Jelaskan , dari Persamaan Diophantus

yang mana memiliki titik rasional

Jika titik rasional ini merupakan sebuah titik tunggal, yakni jika semua turunan parsial adalah nol di , semua garis lewat melalui  diisi di hipepermukaannya, dan salah satunya memiliki sebuah kerucut. Perubahan peubahnya

tidak mengubah titik rasionalnya, dan mengubah  menjadi sebuah polinomial homogen di  peubah. Dalam kasus ini, masalahnya dapat demikian dipecahkan dengan menerapkan metode untuk sebuah persamaan dengan beberapa peubah.

Jika polinomial  adalah sebuah hasilkali polinomial linear (mungkin dengan koefisien takrasional), maka ini menentukan dua hiperbidang. Perpotongan mengenai hiperbidang ini adalah sebuah datar rasional, dan berisi titik tunggal rasional. Kasus ini demikian sebuah contoh khusus dari kasus sebelumnya.

Dalam kasus umum, misalkan anggap persamaan parametrik mengenai sebuah garis lewat melalui :

Memasukkan ini di , salah satunya mendapatkan sebuah polinomial derajat dua di  yaitu nol untuk . Ini demikian terbagi oleh . Hasil baginya adalah linear di , dan dapat dipecahkan untuk mengungkapkan  sebagai sebuah hasil bagi dua polinomial dengan derajat setidaknya dua di , dengan koefisien bilangan bulat: