Jabarkan Interpretasi dari integral dari Integral

Integral muncul dalam banyak situasi praktis. Bila sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan dasar datar, maka dari panjang, lebar, dan dalamnya kita dapat dengan mudah menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk mengikatnya). Tetapi jika berbentuk oval dengan dasar bulat, semua besaran ini membutuhkan integral. Perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sepele seperti itu, tetapi teknik presisi (dari disiplin apa pun) membutuhkan nilai yang tepat dan teliti untuk elemen ini.

Untuk memulai, pertimbangkan kurva  antara  dan  dengan  (lihat gambar). Kami bertanya:

Berapakah luas di bawah fungsi , dalam interval dari 0 sampai 1?

dan menyebut luas dari (belum diketahui) sebagai (pasti) integral dari . Notasi untuk integral ini adalah

Sebagai perkiraan pertama, lihat persegi satuan yang diberikan oleh sisi-sisinya  ke  dan  dan . Luasnya persis 1. Sebenarnya, nilai sebenarnya dari integral harus kurang dari 1. Mengurangi lebar persegi panjang aproksimasi dan menambah jumlah persegi panjang memberikan hasil yang lebih baik; jadi silangkan interval dalam lima langkah, menggunakan titik aproksimasi 0, 1/5, 2/5, dan seterusnya ke 1. Pasangkan kotak untuk setiap langkah dengan menggunakan tinggi ujung kanan setiap bagian kurva, sehingga , , dan seterusnya . Dengan menjumlahkan luas persegi panjang ini, kita akan mendapatkan pendekatan yang lebih baik untuk integral yang dicari, yaitu

Kami mengambil jumlah nilai fungsi yang tak terhingga dari , dikalikan dengan selisih dua titik aproksimasi berikutnya. Kita dapat dengan mudah melihat bahwa perkiraannya masih terlalu besar. Menggunakan lebih banyak langkah menghasilkan perkiraan yang lebih dekat, tetapi akan selalu terlalu tinggi dan tidak akan pernah tepat. Alternatifnya, mengganti sub-interval ini dengan satu dengan tinggi ujung kiri setiap bagian, kita akan mendapatkan perkiraan yang terlalu rendah: contohnya, dengan dua belas subinterval seperti itu, kita akan mendapatkan nilai perkiraan untuk luas 0,6203.

Ide kuncinya adalah transisi dari menambahkan perbedaan titik aproksimasi sangat banyak (dikalikan dengan nilai fungsinya masing-masing) menjadi menggunakan halus tak terhingga, atau infinitesimal. Ketika transisi ini diselesaikan pada contoh di atas, ternyata luas di bawah kurva dalam batas yang disebutkan adalah 2/3.