Jabarkan Grup ortogonal O(n) dari Produk setengah langsung

Grup ortogonal  dari semua ortogonal riil  matriks (secara intuitif himpunan dari semua rotasi dan refleksi dari  - ruang dimensi yang menjaga asal tetap) isomorfik ke produk semidirect grup  (terdiri dari semua matriks ortogonal dengan determinan , secara intuitif rotasi ruang dimensi ) dan . Jika kami mewakili  sebagai kelompok perkalian matriks , di mana  adalah refleksi dari  ruang dimensi yang menjaga asal tetap (yaitu, matriks ortogonal dengan determinan  mewakili  involusi), maka  diberikan oleh  untuk  H '' pafa  dan  in . Dalam kasus non-sepele ( bukanlah identitas) ini berarti bahwa  adalah operasi konjugasi oleh refleksi (dalam ruang 3 dimensi sumbu rotasi dan arah rotasi digantikan oleh "bayangan cermin" mereka).