單擴張

場論入面，單擴張係場擴張嘅一種，係指喺一個場上面淨係加一粒元素上去嘅擴張，單擴張已經被數學家研究得好透徹，亦都可以完全被分類。

原初元素定理提供咗一個有限單擴張嘅判別方法。

定義 
畀一個場擴張 L/K，如果存在一個元素，符合

咁呢個擴張就叫做單擴張，就叫做一個原初元素，或者生成元素；我哋亦都會話 L 係喺 K之上用生成出來嘅。

每一個有限場都係佢對應嘅素場嘅單擴張，詳細啲嚟講，如果 p 係一個質數，，咁有限場就係素場嘅單擴張，亦即係話，係由一個元素生成，係一個d次方唔約得多項式嘅根，但係喺呢個情況，我哋唔會喊做一個原初元素，即使佢符合前一段原初元素嘅定義都好。

原因係喺有限場嘅語言入面，原初元素有另一個意思，係指個有限場嘅乘法羣嘅生成元素，根據費馬小定理，入面嘅非零元素係等式

嘅根，即係啲(q-1)-單位根。所以，係有限場入面，原初元素係指原初(q-1)單位根，即係乘法羣嘅生成元素。乘法羣嘅原初元素自動係場嘅原初元素，但係調反轉就唔係。

所以係廣義嘅定義入面，我哋要求場入面嘅所有元素都可以寫做原初元素嘅多項式，而喺有限場入面，所有非零元素唔單止係原初元素嘅多項式，直情係原初元素嘅次方。係有限場入面，如果我哋想區分呢兩個概念，會分別講場原初元素同埋羣原初元素。

單擴張嘅結構 
如果L係K之上用生成嘅單擴張，咁L就係裝住K同嘅最細嘅場，咁即係話，L入面任何元素都可以用K入面嘅元素同埋用有限次嘅加減乘除整出嚟。

考慮多項式環K[X]，佢嘅一個萬有性質係存在唯一一個環同態

有兩個可能嘅情況會發生。

如果係單射嘅話，咁佢就可以延伸去K[X}嘅分數場K(X)，由於L係由生成嘅，所以係由K(X)去L嘅同構。咁即係話，L入面每一個元素都係一個唔約得嘅分數，分子分母都係嘅多項式，而且兩個咁樣嘅分數係代表緊同一個L嘅元素若且唯若佢哋其中一個係另一個喺K之上嘅約分。

如果唔係單射嘅話，設p(X)係佢嘅核嘅一個生成元素，亦即係嘅最細多項式。嘅映像係L嘅一個子環，所以係一個域，咁即係代表p係一個唔約得多項式，啫係個商環 係一個場。由於L係由生成，係一個滿射，同埋誘導咗一個由去L嘅同構。咁即係話L入面每一個元素都係嘅多項式，而且個次方低過p嘅次方，譯即係個擴張嘅次方。

例子 

，一般嚟講，任何數場都係一個單擴張 ，例如，

書 

抽象代數