命題４０：同じことがそうであるとして、接点の交点を通り接点を結んだ直線に平行に直線が引かれ、接点を結んだ直線の中点から切断面と接点を結んだ直線に平行な直線の両方を切断する直線を引くなら、引かれた直線の全体平行線と切断面の間の外側で切断された直線に対するのと同様に切断面と接点を結んだ直線によってつくられた線分が互いに対する。
中心をＣ、接線がＡＤとＤＢである向かい合った切断面Ａ、Ｂがあり、ＡＢ、ＣＤＥを結ぶ。したがって、ＡＥ＝ＥＢ（Ⅱ．３９）。そして、ＤからＦＤＧをＡＢに平行に引き、ＥからＬＥを適当に引く。
ＨＬ：ＬＫ＝ＨＥ：ＥＫ
Ｈ、ＫからＮＭＨＸとＫＯＰをＡＢに平行に、ＨＲとＫＳをＡＤに平行に、ＸＡＣＴを通って引く。
すると、ＸＡＵとＭＡＰは平行線ＸＭとＫＰに交わって引かれ
ＸＡ：ＡＵ＝ＭＡ：ＡＰ
しかし、　　ＸＡ：ＡＵ＝ＨＥ：ＥＫ
と　　　　　ＨＥ：ＥＫ＝ＨＮ：ＫＯ
なぜなら、三角形ＨＥＮと三角形ＫＥＯは相似だから、
したがって、ＨＮ：ＫＯ＝ＭＡ：ＡＰ
したがって、ＨＮ２：ＫＯ２＝ＭＡ２：ＡＰ２
しかし、　　ＨＮ２：ＫＯ２＝三角形ＨＲＮ：三角形ＫＳＯ
と　　　　　ＭＡ２：ＡＰ２＝三角形ＸＭＡ：三角形ＡＵＰ
したがって、三角形ＨＲＮ：三角形ＫＳＯ＝三角形ＸＭＡ＋三角形ＡＵＰ
そして、　　三角形ＨＲＮ＝三角形ＸＭＡ＋三角形ＭＮＤ　（Ⅲ.11）
と　　　　　三角形ＫＳＯ＝三角形ＡＵＰ＋三角形ＤＯＰ　（Ⅲ.11）
したがって、三角形ＸＭＡ＋三角形ＭＮＤ：三角形ＡＵＰ＋三角形ＤＯＰ ＝三角形ＸＭＡ：三角形ＡＵＰ
したがって、残りの三角形ＮＭＤ：残りの三角形ＤＯＰ＝全体：全体
しかし、　　三角形ＸＭＡ：三角形ＡＵＰ＝ＸＡ２：ＡＵ２
と　　　　　三角形ＮＭＤ：三角形ＤＯＰ＝ＭＮ２：ＰＯ２
したがって、ＭＮ２：ＰＯ２＝ＸＡ２：ＡＵ２
しかし、　　ＭＮ２：ＰＯ２＝ＮＤ２：ＯＤ２
ＸＡ２：ＡＵ２＝ＨＥ２：ＥＫ２
ＮＤ２：ＤＯ２＝ＨＬ２：ＬＫ２
したがって、ＨＥ２：ＥＫ２＝ＨＬ２：ＬＫ２
よって　　　ＨＥ：ＥＫ＝ＨＬ：ＬＫ

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