Jabarkan Kegandaan aljabar dari Nilai dan vektor eigen

Misalkan  adalah nilai eigen dari suatu matriks  berukuran . Kegandaan aljabar (algebraic multiplicity)  menyatakan bilangan  terbesar yang membuat  dapat membagi habis polinomial karakteristik dari .

Jika  berdimensi  dan memiliki  nilai eigen yang berbeda, Persamaan () dapat dinyatakan secara lebih ringkas sebagai Dalam kasus , ruas kanan persamaan tersebut akan identik dengan Persamaan (). Nilai setiap kegandaan aljabar dari nilai-nilai eigen berhubungan dengan dimensi  dari matriks lewat persamaan

Jika , maka  dikatakan sebagai nilai eigen sederhana (simple eigenvalue). Jika  sama dengan kegandaan geometrik dari , yang dijelaskan pada bagian selanjutnya, maka  dikatakan sebagai nilai eigen semi-sederhana (semisimple eigenvalue).

Ruang eigen, kegandaan geometrik, dan basis eigen bagi matriks

Misalkan  adalah suatu nilai eigen dari matriks  berukuran , dan himpunan  berisi semua vektor  yang memenuhi Persamaan (),

Di satu sisi, himpunan ini adalah kernel atau ruang nol (nullspace) dari matriks . Di sisi lain, dari definisi, setiap vektor tak nol yang memenuhi Persamaan () adalah vektor-vektor eigen dari  yang berasosiasi dengan . Jadi, himpunan  adalah gabungan vektor nol dengan himpunan semua vektor eigen dari  yang berasosiasi dengan , sekaligus sama dengan kernel dari . Himpunan  disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari  yang berasosiasi dengan . Secara umum  akan berupa bilangan kompleks dan vektor eigen akan berupa matriks kompleks berukuran .

Ruang eigen  tertutup atas penjumlahan, karena  is adalah suatu subruang vektor (dari ). Dengan kata lain, untuk sembarang vektor  dan  anggota , vektor  juga anggota ; atau secara ekuivalen, . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian matriks. Serupa dengan itu,  juga tertutup atas perkalian skalar. Artinya, jika  dan  merupakan bilangan kompleks, maka ; atau secara ekuivalen, . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat komutatif perkalian matriks kompleks dengan bilangan kompleks. Selama  dan  bukan vektor nol, mereka juga merupakan vektor eigen dari  yang berasosiasi dengan .

Dimensi dari ruang eigen  yang berasosiasi dengan , yakni banyaknya vektor eigen yang berasosiasi dengan  dan saling bebas linear, disebut dengan kegandaan geometrik (geometric multiplicity) dari nilai eigen , disimbolkan dengan . Karena  sama dengan kernel dari , maka kegandaan geometrik dari   adalah dimensi dari kernel  , juga disebut sebagai nolitas dari , dan berhubungan dengan dimensi dan rank dari  lewat persamaan

Sebagai akibat dari definisi nilai eigen dan vektor eigen, nilai kegandaan numerik dari suatu nilai eigen  setidaknya sama dengan 1. Lebih lanjut, nilai kegandaan numerik dari  tidak dapat melebihi nilai kegandaan aljabarnya; dan kegandaan aljabar tidak dapat melebihi dimensi dari matriks . Secara matematis hal tersebut dapat ditulis sebagai

Untuk membuktikan pertidaksamaan , pertimbangkan bahwa definisi kegandaan geometrik mengakibatkan eksistensi  buah vektor eigen  yang ortonormal, dan memenuhi . Kita dapat menemukan matriks (uniter)  yang  kolom pertamanya adalah vektor-vektor eigen ini, dan kolom-kolom yang tersisa adalah sembarang himpunan  buah vektor ortonormal yang ortogonal dengan vektor-vektor eigen tadi. Maka  memiliki rank penuh sehingga memiliki invers, dan memenuhi persamaan , dengan  adalah matriks yang blok bagian atas kirinya adalah matriks diagonal . Hal ini mengimplikasikan . Dengan kata lain,  serupa dengan , yang selanjutnya mengakibatkan . Namun dari definisi matriks  kita ketahui bahwa  mengandung faktor , yang mengartikan kegandaan aljabar dari  harus memenuhi .

Misalkan  memiliki  nilai eigen unik , dengan kegandaan geometrik dari  adalah . Total kegandaan geometrik dari ,

adalah dimensi dari jumlah semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen ; atau secara ekuivalen, adalah banyaknya vektor-vektor eigen dari  yang saling bebas linear. Jika , maka

Jumlah langsung semua ruang eigen dari nilai-nilai eigen  akan sama dengan ruang vektor .

Suatu basis bagi  dapat dibentuk dari  buah eigen vektor dari  yang saling bebas linear; basis tersebut dikatakan sebagai basis eigen (eigenbasis)

Sembarang vektor di  dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen dari .

Sifat-sifat lain dari nilai eigen

Misalkan  adalah sembarang matriks berukuran  dengan entri berupa bilangan kompleks, dan memiliki nilai-nilai eigen . Setiap nilai eigen muncul sebanyak  kali di polinomial karakteristik matriks , dengan  menyatakan kegandaan numerik dari nilai eigen. Berikut beberapa hubungan yang dimiliki matriks dengan nilai-nilai eigennya:

Trace dari , yang didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen diagonal utama pada matriks, bernilai sama dengan jumlah semua nilai eigen matriks tersebut,

Determinan dari  adalah hasil perkalian semua nilai eigen matriks tersebut,

Nilai-nilai eigen dari matriks , untuk sembarang bilangan bulat positif , adalah .

Matriks  dapat dibalik (memiliki invers) jika dan hanya jika tidak ada nilai eigennya yang bernilai nol.

Jika  terbalikkan, maka nilai-nilai eigen dari  adalah . Lebih lanjut, nilai eigen  dari  dan nilai eigen  dari  akan memiliki nilai kegandaan geometrik dan kegandaan aljabar yang sama.

Jika  sama dengan transpos konjugat dirinya, , dengan kata lain  merupakan matriks Hermite, maka semua nilai eigennya bernilai real. Hal yang sama berlaku untuk sembarang matriks simetrik real.

Jika  merupakan matriks Hermite sekaligus bersifat definit positif, semidefinit positif, definit negatif, atau semidefinit negatif; maka berturut-turut, setiap nilai eigennya akan berupa bilangan positif, tak negatif, negatif, atau tak positif.

Jika  uniter, setiap nilei eigennya memiliki nilai mutlak .

Nilai-nilai eigen dari matriks  (dengan  adalah matriks identitas) adalah . Lebih lanjut, jika , nilai-nilai eigen dari  adalah . Secara umum untuk sembarang polinomial , nilai-nilai eigen dari matriks  adalah .

Identitas nilai dan vektor eigen

Untuk sembarang matriks Hermite, kuadrat norma dari komponen ke- dari vektor eigen yang ternormalisasi dapat ditentukan hanya dengan menggunakan nilai-nilai eigen dari matriks dan nilai-nilai matriks minor yang bersesuaian,

dengan  adalah submatriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris dan kolom ke- dari matriks awalnya.

Contoh perhitungan nilai eigen dan vektor eigen