Jelaskan Contoh dari Keragaman topologi

Ruang Rn adalah prototipe keragaman-n.

Setiap ruang diskrit adalah sebuah keragaman berdimensi-0.

Lingkaran adalah sebuah keragaman-1 yang kompak.

Torus dan botol Klein adalah keragaman-2 yang kompak (atau permukaan).

Setiap kulit bola berdimensi-n S^n adalah sebuah keragaman-n yang kompak.

The n-dimensi torus Tn (produk n lingkaran) adalah kompak n-manifold.

Ruang proyektif atas bilangan riil, kompleks, atau quaternion adalah keragaman-keragaman yang kompak.

Ruang proyektif riil RPn adalah sebuah keragaman berdimensi-n.

Ruang proyektif kompleks CPn adalah sebuah keragaman berdimensi-2n.

Ruang proyektif quaternion HPn adalah sebuah keragaman berdimensi-4n.

Keragaman yang terkait dengan ruang proyektif misalnya Grassmanian, keragaman bendera, dan keragaman Stiefel.

Ruang lensa adalah sebuah kelas keragaman yang merupakan ruang bagi (quotient space) dari bola berdimensi ganjil.

Grup Lie adalah keragaman yang dilengkapi dengan sebuah struktur grup.

Setiap himpunan terbuka dari sebuah keragaman-n adalah sebuah keragaman-n dengan topologi subruang.

Jika M adalah keragaman-m dan N adalah keragaman-n, perkalian langsung M × N adalah keragaman-(m+n).

Gabungan lepas dari sebuah keluarga keragaman-n adalah sebuah keragaman-n (setiap potong harus memiliki dimensi yang sama).

Penjumlahan terhubung (connected sum) dari dua keragaman-n menghasilkan sebuah keragaman-n juga.

Sifatnya yaitu Euklidean secara lokal terjaga oleh homeomorfisme lokal. Artinya, jika X adalah Euklidean lokal berdimensi n dan f : Y → X adalah homeomorfisme lokal, maka Y juga Euklidean lokal berdimensi-n. Lebih eksplisitnya, sifat Euklidean lokal merupakan sifat topologi.

Keragaman mewarisi banyak sifat dari ruang Euklidean. Spesifiknya, mereka adalah kompak secara lokal, terhubung secara lokal, terhitung pertama, dapat disusutkan secara lokal, dan dapat dimetrisasi secara lokal. Karena merupakan sebuah ruang Hausdorff yang kompak secara lokal, keragaman merupakan ruang Tychonoff.

Menambahkan persyaratan Hausdorff dapat membuat beberapa sifat adalah setara untuk sebuah keragaman. Misalnya,kita bisa menunjukkan untuk sebuah keragaman Hausdorff, gagasan kekompakan-σ dan terhitung kedua adalah setara. Keragaman Hausdorff adalah ruang Hausdorff yang kompak lokal, sehingga ia (sepenuhnya) reguler. Misalkan ruang X adalah kompak-σ. Maka ia adalah Lindelöf dan karena Lindelöf + reguler mengimplikasikan sifat parakompak, X adalah dapat dimetrisasi (metrisable). Tapi untuk sebuah ruang yang metrisable, terhitung-kedua bertepatan dengan sifat Lindelöf, jadi X adalah terhitung kedua. Sebaliknya, jika X adalah keragaman terhitung-kedua Hausdorff, maka ia pasti kompak-σ.

Sebuah keragaman tidak perlu untuk terhubung, tapi setiap keragaman M adalah gabungan lepas dari beberapa keragaman terhubung. Keragaman-keragaman ini hanyalah komponen terhubung dari M, yang dimana hanyalah merupakan himpunan terbuka karena keragaman adalah terhubung secara lokal. Karena ia terhubung secara lokal, sebuah keragaman merupakan terhubung lintas jika dan hanya jika ia terhubung secara topologi. Dari sini dapat diketahui bahwa komponen terhubung lintas adalah sama dengan komponen terhubung.