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Wikijunior:環境の問題とヒトの進化/ヒトの起源

このページでは、ヒトが初めて生まれてきた時(猿人)を説明します。
ヒトの祖先は、チンパンジーやゴリラなどに近い仲間です。チンパンジーなどに近い仲間から分かれて「ヒト」となったのは、約600万年前〜700万年前と考えられています。チンパンジーなどとの大きな違いは、いくつかあります。直立二足歩行をする事です。チンパンジーなどは、4つの足で歩く四足歩行をしますが、ヒトは2本の足で歩くようになりました。
四足歩行のすがたを想像してみてください。体をささえる、4本の足の外に、脳がある頭がありますね。もしも、脳が大きくなれば、体をささえるのに、バランスが悪くなって運動したりするのにこまることがわかると思います。では、二足歩行ではどうでしょう。体をささえる、2本の足のま上に、頭がありますね。この姿勢がたもてるようになれば、脳が大きくなっても、運動にこまることがありません。
こうして、ヒトの脳はだんだんと大きいものになり、たくさんのやったことをおぼえる(記憶する)ことができるようになりました。仲間への合図のさけび声がくりかえされることによって、たとえば、「ライオンを見つけて、仲間とにげるとき」と「えもののシカを見つけて、仲間とおうとき」のように、さけび声をだすときの状況のちがいで、さけび声がちがうようになって、それが記憶され、また、つたえられて言葉・言語になります。
走るのに使わなくなった前足は、物をつかむことで「手」として、物を道具として利用することができるようになりました。
脳の容量は現在の1/3で、大人の身長でも、110cmほどだったと言われています。
まだ尻尾は生えていて、足でものを器用に使えました。今のヒトは、足でものをつかむ必要がなくなったため、足で器用に物をつかめません。皆さんは、足で棒などをしっかりつかめますか?他にも、「虫垂(盲腸の先端)」や、尾骶骨も今では退化し、意味をなさない器官になっています。このような器官を痕跡器官といいます。
アフリカでの乾燥化によって森林が縮小されたことに背景はあり、森林での生活からサバンナの大変な生活に対応するためにヒトがチンパンジーなどから分かれたという説があります。ジャワ原人とか北京原人などの原人がいますが、決してインドネシアや中国が元々の起源ではなく、アフリカが起源だと言われています。
ヒトにも化石はあり、猿人から新人まで幅広くあります。けれど、自分たちのような今を生きる人達とは血がつながっておらず、途中で、ぜつめつしたものと考えられています。
このような気候が挙げられます。現時点ではこれらが分かっています。
ヒトの起源-大人向けの解説本です。
中学受験社会/地理

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中学受験社会/地理では、これから中学受験をされる方への地理の教科書をご案内いたします。ご活用ください。
日本語/品詞/自立語/体言/代名詞

代名詞は、文中で、名詞を何度も使用することを避けるために使われる言葉である。
人を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。
自分を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。<例>私、俺、僕、麿など
聞き手を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>あなた、君、お前など
自分とと聞き手以外の人を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>彼、彼女、あいつ、こいつなど
誰か不明の人を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>どいつ、誰かなど
物を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。
話し手にとって近い物事を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>これ、ここ、この
聞き手にとって近い物事を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>それ、そこ、その
話し手、聞き手の両方にとって遠い物事を表す固有名詞の言葉。 <例>あれ、あそこ、あの
不明の物事を表す言葉。 <例>どれ、どこ、どの
人称代名詞においては、時と場に応じて、使う代名詞に変化がある。
Wikijunior:インターネットとの付き合い方

皆さんは、インターネットについて考えたことがありますか?小学生の人でも、もうスマートフォンなどを持っている人もいるかと思います。そこで、インターネットやスマホとの付き合い方を考えましょう。
発明と発見の世界
自然界
私たち人間の世界
テストの対策

保護者の皆様の方へ はじめにをご覧ください。
編集者の方々へ このプロジェクトで作業をするときは、子ども向けに作るということを忘れないでください。すべての項目を詳述することよりも、理解されるように書くことのほうが重要です。必要であれば専門用語を使うことは構いませんが、なるべく簡単に書いてください。
また、有志でこのページを編集してくださっている方は「有志編集者」のページにユーザー名を残して下さい。
電磁気学/電磁場/第一類/初等ベクトル解析/ベクトルのスカラー積

2 個のベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } と B {\displaystyle \mathbf {B} } とのスカラー積 (scalar product) A ⋅ B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} } を,
で定義する.ここで ( A B ) {\displaystyle (AB)} はベクトル A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } のあいだの角度である. (A.4) の定義から,
であることがわかる.さきの単位ベクトル e x , e y , e z {\displaystyle \mathbf {e_{x}} ,\mathbf {e_{y}} ,\mathbf {e_{z}} } はその大きさが 1 {\displaystyle 1} で,互いに直交しているから,
である.また
もすぐ証明できる.いまある単位ベクトル n {\displaystyle \mathbf {n} } を考えると
となる.これはベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } の n {\displaystyle \mathbf {n} } 方向の成分の大きさをあらわすから
とかける.さて
であるから, A n {\displaystyle A_{n}} を直角座標系の成分でかくと
となる.また,スカラー積 A ⋅ B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} } を直角座標系の成分でかくと,(A.5) の性質から
となる.
ラテン文学の作家と著作/白銀期

ここでは、古典ラテン文学黄金期に著作を表した作家(Silver Age Latin writers )とその著作について、それぞれ紹介する。
白銀期は、さらに、
などと細分化されることがある。
ラテン語で著作を著わした著名な作家を、時代区分・生没年の順に配列した一覧表。日本語名・ラテン語名・英語名・仏語名ごとにソートすることができるようになっている。
中学受験社会/地理/上巻

中学受験社会/地理/上巻では、これから中学受験をされる方への社会科地理分野を解説します。
地図上では実際の距離を、そのまま地図に表すことはできません。元の大きさのままそこで、縮小してかいています。
この、実際の距離を、地図に、ちぢめた割合を、縮尺といいます。
縮尺は、分数で、あらわします。
5万分の1の縮尺の地図では、地図上での 1cm の距離は、実物では、 50000cm = 500m になります。
縮尺の数字は、5万分の1だけでなく、他の数字の場合もあります。
2万5千分の1の縮尺の地図では、地図上での 1cm の距離は、実物では、 25000cm = 250m になります。
10万分の1の縮尺の地図では、地図上での 1cm の距離は、実物では、 100000cm = 1000m = 1km になります。
縮尺の表し方は、「5万分の1」といった表し方のほかにも 1 50000 {\displaystyle {\frac {1}{50000}}} といった表し方や、 あるいは 1:50000 と、表す場合も、あります。
日本の国土の全体の地図や、県の地図など、正確で広い地図をつくるのは、とても、手間が、かかります。
正確な地図は、距離をはかるだけでなく、高さも、はからないと、いけません。
日本では、国土地理院が、正確な地図を発行しています。

おなじ高さの地点を結んだ線を 等高線(とうこうせん)といいます。
山の高さ や 谷の深さなど、地図上での土地の高さは、等高線を つかって あらわします。

等高線の間かく(かんかく)が、せまいほど、実物のかたむきが、急です。
等高線の間かくが、広いほど、実物のかたむきが、ゆるやかです。

岐阜県のあたりにある、木曽川・長良川(ながらがわ)・揖斐川(いびがわ)の下流の流域には 濃尾平野(のうびへいや) があります。 木曽川・長良川・揖斐川の三つの川は、伊勢湾(いせわん)に通じています。
この三つの川の下流の流域は堤防で囲まれている土地が多いです。堤防で囲まれた土地を輪中(わじゅう)と言います。 濃尾平野の川の流域には輪中が多いです。
輪中の中の土地の高さは川の水面と同じくらいか、水面よりも低いことが多いです。
この濃尾平野の輪中には、水田が多いです。
この土地は低地なので水がたまりやすいので、水はけがわるいです。水田は水を必要としますが、水がたまりすぎても、稲はよく育ちません。なので、この土地の人は、かわりに水田を高くしようと、土をもって、そのうえに水田をつくります。水田のまわりの土を掘って、その掘った土で田を高くするので 堀田(ほりた) といいます。
最近では、洪水は起きていませんが、もし起きても、被害(ひがい)が少なくなるように、この輪中の住人たちは工夫をしています。
この輪中の土地では、家をたてるときは、盛り土をして家の土台を高くします。 こうすることで、もし洪水が起きても、ひがいを減らしたいわけです。
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明

以上の準備の下に,Laplace 変換による解法の正しさを証明することができる. この章の初めに述べたことを,特性方程式を用いて簡単に復習しておこう.
特性方程式を,
とするとき,同次方程式
および非同次方程式
を初期条件
の下に解くという問題であった.
[定理 3.2]
ここに, q ( t ) {\displaystyle q(t)} は高々 n − 1 {\displaystyle n-1} 次の任意の多項式である. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
これを示すことが目標である.一般に,
と因数分解できるから,補題3.2 を念頭におけば,定理 3.2 は,
の場合に証明すれば十分である.
は例67で示した.よって,定理は,
の場合だけ示せばよい.ところで補題 3.3 に留意すれば,
の場合だけを論ずればよいことが分かる.したがって,
を確めればよいことが分かる.ところが,これらは前章ですでに示されている. すなわち 式 (2.33) によれば,
より直ちに,
が出る. また,
に注意すれば,
も明らかである.以上で定理の (i) の部分が示された.
(ii) の部分は次のようにして示される.いま証明したことから,
は p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解である.しかも初期値は,
を満たす.この初期条件に留意しつつ g ∗ f {\displaystyle g*f} に合成積の微分の公式を次々に適用すると,
および,
となり,上から順に a n , a n − 1 , a n − 2 , ⋯ a 2 , a 1 , 1 {\displaystyle a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\cdots a_{2},a_{1},1} を掛けて加えると,
を得る.
この証明からも分かる通り, f ( t ) {\displaystyle f(t)} の Laplace 変換が存在しなくても g ∗ f {\displaystyle g*f} は,
の解となる.たとえば,
において, e t 2 {\displaystyle e^{t^{2}}} の Laplace 変換は存在しないが,
が解であることは明らかである.
公立小松大対策

本項は、公立小松大学の入学試験対策に関する事項である。
公立小松大学は石川県小松市に拠点を置く公立大学である。生産システム科学部、保健医療学部、国際文化交流学部を有する。

どの学部も共通テストの割合が高いため、共通テスト対策を念入りに行う必要がある。2次試験は生産システム科学部は数学、物理の2教科、それ以外の学部は小論文の1科目の出題となる。
生産システム科学部は数学、物理の2教科の出題、それ以外の学部は小論文の1科目が課される。
生産システム科学部のみ課される。出題範囲は数学I•A,II・B,IIIである。 90分で大問4題出題され、半分は数IIIからの出題である。大問は2~4問からなる誘導形式で解いていく問題である。難易度は基礎から標準レベルであるので、教科書章末問題、教科書傍用問題集のB問題で基礎を身につけ、「黄チャート」レベルの参考書で入試に必要なテーマの問題を演習してから過去問演習をするとよい。数IIIの複素数平面、微積分、極限がよく出題されている。数III以外の分野は、年毎に出題される分野が異なっている傾向である。したがって分野毎の偏りがないように対策する必要がある。
生産システム科学部のみ課される。出題範囲は物理基礎、物理である。 100分で大問4題出題され、力学から1題、電磁気学から1題、波動から1題、熱力学から1題と満遍なく出題されている。教科書の基本事項から標準レベルまで出題されているので、学校で配布されている問題集(リードα、セミナー等)を徹底的に繰り返してから過去問演習するとよい。計算だけでなく現象、理由の説明問題、グラフの図示、図の作図問題が出題されている。
保健医療学部と国際文化交流学部で出題されている。 保健医療学部は60分で、与えられたテーマに沿って2000語程度で小論文を作成する。 国際文化交流学部は120分で英語、日本語それぞれ1題ずつ計2題出題され、本文の内容に沿った記述、論述式解答の読解問題と本文に関連するテーマに沿って自分の意見を日本語でそれぞれ400字程度で論述する問題が出題される。
解析学基礎/解析概論/第一類/数の概念

数の概念及び四則演算法は既知と仮定する. 始めの中は実数のみを取り扱うから一々断らない. 次の用語は周知である.
自然数. 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3} 等.物の順位又は物の集合の個数を示す為に用いられる.
整数. 0 , ± 1 , ± 2 {\displaystyle 0,\pm 1,\pm 2} 等.自然数は正の整数である.
有理数. 0 {\displaystyle 0} 及び ± a b {\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}} ,但し a , b {\displaystyle a,b} は自然数. b = 1 {\displaystyle b=1} なるとき,それは整数である.
無理数. 有理数以外の実数.例えば
(但し,それらが有理数でないことは証明を要する)
十進法.実数を十進法で表すことも周知である. 有理数を十進法で表せば,数字は有限か,又は無限ならば循環小数になる. 但し,有限位数の十進数を循環小数の形に表すことも出来る. 例えば 0.6 = 0.5999 ⋯ {\displaystyle 0.6=0.5999\cdots } . 無理数を十進法で表すならば,無限の位数を要し,数字は決して循環しない.
吾々が十進法によって数を表すに至ったのは,手指の数にその原因があるのであろうが,理論上は 1 {\displaystyle 1} 以外の任意の自然数を基本として, 十進法と同様の方法によって,数を表すことが出来る.
特に二進法では,数は 0 {\displaystyle 0} と 1 {\displaystyle 1} とだけで足る.有理数を二進数で表せば,分母が 2 {\displaystyle 2} の巾になるものの外は,循環二進数になる.
解析学基礎/解析概論/第三類/論理と論理記号

数学では,「正しいこと」と「正しそうなこと」は厳しく区別されている. 正しそうに見えた主張が結局は成り立たたないことが分かった,という経験を積んできたからでもあるし,論証を積み重ねて進んで行くという数学の性格から,ある段階で間違いが入り込むと以後のすべてが無駄になってしまうおそれが大きいからである. そのため,数学の論証では,誤りを犯さないように記号を工夫して見やすくしたり,論理的な構造をはっきり意識するようになってきた. ここでは,普通に用いられる論理的な記号を説明する. 数理論理学そのものに関心がある方はその方面の成書で勉強して頂きたいが,論証を進める力になるものは,あくまでも数学的な対象への深い理解であることを強調しておきたい.
命題とその結合(命題論理) {\displaystyle \quad } 数学では,日常言語と違って,原理的に「真」か「偽」かのどちらかに定まっている文のみが議論の対象になり,これらを命題と呼ぶ. 少し例を挙げると,「今日は暑い」という文は,日常の場面では「今日私は暑いと感じている」ということの表現であることが多く,この用法の場合には「真」とか「偽」を問題にするほうがおかしい. 「今日は暑い」という文を真偽の定まった「命題」として受け取るためには,前提として「今日は暑い」ということの定義が,たとえば「最高気温 28 度以上は暑いという」というようにはっきりあたえられなくてはならない. 一方「真」か「偽」かのどちらかに原理的に定まっている文といっても,「真偽のどちらかが成り立っているのかすでに分かっている文」とは異なるわけである. 分かりやすい例で言えば,「円周率 π {\displaystyle \pi }
中学受験算数演習/解説

(1)与式=67×28+33×28=(67+33)×28=100×28=2800
(2)与式= 1 2 × 2 3 × 3 4 ⋅ ⋅ ⋅ 49 50 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\cdot \cdot \cdot {\frac {49}{50}}} =1× 1 50 {\displaystyle {\frac {1}{50}}} = 1 50 {\displaystyle {\frac {1}{50}}}

問6、かき以外の値段は、すべて17の倍数であることに着目する。かきの値段88円は、17で割ると3余ることから、かき1個につき、値段を17で割った余りは3ずつ変化していく。1216を17で割った余りは9であるから、(17でわると3余る整数)個買ったことがわかる。しかし、20個以上買うと 20個の時点で、88 × {\displaystyle \times } 20 = {\displaystyle =} 1760 より、明らかに1216円を超えてしまう。よって、3個である。
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/線形定常性

は a i {\displaystyle a_{i}} が定数であるため,系の特性は時が経過しても不変である.したがってその解も時間軸を移動させても変わらないことが当然予想される. このことを用いて t 0 ≠ 0 {\displaystyle t_{0}\neq 0} で初期値が与えられている時の解法を見出すことができる.
定常性の原理 I
φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} が p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解ならば, φ ( t + α ) {\displaystyle \varphi (t+\alpha )} も同じく解となる.ここに α {\displaystyle \alpha } は定数である.
証明
において t {\displaystyle t} を t + α {\displaystyle t+\alpha } に置き換えると,
となる.ここで,
が成立するので所要の結果が得られる.事実 k = 1 {\displaystyle k=1} の場合は, τ := t + α {\displaystyle \tau :=t+\alpha } とおくと,
となる. k ≧ 2 {\displaystyle k\geqq 2} の場合も同様である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
つまり微分演算子が不変,すなわち D t = D t + α {\displaystyle D_{t}=D_{t+\alpha }} であるので,一般に a i {\displaystyle a_{i}} が定数であるから p t + α ( D ) = p t ( D ) {\displaystyle p_{t+\alpha }(D)=p_{t}(D)} が成立するということである.ここで添え字で微分する変数を示した.

例68 {\displaystyle \quad }
x ( t ) = cos  β t {\displaystyle x(t)=\cos \beta t} は
の x ( 0 ) = 1 , x ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle x(0)=1,x'(0)=0} の解である.定常性の原理 Iによって,
も上の微分方程式の解である.しかも
を満足する. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
また非同次式の場合は,
において, t {\displaystyle t} を t + α {\displaystyle t+\alpha } とおくと,
前と同様の議論により,
となる.よって,

定常性の原理 II
x ( t ) {\displaystyle x(t)} を p ( D ) x = f ( t ) {\displaystyle p(D)x=f(t)} の解とすると, x ( t + α ) {\displaystyle x(t+\alpha )} は,
の解となる. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
中学受験社会/公民/財政

国の1年間の収入(歳入)と支出(歳出)を見積もったものを 予算 といいます。日本の予算では、4月1日から翌年の3月31日を1年間としています。予算は年々高額になっており、2019年には100兆円を突破しました。2020年度の予算は、約105兆円となっています。予算案は内閣が作成し、国会で議決されます。
所得が高いほど金額が高くなります(累進課税)。所得税、法人税、相続税などがあります。戦後には間接税より直接税のほうが大きくなっています。基本的人権の尊重という考え方が定着したためです。
だれでも同じ金額を支払います。ですから、所得の低い人ほど負担の割合が大きくなります。消費税・関税・酒税などがあります。
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合

の解が二つあると仮定し,それらを φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) {\displaystyle \varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)} とする.
であるから,
とおくと,これは
を満たす. u ( t ) ≡ 0 {\displaystyle u(t)\equiv 0} を示せばよい.上式の両辺に e a t {\displaystyle e^{at}} をかけると,
となる.これを t 0 {\displaystyle t_{0}} から t {\displaystyle t} まで積分すると, u ( t 0 ) = 0 {\displaystyle u(t_{0})=0} であるから,
を得る.
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合

の解の一意性を示すのは簡単である. m > 0 , k > 0 {\displaystyle m>0,k>0} である.前項と同様に考えて,
の解が x ≡ 0 {\displaystyle x\equiv 0} に限ることをいえばよい.いまこの系のエネルギーを考える:
これが保存されることは物理的にみて明らかである.事実,微分すると,
式 (3.14) を考慮すると,
となる.よって
を得,再び式 (3.14) の初期条件を思い起こすと, E ( t 0 ) = 0 {\displaystyle E(t_{0})=0} であることが分かる. すなわち,
この技法をエネルギーの方法といい,偏微分方程式の解の一意性を示す場合などにも使われる.
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理

解の一意性の応用として,三角関数の加法定理の証明を紹介しよう. x ( t ) = sin  ( t + α ) {\displaystyle x(t)=\sin(t+\alpha )} は,
の解であり,その初期値は,
である.この解は一つしかない.いま式 (3.15) , 式 (3.16) を満たす解を Laplace 変換で求めてみよう.
この原像は,
である.よって解の一意性から,
を得る.
例72 {\displaystyle \quad }
例にならって e t , cos  t {\displaystyle e^{t},\cos t} の加法定理を導け.
解答例
x ( t ) = e t {\displaystyle x(t)=e^{t}} は d x d t − x = 0 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}-x=0} ...1 の解. よって定常性の原理より x ( t + α ) = e t + α {\displaystyle x(t+\alpha )=e^{t+\alpha }} も1の解であり,この解の1における初期値は x ( 0 ) = e α {\displaystyle x(0)=e^{\alpha }} ...2 12の微分方程式を解く. X ⊏ x {\displaystyle X\sqsubset x} とおくと, s X − e α − X = 0 {\displaystyle sX-e^{\alpha }-X=0} ∴ X = e α s − 1 {\displaystyle \therefore X={\frac {e^{\alpha }}{s-1}}} この原像は, x = e α e t {\displaystyle x=e^{\alpha }e^{t}} ...3 解の一意性より、12の特殊解は3のみであるから, e t + α = e t e α {\displaystyle e^{t+\alpha }=e^{t}e^{\alpha }} .
x = cos  t {\displaystyle x=\cos t} は d 2 x d t 2 + x = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0} ...4 の解 よって定常性の原理より cos  ( t + α ) {\displaystyle \cos(t+\alpha )} も4の解であり,この解の4における初期値は x ( 0 ) = cos  α , x ′ ( 0 ) = − sin  α {\displaystyle x(0)=\cos \alpha ,x'(0)=-\sin \alpha } ...5 45の微分方程式を解く. X ⊏ x {\displaystyle X\sqsubset x} とおくと, s 2 S − s cos  α + sin  α + sin  α + X = 0 {\displaystyle s^{2}S-s\cos \alpha +\sin \alpha +\sin \alpha +X=0} ∴ X = s s 2 + 1 cos  α − 1 s 2 + 1 sin  α {\displaystyle \therefore X={\frac {s}{s^{2}+1}}\cos \alpha -{\frac {1}{s^{2}+1}}\sin \alpha } この原像は, x = cos  t cos  α − sin  t sin  α {\displaystyle x=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha } ...6 解の一意性より,45の特殊解は6のみであるから, cos  ( t + α ) = cos  t cos  α − sin  t sin  α {\displaystyle \cos(t+\alpha )=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha }
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合

の解が一意であることを示すには,前と同様にして,
の解が x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} に限ることを示せばよい.そのために,
とおいて, u ( t ) ≡ 0 {\displaystyle u(t)\equiv 0} を示そう. 式 (3.17) に示したように,初期値は 0 {\displaystyle 0} であるから,
が成り立つ.これを用いて u ( t ) {\displaystyle u(t)} を計算する. K := m a x { | a | , | b | } {\displaystyle K:=\mathrm {max} \{|a|,|b|\}} とおくと,
と変形できるから,
を得る. 式 (3.18) の両辺に e − ( 1 + K ) t {\displaystyle e^{-(1+K)t}} をかけ移項すると,
となる.これを t 0 {\displaystyle t_{0}} から t {\displaystyle t} まで積分すると,
すなわち,
を得る.これと 式 (3.18) より,
よって,
となり,証明が完了する. t < t 0 {\displaystyle t<t_{0}} の場合も同様である.

例73 {\displaystyle \quad }
u ( t ) := { x ( t ) } 2 + { x ′ ( t ) } 2 {\displaystyle u(t):=\left\{x(t)\right\}^{2}+\left\{x'(t)\right\}^{2}} とおいてももちろん証明はできる.試みよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }


例74 {\displaystyle \quad }
例と同様にして, n {\displaystyle n} 階の微分方程式
の場合の解の一意性を証明せよ.
解答例
与方程式の解が一意であることを示すために,
の解が x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} に限ることを示す. 1について, u ( t ) = | x | + | x ′ | + | x ′′ | + ⋯ + | x ( n − 1 ) | {\displaystyle u(t)=|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|} とおく. x ( t 0 ) = x ′ ( t 0 ) = x ′′ ( t 0 ) = ⋯ = 0 {\displaystyle x(t_{0})=x'(t_{0})=x''(t_{0})=\cdots =0} であるから,
同様に,
また,
今, K = m a x ( a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n − 1 , a n ) {\displaystyle K=\mathrm {max} (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n})} とすると,23より
すなわち, u ≦ ( K + 1 ) ∫ t 0 t u d t {\displaystyle u\leqq (K+1)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt} ...4 両辺に e − ( 1 + K ) t > 0 {\displaystyle e^{-(1+K)t}>0} を掛けて, u e − ( 1 + K ) t ≦ e − ( 1 + K ) t ( 1 + K ) ∫ t 0 t u d t {\displaystyle ue^{-(1+K)t}\leqq e^{-(1+K)t}(1+K)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt} ∴ u e − ( 1 + K ) t − ( 1 + K ) e − ( 1 + K ) t ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle \therefore ue^{-(1+K)t}-(1+K)e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ∴ d d t { e − ( 1 + K ) t ∫ t 0 t u d t } ≦ 0 {\displaystyle \therefore {\frac {d}{dt}}\left\{e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\right\}\leqq 0} 両辺を t 0 {\displaystyle t_{0}} から t {\displaystyle t} まで積分すると, e − ( 1 + K ) t ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ∴ ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle \therefore \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ...5 u {\displaystyle u} は明らかに, u = | x | + | x ′ | + | x ′′ | + ⋯ + | x ( n − 1 ) | ≧ 0 {\displaystyle u=|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|\geqq 0} ...6 456より 0 ≦ u ≦ ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle 0\leqq u\leqq \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ∴ u = 0 {\displaystyle \therefore u=0} . ∴ x = 0 {\displaystyle \therefore x=0} .

♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/微分不等式と比較定理

不等式式 (3.18) を解く技法は重要なので,ここで復習しておこう.
微分不等式
u ( t ) {\displaystyle u(t)} が次の微分方程式
を満たすならば,
が成立する.
証明
1 階線形微分方程式の解法と同じである.
の両辺に e − K t {\displaystyle e^{-Kt}} を掛けると,
となる.これは [ ] {\displaystyle [\ \ ]} 内の関数が広義の単調減少であることを示している.よって
これは求める結果にほかならない.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }


この結果は実際に解くまでもなく予想できる.
は微分方程式 φ ′ = K φ , φ ( t 0 ) = u ( t 0 ) {\displaystyle \varphi '=K\varphi ,\quad \varphi (t_{0})=u(t_{0})} の解である. そこで,同じ初期値 α {\displaystyle \alpha } を持った二つの式,
の解を比較してみよう.
であるから,
である. t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} で u ( t 0 ) = φ ( t 0 ) {\displaystyle u(t_{0})=\varphi (t_{0})} . よって次の瞬間,
となり, 式 (3.19) により,この状態が持続する. 比喩的にいえば,兎 φ {\displaystyle \varphi } と亀 u {\displaystyle u} との競争である. 兎の方が俊足であるから u ′ < φ ′ {\displaystyle u'<\varphi '} . t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} で 2 匹が肩を並べていたら,それ以降は兎が先行し,
それ以前は兎が亀を追っ掛けていたことになる.すなわち,
ただし兎は居眠りをしないものとする.


例75 {\displaystyle \quad }
ならば
となることを示せ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

兎と亀の比喩が理解できれば,次の比較定理が成立することは直感的には明らかであろう.

比較定理
二つの微分方程式,
があって,
が常に成立するならば,同じ初期条件,
を持つ二つの解 x ( t ) , y ( t ) {\displaystyle x(t),y(t)} に対して
が成立する.ただし f ( t , x ) , g ( t , x ) {\displaystyle f(t,x),g(t,x)} は領域 a ≦ t ≦ b , − ∞ < x < ∞ {\displaystyle a\leqq t\leqq b,\quad -\infty <x<\infty } で定義されており,連続であるとする. また f ( t , x ) , g ( t , x ) {\displaystyle f(t,x),g(t,x)} のいずれか一方は Lipschitz の条件,
ここに K {\displaystyle K} は定数,を満たすものとする.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
説明
定理の真意はただし書き以前の部分にある.ただし書きによって解の存在や一意性が保証されているのであるが,それよりも,Lipschitz の条件により,非線形の方程式がほとんど線形の方程式となり,取り扱いが簡単となるのである.
証明
f ( t , x ) {\displaystyle f(t,x)} が Lipschitz の条件を満たす場合だけを証明しておこう. 仮定から,
であるから,
となる.いま u := y − x {\displaystyle u:=y-x} とおけば,上式は,
である.問題より u ( t ) ≦ 0 {\displaystyle u(t)\leqq 0} すなわち
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例76 {\displaystyle \quad }
g ( t , x ) {\displaystyle g(t,x)} が Lipschitz の条件を満たす場合の証明を実行せよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一つの例

一般論に入る前に,まず一つの例を与える.
の解を,特に初期値を指定しないで求めてみよう. Laplace 変換すると,
L [ x ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[x]} について整理すると,
となる.この式の右辺は s {\displaystyle s} の 2 次式である. x ( 0 ) , x ′ ( 0 ) , x ′′ ( 0 ) {\displaystyle x(0),x'(0),x''(0)} をとくに指定しないので,一般には高々 2 次式の多項式となる. これを q ( s ) {\displaystyle q(s)} とおこう.すると,
とまとまる.これを部分分数に展開すると,
ここで初期値を指定していないので A , B , C {\displaystyle A,B,C} は未定の定数である.この原像は,
となる.すでに述べたことであるが,3 階の微分方程式は一般に 3 個の未定定数を含む. このような解を一般解と呼んでいる.“一般”という意味は A , B , C {\displaystyle A,B,C} を適当に選ぶことによって,どのように初期値を与えてもそれを満たす解が 式 (3.21) から作れるという意味である. そのことを確かめよう.初期値を,
と与えると,
とならなければならないが,この係数の作る行列式は
3 行目に 1 行目を加えて,
となり,これは t 0 {\displaystyle t_{0}} がどんな値であっても,決して 0 {\displaystyle 0} とはならない. よって式 (3.22) を満たす A , B , C {\displaystyle A,B,C} が一意に確定する.このことは,
が式 (3.20) の解であって, しかも 1 次独立であることに起因する.このことの詳細は次節に示すこととし,ここでは 式 (3.23) が 1 次独立であることを示しておこう.
から A = B = C = 0 {\displaystyle A=B=C=0} を導けばよい.それにはまず 式 (3.24) に D 2 + 1 {\displaystyle D^{2}+1} を作用させるとよい.このとき cos  t {\displaystyle \cos t} と sin  t {\displaystyle \sin t} の項は消えて,
となる.次に,
において t = 0 {\displaystyle t=0} とおくと B = 0 {\displaystyle B=0} を得,ついで C = 0 {\displaystyle C=0} を得る. このように,3 階の線形微分方程式は常に 3 個の 1 次独立な解をもち,その 1 次結合が一般解となるのである. 一般の場合の証明も,この例とほぼ同様にして示される.

例77 {\displaystyle \quad }
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例78 {\displaystyle \quad }
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例79 {\displaystyle \quad }
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例80 {\displaystyle \quad }
一般解は Laplace 変換によらずとも,特性多項式を見れば直ちに分かる.どうしてか.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性

定数係数の線形微分方程式を,
とおく.ここに p ( s ) {\displaystyle p(s)} は特性多項式である.もし,これが,
と因数分解できるならば,式 (3.25) の解は,
および,
のような n {\displaystyle n} 個の関数の 1 次結合で与えられることは,前節で示した.ここに,
である.これらが 1 次独立であることを示すのが,本項の目的である.つまり t {\displaystyle t} に関する恒等式,
から,すべての i , l , j , m {\displaystyle i,l,j,m} に対して,
を示すことである.この証明には補題 3.4 と,前章に示した事実,
および
を用いる.

定理 3.4
n {\displaystyle n} 個の関数
は 1 次独立である.
証明
の場合を証明すれば十分であろう.一般の場合は添え字 i , j {\displaystyle i,j} などが二重についてわずらわしいだけである.
に,
を作用させると, i = l {\displaystyle i=l} の場合以外はすべて消えて,
となる.補題 3.4 により
であるから,
を得る.次に,
を作用させると A l = 0 {\displaystyle A_{l}=0} となり,以下同様にして,
を得る.このとき式 (3.26) は,
となっている.これに,
を作用させると,
となる.以下同様にして,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形

以上の議論によって, n {\displaystyle n} の定常線形微分方程式,
には, n {\displaystyle n} 個の 1 次独立な解が存在することが分かった.またその 1 組を具体的に求める方法も全章で学んだ.それをいま,
としよう.重ね合わせの原理により,その 1 次結合
もまた式 (3.27) の解であることを知っている. ここでは 式 (3.28) が 式 (3.27) の一般解であること, すなわち任意の初期値,
を与えたとき,
が任意の t 0 {\displaystyle t_{0}} と { ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ⋯ , ξ n − 1 , ξ n } {\displaystyle \left\{\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\cdots ,\xi _{n-1},\xi _{n}\right\}} に対して常に解けることを示そう.それは次の定理によって保証される.

定理 3.5
p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の 1 次独立な n {\displaystyle n} 個の解を,
とすると,次の行列式,
は決して 0 {\displaystyle 0} になることはない.この行列式を Wronsky の行列式といい,
などで表す.
証明
いまある t 0 {\displaystyle t_{0}} に対して Wronsky の行列式が 0 {\displaystyle 0} となったとする.このとき 1 次方程式,
には,すべては 0 {\displaystyle 0} でない解が存在する.それを,
としよう.この値を用いて
を作れば,これは p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解であって,しかも,
を満たす.よって解の一意性から, x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} でなければならない. このとき { φ 1 , φ 2 , ⋯ φ n } {\displaystyle \left\{\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots \varphi _{n}\right\}} の 1 次独立性から,
でなければならない.これは矛盾である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例81 {\displaystyle \quad }
φ 1 , φ 2 {\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}} が 1 次独立で, W [ φ 1 , φ 2 ] ≡ 0 {\displaystyle W[\varphi _{1},\varphi _{2}]\equiv 0} となる例を作れ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

n {\displaystyle n} 階の線形定常常微分方程式の任意の解は, n {\displaystyle n} 個の独立な解を見出せばその 1 次結合で表されることが分かった. この n {\displaystyle n} 個の独立な解のことを,解の基本系または基本解系という.この事実は次の定理にまとめられる.
定理 3.6
n {\displaystyle n} 階の線形定常常微分方程式の解の全体は, n {\displaystyle n} 次元ベクトル空間を作る.その基底は解の基本形である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/非同次の場合

まず次の例から始める.
を Laplace 変換すると,
ここに, q ( s ) {\displaystyle q(s)} は高々 3 次式の多項式である.
であるから,
となる.ここに A , B , C {\displaystyle A,B,C} は未知の定数である. A , B , C {\displaystyle A,B,C} を適当に選ぶことによって,任意の初期条件を満たす解が得られる. よってこれが一般解である.この解をみると,
という形をとっている.この特解は,その解法からわかるように,初期値がすべて 0 {\displaystyle 0} の解である. 一般に特解というのは,初期値を指定した特定の解という意味で,初期値が 0 {\displaystyle 0} の解という意味ではない.一般には次の定理が成立する.

定理 3.6
非同次線形微分方程式の任意の解は,非同次式の特定の解と同次式の解の和で表される.
証明
非同次式を
と書く.いま,
とすると,
が成立する.これにより,
となり,
すなわち,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例82 {\displaystyle \quad }
以下は大学入試問題に出た. f ( t ) = 1 + 2 cos  t + 3 sin  t {\displaystyle f(t)=1+2\cos t+3\sin t} のとき,
となるように A , B , C {\displaystyle A,B,C} を定めよ.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
容易に分かるように,
は微分方程式,
の解の基本系である.したがってそれらの 1 次結合 f ( t ) {\displaystyle f(t)} も f ( t − C ) {\displaystyle f(t-C)} も解である. それは重ね合わせの原理と定常性の原理からの帰結である. よってまた
も解であり,これが基底の一つ 1 {\displaystyle 1} に等しくなるようにせよという問題である. これは三角関数の加法定理を用いて
と求まるが,実はこれには物理的背景がある. 式 (3.30) は単振動の方程式,
と同じである. f ( t ) {\displaystyle f(t)} は c o n s t . = 1 {\displaystyle const.=1} のときの解である. また 1 2 f ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}f(t)} , 1 2 f ( t − C ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}f(t-C)} は c o n s t . = 2 {\displaystyle const.=2} のときの解である. 振動の周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } であるから, C = π {\displaystyle C=\pi } (半周期)ととると sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } の項は相殺する. C {\displaystyle C} は π {\displaystyle \pi } の奇数倍でもよい.
この種の現象は実際目で見ることができる.(図:「有限時間整定応答」)
最初 A {\displaystyle A} の位置に静止している振子の支点を t = 0 {\displaystyle t=0} で瞬間的に B {\displaystyle B} に移す. すると B {\displaystyle B} を中心として左右に振動し始める. C {\displaystyle C} の直下に錘がきた瞬間( t = π {\displaystyle t=\pi } の奇数倍)に支点を B {\displaystyle B} から C {\displaystyle C} に移すと, C {\displaystyle C} で静止する. 厳密には,この振子系は線形の微分方程式では表せないが,それでも実際にやってみると,うまく C {\displaystyle C} で静止するから面白い. このような現象は,線形定常常微分方程式で表される系ではいつでも実現できる. 一般的に考えると,微分方程式で表される系では,初期値が与えられると解の一意性から,特定のパターンを持った運動が持続する. そのとき,外からの操作によって,異なった初期値をもつ別のパターンの運動を実現させることができる. ある位置で静止させようと思えば,その位置にきたとき,初期条件が 0 {\displaystyle 0} となるようにうまく操作すればよい. 線形定常な系では,そのような操作は常に可能であり,自動制御の分野では,一部実用に供されている.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }