Jabarkan sehingga diagram berikut komutatif: dari Diagram komutatif

Misalkan  suatu kategori dan  suatu fungtor dari kategori  ke kategori . Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtor  dan kategori  disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).