TASK DEFINITION: Given a sentence in Tagalog language, translate the sentence to English language keeping the meaning of the original sentence intact.
PROBLEM: Tagalog sentence: Sa 1898 Osgood-publish ng isang mahalagang papel sa mga solusyon ng mga kaugalian equation dy / dx = f (x, y) kasiya-siyang ang inireseta unang kondisyon y (a) = b.... Osgood ay nagpakita na kung f (x, y) ay patuloy na may umiiral na lamang ng hindi bababa sa isang solusyon...

SOLUTION: In 1898 Osgood published an important paper on the solutions of the differential equation dy/dx = f(x, y) satisfying the prescribed initial conditions y(a) = b.... Osgood showed that if f(x, y) is merely continuous there exists at least one solution...

PROBLEM: Tagalog sentence: 5 Maghanap ng isang pagkakasunod-sunod ng pinakamalaki haba na binubuo ng mga non-zero integers na ang kabuuan ng anumang pitong magkakasunod na mga kataga ay positibo at ng anumang labing-isang sunod-sunod na termino ay negatibo.

SOLUTION: 5 Find a sequence of maximal length consisting of non-zero integers in which the sum of any seven consecutive terms is positive and that of any eleven consecutive terms is negative.

PROBLEM: Tagalog sentence: Siya pagkatapos ay patuloy na bumuo ng mga ideya, solving problema sa agaw teorya, mga pamamaraan ng mga makina at integration, in 1914, ipinakilala ng isang bagong klase ng parang-analytic function.

SOLUTION:
He then continued to develop these ideas, solving problems in interpolation theory, methods of mechanical integration and, in 1914, introduced a new class of quasi-analytic functions.