Jabarkan Persamaan Telegrapher dari Transmisi (telekomunikasi)

Persamaan telegrapher (atau hanya persamaan telegraf ) adalah sepasang persamaan diferensial linier yang menggambarkan tegangan (V) dan arus (I) pada saluran transmisi listrik dengan jarak dan waktu. Mereka dikembangkan oleh Oliver Heaviside yang menciptakan model saluran transmisi , dan didasarkan pada Persamaan Maxwell.

Model saluran transmisi adalah contoh dari model elemen terdistribusi . Ini mewakili saluran transmisi sebagai rangkaian tak terbatas dari komponen dasar dua-port, masing-masing mewakili segmen pendek yang sangat pendek dari saluran transmisi:

Resistansi R didistribusikan konduktor diwakili oleh resistor seri (dinyatakan dalam ohm per satuan panjang).

Induktansi  L didistribusikan (karena medan magnet di sekitar kabel, induktansi sendiri , dll.) diwakili oleh induktor seri (dalam henries per satuan panjang).

Kapasitansi  C antara dua konduktor diwakili oleh kapasitor shunt (dalam farad per satuan panjang).

Konduktansi  G dari bahan dielektrik yang memisahkan dua konduktor diwakili oleh resistor shunt antara kabel sinyal dan kabel kembali (dalam siemens per satuan panjang).

Model terdiri dari serangkaian elemen tak terbatas yang ditunjukkan pada gambar, dan nilai-nilai komponen ditentukan per satuan panjang sehingga gambar komponen dapat menyesatkan R,L,C dan G mungkin juga merupakan fungsi frekuensi. Notasi alternatif adalah menggunakan  R',L',C' dan G' untuk menekankan bahwa nilai adalah turunan sehubungan dengan panjang. Kuantitas ini juga dapat dikenal sebagai konstanta saluran primer untuk membedakan dari konstanta saluan sekunder yang diturunkan darinya, ini adalah konstanta propagasi , konstanta atenuasi dan konstanta fasa.

Tegangan saluran V(x) dan arus I(x) dapat dinyatakan dalam domain frekuensi sebagai

Kasus Khusus dari Saluran Tanpa Kerugian

Ketika elemen R dan G sangat kecil saluran transmisi dianggap sebagai struktur lossless.  Dalam kasus hipotetis ini, model hanya bergantung pada L dan C elemen yang sangat menyederhanakan analisis. Untuk saluran transmisi lossless, persamaan Telegrapher kondisi tunak orde kedua adalah:

Ini adalah persamaan gelombang yang memiliki gelombang bidang dengan kecepatan rambat yang sama di arah maju dan mundur sebagai solusi. Signifikansi fisik dari hal ini adalah bahwa gelombang elektromagnetik merambat ke bawah saluran transmisi dan secara umum, ada komponen yang dipantulkan yang mengganggu sinyal asli. Persamaan ini dasar untuk teori saluran transmisi.

Kasus Umum dari Sebuah Saluran dengan Kerugian

Dalam kasus umum ketentuan kerugian, R dan G , keduanya disertakan, dan bentuk lengkap persamaan Telegrapher menjadi:

Dimana   adalah konstanta propagasi ( kompleks ). Persamaan ini dasar untuk teori saluran transmisi. Mereka juga persamaan gelombang , dan memiliki solusi yang mirip dengan kasus khusus, tetapi merupakan campuran sinus dan cosinus dengan faktor peluruhan eksponensial. Pemecahan untuk konstanta propagasi  dalam hal parameter primer R,L,G dan C diberikan:

dan impedansi karakteristik dapat dinyatakan sebagai

Solusi untuk V(x) dan I(x) adalah:

Konstanta  harus ditentukan dari kondisi batas. Untuk tegangan pulsa  , mulai dari dan bergerak pada arah  positif, kemudian pulsa yang dikirim  pada posisi  dapat diperoleh dengan menghitung Transformasi Fourier, dari   , menipiskan setiap komponen frekuensi dengan, memajukan fase dengan , dan mengambil Fourier Transform terbalik . Bagian nyata dan imajiner dari  dapat dihitung sebagai