Jelaskan Contoh dari Grup siklik

Bilangan bulat dan penambahan modular

Himpunan bilangan bulat Z, dengan operasi penjumlahan, membentuk grup. Ini adalah grup siklik tak terbatas, karena semua bilangan bulat dapat ditulis dengan menambahkan atau mengurangkan bilangan tunggal 1 berulang kali. Dalam grup ini, 1 dan −1 adalah satu-satunya generator. Setiap grup siklik tak terbatas isomorfik untuk Z.

Untuk setiap bilangan bulat positif  n , himpunan bilangan bulat  modulo  n , sekali lagi dengan operasi penjumlahan, membentuk grup siklik hingga, dilambangkan Z/nZ.

Bilangan bulat modular  i  adalah generator grup ini jika  i  relatif prima hingga  n , karena elemen ini dapat menghasilkan semua elemen lain dari grup melalui penambahan bilangan bulat.

(Jumlah generator tersebut adalah  φ ( n ), di mana  φ  adalah Fungsi total Euler.)

Setiap grup siklik hingga  G  isomorfik Z/nZ, where n = |G| adalah urutan grup.

Operasi penambahan pada integer dan integer modular, digunakan untuk mendefinisikan grup siklik, adalah operasi penambahan cincin komutatif, juga dilambangkan dengan Z dan Z/nZ atau Z/(n). Jika  p  adalah  prima, maka Z/pZ adalah bidang terbatas, dan biasanya dilambangkan dengan  'F'  p  atau GF( p ) untuk bidang Galois.