Jelaskan dimana  adalah bilangan imajiner. dari Fungsi invers trigonometri

Pecahan lanjutan untuk invers tangen

Dua alternatif dari deret pangkat untuk invers tangen adalah pecahan lanjutan umum berikut:

Yang kedua ini berlaku di bidang kompleks potong. Ada dua potongan, dari - i ke titik tak terhingga, menuruni sumbu imajiner, dan dari i ke titik tak terhingga, menuju berfungsi paling baik untuk bilangan real yang berjalan dari −1 hingga 1. Penyebut parsial adalah bilangan asli ganjil, dan pembilang parsial (setelah yang pertama) hanya (nz)2, dengan setiap kotak sempurna muncul sekali. Yang pertama dikembangkan oleh Leonhard Euler; yang kedua oleh Carl Friedrich Gauss menggunakan deret hipergeometrik Gaussian.

Integral tak tentu dari fungsi invers trigonometri

Untuk nilai nyata dan kompleks z:

untuk riil x ≥ 1:

untuk semua riil x tidak antara -1 dan 1:

Nilai mutlak diperlukan untuk mengimbangi nilai negatif dan positif dari fungsi arcsekan dan arckosekan. Fungsi signum juga diperlukan karena nilai mutlak dalam turunan dari kedua fungsi tersebut, yang membuat dua solusi berbeda untuk nilai positif dan negatif x. Ini dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan definisi logaritmik dari fungsi hiperbolik invers:

Nilai mutlak dalam argumen fungsi arcosh menciptakan setengah negatif grafiknya, membuatnya identik dengan fungsi logaritmik signum yang ditunjukkan di atas.

Semua antiturunan ini dapat diturunkan menggunakan integrasi oleh bagian dan bentuk turunan sederhana yang ditunjukkan di atas.