Jabarkan Aplikasi dari Faktorial

Meskipun fungsi faktorial berakar pada kombinatorik, rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.

Terdapat nilai  dengan cara yang berbeda untuk menyusun  objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, permutasi dari objek tersebut.

Seringkali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai  kombinasi (himpunan bagian dari elemen nilai ) dari himpunan dengan elemen . Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih  sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan,  kali, dengan total

Namun, hal ini menghasilkan kombinasi  dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap  - kombinasi diperoleh dengan  cara yang berbeda, jumlah yang benar dari  kombinasi adalah

Nomor ini diketahui sebagai koefisien binomial, karena ia juga merupakan koefisien dari  pada . Syarat  sering disebut faktorial jatuh (dilafalkan "n menjadi penurunan k").

Faktorial terjadi di aljabar karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari rumus binomial, atau melalui rata-rata lebih dari permutasi untuk simetri operasi tertentu.

Faktorial juga muncul di kalkulus; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku rumus Taylor, di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena  turunan dari  setara dengan .

Faktorial juga digunakan secara ekstensif di teori probabilitas dan teori bilangan (lihat di bawah).

Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah  permutasi dari  dapat ditulis sebagai

meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu, ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri dari koefisien binomial:

Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan aturan pangkat, sebagai

where  is Notasi Euler untuk  turunan dari .

Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar

Seiring bertambahnya , faktorial  Meningkat lebih cepat daripada semua polinomial dan fungsi eksponensial (tetapi lebih lambat dari  dan fungsi eksponensial ganda) masuk .

Sebagian besar perkiraan untuk n! didasarkan pada perkiraan logaritma natural

Grafik fungsi  ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Ini terlihat kira-kira linear untuk semua nilai wajar dari , tetapi intuisi ini salah. Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk  dengan membatasi jumlah dengan integral dari atas dan bawah sebagai berikut: