Jabarkan Aljabar abstrak dari Aljabar

Aljabar abstrak memperluas konsep-konsep yang biasa ditemukan dalam aljabar elementer dan aritmetika bilangan ke konsep-konsep yang lebih umum. Yang berikut ini adalah konsep-konsep dasar di dalam aljabar abstrak.

Himpunan: Lebih dari sekadar memperhatikan jenis-jenis bilangan yang berbeda-beda, aljabar abstrak berurusan dengan konsep himpunan yang lebih umum: sekumpulan objek-objek (disebut elemen) yang dipilih oleh sifat spesifik untuk himpunan. Semua kumpulan jenis-jenis bilangan yang lazim dikenal merupakan himpunan. Contoh himpunan lainnya adalah himpunan semua matrikss dua-kali-dua, himpunan semua polinomial berderajat 2 (ax2 + bx + c), himpunan semua vektor dua dimensi pada bidang, dan berbagai grup berhingga seperti grup siklis, yang merupakan grup-grup modulo bilangan bulat n. Teori himpunan adalah sebuah cabang dari logika dan secara teknis bukanlah cabang dari aljabar.

Operasi biner: Maksud perjumlahan (+) diabstraksi untuk memberikan sebuah operasi biner, katakanlah ∗. Maksud operasi biner menjadi tidak berarti tanpa adanya himpunan tempat operasi didefinisikan. Untuk dua elemen a dan b dalam himpunan S, a ∗ b adalah elemen lain di dalam himpunan; kondisi ini disebut ketertutupan. Perjumlahan (+), perkurangan (−), perkalian (×), dan perbagian (÷) dapat menjadi operasi biner ketika terdefinisi pada himpunan yang berbeda, semisal perjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.

Elemen identitas: Bilangan nol dan satu diabstraksi untuk memberikan arti suatu elemen identitas untuk sebuah operasi. Nol adalah elemen identitas untuk perjumlahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk suatu operator biner umum ∗ elemen identitas e harus memenuhi a ∗ e = a dan e ∗ a = a, dan harus tunggal, jika ia ada. Ini berlaku untuk perjumlahan sebagai a + 0 = a dan 0 + a = a dan perkalian a × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua himpunan dan kombinasi operator memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan asli positif (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk perjumlahan.

Elemen invers atau unsur balikan: Bilangan negatif memunculkan konsep elemen invers. Untuk perjumlahan, invers a ditulis sebagai −a; dan untuk perkalian, invers ditulis sebagai a−1. Elemen invers umum untuk dua-pihak a−1 memenuhi sifat bahwa a ∗ a−1 = e dan a−1 ∗ a = e, di mana e adalah elemen identitas.

Asosiativitas: Perjumlahan bilangan bulat memiliki sifat yang dinamakan asosiativitas. Yakni, pengelompokan bilangan yang dijumlahkan tidaklah mengubah hasilnya. Misalnya: . Secara umum, ini menjadi (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Sifat ini juga berlaku pada sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk perkurangan, atau perbagian, atau perkalian oktonion.

Komutativitas: Perjumlahan dan perkalian bilangan real sama-sama bersifat komutatif. Yakni, urutan bilangan tidaklah mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi a ∗ b = b ∗ a. Sifat ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, perkalian matriks dan perkalian kuaternion, kedua-duanya tidak bersifat komutatif.