Jabarkan Deret-φ dari Deret harmonik (matematika)

Untuk setiap cembung, fungsi bernilai real  seperti

dimana  adalah independen, variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai  dan  dengan propabilitas sama dengan , dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas dengan probabilitas 1. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari teorema tiga deret Kolmogorov atau dari pertidaksamaan maksimal Kolmogorov yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas Alberta lebih lanjut memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah variabel acak dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, fungsi kepekatan probabilitas dari variabel acak ini dievalusi pada  atau pada  mengambil nilai , berbeda dari  kurang dari . Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, . Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga  dibagi oleh .