Jabarkan Bukti menggunakan segitiga serupa dari Teorema Pythagoras

Bukti ini didasarkan pada Kesebandingan sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa rasio dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.

Biarkan ABC mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di C, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar ketinggian dari titik C, dan dikatakan H persimpangan dengan sisi AB. Titik H membagi panjang sisi miring c menjadi bagian d dan e. ACH segitiga baru sama dengan segitiga ABC, karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada A, yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar. Dengan alasan yang sama, segitiga CBH juga mirip dengan ABC. Bukti kesamaan segitiga membutuhkan postulat segitiga: jumlah sudut dalam segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan postulat paralel. Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai:

Hasil pertama menyamakan cosinus dari sudut θ, sedangkan hasil kedua menyamakan sinus mereka.

Rasio ini dapat ditulis sebagai

Menjumlahkan kedua persamaan ini menghasilkan

yang, setelah penyederhanaan, mengekspresikan teorema Pythagoras:

Peran bukti ini dalam sejarah adalah subjek banyak spekulasi. Pertanyaan mendasarnya adalah mengapa Euclid tidak menggunakan bukti ini, tetapi menemukan yang lain. Salah satu dugaan adalah bahwa bukti dari segitiga yang sama melibatkan teori proporsi, topik yang tidak dibahas sampai nanti dalam Elemen, dan bahwa teori proporsi membutuhkan pengembangan lebih lanjut pada waktu itu.