線型代数学/線型方程式の解
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このページでは、線型方程式序論で書いたような線型方程式の解の求め方や、その性質について議論する。
線型方程式の解

線型方程式序論で書いたように、
線型方程式の解

という線型方程式は、 A = ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , n ) , x = ( x 1 ⋮ x n ) , b = ( b 1 ⋮ b m ) {\displaystyle \ A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}},\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}} を用いて、
線型方程式の解

ここで、 A ~ = ( A b ) , x ~ = ( x − 1 ) {\displaystyle {\tilde {A}}={\begin{pmatrix}\ A&\mathbf {b} \\\end{pmatrix}},\mathbf {\tilde {x}} ={\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\-1\\\end{pmatrix}}} とおくと、 A ~ x ~ = 0 {\displaystyle {\tilde {A}}\mathbf {\tilde {x}} =\mathbf {0} } は、 ( A b ) ( x − 1 ) = A x − b = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}\ A&\mathbf {b} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\-1\\\end{pmatrix}}=A\mathbf {x} -\mathbf {b} =\mathbf {0} } となり、移項すれば、 A x = b {\displaystyle \ A\mathbf {x} =\mathbf {b} } である。 つまり、方程式 A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } は、
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と書きなおせる。このとき、 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} を拡大係数行列という。
線型方程式の解

次に、この方程式を解く際にどのような操作が許されるか考えよう。
線型方程式の解

まず、基本行列を左からかける、つまり左基本変形に対して方程式 A ~ x ~ = 0 {\displaystyle {\tilde {A}}\mathbf {\tilde {x}} =\mathbf {0} } の解が不変であることは明らかであろう。この操作は、高校までの連立方程式を解くときの操作に対応している。
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これ以外の操作として、第n+1列を除いた列の交換を考えてみよう。
線型方程式の解

第i列と第j列を入れ替えたとき、元の方程式と同値な方程式を得るには未知数 x i {\displaystyle \ x_{i}} と未知数 x j {\displaystyle \ x_{j}} を入れ替えればよい。
線型方程式の解

実際、
線型方程式の解

であるから、 P ( i , j ) x ~ {\displaystyle \ P(i,j)\mathbf {\tilde {x}} } が分かれば、これの第i行と第j行を入れ替えるだけで、元の方程式の解になる。
線型方程式の解

この操作は足し算の順番を入れ替えることに対応している。
線型方程式の解

ここで、上の式と同様にして Q ∈ M ( n ; K ) {\displaystyle \ Q\in \ M(n;\mathbf {K} )} が正則だとすると、
線型方程式の解

となるので、 Q − 1 x ~ {\displaystyle \ Q^{-1}\mathbf {\tilde {x}} } を求めてもよいのだが、 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} を右基本変形するたびにその行列を記録してあとからその積を求めなければならない。なので、上に書いた操作だけで求められるのならそちらの方がよいことはわかるであろう。
線型方程式の解

以上をまとめて、
線型方程式の解

という操作だけを許すことにしよう。
線型方程式の解

定理
線型方程式の解

A ~ x ~ = 0 {\displaystyle {\tilde {A}}\mathbf {\tilde {x}} =0} は上の2種類の操作によって以下の形にできる。
線型方程式の解

ここで、 r = r a n k ( A ) , y 1 , ⋯ , y n {\displaystyle \ r=\ rank(A),\ y_{1},\cdots ,y_{n}} は x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle \ x_{1},\cdots ,x_{n}} と1対1に対応している。
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(証明)証明方法は階数のページのものとほとんど同じである。
線型方程式の解

A = 0 {\displaystyle \ A=0} のときは求めたい形になっている。
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A ≠ 0 {\displaystyle \ A\neq 0} のとき a i , j ≠ 0 {\displaystyle \ a_{i,j}\neq 0} であったとすると、第i行の − a k , j a i , j {\displaystyle {\frac {-a_{k,j}}{a_{i,j}}}} 倍を第k行に加えることで
線型方程式の解

を得る。次に第i行を 1 a i , j {\displaystyle {\frac {1}{a_{i,j}}}} 倍して第1行と第i行を入れ替え、さらに第1列と第j列を入れ替えることで、
線型方程式の解

を得る。ここで、 e 1 = ( 1 0 ⋮ 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}}
線型方程式の解

以下 A ′ ≠ 0 {\displaystyle \ A'\neq \mathbf {0} } なら、同様の操作を繰り返せば帰納的に求めたい形になる。
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また、
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は A {\displaystyle \ A} に基本変形を施して得られたものであるから、 r = r a n k ( A ) {\displaystyle \ r=\ rank(A)} でなければならない□
線型方程式の解

この式を連立方程式の形に書きなおすと、
線型方程式の解

これから、次の定理が成り立つことが分かる。
線型方程式の解

定理
線型方程式の解

(証明)
線型方程式の解

に関しては、 y i = d i ( 1 ≤ i ≤ r ) , y r + 1 = ⋯ = y n = 0 {\displaystyle \ y_{i}=d_{i}(1\leq i\leq r),\ y_{r+1}=\cdots =y_{n}=0} が解となっている。
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その他は自明であろう□
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上の連立方程式の形から、
線型方程式の解

( y 1 y 2 ⋮ y r ) = ( d 1 d 2 ⋮ d r ) + y r + 1 ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋮ − c r , 1 ) + ⋯ + y n ( − c 1 , n − r − c 2 , n − r ⋮ − c r , n − r ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{r}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\\vdots \\d_{r}\end{pmatrix}}+y_{r+1}{\begin{pmatrix}-c_{1,1}\\-c_{2,1}\\\vdots \\-c_{r,1}\end{pmatrix}}+\cdots +y_{n}{\begin{pmatrix}-c_{1,n-r}\\-c_{2,n-r}\\\vdots \\-c_{r,n-r}\end{pmatrix}}}
線型方程式の解

α r + 1 , ⋯ , α n ∈ K {\displaystyle \alpha _{r+1},\cdots ,\alpha _{n}\in \mathbf {K} } を任意の数とし、 y r + 1 = α r + 1 , ⋯ , y n = α n {\displaystyle y_{r+1}=\alpha _{r+1},\cdots ,y_{n}=\alpha _{n}} とすると、
線型方程式の解

y = ( y 1 y 2 ⋮ y r y r + 1 ⋮ y n ) = ( d 1 d 2 ⋮ d r 0 ⋮ 0 ) + α r + 1 ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋮ − c r , 1 1 0 ⋮ 0 ) + ⋯ + α n ( − c 1 , 1 − c 2 , 1 ⋮ − c r , 1 0 ⋮ 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{r}\\y_{r+1}\\\vdots \\y_{n}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\\vdots \\d_{r}\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}+\alpha _{r+1}{\begin{pmatrix}-c_{1,1}\\-c_{2,1}\\\vdots \\-c_{r,1}\\1\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}+\cdots +\alpha _{n}{\begin{pmatrix}-c_{1,1}\\-c_{2,1}\\\vdots \\-c_{r,1}\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{pmatrix}}}
線型方程式の解

未知数 y 1 , ⋯ , y n {\displaystyle y_{1},\cdots ,y_{n}} を並び換えて、 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}} の順番にすれば A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} } の一般解となる。