Jabarkan Teori Galois dari Grup siklik

Sebuah  n akar persatuan adalah bilangan kompleks yang pangkat  n  nya adalah 1,  akar dari [[polynomial] ] xn − 1. Himpunan semua akar kesatuan  n membentuk kelompok urutan siklik  n  dalam perkalian. Misalnya, polinomial  factors as , dimana ; the set {1, ω, ω2} = {ω0, ω1, ω2} membentuk kelompok siklik dalam perkalian. Grup Galois dari ekstensi bidang dari bilangan rasional yang dihasilkan oleh akar kesatuan  n membentuk grup yang berbeda, isomorfik ke grup perkalian (Z/nZ)× urutan   φ ( n ), yang merupakan siklus untuk beberapa tetapi tidak semua  n  (lihat di atas).

Ekstensi bidang disebut ekstensi siklik jika grup Galoisnya adalah siklik. Untuk bidang  karakteristik nol, ekstensi tersebut adalah subjek teori Kummer, dan terkait erat dengan solvabilitas oleh radikal. Untuk perpanjangan bidang hingga karakteristik  p , grup Galoisnya selalu terbatas dan siklik, yang dihasilkan oleh kekuatan  Frobenius mapping. Sebaliknya, diberi bidang hingga  F  dan grup siklik hingga  G , ada ekstensi bidang hingga  F  yang grup Galoisnya adalah  G .