Jabarkan Tata nama dari Ruang (matematika)

Ruang diklasifikasi pada tiga jenjang. Diberikan bahwa tiap-tiap teori matematika menjelaskan objek-objeknya dengan bantuan beberapa dari sifat-sifat mereka, pertanyaan pertama: sifat yang mana?

Misalnya, klasifikasi jenjang-atas membedakan ruang euklidean dan ruang projektif, karena jarak antara dua titik terdefinisi dalam ruang euklides, tetapi tidak terdefinisi dalam ruang projektif. Kedua-dua ruang ini berbeda jenis.

Contoh lainnya. Pertanyaan "berapakah jumlah dari tiga sudut suatu segitiga" dapat dipahami dalam ruang euklidean, tetapi tidak halnya dalam ruang projektif; kedua-dua ruang ini berbeda jenis. Di dalam ruang non-euklidean pertanyaan ini masuk akal tetapi dijawab dengan cara yang berbeda, yang mana bukan sebuah perbedaan jenjang-atas.

Juga perbedaan antara bidang euklidean dan ruang euklidean berdimensi-tiga bukanlah perbedaan jenjang-atas; pertanyaan "apakah yang dimaksud dengan dimensi" masuk akal dalam kedua-dua kasus.

Dalam suku-suku Bourbaki klasifikasi jenjang-atas adalah berkaitan dengan "karakterisasi khusus"/typical characterization (atau "pengkhususan"/typification). Namun, ia tidaklah sama (karena dua struktur ekivalen mungkin saja berbeda dalam pengkhususannya).

Pada klasifikasi jenjang kedua seseorang memperhitungkan jawaban, terkhusus untuk pertanyaan-pertanyaan penting (di antara pertanyaan-pertanyaan yang masuk akal bagi jenjang pertama). Misalnya, jenjang ini membedakan antara ruang euklidean dan ruang non-euklidean; antara ruang berdimensi-hingga dan ruang berdimensi-takhingga; antara ruang padat dan ruang takpadat, dll.

Dalam suku-suku Bourbaki klasifikasi jenjang-kedua adalah diklasifikasi oleh "spesies". Tidak seperti tata nama biologi, ruang mungkin saja dimiliki oleh beberapa spesies.

Pada klasifikasi jenjang ketiga, seseorang memperhitungkan jawaban bagi semua pertanyaan yang mungkin (yang masuk akal menurut jenjang pertama). Misalnya, jenjang ini membedakan antara ruang-ruang yang berbeda dimensi, tetapi tidak membedakan antara bidang pada ruang euklidean berdimensi-tiga, diperlakukan sebagai ruang euklidean berdimensi-dua, dan himpunan semua pasangan bilangan real, juga diperlakukan sebagai ruang euklidean berdimensi-dua. Demikian juga, ia tidak membedakan antara model-model euklidean yang berbeda-beda pada ruang non-euklidean yang sama.

Lebih formalnya, jenjang ketiga mengklasifikasi ruang sampai pada isomorfisma. Suatu isomorfisma antara dua ruang adalah didefinisikan sebagai korespondensi satu-satu antara titik-titik pada ruang pertama dan titik-titik pada ruang kedua, yang mengawetkan hubungan antara suatu titik dengan titik lain, ditetapkan oleh "tipifikasi"/"pengkhususan" yang diberikan. Ruang-ruang yang saling isomorfik dipikirkan sebagai salinan dari ruang tunggal. Jika salah satu dari mereka menjadi milik bagi ruang yang diberikan, maka berlaku pula bagi semuanya.

Gagasan isomorfisma memberikan pencerahan bagi klasifikasi jenjang-atas. Diberikan korespondensi satu-satu antara dua ruang berjenis sama, seseorang mungkin bertanya apakah ia isomorfisma ataukah bukan. Pertanyaan ini tidak masuk akal bagi dua ruang yang berbeda dimensi.

Isomorfisma kepada diri sendiri disebut automorfisma. Automorfisma dari sebuah ruang euklidean adalah gerakan (motion) dan pencerminan (reflection). Ruang euklidean adalah homogen ketika setiap titik dapat ditransformasi ke dalam setiap titik lain oleh beberapa automorfisma.

Dua hubungan antar-ruang, dan sifat ruang

Istilah-istilah topologi (kontinuitas, konvergensi, himpunan terbuka, himpunan tertutup, dll.) terdefinisi alami di semua ruang euklidean. Dengan perkataan lain, setiap ruang euklidean adalah juga ruang topologi. Setiap isomorfisma antara dua ruang euklidean adalah juga isomorfisma antara ruang-ruang topologi yang berkorespondensi (disebut "homeomorfisma"), tetapi kebalikannya adalah salah: suatu homeomorfisma dapat mengubah jarak. Dalam suku-suku Bourbaki, "ruang topologi" adalah suatu struktur yang mendasari struktur "ruang euklidean". Gagasan-gagasan serupa yang muncul dalam teori kategori: kategori ruang euklidean adalah suatu kategori konkret pada kategori ruang topologi; pemfungsi buta (atau "stripping") memetakan kategori sebelumnya kepada kategori berikutnya.

Suatu ruang euklidean berdimensi-tiga adalah kasus khusus dari ruang euklidean. Dalam suku-suku Bourbaki, spesies ruang euklidean berdimensi-tiga adalah lebih kaya daripada spesies ruang euklidean. Demikian juga, spesies ruang topologi padat adalah lebih kaya daripada ruang topologi.

Aksioma-aksioma euklidean tidak meninggalkan kebebasan, mereka menentukan secara unik semua sifat geometri dari ruang. Lebih tepatnya: semua ruang euklidean berdimensi-tiga adalah saling isomorfik. Dalam hal ini kita memiliki ruang euklidean berdimensi-tiga "tertentu". Dalam suku-suku Bourbaki, teori yang berkorespondensi dengannya adalah univalen. Sebaliknya, ruang-ruang topologi pada umumnya non-isomorfik, teori mereka adalah multivalen. Gagasan yang serupa muncul dalam logika matematika: suatu teori dikatakan "kategoris" jika semua modelnya yang berkardinalitas sama adalah saling isomorfik. Menurut Bourbaki, kajian teori-teori multivalen adalah fitur yang paling mencolok yang membedakan matematika modern dari matematika klasik.