Geometri Riemann itu apa sih?

Geometri Riemann adalah cabang geometri diferensial yang mempelajari manifold Riemannian, yaitu suatu manifold mulus dengan sebuah metrik Riemann, artinya dengan sebuah hasil kali dalam di ruang garis singgung pada masing-masing titik yang beragam dengan mulus dari titik ke titik. Ini menghasilkan, di antaranya, bentuk lokal dari sudut, panjang kurva, luas permukaan dan volume. Dari hal-hal tersebut, beberapa kuantitas global lainnya bisa diturunkan dengan mengintegralkan kontribusi-kontribusi lokal.

Geometri Riemann berasal dari pandangan Bernhard Riemann yang diungkapkan dalam kuliah perdananya "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("On the Hypotheses on which Geometry is Based"). Geometri Riemann merupakan generalisasi yang sangat luas dan abstrak dari geometri diferensial permukaan dalam R3. Perkembangan geometri Riemann menyebabkan dihasilkannya hasil yang beragam mengenai geometri permukaan dan perilaku geodesik pada mereka, menggunakan teknik yang bisa diterapkan pada penelitian manifold terdiferensiasi pada dimensi yang lebih tinggi. Geometri Riemann memungkinkan perumusan teori relativitas umum Einstein, menimbulkan dampak mendalam pada teori grup dan teori representasi, serta analisis, dan mendorong pengembangan topologi aljabar dan diferensial.