Jabarkan Geometri simplektis dari Geometri diferensial

Geometri simplektis adalah kajian tentang lipatan simplektis. Lipatan yang hampir simplektis adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan bentuk bilinear matriks asimetris non-degenerat bervariasi mulus pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu bentuk-2 ω non-degenerat, yang disebut bentuk simplektis. Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis di mana bentuk simplektis ω adalah tertutup: dω = 0.

Difeomorfisma antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut simplektomorfisma. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada ruang vektor berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah permukaan yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. Ruang fasa suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya Joseph Louis Lagrange tentang mekanika analitik dan kemudian dalam mekanika Hamiltonian karya Carl Gustav Jacobi dan William Rowan Hamilton.

Berbeda dengan geometri Riemannian, di mana kurvatur menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, teorema Darboux menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) teorema Poincaré-Birkhoff, yang diperdugakan oleh Henri Poincaré dan kemudian dibuktikan oleh G.D. Birkhoff pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu anulus melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.