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制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一つの例
一般論に入る前に,まず一つの例を与える.
の解を,特に初期値を指定しないで求めてみよう. Laplace 変換すると,
L [ x ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[x]} について整理すると,
となる.この式の右辺は s {\displaystyle s} の 2 次式である. x ( 0 ) , x ′ ( 0 ) , x ′′ ( 0 ) {\displaystyle x(0),x'(0),x''(0)} をとくに指定しないので,一般には高々 2 次式の多項式となる. これを q ( s ) {\displaystyle q(s)} とおこう.すると,
とまとまる.これを部分分数に展開すると,
ここで初期値を指定していないので A , B , C {\displaystyle A,B,C} は未定の定数である.この原像は,
となる.すでに述べたことであるが,3 階の微分方程式は一般に 3 個の未定定数を含む. このような解を一般解と呼んでいる.“一般”という意味は A , B , C {\displaystyle A,B,C} を適当に選ぶことによって,どのように初期値を与えてもそれを満たす解が 式 (3.21) から作れるという意味である. そのことを確かめよう.初期値を,
と与えると,
とならなければならないが,この係数の作る行列式は
3 行目に 1 行目を加えて,
となり,これは t 0 {\displaystyle t_{0}} がどんな値であっても,決して 0 {\displaystyle 0} とはならない. よって式 (3.22) を満たす A , B , C {\displaystyle A,B,C} が一意に確定する.このことは,
が式 (3.20) の解であって, しかも 1 次独立であることに起因する.このことの詳細は次節に示すこととし,ここでは 式 (3.23) が 1 次独立であることを示しておこう.
から A = B = C = 0 {\displaystyle A=B=C=0} を導けばよい.それにはまず 式 (3.24) に D 2 + 1 {\displaystyle D^{2}+1} を作用させるとよい.このとき cos t {\displaystyle \cos t} と sin t {\displaystyle \sin t} の項は消えて,
となる.次に,
において t = 0 {\displaystyle t=0} とおくと B = 0 {\displaystyle B=0} を得,ついで C = 0 {\displaystyle C=0} を得る. このように,3 階の線形微分方程式は常に 3 個の 1 次独立な解をもち,その 1 次結合が一般解となるのである. 一般の場合の証明も,この例とほぼ同様にして示される.
例77 {\displaystyle \quad }
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例78 {\displaystyle \quad }
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例79 {\displaystyle \quad }
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例80 {\displaystyle \quad }
一般解は Laplace 変換によらずとも,特性多項式を見れば直ちに分かる.どうしてか.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性
定数係数の線形微分方程式を,
とおく.ここに p ( s ) {\displaystyle p(s)} は特性多項式である.もし,これが,
と因数分解できるならば,式 (3.25) の解は,
および,
のような n {\displaystyle n} 個の関数の 1 次結合で与えられることは,前節で示した.ここに,
である.これらが 1 次独立であることを示すのが,本項の目的である.つまり t {\displaystyle t} に関する恒等式,
から,すべての i , l , j , m {\displaystyle i,l,j,m} に対して,
を示すことである.この証明には補題 3.4 と,前章に示した事実,
および
を用いる.
定理 3.4
n {\displaystyle n} 個の関数
は 1 次独立である.
証明
の場合を証明すれば十分であろう.一般の場合は添え字 i , j {\displaystyle i,j} などが二重についてわずらわしいだけである.
に,
を作用させると, i = l {\displaystyle i=l} の場合以外はすべて消えて,
となる.補題 3.4 により
であるから,
を得る.次に,
を作用させると A l = 0 {\displaystyle A_{l}=0} となり,以下同様にして,
を得る.このとき式 (3.26) は,
となっている.これに,
を作用させると,
となる.以下同様にして,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形
以上の議論によって, n {\displaystyle n} の定常線形微分方程式,
には, n {\displaystyle n} 個の 1 次独立な解が存在することが分かった.またその 1 組を具体的に求める方法も全章で学んだ.それをいま,
としよう.重ね合わせの原理により,その 1 次結合
もまた式 (3.27) の解であることを知っている. ここでは 式 (3.28) が 式 (3.27) の一般解であること, すなわち任意の初期値,
を与えたとき,
が任意の t 0 {\displaystyle t_{0}} と { ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ⋯ , ξ n − 1 , ξ n } {\displaystyle \left\{\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\cdots ,\xi _{n-1},\xi _{n}\right\}} に対して常に解けることを示そう.それは次の定理によって保証される.
定理 3.5
p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の 1 次独立な n {\displaystyle n} 個の解を,
とすると,次の行列式,
は決して 0 {\displaystyle 0} になることはない.この行列式を Wronsky の行列式といい,
などで表す.
証明
いまある t 0 {\displaystyle t_{0}} に対して Wronsky の行列式が 0 {\displaystyle 0} となったとする.このとき 1 次方程式,
には,すべては 0 {\displaystyle 0} でない解が存在する.それを,
としよう.この値を用いて
を作れば,これは p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解であって,しかも,
を満たす.よって解の一意性から, x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} でなければならない. このとき { φ 1 , φ 2 , ⋯ φ n } {\displaystyle \left\{\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots \varphi _{n}\right\}} の 1 次独立性から,
でなければならない.これは矛盾である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例81 {\displaystyle \quad }
φ 1 , φ 2 {\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}} が 1 次独立で, W [ φ 1 , φ 2 ] ≡ 0 {\displaystyle W[\varphi _{1},\varphi _{2}]\equiv 0} となる例を作れ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
n {\displaystyle n} 階の線形定常常微分方程式の任意の解は, n {\displaystyle n} 個の独立な解を見出せばその 1 次結合で表されることが分かった. この n {\displaystyle n} 個の独立な解のことを,解の基本系または基本解系という.この事実は次の定理にまとめられる.
定理 3.6
n {\displaystyle n} 階の線形定常常微分方程式の解の全体は, n {\displaystyle n} 次元ベクトル空間を作る.その基底は解の基本形である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/非同次の場合
まず次の例から始める.
を Laplace 変換すると,
ここに, q ( s ) {\displaystyle q(s)} は高々 3 次式の多項式である.
であるから,
となる.ここに A , B , C {\displaystyle A,B,C} は未知の定数である. A , B , C {\displaystyle A,B,C} を適当に選ぶことによって,任意の初期条件を満たす解が得られる. よってこれが一般解である.この解をみると,
という形をとっている.この特解は,その解法からわかるように,初期値がすべて 0 {\displaystyle 0} の解である. 一般に特解というのは,初期値を指定した特定の解という意味で,初期値が 0 {\displaystyle 0} の解という意味ではない.一般には次の定理が成立する.
定理 3.6
非同次線形微分方程式の任意の解は,非同次式の特定の解と同次式の解の和で表される.
証明
非同次式を
と書く.いま,
とすると,
が成立する.これにより,
となり,
すなわち,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例82 {\displaystyle \quad }
以下は大学入試問題に出た. f ( t ) = 1 + 2 cos t + 3 sin t {\displaystyle f(t)=1+2\cos t+3\sin t} のとき,
となるように A , B , C {\displaystyle A,B,C} を定めよ.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
容易に分かるように,
は微分方程式,
の解の基本系である.したがってそれらの 1 次結合 f ( t ) {\displaystyle f(t)} も f ( t − C ) {\displaystyle f(t-C)} も解である. それは重ね合わせの原理と定常性の原理からの帰結である. よってまた
も解であり,これが基底の一つ 1 {\displaystyle 1} に等しくなるようにせよという問題である. これは三角関数の加法定理を用いて
と求まるが,実はこれには物理的背景がある. 式 (3.30) は単振動の方程式,
と同じである. f ( t ) {\displaystyle f(t)} は c o n s t . = 1 {\displaystyle const.=1} のときの解である. また 1 2 f ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}f(t)} , 1 2 f ( t − C ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}f(t-C)} は c o n s t . = 2 {\displaystyle const.=2} のときの解である. 振動の周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } であるから, C = π {\displaystyle C=\pi } (半周期)ととると sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } の項は相殺する. C {\displaystyle C} は π {\displaystyle \pi } の奇数倍でもよい.
この種の現象は実際目で見ることができる.(図:「有限時間整定応答」)
最初 A {\displaystyle A} の位置に静止している振子の支点を t = 0 {\displaystyle t=0} で瞬間的に B {\displaystyle B} に移す. すると B {\displaystyle B} を中心として左右に振動し始める. C {\displaystyle C} の直下に錘がきた瞬間( t = π {\displaystyle t=\pi } の奇数倍)に支点を B {\displaystyle B} から C {\displaystyle C} に移すと, C {\displaystyle C} で静止する. 厳密には,この振子系は線形の微分方程式では表せないが,それでも実際にやってみると,うまく C {\displaystyle C} で静止するから面白い. このような現象は,線形定常常微分方程式で表される系ではいつでも実現できる. 一般的に考えると,微分方程式で表される系では,初期値が与えられると解の一意性から,特定のパターンを持った運動が持続する. そのとき,外からの操作によって,異なった初期値をもつ別のパターンの運動を実現させることができる. ある位置で静止させようと思えば,その位置にきたとき,初期条件が 0 {\displaystyle 0} となるようにうまく操作すればよい. 線形定常な系では,そのような操作は常に可能であり,自動制御の分野では,一部実用に供されている.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/実変数の複素数値関数
前章では Laplace 変換,
において, f ( t ) {\displaystyle f(t)} は実変数 t {\displaystyle t} の実数値関数, s {\displaystyle s} は実数と考えた. この章では, f ( t ) {\displaystyle f(t)} としては実変数 t {\displaystyle t} の複素数値関数をも許すものとする. すなわち,
を考える.ここに g ( t ) , h ( t ) {\displaystyle g(t),h(t)} は実数値関数であり,
と呼ぶ.また, s {\displaystyle s} は実数でも,複素数でもよいが,一応複素数としておく.
以下で取り扱う複素数値関数としては,次のものが一番重要である.
ここに α {\displaystyle \alpha } は複素数である.この関数の定義を述べよう.指数関数の Taylor 展開,
が, x {\displaystyle x} が複素数 i t {\displaystyle it} であっても成り立つとすればどのような結果が得られるか考えてみよう.
ここで最右辺の式の括弧内はそれぞれ cos t {\displaystyle \cos t} と sin t {\displaystyle \sin t} の Taylor 展開であるから,
という関係が得られる.これを Euler の公式と呼んでいる. ここで t = π {\displaystyle t=\pi } とおくと,
となる.これも Euler の公式ということがある. この公式の発見は,当時の数学界(サロン)におけるセンセーショナルな事件であったという. それは 1 , i , π , e {\displaystyle 1,i,\pi ,e} という当時知られていた数学の基本定数が,このような簡単なそして美しい関係で結び付けられていることに対する驚きによるものである.
我々は以後この結果から出発する.すなわち 式 (4.1) を指数関数 e i t {\displaystyle e^{it}} の定義とするのである.“良き結果は良き定義として採用できる”からである.このことは,これからの議論によって次第に明らかになるであろう.
まず,指数関数の加法定理,
が導かれる.なぜなら三角関数の加法定理から,
が出, これより直ちに,
が得られる からである.これらの式は d'Moivre の公式として知られている.
この加法定理が,もっと一般に成立するものだとすれば,
でなければならない.これが最初に述べた e α t {\displaystyle e^{\alpha t}} の定義である.すなわち,
定義 4.1
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例83 {\displaystyle \quad }
この定義から,
を示せ.
解答例
α = a + i b , β = c + i d ( a , b , c , d ∈ R ) {\displaystyle \alpha =a+ib,\beta =c+id\quad (a,b,c,d\in \mathbf {R} )} とおくと, e α t ⋅ e β t = e ( a + i b ) t ⋅ e ( c + i d ) t {\displaystyle e^{\alpha t}\cdot e^{\beta t}=e^{(a+ib)t}\cdot e^{(c+id)t}} = e a t ( cos b t + i sin b t ) ⋅ e c t ( cos d t + i sin d t ) {\displaystyle =e^{at}(\cos bt+i\sin bt)\cdot e^{ct}(\cos dt+i\sin dt)} = e ( a + c ) t e i ( b t ) e i ( d t ) ( ∵ cos b t + i sin b t = e i ( b t ) , e t c . ) {\displaystyle =e^{(a+c)t}e^{i(bt)}e^{i(dt)}(\because \cos bt+i\sin bt=e^{i(bt)},etc.)} = e ( a + c ) t e i ( b t + d t ) ( ∵ e i t e i τ = e i ( t + τ ) ) {\displaystyle =e^{(a+c)t}e^{i(bt+dt)}(\because e^{it}e^{i\tau }=e^{i(t+\tau )})} = e { ( a + c ) + i ( b + d ) } t {\displaystyle =e^{\{(a+c)+i(b+d)\}t}} .
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の微分
の t {\displaystyle t} に関する微分を,
と定義する.したがって f ( t ) {\displaystyle f(t)} が微分可能とはその実部も虚部もともに微分可能であることを意味する. その他の性質もこれに準じて考えるものとする. この定義から直ちに,次の基本的性質が従う.
複素数値関数の微分の基本的性質
(1)
(2)
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例84 {\displaystyle \quad }
これらの事実を,微分の定義 式 (4.3) に従って証明せよ
解答例
f 1 = g 1 + i h 1 , f 2 = g 2 + i h 2 {\displaystyle f_{1}=g_{1}+i\ h_{1},\ f_{2}=g_{2}+i\ h_{2}} とする
I(1)
I(2)
II
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例85 {\displaystyle \quad }
f ( t ) = e α t , α = a + i b {\displaystyle f(t)=e^{\alpha t},\quad \alpha =a+ib} を微分せよ.
解説
であるから,
ここで
であるから,
よって最初に戻って
すなわち α {\displaystyle \alpha } が複素数のときも,実数のときと同じ公式,
が成立する. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
この例題から,複素係数の微分方程式,
の解が,
であることが分かる.式 (4.4) において
とおいて,実部と虚部に分けると,実係数の連立方程式,
となる. この解は z = e α t z 0 {\displaystyle z=e^{\alpha t}z_{0}} の実部と虚部であって,
となる.ここに z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}} である. あるいは z 0 = r e i θ ( r > 0 ) {\displaystyle z_{0}=re^{i\theta }\quad (r>0)} と極形式で表すと,
を得る.
さて 式 (4.4) を微分記号 D = d d t {\displaystyle D={\frac {d}{dt}}} を用いて表すと,
と書ける.この式に z = e α t x {\displaystyle z=e^{\alpha t}x} を代入すると,
となることは,複素数値関数の微分の基本的性質Iの (2) から容易に分かる.よって,
であるから,上述の解 z = e α t z 0 {\displaystyle z=e^{\alpha t}z_{0}} が得られる.この技法を一般化して,微分方程式,
の解を求めてみよう.
とおいて,上式に代入すると,
となる.これより,
を得る.この多項式の係数は複素数でよい.また式 (4.5) の解の基本系は,
である.
次にもっと一般の複素係数の微分方程式,
を考えよう.ここに係数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} はすべて複素数とする.この場合も実係数の微分方程式の場合と同様に,重ね合わせの原理,定常性の原理などが成立することは明らかであろう.複素関数の微分に関する基本的性質I・IIがあるので,前章での証明をなんら変更する必要はない.
また,微分方程式(4.6)に付随する特性多項式が,
と因数に分解できるとき,
も成立することも同様である.前章では述べなかったが,係数が実数であっても複素数であっても,次の補題が成立する.
補題 4.1 {\displaystyle \quad }
ここに, p 1 ( s ) {\displaystyle p_{1}(s)} と p 2 ( s ) {\displaystyle p_{2}(s)} は互いに素ならば,
が成り立つ.
証明
p 1 {\displaystyle p_{1}} と p 2 {\displaystyle p_{2}} が互いに素であるから,
となる多項式 μ ( s ) , ν ( s ) {\displaystyle \mu (s),\nu (s)} が存在する. よって,
が成り立つが,仮定を満たすとき左辺は 0 {\displaystyle 0} となるから, z = 0 {\displaystyle z=0} を得る. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
系 {\displaystyle \quad } 同じ条件の下に,
ならば, z 1 ( t ) {\displaystyle z_{1}(t)} と z 2 ( t ) {\displaystyle z_{2}(t)} は 1 次独立である. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
証明は演習問題とする. 以上は同次方程式の場合だけを述べたが,非同次方程式の場合も前章と同じ結果が成立する.
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素振幅の方法
もとに戻って,実係数微分方程式,
を考える. a i ∈ R {\displaystyle a_{i}\in \mathbf {R} } であるが, f ( t ) {\displaystyle f(t)} は複素数値関数で,
とする.そうすれば解も当然複素数値関数となるので,
とおくことにしよう.これらを式 (4.7) に代入して,両辺の実部と虚部を等置すると,二つの実形式の微分方程式,
を得る.この性質を利用すると,
の特解を簡単に見出すことができる. ただし, A ∈ R {\displaystyle A\in \mathbf {R} } とする.それには
に注目して,式 (4.8) の代わりに,
を解き,解の虚部を取り出せばよいのである.そこで解を,
と仮定して式 (4.9) に代入すると,
を得る.これを特性多項式を用いて表すと,
となる.いま p ( i ω ) ≠ 0 {\displaystyle p(i\omega )\neq 0} と仮定すると,
となり,式 (4.9)の解は,
と求まる.この虚部を取り出すために,
と複素数の極形式で表すと,
となり,この式の虚部を取り出し,
と求まる.これが式 (4.8) の解である.この技法を複素振幅の方法と呼んでいる.
例86 {\displaystyle \quad }
の特解を上例にならって求めよ.
解答例
A e a t cos ( b t + c ) {\displaystyle Ae^{at}\cos(bt+c)} を実部に持つ複素指数関数は, A e a t e i ( b t + c ) {\displaystyle Ae^{at}e^{i(bt+c)}} ( ∵ A e a t e i ( b t + c ) = A e a t { cos ( b t + c ) + i sin ( b t + c ) } ) {\displaystyle (\because Ae^{at}e^{i(bt+c)}=Ae^{at}\left\{\cos(bt+c)+i\sin(bt+c)\right\})} A e a t e i ( b t + c ) = A e a t e i b t e i c = A e i c e ( a + i b ) t {\displaystyle Ae^{at}e^{i(bt+c)}=Ae^{at}e^{ibt}e^{ic}=Ae^{ic}e^{(a+ib)t}} よって、解 z = B e i c e α t , α = a + i b {\displaystyle z=Be^{ic}e^{\alpha t},\quad \alpha =a+ib} とおく.これを与微分方程式に代入すると, B e i c p ( α ) e α t = A e i c e α t {\displaystyle Be^{ic}p(\alpha )e^{\alpha t}=Ae^{ic}e^{\alpha t}} B = A p ( α ) ∴ z = A p ( α ) e i c e α t {\displaystyle B={\frac {A}{p(\alpha )}}\therefore z={\frac {A}{p(\alpha )}}e^{ic}e^{\alpha t}} p ( α ) = | p ( α ) | e i θ {\displaystyle p(\alpha )=|p(\alpha )|e^{i\theta }} と極形式におくと, z = A | p ( α ) | e i c + α t − i θ = A | p ( α ) | e i c + ( a + i b ) t − i θ {\displaystyle z={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{ic+\alpha t-i\theta }={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{ic+(a+ib)t-i\theta }} = A | p ( α ) | e a t e i ( b t + c − θ ) {\displaystyle ={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{at}e^{i(bt+c-\theta )}} この実部をとると, x = A | p ( α ) | e a t cos ( b t + c − θ ) , α = a + i b {\displaystyle x={\frac {A}{|p(\alpha )|}}e^{at}\cos(bt+c-\theta ),\quad \alpha =a+ib}
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分
実変数 t {\displaystyle t} の複素数値関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} が与えられているとき,
となる関数 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数という.
例87 {\displaystyle \quad }
は e α t {\displaystyle e^{\alpha t}} の原始関数.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
A i n C {\displaystyle Ain\mathbf {C} } を任意の定数とするとき, F ( t ) + A {\displaystyle F(t)+A} も f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数となる.これを,
と表す.時には A {\displaystyle A} を省略することがある.
さてこのように定義すると g ( t ) , h ( t ) {\displaystyle g(t),h(t)} を実関数とし,
なるとき,
すなわち,
が成立する.
事実, f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数の一つを,
とすると,微分の定義から,
であるが,これが,
に等しいのであるから,相等の定義から,
となる.これは G , H {\displaystyle G,H} が実関数 g , h {\displaystyle g,h} の原始関数であることを意味するから,
と書ける.ここに a , b {\displaystyle a,b} は任意の実定数である.ここで A = a + i b {\displaystyle A=a+ib} とおくと,
すなわち,
を得る.
例88 {\displaystyle \quad }
の実部と虚部を等置することにより,
を得る. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
複素数値関数 f ( t ) = g ( t ) + i h ( t ) {\displaystyle f(t)=g(t)+ih(t)} の定積分を,
と定義する.このとき微分積分学の基本公式が成立する.
微分積分学の基本公式
証明
実関数に対する基本公式,
は既知であるから,第 2 式に i {\displaystyle i} を掛けて加えればよい.
また定積分に関して次の性質が成立する.
複素数値関数の積分の基本的性質
[I] f 1 ( t ) , f 2 ( t ) {\displaystyle f_{1}(t),f_{2}(t)} を複素数値関数, c 1 , c 2 ∈ C {\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbf {C} } とすれば
[II] f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} を複素数値関数とするとき,
[III] f ( t ) {\displaystyle f(t)} を複素数値関数, φ ( τ ) {\displaystyle \varphi (\tau )} は実数値関数とする.このとき,
ここに, a = φ ( τ a ) , b − φ ( τ b ) {\displaystyle a=\varphi (\tau _{a}),b-\varphi (\tau _{b})} .
[IV]
ここに f ( t ) {\displaystyle f(t)} は複素数値関数
[V] f ( t ) {\displaystyle f(t)} を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする.
以下に IV の証明だけ与えておく. ほかは,実関数に関する同様な公式を既知とすれば,複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる.
公式IVの証明
∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt} は複素数であるから,その偏角を θ {\displaystyle \theta } とおいて,極形式で表すと,
よって,
公式Iを用いて
定積分の定義により,
となる.左辺は実数であるから,右辺の第 2 項は 0 {\displaystyle 0} である.また,
であるから,実関数に関する公式IVを用いると,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/定義と例
f ( t ) {\displaystyle f(t)} を任意の有限な区間で積分可能の関数とするとき,
を f ( t ) {\displaystyle f(t)} の Laplace 変換ということ,およびその対応関係を記号 ⊏ {\displaystyle \sqsubset } で表すことなどは, 前章と同じである.ただ異なるところは,
(1) f ( t ) {\displaystyle f(t)} は実変数 t {\displaystyle t} の複素数値関数
(2) s = σ + i ω {\displaystyle s=\sigma +i\omega } は複素数
の 2 点である.
例89 {\displaystyle \quad }
1 {\displaystyle 1} の Laplace 変換,
は s {\displaystyle s} が実数の場合と同様である. R e s = σ > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \ s=\sigma >0} ならば,
である.ここに絶対値は複素数の絶対値を示す.よって,
となる.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例90 {\displaystyle \quad } e α t ( α = a + i b ) {\displaystyle e^{\alpha t}\quad (\alpha =a+ib)} の Laplace 変換
であるから,例 89の s {\displaystyle s} が s − α {\displaystyle s-\alpha } に変わっただけである. よって R e ( s − α ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \ (s-\alpha )>0} のとき Laplace 積分は存在して,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例91 {\displaystyle \quad } e a t cos b t {\displaystyle e^{at}\cos bt} の Laplace 変換
であるから,例 90の結果を用いると,
となる.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例92 {\displaystyle \quad }
e a t sin b t {\displaystyle e^{at}\sin bt} の Laplace 変換を例 91にならって求めよ.
解答例
定義 4.1 に従って, e ( a + i b ) t = e a t [ cos b t + i sin b t ] {\displaystyle e^{(a+ib)t}=e^{at}{\bigg [}\cos bt+i\sin bt{\bigg ]}} ...1 e ( a − i b ) t = e a t [ cos b t − i sin b t ] {\displaystyle e^{(a-ib)t}=e^{at}{\bigg [}\cos bt-i\sin bt{\bigg ]}} ...2 ( ∵ cos ( − θ ) = cos θ , sin ( − θ ) = − sin θ ) {\displaystyle \quad (\because \cos(-\theta )=\cos \theta ,\quad \sin(-\theta )=-\sin \theta )} cos b t {\displaystyle \cos bt} を導出するのには 1+2 を考えた,ここでは,1-2を考えてみると, e ( a + i b ) t − e ( a − i b ) t = 2 i e a t sin b t {\displaystyle e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}=2i\ e^{at}\sin bt} e a t sin b t = 1 2 i { e ( a + i b ) t − e ( a − i b ) t } {\displaystyle e^{at}\sin bt={\frac {1}{2i}}\left\{e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}\right\}} ⊐ 1 2 i { 1 s − ( a + i b ) − 1 s − ( a − i b ) } {\displaystyle \sqsupset {\frac {1}{2i}}\left\{{\frac {1}{s-(a+ib)}}-{\frac {1}{s-(a-ib)}}\right\}} = 1 2 i s − ( a − i b ) − { s − ( a + i b ) } s 2 − 2 a s + ( a 2 + b 2 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {s-(a-ib)-\{s-(a+ib)\}}{s^{2}-2as+(a^{2}+b^{2})}}} = 1 2 i 2 i b ( s − a ) 2 + b 2 = b ( s − a ) 2 + b 2 {\displaystyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {2ib}{(s-a)^{2}+b^{2}}}={\frac {b}{(s-a)^{2}+b^{2}}}}
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/指数位の関数
さて一般に, L [ f ( t ) ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)]} が存在するための十分条件は,導入章にも言及しておいたように, f ( t ) {\displaystyle f(t)} が次の関係を満たすことである.すなわち t {\displaystyle t} が十分大きいところで,
となることである.このとき f ( t ) {\displaystyle f(t)} を指数 α {\displaystyle \alpha } 位の関数ということは前にも述べた. α {\displaystyle \alpha } を特に意識する必要のないときは, α {\displaystyle \alpha } を省略して呼ぶことにする.
例93 {\displaystyle \quad }
f ( t ) {\displaystyle f(t)} が指数位の関数であるとき, R e f ( t ) {\displaystyle \mathrm {Re} \ f(t)} も I m f ( t ) {\displaystyle \mathrm {Im} \ f(t)} も指数位の関数であることを示せ.
解答例
f ( t ) = g ( t ) + i h ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t)=g(t)+i\ h(t),\quad g(t)} と h ( t ) {\displaystyle h(t)} は実数を定義域とした実数値関数とすると,
この式が成立するためには { g ( t ) e α t } {\displaystyle \left\{{\frac {g(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}} と { h ( t ) e α t } {\displaystyle \left\{{\frac {h(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}} の両方が有限の値に収束しなければならない. すなわち, g ( t ) = R e f ( t ) {\displaystyle g(t)=\mathrm {Re} \ f(t)} と h ( t ) = I m f ( t ) {\displaystyle h(t)=\mathrm {Im} \ f(t)} の両方が指数位である必要がある.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
f ( t ) {\displaystyle f(t)} が指数位 α {\displaystyle \alpha } の関数であるとき, R e s > α {\displaystyle \mathrm {Re} \ s>\alpha } に対して,
が存在することは明らかである.事実,
で, σ > α {\displaystyle \sigma >\alpha } のとき,
であるから,複素数値関数の基本的性質Vから L [ f ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[f]} の存在が保証されるのである.
例94 {\displaystyle \quad }
t n e α t ( α ∈ C ) {\displaystyle t^{n}e^{\alpha t}\quad (\alpha \in \mathbf {C} )} は任意の n {\displaystyle n} に対して指数位の関数である.
事実,
であるから, β > R e α , t > 0 {\displaystyle \beta >\mathrm {Re} \ \alpha ,\quad t>0} のとき,
したがって t n e α t {\displaystyle t^{n}e^{\alpha t}} の Laplace 変換が存在する.
であるから, R e s > R e α {\displaystyle \mathrm {Re} \ s>\mathrm {Re} \ \alpha } ならば, T → ∞ {\displaystyle T\to \infty } のとき,
これを逐次繰り返すことによって,
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
補題 4.2 {\displaystyle \quad } f ( t ) {\displaystyle f(t)} が指数位の関数ならば ∫ 0 t f ( τ ) d τ {\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )d\tau } もそうである.
証明
複素数値積分の基本的性質IVと式 (4.10) により, t > 0 {\displaystyle t>0} のとき,
ここに, M 1 := M α {\displaystyle M_{1}:={\frac {M}{\alpha }}} である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
木星
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木星は太陽系で最大の惑星である。太陽系からは5番目に近い、第5惑星である。
大気と構造

木星の中心には鉄などの岩石から成る中心核が存在する。核の外側は金属水素やヘリウムの層がある。
大気と構造

表層付近は水素とヘリウムの大気があり、アンモニアの氷や水の氷があると考えられている。
大気と構造

木星の表層には大赤斑という大きな渦があり長径26000kmであるため地球の直径の約2倍である。
大気と構造

木星は土星のようなはっきりとした環はないがボイジャー1号により発見された。成分はケイ酸塩などで木星の衛星に隕石が衝突した時に環が作られた考えられている。
木星のトロヤ群

木星のラグランジュ点L4とL5の位置は木星のトロヤ群と呼ばれる。
木星のトロヤ群

ここに位置する小惑星は木星と公転周期がほぼ同じである。
木星探査

木星はガス惑星であるため着地できず、フライバイのみによる探査となる。
木星探査

1973年、パイオニア10号が初めて木星を訪れた。
木星探査

1979年からはボイジャー計画が始まり、多くの写真が撮影された。
木星探査

現在も探査機ジュノーなどが探査している。
土星
天文学 > 太陽系 > 土星
土星は太陽系にある惑星で第6惑星である。
概要

土星は木星と同じ木星型惑星(ガス惑星)で、太陽系内では太陽を除いて2番目に大きい。密度は0.7g/cm程度しかなく、水に浮く惑星と表現されることもある。
概要

半径は地球の約9.4倍、質量は地球の約95倍。
概要

その他データ
概要

大気の成分
構造

土星は密度が太陽系内の惑星で最も小さい。木星と同じくガス惑星であり、風により縞模様が見られる。特に南側ではドラゴンストームと呼ばれる嵐が見られる。
構造

土星には環があり太陽系内ではいちばんはっきりと見える。土星の環にはA~G環までがあり土星側からD、E、B、A、F、G、Eの順である。また、AとBの間にはカッシーニの間隙と言われる隙間があり、AとFの間にはロシュの間隙と言われる隙間がある。環の粒子の主成分は水の氷であり、その大きさなどは環ごとで異なっている。
構造

土星の環の形成はまだ明瞭ではないが、彗星や小惑星の潮汐力による破壊であるという仮説がある。
構造

また、土星の環は非常に薄く、日によって角度が変わって見えるため環が見にくくなることがある。
土星探査

土星探査は土星が地球の約9から10倍ほどの場所を公転しているため最初に到達したのは1979年のパイオニア11号である。
土星探査

その後、ボイジャー1号が土星の衛星タイタンにある大気を発見した。
土星探査

現在もカッシーニが2004年から打ち上げられており、土星やその衛星の数々の写真を撮影している。
天王星
天文学 > 太陽系 > 天王星
天王星は太陽系の第7惑星である。
概要

天王星は木星型惑星(ガス惑星)に分類され、更に細かい分類では天王星型惑星に分類される。太陽を除いて太陽系で3番目に大きい。
概要

半径は地球の約4倍。質量は地球の約14.5倍。
概要

赤道傾斜角が約98°のため環は横倒しされたように見える。
概要

自転周期は約17時間、公転周期は約84年である。このため極では公転周期の半分、42年間昼か夜が続いた状態になっている。42年間も昼や夜が続いているが熱は対流により天王星全体に行き渡っているので天王星の表面の温度はほぼ同じである。
大気と構造

ガス惑星であるため、大気は主に水素とヘリウムから成る。また、メタンが2%ほど含まれているため天王星は青く見える。 大気の成分
大気と構造

天王星は中心から核、マントル、大気の順の構造である。マントルには水やアンモニア、メタンなどの氷が含まれていると考えられている。また、核の部分には地球と同じく鉄やニッケルが含まれている。
大気と構造

天王星には現在、衛星が27個、環が13個発見されている。天王星の主な衛星にはアリエル、ウンブリエル、チタニア、オベロン、ミランダの5つがあり、ミランダ以外はどれも直径が1000kmを超える。
天王星探査

天王星は土星より更に遠いので探査も土星より遅く1986年のボイジャー2号によるフライバイが初の探査である。
天王星探査

天王星への探査計画は考案されているものの遠いため計画は難航している。
海王星
Main Page > 自然科学 > 天文学 > 太陽系 > 海王星
海王星は太陽から一番遠い惑星で太陽系の第8惑星。
概要

海王星は天王星と同じく木星型惑星(ガス惑星)に分類され、天王星型惑星にも分類される惑星である。
概要

半径は地球の約3.8倍。質量は約17倍。
概要

表面温度は-200°Cを下回り、惑星の中では遠いのもあって最も低い。
概要

自転周期は約16時間。公転周期は太陽から一番遠い惑星なので一番長く、164.8年にもなる。
大気と構造

海王星はガス惑星であるため水素とヘリウムを多く含む。海王星は天王星のようにメタンを含むので青く見える。大気の成分は以下の通りである。
大気と構造

海王星の内部は内側から核、マントル、大気の順である。マントルの部分に水やアンモニア、メタンの氷があると思われている。
大気と構造

海王星には現在も現在衛星が14個、環が5個発見されている。海王星の衛星であるトリトンは大気を持つが厚さは地球の7万分の1程度である。
海王星探査

海王星はいちばん遠いため探査は難しく、1989年に接近したボイジャー2号のみが探査に成功している
海王星探査

ネプチューン・オービターなどの計画が考案されるも難航している。
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質
前章と同様に,次の基本的性質が成立する. f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} を複素数値関数, α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } を複素数とする.
複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質
I
II f ( t ) ⊐ F ( s ) , g ( t ) ⊐ G ( s ) {\displaystyle f(t)\sqsupset F(s),g(t)\sqsupset G(s)} とすれば,
III
証明
第 1 段: f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} が実数値関数のとき,
s = σ + i ω {\displaystyle s=\sigma +i\omega } とすると,積分の定義から,
である.第 1 項を I 1 {\displaystyle I_{1}} ,第 2 項を − i I 2 {\displaystyle -iI_{2}} とおき,積分順序を交換すると,前章と同様にして,
を得る.よって I 1 − i I 2 {\displaystyle I_{1}-iI_{2}} は再び積分の定義により,
となる.よって 前章と同じ関係式,
ここで積分変数を ξ := t − τ {\displaystyle \xi :=t-\tau } と変更すれば,積分の基本的性質IIIにより,
を得る.これで f ( t ) , g ( t ) {\displaystyle f(t),g(t)} が実数値関数のとき証明ができた.次に,
第 2 段: f = f 1 + i f 2 , g = g 1 + i g 2 {\displaystyle f=f_{1}+if_{2},g=g_{1}+ig_{2}} のときを証明する.
であるから,第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質IIを用いればよい. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
このように,基本的性質が示されたので前章と同様に,微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる. 例えば,
積分
微分
など.これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる.また,
移動定理
などの証明も,前章と全く同様である.
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法
まず,複素係数の線形定常常微分方程式
を考える.ここに a i ∈ C {\displaystyle a_{i}\in \mathbf {C} } とする.これを初期条件,
の下に Laplace 変換すると,実係数の場合と同様にして,
を得る.ここに p ( s ) {\displaystyle p(s)} は式 (4.11) に付随する特性多項式, q ( s ) {\displaystyle q(s)} は ξ i {\displaystyle \xi _{i}} で決まる高々 n − 1 {\displaystyle n-1} 次の多項式である.
一般に,複素係数の多項式は,代数学の基本定理により,複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから,それを,
とすると,これに対応して,
と部分分数に展開できる.それゆえ,この原像は,
または
と求まる.ここに f i ( t ) {\displaystyle f_{i}(t)} は t {\displaystyle t} の多項式で次数は高々 l i − 1 {\displaystyle l_{i}-1} ,係数は複素数である.
複素数値関数の微分に述べたように,
であるから
となり,式 (4.12) が式 (4.11) の解であることが分かる.解の一意性の証明も全く同じであるから,繰り返さない.また非同次方程式,
の解法も,全く同様である.なお,式 (4.11) の解の基本系は,
となる.実際,これらが 1 次独立となることは,前章の証明よりも,はるかに容易に示し得る. 事実,補題 4.1 の系によれば,
は一次独立であるから,あとは,
の 1 次独立性だけを示せばよい.これは,
の 1 次独立性と同じであるから,明らかである.
微分方程式式 (4.11) の係数が実数の場合を,この章の立場から述べておく. 特性方程式 p ( s ) {\displaystyle p(s)} が 1 次の因数に分解できることは同様であるが,その内容は,
のような形をしている.ここに c i ∈ R , α j , α j ̄ ∈ C {\displaystyle c_{i}\in \mathbf {R} ,\alpha _{j},{\overline {\alpha _{j}}}\in \mathbf {C} } で α j ̄ {\displaystyle {\overline {\alpha _{j}}}} は α j {\displaystyle \alpha _{j}} の共役複素数である. このとき解の基本系は,次の 3 種類の型のものから成り立っている.
I型は実関数である.しかし,II,III型は複素数値関数である.これらを,
ここに α = a + i b , α ̄ = a − i b {\displaystyle \alpha =a+ib,\ {\overline {\alpha }}=a-ib} を用いて実関数の基本形に直すと,II,IIIの変わりに,
となる.I,II',III'が実形式で表した解の基本形である.前章で求めたものと形は異なるが,この方が導出が簡単である.
例94 {\displaystyle \quad }
{I,II',III'}が解の基本系となること,すなわち 1 次独立であることを示せ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
非同次方程式の一般解は,同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは,前章と同様である.
ここに述べたように,一般に,理論的な話をするときには,複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい. しかし実際に初期値問題を解くときには,前章の手法の方が優れている. ただ,一般解を求めるのは,本章の方法によるのが賢明である.