Jabarkan Bilangan real dan logika dari Bilangan riil

Bilangan real seringkali dirumuskan menggunakan aksiomatisasi  teori himpunan Zermelo–Fraenkel, tetapi sebagian matematikawan mempelajari bilangan real menggunakan dasar-dasar logika matematika lainnya. Secara khusus, bilangan real dipelajari pula dalam reverse mathematics dan matematika konstruksi.

Bilangan hiperreal saat dikembangkan oleh Edwin Hewitt, Abraham Robinson dan matematikawan lainnya, memperluas himpunan bilangan real dengan memperkenalkan infinitesimal dan bilangan tak terhingga. Adanya bilangan ini akan dapat membangun kalkulus infinitesimal, sebuah cabang matematika yang mendekati pandangan Leibniz, Euler, Cauchy dan matematikawan lainnya.

Hipotesis kontinum berbunyi bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan real adalah , bilangan kardinal tak terhingga terkecil setelah kardinalitas dari bilangan bulat, yaitu . Paul Cohen membuktikan pada tahun 1963, bahwa hipotesis tersebut adalah suatu independen aksioma dari aksioma teori himpunan lainnya, dalam artian bahwa seseorang dapat memilih hipotesis kontinum atau negasinya sebagai aksioma teori himpunan, tanpa adanya kontradiksi.