Jabarkan Teorema nilai ekstrem dari Fungsi kontinu

Teorema nilai ekstrem menyatakan jika sebuah fungsi  terdefinisi pada suatu selang tutup  (atau sembarang himpunan tertutup dan terbatas) dan kontinu di domain itu, maka fungsi memilliki nilai maksimum. Dengan kata lain, ada nilai  dengan  untuk setiap  Teorema yang sama juga berlaku untuk nilai minimum dari  Teorema ini secara umum tidak berlaku untuk fungsi dengan domain  (atau sembarang himpunan yang tidak tertutup sekaligus terbatas). Sebagai contoh, fungsi kontinu  yang terdefinisi pada interval buka  tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.

Hubungan dengan kediferensialan dan keterintegralan

Dapat ditunjukkan bahwa semua fungsi terdiferensialkan  bersifat kontinu. Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi nilai mutlakyang kontinu dimanapun. Fungsi ini tidak terdiferensialkan di  (namun terdiferensialkan di semua titik selain ini). Fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi yang kontinu dimanapun namun takkontinu dimanapun.

Turunan  dari fungsi  tidak harus bersifat kontinu. Jika  kontinu, fungsi  dikatakan terdiferensialkan [secara] kontinu. Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan  Secara umum, himpunan fungsi  (dengan  berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak  kali dan turunan ke- dari  bersifat kontinu, dinotasikan dengan  Dalam bidang grafika komputer, sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan  terkadang disebut  (kekontinuan posisi),  (kekontinuan garis singgung), dan  (kekontinuan kelengkungan/kurvatur).

Setiap fungsi kontinu  dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks integral Riemann. Kebalikannya tidak berlaku, seperti yang ditunjukkan oleh fungsi tanda; contoh fungsi terintegralkan namun takkontinu.

Fungsi kontinu antar ruang metrik

Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar ruang metrik. Ruang metrik adalah sebuah himpunan  yang dilengkapi dengan sebuah fungsi  (disebut metrik); fungsi ini dapat dianggap sebagai ukuran jarak antara dua elemen di . Secara formal, metrik adalah fungsi

yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama pertidaksamaan segitiga. Untuk sembarang dua ruang metrik  dan , sebuah fungsi

dikatakan kontinu (terhadap metrik yang digunakan) di titik , jika untuk sembarang bilangan real positif  akan terdapat bilangan real positif , sehingga semua nilai  yang memenuhi  juga akan memenuhi . Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap barisan  dengan nilai limit , haruslah . Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi  kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan  yang konvergen ke  (dan  berada di domain), barisan  adalah barisan Cauchy.

Himpunan titik dimana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan , yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.

Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di analisis fungsional. Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah operator linearantar ruang vektor bernorma  dan  (yakni ruang vektor yang dilengkapi suatu norma ) bersifat kontinu jika dan hanya jika operator tersebut terbatas, yakni terdapat konstanta  yang menyebabkanuntuk semua

Kekontinuan seragam, Hölder, dan Lipschitz

Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai  terikat pada  dan titik ; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara. Secara informal, fungsi  disebut kontinu seragam jika pemilihan nilai  tidak tergantung pada titik . Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap bilangan real  akan ada  sehingga untuk setiap  yang memenuhi , juga akan memenuhi . Jadi, setiap fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila domain  berupa ruang kompak. Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi ruang seragam yang lebih umum.

Sebuah fungsi disebut kontinu Hölder pangkat  (berupa bilangan real) jika ada konstanta  sehingga untuk semua  akan berlaku pertidaksamaan

Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus  disebut sebagai kekontinuan Lipschitz. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta  sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan

berlaku untuk sembarang . Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam teorema Picard – Lindelöf yang membahas tentang solusi persamaan diferensial biasa.