Jelaskan Contoh dari Grup sederhana

Grup siklik G = Z/3Z dari kongruensi kelas es modulo 3 (lihat aritmatika modular) sederhana. Jika  H  adalah subgrup dari grup ini, nya urutan (jumlah elemen) harus menjadi pembagi dari urutan  G  yaitu 3. Karena 3 adalah bilangan prima, satu-satunya pembagi adalah 1 dan 3, jadi baik  H  adalah  G , atau  H  adalah grup trivial. Di sisi lain, grup G = Z/12Z tidak sederhana. Himpunan  H  dari kelas-kelas kesesuaian dari 0, 4, dan 8 modulo 12 adalah subgrup berorde 3, dan ini adalah subkelompok normal karena setiap subkelompok dari grup abelian adalah normal. Demikian pula, grup aditif Z dari integer s tidak sederhana; himpunan bilangan bulat genap adalah subgrup normal non-trivial yang tepat.

Seseorang dapat menggunakan jenis penalaran yang sama untuk setiap grup abelian, untuk menyimpulkan bahwa satu-satunya grup abelian sederhana adalah grup siklik dari urutan prima. Klasifikasi kelompok sederhana nonabelian jauh lebih sepele. Kelompok sederhana non abelian terkecil adalah grup bergantian A5 dari orde 60, dan setiap grup orde 60 sederhana adalah isomorfis pafa A5. Kelompok sederhana nonabelian terkecil kedua adalah kelompok linier khusus proyektif PSL(2,7) dengan orde 168, dan adalah mungkin untuk membuktikan bahwa setiap kelompok orde 168 sederhana isomorfik ke PSL(2,7).