Tolong jelaskan mengenai Contoh: dari Grup simetrik

xx        x x                x          xxx

x         x x              xxx           x

Pembahasan pada ruang tiga dimensi ini lebih rumit dibanding pembahsan sebelumnya sejak mempunyai kemungkinan berbagai sumbu rotasi pada grup titik. Pertama, terdapat grup trivial dengan tiga jenisnya yaitu C3 (Clh), Ci, dan C2 yang mempunyai satu operasi simetri refleksi pada bidang, pada titik simetri, dan pada garis (sama dengan rotasi sejauh 180)

Ada yang dinamakan dengan grup uniaksial Cn, yang dirotasikan dengan sudut sejauh 360/n. Dapat juga terdapat sebuah cermin yang tegak lurus terhadap sumbu utama, dinamakan Cnh, atau set dari n bidang sumbu yang sejajar sumbu simetri, dinamakan Cnv.

Jika pada grup itu terdapat bidang cermin horisontal dan vertikal, maka ada n sumbu rotasi sejauh 180, tidak lagi dinamakan grup uniaksial tetapi grup Dnh. Subgrup rotasi yang disebut Dn tetap mempunyai sumbu rotasi (2) yang tegak lurus sumbu rotasi utama (tanpa bidang cermin). Grup lain yaitu Dnd (atau Dnv) yang bidang cermin vertikalnya mempunyai sumbu rotasi utama tapi terletak setengah dari jarak kedua sumbu, maka bidang yang tegak lurus itu tidak terletak di sana. Dnh dan Dnd merupakan grup simetri untuk bentuk umum dari prisma dan antiprisma, Dn adalah grup simetri dari prisma terotasi parsial.

Grup lain pada ruang tiga dimensi adalah Sn, dengan rotasi improper sejauh 360/n, operasi rotasi diikuti dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus pada sumbu simetrinya. Untuk n ganjil, rotasi dan refleksinya menghasilkan bentuk geometri yang sama, dapat pula disebut Cnh, keadaan ini tidak berlaku sama untuk n yang genap.

Dalam grup simetri, ada yang dikenal dengan simetri tinggi atau simetri polihedral karena grup ini mempunyai lebih dari satu sumbu rotasi. Dengan menggunakan Cn sebagai sumbu rotasi yang melalui 360/n dan Sn sebagai sumbu rotasi improper dengan sudut yang sama pula, ada beberapa grup dalam simetri tinggi ini, di antaranya:

T (tetrahedral), mempunyai 4 sumbu C3 yang melewati titik ujung dari kubus, 3 sumbu C2 yang melewati pusat melalui muka kubus. Tidak ada operasi simetri lain, grup ini adalah isomorfik dengan A4, sebuah alternating group

Td, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu T, tetapi dengan 6 bidang cermin, masing-masing memiliki satu sumbu C2 (dapat juga disebut S4) dan 4 sumbu C3, merupakan grup simetri tetrahedral, Td isomorfik dengan S4

Th, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu T, tetapi dengan bidang cermin yang masing-masing memiliki 2 sumbu C2 dan tidak memiliki sumbu C3 (dapat disebut sumbu S6), mempunyai titik inversi, Th isomorfik dengan A4 x C2

O (oktahedral), mirip dengan T, sumbu C2 = sumbu C4, sumbu C2 melewati ujung pinggir kubus, O isomorfik denagn S4

Oh, grup ini mempunyai sumbu rotasi yang sama yaitu O, tetapi dengan bidang cermin (tidak lain adalah Td dan Th). Oh isomorfik dengan S4 x C2, grup simetri dari dari kubus dan oktahedron

I, Ih (ikosahedral), grup simetri dari ikosahedron dan dodekahedron. Grup dengan rotasi proper (layak) I adalah subgrup normal dari indeks 2 pada grup (lengkap) dari simetri dengan I isomorfik dengan A5, alternating group Ih adalah A5 x C2