プログラミング/浮動小数点数
プログラミングにおいて、数値を扱うことは非常に重要です。しかし、数値の表現にはいくつかの種類があり、それぞれに特徴があります。本章では、その中でも特に重要な浮動小数点数について解説します。
導入

浮動小数点数とは、小数点以下の数値が、固定された桁数で表現されるのではなく、指数部と仮数部の形式で表現される数値のことを指します。 このような表現方法により、非常に広い範囲の数値を表現することができます。
導入

浮動小数点数を使用する理由には、いくつかの利点があります。
導入

まず、浮動小数点数は多様な値を表現できるため、整数だけでなく小数や非常に大きな値や小さな値など、様々な値を正確に表現することができます。このため、現実世界の多くの問題に対してより正確な数値計算を行うことができます。
導入

また、浮動小数点数を使用すると数値計算を効率的に実行することができます。これは、多くの場合、コンピューターのハードウェアが浮動小数点数の計算を最適化するように設計されているためです。
導入

さらに、浮動小数点数はエラーを減少させることができます。たとえば、数値が非常に大きな値になると整数ではオーバーフローする可能性がありますが、浮動小数点数では正確に表現することができます。
導入

浮動小数点数はIEEE 754規格に基づいて標準化されており、さまざまなプログラムやシステムで同じ方法で数値計算を実行することができます。
導入

以上のように、浮動小数点数は正確な数値計算、効率的な数値計算、エラーの減少、標準化された数値表現など、多くの利点を持っています。これらの理由から、プログラミングにおいて浮動小数点数を使用することが一般的になっています。
導入

浮動小数点数には、IEEE 754規格による表現方法が一般的です。この規格では、浮動小数点数を32ビットまたは64ビットの二進数で表現することができます。 IEEE 754規格では、浮動小数点数を表現するために、符号ビット、指数部、仮数部の3つの要素が使用されます。符号ビットは、浮動小数点数が正または負であるかを示すために使用されます。指数部は、浮動小数点数の位置を決定するために使用され、仮数部は、実際の数値を表現するために使用されます。
導入

浮動小数点数の表現方法にはいくつかの種類があり、代表的なものには以下のものがあります。
導入

IEEE 754規格では、浮動小数点数の正確性を制限することがあります。たとえば、32ビットの浮動小数点数では、有効桁数は約7桁から9桁であり、64ビットの浮動小数点数では、有効桁数は約15桁から17桁です。この制限は、浮動小数点数が非常に大きな値または非常に小さな値を表す場合に特に問題があります。
導入

したがって、プログラマは、浮動小数点数を使用する前に、その制限を理解し、浮動小数点数の表現方法が正確にどのように機能するかを理解する必要があります。また、計算の結果が浮動小数点数として表現される場合、その制限を考慮して、正確な結果を得るために適切な処理を行う必要があります。
基本概念

浮動小数点数は、コンピュータにおいて実数を扱うための方式の一つです。実数は有限桁の数値あるいは有理数で表現されますが、有限の桁数では正確に表現できない数があります。そのため、浮動小数点数では有効桁数を限定し、近似的に実数を表現します。
基本概念

浮動小数点数は、符号、仮数、指数の3つの要素から構成されます。符号は正または負を表し、仮数は小数部分を、指数は10のべき乗を表します。これらの要素を組み合わせて、実数を表現します。
基本概念

浮動小数点数は、IEEE 754規格に基づいて標準化されています。この規格では、32ビットまたは64ビットのビット列を使って浮動小数点数を表現します。32ビットの場合、符号は1ビット、指数は8ビット、仮数は23ビットで表現されます。64ビットの場合は、符号は1ビット、指数は11ビット、仮数は52ビットで表現されます。
基本概念

浮動小数点数は、実数を近似的に表現するため、演算誤差が生じる可能性があります。例えば、0.1という数値は10進数で正確に表現できますが、2進数で表現する場合には循環小数になります。そのため、浮動小数点数では0.1を完全に表現することができず、近似値で表現することになります。このような演算誤差を考慮しながら、プログラミングで浮動小数点数を扱うことが重要です。
基本概念

浮動小数点数を理解するためには、10進数と2進数の変換を理解することが必要です。以下は、その基本概念について説明します。
基本概念

10進数とは、0から9までの数字を使って数を表現する方法です。例えば、123や3.14のような数は、10進数で表現されます。
基本概念

一方、2進数とは、0と1の2つの数字を使って数を表現する方法です。例えば、10進数の5は2進数で101と表現されます。
基本概念

10進数から2進数への変換方法は、以下のようになります。
基本概念

上記の手順を商が0になるまで繰り返す。
基本概念

例えば、10進数の5を2進数に変換すると、以下のようになります。
基本概念

よって、10進数の5は2進数で101と表現されます。
基本概念

2進数から10進数への変換方法は、以下のようになります。
基本概念

例えば、2進数の101を10進数に変換すると、以下のようになります。
基本概念

よって、2進数の101は10進数の5に相当します。
基本概念

浮動小数点数は、計算機科学における数値表現の一種であり、非整数の数値を表すために用いられます。浮動小数点数は、仮数部と指数部に分けられた、以下のような形式で表現されます。
基本概念

例えば、以下のような数値があった場合、浮動小数点数の形式で表現することができます。
基本概念

この数値を2進数で表現すると、
基本概念

となります。この数値を浮動小数点数の形式で表現すると、
基本概念

となります。この場合、符号が0であるため正数を表し、仮数部は1011010111100000101000111101011100001010010100011111、指数部は2の-10乗を表します。
基本概念

IEEE 754規格に基づく浮動小数点数の表現は、浮動小数点数をビットパターンで表現するための標準的な方法です。この規格は、ほとんどのコンピュータやプログラミング言語で採用されており、浮動小数点数の表現に関する一貫性を提供しています。
基本概念

浮動小数点数は、符号ビット、指数ビット、仮数ビットで構成されます。符号ビットは、正の数の場合は0、負の数の場合は1になります。指数ビットは、浮動小数点数の指数を表現するために使用されます。仮数ビットは、浮動小数点数の仮数を表現するために使用されます。
基本概念

浮動小数点数の表現には、正規化された表現と非正規化された表現があります。正規化された表現は、仮数の先頭ビットが1である場合に使用され、指数部の最大値と最小値を持つことができます。非正規化された表現は、仮数の先頭ビットが0である場合に使用され、指数部が最小値の場合にのみ表現できます。
基本概念

また、IEEE 754規格では、ケチ表現と呼ばれる特別な値も定義されています。これには、正の無限大、負の無限大、NaN(非数)などが含まれます。正の無限大は、指数部が最大値で、仮数部がすべてのビットが1である特別な値です。負の無限大は、符号ビットが1で、指数部が最大値で、仮数部がすべてのビットが1である特別な値です。NaNは、無効な演算の結果として生成される特別な値で、指数部が最大値で、仮数部の先頭ビットが1である場合に定義されます。
基本概念

最後に、浮動小数点数の表現には、隠れた0という概念もあります。これは、正規化された表現の場合に、仮数部の先頭に1があることを意味します。つまり、仮数部の先頭の1は、実際には浮動小数点数の表現に含まれていないため、隠れた0と呼ばれます。
精度と誤差

浮動小数点数は、計算機科学における数値表現の一種で、実数を近似的に表現するために使用されます。浮動小数点数は、整数部と小数部を持ち、基本的には次の形式で表されます。
精度と誤差

ここで、a は仮数部、b は基数、c は指数です。これは、10進数で表された数値であり、2進数で表現される場合もあります。
精度と誤差

浮動小数点数の精度について、浮動小数点数は有限桁数で表現されるため、実数を完全に表現することはできません。浮動小数点数は、有限桁数で近似的に表現されるため、数値表現の精度が限定されます。つまり、小数点以下の桁数が多くなるほど、浮動小数点数の精度は低下します。
精度と誤差

丸め誤差と桁落ち誤差は、浮動小数点数表現の誤差の主な原因です。丸め誤差は、浮動小数点数の表現において、有限桁数で表現されるため、正確な値と近似値との差によって生じます。桁落ち誤差は、非常に大きな数値と非常に小さな数値を引いた場合に生じます。この場合、小数点以下の桁が失われ、精度が低下します。
精度と誤差

浮動小数点数の誤差を最小化する方法には、いくつかの方法があります。例えば、計算を実行する前に、データ型と変数の選択に十分注意を払い、必要な精度を確保することが重要です。また、丸め誤差を最小限に抑えるためには、数値表現の桁数を増やすことができます。最後に、桁落ち誤差を最小限に抑えるためには、代わりに加算を行うことができます。具体的には、代数的変形を使用して、値を表現するために使用される式を変更することができます。
演算

浮動小数点数は、計算機上で数値を表現するための方法の1つであり、実数を近似して表現します。浮動小数点数の四則演算には、以下の基本原則があります。
演算

以上が、浮動小数点数の四則演算の基本原則です。浮動小数点数を扱う際には、これらの原則に注意して、正確な計算を行うようにしましょう。
演算

浮動小数点数の演算結果は、丸めモードによって異なる可能性があります。丸めモードには、次の4つのモードがあります。
演算

最近接丸めは、演算結果を最も近い整数に丸めます。このモードが最も一般的に使用されます。ゼロに向かって丸める場合、結果は演算によって得られる最大の整数または最小の整数になります。正の無限大または負の無限大に向かって丸める場合、結果は正の無限大または負の無限大になります。
演算

浮動小数点数の特殊な値には以下のようなものがあります。
演算

NaN (Not a Number)は、数値として解釈できない値を表すために使用されます。 0/0 や ∞/∞ などの不定形や未定義の数値演算の結果、または実数で表現できない数値、例えば √-1 などが含まれます。 NaN は、数値に対する演算の結果としても得られることがあります。 NaN は、どのような演算をしても NaN を返します。 NaN は、浮動小数点数の比較演算においては常に false として扱われます。
演算

NaNには、"quiet NaN"と "signaling NaN"の2種類があります。
演算

"quiet NaN"は、算術演算に使用してシグナルが発生しないNaN値です。通常、初期化されていない値や未定義の値を表す場合や、不確定な計算結果を表す場合に使用されます。
演算

一方、"signaling NaN" は、算術演算に使用されたときにシグナルを発生するNaN値です。このシグナルは、不正な演算や境界外メモリアクセスなどの問題をプログラムに警告するために使用することができる。
演算

一般に、"quiet NaN" は "signaling NaN" よりも使用頻度が高く、プログラムにおいて予期せぬ動作を引き起こす可能性が低いからです。しかし、どちらのNaNも浮動小数点演算のエラーを検出し処理するために重要です。
演算

NaNのペイロードとは、NaNを含むデータの表現方法のことです。IEEE 754規格に従った浮動小数点数では、NaNを表すために特別なビットパターンが定義されています。これは、指数部が全て1であり、仮数部が0でない任意のビットパターンであるというものです。このビットパターンは、NaNを表すために使用されます。
演算

例えば、64ビットの浮動小数点数のNaNのペイロードは、次のように表されます。
演算

このように、NaNは特殊な値であり、そのペイロードも特殊なビットパターンで表されます。
演算

プログラミング言語は、NaNをどのように扱うかについて異なる方法を取ることがあります。以下は、一部のプログラミング言語のNaNの扱いに関する概要です。
演算

これらのプログラミング言語は、NaNを扱うための関数や演算子を提供していることがあります。例えば、Pythonではmath.isnan(x)関数を使用して、xがNaNかどうかをチェックできます。また、C/C++ではisnan(x)マクロを使用して、xがNaNかどうかをチェックできます。
演算

Inf (Infinity)は、正の無限大を表すために使用されます。例えば、1/0 のような演算の結果が Inf になります。Inf は、どのような数値とも比較演算ができますが、Inf と NaN を比較することはできません。
演算

-Inf (Negative Infinity)は、負の無限大を表すために使用されます。例えば、-1/0 のような演算の結果が -Inf になります。-Inf も Inf と同様に扱われます。
演算

-0 (Negative zero)は、負の値をゼロに丸めた場合に得られます。 -0 は、0 と比較演算をすると等しくなりますが、一方で負の数として扱われます。 たとえば、1/-0は-Inf(負の無限大)です。
演算

0 (Positive zero)は、正の値をゼロに丸めた場合に得られ、正の数として扱われます。 たとえば、1/0はInf(正の無限大)です。
演算

これらの特殊な値は、プログラムの実行中に特別な意味を持ちます。NaN は、特別なエラー状態を示すために使用されることがあります。Inf と -Inf は、無限大を表すために使用され、計算結果が限りなく大きくなった場合に返されます。また、0 と -0 は、数値計算において特定の条件分岐に使われることがあります。
実践的な使用例

浮動小数点数は、様々な分野で広く使用されています。以下に、浮動小数点数が使用される主な分野とその応用例を紹介します。
代表的なプログラミング言語の浮動小数点数のサポート状況とその特徴

浮動小数点数は、多くのプログラミング言語でサポートされています。
代表的なプログラミング言語の浮動小数点数のサポート状況とその特徴

以下に、代表的なプログラミング言語の浮動小数点数のサポート状況とその特徴を紹介します。
浮動小数点数の注意点

浮動小数点数と整数を比較する場合には、両者の表現方法の違いにより、思わぬ結果になることがあります。例えば、次のようなコードを考えてみましょう。
浮動小数点数の注意点

このコードを実行すると、予想通り、「a and b are equal」という結果が表示されるはずです。しかし、実際には、次のように「a and b are not equal」と表示されることがあります。この原因は、0.1や0.3といった数値が浮動小数点数として表現された際に、完全な値として表現できないため、計算結果に誤差が生じることにあります。
浮動小数点数の注意点

この問題を回避するためには、浮動小数点数の比較には誤差を許容した方法を使う必要があります。たとえば、次のように書き換えることができます。
浮動小数点数の注意点

math.isclose()関数を使うことで、2つの数を精度の範囲で一致性を確認できます。