Jabarkan Pengembangan mekanika kuantum modern dari Pengantar mekanika kuantum

Pada tahun 1925, Werner Heisenberg mencoba untuk menyelesaikan salah satu masalah yang tidak terjawab oleh model Bohr, menjelaskan intensitas beda garis pada spektrum emisi hidrogen. Melalui serangkaian analogi matematika, ia menulis analogi mekanika kuantum untuk komputasi intensitas klasik. Tidak lama kemudian, kawan Heisenberg yaitu Max Born menyadari bahwa metode Heisenberg dalam menghitung kemungkinan transisi antara beda tingkat energi dapat dinyatakan dengan menggunakan konsep matematika matriks.

Pada tahun yang sama, dengan dasar dari hipotesis de Broglie, Erwin Schrödinger mengembangkan persamaan yang menjelaskan perilaku gelombang mekanika kuantum. Model matematika ini, disebut dengan Persamaan Schrödinger, adalah inti dari mekanika kuantum, menjelaskana keadaan diam yang diperbolehkan pada suatu sistem kuantum, dan menjelaskan bagaimana keadaan kuantum suatu sistem fisik berubah terhadap waktu. Gelombangnya sendiri dijelaskan dengan fungsi matematika yang dikenal dengan "fungsi gelombang". Schrödinger mengatakan bahwa fungsi gelombang memberikan "prediksi kemungkinan hasil pengukuran".

Schrödinger dapat menghitung tingkat energi hidrogen dengan memperlakukan elektron atom hidrogen sebagai gelombang klasik, berpindah dalam sebuah sumur potensial listrik yang dibuat proton. Perhitungan ini secara akurat menghitung tingkat energi model Bohr.

Bulan Mei 1926, Schrödinger membuktikan bahwa mekanika matriks Heisenberg dan mekanika gelombang miliknya menghasilkan prediksi yang sama tentang karakteristik dan perilaku elektron; secara matematis, kedua teori memiliki bentuk umum. Namun kedua orang ini tidak setuju pada interpretasi teori lawan masing-masing. Contohnya, Heisenberg menerima prediksi teoretis tentang lompatan elektron antara orbital dalam atom, namun Schrödinger berharap bahwa teori berbasis properti seperti-gelombang kontinu dapat menghindari apa yang ia sebut (dikatakan ulang oleh Wilhelm Wien) "lompatan kuantum yang tidak masuk akal."