Jelaskan Menghasilkan grup dari Contoh grup

Mari selidiki lagi grup simetri persegi kita. Saat ini, kita memiliki elemen ,  dan , tetapi kita dapat dengan mudah membentuk lebih banyak: misalnya , juga ditulis sebagai , berbelok  derajat.  adalah rotasi  searah jarum jam (atau  berlawanan arah jarum jam). Kita juga melihat bahwa  dan juga . Ini yang menarik: apa yang dilakukan ? Pertama, dibalik secara horizontal, lalu putar. Cobalah untuk memvisualisasikan bahwa  . Juga,  adalah pembalik vertikal dan sama dengan .

Kita mengatakan bahwa elemen  dan  menghasilkan grup.

Grup urutan 8 ini memiliki tabel Cayley berikut:

Untuk dua elemen dalam grup, tabel mencatat komposisi mereka.

Dimana "" sebagai singkatan dari .

Dalam matematika, grup ini dikenal sebagai grup dihedral dengan urutan 8, dan juga dilambangkan ,  atau , tergantung pada konvensi. Ini adalah contoh grup takabelian: operasi  di sini bukan komutatif, yang bisa dilihat dari tabel; tabel taksimetris dengan diagonal utama.