Jabarkan Orbit dan penstabil dari Tindakan grup (matematika)

Pertimbangkan grup  G  yang bertindak pada himpunan  X . Orbit dari suatu elemen x dalam X  adalah himpunan elemen dalam X di mana x  dapat dipindahkan oleh elemen G . Orbit x adalah dengan:

Sifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik  x )  X  di bawah tindakan  G  membentuk partisi dari X. Relasi setara terkait ditentukan dengan mengatakan  jika dan hanya jika terdapat  g  di  G  dengan . Orbitnya kemudian kelas setara es di bawah hubungan ini; dua elemen  x  dan  y  setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, .

Tindakan kelompok adalah transitif jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada  x  dalam  X  dengan . This is the case if and only if  untuk  semua   x  dalam  X  (mengingat bahwa  X  tidak kosong).

Himpunan semua orbit  X  di bawah tindakan  G  ditulis sebagai X/G (atau, lebih jarang: G\X), dan disebut  hasil bagi  dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut , sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang , dan ditulis  X G  , berbeda dengan invarian (titik tetap), dilambangkan XG: varian koin adalah  hasil bagi  sedangkan invariannya adalah  himpunan bagian.  Terminologi dan notasi koinvarian digunakan terutama dalam kelompok kohomologi dan grup homologi, yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.