Coba jelasin Jika  maka dari 0,999... dong

Oleh karena 0,999… adalah penjumlahan dengan rasio umum :

Pembuktian ini (sebenarnya 10 sama dengan 9,999…) muncul pada tahun 1770 pada buku "Vollständige Anleitung zur Algebra" (Bahasa Indonesia: Instruksi lengkap Aljabar) Leonhard Euler.

Hasil penjumlahan deret geometri itu sendiri telah ada sebelum Euler. Penjabaran abad-18 yang umumnya dilakukan adalah dengan menggunakan manipulasi suku per suku yang mirip dengan pembuktian aljabar di atas. Pada akhir tahun 1811, pada buku teks Bonnycastle An Introduction to Algebra, ia menggunakan argumen deret geometri untuk membenarkan pembuktian 0,999… tersebut. Reaksi abad 19 yang menentang metode penjumlahan liberal tersebut memunculkan definisi penjumlahan yang sampai sekarang masih mendominasi, yakni: penjumlahan sebuah deret didefinisikan sebagai limit barisan dari jumlah parsialnya. Pembuktian teorema ini secara eksplisit menghitung barisan tersebut.

Sebuah barisan (x0, x1, x2, …) mempunyai limit x jika jarak |x − xn| menjadi sangat kecil ketika n bertambah. Penyataan 0,999… = 1 itu sendiri dapat diinterpretasikan dan dibuktikan sebagai limit:

Pada bagian terakhir,——dibenarkan oleh aksioma yang menyatakan bahwa bilangan real mempunyai sifat Archimedes. Pandangan terhadap 0,999… yang berdasarkan limit ini mungkin akan lebih mudah diingat, tetapi kuranglah tepat. Sebagai contoh, buku teks The University Arithmetic tahun 1846 menjelaskan, ",999 + berlanjut sampai tak terhingga = 1 karena setiap aneksasi 9 membawa nilai itu semakin dekat dengan 1"; buku Arithmetic for Schools tahun 1895 mengatakan, "…ketika sejumlah bilangan 9 yang sangat banyak dibawa, perbedaan antara 1 dan,99999… akan menjadi tidak bisa dibayangkan kecilnya". Heuristik seperti ini sering diinterpretasikan oleh para siswa mengimplikasikan 0,999… itu sendiri lebih kecil daripada 1.

Interval bersarang dan batas atas terkecil

Definisi deret di atas merupakan salah satu cara yang mudah untuk mendefinisikan bilangan real yang berasal dari ekspansi desimal. Pendekatan komplementer lainnya menggunakan proses yang berlawanan, yaitu untuk sebuah bilangan real yang diberikan, definisikan ekspansi desimalnya.

Jika diketahui sebuah bilangan real x berada dalam interval tertutup [0, 10] (yakni lebih besar atau sama dengan 0 dan lebih kecil atau sama dengan 10), seseorang dapat membagi interval tersebut menjadi 10 interval yang bertumpang tindih hanya pada titik akhirnya: [0, 1], [1, 2], [2, 3],dan seterusnya sampai [9, 10]. Bilangan x haruslah berada dalam salah satu interval ini; jika ia ada dalam [2, 3], maka simpan digit "2" dan bagi interval tersebut menjadi [2, 2,1], [2,1, 2,2], …, [2,8, 2,9], [2,9, 3]. Kelanjutan proses ini akan menghasilkan barisan tak terhingga interval bersarang, yang ditandai oleh barisan tak terhingga digit-digit b0, b1, b2, b3, …, dan dapat ditulis