Jelaskan Contoh dari Grup nilpoten

Seperti disebutkan di atas, setiap grup abelian adalah nilpoten.

Untuk contoh non-abelian kecil, pertimbangkan grup quaternion group  Q  8 , yang merupakan grup non-abelian terkecil  p . Ia memiliki pusat {1, −1} dari urutan 2, dan deret pusat atasnya adalah {1}, {1, −1}, Q8; jadi nihil kelas 2.

Produk langsung dari dua grup nilpoten adalah nilpoten.

Semua grup-p hingga sebenarnya nilpoten ( bukti). Kelas maksimal dari segrup ordo pn adalah  n  (sebagai contoh, setiap grup berorde 2 nilpoten kelas 1). 2 grup kelas maksimal adalah grup hasil bagi umum, grup dihedral, dan grup semidihedral.

Lebih lanjut, setiap grup nilpoten hingga adalah produk langsung dari grup  p .

Gugus perkalian dari matriks atas  satuanriangular  n  x  n  pada bidang manapun  F  adalah  grup nilpoten dari nilpotensi  n - 1. Secara khusus, mengambil  n  = 3 menghasilkan grup Heisenberg  H , sebuah contoh dari non-abelian infinite nilpotent group. Ini memiliki kelas nilpotency 2 dengan deret pusat 1, Z(H), H.

Kelompok perkalian dari matriks  segitiga atas yang dapat dibalik  n  x  n  matriks di atas bidang  F  tidak secara umum nilpoten, tetapi  dapat dipecahkan.

Semua grup nonabelian  G  seperti itu G/Z(G) apakah abelian memiliki nilpontensi kelas 2, dengan deret pusat {1}, Z(G), G.