Vektor empat itu apa sih?

Dalam relativitas khusus, vektor empat (disebut juga vektor-4) adalah suatu objek dengan empat komponen, yang akan bertransformasi dengan cara tertentu di bawah transformasi Lorentz. Secara spesifik, vektor empat adalah anggota dari ruang vektor empat dimensi yang dianggap sebagai  ruang representasi dari representasi standar grup Lorentz, yaitu representasi (½,½). Vektor empat berbeda dengan vektor Euklides dalam bagaimana besar vektornya ditentukan. Transformasi yang tidak mengubah besar tersebut adalah transformasi Lorentz, yang terdiri di antaranya dari rotasi spasial dan boost Lorentz (perubahan ke kerangka acuan inersia lain yang hanya berbeda suatu kecepatan konstan).

Vektor empat menggambarkan, di antaranya, posisi  dalam ruang waktu yang dimodelkan sebagai ruang Minkowski, momentum empat partikel , amplitudo dari potensi-empat elektromagnetik  pada titik  dalam ruang waktu, dan anggota subruang yang direntang oleh matriks gamma di dalam aljabar Dirac.

Grup Lorentz bisa direpresentasikan dengan matriks 4×4 . Transformasi Lorentz pada vektor empat kontravarian  (seperti contoh di atas), yang dianggap sebagai sebuah vektor kolom yang berisi koordinat Kartesius terhadap kerangka acuan inersia, dituliskan sebagai

(perkalian matriks) di mana komponen dari objek akhir adalah koordinat terhadap kerangka yang baru. Terkait dengan contoh vektor kontravarian di atas, terdapat vektor kovarian yang bersesuaian ,  dan . Vektor-vektor kovarian tersebut bertransformasi mengikuti aturan

di mana  melambangkan transpos matriks. Aturan ini berbeda dari aturan yang sebelumnya. Aturan tersebut melambangkan representasi dual dari representasi standar. Akan tetapi, untuk grup Lorentz dual dari representasi manapun ekuivalen dengan representasi yang aslinya. Jadi objek dengan indeks kovarian juga merupakan vektor empat.

Untuk contoh objek empat komponen yang berperilaku baik dalam relativitas khusus tetapi bukan merupakan vektor empat, lihat bispinor. Definisinya mirip, perbedaannya adalah aturan transformasi di bawah transformasi Lorentz dituliskan sebagai representasi selain representasi standar. Dalam kasus ini, aturannya adalah , di mana  adalah matriks 4×4 yang bukan . Perbedaan serupa berlaku pada objek lain yang berperilaku baik di bawah transformasi Lorentz tetapi memiliki banyak komponen yang berbeda, di antaranya adalah skalar, spinor, tensor dan spinor-tensor.