Jelaskan Sejarah dari Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Sejarah dan penghargaan untuk teorema fundamental diperumit oleh fakta bahwa itu terbukti ketika teori grup tidak mapan, dan dengan demikian bentuk awal, sementara pada dasarnya hasil dan bukti modern, sering dinyatakan untuk kasus tertentu. Singkatnya, bentuk awal dari kasus hingga terbukti di , kasus yang terbatas telah dibuktikan , dan dinyatakan dalam istilah teori-grup oleh . Kasus  disajikan  diselesaikan dengan bentuk normal Smith, dan karenanya sering dikreditkan ke , meskipun kasus  dihasilkan  yang tidak terbatas terkadang malah dikreditkan oleh ; detail ikuti.

Teori grup László Fuchs menyatakan:

Teorema fundamental untuk kelompok abelian  terbatas  dibuktikan oleh Leopold Kronecker oleh , menggunakan bukti teori-grup, though without stating it in group-theoretic terms; presentasi modern dari bukti Kronecker diberikan , 5.2.2 Teorema Kronecker, 176–177. Ini menggeneralisasikan hasil sebelumnya dari Carl Friedrich Gauss dari  Disquisitiones Arithmeticae  (1801), yang mengklasifikasikan bentuk kuadrat; Kronecker mengutip hasil dari Gauss. Teorema tersebut dinyatakan dan dibuktikan dalam bahasa kelompok oleh Ferdinand Georg Frobenius dan Ludwig Stickelberger pada tahun 1878. Formulasi teori-kelompok lain diberikan oleh murid Kronecker Eugen Netto pada tahun 1882.

Teorema fundamental untuk  disajikan secara terbatas  grup abelian dibuktikan oleh Henry John Stephen Smith oleh , sebagai matriks integer sesuai dengan presentasi terbatas dari kelompok abelian (ini menggeneralisasi untuk modul yang disajikan secara halus di atas domain ideal utama), dan Bentuk normal Smith sesuai dengan klasifikasi grup abelian yang disajikan secara terbatas.

Teorema fundamental untuk kelompok abelian  yang dihasilkan secara terbatas  dibuktikan oleh Henri Poincaré oleh , menggunakan bukti matriks (yang menggeneralisasi domain ideal utama). Ini dilakukan dalam konteks komputasi

homologi dari sebuah kompleks, khususnya Bilangan Betti dan koefisien torsi dari dimensi kompleks, di mana bilangan Betti sesuai dengan peringkat bagian bebas.

Bukti Kronecker digeneralisasikan menjadi grup abelian yang  dihasilkan secara halus  oleh Emmy Noether pada .