線形代数学/余因子行列

正方行列 A {\displaystyle A} に対して、 行列の i {\displaystyle i} 行目と j {\displaystyle j} 列目を取り除いて得られる行列を A i j {\displaystyle A_{ij}} と表す。このとき、
a ~ i j = ( − 1 ) i + j | A i j | {\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ij}|} を A {\displaystyle A} の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 余因子という。
( 5 0 8 1 9 3 7 5 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5&0&8\\1&9&3\\7&5&2\end{pmatrix}}} の ( 2 , 2 ) {\displaystyle (2,2)} 余因子は、 ( − 1 ) 2 + 2 | 5 8 7 2 | = − 46 {\displaystyle (-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}5&8\\7&2\end{vmatrix}}=-46} である。
次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。
| A | = a j 1 a ~ j 1 + a j 2 a ~ j 2 + ⋯ + a j n a ~ j n ( 1 ≤ j ≤ n ) {\displaystyle |A|=a_{j1}{\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde {a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde {a}}_{jn}(1\leq j\leq n)}
| A | = a 1 i a ~ 1 i + a 2 i a ~ 2 i + ⋯ + a n i a ~ n i ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle |A|=a_{1i}{\tilde {a}}_{1i}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2i}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{ni}(1\leq i\leq n)}
ただし、 A {\displaystyle A} は n {\displaystyle n} 次正方行列である。
これを、余因子展開という。
証明
A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}
とする、このとき、
である、ここで、行列 A {\displaystyle A} の j {\displaystyle j} 列目 ( a 1 j a 2 j ⋮ a n j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{nj}\end{pmatrix}}} は、 a 1 j ( 1 0 ⋮ 0 ) + a 2 j ( 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + a n j ( 0 0 ⋮ 1 ) {\displaystyle a_{1j}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+a_{2j}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}} と表すことができ、 (1)式は、 | ( a 11 a 21 ⋮ a n 1 ) , ⋯ , a 1 j ( 1 0 ⋮ 0 ) + a 2 j ( 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + a n j ( 0 0 ⋮ 1 ) , ⋯ , ( a n 1 a n 2 ⋮ a n n ) | {\displaystyle \left|{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}},\cdots ,a_{1j}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+a_{2j}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}a_{n1}\\a_{n2}\\\vdots \\a_{nn}\end{pmatrix}}\right|} と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 a 1 j | a 11 ⋯ 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n | + a 2 j | a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n | + ⋯ + a n j | a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 1 ⋯ a n n | ⋯ ( 2 ) {\displaystyle a_{1j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &1&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+a_{2j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &1&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &1&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}\cdots (2)} である。
ここで、 | a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 ⋯ 1 ⋯ a i n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &1&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}} について考える。
この行列の i {\displaystyle i} 行目と、 i − 1 {\displaystyle i-1} 行目を入れ替る。 i − 1 {\displaystyle i-1} 行目と、 i − 2 {\displaystyle i-2} 行目を入れ替える。・・・ 2 {\displaystyle 2} 行目と、 1 {\displaystyle 1} 行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。 ( − 1 ) i − 1 | a i 1 ⋯ 1 ⋯ a i n a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n | {\displaystyle (-1)^{i-1}{\begin{vmatrix}a_{i1}&\cdots &1&\cdots &a_{in}\\a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}
行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は − 1 {\displaystyle -1} 倍されるのだった。この操作では、 i − 1 {\displaystyle i-1} 回の入れ替えを行うので、この式は、 ( − 1 ) i − 1 {\displaystyle (-1)^{i-1}} 倍されている。
次に、同じように、 j {\displaystyle j} 列目と、 j − 1 {\displaystyle j-1} 列目を入れ替える。 j − 1 {\displaystyle j-1} 列目と、 j − 2 {\displaystyle j-2} 列目を入れ替える。・・・ 2 {\displaystyle 2} 列目と、 1 {\displaystyle 1} 列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。
( − 1 ) i + j | 1 a i 1 ⋯ a i , j − 1 a i , j + 1 ⋯ a i n 0 a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n 0 a 12 ⋯ a 2 , j − 1 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n 0 a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j + 1 ⋯ a n n | {\displaystyle (-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}1&a_{i1}&\cdots &a_{i,j-1}&a_{i,j+1}&\cdots &a_{in}\\0&a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{12}&\cdots &a_{2,j-1}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\0&a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}
( − 1 ) i + j − 2 = ( − 1 ) i + j {\displaystyle (-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}} であることについての説明は不要であろう。 これを、行列式の定義に従って展開する。
一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。 なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、 | A i , j | {\displaystyle |A_{i,j}|} と一致する。 よって、この行列式は、 ( − 1 ) i + j | A i j | = a ~ i j {\displaystyle (-1)^{i+j}|A_{ij}|={\tilde {a}}_{ij}} である。

これを、(2)式に代入すれば、 | A | = a j 1 a ~ j 1 + a j 2 a ~ j 2 + ⋯ + a j n a ~ j n {\displaystyle |A|=a_{j1}{\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde {a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde {a}}_{jn}} となり、証明された。
これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。
A ~ = ( a ~ j , i ) {\displaystyle {\tilde {A}}=({\tilde {a}}_{j,i})} をAの余因子行列という。
余因子行列には、以下の性質がある。
証明
A ~ A = ( a ~ 11 ⋯ a ~ m 1 ⋮ ⋱ ⋮ a ~ 1 n ⋯ a ~ m n ) ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a m n ) {\displaystyle {\tilde {A}}A={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&\cdots &{\tilde {a}}_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&\cdots &{\tilde {a}}_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}} なので、 行列 A ~ A {\displaystyle {\tilde {A}}A} の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分は、
a 1 i a ~ 1 j + a 2 i a ~ 2 j + ⋯ + a n i a ~ n j ⋯ ( 1 ) {\displaystyle a_{1i}{\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{nj}\cdots (1)} である。
(i) i = j {\displaystyle i=j} のとき
(ii) i ≠ j {\displaystyle i\neq j} のとき
まとめると、 a 1 i a ~ 1 j + a 2 i a ~ 2 j + ⋯ + a n i a ~ n j = { | A | ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle a_{1i}{\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{nj}={\begin{cases}|A|(i=j)\\0(i\neq j)\\\end{cases}}} である。 よって A ~ A = | A | E {\displaystyle {\tilde {A}}A=|A|E} である。同様の議論を行えば、 A A ~ = | A | E {\displaystyle A{\tilde {A}}=|A|E} も導くことができる。
| A | ≠ 0 {\displaystyle |A|\neq 0} のとき A − 1 {\displaystyle A^{-1}} が存在するので、 A ~ A = | A | E {\displaystyle {\tilde {A}}A=|A|E} に A − 1 {\displaystyle A^{-1}} を右からかけ | A | {\displaystyle |A|} で割れば、 A − 1 = A ~ | A | {\displaystyle A^{-1}={\frac {\tilde {A}}{|A|}}} である事がわかる。