命題５２：もし、楕円に接する直線が接点を通るように引かれた直径と角を作るなら、切断面の中点でそれる２直線で挟まれた角に隣接した角より小さくない。
軸がＡＢ、ＣＤで中心Ｅの楕円がある。ＡＢを長軸、直線ＧＦＬが切断面に接するとする。ＡＣ、ＣＢ、ＦＥを結び、ＢＣをＬまで延長する。
角ＬＦＥは角ＬＣＡ以上である。
なぜなら、ＦＥはＬＢに平行であるかそうでないかのどちらかである。
最初は平行であるとする。
ＡＥ＝ＥＢ
その結果、　ＡＨ＝ＨＣ　　　　　　　でもある。
そして、ＦＥは直径でＦにおける接線はＡＣに平行である。（Ⅱ.6）しかし、ＦＥはＬＢにも平行、したがって、ＦＨＣＬは平行四辺形、
したがって、∠ＬＦＨ＝∠ＬＣＨ
そして、ＡＥとＥＢはともにＥＣより大きい。∠ＡＣＢは鈍角であるから、したがって、∠ＬＣＡは鋭角である。そして、∠ＬＦＥもそうである。だから、∠ＧＦＥは鈍角である。
そこで、ＥＦがＬＢに平行でないとする。
垂線ＫＦを引く。その結果∠ＬＢＥは∠ＦＥＡに等しくない。
しかし、　　Ｅでの直角＝Ｋでの直角
したがって、ＢＥ２：ＥＣ２＝ＥＫ２：ＫＦ２　は正しくない
しかし、　　ＢＥ２：ＥＣ２＝ＡＥ・ＥＢ：ＥＣ２
＝横軸直径：通径　　（Ⅰ.21）
横軸直径：通径＝ＧＫ・ＫＥ：ＫＦ２　（Ⅰ.37）
したがって、ＧＫ・ＫＥ：ＫＦ２＝ＫＥ２：ＫＦ２　　は正しくない
したがって、ＧＫはＫＥに等しくない。角ＡＣＢに等しく認められた角を円弧ＭＵＮに割り付ける。（ユークリッド.Ⅲ.33）角ＡＣＢは鈍角である。したがって、ＭＵＮは半円より小さい円弧である。（ユークリッド.Ⅲ.31）
そこで、　　ＧＫ：ＫＥ＝ＮＸ：ＸＭ　　　となるように工夫する。
そして、Ｘから直角にＵＸＹを引き、ＮＵ、ＵＭを結ぶ。ＭＮはＴで二等分され、ＯＴＰを直角に引く。すると、それは直径になる。中心はＲ、そこから、垂線ＲＳを引き、ＯＮとＯＭを結ぶ。すると、　　　∠ＭＯＮ＝∠ＡＣＢ
そして、ＡＢ、ＭＮは二等分されている。一方はＥで、他方はＴである。そして、Ｅ、Ｔでの角は直角である。その結果、△ＯＴＮと△ＢＥＣは相似である。
したがって、ＴＮ２：ＴＯ２＝ＢＥ２：ＥＣ２
ＴＳ＝ＳＸ　　から
ＲＯ＞ＳＵ
その結果、　ＲＯ：ＴＲ＞ＳＵ：ＳＸ
ＲＯ：ＯＴ＜ＳＵ：ＵＸ
前項を２倍して、ＰＯ：ＯＴ＜ＹＵ：ＵＸ
ＰＴ：ＴＯ＜ＹＸ：ＵＸ
しかし、　　ＰＴ：ＴＯ＝ＴＮ２：ＴＯ２
＝ＢＥ２：ＥＣ２
＝横軸直径：通径　　（Ⅰ.21）
横軸直径：通径＝ＧＫ・ＫＥ：ＫＦ２　（Ⅰ.37）
その結果、　ＧＫ・ＫＥ：ＫＦ２＜ＹＵ：ＸＵ
＜ＹＸ・ＸＵ：ＸＵ２
＜ＮＸ・ＸＭ：ＸＵ２
もし、　　　ＧＫ・ＫＥ：ＫＦ２＝ＭＸ・ＸＮ：何か　　　と工夫すると、
それは、ＸＵの平方より大きい、それをＸＷの平方とする。
それより、　ＧＫ：ＫＦ＝ＮＸ：ＸＭ
とＫＦとＹＷは垂直だから
ＧＫ・ＫＥ：ＫＦ２＝ＭＸ・ＸＮ：ＸＷ２
その結果、　∠ＧＦＥ＝∠ＭＷＮ
したがって、∠ＭＵＮ　または　∠ＡＣＢ＞∠ＧＦＥ
隣接した∠ＬＦＨは∠ＬＣＨより大きい
したがって、∠ＬＦＨは∠ＬＣＨより小さくない。
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