解析力学 運動方程式の一般化
変分法

ある関数 L ( q 1 , q 2 , ⋯ , q K , q ̇ 1 , q ̇ 2 , ⋯ , q ̇ K ) {\displaystyle L(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{K},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{K})} があるときに、
変分法

S = ∫ t 0 t 1 d t L ( q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , ⋯ , q K ( t ) , q ̇ 1 ( t ) , q ̇ 2 ( t ) , ⋯ , q ̇ K ( t ) ) {\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,L(q_{1}(t),q_{2}(t),\cdots ,q_{K}(t),{\dot {q}}_{1}(t),{\dot {q}}_{2}(t),\cdots ,{\dot {q}}_{K}(t))}
変分法

を最小にする q i ( t ) {\displaystyle q_{i}(t)} はどのようなものだろうか。
変分法

まずは簡単な例として、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を最小にする x {\displaystyle x} について考えよう。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が最小値を取るとき、 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} となるのだった。 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} となることは、 x {\displaystyle x} を微小量 δ x {\displaystyle \delta x} だけ変化させたとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の変化量 δ f := f ( x + δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \delta f:=f(x+\delta x)-f(x)} は δ f = 0 {\displaystyle \delta f=0} になるということである。
変分法

ここからの類推で、 S ( { q i } , { q ̇ i } ) {\displaystyle S(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})} を最小にする { q i ( t ) } {\displaystyle \{q_{i}(t)\}} について、 { q i ( t ) } {\displaystyle \{q_{i}(t)\}} を少しだけ変化させて { q i ( t ) + δ q i ( t ) } {\displaystyle \{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\}} (ただし、境界条件 δ q i ( t 0 ) = δ q i ( t 1 ) = 0 {\displaystyle \delta q_{i}(t_{0})=\delta q_{i}(t_{1})=0} を課す)としたときの S {\displaystyle S} の変化量 δ S = S ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − S ( { q i } , { q ̇ i } ) {\displaystyle \delta S=S(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-S(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})} は δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} となると考えることが出来る。
変分法

δ S = S ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − S ( { q i } , { q ̇ i } ) = ∫ t 0 t 1 d t L ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − ∫ t 0 t 1 d t L ( { q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) } ) = ∫ t 0 t 1 d t [ L ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − L ( { q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) } ) ] = ∫ t 0 t 1 d t ∑ k = 1 K ( ∂ L ∂ q k δ q k + ∂ L ∂ q ̇ k δ q ̇ k ( t ) ) = ∑ k = 1 K ∫ t 0 t 1 d t ( ∂ L ∂ q k δ q k + ∂ L ∂ q ̇ k δ q ̇ k ( t ) ) = ∑ k = 1 K [ ∂ L ∂ q ̇ k q k ( t ) | t 0 t 1 + ∫ t 0 t 1 d t δ q k ( t ) ( ∂ L ∂ q k − d d t ∂ L ∂ q ̇ k ) ] = ∑ k = 1 K ∫ t 0 t 1 d t δ q k ( t ) ( ∂ L ∂ q k − d d t ∂ L ∂ q ̇ k ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=S(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-S(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,L(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,L(\{q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)\})\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,[L(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-L(\{q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)\})]\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\sum _{k=1}^{K}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\delta q_{k}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta {\dot {q}}_{k}(t)\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\delta q_{k}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta {\dot {q}}_{k}(t)\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}q_{k}(t)|_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\delta q_{k}(t)\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\right]\\&=\sum _{k=1}^{K}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\delta q_{k}(t)\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\\&=0\end{aligned}}}
変分法

ここで、 δ q k ( t ) {\displaystyle \delta q_{k}(t)} は任意であるので、オイラー=ラグランジュ方程式
変分法

d d t ∂ L ∂ q ̇ k − ∂ L ∂ q k = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0}
変分法

を得る。
変分法

さて、変分法を利用したいくつかの簡単な例を紹介しよう。
変分法

水平な2点を、その2点間距離を ややこえる長さのヒモで結んだ場合、当然、ロープは、たれる。 このように、ロープなどを垂らした時にできる曲線のことを懸垂線(けんすいせん)という。
変分法

計算例のように、導関数y’で偏微分するという操作が必要になる。
ラグランジアンと最小作用の原理

「変分」という考えを用いて、運動方程式の定義を数式で書く事を、この記事では考える。以下、力学における変分の計算方法を説明していく。
ラグランジアンと最小作用の原理

では、変分を用いてニュートン方程式を書き換えることを考える。まず古典力学でのニュートン方程式は
ラグランジアンと最小作用の原理

の形で書かれる。
ラグランジアンと最小作用の原理

変分をするためにラグランジアンという量を導入する。まだ、ラグランジアンの具体的な形は分からないけど、ある質点などの座標位置を q {\displaystyle q} として、その位置の時間微分(つまり速度)を q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} とすれば。
ラグランジアンと最小作用の原理

という形になる事が分かっており、加速度 q ̈ {\displaystyle {\ddot {q}}} は考えなくて良い事が分かっている。やや天下り的だが、 q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} が運動量というの係数倍に相当するからである。運動量は、運動している質点などの保存量である。いっぽう、加速度は、運動している質点の保存量ではないからである。(なお、ラグランジアンLはスカラー量(ベクトルでない数)である。)
ラグランジアンと最小作用の原理

ラグランジアンをある時間の範囲で積分したものを、
ラグランジアンと最小作用の原理

と書き、作用と呼ぶ。ここで運動方程式を得るための原理として、"運動方程式は、少しだけ q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} を変化させたとしても、作用が変化しないような値を出す q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} の関係によって与えられる。"ということを要求する。
ラグランジアンと最小作用の原理

このとき、 q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} を変化させたときの実際の作用の変化 δS を計算すると(δはデルタと読む)、
ラグランジアンと最小作用の原理

常微分関数 q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} で偏微分することの数学的正当性が理解しづらいかもしれないが、ひとまず、こう計算してもらいたい。詳細は後述する。 ここで、2行目から3行目では、部分積分によって
ラグランジアンと最小作用の原理

とした。右辺で部分積分で出てくる項を消すために、" q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} は積分範囲の両端である t = ti , tf では変化しない"という要請を加えた。
ラグランジアンと最小作用の原理

最小作用の原理によると、このときにδS = 0 でなくてはならない。δq の値に関わらずδS = 0 が成り立つためには、
ラグランジアンと最小作用の原理

が成り立つ必要がある。よって、この式が運動方程式となる。
ラグランジアンと最小作用の原理

特にq が通常の座標x である時のことを考える。ここで、
ラグランジアンと最小作用の原理

とおくと、式(1)は、
ラグランジアンと最小作用の原理

となり、通常の自由な粒子の運動方程式に一致する。ここで、
ラグランジアンと最小作用の原理

は粒子の運動エネルギーである。
ラグランジアンと最小作用の原理

また、保存力の中で、特に物体の速度によらない力を受けて運動している粒子に対しては、その力によって得られる位置エネルギーをV (q ) 、物体の運動エネルギーをT と表すとき、
ラグランジアンと最小作用の原理

とすると、式(1)は、
ラグランジアンと最小作用の原理

となるが、右辺は保存力に対する力を表わすのでこのときのラグランジアンは
ラグランジアンと最小作用の原理

で与えられることが分かる。
ラグランジアンと最小作用の原理

また、自由な角運動量に対するラグランジアンは
ラグランジアンと最小作用の原理

によって与えられ、これは剛体の角運動量が持つ(慣性モーメントは剛体以外持つことが出来ないことに注意)エネルギーを表わす。
ラグランジアンと最小作用の原理

ラグランジアンは、単に、高校物理でも習うような運動方程式の定義を、変分という数学的手法にもとづいて、言い換えたものである。
ラグランジアンと最小作用の原理

ラグランジアンは、物理学において公式を導くための、物理の(ほぼ全ての分野での)共通の指針である。
一般化座標

ところで、角運動量に関する方程式は
一般化座標

と書かれる(I は慣性モーメント、 ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} は角速度、 N → {\displaystyle {\vec {N}}} は物体に働く力のモーメント)。
一般化座標

角運動量の式は、ニュートン方程式に似ている。
一般化座標

ニュートン方程式
一般化座標

ラグランジアンは、このような運動法則を統一的に記述できる。
一般化座標

統一的に記述できると、ある場合には都合が良い。このような座標の記述方法の統一化の目的で、よくラグランジアンや後述のハミルトニアンが利用される事もある。
運動量、ハミルトニアンの定義

ラグランジアンを用いるとき、運動量p は
運動量、ハミルトニアンの定義

と定義される。実際、自由な粒子に対しては、
運動量、ハミルトニアンの定義

が得られ、正しいことが分かる。速度に依存した力を考える場合、p は必ずしも一般的な運動量と一致しない。
運動量、ハミルトニアンの定義

このとき、ここで定義した運動量を一般化された運動量と呼んで通常の運動量と区別する。
運動量、ハミルトニアンの定義

次に、エネルギーの記述を一般化することを考えよう。これから説明するハミルトニアン H が、エネルギーを一般化したものに相当する。
運動量、ハミルトニアンの定義

L は q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} を変数として用いる量である。しかし、それよりもq , p を変数として用いた方が便利なことがある。このような量を p , q ̇ {\displaystyle p,{\dot {q}}} の間のルジャンドル変換によって作ることが出来る。これをハミルトニアンH と呼び、
運動量、ハミルトニアンの定義

で定義する。特に L = T ( q ̇ ) − V ( q ) {\displaystyle L=T({\dot {q}})-V(q)} を満たす場合、
運動量、ハミルトニアンの定義

が得られ、H は系の全エネルギーと一致する。この結果はエネルギー保存則の導出に用いられる。
正準方程式

ハミルトニアン H ( { q i } , { p i } ) = T + V {\displaystyle H(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\,=T+V} において
正準方程式

が成り立つ。これを正準方程式という。