Jabarkan Transformasi Wavelet Kontinu dari Wavelet

Cara kerja transformasi wavelet kontinu (TWK) adalah dengan menghitung konvolusi sebuah sinyal dengan sebuah jendela modulasi pada setiap waktu dengan setiap skala yang diinginkan. Jendela modulasi yang mempunyai skala fleksibel inilah yang biasa disebut induk wavelet atau fungsi dasar wavelet.

Dalam transformasi wavelet digunakan istilah translasi dan skala, karena istilah waktu dan frekuensi sudah digunakan oleh transformasi Fourier. Translasi adalah lokasi jendela modulasi saat digeser sepanjang sinyal, berhubungan dengan informasi waktu. Skala berhubungan dengan frekuensi, skala tinggi (frekuensi rendah) berhubungan dengan informasi global dari sebuah sinyal, sedangkan skala rendah (frekuensi tinggi) berhubungan dengan informasi detail.

TWK secara matematika dapat didefinisikan sebagai berikut:

Pada rumus di atas,  menyatakan fungsi sinyal setelah transformasi, dengan variabel s (skala) dan  (translasi) sebagai dimensi baru. Fungsi  menyatakan sinyal asli sebelum transformasi. Fungsi dasar  disebut sebagai wavelet, dengan * menunjukkan konjugasi kompleks.

Dan inversi dari TWK secara matematika dapat didefinisikan sebagai berikut:

Seperti telah dibicarakan sebelumnya, fungsi dasar wavelet  dapat didesain sesuai kebutuhan untuk mendapatkan hasil transformasi yang terbaik, ini perbedaan mendasar dengan transformasi Fourier yang hanya menggunakan fungsi sinus sebagai jendela modulasi.

Fungsi dasar wavelet secara matematika dapat didefinisikan sebagai berikut:

faktor  digunakan untuk normalisasi energi pada skala yang berubah-ubah.

Mexican Hat, yang merupakan normalisasi dari derivatif kedua fungsi Gaussian adalah salah satu contoh fungsi dasar TWK:

Contoh lain adalah fungsi dasar Morlet, yang merupakan fungsi bilangan kompleks: