Jelaskan a ≤ a (refleksivitas) dari Teori order

jika a ≤ b dan b ≤ a maka a = b (antisimetri)

jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c (transitivitas).

Suatu himpunan dengan tatanan parsial di dalamnya dikatakan himpunan dengan tatanan parsial (partially ordered set), poset, atau hanya himpunan tertata (ordered set) jika maknanya sudah jelas. Dengan memandang sifat-sifat ini, langsung dapat dilihat tatanan yang sudah dikenal dalam bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real yang semuanya adalah tatanan dalam makna di atas. Namun, ada juga sifat tambahan tatanan total (total order), yaitu untuk setiap a dan b dalam P, didapatkan:

a ≤ b atau b ≤ a (totalitas).

Tatanan-tatanan ini dapat juga disebut tatanan linear (linear order) atau rantai (chain). Banyak tatanan klasik bersifat linear, tetapi tatanan subset pada himpunan memberi contoh kapan hal ini tidak benar. Contoh lain dapat diberikan dari relasi divisibilitas "|". Untuk dua bilangan asli n dan m, ditulis n|m jika n dibagi oleh m tanpa sisa. Dapat dengan mudah dilihat bahwa ini menghasilkan tatanan parsial.

Elemen khusus dalam suatu tatanan

Dalam suatu himpunan dengan tatanan parsial ada sejumlah elemen yang berperan penting. Contoh paling dasar adalah "elemen terkecil" dalam suatu poset. Misalnya, 1 adalah elemen terkecil dari bilangan bulat positif dan himpunan kosong adalah himpunan terkecil di bawah tatanan subset. Secara formal, suatu elemen m adalah elemen terkecil jika:

m ≤ a, untuk semua elemen a dalam tatanan itu.

Notasi 0 sering dijumpai pada elemen terkecil, meskipun tidak melibatkan bilangan apapun. Namun, dalam tatanan suatu himpunan bilangan, notasi ini tidak tepat dan bahkan menimbulkan kerancuan, karena bilangan 0 tidak selalu yang terkecil. Contohnya adalah pada tatanan divisibilitas |, di mana 1 adalah elemen terkecil karena bilangan itu membangi semua bilangan yang lain. Sebaliknya, bilangan 0 merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh semua bilangan lain. Jadi bilangan 0 merupakan elemen terbesar dari tatanan tersebut. Istilah lain untuk "terkecil" dan "terbesar" adalah "terendah" ("terbawah", "paling dasar"; bottom) dan "tertinggi" ("teratas"; top) dan juga "nol" (zero) dan "unit" ("satuan").