Jelaskan Definisi matematika dari Pemetaan harmonik

Diberikan M, N dan φ seperti di atas, nyatakan dengan g dan h metrik pada M dan N. Maka energi φ pada titik x dalam M didefinisikan sebagai e(φ)(x)=tracegφ*h.

Dalam koordinat lokal, sisi sebelah kanan dari persamaan ini terbaca .

Jika M adalah kompak, definisikan energi total pemetaan φ sebagai E(φ)=Me(φ)dvg (dimana dvg menyatakan ukuran pada M yang diinduksi oleh metriknya).

Maka φ disebut pemetaan harmonik jika ia adalah titik kritis fungsional energi E. Definisi ini diperluas terhadap kasus dimana M tidak kompak dengan menanyakan pembatasan φ terhadap setiap domain kompak menjadi harmonik .