Jelaskan Hasil yang berkaitan dari Teorema ketunggalan Alexandrov

Salah satu teorema keunikan dan keberadaan pertama kalinya mengenai polihedron cembung adalah teorema Cauchy. Teorema ini mengatakan bahwa sebuah polihedron cembung dinyatakan secara khusus sebagai bentuk dan keterhubungan dari mukanya. Teorema Alexandrov memperkuat pernyataan ini dengan memperlihatkan bahkan jika mukanya dapat dibengkokkan atau dilipat, tanpa perekatan ataupun penyusutan, keterhubungannya tetap menyatakan bentuk polihedron. Selanjutnya, bagian teorema Alexandrov tentang keberadaan polihedron yang memperkuat teorema Cauchy mengenai kekakuan infinitesimal dibuktikan oleh Max Dehn.

Hasil yang serupa mengenai teorema Alexandrov berlaku untuk permukaan cembung mulus, yang mengatakan bahwa sebuah manifold Riemann berdimensi dua, yang seluruh kurva Gauss adalah positif dan totalnya bernilai , dapat diwakili secara khusus sebagai permukaan benda cembung mulus dalam dimensi tiga. Ketunggalan representasi ini merupakan hasil percobaan dari Stephan Cohn-Vossen pada tahun 1927, dengan setiap syarat keberaturan pada permukannya dihilangkan dalam penelitian selanjutnya. Keberadaannya dibuktikan oleh Alexandrov melalui sebuah argumen yang melibatkan limit dari metrik polihedron. Aleksei Pogorelov menyamaratakan kedua hasil tersebut, dan menggambarkan pengembangan benda cembung sembarang dalam dimensi tiga.

Hasil terkait dari Pogorelov lainnya mengenai ruang metrik geodesik yang berasal dari polihedron cembung adalah versi dari teorema tiga geodesik. Teorema ini mengatakan bahwa setiap polihedron cembung setidaknya memiliki tiga kuasigeodesik tertutup sederhana. Kuasigeodesik tersebut berupa kurva yang pada dasarnya merupakan garis lurus lokal kecuali bila melewati titik sudut, dengan kurva-kurvanya harus memiliki sudut kurang dari  pada kedua sisinya.

Pengembangan polihedron hiperbolik ideal dapat digambarkan sebagai polihedron cembung Euklides dalam cara yang serupa: setiap manifold berdimensi dua dengan geometri hiperbolik seragam dan luas yang terhingga, yang secara kombinatorik ekuivalen dengan bola terlubang-hingga, dapat diperoleh sebagai permukaan polihedron ideal.