域 (數學)

喺數學，特別係代數入面，域係指一個非零交換環，當中唔係  嘅元素乘埋一齊都唔係 。域係整數環嘅推廣，係域上面我哋可以研究整除性。係域入面，每一個非零元素都有消除性質：如果 ，咁 。

域幾乎係所有地方都係咁樣定義，但係都有啲變體。有啲書唔要求域有乘法單元，又或者可以係唔交換環。係呢篇文入面，我哋要求域係要有乘法單元同埋係交換嘅。

定義 
域基本上被定義爲非零交換環，使得兩個非零嘅數乘埋都要係非零。用數學式寫出來，就係：

呢個定義可以用下面嘅方法去重寫：

域係無非零零因子嘅非零環。
 域係一個交換環，當中零理想係一個質理想。
 域係一個非零交換環，當中每一個非零元素係乘法之下都係可消除嘅。
 域係一個環，當中非零元素形成一個乘法monoid。
 域係一個非零交換環，當中對每一個非零元素  ，「將  打去 」呢個函數都係單射。

一個好重要嘅性質係，場嘅每一個子環都係一個域，掉反轉，對每一個域，我哋都可以構作一個場，使得個域係個場嘅子環，呢個亦都可以作爲域嘅定義：

域係一個環，同構於一個場嘅子環。

例子 
 整數環  係域嘅原型。
 任何一個場都係一個域，例如實數場 、有理數場 ，掉反轉，任何 Artinian域都係一個場，所以任何有限域都係有限場。 係一個唔係場嘅例子，佢係個非 Artinian 無限域，有無限遞降嘅理想，例如：

一個多項式環，如果係數係嚟自域嘅話，咁佢自己都係域，例如  上面嘅單未知數多項式環 ，或者  上面嘅 n-未知數多項式環 。

對一個域取質理想嘅商，結果依然係一個域，例如 ，佢對應一條橢圓曲線，係一個域。

如果  係無平方整數嘅話， 係一個域，如果 ，咁佢就係  嘅子環，否則佢就係  嘅子環。

p進整數  係一個域。

如果  係  上面嘅一個連通開集，咁  上面嘅所有 holomorphic函數組成一個環，呢個環係一個域。對應咁我哋可以考慮解析流形入面，連通開集上面嘅解析函數環。

非例子 
以下嘅環唔係域：

零環

如果  係一個合成數，當中 ，咁  就唔係域，因爲 ，但係  同埋 。

兩個非零交換環嘅積，因爲 

如果  係平方數嘅話， 唔係一個域。

域中分數場 

環論
交換代數