Jelaskan Penerapannya dalam teori bilangan dari Logaritma

Logaritma alami sangat berkaitan dengan salah satu topik dalam teori bilangan, yaitu menghitung bilangan prima. Untuk setiap bilangan bulat , jumlah bilangan prima kurang dari sama dengan  dinyatakan sebagai . Teorema bilangan prima mengatakan bahwa  kira-kira sama dengan

yang berarti bahwa fungsi pencacahan bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari  dan pecahan yang mendekati 1 ketika  menuju ke takhingga. Akibatnya, peluang dari bilangan yang dipilih secara acak di antara 1 dan  adalah bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digit desimal . Pendekatan  yang lebih baik merupakan fungsi integral Euler , yang didefinisikan sebagai

Hipotesis Riemann, yang merupakan salah satu konjektur matemtika terbuka yang paling terlama, dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan  dan . Teorema Erdős–Kac mengatakan bahwa jumlah faktor bilangan prima yang berbeda juga melibatkan logaritma alami.

Logaritma dari n faktorial, , dirumuskan sebagai

Rumus di atas dapat dipakai utnuk memperoleh sebuah hampiran dari  untuk setiap bilangan  yang lebih besar, yaitu rumus Stirling.