Jabarkan Definisi dari Fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann  adalah fungsi variabel kompleks . (Penggunaan notasi  dan  di sini mengikuti notasi yang awalnya digunakan Riemann untuk memelajari fungsi ). Jika , fungsi ini dapat dituliskan sebagai deret atau integral konvergen berikut:denganadalah fungsi Gamma. Untuk nilai kompleks lainnya, fungsi zeta Riemann didefinisikan melalui pengontinuan analitik dari fungsi yang telah didefinisikan untuk .

Leonhard Euler menggunakan definisi deret di atas untuk bilangan bulat positif  pada 1740, dan kemudian Chebyshev memperluas definisi  ini untuk .

Deret di atas merupakan prototipe dari deret Dirichlet yang konvergen mutlak ke suatu fungsi analitik untuk  dengan  dan divergen untuk nilai  lainnya. Riemann menunjukkan bahwa fungsi yang didefinisikan oleh deret yang konvergen hanya pada setengah bidang kompleks memiliki pengontinuan analitik ke seluruh nilai kompleks . Untuk , deret di atas adalah deret harmonik yang divergen menuju , dan

Dengan demikian, fungsi zeta Riemann merupakan fungsi meromorfik pada bidang kompleks , yang holomorfik di mana-mana, kecuali di  yang merupakan kutub sederhana dengan residu 1.