Jabarkan Sistem linear dari Aljabar linear

Sebuah himpunan hingga berisi persamaan-persamaan linear, masing-masing dengan terhingga banyaknya variabel, contohnya  atau , disebut sebagai sistem persamaan linear atau sistem linear.

Sistem linear membentuk bagian penting dalam aljabar linear. Dari sisi sejarah, aljabar linear dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linear dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem linear. Sebagai contoh, misalkanadalah sistem linear yang menyatakan suatu masalah. Sistem linear tersebut dapat diasosiasikan dengan matriksyang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga  adalah transformasi linear yang berasosiasi dengan matriks . Sebuah solusi dari sistem () adalah vektor yang memenuhi

yakni sebuah elemen yang menjadi pracitra dari  oleh pemetaan .

Misalkan () adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (), yakni sistem persamaan linear dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:Himpunan solusi dari () adalah elemen-elemen dari  kernel , atau secara ekuivalen, kernel dari .

Solusi dari sistem linear dapat ditemukan dengan melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan pada matriks gabungan

Pross eliminasi ini adalah serangkaian operasi baris dasar yang mengubah matriks ke dalam bentuk eselon baris tereduksi. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah

menunjukkan bahwa sistem () memiliki solusi unikInterpretasi matriks dari sistem linear juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan transformasi linear lainnya, seperti menghitung rank, kernel, dan invers matriks.