Jabarkan Bukti ketidaknisbahan dari Akar kuadrat dari 2

Pembuktian dengan penurunan tak terhingga

Satu pembuktian nomor tak rasio adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ini juga pembuktian melalui kontradiksi, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahwa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahwa pernyataan asli itu adalah benar.

Anggap yang √2 adalah nomor rasio, berarti ada bilangan bulat a dan bilangan bulat b yang menunjukkan a / b = √2.

Kemudian √2 dapat ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (fraksi yang dapat disederhanakan sebanyak mungkin) a / b yaitu a dan b adalah bilangan bulat kelipatan dan (a / b)2 = 2.

Kemudian a2 / b2 = 2 dan a2 = 2 b2.

Maka a2 adalah genap karena bersamaan dengan 2 b2 yaitu genap juga.

Kemudian a harus genap (karena bilangan bulat ganjil kuadrat adalah ganjil).

Karena a adalah genap, wujudnya bilangan bulat k yang memenuhi: a = 2k.

Dengan mengganti (6) ke dalam persamaan akhir (3): 2b2 = (2k)2 adalah sama dengan 2b2 = 4k2 yang juga sama dengan b2 = 2k2.

Disebabkan 2k2 genap karena b2 juga genap yang membawa maksud b adalah genap karena interger ganjil mempunyai kuasa yang ganjil.

Dengan (5) dan (8) a dan b adalah genap keduanya, yang bertentangan dengan a / b yang tak terturunkan seperti dinyatakan dalam (2).