Jelaskan Kasus I: () dari Persamaan fungsional Cauchy

Menyetel , kami menyimpulkan itu

Dengan penerapan berulang dari persamaan Cauchy ke , kami dapatkan

Substitusi dari  oleh  dalam (*), dan perkalian hasilnya dengan , dimana , yields

Penerapan (*) ke sisi kiri (**) lalu memungkinkan

dimana  adalah konstanta rasional yang sewenang-wenang.

Menyetel  dalam persamaan fungsional dan mengingat bahwa , kita memperoleh

Menggabungkan ini dengan kesimpulan yang diambil untuk bilangan rasional positif (`` Kasus II '') memberikan

Dipertimbangkan bersama, ketiga kasus di atas memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa solusi lengkap persamaan fungsional Cauchy atas bilangan rasional diberikan oleh:

Properti solusi linier atas bilangan real

Kami membuktikan di bawah bahwa solusi lain harus memiliki fungsi patologis yang tinggi. Khususnya,

kami menunjukkan bahwa solusi lain harus memiliki properti yang grafik  adalah

padat masuk , yaitu bahwa setiap disk pada bidang (namun

kecil) berisi titik dari grafik.  Dari sini mudah untuk membuktikan berbagai kondisi