特殊相対論 テンソル

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ここからはテンソルという量を用いる。 数学的には、通常物理で扱う 3次元のベクトルは、 SO(3)群という群の表現の1つとなっている。 ここでいうローレンツ不変性は、 ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、 これも群の表現が良く知られている。
まず、 ローレンツ変換で変化しない量を スカラーと呼ぶ。 次に、ローレンツ変換に対して、 A ′ μ = Λ ν μ A ν {\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }A^{\nu }} となる量をベクトルと呼ぶ。
Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} は、 B 1 = γ ( 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle B_{1}=\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta &0&0\\\beta &1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} , B 2 = γ ( 1 0 0 0 0 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle B_{2}=\gamma {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&\beta &0\\0&\beta &1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} , B 3 = γ ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 β 0 0 β 1 ) {\displaystyle B_{3}=\gamma {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&\beta \\0&0&\beta &1\end{pmatrix}}} , R 1 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos  a − sin  a 0 0 sin  a cos  a ) {\displaystyle R_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos a&-\sin a\\0&0&\sin a&\cos a\end{pmatrix}}} , R 2 = ( 1 0 0 0 0 cos  a 0 sin  a 0 0 1 0 0 − sin  a 0 cos  a ) {\displaystyle R_{2}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos a&0&\sin a\\0&0&1&0\\0&-\sin a&0&\cos a\end{pmatrix}}} , R 3 = ( 1 0 0 0 0 cos  a − sin  a 0 0 sin  a cos  a 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle R_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos a&-\sin a&0\\0&\sin a&\cos a&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}} で与えられる。 ただし、ここで β = v c {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} を用いた。 (ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは 数学の"リー群"で与えられる。) 特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を 得るには p ′ μ = γ ( 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) p μ {\displaystyle p'^{\mu }=\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta &0&0\\\beta &1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}p^{\mu }} となる。特にx方向だけに注目するときには 変化が起こらないy、z方向を無視して 変換行列を γ ( 1 β β 1 ) {\displaystyle \gamma {\begin{pmatrix}1&\beta \\\beta &1\end{pmatrix}}} と短く書くことがある。
ここから、例えば、 A ′ μ A ′ ν {\displaystyle {A'}^{\mu }{A'}^{\nu }} というような量を作ると、 この量は A ′ μ A ′ ν = Λ ρ μ A ρ Λ σ ν A σ {\displaystyle {A'}^{\mu }{A'}^{\nu }=\Lambda _{\rho }^{\mu }A^{\rho }\Lambda _{\sigma }^{\nu }A^{\sigma }} というように変換することが分る。 ここで、 T μ ν = Λ ρ μ Λ σ ν T ρ σ {\displaystyle T^{\mu \nu }=\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }T^{\rho \sigma }} というように振舞う量を 2階のテンソルと呼ぶ。 これは添字が2つあることによる。 また、ベクトルは1階のテンソル、 スカラーは0階のテンソルということもできる。 (特に添字が上にあるものを反変テンソル と呼ぶことがある。)
ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを 定義する。 η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} ここで、この量を用いてベクトルの2乗 ( A μ ) 2 = η μ ν A μ A ν = ( A 0 ) 2 − ( A 1 ) 2 − ( A 2 ) 2 − ( A 3 ) 2 {\displaystyle {\begin{matrix}(A^{\mu })^{2}=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu }\\=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\end{matrix}}} を取る。
それぞれの添字は 同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、 打ち消すことが出来る。 例えば、 A μ A μ = ∑ m = 0 3 ( A m ) 2 {\displaystyle A^{\mu }A_{\mu }=\sum _{m=0}^{3}(A^{m})^{2}}
下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する 反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。
これらの添字は、 計量テンソル η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} によって、上下に移動させることが出来る。 例えば、 x μ = η μ ν x ν {\displaystyle x_{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\nu }} となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。 特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。 また、 上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと 呼ぶことがある。