Jabarkan Definisi formal dari Nilai dan vektor eigen

Jika  adalah suatu pemetaan linear dari suatu ruang vektor  atas lapangan  ke dirinya sendiri, dan  adalah vektor tak nol di , maka  adalah vektor eigen dari  jika  adalah suatu kelipatan skalar dari . Hal ini dapat ditulis sebagai

dengan  adalah suatu skalar di , yang disebut dengan nilai eigen (eigenvalue), nilai karakteristik, atau akar karakteristik, yang berasosiasi dengan .

Ada hubungan erat antara matriks persegi berukuran  dengan pemetaan linear dari ruang vektor berdimensi  ke dirinya sendiri. Hal ini menyebabkan, dalam suatu ruang vektor berdimensi hingga, nilai eigen dan vektor eigen dapat didefinisikan menggunakan bahasa matriks, maupun menggunakan bahasa pemetaan linear. Jika  berdimensi hingga, persamaan di atas setara dengan

dengan  adalah representasi matriks dari  dan  adalah vektor koordinat dari .

Nilai dan vektor eigen dari matriks

Nilai eigen dan vektor eigen sering diperkenalkan ke murid dalam konteks kelas aljabar linear yang berfokus pada matriks. Lebih lanjut, pemetaan linear atas ruang vektor hingga dapat dinyatakan menggunakan matriks, yang umum digunakan secara numerik maupun komputasi. Misalkan vektor berdimensi  yang dibentuk sebagai barisan  buah skalar; contohnya vektor berdimensi 3Kedua vektor ini dikatakan saling berkelipatan skalar, atau paralel atau kolinear, jika terdapat skalar  sehingga . Dalam kasus ini . Sekarang misalkan pemetaan linear dari vektor dimensi  yang didefinisikan oleh sebuah matriks  berukuran ,Jika  dan  saling berkelipatan skalar, yakni jika terdapat  sehinggamaka  adalah vektor eigen dari pemetaan linear  dan skalar  adalah nilai eigen yang berasosiasi dengan vektor eigen tersebut. Persamaan () adalah persamaan nilai eigen untuk matriks . Persamaan () juga dapat dinyatakan sebagaidengan  adalah matriks identitas dan  adalah vektor nol.

Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Persamaan () memiliki solusi tak nol  jika dan hanya jika nilai determinan dari matriks  adalah nol. Dengan demikian, nilai-nilai eigen dari  adalah nilai-nilai  yang memenuhi persamaan

Dengan menggunakan rumus Leibniz, ruas kiri pada Persamaan () dapat dijabarkan menjadi sebuah fungsi polinomial dengan variabel  dan berderajat , yakni ukuran dari matriks . Koefisien-koefisien polinom ini bergantung pada entri-entri matriks , kecuali suku berderajat  yang akan memiliki koefisien . Polinomial ini disebut sebagai polinomial karakteristik dari . Persamaan () sendiri disebut sebagai persamaan karakteristik dari . Teorema dasar aljabar mengakibatkan polinomial karakteristik dari , yang berderajat , dapat difaktorkan sebagai perkalian  buah suku linear,

dengan setiap  dapat berupa bilangan real, walau pada umumnya berupa kompleks. Nilai , yang mungkin tidak semuanya unik, adalah akar-akar dari polinomial dan merupakan nilai eigen dari .

Sebagai contoh singkat, yang akan dijelaskan pada bagian Contoh nanti, misalkan sebuah matriks

Dengan menghitung determinan dari , didapatkan polinom karakteristik dari  yakni

Setelah mencari akar dari polinom ketika sama dengan nol, didapatkan akar  dan , yang selanjutnya merupakan nilai eigen dari . Vektor eigen yang berasosiasi dengan masing-masing nilai eigen tersebut dapat ditentukan dengan menyelesaikan komponen  di persamaan  Dalam contoh ini, vektor eigen adalah sembarang kelipatan skalar (tak nol) dariJika entri-entri dari matriks  berupa bilangan real, maka koefisien dari polinom karakteristik juga berupa bilangan real. Namun, nilai eigen sebagai solusi dari polinom tersebut mungkin memiliki bagian imajiner; entri-entri pada vektor eigen yang berasosiasi dengannya juga mungkin memiliki bagian imajiner. Serupa dengan itu, nilai eigen dapat berupa bilangan irasional walau semua entri dari  berupa bilangan rasional, atau bahkan jika semuanya berupa bilangan bulat.

Bagian imajiner dari akar pada polinomial real dengan koefisien-koefisien real dapat dikelompokkan dalam pasangan konjugat kompleks, yakni dengan anggotanya memiliki bagian real yang sama dan hanya berbeda tanda di bagian imajinernya. Jika polinom berderajat ganjil, maka teorema nilai antara mengatakan setidaknya satu akar akan berupa real. Dengan demikian, sembarang matriks real berukuran ganjil akan memiliki setidaknya satu nilai eigen real, sedangkan matriks real berukuran genap mungkin tidak memiliki satupun nilai eigen real. Vektor-vektor eigen yang berasosiasi dengan nilai-nilai eigen kompleks akan memiliki komponen kompleks, dan juga muncul dalam pasangan konjugat kompleks.