Jelaskan Varietas afin dari Geometri aljabar

Pertama kita mulai dengan bidang . Dalam geometri aljabar klasik, bidang ini selalu berupa bilangan kompleks , tetapi banyak dari hasil yang sama benar jika kita mengasumsikan bahwa  saja tertutup secara aljabar. Kita menganggap ruang afin dari dimensi  atas , dilambangkan  (atau lebih sederhananya , ketika  jelas dari konteksnya). Ketika salah satunya menetapkan sistem koordinat, salah satunya dapat mengidentifikasi  dengan . Tujuan tidak bekerja dengan  adalah untuk menekankan bahwa salah satunya "melakukan" sesuatu dengan struktur ruang vektor pada .

Fungsi  dikatakan sebagai polinomial (atau regular) jika dapat ditulis dengan polinomial, yaitu jika pada polinomial  maka  merupakan  untuk titik  dengan koordinat  di . Sifat suatu fungsi menjadi polinomial (atau beraturan) tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat di .

Ketika sistem koordinat dipilih, fungsi beraturan pada  sebagai ruang afin dapat diidentifikasi dengan gelanggang fungsi polinomial dalam variabel  pada . Oleh karena itu, himpunan fungsi beraturan pada  adalah sebuah gelanggang yang dilambangkan .

Kita mengatakan bahwa polinomial lenyap pada suatu titik jika mengevaluasinya pada titik tersebut menghasilkan nol. Misalkan  adalah kumpulan polinomial masuk . Himpunan lenyap dari  atau himpunan nol adalah himpunan  dari semua titik di An di mana setiap polinomial pada . Secara simbolis,

Bagian dari  yang mana adalah , untuk suatu , disebut himpunan aljabar.  adalah singkatan dari varietas (jenis himpunan aljabar tertentu akan didefinisikan di bawah).

Jawaban untuk pertanyaan pertama disediakan dengan memperkenalkan topologi Zariski, sebuah topologi aktif  yang himpunan tertutupnya adalah himpunan aljabar, dan yang secara langsung mencerminkan struktur aljabar . Kemudian  adalah  bagian himpunan aljabar atau ekuivalen dengan himpunan tertutup Zariski. Jawaban untuk pertanyaan kedua diberikan oleh Hilbert's Nullstellensatz. Dalam salah satu bentuknya, dikatakan demikian  adalah radikal dari ideal yang dihasilkan oleh . Dalam bahasa yang lebih abstrak, ada koneksi Galois, yang memunculkan dua operator penutupan; mereka dapat diidentifikasi, dan secara alami memainkan peran dasar dalam teori; contoh diuraikan pada koneksi Galois.

Untuk berbagai alasan kita mungkin tidak selalu ingin bekerja dengan seluruh ideal yang sesuai dengan himpunan aljabar . Teorema dasar Hilbert menyiratkan bahwa ideal dalam  selalu terbangkit hingga.

Beberapa penulis tidak membuat perbedaan yang jelas antara himpunan aljabar dan varietas dan menggunakan varietas taktereduksi untuk membuat perbedaan bila diperlukan.