Jabarkan Fungsi zeta Riemann dari Hipotesis Riemann

Fungsi zeta Riemann terdefinisi pada bilangan kompleks  dengan bagian real lebih besar dari 1, lewat deret takhingga yang konvergen absolutLeonhard Euler telah mempelajari deret ini pada tahun 1730-an untuk nilai real , bersamaan dengan solusi mengenai masalah Basel. Ia juga membuktikan deret itu sama dengan darab (perkalian) Euler

dengan darab takhingga dilakukan atas semua bilangan prima .

Hipotesis Riemann membahas akar-akar diluar daerah konvergensi dari deret itu dan darab Euler. Untuk dapat memahami maksud dari hipotesis, diperlukan kontinuasi (perluasan) analitik dari fungsi untuk mendapatkan bentuk yang valid untuk semua bilangan kompleks . Karena fungsi zeta termasuk meromofik, semua pilihan cara untuk melakukan kontinuasi analitik ini akan menghasilkan bentuk yang sama, sebagai akibat dari teorema identitas. Langkah pertama dalam proses kontinuasi ini adalah pengamatan bahwa fungsi zeta dan fungsi eta Dirichlet memenuhi hubungan

pada daerah konvergensi mereka masing-masing. Akan tetapi, fungsi deret eta pada ruas kanan tidak hanya konvergen untuk bilangan kompleks dengan bagian real lebih besar dari 1, tapi juga untuk sembarang  dengan bagian real positif. Akibatnya, fungsi zeta dapat didefinisikan ulang sebagai , memperluas domain dari  menjadi , kecuali untuk titik-titik yang menyebabkan  bernilai nol. Titik-titik tersebut memiliki bentuk  dengan  dapat berupa sembarang bilangan bulat bukan-nol. Fungsi zeta dapat diperluas lebih lanjut untuk titik-titik tersebut dengan menggunakan limit, menghasilkan nilai yang hingga untuk sembarang nilai  dengan bagian real positif; kecuali untuk kutub sederhana .

Pada daerah berbentuk pita , perluasan dari fungsi zeta ini akan memenuhi persamaan fungsional

Fungsi  juga dapat didefinisikan untuk bilangan kompleks  yang tersisa (yakni  dan ) dengan menggunakan fungsi ini di luar pita, lalu membuat  bernilai sama dengan ruas kanan kapanpun  memenuhi  (dan ).

Jika  merupakan bilangan genap negatif, maka  karena faktor  bernilai nol; ini adalah akar-akar sederhana dari fungsi zeta. Argumen ini tidak berlaku ketika  berupa bilangan genap positif karena akar dari fungsi sinus tercoret dengan kutub-kutub dari fungsi gamma. Nilai  tidak terdefinisi lewat persamaan fungsional, namun lewat nilai limit  ketika  menuju nol. Persamaan fungsional juga menyimpulkan bahwa fungsi zeta tidak memiliki akar pada titik-titik selain akar-akar sederhana; mengartikan semua akar-akar tak-sederhana terletak pada pita kritis .