Jabarkan Arti geometris dari Determinan

Jika  riil matriks A ditulis dalam bentuk vektor kolomnya , then

Ini berarti  memetakan unit n-kubus ke n-dimensi parallelotop yang ditentukan oleh vektor  the region

Determinan memberikan volume dimensi bertanda  n  dari paralelotop ini,  dan karenanya menjelaskan secara lebih umum faktor skala volume dimensi 'n dari transformasi linear yang dihasilkan oleh A. (Tanda tersebut menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalikkan orientasi.) Secara khusus, jika determinannya nol, maka paralelotop ini memiliki volume nol dan tidak sepenuhnya berdimensi  n , yang menunjukkan bahwa dimensi bayangan  A  lebih kecil dari n. Ini berarti bahwa  A  menghasilkan transformasi linier yang bukan ke atau satu-ke-satu, dan begitu juga bukan bisa dibalik.