Jelaskan sehingga tensor metrik menjadi dari Alir Ricci

Kemudian, diberikan sembarang fungsi halus , hitung turunan eksterior

Ambil turunan eksterior yang lain

(dimana kita menggunakan sifat anti-komutatif dari perkalian eksterior. Yakni,

Ambil dual Hodge yang lain memberikan

yang memberikan pernyataan yang diperlukan untuk operator Laplace/Beltrami

Untuk menghitung tensor kelengkungan, kita mengambil turunan eksterior dari medan kovektor pembuat koframe:

Dari ekspresi ini, kita dapat membacakan hanya satu-bentuk hubungan tak gayut

Ambil turunan eksterior yang lain

Hal ini memberi dua-bentuk kelengkungan

dari mana kita dapat membacakan hanya komponen tak gayut linier dari tensor Riemann menggunakan

dari mana hanya komponen tak nol dari tensor Ricci adalah

Dari sini, kita menemukan komponen berhubungan dengan kobasis koordinat, katakanlah

Namun, tensor metrik adalah juga diagonal, dengan

dan setelah beberapa manipulasi dasar, kita memperoleh pernyataan yang elegan untuk alir Ricci:

Hal ini adalah perwujudan yang analog dengan ketenaran persamaan difusi, persamaan kalor

dimana sekarang  adalah Laplacian biasa pada bidang Euklidean.

Pembaca dapat berkeberatan bahwa persamaan kalor adalah tentunya persamaan turunan parsial linier---dimana nonlinieritas yang dijanjikan dalam persamaan turunan parsial mendefinisikan alir Ricci?

Jawabannya adalah bahwa nonlinieritas ada karena operator Laplace-Beltrami gayut pada fungsi yang sama p yang kita gunakan untuk mendefinisikan metrik. Namun, nyatakan bahwa bidang Euklidean datar diberikan dengan mengambil . Sehingga jika  adalah kecil dalam ukuran, kita dapat meninjaunya untuk mendefinisikan deviasi kecil dari geometri bidang datar, dan jika kita menahan hanya suku-suku orde pertama dalam perhitungan eksponensial, alir Ricci pada dua-dimensi hampir seluruhnya manifold Riemann datar menjadi persamaan kalor dua dimensi.