Jabarkan Pendahuluan dari Nilai dan vektor eigen

Nilai eigen dan vektor eigen umum ditemukan ketika melakukan analisis mengenai pemetaan (transformasi) linear. Istilah "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat. Awalnya konsep ini digunakan untuk mempelajari sumbu utama (principal axes) dari gerakan rotasi pada benda tegar. Nilai eigen dan vektor eigen saat ini telah diterapkan dalam banyak bidang, sebagai contoh dalam teori stabilitas, analisis getaran, orbital atom, pengenalan wajah (facial recognition), dan diagonalisasi matriks.

Pada dasarnya, suatu vektor eigen  dari pemetaan linear  adalah suatu vektor tak nol yang tidak berubah arah, ketika diterapkan oleh . Menerapkan  ke vektor eigen hanya mengubah ukuran eigen vektor sebesar , yang disebut dengan nilai eigen. Kondisi ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagaiyang disebut dengan persamaan nilai eigen atau persamaan eigen. Secara umum,  dapat berupa sembarang skalar. Sebagai contoh,  dapat bernilai negatif, yang mengartikan vektor eigen berbalik ketika dipetakan, atau bernilai nol, atau berupa bilangan kompleks.

Lukisan Mona Lisa berikut menyajikan ilustrasi sederhana mengenai hal ini. Setiap titik pada lukisan dapat direpresentasikan sebagai sebuah vektor yang berasal dari pusat lukisan ke titik tersebut. Pemetaan linear dalam contoh ini disebut transformasi peregangan/pergeseran (shear mapping). Titik-titik yang berada di atas akan bergeser ke kanan, dan titik-titik di bawah akan bergeser ke kiri; sebanding dengan seberapa jauh posisi mereka dari sumbu horizontal yang terletak di tengah lukisan. Sebagai akibatnya, setiap vektor akan miring ke kanan atau ke kiri, dan menjadi semakin panjang atau semakin pendek. Namun, titik-titik yang terletak di sumbu horizontal tidak bergeser (miring) sama sekali. Alhasil, semua vektor yang mengarah ke kiri atau ke kanan, tanpa memiliki komponen vertikal, adalah vektor eigen dari pemetaan ini; karena pemetaan tersebut tidak mengubah arah vektor. Lebih lanjut, vektor-vektor eigen ini memiliki nilai eigen sebesar 1, karena pemetaan juga tidak mengubah ukuran mereka.

Pemetaan linear dapat muncul dalam banyak bentuk dan memetakan banyak jenis ruang vektor, sehingga vektor eigen dapat memiliki rupa yang bermacam-macam. Sebagai contoh, pemetaan linear dapat berbentuk operator turunan seperti , dan vektor eigen disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunctions) yang mengalami penskalaan oleh operator tersebut; contohnya fungsiContoh lain, pemetaan linear dapat berbentuk matriks berukuran , dan vektor eigen akan berupa matriks berukuran . Jika pemetaan linear dinyatakan oleh matriks  berukuran , persamaan nilai eigen dapat dituliskan sebagai perkalian matriksdengan vektor eigen  adalah matriks berukuran . Untuk kasus matriks, nilai eigen dan vektor eigen dapat digunakan untuk mendekomposisi matriks tersebut, contohnya dengan mendiagonalisasinya.

Nilai eigen dan vektor eigen menghasilkan banyak konsep matematika yang berhubungan, dan istilah "eigen" ditambahkan ketika menamai mereka:

Himpunan vektor eigen dari pemetaan linear, masing-masing dipasangkan dengan nilai eigen mereka, disebut dengan sistem eigen (eigensystem) dari transformasi tersebut.

Himpunan dari semua vektor eigen dari  yang berasosiasi dengan suatu nilai eigen, dan ditambah dengan vekotr nol, disebut dengan ruang eigen (eigenspace) atau ruang karakteristik dari  yang berasosiasi dengan nilai eigen tersebut.

Jika suatu himpunan vektor eigen dari  membentuk sebuah basis bagi domain dari , maka basis ini disebut basis eigen (eigen basis).