Jelaskan Pendahuluan dari Diferensial (matematika)

Istilah diferensial adalah terjemahan dari kata bahasa Inggris differential. Secara informal, kata differential digunakan dalam kalkulus untuk merujuk suatu perubahan yang infinitesimal ("infinitely small", sangat kecil) pada suatu variabel. Sebagai contoh, jika  adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai  sering dinyatakan dengan  (dibaca sebagai delta ). Diferensial  menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel . Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan turunan memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika  adalah fungsi terhadap , maka diferensial  dari variabel  terhubung dengan  lewat persamaandengan menyatakan turunan dari  terhadap . Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari  terhadap  adalah limit dari rasio  saat  menjadi infinitesimal. Terdapat beberapa pendekatan untuk mendefinisikan secara matematis konsep diferensial:

Diferensial sebagai pemetaan linear. Cara ini mendasari definisi turunan total dan turunan eksterior dalam ilmu geometri diferensial.

Diferensial sebagai kelas ekuivalensi germ dari fungsi-fungsi.

Diferensial sebagai elemen nilpoten dari gelanggang komutatif. Pendekatan ini populer dalam geometri aljabar.

Diferensial dalam smooth model pada teori himpunan.

Diferensial sebagai infinitesimals dalam sistem bilangan hiper-real, yakni perluasan bilangan real yang mengandung infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang tak hingga besarnya. Cara ini adalah pendekatan analisis non-standar yang dikembangkan oleh Abraham Robinson.

Pendekatan-pendekatan tersebut sangat berbeda satu sama lainnya. Tetapi mereka semua memiliki ide bersifat kuantitatif, maksudnya tidak hanya berkata diferensial adalah sesuatu yang sangat kecil, tapi juga seberapa kecil dia.