ブール代数２

# ブール代数補足とカルノー図

### ブール代数の計算の例

（１）教科書P40 問題２．５

f=(A+B)･(A･B)' = A･B' + A'･B　を証明する。

前回説明した公理や公式をもちいる。

f=(A+B)･(A･B)'
ドモルガンの定理を適用すると　 =(A+B)･(A'+B')
分配則で展開すると =A･(A'+B') + B･(A'+B')
さらに、分配則で展開すると =A･A' + A･B' + B･A' + B･B'
相補則で変形すると、 =0 + A･B' + B･A' + 0
吸収則により’０’は消えるので =A･B' + B･A'

（２）教科書P48　演習問題２．５（１）

A + A'･B = A + B　を証明する。

A + A'･B
吸収則でAをA･1と考える　 = A･1 + A'･B
相補則により1=B+B'と考える　 = A･(B+B') + A'･B
分配則により展開する = A･B + A･B' + A'･B
べき等則によりA･Bを2項にする　 = A･B + A･B + A･B' + A'･B
可換則により計算順序をかえる = (A･B+A･B') + (A･B+A'･B)
分配則で因数分解すると =A･(B+B') + B･(A+A')
相補則により =A･1 + B･1
吸収則により =A + B

### 真理値表からの加法標準形の作り方

以下の真理値表から加法標準形のブール式の作り方。

入力A 入力B 入力C 　 出力ｆ
0 0 0 　 0
0 0 1 　 1
0 1 0 　 1
0 1 1 　 0
1 0 0 　 1
1 0 1 　 0
1 1 0 　 0
1 1 1 　 1

出力が１に対応する入力を見て、0ならばNOTし、１ならばそのままで論理積をとり、全体の論理和を取る。

f = A'･B'･C + A'･B･C' + A･B'･C' + A･B･C

となる。

### 真理値表からの乗法標準形の作り方

加法標準形とは逆で、出力が０に対応する入力を見て、０ならばそのまま、１ならばNOTして論理和を取り、全体の論理積を取る。

f = (A+B+C)･(A+B'+C')･(A'+B+C')･(A'+B'+C)

となる。

これを展開すると、ちゃんと　f = A'･B'･C + A'･B･C'
+ A･B'･C' + A･B･C　になります。

カルノー図による論理関数の簡単化（教科書４．３、P９７）

ORの真理値表
入力A 入力B 出力ｆ（A、B)
０ ０ 0
０ １ １
１ ０ １
１ １ １

上記ORの真理値表から加法標準形を作ると、

f = A'･B + A･B'
+ A･B
Aでくくると、 =A･(B+B') + A'･B
相補則により、　 =A + A'･B
うまくORの形にならない。
再度挑戦 f = A'･B + A･B'
+ A･B
べき等則 = A'･B + A･B' + A･B + A･B
= (A･B+A'･B) + (A･B+A･B')
分配則で因数分解すると、　 =(A+A')･B + A･(B+B')
=B+A

以上のように、ブール代数による変形は熟練がないと、行き詰まることがある。

そこでカルノー図を用いて式の簡単化をする（教科書４．３．２　P98）。

カルノー図とは真理値表をマスメを用いて表したものである。

2変数のカルノー図 2入力ORのカルノー図

カルノー図の隣接するマスメは１つの入力信号の変化に対応する。

2入力ORのカルノー図 2入力ORのカルノー図

３入力のカルノー図

３変数のカルノー図

クイズ4　　学籍番号　名前　日付　を書いて　提出すること。

１）　教科書演習問題　２．５（２）　A･(A'
+ B) = A･B　をブール代数の性質をもちいて証明せよ。

（ヒント：これはめちゃ簡単！）

２）　教科書演習問題　２．５（３）　(A･B +
A'･B')' = A･B' + A'･B　をブール代数の性質をもちいて証明せよ。

（ヒント：ドモルガンの定理を用いる）

３）以下の真理値表をカルノー図で表し、隣接する１があれば○で囲み、その結果より出力関数ｆのブール式を求めよ。

？？？の真理値表
入力A 入力B 出力ｆ（A、B)
０ ０ ０
０ １ １
１ ０ ０
１ １ １