Jabarkan Contoh dari Teorema Sylow

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah kelompok dihedral dari n-gon, D2n. Untuk n ganjil, 2 = 21 adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat  n , dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.

Sebaliknya, jika  n  genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan automorfisme luar, yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π /  n , setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.

Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari GL2(Fq), di mana  p  dan  q  adalah bilangan prima ≥ 3 dan p ≡ 1 (mod q) , yang semuanya  abelian. Urutan GL2(Fq) is (q2 − 1)(q2 − q) = (q)(q + 1)(q − 1)2. Maka q = pnm + 1, urutan GL2(Fq) = p2n m′. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow  p  adalah p2n.

Salah satu subgrup  P , adalah himpunan matriks diagonal  , x adalah salah satu  akar primitif dari  Fq. Karena urutan Fq is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x(q − 1)/pn or xm dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan  p . Jadi,  P  adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p. Jika pn pilihan untuk  a  dan  b , membuat |P| = p2n. Ini berarti  P  adalah Sylow  p  - subkelompok, yang abelian, karena semua matriks diagonal bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup p  berkonjugasi satu sama lain GL2(Fq) pada grup abelian.