Znám 問題

數論入面，Znám 問題係想問邊啲 k 個整數嘅組合符合呢個條件：每個整數都可以整除而且唔等於其他整數乘埋再加 1。Znám 問題係以斯洛伐克數學家 Štefan Znám 命名，佢喺1972年提出呢個問題，不過其實喺嗰段時間都有其他數學家諗緊類似嘅問題。其中一個相關嘅問題係，唔要求整數係真因數，淨係需要係因數就得，則係話容許某啲整數直情等於其他整數乘埋再加一，呢種問題喺呢篇文入邊會叫做仿 Znám 問題。

對任何 k，仿 Znám 問題都有一個好簡單嘅解：喺 Sylvester 數列到攞佢頭 k 個數出嚟就得。 證明對 ，Znám 問題都有最少一個解，佢嘅證明用咗同 Sylvester 數列好似嘅遞歸方法，不過個初始值就唔同。

Znám 問題同埃及分數有關。目前已知揀定一個 k 嘅話，Znám 問題只有有限個解。未知有無一啲淨係用單數嘅解，另外仲有幾個問題嘅答案都係未知嘅。

問題內容 
Znám 問題就係想問有邊啲整數組合，佢哋每一個都係「其他整數乘埋再加一」嘅真因數。亦即係話，固定一個 k，有邊啲整數集合，對於每一個標號 i，都整除但係唔等於。

一個相關嘅問題係，喺上邊嘅要求入邊，唔再要求係真因數，只係要求係因數，即係話某個係可以等於。呢條問題喺文獻入邊似乎無正式嘅一個名，喺呢篇文入邊會叫做仿 Znám 問題。任何Znám 問題嘅解都係仿 Znám 問題嘅解，但係掉反轉就唔一定啱。

歷史 
Znám 問題係用斯洛伐克數學家 Štefan Znám 命名，佢喺1972年提出呢個問題，但係其實當年好多數學家都諗緊類似嘅問題，例如就諗緊 k=3 情況嘅仿 Znám 問題，就獨立於Znám咁搵哂 k ≤ 5 仿 Znám 問題嘅解出嚟，就證明咗 k<5 Znám 問題係無解嘅，並展示咗k = 5嗰陣，{2, 3, 11, 23, 31}呢一組係解，話係 J. Janák 搵嘅。

例子 
k = 5 嘅時候 {2, 3, 7, 47, 395} 係一個解，可以計一計：

k = 4 嘅時候 {2, 3, 7, 43} 喺一個仿解，由 Sylvester 數列嘅頭四項組成。呢四個數每個都可以整除其他三個數乘埋再加一，但係最大嗰個係等於其他三個乘埋再加一，並唔係真因數，所以，呢組數係仿 Znám 問題嘅解，唔係原本 Znám 問題嘅解。

同埃及分數嘅關係 
任何仿 Znám 問題嘅解都可以除以轉換成嘅解，呢度同啲都要係整數；相反，呢啲解都可以整返啲仿 Znám 問題嘅解出嚟。喺現實上，所有已知嘅仿 Znám 問題解其實都符合。

亦即係話，佢哋可以整到數字 1 嘅埃及分數表示出嚟。幾篇引文入邊都有研究呢一條等式，研究呢條等式喺拓樸學入邊嘅應用，可以幫曲面上面嘅奇異點分類，就將佢應用喺非決定性有限狀態機上面。

解嘅數量 
證明咗，揀定任何一個 k，解嘅數量都係有限嘅，所以去數每個 k 有幾多個解都係一個研究課題。

Brenton 同 Vasiliu 由 k=5 開始，對細嘅幾個 k 數咗有幾多個解：

2, 5, 18, 96 
現時嚟講，k=9 同 10 嘅情況有幾個解計咗出嚟，但係唔知道總共有幾多個解。如果唔固定 k 嘅話，總共係有無窮咁多個解：證明咗如果 k ≥ 12 嘅話，就最少有 39 個解，改善咗之前嘅下界，目前亦都未知呢種解係咪有無限多組。

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