Jabarkan [ABC] dari Geometri proyektif

dengan koordinat-koordinat afin A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0,W} = {1,W}, D = {1,0}, E = {W,0} = {W,1}, F = {1,1}, G = {W, W}. Koordinat-koordinat di dalam sebuah bidang Desarguesian untuk titik-titik yang didesain untuk menjadi titik-titik di ketakhinggaan (dalam contoh ini: C, E, dan G) pada umumnya tidak terdefinisi secara tak-ambigu.

Dalam notasi baku, sebuah geometri projektif berhingga dituliskan sebagai PG(a,b), di mana:

a adalah dimensi projektif (atau geometris), dan

b adalah yang lebih kecil daripada banyaknya titik pada sebuah garis (disebut orde geometri).

Dengan demikian, contoh ini hanya memiliki 7 titik yang ditulis sebagai PG(2,2).

Istilah "geometri projektif" kadang-kadang digunakan untuk mengindikasi geometri abstrak pokok yang diperumum, dan kadang-kadang untuk mengindikasi geometri khusus dengan kepentingan yang lebih luas, misalnya geometri metrik bidang datar yang kita analisis melalui penggunaan koordinat homogen, dan di mana geometri euklides mungkin tertanam (oleh karenanya bernama, 'bidang euklides yang diperluas').

Sifat dasar yang mengkhususkan semua geometri projektif adalah sifat insidensi eliptik bahwa sembarang dua garis yang berbeda L dan M di dalam bidang projektif memotong tepat satu titik P. Kasus khusus di dalam geometri analitik garis-garis sejajar dikumpulkan dalam bentuk garis yang lebih halus di ketakhinggaan tempat P berada. Dengan demikian, garis di ketakhinggaan adalah garis seperti yang lainnya dalam teori ini: ia berada dalam cara yang tidak khusus atau dibedakan. (Dalam roh program Erlangen seseorang dapat menunjukkan jalan grup transformasi dapat memindahkan sembarang garis ke garis di ketakhinggaan).

Diberikan sebuah garis l dan sebuah titik P yang tidak berada pada garis, sifat sejajar eliptik bertentangan dengan sifat sejajar euklides dan sifat sejajar hiperbolik sebagai berikut ini:

Sifat sejajar eliptik adalah gagasan kunci yang mengarah pada prinsip dualitas projektif, yakni mungkin sifat terpenting di mana semua geometri projektif hidup bersama.