Jelaskan Subgrup Fitting umum dari Subgrup Fitting

Komponen dari sebuah grup adalah subgrup subnormal kuasi sederhana. (Grup adalah kuasi sederhana jika itu adalah sempurna ekstensi pusat dari grup sederhana.)  Lapisan E(G) atau L(G) grup adalah subgrup yang dihasilkan oleh semua komponen. Setiap dua komponen perjalanan grup, jadi lapisan adalah ekstensi pusat yang sempurna dari produk grup sederhana, dan merupakan subgrup normal terbesar  G  dengan struktur ini. Subgrup Fitting umum F*(G) adalah subgrup yang dihasilkan oleh lapisan dan subgrup Pemasangan. Layer tersebut berpindah-pindah dengan subgrup Fitting, sehingga subgrup Fitting umum adalah perluasan pusat dari produk  p -grup dan grup sederhana.

Layer juga merupakan subgrup semisimple normal maksimal, di mana sebuah grup disebut semi sederhana jika itu adalah perluasan pusat yang sempurna dari produk grup sederhana.

Definisi subgrup Fitting umum ini dapat dimotivasi oleh beberapa tujuan penggunaannya.  Pertimbangkan masalah mencoba mengidentifikasi subgrup normal  H  dari  G  yang berisi pemusatnya sendiri dan grup Fitting. Jika  C  adalah pemusat dari  H  kami ingin membuktikan bahwa  C  terkandung dalam  H . Jika tidak, pilih subgrup karakteristik minimal M/Z(H) dari C/Z(H), dimana Z(H) adalah pusat  H , yang sama dengan persimpangan  C  dan  H .  Kemudian M/Z(H) adalah produk dari sederhana atau grup siklik karena karakteristiknya sederhana. Jika M/Z(H) adalah produk dari grup siklik, maka  M  harus ada di subgrup Fitting. Jika M/Z(H) adalah produk dari kelompok sederhana non-abelian maka subkelompok turunan dari  M  adalah pemetaan subgrup semi sederhana normal pada M/Z(H). Jadi jika  H  berisi subgrup Fitting dan semua subgrup semisederhana normal, maka M/Z(H) pasti sepele, jadi  H  berisi pemusatnya sendiri. Subgrup Fitting umum adalah subgrup terkecil yang berisi subgrup Fitting dan semua subgrup semi sederhana normal.

Subgrup Fitting umum juga dapat dipandang sebagai pemusat umum dari faktor-faktor utama.  Sebuah kelompok semisimple nonabelian tidak dapat memusatkan dirinya sendiri, tetapi ia bertindak sebagai automorfisme batin.  A kelompok dikatakan kuasi-nilpoten jika setiap elemen bertindak sebagai automorfisme batin pada setiap faktor utama. Subgrup Fitting umum adalah subkelompok kuasi-nilpoten subnormal terbesar yang unik, dan sama dengan himpunan semua elemen yang bertindak sebagai automorfisme dalam pada setiap faktor utama dari keseluruhan:

Di sini elemen  g  ada HCG(H/K) jika dan hanya jika ada beberapa  h  di  H  sehingga untuk setiap  x  pada  H , xg ≡ xh mod K.