Jelaskan Medan dengan struktur tambahan dari Lapangan (matematika)

Sejak medan ada di mana-mana dalam matematika dan seterusnya, beberapa penyempurnaan konsep telah disesuaikan dengan kebutuhan bidang matematika tertentu.

Medan F disebut medan tatanan jika terdapat dua elemen yang dapat dibandingkan, sehingga  dan  dengan  dan . Misalnya, bilangan riil membentuk Medan tatanan, dengan tatanan seperti biasa . Teorema Artin–Schreier menyatakan bahwa suatu medan diurutkan jika dan hanya jika itu adalah medan riil secara formal, yang berarti bahwa persamaan kuadrat apa pun

hanya solusi . Himpunan semua kemungkinan tatanan pada medan tetap  isomorfik ke himpunan gelanggang homomorfisme dari gelanggang Witt  dari bentuk kuadrat berakhir dengan , sebagai .

Sebuah medan Archimedean adalah medan yang diurutkan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen terdapat ekspresi hingga

yang nilainya lebih besar dari elemen itu, artinya tidak ada elemen tak hingga. Sama halnya, medan yang tidak digunakan infinitesimal (elemen lebih kecil dari semua bilangan rasional); atau, ekuivalen medan isomorfik ke submedan dari .

Bidang yang diurutkan adalah Dedekind-complete jika semua batas atas, batas bawah (lihat kelengkapan Dedekind) dan batas. Secara lebih formal, setiap himpunan bagian hingga dari  harus memiliki batas atas terkecil. Setiap medan lengkap tetap menggunakan Archimedean, karena dalam medan non-Archimedean tidak terdapat rasional yang sangat kecil atau paling tidak positif, darimana tatanannya , setiap elemen yang lebih besar dari kecil, tidak memiliki batas.

Karena setiap subkolom riil menggunakan celah seperti itu,  adalah kolom tatanan lengkap unik, hingga isomorfisme. Beberapa hasil dasar dalam kalkulus mengikuti langsung dari karakterisasi riil ini.

Hiperriil  membentuk Medan tatanan yang bukan Archimedean. Ini adalah ekstensi dari riil yang diperoleh dengan memasukkan bilangan tak hingga dan infinitesimal tak hingga. Ini lebih besar masing-masing lebih kecil dari bilangan riil. Hiperriil membentuk dasar dasar analisis non-standar.