線型代数学/線形写像

次の2つの2次元ベクトルを、Rの単位ベクトル(unit vector)という。
e 1 = ( 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}} , e 2 = ( 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}}}
また、次の3つの3次元ベクトルをRの単位ベクトルという。
e 1 = ( 1 0 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}} , e 2 = ( 0 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}} , e 2 = ( 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}}
平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。 三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。 このような性質を指して、単位ベクトルの組はR(R)の基底(basis)であるという。
行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、
A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} (6.1)
のことである。同時に行列
B = ( p q r d ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}p&q\\r&d\\\end{pmatrix}}} との掛け算を
B A = ( a p + c q b p + d q a r + c s b r + d s ) {\displaystyle BA={\begin{pmatrix}ap+cq&bp+dq\\ar+cs&br+ds\\\end{pmatrix}}}
対してベクトル x = ( x y ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}}
との掛け算は、
x ′ = A x = ( a b c d ) ( x y ) = ( a x + b y c x + d y ) {\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{pmatrix}}}
と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって 位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。
例えば、
( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}
は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。
次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。
x ′′ = B ( A x ) = B x ′ = ( p q r s ) ( a x + b y c x + d y ) = ( ( a p + c q ) x + ( b p + d q ) y ( a r + c s ) x + ( b r + d s ) y ) {\displaystyle \mathbf {x} ''=B(A\mathbf {x} )=B\mathbf {x} '={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(ap+cq)x+(bp+dq)y\\(ar+cs)x+(br+ds)y\\\end{pmatrix}}}
= ( A B ) x = ( a p + c q b p + d q a r + c s b r + d s ) x {\displaystyle =(AB)\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ap+cq&bp+dq\\ar+cs&br+ds\\\end{pmatrix}}\mathbf {x} }
よって、x=B(Ax)=(BA)x
行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。
A(BC)=(AB)C
{ A ( x + y ) = A x + A y ) A ( c x ) = ( A c ) x {\displaystyle {\begin{cases}A(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=A\mathbf {x} +A\mathbf {y} )\\A(c\mathbf {x} )=(Ac)\mathbf {x} \end{cases}}} (6.2)
特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるRの変換TA:x→Ax(「TAはxのAxへの変換」と言う意味)の線型性(linearity)と言う。一般にR変換Tが、次の性質を満たすとき、TをRの線型変換(linear transformation)という。
{ T ( x + y ) = T x + T y T ( c x ) = c ( T x ) {\displaystyle {\begin{cases}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=T\mathbf {x} +T\mathbf {y} \\T(c\mathbf {x} )=c(T\mathbf {x} )\end{cases}}}
一般に次の定理が成り立つ。
定理(6.1)
TをR上の変換とするとき、
Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax
(証明) ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } は既に示した。 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } を示す。
単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。(その理由は別のところで述べる)
T e 1 = ( a c ) {\displaystyle T\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}a\\c\\\end{pmatrix}}} T e 2 = ( b d ) {\displaystyle T\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}b\\d\\\end{pmatrix}}} とする。
任意の x = x e 1 + y e 2 {\displaystyle \mathbf {x} =x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}}
Tは線型変換なので、
T x = T ( x e 1 + y e 2 ) = x T e 1 + y T e 2 = x ( a c ) + y ( b d ) {\displaystyle T\mathbf {x} =T(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2})=xT\mathbf {e} _{1}+yT\mathbf {e} _{2}=x{\begin{pmatrix}a\\c\\\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}b\\d\\\end{pmatrix}}}
= ( a x + b y c x + d y ) = ( a b c d ) ( x y ) {\displaystyle ={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}}
A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} とすれば、
Tx=Ax ♯
Aによって引き起こされる変換をTAと書くこともある。
行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルをoに移す変換であり、対応する行列を零行列(ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix)といい、特にOと書く。
例
全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列(rotation matrix)と呼ばれる。対応する行列は
( cos  α − sin  α sin  α cos  α ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{pmatrix}}} である。
演習
1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ
2.TBTA=TBAを示せ。
3.
Txをxのaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時
a = ( a b ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}} a 2 + b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1} とすると、Tに対応する行列を求めよ
4.
(a,b)=0,a,b≠o
S:aへの射影子, T:bへの射影子
とする。この時次の三つを証明せよ。
(1)T^2=S (2)TS=ST=O (3)任意のxに対して、Tx+Sx=x
前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表
A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{pmatrix}}}
も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。
ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、
x = ( x y z ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}} に対しては、 A x = ( a 1 , 1 x + a 1 , 2 y + a 1 , 3 z a 2 , 1 x + a 2 , 2 y + a 2 , 3 z a 3 , 1 x + a 3 , 2 y + a 3 , 3 z ) {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z\\a_{3,1}x+a_{3,2}y+a_{3,3}z\\\end{pmatrix}}} が、
B = ( b 1 , 1 b 1 , 2 b 1 , 3 b 2 , 1 b 2 , 2 b 2 , 3 b 3 , 1 b 3 , 2 b 3 , 3 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&b_{1,3}\\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\\b_{3,1}&b_{3,2}&b_{3,3}\\\end{pmatrix}}} と A B = ( c 1 , 1 c 1 , 2 c 1 , 3 c 2 , 1 c 2 , 2 c 2 , 3 c 3 , 1 c 3 , 2 c 3 , 3 ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3}\\c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3}\\c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3}\\\end{pmatrix}}} にたいしては、
c k , j = ∑ i = 1 3 a k , i b i , j {\displaystyle c_{k,j}=\sum _{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}} (i,j=1,2,3)
が定義されている。次のような性質がある。
(AB)x=A(Bx), (AB)C=A(BC)
A(x+y)=Ax+By, A(cx)=(Ac)x (6.3)
Rにおける線形変換Tは次の性質を持つ変換である。
T(x+y)=T(x)+T(y) T(cx)=c(Tx)
前部とまったく同様に次の定理が導ける
定理(6.2)
RにおいてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax
Aによって引き起こされる変換をTAと書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルをoに線形変換する行列であり、これを零行列(ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix)といい、Oと書く。
例
y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は
( cos  α 0 − sin  α 0 1 0 sin  α 0 cos  α ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \\\end{pmatrix}}}
演習
1.定理(6.2)を証明せよ
2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か
(1) ( − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} (2) ( cos  α − sin  α 0 sin  α cos  α 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} (3) ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
3.
a = ( a b c ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}} , a 2 + b 2 + c 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}
この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。
4.
bとcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'(位置ベクトルx')とするとき、x'をxの正射影、Tx: x→x'をb,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xのaへの射影子をS,xのb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ
(1)T=T (2)TS=ST=O (3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x