Jelaskan Pertautan dari Gelanggang Borromean

Dalam teori simpul, cincin Borromean merupakan contoh sederhana dari tautan Brunnian, di mana masing-masing cincin tidak terhubung, serta tautan tersebut tidak dapat dilepaskan tautannya secara keseluruhan. Terdapat pula beberapa cara untuk melihat hal ini.

Tautan yang paling sederhana memiliki grup fundamental dari dua lingkaran komplementer, yang tak terkait, yang merupakan grup bebas yang dibangun dua unsur, a dan b, pada teorema Seifert-van Kampen, kemudian loop ketiga memiliki kelas komutator, [a, b] = aba−1b−1, seperti yang dapat dilihat pada diagram tautan: melampaui yang satu, melampaui yang berikutnya, kembali lagi ke bagian bawah yang pertama, lalu kembali lagi pada yang kedua. Didapat loop yang non-trivial dalam grup fundamentalnya sehingga cincin Borromean saling bertautan.

Cara lain adalah bahwa kohomologi dari komplementasi yang mendukung konsep Massey product yang non-trivia, yang bukan penyebab penghilangan tautan. Hal ini merupakan contoh sederhana dari konsep Massey product, di mana aljabar sesuai dengan geometri: Massey product 3-manifold merupakan hasil kali 3-manifold yang hanya ditentukan jika semua product 2-manifold tidak bertaut, di mana cincin Borromean yang dipasangkan secara berpasangan (hasil kali 2-manifold hilang), tetapi terkait secara keseluruhan (di mana hasil kali 3-manifold tidak hilang).

Dalam topologi aritmatika, terdapat analogi antara simpul dan bilangan prima, yaitu adanya hubungan-hubungan antara bilangan prima. Tiga bilangan prima  dihubungkan modulo 2 (simbol Rédei adalah -1), tetapi dipasangkan dengan pasangan modulo 2 (simbol Legendre yang semuanya 1). Oleh karena itu, bilangan prima ini disebut "triple Borromean modulo 2" atau "bilangan prima mod 2 Borromean".