Jelaskan Torsi dan pembagian dari Grup abelian bebas

Semua grup abelian gratis adalah bebas torsi, artinya tidak ada elemen grup (non-identitas)  dan integer bukan nol  semacam itu bahwa .

Sebaliknya, semua grup abelian bebas torsi yang dihasilkan tanpa batas adalah abelian bebas. Hal yang sama berlaku untuk kerataan, karena grup abelian bebas torsi jika dan hanya jika datar.

Kelompok aditif dari bilangan rasional  memberikan contoh grup abelian bebas torsi (tetapi tidak dihasilkan secara hingga) yang bukan abelian gratis. Salah satu alasannya  tidak abelian gratis adalah bahwa itu habis dibagi, artinya, untuk setiap elemen  dan setiap bilangan bulat bukan nol , dimungkinkan untuk mengekspresikan  sebagai beberapa skalar  dari elemen lain . Sebaliknya, kelompok abelian bebas bukan nol tidak pernah dapat dibagi, karena tidak mungkin salah satu elemen dasarnya menjadi kelipatan bilangan bulat nontrivial dari elemen lain.

Kaitannya dengan grup abelian lainnya

Diberikan grup abelian arbitrer , selalu ada grup abelian gratis  dan perkiraan homomorfisme grup dari  hingga . Salah satu cara untuk membuat suatu perkiraan ke grup tertentu  adalah karena  jadilah grup abelian gratis di atas , direpresentasikan sebagai jumlah formal. Kemudian perkiraan dapat ditentukan

dengan memetakan jumlah formal di  ke jumlah anggota  yang sesuai. Artinya, peta perkiraan

dimana  adalah koefisien bilangan bulat dari elemen basis  dalam jumlah formal tertentu,

jumlah pertama di , dan jumlah kedua di . Perkiraan ini adalah homomorfisme grup unik yang memperluas fungsi , dan konstruksinya dapat dilihat sebagai contoh dari sifat universal.

Jika  dan  seperti di atas, kernel  dari perkiraan dari  to  juga bebas abelian, karena ini adalah subgrup  (subgrup elemen yang dipetakan ke identitas).

Oleh karena itu, grup ini membentuk urutan persis pendek

di mana  dan  keduanya abelian gratis dan  isomorfik ke grup faktor . Ini adalah resolusi bebas dari .  Furthermore, assuming the axiom of choice, grup abelian gratis tepatnya adalah objek proyektif dalam kategori grup abelian.