命題３７：双曲線、楕円、円に接している直線が直径に交わり接点から直径へ縦線方向に直線を下ろす。すると、切断面の中心から縦線で切り取った直線は切断面の中心から接線で切り取られた直線とでもつ面積は切断面の半径上の正方形に等しい。そして、縦線と接線の間の直線とで持つ面積は、横軸辺が通径に対する比を縦線上の正方形に対して持つ。
直径が直線ＡＢの双曲線、楕円、円があり、直線ＣＤを接線とし、直線ＣＥは縦線方向に下ろし、点Ｆを中心とする。
ＤＦ・ＦＥ＝ＦＢ２
ＤＥ・ＥＦ：ＥＣ２＝横軸辺：直立辺　　である。
なぜなら、ＣＤは切断面に接し、ＣＥは縦線方向に下ろしたから、
よって、　　ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＢ　（Ⅰ.36）
したがって、（加比の理）ＡＤ＋ＤＢ：ＤＢ＝ＡＥ＋ＥＢ：ＥＢ
そして、前の項の半分をとる。（ユークリッド.Ⅴ.15）
双曲線の場合 （ＡＥ＋ＥＢ）／２＝ＦＥ
そして、　　ＡＢ／２＝ＦＢ
したがって、ＦＥ：ＥＢ＝ＦＢ：ＢＤ
したがって、（除比の理）ＦＥ：ＦＢ＝ＦＢ：ＦＤ
したがって、ＥＦ・ＦＤ＝ＦＢ２
ＦＥ：ＥＢ＝ＦＢ：ＢＤ＝ＡＦ：ＢＤ
１つおきに、ＡＦ：ＦＥ＝ＤＢ：ＢＥ
加比の理　　ＡＥ：ＥＦ＝ＤＥ：ＥＢ
そこで、　　ＡＥ・ＥＢ＝ＦＥ・ＥＤ
しかし、　　ＡＥ・ＥＢ：ＣＥ２＝横軸辺：直立辺　（Ⅰ.21）
したがって、ＦＥ・ＥＤ：ＣＥ２＝横軸辺：直立辺
そして、楕円の場合 （ＡＤ＋ＤＢ）／２＝ＤＦ
そして、　　ＡＢ／２＝ＦＢ
したがって、ＦＤ：ＤＢ＝ＦＢ：ＢＥ
したがって、（除比の理）ＤＦ：ＦＢ＝ＢＦ：ＦＥ
したがって、ＤＦ・ＦＥ＝ＢＦ２
しかし、　　ＤＦ・ＦＥ＝ＤＥ・ＥＦ＋ＦＥ２　（ユークリッド.Ⅱ.3）
そして、　　ＢＦ２＝ＡＦ・ＥＢ＋ＦＥ２　（ユークリッド.Ⅱ.5）
共通なＥＦの正方形を引いて
ＤＥ・ＥＦ＝ＡＥ・ＥＢ
したがって、ＤＥ・ＥＦ：ＣＥ２＝ＡＥ・ＥＢ：ＣＥ２
しかし、　　ＡＥ・ＥＢ：ＣＥ２＝横軸辺：直立辺　（Ⅰ.21）
したがって、ＤＥ・ＥＦ：ＣＥ２＝横軸辺：直立辺

注）上のアプレットの画面をダブルクリックすると、スクロールバーがアプレット画面下部に現れます。
①作図の自動再生、②手動再生のスライドバー、③図の逆構成、④図の構成、⑤画面移動、⑥残像効果、⑦アニメーション効果、⑧図のダウンロード

アポロニウスの円錐曲線論の展示室トップへ
数学の歴史博物館