Jelaskan Properti tambahan dari Grup siklik

Setiap grup siklik adalah  abelian. Artinya, operasi grupnya adalah  komutatif:  (untuk  g  dan  h  pada  G ). Ini jelas untuk grup penambahan integer dan modular karena , dan mengikuti untuk semua grup siklik karena semuanya isomorfik untuk grup standar ini.

Untuk grup urutan siklik terbatas  n , gn adalah elemen identitas untuk setiap elemen  g . Ini lagi mengikuti dengan menggunakan isomorfisma ke penambahan modular, karena  untuk setiap integer  k . (Ini juga berlaku untuk kelompok umum ordo  n , karena  Teorema Lagrange.)

Untuk kekuatan utama pk, grup Z/pkZ disebut grup siklik primer.  teorema fundamental dari grup abelian menyatakan bahwa setiap grup abelian yang dihasilkan tak hingga adalah produk langsung hingga dari grup siklik tak hingga dan utama.

Karena grup siklik adalah abelian, setiap kelas konjugasi nya terdiri dari satu elemen. Oleh karena itu, sekelompok siklik urutan  n  memiliki kelas konjugasi  n .

Jika  d  adalah pembagi dari  n , maka jumlah elemen dalam Z/nZ yang memiliki urutan  d  adalah  φ ( d ), dan jumlah elemen yang urutannya membagi  d  persis  d .

Jika  G  adalah grup terbatas di mana, untuk setiap , G berisi paling banyak  n  elemen urutan yang membagi  n , lalu  G  harus siklik.

Urutan elemen  m  pada Z/nZ adalah n/ gcd(n,m).

Jika  n  dan  m  adalah coprime, maka  produk langsung dari dua grup siklik Z/nZ dan Z/mZ isomorfik ke grup siklik Z/nmZ, dan kebalikannya juga berlaku: ini adalah salah satu bentuk Teorema sisa Tionghoa. Sebagai contoh, Z/12Z isomorfik terhadap produk langsung Z/3Z × Z/4Z di bawah isomorfisme ( k  mod 12) → (k mod 3, k mod 4); tetapi tidak isomorfik Z/6Z × Z/2Z, di mana setiap elemen memiliki keteraturan paling banyak 6.

Jika  p  adalah bilangan prima, maka setiap grup dengan elemen  p  adalah isomorfik ke grup sederhana Z/pZ.

Bilangan  n  disebut  bilangan siklik jika Z/nZ adalah satu-satunya kelompok urutan  n , yang benar kapan tepatnya . Bilangan siklik mencakup semua bilangan prima, tetapi ada juga yang  komposit seperti 15. Namun, semua bilangan siklik adalah ganjil kecuali 2. Bilangan siklik tersebut adalah:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ...

Definisi segera menyiratkan bahwa grup siklik memiliki presentasi grup  and  untuk hingga  n .