Jelaskan Perbandingan dengan geometri Riemannian dari Geometri simplektik

Geometri simplektis memiliki sejumlah persamaan dan perbedaan dari geometri Riemannian, yaitu studi tentang lipatan terdiferensiasi yang dilengkapi dengan 2-tensor simetris nondegenerasi. Berbeda dengan kasus Riemannian, lipatan simplektis tidak memiliki invarian lokal seperti kelengkungan. Ini adalah konsekuensi dari Teorema Darboux yang menyatakan bahwa lingkungan dari apapun titik lipatan simplektis berdimensi 2n  isomorfik terhadap struktur simplektis standar pada himpunan terbuka ℝ2n. Perbedaan lain dengan geometri Riemannian adalah bahwa tidak setiap kebutuhan lipatan yang dapat dibedakan menerima bentuk simplektis; ada batasan topologi tertentu. Misalnya, setiap lipatan simplektis berdimensi genap dan berorientasi. Selain itu, bila M adalah lipatan simplektis tertutup, kemudian kohomologi de Rham grup ke-2 H2(M) tidak sepele; ini menyiratkan, misalnya, bahwa satu-satunya  n -bola yang menerima bentuk simplektis adalah 2-bola. Sebuah paralel yang dapat ditarik antara dua subjek adalah analogi antara geodesik dalam geometri Riemannian dan kurva pseudoholomorfik dalam geometri simplektis: Geodesik adalah kurva dengan panjang terpendek (secara lokal), sedangkan kurva pseudoholomorfik adalah permukaan dengan luas minimal. Kedua konsep tersebut memainkan peran mendasar dalam disiplin ilmu masing-masing.