Jelaskan Bukan contoh dari Grup berpenyelesaian

Grup  takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi  (dan Teorema Jordan–Hölder menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada  dan ; dan  bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa  adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel  dari ,  tidak berpenyelesaian untuk . Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap  ada polinomial derajat  yang takberpenyelesaian oleh radikal (Teorema Abel–Ruffini). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian teorema Barrington.