Jelaskan . dari Integral Riemann

Jika  berada tepat diatas salah satunya , maka kita misalkan  sebagai tanda untuk kedua selang:

Kita harus memilih tanda untuk sub-selang lainnya. Apabila memilih mereka dalam dua cara yang berbeda. Cara pertama adalah selalu memilih tititk rasional, sehingga jumlah Riemann sebesar mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann setidaknya . Cara kedua adalah selalu memilih titik irasional, sehingga jumlah Riemann sekecil mungkin. Ini akan membuat nilai jumlah Riemann banyak .

Karena baru memulai dari partisi sembarang dan berakhir sedekat yang diinginkan dengan nol atau satu, salah satunya salah untuk mengatakan bahwa akhirnya terjebak dekat suatu bilangan , maka fungsi ini tidak diintegrasikan Riemann. Namun, ini adalah integral Lebesgue. Dalam pengertian Lebesgue integralnya adalah nol, karena fungsinya adalah nol hampir di mana-mana. Tapi ini adalah fakta yang berada di luar jangkauan integral Riemann.

Ada contoh yang buruk lagi.  setara (yaitu, hampir sama di semua tempat) dengan fungsi integral Riemann, tetapi ada fungsi-fungsi hingga tak-terintegrasi Riemann yang tak-ekuivalen dengan fungsi-fungsi tak-terintegrasi Riemann mana pun. Misalnya,  menjadi himpunan Smith–Volterra–Cantor, dan  menjadi fungsi indikatornya. Karena  tak-terukur Jordan, maka  tidak dapat diintegrasikan Riemann. Selain itu, tidak ada fungsi  yang setara dengan  yang dapat diintegrasikan Riemann: , seperti  yang harus nol pada himpunan rapat, jadi seperti pada contoh sebelumnya, setiap jumlah Riemann dari  memiliki penghalusan yang berada dalam  dari 0 untuk bilangan positif suatu . Tetapi jika integral Riemann dari  memang ada, maka ia harus sama dengan integral Lebesgue dari , yaitu . Oleh karena itu,  tidak dapat diintegrasikan Riemann.