線型代数学/逆行列

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この章では逆行列の性質について議論する。
なお、行列の四則演算(和、積など)については 行列概論 を参照のこと。
体 K {\displaystyle \mathbf {K} } 上のn次正方行列 A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle A\in \ M(n;\mathbf {K} )} に対して、
となるような行列 X ∈ M ( n , ; K ) {\displaystyle X\in \ M(n,;\mathbf {K} )} が存在するとき、行列 X {\displaystyle \ X} は行列 A {\displaystyle \ A} の逆行列(inverse matrix)であるといい、 X = A − 1 {\displaystyle \ X=\ A^{-1}} と書く。
行列 A {\displaystyle \ A} が逆行列をもつとき A {\displaystyle \ A} は正則(regular)である、という。
逆行列という言い方のほうが馴染みがあるかもしれないが、線形代数学では、正則(せいそく)という言い方をよくするので慣れてもらいたい。
逆行列は一意的に定まる。
A − 1 {\displaystyle \ A^{-1}} を左からかければ
次のうちどちらかの条件( A X = I n {\displaystyle \ AX=I_{n}} または X A = I n {\displaystyle XA=I_{n}} )が成り立てば、 A {\displaystyle \ A} は正則であり、 X {\displaystyle \ X} は A {\displaystyle \ A} の逆行列である。
証明は後述する。(定理1.1.4の証明の手段として、まず、これから説明する定理1.1.5と補題1.1.6を先に証明する。)
条件 A , P 1 , ... , P m ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A,P_{1},\ldots ,P_{m}\in \ M(n;\mathbf {K} )} をみたす行列 A {\displaystyle \ A} 、行列 P 1 {\displaystyle P_{1}} ・・・、行列 P m {\displaystyle P_{m}} がそれぞれ正則であるとき、以下が成り立つ。
ここから先は行列の基本変形を理解しているものとして話を進める。
まず、次の補題を示す。
C = ( A 0 n , m 0 m , n B ) {\displaystyle \ C={\begin{pmatrix}\ A&\mathbf {0} _{n,m}\\\mathbf {0} _{m,n}&\ B\\\end{pmatrix}}} が正則。 ⇔ A , B {\displaystyle \Leftrightarrow \ A,\ B} が正則。 ( ただし A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in \ M(n;\mathbf {K} )} ,かつ B ∈ M ( m ; K ) {\displaystyle \ B\in \ M(m;\mathbf {K} )} )
したがって、 A Y n , n = Y n , n A = I n , B Y m , m = Y m , m B = I m {\displaystyle \ AY_{n,n}=Y_{n,n}A=I_{n},\ BY_{m,m}=Y_{m,m}B=I_{m}} が成り立つので、 A , B {\displaystyle \ A,\ B} は正則。□
それでは、定理1.1.4を証明することにする。
数学的帰納法で示す。
n = 1 {\displaystyle \ n=1} のとき、 行列はただの数字となるので、正しい。
n = k {\displaystyle \ n=k} のとき定理は正しいと仮定する。
A , X ∈ M ( k + 1 ; K ) {\displaystyle \ A,X\in \ M(k+1;\mathbf {K} )} が A X = I k + 1 {\displaystyle \ AX=I_{k+1}} をみたしているとき、
A ≠ 0 {\displaystyle \ A\neq \mathbf {0} } なので、基本行列の積 P , Q ∈ M ( k + 1 ; K ) {\displaystyle \ P,Q\in \ M(k+1;\mathbf {K} )} が存在して、
また、 Q − 1 X P − 1 = ( u t v w X ′ ) {\displaystyle \ Q^{-1}XP^{-1}={\begin{pmatrix}u&^{t}\mathbf {v} \\\mathbf {w} &\ X'\end{pmatrix}}} とおけば、(ただし u ∈ K , v , w ∈ K k , X ′ ∈ M ( k ; K ) {\displaystyle u\in \mathbf {K} ,\mathbf {v} ,w\in \mathbf {K} ^{k},\ X'\in \ M(k;\mathbf {K} )} )
ここで、帰納法の仮定と補題より B X ′ = I k ⇔ B {\displaystyle BX'=I_{k}\Leftrightarrow B} は正則。 ⇔ P A Q = ( 1 t 0 0 B ) {\displaystyle \Leftrightarrow PAQ={\begin{pmatrix}1&^{t}\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\ B\\\end{pmatrix}}} は正則。( ただし 0 ∈ K k {\displaystyle \mathbf {0} \in \mathbf {K} ^{k}} )
P , Q {\displaystyle \ P,Q} は正則だから A {\displaystyle \ A} も正則。
以下の文で説明するが、まず、正則行列は基本行列の積で表わせる。また、正則行列は左基本変形だけで(もしくは右基本変形だけで)単位行列に変形できる。
なぜなら、仮に行列 A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in M(n;\mathbf {K} )} が正則であるとすれば、このとき、正則の定義より、関係式
をみたす基本行列の積の行列 P ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ P\in M(n;\mathbf {K} )} と Q ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ Q\in M(n;\mathbf {K} )} とが、それぞれ存在する。 P , Q {\displaystyle \ P,\ Q} は、それぞれ正則だから
が成り立つ。基本行列の逆行列は基本行列であるから、以上の考察より正則行列は基本行列の積で表わせることが分かる。
すなわち、正則行列は左基本変形だけで(もしくは右基本変形だけで)単位行列に変形できる。
以上のことから次の定理が成り立つ。
仮に行列 A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in \ M(n;\mathbf {K} )} が正則行列のとき、
を左基本変形することで以下の行列を得たとする。
このとき、 A − 1 = B {\displaystyle \ A^{-1}=B} である。
( 2 1 1 1 1 1 − 2 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&1\\1&1&1\\-2&0&1\\\end{pmatrix}}} の逆行列を求めよ。
解法の手順
よって逆行列は、 ( 1 − 1 0 − 3 4 − 1 2 − 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1&0\\-3&4&-1\\2&-2&1\\\end{pmatrix}}}
逆行列を以下の(1),(2)の行列について求めよ。
(1) ( 3 1 2 2 1 1 1 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}3&1&2\\2&1&1\\1&2&1\\\end{pmatrix}}} (2) ( 3 2 2 − 1 2 1 1 0 2 2 1 − 1 1 2 1 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2&2&-1\\2&1&1&0\\2&2&1&-1\\1&2&1&-1\\\end{pmatrix}}}
答え (1) 1 2 ( − 1 3 − 1 3 − 5 1 − 1 1 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1&3&-1\\3&-5&1\\-1&1&1\\\end{pmatrix}}} (2) ( 0 0 1 − 1 − 1 1 0 1 1 0 − 2 1 − 1 2 − 1 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1&-1\\-1&1&0&1\\1&0&-2&1\\-1&2&-1&1\\\end{pmatrix}}}