Jelaskan Medan hingga dari Lapangan (matematika)

Medan hingga (juga disebut medan Galois) adalah medan dengan elemen hingga dimana jumlahnya yang disebut sebagai urutan medan. Contoh pengantar di atas  adalah medan dengan empat elemen. Submedan  adalah medan terkecil, karena menurut definisi medan memiliki setidaknya dua elemen berbeda .

Kolom hingga yang sederhana, dengan tatanan utama langsung diakses menggunakan aritmetika modular. Untuk bilangan bulat positif tetap , aritmetika "modulo " artinya melakukan dengan angka

Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud himpunan bilangan bulat , membagi dengan  dan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jika  adalah bilangan prima. Misalnya mengambil bilangan prima  hasil di bidang yang disebutkan di atas . Untuk  dan secara lebih umum, untuk setiap bilangan komposit (yaitu, bilangan apa pun  yang dapat diekspresikan sebagai produk  dari dua bilangan asli yang lebih kecil),  bukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karena  pada , yang, seperti yang dijelaskan di atas, dengan  dari menjadi lapangan. Lapangan  dengan  elemen ( menjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan dengan .

Setiap bidang terbatas yang dimiliki  adalah  elemen, di mana  adalah bilangan prima dan . Pernyataan ini berlaku karena  dapat dilihat sebagai ruang vektor di atas bidang utamanya. dimensi dari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlah , yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.

Bidang dengan  elemen dapat dibuat sebagai bidang pemisah dari polinomial