Jabarkan Sejarah dan penggunaan dari Diferensial fungsi

Diferensial diperkenalkan pertama kali melalui sebuah intuitif atua definisi heuristik oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang berpikir mengenai diferensial  sebagai sebuah perubahan yang sangat kecil (atau infinitesimal) dalam nilai  dari fungsi, padanan ke sebuah perubahan yang sangat kecil  dalam argumen fungsi . Untuk alasan tersebut, laju seketika dari perubahan  terhadap , yang nilai dari turunan dari fungsi, dilambangkan oleh pecahan

dalam apa yang disebut notasi Leibniz untuk turunan. Hasil bagi  sangat tidak kecil, daripadanya merupakan sebuah bilangan real.

Penggunaan infintesimal dalam bentuk ini dikritik secara luas, sebagai contohnya oleh selebaran yang terkenal, The Analyst oleh Bishop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) mendefinisikan diferensial tanpa mengajukan banding dengan atomisme dari infinitesimal Leibniz. Malahan, Cauchy, mengikuti d'Alembert, membalikkan urutan logis Leibniz dan penerusnya, turunan itu sendiri menjadi objek fundamental, didefinisikan sebagai sebuah limit hasil bagi beda, dan diferensialnya kemudian didefiniskan dalam istilah darinya. Yakni, salah satunya bebas mendefinisikan diferensial  dengan sebuah ekspresi

di mana  dan  merupakan variabel baru sederhana yang mengambil nilai real terhingga, bukan infintesimal tetap seperti yang dilakukan oleh Leibniz.

Menurut , pendekatan Cauchy merupakan sebuah penyempurnaan logis yang penting pada pendekatan infinitesimal Leibniz karena, melainkan memohon gagasan metafisik mengenai infinitesimal, kuantitas  dan  sekarang dapat dimanipulasi dalam cara yang persis seketika suatu kuantitas real lainnya dalam sebuah cara yang bermakna. Pengertian keseluruhan Cauchy mendekati diferensial menetapkan yang standar dalam pelakuan analitik, meskipun arti kata pada ketelitian, sebuah gagasan modern sepenuhnya dari limit, pada akhirnya dikarenakan Karl Weierstrass.

Dalam perlakuan fisik, seperti penerapan tersebut ke teori termodinamika, tampilan infinitesimal masih berlaku.  mempertemukan penggunaan fisik diferensial infintesimal dengan ketidakmungkinan matematis dari mereka sebagai berikut. Diferensial mewakili nilai taknol terhingga yang lebih kecil daripada derajat ketepatan dibutuhkan untuk tujuan khusus yang mereka maksudkan. Demikian "infinitesimal fisik" tidak perlu mengajukan banding dengan sebuah padanan infinitesimal matematis dalam rangka untuk memiliki sebuah arti yang tepat.

Diikuti pengembangan abad keduapuluh dalam analisis matematis dan geometri diferensial, ini menjadi jelas bahwa gagasan dari diferensial fungsi dapat diperluasw dalam berbagai cara. Dalam analisis real, ini lebih diinginkan yang secara langsung berhubungan dengan diferensial sebagai bagian utama dari riapan fungsi. Ini menuju langsung ke gagasan bahwa diferensial fungsi pada sebuah titik merupakan fungsional linear dari sebuah riapan . Pendekatan ini memungkinkan diferensial (sebagai sebuah pemetaan linear) menjadi dikembangkan untuk beragam ruang-ruang canggih yang lebih banyak, pada akhirnya menimbulkan gagasan tersebut sebagai turunan Fréchet atau Gateaux. Demikian juga, dalam geometri diferensial, diferensial dungsi apda sebuah titik merupakan fungsi linear dari sebuah vektor singgung (sebuah perpindahan yang sangat kecil), yang dapat sendirinya ditaruh pada sebuah pijakan ketelitian (lihat diferensial (infinitesimal)).