Jelaskan Klasifikasi dari Grup Abelian

Teorema fundamental dari grup abelian hingga menyatakan bahwa setiap grup abelian hingga  dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung subgrup siklik dari prima dengan urutan pangkat; hal tersebut dikenal sebagai teorema dasar untuk grup abelian hingga. Digeneralisasikan dengan teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga, dengan grup hingga menjadi kasus khusus ketika G memiliki nol peringkat; merujuk banyak generalisasi lebih lanjut.

Klasifikasi ini dibuktikan oleh Leopold Kronecker pada tahun 1870, meskipun tidak disebutkan dalam istilah teori-grup modern sampai sekarang, dan didahului oleh klasifikasi serupa dari bentuk kuadrat oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1801; lihat sejarah untuk detailnya.

Grup siklik  dengan urutan  isomorfik dengan jumlah langsung dari  dan  jika dan hanya jika  dan  adalah koprima. Oleh karena itu, setiap grup abelian hingga  adalah isomorfik dengan jumlah langsung dari bentuk

dengan salah satu cara kanonik berikut:

bilangan  adalah pangkat bilangan prima (tidak harus berbeda),

bilangan  membagi , dimana  dibagi .

Sebagai contoh,  dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari dua subgrup siklik tatanan 3 dan 5: . Hal yang sama dapat dikatakan untuk setiap grup abelian tatanan 15, yang mengarah pada kesimpulan bahwa semua grup abelian urutan 15 adalah isomorfis.

Untuk contoh lain, setiap grup abelian berorde 8 isomorfik untuk  (bilangan bulat 0 hingga 7 di bawah tambahan modulo 8),  (bilangan bulat ganjil 1 sampai 15 dalam perkalian modulo 16), atau .

Lihat pula daftar grup kecil untuk grup abelian hingga tatanan 30 atau kurang.