命題１６：向かい合った切断面の横軸辺の中点を通り、直線が縦線方向に引かれた直線に平行に引かれるなら、向かい合った切断面の直径はちょうど今述べた直径に共役である。

直径が直線ＡＢである向かい合った切断面がある。ＡＢがＣで二等分され、Ｃを通り直線ＣＤが縦線方向に引かれた直線に平行に引かれるとする。

直線ＣＤはＡＢに共役な直径である。
なぜなら、直線ＡＥ、ＢＦがパラメーターで、直線ＡＦ、ＢＥを結び、延長する。どちらかの切断面上に任意の点Ｇをとり、Ｇを通りＧＨをＡＢに平行に引く。Ｇ、Ｈから直線ＧＫ、ＨＬを縦線方向に引く。Ｋ、Ｌを通り、直線ＫＭ、ＬＮをＡＥ、ＢＦに平行に引く。
すると、 　　　　　　ＧＫ＝ＨＬ　　　（ユークリッド.Ⅰ.34）
したがって、ＧＫ２＝ＨＬ２
しかし、　　ＧＫ２＝ＡＫ・ＫＭ　　　（Ⅰ.12）
ＨＬ２＝ＢＬ・ＬＮ　　　（Ⅰ.12）
したがって、ＡＫ・ＫＭ＝ＢＬ・ＬＮ
ＡＥ＝ＢＦ　　から
したがって、ＡＥ：ＡＢ＝ＢＦ：ＢＡ　　　（ユークリッド.Ⅴ.7）
しかし、　　ＡＥ：ＡＢ＝ＭＫ：ＫＢ　　　（ユークリッド.Ⅵ.4）
そして、　　ＢＦ：ＢＡ＝ＮＬ：ＬＡ　　　（ユークリッド.Ⅵ.4）
したがって、ＭＫ：ＫＢ＝ＮＬ：ＬＡ
しかし、ＫＡとして共通な高さをとると
ＭＫ：ＫＢ＝ＭＫ・ＫＡ：ＫＢ・ＫＡ
ＢＬとして共通な高さをとると
ＮＬ：ＬＡ＝ＮＬ・ＬＢ：ＡＬ・ＬＢ
したがって、ＭＫ・ＫＡ：ＫＢ・ＫＡ＝ＮＬ・ＬＢ：ＡＬ・ＬＢ
一つおきに　ＭＫ・ＫＡ：ＮＬ・ＬＢ＝ＫＢ・ＫＡ：ＡＬ・ＬＢ　　（ユークリッド.Ⅴ.16）
そして、　　ＡＫ・ＫＭ＝ＢＬ・ＬＮ
したがって、ＢＫ・ＫＡ＝ＡＬ・ＬＢ ＡＫ＝ＬＢ　（注①）
しかし、　　ＡＣ＝ＣＢ
したがって、ＫＣ＝ＣＬ
そして、　　ＧＸ＝ＸＨ
したがって、直線ＧＨは直線ＸＣＤによって二等分され、そして直線ＡＢに平行である。その結果、直線ＸＣＤは直径で、直線ＡＢに共役である。（定義4,6）

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