Jelaskan atau dari Produk setengah langsung

atau bahwa   split  over ; satu juga mengatakan bahwa  adalah setengah langsung dari  yang bekerja pada , atau bahkan produk setengah langsung dari  dan . Untuk menghindari ambiguitas, disarankan untuk menentukan subgrup yang normal.

Hasilkali setengah langsung dalam dan luar

Pertama-tama mari kita pertimbangkan produk semidirect bagian dalam. Dalam kasus ini, untuk grup , pertimbangkan subgrup normalnya  dan subgrup  (belum tentu normal). Asumsikan bahwa

kondisi pada daftar di atas tahan. Karena  menunjukkan grup dari semua automorfisme dari , yang merupakan grup dalam komposisi. Bangun homomorfisme grup  didefinisikan dengan konjugasi  untuk semua  di  dan  pada . Ekspresi  sering ditulis sebagai  untuk singkatnya. Dengan cara ini kita dapat membuat grup  dengan operasi grup didefinisikan sebagai  dari  pada  dan  in . Subkelompok  dan  menentukan isomorfisme  hingga, seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Dengan cara ini, kita bisa membuat grup  dari subgrupnya. Konstruksi semacam ini disebut produk setengah langsung bagian dalam.

Sekarang mari kita pertimbangkan hasil kali setengah langsung luar. Diberikan dua grup apa saja  dan  dan satu kelompok homomorfisme , kita bisa membuat grup , disebut produk setengah langsung luar''' dari  dan  sehubungan dengan , defined as follows:

Mendefinisikan grup di mana elemen identitasnya adalah  dan kebalikan dari elemen  adalah .  membentuk subkelompok normal isomorfik menjadi , sementara  membentuk subkelompok isomorfik ke . Grup lengkap adalah produk setengah-langsung dari dua subgrup tersebut dalam pengertian yang diberikan sebelumnya.

Sebaliknya, misalkan kita diberi grup  dengan subgrup normal  dan subgrup , sedemikian rupa sehingga setiap elemen  dari  dapat ditulis secara unik dalam bentuk  di mana  terletak di  dan  ada di . Maka  jadilah homomorfisme (tertulis ) given by