Jelaskan Buktinya membutuhkan aksioma pilihan. dari Grup abelian bebas

Bukti menggunakan lemma Zorn (salah satu dari banyak asumsi yang setara dengan aksioma pilihan) dapat ditemukan pada 'Aljabar' Serge Lang. Solomon Lefschetz dan Irving Kaplansky telah mengklaim bahwa menggunakan prinsip tertata dengan baik sebagai pengganti lemma Zorn mengarah pada bukti yang lebih intuitif.

Dalam kasus grup abelian bebas yang dihasilkan secara terbatas, pembuktiannya lebih mudah, tidak memerlukan aksioma pilihan, dan mengarah ke hasil yang lebih tepat. Jika  adalah subgrup dari grup abelian gratis yang dibuat secara terbatas , maka  adalah gratis dan ada basisnya  dari  dan bilangan bulat positif  (yaitu, masing-masing membagi yang berikutnya) sehingga  adalah dasar dari  Selain itu, urutannya  hanya bergantung pada  dan  dan bukan pada dasar tertentu  yang memecahkan masalah.

Sebuah bukti konstruktif dari bagian keberadaan teorema disediakan oleh algoritma apa pun yang menghitung bentuk normal Smith dari matriks bilangan bulat. Keunikan mengikuti dari fakta bahwa, untuk , pembagi persekutuan terbesar dari anak di bawah umur pangkat  dari matriks tidak berubah selama penghitungan bentuk normal Smith dan merupakan hasilkali  0ada akhir penghitungan.

Karena setiap grup abelian yang dihasilkan secara hingga adalah hasil bagi dari grup abelian gratis yang dihasilkan secara terbatas oleh sebuah submodul, teorema fundamental grup abelian yang dihasilkan secara hingga adalah akibat wajar dari hasil di atas.