Jabarkan Dalam maktris dari Determinan

Rumus Leibniz untuk determinan a  matriks adalah

Jika entri matriks adalah bilangan real, matriks  dapat digunakan untuk merepresentasikan dua peta linear: yang memetakan vektor standar dasar ke baris , dan yang memetakannya ke kolom .  Dalam kedua kasus tersebut, gambar vektor basis membentuk jajaran genjang yang mewakili gambar satuan persegi di bawah pemetaan. Jajar genjang yang ditentukan oleh baris dari matriks di atas adalah yang memiliki simpul di    dan  seperti yang ditunjukkan pada diagram terlampir.

Nilai absolut dari  adalah luas jajaran genjang, dan dengan demikian mewakili faktor skala yang luasnya diubah oleh . (Jajar genjang dibentuk kolom  pada jajaran genjang, tetapi karena determinan simetri dari baris dan kolom, luasnya tetap sama.)

Nilai absolut dari determinan bersama dengan tanda menjadi luas berorientasi dari jajaran genjang. Luas orientasi sama dengan luas biasa, kecuali bilangan negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang menentukan jajar genjang berubah searah jarum jam (yang berlawanan dengan arah yang akan didapatkan untuk identitas matriks)

Untuk menunjukkan  adalah luas, matriks dari dua vektor  dan  dengan sisi jajaran genjang. Luas  untuk sudut θ antara vektor, merupakan tinggi kali alas, panjang satu vektor dikalikan komponen tegak lurus lainnya. Karena sinus dari luas, diekspresikan menggunakan kosinus dari sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya  so that  ditentukan dengan pola produk skalar

Jadi determinan dari faktor skala dan orientasi yang diinduksi dengan pemetaan A. Jika determinannya sama dengan satu, pemetaan linear ditentukan dengan matriks adalah ekui-luas dan orientasi.