Jelaskan {| dari Akar kuadrat

|align="right"||| = [1; 2, 2, ...]

|align="right"||| = [1; 1, 2, 1, 2, ...]

|align="right"||| = [2; 4, 4, ...]

|align="right"||| = [2; 2, 4, 2, 4, ...]

|align="right"||| = [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]

|align="right"|||= [2; 1, 4, 1, 4, ...]

|align="right"||| = [3; 6, 6, ...]

|align="right"||| = [3; 3, 6, 3, 6, ...]

|align="right"||| = [3; 2, 6, 2, 6, ...]

|align="right"||| = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]

|align="right"||| = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]

|align="right"||| = [3; 1, 6, 1, 6, ...]

|align="right"||| = [4; 8, 8, ...]

|align="right"||| = [4; 4, 8, 4, 8, ...]

|align="right"||| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]

|align="right"||| = [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini:

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena , di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:

Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks

Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat nyata.  Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut bilangan kompleks s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif.  Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan  i  (terkadang  j , terutama dalam konteks listrik di mana " i " secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang  didefinisikan  sedemikian rupa . Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap  i  sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya  dan jadi -  i  juga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah  i , atau lebih umum lagi, jika  x  adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari   x  adalah

Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat dari  x , maka

Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol  z  terdapat tepat dua bilangan  w  sedemikian rupa : akar kuadrat utama dari  z  (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.

Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks

Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut nilai pokok, kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun  x  +  iy  dapat dilihat sebagai titik di bidang, (x, y), diekspresikan menggunakan koordinat kartesius. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar sebagai pasangan ), di mana  r  ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan   adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ( x ). Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional  Jika

kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari  z  sebagai berikut:

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai potongan cabang. Fungsi akar kuadrat utama adalah holomorfik di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan kontinu). Deret Taylor di atas untuk  tetap berlaku untuk bilangan kompleks  x  dengan .

Di atas juga dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri: