循環群

循環群係一類群，係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以嚟表示。

最簡單嘅循環群有加法，咁同都係整群出嚟嗰粒嘢，一般會叫呢兩粒嘢做生產元素。如果係正數，加咁多次。如果係負數，加咁多次。

子群定理 
如果係一個群。如果係入面嘅嘢，咁就係一個子群。

證明：

因為，唔係空集。

設。

，利用一步子群要求，就嘅子群。

例子一 
，係嘅環單元，。

因為

而，所以。

例子二 
喺，。

例子三 
喺，。係入面每一粒嘢。

非子群例子

例子一 
，對應。係一個循環群。同都係整群出嚟嘅嘢。

例子二 
。可以得知，。

但係，因為

循環子群定理 
每一個循環群嘅子群都一定係循環群。

證明：

設係循環群，即係。就係嘅子群。

如果係得一粒，咁。

如果唔係淨係得，即係揀任何一粒入面嘅嘢，；

，係整數。

設係最細整數，令到，同埋係入面是但一粒嘢。

因為係嘅子群，所以，對應有啲。

利用餘數定理，就有兩個數，符合。

咁，

。

因為係子群，所以嘅逆元就係。

所以，同埋。

但係因為係最細整數，令到，同時；

所以。

正正因為，所以。

相等元素要求 
如果係一個群，。

如果嘅基數係有限，，咁同埋。

如果嘅基數係無限，咁。 

證明：

如果係無基數，咁無一個非零嘅符合。

因為，所以。因此。

如果係有基數，。

揀任何一粒。

利用餘數定理，有兩粒，。

咁，

所以。

如果，。

利用餘數定理，有兩粒，同埋。

咁。

因為係最細整數令到，所以，。

如果，咁。

，所以。

推論一 
任何，。

推論二 
係一個群，同埋佢嘅基數係。

如果，咁。

最大公因數定理 
設係一個群，同埋佢嘅基數係，係正整數。

咁，。

證明：

設。同埋，。

因為，咁。

利用比舒公式，有兩個數，。

所以。

，所以。

如果有一個整數係細過，咁根據嘅定義。

利用，。

應用 
整細個生產表示。例如，咁，。

推論一 
喺有限嘅循環群入面，元素嘅基數除得盡群嘅基數。

推論二 
設。

咁，同埋。

推論三 
設。

咁同。

推論四 
係入面嘅整數，佢係整出嚟

群
 子群
 有限群
 循環群基本定理
 執位

羣論