Jabarkan Konstruksi dari Grup sederhana

Grup sederhana telah dipelajari setidaknya sejak awal teori Galois, di mana Évariste Galois menyadari bahwa fakta bahwa kelompok pengganti pada lima atau lebih adalah sederhana (dan karenanya tidak dapat dipecahkan), yang dibuktikannya pada tahun 1831. Galois juga membangun grup linear khusus proyektif dari sebuah bidang di atas bidang berhingga prima, PSL(2,p), dan mengatakan bahwa mereka sederhana untuk  p  bukan 2 atau 3. Ini terkandung dalam surat terakhirnya kepada Chevalier, dan merupakan contoh berikutnya dari grup sederhana hingga.

The next discoveries were by Camille Jordan in 1870. Jordan telah menemukan 4 famili dari grup matriks sederhana di atas bidang hingga orde utama, yang sekarang dikenal sebagai grup klasik.

Pada waktu yang hampir bersamaan, diperlihatkan bahwa sebuah keluarga terdiri dari lima kelompok, disebut grup Mathieu dan pertama kali dijelaskan oleh Émile Léonard Mathieu pada tahun 1861 dan 1873, juga sederhana. Karena kelima kelompok ini dibangun dengan metode yang tidak menghasilkan banyak kemungkinan yang tak terhingga, mereka disebut "sporadis" oleh William Burnside dalam buku teksnya tahun 1897.

Kemudian hasil Jordan pada kelompok klasik digeneralisasikan ke bidang terbatas sewenang-wenang oleh Leonard Dickson, mengikuti klasifikasi aljabar Lie sederhana kompleks berdasarkan Wilhelm Killing. Dickson juga membangun grup pengecualian tipe G2 dan E6 juga, tapi bukan tipe F4, E7, atau E8 . Pada 1950-an pekerjaan kelompok tipe Lie dilanjutkan, dengan Claude Chevalley memberikan konstruksi seragam dari kelompok klasik dan kelompok jenis luar biasa dalam kertas 1955. Ini menghilangkan kelompok tertentu yang diketahui (kelompok kesatuan proyektif), yang diperoleh dengan "memutar" konstruksi Chevalley. Kelompok tipe Lie yang tersisa diproduksi oleh Steinberg, Tits, dan Herzig (yang memproduseri 3D4(q) and 2E6(q)) dan oleh Suzuki dan Ree (grup Suzuki–Ree).

Grup ini (grup tipe Lie, bersama dengan kelompok siklik, kelompok bergantian, dan lima kelompok Mathieu yang luar biasa) diyakini sebagai daftar lengkap, tetapi setelah jeda hampir satu abad sejak karya Mathieu, pada tahun 1964 gruo Janko pertama ditemukan, dan sisa 20 grup sporadis ditemukan atau diduga pada tahun 1965–1975, berpuncak pada tahun 1981, ketika Robert Griess mengumumkan bahwa ia telah membangun "grup Monster" milik Bernd Fischer ". Monster adalah grup sederhana sporadis terbesar yang memiliki urutan 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. Monster memiliki representasi 196.883 dimensi yang setia dalam Aljabar Griess dimensi 196.884, yang berarti bahwa setiap elemen Monster dapat diekspresikan sebagai matriks 196.883 x 196.883.