Jabarkan Gelanggang dan Lapangan dari Aljabar

Grup hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan sepenuhnya perilaku jenis-jenis bilangan yang berbeda, struktur-struktur dengan dua operator haruslah dipelajari. Yang paling penting darinya adalah gelanggang, dan medan.

Sebuah gelanggang memiliki dua Operasi biner (+) dan (×), dengan × distributif atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk grup abelian. Di bawah operator kedua (×), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas penjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers penjumlahan dari a ditulis sebagai −a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.

Sifat distributif memperumum hukum distributif untuk bilangan. Untuk bilangan bulat  dan  dan × dikatakan distributif di atas +.

Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat penjumlahan yang membuatnya sebagai domain integral, atau daerah bilangan bulat, atau ranah bilangan bulat,.

Sebuah medan atau lapangan adalah gelanggang dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk grup abelian di bawah ×. Identitas perkalian (×) ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari a ditulis sebagai a−1.

Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh-contoh lapangan.