Jabarkan Distribusi untuk vektor momentum dari Distribusi Maxwell-Boltzmann

Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh James Clerk Maxwell dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan Ludwig Boltzmann. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.

Untuk kasus sebuah "gas ideal" yang terdiri dari atom- atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar, semua energinya berada dalam bentuk energi kinetik, dan gi konstan untuk semua i. Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah

dimana p2 adalah kuadrat dari vektor momentum

p = [px, py, pz]. Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai:

dimanaZ adalah fungsi partisi, sesuai dengan penyebut pada persamaan 1. Dalam persamaan ini m adalah massa molekul gas,T adalah suhu termodinamika dank adalah konstanta Boltzmann. Distribusi Ni/N sebanding terhadap fungsi probabbilitas densitas fp untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum ini, maka:

Konstanta normalisasi c, dapat ditentukan dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki nilai momentum 1. Oleh karena itu integral dari persamaan 4 untuk px ,py, dan pz harus 1.