Jabarkan Kemudian dari Model hiperboloid

adalah sebuah refleksi yang menukarkan  dan . Ini ekuivalen dengan matriks berikut.

Menggunakan metode ini untuk mencari refleksi-refleksi, salah satunya bisa mencari grup dari rotasi-rotasi dan refleksi-refleksi yang menentukan sebuah titik yang diberikan. Misalkan . Jika , lihat bagian atas. Jika tidak, misalkan  menjadi refleksi yang menukaran  dan .Kemudian

adalah grup dari rotasi-rotasi dan refleksi-refleksi yang menentukan . Ini adalah sebuah contoh dari subgrup konjugasi.

Salah satunya bisa juga menggunakan refleksi-refleksi untuk mencari translasi-translasi melalui sebuah garis diberikan dua titik pada garis. Misalkan . Kmeudian misalkan  menjadi refleksi menukarkan  dan  (atau  jika mereka sama). Misalkan  menjadi refleksi menukarkan  dan . Misalkan  menjadi sama dengan .  adalah sebuah isometri yang memetakan asal ke  dan  ke . Sekarang, untuk setiap bilangan real ,  adalah sebuah translasi dari jarak  sepanjang garis melalui  dan . Jika  positif, translasinya garis dalam arah . Jika  negatif, translasinya garis dalam arah . Secara khusus,  mentranslasikan  ke .