Jabarkan Garis dari Geometri hiperbolik

Garis tunggal dalam geometri hiperbolik memiliki sifat yang persis sama dengan garis lurus tunggal dalam geometri Euklides. Misalnya, dua titik secara unik mendefinisikan sebuah garis, dan segmen garis dapat diperpanjang tanpa batas.

Dua garis berpotongan memiliki sifat yang sama dengan dua garis berpotongan dalam geometri Euklides. Contohnya, dua garis berbeda dapat berpotongan tidak lebih dari satu titik, garis yang berpotongan membentuk sudut berlawanan yang sama, dan sudut yang berdekatan dari garis yang berpotongan adalah supplemental.

Ketika garis ketiga diperkenalkan, maka mungkin ada properti garis berpotongan yang berbeda dari garis berpotongan dalam geometri Euklides. Contohnya, dalam dua garis berpotongan, ada banyak garis tak terhingga yang tidak memotong salah satu garis yang diberikan.

Properti ini semua tidak bergantung pada model yang digunakan, meskipun garis mungkin terlihat sangat berbeda.

Garis tidak berpotongan / sejajar

Garis tidak berpotongan dalam geometri hiperbolik juga memiliki sifat yang berbeda dari garis tidak berpotongan pada geometri Euklides:

Untuk setiap garis  R  dan setiap titik  P  yang tidak terletak pada  R , di bidang yang mengandung garis  R  dan titik  P  setidaknya ada dua yang berbeda. garis melalui  P  yang tidak berpotongan dengan  R .

Ini menyiratkan bahwa melalui  P  terdapat sejumlah garis coplanar yang tak terbatas yang tidak memotong  R .

Garis tidak berpotongan ini dibagi menjadi dua kelas:

Dua garis ( x  dan  y  dalam diagram) adalah membatasi paralel s (terkadang disebut paralel kritikal, horoparalel, atau hanya paralel): ada satu di arah masing-masing titik ideal di "ujung" dari  R , mendekati  R  secara asimtotik, selalu mendekati  R , tetapi tidak pernah bertemu Itu.

Semua garis tidak berpotongan lainnya memiliki titik dengan jarak minimum dan menyimpang dari kedua sisi titik itu, dan disebut  ultraparalel ,  paralel divergen  atau terkadang  tidak berpotongan .

Beberapa geometer hanya menggunakan garis  paralel  daripada garis  membatasi paralel , dengan garis  ultraparalel  hanya  tidak berpotongan .

Membatasi paralel ini membuat sudut  θ  dengan  PB ; sudut ini hanya bergantung pada kelengkungan Gaussian bidang dan jarak  PB  dan disebut sudut paralelisme.

Untuk garis ultraparalel, teorema ultraparalel menyatakan bahwa terdapat garis unik pada bidang hiperbolik yang tegak lurus terhadap setiap pasang garis ultraparalel.