Jabarkan Pengantar dari Geodesik

Jalur terpendek antara dua titik yang diberikan dalam ruang diasumsikan sejenis diferensial dapat mendefinisikan dengan cara menggunakan persamaan untuk panjang dari kurva (fungsi f dari interval terbuka dari R ke ruang dimensi lain) setelah itu kemudian meminimalkan panjang antara titik tersebut dengan menggunakan kalkulus variasi. Hal tersebut memiliki beberapa masalah teknis kecil karena ada ruang dengan berdimensi tak hingga dengan cara berbeda untuk membuat hasil keliling pada jalur terpendek. Lebih mudah untuk dibatasi beberapa pengumpulan kurva yang berparameter "dengan kecepatan konstan"  yang berarti jarak dari  sepanjang kurva sama dengan . Secara setara, kuantitas yang berbeda dapat digunakan, disebut energi kurva; meminimalisasi kan energi yang menyebabkan persamaan yang sama untuk geodesik ("kecepatan konstan" adalah konsekuensi dari minimalisasi) Secara intuitif, seseorang dapat memahami formulasi kedua ini dengan mencatat bahwa sebuah pita elastis yang direntangkan di antara dua titik akan berkontraksi panjangnya, dan dengan demikian akan meminimalkan energinya. Bentuk pita yang dihasilkan adalah geodesik.

Ada kemungkinan bahwa beberapa kurva berbeda antara dua titik memperkecil jarak, seperti halnya dua titik yang berlawanan secara diametris pada sebuah bola. Dalam kasus seperti itu, salah satu kurva ini adalah geodesik.

Segmen yang berdekatan dari geodesik lagi lagi merupakan geodesik.

Secara umum, geodesik tidak sama dengan "kurva terpendek" antara dua titik, meskipun kedua konsep tersebut berkaitan erat. Perbedaannya adalah bahwa geodesik hanya merupakan jarak terdekat antar titik secara lokal , dan diparameterisasi dengan "kecepatan konstan". Saat melakukan "jalan memutar" pada lingkaran besar antara dua titik pada sebuah bola adalah geodesik tetapi bukan jalur terpendek antar titik. Terdapat rumus peta  dari interval satuan pada garis bilangan real ke dirinya sendiri memberikan jalur terpendek antara 0 dan 1, tetapi bukan merupakan geodesik karena kecepatan gerakan yang sesuai dari suatu titik tidak konstan.

Geodesik umumnya terlihat dalam studi Geometri Riemannian dan geometri metrik yang lebih umum. Dalam relativitas umum, geodesik dalam ruangwaktu menggambarkan gerakan partikel titik di bawah pengaruh gravitasi saja. Secara khusus, jalur yang diambil oleh batu yang jatuh, satelit yang mengorbit, atau membentuk orbit planet semuanya geodesik dalam ruangwaktu melengkung. Secara lebih umum, topik geometri sub-Riemannian berkaitan dengan jalur yang diambil objek saat mereka tidak bebas, dan pergerakannya dibatasi dalam berbagai cara.

Artikel ini menyajikan formalisme matematika yang terlibat dalam mendefinisikan, menemukan, dan membuktikan keberadaan geodesik, dalam kasus Manifold Riemannian dan Pseudo-Riemannian. Artikel geodesik (relativitas umum) membahas kasus khusus relativitas umum secara lebih rinci.