Jelaskan Perkalian dari Bilangan asli

Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat ), operator perkalian  dapat didefinisikan melalui  dan . Ini mengubah  menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan bilangan prima.

Hubungan antara penjumlahan dan perkalian

Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam distribusi: . Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari komutatif semiring. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya aditif invers, yang ekuivalen dengan fakta bahwa  tidak tertutup di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa  bukanlah gelanggang; melainkan semiring.

Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan  and .

Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli

Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar:

Ketertutupan di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli  dan , maka  dan  adalah bilangan asli.

Pengelompokan: untuk semua bilangan asli , , dan , maka  dan .

Pertukaran: untuk semu bilangan asli  dan , maka  dan .

Keberadaan elemen identitas: untuk setiap bilangan asli ,  dan .

Distribusi dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli , , dan , .

Tidak ada pembagi nol tak-nol: bila  dan  adalah bilangan asli sehingga , maka  atau  (atau kedua-duanya).