Jelaskan dan seterusnya. dari Diferensial fungsi

Anggapan yang serupa berlaku untuk mendefinisikan diferensial fungsi tingkat tinggi beberapa peubah. Contohnya, jika  merupakan sebuah fungsi dua variabel  dan , maka

dimana  merupakan sebuah koefisien binomial. Dalam variabel yang lebih banyak, sebuah ekspresi yang sepadan berlaku, tetapi dengan sebuah ekspansi multinomial daripada ekspansi binomial.

Diferensial tingkat tinggi dalam beberapa peubah juga menjadi lebih rumit ketika peubah bebasnya sendiri dimungkinkan untuk bergantung pada peubah lain. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi  dari  dan  yang dimungkinkan untuk bergantung pada peubah bantu, salah satunya memiliki

Karena ketidakpatutan notasional ini, penggunaan diferensial tingkat tinggi dikritisi terus terang oleh , yang menyimpulkan:

Yang artinya: Akhirnya, apakah yang dimaksudkan, atau diwakili, oleh persamaan [...]? Menurut pendapatku, tidak ada sama sekali. Meski ketidakpercayaan ini, diferensial tingkat tinggi muncul sebagai sebuah alat yang penting dalam analisis.

Dalam konteks-konteks ini, diferensial order ke- dari fungsi  berlaku dengan sebuah riapan  didefinisikan oleh

atau sebuah ekspresi yang setara, seperti

dimana  merupakan sebuah beda maju ke- dengan riapan .

Definisi ini masuk akal juga jika  merupakan sebuah fungsi dari beberapa peubah (untuk kesederhanaan diambil disini sebagai sebuah argumen vektor). Kemudian diferensial ke- didefinisikan dalam hal ini merupakan sebuah fungsi homogen derajat  dalam riapan vektor . Lebih lanjut, deret Taylor dari  pada titik  diberikan oleh

Turunan Gateaux tingkat tinggi merampat anggapan-anggapan ini untuk ruang dimensi takhingga.