超限數

超限數係大過晒所有嘅有限數、仍然唔需要定義做絕對無窮嘅基數或者序數。術語「超限」係由康托爾提出，佢希望避免詞語無限同嗰啲只不過唔係有限嘅嗰啲義象有關嘅某啲暗含。

當期時其他作者都好少有呢啲疑惑；依家俾人所接受嘅用法係假定超限基數或者序數係無限嘅，但即使係咁，而家術語「超限」一樣重有人用緊。

對於有限數，有兩種方式考慮超限數，作為基數同作為序數。不似得有限基數同序數咁樣，超限基數同超限序數定義咗唔同類別嘅數。

最細嘅超限序數係ω。

第一個超限基數係 aleph-0 ，整數嘅無限集合嘅勢。如果選擇公理成立，下一個更高嘅基數就係 aleph-1 。如果唔成立，就會出現好多唔可以同 aleph-1 比較並且大過 aleph-0 嘅其他基數。但係喺任何情況之下，點都唔會有基數係大過 aleph-0 並且細過 aleph-1。

連續統假設聲稱係 aleph-0 同連續統嘅勢之間係冇任何中間基數：即係話 aleph-1 係額數集合嘅勢。已經喺數學上証實咗連續統假設係証實唔到係真定係假，咁係由於不完備性嘅影響。

某啲作者，比如 Suppes、Rubin 用術語超限基數嚟稱呼戴德金無限集合嘅勢，係可以唔等於無限基數嘅上下文中；即係話係唔假定可數選擇公理成立嘅上下文中。

假設呢個定義係啱，下面四項就係等價嘅：
 係超限基數。就係話有一個戴德金無限集合 A 令到 A 嘅勢係 。
。
。
有一個基數  使到 。

引用 
O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) , MacTutor History of Mathematics archive.
Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)

參考 
Beth 數
大基數
Mahlo 基數
無窮細

集合論
基數
序數