Jabarkan Grup dihedral biner dari Grup disiklik

Grup disiklik adalah grup polihedral biner - ini adalah salah satu kelas subkelompok dari Grup pin Pin -(2), yang merupakan subgrup dari Spin group Spin (3), dan dalam konteks ini dikenal sebagai grup dihedral biner.

Koneksi dengan grup siklik biner C2n, grup siklik Cn, dan grup dihedral Dihn dengan urutan 2n diilustrasikan dalam diagram di sebelah kanan, dan paralel dengan diagram yang sesuai untuk grup Pin. Coxeter menulis  grup dihedral biner  sebagai ⟨2,2,n⟩ dan  grup siklik biner  dengan tanda kurung siku, ⟨n⟩.

Ada kemiripan yang dangkal antara gugus disiklik dan gugus dihedral; keduanya adalah semacam "pencerminan" dari grup siklik yang mendasarinya. Tetapi presentasi dari grup dihedral akan memiliki x2 = 1, instead of x2 = an; dan ini menghasilkan struktur yang berbeda. Secara khusus, Dicn bukan merupakan produk semidirect dari  A  dan , karena  A  ∩  tidak trivial.

Gugus siklik memiliki involusi yang unik (yaitu elemen orde 2), yaitu x2 = an. Perhatikan bahwa elemen ini terletak di pusat dari Dicn. Memang, pusat hanya terdiri dari elemen identitas dan x2. Jika kita menambahkan relasi x2 = 1 untuk presentasi Dicn one mendapatkan presentasi dari grup dihedral Dih2n, jadi kelompok hasil bagi Dicn/<x2> isomorfik untuk Dihn.

Ada 2-ke-1 homomorfisme alami dari kelompok satuan quaternions ke 3-dimensi grup rotasi dijelaskan di kuaternion dan rotasi spasial. Karena grup disiklik dapat disematkan di dalam satuan quaternions, seseorang dapat bertanya apa gambarnya di bawah homomorfisme ini. Jawabannya hanyalah kelompok simetri dihedral Dihn. Karena alasan ini, kelompok disiklik juga dikenal sebagai grup dihedral biner. Perhatikan bahwa grup disiklik tidak berisi subkelompok isomorfik apa pun Dihn.

Konstruksi pra-gambar analog, menggunakan Pin+(2) dari Pin−(2), menghasilkan gugus dihedral lain, Dih2n, bukan grup siklik.