Jabarkan Kaidah kompleks dan homologi dari Aljabar homologis

Gagasan tentang kompleks rantai merupakan suatu gagasan yang menjadi inti bahasan dalam aljabar homologis. Suatu kompleks rantai abstrak adalah pasangan terurut  dari objek pada kategori abel (umumnya digunakan kategori modul) dan morfismanya, sedemikian sehingga komposisi dua peta yang berurutan adalah nol:

Unsur  disebut sebagai suatu -rantai dan morfisma dn disebut peta batas atau diferensial. Umumnya objek yang digunakan dalam kompleks rantai adalah objek pada kategori modul (atas suatu gelanggang ), tetapi dari teorema penyisipan Freyd-Mitchell sebarang kategori Abel kecil (yakni, koleksi objeknya adalah suatu himpunan) dapat disisipkan secara penuh dan faithfull ke suatu kategori modul (dalam penerapannya, bisa diambil subkategori Abel yang digunakan dalam pendefinisian kompleksnya saja). Hal ini mengakibatkan teori yang dikembangkan pada kategori modul dapat diperluas ke sebarang kategori Abel. Setiap kompleks rantai mendefinisikan dua objek, yakni siklus Zn = Ker dn dan batas Bn = Im dn+1, dengan Ker d dan Im d masing-masing menunjukkan kernel dan peta dari d. Karena komposisi dua peta batas yang berurutan adalah nol, terdapat penyisipan

Kita dapat mendefinisikan ke grup homologi Hn(C) sebagai objek kuosien dari n-siklus oleh n-batas,

Suatu kompleks rantai disebut asiklik jika semua grup homologinya adalah nol. Tentunya suatu barisan eksak merupakan suatu kompleks rantai yang asiklik.