克卜勒行星运动定律

开普勒定律（英语：Kepler's law）是由德国天文学家、数学家约翰尼斯·克卜勒所发现的、关于行星运动的定律。开普勒于1609年在他出版的《新天文学》科学杂志上发表了关于行星运动的两条定律，又于1618年，发现了第三条定律。
开普勒幸运地得到了著名丹麦天文学家第谷·布拉赫所观察与收集、且非常精确的天文资料。大约于1605年，根据布拉赫的行星位置资料，开普勒发现行星的移动遵守著三条相当简单的定律。同年年底，他撰写完成了发表文稿。但是，直到1609年，才在《新天文学》科学杂志发表，这是因为布拉赫的观察数据属于他的继承人，不能随便让别人使用，因此产生的一些法律纠纷造成了延迟。
在天文学与物理学上、开普勒的定律给予亚里士多德派与托勒密派极大的挑战。他主张地球是不断地移动的；行星轨道不是圆形（epicycle）的，而是椭圆形的；行星公转的速度不等恒。这些论点，大大地动摇了当时的天文学与物理学。经过几乎一个世纪的研究，物理学家终于能够运用物理理论解释原理。牛顿应用他的第二定律和万有引力定律，在数学上严格地证明了开普勒定律，也让人了解了其中的物理意义。

开普勒定律
开普勒的三条行星运动定律改变了整个天文学，彻底摧毁了托勒密复杂的宇宙体系，完善并简化了哥白尼的日心说。

开普勒第一定律
开普勒的第一定律，亦称为椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿著各自的椭圆轨道环绕著太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律
开普勒第二定律，也称为等面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。
这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为

  
    
      
        
          S
          
            A
            B
          
        
        =
        
          S
          
            C
            D
          
        
        =
        
          S
          
            E
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{AB}=S_{CD}=S_{EK}}
  
 。
由此定律可以推知，行星离太阳较近时，运行速度较大，离太阳较远时，运行速度较小。

开普勒第三定律
开普勒第三定律，也称为周期定律：各个行星绕太阳公转周期的平方及其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
用公式表示为

  
    
      
        
          
            
              a
              
                3
              
            
            
              τ
              
                2
              
            
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle {\frac {a^{3}}{\tau ^{2}}}=k}
  
 ；
其中
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
是常量，它只与中心天体有关。
由这一定律导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是艾萨克·牛顿的万有引力定律的一个重要基础。
用公式表示为

  
    
      
        
          
            
              τ
              
                2
              
            
            
              a
              
                3
              
            
          
        
        =
        K
      
    
    {\displaystyle {\frac {\tau ^{2}}{a^{3}}}=K}
  
 ；
这里，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是行星公转轨道半长轴，
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 是行星公转周期，
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 是常数。

数学推导：由牛顿万有引力定律导出开普勒定律
开普勒定律描述的是行星围绕太阳的运动，牛顿定律可以更广义地描述几个粒子因万有引力相互吸引而形成的运动。假设只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，则轻的粒子会绕著重的粒子运动，就好似行星根据开普勒定律绕著太阳运动。另外，牛顿定律还可计算出关于其它方面的解答，行星轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动。这是开普勒定律所无法预测到的结果。在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体问题的解答，每一个粒子会绕著它们的共同质心运动。这也是开普勒定律无法预测到的。
开普勒定律使用几何语言将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。牛顿第二定律是一个微分方程式。开普勒定律的推导涉及一些解析微分方程式的技巧。在推导开普勒第一定律之前，必须先推导出开普勒第二定律，因为开普勒第一定律需要用到开普勒第二定律里的一些计算结果。

开普勒第二定律推导
牛顿万有引力定律表明，任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，可以假设太阳是固定的。用方程式表示，

  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        G
        
          
            
              m
              M
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
         
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-G{\frac {mM}{r^{2}}}\ {\hat {\boldsymbol {r}}}}
  
 ；
这里，
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
  
 是太阳作用于行星的万有引力，
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 是行星的质量，
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 是太阳的质量，
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {r}}}
  
 是行星相对于太阳的位移向量，
  
    
      
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}
  
 是 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {r}}}
  
 的单位向量。
牛顿第二定律表明，物体受力后所产生的加速度 
  
    
      
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}}
  
 ，和其所受的净力 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
  
 成正比，和其质量 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 成反比，以方程式表示，

  
    
      
        
          F
        
        =
        m
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}}
  
 。
合并这两个方程式，

  
    
      
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        =
        −
        G
        
          
            M
            
              r
              
                2
              
            
          
        
         
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}\ {\hat {\boldsymbol {r}}}}
  
 。 (1)
思考位置向量 
  
    
      
        
          r
        
        =
        r
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\hat {\boldsymbol {r}}}}
  
 ，对于时间 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：

  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
        +
        r
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
  
 ，

  
    
      
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  ¨
                
              
            
            
              
                
                  r
                  ^
                
              
            
            +
            
              
                
                  r
                  ˙
                
              
            
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    
                      
                        r
                        ^
                      
                    
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          (
          
            
              
                
                  r
                  ˙
                
              
            
            
              
                
                  θ
                  ˙
                
              
            
            
              
                
                  θ
                  ^
                
              
            
            +
            r
            
              
                
                  θ
                  ¨
                
              
            
            
              
                
                  θ
                  ^
                
              
            
            +
            r
            
              
                
                  θ
                  ˙
                
              
            
            
              
                
                  
                    d
                  
                  
                    
                      
                        θ
                        ^
                      
                    
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  t
                
              
            
          
          )
        
        =
        (
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        −
        r
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
        +
        (
        r
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
        +
        2
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        )
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {r}}}=\left({\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+{\dot {r}}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {r}}}}{\mathrm {d} t}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\mathrm {d} t}}\right)=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
  
 。(2)
在这里，用到了单位向量微分方程式：

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    r
                    ^
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {r}}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
  
 ，

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    θ
                    ^
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\mathrm {d} t}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {r}}}}
  
 。
其中，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 是向量 
  
    
      
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}
  
 的极角，
  
    
      
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
  
 是该向量逆时针旋转 90 度的向量。
合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：

  
    
      
        (
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        −
        r
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
        +
        (
        r
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
        +
        2
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        )
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              G
              M
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {r}}}}
  

取各个分量，可以得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：

  
    
      
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        −
        r
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              G
              M
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}
  
 ，(3)

  
    
      
        r
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
        +
        2
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}
  
 。(4)
导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量 
  
    
      
        ℓ
        =
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \ell =mr^{2}{\dot {\theta }}}
  
 。由于行星的质量是常数，角动量对于时间的导数为

  
    
      
        
          
            
              ℓ
              ˙
            
          
        
        =
        m
        r
        (
        2
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        +
        r
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {\ell }}=mr(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }})=0}
  
 。
角动量 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 也是一个运动常数，即使距离 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 与角速度 
  
    
      
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\theta }}}
  
 都可能会随时间变化。
在很小的时间 
  
    
      
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dt}
  
 中，恒星与行星连线扫过的面积 
  
    
      
        d
        A
      
    
    {\displaystyle dA}
  
 近似于一个以 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 为底，
以 
  
    
      
        r
        tan
        ⁡
        d
        θ
        ≈
        r
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle r\tan d\theta \approx rd\theta }
  
 为高的三角形，故
从时间 
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1}}
  
 到时间 
  
    
      
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{2}}
  
 扫过的区域 
  
    
      
        Δ
        A
      
    
    {\displaystyle \Delta A}
  
 ，

  
    
      
        Δ
        A
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                1
              
            
          
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        r
        ⋅
        r
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          d
        
        t
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                1
              
            
          
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ℓ
            
              2
              m
            
          
        
        
          d
        
        t
        =
        
          
            ℓ
            
              2
              m
            
          
        
        ⋅
        (
        
          t
          
            2
          
        
        −
        
          t
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta A=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r{\dot {\theta }}\cdot \mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\ell }{2m}}\mathrm {d} t={\frac {\ell }{2m}}\cdot (t_{2}-t_{1})}
  
 。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间 
  
    
      
        
          t
          
            2
          
        
        −
        
          t
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{2}-t_{1}}
  
 。所以，开普勒第二定律是正确的。

开普勒第一定律推导
设定 
  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{r}}}
  
 。这样，角速度是

  
    
      
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        =
        
          
            ℓ
            
              m
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ℓ
              
                u
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {\ell }{mr^{2}}}={\frac {\ell u^{2}}{m}}}
  
 。
对时间微分和对角度微分有如下关系：

  
    
      
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              θ
              ˙
            
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        =
        
          
            
              ℓ
              
                u
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}}
  
 。
根据上述关系，径向距离 
  
    
      
        r
        =
        
          
            1
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {1}{u}}}
  
 对时间的导数为：

  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        =
        
          
            
              ℓ
              
                u
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        
          
            1
            u
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℓ
              
                u
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          
            1
            
              u
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                d
              
              u
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        =
        −
        
          
            ℓ
            m
          
        
        
          
            
              
                d
              
              u
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\frac {1}{u}}=-{\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ell }{m}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}}
  
 。
再求一次导数：

  
    
      
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              ℓ
              
                u
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    r
                    ˙
                  
                
              
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        =
        
          
            
              ℓ
              
                u
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          
            
              d
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        (
        −
        
          
            ℓ
            m
          
        
        
          
            
              
                d
              
              u
            
            
              
                d
              
              θ
            
          
        
        )
        =
        −
        
          
            
              
                ℓ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  2
                
              
            
            
              m
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              u
            
            
              
                d
              
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\ell u^{2}}{m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}(-{\frac {\ell }{m}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }})=-{\frac {\ell ^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}}
  
 。
代入径向运动方程式 (3) ，
  
    
      
        
          
            
              r
              ¨
            
          
        
        −
        r
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              G
              M
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}
  
 ，

  
    
      
        −
        
          
            
              
                ℓ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  2
                
              
            
            
              m
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              u
            
            
              
                d
              
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                ℓ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  3
                
              
            
            
              m
              
                2
              
            
          
        
        =
        −
        G
        M
        
          u
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}-{\frac {\ell ^{2}u^{3}}{m^{2}}}=-GMu^{2}}
  
 。
将此方程式除以 
  
    
      
        −
        
          
            
              
                ℓ
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  2
                
              
            
            
              m
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}u^{2}}{m^{2}}}}
  
 ，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              u
            
            
              
                d
              
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        u
        =
        
          
            
              G
              M
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}}
  
 。
为了解这个微分方程，先列出一个特解

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              G
              M
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}}
  
 。
再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程式，

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              u
            
            
              
                d
              
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        u
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=0}
  
 。
它的解为

  
    
      
        u
        =
        C
         
        cos
        ⁡
        (
        θ
        −
        
          θ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u=C\ \cos(\theta -\theta _{0})}
  
 ；
这里，
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 与 
  
    
      
        
          θ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{0}}
  
 是常数。合并特解和与齐次方程解，可以得到通解

  
    
      
        u
        =
        
          
            
              G
              M
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        +
        C
         
        cos
        ⁡
        (
        θ
        −
        
          θ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}+C\ \cos(\theta -\theta _{0})}
  
 。
选择坐标轴，让 
  
    
      
        
          θ
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \theta _{0}=0}
  
 。代回 
  
    
      
        u
        =
        
          
            1
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle u={\frac {1}{r}}}
  
 ，

  
    
      
        
          
            1
            r
          
        
        =
        
          
            
              G
              M
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              ℓ
              
                2
              
            
          
        
        (
        1
        +
        e
         
        cos
        ⁡
        
          θ
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {GMm^{2}}{\ell ^{2}}}(1+e\ \cos {\theta })}
  
 ；
其中，
  
    
      
        e
        =
        C
        
          ℓ
          
            2
          
        
        
          /
        
        G
        M
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e=C\ell ^{2}/GMm^{2}}
  
 是离心率。
这是圆锥曲线的极坐标方程式，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若 
  
    
      
        0
        <
        e
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<e<1}
  
 ，则 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 所描述的是椭圆轨道。这证明了开普勒第一定律。

开普勒第三定律推导
在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 。那么，太阳作用于行星的万有引力为 
  
    
      
        F
        =
        
          
            
              m
              
                v
                
                  2
                
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle F={\frac {mv^{2}}{r}}}
  
 。行星移动速度为 
  
    
      
        v
        =
        
          
            
              2
              π
              r
            
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\frac {2\pi r}{\tau }}}
  
 。依照开普勒第三定律，这速度 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 与半径的平方根 
  
    
      
        
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {r}}}
  
 成反比。所以，万有引力 
  
    
      
        F
        ∝
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F\propto {\frac {1}{r^{2}}}}
  
 。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，但这个猜想无法被证实，因为在他的计算本里，并没有找到任何关于这方面的证据。

开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是 
  
    
      
        π
        a
        b
      
    
    {\displaystyle \pi ab}
  
 ；这里，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 与 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 分别为椭圆的半长轴与半短轴。在开普勒第二定律推导里，行星－太阳连线扫过区域速度 
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              A
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}
  
 为

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              A
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            ℓ
            
              2
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}={\frac {\ell }{2m}}}
  
 。
所以，行星公转周期 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 为

  
    
      
        τ
        =
        
          
            
              2
              m
              π
              a
              b
            
            ℓ
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\frac {2m\pi ab}{\ell }}}
  
 。(5)
关于此行星环绕太阳，椭圆的半长轴 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ，半短轴 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 与近拱距 
  
    
      
        
          r
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{A}}
  
 （近拱点 A 与引力中心之间的距离），远拱距 
  
    
      
        
          r
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{B}}
  
 （远拱点 B 与引力中心之间的距离）的关系分别为

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              
                r
                
                  A
                
              
              +
              
                r
                
                  B
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\frac {r_{A}+r_{B}}{2}}}
  
 ，(6)

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              r
              
                A
              
            
             
            
              r
              
                B
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {r_{A}\ r_{B}}}}
  
 。(7)
如果想要知道半长轴与半短轴，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律，

  
    
      
        E
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            
              
                r
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        −
        G
        
          
            
              m
              M
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-G{\frac {mM}{r}}}
  
 。
在近拱点 A 与远拱点 B，径向速度都等于零：

  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\dot {r}}=0}
  
 。
所以，

  
    
      
        E
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              
                θ
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        −
        G
        
          
            
              m
              M
            
            r
          
        
        =
        
          
            
              ℓ
              
                2
              
            
            
              2
              m
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        G
        
          
            
              m
              M
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-G{\frac {mM}{r}}={\frac {\ell ^{2}}{2mr^{2}}}-G{\frac {mM}{r}}}
  
 。
稍微加以编排，可以得到 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 的一元二次方程式：

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              G
              m
              M
            
            E
          
        
        r
        −
        
          
            
              ℓ
              
                2
              
            
            
              2
              m
              E
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r^{2}+{\frac {GmM}{E}}r-{\frac {\ell ^{2}}{2mE}}=0}
  
 。
其两个根分别为椭圆轨道的近拱距 
  
    
      
        
          r
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{A}}
  
 与远拱距 
  
    
      
        
          r
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{B}}
  
 。

  
    
      
        
          r
          
            A
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                
                  
                    G
                    m
                    M
                  
                  E
                
              
              −
              
                
                  
                    
                      (
                      
                        
                          
                            G
                            m
                            M
                          
                          E
                        
                      
                      )
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        2
                        
                          ℓ
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        m
                        E
                      
                    
                  
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{A}=-{\frac {{\frac {GmM}{E}}-{\sqrt {\left({\frac {GmM}{E}}\right)^{2}+{\frac {2\ell ^{2}}{mE}}}}}{2}}}
  
 ；

  
    
      
        
          r
          
            B
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                
                  
                    G
                    m
                    M
                  
                  E
                
              
              +
              
                
                  
                    
                      (
                      
                        
                          
                            G
                            m
                            M
                          
                          E
                        
                      
                      )
                    
                    
                      2
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        2
                        
                          ℓ
                          
                            2
                          
                        
                      
                      
                        m
                        E
                      
                    
                  
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{B}=-{\frac {{\frac {GmM}{E}}+{\sqrt {\left({\frac {GmM}{E}}\right)^{2}+{\frac {2\ell ^{2}}{mE}}}}}{2}}}
  
 。
代入方程式 (6) 与 (7) ，

  
    
      
        a
        =
        −
        
          
            
              G
              m
              M
            
            
              2
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a=-{\frac {GmM}{2E}}}
  
 ，

  
    
      
        b
        =
        
          
            ℓ
            
              −
              2
              m
              E
            
          
        
        =
        
          
            ℓ
            m
          
        
        
          
            
              a
            
            
              G
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\frac {\ell }{\sqrt {-2mE}}}={\frac {\ell }{m}}{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {GM}}}}
  
 。
代入方程式 (5) ，周期的方程式为

  
    
      
        τ
        =
        
          
            
              2
              π
              
                a
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
            
              G
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\frac {2\pi a^{3/2}}{\sqrt {GM}}}}
  
 。
■

参见
约翰内斯·开普勒
牛顿第二运动定律
万有引力定律
《新天文学》
《世界的和谐》
牛顿旋转轨道定理


== 参考资料 ==