Tolong jelaskan mengenai Teorema Ketidaklengkapan dari Kurt Gödel

Pada tahun 1931, ketika masih di Vienna, Gödel menerbitkan teorema ketaklengkapan dalam Über formal unentscheidbare Sätze der "Principia Mathematica" und verwandter Systeme (dalam bahasa Inggris disebut "On Formally Undecidable Propositions of "Principia Mathematica" and Related Systems").

Tahun 1930-an: pekerjaan selanjutnya dan kunjungan ke Amerika Serikat

Gödel menyelesaikan habilitasinya di Vienna pada tahun 1932, dan pada tahun 1933 ia menjadi seorang Privatdozent (dosen tanpa bayaran) di sana. Pada tahun 1933 Adolf Hitler mulai berkuasa di Jerman, dan pada tahun-tahun berikutnya, Nazi mulai naik pengaruhnya di Austria, dan di kalangan ahli matematika Vienna.

Dalam bulan 1936, Moritz Schlick, yang seminarnya membangkitkan ketertarikan Gödel pada logika, dibunuh oleh seorang mahasiswa pro-Nazi. Ini menimbulkan "suatu krisis saraf berat" dalam diri Gödel.

Ia mulai mengalami gejala-gejala paranoid, termasuk ketakutan akan diracuni, dan melewatkan beberapa bulan di sebuah sanitarium untuk penyakit syarat.

Pada tahun 1933, Gödel pertama kali pergi ke Amerika Serikat, di mana ia bertemu dengan Albert Einstein, yang menjadi sahabat karibnya.

Gödel menikah dengan Adele Nimbursky (née Porkert, 1899–1981), yang telah dikenalnya selama lebih dari 10 tahun, pada tanggal 20 September 1938.

Hubungan mereka ditentang oleh orangtuanya karena Adele adalah seorang penari yang pernah bercerai dan 6 tahun lebih tua usianya dari Gödel.

Kemudian, ia pergi lagi ke Amerika Serikat, tinggal selama musim gugur 1938 di IAS dan musim semi 1939 di University of Notre Dame.

Relokasi ke Princeton, Einstein dan kewarganegaraan Amerika Serikat

Setelah Anschluss pada tahun 1938, Austria menjadi bagian dari Nazi Jerman.

Jerman menghapuskan gelar jabatan Privatdozent, sehingga Gödel harus melamar pekerjaan pada posisi lain di bawah aturan baru. Hubungannya dulu dengan orang-orang Yahudi yang menjadi anggota Vienna Circle, terutama dengan Hahn, menjadi faktor yang merugikannya. University of Vienna menolak lamaran pekerjaannya.

Keadaannya menjadi lebih sulit ketika tentara Jerman memutuskan ia harus masuk wajib militer. Perang Dunia II dimulai pada bulan September 1939.

Sebelum setahun, Gödel dan istrinya meninggalkan Vienna dan pergi ke Princeton. Untuk menghindari kesulitan menyeberangi samudra Atlantik, pasangan Gödels naik kereta api trans-Siberia ke samudra Pasifik, berlayar dari Jepang ke San Francisco (tiba tanggal 4 Maret 1940), kemudian melintasi Amerika Serikat naik kereta api ke Princeton, di mana Gödel menerima posisi pada Institute for Advanced Study (IAS).

Albert Einstein juga tinggal di Princeton pada waktu itu. Gödel dan Einstein menjadi sahabat karib, dan dikenal sering berjalan jauh bersama dari dan ke Institute for Advanced Study. Isi percakapan mereka merupakan misteri bagi anggota institut yang lain. Ahli ekonomi Oskar Morgenstern mengenang bahwa di akhir hidupnya Einstein mengakui "pekerjaannya sendiri tidak lagi berarti banyak, dan ia datang ke institut hanya ... untuk mendapatkan kesempatan berjalan pulang bersama Gödel".

Gödel dan istrinya, Adele, melewatkan musim panas tahun 1942 di Blue Hill, Maine, yaitu di Blue Hill Inn pada puncak di teluk itu. Gödel tidak hanya berlibur, tetapi juga sangat produktif dalam bekerja. Menggunakan Heft 15 [volume 15] dari karya Gödel Arbeitshefte [buku catatan kerja] yang belum diterbitkan, John W. Dawson, Jr. menyimpulkan bahwa Gödel menemukan suatu bukti ketidak-tergantungan aksioma pilihan dari teori jenis finit, suatu bentuk teori himpunan yang diperlemah, ketika tinggal di Blue Hill pada tahun 1942. Teman dekat Gödel, Hao Wang, mendukung konjektur ini, mengamati bahwa buku catatan Gödel ketika di Blue Hill memuat penjabaran yang paling luas mengenai soal ini.

Pada tanggal 5 Desember 5, 1947, Einstein dan Morgenstern menemani Gödel ke tempat ujian kewarganegaraan Amerika Serikat, di mana mereka menjadi saksi-saksi. Gödel telah mengatakan kepada mereka bahwa ia menemukan suatu inkonsistensi dalam Konstitusi Amerika Serikat yang dapat menjadi Amerika Serikat suatu negara diktator. Einstein dan Morgenstern kuatir tingkah laku teman mereka yang tidak dapat diramalkan itu akan menyebabkan aplikasi warganegara itu gagal. Untungnya, hakim penguji ternyata adalah Phillip Forman, yang mengenal Einstein, bahkan memimpin penyumpahan warganegara Einstein sendiri. Semua berjalan lancar sampai Forman kebetulan bertanya kepada Gödel apakah ia berpikir suatu diktatorial seperti Nazi dapat terjadi di Amerika Serikat. Gödel kemudian mulai menjelaskan penemuannya kepada Forman. Forman mengerti apa yang terjadi, memotong perkataan Gödel, meneruskan dengan pertanyaan lain dan kesimpulan rutin.