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「パンタグラフ」の仕組み

図１　２倍拡大図がかけるパンタグラフ
図２

数学的解説

パンタグラフは作図器のことである。パンタグラフにはいくつかの種類があり、筑波大学数学教育研究室「レゴのページ」レゴのページ
には線対称や点対称、平行 移動、回転移動、相似変換、アファイン変換、反転
変換、Lambertの透視画(遠近)法が行えるパンタグがある。本研究の活動では相似パンタグラフを
取り上げ、原図として三角形を用いた。
パンタグラフの４本の腕の長さはどれも等しく、それぞれの中点は留められている。また、点A(支点)は台紙に固定されている。点C(作用点)にペンを入れたまま、点B(力点)で原図をなぞると、点Cは点Bでなぞった原図を２倍に拡大した図形をかく。ここで点Aは「相似の中心」である。
【証明】
四角形BDFEはひし形で、
点A、B、Cは一直線上に並ぶとする。…①
また、点Dは辺AFの中点、点Eは辺CFの中点である。
よってAD：AF=1：2　…②
CE：CF=1：2　…③
②③よりAB：AC=1：2となり、
△ABD∽△ACF
したがって点Cは点Bでなぞった原図の２倍の拡大図をかく。

図３　大きさの異なるパンタグラフ
図４　形の異なるパンタグラフ 　上記の証明からもわかるように、パンタグラフは点A、B、Cが一直線上に並び、辺AB、ACの距離の比と、その比が不変であることによってかける図形が決まる。そのため、図３のように大きさが異なるパンタグラフでも２倍の拡大図をかくことができる。
また、図４の左のパンタグラフ(赤)でも点A、B、Cは一直線上に並んでおり、辺AB、ACの距離の比が１：３で、これが不変であるため、3倍の拡大図をかくことができる。
しかし、図４の中央のパンタグラフ(黄)と右のパンタグラフ(緑)では、点A、B、Cは一直線上に並んでおらず、辺AB、ACの比も一定に保たれないため、これらのパンタグラフによってかける図形は比相似図形となる。

For Allプロジェクト/数学史の授業例：

科学系博物館における「パンタグラフ」の演示に関する研究

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