Jelaskan Contoh-contoh mendasar dari Lipatan (matematika)

Setelah garis, lingkaran adalah contoh paling sederhana dari manifold topologis. Topologi mengabaikan pembengkokan, sehingga sepotong kecil lingkaran diperlakukan persis sama dengan sepotong kecil garis. Perhatikan, misalnya, bagian atas satuan lingkaran, x2 + y2 = 1, dimana koordinat-y adalah positif (ditunjukan oleh busur kuning pada Gambar 1). Setiap titik busur ini dapat dijelaskan secara khusus oleh koordinat-x. Jadi, proyeksi ke koordinat pertama adalah kontinyu, dan terbalik, pemetaan dari busur atas ke interval terbuka (− 1,1):

Fungsi tersebut bersama dengan daerah terbuka yang mereka petakan disebut grafik l. Demikian pula, ada grafik untuk bagian bawah (merah), kiri (biru), dan kanan (hijau) bagian dari lingkaran:

Grafik atas dan kanan tumpang tindih: persimpangan mereka terletak pada kuartal lingkaran di mana kedua koordinat  x  dan  y  positif. Dua grafik χatas dan χkanan masing-masing memetakan bagian ini ke interval (0, 1). Dengan demikian fungsi T dari (0, 1) untuknya sendiri dapat disusun, yang pertama menggunakan invers dari grafik atas untuk mencapai lingkaran dan kemudian mengikuti grafik kanan kembali ke interval. Misalkan 'a' sembarang bilangan di (0, 1), maka:

Fungsi semacam ini disebut peta transisi.

Grafik atas, bawah, kiri, dan kanan menunjukan bahwa lingkaran adalah sebuah manifold, tetapi mereka tidak membentuk satu-satunya atlas yang mungkin terbentuk. Grafik tidak memerlukan proyeksi geometris, dan bilangan dalam grafik adalah persoalan pemilihan. Perhatikan grafik