Jabarkan Perluasan pecahan berlanjut dari Fungsi trigonometri

Perluasan pecahan berlanjut berikut valid di seluruh bidang kompleks:

Pecahan yang terakhir dipakai pertama kali menurut sejarah dalam bukti bahwa π irasional.

Darab takhingga untuk fungsi sinus sangat penting dalam analisis kompleks, yang dinyatakan sebagai:

Bukti perluasan darab ini dapat dilihat disini. Melalui rumus ini, dapat disimpulkan bahwa

Rumus Euler mengaitkan fungsi sinus dan kosinus dengan fungsi eksponensial:

Rumus ini biasanya dipandang untuk bilangan real , tetapi tetap benar untuk semua bilangan kompleks. Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Misalkan  dan . Karena  untuk , maka menurut kaidah hasil bagi, . Jadi,  adalah fungsi konstan, yang sama dengan , ketika  Hal ini membuktikan rumus tersebut.

Selanjutnya, didapatkan persamaan  dan . Dengan menyelesaikan sistem linear pada fungsi sinus dan kosinus, maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial:

Ketika  adalah bilangan real, kedua fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai

Hampir identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan memnyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi eksponensial kompleks melalui rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas  untuk menyederhanakan hasilnya.

Definisi yang menggunakan persamaan fungsional

Fungsi trigonometri juga dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai persamaan fungsional. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus membentuk pasangan tunggal dari fungsi kontinu yang memenuhi rumus selisih.