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熱力学/熱力学の第2法則

熱力学 > 熱力学の第2法則
熱の巨視的な性質として、 "温度の低いものから温度の高いものに対して 他の物体に影響を与える事無しに熱を与えさせることはできない。" ことが知られている。 これを熱力学の第2法則という。 例えば、仮にこのことが可能だったとしたとき 冷たい水と熱い湯を混ぜたとき 冷たい水はより冷たく、湯はより熱くということが 起こり得ることが予想される。実際には 経験的にこれらのことが起こらないことが知られている。

気体の変数の変数p,V,Tは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、状態方程式(理想気体かファンデルワールス気体かは、ここでは問わない)があるならば、変数p,V,Tのうちの、どれか二つが決まれば、気体の状態方程式から残りの変数も決まる。こうして3変数p,V,Tが決まる。

内部エネルギーは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、どちらにしても、変数p,V,Tのうち、どれか二つが決まれば、気体の方程式から残りの方程式も決まる。決まった3変数のp,V,Tによって、内部エネルギーも決まってしまう。このような、状態変数によってのみ決まる物理量を状態量(じょうたいりょう)という。 3変数のp,V,Tが決まれば内部エネルギーも決定されるので、内部エネルイギーは状態量である。 内部エネルギーを決める3変数のうち、真に独立変数なのは、そのうちの2個のみである。変数p,V,Tのどれを2個まで独立変数に選んでもいいが、残りの1個は既に選んだ変数の従属変数になる。
どの変数を独立変数に選ぶと、知りたい答えが求めやすいかは、問題による。
(多変数の関数の微分積分については、大学理科系で教育される。多変数関数の微分を偏微分という。解説は高校レベルを超えるので省略。)
前節で言及された3つの変数(圧力p、体積V、温度T)のほか、エントロピーSや内部エネルギーUなども熱力学系の平衡状態を特徴付ける状態量である。
前節と同様、5つの状態量p,V,T,U,Sのうち任意の2つを独立変数に選ぶ場合にも、残る3つの変数はこれら2つの独立変数で表される従属変数として扱える。
この5つの変数の任意の組み合わせを独立変数にもつ状態量は、一般に熱力学関数と呼ばれる。
内部エネルギーU(S,V)のほか、後の章にて言及されるエントロピーS(U,V)、エンタルピーH(S,p)、ヘルムホルツの自由エネルギーF(V,T)、ギブスの自由エネルギーG(T,p)なども熱力学関数である。
(この節では、高校数学の数学III相当の微分積分を用いる。分からなければ数学IIIを参照のこと。)
圧力をpと書くとする。体積をV、モル数をn、普遍気体定数をn、温度を絶対温度でTとする。
仕事Wの、瞬間的な仕事の大きさは微分を用いてdWと表せる。体積Vの、その瞬間の体積変化は微分を用いてdVと表せる。これらを用いれば、
d W = p d V {\displaystyle dW=pdV}
と微分方程式で表せる。(定圧変化では無いから、この式のpは変数である。)
体積をV1からV2まで変化させた時の仕事は、積分を用いて以下のように書き表せる。
W = ∫ V 1 V 2 p d V {\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}pdV}
これに、状態方程式の p V = n R T {\displaystyle pV=nRT} を、組み合わせる。
積分変数のVに合わせて、pを書き換えよう。
p = n R T V {\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}
である。これより、仕事の式は、
W = ∫ V 1 V 2 p d V = ∫ V 1 V 2 n R T V d V = n R T ∫ V 1 V 2 d V V = n R T log  V 2 V 1 {\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}pdV=\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {nRT}{V}}dV=nRT\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}=nRT\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}
となる。(なお、logは自然対数である。) 結論をまとめると、
である。
内部エネルギーUは、理想気体では温度のみの関数で、等温変化では温度が変化しないから、
である。
したがって、等温変化では
である。
まず、熱と内部エネルギーと仕事の関係式
を、次のように微分方程式に書き換える。内部エネルギーの変化を微小変化としてdUと表したとすると、熱量Qや仕事Wも微小変化になるので、以下の様な式になる。
QやWの微分演算記号dの上に点「 ′ {\displaystyle '} 」が付いているのは、厳密に言うと、熱量Qや仕事Wは状態量で無いから、区別するために用いている。
断熱変化では
なので、つまり、
となる。
仕事に関しては
である。 内部エネルギーの微小変化は、定積モル比熱を用いて、
と書ける。
なので、これ等を式 0 = d U + d ′ W {\displaystyle 0=dU+d'W} に代入し、
と書ける。 両辺をpVで割ると、
であるが、pV=nRTを利用すると、
となる。
この微分方程式を解く。まず移項して、
となる。 積分して、
ここで、 C o n s t {\displaystyle Const} は積分定数とする。(積分定数を C {\displaystyle C} と書かなかったのは、比熱の記号との混同を避けるため。) 対数の性質より、係数R/Cvを対数log()の中の変数の指数に持ってこれる(数学II相当)ので、計算すると、
さらに移項して、変数を左辺にまとめると、
対数の性質より、対数同士の和は、中の変数の積に変えられるので、
である。 対数の定義より、自然対数の底をeとすれば
である。 e C o n s t {\displaystyle e^{Const}} を新しく、別の定数として、定数“constant”と置き直せば、
である。 これで断熱変化の温度と体積の関係式の公式が求まった。
仕事Wとの関係を見たいので、先ほど求めた上の公式をpとTの式に書き換える事を考える。状態方程式 p V = n R T {\displaystyle pV=nRT} を用いてTを、PとVを用いた式に書き換えると、まず代入しやすいように状態方程式を
と書き換えて、これを公式に代入すれば、
1 n R {\displaystyle {\frac {1}{nR}}} は定数なので、これを定数部にまとめてしまえば、別の定数をConst2とでも置いて、
と書ける。 ここで、指数部の式は、マイヤーの式 C p = C v + R {\displaystyle Cp=Cv+R} より、定圧モル比熱で書き換えが可能である。
である。 ここで、: C p C V {\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{V}}}} を比熱比(heat capacity ratio)と言う。比熱比の記号は一般に γ {\displaystyle \gamma } で表す。 これを用いると、
である。
また、温度と体積の関係式
に比熱比を代入すると、
になる。
これらの、圧力と体積の公式、および温度と体積の公式の二式をポアソンの式という。
熱力学/エントロピー

熱力学 > エントロピー
ある温度Tの物体に対して準静的に 熱dQが与えられたときその物体は d S = d Q T {\displaystyle dS={\frac {dQ}{T}}} のエントロピーを得たという。 この値を用いて第2法則を書き換えることが出来る。 ある温度 T 1 {\displaystyle T_{1}} と T 2 {\displaystyle T_{2}} ( T 1 > T 2 {\displaystyle T_{1}>T_{2}} )の物体を(物体1,物体2とする。) 接触させたとき、第2法則は ある量の熱が T 1 {\displaystyle T_{1}} の物体から T 2 {\displaystyle T_{2}} の物体に移されることを予言する。 このとき、それぞれの物体が得たエントロピーの量を計算すると 物体1については、 d S 1 = − d Q T 1 {\displaystyle dS_{1}=-{\frac {dQ}{T_{1}}}} が得られ、物体2については d S 2 = d Q T 2 {\displaystyle dS_{2}={\frac {dQ}{T_{2}}}} が得られる。2つを合わせた場合を全系と呼び、全系のエントロピーを d S tot {\displaystyle dS_{\textrm {tot}}} と書くと、 d S tot = d Q ( 1 T 2 − 1 T 1 ) > 0 {\displaystyle dS_{\textrm {tot}}=dQ({\frac {1}{T_{2}}}-{\frac {1}{T_{1}}})>0} が得られる。 このことから、第2法則は "全系のエントロピーが増大する方向に熱の移動が起こる。" と書き直すことが出来る。
また、 d Q = T d S {\displaystyle dQ=TdS} の関係を用いて、第1法則を書き換えることが出来る。 d Q = d U − d W {\displaystyle dQ=dU-dW} を書き換えて、 d U = T d S + d W {\displaystyle dU=TdS+dW} が得られる。 特に気体について d W = − P d V {\displaystyle dW=-PdV} となるものとして、圧力を定義すると d U = T d S − P d V {\displaystyle dU=TdS-PdV} が得られる。
(注意:これは可逆過程を考えたときの記述です。不可逆過程を考えたときは ...)
熱効率の定義式と、カルノーサイクルの熱効率の温度の関係式を連立させてみよう。 まず、高温熱源の温度をThと書くとして、高温熱源から熱機関に渡す熱量をQhと書くとしよう。 低温熱源の温度はTcとして、熱機関から低温熱源に放熱される熱量をQcと書くとしよう。 熱効率eの定義式は、
であった。いっぽう、カルノーサイクルの熱効率は、
である。
これらより、
である。これは、
とも書けて、両辺の1を引いて消去して、
となる。マイナスがあるので、移項すれば、
である。 添字が同じ量どうしをまとめれば、
となる。ここで、 Q T {\displaystyle {\frac {Q}{T}}} を新しい物理量として定義して、この量はエントロピー(entropy)と呼ばれる。エントロピーの記号はSと置くとする。また、エントロピーの単位は[J/K]である。 つまり、 S = Q T {\displaystyle S={\frac {Q}{T}}} である。そうすると、式(1)は
と書ける。
熱機関の動作の順序は、まず機関が高温熱源から熱を貰ってから、低温熱源に熱を渡すのであった。(逆に先に低音熱源に放熱してから高温熱源で吸熱するのは不可能である。熱機関は、もらってない熱は渡せない。熱力学の第二法則より当然である。)だから、時間的には、熱機関のエントロピーSは、まず先にS=Shになってから、時間が経って、あとからS=Scになったのである。 そして式(2)より、 S h {\displaystyle S_{h}} ≦ S c {\displaystyle S_{c}} であるから、熱機関のエントロピーは、時間が経って、増大したことが分かる。
以上の論証より、熱機関のエントロピーは、かならず増大する。これをエントロピー増大の法則という。
熱力学/熱力学的なエネルギー

熱力学 > 熱力学的なエネルギー
ある系について4つのパラメータ T,S,V,Pを考えるとき このうちの2つを定めると、他の2つは自動的に決定される。 (導出?)
ここで d U = T d S − P d V {\displaystyle dU=TdS-PdV} の式から、内部エネルギーUにとって自然な変数は SとVであることがわかる。 (T,PはS,Vの関数である。) このときそれ以外の2つの量を自然な変数として 持つ量を定義する。
例えば、S,Pを自然な変数を持つ量として H = U + P V {\displaystyle H=U+PV} を定義する。Hをエンタルピーと呼ぶ。
(導出) d H = d U + d ( P V ) {\displaystyle dH=dU+d(PV)} = T d S − P d V + V d P + P d V {\displaystyle =TdS-PdV+VdP+PdV} = T d S + V d P {\displaystyle =TdS+VdP} となり、確かにSとPが変数となっている。
同様にして F = U − T S {\displaystyle F=U-TS} (ヘルムホルツの自由エネルギー) ,
G = U − T S + P V = H − T S {\displaystyle G=U-TS+PV=H-TS} (ギブスの自由エネルギー) を定義する。 ギブスの自由エネルギーは等温等圧の条件で行なわれる 実験においてよく用いられる。
特殊相対論 速度の合成則

特殊相対論 > 速度の合成則
ある速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} を持つ物体1から見たときに ある速度 v 2 {\displaystyle v_{2}} を持つ物体2を 、静止している観測者から見たときの 速度を計算する。 (Newton力学では v 1 + v 2 {\displaystyle v_{1}+v_{2}} となることに注意。)
ローレンツ群の性質から v 1 {\displaystyle v_{1}} を使った変換と v 1 {\displaystyle v_{1}} を使った変換を合わせて使うことで、 静止した観測者から見た場合の物体2の速度が 求まることを用いると、
γ 1 ( 1 β 1 β 1 1 ) × γ 2 ( 1 β 2 β 2 1 ) = γ 3 ( 1 β 3 β 3 1 ) {\displaystyle \gamma _{1}{\begin{pmatrix}1&\beta _{1}\\\beta _{1}&1\end{pmatrix}}\times \gamma _{2}{\begin{pmatrix}1&\beta _{2}\\\beta _{2}&1\end{pmatrix}}=\gamma _{3}{\begin{pmatrix}1&\beta _{3}\\\beta _{3}&1\end{pmatrix}}} となることが分かる。 左辺の1行1列成分を計算すると、 = γ 1 γ 2 ( 1 + β 1 β 2 ) {\displaystyle =\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{1}\beta _{2})} となることがわかる。 右辺の1行1列成分と見くらべると、 γ 1 γ 2 ( 1 + β 1 β 2 ) = γ 3 {\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{1}\beta _{2})=\gamma _{3}} が得られる。 両辺を2乗すると、 1 1 − v 3 2 / c 2 = 1 1 − v 1 2 / c 2 1 1 − v 2 2 / c 2 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{1-v_{3}^{2}/c^{2}}}={\frac {1}{1-v_{1}^{2}/c^{2}}}{\frac {1}{1-v_{2}^{2}/c^{2}}}(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}} 両辺の逆数を取ると、 1 − v 3 2 / c 2 = ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 {\displaystyle 1-v_{3}^{2}/c^{2}=(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}){\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}} よって、 ( v 3 / c ) 2 = 1 − 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 − ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( 2 v 1 v 2 / c 2 − ( − v 1 2 / c 2 − v 2 2 / c 2 ) ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( v 1 / c + v 2 / c ) 2 {\displaystyle {\begin{matrix}(v_{3}/c)^{2}=1-{\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2})\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}((1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}-(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}))\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(2v_{1}v_{2}/c^{2}-(-v_{1}^{2}/c^{2}-v_{2}^{2}/c^{2}))\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(v_{1}/c+v_{2}/c)^{2}\end{matrix}}}
これらから v 3 / c = ( v 1 / c + v 2 / c ) 1 + v 1 v 2 / c 2 {\displaystyle v_{3}/c={\frac {(v_{1}/c+v_{2}/c)}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}}}} が得られる。 ここで v 2 = c {\displaystyle v_{2}=c} とおくと、 v 3 / c = ( v 1 / c + 1 ) 1 + v 1 / c {\displaystyle v_{3}/c={\frac {(v_{1}/c+1)}{1+v_{1}/c}}} つまり、 v 3 = c {\displaystyle v_{3}=c} が得られる。 これは、ある速さ v 1 {\displaystyle v_{1}} を持った観測者1が、観測者1から見て 光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは 光速cより速くなることは無いということを示している。
有機化学/シクロアルカン

有機化学>シクロアルカン
シクロアルカン(cycloalkanes)は一般式CnH2nで表される環式不飽和炭化水素の総称である。シクロアルカンはC-C結合がすべて単結合であることから、一般にアルカンに似た性質を示す。一般式が同じアルケンとは異なり、シクロアルカンは付加反応しない。命名には同じ炭素数のアルカンの前に「シクロ(cyclo-)」をつける。シクロアルカンが有するようなn個の原子で構成される環は一般にn員環(三員環、四員環、...)と呼ばれる。例えば、シクロプロパン(n=3)は三員環である。
原子軌道の混成理論によると、炭素原子に4個の原子(群)が結合する有機化合物において、炭素原子上の4個の結合はsp混成軌道と呼ばれる4つの混成軌道として表現される。それにより、メタン(CH4)などにみられる最も対称性が高いsp混成軌道では、炭素原子を重心として正四面体の各頂点へ伸びた「正四面体形」の原子価状態が現れる。このときの理想的なsp混成軌道の結合角はcos(1/3)≒109.5°と計算される。シクロアルカン上の炭素原子はすべてsp混成であり、109.5°を大きく離れる結合角を有するシクロアルカンは大きな環ひずみにより不安定になる。
シクロプロパン以外のシクロアルカンは同一平面上に全ての炭素原子が存在する構造をとらないため、立体配座が考慮されることが多い。シクロペンタン(n=5)とシクロヘキサン(n=6)を比較すると、正五角形の内角は108°、正六角形の内角は120°であり、平面分子であるならばシクロペンタンがより安定であると予想される。しかし、実際にはシクロヘキサンがほぼ理想的な形状のsp混成軌道を有しており、シクロペンタンよりも安定となる。n=3–10程度のシクロアルカンを比較するとn=6に近いものほど安定である。
有機化学/シクロアルケン

有機化学>シクロアルケン
二重結合をひとつだけ持つ脂環式炭化水素である。 性質はアルケンに似ている。 一般式はCnH2n-2であり、アルキンと同じである。しかし、シクロアルケンは置換反応しないので区別できる。 命名はアルケンの前に「シクロ(cyclo)」をつける。 シクロアルカンと同じく、シクロペンテンとシクロヘキセンが安定である。
初等数学公式集/初等代数/展開公式

ここでは展開公式の解説をします。
演習問題 以下の式を展開せよ。
解答
証明
演習問題 以下の式を展開せよ。
解答
証明
演習問題 以下の式を展開せよ。
解答
演習問題 以下の式を展開せよ。
解答

証明
演習問題 以下の式を展開せよ。
解答
有機化学/アルコール

有機化学>アルコール
脂肪族炭化水素のCH間にOが入ったもの、つまり、脂肪族炭化水素基にヒドロキシ基が結合したもの。一般式はR-OHで表される。ちなみに、芳香族炭化水素基のベンゼン環にヒドロキシ基が直接結合したものはフェノール類と呼ばれる。
命名はアルカン、アルケン、アルキン、シクロアルカンもしくはシクロアルケンの-eを-olに変える。慣用名は炭化水素基の名前の後ろに「アルコール」をつける。 CH3CH2CH2CH2OHは1-ブタノール、CH3CH2CH(OH)CH3は2-ブタノールである。
ヒドロキシ基が1分子中にn個ついているものをn価アルコールといい、2価以上を多価アルコールという。多価アルコールの名前は-olの前にギリシャ語の数詞をつける。
-OHのついているC原子がn個のC原子と結合、(3-n)個のH原子と結合しているとき、これを第n級アルコールという。 ただしメタノールCH3OHは第零級アルコールではなく第一級アルコールとして扱われる。
第一級アルコールは酸化されるとアルデヒドを経てカルボン酸になる。 第二級アルコールは酸化されるとケトンになる。 第三級アルコールは酸化されにくい。
アルコールは定義にも示されているが、ヒドロキシ基を有している。そのため、分子内に極性が存在する。従って、極性を有する物質と混ざりやすい傾向がある。たとえば、水やアンモニアである。この性質は炭化水素基の大きさとヒドロキシ基の数が関連している。炭化水素基の小さいメタノールやエタノール、プロパノールは完全に水と混じりあうが、ブタノールは20°Cの状態では1リットルにつき、77gまでしか溶けない。
ウィキペディアの書き方/入門編/資料の探し方

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インターネット上での情報収集は、ウィキペディアンたちにとってはもっとも身近な手段の一つといえるでしょう。検索窓に単語を入れるだけで欲しい情報が手に入るインターネットは、とても便利なツールです。
ただ、便利な反面、気をつけなければいけないこともあります。
検索エンジンには、ディレクトリ型とロボット型の2種類の検索エンジンがあります。ディレクトリ型は人の手でサイト情報を入力する検索エンジンで、ロボット型は、クローラーといわれるプログラムが自動的にサイト情報を分類するものです。それぞれに長所・短所があるのでうまく使い分ける必要がありますが、現在では大手の検索エンジンはどちらも併用しているものが多くなっています。
インターネット上で何かを質問する。「ぐぐれ」(Googleで検索しろ)と一言で返事が返ってくる。Googleはインターネット上で検索をするときに非常に強力なツールになります。
基本の使い方は、http://www.google.co.jp/にアクセスして、そこにある検索窓に調べたい単語を入れるだけですが、ここではそれより少し便利なテクニックを覚えていってください。
「夏の思い出」など、本のタイトルや決まり文句、固有名詞などを検索したいときに活用できるテクニックです。普通の検索では、「夏」「思い出」という二つの単語が両方出てくるページを探してくれますが、"夏の思い出"とすれば、夏の思い出 と続けて出て来る場合のみを検索することができます。
上に書いたような検索エンジンは、一つ一つの検索エンジンで順番に調べて行かなくてはなりません。しかしながら、それを一発で検索してしまうサイトもあります。例えば、JWordを使って検索をしてみましょう。JWordは、いろいろな検索サイト(Yahoo・Excite・BIGLOBE・Fresheye・MSN・Infoseek・goo)を比較しながら検索することができます。JWordプラグインを使うと、インターネットエクスプローラーから、アドレスバーに検索したい文字列を入力して、エンターキーを押すと、比較検索ができます。また、登録されている企業・サイトは、サイト名を入力すると、自動的にそのサイトへジャンプします。
図書館には、本を貸し出すのとは別に、資料や情報を収集するという重要な役割があります。地域の歴史や文化、特定の企業や学校の歴史、あるいはリクエストの少ない古典文学全集などは、閉架書庫や調査研究室など、一般の利用者からは少し手の届きにくいところにおいてあるのが普通です。
図書館はもちろん、皆にオープンにしてある資料を読むだけでも沢山の情報を集めることができますが、閉架書庫や調査研究室を利用すれば、百科事典を書くのに相応しい沢山の情報を得ることができます。初めは少し、敷居が高いと感じるかもしれませんが、ぜひもうワンランク上の図書館活用法を覚えましょう。
貴重な本の損傷を防ぐために、本棚ではなく奥の本棚に置いてある事があります。こういった本を閉架図書といいます。 閉架図書は本棚を見てもわからないので、インターネットや、図書館の中において、図書蔵書検索などの調べる端末等がある場合、それを使って調べてみるのも良いでしょう。「ジャンル別」「出版年検索」も利用してみると良いでしょう。
中央図書館や大学図書館など、大きな図書館に行けば、オープンにしてある空間とは別に、百科事典や専門辞書、年鑑などが固めておいてある空間があります。一般に、そこには専任の「司書」と呼ばれる職員がいて、資料を探す手助けをしてもらうことができます。
入りにくい雰囲気のところが多く、最初は緊張するかもしれませんが、勇気を出して入ってみましょう。
図書館司書は、資料を探す専門家ではありますが、ありとあらゆる分野に精通しているわけではありません。ですので、調べたい事柄についていかにうまくヒントを出すかが重要となります。調べたいことを明確にするのはもちろんですが
などを明白にしておく必要があります。外国の人名や地名などについては、カタカナでの音だけではなくアルファベットや原語での綴りも調べておくと調査が楽になります。
大抵の図書館では、資料のリクエストという制度があります。どういうサービスかというと、その図書館にはない資料を近隣の市の図書館などから取り寄せてくれたり、新しく購入してくれたりするサービスです。少し時間はかかりますが、貴重な資料も読むことができますので、ぜひ利用してみましょう。
ある本がこの世に存在するのかどうか、あるいはまだ流通している本なのかどうかなどをネット上で調べる方法があるのでご紹介しておきます。
ネット上には書籍や雑誌、学術論文などの情報をまとめたデータベースが存在します。中には有料のものもありますが、使用するだけなら無料のものもあります。ネット上で参照できる資料も多く、こうした資料を用いれば手軽に記事のグレードを上げる事ができます。様々なものがありますが、ここでは知名度もあり、無料で利用できるCiNiiと国立国会図書館のサービスを紹介します。
国立情報学研究所が運営する学術情報データベースです。「CiNii Articles」、「CiNii Books」、「CiNii Dissertations」の3つのデータベースがあり、それぞれ学術論文、大学図書館の書籍、博士論文を検索できます。一部閲覧が有料の論文もありますが、利用自体は無料です。
国立国会図書館のサイト(こちら)では、同図書館に収蔵されている様々な資料を検索できます。多くのサービスがありますが、以下によく使われる機能を挙げておきます。また、国立図書館にいけばいくつかの有料データベースが無料で利用可能です。こちらも覚えておきましょう。
メインページから利用できる検索機能です。キーワードに関係する書籍や記事・論文などを検索できます。
古典籍や古い新聞、政府刊行物、科学映像などのデジタル資料を検索できるサービスです。
有機化学/エーテル

有機化学>エーテル
C-O-Cの形の結合をエーテル結合といい、これをもつ化合物をエーテルという。 命名法は炭化水素基の名称の後に「エーテル」をつける。 例えばCH3CH2-O-CH3は「エチルメチルエーテル」である。
有機化学/ケトン

有機化学>ケトン
ケトンはケトン基-CO-を持つ化合物である。国際名はアルカンの語尾neをnoneに変えるが、あまり使われない。
第二級アルコールを酸化すると、ヒドロキシル基が2個のアルコールができる。
ただし、ひとつのC元素にヒドロキシ基が2個付くと、すぐに脱水反応を起こす。 よってこの物質は一瞬存在しただけですぐに別の物質に変わる。
このときこの>C=Oの部分をケトン基といい、簡単に>COと書く。
>C=Oは実は一般的にはカルボニル基といわれる。ただし、厳密にはカルボニル基=ケトン基ではない。 なぜなら、>C=Oをもつ基は他に、アルデヒド基-CHO、カルボキシル基-COOHがあるからである。 カルボニル基はこれらの総称として存在する。ケトン基は、カルボニル基のうち>COの価標の両側に炭化水素基が付いたものであり、カルボニル基の一種である。
有機化学/カルボン酸

有機化学>カルボン酸
カルボキシル基-COOHをもつ化合物をカルボン酸という。 国際名はアルカンの名前の後に「酸」をつけるがあまり使われない。 HCOOHを蟻(ギ)酸、CH3COOHを酢酸という。
カルボン酸はカルボキシ基を持っており酸性である。カルボン酸は最も小さな炭素一つのギ酸から、炭素16個のパルミチン酸など大きさが様々であるが、置換基を持たないカルボン酸は分子量が大きくなるにつれ、水素イオンの解離が減ってくる。つまり、酸としての強さが減るのである。これがどういった理由によるのかというと、カルボキシ基の電子密度が高いか低いかによって決まる。アルキル基は電子供与性基であり、これが結合している原子や置換基は電子がアルキル基から押し付けられるので(押し付けられるというのは比喩表現であって、原子を周回する電子の個数が増えるというわけではない。)、電子の密度が高くなる。そうすると、カルボキシ基の酸素の電子密度が高くなるため、水素との間の結合が堅牢になる。結果、水素はカルボキシ基から離れにくくなり、酸性度が低下する。アルキル基を構成する炭素の数が多いほどこの傾向は顕著である。
逆に、カルボン酸のカルボキシ基に隣接する炭素に電子求引性基が結合していた場合、酸性度は強くなる。例えば、クロロ酢酸(CH2Cl-COOH)は酢酸よりも強い。電子求引性基の数が増えればさらに酸性度は強くなる。
カルボン酸は以下の反応によって生成する。
アルデヒドを酸化すると、
このR以外の部分をカルボキシ基といい、簡単に-COOHと表す。
カルボン酸の反応はその酸としての側面とカルボニル化合物としての側面によって起きる。カルボニル化合物としての反応はケトンの章が詳しいが、アルデヒド等とアルドール縮合なども起こしうるということを付け加えておこう。
中学校国語

中学校の国語は主に現代文と古文(日本古文・漢文)と文法の3つに分かれます。一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。
現代文 - 表現
現代文(著作権の都合上、明治時代~大正時代の作品のみとなります)
古文
故事成語
文法
現代文 - 表現
現代文
文法
漢文 漢文 (2014-10-17)
古文
現代の敬語
現代文
その他
文法
漢文
古文
現代文 :近代文学など
現代文 :読解
文法
古典常識
リンク
解析力学 はじめに

解析力学はニュートン力学の内容をより汎用的に使える形に定式化し直したものである。 例えばデカルト座標でのニュートンの運動方程式を極座標系へ書き直すととても煩雑になる。 この困難をさけるため、解析力学では任意の座標系で、より一般的な形でのニュートンの運動方程式を得ることができる。
特に物理系の対称性を見る場合にこれが用いられることが多い。 また、多くの物体が関わる問題に対しても使われることがある。
また、この部分で定義される用語は量子力学や、電磁気学など他の分野でも多く使われるため、カリキュラムの中では、重要な位置を占める。
解析力学 保存則の導出

ラグランジアンは物理系の全ての情報を担っているので、これを用いて様々な保存則を示すことが出来る。例えば、エネルギー保存則と運動量保存則が例として挙げられる。
エネルギーを
で定義する。この表式とハミルトニアン
を見比べると、ハミルトニアンは系の全エネルギーに対応することが分かる。運動量の保存則はこのとき、
となり、エネルギーが時間的に保存することが分かる。ここで、4から5行目に移るとき運動方程式
を用いた。実際には、エネルギーの保存則は時間の原点を動かすことに対して物理系が変化しないことによる 。
運動量保存則は物理系全体を平行移動することによって、物理系の運動が変化しないことによる。このことを空間的一様性と呼ぶ。このときラグランジアンに含まれる全てのあるq について
となる変換をほどこしてもラグランジアンは不変でなくてはならない。このとき、
が得られる。このときδL = 0 となることと見くらべると、
となり、運動量が時間的に保存することが分かる。
高等学校地学

新課程
旧課程
我々の周りには実に多くの自然が存在している。下を見れば地面があるし、上を見れば空や宇宙がある。このような自然は、どのように構成されているか? どのようにしてできたのか? 地学はこのような自然を化学、物理、生物の分野から総合的に研究する学問である。
有機化学/エステル

-CO-O-(エステル結合)を持つ化合物をエステルという(ただしR2は水素原子Hを除く)。

ヒドロキシ基及びカルボキシ基の間での脱水縮合。
R1 -COOH + R2 -OH → R1-COO-R2 + H2O
高等学校理科

このページは、高校理科の教科書の本棚です。教科「理科」は以下の科目から構成されています。
高等学校では「科学と人間生活」と基礎系科目1科目もしくは、基礎系科目3科目が必修となっています。 ただし、「科学と人間生活」は大学入学共通テストでは出題されないため注意が必要です。
高等学校では「理科基礎」、「理科総合A」、「理科総合B」のうち1科目を含む2科目が必修になっています。
珠算

数学>珠算
大学の教科書 自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学 量子力学 - 化学; 無機化学 有機化学 - 生物学; 植物学 研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学 語学: 日本語 英語 エスペラント 朝鮮語 デンマーク語 ドイツ語 フランス語 ラテン語 ルーマニア語 人文科学: 歴史学; 日本史 中国史 世界史 歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽 美術 - 文学; 古典文学 漢詩 社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育 教育史 情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書 小学: 国語 社会 算数 理科 英語 中学: 国語 社会 数学 理科 英語 高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理 化学 地学 生物 - 外国語 - 情報 解説書・実用書・参考書 趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム 試験: 資格試験 - 入学試験 その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集
昔、電卓がなかった時代、計算にはそろばんが用いられていました。この教科書では、そろばんを用いた計算法「珠算」について解説します。
珠算 基礎知識

数学>珠算>基礎知識
算盤(そろばん)には、1つの軸に玉が5(=1+4)個ある4玉算盤と、6(=1+5)個ある5玉算盤がある。 一般的には4玉算盤が使われる。5玉算盤は60進法の計算(例えば時間など)をするのに便利である。 以下全て、4玉算盤で説明する。
玉が1個の方が上である。
算盤には、3桁ごとに点が振ってある。普通、点の真下に一の位をとり、そこから左に十の位、百の位...と続く。 点は自分の使いやすいところでかまわないが、あまりに左すぎると計算できなくなることがあるので注意しよう。
算盤を使う前に、全ての桁を0にリセットする作業が必要である。電卓で言えば「C」である。
これで上の図のような状態になっているはずである。
さて、1から9までの数を入れてみよう。左手で算盤を持ち、右手の親指で上の玉を、人差し指で下の全ての玉を扱う。
上下に何桁になっても同じである。例えば、1013.25なら
である。
次は足し算や引き算をやってみよう。
珠算 加減算

数学>珠算>加減算
1+3や2+6などの計算は元の数を入れ、さらに加える数の玉を入れる。
以下、加える数をnとする。
3+4や9+2はそのままでは出来ない。そこでまず5(10)-nを引く。そしてその後5(10)を足すという方法をとる。
確かにn足したことになる。
6+8などは今までの方法では出来ない。これらの計算をするにはまずn-5を足す。その後、5を引き10を加える。
で、確かにn足したことになる。
一桁の足し算のすべてのやり方をまとめておく。
引き算は足し算の逆をすれば良いだけである。
具体的には、
算盤は筆算と違って上の位から計算する。 繰り上がりや桁間違いにさえ注意すれば、何桁になっても基本は同じである。
次の計算をしてみよう
加減算の基本が出来たら、見取算などにも挑戦しよう。 もしくは更に掛け算も学ぼう。
無機化学の基礎/原子の構造

無機化学>無機化学の基礎>原子の構造
原子は原子核と電子から成り立っており、原子核はさらに陽子と中性子が固まってできている。 電子は原子核の周りを、クーロン力(静電気力)を向心力として、衛星のように回っていると古典力学的には解釈される。なお、電子は陽子や中性子のおよそ1800分の1の質量しかもたないため、このモデルでは、太陽と地球の関係のように、原子核を中心に電子が公転していて原子核は不動であるものとみなす。
陽子は + e {\displaystyle +e} 、電子は − e {\displaystyle -e} の電荷を帯びている。ここで e {\displaystyle e} は電気素量( e = 1.6 × 10 − 19 {\displaystyle e=1.6\times 10^{-19}} C)である。そのため、安定になるように(原子全体として電気的に中性となるように)原子内の陽子数と電子数は等しい。陽子数を原子番号とも言う。すなわち原子は陽子の数によって特徴づけられ、周期表は陽子の数の順に並んでいる。例えば、陽子数が1なら水素、2ならヘリウム、3ならリチウムといった具合である。 中性子には電気的に中性であり、電荷は無い。陽子が複数ある場合、すなわち原子番号が2以上の場合、陽子同士が電気的に大きな反発力を持つが、中性子が糊の役割を果たしている。
Maxima はじめに

Maxima > はじめに
Maximaは、Gnu Public License の元で配布されている数式処理システムである。
この文書は、Maxima を使い始めようとする人達のために、Maximaのインストールから基本的な使い方までを説明するために書かれた。
Maxima は、無料で配布されており、誰でも入手することができる。しかし、無料であることは必ずしも品質が悪いことを意味するわけではなく、市販の数式処理システムと比較して機能が劣るわけでもない。また、一般的な市販の数式処理システムが大変高価であることを考えると、特に個人で数式処理システムを使いたい場合には、有力な選択肢と言えるだろう。
なお、Maxima のインストールは、利用する環境によってはやや難しいかもしれない。それは、Maxima が LISP の一方言である Common Lisp という比較的知名度の低い言語によって書かれているためである。そのため、Maxima をインストールするためには、まず Common Lisp の処理系をインストールすることから始めなければならない。
Maxima は1968年に MIT における Mac プロジェクトの一つとして開発され始めて、1982年に DOE Maxima として MIT のエネルギー学部でテキサス大学の William F Schelter 教授がメンテナンスをしていた。1998年に Schelter 教授が MIT のエネルギー学部から Gnu Public License の元で配布する事を許可され、2000年から sourceforge.net にて Maxima として配布とメンテナンスがされている。
なお、Schelter 教授は2001年に死去された。Maxima を起動した直後に表示される「Dedicated to the memory of William Schelter.」の一文は Schelter 教授の功績を称えるものである。
LISP とはラムダ計算を実現する関数型プログラミング言語で、CLOSのような埋め込み型のオブジェクト指向言語も利用出来る事からもわかるようにマルチパラダイム言語へと進化している。1958年に開発された世界で2番目に古い高級言語としても知られている。現在スクリプト言語で有名な Perl や Python、Ruby などの源流になっているものである。源流だからといってスクリプト言語ではなくて、処理系の中にコンパイル機能とインタプリタ機能を混在させており、処理速度はネイティブコンパイラを持っている処理系ならば一般的に C++ より少し遅く Java よりは速いというくらいになっている。使い方によっては C より速くなる場合もある事は知られている。また、Maximaで用いられているCommon Lispは言語仕様(ANSI)にコンパイラに関する記述がある唯一の言語である(インタプリタに関する記述はない)。
LISP の特徴として、以下のものが挙げられる。
前置記法とは、例えば、
の演算に相当する記法を
のように演算子(ここでは +)を前に、被演算子(ここでは 1 と 2)を後に記す記法である。
Maxima/リナックスにおけるインストールの仕方

Maxima > リナックスにおけるインストールの仕方
LinuxにMaximaをインストールする方法は、通常、パッケージマネージャーを使用して行います。
以下は、一般的なLinuxディストリビューションへのインストール手順の概要です。
これらの手順に従うと、LinuxディストリビューションにMaximaをインストールできます。
Maximaをインストールする際の注意点はいくつかあります。以下にいくつか挙げてみます:
これらの注意点を考慮することで、Maximaのスムーズなインストールと使用が可能になります。
数値演算などの速さを期待するならば、演算速度を追求したCMUCLかCMUCLから枝分かれして活発にメンテナンスが行われているSBCLの利用を御勧めする。 CLISPは「中間コード」にコンパイルされることに対して、CMUCLやSBCLは「ネイティブコード」にコンパイルされるため、数倍速くなる。 Maximaの以前のバージョンはGCLとCLISPを前提として作られていたのだが、Maxima 5.9.*以後主流がCMUCLやSBCLに移ったようである。
Maxima/具体的な使い方

Maxima > 具体的な使い方
数式処理システムなので、 計算させる数式がないと使い道もない。 例えば、数学の教科書があれば、 計算させたい式がみつかるだろう。 もちろん夏休みの宿題も簡単だ。:-) 文章題や、読書感想文は無理だが...。
例えば、分数の足し算 1/2 + 1/3 を計算させたいとしよう。 maximaは、command lineモードと batchモードで使うことが出来る。 長い式を書くときなどは式の書き変えができない と書くのが大変だが、 command lineモードのmaximaでは、 実際に式の書き変えができない。 そのため多くの場合にbatchモードを 使うことになると思う。 まずcommand lineモードでは、
と打つ。 すると、maximaが起動し
と表示されるので、(iはinputの略)
とかく。 (最後の;を忘れるとあまりおもしろくないことが 起こるので注意すること!) 上手く書きこめば、
と表示される。(oはoutputの略) よって、答は5/6だと分る。
batchモードでは、まず計算させたい内容を ファイルに書き出す。 例えば、aaaというファイルを使うとする。 (Linuxは拡張子をつけないファイルを 使うことがある。実際問題として maximaは拡張子を使ってファイルを判定するのでは 無いようなので、ここでは何とつけても差し支えない。) つまり、好きなエディタを使ってaaaを編集するのである。 しかし、もちろんこのように書くのが好きな人間もいるだろう。
何にせよaaaの用意が出来たなら、
と打てばよい。 結果は標準出力に表示されるだろう。 結果が長くなった場合には
とすると、結果の式が bbbに書きこまれるので、後からゆっくり 読むことが出来る。

maximaは分数の足し算を行うことができる。

maximaは異なる分母の計算を正しく行なうことが出来る。


maximaは分数のかけ算を行なうことが出来る。


maximaは分数の割り算を行なうことが出来る。

(かっこは省略できない。)
Maximaは正負の数が混じった四則演算を 行なうことが出来る。

Maximaは文字式の四則演算を 行なうことが出来る。

maximaは方程式も扱える。
maximaは2元方程式も扱える。


maximaは平方根の値を任意の桁まで求めることが出来る。


Maximaは式の展開と因数分解を行なうことが出来る。

maximaは二次方程式も扱うことができる。
maximaは複素数をサポートしている。


Note:maximaは指数eの値を知っている。 (実際には通常のコンピューターは この値を計算できるようになっているはずである。 )
maximaは、微積分をサポートする。


note: maxima は微分法をサポートする。


maximaは行列の演算をサポートする。
珠算 乗算

数学>珠算>乗算
一桁の掛け算は足し算と九九さえ出来ればできる。
例題.123456×7=
まず123456を置く。
次に1を払って1×7=7を一桁離れた所に置く。 ここで掛け算の結果が二桁になったときは、一の位を一桁離れたところに置く。
次に2を払って2×7=14を置く。このとき繰り上がりがあることに注意。
以下同じ作業を繰り返す。
こうして出た864192が答えである。最初に一桁離して置いたので位が二つずれていることに注意。特に一の位が0になるときに間違いやすい。
まずは9×123をやってみよう。
掛けられる数が三桁なので三桁離して9×1=9を置く。
最初のうちは掛ける数は残しておくほうが良い。 次に9×2=18を置く。
最後に9×3=27を置く。
これで答が1107だと分かる。
次に987×123をしてみよう。
さきほどやったように9×123をする。
次にこの上から8×123をする。 次の計算で桁を間違えないように。三桁離した所が一の位なので、1×8=8は今0が立っている位である。
7×123は省略するので自分でやってみよう。
答えは121401となった。
数字が長くなると読みづらい。そこで三桁ごとにコンマを打つ。
コンマを打つときには算盤上の点が目安となる。
次は割り算をやってみよう。
珠算 除算

数学>珠算>除算
789÷3をやってみよう。
7÷3=2あまり1である。そして逆に3×2をして6を出す。
商2を一桁離した先に立て、3×2=6を払う。
次に18÷3=6でちょうど割り切れる。商6を一桁離した先に立て18を払う。
最後に9÷3=3でちょうど割り切れるので商3を一桁離した先に立て9を払う。
余りがなくなったのでここで終わりである。余りが出るようなら小数点以下も続けてかまわない。
次に5535÷45をやってみよう。
まず55÷45=1あまり10である。商1を立て、45×1=45を払う。
次に103÷45=2あまり13である。商2を立て、45××2=90を払う。
最後に135÷45=3で割り切れる。商3を立て、45×3=135を払う。
これで商は123と分かる。
割り算は少し暗算や勘を働かせることが必要になるので、最初のうちは間違いが多い。
そこで、自信の無い商が出たら再び掛け直すことをお勧めする。
もちろんa÷b=cならc×b=aである。
割り算ができたら開平もやってみよう。
振動と波動/はじめに

振動と波動 > はじめに
この項では波動現象を表わす方法を学ぶ。
波動現象の導入のために力学的な振動を用いるが、振動という現象は力学的なものに限らず、他分野でも現われる。特に、電気回路における振動(コンデンサとコイルなどを用いる)は重要な応用である。
また、この分野は高等教育の波動に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。
振動と波動/1粒子の振動

物体が力
を受けるときの運動を考える。このとき運動方程式は、
で表される。変数k を、k = m ω の関係を使ってωに置き換えると、
が得られる。この式は、定数係数線形2階微分方程式であるので簡単に解くことができ、解は、
となる。ここでA , B は任意定数であり、これらを決めるためには2つの初期条件が必要だが、ここでは特に、t = 0 で、
とすると
で表される。よって、この式の解は
となる。この運動を単振動、ωを固有角振動数と呼ぶ。
次に力が
で与えられる場合を考える。第2項は、速度に比例した力である。この様な力は空気抵抗などに見られる。この場合の運動方程式は
となる。 これも定数係数の2階微分方程式なので解けるのだが、ここでは具体的に計算する。まず、
と仮定する。これを運動方程式に代入すると
が得られ、a は
で与えられることが分かる。ここで、抵抗力の係数であるγが小さい数であるとするなら、根号の中身は負になり、この解は複素数によって与えられる。実部をとると一般解は
となる(A , B , α, βは任意係数)。この解で、係数 exp(-γt /2) は粒子の運動が抵抗力を受けて時間的に減衰していく様子を示している。一方
の項は、この物体がωに近い角振動数で振動していることを示している。この振動を減衰振動と呼ぶ。
物体が単振動の力に加えて、周期的な外力を受けている場合を考える。このとき、
となる(外力の大きさを表すパラメータとして、ここでは、後の計算を簡単にするために、パラメータをml という形に置いた)。
このとき運動方程式は、
となる。この式は、定数係数2階常微分方程式に加えて、右辺に関数項が加わった形をしている。このとき特別な解の形を予測して、この方程式の特解を求めることが出来る。ここでは、解を
と仮定する。これを運動方程式に代入すると
が得られる。よって、
は、この方程式の特解となる。左辺の線形方程式に対する一般解を加えると、この方程式全体に対する解は、
と表される。
この式は、2つの部分に分かれている。まず後半の
の部分は、物体が外力を受けていても、単振動と同じ角振動数の運動を繰りかえすことを表しており、次に前半の
の部分は、外力と同じ角振動数 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} の周期的な運動が引き起こされることを表している。
この式を見ると、ω = ω0 のとき、x (t ) の値が無限大になるように見える。実際、系の固有角振動数ωと外力の角振動数ω0 が近いとき、物体にきわめて大きな振動が引き起こされることが知られている。この現象を共鳴と呼ぶ。
共鳴の場合にx が無限大になるという結果がでたのは、もちろん物理的におきることではなく、上の解法(特に特解として仮定した形)が不十分だったことを意味する。正しい解を求めるには解として仮定する形をより広げなければならないが、それとは別に物理的によりわかりやすい方法もある。アイデアは「上の解法で得た解はωとω0 が少しでも違えばうまくいく。一方、パラメータを連続的に変えると現象も(多分)連続的に変わるはずだから、ω = ω0 の場合というのは、ω0→ω の極限として得られるはずである。だから上の解でその極限を取れば共鳴の場合の正しい解も得られる。」ということである。但し、上の解で単純にその極限をとってももちろんうまくいかない。係数A , B が意味を失うからである。そこでA , B の代りに常にはっきりした物理的意味を持つ量、すなわち初期条件(t = 0 でのx , dx /dt の値)を使って上の解を書き直し、その上でω0→ω の極限を取る。t = 0 でx (0) = X , dx (0)/dt = V とすると
になるので解は
となる。こうした上でω0→ω の極限を取ると、極限は確かに存在して次のようになる:
特に重要なのは第2項で、cosにt が掛かっている点である。振動の振幅が時間に比例して増大していくのである。この結果から共鳴の本質が分かる。つまり共鳴では外力から与えられるエネルギーが蓄積されていくというのが本質で、そのため振幅が時間とともに果てしも無く大きくなっていくのである(一休さんの有名なエピソードで、お寺の鐘を指一本で大きく動かすというのがある。正確な周期で指で押すことを続けると共鳴により少しづつエネルギーが蓄積されて最後には大きな振動になる)。
なお、上の解法では現象のパラメータ変化に対する連続性を前提としている。この前提はたいてい成り立つが、どんな場合でもとまではいかない。今の場合にどうかを確認するには得られた解を元の微分方程式(でω0 = ωとしたもの)に代入すればよい。確かに解になっていることが分かる。また、ω0 がωに近づくにつれ振動のグラフがどう変わって行くかを見るのも興味深い。