Jelaskan Jika  dan , maka dari Bilangan bulat

Hal ini menyimpulkan  dan definisi keterurutan di atas akan membentuk suatu gelanggang terurut.

Dalam pengajaran di sekolah, bilangan bulat umumnya didefinisikan secara intuitif sebagai kumpulan bilangan asli, angka nol, dan negatif dari kumpulan bilangan asli (maksudnya ). Namun, definisi ini memerlukan banyak kasus (setiap operasi perlu didefinisikan untuk setiap kombinasi jenis bilangan) dan menyulitkan untuk membuktikan bahwa bilangan bulat memenuhi berbagai rumus aritmetika. Karena itu, matematika yang modern menggunakan definisi yang lebih lebih abstrak, yang memungkinkan operasi-operasi aritmetika didefinisikan tanpa perlu membaginya dalam kasus-kasus. Bilangan bulat selanjutnya dikonstruksi (didefinisikan) secara formal sebagai kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan terurut bilangan asli .

Pasangan  dapat dianggap sebagai hasil dari mengurangi  dari . Untuk memastikan bahwa  dan  menghasilkan bilangan yang sama, relasi ekuivalensi  didefinisikan pada pasangan-pasangan ini dengan aturan: