Akar ke-n itu apa sih?

Dalam matematika, sebuah akar ke-n dari bilangan x adalah bilangan r yang jika dipangkatkan n, menghasilkan x:

dimana n adalah bilangan bulat positif, kadang-kadang disebut derajat dari akar. Akar derajat 2 disebut akar kuadrat dan akar derajat 3, sebuah akar pangkat tiga. Akar tingkat yang lebih tinggi dirujuk dengan menggunakan bilangan urut, seperti pada akar keempat, akar kedua puluh, dll. Perhitungan akar ke- adalah ekstraksi akar.

Misalnya, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 3 = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3) = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki  akar ke- yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke- dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif , setelah . Khususnya, jika  genap dan  adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika ) bilangan kompleks non-real; jika  genap dan  adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke- yang merupakan real. Jika  ganjil dan  real, satu akar  adalah real dan bertanda sama sebagai , sedangkan akar lainnya () bukanlah real. Akhirnya, jika  bukanlah real, maka tidak ada akar ke- yang merupakan real.

Akar bilangan real biasanya ditulis menggunakan simbol radikal atau radix , dengan  menunjukkan akar kuadrat positif dari  jika  adalah positif; untuk akar tinggi,  menunjukkan akar ke- yang sebenarnya jika  adalah ganjil, dan akar ke-n positif jika  adalah genap dan  adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu. Dalam ekspresi , bilangan bulat n disebut indeks dan  disebut radikan .

Ketika kompleks akar ke- dipertimbangkan, sering kali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke- utama dari  sebagai akar ke-, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk  real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke- sebagai fungsi real dan positif untuk  real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai  real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke- utama yang bukan asli. Misalnya,  memiliki tiga akar pangkat tiga, ,  dan  Akar pangkat tiga sebenarnya adalah  dan akar pangkat tiga utama adalah

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd atau "radikal". Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, dimana eksponen adalah pecahan:

Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke- dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.