圓羣

喺數學入面，圓羣，係所有模係1嘅複數組成嘅乘法羣，亦即係Argand平面上面嘅單位圓，又或者可以講係單位複數：

圓羣係複數乘法羣嘅子羣，由於係交換嘅，所以都係交換嘅。圓羣亦都可以睇做，一階嘅么正矩陣羣，呢個羣對複數平面進行旋轉作用，所以圓羣可以用旋轉角度嚟參數化：

呢個亦都係圓羣作爲李羣嘅指數映射。

圓羣喺Pontryagin對偶理論同埋李羣理論有好重要嘅作用。

圓羣嘅符號係係因爲用正常嘅拓撲結構嘅話，圓羣其實就係1-環面，推而廣之，就係n-環面。

簡介 

一個生活入面同圓羣有關嘅例子就係鐘，因爲淨係睇鐘面嘅話，係睇唔出支針轉咗幾多個圈嘅。例如，9個鐘加4個鐘，就咁計應該係13個鐘，但係淨係睇個鐘嘅話就係1個鐘，因爲鐘面係唔會同你記住轉咗一個圈嘅。亦即係話，9個鐘+4個鐘=1個鐘。

另一個睇法，就係實數加法，但係淨係睇小數部分，唔睇整數部分，例如我哋想計0.784 + 0.925 + 0.446，答案應該係2.155，但係我哋丟咗個整數部分2，剩返個0.155，亦即係話，係圓羣入面，0.784 + 0.925 + 0.446 = 0.155，呢個例子亦都展示咗拓撲、分析結構 

圓羣唔單止係一個代數物體，佢仲有好自然嘅拓撲、微分結構，就係將佢當成複平面上面嘅單位圓嗰陣，佢繼承嘅子集拓撲。由於喺入面乘法同乘法逆元係光滑映射，圓羣就有個拓撲羣、李羣嘅結構。而且，由於單位圓喺複平面入面係一個閉集，圓羣係嘅一個閉子羣。

李羣嘅角度嚟睇，圓羣係一個單參數羣，而事實上，同構嚟講，圓羣係唯一一個一維連通緊緻李羣，而且，任何一個n維連通緊緻交換李羣都係同同構。

同構 
可以用好多方法去解讀圓羣，亦即係話，圓羣有好多唔同嘅推廣方向，呢到列幾個出嚟：

U(1) 
數學入面，係指n階么正矩陣羣，而就係一階么正矩陣羣，根據定義就係嘅矩陣，而且入面個數要係單位複數，正正就同圓羣嘅條件一樣，所以圓羣可以被視爲么正矩陣羣系列入面嘅第一個：

R/Z 

指數函數可以將實數羣打去圓羣上面：

呢個係一個嘅羣同態，對應住單位圓上面，由x軸開始逆時針數，用弧度做單位嘅角度。呢個係一個羣同態係因爲單位複數嘅乘法同角度嘅加法係對應嘅：

呢個指數函數係一個滿射，但係唔係單射，佢嘅核係嘅整數倍，可以寫做，所以根據第一同構定理我哋知道，做翻個縮放我哋就可以話喇。

呢一個商亦都可以用短正合序列表達出嚟：。

SO(2) 
如果用實矩陣嚟寫啲複數嘅話，咁單位複數就對應住行列式係1嘅正交矩陣喇，亦即係話，

呢個函數其實係由圓羣去二階特別正交羣嘅羣同構，因爲

中間嗰步用咗三角函數恆等式，呢個同構顯示咗單位複數對複平面有個自然嘅旋轉作用，而且每一個旋轉都可以調反轉用複數嚟寫。

性質 

每一個維度大過0嘅緊緻李羣都有一個同圓羣同構嘅子羣，換言之，用對稱嘅角度嚟睇嘅話，任何緊緻李羣嘅連續作用入面都可以搵到一個圓羣作用，係物理學入面，旋轉不變性同自發性打爛對稱都同呢個有關係。

圓羣由好多嘅子羣，但係真封閉子羣就得嗰啲單位根，對任何正整數，所有n次單位根組成咗個n階循環羣。掉返轉嚟睇，圓羣可以睇做循環羣嘅極限。

實數羣有一個性質，就係佢係b-進分數嘅拓撲閉包；圓羣有個類似嘅性質，佢係Prüfer羣嘅拓撲閉包。

對圓羣有個反轉作用，所以可以考慮半直積，呢個羣其實同同構，幾何上嘅諗法係，圓嘅所有對稱都可以寫做「反轉或者唔反轉」接住一個旋轉。因為呢個係同嘅半直積，所以亦都可以話係嘅廣義二面體羣。呢個羣亦都係無限二面體羣嘅連續版本，而任何嘅二面體羣都作為子羣裝咗喺無限二面體羣入面，所以亦都裝喺呢個羣入面。

表示理論 
圓羣嘅表示好容易描述，因爲根據Schur引理所有阿標羣嘅不可約複表示都係一維嘅，而且圓羣係緊緻嘅，所以佢嘅所有表示一定打翻嗮入去單位圓入面，亦即係話，圓嘅唔約得表示其實就係圓打去自己嘅羣同構。

用嚟代表以下嘅表示：

咁嘅話就係嘅共軛表示：

留意返如果n係0嘅話，就係當然表示，其他n代表嘅都係一維表示，即係特徵。嘅特徵羣係由生成嘅無限循環羣：

圓羣嘅不可約實表示就係當然表示同埋

佢哋係喺入面。呢到我哋淨係攞n係正整數，因爲同係等價嘅。

純代數結構 
呢一段淨係考慮代數結構，唔考慮拓撲。

圓羣係一個可除羣，佢嘅扭子羣係所有嘅單位根，係同同構嘅。根據可除羣嘅結構定理同埋選擇公理，我哋知道係同構於同一堆唔知幾多個嘅嘅直和。

爲咗令到兩邊嘅基數啱數，嘅數量一定要係咁多個，但係咁多個嘅直和其實係同同構嘅，因爲可以睇做維度係嘅-向量空間，所以，

同樣道理，亦都有，因爲都係一個可除阿標羣，個扭子羣同嘅扭子羣一樣。亦即係話雖然係嘅一個真子羣，但係佢哋作為一個羣係同構嘅。

其他性質 

如果係一個局部緊緻郝斯多夫羣，而且佢每個真閉子羣都只有有限個閉子羣，咁就係拓樸同構於圓羣。

圓上面嘅有理數點
 環面
 單參數羣
 么正羣
 正交羣
 Prüfer羣
 螺線管 (數學)

參考書 
 Hua Luogeng (1981) Starting with the unit circle, Springer Verlag, 
 Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348

連結 
Homeomorphism and the Group Structure on a Circle
GroupProps
nLab

羣論