1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

係一個發散級數，將自然數嘅階乘正負相間咁加埋，歐拉係第一個考慮呢條式嘅人。雖然佢係一條發散級數，但係根據Borel求和方法，可以話呢條式等於一個大約係0.596347嘅數值。

歐拉同Borel求和方法 
歐拉係第一個諗呢條級數嘅人，佢用求和方法定咗一個值畀呢條級數。呢條級數係將啲階乘一個正一個負咁樣加埋，一個定值嘅方法係用Borel求和方法，將級數寫做

如果唔考慮兩邊都發散，將求和同積分交換嘅話：

右邊方括號入邊嘅求和，如果 嘅話會數斂去，將解晰延拓去成條正實數線就可以得到一個收斂嘅積分：

呢度E1(z)係指數積分，呢個就係用Borel求和方法搵出嚟嘅值。

同微分方程嘅關係 
考慮微分方程偶合系統

其中上面嗰點代表對 t 做微分。

如果要t → ∞嘅時候嗰點有穩定平衡嘅話，y(t) = ，代返入第一條式就攞到級數解

留意 x(1) 正正就係歐拉級數。

另一方面，條微分方程嘅解係

係咁做分部積分嘅話，個級數解可以睇做呢個準確解嘅漸近展開，歐拉嘅諗法可以話係呢個級數解同準確解都係解緊同一條微分方程，所以喺嘅時候佢哋應該相等，即係話

Alternating factorial
 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's)
 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

書目 

發散級數