Jelaskan Definisi dari Isometri

Anggap  dan  adalah ruang metrik dengan metrik  dan . Pemetaan  dikatakan isometri atau mempertahankan jarak jika untuk setiap  berlaku

Sebuah isometri pasti injektif; karena jika tidak, ada dua titik  berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar aksioma metrik . Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa embedding terurut antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.

Sebuah isometri global, isometri yang isomorfik, atau pemetaan kekongruenan, adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki fungsi invers. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.

Dua ruang metrik  dan  dikatakan isometrik jika terdapat isometri yang bijektif dari   ke . Himpunan isometri bijektif (dan komposisinya) dari ruang metrik ke dirinya sendiri membentuk sebuah grup, yang disebut grup isometri.

Terdapat istilah isometri lintasan yang lebih lemah daripada isometri. Isometri lintasan adalah pemetaan yang mempertahankan panjang kurva; pemetaan tersebut belum tentu mempertahankan jarak seperti isometri, dan tidak perlu bersifat bijektif (atau bahkan injektif). Istilah ini terkadang disebut juga dengan isometri, sehingga diperlukan konteks tipe isometri yang sedang dirujuk. Sebagai contoh:

Setiap refleksi, translasi, dan rotasi adalah isometri global pada ruang Euklides.

Pemetaan  di  adalah isometri lintasan yang bukan isometri.