Jabarkan Sifat dari Matriks terbalikkan

Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan  adalah matriks persegi berukuran , dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan  (misalnya, lapangan bilangan real ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks  memenuhi semua pernyataan, atau matriks  tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.

Matriks  terbalikkan. Dengan kata lain, matriks  memiliki sebuah invers (atau tidak singular).

Ada sebuah matriks  berukuran  yang memenuhi

Matriks  dapat diubah menjadi matriks identitas  lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.

Matriks  dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer

Matriks  memiliki  posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).

Persamaan  hanya memiliki solusi trivial, yakni

Persamaan  tepat memiliki satu solusi, untuk semua

Transformasi linear  adalah sebuah bijeksi dari  ke

Kernel dari  trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga

Determinan dari  sama dengan 0.

Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks

Rank  penuh; dengan kata lain,

Kolom-kolom dari  saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks  sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.

Span dari kolom-kolom matriks  adalah . Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom  akan sama dengan

Ruang kolom dari matriks  adalah . Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks

Kolom-kolom matriks  membentuk sebuah basis bagi

Transpos dari , yakni matriks  juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks  juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.

Matriks  memiliki invers kiri (yakni matriks  sehingga ) dan invers kanan  (yakni matriks  sehingga ). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama,