Jelaskan . dari Integral Riemann

Jika , maka  adalah fungsi nol, yang jelas merupakan integral Darboux dan Riemann dengan integral nol. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa . Jika , maka kita memilih  sehingga

Jika , maka kita memilih  kurang dari satu. Pilih partisi bertanda  dan  dengan hubungan lebih kecil dari . Kita harus menunjukkan bahwa jumlah Riemann berada dalam  dari .

Untuk melihat ini, pilih selang . Jika selang ini terdapat dalam beberapa , maka

dimana  dan , infimum dan supremum dari  pada . Jika semua selang memiliki sifat ini, maka ini akan menyimpulkan buktinya, karena setiap suku dalam jumlah Riemann akan dibatasi oleh suku yang bersesuaian dalam jumlah Darboux, dan kita memilih jumlah Darboux yang mendekati . Ini adalah kasus ketika  menjadi bukti yang selesai dalam kasus itu.

Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan . Dalam hal ini, mungkin salah satu dari  tidak terkandung dalam . Sebaliknya, hal tersebut mungkin membentang dua selang yang ditentukan oleh . Hal itu tidak dapat memenuhi tiga interval karena  diasumsikan lebih kecil dari panjang salah satu interval. Dalam simbol, maka