Jabarkan Deskripsi dari Geometri proyektif

Geometri projektif tidaklah begitu mengungkung bila dibandingkan dengan geometri euklides atau geometri afin. Ia secara intrinsik merupakan geometri non-metrik, yang fakta-faktanya tidak bergantung pada struktur metrik manapun. Di bawah transformasi projektif, struktur insidensi dan relasi sekawan harmonik projektif dipelihara. Rentang projektif adalah dasar satu dimensi. Geometri projektif memformalkan salah satu prinsip sentral seni perspektif: bahwa garis-garis sejajar bertemu di ketakhinggaan, dan oleh karenanya digambarkan seperti itu. Intinya, geometri projektif dapat dipikirkan sebagai perluasan geometri euklides di mana "arah" tiap-tiap garis dimasukkan ke dalam garis sebagai "titik" ekstra, dan di mana sebuah "cakrawala" arah yang berpadanan dengan garis-garis koplanar dipandang sebagai "garis". Dengan demikian, dua garis sejajar bertemu pada garis mendatar karena mereka memiliki arah yang sama.

Arah yang teridealisasi dirujuk sebagai titik di ketakhinggaan, sementara cakrawala teridealisasi dirujuk sebagai garis di ketakhinggaan. Pada gilirannya, semua garis ini terletak pada bidang di ketakhinggaan. Tetapi, ketakhinggaan berada dalam konsep metrik, jadi dalam hal ini geometri projektif murni tidaklah mengasingkan titik, garis, atau bidang manapun; semua yang berada di ketakhinggaan diperlakukan sama seperti yang lainnya.

Karena geometri euklides dibahas di dalam geometri projektif, di mana geometri projektif memiliki fondasi yang lebih sederhana, hasil-hasil umum dalam geometri euklides boleh jadi tiba di dalam gaya yang lebih transparan, di mana teorema-teorema yang terpisah tetapi serupa di dalam geometri euklides dapat ditangani secara kolektif di dalam kerangka kerja geometri projektif. Contohnya, garis-garis yang sejajar dan tidak sejajar tidak mesti diperlakukan sebagai kasus yang terpisah - kita mengasingkan beberapa bidang projektif sembarang sebagai bidang ideal dan menempatkannya "di ketakhinggaan" menggunakan koordinat homogen.

Sifat-sifat lainnya dari yang memiliki kepentingan mendasar di antaranya Teorema Desargues dan Teorema Pappus. Di dalam ruang projektif berdimensi tiga atau lebih besar, terdapat suatu konstruksi yang membolehkan seseorang untuk membuktikan Teorema Desargues. Tetapi untuk dimensi dua, ia mesti dipostulatkan secara terpisah.

Dengan bantuan Teorema Desargues, dipadukan dengan aksioma-aksioma lain, adalah dimungkinkan untuk mendefinisikan operasi-operasi dasar aritmetika secara geometris. Operasi-operasi yang dihasilkan memenuhi aksioma-aksioma lapangan, kecuali bahwa kekomutatifan perkalian memerlukan Teorema Segienam Pappus. Hasilnya, titik-titik di tiap-tiap garis berkoresponden satu-satu dengan lapangan yang diberikan, F, yang disertai sebuah unsur tambahan, W, sedemikian sehingga rW = W, −W = W, r+W = W, r/0 = W, r/W = 0, W−r = r−W = W. Tetapi, 0/0, W/W, W+W, W−W, 0W dan W0 tidak terdefinisi.

Geometri projektif juga menyertakan sebuah teori irisan kerucut yang lengkap, sebuah pokok bahasan yang telah dikembangkan dengan begitu baik dalam geometri euklides. Terdapat keuntungan-keuntungan yang jelas ketika seseorang mampu memikirkan hiperbola dan elips sebagai dua hal yang berbeda hanya dari fakta bahwa hiperbola terletak melintasi garis di ketakhinggaan; dan bahwa parabola dibedakan hanya oleh tangen terhadap garis yang sama. Seluruh keluarga lingkaran dapat dipandang sebagai kerucut-kerucut yang melalui dua titik yang diberikan pada garis di ketakhinggaan—memerlukan koordinat-koordinat kompleks. Karena koordinat tidaklah "sintetik", seseorang menggantinya dengan menetapkan sebuah garis dan dua titik padanya, dan memandang sistem linear semua kerucut melalui titik-titik itu sebagai objek dasar pengkajian. Pendekatan ini terbukti sangat menarik bagi para penggiat geometri yang berbakat, dan lapangan ini dikembangkan dengan sangat saksama. Sebuah contoh pendekatan ini adalah risalah dengan banyak jilid karya Henry Frederick Baker.

Ada banyak geometri projektif, yang dapat digolongkan sebagai diskret dan kontinu: geometri diskret terdiri dari sehimpunan titik-titik, yang banyaknya bisa saja berhingga atau tidak berhingga; sedangkan geometri kontinu memiliki tak-hingga banyaknya titik tanpa jarak di antaranya.

Satu-satunya geometri projektif berdimensi 0 (nol) adalah sebuah titik tunggal. Geometri projektif berdimensi 1 (satu) terdiri dari sebuah garis tunggal yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik. Konstruksi geometris dari operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dalam kedua-dua kasus ini. Untuk dimensi 2 (dua), terdapat struktur yang kaya berdasar atas ketidakhadiran Teorema Desargues.

Menurut Greenberg (1999) dan lain-lain, geometri projektif berdimensi-2 yang paling sederhana adalah bidang Fano, yang memiliki 3 titik pada setiap garis, dengan 7 titik dan garis yang semuanya diatur dengan jadual kolinearitas berikut ini: