Jabarkan Lagrange, Legendre, dan Gauss dari Teori bilangan

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) adalah orang pertama yang memberikan bukti penuh dari beberapa karya dan pengamatan Fermat dan Euler contohnya, teorema empat persegi dan teori dasar dari "persamaan Pell" yang salah nama (yang solusi algoritmiknya ditemukan oleh Fermat dan orang-orang sezamannya, dan juga oleh Jayadeva dan Bhaskara II sebelum mereka.) Dia juga mempelajari bentuk kuadrat secara umum penuh (sebagai lawan ) mendefinisikan relasi ekivalennya, menunjukkan bagaimana meletakkannya dalam bentuk tereduksi, dll.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) adalah orang pertama yang menyatakan hukum timbal balik kuadrat. Dia juga

menebak berapa jumlah teorema bilangan prima dan teorema Dirichlet tentang perkembangan aritmatika. Dia memberikan perlakuan penuh persamaan  dan mengerjakan bentuk-bentuk kuadrat di sepanjang garis yang kemudian dikembangkan sepenuhnya oleh Gauss. Di usia tuanya, dia adalah orang pertama yang membuktikan "teorema terakhir Fermat"  (menyelesaikan pekerjaan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet, dan memuji dia dan Sophie Germain).

Kedewasaan dan pembagian menjadi subbidang

Mulai awal abad kesembilan belas, perkembangan berikut secara bertahap terjadi:

Kebangkitan kesadaran diri teori bilangan (atau  aritmatika yang lebih tinggi ) sebagai bidang studi.

Perkembangan banyak matematika modern yang diperlukan untuk teori bilangan modern dasar: analisis kompleks, teori grup, teori Galois - disertai dengan ketelitian yang lebih besar dalam analisis dan aljaber abstrak.

Pembagian kasar teori bilangan ke dalam subbidang modernnya — khususnya, analitik dan teori bilangan aljabar.

Teori bilangan aljabar dapat dikatakan dimulai dengan studi timbal balik dan siklotomi, tetapi benar-benar muncul dengan perkembangan aljabar abstrak dan cita-cita awal; Lihat di bawah. Titik awal konvensional untuk teori bilangan analitik adalah Teorema Dirichlet tentang progresi aritmatika (1837),  yang buktinya memperkenalkan L-functions dan melibatkan beberapa analisis asimtotik dan proses pembatas pada variabel nyata.