Jabarkan Rumus dari Deret geometrik

Untuk , jumlah dari suku pertama  dari sebuah deret geometrik adalah

dimana  adalah suku pertama dari deret, dan  adalah rasio. Salah satunya bisa menurunkan rumus untuk penjumlahan, , sebagai berikutː

Karena  mendekati tak terhingga, nliai absolut  harus lebih kecil dari satu untuk deret ke konvergen. Penjumlahannya kemudian menjadi

Ketika , ini bisa disederhanakan menjadi

sisi kiri menjadi sebuah deret geometrik dengan rasio .

Rumusnya juga berlaku untuk kompleks , dengan pembatasan yang sesuai, modulus  sangat kurang dari satu.

Kita bisa membuktikan bahwa deret geometrik konvergen menggunakan rumus penjumlahan untuk sebuuah barisan geometrikː

Kekonvergenan dari deret geometrik bisa juga didemonstrasikan dengan menulis deret sebagai sebuah deret teleskopik yang setara,

Sebuah desimal berulang dapat dianggap sebagai sebuah deret geometrik yang rasio adalah satu pangkat . Sebagai contohː

Rumus untuk penjumlahan dari sebuah deret geometrik bisa digunakan untuk mengubah desimal menjadi sebuah pecahan,

Rumusnya bekerja tidak hanya untuk sebuah angka tunggal berulang, tetapi juga untuk sebuah kelompok angka berulang. Sebagai contohː

Perhatikan bahwa setiap deret dari desimal berulang yang berulang juga dapat dengan mudah disederhanakan dengan berikut iniː

Artinya, sebuah desimal berulang dengan panjang berulang   sama dengan hasil bagi dari bagian berulang (sebagai sebuah bilangan bulat) dan .