Jabarkan Bukti geometri dari Akar kuadrat dari 2

Satu lagi pembuktian melalui kontradiksi menunjukkan yang √2 adalah nomor tak rasio adalah tidak berapa diketahui. Ia juga contoh pembuktian penurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan konstruksi kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorema ini dengan metode yang sama yang digunakan anggota geometri Yunani kuno.

Biarkan ABC segitiga sama kaki tegak dengan panjang miring m dan kaki n. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, m / n = √2. Katakan m dan n adalah bilangan bulat. Biarkan m:n menjadi rasio yang diberikan melalui sebutan terendah.

Lukis lengkungan BD dan CE berpusat A. Hubungkan DE. Kemudian AB = AD, AC = AE serta sudut BAC dan sudut DAE adalah sama. Maka segitiga ABC dan ADE adalah kongruen melalui SAS.

Mengingat sudut EBF adalah sudut tegak dan sudut BEF setengah sudut tegak, BEF juga segitiga sama kaki tegak. Maka BE = m - n menandai BF = m - n. Melalui simetri, DF = m - n, dan FDC juga segitiga sama kaki tegak. Juga FC = n - (m - n) = 2n - m.

Mengingat kita memiliki segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang miring 2n - m dan kaki m - n. Nilai ini adalah bilangan bulat yang lebih kecil dari m dan n dan dalam rasio yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahwa m:n adalah sebutan terkecil. Maka m dan n tidak mungkin bilangan bulat, maka √2 adalah bukan rasio.

Sifat-sifat akar kuadrat dari dua

separuh √2, sekitar 0.707106781186548, merupakan kuantitas lazim dalam geometri dan trigonometri, karena kenyataan yang vektor unit membuat sudut 45° dengan sumbu pada bidang yang memiliki koordinat