線型代数学/クラメルの公式

線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。
{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + ⋯ + a 1 , n x n = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + ⋯ + a 2 , n x n = b 2 ⋮ a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + ⋯ + a n , n x n = b n {\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots +a_{n,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}}
という、線形方程式は、 A = ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , n ) , x = ( x 1 ⋮ x n ) , b = ( b 1 ⋮ b n ) {\displaystyle \ A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}},\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}} を用いて、
クラメルの公式とは、 行列Aのj列目が b {\displaystyle \mathbf {b} } になっている行列 A j = ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , j − 1 b 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 ⋯ a 2 , j − 1 b 2 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , j − 1 b n a n , j + 1 ⋯ a n , n ) {\displaystyle A_{j}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}}} を用いて、
この線形方程式の解は、 x j = | A j | | A | {\displaystyle x_{j}={\frac {|A_{j}|}{|A|}}} である。というものである。
証明
この線形方程式は、 A x = b {\displaystyle \ A\mathbf {x} =\mathbf {b} } と表すことができる。 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} を左からかければ、 x = A − 1 b {\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} } である。 線形代数学/余因子行列で求めた式 A − 1 = A ~ | A | {\displaystyle A^{-1}={\frac {\tilde {A}}{|A|}}} を用いれば、 x = A ~ | A | b {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\tilde {A}}{|A|}}\mathbf {b} } x = 1 | A | ( a ~ 1 , 1 a ~ 2 , 1 a ~ 3 , 1 ⋯ a ~ n , 1 a ~ 1 , 2 a ~ 2 , 2 a ~ 2 , 3 ⋯ a ~ n , 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ~ n , 1 a ~ n , 2 a ~ n , 3 ⋯ a ~ n , n ) ( b 1 b 2 ⋮ b n ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{1,1}&{\tilde {a}}_{2,1}&{\tilde {a}}_{3,1}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,1}\\{\tilde {a}}_{1,2}&{\tilde {a}}_{2,2}&{\tilde {a}}_{2,3}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{n,1}&{\tilde {a}}_{n,2}&{\tilde {a}}_{n,3}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,n}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}} 展開すれば、 x = 1 | A | ( b 1 a ~ 1 , 1 + b 2 a ~ 2 , 1 + b 3 a ~ 3 , 1 + ⋯ + b n a ~ n , 1 b 1 a ~ 1 , 2 + b 2 a ~ 2 , 2 + b 3 a ~ 3 , 2 + ⋯ + b n a ~ n , 2 ⋮ b 1 a ~ n , 1 + b 2 a ~ n , 2 + b 3 a ~ n , 3 + ⋯ + b n a ~ n , n ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}b_{1}{\tilde {a}}_{1,1}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,1}+b_{3}{\tilde {a}}_{3,1}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,1}\\b_{1}{\tilde {a}}_{1,2}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,2}+b_{3}{\tilde {a}}_{3,2}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,2}\\\vdots \\b_{1}{\tilde {a}}_{n,1}+b_{2}{\tilde {a}}_{n,2}+b_{3}{\tilde {a}}_{n,3}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,n}\\\end{pmatrix}}} この行列のj行目は、 x j = b 1 a ~ 1 , j + b 2 a ~ 2 , j + ⋯ + b n a ~ n , j {\displaystyle x_{j}=b_{1}{\tilde {a}}_{1,j}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,j}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,j}} なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が b {\displaystyle \mathbf {b} } になっている行列 A j = ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , j − 1 b 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 ⋯ a 2 , j − 1 b 2 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , j − 1 b n a n , j + 1 ⋯ a n , n ) {\displaystyle A_{j}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}}} をj列目で、余因子展開したものと一致する。 よって、 x j = | A j | | A | {\displaystyle x_{j}={\frac {|A_{j}|}{|A|}}} である。
以下の一次連立方程式を解け。
(1) { 5 x − 3 y = − 5 − 4 x − y = − 13 {\displaystyle {\begin{cases}5x-3y=-5\\-4x-y=-13\end{cases}}}
(2) { − 7 x − y + z = 6 x − 3 y + 4 z = − 1 3 x + 2 y − z = 2 {\displaystyle {\begin{cases}-7x-y+z=6\\x-3y+4z=-1\\3x+2y-z=2\end{cases}}}
(1) x = 2 , y = 5 {\displaystyle x=2,y=5}
(2) x = − 1 , y = 4 , z = 3 {\displaystyle x=-1,y=4,z=3}