線型代数学/行列概論

m {\displaystyle m} と n {\displaystyle n} を自然数とする。 m n {\displaystyle mn} 個の数 a 11 , a 21 , ⋯ , a m 1 , ⋯ , a m n {\displaystyle a_{11},a_{21},\cdots ,a_{m1},\cdots ,a_{mn}} を、括弧で囲んだ中に次のように縦に m {\displaystyle m} 個、横に n {\displaystyle n} 個、表のように並べて書いたものを、 m {\displaystyle m} 行 n {\displaystyle n} 列の行列(matrix)と言う。(m×n)-行列とも言う。
この行列を構成する a i j {\displaystyle a_{ij}} を行列の成分(element)と言う。横に並んだ一列を行(row)、縦に並んだ一列を列(column)と言う。上から i {\displaystyle i} 番目の行を第 i {\displaystyle i} 行といい、左から j {\displaystyle j} 番目の列を第 j {\displaystyle j} 列と言う。行列内の第 i {\displaystyle i} 行、第 j {\displaystyle j} 列に位置する成分を、この行列の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -成分と言う。行列Aの ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分が、 a i j {\displaystyle a_{ij}} である行列 A {\displaystyle A} を A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} と書く。
行列の第k列の列ベクトルを a k = ( a 1 k a 2 k ⋮ a m k ) {\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\begin{pmatrix}a_{1k}\\a_{2k}\\\vdots \\a_{mk}\end{pmatrix}}} とする。 行列は、この列ベクトルを用いて、行列は、 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) {\displaystyle A=(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\cdots ,\mathbf {a} _{n})} と表すこともできる。 同じように、行列の第k行の行ベクトルを a k = ( a k 1 , a k 2 , ⋯ , a k m ) {\displaystyle \mathbf {a} _{k}=(a_{k1},a_{k2},\cdots ,a_{km})} としたとき。 行列は、この行ベクトルを用いて、行列は、 A = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\mathbf {a} _{2}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{pmatrix}}} と表すこともできる。
成分が全て実数の行列を実行列と言い、成分が全て複素数の行列を複素行列という。また、 m = n {\displaystyle m=n} の場合、(n×n)-行列を特にn次正方行列と呼ぶ。
2つの(m×n)-行列 A , B {\displaystyle A,B} に関し、 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} が等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、
2個のm行n列行列 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} について、行列の和 A+B を次のように定義する。 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}} , B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{pmatrix}}} のとき、
A = ( a i j ) , B = ( b i j ) {\displaystyle A=(a_{ij}),B=(b_{ij})} のとき、 A + B = ( a i j + b i j ) {\displaystyle A+B=(a_{ij}+b_{ij})} と表現することもできる。
また、行列 A {\displaystyle A} と定数 λ {\displaystyle \lambda } について、行列の定数倍 λ A {\displaystyle \lambda A} を次のように定義する。 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}} のとき、
特に、 λ = − 1 {\displaystyle \lambda =-1} のとき、 ( − 1 ) A {\displaystyle (-1)A} を − A {\displaystyle -A} と書く。
また、 A + ( − B ) {\displaystyle A+(-B)} を A − B {\displaystyle A-B} と書く。

2個の行列 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} について、Aの列数とBの行数が同じで A , B {\displaystyle A,B} の場合に、行列の積 A B {\displaystyle AB} を次のように定義する。 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}} , B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 l b 21 b 22 ⋯ b 2 l ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n l ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1l}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2l}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nl}\\\end{pmatrix}}} のとき、AとBの積ABを
と定める。 この定義は難しく見えるが、行列 A {\displaystyle A} の i {\displaystyle i} 行目の行ベクトルと、行列 B {\displaystyle B} の j {\displaystyle j} 列目の列ベクトルの内積が行列 A B {\displaystyle AB} の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分になっているだけである。
行列同士の積は全ての二行列に対して定義されているわけではない。(m×n)-行列と(n×l)-行列の間にのみ定義されているのである。
例題 次の計算をせよ。
例題
m × n {\displaystyle m\times n} 行列 A {\displaystyle A} 、 n × p {\displaystyle n\times p} 行列 B {\displaystyle B} 、 p × q {\displaystyle p\times q} 行列 C {\displaystyle C} について、 A ( B C ) = ( A B ) C {\displaystyle A(BC)=(AB)C} を証明せよ。
ここでは、行列 X {\displaystyle X} の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分を [ X ] i j {\displaystyle [X]_{ij}} と表すことにする。
[ A ( B C ) ] i j = ∑ k = 1 n [ A ] i k [ B C ] k j = ∑ k = 1 n ( [ A ] i k ∑ l = 1 p [ B ] k l [ C ] l j ) = ∑ k = 1 n ∑ l = 1 p [ A ] i k [ B ] k l [ C ] l j = ∑ l = 1 p ( [ C ] l j ∑ k = 1 n [ A ] i k [ B ] k l ) = ∑ l = 1 p [ A B ] i l [ C ] l j = [ ( A B ) C ] i j {\displaystyle {\begin{aligned}{[A(BC)]_{ij}}&=\sum _{k=1}^{n}[A]_{ik}[BC]_{kj}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left([A]_{ik}\sum _{l=1}^{p}[B]_{kl}[C]_{lj}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{p}[A]_{ik}[B]_{kl}[C]_{lj}\\&=\sum _{l=1}^{p}\left([C]_{lj}\sum _{k=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{kl}\right)\\&=\sum _{l=1}^{p}[AB]_{il}[C]_{lj}\\&=[(AB)C]_{ij}\end{aligned}}}
よって、 ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)}
行列成分が全て0の行列を零行列(zero matrix)といい、 0 {\displaystyle 0} と書く。特に(m×n)-行列であることを明示する場合には、0m,nと書き、n次正方行列であることを明示する場合には0nと書く。 任意の行列に、適当な零行列をかけると、常に零行列が得られる。零行列は、実数における0に似ている。
A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} に対して、成分 a k k , k = 1 , ⋯ , n {\displaystyle a_{kk},~k=1,\cdots ,n} を、 n {\displaystyle n} 次正方行列 A {\displaystyle A} の対角成分(diagonal element)という。
行列の対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列 I = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) {\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}} を単位行列(elementary matrix、あるいはidentity matrix)といい、 E n {\displaystyle E_{n}} や I n {\displaystyle I_{n}} と表す。 n {\displaystyle n} が明らかである場合にはしばしば省略して、 E {\displaystyle E} や I {\displaystyle I} と表すこともある。クロネッカーのデルタを使うと I = ( δ i j ) {\displaystyle I=(\delta _{ij})} .
A , B , C {\displaystyle A,B,C} を任意の ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 行列 、 λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } を任意の定数、 0 {\displaystyle 0} を零行列、 I {\displaystyle I} を単位行列とすると、以下の関係が成り立つ。
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}} に対して
を A {\displaystyle A} の転置行列(transposed matrix)と言い、 A T {\displaystyle A^{\mathsf {T}}} や t A {\displaystyle ^{t}A} と表す。
つまり A T {\displaystyle A^{\mathsf {T}}} とは、 A {\displaystyle A} の縦横をひっくり返した行列である。
以下のような性質が成り立つ。
A = ( a i j ) , B = ( b i j ) {\displaystyle A=(a_{ij}),B=(b_{ij})} とする。
ただし、 n {\displaystyle n} を A {\displaystyle A} の列数とする。
ある行列Aのすべての成分の複素共役を取った行列 A ̄ = ( a ̄ 1 , 1 ⋯ a ̄ 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ a ̄ n , 1 ⋯ a ̄ m , n ) {\displaystyle {\overline {A}}={\begin{pmatrix}{\overline {a}}_{1,1}&\cdots &{\overline {a}}_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {a}}_{n,1}&\cdots &{\overline {a}}_{m,n}\end{pmatrix}}} を、複素共役行列(complex conjugate matrix)という。
以下のような性質がある。
一番最後の式には注意せよ。とりあえず、ここで一休みして、演習をやろう。
演習
3.
A = ( 1 3 − 1 0 2 1 3 2 1 2 3 4 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&-1&0\\2&1&3&2\\1&2&3&4\\\end{pmatrix}}} は、
A 1 = ( 1 3 − 1 2 1 3 ) {\displaystyle A_{1}={\begin{pmatrix}1&3&-1\\2&1&3\\\end{pmatrix}}} , A 2 = ( 0 2 ) {\displaystyle A_{2}={\begin{pmatrix}0\\2\\\end{pmatrix}}}
A 3 = ( 1 2 3 ) {\displaystyle A_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}} , A 4 = ( 4 ) {\displaystyle A_{4}={\begin{pmatrix}4\\\end{pmatrix}}}
とすることで、
A = ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}\\A_{3}&A_{4}\\\end{pmatrix}}}
一般に、
定義(2.1)行列の区分け
(l,m)型行列A=(ai,j)をp-1本の横線とq-1本の縦線でp×qの島に分けて、上からs番目、左からt番目の行列をAs,tとおいて、
A = ( A 1 , 1 A 1 , 2 A 1 , 3 ⋯ A 1 , q A 2 , 1 A 2 , 2 A 2 , 3 ⋯ A 2 , q A 3 , 1 A 3 , 2 A 3 , 3 ⋯ A 3 , q ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A p , 1 A p , 2 A p , 3 ⋯ A p , q ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&A_{1,3}&\cdots &A_{1,q}\\A_{2,1}&A_{2,2}&A_{2,3}&\cdots &A_{2,q}\\A_{3,1}&A_{3,2}&A_{3,3}&\cdots &A_{3,q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p,1}&A_{p,2}&A_{p,3}&\cdots &A_{p,q}\\\end{pmatrix}}}
とすることを、行列の区分けと言う。
定理(2.2)
同様に区画された同じ型の、
A = ( A 1 , 1 A 1 , 2 A 1 , 3 ⋯ A 1 , q A 2 , 1 A 2 , 2 A 2 , 3 ⋯ A 2 , q A 3 , 1 A 3 , 2 A 3 , 3 ⋯ A 3 , q ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ A p , 1 A p , 2 A p , 3 ⋯ A p , q ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&A_{1,3}&\cdots &A_{1,q}\\A_{2,1}&A_{2,2}&A_{2,3}&\cdots &A_{2,q}\\A_{3,1}&A_{3,2}&A_{3,3}&\cdots &A_{3,q}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\A_{p,1}&A_{p,2}&A_{p,3}&\cdots &A_{p,q}\\\end{pmatrix}}} , B = ( B 1 , 1 B 1 , 2 B 1 , 3 ⋯ B 1 , r B 2 , 1 B 2 , 2 B 2 , 3 ⋯ B 2 , r B 3 , 1 B 3 , 2 B 3 , 3 ⋯ B 3 , r ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B q , 1 B q , 2 B q , 3 ⋯ B q , r ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{1,1}&B_{1,2}&B_{1,3}&\cdots &B_{1,r}\\B_{2,1}&B_{2,2}&B_{2,3}&\cdots &B_{2,r}\\B_{3,1}&B_{3,2}&B_{3,3}&\cdots &B_{3,r}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{q,1}&B_{q,2}&B_{q,3}&\cdots &B_{q,r}\\\end{pmatrix}}}
C = A B = ( C 1 , 1 C 1 , 2 C 1 , 3 ⋯ C 1 , r C 2 , 1 C 2 , 2 C 2 , 3 ⋯ C 2 , r C 3 , 1 C 3 , 2 C 3 , 3 ⋯ C 3 , r ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C p , 1 C p , 2 C p , 3 ⋯ C p , r ) {\displaystyle C=AB={\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}&C_{1,3}&\cdots &C_{1,r}\\C_{2,1}&C_{2,2}&C_{2,3}&\cdots &C_{2,r}\\C_{3,1}&C_{3,2}&C_{3,3}&\cdots &C_{3,r}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{p,1}&C_{p,2}&C_{p,3}&\cdots &C_{p,r}\\\end{pmatrix}}}
がある。この時、
C s , u = ∑ t = 1 q A s , t B t , u = A s , 1 B 1 , u + A s , 2 B 2 , u + . . . + A s , q B q , u {\displaystyle C_{s,u}=\sum _{t=1}^{q}A_{s,t}B_{t,u}=A_{s,1}B_{1,u}+A_{s,2}B_{2,u}+...+A_{s,q}B_{q,u}} (2.3)
(s=1,2,...,p;u=1,2,...,r)
(証明)
例
例
縦ベクトルx=(xi)は、
x=x1e1+x2e2+...+xkek
と表す事が出来るが、一般に
x1a1+x2a2+...+xkak
をa1,a2,...,akの線型結合と言う。
演習
計算せよ
(1) ( 1 1 0 0 0 − 2 0 0 0 0 − 2 3 0 0 1 1 ) ( 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 − 2 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&-2&3\\0&0&1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&-2&3\\\end{pmatrix}}}
(2) ( 2 i 0 0 0 − i 0 0 0 3 i ) ( − 1 0 0 0 2 0 0 0 1 ) ( i = − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2i&0&0\\0&-i&0\\0&0&3i\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}(i={\sqrt {-1}})}

A X = X A = I {\displaystyle AX=XA=I} となる行列 X {\displaystyle X} が存在すれば、 X {\displaystyle X} を A {\displaystyle A} の逆行列といい、 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} と表す。 また、 A {\displaystyle A} に逆行列が存在すれば、 A {\displaystyle A} を正則行列といい、逆行列はただ一通りに決まる。
証明
逆行列については、以下の性質が成り立つ。
証明
定義(3.2.4)対称区分け
正方行列を一辺が等しい正方形の島に区分けするとき、この区分けを対称区分けと言う。
簡単な証明で
「定理(3.2.5)
対称区分けで、
A = ( A 1 , 1 A 1 , 2 O A 2 , 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\O&A_{2,2}\\\end{pmatrix}}}
において、A1,1とA2,2が正則ならば、Aも正則である。」
及び次のことが言える。
「対称区分けで、
A=(Ai,j)で、(i,j=1,2,...n) A i , j = { A i ( i = j ) O {\displaystyle A_{i,j}={\begin{cases}A_{i}(i=j)\\O\end{cases}}} ならば、Aが正則である必要十分条件は、Aiがすべて正則である事である」
その逆行列は、次のように与えられる。
A − 1 = { A i − 1 ( i = j ) O {\displaystyle A^{-1}={\begin{cases}A_{i}^{-1}(i=j)\\O\end{cases}}}
また、(3.2.5)の逆行列A-1は、
A − 1 = ( A 1 , 1 − 1 − A 1 , 1 − 1 A 1 , 2 A 2 , 2 − 1 O A 2 , 2 − 1 ) {\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1,1}^{-1}&-A_{1,1}^{-1}A_{1,2}A_{2,2}^{-1}\\O&A_{2,2}^{-1}\end{pmatrix}}} である。
行列の累乗は、 A {\displaystyle A} を正則行列、 n {\displaystyle n} を自然数とし、次のように定義される。
行列の累乗には以下の性質がある。
証明 ( A B ) k = A B A B A B ⋯ A B A B {\displaystyle (AB)^{k}=ABABAB\cdots ABAB}
A B A B A B ⋯ A B A B = A A B A B A ⋯ B A B B {\displaystyle ABABAB\cdots ABAB=AABABA\cdots BABB} これを続けると、 A A ⋯ A ⏟ k B B ⋯ B ⏟ k {\displaystyle \underbrace {AA\cdots A} _{k}\underbrace {BB\cdots B} _{k}} となる。
正方行列(ai,j)において、ai,iを対角成分と言う。また、対角成分以外が全て0である正方行列のことを対角行列(diagonal matrix)と言う。対角行列が正則であるための、必要十分条件は、対角成分が全て0でないということである。4章で示される。対角行列の中でも更にスカラー行列と呼ばれるものがある。それはcE(c≠0)の事である。勿論Eはc=1の時のスカラー行列で、対角行列である。また、スカラー行列cEを任意行列Aに掛けると、CAとでる。対角行列が定義されたので、固有和が定義できる。
定義(3.2.6)固有和または跡(trace)
次のような性質がある
Tr(cA)=cTrA, Tr(A+B)=TrA+TrB, Tr(AB)=Tr(BA)