Jabarkan Identitas darab Euler dari Fungsi zeta Riemann

Pada 1737, hubungan antara fungsi zeta dan bilangan prima ditemukan oleh Euler, yang membuktikan membuktikan identitas berikut.

dengan bentuk matematika pada ruas kiri adalah  dari definisi dan pada ruas kanan adalah darab (perkalian) tak hingga yang menjangkau seluruh bilangan prima  (bentuk demikian disebut darab Euler):

Kedua ruas pada identitas darab Euler konvergen jika .  Identitas Euler di atas dapat dibuktikan dengan hanya menggunakan deret geometri dan teorema dasar aritmetika. Karena deret harmonik, yang diperoleh dengan mensubstitusi  pada ekspresi matematika di atas, divergen, identitas Euler (yang menjadi ) memberikan bukti bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak hingga. Karena logaritma dari  mendekati , identitas ini dapat digunakan untuk membuktikan hasil yang lebih kuat bahwa deret resiprokal bilangan prima divergen menuju tak hingga. Di sisi lain, hasil ini dan tapis Erasthothenes memperlihatkan bahwa kepadatan himpunan bilangan prima dalam himpunan bilangan bulat positif adalah nol.

Identitas darab Euler dapat digunakan untuk menghitung peluang asimtotik terpilihnya  bilangan bulat positif yang membentuk himpunan yang koprima pada pengambilan  bilangan bulat positif secara acak. Secara intituitif, peluang sebuah bilangan habis dibagi suatu bilangan prima (atau sembarang bilangan bulat positif)   adalah .  Akibatnya, peluang semua  bilangan yang terpilih habis dibagi bilangan  adalah , dan peluang setidaknya ada satu bilangan yang tidak habis dibagi  adalah . Untuk sembarang prima yang berbeda, kejadian keterbagian ini saling bebas, sebab kandidat pembaginya (yaitu bilangan-bilangan prima) saling koprima. Dengan demikian, peluang asimtotik terpilihnya  bilangan bulat positif yang membentuk himpunan yang koprima diberikan oleh darab berikut yang menjangkau seluruh bilangan prima,