Jabarkan Sehingga dari Kalkulus diferensial

Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.

Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.

Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis singgung grafik f di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalah transformasi linear, dan ia menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.