Jelaskan Turunan sebagai sebuah fungsi dari Turunan

Misalkan  adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di domainnya. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik  ke nilai dari turunan  di . Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah , dan disebut sebagai fungsi turunan atau turunan dari . Terkadang  memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di  sama dengan  kapanpun nilai  terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari . Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari .

Menggunakan ide tersebut, turunan dapat dianggap sebagai fungsi dari fungsi: Turunan adalah sebuah operator dengan domainnya adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan di semua titik pada domain mereka, dan citra-nya (range) adalah himpunan berisi fungsi-fungsi. Jika operator ini dinyatakan dengan , maka  sama dengan fungsi . Selain itu, karena  adalah sebuah fungsi, nilainya dapat dihitung di titik . Dengan menggunakan definisi dari fungsi turunan,

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi ;  adalah fungsi satu variabel yang bernilai real, mengartikan fungsi ini menerima sebuah angka lalu menghasilkan sebuah angka:

Operator  di sisi lain, tidak menerima maupun menghasilkan angka, melainkan fungsi:

Karena  menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari  dapat dievaluasi di suatu titik. Sebagai contoh, ketika  diterapkan pada fungsi kuadrat ,  akan menghasilkan fungsi , yang dapat diberi nama . Fungsi hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung , , dan seterusnya.