機械工学/伝熱工学

この解説書は翻訳であり、元記事はイングリッシュ版ウィキブックスの記事『Heat Transfer/Introduction』などです。
加筆・訂正や翻訳(和訳)を行ってくれる協力者をお待ちしています。日本版の内容は暫定的な物です。
現時点では、翻訳がメインですが、和訳に意訳が含まれるところもあり、元記事と内容が異なる場合もありますので、ご容赦ください。 また将来的には、日本版の独自の記述を追加したりなど、日本版の独自化があるかもしれません。
執筆の方針についての議論などは、詳しくは「議論」ページを利用したいと思います。

(原著まえがき)
熱移動の概要
この本は、特に化学エンジニアおよび機械エンジニアへの、エンジニアリング·コンテキスト内の熱伝達を扱っています。これは、業界では加熱と冷却のために使用されている基本的な物理学と技術が含まれています。もちろん、原理は、必要に応じて他の分野に適用することができ、エンジニアはかなり従来のものとは異なり、新しい技術に対処することができます。これは、大学の第一学年または第二学年の工学の学位の学生のための、始めてのテキストとして意図されています。 あなたがテキストを持っていれば、この記事に追加、または記事を修正してください。その場合は、権威ある教科書の慎重な参照によって、またはあなたの信頼できる専門的な経験に基づいて、いずれかを行うことです。

簡単に言えば、熱伝達は熱エネルギーの伝達(熱)、材料の特性や幾何学とその温度との関係を研究します。 このような熱伝達解析は、高温による損傷から機器を設計するために、エンジニアリングの複数の分野で重要です(再突入時の宇宙船など)、ある物体が特定の温度に達するまでの時間を決定する(卵を料理する、金属を焼なます、部屋を冷却する、または特定の化学プロセスを行う)、または発電所の効率を評価するためです。 これらのわずかな例から、実践するエンジニアが直面する多くの問題にとって熱伝達がどれほど重要かが明確になるはずです。
入門的な熱力学のコースから、熱力学の法則を思い起こすことができます。
これらの法則は、熱伝達の基本的な原理と仮定を形成します。つまり、蓄えられた内部エネルギーは、仕事が行われるか、エネルギーが転送される場合にのみ変化し、そしてプロセスは、エントロピーと呼ばれる特性に基づいて行われ、熱は高温から低温へ移動します(最も簡単には無秩序、有用な仕事を行う能力の欠如、または可能な粒子の状態の数として記述されることが多い)。今、これらのトピックについて簡単に触れ、本書の残りの文脈を説明します。私たちはいくつかの主要な用語を議論した後、これらをさらに詳細に再考します。
エンジニアリングにおける熱伝達は、温度差(移動の二点間のポテンシャルの差)によって熱(または熱エネルギー)が伝わることから成り立ちます。このエネルギーの転送により、対象物の蓄えられたまたは内部エネルギーが変化します。温度差がないと、熱伝達は発生しません。
冷たい物体から温かい物体へのエンタルピー変化を要求する場合、冷蔵庫の場合のように、より多くの作業が必要になります(流れに対して逆行すると定義されます)。 これには、外部の力による機械的な作業や気体の膨張による冷却など、別のプロセスが不可欠ですが、全体的な活動の中で熱伝達は常に暖かい方から冷たい方へと移動します。
温度差は駆動力と呼ばれます。 他の条件が同じであれば、より大きな温度差はより高い速度で熱伝達をもたらします。
温度は、それは物質の量に依存しません。たとえば80°Cの銅の1キログラム(1 kg)と、80°Cの銅の12 kgとは、両方とも同じ温度を持っています。
我々は放射熱を扱っている場合を除き、それは絶対温度スケールに、これらの値を変更する必要が、通常は必要ないことに注意してください。 我々はこれらの銅のブロックから20 °Cの水への熱移動について計算したい。この場合は摂氏温度(Celsius temperature)は単にケルビン温度(kelvin.Temperature)の273.15 Kよりも大きい数として定義されています。それは温度差と言うことは非常に適切であり、この問題の場合は 80 °C - 20 °C = 60 K.
我々は、それが 353 – 293 = 60 K であると言ってそれ以上の労力で同じ答えを得る(度単位で計算しているので、0.15 K は省略しました)。温度スケールは、絶対温度(ケルビン温度)または摂氏温度で与えられます。しかし、温度差はケルビン温度で与えられるべきです。温度も暑さの度合いとして定義されます。これは、熱力学および熱移動(すなわち熱エネルギー)の主題において、温度が重要な役割を果たしています。
エンタルピー(Enthalpy)は、熱力学システムに格納されている全エネルギーの尺度です。それは温度の関数である内部エネルギー(internal energy)と、その環境を変位し、その体積および圧力を確立することによって、それのためのスペースを確保するために必要なエネルギー量を含みます。
それはエネルギー伝達の特定の記述を簡素化するため、エンタルピーは、多くの化学的、生物学的、および物理的な測定システムにおけるエネルギーの変化の好ましい式です。エンタルピーの変化が検討中のシステムの拡大による環境へ伝達されるエネルギーを考慮するためです。
エンタルピーは状態量です:系のエンタルピーは、系の測定可能な性質に依存せず、システムの履歴に依存します。
エンタルピーは広範囲のプロパティ:それは物質の量に依存します。こうして80 °Cの銅の12 kgは、同じ温度で同じ物質の1キログラムの12倍のエンタルピーを持つことになります。しかしながら、我々は一般的に単位質量当たりのエンタルピー(もっと適切に比エンタルピー specific enthalpy )を表現します。国際単位系(SI)におけるエンタルピーの測定単位はジュール(joule,記号は J )であるが、他の歴史的な、従来の単位は、そのような英国熱量単位やカロリーなどが、まだ使用されています。比エンタルピーは、それ故にJ / kgを、またはBTU /ポンドの単位を持っています。
システム全体のエンタルピー H {\displaystyle H} は、直接には測定することはできません。したがって、エンタルピーの変化 Δ H {\displaystyle \Delta H} が、エンタルピーの絶対値よりも有用な量です。系の Δ H {\displaystyle \Delta H} は、そこに供給される熱に行われた非機械的な仕事の和に等しい。もし本体と同じ圧力で、熱力学的状態Bへの熱力学的状態からパスした場合、環境に伝達された熱は次式で与えられる: Q = Δ H = H e n d − H s t a r t {\displaystyle Q=\Delta H=H_{end}-H_{start}} 結合システム、-それは伝熱、圧力または容積の変化を生成する結合システム(およびその逆)-は、テキストの後半で処理した。
表やグラフは、様々な熱力学的な状態で多くの材料の比エンタルピで利用できるリストです。
各テーブルには、基準状態が選択されます。所与のエンタルピーは次のエネルギー量として理解することができます、それを高めるためにシステムに投入されなければならない基準温度(より正確には、基準状態)。水については、共通の基準状態は、液相中のすべての水が、0°C、大気圧である状態です。
銅に対する標準状態は固体です。酸素に対する標準状態は気体です。参考として、ここでいう「標準状態」とは、材料が、通常の実験室条件の温度および圧力で、とるべき相です。しかし、様々な工学分野では、独自の規則を持っています。
80 °Cで、水(大気圧で)は391.7 kJ/kgでの比エンタルピーを持っています。したがって、80°Cの液体の水の1キログラムは391.7 kJのエンタルピーを持っているでしょうし、7.3 kgでエンタルピーは7.3 x 391.7 = 2584 kJのエンタルピーを持っているでしょう。
エンタルピーの二つの成分、ひとつは温度によります、もういっぽうは相によります。1たとえば、上記の表から、液体の水100 °C で、比エンタルピー 419.1 kJ/kgを持つが、蒸気は2675.4 kJ/kgの比エンタルピーを持っています。-かなりたくさん! 違いは、2257.9 kJ/kgは、液体から蒸気に相を変更するために、水に入れなければならないエンタルピーです。この量は、水の蒸発エンタルピーと呼ばれます、または蒸気の潜熱と呼ばれます。けっして蒸気は水よりも暑くありませんが、それが凝縮ば放棄するすべてのこの隠されたエネルギーを持っているので、 "潜在"は、隠されたことを意味します。
この現象は沸騰に限定されるものではないです。水 37 °C の温度では 2414 kJ/kg の蒸発の比エンタルピがあります:それは発汗がその温度で蒸発する場合にあなたを冷却し、この熱が巻き取られます。
同様に、0 °C の氷が、0 °C の水に溶けたとき、熱の入力が一致する必要が、潜熱の融解熱、あるいは結晶化エンタルピーには、あります。
したがって(この規則によれば)0 °Cの液体の水°は、ゼロのエンタルピーを持っています。同じ温度の氷が、負のエンタルピーを持っています。他のエンタルピー表では、基準温度が異なる場合もあり、絶対零度の0.0 Kを基準としたエンタルピー表や、または実験室の温度298 Kに対するエンタルピーを与える表の場合もあります。
化学エンジニアは、ときどき、 参照条件として周囲の温度を使用します。
我々は何かを加熱する必要がある場合(相変化を無しで)、たとえば20 °Cから80 °Cまでに銅の12 kg を加熱する場合、我々が入れなければならないエンタルピー量は、三つのことに依存します。
そこで、我々は持っている: H = m c p Δ T {\displaystyle H=mc_{p}\Delta T}
添字 p {\displaystyle _{p}} は比熱容量の値は変換が一定の圧力で行われる場合にのみ有効であることを覚えています。実際には、唯一のガスのために他の変換(たとえば一定の体積、ポリトロピック ...)のための定圧比熱と比熱との間に関連性の違いがあります。固体と液体は、比熱容量の値を1つだけ有します。例えば、銅は毎ケルビンあたり毎キログラムあたり0.383キロジュール(0.383 kJ kg K)です。 そこで我々は、0.383 x 12 x 60 = 276 kJで入れなければなりません。
一方で、もし20 °Cから80 °Cまで水の12 kg を加熱する必要があった場合は、我々は水の比熱容量を使用することになり、4.184 kJ kg K、そして我々の計算は次のようになります。: 4.184 x 12 x 60 = 3012 kJ.
これらの用語は、ゆるく使用される傾向があることに注意してください。比熱容量がしばしば比熱または熱容量と呼ばれます。疑わしい場合は、単位を見てみましょう。技術的には熱容量が物質全体での場合を意味します。比熱容量は質量あたりの場合 - SIシステムの質量1キログラムあたりの場合です。熱力学表では、データは時々 、特にガス用では、モルあるいはキロモルごとに与えられる場合があります。キログラムあたりではなく。また、廃止された単位のカロリー(= 4.184 J)が使用され、質量の単位が1グラムである古いデータに出くわすことがあります。申し訳ありませんが、しかし、あなたは変換する必要があります。常に単位を見てください。
比熱容量の定義は、圧力一定の変換のための、次のように書くことができます: Q = Δ H = m c p Δ T {\displaystyle Q=\Delta H=mc_{p}\Delta T}
熱伝達の問題の圧力定数変換は、多くの場合、熱交換器内などの流体と他の流体または固体との間で熱交換をしています。これらの場合、質量 m {\displaystyle m} は、それが流れているため、一定ではないです。そこで、質量ではなく、質量流量 m ̇ {\displaystyle {\dot {m}}} を参照する必要があり、けっしてエネルギーQ Q {\displaystyle Q} ではなく、 Q ̇ {\displaystyle {\dot {Q}}} に対して。したがって:
Q ̇ = m ̇ c p Δ T {\displaystyle {\dot {Q}}={\dot {m}}c_{p}\Delta T}

仮定として80 °Cの銅の15 kgと°C、20 °Cの水の25 kgを風呂に入れて、周囲への熱損失も無いと仮定します。何が最終的な状態でしょうか?
回答: 銅と水の両方が、同じ温度を持つことになります。その同じ温度とは、20 °C と80 °Cの間の、どこかです。 合計エンタルピーは変更されません。
私たちは基準状態として20 °Cとしましょう。したがって、水がゼロエンタルピーを有しており、銅は 15 x (80-20) x 0.383 = 344.7 kJを有します。これが系のエンタルピーです。
現在の系の総熱容量は、 (質量 x 銅の比熱容量)+(質量 x 水の比熱容量) = (15 x 0.383) + (25 x 4.184) = 5.75 + 104.6 = 110.4 kJ K
言い換えれば、1 K(= 1°C)で、システム全体の温度を上昇させるためにエンタルピー110.4 kJを取るでしょう。

伝導(Conduction)、対流(Convection)、そして放射 (Radiation):熱移動には3つのモードがあります。伝導は、材料の運動なしでの、材料を通過する熱エネルギーの移動に関係しています。この現象は、基本的に、微細なレベルで起こる拡散プロセスです。対流は、運動できる流体(液体または気体)の、熱エネルギーの移動に関係しています。対流の熱移動は、2つの物理的原理、伝導(拡散)と流体運動(移流)によって特徴づけられます。流体運動は、例えば、ファン(回転翼)などで、外力によって引き起こされることがあり、あるいは浮力の影響に起因する可能性があります。最後に、放射とは、電磁波(または光子)を介した熱エネルギーの伝達です。
伝導は熱エネルギーの拡散であります、すなわち、熱エネルギーの動きは、高い温度の領域から、より低い温度領域へと、熱エネルギーは動く。顕微鏡レベルでは、これは分子の振動に起因してエネルギーの通過が発生します。
熱移動の速度は次のように表されます。
Q ̇ {\displaystyle {\dot {Q}}} .
熱移動率の単位はワット(watt、記号は W )です。そして、熱移動率がベクトル量であることに留意すべきです。それはしばしば幾何学の観点から熱伝導率を説明するのに便利です。したがって、我々は定義して Q ̇ ′ {\displaystyle {\dot {Q}}'} , Q ̇ ′′ {\displaystyle {\dot {Q}}''} , および Q ̇ ′′′ {\displaystyle {\dot {Q}}'''} 単位長さあたりの熱伝導率と、単位面積あたりの熱移動率(単位面積あたりの場合は、別名で熱流束 heat flux ともいう)を。それは別の規則では、しばしば表記法で使用されていることに注意することは有用であり、熱流束(単位面積当たりの熱移動率)が、しばしば q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} で示されている 。 伝導支配速度式はフーリエの法則(Fourier's Law)で与えられます。一次元の場合は、フーリエの法則は次のように表されます:
q ̇ = − k d T d x {\displaystyle {\dot {q}}=-k{\frac {dT}{dx}}}
あるいは
Q ̇ = − k A d T d x {\displaystyle {\dot {Q}}=-kA{\frac {dT}{dx}}}
ここで x は、その問題で考えている方向です。 Aは断面積であり、断面はxに垂直とします。 k is a 比例係数であり 熱伝導率(thermal conductivity)と呼ばれます。そして d T d x {\displaystyle {\frac {dT}{dx}}} は温度勾配(temperature gradient)とよばれます。 マイナス符号は、高温物体ほど、熱が低温部へと拡散して温度が下がる理由によります。
熱伝導率は、材料がどのくらい熱を伝えやすいかの尺度です。金属などの熱伝導率の高い材料は、容易に低い温度勾配でも熱を伝導します。いっぽう、アスベストなどの低-熱伝導率を有する材料は、熱伝導に抵抗するので、しばしば断熱材(insulator)と呼ばれます。
対流(Convection)は、固体と移動する流体の間の熱エネルギーの移動です。流体運動でない場合(そのヌッセルト数が1であります)は、問題を熱伝導として分類することができます。対流は、2つの現象によって支配されます。分子振動、流体粒子の大規模な動きに起因するエネルギーの移動です。一般的には、対流は2種類であり、強制対流(Forced Convection)と自由対流(Free Convection)です。
流体が流れるように強制されたときに強制対流が発生します。たとえば、送風ファンを用いて空気を送風すれば、強制対流の例です。自由対流では、流体運動は浮力の影響によるものです。例えば、静止した空気によって囲まれる垂直加熱されたプレートは、周囲の空気を加熱させます。そして空気の密度は冷たい空気よりも暑い空気が密度が低いという理由により、熱い空気が上昇しています。かわりに熱い空気の抜け出た領域が冷たい空気によって満たされ、循環が継続されます。
対流のための支配方程式は冷却のニュートン法則(Newton's Law of Cooling)で与えられます。
Q ̇ = h A ( T s − T ∞ ) , {\displaystyle {\dot {Q}}=hA(T_{s}-T_{\infty }),}
ここで、 h {\displaystyle h} は熱伝達係数(heat transfer coefficient)であり、 T s {\displaystyle T_{s}} は固体の表面温度であり、 A {\displaystyle A} は面積であり、 T ∞ {\displaystyle T_{\infty }} は遠い面での流体の温度です。この式は、その名前にもかかわらず、法則ではありません。むしろ実験則であり、それは熱流束が固体と液体との間の温度差に比例するという経験的表現です。熱伝達係数は、典型的には、実験によって決定されます。実験によって、流れの様々な種類での熱伝達係数に対する相関関係が決定されており、文献に記載されています。
放射(Radiation)は、それらの物体間の接触することのない熱移動の現象です。放射は、電磁波を介して二つの物体間で行われる熱エネルギーの輸送です。伝導と対流とは異なり、放射線は媒質を必要としません。一般的に、気体は、放射熱伝達に関与しません。
放射は、すべての有限温度の物体、すなわち絶対零度ではない物体では、電磁波の形態で放射を放出するという事実に基づいています。彼らは別のオブジェクトに衝突するまで、これらの波は移動します。それから、放射電磁波が衝突した第二の物体は、電磁波を吸収か反射をするか、またはエネルギーを伝送します。なお、第2の物体が有限温度である場合、それもまた、放射をすることに留意すべきです。
放射の基本的な事実は、放射の熱は、放射源の温度の4乗に比例するということです。放射による熱の損失は、材料の放射率(emissivity) ε が関係し、方程式は以下のようになります。:
Q ̇ = A ε σ T 4 {\displaystyle {\dot {Q}}=A\epsilon \sigma T^{4}}
理想的な材料は黒体(black body)と呼ばれ、 放射率の値が1です。記号Aは放射物体の表面積であり、記号σ(シグマ)はステファン·ボルツマン定数(Stefan-Boltzmann constant) σ = 5.670 × 10 − 8 W / ( m 2 K 4 ) {\displaystyle \sigma =5.670\times 10^{-8}W/(m^{2}K^{4})} として知られています。
三次元における熱バランスを行うためにフーリエの法則を用いて、以下の式は、その点の座標と経過時間に所定の時点で、システム内の温度に関連導出することができます。
導出には発熱が存在しないとみなし(発熱はx、y、zのおよびtの関数であり、発熱が存在する場合には微分方程式に加えられなければなりません)、そして、時間または温度(この場合、彼らは派生物に取り込まれなければなりません)で、材料特性が変わらないと、仮定します。
フーリエの法則の条件のどれも時間に依存しないとき、私たちは、定常状態の伝導を持って、次の結果が得られます。
壁を通しての伝熱は、温度が壁面の一方からの距離の関数である一次元の伝導問題です。仮定として、この壁の表面の残りの部分は一定温度であると仮定します。壁の表面からの熱伝達はそれらの定常状態温度を有するようになり、周囲の空気によって対流によって行われる T 1 {\displaystyle T_{1}} と T 2 {\displaystyle T_{2}} 、その表面上に。最後の温度で壁側の流体と仮定 T 1 {\displaystyle T_{1}} になる T 1 , ∞ {\displaystyle T_{1,\infty }} と熱伝導率を有し h 1 {\displaystyle h_{1}} 、かつ温度が壁側にすること T 2 {\displaystyle T_{2}} にある T 2 , ∞ {\displaystyle T_{2,\infty }} 熱伝達係数と h 2 {\displaystyle h_{2}} 、その T 1 , ∞ ≥ T 2 , ∞ {\displaystyle T_{1,\infty }\geq T_{2,\infty }} 。仮定があることを意味する h 1 ≥ h 2 {\displaystyle h_{1}\geq h_{2}} 。壁は、任意の熱エネルギーを格納しないので、より高温の表面からのすべての熱が冷却器の表面に伝導されます。エネルギー保存はそれを指示
このような場合には温度が位置によって異なるだけであるので、全く熱を発生させることがありません。壁面に通常のx軸の方向で同じことを1-Dケースに適用して、我々は次の結果を得ます。
適切な境界条件を置いて方程式を解くと、(x=0で T = T 1 {\displaystyle T=T_{1}} であり、x = sで、 T = T 2 {\displaystyle T=T_{2}} )私たちは、壁の厚さs内でTの線形変化を得ます。
それは壁内の温度プロフィールは表面からの距離とともに線形に変化すること方程式から明らかです。我々は、温度変化を持っているので、熱伝導率はフーリエの法則から計算することができます。
これは、熱流束をxとは独立しており、定数であることを上記式から分かります。この例では、伝導問題を解決する標準的な方法を示す図です。まず、体内の温度プロファイルは、エネルギーの保存のための式を用います。温度方程式はフーリエの法則の方程式に差し込むことによって熱流束を解くために使用され、発見された。
一般的には、炉を建設するのに最適な温度に耐えることができる非常に低い熱伝導率を有する材料を持ちたい。実際には、我々は、高温材料が比較的高い熱伝導率を持つとわかります。このように、炉はいくつかの層(異なる材料の各々)から造られます。 熱損失が最小限であるように、我々は最適の厚みを見つけるために各々の材料の熱の故障温度を使うことができます。 各々の材料がその熱の故障温度で熱を受けなければならなくて、隣接した材料の熱の故障温度で熱を拒絶しなければならないのを見ることは、簡単です。
私たちは平板の壁のために使用したのと同じ仮定を使用してみましょう、この時を除いて、我々は無限に長い中空円筒を通しての伝熱を持っているときに何が起こるかを分析します。シリンダー内半径 R1 持つと外半径R2。内部の温度がTで一定のままであるという仮定の下に T1と外気温T2、ラプラス方程式は、まだ成立します。
我々は円筒形状であるため、この時間は、しかし、それは、以下にラプラシアンを拡大する円筒座標を使用するのが最も理にかなっています:
:シリンダーは無限に長いと対称であるので、方程式はに減少ので、Z及びθに関して偏微分はゼロです
qはゼロとなる熱の発生がない場合に発熱がある場合、上記式は、有効です。境界条件と、この方程式を解くと T(R1) = T1とT(R2)=T2と私たちを示しています。
伝導のためにフーリエの法則にこれを代入すると、私たちを与える:
気をつけてください、熱流は半径から独立していません。たとえば、シリンダー(円筒形の熱交換器を設計するとき)です。 今、私たちは無限に長くない有限長のシリンダーの近似値として、これを使用する方法を知っているように、単位長さ当たりの熱流束について、これを表現しましょう。我々は、シリンダの断面積が A = 2 π r L {\displaystyle A=2{\pi }rL} だと知っています。:
したがって、単位長さ当たりの伝達された熱は密接半径の対数に関連しています。
多くの場合、伝導ではなく単一の平面壁または単気筒を介して行われますが、複数のプレーン層を介して、または同軸円筒を通して。例えば、現代の家の壁は、その断熱性を高めるためのいくつかの層で構成されていますので、我々は外部の顔に向かって内部から、次の成層を見つけることができます:
そこで、8層を有し、方程式の解
尊重されるより多くの境界条件があるため、より複雑になります。問題を解決するための簡単な方法は電気回路計算との類推であす:平らな壁のために、そして、空洞のシリンダーのためにQの両方の表現力を観察するならば、我々はこれらが以下のように記述することができることに注意してください。:
ここでG(またはRを好む人もいます)は幾何学的な形状に依存し、伝導率kを含んでいます。この手法は、オームの法則の類推です。
したがって、熱伝導問題をモデル化することができる熱抵抗(又は熱伝導つが好む場合は、G = 1 / R):それぞれの熱抵抗は、そのノード上の異なる温度に維持されているオブジェクトであるため、熱がそれを通過し、同様にして、我々は電気抵抗に電圧の違いを適用した場合、それを介して電流が流れます。それは、直列に接続された抵抗の方式として、多層問題をモデル化することができるので、この類推が有用です。実際には、電気抵抗がBのエンドノードに直列に接続されている場合Bの開始ノードと同じ電圧である熱抵抗は(壁の層)が直列に接続されている場合(隣接します)熱抵抗B(他の層)に、共通ノード(インターフェイス)上では、温度勾配であるはずがありません。正しくは第i番目の平らな壁:
ここで、A壁部の領域です。だから我々は:
同軸中空円筒(例えば絶縁パイプ)のために、我々は同じ式を使用できますが、抵抗値は次式で与えられます。
有限差分法では、代数式と微分項を推定することにより、微分方程式を解こうとします。方法は、四角形(デカルト座標)、シリンダー(円筒座標)、または球体(球面座標)に分けることができ、単純な幾何学的形状に最適です。そうでなければ、有限要素法を使用すべきです。有限差分法を用いることができる場合には、いくつかの精度を犠牲にし、有限要素法よりも実装がかなり容易です。 一次微分のための最も簡単な見積もり、
なお、この近似を用いることにより生じる誤差は、 Δ y 2 {\displaystyle {\Delta y}^{2}} にほぼ比例することを示すことができます。 二次導関数を推定するためには、一次導関数の導関数として扱われ、上記の近似が連続して2回印加されます。
一次導関数を推定するのに2点だけが必要であるのに対し、二次導関数を推定するには3点が必要であることが明らかです。この特定の方法でも、 Δ y {\displaystyle {\Delta y}} の二次であることを示すことができる 。
過渡伝導の問題では、完全なフーリエの方程式を解かなければなりません。
この方程式の解は、定常状態方程式より困難であるが、それは単純なケースならば可能です。そうでなければ、数値法を用いるべきです。