Tolong jelaskan mengenai Kebutuhan adanya konstanta dari Konstanta integrasi

Sepintas konstanta itu tampaknya tidak dibutuhkan, karena dapat ditetapkan sebagai bilangan nol. Lebih lanjut, ketika mengevaluasi integral tertentu (definite integral) menggunakan teorema dasar kalkulus, kontanta itu selalu akan dibatalkan oleh dirinya sendiri.

Namun, upaya untuk menetapkan konstanta sama dengan nol tidak selalu masuk akal. Misalnya,  dapat diintegrasikan dalam, paling sedikit, tiga cara:

Jadi, menetapkan C sama dengan nol masih akan meninggalkan suatu konstanta. Ini berarti bahwa, untuk fungsi tertentu, tidak ada "antiderivatif paling sederhana".

Alasan perbedaan suatu konstanta di antara antiderivatif-antiderivatif

Hasil ini dapat dinyatakan secara formal dengan cara: misalkan  dan  adalah dua fungsi yang dapat dibedakan di mana saja. Seandainya ada  untuk setiap bilangan real x, maka akan ada suatu bilangan real C sedemikian sehingga  untuk setiap bilangan real x.

Untuk membuktikannya, perhatikan bahwa , maka F dapat diganti dengan F-G dan G dengan fungsi konstanta 0, sehingga menjadikan tujuan untuk membuktikan bahwa suatu fungsi yang dapat dibedakan di mana saja, yang turunannya selalu nol harus konstan:

Pilih sebuah bilangan reala, dan misalkan . Untuk setiap x, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa:

yang menyiratkan bahwa . Jadi F adalah suatu fungsi yang konstan.