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制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/実変数の複素数値関数

前章では Laplace 変換,
において, f ( t ) {\displaystyle f(t)} は実変数 t {\displaystyle t} の実数値関数, s {\displaystyle s} は実数と考えた. この章では, f ( t ) {\displaystyle f(t)} としては実変数 t {\displaystyle t} の複素数値関数をも許すものとする. すなわち,
を考える.ここに g ( t ) , h ( t ) {\displaystyle g(t),h(t)} は実数値関数であり,
と呼ぶ.また, s {\displaystyle s} は実数でも,複素数でもよいが,一応複素数としておく.
以下で取り扱う複素数値関数としては,次のものが一番重要である.
ここに α {\displaystyle \alpha } は複素数である.この関数の定義を述べよう.指数関数の Taylor 展開,
が, x {\displaystyle x} が複素数 i t {\displaystyle it} であっても成り立つとすればどのような結果が得られるか考えてみよう.
ここで最右辺の式の括弧内はそれぞれ cos  t {\displaystyle \cos t} と sin  t {\displaystyle \sin t} の Taylor 展開であるから,
という関係が得られる.これを Euler の公式と呼んでいる. ここで t = π {\displaystyle t=\pi } とおくと,
となる.これも Euler の公式ということがある. この公式の発見は,当時の数学界(サロン)におけるセンセーショナルな事件であったという. それは 1 , i , π , e {\displaystyle 1,i,\pi ,e} という当時知られていた数学の基本定数が,このような簡単なそして美しい関係で結び付けられていることに対する驚きによるものである.
我々は以後この結果から出発する.すなわち 式 (4.1) を指数関数 e i t {\displaystyle e^{it}} の定義とするのである.“良き結果は良き定義として採用できる”からである.このことは,これからの議論によって次第に明らかになるであろう.
まず,指数関数の加法定理,
が導かれる.なぜなら三角関数の加法定理から,
が出, これより直ちに,
が得られる からである.これらの式は d'Moivre の公式として知られている.

この加法定理が,もっと一般に成立するものだとすれば,
でなければならない.これが最初に述べた e α t {\displaystyle e^{\alpha t}} の定義である.すなわち,
定義 4.1
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例83 {\displaystyle \quad }
この定義から,
を示せ.
解答例
α = a + i b , β = c + i d ( a , b , c , d ∈ R ) {\displaystyle \alpha =a+ib,\beta =c+id\quad (a,b,c,d\in \mathbf {R} )} とおくと, e α t ⋅ e β t = e ( a + i b ) t ⋅ e ( c + i d ) t {\displaystyle e^{\alpha t}\cdot e^{\beta t}=e^{(a+ib)t}\cdot e^{(c+id)t}} = e a t ( cos  b t + i sin  b t ) ⋅ e c t ( cos  d t + i sin  d t ) {\displaystyle =e^{at}(\cos bt+i\sin bt)\cdot e^{ct}(\cos dt+i\sin dt)} = e ( a + c ) t e i ( b t ) e i ( d t ) ( ∵ cos  b t + i sin  b t = e i ( b t ) , e t c . ) {\displaystyle =e^{(a+c)t}e^{i(bt)}e^{i(dt)}(\because \cos bt+i\sin bt=e^{i(bt)},etc.)} = e ( a + c ) t e i ( b t + d t ) ( ∵ e i t e i τ = e i ( t + τ ) ) {\displaystyle =e^{(a+c)t}e^{i(bt+dt)}(\because e^{it}e^{i\tau }=e^{i(t+\tau )})} = e { ( a + c ) + i ( b + d ) } t {\displaystyle =e^{\{(a+c)+i(b+d)\}t}} .
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の微分

の t {\displaystyle t} に関する微分を,
と定義する.したがって f ( t ) {\displaystyle f(t)} が微分可能とはその実部も虚部もともに微分可能であることを意味する. その他の性質もこれに準じて考えるものとする. この定義から直ちに,次の基本的性質が従う.

複素数値関数の微分の基本的性質
(1)
(2)
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例84 {\displaystyle \quad }
これらの事実を,微分の定義 式 (4.3) に従って証明せよ
解答例
f 1 = g 1 + i h 1 , f 2 = g 2 + i h 2 {\displaystyle f_{1}=g_{1}+i\ h_{1},\ f_{2}=g_{2}+i\ h_{2}} とする
I(1)
I(2)
II

♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例85 {\displaystyle \quad }
f ( t ) = e α t , α = a + i b {\displaystyle f(t)=e^{\alpha t},\quad \alpha =a+ib} を微分せよ.
解説
であるから,
ここで
であるから,
よって最初に戻って
すなわち α {\displaystyle \alpha } が複素数のときも,実数のときと同じ公式,
が成立する. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
この例題から,複素係数の微分方程式,
の解が,
であることが分かる.式 (4.4) において
とおいて,実部と虚部に分けると,実係数の連立方程式,
となる. この解は z = e α t z 0 {\displaystyle z=e^{\alpha t}z_{0}} の実部と虚部であって,
となる.ここに z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}} である. あるいは z 0 = r e i θ ( r > 0 ) {\displaystyle z_{0}=re^{i\theta }\quad (r>0)} と極形式で表すと,
を得る.
さて 式 (4.4) を微分記号 D = d d t {\displaystyle D={\frac {d}{dt}}} を用いて表すと,
と書ける.この式に z = e α t x {\displaystyle z=e^{\alpha t}x} を代入すると,
となることは,複素数値関数の微分の基本的性質Iの (2) から容易に分かる.よって,
であるから,上述の解 z = e α t z 0 {\displaystyle z=e^{\alpha t}z_{0}} が得られる.この技法を一般化して,微分方程式,
の解を求めてみよう.
とおいて,上式に代入すると,
となる.これより,
を得る.この多項式の係数は複素数でよい.また式 (4.5) の解の基本系は,
である.
次にもっと一般の複素係数の微分方程式,
を考えよう.ここに係数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} はすべて複素数とする.この場合も実係数の微分方程式の場合と同様に,重ね合わせの原理,定常性の原理などが成立することは明らかであろう.複素関数の微分に関する基本的性質I・IIがあるので,前章での証明をなんら変更する必要はない.
また,微分方程式(4.6)に付随する特性多項式が,
と因数に分解できるとき,
も成立することも同様である.前章では述べなかったが,係数が実数であっても複素数であっても,次の補題が成立する.
補題 4.1 {\displaystyle \quad }
ここに, p 1 ( s ) {\displaystyle p_{1}(s)} と p 2 ( s ) {\displaystyle p_{2}(s)} は互いに素ならば,
が成り立つ.
証明
p 1 {\displaystyle p_{1}} と p 2 {\displaystyle p_{2}} が互いに素であるから,
となる多項式 μ ( s ) , ν ( s ) {\displaystyle \mu (s),\nu (s)} が存在する. よって,
が成り立つが,仮定を満たすとき左辺は 0 {\displaystyle 0} となるから, z = 0 {\displaystyle z=0} を得る. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }

系 {\displaystyle \quad } 同じ条件の下に,
ならば, z 1 ( t ) {\displaystyle z_{1}(t)} と z 2 ( t ) {\displaystyle z_{2}(t)} は 1 次独立である. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
証明は演習問題とする. 以上は同次方程式の場合だけを述べたが,非同次方程式の場合も前章と同じ結果が成立する.
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素振幅の方法

もとに戻って,実係数微分方程式,
を考える. a i ∈ R {\displaystyle a_{i}\in \mathbf {R} } であるが, f ( t ) {\displaystyle f(t)} は複素数値関数で,
とする.そうすれば解も当然複素数値関数となるので,
とおくことにしよう.これらを式 (4.7) に代入して,両辺の実部と虚部を等置すると,二つの実形式の微分方程式,
を得る.この性質を利用すると,
の特解を簡単に見出すことができる. ただし, A ∈ R {\displaystyle A\in \mathbf {R} } とする.それには
に注目して,式 (4.8) の代わりに,
を解き,解の虚部を取り出せばよいのである.そこで解を,
と仮定して式 (4.9) に代入すると,
を得る.これを特性多項式を用いて表すと,
となる.いま p ( i ω ) ≠ 0 {\displaystyle p(i\omega )\neq 0} と仮定すると,
となり,式 (4.9)の解は,
と求まる.この虚部を取り出すために,
と複素数の極形式で表すと,
となり,この式の虚部を取り出し,
と求まる.これが式 (4.8) の解である.この技法を複素振幅の方法と呼んでいる.
例86 {\displaystyle \quad }
の特解を上例にならって求めよ.
解答例
A e a t cos  ( b t + c ) {\displaystyle Ae^{at}\cos(bt+c)} を実部に持つ複素指数関数は, A e a t e i ( b t + c ) {\displaystyle Ae^{at}e^{i(bt+c)}} ( ∵ A e a t e i ( b t + c ) = A e a t { cos  ( b t + c ) + i sin  ( b t + c ) } ) {\displaystyle (\because Ae^{at}e^{i(bt+c)}=Ae^{at}\left\{\cos(bt+c)+i\sin(bt+c)\right\})} A e a t e i ( b t + c ) = A e a t e i b t e i c = A e i c e ( a + i b ) t {\displaystyle Ae^{at}e^{i(bt+c)}=Ae^{at}e^{ibt}e^{ic}=Ae^{ic}e^{(a+ib)t}} よって、解 z = B e i c e α t , α = a + i b {\displaystyle z=Be^{ic}e^{\alpha t},\quad \alpha =a+ib} とおく.これを与微分方程式に代入すると, B e i c p ( α ) e α t = A e i c e α t {\displaystyle Be^{ic}p(\alpha )e^{\alpha t}=Ae^{ic}e^{\alpha t}} B = A p ( α ) ∴ z = A p ( α ) e i c e α t {\displaystyle B={\frac {A}{p(\alpha )}}\therefore z={\frac {A}{p(\alpha )}}e^{ic}e^{\alpha t}} p ( α ) = | p ( α ) | e i θ {\displaystyle p(\alpha )=|p(\alpha )|e^{i\theta }} と極形式におくと, z = A | p ( α ) | e i c + α t − i θ = A | p ( α ) | e i c + ( a + i b ) t − i θ {\displaystyle z={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{ic+\alpha t-i\theta }={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{ic+(a+ib)t-i\theta }} = A | p ( α ) | e a t e i ( b t + c − θ ) {\displaystyle ={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{at}e^{i(bt+c-\theta )}} この実部をとると, x = A | p ( α ) | e a t cos  ( b t + c − θ ) , α = a + i b {\displaystyle x={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{at}\cos(bt+c-\theta ),\quad \alpha =a+ib}
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分

実変数 t {\displaystyle t} の複素数値関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} が与えられているとき,
となる関数 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数という.
例87 {\displaystyle \quad }
は e α t {\displaystyle e^{\alpha t}} の原始関数.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
A i n C {\displaystyle Ain\mathbf {C} } を任意の定数とするとき, F ( t ) + A {\displaystyle F(t)+A} も f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数となる.これを,
と表す.時には A {\displaystyle A} を省略することがある.
さてこのように定義すると g ( t ) , h ( t ) {\displaystyle g(t),h(t)} を実関数とし,
なるとき,
すなわち,
が成立する.
事実, f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数の一つを,
とすると,微分の定義から,
であるが,これが,
に等しいのであるから,相等の定義から,
となる.これは G , H {\displaystyle G,H} が実関数 g , h {\displaystyle g,h} の原始関数であることを意味するから,
と書ける.ここに a , b {\displaystyle a,b} は任意の実定数である.ここで A = a + i b {\displaystyle A=a+ib} とおくと,
すなわち,
を得る.
例88 {\displaystyle \quad }
の実部と虚部を等置することにより,
を得る. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
複素数値関数 f ( t ) = g ( t ) + i h ( t ) {\displaystyle f(t)=g(t)+ih(t)} の定積分を,
と定義する.このとき微分積分学の基本公式が成立する.
微分積分学の基本公式
証明
実関数に対する基本公式,
は既知であるから,第 2 式に i {\displaystyle i} を掛けて加えればよい.
また定積分に関して次の性質が成立する.
複素数値関数の積分の基本的性質
[I] f 1 ( t ) , f 2 ( t ) {\displaystyle f_{1}(t),f_{2}(t)} を複素数値関数, c 1 , c 2 ∈ C {\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbf {C} } とすれば
[II] f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} を複素数値関数とするとき,
[III] f ( t ) {\displaystyle f(t)} を複素数値関数, φ ( τ ) {\displaystyle \varphi (\tau )} は実数値関数とする.このとき,
ここに, a = φ ( τ a ) , b − φ ( τ b ) {\displaystyle a=\varphi (\tau _{a}),b-\varphi (\tau _{b})} .
[IV]
ここに f ( t ) {\displaystyle f(t)} は複素数値関数
[V] f ( t ) {\displaystyle f(t)} を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする.
以下に IV の証明だけ与えておく. ほかは,実関数に関する同様な公式を既知とすれば,複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる.

公式IVの証明
∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt} は複素数であるから,その偏角を θ {\displaystyle \theta } とおいて,極形式で表すと,
よって,
公式Iを用いて
定積分の定義により,
となる.左辺は実数であるから,右辺の第 2 項は 0 {\displaystyle 0} である.また,
であるから,実関数に関する公式IVを用いると,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/定義と例

f ( t ) {\displaystyle f(t)} を任意の有限な区間で積分可能の関数とするとき,
を f ( t ) {\displaystyle f(t)} の Laplace 変換ということ,およびその対応関係を記号 ⊏ {\displaystyle \sqsubset } で表すことなどは, 前章と同じである.ただ異なるところは,
(1) f ( t ) {\displaystyle f(t)} は実変数 t {\displaystyle t} の複素数値関数
(2) s = σ + i ω {\displaystyle s=\sigma +i\omega } は複素数
の 2 点である.
例89 {\displaystyle \quad }
1 {\displaystyle 1} の Laplace 変換,
は s {\displaystyle s} が実数の場合と同様である. R e s = σ > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \ s=\sigma >0} ならば,
である.ここに絶対値は複素数の絶対値を示す.よって,
となる.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例90 {\displaystyle \quad } e α t ( α = a + i b ) {\displaystyle e^{\alpha t}\quad (\alpha =a+ib)} の Laplace 変換
であるから,例 89の s {\displaystyle s} が s − α {\displaystyle s-\alpha } に変わっただけである. よって R e ( s − α ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \ (s-\alpha )>0} のとき Laplace 積分は存在して,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }


例91 {\displaystyle \quad } e a t cos  b t {\displaystyle e^{at}\cos bt} の Laplace 変換
であるから,例 90の結果を用いると,
となる.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }


例92 {\displaystyle \quad }
e a t sin  b t {\displaystyle e^{at}\sin bt} の Laplace 変換を例 91にならって求めよ.
解答例
定義 4.1 に従って, e ( a + i b ) t = e a t [ cos  b t + i sin  b t ] {\displaystyle e^{(a+ib)t}=e^{at}{\bigg [}\cos bt+i\sin bt{\bigg ]}} ...1 e ( a − i b ) t = e a t [ cos  b t − i sin  b t ] {\displaystyle e^{(a-ib)t}=e^{at}{\bigg [}\cos bt-i\sin bt{\bigg ]}} ...2 ( ∵ cos  ( − θ ) = cos  θ , sin  ( − θ ) = − sin  θ ) {\displaystyle \quad (\because \cos(-\theta )=\cos \theta ,\quad \sin(-\theta )=-\sin \theta )} cos  b t {\displaystyle \cos bt} を導出するのには 1+2 を考えた,ここでは,1-2を考えてみると, e ( a + i b ) t − e ( a − i b ) t = 2 i e a t sin  b t {\displaystyle e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}=2i\ e^{at}\sin bt} e a t sin  b t = 1 2 i { e ( a + i b ) t − e ( a − i b ) t } {\displaystyle e^{at}\sin bt={\frac {1}{2i}}\left\{e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}\right\}} ⊐ 1 2 i { 1 s − ( a + i b ) − 1 s − ( a − i b ) } {\displaystyle \sqsupset {\frac {1}{2i}}\left\{{\frac {1}{s-(a+ib)}}-{\frac {1}{s-(a-ib)}}\right\}} = 1 2 i s − ( a − i b ) − { s − ( a + i b ) } s 2 − 2 a s + ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {s-(a-ib)-\{s-(a+ib)\}}{s^{2}-2as+(a^{2}+b^{2})}}} = 1 2 i 2 i b ( s − a ) 2 + b 2 = b ( s − a ) 2 + b 2 {\displaystyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {2ib}{(s-a)^{2}+b^{2}}}={\frac {b}{(s-a)^{2}+b^{2}}}}
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/指数位の関数

さて一般に, L [ f ( t ) ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)]} が存在するための十分条件は,導入章にも言及しておいたように, f ( t ) {\displaystyle f(t)} が次の関係を満たすことである.すなわち t {\displaystyle t} が十分大きいところで,
となることである.このとき f ( t ) {\displaystyle f(t)} を指数 α {\displaystyle \alpha } 位の関数ということは前にも述べた. α {\displaystyle \alpha } を特に意識する必要のないときは, α {\displaystyle \alpha } を省略して呼ぶことにする.
例93 {\displaystyle \quad }
f ( t ) {\displaystyle f(t)} が指数位の関数であるとき, R e f ( t ) {\displaystyle \mathrm {Re} \ f(t)} も I m f ( t ) {\displaystyle \mathrm {Im} \ f(t)} も指数位の関数であることを示せ.
解答例
f ( t ) = g ( t ) + i h ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t)=g(t)+i\ h(t),\quad g(t)} と h ( t ) {\displaystyle h(t)} は実数を定義域とした実数値関数とすると,
この式が成立するためには { g ( t ) e α t } {\displaystyle \left\{{\frac {g(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}} と { h ( t ) e α t } {\displaystyle \left\{{\frac {h(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}} の両方が有限の値に収束しなければならない. すなわち, g ( t ) = R e f ( t ) {\displaystyle g(t)=\mathrm {Re} \ f(t)} と h ( t ) = I m f ( t ) {\displaystyle h(t)=\mathrm {Im} \ f(t)} の両方が指数位である必要がある.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

f ( t ) {\displaystyle f(t)} が指数位 α {\displaystyle \alpha } の関数であるとき, R e s > α {\displaystyle \mathrm {Re} \ s>\alpha } に対して,
が存在することは明らかである.事実,
で, σ > α {\displaystyle \sigma >\alpha } のとき,
であるから,複素数値関数の基本的性質Vから L [ f ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[f]} の存在が保証されるのである.


例94 {\displaystyle \quad }
t n e α t ( α ∈ C ) {\displaystyle t^{n}e^{\alpha t}\quad (\alpha \in \mathbf {C} )} は任意の n {\displaystyle n} に対して指数位の関数である.
事実,
であるから, β > R e α , t > 0 {\displaystyle \beta >\mathrm {Re} \ \alpha ,\quad t>0} のとき,
したがって t n e α t {\displaystyle t^{n}e^{\alpha t}} の Laplace 変換が存在する.
であるから, R e s > R e α {\displaystyle \mathrm {Re} \ s>\mathrm {Re} \ \alpha } ならば, T → ∞ {\displaystyle T\to \infty } のとき,
これを逐次繰り返すことによって,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

補題 4.2 {\displaystyle \quad } f ( t ) {\displaystyle f(t)} が指数位の関数ならば ∫ 0 t f ( τ ) d τ {\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )d\tau } もそうである.
証明
複素数値積分の基本的性質IVと式 (4.10) により, t > 0 {\displaystyle t>0} のとき,
ここに, M 1 := M α {\displaystyle M_{1}:={\frac {M}{\alpha }}} である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
木星

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木星は太陽系で最大の惑星である。太陽系からは5番目に近い、第5惑星である。
木星の中心には鉄などの岩石から成る中心核が存在する。核の外側は金属水素やヘリウムの層がある。
表層付近は水素とヘリウムの大気があり、アンモニアの氷や水の氷があると考えられている。
木星の表層には大赤斑という大きな渦があり長径26000kmであるため地球の直径の約2倍である。
木星は土星のようなはっきりとした環はないがボイジャー1号により発見された。成分はケイ酸塩などで木星の衛星に隕石が衝突した時に環が作られた考えられている。
木星のラグランジュ点L4とL5の位置は木星のトロヤ群と呼ばれる。
ここに位置する小惑星は木星と公転周期がほぼ同じである。
木星はガス惑星であるため着地できず、フライバイのみによる探査となる。
1973年、パイオニア10号が初めて木星を訪れた。
1979年からはボイジャー計画が始まり、多くの写真が撮影された。
現在も探査機ジュノーなどが探査している。
土星

天文学 > 太陽系 > 土星
土星は太陽系にある惑星で第6惑星である。
土星は木星と同じ木星型惑星(ガス惑星)で、太陽系内では太陽を除いて2番目に大きい。密度は0.7g/cm程度しかなく、水に浮く惑星と表現されることもある。
半径は地球の約9.4倍、質量は地球の約95倍。
その他データ
大気の成分
土星は密度が太陽系内の惑星で最も小さい。木星と同じくガス惑星であり、風により縞模様が見られる。特に南側ではドラゴンストームと呼ばれる嵐が見られる。
土星には環があり太陽系内ではいちばんはっきりと見える。土星の環にはA~G環までがあり土星側からD、E、B、A、F、G、Eの順である。また、AとBの間にはカッシーニの間隙と言われる隙間があり、AとFの間にはロシュの間隙と言われる隙間がある。環の粒子の主成分は水の氷であり、その大きさなどは環ごとで異なっている。
土星の環の形成はまだ明瞭ではないが、彗星や小惑星の潮汐力による破壊であるという仮説がある。
また、土星の環は非常に薄く、日によって角度が変わって見えるため環が見にくくなることがある。
土星探査は土星が地球の約9から10倍ほどの場所を公転しているため最初に到達したのは1979年のパイオニア11号である。
その後、ボイジャー1号が土星の衛星タイタンにある大気を発見した。
現在もカッシーニが2004年から打ち上げられており、土星やその衛星の数々の写真を撮影している。
天王星

天文学 > 太陽系 > 天王星
天王星は太陽系の第7惑星である。
天王星は木星型惑星(ガス惑星)に分類され、更に細かい分類では天王星型惑星に分類される。太陽を除いて太陽系で3番目に大きい。
半径は地球の約4倍。質量は地球の約14.5倍。
赤道傾斜角が約98°のため環は横倒しされたように見える。
自転周期は約17時間、公転周期は約84年である。このため極では公転周期の半分、42年間昼か夜が続いた状態になっている。42年間も昼や夜が続いているが熱は対流により天王星全体に行き渡っているので天王星の表面の温度はほぼ同じである。
ガス惑星であるため、大気は主に水素とヘリウムから成る。また、メタンが2%ほど含まれているため天王星は青く見える。 大気の成分
天王星は中心から核、マントル、大気の順の構造である。マントルには水やアンモニア、メタンなどの氷が含まれていると考えられている。また、核の部分には地球と同じく鉄やニッケルが含まれている。
天王星には現在、衛星が27個、環が13個発見されている。天王星の主な衛星にはアリエル、ウンブリエル、チタニア、オベロン、ミランダの5つがあり、ミランダ以外はどれも直径が1000kmを超える。
天王星は土星より更に遠いので探査も土星より遅く1986年のボイジャー2号によるフライバイが初の探査である。
天王星への探査計画は考案されているものの遠いため計画は難航している。
海王星

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海王星は太陽から一番遠い惑星で太陽系の第8惑星。
海王星は天王星と同じく木星型惑星(ガス惑星)に分類され、天王星型惑星にも分類される惑星である。
半径は地球の約3.8倍。質量は約17倍。
表面温度は-200°Cを下回り、惑星の中では遠いのもあって最も低い。
自転周期は約16時間。公転周期は太陽から一番遠い惑星なので一番長く、164.8年にもなる。
海王星はガス惑星であるため水素とヘリウムを多く含む。海王星は天王星のようにメタンを含むので青く見える。大気の成分は以下の通りである。
海王星の内部は内側から核、マントル、大気の順である。マントルの部分に水やアンモニア、メタンの氷があると思われている。
海王星には現在も現在衛星が14個、環が5個発見されている。海王星の衛星であるトリトンは大気を持つが厚さは地球の7万分の1程度である。
海王星はいちばん遠いため探査は難しく、1989年に接近したボイジャー2号のみが探査に成功している
ネプチューン・オービターなどの計画が考案されるも難航している。
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質

前章と同様に,次の基本的性質が成立する. f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} を複素数値関数, α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } を複素数とする.

複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質
I
II f ( t ) ⊐ F ( s ) , g ( t ) ⊐ G ( s ) {\displaystyle f(t)\sqsupset F(s),g(t)\sqsupset G(s)} とすれば,
III
証明
第 1 段: f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} が実数値関数のとき,
s = σ + i ω {\displaystyle s=\sigma +i\omega } とすると,積分の定義から,
である.第 1 項を I 1 {\displaystyle I_{1}} ,第 2 項を − i I 2 {\displaystyle -iI_{2}} とおき,積分順序を交換すると,前章と同様にして,
を得る.よって I 1 − i I 2 {\displaystyle I_{1}-iI_{2}} は再び積分の定義により,
となる.よって 前章と同じ関係式,
ここで積分変数を ξ := t − τ {\displaystyle \xi :=t-\tau } と変更すれば,積分の基本的性質IIIにより,
を得る.これで f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} が実数値関数のとき証明ができた.次に,
第 2 段: f = f 1 + i f 2 , g = g 1 + i g 2 {\displaystyle f=f_{1}+if_{2},g=g_{1}+ig_{2}} のときを証明する.
であるから,第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質IIを用いればよい. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
このように,基本的性質が示されたので前章と同様に,微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる. 例えば,
積分
微分
など.これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる.また,
移動定理
などの証明も,前章と全く同様である.
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法

まず,複素係数の線形定常常微分方程式
を考える.ここに a i ∈ C {\displaystyle a_{i}\in \mathbf {C} } とする.これを初期条件,
の下に Laplace 変換すると,実係数の場合と同様にして,
を得る.ここに p ( s ) {\displaystyle p(s)} は式 (4.11) に付随する特性多項式, q ( s ) {\displaystyle q(s)} は ξ i {\displaystyle \xi _{i}} で決まる高々 n − 1 {\displaystyle n-1} 次の多項式である.
一般に,複素係数の多項式は,代数学の基本定理により,複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから,それを,
とすると,これに対応して,
と部分分数に展開できる.それゆえ,この原像は,
または
と求まる.ここに f i ( t ) {\displaystyle f_{i}(t)} は t {\displaystyle t} の多項式で次数は高々 l i − 1 {\displaystyle l_{i}-1} ,係数は複素数である.
複素数値関数の微分に述べたように,
であるから
となり,式 (4.12) が式 (4.11) の解であることが分かる.解の一意性の証明も全く同じであるから,繰り返さない.また非同次方程式,
の解法も,全く同様である.なお,式 (4.11) の解の基本系は,
となる.実際,これらが 1 次独立となることは,前章の証明よりも,はるかに容易に示し得る. 事実,補題 4.1 の系によれば,
は一次独立であるから,あとは,
の 1 次独立性だけを示せばよい.これは,
の 1 次独立性と同じであるから,明らかである.

微分方程式式 (4.11) の係数が実数の場合を,この章の立場から述べておく. 特性方程式 p ( s ) {\displaystyle p(s)} が 1 次の因数に分解できることは同様であるが,その内容は,
のような形をしている.ここに c i ∈ R , α j , α j ̄ ∈ C {\displaystyle c_{i}\in \mathbf {R} ,\alpha _{j},{\overline {\alpha _{j}}}\in \mathbf {C} } で α j ̄ {\displaystyle {\overline {\alpha _{j}}}} は α j {\displaystyle \alpha _{j}} の共役複素数である. このとき解の基本系は,次の 3 種類の型のものから成り立っている.
I型は実関数である.しかし,II,III型は複素数値関数である.これらを,
ここに α = a + i b , α ̄ = a − i b {\displaystyle \alpha =a+ib,\ {\overline {\alpha }}=a-ib} を用いて実関数の基本形に直すと,II,IIIの変わりに,
となる.I,II',III'が実形式で表した解の基本形である.前章で求めたものと形は異なるが,この方が導出が簡単である.

例94 {\displaystyle \quad }
{I,II',III'}が解の基本系となること,すなわち 1 次独立であることを示せ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
非同次方程式の一般解は,同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは,前章と同様である.
ここに述べたように,一般に,理論的な話をするときには,複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい. しかし実際に初期値問題を解くときには,前章の手法の方が優れている. ただ,一般解を求めるのは,本章の方法によるのが賢明である.
ガリレオ衛星

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ガリレオ衛星は木星の衛星のうち、ガリレオにより発見された4つの天体のことを指す。本項目では木星から近い順(イオ、エウロパ、ガニメデ、カリストの順)で説明する。
イオは木星の第1衛星である。
半径は地球の約0.28倍(1800km)。質量は地球の約0.015倍。(8.94×10kg)。
また、密度が最も高い(約3.5g/cm)ことでも知られる。
イオでは太陽系の中でも激しい火山活動が起こっている。火山活動の熱は他のガリレオ衛星との位置的変化による潮汐力の変化で伸縮するため発生すると考えられている。イオが黄色いのは火山活動の際に噴出される硫黄の化合物のためである。
イオは自転周期と公転周期が42時間30分ほどで一致している。衛星において自転と公転の周期が同じ場合、惑星に対しては同じ面しか向かない。これは月でも起こり、自転と公転の同期と言われる。
太陽系の惑星の衛星ではほとんどがこれに当てはまる。
エウロパは木星の第2衛星である。
半径は地球の約0.25倍(1600km)。質量は地球の約0.008倍(4.8×10kg)。
エウロパもイオと同じく、自転と公転は同期している。
写真を見ると分かるがエウロパにはひびの入ったような地形が多数ある。これは木星の潮汐力によって割れたものと考えられている。なお、このひびのようなものは線条と言われている。
また、エウロパは100kmの氷の層からできており、この下には液体の水から成る内部海が存在していると考えられている。
ガニメデは木星の第3衛星であり、太陽系内では最も大きい衛星である。
半径は地球の0.41倍(2600km)。質量は地球の約0.025倍(1.5×10kg)。
ガニメデも自転と公転は同期している。
ガニメデの表面は岩石と水の氷から成る。
また、光条と呼ばれる地形があり、天体の衝突の際に放射状にできたものである。
また、ガニメデには暗い領域と明るい領域があり、暗い方にはクレーターが多く見られる。
カリストは木星の第4衛星である。
半径は地球の約0.38倍(2410.3km)。質量は地球の約0.019倍(1.076×10kg)。
カリストも自転と公転が同期している。
カリストの表面は岩石と水の氷から成る。
カリストの表面には多くのクレーターがあり、多重リング構造といわれるクレーターもある。
カリストは、木星の4つのガリレオ衛星のうち、最も外縁の軌道を周回している。
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/安定の定義と定理

線形定常常微分方程式
の解の t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } における振舞を調べるのが目的である.ここでは係数は実数としておく.
式 (4.13) には x = 0 {\displaystyle x=0} という解がある. これを零解という.零解は時間の経過には無関係に一定値を取り続ける.そのような解を式 (4.13) の平衡点と呼ぶことがある. a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} ならば式 (4.13) の平衡点は零解だけである. さて,零解以外の任意の解 x ( t ) {\displaystyle x(t)} が,零解に近づくかどうか,その条件はなにかというのが我々の問題である.
安定の定義
(i) 式 (4.13) の解 x ( t ) {\displaystyle x(t)} が
となるとき, x ( t ) {\displaystyle x(t)} は安定な解であるという.すべての解が安定な解となるとき, 式 (4.13) の零解は安定である, あるいは微分方程式 (4.13) は安定であるという.
(ii)
となる解を不安定な解という.このような解が少なくとも一つ存在すれば, 式 (4.13) は不安定であるという.
(iii) (i) でも (ii) でもないとき,すなわち t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } で発散する解は存在しない.しかしすべての解が 0 {\displaystyle 0} に漸近するわけではないとき, 式 (4.13) は安定限界であるという. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例95 {\displaystyle \quad }
(i) e − t , t 3 e − 2 t cos  t {\displaystyle e^{-t},t^{3}e^{-2t}\cos t\quad } (安定な解)
(ii) t , e 2 t , t sin  t {\displaystyle t,e^{2t},t\sin t\quad } (不安定な解)
(iii) 1 , sin  t {\displaystyle 1,\sin t\quad } (安定限界となる解)
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
さて式 (4.13) の特性方程式を p ( s ) {\displaystyle p(s)} とし, α {\displaystyle \alpha } をその根とすると,
なる根がある.
であるから,
となる.上から e α t {\displaystyle e^{\alpha t}} は安定,不安定,安定限界であることが分かる.一般の解は,
のような解の 1 次結合から成り立っている.したがって,この解の安定,不安定を調べればよい.
であるから a > 0 {\displaystyle a>0} なら,この解は t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } とともに発散する.また a < 0 {\displaystyle a<0} なら,
なる負の実数 c {\displaystyle c} が存在し,この c {\displaystyle c} に対して,
であるから,
となる.よって c < 0 {\displaystyle c<0} に留意すれば,
を得る.それゆえ,次の結果が得られた.

定理 4.1(安定定理) 式 (4.13) の特性方程式 p ( s ) {\displaystyle p(s)} の根 α i {\displaystyle \alpha _{i}} の実数部の最大なるものを a ∗ {\displaystyle a^{*}} とする.すなわち,
とするとき,微分方程式 (4.13) は,
である.また,
ならば,
である.
証明
前半の安定・不安定の部分の証明はすでに与えた.後半の単根の場合も終わっている. 重根の場合は, α ∗ = a ∗ + i b ∗ {\displaystyle \alpha ^{*}=a^{*}+ib^{*}} とすると,
であるから,この解は発散する.よって不安定である. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
この定理から,安定・不安定の判別は, p ( s ) {\displaystyle p(s)} の根の,複素平面 ( s {\displaystyle s} 平面)上における配置によって決まることが分かる.
安定 {\displaystyle \quad } 根がすべて左半面にあるとき
不安定 {\displaystyle \quad } 少なくとも 1 根が右半面に存在するか,あるいは右半面には存在しないが,虚軸上に重根があるとき
安定限界 {\displaystyle \quad } 虚軸上の根は単根で、他はすべて左半面にあるとき
とまとめることができる.
太陽系小天体

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太陽系小天体は太陽系内にある、太陽、惑星、準惑星、衛星を除く全天体のことを指す。主に小惑星と彗星、惑星間塵に大別できる。しかし、惑星間塵を小天体には含めないという考えもある。
小惑星は準惑星よりも小さい天体で惑星間塵ほど小さくないものである。なお、準惑星を小惑星に含めることもある。
ふつうは火星と木星の間に多く見つかるが、海王星以遠でも見つかり、これらは太陽系外縁天体と言われる。
海王星より内側にある小惑星、つまり太陽系外縁天体に含まれない小惑星については小惑星、太陽系外縁天体に含まれる小惑星については太陽系外縁天体を参照。
彗星は小天体の中で水や二酸化炭素などの揮発性成分を含み、イオンや塵の尾を示すものである。
ヘール・ボップ彗星のように一度太陽に近づくと戻ってこない非周期彗星とハレー彗星のように周期的に太陽に近づいてくる周期彗星がある。
詳細は彗星を参照。
惑星間塵は太陽系内にある塵であり、1m以下のもの、つまり天体としては極めて小さいもののことである。
多くは彗星の尾が放出した氷や二酸化炭素、または小惑星が衝突する際に放出された欠片のようなものである。
なお惑星間塵が地球から黄道面にある場合、惑星間塵が太陽の光を反射するので、黄道光という太陽の中心に淡い光の帯が見える現象がある。
また、彗星や小惑星の周りではその軌道に沿って放出された惑星間塵が細い道のようにのびていることがある。これはダストトレイルと呼ばれている。
小惑星

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小惑星は太陽系において太陽、惑星、衛星、惑星間塵、彗星を除いた太陽系小天体のことである。準惑星を小惑星に含めることがあるがWikibooksでは準惑星とは区別して項目を設けている。
小惑星は主に火星と木星の間に存在する。もちろん、火星より内側や木星より外側にも存在するため、火星と木星の間にしかないという誤解があってはいけない。
火星と木星の間に一番多く存在するのでその空間はメインベルト、または小惑星帯と呼ばれる。メインベルトにある小惑星は惑星形成時に木星の一部になれず、現在も木星の重力の影響をあまり受けていない。
小惑星にはメインベルト以外にも軌道が似ているものはよく同じグループとして分類される。このグループを小惑星族という。例えば、小惑星フローラに似たグループはフローラ族と言われ、500以上もの小惑星がこの族に属する。
太陽系外縁天体は海王星より外側にある小惑星を指す。太陽系外縁天体はほとんどが小惑星と惑星間塵で他に彗星、準惑星などであるので、この項目では特記のない限り太陽系外縁天体は全て海王星以遠にある小惑星を指すものとする。
エッジワース・カイパーベルトは海王星より遠く(30AU以上)、50AU以下の範囲を指す。冥王星などがこの空間で公転している。エッジワース・カイパーベルトにある天体はそのままエッジワース・カイパーベルト天体という。
エッジワース・カイパーベルト天体には海王星の公転周期との比が簡単な整数比になる場合がある。例えば冥王星族という小惑星族では海王星が2回公転する間にその天体は3回公転する。このような天体を共鳴外縁天体という。
共鳴外縁天体のうち、共鳴が1:1で起こっている天体も存在する。これは海王星と同一の軌道をとっているが、海王星よりも60°前、または後を公転している。このような天体はトロヤ群の小惑星と言われ、木星などにも存在しているため、区別するためにふつうは海王星のトロヤ群という。
散乱円盤天体は、遠日点が数100AUにも及ぶ天体のことである。小惑星セドナは軌道長半径が500AUにものぼり、近日点でさえ76AUもある。
オールトの雲は1光年(6万AU)より先にあると考えられている球状に太陽系を取り巻く理論上の天体群のことである。彗星はここを起源として太陽にやってくると考えられている。
小惑星の中には地球に近い軌道をとるものもある。これらはまとめて地球近傍小惑星と言われ、地球から近いためリュウグウやイトカワなどが探査の対象となっている。
しかし、地球近傍小惑星の中には将来、地球に衝突する恐れのある小惑星がある。これらは潜在的に危険な小惑星と言われ、アポフィスなどは世間でも話題になった。なお、アポフィスが地球に接近するのは2029年だと予測されている。
彗星

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彗星は太陽系小天体のうち、水や二酸化炭素などの揮発性成分を持ち、尾を生じる天体である。日本では古くはほうき星とも呼んだ。
彗星はガスや微粒子が広がって輝いている一時的な大気であるコマと呼ばれる部分とコマが噴出した尾と呼ばれる部分から成る。
彗星の本体は核といい、水、一酸化炭素、二酸化炭素、アンモニア、メタンなどが主成分である。
彗星の種類はその周期の長さまたは周期の有無で分類できる。公転周期が短い(200年未満)のものは短周期彗星といい、有名なものでは周期75年のハレー彗星などがある。
周期的であるがその期間が長いもの(200年以上)は長周期彗星といい、池谷・関彗星などがある。
それ以外の周期をもたないものは非周期彗星といい、パンスターズ彗星などがある。
大彗星は地球から見て誰でも彗星と分かる彗星である。1882年の大彗星は昼でも彗星と分かるぐらいに明るくなった例である。
サングレーザーは彗星のうち、太陽の極めて近い場所を通過する彗星のことである。サングレーザーのほとんどは太陽の熱によって蒸発されるか太陽の潮汐力によって分裂してしまう。
彗星の元となる物質はオールトの雲からやってくると考えられている。オールトの雲にある天体は摂動を起こすためその一部が太陽の方向に引っ張られ、離心率が大きい楕円軌道をとると考えられている。