小学校算数/5学年

5年生の算数では、整数、分数の計算、合同な図形、多角形などについて学習します。
4年生までに、整数のことについて学びました。では、整数についてもっと深く学んでいきましょう。
2でわり切れる整数を「偶数」といい、2でわり切れない整数を「奇数」といいます。 たとえば、2、6、10、50などは偶数で、1、5、11、51などは奇数です(0は2でわり切れると考えられるので、偶数です)。
なお、一の位の数が
ならばその数は偶数で、
ならばその数は奇数です。
54,78,85,231は偶数ですか、奇数ですか。
一の位の数に注目しましょう。 それぞれ、
結果は、
となります。
ある整数に整数をかけてできる数を、ある整数の倍数といいます。
などがあります(0については考えません)。ある整数の倍数は、無数にあります。
ある整数をわり切ることができる整数を、ある整数の 約数 といいます。 たとえば、12の約数には 1,2,3,4,6,12 があります。約数の個数には、限りがあります。
2つの整数に共通している倍数を 公倍数といいます。特に、最も小さい公倍数を 最小公倍数 といいます。
2つの整数に共通している約数を 公約数といいます。特に、最も大きい公約数を 最大公約数 といいます。
青森県と北海道を結ぶ青函トンネルの長さは53.85kmです。この53.85という数について考えましょう。
また、東京都から大阪府を走っている東海道新幹線の路線きょりは515.4kmです。この515.4という数について考えましょう。


小数のかけ算とわり算も、整数の場合と同様にできます。 しかし整数と同じように計算すると矛盾します。
次のかけ算の問題を解いてみましょう。
式は 2.3 × 2.8 {\displaystyle 2.3\times 2.8} となります。
計算のしかたを考えてみましょう。
パイプの重さを23kgと10倍にすると、求める重さも10倍になります。
パイプの長さが10倍になると、求める重さも10倍になります。
1mの重さが2.3kgのパイプ2.8mの重さを出すには、この積を 1 100 {\displaystyle {\frac {1}{100}}} にすればよいので
2.3 × 2.8 = 23 × 28 ÷ 100 = 6.44 {\displaystyle 2.3\times 2.8=23\times 28\div 100=6.44}
したがって、 2.3 × 2.8 = 6.44 {\displaystyle 2.3\times 2.8=6.44} となります。答えは6.44kgです。
次のわり算の問題を解いてみましょう。
式は 7.8 ÷ 6.5 {\displaystyle 7.8\div 6.5} となります。
計算のしかたを考えてみましょう。
同じぼうの長さを10倍にすれば、重さも10倍になります。
65mのぼうの重さは 7.8 × 10 = 78 {\displaystyle 7.8\times 10=78}
鉄のぼう1mの重さは ( 7.8 × 10 ) ÷ ( 6.5 × 10 ) = 78 ÷ 65 = 1.2 {\displaystyle (7.8\times 10)\div (6.5\times 10)=78\div 65=1.2}
したがって、 7.8 ÷ 6.5 = 1.2 {\displaystyle 7.8\div 6.5=1.2} となります。答えは1.2kgです。
右の図を見てください。ファイル:Fraction4 6.svg 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} と 4 6 {\displaystyle {\frac {4}{6}}} と 6 9 {\displaystyle {\frac {6}{9}}} が同じ大きさであることがわかるでしょう。ですから、 4 6 {\displaystyle {\frac {4}{6}}} や 6 9 {\displaystyle {\frac {6}{9}}} は 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} になおせますね。分数を、同じ大きさで、分母と分子ができるだけ小さい分数になおすことを 約分する といいます。
ある分数の分子と分母に、同じ数をかけたりわったりしても分数の大きさは変わりません。
約分する方法には、分母と分子を分母と分子の最大公約数でわる方法があります。

先ほどの 約分 とは逆に、たとえば、 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} は 4 6 {\displaystyle {\frac {4}{6}}} や 6 9 {\displaystyle {\frac {6}{9}}} となおせますね。
たとえば、 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} は 2 4 , 3 6 {\displaystyle {\frac {2}{4}},{\frac {3}{6}}} ...となおすことができます。
また、 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} は 2 6 , 3 9 {\displaystyle {\frac {2}{6}},{\frac {3}{9}}} ... となおすことができます。
いま、 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} と 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} は それぞれ 3 6 {\displaystyle {\frac {3}{6}}} 、 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} になおせました。このように、2つ以上の分数を 分母が同じ大きさになるように直すことを 通分する といいます。通分する方法には、すべての分数の分母を すべての分数の分母の最小公倍数にそろえる方法があります。
分母がことなる分数のたし算やひき算について考えてみましょう。
分母が同じ分数のたし算はすでに学んでいます。そこで 通分 して、分母をそろえると、
5 1 5 + 3 1 5 {\displaystyle {\frac {5}{1}}5+{\frac {3}{1}}5}
となります。これを計算すると 8 1 5 {\displaystyle {\frac {8}{1}}5} となるので、答えは 8 1 5 {\displaystyle {\frac {8}{1}}5} です。
では、
について考えましょう。 これも、先ほどと同じように通分して、
5 6 − 1 2 = 5 6 − 3 6 = 2 6 = 1 3 {\displaystyle {\frac {5}{6}}-{\frac {1}{2}}={\frac {5}{6}}-{\frac {3}{6}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}}
となります。上のように、答えが約分できる場合は、必ず約分します。
次の問題を解いてみましょう。
式は 2 ÷ 3 {\displaystyle 2\div 3} となります。
小数で表すと 2 ÷ 3 = 0.666 {\displaystyle 2\div 3=0.666} ...... となり、わりきれません。
1Lを3等分した量は、 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} Lになります。
2Lは1Lの2つ分です。
2Lを3等分した量のうちの1つは1Lを3等分した量の2つ分であるから、 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} Lになります。
したがって 2 ÷ 3 = 2 3 {\displaystyle 2\div 3={\frac {2}{3}}} となります。
このように、分数は、分数を使うと正確に表すことができます。
整数どうしのわり算の商は、分数で表すことができます。
◯ ÷ △ = ◯ △ {\displaystyle \bigcirc \div \triangle ={\frac {\bigcirc }{\triangle }}}
また、0.5と0.24を分数になおしましょう。
0.1 = 1 10 {\displaystyle 0.1={\frac {1}{10}}} であるから、 0.5 = 5 10 {\displaystyle 0.5={\frac {5}{10}}} ( = 1 2 ) {\displaystyle (={\frac {1}{2}})}
0.01 = 1 100 {\displaystyle 0.01={\frac {1}{100}}} であるから、 0.24 = 24 100 {\displaystyle 0.24={\frac {24}{100}}} ( = 6 25 ) {\displaystyle (={\frac {6}{25}})}
小数は、10、100などを分母とする分数になおすことができます。
5を分数になおしましょう。
整数は、1などを分母とする分数になおすことができます。
次の問題を考えましょう。
●と○は全部で何個ありますか。
∙ {\displaystyle \bullet } と ∘ {\displaystyle \circ } を全部あわせて考えると
∙ {\displaystyle \bullet } の数と ∘ {\displaystyle \circ } の数をそれぞれ求めてあわせると
よって
が成り立ちます。
( )を使った式の計算には次のような法則(ほうそく)があります。
このような法則(ほうそく)を 分配法則(ぶんぱいほうそく) といいます。(小学校では、法則名は覚えなくても構いません。)
この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。
たし算とかけ算には、次のようなきまりがあります。
これを たし算の 交換法則(こうかん ほうそく)と言います。
これを たし算の 結合法則(けつごう ほうそく)と言います。
これを かけ算の 交換法則(こうかん ほうそく)と言います。
これを かけ算の 結合法則(けつごう ほうそく)と言います。
この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。
2つの図形が、その図形の位置や向きをかえて、形と大きさをかえずに、重ねられるとき、その2つの図形は 合同である といいます。
多角形 (たかくけい)とは、3本以上の線でかつそのどれもが結ばれた図形のことを言います。名前は線が3本なら 三角形 、4本なら 四角形 、5本なら 五角形(ごかくけい)、・・・というふうになります。
また、辺の長さと角の大きさが全て同じである多角形のことを 正多角形 (せいたかくけい)と言います。三角形の場合は正三角形、四角形の場合は正四角形(「正方形」(せいほうけい)というのがふつうです)、五角形の場合は正五角形・・・というふうになります。
正多角形は、まず円をかき、その中心の周りの角を等分することでかけます。例えば正五角形は、円をかき、その中心の周りの角を5等分して、72°ずつに区切り、区切る直線が縁と交わったところの点を結ぶことで書けます。なお、正六角形は、
三角形をかいて、3つの角の大きさの和を求めてみましょう。 三角形の3つの角の大きさの和は、どんな三角形でも 180°になります。
四角形の4つの角の大きさの和は、どんな四角形でも 360°になります。
四角形に対角線を1本引けば、ふたつの三角形に分かれるので、2つの三角形の三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。
五角形では、五角形の5つの角の大きさの和は、三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。
五角形の内角の和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく五角形の内角の和は三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。
六角形の6つの角の大きさの和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく六角形の6つの角の大きさの和は、4つの三角形の3つの角の大きさの和になります。

円のまわりの長さを 円周 といいます。 例えば、
円周は曲がっているので、定規でははかれません。しかし「円周÷直径」はどの円でも同じです。これを 円周率(えんしゅうりつ) といい、円周率は およそ3.14 であることが わかっています。
円周率は、くわしくは 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ... と、限りなく続きます。
小学校では、円周率は 3.14 として計算することが多いです。
円周率は、分数で表すことはできない数で、小数で表すといつまでも終わらないことがわかっています。
でしたから、
ですね。はじめの問題を解くと、7×3.14=21.98(cm)というようになります。

面積は、図形の広さを表すものです。例えば、
面積は長方形・正方形の場合は、たて×よこで表すことができました。
たとえば、たて4cm、よこ5cmの長方形の面積は、4×5=20(cm)となります。
次の図形でも、面積は次のように求めることができます。
右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。図1の三角形の面積を考えてみましょう。
右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。図1の平行四辺形の面積を考えてみましょう。
図1の台形の面積を考えてみましょう。
図1のひし形の面積を考えてみましょう。
2年生では、「かさ」や「L」などの単位について、ならいました。
立体の、空間での大きさ(今までに習った「かさ」のこと)を 体積 (たいせき) といいます。
面積では、縦(たて)と横(よこ)が 1cm の正方形の面積のことを 1cm と いいました。
体積では、縦(たて) と 横(よこ) と 高さ(たかさ) が 1cm の 立方体 の 体積 を 1cm と 書き 、「 1 立方(りっぽう) センチメートル」といいます。
体積は、縦と 横と 高さが 1cm の 立方体 の 体積(1cm)が、いくつ分かで表します。
直方体(ちょくほうたい) は 長方形 が たくさん 積み 重なった もの 、 立方体は 正方形 が たくさん 積み 重なったもの と 考えてみると、体積は たて×横× 高さ の式で 求めることができます。
立方体(りっぽうたい) は 全ての辺の長さが同じなので、高さも1辺の長さになります。また、底面の面積は今までどおり 縦×横 の式で計算できます。
つまり、
で求めることができます。
下の問題を見てみましょう。
という問題があります。
直方体の体積は 縦×横×高さ なので、2×3×6=36(cm)と求められます。

一辺が1mの立方体の体積を1立方メートル(いち りっぽうメートル)と言い 1m と書きます。1立方メートルを立方センチメートルで書いたとすると、1mは100cmですから、1m は
です。(一立方メートルは、百万立方センチメートル)

コップや水槽(すいそう)、プールなど、水などの液体(えきたい)をいれる容器(ようき)について、容器の内部の長さを内(うち)のりといい、その容器に入りきる液体の体積を 容積(ようせき) といいます。
容積の単位(たんい)は、体積と同じようにLやdLや立方cmや立方mなどを、つかいます。
なお、1Lは 1000cm です。つまり
です。
1dLは 100cm です。つまり
です。
1mLは 1cm です。つまり
です。

三角柱には面が、5個、あります。三角柱の面のうち、2個は三角形です。三角柱の面のうち、3個は四角形です。
三角柱には、頂点が 6個 あります。(数えてみてください。)
三角柱には、辺が 9本 あります。(数えてみてください。)
三角柱の上下の2つの三角形の面を 底面(ていめん) と言います。
底面の面積のことを 底面積(ていめんせき) と言います。
三角柱の底面積は、底面の円の面積とおなじです。
上側の面も、「底」面というのは変だと思うかもしれませんが、慣習(かんしゅう)で、こう呼びます。
三角柱の、2つの三角形である底面のあいだのきょりを、三角柱の 高さ といいます。
三角柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面(そくめん) と言います。
側面の面積のことを 側面積(そくめんせき) と言います。


円柱には面が3個あります。
円柱の面のうち2個は円です。
円柱の上下の2つの円の面を 底面(ていめん) と言います。
円柱の、2つの円である底面の中心を結んだきょりを、円柱の 高さ といいます。
円柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面(そくめん) と言います。
展開図をみると、側面積の縦の長さを「円柱の高さ」にとった場合は、側面積の横の長さは、底面の円周です。
です。
サッカーボールを買うために、2つの店 A店とB店に行きました。
ここでは、サッカーボールの数が違います。どのように比べればよいでしょうか。
一方、「サッカーボール1つで1200円」と、「サッカーボール1つで1300円」とであれば、 「サッカーボール1つで1200円」の方が安いということはすぐ分かります。
つまり、サッカーボールの数が違うときは、サッカーボール1つあたりの値段を比べれば、どちらが安いか分かるわけです。
このように、「~1つあたり」のようなものを、単位あたりの量といいます。「単位」というのは、「基準とする量」のことです。ふつうは1を基準とします。
1個あたりの値段で比べれば、A店のほうが安いといえます。
(練習問題)
1kmあたりの人口を人口密度といいます。 では、東京都と高知県の人口密度を求めてみましょう。
ここでは、特に速さについて学んでいきましょう。 例えば、ライオンが9秒間に、200mだけ走ったとします。また、キリンは、6秒間に100mだけ走ったとします。このとき、ライオンは1秒間におよそ22.2m,キリンは、1秒間におよそ16.7m走ったことになります。このように、ある時間あたりに動く割合をさすものを速さといます。 速さはある時間あたりの速さを表すものですから、速さは
時速とは、1時間あたりに進む距離で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、1時間に10kmを進む自転車の速さは、時速10kmです。2時間で14kmを進んだら、時速7kmです。
分速 とは、1分あたりに進む距離で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、時速10kmという速さを分速になおすと
より、およそ分速0.167kmに、つまり、およそ分速167mになります。
秒速 とは、1秒あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば秒速15cmを分速になおすと、
より、秒速15cmは、分速900cm、つまり分速9mとなります。
なお、「時速5km」を、「毎時5km」「5km/h」などと表すこともあります。
あるマラソン選手が42.195kmを、2.2時間で走り終えました。この選手の速さは、時速何kmですか。
式は42.195 ÷ {\displaystyle \div } 2.2 となります。これを計算すると 19.17...となるので、およそ時速19.2kmとなります。
速さ=道のり÷時間 であるから
(分速を求める方法と、何時間でつくか求める方法でやってみましょう)
簡単には、分かりませんね。
それは、5年生と6年生で、全体の人数が違うからです。
そこで、比べるために、5年生と6年生のの人数をそろえてみます。
たとえば、全体の人数を100人にそろえてみましょう。
5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを2でわって100人にします。
一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを2倍して100人にします。 同時に、音楽をよく聞く人の人数も2倍します。
つまり、全体の人数が100人だったとすると、音楽をよく聞く人は、5年生では50人、6年生では60人 いることになります。
この結果、6年生の方が音楽をよく聞くと言えます。
ここでは全体の人数を100人にあわせましたが、もちろん他の数にしても同じ結果になるはずです。
それでは、全体の人数が1人だとして、同じように計算してみましょう。
5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを200でわって1人にします。 同時に、音楽をよく聞く人の人数も200でわります。
一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを50で割って1人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も50で割ります。
つまり、全体の人数が1人だったとすると、音楽好きな人は、5年生で0.5人、6年生では0.6人 いることになります。
この結果、6年生の方が音楽好きであると言え、先ほどと同じ結果になりました。
この2つめの例のように、ある量(もとにする量という)を1としたとき、別のある量(くらべる量という)がある量の何倍かを表す数を
一般に、割合は
割合というのは、「ある量(比べる量)が、ある別の量(もとにする量)の何倍かということです。 ですから、 割合 = くらべる量 ÷ もとにする量
また、この式から、
割合は例えば「このりんごジュースは果汁100%です。」や「あるプロ野球選手の今シーズンの打率は3割1分5厘でした。」などと使われます。この単位はどのような割合を表すか見てみましょう。
0.01倍を 1%と表す表し方を 百分率 といいます。ですから、元にする量は 100% となります。
0.1倍を 1割、0.01倍を分、0.001倍を厘と表す割合の表し方を「歩合」といいます。野球の打率などの表し方で使われています。

割合を表すグラフには、帯グラフと円グラフがあります。
2つの量で、一方が2倍、3倍、...となったとき、もう一方が2倍、3倍、...となるとき、2つの数量は 比例している といいます。

3つのコップに 160mL、210mL、230mL のジュースが入るので、これをAさん、Bさん、Cさんの3人で飲もうと思います。しかし、これでは、1人分の量が 均等 ではありません。そこで、3人でぴったり分ける方法を考えましょう。
このように、いくつかの数量を、1つあたりの量が等しくなるようにならしたものを 平均といいます。
また、合計=平均×個数、個数=合計÷平均 となります。
8人に算数のテストを行ったところ、点数は
となりました。このテストの8人の平均点は何点ですか。
平均 = 合計 ÷ 個数 なので
となります。 なお、平均は小数や分数となることもあります。
また、、10人いるクラブの各メンバーの体重が、つぎのようなとき、
体重の平均は
より、61.2 kg が平均の体重となります。
下の表は、ウィキ小学校の5年1組の、ある1週間の、本の貸し出し冊数です。
この表では、水曜日に、0冊とまったく借りられていませんが、「0」のデータでも平均に含めます。
下は、Aさんの、5回の幅跳びの結果を表したものです。
4回目に、ほかの記録と大きくはなれた「327cm」という記録が出ていますが、はかりまちがえてしまったようです。
あるグループの5人の身長は、145cm,156cm,149cm,141cm,152cm となっています。この5人の身長の平均を求めてみましょう。
下の「5年生のための算数ドリル」の文字を押すと、
見ているページが、算数ドリルのぺージに、変わります。