椭圆轨道

椭圆轨道在天文学或天体力学是轨道离心率小于1的克卜勒轨道，包括特别的离心率为零的圆轨道。在严格的意义上，它是一个离心率大于0且小于1（因此不包括圆轨道）的克卜勒轨道。在更广泛的意义上，它是一个包括负能量的克卜勒轨道，这包括轨道离心率等于1的径向椭圆轨道（抛物线轨道）。
有著负能量的两个天体，在重力的二体问题遵循相似的椭圆轨道，有著相同的轨道周期，围绕著彼此的质心。同样的，一个天体的位置相对于另一个天体也遵循著椭圆轨道。
椭圆轨道的例子包括：赫曼转移轨道、莫尼亚轨道和腾卓轨道（tundra orbit）。

速度
在标准假设下，一个天体沿著椭圆轨道运行的轨道速度（
  
    
      
        v
        
      
    
    {\displaystyle v\,}
  
）可以从Vis viva 方程计算出来：

  
    
      
        v
        =
        
          
            μ
            
              (
              
                
                  
                    2
                    
                      r
                    
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    
                      a
                    
                  
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}
  

此处：

  
    
      
        μ
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,}
  
是标准重力参数，

  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
是天体的轨道距离。

  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
是轨道半长轴的长度。
对双曲线轨迹而言，速度方程无论是+ 
  
    
      
        
          
            1
            
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over {a}}}
  
，或是与公式相同的，在这个情况下a都是负值。

轨道周期
在标准假设下，一个天体沿著椭圆轨道运行的轨道周期（
  
    
      
        T
        
        
      
    
    {\displaystyle T\,\!}
  
）可以下式计算：

  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              
                a
                
                  9
                
              
              
                μ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{9} \over {\mu }}}}
  

此处：

  
    
      
        μ
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,}
  
是标准重力参数，

  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
是轨道半长轴的长度。
结论：

轨道周期与半径与半长轴（
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
）相同的圆轨道相等。
对一个给定半长轴的轨道，轨道周期与轨道离心率无关（参见：克卜勒第三定律）。

能量
基于标准假设，椭圆轨道的比较轨道能量(
  
    
      
        ϵ
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon \,}
  
)是负数，而一个椭圆轨道的轨道能量守恒方程（orbital energy conservation equation，或称活力公式）是：

  
    
      
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            
              2
            
          
        
        −
        
          
            μ
            
              r
            
          
        
        =
        −
        
          
            μ
            
              2
              a
            
          
        
        =
        ϵ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu  \over {r}}=-{\mu  \over {2a}}=\epsilon <0}
  

当：

  
    
      
        v
        
      
    
    {\displaystyle v\,}
  
 是轨道上物体的轨道速度；

  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
 是轨道物体离中心物体的距离；

  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
 是半长轴的长度；

  
    
      
        μ
        
      
    
    {\displaystyle \mu \,}
  
 是标准重力参数；
小结：

对给定的半长轴其比较轨道能量与离心率无关。
利用维里定理，我们可以发现：

比较位能的时间平均值是
  
    
      
        −
        2
        ε
      
    
    {\displaystyle -2\varepsilon }
  

  
    
      
        
          r
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{-1}}
  
的时间平均值是
  
    
      
        
          a
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{-1}}
  

比较动能的时间平均值是
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }

航行角
航行角是轨道上物体的速度向量（=与向量相切的瞬态轨道）和当地水平面之间的角度。在标准假设下，航行角
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
满足方程式：

  
    
      
        h
        =
        r
        v
        cos
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle h=rv\cos \phi }
  

此处：

  
    
      
        h
        
      
    
    {\displaystyle h\,}
  
是轨道的比较相对角动量，

  
    
      
        v
        
      
    
    {\displaystyle v\,}
  
是轨道上物体的轨道速度，

  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
是轨道物体离中心物体的距离，

  
    
      
        ϕ
        
      
    
    {\displaystyle \phi \,}
  
是航行角

运动方程式
参见轨道方程式

轨道参数
在给定的任何时间，天体在轨道上相对于中心天体的状态，包括位置与速度，都可以由三维的笛卡尔坐标定义位置（天体位置由x、y、和z定义）和相似的笛卡尔分量来定义速度。这套由六个变数以及时间，被称为轨道状态向量。只要再给出两个天体的质量，轨道就可以完全确定。两种最普遍的状态是有六个自由度的椭圆和双曲线轨道；特殊的情况是有较少自由度的圆形和抛物线的轨道。
因为六个变数都绝对需要使用上才能完整表示椭圆轨道，因此所有的轨道元素组合都明确的含有这六个元素。另一组常用的六个参数是 轨道根数。

太阳系
在太阳系，行星、小行星、多数的彗星、和一些太空垃圾的碎片都以接近椭圆的轨道环绕著太阳。严格的说，两个天体都以椭圆轨道绕著共同的焦点，其中一个焦点会接近质量较大的天体，而质量越大就会越接近。但当其中一个的规模比另一个大了许多，例如太阳相对于地球，焦点会进入大天体的内部，因而就会说小的天体绕著大天体运转。下面的图显示行星、矮行星和哈雷彗星的远日点和椭圆轨道离心率的变化。与太阳距离较近的天体，以较宽的棒显示较大的离心率。注意地球和金星的离心率几乎为零，相较之下哈雷彗星和阋神星则有很大的离心率。

更近的视角
将距离缩小到只有八大行星与哈雷彗星的范围：

若将视野缩得更小，只限于内行星的范围：

相关条目
特征能量
椭圆
轨道列表
轨道离心率
轨道方程式
抛物轨迹
高椭圆轨道

进阶读物
D’Eliseo, MM. The first-order orbital equation. American Journal of Physics. 2007, 75: 352–355. Bibcode:2007AmJPh..75..352D. doi:10.1119/1.2432126. 
D’Eliseo, MM. The gravitational ellipse. Journal of Mathematical Physics. 2009, 50: 022901–022901–10. Bibcode:2009JMP....50a2901M. doi:10.1063/1.3078419. 
Curtis, Howard. Orbital Mechanics for Engineering Students. Butterworth-Heinemann. 2009. ISBN 978-0123747785.

外部连结
JAVA applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.
Apogee - Perigee （页面存档备份，存于互联网档案馆） Lunar photographic comparison
Aphelion - Perihelion （页面存档备份，存于互联网档案馆） Solar photographic comparison
http://www.castor2.ca/02_Armchair/02_Orbits/05_Tundra/index.html