Jabarkan Metode berulang dari Aljabar linear numerik

Ada dua alasan bahwa algoritme iteratif merupakan bagian penting dari aljabar linear numerik. Pertama, banyak masalah numerik penting yang tidak memiliki solusi langsung; untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks sembarang, kita hanya dapat mengadopsi pendekatan iteratif. Kedua, algoritma noniteratif untuk sembarang  matriks membutuhkan  waktu, yang merupakan lantai yang sangat tinggi karena hanya berisi matriks  nomor. Pendekatan berulang dapat memanfaatkan beberapa fitur dari beberapa matriks untuk mengurangi waktu ini. Misalnya, jika matriks adalah rengga, algoritme iteratif dapat melewati banyak langkah yang harus diikuti oleh pendekatan langsung, bahkan jika langkah-langkah tersebut berlebihan karena matriks yang sangat terstruktur.

Inti dari banyak metode iteratif dalam aljabar linear numerik adalah proyeksi matriks ke dimensi yang lebih rendah Subruang Krylov, yang memungkinkan fitur matriks berdimensi tinggi didekati dengan menghitung secara iteratif fitur ekuivalen dari matriks serupa yang dimulai dari ruang berdimensi rendah dan berpindah secara berurutan. Ketika  A  simetris dan kita ingin menyelesaikan masalah linear  Ax  =  b , pendekatan iteratif klasiknya adalah metode gradien konjugasi. Jika  A  tidak simetris, maka contoh solusi iteratif untuk masalah linier adalah metode residual minimal tergeneralisasi dan konjugasi gradien pada normal e. Jika  A  simetris, maka untuk menyelesaikan soal nilai eigen dan vektor eigen kita bisa menggunakan Algoritma Lanczos, dan jika  A  non-simetris, maka kita bisa menggunakan iterasi Arnoldi.