Jabarkan Sejarah dari Rumus Euler

Rumus Euler dibuktikan (dalam bentuk yang tidak jelas) untuk pertama kalinya oleh Roger Cotes pada 1714, kemudian ditemukan kembali dan dipopulerkan oleh Euler pada 1748. Tidak satu pun dari orang orang melihat interpretasi geometri dari rumus: pandangan bilangan kompleks sebagai titik di bidang muncul hanya sekitar 50 tahun kemudian (lihat Caspar Wessel).

Aplikasi dalam teori bilangan kompleks

Rumus ini dapat diartikan mengatakan bahwa fungsinya  menelusuri lingkaran satuan dalam bidang bilangan kompleks sebagai x berkisar melalui bilangan real. Di sini,  adalah sudut yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik asal dengan titik pada lingkaran satuan dengan sumbu nyata positif, diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian. Rumusnya hanya valid jika fungsi sinus dan kosinus menggunakan argumennya dalam radian, bukan dalam derajat.

Buktinya didasarkan pada deret Taylor perluasan dari fungsi eksponensial  (di mana  adalah bilangan kompleks) dan dari  dan  untuk bilangan real  (lihat di bawah). Faktanya, bukti yang sama menunjukkan bahwa rumus Euler berlaku untuk semua bilangan kompleks .

Rumus Euler dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks pada koordinat polar. Bilangan kompleks apa pun z=x+iy dapat ditulis sebagai

di mana , , , dan  adalah dari sudut- antara sumbu x dan vektor  dapat diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian yang ditentukan hingga penambahan 2π.