Jabarkan Perumuman dari Logaritma

Semua bilangan kompleks  yang menyelesaikan persamaan

disebut logaritma kompleks dari , ketika  (dianggap sebagai) bilangan kompleks. Bilangan kompleks biasanya dinyatakan sebagai , dengan  dan  adalah bilangan real dan  adalah satuan imajiner (satuan yang dikuadratkan memberikan nilai −1). Bilangan kompleks dapat divisualisasikan melalui sebuah titik dalam bidang kompleks, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut. Bentuk polar menulis bilangan kompleks tak-nol  melalui titik nilai mutlak, yang berarti jarak yang berupa bilangan bernilai real dan positif  sama dengan titik  ke titik asalnya. Bentuk polar juga menulis sebuah sudut antara bilangan real pada sumbu- (yakni sumbu-)   dan garis yang melalui titik asal dan titik . Sudut tersebut disebut sebagai argumen dari .Nilai mutlak  dari  dinyatakan sebagai

Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi sinus dan kosinus beserta periodisitasnya dalam , setiap bilangan kompleks  dapat dinyatakan sebagai

untuk setiap bilangan bulat . Nyatanya, argumen dari  tidak dijelaskan secara unik, yakni: bilangan  dan {{Math|1=φ''' = φ + 2k}} adalah argumen valid dari  untuk semua bilangan bulat , karena menambahkan  radian atau k⋅360° ke bilangan  berpadanan dengan "lilitan" di sekitar titik asal yang berputar berlawanan arah jarum jam sebanyak  putaran. Hasil bilangan kompleks selalu , seperti yang diilustrasikan pada gambar untuk . Setidaknya ada salah satu dari argumen  yang mungkin disebut sebagai argumen prinsip, yang dilambangkan , dipilih dengan memerlukan putaran  di selang  atau . Daerah-daerah tersebut, dengan argumen  ditentukan sekali disebut cabang dari fungsi argumen.

Rumus Euler mengaitkan fungsi trigonometri sinus dan kosinus dengan eksponensial kompleks:

Dengan menggunakan rumus di atas, dan periodisitasnya lagi, maka berlaku identitas berikut:

dengan  adalah fungsi logaritma real tunggal,  menyatakan logaritma kompleks dari , dan  bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari , yang semua bilangan kompleks  untuk  pangkat  sama dengan , mempunyai tak berhingga banyaknya nilai

untuk bilangan bulat sembarang .

Dengan mengambil  sehingga  ada di dalam selang yang ditentukan untuk argumen prinsip, maka  disebut nilai prinsip dari logaritma, dinotasikan sebagai . Argumen prinsip setiap bilangan real positif   bernilai 0, jadi  adalah sebuah bilangan real yang sama dengan logaritma (alami). Akan tetapi, rumus logaritma tentang darab dan perpangkatan bilangan di atas tidak memberikan perumuman terkait nilai prinsip dari logaritma kompleks.

Ilustrasi tersebut menggambarkan , membatasi argumen   dengan interval . Cara memadankan cabang dari logaritma kompleks mempunyai ketakkontinuan di sepanjang sumbu- real negatif, seperti yang dapat dilihat pada lompatan hue di gambar. Saat melintasi batas, ketakkontinuan tersebut dimulai dari lompatan hingga batas lain yang ada di cabang yang sama, dalam artian bahwa tiada perubahan dengan nilai- dari cabang tetangga kontinu yang berpadanan. Lokus tersebut dinamakan potongan cabang. Dengan menghapus perbatasan argumen, maka relasi "argumen dari " dan "logaritma dari " menjadi fungsi bernilai banyak.

Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya

Eksponensiasi muncul dalam cabang matematika dan fungsi inversnya seringkali mengacu pada logaritma. Sebagai contoh, logaritma matriks merupakan fungsi invers (bernilai banyak) dari eksponensial matriks. Contohnya lain seperti fungsi logaritma p-adic, fungsi invers dari fungsi eksponensial p-adic. Kedua fungsi tersebut didefinisikan melalui deret Taylor yang analog dengan kasus bilangan real. Dalam konteks geometri diferensial, peta eksponensial memetakan ruang garis singgung di sebuah titik lipatan ke lingkungan titik tersebut. Kebalikannya juga disebut peta logaritma.

Dalam konteks grup hingga, eksponensiasi dinyatakan dengan mengalikan satu anggota grup  dengan dirinya secara berulang. Logaritma diskret merupakan bilangan bulat  yang menyelesaikan persamaan

dengan  adalah anggota dari grup. Mengerjakan solusi eksponensiasi dapat dilakukan dengan efisien, namun logaritma diskret dipercayai bahwa sangat sulit untuk menghitungnya dalam beberapa grup. Asimetri dari grup tersebut mempunyai penerapan penting dalam kriptografi kunci publik, contohnya seperti pertukaran kunci Diffie–Hellman, sebuah pertukaran kunci sehari-hari yang memungkinkan pertukaran kunci kriptografi terhadap saluran informasi yang tidak diamankan. Logaritma Zech berkaitan dengan logaritma diskret dalam grup perkalian anggota taknol dari medan hingga.

Adapun fungsi invers berupa logaritma lainnya. Fungsi tersebut di antaranya: logaritma ganda  yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial ganda, superlogaritma'' yang merupakan kebalikan dari tetrasi, fungsi Lambert W yang merupakan kebalikan dari fungsi , dan logit yang merupakan kebalikan dari fungsi logistik.