半长轴

半长轴（长半轴）是几何学中圆锥曲线最长的半径或长轴的一半，因此是从中心穿过焦点到到周边的最长线段。而长轴（或主轴）是几何学中椭圆最长的直径：是一条贯穿中心和焦点，末端位于周边中相距最远的两个点的线段。椭圆或双曲线的半短轴是一条与半长轴处于直角的线段，并且一端位于圆锥截面的中心。对于圆的特殊情况，半轴的长度都等于圆的半径。
椭圆的半长轴a的长度通过离心率e和圆锥参数
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
与半短轴的长度b有关，如下所示：

根据定义，双曲线的半长轴是两个分支之间距离的正负二分之一。因此，它是从中心到双曲线的顶点的距离。
抛物线可以作为椭圆序列的极限，其中一个焦点保持固定，而另一个焦点可以沿一个方向任意移动，保持
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
固定。因此a和 b趋于无穷大，a比b快。
长轴和短轴是曲线的对称轴：在椭圆中，短轴较短；在双曲线中，它与双曲线不相交。

椭圆
椭圆的方程式是:

其中(h, k)是笛卡尔坐标系中椭圆的中心，其中任意点由(x, y)给出。
半长轴是椭圆距焦点的最大和最小距离
  
    
      
        
          r
          
            max
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\text{max}}}
  
和
  
    
      
        
          r
          
            min
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\text{min}}}
  
的平均值— 即从焦点到长轴端点的距离

在天文学中，这些极值点称为拱点。
一个椭圆的长轴是内部最长的直径，会通过中心和两个焦点，末端结束于椭圆曲线最宽处。半长轴是长轴的一半，始于中心点经过一个焦点并终结于椭圆的边界。在特殊状况a=b中，半长轴就是半径。
半长轴的长度 
  
    
      
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\!}
  
 与半短轴 
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
  
 的关系可以经由离心率
  
    
      
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle e\,\!}
  
和半正焦弦
  
    
      
        ℓ
        
        
      
    
    {\displaystyle \ell \,\!}
  
推导如下：

  
    
      
        b
        =
        a
        
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}
  

  
    
      
        ℓ
        =
        a
        (
        1
        −
        
          e
          
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!}
  
.

  
    
      
        a
        ℓ
        =
        
          b
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!}
  
.
抛物线可以被视为是椭圆的极限，将一个焦点固定，而另一个焦点被随意的移至无穷远处的方向上，但
  
    
      
        ℓ
        
        
      
    
    {\displaystyle \ell \,\!}
  
仍保持不变。因此
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
和
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
  
趋于无限大，
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
  
仍比
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
  
长。
半长轴是椭圆的一个焦点至边界的最大距离和最小距离的平均值。现在考虑在极座标中的方程式，其中一个焦点位于原点，另一个焦点在x轴上，

  
    
      
        r
        (
        1
        −
        e
        cos
        ⁡
        θ
        )
        =
        l
        
        
      
    
    {\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}
  
.
均值由
  
    
      
        r
        =
        
          
            ℓ
            
              1
              +
              e
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r={\ell  \over {1+e}}\,\!}
  
和
  
    
      
        r
        =
        
          
            ℓ
            
              1
              −
              e
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r={\ell  \over {1-e}}\,\!}
  
，是 
  
    
      
        a
        =
        
          
            ℓ
            
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a={\ell  \over {1-e^{2}}}\,\!}
  
.

双曲线（又称半实轴）
双曲线的半长轴是两个分支之间距离的一半。如果a是在X-轴的方向上，则方程式可以表示为：

  
    
      
        
          
            
              
                (
                
                  x
                  −
                  h
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                (
                
                  y
                  −
                  k
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}
  

在这个项目中的半正焦弦和离心率如下：

  
    
      
        a
        =
        
          
            ℓ
            
              
                e
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\ell  \over e^{2}-1}}
  

双曲线的横轴延伸方向与半长轴的方向一致。

天文学
轨道周期
在太空动力学，以圆或椭圆轨道环绕中心天体运转的小天体的轨道周期
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
，是：

  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              a
              
                3
              
            
            
              /
            
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}
  

此处：

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，是轨道的半长轴

  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
是标准重力参数
无论离心率是如何，半长轴相同的椭圆都有相同的轨道周期。
在天文学，是轨道的轨道元素中最重要的，他决定了轨道周期。对太阳系内的天体，半长轴与轨道周期的关系由克卜勒第三定律（原本只是经验公式）来描述：

  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
        ∝
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}
  
，
此处T是周期，单位为年；a是半长轴，单位为AU。这个形式就是牛顿的二体问题简化后的形式：

  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              4
              
                π
                
                  2
                
              
            
            
              G
              (
              M
              +
              m
              )
            
          
        
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}
  
，
此处G是重力常数，M是中心天体的质量，而m是轨道上天体的质量。通常，当中心天体的值量远大于环绕的天体时，m的质量可以忽略不计。座著这样的假设和简化之后，克卜勒发现的以天文单位简化的形式就出现了。
值得注意的是，在轨道上的天体和主要的天体环绕著质心运动的路径都是椭圆形。在天文学上的半长径总是主、伴两星之间的距离，因此行星的轨道参数都是以太阳为中心的项目。在"主体为中心"和"绝对"轨道之间的差别通过对地月系统的认是说明可以有更清楚的认识。质量的比是81.30059，地心的月球轨道半长轴是384,400公里；另一方面，"质心"的月球轨道半长轴是379,700公里，两著的差别是4,700公里。月球相对于质心的平均轨道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，两者之和是1.022公里/秒；同样的，以地心的半长轴得到的月球轨道速度也是1.022公里/秒。

平均距离
经常会说半长轴是主伴两天体的平均距离，其实这样说是不够精确的，这与如何取得平均值有关。

对偏近点角（q.v.）的平均距离的确就是半长轴。
对真近点角（从焦点上测量的真实轨道角度）的结果，说也奇怪，是轨道半短轴：
  
    
      
        b
        =
        a
        
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}
  
。
最后，是对平近点角（以角度表示，经过近心点之后所经历轨道周期的分数），是对时间的平均数（通常是对门外汉所谓的"平均"）：
  
    
      
        a
        (
        1
        +
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            2
          
        
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}
  
。
椭圆的平均半径，是以几何上的中心来测量的，其值为
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        =
        a
        
          
            
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              4
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!}
  
。
时间的平均值与半径成反比，
  
    
      
        
          r
          
            −
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r^{-1}\,\!}
  
，是
  
    
      
        
          a
          
            −
            1
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle a^{-1}\,\!}
  
。

能量：由状态向量的半长轴计算
在太空动力学半长轴
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，可以从轨道状态向量得到：

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              −
              μ
            
            
              2
              ϵ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={-\mu  \over {2\epsilon }}}
  
（椭圆轨道）

  
    
      
        a
        =
        
          
            μ
            
              2
              ϵ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a={\mu  \over {2\epsilon }}}
  
（双曲线弹道）

  
    
      
        ϵ
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            
              2
            
          
        
        −
        
          
            μ
            
              |
              
                r
              
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu  \over \left|\mathbf {r} \right|}}
  
（特殊轨道能量）

  
    
      
        μ
        =
        G
        M
      
    
    {\displaystyle \mu =GM}
  
（标准重力参数）
此处：

  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
，是从速度向量得到的轨道上物体的轨道速度，

  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
，是在笛卡尔坐标系上、相对于位置向量用于计算的轨道元素（即，对环绕地球的物体是以地球中心和赤道为基准，或对环绕太阳的天体是以太阳中心和黄道为基准），

  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
，是重力常数，

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
，是中心天体的质量。
对特定的中心天体和总比能，无论离心率是多少，半长轴是一个定值。换言之，对特定的一个中心天体和半长轴，具有的总比能是一个定值。

例子
国际太空站的轨道周期是91.74分，它的轨道半长轴是6,738公里。

外部连结
Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation


== 参考资料 ==