Jabarkan Dua Dimensi dari Grup simetrik

Grup titik diskrit pada ruang dua dimensi dapat dibagi ke dalam dua kelompok infinit.

Grup siklik C1, C2, C3, ....., Cn, di mana Cn adalah rotasi dengan sudut 360/n

Grup dihedral D1, D2, D3, ...., Dn, di mana Dn adalah rotasi pada Cn bersamaan dengan refleksi pada n sumbu yang melalui fixed point

Pada kasus n=1 (simetri rendah), diketahui bahwa C1 adalah grup yang hanya memiliki operasi identitas dan itu terjadi jika bentuk geometrinya tidak memiliki operasi simetri sama sekali. D1 adalah grup dengan dua elemen yang memiliki satu sumbu simetri bilateral. Grup dihedral D3, D4, .... adalah grup yang termasuk kedalam poligon reguler.

Dengan bentuk geometri yang terbatas dan tertutup secara topologi (merupakan grup titik yang sempurna), kemungkinan lainnya adalah grup SO (2) yang memiliki semua rotasi pada fixed point dan refleksi pada berbagai sumbu yang melalui fixed point-nya. Keadaan akhir (penutup) pada bentuk di atas adalah bidang yang dapat dianggap "bentuk geometri" sebagaimana set dari semua poin dalam bundaran unit dengan koordinat rasional. Grup simetri dari set tadi mempunyai beberapa (tidak semua), hanya rotasi dengan perubahan sudut yang kecil.

Untuk bentuk geometri tak terbatas, grup simetri dapat memiliki translasi dan memungkinkan tujuh belas wallpaper group dan tujuh  friezer group