解析学基礎/数列の極限
定義

数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が、実数αに収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ lim n → ∞ a n = α , lim n → ∞ a n = ∞ , lim n → ∞ a n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty ,\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty } と書き、それぞれの定義を次のようにする。
定義

例 数列 a n = n p ( p ∈ Z ) {\displaystyle a_{n}=n^{p}(p\in \mathbb {Z} )} について、 lim n → ∞ a n = { ∞ , p ≥ 1 1 , p = 0 0 , p ≤ − 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}\infty ,&p\geq 1\\1,&p=0\\0,&p\leq -1\end{cases}}}
定義

[1] p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} のとき
定義

[2] p = 0 {\displaystyle p=0} のとき
定義

[3] p < 0 {\displaystyle p<0} のとき
性質

lim n → ∞ a n = α , lim n → ∞ b n = β {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha ,\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta } のとき、次の等式が成立する。
性質

証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。
性質

証明 任意のε>0に対して、あるNが存在して n > N {\displaystyle n>N} ならば | a n − α | < ε 2 , | a n − β | < ε 2 {\displaystyle |a_{n}-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}},|a_{n}-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}} なので、 | α − β | ≤ | α − a n | + | a n − β | ≤ ε {\displaystyle |\alpha -\beta |\leq |\alpha -a_{n}|+|a_{n}-\beta |\leq \epsilon } εは任意より、α=β
性質

証明 任意の ε>0に対して、あるNが存在して n > N {\displaystyle n>N} ならば α − ε < a n < α + ε , β − ε < b n < β + ε {\displaystyle \alpha -\epsilon <a_{n}<\alpha +\epsilon ,\beta -\epsilon <b_{n}<\beta +\epsilon } なので、 α − ε < a n ≤ b n < β + ε ∴ α − β < 2 ε {\displaystyle \alpha -\epsilon <a_{n}\leq b_{n}<\beta +\epsilon \ \therefore \alpha -\beta <2\epsilon } εは任意の正の数なので、α≤β
性質

証明は関数の極限と同じなので省略する。
性質

証明 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が有界な単調増加列とし、 sup a n = α {\displaystyle \sup a_{n}=\alpha } とおく。上限の定義より、任意のεに対し、 α − ε < a N {\displaystyle \alpha -\epsilon <a_{N}} を満たす自然数Nが存在し、 n > N {\displaystyle n>N} のとき、単調増加性より、 α − ε < a N < a n ≤ α {\displaystyle \alpha -\epsilon <a_{N}<a_{n}\leq \alpha } 。つまり、数列 a n {\displaystyle a_{n}} は収束する。
性質

証明 a 1 ≤ a n < b n ≤ b 1 {\displaystyle a_{1}\leq a_{n}<b_{n}\leq b_{1}} より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β
性質

証明 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} を有界とする。 m 1 < a n < M 1 , I 1 = [ m 1 , M 1 ] {\displaystyle m_{1}<a_{n}<M_{1},I_{1}=[m_{1},M_{1}]} とおく。 [ m 1 , m 1 + M 1 2 ] , [ m 1 + M 1 2 , M 1 ] {\displaystyle [m_{1},{\frac {m_{1}+M_{1}}{2}}],[{\frac {m_{1}+M_{1}}{2}},M_{1}]} のうち、有限個の{an}の項しか含んでいない方でない方を I 2 = [ m 2 , M 2 ] {\displaystyle I_{2}=[m_{2},M_{2}]} とおく。 このようにして数列 m n , M n {\displaystyle m_{n},M_{n}} を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。 また、すべての自然数kに対して、 m k < a n k < M k {\displaystyle m_{k}<a_{n_{k}}<M_{k}} を満たす自然数 n k {\displaystyle n_{k}} が存在し、はさみうちの原理から部分列 { a n k } {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}} は収束する。
性質

証明 ε1を固定して、ε =ε1のときのNをN1とおくと、n>N1のとき、 a N 1 − ε 1 < a n < a N 1 + ε 1 {\displaystyle a_{N_{1}}-\epsilon _{1}<a_{n}<a_{N_{1}}+\epsilon _{1}} より、数列は有界で、前性質より収束する部分列 { a n k } {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}} を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数Nが存在して、 n k , n > N ⇒ | a n k − α | < ε 2 ∧ | a n − a n k | < ε 2 {\displaystyle n_{k},n>N\Rightarrow |a_{n_{k}}-\alpha |<{\frac {\epsilon }{2}}\land |a_{n}-a_{n_{k}}|<{\frac {\epsilon }{2}}} が成り立つので、三角不等式より、 | a n − α | < | a n − a n k | + | a n k − α | < ε {\displaystyle |a_{n}-\alpha |<|a_{n}-a_{n_{k}}|+|a_{n_{k}}-\alpha |<\epsilon }