Jabarkan Perkalian dalam dari Sudut (geometri)

Untuk menentukan sudut dalam riil abstrak ruang perkalian dalam, mengganti hasil kali titik Euklides ( · ) dengan perkalian dalam , i.e.

Dalam kompleks ruang perkalian dalam, ekspresi untuk kosinus di atas dapat memberikan nilai non-riil, sehingga diganti dengan

atau, menggunakan nilai absolut, dengan

Definisi terakhir arah vektor dan dengan demikian menggambarkan sudut antara subruang satu dimensi  dan  tentangan oleh vektor  dan  secara bersamaan.