歐幾里得-歐拉定理

歐幾里得-歐拉定理係數論入邊嘅一個定理，顯示完美數同梅森質數之間嘅關係。個定理講話一個雙數係一個完全數若且唯若佢可以寫做，其中要係質數。呢個定理以著名數學家歐幾里得同歐拉命名，佢哋分別證明咗定理「若」同「唯若」嘅部份。

一直以嚟數學界都有個猜想，問究竟係咪有無限咁多個梅森質數，目前呢個猜想嘅答案都係未知，不過根據歐幾里得-歐拉定理，呢個猜想等價於問係咪有無限咁多個偶完全數。順帶一提，目前一個奇完全數都未搵到，但係亦都未證明到奇完全數唔存在。

定理內容同例子 
完全數即係一個自然數等於佢嘅所有真因數加埋，而真因數即係唔包括自己嘅因數。例如6嘅真因數有1、2同3，而佢哋加埋又真係等於6，所以6就係一個完全數，而下一個完全數係28。

梅森質數就係一個咁嘅樣嘅質數，一個咁嘅樣嘅數想係質數嘅話自己首先一定要係質數，但係係質數都唔保證係質數。例如係一個質數，但係就係合成數。

歐幾里得-歐拉定理話一個雙數係完全數若且唯若佢可以寫做，呢到就係啱啱講嘅梅森質數。完全數6對應，因為；而下一個完全數28對應嘅梅森質數就係。

證明 
歐幾里得嘅證明好短，主要建基於因數和函數係積性函數呢個事實，即係話若果、係兩個互質嘅自然數，咁就有。要留意嘅係，因數和函數講嘅因數係包埋個數自己，所以如果要用函數嚟刻畫完全數嘅話，一個數係完全數若且唯若佢嘅因數和等於兩倍佢自己，即係。

充分條件 
由一個梅森質數可以整一個偶完全數出嚟，呢一個方向由歐幾里得證明，只需要直接用積性函數性質就證明到：假如係一個質數，咁。嘅因數係，加埋係一條等比級數，可以計到係，另一邊廂，係質數，因數得1同佢自己，所以因數和係。

將以上所有嘢夾埋，就有：

所以係完全數。

必要條件 
另一個方向就係要證明畀一個偶完全數，佢一定可以寫做上述嘅形式，呢個方向係由歐拉證明嘅。畀一個偶完全數，將佢所有2嘅次方抽哂出嚟，即係話將佢寫做嘅樣，係正整數，係單數。係完全數，所以佢嘅因數和係佢嘅兩倍：

右邊嘅係一個單數，起碼係3，而且能夠整除咗邊嘅，所以可以設，係嘅一個真因數。將上邊嘅式左右一齊除以並考慮嘅已知因數同，就得到：

其他因數 其他因數。

呢條式想啱嘅話，就唔可以有其他因數，亦即係話同埋係咁嘅樣嘅質數。

歷史 
歐幾里得證明咗如果係質數咁就係一個偶完全數，呢個係佢本幾何原本入邊最後一個同數論有關嘅結果，後面講嘅就同無理數、黃金比例、立體幾何有關。歐幾里得當時嘅表達係咁嘅：設有一條等比級數，起始項係1，公比係2，加埋係質數q，咁呢個和再乘級數入邊最後一個項t就係一個完美數。用呢啲符號嘅話，個和q就係梅森質數，尾項t就係。歐幾里得觀察到另一條等比級數，起始項係q，公比係2，長度同第一條一樣嘅話，佢同第一條係成比例嘅，由於第一條嘅和係q = 2t - 1，所以第二條嘅和係q(2t - 1)=2qt - q，咁兩條加埋就係2qt，係qt嘅兩倍。因為兩條級數無重覆數字，而且q係質數，所以其實兩條級數啱啱好列哂qt嘅所有因數，即係話qt嘅因數和係2qt，所以qt係完美數。

過咗超過一千年後，喺大約公元1000年，海什木猜想其實每一個偶完全數都可以寫做咁嘅樣，其係質數，但係佢證明唔到。要去到十八世紀，亦即係歐幾里得超過二千年之後，先有歐拉證明到呢一個方向。咁就為偶完全數同梅森質數建立咗個一一對應嘅關係。歐拉完成咗呢個定理嘅證明之後，好多其他數學家都有畀出唔同嘅證明，包括Victor-Amédée Lebesgue、Robert Daniel Carmichael、Leonard Eugene Dickson、John Knopfmacher同Wayne L. McDaniel，其中Dickson嘅證明被好多教科書採用。

歐幾里得-歐拉定理喺1999年被一個網站採納為「百大數學定理」，後嚟Freek Wiedijk用呢個清單作為基礎，整咗一套用嚟測試唔同電腦輔助證明系統嘅基準。截至2021年，Wiedijk記錄嘅10個電腦輔助證明系統入邊，有5個有歐幾里得-歐拉定理嘅證明。

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