Jelaskan Bukti teorema Sylow dari Teorema Sylow

Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara, dan sejarah pembuktian itu sendiri adalah subjek dari banyak makalah termasuk , , , , dan sampai batas tertentu .

Salah satu bukti teorema Sylow mengeksploitasi gagasan  tindakan grup dalam berbagai cara kreatif. Grup  G  bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan  p -subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow.  Bukti berikut didasarkan pada argumen kombinatorial dari . Berikut ini, kami menggunakan  a   b sebagai notasi untuk "a divides b" dan  a    b  untuk meniadakan pernyataan ini.

Teorema 1:  Grup terbatas  G  yang urutannya |G| dapat dibagi oleh kekuatan utama pk memiliki subgrup order pk.

Bukti: Karena |G| = pkm = pk+ru dirumuskan p  u, dan misalkan Ω menunjukkan himpunan himpunan bagian dari ukuran  G  yaitu pk. G  tindakan pada Ω dengan perkalian kiri: g⋅ω = { gx | x ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan Gω untuk  subgrup penstabil {g ∈ G | g⋅ω = ω } dan  Gω untuk  orbit {g⋅ω | g ∈ G} pada Ω.

Buktinya akan menunjukkan adanya beberapa ω ∈ Ω yang dirumuskan Gω memiliki pk elemen, menyediakan subkelompok yang diinginkan. Ini adalah ukuran maksimal dari subgrup penstabil Gω, karena untuk setiap elemen tetap α ∈ ω ⊆  G , gambar Gω di bawah peta bijektiva  G  →  G  perkalian kanan dengan α (g ↦ gα) terkandung dalam ω; karena itu, |Gω| ≤ |ω| = pk.

Dengan  teorema penstabil orbit yang kami miliki |Gω| |Gω| = |G| untuk setiap ω ∈ Ω, dan karenanya menggunakan penilaian aditif p-adik νp, yang menghitung jumlah faktor  p , yang dimiliki νp(|Gω|) + νp(|Gω|) = νp(|G|) = k + r. Ini berarti bagi mereka ω dengan |Gω| = pk, yang kita cari, satu sudah yaitu νp(|Gω|) = r, sedangkan untuk ω lainnya memiliki νp(|Gω|) > r (as 0 < |Gω| < pk berarti νp(|Gω|) < k). Karena | Ω | adalah jumlah dari |Gω| pada semua orbit berbeda Gω, seseorang dapat menunjukkan keberadaan ω dari tipe sebelumnya dengan menunjukkan itu νp(|Ω|) = r (jika tidak ada, penilaian itu akan melebihi  r ). Ini adalah turunan dari Teorema Kummer (karena dalam basis  p  notasi bilangan |G| diakhiri dengan tepat  k  +  r  digit nol, mengurangi  p k   darinya melibatkan carry di tempat  r ), dan juga dapat ditampilkan dengan perhitungan sederhana:

dan tidak ada kekuatan  p  yang tersisa di salah satu faktor di dalam produk di sebelah kanan. Karenanya νp(|Ω|) = νp(m) = r, melengkapi buktinya.

Dapat dicatat bahwa sebaliknya setiap subgrup  H  berurutan pk menimbulkan himpunan ω ∈ Ω yaitu Gω = H, yaitu salah satu dari  m  kohimpunan berbeda  Hg .

Lemma: Misalkan  G  menjadi grup  p  yang terbatas, misalkan Ω himpunan terbatas, misalkan Ω G  menjadi himpunan yang dihasilkan oleh aksi  G  pada semua elemen Ω, dan biarkan Ω 0  menunjukkan himpunan titik Ω G  yang ditetapkan di bawah aksi  G . Kemudian |ΩG| ≡ |Ω0| (mod p).

Bukti: Tuliskan Ω G  sebagai jumlah orbit yang saling lepas di bawah  G .  Elemen x ∈ ΩG tidak ditetapkan oleh  G  akan terletak pada urutan orbit |G|/|Gx| (di mana  G  x   menunjukkan stabilisator), yang merupakan kelipatan dari  p  dengan asumsi. Hasilnya segera menyusul.

Teorema 2: Jika  H  adalah subgrup  p  dari  G  dan  P  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , maka ada elemen ' 'g' 'dalam' 'G' 'seperti itu g−1Hg ≤ P. Secara khusus, semua Sylow  p  - subgrup dari  G  adalah  konjugasi satu sama lain (dan karena itu  isomorfik), yaitu, jika  H  dan  K  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , maka terdapat elemen  g  dalam  G  dengan g−1Hg = K.

Bukti: Misalkan Ω adalah himpunan coset kiri dari  P  dalam  G  dan biarkan  H  bekerja pada Ω dengan perkalian kiri. Menerapkan Lemma ke  H  pada Ω, kita melihat |Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] (mod p).  Sekarang p  [G : P] menurut definisi jadi p  |Ω0|, karenanya secara khusus |Ω0| ≠ 0 begitu ada beberapa gP ∈ Ω0.  Oleh karena itu untuk beberapa  g  ∈  G  dan ∀  h  ∈  H  yang kami miliki hgP = gP so g−1HgP = P dan oleh karena itu g−1Hg ≤ P. Sekarang jika  H  adalah Sylow subgrup  p , |H| = |P| = |gPg−1| jadi H = gPg−1 untuk beberapa  g  ∈  G .

Teorema 3: Misalkan  q  menunjukkan urutan Sylow subgrup  p  dari grup  P  hingga  G . Misalkan  n p   menunjukkan jumlah Sylow subgrup  p  dari  G . Kemudian np = |G : NG(P)|, np  |G|/q dan np ≡ 1 (mod p), dimana NG(P) adalah penormal dari P