Jelaskan Definisi formal dari Basis (aljabar linear)

Basis untuk ruang vektor  (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian  yang memenuhi:

Setiap  dapat dituliskan sebagai  dengan .

Jika  representasi lain, maka  dan ada suatu permutasi  yang  dan .

Himpunan  dari pasangan terurut dari bilangan riil adalah ruang vektor untuk penjumlahan berdasarkan komponen

dimana  adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut basis standar terdiri dari dua vektor  and , karena vektor apapun  dari  dapat ditulis secara unik sebagai

Pasangan vektor bebas linear lainnya , seperti  dan , bentuk menjadi dasar .

Lebih umum lagi, jika  adalah bidang, himpunan  dari -tupel dari elemen  adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena

jadilah tupel  dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali  yaitu 1. Kemudian  adalah basis dari  yang disebut  basis standar  dari

Jika  adalah bidang gelanggang polinomial  dari polinomial dalam satu tak tentu memiliki basis , yang disebut basis monomial, yang terdiri dari semua monomial:

Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein, dan polinomial Chebyshev.