Jelaskan dan dari Bentuk modular

Syarat  diperlukan untuk menjamin deret konvergen; andaikan  ganjil maka suku   dan suku  saling mengeliminasi satu sama lain pada deret, sehingga deretnya menjadi fungsi nol.

II. Fungsi theta pada kekisi unimodular genap

Kekisi unimodular genap  pada  adalah kekisi yang dibangkitkan oleh  vektor yang membentuk kolom-kolom suatu matriks dengan determinan 1 dan memenuhi kuadrat panjang setiap vektor di  adalah bilangan genap. Fungsi theta

konvergen jika Im(z) > 0, dan merupakan bentuk modular dengan bobot   dari identitas deret Poisson. Konstruksi kekisi unimodular genap tidaklah mudah, namun berikut salah satu caranya: misalkan  adalah bilangan asli kelipatan 8 and tinjau semua vektor  di  sedemikian sehingga  memiliki koordinat bilangan bulat, yang semuanya genap atau semua ganjil, dan jumlah semua koordinat pada   adalah bilangan genap. Misalkan kekisi ini sebagai . Jika , kekisi ini dibangkitkan oleh akar-akar pada sistem akar yang biasa disebut E8. Karena hanya terdapat satu bentuk modular dengan bobot 8 up to perkalian skalar,

walaupun kekisi  dan  tidaklah similar. John Milnor mengamati bahwa tori berdimensi 16 yang diperoleh melalui topologi hasil bagi  dengan kekisi  dan dengan kekisi  adalah contoh dua manifold Riemann kompak yang isospektral, namun tidak isometrik. (lihat Hearing the shape of a drum.)