羣

羣係數學上一種代數結構。一個羣係一個集，喺上面定義一種運算，要令到集裏面任意兩個元素進行運算，結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合結合性質、恆等性質同可逆性質。

定義 

如果有一個叫G嘅Set，我想佢係喺一個羣，就需要有一個二元運算「•」，。而Set入面嘅嘢同個運算，需要符合以下幾個條件：
 閉合性質：。意思係，喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢，「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返入面。
 結合性質：。意思係，無論有幾多粒嘢，點樣乘都無問題，做左前面先又得，做左後面先亦得。
 恆等性質：。意思係，嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫或者叫又或者叫identity，佢乘咩嘢都無變嘅。
 可逆性質：。意思係，嗰堆嘢入面，每一粒嘢，都會有對應嘅另一粒嘢，佢哋乘埋會變返做。

咁如果一個set，再畀多個運算佢，又咁啱符合嗮以上條件，咁個set加埋呢個運算呢就係一個group，寫成。

以上並唔要求，即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話，咁呢個羣就叫做阿標羣。

例子

整數羣 
整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集，係寫成，佢入面裝住所有嘅整數，即係。因為羣需要一個運算，所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明係一個羣。

Closure：假設入面其中兩個元素，叫做a同b。由於得出嘅係整數，而係包齊曬所有整數。所以。
 Associative：假設入面揀任何三個元素，叫做a、b同埋c。做加法嗰時，做完先再加c，同做完之後再加a，兩個結果係一樣嘅。所以。
 Identity： 是旦搵一個元素，佢搞完其他元素，佢都係無變嘅，咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢，都等於無加過嘢。
 Invertibility： 每一粒喺入面嘅元素，都係有另一半，而佢同佢另一半加埋之後，會變做0。一個元素a，佢嘅另一半就係(-a)，佢哋加埋就會變做0。

幾何變換 
譬如話，喺上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構。不過亦有交換群。

常見例子

性質 
由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係：「如果一個群符合要求，咁樣呢個群就係阿標群。」，但係群都有其他性質：
 用域入面非零嘅噖，加一般既乘法整成嘅群，就會係一個一般乘法嘅阿標群。
 用環入面嘅野，加一般加法整成嘅群，就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定係個群同埋都係入面嘅嘢。
 如果係入面成立，咁。對應既係，如果，咁。
 每一個入面，只係得一粒。
 每一粒，佢嘅都係得一粒。

對應任何整數，同都會成立。

證明 

因為喺入面成立，咁一定會有一個係入面，咁即係

假設有兩個。

咁因為係恆等，所以。

而因為係恆等，所以。

由上面兩條式睇到，。

假設，同時有兩粒符合，。

咁得出，。

利用(1)嘅結果，得知。

假設。

假設。

有限群同基數 
基數係群嘅一個概念，佢同集嘅基數嘅意思一樣，都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

定義(有限群) 
假設係一個群。如果係有限群，即係話佢入面只係得有限嘅元素。

入面嘅嘢嘅數量會叫做嘅基數，一般會用嚟表示。

如果入面嘅嘢係無限咁多，會將叫做無限群。

定理 
如果有同兩個群。將定義為一個係入面嘅運算，而呢個運算係咁嘅咁樣就係一個群。

如果同都係阿標群，咁都係阿標群。

如果同都係有限群，咁都係，而且。

定義(元素基數) 
設係一個群，係入面嘅一粒嘢。

如果係有基數，即係話，對應一啲嘅正整數，。

一般，會將最細嘅正整數，符合，叫做嘅基數。

一般會寫做，，嘅基數係。

如果係冇基數，即係話，對應所有嘅正整數，。

性質 
以下假設咗係一個群，而係入面嘅嘢。
 如果係冇基數，咁每一粒都係唔同嘅，係正數。
 如果係有基數，而佢嘅基數係，咁同埋。
 如果係有基數，而基數係，咁嘅基數係。
 如果，咁就有基數。

證明

利用否定證明，證明如果有係相等，咁即係係有基數。

假設。

咁即係係有基數。

假設嘅基數係。

因為，所以。

上面證明咗，如果係嘅倍數，咁。

利用(1)嘅證明得知，係嘅倍數。

利用同餘定義，。

假設嘅基數係。

所以嘅基數係。

應用 
利用上面嘅概念同性質，可以證明出更多嘅定理。以下都假設係一個群，都係入面嘅剐。
 如果，咁。
 如果，咁。
 如果係阿標群，咁係一定成立。
 如果嘅基數係，咁就係一個阿標群。「即係話，」
 只會得一粒係符合。

如果係雙數，咁入面就會有粒嘢嘅基數係。

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