Γ函數

Γ 函數，亦叫做伽瑪函數，係一個將階乘推廣到複數上嘅方法。Γ 函數係一個亞純函數，喺複平面上面除咗0同埋負整數，其他地方都係有定義嘅。佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。對任何嘅正整數，都有

定義 
呢個符號係勒壤得揀嘅，個函數嘅定義係：

呢個積分喺實數  時係絕對收斂，亦可以考慮  係複數嘅情形，呢個時候要求  嘅實部 。

無窮乘積 
Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：

其中  就係歐拉常數。

Gamma積分

遞歸公式 
Γ 函數嘅遞歸公式係：

對於正整數 n，有

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式 

用分部積分法嚟計呢個積分：

當 x = 0 時，。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

.

因此第一項變咗零，所以：

等式嘅右面啱啱就係n。所以遞歸公式係：

。

重要性質 

當時，
 歐拉反射公式：

由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，。
 乘法定理：

補充：

呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。
 其他用乘法定理計到嘅數：

特殊值

斯特靈公式 
斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度：

解析延拓 

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞  嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

並注意到函數  係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺  時設

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數，佢喺  有單極點，留數係

雙伽瑪函數
 多伽瑪函數
 階乘
 機率密度函數

GAMMA 函數嘅性質

特殊函數
特殊超幾何函數
複分析