梯度定理

梯度定理，係向量微積分裏面嘅一個定理，亦都係微積分基本定理拓展咗之後對於路徑積分嘅一個廣義版本。

定理
根據梯度定理，如果有一個喺  向量空間嘅連續可微分標量函數 ，對於任何喺  裏面起點係  同埋終點係  嘅曲線 ，有：

其中  就係  嘅梯度，係一個向量場。

證明
將  裏面嘅所有維度分別叫做 ，所有單位向量分別叫做 ，其中 。噉樣  嘅全微分可以寫做：

喺  裏面梯度嘅定義係：

而位置向量同佢嘅微分嘅定義分別係：

所以有：

於是有：

證完。

應用

向量微積分