畢氏定理

又有叫勾股定理、勾股弦定理或者商高定理，係指直角三角形兩條直角邊長度嘅平方嘅和等於斜邊長度嘅平方，即係數式
。

證明 
呢個定理有好多方法去證明，方法可能係數學眾多定理中最多嘅。路明思嘅 Pythagorean Proposition 一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式嚟證明畢氏定理，但係咁做會構成循環論證，所以唔用得，因為所有嘅基本三角恆等式都係建基於畢氏定理。

利用相似三角形嘅證法 
有好多畢氏定理嘅證明方式，都係基於相似三角形中兩邊長嘅比例。

設  為一個直角三角形，直角係  角。由  點拉一條同  垂直嘅直線，直線同  嘅交叉點稱為 。呢個新三角形  同原本嘅三角形  都有一個直角同  呢個共同角，所以三個角都一樣，所以兩個三角形相似。同樣道理， 同  都係相似嘅。呢啲相似關係衍生出以下嘅比率關係：

因為
，，同 ，

所以
同。

即係
同。

綜合呢兩個方程式，可以得到

歐幾里得嘅證法 

喺歐幾里得嘅《幾何原本》一書中畀出畢氏定理嘅以下證明。設  為一個直角三角形，其中  係直角。由  點劃一直線至對邊，令佢垂直於對邊。延長條線將對邊上嘅正方形一分為二，佢嘅面積分別同其餘兩個正方形相等。

喺定理嘅證明中，需要以下四個輔助定理：
 如果兩個三角形有兩組對應邊而呢兩組邊嘅夾角相等，兩個三角形就係全等。
 三角形面積係同底同高嘅平行四邊形面積嘅一半。
 任意一個正方形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
 任意一個矩形嘅面積等於佢兩邊長嘅積。
證明嘅思路係：將上方嘅兩個正方形，透過等高同底嘅三角形，以佢嘅面積關係，轉換成下方兩個同等面積嘅長方形。

證明如下：
 設  為一個直角三角形，直角係 。
 個邊分別係 、 同埋 ，依次序畫成正方形 、 同 。
 畫出穿過  點嘅 、 嘅平行線。條線會分別同  同  喺  直角相交。
 分別連接 、，形成兩個三角形 、。
  同  都係直角，因此 、 同  都係線性對應嘅，、 同  都係一樣。
  同  都係直角，所以  等於 。
 因為  同  分別等於  同 ，所以  一定同  相等。
 因為 、 同  成同一直綫，所以四邊形  面積係  兩倍。
 因為 、 同  成同一直綫，所以正方形  面積係  兩倍。
 因此，四邊形  嘅面積必定等如  。
 同埋，四邊形  嘅面積必定等如  。
 將呢兩個結果相加，
 由於 ，
 由於  係正方形，因此 。
呢個證明係喺歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出嘅。

由於呢個定理嘅證明要靠平行公理，而且由呢個定理可以推出平行公理，好多人質疑平行公理係呢個定理嘅必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理嘅非歐幾里得幾何出現。

圖形重新排列證法 
呢個證明咗以圖形重新排列證明。兩個大正方形嘅面積係 。將四個相等嘅三角形移除之後，左邊剩底嘅面積就係 ，右邊剩底嘅面積係 ，兩者相等。

畢氏定理嘅逆定理 
畢氏定理嘅逆定理係判斷三角形做鈍角、銳角或直角嘅一個簡單嘅方法，其中  係最長邊：
 如果 ， 係直角三角形。
 如果 ， 係銳角三角形。
 如果 ， 係鈍角三角形。

倒數畢氏定理
歐幾里得距離

三角學
幾何定理