微分方程

微分方程係方程嘅一種，講未知函數同佢自己嘅導數之間關係。佢同積分方程好密切。微分方程有兩大種：一種係常微分方程，一種係偏微分方程。另外再可以根據唔同特性嚟細分佢哋。

微分方程喺實際應用嘅範圍好廣，除咗數學之外，喺科學、工程學、經濟學等等嘅範疇亦都有廣泛嘅用途。

微分方程解法大全

變量分離法

適用喺可以分離一階一次常微分方程。假設嗰條微分方程係  嘅樣，就可以將嗰條微分方程啲  項同埋啲  項分開擗埋兩邊，然後兩邊一齊積鬼咗佢。冇邊界條件就一齊用不定積分，有邊界條件就一齊用定積分，辟如當  嘅時候，啲  項嗰邊就由 開始積起，啲  項嗰邊就由 開始積起，然後再將啲積咗嘅項調下位，執靚佢，噉就完事。

例子

冇邊界條件

解 

解 

有邊界條件

解 ，其中喺  嘅時候 。

解 ，其中喺  嘅時候 。

積分因子法

適用喺唔可以分離嘅一階常微分方程。對於個樣係  嘅微分方程，呢條方程嘅積分因子就係  或者  。之後條方程就會變咗做一個相對容易解嘅樣：。最後用普通嘅積分就可以解咗佢。

例子

冇邊界條件
解 

i.e.

有邊界條件
解 ，其中喺  嘅時候 。

i.e.

特徵方程法

適用喺常係數嘅線性齊次微分方程，尤其喺  階微分方程度用到。因為函數   滿足微分方程 ，所以喺解二階一次常微分方程  嘅時候，我哋可以假設個答案係  個樣 ，噉就可以將條微分方程變做一條二次方程 。解咗呢條二次方程就可以搵到條微分方程個通解，每個二次方程嘅一個解都對應住通解裏面嘅一個項。

要留意如果條二次方程有重複解，個通解裏面嘅其中一個項係 ，其中  係條二次方程嘅重複根。而如果條二次方程有複數解，就利用歐拉公式將個  裏面嘅純虛部分變做三角函數。

例子

冇邊界條件
解 
假設個函數係  可以得到特徵方程：

或者 
將呢兩個解塞返落  呢個假設度，就可以得到通解係 ，其中  同  都係任意常數。

有邊界條件
解 ，，。
假設個函數係  可以得到特徵方程：

將呢兩個解塞返落  呢個假設度，就可以得到通解係 ，再用歐拉公式可以得到個通解係
。因為個函數係實函數，我哋可以直接忽略純虛部分，假設個函數係 。
根據邊界條件，有：

解方程可以得到  同埋 。所以個方程嘅解就係 。

拉普拉斯變換法
適用於二階一次常微分方程，睇拉普拉斯變換。

微積分
方程