線型代数学/計量ベクトル空間
このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ(ノルム)や内積を定義する。
2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。
数ベクトルのノルム・内積

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは | | a | | {\displaystyle ||a||} で表され、
数ベクトルのノルム・内積

と定義される。これをaのノルム (norm)と言う。
数ベクトルのノルム・内積

例
数ベクトルのノルム・内積

演習
数ベクトルのノルム・内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
数ベクトルのノルム・内積

をaとbの内積 (inner product)という。
数ベクトルのノルム・内積

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、
数ベクトルのノルム・内積

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。
数ベクトルのノルム・内積

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
数ベクトルのノルム・内積

演習
数ベクトルのノルム・内積

空間ベクトル
数ベクトルのノルム・内積

とのなす角が π 6 {\displaystyle \pi \over 6} であり、かつ
数ベクトルのノルム・内積

とのなす角が π 4 {\displaystyle \pi \over 4} であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。
数ベクトルのノルム・内積

注)そのようなベクトルはただひとつではない。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

V {\displaystyle \ V} を R {\displaystyle \mathbb {R} } または C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の線型空間とする。(以下、 K {\displaystyle \mathbf {K} } は一般の体ではなく、実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } または複素数体 C {\displaystyle \mathbb {C} } を指すことにする )
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

x , y ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \ V} に対して、 K {\displaystyle \mathbf {K} } の元をかえすような演算 ( x , y ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} が次の(I)~(IV)の性質をみたすとき、 ( x , y ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} を内積という。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

また、
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

で定義される量をxのノルムという。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間(計量線型空間)という。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

1. V = C n , x , y ∈ C n {\displaystyle \ V=\mathbb {C} ^{n},\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {C} ^{n}} のとき、
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

とすれば、これは内積になっている。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

2. V = M ( m , n ; R ) , A , B ∈ M ( m , n ; R ) {\displaystyle \ V=\ M(m,n;\mathbb {R} ),\ A,\ B\in \ M(m,n;\mathbb {R} )} のとき、
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

とすれば、これは内積になっている。(Trについては行列概論を参照)
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

3. V = {\displaystyle \ V=} { 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} 上連続な関数} , f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle \ f(x),\ g(x)} は 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} 上連続な関数のとき、
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

とすれば、これは内積になっている。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

定理 ∀ x , ∀ y ∈ V {\displaystyle \forall \mathbf {x} ,\forall \mathbf {y} \in \ V} に対して、次の(1),(2)の不等式が成り立つ。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

(1) | ( x , y ) | ≤ | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle |(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq ||\mathbf {x} ||\cdot ||\mathbf {y} ||} (シュワルツの不等式)
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

等号が成り立つのは、 x = α y {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha \mathbf {y} } と書ける場合のみ。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

(2) | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | {\displaystyle ||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||\leq ||\mathbf {x} ||+||\mathbf {y} ||}
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

等号が成り立つのは、実数 β ≥ 0 {\displaystyle \beta \geq 0} を用いて、 y = β x {\displaystyle \mathbf {y} =\beta \mathbf {x} } と書ける場合のみ。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

(証明)(1) a , b ∈ K {\displaystyle \ a,b\in \mathbf {K} } とすると
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

ここで、 a = | | y | | 2 , b = − ( x , y ) {\displaystyle \ a=||\mathbf {y} ||^{2},\ b=-(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} とおけば、
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

両辺を | | y | | 2 {\displaystyle ||\mathbf {y} ||^{2}} で割り、正の平方根をとれば、
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

| ( x , y ) | ≤ | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle |(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq ||\mathbf {x} ||\cdot ||\mathbf {y} ||} となる。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

等号が成り立つのは、 0 = | | a x + b y | | 2 {\displaystyle 0=||a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ||^{2}} すなわち、 0 = a x + b y {\displaystyle \mathbf {0} =a\mathbf {x} +b\mathbf {y} } となるときだから、 x = α y {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha \mathbf {y} } と書ける。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

(2) | | x + y | | 2 = ( x + y , x + y ) = | | x | | 2 + ( x , y ) + ( y , x ) + | | y | | 2 ≤ | | x | | 2 + 2 | ( x , y ) | + | | y | | 2 ≤ | | x | | 2 + 2 | | x | | | | y | | + | | y | | 2 = ( | | x + y | | ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||^{2}=(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=||\mathbf {x} ||^{2}+(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )+||\mathbf {y} ||^{2}\\&\leq ||\mathbf {x} ||^{2}+2|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|+||\mathbf {y} ||^{2}\\&\leq ||\mathbf {x} ||^{2}+2||\mathbf {x} ||||\mathbf {y} ||+||\mathbf {y} ||^{2}\\&=(||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||)^{2}\\\end{aligned}}}
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

したがって、正の平方根をとれば | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | {\displaystyle ||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||\leq ||\mathbf {x} ||+||\mathbf {y} ||} となる。
R

,

C



{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }

 上の線型空間でのノルム・内積

1つ目の等号は ( x , y ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )} が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は x = α y {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha \mathbf {y} } と書けるとき成り立つ。この2つの条件から、実数 β ≥ 0 {\displaystyle \beta \geq 0} を用いて、 y = β x {\displaystyle \mathbf {y} =\beta \mathbf {x} } と書けるときのみ等号が成立する□
基底の直交化

計量ベクトル空間 V {\displaystyle V} のベクトル x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、 ( x i , x j ) = { 1 ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle (x_{i},x_{j})={\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}}} であるとき、ベクトル x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} は正規直交系(orthonormal system)であるという。ONSとも表される。
基底の直交化

計量ベクトル空間 V {\displaystyle V} の正規直交系 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} が、 ⟨ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ⟩ = V {\displaystyle \left\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right\rangle =V} であるとき、 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} は、正規直交基底(orthonormal basis)または、完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという。CONSとも表される。
基底の直交化

計量ベクトル空間 V {\displaystyle V} の線形独立なベクトル v 1 , v 2 , ⋯ , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}} を使って正規直交系を作ることができる。
基底の直交化

u 1 = v 1 u 2 = v 2 − ( u 1 , v 2 ) ( u 1 , u 1 ) u 1 u 3 = v 3 − ( u 1 , v 3 ) ( u 1 , u 1 ) u 1 − ( u 2 , v 3 ) ( u 2 , u 2 ) u 2 ⋮ u n = v n − ( u 1 , v n ) ( u 1 , u 1 ) u 1 − ( u 2 , v n ) ( u 2 , u 2 ) u 2 − ⋯ − ( u n − 1 , v n ) ( u n − 1 , u n − 1 ) u n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&={\boldsymbol {v}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&={\boldsymbol {v}}_{2}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&={\boldsymbol {v}}_{3}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{n}&={\boldsymbol {v}}_{n}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}-\dotsb -{\frac {({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {u}}_{n-1})}}{\boldsymbol {u}}_{n-1}\\\end{aligned}}}
基底の直交化

とすると、 u 1 , u 2 , ⋯ , u n {\displaystyle u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}} は互いに直行するベクトルとなる。
基底の直交化

e i = u i | | u i | | {\displaystyle e_{i}={\frac {u_{i}}{||u_{i}||}}} とすると、 e 1 , e 2 , ⋯ , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}} は正規直交系となる。
基底の直交化

これをグラム・シュミットの直交化法(Gram–Schmidt orthonormalization)という。