Jelaskan . dari Tindakan grup (matematika)

Dengan kata lain,   jika dan hanya jika   dan  berada di tempat yang sama kohimpunan untuk subgrup penstabil . Jadi, serat  dari  f  di atas setiap  y  di  G  ·  x  terkandung dalam koset tersebut, dan setiap koset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu  f  mendefinisikan bijeksi antara himpunan  kohimpunan untuk subgrup penstabil dan orbit  G  ·  x , yang mengirimkan . Hasil ini dikenal sebagai  teorema penstabil orbit .

Jika  G  berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan Teorema Lagrange, memberikan

dengan kata lain panjang orbit  x  kali urutan penstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah pembagi dari ordo grup.

Contoh: Misalkan  G  menjadi sekelompok orde utama  p  yang bekerja pada himpunan  X  dengan elemen  k . Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau  p , setidaknya ada  orbit dengan panjang 1 yang merupakan  G  elemen invarian.

Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana  X  juga terbatas).

Contoh:  Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah graf. Pertimbangkan grafik kubik seperti yang digambarkan, dan biarkan  G  menunjukkan grup keautomorfan. Kemudian G bertindak pada himpunan verteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat kubus. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, . Menerapkan teorema sekarang ke penstabil  G  1 , kita bisa mendapatkan . Setiap elemen  G  yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh  yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, . Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan . Setiap elemen  G  yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi . Salah satunya juga melihat bahwa  hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari  G  yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan .

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah lema Burnside:

dimana Xg himpunan titik tetap oleh g . Hasil ini terutama digunakan ketika G dan X terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

Menetapkan grup G , himpunan perbedaan formal dari G hingga, himpunan membentuk gelanggang yang disebut gelanggang Burnside dari G , di mana penjumlahan sesuai dengan disjoint union, dan perkalian dengan produk Kartesius.