Tolong jelaskan mengenai Derivasi dari Bilangan kuantum azimut

Terdapat empat bilangan kuantum yang terkait dengan keadaan energi elektron suatu atom yaitu: n, ℓ, mℓ, dan ms. Semuanya menyatakan keadaan kuantum yang lengkap dan unik dari elektron tunggal dalam suatu atom, dan menyusun  atau orbitalnya. Fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger mengurangi tiga persamaan yang jika dipecahkan, mengarah pada tiga bilangan kuantum pertama. Oleh karena itu, persamaan untuk tiga bilangan kuantum pertama kesemuanya saling terkait. Bilangan kuantum azimut muncul dalam penyelesaian bagian polar dari persamaan gelombang seperti ditunjukkan di bawah. Untuk membantu pemahaman tentang konsep azimut ini, mungkin juga bermanfaat untuk meninjau , dan/atau sistem koordinat matematis alternatif selain sistem koordinat Kartesius. Umumnya, sistem koordinat sferis paling cocok untuk model sferis, sistem silindris untuk tabung, kartesius untuk volume secara umum, dan seterusnya.

Momentum sudut elektron atom, L, berhubungan dengan bilangan kuantumnya ℓ sesuai persamaan berikut:

dengan ħ adalah tetapan Planck tereduksi, L2 adalah operator momentum sudut orbital dan  adalah fungsi gelombang elektron. Bilangan kuantum ℓ selalu bilangan bulat positif: 0, 1, 2, 3, dst. Sementara banyak buku teks pengantar tentang mekanika kuantum dengan L mengacu pada dirinya sendiri, L tidak memiliki makna sebenarnya kecuali penggunaannya sebagai . Bila mengacu pada momentum sudut, lebih baik menggunakan bilangan kuantum ℓ.

Orbital atom memiliki bentuk khas yang dilambangkan dengan huruf. Dalam ilustrasi, huruf s, p, dan d menggambarkan bentuk orbital atom.

Fungsi gelombang mereka berbentuk harmonis sferis, dan dijelaskan oleh polinomial Legendre. Berbagai orbital yang berkaitan dengan nilai ℓ yang berbeda kadang-kadang disebut sub-kelopak, dan (terutama untuk alasan historis) disebut dengan huruf, sebagai berikut: