幺半範疇

幺半範疇係有二元運算嘅範疇，可以當做幺半羣嘅範疇化。

一種常見嘅幺半範疇係張量範疇：渠同時有直和同張量積，可當做環嘅範疇化。

定義 
定義
張量範疇係序列 (C, ◇ , α,１, λ ρ )，其中
 C 係一範疇；
 ◇ 係雙函子 (:en:bifunctor): C x C ---> C: (U,V)|--->U◇V；
 αU,V,W: (U◇V)◇W ---> U◇(V◇W) 係一系列自然態射 (natural isomorphism)，叫結合態射 (associativity morphism / associativity constraint)；
 １係 C 中一物，叫「單位物」；
 λU: １◇ U ---> U；其中 U 係 C 中物； 係一系列自然態射 (natural isomorphism) 
 同樣，ρ V : V◇１--->V 係一系列自然態射；
同時，呢的結構符合：
 五角型公理：

單位公理：

設
 C, C' 係兩幺半範疇
定義
幺半函子Φ:C--->C' 係一函子，保存住 C、C' 上兩種幺半結構。

Grothendieck羣

嚴幺半範疇 (strict monoidal category) 
嚴幺半範疇 (strict monoidal category) 係一幺半範疇，其中全部 ρ 同λ 態射都係恆等態射。

MacLane 一致性定理 (MacLane coherence theorem)  話：每幺半範疇都等價於一嚴幺半範疇。

剛性(rigidity)

重構定理 
參閱：田中-Krein對偶律
一般，若果有一Hopf代數，渠嘅表示形成一剛幺半範疇。

掉返轉頭，由一剛幺半範疇，我地可重構番個Hopf 代數。

設
 r 係交換環
 M 係 r 上有限生成嘅射影模(projective modules)組成嘅範疇；
 C 係範疇，基本上係細嘅 ；
 C 係 r-線性範疇；
 C 係剛硬阿貝爾幺半範疇；
 F : C---> M 係一正合(exact) 、忠實(faithful)、r-線性嘅幺半函子；
咁就
 存在r 上嘅 Hopf代數 A 同埋 r-線性嘅 範疇 同構 C--->corepA，令到 (C--->corepA --->M) = F 
 其中 corep 係 r-射影、有限生成嘅 A-逆模(A-:en:comodules)組成嘅範疇，
 corep ---> M 係無記性函子(forgetful functor)。

對偶物 (dual object)

例

辮範疇 
braid

纏繞 
纏繞
有向纏繞
絲帶纏繞

張量範疇 [(quasi-)tensor category]

張量範疇

擬張量範疇

融合環(fusion ring)

絲帶紐結不變量

Jones多項式

Saunders MacLane (1997),《Categories for the Working Mathematician》, , Springer Verlag, ISBN 0-387-98403-8 , pp. 161-...
 Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley, 《A Guide to Quantum Groups》, 劍橋，ISBN 0-521-55884-0 , pp. 136-...

範疇論
代數結構
代數拓撲
拓撲量子場論