高等学校数学III/微分法

ここでは、微分・積分の考えで学んだ微分の性質についてより詳しく扱う。特に、関数の和、差、積、商、更に合成関数や、逆関数の導関数について詳しく扱う。また、三角関数などの複雑な関数の微分についてもここでまとめる。
関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が任意の点xで極限値
を持つとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は微分可能と言い、関数 f' を、関数fの導関数と呼ぶ。
関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が微分可能ならば、連続関数である。
(証明) fが微分可能とすると、
なので、fは連続である。
ここでは、関数の和、差、積、商の微分について扱う。これらの方法は以降の計算で常に用いられる内容であるので、十分に習熟しておく必要がある。

f,gを微分可能な関数とする。このとき、fとgの和について次が成り立つ。
これは、関数の和を微分して得られる導関数は、それぞれの関数の和を足し合わせたものに等しいことを表している。
導出

次に、関数の実数倍の導関数について考える。関数の実数倍をしたものを微分したものは、実数倍する前の関数に対する導関数を実数倍したものになる。具体的には次の式が成り立つ。 ( a f ) ′ = a f ′ {\displaystyle (af)'=af'} (aは定数)
導出

積に関しては、和や実数倍と比べて計算結果がより複雑になる。具体的には次が成り立つ。
これは、それぞれの関数の微分とそれ以外の関数との積が得られるということを表している。これは導出を見ないとなぜこうなるかがわからないかも知れないが、よく導出を検討することが重要である。
導出
ここで、 lim h → 0 f ( x + h ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}f(x+h)=f(x)} に注意すると、

数学IIで習ったように、nを自然数とするとき、
である。
ここでは、数学IIでは扱わなかった上式の導出を行う。
(導出その1)
ここで、二項定理により
ただし
なので、
この式を、式(1)の右辺に代入すると
である。
(導出その2)
[1] n = 1 {\displaystyle n=1} のとき 左辺は
であり、右辺は
なので、 n = 1 {\displaystyle n=1} のとき1は成り立つ。
[2] n = k {\displaystyle n=k} のとき ( x k ) ′ = k x k − 1 {\displaystyle (x^{k})'=kx^{k-1}} が成り立つと仮定する。 n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} のとき、積の導関数の式より
よって、 n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} のときも1が成り立つ。
[1] [2]より、すべての自然数 n {\displaystyle n} について1が成り立つ。

商の導関数については次式が成り立つ。
この式についても、よく導出を検討することが必要である。
導出
また、商の導関数の式と、積の導関数の式より、次の公式が導かれる。
この式は、積の式と商の式から直接従う式だが、よく現れる形であるので、覚えておくと便利なことがある。
導出

x a {\displaystyle x^{a}} の指数が自然数 n {\displaystyle n} であるとき、 ( x n ) ′ = n x n − 1 {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}} であるのは既に証明した。 ここでは、指数が整数の場合を考える。
[1] m {\displaystyle m} が負の整数のとき n = − m {\displaystyle n=-m} とおく。
このとき n {\displaystyle n} は正の整数で、商の導関数の式より
が成り立つ。
[2] m = 0 {\displaystyle m=0} のとき、
なので
が成り立つ。
よって、整数 m {\displaystyle m} について ( x m ) ′ = m x m − 1 {\displaystyle (x^{m})'=mx^{m-1}} が成り立つ。

合成関数とは、2つの関数 f , g {\displaystyle f,g} を用いて、 h ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle h(x)=f(g(x))} という形で書くことができる関数のことである。合成関数は、与えられた変数に対する関数と見ることができ、導関数を取ることも可能である。具体的には、
が成り立つ。
導出
となる。
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 、 g ( x ) = x 2 + x + 1 {\displaystyle g(x)=x^{2}+x+1} とする。この合成関数は、 f ( g ( x ) ) = x 2 + x + 1 {\displaystyle f(g(x))={\sqrt {x^{2}+x+1}}} である。
この合成関数の導関数を求めてみよう。
f ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
g ′ ( x ) = 2 x + 1 {\displaystyle g'(x)=2x+1}
なので、 f ( g ( x ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = 2 x + 1 2 x 2 + x + 1 {\displaystyle {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)={\frac {2x+1}{2{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}}
である。
※関数 f , g {\displaystyle f,g} の合成関数を ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} と書くことがある。
合成関数の微分はライプニッツの記法を用いて、 y = f ( u ) , u = g ( x ) {\displaystyle y=f(u),u=g(x)} のとき、 d y d x = f ( g ( x ) ) ′ {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(g(x))'} 、 f ′ ( u ) = d y d u {\displaystyle f'(u)={\frac {dy}{du}}} 、 g ′ ( x ) = d u d x {\displaystyle g'(x)={\frac {du}{dx}}} なので、
と書くことができる。
また、以下の公式が成り立つ。

( f − 1 ( y ) ) ′ = 1 ( f ( x ) ) ′ {\displaystyle (f^{-1}(y))'={\frac {1}{(f(x))'}}}
導出
y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} と置くと、 x = f − 1 ( y ) {\displaystyle x=f^{-1}(y)} で、 y → y 0 {\displaystyle y\to y_{0}} のとき x → x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} であるから、
また、

x a {\displaystyle x^{a}} の指数が整数 m {\displaystyle m} のとき、 ( x m ) ′ = m x m − 1 {\displaystyle (x^{m})'=mx^{m-1}} が成り立つのは既に証明した。 次は、 x > 0 {\displaystyle x>0} として指数が有理数のときを考える。
なお、指数が整数である場合を「累乗」と呼ぶのに対し、指数が有理数(実数)である場合を「冪乗(べきじょう)」と呼ぶ。有理数は整数を含むので、累乗は冪乗の特別な場合を指す。
[1] n {\displaystyle n} を自然数とすると、 y = x 1 n {\displaystyle y=x^{\frac {1}{n}}} のとき、 x = y n {\displaystyle x=y^{n}} が成り立つので、逆関数の導関数の式より
[2] m {\displaystyle m} を整数とすると、有理数 p {\displaystyle p} について
より、
なので、[1]と合成関数の導関数の式より
が成り立つ。
よって、有理数 p {\displaystyle p} について ( x p ) ′ = p x p − 1 {\displaystyle (x^{p})'=px^{p-1}} が成り立つ。

となる。
導出

に注意すると、
となり、結果が得られた。
tan  x {\displaystyle \tan x} については、


ここで k = h x {\displaystyle k={\frac {h}{x}}} と置くと、
kを0に近づけていくと、 ( 1 + k ) 1 k {\displaystyle (1+k)^{\frac {1}{k}}} は、
1.1 1 0.1 = 2.5937424601 {\displaystyle 1.1^{\frac {1}{0.1}}=2.5937424601}
1.01 1 0.01 = 2.7048138294215260932671947108075 {\displaystyle 1.01^{\frac {1}{0.01}}=2.7048138294215260932671947108075}
1.001 1 0.001 = 2.7169239322358924573830881219476 {\displaystyle 1.001^{\frac {1}{0.001}}=2.7169239322358924573830881219476}
1.0001 1 0.0001 = 2.7181459268252248640376646749131 {\displaystyle 1.0001^{\frac {1}{0.0001}}=2.7181459268252248640376646749131}
0.9 1 − 0.1 = 2.8679719907924413133222572312408 {\displaystyle 0.9^{\frac {1}{-0.1}}=2.8679719907924413133222572312408}
0.99 1 − 0.01 = 2.7319990264290260038466717212578 {\displaystyle 0.99^{\frac {1}{-0.01}}=2.7319990264290260038466717212578}
0.999 1 − 0.001 = 2.719642216442850365397553464404 {\displaystyle 0.999^{\frac {1}{-0.001}}=2.719642216442850365397553464404}
0.9999 1 − 0.0001 = 2.7184177550104492651837311208356 {\displaystyle 0.9999^{\frac {1}{-0.0001}}=2.7184177550104492651837311208356}
(計算:Windows付属電卓)
となり、一定の値に近づいていく(証明は数学IIIの範囲ではできない)。 この一定の値、すなわち
lim k → 0 ( 1 + k ) 1 k = 2.718281828... {\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=2.718281828...}
をeで表す。すると、 lim k → 0 ( 1 + k ) 1 k = e {\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=e}
これを、上の式に代入すると、
特に a = e {\displaystyle a=e} のとき、
( log e  x ) ′ = 1 x {\displaystyle (\log _{e}x)'={\frac {1}{x}}}
eを底とする対数を自然対数という。 eは「自然対数の底」または「ネイピア数」と呼ばれることが多い。 数学では、 log e  x {\displaystyle \log _{e}x} のeを省略してlog xと書く。 数学以外の分野では、常用対数と区別するために、ln xが用いられることもある。
また、 log  | x | {\displaystyle \log |x|} の微分は、
x>0のとき
x<0のとき
よって、 ( log  | x | ) ′ = 1 x {\displaystyle (\log |x|)'={\frac {1}{x}}}
また、合成関数の微分法より、 { l o g | f ( x ) | } ′ = f ′ ( x ) f ( x ) {\displaystyle \{log|f(x)|\}'={\frac {f'(x)}{f(x)}}} が成り立つことがわかる。

lim k → 0 ( 1 + k ) 1 k = e {\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=e} と先ほど定義したが、この定義式は以下のように書き換えられる。
lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e {\displaystyle \lim _{x\to \infty }(1+{\frac {1}{x}})^{x}=e}
lim x → − ∞ ( 1 + 1 x ) x = e {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }(1+{\frac {1}{x}})^{x}=e}
上の二つの式は k = 1 x {\displaystyle k={\frac {1}{x}}} と置き換えると、それぞれ e {\displaystyle e} の定義式の片側極限の場合を表していることがわかる。
これらの式を利用することで、今まで解けなかったパターンの極限を求められるようになる。
例題) lim x → 0 log  ( 1 − x ) x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1-x)}{x}}} の極限を求めよ
解答)
lim x → 0 log  ( 1 − x ) x = lim x → 0 log  ( 1 − x ) 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1-x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\log(1-x)^{\frac {1}{x}}}
− x = k {\displaystyle -x=k} とおくと x → 0 {\displaystyle x\rightarrow 0} のとき k → 0 {\displaystyle k\rightarrow 0} なので、
(上式) = lim k → 0 v log  ( 1 + k ) − 1 k = lim k → 0 − log  ( 1 + k ) 1 k {\displaystyle =\lim _{k\to 0}v\log(1+k)^{-{\frac {1}{k}}}=\lim _{k\to 0}-\log(1+k)^{\frac {1}{k}}}
ここで、対数関数は連続関数なので、logとlimを入れ替えても良い。
(上式) = − log  { lim k → 0 ( 1 + k ) 1 k } = − log  e = − 1 {\displaystyle =-\log\{\lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}\}=-\log e=-1}
よって、収束して極限値は-1である。

y = a x ( a > 0 ) {\displaystyle y=a^{x}(a>0)}
両辺の自然対数をとると、
log  y = x log  a {\displaystyle \log y=x\log a}
両辺をxで微分すると、
y ′ y = log  a {\displaystyle {\frac {y'}{y}}=\log a}
y ′ = y log  a {\displaystyle y'=y\log a}
y ′ = a x log  a {\displaystyle y'=a^{x}\log a}
特にa=eの場合
( e x ) ′ = e x {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
e x {\displaystyle e^{x}} のxが煩雑な場合、 e x = e x p ( x ) {\displaystyle e^{x}=exp(x)} のように表す場合がある。また、両辺の自然対数をとってから微分する操作を対数微分法と呼ぶ。

微分係数の定義式を用いて極限を求めることもできる。
例題) lim x → 0 e x − 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}} を求めよ
解答)
lim x → 0 e x − 1 x = lim x → 0 e x − e 0 x − 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{0}}{x-0}}}
ここで、微分係数の定義式 f ′ ( a ) = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}} より、 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} とおくと f ′ ( x ) = e x {\displaystyle f'(x)=e^{x}} で
(上式) = f ′ ( 0 ) = e 0 = 1 {\displaystyle =f'(0)=e^{0}=1}
よって、収束して極限値は1である。

x a {\displaystyle x^{a}} の指数が有理数 p {\displaystyle p} のとき、 ( x p ) ′ = p x p − 1 {\displaystyle (x^{p})'=px^{p-1}} が成り立つのは既に証明した。 最後に、 x > 0 {\displaystyle x>0} として指数が実数のときを考える。
y = x a {\displaystyle y=x^{a}} の a {\displaystyle a} は実数であるとする。 両辺の絶対値の自然対数をとって
両辺をxで微分して、
よって
が成り立つ。
最初は指数が自然数の場合のみだったのに比べ、より一般の範囲で上式が成り立つことがわかった。このようにある式をより一般に言えるようにするのが、数学の発展性であり醍醐味である。


導関数f'(x)をf(x)の第1次導関数という。
導関数の導関数を第2次導関数という。
導関数の導関数の導関数を第3次導関数という。
一般に、関数f(x)をn回微分して得られる関数を第n次導関数といい、
y ( n ) , f ( n ) , d n y d x n , d n d x n f ( x ) {\displaystyle y^{(n)},f^{(n)},{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
のいずれかで表す。 また、nが1,2,3の時はそれぞれ y ′ , y ′′ , y ′′′ {\displaystyle y',y'',y'''} や f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) , f ′′′ ( x ) {\displaystyle f'(x),f''(x),f'''(x)} と表す。
2次以上の導関数を高次導関数という。
(例) f ( x ) = x 5 {\displaystyle f(x)=x^{5}} の第3次導関数は
f ′ ( x ) = 5 x 4 {\displaystyle f'(x)=5x^{4}}
f ′′ ( x ) = 20 x 3 {\displaystyle f''(x)=20x^{3}}
f ′′′ ( x ) = 60 x 2 {\displaystyle f'''(x)=60x^{2}}
なので 60 x 2 {\displaystyle 60x^{2}} である。

y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} の形で表された関数を陽関数と呼ぶ。
それに対し F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} の形で表された関数を陰関数と呼ぶ。
例えば、円の方程式は陰関数表示された関数である。
陽関数と陰関数は互いに互いの形へと変形できるが、変形すると式が煩雑になる場合がある。そこで、 F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} を合成関数と見做して微分することを考える。
(例)円の方程式 x 2 + y 2 = 4 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=4} について、 d d x y {\displaystyle {\frac {d}{dx}}y} を求める。
この式をyについて解くと y = ± 4 − x 2 {\displaystyle y=\pm {\sqrt {4-x^{2}}}} であるが、この式を微分しようとすると式が煩雑で厄介である。
上のyについての等式から元の方程式のyは「xの式を別の文字で置換したもの」と考えられるので、合成関数の微分法を利用すると元の形のまま微分ができる。 元の方程式の両辺をxで微分すると、
より
なので、
すなわち
である。
なお、煩雑になるのでyをxの式に直す必要はない。

ベクトルで習ったように、直線の方程式は媒介変数tを用いて一次関数 x = f ( t ) , y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t),y=g(t)} で表され、これを「媒介変数表示」と呼んだ。
一般に、媒介変数表示 x = f ( t ) , y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t),y=g(t)} は曲線を表す。ここでいう「曲線」は単に曲がった線のことではなく、直線を含む一般的な線のことである。
x = f ( t ) , y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t),y=g(t)} をxで微分したい。 関数f,gが三角関数の場合等、高校範囲ではtを消去できないことがあるので、媒介変数表示のまま微分することを考える。 y = g ( t ) ⟺ t = g − 1 ( y ) {\displaystyle y=g(t)\iff t=g^{-1}(y)} より、tをyの式と考えると x = f ( t ) {\displaystyle x=f(t)} は合成関数と見做せる。
よって、合成関数の微分法より
である。
ここで、逆関数の微分法から
であるので、
が成り立つ。
なお、 d 2 d x 2 y {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y} は d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} に再び媒介変数曲線の微分法を用いることで、 d d t ( d y d x ) d x d t {\displaystyle {\frac {{\frac {d}{dt}}({\frac {dy}{dx}})}{\frac {dx}{dt}}}} のように計算できる。


関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 上の点 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} における接線の傾きは f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} であるので、接線の方程式は
y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)}
となる。
また、接点を通り接線に垂直な直線を法線(ほうせん)という。 垂直な直線同士は傾きの符号が逆であり、傾きの絶対値が逆数であるので、法線の方程式は
y − f ( a ) = − 1 f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle y-f(a)=-{\frac {1}{f'(a)}}(x-a)}
となる。

f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の点 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} での傾きを表す。
よって、
である。
また、 f ′ ( a ) = 0 {\displaystyle f'(a)=0} で、 a {\displaystyle a} の前後で f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} の符号が + {\displaystyle +} から − {\displaystyle -} に変わるならば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は点 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} で増加から減少に転じる。このときの f ( a ) {\displaystyle f(a)} を極大値(きょくだいち)という。 また、 − {\displaystyle -} から + {\displaystyle +} に変わるならば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は点 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} で減少から増加に転じるので、このときの f ( a ) {\displaystyle f(a)} を極小値(きょくしょうち)という。 極大値と極小値をまとめて極値(きょくち)という。 f ′ ( a ) = 0 {\displaystyle f'(a)=0} であっても、前後で符号が変わらなければ f ( a ) {\displaystyle f(a)} は極値ではない。
第二次導関数の図形的な意味を考えてみよう。導関数は各点での接線の傾きを表している。第二次導関数は導関数の導関数だから、接線の傾きの変化率、すなわちグラフの曲がり具合を表していることになる。第二次導関数が正のときは傾きが増加しているのだからグラフは下に凸、負のときは上に凸となる。
グラフの曲がり具合が変わる点のことを変曲点(へんきょくてん)という。上の考察から、変曲点は第二次導関数の符号が変わる点であることがわかる。極値の場合と同様に、たとえ f ′′ ( a ) = 0 {\displaystyle f''(a)=0} であっても、符号が変わらなければ変曲点ではない。
関数のグラフを書くときには、変曲点の情報は極値と同様に重要なので、増減表にも第二次導関数の欄をつくり、変曲点を記入するとよい。

(力学も参照。)
数直線上を運動する物体が時刻 t {\displaystyle t} のとき位置 x ( t ) {\displaystyle x(t)} にあるとする。この物体の速度を求める。 時刻が t {\displaystyle t} から t + h {\displaystyle t+h} に移動するとき、物体は x ( t ) {\displaystyle x(t)} から x ( t + h ) {\displaystyle x(t+h)} の位置に移動する。このときの平均の速度は Δ x Δ t = x ( t + h ) − x ( t ) ( t + h ) − t = x ( t + h ) − x ( t ) h {\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x(t+h)-x(t)}{(t+h)-t}}={\frac {x(t+h)-x(t)}{h}}} ここで、 Δ t = h {\displaystyle \Delta t=h} なので、 h {\displaystyle h} を限りなく 0 に近づければ、この物体の瞬間の速度が求められる。時刻 t {\displaystyle t} のときの物体の瞬間の速度を v ( t ) {\displaystyle v(t)} とすれば、 v ( t ) = lim h → 0 x ( t + h ) − x ( t ) h = x ′ ( t ) = d x d t {\displaystyle v(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {x(t+h)-x(t)}{h}}=x'(t)={\frac {dx}{dt}}} である。
同様に、加速度についても、時刻 t {\displaystyle t} のときの物体の加速度を a ( t ) {\displaystyle a(t)} とすれば
a ( t ) = lim Δ t → 0 Δ v Δ t = lim Δ h → 0 x ′ ( t + h ) − x ′ ( t ) h = x ′′ ( t ) = d 2 x d t 2 {\displaystyle a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}=\lim _{\Delta h\to 0}{\frac {x'(t+h)-x'(t)}{h}}=x''(t)={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}
これは、平面上を運動する物体にも拡張できる。時刻 t {\displaystyle t} のときの物体の位置ベクトルが x → ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))} で与えられるとき、この物体の速度ベクトル v → {\displaystyle {\vec {v}}} は v → = lim Δ t → 0 Δ x → Δ t = d x → d t = ( d x d t , d y d t ) {\displaystyle {\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)} である。同様に加速度ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} についても、 a → = ( d 2 x d t 2 , d 2 x d t 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}=\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)} 。
例えば、角速度 ω {\displaystyle \omega } で原点を中心に半径 r {\displaystyle r} の円運動する物体が t = 0 {\displaystyle t=0} で x → ( 0 ) = ( r , 0 ) {\displaystyle {\vec {x}}(0)=(r,0)} にあるとき、この物体の時刻 t {\displaystyle t} のときの位置ベクトル x → ( t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)} は x → ( t ) = r ( cos  ω t sin  ω t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)=r\left({\begin{aligned}\cos \omega t\\\sin \omega t\end{aligned}}\right)} である。速度ベクトルは、 v → = d x → d t = r ω ( − sin  ω t cos  ω t ) {\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=r\omega \left({\begin{aligned}-\sin \omega t\\\cos \omega t\end{aligned}}\right)} 。加速度ベクトルは a → = d 2 x → d 2 t = − r ω 2 ( cos  ω t sin  ω t ) = − ω 2 x → ( t ) {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{d^{2}t}}=-r\omega ^{2}\left({\begin{aligned}\cos \omega t\\\sin \omega t\end{aligned}}\right)=-\omega ^{2}{\vec {x}}(t)} 。ここから、位置ベクトル x → ( t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)} と速度ベクトル v → ( t ) {\displaystyle {\vec {v}}(t)} は直行し、位置ベクトル x → ( t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)} と加速度ベクトル a → ( t ) {\displaystyle {\vec {a}}(t)} は逆向きであり、 | v → ( t ) | = r ω {\displaystyle |{\vec {v}}(t)|=r\omega } 、 | a → ( t ) | = r ω 2 {\displaystyle |{\vec {a}}(t)|=r\omega ^{2}} が成立することが分かる。
また、円運動の x {\displaystyle x} 成分 または y {\displaystyle y} 成分だけに注目すれば、それは単振動である。

微分係数 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} は lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = f ′ ( a ) {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)} なので、 | h | {\displaystyle |h|} が十分小さいとき、 f ( a + b ) − f ( a ) h ≒ f ′ ( a ) {\displaystyle {\frac {f(a+b)-f(a)}{h}}\fallingdotseq f'(a)} である。すなわち、 f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ′ ( a ) h {\displaystyle f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h} が成り立つ。これを一次近似式と呼ぶ。
また、 a = 0 , h = x {\displaystyle a=0,h=x} とすると、 | x | {\displaystyle |x|} が小さいとき f ( x ) ≒ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x {\displaystyle f(x)\fallingdotseq f(0)+f'(0)x} である。
g ( x ) = p x 2 + q x + r {\displaystyle g(x)=px^{2}+qx+r} とおき、 f ( a + h ) ≒ g ( a + h ) {\displaystyle f(a+h)\fallingdotseq g(a+h)} と見做すことにより、 f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ′ ( a ) h + f ′′ ( a ) 2 h 2 {\displaystyle f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h+{\frac {f''(a)}{2}}h^{2}} が得られる。これを二次近似式と呼ぶ。
一次近似式と二次近似式を見比べると、n次近似式はn項目までの有限級数になることが予想できる。ここで、近似式の次数を無限に大きくしていくと、近似値ではなく真に正確な値が得られる。逆に言うと、真に正確な値を求める無限級数をある項で打ち切ることで、近似式として機能する。この無限級数については以下の「テイラー級数」を参照。

関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続、 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で微分可能とする。
f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} ならば f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=0} となる点 a < c < b {\displaystyle a<c<b} が存在する。
証明
関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} には最大値または最小値が a < x < b {\displaystyle a<x<b} の範囲に一つ以上存在する。最大値または最小値では関数の導関数は 0 なので、その点を選び c {\displaystyle c} とすると、 f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=0} となる。

関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続、 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で微分可能とする。このとき、 f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)} となる a < c < b {\displaystyle a<c<b} が存在する。
証明
g ( x ) = f ( x ) − A x {\displaystyle g(x)=f(x)-Ax} とする。定数 A {\displaystyle A} を g ( a ) = g ( b ) {\displaystyle g(a)=g(b)} を満たすように定める。
したがって、 f ( a ) − A a = f ( b ) − A b {\displaystyle f(a)-Aa=f(b)-Ab} より、 A = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle A={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} である。
ここで、関数 g ( x ) {\displaystyle g(x)} に対して、ロルの定理を用いることにより、 g ′ ( c ) = 0 {\displaystyle g'(c)=0} となる a < c < b {\displaystyle a<c<b} が存在する。 g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − A {\displaystyle g'(x)=f'(x)-A} であるから、 f ′ ( c ) = A = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)=A={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} となる a < c < b {\displaystyle a<c<b} が存在することがいえる。

関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} は [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続、 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で微分可能とする。このとき、 { g ( b ) − g ( a ) } f ′ ( c ) = { f ( b ) − f ( a ) } g ′ ( c ) {\displaystyle \{g(b)-g(a)\}f'(c)=\{f(b)-f(a)\}g'(c)} となる c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} が存在する。さらに、 g ′ ( c ) ≠ 0 , g ( a ) ≠ g ( b ) {\displaystyle g'(c)\neq 0,\,g(a)\neq g(b)} とすれば、 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}} となる c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} が存在する。
証明
h ( t ) = { f ( b ) − f ( a ) } g ( t ) − { g ( b ) − g ( a ) } f ( t ) {\displaystyle h(t)=\{f(b)-f(a)\}g(t)-\{g(b)-g(a)\}f(t)} とする。ここで、 h ( t ) {\displaystyle h(t)} は [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続、 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で微分可能、 h ( a ) = h ( b ) {\displaystyle h(a)=h(b)} なので、ロルの定理より、 h ′ ( c ) = 0 {\displaystyle h'(c)=0} となる c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} が存在する。 h ′ ( c ) = 0 {\displaystyle h'(c)=0} を変形して { g ( b ) − g ( a ) } f ′ ( c ) = { f ( b ) − f ( a ) } g ′ ( c ) {\displaystyle \{g(b)-g(a)\}f'(c)=\{f(b)-f(a)\}g'(c)} を得る。さらに、 g ′ ( c ) ≠ 0 , g ( a ) ≠ g ( b ) {\displaystyle g'(c)\neq 0,\,g(a)\neq g(b)} ならば、 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}} である。

f ( x ) {\displaystyle f(x)} を区間 I {\displaystyle I} で n {\displaystyle n} 回微分可能な関数とする。任意の a , x ∈ I {\displaystyle a,x\in I} に対して、 ξ {\displaystyle \xi } が a , x {\displaystyle a,x} の中間に存在して、
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n − 1 ) ( a ) ( n − 1 ) ! ( x − a ) n − 1 + f ( n ) ( ξ ) n ! ( x − a ) n . {\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}+{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-a)^{n}.}
証明
F ( x ) = f ( x ) − [ f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n − 1 ) ( a ) ( n − 1 ) ! ( x − a ) n − 1 ] {\displaystyle F(x)=f(x)-\left[f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}\right]} とする。 F ( x ) {\displaystyle F(x)} と関数 ( x − a ) n {\displaystyle (x-a)^{n}} に対して、コーシーの平均値の定理を適用すると、 F ( a ) = 0 {\displaystyle F(a)=0} より、 F ( x ) ( x − a ) n = F ( x ) − F ( a ) ( x − a ) n − ( a − a ) n = F ′ ( x 1 ) n ( x 1 − a ) n − 1 {\displaystyle {\frac {F(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {F(x)-F(a)}{(x-a)^{n}-(a-a)^{n}}}={\frac {F'(x_{1})}{n(x_{1}-a)^{n-1}}}} となる x 1 {\displaystyle x_{1}} が a , x {\displaystyle a,x} の中間に存在する。 F ′ ( a ) = F ′′ ( a ) = ⋯ = F ( n − 1 ) ( a ) = 0 {\displaystyle F'(a)=F''(a)=\cdots =F^{(n-1)}(a)=0} であるから、右辺にも同様にコーシーの平均値の定理を適用することで、 F ( x ) ( x − a ) n = F ′ ( x 1 ) n ( x 1 − a ) n − 1 = F ′′ ( x 2 ) n ( n − 1 ) ( x 2 − a ) n − 2 = ⋯ = F ( n ) ( ξ ) n ! {\displaystyle {\frac {F(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {F'(x_{1})}{n(x_{1}-a)^{n-1}}}={\frac {F''(x_{2})}{n(n-1)(x_{2}-a)^{n-2}}}=\cdots ={\frac {F^{(n)}(\xi )}{n!}}} となる x 1 , x 2 , ⋯ , ξ {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,\xi } が a , x {\displaystyle a,x} の中間に存在する。 F ( n ) ( x ) = f ( n ) ( x ) {\displaystyle F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)} だから、 F ( x ) = f ( n ) ( ξ ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle F(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-a)^{n}} を得る。
関数 g ( x ) {\displaystyle g(x)} に対して、 lim x → a f ( x ) g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0} となるような関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を一般に o g {\displaystyle og} と表す。
ランダウ記号について次が成り立つ。
ランダウの記号は一般には違う関数を同じ記号で表しているので注意が必要である。例えば 1. は任意の f = o h , g = o h {\displaystyle f=oh,\,g=oh} である関数について、 lim x → a f + g h = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f+g}{h}}=0} という意味である。
2. は f = o h {\displaystyle f=oh} とすると、 k f h → 0. {\displaystyle {\frac {kf}{h}}\to 0.} 3. は f g → 0 , g h → 0 {\displaystyle {\frac {f}{g}}\to 0,\,{\frac {g}{h}}\to 0} ならば、 f h = f g g h → 0 {\displaystyle {\frac {f}{h}}={\frac {f}{g}}{\frac {g}{h}}\to 0} となるから、 f = o h . {\displaystyle f=oh.}
ランダウの記号について、 x {\displaystyle x} がどこに近づいたときか( x → a {\displaystyle x\to a} )ということは重要だが、文脈から明らかな場合は省略される。
テイラーの定理における右辺最後の項を剰余項といい、これを R n {\displaystyle R_{n}} と書く。 f ( n ) ( x ) {\displaystyle f^{(n)}(x)} が x = a {\displaystyle x=a} で連続ならば、 lim x → a R n ( x − a ) n = lim ξ → a f ( n ) ( ξ ) n ! = f ( n ) ( a ) n ! . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}}{(x-a)^{n}}}=\lim _{\xi \to a}{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}.}
これは、 lim x → a R n − f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n ( x − a ) n = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}-{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}{(x-a)^{n}}}=0} と書けるから、 R n = f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + o ( x − a ) n . {\displaystyle R_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o{(x-a)^{n}}.}
すなわち、
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + o ( x − a ) n {\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o(x-a)^{n}}
漸近展開を用いると極限の問題を簡単に解くことが出来る。例えば、 lim x → 0 e x − e − x x = lim x → 0 ( 1 + x + o x ) − ( 1 − x + o x ) x = lim x → 0 2 + o x x = 2. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x+ox)-(1-x+ox)}{x}}=\lim _{x\to 0}2+{\frac {ox}{x}}=2.}
例
α {\displaystyle \alpha } を実数とする。 f ( x ) = ( 1 + x ) α {\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }} について、 f ( n ) ( 0 ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) {\displaystyle f^{(n)}(0)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)} なので、
( 1 + x ) α = ∑ k = 0 n ( α k ) x k + o x n {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}{\binom {\alpha }{k}}x^{k}+ox^{n}}
ただし、 ( α k ) = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! , ( α 0 ) = 1 {\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}},\,{\binom {\alpha }{0}}=1} は一般二項係数。
例えば、
1 + x = 1 + 1 2 x + o x {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x+ox}
1 1 + x = 1 − 1 2 x + o x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+ox}
など。これらは近似公式としてもよく使われる。
テイラーの定理において、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が区間 I {\displaystyle I} で無限回微分可能(任意の次数の導関数が存在すること)で剰余項が lim n → ∞ R n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}=0} ならば、
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}
これをテイラー級数といい、特に a = 0 {\displaystyle a=0} のものをマクローリン級数という。
いくつかの関数のテイラー展開を求めよう。
f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} とすると、 f ( n ) ( x ) = e x , f ( n ) ( 0 ) = 1 {\displaystyle f^{(n)}(x)=e^{x},f^{(n)}(0)=1} で、 | R n | = | e ξ n ! x n | < e | x | n ! | x | n {\displaystyle |R_{n}|=\left|{\frac {e^{\xi }}{n!}}x^{n}\right|<{\frac {e^{|x|}}{n!}}|x|^{n}} より、任意の x {\displaystyle x} に対して、 lim n → ∞ R n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}=0} となる。すなわち、
e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}.}
sin  x , cos  x {\displaystyle \sin x,\cos x} についても同じように計算して、
sin  x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , cos  x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\,\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
を得る。