Jabarkan Transformasi linear dari Matriks (matematika)

Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam transformasi linear, yang juga dikenal sebagai peta linear. Matriks (real)  berukuran m×n dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear dari ruang dimensi-n ke ruang dimensi-m, dengan bahasa lain, . Transformasi ini memetakan setiap vektor  dalam  ke sebuah vektor  yang terletak dalam . Sebaliknya setiap transformasi linear dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks  berukuran m×n. Secara eksplisit, entri ke- dari matriks  adalah koordinat ke-i dari hasil pemetaan ; vektor  adalah vektor satuan dengan nilai 1 pada koordinat ke-j dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks  adalah representasi (wakil) dari transformasi linear , dan disebut sebagai matriks transformasi dari .

Sebagai contoh, matriks persegi berukuran 2×2dapat dilihat sebagai fungsi yang mengubah persegi satuan menjadi suatu jajaran genjang dengan titik-titik sudut terletak di , , , dan . Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh masing-masing dari mengalikan  dengan vektor kolom , dan , secara berurutan. Vektor-vektor ini adalah lokasi titik-titik sudut dari persegi satuan.

Tabel berikut menunjukkan beberapa jenis transformasi linear di  dan matriks 2×2 dan mewakilinya . Setiap transformasi memetakan daerah asli yang berwarna biru menjadi daerah berwarna hijau. Titik asal  ditandai dengan titik berwarna hitam.

Karena korespodensi satu-satu antara matriks dan transformasi linear, operasi perkalian matriks berhubungan dengan operasi komposisi fungsi: jika suatu matriks  berukuran k×m mewakili suatu transformasi linear , maka komposisi fungsi  dapat diwakili oleh perkalian matriks  karena Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.

Rank dari matriks  adalah banyak maksimum dari vektor-vektor baris matriks yang saling bebas linear, dan nilainya sama dengan banyak maksimum vektor-vektor kolom yang saling bebas linear. Nilai peringkat ini adalah dimensi dari citra transformasi linear yang diwakili oleh . Teorema rank–nolitas menyatakan bahwa dimensi kernel dari sebuah matriks jika ditambah dengan rank dari matriks tersebut, akan sama dengan banyak kolom dari matriks tersebut.