Jabarkan Hampiran purata aritmetika-geometrik dari Logaritma

Purata aritmetika–geometrik atau rata-rata aritmetika–geometrik menghasilkan hampiran dari logaritma natural dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki dan Kanada memperlihatkan bahwa purata ini sangat cepat untuk ketepatan di antara 400 dan 1000 letak desimal, sementara metode deret Taylor biasanya lebih cepat ketika membutuhkan nilai yang kurang akurat. Dalam karyanya,  kira-kira sama dengan ketepatan dari  (atau  bit yang tepat) melalui rumus berikut (karena Carl Friedrich Gauss):

Notasi  menyatakan rata-rata aritmetika–geometrik dari  dan . Purata ini didapatkan dengan menghitung rerata  (purata aritmetika) dan  (purata geometrik) dari  dan  secara berulang, lalu misalkan kedua bilangan tersebut merupakan bilangan  dan  selanjutnya. Kedua bilangan tersebut konvergen dengan cepat menuju ke limit yang sama, yaitu . Agar pasti bahwa nilai yang diperlukan tepat, maka pilih  sehingga

Bilangan  yang lebih besar membuat perhitungan , dengan nilai awal  dan  yang merupakan nilai yang sangat jauh, mengambil langkah lebih lanjut agar nilainya konvergen, tetapi memberikan nilai yang lebih tepat. Konstanta seperti  dan  dapat dihitung melalui deret yang konvergen dengan cepat.