Jelaskan Monoid sebagian komutatif dari Monoid

Monoid dimana operasinya bersifat komutatif untuk semua elemennya adalah jejak monoid; jejak monoid biasanya terjadi dalam teori komputasi bersamaan.

Dari 16 kemungkinan operasi Boolean biner dari empat yang memiliki identitas dua sisi komutatif dan asosiatif dan dengan demikian membuat himpunan {salah, benar} menjadi monoid komutatif. Dibawah definisi standar, AND dan XNOR menggunakan identitas sedangkan XOR dan OR memiliki identitas yang salah. Monoid dari AND dan OR untuk idempoten dari XOR dan XNOR.

Himpunan bilangan asli  adalah monoid komutatif dibawah penjumlahan (elemen identitas 0) atau perkalian (elemen identitas 1). Submonoid dari  dibawah penambahan disebut monoid numerik.

Himpunan bilangan bulat positif  adalah monoid komutatif dalam perkalian (elemen identitas 1).

Diberikan himpunan , himpunan himpunan bagian dari  adalah monoid komutatif dibawah (elemen identitasnya adalah  sendiri).

Diberikan himpunan , himpunan bagian dari  adalah monoid komutatif dibawah gabungan (elemen identitas adalah himpunan kosong).

Generalisasi contoh sebelumnya, setiap semikis batas adalah monoid komutatif idempoten.

Secara khusus, setiap kisi berbatas dapat diberkahi dengan struktur monoid bertemu dan gabungan. Elemen identitas adalah bagian atas dan bawah kisi. Karena kisi-kisi, Aljabar Heyting dan Aljabar Boolean diberkahi dengan struktur monoid ini.

Setiap himpunan singleton  penutupan dibawah operasi biner • bentuk monoid trivial (satu elemen) merupakan grup trivial.

Setiap grup adalah monoid dan setiap grup abelian adalah monoid komutatif.

Semua semigrup  dapat diubah menjadi monoid dengan menggabungkan elemen  bukan  dan menentukan  untuk semua . Konversi semigrup di monoid ini dilakukan oleh funktor bebas antara kategori semigrup dan kategori monoid.

Jadi, monoid idempoten (sebagai temukan-pertama) dapat dibentuk dengan menggabungkan elemen identitas  ke semigrup nol kiri diatas himpunan . Monoid (disebut temukan-terakhir) bentuk dari grup nol kanan diatas .

Adjoin dari sebuah identitas  ke semigrup kiri-nol dengan dua elemen . Kemudian monoid idempoten dihasilkan  memodelkan urutan leksikografis dari suatu urutan yang diberi urutan elemennya, dengan e mewakili persamaan.

Himpunan yang mendasari setiap gelanggang, dengan operasi penjumlahan atau perkalian. Menurut definisi, gelanggang memiliki identitas perkalian 1.

Bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, atau bilangan kompleks, dengan operasi penjumlahan atau perkalian.

Himpunan semua  oleh  matriks diatas gelanggang tertentu, dengan penambahan matriks atau perkalian matriks sebagai operasi.

Himpunan semua string hingga beberapa alfabet tetap  membentuk monoid dengan rangkaian string sebagai operasinya. String kosong berfungsi sebagai elemen identitas. Monoid ini dilambangkan  dan disebut monoid bebas di atas .

Diberikan monoid , monoid berlawanan  memiliki himpunan operasi dan elemen identitas yang sama , dan operasi ditentukan oleh . Monoid komutatif adalah kebalikan dari monoid itu sendiri.

Diberikan dua himpunan  dan  dengan struktur monoid (atau, secara umum, sejumlah terbatas monoid, , produk Kartesius mereka  adalah monoid (masing-masing, ). Operasi asosiatif dan elemen identitas ditentukan berpasangan.

Monoid . Himpunan semua fungsi dari himpunan tertentu ke  adalah monoid. Elemen identitas adalah fungsi konstanta yang memetakan nilai ke identitas ; operasi asosiatif ditentukan sesetitik.

Monoid  dengan operasi  dan elemen identitas , dan pertimbangkan himpunan kuasa  terdiri dari semua himpunan bagian dari . Operasi biner untuk himpunan bagian tersebut dapat ditentukan dengan . Nilai berubah ke  menjadi monoid dengan elemen identitas . Dengan cara yang sama, himpunan kuasa grup  adalah monoid di bawah produk himpunan bagian grup.

Misalkan  menjadi satu himpunan. Himpunan semua fungsi  membentuk monoid dibawah komposisi fungsi. Identitas hanyalah fungsi identitas. Ini disebut sebagai monoid transformasi penuh dari . Jika  hingga dengan elemen , monoid fungsi pada  hingga dengan elemen .

Generalisasi contoh sebelumnya, misalkan  menjadi kategori dan  objek . Himpunan dari semua endomorfisme dari , dilambangkan , membentuk monoid dibawah komposisi morfisme. Untuk lebih lanjut tentang relasi antara teori kategori dan monoid, lihat dibawah.

Himpunan homeomorfisme kelas dari permukaan kompak dengan jumlah terhubung. Elemen unitnya adalah kelas bola-2 biasa. Selanjutnya, jika  menunjukkan kelas dari torus, dan b menunjukkan kelas bidang proyektif, maka setiap elemen c dari monoid memiliki ekspresi unik berupa  dimana  adalah bilangan bulat positif dan , atau . Maka .

Maka  menjadi monoid siklik urutan , yaitu . Kemudian  untuk beberapa . Faktanya, setiap  tersebut memberikan monoid yang berbeda dengan urutan , dan setiap monoid siklik isomorfik untuk salah satu dari ini.Selain itu,  sebagai fungsi pada titik  diberikan oleh