同餘

同餘係指兩個整數除另一個整數，呢兩個數嘅餘數都係一樣。喺現代嘅數學基礎中，同餘係一個等價關係。數學上，同餘會以表達。

考慮澌所有整數，除數相同下、餘數亦相同嘅一羣整數就叫做「同餘類」。一個簡單例子係，嘅同餘類就同啲整數嘅個位數對應。

定義 
如果兩個整數a、b係m嘅同餘既話，即係話a除m同b除m所得出嘅餘數係一樣。以數學表達嘅話即係：

同餘有一個等價嘅定義，就係m係可以整餘到。

例一 
因為12同14除2都係餘0，所以可以寫成。

證明 
證明同餘係等價關係。根據嘅要求，就需要證明，自反性、對稱性、傳遞性。
 自反性：()  一個整數除另一個整數嘅餘數係不變，所以。
 對稱性：() 如果a同b係m嘅同餘，。
相對嘅定義係：。

抽因式，抽個負出嚟，。

最後得出，。
 傳遞性：() 如果a同b係m嘅同餘，同時b同c又係m嘅同餘，即係。

相對嘅定義係，同埋。

將兩條式互相加埋得出，。

最後得出，。

因此，呢個係一個等價關係。

商餘計算 
其實商餘同同餘嘅關係係密不可分。

計算規則 
 如果，有一個整數，會令到。
 如果，有一個整數，會令到。
其實以上嘅規則係需要證明。呢兩條規則嘅意思係，同餘嘅方程係同普通嘅無分別，都係可以乘同埋除。不過有一點要注意嘅係係整數，所以除法係唔存在。換句話嚟講，(2)係唔可以好似普通方程咁約簡。

同餘約簡 
如果，而嘅話，就會有一個整數，會令到。變相將個n約走咗啦。

證明：利用比舒公式同埋輾轉相除法，知到會有整數符合。

利用上面嘅公式，得知。

如果將上面嘅n乘入去，得到。

因為同餘嘅傳遞性，。

同餘約簡可以係一個解線性商餘方程嘅工具。有關計算例子可以睇線性商餘方程。

應用 
同餘可以證明一啲結果。例如：一個整數係可以被整除，咁佢每個數字都可以被整除。

證明：

可以將寫成就係嘅數字。

因為，所以。

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