Jabarkan Kode-kode Pendeteksian Kesalahan dari Lapisan taut data

Kode pendeteksian error kadang kala digunakan dalam transmisi data. Misalnya, bila saturan simplex, maka transmisi ulang tidak bisa diminta. Akan tetapi sering kali deteksi error yang diikuti oleh transmisi ulang lebih disenangi. Hal ini disebabkan karena pemakaian transmisi ulang lebih efisien. Sebagai sebuah contoh yang sederhana, ambil sebuah saluran yang errornya terisolasi dan mempunyai laju error 10 –6 per bit.

Anggap ukuran blok sama dengan 1000 bit. Untuk melaksanakan koreksi error blok 1000 bit, diperlukan 10 bit check; satu megabit data akan membutuhkan 10.000 bit check. Untuk mendeteksi sebuah blok dengan error tunggal 1-bit saja, sebuah bit parity per blok akan mencukupi. Sekali setiap 1000 blok dan blok tambahan (1001) akan harus ditransmisikan. Overhead total bagi deteksi error + metoda transmisi ulang adalah hanya 2001 bit per megabit data, dibanding 10.000 bit bagi kode Hamming.

Bila sebuah bit parity tunggal ditambahkan ke sebuah blok dan blok dirusak oleh error letupan yang lama, maka probabilitas error dapat untuk bisa dideteksi adalah hanya 0,5 hal yang sangat sulit untuk bisa diterma. Bit-bit ganjil dapat ditingkatkan cukup banyak dengan mempertimbangkan setiap blok yang akan dikirim sebagai matriks persegi panjang dengan lebar n bit dan tinggi k bit. Bit parity dihitung secara terpisah bagi setiap kolomnya dan ditambahkan ke matriks sebagai baris terakhir. Kemudian matriks ditransmisikan kembali baris per baris. Ketika blok tiba, penerima akan memeriksa semua bit parity, Bila ada bit parity yang salah, penerima meminta agar blok ditransmisi ulang.

Metoda ini dapat mendeteksi sebuah letupan dengan panjang n, karena hanya 1 bit per kolom yang akan diubah. Sebuah letupan dengan panjang n+1 akan lolos tanpa terdeteksi. Akan tetapi bila bit pertama diinversikan, maka bit terakhir juga akan diinversikan, dan semua bit lainnya adalah benar. (Sebuah error letupan tidak berarti bahwa semua bit salah; tetapi mengindikasikan bahwa paling tidak bit pertama dan terakhirnya salah). Bila blok mengalami kerusakan berat akibat terjadinya error letupan yang panjang atau error letupan pendek yang banyak, maka probabilitas bahwa sembarang n kolom akan mempunyai parity yang benar adalah 0,5. Sehingga probabilitas dari blok yang buruk akan bisa diterima adalah 2 –n.

Walaupun metoda di atas kadang-kadang adekuat, pada praktiknya terdapat metode lain yang luas digunakan: Kode polynomial (dikenal juga sebagai cyclic redundancy code atau kode CRC). Kode polynomial didasarkan pada perlakuan string-string bit sebagai representatsi polynomial dengan memakai hanya koefisien 0 dan 1 saja. Sebuah frame k bit berkaitan dengan daftar koefisien bagi polynomial yang mempunyai k suku, dengan range dari xk-1 sampai x0.

Polynomial seperti itu disebut polynomial yang bertingkat k-1. Bit dengan orde tertinggi (paling kiri) merupakan

koefisien dari xk-1; bit berikutnya merupakan koefisien dari xk-2, dan seterusnya. Misalnya 110001 memiliki 6 bit, maka merepresentasikan polynomial bersuku 6 dengan koefisien 1,1,0,0,0 dan 1:x5+x4+x0.

Aritmetika polynomial dikerjakan dengan modulus 2, mengikuti aturan teori aljabar. Tidak ada pengambilan untuk pertambahan dan peminjaman untuk pengurangan. Pertambahan dan pengurangan identik dengan EXCLUSIVE OR, misalnya:

Pembagian juga diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada pembagian bilangan biner, kecuali pengurangan dikerjakan berdasarkan modulus 2. Pembagi dikatakan “masuk ke” yang dibagi bila bilangan yang dibagi mempunyai bit sebanyak bilangan pembagi.

Saat metode kode polynomial dipakai, pengirim dan penerima harus setuju terlebih dahulu tentang polynomial generator, G(x). Baik bit orde tinggi maupun bit orde rendah dari generator harus mempunyai harga 1. Untuk menghitung checksum bagi beberapa frame dengan m bit, yang berkaitan dengan polynomial M(x), maka frame harus lebih panjang dari polynomial generator. Hal ini untuk menambahkan checksum keakhir frame sedemikian rupa sehingga polynomial yang direpresentasikan oleh frame berchecksum dapat habis dibagi oleh G(x). Ketika penerima memperoleh frame berchecksum, penerima mencoba membaginya dengan G(x). Bila ternyata terdapat sisa pembagian, maka dianggap telah terjadi error transmisi.

Algoritme untuk perhitungan checksum adalah sebagai berikut:

Ambil r sebagai pangkat G(x), Tambahkan bit nol r ke bagian orde rendah dari frame, sehingga sekarang berisi m+r bit dan berkaitan dengan polynomial xrM(x).

Dengan menggunakan modulus 2, bagi string bit yang berkaitan dengan G(x) menjadi string bit yang berhubungan dengan xrM(x).

Kurangkan sisa (yang selalu bernilai r bit atau kurang) dari string bit yang berkaitan dengan xrM(x) dengan menggunakan pengurangan bermodulus 2. Hasilnya merupakan frame berchecksum yang akan ditransmisikan. Disebut polynomial T(x).

Gambar 14 menjelaskan proses perhitungan untuk frame 1101011011 dan G(x) = x4 + x + 1.

Jelas bahwa T(x) habis dibagi (modulus 2) oleh G(x). Dalam sembarang masalah pembagian, bila anda mengurangi angka yang dibagi dengan sisanya, maka yang akan tersisa adalah angka yang dapat habis dibagi oleh pembagi. Misalnya dalam basis 10, bila anda membagi 210.278 dengan 10.941, maka sisanya 2399. Dengan mengurangkan 2399 ke 210.278, maka yang bilangan yang tersisa (207.879) habis dibagi oleh 10.941.

Sekarang kita menganalisis kekuatan metoda ini. Error jenis apa yang akan bisa dideteksi ? Anggap terjadi error pada suatu transmisi, sehingga bukannya string bit untuk T(x) yang tiba, akan tetapi T(x) + E(X). Setiap bit 1 pada E(x) berkaitan dengan bit yang telah diinversikan. Bila terdapat k buah bit 1 pada E(x), maka k buah error bit tunggal telah terjadi. Error tunggal letupan dikarakterisasi oleh sebuah awalan 1, campuran 0 dan 1, dan sebuah akhiran 1, dengan semua bit lainnya adalah 0.

Begitu frame berchecksum diterima, penerima membaginya dengan G(x); yaitu, menghitung [T(x)+E(x)]/G(x). T(x)/G(x) sama dengan 0, maka hasil perhitungannya adalah E(x)/G(x). Error seperti ini dapat terjadi pada polynomial yang mengandung G(x) sebagai faktor yang akan mengalami penyimpangan, seluruh error lainnya akan dapat dideteksi.

Bila terdapat error bit tunggal, E(x)=xi, dimana i menentukan bit mana yang mengalami error. Bila G(x) terdiri dari dua suku atau lebih, maka x tidak pernah dapat habis membagi E(x), sehingga seluruh error dapat dideteksi.

Bila terdapat dua buah error bit-tunggal yang terisolasi, E(x)=xi+xj, dimana i > j. Dapat juga dituliskan sebagai E(x)=xj(xi-j + 1). Bila kita mengasumsikan bahwa G(x) tidak dapat dibagi oleh x, kondisi yang diperlukan untuk dapat mendeteksi semua error adalah bahwa G(x) tidak dapat habis membagi xk+1 untuk sembarang harga k sampai nilai maksimum i-j (yaitu sampai panjang frame maksimum). Terdapat polynomial sederhana atau berorde rendah yang memberikan perlindungan bagi frame-frame yang panjang. Misalnya, x15+x14+1 tidak akan habis membagi xk+1 untuk sembarang harga k yang kurang dari 32.768.

Bila terdapat jumlah bit yang ganjil dalam error, E(x) terdiri dari jumlah suku yang ganjil (misalnya,x5+x2+1, dan bukannya x2+1). Sangat menarik, tidak terdapat polynomial yang bersuku ganjil yang mempunyai x + 1 sebagai faktor dalam sistem modulus 2. Dengan membuat x + 1 sebagai faktor G(x), kita akan mendeteksi semua error yang terdiri dari bilangan ganjil dari bit yang diinversikan.

Untuk mengetahui bahwa polynomial yang bersuku ganjil dapat habis dibagi oleh x+1, anggap bahwa E(x) mempunyai suku ganjil dan dapat habis dibagi oleh x+1. Ubah bentuk E(x) menjadi (x+1)Q(x). Sekarang evaluasi E(1) = (1+1)Q(1). Karena 1+1=0 (modulus 2), maka E(1) harus nol. Bila E(x) mempunyai suku ganjil, pensubtitusian 1 untuk semua harga x akan selalu menghasilkan 1. Jadi tidak ada polynomial bersuku ganjil yang habis dibagi oleh x+1.

Terakhir, dan yang terpenting, kode polynomial dengan r buah check bit akan mendeteksi semua error letupan yang memiliki panjang <=r. Suatu error letupan dengan panjang k dapat dinyatakan oleh xi(xk-1 + .....+1), dimana i menentukan sejauh mana dari sisi ujung kanan frame yang diterima letupan itu ditemui. Bila G(x) mengandung suku x0, maka G(x) tidak akan memiliki xi sebagai faktornya. Sehingga bila tingkat ekspresi yang berada alam tanda kurung kurang dari tingkat G(x), sisa pembagian tidak akan pernah berharga nol.

Bila panjang letupan adalah r+1, maka sisa pembagian oleh G(x) akan nol bila dan hanya bila letupan tersebut identik dengan G(x). Menurut definisi letupan, bit awal dan bit akhir harus 1, sehingga apakah bit itu akan sesuai tergantung pada bit pertengahan r-1. Bila semua kombinasi adalah sama dan sebanding, maka probabilitas frame yang tidak benar yang akan diterima sebagai frame yang valid adalah ½ r-1.

Dapat juga dibuktikan bahwa bila letupan error yang lebih panjang dari bit r+1 terjadi, maka probabilitas frame buruk untuk melintasi tanpat peringatan adalah 1/2r yang menganggap bahwa semua pola bit adalah sama dan sebanding.

Tiga buah polynomial telah menjadi standard internasional:

CRC-12	= X12 + X11 + X3 + X2 + X1 + 1

CRC-16	= X16 + X15 + X2 + 1

CRC-CCITT= X16 + X12 + X5 + 1

Ketiganya mengandung x+1 sebagai faktor prima.CRC-12 digunakan bila panjang karakternya sama dengan 6 bit. Dua polynomial lainnya menggunakan karakter 8 bit. Sebuah checksum 16 bit seperti CRC-16 atau CRC-CCITT, mendeteksi semua error tunggal dan error ganda, semua error dengan jumlah bit ganjil, semua error letupan yang mempunyai panjang 16 atau kurang, 99,997 persen letupan error 17 bit, dan 99,996 letupan 18 bit atau lebih panjang.