Jabarkan Kelengkapan bilangan real dari Bilangan riil

Alasan utama menggunakan bilangan real adalah agar banyak barisan mempunyai limit. Penjelasan lebih formalnya, bilangan real dikatakan lengkap dalam pengertian ruang metrik atau ruang seragam; penjelasan ini berbeda dengan kelengkapan orde Dedekind di bagian sebelumnya:

Suatu barisan  dari bilangan real disebut barisan Cauchy jika, untuk setiap , terdapat bilangan bulat   (tergantung nilai ), sehingga jarak  lebih kecil daripada  untuk semua  dan  yang lebih besar daripada . Definisi ini pertama kali dinyatakan oleh Cauchy, yang merumuskan bahwa suku-suku  akan semakin dekat terhadap satu sama lain.

Suatu barisan  akan konvergen menuju limit , jika anggotanya akan semakin dekat menuju . Ini mengartikan bahwa untuk setiap , akan ada suatu bilangan bulat  (tergantung nilai ) sehingga  lebih kecil daripada  untuk  lebih besar daripada .

Setiap barisan konvergen disebut barisan Cauchy, dan kebalikannya juga benar untuk bilangan real. Dari pernyataan tersebut, mengartikan bahwa ruang topologi dari bilangan real dikatakan lengkap.

Himpunan bilangan rasional tidak dikatakan lengkap. Sebagai contoh, barisan , dengan tiap suku yang memperluas desimal akar kuadrat positif dari 2, merupakan barisan Cauchy. Sayangnya, barisan ini tidak konvergen menuju bilangan rasional, dan sebaliknya bahwa dalam bilangan real, akan konvergen menuju ke akar kuadrat positif dari 2.