Jelaskan Kekontinuan dan keterdiferensialan dari Turunan

Fungsi  yang terdiferensialkan di suatu titik , juga akan bersifat kontinu di titik tersebut. Sebagai contoh dari sifat ini, misalkan    adalah fungsi tangga yang menghasilkan nilai 1 untuk semua  kurang dari nilai , dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai  yang lebih besar atau sama dengan . Fungsi  tidak dapat memiliki turunan di titik . Untuk nilai  yang negatif, titik  akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari  ke  akan sangat curam; dan semakin curam saat  menuju nol. Sedangkan nilai  yang positif, maka  terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari  ke  tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju besar kemiringan yang sama, mengakibatkan nilai limit dari persamaan beda tidak ada.

Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan di sana. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak  bersifat kontinu di , namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika  positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke  bernilai 1, sedangkan jika  negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke  bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak dapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi  tidak terdiferensialkan di .

Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.

Sebagian besar fungsi pada praktiknya memiliki turunan di semua titik atau hampir semua titik. Pada awal sejarah kalkulus, banyak matematikawan mengasumsikan fungsi kontinu dapat diturunkan di banyak titik. Pada kondisi yang standar, hal ini berlaku karena kebanyakan fungsi adalah fungsi monoton atau fungsi Lipschitz. Tetapi pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh pertama dari fungsi yang kontinu dimanapun namun tidak terdiferensialkan dimanapun. Contoh tersebut sekarang dikenal sebagai fungsi Weierstrass.