正交基

喺線性代數當中，一個內積空間嘅正交基係元素兩兩正交嘅基。基中元素嘅模長都係單位長度 1 嘅正交基叫做標准正交基。

無論係喺有限維定係無限維空間入面，正交基嘅概念都係好重要嘅。喺無限維希爾伯特空間當中，正交基唔再係Hamel基，亦即係話唔係每個元素都可以寫得成有限個基中元素嘅線性組合。所以喺無限維空間入面，正交基應該更加嚴格咁定義為由線性無關而且兩兩正交嘅元素組成、張成嘅空間係原空間嘅一個稠密子空間嘅集合。

注意，喺冇定義內積嘅空間入面，「正交基」呢三個字係冇意義嘅。所以只有當一個巴拿赫空間係一個希爾伯特空間，佢先至會有正交基。

例子 

喺歐幾里得空間  入面，集合： 組成咗一個標准嘅正交基。

由  定義嘅集合：
 組成一個標准正交基喺複勒壁空間  上。

基本性質 

B係H上嘅一個正交基，係噉H中嘅每個元素x都可以表示得成： 

B係標准正交基嗰陣時，就係：

x 嘅模長表示為：

.

即使B唔係可數嘅，上面累加式裡便嘅非零項亦都只會有可數多個，所以呢個表達式照舊係有效嘅。上式叫做x嘅傅利耶展開，詳見傅利耶級數。

若B係H上嘅一個標准正交基，係噉H同構於序列空間l2(B)。因為存在以下H -> l2(B)嘅雙射Φ，令到對於所有 H中嘅 x 同 y 有：

正交基嘅存在性 

運用佐恩引理同Gram-Schmidt正交化方法，可以證明得每個希爾伯特空間都有基，並且有正交基。同一個空間嘅正交基嘅基數必然係相同嘅。當一個希爾伯特空間有可數個元素組成嘅正交基，就說呢個空間係可分嘅。

Hamel基 

有前面嘅定義可以知道，喺無窮維空間嘅情況下，正交基唔繼續係一般線性代數嘅定義下嘅基。為咗區分，叫一般線性代數嘅定義下嘅基係Hamel基。

喺內積空間嘅實際應用中，Hamel基甚少出現，因此提到「基」嘅概念陣時，一般指嘅係正交基。

參看 
基 (線性代數)
正交
正交化
Gram-Schmidt正交化
正交分解
正交矩陣
垂直

代數
線性代數

da:Ortonormal basis