Theta 函數

數學中， Theta 函數 係多複變特殊函數一種。 其應用兼阿貝爾簇同埋模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其超弦同D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於「z」 變量，theta 函數有種「擬周期」性 。喺一般下降理論中，數學中， Theta 函數 為多複變特殊函數一種。 其用兼阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其於 超弦與D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於其「z」 變量，theta 函數有「擬周期」性 。喺一般下降理論中，此來自線叢條件。

雅可比 theta 函數 
雅可比 theta 函數攞一雙變量 z 同 τ， 其中 z 為任何複數，而 τ 為上半複平面上一點；此函數嘅定義係：
。
若固定 τ，則此成為一週期為 1 之單變量(z)整函數嘅 富里埃展開式：
。

以 τ 位移時，呢支函數符合：
；
其中 a與b為整數。

輔助函數 
我地可定義輔助函數：

其中符號跟黎曼同Mumford嘅習慣； 雅可比篇原文用變量 替換咗 τ，而叫本文嘅 theta 做，  做 ， 做 ，做。

若設 z = 0 ，咁我地可從以上獲得四支單以 τ 為變量嘅函數， 其中 τ 取值於上半複平面。呢啲函數人稱「 theta 『常量』」；我地可以用 theta 函數定義一系列模形式，或參數化某啲曲線。由「雅可比 恆等式」可得：
,
是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式 

雅可比恆等式描述模羣喺theta 函數嘅作用；模羣嘅生成元係 T: τ ↦ τ+1 同 S: τ ↦ -1/τ 。我地已有 T 作用之式。設

則

以 nome q 表示 theta 函數 

我哋可用變量 w 與 q ，代替 z 同 τ，來表示 ϑ。設  而。則 ϑ 可表示為：

而輔助 theta 函數可表示為：

此表示式唔使指數函數，故適用於指數函數無每一處定義嘅域，如p 進數域

乘積表示式 

雅可比三重積恆等式話：若有複數 w and q，其中 |q| < 1 而 w ≠ 0 ，則

此式可用基本方法證，如 Hardy 同 Wright 本 《An Introduction to the Theory of Numbers》。

若用 nome變量  同  表示，則有

故得 theta 函數之積公式

三重積等式左邊可擴展成

即

。

此式喺 z 取實值時尤其重要。
各輔助 theta 函數亦有類似之積公式：

積分表示式 
雅可比 theta 函數可用積分表示，如下：

與黎曼 zeta 函數之關係 
黎曼曾用關係式

以證黎曼 zeta 函數之函數方程。渠話：

；
而此積分喺替換下不變。 z 非零時嘅積分表示，喺Hurwitz zeta 函數一文有描述。

同 Weierstrass 橢圓函數嘅關係 
雅可比用 theta 函數來構造橢圓函數，並令渠有易計嘅款。渠表示渠啲橢圓函數做兩支上述 theta 函數之商。Weierstrass 橢圓函數亦可由以雅可比 theta 函數構造：

其中二次微分相對於 z，而常數 c 令 嘅 Laurent 級數  常項為零。

同模形式嘅關係 
設 η 為 Dedekind eta 函數。則
.

解熱方程 
雅可比 theta 函數係一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件嘅唯一解。 設 z = x 攞實值，τ = it 而t 攞正值。則有

此解此下方程：

。

喺 t = 0 時， theta 函數成為「Dirac 梳」
，
其中 δ 為 Dirac delta 函數， 故可知此解唯一。
因此，一般解可得自 t = 0 時之邊界條件同 theta 函數嘅卷積。

同海森堡羣嘅關係 
雅可比 theta 函喺海森堡羣嘅一離散子羣作用下不變。 見海森堡羣之theta 表示一文。

推廣 
若F為一n元 二次式，則有一 關連嘅 theta 函數

其中 Zn 為整數格。此 theta 函數係模羣上嘅權 n/2 模形式。 在其富理埃級數

中，RF(k) 稱為此模形式之「表示數」。

Ramanujan theta 函數 
見主文Ramanujan theta 函數 與 mock theta 函數

黎曼 theta 函數 
設

為一集對稱方矩陣，其虚部為正定。 我地叫Hn 做 Siegel 上半平面，係上半複平面嘅高維推廣。模羣嘅n維推廣為辛羣 Sp(2n,Z)： 當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。 Congruence 子羣嘅n維推廣係態射核。

若設定 ，則可定義黎曼 theta 函數：
；
；

其中 為一 n維複向量，上標T為轉置。然則 雅可比 theta 函數係其特例。

喺嘅緊致子集上，黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為：

；

此方程成立於
,  ， 。

q-theta 函數 
參見文q-theta 函數。

參攷 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4  .  (See section 16.27ff.)
 Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
 G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
 David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
 James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
 Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 .

複分析