Jabarkan Penalaran logika dari Matematika

Matematikawan berusaha keras untuk mengembangkan hasil mereka dengan penalaran sistematis untuk menghindari kekeliruan menggunakan suatu "teorema". Bukti yang keliru ini sering muncul dari intuisi yang salah dan telah umum dalam sejarah matematika. Untuk memungkinkan penalaran deduktif, beberapa asumsi dasar perlu diakui secara tersurat sebagai aksioma. Secara tradisional aksioma ini dipilih atas dasar pertimbangan akal sehat, tetapi aksioma modern biasanya mengungkapkan jaminan formal untuk gagasan primitif, seperti objek dan relasi sederhana.

Keabsahan bukti matematika pada dasarnya adalah masalah kekakuan, dan kekakuan yang disalahpahami adalah penyebab penting bagi beberapa kesesatan konseptual umum tentang matematika. Bahasa matematika lebih presisi dibandingkan percakapan sehari-hari terhadap kata-kata seperti atau dan hanya. Kata-kata lain seperti terbuka dan lapangan diinvestasikan dengan makna baru untuk konsep matematika tertentu. Kadang-kadang diperkenalkan istilah yang sama sekali baru (seperti homeomorfisme). Kosakata teknis ini tepat dan ringkas, sehingga memungkinkan untuk secara psikis memproses ide-ide yang kompleks. Matematikawan menyebut ketepatan bahasa dan logika ini sebagai "kekakuan".

Kekakuan yang diharapkan dalam matematika telah bervariasi dari waktu ke waktu: orang Yunani mengharapkan argumen yang terperinci, tapi di masa kejayaan Isaac Newton, metode yang digunakan kurang kaku. Masalah yang melekat dalam definisi yang digunakan oleh Newton menyebabkan kebangkitan analisis yang cermat dan bukti formal pada abad ke-19. Kemudian pada awal abad ke-20, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menerbitkan karya mereka, Principia Mathematica, upaya untuk menunjukkan bahwa semua konsep dan pernyataan matematika dapat didefinisikan, kemudian dibuktikan seluruhnya melalui logika simbolik. Ini adalah bagian dari program filosofis yang lebih luas yang dikenal sebagai logisisme, yang melihat matematika terutama sebagai perpanjangan dari logika.

Meskipun matematika demikian ringkas, ekspresi pembuktian justru membutuhkan ratusan halaman. Munculnya bukti berbantuan komputer telah memungkinkan panjang bukti untuk lebih berkembang. Bukti yang dibantu komputer mungkin salah jika peranti lunak pembuktian memiliki kekurangan, dan jika bukti itu terlalu panjang, sulit untuk diperiksa. Di pihak lain, pembantu pembuktian membolehkan verifikasi perincian yang tidak dapat diberikan oleh bukti yang ditulistangan, dan memberikan kepastian kebenaran bukti panjang seperti yang ada pada bukti setebal 255 halaman untuk Teorema Feit–Thompson.