Jabarkan Perbandingan radian dengan derajat dari Fungsi trigonometri

Dalam penerapan geometri, argumen fungsi trigonometri umumnya merupakan ukuran sudut. Setiap sudut biasanya diukur dan satuan konvensional berupa derajat. Sebagai contoh, sudut siku-siku ditulis 90° dan putaran penuh ditulis 360°.

Namun dalam kalkulus dan analisis matematika, fungsi trigonometri umumnya dipandang lebih abstrak sebagai fungsi real ataupun kompleks, bukan sudut. Bahkan fungsi sepeti sin dan cos dapat didefinisikan untuk semua bilangan kompleks dalam bentuk fungsi eksponensial melalui deret pangkat, atau dapat didefinisikan sebagai penyelesaian nilai awal khusus terhadap persamaan diferensial (lihat dibawah). Definisi tersebut tidak mengacu pada gagasan dalam geometri. Adapun empat fungsi lainnya seperti tan, cot, sec, dan csc dapat didefinisikan sebagia hasil-bagi dan timbal balik dari sin dan cos, kecuali ketika nol muncul di penyebut. Untuk argumen real, hal ini dapat dibuktikan bahwa definisi tersebut sesuai dengan definisi geometri elementer jika argumennya dipandang sebagai sudut yang dinyatakan dalam bentuk radian. Lebih lanjut, definisi tersebut memberikan hasil dalam bentuk yang sederhana untuk turunan dan integral taktentu dari fungsi trigonometri. Jadi dalam cabang selain geometri elementer, radian dipandang sebagai satuan alami dalam matematika untuk menjelaskan ukuran setiap sudut.

Ketika satuan yang dipakai adalah radian, maka sudut dinyatakan sebagai panjang busur dari lingkaran satuan yang berhadapan dengannya. Sebagai contoh, sudut yang berhadapan dengan busur dengan panjang 1 di lingkaran satuan adalah 1 rad (≈ 57,3°), dan putaran penuh (360°) sama dengan 2 (≈ 6,28) rad. Untuk bilangan real , notasi , , dst. mengacu pada nilai dari fungsi trigonometri yang dihitung pada sudut  rad.  Jika satuan yang dimaksud adalah derajat, maka tanda derajat harus diperlihatkan secara eksplisit (sebagai contoh, , , dsb.). Dengan menggunakan notasi yang standar, argumen dari  untuk fungsi trigonometri memenuhi kaitan dari rumus

sehingga, sebagai contoh,  ketika . Dalam cara ini, simbol derajat dapat dipandang sebagai sebuah konstanta matematika, sehingga .

Definisi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan

Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai nilai dari titik koordinat di bidang Euklides yang berkaitan dengan sebuah lingkaran berjari-jari satu yang berpusat di titik asal  dari koordinat sistem, yaitu lingkaran satuan. Sedangkan definisi segitiga bersiku yang memungkinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut di antara  dan  radian  maka definisi lingkaran satuan memungkinkan bahwa domain dari fungsi trigonometri diperluas untuk semua bilangan real positif dan negatif.

Misalkan  adalah sinar yang didapatkan dengan memutarnya setengah sudut positif  dari sumbu- (putarannya berlawanan arah jarum jam untuk  dan searah jarum jam untuk ). Sinar ini memotong lingkaran satuan di titik  Sinar  jika perlu diperpanjang garisnya, memotong garis persamaan  di titik  dan garis persamaan  di titik  Garis yang menyinggung lingkaran satuan di titik  dikatakan tegaklurus terhadap  serta memotong sumbu- di titik  dan sumbu- di titik  Koordinat dari titik tersebut yang memberikan nilai dari semua fungsi trigonometri untuk setiap nilai real sebarang , dapat dicari sebagai berikut.

Fungsi trigonometri  didefinisikan sebagai nilai koordinat- dari titik , sedangkan fungsi trigonometri  didefinisikan sebagai nilai koordinat- dari titik .