Jabarkan Eksponen irasional dari Eksponensiasi

Jika b adalah real positif bilangan aljabar, dan x adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa bx adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk b, dengan satu-satunya perbedaan bahwa bx mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat bx ketika x adalah irasional (yaitu, bukan rasional). Maka, ini menyatakan:

Pangkat bilangan bulat dalam aljabar

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk operasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian. Definisi  memerlukan keberadaan identitas perkalian lebih lanjut.

Sebuah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah monoid. Dalam monoid, eksponensial elemen  didefinisikan secara induktif oleh

untuk setiap bilangan bulat nonnegatif .

Jika  adalah bilangan bulat negatif,  didefinisikan hanya jika  memiliki invers perkalian. Dalam hal ini, invers dari  dinotasikan  dan  didefinisikan sebagai

Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk  dan  dalam struktur aljabar, dan  dan  bilangan bulat:

Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk geup, gelanggang, medan, matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk fungsi dari himpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah komposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, transformasi geometris, dan endomorfisme dari struktur matematika.

Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika  adalah fungsi real yang nilainya dapat dikalikan,  menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan  ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan komposisi fungsi. Yaitu,