Jabarkan Pendahuluan dan definisi dari Ruang vektor

Konsep ruang vektor pertama-tama akan dijelaskan dengan menjelaskan dua contoh khusus:

Contoh pertama: panah suatu bidang

Contoh pertama ruang vektor terdiri dari panah dalam bidang tetap, dimulai dari satu titik tetap. Ini digunakan dalam fisika untuk menjelaskan gaya s atau kecepatan. Diberikan dua panah seperti,  dan , jajaran genjang yang direntang oleh dua panah ini berisi satu panah diagonal yang juga dimulai dari titik awal. Panah baru ini disebut  jumlah  dari dua panah, dan dilambangkan . Dalam kasus khusus dari dua anak panah pada garis yang sama, jumlahnya adalah panah pada garis ini yang panjangnya adalah jumlah atau perbedaan panjangnya, tergantung pada apakah panah tersebut memiliki arah yang sama. Operasi lain yang dapat dilakukan dengan panah adalah penskalaan: diberikan bilangan riil  positif, panah yang searah dengan , tetapi dilatasi atau dikecilkan dengan mengalikan panjangnya dengan , disebut  perkalian  dari  dengan . Itu dilambangkan . Jika  negatif,  didefinisikan sebagai panah yang menunjuk ke arah yang berlawanan.

Berikut ini adalah beberapa contoh: jika , vektor yang dihasilkan  memiliki arah yang sama dengan , tetapi direntangkan menjadi dua kali lipat panjang  (gambar kanan bawah). Sama halnya,  adalah jumlah . Bahkan,  memiliki arah berlawanan dan panjang yang sama  (vektor biru menunjuk ke bawah pada gambar kanan).

Contoh kedua: pasangan angka yang diurutkan

Contoh kunci kedua dari ruang vektor disediakan oleh pasangan bilangan riil  dan . (Urutan komponen  dan  signifikan, sehingga pasangan seperti itu juga disebut pasangan terurut.) Pasangan seperti itu ditulis sebagai . Penjumlahan dari dua pasangan tersebut dan perkalian pasangan dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut: