Jelaskan Generalisasi dari Deret komposisi

Grup dengan satu set operator menggeneralisasi tindakan grup dan tindakan dering pada grup. Pendekatan terpadu untuk grup dan modul dapat diikuti seperti pada , menyederhanakan beberapa eksposisi. Grup  G  dipandang sebagai ditindaklanjuti oleh elemen (operator) dari himpunan  Ω . Perhatian dibatasi sepenuhnya pada subgrup yang tidak berubah di bawah aksi elemen dari  Ω , yang disebut subgrup  Ω . Jadi rangkaian  Ω  komposisi harus menggunakan hanya subgrup  Ω , dan faktor  Ω  komposisi hanya perlu sederhana Ω. Hasil standar di atas, seperti teorema Jordan-Hölder, ditetapkan dengan bukti yang hampir identik.

Kasus-kasus khusus yang ditemukan termasuk ketika Ω =  G  sehingga  G  bekerja sendiri. Contoh penting dari hal ini adalah ketika elemen  G  bekerja dengan konjugasi, sehingga himpunan operator terdiri dari automorfisme bagian dalam. Rangkaian komposisi di bawah tindakan ini sebenarnya adalah deret utama. Struktur modul adalah kasus aksi-Ω di mana Ω adalah gelanggang dan beberapa aksioma tambahan terpenuhi.

Untuk objek dalam kategori abelian

Deret komposisi dari objek  A  dalam kategori abelian adalah urutan subobjek

sedemikian rupa sehingga setiap objek hasil Xi /Xi + 1 adalah sederhana (untuk ). Jika  A  memiliki rangkaian komposisi, integer  n  hanya bergantung pada  A  dan disebut panjang dari  A  .