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中学受験社会/時事
本ページ (中学受験社会/時事) では2024(令和6) 年の中学受験生向けに2023 (令和5) 年度の時事を掲載しています。
政治

2023年5月19日から5月21日まで、7年ぶりに7か国で構成されるG7サミットが日本で開催されました。 G7は 日本・アメリカ・カナダ・イタリア・フランス・イギリス・ドイツ の7つの先進国首脳会議です。
社会・経済

近年、AIを用いた文章や画像の生成を行えるインターネット上のサイトが増加しています。
社会・経済

2022年には対話型のAIチャットボットが発表され、大きな話題となっています。
社会・経済

一方で、AIの活用にはさまざまな問題が発生します。
社会・経済

2023年1月、ある飲食チェーン店内での不適切行為を撮影した動画がSNS上で拡散され、批判が殺到し、さまざまなメディアで報道されました。この飲食チェーン店を運営する企業の株価は大幅に下落し、大きな影響を与えています。
文化

2023年度のNHK大河ドラマは 『どうする家康』です。江戸幕府の初代将軍である 徳川家康 を描いています。
文化

2023年度のNHK朝ドラ(連続テレビ小説) の前期(4~9月)は、『らんまん』です。モデルは現在の高知県出身の植物学者の牧野富太郎です。後期(10月~2023年3月)は、『ブギウギ』です。
参考

2024=2*2*2*11*23
過去の時事について

過去の時事、および時事問題はこちらのページにあります。
ラテン文学の作家と著作/黄金期
はじめに

ここでは、古典ラテン文学黄金期に著作を表した作家(Golden Age Latin writers )とその著作について、それぞれ紹介する。
はじめに

黄金期は、さらに、
はじめに

に細分化されている。
はじめに

ラテン語で著作を著わした著名な作家を、時代区分・生没年の順に配列した一覧表。日本語名・ラテン語名・英語名・仏語名ごとにソートすることができるようになっている。
そのほかの作家

ティトゥス・ポンポーニウス・アッティクス(Titus Pomponius Atticus:前110/109-32)は、ローマ共和制期の富豪・文芸愛好家・作家。#キケローの親友としてよく知られる。
そのほかの作家

キケローが前68年~前44年に彼に宛てた手紙を、アッティクス自身がすべて公開し、これは『アッティクス宛書簡集』(Epistulae ad Atticum)として知られる。また、伝記作家#コルネリウス・ネポースは、アッティクスの伝記を著している。アッティクス自身の著作はほぼ散逸したが、ローマの政治史や文学史を扱った『年代記』(Liber annalis)1巻のみが伝存する。詳しくは、次の記事を参照。
そのほかの作家

マルクス・ウェッリウス・フラックス(Marcus Verrius Flaccus:前55頃-後20)は、帝制初期にアウグストゥス帝に仕えた文法家。
そのほかの作家

ガーイウス・コルネーリウス・ガッルス(Gaius Cornelius Gallus:前70頃-26)は、ローマの政治家・弁論家・詩人。エレゲイア詩を書いたとされるが、散逸して残っていない。
そのほかの作家

ガーイウス・リキニウス・マケル・カルウス(Gaius Licinius Macer Calvus:前82-47年)は、ローマの弁論家・詩人。弁論においては#キケローに劣らぬ名声があり、詩人としても#カトゥッルスと並ぶほどであったが、その作品はわずかな断片が残るのみである。年代記作家#リキニウス・マケルの息子。詳しくは、次の記事を参照。
そのほかの作家

クゥイーントゥス・ホルテーンシウス・ホルタルス(Quintus Hortensius Hortalus:前114-50)は、ローマの政治家・弁論家。ローマにおける弁論の第一人者で、#キケローの好敵手として知られる。詳しくは、次の記事を参照。
そのほかの作家

ガーイウス・リキニウス・マケル(Gaius Licinius Macer:前118頃-66頃)は、ローマの政治家・年代記作家。息子は、弁論家・詩人の#カルウス。
そのほかの作家

ローマ建国以来の『年代記』(Annales)(少なくとも21巻)を著したが、そのほとんどは散逸した。弁論家としても名声があった。詳しくは、次の記事を参照。
小学校・中学校・高等学校の学習/ウィキブックスについて
ウィキブックス日本語版をご利用いただき、ありがとうございます。このページでは、児童・生徒の方を対象にウィキブックスについて解説します。
ウィキブックスについて

有志が作った、インターネット上のフリー教科書です。ウィキペディアの姉妹プロジェクトです。日本語版ウィキブックスでは現在13,615項目が書かれています。
ウィキブックスの読み方

ウィキブックスの読み方を説明します。
節のタイトル

教科書の本文です。大切なところは太字で強調されている場合があります。
リンクの色と進捗状況の見方

Wikibooksのリンクには、赤リンクと青リンクがあります。 赤リンクのサンプル 赤リンクになっているページは、存在しないページです。これをクリック、またはタップすると、そのページの作成画面が表示されてしまいます。基本的に押さないようにしましょう。
リンクの色と進捗状況の見方

青リンクのサンプル 青リンク(あるいは紫)になっているページは、すでに存在するページです。※他のウェブサイトへのリンクになっている場合もあります。 また、青リンクのそばには進捗状況を示すテンプレートが貼ってある場合があります。
リンクの色と進捗状況の見方

:数行の文章か目次があります。
リンクの色と進捗状況の見方

:本文が少しあります。
リンクの色と進捗状況の見方

:本文が半分ほどあります。
リンクの色と進捗状況の見方

:間もなく完成します。
リンクの色と進捗状況の見方

:一応完成しています。
リンクの色と進捗状況の見方

なお、このテンプレートやその横の日付をクリック、またはタップすると別のページが表示されてしまいます。注意してください。
Wikibooksについての注意

内容が少ない場合や、教科書などと異なる内容がふくまれている場合があります。また、学校の授業や教科書などと内容が異なる場合は、必ずそちらに従ってください。
Wikibooksについての注意

画像の準備の都合上、画像が用意できない場合もあります。
Wikibooksについての注意

また、この教科書には、中立的でない記述や独自研究、特定の考え方への誘導と思われる記述が含まれている場合があります。
Wikibooksについての注意

活動人数が少ないため、更新頻度は少なくなっています。そのため、誤字や、誤った・古い情報が存在したり、まれにページが荒らされたままになっていたりしますのでご注意ください。共同編集というシステム上、編集合戦が発生することがあります。
Wikibooksの利用について

Wikibooks上の文章や画像は、ウィキブックスのどこのページのいつのものかを書けば自由に複製・改変してご利用いただけます。ただし、そのことによって生じた損害について、ウィキブックス(ウィキメディア財団)は一切の責任を負いません。
Wikibooksの利用について

できるだけ、保護者の方などに下の内容を読んでもらいましょう。
小学校算数/4学年/4つの4の答え
4つの4の答えの例

4×4÷(4×4)=1
中学受験国語
Main Page > 小学校・中学校・高等学校の学習 > 中学受験参考書 > 中学受験国語
中学受験国語では、中学受験国語について解説しています。
小学校書写
小学校の書写では、文字をていねいに書く書き方について学びます。
中学受験理科
メインページ > 小学校・中学校・高等学校の学習 > 小学校の学習 > 中学受験参考書 > 中学受験理科
本ページは中学受験生向けの理科の教科書です。学習したい内容を各ページのリンクから選んで読んでください。
中学受験算数/演習
Main Page > 小学校・中学校・高等学校の学習 > 中学受験参考書 > 中学受験算数/演習
問題の質が悪いため、良質な問題を募集しています。 追記:問題量増加必須
比と割合

次の問いに答えなさい。
総合演習

中学受験算数演習/総合演習
解答解説

中学受験算数演習/解説
電磁気学/電磁場/第一類/初等ベクトル解析/ベクトル
ある量が大きさと方向を指定すると決められるとき,その量をベクトル (vector) といい,ここでは太文字 A {\displaystyle \mathbf {A} } などであらわす. 細文字 A = | A | {\displaystyle A=|\mathbf {A} |} はそのベクトルの大きさを示すものとする. いま二つのベクトル a {\displaystyle \mathbf {a} } と b {\displaystyle \mathbf {b} } を考えたとき,その合成ベクトル c {\displaystyle \mathbf {c} } は
であらわされ,その方向と大きさは図A.1のように平行四辺形の法則であたえられる.
このとき,
がなりたつことが容易に確められる. ベクトル A {\displaystyle A} と同じ方向の大きさが 1 {\displaystyle 1} のベクトルを n {\displaystyle \mathbf {n} } とかき, これを単位ベクトルという.すると,
とかくことができる.図A.2 のような直交座標を考えよう.
このとき原典 O {\displaystyle \mathrm {O} } から点 P {\displaystyle \mathrm {P} } に向かってひいたベクトル O P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}} を位置ベクトルといい, r {\displaystyle \mathbf {r} } とかく.また x , y , z {\displaystyle x,y,z} 軸のそれぞれの方向を向く単位ベクトルを x , y , z {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} } であらわすと, 任意のベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } は
とかくことができる.この e x , e y , e z {\displaystyle \mathbf {e_{x}} ,\mathbf {e_{y}} ,\mathbf {e_{z}} } を基本ベクトルという. ここで A x , A y , A z {\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}} はベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } のそれぞれの軸の方向の成分の大きさである. 明らかに
である.
小学校英語/3学年
※「Let's Try! 1」をもとに作成予定です。「Let's Try! 1」をPDFで見られるサイト:https://web.archive.org/web/20210505193811/http://www.kyokyo-u.ac.jp/eibun/andrew/classes/booklet3_all.pdf
P.2~P.5 Unit1 Hello!

P.4Let's Listen
P.2~P.5 Unit1 Hello!

音声
P.2~P.5 Unit1 Hello!

放送文
P.2~P.5 Unit1 Hello!

No.1
P.2~P.5 Unit1 Hello!

Hello. I'm Olivia. I'm from America.
P.2~P.5 Unit1 Hello!

No.2
P.2~P.5 Unit1 Hello!

JUMBO! I'm Jomo. I'm from Kenya.
小学校英語/4学年
※「Let's Try! 2」をもとに作成予定です。「Let's Try! 2」をPDFで見られるサイト:http://www.kyokyo-u.ac.jp/eibun/andrew/classes/booklet4_all.pdf
Wikijunior:環境の問題とヒトの進化/ヒトの起源
このページでは、ヒトが初めて生まれてきた時(猿人)を説明します。
ヒトとはなにか

ヒトの祖先は、チンパンジーやゴリラなどに近い仲間です。チンパンジーなどに近い仲間から分かれて「ヒト」となったのは、約600万年前〜700万年前と考えられています。チンパンジーなどとの大きな違いは、いくつかあります。直立二足歩行をする事です。チンパンジーなどは、4つの足で歩く四足歩行をしますが、ヒトは2本の足で歩くようになりました。
ヒトとはなにか

四足歩行のすがたを想像してみてください。体をささえる、4本の足の外に、脳がある頭がありますね。もしも、脳が大きくなれば、体をささえるのに、バランスが悪くなって運動したりするのにこまることがわかると思います。では、二足歩行ではどうでしょう。体をささえる、2本の足のま上に、頭がありますね。この姿勢がたもてるようになれば、脳が大きくなっても、運動にこまることがありません。
ヒトとはなにか

こうして、ヒトの脳はだんだんと大きいものになり、たくさんのやったことをおぼえる(記憶する)ことができるようになりました。仲間への合図のさけび声がくりかえされることによって、たとえば、「ライオンを見つけて、仲間とにげるとき」と「えもののシカを見つけて、仲間とおうとき」のように、さけび声をだすときの状況のちがいで、さけび声がちがうようになって、それが記憶され、また、つたえられて言葉・言語になります。
ヒトとはなにか

走るのに使わなくなった前足は、物をつかむことで「手」として、物を道具として利用することができるようになりました。
この頃のヒトの姿

脳の容量は現在の1/3で、大人の身長でも、110cmほどだったと言われています。
この頃のヒトの姿

まだ尻尾は生えていて、足でものを器用に使えました。今のヒトは、足でものをつかむ必要がなくなったため、足で器用に物をつかめません。皆さんは、足で棒などをしっかりつかめますか?他にも、「虫垂(盲腸の先端)」や、尾骶骨も今では退化し、意味をなさない器官になっています。このような器官を痕跡器官といいます。
なぜ進化したのか

アフリカでの乾燥化によって森林が縮小されたことに背景はあり、森林での生活からサバンナの大変な生活に対応するためにヒトがチンパンジーなどから分かれたという説があります。ジャワ原人とか北京原人などの原人がいますが、決してインドネシアや中国が元々の起源ではなく、アフリカが起源だと言われています。
ヒトの化石

ヒトにも化石はあり、猿人から新人まで幅広くあります。けれど、自分たちのような今を生きる人達とは血がつながっておらず、途中で、ぜつめつしたものと考えられています。
この頃の環境の変化

このような気候が挙げられます。現時点ではこれらが分かっています。
役に立つリンク集・関連項目

ヒトの起源-大人向けの解説本です。
中学受験社会/地理
Main Page > 小学校・中学校・高等学校の学習 > 中学受験参考書 > 中学受験社会 > 中学受験社会/地理
中学受験社会/地理では、これから中学受験をされる方への地理の教科書をご案内いたします。ご活用ください。
日本語/品詞/自立語/体言/代名詞
代名詞は、文中で、名詞を何度も使用することを避けるために使われる言葉である。
人称代名詞

人を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。
人称代名詞

自分を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。<例>私、俺、僕、麿など
人称代名詞

聞き手を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>あなた、君、お前など
人称代名詞

自分とと聞き手以外の人を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>彼、彼女、あいつ、こいつなど
人称代名詞

誰か不明の人を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>どいつ、誰かなど
指示代名詞

物を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。
指示代名詞

話し手にとって近い物事を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>これ、ここ、この
指示代名詞

聞き手にとって近い物事を表す固有名詞の代わりに使用する言葉。 <例>それ、そこ、その
指示代名詞

話し手、聞き手の両方にとって遠い物事を表す固有名詞の言葉。 <例>あれ、あそこ、あの
指示代名詞

不明の物事を表す言葉。 <例>どれ、どこ、どの
使い分け

人称代名詞においては、時と場に応じて、使う代名詞に変化がある。
Wikijunior:インターネットとの付き合い方
皆さんは、インターネットについて考えたことがありますか?小学生の人でも、もうスマートフォンなどを持っている人もいるかと思います。そこで、インターネットやスマホとの付き合い方を考えましょう。
目次

発明と発見の世界
目次

自然界
目次

私たち人間の世界
目次

テストの対策
役に立つリンク集

保護者の皆様の方へ はじめにをご覧ください。
役に立つリンク集

編集者の方々へ このプロジェクトで作業をするときは、子ども向けに作るということを忘れないでください。すべての項目を詳述することよりも、理解されるように書くことのほうが重要です。必要であれば専門用語を使うことは構いませんが、なるべく簡単に書いてください。
役に立つリンク集

また、有志でこのページを編集してくださっている方は「有志編集者」のページにユーザー名を残して下さい。
小学校音楽
小学校の音楽では、音や楽器・歌に親しみ、かんしょうします。
電磁気学/電磁場/第一類/初等ベクトル解析/ベクトルのスカラー積
2 個のベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } と B {\displaystyle \mathbf {B} } とのスカラー積 (scalar product) A ⋅ B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} } を,
で定義する.ここで ( A B ) {\displaystyle (AB)} はベクトル A , B {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} } のあいだの角度である. (A.4) の定義から,
であることがわかる.さきの単位ベクトル e x , e y , e z {\displaystyle \mathbf {e_{x}} ,\mathbf {e_{y}} ,\mathbf {e_{z}} } はその大きさが 1 {\displaystyle 1} で,互いに直交しているから,
である.また
もすぐ証明できる.いまある単位ベクトル n {\displaystyle \mathbf {n} } を考えると
となる.これはベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } の n {\displaystyle \mathbf {n} } 方向の成分の大きさをあらわすから
とかける.さて
であるから, A n {\displaystyle A_{n}} を直角座標系の成分でかくと
となる.また,スカラー積 A ⋅ B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} } を直角座標系の成分でかくと,(A.5) の性質から
となる.
ラテン文学の作家と著作/白銀期
はじめに

ここでは、古典ラテン文学黄金期に著作を表した作家(Silver Age Latin writers )とその著作について、それぞれ紹介する。
はじめに

白銀期は、さらに、
はじめに

などと細分化されることがある。
はじめに

ラテン語で著作を著わした著名な作家を、時代区分・生没年の順に配列した一覧表。日本語名・ラテン語名・英語名・仏語名ごとにソートすることができるようになっている。
中学受験社会/地理/上巻
中学受験社会/地理/上巻では、これから中学受験をされる方への社会科地理分野を解説します。
地図の見方

地図上では実際の距離を、そのまま地図に表すことはできません。元の大きさのままそこで、縮小してかいています。
地図の見方

この、実際の距離を、地図に、ちぢめた割合を、縮尺といいます。
地図の見方

縮尺は、分数で、あらわします。
地図の見方

5万分の1の縮尺の地図では、地図上での 1cm の距離は、実物では、 50000cm = 500m になります。
地図の見方

縮尺の数字は、5万分の1だけでなく、他の数字の場合もあります。
地図の見方

2万5千分の1の縮尺の地図では、地図上での 1cm の距離は、実物では、 25000cm = 250m になります。
地図の見方

10万分の1の縮尺の地図では、地図上での 1cm の距離は、実物では、 100000cm = 1000m = 1km になります。
地図の見方

縮尺の表し方は、「5万分の1」といった表し方のほかにも 1 50000 {\displaystyle {\frac {1}{50000}}} といった表し方や、 あるいは 1:50000 と、表す場合も、あります。
地図の見方

日本の国土の全体の地図や、県の地図など、正確で広い地図をつくるのは、とても、手間が、かかります。
地図の見方

正確な地図は、距離をはかるだけでなく、高さも、はからないと、いけません。
地図の見方

日本では、国土地理院が、正確な地図を発行しています。
地図の見方

おなじ高さの地点を結んだ線を 等高線(とうこうせん)といいます。
地図の見方

山の高さ や 谷の深さなど、地図上での土地の高さは、等高線を つかって あらわします。
地図の見方

等高線の間かく(かんかく)が、せまいほど、実物のかたむきが、急です。
地図の見方

等高線の間かくが、広いほど、実物のかたむきが、ゆるやかです。
各地方の暮らし

岐阜県のあたりにある、木曽川・長良川(ながらがわ)・揖斐川(いびがわ)の下流の流域には 濃尾平野(のうびへいや) があります。 木曽川・長良川・揖斐川の三つの川は、伊勢湾(いせわん)に通じています。
各地方の暮らし

この三つの川の下流の流域は堤防で囲まれている土地が多いです。堤防で囲まれた土地を輪中(わじゅう)と言います。 濃尾平野の川の流域には輪中が多いです。
各地方の暮らし

輪中の中の土地の高さは川の水面と同じくらいか、水面よりも低いことが多いです。
各地方の暮らし

この濃尾平野の輪中には、水田が多いです。
各地方の暮らし

この土地は低地なので水がたまりやすいので、水はけがわるいです。水田は水を必要としますが、水がたまりすぎても、稲はよく育ちません。なので、この土地の人は、かわりに水田を高くしようと、土をもって、そのうえに水田をつくります。水田のまわりの土を掘って、その掘った土で田を高くするので 堀田(ほりた) といいます。
各地方の暮らし

最近では、洪水は起きていませんが、もし起きても、被害(ひがい)が少なくなるように、この輪中の住人たちは工夫をしています。
各地方の暮らし

この輪中の土地では、家をたてるときは、盛り土をして家の土台を高くします。 こうすることで、もし洪水が起きても、ひがいを減らしたいわけです。
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明
以上の準備の下に,Laplace 変換による解法の正しさを証明することができる. この章の初めに述べたことを,特性方程式を用いて簡単に復習しておこう.
特性方程式を,
とするとき,同次方程式
および非同次方程式
を初期条件
の下に解くという問題であった.
[定理 3.2]
ここに, q ( t ) {\displaystyle q(t)} は高々 n − 1 {\displaystyle n-1} 次の任意の多項式である. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
これを示すことが目標である.一般に,
と因数分解できるから,補題3.2 を念頭におけば,定理 3.2 は,
の場合に証明すれば十分である.
は例67で示した.よって,定理は,
の場合だけ示せばよい.ところで補題 3.3 に留意すれば,
の場合だけを論ずればよいことが分かる.したがって,
を確めればよいことが分かる.ところが,これらは前章ですでに示されている. すなわち 式 (2.33) によれば,
より直ちに,
が出る. また,
に注意すれば,
も明らかである.以上で定理の (i) の部分が示された.
(ii) の部分は次のようにして示される.いま証明したことから,
は p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解である.しかも初期値は,
を満たす.この初期条件に留意しつつ g ∗ f {\displaystyle g*f} に合成積の微分の公式を次々に適用すると,
および,
となり,上から順に a n , a n − 1 , a n − 2 , ⋯ a 2 , a 1 , 1 {\displaystyle a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\cdots a_{2},a_{1},1} を掛けて加えると,
を得る.
この証明からも分かる通り, f ( t ) {\displaystyle f(t)} の Laplace 変換が存在しなくても g ∗ f {\displaystyle g*f} は,
の解となる.たとえば,
において, e t 2 {\displaystyle e^{t^{2}}} の Laplace 変換は存在しないが,
が解であることは明らかである.
公立小松大対策
本項は、公立小松大学の入学試験対策に関する事項である。
公立小松大学は石川県小松市に拠点を置く公立大学である。生産システム科学部、保健医療学部、国際文化交流学部を有する。
共通テスト

どの学部も共通テストの割合が高いため、共通テスト対策を念入りに行う必要がある。2次試験は生産システム科学部は数学、物理の2教科、それ以外の学部は小論文の1科目の出題となる。
2次試験

生産システム科学部は数学、物理の2教科の出題、それ以外の学部は小論文の1科目が課される。
2次試験

生産システム科学部のみ課される。出題範囲は数学I•A,II・B,IIIである。 90分で大問4題出題され、半分は数IIIからの出題である。大問は2~4問からなる誘導形式で解いていく問題である。難易度は基礎から標準レベルであるので、教科書章末問題、教科書傍用問題集のB問題で基礎を身につけ、「黄チャート」レベルの参考書で入試に必要なテーマの問題を演習してから過去問演習をするとよい。数IIIの複素数平面、微積分、極限がよく出題されている。数III以外の分野は、年毎に出題される分野が異なっている傾向である。したがって分野毎の偏りがないように対策する必要がある。
2次試験

生産システム科学部のみ課される。出題範囲は物理基礎、物理である。 100分で大問4題出題され、力学から1題、電磁気学から1題、波動から1題、熱力学から1題と満遍なく出題されている。教科書の基本事項から標準レベルまで出題されているので、学校で配布されている問題集(リードα、セミナー等)を徹底的に繰り返してから過去問演習するとよい。計算だけでなく現象、理由の説明問題、グラフの図示、図の作図問題が出題されている。
2次試験

保健医療学部と国際文化交流学部で出題されている。 保健医療学部は60分で、与えられたテーマに沿って2000語程度で小論文を作成する。 国際文化交流学部は120分で英語、日本語それぞれ1題ずつ計2題出題され、本文の内容に沿った記述、論述式解答の読解問題と本文に関連するテーマに沿って自分の意見を日本語でそれぞれ400字程度で論述する問題が出題される。
電磁気学/電磁場/第一類/初等ベクトル解析/ベクトルのベクトル積
2 個のベクトル A {\displaystyle \mathbf {A} } と B {\displaystyle \mathbf {B} } によってつくられる平行四辺形の面積は,
であたえられる.
電磁気学/電磁場/第一類/真空電磁場の基本法則/電場と磁場の定義
物理的真空中に帯電体があると,そのまわりに電場ができる. 電場が物理的量として意味をもつためには,その測定方法があたえられなくてはならない. そのため,あらかじめ帯電させた点電荷をもちいる. このとき,点電荷とは電子のような素粒子的な意味における点電荷ではなく,巨視的な意味で点とみなせるほど微小な古典的粒子という意味である. したがって,厳密にはある 1 点における電場というものは物理的に意味を持たない. ただ,ある微小な空間領域における平均的な場のみが測定可能である. さて,この微小電荷を試験子として電場内にもちこみ,その座標値が x {\displaystyle \mathbf {x} } であたえられる場所にそれを静止させたとき(電子のような素粒子を試験子として用いたのでは,その量子力学的交換のため,それを静止させることはできない),それにはたらく力が F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )} であったならば,
解析学基礎/解析概論/第一類
基本の概念
付録1
解析学基礎/解析概論/第一類/数の概念
数の概念及び四則演算法は既知と仮定する. 始めの中は実数のみを取り扱うから一々断らない. 次の用語は周知である.
自然数. 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3} 等.物の順位又は物の集合の個数を示す為に用いられる.
整数. 0 , ± 1 , ± 2 {\displaystyle 0,\pm 1,\pm 2} 等.自然数は正の整数である.
有理数. 0 {\displaystyle 0} 及び ± a b {\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}} ,但し a , b {\displaystyle a,b} は自然数. b = 1 {\displaystyle b=1} なるとき,それは整数である.
無理数. 有理数以外の実数.例えば
(但し,それらが有理数でないことは証明を要する)
十進法.実数を十進法で表すことも周知である. 有理数を十進法で表せば,数字は有限か,又は無限ならば循環小数になる. 但し,有限位数の十進数を循環小数の形に表すことも出来る. 例えば 0.6 = 0.5999 ⋯ {\displaystyle 0.6=0.5999\cdots } . 無理数を十進法で表すならば,無限の位数を要し,数字は決して循環しない.
吾々が十進法によって数を表すに至ったのは,手指の数にその原因があるのであろうが,理論上は 1 {\displaystyle 1} 以外の任意の自然数を基本として, 十進法と同様の方法によって,数を表すことが出来る.
特に二進法では,数は 0 {\displaystyle 0} と 1 {\displaystyle 1} とだけで足る.有理数を二進数で表せば,分母が 2 {\displaystyle 2} の巾になるものの外は,循環二進数になる.
解析学基礎/解析概論/第三類/論理と論理記号
数学では,「正しいこと」と「正しそうなこと」は厳しく区別されている. 正しそうに見えた主張が結局は成り立たたないことが分かった,という経験を積んできたからでもあるし,論証を積み重ねて進んで行くという数学の性格から,ある段階で間違いが入り込むと以後のすべてが無駄になってしまうおそれが大きいからである. そのため,数学の論証では,誤りを犯さないように記号を工夫して見やすくしたり,論理的な構造をはっきり意識するようになってきた. ここでは,普通に用いられる論理的な記号を説明する. 数理論理学そのものに関心がある方はその方面の成書で勉強して頂きたいが,論証を進める力になるものは,あくまでも数学的な対象への深い理解であることを強調しておきたい.
命題とその結合(命題論理) {\displaystyle \quad } 数学では,日常言語と違って,原理的に「真」か「偽」かのどちらかに定まっている文のみが議論の対象になり,これらを命題と呼ぶ. 少し例を挙げると,「今日は暑い」という文は,日常の場面では「今日私は暑いと感じている」ということの表現であることが多く,この用法の場合には「真」とか「偽」を問題にするほうがおかしい. 「今日は暑い」という文を真偽の定まった「命題」として受け取るためには,前提として「今日は暑い」ということの定義が,たとえば「最高気温 28 度以上は暑いという」というようにはっきりあたえられなくてはならない. 一方「真」か「偽」かのどちらかに原理的に定まっている文といっても,「真偽のどちらかが成り立っているのかすでに分かっている文」とは異なるわけである. 分かりやすい例で言えば,「円周率 π {\displaystyle \pi }
中学受験算数演習/解説
計算

(1)与式=67×28+33×28=(67+33)×28=100×28=2800
計算

(2)与式= 1 2 × 2 3 × 3 4 ⋅ ⋅ ⋅ 49 50 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\cdot \cdot \cdot {\frac {49}{50}}} =1× 1 50 {\displaystyle {\frac {1}{50}}} = 1 50 {\displaystyle {\frac {1}{50}}}
数の性質

問6、かき以外の値段は、すべて17の倍数であることに着目する。かきの値段88円は、17で割ると3余ることから、かき1個につき、値段を17で割った余りは3ずつ変化していく。1216を17で割った余りは9であるから、(17でわると3余る整数)個買ったことがわかる。しかし、20個以上買うと 20個の時点で、88 × {\displaystyle \times } 20 = {\displaystyle =} 1760 より、明らかに1216円を超えてしまう。よって、3個である。
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/線形定常性
は a i {\displaystyle a_{i}} が定数であるため,系の特性は時が経過しても不変である.したがってその解も時間軸を移動させても変わらないことが当然予想される. このことを用いて t 0 ≠ 0 {\displaystyle t_{0}\neq 0} で初期値が与えられている時の解法を見出すことができる.
定常性の原理 I
φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} が p ( D ) x = 0 {\displaystyle p(D)x=0} の解ならば, φ ( t + α ) {\displaystyle \varphi (t+\alpha )} も同じく解となる.ここに α {\displaystyle \alpha } は定数である.
証明
において t {\displaystyle t} を t + α {\displaystyle t+\alpha } に置き換えると,
となる.ここで,
が成立するので所要の結果が得られる.事実 k = 1 {\displaystyle k=1} の場合は, τ := t + α {\displaystyle \tau :=t+\alpha } とおくと,
となる. k ≧ 2 {\displaystyle k\geqq 2} の場合も同様である.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
つまり微分演算子が不変,すなわち D t = D t + α {\displaystyle D_{t}=D_{t+\alpha }} であるので,一般に a i {\displaystyle a_{i}} が定数であるから p t + α ( D ) = p t ( D ) {\displaystyle p_{t+\alpha }(D)=p_{t}(D)} が成立するということである.ここで添え字で微分する変数を示した.
例68 {\displaystyle \quad }
x ( t ) = cos β t {\displaystyle x(t)=\cos \beta t} は
の x ( 0 ) = 1 , x ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle x(0)=1,x'(0)=0} の解である.定常性の原理 Iによって,
も上の微分方程式の解である.しかも
を満足する. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
また非同次式の場合は,
において, t {\displaystyle t} を t + α {\displaystyle t+\alpha } とおくと,
前と同様の議論により,
となる.よって,
定常性の原理 II
x ( t ) {\displaystyle x(t)} を p ( D ) x = f ( t ) {\displaystyle p(D)x=f(t)} の解とすると, x ( t + α ) {\displaystyle x(t+\alpha )} は,
の解となる. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
中学受験社会/公民/財政
国の予算

国の1年間の収入(歳入)と支出(歳出)を見積もったものを 予算 といいます。日本の予算では、4月1日から翌年の3月31日を1年間としています。予算は年々高額になっており、2019年には100兆円を突破しました。2020年度の予算は、約105兆円となっています。予算案は内閣が作成し、国会で議決されます。
税の種類

所得が高いほど金額が高くなります(累進課税)。所得税、法人税、相続税などがあります。戦後には間接税より直接税のほうが大きくなっています。基本的人権の尊重という考え方が定着したためです。
税の種類

だれでも同じ金額を支払います。ですから、所得の低い人ほど負担の割合が大きくなります。消費税・関税・酒税などがあります。
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性
ここでは,初期値問題の解が唯一つしかないことを証明しておこう. そうすれば Laplace 変換を用いて求めたもの以外には解がないので安心である. 簡単な場合から順を追って説明する.
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合
の解が二つあると仮定し,それらを φ 1 ( t ) , φ 2 ( t ) {\displaystyle \varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)} とする.
であるから,
とおくと,これは
を満たす. u ( t ) ≡ 0 {\displaystyle u(t)\equiv 0} を示せばよい.上式の両辺に e a t {\displaystyle e^{at}} をかけると,
となる.これを t 0 {\displaystyle t_{0}} から t {\displaystyle t} まで積分すると, u ( t 0 ) = 0 {\displaystyle u(t_{0})=0} であるから,
を得る.
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/単振動の方程式の場合
の解の一意性を示すのは簡単である. m > 0 , k > 0 {\displaystyle m>0,k>0} である.前項と同様に考えて,
の解が x ≡ 0 {\displaystyle x\equiv 0} に限ることをいえばよい.いまこの系のエネルギーを考える:
これが保存されることは物理的にみて明らかである.事実,微分すると,
式 (3.14) を考慮すると,
となる.よって
を得,再び式 (3.14) の初期条件を思い起こすと, E ( t 0 ) = 0 {\displaystyle E(t_{0})=0} であることが分かる. すなわち,
この技法をエネルギーの方法といい,偏微分方程式の解の一意性を示す場合などにも使われる.
中学受験社会/資料出典・参考文献一覧
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(順不同)
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理
解の一意性の応用として,三角関数の加法定理の証明を紹介しよう. x ( t ) = sin ( t + α ) {\displaystyle x(t)=\sin(t+\alpha )} は,
の解であり,その初期値は,
である.この解は一つしかない.いま式 (3.15) , 式 (3.16) を満たす解を Laplace 変換で求めてみよう.
この原像は,
である.よって解の一意性から,
を得る.
例72 {\displaystyle \quad }
例にならって e t , cos t {\displaystyle e^{t},\cos t} の加法定理を導け.
解答例
x ( t ) = e t {\displaystyle x(t)=e^{t}} は d x d t − x = 0 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}-x=0} ...1 の解. よって定常性の原理より x ( t + α ) = e t + α {\displaystyle x(t+\alpha )=e^{t+\alpha }} も1の解であり,この解の1における初期値は x ( 0 ) = e α {\displaystyle x(0)=e^{\alpha }} ...2 12の微分方程式を解く. X ⊏ x {\displaystyle X\sqsubset x} とおくと, s X − e α − X = 0 {\displaystyle sX-e^{\alpha }-X=0} ∴ X = e α s − 1 {\displaystyle \therefore X={\frac {e^{\alpha }}{s-1}}} この原像は, x = e α e t {\displaystyle x=e^{\alpha }e^{t}} ...3 解の一意性より、12の特殊解は3のみであるから, e t + α = e t e α {\displaystyle e^{t+\alpha }=e^{t}e^{\alpha }} .
x = cos t {\displaystyle x=\cos t} は d 2 x d t 2 + x = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0} ...4 の解 よって定常性の原理より cos ( t + α ) {\displaystyle \cos(t+\alpha )} も4の解であり,この解の4における初期値は x ( 0 ) = cos α , x ′ ( 0 ) = − sin α {\displaystyle x(0)=\cos \alpha ,x'(0)=-\sin \alpha } ...5 45の微分方程式を解く. X ⊏ x {\displaystyle X\sqsubset x} とおくと, s 2 S − s cos α + sin α + sin α + X = 0 {\displaystyle s^{2}S-s\cos \alpha +\sin \alpha +\sin \alpha +X=0} ∴ X = s s 2 + 1 cos α − 1 s 2 + 1 sin α {\displaystyle \therefore X={\frac {s}{s^{2}+1}}\cos \alpha -{\frac {1}{s^{2}+1}}\sin \alpha } この原像は, x = cos t cos α − sin t sin α {\displaystyle x=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha } ...6 解の一意性より,45の特殊解は6のみであるから, cos ( t + α ) = cos t cos α − sin t sin α {\displaystyle \cos(t+\alpha )=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha }
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合
の解が一意であることを示すには,前と同様にして,
の解が x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} に限ることを示せばよい.そのために,
とおいて, u ( t ) ≡ 0 {\displaystyle u(t)\equiv 0} を示そう. 式 (3.17) に示したように,初期値は 0 {\displaystyle 0} であるから,
が成り立つ.これを用いて u ( t ) {\displaystyle u(t)} を計算する. K := m a x { | a | , | b | } {\displaystyle K:=\mathrm {max} \{|a|,|b|\}} とおくと,
と変形できるから,
を得る. 式 (3.18) の両辺に e − ( 1 + K ) t {\displaystyle e^{-(1+K)t}} をかけ移項すると,
となる.これを t 0 {\displaystyle t_{0}} から t {\displaystyle t} まで積分すると,
すなわち,
を得る.これと 式 (3.18) より,
よって,
となり,証明が完了する. t < t 0 {\displaystyle t<t_{0}} の場合も同様である.
例73 {\displaystyle \quad }
u ( t ) := { x ( t ) } 2 + { x ′ ( t ) } 2 {\displaystyle u(t):=\left\{x(t)\right\}^{2}+\left\{x'(t)\right\}^{2}} とおいてももちろん証明はできる.試みよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例74 {\displaystyle \quad }
例と同様にして, n {\displaystyle n} 階の微分方程式
の場合の解の一意性を証明せよ.
解答例
与方程式の解が一意であることを示すために,
の解が x ( t ) ≡ 0 {\displaystyle x(t)\equiv 0} に限ることを示す. 1について, u ( t ) = | x | + | x ′ | + | x ′′ | + ⋯ + | x ( n − 1 ) | {\displaystyle u(t)=|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|} とおく. x ( t 0 ) = x ′ ( t 0 ) = x ′′ ( t 0 ) = ⋯ = 0 {\displaystyle x(t_{0})=x'(t_{0})=x''(t_{0})=\cdots =0} であるから,
同様に,
また,
今, K = m a x ( a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n − 1 , a n ) {\displaystyle K=\mathrm {max} (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n})} とすると,23より
すなわち, u ≦ ( K + 1 ) ∫ t 0 t u d t {\displaystyle u\leqq (K+1)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt} ...4 両辺に e − ( 1 + K ) t > 0 {\displaystyle e^{-(1+K)t}>0} を掛けて, u e − ( 1 + K ) t ≦ e − ( 1 + K ) t ( 1 + K ) ∫ t 0 t u d t {\displaystyle ue^{-(1+K)t}\leqq e^{-(1+K)t}(1+K)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt} ∴ u e − ( 1 + K ) t − ( 1 + K ) e − ( 1 + K ) t ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle \therefore ue^{-(1+K)t}-(1+K)e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ∴ d d t { e − ( 1 + K ) t ∫ t 0 t u d t } ≦ 0 {\displaystyle \therefore {\frac {d}{dt}}\left\{e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\right\}\leqq 0} 両辺を t 0 {\displaystyle t_{0}} から t {\displaystyle t} まで積分すると, e − ( 1 + K ) t ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ∴ ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle \therefore \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ...5 u {\displaystyle u} は明らかに, u = | x | + | x ′ | + | x ′′ | + ⋯ + | x ( n − 1 ) | ≧ 0 {\displaystyle u=|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|\geqq 0} ...6 456より 0 ≦ u ≦ ∫ t 0 t u d t ≦ 0 {\displaystyle 0\leqq u\leqq \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0} ∴ u = 0 {\displaystyle \therefore u=0} . ∴ x = 0 {\displaystyle \therefore x=0} .
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/微分不等式と比較定理
不等式式 (3.18) を解く技法は重要なので,ここで復習しておこう.
微分不等式
u ( t ) {\displaystyle u(t)} が次の微分方程式
を満たすならば,
が成立する.
証明
1 階線形微分方程式の解法と同じである.
の両辺に e − K t {\displaystyle e^{-Kt}} を掛けると,
となる.これは [ ] {\displaystyle [\ \ ]} 内の関数が広義の単調減少であることを示している.よって
これは求める結果にほかならない.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
この結果は実際に解くまでもなく予想できる.
は微分方程式 φ ′ = K φ , φ ( t 0 ) = u ( t 0 ) {\displaystyle \varphi '=K\varphi ,\quad \varphi (t_{0})=u(t_{0})} の解である. そこで,同じ初期値 α {\displaystyle \alpha } を持った二つの式,
の解を比較してみよう.
であるから,
である. t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} で u ( t 0 ) = φ ( t 0 ) {\displaystyle u(t_{0})=\varphi (t_{0})} . よって次の瞬間,
となり, 式 (3.19) により,この状態が持続する. 比喩的にいえば,兎 φ {\displaystyle \varphi } と亀 u {\displaystyle u} との競争である. 兎の方が俊足であるから u ′ < φ ′ {\displaystyle u'<\varphi '} . t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} で 2 匹が肩を並べていたら,それ以降は兎が先行し,
それ以前は兎が亀を追っ掛けていたことになる.すなわち,
ただし兎は居眠りをしないものとする.
例75 {\displaystyle \quad }
ならば
となることを示せ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
兎と亀の比喩が理解できれば,次の比較定理が成立することは直感的には明らかであろう.
比較定理
二つの微分方程式,
があって,
が常に成立するならば,同じ初期条件,
を持つ二つの解 x ( t ) , y ( t ) {\displaystyle x(t),y(t)} に対して
が成立する.ただし f ( t , x ) , g ( t , x ) {\displaystyle f(t,x),g(t,x)} は領域 a ≦ t ≦ b , − ∞ < x < ∞ {\displaystyle a\leqq t\leqq b,\quad -\infty <x<\infty } で定義されており,連続であるとする. また f ( t , x ) , g ( t , x ) {\displaystyle f(t,x),g(t,x)} のいずれか一方は Lipschitz の条件,
ここに K {\displaystyle K} は定数,を満たすものとする.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
説明
定理の真意はただし書き以前の部分にある.ただし書きによって解の存在や一意性が保証されているのであるが,それよりも,Lipschitz の条件により,非線形の方程式がほとんど線形の方程式となり,取り扱いが簡単となるのである.
証明
f ( t , x ) {\displaystyle f(t,x)} が Lipschitz の条件を満たす場合だけを証明しておこう. 仮定から,
であるから,
となる.いま u := y − x {\displaystyle u:=y-x} とおけば,上式は,
である.問題より u ( t ) ≦ 0 {\displaystyle u(t)\leqq 0} すなわち
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例76 {\displaystyle \quad }
g ( t , x ) {\displaystyle g(t,x)} が Lipschitz の条件を満たす場合の証明を実行せよ.
解答例
♢ {\displaystyle \diamondsuit }