Jelaskan dimana 'perkalian' didefinisikan sehingga dari Grup abelian bebas

Dengan dasar ini, tidak ada cara lain untuk menulis (4,3). Namun dengan basis yang berbeda seperti {(1,0), (1,1)}, di mana  dan , maka hal itu bisa ditulis sebagai

Secara lebih umum, setiap kisi membentuk grup abelian gratis dihasilkan dengan baik. Kisi-kisi bilangan bulat berdimensi  d  memiliki basis alami yang terdiri dari bilangan bulat positif vektor satuan, tetapi memiliki banyak basis lain juga: jika  M  adalah matriks integer  d  ×  d  dengan determinan ± 1, maka baris  M  membentuk basis, dan sebaliknya setiap basis dari integer kisi memiliki bentuk ini. Untuk lebih lanjut tentang kasus dua dimensi, lihat pasangan periode fundamental.

Jumlah langsung, produk langsung, dan grup trivial

produk langsung dari dua grup abelian bebas itu sendiri adalah abelian gratis, dengan basis persatuan disjoint dari basis kedua grup. Secara umum, produk langsung dari beberapa grup abelian gratis yang jumlahnya terbatas adalah abelian gratis. Kisi bilangan bulat berdimensi  d , misalnya, isomorfik terhadap produk langsung dari salinan  d  dari grup bilangan bulat Z.

Grup sepele {0} juga dianggap abelian gratis, dengan basis himpunan kosong. Ini dapat diartikan sebagai produk langsung dari nol salinan Z.

Untuk rumpun tak terbatas dari grup abelian gratis, produk langsung (rumpun tupel elemen dari masing-masing grup, dengan penambahan pointwise) belum tentu abelian bebas.

Misalnya grup Baer–Specker , sebuah kelompok tak terhitung dibentuk sebagai produk langsung dari terhitung banyak salinan , ditunjukkan pada tahun 1937 oleh Reinhold Baer untuk tidak menjadi abelian bebas; Ernst Specker membuktikan pada tahun 1950 bahwa setiap subkelompok yang dapat dihitung dari  adalah abelian bebas.

jumlah langsung dari banyak grup hingga sama dengan produk langsung, tetapi berbeda dari produk langsung pada jumlah penjumlahan tak terbatas; unsur-unsurnya terdiri dari tupel unsur-unsur dari setiap kelompok dengan semua tetapi banyak dari mereka terbatas sama dengan unsur identitas. Seperti dalam kasus jumlah penjumlahan yang terbatas, jumlah langsung dari banyak kelompok abelian bebas yang tak terhingga tetap menjadi abelian bebas, dengan dasar yang dibentuk oleh (gambar dari) persatuan terputus dari dasar-dasar sumand.

produk tensor dari dua grup abelian bebas selalu merupakan abelian gratis, dengan basis produk Kartesius dari basis untuk dua grup dalam produk.

Setiap grup abelian gratis dapat digambarkan sebagai jumlah langsung dari salinan , dengan satu salinan untuk setiap anggota dasarnya. Konstruksi ini memungkinkan himpunan  B  menjadi dasar dari grup abelian bebas.

Fungsi bilangan bulat dan jumlah formal

Diberikan himpunan  B , seseorang dapat mendefinisikan grup  yang elemennya adalah fungsi dari  B  ke bilangan bulat, di mana tanda kurung di superskrip menunjukkan bahwa hanya fungsi dengan banyak nilai bukan nol yang disertakan.

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi seperti itu, maka  f  +  g  adalah fungsi yang nilainya merupakan penjumlahan dari nilai dalam  f  dan  g : yaitu, (f + g)(x) = f(x) + g(x) . Operasi penambahan searah ini menghasilkan  struktur grup abelian.

Setiap elemen  x  dari himpunan  B  yang diberikan sesuai dengan anggota , fungsi  e x   yang untuk ex(x) = 1 dan untuk ex(y) = 0 pada y ≠ x.

Every function f in  adalah kombinasi linear yang unik dari sejumlah elemen basis yang terbatas:

Jadi, elemen  e x   ini membentuk dasar untuk , and  adalah grup abelian gratis.

Dengan cara ini, setiap himpunan  B  dapat dijadikan basis grup abelian bebas.