拉普拉斯矩陣

拉普拉斯矩陣，簡稱拉氏矩陣，係圖論裏便嘅一種矩陣、描述圖啲綟戥啲檠之間拏褦嘅，由次數矩陣減去鄰接矩陣得到。拉氏矩陣仲着攞嚟計生成樹嘅數量同埋估計正則圖嘅擴展性。拉氏矩陣係拉普拉斯算符嘅離散版本。

拉普拉斯矩陣同埋矩陣啲細特徵值嘅特徵向量有用喺譜聚類入便。

定義 
一幅圖個拉氏矩陣、幅有綟集同埋檠集嘅，係一個矩陣。拉氏矩陣定義係 ，其中係圖嘅次數矩陣，係圖嘅鄰接矩陣。綟同個拉氏矩陣相應就有：

其中，圖啲檠可以加有權重，係噉鄰接矩陣嘅元素就嘸一定係1，即係；相對應拉氏矩陣嘅啲值就係。

特別嚟講，拉普拉斯矩陣係一幅有單位矩陣嘅 -正則圖：

例

戥關聯矩陣嘅拏褦 
拉氏矩陣亦都可以由關聯矩陣計得出。令係一隻關聯矩陣，係噉拉氏矩陣有下式畀得出：

特徵值同埋特徵向量 
拉氏矩陣啲特徵值同埋特徵向量可以簡單噉攞下低條式表示：

一般攞表示拉氏矩陣啲特徵值。特別嘅，第二細嘅個特徵值叫做Fiedler值，代表幅圖嘅代數連通度。個值愈大代表幅圖啲綟互相之間褦得愈多；反之啲拏褦愈少。

特性 
 係對稱嘅。
 係正半定嘅，特別係對所有啲 都有。
 係一個M矩陣。
 列累加、行累加係出零。特別係有特徵向量。
特徵值嘅重複次數係圖啲連通元件嘅數量；對於一幅連通嘅圖，有且唯有。

拉普拉斯算符

圖論