Jabarkan Pengenalan Elementer dari Teori grup

Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk grup automorfis. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat invarian, dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut grup simetri.

Dalam teori Galois, yang merupakan origin sejarah konsep grup, seseorang menggunakan grup untuk menggambarkan simetri persamaan yang diselesaikan dengan suatu persamaan polinom. Grup yang dapat diselesaikan dinamai seperti itu karena sifat-sifatnya yang tetap dalam teori ini.

Grup Abelian mencakup beberapa struktur yang dipelajari dalam aljabar abstark, seperti sinsin, medan, dan modul.

Dalam topologi aljabar, grup digunakan untuk menggambarkan sifat invarian dari ruang topologi (nama torsi subgrup dari suatu grup infinitif yang menunjukkan dalam medan). Disebut ‘invarian’ karena mereka didefinisikan melalui suatu cara yang mana mereka tidak berubah jika ruangnya dideformasi. Contohnya termasuk grup fundamental, grop homolog, dan grup co-homolog.

Konsep grup Lie( yang dinamai sesuai ahli matematika Sophus Lie) bersifat penting untuk mempelajari persamaan diferensial dan manifolds; teori ini menggambungkan analisi dan teori grup serta objek yang tepat untuk menggambarkan simetri dari struktur yang dianalisis. Analisis yang dilakukan pada suatu grup dengan cara tersebut dinamakan analisis harmonik.

Dalam kombinatorik, grup permutasi dan konsep aksi grup sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan satu set objek; lihat Burnside's lemma.

Pemahaman terhadap teori grup juga sangat penting dalam ilmu-ilmu fisik. Dalam kimia, grup digunakan untuk mengklasifikasikan struktur kristal, polihedra reguler, dan simetri molekul. Dalam fisika, grup bersifat penting karena dapat menggambarkan simetri yang bisasanya ada dalam fisika. Para ahli fisika sangat tertarik pada representasi grup, terutama grup Lie, karena representasinya sering kali membuka celah munculnya teori fisika baru.

Contoh dalam fisika: Model Standar, Teori Gauge.