Jelaskan Contoh dari Unsur identitas

Pada contoh , dengan persamaan yang dinyatakan (lihat tabel sebelumnya),  merupakan semigrup. Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untuk yang mempunyai beberapa identitas kiri. Bahkan, setiap elemen bisa dapat identitas kiri. Dengan cara yang sama, kemungkinan untuk yang juga mempunyai beberapa identitas kanan. Namun, jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen, yang menghasilkan identitas dwipihak.

Untuk memperlihatkannya, perhatikan bahwa jika adalah identitas kiri dan adalah identitas kanan, maka . Secara khusus, persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak: jika ada dua unsur, katakanlah dan , maka  harus sama dengan dan .

Hal ini mungkin juga tidak mempunyai elemen identitas, seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian. Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan. Artinya, perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya. Namun, contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif.

M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, , p. 14–15