Jelaskan Gagasan dasar dari Lapangan (matematika)

Dalam bagian ini,  menunjukkan medan sembarang dan , serta  elemen sembarang dari .

Satu memiliki  dan . Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui .

Jika  kemudian  atau  harus 0, karena, jika , kemudian

. Ini berarti bahwa setiap bidang adalah domain integral.

Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemen  dan :

Aditif dan grup perkalian dari sebuah medan

Aksioma sebuah medan  adalah grup abelian di bawah tambahan. Grup ini disebut grup aditif pada bidang, dan terkadang dilambangkan dengan  ketika hanya menandai sebagai  yang hanya membingungkan.

Demikian pula, elemen bukan nol dari  membentuk grup abelian dalam perkalian yang disebut grup perkalian, dan dilambangkan dengan  untuk  atau .

Medan didefinisikan sebagai himpunan  dengan dua operasi yang dilambangkan sebagai penjumlahan dan perkalian sehingga  adalah grup abelian dalam penjumlahan,  adalah grup abelian dalam perkalian, dan perkalian adalah distributif di atas penjumlahan. Oleh karena itu, beberapa pernyataan dasar tentang medan diperoleh dengan menerapkan fakta umum grup. Misalnya, penjumlahan dan perkalian inversi  dan  ditentukan secara unik oleh .

Persyaratan yang mengikuti , karena 1 adalah elemen identitas grup tidak berisi 0. Jadi, gelanggang trivial yang terdiri dari satu elemen adalah bukan medan.

Setiap subgrup hingga dari grup perkalian sebuah bidang adalah siklik (lihat ).