交換環

交換環係抽象代數環論入面嘅一種環，佢嘅乘法運算滿足到交換律。研究交換環嘅學問叫做交換代數，相反，非交換代數就係研究非交換環嘅學問。

最簡單嘅交換環例子有整數環、單變數多項式環、多變數多項式環同埋佢哋嘅商環，佢哋喺代數數論同埋代數幾何入面好有用。

定義同例子

定義 

一個環係一個集合  附上兩個二元運算，通常叫做加法同乘法，符號係「+」同埋「⋅」例如｢｣、｢｣咁，而且佢哋要符合一啲條件： 附上「 + 」要係一個阿貝爾羣， 附上「 ⋅ 」要係一個么半羣，同埋乘法對加法要滿足分配律。加法同乘法嘅單位元素通常分別用 0 同 1 嚟表示。

如果乘法係交換嘅話，即係話對所有嘅 a 同 b：
 a ⋅ b = b ⋅ a
咁個環  就話係交換嘅。

例子 
一個好簡單但係非常重要嘅例子係整數環 ，由於整數乘法係交換嘅，呢個係一個交換環嚟。 呢個符號係嚟自德文嘅 Zahlen 。

一個場係一個交換環，當中  同埋所有非零元素都有乘法逆元素，所以根據定義，所有場都係環嚟。有理數、實數同埋複數都係呢類嘅例子。

如果我哋已經有一個交換環 R，我哋可以喺佢之上構作多項式環 R[X] 甚至多未知數多項式環 R[X1, X2, ..., Xn]，佢哋都係交換環。

如果 V 係一個拓撲空間，例如  嘅開集，V 上面嘅連續實/複函數形成一個交換環，如果 V 有可微結構或者複結構嘅話，例如 V 係一個複流形，咁 V 上面嘅可微函數或者全純函數都形成一個交換環。

除數 
係一個場入面，任何元素都可以做除數，但係喺環入面，除數嘅理論就有趣好多，因為唔係所有元素都可以做除數。如果一個元素有乘法逆元嘅話，咁呢個元素就叫做可逆元素。另一個概念叫做零因子，啫係話一個元素 a，存在另一個非零元素 b 令到 ab = 0。如果個環 R 係冇非零零因子嘅話，R 就係一個域。如果一個元素 a 對某個正整數 n 符合 an = 0 嘅話，呢個 a 就叫做係零冪嘅。

局部化 

環嘅局部化係一個過程，令到某啲唔可逆嘅元素變成可逆，亦即係話，增添一啲乘法逆元入個環到。詳細啲講，如果 S 係一個乘法封閉集，咁 R 對 S 嘅局部化，通常用 S-1R 嚟表示，係由

，

嘅樣嘅元素組成，當中佢哋嘅加法、乘法同等於關係同平時我哋做分數計算差唔多。事實上，有理數  其實係整數環  對非零整數嘅局部化。相似地，對任何域 R 我哋都可以對非零元素 R\{0} 做局部化，得到佢嘅域中分數場 Frac(R)。如果 S 係由一個固定元素 f 嘅所有次方組成，噉個局部化就可以寫成 ，如果 S 係一個質理想嘅補集嘅話，局部化會寫做 。

書目

(Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)

環論