制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/指数関数の場合

前節の思いつきが成功したのは,割り算が常に割り切れたからである. 割り切れたのは f ( t ) {\displaystyle f(t)} が t {\displaystyle t} の多項式であったからで, f ( t ) {\displaystyle f(t)} を何回か微分すれば必ず 0 {\displaystyle 0} となることが保証されているからにほかならない. そこで,何回微分しても決して 0 {\displaystyle 0} にならない指数関数を f ( t ) {\displaystyle f(t)} に選んでみよう.
例5 {\displaystyle \quad }
例によって p = d d t {\displaystyle p={\frac {d}{dt}}} とおくと
となる.この割り算を実行しよう.
e a t − a e a t a 2 e a t − a 3 e a t ⋯ 1 + p ) e a t e a t a e a t − a e a t − a e a t − a 2 e a t + a 2 e a t + a 2 e a t a 3 e a t − a 3 e a t − a 3 e a t − a 4 e a t a 4 e a t {\displaystyle {\begin{array}{lcl}&&e^{at}&-ae^{at}&a^{2}e^{at}&-a^{3}e^{at}&\cdots \\\hline 1+p&)&e^{at}&&&&\\&&e^{at}&ae^{at}&&&\\\hline &&&-ae^{at}&&&\\&&&-ae^{at}&-a^{2}e^{at}&&\\\hline &&&&+a^{2}e^{at}&&\\&&&&+a^{2}e^{at}&a^{3}e~{at}&\\\hline &&&&&-a^{3}e^{at}&\\&&&&&-a^{3}e^{at}&-a^{4}e^{at}\\\hline &&&&&&a^{4}e^{at}\\\end{array}}}


e a t / ( 1 + p ) = e a t ⋯ ⋯ − a e a t {\displaystyle e^{at}/(1+p)=e^{at}\cdots \cdots -ae^{at}}
− a e a t / ( 1 + p ) = − a e a t ⋯ ⋯ a 2 e a t {\displaystyle -ae^{at}/(1+p)=-ae^{at}\cdots \cdots a^{2}e^{at}}
a 2 e a t / ( 1 + p ) = a 2 e a t ⋯ ⋯ − a 3 e a t {\displaystyle a^{2}e^{at}/(1+p)=a^{2}e^{at}\cdots \cdots -a^{3}e^{at}}
− a 3 e a t / ( 1 + p ) = − a 3 e a t ⋯ ⋯ a 4 e a t {\displaystyle -a^{3}e^{at}/(1+p)=-a^{3}e^{at}\cdots \cdots a^{4}e^{at}}
これはいつまでたっても割り切れない.しかしここで諦めては長蛇を逸する. そこで n {\displaystyle n} 回,上の演算を実行すると,
を得る.したがって,
ならば,無限回の施行の後,
となって割り切れる.このとき商は,
となる.
験算
よって,この x ( t ) {\displaystyle x(t)} は,初期条件 x ( 0 ) = 1 1 + a {\displaystyle x(0)={\frac {1}{1+a}}} をみたす解であることが分かった.

上で行った験算は, | a | < 1 {\displaystyle |a|<1} でなくても, x ( t ) {\displaystyle x(t)} が正しい解を与えることを示している.そこで,
の場合にも,正しいを解が得られるように工夫してみよう. p {\displaystyle p} で割るということは,積分するということであった. e a t {\displaystyle e^{at}} を積分すれば e a t a {\displaystyle {\frac {e^{at}}{a}}} となる. 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} のベキ級数は | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} で収束する. そこで割り算を少し変形して、次のように p {\displaystyle p} から先に割っていこう.
1 a e a t − 1 a 2 e a t 1 a 3 e a t ⋯ p + 1 ) e a t e a t 1 a e a t − 1 a e a t − 1 a e a t − 1 a 2 e a t + 1 a 2 e a t + 1 a 2 e a t 1 a 3 e a t − 1 a 3 e a t {\displaystyle {\begin{array}{lcl}&&{\frac {1}{a}}e^{at}&-{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&{\frac {1}{a^{3}}}e^{at}&&\cdots \\\hline p+1&)&e^{at}&&&&\\&&e^{at}&{\frac {1}{a}}e^{at}&&&\\\hline &&&-{\frac {1}{a}}e^{at}&&&\\&&&-{\frac {1}{a}}e^{at}&-{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&&\\\hline &&&&+{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&&\\&&&&+{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&{\frac {1}{a^{3}}}e~{at}&\\\hline &&&&&-{\frac {1}{a^{3}}}e^{at}&\\\end{array}}}
e a t ÷ ( p + 1 ) = 1 a e a t ⋯ ⋯ − 1 a e a t {\displaystyle e^{at}\div (p+1)={\frac {1}{a}}e^{at}\cdots \cdots -{\frac {1}{a}}e^{at}}
− 1 a e a t ÷ ( p + 1 ) = − 1 a 2 e a t ⋯ ⋯ 1 a 2 e a t {\displaystyle -{\frac {1}{a}}e^{at}\div (p+1)=-{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}\cdots \cdots {\frac {1}{a^{2}}}e^{at}}
1 a 2 e a t ÷ ( p + 1 ) = 1 a 3 e a t . . . . . {\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{at}\div (p+1)={\frac {1}{a^{3}}}e^{at}.....}
この演算を無限回続けると, | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} であるから,商は収束して,
となる.

| a | = 1 {\displaystyle |a|=1} の場合の考察は後まわしにして,これら 2 種の計算法の検討をしておこう.
1 ∘ {\displaystyle 1^{\circ }} | a | < 1 {\displaystyle |a|<1} の場合
2 ∘ {\displaystyle 2^{\circ }} | a | > 1 {\displaystyle |a|>1} の場合
このように p {\displaystyle p} の関数を p {\displaystyle p} あるいは 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} で展開し, p {\displaystyle p} は微分, 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} は積分と考えて形式的に計算すると,正しい答に導かれる.例えば例1は
となって同じ答を得る.
例6 {\displaystyle \quad } 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} で展開するとどうなるか.
解答例 {\displaystyle \quad }
と項が無限に生成されてしまい,うまくいかない.

上に示した幾つかの例において,微分方程式の解は得られるには得られたが,まだ多くの問題点を残している. 手法のいかがわしさは暫くおくとしても,一つの方程式に対して一つの解しか得られず、任意の初期値を満たす解が得られないのは大きな欠陥である. このことは,次のような方程式
を取り扱うとき,深刻な問題となる.というのは,単に p = d d t {\displaystyle p={\frac {d}{dt}}} と置いたのでは,
となって,得られた解 x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} は正しい解には違いないが,視察でも求まるつまらない解だからである.
さて 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} を積分と考えることによって、色々な初期値が得られる可能性のあることを前に示唆しておいた.
そこで,ひとまず (1.5) を 0 {\displaystyle 0} から t {\displaystyle t} で積分してみよう.
を得る.そこで,積分は微分 p {\displaystyle p} の逆演算であるという考えを一方深めて,改めて,
あるいは,もっと正確に,
と定義しなおすことにしよう.そうすれば式 (1.6) は,
となる.初期値 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} が入ってきたところが,単に d d t = p {\displaystyle {\frac {d}{dt}}=p} とおいた場合と根本的に異なっている. この式を x {\displaystyle x} について解き,
これを 1 p {\displaystyle {\frac {1}{p}}} で展開すると,
を得る. さてここで定義 (1.7) に戻り,
以下同様にして,
が得られることに注意すると,式 (1.8) は
となる.上の式の( )内は e a t {\displaystyle e^{at}} の Taylor 展開である.よって,
を得る.これが式 (1.5) の正しい解であることは明らかである.
どうやら我々は満足するべき解法にかなり近づいたようである.次節でもう少し掘り下げて考えてみよう.