Jabarkan Teori kelompok awal dari Aljabar abstrak

Ada beberapa benang merah dalam perkembangan awal teori grup, dalam bahasa modern secara longgar berhubungan dengan teori bilangan, teori persamaan, dan geometri.

Leonhard Euler dianggap operasi aljabar pada bilangan modul sebuah bilangan aritmatika modular dalam generalisasinya dari teorema kecil Fermat. Investigasi ini diambil lebih jauh oleh Carl Friedrich Gauss, yang menganggap struktur kelompok perkalian dari residu mod n dan menetapkan banyak sifat dari siklik dan lebih umum abelian kelompok yang muncul dalam hal ini. Dalam penyelidikannya tentang komposisi bentuk kuadrat biner, Gauss secara eksplisit menyatakan hukum asosiatif untuk komposisi bentuk, tetapi seperti Euler sebelumnya, dia tampaknya lebih tertarik pada hasil konkret daripada teori umum. Pada tahun 1870, Leopold Kronecker memberikan definisi grup abelian dalam konteks grup kelas ideal dari bidang angka, menggeneralisasi pekerjaan Gauss; Namun tampaknya dia tidak mengaitkan definisinya dengan pekerjaan sebelumnya tentang kelompok, terutama kelompok permutasi. Pada tahun 1882, dengan mempertimbangkan pertanyaan yang sama, Heinrich M. Weber menyadari hubungan tersebut dan memberikan definisi serupa yang melibatkan properti pembatalan tetapi menghilangkan keberadaan pembalik. yang cukup dalam konteksnya (kelompok terbatas).

Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis Lagrange dalam makalahnya tahun 1770  Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Pemikiran tentang solusi aljabar persamaan) dikhususkan untuk solusi persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan resolusi Lagrange. Tujuan Lagrange adalah untuk memahami mengapa persamaan derajat ketiga dan keempat mengakui rumus untuk solusi, dan ia mengidentifikasi sebagai permutasi objek utama. Langkah penting baru yang diambil Lagrange dalam makalah ini adalah pandangan abstrak dari akar, yaitu sebagai simbol dan bukan sebagai angka. Namun, dia tidak mempertimbangkan komposisi permutasi. Kebetulan, edisi pertama Edward Waring Meditationes Algebraicae (Renungan tentang Aljabar) muncul pada tahun yang sama, dengan versi yang diperluas diterbitkan pada tahun 1782. Waring membuktikan teorema fundamental dari polinomial simetris, dan secara khusus mempertimbangkan hubungan antara akar dari sebuah kubik. Mémoire sur la résolution des équations (Memoire tentang Pemecahan Persamaan) dari Alexandre Vandermonde (1771) mengembangkan teori fungsi simetris dari sudut yang sedikit berbeda, tetapi seperti Lagrange, dengan tujuan untuk memahami solvabilitas persamaan aljabar.

Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori grup permutasi, dan seperti para pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar. Tujuannya adalah untuk menetapkan kemustahilan solusi aljabar ke persamaan aljabar umum derajat lebih besar dari empat. Rute MinumanEn untuk tujuan ini ia memperkenalkan pengertian urutan elemen grup, konjugasi, siklus dekomposisi elemen grup permutasi dan pengertian primitif dan impriatif