Tolong jelaskan mengenai Definisi dari Grup nilpoten

Definisi tersebut menggunakan gagasan tentang rangkaian pusat untuk sebuah grup.

Berikut ini adalah definisi yang setara untuk grup nilpotent :

memiliki deret tengah dengan panjang terbatas. Artinya, serangkaian subkelompok normal

where , or equivalently .

memiliki deret tengah bawah yang diakhiri dalam subgrup trivial setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subgrup normal

memiliki deret tengah atas yang berakhir di seluruh grup setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subkelompok normal

dimana  dan  adalah subkelompok seperti itu .

Untuk grup nilpoten,  terkecil sedemikian rupa sehingga  memiliki deretan pusat dengan panjang  disebut kelas nilpotensi dari  ; dan  dikatakan nilpoten kelas . (Menurut definisi, panjangnya adalah  jika ada  subgrup berbeda dalam rangkaian, termasuk subgrup trivial dan seluruh grup.)

Secara ekuivalen, kelas nilpotensi dari  sama dengan panjang deret tengah bawah atau deret tengah atas.

Jika sebuah grup memiliki paling banyak kelas nilpotensi , maka itu kadang-kadang disebut grup nil-.

Ini segera mengikuti dari salah satu bentuk di atas dari definisi nilpotensi, bahwa grup trivial adalah grup unik kelas nilpotensi , dan kelompok dari kelas nilpotensi  sama persis dengan grup abelian non-trivial.