Jabarkan Keberadaan dari Logaritma

Misalkan  adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan . Pernyataan yang diikuti dari teorema nilai antara ini, merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah () dan kisarannya (). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa  yang menaik sempurna (untuk ), atau menurun sempurna (untuk ) merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah  dan memiliki kisaran . Oleh karena itu,  adalah fungsi bijeksi dari  ke . Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif , terdapat setidaknya satu bilangan real  sehingga .

Misalkan  yang menyatakan invers dari fungsi . Dalam artian,  adalah bilangan real tunggal  sehingga . Fungsi ini disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok- atau fungsi logaritmik (atau logaritma saja).

Karakterisasi melalui rumus hasil kali

Pada dasarnya, fungsi  juga dapat dikarakterisasikan melalui rumus hasil kali

Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok  yang hanya merupakan fungsi  naik dari bilangan real positif ke bilangan real memenuhi sifat bahwa  dan