Grup abelian bebas itu apa sih?

Dalam matematika, grup abelian bebas atau modul Z bebas adalah grup abelian dengan basis, atau, ekuivalen, modul bebas di atas bilangan bulat.

Menjadi grup abelian berarti bahwa ini adalah himpunan dengan operasi penjumlahan yaitu asosiatif, komutatif, dan dapat dibalik. Basis adalah himpunan bagian sehingga setiap elemen grup dapat diekspresikan secara unik sebagai kombinasi linear elemen basis dengan koefisien bilangan bulat. Misalnya, bilangan bulat dengan penjumlahan membentuk grup abelian gratis dengan basis {1}. Grup abelian bebas memiliki properti yang membuatnya mirip dengan ruang vektor. Mereka memiliki aplikasi di topologi aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan grup kaidah, dan di geometri aljabar, di mana mereka digunakan untuk mendefinisikan pembagi. Kisi bilangan bulat juga merupakan contoh dari kelompok abelian bebas, dan teori kisi mempelajari subkelompok ruang vektor nyata abelian bebas.

Unsur-unsur dari kelompok abelian bebas dengan basis  B  dapat dijelaskan dengan beberapa cara yang setara. Hal ini termasuk jumlah formal di atas  B , yang merupakan ekspresi dari formulir  dimana masing-masing koefisien ai adalah bilangan bulat bukan nol, masing-masing faktor  bi adalah elemen dasar yang berbeda, dan jumlahnya memiliki banyak suku yang tak terhingga. Atau, unsur-unsur dari kelompok abelian bebas dapat dianggap sebagai bertanda multi himpunan yang mengandung banyak unsur  B , dengan banyaknya elemen dalam multiset sama dengan koefisiennya dalam jumlah formal.

Cara lain untuk merepresentasikan elemen dari grup abelian bebas adalah sebagai fungsi dari  B  ke bilangan bulat dengan banyak nilai bukan nol; untuk representasi fungsional ini, operasi grup adalah penambahan fungsi searah.

Setiap set  B  memiliki grup abelian bebad dengan  B  sebagai dasarnya. Grup ini unik dalam arti bahwa setiap dua grup abelian bebas dengan basis yang sama adalah isomorfik. Alih-alih membangunnya dengan mendeskripsikan elemen individualnya, grup bebas dengan basis  B  dapat dibuat sebagai jumlah langsung salinan grup aditif dari bilangan bulat, dengan satu salinan per anggota  B . Sebagai alternatif, grup abelian gratis dengan basis  B  dapat dijelaskan dengan presentasi dengan elemen  B  sebagai generatornya dan dengan komutator pasangan anggota sebagai relatornya.  Pangkat  dari grup abelian bebas adalah kardinalitas suatu basis; setiap dua basis untuk grup yang sama memberikan peringkat yang sama, dan setiap dua grup abelian gratis dengan peringkat yang sama adalah isomorfik. Setiap subkelompok dari grup abelian gratis adalah abelian gratis itu sendiri; fakta ini memungkinkan grup abelian umum dipahami sebagai hasil bagi dari grup abelian bebas dengan "relasi", atau sebagai kokernel dari homomorphism antara kelompok abelian bebas. Satu-satunya grup abelian gratis yang merupakan grup bebas adalah grup trivial dan grup siklik tak hingga.