Jabarkan Sifat dasar dari Ketertutupan (matematika)

Satu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi sifat ketertutupan. Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai aksioma, yang kemudian biasanya disebut aksioma ketertutupan. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan; namun dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

Ketika sebuah himpunan  bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi, biasanya dapat menemukan himpunan terkecil  yang merupakan ketertutupan. Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut ketertutupan dari  (dengan operasi relasi).  Misalnya, ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan bilangan bulat.  Contoh penting adalah ketertutupan topologi. Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh koneksi Galois, dan selanjutnya oleh monad.

Himpunan S menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.

Kedua penggunaan kata "ketertutupan" tidak perlu disamakan. Penggunaan sebelumnya mengacu pada sifat ketertutupan, dan yang terakhir mengacu pada himpunan ketertutupan terkecil salah satu yang mungkin bukan ketertutupan. Singkatnya, ketertutupan satu himpunan memenuhi sifat ketertutupan.