統計学基礎/確率分布/連続変数
一様分布

α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } を α < β {\displaystyle \alpha <\beta } を満たす定数とする。 α ≤ x ≤ β {\displaystyle \alpha \leq x\leq \beta } を満たす x {\displaystyle x} に対し、
一様分布

と定める。このとき、
一様分布

を満たすので、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。
一様分布

期待値E(X)は、
一様分布

である。
一様分布

分散V(X)は、
一様分布

である。
正規分布

実数 x {\displaystyle x} に対し、
正規分布

と定める。このとき
正規分布

とすると
正規分布

であり、 x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta } と極座標変換すると d x d y = | cos θ − r sin θ sin θ r cos θ | d r d θ = r d r d θ {\displaystyle dxdy={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}drd\theta =rdrd\theta } なので、
正規分布

である。 I > 0 {\displaystyle I>0} であることと併せて、 I = 1 {\displaystyle I=1} であることがわかる。すなわち、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、(標準)正規分布という。
正規分布

期待値E(X)は、
正規分布

である。
正規分布

分散V(X)は、
正規分布

である。
ガンマ分布

k , λ {\displaystyle k,\lambda } を正の定数とする。正の数 x {\displaystyle x} に対し、
ガンマ分布

と定める。ただし、 Γ ( k ) {\displaystyle \Gamma (k)} はガンマ関数である。このとき、
ガンマ分布

であるから、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。
ガンマ分布

期待値E(X)は、
ガンマ分布

である。
ガンマ分布

分散V(X)は、
ガンマ分布

である。
ベータ分布

a . b {\displaystyle a.b} を正の定数とする。 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} を満たす x {\displaystyle x} に対し、
ベータ分布

と定める。ただし、 B ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {B} (a,b)} はベータ関数である。このとき、
ベータ分布

であるから、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。
ベータ分布

期待値E(X)は、
ベータ分布

であるから、これを整理すると
ベータ分布

が得られる。
ベータ分布

分散V(X)は、
ベータ分布

であるから、これを整理すると
ベータ分布

が得られる。
指数分布

λ {\displaystyle \lambda } を正の定数とする。正の数 x {\displaystyle x} に対し、
指数分布

と定めると、
指数分布

なので、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。
指数分布

期待値E(X)は、
指数分布

である。
指数分布

分散V(X)は、
指数分布

である。
カイ二乗分布

k {\displaystyle k} を正整数の定数とする。正の数 x {\displaystyle x} に対し、
カイ二乗分布

と定める。ただし、 Γ ( k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)} はガンマ関数である。このとき、
カイ二乗分布

なので、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。
カイ二乗分布

期待値E(X)は、
カイ二乗分布

である。
カイ二乗分布

分散V(X)は、
カイ二乗分布

である。
t分布

n {\displaystyle n} を4以上の自然数とする。実数 x {\displaystyle x} に対して、
t分布

と定める。ただし、 Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ関数である。このとき、 x = n − 1 tan θ {\displaystyle x={\sqrt {n-1}}\tan \theta } と置換すると d x = n − 1 cos 2 θ d θ {\displaystyle dx={\frac {\sqrt {n-1}}{\cos ^{2}\theta }}d\theta } なので、
t分布

である。ただし、途中補遺で導いた式
t分布

で a = 1 2 , b = n − 1 2 {\displaystyle a={\frac {1}{2}},b={\frac {n-1}{2}}} とした式を用いた。この計算より、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。
t分布

期待値E(X)は、
t分布

である。
t分布

分散V(X)は、
t分布

である。ここで、 1 + x 2 n − 1 = u − 1 {\displaystyle 1+{\frac {x^{2}}{n-1}}=u^{-1}} とおくと、 x = ( n − 1 ) ( 1 − u ) u {\displaystyle x={\sqrt {\frac {(n-1)(1-u)}{u}}}} であり、 2 x n − 1 d x = − u − 2 d u {\displaystyle {\frac {2x}{n-1}}dx=-u^{-2}du} より d x = − n − 1 2 u − 3 2 ( 1 − u ) − 1 2 d u {\displaystyle dx=-{\frac {\sqrt {n-1}}{2}}u^{-{\frac {3}{2}}}(1-u)^{-{\frac {1}{2}}}du} である。また、 u | x = 0 = 1 , lim x → ∞ u = 0 {\displaystyle u|_{x=0}=1,\lim _{x\to \infty }u=0} である。よって、
t分布

である。ただし、途中補遺で導いた式
t分布

で a = n − 3 2 , b = 3 2 {\displaystyle a={\frac {n-3}{2}},b={\frac {3}{2}}} とした式を用いた。
F分布

d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}} を正整数の定数とし、特に d 2 {\displaystyle d_{2}} は4より大きいとする。正の数 x {\displaystyle x} に対し、
F分布

と定める。ただし、 B ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)} はベータ関数である。
F分布

このとき、 t = d 1 x d 1 x + d 2 {\displaystyle t={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}} と置くと、 t | x = 0 = 0 , lim x → ∞ t = 1 {\displaystyle t|_{x=0}=0,\lim _{x\to \infty }t=1} であり、 d t = d 1 d 2 ( d 1 x + d 2 ) 2 d x = t ( 1 − t ) x d x {\displaystyle dt={\frac {d_{1}d_{2}}{(d_{1}x+d_{2})^{2}}}dx={\frac {t(1-t)}{x}}dx} であることに注意すると、
F分布

なので、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。
F分布

期待値E(X)は、
F分布

である。ここで、先ほどの置換をすると
F分布

であることに注意すると、
F分布

である。
F分布

分散V(X)は、
F分布

である。同様に、先ほどの置換をすると
F分布

である。
パレート分布

a , b {\displaystyle a,b} を a > 2 , b > 0 {\displaystyle a>2,b>0} の定数とする。 x ≥ b {\displaystyle x\geq b} を満たす実数 x {\displaystyle x} に対し、
パレート分布

と定めると、
パレート分布

なので、この f ( x ) {\displaystyle f(x)} は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。
パレート分布

期待値E(X)は、
パレート分布

である。
パレート分布

分散V(X)は、
パレート分布

である。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

正の数 k {\displaystyle k} に対して、積分
補遺：ガンマ関数とベータ関数

をガンマ関数という。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。 I 0 = ∫ 0 1 x k − 1 e − x d x , I 1 = ∫ 1 ∞ x k − 1 e − x d x {\displaystyle I_{0}=\int _{0}^{1}x^{k-1}e^{-x}dx,\ I_{1}=\int _{1}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx} のそれぞれが収束することを示せばよい。 I 0 {\displaystyle I_{0}} については、 0 < x ≤ 1 {\displaystyle 0<x\leq 1} において e − x < 1 {\displaystyle e^{-x}<1} より x k − 1 e − x < x k − 1 {\displaystyle x^{k-1}e^{-x}<x^{k-1}} であり、 ∫ 0 1 x k − 1 d x = 1 k {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{k-1}dx={\frac {1}{k}}} であるから、 I 0 {\displaystyle I_{0}} は収束する。 I 1 {\displaystyle I_{1}} については、 lim x → ∞ x k − 1 e − x 2 = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{k-1}e^{-{\frac {x}{2}}}=0} であることに注意すると、ある正の数 M {\displaystyle M} が存在して 1 ≤ x {\displaystyle 1\leq x} において x k − 1 e − x 2 < M {\displaystyle x^{k-1}e^{-{\frac {x}{2}}}<M} であるから、 x k − 1 e − x < M e − x 2 {\displaystyle x^{k-1}e^{-x}<Me^{-{\frac {x}{2}}}} であり、 ∫ 1 ∞ M e − x 2 d x = 2 M e {\displaystyle \int _{1}^{\infty }Me^{-{\frac {x}{2}}}dx={\frac {2M}{\sqrt {e}}}} であるから、 I 1 {\displaystyle I_{1}} は収束する。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

ガンマ関数について、
補遺：ガンマ関数とベータ関数

が成り立つ。このことと、
補遺：ガンマ関数とベータ関数

であることを合わせると、自然数 n {\displaystyle n} に対しては
補遺：ガンマ関数とベータ関数

であることがわかる。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

正の数 a , b {\displaystyle a,b} に対して、積分
補遺：ガンマ関数とベータ関数

をベータ関数という。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

この積分は一見すると通常の積分であるが、 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} または 0 < b < 1 {\displaystyle 0<b<1} のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。 I 0 = ∫ 0 1 2 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x , I 1 = ∫ 1 2 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x {\displaystyle I_{0}=\int _{0}^{\frac {1}{2}}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx,\ I_{1}=\int _{\frac {1}{2}}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx} のそれぞれが収束することを示せばよい。 I 0 {\displaystyle I_{0}} については、 0 < x ≤ 1 2 {\displaystyle 0<x\leq {\frac {1}{2}}} において ( 1 − x ) b − 1 < 2 {\displaystyle (1-x)^{b-1}<2} より x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 < 2 x a − 1 {\displaystyle x^{a-1}(1-x)^{b-1}<2x^{a-1}} であり、 ∫ 0 1 2 2 x a − 1 d x = 1 2 a − 1 a {\displaystyle \int _{0}^{\frac {1}{2}}2x^{a-1}dx={\frac {1}{2^{a-1}a}}} であるから、 I 0 {\displaystyle I_{0}} は収束する。 I 1 {\displaystyle I_{1}} については、 1 2 ≤ x < 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\leq x<1} において x a − 1 < 2 {\displaystyle x^{a-1}<2} より x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 < 2 ( 1 − x ) b − 1 {\displaystyle x^{a-1}(1-x)^{b-1}<2(1-x)^{b-1}} であり、 ∫ 1 2 1 2 ( 1 − x ) b − 1 d x = 1 2 b − 1 b {\displaystyle \int _{\frac {1}{2}}^{1}2(1-x)^{b-1}dx={\frac {1}{2^{b-1}b}}} であるから、 I 1 {\displaystyle I_{1}} は収束する。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

ガンマ関数とベータ関数の間には、
補遺：ガンマ関数とベータ関数

という関係式が成り立つ。
補遺：ガンマ関数とベータ関数

ここで、得られた関係式に a = 2 , b = 2 {\displaystyle a=2,b=2} を代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ
補遺：ガンマ関数とベータ関数

であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、
補遺：ガンマ関数とベータ関数

なども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。