Jelaskan Teori bilangan modern awal dari Teori bilangan

Pierre de Fermat (1607–1665) tidak pernah menerbitkan tulisannya; Secara khusus, karyanya tentang teori bilangan terkandung hampir seluruhnya dalam surat-surat untuk matematikawan dan catatan pinggir pribadi. Dalam catatan dan suratnya, dia jarang menulis bukti, bahwa dia tidak punya model di daerah itu.

Selama hidupnya, Fermat memberikan kontribusi berikut di lapangan:

Salah satu minat pertama Fermat adalah bilangan sempurna (yang muncul di buku tulisan Euklides, Elements IX) dan nomor yang bersahabat; topik ini membawanya untuk bekerja pada integer pembagi s, yang dari awal di antara subyek korespondensi (1636 dan seterusnya) yang membuatnya berhubungan dengan komunitas matematika dari hari ke hari.

Pada tahun 1638, Fermat mengklaim, tanpa bukti, bahwa semua bilangan bulat dapat diekspresikan sebagai jumlah dari empat persegi atau kurang.

Teorema kecil Fermat (1640): if a is not divisible by a prime p, then

Bila a dan b adalah coprime, setelah itu  tidak habis dibagi oleh kongruen prima manapun dengan −1 modulo 4; dan setiap kongruen prima dengan 1 modulo 4 dapat ditulis dalam bentuk . Kedua pernyataan ini juga berasal dari tahun 1640; pada 1659, Fermat menyatakan kepada Huygens bahwa dia telah membuktikan pernyataan terakhir dengan metode keturunan tak terbatas.

Pada 1657, Fermat mengajukan masalah pemecahannya  sebagai tantangan bagi matematikawan Inggris. Masalahnya diselesaikan dalam beberapa bulan oleh Wallis dan Brouncker. Fermat menganggap solusi mereka valid, tetapi menunjukkan bahwa mereka telah memberikan algoritme tanpa bukti (seperti yang dimiliki Jayadeva dan Bhaskara, meskipun Fermat tidak mengetahui hal ini). Dia menyatakan bahwa bukti dapat ditemukan dengan keturunan yang tak terbatas.

Fermat dinyatakan dan dibuktikan (dengan keturunan tak terbatas) di lampiran Pengamatan Diophantus (Obs. XLV) that  tidak memiliki solusi non-sepele dalam bilangan bulat. Fermat juga mengatakan kepada korespondennya itu  tidak memiliki solusi non-sepele, dan ini juga dapat dibuktikan dengan penurunan tak terbatas. Bukti pertama yang diketahui adalah karena Euler (1753; memang dengan keturunan tak terbatas).

Fermat menyatakan ("Teorema terakhir Fermat") telah menunjukkan bahwa tidak ada solusi untuk  for all ; klaim ini muncul dalam penjelasannya di pinggir salinan Diophantus miliknya.