Jelaskan Koordinat dari Basis (aljabar linear)

Misalkan  menjadi ruang vektor berdimensi berhingga  di atas bidang , dan

menjadi dasar dari . Menurut definisi basis, setiap  pada  dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti

dimana koefisiennya  adalah skalar (yaitu, elemen ), yang disebut  koordinat  dari  di atas . Namun, jika seseorang berbicara tentang  himpunan  koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki  himpunan  koefisien yang sama. Sebagai contoh,  dan  memiliki koefisien yang sama , dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur; ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut frame, kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.

Misalkan, seperti biasa,  menjadi himpunan -tupel dari elemen . Himpunan ini adalah  ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta

is a linear isomorphism from the vector space  onto . In other words,  is the coordinate space of , and the -tuple  is the coordinate vector of .

Gambar invers oleh  pada  adalah -tupel  semua yang komponennya 0, kecuali yang ke  yaitu 1.  membentuk dasar terurut dari  yang disebut standar dasar atau dasar kanonik. Dasar yang diurutkan  adalah gambar oleh  dari dasar kanonik .

Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik , dan bahwa setiap isomorfisme linier dari  ke  dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik  ke urutan tertentu dasar dari . Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari , atau isomorfisme linier dari  ke .