Jabarkan Definisi dari Determinan

Ada berbagai cara yang setara untuk menentukan determinan dari matriks persegi  A , yaitu satu dengan jumlah baris dan kolom yang sama.  Mungkin cara termudah untuk menyatakan determinan adalah dengan mempertimbangkan elemen di baris atas dan masing-masing minor; mulai dari kiri, kalikan elemen dengan minor, lalu kurangi hasil kali elemen berikutnya dan minornya, dan secara bergantian menambah dan mengurangi produk tersebut sampai semua elemen di baris atas habis. Sebagai contoh, berikut adalah hasil untuk matriks 4 × 4:

Cara lain untuk menentukan determinan dinyatakan dalam kolom-kolom matriks. Jika kita menulis berkas  matriks  A  dalam hal vektor kolomnya

dimana  adalah vektor dengan ukuran  n , maka determinan dari  A  didefinisikan sehingga

di mana  b  dan  c  adalah skalar,  v  adalah sembarang vektor berukuran  n  dan  I  adalah matriks identitas berukuran  n . Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya.  Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, gelanggang komutatif), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik.

Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku  n  dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah ekspresi polinomial dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah  matriks memiliki n! istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus  matriks dan matriks , diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.

Asumsikan  A  adalah matriks persegi dengan baris  n  dan kolom  n , sehingga dapat ditulis sebagai

Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan karakteristik polinomial); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara komutatif.

Determinan dari  A  dilambangkan dengan det(A), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung: