命題５３：（問題）楕円が与えられた、与えられた鋭角に等しい角で接点を通るように引かれた直径とで作る接線を引くこと、そして、与えられた鋭角が切断面の中点でそれる２直線で挟まれた角に隣接する角より小さくなるようにする。
長軸がＡＢ、短軸がＣＤ、中心がＥである与えられた楕円がある。ＡＣ、ＣＢを結び、角Ｕは角ＡＣＧより小さくないとする。そして、角ＡＣＢも角Ｙより小さくない。
したがって、角Ｕは角ＡＣＧより大きいか等しいのどちらかである。
まず、それが等しいとする。
Ｅを通ってＥＫをＢＣに平行に引き、Ｋを通ってＫＨを切断面に接するように引く。（Ⅱ.49）
ＡＥ＝ＥＢ
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＦ：ＦＣ　　から
ＡＦ＝ＦＣ
ＫＥは直径である。したがって、Ｋにおける切断面の接線はＨＫＧで、ＣＡに平行である。（Ⅱ.6）そして、ＥＫもＧＢに平行である。その結果、ＫＦＣＧは平行四辺形である。
∠ＧＫＦ＝∠ＧＣＦ
∠ＧＣＦは与えられた角に等しい。
よって、　　∠ＧＫＥ＝∠Ｕ
そこで、　∠Ｕ＞∠ＡＣＧ　　とする。
逆に、　　　∠Ｙ＜∠ＡＣＢ　　である。
円を配置し、そこから円弧を通るそれが角Ｙに等しい角ＭＮＰとする。ＭＰはＯで二等分され、ＯからＮＯＲをＭＰに直角に引き、ＮＭ、ＮＰを結ぶ。
その結果、　∠ＭＮＰ＜∠ＡＣＢ
しかし、　　∠ＭＮＯ＝∠ＭＮＰ／２
∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ／２
その結果、　∠ＭＮＯ＜∠ＡＣＥ
そして、Ｅ、Ｏにおける角は直角だから
ＡＥ：ＥＣ＞ＯＭ：ＯＮ
ＡＥ２：ＥＣ２＞ＯＭ２：ＯＮ２
しかし、　　ＡＥ２＝ＡＥ・ＥＢ
ＭＯ２＝ＭＯ・ＯＰ＝ＮＯ・ＯＲ（ユークリッド.Ⅲ.35）
したがって、ＡＥ・ＥＢ：ＥＣ２　または　横軸直径：通径＞ＲＯ：ＯＮ　（Ⅰ.21）
そして、　　横軸直径：通径＝ＱＡ'：Ａ'Ｘ'とする
ＱＸ'はＹ'で二等分される。
横軸直径：通径＞ＲＯ：ＯＮ　　より
ＱＡ'：Ａ'Ｘ'＞ＲＯ：ＯＮ
ＱＸ'：Ｘ'Ａ'＞ＲＮ：ＮＯ
円の中心をＷとする
Ｙ'Ｘ'：Ｘ'Ａ'＞ＷＮ：ＮＯ
Ａ'Ｙ'：Ａ'Ｘ'＞ＷＯ：ＯＮ
そこで、　　ＡＹ'：Ａ'Ｘ'＝ＷＯ：ＯＮより小さいもの
ＩＯのようなものを工夫する。ＩＸ、ＸＴ、ＷＺは平行に引かれ、
Ａ'Ｙ'：Ａ'Ｘ'＝ＷＯ：ＯＩ＝ＺＳ：ＳＸ
Ｙ'Ｘ'：Ｘ'Ａ'＝ＺＸ：ＸＳ
前項を２倍してＱＸ'：Ｘ'Ａ'＝ＴＸ：ＸＳ
ＱＸ'：Ａ'Ｘ'　または　横軸直径：通径＝ＴＳ：ＳＸ
そこで、ＭＸ、ＸＰを結び、角ＡＥＸを直線ＡＥ上のＥにおいて角ＭＰＸと等しくなるように作図する。Ｋを通って、切断面に接するように引く。（Ⅱ.49）ＫＬは縦線方向に引かれる。
∠ＭＰＸ＝∠ＡＥＫ　と
Ｓでの直角＝Ｌでの直角　より
△ ＸＳＰと△ＫＥＬは等角である。
そして、　　横軸直径：通径＝ＴＳ：ＳＸ
＝ＴＳ・ＳＸ：ＳＸ２
＝ＭＸ・ＳＰ：ＳＸ２
その結果、△ＫＬＥは△ＳＸＰと△ＭＸＰは△ＫＨＥと相似である。
その結果、　∠ＭＸＰ＝∠ＨＫＥ
しかし、　　∠ＭＸＰ＝∠ＭＮＰ＝∠Ｙ
そして、　　∠ＨＫＥ＝∠Ｙ　　である。
したがって、∠ＧＫＥに隣接する角＝∠Ｕに隣接する角
したがって、ＧＨは接点を通るように引かれた直径ＫＥとで与えられた角Ｕに等しい角ＧＫＥを切断面への接線とつくるように交わって引かれる。
これがやるように要求されたことである。
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