數學歸納法

數學歸納法係一種數學上常用嘅證明方法。利用自然數嘅性質去證明一個有排序嘅命題。

數學歸納法法則 
數學歸納法法則係數學歸納法證明命題嘅邏輯。

首先要證明以下呢兩樣嘢：
 當  嘅時候， 呢個命題係啱嘅；
 當  呢個命題係啱嘅時候，可以引伸到  都係啱嘅；

假如以上兩點成立到嘅話，咁就有得話當  嘅時候， 呢個命題會係啱嘅，而推落去又有得話當  嘅時候， 呢個命題都會係啱嘅，如此類推，就有得話「對應所有嘅自然數 ， 都會係啱」。

基本方法 
數學歸納法需要以下三個步驟：
 基本步驟：證明命題喺  嘅時候係啱嘅。
 歸納假設：假設命題喺  嘅時候係啱嘅。
 推斷：利用(2)嘅假設，證明命題喺  嘅時候都係啱嘅。

例子一 
證明 

證明：

基本步驟：當 ，

歸納假設：假設 

推斷：想證明 係啱嘅。

所以呢個命題對應所有嘅係啱。

例子二 
證明「如果  係非零整數，咁對應所有正整數 ， 係正數。」

證明：

基本步驟：如果 ， 咁  係正數。

歸納假設：如果  係啱嘅話，即係  係正數。

推斷：如果 ，

最細整數性質

起點歸納

完全歸納

應用

加總類型 
假設  係正整數。

乘完再加型 
假設  係正整數。

，如果

指數定律 
假設  係正整數， 係整數。

簡單不等式 
假設  係正整數。

， 都係整數同埋

不等式 
假設  係正整數。
 ，
 ，
 ，
 ，

直接證明
 分類證明
 反證法
 否定證明

參考 
 Tillema, E., Kilpatrick, J., Johnson, H., Grady, M., Konnova, S., & Heid, M. K. (2015). Proof by mathematical induction. Mathematical Understanding for Secondary Teaching: A Framework and Classroom-Based Situations, 433.

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