Jabarkan Contoh 2: Motivasi Fourier dari Deret Fourier

Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai , jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan persamaan panas. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran  meter, dengan koordinat . Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai , dipertahankan pada gradien suhu  derajat Celsius, untuk  pada nilai , maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh

Di sini,  adalah sebuah fungsi hiperbolik. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan   menurut nilai .