Jelaskan Definisi melalui hubungan ketetanggaan dari Ruang topologis

Definisi ini dicetuskan oleh Felix Hausdorff. Misalkan X adalah sebuah himpunan, dengan anggota-anggotanya yang sering kali disebut titik-titik, meski sebenarnya bisa objek matematis apapun. X boleh himpunan kosong. Pilih sebuah fungsi N yang menyematkan kepada setiap titik x sebuah koleksi N(x) keluarga subhimpunan dari X. Anggota-anggota dari N(x) disebut ketetanggaan dari x terhadap N (atau cukup, ketetanggaan dari x). Fungsi N disebut topologi ketetanggaan jika aksioma-aksioma di bawah terpenuhi; dan pasangan (X, N) adalah sebuah ruang topologi.

Jika N adalah ketetanggaan dari x (N ∈ N(x)), maka x ∈ N. Dalam kata lain, setiap titik merupakan anggota dari ketetanggaannya.

Jika N adalah subhimpunan dari X dan memuat sebuah ketetanggaan dari x, maka N adalah ketetanggaan dari x. Setiap superhimpunan dari ketetanggaan sebuah titik merupakan ketetanggaan titik itu pula.

Irisan dua ketetanggaan dari x adalah sebuah ketetanggaan dari x juga.

Seluruh ketetanggaan N dari x memuat ketetanggaan M dari x sedemikian sehingga N adalah ketetanggaan dari seluruh titik-titik di M.

Tiga aksioma pertama dari hubungan ketetanggaan memiliki maksud yang jelas. Aksioma ke-empat memiliki peran penting dalam menentukan struktur topologi ketetanggaan N, yaitu menentukan hubungan ketetanggaan dari titik-titik yang berbeda.

Contoh umum dari hubungan ketetanggaan adalah sistem ketetanggaan pada garis bilangan riil, dimana N adalah ketetanggaan dari sebuah bilangan riil x jika ia memuat sebuah interval terbuka yang memiliki x sebagai anggotanya.

Dengan struktur demikian, sebuah subhimpunan U dari X disebut subhimpunan terbuka jika U merupakan ketetanggaan bagi seluruh anggotanya.