Jelaskan Sifat-sifat aljabar dari Bilangan bulat

Seperti himpunan bilangan asli,  tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Artinya, penjumlahan maupun perkalian dari dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat.  juga tertutup terhadap operasi pengurangan karena mengandung 0 dan bilangan-bilangan negatif, berbeda halnya dengan bilangan asli. Namun karena hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu berupa bilangan bulat pula (contohnya 1 ketika dibagi dengan 2),  tidak tertutup terhadap pembagian. Walaupun bilangan asli tertutup terhadap eksponensiasi, sifat ini tidak berlaku pada bilangan bulat, karena hasil eksponensiasi dapat berbentuk pecahan ketika eksponen bernilai negatif.

Tabel berikut berisi daftar beberapa sifat dasar operasi penambahan dan perkalian, untuk sembarang bilangan bulat , , dan :

Empat sifat pertama untuk perkalian yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa  dalam operasi perkalian merupakan suatu monoid komutatif. Namun, tidak semua bilangan bulat memiliki invers perkalian (contohnya angka 2), mengakibatkan  dalam perkalian bukan suatu grup. Tidak lengkapnya invers perkalian untuk setiap elemen setara dengan pernyataan  tidak tertutup dalam pembagian, mengartikan bahwa  bukan suatu lapangan. Lapangan terkecil yang mengandung bilangan bulat sebagai sublapangan adalah lapangan bilangan rasional.

Lima sifat pertama untuk penjumlahan yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa  dalam penjumlahan merupakan suatu grup Abelian. Himpunan  juga merupakan suatu grup siklik, karena semua bilangan bulat bukan 0 dapat ditulis sebagai penjumlahan terhingga  atau . Malahan,  dalam penjumlahan adalah satu-satunya grup siklik tak hingga — dalam artian semua grup siklik tak hingga bersifat isomorfik dengan .

Semua sifat pada tabel (kecuali baris terakhir), ketika digunakan bersama-sama, mengartikan bahwa  dengan penjumlahan dan perkalian membentuk suatu gelanggang komutatif dengan elemen identitas. Gelanggang ini adalah fondasi semua objek struktur aljabar.

Walaupun pembagian yang umum tidak terdefinisi di , operasi pembagian "dengan sisa" dapat didefinisikan. Pembagian ini disebut pembagian Euklides, dan memiliki sifat penting berikut: untuk sembarang dua bilangan bulat  dan  dengan , akan ada bilangan bulat unik  dan  yang memenuhi  dan , dengan notasi  berarti nilai mutlak dari . Bilangan  disebut hasil bagi dan  disebut sisa pembagian  oleh . Algoritme Euklides menggunakan serangkaian operasi pembagian Euklides untuk menghitung faktor persekutuan terbesar.