Jabarkan Perkalian elemen dasar dari Kuaternion

Persamaan elemen kuaternion i, j, dan k adalah:

jika dua sisi dikalikan dengan k, maka

Persamaan-persamaan yang lainnya juga bisa didapatkan dengan tahap aljabar:

Persamaan-persamaan ini lalu bisa ditampilkan dengan tabel di bawah ini:

Bila kuaternion dituliskan dengan bentuk , maka:

Suatu kuaternion p = a + bi + cj + dk memiliki konjugat p*, dan didapatkan dengan rumus berikut:

Dengan fungsi Norma , bila , maka:

Kuaternion, seperti bilangan kompleks, bisa ditulis dalam bentuk matriks, yaitu matriks kompleks 2x2 atau matriks riil 4x4.

Bentuk matriks kompleks 2x2 untuk kuaternion a + bi + cj + dk adalah:

Bentuk matriks riil 4x4 untuk kuaternion a + bi + cj + dk adalah:

Selain itu juga terdapat bentuk matriks 3x3 yang digunakan dalam grafika komputer. Berikut adalah bentuk matriks kolom-utama (column-major) yang digunakan di OpenGL. (Matriks baris-utama (row-major) yang digunakan di DirectX sama dengan transposa matriks kolom-utama)