微积分

context: 微积分学是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如：几何学是研究形状的科学、代数学是研究代数运算和解方程的科学一样。微积分学又称为“初等数学分析”。微积分学在科学、经济学、商业管理学和工业工程学领域有广泛的应用，用来解决那些仅依靠代数学和几何学不能有效解决的问题。微积分学在代数学和解析几何学的基础上建立起来，主要包括微分学、积分学。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符号进行演绎。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算长度、面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们能以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。在更深的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是现代数学的主要分支之一。
qas: question: “初等数学分析”指的是哪一门数学学科?
answers: text: 微积分学

question: 一套关于变化率的理论指的是哪一门数学学科?
answers: text: 微分学

question: 高等微积分学又被定义为什么?
answers: text: 研究函数的科学

context: 在古代数学中，产生了一些引申出后来积分学的思想，但当时对该些思想的探讨方式并不严格、系统。埃及的莫斯克纸莎草手卷记载了对不同种类的体积和面积的计算，而这即是积分学的目标之一。不过它的公式只属简单指示，没有提及推导方法，有的公式也只是粗疏的估算。积分的起源很早，古希腊时期欧多克索斯就曾用穷举法来求面积与体积。阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这些都是穷尽法的古典例子。中国的刘徽在公元三世纪也应用穷举法求圆的面积。在公元五世纪，祖冲之采用祖垣原理计算出球体积，该原理后来也被称之为卡瓦列里原理。文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯•麦卡托发明了所谓的麦卡托投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。
qas: question: 阿基米德是哪一个时期的科学家?
answers: text: 古希腊时期

question: 祖冲在哪一个世纪的时候，计算出球体积?
answers: text: 公元五世纪

question: 麦卡托投影法有何贡献?
answers: text: 使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线

context: 在欧洲，基础性的论证来自博纳文图拉•卡瓦列里，他提出体积和面积应该用求无穷小横截面/段的体积/面积的总和来计算。他的想法类似于阿基米德在《方法论》所提出的，但是卡瓦列里的著述丢失了，直到20世纪初期再被找到。卡瓦列里的努力没有得到认可，因为他的方法的误差巨大，而且他提出的那些无穷小的量一开始也不获认同。17世纪的前半是微积分学的酝酿时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。而后戈特弗里德•威廉•莱布尼茨和艾萨克•牛顿两人几乎同时使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理研究上。在他们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科，之后才确实划分出“微积分学”这门学科。在对微积分的正式研究中，卡瓦列里提出的无穷小量，与当时在欧洲发展起来的有限差分演算连系到了一起。皮埃尔•德•费马声称他借用了丢番图的成就，引入了“准等式”概念，表示两个项在除却一个无穷小误差项下等同。而把无穷小量与有限差分演算连系起来的工作，是由约翰•沃利斯、伊萨克•巴罗和詹姆斯•格雷果里完成的。后两者在1670年左右证明了微积分第二基本定理。
qas: question: 《方法论》的作者是谁?
answers: text: 阿基米德

question: 微积分学的酝酿时期指的哪一个世纪的前期?
answers: text: 17世纪

question: 无穷小量的概念是何人提出的?
answers: text: 卡瓦列里

context: 牛顿的老师伊萨克•巴罗虽然知道微分和积分之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功给予西方数学非常深远的影响：一般认为唯有几何的论证方法才是严谨、真正的数学，代数不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题，这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能发展出有效的计算方法，巴罗便是其中之一。牛顿虽然放弃了他老师的纯几何观点而发展出了有效的微分方法，可是他迟迟未敢发表。虽然他利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但因害怕当时人的批评，所以在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微积分的痕迹抹去，而以古典的几何论证方式论述。
qas: question: 伊萨克•巴罗为何无法体会微分和积分之间互逆关系的意义?
answers: text: 求导数还没有一套有系统的计算方法

question: 费马和哪一位数学家提倡以代数方法研究几何的问题?
answers: text: 笛卡儿

question: 《自然哲学的数学原理》的作者是谁?
answers: text: 牛顿

context: 牛顿利用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，解决天体运动，流体旋转的表面，地球的扁率，摆线上重物的运动等问题。牛顿在解决数学物理问题时，使用了其独特的符号来进行计算，并提出了乘积法则、链式法则、高阶导数、泰勒级数。在其它著作中，牛顿给出了函数的级数展开式，当中包括分数和无理数的乘幂，而且明显地牛顿知道泰勒级数的原理。但是他没有发表所有的这些发现，因为无穷小方法在当时仍然饱受争议。上述思想被戈特弗里德•威廉•莱布尼茨整合成为真正的无穷小演算，而牛顿指责前者抄袭。莱布尼茨在今天被认为是独立发明微积分的另一人。他的贡献在于成功提供一套明确的规则来处理无穷小的量，能够允许计算二阶或更高阶的导数，以微分和积分的形式给出乘积法则和链式法则。与牛顿不同，莱布尼茨很注重形式，往往花上数天决定对概念予以什么适当的符号。莱布尼茨和牛顿都被普遍认为是独立的微积分发明者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中，而莱布尼茨创作了不少今天在微积分所使用的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本规则，二阶与更高阶导数，近似多项式级数的记法等。在牛顿的时代，微积分基本定理是已知的事实。
qas: question: 牛顿宇宙体系的基础是万有引力和哪一个定律?
answers: text: 运动定律

question: 牛顿为何没有发表泰勒级数的原理?
answers: text: 因为无穷小方法在当时仍然饱受争议

question: 独立的微积分发明者有二人，除了牛顿之外，另一个人是谁?
answers: text: 莱布尼茨

context: 当牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果时，数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论，而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中盗取了想法，皇家学会的一些成员也跟牛顿持同一观点。这场大纷争将使数学家分成两派：一派是英国数学家，捍卫牛顿；另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后对牛顿和莱布尼茨的论文的小心检视，证实两人是独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导，牛顿从微分推导。在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立创始者。不过，“微积分”之名则是莱布尼茨所创。而牛顿将其成果称为“流数术”。微积分实际被许多人不断地完善，也离不开巴罗、笛卡儿、费马、惠更斯和沃利斯的贡献。最早的及最完整的一部有关有限和无穷小分析的著作由玛利亚•阿涅西于1748年所著。
qas: question: “流数术”一词的发明人是谁?
answers: text: 牛顿

question: 何人最先将微积分的理论发表?
answers: text: 莱布尼茨

question: 牛顿是以哪一个方向推导并得出微积分的结论?
answers: text: 微分

context: 牛顿和莱布尼茨虽然把微积分系统化，但是它还是不够严谨。可是当微积分被成功地用来解决许多问题，却使得十八世纪的数学家偏向其应用，而少致力于其严谨。当时，微积分学的发展幸而掌握在几个非常优越的数学家，如欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利世家等人的手里。研究的问题由自然现象而来，所以能以自然现象的数据来验合微积分的许多推论，使微积分学不因基础不稳而隐含错误。在这些众数学家的手中，微积分学的范围很快地超过现在大学初阶段所授的微积分课程，而迈向更高深的解析学。在微积分中，“基础”意味将一个概念从明确的公理和定义中严格地建构出来。早期微积分所使用的无穷小被认为是不严谨的，遭到了一些作者的严厉批评，特别是米歇尔•罗尔和乔治•贝克莱主教。贝克莱因在他1734年出版的《分析学家》中将无穷小描述为“消失量之鬼”而著名。近代的一篇分析认为莱布尼茨版微积分比起贝克莱的经验主义批评还更严密。为微积分予以严谨基础，成为数学家们在牛顿、莱布尼茨之后几世纪的重要工作，直至今日仍在某程度上是研究的活跃领域。
qas: question: 拉格朗日是哪一个世纪著名的数学家?
answers: text: 十八世纪

question: 微积分的“基础”指的是什么?
answers: text: 将一个概念从明确的公理和定义中严格地建构出来

question: 《分析学家》于何年问世?
answers: text: 1734年

context: 一些数学家，包括科林•麦克劳林，试图证明使用无穷小是可靠的做法，但直到150多年之后才得以成功。奥古斯丁•路易•柯西和卡尔•魏尔斯特拉斯的工作，实现了对无穷小的记号的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基础进路尝试，包括通过无穷小来对连续进行定义，和在微分定义中一个不太精确的极限定义原型。而在魏尔斯特拉斯的著述中，对极限概念作了形式化，回避了无穷小的使用。继魏尔斯特拉斯之后，微积分就常以极限作为基础，而非无穷小了。波恩哈德•黎曼使用这些概念来对积分进行严格定义。在这一时期，微积分的概念也被推广到欧几里得空间和复平面。在现代数学里，微积分基础被包含在实变函数论中，后者包括了对微积分理论的完全数学证明。微积分的范围也被大大拓宽了。昂利•勒贝格建立了测度论，以测度概念来定义绝大多数函数上的积分。洛朗•施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函数的导数。
qas: question: 哪一位数学家试图证明使用无穷小是可靠的做法?
answers: text: 科林•麦克劳林

question: 微积分在何人的理论提出之后，就开始以极限作为基础?
answers: text: 魏尔斯特拉斯

question: 测度论的创建者是谁?
answers: text: 昂利•勒贝格

context: 极限不是对微积分基础唯一的严格进路。另一种方法是采用亚伯拉罕•鲁滨逊的非标准分析。罗宾逊在1960年左右所采取的进路袭承了牛顿——莱布尼茨的最初概念，借用数理逻辑的技术将实数系统扩大，得以将无穷小和无穷大数包含在内。所得出的数为超实数，可以用它们来对微积分法则作莱布尼茨式的推导。早期的微积分概念来自于埃及、希腊、中国、印度、伊拉克、波斯、日本，但现代微积分来自于欧洲。17世纪时，艾萨克•牛顿与戈特弗里德•莱布尼茨在前人的基础上提出微积分的基本理论。微积分基本概念的产生是建立在求瞬间运动和曲线下面积这两个问题之上的。微分应用包括对速度、加速度、曲线斜率、最优化等的计算。积分应用包括对面积、体积、弧长、质心、做功、压力的计算。更高级的应用包括幂级数和傅立叶级数等。微积分也使人们更加精确地理解到空间、时间和运动的本质。多个世纪以来，数学家和哲学家都在争论除以零或无限多个数之和的相关悖论。这些问题在研究运动和面积时常常出现。古希腊哲学家埃利亚的芝诺便给出了好几个著名的悖论例子。微积分提供了工具，特别是极限和无穷级数，以解决该些悖论。微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。
qas: question: 超实数的功能是?
answers: text: 可以用它们来对微积分法则作莱布尼茨式的推导

question: 微积分基本概念是建立在曲线下面积和哪一个问题之上?
answers: text: 求瞬间运动

question: 曲线斜率的计算指的是哪一领域的范畴?
answers: text: 微分应用

question: 实分析指的是哪一数学概念的现代版本?
answers: text: 微积分