線型代数学/行列と行列式/第三類/行列の定義・和・差

線形代数では、行列と呼ばれるものを扱う.
数字を長方形の形に並べて括弧で括ったものを行列という. 横に並んだ数の並びを行と呼び,上から第 1 行,第 2 行, ⋯ {\displaystyle \cdots } , 縦に並んだ数の並びを列と呼び,左から第 1 列,第 2 列, ⋯ {\displaystyle \cdots } と数える. m {\displaystyle m} × n {\displaystyle n} の長方形に並んだものを, m {\displaystyle m} 行 n {\displaystyle n} 列の行列, または ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 型行列という.
n {\displaystyle n} 元列ベクトルは ( n , 1 ) {\displaystyle (n,1)} 型行列, n {\displaystyle n} 元行ベクトルは ( 1 , n ) {\displaystyle (1,n)} 型行列とみなすことができる.
例えば ( 3 , 4 ) {\displaystyle (3,4)} 型行列があって、その第 2 行、第 3 列に書かれている数が 4 {\displaystyle 4} であるとき、 これを ( 2 , 3 ) {\displaystyle (2,3)} 成分が 4 {\displaystyle 4} であると表現する.
縦と横に並んだ数の個数が等しいとき,つまり正方形の形に並ぶとき,正方行列という. ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} 型の正方行列を n {\displaystyle n} 次正方行列 という. 正方行列において, ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ⋯ {\displaystyle (1,1),(2,2),(3,3),\cdots } の成分を対角成分という. 対角成分以外の成分が 0 {\displaystyle 0} である行列を 対角行列 という. 成分が 0 {\displaystyle 0} のところは書かないで済ます場合もある.
ベクトルを一つの文字で置いたように,行列も一つの文字で置いて表す. A , B {\displaystyle A,B} など大文字で置かれるのが通例である.
同じ型の行列に対して,和,差を計算することができる. たとえば, A = ( − 4 3 2 − 1 ) , B = ( 1 − 2 − 3 5 ) {\displaystyle A=\left({\begin{array}{c}-4&3\\2&-1\end{array}}\right),B=\left({\begin{array}{c}1&-2\\-3&5\end{array}}\right)} のとき,
A + B = ( − 4 3 2 − 1 ) + ( 1 − 2 − 3 5 ) = ( − 4 + 1 3 + ( − 2 ) 2 + ( − 3 ) − 1 + 5 ) = ( − 3 1 − 1 4 ) {\displaystyle A+B=\left({\begin{array}{c}-4&3\\2&-1\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}1&-2\\-3&5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-4+1&3+(-2)\\2+(-3)&-1+5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-3&1\\-1&4\end{array}}\right)}
A − B = ( − 4 3 2 − 1 ) − ( 1 − 2 − 3 5 ) = ( − 4 − 1 3 − ( − 2 ) 2 − ( − 3 ) − 1 − 5 ) = ( − 5 5 5 − 6 ) {\displaystyle A-B=\left({\begin{array}{c}-4&3\\2&-1\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}1&-2\\-3&5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-4-1&3-(-2)\\2-(-3)&-1-5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-5&5\\5&-6\end{array}}\right)}
というように,成分ごとに和,差を取る.また行列の実数倍は,
3 A = 3 ( − 4 3 2 − 1 ) = ( 3 ⋅ ( − 4 ) 3 ⋅ 3 3 ⋅ 2 3 ⋅ ( − 1 ) ) = ( − 12 9 6 − 3 ) {\displaystyle 3A=3\left({\begin{array}{c}-4&3\\2&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}3\cdot (-4)&3\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot (-1)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-12&9\\6&-3\end{array}}\right)}
というように,各成分を定数倍して求める. 行列の和,差,実数倍はベクトルと同じようにして計算するわけである. すべての成分が 0 {\displaystyle 0} の行列を零行列 といい O {\displaystyle O} で表す.
この行列の演算(和,差,実数倍)について,行列を文字で表すと次のような計算法則が成り立つ.
定理6 行列の計算法則
A , B , C {\displaystyle A,B,C} を同じ型の行列, k , l {\displaystyle k,l} を実数とすると次が成り立つ.
(1) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) {\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)} (2) A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} (3) k ( A + B ) = k A + k B {\displaystyle k(A+B)=kA+kB} (4) ( k + l ) A = k A + l A {\displaystyle (k+l)A=kA+lA} (5) ( k l ) A = k ( l A ) {\displaystyle (kl)A=k(lA)}
これらが成り立つことは,ベクトルの計算法則から容易に想像がつくだろう. ベクトルであっても行列であっても,和は成分どうしの和,実数倍は成分ごとの実数倍だからである.
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計算問題をしてみよう.
演習4. {\displaystyle \quad }
A = ( − 4 3 2 − 1 ) , B = ( 1 − 2 − 3 5 ) {\displaystyle A=\left({\begin{array}{c}-4&3\\2&-1\end{array}}\right),B=\left({\begin{array}{c}1&-2\\-3&5\end{array}}\right)} のとき, 2 A − B − ( 3 A − 2 B ) {\displaystyle 2A-B-(3A-2B)} を求めよ.
解答例
与式に直接代入してもかまわないが,せっかく計算法則があるのだから,同類項をまとめてから代入する.
2 A − B − ( 3 A − 2 B ) = 2 A − B − 3 A + 2 B = − A + B {\displaystyle 2A-B-(3A-2B)=2A-B-3A+2B=-A+B} = − ( − 4 3 2 − 1 ) + ( 1 − 2 − 3 5 ) {\displaystyle =-\left({\begin{array}{c}-4&3\\2&-1\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}1&-2\\-3&5\end{array}}\right)} = ( − ( − 4 ) + 1 3 − 2 − 2 − 3 − ( − 1 ) + 5 ) = ( 5 1 − 5 6 ) {\displaystyle =\left({\begin{array}{c}-(-4)+1&3-2\\-2-3&-(-1)+5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}5&1\\-5&6\end{array}}\right)}
◼ {\displaystyle \blacksquare }