繩嘅振動

當正弦波經過一條繩嘅時候，條繩上面每一點都會進行簡諧振動，然後條繩就可以產生音調。但係，有一條更加重要嘅公式，係關於嗰條正弦波嘅波速。假設嗰條繩嘅張力係 ，每單位長度嘅質量係 ，咁經過嗰條繩嘅正弦波嘅波速  係：

證明

睇下右面嘅圖。假設攞一橛好短嘅線段，水平嚟計嘅長度係 （或者可以寫做 考慮響距離  呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

考慮響距離  呢度嘅斜率，同埋力嘅分解，得到：

但係，根據波嘅定義，因為波嘅其中一個特性係剩係會傳播能量，而唔會傳播任何物質，所以係條波經過嘅地方，每一個粒子都只會上下咁振，而永遠唔會有水平方向嘅位移，再根據牛頓第一定律，得到：

於是，就可以得到：

考慮垂直方向嘅淨力：

只不過，根據牛頓第二定律：

於是：

左邊嗰嚿嘢其實係二階偏導數 ，即係 。得到：

而根據波動方程，。所以：

經過整理，得到 。

如果想要嚴格啲嘅證明，可以用正弦波嘅函數表示公式：

咁樣以上得到嘅偏微分方程就會變成：

約走個正弦波函數表示公式再執靚佢，得到：

但係因為 ，所以條式變咗：

所以，。

波動方程同埋波速

物理