質數定理

質數定理描述質數嘅大致分佈情況。

質數嘅出現規律一直困惑住數學家。一個個咁睇，質數喺正整數之中嘅出現冇咩規律。但係從總體嚟睇，質數嘅數量竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為唔大過x嘅質數數量。數學家揾到咗一啲函數嚟估計π(x)嘅增長。以下係第一個咁樣嘅估計。

其中ln x係x嘅自然對數。上式嘅意思係當x趨近∞，π(x)同x/ln x嘅比值趨近1。但係咁樣唔表示佢哋嘅數值隨住x增大而接近。

π(x)、x/ln x、li(x)嘅值 

下面係對π(x)更好嘅估計：

，當x 趨近∞。

其中，而關係式右邊第二項係誤差估計，睇大O符號。

下面呢個表比較咗π(x)，x/ln x同Li(x)嘅大細：

質數定理可以畀出第n個質數p嘅漸近估計：

佢亦都畀出咗從整數中抽到質數嘅概率。從不大於n嘅自然數入面隨機揀一個，佢係質數嘅概率大約係1/ln n。

呢個定理嘅式子喺1798年由法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬同比利時數學家Charles Jean de la Vallée-Poussin先後獨立畀出證明。證明用到咗複分析，尤其係黎曼ζ函數。

因為黎曼ζ函數同π(x)關係密切，所以關於黎曼ζ函數嘅黎曼猜想對數論好重要。一旦猜想獲證，就可以大大咁改進素數定理誤差嘅估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項嘅估計可以改進為

至於大O項嘅常數就重未揾到。

初等證明 
質數定理有啲初等證明只需用數論嘅方法。第一個初等證明喺1949年由匈牙利數學家保羅·愛多士同挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

呢個證明發表之前，有啲數學家唔相信可以揾出唔需要借助艱深數學嘅初等證明。譬如英國數學家哈代就話過：質數定理必須用複分析嚟證明，顯出定理結果嘅「深度」。佢認為淨用實數唔足以解決某啲問題，必須引入複數嚟解決。呢句話係憑感覺講出嚟嘅，覺得有啲方法比起第啲更加高等、犀利，而質數定理嘅初等證明動搖咗呢種論調。Selberg－艾狄胥嘅證明啱好表示，睇似初等嘅組合數學，威力都可以好大。

但係，雖然呢個初等證明淨用到初等嘅辦法，但係佢嘅難度甚至大過用到複分析嘅證明好多。

定理
數學定理

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