數學

香港嘅廣東話用語興嗌做 mēt sí，係研究數量、變化、結構、空間、同埋模型等概念嘅一門學科。現代嘅數學家一般都會用數學語言嚟去表達一啲命題，例如係以下噉：

同自然語言唔同，數學語言係為咗將諗法公式化而整出嚟嘅，所以佢好嚴謹，個個符號同字詞都有精確嘅定義－唔似得自然語言噉啲字好多時有得睇情況有好多個唔同嘅解法。數學家嘅目標係運用呢種語言嚟闡述一啲關係，並且透過對現實世界嘅觀察、呢啲觀察嘅廣義化、同埋邏輯推理嚟去產生啲新嘅知識。每一門嘅數學都會靠一啲公理－指啲「不證自明嘅真理」－嚟去做推論。佢哋希望用呢啲所有學者都接受嘅公理嚟證明一啲新知識－數學同實證科學唔同：實證科學係靠揾大量嘅現實事例做證據嚟去支持或者否決邊個邊個理論，而數學就係靠推理嘅方法嚟去證明一啲真理－唔使用任何現實事例。

基礎數學嘅知識同運用係人類社會之中唔少得嘅一環。佢啲基本概念嘅精煉早響古埃及、古美索不達米亞、同埋古印度嘅數學文本入面就有得睇到。由嗰陣時開始，數學就持續不斷噉有穩定嘅進展。喺 16 世紀嘅文藝復興時期，因為佢同新嘅科學發現相作用而產生咗數學上嘅革新，導致知識嘅加速發展。到咗今日，數學俾人用喺唔同嘅科學領域入面，包括物理學、工程學、醫學、同經濟學等等。用喺呢啲領域嘅數學通常俾人嗌做應用數學，而呢啲應用有時亦會激起新嘅數學發現。另一方面，數學家亦都會研究純粹數學－亦即係對數學概念本身嘅研究，而唔係以任何實際應用做目的。好多數學研究都係由純數嗰度開始，過程入面間唔鐘就會發現啲有實用價值嘅數學知識，所以應用同純粹數學可以話係相輔相成。

個名點嚟

西方 
喺歐洲眾語言入面，「數學」呢個詞語係嚟自古希臘話嘅。呢個字有「學習」、「學問」呢類嘅意思，同埋另外仲有個狹義啲嘅意思係指「數學研究」。呢個希臘詞仲有個形容詞版「 」，意思係「同學習有關嘅」或者係「勤力嘅」噉解，亦都會俾人用嚟指「數學嘅」。佢喺英國話表面上嘅複數形式，同喺法國話入面嘅表面複數形式 ，有得追溯到拉丁話嘅中性複數「 」，由羅馬哲學家西塞羅由希臘話嘅複數譯過嚟。呢個希臘話嘅詞亦都俾畢達哥拉斯用嚟講「萬物皆數」嘅概念。

中文 
中文入面「數學」呢個詞大約喺宋同元時期產生，而現代嘅各種漢語嘅詞語「數學」亦都有可能係源自於日文喺明治維新嗰時嘅翻譯。呢兩個漢字喺廣東話入面嘅讀音係。

數學語言 

"Mathematics is the language in which God has written the universe." 
Galileo Galilei 
數學語言係數學家設計嚟表達數學概念嘅一套溝通系統。數學界而家用嘅數學語言入面啲符號多數係喺 16 世紀之後先發明出嚟嘅。喺打前嘅時期，數學研究係用純文字嘅形式寫出嚟，而自然語言嘅歧義性呢類特質搞到嗰時嘅數學家講嘢成日都唔清唔楚，限制咗數學嘅發展。現代數學符號有好明確嘅定義同文法，而呢柞符號嘅高度精確性令到數學對專家嚟講更加容易清楚噉表達。呢柞符號仲好有效率：少量嘅符號包含住大量嘅資訊。所以今時今日嘅數學家喺寫正式論文嗰陣唔會靠寫「x 加 y 等如 R」，而係會寫：

數學語言唯一嘅唔好處係佢哋同自然語言好唔同，搞到啲初學者成日俾佢哋嚇親。例如「或」同「只」呢啲詞比用嚟做日常用語嗰陣精確好多，而且數學語言入面有好多例如「開集」、「場」呢啲喺數學入面有特別意思嘅詞。數學術語亦都包括「同胚」、「可積性」等嘅專有名詞。但係用呢啲特別符號同術語係有原因嘅：數學需要精確過日常用語好多，數學家將呢種對語言同邏輯精確性嘅要求稱之為「嚴謹」。

嚴謹係數學證明入面最重要最基本嘅一部份。噉係為咗避免出現錯誤嘅定理同埋依賴唔可靠嘅直覺－噉嘅情形喺歷史上曾經出現過好幾次。而且喺唔同時期，數學嘅嚴謹程度亦都唔同：希臘人想要好仔細嘅論證，但係喺牛頓嘅時代，啲人用嘅方法就唔係好嚴謹－牛頓為咗解決問題所做嘅定義要到成 19 世紀先俾人重新用小心嘅分析同證明嚟處理。而今日，數學家又喺度持續噉詏緊電腦輔助證明係咪夠嚴謹。

數學證明 

數學證明係做數學走唔甩嘅過程。數學家喺開始研究一門數學之前往往會先講好一柞公理－一啲佢哋覺得唔使證明已經可以當係真嘅命題。跟手佢哋就盡可能純粹用邏輯嚟去推斷出一啲新嘅命題－而呢啲命題就係數學上嘅新發現。呢個過程靠嘅係演繹推理－用精確嘅邏輯去由一柞前題推理出一個結論，如果前者成立，後者都一定成立。好似係以下呢個簡單嘅數學證明噉：

要求：證明任何兩個雙數 x 同 y 加埋一齊出嘅一定會係一個雙數。

如果一個數係雙數，噉佢一定會係 2 嘅倍數，所以：

設 ，，而  係某啲整數。

噉嘅話：

呢個數根據定義就係 2 嘅倍數，即係佢一定係一個雙數，所以  係一個雙數。

喺數學上，一個證明一定要有能力顯示個結論係實啱嘅，而唔可以淨係靠摷例子做證－淨係得例子而冇任何證明嘅命題喺數學上就俾人嗌做一個猜想。好似係上面嗰個證明「任何兩個雙數加埋一定出雙數」嘅例子噉，個數學家一定要用推理證明，如果佢齋靠俾例子嘅話，噉「任何兩個雙數加埋一定出雙數」呢句命題就只會係一個猜想。

數學家諗咗好多唔同嘅證明方法出嚟，包括：
數學歸納法
否定證明
反證法
構造法
分類證明
...等等。

數學嘅各個領域 

數學本嚟係由測量土地、商業上嘅計算、同埋預測天文事件呢啲實際嘅需要度產生嘅。呢啲嘢大致上要用到數量、結構、空間、同變化呢柞概念，亦都同算術、代數、幾何學同數學分析呢啲數學子領域有直接關連。除咗噉，數學亦都有啲用嚟探索數學核心同其他領域之間嘅關係嘅子領域：好似係數理邏輯、集合論、唔同科學上用到嘅數學、仲有近代啲嘅不確定性研究。

數論 

數學嘅研究起源於數－一柞用嚟數嘢度嘢嘅數學物體。一開始嗰陣數學家研究嘅得可以用嚟數物件嘅自然數同整數，仲有係呢兩種數嘅算術運算。數論成為咗數學入面嘅一個大領域。佢詳細噉研究整數更深層嘅性質，描述數嘅種種特性，例如係費馬最後定理就係數論裏面一個出名嘅定理，佢指明咗如果  大過 2 ，世界上冇任何三個非零整數可以滿足  呢條式－數學家用咗好耐先至證明到佢，令到數學家證明到佢嗰陣好有成功感。除咗噉，數論仲包括咗啲仲係俾數學家探討緊嘅未解問題，好似係孿生質數猜想噉。

當數系進一步噉發展嗰陣，數學家發現咗數唔止有自然數同整數－整數俾人承認係有理數嘅一種，而有理數又係實數嘅一種。實數仲有得進一步擴充到去複數，以及四元數同八元數呢啲。自然數嘅研究亦都引致其他新概念嘅產生，好似係超限數噉，呢種數係指一啲「大過所有有限數但係又唔係絕對無限嘅數」－佢將「計數至無窮」呢個概念公式化咗，而且仲有數學家研究佢哋嘅大細。呢個領域又導致咗基數同艾禮富數呢啲概念嘅誕生。

代數學 

好多函數之類嘅數學物體都有某啲內在結構，而呢啲結構都係用某啲數學符號定義嘅，好似係一個線性函數噉，有得用算式嚟表達，又有得用圖嚟表達－研究呢啲數學符號同埋點樣用佢哋嚟得到結果就係代數學嘅領域。呢個領域入面有個好重要嘅概念－向量，即係一啲有數值又有方向性嘅幾何物體。數學家仲將呢個概念拓展到去三維以上嘅空間，對統計同物理都有好緊要嘅影響。向量研究結合咗數學嘅三個基本領域：數量、結構、同埋空間，而打後出現嘅向量分析仲將佢擴展到去第四個基本領域—變化—嗰度。

幾何學 

數學對空間嘅研究就係幾何學嘅範圍。呢門數學領域專係研究物件嘅形狀、大細、同位置，而好多人識嘅歐幾里得幾何就係最早期嘅有系統性嘅幾何學。三角學結合咗空間同數，專門研究三角形，產生咗好多有關三角形嘅特性嘅知識，好似係好出名嘅畢氏定理。到咗廿一世紀，數學對空間嘅研究仲推廣到更加多維嘅幾何、非歐幾里得幾何、同埋拓撲學。數同空間喺解析幾何、微分幾何、同代數幾何呢柞子領域嗰度都有好重要嘅地位。喺幾何學嘅眾多分支入面，拓撲學可能係廿世紀數學度進展得最勁嘅領域，包含咗俾人講咗好耐嘅龐加萊猜想同埋啲人詏咗好耐嘅四色定理－後者因為計算量太過大，淨係用電腦嚟證明，從嚟冇用人力驗證過。

數學分析 

了解同描述啲變數嘅變化喺自然科學入面係一定會撞到嘅議題。呢啲學科研究大自然，而自然界嘅現象都可以用方程式描述。佢哋好多時都要講數量同佢哋嘅變化率之間嘅關係，而數學分析 就係專門研究數量嘅變化嘅一門數學領域。數學分析由微積分進化出嚟－而微積分詳細噉研究連續性嘅變化，係科學研究嘅有力架生。「函數」嘅概念由呢度誔生，做為描述變化嘅一個核心概念。對實數同實變函數嘅嚴格研究產生咗實分析，而複分析可以話係複數嘅相應領域。除咗噉，仲有泛函分析，專係研究函數空間。

離散數學 

離散數學專門研究一啲本質上就唔連續嘅數學結構－好似係邏輯代數之類。佢係對理論電腦科學最有用嘅數學領域，包括咗可計算性理論、計算複雜性理論、同信息論呀噉。可計算性理論探討電腦入面嘅理論模型有啲乜嘢極限，包括咗圖靈機研究；計算複雜性理論就專係研究啲問題有幾易用電腦處理－得意嘅係，有啲問題就算理論上有得用電腦解決，都可能會因為太嘥時間或者空間而搞到佢哋嘅答案喺實際上係揾唔到出嚟；信息論研究可以儲喺特定媒體度嘅資料嘅總量，並產生咗壓縮、信息熵呢啲概念。

作為一個比較新嘅領域，離散數學有好多基本嘅未解問題。其中最出名嘅係P/NP問題—千禧年大獎難題之一。

數學基礎同哲學 

數學家為咗搞清楚數學基礎，諗咗數理邏輯同集合論 等嘅子領域。呢柞子領域專注於將數學放喺一個嚴謹嘅公理架構上，並且研究呢個架構嘅後件。佢哋希望用最少嘅公理－一啲不證自明嘅命題－嚟去推論出所有嘅數學，令到數學呢門學科有一個穩陣嘅基礎。好似係希爾伯特計劃 就係想將所有嘅數學放喺一固穩陣嘅公理基礎上面，雖然目前為止都唔係好成功。

應用數學 

應用數學重點係諗點樣將抽象嘅數學工具用嚟解答科學、工商業、同其他實用領域入面嘅問題。其中應用數學嘅一個重要領域係統計學，佢利用概率論做工具，對含有隨機性嘅現象進行描述、分析、同預測，而大部份嘅科學實驗、測量、同觀察研究都需要用到對資料嘅統計分析，例如係生物學就因為所有生物本質有隨機性，所以基本上做親研究都會用統計學。除咗噉，又有數值分析呢個子領域研究點樣有效噉用電腦解決啲因為計算量太大而冇可能人手計嘅數學問題，同埋有對計算裏頭捨入誤差或者其他誤差嘅研究。

數學之美 

數學係包含咗數量、結構、空間、同變化等問題嘅學問。一開始嗰陣，佢係出現喺貿易、土地測量、同天文學嗰度－好實際。而今日，所有嘅科學都有啲值得數學家去研究嘅問題，而且數學本身亦都有好多問題等住解答。有啲數學只係同產生佢嘅領域有關，而且多數係用嚟解答呢個領域嘅問題。但係一個領域產生嘅數學好多時喺其他領域入面都有用，有啲甚至成為咗數學界一般都會知嘅知識：好似係微積分，佢係由物理學嗰度產生，但係喺其他領域－甚至社會科學－度都有廣泛應用。即使係「最純嘅」數學通常亦都有實際用途－呢個卓越嘅事實，俾維格納話係「數學喺自然科學中超出想像嘅有效性」。

好多數學家都談論數學嘅優美－佢內在嘅美學同美。首先，數學有喺藝術同設計上嘅應用：例如簡單化同一般化－好似係喺做視覺設計嗰陣用啲簡單啲嘅形狀－就俾好多人話比較有美感，而點樣簡化一啲視覺設計可以用數學方法計出嚟。另外數學嘅美亦都包括一啲巧妙嘅證明－當數學家用一啲好有技巧或者創新嘅方法證明一啲定理嗰陣，好多學者都會覺得係美嘅展現。歐幾里得對「呢個世界有無限噉多個質數」嘅證明就係一個好例子。除咗噉，一啲加快計算嘅方法亦都俾人覺得係數學之美嘅一環，好似係快速傅立葉變換噉。

高德菲·哈羅德·哈代喺佢篇文《A Mathematician's Apology》度話佢所相信嘅美學思維足夠令佢想研究純數學。

數學係咪科學 

好多學者仲喺度詏緊數學係咪應該俾人分類做科學嘅一門。高斯嗌數學做「科學之母」：佢拉丁話嘅原文係 ，而德國話係 ，其中對應「科學」嘅單字「Scientia」意思係「知識」噉解。事實上，科學個英文名「Science」本嚟係呢個意思，而且好明顯數學喺呢個定義之下的確係一門「科學」－而將「科學」呢個詞重新定義做淨係指「自然科學」係 18 世紀打後先有嘅事，而喺呢個新定義之下，純粹數學唔算係一門科學。

但係就算將「科學」定義做自然科學，數學同科學依然係有好密切嘅關係：直覺同實驗喺數學同科學嘅猜想建構上都扮演住重要嘅角色。而到咗廿一世紀，實驗數學－一啲用實驗嚟研究數學嘅學問－喺數學界入面嘅重要性持續噉增加緊，而且電腦運算同模擬喺科學同數學度嘅重要性亦越嚟越勁。史蒂芬·沃爾夫勒姆 2002 年喺佢本書《A New Kind of Science and a New Kind of Science Explorer》入面提出，計算數學應該被視為一個獨立科學領域嚟探索。另一種觀點認為某啲所謂嘅「科學」領域係數學嘅領域，只不過係佢哋柞公理嘗試符合現實。好似係廿世紀嘅物理學家愛因斯坦就曾經噉樣講：「數學定律越係同現實有啦更，就越唔確定；而佢哋越係確定，就越係同現實唔啦更。」

雖然係噉，數學係咪有可否證性係一個好緊要嘅議題。「可否證性」係指一句命題有冇得透過對現實嘅實驗或者觀察嚟驗證，而卡爾·波普爾同絕大多數其他科學哲學家都堅持認為一定要有可否證性先算係科學。問題係，好多哲學家都覺得數學冇可否證性，所以唔係一門科學。喺 1930 年代嗰陣，數理邏輯嘅重大進展又顯示咗數學唔可以併入去邏輯學嗰度，而且波普爾推斷「大部份嘅數學定律，好似物理同生物學噉，係假設演繹嘅：純數因此變到更加接近將猜測作為假設嘅自然科學，比佢而家睇起嚟更接近。」 其他思想家，譬如係出名嘅拉卡托斯，都有提供一啲關於數學本身係咪有可否證性嘅討論。

總體嚟講，數學家對數學係咪科學嘅觀點有好大分歧。有啲研究應用數學嘅數學家覺得佢哋係科學家，而嗰啲研究純數嘅數學家就通常覺得佢哋係喺一門似邏輯學多啲嘅領域度做嘢，所以基本上係個哲學家多啲。好多數學家覺得將佢哋嘅工作稱為「科學」，係低估咗佢喺美學方面嘅重要性，同埋佢作為七大博雅教育之一嘅歷史。另外亦都有人認為如果忽略數學同實證科學之間嘅關聯，係假扮睇唔到數學同科學、工程學之間嘅聯繫導致咗好多數學上嘅發展呢個事實。呢啲觀點之間嘅分歧又喺哲學上產生咗數學係俾人創造定係俾人發現嘅爭議。實際上，大學院系劃分入面成日有「科學同數學」系，說明咗呢兩個領域俾人睇做「同盟」，而唔係「同一」。喺實踐上，數學家基本上會喺同科學家合作，但係喺細節上就分開－呢個亦係數學哲學眾多議題嘅其中之一。

喺獎項上，數學獎通常會同其他科學嘅獎項分開。好似係數學上最出名嘅獎菲爾茲獎，喺 1936 年創立，每四年頒獎一次；另一個國際上主要嘅數學獎項係阿貝爾獎，喺 2003 年創立。以上兩個獎都會對特定嘅工作主題頒獎，包括數學新領域嘅創新或者已成熟領域入面未解決問題嘅解答，而且都係同自然科學上嘅獎項分開嘅。

數學獎 

菲爾茲獎，由國際數學聯盟嘅國際數學家大會頒發嘅獎。每四年頒獎一次，頒俾啲有卓越貢獻嘅後生數學家，每次最多四個人攞獎。得獎者要喺嗰年元旦前未滿四廿歲。佢係根據加拿大數學家約翰·查理斯·菲爾茲嘅要求而設立。菲爾茲獎俾人覺得係數學界嘅諾貝爾獎。
 沃爾夫獎，由沃爾夫基金會頒發，個基金會 1976 年喺以色列創立，1978 年開始頒獎。創始人沃爾夫係外交家、實業家、同慈善家。而沃爾夫數學獎係沃爾夫獎其中一個獎，佢同菲爾茲獎一齊俾人譽為數學家可以攞到嘅最高榮譽。
 除咗呢啲，數學界仲有啲公認等人解嘅大問題。好似係出名嘅希爾伯特嘅 23 條問題，喺 1900 年由德國數學家大衛·希爾伯特提出。佢哋係一啲未俾人解決嘅大問題，喺數學家之中有好高嘅名望－如果有數學家解得到佢就會即刻出位。到咗而家，佢哋當中有超過九個問題已經俾人解咗。另一組新嘅七個重要問題－千禧年大獎難題－喺 2000 年發表。每一個問題答到都會有成一百萬美元嘅獎金，而佢哋當中淨係得一個問題同希爾伯特嘅問題重複。

數學史 

數學有好長歷史。史前嘅人類就喺度試緊用自然嘅法則嚟衡量物質嘅多少、時間嘅長短呢類抽象數量，例如度時間就有日、季節、同年呢啲。冇幾耐算術亦都好自然出現咗。古代嘅石碑亦表示嗰時嘅人經已有些少幾何學知識。喺打後嘅有歷史時代，數學係為咗文明早期嗰陣嘅生產活動而誕生嘅－包括稅務同貿易嘅實用計算、測量土地、同埋預測天文事件呀噉－呢啲需要可以簡單噉概括為早期數學對數量、結構、空間、同埋時間方面嘅研究。嗰時嘅人亦都有咗啲記數嘅架生，例如符木、或者響印加帝國入面用嚟儲存數據嘅奇普－唔同文明都有各自嘅記數系統。另一方面，古人都有啲對純數學嘅研究：古代中原嘅六藝之一就有「數」呢一門。而「Mathematics」呢個詞響歐洲有希臘話詞源 －呢個字意思係「學問嘅基礎」噉解，源於 －古希臘人已經有啲數學概念。

到咗 16 世紀，算術、初等代數、仲有三角學等嘅初等數學西人經已大致搞掂。17 世紀有咗「變數」呢個概念，令啲人開始研究變化緊嘅量同量嘅相互關係、同埋圖形之間嘅相互變換。西人響研究古典力學嘅過程之中又發明咗微積分。隨住自然科學嘅進一步發展，為咗研究數學基礎而產生出嚟嘅集合論同數理邏輯呢啲領域亦都開始慢慢發展。總體嚟講，數學由古代到而家都一直係噉延展緊，而且同科學有好豐富嘅相互作用－兩者都有著數。

數學響歷史上有好多嘅大發現，並且直到今日都仲會有新嘅發現。根據俄羅斯數學家 Mikhail B. Sevryuk 響美國數學會通報 2006 年 1 月嘅期刊入面講，「存在響數學評論資料庫入面嘅論文同埋書嘅數量自從 1940 年經已超過咗一百九十萬份，而且每年仲增加超過七萬五千份嘅細目。呢個學海嘅絕大部份都係新嘅數學定理同埋佢哋嘅證明。」

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 科學

拎 
 Rusin, Dave: The Mathematical Atlas現代數學漫遊。
 Weisstein, Eric: World of Mathematics，一個網上數學百科全書。
 Planet Math，另一個網上數學百科全書，用GFDL，可以同維基百科交換文章。
 MathForge，一個包含數學、物理、電腦科學同埋教育等範疇嘅新聞網誌。
 EpisteMath｜數學知識。
 香港科技大學－數學網，一個以數學史為主嘅網站。
 怎樣研習純數學：本科同基礎研究課攷

參考 
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