Jelaskan Pembuktian dari Teorema Rolle

Tujuan pembuktian ini bahwa bila , maka  harus mencapai nilai maksimum atau minimum di suatu titik di antara  dan , katakanlah titik tersebut diberi lambang . Fungsi tersebut juga harus berubah dari fungsi menaik hingga menurun (atau sebaliknya) di . Secara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya harus nol di .

Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa  kontinu di , dan menurut teorema nilai ekstrem,  mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di . Bila keduanya tercapai di titik batas , maka  adalah fungsi konstan di , dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di . Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di titik dalam  di selang  (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada ), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu  bilangan real sehingga  ada di , nilai  lebih kecil atau sama dengan , sebab  mencapai nilai maksimumnya di . Karena itu, untuk setiap ,dan karena itu,dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap , tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwadan karena itudengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila  terdiferensialkan, maka turunan dari  di  haruslah nol.