Geometri afin itu apa sih?

Dalam matematika, Geometri afin () adalah sisa-sisa geometri Euklides saat tidak digunakan (matematikawan sering mengatakan "affine") pengertian metrik tentang jarak dan sudut.

Karena pengertian  garis sejajar  adalah salah satu properti utama yang tidak bergantung pada metrik apa pun, geometri affine sering dianggap sebagai studi tentang garis sejajar. Oleh karena itu, aksioma Playfair ( diberi garis L dan titik P bukan di L, ada tepat satu garis sejajar L yang melewati P ) adalah fundamental dalam geometri affine. Perbandingan gambar pada geometri affine dilakukan dengan transformasi affine, yaitu pemetaan yang menjaga kesejajaran titik dan paralelisme garis.

Geometri Affine dapat dikembangkan dengan dua cara yang pada dasarnya ekuivalen.

Dalam geometri sintetik, ruang affine adalah himpunan  titik  yang dikaitkan dengan sekumpulan garis, yang memenuhi beberapa aksioma (seperti aksioma Playfair).

Geometri affine juga dapat dikembangkan atas dasar aljabar linear. Dalam konteks ini sebuah ruang affine adalah sekumpulan  poin  yang dilengkapi dengan satu set  transformasi  (yaitu pemetaan bijective), terjemahan, yang membentuk ruang vektor (di atas bidang tertentu, biasanya bilangan riil), dan sedemikian rupa sehingga untuk pasangan poin terurut tertentu ada terjemahan unik yang mengirimkan poin pertama ke poin kedua; komposisi dari dua terjemahan adalah jumlah mereka dalam ruang vektor terjemahan.

Dalam istilah yang lebih konkret, ini berarti memiliki operasi yang mengaitkan ke pasangan titik terurut apa pun vektor dan operasi lain yang memungkinkan terjemahan titik oleh vektor untuk memberikan yang lain; operasi ini diperlukan untuk memenuhi sejumlah aksioma (terutama bahwa dua terjemahan yang berurutan memiliki efek terjemahan oleh vektor penjumlahan). Dengan memilih titik mana pun sebagai "asal", titik-titik tersebut berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan vektor, tetapi tidak ada pilihan yang lebih disukai untuk titik asal; dengan demikian ruang affine dapat dilihat sebagai diperoleh dari ruang vektor terkait dengan "melupakan" asalnya (vektor nol).

Meskipun artikel ini hanya membahas ruang affine, pengertian "melupakan metrik" jauh lebih umum, dan dapat diterapkan ke sembarang manifold, secara umum. Perluasan pengertian ruang affine ke lipatan pada umumnya dikembangkan dalam artikel di hubungan affine.