Jelaskan Sejarah dari Teori bilangan analitik

Teori bilangan analitik adalah cabang yang sebagian besar terinspirasi dari teorema bilangan prima. Teorema tersebut mengatakan misalkan  adalah fungsi penghitungan bilangan prima yang memberikan jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan  untuk setiap bilangan real . Sebagai contoh,  sebab jumlahnya (ada empat bilangan prima, yaitu: 2, 3, 5 dan 7) yang kurang dari atau sama dengan 10. Teorema bilangan prima mengatakan bahwa  adalah aproksimasi yang baik untuk , dalam artian bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi  dan  ketika  mendekati tak terhingga adalah 1:

Ini dikenal sebagai hukum asimtotik dari distribusi bilangan prima.

Sekitar tahun 1797 atau 1798, Adrien-Marie Legendre menduga bahwa  dihampiri dengan fungsi , dengan  dan  menyatakan konstanta yang belum diketahui. Dalam buku edisi kedua miliknya tentang teori bilangan pada tahun 1808, ia membuat konjektur yang lebih tepat, dengan  dan . Kemudian, Carl Friedrich Gauss mempelajari masalah tersebut pula: Dalam suratnya kepada Encke pada tahun 1849, ia menulis pada tahun 1792 atau 1793, yang mengatakan bahwa ia menulis catatan pendek yang berjudul "Primzahlen unter " dalam tabel logaritma (saat itu, ia berusia 15 atau 16). Sayangnya, Gauss tidak pernah mempublikasikan konjektur tersebut. Hingga pada tahun 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet muncul dengan fungsi aproksimasi miliknya, integral logaritmik  (akan tetapi fungsi tersebut mempunyai deret yang sedikit berbeda, saat ia berkomunikasi dengan Gauss). Rumus Legendre dan Dirichlet menyiratkan ekuivalensi asimtotik yang sama dari  dan  seperti yang dijelaskan sebelumnya, walaupun ternyata aproksimasi Dirichlet jauh lebih baik jika dipandangnya sebagai selisih dan bukan hasil bagi.