Subgrup torsi itu apa sih?

Dalam teori grup abelian, subgrup torsi AT dari grup abelian  A  adalah subgrup dari  A  yang terdiri dari semua elemen yang memiliki  urutan (elemen torsi dari A). Grup abelian  A  disebut grup  'torsi'  (atau  periodik) jika setiap elemen  A  memiliki urutan terbatas dan Disebut  'bebas torsi'  jika setiap elemen  A .

Buktinya AT ditutup di bawah operasi grup bergantung pada komutatifitas operasi (lihat bagian contoh).

Jika  A  adalah abelian, maka subgrup torsi  T  adalah  subgrup berkarakteristik lengkap dari  A  dan grup faktor A/T bebas torsi. Ada fungsi kovarian dari kategori grup abelian ke kategori grup torsi yang mengirimkan setiap grup ke subgrup torsi dan setiap  homomorfisme ke pembatasannya ke subgrup torsi. Ada fungsi kovarian lain dari kategori grup abelian ke kategori grup bebas torsi yang mengirim setiap grup ke hasil bagi oleh subgrup torsi, dan mengirimkan setiap homomorfisme ke homomorfisme yang diinduksi secara jelas (yang mudah dilihat untuk didefinisikan dengan baik).

Jika  A  adalah  dihasilkan secara terbatas dan abelian, maka dapat dituliskan sebagai  jumlah langsung dari subgrup torsi  T  dan subgrup bebas torsi (tetapi ini tidak berlaku untuk semua grup abelian yang dihasilkan tanpa batas). Dalam setiap dekomposisi  A  sebagai jumlah langsung dari subgrup torsi  S  dan subkelompok bebas torsi,  S  harus sama dengan  T  (tetapi subgrup bebas torsi tidak ditentukan secara unik). Ini adalah langkah kunci dalam klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Subgrup p pada torsi daya

Untuk setiap grup abelian  dan bilangan prima  p  pada himpunan ATp dari elemen  A  yang memiliki urutan kekuatan  p  adalah subgrup yang disebut subgrup p pada torsi daya atau, lebih longgar, subgrup p torsi :

Subgrup torsi AT isomorfik terhadap jumlah langsung dari subgrup  p  torsi daya atas semua bilangan prima  p :

Ketika  A  adalah grup abelian terbatas, ATp bertepatan dengan subgrup Sylow- p  dari  A .

Setiap subgrup- p  pada torsi daya dari  A  adalah  subgrup karakteristik penuh. Lebih kuat lagi, setiap homomorfisme antara kelompok abelian mengirimkan setiap subgrup  p  torsi daya ke dalam subgrup torsi daya yang sesuai  p .

Untuk setiap bilangan prima  p , ini menyediakan functor dari kategori grup abelian ke kategori grup  p  torsi daya yang mengirim setiap grup ke subgrup  p  torsi daya, dan membatasi setiap homomorfisme ke subgrup  p  torsi. Produk di atas himpunan semua bilangan prima pembatasan fungsi ini ke kategori kelompok torsi, adalah fungsi setia dari kategori kelompok torsi ke produk atas semua bilangan prima dari kategori grup  p  torsi. Dalam arti tertentu, ini berarti bahwa mempelajari grup  p  torsi dalam isolasi memberi tahu kita segala sesuatu tentang kelompok torsi secara umum.