Jelaskan Euler dari Teori bilangan

Ketertarikan Leonhard Euler (1707–1783) pada teori bilangan pertama kali didorong pada tahun 1729, ketika seorang temannya, seorang amatir Goldbach, mengarahkannya ke beberapa karya Fermat tentang masalah ini. Ini disebut "kelahiran kembali" dari teori bilangan modern, setelah Fermat relatif kurang sukses dalam menarik perhatian orang-orang sezamannya untuk subjek tersebut. Karya Euler tentang teori bilangan meliputi yang berikut ini:Bukti untuk pernyataan Fermat. Ini termasuk teorema kecil Fermat (digeneralisasikan oleh Euler ke modulus non-prima); fakta bahwa  jika dan hanya jika ; pekerjaan awal menuju bukti bahwa setiap bilangan bulat adalah jumlah dari empat kotak (bukti lengkap pertama adalah oleh Joseph-Louis Lagrange (1770), segera diperbaiki oleh Euler sendiri); kurangnya solusi integer bukan nol ke  (menyiratkan kasus n=4 dari teorema terakhir Fermat, kasus n=3 yang juga dibuktikan oleh Euler dengan metode terkait).Persamaan Pell, pertama kali salah diberi nama oleh Euler. Dia menulis tentang hubungan antara pecahan lanjutan dan persamaan Pell.Langkah pertama menuju teori bilangan analitik. Dalam karyanya tentang penjumlahan empat kotak, partisi, bilangan pentagonal, dan distribusi bilangan prima, Euler memelopori penggunaan apa yang dapat dilihat sebagai analisis (khususnya, deret tak hingga) dalam teori bilangan. Karena dia hidup sebelum pengembangan analisis kompleks, sebagian besar karyanya dibatasi pada manipulasi formal deret pangkat. Dia melakukannya, bagaimanapun, melakukan beberapa pekerjaan awal yang sangat penting (meskipun tidak sepenuhnya ketat) tentang apa yang kemudian akan disebut fungsi Riemann zeta.Bentuk kuadrat. Mengikuti arahan Fermat, Euler melakukan penelitian lebih lanjut tentang pertanyaan bilangan prima mana yang dapat diekspresikan dalam bentuk , beberapa di antaranya menggambarkan timbal balik kuadrat. Persamaan Diophantine. Euler mengerjakan beberapa persamaan Diophantine dari genus 0 dan 1. Secara khusus, dia mempelajari karya Diophantus; dia mencoba untuk mensistematisasikannya, tetapi waktunya belum tepat untuk usaha seperti geometri aljabar yang masih dalam tahap awal. Dia melihat ada hubungan antara masalah Diophantine dan integral elips, yang studinya telah dia mulai sendiri.