龐加萊猜想

問題 
Jules Henri Poincare喺1904年嘅猜想：

任何一個三維流形，如果佢嘅所有同倫群都同三維球面嘅同倫群無分別，咁佢就同三維球面同胚 -- 即係係拓撲學上冇分別。

阿 Jules Henri 本係1900年希望同調群零就夠， 但佢自己好快發現咗個反例 -- 著名嘅龐加萊同調球。

問題可簡化成
 任何一個三維流形，如果佢係一個單連通流形，咁佢就同三維球面同胚。

龐加萊猜想難係邊道? 
可能因為條問題太簡單，所以難入手。
雖然佢嘅高維數姐妹題， 分別由兩位天才 Stephen Smale 同Michael Freedman解決；但係嗰的方法喺三維行唔通。

William Thurston出場：三維流形幾何化構想 
1970年代，William Thurston 提出：任何一個三維流形都可以被切成幾舊，每舊都屬於佢指定嘅八種類型幾何之一。

龐加萊猜想係幾何化構想嘅特例；。

Richard Hamilton出場: Ricci 流 

Hamilton 嘅構想唔太難理解。佢要個三維流形嘅度量 gij 沿一特定方向變化 ，嘗試令到個三維流形平平均均，睇渠到極限時變成點樣。但一邊平另一邊又可能會突起，所以中途可能會產生 奇異集 ，咁就要切開佢。到最後， 你會得到三維流形嘅自然分解，實現 Thurston 嘅構想.

但實行起來就有好多技術問題，例如：中途會產生邊種奇異集? 點樣控制? 想知詳情嘅讀者可問一問專家.。

Grisha Perelman 出場: 塌縮控制/regularity 估計? 
係2002年，聖彼得堡Steklov數學院嘅Grigory Perelman係 www.arXiv.org 出咗篇文章，入面第三頁話：
 "...the implementation of Hamilton program would imply the geometrization conjecture for closed three-manifolds....In this paper we carry out some details of Hamilton program."

Grisha後又來登咗兩篇文章補充， 但到底佢有無完全證明龐加萊猜想，就好難講；佢短短三篇文，非常難理解，好多專家研究到現今，先至出咗幾篇幾百頁嘅論文.
總之，佢貢獻好大，好關鍵。

Grisha 係2003年春天，訪問咗麻省理工學院一個星期，跟住訪問紐約石溪州立大學兩個星期，講咗十幾場報告。

Grisha嘅一啲構築嘅啟發來自量子場論、重整群理論 ; 但佢無詳細講清楚。

結果？ 
各方專家嘅解讀：
 John Milnor
 Richard Hamilton: Plenary Lecture, ICM2006
 Huai-Dong Cao and Xi-Ping Zhu “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow” Asian Journal of Mathematics
 Bruce Kleiner, John Lott Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers 
 John Morgan and Tian Gang Ricci Flow and the Poincare Conjecture

花邊新聞 
 Grisha Perelman 早睡早起。 Grisha Perelman好少使錢。
 Poincare 過目不忘。

參考 
 龐加萊生平

國際數學人大會新聞發佈："Information about Grigori Perelman, Fields Medal winner"

Last but not least: Grisha Perelman 嘅論文: www.arXiv.org/find/math

拓撲學
幾何學
猜想