Jabarkan Teorema dari Teorema Green

Misalkan  adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (piecewise), dan berorientasi positif, dan misalkan  adalah daerah yang dibatasi oleh . Jika  dan  adalah fungsi terhadap  yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup  dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, makadengan arah integrasi sepanjang  bersifat berlawanan jarum jam.

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

Bukti ketika D adalah daerah sederhana

Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah  yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I dimana  dan  adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika  adalah daerah tipe II di mana  dan  adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III.

Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungandanbersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah . Bukti persamaan () dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan () untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III.

Misalkan  adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, olehdengan  dan  adalah fungsi kontinu pada . Dengan menghitung integral ganda pada persamaan ():Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (). Kurva  dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: , , , dan .

Pada , persamaan parametrik  untuk  dapat digunakan untuk menyatakan . SelanjutnyaPada , persamaan parametrik  untuk  dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya,Integral atas  bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari  menuju , sama dengan arah orientasi  yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada  dan , nilai  tidak berubah, mengartikanAkibatnya,Menggabungkan hasil pada persamaan () dengan persamaan (), didapatkan bukti persamaan () untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan () pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.