極限 (函數)

函數極限係數學分析同微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面，定義函數極限係需要用到包圍點同埋技巧。

包圍點

定義 
首先需要假設係實數嘅子集。

將定為任意一點，畀任何一個，如果存在一點，同時，符合。

咁呢點就係叫做嘅包圍點。

如果用鄰區嘅角度嚟定義包圍點；

假設有一點，每一個嘅鄰區，入面都會有一點係屬於嘅，係唔等於。咁就係嘅包圍點。

性質 
如果係嘅包圍點，咁就一定有一個係嘅數列係趨向呢點，同時所有嘅項都符合，即係。反之亦然，。

函數極限

定義 
首先需要假設係實數嘅子集，同時係嘅包圍點。

如果有一個函數同一點實數，同下面呢件事成立；

畀任何嘅，佢都會有一個對應嘅，令到喺入面嘅點符合，而佢使到。

咁樣函數就係趨向實數。即係。

一般就叫，做係點嘅極限。

或者會話：「當接近嗰時，會趨向。」，呢句嘢會寫做。

技巧 
技巧係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面，最基本，同時對於新學習數學嘅人嚟講，係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前，需要用到一個草稿技巧，去搵出所需要嘅。係一定需要一個先草稿，後證明嘅方法，呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用技巧去證明其他函數極限嘅定理，會被稱為用硬功夫嘅方法。

例子：

證明。

先計算。

將。注意唔可以將佢設做，因為分母會變。

得知。

而家要處理嘅，係個分母。要搵一個合理嘅限綁死。

因為上面限定咗，即係話。

由上可得，，再推斷得知，。

。

得出呢條式之後，就可以知到將

畀任何，將。

因為符合，當得知，

計算，。

因為得知，所以。

獨有極限性質 
假設有一個函數。如果有一點包圍點，咁佢只有一個係點嘅極限。

證明：

假設有兩點同都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅，

都會有一個，令到符合，令到；

同時，都會有一個，令到符合，令到。

將，令到符合。

再利用三角形不等式，

函數數列要求 
函數同數列有一個重要嘅連繫，而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢，就係函數數列要求。呢個定理，可以將數列嘅全部特性，主要係數列極限嘅特性，轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理，會叫做利用軟功夫嘅方法。

定理

假設有一個函數同時係嘅包圍點。咁以下兩句係等價：
 ；
 任何喺入面嘅數列，佢係趨向呢點，而同時所有嘅都係，咁呢條數列就會趨向。

證明：

假設成立，同時係入面嘅數列，並且而所有嘅都符合。

畀任何一個任意嘅。

根據函數極限嘅定義，會有一個，令到喺入面嘅一點符合，使到。

根據數列極限嘅定義，會有一個，使到第項符合。

因此，將大過第項放入函數，得知。

所以。

假設上點唔啱，即係。

咁樣就會有一個-鄰區，搞到揀任何一個嘅-鄰區，都會有一點係又同時。換句話講，即係喺-鄰區入面，放咗入函數之後對應嗰點，係會唔係對應嘅-鄰區入面。

因此得出，所有嘅，嘅-鄰區入面嘅會符合同，

但係所有都符合。

所以喺入面嘅數列係趨向，但係唔趨向。

利用否定證明嘅概念，得知係正確。

極限計算 
因為有咗函數數列要求，喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

綁定定義 
假設有個實子集同一個函數。假設係嘅包圍點。

如果存在一個係嘅鄰區，同埋一個數，對所有嘅符合，。

咁會話，函數係嘅鄰區被綁定。

綁定性質 
假設有個實子集同一個函數。

如果係趨向呢點，咁就會被綁係一啲嘅嘅鄰區入面。

證明：

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。

假設。設。

根據定義，就會有一個，令到，使到成立。

利用三角形不等式，。

因此得知，。

由上面嘅式推斷出，所有，都會符合。

如果，可以考慮。

再加埋，可以考慮。

總結，如果，。

極限計算法則 
基本上，同數列嘅法則係一樣。

假設有個實子集，函數、，重有一個實數同係包圍點。如果，，以下嘅等式成立：

如果，而所有嘅，，同時，咁。

證明：

利用軟功夫，只需要將變成任何一條喺入面嘅數列，符合，而。

因為函數數列要求，同成立。

之後利用數列極限嘅計算法，就會得出上面結果。

利用硬功夫嘅方法，因為定義得知，對應任何；

都會有，令到符合，使到符合。

都會有，令到符合，使到符合。

設。計算：

設。計算：

證明三，需要用到草稿嘅技巧。

根據定義，對應任何；

都會有，令到符合，使到符合。

都會有，令到符合，使到符合。

想求出嘅數值，所以要計下：問題出現咗喺上面，因為佢係一個變數，唔知佢幾時係大，幾時係細。但係如果設，根據綁定性質嘅證明，，就可以得知有一個符合。

如果將，咁。

得出，。咁，所以就寫得出個證明。

假設同。

設，根據綁定性質，可以得知有一個符合。

設同埋。

都會有，令到符合，使到符合。

都會有，令到符合，使到符合。

計算；

假設係一個常數函數，即係。咁利用上面(3)就可以得出(4)。

證明五，需要證明「如果，而所有嘅，，同時，咁。」係啱嘅話呢，利用三就可以證明出五。先做草稿：

計算：而家想搵一個係使到。

因為，設，都一定會有一個，符合，使到

所以，。

姐係要將。咁就可以寫嘅證明。

因為，根據定義，

設，都會有一個，令到成立，使到。

利用草稿所寫嘅嘢，得知。

畀任何一個，咁有一個，令到成立，使到。

設，咁就會有一個對應嘅，令到成立，使到

推斷 
因上面嘅嘢可以得知以下都係啱：

排序定理 
假設有個實子集，函數，係包圍點。

如果所有嘅符合同時，咁。

證明：

都係利用軟功夫，將數列嘅排序定理引用過嚟。

夾縫定理 
假設有個實子集，函數，係包圍點。

如果所有嘅符合同時，咁。

不趨向要求 
有趨向，就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求。

定義 
首先需要假設係實數嘅子集，同時係嘅包圍點，而有一個函數。
 如果係喺實數入面嘅一點，咁「唔係趨向，或者唔係嘅極限對應所有嘅同埋，有一條數列趨向，但係唔趨向。」；
 唔係趨向，或者唔係嘅極限對應所有嘅同埋，有一條數列趨向，但係喺入面唔趨向一點。
證明：

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列趨向，但係喺入面唔趨向一點。

咁即係畀任何一個同，同埋都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

應用 
係唔存在喺實數入面。

左右趨向 
將函數極限嘅定義改一改少少，咁就會有左右趨向嘅概念。

定義 
假設有個實子集，同時有一個函數。

如果係嘅包圍點，同時有一點符合：

畀任何嘅，都會有一個對應嘅，令到所有嘅符合，令到符合。

咁樣就係喺嘅右極限。

一般會寫做，或者。

如果係嘅包圍點，同時有一點符合：

畀任何嘅，都會有一個對應嘅，令到所有嘅符合，令到符合。

咁樣就係係嘅左極限。

一般會寫做，或者。

注意：左極限同右極限可以同時存在，又可以兩者都唔相等。左極限可以存在，但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限，咁。

函數數列要求 
因為有極限，所有就會有數列要求嘅出現。

右極限版本：

假設有一個函數同時係嘅包圍點。咁以下兩句係等價：
 ；
 任何喺入面嘅數列，佢係趨向呢點，而同時所有嘅都係，咁呢條數列就會趨向。
左極限版本：

假設有一個函數同時係嘅包圍點。咁以下兩句係等價：
 ；
 任何喺入面嘅數列，佢係趨向呢點，而同時所有嘅都係，咁呢條數列就會趨向。

趨向無限 
趨向無限有兩個定義，一個就係嘅數值趨向無限。例子有：。或者係當數值趨向無限時，嘅數值會趨向一點。例子有：。

無窮極限 
無窮極限就係第一種趨向無限嘅極限。

定義 
假設有一個實子集，函數，同時係嘅包圍點。

如果畀任何，一定存在一個，令到所有嘅符合，到會令到嘅話；

當趨向，，嘅極限係正無限。

一般會寫成。

如果畀任何，一定存在一個，令到所有嘅符合，到會令到嘅話呢；

當趨向，，嘅極限係負無限。

一般會寫成。

例子 

證明

畀任何一個，設。

假設，咁樣符合條件嘅，其實可以利用技巧搵出嚟。

無限排序性質 
假設有一個實子集，函數，同時係嘅包圍點。

假設任何嘅同時，。

如果，咁。

如果，咁。

左右趨向定義 
假設有一個實子集，函數，同時係嘅包圍點。

如果畀任何，一定存在一個，令到所有嘅符合，到會令到嘅話；

當趨向，，嘅極限係正無限。

一般會寫成，。

趨向無限 
趨向無限係第二種趨向無限嘅極限。

定義

假設有一個實子集，函數。

假設對應有啲，。

畀任何，一定有一個對應任何，使到嘅話；

係趨向無限時嘅極限。

一般會寫做或者。

函數數列要求

假設有一個實子集，函數。

假設對應有啲，，咁以下兩句係等價：

任何一條喺入面嘅數列，佢係，咁樣就會趨向。

趨向無限嘅無窮極限 
將上面兩者夾埋，就會得出下面嘅定義。

定義

假設有一個實子集，函數。

假設對應有啲，。

畀任何，一定有一個對應任何，使到嘅話；

喺趨向無限時嘅極限係無窮。

一般會寫做或者。

極限 (數學)
函數
數學分析