Jabarkan Homomorfisme dan kongruensi dari Semigrup

Semigrup homomorfisme adalah fungsi yang mempertahankan struktur semigrup. Sebuah fungsi  antara dua grup semigrup adalah homomorfisme jika persamaan

. Untuk semua elemen a, b dalam S, yaitu hasilnya sama saat melakukan operasi semigrup setelah atau sebelum menerapkan peta f.

Homomorfisme semigrup antara monoid identitas jika itu adalah homomorfisme monoid. Tetapi ada homomorfisme semigrup yang bukan homomorfisme monoid, misal penyematan kanonik dari semigrup  tanpa identitas ke dalam . Kondisi yang mencirikan homomorfisme monoid dibahas lebih lanjut. Misalkan  menjadi homomorfisme semigrup. Citra  merupakan semigrup. Jika  adalah monoid dengan elemen identitas , maka  adalah elemen identitas dalam gambar . Jika  juga merupakan monoid dengan elemen identitas  dan  dari citra , maka , yaitu  adalah homomorfisme monoid. Khususnya, jika  adalah sujektif, maka itu adalah homomorfisme monoid.

Dua semigrup S dan T dikatakan isomorfis jika bijeksi  dengan sifat tersebut, untuk setiap elemen a, b dalam S, . Semigrup isomorfik memiliki struktur yang sama.

Kesesuaian semigrup  adalah relasi ekuivalen yang kompatibel dengan operasi semigroup. Yaitu, bagian himpunan  adalah relasi ekuivalen dan  dan  menyiratkan  untuk setiap  dalam S. Seperti relasi ekuivalen, kongruensi semigrup  dari induksi kelas kongruensi

dan operasi semigrup dari induksi operasi biner  pada kelas kongruensi: