Jelaskan Sifat dari Integral

Kumpulan fungsi yang dapat diintegrasikan Riemann pada interval tertutup  membentuk ruang vektor di bawah operasi penambahan pointwise dan perkalian dengan skalar, dan operasi integral

adalah fungsional linear pada ruang vektor ini. Jadi, pertama, kumpulan dari fungsi terintegral ditutup pada pengambilan kombinasi linier; dan kedua, integral dari kombinasi linier adalah kombinasi linier dari integral,

Demikian pula, himpunan nyata - nilai fungsi terintegralkan Lebesgue pada ruang ukur yang diberikan  dengan ukuran  ditutup dengan mengambil kombinasi linier, dan karenanya membentuk ruang vektor, dan integral Lebesgue

adalah fungsi linear pada ruang vektor ini, sehingga

Secara lebih umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua fungsi terukur pada ruang ukur , mengambil nilai dalam kompak lokal lengkap spasi vektor topologi  di atas bidang topologi . Kemudian seseorang dapat mendefinisikan peta integrasi abstrak yang ditugaskan ke setiap fungsi  sebuah elemen dari  atau simbol ,

kompatibel dengan kombinasi linear. Dalam situasi ini, linieritas berlaku untuk subruang fungsi yang integralnya merupakan elemen dari  (yaitu "finite"). Kasus khusus yang paling penting muncul adalah  pada , , atau perluasan lapangan yang terbatas  dari bilangan p-adic s, dan  adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas , dan jika  dan  adalah kompleks ruang Hilbert.

Linearitas, bersama dengan beberapa sifat kontinuitas alami dan normalisasi untuk kelas fungsi "sederhana" tertentu, dapat digunakan untuk memberikan definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan dari Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada suatu himpunan , digeneralisasikan oleh Nicolas Bourbaki ke fungsi dengan nilai dalam ruang vektor topologi yang kompak secara lokal. Lihat  untuk karakterisasi aksiomatik dari integral.