Jabarkan Kelas kelompok dari Subgrup komutator

Grup  adalah grup abelian jika dan hanya jika grup turunannya sepele: [G,G] = {e}. Sama halnya, jika dan hanya jika grup tersebut sama dengan abelianisasinya. Lihat di atas untuk definisi abelianisasi grup.

Grup  adalah grup sempurna jika dan hanya jika grup turunan sama dengan grup itu sendiri: [G,G] = G. Demikian pula, jika dan hanya jika abelianisasi grup itu sepele. Ini "berlawanan" dengan abelian.

Grup dengan  untuk beberapa  n  dalam N disebut grup solvabel; ini lebih lemah dari abelian, yaitu kasus  n  = 1.

Grup dengan  untuk semua  n  dalam N disebut grup yang tidak dapat dipecahkan.

Grup dengan  untuk beberapa nomor urut, mungkin tak terbatas, disebut kelompok hipoabelian; ini lebih lemah dari solvable, yang mana kasus  α  terbatas (bilangan asli).