Jabarkan Geometri dan topologi dari Pita Möbius

Pita Möbius dapat dinyatakan dalam sebuah subset R3 sebagai berikut:

di mana 0 ≤ u < 2π dan −1 ≤ v ≤ 1. Persamaan ini akan menyatakan pita Möbius dengan lebar 1 dengan lingkaran berjari-jari 1, berada pada bidang xy yang berpusat di

Pita Möbius. Dunia Satu Sisi yang Terpelintir

Sebuah Pita Möbius dibuat dengan selembar kertas dan pita. Jika seekor semut yang merangkak sepanjang Pita ini, akan kembali ke titik awal yang melintasi setiap bagian dari Pita tanpa pernah melintasi tepi.

Pita Möbius adalah sebuah permukaan dengan hanya satu sisi dan hanya satu komponen batas. Pita Möbius memiliki sifat matematika menjadi non-orientable. Hal ini dapat direalisasikan sebagai permukaan yang memerintah. Ia ditemukan secara independen oleh matematikawan Jerman Agustus Ferdinand Möbius dan Johann Benedict Listing pada tahun 1858.

Sebuah model dengan mudah dapat dibuat dengan mengambil secarik kertas dan memberikan setengah-putaran(twist), dan kemudian bergabung dengan ujung Pita bersama untuk membentuk sebuah lingkaran. Dalam ruang Euclidean sebenarnya ada dua jenis Pita Möbius tergantung pada arah putaran-setengah: searah jarum jam dan berlawanan.

Hal ini mudah untuk menemukan persamaan aljabar solusi yang memiliki topologi Pita Möbius, namun secara umum persamaan ini tidak menggambarkan bentuk geometris yang sama yang satu mendapatkan dari model kertas Terputar yang dijelaskan di atas. Secara khusus, model kertas terputar adalah permukaan yang Developable (memiliki kelengkungan nol Gaussian). Sebuah sistem persamaan diferensial-aljabar yang menggambarkan model jenis ini diterbitkan pada tahun 2007 bersama-sama dengan solusi numeriknya

Pita Möbius beberapa memiliki propreti yang aneh. Sebuah garis yang ditarik mulai dari lapisan di tengah akan bertemu kembali pada jahitan tetapi di "sisi lain". Jika terus garis akan bertemu dengan titik awal dan akan dua kali lipat panjang Pita asli. Kurva ini terus menerus tunggal menunjukkan bahwa Pita Möbius hanya memiliki satu batas.

potongan Pita Möbius sepanjang garis tengah menghasilkan satu Pita panjang dengan dua tikungan penuh di dalamnya, bukan dua potongan terpisah, hasilnya bukan pita Möbius. Hal ini terjadi karena Pita asli hanya memiliki satu sisi yang dua kali lebih lama Pita asli. Potongan menciptakan tepi independen kedua, setengah dari yang di setiap sisi gunting. Pemotongan baru ini, lagi, Pita di tengah menciptakan dua Pita luka sekitar satu sama lain, masing-masing dengan dua tikungan penuh.

Jika Pita dipotong sepanjang sekitar sepertiga dari cara dari pinggir, itu menciptakan dua Pita: Salah satunya adalah Möbius Pita tipis - itu adalah pusat ketiga Pita asli, terdiri dari 1 / 3 dari lebar dan panjang yang sama sebagai Pita asli. Yang lainnya adalah Pita lagi tapi tipis dengan dua tikungan penuh di dalamnya - ini adalah sekitar tepi Pita asli, dan itu terdiri dari 1 / 3 dari lebar dan dua kali panjang Pita asli.

Pita analog lainnya dapat diperoleh dengan bergabung sama Pita dengan dua atau lebih tikungan setengah di dalamnya, bukan satu. Sebagai contoh, sebuah Pita dengan tiga putaran setengah, ketika dibagi memanjang, menjadi Pita diikat dalam simpul trefoil. (Jika simpul ini terurai, Pita dibuat dengan delapan tikungan setengah di samping sebuah simpul tinju.) Persamaan untuk jumlah tikungan setelah memotong Möbius Pita adalah 2N +2 = M, dimana N merupakan jumlah tikungan sebelum dan M, nomor akhir. Potongan Pita Möbius, memberikan liku tambahan, dan menghubungkan kembali berakhir menghasilkan angka yang disebut cincin paradromic.

Sebuah Pita dengan jumlah-ganjil setengah-putaran, seperti Pita Möbius, akan hanya memiliki satu permukaan dan satu batas. Sebuah Pita diputar berkali - kali akan memiliki dua permukaan dan dua batas.

Jika Pita dengan jumlah ganjil setengah-liku dibelah dua sepanjang panjangnya, maka akan menghasilkan Pita lagi, dengan jumlah ligkaran(loop)yang sama karena ada setengah-liku dalam bahasa aslinya. Atau, jika Pita dengan jumlah setengah-liku yang genap dibelah dua sepanjang panjangnya, maka akan menghasilkan dua Pita siam, masing-masing dengan jumlah yang sama putaran seperti aslinya.