Tolong jelaskan mengenai Keberadaan dan ketunggalan dari Infimum dan supremum

Infimum dan supremum tidak sepenuhnya harus ada. Keberadaan infimum dari himpunan terurut parsial  dari  dapat gagal jika  tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan batas bawah tidak berisi suatu anggota terbesar. Namun, jika infimum atau supremum ada, maka batasnya dikatakan tunggal.

Keberadaan infimum dalam himpunan terurut parsial menjadi sangat menarik. Sebagai contoh, kekisi adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian tak kosong terhingga di dalamnya memiliki supremum dan infimum, serta kekisi sempurna adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian di dalamnya memiliki supremum dan infimum.

Jika supremum himpunan bagian  ada, batasnya dikatakan tunggal, Jika  berisi suatu anggota terbesar, maka anggota itu supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik  (alias tidak ada). Begitupula untuk infimum: Jika infimum ada, batasnya dikatakan tunggal. Jika  berisi suatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki  (alias tidak ada).

Kaitannya dengan anggota maksimum dan minimum

Infimum himpunan bagian  dari himpunan terurut parsial , asumsi kalau ada, tidak perlu milik . Jika hal tersebut benar, maka dapat dikatakan mempunyai anggota terkecil . Demikian pula, jika supremum  milik , maka batasnya adalah anggota terbesar .

Sebagai contoh, misalkan ada himpunan bilangan real negatif (tak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota himpunan, masih ada anggota lain yang lebih besar. Katakanlah, untuk setiap bilangan real negatif , masih ada bilangan real negatif  yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti merupakan suatu batas atas himpunan tersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki suatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.

Namun, definisi anggota maksimum dan minimum adalah definisi yang lebih umum. Secara khusus, suatu himpunan dapat memiliki banyak anggota maksimum dan miniuml, sedangkan infimum dan supremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus merupakan anggota dari himpunan bagian yang diketahui, sedangkan infimum dan supremum himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.