虛數單位

喺數學、物理同埋工程學當中虛數單位標記為。虛數單位嘅發明傳到實數系統能夠延伸至到複數系統 。延伸嘅主要動機係因為有好多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式就無實數解。但係假如我哋允許解答為虛數，噉樣呢個方程式以及所有嘅多項式方程式就都會有解。

定義 
虛數單位  定義為二次方程式  嘅兩個解答中其中一個解答。呢個方程式又可等價表達為
 。

由於實數嘅平方絕對唔可能係負數，所以我們假設有咁樣嘅一個數目解答，幫佢設定一個符號  。有一點好重要嘅就係， 係一個定義明確嘅數學構造。

實數運算可以延伸至虛數同複數。當計算一個表達式嘅時候，只需要假設  係一個未知數，然後跟住  嘅定義，替代任何  嘅出現為  。  的更高整數冪數也可以替代為  ， ，或 ，根據下面嘅方程式：
 ，
 ，
 。

一般嚟講有以下嘅公式：

i 嘅計算 
好多實數嘅運算都可以推廣到，例如指數、對數同埋三角函數。注意，爾尐都係複變函數入面嘅多值函數，使用嘅時候一定要注意揀嘅係黎曼面嘅邊一支，下面衹係列出咗其中一支嘅結果。

一個數嘅次方係：

一個數嘅次方根係：

以i 為底嘅對數係：

嘅餘弦係一個實數：

嘅正弦係一個純虛數：

複數
虛數

複數
代數數