命題３４：双曲線、楕円、円上に任意の点をとり、そこから縦線方向に直線を下ろす。図形上の横軸辺の端から縦線によって切られる直線が互いに持つ比がどんなであろうとも横軸辺の長さが互いに持つ比に頂点からの長さが一致するようにとる。すると、横軸辺上と切断面上にとった点を結ぶ直線は切断面に接する。
直径が直線ＡＢの双曲線、楕円、円があり、点Ｃを切断面上にとり、Ｃから直線ＣＤを縦線方向に下ろし、ＢＤ：ＤＡ＝ＢＥ：ＥＡ　となるように工夫し、直線ＥＣを結ぶ。
直線ＣＥは切断面に接する。
なぜならば、もし可能なら、直線ＥＤＦとして交わるとする。
その上に任意の点Ｆをとる。
直線ＧＦＨは縦線方向に下ろされ、
直線ＡＬ、ＢＫはＡ、Ｂを通って直線ＥＣに平行に引く。
直線ＤＣ、ＢＣ、ＧＣを結び、点Ｍ、Ｘ、Ｋまで延長する。
ＢＤ：ＤＡ＝ＢＥ：ＥＡ　から
しかし　　　ＢＤ：ＤＡ＝ＢＫ：ＡＮ
ＢＥ：ＡＥ＝ＢＣ：ＣＸ＝ＢＫ：ＸＮ　（ユークリッド.Ⅵ.4）
したがって、ＢＫ：ＡＮ＝ＢＫ：ＸＮ
したがって。ＡＮ＝ＮＸ ＡＮ・ＮＸ＞ＡＯ・ＯＸ　（ユークリッド.Ⅵ.27；Ⅱ.5）
したがって、ＮＸ：ＸＯ＞ＯＡ：ＡＮ
しかし、　　ＮＸ：ＸＯ＝ＫＢ：ＢＭ　（ユークリッド.Ⅵ.4）
したがって、ＫＢ：ＢＭ＞ＯＡ：ＡＮ
したがって、ＫＢ・ＡＮ＞ＢＭ・ＯＡ
ＫＢ・ＡＮ：ＣＥ２＞ＢＭ・ＯＡ：ＣＥ２　（ユークリッド.Ⅴ.8）
しかし、三角形ＢＫＤ、ＥＣＤ、ＡＮＤの相似から
ＫＢ・ＡＮ：ＣＥ２＝ＢＤ・ＤＡ：ＤＥ２
ＢＭ・ＯＡ：ＣＥ２＝ＢＧ・ＧＡ：ＧＥ２
したがって、ＢＤ・ＤＡ：ＤＥ２＞ＢＧ・ＧＡ：ＧＥ２
したがって、１つおきに
ＢＤ・ＤＡ：ＢＧ・ＧＡ＞ＤＥ２：ＧＥ２　（Ⅰ.21）
しかし、　　ＢＤ・ＤＡ：ＡＧ・ＧＢ＝ＣＤ２：ＧＨ２　（ユークリッド.Ⅵ.4）
したがって、ＣＤ２：ＨＧ２＞ＣＤ２：ＦＧ２
その結果、　ＨＧ＜ＦＧ　（ユークリッド.Ⅴ.10）
これはあり得ない、
したがって、直線ＥＣは切断面と交わらない。
よって、接する。

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