Jabarkan Pemetaan ekui-areal dari Matriks riil 2 × 2

Pertama, ubah satu vektor diferensial ke yang lainnya:

Luas-luas diukur dengan densitas , 2 bentuk diferensial yang melibatkan penggunaan aljabar eksterior. Densitas yang diubah tersebut adalah

Demikian pemetaan ekui-areal diidentifikasi dengan  (lihat SL2(R)), grup linear khusus. Diberikan profil di atas, setiap  terletak dalam sebuah subgelanggang komutatif  mewakili sebuah tipe bidang kompleks menurut kuadrat dari  Karena , salah satu dari tiga alternatif berikut terjadi:

dan  ada pada sebuah lingkaran rotasi Eukildes; atau

dan  ada pada sebuah hiperbola pemetaan apit, atau

dan  ada pada sebuah garis pemetaan geser.

Menulis mengenai pemetaan afin planar, Rafael Artzy membuat sebuah trikotomi planar yang serupa, pemetaan linear dalam bukunya Linear Geometry (1965).

Fungsi matriks real 2 × 2

Subgelanggang komutatif  menentukan teori fungsi; khususnya tiga tipe subbidang memiliki struktur aljabar kepunyaan mereka yang menetapkan nilai ekspresi aljabar. Pertimbangan fungsi akar kuadrat dan fungsi logaritma tersebut berfungsi untuk mengilustrasikan batasnya tersirat oleh sifat-sifat khusus setiap tipe subbidang  yang digambarkan di profil di atas. Konsep komponen identitas dari grup satuan  mengarah ke penguraian polar elemen dari grup satuan: