Jelaskan . dari Integral Riemann

Sayangnya, definisi ini sangat sulit digunakan. Hal ini akan membantu untuk mengembangkan definisi yang setara dari integral Riemann yang lebih mudah untuk dikerjakan. Kita mengembangkan definisi ini sekarang, dengan bukti kesetaraan berikut. Definisi baru kita mengatakan bahwa integral Riemann dari  sama dengan  jika syarat berikut berlaku:

Untuk semua , terdapat partisi bertanda  dan  sehingga untuk setiap partisi bertanda  dan  yang merupakan penghalusan dari  dan , kita mempunyai

Pada akhirnya, kedua hal ini berarti bahwa jumlah Riemann dari  berhubung dengan setiap partisi akan terungkap dekat . Karena ini benar maupun tidak peduli seberapa dekat kita menuntut jumlah terungkap, kita mengatakan bahwa jumlah Riemann konvergen ke . Definisi ini sebenarnya merupakan kasus khusus dari konsep yang lebih umum yaitu sebuah jaring.

Seperti yang kita nyatakan sebelumnya, kedua definisi ini adalah ekuivalen. Dengan kata lain,  berfungsi dalam definisi pertama jika dan hanya jika  berfungsi dalam definisi kedua. Untuk menunjukkan bahwa definisi pertama menyatakan definisi kedua, mulailah dengan , dan pilih  yang memenuhi kondisi. Pilih partisi bertanda yang hubungannya kurang dari . Jumlah Riemann-nya berada dalam  dari , dan setiap penghalusan dari partisi ini juga akan memiliki hubungan kurang dari , jadi jumlah Riemann dari penghalusan juga akan berada dalam  dari .

Untuk menunjukkan bahwa definisi kedua menyatakan definisi pertama, paling mudah menggunakan integral Darboux. Pertama, satu menunjukkan bahwa definisi kedua setara dengan definisi integral Darboux; untuk ini lihat artikel integral Darboux. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa fungsi integral Darboux memenuhi definisi pertama. Menetapkan , dan pilih partisi  sehingga jumlah Darboux bawah dan atas sehubungan dengan partisi ini berada dalam  dari nilai  integral Darboux. Maka