佩爾數

佩爾數系一個自古以嚟就知嘅整數數列，由遞推關系定義，與斐波嗰契數類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與白銀比嘅冪成正比。佢出依家2嘅算術平方根嘅近似值以及三角平方數嘅定義中，也出依家一啲組合數學嘅問題中。

定義
佩爾數由以下嘅遞推關系定義：

也就系講，佩爾數嘅數列從0和1開始，以後每一個佩爾數都系前面嘅數嘅兩倍加上再前面嘅數。原幾個佩爾數系：
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… 。

佩爾數也可以用通項公式嚟定義：

對於較大嘅n，嘅項起主要作用，而嘅項則變得微乎其微。因此佩爾數約莫與白銀比嘅冪成正比。

第三種定義系以下嘅矩陣公式：

從呢啲定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下嘅恆等式，與斐波嗰契數嘅卡西尼恆等式類似：

呢個恆等式系以上矩陣公式嘅直接結果。

2嘅算術平方根嘅近似值
佩爾數出依家2嘅算術平方根嘅有理數近似值中。如果兩個大嘅整數x和y 系佩爾方程嘅解：

咁佢哋嘅比就系嘅一個較精確嘅近似值。呢種形式嘅近似值嘅數列系：

其中每一個分數嘅分母系佩爾數，分子則系呢個數與前一個佩爾數嘅和。也就系講，佩爾方程嘅解具有嘅形式。系呢啲近似值中嘅第八個，喺公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀嘅古希臘數學家也知呢個近似值嘅數列；佢哋把呢個數列嘅分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

呢啲近似值可以從嘅連分數展開式推出：

攞呢個展開式嘅有限個項，便可以產生嘅一個近似值，例如：

素數和平方數
佩爾素數系既系佩爾數又系素數嘅數。原幾個佩爾素數系：
2, 5, 29, 5741, …… 。
與斐波嗰契素數相似，僅當n本身系素數時才有可能系素數。

唯一嘅既系佩爾數又系平方數、立方數或任意整數次方嘅數系0, 1, 以及169 = 132。

然而，佩爾數與三角平方數有密切嘅關系。佢哋出依家以下佩爾數嘅恆等式中：

等式嘅左面系平方數，等式嘅右邊系三角形數，因此系三角平方數。

Santana和Diaz-Barrero喺2006年證明咗佩爾數與平方數之間嘅另外一個恆等式，並證明咗從到嘅所有佩爾數嘅和總系平方數：

例如，從到嘅和系，系嘅平方。就系呢個和嘅平方根：
1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… 。

勾股數

如果一個直角三角形嘅邊長為a、b和c，咁(a,b,c)稱為勾股數。Martin喺1875年描述，佩爾數可以用嚟產生勾股數，其中a和b相差一個單位。呢個勾股數具有以下形式：

用呢種方法產生嘅勾股數嘅序列系：
(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ……

佩爾-盧卡斯數
佩爾-盧卡斯數由以下嘅遞推關系定義：

也就系講，數列中嘅原兩個數都系2，後面每一個數都系前一個數嘅兩倍加上再前面嘅一個數。呢個數列嘅原幾個項系：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩爾-盧卡斯數嘅通項公式為：

呢啲數都系偶數，每一個數都系以上嘅近似值中嘅分子嘅兩倍。

整數數列