体論

ここでは体論について解説する。
環論で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。
公理 集合Kが体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。
環論において任意の環は Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -代数であることをみた。特に体 K {\displaystyle K} も環であるので、自然な環準同型 f : Z → K {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to K} がある。このとき、 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } は PID であることから、ある非負整数 n {\displaystyle n} を用いて ker  f = n Z {\displaystyle \ker f=n\mathbb {Z} } と書ける。この n {\displaystyle n} を体 K {\displaystyle K} の標数という。
K {\displaystyle K} の標数が n {\displaystyle n} のとき、 ∀ x ∈ K f ( n ) ⋅ x = 0 {\displaystyle \forall x\in K\ f(n)\cdot x=0} である。すなわち、 K {\displaystyle K} の任意の元は n {\displaystyle n} 回足すと( n {\displaystyle n} 倍すると) 0 K {\displaystyle 0_{K}} になる。標数とは、そのような数と理解することができる。 Q , R , C {\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } の元はどんな正整数をかけても 0 {\displaystyle 0} にはならない。すなわち標数は 0 {\displaystyle 0} である。
命題 体の標数は 0 {\displaystyle 0} か素数である。
もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか?結論を先に言えば、存在する。
命題 素数pに対して Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } は(標数pの)体である。
群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。
定義 体 K , L {\displaystyle K,L} が K ⊂ L {\displaystyle K\subset L} となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、 K {\displaystyle K} は L {\displaystyle L} の部分体、 L {\displaystyle L} は K {\displaystyle K} の拡大体であるという。またこのとき、「 L / K {\displaystyle L/K} は体の拡大である」という。
拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない。
命題 体の拡大 L / K {\displaystyle L/K} があるとき、 L {\displaystyle L} は K {\displaystyle K} 上の線型空間である。
この線型空間が有限次元のとき、 L / K {\displaystyle L/K} は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を [ L : K ] {\displaystyle [L:K]} と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。
補題 L {\displaystyle L} を体とする。ある添字集合 Λ {\displaystyle \Lambda } があって,任意の λ ∈ Λ {\displaystyle \lambda \in \Lambda } に L {\displaystyle L} の部分体 K λ {\displaystyle K_{\lambda }} が対応しているとする。これらの共通部分 K := ⋂ λ ∈ Λ K λ {\displaystyle K:=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }K_{\lambda }} は L {\displaystyle L} の部分体である。

L {\displaystyle L} を体 K {\displaystyle K} の拡大体として, α 1 , . . . , α n ∈ L {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in L} とする.このとき K {\displaystyle K} と α 1 , . . . , α n {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}} を含むような L {\displaystyle L} の部分体のうち最小のものが存在する.実際 K {\displaystyle K} と α 1 , . . . , α n {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}} を含むような L {\displaystyle L} のすべての部分体を考え,それらの共通部分をとればよい.この体を K ( α 1 , . . . , α n ) {\displaystyle K(\alpha _{1},...,\alpha _{n})} と表して, K {\displaystyle K} に α 1 , . . . , α n {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}} を添加した体,または K {\displaystyle K} 上 α 1 , . . . , α n {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}} で生成される体という.特に n = 1 {\displaystyle n=1} のとき, K ( α 1 ) {\displaystyle K(\alpha _{1})} を K {\displaystyle K} の単純拡大(体)という.
命題 体 K {\displaystyle K} の元を係数とする多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が K [ x ] {\displaystyle K[x]} で既約であれば,剰余環 K [ x ] / ( f ( x ) ) {\displaystyle K[x]/(f(x))} は体である。

φ : K → K [ x ] / ( f ( x ) ) ; a ↦ a ̄ {\displaystyle \phi :K\to K[x]/(f(x));a\mapsto {\overline {a}}} は単射であり,体 K {\displaystyle K} の構造を保つ。 φ {\displaystyle \phi } によって、 a {\displaystyle a} と a ̄ {\displaystyle {\overline {a}}} を同一視することにより、 K / ( f ( x ) ) {\displaystyle K/(f(x))} は K {\displaystyle K} の拡大体である。
K {\displaystyle K} を体として、 K {\displaystyle K} 係数の多項式を任意に取ったとき、その根が K {\displaystyle K} にあるとは限らない。しかし、 K {\displaystyle K} を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。
定義 L / K {\displaystyle L/K} を体の拡大とする。
簡単にわかる例として、 C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } は代数拡大である。実際、任意の元 z = a + b i ∈ C {\displaystyle z=a+bi\in \mathbb {C} } を考えると、 R {\displaystyle \mathbb {R} } 係数の多項式 f ( x ) = x 2 − 2 a x + a 2 + b 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}} に対して f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} が成り立つからである。一方、 C / Q {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} } は超越拡大であることが知られている。
命題 有限次拡大は代数拡大である。
例 有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の元 D {\displaystyle D} を平方数でない,すなわち β 2 = D {\displaystyle \beta ^{2}=D} となる有理数 β {\displaystyle \beta } が存在しないと,仮定する。 この仮定は x 2 − D {\displaystyle x^{2}-D} が Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上で既約であることと同値である。このとき,
は D > 0 {\displaystyle D>0} であれば R {\displaystyle \mathbb {R} } の部分体であり、 D < 0 {\displaystyle D<0} であれば C {\displaystyle \mathbb {C} } の部分体であり、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の拡大体である。
定義 体 L 1 {\displaystyle L_{1}} から体 L 2 {\displaystyle L_{2}} への写像 φ : L 1 → L 2 {\displaystyle \phi :L_{1}\to L_{2}} が次の条件を満たすとき, 体 L 1 {\displaystyle L_{1}} から 体 L 2 {\displaystyle L_{2}} の中への同型 (into-isomorphism) という。
命題 体 L 1 {\displaystyle L_{1}} から体 L 2 {\displaystyle L_{2}} への写像 φ : L 1 → L 2 {\displaystyle \phi :L_{1}\to L_{2}} が,上記の1.を満たすならば, φ {\displaystyle \phi } は零写像すなわち, L 1 {\displaystyle L_{1}} のすべての元 a {\displaystyle a} に対して φ ( a ) = 0 {\displaystyle \phi (a)=0} であるか,または,中への同型写像である。
命題 体 L 1 {\displaystyle L_{1}} から体 L 2 {\displaystyle L_{2}} への中への同型写像 φ : L 1 → L 2 {\displaystyle \phi :L_{1}\to L_{2}} は単射である。
定義 体 L 1 {\displaystyle L_{1}} から体 L 2 {\displaystyle L_{2}} への中への同型写像 φ : L 1 → L 2 {\displaystyle \phi :L_{1}\to L_{2}} が全射でもあるとき, φ {\displaystyle \phi } は、 L 1 {\displaystyle L_{1}} から L 2 {\displaystyle L_{2}} への上への同型 (onto-isomorphisim) または 全射同型 (surjective isomorphisim) または単に同型といい、 L 1 {\displaystyle L_{1}} と L 2 {\displaystyle L_{2}} とは体として同型であるという。
定義 体 L 1 {\displaystyle L_{1}} と体 L 2 {\displaystyle L_{2}} が共通の部分体 K {\displaystyle K} を持ち、中への同型写像 φ : L 1 → L 2 {\displaystyle \phi :L_{1}\to L_{2}} がさらに条件
を満足するとき、 φ {\displaystyle \phi } を K {\displaystyle K} 上の中への同型写像 (into-isomorphism over K {\displaystyle K} ) という。
定義 K {\displaystyle K} 上の中への同型写像 φ : L 1 → L 2 {\displaystyle \phi :L_{1}\to L_{2}} において,特に L 1 = L 2 {\displaystyle L_{1}=L_{2}} であり、 φ {\displaystyle \phi } が K {\displaystyle K} 上の全射同型写像であるとき、 φ {\displaystyle \phi } を L {\displaystyle L} の K {\displaystyle K} 上の自己同型 (automorphismu over K {\displaystyle K} )という。 L {\displaystyle L} の K {\displaystyle K} 上の自己同型の全体を Aut K  ( L ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{K}(L)} と記す。
命題 Aut K  ( L ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{K}(L)} は写像の合成によって群をなす。
命題 体 K {\displaystyle K} の元を係数とする既約な n {\displaystyle n} 次多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の根 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } に対して
は K {\displaystyle K} 上の同型写像である。