線型代数学/固有値と固有ベクトル

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ある線型変換 f {\displaystyle \ f} に対して、 f ( v ) = α v {\displaystyle \ f(\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {v} } のような元 v {\displaystyle \mathbf {v} } が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような α , v {\displaystyle \ \alpha ,\mathbf {v} } (固有値・固有ベクトル)について議論をする。
注意 ここから先の議論は全て複素数体 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の議論である。
本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。
定理(代数学の基本定理)
複素数係数の任意のn次多項式
は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。
証明は複素解析学#リウヴィルの定理を参照のこと。
まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。
定義
V : C {\displaystyle \ V:\mathbb {C} } 上の線型空間、 f ∈ E n d ( V ) {\displaystyle \ f\in \ End(V)} とする。
このとき、 v ∈ V ( v ≠ 0 ) , α ∈ C {\displaystyle \mathbf {v} \in \ V(\mathbf {v} \neq \mathbf {0} ),\alpha \in \mathbb {C} } が
の関係をみたすとき、 α {\displaystyle \ \alpha } を固有値 (eigen value)、 v {\displaystyle \mathbf {v} } を固有ベクトル (eigen vector)という。
では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか? まずは、 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} の線型変換である行列について考えてみよう。
まず、固有多項式を次のように定義する。
定義 A ∈ M ( n , K ) {\displaystyle A\in \ M(n,\mathbf {K} )} に対して
を A {\displaystyle \ A} の固有多項式 (eigen polynomial)という。また、 ν i ( 1 ≤ i ≤ r ) {\displaystyle \nu _{i}(1\leq i\leq r)} を α i ∈ C {\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {C} } の重複度 (multiplicity)という。
2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。
すると、次の定理が成り立つ。
定理
α {\displaystyle \ \alpha } が固有値 ⇔ α {\displaystyle \Leftrightarrow \ \alpha } は固有多項式の根
(証明)
A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in \ M(n;\mathbf {K} )} に対して、 α ∈ C {\displaystyle \ \alpha \in \mathbb {C} } が固有値であるとする。このとき、
をみたす、 x ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} } が存在する。
上の式を書き直すと、 ( A − α I n ) x = 0 {\displaystyle (\ A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0} } であるから、 ( A − α I n ) {\displaystyle (\ A-\alpha I_{n})} の階数がnより小さいということと同値である。
つまり、 det ( A − α I n ) = 0 {\displaystyle \ \det(\ A-\alpha I_{n})=0} でなければならない。
以上をまとめると、
α {\displaystyle \ \alpha } が固有値 ⟺ ( A − α I n ) x = 0 {\displaystyle \Longleftrightarrow (A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0} } が非自明な解をもつ。 ⟺ r a n k ( A − α I n ) < n ⟺ det ( A − α I n ) = 0 {\displaystyle \Longleftrightarrow \ rank(\ A-\alpha I_{n})<n\Longleftrightarrow \det(A-\alpha I_{n})=0} □
行列 A = ( 2 1 1 2 ) {\displaystyle A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}} の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列 A {\displaystyle A} の固有値と固有ベクトルを求める。
| A − λ I | = | 2 − λ 1 1 2 − λ | = λ 2 − 4 λ + 3 = ( λ − 1 ) ( λ − 3 ) {\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)}
なので、方程式 ( λ − 1 ) ( λ − 3 ) = 0 {\displaystyle (\lambda -1)(\lambda -3)=0} を解いて、行列 A {\displaystyle A} の固有値は1と3である。
次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、 ( A − λ I ) x = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)\mathbb {x} =0} を満たすベクトル x {\displaystyle \mathbb {x} } を求めれば良い。
λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} に対応する固有ベクトルは、 A − I = ( 1 1 1 1 ) {\displaystyle A-I={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}} であることから、 ( 1 1 1 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}\mathbb {x} =0} を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは x = ( 1 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {x} ={\binom {1}{-1}}} 及び、これを任意の定数倍したものである。
λ = 3 {\displaystyle \lambda =3} に対応する固有ベクトルは、 A − 3 I = ( − 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle A-3I={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}} であることから、 ( − 1 1 1 − 1 ) x = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\mathbb {x} =0} を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは x = ( 1 1 ) {\displaystyle \mathbb {x} ={\binom {1}{1}}} 及び、これを任意の定数倍したものである。
右の図では、紫のベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトル ( 1 − 1 ) {\displaystyle {\binom {1}{-1}}} に平行なベクトルである。青のベクトルは、固有値3に対応する固有ベクトル ( 1 1 ) {\displaystyle {\binom {1}{1}}} に平行なベクトルである。紫のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さも変わっていない。青のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さは3倍になっている。固有ベクトルではない赤のベクトルは、変換された後、方向を変えている。
次に、固有空間を以下のように定義する。
定義 A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in \ M(n;\mathbf {K} )} の α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } に対する固有空間 (eigen space)とは
で表わされる部分空間のことである。
この定義から明らかなように、
α {\displaystyle \ \alpha } が固有値 ⟺ E ( α ) {\displaystyle \Longleftrightarrow \ E(\alpha )} は 0 {\displaystyle \mathbf {0} } でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル
である。
V : C {\displaystyle \ V:\mathbb {C} } 上の線型空間、 < e 1 , ⋯ , e n > {\displaystyle <\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}>} を V {\displaystyle \ V} の基底、 f ∈ E n d ( V ) {\displaystyle \ f\in End(V)} に対して α {\displaystyle \ \alpha } は固有値であるとする。
また、 < e 1 , ⋯ , e n > {\displaystyle <\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}>} に対する f {\displaystyle \ f} の表現行列を A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in \ M(n;\mathbf {K} )} とする。
このとき、行列の場合と同様に、
を充たす v ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} } が存在する。 V {\displaystyle \ V} の恒等変換(identity transformation)を I V {\displaystyle \ I_{V}} とすると、
と変形できる。これは、 r a n k ( f − α I V ) < n {\displaystyle \ rank(f-\alpha I_{V})<n} と同値である。 ( f − α I V ) {\displaystyle \ (f-\alpha I_{V})} の表現行列は A − α I n {\displaystyle \ A-\alpha I_{n}} であるから、 r a n k ( A − α I n ) < n {\displaystyle \ rank(\ A-\alpha I_{n})<n}
以上より、 f {\displaystyle \ f} の固有値は A {\displaystyle \ A} の固有多項式の根であることがわかる。
また、正則行列 P ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ P\in \ M(n;\mathbf {K} )} に対して
より、固有多項式は V {\displaystyle \ V} の基底の取り方によらない。
固有空間も行列の場合と同様に定義される。
定義 f ∈ E n d ( V ) {\displaystyle \ f\in \ End(V)} の α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } に対する固有空間とは
で表わされる部分空間のことである。
最後に、次の命題を証明しておく。
命題
α 1 , α 2 , ⋯ , α r {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{r}} は A ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ A\in \ M(n;\mathbf {K} )} の相異なる固有値とする。このとき、
(証明)
x i ∈ E ( α i ) ( 1 ≤ i ≤ r ) {\displaystyle \mathbf {x} _{i}\in \ E(\alpha _{i})(1\leq i\leq r)} は x 1 + x 2 + ⋯ + x r = 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{r}=\mathbf {0} } をみたすとする。
この等式に、 f , f 2 , ⋯ , f r − 1 {\displaystyle \ f,\ f^{2},\cdots ,\ f^{r-1}} を作用させると、
左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、
したがって、この行列は正則。
よって、 x 1 = x 2 = ⋯ = x r = 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}=\cdots =\mathbf {x} _{r}=\mathbf {0} } □