反證法

反證法，又叫做證偽法、矛盾證明，係一個數學上一個攞嚟證明啲嘢唔啱嘅方法。係拉丁話入面，反證法畀人嗌做「reductio ad absurdum」，意思係「推斷出荒謬嘅嘢」。

呢個方法嘅橋妙係咁：首先整一個命題，然後就假設 呢個命題係啱嘅；跟住就推一啲只要  係啱，就一定會發生嘅結果出嚟，最後就指出呢個結果係唔成立或者係喺邏輯上矛盾嘅，咁就可以證明  係錯嘅。

真值表 
反證法可以用真值表嚟證明：因為如果係真但係  係假嘅，咁  嘅值只可能係假。

簡單例子 
要求：

證明「如果  係一個單數，咁  都會係一個單數」。

證明：

假設有個情況，  係一個單數，但係  係一個雙數。

即係對應某啲 ，。計吓

好明顯呢個情況下  唔係一個雙數，所以同前提矛盾。所以  佢一定係個單數。「如果  係一個單數，咁  有可能係一個雙數」呢句嘢唔成立－「如果  係一個單數，咁  都會係一個單數」。

進階例子 
要求：

證明冇任何兩個正整數 可以乎合  呢條式。呢個證明需要用到分類證明。

證明：

假設有兩個正整數  符合  呢條式。

利用 ，得知 。

如果淨係睇整數， 只可以係  同  嗰度嚟。

如果係 ，即係  同 。

因此，。

如果係 ，即係  同 。

因此，。

總括所有可能，個假設都係唔成立，所以一定唔存在 －冇任何兩個正整數可以乎合  呢條式。

係非有理數 
要求：

利用矛盾證明嚟證明「 係非有理數。」

證明：

假設  可以係個有理數。咁即係喺至少一個情況下 ，而  同  都係整數。

喺呢度，進一步假設  係已經約咗簡，費事有約數嘅撈絞。

由上面得出， 係雙數。

假設  係單數，利用簡單例子嘅定理，咁  一定係單數。

所以， 係雙數，而且可以寫成 ， 係某個整數。

利用上面，再總結得出  係雙數，而且可以寫成 ， 係某個整數。

因為，假設  係已經約咗簡，所以唔可以有另一個 。

所以  唔可以用整數寫做分數。

可以利用呢個步驟推出 、、， 係質數，都唔係有理數。

反證法嘅步驟 
 寫低要證明嘅命題。
 再寫低頭先嗰句命題嘅相反，再假設呢句新命題係啱。
 利用呢條假設，推斷啲野出嚟。
 搵下有咩矛盾。
 如果個假設引致矛盾，咁就可以話個假設係錯。咁嘅話個假設嘅相反－即係想證明嗰句命題－就會係啱。

更多例子 
以下命題係可以用反證法嚟證明：
  嘅值係一定少過 。
 對所以嘅整數 、，如果  係單數，咁  同  都係單數。

數學史
 直接證明
 分類證明
 數學歸納法
 否定證明

參考 
 Beth, E. W. (1970). Proof by Contradiction. In Aspect of Modern Logic (pp. 30-41). Springer Netherlands.
 Antonini, S., & Mariotti, M. A. (2006). Reasoning in an absurd world: difficulties with proof by contradiction. In Proceedings of the 30th PME Conference, Prague, Czech Republic (Vol. 2, pp. 65-72).

數學
證明方法
邏輯