Jelaskan Nilai spesifik dari Fungsi zeta Riemann

Untuk sembarang bilangan bulat positif ,dengan  adalah bilangan Bernoulli ke-. Untuk bilangan ganjil positif, sejauh ini belum ditemukan rumus sederhana untuk mencari nilai fungsi zeta Riemann, walaupun nilai fungsi zeta Riemann untuk bilangan ganjil positif sepertinya memiliki kaitan dengan teori-K aljabar dari bilangan bulat; lihat nilai spesial fungsi-L.

Untuk bilangan bulat nonpositif,untuk  (dengan menggunakan konvensi ). Khususnya,  bernilai nol pada bilangan genap negatif, karena  untuk semua bilangan ganjil  selain 1. Bilangan-bilangan ini biasanya disebut sebagai "nol trivial" dari fungsi zeta..

Melalui pengontinuan analitik, nilaiHal ini yang sebenarnya menjadi dalih mengapa deret yang sebenarnya divergen 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ terkadang ditulis sama dengan , yang digunakan pada berbagai konteks tertentu (penjumlahan Ramanujan), seperti teori dawai.  Serupa, nilaidapat dipandang sebagai menuliskan deret divergen 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ bernilai .

Nilaidigunakan untuk menghitung masalah kinetik batas lapisan pada persamaan kinetik linear.

Walaupundivergen, nilai prinsipal Cauchyada dan bernilai konstanta Euler-Mascheroni .

Pembuktian bahwa nilaidikenal sebagai masalah Basel. Kebalikan dari deret ini merupakan jawaban dari pertanyaan berikut: Berapa peluang dua bilangan yang terpilih secara acak bersifat relatif prima? Nilaiadalah konstanta Apéry.

Dengan menggunakan limit  pada bilangan real, nilai . Namun, pada tak hingga kompleks di permukaan bola Riemann, fungsi zeta Riemann memiliki kesingularan esensial.