Jelaskan Misalnya, dari Operasi biner

Pada himpunan bilangan real R, f(a, b) = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan real adalah bilangan real.

Pada himpunan bilangan asli N, f(a, b) = a + b adalah operasi biner karena jumlah dari dua bilangan asli adalah bilangan asli. Ini adalah operasi biner yang berbeda dari yang sebelumnya karena himpunan yang berbeda.

Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = A + B adalah operasi biner karena jumlah dari dua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .

Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = AB adalah operasi biner karena produk dari kedua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .

Untuk himpunan C, misalkan S adalah himpunan semua fungsi h: C → C. Definisikan f: S × S → S dengan f(h1, h2)(c) = h1 ∘ h2 (c) = h1(h2(c)) untuk semua c ∈ C, komposisi dari dua fungsi h dan h di S. Maka f adalah operasi biner karena komposisi dari dua fungsi adalah fungsi lain pada set C (artinya, anggota dari S).

Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal bersifat komutatif, yaitu memenuhi f(a, b) = f(b, a) untuk semua elemen-elemen a dan b di S, atau asosiatif, yaitu memenuhi f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)) untuk semua a, b dan c di S. Banyak juga yang memiliki elemen identitas dan elemen invers.

Tiga contoh pertama di atas adalah komutatif dan semua contoh di atas adalah asosiatif.

Pada himpunan bilangan real R, pengurangan, yaitu, f(a, b) = a − b, adalah operasi biner yang tidak komutatif karena, secara umum, a − b ≠ b − a. operasi tersebut juga tidak asosiatif, karena, secara umum, a − (b − c) ≠ (a − b) − c; misalnya, 1 − (2 − 3) = 2 tapi (1 − 2) − 3 = −4.

Pada himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, f(a,b) = ab, tidak komutatif karena, secara umum, ab ≠ ba dan juga tidak asosiatif karena f(f(a, b), c) ≠ f(a, f(b, c)). Misalnya, dengan memilih a = 2, b = 3 dan c = 2, f(23,2) = f(8,2) = 64, tetapi f(2,32) = f(2,9) = 512. Dengan mengganti himpunan N menjadi himpunan bilangan bulat Z, operasi biner ini menjadi operasi biner parsial karena sekarang operasi tersebut tidak terdefinisi apabila a = 0 dan b adalah sembarang bilangan bulat negatif. Pada himpunan N dan Z, operasi ini memiliki identitas kanan (yaitu 1) karena f(a, 1) = a untuk semua a dalam dalam himpunan tersebut, tapi 1 bukan merupakan identitas (identitas kiri dan kanan) karena f(1, b) ≠ b pada umumnya.

Pembagian (/), sebuah operasi biner parsial pada himpunan bilangan real atau bilangan rasional, tidak komutatif atau asosiatif. Tetration (↑↑), sebagai operasi biner pada bilangan asli tidak komutatif atau asosiatif dan tidak memiliki elemen identitas.