Jelaskan dimana dari Produk setengah langsung

adalah subkelompok matriks dengan hanya  pada diagonal, yang disebut kelompok  matriks satuan atas, dan  adalah subgrup dari matriks diagonal.

Grup aksi  pada  diinduksi oleh perkalian matriks. Jika kita mengatur

Ini memberikan tindakan grup yang diinduksi

Sebuah matriks dalam  dapat diwakili oleh matriks dalam  dan . Karenanya .

Grup Euklides dari semua gerakan kaku (isometri) dari pesawat (peta  sedemikian rupa sehingga jarak Euclidean antara  dan  sama dengan jarak antara  dan  untuk semua  dan  di ) isomorfik ke produk semidirect dari grup abelian  (yang menjelaskan terjemahan) dan grup  dari  ortogonal  matriks (yang mendeskripsikan rotasi dan refleksi yang menjaga asal tetap). Menerapkan terjemahan dan kemudian rotasi atau refleksi memiliki efek yang sama seperti menerapkan rotasi atau refleksi terlebih dahulu dan kemudian terjemahan oleh vektor terjemahan yang diputar atau dipantulkan (yaitu menerapkan  konjugasi dari terjemahan aslinya). Ini menunjukkan bahwa kelompok terjemahan adalah subkelompok normal dari grup Euklides, bahwa grup Euklides adalah produk setengah langsung dari kelompok terjemahan dan , dan bahwa homomorfisme yang sesuai  diberikan oleh perkalian matriks: .