Jelaskan y = Mx dari Grup titik

dimana asal adalah titik tetap. Elemen kelompok titik dapat berupa rotasi (determinan dari M = 1) atau yang lain refleksi, atau rotasi tidak tepat (determinan dari  M  = −1).

Kelompok titik diskrit di lebih dari satu dimensi datang dalam keluarga tak berhingga, tetapi dari teorema pembatasan kristalografi dan salah satu teorema Bieberbach. setiap jumlah dimensi hanya memiliki jumlah terbatas dari kelompok titik yang simetris di beberapa kisi atau kisi dengan nomor itu. Ini adalah grup titik kristalografi.

Grup titik kiral dan akiral, grup refleksi

Kelompok titik dapat diklasifikasikan ke dalam kelompok  kiral  (atau rotasi murni) dan kelompok  akiral .

Gugus kiral adalah subgrup dari  grup ortogonal khusus SO( d ): grup ini hanya berisi transformasi ortogonal yang mempertahankan orientasi, yaitu, determinan +1. Gugus akiral juga mengandung transformasi determinan −1. Dalam gugus akiral, transformasi yang mempertahankan orientasi membentuk subgrup (kiral) dari indeks 2.

Grup Coxeter Hingga atau  kelompok refleksi  adalah kelompok titik yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pantul yang melewati titik yang sama. Grup peringkat  n  Coxeter memiliki mirror  n  dan diwakili oleh diagram Coxeter-Dynkin. Notasi Coxeter menawarkan notasi tanda kurung yang setara dengan diagram Coxeter, dengan simbol markup untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya. Kelompok refleksi harus akiral (kecuali untuk grup trivial yang hanya mengandung elemen identitas).