Jabarkan Karya dari Richard Dedekind

Ketika mengajar kalkulus di Polytechnic untuk pertama kalinya, Dedekind mengembangkan konsep yang sekarang dikenal sebagai Dedekind cut (bahasa Jerman: Schnitt), dan menjadi definisi formal dari bilangan real saat ini. Ide dari sebuah cut adalah bilangan irasional membagi bilangan rasional menjadi dua kelas (himpunan), dengan elemen di kelas yang satu (yang lebih besar dari) bernilai lebih besar dari semua elemen di kelas yang lain (yang lebih kecil dari). Sebagai contoh, akar kuadrat dari 2 mendefinisikan bilangan-bilangan tidak negatif dengan kuadrat yang lebih kecil dari dua, dan bilangan negatif ke dalam kelas yang lebih kecil. Sedangkan, bilangan yang kuadratnya lebih besar dari 2 menjadi anggota kelas yang lebih besar. Setiap titik di garis bilangan mengandung setidaknya sebuah bilangan rasional atau sebuah bilangan irasional. Oleh karena itu, tidak ada titik yang kosong, celah, atau diskontinuitas. Dedekind menerbitkan pemikirannya tentang bilangan irasional dan Dedekind cut dalam pamfletnya "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Kekontinuan dan bilangan irasional"); atau dalam istilah modern, Vollständigkeit, completeness.

Dedekind mendefinisikan dua himpunan dikatakan "serupa" jika terdapat korespodensi satu-satu di antara mereka. Dia selanjutnya menggunakan keserupaan untuk memberikan definisi rigor pertamadari sebuah himpunan tak hingga: himpunan dikatakan tak hingga jika ia "serupa dengan himpunan bagian dari dirinya sendiri." Dalam istilah modern, himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bagiannya. Dengan demikian, himpunan bilangan asli N dapat ditunjukkan serupa dengan subset dari N yang anggotanya adalah kuadrat dari bilangan di N, dengan membuat korespondensi N→ N2:

N    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ...