Jabarkan Contoh dari Integral Riemann

Misalkan  sebagai fungsi yang mengambil nilai 1 setiap titik. Setiap jumlah Riemann dari  pada  akan memiliki nilai 1, oleh karena itu integral Riemann dari  pada  adalah 1.

Misalkan  sebagai fungsi indikator dari bilangan rasional di ; yaitu,  mengambil nilai 1 pada bilangan rasional dan 0 pada bilangan irasional. Fungsi ini tidak memiliki integral Riemann. Untuk membuktikan ini, kita akan menunjukkan bagaimana membangun partisi bertanda yang jumlah Riemannnya mendekati nol dan satu secara berurutan.

Untuk memulai, maka  dan  menjadi partisi bertanda (setiap  diantara  dan ). Pilihlah .  telah dipilih, dan nilai  tidak dapat diubah pada titik tersebut. Tetapi jika kita memotong partisi menjadi potongan-potongan kecil disekitar , kita dapat meminimalkan efek . Kemudian, dengan memilih tanda baru secara hati-hati, kita dapat membuat nilai penjumlahan Riemann berada dalam  dari nol atau satu.

Langkah pertama kita adalah memotong partisi. Ada  dari , dan ingin efek totalnya kurang dari . Jika membatasi masing-masing dari mereka ke selang yang panjangnya kurang dari , maka kontribusi dari setiap  pada jumlah Riemann paling sedikit  dan paling banyak . Ini setidaknya membuat jumlah total nol dan paling banyak dari . Jadi  menjadi bilangan positif yang kurang dari . Jika kebetulan dua dari  berada dalam  satu sama lain, pilihlah  lebih kecil. Jika terjadi bahwa beberapa  berada dalam  dari beberapa , dan  tidak sama dengan , pilihlah  lebih kecil. Karena hanya ada  dan , kita selalu dapat memilih  secukupnya kecil.

Sekarang kita tambahkan dua potongan ke partisi untuk setiap . Salah satu potongan berada di , dan yang lainnya akan berada di . Jika salah satu dari ini meninggalkan selang  maka kita tinggalkan.  akan menjadi tanda yang sesuai dengan sub-selang