旧過程高等学校数学C/確率分布

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1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。 このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、 P ( A ) = 7 15 {\displaystyle P(A)={\frac {7}{15}}} , P ( B ) = 5 15 = 1 3 {\displaystyle P(B)={\frac {5}{15}}={\frac {1}{3}}} , P ( A ∩ B ) = 2 15 {\displaystyle P(A\cap B)={\frac {2}{15}}} となる。
このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率 p {\displaystyle p} を考える。 p {\displaystyle p} は、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから p = 2 7 = n ( A ∩ B ) n ( A ) {\displaystyle p={\frac {2}{7}}={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}} 事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの条件つき確率といい、 P A ( B ) {\displaystyle P_{A}(B)} で表す。
P A ( B ) = n ( A ∩ B ) n ( A ) {\displaystyle P_{A}(B)={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}} この式の右辺の分母、分子をそれぞれ n ( U ) {\displaystyle n(U)} で割ると P A ( B ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) {\displaystyle P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}}

ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。
「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。 P ( A ) = 60 100 , P ( A ∩ B ) = 42 100 {\displaystyle P(A)={\frac {60}{100}},P(A\cap B)={\frac {42}{100}}} よって、求める確率は
P A ( B ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) {\displaystyle P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}} の分母を払うと、次のようになる。

5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。
aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率は P ( A ∩ B ) {\displaystyle P(A\cap B)} である。 aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから
よって、2人とも当たる確率は
1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、
このとき P A ( B ) = 1 3 {\displaystyle P_{A}(B)={\frac {1}{3}}} , P ( B ) = 2 6 = 1 3 {\displaystyle P(B)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}} より、 P A ( B ) = P ( B ) {\displaystyle P_{A}(B)=P(B)} が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。 また、 P A ( C ) = 2 3 {\displaystyle P_{A}(C)={\frac {2}{3}}} , P ( C ) = 3 6 = 1 2 {\displaystyle P(C)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}} より、 P A ( C ) ≠ P ( C ) {\displaystyle P_{A}(C)\neq P(C)} が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。 2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは独立であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは従属であるという。 事象AとBが独立であるとき、 P A ( B ) = P ( B ) {\displaystyle P_{A}(B)=P(B)} である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。
トランプのハートのカードが1組13枚ある。 (1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。 (2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。 (1) AとBがともに絵札を引くという事象は A ∩ B {\displaystyle A\cap B} で表される。 Aが絵札を引く確率は P ( A ) = 3 13 {\displaystyle P(A)={\frac {3}{13}}} Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率 P A ( B ) {\displaystyle P_{A}(B)} は、 P A ( B ) = 2 12 = 1 6 {\displaystyle P_{A}(B)={\frac {2}{12}}={\frac {1}{6}}} よって P ( A ∩ B ) = P ( A ) P A ( B ) = 3 13 × 1 6 = 1 26 {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B)={\frac {3}{13}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{26}}} (2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。 したがって確率は P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) = 3 13 × 3 13 = 9 169 {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)={\frac {3}{13}}\times {\frac {3}{13}}={\frac {9}{169}}}

1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。 それぞれが起こる確率は X = 0 {\displaystyle X=0} となる確率は 1 2 × 1 2 = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}} X = 1 {\displaystyle X=1} となる確率は 2 C 1 × 1 2 × 1 2 = 1 2 {\displaystyle {}_{2}C_{1}\times {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}} X = 2 {\displaystyle X=2} となる確率は 1 2 × 1 2 = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}
この結果を表にすると、次のようになる。
一般に、Xが有限個の値 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} をとる変数で、 X = x 1 , X = x 2 , ⋯ , X = x n {\displaystyle X=x_{1},X=x_{2},\cdots ,X=x_{n}} となる確率 p 1 , p 2 , ⋯ , p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}} が与えられて、
を満たすとき、Xを確率変数という。 このとき x k {\displaystyle x_{k}} と p k {\displaystyle p_{k}} の対応は下の表のようになる。
この対応関係をXの確率分布という。 X = x k {\displaystyle X=x_{k}} となる確率を P ( X = x k ) {\displaystyle P\left(X=x_{k}\right)} と書く。
確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
このとき、
を確率変数Xの平均または期待値といい、 E ( X ) {\displaystyle E(X)} で表す。
確率分布が上の表(確率分布の表)で与えられている確率変数Xの平均
をmとする。このとき、 ( x − m ) 2 {\displaystyle (x-m)^{2}} は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。
( x − m ) 2 {\displaystyle (x-m)^{2}} がとるn個の値
のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。
確率変数 ( X − m ) 2 {\displaystyle \left(X-m\right)^{2}} の平均
を、確率変数の分散といい、 V ( X ) {\displaystyle V(X)} で表す。 また、 V ( X ) {\displaystyle {\sqrt {V(X)}}} をXの標準偏差といい、 σ ( X ) {\displaystyle \sigma (X)} で表す。
分散 V ( X ) {\displaystyle V(X)} を表す式は次のように変形できる。
ここで、 ∑ k = 1 n x k p k = m , ∑ k = 1 n p k = 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}=m,\sum _{k=1}^{n}p_{k}=1} であるから
さらに、 ∑ k = 1 n ( x k ) 2 p k = E ( X 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}=E\left(X^{2}\right)} であるから、次の等式が成り立つ。

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。
Xの確率分布は、下の表で与えられる。
Xの平均は
また、 X 2 {\displaystyle X^{2}} の平均は
よってXの分散は
Xの標準偏差は
確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
a,bが定数のとき、Xの1次式 Y = a X + b {\displaystyle Y=aX+b} でYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値は y k = a x k + b {\displaystyle y_{k}=ax_{k}+b} であり、Yの確率分布は次の表のようになる。
Xに対して上のようなYを考えることを、確率変数の変換という。
確率変数の変換 Y = a X + b {\displaystyle Y=aX+b} によって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。 Yの期待値については
また、Yの分散については
であるから
Yの標準偏差は

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数 Y = 2 X + 3 {\displaystyle Y=2X+3} の平均、分散、標準偏差を求めよ。
上の問題より、
Yの平均は
Yの分散は
Yの標準偏差は
A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。 A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、 X = a {\displaystyle X=a} かつ Y = b {\displaystyle Y=b} となる確率は次のようになる。
このとき、 Z = X + Y {\displaystyle Z=X+Y} も確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。
よって、Zの平均は
一方
であるから
したがって、 E ( Z ) = E ( X ) + E ( Y ) {\displaystyle E(Z)=E(X)+E(Y)} が成り立っている。
確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、 X = a {\displaystyle X=a} かつ Y = b {\displaystyle Y=b} である確率が P ( X = a ) P ( Y = b ) {\displaystyle P(X=a)P(Y=b)} に等しいとき、確率変数XとYは互いに独立であるという。 上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、 U = X Y {\displaystyle U=XY} を考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。
よって、Uの平均は
一方、 E ( X ) = 2 3 , E ( Y ) = 13 6 {\displaystyle E(X)={\frac {2}{3}},E(Y)={\frac {13}{6}}} であるから
したがって、 E ( U ) = E ( X ) E ( Y ) {\displaystyle E(U)=E(X)E(Y)} が成り立っている。
2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。

大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和 X + Y {\displaystyle X+Y} の平均、出る目の積 X Y {\displaystyle XY} の平均、出る目の和 X + Y {\displaystyle X+Y} の分散を求めよ。
XとYは互いに独立である。今までの例より
したがって
1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると
である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。
一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、 q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} である。
この表の確率は、二項定理の展開式
の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を二項分布といい、 B ( n , p ) {\displaystyle B(n\ ,\ p)} で表す。ただし、 0 < p < 1 , q = 1 − p {\displaystyle 0<p<1\ ,\ q=1-p} とする。 上の例は、 B ( 3 , 1 6 ) {\displaystyle B\left(3\ ,\ {\frac {1}{6}}\right)} である。
1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布 B ( 6 , 1 2 ) {\displaystyle B\left(6\ ,\ {\frac {1}{2}}\right)} に従う。
二項分布 B ( 3 , p ) {\displaystyle B(3\ ,\ p)} に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、 q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} とする。 Xの平均は
また、 X 2 {\displaystyle X^{2}} の平均は
よって、Xの分散は
Xの標準偏差は
一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。

白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。
Xは二項分布 B ( 100 , 7 10 ) {\displaystyle B\left(100\ ,\ {\frac {7}{10}}\right)} に従う。 Xの平均は
Xの分散は
Xの標準偏差は