Jelaskan Definisi dan ilustrasi dari Grup (matematika)

Salah satu grup yang paling dikenal adalah himpunan bilangan bulat

dengan penambahan. Untuk dua bilangan bulat  dan , penambahan  menghasilkan bilangan bulat, dan  sifat ketertutupan mengatakan bahwa  adalah operasi biner . Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.

Untuk semua bilangan bulat ,  dan , . Ini dapat dijelaskan melalui kata-kata, yang berarti bahwa menambahkan  ke  terlebih dahulu, dan kemudian menambahkan hasil tersebut ke  akan memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan  ke penjumlahan  dan . Sifat ini dikenal sebagai sifat asosiatif.

Jika  adalah bilangan bulat, maka  dan . Nol disebut elemen identitas dari penambahan, sebab menambahkannya ke bilangan bulat akan tetap memberikan hasil bilangan bulat yang sama.

Untuk setiap bilangan bulat , terdapat bilangan bulat  sehingga  dan . Bilangan bulat  disebut elemen invers dari bilangan bulat  dan dilambangkan dengan .

Bilangan bulat dengan operasi  membentuk objek matematika yang merupakan milik kelas yang luas yang membagi aspek struktural yang serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif, disajikanlah definisi di bawah berikut.