up to inner automorphisms.