位相共役

数学において位相共役（いそうきょうやく、）とは、2つの写像の軌道が定性的に同じ関係であることを示す概念である。力学系理論における基礎的な概念の一つ。

定義
 と  を位相空間とし、 と  を連続写像とし、これらによって定義される力学系  と  を考える。このとき、 から  への同相写像  が存在して

を充たすとき、2つの力学系  と  は位相共役（）である、あるいは、 と  が（ によって）位相共役であると言う。位相的に共役と言ったり、単に共役であると言うこともある。

ここで、上式 () の  は写像の合成を表し、 とすると  である。 が同相写像であるとは、 が全単射かつ連続写像で、なおかつ逆写像  も連続写像であることを言う。式 () のように位相共役の関係を与える同相写像  を位相共役写像（）と言う。

同値な定義だが、 と  が  によって位相共役であるとは

を充たす同相写像  が存在することを言う。ここで、 は  の逆写像を表す。

写像  が同相写像であることを要請せず、 と  が単に連続写像かつ全射である  によって式 () を充たすときは、 は  に位相半共役あるいは半共役（）と言う。このような連続な全射  を位相半共役写像あるいは半共役写像（）と言う。

微分同相写像の場合
 と  が  によって位相共役であることは  が一般的に可微分であることまでは要求しないが、場合によっては  が可微分で、 も可微分であることも考えられる。このような同相写像を微分同相写像と言い、特に、同相写像が  回連続微分可能で、その逆写像も  回連続微分可能なときは  微分同相写像と言う。

 を実数全体の集合とし、写像  と  を  次元ユークリッド空間  上の  微分同相写像  と  とする。このとき、 微分同相写像  が存在し、
式 () を充たすとき、 と  は（ によって） 共役または可微分共役であると言う。

線型写像の場合
 上の写像  が
  ただし 
  ただし 
を充たすとき、 を線型写像と言う。写像  と  を  上の線型写像とする。このとき、線型写像  が存在して

を充たすとき、 と  は線型共役（）であると言う。

 上の線型写像  は、実数を成分とする  行列  を用いて、

と表わされる。ここで、 は  の要素で、 列ベクトルである。一般的に、異なる正方行列  と  があって、

を充たすような正則行列  が存在するとき、 と  は相似であると言う。, ,  と表せば、式 () は

となるので、 上の線型写像  と  が線型共役であるとは、それらを定義する行列  と  が相似で、式 () を充たすような行列  が存在することとも言い換えられる。

他の語法として、写像  と  が特に線型写像でなくても、 と  が位相共役で、その位相共役写像  が線型写像であるとき  と  は線型共役であると言うこともある。

連続力学系の場合
以上の説明は、反復合成から定義される離散力学系の場合であった。一方、力学系の時間を実数として、位相群  の位相空間  への作用として定まるのが連続力学系である。連続力学系は流れとも呼ばれ、連続写像  あるいは  によって与えられる。流れを  とも表し、全ての  と  で定義されていると仮定する。

 と  を位相空間とし、 と   を流れとする。 このとき、同相写像  が存在して

を充たすとき、 と  は位相共役であると言う。

流れ（あるいは連続力学系）は、典型的には微分方程式（あるいは微分方程式によって定義されるベクトル場）によって生成される。 を  級ベクトル場  によって生成される流れとし、 を  級ベクトル場  によって生成される流れとするとき、 微分同相写像  が式 () を充たすとき、 と  は 共役であると言う。

流れの位相共役は、時間  の変数変換も許さずに片方の軌道をもう片方の軌道に重ね合わせることができるというであり、制約が強い。そのため流れの場合には、制約がもう少し弱い位相同値という位相的分類がよく用いられる。流れ  と  について、同相写像  があって、 の各軌道が  の各軌道の上へ、向きが保たれながら  によって写されるとき、 と  は位相同値であると言う。また、このような同相写像  を位相同値写像と言う。 の軌道を  とし、 の軌道を  とする。正確には、すべての  に対して  が

を充たし、さらに  と  が定める軌道の向きを保つとき、 と  は位相同値であると言う。 が  微分同相写像で式 () を充たすときは、 と  は 同値であると言う。

時間の変数変換を明示的に使った位相同値の定義は次のようになる。時間の変数変換を表す連続関数を  とする。 と  が位相同値であるとは、同相写像  と連続関数  が存在して、すべての  と  について

を充たすときを言う。ただし、軌道の向きを保つという条件のために、 は  を固定したときに  に関して単調増加である。

基本的な性質
位相共役であることは同値関係に該当する。すなわち、写像  と  に対して を充たすようなある同相写像  が存在することを一つの二項関係として  と表せば、関係  は

 反射律：
 対称律： ならば 
 推移律： かつ  ならば 

という同値律を充たす。したがって、位相空間  上の連続写像全体の集合を  と表すと、同値関係  による  の同値類は位相的には同じである力学系の集まりを意味する。

力学系理論の主な興味関心は、軌道の性質を理解することにある。もし2つの力学系が位相共役ならば、それぞれの力学系は同じ性質の軌道を同じ数持つ。不動点、周期点、 極限点、極限点などが2つの力学系の相空間の中で一対一に対応する。 より、 であるから、任意の  について

および

が成り立つ。したがって、 の軌道を  とし、 の軌道を  とすれば、

 

が成り立ち、 は  の軌道を  の軌道の上へ写像する。

例
2つの写像が与えられたとき、一般的に言って、それらの位相共役写像が具体的に得られることは少ない。例えば、実数直線上の2次関数

と

は

によって位相共役である。

全ての１変数２次関数同士の場合は、片方を適当に平行移動させれば、それらは線型共役になる。 を定数係数とすれば、 

と

は、

であれば、

によって位相共役である。

写像 () はロジスティック写像とも呼ばれ、テント写像と呼ばれる写像とも位相共役な関係にあることで知られる。すなわち、単位区間  上のテント写像を  とすると、

と

は、

によって位相共役である。写像 () は  から  への同相写像で  上の至る所で微分可能だが、その逆写像  は  と  で微分可能ではない。つまり、この例は、位相共役だが可微分共役ではない例となっている。このように多くの場合では単に同相な位相共役写像が存在する。それでも2つの力学系の軌道を対応付けるのに充分に役立つので、力学系理論では通常の位相共役の定義に微分同相写像までは要求しない。

力学系では、与えられた系を記号力学系で表現して調べるという手段が有効である。テント写像 () に対して、その  回反復合成が ならば  とし、  ならば  とし、 初期値  の軌道を  と  の無限列に置き換える。この置き換えを

という写像で表す。あらゆる  と  の無限列の全体の集合を  で表せば、 は  から  への写像となっている。列を一つずつ左にずらす  からそれ自身の写像

を用意すると、テント写像  と  は  によって位相共役である。

応用

構造安定性
位相共役の概念を使って、構造安定の概念が定式化できる。構造安定とは、ある力学系に小さい変化あるいは摂動が加わったとしても本質的に同じ挙動が保たれるという力学系自体の安定性の表すもので、応用上の視点からも重要となる。例えば、物理学、生物学、工学で使われる微分方程式では係数が近似的にしか定まらないことが多い。よって、係数がわずかに異なった程度では解の挙動が本質的に変わらない（＝構造安定な）微分方程式が重要となる。

大雑把に言うと、ある力学系  が構造安定であるとは、 に充分近い力学系  は必ず  と位相共役であることをいう。正確に定義するためには、力学系の集合に  位相という位相を入れる必要がある。多様体  上の  級可微分同相写像全体が成す集合を  と表すとする。  の 位相に関する近傍  を適当にとれば、 のすべての写像  が  と位相共役になるとき、 は  構造安定であると言う。

出典

参照文献

外部リンク
topological conjugation - PlanetMath
Topologically Conjugate - MathWorld

力学系
同相写像
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