Jabarkan . dari Gelanggang monoid

Jika  G  adalah group, maka  R [ G ] juga disebut grup gelanggang dari  G  lebih dari R.

Diberikan  R  dan  G , ada gelanggang homomorfisme  mengirim setiap r ke r1 (di mana 1 adalah elemen identitas  G ),

dan homomorfisme monoid  (di mana yang terakhir dipandang sebagai monoid dalam perkalian) mengirim setiap  g  ke 1g  (di mana 1 adalah identitas perkalian R).

Kami memiliki α ( r ) bolak-balik dengan β( g ) untuk semua  r  di  R  dan  g  pada  G .

Sifat universal dari gelanggang monoid menyatakan bahwa gelanggang  S , dari sebuah gelanggang homomorfisme , dan homomorfisme monoid  ke monoid perkalian dari  S ,

sedemikian rupa sehingga α'(r) dengan β'( g ) untuk semua  r  di  R  dan  g  di  G , ada homomorfisme cincin yang unik  Sehingga penyusunan α dan β dengan γ menghasilkan α 'dan β'.