Tolong jelaskan mengenai Definisi dan akibatnya dari Peta linear

Misalkan  dan  adalah ruang vektor pada medan  Sebuah fungsi  disebut sebuah peta linear apabila untuk setiap dua vektor  dan untuk setiap skalar  terpenuhi dua syarat:

Oleh sebab itu, sebuah peta linear disebut mempertahankan operasi.  Dengan kata lain, tidak bepengaruh apakah pemetaan linear dilakukan sebelum (sisi kanan dari contoh di atas) atau setelah (sisi kiri dari contoh di atas) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Oleh karena sifat asosiatif dari operasi penambahan, dengan operasinya disimbolkan dengan +, untuk setiap vektor  dan skalar  berlaku persamaan berikut:

Dengan melambangkan unsur nol dari ruang vektor  dan  masing-masing dengan  dan , bisa ditemukan bahwa  Misalkan  dan  dalam persamaan homogentias berderajat 1:

Terkadang,  dan  bisa jadi merupakan ruang vektor pada medan yang berbeda. Bila begitu, perlu dijelaskan medan yang mana yang digunakan dalam definisi "linear". Jika  dan  adalah ruang pada medan  yang sama, maka kita akan membahas peta -linear. Misalnya, sekawan dari bilangan kompleks merupakan sebuah peta -linear , tapi bukan merupakanp peta -linear, dengan  dan  masing-masing melambangkan himpunan bilangan real dan bilangan kompleks.

Sebuah peta linear  dengan  dipandang sebgai ruang vektor satu dimensi pada dirinya sendiri disebut fungsional linear.

Pernyataan-pernyataan tersebut digeneralisasi menjadi modul kiri  manapun pada gelanggang  tanpa perubahan, dan menjadi modul kanan manapun ketika mengembalikan perkalian skalar.