李羣

喺數學入面，一個李羣係一個實或者複可微流形，佢同時係一個群，而且群嘅運算都係可微函數。李羣呢個概念對物理、幾何同數學分析都好重要，因爲佢可以描述「無限細嘅」對稱。李羣係喺1870年由Sophus Lie定義嘅，用嚟研究微分方程嘅對稱性。

雖然歐幾里得空間係一個實李羣，但係典型嘅李羣例子係一啲可逆矩陣群，例如 SO(3)，由三維空間入面嘅旋轉組成。下面有更多李羣嘅例子。

分類 
我哋可以用代數性質將李羣分類，例如簡單、半簡單、可解、零冪、阿貝爾等等，或者用拓撲性質，例如連通同緊緻。

同態同同構 
如果 G 同 H 係李羣，咁一個李羣同態  就係一個群同態，佢同時係一個可微函數。李羣同態嘅複合都會係返一個李羣同態，所以李羣同李羣同態形成一個範疇。如果存在一個由 G 去 H 嘅雙射李羣同態，佢嘅反函數都係李羣同態嘅話，我哋就話 G 同 H 係同構嘅。

李羣對應嘅李代數 
對每一個李羣，我哋可以幫佢對應一個李代數，呢個李代數可以完全記錄個李羣嘅局部結構。

首先，我哋定義咗左不變向量場先：對任何嘅 ， 係一個由  打返去自己到嘅微分同胚，一個向量場  符合  就叫做左不變向量場喇。

喺一個可微流形上面，所有向量場組成一個李代數，係李羣上面，左不變向量場形成咗一個子李代數，呢個就係 G 對應嘅李代數喇，通常會用哥特體嘅 g 嚟表示。呢個李代數  係有限維嘅，所以我哋可以嘗試進行分類。分類  對理解 G 都有幫助，李羣同李代數嘅表示論就係例子。

每一個李羣同態  都會誘導一個李代數同態 ，而  呢個對應其實係一個函子嚟。 

對  入面每一個左不變向量場 v 我哋都可以定義一條積分曲線 ，符合微分方程

同埋以下呢個性質：

正因爲呢個性質，c 又叫單參數子羣。亦都因爲呢個性質好似指數函數嘅性質，我哋定義

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呢個指數函數係由李代數  打去李羣 G 嘅一個函數，佢延伸咗好幾個比較爲人熟悉嘅概念：實數上嘅指數函數、複數上嘅指數函數同埋矩陣嘅指數函數，所以呢三個例子 、、其實都係李代數嚟。

指數函數提供咗一個由  入面 0 嘅鄰域打去 G 入面 e 嘅鄰域嘅可微同胚。由於呢個指數函數係 e 嘅鄰域係滿射，我哋有時會叫李代數入面嘅元素做 G 嘅無限細生成元。事實上，如果 G 係連通嘅話，任何 e 嘅鄰域都生成 G。

根據Baker-Campbell-Hausdorff公式，指數函數同埋李代數結構可以完全決定 G 入面 e 嘅一個鄰域嘅李羣結構：存在一個  入面 0 嘅鄰域 U，使得對任何 ，我哋都有

當中每一項嘅系數都可以計到出嚟，同埋每一項都係 u 同 v 嘅李括號嚟。如果 u 同 v 係交換嘅話，條式就變咗我哋熟悉嘅 exp(u) exp(v) = exp(u+v)。

李代數並唔係完全一一對應到一個李羣，可以睇吓下面個表，有啲唔同嘅李羣係有同一個李代數嘅，但係亦有啲李羣嘅性質係可以由佢嘅李代數反映出來，例如簡單、半簡單、可解、零冪同阿貝爾。

如果我哋淨係考慮簡單連通李羣嘅話，李代數同李羣就一一對應喇：任何有限維李羣  都對應住唯一一個簡單連通李羣，而且呢個時候我哋可以掉反轉：任何李代數同態  都可以誘導一個李羣同態 ，當中 G 同 H 都係簡單連通李羣。

實李羣同對應嘅李代數列表

複李羣同對應李代數列表

無限維李羣例子

攷 

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 Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010

E8 (數學)
 :es:Una teoría del todo excepcionalmente simple
 Virasoro代數
 Witt代數

對稱
李群
李代數