Kalkulus matriks itu apa sih?

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

Vektor singgung kurva F: R → M(n,m)

Gradien fungsi skalar f: M(n,m) → R

Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap X terbalik dibandingkan dengan urutan indeks X. Turunan berarah f ke arah matriks Y diberikan oleh

dengan tr melambangkan trace dari matriks.

Diferensial atau turunan matriks dari fungsi  adalah unsur dari , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.

Catat pula bahwa tiap ∂F/∂Xi,j adalah matriks p×q yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: m baris dan n kolom. Diferensial sepanjang F dari sebuah matriks Y berukuran n×m dalam M(n,m) adalah

Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.