Jabarkan Perkiraan dalam fungsi dari Deret Taylor

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka  muncul dalam perluasan  adalah angka Bernoulli. Hal itu  dalam perluasan  adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

Angka-angka  muncul di seri untuk  adalah angka Bernoulli.

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor dalam beberapa variabel

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi  yang bergantung pada dua variabel,  dan , seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya  is

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

Darimana  adalah gradien dari nilai  dievaluasi pada  dan  adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.