Jabarkan Aljabar dari Klein empat grup

Menurut teori Galois, keberadaan empat kelompok Klein (dan khususnya, representasi permutasi dari itu) menjelaskan keberadaan rumus untuk menghitung akar persamaan kuartik s dalam hal  radikal, sebagaimana ditetapkan oleh Lodovico Ferrari:

peta  sesuai dengan kubik pemecah, dalam hal resolusi Lagrange.

Dalam konstruksi gelanggang berhingga, delapan dari sebelas cincin dengan empat elemen memiliki empat kelompok Klein sebagai substruktur aditifnya.

Jika R× menunjukkan kelompok perkalian dari non-nol real dan R+ kelompok perkalian riil positif, R× × R× adalah grup unit dari gelanggang , dan  adalah subgrup dari  (sebenarnya ini adalah komponen identitas dari ). Grup hasil bagi  isomorfik ke empat kelompok Klein. Dengan cara yang sama, kelompok unit  gelanggang bilangan kompleks pisah, jika dibagi dengan komponen identitasnya, juga menghasilkan grup empat Klein.