Teorema Taylor itu apa sih?

Dalam kalkulus, teorema Taylor menyatakan bahwa suatu fungsi yang terdiferensiasi dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat atau suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Lebih lanjut, teorema ini juga memberikan estimasi nilai galat dari seberapa banyaknya barisan dalam deret yang digunakan. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory.

Teorema Taylor dalam satu variabel

Teorema Taylor menyatakan setiap fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial ex di dekat x = 0:

Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n terhadap ex karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:

Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan ƒ, dengan hampiran untuk x di dekat titik a, dalam bentuk:

Suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:

Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk x cukup dekat terhadap a, suku sisa haruslah cukup kecil. Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.