Jabarkan Akibat dari Teorema dasar aljabar

Karena teorema dasar aljabar dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa lapangan bilangan kompleks tertutup secara aljabar, maka segala teorema mengenai lapangan tertutup secara aljabar berlaku untuk lapangan bilangan kompleks. Berikut adalah beberapa akibat teorema dasar aljabar mengenai lapangan bilangan real dan hubungannya dengan lapangan bilangan kompleks.

Lapangan bilangan kompleks adalah penutup aljabar lapangan bilangan real.

Setiap polinomial variabel tunggal  dengan koefisien kompleks adalah hasil kali dari suatu konstanta kompleks dan faktor-faktor linear berbentuk , dengan  suatu bilangan kompleks.

Setiap polinomial variabel tunggal  dengan koefisien real dapat secara unik dituliskan sebagai hasil kali konstanta  dengan  real, dan polinomial berbentuk  dengan  real dan  (ini sama saja dengan  tidak memiliki solusi real). Ini mengimplikasikan bahwa banyaknya akar kompleks tidak real selalu genap, baik dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar maupun tidak.

Setiap perluasan aljabar dari lapangan bilangan real isomorfis dengan lapangan bilangan real atau lapangan bilangan kompleks.

Setiap fungsi rasional variabel tunggal  dengan koefisien real dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk  (dengan  bilangan real) dan fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk  (dengan  bilangan asli, dan  bilangan real sedemikian sehingga ).  Akibatnya, setiap fungsi rasional variabel tunggal dengan koefisien real memiliki antiderivatif yang elementer.

Batas pada akar dari polinomial

Dari perspektif teoretis ataupun perspektif praktis tertentu, lokasi dari akar-akar suatu polinomial merupakan informasi yang berharga. Sayangnya, walaupun teorema dasar aljabar telah menunjukkan adanya akar dari polinomial variabel tunggal, teorema ini tidak memberikan informasi mengenai lokasi dari akar polinomial variabel tunggal. Salah satu hasil terkait  lokasi akar polinomial variabel tunggal yang relatif sederhana diberikan oleh batas pada modulus berikut: semua akar  pada polinomial monik  memenuhi pertidaksamaan , dengan

Perhatikan bahwa hasil ini tidak menyatakan bahwa polinomial variabel tunggal memiliki akar, namun hanyalah pernyataan jika suatu polinomial memiliki akar, maka akar tersebut terdapat pada cakram tertutup berpusat di titik asal dengan jari-jari .  Namun, hasil ini bersama-sama dengan teorema dasar aljabar menyatakan bahwa cakram tertutup tersebut memuat setidaknya satu akar. Secara lebih luas, batas pada akar polinomial dapat diberikan dengan menggunakan norma-p dari vektor koefisien polinomial  yaitu , dengan  merupakan norma-q dari vektor  dengan  adalah eksponen konjugat dari , atau dengan kata lain , untuk . Maka, modulus dari akar-akar polinomial dibatasi juga oleh

dengan  dan khususnya,(dengan , yang masuk akal karena koefisien  pada polinomial adalah 1). Kasus umum untuk sembarang polinomial berderajat ,tentunya dapat direduksi ke kasus polinomial monik dengan membagi semua koefisien dengan . Jika 0 bukan akar dari polinomial tersebut, i.e. , batas bawah dari  adalah batas atas dari , yaitu, akar-akar dari

Dari uraian di atas, batas atas dan batas bawah jarak  dari akar  ke sembarang titik  dapat ditentukan, dengan memandang  sebagai akar dari polinomial , yang koefisiennya adalah ekspansi Taylor dari  pada .

Untuk membuktikan , misalkan  adalah akar dari polinomialsehingga dapat diasumsikan  Maka,dan dengan menggunakan pertidaksamaan Hölder diperoleh bahwa