命題４：垂直な向かい合った表面のどちらか一方が表面を作り出す直線が沿って動く円に平行な任意の平面によって切断されるなら、その表面の内側の切断された平面は軸上に中心を持つ円で、円と切断面によって切り取られた頂点側の円錐面によって囲まれた図形は円錐である。

頂点がＡで、表面を作る直線が沿って動く円ＢＣの円錐面がある。円ＢＣに平行な任意の平面によって切断する。切断された部分として曲線ＤＥを表面につくる。

曲線ＤＥは軸上に中心をもつ円である。

円ＢＣの中心としてＦをとり、ＡＦを結ぶ。それゆえにＡＦは軸であり（定義１）、切断面に出会う。その点をＧとし、ＡＦを通る任意の平面を延長する。切断面は三角形ＡＢＣである。（Ⅰ.3）点Ｄ、Ｇ、Ｅは切断面の点であり、三角形ＡＢＣの平面の点でもある。だからＤＧＥは直線である。（ユークリッド.ⅩⅠ.3）

任意の点Ｈを曲線ＤＥ上にとり、ＡＨを結び延長する。すると円周ＢＣ上を通る。（Ⅰ.1）それがＫ交わる。ＧＨ、ＦＫを結ぶ。平行な２平面ＤＥとＢＣは平面ＡＢＣで切断されるから、その共通な切断部分は平行である。（ユークリッド.ⅩⅠ.16）したがって直線ＤＥは直線ＢＣに平行である。そして、同じ理由により直線ＧＨも直線ＫＦに平行である。

したがって、ＦＡ：ＡＧ＝ＦＢ：ＤＧ
＝ＦＣ：ＧＥ
＝ＦＫ：ＧＫ（ユークリッド.Ⅵ.4）
そして、　　ＢＦ＝ＫＦ＝ＦＣ
したがって、ＤＧ＝ＧＨ＝ＧＥ　（ユークリッド.Ⅴ.9）
同様に曲線ＤＥ上の点Ｇから引かれた全ての直線がお互いに等しいことも示すことができる。
それゆえに、曲線ＤＥは軸上に中心を持つ円である。 明らかに、円ＤＥと円によって切断された点Ａ側の円錐面とで挟まれた図形は円錐である。
その上、切断された部分と軸三角形（軸を通る三角形）の共通部分が円の直径であることが証明された。

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