Jabarkan Perkalian modular dari Grup siklik

Untuk setiap bilangan bulat positif  n , himpunan bilangan bulat modulo  n  yang relatif prima ke  n  ditulis sebagai (Z/nZ)×; itu  membentuk grup di bawah operasi perkalian. Grup ini tidak selalu siklik, tetapi menjadi begitu setiap kali  n  adalah 1, 2, 4, sebuah  pangkat dari bilangan prima ganjil, atau dua kali pangkat dari bilangan prima ganjil .

Ini adalah kelompok perkalian dari  satuan dari cincin Z/nZ; ada  φ ( n ) di antaranya, di mana lagi  φ  adalah fungsi total Euler. Sebagai contoh, (Z/6Z)× = {1,5}, dan karena 6 adalah dua kali bilangan prima ganjil, ini adalah grup siklik. Sebaliknya, (Z/8Z)× = {1,3,5,7} adalah  grup Klein 4 dan bukan siklik. Dimana (Z/nZ)× berbentuk siklik, generatornya disebut  akar primitif modulo  n .

Untuk bilangan prima  p , grup (Z/pZ)× selalu siklik, terdiri dari elemen bukan nol dari bidang terbatas dengan urutan  p . Lebih umum lagi, setiap subkelompok terbatas dari kelompok perkalian dari  bidang adalah siklik.