Jabarkan Barisan Cauchy dari 0,999...

Pendekatan konstruksi bilangan real lainnya adalah dengan menggunakan pengurutan bilangan rasional secara tidak langsung. Pertama-tama, jarak antara x dan y didefinisikan sebagai nilai mutlak |x − y| dengan nilai mutlak |z| didefinisikan sebagai nilai terbesar z dan −z, sehingga ia tidak pernah negatif. Sehingga bilangan real didefinisikan sebagai barisan bilangan rasional yang mempunyasi sifat barisan Cauchy dengan menggunakan jarak ini, yakni barisan (x0, x1, x2, …). Dalam barisan (x0, x1, x2, …) yang merupakan pemetaan bilangan asli ke bilangan rasional ini, untuk bilangan rasional positif δ apapun terdapat N sedemikian rupanya |xm − xn| ≤ δ untuk semua m, n > N. (Jarak antara setiap suku menjadi lebih kecil dari bilangan rasional positif apapun.)

Jika (xn) dan (yn) adalah dua barisan Cauchy, keduanya didefinisikan sebagai bilangan real yang sama jika barisan (xn − yn) mempunyai limit 0. Pemenggalan bilangan desimal b0.b1b2b3… menghasilkan sebuah barisan bilangan rasional Cauchy; ini digunakan untuk mendefinisikan nilai real dari bilangan. Sehingga dalam formalisme ini, tugas kita adalah menunjukkan bahwa barisan bilangan rasional

mempunyai limit 0. Untuk n=0,1,2,… kita dapat tunjukkan bahwa pada suku ke-n

Limit ini dapat dengan mudah dimengerti; satu pembuktian yang memungkinkan adalah dalam definisi limit barisan, untuk ε = a/b > 0 kita dapat mengambil N = b. Sehingga 0,999… = 1.

Definisi bilangan rasional sebagai barisan Cauchy pertama kali dipublikasi secara terpisah oleh Eduard Heine dan Georg Cantor pada tahun 1872.