Jabarkan Contoh dari Kaidah Cramer

Berikut adalah sistem persamaan linear:

Apabila  bukan nol, maka  dan  dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks tersebut:

Untuk matriks , caranya sama:

Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:

Kemudian nilai  dan  dapat dicari dengan rumus berikut:

Bukti untuk kaidah Cramer didasarkan pada sifat dari determinan: linearitas terhadap setiap kolom, dan fakta bahwa determinan bernilai nol jika terdapat dua kolom yang sama (tersirat dari sifat tanda determinan yang berubah ketika terjadi penukaran dua kolom matriks).

Pilih sebarang kolom ke-j dari sebuah matriks. Linearitas mengartikan jika kita menganggap hanya kolom ke-j sebagai variabel, fungsi  yang dihasilkan (dengan asumsi elemen matriks adalah anggota ) dapat ditulis sebagai perkalian sebuah matriks, dengan satu baris dan n kolom, dengan kolom ke-j. Faktanya, ini yang dilakukan oleh ekspansi Laplace, yang menyatakan  dengan koefisien  bergantung pada kolom-kolom matriks  selain kolom ke-j. Nilai  juga dapat ditulis sebagai perkalian matriks satu-baris  dengan kolom ke-j dari . Jika  dikalikan dengan kolom lain dari , misal kolom ke-k, hal ini sama mengganti kolom ke-j dengan kolom ke-k. Pada kasus ini determinan akan bernilai 0 (sifat determinan jika terdapat dua kolom yang sama).

Selanjutnya perhatikan sistem n persamaan linear dengan n variabel, dengan  sebagai matriks koefisien, dan  diasumsikan tidak bernilai nol:

Lalu bentuk persamaan "gabungan" dari menjumlahkan persamaan pertama dikali , dengan persamaan kedua dikali , dan seterusnya, sampai persamaan terakhir dikali . Koefisien untuk variabel  pada persamaan ini adalah

sedangkan koefisien untuk variabel lainnya akan bernilai 0; sehingga ekspresi di ruas kiri persamaan hanyalah . Sedangkan, ruas kanan memiliki bentuk , yang sama dengan mengalikan  dengan vektor kolom . Faktanya, proses yang kita lakukan sama dengan mengalikan persamaan  dengan  dari kiri. Membagi kedua ruas dengan  akan menghasilkan persamaan berikut:

Bentuk pembilang pada persamaan tersebut sama dengan nilai determinan dari matriks , dengan kolom ke-j yang diganti dengan vektor . Akhirnya, kita mendapatkan ekspresi kaidah Cramer yang juga merupakan syarat perlu untuk solusi. Proses yang sama dapat dilakukan untuk nilai-nilai j lain untuk mendapatkan nilai variabel  lainnya.

Hal terakhir yang perlu dibuktikan adalah, apakah (satu-satunya) nilai yang didapatkan dari cara ini memang merupakan solusi dari sistem persamaan. Ketika matriks  dapat diinvers dengan matriks invers , maka  adalah solusi dari sistem (dan menunjukkan eksistensinya). Untuk menunjukkan  dapat diinvers ketika  tidak bernilai nol, pertimbangkan matriks  ukuran  yang dibentuk dengan menumpuk matriks satu-baris  secara berurutan untuk  j = 1, ..., n (ini adalah matriks adjugat dari ). Dapat ditunjukkan bahwa , dengan  berada pada kolom ke-j; dari ini dapat simpulkan . Sehingga didapatkan,