Jabarkan Contoh dari Gelanggang (matematika)

Contoh paling familiar dari sebuah gelanggang adalah himpunan dari semua bilangan bulat , terdiri dari bilangan

... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Sifat familiar untuk penjumlahan dan perkalian bilangan bulat berfungsi sebagai model untuk aksioma gelanggang.

Contoh: Bilangan bulat modulo 4

Lengkapi himpunan  dengan operasi berikut:

Jumlah  dalam Z4 adalah sisa ketika bilangan bulat x + y dibagi 4. Contohnya,  dan .

Hasil kali  dalam Z4 adalah sisa ketika bilangan bulat xy dibagi 4. Contohnya,  dan .

Maka Z4 merupakan sebuah gelanggang: setiap aksioma mengikuti aksioma dari Z. Jika x merupakan sebuah bilangan bulat, sisa dari x ketika dibagi 4 bisa dianggap sebagai unsur dari Z4, dan unsur ini biasa disebut  atau , sesuai dengan notasi untuk 0, 1, 2, 3. Invers aditif dari setiap  dalam Z4 adalah . Contohnya,