質數分解域

質數分解域係一種代數結構，屬環論之下。

質數分解域只係將質數分解入面可以將數字分解做質數同質數表示嘅獨有性應用喺代數入面。佢可以引伸出一條好重要嘅定理，就係質數分解域定理：「所有嘅單點環倍數域都係一個質數分解域。」

歷史 
「可唔可以喺一個域入面做因式分解？」呢個問題係由數學家拿米證明緊費馬最後定理中途而提問。費馬最後定理講嘅係當，係無整數嘅解。呢條定理係好難證明，就算將，係單數或質數都係好難證明。

喺1847年3月1號嘅巴黎學術會議，拿米話自己成功證明到費馬最後定理，重將自己嘅證明步驟演譯一次。拿米嘅諗法係將分解成虛數多項式，即係，係第個始根。之後，佢覺得所有因數都係相對質數同時，如果，每一個因數都一定係有咁多次方。如果都係細過原來嘅三個數嘅組合，因為呢個假設會推論出有一條無限長嘅遞減正整數數列，咁佢就可以證明出呢條定理。

但係另一個數學家Joseph Liouville質疑佢嘅諗法。每一個相對質數嘅因數係次方，因為每一個佢哮嘅積係根據「所有整數都可以分解成質數，而呢個質數分解係獨有嘅」。Liouville提出點解佢可以做質數分解。雖然拿米好想解決佢呢個問題，但係喺5月24號，Liouville發現Ernst Kummer喺1844年已經證明咗「係唔可以做質數分解」，呢個係拿米提議嘅第個根。

直到1994年，數學家Andrew Wiles利用代數幾何嘅技巧證明出費馬最後定理。

可除性

定義 
設。

如果有一點符合，，咁一般會叫被除，或者叫除，。

同埋，一般會叫做嘅因數，係嘅倍數。

相關定義 
如果唔可以被整除，咁會用嚟表示。

如果同埋或者係嘅可逆元素，咁會叫做嘅正因數。

相等定義 
如果，同埋成立。一般會話係相等。

同時，
 係等價關係；
 如果係一個域，咁，對應有一啲。

證明：

所以。

質數同不可分解數 
討論質數分解域會利用嚟代表非零非單位呢樣嘢。

如果：
 係不可分解數如果佢無任何因數。
 係質數如果對應任何係入面嘅嘢，，同時，咁或者。

例子 
 喺入面，質數不可分解數。
 喺，係一個質數，但係唔係不可分解數，因為。

環倍數性質 
如果用環倍數解釋以上呢幾件事，可以得出以下五個性質：

係質數係質數。
 任何一個域，係不可分解數係最大嘅環倍數。

證明：

睇最大環倍數

如果係質數，設。

如果係質數。

假設係不可分解數。

第二步，對應一啲。 

假設係最大環倍數，設。

得出同埋；

因為係最大，所以一係或者。

：

：

所以係一個域。

域性質 
假設係一個域，咁質數不可分解數。

如果係單點質數域，咁質數不可分解數。

證明：

設係質數。假設。

咁。

所有嘢都約到最簡，如果，咁，對應一啲。

咁

假設係不可以分解數。

因為係PID，利用環倍數性質(5)，

喺入面係最大

係質數

係質數

例子 
 係一個域，因為佢係入面嘅一個子環。係入面，係不可分解數。，但係，所以唔係質數。

質數分解域定義 
一個域 係一個質數分解域，如果佢符合以下兩個性質：
 存在質數分解：每一粒都係有限咁多粒不可分解數嘅積。
 分解獨有性：如果都係嘅質數分解，咁，加埋排返好序對應所有 ，。

注意：喺UFD入面，質數不可分解數。

例子 
 係UFD。
 唔係UFD。

環倍數
 最大環倍數
 單點環倍數
 單點環倍數域
 質數分解域定理
 歐幾理得域

代數
環論