分裂域

抽象代數入面，一個系數域為  嘅多項式 P(X) 嘅分裂域係  “最細”嘅一個擴域  ，使到喺其中 P 可以被分解為一次因式  嘅乘積，其中嘅  係  入面嘅元素。一個  上嘅多項式並唔一定只係有一個分裂域，但係佢所有嘅分裂域都係同構嘅：喺同構意義上， 上嘅多項式嘅分裂域係唯一嘅。

術語同定義 
稱一個系數域為  嘅多項式 P(X) 係  嘅某個擴域  中分裂，if and only if 呢個多項式可以用呢個域入面嘅元素分解成最簡單嘅一次因式嘅乘積：

其中嘅 ，。換句話講，P 嘅根都喺  裏面。

令到 P 喺其中分裂嘅擴域  有好多，譬如對於某個得 P 分裂嘅 ，佢任意嘅擴域  亦都滿足。然而其中入面「最細」嘅域喺同構意義上係獨一無二嘅。所謂嘅「最細」域，係指符合下面條件嘅一個擴域  ：
喺  入面，P 可以分解為一次因式嘅乘積；
喺  嘅任何真子域入面， P 無任何方法可以好似咁嚟分解。
咁樣啲擴域叫做 P 喺  上面嘅分裂域。

例子 
如果  係有理數域 ，多項式為 

P(X) = X3 − 2,

咁樣佢嘅分裂域  可以係喺  之中加多三次單位根  同2 嘅立方根而得到嘅擴域：。因為呢個時候 P 可以寫成：

同一個多項式喺唔同嘅域上嘅分裂域唔一定相同，好似：
多項式 x2 + 1 喺實數域 R 上面嘅分裂域係複數域 C。
多項式 x2 + 1 喺準有限域 GF7 上面嘅分裂域係 GF72.

多項式 x2 - 1 喺準有限域 GF7 上面嘅分裂域係 GF7，因為喺其上 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) 已經分解完。

性質 
給定多項式 P(X) 在  上嘅分裂域 ，假設  入面 P 分解為

咁樣 。

對於域  嘅一個代數閉域擴域  同  上嘅一個多項式 P ，存在 P 喺  上面嘅唯一一個分裂域 ，使到 。 

對於  嘅一個可分擴張 ，  嘅伽羅華閉包係一個分裂域，亦都係  嘅包含  嘅一個「最細」嘅伽羅華擴張。一個咁樣嘅伽羅華閉包包含咗  入面任意元素 a 喺  上面嘅極小多項式喺  上嘅分裂域。

參考 
 Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
 David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1

代數擴張
 正規擴張
 極小多項式
 可分擴張

域論