Jelaskan untuk setiap homomorfisme , dari Subgrup komutator

Identitas pertama dan kedua menyiratkan bahwa himpunan dari komutator di  G  ditutup di bawah inversi dan konjugasi.  Jika dalam identitas ketiga kita mengambil  H  =  G , kita mendapatkan bahwa himpunan komutator stabil di bawah endomorfisme dari  G .  Ini sebenarnya adalah generalisasi dari identitas kedua, karena kita dapat menganggap  f  sebagai konjugasi automorfisme pada G, , untuk mendapatkan identitas kedua.

Namun, produk dari dua atau lebih komutator tidak perlu berupa komutator.  Contoh umum adalah [a,b][c,d] di grup bebas pada a,b,c,d.  Diketahui bahwa urutan terkecil dari sebuah grup hingga dimana terdapat dua komutator yang produknya bukan komutator adalah 96; sebenarnya ada dua grup nonisomorfik ordo 96 dengan sifat ini.