Jabarkan Subruang, span, dan basis dari Aljabar linear

Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari subset dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subset ini disebut dengan subruang linear. Secara formal, suatu subruang linear dari ruang vektor  atas lapangan  adalah suatu subset  dari  yang memenuhi  dan  berada di dalam , untuk setiap ,  di , dan setiap  di . (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa  adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linear , citra  dari , dan invers dari citra  dari 0 (dikenal sebagai kernel atau ruang nol), masing-masing adalah subruang linear dari  dan .

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan kombinasi linear vektor-vektor dari himpunan . Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk dengan  berada di , dan  berada di . Himpunan tersebut membentuk subruang linear yang disebut span dari . Span dari  juga merupakan irisan dari semua subruang linear yang mengandung . Dengan kata lain, span ini adalah subruang linear terkecil (pada relasi subset) yang mengandung .

Suatu himpunan vektor dikatakan saling bebas linear jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor  saling bebas linear jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linear vektor-vektor di  adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (span) suatu ruang vektor disebut himpunan span. Jika himpunan span  bergantung linear (yakni tidak bebas linear), maka ada vektor  di  yang berada di span vektor-vektor  yang lain, dan span dari  tidak akan berubah walau  dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen  bebas linear. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor  disebut sebagai suatu basis bagi . Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari  yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di . Secara lebih formal, jika  adalah himpunan yang bebas linear, dan  adalah himpunan span dengan  maka ada suatu basis  sedemikian sehingga

Ruang vektor  dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari  memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari . Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan  yang sama saling isomorfik jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama. Jika salah satu basis bagi  (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga,  disebut ruang vektor dimensi hingga. Jika  adalah subruang dari , maka . Pada kasus ketika  berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika .

Jika U1 dan U2 adalah subruang dari V, maka