Jabarkan Aksioma dari Perkalian

Dalam buku Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano mengusulkan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksiomanya untuk bilangan asli. Aritmetika Peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:

Di sisi lain, S(y) mewakili penerus dari y, atau bilangan asli yang mengikuti y. Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmetika Peano lainnya termasuk induksi. Misalnya S(0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena

Aksioma untuk bilangan bulat biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekuivalen dari pasangan terurut dari bilangan asli. Model ini didasarkan pada memperlakukan (x,y) setara dengan  ketika x dan y sebagai bilangan bulat. Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat yang didefinisikan dengan cara ini adalah

Aturan bahwa −1 × −1 = 1 kemudian dapat disimpulkan dari

Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan bilangan rasional dan kemudian ke bilangan real.