餘數定理

餘數定理係講兩個數，一個除另一個嘅時候，會有一個商同一個餘數。呢個定理係喺唔同嘅域都有對應嘅版本，最常見嘅有多整數同多項式嘅版本。

餘數定理係數論上面一條基本而重要嘅定理。喺證明好多數論問題都會用到佢。

概念 
餘數定理係一條常用嘅理論，一做除法就會用到。

舉個例，將13粒提子分畀5個人，每個人就會有2粒，餘3粒。呢個已經係用咗餘數定理嘅概念，用數學式去寫就係換一個寫法就係13係被除數，5係除數，2係商，3係餘數。

定理

整數版本 
假設任何兩個整數 a、b，。對應呢兩個數，一定會有另外兩個數叫 q 同 r，，通常會叫 q 做商，r 做餘數。

而以上四個數字會得出以下關係：

而r會符合  呢個條件，同埋對應 a、b 嘅 r、q 係只得一個。

多項式版本 
一般嚟講，呢個多項式喺係Q[x]入面，Q係指所有有理數，即係所有嘅分數。想知更多可以去睇多項式。假設任何兩個多項式 f(x) 同 g(x)，一定會有另外兩個多項式叫 q(x) 同 r(x)，佢哋有以下關係：

而 r(x) 會符合  呢個條件。

證明 
首先證明 q 同 r 係存在：假設 a 係大過零。我哋考慮以下呢個集 (Set)。

咁其實上面呢個集係集合咗，所有a減走b嘅倍數嘅正整數。即係呢個集係 。

因為 ，將呢個集入數值最細嗰粒元素叫做 r，咁 。

再假設，如果 ，將  代入去。結果，。由於  係最細個粒，所以
 嘅情況係唔可能出現。因此，。

之後，證明獨特性，呢個證明需要用到可除性嘅概念。

假設有兩個唔同嘅 q 同 r，佢哋兩個符合餘數定理，即係 ，同埋 。

因為佢哋都係兩條式都係等於a，所以可以寫成：。

下一步，。

根據可除性，b 係可以整除 。由於兩個 r 都細過 b，所以  都係細過 b。

根據上面兩個事實，b 只可以整除 b 嘅倍數，而 b又可以整除到 ，而  係大過等於零同細過 b。可以得出  呢個事實。

因此兩個r係一樣。再根據呢個事實，就可以得知兩個 q 都係一樣。

上面證明任何兩個整數相除，佢哋對應嘅商同餘數都係獨一無二。

推理 
香港中學教嘅餘數定理同因式定理都係餘數定理嘅推論。

中學版餘數定理 
假設係一個多項式，咁嘅數值就會等於嘅餘數。

證明 
假設將。

根據餘數定理，得出。

將a代入x，得到，再推一步，。

因為就係嘅餘數。

例一 
問題：搵嘅餘數。

步驟：假設，。

而家想整走入面，呢個項。所以將。

求後，得知將代入。

求。

。

所以嘅餘數係3。

因式定理 
如果係多項式嘅因數，咁一定係。

證明 
假設。利用多項式版本嘅餘數定理，得到。

將a代入x，得到，再推一步，。

因為係嘅一個因數，所以兩個除完係無餘數。因此。

總括而言，。

因式定理可以用嚟測定  係唔係一個因數，同埋可以用嚟幫手進行因式分解。

應用 
餘數定理重有好多唔同嘅應用。佢可以用嚟證明輾轉相除法，從而可以搵到最大公因數。

而佢都可以證明出以下幾個喺數論入面有用嘅定理。
 所有嘅單數，都一定係，對應有啲整數，或者呢兩個樣之一。
 任何一個整數嘅平方，都一定係，對應有啲整數，或者呢兩個樣之一。
 任何一個單數嘅平方，都一定係，對應有啲整數，呢個樣。
 任何一個單數嘅三次方，都一定係，對應有啲整數，或者呢幾個樣之一。

輾轉相除法
 可除性

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