Tolong jelaskan mengenai Contoh kedua dari Teorema Rolle

Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi nilai mutlakmaka . Akan tetapi, tidak ada nilai  di antara −1 dan 1 pada nilai  yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai , walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari  mengubah tandanya di , tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai  di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi  akan tetap memiliki titik kritis di selang terbuka , tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.

Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi

Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa  memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa

fungsi   terdiferensialkan secara kontinu sebanyak  kali di selang tertutup , dan terdapat turunan ke- di selang terbuka ; serta

terdapat  selang yang dinyatakan dengan  di  sehingga  untuk setiap nilai  yang berawal dari 1 hingga nilai .

Maka, terdapat suatu bilangan  di  turunan ke- dari  dengan nilai  sama dengan nol.