Jelaskan Contoh aplikasi dari Lemma Zorn

Lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa setiap cincin nontrivial  R  dengan kesatuan mengandung ideal maksimal.

Misalkan  P  menjadi himpunan yang terdiri dari semua (dua sisi) ideal di  R  kecuali  R  itu sendiri.  R  yang ideal dikeluarkan karena cita-cita maksimal menurut definisi tidak sama dengan  R . Karena  R  tidak sepele, himpunan  P  berisi ideal sepele {0}, dan karena itu  P  tidak kosong. Selanjutnya,  P  sebagian diurutkan oleh set inklusi (lihat urutan penyertaan). Menemukan ideal maksimal dalam  R  sama dengan mencari elemen maksimal dalam  P .

Untuk menerapkan lemma Zorn, ambil rantai  T  di  P  (yaitu,  T  adalah bagian dari  P  yang diurutkan seluruhnya). Jika  T  adalah himpunan kosong, maka ideal sepele {0} adalah batas atas untuk  T  dalam  P . Asumsikan bahwa  T  tidak kosong. Perlu untuk menunjukkan bahwa  T  memiliki batas atas, yaitu, ada ideal  I  ⊆  R  yang lebih besar dari semua anggota  T  tetapi masih lebih kecil dari  R  (jika tidak, tidak akan ada di  P ). Anggap  I  sebagai union dari semua idealisme di  T . Kami ingin menunjukkan bahwa  I  adalah batas atas untuk  T  dalam  P . Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa  I  adalah ideal dari  R , dan kemudian itu adalah ideal yang tepat dari  R  dan begitu juga elemen dari  P . Karena setiap elemen  T  terkandung dalam  I , ini akan menunjukkan bahwa  I  adalah batas atas untuk  T  dalam  P , seperti yang diperlukan.

Karena  T  berisi setidaknya satu elemen, dan elemen itu berisi setidaknya 0, gabungan  I  berisi setidaknya 0 dan tidak boleh kosong. Untuk membuktikan bahwa  I  adalah ideal, perlu diketahui bahwa jika  a  dan  b  adalah elemen  I , maka terdapat dua ideal  J , K ∈ Tsedemikian rupa sehingga a adalah elemen dari J dan b adalah elemen dari K. Karena  T  benar-benar diurutkan, kita tahu bahwa  J  ⊆  K  atau  K  ⊆  J . Dalam kasus pertama, baik  a  dan  b  adalah anggota ideal  K , oleh karena itu jumlah mereka  a  +  b  adalah anggota  K , yang menunjukkan bahwa  a  +  b  adalah anggota dari  I . Dalam kasus kedua, baik  a  dan  b  adalah anggota ideal  J , dan dengan demikian  a  +  b  ∈  I . Selanjutnya, jika  r  ∈  R , maka  ar  dan  ra  adalah elemen dari  J  dan karenanya elemen  I . Jadi,  I  adalah ideal pada  R .

Sekarang, sebuah ideal sama dengan  R  jika dan hanya jika ia mengandung 1. (Jelas bahwa jika itu sama dengan  R , maka itu harus berisi 1; di sisi lain, jika mengandung 1 dan  r  adalah elemen sembarang dari  R , maka  r1  =  r  adalah elemen ideal, dan ideal adalah sama dengan  R .) Jadi, jika  I  sama dengan  R , maka itu akan berisi 1, dan itu berarti salah satu anggota  T  akan berisi 1 dan dengan demikian akan sama dengan  R , tapi  R  secara eksplisit dikecualikan dari  P .

Hipotesis lemma Zorn telah diperiksa, dan dengan demikian terdapat elemen maksimal di  P , dengan kata lain ideal maksimal di  R .

Pembuktian bergantung pada fakta bahwa cincin  R  memiliki satuan perkalian 1. Tanpa ini, pembuktian tidak akan berhasil dan memang pernyataan itu salah. Misalnya gelanggang dengan  sebagai grup penjumlahan dan perkalian trivial (yaitu  untuk ) tidak memiliki cita-cita maksimal (dan tentu saja tidak ada 1): ideal tepatnya adalah subkelompok aditif. Grup faktor  oleh subgrup yang tepat  adalah grup yang dapat dibagi, oleh karena itu tentu saja bukan dihasilkan secara terbatas, karenanya memiliki subgrup non-trivial yang tepat, yang memunculkan subgrup dan ideal yang berisi .