高等学校数学A/図形の性質

ここでは、三角形や円の性質、空間図形の性質等について扱う。
m, nを正の数とする。点Pが線分AB上にあってAB:PB=m:nが成り立つとき、「点Pは線分ABをm:nに内分する」という。
また、点Qが線分ABの延長線上にあってAQ:BQ=m:nであるとき、「点Qは線分ABをm:nに外分する」という。
△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の辺AB, AC(またはその延長線)上にそれぞれ点P, Qがあるとき、次のことが成り立つ。
三角形の内角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
∠ A {\displaystyle \angle A} の2等分線と辺BCとの交点がDだから
Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする。 ADとECは平行であるから
上の3つの式から
よって
また、ADとECは平行であるから
(1)と(2)より
三角形の外角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
Cを通りADに平行な直線とABの延長との交点をEとすると、上の定理と同様に

w:五心も参照。
△ABCを取り、辺AB,AC のそれぞれに対して垂直二等分線を取り、2直線の交点をOとする。このとき、点OがAB,ACのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから
であるので、
が成り立つ。
よって点Oは辺BCの垂直二等分線上にある。

上の証明から、 O A = O B = O C {\displaystyle OA=OB=OC} であるので、この点は三角形の3つの頂点から等距離にあることが分かるので、この点Oを中心として円を書くと、三角形ABCの頂点3つを通る円を書くことができる。
このように、三角形の3つの頂点を通る円(右図では赤線の部分)のことを外接円(がいせつえん、 英:circumscribed circle)という。
そして、外接円の中心(右図の点Oの部分)のことを、その三角形の 外心(がいしん)という。


△ABCを取り、角A,Bについて角の2等分線を取り2直線の交点をIと呼ぶ。 さらに、点Iから辺BC,CA,ABに下ろした垂線とそれぞれの辺の交点をそれぞれ D,E,F と呼ぶとする。このとき、角Aの二等分線の性質から
が成り立ち、同様に角Bの2等分線の性質から
が成り立つので、
よって
である。
したがって、点Iは角Cの二等分線上にある。

ID=IE=IF なので、図のように三角形の三辺に接する円を書くことができ。この円を △ABCの内接円 (ないせつえん、英:inscribed circle)といい、その中心Iを内心(ないしん)という。
なお、三角形の内接円の半径をrとすると、面積Sと三辺の長さa,b,cとの間に
の関係式が成り立つ(△ABI、△BCI、△CAIの3つの三角形の面積を考えてみよ)。面積Sはヘロンの公式を用いれば、三角形の三辺の長さから内接円の半径が計算できる。

三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを 中線 という。三角形の3つの中線の交わる点を重心という。
証明
△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとする。
中点連結定理よりML // AB, 2ML=ABが成り立つので、中線AL, BMの交点をGとするとAG:GL=AB:ML=2:1
中線ALとCNの交点をG'とすると、上と同様に考えてAG':G'L=AC:NL=2:1
よって、GとG'はともに線分ABを2:1に内分する点であるので、この2点は一致する。
したがって、3本の中線は1点Gで交わり、AG:GL=2:1である。 同様にBG:GM=CG:GN=2:1なので、Gは各中線を2:1に内分する。


外心の性質を利用して、次の定理が証明できる。
点Aを通り辺BCに平行な直線、点Bを通り辺CAに平行な直線、点Cを通り辺ABに平行な直線をかき、これらの直線の交点を図のようにP,Q,Rとする。
すると、四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA = BC である。 同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC=AQ である。 よって RA=BC かつ BC=AQ なので、 RA = AQ である。
次に、点Aから対辺BCまたはその延長上に垂線ADを引く。 すると、 RQ // BC の仮定により、平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
が導かれる。したがって、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
同様に考えると、頂点Bから辺ACまたはその延長上に降ろした垂線BEは辺RPの垂直二等分線であり、頂点Cから辺ABまたはその延長上に降ろした垂線CFは辺PQの垂直二等分線であることがわかる。
この3本の垂直二等分線は、△RQPの外心で交わる。すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
ここまで三角形の外心、内心、重心、垂心を見てきた。実は正三角形の場合、この4点は一致することが知られている。
また、正三角形でない三角形について外心O・重心G・垂心Hは常に一直線上に存在し、この直線をオイラー線と呼ぶ。
なお、オイラー線の証明は三角関数やベクトルでもできる。
オイラー線はw:九点円の中心Nも通り、ON=NHが成り立つ。


外角Bと外角Cの二等分線の交点をJとする。
図のように、Jから△ABCの3辺またはその延長線上に垂線JD,JE,JFをおろす。
すると、
なので、
である。
よって、直線AJは∠Aの二等分線である。
この点 J を 傍心(ぼうしん)という。
三角形には3つの傍心が存在する。
三角形の外心、内心、重心、垂心、傍心を合わせて三角形の五心と呼ぶ。

三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対し、任意の一点 O {\displaystyle \mathrm {O} } と A , B , C {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} } を結んだ直線がそれぞれ B C , C A , A B {\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} } と交わる点を D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } とする。
このとき、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1} が成り立つ。
証明
点 C {\displaystyle \mathrm {C} } を通り直線 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } に平行な直線をかき、 A D , B E {\displaystyle \mathrm {AD} ,\mathrm {BE} } との交点をそれぞれ G , H {\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {H} } とする。
A F : F B = G C : H C {\displaystyle \mathrm {AF} :\mathrm {FB} =\mathrm {GC} :\mathrm {HC} }
B D : D C = A B : C G {\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =\mathrm {AB} :\mathrm {CG} }
C E : E A = C H : A B {\displaystyle \mathrm {CE} :\mathrm {EA} =\mathrm {CH} :\mathrm {AB} }
したがって、
A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = G C H C ⋅ A B C G ⋅ C H A B = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}={\frac {\mathrm {GC} }{\mathrm {HC} }}\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {CG} }}\cdot {\frac {\mathrm {CH} }{\mathrm {AB} }}=1}
平行線による比の移動より、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = G C H C ⋅ A B C G ⋅ C H A B = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}={\frac {\mathrm {GC} }{\mathrm {HC} }}\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {CG} }}\cdot {\frac {\mathrm {CH} }{\mathrm {AB} }}=1}

三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対し、直線 B C , C A , A B {\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} } 上にそれぞれ点 D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } があるとき、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1} ならば、直線 A F , B D , C E {\displaystyle \mathrm {AF} ,\mathrm {BD} ,\mathrm {CE} } は一点で交わる。
証明
直線 B D , C E {\displaystyle \mathrm {BD} ,\mathrm {CE} } の交点を O {\displaystyle \mathrm {O} } とおき、直線 A O {\displaystyle \mathrm {AO} } と直線 B C {\displaystyle \mathrm {BC} } との交点を F ′ {\displaystyle \mathrm {F} '} とおく。このとき、チェバの定理より、 A F ′ F ′ B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF'} }{\mathrm {F'B} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1} が成り立つ。また、仮定より、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1} である。これら2つの式から、 A F F B = A F ′ F ′ B {\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}={\frac {\mathrm {AF'} }{\mathrm {F'B} }}} が得られる。これは、2点 F , F ′ {\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F} '} が線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } を同じ比で内分する点であることを示すので、 点 F {\displaystyle \mathrm {F} } と点 F ′ {\displaystyle \mathrm {F} '} は一致する。よって、直線 A F , B D , C E {\displaystyle \mathrm {AF} ,\mathrm {BD} ,\mathrm {CE} } は一点で交わる。

任意の直線 l {\displaystyle l} と三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } において、直線 l {\displaystyle l} と直線 B C , C A , A B {\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} } の交点をそれぞれ D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } とする。このとき
が成り立つ。
証明
点 C {\displaystyle \mathrm {C} } から直線 l {\displaystyle l} に平行な直線をかき、直線 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } との交点を G {\displaystyle \mathrm {G} } とする。
平行線による比の移動より、
B D : D C = B F : G F {\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =\mathrm {BF} :\mathrm {GF} }
C E : E A = G F : F A {\displaystyle \mathrm {CE} :\mathrm {EA} =\mathrm {GF} :\mathrm {FA} }
したがって、
A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = A F F B ⋅ B F G F ⋅ G F F A = 1 {\displaystyle {\mathrm {AF} \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD} \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE} \over \mathrm {EA} }={\mathrm {AF} \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BF} \over \mathrm {GF} }\cdot {\mathrm {GF} \over \mathrm {FA} }=1}

三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対して、直線 B C , C A , A B {\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} } 上に点 D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } をとり、 D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } のうち三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } の辺上にある点が0個あるいは2個で、かつ、 A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\mathrm {AF} \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD} \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE} \over \mathrm {EA} }=1} が成り立つとき、3点 D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } は一直線上にある。
証明
2直線 E F , B C {\displaystyle \mathrm {EF} ,\mathrm {BC} } の交点を D ′ {\displaystyle \mathrm {D} '} とする。このとき、メネラウスの定理より、 A F F B ⋅ B D ′ D ′ C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\mathrm {AF} \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD'} \over \mathrm {D'C} }\cdot {\mathrm {CE} \over \mathrm {EA} }=1} である。また、仮定より A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\mathrm {AF} \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD} \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE} \over \mathrm {EA} }=1} である。これら2式より、 B D D C = B D ′ D ′ C {\displaystyle {\mathrm {BD} \over \mathrm {DC} }={\frac {\mathrm {BD'} }{\mathrm {D'C} }}} である。これは、2点 D , D ′ {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {D} '} が線分 B C {\displaystyle \mathrm {BC} } を同じ比で内分する点であることを示すので、 点 D {\displaystyle \mathrm {D} } と点 D ′ {\displaystyle \mathrm {D} '} は一致する。したがって、3点 D , E , F {\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} } は一直線上にある。

三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
( A B < A C ⇒ ∠ B > ∠ C {\displaystyle AB<AC\ \Rightarrow \ \angle B>\angle C} の証明)
A B < A C {\displaystyle AB<AC} とし、辺AC上に点Dを、 A D = A B {\displaystyle AD=AB} となるようにとれば
ところで、 ∠ A D B {\displaystyle \angle ADB} は △ D B C {\displaystyle \triangle DBC} の ∠ B D C {\displaystyle \angle BDC} の外角だから
また、点Dは辺AC上にあるから
(1),(2),(3)より、 ∠ B > ∠ C {\displaystyle \angle B>\angle C}
( ∠ B > ∠ C ⇒ A B < A C {\displaystyle \angle B>\angle C\ \Rightarrow \ AB<AC} の証明)
∠ B > ∠ C {\displaystyle \angle B>\angle C} であって、 A B < A C {\displaystyle AB<AC} ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、 ∠ B = ∠ C {\displaystyle \angle B=\angle C}
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、 ∠ B < ∠ C {\displaystyle \angle B<\angle C}
どちらの場合も、仮定 ∠ B > ∠ C {\displaystyle \angle B>\angle C} に反する。
よって、 A B < A C {\displaystyle AB<AC} でなければならない。

三角形の3辺について、次のようなことが言える。
△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} において、 A B + A C > B C {\displaystyle AB+AC>BC} を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、 A D = A C {\displaystyle AD=AC} となるようにとる。
△ A C D {\displaystyle \triangle ACD} は二等辺三角形であるから
△ B C D {\displaystyle \triangle BCD} において、点Aは辺BD上にあるから
よって、三角形の辺と角の大小の定理より
△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の3辺の長さを、 B C = a , C A = b , A B = c {\displaystyle BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c} とすると、上の定理より次のことがわかる。
であるから、 b ≥ c {\displaystyle b\geq c} のとき、 c + a > b {\displaystyle c+a>b} より
b < c {\displaystyle b<c} のとき、 a + b > c {\displaystyle a+b>c} より
が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が a , b , c {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c} であるとき、
が成り立つことがわかる。
逆に、正の数 a , b , c {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c} が不等式 | b − c | < a < b + c {\displaystyle |b-c|<a<b+c} を満たすとき、3辺の長さが a , b , c {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c} である三角形が存在する。
この不等式を三角不等式と呼ぶ。

円周上に3点A,B,Cがある。直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとり、 ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} と ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} の大きさを比べる。
点Pについては、
のいずれかである。
(2)の場合、三角形の外角と内角の間の大小関係より
(3)の場合も、三角形の外角と内角の間の大小関係より
この結果、次のことがいえる。
このことから、次のようなことがいえる。

上の議論から三角形に外接する円はどのような三角形を取ったとしても常に存在 することが分かった。しかし、四角形に関してはそれに対して外接するような 円は常に存在するわけではない。 一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。

内接する四角形の頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。 このとき、角A,角Cはそれぞれ点B,Dを対応する端点とする円弧に対する円周角となっている。ただし、角Aと角Cは互いに逆の円弧を対応する弧としているため、2つの弧を合わせるとそれらの弧はちょうど円周をおおうことになる。 このため、これらの2つの弧に対応する中心角の和は 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} に対応し、同じ弧に対応する円周角の和は 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} に対応するのである。
また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。
円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より
また、頂点Cにおける外角を ∠ D C E {\displaystyle \angle DCE} とすると、 ∠ D C E + ∠ C = 180 ∘ {\displaystyle \angle DCE+\angle C=180^{\circ }} であるから
円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。
(1)の証明
四角形ABCDで、
とする。
△ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると
(I),(II)より
したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。
よって、四角形ABCDは円に内接する。
(2)の証明
四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を ∠ D C E {\displaystyle \angle DCE} として、
とする。
であるから
四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} であるから、四角形ABCDは円に内接する。

円Oの外の点Aからその円に2本の接線を引ける。その接点をP,Qとするとき、線分AP,AQの長さを、円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の長さという。
2つの接線の長さについて、次のことがいえる。
直角三角形APO,AQOにおいて
(I),(II)より
よって、対応する辺APとAQは等しい。

円周上の点Aを通る接線ATがあって、円周上に2点B,Cをとるとき、 ∠ T A B {\displaystyle \angle TAB} と円周角 ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} の大きさには、次のような関係がある。
∠ T A B {\displaystyle \angle TAB} が鋭角の場合について考える。
直径ADを引くと、 ∠ T A D = 90 ∘ {\displaystyle \angle TAD=90^{\circ }} であるから、
また、ADは直径であるから
∠ B A D {\displaystyle \angle BAD} と ∠ B C D {\displaystyle \angle BCD} は弧BDに対する円周角であるから
(I),(II),(III)より
∠ T A B {\displaystyle \angle TAB} が直角、鈍角の場合についても同様に証明できる。

中心Oとする円について次の定理が成り立つ。

まず、点Eが円の外部にある場合を考える。このとき、直線AB上で点Eに近い点を点B, 直線CD上で点Eに近い点を点Cとおいたとき、三角形ECBと三角形EADが相似であることを 示す。
まず、四角形ABCDは円に内接していることから、
について、
が成立する。これは円に内接する四角形の相対する角の和が 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} になることに よっている。同様にして
が成立し、2角が等しいことから三角形ECBと三角形EADは相似となる。 このことから、
となるが、このことは
に等しい。
次に、点Eが円の内部にある場合を考える。
このとき三角形EADと三角形EBCが互いに相似であることを示す。 最初に
についてこれらが互いの対頂角であることから
が成り立つ。次に、
についてこれらが円周BDの円周角であることから
が成り立つ。よって、2角が等しいことから三角形EADと三角形EBCは 互いに相似である。このことから
となるが、このことは
に等しい。 よって、どちらの場合にも方べきの定理が示された。
また、中心Oとする円の弦と接線について次の定理が成り立つ。
△ P A T {\displaystyle \triangle PAT} と △ P T B {\displaystyle \triangle PTB} において
接弦定理より
だから、 △ P A T {\displaystyle \triangle PAT} と △ P T B {\displaystyle \triangle PTB} は相似
よって、
したがって、
2つの線分AB, CD(またはその延長線)が点Pで交わるとき、PA・PB = PC・PDならば4点A, B, C, Dは同一円周上にある。
PA・PB=PC・PDよりPA:PD=PC:PBが成り立つ。
また、 ∠ A P C = ∠ D P B {\displaystyle \angle APC=\angle DPB} である。
よって、 △ P A C {\displaystyle \triangle PAC} と △ P D B {\displaystyle \triangle PDB} は相似なので、 ∠ P A C = ∠ P D B {\displaystyle \angle PAC=\angle PDB} である。
したがって、円周角の定理の逆より、4点A,B,C,Dは同一円周上にある。
方冪の定理(2)の逆も成り立つ。

2つの円を取ったときこれらはいくつかの仕方で関係する。2つの円の関係は2つの円の中心間の距離と、2円の半径によって定まる。 2円の距離をそれぞれ r 1 {\displaystyle r_{1}} , r 2 {\displaystyle r_{2}} ( r 1 > r 2 {\displaystyle r_{1}>r_{2}} ),中心間の距離を l {\displaystyle l} とすると、2円の位置関係として
がある。
2つの円がただ1つの共有点をもつとき、この2つの円は接するといい、この共有点を接点(せってん、英:point of contact)という。
1つの直線が、2つの円に接しているとき、この直線を、2つの円の共通接線という。

定規・コンパスのみを用いて、与えられた条件を満たす図形を描くことを作図という。ただし、「直線を引く」「円を描く」「コンパスで長さを転写する」以外の操作(定規で長さを測る等)は認められない。 したがって、2つの三角定規を用いて平行線を引くことは上の意味での作図ではない。
これまで学んだ三角形や円の性質を用いることで、さまざまな図形を作図することができる。
作図そのものが大問としてテストや入試に出ることはあまりないが、図形問題を考える際は正確に作図することが大切になってくる。この先、数学II「図形と方程式」や、数学C「ベクトル」においても作図ができないと話にならない。「テストに出ないからほっとく」ではなく、この先の幾何分野で役立てるために、ぜひきちんと学んでほしい。
与えられた直線 l {\displaystyle l} 上にない点Pを通り、 l {\displaystyle l} に平行な直線を作図する。


与えられた線分ABをm:nに内分する点を作図する。

長さ1の線分ABと長さa, bの二つの線分が与えられたとき、長さ b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}} の線分を作図する。
証明 BE=xとする。 BC // EDより1:x=a:bである。 この式を変形すると x = b a {\displaystyle x={\frac {b}{a}}} となる。
上の二つは、値a, bに対して商a/b, 積abの計算を作図で行なっていることになる。
長さ1の線分ABと長さaの線分が与えられたとき、長さ√aの線分を作図する。
証明 方冪の定理より、BA・BC=BD・BE ここで、AB=1, BC=a, BD=BEなのでBD=a^2となり、 BD=√aとなる。


正五角形について、一辺の長さと対角線の長さの比は黄金比1 : φ {\displaystyle \phi } である。ここで、 φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} は黄金数と呼ばれる数である。
長さ2の線分CDが与えられたとき、正五角形ABCDEを作図する。 まずは、対角線ACの長さが1+√5であることを利用して、頂点Aを作図する。

ここでは、空間における直線・平面の位置関係について学ぶ。この内容は数学Cで空間ベクトルを学ぶ際に知っておかなければならない基礎的な知識である。
異なる2直線の位置関係には、
の3つの場合がある。
平面図形と同様、2直線l, mが平行なときl // mのように表す。
2直線l, mが平行でないとき、点Oを通りl, mにそれぞれ平行であるような2直線l', m'を引くと、l', m'は同一平面上にあり、そのなす角は点Oの取り方によらず一定である。この角を2直線l, mのなす角と呼ぶ。
この角が直角であるとき、「lとmは垂直である」といい、l ⊥ mのように表す。 特に、垂直な2直線が交わるとき、それらは「直交する」という。 また、平行な2直線の一方に垂直な直線は他方にも垂直である。

直線lと平面aの位置関係には、
の3つの場合がある。
直線lと平面aが平行であるとき、l // aと表す。
直線lが平面a上の全ての直線に垂直であるとき、直線lは「平面aに垂直」または「平面aに直交」であるといい、l ⊥ aと表す。 特に、直線lが平面a上の交わる2直線m, nに垂直ならば、直線lは平面aに垂直である。

異なる2平面a, bの位置関係には、
の2つの場合がある。
2平面が交わるとき、共有する直線を交線と呼ぶ。 2平面a, bが平行であるとき、a // bと表す。
交わる2平面の交線上の点から各平面上に引いた、交線に垂直な2つの直線のなす角を2平面のなす角と呼ぶ。
2平面a, bのなす角が直角であるとき、a, bは「垂直である」または「直交する」といい、a ⊥ bと書く。

三角柱、四角錐などのように、多角形の面で囲まれた立体を多面体という。
凹みのない多面体を特に凸多面体と呼ぶ。
各面が全て合同な正多角形であり、拡張点に集まる面の数が全て等しい凸多面体を正多面体(プラトンの多面体)という。
正多面体は正四面体、正六面体(立方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体の5種類のみ存在する。
正八面体について、
同様にして、正多面体について面の数・頂点の数・辺の数を計算で求めることができる。

また、一般の多面体について、次のことが言える。
つまり、正多面体の面になる正多角形の一つの内角の大きさは120°よりも小さい。そのような正多角形を考えると、正多面体の面になり得るのは正三角形、正方形、正五角形のみである。
この事実とオイラーの多面体定理を利用して、正多面体が5種類しか存在しないことを証明できる。

余談だが、オイラーの多面体定理に似た式が四次元の正多胞体においても成り立つことが知られている。
多面体から切り取った立体が正多面体であることを利用することで、立体の体積を求めることができる。