Jelaskan Maka, ini memenuhi identitas dari Eksponensiasi

tidak didefinisikan, karena  bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat , dibawah), secara umum,

kecuali  adalah real atau  adalah bilangan bulat.

Rumus Euler  mengekspresikan bentuk polar dari  dalam hal bagian real dan imajiner dari , yaitu

dimana nilai absolut dari faktor trigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah

Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-, yaitu, dari eksponen  dimana  adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan logaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.

Akar ke- pada bilangan kompleks

Setiap bilangan kompleks bukan nol  dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai

dimana  adalah nilai absolut dari , dan  adalah argumen. Argumen didefinisikan hingga bilangan bulat kelipatan ; ini berarti, jika  adalah argumen dari bilangan kompleks, maka  juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.

Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke- dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke- dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan :

Jika  ditambahkan ke  maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan  ke argumen akar ke-, dan diberikan akar ke- yang baru. Ini dilakukan kali , dan diberikan kepada akar ke-  dari bilangan kompleks.

Biasanya memilih salah satu dari akar ke-  sebagai akar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke- sebagai  yaitu, akar ke- yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke- utama sebuah fungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari radikan. Fungsi ini sama dengan akar ke- biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke- utama bukanlah real, meskipun akar ke- yang biasa adalah real. Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke- utama adalah fungsi unik diferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke- medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.

Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan  bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke--nya adalah permutasi lingkar (yang dikalikan dengan ). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke- yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.