Jelaskan Aljabar abstrak dari Pembagian

Dalam aljabar abstrak, diberikan magma dengan operasi biner (yang secara nominal dapat disebut perkalian), pembagian kiri dari b oleh a (ditulis ) biasanya didefinisikan sebagai solusi x untuk persamaan , jika ini adalah keujudan dan unik. Demikian pula, pembagian kanan dari b oleh a (ditulis ) adalah solusi y untuk persamaan . Pembagian dalam pengertian ini tidak memerlukan ∗ untuk memiliki sifat tertentu (seperti komutatifitas, asosiatifitas, atau elemen identitas).

"Pembagian" dalam arti "pembatalan" apabila dilakukan di magma oleh elemen dengan sifat pembatalan. Contohnya termasuk matriks aljabar dan kuaternion aljabar. Sebuah grup semu adalah struktur dimana pembagian selalu mungkin, bahkan tanpa elemen identitas dan karenanya invers. Dalam ranah integral, dimana tidak setiap elemen perlu memiliki invers, pembagian oleh elemen pembatalan a masih dilakukan pada elemen bentuk ab atau ca dengan pembatalan kiri atau kanan, masing-masing. Jika sebuah gelanggang hingga dan setiap elemen bukan nol adalah kanselatif, maka dengan penerapan prinsip rumah burung, setiap elemen bukan nol dari gelanggang invers, dan "pembagian" oleh elemen bukan nol adalah mungkin. Untuk mempelajari tentang aljabar (dalam pengertian teknis) memiliki operasi pembagian, lihat halaman di aljabar pembagian. Khususnya periodisitas Bott apabila digunakan untuk menunjukkan bahwa real aljabar pembagian norma isomorfik ke salah satu bilangan real R, bilangan kompleks C, kuaternion H, atau oktonion O.