Jabarkan Grup jenis Lie dari Grup hingga

Grup jenis Lie  adalah grup yang terkait erat dengan grup G(k) titik rasional dari grup aljabar linier  G  reduktif dengan nilai dalam bidang  k . Grup hingga tipe Lie memberikan sebagian besar nonabelian grup sederhana hingga. Kasus khusus termasuk grup klasik, grup Chevalley, grup Steinberg, dan grup Suzuki–Ree.

Grup hingga tipe Lie berada di antara grup pertama yang dipertimbangkan dalam matematika, setelah siklik, simetris dan bergantian, dengan grup linear khusus proyektif di atas bidang hingga prima, PSL(2, p) sedang dibangun oleh Évariste Galois pada tahun 1830-an. Eksplorasi sistematis kelompok hingga tipe Lie dimulai dengan teorema Camille Jordan bahwa kelompok linier khusus proyektif PSL (2,  q ) sederhana untuk q ≠ 2, 3. Teorema ini menggeneralisasi kelompok proyektif dari dimensi yang lebih tinggi dan memberikan keluarga tak terbatas yang penting PSL(n, q) dari grup sederhana hingga. Kelompok klasik lainnya dipelajari oleh Leonard Dickson pada awal abad ke-20. Pada 1950-an Claude Chevalley menyadari hal itu setelah reformulasi yang tepat, banyak teorema tentang grup Lie setengah sederhana mengakui analog untuk grup aljabar di atas bidang sembarang  k , mengarah ke pembangunan apa yang sekarang disebut  Grup Chevalley . Selain itu, seperti dalam kasus grup Lie sederhana yang kompak, grup yang sesuai ternyata hampir sederhana seperti grup abstrak. Lambat laun terbentuk keyakinan bahwa hampir semua kelompok sederhana yang terbatas dapat dipertanggungjawabkan dengan perluasan konstruksi Chevalley yang sesuai, bersama dengan kelompok siklik dan bergantian. Selain itu, pengecualian, grup sporadis, berbagi banyak properti dengan grup terbatas tipe Lie, dan khususnya, dapat dibangun dan dikarakterisasi berdasarkan  geometri  dalam pengertian Tits.

Keyakinan tersebut kini telah menjadi sebuah teorema klasifikasi grup sederhana hingga. Pemeriksaan daftar grup sederhana hingga menunjukkan bahwa grup tipe Lie di atas bidang hingga mencakup semua grup sederhana hingga selain grup siklik, grup bergantian, grup Tits, dan 26 grup sederhana sporadis.