中学数学1年 文字と式

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数学では、小学校までの算数と違って、数字の代わりとして、文字を置くことがある。 まず、小学校のように文字を使わない場合を述べる。 例えば、「太郎君は2個、花子さんは3個飴を持っていて、二人の飴の数とを合わせると5個になる」という内容を式を使って表現すると、
のように、それぞれが持っている飴の数も、合計した飴の数も、全ての数の値が判っていれば、数は数字で表して、文字を使う場面はない。 通常は、数の持つ値が判っていて、その値が変わることなく、とくに数字で表して面倒がなければ、数は文字を使うことなく数字で表すのがよい。
しかし、
「太郎君も花子さんも、それぞれ何個かずつ飴を持っていて、二人の飴の数を合わせると5個になる」 というような場合を考えると、数字では表すことのできない数が出てくる。このような時、小学校では式で表すことができなかった。
では、中学校の方法を説明する。
太郎君の持っていた飴の個数も、花子さんの持っていた飴もの個数もわからないけれども、ひとまず文字であらわすことで、合わせて5個になることを表すことができるようになる。 太郎君の持っていた飴の個数を x {\displaystyle x} 個、花子さんの持っていた飴の個数を y {\displaystyle y} 個と表すことで、次のように式が書ける。
上のようにすれば、それぞれの持っている飴の数がわかっていなくても、合計は5個だということを、式を使って表すことができる。具体的な数字で書くことができない値を文字で表すことで、そのような値を持つ数を含む内容を、等式などを使った式で表すことを、式を立てるという。 また、この式中にある x {\displaystyle x} や y {\displaystyle y} のように、数の値を数字ではなく、文字で表したものを文字数という。
中学レベルの数学では、数の持つ値がわからないときに使う文字数未知数、 数の持つ値が状況によって変わるときに使う文字数変数、 数の値は判っていても、数字で表そうとするとたいへん面倒臭いときに使う文字数文字定数があり、同じ文字数でも書き方や使い方がそれぞれ異なるので、注意が必要だ。未知数と変数をひっくるめて元と呼ぶので、併せて覚えておこう。
また、数の値を表すのに使うアルファベットの文字は、主に斜めに傾いで書いた小文字の1文字を使うが、その文字の形は英語の授業でならうアルファベットとは同じ書き方ではない場合があるので気をつけたい。


数を表すのに、数字で表記するのではなく、文字を使う場面には、いくつかの理由が考えられる。文字を使って表した数のことを文字数と呼び、文字数を含む式を文字式という。 中学数学では、文字数を使う場合が3つ、考えられる。 第一に、具体的な数の値がわかっていない場合がある。このような数をを未知数(英語:unknown アンノウン)という。 また一つの意味を持つ数が、いろいろな値を取ることができる。このような数を変数(英語:variable バリアブル)という。変数については関数のところで詳しく解説する。 未知数や変数を表す文字を、元と呼ぶ。2種類の元を含む文字式は、2元式と呼ばれる。 さらにもうひとつ、値がわかっていて、決まった数ではあるが、数字ではうまく表せないときに文字を使って表すことがある。このような数を文字定数という。代表的なものは、円周率を π {\displaystyle \pi } であらわすことであるが(詳しくは後の節で説明する)、高校の物理や化学では、多くの「決まった数(定数)」を文字で表すことがある。
文字の式を書くときには決まりがある。
特別な事情がないかぎり、中学以降の数学では、これらの決まりに従う。

間違った書き方の式を、文字の積の書き方の決まりにしたがって正しく書き直しましょう。

練習

つぎの ÷ を使った式を、分数の形に直しなさい。
また、決まりというほどではないが、2つ以上の積の場合、次のような習慣がある。
次のような決まりもある。
練習

この単元で使う用語や公式などを紹介する。
これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。
これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。
※ 要するに、加法でも乗法でも、交換法則も結合法則も成り立つ。

文字の中身が正の数の場合なら、加法でも乗法でも交換法則・結合法則・分配法則がすべて成り立つことは、小学校で習っている。
理解がむずかしいのは、文字の中身がマイナスであっても、はたして本当に交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても問題が起きないのだろうか、という事である。
では、これから、文字の中身がマイナスであっても交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても、まったく問題の起きないことを、確かめよう。
そのために、まず、いくつか前の単元で教えた、マイナス掛けるマイナスはプラスであることの説明のための長方形の図を使うと、簡単に分かる。
前の単元でつかった図は再掲しておく。
参考にせよ。

とあるが、あらたに文字 E と 文字F を用意して、
とすれば、
例の長方形の面積は
と書ける。
このことから、まず、文字の中身がマイナスの場合であっても、この場合すらも、長方形の面積計算に対応させることができることがわかった。
ここまでくれば、あとはもう、長方形の面積計算の基本的な性質として、交換法則や結合法則や分配法則が成り立つことが、簡単に感じられるだろう。
例として、乗法の交換法則が成り立つことを確かめてみよう。
まず、長方形は、90度回転させてタテとヨコを入れ替えても、面積は同じである。なので交換法則は成り立つ。マイナスの数の掛け算も四角形で表せることが、さっきの図形の議論で分かってるので、よってマイナスの数でも交換法則は成り立つ。
同様に、乗法の分配法則や結合法則についても、例の図形の議論により文字の中身がマイナスの数の場合でも長方形の面積であらわせる事が分かっているので、よって、文字の中身がマイナスであっても分配法則や結合法則も成り立つ。

a {\displaystyle a} を b {\displaystyle b} 回 掛けた積を a b {\displaystyle a^{b}} と表し、「 a {\displaystyle a} の b {\displaystyle b} 乗」と読む。
なお、このときの b {\displaystyle b} にあたる数のことを指数(英:exponent イクスポウネント)という。
2乗のことを平方(英:square スクウェア)とも言い、3乗のことを立方(英:cube キューブ)ともいう。

例えば
である。
である。
例: 負の数の逆数 − a 2 {\displaystyle -{\frac {a}{2}}} の逆数は − 2 a {\displaystyle -{\frac {2}{a}}} である。
この問題を解くためには、未知数であるx の代わりに5を入れて計算すればよい。
この問題で行ったように、式の中の文字を数でおきかえることを、文字にその数を代入(だいにゅう、英:substitution サブスティテューション)するという。また、文字式に具体的な数を代入して計算した結果を、そのときの式の値(値は「あたい」と読む。)という。
上の問題を今説明した言葉で言うと、x = 5 のとき、40x+50 の値は 250 であると言える。

たとえば、次のような理科の計算をするとき、代入が活用できる。
与えられた公式に実際に代入をする。
よって30°Cのときの音の速さは秒速 349.5 m である。

まず、気温10°Cのときの音の速さを求める。
より、10°Cでの音の速さは秒速 337.5 m となる。
雷が光ってから2秒後に雷の音が聞こえたので、このあいだに音がつたわった距離は、
よって答えは 675mの距離である。
(解法と答え)

(解法と答え)
「項」(こう)については、正の数・負の数で、一度、説明した。例えば、2+5-9+4の式の項といえば、2、5、-9、4の4つのことである。この章では文字を含む項について考える。例えば、
という式の場合、和の形で表すと 7 + 5x + (-y ) となる。したがって、この式の項は7、5x、-y の3つである。このように文字を含んだ式も含まない式も、項についての考え方は同じである。
について、文字xについている +5 と文字についている -1 のことを、それぞれ係数(けいすう)という。7は係数ではない。
つまり、文字をふくむ項についている数字と符号との積が係数である。

では、次の式を考えてみよう。

この式の中で、文字を含む項は 3y、5x、文字を含まない項は -2 である。
文字を含む多項式の中で、文字を含まない項を定数項(ていすうこう)という。ここでは -2 が定数項である。
また、3y という項について、具体的な数字である 3 を yの係数(けいすう、英:coefficient コエフィシェント) という。 yは3倍,xは5倍,さらに定数項は+1を-2倍していると考えて、式の係数は3,5,-2である。
文字の部分が同じ項のことを同類項(どうるいこう、英:like terms)という。次の式について考えてみよう。
この式で 4x と 8x は、係数をのぞくと同じxとなりますから同類項だといえる。しかし、2y と 3y は同類項ではない。文字の部分がそれぞれ y と y となっていて指数が違うので、これらは文字の部分が同じとはいえない。したがって、同類項ではないということになる。
もし文字式のなかに同類項の加減算があれば、
のように、同類項どうしで計算できて、式を短くできる場合が多い。
また、上記の計算例から分かるように、同類項の加減算の計算では、係数だけを加減算すればいい。
たとえば、右側の式 12x の係数 12 は、左側の式の項 4x と 項 8x という同類項どうしの係数4と8を足し合わせたもの(4+8)と同じ値になっている。
次のようなときを考えてみよう。
この場合、
という式が立てられる。このように等号(=)で2つの式が等しいことを表している物を等式(とうしき)という。また、等号の右側を 右辺 (うへん、英:right-hand side)といい、等号の左側を 左辺(さへん、英:left-hand side) という。つまり、5a=bは等式で、左辺は5a、右辺はbである。
右辺と左辺の両方を指して 両辺(りょうへん)といい、左辺と右辺それぞれのことを等式の辺々(へんぺん)という。
次のようなときを考えてみよう。
この場合、 2 a + 3 b > 500 {\displaystyle 2a+3b>500} という式が立てられる。このように2つの数量の間の関係を不等号 ≦、≧、>、< を使って表した式を 不等式 (ふとうしき、英:inequality イニクウォリティ)という。また、不等式の右側を 右辺 と言い、不等式の左側を 左辺 という。つまり、 2 a + 3 b > 500 {\displaystyle 2a+3b>500} は不等式で、左辺は、 2 a + 3 b {\displaystyle 2a+3b} 、右辺は500である。
右辺と左辺をあわせて 両辺 という。
「xは50より大きい または xは50と等しい」を x ≧ 50 {\displaystyle x\geqq 50} と表す。
「xは50より小さい または xは50と等しい」を x ≦ 50 {\displaystyle x\leqq 50} と表す。
≧ {\displaystyle \geqq } も ≦ {\displaystyle \leqq } も不等号である。
のように、文字の指数が 1 までである式を一次式(いちじしき)という。(指数の 1 は記載を省略するので、上記の式中には書かれてない。)
いっぽう、
のように文字の指数に2を含み、最大の指数が 2 までである式を二次式という。
なお、
のような文字 xy をふくむ式については、説明を省略する(※ 検定教科書でも省略している)。中学1年生は考えなくて良い。

a円の 8% を文字式であらわしてみましょう。(2018年度の消費税)
約分をして 4 a 50 {\displaystyle {\frac {4a}{50}}} や 2 a 25 {\displaystyle {\frac {2a}{25}}} と書いても数学的には間違いではない。しかし、百分率の計算などの実務の問題の場合、あとの計算のことまで考えて、約分しないで分母を100のままにしておく場合もある。

税抜きの値段が a円 の品物は、消費税こみ(消費税は8%とする)で、合計いくらになるか、文字式であらわしなさい。

花子さんの地元のスーパーでは、お弁当の値段が、午後5時から午後6時までは定価から3割引きになります。 値引き前のお弁当の値段を、消費税込みで a円とした場合、午後5時から午後6時までの、お弁当を買うさいに払う値段を、文字式であらわしなさい。(※ すでに税込みの値段にしてあるので、消費税については考えなくてよいとする。)
※ まちがえて 0.3a 円 を答えとするような計算ミスが時々あるので、気をつけよう。
一辺の長さを a cm(センチメートル)とする正方形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。
また、この正方形の周の長さを文字式で あらわしてください。

長方形があります。縦の長さを a cm 、横の長さをb cm とします。面積を文字式であらわしてください。また、周の長さを文字式であらわしてください。


三角形があります。底辺が a cm , 高さが h cm だとします。この三角形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。
※ なお h とは、高さを意味する英語 height (ハイト)の頭文字。 なので、高さをあらわす文字として、数学や理科では、よく h が使われる。
自動車が時速80km でa時間つづけて走っていたとします(※ 現実世界の自動車道路は途中でインターチェンジなどがあって停車するかもしれないが、しかし、そういうことは、この問題では考えない)。 この自動車がa時間によって走った 道のりは、いくらかを、文字式であらわしてください。


タカシくんは a km の道のりを 2時間で歩き終えました。タカシくんの歩行の時速を文字式であらわしてください。
小学校では、「円周率は3.14」としましたが、実際には円周率は3.141592653589793...と無限に続き、数では表せません。そこで、円周率を文字で表すときには π {\displaystyle \pi } (パイ)という記号を使います。この記号は、ギリシャ文字の小文字のひとつです。(※ 普段使わないギリシャ文字を使うのは、中学では円周率を表す専用の文字とするためです。断りなく使うことができます。)
これを、円の半径を r (cm)として、円周の長さC (cm)と円の面積S (cm) をそれぞれ文字式になおしてみましょう。(円の半径を表す文字には、よく r をつかう。)


※ なお半径を意味する文字 r は、半径を意味する英語 radius (レイディアス)が由来。