Tolong jelaskan mengenai Fraenkel dan Noether dari Gelanggang (matematika)

Definisi aksiomatik gelanggang yang pertama diberikan oleh Adolf Fraenkel pada 1914, tapi aksiomanya lebih ketat daripada yang terdapat di definisi modern. Contohnya, dia menetapkan setiap pembagi bukan nol harus memiliki invers perkalian. Pada 1921, Emmy Noether memberikan definisi aksiomatik modern dari gelanggang (komutatif) dan mengembangkan dasar dari teori gelanggang komutatif dalam makalahnya Idealtheorie in Ringbereichen.

Identitas perkalian: wajib vs. pilihan

Fraenkel menetapkan sebuah gelanggang harus memiliki identitas perkalian 1, sedangkan Noether tidak.

Sebagian besar buku aljabar sampai sekitar tahun 1960 mengikuti definisi Noether yang tidak memerlukan 1. Mulai dari 1960-an, menjadi lebih banyak buku yang memerlukan 1 dalam definisi gelanggang, terutama di buku lanjutan oleh penulis terkenal seperti Artin, Atiyah dan MacDonald, Bourbaki, Eisenbud, dan Lang. Meskipun begitu, sekarang masih banyak buku yang tidak memerlukan 1.

Menghadapi ambiguitas ini, sebagian penulis mencoba menekankan pandangkan mereka, sementara sebagian yang lainya mencoba memakai istilah yang lebih persis.

Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya jumlah langsung tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima." Poonen membuat argumen bantahan: gelanggang tanpa identitas perkalian tidak bersifat asosiatif secara total (hasil kali dari barisan terhingga manapun yang terdiri dari unsur-unsur gelanggang, termasuk barisan kosong, didefinisikan dengan baik, tidak tergantung urutan operasi) dan menulis "lanjutan alamiah dari sifat asosiatif memerlukan gelanggang yang mengandung hasil kali kosong, jadi wajar bila gelanggang memerlukan sebuah 1".

Dalam kategori kedua, beberapa penulis menggunakan istilah-istilah berikut:

gelanggang dengan identitas perkalian: unital ring, unitary ring, unit ring, ring with unity, ring with identity, atau ring with 1

gelanggang tanpa identitas perkalian: rng atau pseudo-ring, tapi yang kedua bisa jadi membingungkan karena punya arti lain.