Jabarkan dengan definisi seperti diatas. dari Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu dijelaskan lebih lanjut dibawah.

Latar belakang dan perkembangan sejarah

Setelah kemunculan kuantisasi cahaya Max Planck (lihat radiasi benda-hitam), Albert Einstein menginterpretasikan kuanta Planck sebagai foton, partikel cahaya, dan mengemukakan bahwa energi sebuah foton berbanding lurus dengan frekuensinya, salah satu tanda-tanda pertama dualitas gelombang-partikel. Karena energi dan momentum saling berhubungan seperti frekuensi dan bilangan gelombang pada relativitas khusus, momentum sebuah foton  berbanding terbalik dengan panjang gelombang , atau berbanding lurus dengan bilangan gelombang :

dengan  adalah konstanta Planck dan  adalah konstanta Planck tereduksi, . Louis de Broglie mengemukakan hipotesis bahwa persamaan ini benar untuk semua partikel, meski partikel yang bermassa seperti elektron. Ia mengasumsikan jika gelombang materi merambat bersama partikel mereka, elektron-elektron membentuk gelombang berdiri, berarti hanya frekuensi rotasional tertentu di sekeliling atom nukleus yang dimungkinkan.

Orbit terkuantisasi ini sesuai dengan tingkat energi diskret, dan de Broglie memakai formula model Bohr untuk tingkat energi. Model Bohr didasarkan pada kuantisasi momentum sudut  yang diasumsikan menurut:

Menurut de Broglie, elektron dijelaskan melalui sebuah gelombang dan sejumlah bilangan panjang gelombang yang harus sesuai sepanjang keliling orbit elektron:

Pendekatan ini membatasi gelombang elektron dalam satu dimensi, sepanjang orbit lingkar berjari-jari .

Pada tahun 1921, sebelum de Broglie, Arthur C. Lunn di Universitas Chicago telah menggunakan argumen yang sama yang berbasis dari penyelesaian energi-momentum relativistik untuk menurunkan apa yang kita sebtut saat ini sebagai hubungan de Broglie. Tidak seperti de Broglie, Lunn merumuskan persamaan diferensial yang saat ini dikenal sebagai persamaan Schrödinger. Sayangnya paper ini ditolak oleh Physical Review.

Menindaklanjuti ide de Broglie, fisikawan Peter Debye berkomentar bahwa jika partikel berperilaku seperti gelombang, maka pastinya memiliki bentuk persamaan gelombang. Schrödinger pun berusaha mencari persamaan gelombang 3-dimensi yang layak untuk elektron. Ia dibimbing oleh analogi William R. Hamilton antara mekanika dan optik, dikodekan dalam pengamatan bahwa batas panjang gelombang nol optik menyerupai sistem mekanis—lintasan sinar cahaya menjadi jejak tajam mematuhi prinsip Fermat, sebuah analog dari prinsip tindakan terkecil.