Jabarkan Luas dari Poligon

Misalkan titik sudut dari poligon dinyatakan sebagai . Penggunaan notasi  juga akan dipakai.

Jika poligon tidak berpotongan diri (atau dengan kata lain, poligon tersebut sederhana), maka luas bertanda dirumuskan sebagai

dengan  dan . Luas dari poligon tersebut juga dapat menggunakan determinan

dengan  adalah jarak kuadrat di antara titik  dan

Luas bertanda bergantung pada orde dari titik sudut dan orde dari orientasi bidang. Secara umum, orientasi bernilai positif didefinisikan dengan memutar (ke lawan arah jarum jam) yang memetakan sumbu- positif ke sumbu- positif. Luas bertanda akan positif jika titik sudut diorde ke lawan arah jarum jam (dalam artian, berdasarkan orientasi bernilai positif), dan begitupula untuk kebalikannya, sehingga dengan demikian, rumus untuk luas poligon benar dalam nilai mutlak. Rumus ini umum dikenal sebagai rumus tali sepatu atau surveyor's formula ().

Luas  dari poligon sederhana juga dapat dihitung jika diketahui panjang sisi  dan sudut luar , dari

Rumus ini dijelaskan oleh Lopshits pada tahun 1963.

Jika poligon dapat digambarkan di sebuah kisi yang berjarak sama, sehingga semua titik sudut adalah titik kisi, maka teorema Pick memberikan rumus sederhana untuk luas poligon berdasarkan jumlah titik kisi di dalam maupun di batas poligon, yang mengatakan: luas poligon sama dengan jumlah titik bilangan bulat di dalam poligon ditambah dengan setengah dari jumlah titik bilangan bulat di batas poligon, yang kemudian dikurangi 1.

Setiap poligon dengan keliling  dan luas , berlaku pertidaksamaan isoperimetrik .

Untuk dua poligon sederhana yang luasnya sama, teorema Bolyai–Gerwien mengatakan bahwa poligon pertama dapat dipotong menjadi potongan poligonal yang dapat disatukan kembali untuk membentuk poligon kedua.