Jabarkan dan dari Teorema ekuipartisi

persamaan dasar gerak Brown dapat ditransformasikan menjadi

dengan kesamaan terakhir mengikuti teorema ekuipartisi untuk energi kintetik translasional:

Persamaan diferensial di atas untuk  (dengan kondisi-kondisi awal yang sesuai) dapat diselesaikan secara eksak:

Dalam skala waktu yang singkat, t << τ, partikel berperilaku sebagai partikel yang bergerak bebas: berdasarkan deret Taylor fungsi eksponensial, jarak kuadrat bertambah kira-kira kuadratis:

Namun dalam skala waktu yang panjang, t >> τ, suku konstan dan eksponensialnya menjadi dapat diabaikan, sehingga jarak kuadrat bertambah hanya secara linear:

Hal ini menjelaskan difusi partikel seiring dengan berjalannya waktu.