線型代数学/ベクトル

複素数の概念は既知のものとした。ただし、複素数のことを知らない読者は、複素数に関する記述を読み飛ばしたとしても差し支えない。
n個の数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} を縦に並べて、括弧でかこんだものをn次列ベクトルとよび、次のように書く。
また、これを、横に並べたものをn次行ベクトルとよび、次のように書く。
a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} をベクトル a {\displaystyle \mathbf {a} } の成分(element)と呼び、特に a k {\displaystyle \mathbf {a} _{k}} をaの第k成分と呼ぶ。
なお、ここで並べた「数」は、体の元のことを指すが、体のことを知らなければ、実数や、複素数のことであると思って差し支えない。 成分がすべて実数のベクトルを実ベクトルと言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを複素ベクトルと言う。
Kを成分とするn次列ベクトル全体の集合を K n {\displaystyle \mathbf {K} ^{n}} で表す。
K = R {\displaystyle \mathbf {K} =\mathbb {R} } のとき R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} は実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、 K = C {\displaystyle \mathbf {K} =\mathbb {C} } のとき C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} は複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。
2つのn次列ベクトル a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } が「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、
なお、2つのn次行ベクトルについても同様に定義される。
2つのn次列ベクトル a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) , b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\\\end{pmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{pmatrix}}} について、ベクトルの和 a + b {\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} } を次のように定義する。
またn次列ベクトル a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\\\end{pmatrix}}} と定数 λ {\displaystyle \lambda } について、ベクトルの定数倍 λ a {\displaystyle \lambda \mathbf {a} } を次のように定義する。
ベクトルの成分がすべて0であるベクトル 0 = ( 0 0 ⋮ 0 ) {\displaystyle \mathbf {0} ={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}} を零ベクトルという。
ベクトルのすべての成分にマイナス1をかけたベクトル − a = ( − a 1 − a 2 ⋮ − a n ) {\displaystyle -\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}-a_{1}\\-a_{2}\\\vdots \\-a_{n}\\\end{pmatrix}}} を a {\displaystyle \mathbf {a} } の逆ベクトルという。
ベクトルの演算では以下の性質が成り立つ。
ただし、 a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } をベクトル、 λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } をスカラーとする。
以後、特に空間ベクトルについて議論する。
まずは、二次元空間上の直線を、助変数を用いて現すことを考える。
x = ( x y ) , a = ( a b ) , x 0 = ( x 0 y 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}},\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}},\mathbf {x} _{0}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\\end{pmatrix}}}
とすると、一般の直線は下の式で表される。
成分を用いて書けば、 ( x y ) = ( a b ) t + ( x 0 y 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\\end{pmatrix}}} である。 成分を用いた式を見れば、この表示によって直線が表されることの妥当性が理解しやすいだろう。
上に挙げた式を直線の助変数表示またはベクトル表示という。また、aをこの直線の方向ベクトルという。 方向ベクトルはこの直線と平行なベクトルである。 もちろん助変数表示の仕方は一つではないが、方向ベクトルはノルム1のものを選ぶと便利な事も多い。
例題
を助変数表示にせよ。
演習
ベクトル表示は座標表示に、座標表示はベクトル表示にせよ
1.6x-3y=9.5
2.x=a
3. ( x y ) = ( 1 − 1 ) t + ( 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}}
4. ( x y ) = ( − 1 − 2 ) t + ( 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-2\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}}
平面内の直線は
という式で表された。しかし、空間において
という式の表す図形は平面である。直線は2つの平行でない平面の共通部分として表される。式で書けば、
となる。この式が表す直線をベクトル表示することを考えよう。連立方程式を解く要領で
(但し, α 1 , α 2 , x 1 , x 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},x_{1},x_{2}} は定数) と書けることはすぐわかる。この式は、形式的にはxをtと置き換えることで、下のように書ける。
これが空間内の直線の助変数表示である。
例題
{ x + 2 y + 3 z = 4 5 x + 6 y + 7 z = 8 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+2y+3z=4\\5x+6y+7z=8\end{matrix}}\right.}
を助変数表示にせよ。
これを解いて、
{ y = − 2 t − 1 z = t + 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y=-2t-1\\z=t+2\end{matrix}}\right.}
よって、
x = ( x y z ) = ( 1 − 2 1 ) t + ( 0 − 1 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\-1\\2\\\end{pmatrix}}}
演習
1.
を助変数表示にせよ
前述のとおり、空間内の平面はax+by+cz=dであらわせる。今度は2つの助変数s,tを導入することで、同様にして
と表せる。これを平面の助変数表示という。
例題
演習
1.2x-y+3z=1を助変数表示にせよ
2.
を、直交座標表示で表せ。
1. 平面上の直線のベクトル表示
2. 空間内の直線のベクトル表示
3. 空間内の平面のベクトル表示
演習
1.
2.
と表される。これを証明せよ。
平面上の直線
を考える。この直線の方向ベクトルは
である。ここで、
というベクトルを考えると、
なので、aとこの直線は直交する。このaをこの直線の法線ベクトル(normal vector)という。
例5.1
l:x=at+x1
という直線を考える。平面内の1点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。この垂線の長さを求めよう。
pをPの位置ベクトル、x0をP'の位置ベクトルとすると、垂線の長さは
で与えられる。
まずはx0を他のベクトルを用いて表そう。P'はl上の点なので、x=x0をlの式に代入すると
となる。このベクトルがaと直交するので
これを代入して
をえる。
あとは自分自身との内積を計算するだけである。落ち着いて計算すれば
と計算される。空間内の直線についても、同じ事である。
演習 1.
2.
定義(7.1)
A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} , a = ( a c ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\c\\\end{pmatrix}}} , b = ( b d ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b\\d\\\end{pmatrix}}} の時、
| A | = | a b c d | = det A = det ( a , b ) = a d − b c {\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\det A=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=ad-bc} をAの行列式(determinant)という。
次の性質は簡単に証明できる。
a,bが線形独立⇔det(a,b)≠0
det(a,b)=-det(b,a)
det(a+b,c)=det(a,c)+det(b,c)
det(ca,b)=det(a,cb)=cdet(a,b)
|AB|=|A||B|
ここで、a,bが線形独立とは、a,bが平行でないことを表す。
関係ないと思うかもしれないが、外積の定義に必要な情報である。
aとbの張る平行四辺形の面積を求める。二ベクトルの交角をθとする。
bを底辺においたとき、高さは||a||sinθなので、求める面積Sは
S=||a||||b||sinθ
⇔S=||a||||b|| -||a||||b||cosθ
=||a||||b||-(a,b)
よって、
S = | | a | | 2 | | b | | 2 − ( a , b ) 2 {\displaystyle S={\sqrt {||\mathbf {a} ||^{2}||\mathbf {b} ||^{2}-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}}}} (7.1)
演習
a = ( a b ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}} , a ′ = ( a ′ b ′ ) {\displaystyle \mathbf {a} '={\begin{pmatrix}a'\\b'\\\end{pmatrix}}}
とすれば、 S = | | a a ′ b b ′ | | {\displaystyle S=|{\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\\\end{vmatrix}}|} .
これを証明せよ。
内積が有るなら外積もあるのでは?と思った読者待望の部ではないだろうか。(余談)
定義(7.2)
cは次の4条件を満たすとき、a,bの外積(exterior product)、あるいはベクトル積(vector product)と呼ばれ,a×b=cと表記される。
(i) a,bと直交する。
(ii) a,bは線形独立
(iii) a,b,cは右手系をなす。
(iv) ||c||が平行四辺形の面積
ここで、右手系とは、Rの単位ベクトルe1〜3が各々右手の親指、人差指、中指の上にある三次元座標系のことである。
定理(7.3)
右手座標系で、
a = ( a b c ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}} , b = ( a ′ b ′ c ′ ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\\\end{pmatrix}}}
とすると、
c = a × b = ( | b b ′ c c ′ | | a a ′ c c ′ | | a a ′ b b ′ | ) {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}}\\\end{pmatrix}}} (7.2)
(証明)
三段構成でいく。
(i)cと、aとbと直交することを示す。要するに、 (c,b)=0且(c,a)=0を示す。
(ii)||c||が平行四辺形の面積Sであることをを証明。
(iii)c,a,bが、右手座標系であることを証明。
(i)は計算するだけなので演習とする。
(ii)
||c||=(bc'-b'c)+(ac'-a'c)+(bc'-b'c)
=(a+b+c)(a'+b'+c')-(a a'+bb'+cc')=||a||^2||b||^2-(a,b)^2
||c||≧0より、式(7.1)から、
| | c | | = | | a | | 2 | | b | | 2 − ( a , b ) 2 = S {\displaystyle ||\mathbf {c} ||={\sqrt {||\mathbf {a} ||^{2}||\mathbf {b} ||^{2}-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}}}=S}
(iii)
a=e1, b=e2ならば、式(7.2)は両辺ともe3である。e1,e2を、線形独立性を崩さずに移すと、 a,b,cは右手系のまま移る。もし、左手系なら、その瞬間||c||=0となり、(中間値の定理)a、bは平行になるから、線形独立が崩れたことになる。 #
外積に関して、次の性質が成り立つ。
a×b=-b×a c(a×b)=ca×b=a×cb
a×(b1+b2)= 'a×b1+a'b2
(a1+a2)×b= 'a1×b+a2'b
定義(7.4)
A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{pmatrix}}} , a = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{1,2}\\a_{1,3}\\\end{pmatrix}}} , b = ( a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{2,1}\\a_{2,2}\\a_{2,3}\\\end{pmatrix}}} c = ( a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ) {\displaystyle \mathbf {c} ={\begin{pmatrix}a_{3,1}\\a_{3,2}\\a_{3,3}\\\end{pmatrix}}} の時、
| A | = | a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 | = det A = det ( a , b , c ) = ( a × b , c ) {\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{vmatrix}}=\det A=\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ,\mathbf {c} )} をAの行列式という。
二次の時と同様、
b,cに関しても同様
b,cに関しても同様
一番下は、大変面倒だが、確かめられる。
例題
次の二直線は捩れの位置(同一平面上にない関係)にある。この二直線に共通法線が一本のみあることをしめし、 最短距離も求めよ
l:x=at+x1
l':x=bs+x2
l.l'上の点P,Qの位置ベクトルを
p=at+x1
q=bs+x2とすると、
PQ⊥l,l'⇔(a,p-q)=(b,p-q)=0
これを式変形して、
(a,p-q)= (a,at+x1-bs-x2)
=(a,a)t-(a,b)s+ (a,x1-x2)=0
⇔(a,a)t-(a,b)s=(a,x2-x1 (7.3)
同様に、
(b,a)t-(b,b)s=(b,x2-x1 (7.4)
(7.3),(7.4)をt,sに関する連立一次方程式だと考えると、この方程式は、ちょうど一つの解の組(t0,s0)が存在する。
∵ a//b(a,bは平行、の意味)a,b≠oより、
| ( a , a ) − ( a , b ) ( b , a ) − ( b , b ) | = − [ | | a | | 2 | | b | | 2 − ( a , b ) 2 ] {\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )&-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )&-(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )\\\end{vmatrix}}=-[||\mathbf {a} ||^{2}||\mathbf {b} ||^{2}-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}]} ≠0
あとは後述する、連立二次方程式の解の公式による。(演習1)
at0+x1,bs0+x2を位置ベクトルとする点をP0,Q0とおけば、P0Q0が、唯一の共通法線である。 この線分P0Q0の長さは、l,l'間の最短距離である。そこで、
c = P 0 Q 0 → {\displaystyle \mathbf {c} ={\overrightarrow {P_{0}Q_{0}}}} (第一章「ベクトル」参照)
P1:x1を位置ベクトルとする点 Q1:x2の位置ベクトルとする点
とすれば、
x 2 − x 1 = ( P 1 Q 1 → ) = ( P 1 P 0 → ) + ( P 0 Q 0 → ) + ( Q 0 Q 1 → ) {\displaystyle \mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}=({\overrightarrow {P_{1}Q_{1}}})=({\overrightarrow {P_{1}P_{0}}})+({\overrightarrow {P_{0}Q_{0}}})+({\overrightarrow {Q_{0}Q_{1}}})}
=([x1+t0a]-[x1])
”P0の位置ベクトル↑ ↑P1の位置ベクトル”
+c+["x1"-"(x1+t0a)"]
”Q1の位置ベクトル↑ ↑Q0の位置ベクトル”
=c+t0a-s0b
よって、
(c,x2-x1)=(c,c)+t0(c,a)-s0(c,b)
a,bとcが垂直なので、(b,c)=(a,c)=0.
すなわち、(c,x2-x1)=(c,c)
c=k(a×b) (k≠0)
c≠oより、求める距離||c||は、
| | c | | = | | c | | 2 | | c | | = | ( c , c ) | | | c | | = | ( c , x 2 − x 1 ) | | k | | | a × b | | {\displaystyle ||\mathbf {c} ||={||\mathbf {c} ||^{2} \over ||\mathbf {c} ||}={|(\mathbf {c} ,\mathbf {c} )| \over ||\mathbf {c} ||}={|(\mathbf {c} ,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})| \over {|k|||\mathbf {a} \times {\mathbf {b} }||}}}
= | ( a × b , x 2 − x 1 ) | | | k | | | a × b | | = | det ( a , b , x 2 − x 1 ) | | | a × b | | {\displaystyle ={{|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})|} \over {||k|||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||}}={|\det(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})| \over ||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||}}
演習
1.
y = | a e c f | | a b c d | {\displaystyle y={{\begin{vmatrix}a&e\\c&f\\\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}}}} である事を示せ
2.

3.
これを示せ。
4.
5.
6.
7.

このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、行列を読まれる事を勧める。今までの内容と、密接に関係している。もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。参考文献:東京大学出版会 『基礎数学1 線型代数入門』齊藤正彦著
線型代数学でいう「空間」や「次元」は、物理的な意味の「空間」や「次元」のうち、一部の性質だけを取り出して定義した抽象的な概念である。したがって、大枠では類似しているが、物理的なイメージばかりを気にしすぎると細部の印象が異なることがある。たとえば、物理においてしばしば「空間3次元、時間1次元、合わせて4次元の線型空間である時空」を考えるが、数学的な意味での4次元線型空間は空間と時間という意味合いを持ってはおらず、単に一次独立なベクトルが4本取れるというだけの意味である。4次元線型空間の中でさらに特殊な性質を仮定したものを「ミンコフスキー空間」といい、これはただの4次元線型空間よりもより4次元時空の性質を反映したモデルだが、それでも数学的なモデルに過ぎないことに変わりはない。
一般に数学的な概念は、その定義を作る際には物理などのイメージを元に概念を作ることが多いが、ひとたび定義されたあとはそのイメージから離れて定義のみを基に議論を進めることができる。これが数学を発展させる原動力であり、また数学が汎用的に役に立つ理由である。しかし、数学の持つこのような特性は、初学者にとってはわかりにくく感じられるだろう。以上で述べたことは線型代数学に限った話ではないが、抽象的な数学理論に初めて本格的に触れるのが線型代数学という学生も多いだろうから、ここで述べておく。