Fungsi zeta Riemann itu apa sih?

Fungsi zeta Riemann atau fungsi zeta Euler–Riemann adalah fungsi variabel kompleks, dilambangkan dengan huruf Yunani  (zeta), yang dirumuskan sebagai berikut

, jika , dan melalui pengontinuan analitik jika  .

Fungsi ini memiliki peranan yang krusial pada teori bilangan analitik dan juga memiliki aplikasi pada fisika, teori probabilitas, dan statistika terapan.

Fungsi ini pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler, namun awalnya ia memperkenalkan fungsi ini sebagai fungsi real pada abad ke-18. Kemudian, pada 1859, Bernhard Riemann memperluas definisi yang diberikan oleh Euler, menjadikan fungsi ini sebagai fungsi kompleks yang meromorfik, memberikan persamaan fungsional untuk fungsi ini dan memaparkan hubungan antara nol dari fungsi ini dan distribusi bilangan prima, melalui artikelnya yang berjudul "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". Artikel ini juga memuat hipotesis Riemann, suatu konjektur tentang distribusi nol kompleks dari fungsi zeta Riemann. Banyak matematikawan berpandangan bahwa hipotesis ini merupakan salah satu masalah terpenting di bidang matematika murni.

Nilai dari fungsi zeta Riemann pada bilangan genap positif telah ditemukan oleh Euler. Nilai , khususnya, menyelesaikan permasalahan Basel. Pada 1979, Roger Apéry membuktikan bahwa  bernilai irasional. Euler juga menemukan nilai fungsi zeta Riemann pada bilangan bulat negatif yang merupakan bilangan rasional dan memiliki peranan penting pada bentuk modular. Fungsi zeta Riemann juga memiliki perumuman, seperti deret Dirichlet, fungsi-L Dirichlet, dan fungsi-L.