測度論的確率論/準備/集合/写像

定義13. {\displaystyle \quad } 二つの集合 M , N {\displaystyle M,N} が与えられているとする.任意の a ∈ M {\displaystyle a\in M} に対して, ある f ( a ) ∈ N {\displaystyle f(a)\in N} が対応するとき f {\displaystyle f} を M {\displaystyle M} から N {\displaystyle N} への写像といい, f : M → N {\displaystyle f:M\to N} と表す.

定義14. {\displaystyle \quad } A ⊂ M {\displaystyle A\subset M} に対し,
を A {\displaystyle A} の( f {\displaystyle f} による)像といい,特に f ( M ) = N {\displaystyle f(M)=N} のときに f {\displaystyle f} を全射という.

定義15. {\displaystyle \quad } 全射であるとは
定義14は定義15といってもよい.また f {\displaystyle f} が1対1,すなわち

定義16. {\displaystyle \quad }
の成り立つときに f {\displaystyle f} は単射という.
さらに

定義17. {\displaystyle \quad } f {\displaystyle f} が全射でありかつ単射のときに全単射という.

定義18. {\displaystyle \quad } A ⊂ N {\displaystyle A\subset N} に対して
のとき, f − 1 ( A ) {\displaystyle f^{-1}(A)} は A {\displaystyle A} の( f {\displaystyle f} による)逆像という.

定義19. {\displaystyle \quad } 特に f {\displaystyle f} が M {\displaystyle M} から N {\displaystyle N} への全単射であれば b ∈ N {\displaystyle b\in N} に対して b = f ( a ) {\displaystyle b=f(a)} となる a ∈ M {\displaystyle a\in M} が一意的に定まるから f − 1 ( b ) = a {\displaystyle f^{-1}(b)=a} によって逆写像 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} を定義する. このとき f − 1 {\displaystyle f^{-1}} も全単射であり,集合 A ⊂ N {\displaystyle A\subset N} による逆像は, A {\displaystyle A} の逆写像 f − 1 ( A ) {\displaystyle f^{-1}(A)} に一致する.

演習2. {\displaystyle \quad } M = [ − 1 , 1 ] , N = R , f ( a ) = a 2 {\displaystyle M=[-1,1],\quad N=\mathbf {R} ,\quad f(a)=a^{2}} とするとき f ( [ 0 , 1 2 ] ) , f − 1 ( [ 0 , 1 2 ] ) {\displaystyle f\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right),\quad f^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)} を求めよ.
(解答例)
f ( [ 0 , 1 2 ] ) = [ 0 , 1 4 ] , f − 1 ( [ 0 , 1 2 ] ) = [ − 1 2 , 1 2 ] {\displaystyle f\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)=\left[0,{\frac {1}{4}}\right],\quad f^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)=\left[-{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]} .
定理5. {\displaystyle \quad } f : M → N {\displaystyle f:M\to N} について次の命題が成り立つ.
A ⊂ M {\displaystyle A\subset M} であれば A ⊂ f − 1 ( f ( A ) ) {\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))}
証明 {\displaystyle \quad }
y ∈ f ( A ) {\displaystyle y\in f(A)} とすると f {\displaystyle f} が単射でない場合 f ( x 1 ) = y {\displaystyle f(x_{1})=y} である x 1 ∈ A {\displaystyle x_{1}\in A} が存在することは必要であるが,同時に f ( x 2 ) = y , x 2 ∉ A {\displaystyle f(x_{2})=y,\quad x_{2}\not \in A} となる x 2 ∈ M {\displaystyle x_{2}\in M} が存在する可能性がある.よって A ⊂ f − 1 ( f ( A ) ) ⊂ M {\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))\subset M} .
(証明終)

定理6. {\displaystyle \quad } f : M → N {\displaystyle f:M\to N} について次の命題が成り立つ.
A , B ⊂ M {\displaystyle A,B\subset M} であれば f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) {\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)} かつ f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A ) ∩ f ( B ) {\displaystyle f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)} .
証明 {\displaystyle \quad }
定義より任意の y ∈ f ( A ∪ B ) {\displaystyle y\in f(A\cup B)} に対して,ある x ∈ A ∪ B {\displaystyle x\in A\cup B} で y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} となるものが存在する. このとき x ∈ A {\displaystyle x\in A} または x ∈ B {\displaystyle x\in B} であるから y = f ( x ) ∈ f ( A ) {\displaystyle y=f(x)\in f(A)} または y ∈ f ( B ) {\displaystyle y\in f(B)} . すなわち, y ∈ f ( A ∪ B ) {\displaystyle y\in f(A\cup B)} ならば y ∈ f ( A ) {\displaystyle y\in f(A)} または y ∈ f ( B ) {\displaystyle y\in f(B)} .よって f ( A ∪ B ) ⊂ f ( A ) ∪ f ( B ) {\displaystyle f(A\cup B)\subset f(A)\cup f(B)} ....1 逆は,明らかに f ( A ) ⊂ f ( A ∪ B ) , f ( B ) ⊂ f ( A ∪ B ) {\displaystyle f(A)\subset f(A\cup B),f(B)\subset f(A\cup B)} だから f ( A ) ∪ f ( B ) ⊂ f ( A ∪ B ) {\displaystyle f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)} ....2 12より f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) {\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}
さらに A ∩ B ⊂ A , A ∩ B ⊂ B {\displaystyle A\cap B\subset A,A\cap B\subset B} であるから f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A ) ∩ f ( B ) {\displaystyle f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)} . (証明終)

定理7. {\displaystyle \quad } f : M → N {\displaystyle f:M\to N} について次の命題が成り立つ.
A , B ⊂ N {\displaystyle A,B\subset N} であれば f − 1 ( A ∪ B ) = f − 1 ( A ) ∪ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)} .
証明 {\displaystyle \quad }
定義より任意の x ∈ f − 1 ( A ∪ B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A\cup B)} について f ( x ) ∈ A ∪ B {\displaystyle f(x)\in A\cup B} すなわち f ( x ) ∈ A {\displaystyle f(x)\in A} または f ( x ) ∈ B {\displaystyle f(x)\in B} となる. したがって x ∈ f − 1 ( A ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A)} または x ∈ f − 1 ( B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(B)} であり,ゆえに f − 1 ( A ∪ B ) ⊂ f − 1 ( A ) ∪ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cup B)\subset f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)} . 逆はあきらかに f − 1 ( A ) ⊂ f − 1 ( A ∪ B ) , f − 1 ( B ) ⊂ f − 1 ( A ∪ B ) {\displaystyle f^{-1}(A)\subset f^{-1}(A\cup B),f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cup B)} であるから f − 1 ( A ) ∪ f − 1 ( B ) ⊂ f − 1 ( A ∪ B ) {\displaystyle f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cup B)} . (証明終)

定理8. {\displaystyle \quad } f : M → N {\displaystyle f:M\to N} について次の命題が成り立つ.
A , B ⊂ N {\displaystyle A,B\subset N} であれば f − 1 ( A ∩ B ) = f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)} .
証明 {\displaystyle \quad }
x ∈ f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)} のとき x ∈ f − 1 ( A ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A)} かつ x ∈ f − 1 ( B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(B)} . ゆえに f ( x ) ∈ A {\displaystyle f(x)\in A} かつ f ( x ) ∈ B {\displaystyle f(x)\in B} . ゆえに f ( x ) ∈ A ∩ B {\displaystyle f(x)\in A\cap B} . ゆえに x ∈ f − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A\cap B)} . すなわち x ∈ f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)} ならば x ∈ f − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle x\in f^{-1}(A\cap B)} だから f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) ⊂ f − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cap B)} .
逆については, A ∩ B ⊂ A {\displaystyle A\cap B\subset A} かつ A ∩ B ⊂ B {\displaystyle A\cap B\subset B} ,よって f − 1 ( A ∩ B ) ⊂ f − 1 ( A ) , f − 1 ( A ∩ B ) ⊂ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A),f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(B)} より f − 1 ( A ∩ B ) ⊂ f − 1 ( A ) ∩ f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)} . (証明終)

定理9. {\displaystyle \quad } f : M → N {\displaystyle f:M\to N} について次の命題が成り立つ.
A ⊂ N {\displaystyle A\subset N} であれば f − 1 ( A C ) = ( f − 1 ( A ) ) C {\displaystyle f^{-1}(A^{C})=(f^{-1}(A))^{C}} .
証明 {\displaystyle \quad }
(証明終)