Jelaskan Grup dari Aljabar universal

Sebagai contoh, perhatikan definisi dari sebuah grup. Biasanya sebuah grup didefinisikan dalam operasi biner tunggal ∗, tunduk pada aksioma:

Asosiatif (seperti pada bagian sebelumnya):  x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z;   secara resmi: ∀x,y,z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z.

Elemen identitas: Terdapat elemen  e  sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen  x , satu memiliki e ∗ x  =  x  =  x ∗ e;   secara resmi: ∃e ∀x. e∗x=x=x∗e.

Elemen invers: Elemen identitas mudah dilihat sebagai unik, dan biasanya dilambangkan dengan  e . Kemudian untuk setiap  x , terdapat elemen  i  sedemikian rupa x ∗ i  =  e  =  i ∗ x;   secara resmi: ∀x ∃i. x∗i=e=i∗x.

(Beberapa penulis juga menggunakan aksioma "penutupan" bahwa  x  ∗  y  milik  A  setiap kali  x  dan  y  lakukan, tapi di sini ini sudah tersirat dengan merumuskan biner ∗.

Definisi grup ini tidak langsung sesuai dengan sudut pandang aljabar universal, karena aksioma elemen identitas dan inversi tidak dinyatakan murni dalam istilah hukum persamaan yang memegang secara universal elemen "untuk semua ...", tetapi juga melibatkan bilangan eksistensial.  Aksioma grup dapat diutarakan sebagai persamaan yang dikuantifikasi secara universal dengan menentukan, selain operasi biner ∗, operasi nullary  e  dan operasi unary ~, dengan ~x biasanya ditulis sebagai x−1. Aksioma menjadi: