Jelaskan Contoh dari Ukuran (matematika)

Ukuran Lebesgue di  suatu perumuman dari panjang.

Panjang interval  atau  didefinisikan .

Sekarang misalkan  suatu himpunan bagian.

Keluarga interval  dikatakan meliputi  apabila .

Tepatnya,  yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian  dari  bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan  dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap  terdapat himpunan tertutup  dan himpunan terbuka  sedemikian sehingga .

Sekarang misalkan  adalah keluarga himpunan terukur.

Tepatnya,  aljabar sigma dan fungsi  yang dibatasi pada  ukuran.

Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di ) dan dilambangkan dengan .

Misalnya  suatu himpunan dan  himpunan kunasa, yakni  keluarga semua himpunan bagian dari .

Untuk , nilai  definisikan sebagai jumlah unsur himpunan .

Fungsi itu  dikenal sebagai ukuran penghitungan di .

Kaidah perhitungan dasar berikut untuk hasil langsung dari definisi :

Aditif hingga: untuk himpunan pemutus dengan  gilt .

Subtraktivitas: untuk  dengan  dan  dari .

Monoton: untuk  dengan  dari .

Untuk  dengan himpunan . Dengan prinsip penyertaan dan pengecualian rumus tersebut dapat digeneralisasikan dalam kasus ukuran hingga untuk penyatuan dan perpotongan dari banyak himpunan terbatas.

σ-subadditivitas: Untuk sembarang urutan  dari himpunan  dengan .