相反環

喺代數學裡面，一個環嘅相反環係另一個環，佢有同樣嘅元素同埋加法，但係個乘法係調轉次序嚟做嘅。講清楚啲，一個環嘅相反環就係，個乘法嘅定義係。嘅相反環通常會寫做，其中「op」係「opposite」嘅意思。相反環可以用嚟講雙模，並且好容易將模嘅性質推廣去雙模，因為一個R-S-雙模正正就係一個模。相反環亦都可以用嚟講清楚「左模」同「右模」嘅定義。

么半羣、羣、環同代數都可以睇做某種單物件範疇，而相反範疇就推廣咗相反羣、相反環等等嘅概念。

例子

兩個生成元嘅自由代數 
場上面嘅雙生成元自由代數上面嘅乘法係用字串連接嚟定義嘅，例如：

噉佢嘅相反代數嘅乘法就係噉樣：

兩者係有唔同嘅。

四元數代數 
場上面嘅四元數代數係一個除代數，有三個生成元同埋三個關係

, , 同 

所有入面嘅元素都可以寫做

如果用  嚟表示入面嘅乘法嘅話，個乘數表就係

噉佢嘅相反代數嘅乘數表就係

交換環 
一個交換環係同佢嘅相反環同構嘅，因為對任何兩個元素同，都有。

性質 

兩個環同構若且唯若佢哋分別嘅相反環同構。
 一個環嘅相反環嘅相反環係返佢自己。
 一個環同佢嘅相反環係反同構嘅。
 一個環係交換環若且唯若佢嘅乘法同反乘法係一樣嘅。
 一個環嘅左理想正正就係相反環嘅右理想。
 除環嘅相反環都係除環。
 一個環上面嘅左模就係相反環上面嘅右模，反之亦然。

書

相反羣
 相反範疇

環論
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