Tolong jelaskan mengenai Ekspansi asimtotik dari Fungsi Lambert W

Deret Taylor dari  sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan Teorema inversi Lagrange dan diberikan oleh

Radius konvergensi adalah , seperti yang dapat dilihat oleh uji rasio. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi fungsi holomorfik yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan potongan cabang sepanjang interval ; fungsi holomorfik ini mendefinisikan cabang utama dari fungsi Lambert .

Untuk nilai besar dari ,  asimtotik dengan

dimana , , dan  adalah sebuah Bilangan Stirling dari jenis pertama non-negatif. Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,

Cabang real lainnya, , didefinisikan dalam interval ,memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika x mendekati nol, dengan dalam kasus ini  dan .

Itu menunjukkan yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk x ≥ e):

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan bahwa cabang  bisa dibatasi sebagai berikut:

Bilangan bulat pangkat dan kompleks

Bilangan bulat pangkat dari  juga mengakui ekspansi deret Taylor (atau Laurent) sederhana:

Secara lebih umum, untuk , Rumus inversi Lagrange diberikan

yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent . Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor :

yang berlaku untuk semua  dan .