Tolong jelaskan mengenai Pendahuluan dari Geometri simplektik

Geometri simplektis didefinisikan pada ruang berdimensi genap mulus yang merupakan lipatan terdiferensiasi. Pada ruang ini didefinisikan sebuah benda geometris, yaitu bentuk simplektik, yang memungkinkan untuk pengukuran ukuran benda dua dimensi di ruang. Bentuk simplektis dalam geometri simplektis memainkan peran analog dengan metrik tensor di geometri Riemannian. Jika tensor metrik mengukur panjang dan sudut, bentuk simplektis mengukur area berorientasi.

Geometri simplektik muncul dari studi tentang mekanika klasik dan salah satu contoh struktur simplektik adalah gerak suatu benda dalam satu dimensi. Untuk menentukan lintasan objek, seseorang membutuhkan posisi  q  dan momentum  p , yang membentuk sebuah titik ( p ,  q ) pada bidang Euclidean ℝ2. Dalam hal ini, bentuk simplektisnya adalah

dan merupakan bentuk wilayah yang mengukur luas  L  dari suatu wilayah  S  dalam bidang melalui integrasi:

The area is important because as conservative dynamical systems evolve in time, this area is invariant.

Geometri simplektis berdimensi lebih tinggi didefinisikan secara analogis. Geometri simplektis berdimensi 2n  terbentuk dari pasangan arah

dalam lipatan dimensi 2n  bersama dengan bentuk simplektis

Bentuk simplektis ini menghasilkan ukuran wilayah dimensi 2n  -  V  di ruang angkasa sebagai jumlah area proyeksi  V  ke masing-masing bidang yang dibentuk oleh pasangan arah