Jabarkan Pusat non-trivial dari Grup-p

Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan persamaan kelas adalah bahwa pusat grup  p  berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.

This forms the basis for many inductive methods in p-groups.

Misalnya, normalizer  N  dari subgrup yang tepat  H  dari  p  terbatas, grup  G  dengan benar berisi  H , karena untuk contoh counter dengan H = N, pusat  Z  ada di  N , dan begitu juga di  H , tapi kemudian ada contoh yang lebih kecil H/Z yang normalnya masuk G/Z adalah N/Z = H/Z, menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup  p  yang terbatas adalah  nilpoten.

Di arah lain, setiap subgrup normal dari  p  terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen  N  yang diperbaiki ketika  G  bekerja pada  N  melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup  p  terbatas adalah pusat dan memiliki urutan  p . Memang,  socle dari grup  p  berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan  p .

Jika  G  adalah grup  p  -, maka G/Z, dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam  G  dari pusat  G / Z  disebut  pusat kedua dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah  p  yang terbatas, grup dengan urutan  p n   berisi subgrup normal dari order  p i   dengan 0 ≤ i ≤ n, dan subgrup normal manapun pi terkandung di pusat  i  Zi. Jika subgrup normal tidak terdapat di Zi, lalu perpotongannya dengan Zi+1 memiliki ukuran setidaknya pi+1.