ガロア理論/準備

集合 K {\displaystyle K} と写像 + : K × K → K , ⋅ : K × K → K {\displaystyle +:K\times K\rightarrow K,\ \cdot :K\times K\rightarrow K} について、 + ( a , b ) = a + b , ⋅ ( a , b ) = a b {\displaystyle +(a,b)=a+b,\ \cdot (a,b)=ab} と書くことにする。このとき、 ( K , + , ⋅ ) {\displaystyle (K,+,\cdot )} が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。
基本的には「 ( K , + , ⋅ ) {\displaystyle (K,+,\cdot )} は体である」というより、演算を省略して「 K {\displaystyle K} は体である」ということが多い。
体 K {\displaystyle K} の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。
体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。群論参照。
体 K {\displaystyle K} の元 x {\displaystyle x} の加法の逆元はただひとつ存在する。 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。
体 K {\displaystyle K} は加法に関して、またその部分集合 K ∗ := K ∖ { 0 } {\displaystyle K^{\ast }:=K\setminus \{0\}} は乗法に関してそれぞれ群を成すので、一般論より成り立つ。 群論参照。
このことから、加法の逆元を − x {\displaystyle -x} 、乗法の逆元 x − 1 {\displaystyle x^{-1}} などと書く。
体 K , F {\displaystyle K,F} の間の準同型 f : K → F {\displaystyle f:K\rightarrow F} とは、以下を満たす写像である。
簡単に分かる性質として以下を挙げる。
体の準同型 f : K → F {\displaystyle f:K\rightarrow F} は単射である。
x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} のとき、乗法の逆元 x − 1 {\displaystyle x^{-1}} が存在し、 f ( x ) f ( x − 1 ) = 1 {\displaystyle f(x)f(x^{-1})=1} なので、 f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} である。 よって、 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} のとき、 x − y ≠ 0 {\displaystyle x-y\neq 0} なので、 f ( x − y ) ≠ 0 {\displaystyle f(x-y)\neq 0} 、すなわち f ( x ) ≠ f ( y ) {\displaystyle f(x)\neq f(y)} である。 すなわち、fは単射である。 ◻ {\displaystyle \Box }
体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。
体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。
体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。
練習問題。
体 K {\displaystyle K} とその部分集合 F {\displaystyle F} について、 K {\displaystyle K} の演算 + , ⋅ : K × K → K {\displaystyle +,\cdot :K\times K\rightarrow K} を F × F {\displaystyle F\times F} 上に制限したときの行き先が必ず F {\displaystyle F} に入り、かつ、その制限写像によって F {\displaystyle F} が体になるとき、 F {\displaystyle F} は K {\displaystyle K} の部分体である、 K / F {\displaystyle K/F} は体の拡大である、という。
このとき包含写像が準同型になることに注意。
体の準同型 f : K → F {\displaystyle f:K\rightarrow F} があるとき、 K , f ( K ) {\displaystyle K,f(K)} が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。
K / F , K ′ / F {\displaystyle K/F,\ K'/F} を体の拡大とする。 f : K → K ′ {\displaystyle f:K\rightarrow K'} が体 F {\displaystyle F} 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ F {\displaystyle F} 上では恒等写像であることをいう。
K / F {\displaystyle K/F} を体の拡大とする。 K / F {\displaystyle K/F} の自己同型とは、 F {\displaystyle F} 上の同型写像 f : K → K {\displaystyle f:K\rightarrow K} のことをいう。自己同型全体の集合 Aut  ( K / F ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)} には、写像の合成を積とする群構造が入る。これを自己同型群という。
体の拡大 K / F {\displaystyle K/F} について、 L {\displaystyle L} がその中間体であるとは、 K / L , L / F {\displaystyle K/L,\ L/F} が体の拡大になっていることをいう。

体の拡大 K / F {\displaystyle K/F} および中間体 L i ( i ∈ I ) {\displaystyle L_{i}\ \ \ (i\in I)} について、 L = ⋂ i ∈ I L i {\displaystyle L=\bigcap _{i\in I}L_{i}} は中間体である。
体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。群論参照。

体の拡大 K / F {\displaystyle K/F} および集合 S ⊆ K {\displaystyle S\subseteq K} について、 S {\displaystyle S} を含むような K / F {\displaystyle K/F} の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。
{ L i } i {\displaystyle \{L_{i}\}_{i}} を S {\displaystyle S} を含むような K / F {\displaystyle K/F} の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。
命題 6 で存在が保証される体を F ( S ) {\displaystyle F(S)} と書く。特に S = { α 1 , ⋯ , α n } {\displaystyle S=\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}} が有限集合である場合、 F ( α 1 , ⋯ , α n ) {\displaystyle F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})} とも書く。

体の拡大 K / F {\displaystyle K/F} および集合 S ⊆ K {\displaystyle S\subseteq K} について、 F ( S ) = { α ∈ K : f ( X 1 , ⋯ , X n ) ∈ F ( X 1 , ⋯ , X n ) , α 1 , ⋯ , α n ∈ S {\displaystyle F(S)=\{\alpha \in K\ :\ f(X_{1},\cdots ,X_{n})\in F(X_{1},\cdots ,X_{n}),\ \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\in S} が存在して α = f ( α 1 , ⋯ , α n ) } . {\displaystyle \alpha =f(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\}.} ただし、 F ( X 1 , ⋯ , X n ) {\displaystyle F(X_{1},\cdots ,X_{n})} は F {\displaystyle F} 上の n {\displaystyle n} 変数有理関数体であり、その元は F {\displaystyle F} 係数多項式 f , g ( ≠ 0 ) ∈ F [ X ] {\displaystyle f,g(\neq 0)\in F[X]} で f / g {\displaystyle f/g} と表せるもの全体からなる。
命題の主張にある集合 L {\displaystyle L} が体であることを確認する(省略)。そうすると、明らかに S ⊆ L {\displaystyle S\subseteq L} であり、 S {\displaystyle S} を含む中間体である。逆に、そのような任意の中間体は L {\displaystyle L} を含む。

体の拡大 K = F ( S ) / F , L / F {\displaystyle K=F(S)/F,\ L/F} と体 F {\displaystyle F} 上の準同型 f , f ′ : K → L {\displaystyle f,f':K\rightarrow L} について、 f ( α ) = f ′ ( α ) ( ∀ α ∈ S ) {\displaystyle f(\alpha )=f'(\alpha )\ (\forall \alpha \in S)} であるならば f = f ′ {\displaystyle f=f'} である。
命題7 より。詳細は読者に委ねる。