Jabarkan Peran bilangan kompleks dari Fungsi aljabar

Dari perspektif aljabar, bilangan kompleks masuk secara alami ke dalam studi fungsi aljabar.  Pertama-tama, menurut teorema fundamental aljabar, bilangan kompleks adalah bidang tertutup aljabar. Karenanya setiap hubungan polinomial p(y, x) = 0  dijamin memiliki setidaknya satu solusi (dan secara umum sejumlah solusi tidak melebihi derajat  p  dalam  y ) untuk  y  di setiap titik  x , asalkan kita mengizinkan  y  untuk mengasumsikan kompleks serta nilai nyata. Dengan demikian, masalah yang berkaitan dengan domain dari suatu fungsi aljabar dapat diminimalkan dengan aman.

Lebih jauh, bahkan jika seseorang pada akhirnya tertarik pada fungsi aljabar yang sebenarnya, mungkin tidak ada cara untuk menyatakan fungsi tersebut dalam istilah penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengambilan akar  n  tanpa menggunakan bilangan kompleks (lihat casus irreducibilis). Misalnya, perhatikan fungsi aljabar yang ditentukan oleh persamaan

Menggunakan rumus kubik, kita dapatkan

Untuk  akar kuadrat adalah nyata dan akar kubik didefinisikan dengan baik, memberikan akar nyata yang unik. Di sisi lain, untuk  akar kuadrat tidak nyata, dan kita harus memilih, untuk akar kuadrat, akar kuadrat non-nyata. Jadi akar kubik harus dipilih di antara tiga bilangan non-riil. Jika pilihan yang sama dilakukan dalam dua suku rumus, ketiga pilihan akar kubik menyediakan tiga cabang yang ditunjukkan, pada gambar yang menyertai.

Dapat dibuktikan bahwa tidak ada cara untuk mengekspresikan fungsi ini dalam istilah akar  nth  hanya dengan menggunakan bilangan real, meskipun fungsi yang dihasilkan bernilai nyata pada domain grafik yang ditampilkan.

Pada tingkat teoritis yang lebih signifikan, menggunakan bilangan kompleks memungkinkan seseorang untuk menggunakan teknik yang kuat analisis kompleks untuk membahas fungsi aljabar. Secara khusus, prinsip argumen dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa fungsi aljabar apa pun sebenarnya adalah fungsi analitis, setidaknya dalam arti multi-nilai.

Secara formal, maka p(x, y) menjadi polinomial kompleks dalam variabel kompleks  x  dan  y . Seandainyax0 ∈ C sedemikian rupa sehingga polinomial p(x0, y) of y has n angka nol yang berbeda. Kita akan menunjukkan bahwa fungsi aljabar adalah analitik dalam lingkungan dari x0.  Pilih sistem cakram  n  yang tidak tumpang tindih Δi berisi masing-masing angka nol ini. Kemudian dengan prinsip argumentasi

Dengan kontinuitas, ini juga berlaku untuk semua  x  di sekitar x0.  Secara khusus,  p ( x ,  y ) hanya memiliki satu root Δi, diberikan oleh teorema residu: