極限 (數列)

呢篇文係講數列嘅極限，唔係講函數嘅極限。

數列嘅極限係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

定義 
數列嘅極限有幾個唔同嘅定義，下面呢個係最基本，最通用嘅其中一個。

假設有一串實數數列。如果以下條件成立，

「揀任何一個，佢都會有一個自然數，使到任何一個，佢係符合」

數學家會講趨向一點，同埋係叫做嘅極限。

如果一串數列係有極限嘅話，我哋會話佢「趨向一點」。有人會用嚟表示趨向呢點。

如果一串數列係無極限嘅話，我哋會話佢「唔趨向一點」。

概念

假設有一條數列同時佢趨向呢點。你畀出一個任意嘅。

將每一個項都減佢趨向個點，。

當條數列嘅第一項符合，叫呢項做。咁之後呢個項之後嘅項都會符合，。

例子

將，明顯地係趨向。畀一個任意嘅。

得知。因此，由第一項就符合定義性質。

性質

唯一性 
一串實數數列只可以有一點極限。

證明：

假設都係嘅極限。

根據定義，揀任何一個，都會有

，使到任何一個佢係，符合；

，使到任何一個佢係，符合。

揀一個大啲嘅，使到，

利用三角形不等式，得知

因為係自己揀嘅，任何一個都得，所以推論到。

綁定定義 
假設有一串實數數列。如果有一個實數，令到任何一個符合。咁樣我哋會話係被「有界」。

有界性質 
任何一申會趨向一點嘅數列都係被有界。

證明：

假設係趨向一點，即係。

將，根據定義，一定會一個，令到所有符合。

利用三角形不等式，得知

將。咁樣就會係呢串數列入面最大嗰個數字，因為第嘅項會細過，之後喺第項同之前嘅加埋入面揀個最大嘅，叫佢做。

咁樣呢串數就一定會細過，即係。

排序性質 
如果同係各自趨向一點，以下三個特性係啱嘅：
 ，咁樣。
 ，咁樣。
 ，咁樣。

證明：

假設第一點嘅結論唔成立，即係話趨向嗰點。

揀，注意呢個係正數。

因為係趨向一點，所以一定會有一個，令到任何第符合，

。

淨係睇第項，得知。

因為假設咗第一點係唔成立，所以。

假設同時假設任何一項。

求；

因為極限計算性質，得知。

因為第一點得知，。

因此，。

假設，利用上者得出。

將同時將，利用上者得出。

合併上面兩條式，。

極限計算 
假設有兩串趨向一點嘅數列同。假設有一點。咁以下嘅式就會成立：

再假設有串趨向一點嘅數列，而。咁樣

證明：

假設有兩串趨向一點嘅數列同。根據定義得出，揀任何一個，都會有

，使到任何一個佢係，符合；

，使到任何一個佢係，符合。

揀一個大啲嘅，使到，

利用三角形不等式，得知 因為綁定性質，所以得知有一個，令到任何一個符合。

定義，根據定義得出，揀任何一個，都會有

，使到任何一個佢係，符合；

，使到任何一個佢係，符合。

再揀一個大啲嘅，使到， 如果，咁樣。如果證明到呢個係啱嘅話，利用上面就可以證明到。

將，根據定義，一定會一個，令到所有符合。再利用三角形不等式，

因為都係正數，咁就得出，。

將，根據定義，一定會一個，令到所有符合。

將兩串數例合併，定義，咁令到所有嘅符合

因此，。

例子 
計算。

將，。

利用加法計算，。

因為，同埋

因此，。

推論 
由上面嘅嘢，可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅：
 。
 。
 。

夾縫定理 
假設有三串實數數列，，，，對應任何嘅符合，同時嘅話，趨向一點，而。證明：'''

假設，根據定義，有一個對應既，係每一個項入面，都符合

同埋；

上面，可以得出；同時，可以得出。

同時對應呢個，根據假設得出，

因此得出，根據定義，對應嘅，喺每一個項入面，都符合。

數列
 增減數列
 子數列
 保西奴-華實斯定理

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