Jelaskan Contoh dari Grup Abelian

Untuk bilangan bulat dan operasi penambahan  dilambangkan , operasi + menggabungkan dua bilangan bulat untuk membentuk bilangan bulat ketiga, penambahan bersifat asosiatif, sedangkan nol adalah identitas aditif, setiap bilangan bulat  dengan menggunakan aditif invers,  dan operasi penambahan bersifat komutatif karena  untuk dua bilangan bulat  dan .

Setiap grup siklik  adalah abelian, karena jika ,  dengan , maka . Maka bilangan bulat, , membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh bilangan bulat modulo  dan .

Setiap gelanggang adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam gelanggang komutatif elemen invers atau unit membentuk abelian grup perkalian. Secara khusus, bilangan riil adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.

Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal, maka setiap subgrup adalah grup hasil bagi. Subgrup, hasil, dan jumlah langsung adalah grup abelian. Grup abelian sederhana hingga merupakan grup siklik dari  urutan prima.

Konsep grup abelian dan modul-. Lebih khusus, setiap modul- adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat  dengan cara unik.

Secara umum, matriks bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena perkalian matriks umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup  pada matriks rotasi.