Jelaskan Hubungan antar aksioma dari Aksioma pemisahan

Aksioma T0 spesial karena tidak hanya bisa ditambahkan ke sifat (sehingga benar-benar ditambah T 0  adalah Tychonoff) tetapi juga dikurangkan dari sifat (sehingga Hausdorff dikurangi T0 adalah R1), dalam arti yang cukup tepat; lihat hasil bagi Kolmogorov untuk informasi lebih lanjut. Jika diterapkan pada aksioma pemisahan, ini mengarah ke hubungan dalam tabel di kiri bawah. Dalam tabel ini, Anda pergi dari sisi kanan ke sisi kiri dengan menambahkan persyaratan T 0 , dan Anda pergi dari sisi kiri ke sisi kanan dengan menghapus persyaratan itu, menggunakan Kolmogorov. (Nama-nama dalam tanda kurung yang diberikan di sisi kiri tabel ini umumnya ambigu atau setidaknya kurang dikenal; tetapi mereka digunakan dalam diagram di bawah ini.)

Selain penyertaan atau pengecualian T 0 , hubungan antara aksioma pemisahan ditunjukkan pada diagram di sebelah kanan. Dalam diagram ini, versi non-T 0  dari suatu kondisi ada di sisi kiri garis miring, dan versi T 0  ada di sisi kanan. Huruf digunakan untuk singkatan sebagai berikut:

"P" = "pefek", "C" = "komplek", "N" = "normal", dan "R" (tanpa subskrip) = "biasa". Peluru menunjukkan bahwa tidak ada nama khusus untuk spasi di tempat itu. Tanda hubung di bagian bawah menunjukkan tidak ada kondisi.

Anda dapat menggabungkan dua properti menggunakan diagram ini dengan mengikuti diagram ke atas hingga kedua cabang bertemu. Misalnya, jika spasi sepenuhnya normal ("CN") dan kompleks Hausdorff ("CT2"), lalu mengikuti kedua cabang ke atas, Anda menemukan tempat "•/T5".

Karena spasi yang sepenuhnya Hausdorff adalah T 0  (walaupun spasi yang sepenuhnya normal mungkin tidak), Anda mengambil sisi T 0  dari garis miring, jadi spasi Hausdorff yang sepenuhnya normal sama dengan spasi T 5  (kurang ambigu disebut sebagai spasi Hausdorff yang sepenuhnya normal, seperti yang Anda lihat pada tabel di atas).

Seperti yang Anda lihat dari diagram, normal dan R 0  bersama-sama menyiratkan sejumlah properti lain, karena menggabungkan dua properti mengarahkan Anda untuk mengikuti jalur melalui banyak node di kanan. Karena keteraturan adalah yang paling terkenal, spasi yang normal dan R 0  biasanya disebut "ruang reguler normal". Dengan cara yang agak mirip, spasi yang normal dan T 1  sering disebut "ruang Hausdorff normal" oleh orang yang ingin menghindari notasi "T" yang ambigu. Konvensi ini dapat digeneralisasikan ke ruang reguler dan ruang Hausdorff lainnya.