Jelaskan Matriks dan operator linear dari Eksponensiasi

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali A dengan n itu sendiri disebut pangkat matriks. Juga  didefinisikan sebagai matriks identitas, dan jika A adalah invers, maka .

pangkat matriks sering muncul dalam konteks sistem dinamik diskret, dimana matriks A menyatakan transisi dari vektor keadaan x dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya Ax dari sistem. Ini adalah interpretasi standar dari rantai Markov, misalnya, apabila  adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka,  adalah status sistem setelah langkah kali n.  Matriks pangkat  adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali n ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen.

Selain matriks, operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah turunan operator kalkulus,  salah satu operator linear yang melakukan fungsi  untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu . pangkat ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika semigrup.  Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan persamaan panas, persamaan Schrödinger, persamaan gelombang, dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebut turunan pecahan, yang bersama dengan integral pecahan, merupakan operasi dasar dari kalkulus pecahan.