Jelaskan Catatan dari Akar kuadrat

Berikut ini, kompleks  z  dan  w  dapat diekspresikan sebagai:

Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah tidak benar secara umum.

(contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama:  dan  ) Kesetaraan ini hanya berlaku jika

(counterexample untuk akar kuadrat utama:  dan ) Persamaan ini hanya berlaku jika

(contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: ) Persamaan ini hanya valid jika

Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi  or  yang tidak benar secara umum.

Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu :

Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat bukti tidak sah). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung  Sisi kiri menjadi salah satunya

jika cabang menyertakan + i  atau

jika cabang termasuk - i , sedangkan sisi kanan menjadi

di mana persamaan terakhir,  adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

Akar ke-n dan akar polinomial

Definisi akar kuadrat dari  sebagai angka  sedemikian rupa sehingga  telah digeneralisasikan dengan cara berikut.

Akar pangkat tiga dari  adalah angka  sedemikian rupa sehingga ; dilambangkan

Jika  adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua,  akar ke dari  adalah angka  seperti ; dilambangkan

Mengingat polinomial , sebuah akar dari  adalah bilangan  seperti yang . Misalnya, akar ke  dari  adalah akar dari polinomial (pada )

Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke .