Jabarkan Perumusan umum dari Diferensial fungsi

Sebuah gagasan konsisten mengenai diferensial dapat dikembangkan untuk sebuah fungsi  di antara dua ruang Euclides. Misalkan  menjadi sebuah pasangan vektor Euclides. Riapan dalam fungsi  adalah

Jika terdapat sebuah matriks  dengan ukuran  sehingga

di mana vektor  sebagai , maka  oleh definisi terdiferensialkan pada titik . Matriks  terkadang dikenal sebagia matriks Jacobi, dan transformasi linear yang mengaitkan ke riapan , vektor , dalam pengaturan umum, dikenal sebagai diferensial  dari  pada titik . Ini tepatnya turunan Fréchet, dan konstruksi yang sama dapat dibuat bekerja untuk sebuah fungsi di antara suatu ruang Banach.

Sudut pandang bermanfaat lainnya adalah mendefinisikan diferensial secara langsung sebagai sebuah jenis mengenai turunan berarah:

yang mana pendekatannya sudah diambil untuk mendefinisikan diferensial tingkat tinggi (dan hampir semua definisi yang ditetapkan oleh Cauchy). Jika  mewakili waktu dan  posisi, maka  mewakili sebuah kecepatan sebagai ganti sebuah perpindahan seperti yang kita miliki sampai sekarang dianggapnya. Ini menghasilkan perbaikan lagi dari gagasan mengenai diferensial; yang seharusnya menjadi sebuah fungsi linear kecepatan kinematik. Himpunan semua kecepatan melalui sebuah titik ruang yang diberikan dikenal sebagai sebuah ruang garis singgung; dan juga  memberikan sebuah fungsi linear pada ruang garis singgung: sebuah bentuk diferensial. Dengan interpretasi ini, diferensial dari  dikenal sebagai turunan luar, dan memiliki penerapan yang luas dalam geometri diferensial karena gagasan mengenai kecepatan dan ruang garis singgung masuk akal pada suatu manifold terdiferensialkan. Jika, sebagai tambahan, nilai keluaran dari  harus sebuah kecepatan. Jika salah satunya memperlakukan diferensial dalam perilaku ini, maka ini dikenal sebagai pushforward (en) karena ini "mendorong" kecepatan dari sebuah ruang sumber menjadi kecepatan dalam sebuah ruang sasaran.