Jelaskan Pembuktian: satu variabel dari Teorema Taylor

Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa

yang dapat disusun ulang menjadi:

Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan

Persamaan pertama diperoleh dengan memisalkan  dan persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa ; yang ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama.

Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:

Dengan mengulangi proses ini, kita dapat menurunkan teorema Taylor untuk nilai n yang lebih tinggi.

Proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika. Jadi misalkan teorema Taylor berlaku unutk n tertentu, yaitu, misalkan

Kita dapat menulis ulang integral dengan integrasi parsial. Sebuah antiturunan  sebagai fungsi dari t diberikan sebagai  sehingga

Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk  dan karenanya untuk semua n bilangan bulat non-negatif.

Suku sisa dalam bentuk Lagrange dapat diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:

di mana ξ adalah suatu bilangan dari selang [a, x]. Integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan

Secara lebih umum, untuk tiap fungsi G(t), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi ξ dalam selang [a,x] yang memenuhi

Teorema Taylor dalam satu variabel nyata