Jabarkan Diferensial sebagai peta linear dari Diferensial (matematika)

Ada cara sederhana untuk mendefinisikan secara akurat makna diferensial, pertama menggunakan garis bilangan dengan mengganggapnya sebagai peta linear. Hal ini selanjutnya dapat diperumum ke , , ruang Hilbert, ruang Banach, atau secara umum, ruang vektor topologis. Kasus garis bilangan paling mudah untuk dijelaskan.

Diferensial sebagai peta linear pada R

Misalkan  adalah fungsi bernilai real pada .  Variabel  dalam  dapat dianggap sebagai sebuah fungsi ketimbang sebuah bilangan, yakni sebagai fungsi identitas pada garis bilangan, yang memetakan sebuah bilangan real  ke dirinya sendiri: .  Hal ini mengartikan  adalah fungsi komposit  terhadap , dengan nilai di titik  adalah . Diferensial  (yang tentunya bergantung pada perubahan nilai ) selanjutnya adalah sebuah fungsi di titik  (umumnya dinyatakan sebagai ) yang memetakan  ke  secara linear. Selanjutnya pemetaan linear dari  ke  dinyatakan oleh matriks berukuran , yang sama saja dengan sebuah bilangan, namun perubahan perspektif memungkinkan untuk mengganggap  sebagai infinitesimal dan membandingkannya dengan infinitesimal standar , yang dalam kasus ini adalah fungsi identitas dari  ke  (matriks berukuran  dengan elemen bernilai ). Fungsi identitas memiliki sifat yakni jika  bernilai sangat kecil, maka  juga akan bernilai sangat kecil, memungkinkannya dianggap sebagai suatu infinitesimal. Diferensial  memiliki sifat yang sama, karena ia merupakan kelipatan dari , dan besar kelipatan ini, , adalah definisi dari turunan. Alhasil didapatkan  , dan akibatnya .

Pendekatan di atas pada akhirnya menggunakan ide bahwa  adalah perbandingan dari diferensial  terhadap diferensial . Pendekatan ini juga dapat diperumum karena berisi ide bahwa turunan dari  di titik  adalah aproksimasi linear terbaik dari fungsi  di titik .

Diferensial sebagai peta linear pada Rn

Jika  adalah fungsi multivariabel dari  ke , maka  didefinisikan sebagai terdiferensialkan di titik  jika terdapat pemetaan linear   dari  ke  sedemikian sehingga untuk sembarang , ada suatu lingkungan  dari  sedemikian sehigga untuk sembarang ,Pendekatan yang sama dengan kasus satu dimensi dapat digunakan pada masalah ini, dengan menganggap ekspresi  sebagai fungsi komposit  dengan fungsi koordinat standar  on  (yakni  menyatakan komponen ke- dari titik ). Selanjutnya diferensial pada titik  membentuk sebuah basis untuk ruang vektor dari peta-peta linear  ke . Akibatnya, jika  terdiferensialkan pada titik , maka  dapat ditulis sebagai kombinasi linear elemen-elemen basis tersebut:Koefisien-koefisien  adalah (dari definisi) turunan parsial dari  di  terhadap . Dengan kata lain, jika  terdiferensialkan di keseluruhan , maka diferensial  dapat ditulis dengan lebih ringkas sebagai:Pada kasus satu dimensi persamaan di atas menjadisama seperti hasil pada kasus satu dimensi. Ide ini dapat diperumum untuk fungsi dari  ke . Lebih lanjut, definisi ini lebih menguntungkan ketimbang definisi-definisi turunan yang lain karena bersifat invarian terhadap perubahan koordinat. Hal ini mengartikan ide yang sama juga dapat digunakan untuk mendefinisikan diferensial dari pemetaan mulus dari lipatan mulus.

Walaupun demikian, perlu disadari bahwa keberadaan semua turunan parsial dari  di  adalah syarat perlu untuk keberadaan suatu diferensial di titik . Namun itu bukan syarat cukup, untuk contoh penangkal, lihat turunan Gateaux.