線型代数学/行列と行列式/第三類/内積

中等課程では, a → {\displaystyle {\vec {a}}} と b → {\displaystyle {\vec {b}}} の内積 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} を, 矢印ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と b → {\displaystyle {\vec {b}}} のなす角を θ {\displaystyle \theta } として,
と定義した. これは平面ベクトルの場合でも,空間ベクトルの場合でもそうだった. また,この式が成分計算では成分ごとの積の和に等しいこと(例えば, a → = ( a 1 a 2 ) , b → = ( b 1 b 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}}\right),{\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}}\right)} であれば, a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} )を、余弦定理などにより示した.
線形代数では,成分計算の定義の方が先になる.成分で定義しておけば,次元が 4 {\displaystyle 4} 次以上のときベクトルのなす角のことを想像しなくても済む.
定義2 内積と大きさ
n {\displaystyle n} 次元実数ベクトル a = ( a 1 ⋮ a n ) {\displaystyle \mathbf {a} =\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{array}}\right)} , b = ( b 1 ⋮ b n ) {\displaystyle \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)} に関して、内積、大きさを次のように定める.
内積 a ⋅ b {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } は, a ⋅ b = ( a 1 ⋮ a n ) ⋅ ( b 1 ⋮ b n ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{n}} ....1
a {\displaystyle \mathbf {a} } の大きさ | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} は, | a | = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ⋯ + a n 2 {\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}} ....2
すると, | a | 2 = a ⋅ a {\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} } が成り立つ....3
また, a ≠ 0 , b ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {a} \neq 0,\mathbf {b} \neq 0} である a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } について, a ⋅ b = 0 {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0} のとき,「 a {\displaystyle \mathbf {a} } と b {\displaystyle \mathbf {b} } は直交する」といい,「 a ⊥ b {\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} } 」と書く.
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n = 2 , 3 {\displaystyle n=2,3} のとき, a → {\displaystyle {\vec {a}}} の大きさ | a → | {\displaystyle |{\vec {a}}|} は,矢印ベクトルで言えば始点から終点までの長さを表していた. n {\displaystyle n} が 4 {\displaystyle 4} 以上の場合もこれに倣って,同じような成分計算で表された | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} を大きさというわけである.
こうして定義した内積に関して,次のような計算法則が成り立つ.これも平面ベクトル・空間ベクトルでの経験から納得してもらえるだろう.
定理2 内積の計算法則
n {\displaystyle n} 次元ベクトル a , b , c {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} } と実数 k {\displaystyle k} に関して次が成り立つ.
(1) ( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( k b ) {\displaystyle (k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )}
(2) a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }
(3) ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} }
証明
(1) の証明. ( k a ) ⋅ b = ∑ i = 1 n ( k a i ) b i , k ( a ⋅ b ) = k ∑ i = 1 n a i b i , a ⋅ ( k b ) = ∑ i = 1 n a i ( k b i ) {\displaystyle (k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}(ka_{i})b_{i},\quad k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=k\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},\quad \mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(kb_{i})} .そして ∑ i = 1 n ( k a i ) b i = k ∑ i = 1 n a i b i = ∑ i = 1 n a i ( k b i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(ka_{i})b_{i}=k\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(kb_{i})} より ( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( k b ) {\displaystyle (k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )} .
(2)の証明. a ⋅ ( b + c ) = ∑ i = 1 n a i ( b i + c i ) = ∑ i = 1 n ( a i b i + a i c i ) = ∑ i = 1 n a i b i + ∑ i = 1 n a i c i = a ⋅ b + a ⋅ c {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(b_{i}+c_{i})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} } .
(3)の証明. ( a + b ) ⋅ c = ∑ i = 1 n ( a i + b i ) c i = ∑ i = 1 n ( a i c i + b i c i ) = ∑ i = 1 n a i c i + ∑ i = 1 n b i c i = a ⋅ c + b ⋅ c {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})c_{i}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}c_{i}+b_{i}c_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} } .
◼ {\displaystyle \blacksquare }
0 {\displaystyle 0} でないベクトル a {\displaystyle \mathbf {a} } をその大きさで割ったベクトル 1 | a | a {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} } は,大きさが 1 {\displaystyle 1} になる.
± 1 | a | a {\displaystyle \pm {\frac {1}{|\mathbf {a} |}}\mathbf {a} } のことを単位化したベクトル,あるいは正規化したベクトルという.
平面ベクトルと空間ベクトルでの内積の定義は a → ⋅ b → = | a → | | b → | cos  θ {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta } であった. ここで,定義よりも突っ込んだ内積の図形的な意味を確認しておく.
a → = O A , v → = O B {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {OA} ,{\vec {v}}=\mathrm {OB} } として図を描く. A {\displaystyle \mathrm {A} } から 直線 B {\displaystyle \mathrm {B} } に下ろした垂線の足を H {\displaystyle \mathrm {H} } とする. O B {\displaystyle \mathrm {OB} } を左回りに回転して O A {\displaystyle \mathrm {OA} } に重なる角を θ {\displaystyle \theta } とする.
O B {\displaystyle \mathrm {OB} } に数直線を重ね合わせ, O {\displaystyle \mathrm {O} } に数値 0 {\displaystyle 0} を割り当て目盛りを振ると, H {\displaystyle \mathrm {H} } の目盛りは三角関数の定義から、 O A cos  θ {\displaystyle \mathrm {OA} \cos \theta } となる.

内積の式は,
と見なすことができる.
特に b → {\displaystyle {\vec {b}}} が単位ベクトル e → {\displaystyle {\vec {e}}} のときを考える. b → {\displaystyle {\vec {b}}} をあらためて e → {\displaystyle {\vec {e}}} とおく.
O B = | b → | = | e → | = 1 {\displaystyle \mathrm {OB} =|{\vec {b}}|=|{\vec {e}}|=1} だから a → ⋅ e → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {e}}} は H {\displaystyle \mathrm {H} } の目盛りを表すことになる. a → {\displaystyle {\vec {a}}} と単位ベクトル e → {\displaystyle {\vec {e}}} との内積は a → {\displaystyle {\vec {a}}} の e → {\displaystyle {\vec {e}}} 方向の成分を表している.
定理3 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} の意味
O A → = a → , O B → = e → , e → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {a}},\quad {\vec {\mathrm {OB} }}={\vec {e}},\quad {\vec {e}}} は単位ベクトルとする.直線 O B {\displaystyle \mathrm {OB} } に重ねた数直線に A {\displaystyle \mathrm {A} } から下ろした垂線の足を H {\displaystyle \mathrm {H} } とすると、
証明 すでに記述した.
◼ {\displaystyle \blacksquare }