命題５４：互いに垂直な端のある直線が与えられ、その内の一つが、直角の一辺上に延長され延長された直線上に直線と同じ平面内に双曲線と呼ばれる円錐の切断面を見いだす。
延長された直線は切断面の直径で、角における点は頂点でそこでは、与えられた角に等しくなるように角を作り切断面から直径に下ろした直線の平方が、頂点から引かれる直線で切断される直線を幅として持ち、もう一つの直線に最初の直線によって挟まれて、同様におかれた相似の図形だけ越えてあてはまる矩形に等しい。
お互いに垂直な端のある２直線ＡＢ、ＢＣがあるとする。ＡＢはＤに延長される。すると、ＡＢ、ＢＣを通る平面内に直径が直線ＡＢＤ、頂点がＢで通径が直線ＢＣとする双曲線を見いだすために必要とされる。そこでは、切断面からＢＤに与えられた角で下ろされた直線の平方が、Ｂからそれで切断された直線を幅として持ち、矩形ＡＢ・ＢＣに同様にある相似な図形によって越えられ、ＢＣにあてはまる矩形に等しい。
はじめに、与えられた角を直角とし、ＡＢ上に参照平面に直角に平面を描く。
円ＡＥＢＦをＡＢに関して扇形ＡＥＢ内の円の直径の長さが扇形ＡＦＢ内の直径の長さに対して持つ比がＡＢのＢＣに対してよりも大きくならないようにその中に描く。
ＡＥＢはＥで二等分され、直線ＥＫはＥから直線ＡＢに垂直に引かれ、Ｌに延長される。
したがって、直線ＥＬは直径である。（ユークリッド．Ⅲ.1）
そして、　　ＡＢ：ＢＣ＝ＥＫ：ＫＬ　なら点Ｌを用いて、
そうでないなら、
ＡＢ：ＢＣ＝ＥＫ：ＫＭ、
ＫＭ＜ＫＬ　と工夫する。（ユークリッド.Ⅴ.8）
Ｍを通って、ＭＦをＡＢに平行に引き、ＡＦ、ＥＦ、ＦＢを結ぶ。
Ｂを通ってＢＸをＦＥに平行に引く。
それで、　　∠ＡＦＥ＝∠ＥＦＢ
しかし、　　∠ＡＦＥ＝∠ＡＸＢ
そして、　　∠ＥＦＢ＝∠ＸＢＦ
したがって、∠ＸＢＦ＝∠ＦＸＢ
したがって、ＦＢ＝ＦＸ
頂点が点Ｆで底面が△ＢＦＸに直角な直径ＢＸに関する円である円錐を考え出すとする。
すると、円錐は直円錐である。
なぜなら、 　ＦＢ＝ＦＸ すると、直線ＢＦ、ＦＸ、ＭＦを延長し、円錐が円ＢＸに平行な平面によって切断されるとする。
すると、切断面は円である。（Ⅰ.4）
それを円ＧＰＲとする。
そして、ＧＨが円の直径である。（Ⅰ.4.最後）
そして、直線ＰＤＲは円ＧＨと参照平面の共通部分である。
そして、ＰＤＲは直線ＧＨ、ＤＢの両方に垂直になる。
なぜなら、円ＸＢとＨＧの両方は三角形ＦＧＨに垂直である。
そして、参照平面は三角形ＦＧＨに垂直である。
そして、その結果共通な部分の直線ＰＤＲは三角形ＦＧＨに垂直である。
したがって、同じ平面内でそれに接し（交わる）すべての直線にも直角になる。
底面が円ＧＨで、頂点がＦの円錐は三角形ＦＧＨに垂直な平面によって切断される。
直線ＧＤＨに垂直な直線ＰＤＲ内で参照平面によって切断され、参照平面と三角形ＧＦＨの共通な部分である直線ＤＢはＢの方向に延長され、直線ＧＦとＡで交わる。
したがって、まえにすでに示された（Ⅰ.12）ことによって、切断面ＰＤＲは頂点が点Ｂである双曲線である。
そこではＢＤに縦線方向に引いた直線は直角に下ろされる。
というのは、それらは直線ＰＤＲに平行であるから
ＡＢ：ＢＣ＝ＥＫ：ＫＭ
ＥＫ：ＫＭ＝ＥＮ：ＮＦ＝ＥＮ・ＮＦ：ＮＦ２
したがって、ＡＢ：ＢＣ＝ＥＮ・ＮＦ：ＮＦ２
ＥＮ・ＮＦ＝ＡＮ・ＮＢ
その結果　　ＡＢ：ＣＢ＝ＡＮ・ＮＢ：ＮＦ２
しかし、　　ＡＮ・ＮＢ：ＮＦ２＝（ＡＮ：ＮＦ）（ＮＢ：ＮＦ）
ＡＮ：ＮＦ＝ＡＤ：ＤＧ＝ＦＯ：ＯＧ
ＢＮ：ＮＦ＝ＦＯ：ＯＨ
したがって、ＡＢ：ＢＣ＝（ＦＯ：ＯＧ）（ＦＯ：ＯＨ）
すなわち、　　　　　　＝ＦＯ２：ＯＧ・ＯＨ
直線ＦＯは直線ＡＤに平行である。
それゆえに、直線ＡＢは横軸辺でＢＣは通径である。
なぜなら、これらのことは命題１２で示されている。（Ⅰ.12）

注）上のアプレットの画面をダブルクリックすると、スクロールバーがアプレット画面下部に現れます。
①作図の自動再生、②手動再生のスライドバー、③図の逆構成、④図の構成、⑤画面移動、⑥残像効果、⑦アニメーション効果、⑧図のダウンロード

アポロニウスの円錐曲線論の展示室トップへ
数学の歴史博物館