Jabarkan Pernyataan dari Teorema Gauss–Bonnet

Seharusnya nilai  adalah kekompakan antara dua dimensi berjenis Riemannian dengan batas  . Jika nilai  menjadi kelengkungan Gaussian pada nilai , dan membiarkan nilai  menjadi kelengkungan geodesik  . Setelah itu

Darimana nilai dA adalah elemen luas pada permukaan dan nilai ds adalah elemen garis di sepanjang batas M. Nilai  adalah karakteristik Euler dari .

Jika batas pada nilai  adalah rumus sedikit halus, setelah itu kami akan menafsirkan nilai pada integral  sebagai jumlah dari integral terkait sepanjang bagian mulus dari batas, ditambah jumlah sudut dimana bagian halus berputar di sudut batas.