Jabarkan Generalisasi dari Relasi Green

Pada dasarnya ada dua cara untuk menggeneralisasi teori aljabar. Salah satunya adalah mengubah definisinya sehingga mencakup lebih banyak atau objek berbeda; cara lain yang lebih halus, adalah menemukan beberapa hasil yang diinginkan dari teori dan mempertimbangkan cara alternatif untuk mencapai kesimpulan itu.

Mengikuti rute pertama, versi analog dari hubungan Green telah ditentukan untuk semigelanggang (Grillet 1970) dan cincin (Petro 2002). Beberapa, tapi tidak semua, properti yang terkait dengan relasi dalam semigroup terbawa ke kasus ini. Dengan tetap berada dalam dunia semigroup, hubungan Green dapat diperluas hingga mencakup relativ ideal, yang merupakan himpunan bagian yang hanya ideal berkenaan dengan subsemigroup (Wallace 1963).

Untuk generalisasi jenis kedua, peneliti telah berkonsentrasi pada sifat-sifat bijection antara kelas  L  dan  R . Jika  x   R   y , maka selalu mungkin untuk menemukan bijections antara Lx dan Ly yaitu  R  pengawetan kelas. (Artinya, jika dua elemen dari kelas  L , maka gambar mereka di bawah kebijaksanaan akan tetap berada di kelas  R  yang sama.) Pernyataan ganda untuk  x   L   y  juga berlaku. Bijections ini adalah terjemahan kanan dan kiri, terbatas pada kelas kesetaraan yang sesuai. Pertanyaan yang muncul adalah: bagaimana lagi bisa?

Misalkan Λ dan Ρ adalah semigroup transformasi parsial dari beberapa semigroup  S . Dalam kondisi tertentu, dapat ditunjukkan bahwa jika x Ρ = y Ρ, dengan x ρ1 = y dan y ρ2 = x, lalu pembatasan

ρ1 : Λ x → Λ y

ρ2 : Λ y → Λ x

adalah bias yang saling berlawanan. (Biasanya, argumen ditulis di kanan untuk Λ, dan di kiri untuk Ρ.) Kemudian hubungan  L  dan  R  dapat didefinisikan dengan

x L y jika dan hanya jika Λ x = Λ y

x R y jika dan hanya jika x Ρ = y Ρ

dan  D  dan  H  ikuti seperti biasa. Generalisasi  J  bukan bagian dari sistem ini, karena ia tidak berperan dalam properti yang diinginkan.

Kami menyebut (Λ, Ρ) sebagai  Pasangan Hijau . Ada beberapa pilihan semigroup transformasi parsial yang menghasilkan relasi asli. Salah satu contohnya adalah dengan menjadikan Λ sebagai semigroup dari semua terjemahan kiri pada  S  1 , terbatas pada  S , dan Ρ semigroup terkait dari terjemahan kanan yang dibatasi.

Definisi ini disebabkan oleh Clark dan Carruth (1980). Mereka memasukkan karya Wallace, serta berbagai definisi umum lainnya yang diusulkan pada pertengahan 1970-an. Aksioma penuh cukup panjang untuk dinyatakan; informal, persyaratan yang paling penting adalah bahwa Λ dan Ρ harus berisi transformasi identitas, dan elemen Λ.