Švarc-Milnor 引理

喺幾何羣論入邊，Švarc-Milnor 引理指出如果一個羣對一個空間有一個「好」嘅作用嘅話，同就係擬等距同構。下邊會畀返個詳細定義，乜嘢叫「好」嘅作用。

呢一個定理喺有擬等距同構呢個概念定義之前，已經喺Schwarz (1955)同Milnor (1968)入邊出現。Pierre de la Harpe話呢個Švarc-Milnor 引理係「幾何羣論入邊最基礎嘅觀察」，即係對成個課題好重要咁解。依家嚟講甚至有人引述呢個定理嗰陣直程叫佢做「fundamental observation in geometric group theory」，唔叫Švarc-Milnor 引理，例如可以睇Farb and Margalit，A primer on mapping class groups，定理8.2。

完整論述 
喺唔同嘅書入邊呢個定理會有少少唔同，以下呢個係Bridson and Haefliger，Metric Spaces of Non-Positive Curvature嘅版本。

假設羣對常態長度空間有一個羣作用，而且呢個作用係properly discontinuous同埋餘緊緻，咁個羣就係有限生成，而且對任何一個生成集以及任何一點，軌道映射

都係一個擬等距同構。呢度係上邊對應著生成集嘅字度量。

有啲書入邊呢一種嘅羣作用會叫做幾何作用。

術語嘅詳細解釋 
一個度量空間若果每個閉集都係緊緻嘅話，就話係常態。

一個對嘅作用若果每一個緊緻集，都係有限集嘅話，就話佢係properly discontinuous。

一個對嘅作用若果個商空間帶著商拓樸係緊緻嘅話，就話個作用係餘緊緻。配埋Švarc-Milnor 引理嘅其他假設嘅話，餘緊緻等價於存在一個閉波令到。

例子 
下邊例子1-5睇de la Harpe嘅書第89-90頁，例子6就睇Richard Schwartz篇文。

對任何，呢個羣擬等距同構於歐幾里得空間
 如果係一個負歐拉特徵數嘅閉連通定向曲面嘅話，佢嘅基礎羣同雙曲空間擬等距同構。
 如果係一個閉連通光滑流形，佢嘅基礎羣同擬等距同構，呢度係嘅萬有覆疊空間，係拉返上去，就係由黎量度量誘導嘅路徑度量。
 如果係一個連通有限維李羣，帶著一個左不變黎曼度量同對應路徑度量，而係一個一致晶格嘅話，同就係擬等距同構。
 如果係一個閉雙曲3-流形，咁就同擬等距同構。
 如果係一個完備有限體積有尖嘅雙曲3-流形，咁就同擬等距同構，呢度係一柞-不變嘅極限球面，就帶著誘導嘅路徑度量。

幾何羣論
度量幾何