一般力学/ベクトルの加法
§2 ベクトルの加法
二つのベクトル A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } が与えられたとき,
なる成分を有するベクトル C {\displaystyle \mathbf {C} } を A {\displaystyle \mathbf {A} } と B {\displaystyle \mathbf {B} } の和といい, 記号的に C = A + B {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} } と記す. A = O A → , B = O B → {\displaystyle \mathbf {A} ={\vec {\mathrm {O} \mathrm {A} }},\quad \mathbf {B} ={\vec {\mathrm {O} \mathrm {B} }}} とすれば, C {\displaystyle \mathbf {C} } は O A , O B {\displaystyle \mathrm {O} \mathrm {A} ,\mathrm {O} \mathrm {B} } を相隣れる二辺とする平行四辺形の対角線 O C → {\displaystyle {\vec {\mathrm {O} \mathrm {C} }}} に等しい.或いは A = O A → {\displaystyle \mathbf {A} ={\vec {\mathrm {O} \mathrm {A} }}} の終点から A C → = B {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} \mathrm {C} }}=\mathbf {B} } なるベクトルを作れば O C → = C {\displaystyle {\vec {\mathrm {O} \mathrm {C} }}=\mathbf {C} } なることが容易に証明される.
A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } が与えられたとき A + B = C {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {C} } なるベクトルを作ることを A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } を加えるまたは合成する, 逆に C {\displaystyle \mathbf {C} } が与えられたとき C = A + B {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} } なるベクトル A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } を求めることを C {\displaystyle \mathbf {C} } を分解するといい, C {\displaystyle \mathbf {C} } を合ベクトル, A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } を分ベクトルと呼ぶ.
(2.1)の定義から,ベクトルの加算についても,数の加え算と同様に次の関係が成り立つことがわかる:
最後の関係により,多くのベクトル A , B , C , ⋯ {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\cdots } を加えたものが一義的に定まることが知れる. R = A + B + C + ⋯ {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {A} +\mathbf {B} +\mathbf {C} +\cdots } を A , B , C , ⋯ {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\cdots } の合ベクトルという.
加え算の記号を用いれば,任意のベクトル v {\displaystyle \mathbf {v} } を x , y , z {\displaystyle x,y,z} 方向の三つのベクトル v x , v y , v z {\displaystyle \mathbf {v_{x}} ,\mathbf {v_{y}} ,\mathbf {v_{z}} } の和として表すことができる: v = v x + v y + v z {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v_{x}} +\mathbf {v_{y}} +\mathbf {v_{z}} } .
或いは x , y , z {\displaystyle x,y,z} 方向の正の方向の単位ベクトルを i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } とすれば (1.6)により v x = v x i , v y = v y j , v z = v z k {\displaystyle \mathbf {v_{x}} =v_{x}\mathbf {i} ,\quad \mathbf {v_{y}} =v_{y}\mathbf {j} ,\quad \mathbf {v_{z}} =v_{z}\mathbf {k} } であるから,
i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } を基本ベクトルと呼ぶ.
i , j {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} } を定めたとき k {\displaystyle \mathbf {k} } の向き即ち z − {\displaystyle z-} 軸の正の向きの取り方に二通りあるが, ここではいわゆる右手系,即ち i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } が右手の親指,人さし指,中指の向きになっているものを採用する ( k {\displaystyle \mathbf {k} } の向きがこれと逆のものは左手系という).
A − B {\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} } は A = B + C {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} +\mathbf {C} } となるようなベクトル C {\displaystyle \mathbf {C} } として定義される.従って C {\displaystyle \mathbf {C} } は A + ( − B ) {\displaystyle \mathbf {A} +(-\mathbf {B} )} に等しい.
我々はベクトルの加法を上記の如く定義した.然るに諸種の物理量の合成は,一般にこれと独立にその量に特有な定義を持つことが多い.この二つの定義が同値でないものに対してはベクトル算法の実用的価値が少ない.故にベクトル量については個々にその合成則がベクトル加法に一致するか否かを調べる必要がある.或る量の合成則は必ず一つに限るわけではないが,少なくともその中の一つがベクトル加法と一致しないものは,ベクトル量の中から除く方がよい.よってベクトル量は向きを持った線分で代表され,その合成則がベクトル加法に従うものと定義するのが正確である.
例(i) 変位 {\displaystyle \quad } 運動点 P {\displaystyle \mathrm {P} } が空間 A {\displaystyle \mathrm {A} } から B {\displaystyle \mathrm {B} } へ移動したとき, その変位はベクトル A B → {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} \mathrm {B} }}} で表される. P {\displaystyle \mathrm {P} } が更に B C → {\displaystyle {\vec {\mathrm {B} \mathrm {C} }}} なる変位により C {\displaystyle C} へ動いたとすれば, 二つの変位 A B → , B C → {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} \mathrm {B} }},{\vec {\mathrm {B} \mathrm {C} }}} を続けて行った結果は一つの変位 A C → {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} \mathrm {C} }}} と同じ意味になる.よって合成の意味を上のように解釈すれば,変位は一つのベクトル量である. A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } の位置ベクトルをそれぞれ r 1 , r 2 {\displaystyle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} } とすれば A B → = r 2 − r 1 {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} \mathrm {B} }}=\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} } と書かれる.
例(ii) 平行六面体の相隣れる二面を表すベクトルの和 {\displaystyle \quad } この場合にはベクトルの合成が直接の意味を持たない.寧ろその定義をベクトル加法から与えるのである.
二面 O A F B , O A E C {\displaystyle \mathrm {O} \mathrm {A} \mathrm {F} \mathrm {B} ,\mathrm {O} \mathrm {A} \mathrm {E} \mathrm {C} } を表すベクトルを S 1 , S 2 {\displaystyle \mathbf {S_{1}} ,\mathbf {S_{2}} } とし S 1 + S 2 {\displaystyle \mathbf {S_{1}} +\mathbf {S_{2}} } を求める. A , O {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {O} } を通って O A {\displaystyle \mathrm {O} \mathrm {A} } に垂直な面 A F ′ G ′ E ′ , O B ′ D ′ C ′ {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {F'} \mathrm {G'} \mathrm {E'} ,\mathrm {O} \mathrm {B'} \mathrm {D'} \mathrm {C'} } を作れば, S 1 , S 2 {\displaystyle \mathbf {S_{1}} ,\mathbf {S_{2}} } はまた O A F ′ B ′ , O A E ′ C ′ {\displaystyle \mathrm {O} \mathrm {A} \mathrm {F'} \mathrm {B'} ,\mathrm {O} \mathrm {A} \mathrm {E'} \mathrm {C'} } の代表ベクトルであって, これを O A {\displaystyle \mathrm {O} \mathrm {A} } の方向からみれば次図のようになる.
S 1 , S 2 {\displaystyle \mathbf {S_{1}} ,\mathbf {S_{2}} } はそれぞれ A F ′ , A E ′ {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {F'} ,\mathrm {A} \mathrm {E'} } に垂直で,その大きさは S 1 = O A ̄ × A F ′ ̄ , S 2 = O A ̄ × A E ′ ̄ {\displaystyle S_{1}={\overline {\mathrm {O} \mathrm {A} }}\times {\overline {\mathrm {A} \mathrm {F'} }},S_{2}={\overline {\mathrm {O} \mathrm {A} }}\times {\overline {\mathrm {A} \mathrm {E'} }}} である. S 1 = A P → , S 2 = A Q → {\displaystyle \mathbf {S_{1}} ={\vec {\mathrm {A} \mathrm {P} }},\mathbf {S_{2}} ={\vec {\mathrm {A} \mathrm {Q} }}} を相隣れる二辺とする平行四辺形 A P R Q {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} \mathrm {R} \mathrm {Q} } を作れば、これは ◻ A F ′ G ′ E {\displaystyle \square \mathrm {AF'G'E} } を全体 O A ̄ {\displaystyle {\overline {OA}}} 倍 して 90 {\displaystyle 90} °回転したものである.故に A R → = S = S 1 + S 2 {\displaystyle {\vec {\mathrm {AR} }}=\mathbf {S} =\mathbf {S_{1}} +\mathbf {S_{2}} } の大きさは O A ̄ × A G ′ ̄ {\displaystyle {\overline {OA}}\times {\overline {AG'}}} 即ち ◻ O A G D {\displaystyle \square \mathrm {OAGD} } の面積に等しく ,方向はこれに垂直,向きを考えればこれが ◻ O A G D {\displaystyle \square \mathrm {OAGD} } の代表ベクトルであることがわかる.よって 平行六面体の相隣れる二面を表すベクトルの和はその共通の陵を含む対角面の:代表ベクトルに等しい