Jabarkan Gagasan umum dari Aksioma

Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu sama lain.

Jika sama ditambahkan ke sama, keutuhannya sama.

Jika yang sama dikurangkan dari yang sama, maka sisanya adalah sama.

Hal-hal yang bertepatan satu sama lain adalah sama satu sama lain.

Keseluruhan lebih besar daripada bagian.

Pelajaran yang dipetik oleh matematika dalam 150 tahun terakhir adalah berguna untuk melepaskan makna dari pernyataan matematika (aksioma, postulat, proposisi, teorema) dan definisi. Seseorang harus mengakui perlunya gagasan primitif, atau istilah atau konsep yang tidak ditentukan, dalam studi apa pun. Abstraksi atau formalisasi semacam itu membuat pengetahuan matematika lebih umum, mampu memiliki banyak arti yang berbeda, dan oleh karena itu berguna dalam berbagai konteks. Alessandro Padoa, Mario Pieri, dan Giuseppe Peano adalah pionir dalam gerakan ini.

Matematika strukturalis melangkah lebih jauh, dan mengembangkan teori-teori dan aksioma (misalnya teori medan, teori grup, topologi, ruang vektor ) tanpa aplikasi tertentu dalam pikiran. Perbedaan antara "aksioma" dan "postulat" menghilang. Postulat-postulat Euclid dimotivasi secara menguntungkan dengan mengatakan bahwa postulat-postulat itu mengarah pada kekayaan besar fakta-fakta geometris. Kebenaran dari fakta-fakta rumit ini bertumpu pada penerimaan hipotesis dasar. Namun, dengan membuang postulat kelima Euclid, seseorang bisa mendapatkan teori yang memiliki makna dalam konteks yang lebih luas (misalnya, geometri hiperbolik ). Dengan demikian, seseorang harus siap untuk menggunakan label seperti "garis" dan "paralel" dengan fleksibilitas yang lebih besar. Perkembangan geometri hiperbolik mengajarkan matematikawan bahwa berguna untuk menganggap postulat sebagai pernyataan formal murni, dan bukan sebagai fakta berdasarkan pengalaman.

Ketika matematikawan menggunakan aksioma lapangan, niatnya bahkan lebih abstrak. Proposisi teori medan tidak menyangkut satu aplikasi tertentu; matematikawan sekarang bekerja dalam abstraksi lengkap. Ada banyak contoh bidang; teori medan memberikan pengetahuan yang benar tentang mereka semua.

Tidak benar untuk mengatakan bahwa aksioma teori medan adalah "proposisi yang dianggap benar tanpa bukti". Sebaliknya, aksioma lapangan adalah satu set kendala. Jika ada sistem penjumlahan dan perkalian yang memenuhi batasan ini, maka seseorang berada dalam posisi untuk segera mengetahui banyak informasi tambahan tentang sistem ini.

Matematika modern memformalkan fondasinya sedemikian rupa sehingga teori matematika dapat dianggap sebagai objek matematika, dan matematika itu sendiri dapat dianggap sebagai cabang logika . Frege, Russell, Poincaré, Hilbert, dan Gödel adalah beberapa tokoh kunci dalam perkembangan ini.

Pelajaran lain yang dipelajari dalam matematika modern adalah memeriksa bukti-bukti yang diakui secara hati-hati untuk asumsi-asumsi yang tersembunyi.

Dalam pemahaman modern, seperangkat aksioma adalah kumpulan pernyataan yang dinyatakan secara formal yang diikuti oleh pernyataan lain yang dinyatakan secara formal – dengan penerapan aturan tertentu yang terdefinisi dengan baik. Dalam pandangan ini, logika hanya menjadi sistem formal lainnya. Serangkaian aksioma harus konsisten ; seharusnya tidak mungkin untuk menurunkan kontradiksi dari aksioma. Serangkaian aksioma juga harus tidak berlebihan; pernyataan yang dapat disimpulkan dari aksioma lain tidak perlu dianggap sebagai aksioma.

Itu adalah harapan awal ahli logika modern bahwa berbagai cabang matematika, mungkin semua matematika, dapat diturunkan dari kumpulan aksioma dasar yang konsisten. Keberhasilan awal dari program formalis adalah formalisasi Hilbert dari geometri Euclidean, dan demonstrasi terkait dari konsistensi aksioma tersebut.

Dalam konteks yang lebih luas, ada upaya untuk mendasarkan semua matematika pada teori himpunan Cantor . Di sini, munculnya paradoks Russell dan antinomi serupa dari teori himpunan naif meningkatkan kemungkinan bahwa sistem semacam itu bisa berubah menjadi tidak konsisten.

Proyek formalis mengalami kemunduran yang menentukan, ketika pada tahun 1931 Gödel menunjukkan bahwa adalah mungkin, untuk setiap set aksioma yang cukup besar ( aksioma Peano, misalnya) untuk membangun sebuah pernyataan yang kebenarannya tidak tergantung pada set aksioma tersebut. Sebagai akibat wajar, Gödel membuktikan bahwa konsistensi teori seperti aritmatika Peano adalah pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dalam ruang lingkup teori itu.

Masuk akal untuk percaya pada konsistensi aritmatika Peano karena dipenuhi oleh sistem bilangan asli, sistem formal yang tak terbatas tetapi dapat diakses secara intuitif. Namun, saat ini, tidak ada cara yang diketahui untuk menunjukkan konsistensi aksioma Zermelo–Fraenkel modern untuk teori himpunan. Selanjutnya, dengan menggunakan teknik pemaksaan ( Cohen ) seseorang dapat menunjukkan bahwa hipotesis kontinum (Cantor) tidak bergantung pada aksioma Zermelo–Fraenkel. Jadi, bahkan rangkaian aksioma yang sangat umum ini tidak dapat dianggap sebagai landasan definitif untuk matematika.