Jabarkan Aspek matematika dari Paradoks garis pantai

Konsep dasar panjang berasal dari jarak Euklides. Dalam geometri Euklides, satu garis lurus melambangkan jarak terpendek antara dua titik; garis ini hanya mempunyai satu panjang. Panjang geodesi di atas permukaan bola, yang dinamakan panjang lingkaran besar, diukur sepanjang lengkung permukaan yang terdapat di atas bidang yang berisi kedua titik akhir laluan dan pusat bola. Panjang lengkungan dasar lebih rumit tetapi juga dapat dihitung. Dengan menggunakan penggaris, panjang lengkungan dapat diperkirakan dengan menambahkan jumlah garis lurus yang menghubungkan titik-titiknya:

Dengan hanya menggunakan beberapa garis lurus untuk memperkirakan panjang lengkungan, akan dihasilkan prakiraan yang rendah. Jika garis-garis ini semakin diperpendek, akan dihasilkan jumlah yang mendekati panjang lengkungan yang sesungguhnya. Nilai tepat bagi panjang lengkungan dapat dihitung dengan menggunakan kalkulus, cabang matematika yang memungkinkan penghitungan panjang yang teramat kecil. Animasi berikut menunjukkan bagaimana lengkungan dapat diberikan panjang yang tepat:

Namun, tidak semua lengkungan bersifat seperti ini. Fraktal adalah jenis lengkungan yang akan berubah kekompleksannya berdasarkan skala ukuran yang berbeda. Panjang fraktal yang diukur dapat berubah secara drastis jika presisi pengukuran ditingkatkan.

Panjang "fraktal sebenarnya" sentiasa mendekati tak terhingga. Namun, nilai ini bergantung pada anggapan bahwa ruang ini dapat terus dibagi. Kebenaran dari anggapan ini—yang menjadi dasar geometri Euklides dan menjadi model yang berguna dalam pengukuran sehari-hari—adalah suatu spekulasi yang bersifat filosofis, dan belum tentu menggambarkan perubahan sebenarnya 'jarak' dan 'ruang' pada skala atom (kira-kira pada skala nanometer). Panjang Planck (yang jauh lebih kecil daripada atom) telah diusulkan sebagai satuan pengukuran terkecil di alam semesta.

Garis pantai berbeda dari fraktal dalam matematika kerana garis pantai dihasilkan oleh banyak kejadian kecil yang hanya membentuk pola secara statistik.