Jabarkan Turunan dan antiturunan dari Logaritma

Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya. Jadi, ketika  adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan, maka  fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika turunan dari  menghitung nilai  melalui sifat-sifat fungsi eksponensial, aturan rantai menyiratkan bahwa turunan dari  dirumuskan sebagai

Artinya, kemiringan dari garis singgung yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok  di titik  sama dengan .

Turunan dari  adalah , yang berarti ini menyiratkan bahwa  adalah integral tunggal dari  yang mempunyai nilai 0 untuk . Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta .

Turunan dengan argumen fungsional rampat  dirumuskan sebagai

Hasil bagi pada ruas kanan disebut turunan logaritmik dari  dan menghitung  melalui turunan dari  dikenal sebagai pendiferensialan logaritmik. Antiturunan dari logaritma alami  dirumuskan sebagai:

Terdapat rumus yang berkaitan, seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diperoleh dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.

Representasi integral mengenai fungsi logaritma

Logaritma alami dari  dapat didefinisikan sebagai integral tentu:

Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun, dan definisi ini merupakan sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral,  sama dengan luas antara sumbu- dan grafik fungsi , yang berkisar dari  ke . Penjelasan ini juga merupakan akibat dari teorema dasar kalkulus, dan bahkan turunan dari  sama dengan . Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diperoleh melalui definisi ini. Sebagai contoh, rumus hasil kali  dapat disimpulkan sebagai:

Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel  menjadi . Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor  dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi  lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi  dengan interval dari  hingga  sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga . Hal ini membenarkan persamaan  (2) melalui bukti geometri lainnya.

Rumus pangkat  dapat real dalam cara yang serupa:

Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel  melalui integral substitusi.

Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan

disebut deret harmonik. Deret ini sangat terkait erat dengan logaritma alami, yang dinyatakan melalui pernyataan berikut: ketika  cenderung menuju takhingga, selisih dari

konvergen (yakni mendekati dengan sembarang) ke sebuah bilangan yang dikenal sebagai konstanta Euler–Mascheroni . Kaitan antara deret harmonik dan logaritma natural membantu dalam menganalisis kinerja algoritma seperti quicksort.