Sweedler嘅Hopf代數

Sweedler 嘅 Hopf代數係隻四維嘅Hopf代數，既唔交換又唔逆交換(:en:cocommutative)。Sweedler喺1969已經發現。

定義 
設：
k 係一域，其特徵唔等於 2
定義：
Sweedler 嘅 Hopf代數 A 係 k 上嘅代數，
g 、x 係 A 嘅生成元，
g、x 符合條件：
gg=1,
xx=0,
gxg= -x.
A 有逆代數(coalgebra)結構：
逆積 (coproduct)
∆(g):=g⊗g
∆(x):=x⊗g+1⊗x
逆單位元 (counit)
ε(g)=1
ε(x)=0
A 嘅 Hopf 代數結構：
對頂算子 (antipode)
S(g):=g
S(x):=-x 。

特點 
A 同構於渠嘅對偶空間 ≅ A*
有左、右唔變積分：(1+g)x 、x(1+g)。無雙唔變嘅積分。
唔同構於任何量子雙重(quantum double)。
A 有成系嘅半三角

半三角結構 
設
λ 係域 k 中嘅一元。
咁R(λ) := 1/2 (1⊗1 +1⊗g +g⊗1 -g⊗g ) + λ/2 (x⊗x +x⊗gx +gx⊗gx -gx⊗x)就係 A 嘅一架普適R-矩陣(universal R-matrix)。

表示論

亦都睇下
Hopf代數
量子羣

Vijayanthi Chari/ Andrew Pressley:《A Guide to Quantum Groups》,劍橋, ISBN 0-521-55884-0

代數結構
Hopf代數
李代數