初等数学公式集/初等幾何/体積

このページでは体積の公式の解説をします。
V = abh
V = a
V = Sh
V = 1 3 S h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh}
錐体の頂点から底面 S {\displaystyle S} (右図では A b {\displaystyle A_{b}} )に垂線を下して、頂点から x ( 0 ≤ x ≤ h ) {\displaystyle x(0\leq x\leq h)} の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形を A x {\displaystyle A_{x}} とする。
この時、錐体の定義から、 S {\displaystyle S} と A x {\displaystyle A_{x}} は相似である。
相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しいことから、
S : A x = h 2 : x 2 {\displaystyle S:A_{x}=h^{2}:x^{2}}
従って、
A x = x 2 S h 2 {\displaystyle A_{x}={\frac {x^{2}S}{h^{2}}}}
錐体の体積は、平面図形 A x {\displaystyle A_{x}} に関して、 0 ≤ x ≤ h {\displaystyle 0\leq x\leq h} の区間で変化させ累積したものであるから、 A x {\displaystyle A_{x}} を区間 [ 0 , h ] {\displaystyle [0,h]} で積分することにより得られる。
V = ∫ 0 h A x d x {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A_{x}\,dx} = ∫ 0 h x 2 S h 2 d x {\displaystyle =\int _{0}^{h}{\frac {x^{2}S}{h^{2}}}\,dx} = S h 2 ∫ 0 h x 2 d x {\displaystyle ={\frac {S}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,dx} = S h 2 [ x 3 3 ] 0 h {\displaystyle ={\frac {S}{h^{2}}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}} = S h 2 ( h 3 3 ) {\displaystyle ={\frac {S}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\right)} = 1 3 S h {\displaystyle ={\frac {1}{3}}Sh}
上底の面積 s {\displaystyle s} (右図では A 2 {\displaystyle A_{2}} )、下底の面積 S {\displaystyle S} (右図では A 1 {\displaystyle A_{1}} )、高さ h {\displaystyle h} の錐台の体積 V {\displaystyle V}
錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、 S {\displaystyle S} を底とする錐体: P 1 {\displaystyle P_{1}} から、 s {\displaystyle s} を底とする相似な錐体: P 2 {\displaystyle P_{2}} を除いたものとされる。
錐体: P 1 {\displaystyle P_{1}} の高さを H {\displaystyle H} とすると、錐体: P 2 {\displaystyle P_{2}} の高さは H − h {\displaystyle H-h} となり、各々の体積は、
相似比と面積比の関係から、
従って、
これを、※に代入すると、以下の式を得る。
くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点から x ( 0 ≤ x ≤ h ) {\displaystyle x(0\leq x\leq h)} の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形(長方形)を S x {\displaystyle S_{x}} とする。
この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。
くさび形の体積は、平面図形 S x {\displaystyle S_{x}} に関して、 0 ≤ x ≤ h {\displaystyle 0\leq x\leq h} の区間で変化させ累積したものであるから、 S x {\displaystyle S_{x}} を区間 [ 0 , h ] {\displaystyle [0,h]} で積分することにより得られる。
V = ∫ 0 h S x d x {\displaystyle V=\int _{0}^{h}S_{x}\,dx} = ∫ 0 h ( ( a − c ) b x 2 h 2 + b c x h ) d x {\displaystyle =\int _{0}^{h}\left({\frac {(a-c)bx^{2}}{h^{2}}}+{\frac {bcx}{h}}\right)dx} = b h 2 ∫ 0 h ( ( a − c ) x 2 + c h x ) d x {\displaystyle ={\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}((a-c)x^{2}+chx)dx} = b h 2 [ ( a − c ) x 3 3 + c h x 2 2 ] 0 h {\displaystyle ={\frac {b}{h^{2}}}\left[{\frac {(a-c)x^{3}}{3}}+{\frac {chx^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}} = b h 2 ( ( a − c ) h 3 3 + c h 3 2 ) {\displaystyle ={\frac {b}{h^{2}}}\left({\frac {(a-c)h^{3}}{3}}+{\frac {ch^{3}}{2}}\right)} = b h ( a 3 + c 6 ) {\displaystyle =bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right)}
V = 2 12 a 3 {\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}}
正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。 立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。 よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。
正四面体の1辺の長さをaとします。 余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。
立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} 」から、
余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、
最後に立方体から角錐4つを引きます。

V = 2 3 a 3 {\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}}
正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。 それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。 底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、 高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。
対角線の長さは、
対角線は互いの中点で交わるので、
高さは、母線と対角線の半分から、
実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。 最後に、錐体の体積の公式から、
V = 15 + 7 5 4 a 3 {\displaystyle V={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}}
V = 5 ( 3 + 5 ) 12 a 3 {\displaystyle V={\frac {5(3+{\sqrt {5}})}{12}}a^{3}}
V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
半径 r {\displaystyle r} の円; C {\displaystyle C} を、円の中心からの距離 R {\displaystyle R} (但し、 r {\displaystyle r} ≦ R {\displaystyle R} とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型)
(解法)