Jabarkan Bukti dari Rumus Cauchy–Binet

Terdapat beragam jenis bukti yang dapat diberikan untuk rumus Cauchy–Binet. Bukti berikut didasarkan hanya pada manipulasi formal, dan menghindari dengan menggunakan pandangan khusus dari determinan, selain yang didefinisikan oleh rumus Leibniz. Bukti ini hanya menggunakan sifat multilinearitas pada baris dan kolom, dan sifat alternating mereka (bernilai nol jika ada baris atau kolom yang sama). Sifat perkalian determinan untuk matriks persegi tidak digunakan, tetapi dianggap sudah dibuktikan (untuk kasus ). Bukti ini sah untuk sebarang gelanggang koefisien komutatif.

Rumus Cauchy–Binet dapat dibuktikan dalam dua langkah:

Menggunakan fakta bahwa kedua ruas adalah multilinear (lebih tepatnya linear ) dalam baris  dan kolom , untuk mengurangi kasus tersebut bahwa setiap baris  dan setiap kolom  hanya memiliki satu entri tak nol, yaitu 1; dan

Menangani kasus dengan menggunakan fungsi  dengan jumlah baris dari  dipetakan ke jumlah kolom dari entri yang tak nol, dan jumlah kolom dari  dipetakan ke jumlah baris dari entri yang tak nol.

Pada langkah pertama, amati bahwa untuk setiap baris  atau kolom , dan untuk setiap kombinasi- dari , nilai  dan  memang tergantung secara linear pada baris atau kolom. Akan tetapi, untuk langkah terakhir dihasilkan langsung dari sifat multinlinear dari determinan. Untuk langkah sebelumnya harus diperiksa, bahwa mengambil kombinasi linear untuk baris  atau kolom  tetapi meninggalkan sisa yang tidak berubah, hanya akan mempengaruhi baris dan kolom yang sesuai dari hasil kali , dan dengan kombinasi linear yang sama. Dengan demikian, seseorang dapat mengerjakan pada kedua ruas dari rumus Cauchy–Binet dengan linearitas untuk setiap baris  atau kolom , dan kemudian masing-masing baris dan kolom ditulis sebagai kombinasi linear vektor basis standar. Penjumlahan rangkap tersebut memberikan hasil yang amat besar, tetapi mereka memiliki bentuk yang sama untuk kedua ruas: bentuk korespondensi melibatkan faktor skalar yang sama (masing-masing merupakan hasil kali entri dari  dan ), dan bentuk-bentuk tersebut hanya dibedakan dengan melibatkan dua ekspresi lain dalam matriks konstan yang dijelaskan sebelumnya, dengan ekspresi tersebut harus sama menurut rumus Cauchy–Binet. Langkah ini memperoleh pengurangan langkah pertama

Secara konkret, banyak penjumlahan dapat dikelompokkan menjadi dua penjumlahan. Salah satu dari dua penjumlahan atas semua fungsi  dengan masing-masing indeks baris  memberikan indeks kolom yang sesuai, dan salah satunya lagi atas semua fungsi  dengan masing-masing indeks kolom  memberikan indeks baris yang sesuai. Matriks yang terkait dengan  dan  ditulis sebagaidengan "" menyatakan delta Kronecker. Bukti rumus Cauchy–Binet di atas telah ditulis ulang sebagaidengan  menyatakan faktor skalar . Akan tetapi, rumus Cauchy–Binet masih diperlukan bukti untuk  dan , untuk semua .

Pada langkah kedua, jika  gagal injektif, maka  dan  akan memiliki dua baris identik, dan jika  gagal injektif, maka  dan  akan memiliki dua kolom identik. Pada kasus tersebut, kedua ruas dari identitas akan bernilai nol. Sekarang, ketika memisalkan bahwa  dan  injekif yang memetakan , maka faktor  pada ruas kanan akan bernilai nol, kecuali , sedangkan faktor  akan bernilai nol, kecuali . Jika bayangan  dan  berbeda, maka ruas kanan hanya akan memiliki bentuk null, dan ruas kiri akan bernilai nol juga. Hal ini dikarenakan  memiliki baris null (untuk  dengan ). Dalam kasus untuk bayangan  dan  sama, katakan , harus dibuktikan bahwaMisalkan  menyatakan satu buah fungsi yang bijeksi menaik , dan misalkan pula  adalah permutasi  sehingga  dan . Maka  adalah matriks permutasi untuk ,  adalah matriks permutasi untuk , dan  adalah matriks permutasi untuk , dan karena determinan dari suatu matriks permutasi sama dengan signature dari permutasi, maka identitas tersebut dapat disimpulkan bahwa signature bersifat multiplikatif (perkalian).

Menggunakan multi-linearitas terhadap baris  dan kolom  dalam sebuah bukti tidak diperlukan. Seseorang cukup dapat menggunakan salah satu langkah tadi, katakan langkah sebelumnya, dan menggunakan hasil kali matriks  yang terdiri dari sebuah permutasi dari baris  (jika  injektif), atau memiliki setidaknya dua baris yang sama.

Kaitannya dengan delta Kronecker yang diperumum

Seperti yang dilihat sebelumnya, rumus Cauchy–Binet ekuivalen dengan rumus:dengan  dan . Ketika ditulis dalam bentuk delta Kronecker yang diperumum, rumus tersebut dapat diturunkan sehingga ekuivalen dengan rumus Cauchy–Binet: