Jabarkan Turunan berarah dari Turunan

Jika  adalah fungsi bernilai real di , maka turunan parsial  mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika  adalah fungsi dari  dan , maka turunan parsial  mengukur variasi di  dalam arah  dan . Tapi, turunan  tidak mengukur secara langsung variasi  pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal . Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor

turunan berarah  dalam arah  di titik x didefinisikan melalui limit

Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan  dan  adalah satuan vektor pada arah . Mensubstitusi  ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan bentuk

Dengan mengambil limit  menuju nol dari persamaan di atas, didapatkan hubungan turunan berarah  dalam arah vektor  sama saja dengan  kali turunan berarah  dalam arah vektor satuan . Oleh karena itu, . Karena sifat penskalaan ini, turunan berarah seringkali digunakan hanya untuk vektor satuan.

Jika semua turunan parsial  ada dan kontinu di , maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah  pada arah  melalui rumus berikut:

Rumus di atas merupakan akibat dari definisi turunan total. Rumus ini juga menunjukkan bahwa turunan berarah bersifat linear di , dalam artian .

Definisi yang sama juga berlaku ketika  berupa fungsi yang memiliki nilai di ; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di .

Diferensial total dan matriks Jacobi

Jika  merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari  ke , maka turunan berarah  dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke  di titik dan arah tersebut. Tetapi jika , maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi . Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor  yang dimulai dari , terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:

Sama seperti turunan satu variabel,  dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.

Jika  dan  bernilai 1, maka turunan  merupakan sebuah nilai dan bentuk  merupakan hasil kali dari dua bilangan. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi,  tidak dapat berupa sebuah bilangan. Jika  adalah sebuah bilangan, maka  akan berupa vektor di . Sedangkan bentuk-bentuk lainnya berupa vektor di  sehingga rumus hampiran linear menjadi tidak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi masuk akal,  harus sebuah fungsi yang memetakan vektor di  ke vektor di , dan  harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di .

Untuk menentukan jenis fungsi apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai

Perhatikan bahwa jika vektor lain dipilih, katakanlah , maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan  ke . Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan nilai  ke  dan  ke . Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan persamaan berikut.

Jika diasumsikan bahwa  bernilai kecil dan bahwa perubahan turunan kontinu di , maka  kira-kira sama dengan . Karena itu, ruas kanan pada persamaan tersebut kira-kira sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang dalam cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan  dimasukkan . Rumus hampiran linear menyiratkan:

Rumus tersebut menyarankan bahwa  merupakan transformasi linear dari ruang vektor  ke ruang vektor . Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan , dengan konstantanya bebas dari  namun kontinu bergantung pada . Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya,  merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika  dan  menuju ke nol,  harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika  menuju ke nol,  harus berupa transformasi linear.

Kaidah untuk turunan fungsi multivariabel