Jabarkan C0: [ABA] dari Geometri proyektif

C1: Jika A dan B adalah titik, sedemikian sehingga [ABC] dan [ABD], maka [BDC]

C2: Jika A dan B adalah titik, maka terdapat titik ketiga C, sedemikian sehingga [ABC]

C3: Jika A dan C adalah titik, begitupun B dan D, dengan [BCE], [ADE] tetapi tidak [ABE], maka terdapat sebuah titik F, sedemikian sehingga [ACF] dan [BDF].

Untuk dua titik yang berbeda, A dan B, garis AB didefinisi sebagai memuat semua titik di C sehingga [ABC]. Aksioma C0 dan C1 kemudian menyediakan sebuah formalisasi G2; C2 untuk G1, dan C3 untuk G3.

Konsep garis diperumum menjadi bidang dan subruang-subruang berdimensi lebih besar. Dengan demikian, sebuah subruang, AB…XY dapat didefinisi secara rekursif dalam suku-suku subruang AB…X karena ia memuat semua titik pada garis YZ, karena Z merentang pada AB…X. Kemudian kolinearitas diperumum menjadi relasi "independensi". Sebuah himpunan titik-titik {A, B, …, Z} adalah independen, [AB…Z] jika {A, B, …, Z} merupakan suatu subhimpunan yang membangung minimal untuk subruang AB…Z.

Aksioma projektif dapat diperlengkap oleh aksioma lebih lanjut yang mempostulatkan limit pada dimensi ruang. Dimensi minimum ditentukan oleh keujudan suatu himpunan independen ukuran yang diperlukan. Untuk dimensi yang paling kecil, persyaratan yang relevan dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:

(L1) paling kecil berdimensi-0 jika ia memiliki paling sedikit 1 titik,

(L2) paling kecil berdimensi-1 jika ia memiliki paling sedikit 2 titik yang berbeda (dan oleh karenanya pula berlaku untuk garis),

(L3) paling kecil berdimensi-2 jika ia memiliki paling sedikit 3 titik tak-kolinear (atau dua garis, atau sebuah garis dan sebuah titik yang tidak berada pada garis itu),

(L4) paling kecil berdimensi-3 jika ia memiliki paling sedikit 4 titik tak-koplanar.

Dimensi maksimum boleh juga ditentukan dalam gaya yang serupa. Untuk dimensi terkecil, mereka berbentuk seperti berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:

(M1) paling besar berdimensi-0 jika ia memiliki titik tidak lebih dari 1 buah,

(M2) paling besar berdimensi-1 jika ia memiliki garis tidak lebih dari 1 buah,

(M3) paling besar berdimensi-2 jika ia memiliki bidang tidak lebih dari 1 buah,

dan begitu seterusnya. Ini adalah sebuah teorema umum (konsekuensi dari aksioma (3)) bahwa semua garis koplanar berpotongan—peruntukan asli yang sangat prinsipal dari geometri projektif. Oleh karena itu, sifat (M3) dapat secara ekivalen menyatakan bahwa semua garis saling berpotongan satu sama lain.

Pada umumnya diasumsikan bahwa ruang projektif paling kecil berdimensi-2. Dalam beberapa kasus, jika fokus adalah pada bidang projektif, varian M3 dapat dipostulatkan. Aksioma-aksioma pada (Eves 1997: 111), misalnya, melibatkan (1), (2), (L3) dan (M3). Aksioma (3) menjadi benar-benar hampa di bawah (M3) dan oleh karenanya tidak diperlukan dalam konteks ini.