Jelaskan Konsekuensi dari Teorema Sylow

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima  p  setiap Sylow subgrup  p   memiliki urutan yang sama, pn. Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan pn, maka itu adalah Sylow subgrup  p , dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup  p . Karena kondisi maksimalitas, jika  H  adalah salah satu  p  - subgrup dari  G , maka  H  adalah subgrup dari subgrup  p  dari urutan pn.

Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut np = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup  p ,  G  adalah subgrup normal

(ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti S4).

Teorema Sylow untuk grup tak hingga

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup  p  dalam grup tak terbatas menjadi subgrup  p  (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya  p ) yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup  p  dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh lemma Zorn.

Teorema: Jika  K  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , dan np = |Cl(K)| terbatas, maka setiap Sylow subgrup  p  dikonjugasikan menjadi  K , dan np ≡ 1 (mod p), dimana Cl(K) menunjukkan kelas konjugasi  K .