Jabarkan Konstruksi formal dari Bilangan kompleks

William Rowan Hamilton memperkenalkan pendekatan untuk mendefinisikan himpunan  dari bilangan kompleks sebagai himpunan   dari bilangan real, di mana aturan penjumlahan dan perkalian berikut diterapkan:

Kemudian hanya masalah notasi untuk diungkapkan  sebagai .

Konstruksi sebagai medan hasil bagi

Meskipun konstruksi tingkat rendah ini secara akurat mendeskripsikan struktur bilangan kompleks, definisi ekuivalen berikut mengungkapkan sifat aljabar  lebih segera. Karakterisasi ini bergantung pada pengertian bidang dan polinomial. Bidang adalah himpunan yang diberkahi dengan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang berperilaku seperti yang biasa dari, katakanlah, bilangan rasional. Contohnya, hukum distributif

harus memegang untuk tiga elemen ,  dan  dari sebuah lapangan. Himpunan  bilangan real memang membentuk bidang. Polinomial  dengan koefisien nyata adalah ekspresi dari bentuk

Dimana  adalah bilangan real. Penambahan dan perkalian polinomial biasa memberikan himpunan  dari semua polinomial dengan struktur gelanggang. Gelanggang ini disebut gelanggang polinomial di atas bilangan riil.

Kumpulan bilangan kompleks ditentukan sebagai gelanggang hasil bagi . Bidang ekstensi ini berisi dua akar kuadrat dari , yaitu (coset dari)  dan , masing-masing. (Koset dari)  dan  membentuk dasar dari  sebagai ruang vektor nyata, yang berarti bahwa setiap elemen bidang ekstensi dapat ditulis secara unik sebagai kombinasi linier di kedua elemen ini. Dengan kata lain, elemen bidang ekstensi dapat ditulis sebagai pasangan berurutan  dari bilangan real. Cincin hasil bagi adalah bidang, karena  adalah tak tersederhanakan berakhir , sehingga ideal yang dihasilkan adalah maksimal.

Rumus penjumlahan dan perkalian di ring , modulo the relation , sesuai dengan rumus untuk penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks yang didefinisikan sebagai pasangan berurutan.

Wakilan matriks dari bilangan kompleks

Bilangan kompleks  bisa juga diwakili oleh  matriks yang memiliki bentuk sebagai berikut:

Di sini entri  dan  adalah bilangan riil. Jumlah dan produk dari dua matriks tersebut lagi-lagi dalam bentuk ini, dan jumlah dan hasil kali bilangan kompleks sesuai dengan jumlah dan perkalian dari matriks-matriks tersebut, hasil perkaliannya adalah:

Deskripsi geometris dari perkalian bilangan kompleks juga dapat diekspresikan dalam matriks rotasi dengan menggunakan korespondensi antara bilangan kompleks dan sejenisnya. Selain itu, kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks yang dinyatakan sebagai matriks sama dengan determinan matriks tersebut:

Konjugasi  sesuai dengan transpos dari matriks.

Meskipun representasi bilangan kompleks dengan matriks ini adalah yang paling umum, banyak representasi lain yang muncul dari matriks  selain   kuadrat itu ke negatif dari matriks identitas. Lihat artikel tentang 2 × 2 matriks riil untuk representasi lain dari bilangan kompleks.