数学演習/中学校2年生/確率/解答

数学演習 中学校2年生
中学校数学 2年生-数量/確率
問題はこちらにあります。
(1)略
(2)[1,2][1,3][1,4][2,1][2,3][2,4][3,1][3,2][3,4][4,1][4,2][4,3]の12通り
(3)[1,2][1,3][1,4][2,3][2,4][3,4]の6通り
全ての場合を書き出してみる。表=100ないし50、裏=Nとする。左の2枚は100円玉、右の2枚は50円玉である。
(1)上を見ると全て表の出方は1通り。全ての出方は16通りなので、 1 16 {\displaystyle {\frac {1}{16}}} となる。
(2)同様に3枚表の出方は4通り。 4 16 = 1 4 {\displaystyle {\frac {4}{16}}={\frac {1}{4}}} となる。
(3)200円以上となる条件は3枚以上表であるか[100,100,N,N]の場合。 6 16 = 3 8 {\displaystyle {\frac {6}{16}}={\frac {3}{8}}} となる。
(4)100円玉と50円玉がちょうど1枚ずつ表である条件は2枚表の部分で[100,100,N,N][N,N,50,50]以外の場合である。 4 16 = 1 4 {\displaystyle {\frac {4}{16}}={\frac {1}{4}}} となる。
(5)上の出方を見るよりは、全体から50円玉が全く表にならなかった確率を引いたほうがよい。50円玉が全く表にならない場合は[100,100,N,N][100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,N,N]の4通り。 1 − 4 16 = 12 16 = 3 4 {\displaystyle 1-{\frac {4}{16}}={\frac {12}{16}}={\frac {3}{4}}} となる。
(1)乱数賽に10の目はないので、確率は0である。
(2)素数は2・3・5・7の4通りがそれぞれ2面あるので 8 20 = 2 5 {\displaystyle {\frac {8}{20}}={\frac {2}{5}}} である。
(3)一見では分かりにくいので、表にまとめてみる。GCDは最大公約数の英語の略称である。
以上の表より、 228 400 = 57 100 {\displaystyle {\frac {228}{400}}={\frac {57}{100}}} である。
(4)(3)に同じく表にまとめてみる。SUMは和を英語で表したものである。
この表を見れば、右上から左下にのびる「9」が最も出やすい(と期待される)ことが分かる。逆に最も出にくい(と期待される)数は「0」と「18」である。
(5)得であるとは言えない
このゲーム1回で貰える賞金の平均を計算してみよう。
0円・10円・20円・30円・40円・50円・60円・70円・80円・90円が等率で出ると期待されるから、以下のように計算できる。
計算結果は、このゲーム1回あたりの賞金の平均が45円であることを意味している。
このゲームの参加費が50円であることから、1ゲームにつき平均5円分損をしているだろうと考えることができる。
確率の分野では平均と言わずに、期待値という言葉を用いる。期待値(きたいち)とは、1試行で出る値の平均を示す指標で、この問題の場合は「それぞれの目の数値×その目の出る確率」の総和で求められる。(期待値について詳しくは、高校で学習する。)
例えばサイコロは1〜6の面が均等に出る(と期待される)から、その期待値は
となる。詳しくはここでは説明しないが、n回振った時の目の総和の平均が 3.5 n {\displaystyle 3.5n} になることも意味している。

(1)Aが当たる確率は 3 10 {\displaystyle {\frac {3}{10}}} である。
(2)Aが当たった場合とAが外れた場合を分けて考える必要がある。以前の人が引いたらくじの本数が減っていることに注意。
3 10 {\displaystyle {\frac {3}{10}}} (A当たり) × 2 9 {\displaystyle \times {\frac {2}{9}}} (B当たり) = 6 90 = 1 15 {\displaystyle ={\frac {6}{90}}={\frac {1}{15}}}
7 10 {\displaystyle {\frac {7}{10}}} (A外れ) × 3 9 {\displaystyle \times {\frac {3}{9}}} (B当たり) = 21 90 = 7 30 {\displaystyle ={\frac {21}{90}}={\frac {7}{30}}}
これら2つの確率はAが当たりと外れが同時に起こらないことから足してよいので、 1 15 + 7 30 = 9 30 = 3 10 {\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {7}{30}}={\frac {9}{30}}={\frac {3}{10}}}
(3)結論から言うと、Cの当たる確率も 3 10 {\displaystyle {\frac {3}{10}}} なのである。
3 10 {\displaystyle {\frac {3}{10}}} (A当たり) × 2 9 {\displaystyle \times {\frac {2}{9}}} (B当たり) × 1 8 {\displaystyle \times {\frac {1}{8}}} (C当たり) = 6 720 = 1 120 {\displaystyle ={\frac {6}{720}}={\frac {1}{120}}}
3 10 {\displaystyle {\frac {3}{10}}} (A当たり) × 7 9 {\displaystyle \times {\frac {7}{9}}} (B外れ) × 2 8 {\displaystyle \times {\frac {2}{8}}} (C当たり) = 42 720 = 7 120 {\displaystyle ={\frac {42}{720}}={\frac {7}{120}}}
7 10 {\displaystyle {\frac {7}{10}}} (A外れ) × 3 9 {\displaystyle \times {\frac {3}{9}}} (B当たり) × 2 8 {\displaystyle \times {\frac {2}{8}}} (C当たり) = 42 720 = 7 120 {\displaystyle ={\frac {42}{720}}={\frac {7}{120}}}
7 10 {\displaystyle {\frac {7}{10}}} (A外れ) × 6 9 {\displaystyle \times {\frac {6}{9}}} (B外れ) × 3 8 {\displaystyle \times {\frac {3}{8}}} (C当たり) = 126 720 = 21 120 {\displaystyle ={\frac {126}{720}}={\frac {21}{120}}}
同様に確率の和は 1 120 + 7 120 + 7 120 + 21 120 = 36 120 = 3 10 {\displaystyle {\frac {1}{120}}+{\frac {7}{120}}+{\frac {7}{120}}+{\frac {21}{120}}={\frac {36}{120}}={\frac {3}{10}}}
以上の結果から分かる通り、当たる確率はくじを引く順番によらないのである。
(4)少なくとも誰か1人当たる確率は「1-全員外れる確率」で求められる。全員外れる確率は 7 10 × 6 9 × 5 8 = 210 720 = 7 24 {\displaystyle {\frac {7}{10}}\times {\frac {6}{9}}\times {\frac {5}{8}}={\frac {210}{720}}={\frac {7}{24}}} 。よって 1 − 7 24 = 17 24 {\displaystyle 1-{\frac {7}{24}}={\frac {17}{24}}}
(1)トランプ52枚の中にハートは13枚あるから、 13 52 = 1 4 {\displaystyle {\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}} である。
(2)「1枚目が絵札になる確率×(カードの総数が1枚減って)2枚目が絵札にならない確率」で求められるから、 12 52 × 40 51 {\displaystyle {\frac {12}{52}}\times {\frac {40}{51}}} となる。
(3) 2枚目を引くときに1枚目と同じ数字、さらに3枚目のときにも同じ数字、さらに4枚目のときも同じ数字を引けばよいので、 3 51 × 2 50 × 1 49 {\displaystyle {\frac {3}{51}}\times {\frac {2}{50}}\times {\frac {1}{49}}} となる。