Jabarkan Kesalahan perkiraan dan konvergensi dari Deret Taylor

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari  sekitar intinya . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai . Secara khusus, untuk nilai , kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai  dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai . Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari ; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai  Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya . Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi  konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya . Misalnya Fungsi

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel.  Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.