Jabarkan Pada permukaan bola dari Aturan sinus

Aturan sinus pada permukaan bola memberikan hubungan trigonometrik pada segitiga yang sisi-sisinya berupa lingkaran besar.

Misalkan radius dari bola adalah 1. Misalkan pula , , dan  adalah panjang dari segmen-segmen lingkaran besar yang menjadi sisi-sisi segitiga. Karena bola berupa bola satuan, panjang , , dan  sama dengan besar-besar sudut (dalam radian) dari pusat bola, yang membentuk segmen-segmen lingkaran besar. Misalkan juga , , dan  adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan masing-masing sisi segitiga. Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa

Pada permukaan dengan kurvatur konstan

Pada permukaan secara umum, fungsi sinus dapat diperumum sebagai berikut:yang nilainya juga bergantung kurvatur  di posisi  berada. Aturan sinus pada permukaan kurvatur bernilai konstan  menyatakan bahwaMensubtitusi nilai , , dan , secara berurutan akan menghasilkan aturan sinus pada permukaan Euklides, bola, dan hiperbolik, yang dijelaskan pada bagian-bagian sebelumnya. Misalkan  menyatakan keliling lingkaran berdiameter  pada ruang dengan kurvatur konstan . Maka . Akibatnya, aturan sinus juga dapat ditulis ulang sebagai:Rumus ini ditemukan oleh János Bolyai.