Tolong jelaskan mengenai Contoh matriks segitiga dari Nilai dan vektor eigen

Suatu matriks dengan semua entri di atas diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga bawah, sedangkan matriks dengan semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol disebut dengan matriks segitiga atas. Sama seperti matriks diagonal, nilai-nilai eigen dari matriks segitiga terletak pada diagonal utama. Sebagai contoh, misalkan sebuah matriks segitiga bawah, Polinomial karakteristik dari  adalah , yang memiliki akar-akar , , dan . Nilai-nilai eigen ini masing-masing berasosiasi dengan vektor eigen  , , dan  ; maupun kelipatan skalar dari vektor-vektor ini.

Contoh matriks dengan nilai eigen yang berulang

Serupa dengan contoh sebelumnya, matriks segitiga bawah memiliki polinomial karakteristik sebagai hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya, yakni Akar-akar dari polinomial ini, yang juga menjadi nilai-nilai eigen, adalah 2 dan 3. Kegandaan aljabar setiap nilai eigen adalah 2, karena mereka masing-masing merupakan akar ganda. Jumlah dari semua kegandaan aljabar adalah , yakni derajat polinomial karakteristik dan dimensi dari matriks . Di sisi lain, kegandaan geometrik dari  hanya bernilai 1, karena ruang eigen dari nilai eigen ini hanya dibangun oleh sebuah vektor ; mengakibatkan ruang eigen hanya berdimensi 1. Serupa dengan itu, kegandaan geometrik dari  juga bernilai 1 karena ruang eigennya hanya dibangun oleh sebuah vektor . Total kegandaan geometrik, , bernilai dua; ini adalah nilai terkecil yang mungkin bagi sembarang matriks dengan dua nilai eigen yang berbeda.