Jabarkan . dari Ruang vektor

Ketika bidang skalar  adalah bilangan real , ruang vektor disebut  ruang vektor nyata . Jika bidang skalar adalah bilangan kompleks , ruang vektor disebut  ruang vektor kompleks . Kedua kasus ini adalah yang paling sering digunakan dalam bidang teknik. Definisi umum ruang vektor memungkinkan skalar menjadi elemen dari setiap bidang  tetap. Gagasan tersebut kemudian dikenal sebagai - ruang vektor  atau  ruang vektor di atas  . Bidang pada dasarnya adalah sekumpulan angka yang memiliki operasi penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Misalnya, bilangan rasional membentuk suatu bidang.

Berbeda dengan intuisi yang berasal dari vektor pada bidang dan kasus berdimensi lebih tinggi, dalam ruang vektor umum, tidak ada gagasan tentang kedekatan, sudut atau jarak. Untuk menangani hal-hal tersebut, jenis ruang vektor tertentu diperkenalkan; lihat Ruang vektor dengan struktur tambahan di bawah untuk informasi selengkapnya.

Rumus alternatif dan konsekuensi dasar

Penjumlahan vektor dan perkalian skalar adalah operasi, memenuhi sifat penutupan:  dan  berada di  untuk  pada , dan ,  ke . Beberapa sumber yang lebih tua menyebutkan sifat-sifat ini sebagai aksioma yang terpisah.

Dalam bahasa aljabar abstrak, empat aksioma pertama ekivalen dengan mensyaratkan himpunan vektor menjadi grup Abelian di bawah tambahan. Aksioma yang tersisa memberi grup ini struktur -modul. Dengan kata lain, ada ring homomorphism  dari bidang  ke dalam gelanggang endomorfisme dari grup vektor. Kemudian perkalian skalar  didefinisikan sebagai .