Jelaskan Dalam aljabar abstrak dari Bilangan prima

Aritmetika modular dan medan berhingga

Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan  untuk bilangan asli  yang disebut modulus.

Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan . Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, pengurangan, atau perkalian bilangan bulat. Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan kongruensi dalam aritmetika modular:

dan  adalah kongruen (ditulis  mod ) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan . Namun, dalam sistem bilangan ini, pembagian dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima  sebagai modulus, pembagian dengan  adalah dimungkinkan:  karena kemungkinan menghapus penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan  diberikan rumus yang valid . Namun, dengan modulus komposit , pembagian dengan  adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk : menghapus penyebut dengan mengalikan dengan  menyebabkan ruas kiri menjadi  sedangkan ruas kanan menjadi  atau . Dalam terminologi aljabar abstrak, kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk medan atau medan berhingga, sedangkan modulus lainnya hanya memberikan gelanggang tetapi bukan sebuah medan.

Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, teorema kecil Fermat menyatakan bahwa jika  (mod ), maka  (mod ). Menjumlahkan dari semua pilihan  diberikan persamaan

valid jika  adalah bilangan prima.

Konjektur Giuga menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk  menjadi prima.

Teorema Wilson menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat  adalah bilangan prima jika dan hanya jika faktorial  kongruen dengan  mod . Untuk  ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi  dan , dan jadi  adalah hal mustahil.