Jabarkan Perluasan deret pangkat dari Fungsi trigonometri

Dengan menerapkan persamaan diferensial untuk deret pangkat dengan koefisien yang belum ditentukan, maka fungsi sinus dan kosinus dapat disimpulkan sebagai relasi rekurensi mengenai koefisien deret Taylor dari kedua fungsi tersebut. Relasi rekurensinya dapat diselesaikan dengan mudah serta memberikan perluasan deret

Ruji kekonvergenan dari deret tersebut adalah takhingga. Jadi, fungsi sinus dan kosinus dapat diperluas menjadi fungsi menyeluruh, atau fungsi ini disebut "sinus" dan "kosinus"), karena (berdasarkan definisi) fungsi tersebut merupakan fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi dan holomorfik di seluruh bidang kompleks.

Ketika kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai pecahan dari fungsi menyeluruh, fungsi trigonometri lainnya dapat diperluas menjadi fungsi meromorfik. Hal ini mengartikan bahwa fungsi adalah holomorfik di seluruh bidang kompleks, kecuali ada setiap titik terpencil yang disebut kutub. Disini, kutubnya merupakan bilangan-bilangan dari bentuk  untuk fungsi tangen dan fungsi sekan, atau  untuk fungsi kotangen dan fungsi kosekan, dengan  adalah bilangan bulat sebarang.

Relasi rekurensi juga dapat dihitung untuk koefisien deret Taylor dari fungsi trigonometri lain. Deret-deret ini mempunyai ruji kekonvergenan terhingga. Koefisiennya mempunyai pandangan kombinatorial, yang mengatakan bahwa koefisiennya menghitung permutasi selang-seling dari himpunan hingga. Lebih tepatnya, dengan mendefinisikan  adalah bilangan atas/bawah ke-,  adalah bilangan Bernoulli ke-, dan  adalah bilangan Euler ke-, maka ada empat perluasan deret berikut didapatkan.