面积

面积（英语：Area）是用作表示一个曲面或平面图形所占范围的量，可看成是长度（一维度量）及体积（三维度量）的二维类比。对三维立体图形而言，图形的边界的面积称为表面积。
计算各基本平面图形面积及基本立体图形的表面积公式早已为古希腊及古中国人所熟知。
面积在近代数学中占相当重要的角色。面积除与几何学及微积分有关外，亦与线性代数中的行列式有关。在分析学中，平面的面积通常以勒贝格测度（英语：Lebesgue measure）定义。

面积公式
长方形的面积
最基本的面积公式是长方形的公式。当l是长，w是宽时，其公式为：

  
    
      
        A
        =
        l
        w
      
    
    {\displaystyle A=lw}
  

当其图形是一个正方形时，
  
    
      
        l
        =
        w
      
    
    {\displaystyle l=w}
  
，因此正方形的公式为：

  
    
      
        A
        =
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=s^{2}}
  

长方形的面积计算方法需要证明。

证明
引理：两个长方形面积之比等于其长宽之积之比
如图，根据《几何原本》第六卷命题一 ——等高之平行四边形的面积比与其底之比等同，我们得到

  
    
      
        
          
            
              
                B
                :
                Y
              
              
                
                =
                a
                :
                c
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                d
                :
                c
                d
                
                  （ 第 五 卷 命 题 十 五 ）
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 题 十 五 ）}},\end{aligned}}}
  

又

  
    
      
        
          
            
              
                Y
                :
                G
              
              
                
                =
                b
                :
                d
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                b
                :
                a
                d
                
                  （ 第 五 卷 命 题 十 五 ）
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 题 十 五 ）}},\end{aligned}}}
  

所以

  
    
      
        B
        :
        G
        =
        a
        b
        :
        c
        d
        
          （ 第 五 卷 命 题 二 十 三 ）
        
        ,
      
    
    {\displaystyle B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 题 二 十 三 ）}},}
  

引理证毕。
定理：长方形的面积等于其长宽之积

根据引理，
A:R=lw:(1x1)
定义单位正方形的面积为一平方单位。由于R是单位正方形，因此面积是一平方单位。将一平方单位代入R，得到：A:1=lw:1

  
    
      
        A
        =
        l
        w
      
    
    {\displaystyle A=lw}
  
 （第五卷命题九）
（定理证毕）

切割图形
有些简单的公式可以切割的方式得出。
例如平行四边形，可以切割成一个梯形和一个直角三角形，如同右图。如果三角形移到平行四边形的另一边，就可以变成一个长方形。因此，平行四边形的面积公式有点像长方形的：

  
    
      
        A
        =
        b
        h
      
    
    {\displaystyle A=bh}
  

至于同样的平行四边形可以分割为两个全等三角形。因此三角形的公式为：

  
    
      
        A
        =
        
          
            1
            2
          
        
        b
        h
      
    
    {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}

圆形面积
圆形面积公式是基于基本的面积公式，假设有一个半径为r的圆形，分成很多扇形，那一个扇形的面积就会很接近三角形，就像上图一样。如果分得够细小，就可以看到半径为r的圆形面积相等于一个高为r，底为πr的平行四边形。
我们也可以用积分得到更肯定的答案。

  
    
      
        A
        =
        2
        
          ∫
          
            −
            r
          
          
            r
          
        
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.}
  

计算不规则之图形面积，可用填补法或切割法来计算之。

表面积
一些基本的立体表面积公式：

立方体：
  
    
      
        6
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 6x^{2}}
  
（x是立方体的边长）
长方体：
  
    
      
        2
        (
        l
        w
        +
        w
        h
        +
        h
        l
        )
      
    
    {\displaystyle 2(lw+wh+hl)}
  
（l、w、h分别是长方体的长、宽和高）
球体：
  
    
      
        4
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 4\pi r^{2}}
  
（r是球体的半径）
球冠：
  
    
      
        2
        π
        r
        h
      
    
    {\displaystyle 2\pi rh}
  
（球冠是指被平面截下的部分球面；r是球体的半径；h是球冠高）
直立圆锥体：
  
    
      
        π
        r
        (
        r
        +
        
          
            
              r
              
                2
              
            
            +
            
              h
              
                2
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}
  
（r是圆锥体底部的半径，h是它的高）
直立圆柱体：
  
    
      
        2
        π
        r
        (
        h
        +
        r
        )
      
    
    {\displaystyle 2\pi r(h+r)}
  
（r是圆柱体圆形底部的半径，h是它的高）

单位列表
主要单位
面积的测量单位主要包括：

平方公里——1,000,000平方米
平方公引（ha）——10,000平方米
平方公丈（a）——100平方米
平方公尺——1平方米，国际标准单位
平方公寸——0.01平方米
平方公分——0.0001平方分米
平方公厘——0.000001平方厘米
市制：

亩——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米
平方市里——0.25平方公里
平方市尺——1/9平方米
台制：

甲——9,699.173平方公尺（平方米）
坪——3.3058平方公尺（平方米）
香港：

平方呎（平方英尺）——929平方厘米

换算
严格定义
其中一个定义面积的方法是利用公理定义。面积可以定义为一个由所有（可测）平面图形组成的集合M映射至实数的函数a，并满足以下条件：

对于所有
  
    
      
        S
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle S\in M}
  
，有
  
    
      
        a
        (
        S
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle a(S)\geq 0}
  
。
若
  
    
      
        S
        ,
        T
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle S,T\in M}
  
，则
  
    
      
        S
        ∪
        T
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle S\cup T\in M}
  
及
  
    
      
        S
        ∩
        T
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle S\cap T\in M}
  
，且
  
    
      
        a
        (
        S
        ∪
        T
        )
        =
        a
        (
        S
        )
        +
        a
        (
        T
        )
        −
        a
        (
        S
        ∩
        T
        )
      
    
    {\displaystyle a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)}
  
。
若
  
    
      
        S
        ,
        T
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle S,T\in M}
  
且
  
    
      
        S
        ⊆
        T
      
    
    {\displaystyle S\subseteq T}
  
，则
  
    
      
        T
        −
        S
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle T-S\in M}
  
，且
  
    
      
        a
        (
        T
        −
        S
        )
        =
        a
        (
        T
        )
        −
        a
        (
        S
        )
      
    
    {\displaystyle a(T-S)=a(T)-a(S)}
  
。
若
  
    
      
        S
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle S\in M}
  
且
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
全等于
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
，则
  
    
      
        T
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle T\in M}
  
，且
  
    
      
        a
        (
        S
        )
        =
        a
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle a(S)=a(T)}
  
。
任一矩形
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
均属于
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
。若矩形的长为
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
而宽为
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
，则
  
    
      
        a
        (
        R
        )
        =
        ℓ
        w
      
    
    {\displaystyle a(R)=\ell w}
  
。
设
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
为一平面图形。若存在唯一的实数
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，使得所有满足
  
    
      
        S
        ⊆
        Q
        ⊆
        T
      
    
    {\displaystyle S\subseteq Q\subseteq T}
  
的有限个矩形的联集（finite union of rectangles）
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
及
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
均有
  
    
      
        a
        (
        S
        )
        ≤
        c
        ≤
        a
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle a(S)\leq c\leq a(T)}
  
，则
  
    
      
        Q
        ∈
        M
      
    
    {\displaystyle Q\in M}
  
，且
  
    
      
        a
        (
        Q
        )
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a(Q)=c}
  
。
可以证明，满足上述条件的函数存在。

脚注
外部连结
面积单位换算 （页面存档备份，存于互联网档案馆）