Jabarkan Analisis Bayes dari Masalah Monty Hall

Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori probabilitas Bayes (Gill 2002) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi latar belakang apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:

: Mobil berada di pintu i, i sama dengan 1,2, atau 3.

: Pembawa acara membuka pintu j setelah pemain memilih pintu i, i dan j sama dengan 1, 2 atau 3.

Sebagai contoh,  menandakan proposisi mobil di belakang pintu 1 dan  menandakan pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan , asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:

Pertama-tama, mobil dapat berada di pintu manapun, dan semua pintu secara a priori memiliki peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, a priori berarti sebelum permainan di mulai, atau sebelum melihat kambing. Karenanya, probabilitas awal proposisi  adalah:

Kedua, pembawa acara akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat mobil di belakangnya dan memilih salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya memiliki peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan probabiltas bersyarat dari proposisi  tergantung pada keberadaan mobil tersebut:

Masalah ini dapat diselesaikan sekarang dengan menentukan probabilitas posterior kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa acara melakukan proposisi .

Probabilitas posterior kemenangan dengan tidak beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan , ditulis . Dengan menggunakan Teorema Bayes, hal ini dapat diekspresikan sebagai:

Dengan asumsi di atas, pembilang pada sisi kanan persamaannya adalah:

Tetapan penormalan pada penyebut dapat dievaluasi dengan mengembangkannya menggunakan definisi probabilitas marginal dan probabilitas bersyarat:

Pembagian pembilang dengan tetapan penormalan menghasilkan:

Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal mobil berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa acara belum memberikan kontribusi apapun pada probabilitas.

Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2, , dapat dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:

Tidak ada mobil di belakang pintu 3 karena pembawa acara telah membukanya, maka  haruslah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Bayes dan hasil perhitungan sebelumnya: