1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · itu apa sih?

adalah deret divergen yang menjumlahkan faktorial dari bilangan asli dengan tanda positif dan negatif yang berubah secara selang-seling. Walaupun hasilnya divergen, deret tersebut dapat mempunyai nilai sekitar 0,596347 berdasarkan penjumlahan Borel.

Penjumlahan Euler dan penjumlahan Borel

Deret ini pertama kali dianggap Euler sebagai deret divergen, ketika ia menerapkan metode penjumlahan untuk menetapkan nilai hingga ke deret. Deret tersebut merupakan jumlah dari faktorial yang ditambahkan atau dikurangi secara berselang-seling. Satu-satu cara menetapkan nilai ke deret divergen tersebut adalah dengan menggunakan penjumlahan Borel. Secara formal, penjumlahan Borel ditulis sebagai

Jika penjumlahan dan integrasi dipertukarkan (abaikan bahwa tidak ada sisi yang konvergen), maka diperoleh:

Penjumlahan yang ada di dalam tanda kurung bersiku konvergen saat , dan untuk nilai-nilai tersebut sama dengan . Kontinuasi analitik dari  untuk semua bilangan asli  mengarah ke integral konvergen untuk penjumlahan:

dengan E1(z) adalah integral eksponensial. Cara tersebut merupakan definisi jumlah Borel dari deret.