Jabarkan Kecepatan sudut suatu partikel dari Kecepatan sudut

Kecepatan sudut suatu partikel di dalam bidang dua dimensi adalah yang paling mudah dipahami. Seperti yang ditunjukkan pada gambar di kanan (biasanya menyatakan ukuran sudut φ dan θ di dalam radian), jika garis dilukiskan dari titik asal (O) ke partikel yang dimaksud (P), maka vektor kecepatan (v) partikel akan memiliki komponen sepanjang jari-jari (komponen jari-jari, v∥) dan komponen yang tegak lurus dengan jari-jari (komponen silang jari-jari, v). Namun, harus diingat bahwa vektor kecepatan dapat juga diuraikan menjadi komponen tangensial dan normal.

Gerak radial (gerak memancar) tidak menghasilkan perubahan jarak partikel terhadap titik asal; sehingga untuk menentukan kecepatan sudut, komponen sejajar (radial) dapat diabaikan. Oleh karena itu, rotasi sepenuhnya dihasilkan oleh gerak tangensial (seperti yang terjadi pada partikel yang bergerak pada lingkaran), dan kecepatan sudut sepenuhnya ditentukan oleh komponen tegak lurus (tangensial).

Dapat dilihat bahwa laju perubahan kedudukan sudut suatu partikel adalah berhubungan dengan kecepatan silang jari-jari berdasarkan:

Dengan memanfaatkan θ, sudut antar-vektor v∥ dan v, atau setara dengan sudut antar-vektor r dan v, menghasilkan:

Dengan memadukan kedua-dua persamaan di atas dan dengan mendefinisikan kecepatan sudut sebagai ω=dΦ/dt, diperoleh:

Di dalam dimensi dua kecepatan sudut hanyalah nilai atau bilangan yang tak-berarah. Bilangan yang tak-berarah adalah skalar atau skalar semu, perbedaannya adalah skalar tidak mengubah tanda sumbu x dan y (atau dibalik), sedangkan skalar semu mengubah. Sudut sebagaimana halnya kecepatan sudut adalah contoh skalar semu. Arah positif rotasi diambil, berdasarkan perjanjian, sebagai arah menuju sumbu y dari sumbu x. Jika sumbu-sumbu itu dipertukarkan, tetapi rotasi tidak dibalik, maka tanda sudut rotasi, dan oleh karenanya pula kecepatan sudut akan berubah.

Adalah penting untuk mengetahui bahwa kecepatan sudut skalar semu suatu partikel bergantung kepada pilihan titik asalnya.