線型代数学/行列の基本変形

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ここでは、基本変形と階数について議論する。特に、階数は線型代数学では非常に重要な概念であるので十分理解されたい。
以下の3種の行列, P ( i , j ) , Q ( i ; c ) , R ( i , j ; c ) ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ P(i,j),Q(i;c),R(i,j;c)\in \ M(n;\mathbf {K} )} を基本行列(fundamental matrix)という。
左(右)から基本行列をかけることを左(右)基本変形(fundamental operation) という。
左(右)からP(i,j),Q(i;c),R(i,j;c)をかけるということことは、それぞれ
という操作を行うことに対応する。
( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ) = ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 31 a 32 a 33 a 34 a 21 a 22 a 23 a 24 a 41 a 42 a 43 a 44 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}}
( 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ) = ( a 11 a 12 a 13 a 14 3 a 21 3 a 22 3 a 23 3 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\3a_{21}&3a_{22}&3a_{23}&3a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}}
( 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ) = ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 + 2 a 31 a 22 + 2 a 32 a 23 + 2 a 33 a 24 + 2 a 34 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}+2a_{31}&a_{22}+2a_{32}&a_{23}+2a_{33}&a_{24}+2a_{34}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{pmatrix}}}
である。
基本行列は正則である。
実際、
である。

∀ A ∈ M ( m , n ; K ) {\displaystyle \forall A\in M(m,n;\mathbf {K} )} は基本変形によって以下の形に一意的に変形できる。
このとき、rを行列Aの階数(rank)といい、
などと書く。
(証明)
A = 0 m , n {\displaystyle \ A=0_{m,n}} のときは上の形になっている。 以下、 A ≠ 0 m , n {\displaystyle \ A\neq 0_{m,n}} とする。
今、 a i , j ≠ 0 {\displaystyle \ a_{i,j}\neq 0} としても一般性は失われない。
まず、 R ( k , j ; − a k , j / a i , j ) ∈ M ( m ; K ) ( 1 ≤ k ≤ j − 1 , j + 1 ≤ k ≤ m ) {\displaystyle \ R(k,j;-a_{k,j}/a_{i,j})\in M(m;\mathbf {K} )(1\leq k\leq j-1,j+1\leq k\leq m)} を左からかけると
となる。
次に、 R ( i , l ; − a i , l / a i , j ) ∈ M ( n ; K ) ( 1 ≤ l ≤ i − 1 , i + 1 ≤ l ≤ n ) {\displaystyle \ R(i,l;-a_{i,l}/a_{i,j})\in M(n;\mathbf {K} )(1\leq l\leq i-1,i+1\leq l\leq n)} を右からかけると
となる。
そして、 P ( 1 , i ) ∈ M ( m ; K ) {\displaystyle \ P(1,i)\in M(m;\mathbf {K} )} を左から、 P ( 1 , j ) ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ P(1,j)\in M(n;\mathbf {K} )} を右からかけ、さらに Q ( 1 ; 1 / a i , j ) ∈ M ( m ; K ) {\displaystyle \ Q(1;1/a_{i,j})\in M(m;\mathbf {K} )} を左からかければ、
となる。 B ≠ 0 {\displaystyle B\neq 0} なら上と同じ操作をすれば、帰納的に求めたい形になる。
(一意性) 以下 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} とする。
Aに基本変形を施して以下の2つの形になったとする。
ここで、基本変形の正則性から、正則行列 P ∈ M ( m ; K ) Q ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ P\in M(m;\mathbf {K} )\ Q\in M(n;\mathbf {K} )} が存在して、
したがって P s , s Q s , s = I s , P s , s Q s , n − s = 0 , P m − s , s Q s , s = 0 {\displaystyle \ P_{s,s}Q_{s,s}=I_{s},\ P_{s,s}Q_{s,n-s}=\mathbf {0} ,\ P_{m-s,s}Q_{s,s}=\mathbf {0} } が成り立つ。
これから、 P s , s , Q s , s {\displaystyle \ P_{s,s},\ Q_{s,s}} は正則だから P m − s , s Q s , n − s = 0 {\displaystyle \ P_{m-s,s}Q_{s,n-s}=\mathbf {0} }
∴ r = s {\displaystyle \ r=s} □
またこのことから、 A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle A\in M(n;\mathbf {K} )} において
であることが分かる。
( 1 − 2 − 1 0 1 1 − 2 3 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-2&-1\\0&1&1\\-2&3&1\\\end{pmatrix}}} の階数を求めよ。
( 1 − 2 − 1 0 1 1 − 2 3 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-2&-1\\0&1&1\\-2&3&1\\\end{pmatrix}}} (第1行の2倍を第3行に加える) ⟶ ( 1 − 2 − 1 0 1 1 0 − 1 − 1 ) {\displaystyle \longrightarrow {\begin{pmatrix}1&-2&-1\\0&1&1\\0&-1&-1\\\end{pmatrix}}}
(第2行の2倍を第1行に、1倍を第3行に加える) ⟶ ( 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ) {\displaystyle \longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}
(第1列の-1倍と第2列の-1倍を第3列に加える) ⟶ ( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) {\displaystyle \longrightarrow {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}
したがって、この行列の階数は2である。□
以下の1~4の行列の階数を求めよ。
(1) ( 2 1 0 1 0 1 3 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&0\\1&0&1\\3&2&1\\\end{pmatrix}}} (2) ( 3 − 2 − 1 2 1 − 3 − 2 0 − 1 0 1 0 2 1 1 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-2&-1&2\\1&-3&-2&0\\-1&0&1&0\\2&1&1&1\\\end{pmatrix}}}
(3) ( 0 − 2 1 − 1 1 0 − 1 1 2 1 0 4 3 1 − 1 5 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-2&1&-1\\1&0&-1&1\\2&1&0&4\\3&1&-1&5\\\end{pmatrix}}} (4) ( 1 0 0 1 1 1 1 2 3 2 1 0 0 1 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&1&1&\\1&1&2&3&2\\1&0&0&1&1\\0&1&2&2&1\\1&1&1&2&1\\\end{pmatrix}}} 答え:(1)...3 (2)...4 (3)...3 (4)...2