高等学校数学II/指数関数・対数関数

指数法則については、数学Iで すでに学んだ。
a が実数のときで、n が2以上の正の整数のとき、 n 乗して a になる数、すなわち
となるx のことを、a の n 乗根という。a の2乗根、3乗根、4乗根、......を総称して、a の累乗根という。
平方根は2乗根である。なお、3乗根のことを立方根(りっぽうこん)ともいう。
この章の学習では、最終的に n を正の整数だけでなく、実数にまで拡張していくが、とりあえず学習当初の当面は n を整数で考えておこう。
2の4乗は16である。-2の4乗も16である。よって、16の4乗根は 2 と -2 である。
単に「n乗根」といった場合、係数に負の数がつくものを除外しないことに注意。
さて、nが奇数の場合のn乗根について、考えてみる。
(-2)を3乗しても、8にはならず、-2 の3乗は -8である。
(-3)を3乗しても、27にはならず、-3 の3乗は -27である。
このように、負の実数の奇数n乗は、かならず、負の数になる。
なので、8の3乗根には、負の数は ふくまれず、8の3乗根は 2だけである。
同様に、27の3乗根は、正の3だけである。
このように、nを奇数の自然数としたとき、実数 a のn乗根 は1通りである。
a のn 乗根 x について考える。
(1) n が奇数のとき、実数 a のn乗根 はただ1つであり、これを a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} で表す。

(2) n が偶数のとき、正の実数aのn乗根は、正と負の2つの数がある。
負のほうは − a n {\displaystyle -{\sqrt[{n}]{a}}} で表す。正の方は a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 、で表す。
a < 0 のとき、実数の範囲では a のn 乗根はない。
n が偶数か奇数かにかかわらず、0のn乗根は0なので、
である。
特に2乗根 a 2 {\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}} は a {\displaystyle {\sqrt {a}}} と書く。
a > 0 のとき、x = a の解は x = a n {\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}} であるから、
また
例
有理数を指数とする累乗を、次のように定義する。
これは、指数が有理数の場合にも、指数法則が成り立つように定義したのである。実際、次が成り立つ。
たとえば、x は、3乗すると x = x に等しいので、x の3乗根 x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} に等しい。
また、x については
と考えることが出来る。よって、0以外の全ての実数x に対して、
が成り立つ。
指数法則1に、r = 3, s = -3 を代入すれば
ゆえに
指数法則2に、r = 2/3, s = 3 を代入すれば
となるから、a は a の3乗根ということになる。つまり、
指数法則1に、r = -2/3, s = 2/3 を代入すれば
ゆえに
たとえば 3 2 {\displaystyle 3^{\sqrt {2}}} の場合、 これは、 2 = 1.41421 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421\cdots } であるが、
を考えると、その項は一定値 4.72880 ・・・ に近づくので、その値を 3 2 {\displaystyle 3^{\sqrt {2}}} と定める。
このようにして、累乗の指数が無理数の場合にも定義を拡張することで、指数を実数にまで拡張できる。また、実数の場合も上述の指数法則が成り立つ。
実数aを a>0 で a≠1 とするとき、 y = a x {\displaystyle y=a^{x}} で表される関数のことを「 aを底(てい)とする指数関数」のようにいう。
さて、指数関数の例として、たとえば、
があげられる。
指数関数 y = 2 x {\displaystyle y=2^{x}} のグラフを右に示す。指数関数はきわめて速く増加する関数であることが分かる。

次に y = ( 1 2 ) x {\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}} のグラフを書いてみよう。結果は、右のグラフの実線のようになる。
さきほどのグラフと比較すると分かるように、y軸を対称軸として、 y = ( 1 2 ) x {\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}} のグラフと y = 2 x {\displaystyle y=2^{x}} のグラフは対称になっている。
一般に、 y = ( 1 a ) x {\displaystyle y=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}} のグラフは、y軸に関して y = a x {\displaystyle y=a^{x}} のグラフと対称である。
また、
いっぽう、
なお、グラフの傾きをみれば分かるように、指数関数のグラフは、一次関数や二次関数のグラフと比べると、急激に増加または急激に減少していく。
指数法則を用いて指数関数を簡単化せよ。
(i) 2 x ⋅ 3 x {\displaystyle 2^{x}\cdot 3^{x}}
(ii) ( 1 / 3 ) x {\displaystyle (1/3)^{x}}
解答
指数関数の値域は正の実数全体である。
また、どんな正の実数も、0乗すると1になるので、よって指数関数 y = a x {\displaystyle y=a^{x}} のグラフは必ず点 (0,1) を通る。
a>0, a≠1 のとき、前章で習った指数関数のグラフの形からも分かるように、
任意の正の実数Mに対して、 a p = M {\displaystyle a^{p}=M} をみたす p はただ1つに定まる。
この p を log a  M {\displaystyle \log _{a}M} と書き
という。 すなわち、
である。
なお、対数は英語で logarithm (ロガリスム)という。
である。この場合、2 を log2 8 = 3 乗すると、8が得られるという関係になっている。
log a  x {\displaystyle \log _{a}x} について 以下の式が成り立つ。

対数関数を、実数xに対し
を対応させる関数として定義する。
この関数の定義域(ていぎいき)は、x > 0 に限られる。これは、仮に
とすると、
となるが、 a が正の数であることからlがどのような値であろうと左辺は常に正であるから、xも正でなければならないからである。
グラフの概形を右に示す。図を見ると、この関数は非常にゆっくりと増大する関数であることが分かる。
更に、グラフの特徴として、
から、対数関数のグラフは、点 (1, 0) および 点 (a , 1) の2点を必ず通過することが分かる。
右図のように、対数関数のグラフは、対応する指数関数のグラフと y=x に関して対称である。
一般に y = log a  x {\displaystyle y=\log _{a}x} のグラフは y = a x {\displaystyle y=a^{x}} のグラフと直線 y=x に関して対称である。
指数法則と対数の定義とを組み合わせることにより、次の公式が導かれる。
( 1. の証明)
log a  M = p {\displaystyle \log _{a}M=p} , log a  N = q {\displaystyle \log _{a}N=q} とおくと、 M = a p {\displaystyle M=a^{p}} , N = a q {\displaystyle N=a^{q}} であるから
よって log a  M N = p + q = log a  M + log a  N {\displaystyle \log _{a}MN=p+q=\log _{a}M+\log _{a}N}
( 2. 以降の証明)
※ ( 1.)の証明法と同様に右辺を指数に置きかえて計算したあとに再び対数に変形することで証明できる。(証明は省略)
上記の公式の特別な場合として、次の公式が成り立つ。
次の公式が成り立つ。
10を底とする対数を常用対数(じょうよう たいすう)という。1.00から9.99までの値に対する常用対数の値は常用対数表に示してある。また、近年ではコンピュータや関数電卓を用いて、対応する対数の値を知ることもできる。ただし、これらの値は計算上の制約を受けるため、盲目的にその値が正しいと考えてはならない。コンピュータ内の計算については、高等学校情報などを参照。
235の桁数を常用対数を使って考えよう。
が成り立つ。各辺の常用対数をとると
すなわち
逆に、235が 2 < log 10  235 < 3 {\displaystyle 2<\log _{10}235<3} を満たすならば、上の計算を逆にたどって
よって、235は3桁の整数である。桁数が不明な大きな数に対して同様に常用対数をとることによって、おおよその大きさを知ることができる。
1 log 10  x {\displaystyle \log _{10}x} が実数とする。 上の式を満たすxが無限にあることを示せ
2 x ≦ a ≦ b {\displaystyle x\leqq a\leqq b} とする。このとき R {\displaystyle R} を実数全体の集合とする。 a , b , x ∈ R {\displaystyle a,b,x\in R} のとき log x  a = b {\displaystyle \log _{x}a=b} を満たすa,b,xが少なくとも1つはあることを示せ。 3 log a  1 + x {\displaystyle \log _{a}{1+x}} のグラフを書け。
log 10  x = q {\displaystyle \log _{10}x=q} と置く。 対数関数の定義より、 10 q = x {\displaystyle 10^{q}=x} と書けるつまりxは x=100,10000,1000000•••のようになる。 (qが自然数であるとき) つまりxを無限に近づけることで命題は示された。
対数方眼紙というのがあり、右図のようになっている。