Jelaskan Pendekatan aksiomatik dari Bilangan riil

Misalkan  menyatakan himpunan dari semua bilangan real, maka:

Himpunan  adalah lapangan, yang berarti opersai penambahan dan perkalian terdefinisi dan mempunyai beberapa sifat-sifat.

Lapangan  adalah terurut, yang berarti bahwa terdapat orde total  sehingga untuk semua bilangan real , , dan :

jika , maka ; serta

jika  dan , maka .

Ordenya adalah Dedekind kengkap, yang mengartikan bahwa setiap subhimpunan tidak kosong  dari  dengan batas atas di  mempunyai supremum di .

Sifat-sifat tersebut menyiratkan sifat Archimedes (yang tak disiratkan dengan definsii kelengkapan lainnya), dan sifat tersebut mengatakan bahwa himpunan bilangan bulat tidak mempunyai batas atas di himpunan bilangan real. Bahkan jika pernyataan tersebut salah, maka bilangan bulat akan mempunyai batas atas terkecil , maka  tidak akan menjadi batas atasnya, dan akan terdapat suatu bilangan bulat  sehingga , dan demikian . Pernyataan ini menjadi kontradiksi dengan sifat batas atas .

Bilangan real dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Lebih tepatnya, diketahui untuk setiap dua lapangan terurut sempurna Dedekind  dan , maka akan terdapat satu buah lapangan isomorfisma dari  ke . Ketunggalan tersebut memungkinkan bahwa objek-objek tersebut pada dasarnya dapat dipandang sama.

Untuk aksiomatisasi dari  lainnya, lihat aksiomatisasi bilangan real Tarski.