Jabarkan Sudut Euler yang tepat dari Sudut Euler

Asumsikan bingkai dengan vektor unit (X, Y, Z) diberikan oleh koordinat mereka seperti pada diagram utama, dapat dilihat bahwa:

Sebagai  adalah proyeksi ganda dari vektor kesatuan,

Ada konstruksi serupa untuk , memproyeksikannya terlebih dahulu di atas bidang yang ditentukan oleh sumbu  z  dan garis simpul. Seperti sudut antar bidang  dan , hal ini mengarah ke:

dan terakhir, menggunakan fungsi kosinus invers,