Jabarkan yang menyederhanakan ke . dari Aturan pangkat

Setelah , kami dapat menggunakan definisi yang sama dengan , dimana kita sekarang punya . Hal ini selalu mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan itu karena  tidak memiliki definisi konvensional kapan  bukan bilangan rasional, fungsi daya irasional tidak didefinisikan dengan baik untuk basis negatif. Selain itu, karena pangkat rasional -1 dengan penyebut genap (dalam suku terkecil) bukanlah bilangan real, ekspresi ini hanya dinilai nyata untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terkecil).

Terakhir, setiap kali fungsi dapat dibedakan di , batas yang menentukan untuk turunannya adalah:

yang menghasilkan 0 hanya jika  adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah) dan , and 1 when r = 1. Untuk semua nilai r lainnya, ekspresi  tidak didefinisikan dengan baik untuk , seperti yang dibahas di atas, atau bukan bilangan real, sehingga batas tidak ada sebagai turunan bernilai nyata. Untuk dua kasus yang benar-benar ada, nilainya sesuai dengan nilai aturan pangkat yang ada di nilai 0.

Bukti untuk eksponen integer bukan nol

Pembuktian dengan induksi (bilangan bulat positif)

Bila n menjadi bilangan bulat positif. Itu diperlukan untuk membuktikan itu