Jelaskan Fungsi modular dari Bentuk modular

Ketika bobot  bernilai 0, dapat ditunjukkan menggunakan teorema Liouville bahwa satu-satunya bentuk modular adalah fungsi konstan. Namun, jika syarat holomorfik diperingan mengarahkan pada gagasan fungsi modular. Sebuah fungsi  disebut modular jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:

Fungsi   meromorfik di himpunan terbuka setengah bidang atas .

Untuk matriks  pada  grup modular , .

Seperti yang ditunjukkan di atas, kondisi kedua menyiratkan bahwa  adalah periodik, dan karenanya memiliki deret Fourier. Kondisi ketiga adalah bahwa deret ini berbentuk

Ini sering ditulis dalam istilah  (the kuadrat dari nome), sebagai:

Ini juga disebut sebagai ekspansi-q dari. Koefisien  dikenal sebagai koefisien Fourier dari , dan bilangan  disebut tingkat kutub  di . Kondisi ini disebut "meromorfik di taring", artinya banyaknya bilangan bulat   sedemikian sehingga adalah berhingga, sehingga ekspansi-q terbatas di bawah, dan ini mengakibatkan fungsi  meromorfik pada .

Cara lain untuk menyatakan definisi fungsi modular adalah dengan menggunakan kurva elips: setiap kisi Λ menentukan kurva elips C/Λ lebih C; dua kisi berpadanan dengan dua kurva elips yang isomorfik jika dan hanya jika salah satu kisi diperoleh dari kisi yang lain dengan mengalikan kisi tersebut oleh suatu bilangan kompleks bukan nol . Dengan demikian, fungsi modular juga dapat dianggap sebagai fungsi meromorfik pada himpunan kelas isomorfisme kurva elips. Misalnya, invarian-j j(z) dari kurva elips, dianggap sebagai fungsi pada himpunan semua kurva elips, adalah fungsi modular. Lebih konseptual, fungsi modular dapat dianggap sebagai fungsi pada ruang moduli dari kelas isomorfisma kurva elips kompleks.

Bentuk modular f lenyap di  (dengan kata lain, , atau lenyap di ) disebut bentuk taring (cusp form atau spitzenform dalam bahasa Jerman). Bilangan bulat positif n terkecil sedemikian sehingga  adalah tingkat nol dari f di .

Unit modular adalah fungsi modular yang kutub dan nolnya hanya ada di titik-titik taring.

Bentuk modular untuk grup yang lebih umum

Syarat persamaan fungsional dari f  yang sehubungan dengan pemetaan  dapat diperingan dengan mengharuskan persamaan fungsi ini terpenuhi hanya untuk matriks dalam grup yang lebih kecil.