Jelaskan Pernyataan lemma dari Lemma Zorn

Lemma Zorn dapat dinyatakan sebagai:

Varian dari formulasi ini terkadang digunakan, seperti mensyaratkan himpunan  P  dan rantai tidak kosong.

Meskipun formulasi ini tampaknya secara formal lebih lemah (karena menempatkan pada  P  kondisi tambahan yang tidak kosong, tetapi diperoleh kesimpulan yang sama tentang  P ), ternyata kedua formulasi tersebut setara. Untuk memverifikasi ini, anggap pertama bahwa  P  memenuhi syarat bahwa setiap kaidah di  P  memiliki batas atas di  P . Kemudian subset kosong dari  P  adalah sebuah rantai, karena ia memenuhi definisi hampa; jadi hipotesis menyiratkan bahwa himpunan bagian ini harus memiliki batas atas di  P , dan batas atas ini menunjukkan bahwa  P  sebenarnya tidak kosong.  Sebaliknya, jika  P  diasumsikan tidak kosong dan memenuhi hipotesis bahwa setiap kaidah yang tidak kosong memiliki batas atas pada  P , maka  P  juga memenuhi syarat bahwa  setiap  kaidah memiliki batas atas, sebagai elemen sembarang  P  berfungsi sebagai batas atas untuk kaidah kosong (yaitu, subset kosong dipandang sebagai sebuah kaidah).

Perbedaannya mungkin tampak tidak kentara, tetapi dalam banyak bukti yang menggunakan lemma Zorn, seseorang membutuhkan semacam serikat untuk menghasilkan batas atas, sehingga kasus kaidah kosong dapat diabaikan; artinya, verifikasi bahwa semua rantai memiliki batas atas mungkin harus menangani kaidah kosong dan tidak kosong secara terpisah. Begitu banyak penulis lebih memilih untuk memverifikasi non-kekosongan himpunan  P  daripada berurusan dengan kaidah kosong dalam argumen umum.