Jelaskan Isometri antar ruang bernorma dari Isometri

Teorema berikut adalah hasil kerja dari Mazur dan Ulam.

Definisi:  Titik tengah antara dua elemen  dan  di suatu ruang vektor adalah vektor .

Untuk ruang vektor bernorma  and , isometri linear adalah pemetaan linear  yang mempertahankan norma:

untuk setiap . Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global jika dan hanya jika juga bersifat surjektif. Pada ruang hasil kali dalam, definisi di atas dapat disederhanakan menjadi

untuk setiap , yang secara ekuivalen menyatakan bahwa . Hal ini juga mengimplikasikan isometri mempertahankan hasil kali dalam, karena

Isometri linear belum tentu termasuk operator uniter, karena masih diperlukan sifat tambahan  dan .

Berdasarkan teorema Mazur–Ulam, setiap isometri pada ruang vektor  bernorma bersifat affine. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai matriks uniter.