制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/t0≠0で初期値が与えられている場合

Laplace 変換を用いて微分方程式を解くとき,初期値は t = 0 {\displaystyle t=0} で与えられている必要があった. しかし,前節で述べた定常性の原理を用いると, t = t 0 ≠ 0 {\displaystyle t=t_{0}\neq 0} で初期値が与えられている場合,すなわち,
の解法を与えることができる.
[定理 3.3]
式 (3.12) の解は,
の解を y ( t ) {\displaystyle y(t)} とするとき, y ( t − t 0 ) {\displaystyle y(t-t_{0})} で与えられる.
証明
式 (3.13) の解を y ( t ) {\displaystyle y(t)} とする. そうすれば,定常性の原理 IIにより,
は式 (3.12) を満足し,しかも,
となる.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例68 {\displaystyle \quad }
を解け.
解
を Laplace 変換すると
となる.この原像は,
ここで, τ + t 0 {\displaystyle \tau +t_{0}} を改めて τ {\displaystyle \tau } とおくと,
となる.これが求める結果である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
一般的な解放も同様である.式 (3.13) を Laplace 変換すれば,
となる.ここに q ( s ) {\displaystyle q(s)} は高々 n − 1 {\displaystyle n-1} 次の s {\displaystyle s} の多項式である.
の原像を求めるため,
とおけば,
ここで τ + t 0 {\displaystyle \tau +t_{0}} を τ {\displaystyle \tau } とおくと,
を得る.
原像を求める際,(3.13b) で,
とおいても誤りではない.このとき, y ( t − t 0 ) {\displaystyle y(t-t_{0})} は,
となる. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例69 {\displaystyle \quad }
を直接示せ.
解答例
I = ∫ t 0 t g ( t − τ ) f ( τ ) d τ {\displaystyle I=\int _{t_{0}}^{t}g(t-\tau )f(\tau )d\tau } にて, θ = t − τ {\displaystyle \theta =t-\tau } とおいて, τ → θ {\displaystyle \tau \to \theta } の変数変換を行う. τ : t 0 → t {\displaystyle \tau :t_{0}\to t} のとき, θ : t − t 0 → 0 {\displaystyle \theta :t-t_{0}\to 0} ,また τ = t − θ , d θ = − d τ {\displaystyle \tau =t-\theta ,\quad d\theta =-d\tau } . I = − ∫ t − t 0 0 g ( θ ) f ( t − θ ) d θ {\displaystyle I=-\int _{t-t_{0}}^{0}g(\theta )f(t-\theta )d\theta } = ∫ 0 t − t 0 g ( θ ) f ( t − θ ) d θ = ∫ 0 t − t 0 g ( τ ) f ( t − τ ) d τ {\displaystyle =\int _{0}^{t-t_{0}}g(\theta )f(t-\theta )d\theta =\int _{0}^{t-t_{0}}g(\tau )f(t-\tau )d\tau } .
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例70 {\displaystyle \quad }
x ′ + a x = f ( t ) , x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x'+ax=f(t),\quad x(t_{0})=x_{0}} の解は,
または
となることを示せ.
解答例
例 69 と同じ推論で解く.
y ′ + a y = f ( t + t 0 ) , y ( 0 ) = x 0 {\displaystyle y'+ay=f(t+t_{0}),\quad y(0)=x_{0}} にて Y ( s ) ⊏ y ( t ) {\displaystyle Y(s)\sqsubset y(t)} とおき両辺をラプラス変換すると, s Y − x 0 + a Y = L [ f ( t + t 0 ) ] {\displaystyle sY-x_{0}+aY={\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]} ( s + a ) Y = x 0 + L [ f ( t + t 0 ) ] {\displaystyle (s+a)Y=x_{0}+{\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]} Y = x 0 s + a + 1 s + a ⋅ L [ f ( t + t 0 ) ] {\displaystyle Y={\frac {x_{0}}{s+a}}+{\frac {1}{s+a}}\cdot {\mathcal {L}}[f(t+t_{0})]} ∴ y ( t ) = x 0 e − a t + e − a t ∗ f ( t + t 0 ) {\displaystyle \therefore y(t)=x_{0}e^{-at}+e^{-at}*f(t+t_{0})} ...1
1からの展開は二通りある,まず一つは, y = x 0 e − a t + ∫ 0 t e − a ( t − τ ) f ( τ + t 0 ) d τ {\displaystyle y=x_{0}e^{-at}+\int _{0}^{t}e^{-a(t-\tau )}f(\tau +t_{0})d\tau } x ( t ) = y ( t − t 0 ) = x 0 e − a ( t − t 0 ) + ∫ 0 t − t 0 e − a ( t − t 0 − τ ) f ( τ + t 0 ) d τ {\displaystyle x(t)=y(t-t_{0})=x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a(t-t_{0}-\tau )}f(\tau +t_{0})d\tau } t 0 + τ = θ {\displaystyle t_{0}+\tau =\theta } とおいて, τ → θ {\displaystyle \tau \to \theta } の積分変数変換を行う. このとき d τ = d θ {\displaystyle d\tau =d\theta } , τ : 0 → t − t 0 {\displaystyle \tau :0\to t-t_{0}} のとき θ : t 0 → t {\displaystyle \theta :t_{0}\to t} すなわち, x ( t ) = x 0 e − a ( t − t 0 ) + ∫ t 0 t e − a ( t − θ ) f ( θ ) d θ {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{t_{0}}^{t}e^{-a(t-\theta )}f(\theta )d\theta } これが解の表現の一つ.
もう一つは1から, y = x 0 e − a t + ∫ 0 t e − a τ f ( t + t 0 − τ ) d τ {\displaystyle y=x_{0}e^{-at}+\int _{0}^{t}e^{-a\tau }f(t+t_{0}-\tau )d\tau } よって x = y ( t − t 0 ) = x 0 e − a ( t − t 0 ) + ∫ 0 t − t 0 e − a τ f ( t − t 0 + t 0 − τ ) d τ {\displaystyle x=y(t-t_{0})=x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a\tau }f(t-t_{0}+t_{0}-\tau )d\tau } = x 0 e − a ( t − t 0 ) + ∫ 0 t − t 0 e − a τ f ( t − τ ) d τ {\displaystyle =x_{0}e^{-a(t-t_{0})}+\int _{0}^{t-t_{0}}e^{-a\tau }f(t-\tau )d\tau }
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例71 {\displaystyle \quad }
を解け.
解答例
直前の x ( t ) = x 0 ( t − t 0 ) + ∫ 0 t − t 0 g ( τ ) f ( t − τ ) d τ {\displaystyle x(t)=x_{0}(t-t_{0})+\int _{0}^{t-t_{0}}g(\tau )f(t-\tau )d\tau } を使う. t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} における初期値はすべて 0 {\displaystyle 0} より過渡解 x 0 {\displaystyle x_{0}} は 0 {\displaystyle 0} p ( s ) = s 4 − 2 s 3 + 2 s 2 − 2 s + 1 {\displaystyle p(s)=s^{4}-2s^{3}+2s^{2}-2s+1} = ( s − 1 ) 2 ( s 2 + 1 ) {\displaystyle =(s-1)^{2}(s^{2}+1)} 1 p ( s ) = − 1 2 s − 1 + 1 2 ( s − 1 ) 2 + 1 2 s s 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{p(s)}}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{s-1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{(s-1)^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{2}}s}{s^{2}+1}}} 1 p ( s ) ⊏ g {\displaystyle {\frac {1}{p(s)}}\sqsubset g} とおくと, g ( t ) = 1 2 { − e t + t e t + cos  t } {\displaystyle g(t)={\frac {1}{2}}\left\{-e^{t}+te^{t}+\cos t\right\}} x = ∫ 0 t − t 0 g ( τ ) f ( t − τ ) d τ {\displaystyle x=\int _{0}^{t-t_{0}}g(\tau )f(t-\tau )d\tau } = 1 2 ∫ 0 t − t 0 ( − e τ + τ e τ + cos  τ ) f ( t − τ ) d τ {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t-t_{0}}(-e^{\tau }+\tau e^{\tau }+\cos \tau )f(t-\tau )d\tau }
♢ {\displaystyle \diamondsuit }