Jabarkan , dari Grup permutasi

invers dari  yang dinotasikan sebagai dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

Setiap permutasi pada grup permutasi  dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas. Sebagai contoh, permutasi

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan  terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang , orde dari  kemudian adalah kelipatan persekutuan terkecil dari .

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua. Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian grup berayun, yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.