Jelaskan Sifat lebih lanjut dari Bilangan riil

Himpunan bilangan real adalah himpunan tak terhitung. Ini mengartikan bahwa kardinalitas dari himpunan bilangan real mempunyai jumlah anggota yang sangat banyak daripada himpunan bilangan asli, walaupun sama-sama himpunan tak terhingga. Bahkan kardinalitas dari himpunan bilangan real sama dengan himpunan kuasa dari bilangan asli, dan argumen diagonal Cantor mengatakan bahwa kardinalitas dari himpunan yang terakhir jauh lebih besar daripada kardinalitas dari . Karena himpunan bilangan aljabar adalah himpunan terhitung, hampir semua bilangan real adalah transendental. Ketidakberadaan subhimpunan dari bilangan real dengan kardinalitasnya berada di antara kardinalitas bilangan bulat dan bilangan real dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hipotesis kontinum tak dapat dibuktikan maupun dibantahkan, dan hipotesis ini independen dari aksioma teori himpunan.

Sebagai ruang topologi, bilangan real disebut terpisah. Ini disebabkan himpunan bilangan rasional adalah himpunan terhitung, dan rapat di bilangan real. Bilangan irasional juga rapat di bilangan real, tetapi himpunannya tak terhitung dan mempunyai kardinalitas yang sama seperti kardinalitas dari himpunan bilangan real.