Jabarkan Segi tiganya dari Segitiga Pascal

Di bawah adalah barisan kosong ke enam belas pada segitiga Pascal:

1     4     6     4     1

1     5    10    10     5     1

1     6    15    20    15     6     1

1     7    21    35    35    21     7     1

1     8    28    56    70    56    28     8     1

1     9    36    84    126   126   84    36     9     1

1    10    45    120   210   252   210   120   45    10     1

1    11    55    165   330   462   462   330   165   55    11     1

1    12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12     1

1    13    78    286   715  1287  1716  1716  1287   715   286   78    13     1

1    14    91    364  1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14     1

1    15    105  455   1365  3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365   455   105   15     1

1    16    120   560  1820  4368  8008  11440 12870 11440 8008  4368  1820   560   120  16     1

Segi tiga Pascal dan pengembangan binomial

Segitiga Pascal menentukan koefisien yang menambahkan dalam pengembangan binomial. Misalnya, timbangkan pengembangan berikutnya.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2.

Perhatikan bahwa koefisien adalah angka dalam baris kedua segitiga Pascal: 1, 2, 1.

Pada umumnya, ketika sebuah binomial seperti x + y ditambahkan ke suatu bilangan bulat positif kita mendapat:

(x + y)n = a0xn + a1xn−1y + a2xn−2y2 + … + an−1xyn−1 + anyn,

yaitu koefisien ai dalam pengembangan ini adalah tepatnya bilangan dalam baris n segitiga Pascal '. maknanya,

Perhatikan bahwa keseluruhan diagonal kanan segitiga Pascal berhubungan dengan koefisien yn dalam pengembangan binomial ini, sedangkan diagonal berikutnya berhubungan dengan koefisien xyn-1 dan sebagainya.

Untuk melihat bagaimana teorema binomial terkait dengan konstruksi sederhana segitiga Pascal, pertimbangkan masalah perhitungan koefisien pengembangan (x + 1)n+1 dari segi koefisien yang berhubungan (x + 1)n (letakkan y = 1 untuk lebih mudah). Anggap setelah itu bahwa