Jabarkan Definisi dari Pemusat dan penormal

pemusat dari himpunan bagian  S  dari grup (atau semigroup)  G  didefinisikan sebagai

Jika tidak ada ambiguitas tentang grup tersebut,  G  dapat dihilangkan dari notasi. Jika S = {a} adalah himpunan  tunggal, dirumuskan denagn CG(a) bukannya CG({a}). Notasi lain yang kurang umum untuk pemusat adalah Z( a ), yang sejajar dengan notasi untuk  pusat.  Dengan notasi terakhir ini, seseorang harus berhati-hati untuk menghindari kebingungan antara pusat dari sebuah grup G, Z(G), dan  pemusat  dari  elemen  g in G, Z(g).

Penormal dari  S  dalam grup (atau semigrup)  G  didefinisikan sebagai

Definisi tersebut serupa tetapi tidak identik. Jika  g  di centralizer dari  S  dan  s  ada di  S , maka itu , tapi jika  g  ada di penormal, maka  untuk beberapa  t  pada  S , dengan  t  mungkin berbeda dari  s . Artinya, elemen sentralisator  S  dengan  S , tetapi elemen penormal  S  hanya perlu ngelaju dengan  S sebagai satu himpunan . Ketentuan notasi yang sama yang disebutkan di atas untuk pemusat juga berlaku untuk penormal. Penormal tidak boleh bingung dengan  penutupan normal.

Gelanggang, aljabar di atas bidang, gelanggang Lie, dan aljabar Lie

Jika  R  adalah gelanggang atau aljabar di atas bidang, dan  S  adalah himpunan bagian dari  R , maka pemusat dari  S  persis seperti yang didefinisikan untuk grup, dengan  R  di tempat  G .

Jika  is a aljabar Lie (atau gelanggang Lie) dengan produk Lie [ x ,  y ], lalu pemusat dari himpunan bagian  S  dari  didefinisikan sebagai

Definisi pemusat untuk gelanggang Lie dikaitkan dengan definisi gelanggang dengan cara berikut. Jika  R  adalah cincin asosiatif, maka  R  dapat diberi  produk braket . Tentu  jika dan hanya jika . Jika kita menunjukkan himpunan  R  dengan produk braket sebagai L R , maka jelaskan  pemusat gelanggang  dari  S  pada  R  sama dengan  Pemusat gelanggang Lie  dari  S  pada LR.

Penormal dari subset  S  dari aljabar Lie (atau gelanggang Lie)  didefinisikan oleh

Meskipun ini adalah penggunaan standar dari istilah "penormal" dalam aljabar Lie, konstruksi ini sebenarnya adalah pengidealisasi dari himpunan  S  pada . Jika  S  adalah subgrup aditif dari , kemudian  adalah subgelanggang Lie terbesar (atau subaljabar Lie, tergantung kasusnya) di mana  S  adalah Lie  ideal.