Semigrup itu apa sih?

Dalam matematika, semigrup adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan dengan asosiatif operasi biner.

Operasi biner semigroup paling sering dilambangkan perkalian: x·y, atau xy, menunjukkan hasil operasi semigrup ke pasangan terurut . Asosiatif secara formal diungkapkan  untuk semua x, y dan z diantara semigrup.

Semigrup sebagai kasus khusus magma, dimana operasi asosiatif, atau sebagai generalisasi grup, tanpa elemen identitas atau invers. Dalam kasus grup atau magma, operasi semigrup non-komutatif, jadi x·y tidak harus sama dengan y·x; contoh yang terkenal dari operasi asosiatif tetapi non-komutatif adalah perkalian matriks. Jika operasi semigrup bersifat komutatif, maka semigrup disebut semigrup komutatif atau (lebih jarang disebut kasus analogi grup) ini bisa disebut semigrup abelian.

Monoid adalah struktur aljabar antara grup dan semigrup, dan merupakan semigrup yang memiliki elemen identitas, dengan demikian mematuhi semua kecuali satu aksioma grup; keberadaan invers tidak diperlukan dari sebuah monoid. Contoh alami adalah tali dengan penggabungan sebagai operasi biner, dan string kosong sebagai elemen identitas. Membatasi ke tali tidak kosong memberikan contoh grup semigrup yang bukan monoid. Bilangan bulat positif dengan penjumlahan membentuk semigrup komutatif yang bukan monoid, sedangkan bilangan bulat non-negatif membentuk monoid. Semigrup tanpa elemen identitas dapat dengan diubah menjadi monoid dengan menambahkan elemen identitas. Maka, monoid dipelajari dalam teori semigrup dari teori grup. Semigrup tidak sama dengan grup semu, yang merupakan generalisasi grup ke arah yang berbeda; operasi dalam grup semu tidak menggunakan asosiatif tetapi grup semu dari grup gagasan pembagian. Pembagian dalam semigrup (atau dalam monoid) tidak dimungkinkan secara umum.

Studi formal semigrup dimulai pada awal abad ke-20. Hasil awal termasuk teorema Cayley untuk semigrup sebagai transformasi semigrup, dimana fungsi arbitrer menggantikan peran bias dari teori grup. Hasil yang dalam dalam klasifikasi semigrup hingga adalah teori Krohn–Rhodes, analog dengan dekomposisi Jordan–Hölder untuk grup hingga. Beberapa teknik lain untuk mempelajari semigrup, seperti Relasi Green, tidak menyerupai dalam teori grup.

Teori semigrup hingga menjadi sangat penting dalam ilmu komputer teoretis sejak tahun 1950-an karena relasi alami antara semigrup hingga dan automata hingga melalui monoid sintaktik. Dalam teori probabilitas, semigrup dikaitkan dengan proses Markov. Di bidang lain matematika terapan, semigrup adalah model fundamental untuk sistem invarian waktu linear. Dalam persamaan diferensial parsial, semigrup dikaitkan dengan setiap persamaan yang evolusi spasialnya tidak bergantung pada waktu.

Terdapat kelas khusus dari semigrup, semigrup dengan difat tambahan, yang muncul dalam aplikasi tertentu. Beberapa dari kelas ini bahkan lebih dekat ke grup dengan beberapa sifat tambahan tetapi tidak semua dari grup. Dari jumlah tersebut menyebutkan: semigrup biasa, semigrup ortodoks, semigrup dengan involusi, semigrup invers dan semigrup pembatal. Ada pula kelas dari semigrup yang tidak menggunakan grup kecuali grup trivial; contoh dari jenis yang terakhir adalah pita dan subkelas komutatifnya semikisi, lihat pula struktur aljabar terurut.