制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/グラフによる安定判別

平面上の 1 点 a {\displaystyle a} と閉曲線 C {\displaystyle C} が与えられているとき, C {\displaystyle C} が a {\displaystyle a} を何回まわるか,その回転数を数えることによって,安定判別をする方法がある. 結果を述べる前に若干の準備をしておこう.
回転数
C {\displaystyle C} は a {\displaystyle a} を通らない閉曲線とする. 動点 s {\displaystyle s} が C {\displaystyle C} 上を動くとき,半直線 a s → {\displaystyle {\vec {as}}} が a {\displaystyle a} の周りを正の向き(反時計まわり)に回る回数を, C {\displaystyle C} の a {\displaystyle a} のまわりの回転数といい,
で表す.

例100 {\displaystyle \quad }
C {\displaystyle C} を単純閉曲線とすると,
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
であるから,
が成立する.ここに,複素数 s − a {\displaystyle s-a} を極表示したものを s − a = r e i θ {\displaystyle s-a=re^{i\theta }} とし,
とおいている.

定理 4.3 偏角変化量の原理 {\displaystyle \quad }
p ( s ) {\displaystyle p(s)} を n {\displaystyle n} 次の多項式, C {\displaystyle C} を s {\displaystyle s} 平面上の単純閉曲線とし, p ( s ) {\displaystyle p(s)} の根は C {\displaystyle C} 上にはないものとする.このとき, Γ {\displaystyle \Gamma } を ω = p ( s ) {\displaystyle \omega =p(s)} による C {\displaystyle C} の像,すなわち Γ := p ( C ) {\displaystyle \Gamma :=p(C)} とすると,
が成立する.
証明
とする. α i {\displaystyle \alpha _{i}} は重複していてもよい.複素数の偏角を a r g {\displaystyle \mathrm {arg} } で表すと,
よって,
となる. 上述のように, r ( C , α i ) {\displaystyle r(C,\alpha _{i})} は α i {\displaystyle \alpha _{i}} は C {\displaystyle C} の内部にあるときだけ 1 {\displaystyle 1} で, その他のときは 0 {\displaystyle 0} であるから求める結果を得る. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }


定理 4.4 {\displaystyle \quad }
において, s {\displaystyle s} が虚軸上を下から上まで動くとき, ω = p ( s ) {\displaystyle \omega =p(s)} の軌跡が ω {\displaystyle \omega } 平面の原点を通らずに,原点を n 2 {\displaystyle {\frac {n}{2}}} 回まわれば, p ( s ) {\displaystyle p(s)} の根はすべて s {\displaystyle s} 平面の左半平面に存在する.逆も成立する.
証明
左半平面を囲む半径 ∞ {\displaystyle \infty } の半円を考え,これを C {\displaystyle C} とする. C {\displaystyle C} 内に n {\displaystyle n} 個の根が存在することをいえばよい. いまこの半円 C {\displaystyle C} を虚軸上の部分 C 1 {\displaystyle C_{1}} と円弧部分 C 2 {\displaystyle C_{2}} に分け,
とする.このとき,
である. 仮定は r ( Γ 1 , 0 ) = n 2 {\displaystyle r(\Gamma _{1},0)={\frac {n}{2}}} である. さて, s ∈ C 2 {\displaystyle s\in C_{2}} のとき,
と表すと,半径 ∞ {\displaystyle \infty } (十分大)であるから ε ( s ) ≒ 0 {\displaystyle \varepsilon (s)\fallingdotseq 0} である.この偏角は,
となるが, s {\displaystyle s} が C 2 {\displaystyle C_{2}} を動くとき, a r g { 1 + ε ( s ) } {\displaystyle \mathrm {arg} \ \{1+\varepsilon (s)\}} の変化量は 0 {\displaystyle 0} である. C 2 {\displaystyle C_{2}} は s {\displaystyle s} 平面上の原点を正の方向に半周するから, n a r g s {\displaystyle n\ \mathrm {arg} \ s} の変化量は n 2 {\displaystyle {\frac {n}{2}}} である. よって,
それゆえ,
を得る.このことは p ( s ) = 0 {\displaystyle p(s)=0} の根がすべて s {\displaystyle s} 平面の左半平面に位置していることを示す.逆は明らかであろう. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例101 {\displaystyle \quad }
の場合を考えてみよう. s = i ω ( ω ∈ R ) {\displaystyle s=i\omega \quad (\omega \in \mathbf {R} )} とおき実部と虚部とに分けると,
となる. a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} なら, s {\displaystyle s} 平面の虚軸の像 Γ 1 = p ( i ω ) , − ∞ < ω < ∞ {\displaystyle \Gamma _{1}=p(i\omega ),\quad -\infty <\omega <\infty } は y {\displaystyle y} 軸に平行な直線であるから, r ( Γ 1 , 0 ) = ± 1 2 {\displaystyle r(\Gamma _{1},0)=\pm {\frac {1}{2}}} となって 不安定である.そこで a 1 ≠ 0 {\displaystyle a_{1}\neq 0} とする. 式 (4.14) から ω {\displaystyle \omega } を消去すると,
ここに,
となる. y 2 > 0 {\displaystyle y^{2}>0} であるから,
となる. いずれの場合も ω {\displaystyle \omega } が − ∞ {\displaystyle -\infty } から + ∞ {\displaystyle +\infty } へ動くとき 式 (4.14) から分かるように, y {\displaystyle y} は + ∞ {\displaystyle +\infty } から − ∞ {\displaystyle -\infty } へ動く.つまり Γ 1 {\displaystyle \Gamma _{1}} 上を上から下へ動く. したがって, a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} なら a 3 , H 2 {\displaystyle a_{3},H_{2}} がどんな値をとっても, r ( Γ 1 , 0 ) {\displaystyle r(\Gamma _{1},0)} は 3 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}} にならない. a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} のとき,原点を囲むような形となるときだけ,
が成立する.このとき,
である.すなわち,
のとき安定となる.これは Hurwitz の方法で求めたものと一致する. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
この技法は Hurwitz の方法に比べて,極めて迂遠のようであるが,自動制御理論では,フィードバック系の安定判別に用いられ,極めて有用である.

例102 {\displaystyle \quad }
の場合の安定判別を,上例にならって行い,Hurwitz の方法による結果と比較せよ.
解答例
p ( i ω ) = i ω + a 1 , ( ω ∈ R ) {\displaystyle p(i\omega )=i\omega +a_{1},\quad (\omega \in \mathbf {R} )} を実部 x {\displaystyle x} と虚部 y {\displaystyle y} とにわける.
x {\displaystyle x} は定数だから軌跡 Γ 1 {\displaystyle \Gamma _{1}} は y {\displaystyle y} に平行. a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} ならば, r ( Γ 1 , 0 ) {\displaystyle r(\Gamma _{1},0)} は時計回りに回転し,その値は − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} で不安定. a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} ならば, r ( Γ 1 , 0 ) {\displaystyle r(\Gamma _{1},0)} は反時計回りに回転し,その値は + 1 2 {\displaystyle +{\frac {1}{2}}} で n = 1 {\displaystyle n=1} より安定. これは Hurwitz の定理による結果に符合する.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例103 {\displaystyle \quad }
の場合の安定判別を,上例にならって行い,Hurwitz の方法による結果と比較せよ.
解答例
p ( i ω ) = − ω 2 + a 1 , ( ω ∈ R ) {\displaystyle p(i\omega )=-\omega ^{2}+a_{1},\quad (\omega \in \mathbf {R} )} を実部 x {\displaystyle x} と虚部 y {\displaystyle y} とにわける.
1から ω {\displaystyle \omega } を消去すると, y 2 = − a 1 2 x + a 1 2 a 2 {\displaystyle y^{2}=-a_{1}^{2}x+a_{1}^{2}a_{2}} ...2 2のグラフの形は y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} を 90°反時計回りに回転させたもので、頂点の座標は ( a 2 , 0 ) {\displaystyle (a_{2},0)} . 2が原点 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} を「取り込む」必要があるから, a 2 > 0 {\displaystyle a_{2}>0} 1の軌跡が y {\displaystyle y} の − ∞ {\displaystyle -\infty } から + ∞ {\displaystyle +\infty } まで動けば,原点の周りを反時計回りに 1 回転して n = 2 {\displaystyle n=2} より安定,すなわち a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} 条件 a 1 > 0 , a 2 > 0 {\displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0} は Hurwitz の定理とも一致する.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }