Jelaskan Sifat dari Pemusat dan penormal

Misalkan  menunjukkan pemusat dari  di semigroup , yaitu  Kemudian  membentuk subgrup dan , yaitu komutan adalah dengan bikomutan.

Pemusat dan penormal  S  keduanya merupakan subgrup dari  G .

Jelas, CG(S) ⊆ NG(S). Faktanya, CG(S) merupakan subgrup normal dari NG(S).

CG(CG(S)) berisi  S , tapi CG(S) tidak perlu mengandung  S . Penahanan terjadi tepat ketika  S  adalah abelian.

Jika  H  adalah subgrup dari  G , maka NG(H) berisi  H .

Jika  H  adalah subgrup dari  G , maka subgrup terbesar dari  G  di mana  H  normal adalah subgrup NG(H).

Jika  S  adalah himpunan bagian dari  G  sehingga semua elemen  S  saling berpindah-pindah, maka subgrup terbesar dari  G  yang pusatnya berisi  S  adalah subgrup CG(S).

Sebuah subgrup  H  dari sebuah grup G disebut  G if NG(H) = H.

Tepat di tengah  G   CG(G) dan  G  adalah grup abelian jika dan hanya jika CG(G) = Z(G) = G.

Untuk himpunan tunggal, CG(a) = NG(a).

Secara simetri, jika  S  dan  T  adalah dua himpunan bagian dari  G , T ⊆ CG(S) jika dan hanya jika S ⊆ CG(T).

Untuk subgrup  H  dari grup G, teorema N/C menyatakan bahwa grup faktor NG(H)/CG(H) adalah  isomorfik menjadi subgrup dari Aut(H).