Jabarkan Distributif dari Sifat komutatif

Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis y = x.  Sebagai contoh, jika fungsi f menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga f(x,y) = x + y, maka f adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.

Untuk relasi, relasi simetri adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi R simetris, maka .

Operator non-komuter dalam mekanika kuantum

Dalam mekanika kuantum seperti yang dirumuskan oleh Schrödinger, variabel fisik diwakili oleh operator linier seperti x (artinya dikalikan dengan x), dan . Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek komposisi mereka  dan  (juga disebut produk operator) pada fungsi gelombang satu dimensi :

Menurut prinsip ketidakpastian dari Heisenberg, jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling komplementer, yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan momentum linier dalam arah  x  sebuah partikel diwakili oleh operator  and , masing-masing (di mana  adalah  konstanta Planck tereduksi). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta , jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.