Jabarkan Perkalian dalam teori grup dari Perkalian

Terdapat berbagai himpunan, dibawah operasi perkalian, memenuhi aksioma yang mendefinisikan struktur grup. Aksioma tersebut adalah penutupan, asosiatif, dan penyertaan elemen identitas dan invers.

Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol bilangan rasional. Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0. Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan nol untuk menghasilkan 1. Dalam contoh ini kita memiliki grup abelian, tetapi tidak selalu demikian.

Untuk melihat ini, pertimbangkan himpunan matriks persegi inversi dari dimensi tertentu atas medan yang diberikan. Di sini, sangat mudah untuk memverifikasi penutupan, asosiasi, dan penyertaan identitas (matriks identitas) dan invers. Namun, perkalian matriks tidak komutatif, yang menunjukkan bahwa grup ini non-abelian.

Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol. Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan −1.

Perkalian dalam teori grup biasanya dinotasikan dengan titik, atau dengan penjajaran (penghilangan simbol operasi antar elemen). Jadi perkalian elemen a dengan elemen b dinotasikan sebagai a  b atau  ab. Saat merujuk ke grup melalui indikasi set dan operasi, titik digunakan. Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh .