Jabarkan Estimasi suku sisa dari Teorema Taylor

Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang  tempat variabel x mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.

Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan ƒ adalah fungsi yang terturunkan kontinu n kali pada selang tertutup  dan terturunkan  kali pada selang terbuka  Bila ada konstanta positif riil Mn sedemikian sehingga |ƒ(n+1)(x)| ≤ Mn untuk semua x ∈  maka

di mana fungsi sisa Rn memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi Cauchy)

untuk semua x ∈  Ini disebut sebagai estimasi seragam galat pada polinomial Taylor yang terpusat pada a, karena ini berlaku seragam untuk setiap x dalam selang.

Bila ƒ adalah fungsi mulus pada  maka konstanta positif Mn ada untuk tiap n = 1, 2, 3, … sedemikian sehingga | ƒ(n+1)(x)| ≤ Mn untuk semua x ∈  Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga