Jabarkan Sejarah dari Grup (matematika)

Konsep grup abstrak yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika. Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan persamaan polinomial dengan derajat yang lebih dari 4. Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, Évariste Galois, memperluas karya Paolo Ruffini dan Joseph-Louis Lagrange dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan polinomial khusus dalam grup simetri dari (penyelesaian) akarnya. Elemen dari grup Galois tersebut bersesuaian dengan permutasi dari akar tertentu. Awalnya, gagasan milik Galois ditolak oleh beberapa matematikawan pada masa itu, dan gagasan miliknya kemudian diterbitkan setelah kematiannya. Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh Augustin Louis Cauchy. Dalam makalahnya yang berjudul On the theory of groups, as depending on the symbolic equation  (1854), ia memberikan definisi abstrak pertama mengenai grup terhingga.

Geometri adalah cabang kedua yang menggunakan grup secara sistematik, terutama grup simetri yang merupakan bagian dari program Erlangen milik Felix Klein di tahun 1872. Setelah munculnya cabang-cabang geometri baru seperti geometri hiperbolik dan geometri proyektif, Klein menggunakan teori grup untuk menyusunnya supaya terlihat mudah dimengerti. Berlanjut saat memperluas gagasan tersebut, Sophus Lie menemukan kajian grup Lie di tahun 1884.

Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah teori bilangan. Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya Carl Friedrich Gauss yang berjudul Disquisitiones Arithmeticae (1798). Leopold Kronecker juga menggunakan struktur tersebut tetapi dijelaskan dengan lebih detail. Pada tahun 1847, Ernst Kummer mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan mengembangkan grup yang menjelaskan faktorisasi menjadi bilangan prima.

Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik Camille Jordan yang berjudul  (1870). Walther von Dyck (1882) memperkenalkan gagasan yang menjelaskan grup menggunakan pembangkit (generator) dan relasi. Karyanya juga merupakan karya yang pertama kali memberikan definisi aksiomatik dari "grup abstrak". Hingga pada abad ke-20, grup mendapatkan banyak perhatian dari karya perintis milik Ferdinand Georg Frobenius dan William Burnside yang membahas tentang teori representasi dari grup terhingga, karya Richard Brauer yang membahas tentang teori representasi modular dan karya milik Issai Schur. Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah grup kompak lokal (locally compact group) dikaji oleh Hermann Weyl, Élie Cartan dan banyak matematikawan lainnya. Pasangan teorinya, teori grup aljabar, dikembangkan oleh Claude Chevalley di akhir tahun 1930-an, dan kemudian dilanjutkan oleh Armand Borel dan Jacques Tits.

Konsekuensi elementer dari aksioma grup

Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam teori grup elementer. Sebagai contoh, penerapan aksioma asosiatif yang berulang menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu darimemperumum lebih dari tiga faktor. Karena notasi tersebut menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja di suku-suku tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.

Aksioma yang terpisah dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan identitas kiri dan invers kiri. Berdasarkan ''aksioma sepihak'' ini, dapat dibuktikan bahwa identitas kiri juga merupakan identitas kanan, dan begitupula untuk invers kiri yang juga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama. Karena identitas beserta inversnya mendefinisikan struktur yang sama seperti grup, aksioma tersebut tidak menjadi lemah.