Jabarkan Representasi Cayley dari Transformasi semigrup

Dalam teori kelompok, Teorema Cayley menyatakan bahwa setiap kelompok  G  isomorfik ke subkelompok kelompok simetris dari  G  (dianggap sebagai himpunan), sehingga  G  adalah grup permutasi. Teorema ini secara langsung menggeneralisasi monoid: sembarang monoid  M  adalah transformasi monoid dari himpunan dasarnya, melalui aksi yang diberikan oleh perkalian kiri (atau kanan). Tindakan ini efektif karena jika  ax  =  bx  untuk semua  x  di  M , maka dengan mengambil  x  sama dengan elemen identitas, kita memiliki  a  =  b .

Untuk semigroup  S  tanpa elemen identitas (kiri atau kanan), kita mengambil  X  menjadi himpunan yang mendasari monoid yang sesuai dengan  S  untuk mewujudkan  S  sebagai semigrup transformasi dari  X . Secara khusus, semigroup hingga apa pun dapat direpresentasikan sebagai subsemigrup dari transformasi himpunan X with |X| ≤ |S| + 1, dan jika  S  adalah monoid, kami memiliki ikatan yang lebih tajam |X| ≤ |S|, seperti dalam kasus grup terbatas.