Tolong jelaskan mengenai Karya dari Al-Mahani

Karya-karya Al-Mahani di bidang matematika mencakup geometri, aritmatika, dan aljabar. Sebagian karya matematikanya kemungkinan terinspirasi dari masalah-masalah yang ia temui di bidang astronnomi. Katalog Kitab al-Fihrist oleh Ibnu an-Nadim menyebutkan hasil karya Al-Mahani di bidang matematika, tapi tidak menyebutkan karyanya di bidang astronomi.

Ia bekerja menggeluti permasalahan-permasalahan matematika yang terbaru pada zamannya. Ia juga menulis uraian terhadap karya-karya para ahli matematika Yunani: Elemen karya Euklides, Tentang Bola dan Tabung karya Archimedes, serta Sphaerica karya Menelaos. Dalam uraian-uraian ini (disebut juga commentary atau tafsir), ia menjelaskan karya-karya tersebut, memperbaiki bahasanya dengan menggunakan istilah "modern" pada zaman itu, dan menulis ulang sebagian bukti-bukti matematika di dalamnya. Ia juga menulis makalah independen, yaitu Fi al-Nisba ("Tentang Perbandingan") dan tentang menghitung luas bagian dari parabola.

Uraiannya untuk Elemen mencakup jilid I, V, X dan XII dari karya tersebut, dan hanya uraian jilid V dan sebagian jilid X dan XII yang masih tertinggal hingga sekarang. Dalam uraian jilid V, ia menilis tentang perbandingan, dan mengajukan teori mengenai definisi perbandingan berdasarkan pecahan kontinu, yang kelak akan ditemukan secara terpisah oleh An-Nayrizi.

Dalam uraian jilid X, Al-Mahani membahas tentang bilangan irasional, termasuk bilangan bentuk akar kuadrat dan kubik (pangkat tiga). Ia mengembangkan definisi "besaran" oleh Euklides—menurut Euklides besaran hanya mencakup garis-garis geometri—dengan menambahkan bilangan bulat dan pecahan sebagai besaran rasional, dan akar-akar kuadrat dan kubik sebagai besaran irasional. Ia juga mengklasifikasikan penjumlahan atau pengurangan akar-akar tersebut, maupun penjumlahan dan pengurangan akar-akar terhadap besaran rasional, sebagai besaran irasional. Ia lalu menguraikan jilid X Elemen dengan menggunakan besaran rasional dan irasional ini, tak seperti buku aslinya yang menggunakan garis-garis geometri.

Uraiannya terhadap buku Sphaerica hanya mencakup jilid I dan sebagian jilid II, dan teks uraian ini saat ini sudah tidak ditemukan lagi. Uraian yang ditulis Al-Mahani kemudian diperbarui oleh Ahmad ibn Abi Said al-Harawi pada abad ke-10 M. Kelak, matematikawan Nashiruddin ath-Thusi (1201–1274) mengkritik uraian Al-Mahani dan Al-Harawi, dan menulis uraiannya sendiri terhadap buku Sphaerica berdasarkan karya sebelumnya dari Abu Nashr Mansur. Versi Ath-Thusi ini kemudian akan menjadi uraian Sphaerica yang paling dikenal di dunia intelektual berbahasa Arab.

Al-Mahani juga mencoba memecahkan persoalan matematika yang diajukan Archimedes dalam Tentang Bola dan Tabung, jilid II bab 4: bagaimana caranya membelah sebuah bola dengan sebuah bidang datar agar kedua belahan memiliki volume dengan perbandingan tertentu. Dalam upayanya memecahkan persoalan ini, ia mengajukan sebuah persamaan,  yang kemudian dikenal dengan "persamaan Al-Mahani" di dunia Islam. Namun, usahanya memecahkan persoalan Archimedes tetap belum berhasil. Matematikawan abad ke-11 Umar Khayyam kelak mencatat perihal kegagalan Al-Mahani ini. Soal matematika ini sendiri baru berhasil dipecahkan pada abad ke-10 M, oleh matematikawan Persia lainnya Abu Ja'far al-Khazin, dengan menggunakan irisan-irisan kerucut.