複素解析学
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ここでは、複素解析学について解説する。
複素数

2つの実数 x , y {\displaystyle x,y} と、虚数単位と呼ばれる i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} を満たす i {\displaystyle i} を用いて z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} と表される z {\displaystyle z} を複素数と呼ぶ。すると、複素数の全体は体となる。すなわち、0で割る操作を除く加減乗除の計算を自由に行うことができる。複素数を用いると、実数だけを考えていては見えてこない豊かな世界(たとえば複素数平面など)が見えるということを、読者は既に少しは知っていることだろう。初等的な内容については高等学校数学II 式と証明・高次方程式、高等学校数学III 複素数平面を参照のこと。
複素数

さて、ここでは、複素数から複素数への関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} を考えたい。ところで、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は複素数値関数であるから、その値も実部と虚部にわけておいたほうが便利である。そこで、しばしば次のようにあらわすことにする。
複素数

このようにあらわすことで、複素数から複素数への関数を、見かけ上は2つの2変数実数値関数の組として捉えることができる。実関数については既によく知っているので、この方が扱いやすいこともしばしばあるだろう。
複素関数の連続性

f ( z ) {\displaystyle f(z)} を D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } で定義された複素変数 z {\displaystyle z} の関数、 c {\displaystyle c} を D {\displaystyle D} に属する一つの複素数とする。このとき
複素関数の連続性

ならば、関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は c {\displaystyle c} で連続である、あるいは z = c {\displaystyle z=c} で連続であるという。
複素関数の連続性

極限の定義までさかのぼっていえば、任意の正の実数 ε {\displaystyle \epsilon } に対応する正の実数 δ ( ε ) {\displaystyle \delta (\epsilon )} が定まって、
複素関数の連続性

となるようにできるならば、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は、構文解析失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikibooks.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): c で連続であるという。
複素関数の連続性

z = x + i y = ( x , y ) , c = a + i b = ( a , b ) {\displaystyle z=x+iy=(x,y),c=a+ib=(a,b)} とおき、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} を実部と虚部に分けて
複素関数の連続性

と書いて u ( z ) = u ( x + i y ) = u ( x , y ) , v ( z ) = v ( x + i y ) = v ( x , y ) {\displaystyle u(z)=u(x+iy)=u(x,y),v(z)=v(x+iy)=v(x,y)} を2つの実変数 x , y {\displaystyle x,y} の関数と考えれば、
複素関数の連続性

であるから、複素関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が連続であることは、
複素関数の連続性

と同値である。すなわち複素変数 z {\displaystyle z} の関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が c {\displaystyle c} で連続であるということは、 その実部 u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} と虚部 v ( x , y ) {\displaystyle v(x,y)} が2つの実変数 x , y {\displaystyle x,y} の関数として点 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で連続であることに他ならない。
正則関数

D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } で定義された変数 z {\displaystyle z} で "複素関数の意味で" 微分可能である条件を考えてみよう。 微分 f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} とは、
正則関数

という極限によって定義されるものである。 一次元的な実数では、実関数は正負2つの方向から近づけてみて極限が一致すれば微分可能であるといえた。 一方、二次元的な広がりを持つ複素数では、各方向から近づけたときに極限が一致する必要がある。その必要条件を見てみよう。
正則関数

まず、 z {\displaystyle z} に対して実軸に平行に近づいたときの極限を計算してみると、
正則関数

である。同様にして虚軸に平行に z {\displaystyle z} に近づいたときの極限を計算してみると、
正則関数

となる。したがって、実部と虚部を比較して
正則関数

を満たすことが必要であることがわかる。この連立方程式を Cauchy-Riemann の方程式と呼ぶ。この本ではしばしば C-R と略記することにする。
正則関数

ここでは細かく検討しないが、複素関数の意味で微分可能であることの必要かつ十分な条件は、 u ( x , y ) , v ( x , y ) {\displaystyle u(x,y),v(x,y)} が実変数 x , y {\displaystyle x,y} の全微分可能な関数であって、かつ、C-R を満たすことである。
正則関数

定義(正則関数) Ω {\displaystyle \Omega } を複素数平面内の領域とする。 Ω {\displaystyle \Omega } 上の複素関数であって、 Ω {\displaystyle \Omega } の各点で複素関数の意味で微分可能である(すなわち各点でC-Rを満たす)ものを Ω {\displaystyle \Omega } 上の正則関数と呼ぶ。□
正則関数

複素解析学とは、正則関数の性質を調べていく学問である。
正則関数

実変数の場合と同様に、1次結合、積、商の微分法は複素変数の関数でもそのまま成り立ち、正則関数 f ( z ) , g ( z ) {\displaystyle f(z),g(z)} の一次結合、積、商も正則関数である。
正則関数

定義領域でつねに g ( z ) ≠ 0 {\displaystyle g(z)\neq 0} であれば、
正則関数

実変数の場合と同様に、合成関数の微分法の公式が成り立つ:
正則微分と反正則微分

z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} とその複素共役 z ̄ = x − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy} は複素数体上で考えると互いに独立ではない。しかし、これらをあたかも独立変数のように考えると、理論の展開に便利である。 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} および z ̄ = x − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy} を実2変数 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} の関数とみなす。微分形式の理論(詳しくは微分幾何学参照)において z {\displaystyle z} 、 z ̄ {\displaystyle {\bar {z}}} の外微分をとると、
正則微分と反正則微分

が得られる。これらの双対は
正則微分と反正則微分

で与えられる。(この式は x = 1 2 ( z + z ̄ ) {\displaystyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})} 、 y = 1 2 i ( z − z ̄ ) {\displaystyle y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})} という変数変換に関する接ベクトル ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}} 、 ∂ ∂ z ̄ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}} と ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}} 、 ∂ ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}} の間の変換公式としても導ける) この事実を元に、関数 f {\displaystyle f} の正則微分 ∂ f ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}} ならびに反正則微分 ∂ f ∂ z ̄ {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}} を次のように定義する。
正則微分と反正則微分

定義(正則微分と反正則微分) 関数 f ( z ) = f ( x + i y ) {\displaystyle f(z)=f(x+iy)} を実変数 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} の関数とみたとき C 1 {\displaystyle C^{1}} 級であるとする。このとき、
正則微分と反正則微分

をそれぞれ f {\displaystyle f} の正則微分、反正則微分という。□
正則微分と反正則微分

コーシー・リーマン方程式と組み合わせることにより、次の結果が得られる。
正則微分と反正則微分

定理(正則関数と反正則微分) Ω {\displaystyle \Omega } 上の C 1 {\displaystyle C^{1}} 級関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が正則であるための必要十分条件は、 ∂ f ∂ z ̄ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0} となることである。□
べき級数

定義(べき級数)
べき級数

なる形の級数を c {\displaystyle c} を中心 (center) とする べき級数 (power series) という。
べき級数

∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}} が収束すれば、 lim n → ∞ a n z n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}z^{n}=0} であるから,すべての自然数 n {\displaystyle n} に対して、 ある正の実数 M {\displaystyle M} が存在して、
べき級数

となる。このような M {\displaystyle M} に対して、
べき級数

lim n → ∞ M 1 / n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }M^{1/n}=1} であるから、
べき級数

(Cauchy–Hadamard の公式)
べき級数

定義 (収束半径)
べき級数

べき級数 ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}} の収束半径とよぶ。
べき級数

命題 (収束半径)
べき級数

(d'Alembert の公式)
べき級数

定理(べき級数の微分) べき級数 ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}} の収束半径を r {\displaystyle r} , 0 < r ≤ + ∞ {\displaystyle 0<r\leq +\infty } , とすれば,その和 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}} は収束円の内部 U r ( 0 ) {\displaystyle U_{r}(0)} で正則な z {\displaystyle z} の関数であって, f ( z ) {\displaystyle f(z)} の導関数は, べき級数 ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}} を z {\displaystyle z} について項別に部分することよって得られる:
複素積分

微分を考えたので、次は積分を考えよう。正則関数は、微分可能な実二変数関数の組として捉えることができた。そこで、実二変数関数における線積分の概念を、そのまま積分の定義として採用することにしよう。積分路は、とりあえず滑らかにパラメーターづけられた曲線 γ : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} } に限っておくことにする。滑らかな曲線上の積分を定義しておけば、区分的に滑らかな曲線上の積分を考えることは容易である。
複素積分

定義(線積分) γ : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} } を複素平面上の滑らかな曲線、 f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)} とする。このとき、fの γ {\displaystyle \gamma } に沿った積分を
複素積分

で定める。 γ ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) {\displaystyle \gamma (t)=x(t)+iy(t)} とおくと d γ d t = d x d t + i d y d t {\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {dx}{dt}}+i{\frac {dy}{dt}}} なので、
複素積分

である。整理すると、
複素積分

と表すこともできる。□
複素積分

既に知っている実二変数関数の積分とまったく変わらない。ところが、正則という条件は見かけ以上に強い条件であり、正則関数の積分には驚くべき性質がいくつかある。そのうちのひとつが、次に挙げるCauchyの積分定理である。
複素積分

上では一般の曲線について考えたが、ここから先は閉曲線、特に単純閉曲線について考える。念のためきちんと定義しておく。
複素積分

定義(単純閉曲線) 曲線 γ : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} } が単純閉曲線であるとは、 γ | [ 0 , 1 ) {\displaystyle \gamma |_{[0,1)}} が単射であって、 γ ( 0 ) = γ ( 1 ) {\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)} を満たすことである。□
複素積分

単純閉曲線は、平面をその「内側」と「外側」の2つの領域にわける。直感的には明らかだが、証明は難しい。ここでは事実を指摘するにとどめておく。
複素積分

正則関数の単純閉曲線上の積分について成り立つ重要な定理が、次の定理である。
複素積分

定理(コーシーの積分定理) f ( z ) {\displaystyle f(z)} を正則関数、 γ {\displaystyle \gamma } を単純閉曲線とするとき、
複素積分

が成り立つ。□
複素積分

(証明) 閉曲線 γ {\displaystyle \gamma } の「内側」の領域をDとする。グリーンの定理より
複素積分

である。一方、C-Rより
複素積分

である。よって、
複素積分

である。//
複素積分

証明を見ればわかるように、「 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は正則関数」という仮定は、実は「 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は閉曲線 γ {\displaystyle \gamma } およびその内部を含むようなある開集合で正則」であればよい。
複素積分

積分定理の応用として、次の公式を証明してみよう。
複素積分

定理(コーシーの積分公式) f ( z ) {\displaystyle f(z)} を正則関数とし、単純閉曲線 γ {\displaystyle \gamma } の内側にある複素数cを任意に取るとき、
複素積分

である。□
複素積分

証明の前に、ある積分を直接計算しておこう。
複素積分

補題 cを中心とする半径 ε {\displaystyle \varepsilon } の円周を C ε {\displaystyle C_{\varepsilon }} とするとき、
複素積分

(証明) z ∈ C ε {\displaystyle z\in C_{\varepsilon }} のとき z = c + ε e 2 π i t ( 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle z=c+\varepsilon e^{2\pi it}\ (0\leq t\leq 1)} とパラメタ付けできるので、
複素積分

である。//
複素積分

(コーシーの積分公式の証明) γ {\displaystyle \gamma } と C ε {\displaystyle C_{\varepsilon }} を適当な線分で結んだ閉曲線 Γ {\displaystyle \Gamma } を考える。 γ {\displaystyle \gamma } の内部かつ C ε {\displaystyle C_{\varepsilon }} の外部が Γ {\displaystyle \Gamma } の内部である。この領域で f ( z ) z − c {\displaystyle {\frac {f(z)}{z-c}}} は正則なので、コーシーの積分定理より
複素積分

である。ところで、
複素積分

であることに注意すると、
複素積分

であり、 ε → 0 {\displaystyle \varepsilon \to 0} としてよいので、
複素積分

である。//
複素積分

なお、コーシーの積分公式は、文字を取り換えた次の形で用いられることもしばしばなので、この形も記載しておく。
複素積分

定理(コーシーの積分公式) f ( z ) {\displaystyle f(z)} を正則関数とし、単純閉曲線 γ {\displaystyle \gamma } の内側にある複素数zを任意に取るとき、
複素積分

である。□
複素積分

コーシーの積分公式の重要な帰結として、次の定理が得られる。
複素積分

定理 (正則関数のべき級数展開可能性) f ( z ) {\displaystyle f(z)} を領域 Ω {\displaystyle \Omega } 上の正則関数とする。任意の複素数 c ∈ Ω {\displaystyle c\in \Omega } に対し、 r c = d ( c , ∂ Ω ) {\displaystyle r_{c}=d(c,\partial \Omega )} とする。このとき、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は c {\displaystyle c} を中心とした半径 r c {\displaystyle r_{c}} の円の内部 B r c {\displaystyle B_{r_{c}}} においてテイラー展開可能である。すなわち、 z ∈ B r c {\displaystyle z\in B_{r_{c}}} において
複素積分

が成立する。ここで、 a n {\displaystyle a_{n}} は c {\displaystyle c} を内側に含むような Ω {\displaystyle \Omega } 内の任意の単純閉曲線 γ {\displaystyle \gamma } に対し
複素積分

と表せる。□
複素積分

(証明) コーシーの積分公式により、 z ∈ B r c {\displaystyle z\in B_{r_{c}}} に対して、
複素積分

が成立する。このとき、 | ξ − c | > | z − c | {\displaystyle |\xi -c|>|z-c|} であれば、
複素積分

が成立し、しかも最後の無限和は広義一様収束する。 z ∈ B r c , ξ ∈ C r c {\displaystyle z\in B_{r_{c}}\,,\,\xi \in C_{r_{c}}} であればこの条件は満たされ、したがって
複素積分

となる。ここで、 f ( ξ ) ( ξ − c ) n + 1 {\displaystyle {\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}} は γ {\displaystyle \gamma } の内側かつ C r c {\displaystyle C_{r_{c}}} の外側の領域において正則であり、したがって ∫ C r c f ( ξ ) ( ξ − c ) n + 1 d ξ = ∫ γ f ( ξ ) ( ξ − c ) n + 1 d ξ {\displaystyle \int _{C_{r_{c}}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi =\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi } が成り立つ。以上により
複素積分

が得られる //
複素積分

初期の複素関数論においては、局所的にべき級数展開可能な関数のことを解析関数と呼び、正則関数とは区別していた。べき級数はその収束円内において無限回微分可能であるため、当然正則関数になる。上の定理はその逆が成立することを示している。すなわち正則関数と解析関数が同値な概念であることが上の定理によって示されたことになる。
複素積分

上で示したべき級数展開の系として、コーシーの積分公式を微分した式が正当化される。
複素積分

系
複素積分

(証明) べき級数展開
複素積分

の両辺を n {\displaystyle n} 回微分すると、
複素積分

である。両辺に z = c {\displaystyle z=c} を代入すると k = 0 {\displaystyle k=0} の項だけが残って、
複素積分

となる。 a n {\displaystyle a_{n}} に定理で示された式を当てはめ、文字を取り換えることで系を得る。//
複素積分

複素関数としての正則関数と解析関数は同値な概念であることがわかったが、この概念は実関数の解析性とは大きく異なる概念である。そのことを示す一例として、実解析関数では成り立たない、実関数しか知らない人にとっては不思議にすら感じる定理をひとつ紹介する。
複素積分

定理(リウヴィルの定理) 複素数全体で有界な正則関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は定数である。
複素積分

実関数としてみれば、たとえば分数関数 1 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}} も三角関数 sin x {\displaystyle \sin x} も実数全体で有界な実解析関数であり、このような定理は成り立ちそうにないように思える。しかし、複素関数としてみれば確かに 1 z 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}} は z = ± i {\displaystyle z=\pm i} で正則ではないし、 sin z {\displaystyle \sin z} は z {\displaystyle z} を虚軸上にとり z = i t {\displaystyle z=it} とすると sin z = i sinh t {\displaystyle \sin z=i\sinh t} であり双曲線関数 sinh t {\displaystyle \sinh t} は有界ではないのである。
複素積分

(定理の証明) 有界の仮定より、任意の ξ ∈ C {\displaystyle \xi \in \mathbb {C} } に対して | f ( ξ ) | ≤ M {\displaystyle |f(\xi )|\leq M} としてよい。前節最後の系で n = 1 {\displaystyle n=1} とすると
複素積分

が成り立つ。ここで、 γ {\displaystyle \gamma } を中心が z {\displaystyle z} で半径 R {\displaystyle R} の円周とすると、
複素積分

である。ところで、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は複素数全体で正則なので、 R {\displaystyle R} はいくらでも大きくとることができる。よって、任意の複素数 z {\displaystyle z} に対して f ′ ( z ) = 0 {\displaystyle f'(z)=0} であるから、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は定数である。//
複素積分

この定理を用いると、代数学の基本定理を簡単に証明することができる。
複素積分

定理(代数学の基本定理) 複素数係数の多項式 P ( z ) {\displaystyle P(z)} は、定数でなければ必ず複素数の根を持つ。
複素積分

(証明) P ( z ) {\displaystyle P(z)} が根を持たないと仮定すると 1 P ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{P(z)}}} は複素数全体で有界な正則関数であるから、リウヴィルの定理より定数である。これは P ( z ) {\displaystyle P(z)} が定数であることを表す。//
複素積分

f ( z ) {\displaystyle f(z)} が z = c {\displaystyle z=c} において「無限大に発散」してしまっていて、この点において正則でない場合を考えよう。このとき、cを囲む単純閉曲線C上の積分 ∫ C f ( z ) d z {\displaystyle \int _{C}f(z)dz} を考えたい。このような関数にも様々な関数が考えられるが、特殊な状況としてたとえば f ( z ) = 1 z − c {\displaystyle f(z)={\frac {1}{z-c}}} のように、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は正則ではないが g ( z ) = ( z − c ) f ( z ) {\displaystyle g(z)=(z-c)f(z)} は正則という状況はあるかもしれない(この状況を、cは f ( z ) {\displaystyle f(z)} の1位の極であるという)。このとき、 g ( z ) {\displaystyle g(z)} にはコーシーの積分公式を用いることができるので、
複素積分

である。この結果は、留数定理と呼ばれる定理(の特別な場合)である。この場合の g ( c ) {\displaystyle g(c)} は f ( z ) {\displaystyle f(z)} のcにおける留数と呼ばれ、 R e s z = c f ( z ) {\displaystyle Res_{z=c}f(z)} のように書かれる。
複素積分

単純閉曲線の内部に1位の極が複数ある場合は、それぞれ1つだけを含むような小さな単純閉曲線と適当に接続して閉曲線を作ることで、定積分の値は留数の和になることが分かる。すなわち、次のことが分かった。
複素積分

定理(留数定理(の特別な場合)) 単純閉曲線Cの内部で f ( z ) {\displaystyle f(z)} が正則でない点がn個であり、それぞれの点 c k {\displaystyle c_{k}} の近くにおいて g k ( z ) = ( z − c k ) f ( z ) {\displaystyle g_{k}(z)=(z-c_{k})f(z)} が正則になるとき、 R e s z = c k f ( z ) = g k ( c k ) {\displaystyle Res_{z=c_{k}}f(z)=g_{k}(c_{k})} を留数と呼ぶ。このとき、
複素積分

である。
複素積分

この定理は実関数の具体的な定積分の計算にもしばしば役立つ。以下でそのような例を見る。
複素積分

例1
複素積分

を考える。
複素積分

である。 z = e 2 i x {\displaystyle z=e^{2ix}} とすると d z 2 i z = d x {\displaystyle {\frac {dz}{2iz}}=dx} であり、 cos 2 x = 1 2 ( z + 1 z ) {\displaystyle \cos 2x={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)} であることに注意すると、
複素積分

である。単位円 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の内側にある f ( z ) = 2 i ( 3 z − 1 ) ( z − 3 ) {\displaystyle f(z)={\frac {2i}{(3z-1)(z-3)}}} の1位の極は z = 1 3 {\displaystyle z={\frac {1}{3}}} のみで、その留数は 2 i 1 − 9 = − i 4 {\displaystyle {\frac {2i}{1-9}}=-{\frac {i}{4}}} である。よって、
複素積分

である。
複素積分

以下の2つの例では、実軸上の閉区間 I = [ − R , R ] {\displaystyle I=[-R,R]} と半円 C = { R e i θ | 0 ≤ θ ≤ π } {\displaystyle C=\{Re^{i\theta }|0\leq \theta \leq \pi \}} をつなげた閉曲線 Γ = I ∪ C {\displaystyle \Gamma =I\cup C} を考える。Rとして十分大きい数を取れば、積分したい関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} の1位の極のうち、上半平面 H = { z | I m z > 0 } {\displaystyle H=\{z|\mathrm {Im} z>0\}} に含まれるものはすべて Γ {\displaystyle \Gamma } の内側に入るようにできる。そのように Γ {\displaystyle \Gamma } を十分大きくとったとき、もし lim R → ∞ ∫ C f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C}f(z)dz=0} であれば、 ∫ − ∞ ∞ f ( z ) d z = ∫ Γ f ( z ) d z {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz} である。以上のことを用いて、留数計算によって ∫ − ∞ ∞ f ( z ) d z {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)dz} を計算してみよう。
複素積分

例2
複素積分

を考える。
複素積分

の上半平面内の1位の極は z = i , 2 i {\displaystyle z=i,2i} で、その留数はそれぞれ i 2 + 3 i + 4 2 i ⋅ 3 i ⋅ ( − i ) = 1 − i 2 {\displaystyle {\frac {i^{2}+3i+4}{2i\cdot 3i\cdot (-i)}}={\frac {1-i}{2}}} と 4 i 2 + 6 i + 4 3 i ⋅ i ⋅ 4 i = − 1 2 {\displaystyle {\frac {4i^{2}+6i+4}{3i\cdot i\cdot 4i}}=-{\frac {1}{2}}} である。さらに、Rを十分大きくしたとき z ∈ C {\displaystyle z\in C} ならば
複素積分

であることに注意すると、
複素積分

である。よって、
複素積分

である。
複素積分

例3
複素積分

を考える。上半平面においては | e i z | = e − I m z < 1 {\displaystyle |e^{iz}|=e^{-\mathrm {Im} z}<1} であることに注意すると、
複素積分

である。また、
複素積分

であるが、 sin x x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {\sin x}{x^{2}+1}}} は奇関数なので、
複素積分

である。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} の上半平面内の1位の極は z = i {\displaystyle z=i} で、その留数は e − 1 2 i = − i 2 e {\displaystyle {\frac {e^{-1}}{2i}}={\frac {-i}{2e}}} である。以上から、
複素積分

であることがわかった。
複素積分

(参考) 複素解析を使わず計算するならば、例1の I 1 {\displaystyle I_{1}} は
複素積分

として、 t = tan x {\displaystyle t=\tan x} とおくと d t = d x cos 2 x {\displaystyle dt={\frac {dx}{\cos ^{2}x}}} であることから
複素積分

と計算できる。また例2の I 2 {\displaystyle I_{2}} は
複素積分

と計算できる。しかし例3で計算した積分 I 3 {\displaystyle I_{3}} の値をこのような計算技巧で得ることは難しいように思われる。