Jabarkan Bundel dan koneksi dari Geometri diferensial

Aparatus bundel vektor, bundel utama, dan koneksi pada berkas memainkan peran yang luar biasa penting dalam geometri diferensial modern. Lipatan halus selalu membawa bundel vektor alami, bundel tangen. Secara longgar, struktur ini dengan sendirinya cukup hanya untuk mengembangkan analisis pada manifold, saat melakukan geometri membutuhkan, sebagai tambahan, beberapa cara untuk menghubungkan ruang singgung pada titik yang berbeda, yaitu pengertian transportasi paralel. Contoh penting diberikan oleh affine connection. Untuk permukaan pada R3, bidang singgung di berbagai titik dapat diidentifikasi menggunakan paralelisme jalur-bijaksana alami yang disebabkan oleh ruang Euclidean ambien, yang memiliki definisi standar metrik dan paralelisme yang terkenal. Dalam geometri Riemannian, hubungan Levi-Civita memiliki tujuan yang sama. (Sambungan Levi-Civita mendefinisikan paralelisme jalur-bijaksana dalam hal metrik Riemannian sewenang-wenang tertentu pada). Lebih umum, geometer diferensial mempertimbangkan ruang dengan bundel vektor dan koneksi affine sewenang-wenang yang tidak didefinisikan dalam istilah metrik. Dalam fisika, manifoldnya mungkin kontinum ruang-waktu dan bundel serta koneksi terkait dengan berbagai bidang fisik.