Jabarkan Asal-usul definisi dari Turunan

Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai limit dari perbandingan dua bilangan real. Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.

Misalkan  adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada suatu lingkungan buka dari suatu bilangan real . Dalam geometri, garis singgung dari grafik fungsi  di  adalah suatu garis unik yang melalui titik  dan tidak memotong fungsi  di sekitar titik . Turunan dari  terhadap  di  secara geometris adalah besar kemiringan dari garis singgung grafik  di . Besar kemiringan garis singgung akan sangat mirip dengan besar kemiringan garis yang melalui titik  dan sebuah titik lain di grafik yang dekat dengannya, sebagai contoh . Garis yang didefinisikan ini disebut dengan garis sekan. Nilai  yang dekat dengan nol akan memberikan hampiran (dugaan, aproksimasi) yang baik mengenai besar kemiringan garis singgung; dan secara umum, nilai (mutlak)  yang semakin kecil akan memberikan hampiran yang lebih baik. Besar kemiringan  dari garis sekan adalah perbedaan nilai  antara dua titik tersebut, dibagi dengan perbedaan nilai  pada dua titik yang sama, dengan kata lainLimit digunakan untuk mengubah nilai hampiran ke nilai yang pasti (exact). Jika nilai dari limit ketika  menuju nol ada, maka nilai ini menyatakan besar kemiringan dari garis singgung fungsi di titik . Limit ini didefinisikan sebagai turunan dari fungsi  di :

Jika nilai limit ada,  dikatakan terdiferensialkan di . Notasi  adalah salah satu notasi umum untuk turunan. Definisi turunan ini mengandung hubungan yang intuitif bahwa suatu fungsi terdiferensialkan  bersifat menaik jika dan hanya jika turunannya bernilai positif, dan menurun jika dan hanya jika turunannya bernilai negatif. Fakta ini sering digunakan dalam analisis mengenai perilaku fungsi, contohnya dalam menentukan titik ekstrem fungsi.

Selain itu, turunan juga memenuhi sifat

yang menghasilkan interpretasi yang intuitif (lihat Gambar 1) bahwa garis singgung fungsi  di  memberikan hampiran linear terbaik

untuk nilai fungsi  di sekitar  (yakni, untuk nilai  yang kecil). Interpretasi ini adalah konsep termudah yang dapat diperumum ke kasus-kasus lainnya.

Metode subtitusi  dengan nol pada perbandingan beda tidak dapat dilakukan karena menghasilkan pembagian oleh nol. Hal ini menyebabkan besar kemiringan dari garis singgung tidak dapat ditemukan secara langsung lewat subtitusi. Besar kemiringan dapat ditentukan mendefinisikan  menjadi perbandingan (quotinent) beda sebagai fungsi dari :

secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui  dan . Jika  adalah fungsi kontinu, secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi  kontinu selain di . Jika limit  ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk  yang membuat  menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi  terdiferensialkan di , dan besar turunannya di  sama dengan . Pada praktiknya, keberadaan  yang kontinu di  ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku  pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari  untuk nilai  yang kecil terlihat jelas, walaupun  masih tidak terdefinisi di . Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.