Jabarkan Pernyataan ekuivalen dari Teorema dasar aljabar

Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen dengan teorema dasar aljabar:

Setiap polinomial variabel tunggal berderajat positif dengan koefisien real memiliki setidaknya satu akar kompleks.

Setiap polinomial variabel tunggal berderajat positif dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks.Tentunya ini mengimplikasikan pernyataan pada poin sebelumnya, karena semua bilangan real adalah bilangan kompleks. Konversnya, yaitu pernyataan poin pertama mengimplikasikan pernyataan pada poin ini, juga benar, karena polinomial real dapat dituliskan sebagai  hasil kali suatu polinomial kompleks  dengan konjugat kompleksnya  (diperoleh dengan mengganti semua koefisien pada  dengan konjugat kompleksnya). Dengan demikian, akar-akar dari polinomial real tersebut terdiri dari semua akar  dan semua akar  (akarnya berupa konjugat kompleks dari akar-akar ).

Setiap polinomial variabel tunggal dengan derajat positif  dengan koefisien kompleks dapat difaktorkan sebagai dengan  adalah bilangan kompleks.Bilangan-bilangan kompleks adalah akar-akar dari polinomial tersebut. Jika ada akar yang muncul di beberapa faktor, maka akar tersebut merupakan akar ganda dan banyaknya kemunculan akar tersebut merupakan multiplisitas dari akar tersebut. Bukti dari ekuivalensi pernyataan ini telah dituliskan di atas melalui rekursi pada : misalkan  diketahui sebagai akar dari suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi faktor  dan hasil baginya adalah polinomial berderajat  yang akar-akarnya adalah akar-akar lain dari polinomial yang diberikan.

Dua pernyataan selanjutnya ekuivalen dengan pernyataan-pernyataan  di atas, walaupun kedua pernyataan ini tidak melibatkan bilangan kompleks nonreal. Kedua pernyataan ini dapat dibuktikan dengan faktorisasi sebelumnya, dengan mengobservasi bahwa jika  adalah akar nonreal dari polinomial dengan koefisien real, maka  adalah akar dari polinomial tersebut dan  merupakan polinomial real berderajat dua. Sebaliknya, jika suatu polinomial habis dibagi faktor polinomial berderajat dua, maka akar  faktor tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat.

Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat lebih besar daripada dua memiliki faktor berderajat dua dengan koefisien real.

Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat positif dapat difaktorkan sebagai  dengan  adalah bilangan real dan setiap adalah polinomial monik berderajat maksimal dua dengan koefisien real. Faktor  yang memiliki derajat dua tidak memiliki akar real.