Jabarkan Integral tertentu dari Kalkulus

Diberikan suatu fungsi  bervariabel real  dan interval antara  pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas daerah pada bidang- yang dibatasi oleh kurva grafik , sumbu-, dan garis vertikal  dan .

Pada notasi integral di atas:  adalah batas bawah dan  adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan,  adalah integran yang akan dievaluasi terhadap  pada interval , dan  adalah variabel pengintegralan.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Riemann didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkan ingin mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi  pada interval tertutup . Dalam mencari luas daerah tersebut, interval  dapat dibagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan memilih sejumlah  titik  antara  dengan  sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan  tersebut dapat dikatakan sebagai partisi , yang membagi  menjadi sejumlah  subinterval . Lebar subinterval pertama  dinyatakan sebagai , demikian pula lebar subinterval ke-i dinyatakan sebagai . Pada tiap-tiap subinterval inilah dipilih suatu titik sembarang, dan pada subinterval ke- tersebut dipilih titik sembarang . Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar  dan tingginya berawal dari sumbu  sampai menyentuh titik  pada kurva. Jika luas tiap-tiap batangan tersebut dihitung dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, maka akan didapatkan:

Penjumlahan  disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk  pada interval . Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang diambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang diinginkan. Jika limit dari norma partisi  mendekati nol, maka didapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah: