Jabarkan Definisi dari Faktorial

Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:

diatas merupakan bilangan bulat dari .  Ini dapat ditulis dalam notasi perkalian pi sebagai:

Hal tersebut mengarah menuju relasi pengulangan:

Faktorial dari  adalah , atau dalam simbol, .

Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:

Untuk nilai , definisi dari  sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat Produk kosong).

Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).

Karena membuat banyak identitas di kombinatorik berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari himpunan kosong diberikan oleh koefisien binomial

Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen  di antara himpunan  adalah

Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti fungsi eksponensial, sebagai deret pangkat:

Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.