Jelaskan lihat kata fungsi. dari Fungtor

Misalkan C dan D menjadi kategori. A functor F dari C ke D adalah pemetaan

mengaitkan ke setiap objek  di C dengan objek  di D,

terkait dengan setiap morfisme  in C dengan morfisme  di  D  sehingga dua kondisi berikut berlaku:

untuk setiap objek  pada  C ,

untuk morfisme  dan  pada C.

Artinya, functor harus mempertahankan morfisme identitas dan komposisi morfisme.

Ada banyak konstruksi dalam matematika yang akan berfungsi tetapi karena fakta bahwa mereka "mengubah morfisme" dan "komposisi terbalik". Kita kemudian mendefinisikan  'contravariant functor'   F  dari  C  ke  D  sebagai pemetaan yang

mengaitkan ke setiap objek  in C dengan objek  di  D ,

terkait dengan setiap morfisme  di  C  dengan morfisme  pada  D  sehingga dua syarat berikut berlaku:

untuk setiap objek  di  C ,

untuk morfisme  dan  pada C.

Perhatikan bahwa fungsi kontravarian membalikkan arah komposisi.

Fungsi biasa juga disebut fungsi kovarian untuk membedakannya dari fungsi kontravarian. Perhatikan bahwa seseorang juga dapat mendefinisikan fungsi kontravarian sebagai fungsi  kovarian  pada kategori berlawanan . Beberapa penulis lebih suka menulis semua ekspresi secara kovarian. Artinya, alih-alih mengatakan  adalah fungtor kontravarian, mereka hanya menulis  (atau terkadang ) dan menyebutnya sebagai functor.

Fungsional kontravarian juga kadang-kadang disebut kofungtor .

Ada konvensi yang mengacu pada "vektor" yaitu, bidang vektor s, elemen ruang bagian  dari paket tangen —sebagai "contravariant" dan untuk "covectors" yaitu, 1-bentuk, elemen ruang bagian  dari bundel kotangen  sebagai "kovarian". Terminologi ini berasal dari fisika, dan alasannya berkaitan dengan posisi indeks ("atas" dan "lantai bawah") dalam  ekspresi seperti  for  or  untuk  Dalam formalisme ini diamati bahwa simbol transformasi koordinat  (mewakili matriks ) bertindak atas dasar vektor "dengan cara yang sama" seperti pada "koordinat kovektor": —sedangkan ia bertindak "dengan cara yang berlawanan" pada "koordinat vektor" (tetapi "dengan cara yang sama" seperti pada covektor dasar: ). Terminologi ini bertentangan dengan yang digunakan dalam teori kategori karena covectors-lah yang memiliki  kemunduran  secara umum dan dengan demikian menjadi  kontravarian , sedangkan vektor pada umumnya adalah  kovarian  karena dapat  didorong ke depan . Lihat pula Kovarian dan kontradiksi vektor.