雙曲函數

雙曲函數係種類似三角函數嘅函數。最基本嘅雙曲函數係雙曲正弦函數同雙曲餘弦函數，再由佢哋導出雙曲正切函數、雙曲餘切函數、雙曲正割函數、雙曲餘割函數。雙曲函數嘅反函數係反雙曲函數。

定義 
雙曲函數可以用幾種唔同嘅方法定義。

指數函數定義 
 雙曲正弦：

雙曲餘弦：

雙曲正切：

雙曲餘切：

雙曲正割：

雙曲餘割：

微分定義 
雙曲正弦同雙曲餘弦分別係以下一組微分方程入面嘅解：

而 同。

另外，佢哋又分別乎合方程式：
雙曲正弦要求, ，而雙曲餘弦, 。

三角函數定義 
雙曲函數又可以將複數放入三角函數度得出：

雙曲正弦：

雙曲餘弦：

雙曲正切：

雙曲餘切：

雙曲正割：

雙曲餘割：

喺 單位虛數 ，即係。

呢啲用複數嘅定義係由歐拉公式推出嚟嘅。

泰勒展開式
上面呢幾個雙曲函數又可以化做泰勒展開式：

函數sinh x淨係有x嘅單數次方，所以佢係一個單函數，即係−sinh x = sinh(−x)同埋sinh 0 = 0。

函數cosh x淨係有x嘅雙數次方，所以佢係一個雙函數，即係佢喺y軸兩邊成對稱。函數sinh同cosh兩個展開式加埋就係指數函數嘅無限級數。

而:
係第n個白努利數
係第n個歐拉數

函數