Jabarkan Kriteria kesetaraan dari Kesetaraan Morita

Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if F:R-Mod  S-Mod and G:S-Mod R-Mod adalah aditif (kovarian) functors, maka  F  dan  G  adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (S,R)-bimodule P seperti SP  dan  PR  adalah dihasilkan secara terbatas proyektif generator dan ada isomorfisme alami dari fungtornya , dan dari para funktor  Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut progenerator untuk kategori modulnya.

Untuk setiap kanan-tepat functor  F  dari kategori kiri -  R  modul ke kategori kiri -  S  modul yang bolak-balik dengan jumlah langsung, Teorema aljabar homologis menunjukkan bahwa ada  (S, R)  - bimodule  E  sehingga funktor  secara alami isomorfik ke funktor . Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa  R  dan  S  adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule RMS dan SNR sehingga  sebagai (R,R) bimodul dan  sebagai  (S, S)  bimodules. Selain itu,  N  dan  M  terkait melalui isomorfisma bimodule  (S, R) : .

Lebih konkret, dua cincin  R  dan  S  adalah Morita setara jika dan hanya jika  untuk modul progenerator PR,

(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif  n  dan idempotensi penuh  e  di cincin matriks Mn(R).

Diketahui bahwa jika  R  adalah Morita setara dengan  S , maka cincin C ( R ) isomorfik ke gelanggang C ( S ), R/J(R) adalah Morita setara dengan S/J(S), di mana  J  (-) menunjukkan radikal Jacobson.

Sementara cincin isomorfik setara Morita, cincin setara Morita bisa nonisomorfik. Contoh mudahnya adalah bahwa gelanggang pembagian  D  adalah Morita yang setara dengan semua gelanggang matriksnya Mn(D), tetapi tidak bisa menjadi isomorfik bila  n > 1. Dalam kasus khusus cincin komutatif, cincin ekivalen Morita sebenarnya isomorfik. Ini segera mengikuti dari komentar di atas, karena jika  R  adalah Morita setara dengan  S , .