Aljabar homologis itu apa sih?

Aljabar homologis adalah cabang matematika yang mempelajari homologi dalam pengaturan aljabar umum. Aljabar ini adalah disiplin yang relatif muda, yang asal-usulnya dapat dilacak ke penyelidikan di topologi kombinatorial (pendahulu topologi aljabar) dan aljabar abstrak (teori modul dan syzygy) pada akhir abad ke-19, terutama oleh Henri Poincaré dan David Hilbert.

Perkembangan aljabar homologis terkait erat dengan munculnya teori kategori. Pada umumnya, aljabar homologis adalah studi tentang funktor homologis dan struktur aljabar rumit yang mereka perlukan. Salah satu konsep yang cukup berguna dan ada di mana-mana dalam matematika adalah kaidah kompleks, yang dapat dipelajari melalui homologi dan kohomologi. Aljabar homologis memberi sarana untuk mengekstrak informasi yang terkandung dalam kompleks-kompleks ini dan menyajikannya dalam bentuk homologis invarian dari cincin, modul, ruang topologi, dan objek matematika 'berwujud' lainnya. Alat yang ampuh untuk melakukan hal ini disediakan oleh urutan spektral.

Dari asalnya, aljabar homologis telah memainkan peran yang sangat besar dalam topologi aljabar. Pengaruhnya secara bertahap meluas dan saat ini mencakup aljabar komutatif, geometri aljabar, teori bilangan aljabar, teori representasi, fisika matematika, operator aljabar, analisis kompleks, dan teori persamaan diferensial parsial. Teori-K adalah disiplin ilmu independen yang mengacu pada metode aljabar homologis, seperti halnya geometri nonkomutatif dari Alain Connes.