Jabarkan Konsep titik materi dari Transformasi Galileo

Dalam konteks makrokosmos dan mikrokosmos, koordinat ruang dan waktu ditentukan oleh koordinat ruang dan koordinat waktu. Jika P dan P’ adalah suatu titik materi dalam dimensi ruang dan waktu, maka P dan P’ akan berada dalam koordinat yang sama persis, jika dan hanya jika P adalah P’ itu sendiri. Karena jika P adalah materi yang berbeda dengan P’, maka dalam waktu yang sama akan selalu ada jarak antara P dengan P’ sedemikian hingga jarak P − P’ > 0 satuan jarak. Dalam konsep ini, titik materi P bisa tidak memiliki jarak dengan P’, jika dan hanya jika berada dalam waktu yang berbeda sedemikian hingga waktu P − P’ ≠ 0. Materi P akan berada dalam ruang yang berbeda dalam waktu yang berbeda jika bergerak.

Jika suatu koordinat ruang diwakili oleh koordinat x, y dan z, maka titik temu dengan koordinat ruang dan waktu lainnya harus memiliki nilai x, y dan z yang sama, juga harus berada dalam waktu yang sama. Begitu juga dengan titik mula kejadian dalam ruang dan waktu, hanya akan valid jika dan hanya jika dimulai dari koordinat ruang yang sama dan dalam waktu yang sama. Dengan kata lain, titik temu dan titik mula kejadian adalah suatu titik dalam koordinat ruang waktu sedemikian hingga nilai x, y, z dan t bernilai sama bagi pengamat atau objek tertentu.

Transformasi koordinat, kecepatan, dan percepatan

Sesuai dengan konsep koordinat ruang dan waktu diatas, jika kita ingin menggambarkan keadaan dua pengamat sebagai acuan dalam waktu yang sama, tentu harus ada dua pengamat yang berbeda, misalnya P1 dan P2.

Pengamat P1 diam atau relatif diam, pengamat P2 relatif bergerak dan objek O relatif bergerak. Marilah kita memotret koordinat ruang kejadian tersebut dalam suatu rentang waktu. Dalam rentang waktu yang lebih besar dari epsilon (ε) waktu, posisi P1 adalah tetap dalam tempatnya, sementara posisi P2 dan O berada dalam ujung panah merah dalam dimensi ruang.

Waktu inersia, ruang inersia dan kecepatan inersia adalah bernilai sama bagi semua pengamat, baik yang diam maupun yang bergerak. Dengan demikian, rentang waktu pemotretan kejadian inersia O adalah sama bagi P1 dan P2.

Jika posisi O menurut P1 dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi:

, dan kecepatan inersia O dalam sumbu x adalah

, dan kecepatan inersia O dalam sumbu y adalah

, dan kecepatan inersia O dalam sumbu z adalah

Dan posisi P2 menurut P1 dalam koordinat x, y dan z memenuhi fungsi:

, dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu x adalah

, dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu y adalah

, dan kecepatan inersia P2 dalam sumbu z adalah

Ruang inersia menurut P2 adalah sama menurut P1, dengan demikian koordinat ruang inersia O menurut P1 dan P2 adalah juga sama.

Dalam setiap waktu t dalam rentang waktu tersebut, posisi O menurut P2 adalah:

Karena waktu inersia sama bagi semua pengamat, maka kecepatan O menurut P2 bisa dituliskan menjadi:

Sedangkan untuk percepatan, percepatan sebuah partikel adalah turunan kecepatan terhadap waktu, yakni . Untuk mendapatkan transformasi percepatan Galileo, transformasi kecepatan didiferensiasikan dengan kenyataan bahwa t’ = t dan v tetap. Hasilnya adalah

Jadi, komponen-komponen percepatan yang diukur adalah sama bagi semua pengamat yang bergerak dengan kecepatan relatif yang seragam.