Jabarkan Grup kecil 2-rank dari Klasifikasi grup sederhana hingga

Grup sederhana dari 2-peringkat sebagian besar adalah grup jenis Lie dengan peringkat kecil di atas bidang dengan karakteristik ganjil, bersama-sama dengan lima bergantian dan tujuh tipe 2 karakteristik dan sembilan kelompok sporadis.

Gruo sederhana peringkat 2 kecil meliputi:

Grup peringkat-2 0, dengan kata lain grup berurutan ganjil, yang semuanya dapat diselesaikan oleh Teorema Feit–Thompson.

Grup dengan peringkat 2 1. Subgrup Sylow 2 dapat berupa siklik, yang mudah ditangani menggunakan peta transfer, atau digeneralisasikan angka empat, yang ditangani dengan Teorema Brauer–Suzuki: khususnya tidak ada grup sederhana dari peringkat 2 1.

Grup 2-peringkat 2. Alperin menunjukkan bahwa subgrup Sylow harus dihedral, kuasidihedral, karangan bunga, atau subgrup Sylow 2 U3(4). Kasus pertama dilakukan oleh Teorema Gorenstein–Walter yang menunjukkan bahwa satu-satunya kelompok sederhana yang isomorfik L2(q) untuk  q  ganjil atau A7, kasus kedua dan ketiga dilakukan oleh Teorema Alperin–Brauer–Gorenstein yang menyiratkan bahwa satu-satunya grup sederhana yang isomorfik untuk L3(q) atau U3(q) untuk  q  ganjil atau M11, dan kasus terakhir dilakukan oleh Lyons yang menunjukkan itu U3(4) adalah satu-satunya kemungkinan sederhana.

Grup bagian peringkat 2 paling banyak 4, diklasifikasikan oleh Teorema Gorenstein–Harada.

Klasifikasi grup peringkat 2 kecil, terutama peringkat paling banyak 2, banyak menggunakan teori karakter biasa dan modular, yang hampir tidak pernah langsung digunakan di tempat lain dalam klasifikasi.

Semua grup bukan dari peringkat 2 kecil dapat dibagi menjadi dua kelas utama: grup jenis komponen dan grup jrnis karakteristik 2. Ini karena jika sebuah grup memiliki bagian 2-peringkat setidaknya 5 maka MacWilliams menunjukkan bahwa 2-subgrup Sylow terhubung, dan teorema keseimbangan menyiratkan bahwa setiap grup sederhana dengan 2-subgrup Sylow yang terhubung adalah salah satu dari tipe komponen atau tipe karakteristik 2. (Untuk grup dengan peringkat 2 rendah, bukti ini rusak, karena teorema seperti teorema fungsi pemberi sinyal hanya bekerja untuk grup dengan subgrup abelian dasar dengan peringkat setidaknya 3.)