Jabarkan Integral Lebesgue dari Integral

Seringkali menarik, baik dalam teori maupun aplikasi, untuk dapat melewati batas di bawah integral. Contohnya, urutan fungsi sering kali dapat dibangun yang mendekati, dalam arti yang sesuai, solusi untuk suatu masalah. Jadi integral dari fungsi solusi harus menjadi batas integral dari aproksimasi. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat diperoleh sebagai batas bukan merupakan integral Riemann, sehingga teorema batas tersebut tidak berlaku dengan integral Riemann.. Oleh karena itu, sangat penting untuk memiliki definisi integral yang memungkinkan kelas fungsi yang lebih luas untuk diintegralkan .

Integral seperti itu adalah integral Lebesgue, yang mengeksploitasi fakta berikut untuk memperbesar kelas fungsi yang dapat diintegrasikan: Bila nilai suatu fungsi disusun ulang di atas domain, integral dari suatu fungsi harus tetap sama. Jadi Henri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, menjelaskan integral ini dalam sebuah surat kepada Paul Montel:

Sebagai  meletakkannya, "Untuk menghitung integral Riemann dari , satu partisi domain  menjadi sub-interval ", sementara dalam integral Lebesgue," salah satunya adalah mempartisi kisaran  ". Definisi integral Lebesgue dengan demikian dimulai dengan ukuran, μ. Dalam kasus yang paling sederhana, ukuran Lebesgue  dari sebuah interval  adalah lebar, , sehingga integral Lebesgue setuju dengan integral Riemann (yang tepat) ketika keduanya ada. Dalam kasus yang lebih rumit, set yang diukur bisa sangat terfragmentasi, tanpa kontinuitas dan tidak ada kemiripan dengan interval.

Menggunakan "partisi rentang  " filsafat, integral dari fungsi non-negatif  harus berjumlah lebih dari  dari area di antara strip horizontal tipis di antaranya  and . Maka hasil dari daerah . Maka }. Integral Lebesgue dari  kemudian didefinisikan oleh

dimana integral di sebelah kanan adalah integral Riemann biasa yang tidak layak ( is a menurunkan fungsi positif secara ketat, dan karena itu memiliki terdefinisi dengan baik integral Riemann yang tidak tepat). Untuk kelas fungsi yang sesuai (fungsi terukur s) ini mendefinisikan integral Lebesgue.

Fungsi umum yang dapat diukur  adalah Integrasi Lebesgue jika jumlah nilai absolut dari luas daerah antara grafik  dan sumbu  terbatas:

Dalam kasus tersebut, integralnya adalah, seperti dalam kasus Riemannian, perbedaan antara luas di atas sumbu  dan luas di bawah sumbu :