高等学校数学III/極限
ここでは、極限について学ぶ。微分・積分の考えでは簡単な関数の極限について学んだが、ここでは数列の極限、さらには無理関数や三角関数などの関数の極限について学ぶ。極限は微分積分の基礎となっており重要である。
数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が有限個の項しかもたないとき、有限数列といい、項が限りなく続くとき無限数列という。ここでは無限数列を考えるから断りがない場合、無限数列を単に数列と書くことにする。
数列の極限

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} において、項の番号 n {\displaystyle n} が限りなく大きくなっていくとき、 a n {\displaystyle a_{n}} がある一定の値 α {\displaystyle \alpha } に限りなく近づいていくならば、数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は α {\displaystyle \alpha } に収束するといい、
数列の極限

または簡単に
数列の極限

とかく。また、 α {\displaystyle \alpha } をこの数列の極限値という。
数列の極限

収束する数列には次のような性質がある。 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} , { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} において, lim n → ∞ a n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha } , lim n → ∞ b n = β {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta } とすると、
数列の極限

数列には収束しないものがある。たとえば
数列の極限

は収束しない。収束しない数列は発散(はっさん) するという。発散する数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} で n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき項 a n {\displaystyle a_{n}} の値が限りなく大きくなるときこの数列は正の無限大(せい の むげんだい) に発散するといい、「その極限は正の無限大である」のようにいう。このことを次のように表す。
数列の極限

逆に n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき、項 a n {\displaystyle a_{n}} が負の値でその絶対値が限りなく大きくなるときこの数列は負の無限大 に発散するといい、その極限は負の無限大であるという。このことを次のように表す。
数列の極限

発散する数列には次のようなものもある。
数列の極限

いずれの数列も正の無限大にも負の無限大にも発散しない。このような数列を振動(しんどう) するという。このときもこの数列には極限値が存在しない。
数列の極限

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} , { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} について、 n {\displaystyle n} が十分に大きいとき常に a n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}} を満たしていて、 lim n → ∞ a n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha } かつ { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} の極限値も存在するならば、
数列の極限

となる。
数列の極限

これを証明するためには、「限り無く近づく」という言葉の、数学的な意味を明確にする必要がある。初学者には難解な証明であるため、高校数学では直感的に成り立ちそうなことを理解してほしい。参考として、以下に証明の一例を挙げておく。
数列の極限

α > lim n → ∞ b n {\displaystyle \alpha >\lim _{n\to \infty }b_{n}} と仮定すると、 α − lim n → ∞ b n = ε ′ > 0 {\displaystyle \alpha -\lim _{n\to \infty }b_{n}=\epsilon '>0} である。
数列の極限

b n {\displaystyle b_{n}} は限りなく α − ε ′ / 2 {\displaystyle \alpha -\epsilon '/2} より小さい数に近づくから、 n {\displaystyle n} が十分大きいときは常に b n < α − ε ′ / 2 {\displaystyle b_{n}<\alpha -\epsilon '/2} となる。
数列の極限

a n {\displaystyle a_{n}} は限りなく α {\displaystyle \alpha } に近づくため、任意の正の数 ε {\displaystyle \epsilon } に対して、十分大きな数 N {\displaystyle N} であって、 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ならば常に α − a n < ε {\displaystyle \alpha -a_{n}<\epsilon } が成り立つようなものが存在するはずである。いま、 a n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}} であったから、十分大きな n {\displaystyle n} では常に b n ≥ α − ε {\displaystyle b_{n}\geq \alpha -\epsilon } となる。
数列の極限

ε {\displaystyle \epsilon } は任意の正の数であったから、 ε = ε ′ / 2 {\displaystyle \epsilon =\epsilon '/2} とすると、十分大きな n {\displaystyle n} について矛盾する式が成立することになる。したがって、背理法により α ≤ lim n → ∞ b n {\displaystyle \alpha \leq \lim _{n\to \infty }b_{n}} である。■
数列の極限

興味を持った人は大学1年生程度を対象とする微分積分学の教科書を参照してほしい。例えば、解析学基礎など。
数列の極限

次に、はさみうちの原理 を紹介する。
数列の極限

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} , { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} , { c n } {\displaystyle \{c_{n}\}} について、 n {\displaystyle n} が十分に大きいとき常に a n ≤ b n ≤ c n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}} を満たしていて、 lim n → ∞ a n = lim n → ∞ c n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=\alpha } ならば、 { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} の極限値も存在して、
数列の極限

となる。
数列の極限

lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}} が存在することはあきらか。先の定理より、
数列の極限

であるので、
数列の極限

が成立。■
数列の極限

つぎの極限値を求めよ。
数列の極限

等比数列 { r n } {\displaystyle \{r^{n}\}} の極限について考えてみよう。
数列の極限

r = 1 + h {\displaystyle r=1+h} とおくと、
数列の極限

であるので、
数列の極限

したがって、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき、 1 + n h → ∞ {\displaystyle 1+nh\to \infty } だから、
数列の極限

1 {\displaystyle 1} は何乗しても 1 {\displaystyle 1} だから、
数列の極限

r = 0 {\displaystyle r=0} ならばあきらかに、
数列の極限

r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} のとき、 | r | − 1 > 1 {\displaystyle |r|^{-1}>1} だから、(i) より
数列の極限

したがって、
数列の極限

r n {\displaystyle r^{n}} は n {\displaystyle n} が奇数の場合 − 1 {\displaystyle -1} 、 n {\displaystyle n} が偶数の場合 1 {\displaystyle 1} となるので振動する。
数列の極限

| r | > 1 {\displaystyle |r|>1} より、
数列の極限

となるが、 r n {\displaystyle r^{n}} は n {\displaystyle n} が奇数の場合 r n < 0 {\displaystyle r^{n}<0} 、 n {\displaystyle n} が偶数の場合 r n > 0 {\displaystyle r^{n}>0} となるので振動する。
数列の極限

まとめると、次のようになる。
数列の極限

収束
数列の極限

発散
数列の極限

一般項が次のように表される数列の収束・発散について調べ、極限値があるならばこれを求めよ。
数列の極限

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の第 n {\displaystyle n} 項までの和を S n {\displaystyle S_{n}} と表すことにする。すなわち、
数列の極限

このとき、 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} は数列の一種とみなすことができ、このようにある数列の初項から第 n {\displaystyle n} 項までを順番に足してできる数列を級数(きゅうすう) という。もとの数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が無限数列である場合、級数 { ∑ k = 1 n a k } {\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right\}} も無限に項を持つことになる。このような級数を無限級数(むげんきゅうすう) という。以下、単に級数というときは無限級数であるとする。
数列の極限

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} において、初項から第 n {\displaystyle n} 項までの和を第 n {\displaystyle n} 部分和(ぶぶんわ)という。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} から作られる級数の第 n {\displaystyle n} 部分和 (つまり、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の初項から第n項までの和)を S n {\displaystyle S_{n}} と表すことにし、この級数 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} の極限値が S {\displaystyle S} であるとき、 S n {\displaystyle S_{n}} は S {\displaystyle S} に収束するといい、 S {\displaystyle S} を級数の和という。このことを次のように表す。
数列の極限

または
数列の極限

または
数列の極限

2番目の表記はシグマ記号を使わない分直感には訴えやすい面もあるが、注意深く表記しないと「...」の指すものがはっきりしないため、あまり好ましくない。
数列の極限

数列 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} が発散するときこの級数は発散するという。
数列の極限

つぎの級数の収束・発散について調べ、和が存在するならば求めよ。
数列の極限

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} から作られる級数 S n {\displaystyle S_{n}} が収束する必要条件は、
数列の極限

である。
数列の極限

α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} とし、 lim n → ∞ a n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha } とする。 n > 1 {\displaystyle n>1} のとき、
数列の極限

となるので、
数列の極限

しかし、 lim n → ∞ S n = lim n → ∞ S n − 1 = S {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=S} であるから、これは矛盾。したがって、 α = 0 {\displaystyle \alpha =0} でなくてはならない。■
数列の極限

逆に、 lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} であっても、 ∑ n ∞ a n {\displaystyle \sum _{n}^{\infty }a_{n}} が収束するとは限らない。
数列の極限

初項が a {\displaystyle a} で公比が r {\displaystyle r} の数列から作られる級数を無限等比級数 または単に等比級数(とうひ きゅうすう) という。
数列の極限

等比級数の収束・発散について考えてみよう。この等比級数の第 n {\displaystyle n} 部分和は、
数列の極限

となる。
数列の極限

すべての n {\displaystyle n} で a n = 0 {\displaystyle a_{n}=0} となるから、
数列の極限

| r | < 1 {\displaystyle |r|<1} とすると、
数列の極限

であるから、
数列の極限

r > 1 {\displaystyle r>1} または r ≤ − 1 {\displaystyle r\leq -1} のときは、 { a r n − 1 } {\displaystyle \{ar^{n-1}\}} は発散するから、 { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} は発散する。また、 r = 1 {\displaystyle r=1} のときは、
数列の極限

であるから、先の定理より { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} は発散する。
数列の極限

このことは次のようにまとめられる。
数列の極限

a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} のとき、初項 a {\displaystyle a} , 公比 r {\displaystyle r} の等比級数は
数列の極限

次の等比級数の収束・発散について調べ、収束するものについてはその和を求めよ。
関数とその極限

y = 1 x , y = 2 x − 1 x − 1 {\displaystyle y={\frac {1}{x}}\ ,\ y={\frac {2x-1}{x-1}}} のように、xの分数式で表される関数をxの分数関数という。
関数とその極限

y = k x {\displaystyle y={\frac {k}{x}}} のグラフは双曲線(そうきょくせん)で、原点に関して対称である。双曲線 y = k x {\displaystyle y={\frac {k}{x}}} の漸近線は、x軸とy軸である。
関数とその極限

関数 y = k x − p + q {\displaystyle y={\frac {k}{x-p}}+q} のグラフは、関数 y = k x {\displaystyle y={\frac {k}{x}}} のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したもので、漸近線は2直線 x = p , y = q {\displaystyle x=p\ ,\ y=q} である。
関数とその極限

分数関数 y = 2 x + 3 x + 1 {\displaystyle y={\frac {2x+3}{x+1}}} のグラフの漸近線の方程式を求めよ。
関数とその極限

ゆえに、この関数のグラフは、双曲線 y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} をx軸方向に-1、y軸方向に2だけ平行移動したものである。
関数とその極限

漸近線の方程式は x = − 1 , y = 2 {\displaystyle x=-1\ ,\ y=2} である。
関数とその極限

x , 3 x − 8 3 {\displaystyle {\sqrt {x}}\ ,\ {\sqrt[{3}]{3x-8}}} のように、根号の中に文字を含む式を無理式(むりしき)といい、変数xの無理式で表される関数をxの無理関数(むりかんすう)という。
関数とその極限

y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} のグラフについて考える。
関数とその極限

y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} の定義域は x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} 、値域は y ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} である。
関数とその極限

y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} の両辺を2乗すると、 y 2 = x {\displaystyle y^{2}=x} 、すなわち
関数とその極限

x = y 2 {\displaystyle x=y^{2}} のグラフは原点を頂点とし、x軸を対称軸とする放物線である。
関数とその極限

y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} では y ≥ 0 {\displaystyle y\geq 0} であるから、 y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} のグラフは x = y 2 {\displaystyle x=y^{2}} のグラフの上半分である。
関数とその極限

無理関数 y = a x + b {\displaystyle y={\sqrt {ax+b}}} について、
関数とその極限

であるから、無理関数 y = a x + b {\displaystyle y={\sqrt {ax+b}}} のグラフは、 y = a x {\displaystyle y={\sqrt {ax}}} のグラフをx軸方向に − b a {\displaystyle -{\frac {b}{a}}} だけ平行移動したものである。
関数とその極限

無理関数 y = − 2 x − 6 {\displaystyle y={\sqrt {-2x-6}}} のグラフは y = − 2 x {\displaystyle y={\sqrt {-2x}}} のグラフをどのように平行移動したものか。
関数とその極限

ゆえに、この関数のグラフは、 y = − 2 x {\displaystyle y={\sqrt {-2x}}} をx軸方向に-3だけ平行移動したものである。
関数とその極限

なお、分母がn次式である分数関数をn次分数関数、根号の中がn次式である無理関数をn次無理関数と呼ぶ場合がある。また、高校で扱う整関数・三角関数・指数関数・対数関数・分数関数・無理関数及びそれらの逆関数を総称して初等関数と呼ぶ。
関数とその極限

二つの関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} と g ( x ) {\displaystyle g(x)} が与えられたとき、 f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))} という新しい関数を考えることができる。たとえば f ( x ) = x 2 + x + 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2} , g ( x ) = x + 1 {\displaystyle g(x)=x+1} とすると、
関数とその極限

一般に二つの関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} , g ( x ) {\displaystyle g(x)} が与えられたとき、関数 f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))} や g ( f ( x ) ) {\displaystyle g(f(x))} を f ( x ) {\displaystyle f(x)} と g ( x ) {\displaystyle g(x)} の合成関数(ごうせい かんすう)という。合成関数 f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x))} を ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle (f\circ g)(x)} とかくことがある。
関数とその極限

f ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}-1} , g ( x ) = x x + 1 {\displaystyle g(x)={\frac {x}{x+1}}} のとき、合成関数 ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle (f\circ g)(x)} と ( g ∘ f ) ( x ) {\displaystyle (g\circ f)(x)} を求めよ。
関数とその極限

この例題のように、一般に ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle (f\circ g)(x)} と ( g ∘ f ) ( x ) {\displaystyle (g\circ f)(x)} は等しくない。
関数とその極限

関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} と関数 g ( x ) {\displaystyle g(x)} が与えられて、
関数とその極限

をすべての定義域内の x {\displaystyle x} で満たすとき、 g ( x ) {\displaystyle g(x)} を f ( x ) {\displaystyle f(x)} の逆関数(ぎゃくかんすう)といい、
関数とその極限

と表す。
関数とその極限

f ( x ) = x n ( x ≥ 0 ) {\displaystyle f(x)=x^{n}(x\geq 0)} の逆関数 f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} を求めよ。
関数とその極限

y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} とおいて x {\displaystyle x} について解くと、
関数とその極限

となる。したがって、 f − 1 ( x ) = x n {\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}} 。
関数とその極限

この例題のように、ある関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の逆関数 f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} を求めるには x {\displaystyle x} について解いて x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を入れ替えればよい。
関数とその極限

(※ 範囲外)
関数とその極限

次に逆関数が存在する条件について考えてみよう。逆関数も関数であるから(逆関数の)定義域に含まれるすべての x {\displaystyle x} で f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} が一意に定まらなくてはならない。すなわち、 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} において、定義域の x {\displaystyle x} と値域の y {\displaystyle y} のどちらかを定めるともう片方が一意に定まるような関数でなくてはならない。このことを関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が全単射(ぜんたんしゃ)である、または一対一 対応(いったいいち たいおう)であるという。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が全単射であることは f ( x ) {\displaystyle f(x)} に逆関数が存在することの必要十分条件である。
関数とその極限

(ここまで、範囲外)
関数とその極限

ある関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} において、 x {\displaystyle x} が定数 a 1 {\displaystyle a_{1}} より小さい値をとりながら a 1 {\displaystyle a_{1}} に限りなく近づくときの関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の値が一定の値 b 1 {\displaystyle b_{1}} に限りなく近づくとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の左極限値は b 1 {\displaystyle b_{1}} であるといい、
関数とその極限

と表す。同様に x {\displaystyle x} が定数 a 2 {\displaystyle a_{2}} より大きい値をとりながら a 2 {\displaystyle a_{2}} に限りなく近づくときの関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の値が一定の値 b 2 {\displaystyle b_{2}} に限りなく近づくとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の右極限値は b 2 {\displaystyle b_{2}} であるといい、
関数とその極限

と表す。
関数とその極限

ここで、
関数とその極限

かつ
関数とその極限

であるとき、すなわち a {\displaystyle a} における左極限値と右極限値が等しいとき f ( x ) {\displaystyle f(x)} は b {\displaystyle b} に収束するといい、 b {\displaystyle b} をそのときの f ( x ) {\displaystyle f(x)} の極限値という。このことを、
関数とその極限

と表す。
関数とその極限

x → a {\displaystyle x\to a} のとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が限りなく大きくなるならば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は正の無限大に発散するといい、 lim x → a f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty } と書く。
関数とその極限

x → a {\displaystyle x\to a} のとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は負の無限大に発散するといい、 lim x → a f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty } と書く。
関数とその極限

xを限りなく大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき
関数とその極限

と、xを負の値をとりながら限りなく絶対値を大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき、
関数とその極限

と書き、それぞれ正の無限大における極限値、負の無限大における極限値という。
関数とその極限

ある関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が定義域内の点 a {\displaystyle a} で連続(れんぞく)であるとは、 その関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフが x = a {\displaystyle x=a} の近傍で途切れることなく続いていることを意味する。数式で表すと次のようになる。
関数とその極限

であることをいう。また、ある区間で f ( x ) {\displaystyle f(x)} が連続であるとは、区間内のすべての点で連続であることをいう。
関数とその極限

くどいかもしれないが、上式は左辺の極限値が存在して、かつ右辺と一致するということを意味する。左辺の極限値が存在しない場合はf(x)は連続ではない。
関数とその極限

また、 a {\displaystyle a} が定義域の左端・右端に位置する場合、点 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} で関数が連続である条件はそれぞれ、
関数とその極限

となる。
関数とその極限

関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} が定義域に含まれる値 a {\displaystyle a} で連続であるとき、以下の関数も x = a {\displaystyle x=a} で連続である。
関数とその極限

f ( x ) {\displaystyle f(x)} が定義域に含まれる全ての x {\displaystyle x} について連続であるとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を連続関数と呼ぶ。一般に、初等関数は連続関数である。
関数とその極限

なお、以下のような場合には注意が必要である。
関数とその極限

区間について、以下のように定める。
関数とその極限

ある区間を f ( x ) {\displaystyle f(x)} の定義域と考えたとき、区間に含まれる全ての点において f ( x ) {\displaystyle f(x)} が連続ならば f ( x ) {\displaystyle f(x)} はその区間で連続であるという。
関数とその極限

一般に、閉区間で連続な関数は、その閉区間で最大値・最小値を持つ。これに対し、開区間で連続な関数は持つことも持たないこともある。
関数とその極限

関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続ならば、この区間においてそのグラフには切れ目がなく、さらに f ( a ) ≠ f ( b ) {\displaystyle f(a)\neq f(b)} ならば f ( x ) {\displaystyle f(x)} は f ( a ) {\displaystyle f(a)} と f ( b ) {\displaystyle f(b)} の間の全ての値を取る。よって、次の中間値の定理が成り立つ。
関数とその極限

更に、次の定理が成り立つ。
関数とその極限

三角関数については、次が成り立つことが基本的である。
関数とその極限

まず
関数とその極限

を示す。
関数とその極限

半径1、中心角θの扇形を考える。後にθ→+0とするので0<θ<π/2としてよい。
関数とその極限

扇形OABの面積は、θ/2となる。
関数とその極限

また、三角形OABを考えると、その面積は
関数とその極限

となる。
関数とその極限

さらに、点Aを通る辺OAの垂線と、半直線OBとの交点をB'とすると、三角形OAB'の面積は、
関数とその極限

となる。
関数とその極限

ここで、図から明らかに、面積について以下の不等式が成り立つ。
関数とその極限

[三角形OAB]<[扇形OAB]<[三角形OAB']
関数とその極限

即ち
関数とその極限

逆数をとって各辺にsinθを掛けると、
関数とその極限

いま、
関数とその極限

より、はさみうちの原理から、
関数とその極限

が示された。
関数とその極限

また、θ<0のときは、
関数とその極限

を考えると、いま-θ>0であり、かつθ→-0のとき-θ→+0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
関数とその極限

となる。以上より、
関数とその極限

が成り立つ。■
関数とその極限

指数・対数関数に関して、次が成り立つ
関数とその極限

また、自然対数は高等学校数学III/微分法で導入されるが、自然対数については、次が成り立つ。
関数とその極限

w:ネピア数 e {\displaystyle e} の定義より、 lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}=e} 。これの両辺の自然対数をとって lim n → ∞ n log ( 1 + 1 n ) = log e = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\log(1+{\frac {1}{n}})=\log e=1} 。ここで、 x = 1 n {\displaystyle x={\frac {1}{n}}} とすると、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } で x → 0 {\displaystyle x\to 0} なので、 lim x → 0 log ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1} となる。■
関数とその極限

また、これを用いてネピア数 e {\displaystyle e} については、次が導かれる。
関数とその極限

lim x → 0 log ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1} の関係式で、 e t = 1 + x {\displaystyle e^{t}=1+x} とおくと、 x → 0 {\displaystyle x\to 0} のときに t → 0 {\displaystyle t\to 0} となり、 log ( e t ) e t − 1 = t e t − 1 → 1 ( t → 0 ) {\displaystyle {\frac {\log(e^{t})}{e^{t}-1}}={\frac {t}{e^{t}-1}}\to 1(t\to 0)} 。 両辺の逆数をとり、tをxに書き換えると、 lim x → 0 e x − 1 x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1} となる。■
演習問題

次の極限を求めよ
[コラム]よく有る疑問とその回答

ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。よって、そのような疑問を持たない生徒が読んでも、あまり意味はない。
[コラム]よく有る疑問とその回答

疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。しかしその内容は高校生には少し難しいし、詳しい書籍はほかにも存在する(wikibooksでも解析学基礎にある程度の記述がある)。そこでここでは、高校の教科書のように「子供だまし」をするのではなく、かといって厳密な形で議論するのでもなく、諸君を納得させられるかもしれない答えを提示したい。
[コラム]よく有る疑問とその回答

さて改めて、極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。
[コラム]よく有る疑問とその回答

ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。
[コラム]よく有る疑問とその回答

分数関数 f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} を考える。この関数の正の無限大における極限値は 0 {\displaystyle 0} である。 数式で書くならば以下の通りである。
[コラム]よく有る疑問とその回答

ここで敢えて、この数式には極々小さな正の誤差が紛れ込んでいる、と考える。 x {\displaystyle x} が限りなく無限大に近づいたとしても、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。 そこで、極限という概念で考えるのではなく、直接 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に無限大を代入した値を誤差として考える。 (この時、この代入の不可能性については考えないものとする。) 当然ながら、この誤差の大きさは、 1 / ∞ {\displaystyle 1/\infty } という大きさになるのだが、この大きさは一体どのようなものだろうか?
[コラム]よく有る疑問とその回答

そもそもこの誤差の値は、実数であるかどうかすらも怪しい。何故なら、そもそも無限大という数自体が実数とは思えない性質を持っているからだ。 無限大というのは、どの実数よりも大きい数という定義である。この時点ですでに実数の定義からハズレている事がよくわかるだろう。
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実数にこの無限大という数が含まれるのであれば、無限大は無限大より大きい、という矛盾が生まれる。 ゆえに、無限大は実数と言う枠組みから外し、実数でない未知の数であると考えるべきだろう。
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さて、この未知の数の逆数である 1 / ∞ {\displaystyle 1/\infty } はどういう値なのだろうか。当然ながら、これも未知の数であると言わざるを得ない。 無限大の定義より、 1 / ∞ {\displaystyle 1/\infty } はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。
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なお、この数は一般に無限小と呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。
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さて、この無限小という誤差を実数としてみるとどう見えるだろうか? 無限小はどのような正の実数よりも小さい、というのだから、実数から見たら見かけ上 0 {\displaystyle 0} に見えるだろう。 そのような視点で考えているのが極限値というものである。
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もう少し踏み込んで、値域を実数とする f ( x ) {\displaystyle f(x)} の値として、無限小という非実数値が出現した、という事実をどう考えるべきだろうか? その問いに対しての極限値という概念の答えは、「強引に実数に変換する」という手法なのである。
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値域を実数とする関数に、非実数をいきなり登場させるわけにはいかない、というのは誰にでもわかることだろう。 其の様な問題に対して考えられる答えは「関数の値域そのものを超実数に拡張する」又は「超実数を実数に変換して、値域を実数として保つ」というものだ。
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極限(lim)と言う操作・概念はこの二つの答えの内、後者の答えを選んだものとなる。 limという記号には、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に x = a ± 1 / ∞ {\displaystyle x=a\pm 1/\infty } をそれぞれ代入した数を計算し、その値から無限小を無視して、超実数を実数に変換するという意味合いが有る。 実数という数から見れば、無限小など全く意味の無い数であることから、等式が成り立つ、と解釈できるのである。
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前者の答えを選んだ学問は超準解析と呼ばれるが、これは易しい学問ではなく、高校で教えるのには向かない。
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少し話をかえて、「無限大」「無限小」というモノ自体の実在について考えてみる。
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上の説明では「無限大」というモノが、実数でないので何だかわからないのだが、とにかくある、という前提で話を進めてきた。ここに疑問を感じた生徒もいるかもしれない。そのような生徒に向けて、さらに補足説明する。
[コラム]よく有る疑問とその回答

上でも述べたが、「超準解析」という学問においては、無限大・無限小は実体のあるものであり、数学的に厳密に取り扱われる。しかし、無限大・無限小を数学的に厳密に取り扱う事は非常に難しく、歴史的にも20世紀後半にようやく確立されたほどであった。つまり普通、数学においては無限大・無限小といったものを表に出して扱わないのである。この教科書の本文をもう一度見直してほしい。このコラムにおいて用いている「無限大に近づける(近づく)」といった表現はなく「限りなく大きくする」という表現を用いているはずである。荒っぽく言えば、「∞」は単体では意味を持たない記号であり、「 lim x → ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }} 」のような特定の文脈を与えられて初めて意味を持つ「状態を表す記号」なのである。なんらかの数を表すものではない、という事に注意してほしい。この「 lim x → ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }} 」はひと固まりで初めて意味を持つ記号であり、「xを」「∞に」「近づける」と分解するようなことはナンセンスだ、とも言える。
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では、このコラムにおける説明はなんだったのか。実はこれは説明の方便である。はじめに述べたように、厳密な記述は難しいのであえて厳密でない書き方をしている。近代的な(非超準解析的な)立場の極限の取り扱い方は、実質的にはこのコラムの内容と同じことを、∞を表に出さず巧妙に表現したものである。
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本文の#三角関数と極限で示されている
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という式について、上で示した証明は、「w:循環論法になっていて証明になっていない」と言われることがある。それはどういうことか、興味がある人のために解説を加えておく。
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さてここで、どのように「循環論法」が形成されているのかはっきりさせておこう。
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論理が循環している構造が分かっただろうか。「極限を求めるために、その極限を利用している」と言ってもいいだろう。
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現代の数学では、もちろんこの循環論法は回避できる。もっと言えば、高校数学(新課程)の範囲内でよりよい証明を示すこともできる。しかしそれは今学んでいるより後に学習する内容を利用することにもなり、少々複雑である。
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高校数学の目的は完全な論理を組み立てることではなく、むしろ数学の、高校内容の中での体系的な理解を目的としている。このような理由から、現在多くの教科書に上と同様の証明が掲載されていると考えられるし、WIKIBOOKSもこれに倣った。
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しかしここでは興味のある諸君のために、「高校内容の範囲(新課程)でのよりよい証明」を示しておこう。面積を利用することは避けて、円弧の長さから問題の極限の値を導いてみよう。ただし、数学IIIの微分、積分(新課程のみの内容も含む)の内容を利用する。
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まずは、「ラジアンとは何か」を考え直してみよう。というのも、ラジアンの定義には円弧の長さを利用したが、現代の数学では「w:曲線の長さ」も定義なしには扱えないからである。つまりわれわれは、円弧の長さを数学的に定義すればよいということだ。このあとの積分の単元(新課程)で学習することになるが、区間a≦x≦bで自身と導関数がともに連続である関数f について、y =f (x )(a≦x≦b)で表される曲線C の長さは、次の式で求められる。(証明は該当ページ参照 ※2014/02/08時点でWIKIBOOKS内では未作成)
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ここで、f (x )を半円弧 1 − x 2 ( − 1 ≤ x ≤ 1 ) {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}(-1\leq x\leq 1)} とすると、円弧の長さを計算できる。ただし、積分区間にx =-1もしくはx =1を含めると具合が悪いので(被積分関数が値を持たない(極限は正の無限大))、積分区間を − 1 2 ≤ x ≤ 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\leq x\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}} としたものを四分円弧の長さとし、円の対称性から円弧一周の長さを決定するとよいとだけ補足しておく。
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さて、これでようやく円弧の長さを定義できたので、ラジアンも定義することができる。いよいよ問題の極限の値を求めてみよう。そのために一般的に、再び区間a≦x≦bで自身とその導関数がともに連続である関数f について、y =f (x )(a≦x≦b)で表される曲線C を考えよう。ここで、a≦x≦b, a≦x+Δx≦b, Δx≠0を満たすようにx およびΔxをとる。また、曲線C上に2点P(x,f (x )),Q(x +Δx,f (x +Δx ))をとる。いま曲線PQの長さを P Q ^ {\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}} 、直線PQの長さをPQで表すこととすると、
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が成り立つことを示そう。
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w:平均値の定理により、
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を満たす実数θが存在する。また、 P Q ^ {\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}} を先述の式により定積分で表すと、
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であり、ここで、 1 + { f ′ ( x ) } 2 {\displaystyle {\sqrt {1+\left\{f'(x)\right\}^{2}}}} が、 x = x + θ M Δ x , x + θ m Δ x {\displaystyle x=x+\theta _{M}\Delta x,x+\theta _{m}\Delta x} (0≦θM≦1, 0≦θm≦1)でそれぞれxからx +Δxの間での最大値、最小値をとるとすると、xからx +Δxの間の任意の実数t に対して、
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が成り立つ。各辺x からx +Δxまで積分することにより、
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を得る。よって
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ここで、
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より、はさみうちの原理から、
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さて、今度こそ問題の極限を求めてみよう。
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本文と同様にθ>0をまず考える。
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として、y =f (x )上のx座標がxである点をP,x+Δxである点をQとし、
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とする。すると、ラジアンの定義より、 P Q ^ = 2 θ {\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}=2\theta } となり、また図形的考察によりPQ=2sinθであることが分かる(Oから弦PQに垂線を下ろすと分かりやすい)。ここで
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を考えると、Δx→0のとき、θ→+0であるから、上で証明したことを用いると、
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θ<0のときは本文と同様である。以上より、循環論法に陥ることなく、
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が示された。■
[コラム]よく有る疑問とその回答

このように、この循環論法を避けるのは少々難しい。循環論法を避けるために三角関数の微積分を後回しにして、この証明のための道具が揃うまで話を進めるのはこと「学習/教育」においてはどう考えても非効率的で、そのような回り道をするのは本末転倒である。ということで、「循環論法」と聞いて教科書に不信感を抱いた君も、ここまで読めば致し方ないことに納得してもらえたと思う。
[コラム]よく有る疑問とその回答

ところでこの循環論法を避ける方法はこれだけではない。sinx及びcosxをxの非負整数乗の無限級数で定義する方法や、w:微分方程式を用いて定義する方法などが考えられるが、前者は少なくとも教科書に載せるには向かないし、後者はどう考えても高校範囲外である。ここで解説することはしないが、興味があれば次に示す参考文献を読んでみるといいかもしれない。
[コラム]よく有る疑問とその回答

それにしてもこのコラムをここまで読み進めた君の好奇心は大したものである。君の成長を期待している。