保西奴-華實斯定理

保西奴-華實斯定理係一條嗚數學分析同拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列同子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass，1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理 
增減數列同子數列嘅關係，就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

證明：

假設數列入面第項係最高點，即係話第項會係數列入面數值最高嗰一個項，之後無一個項係高過佢，即係。

即係話，一條數列係遞減數列嘅話，每一點都係最高點。相反，每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點，或者得有限咁多個最高點，兩類。

第一類；假設數列係有無限咁多最高點，咁只要揀曬佢嘅最高點出黎，就得出由此，可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類；假設數列係得有限個最高點，咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟，將所有最高點之後嘅一個項叫做。

因為唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做，咁即係。

因為唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做，咁姐係。

如此類推，就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理 
一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

證明一 
因為增減子數列存在定理，所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定，因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理，咁呢條增減子數列一定趨向一點。

證明二 
需要利用套間證明。

因為數列係被綁定，咁佢一定有一個最小上界限同最大下界限，即係同埋。

將同組成一個間距。

將，然後將斬開兩等分，即係同。而將大過一嘅項數分開做，咁明顯，其中一面或者係有無限咁多點。假設係有無限咁多點，

將定義為入面項數最細嗰一項。即係入面有，咁。

將，之後再將斬開兩等分，即係同。而再將嘅數分開，同樣原理，咁其中一面或者係有無限咁多點。假設係有無限咁多點，

將定義為入面項數最細嗰一項。

如似類推，就會有一個套間，。而同時，佢嘅子數列都會有項係喺第嘅間距入面。姐係。

同時，因為每次都將個間距等分兩份，所以間距嘅長度就會係。

利用套間定理，得知有一個點係喺所有嘅間距入面，即係。

因為同都係喺入面，所以可以知道因為變到好大嘅時候，可變成任意嘅數。

所以，。

推論 
如果一條數列係被綁定，而佢嘅所有子數列都係趨向一點，咁呢條數列係趨向同一點。

極限
 子數列
 增減數列

拓撲學
數學定理
數學分析