Jabarkan Beberapa ontologi dari Teori himpunan

Himpunan adalah murni jika semua anggotanya adalah himpunan, semua anggotanya adalah himpunan, dan seterusnya. Contohnya, himpunan  hanya berisi himpunan kosong adalah himpunan murni tidak kosong. Dalam teori himpunan modern, adalah umum untuk membatasi perhatian pada von Neumann universe himpunan murni, dan banyak sistem teori himpunan aksiomatik dirancang untuk melakukan aksioma himpunan murni. Ada banyak keuntungan teknis dari pembatasan ini, dan sedikit umum yang hilang, karena pada dasarnya semua konsep matematika dapat dimodelkan dengan himpunan murni. Kumpulan di alam semesta von Neumann diatur ke dalam hierarki kumulatif, berdasarkan seberapa dalam anggotanya, anggota anggotanya, dll. Setiap set dalam hierarki ini ditetapkan (oleh transfinite recursion) sebuah bilangan ordinal , dikenal sebagai peringkat. Pangkat himpunan murni  didefinisikan sebagai batas atas terkecil dari semua penerus dari jajaran anggota . Misalnya, himpunan kosong diberi peringkat 0, sedangkan himpunan  hanya berisi himpunan kosong yang diberi peringkat 1. Untuk setiap ordinal , himpunan  didefinisikan terdiri dari semua set murni dengan peringkat kurang dari . Seluruh alam semesta von Neumann dilambangkan .