Jabarkan Sejarah dari Fungsi transendental

Fungsi transendental sinus dan kosinus adalah ditabulasi dari pengukuran fisik di zaman kuno, sebagaimana dibuktikan di Yunani (Hipparchus) dan India (jya dan koti-jya). Dalam mendeskripsikan tabel akord Ptolemy, yang setara dengan tabel sinus, Olaf Pedersen menulis:

Pemahaman revolusioner tentang fungsi melingkar ini terjadi pada abad ke-17 dan dijelaskan oleh Leonhard Euler pada tahun 1748 dalam Pengantar Analisis Tak Hingga. Fungsi transendental kuno ini dikenal sebagai fungsi kontinu melalui kuadratur dari hiperbola persegi panjang xy = 1 oleh Grégoire de Saint-Vincent pada tahun 1647, dua milenium setelah Archimedes memproduksi Quadrature dari Parabola.

Area di bawah hiperbola terbukti memiliki properti penskalaan area konstan untuk rasio batas konstan. Fungsi logaritma hiperbolik yang dijelaskan adalah layanan terbatas sampai 1748 ketika Leonhard Euler mengaitkannya dengan fungsi di mana konstanta dinaikkan menjadi eksponen variabel, seperti fungsi eksponensial di mana konstanta basis adalah e. Dengan memperkenalkan fungsi transendental ini dan mencatat properti bijection yang menyiratkan sebuah fungsi invers, beberapa fasilitas disediakan untuk manipulasi aljabar dari logaritma natural meskipun itu bukan fungsi aljabar.

Fungsi eksponensial ditulis  Euler mengidentifikasinya dengan deret tak himgga  dimana k! menunjukkan faktorial dari k.

Suku genap dan ganjil dari deret ini memberikan jumlah yang menunjukkan cosh x dan sinh x, sehingga  Fungsi hiperbolik s transendental ini dapat diubah menjadi fungsi melingkar sinus dan kosinus dengan memasukkan (−1) k ke dalam deret, menghasilkan deret bolak-balik. Setelah Euler, ahli matematika melihat sinus dan kosinus dengan cara ini untuk menghubungkan transendensi dengan fungsi logaritma dan eksponen, sering kali melalui rumus Euler dalam aritmetika bilangan kompleks.