Jelaskan Definisi awal dari Aksioma pemisahan

Sebelum kita mendefinisikan aksioma pemisahan itu sendiri, kita memberikan arti konkret pada konsep himpunan (dan titik) yang terpisah di ruang topologi. (Kumpulan terpisah tidak sama dengan ruang terpisah , yang ditentukan di bagian selanjutnya.)

Aksioma pemisahan adalah tentang penggunaan cara topologis untuk membedakan titik himpunan terpisah dan berbeda. Tidaklah cukup bagi elemen-elemen ruang topologis untuk dibedakan (yaitu, tidak sama); kami mungkin ingin mereka menjadi dapat dibedakan secara topologis. Demikian pula, tidak cukup subhimpunan dari ruang topologis menjadi terputus-putus; kita mungkin ingin mereka dipisahkan (dengan berbagai cara). Semua aksioma pemisahan mengatakan, dengan satu atau lain cara, bahwa titik atau himpunan yang dapat dibedakan atau dipisahkan dalam arti yang lemah juga harus dapat dibedakan atau dipisahkan dalam arti yang lebih kuat.

Contohnya  menjadi ruang topologi. Kemudian dua titik  dan  di    adalah dapat dibedakan secara topologis bila mereka tidak memiliki lingkungan lingkungan yang persis sama (atau lingkungan terbuka yang sama); yaitu, setidaknya salah satu dari mereka memiliki lingkungan yang bukan merupakan lingkungan dari yang lain (atau yang ekuivalen ada himpunan terbuka yang dimiliki satu titik tetapi titik lainnya tidak).

Dua titik  dan  adalah terpisah jika masing-masing memiliki lingkungan yang bukan merupakan lingkungan satu sama lain; artinya, tidak ada yang termasuk dalam penutupan lainnya. Secara lebih umum, dua himpunan bagian  dan  dari    adalah dipisahkan bila masing-masing terpisah dari penutupan lainnya. (Penutupan itu sendiri tidak harus terputus-putus.) Semua kondisi yang tersisa untuk pemisahan himpunan juga dapat diterapkan ke titik (atau ke titik dan himpunan) dengan menggunakan himpunan tunggal. Titik dan  akan dianggap dipisahkan, oleh lingkungan, oleh lingkungan tertutup, oleh fungsi berkelanjutan, tepatnya oleh fungsi, bila dan hanya jika himpunan tunggal mereka  dan  dipisahkan sesuai dengan kriteria yang sesuai.

Subhimpunan dan  dipisahkan oleh lingkungan jikasubhimpunan  dan  memiliki lingkungan yang terpisah. Subhimpunannya dipisahkan oleh lingkungan tertutup jika memiliki lingkungan tertutup yang lepas. Mereka dipisahkan oleh fungsi kontinu jika ada fungsi kontinu  dari ruang ke garis bilangan real sedemikian rupa sehingga citra  sama dengan  dan  sama dengan . Pada akhirnya, subhimpunan tersebut dipisahkan dengan tepat oleh fungsi kontinu jika ada fungsi kontinu  dari  menjadi  sedemikian rupa sehingga gambar awal  sama dengan  dan  sama dengan .

Syarat-syarat berikut diberikan agar memperkuat definisi berikut: Dua titik yang dapat dibedakan secara topologis harus berbeda, dan dua titik yang terpisah harus dapat dibedakan secara topologis. Dua himpunan yang terpisah harus dipisah, dua himpunan yang dipisahkan oleh lingkungan harus dipisahkan, dan seterusnya.

Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai syarat-syarat berikut (diantaranya penggunaannya di luar aksioma pemisahan), lihat artikel Himpunan terpisah dan Dapat dibedakan secara topologis.