梅森質數

梅森數係指形如嘅數，記做；如果一個梅森數係質數咁佢稱為梅森質數。

截至2018年12月，已知嘅梅森質數共有51個。已知最大嘅梅森質數係。由1997年到而家，所有新嘅梅森質數都係由互聯網梅森質數大搜索分布式計算項目發現嘅。

相關命題同定理

梅森數同梅森質數嘅性質 
。

q ≡ 3 mod 4為質數。則 2q+1係質數 嘅充分必要條件系 2q+1整除Mq，因此對於呢啲質數q，Mq唔可能會係質數，前幾個咁嘅質數q為11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 659, 683, 719, 743, 911, 1019, 1031, 1103, 1223, 1439, 1451, 1499, ... 
如果p係奇質數，咁任何能整除2p − 1嘅質數q都一定係1加上一個2p嘅倍數。例如，211 − 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
如果p係奇質數，咁任何能整除嘅質數q都一定同同除，因為2係模和質數q嘅二次剩餘。

梅森數和梅森素數嘅關系 
下面嘅命題關注乜樣嘅梅森數系梅森素數。 
由知：q系素數系Mq系素數嘅必要條件。但呢唔係充分嘅。M11 = 211 − 1 = 23 × 89系個反例。
對Mq有：
若a系Mq嘅因數，則a有如下性質： 
a ≡ 1 mod 2q 
a ≡ ±1 mod 8
歐拉嘅一個關於形如1+6k嘅數嘅理論表明：Mq系素數當且僅當存在數對使得Mq = (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
Reix發現q > 3時，Mq可以寫成：Mq = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。顯然，若存在一個數對，咁Mq系素數。

梅森數嘅素數檢驗 
盧卡斯-萊默檢驗法係依家已知嘅檢測梅森數素數嘅最好嘅方法。
該方法基於嘅計算，其原理系：
Mn為素數當且僅當Mn整除Sn -2，此數列為4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994, ...

與完全數嘅關系 
梅森素數與偶完全數有一一對應嘅關系。呢個結果稱為歐幾裡得－歐拉定理。
前4世紀，歐幾裡得證明如果M系梅森素數，咁系完全數。
18世紀，歐拉證明所有嘅偶完全數都有呢種形式。

相關問題同估想 
係咪有冇窮多個梅森質數。
梅森質數點樣分佈。

梅森質數對應指數位數分布

梅森質數一覽 

下面表中列出晒所有已知嘅梅森質數：

注：依家重未知喺第48個梅森質數同第51個之間有無未知梅森質數，所以喺其序號之前用*標出。

Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS計劃
Mersenne Primes: History, Theorems and Lists 梅森素數：歷史，定理，以及梅森質數列表

質數
未解到嘅數學問題
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