Jabarkan Perumuman dari Teorema Rolle

Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil  di selang tertutup  dengan . Bila, untuk setiap  di selang terbuka , dengan limit kanandan limit kiriada di suatu garis bilangan riil yang diperluas , maka ada suatu bilangan  pada selang terbuka  sehingga salah satu dari dua limit  dan lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap , maka limit ini sama pada khususnya untuk . Jadi turunan  ada pada  dan sama dengan nol.

Bila  adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak menaik secara monoton:dengan .