Jelaskan Beberapa teorema dari Presentasi grup

Teorema. Setiap grio memiliki presentasi.

Untuk melihat ini, diberi grup  G , pertimbangkan grup bebas  F G   pada  G . Dengan sifat universal grup bebas, terdapat homomorfisme grup  yang batasannya untuk  G  adalah peta identitas. Misalkan  K  menjadi kernel dari homomorfisme ini. Kemudian  K  normal di FG, Oleh karena itu sama dengan penutupan normalnya, jadi . Karena peta identitas bersifat surjektif,  φ  juga bersifat surjektif, jadi menurut  Teorema Isomorfisme Pertama, . Presentasi ini mungkin sangat tidak efisien jika  G  dan  K  lebih besar dari yang diperlukan.

Korollari. Setiap grup terbatas memiliki presentasi yang terbatas.

Seseorang dapat mengambil elemen grup untuk generator dan tabel Cayley untuk relasi.