Jabarkan Generalisasi dari Teorema Pythagoras

Bentuk serupa di tiga sisi

Generalisasi teorema Pythagoras yang melampaui bidang bujur sangkar pada tiga sisi hingga bentuk yang sama diketahui oleh Hippocrates of Chios pada abad ke-5 SM, dan dimasukkan oleh Euclid dalam buku Elements:Jika salah satu memasang angka yang sama (lihat geometri Euclidean) dengan sisi yang sesuai di sisi segitiga siku-siku, maka jumlah area yang ada di dua sisi yang lebih kecil sama dengan luas area yang ada di sisi yang lebih besar.Perpanjangan ini mengasumsikan bahwa sisi-sisi segitiga asli adalah sisi yang sesuai dari tiga angka yang kongruen (sehingga rasio sisi yang sama antara angka-angka yang sama adalah a:b:c). Sementara bukti Euclid hanya berlaku untuk poligon cembung, teorema juga berlaku untuk poligon cekung dan bahkan untuk angka-angka serupa yang memiliki batas melengkung (tetapi masih dengan bagian dari batas gambar menjadi sisi segitiga asli).

Gagasan dasar di balik generalisasi ini adalah bahwa luas bidang gambar sebanding dengan kuadrat dimensi linear apa pun, dan khususnya sebanding dengan kuadrat panjang sisi mana pun. Jadi, jika gambar yang serupa dengan area A, B dan C didirikan pada sisi dengan panjang yang sesuai a, b dan c maka:

Tapi, oleh teorema Pythagoras, a2 + b2 = c2, jadi A + B = C.

Sebaliknya, jika kita dapat membuktikan bahwa A + B = C untuk tiga angka yang sama tanpa menggunakan teorema Pythagoras, maka kita dapat bekerja mundur untuk membangun bukti teorema. Sebagai contoh, segitiga tengah awal dapat direplikasi dan digunakan sebagai segitiga C pada sisi miringnya, dan dua segitiga siku-siku yang sama (A dan B) yang dibangun pada dua sisi lainnya, dibentuk dengan membagi segitiga tengah dengan ketinggiannya. Penjumlahan area dari dua segitiga yang lebih kecil karena itu adalah dari yang ketiga, sehingga A + B = C dan membalikkan logika di atas mengarah ke teorema Pythagoras a2 + b2 = c2. (Lihat juga Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang)