Jabarkan Dua himpunan dengan operasi dari Struktur aljabar

Struktuk-Modul: sistem komposit yang melibatkan dua himpunan dan menggunakan setidaknya dua operasi biner.

Grup dengan operasi: grup G dengan himpunan Ω dan operasi biner Ω × G → G menggunakan aksioma tertentu.

Modul: grup abelian M dan gelanggang R sebagai operator pada M. Anggota R kadang-kadang disebut skalar, dan operasi biner dari perkalian skalar adalah fungsi R × M → M, menggunakan beberapa aksioma. Menghitung operasi gelanggang, sistem tersebut memiliki setidaknya tiga operasi.

Ruang vektor: modul dimana gelanggang R adalah gelanggang pembagian atau bidang.

Ruang kuadrat: ruang vektor V di atas bidang F dengan bentuk kuadrat di V yang mengambil nilai dalam F.

Struktur-Aljabar: sistem komposit yang ditentukan dalam dua himpunan, gelanggang R dan modul-R dengan M operasi yang disebut perkalian. Sebagai sistem dengan lima operasi biner: dua operasi pada R, dari dua M dan satu yang melibatkan R dan M.

Aljabar di atas gelanggang (atau Aljabar-R): modul di atas gelanggang komutatif R, pula operasi perkalian yang kompatibel dengan struktur modul. Distribusi atas penjumlahan dan linearitas sehubungan dengan perkalian dengan elemen R. Teori suatu aljabar di atas suatu bidang berkembang dengan sangat baik.

Aljabar asosiatif: aljabar di atas gelanggang sehingga perkaliannya adalah asosiatif.

Aljabar non-asosiatif: modul di atas cincin komutatif, dilengkapi dengan operasi perkalian gelanggang yang belum tentu asosiatif. Seringkali asosiatif diganti dengan identitas yang berbeda, seperti alternasi, identitas Jacobi, atau identitas Yordania.

Koaljabar: ruang vektor dengan "koperkalian" yang didefinisikan secara ganda dengan aljabar asosiatif.

Aljabar Lie: jenis khusus dari aljabar non-asosiatif yang produknya memenuhi identitas Jacobi.

Koaljabar Lie: ruang vektor dengan "koperkalian" yang didefinisikan secara ganda dengan Lie aljabar.

Aljabar bertingkat: ruang vektor bertingkat dengan struktur aljabar yang kompatibel dengan penilaian. Idenya adalah jika nilai dua elemen a dan b diketahui, kemudian kelas ab diketahui, dan lokasi produk ab ditentukan dalam dekomposisi.

Ruang hasil kali dalam: ruang vektor F V dengan bentuk definisi bilinear .

Empat  atau lebih operasi biner:

Bialjabar: aljabar asosiatif dengan struktur koaljabar yang kompatibel.

Bialjabar Lie: aljabar Lie dengan struktur bialjabar yang kompatibel.

Aljabar Hopf: sebuah bialjabar dengan aksioma koneksi (antipode).

Aljabar Clifford: aljabar asosiatif bertingkat dengan produk eksterior dari beberapa kemungkinan produk dalam. Aljabar eksterior dan aljabar geometris adalah kasus khusus dari konstruksi ini.