Program Hilbert itu apa sih?

Dalam matematika, program Hilbert adalah teori yang dirumuskan oleh matematikawan Jerman David Hilbert, dalam solusinya yang diusulkan untuk krisis dasar matematika, ketika awal mencoba untuk mengklarifikasi dasar matematika yang ditemukan menderita paradoks dan inkonsistensi. Sebagai solusinya, Hilbert mengusulkan ke tanah semua teori yang ada ke, set lengkap terbatas aksioma, dan memberikan bukti bahwa aksioma ini adalah konsisten. Hilbert mengusulkan bahwa konsistensi sistem yang lebih rumit, seperti analisis real, dapat dibuktikan dalam hal sistem sederhana. Pada akhirnya, konsistensi semua matematika dapat dikurangi menjadi aritmetika dasar.

Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang diterbitkan pada tahun 1931, menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat dicapai untuk bidang-bidang utama matematika.  Dalam teorema pertamanya, Gödel menunjukkan bahwa setiap sistem yang konsisten dengan serangkaian aksioma yang dapat dihitung yang mampu mengekspresikan aritmatika tidak akan pernah lengkap: adalah mungkin untuk membangun pernyataan yang dapat dibuktikan benar, tetapi itu tidak dapat diturunkan dari  aturan formal sistem.  Dalam teorema keduanya, ia menunjukkan bahwa sistem seperti itu tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri, sehingga tentu saja tidak dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi sesuatu yang lebih kuat dengan pasti.  Ini menyangkal asumsi Hilbert bahwa sistem finitistik dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi dirinya sendiri, dan karena itu hal lain.