Jabarkan Keterdiferensialan dan matriks Jacobi dari Turunan

Misalkan  adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh  Fungsi  dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel yang lain:

Dalam contoh ini, setiap nilai  akan menghasilkan sebuah fungsi  yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan

Setelah suatu nilai  dipilih, misalnya , maka  selanjutnya menentukan sebuah fungsi  yang memetakan  ke , juga dapat ditulis sebagai . Dalam ekspresi tersebut  adalah sebuah konstanta dan bukan sebuah variabel, menjadikan  sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:

Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai . Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi  dalam arah :

dan disebut sebagai turunan berarah dari  terhadap . Dalam ekspresi tersebut, simbol ∂ adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial. Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".

Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi  dalam arah  di titik  didefinisikan sebagai

Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali  dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel