ガロア理論/最小分解体

K / F {\displaystyle K/F} を体の拡大とする。 f ( X ) ∈ F [ X ] {\displaystyle f(X)\in F[X]} が K {\displaystyle K} で分解するとは、 K [ x ] {\displaystyle K[x]} の一次の多項式と定数の積に表すことができることをいう。
K {\displaystyle K} が F {\displaystyle F} 上の f ( X ) {\displaystyle f(X)} の最小分解体であるとは、 f ( X ) {\displaystyle f(X)} が K {\displaystyle K} では分解するが K / F {\displaystyle K/F} の任意の中間体 M {\displaystyle M} について M {\displaystyle M} では分解しないことをいう。
体 F {\displaystyle F} と 定数でない多項式 f ( X ) ∈ F [ X ] {\displaystyle f(X)\in F[X]} について、その最小分解体が存在する。
F {\displaystyle F} の 代数閉包 Ω {\displaystyle \Omega } を取る。 f ( X ) {\displaystyle f(X)} が分解するような Ω / F {\displaystyle \Omega /F} の中間体全ての共通部分を K {\displaystyle K} とする。この K {\displaystyle K} が最小分解体である。なお、 f ( x ) = a ( X − α 1 ) ( X − α 2 ) ⋯ ( X − α n ) , a ∈ F , α i ∈ Ω {\displaystyle f(x)=a(X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{n}),\ a\in F,\alpha _{i}\in \Omega } と書いたとき、 K = F ( α 1 , ⋯ , α n ) {\displaystyle K=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})} となる。詳細は読者に委ねる。
上で言及したことを命題として述べておこう。
f ( X ) ∈ F [ X ] {\displaystyle f(X)\in F[X]} が体 K {\displaystyle K} で分解するとし、 f ( x ) = a ( X − α 1 ) ( X − α 2 ) ⋯ ( X − α n ) , a ∈ F , α i ∈ K {\displaystyle f(x)=a(X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{n}),\ a\in F,\alpha _{i}\in K} であるとする。このとき、 F ( α 1 , ⋯ , α n ) {\displaystyle F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})} は最小分解体である。
g ( X ) , h ( X ) ∈ F [ X ] , f ( X ) = g ( X ) h ( X ) {\displaystyle g(X),h(X)\in F[X],\ f(X)=g(X)h(X)} とし、 g ( X ) {\displaystyle g(X)} の F {\displaystyle F} 上の最小分解体を K {\displaystyle K} とし、 h ( X ) {\displaystyle h(X)} の K {\displaystyle K} 上の最小分解体を L {\displaystyle L} とする。このとき、 L {\displaystyle L} は f ( X ) {\displaystyle f(X)} の F {\displaystyle F} 上の最小分解体である。
命題2より、
g ( X ) = a ( X − α 1 ) ⋯ ( X − α m ) , a ∈ F , α i ∈ K , h ( X ) = b ( X − β 1 ) ⋯ ( X − β n ) , b ∈ F , β j ∈ L {\displaystyle g(X)=a(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{m}),\ a\in F,\alpha _{i}\in K,\ \ h(X)=b(X-\beta _{1})\cdots (X-\beta _{n}),\ b\in F,\beta _{j}\in L}
と表したとき、 K = F ( α 1 , ⋯ , α m ) , L = K ( β 1 , ⋯ , β n ) {\displaystyle K=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m}),L=K(\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})} であるから、 L = F ( α 1 , ⋯ , α m , β 1 , ⋯ , β n ) {\displaystyle L=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})} である。したがって、命題2 を再び使えば主張を得られる。
(i) φ : F 1 → F 2 {\displaystyle \phi :F_{1}\rightarrow F_{2}} を体の同型写像とする。 f 1 ( X ) ∈ F 1 [ X ] , f 2 ( X ) ∈ F 2 [ X ] {\displaystyle f_{1}(X)\in F_{1}[X],\ f_{2}(X)\in F_{2}[X]} が φ {\displaystyle \phi } で対応しているとし、 f i {\displaystyle f_{i}} の F i {\displaystyle F_{i}} 上の最小分解体を K i {\displaystyle K_{i}} とする ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle (i=1,2)} 。このとき、体の同型写像 Φ : K 1 → K 2 {\displaystyle \Phi :K_{1}\rightarrow K_{2}} で φ {\displaystyle \phi } の拡張になっているものが存在する。 (ii) f ( X ) ∈ F [ X ] {\displaystyle f(X)\in F[X]} の F {\displaystyle F} 上の最小分解体は F {\displaystyle F} 上の同型を除き一意に定まる。
(ii) は (i) より直ちに従う。
以下、 i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2} とする。命題3 より、 f i ( X ) {\displaystyle f_{i}(X)} は F i [ X ] {\displaystyle F_{i}[X]} における既約多項式であるとしても良い。
α i ∈ K i {\displaystyle \alpha _{i}\in K_{i}} を f i ( X ) {\displaystyle f_{i}(X)} の根の一つであるとする。このとき、仮定より α i {\displaystyle \alpha _{i}} の最小多項式は f i ( X ) {\displaystyle f_{i}(X)} であり、 F i [ X ] / ( f i ( X ) ) → F ( α i ) , X m o d ( f i ( X ) ) ↦ α i {\displaystyle F_{i}[X]/(f_{i}(X))\rightarrow F(\alpha _{i}),\ \,X\,{\rm {mod}}\,(f_{i}(X))\mapsto \alpha _{i}} は F i {\displaystyle F_{i}} 上の同型である(ガロア理論/代数拡大)。
F 1 ( α 1 ) → F 1 [ X ] / ( f 1 ( X ) ) → F 2 / ( f 2 ( X ) ) → F 2 ( α 2 ) {\displaystyle F_{1}(\alpha _{1})\rightarrow F_{1}[X]/(f_{1}(X))\rightarrow F_{2}/(f_{2}(X))\rightarrow F_{2}(\alpha _{2})} α 1 ↦ X m o d ( f 1 ( X ) ) ↦ X m o d ( f 2 ( X ) ) ↦ α 2 {\displaystyle \alpha _{1}\mapsto X\,{\rm {mod}}\,(f_{1}(X))\mapsto X\,{\rm {mod}}\,(f_{2}(X))\mapsto \alpha _{2}}
という同型写像を ψ {\displaystyle \psi } とおく。これは、 φ {\displaystyle \phi } の拡張になっているため、 f i = ( X − α i ) g i ( X ) , g i ( X ) ∈ F i ( α i ) [ X ] {\displaystyle f_{i}=(X-\alpha _{i})g_{i}(X),\ g_{i}(X)\in F_{i}(\alpha _{i})[X]} とおくと、 g 1 , g 2 {\displaystyle g_{1},g_{2}} は ψ {\displaystyle \psi } で対応している。したがって、 f i ( X ) {\displaystyle f_{i}(X)} の次数に関する帰納法によって、 ψ {\displaystyle \psi } の拡張になっているような同型写像 K 1 → K 2 {\displaystyle K_{1}\rightarrow K_{2}} が存在する。