Jabarkan Bilangan p-adik dari Bilangan prima

Urutan -adik  dari sebuah bilangan bulat  adalah jumlah salinan dari  dalam faktorisasi prima dari . Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan -adik dari pecahan  menjadi . Nilai absolut -adik  dari sembarang bilangan rasional  kemudian didefinisikan sebagai . Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut -adik-nya akan membatalkan faktor  dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak -adik-nya, nilai absolut -adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat  yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk medan lengkap, bilangan rasional dengan jarak -adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda.

Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan -adik digeneralisasikan ke medan bilangan aljabar dan penilaian-penilaian tersebut (pemetaan tertentu dari Medan grup perkalian ke grup aditif terurut total disebut juga sebagai urutan), nilai absolut (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma), dan tempat (ekstensi ke medan lengkap dimana medan yang diberikan adalah himpunan rapat disebut juga sebagai pelengkapan). Perluasan dari bilangan rasional ke bilangan real, misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah nilai absolut biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi logaritma dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut teorema Ostrowski, gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan -adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional. Prinsip lokal-global memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.

Anggota bilangan prima dalam gelanggang

Gelanggang komutatif merupakan struktur aljabar dimana penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi. Sebuah anggota  dari sebuah gelanggang  dikatakan bilangan prima jika  adalah bilangan taknol, tidak mempunyai invers perkalian (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah unit), dan memenuhi syarat berikut: jika  membagi hasil kali  dari dua anggota , maka  juga membagi setidaknya  ataupun . Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,

Dalam sebuah gelanggang sembarang, semua anggota bilangan prima adalah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku pada umumnya, namun berlaku untuk domain faktorisasi tunggal.

Teorema dasar aritmetika tetap berlaku (menurut definisi) dalam domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi tunggal adalah bilangan bulat Gauss , gelanggang dari bilangan kompleks berbentuk  dimana  menyatakan satuan imajiner,  dan  merupakan bilangan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai bilangan prima Gauss. Tidak semua bilangan yang merupakan bilangan prima di antara bilangan bulat tetap merupakan bilangan prima dalam bilangan bulat Gauss. Sebagai contoh, bilangan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu  dan . Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima dalam bilangan bulat) kongruen dengan 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, namun bilangan prima rasional kongruen dengan 1 mod 4 bukan bilangan prima Gauss. Contoh tersebut merupakan akibat dari teorema Fermat tentang jumlah dari dua bilangan kuadrat, yang mengatakan bahwa sebuah bilangan prima ganjil  dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat, , dan demikian dapat difaktorkan sebagai , tepat ketika  kongruen dengan 1 mod 4.