Jelaskan Aturan Leibniz dari Turunan

Jika  dan  dapat diturunkan sebanyak  kali, maka turunan ke- dari fungsi  adalah

Ekspresi  yang muncul pada persamaan tersebut menandakan koefisien binomial. Aturan ini adalah perumuman dari kaidah darab.

Turunan pada sistem bilangan kompleks

Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel kompleks dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep jarak (Euklides) antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.

Jika  berupa himpunan buka, dan  adalah fungsi bernilai kompleks, maka  dikatakan terdiferensialkan di titik  bila nilai limit

ada. Turunan kompleks ini disimbolkan dengan  Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi  Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai  pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi nilai mutlak kompleks tidak memiliki turunan dimanapun. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik tersebut.

Walaupun (atau tepatnya karena) konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.

Jika fungsi  terdiferensialkan di keseluruhan domain , maka fungsi  disebut fungsi holomorfik di . Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan  disebut fungsi entire. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, teorema Picard menyimpulkan bahwa citra (range) dari fungsi entire hanya dapat berupa:   atau  untuk suatu  Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks  tidak pernah menghasilkan nilai  maupun nilai , maka  adalah fungsi konstan.

Turunan untuk fungsi bernilai vektor

Sebuah fungsi bernilai vektor  dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real (ril) ke suatu vektor di suatu ruang vektor . Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, . Hal ini mengartikan fungsi  dapat ditulis sebagai . Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah kurva parametrik di  atau . Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. Turunan dari fungsi  didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitungdengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila  adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu , turunan  dapat dipandang sebagai vektor kecepatan dari partikel pada waktu .