函數組合嘅連續性

函數組合嘅連續性係連續函數中嘅一個概念。佢係講緊兩個函數組合之後嘅連續性。呢套概念想解答嘅問題係：兩個連續函數組合之後重係唔係連續。

組合就包括函數嘅處理方法，即係。

點連續計算法 
假設，同都係函數，係一點實數。

假設係入面嘅一點，咁同喺呢點度都係連續嘅。以下嘅都會係啱嘅：
 都會喺呢點度連續。
 再假設喺呢點度係連續嘅，同埋，咁都係喺呢點度連續。

證明 
根據假設得知，同埋。

咁利用函數極限嘅計算法則得知，

設，咁利用上面。

設喺呢點度係連續嘅，同埋，咁利用函數極限嘅計算法則得知，

。

因為連續函數嘅定義係，如果，咁就係喺呢點度連續。

所以以上各式成立。

集上連續計算法 
由點連續計算法可以推出，集上連續嘅計算法。

定理 
設，同都係喺集上面連續，係一點實數。以下都會係啱嘅：
 都會喺集上面連續。
 再假設喺集上面連續嘅，同埋，咁都會喺集上面連續。

例子 
 多項式函數：係一個喺上面連續嘅函數。
 有理函數：設係兩個多項式函數，而且喺集上面連續。只要將嘅根除去，即係，係嘅根，咁，得出有理函數喺所有點入面，除咗以上講嗰啲點之外，都係連續嘅。
 因為，同都係喺連續嘅，所以可以得知都係喺某一堆點連續嘅。

絕對同開方連續函數

絕對連續函數 
設，。定義為。咁以下兩條一定成立：
 如果喺呢點連續，咁都會喺呢點連續。
 如果喺集上面連續，咁都會喺集上面連續。

開方連續函數 
假設，，符合。定義為。咁以下兩條一定成立：
 如果喺呢點連續，咁都會喺呢點連續。
 如果喺集上面連續，咁都會喺集上面連續。
以上兩條都係可以由數列要求，推到函數極限，再引出以上兩個結果。

組合函數嘅連續性 
喺連續性入面，係可以討論埋組合函數呢一個函數運算嘅方法。以下嘅定理會證明出喺呢點度連續，同埋喺呢點度連續，會引伸出喺呢點度係連續。當然會係定義到，同埋。

定理一 
假設，同埋，符合。

如果喺呢點到連續，同埋喺呢點度連續，咁喺呢點度係連續。

證明：

假設係嘅-鄰區。

咁因為喺度係連續，所以就會有一個嘅-鄰區叫，使到如果，咁。

同時，因為喺度係連續，所以就會有一個嘅-鄰區叫，使到如果，咁。

因為，所以如果，咁。

因此，。

因為係任意一個鄰區，咁就係喺呢點上面連續。

定理二 
假設，同埋，符合。

如果喺集上面度連續，同埋喺集上面度連續，咁喺呢點度係連續。

極限
 連續函數
 間上連續函數
 保西奴中間點定理
 統一連續

數學分析
函數