高等学校数学II/三角関数

ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。
右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。
半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。
動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。
負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。

いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。
半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに
となる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。
弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ)
扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S は
と表せる。
一般角が θ {\displaystyle \theta } の半直線と単位円が交わる円を P {\displaystyle \mathrm {P} } とする。このときの P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( cos  θ , sin  θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} とすることで、関数 sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } を定める。また、 tan  θ = sin  θ cos  θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} とすることで関数 tan  θ {\displaystyle \tan \theta } を定める。 tan  θ {\displaystyle \tan \theta } は一般角が θ {\displaystyle \theta } の動径の傾きに等しい。
また、三角関数の累乗は ( sin  θ ) n = sin n  θ {\displaystyle (\sin \theta )^{n}=\sin ^{n}\theta } と表記される。
cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} だけ平行移動したものである。
y = sin  θ {\displaystyle y=\sin \theta } や y = cos  θ {\displaystyle y=\cos \theta } の形をした曲線のことを 正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。
関数 sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } の値域はどちらも、 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} である。
右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、 直線OPと 直線x=1 との交点を T とすると、 Tの座標は
になる。
このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。
y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
y=tan θ のグラフでは、θの値が π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} に近づいていくと、 直線 θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} に限りなく近づいていく。
このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 (ぜんきんせん)という。
同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。
は y=tanθ の漸近線である。
一般に、
はy=tanθのグラフの漸近線である。
一般角が θ {\displaystyle \theta } の動径は一回転しても等しいので、一般角が θ + 2 π {\displaystyle \theta +2\pi } の動径と等しい。これより三角関数の周期性
sin  ( θ + 2 π n ) = sin  θ cos  ( θ + 2 π n ) = cos  θ tan  ( θ + 2 π n ) = tan  θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
点 ( cos  θ , sin  θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} を π {\displaystyle \pi } 回転した点 ( cos  ( θ + π ) , sin  ( θ + π ) ) {\displaystyle (\cos(\theta +\pi ),\sin(\theta +\pi ))} は原点を中心に点対称移動した点 ( − cos  θ , − sin  θ ) {\displaystyle (-\cos \theta ,-\sin \theta )} であることから
sin  ( θ + π ) = − sin  θ cos  ( θ + π ) = − cos  θ tan  ( θ + π ) = tan  θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
点 ( cos  θ , sin  θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} を x {\displaystyle x} 軸で線対称移動移動した点が ( cos  ( − θ ) , sin  ( − θ ) ) = ( cos  θ , − sin  θ ) {\displaystyle (\cos(-\theta ),\sin(-\theta ))=(\cos \theta ,-\sin \theta )} であることから
sin  ( − θ ) = − sin  θ cos  ( − θ ) = cos  θ tan  ( − θ ) = − tan  θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
単位円周上の点 ( cos  θ , sin  θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} から原点までの距離は 1 なので、 sin 2  θ + cos 2  θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が成り立つ。
また、この式に、 tan  θ = sin  θ cos  θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} つまり、 sin  θ = tan  θ cos  θ {\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta } を代入すれば、 1 + tan 2  θ = 1 cos 2  θ {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}} が成り立つことがわかる。
関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に対して、0 でない実数 p {\displaystyle p} が存在して、 f ( x + p ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+p)=f(x)} となるとき関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は周期関数という。実数 p {\displaystyle p} が上の性質を満たすとき、 − p , 2 p {\displaystyle -p,2p} など、実数 p {\displaystyle p} を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 p {\displaystyle p} の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。
sin  x , cos  x {\displaystyle \sin x,\cos x} は周期を 2 π {\displaystyle 2\pi } とする周期関数であり、 tan  x {\displaystyle \tan x} は周期を π {\displaystyle \pi } とする周期関数である。
演習問題
k {\displaystyle k} を0でない実数とする。関数 sin  k x {\displaystyle \sin kx} の周期を言え
解答
sin  k ( x + 2 π k ) = sin  k x {\displaystyle \sin k\left(x+{\frac {2\pi }{k}}\right)=\sin kx} なので答えは 2 π k {\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}} 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。
関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は偶関数という。偶関数は y {\displaystyle y} 軸に関して対称なグラフになる。
また、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
関数 cos  θ , x 2 n {\displaystyle \cos \theta ,x^{2n}} ( n {\displaystyle n} は整数)は偶関数となる。
関数 sin  x , x 2 n + 1 {\displaystyle \sin x,x^{2n+1}} ( n {\displaystyle n} は整数)は奇関数となる。
tan  θ {\displaystyle \tan \theta } は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
解答
なので、 tan  θ {\displaystyle \tan \theta } は奇関数である。
関数 y = sin  ( θ − π 3 ) {\displaystyle y=\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)} のグラフは、 y = sin  θ {\displaystyle y=\sin \theta } のグラフを θ軸方向に π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} だけ平行移動させたものになり、周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } のままである。)

関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。
ー1 ≦ sin θ ≦ 1 なので、
値域は ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2 である。
関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍に縮小したものになっている。
したがって、周期も 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍になっており、y=sinθ の周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } だから、y=sin2θ の周期は π {\displaystyle \pi } である。
三角関数の加法定理
が成り立つ。
証明
任意の実数 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } に対し、単位円周上の点 A ( cos  α , sin  α ) , B ( cos  β , sin  β ) {\displaystyle \mathrm {A} (\cos \alpha ,\sin \alpha ),\mathrm {B} (\cos \beta ,\sin \beta )} をとる。このとき、 線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } の長さの2乗 A B 2 {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}} は余弦定理を使うことにより
A B 2 = 2 − 2 cos  ( α − β ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=2-2\cos(\alpha -\beta )}
である。次に三平方の定理を使って
A B 2 = ( cos  α − cos  α ) 2 + ( sin  α − sin  β ) 2 = 2 − 2 ( cos  α cos  β + sin  α sin  β ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=(\cos \alpha -\cos \alpha )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )}
これを整理して
cos  ( α − β ) = cos  α cos  β + sin  α sin  β {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }
を得る。
cos  ( α + β ) = cos  ( α − ( − β ) ) = cos  α cos  ( − β ) + sin  α sin  ( − β ) = cos  α cos  β − sin  α sin  β {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
である。
以上をまとめて
cos  ( α ± β ) = cos  α cos  β ∓ sin  α sin  β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
を得る。
ここで、
sin  ( α ± β ) = − cos  ( α + π 2 ± β ) = − { cos  ( α + π 2 ) cos  ( β ) ∓ sin  ( α + π 2 ) sin  β } = sin  α cos  β ± cos  α sin  β {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=-\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\pm \beta )=-\{\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\cos(\beta )\mp \sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
さらに、 tan  x {\displaystyle \tan x} についても
tan  ( α ± β ) = sin  ( α ± β ) cos  ( α ± β ) = sin  α cos  β ± cos  α sin  β cos  α cos  β ∓ sin  α sin  β = sin  α cos  β cos  α cos  β ± cos  α sin  β cos  α cos  β cos  α cos  β cos  α cos  β ∓ sin  α sin  β cos  α cos  β = tan  α ± tan  β 1 ∓ tan  α tan  β {\textstyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\\&={\cfrac {{\cfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\cfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\cfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\mp {\cfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}}
が成り立つ。
加法定理を用いて以下が証明できる。
sin  2 α = sin  ( α + α ) = 2 sin  α cos  α {\displaystyle \sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }
cos  2 α = cos  ( α + α ) = cos 2  α − sin 2  α = 2 cos 2  α − 1 = 1 − 2 sin 2  α {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }
tan  2 α = 2 tan  α 1 − tan 2  α {\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}
次に、 cos {\displaystyle \cos } の倍角の公式を変形すると
sin 2  α = 1 − cos  2 α 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}
cos 2  α = 1 + cos  2 α 2 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}
である。
演習問題
解答
sin  15 ∘ = sin  ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 − 2 4 {\displaystyle \sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}
cos  15 ∘ = cos  ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 + 2 4 {\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}
tan 2  α = sin 2  α cos 2  α = 1 − cos  2 α 1 + cos  2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}
今までの定理をまとめると、次のようになる。
覚え方
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
cos {\displaystyle \cos } の倍角の公式 cos  2 θ = 2 cos 2  θ − 1 = 1 − 2 sin 2  θ {\displaystyle \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta } は ± 1 ∓ 2 a a a 2 θ {\displaystyle \pm 1\mp 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta } という形を覚えて sin {\displaystyle \sin } は符号が − {\displaystyle -} 、1 の符号はその逆と覚えます。
2乗の三角関数 sin 2  θ = 1 − cos  2 θ 2 , cos 2  θ = 1 + cos  2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} は、 1 ± cos  2 θ 2 {\displaystyle {\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}} という形を覚えて、 sin {\displaystyle \sin } は符号が − {\displaystyle -} と考えます。
三角関数の和
において、 a , b ≠ 0 {\displaystyle a,b\neq 0} のとき
{ a a 2 + b 2 } 2 + { b a 2 + b 2 } 2 = 1 {\displaystyle \left\{{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}=1} であるので、点 ( a a 2 + b 2 , b a 2 + b 2 ) {\displaystyle \left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)} は単位円周上の点なので、
となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。
演習問題
r , α {\displaystyle r,\alpha } は r > 0 , − π ≤ α < π {\displaystyle r>0,-\pi \leq \alpha <\pi } を満たすとする。
解答
sin  θ − 3 cos  θ = 2 ( 1 2 sin  θ − 3 2 cos  θ ) = 2 ( sin  θ cos  π 3 − cos  θ sin  π 3 ) = 2 sin  ( θ − π 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta &=2\left({\frac {1}{2}}\sin \theta -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta \right)\\&=2\left(\sin \theta \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos \theta \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}}
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ
となる。
加法定理
から、 (1) + (2) より
(1) - (2) より
(3) + (4) より
(3) - (4) より
が得られる。
A = α + β , B = α − β {\displaystyle A=\alpha +\beta ,\,B=\alpha -\beta } とおくと、 α = A + B 2 , β = A − B 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {A+B}{2}},\,\beta ={\frac {A-B}{2}}} である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ
が得られる。
覚え方
積→和の公式は、上2つは α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。 sin  sin {\displaystyle \sin \sin } の公式は cos  cos {\displaystyle \cos \cos } の公式の符号を2つ − {\displaystyle -} にしたものになっている。
和→積の公式は、 a a a − a a a {\displaystyle {\rm {{aaa}-{\rm {aaa}}}}} の式は a a a + a a a {\displaystyle {\rm {{aaa}+{\rm {aaa}}}}} の公式の cos {\displaystyle \cos } と sin {\displaystyle \sin } を逆にした形になっている。


(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ
1) 150 {\displaystyle 150} 2) 720 {\displaystyle 720}
(2) sin  π / 2 {\displaystyle \sin \pi /2} の値を求めよ