制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/特性多項式の構造と解の性質

p ( s ) , q ( s ) {\displaystyle p(s),q(s)} を二つの多項式とし,それらに対応する微分作用素を p ( D ) , q ( D ) {\displaystyle p(D),q(D)} とする. このとき任意の微分可能な x ( t ) {\displaystyle x(t)} に対して,
が成立するとき,
と約束する.この相等の定義は,多項式の相等の定義,
と一致する.
例65 {\displaystyle \quad }
これを証明せよ.
解答例
p ( D ) = ∑ i = 0 n a i D i , q ( D ) = ∑ i = 0 n b i D i {\displaystyle p(D)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}D^{i},q(D)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}D^{i}} とおく.任意の関数 x {\displaystyle x} で,
が成立するとき, x {\displaystyle x} として特定の形を1に代入して a i , b i {\displaystyle a_{i},b_{i}} の満たすべき必要条件をあぶり出す.
x = t 0 0 ! = 1 ( ∀ t ) {\displaystyle x={\frac {t^{0}}{0!}}=1(\forall t)} のとき,
D n ⋅ 1 , D n − 1 ⋅ 1 , ⋯ , D 2 ⋅ 1 , D ⋅ 1 {\displaystyle D^{n}\cdot 1,D^{n-1}\cdot 1,\cdots ,D^{2}\cdot 1,D\cdot 1} 等の定数に対する微分は 0 {\displaystyle 0} となるから,
が必要.
x = t 1 1 ! = t {\displaystyle x={\frac {t^{1}}{1!}}=t} のとき,
m ≧ 2 {\displaystyle m\geqq 2} のとき D m ⋅ t = 0 {\displaystyle D^{m}\cdot t=0} .よって,
23より
x = t 2 2 ! {\displaystyle x={\frac {t^{2}}{2!}}} のとき,
m ≧ 3 {\displaystyle m\geqq 3} のとき D m ⋅ t 2 2 ! = 0 {\displaystyle D^{m}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}=0} .よって,
245より
x = t k k ! {\displaystyle x={\frac {t^{k}}{k!}}} のとき,
m ≧ k + 1 {\displaystyle m\geqq k+1} のとき a m D m ⋅ t k k ! = 0 {\displaystyle a_{m}D^{m}\cdot {\frac {t^{k}}{k!}}=0} , m = k {\displaystyle m=k} のとき a m D m ⋅ t k k ! = a k {\displaystyle a_{m}D^{m}\cdot {\frac {t^{k}}{k!}}=a_{k}} ,
x = t k − 1 ( k − 1 ) ! , x = t k − 2 ( k − 2 ) ! , ⋯ , x = t 2 2 ! , x = t , x = 1 {\displaystyle x={\frac {t^{k-1}}{(k-1)!}},x={\frac {t^{k-2}}{(k-2)!}},\cdots ,x={\frac {t^{2}}{2!}},x=t,x=1} の場合から a i = b i ( 0 ≦ i ≦ k − 1 ) {\displaystyle a_{i}=b_{i}\quad (0\leqq i\leqq k-1)} がすでにいえており、これと7から a k = b k {\displaystyle a_{k}=b_{k}} が必要.
以上から p ( D ) x ≡ q ( D ) x x {\displaystyle p(D)x\equiv q(D)x\quad x} は任意の関数であるとき, a i = b i ( 0 ≦ i ≦ n ) {\displaystyle a_{i}=b_{i}\quad (0\leqq i\leqq n)} が必要条件.
逆に a i = b i ( 0 ≦ i ≦ n ) {\displaystyle a_{i}=b_{i}\quad (0\leqq i\leqq n)} のとき,
8は x {\displaystyle x} が任意の t {\displaystyle t} の関数であってもその値は常に 0 {\displaystyle 0} . すなわち,
これにより十分性を示せた. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
さらに微分作用素の和と差を,任意の微分可能な x ( t ) {\displaystyle x(t)} に対して,
と,また積を,
が成立することと定義する.これらの定義と前に述べた D m , p ( D ) {\displaystyle D^{m},p(D)} の定義と抵触しないことは明らかであろう. このように微分作用素間の加減乗の 3 演算を定義すると,これらは多項式の加減乗の定義と一致するから, これら 3 演算から導かれる多項式に関する公式は,そのまま微分作用素に対しても成立する. 例えば,
[補題 3.1]
p ( s ) , q ( s ) {\displaystyle p(s),q(s)} を多項式とすると
が成立する.つまり微分作用素の積は交換可能である.
証明
とおく.まず,
を示す.
この結果を用いて,
よって,
が示された.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

[補題 3.2]
p ( s ) {\displaystyle p(s)} が q ( s ) {\displaystyle q(s)} で割り切れるならば,
の解は,
の解となる.
証明
と書けるから, q ( D ) x = 0 {\displaystyle q(D)x=0} ならば,
♢ {\displaystyle \diamondsuit }


[系]
ならば,
が成立する.ここに c i {\displaystyle c_{i}} は定数である.
証明
補題(3.2)より,
これと重ねあわせの原理Iより明らか.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例66 {\displaystyle \quad }
e − t {\displaystyle e^{-t}} は ( D + 1 ) x = 0 {\displaystyle (D+1)x=0} の,また e − 2 t {\displaystyle e^{-2t}} は ( D + 2 ) x = 0 {\displaystyle (D+2)x=0} の解である.よって上記系より,
は ( D 2 + 3 D + 2 ) x = ( D + 1 ) ( D + 2 ) x = 0 {\displaystyle (D^{2}+3D+2)x=(D+1)(D+2)x=0} の解である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

[補題 3.3]
証明
より明らか.
(ii)
またこの結果を 2 度用いると,
一般に,
となるから,求める結果を得る. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }

[系]
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

例67 {\displaystyle \quad }
であるから,
一般に x ( t ) {\displaystyle x(t)} を高々 m − 1 {\displaystyle m-1} 次の多項式とすると,
♢ {\displaystyle \diamondsuit }

[補題 3.4]
(i) x = e α t {\displaystyle x=e^{\alpha t}} が p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解となるための必要十分条件は, p ( s ) {\displaystyle p(s)} が s − α {\displaystyle s-\alpha } を因数として持つことである.
が p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解であるための必要十分条件は p ( s ) {\displaystyle p(s)} が ( s − α ) 2 + β 2 {\displaystyle (s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}} を因数として持つことである.ただし β ≠ 0 {\displaystyle \beta \neq 0} .
証明
十分性は 補題3.2 で示されている.(ii) の必要性だけ証明する. (i) も (ii) も証明は同じであるから難しい方を示しておく.
とおき, x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} を示せばよい.
であるから,
これより,
が成立しなければならない. ( A 2 + B 2 ) β ≠ 0 {\displaystyle (A^{2}+B^{2})\beta \neq 0} であるから,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }