Jelaskan Korelasi dari Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Dinyatakan secara berbeda, teorema fundamental mengatakan bahwa grup abelian yang dihasilkan secara terbatas adalah jumlah langsung dari grup abelian gratis dari peringkat dan grup abelian hingga, masing-masing unik hingga isomorfisme. Grup abelian terbatas hanyalah subgrup torsi dari  G . Pangkat  G  didefinisikan sebagai pangkat bagian bebas torsi dari  G ; ini hanyalah angka  n  pada rumus di atas.

Sebuah korelasi pada teorema fundamental adalah bahwa setiap grup abelian bebas torsi adalah abelian bebas. Kondisi yang dihasilkan tak terbatas sangat penting di sini:  bebas torsi tetapi bukan abelian gratis.

Setiap subgrup dan grup faktor dari grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi dihasilkan abelian tak terhingga. Grup abelian yang dihasilkan tak terbatas, bersama dengan homomorfisme grup, membentuk kategori abelian yang merupakan Serre subkategori dari kategori grup abelian.

Grup abelian yang dibuat tidak terbatas

Perhatikan bahwa tidak setiap grup abelian dengan peringkat terbatas dihasilkan secara terbatas; kelompok peringkat 1  adalah salah satu contoh berlawanan, dan grup peringkat-0 diberikan oleh jumlah langsung terhitung tak terhingga banyak salinan dari  adalah satu sama lain.