Jabarkan Contoh kedua: grup simetri dari Grup (matematika)

Dua bangun pada bidang adalah kongruen jika bangun tersebut dapat diubah menjadi bangun yang lain menggunakan gabungan dari rotasi, refleksi, dan translasi. Setiap bangun kongruen dengan dirinya sendiri. Namun, beberapa bangun kongruen dengan sendiri dapat dilakukan dengan berbagai cara, dan kekongruenan tambahan tersebut dinamakan simetris. Persegi memiliki delapan simetri, yaitu:

operasi identitas, yang berarti bangun tersebut tidak berubah, dan operasi ini dilambangkan dengan id;

persegi di sekitar pusatnya diputar sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, yang dilambangkan dengan ,  dan ;

refleksi (cermin) terhadap garis tengah horizontal dan vertikal ( dan , atau terhadap dua garis diagonal ( dan ).

Simetri diatas adalah fungsi. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh,  untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan  untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. Komposisi dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut grup dihedral dengan derajat 4, dilambangkan . Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah komposisi fungsi. Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali  dan kemudian  ditulis secara simbolis dari kanan ke kiri sebagai  ("terapkan simetri  setelah melakukan simetri "). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.

Tabel grup di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam () dan kemudian merefleksikan secara horizontal () sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal (). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:

Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.

Komposisi adalah operasi biner. Artinya,  adalah simetri untuk dua simetri  dan . Sebagai contoh,

yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal (). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.

Aksioma asosiatif berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen ,  dan  dari , Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis  dan  menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan . Cara lainnya adalah dengan menulis  dan , kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan . Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,

Sebagai contoh,  dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:

Elemen identitas adalah , karena tidak mengubah simetri  saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.

Semua simetri memiliki kebalikan: , pantulan , , ,  dan rotasi 180°  adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi  dan  adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.

Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, , misalnya  but  Dengan kata lain,  bukan abelian.