Jelaskan Definisi secara matematis dari Integral lipat

Untuk , misalkan  adalah domain hyperrectangle berdimensi , dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai

Partisi masing-masing interval  dengan keluarga hingga  dari subinterval tak-bertindih , dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari subrectangle  yang dinyatakan sebagai

merupakan partitisi dari . Dalam artian, subrectangle  tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah . Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan  adalah fungsi yang didefinisikan oleh . Misalkan pula partisi  dari  seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga  adalah keluarga dari subrectangle , dinyatakan sebagai . Secara matematis, ditulis sebagai

Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi  dengan batas bawahnya adalah hyperrectangle  berdimensi  dan batas atasnya adalah grafik  berdimensi . Hal ini dapat ditunjukkan melalui jumlah Riemann:

dengan  adalah titik di  dan  merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah , juga dikenal sebagai ukuran dari .

Diameter suatu subrectangle  merupakan panjang interval paling terbesar, dengan hasilkali Cartesiusnya adalah . Diameter dari partisi  yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari subrectangle dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi  dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah subrectangle  semakin besar, dan ukuran  dari masing-masing subrectangle semakin kecil. Fungsi  dikatakan terintegralkan Riemann jika limit

ada, dengan limitnya mengambil semua partisi  yang mungkin dari diameter setidaknya .

Jika  adalah terintegralkan Riemann, maka  disebut integral Riemann dari  pada  dan dinyatakan sebagai

atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai

dengan  mewakili  kelipatan  dan  merupakan diferensial volume berdimensi .

Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi  dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.

Integral Riemann berdimensi  disebut integral lipat.