Jabarkan Definisi dari Gelanggang (matematika)

Sebuah gelanggang adalah sebuah himpunan R dengan dua operasi biner + dan · yang memenuhi ketiga aksioma berikut, juga disebut aksioma gelanggang

R merupakan grup abelian terhadap penjumlahan, artinya:

(a + b) + c = a + (b + c) untuk setiap a, b, c dalam R   (dengan kata lain, + bersifat asosiatif).

a + b = b + a untuk setiap a, b dalam R   (dengan kata lain, + bersifat komutatif).

Terdapat sebuah unsur 0 dalam R yang menyebabkan a + 0 = a untuk setiap a dalam R   (dengan kata lain, terdapat 0 sebagai identitas aditif).

Untuk setiap a dalam R terdapat −a dalam R yang menyebabkan a + (−a) = 0   (dengan kata lain, −a adalah invers aditif dari a).

R merupakan monoid terhadap perkalian, artinya:

(a · b) · c = a · (b · c) untuk setiap a, b, c dalam R   (dengan kata lain, · bersifat asosiatif).

Terdapa sebuah unsur 1 dalam R yang menyebabkan a · 1 = a dan 1 · a = a untuk setiap a dalam R   (dengan kata lain, terdapat 1 sebagai identitas perkalian).

Perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan, artinya:

a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c) untuk setiap a, b, c dalam R   (distributif kiri).

(b + c) · a = (b · a) + (c · a) untuk setiap a, b, c dalam R   (distributif kanan).

Seperti dijelaskan dalam bagian , sebagian penulis memakai ketentuan berbeda di mana sebuah gelanggang tidak perlu memiliki identitas perkalian. Artikel ini menggunakan ketentuan, kecuali ketika disebutkan sebaliknya, bahwa sebuah gelanggang harus memiliki identitas tersebut. Sebagian penulis yang menggunakan ketentuan ini menyebut struktur yang memenuhi semua aksioma kecuali syarat identitas perkalian sebagai rng (biasa dibaca rung) dan sebagian menyebutnya gelanggang semu. Contohnya, himpunan semua bilangan genap dengan operasi + dan ⋅ yang biasa merupakan sebuah rng, tapi bukan sebuah gelanggang.

Operasi + dan ⋅ masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian. Simbol perkalian ⋅ biasanya tidak dituliskan; contohnya, xy berarti .

Meskipun penjumlahan gelanggang bersifat komutatif, perkalian gelanggang tidak harus komutatif: ab tidak harus sama dengan ba. Gelanggang yang perkaliannya memenuhi sifat komutatif (seperti gelanggang bilangan bulat) disebut gelanggang komutatif. Buku yang membahas aljabar komutatif atau geometri aljabar terkadang menyebutkan gelanggang komutatif sebagai gelanggang saja.

Dalam sebuah gelanggang, invers perkalian tidak harus ada. Sebuah gelanggang bukan nol yang setiap unsur bukan nolnya memiliki invers perkalian disebut sebuah medan.