命題１５：共役な向かい合った切断面の一つに接する直線が交わり、直径が接点を通って引かれ、任意の点を共役な切断面の一方のどこかにとり、そこから接線に平行な直線を直径まで引くならそれらによって切断面につくられた三角形は、底辺として接線を頂点として向かい合った切断面の中心を持つ三角形だけ中心につくられた三角形より大きい。
共役なった切断面ＡＢ、ＧＳ、Ｔ、Ｘがある。その中心はＨで、ＡＤＥ、ＢＤＣは切断面ＡＢに接する。直径ＡＨＦＷ、ＢＨＴが接点Ａ、Ｂを通って引かれ、任意の点Ｓを切断面ＧＳ上にとる。それを通って、ＳＦＬはＢＣに、ＳＵはＡＥに平行に引く。
三角形ＳＵＬ＝三角形ＨＬＦ＋三角形ＨＣ
なぜなら、ＸＧＨはＨを通りＢＣに平行に、ＫＩＧはＧを通りＡＥに平行に、ＳＯはＢＴに平行に引くとする。
すると、ＸＧがＢＴに共役な直径になり、
ＢＴに平行なＳＯはＨＧＯの縦線方向に引かれ(最初の定義,Ⅰ.6)、
ＳＬＨＯは平行四辺形になることは明らか。(Ⅱ.20)
それから、ＢＣは接し、ＢＨは接点を通り、ＡＥは別の接線である。
ＤＢ：ＢＥ＝ＭＮ：２ＢＣ　　となるように工夫する。
したがって、ＭＮはいわゆるＢＴ上の図形の直立辺である。(Ⅰ.50)
ＭＮはＰで二等分される。
したがって、ＤＢ：ＢＥ＝ＭＰ：ＢＣ すると、
ＸＧ：ＴＢ＝ＴＢ：Ｒ　と工夫する。　　　（α）
すると、ＲもいわゆるＸＧにあてはまる図形の直立辺になる。(Ⅰ.16,60)
それから、　ＤＢ：ＢＥ＝ＭＰ：ＢＣ　　　　　　　　　（β）
しかし、　　ＤＢ：ＢＥ＝ＤＢ２：ＤＢ・ＢＥ
そして、　　ＭＰ：ＢＣ＝ＭＰ・ＢＨ：ＣＢ・ＢＨ
したがって、ＤＢ２：ＤＢ・ＢＥ＝ＭＰ・ＢＨ：ＣＢ・ＢＨ
そして、　　ＭＰ・ＢＨ＝ＨＧ２
なぜなら、　ＸＧ２＝ＴＢ・ＭＮ　（Ⅰ.16）　　　　　　（γ）
そして、　　ＭＰ・ＢＨ＝１／４・ＴＢ・ＭＮ
そして、　　ＨＧ２＝１／４・ＸＧ２
したがって、ＤＢ２：ＤＢ・ＢＥ＝ＨＧ２：ＣＢ・ＢＨ
１つおきに、ＤＢ２：ＨＧ２＝ＤＢ・ＢＥ：ＣＢ・ＢＨ
しかし、　　ＤＢ２：ＨＧ２＝三角形ＤＢＥ：三角形ＧＨＩ
というのは、それらは相似で
ＤＢ・ＢＥ：ＣＢ・ＢＨ＝三角形ＤＢＥ：三角形ＣＢＨ
したがって、三角形ＤＢＥ：三角形ＧＨＩ＝三角形ＤＢＥ：三角形ＣＢＨ
したがって、三角形ＧＨＩ＝三角形ＣＢＨ
さらに、　　ＨＢ：ＢＣ＝（ＨＢ：ＭＰ）（ＭＰ：ＢＣ）
しかし、　　ＨＢ：ＭＰ＝ＴＢ：ＭＮ＝Ｒ：ＸＧ　　（上述,αとγ）
そして、　　ＭＰ：ＢＣ＝ＤＢ：ＢＥ　　（上述,β）
したがって、ＨＢ：ＢＣ＝（ＤＢ：ＢＥ）（Ｒ：ＸＧ）
そして、　　ＢＣがＳＬに平行で、三角形ＨＣＢが三角形ＨＬＦに相似だから、
ＨＢ：ＢＣ＝ＨＬ：ＬＦ
したがって、ＨＬ：ＬＦ＝（Ｒ：ＸＧ）（ＤＢ：ＢＥ）
または、　　ＨＬ：ＬＦ＝（Ｒ：ＸＧ）（ＨＧ：ＨＩ）
それから、ＧＳは直径としてＸＧを直立辺としてＲを持つ双曲線で、任意の点ＳからＳＯを縦線方向に引き、半径ＨＧ上に図形ＨＩＧを描き、縦線ＳＯまたはＨＧに図形ＨＩＧを描き、中心と縦線間の直線ＨＯまたはＳＬ上に、図形ＨＩＧに相似に描かれた図形ＳＬＵに等しく、半径上に描く。
それらはすでに与えられた複合比である。
したがって、三角形ＳＬＵ＝三角形ＨＬＦ＋三角形ＨＣＢ　　（Ⅰ.41）

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