Jabarkan Definisi dari Bilangan transfinit

Sebagaimana bilangan terhingga, ada dua cara untuk membayangkan bilangan-bilangan transfinit, yaitu sebagai bilangan ordinal atau sebagai bilangan kardinal. Bukan seperti ordinal finit dan kardinal finit, ordinal transfinit dan kardinal transfinit mendefinisikan kelas-kelas bilangan yang berbeda.

ω (omega) didefinisikan sebagai bilangan ordinal transfinit terkecil dan merupakan jenis order bilangan asli menurut urutan linear biasa.

Alef-nol, , didefinisikan sebagai bilangan kardinal transfinit pertama dan merupakan kardinalitas himpunan tak terhingga dari bilangan asli. Jika aksioma pilihan tetap berlaku, bilangan kardinal yang lebih besar berikutnya adalah "alef-satu", . Jika tidak, mungkin saja ada bilangan kardinal lain yang tidak dapat dibandingkan dengan alef-satu dan lebih besar daripada alef-nol. Namun dalam kasus apapun, tidak ada bilangan kardinal antara alef-nol dan alef-satu.

Hipotesis continuum menyatakan bahwa tidak ada bilangan kardinal intermediate di antara alef-nol dan kardinalitas continuum (himpunan bilangan real): dengan kata lain, alef-satu adalah kardinalitas himpunan bilangan real. (Jika teori himpunan Zermelo–Fraenkel (ZFC) konsisten, maka baik hipotesis continuum maupun negasinya tidak dapat dibuktikan dari ZFC.)

Sejumlah penulis, termasuk P. Suppes dan J. Rubin, menggunakan istilah transfinite cardinal untuk merujuk kepada kardinalitas suatu "himpunan tak terhingga Dedekind", dalam konteks di mana ini mungkin tidak ekuivalen dengan "infinite cardinal"; yaitu dalam konteks di mana aksioma pilihan terhitung tidak diasumsikan atau tidak diketahui tetap. Berdasarkan definisi ini, hal-hal berikut adalah ekuivalen:

m adalah kardinal transfinit. Artinya, ada himpunan tak terhingga Dedekind A sedemikian sehingga kardinalitas A adalah m.

m + 1 = m.