微積分I

## 微積分２０１１授業日誌

久しぶりの微積分である。年年歳歳ぐちが多くなるのだが、教程の綻びは如何ともし難い。
自分が計算している内容に自信が持てないという。答えが出てもこれで良いのかどうか、
あるいは計算結果が何を意味するのか答えられないという。
なんとかしなくては、と思いつつ時過ぎぬ。

進度予定表
と
講義ノートを道の糧に、いざ進まん。

参考書：

笠原 晧司「微分積分学」、サイエンス社、１９７４、という本があったのだな。
しっかり書いてあって、今となっては、数学を専攻する学生にも重いのかも知れないが、
何より驚くのはその良心的な値段だ、重くて安い、名古屋にぴったり、おっと失言。
Chen 先生の教科書である。どっしりした構えの内容。浮わついていないということ。
原先生の講義サポートページは充実しているぞ。絵もりっぱだ。
もっと稽古したい人は
渚先生の演習問題とか
山口先生の演習問題。
テーラー展開のアニメーション
その１、
その２、
その３、
その４、
その５。

問題集（演習書）についてちょっと書いておこう。
大学の数学の場合、演習書自体が少ないこともあり、良いものとなるとなかなかない。
数多くの問題を取り揃えましたという感じのもの、あるいは教科書の問題の答えを詳しくつけました、というのがほとんどで、
相手の歩調に合わせて、つまずきそうなところは上手に手順を踏んで導き、気がつけば高いところまで運んでくれている、
といった詳しからず易しからず程々の手応えの階段を上手に按配して、というのは言うは易く、である。
それでも、無理にひとつだけ挙げると、「てっさ」の如き
磯崎・筧・木下・籠屋・砂川・竹山「微積分学入門ー例題を通して学ぶ解析学ー」（培風館）
いずれにせよ、自ら稽古せねば話にならぬ。

変量の間の関数関係は、次の本にあるかも知れぬ。一応見たが、そして関係はするが、何か違う。
現代の数学体系に引きづられない踏み込みは、やはり難しいのだろうか。むしろ、優秀な物理学者とかの感覚が近いのかも知れぬ。
工学系でまともなのは、案外、現代数学的であって、却ってオイラーの世界から離れるが如し。
高瀬正仁「dxとdyの解析学―オイラーに学ぶ」（日本評論社）
まだまだあるぞ。いわゆる出版物以外の資料にも宝が眠っている。
http://pweb.cc.sophia.ac.jp/tsunogai/kougi/10/suuB.html
これは、「不等式の数学」といったところ。より噛み砕いて、「近似計算の数学」だ、と思ったがちょっと違うか。
勉強の心得も書いてある。つい、いいたくなるのだな、分かるか。
数値計算の経験というか感覚は大事（だいじ）だ。
「原理・仕組みさえ理解出来れば、個々の応用は容易。個別の例示は挙げれば切りがないので、
できるだけ少なくして、考える力を養うべきだ。」と言っていた人がいた（今もいる？）。本当か。
これは秀才にしか当てはまらぬ。
きっと、秀才が言い出したことに違いない。秀才のみで世の中が動いているか。
普通の人の諸々の共同の上で成り立っているのではないのか。
くり返しのお稽古、これが決め手だ。まあ、忍耐といってもよいかも知れない。
従順性との諸刃の剣ではあるが。汗なくして何の楽しみやある。

そうだ、思い出した、木工名人の話だ。
水戸の東原というところに齢八十すぎの名人がおって、今も日がな何か作っている。
名人宣わく、教えるのなら中卒者の方がものになるな。
高卒者は、飲み込みは早いのだが、とことんこだわることがないというかできない。
そつなくこなした指し物は、見かけは悪くなくても長く使っていると狂いが生じるガタがくる。
見えないところに目がいくというか、
気になるというか、そういうのは、余計な知恵がまわらぬうちからの修行ができる中卒から仕込むのでないと。

この授業の最後で、簡単な微分方程式のモデルとその解き方について解説する予定であったのだが、
「連続関数の性質」をしないといけないことに気がつき、やむなく、ボツにした。
その罪滅しの気持ちが講義ノートの付録に化けたのだが、同じ趣旨の
Differential Equations を見たほうが良いだろう。
昔は、これが高校の教科書の例題にあったのだな。
さて、関数関係を説明している本はないものか。

「てっさ」の心は「薄くて高い」。

関数の増大度(4/14)
逆三角関数(4/21)
試験１(4/28)
積分の意味と性質(5/12)
有理関数の積分(5/19)
試験２(5/26)
学習相談(6/2)
一次・二次の近似式(6/9)
Taylor の公式(6/17)
Taylor 展開と極限(6/23)
試験３(６/30)
広義積分(7/7)
級数の収束・発散(7/14)
試験４(7/21)

### 関数の増大度(4/14)

今日は、ウォーミングアップということで、
微分の計算と関数の増大度のスピード比較をしました。
前半はよく知っていること、後半は多少なりとも初めてのことだったのではないでしょうか。
この無限大のスピード比較の結果は、覚えるというか良く慣れておいて下さい。
試験などでは、自由に使って結構です。まあ、少し言葉の説明くらいは入れますが。

宿題というかレポート問題は、問１６です。レポート用紙はA4を使い、次の授業までにどうぞ。
レポートについての確認です。
提出の有無は成績には関係しません。あくまでも、学習の手助けとしてのものです。
レポート問題以外の問題・例題も各自稽古しておいて下さい。

最後に、試験の予告です。４月２８日に１回目の試験を行ないます。
試験については、次回の授業の中でもう少し説明する予定です。

### 逆三角関数(4/21)

今日は、逆関数の微分について復習し、その延長として、三角関数の逆関数について調べました。
逆三角関数がどの程度必要になるかは、なかなか評価が難しい、というよりもあまり必要ないかも知れませんが、
すくなくとも逆関数の意味を理解するための材料にはなるわけで、稽古しておいて下さい。
積分の計算という形での使い道を説明しましたが、まあ、それ以外の計算方法もあるわけで、
あまりしつこくはしませんでした。

来週は、1回目の試験（中テストと呼んでおきます）をします。
試験範囲は、2回の授業で扱った内容ですが、
とくに関数の増大度のスピードと逆関数の微積分を復習しておいてください。
試験は30分もあれば解けるていどの問題を45分かけて行ないます。

レポート問題の締切りの扱いについてですが、点検者の都合もありますので、守るようにして下さい。
解答例を配布するかここに載せるかする予定ですが、それ以外の問題の解答は、今のところ私の方から提供する予定はありません。
答えがないと不安という気持ちもわかるのですが、未知のものにこれから対峙していかなければならないということを思えば、
答えは自分で見いだす、そしてそれが正しいことも自ら確かめるという態度は、
できるだけ早く身につけていただきたいと願っております。
どこかにも書いたことですが、
職業として、答えのわかっている問題の処理をまかせられるということは、通常ありえません。
そのための独り立ちへのじゃまにならぬよう、敢えて答えは用意しない方針だということです。
もちろん、質問等には時間の許す限り答えたいとは思いますが。

### 試験１(4/28)

今日は、３０分程度の復習の後、
１回目の試験をしました。
結果については、準備できしだい掲示しますが、受講者名簿確定の関係で少し時間がかかるかも知れません。

レポート問題は、毎回ではなく、試験前の週はその対象ではありません。
お間違えないように。あと、レポートを出して点検して貰うのは、あくまでも理解度を確かめ試験の準備を兼ねるためのもので、
レポート提出の有無は成績とは無関係です。ご確認下さい。なお、このルールは、あくまでも私のこの授業に関するものです。
他の授業にまで、勝手に拡大してはいけません。

授業の資料がダウンロードできないという指摘がありましたが、４月２８日夜の時点では、そのような不具合はないもようです。
ただ、サーバーの不安定な状態が再発する可能性もありますので、その場合は、ご連絡下さい。
いずれにしても、早め早めの対応を取られますよう。

試験の講評です。
$\fbox{1}$ は概ねできてましたが、$\log(e^{-x^2}x^x)$ ではなく、
\[\frac{\log x^x}{\log e^{x^2}} = \frac{\log x}{x} \to 0\]
から結論を出している人がいました。これは結果的には正しいのですが、ひとこと説明が必要です。
一般に、$f(x) \to \infty$, $g(x) \to \infty$ で
\[h(x) = \frac{\log f(x)}{\log g(x)} \to 0\]
が成り立てば、
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = g(x)^{h(x)-1} \to \infty^{-1} = 0\]
である、といった感じの。
$\fbox{2}$ ですが、$\arctan x$ の定義の説明が書いてない（書けない？）のが目立ちました。
(ii) でグラフの漸近線が正しく描けても、(iii) で
\[\lim_{x\to \infty} \arctan(2x) = \lim_{x \to \infty}\arctan(x) = \frac{\pi}{2}\]
が出てこない人もかなりいました。心当たりの方は、
\[\arctan(-1),\quad \arctan(\sqrt{3})\]
が具体的にどういう値になってるか、確認を。

### 積分の意味と計算(5/12)

今日は、温かい雨というのか梅雨の走りというのか、蒸し暑い一日でした。
この先が思いやられますが、苦しきなればこその米百俵。
積分の定義と意味について、解説しました。
説明に使った記号とかは大げさながら、面積の素朴な解釈に基づく積分の定義でした。
定義は定義として、実際の計算は、原始関数を求めることが基本です。
その原始関数というか不定積分というか、それを具体的に計算する際の、
３段階についても説明しました。知ってました？
（１）被積分関数を（積分しやすいように）加工する。
（２）置き換え積分を試みる。
（３）部分積分の方法を試みる。
まずは、この順番で試してみましょう。中には、原則を繰り返し使うものもありますが。
いずれにせよ、積分は微分と違って試行錯誤の世界です。
もう一つ、これは説明しませんでしたが、微分すると関数の性質は一般に悪くなるに対して、積分の方は、良くしてくれます。
例えば、関数の値が近いからといって、その微分までがそうである保証はありませんが、
もとの関数の値が近ければ，積分の値も近くなります。
何はともあれ、積分の稽古をしておきましょう。解説した例と練習問題と。

最後に授業アンケート（中間）というのも実施しました。季節感というものですね、水戸の紫陽花、仙湖のほとり。

お知らせです。5月17日（火）のオフィスアワーは、事情により中止いたします。

### 有理関数の積分(5/19)

今日は積分計算の解説その２として、有理関数の積分について見てみました。
（不定）積分可能な場合というのは多くの場合、変数変換を経由してこの有理積分に帰着させるというのが
一つの定形です。具体的なとこは、それこそ切りがないですし、
有理積分と言っても多項式の因数分解の如何に依存しますので、万能とも言いがたく、
あまり深入りする必要はありません。もしどうしても気になるのでしたら、むしろ有理積分に還元できない、
例えば、楕円積分の如きを勉強するほうがまだしもです。
いずれにせよ、あまり深みに入り込まぬよう、ほかにやるべきことは山とありますので。
先を急ぐあまり、稽古が疎かになってませんか。
災害は忘れたころにやってくるという、試験は忘れなくてもやってくる、ということで、
来週は2回目の試験です。主に積分の計算が範囲ですが、定積分の意味、これも復習しておいて下さい。

ああ、米百俵の心意気なきや、苦しきに臨みての立ち居振る舞い、しかと見届けよう。
「私が最も憎んだものは偽善であった。」
だれが忘れよう、年寄りの右顧左眄ほど見苦しきものなし。
すぐにでも訪れるであろう死の自覚をこそ。

### 試験２(5/26)

梅雨に入りましたね。平均より１週間以上早いとか。
異常気象が気になります。異状現象はもっとですが。

予定通り、復習の後、
２回目の試験 をしました。
復習の際に、「講義ノート」の間違い（ $1/(x^3+1)$ の不定積分の計算）を指摘していただきました。
きちんと見ている人が何人もおられるようで、心強い限りです。

いろいろ忙しくてまだ採点はしておりませんが、来週木曜日までには何とか掲示したいと思っております。
あと、記録として書いておくと、GPAがらみで、Fと欠の基準を公表せよというのがありました。
成績は４回の試験１００％であるので、受けた試験の配点の合計が合格点以上であればF,
そうでなければ欠という評価になります。たとえば、中テスト１回と期末テストだけを受けて、１０点に達しなかった人は、
4 + 8 > 10
なので、F と判定します。
一方、中テストを２回だけ受けて他の２回を欠席した場合は、
4 + 4 < 10
なので、欠となります。

今回で、授業の中間地点ですが、いかがでしょうか。試験のできが思わしくない方は、是非
来週の４校時にある学習相談日に理A３４９へどうぞ。

先週の日誌で何を怒っていたのか、夏休みが増えてラッキーと思っている人には言っても詮ないことだ。

採点が終わりました。掲示は、６月１日午後にでも。
試験の講評：
$\fbox{1}$ (i) 説明を書かぬ（書けぬ？）者、あと絶たず。
(ii)
$\arcsin(-1/2)$ の値がおかしくなっている人、多数。
\[x = \arcsin(-1/2) \Longleftrightarrow \sin x = -1/2\ (-\pi/2 \leq x \leq \pi/2)\]
が何故に解けぬ。
不定積分の計算で、検算をせぬ者、これもまた多し。
$(\sqrt{1-x^2})'$ の計算は、一瞬だろうに。
$\fbox{2}$ の出来も半々くらい。少し、ねじを巻き直すべきか。

### 学習相談(6/2)

まてど暮らせど、相談者なし。当然のことかもしれないが。
あとは、自己責任ということだなあ。

### 一次・二次の近似式(6/9)

今日から、後半戦です。
暑くなりました、蒸す暑さと言うのか、邪悪な暑さというのか。
皆さん、うちわでしのいでましたね。
試運転、始まらないかな。

さて、今日は近似式の話をしました。一次と二次だけですが、それでも大事なことは伝わるはず、
の桜桃忌。この近似式の話を何故に中心の一つに据えぬのかと思ってまして、
今も思っています。$\epsilon$-$\delta$ なんかよりも優先度が高いもののはずですが、
なぜかそうなっていない不思議。
その $\epsilon$-$\delta$ ですが、気になる人はとりあえず、
実数論
でも見ておいて下さい。
授業の進度予定の変更について書いておきます。
７月２８日予定の期末試験は、７月２１日に繰り上げ。
７月２１日に予定していた授業は、取りやめ。
その代わりの補講はせず、レポートによる点検作業にて代替。

授業の後で、誤差項の積分表示をどのような意図で捻出したのかわからないという質問を受けましたが、
これは、正直なところなかなか答え難いところがありまして、
多分、運良く思いついたとしか言いようがない気がします。
数学といえども、全てが必然で進行するものでもなく、
時に神様の気まぐれがそうさせたとしか説明できないようなこともままあります。
来週、その続きの話がありますので、その後にでも、もう一度感想を聞かせていただければ、
とも思っております。

今週のレポート課題は、問３８です。
\[
\int_a^x f''(t)(x-t)\, dt
\]
の評価で出てきた $M$ の値は、正確に求めるというよりは、
\[
|\sin t| \leq |t|
\]
を利用してその上限を見積もってみて下さい。

### Taylor の公式(6/16)

今日は、雨で湿度が高いながら、気温は２５度くらいでしょうか、先週よりもましでした。

前回の近似式の話を受けて、その一般化を説明しました。
途中で、近似式の誤差項の表示にいわゆるランダウの記号を使用しましたが、
説明が十分でなかったようで、授業後に指摘を受けましたので少し補足してみます。
ランダウ記号は、ある特定の点の近くでの関数の振る舞い（性質）を表すものです。
ということで、$x=a$ の近くでの様子であれば、適当な $\delta>0$ を選んでおいて、
$|x-a| \leq \delta$ となる範囲での性質を考えることになります。
そこで、
\[
M = \text{「$|f^{(n+1)}(t)|$ の $|t-a| \leq \delta$ での最大値」}
\]
とおくと、$|x-a| \leq \delta$ である限り、
\[
\left|
\int_a^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n\, dt
\right|
\leq \frac{M}{n+1} |x-a|^{n+1}
\]
がわかります。このように修正してください。そうすることで、$M$ が $|x-a| \leq \delta$ をみたす
$x$ に依存しない定数 ($a$, $\delta$ には依存します）となります。

あと、来週提出のレポート問題を指定するのも忘れてしまったので、
遅ればせながら、ここに書いておきます。
問５３にある $\sqrt{\cos x}$ のテーラー近似を求める問題をレポートにまとめておいて下さい。

最後に、来週は、極限計算の例題から再開です。

### Taylor 展開(6/23)

今日は梅雨の晴れ間、エアコンの試運転に救われました。

先週の内容を受けてテイラー近似式の極限への応用、それからテイラー展開・テイラー級数まで説明しました。
来週は、３回目の試験をします。
範囲は、過去３回分ですが、とくに、一次近似式とその誤差の積分表示の意味・使い方、
テイラー近似式の具体的な求め方とそれを使った極限計算、の辺りを復習しておいて下さい。

さて、基本となった表示式
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(a)(x-a)^n
+ \frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\, dt
\]
は、普通、テイラーの公式（あるいは定理）と呼ばれるのですが、
テイラーさんは、このような内容を扱っておりません。
不当表示です。少なくとも誇大表示ではあります。
授業では、これをベルヌーイによるものと紹介しましたが、
これも間違いでした。お詫びして訂正します。

誰がこのようなうまい表示を見つけたのかはっきりしないのですが、
コーシーが1823年に著した無限小解析要論という教科書には載っていました。
そこでは、くり返し積分を書きなおして公式を導いているのですが、
Gaspard de Prony の1805年の論文に部分積分を使った直接的導出がある旨、引用してありました。
Gaspard de Prony という人は、水力学の専門家ですが、こういった数学的な内容の仕事もあったようです。
ということで、de Prony の公式と呼んでよいのかも知れません。
証明自体は、多少の工夫はあるものの、部分積分を繰り返すだけなので、
Johann Bernoulli か、少なくとも Euler 辺りが導いていてもおかしくないのですが、
やはり、Lagrange の時代まで待つ必要があったのでしょう。機が熟すれば、いろいろ思いつくひとも現れる
ということのようです。人は時代にしばられる、ほんのひと握りの化物を除いて。

なお、ベルヌーイが扱ったのは、やはり部分積分を繰り返すのですが、
\[
\int f(x)\, dx
= xf(x) - \frac{x^2}{2} f'(x) + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n!} f^{(n-1)}(x)
+ (-1)^n \frac{1}{n!} \int x^n f^{(n)}(x)\, dx
\]
という工夫も何もない（というのは言い過ぎか）不定積分の等式でした。

### 試験３(6/30)

今日もエアコンの試運転がありましたが、試験をすると人が増え、発熱量が増し、やはり暑かったですね。
室温は、２８度くらいだったでしょうか。
早いもので、
３回目の試験をしました。
少しだけ、講評しておくと、$\fbox{1}$ の説明問題で、
\[
f(a) + f'(a)(x-a)
\]
を一次の近似式、
\[
\int_a^x f''(t)(x-t)\, dt
\]
を誤差項という、
と書いただけでは、ほとんど何も説明したことになりません。
言葉の定義を書いただけです。その意味を説明しないと。
具体例も含めて誤差項の使い方（大きさの見積もり方）まで書きます。

### 広義積分(7/7)

今日は一日雨でした。梅雨空もどれり。
でも、紫陽花は、無残な姿になりつつあるので、夏はすぐそこなのでしょう。

ということで、広義積分の講義です。
今日扱ったものは、すべて絶対収束するものでした。本当に積分と呼べるのは、
この場合なので、まずはこれで十分かと思います。
フレネル積分とかの「怪しい」広義積分は、必要になったときに、
改めて勉強されるとよいでしょう。

広義積分については、値を具体的に計算するあるいは収束発散の判定をする際に、
しばしば、
無限大あるいは無限小のスピードを見積もる必要が出てきます。
ということで、４月初め頃の授業内容も復習おきましょう。
最後に、ガンマ関数について少しだけ見ました。
ガンマ関数は、階乗を補間するものとして重宝なものですが、
実は、ゼータ関数を通じて素数とかとも関係する味わい深いものでもあります。

去年は、この時期に、ガウス積分の計算を解説したものですが、
猫に小判鮫、反応がいま一つだったので、匂わすだけのうなぎかな。
懐かしきは、いまはなき大観楼の大広間、品川屋の二階。

### 級数の収束・発散(7/14)

知らぬ間に、梅雨があけてました。長い夏が始まったようです。

今日は、期末試験前の最後の授業。授業アンケートもしました。
級数の収束では、絶対収束と条件収束、この２つの意味の違いに注意しましょう。。
「総和」の感覚に合致するのは、絶対収束の場合です。
条件収束の特徴として、値が和をとる順序によるという点があります。
これの実例を挙げるつもりが忘れてしまいました。
授業資料の例8.17でぜひ補っておいて下さい。

来週の試験は、場所がC25です。ご注意下さい。
試験範囲は、前回の試験後に講義した範囲から２題、過去３回の試験範囲のうち出来が悪かったところから２題。
合計４題を約９０分で行います。

### 試験４(7/21)

今日は、いつもよりも広い教室で
最終試験をしました。
と書いてから、早一週間がすぎ、最終成績がでましたので、いつもの場所に掲示を依頼しておきました。
疑問点がある場合は、至急ご連絡下さい。
試験結果については、いろいろ講評したい点もあるのですが、今は時間がとれないため、
これだけにしておきます。
それでは、熱き夏を満喫されますよう。

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