商空間 (線性代數)

喺線性代數入面，一個向量空間對佢嘅一個子空間嘅商係一個新嘅向量空間，作用就好似將壓做一點咁。得到嘅空間叫做商空間，寫做，英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎，喺幾何學入邊，睇上同調、譜序列等等都要用到商空間嚟定義，分析入邊嘅Lp空間都要用商空間嚟定義。

定義 
呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作。設係場上邊嘅一個向量空間，係嘅一個子空間。喺上邊定義一個等價關係如下：若且唯若，換句話講，若果喺  入邊搵到支向量 ，令  嘅話， 同  就係有關係。由呢個定義睇得出  入邊嘅所有向量都同零向量有關係，亦即係話  入邊嘅所有向量都同  向量喺同一個等價類。對應嘅等價類通常寫做，因為佢可以寫做。

商空間集合嘅定義就係，即係呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法同向量加法係咁樣定義嘅：

，

好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表，即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令成為一個向量空間，其中係入邊嘅零向量。

將打去等價類嗰個映射叫商映射。

另一個講法係，商空間係所有同平行嘅仿射空間組成嘅集。

例子 
設係歐幾里得平面，係入邊一條穿過原點嘅直線，咁商空間可以睇做入邊所有同平行嘅線形成嘅空間，即係話入邊嘅每一粒元素都係入邊同平行嘅一條直線。如果喺入邊揀一條同唔平行而且穿過原點嘅直線嘅話，對入邊每一點，都有一條直線穿過而且同平行，呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇，我哋話參數化咗同平行嘅直線，而事實上係同構於。同樣地，如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話，都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少，我哋睇n-維歐幾里得空間對佢頭支標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商，由n元組實數組成，而嗰個子空間就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成：。喺呢個商入邊，入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾個座標係一樣，所以可以用尾呢個座標嚟代表個商空間，而呢柞向量組成嘅空間好自然係同同構嘅，亦即係話，。

再推廣少少，若果向量空間係兩個子空間嘅直積嘅話：，咁商空間同有一個自然同構，當然相反亦都有同之間嘅自然同構。

性質 

由去有一個自然嘅滿同態，將向量打去佢嘅等價類，而佢個核就係子空間。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟：

如果係嘅子空間嘅話，嘅維度又叫做喺入邊嘅餘維度。如果畀咗嘅一組基同嘅一組基嘅話，可以對嘅每一個元素搵返任意一個喺入邊嘅代表，再加埋入邊嘅向量就形成嘅一組基，所以嘅維度係同嘅加埋。如果係有限維嘅話就可以做減數：喺入邊嘅餘維度係嘅維度減嘅維度：

設係一個線性映射，嘅核裝住所有令嘅向量，係嘅一個子空間，向量空間嘅第一同構定理講話商空間同喺入邊嘅映像係同構嘅，即係，咁就即刻有個推論：對有限維空間，維度等於嘅維度加嘅維度，即係所謂嘅秩—零化度定理。

一個線性映射嘅餘核嘅定義係商空間。

萬有性質

巴拿赫空間嘅商 
如果係一個巴拿赫空間而係佢一個閉子空間，咁商空間都會係一個巴拿赫空間：佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗，而分析方面佢自動有一個自然嘅範：

如果係完備嘅話，商空間帶住呢個範會自動係一個完備空間，所以係一個巴拿赫空間。

例子 
設係區間上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間，帶住sup範。設係嗰啲嘅函數組成嘅函數子空間，咁嘅話每個函數嘅等價類係完全由佢喺嗰個位嘅數值嚟決定，即係話商空間係同同構。

如果係一個Hilbert空間嘅話，商空間同嘅正交補空間同構。

推廣去局部凸空間 
一個局部凸空間對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間：如果係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由呢拃半範產生出嚟嘅話，設係一個閉子空間，並定義商空間上面嘅半範：

咁就係一個局部凸空間，而且拓樸結構係商拓樸。

喺呢個之上，若果係可度量化嘅話，都係；若果係Fréchet嘅話，都係。

應用

定義Lp空間 

喺分析學入邊，有一個好重要嘅概念，就係空間。佢其實就係一啲p-可積函數，但係如果兩個函數嘅差積出嚟係嘅話就當做一樣。具體啲嚟講，假如畀咗一個測度空間，定義做裝住所有符合嘅函數嘅集合，自動會係一個向量空間，而事實上佢直程係一個半範空間，係一個半範。佢唔係一個範，而且若且唯若幾乎到到都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間：設，咁商空間帶著就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間，所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。

定義上同調

商羣
 商模
 商集
 商空間 (拓樸學)

書目 

線性代數
向量空間