Jabarkan Turunan dari Teorema ekuipartisi

Energi kinetik dan distribusi Maxwell–Boltzmann

Perumusan awal teorema ekuipartisi menyatakan bahwa, dalam segala sistem fisik apapun yang berada dalam kesetimbangan termal, setiap partikelnya memiliki energi kinetik rata-rata yang persis sama (eksak), (3/2)kBT. Hal ini dapat ditunjukkan menggunakan distribusi Maxwell–Boltzmann, yang merupakan distribusi probabilitas

untuk kecepatan partikel bermassa m dalam sistem, di mana kecepatan v adalah magnitudo  dari kecepatan vektor

Distribusi Maxwell–Boltzmann berlaku untuk segala sistem yang terdiri dari atom, dan mengasumsikan hanya ensembel kanonis, secara spesifiknya, bahwa energi kinetik terdistribusi menurut faktor Boltzmannya pada temperatur T. Energi kinetik rata-rata suatu partikel bermassa m diberikan oleh rumus integral

sebagaimana yang dinyatakan oleh teorema ekuipartisi. Hasil yang sama juga dapat didapatkan dengan mereratakan energi partikel menggunakan probabilitas penemuan partikel pada keadaan energi kuantum tertentu.

Energi kuadratik dan fungsi partisi

Lebih umumnya, teorema ekuipartisi menyatakan bahwa segala derajat kebebasan x yang muncul dalam energi total H hanya sebagai suku kuadratik sederhana Ax2, dengan A adalah tetapan konstan, memiliki energi rata-raata ½kBT dalam kesetimbangan termal. Dalam hal ini teorema ekuipartisi dapat diturunkan dari fungsi partisi Z(β), dengan β = 1/(kBT) adalah temperatur invers kanonis. Pengintegralan terhadap variabel x menghasilkan

dalam rumus untuk Z. Energi rata-rata yang diasosiasikan dengan faktor ini adalah

sebagaimana yang dinyatakan oleh teorema ekuipartisi.