測度論的確率論/準備/集合/集合

集合とは,「数学的に明確に定義された対象の集まり」をいう. 「数学的に明確に定義された」ということは,一つの対象を持ってきたときに,その集合に属しているか,それとも属していないかが明確に示されることをいう. 例えば「実数空間上に定義された滑らかな関数全体」は集合でない. なぜなら,どのような関数を「滑らか」というかがはっきりしていないからである. しかし「実数空間上に定義された各点で微分可能な関数全体」は集合である. 集合を構成する対象を要素または元という.
以下 M , N , A , B , Ω {\displaystyle M,N,A,B,\Omega } 等の記号は集合を表すものとする.
定義1. {\displaystyle \quad } a {\displaystyle a} が集合 M {\displaystyle M} に属する元であることを a ∈ M {\displaystyle a\in M} と記す.
定義2. {\displaystyle \quad } a {\displaystyle a} が集合 M {\displaystyle M} に属する元でないことを a ∉ M {\displaystyle a\notin M} と記す.
定義3. {\displaystyle \quad } 集合 M {\displaystyle M} が集合 N {\displaystyle N} に含まれるとは
をいい, M ⊂ N {\displaystyle M\subset N} または N ⊃ M {\displaystyle N\supset M} と記す.
定義4. {\displaystyle \quad } 集合 M {\displaystyle M} と集合 N {\displaystyle N} が一致するとは
をいい, M = N {\displaystyle M=N} と記す.
定義5. {\displaystyle \quad } 集合 M {\displaystyle M} と集合 N {\displaystyle N} の和集合 M ∪ N {\displaystyle M\cup N} とは
をいう.
定義6. {\displaystyle \quad } 集合 M {\displaystyle M} と集合 N {\displaystyle N} の共通集合 M ∩ N {\displaystyle M\cap N} とは
をいう.
定義7. {\displaystyle \quad } 同様に集合列 A 1 , A 2 , A 3 , ⋯ {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\cdots } に対して,どれかの A n {\displaystyle A_{n}} に属する元全体の集合を ⋃ n = 1 ∞ A n {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}} と表す.
定義8. {\displaystyle \quad } 集合列 A 1 , A 2 , A 3 , ⋯ {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\cdots } に対して,すべての A n {\displaystyle A_{n}} に属する元全体の集合を ⋂ n = 1 ∞ A n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}} と表す.
定義9. {\displaystyle \quad } また「元を持たない集合」を空集合 といい ∅ {\displaystyle \emptyset } で表す. 任意の集合 M {\displaystyle M} について ∅ ⊂ M , M ∪ ∅ = M , M ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle \emptyset \subset M,\quad M\cup \emptyset =M,\quad M\cap \emptyset =\emptyset } である.
定理1. {\displaystyle \quad } A , B , C {\displaystyle A,B,C} を集合とするとき
(1) ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)}
(2) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) {\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)}
証明 {\displaystyle \quad }
(1) x {\displaystyle x} を ( A ∪ B ) ∩ C {\displaystyle (A\cup B)\cap C} に属する任意の元とする. x ∈ A ∪ B {\displaystyle x\in A\cup B} かつ x ∈ C {\displaystyle x\in C} . すなわち ( x ∈ A {\displaystyle (x\in A} または x ∈ B ) {\displaystyle x\in B)} かつ x ∈ C {\displaystyle x\in C} . これは x ∈ A ∩ C {\displaystyle x\in A\cap C} または x ∈ B ∩ C {\displaystyle x\in B\cap C} となり, x ∈ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) {\displaystyle x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)} すなわち ( A ∪ B ) ∩ C ⊂ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cup B)\cap C\subset (A\cap C)\cup (B\cap C)} ....1
逆に A ⊂ A ∪ B {\displaystyle A\subset A\cup B} , B ⊂ A ∪ B {\displaystyle B\subset A\cup B} より A ∩ C ⊂ ( A ∪ B ) ∩ C {\displaystyle A\cap C\subset (A\cup B)\cap C} , B ∩ C ⊂ ( A ∪ B ) ∩ C {\displaystyle B\cap C\subset (A\cup B)\cap C} . ( X ⊂ Z {\displaystyle X\subset Z} かつ Y ⊂ Z {\displaystyle Y\subset Z} ならば X ∪ Y ⊂ Z {\displaystyle X\cup Y\subset Z} だから) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B ) ∩ C {\displaystyle (A\cap C)\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap C} ....2
12より ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)} .
(2)(1)に対して定理3を先取りして適用する. ( ( A ∪ B ) ∩ C ) C = ( ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ) C {\displaystyle ((A\cup B)\cap C)^{C}=((A\cap C)\cup (B\cap C))^{C}} . ∴ ( A ∪ B ) C ∪ C C = ( A ∩ C ) C ∩ ( B ∩ C ) C {\displaystyle \therefore (A\cup B)^{C}\cup C^{C}=(A\cap C)^{C}\cap (B\cap C)^{C}} . ∴ ( A C ∩ B C ) ∪ C C = ( A C ∪ C C ) ∩ ( B C ∪ C C ) {\displaystyle \therefore (A^{C}\cap B^{C})\cup C^{C}=(A^{C}\cup C^{C})\cap (B^{C}\cup C^{C})} .(証明終)

定理2. {\displaystyle \quad } A , A n , n ∈ N {\displaystyle A,A_{n},n\in N} を集合とするとき
(1) ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) ∩ A = ⋃ n = 1 ∞ ( A n ∩ A ) {\displaystyle \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)}
(2) ( ⋂ n = 1 ∞ A n ) ∪ A = ⋂ n = 1 ∞ ( A n ∪ A ) {\displaystyle \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cup A=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cup A\right)}
証明 {\displaystyle \quad }
(1)の証明. x ∈ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) ∩ A {\displaystyle x\in \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A} とすると, x ∈ ⋃ n = 1 ∞ A n {\displaystyle x\in \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}} かつ x ∈ A {\displaystyle x\in A} , したがって,ある(少なくとも一つの) n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbf {N} } について x ∈ A n 0 {\displaystyle x\in A_{n_{0}}} かつ x ∈ A {\displaystyle x\in A} . すなわち x ∈ A n 0 ∩ A ⊂ ∪ n = 1 ∞ ( A n ∩ A ) {\displaystyle x\in A_{n_{0}}\cap A\subset \cup _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cap A)} であり, これにより ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) ∩ A ⊂ ⋃ n = 1 ∞ ( A n ∩ A ) {\displaystyle \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cap A)} ....1
逆に任意の m ∈ N {\displaystyle m\in N} について A m ⊂ ⋃ n = 1 ∞ A n {\displaystyle A_{m}\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}} であるから A m ∩ A ⊂ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) ∩ A {\displaystyle A_{m}\cap A\subset \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A} となり ( A ⊂ Z , B ⊂ Z , C ⊂ Z {\displaystyle A\subset Z,B\subset Z,C\subset Z} ならば A ∪ B ∪ C ⊂ Z {\displaystyle A\cup B\cup C\subset Z} と同じ理由で,) ⋃ n = 1 ∞ ( A n ∩ A ) ⊂ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) ∩ A {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)\subset \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A} ....2
12より(1)は証明された.
(2)の証明.(1) に定理3を先取りではあるが適用する。
(1)より ( ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) ∩ A ) C = ( ⋃ n = 1 ∞ ( A n ∩ A ) ) C {\displaystyle \left(\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A\right)^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)\right)^{C}} . ∴ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) C ∪ A C = ⋂ n = 1 ∞ ( A n ∩ A ) C {\displaystyle \therefore \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\cup A^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)^{C}} . ∴ ( ⋂ n = 1 ∞ A n C ) ∪ A C = ⋂ n = 1 ∞ ( A n C ∪ A C ) {\displaystyle \therefore \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}\right)\cup A^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }(A_{n}^{C}\cup A^{C})} . (証明終)
定義9. {\displaystyle \quad } ある集合 Ω {\displaystyle \Omega } の部分集合全体をなす集合を ℘ ( Ω ) {\displaystyle \wp (\Omega )} と記す.したがって A ∈ ℘ ( Ω ) {\displaystyle A\in \wp (\Omega )} は A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega } を意味している. 特に ∅ ∈ ℘ ( Ω ) , Ω ∈ ℘ ( Ω ) {\displaystyle \emptyset \in \wp (\Omega ),\quad \Omega \in \wp (\Omega )} である.
定義10. {\displaystyle \quad } また 1 点 ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } だけからなる Ω {\displaystyle \Omega } の部分集合を { ω } {\displaystyle \{\omega \}} ,あるいは簡単のため ω {\displaystyle \omega } とも書く.
定義11. {\displaystyle \quad } A ∈ ℘ ( Ω ) {\displaystyle A\in \wp (\Omega )} に対して
を A {\displaystyle A} の補集合という.明らかに ( A C ) C = A {\displaystyle (A^{C})^{C}=A} である.
定義12. {\displaystyle \quad } A , B ∈ ℘ ( Ω ) {\displaystyle A,B\in \wp (\Omega )} に対して
を集合 A {\displaystyle A} と集合 B {\displaystyle B} の差,また
を集合 A {\displaystyle A} と集合 B {\displaystyle B} の対称差という.
演習1. {\displaystyle \quad } Ω ≡ ( 0 , 1 ] × ( 0 , 1 ] ( ⊂ R 2 ) , A ≡ ( 0 , 1 ] × ( 0 , 1 2 ] , B ≡ ( 0 , 1 2 ] × ( 0 , 1 ] {\displaystyle \Omega \equiv (0,1]\times (0,1](\subset \mathbf {R} ^{2}),A\equiv (0,1]\times (0,{\frac {1}{2}}],B\equiv (0,{\frac {1}{2}}]\times (0,1]} とするとき, A ∪ B , A ∩ B , A ∖ B , A △ B {\displaystyle A\cup B,A\cap B,A\setminus B,A\bigtriangleup B} を図示せよ.
(解答) 略
定理3. {\displaystyle \quad } A , B ∈ ℘ ( Ω ) {\displaystyle A,B\in \wp (\Omega )} とするとき,次の命題が成り立つ.
(1) ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C {\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}
(2) ( A ∩ B ) C = A C ∪ B C {\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}}
証明 {\displaystyle \quad }
(1)を証明する. x ∈ ( A ∪ B ) C {\displaystyle x\in (A\cup B)^{C}} とすると x ∉ A ∪ B {\displaystyle x\not \in A\cup B} すなわち x ∉ A {\displaystyle x\not \in A} かつ x ∉ B {\displaystyle x\not \in B} である. ゆえに x ∈ A C ∩ B C {\displaystyle x\in A^{C}\cap B^{C}} したがって ( A ∪ B ) C ⊂ A C ∩ B C {\displaystyle (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}} が示された.
逆に x ∈ A C ∩ B C {\displaystyle x\in A^{C}\cap B^{C}} であれば X ∉ A {\displaystyle X\not \in A} かつ X ∉ B {\displaystyle X\not \in B} したがって x ∈ ( A ∪ B ) C {\displaystyle x\in (A\cup B)^{C}} となり A C ∩ B C ⊂ ( A ∪ B ) C {\displaystyle A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}} が示された.
(2)を証明する. (1)に ( A C ) C = A {\displaystyle (A^{C})^{C}=A} を適用する. (1) より ( ( A ∪ B ) C ) C = ( A C ∩ B C ) C {\displaystyle ((A\cup B)^{C})^{C}=(A^{C}\cap B^{C})^{C}} すなわち A ∪ B = ( A C ∩ B C ) C {\displaystyle A\cup B=(A^{C}\cap B^{C})^{C}} . A = ( A C ) C , B = ( B C ) C {\displaystyle A=(A^{C})^{C},B=(B^{C})^{C}} だから ( A C ) C ∪ ( B C ) C = ( A C ∩ B C ) C {\displaystyle (A^{C})^{C}\cup (B^{C})^{C}=(A^{C}\cap B^{C})^{C}} . A C {\displaystyle A^{C}} をあらためて A {\displaystyle A} , B C {\displaystyle B^{C}} を B {\displaystyle B} と書き直せば A C ∪ B C = ( A ∩ B ) C {\displaystyle A^{C}\cup B^{C}=(A\cap B)^{C}} .(証明終)
定理3 はつぎのように一般化される.

定理4. {\displaystyle \quad } A n ∈ ℘ ( Ω ) , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ , {\displaystyle A_{n}\in \wp (\Omega ),n=1,2,3,\cdots ,} とするとき,次の命題が成り立つ.
(1) ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) C = ⋂ n = 1 ∞ A n C {\displaystyle \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}}
(2) ( ⋂ n = 1 ∞ A n ) C = ⋃ n = 1 ∞ A n C {\displaystyle \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}}
証明 {\displaystyle \quad }
(1) ( ⋃ n = 1 m A n ) C = ( ⋃ n = 1 m − 1 A n ∪ A m ) C = ( ⋃ n = 1 m − 1 A n ) C ∩ A m C = ( ⋃ n = 1 m − 2 A n ) C ∩ A m − 1 C ∩ A m C = A 1 C ∩ A 2 C ∩ A 3 C ∩ ⋯ A m C = ⋂ n = 1 m A n C {\displaystyle \left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{m-1}A_{n}\cup A_{m}\right)^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{m-1}A_{n}\right)^{C}\cap A_{m}^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{m-2}A_{n}\right)^{C}\cap A_{m-1}^{C}\cap A_{m}^{C}=A_{1}^{C}\cap A_{2}^{C}\cap A_{3}^{C}\cap \cdots A_{m}^{C}=\bigcap _{n=1}^{m}A_{n}^{C}}
(2) ( ⋂ n = 1 m A n ) C = ( ⋂ n = 1 m − 1 A n ∩ A m ) C = ( ⋂ n = 1 m − 1 A n ) C ∪ A m C = ( ⋂ n = 1 m − 2 A n ) C ∪ A m − 1 C ∪ A m C = A 1 C ∪ A 2 C ∪ A 3 C ∪ ⋯ A m C = ⋃ n = 1 m A n C {\displaystyle \left(\bigcap _{n=1}^{m}A_{n}\right)^{C}=\left(\bigcap _{n=1}^{m-1}A_{n}\cap A_{m}\right)^{C}=\left(\bigcap _{n=1}^{m-1}A_{n}\right)^{C}\cup A_{m}^{C}=\left(\bigcap _{n=1}^{m-2}A_{n}\right)^{C}\cup A_{m-1}^{C}\cup A_{m}^{C}=A_{1}^{C}\cup A_{2}^{C}\cup A_{3}^{C}\cup \cdots A_{m}^{C}=\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}^{C}}
(証明終)