Jabarkan Teori dari Persamaan aljabar

Diberikan persamaan yang tidak diketahui

dengan koefisien dalam sebuah bidang , dapat dikatakan bahwa solusi dari (E) dalam  adalah akar dalam  dari polinomial

Dapat ditunjukkan bahwa polinomial derajat  dalam suatu bidang memiliki paling banyak  akar. Oleh karena itu, persamaan (E) memiliki paling banyak solusi .

Jika  adalah ekstensi bidang dari , seseorang dapat menganggap (E) sebagai persamaan dengan koefisien dalam  dan solusi (E) dalam  juga solusi dalam  (kebalikannya tidak berlaku secara umum).  Itu selalu mungkin untuk menemukan ekstensi bidang dari  yang dikenal sebagai medan pecah dari polinomial , di mana (E) memiliki setidaknya satu solusi.

Adanya solusi untuk persamaan nyata dan kompleks

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa bidang dari bilangan kompleks ditutup secara aljabar, artinya, semua persamaan polinomial dengan koefisien kompleks dan setidaknya satu derajat memiliki solusi.

Oleh karena itu, semua persamaan polinomial derajat 1 atau lebih dengan koefisien nyata memiliki solusi  kompleks . Di sisi lain, persamaan seperti  tidak memiliki solusi di  (solusinya adalah unit imajiner  dan ).

Sementara solusi nyata dari persamaan nyata bersifat intuitif (mereka adalah  - koordinat titik-titik di mana kurva  memotong sumbu ), keberadaan solusi kompleks untuk persamaan riil dapat mengejutkan dan kurang mudah untuk divisualisasikan.

Namun, polinomial monik derajat ganjil harus memiliki akar nyata. Fungsi polinomial terkait di  kontinu, dan itu mendekati  sebagai  dengan  dan  saat  mendekat .  Dengan teorema nilai tengah, ia harus mengasumsikan nilai nol pada beberapa  nyata, yang kemudian merupakan solusi dari persamaan polinomial.