Jabarkan Grup dari Aljabar

Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: grup. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan S dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:

Terdapat sebuah elemen identitas e, sedemikian sehingga untuk setiap anggota a dari S, e ∗ a dan a ∗ e kedua-duanya identik dengan a.

Setiap elemen mempunyai invers: untuk setiap anggota a dari S, terdapat anggota a−1 sedemikian sehingga a ∗ a−1 dan a−1 ∗ a kedua-duanya identik dengan elemen identitas.

Operasi bersifat asosiatif: jika a, b, dan c adalah anggota dari S, maka (a ∗ b) ∗ c identik dengan a ∗ (b ∗ c).

Jika grup ini juga komutatif, yaitu untuk setiap dua anggota a dan b dari S, a ∗ b adalah identik untuk b ∗ a—maka grup tersebut dikatakan abelian.

Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat di bawah operasi perjumlahan merupakan grup. Dalam grup ini, elemen identitas adalah 0 dan invers dari setiap elemen a adalah negasinya, −a. Persyaratan asosiativitas terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, (a + b) + c = a + (b + c)

Bilangan rasional tak-nol membentuk grup di bawah operasi perkalian. Di sini, elemen identitas adalah 1, karena 1 × a = a × 1 = a untuk setiap bilangan rasional a. Invers dari a adalah 1/a, karena a × 1/a = 1.

Meskipun demikian, bilangan bulat di bawah operasi perkalian tidaklah membentuk sebuah grup. Hal ini karena invers perkalian suatu bilangan bulat tidaklah menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi invers perkaliannya adalah ¼, yang tentu saja bukan merupakan bilangan bulat.

Teori mengenai grup dipelajari dalam teori grup. Hasil utama dalam teori ini adalah klasifikasi grup-grup sederhana berhingga, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan grup-grup sederhana berhingga menjadi kira-kira 30 jenis dasar.

Semigrup, kuasigrup, dan monoid adalah struktur-struktur yang serupa dengan grup, tetapi bersifat lebih umum. Mereka memuat sebuah himpunan dan satu operasi biner tertutup, tetapi tidak perlu memenuhi persyaratan lainnya. Semigrup memiliki operasi biner asosiatif, tetapi tidak memiliki elemen identitas. Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas, tetapi tidak memiliki invers untuk setiap elemen. Kuasigrup memenuhi persyaratan bahwa sembarang elemen dapat diubah menjadi elemen yang lain dengan perkalian-kiri atau perkalian-kanan yang tunggal; tetapi operasi binernya mungkin tidak bersifat asosiatif.

Semua grup adalah monoid, dan semua monoid adalah semigrup.