Jabarkan Contoh dari Ruang vektor

Contoh paling sederhana dari ruang vektor di atas bidang  adalah bidang itu sendiri, dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian standarnya. Lebih umum lagi, semua -tupel (urutan panjang )

dari elemen  membentuk ruang vektor yang biasanya dilambangkan  dan disebut ruang koordinat.

Kasus  adalah contoh paling sederhana yang disebutkan di atas, di mana bidang  juga dianggap sebagai ruang vektor di atasnya. Kasus  and  telah dibahas dalam pendahuluan di atas.

Bilangan kompleks dan ekstensi bidang lainnya

Himpunan bilangan kompleks , Artinya, angka yang bisa dituliskan dalam bentuk  untuk bilangan real  dan  di mana  adalah satuan imajiner , bentuk ruang vektor di atas real dengan penjumlahan dan perkalian seperti biasa:  dan  untuk bilangan real , , ,  dan .  Berbagai aksioma ruang vektor mengikuti fakta bahwa aturan yang sama berlaku untuk aritmatika bilangan kompleks.

Faktanya, contoh bilangan kompleks pada dasarnya sama (yaitu  isomorfik ) dengan ruang vektor pasangan terurut bilangan real yang disebutkan di atas: jika kita memikirkan bilangan kompleks  sebagai mewakili urutan  di bidang kompleks kemudian kita melihat bahwa aturan penjumlahan dan perkalian skalar sama persis dengan yang ada di contoh sebelumnya.

Secara lebih umum, ekstensi bidang menyediakan kelas lain dari contoh ruang vektor, terutama dalam aljabar dan teori bilangan aljabar: bidang  berisi bidang lebih kecil  adalah ruang vektor-, dengan operasi perkalian dan penjumlahan yang diberikan . Misalnya, bilangan kompleks adalah ruang vektor , dan ekstensi bidang  adalah vektor ruang atas .