Jelaskan Keterbatasan dari Teorema ketunggalan Alexandrov

Polihedron yang mewakili ruang metrik yang diberikan dapat mengalami kemerosotan. Polihedron ini dapat membentuk sebuah poligon cembung berdimensi dua tertutup ganda (yaitu dihedron) dan bukan polihedron berdimensi tiga penuh. Pada kasus ini, metrik permukaannya terdiri dari dua salinan poligon (dua rusuknya) direkatkan di sepanjang rusuk yang berpadanan.

Walaupun teorema Alexandrov mengatakan bahwa terdapat polihedron cembung tunggal yang permukaannya mempunyai metrik tertentu, teorema ini juga dapat mengatakan untuk terdapat polihedron takcembung dengan metrik yang sama. Contohnya seperti ikosahedron beraturan: jika ada lima segitiga darinya dihilangkan dan diganti dengan lima segitiga kongruen yang membentuk lekukan pada polihedron tersebut, maka hasil metrik permukaannya tetap tidak berubah.

Pengembangan suatu polihedron dapat dinyatakan secara konkret melalui kumpulan dari poligon berdimensi dua yang direkatkan di sepanjang rusuknya agar membentuk ruang metrik, dan syarat-syarat teorema Alexandrov mengenai ruang yang dinyatakan dengan cara ini dapat diperiksa dengan mudah. Akan tetapi, rusuk-rusuknya untuk dua poligon yang direkatkan dapat menjadi datar dan berada di dalam muka polihedron yang dihasilkan, bukan berada di rusuk polihedron. (Contoh mengenai penjelasan ini dapat dilihat ilustrasi mengenai empat heksagon yang ditempel membentuk sebuah oktahedron.) Bahkan ketika pengembangan dijelaskan dengan cara di atas, hal tersebut tidak dapat menjelaskan bentuk polihedron yang dihasilkan, bentuk muka apakah yang dimiliki, atau bahkan berapa banyak mukanya yang dimiliki. Bukti asli Alexandrov tidak merujuk ke sebuah algoritma yang membangun polihedron (misalnya dengan memberikan koordinat untuk titik sudutnya) yang membentuk ruang metrik yang diberikan. Pada tahun 2008, Bobenko dan Izmestiev menyediakan algoritma yang dapat mengaproksimasi koordinat dengan akurat dan sembarang dalam waktu polinomial semu.