Jabarkan Buktinya adalah sebagai berikut: dari Teorema Pythagoras

Biarkan ACB menjadi segitiga siku-siku dengan CAB sudut kanan.

Di setiap sisi BC, AB, dan CA, kotak digambar, CBDE, BAGF, dan ACIH, dalam urutan itu. Konstruksi persegi membutuhkan teorema yang mendahului Euclid, dan tergantung pada dalil paralel.

Dari A, gambar garis sejajar dengan BD dan CE. Ini akan memotong BC dan DE pada K dan L secara berurutan.

Gabungkan dengan DF dan AD, untuk membentuk segitiga BCF dan BDA

Sudut CAB dan BAG keduanya adalah sudut kanan; oleh karena itu C, A, dan G adalah kollinear. Demikian pula untuk B, A, dan H.

Sudut CBD dan FBA keduanya sudut kanan; Oleh karena itu sudut ABD sama dengan sudut FBC, karena keduanya adalah jumlah dari sudut kanan dan sudut ABC.

Karena AB sama dengan FB dan BD sama dengan BC, segitiga ABD harus kongruen dengan segitiga FBC.

Karena AKL adalah garis lurus, sejajar dengan BD, maka persegi panjang BDLK memiliki dua kali luas segitiga ABD karena mereka berbagi basis BD dan memiliki ketinggian BK yang sama, yaitu, garis normal ke basis umum mereka, menghubungkan garis paralel BD dan AL. (lemma 2)

Karena C adalah kollinear dengan A dan G, BAGF persegi harus dua kali luas untuk segitiga FBC.

Oleh karena itu, persegi panjang BDLK harus memiliki area yang sama dengan persegi BAGF = AB2.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa persegi panjang CKLE harus memiliki area yang sama dengan persegi ACIH = AC2.

Tambahkan dua hasil ini, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC

Sejak BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC

Karena itu, AB2 + AC2 = BC2, sejak CBDE adalah persegi.

Bukti ini, yang muncul dalam Elemen Euclid seperti pada Proposisi 47 dalam Buku 1, menunjukkan bahwa luas kotak pada sisi miring adalah jumlah dari luas dua kotak lainnya. Ini sangat berbeda dari pembuktian dengan kemiripan segitiga, yang diduga sebagai bukti bahwa Pythagoras digunakan.

Bukti dengan berpotongan dan penataan ulang

Kita telah membahas bukti Pythagoras, yang merupakan bukti penataan ulang. Ide yang sama disampaikan oleh animasi paling kiri di bawah ini, yang terdiri dari kotak besar, sisi a + b, berisi empat segitiga siku-siku yang identik. Segitiga ditunjukkan dalam dua pengaturan, yang pertama meninggalkan dua kotak a2 dan b2 terbuka, yang kedua meninggalkan persegi c2 terbuka. Area yang dicakup oleh alun-alun luar tidak pernah berubah, dan area keempat segitiga adalah sama di awal dan di akhir, jadi area kotak hitam harus sama, oleh karena itu

Bukti kedua dengan penataan ulang diberikan oleh animasi tengah. Sebuah bujur sangkar besar dibentuk dengan luas c2, dari empat segitiga siku-siku identik dengan sisi a, b dan c, dipasang mengelilingi sebuah bujur sangkar pusat kecil. Kemudian dua persegi panjang dibentuk dengan sisi a dan b dengan menggerakkan segitiga. Menggabungkan kotak yang lebih kecil dengan persegi panjang ini menghasilkan dua kotak area a2 dan b2, yang harus memiliki area yang sama dengan awal persegi besar.

Gambar ketiga, paling kanan juga memberikan bukti. Dua kotak bagian atas dibagi seperti yang ditunjukkan oleh bayangan biru dan hijau, menjadi potongan-potongan yang ketika disusun ulang dapat dibuat agar sesuai di bawah persegi pada sisi miring - atau sebaliknya kotak besar dapat dibagi seperti ditunjukkan dalam potongan-potongan yang mengisi dua lainnya . Cara memotong satu bagian menjadi beberapa bagian dan menatanya kembali untuk mendapatkan bagian lain disebut diseksi. Ini menunjukkan luas dari bujur sangkar yang sama dengan luas dua yang lebih kecil.

Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang

Albert Einstein memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan. Alih-alih menggunakan persegi pada sisi miring dan dua persegi pada kaki, kita dapat menggunakan bentuk lain yang mencakup sisi miring, dan dua bentuk serupa yang masing-masing mencakup satu dari dua kaki alih-alih sisi miring (lihat Figur serupa di tiga sisi). Dalam bukti Einstein, bentuk yang mencakup sisi miring adalah segitiga siku-siku itu sendiri. Diseksi terdiri dari menjatuhkan tegak lurus dari sudut sudut kanan segitiga ke sisi miring, sehingga membelah seluruh segitiga menjadi dua bagian. Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli. Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.