命題２８：共役な向かい合った切断面において、一つは直立の直径、もう一つは横軸の直径といわれる共役な直径を引き、それらに平行で互いと切断面の交わる２直線を引くなら、直線の交点と切断面の間の直立な直径に平行に引かれた直線上で切断された直線の平方は、直線の交点と切断面の間の横軸の直径に平行に引いた直線上で切断された直線の平方に対して直立の直径の平方が横軸の直径の平方に対して持つ比を持つ。
共役な向かい合った切断面Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、ＡＥＣを直立の直径、ＢＥＤを横軸の直径とし、ＦＧＨＫ、ＬＧＭＮをそれらに平行にお互いにまた切断面を切断するように引く。
ＬＧ２＋ＧＮ２：ＦＧ２＋ＧＫ２＝ＡＣ２：ＢＤ２
なぜなら、ＬＸとＦＯをＦ、Ｌから縦線方向に引く。
その結果、それらはＡＣ、ＢＤに平行である。
そして、ＢからＢＤの直立辺ＢＰを引く。
すると、　　ＰＢ：ＢＤ＝ＡＣ２：ＢＤ２　（Ⅰ.15）
＝ＡＥ２：ＥＢ２
＝ＦＤ２：ＢＯ・ＯＤ　（Ⅰ.21）
＝ＣＸ・ＸＡ：ＬＸ２　（Ⅰ.60,21）
は明らかである。
したがって、前項の一つは後項の一つであると同様に、前項の全ては後項の全てである。（ユークリッド.Ⅴ.12）
したがって、ＡＣ２：ＢＤ２＝ＣＸ・ＸＡ＋ＡＥ２＋ＯＦ２：ＤＯ・ＯＢ＋ＢＥ２＋ＬＸ２
または、　　ＡＣ２：ＢＤ２＝ＣＸ・ＸＡ＋ＡＥ２＋ＥＨ２：ＤＯ・ＯＢ＋ＢＥ２＋ＭＥ２
しかし、　　ＣＸ・ＸＡ＋ＡＥ２＝ＸＥ２
そして、　　ＤＯ・ＯＢ＋ＢＥ２＝ＯＥ２　（ユークリッド.Ⅱ.6）
したがって、ＡＣ２：ＢＤ２＝ＸＥ２＋ＥＨ２：ＯＥ２＋ＥＭ２
＝ＬＭ２＋ＭＧ２：ＦＨ２＋ＨＧ２
そして、　　ＮＧ２＋ＧＬ２＝２（ＬＭ２＋ＭＧ２）
そして、　　ＦＧ２＋ＧＫ２＝２（ＦＨ２＋ＨＧ２）　（ユークリッド.Ⅱ.9）が示された。
したがって、ＡＣ２：ＢＤ２＝ＮＧ２＋ＧＬ２：ＦＧ２＋ＧＫ２

注）上のアプレットの画面をダブルクリックすると、スクロールバーがアプレット画面下部に現れます。
①作図の自動再生、②手動再生のスライドバー、③図の逆構成、④図の構成、⑤画面移動、⑥残像効果、⑦アニメーション効果、⑧図のダウンロード

アポロニウスの円錐曲線論の展示室トップへ
数学の歴史博物館