Jabarkan . dari Medan bilangan aljabar

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Bilangan rasional Gauss bukan nol adalah terbalikkan, yang dapat dilihat dari identitasnya

Oleh karena itu, rasio Gauss membentuk medan bilangan yang berdimensi dua sebagai vektor ruang .

Secara lebih umum, untuk bilangan bulat bebas kuadrat  d , medan kuadrat  adalah medan bilangan yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat  d  dengan medan bilangan rasional. Operasi aritmetika dalam medan ini didefinisikan dalam analogi dengan kasus bilangan rasional Gauss, d = − 1.