Jabarkan Teori himpunan aksiomatik dari Teori himpunan

Teori himpunan dasar dapat dipelajari secara informal dan intuitif, sehingga dapat diajarkan di sekolah dasar menggunakan diagram Venn. Pendekatan intuitif secara diam-diam mengasumsikan bahwa suatu himpunan dapat dibentuk dari kelas semua objek yang memenuhi kondisi tertentu tertentu. Asumsi ini menimbulkan paradoks, yang paling sederhana dan paling terkenal adalah paradoks Russell dan paradoks Burali-Forti. Teori himpunan aksiomatik pada awalnya dirancang untuk menyingkirkan teori himpunan dari paradoks tersebut.

Sistem teori himpunan aksiomatik yang paling banyak dipelajari menyiratkan bahwa semua himpunan membentuk hierarki kumulatif. Sistem seperti itu datang dalam dua bentuk, yang ontologi terdiri dari:

Himpunan sendiri. Ini termasuk teori himpunan aksiomatik yang paling umum, Zermelo–Fteori himpunan fraenkel dengan Aksioma Pilihan (ZFC). Fragmen dari ZFC termasuk:

Teori himpunan Zermelo, yang menggantikan skema aksioma penggantian dengan pemisahan;

Teori himpunan umum, sebuah fragmen kecil dari teori himpunan Zermelo cukup untuk aksioma Peano dan himpunan terbatas;

Kripke–Platek set theory, which omits the axioms of infinity, powerset, and choice, and weakens the axiom schemata of separation and replacement.

Himpunan dan kelas yang sesuai. Ini termasuk teori himpunan Von Neumann – Bernays – Gödel, yang memiliki kekuatan yang sama dengan ZFC untuk teorema tentang himpunan saja, dan teori himpunan Morse – Kelley dan teori himpunan Tarski–Grothendieck, keduanya lebih kuat dari ZFC.

Sistem di atas dapat dimodifikasi untuk mengizinkan urelement, objek yang dapat menjadi anggota himpunan tetapi bukan himpunan itu sendiri dan tidak memiliki anggota.

Sistem Yayasan Baru dari NFU (mengizinkan urelement) dan NF (kekurangannya) tidak didasarkan pada hierarki kumulatif. NF dan NFU menyertakan "sekumpulan segalanya", yang relatif setiap set memiliki pelengkap. Dalam sistem ini urelemen penting, karena NF, tetapi bukan NFU, menghasilkan himpunan yang tidak dimiliki aksioma pilihan.

Sistem teori himpunan konstruktif, seperti CST, CZF, dan IZF, menyematkan aksioma himpunannya di intuitif daripada logika klasik. Namun sistem lain menerima logika klasik tetapi menampilkan hubungan keanggotaan yang tidak standar. Ini termasuk teori himpunan kasar dan teori himpunan fuzzy, di mana nilai rumus atom yang mewujudkan hubungan keanggotaan tidak sederhana Benar atau Salah. Model bernilai Boolean dari ZFC adalah subjek terkait.

Pengayaan ZFC yang disebut teori himpunan internal telah diusulkan oleh Edward Nelson pada tahun 1977.