Jelaskan Berbagai arti dari "aljabar" dari Aljabar

Kata "aljabar" memiliki beberapa makna dalam matematika, sebagai kata tunggal atau dengan kualifikasi.

Sebagai kata tunggal tanpa kata sandang, "aljabar" nama salah satu bidang ilmu matematika.

Sebagai kata tunggal dengan sebuah kata sandang atau dalam bentuk jamak, "aljabar" menunjukkan struktur matematika secara spesifik, dan definisi yang tepat tergantung pada penulis. Biasanya struktur ini memiliki penambahan, perkalian, dan skalar perkalian (lihat Aljabar atas lapangan). Ketika beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar", mereka membuat sebuah subset dari asumsi tambahan berikut: asosiatif, komutatif, unital, dan/atau dimensi berhingga. Dalam aljabar universal, kata "aljabar" mengacu pada generalisasi dari konsep di atas, yang memungkinkan n-ary operasi.

Dengan kualifikasi, ada perbedaan yang sama:

Tanpa sebuah kata sandang, berarti merupakan bagian dari aljabar, seperti aljabar linier, aljabar elementer (simbol-manipulasi aturan yang diajarkan dalam kursus sd matematika sebagai bagian dari pendidikan dasar dan menengah), atau aljabar abstrak (studi struktur aljabar tentang aljabar itu sendiri).

Dengan sebuah kata sandang, berarti sebuah contoh dari beberapa struktur abstrak, seperti aljabar bentang, aljabar asosiatif, atau aljabar operator verteks.

Kadang-kadang kedua makna yang ada digunakan untuk kualifikasi yang sama, seperti dalam kalimat: aljabar Komutatif adalah studi tentang gelanggang komutatif, yang merupakan aljabar komutatif atas bilangan bulat.

Aljabar sebagai cabang dari matematika

Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan aritmetika, dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tanpa memperhatikan angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam persamaan kuadrat

bisa menjadi bilangan apapun (kecuali bahwa  tidak dapat bernilai ), dan rumus kuadrat dapat digunakan untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas  yang tidak diketahui dan memenuhi persamaan. Rumus kuadrat digunakan untuk menyatakan persamaan, dan kemudian menemukan semua solusi dari persamaan tersebut.

Secara historis, dan dalam pengajaran sekarang ini, pengkajian aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti persamaan kuadrat di atas. Kemudian muncullah pertanyaan-pertanyaan yang lebih umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?". Pertanyaan-pertanyaan ini memicu kemunculan ide-ide tentang bentuk, struktur dan simetri. Sifat-sifat struktural dari objek-objek non-numerik ini kemudian diabstraksi untuk mendefinisikan struktur-struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan medan.

Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, aritmetika dan geometri. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin yang dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, kalkulus infinitesimal sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paro kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmetika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.

Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti yang dapat dilihat dalam Klasifikasi Subjek Matematika

di mana tak satu pun dari area tingkat pertama (dua digit entri) disebut aljabar. Hari ini aljabar meliputi bagian 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-aljabar komutatif, 15-aljabar linear dan multilinear; teori matriks, 16-aljabar asosiatif, 17-aljabar tak-asosiatif, 18-teori kategori; aljabar homologis, 19-teori-K, dan 20-teori grup. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-teori bilangan dan 14-geometri aljabar.