Jelaskan Pernyataan teorema dari Teorema ketunggalan Alexandrov

Permukaan dari sebuah polihedron cembung dalam ruang Euklides membentuk sebuah ruang metrik, dengan jarak antara dua titik diukur melalui jarak dari lintasan terpanjang dari satu titik ke titik lain di sepanjang permukaan. Dalam lintasan yang paling terpendek, jarak antara pasangan titik sama dengan jarak antara titik yang berpadanan pada sebuah ruas garis dengan jarak yang sama. Lintasan dengan sifat tersebut dikenal sebagai geodesik. Sifat permukaan polihedron ini yang mengatakan bahwa setiap pasangan titik dihubungkan melalui sebuah geodesik, tidaklah benar untuk banyak ruang metrik lain; dan jika hal tersebut benar, maka ruang itu disebut ruang geodesik. Ruang geodesik dibentuk dari permukaan polihedron yang disebut sebagai pengembangan.

Polihedron dapat dianggap sebagai sesuatu yang dilipat melalui selembar kertas (jaring dalam polihedron) dan mewarisi geometri yang sama seperti kertas: untuk setiap titik  dalam muka polihedron, terdapat lingkungan terbuka  yang akan mempunyai jarak yang sama sebagai subhimpunan dari bidang Euklides. Pernyataan ini bahkan benar untuk titik di rusuk polihedron: setiap titik  di dalam muka polihedron dapat dimodelkan secara lokal sebagai bidang Euklides yang dilipat di sepanjang garis dan dibenamkan ke dalam ruang dimensi tiga, tetapi lipatannya tidak mengubah struktur lintasan terpendek di sepanjang permukaan. Akan tetapi, titik sudut polihedron mempunyai struktur jarak yang berbeda: geometri lokal dari polihedron titik sudut sama saja dengan geometri lokal pada puncak kerucut. Setiap kerucut dapat dibentuk melalui sebuah lembaran kertas yang datar dengan irisan yang dilepaskan darinya dengan menempelkan ujung-ujung yang terpotong ke tempat dimana irisannya dilepas. Sudut irisan kerucut yang dilepas disebut cacat sudut titik sudut; sudutnya merupakan bilangan positif yang kurang dari . Cacat sudut dari titik sudut polihedron dapat diukur dengan mengurangi sudut muka pada titik sudut . Sebagai contoh, dalam sebuah tetrahedron beraturan, setiap muka sudut bernilai , dan masing-masing titik sudut ada tiga, sehingga dengan menguranginya dari  memberikan cacat sudut sebesar  di setiap empat titik sudut pada tetrahedron beraturan. Mirip dengan contoh sebelumnya, sebuah kubus mempunyai cacat sudut  di setiap delapan titik sudut pada kubus. Teorema Descartes tentang cacat sudut total (yang merupakan bentuk dari teorema Gauss–Bonnet) mengatakan bahwa jumlah cacat sudut dari semua titik sudut selalu tepat bernilai . Singkatnya, pengembangan polihedron cembung disebut geodesik, homeomorfik (ekuivalen secara topologi) menjadi sebuah bola, dan manifold topologi terkecuali untuk jumlah titik kerucut terhingga yang jumlah sudut cacatnya bernilai .

Teorema Alexandrov memberikan gambaran umum tentang penjelasan berikut: Jika sebuah ruang metrik  adalah geodesik, homeomorfik ke bola, dan merupakan manifold topologi kecuali jumlah titik kerucut terhingga dari cacat sudut positif (yang dijumlahkan menjadi ), maka ada polihedron cembung yang pengembangannya merupakan ruang metrik . Terlebih lagi, polihedron ini didefinisikan secara khusus melalui metrik: setiap dua polihedron cembung dengan metrik permukaan yang sama harus kongruen dengan satu sama lain sebagai himpunan berdimensi tiga.