高等学校数学III/積分法/演習問題

第1問
次の不定積分を計算せよ。
(1) ∫ ( 1 3 x 3 − 3 x 2 + 1 ) d x {\displaystyle \int \left({{\frac {1}{3}}x^{3}-3x^{2}+1}\right)dx}
(2) ∫ x + 5 x 4 + 10 x 3 − 9 x 2 − 250 x − 400 d x {\displaystyle \int {\frac {x+5}{x^{4}+10x^{3}-9x^{2}-250x-400}}dx}
(3) ∫ sin  2 x cos  3 x d x {\displaystyle \int {\sin {2x}\cos {3x}}dx}
(4) ∫ tan  x ∘ d x {\displaystyle \int {\tan {x^{\circ }}}dx}
(5) ∫ log  x d x {\displaystyle \int {\log {\sqrt {x}}}dx}
(6) ∫ x 1 + x 2 d x {\displaystyle \int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx}
(7) ∫ 2 1 + x 2 d x {\displaystyle \int {\frac {2}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx}
(8) ∫ x ⋅ 2 x d x {\displaystyle \int {x\cdot 2^{x}}dx}
第2問
次の定積分を計算せよ。
(1) ∫ 4 9 ( x 2 − 13 x + 36 ) d x {\displaystyle \int _{4}^{9}{(x^{2}-13x+36)}dx}
(2) ∫ 0 1 x 3 4 − 3 x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{3}{\sqrt {4-3x^{2}}}}dx}
(3) ∫ 1 4 1 + x d x {\displaystyle \int _{1}^{4}{\sqrt {1+{\sqrt {x}}}}dx}
(4) ∫ 0 2 π 3 cos 2  2 x d x {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{3\cos ^{2}{2x}}dx}
第3問
水でいっぱいの半径 r {\displaystyle r} の球状の容器の最下端に小さな孔を開ける。水が流れ始めた時刻を 0 {\displaystyle 0} とし、時刻 0 {\displaystyle 0} から時刻 t {\displaystyle t} までにこの孔を通って流出した水の量を f ( t ) {\displaystyle f(t)} 、時刻 t {\displaystyle t} における孔から水面までの高さを y {\displaystyle y} とすれば、 y {\displaystyle y} と f ( t ) {\displaystyle f(t)} の関係は正の定数 a {\displaystyle a} を用いて d f ( t ) d t = a y {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}=a{\sqrt {y}}} と書けるという。
(1) 水面の降下する速さが最小となるのは、 y {\displaystyle y} がどのような値をとる時か。
(2) 水が流れ始めてから y {\displaystyle y} が(1)で求めた値となるまでに要する時間を求めよ。
第4問
ある惑星から鉛直に初速 v 0 {\displaystyle v_{0}} で打ち上げられた宇宙船がある。惑星の半径を R {\displaystyle R} 、惑星表面での重力加速度を g {\displaystyle g} とする。また、宇宙船には惑星の中心からの距離の平方に反比例する引力(比例定数 G {\displaystyle G} )が働いている。
(1) 惑星の中心からの距離が r {\displaystyle r} の場所に宇宙船があるとき、宇宙船の速度 v {\displaystyle v} は以下の式を満たすことを証明せよ。
v 2 = 2 g R 2 r + v 0 2 − 2 g R {\displaystyle v^{2}={\frac {2gR^{2}}{r}}+{v_{0}}^{2}-2gR}
(2) (1)の関係式を用いて、宇宙船が再び惑星に戻ってこないようにするための初速 v 0 {\displaystyle v_{0}} の条件を述べよ。
第1問
積分定数をCとする。
(1) ∫ ( 1 3 x 3 − 3 x 2 + 1 ) d x = 1 12 x 4 − x 3 + x + C {\displaystyle \int \left({{\frac {1}{3}}x^{3}-3x^{2}+1}\right)dx={\frac {1}{12}}x^{4}-x^{3}+x+C}
(2) ∫ x + 5 x 4 + 10 x 3 − 9 x 2 − 250 x − 400 d x = ∫ 1 ( x + 2 ) ( x − 5 ) ( x + 8 ) d x = ∫ 1 546 ( − 13 x + 2 + 6 x − 5 + 7 x + 8 ) d x = 1 546 ( − 13 log  | x + 2 | + 6 log  | x − 5 | + 7 log  | x + 8 | ) + C {\displaystyle \int {\frac {x+5}{x^{4}+10x^{3}-9x^{2}-250x-400}}dx=\int {\frac {1}{(x+2)(x-5)(x+8)}}dx=\int {{\frac {1}{546}}\left(-{\frac {13}{x+2}}+{\frac {6}{x-5}}+{\frac {7}{x+8}}\right)}dx={\frac {1}{546}}\left(-13\log |x+2|+6\log |x-5|+7\log |x+8|\right)+C}
(3) ∫ sin  2 x cos  3 x d x = ∫ 1 2 ( sin  5 x − sin  x ) d x = 1 10 ( 5 cos  x − cos  5 x ) + C {\displaystyle \int {\sin {2x}\cos {3x}}dx=\int {{\frac {1}{2}}\left(\sin {5x}-\sin {x}\right)}dx={\frac {1}{10}}\left(5\cos {x}-\cos {5x}\right)+C}
(4) ∫ tan  x ∘ d x = ∫ tan  π x 180 d x = − 180 π log  | cos  π x 180 | + C {\displaystyle \int {\tan {x^{\circ }}}dx=\int {\tan {\frac {\pi x}{180}}}dx=-{\frac {180}{\pi }}\log \left|\cos {\frac {\pi x}{180}}\right|+C}
(5) ∫ log  x d x = ∫ 1 2 log  x d x = 1 2 ( x log  x − x ) + C {\displaystyle \int {\log {\sqrt {x}}}dx=\int {{\frac {1}{2}}\log {x}}dx={\frac {1}{2}}(x\log x-x)+C}
(6) t = 1 + x 2 {\displaystyle t=1+x^{2}} と置換すると d t = 2 x d x {\displaystyle dt=2xdx} なので、
∫ x 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ d t t = 1 2 log  | t | + C = 1 2 log  ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx={\frac {1}{2}}\int {\frac {dt}{t}}={\frac {1}{2}}\log \left|t\right|+C={\frac {1}{2}}\log(1+x^{2})+C}
(7) t = x + 1 + x 2 {\displaystyle t=x+{\sqrt {1+x^{2}}}} と置換すると d t = t 1 + x 2 d x {\displaystyle dt={\frac {t}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx} なので、
∫ 2 1 + x 2 d x = ∫ 2 t d t = 2 log  | t | + C = 2 log  ( x + 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int {\frac {2}{\sqrt {1+x^{2}}}}dx=\int {\frac {2}{t}}dt=2\log |t|+C=2\log(x+{\sqrt {1+x^{2}}})+C}
(8) ∫ x ⋅ 2 x d x = x ⋅ 2 x log  2 − ∫ 2 x log  2 d x = x ⋅ 2 x log  2 − 2 x ( log  2 ) 2 + C = 2 x ( x log  2 − 1 ) ( log  2 ) 2 + C {\displaystyle \int {x\cdot 2^{x}}dx={\frac {x\cdot 2^{x}}{\log {2}}}-\int {\frac {2^{x}}{\log {2}}}dx={\frac {x\cdot 2^{x}}{\log {2}}}-{\frac {2^{x}}{(\log {2})^{2}}}+C={\frac {2^{x}(x\log {2}-1)}{(\log {2})^{2}}}+C}
第2問
(1) ∫ 4 9 ( x 2 − 13 x + 36 ) d x = ( 9 − 4 ) 3 6 = 125 6 {\displaystyle \int _{4}^{9}{(x^{2}-13x+36)}dx={\frac {(9-4)^{3}}{6}}={\frac {125}{6}}}
(2) t = 4 − 3 x 2 {\displaystyle t={\sqrt {4-3x^{2}}}} と置換すると d t = − 3 x t d x {\displaystyle dt={\frac {-3x}{t}}dx} なので、
∫ 0 1 x 3 4 − 3 x 2 d x = ∫ 1 2 1 9 ( − t 4 + 4 t 2 ) d t = 1 135 [ − 3 t 5 + 20 t 3 ] 1 2 = 47 135 {\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{3}{\sqrt {4-3x^{2}}}}dx=\int _{1}^{2}{{\frac {1}{9}}(-t^{4}+4t^{2})}dt={\frac {1}{135}}[-3t^{5}+20t^{3}]_{1}^{2}={\frac {47}{135}}}
(3) t = 1 + x {\displaystyle t={\sqrt {1+{\sqrt {x}}}}} と置換すると 4 t ( t 2 − 1 ) d t = d x {\displaystyle 4t(t^{2}-1)dt=dx} なので、
∫ 1 4 1 + x d x = ∫ 2 3 4 ( t 4 − t 2 ) d t = 4 15 [ 3 t 5 − 5 t 3 ] 2 3 = 8 ( 6 3 − 2 ) 15 {\displaystyle \int _{1}^{4}{\sqrt {1+{\sqrt {x}}}}dx=\int _{\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}4(t^{4}-t^{2})dt={\frac {4}{15}}[3t^{5}-5t^{3}]_{\sqrt {2}}^{\sqrt {3}}={\frac {8(6{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}{15}}}
(4) ∫ 0 2 π 3 cos 2  2 x d x = ∫ 0 2 π 3 2 ( 1 + cos  4 x ) d x = 3 8 [ 4 x + sin  4 x ] 0 2 π = 3 π {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{3\cos ^{2}{2x}}dx=\int _{0}^{2\pi }{\frac {3}{2}}(1+\cos {4x})dx={\frac {3}{8}}[4x+\sin {4x}]_{0}^{2\pi }=3\pi }
第3問
(1) 水面の高さが y {\displaystyle y} のとき、水面は面積 π ( 2 r y − y 2 ) {\displaystyle \pi (2ry-y^{2})} の円なので、 d f d y = π ( y 2 − 2 r y ) {\displaystyle {\frac {df}{dy}}=\pi (y^{2}-2ry)} である。 よって、合成関数の微分公式 d f d t = d f d y d y d t {\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df}{dy}}{\frac {dy}{dt}}} より
である。 y {\displaystyle y} は時間とともに減少することに注意すると、水面が降下する速さは
である。これが最小になるような y {\displaystyle y} を求めればよい。 y {\displaystyle y} で微分すると
なので、 v {\displaystyle v} が最小になるのは y = 2 r 3 {\displaystyle y={\frac {2r}{3}}} のときである。
(2) 逆関数の微分公式より
なので、求める時刻は
である。
第4問
(1) G R − 2 = m g {\displaystyle GR^{-2}=mg} より、 G = m g R 2 {\displaystyle G=mgR^{2}} である。よって、惑星表面から、中心からの距離がrの場所まで移動する際、宇宙船が惑星の引力から受ける仕事は
である。よって力学的エネルギー保存則より
なので、整理して
を得る。
(2) 任意のrに対して v 2 > 0 {\displaystyle v^{2}>0} であればよい。 v 2 {\displaystyle v^{2}} はrについて単調減少なので、
であればよい。すなわち、
であればよい。