Jabarkan Membangun fungsi kontinu dari Fungsi kontinu

Proses mengecek kekontinuan suatu fungsi dapat disederhanakan dengan memeriksa syarat-syarat kekontinuan pada bagian-bagian fungsi. Dapat dibuktikan bahwa penjumlahan dua fungsi yang kontinu pada suatu domain, akan menghasilkan fungsi yang juga kontinu pada domain tersebut. Misalkan hasil penjumlahan fungsi-fungsi kontinuyang didefinisikan oleh  untuk setiap , adalah sebuah fungsi kontinu di  Sifat yang serupa juga berlaku untuk hasil perkalian fungsi-fungsi kontinu,yang didefinisikan oleh  untuk setiap , adalah sebuah fungsi kontinu di  Dengan mengombinasikan kedua sifat tersebut, dapat dibuktikan bahwa semua fungsi polinomial di  bersifat kontinu, sebagai contoh fungsi , dengan menggunakan fakta fungsi konstan dan fungsi identitas  bersifat kontinu di .

Dengan menggunakan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa hasil kebalikan dari sebuah fungsi kontinuyang didefinisikan oleh  untuk setiap  yang memenuhi , adalah fungsi yang kontinu di  Hal ini mengakibatkan fungsi pecahan dari fungsi-fungsi kontinuyang didefinisikan oleh  untuk setiap  yang memenuhi , bersifat kontinu kecuali di akar-akar dari . Domain dari  adalah . Sebagai contoh, fungsi (lihat gambar)terdefinisi dan kontinu untuk semua bilangan real , menyebabkan fungsi tersebut kontinu. Diskusi mengenai kekontinuan fungsi di titik  tidak muncul, karena  bukan anggota domain dari  Tidak ada fungsi  yang kontinu dan nilainya sama dengan  untuk semua .

Contoh lain adalah fungsi  yang terdefinisi dan kontinu untuk bilangan real  Tetapi, berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi  dapat diperluas menjadi sebuah fungsi kontinu pada semua bilangan real. Hal ini dilakukan dengan mendefinisikan nilai  sebagai 1, yakni nilai limit dari  ketika  menuju 0. Dengan kata lain,Sehingga, dengan membuat

fungsi  bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ketakkontinuan terhapuskan digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.

Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan komposisi fungsi. Misalkan dua fungsi kontinufungsi komposisi keduanya, yang dituliskan sebagai  dan didefinisikan oleh  adalah fungsi kontinu. Konstruksi ini dapat digunakan untuk membuktikan, sebagai contoh fungsi , bersifat kontinu untuk semua