Coba jelasin Contoh dari Produk langsung dong

Jika kita pikirkan  sebagai himpunan bilangan riil, maka produk langsung  hanyalah produk Kartesius .

Jika kita memikirkan  sebagai grup dari bilangan real di bawah penambahan, kemudian produk langsung  masih punya  sebagai himpunan yang mendasarinya. Perbedaan antara ini dan contoh sebelumnya adalah itu  sekarang menjadi grup, jadi kami juga harus menjelaskan cara menambahkan elemennya. Ini dilakukan dengan mendefinisikan .

Jika kita memikirkan  sebagai gelanggang dari bilangan real, kemudian produk langsung  lagi memiliki  sebagai himpunan yang mendasarinya. Cincin struktur cincin terdiri dari penambahan yang ditentukan oleh  dan perkalian ditentukan oleh .

Namun, jika kita pikirkan  sebagai bidang dari bilangan real, kemudian produk langsung  tidak ada secara naif mendefinisikan penjumlahan dan perkalian secara komponen seperti pada contoh di atas tidak akan menghasilkan bidang karena elemen  tidak memiliki invers perkalian.

Dengan cara yang sama, kita dapat berbicara tentang produk langsung dari banyak struktur aljabar, mis. . Hal ini bergantung pada fakta bahwa produk langsungnya adalah asosiatif hingga isomorfisme. Artinya,  untuk setiap struktur aljabar , , dan  dari jenis yang sama. Produk langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu  untuk setiap struktur aljabar  dan  dari jenis yang sama. Kita bahkan dapat berbicara tentang hasil kali langsung dari banyak struktur aljabar yang tak terhingga; misalnya kita dapat mengambil produk langsung dari terhitung banyak salinan , yang kami tulis sebagai .