Jelaskan Modul dari Gelanggang (matematika)

Konsep modul di atas gelanggang menggeneralisasi konsep ruang vektor (di atas bidang) dengan menggeneralisasi dari perkalian vektor dengan elemen bidang (perkalian skalar) ke perkalian dengan elemen gelanggang. Lebih tepatnya, diberi gelanggang  dengan 1, sebuah modul- dengan  adalah grup abelian dilengkapi dengan operasi  (mengaitkan elemen  ke  elemen  dan elemen ) yang memenuhi aksioma tertentu. Operasi ini biasanya dilambangkan dengan perkalian dan disebut perkalian. Aksioma modul adalah sebagai berikut: untuk  dalam  dan  dalam , maka:

adalah grup abelian di bawah tambahan.

Ketika gelanggang adalah nonkomutatif aksioma-aksioma ini mendefinisikan modul kiri; modul kompleks didefinisikan serupa dengan  dari . Hal ini bukan hanya perubahan notasi, sebagai aksioma terakhir dari modul kanan (yaitu ) menjadi , jika perkalian kiri (dengan elemen gelanggang) digunakan untuk modul kanan.

Contoh dasar modul adalah ideal, termasuk cincin itu sendiri.

Meskipun didefinisikan serupa, teori modul jauh lebih rumit daripada ruang vektor, terutama, karena, tidak seperti ruang vektor, modul tidak dikarakterisasi (hingga isomorfisme) oleh invarian tunggal (dimensi ruang vektor). Secara khusus, tidak semua modul memiliki basis.

Aksioma modul menyiratkan bahwa , di mana minus pertama menunjukkan aditif invers di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan bilangan bulat positif memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.