功率

功率（英语：power）定义为能量转换或使用的速率，以单位时间的能量大小来表示，即是作功的率。功率的国际标准制单位是瓦特（W），名称是得名于十八世纪的蒸汽引擎设计者詹姆斯·瓦特。灯泡在单位时间内，电能转换为热能及光能的量就可以用功率表示，瓦特数越高表示单位时间用的能力（或电力）越高。
能量转换可以作功，功率也是作功的速率。当一个人搬著一重物爬了一层的楼梯，不论他是慢慢的走上楼梯或是快跑上楼梯，对重物作的功是相等的，但若考虑其功率，快跑上楼梯会在较短的时间内对物体作相同大小的功，因此其功率较大。马达的输出功率是其马达产生的转矩及马达角速度的乘积，而车辆前进的功率是轮子上的牵引力及车辆速度的乘积。

单位
功率是能量除以时间。国际标准制的功率单位是瓦特（W），等于一焦耳每秒。其他功率单位包括尔格每秒（erg/s）、马力（hp）、公制马力及英尺-磅力每分。一马力等于33,000英尺-磅力每分，也就是一秒钟将550磅的重物提高一英尺所需的功率，约等于746瓦特。其他单位包括：

分贝毫瓦（dBm），是以一毫瓦为基准的对数值。
卡每小时（或是千卡每小时）。
英热单位每小时（Btu/h）。
冷冻吨（12,000 Btu/h）：常用在冷气或空调系统。

平均功率
考虑一个简单的例子，燃烧一公斤的煤放出的能量比引爆一公斤的三硝基甲苯要高，但因为引三硝基甲苯释放能量的速率比燃烧煤要快很多，因此其产生的功率较大。若令
  
    
      
        Δ
        W
      
    
    {\displaystyle \Delta W}
  
是在
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  
时间内所做的功，则这段时间内的平均功率
  
    
      
        
          P
          
            avg
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\text{avg}}}
  
由下式给出：

  
    
      
        
          P
          
            avg
          
        
        =
        
          
            
              Δ
              W
            
            
              Δ
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\text{avg}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}}
  

其中P为功率，W为功，t为时间。
瞬时功率是指时间
  
    
      
        Δ
        t
      
    
    {\displaystyle \Delta t}
  
趋近于0时的平均功率：

  
    
      
        P
        =
        
          lim
          
            Δ
            t
            →
            0
          
        
        
          
            
              Δ
              W
            
            
              Δ
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  d
                
              
              W
            
            
              
                
                  d
                
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta W}{\Delta t}}={\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}t}}}
  

若瞬时功率
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
为定值，则一段长度为
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
的时间之内所作的功可以用下式表示：

  
    
      
        W
        =
        P
        T
        
        .
      
    
    {\displaystyle W=PT\,.}
  

在讨论能量转换问题时，有时用字母
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
代替
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
。

力学
在力学中，在某物体上力所做的功由下式给出：

  
    
      
        W
        =
        
          F
        
        ⋅
        
          d
        
      
    
    {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {d} }
  

其中F为作用力，d为位移矢量。
功对时间求导即得到瞬时功率，也即力与速度的点积：

  
    
      
        P
        (
        t
        )
        =
        
          F
        
        (
        t
        )
        ⋅
        
          v
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle P(t)=\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)}
  

故平均功率为：

  
    
      
        
          P
          
            a
            v
            g
          
        
        =
        
          
            1
            
              Δ
              t
            
          
        
        ∫
        
          F
        
        ⋅
        
          v
        
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle P_{avg}={\frac {1}{\Delta t}}\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \;\mathrm {d} t}
  

在转动运动的系统中，功率与力矩和角速度有关：

  
    
      
        P
        (
        t
        )
        =
        
          τ
        
        ⋅
        
          ω
        
      
    
    {\displaystyle P(t)={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}}
  

故此时平均功率为

  
    
      
        
          P
          
            a
            v
            g
          
        
        =
        
          
            1
            
              Δ
              t
            
          
        
        ∫
        
          τ
        
        ⋅
        
          ω
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle P_{avg}={\frac {1}{\Delta t}}\int {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\mathrm {d} t}
  
.
在流体力学中，功率与压强和体积流量有关：

  
    
      
        P
        =
        p
        ⋅
        Q
      
    
    {\displaystyle P=p\cdot Q}
  

其中p是压强（以帕斯卡作为单位），Q是体积流量（以m3/s立方米每秒作为单位）。

机械效益
若力学系统没有损失，则其输入功率等于输出功率，因此可以推导系统的机械效益，也就是输出力和输入力的比值。
令系统的输入功率为大小为FA的力，作用在一个移动速度为vA的点，而其输出功率为大小为FB的力，作用在一个移动速度为vB的点，假设系统无损失，则

  
    
      
        P
        =
        
          F
          
            A
          
        
        
          v
          
            A
          
        
        =
        
          F
          
            B
          
        
        
          v
          
            B
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle P=F_{A}v_{A}=F_{B}v_{B},\!}
  

系统的机械效益为

  
    
      
        
          M
          A
        
        =
        
          
            
              F
              
                B
              
            
            
              F
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              v
              
                A
              
            
            
              v
              
                B
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}.}
  

在旋转系统中也可以推得类似的公式，其中TA及ωA为输入到系统的转矩及角速度，TB及ωB为系统输出的转矩及角速度，假设系统无损失，则

  
    
      
        P
        =
        
          T
          
            A
          
        
        
          ω
          
            A
          
        
        =
        
          T
          
            B
          
        
        
          ω
          
            B
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!}
  

因此机械效益为

  
    
      
        
          M
          A
        
        =
        
          
            
              T
              
                B
              
            
            
              T
              
                A
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ω
              
                A
              
            
            
              ω
              
                B
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.}
  

上述关系的重要性在于可以根据系统的尺寸推算其速度比，再依速度比定义最佳性能，像齿轮比就是一个例子。

光学
在光学或辐射度量学中，功率有时会指辐射通量，由电磁辐射传递能量的平均速率，单位也是瓦特。
在光学中的光学倍率（Optical power）有时也会简称power，是指透镜或其他光学仪器屈光的能力，单位是屈光度（反米），等于光学仪器焦距的反比。

电功率
一个元件的瞬时电功率由下式给出：

  
    
      
        P
        (
        t
        )
        =
        V
        (
        t
        )
        I
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle P(t)=V(t)I(t)}
  

其中 
  
    
      
        I
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle I(t)}
  
 或 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 为电流，
  
    
      
        V
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle V(t)}
  
 或 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 为元件两端的电势差。
若元件为线性元件，即电压与电流之比不随时间变化，也即服从欧姆定律，则有：

  
    
      
        P
        =
        V
        I
        =
        
          I
          
            2
          
        
        R
        =
        
          
            
              V
              
                2
              
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle P=VI=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}}
  

其中
  
    
      
        R
        =
        
          
            V
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle R={V \over I}}
  
为元件的电阻。
对于交流电的情况，参见交流电功率。

峰值功率及占空比
若是周期为
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
的周期信号
  
    
      
        s
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle s(t)}
  
，像是一连串的理想脉波，其瞬时功率
  
    
      
        p
        (
        t
        )
        =
        
          |
        
        s
        (
        t
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p(t)=|s(t)|^{2}}
  
也是周期为
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
的周期函数。其峰值功率为：

  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        =
        max
        [
        p
        (
        t
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle P_{0}=\max[p(t)]}
  
.
峰值功率不是持续量测的物理量，仪器比较方便量测的是平均功率
  
    
      
        
          P
          
            
              a
              v
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mathrm {avg} }}
  
。若定义单位脉冲的功率为：

  
    
      
        
          ϵ
          
            
              p
              u
              l
              s
              e
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            T
          
        
        p
        (
        t
        )
        
          d
        
        t
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {pulse} }=\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t\,}
  

则平均功率为：

  
    
      
        
          P
          
            
              a
              v
              g
            
          
        
        =
        
          
            1
            T
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            T
          
        
        p
        (
        t
        )
        
          d
        
        t
        =
        
          
            
              ϵ
              
                
                  p
                  u
                  l
                  s
                  e
                
              
            
            T
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\mathrm {d} t={\frac {\epsilon _{\mathrm {pulse} }}{T}}\,}
  

也可以定义脉冲长度
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
使得
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        τ
        =
        
          ϵ
          
            
              p
              u
              l
              s
              e
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}\tau =\epsilon _{\mathrm {pulse} }}
  
，因此以下的比值

  
    
      
        
          
            
              P
              
                
                  a
                  v
                  g
                
              
            
            
              P
              
                0
              
            
          
        
        =
        
          
            τ
            T
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {P_{\mathrm {avg} }}{P_{0}}}={\frac {\tau }{T}}\,}
  

会相等。此比值即为脉冲的占空比。

参见
简单机械
机械利益
功
电功率
热功率
强度 (物理)
功率增益
脉冲功率
功率密度
声功率


== 参考 ==