Jabarkan Contoh dari Persamaan Diophantus

Dalam Persamaan Diophantus berikut ini, , , , dan  adalah yang tidak diketahui dan huruf lainnya diberi konstanta:

Persamaan Diophantus linear paling sederhana mengambil bentuk , dimana ,  dan  adalah bilangan bulat yang diberikan. Penyelesaiannya dijelaskan oleh teorema berikut:

Persamaan Diophantus memiliki penyelesaian (dimana  dan  adalah bilangan bulat) jika dan hanya jika  adalah kelipatan dari faktor persekutuan terbesar dari  dan . Selain itu, jika  adalah penyelesaiannya, maka penyelesaian lain memiliki bentuk , dimana  adalah bilangan bulat sembarang, dan  dan  adalah hasil dari  dan  (masing-masing) oleh pembagi persekutuan terbesar dari  dan .

Bukti: Jika  adalah pembagi persekutuan terbesar ini, identitas Bézout menegaskan keberadaan bilangan bulat  dan   termasuk bilangan bulat . Jika  adalah kelipatan dari , maka  adalah untuk beberapa penyelesaian bilangan bulat , dan . Di sisi lain, untuk setiap pasangan bilangan bulat  dan , faktor persekutuan terbesar  untuk  dan  dan memisahkan . Jadi, jika persamaan memiliki penyelesaian, maka  harus kelipatan . Jika  dan  adalah bilangan bulat yang sudah lama untuk setiap penyelesaian , kita memiliki