Jelaskan Atas himpunan dari Eksponensiasi

Jika n adalah bilangan asli, dan A adalah himpunan sembarang, maka ekspresi An sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari rangkap-n elemen A. Apabila ditulis An menyatakan himpunan fungsi dari himpunan  ke himpunan A; rangkap-n  mewakili fungsi i ke ai.

Untuk bilangan kardinal tak hingga dan himpunan A, notasi Aκ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga A. Ini terkadang ditulis κA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan struktur tambahan. Misalnya, dalam aljabar linear, untuk indeks jumlah langsung dari ruang vektor melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang

dimana setiap Vi adalah ruang vektor.

Kemudian jika Vi = V untuk setiap i, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai V⊕N, atau cukup VN dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan N dengan bilangan kardinal n untuk mendapatkan Vn, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas n, yang didefinisikan isomorfisme hingga saja. Diberikan V sebagai medan-R dari bilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dan n menjadi beberapa bilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rn.

Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah darab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, SN sebagai himpunan semua fungsi dari N hingga S dalam kasus ini:

Ini cocok dengan eksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa , dimana  adalah kardinalitas X. Ketika "2" didefinisikan sebagai }, maka memiliki , dimana 2X, biasanya dilambangkan dengan P(X), adalah himpunan pangkat dari X; masing-masing himpunan bagian Y dari X berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada X yang mengambil nilai 1 untuk  dan 0 untuk .