Tolong jelaskan mengenai dan dari Contoh grup

(lihat Teorema Pythagoras mengapa demikian, secara geometris).

Himpunan semua translasi bidang dengan komposisi sebagai operasi membentuk grup:

Jika  dan  adalah translasi, maka  juga merupakan translasi.

Komposisi translasi bersifat asosiatif: .

Elemen identitas untuk grup ini adalah translasi dengan resep "bergerak nol mil ke arah yang diinginkan".

Kebalikan dari translasi diberikan dengan berjalan ke arah yang berlawanan untuk jarak yang sama.

Ini adalah grup abelian dan contoh pertama kita (tidak terpisah) dari grup Lie: grup yang juga merupakan manifold.

Grup simetri persegi: grup dihedral dengan urutan 8

Grup sangat penting untuk mendeskripsikan simetri objek, baik itu geometris (seperti tetrahedron) atau aljabar (seperti kumpulan persamaan). Sebagai contoh, kita menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).

Untuk mendeskripsikan simetrinya, kita membentuk himpunan dari semua gerakan kaku persegi yang tidak membuat perbedaan terlihat (kecuali "F"). Misalnya, jika sebuah objek berputar  searah jarum jam masih terlihat sama, gerakan adalah salah satu elemen dari himpunan, misalnya . Kita juga dapat membaliknya secara horizontal sehingga bagian bawahnya menjadi sisi atas, sedangkan tepi kiri menjadi tepi kanan. Sekali lagi, setelah melakukan gerakan ini, bujur sangkar kaca terlihat sama, jadi ini juga merupakan elemen himpunan kita dan kita menyebutnya .Gerakan yang tidak melakukan apa-apa dilambangkan dengan .

Diberikan dua gerakan seperti  dan , dimungkinkan untuk menentukan komposisi  seperti di atas: pertama dilakukan gerakan  y , diikuti gerakan . Hasilnya akan meninggalkan lempengan seperti sebelumnya.

Intinya adalah bahwa himpunan semua gerakan itu, dengan komposisi sebagai operasi, membentuk sebuah grup. Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar. Para ahli kimia menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.