Jabarkan Definisi dari Transformasi Fourier

Transformasi Fourier dari suatu fungsi  secara tradisional dilambangkan , dengan menambahkan sirkumfleks ke simbol fungsi. Ada beberapa konvensi umum untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi integrable . One of them is

untuk semua bilangan riil .

Alasan tanda negatif dalam eksponen adalah persamaan dalam teknik elektro menjadi , yaitu

by   sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol   Konvensi tanda negatif menyebabkan produk  to be 1 (frekuensi nol) kapan  menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah Fungsi delta Dirac di , yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal sinusoidal

Ketika variabel independen  mewakili waktu, variabel transformasi  mewakili frekuensi (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam hertz). Dalam kondisi yang sesuai,  ditentukan oleh  melalui transformasi terbalik:

untuk bilangan riil untuk fungsi .

Pernyataan dari mana  dapat menentukan  dikenal sebagai Teorema inversi Fourier, dan pertama kali diperkenalkan di Fourier Analytical Theory of Heat, meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian. Fungsi  dan  sering disebut sebagai pasangan integral Fourier atau pasangan transformasi Fourier.

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan frekuensi sudut  alih-alih frekuensi , lihat Konvensi lain dan Notasi lainnya di bawah. The Transformasi Fourier pada ruang Euklides diperlakukan secara terpisah, di mana variabel  sering mewakili posisi dan momentum . Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang analisis harmonik, dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier keduanya pada  dan homomorfisme aljabar dari  untuk , tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan Teorema Stone–von Neumann: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik intertwiner untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari kelompok Heisenberg.