混沌理論

係數學嘅一個子領域，研究「望落好似完全隨機同無法預測嘅系統」。精確啲講，套理論建基於蝴蝶效應－呢個諗頭講响非線性系統入面，就算初始狀態變咗少少，都可以引發好大影響，令個系統跟住落嚟嘅狀態完全唔同嗮。

舉例說明，一座城市係個複雜嘅系統：座城市由好多件部份組成，包括係市民、馬路等嘅基建以及建築物等好多樣嘢；想像喺市中心有位市民過馬路嗰陣唔小心，有位司機為咗唔想撞到佢而撞咗埋第架車度，場交通意外搞到條馬路俾人封咗，於是多位市民返工返學有困難，咁啱得咁橋其中一位返唔到工嘅市民係某大企業嘅重要管理層，連帶搞到間企業當日嘅工作受阻，進而影響埋股市變化，引發經濟波動。好似噉嘅連串變化就係「混沌」講緊嘅嘢－喺現實世界，好多時個系統嘅初始狀態係噉咦變咗啲，就會搞到個系統跟住出現意料之外嘅大變動。

混沌嘅諗頭引起咗好多領域嘅工作者關注。試想像：
金融學：股市嘅上落受好多因素影響，例如利率以及供應同需求都會影響股價；家陣金融工作者想預測股市嘅變化，會唔會有可能利率升 0.1% 咁少，就搞到股市由正常狀態變成「引起恐慌性拋售，股價插水式下滑」呢？
醫學：人體嘅運作受好多因素影響，例如血入面各化學物質嘅濃度都可以影響人體能唔能夠正常運作；家陣醫護人員想喺病人身上用藥，會唔會隻藥嘅濃度升咗 0.1% 咁少，就搞到病人由「會好返」變成「會死」呢？
工程學：一部機械可以有極多件組成部份；想像家陣工程師想設計一部機械，會唔會部機嘅溫度或者壓力升咗 0.1% 咁少，就搞到部機由「正常噉行到落去」變成「會爆炸著火」呢？
... 呀噉。有好多唔同領域嘅工作者都有興趣研究混沌現象，除咗頭先提到嘅領域之外，氣候學、生態學、各門嘅社會科學以至電腦科學等嘅多個領域，都有工作者著手研究混沌。呢啲咁多唔同嘅研究就形成咗個跨學科嘅領域－混沌理論。

基本概念 

混沌理論最基本嘅諗頭係所謂嘅蝴蝶效應：家吓將研究緊嘅現象想像成一個系統，當中「現象」可以係天氣、生態系統、人體、人腦、複雜嘅機械以至股市... 呀噉；一個系統梗會有某啲 input，而個系統跟住落嚟嘅狀態會取決於
Input 同
系統打前嘅狀態；
事實表明，好多時 input 或者打前狀態變咗少少，跟住落嚟嘅變化就可以唔同嗮：
舉個具體例子，想像兩個經濟體A 同 B，一開始嗰陣兩個經濟體狀態完全一樣咁滯，不過响一開始嗰時 A 嘅人口大過 B 少少，例如 A 人口係 100,002 而 B 人口係 100,000；直覺上會認為，A 同 B 跟住落嚟嘅變化會係一樣咁滯，但實際嘅研究發現並唔係噉－實證嘅研究表明，兩個經濟體有可能會隨時間變到完全唔一樣，例如 A 變成世界最大經濟體，同時 B 進入經濟衰退，最後 A 嘅 GDP 係 B 嘅 10 倍。
噉嘅現象，喺經濟學以外嘅領域都可以觀察得到，例如喺 1969 年，有科學家做過噉嘅研究－想像有隻蝴蝶喺度飛嚟飛去搵花蜜食；根據呢啲科學家計嘅數，隻蝴蝶拍翼會造成空氣嘅微細流動，而呢股微細變動有可能引起周圍嘅空氣出現一連串變化，最後喺地球另一邊引起龍捲風。
上述嘅現象仲可以用數學化嘅電腦模擬展示：附圖係混沌理論當中嘅洛倫茲系統嘅電腦模擬結果；成個系統有幾個變數同參數，包括 ，幅圖打戙嗰條軸做 ，打橫嗰條軸做時間，設  做「 嘅初始數值」，唔同色嘅線表示喺唔同  之下  隨時間變化嘅規律。由幅圖睇得出， 係噉咦變咗少少，就會令最後嘅  變化規律唔同嗮－嗰幾條唔同色嘅線大約去到  嗰陣分開。而且應用數學方面嘅研究仲發現，就算個系統完全冇任何隨機性喺裏面，噉嘅現象依然有可能會發生。

蝴蝶效應引起咗好多科研工作者嘅關注：科學嘅其中一個終極目的，就係想靠實證得到知識，用知識幫人類預測宇宙嘅各種現象，無論自然科學定社會科學都係噉；混沌嘅存在就正正係令到某啲現象難以預料，對人類預測現象嘅能力造成威脅。研究混沌嘅科學家會用數學化嘅方式思考混沌，並且嘗試將得出嘅數學模型應用落去現實嘅現象度，想從而加深人類對混沌現象嘅理解，解答「有冇方法可以預料混沌幾時會出現」等嘅問題。

系統概念

吸引子

複雜度

混沌系統

簡史 
喺 19 世紀尾，法國數學家龐加萊等嘅研究者喺度諗太陽系啲天體嘅軌跡會點樣隨時間變化，佢哋用微分方程嚟做分析，發覺喺分析多過兩個天體嘅軌道嗰陣，啲現象經已複雜得滯，難以用公式描述，啲模型嘅可能結果由「啲天體冚唪唥都完美噉跟住現有嘅軌跡行」以至極端嘅「其中有粒行星俾重力掟出去太陽系外或者撞落太陽嗰度」都有；打後嘅研究又發現，有好多動態系統都有啲噉嘅情況－「只要啲初始條件嘅數值變咗少少，成個系統嘅狀態就會出現極端嘅變化」，而呢點就係混沌理論上所講嘅「混沌」。混沌嘅現象喺天氣、生態系統以至量子力學等多種現象嗰度都會見得到，係廿一世紀初數學界相當重視嘅一套理論。

相關概念

創發
算術下溢

文獻

攷

拎 

Chaos theory. Encyclopedia Britannica.