Jelaskan Catatan dari Homeomorfisme

Syarat ketiga, yaitu  supaya kontinu, sangat penting. Misalkan sebuah fungsi  (lingkaran dalam ) yang didefinisikan sebagai. Fungsi ini bijektif dan kontinu, tapi bukan merupakan sebuah homeomorfisme ( bersifat kompak tetapi  tidak kompak). Fungsi  tidak kontinu pada titik, dikarenakan meskipun  memetakan  ke , seluruh tetangga dari titik ini juga mengandung titik-titik yang oleh fungsi invers ini dipetakan dekat dengan , tapi titik-titik tersebut berada di luar tetangga .

Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dengan demikian, komposisi dari dua homeomorfisme juga merupakan homeomorfisme, dan himpunan dari semua swahomeomorfisme  membentuk sebuah grup, yang disebut grup homeomorfisme dari X, yang sering dilambangkan . Grup ini dapat diberikan topologi, seperti topologi kompak-terbuka, dimana dengan asumsi-asumsi tertentu dapat membuatnya menjadi grup topologis.

Untuk beberapa tujuan, grup homeomorfisme mungkin terlalu besar, tapi dengan hubungan isotopi, kita bisa mengurangi grup ini menjadi grup kelas pemetaan.

Seperti biasanya dalam teori kategori, jika diberikan dua ruang yang saling homeomorfik, ruang homeomorfisme antara keduanya, adalah sebuah torsor untuk grup homeomorfisme  dan dan, dengan menentukan sebuah homeomorfisme antara  dan ketiga himpunan dapat diidentifikasi.