子羣

子羣，又寫做子群，係數學嘅抽象代數中嘅一個概念。佢係群呢個概念嘅延伸。

每個群，都一定有兩個子群，一個係自己，另一個就係廢群。

最細嘅子群係廢群，即係。最簡單嘅子群係循環群，佢係由一個元素生產出來嘅子群。

定義 
假設係一個群。

如果嘅子集係一個子群，咁即係話，連帶住嘅群運算，都係一個群。

等價定義 
如果係嘅子集同時佢係嘅子群，等價於同時符合下面三個條件：
 唔係空集。
 同會令到。
 會令到。

子羣要求 
如果嘅子集要成為一個子羣，可以利用以下其中一個定理。

一步子羣要求 
假設係一個羣，係一個非空子集。如果任意嘅  同  都令到，咁係一個子羣。

證明：

因為係嘅子集，所以入面嘅運算就係嘅運算。
 恆等元：由於  非空，我哋可以揀一粒，代入 ，；所以。
 逆元：頭先我哋證明咗，所以可以揀，；所以。
 包住：頭先我哋證明咗逆元會喺  入面，所以對任意，都有，揀，；所以。

兩步子羣要求 
設係一個羣，係一個非空子集。如果  同時符合呢兩個條件，咁  就會係子羣：

對任意嘅  都有  。
 對任意嘅  都有 。

證明：

利用一步子羣要求，就會引到。

設，因為係包住，所以。

因此，。

有限子羣要求 
設係一個非零有限子集。如果用嘅運算係包住，就係子羣。

證明：

利用兩步子羣要求，只需要證明。

如果，咁。

如果，考慮，。

因為係有限，所以一定有重覆嘅嘢。

將，，咁。

因為，，所以同埋，。

例子 
有好多喺數學入面常見嘅子群例子：
 實數入面，係所有嘅非零實數，佢係一個連帶住一般乘法嘅群；係所有正實數，佢係嘅子群。
 有一個子群係
 連帶乘法嘅複數群有唔係廢嘅子群：。

性質 
子集有佢自己嘅性質，多數嘅性質係講佢同一層嘅群嘅關係。以下假設係群，係嘅子群，係入面嘅嘢。
 都會喺入面。
 都會喺入面。
 。即係入面嘅係等於入面嘅。

證明 

因為喺入面，而同時都係一個群。

根據包住嘅性質，都一定會喺入面。

因為係個群，咁對應每一粒，係一定會係入面。

應用 
上面嘅性質，可以用嚟推理出更多有用嘅性質。以下都假設係群，係嘅子群。
 係既子群。
 可以唔係嘅子群。係嘅子群若且唯若或者。
 如果係嘅子群，咁係嘅子群，當中  表示羣嘅直積。

特殊子群 
以下呢啲子群喺抽象代數入面成日見：

中心群 
中心群係一個群。佢係任何一個群嘅子群。

定義 
任何群。佢所有嘅可溝通元素組成嘅子集就係叫做中心群。一般寫做。

性質 
係阿標群。
係嘅子群，而且佢係 normal subgroup。

圍心群 
圍心群係一個群。佢係任何一個群嘅子群。

定義 
任何群入面一粒嘅。將所有可以同溝通嘅元素組成嘅子集就係叫做圍心群。一般寫做。

性質 
 係嘅子群。

循環群 

佢就係由入面一粒嘅，所產生出嚟嘅群。利用集論嘅概念表達就係，就係呢個群嘅慣用表達。

群
 群轉換
 循環群
 有限群
 換位群

羣論