Jabarkan Menghitung determinan dari Eliminasi Gauss

Operasi-operasi baris dasar pada eliminasi Gauss memungkinkan perhitungan determinan matriks persegi. Hal ini terjadi karena operasi baris erat kaitannya dengan perkalian sebuah matriks dasar. Hal ini berefek pada:

Menukar dua baris sama dengan mengalikan determinan matriks dengan  −1

Mengalikan baris dengan skalar bukan nol mengalikan determinan dengan skalar yang sama

Menambahkan kelipatan skalar dari baris lain ke suatu baris tidak mengubah nilai determinan.

Jika eliminasi Gauss diterapkan pada matriks persegi , matriks eselon baris  yang dihasilkan merupakan sebuah matriks segitiga atas. Determinan dari matriks ini selanjutnya dapat ditentukan dengan mengalikan semua elemen-elemen diagonal utamanya. Dari fakta ini, kita dapat menuliskan hubungan determinan matriks  dan matriks :Secara komputasi, metode ini cepat karena hanya memerlukan  operasi untuk sebuah matriks berukuran . Di sisi lain, rumus Leibniz untuk determinan memerlukan  operasi (untuk banyaknya penjumlahan diperlukan) sedangkan ekspansi Laplace memerlukan  operasi (banyaknya submatriks yang perlu dihitung, jika semua submatriks unik); menjadikannya [hampir] tidak berguna untuk .

Menemukan invers dari sebuah matriks

Variasi dari eliminasi Gauss yang dikenal dengan eliminasi Gauss–Jordan dapat digunakan untuk menemukan invers dari matriks nonsingular. Misalkan  adalah matriks berukuran . Lalu bentuk matriks blok , dengan  adalah matriks identitas berukuran . Matriks  memiliki invers jika dan hanya jika serangkaian operasi baris dasar dapat dilakukan ke sisi kiri matriks blok sehingga  berubah menjadi matriks identitas . Pada kasus ini, sisi kanan dari matriks blok akan menjadi . Namun jika  tidak dapat diubah menjadi matriks identitas, maka  tidak memiliki invers.

Sebagai contoh, misalkan kita ingin menemukan invers dari matriks berikut:

Pertama, kita perlu membuat matriks blok dengan "menempelkan" matriks identitas ke sisi kanan  seperti berikut:

Dengan menerapkan eliminasi Gauss-Jordan, kita dapat mengecek bentuk eselon baris tereduksi dari matriks blok di atas adalah

Proses operasi baris dasar dapat dianggap sebagai sebuah perkalian dengan matriks dasar dari sebelah kiri. Jika  merupakan hasil perkalian semua matriks dasar yang dilakukan,  dapat ditunjukkan bahwaKarena , kita simpulkan .  Prosedur ini dapat diterapkan untuk mencari invers matriks dengan sebarang ukuran.

Menghitung rank dan menentukan basis

Algoritma eliminasi Gauss juga dapat diterapkan untuk sebarang matriks  berukuran . Misalkan sebuah matriks berukuran  berhasil diubah menjadi bentuk eselon baris berikut

dengan simbol bintang menandakan entri yang nilainya sebarang, sedangkan  berupa entri tidak bernilai 0. Matriks eselon baris  mengandung banyak informasi mengenai matriks : rank dari  adalah 5, karena ada lima baris yang tidak semuanya bernilai nol di ; ruang vektor yang dibangun dari kolom-kolom  memiliki basis berisi kolom 1, 3, 4, 7 dan 9 (bersesuaian dengan kolom  di ), dan bintang-bintang menyatakan bagaimana kolom-kolom dari  dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom basis.

Cara ini juga berlaku untuk matriks berbentuk eselon baris tereduksi; yang merupakan kasus khusus dari bentuk eselon baris.