Jabarkan Kisi subgrup normal dari Subgrup normal

Diberikan dua subgrup normal,  dan , dari , persimpangannya and their product  juga merupakan subgrup normal dari .

Subgrup normal dari  membentuk  kisi di bawah subset inclusion dengan least element, , dan elemen terbesar, .  bertemu dari dua subgrup normal,  dan , dalam kisi ini adalah perpotongannya dan  join adalah hasil kali mereka.

Kisi tersebut adalah  lengkap dan  modular.

Subgrup normal, grup hasil bagi dan homomorfisme

Jika  adalah subgrup normal, kita bisa mendefinisikan perkalian koset sebagai berikut:Relasi ini mendefinisikan pemetaan . Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik, perlu dibuktikan bahwa pemilihan elemen perwakilan  tidak mempengaruhi hasil. Untuk tujuan ini, pertimbangkan beberapa elemen perwakilan lainnya . Maka ada  mendefinisikan . Oleh karena itu di mana kami menggunakan  adalah subgrup  normal , dan oleh karena itu ada  karena . Ini membuktikan bahwa produk ini adalah pemetaan antar kohimpunan yang terdefinisi dengan baik.

Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut grup hasil bagi dan dilambangkan dengan . Ada  homomorfisme alami, , given by . Homomorfisme ini memetakan  ke dalam elemen identitas , yang merupakan kohimpunan , that is, .

Secara umum, homomorfisme grup,  mengirim subgrup dari  ke subgrup dari . Juga, preimage dari setiap subgrup dari  adalah subgrup dari . Kami menyebut preimage dari grup trivial  di   kernel dari homomorfisme dan dilambangkan dengan . Ternyata, kernel selalu normal dan citra , , selalu isomorfik menjadi  (the teorema isomorfisme pertama). Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari , , dan himpunan semua gambar homomorfik dari  (hingga isomorfisme). Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, , adalah  itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan  domain .