Jabarkan Pengkondisian dan stabilitas dari Aljabar linear numerik

Biarkan masalah adalah fungsi , di mana  X  adalah ruang vektor data bernorma dan  Y  adalah ruang vektor bernorma solusi. Untuk beberapa titik data , masalah dikatakan tidak terkondisi jika gangguan kecil di  x  menghasilkan perubahan besar dalam nilai  f(x) . Kita dapat mengukur ini dengan mendefinisikan jumlah kondisi yang mewakili seberapa baik masalah dikondisikan, didefinisikan sebagai

Ketidakstabilan adalah kecenderungan algoritma komputer, yang bergantung pada aritmatika floating-point, untuk menghasilkan hasil yang berbeda secara dramatis dari solusi matematika yang tepat untuk suatu masalah. Ketika matriks berisi data nyata dengan banyak digit signifikan, banyak algoritma untuk memecahkan masalah seperti sistem persamaan linier atau pengoptimalan kuadrat terkecil dapat menghasilkan hasil yang sangat tidak akurat. Membuat algoritme yang stabil untuk masalah kondisi buruk merupakan perhatian utama dalam aljabar linear numerik. Salah satu contohnya adalah stabilitas triangularisasi perumah tangga membuatnya sangat merampok, sedangkan ketidakstabilan metode persamaan normal untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil adalah alasan untuk mendukung metode dekomposisi matriks seperti menggunakan dekomposisi nilai singular. Beberapa matriks tetapi memiliki modifikasi langsung yang membuatnya stabil; salah satu contohnya adalah Gram–Schmidt yang tidak stabil, yang dapat dengan mudah diubah untuk menghasilkan stabilitas numerik. Masalah klasik lainnya dalam aljabar linear numerik adalah temuan bahwa eliminasi Gaussian tidak stabil, tetapi menjadi stabil dengan diperkenalkannya pivoting.