Jabarkan Grup disajikan dengan sempurna dari Presentasi grup

Presentasi dikatakan dihasilkan secara terbatas jika  S  terbatas dan terkait dengan batas jika  R  terbatas. Jika keduanya terbatas maka dikatakan sebagai presentasi yang terbatas. Sebuah grup dihasilkan secara tak terbatas (masing-masing terkait secara tak terbatas, ) jika itu memiliki presentasi yang dihasilkan secara terbatas (masing-masing terkait dengan halus, presentasi terbatas). Grup yang memiliki presentasi terbatas dengan satu relasi disebut grup relator satu.

Grup yang disajikan secara rekursif

Jika  S  diindeks oleh satu set  I  yang terdiri dari semua bilangan asli N atau subset yang terbatas dari mereka, maka mudah untuk mengatur pengkodean sederhana satu ke satu  dari grup bebas di  S  ke bilangan asli, sehingga kita dapat menemukan algoritme yang, diberikan  f ( w ), hitung  w , dan sebaliknya. Kami kemudian dapat memanggil subset  U  dari FS rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif) jika  f ( U ) adalah rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif). Jika  S  diindeks seperti di atas dan  R  dapat dihitung secara rekursif, maka penyajiannya adalah penyajian rekursif dan grup yang sesuai adalah disajikan secara rekursif. Penggunaan ini mungkin tampak aneh, tetapi dapat dibuktikan bahwa jika sebuah grup memiliki presentasi dengan  R  yang dapat dihitung secara rekursif, maka grup tersebut memiliki presentasi lain dengan  R  rekursif.

Setiap grup yang disajikan secara halus disajikan secara rekursif, tetapi ada grup yang disajikan secara rekursif yang tidak dapat disajikan secara halus.  Namun, teorema Graham Higman menyatakan bahwa grup yang dihasilkan tak terhingga memiliki presentasi rekursif jika dan hanya jika dapat disematkan dalam grup yang disajikan tak terhingga. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ada (hingga isomorfisme) hanya terhitung banyak grup disajikan rekursif yang dihasilkan secara halus. Bernhard Neumann telah menunjukkan bahwa terdapat terhitung banyak dua kelompok generator non-isomorfik. Oleh karena itu, ada grup yang dibuat secara terbatas yang tidak dapat disajikan secara rekursif.