高等学校数学III/極限/演習A

この項は高等学校数学III 極限の演習問題Aである。
第 n {\displaystyle n} 項が次の式で表される数列の極限を調べよ。また極限値が存在するならば求めよ。
(1) 3 n n + 1 + n n − 1 {\displaystyle {\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}} . (2) n ( n + 1 − n ) {\displaystyle {\sqrt {n}}({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})} . (3) ( − 1 ) n ( 1 − 2 n 3 n − 1 ) {\displaystyle (-1)^{n}\left(1-{\frac {2n}{3n-1}}\right)} .
r > 1 {\displaystyle r>1} のとき、次を証明せよ。
a n = k n n ! {\displaystyle a_{n}={\frac {k^{n}}{n!}}} の収束・発散について調べよ。極限値が存在する場合はこれを求めよ。ただし、 k {\displaystyle k} は定数とする。
(1) 3 n n + 1 + n n − 1 = 3 1 + 1 n + 1 1 − 1 n {\displaystyle {\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}={\frac {3}{1+{\frac {1}{n}}}}+{\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}} . よって、 lim n → ∞ ( 3 n n + 1 + n n − 1 ) = 4 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}\right)=4} .
(1)(別解) 3 n n + 1 + n n − 1 = 3 − 3 n + 1 + 1 + 1 n − 1 = 4 − 3 n + 1 + 1 n − 1 {\displaystyle {\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}=3-{\frac {3}{n+1}}+1+{\frac {1}{n-1}}=4-{\frac {3}{n+1}}+{\frac {1}{n-1}}} . よって、 lim n → ∞ ( 3 n n + 1 + n n − 1 ) = 4 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}\right)=4} .
(2) n ( n + 1 − n ) = n n + 1 + n = 1 1 + 1 n + 1 {\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}+1}}} . よって、 lim n → ∞ n ( n + 1 − n ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {1}{2}}} .
(2)(別解) n ( n + 1 − n ) = n n + 1 + n = 1 2 − n + 1 − n 2 ( n + 1 + n ) = 1 2 − 1 2 ( n + 1 + n ) 2 {\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}}{2\left({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}\right)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\left({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}\right)^{2}}}} . よって、 lim n → ∞ n ( n + 1 − n ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {1}{2}}} .
(3) ( − 1 ) n ( 1 − 2 n 3 n − 1 ) = ( − 1 ) n ( 1 − 2 3 − 1 n ) {\displaystyle (-1)^{n}\left(1-{\frac {2n}{3n-1}}\right)=(-1)^{n}\left(1-{\frac {2}{3-{\frac {1}{n}}}}\right)} . よって、 n {\displaystyle n} が偶数のとき 1 − 2 3 − 1 n {\displaystyle 1-{\frac {2}{3-{\frac {1}{n}}}}} 、 n {\displaystyle n} が奇数のとき − 1 + 2 3 − 1 n {\displaystyle -1+{\frac {2}{3-{\frac {1}{n}}}}} なので、収束しない。(振動する)
(3)(別解) ( − 1 ) n ( 1 − 2 n 3 n − 1 ) = ( − 1 ) n ( 1 − 2 3 − 2 3 ( 3 n − 1 ) ) = ( − 1 ) n 3 − 2 ( − 1 ) n 3 ( 3 n − 1 ) {\displaystyle (-1)^{n}\left(1-{\frac {2n}{3n-1}}\right)=(-1)^{n}\left(1-{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3(3n-1)}}\right)={\frac {(-1)^{n}}{3}}-{\frac {2(-1)^{n}}{3(3n-1)}}} . よって、 n {\displaystyle n} が偶数のとき 1 3 − 2 3 ( 3 n − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3(3n-1)}}} 、 n {\displaystyle n} が奇数のとき − 1 3 + 2 3 ( 3 n − 1 ) {\displaystyle -{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3(3n-1)}}} なので、収束しない。(振動する)
n r n > 0 {\displaystyle {\frac {n}{r^{n}}}>0} は明らか。
r > 1 {\displaystyle r>1} なので、 h > 0 {\displaystyle h>0} を用いて r = 1 + h {\displaystyle r=1+h} と表せる。 n ≧ 2 {\displaystyle n\geqq 2} のとき、 r n = ( 1 + h ) n ≧ 1 + n h + n ( n − 1 ) 2 h 2 {\displaystyle r^{n}=(1+h)^{n}\geqq 1+nh+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}} なので、
である。したがって、はさみうちの原理より lim n → ∞ n r n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{r^{n}}}=0}
k n n ! > 0 {\displaystyle {\frac {k^{n}}{n!}}>0} は明らか。
k {\displaystyle k} は定数なので、 k < m {\displaystyle k<m} なる自然数 m {\displaystyle m} が取れる。 n > m {\displaystyle n>m} のとき、
である。したがって、はさみうちの原理より lim n → ∞ k n n ! = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k^{n}}{n!}}=0}