Jabarkan , dari Persamaan Diophantus

dimana  adalah suatu bilangan bulat, dan  adalah faktor persekutuan terbesar dari .

Ini mengikuti bahwa menyelesaikan persamaan Diophantus  tereduksi sempurna untuk mencari titik rasional dari hiperpermukaan projektif berpadanan.

Sekarang misalkan  menjadi penyelesaian bilangan bulat dari persamaan  Karena  adalah sebuah polinomial derajat dua, sebuah garis lewat melalui  menyilang hiperpermukaan di sebuah titik tunggal lainnya, yang mana merupakan rasional jika dan hanya jika garisnya rasional (yaitu, jika garisnya didefinisikan oleh parameter rasional). Ini memungkinkan memparameterisasikan hiperpermukaan oleh garis lewat melalui , dan titik rasional adalah itu yang diperoleh dari garis-garis rasional, yakni, itu yang berpadan dengan nilai-nilai rasional dari parameter.

Lebih tepatnya, salah satunya dapat dilanjutkan sebagai berikut.

Dengan mengubah urutan indeks, salah satunya dapat menganggap, tanpa mengurangi keumuman bahwa  Maka salah satunya dapat lewat ke kasus afin dengan menganggap hiperpermukaan afin didefinisikan oleh