Jabarkan Notasi dan terminologi dari Grup (matematika)

Secara formal, grup adalah pasangan terurut yang terdiri atas suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan yang memenuhi aksioma grup. Himpunan itu disebut himpunan pendasar (underlying set) grup, dan operasi binernya disebut operasi grup atau hukum grup. Grup beserta himpunan pendasarnya merupakan dua objek matematika yang berbeda. Supaya menghindari notasi yang sulit dipahami, digunakanlah simbol yang sama untuk menyatakan kedua-duanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir yang informal, bahwa grup sama saja dengan himpunan tetapi diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi. Sebagai contoh, misalkan terdapat himpunan bilangan real , yang memiliki operasi penjumlahan  dan perkalian .  Secara formal,  adalah suatu himpunan,  adalah suatu grup, dan  adalah suatu lapangan. Akan tetapi, biasanya ditulis sebagai  untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek tersebut.

Grup aditif dari lapangan  adalah grup yang himpunan pendasarnya adalah , dan operasinya adalah penambahan. Sementara itu, grup perkalian dari lapangan  adalah grup  yang himpunan pendasarnya adalah himpunan bilangan real bukan nol  dan operasinya adalah perkalian.

Secara umum, kita berbicara tentang grup aditif setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan , dan invers dari elemen  dilambangkan dengan . Demikian pula, kita berbicara tentang grup perkalian setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan , dan inversi elemen  dilambangkan dengan .  Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, sehingga bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, yakni  sebagai pengganti .

Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa  untuk semua elemen  dan  dalam . Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan komutatif, dan grup tersebut disebut grup abelian. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.

Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup di mana elemennya fungsi, operasi sering kali digunakan dalam komposisi fungsi ; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan . Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup transformasi geometris, grup simetri, grup permutasi, dan grup automorfisme, simbol  dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.