Jabarkan Persamaan fungsional Riemann dari Fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta memenuhi persamaan fungsionaldengan  adalah fungsi Gamma. Ini adalah persamaan fungsi meromorfik yang valid di seluruh bidang kompleks. Persamaan ini menghubungkan nilai dari fungsi zeta Riemann di titik  dan , khususnya mengaitkan nilai fungsi ini di titik bilangan bulat positif dengan titik bilangan ganjil negatif. Karena fungsi sinus di persamaan memiliki nol sederhana di setiap bilangan bulat, persamaan fungsional ini menunjukkan bahwa  memiliki nol sederhana di setiap bilangan bulat negatif , yang dikenal sebagai nol trivial dari . Di sisi lain, jika  adalah bilangan genap positif, hasi kali  pada ruas kanan bernilai tidak nol karena  memiliki kutub sederhana, yang dapat dicoret dengan nol sederhana dari fungsi sinus.

Persamaan fungsional ini dibuktikan oleh Riemann pada tahun 1859 di artikelnya berjudul "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". Dia menggunakan persamaan ini untuk mengkonstruksi pengontinuan analitik dari fungsi zeta yang awalnya didefinisikan hanya untuk . Pada 1749, Euler sebenarnya telah membuat suatu konjektur yang ekuivalen dengan persamaan fungsional Riemann. Konjektur ini memberikan identitas fungsi eta Dirichlet (fungsi zeta ganti tanda):Ternyata, hubungan ini dapat digunakan untuk menghitung  pada daerah 0 <  < 1, i.e.dengan deret pada fungsi η konvergen (walaupun tidak secara mutlak) pada bidang kompleks dengan bagian real  (untuk survei yang lebih mendetail mengenai sejarah persamaan fungsional Riemann, lihat Blagouchine).

Riemann juga menemukan versi simetris dari persamaan fungsional dengan menerapkannya ke fungsi-xi:yang memenuhi:(Fungsi awal  versi Riemann awalnya didefinisikan sedikit berbeda dengan versi sekarang)

Semasa Riemann, faktor   pada persamaan fungsional Riemann tidak begitu dipahami, sampai John Tate (1950) membahasnya pada tesisnya. Ia menunjukkan bahwa "faktor Gamma" ini adalah faktor-L lokal yang berpadanan dengan tempat Archimedes (Archimedean places), sedangkan faktor lainnya pada ekspansi darab Euler adalah faktor-L lokal dari tempat nonArchimedes.

Nol, garis kritis, dan hipotesis Riemann

Persamaan fungsional Riemann menunjukkan bahwa fungsi zeta Riemann memiliki nol pada . Semua nol tersebut dikenal sebagai nol trivial, karena eksistensi semua nol ini relatif lebih mudah untuk dibuktikan, misalnya dari  bernilai 0 pada persamaan fungsional. Nol nontrivial lebih menarik perhatian, karena tidak hanya distribusinya yang tidak begitu dipahami, namun utamanya karena nol nontrivial dari fungsi ini memiliki konsekuensi mengenai bilangan prima dan objek terkait pada teori bilangan. Hasil sejauh ini telah menunjukkan bahwa nol nontrivial fungsi zeta Riemann terdapat pada pita terbuka , yang disebut pita kritis.  Himpunan disebut garis kritis. Hipotesis Riemann, salah satu masalah matematika belum terpecahkan yang paling sulit, mengklaim bahwa semua nol nontrivial terdapat pada garis kritis. Pada 1989, Conrey membuktikan bahwa lebih dari 40% nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta terdapat pada garis kritis.

Untuk fungsi zeta Riemann pada garis kritis, lihat -function.

Banyak nol pada pita kritis

Misalkan  adalah banyaknya nol dari  pada pita kritis , yang bagian imajinernya berada pada selang . Trudgian membuktikan bahwa, jika , maka