Jabarkan Sejarah dari Teori bilangan

Penemuan sejarah paling awal dari suatu sifat aritmatika adalah fragmen dari tabel: pecahan lempengan tanah liat Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, kira-kira tahun 1800 SM) berisi daftar "Pythagoras   such that . Judul di atas kolom pertama berbunyi: "The takiltum dari diagonal yang telah dikurangi lebar..." bahwa dari rumus yang dibangun melalui jumlah, dalam bahasa modern, identitas

yang tersirat dalam latihan Babilonia yang sangat rutin. Bagaimana metode lain bisa menggunakan dengan pertama kali dibuat dan kemudian disusun ulang oleh , mungkin untuk penggunaan aktual sebagai "tabel", contohnya, dengan tampilan ke aplikasi.

Tidak diketahui apa aplikasi ini, atau apakah mungkin ada; Astronomi Babilonia, contohnya, baru baru ini benar menjadi pemilik belakangan. Dengan perlu mengalihkan untuk menyarankan bahwa tabel adalah sumber contoh numerik untuk masalah sekolah.

Sementara teori bilangan Babilonia atau yang bertahan dari matematika Babilonia yang dapat disebut demikian yang terdiri dari fragmen tunggal yang mencolok ini, aljabar Babilonia (dalam pengertian sekolah menengah " berkembang dengan sangat baik. Sumber-sumber Neoplatonik Akhir nyatakan bahwa Pythagoras belajar matematika dari Babilonia. Sumber jauh lebih awal menyatakan bahwa Thales dan Pythagoras bepergian dan belajar di Mesir.

Euclid IX 21 34 sangat mungkin adalah Pythagoras; itu adalah bahan yang sangat sederhana ("waktu ganjil genap", "jika bilangan ganjil mengukur [= membagi] bilangan genap, maka ia juga mengukur [= membagi] setengahnya"), tetapi hanya itu yang diperlukan untuk membuktikan nilai 2|]]

adalah irasional.  Mistikus Pythagoras sangat mementingkan ganjil dan genap.

Penemuan tersebut bahwa  tidak rasional dikreditkan ke Pythagoras awal (pra Theodorus). Dengan mengungkapkan (dalam istilah modern) bahwa angka bisa jadi tidak rasional, penemuan ini tampaknya telah memicu krisis mendasar pertama dalam sejarah matematika; bukti atau penyebarluasannya kadang-kadang dikreditkan ke Hippasus, yang dipisahkan dari sekte Pythagoras. Hal ini dapat memaksa perbedaan antara bilangan (bilangan bulat dan rasional subjek aritmatika), di satu sisi, dan panjang dan proporsi (yang akan kami identifikasi dengan bilangan real, apakah rasional atau tidak), di sisi lain.

Tradisi Pythagoras berbicara juga tentang apa yang disebut poligonal atau angka figur. Sementara bilangan kuadrat, bilangan kubik, dll., Sekarang dipandang lebih alami daripada bilangan segitiga, bilangan pentagonal, dll. Studi tentang jumlah

bilangan segitiga dan pentagonal terbukti bermanfaat pada awal periode modern (abad ke-17 hingga awal abad ke-19).

Kita tidak mengetahui materi aritmatika yang jelas dalam sumber Mesir kuno atau Weda, meskipun ada beberapa aljabar di keduanya. Teorema sisa Bahasa Hanzi muncul sebagai exe  di Sunzi Suanjing (abad ke 3, ke 4, atau ke 5 M) (Ada satu langkah penting yang ditutup-tutupi dalam solusi Sunzi: ini adalah masalah yang kemudian dipecahkan oleh Kuṭṭaka Āryabhaṭa lihat di bawah.)

Ada juga beberapa mistisisme numerik dalam matematika Tiongkok, tetapi, tidak seperti Pythagoras, tampaknya tidak mengarah ke mana pun. Seperti angka sempurna Pythagoras, persegi ajaib telah berubah dari takhayul menjadi rekreasi.

Yunani Klasik dan periode Helenistik awal

Selain dari beberapa fragmen, matematika Yunani Klasik diketahui oleh kita baik melalui laporan dari non-matematikawan kontemporer atau melalui karya matematika dari teori Helenistik awal. Dalam kasus teori bilangan, ini berarti, pada umumnya, Plato dan Euklides, masing-masing.

Sementara matematika Asia memengaruhi pembelajaran Yunani dan Helenistik, tampaknya matematika Yunani juga merupakan tradisi pribumi.

Eusebius, PE X, bab 4 menyebutkan Pythagoras:

"Faktanya, Pythagoras tersebut, sambil sibuk mempelajari kebijaksanaan setiap bangsa, mengunjungi Babilonia, dan Mesir, dan semua Persia, atas instruksi dari orang Majus dan para pendeta: dan selain itu dia terkait telah belajar di bawah bimbingan Brahmana (ini adalah filsuf India); dan dari beberapa dia mengumpulkan astrologi, dari geometri lain, dan aritmatika dan musik dari yang lain, dan hal-hal yang berbeda dari negara yang berbeda, dan hanya dari orang-orang bijak Yunani dia tidak mendapatkan apa-apa, menikah seperti mereka dalam kemiskinan dan kelangkaan kebijaksanaan: jadi sebaliknya dia sendiri menjadi penulis instruksi kepada orang-orang Yunani dalam pembelajaran yang dia peroleh dari luar negeri."

Aristoteles menyatakan bahwa filosofi Plato mengikuti ajaran Pythagoras, dan Cicero mengulangi klaim ini: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Mereka mengatakan Plato mempelajari semua hal Pythagoras").

Plato memiliki minat yang besar pada matematika, dan dengan jelas membedakan antara aritmatika dan perhitungan. (Dengan aritmatika yang dia maksud, sebagian, berteori tentang angka, daripada apa aritmatika.) Melalui salah satu dialog Plato — yaitu, Theaetetus kita tahu bahwa Theodorus telah membuktikan bahwa  tidak rasional. Theaetetus adalah, seperti Plato, murid Theodorus; dia bekerja pada membedakan berbagai jenis tidak dapat dibandingkan, dan dengan demikian bisa dibilang pelopor dalam studi sistem bilangan. (Buku X Elemen Euklides dijelaskan oleh Pappus sebagian besar didasarkan pada karya Theaetetus.)

Euklides mengabdikan bagian dari Elemen nya untuk bilangan prima dan dapat dibagi, topik yang jelas termasuk dalam teori bilangan dan merupakan dasar untuk itu (Buku VII sampai IX Elemen Euclid). Secara khusus, dia memberikan algoritma untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua angka (Algoritma Euklides; Elemen, Prop. VII.2) dan bukti pertama yang diketahui dari tak terhingga.