Jabarkan dan dari Ruang vektor

Contoh pertama di atas berkurang menjadi yang satu ini, jika panah diwakili oleh pasangan koordinat Kartesius dari titik ujungnya.

Dalam artikel ini, vektor direpresentasikan dengan huruf tebal untuk membedakannya dari skalar.

Sebuah ruang vektor di atas bidang  adalah himpunan  bersama dengan dua operasi yang memenuhi delapan aksioma tercantum di bawah ini. Berikut ini,  menunjukkan produk Cartesian dari  dengan dirinya sendiri, dan  menunjukkan pemetaan dari satu himpunan ke himpunan lainnya.

Elemen  biasanya disebut  vektor . Elemen  biasanya disebut  skalar . Simbol umum untuk menunjukkan ruang vektor termasuk ,  dan .

Dalam dua contoh di atas, bidang adalah bidang dari bilangan real, dan himpunan vektor terdiri dari panah planar dengan titik awal tetap dan pasangan bilangan real.

Untuk memenuhi syarat sebagai ruang vektor, himpunan  dan operasi penjumlahan dan perkalian harus mematuhi sejumlah persyaratan yang disebut aksioma. Ini tercantum dalam tabel di bawah ini, di mana ,  dan  menunjukkan vektor arbitrer di , dan  dan  menunjukkan skalar di .

Aksioma ini menggeneralisasi properti vektor yang diperkenalkan pada contoh di atas. Memang, hasil penjumlahan dua pasangan berurutan (seperti contoh kedua di atas) tidak bergantung pada urutan penjumlahan: