Jabarkan Ideal prima dari Bilangan prima

Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang  (untuk bilangan bulat  dan ) angka  memiliki dua faktorisasi , tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan ideal, sebuah himpunan bagian dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang.

Ideal prima yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam aljabar komutatif, teori bilangan aljabar dan geometri aljabar. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke teorema Lasker–Noether disebutkan setiap ideal dalam gelanggang komutatif Noetherian sebagai perpotongan ideal prima yang merupakan generalisasi yang tepat dari prima kuasa.

Spektrum gelanggang adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut. Geometri aritmetika juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau percabangan dari ideal prima ketika diangkat sebagai medan perluasan, masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan percabangan dalam geometri. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan kuadrat dapat digunakan untuk penggunaan ketimbalbalikan kuadrat, pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat.

Upaya awal untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat menyebabkan pengenalan Kummer dari prima regular, bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada bilangan bulat siklotomi.

Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh teorema kerapatan Chebotarev, yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.