高等学校数学C/ベクトル
理科において、力は大きさと向きを持つ量であると習っただろう。大きさと向きを持つ量は、力の他にも、速度や風の吹き方などがある。
例えば、ある地点ある時刻における風の吹き方は、風速と風向から成り立つ。このように、大きさと向きを持つ量を導入すると、これらを効率よく扱える。
このページでは、大きさと向きを持つ量であるベクトルを扱う。
また、図形の問題に対して代数的なアプローチを取れるのもベクトルの利点の一つである。
平面上のベクトル

平面上の点 S {\displaystyle \mathrm {S} } から点 T {\displaystyle \mathrm {T} } へ向かう矢印を考える。このような矢印のように向きを持つ線分を有向線分という。
平面上のベクトル

このとき、点 S {\displaystyle \mathrm {S} } を始点、点 T {\displaystyle \mathrm {T} } を終点という。
平面上のベクトル

有効線分で、大きさと方向が同じものはベクトルとして同じものとする。
平面上のベクトル

有向線分は位置、長さ(大きさ)、向きという情報を持つ。ベクトルは、有向線分の持つ情報のうち、位置の情報を忘れて、大きさ、向きだけに着目したものと考えることができる。
平面上のベクトル

有向線分 S T {\displaystyle \mathrm {ST} } で表されるベクトルを S T → {\displaystyle \mathrm {\vec {ST}} } とかく。ベクトルは一文字で a → {\displaystyle {\vec {a}}} などと表されることがある。ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の大きさを | a → | {\displaystyle |{\vec {a}}|} で表す。
平面上のベクトル

有向線分 S T {\displaystyle \mathrm {ST} } 、有向線分 S ′ T ′ {\displaystyle \mathrm {S'T'} } に対し、大きさが等しく、向きが等しいなら、位置が違っていても、ベクトルとして等しく、 S T → = S ′ T ′ → {\displaystyle \mathrm {\vec {ST}} =\mathrm {\vec {S'T'}} } である。
平面上のベクトル

大きさが 1 であるベクトルを単位ベクトルという。
平面上のベクトル

ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に対し、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と方向が逆で、大きさが等しいベクトルを逆ベクトルといい、 − a → {\displaystyle -{\vec {a}}} とかく。
平面上のベクトル

始点と終点が等しいベクトルを零ベクトルといい、 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} で表す。任意の点 A {\displaystyle \mathrm {A} } に対し、 A A → = 0 → {\displaystyle \mathrm {\vec {AA}} ={\vec {0}}} である。ゼロベクトルの大きさは 0 で、向きは考えないものとする。
平面上のベクトル

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → = A B → , b → = B C → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {AB}} ,{\vec {b}}=\mathrm {\vec {BC}} } となる点をとる。このときベクトルの加法を a → + b → = A C → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=\mathrm {\vec {AC}} } で定める。
平面上のベクトル

ベクトルの加法について以下が成り立つ。
平面上のベクトル

また、 a → + 0 → = a → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}} とする。
平面上のベクトル

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → − b → = a → + ( − b → ) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})} とかく。
平面上のベクトル

ゼロベクトルはないベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と実数 k {\displaystyle k} に対し、ベクトルの実数倍 k a → {\displaystyle k{\vec {a}}} を以下のように定める。
平面上のベクトル

またゼロベクトル 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} に対し、実数倍を k 0 → = 0 → {\displaystyle k{\vec {0}}={\vec {0}}} で定める。
平面上のベクトル

以下の性質がなりたつ。
ベクトルの平行・垂直

ゼロベクトルではないベクトル a → , b → ( ≠ 0 → ) {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\,(\neq {\vec {0}})} に対し、 a → = A A ′ → , b → = B B ′ → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {AA'} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {BB'} }}} となる点をとる。
ベクトルの平行・垂直

このとき、直線 A A ′ {\displaystyle \mathrm {AA'} } と直線 B B ′ {\displaystyle \mathrm {BB'} } が平行であるとき、ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} は平行であるといい、 a → ∥ b → {\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}} で表す。
ベクトルの平行・垂直

また、直線 A A ′ {\displaystyle \mathrm {AA'} } と直線 B B ′ {\displaystyle \mathrm {BB'} } が垂直であるとき、ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} は垂直であるといい、 a → ⊥ b → {\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}} で表す。
ベクトルの平行・垂直

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} が平行のとき、明らかに、片方のベクトルを実数倍すれば大きさと向きが一致するので、
ベクトルの平行・垂直

a → ∥ b → ⟺ b → = k a → {\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\iff {\vec {b}}=k{\vec {a}}} となる実数 k {\displaystyle k} が存在する
ベクトルの平行・垂直

が成り立つ。
ベクトルの分解

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} がともにゼロベクトルでなく( a → , b → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\neq {\vec {0}}} ) 、平行でないとき、任意のベクトル p → {\displaystyle {\vec {p}}} に対して、 p → = s a → + t b → {\displaystyle {\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}} となる実数 s , t {\displaystyle s,t} を取ることができる。
ベクトルの分解

証明
ベクトルの分解

a → = O A → , b → = O B → , p → = O P → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }},{\vec {p}}={\vec {\mathrm {OP} }}} となる点をとる。点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を通り、直線 O B , O A {\displaystyle \mathrm {OB} ,\mathrm {OA} } に平行な直線が、それぞれ 直線 O A , O B {\displaystyle \mathrm {OA} ,\mathrm {OB} } と交わる点をそれぞれ S , T {\displaystyle \mathrm {S,T} } と置く。
ベクトルの分解

このとき、 O S → = s a → , O T → = t b → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OS} }}=s{\vec {a}},{\vec {\mathrm {OT} }}=t{\vec {b}}} となる実数 s , t {\displaystyle s,t} を取ることができる。ここで、四角形 O S P T {\displaystyle \mathrm {OSPT} } は平行四辺形なので、 p → = s a → + t b → {\displaystyle {\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}} が成り立つ。
ベクトルの成分表示

ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に対して、座標平面上の原点を O {\displaystyle \mathrm {O} } とするとき、 a → = O A → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} } となる点 A ( a x , a y ) {\displaystyle \mathrm {A} (a_{x},a_{y})} を取ることができる。そこで、 ( a x , a y ) {\displaystyle (a_{x},a_{y})} をベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の成分表示とし、 a → = ( a x , a y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y})} 、または、縦に並べて、 a → = ( a x a y ) {\displaystyle {\vec {a}}=\left({\begin{aligned}a_{x}\\a_{y}\end{aligned}}\right)} と書く。
ベクトルの成分表示

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対して、 a → = O A → , b → = O B → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} ,\,{\vec {b}}=\mathrm {\vec {OB}} } となる点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } をとり、 a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),\,{\vec {b}}=(b_{x},b_{y})} とするとき
ベクトルの成分表示

a → = b → ⟺ O A → = O B → ⟺ {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}\iff {\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {\mathrm {OB} }}\iff } 点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} } が一致する ⟺ a x = b x {\displaystyle \iff a_{x}=b_{x}} かつ a y = b y {\displaystyle a_{y}=b_{y}}
ベクトルの成分表示

また、 a → = ( a x , a y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y})} に対して、 a → = O A → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} } とするとき、 | a → | {\displaystyle |{\vec {a}}|} は線分 O A {\displaystyle \mathrm {OA} } の長さなので、
ベクトルの成分表示

| a → | = a x 2 + a y 2 {\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}
ベクトルの成分表示

である。
ベクトルの成分表示

ベクトル a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),{\vec {b}}=(b_{x},b_{y})} に対して、
ベクトルの成分表示

a → + b → = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}
ベクトルの成分表示

a → − b → = ( a x − b x , a y − b y ) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y})}
ベクトルの成分表示

k a → = ( k a x , k a y ) {\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{x},ka_{y})}
ベクトルの成分表示

がなりたつ。
位置ベクトル

ある点を基準にして、その点を始点とするベクトルについて考えることにより、ベクトルを用いて点の位置関係について考察することができる。
位置ベクトル

点の位置関係基準となる点 O {\displaystyle {\rm {O}}} をあらかじめ定める。このとき、点 A {\displaystyle {\rm {A}}} に対して、ベクトル O A → {\displaystyle {\vec {\rm {OA}}}} を点 A {\displaystyle {\rm {A}}} の位置ベクトルという。位置ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} で与えられる点 A {\displaystyle {\rm {A}}} を A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} で表す。
位置ベクトル

また、点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})} のとき、 A B → = O B → − O A → = b → − a → {\displaystyle {\vec {\rm {AB}}}={\vec {\rm {OB}}}-{\vec {\rm {OA}}}={\vec {b}}-{\vec {a}}} が成り立つ。
位置ベクトル

以下、位置ベクトルの基準点を点 O {\displaystyle {\rm {O}}} とする。
位置ベクトル

点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle {\rm {A({\vec {a}}),\,{\rm {B({\vec {b}})}}}}} を通る線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点 P ( p → ) {\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {p}})} を求める。
位置ベクトル

A P → = m m + n A B → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}={\frac {m}{m+n}}{\vec {\mathrm {AB} }}} より、 p → − a → = m m + n ( b → − a → ) {\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m+n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})} したがって、 p → = n a → + m b → m + n {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}} である。
位置ベクトル

次に、点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle {\rm {A({\vec {a}}),\,{\rm {B({\vec {b}})}}}}} を通る線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } を m : n {\displaystyle m:n} に外分する点 Q ( q → ) {\displaystyle \mathrm {Q} ({\vec {q}})} を求める。
位置ベクトル

m > n {\displaystyle m>n} の場合は、 A Q → = m m − n A B → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AQ} }}={\frac {m}{m-n}}{\vec {\mathrm {AB} }}} より、 q → − a → = m m − n ( b → − a → ) {\displaystyle {\vec {q}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m-n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})} したがって、 q → = − n a → + m b → m − n {\displaystyle {\vec {q}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}} である。
位置ベクトル

m < n {\displaystyle m<n} の場合は、 B Q → = n n − m B A → {\displaystyle {\vec {\mathrm {BQ} }}={\frac {n}{n-m}}{\vec {\mathrm {BA} }}} に注意して同様に計算すれば、前と同じ、 q → = − n a → + m b → m − n {\displaystyle {\vec {q}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}} が得られる。
位置ベクトル

三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対し、 A ( a → ) , B ( b → ) , C ( c → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}}),\,\mathrm {C} ({\vec {c}})} と置く。この三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } の重心 G ( g → ) {\displaystyle \mathrm {G} ({\vec {g}})} を求める。
位置ベクトル

線分 B C {\displaystyle \mathrm {BC} } の中点を M ( m → ) {\displaystyle \mathrm {M} ({\vec {m}})} とすると、点 M {\displaystyle \mathrm {M} } は線分 B C {\displaystyle \mathrm {BC} } を 1 : 1 {\displaystyle 1:1} に内分する点なので、 m → = b → + c → 2 {\displaystyle {\vec {m}}={\frac {{\vec {b}}+{\vec {c}}}{2}}} である。
位置ベクトル

点 G {\displaystyle \mathrm {G} } は線分 A M {\displaystyle \mathrm {AM} } を 2 : 1 {\displaystyle 2:1} に内分する点なので、 g → = a → + b → + c → 3 {\displaystyle {\vec {g}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{3}}} である。
位置ベクトル

三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対し、 A ( a → ) , B ( b → ) , C ( c → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}}),\,\mathrm {C} ({\vec {c}})} と置く。さらに、 A B = c , B C = a , C A = b {\displaystyle \mathrm {AB} =c,\,\mathrm {BC} =a,\,\mathrm {CA} =b} と置く。三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } の内心の位置ベクトル I ( i → ) {\displaystyle \mathrm {I} ({\vec {i}})} を求める。
位置ベクトル

A {\displaystyle {\rm {A}}} の二等分線と線分 B C {\displaystyle {\rm {BC}}} の交点を D ( d → ) {\displaystyle \mathrm {D} ({\vec {d}})} とする。このとき、三角形の二等分線の性質より B D : D C = c : b {\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =c:b} したがって、 d → = b b → + c c → b + c {\displaystyle {\vec {d}}={\frac {b{\vec {b}}+c{\vec {c}}}{b+c}}} である。
位置ベクトル

ここで、 A I : I D = B A : B D = c : a c b + c = ( b + c ) : a {\displaystyle \mathrm {AI} :\mathrm {ID} =\mathrm {BA} :\mathrm {BD} =c:{\frac {ac}{b+c}}=(b+c):a} である。
位置ベクトル

したがって、 i → = a a → + ( b + c ) d → a + b + c = a a → + b b → + c c → a + b + c {\displaystyle {\vec {i}}={\frac {a{\vec {a}}+(b+c){\vec {d}}}{a+b+c}}={\frac {a{\vec {a}}+b{\vec {b}}+c{\vec {c}}}{a+b+c}}} である。
ベクトルの内積

中学または高校の理科の力学では、力学的な仕事の定義をならったことがあるだろう。この仕事では、移動方向以外の力は、仕事に寄与しなかった。このような力の仕事の計算を、ベクトルの観点からみれば、内積という新しい概念が定義できる。
ベクトルの内積

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → = O A → , b → = O B → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }}} となる点 O , A , B {\displaystyle \mathrm {O,A,B} } をとる。このとき、 ∠ A O B {\displaystyle \angle \mathrm {AOB} } をベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} のなす角という。
ベクトルの内積

(図)
ベクトルの内積

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} のなす角を θ {\displaystyle \theta } とするとき、内積 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} を
ベクトルの内積

で定める。
ベクトルの内積

定義から、ベクトルの内積は一方のベクトルをもう一方のベクトルに射影したときの、大きさの積であると言える。
ベクトルの内積

(図)
ベクトルの内積

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} を a → = ( a 1 , a 2 ) , b → = ( b 1 , b 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2})} と成分表示したときの、内積 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} について考えてみよう。
ベクトルの内積

ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → = O A → , b → = O B → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }}} となる点 O , A , B {\displaystyle \mathrm {O,A,B} } をとり、ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} のなす角を θ {\displaystyle \theta } とする。このとき △ O A B {\displaystyle \triangle \mathrm {OAB} } に対し余弦定理を用いて
ベクトルの内積

A B 2 = O A 2 + O B 2 − 2 ⋅ O A ⋅ O B cos θ {\displaystyle \mathrm {\mathrm {AB} } ^{2}=\mathrm {\mathrm {OA} } ^{2}+\mathrm {\mathrm {OB} } ^{2}-2\cdot \mathrm {\mathrm {OA} } \cdot \mathrm {\mathrm {OB} } \cos \theta }
ベクトルの内積

(図)
ベクトルの内積

ここで、 A B = | b → − a → | , O A = | a → | , O B = | b → | {\displaystyle \mathrm {\mathrm {AB} } =|{\vec {b}}-{\vec {a}}|,\mathrm {\mathrm {OA} } =|{\vec {a}}|,\mathrm {\mathrm {OB} } =|{\vec {b}}|} と、 O A ⋅ O B cos θ = | a → | | b → | cos θ = a → ⋅ b → {\displaystyle \mathrm {\mathrm {OA} } \cdot \mathrm {\mathrm {OB} } \cos \theta =|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta ={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} より
ベクトルの内積

| b → − a → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 a → ⋅ b → {\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} であるので、 a → ⋅ b → = 1 2 ( | a → | 2 + | b → | 2 − | b → − a → | 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}(|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2})} である。
ベクトルの内積

ここで、 | a → | 2 = a 1 2 + a 2 2 , | b → | 2 = b 1 2 + b 2 2 , | b → − a → | 2 = | ( b 1 − a 1 , b 2 − a 2 ) | 2 = ( b 1 − a 1 ) 2 + ( b 2 − a 2 ) 2 {\displaystyle |{\vec {a}}|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},|{\vec {b}}|^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2},|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2})|^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}} なので、これを代入すれば
ベクトルの内積

a → ⋅ b → = 1 2 ( | a → | 2 + | b → | 2 − | b → − a → | 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}(|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2})} = 1 2 [ ( a 1 2 + a 2 2 ) + ( b 1 2 + b 2 2 ) − ( b 1 − a 1 ) 2 + ( b 2 − a 2 ) 2 ] {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})-(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}\right]} = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\displaystyle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} である。
ベクトルの内積

したがって a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} が得られた。
ベクトルの内積

内積の性質 ― ベクトル a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} と実数 k {\displaystyle k} に対し以下が成り立つ。
ベクトルの内積

これらはベクトルを成分表示して計算すれば証明できる。
ベクトルの内積

証明 — a → = ( a 1 , a 2 ) , b → = ( b 1 , b 2 ) , c → = ( c 1 , c 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),{\vec {c}}=(c_{1},c_{2})} とする。
ベクトル方程式

演習問題
ベクトル方程式

A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})} とする。 このとき、線分OAを1:3に分ける点と、線分OBを5:2に分ける点をそれぞれ、A',B'とする。
ベクトル方程式

(1) ベクトル O A ′ → , O B ′ → {\displaystyle {\vec {OA'}},\,{\vec {OB'}}} をベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} を用いてあらわせ。
ベクトル方程式

(2) 線分AB'と、BA'の交点 M の位置ベクトルをベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} を用いてあらわせ。
ベクトル方程式

ベクトル
ベクトル方程式

と、 ベクトル
ベクトル方程式

は互いに1次独立な2本のベクトルなので、 これらを用いてあらゆる図形上の点が表されるはずである。
ベクトル方程式

図形上のそれぞれの点は、点Oからの位置ベクトルで表される。 例えば、ベクトル
ベクトル方程式

は、点Oから見て
ベクトル方程式

と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、
ベクトル方程式

であるので、
ベクトル方程式

で表される。 同様に、ベクトル
ベクトル方程式

は、点Oから見て
ベクトル方程式

と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、
ベクトル方程式

であるので、
ベクトル方程式

で表される。
ベクトル方程式

次に、点A'を通過し、線分A'Bに平行な直線を ベクトル
ベクトル方程式

と
ベクトル方程式

を用いて記述する方法を考える。
ベクトル方程式

ここでは、 この直線上の点は、 ある定数 s {\displaystyle s} を用いて、
ベクトル方程式

で表せることに注目する。 例えば、
ベクトル方程式

のとき、この式が表す点は
ベクトル方程式

に等しく、
ベクトル方程式

のとき、
ベクトル方程式

に等しく、いずれも直線 A'B上の点である。
ベクトル方程式

これらに先ほど求めた
ベクトル方程式

と、
ベクトル方程式

の値を用いると、
ベクトル方程式

が得られる。
ベクトル方程式

同様に、線分AB'上の点はある定数 t {\displaystyle t} を用いて、
ベクトル方程式

で表される。 ここに先ほど得た値を代入すると、
ベクトル方程式

となる。
ベクトル方程式

このようにそれぞれの直線上の点が s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} を 用いて表された。 次に、これらの式が同じ点を示すように s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} を定める。 そのためには、
ベクトル方程式

,
ベクトル方程式

を等しいとおいて、 s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} に関する連立方程式を作り、それを解けばよい。 上の式で
ベクトル方程式

の係数を等しいとおくと、
ベクトル方程式

が得られ、
ベクトル方程式

の係数を等しいとおくと、
ベクトル方程式

が得られる。 この式を連立して解くと、
ベクトル方程式

,
ベクトル方程式

が得られる。 この式を
ベクトル方程式

,
ベクトル方程式

のどちらかに代入すると、求める位置ベクトルが得られるのである。 代入すると、求めるベクトルは、
ベクトル方程式

となる。
ベクトル方程式

点 A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り、ベクトル d → ( ≠ 0 → ) {\displaystyle {\vec {d}}\,(\neq {\vec {0}})} に平行な直線を g {\displaystyle g} とする。 g {\displaystyle g} 上の点を P ( p → ) {\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {p}})} とすると、 A P → = 0 → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}={\vec {0}}} または A P → ∥ d → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}\parallel {\vec {d}}} だから
ベクトル方程式

となる実数 t {\displaystyle t} がある。
ベクトル方程式

すなわち、
ベクトル方程式

よって、
ベクトル方程式

これを、直線 g {\displaystyle g} のベクトル方程式(vector equation)といい、 d → {\displaystyle {\vec {d}}} を g {\displaystyle g} の方向ベクトルという。また、 t {\displaystyle t} を媒介変数という。
ベクトル方程式

点Aの座標を ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1}\ ,\ y_{1})} 、 d → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {d}}=(a\ ,\ b)} 、点Pの座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とおくと、ベクトル方程式 p → = a → + t d → {\displaystyle {\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}} は
ベクトル方程式

となる。したがって
ベクトル方程式

{ x = x 1 + a t y = y 1 + b t {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\end{cases}}}
ベクトル方程式

これを直線 g {\displaystyle g} の媒介変数表示という。
ベクトル方程式

演習問題
ベクトル方程式

点A ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1\ ,\ 2)} を通り、 d → = ( 3 , 5 ) {\displaystyle {\vec {d}}=(3\ ,\ 5)} に平行な直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。
ベクトル方程式

また、tを消去した式で表せ。
ベクトル方程式

この直線のベクトル方程式は
ベクトル方程式

したがって
ベクトル方程式

tを消去すると、次のようになる。
ベクトル方程式

2点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})} を通る直線のベクトル方程式を考える。
ベクトル方程式

直線ABは、点Aを通り、 A B → = b → − a → {\displaystyle {\vec {AB}}={\vec {b}}-{\vec {a}}} を方向ベクトルとする直線と考えられるから、そのベクトル方程式は
ベクトル方程式

となる。これは次のように書ける。
ベクトル方程式

演習問題
ベクトル方程式

2点A ( 2 , 5 ) {\displaystyle (2\ ,\ 5)} ,B ( − 1 , 3 ) {\displaystyle (-1\ ,\ 3)} を通る直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。
ベクトル方程式

この直線のベクトル方程式は
ベクトル方程式

したがって
ベクトル方程式

点Aを通って、 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} でないベクトル、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} に垂直な直線をgとする。g上の点をPとすると、 A P → = 0 → {\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {0}}} または A P → ⊥ n → {\displaystyle {\vec {AP}}\perp {\vec {n}}} だから
ベクトル方程式

である。
ベクトル方程式

点A,Pの位置ベクトルをそれぞれ、 a → , p → {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\ {\vec {p}}} とすると、 A P → = p → − a → {\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {p}}-{\vec {a}}} だから、(1)は
ベクトル方程式

となる。(2)が点Aを通って、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} に垂直な直線gのベクトル方程式であり、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} をこの直線の法線ベクトル(ほうせんベクトル、normal vector)という。
ベクトル方程式

点Aの座標を ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1}\ ,\ y_{1})} 、 n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a\ ,\ b)} 、点Pの座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とおくと、 p → − a → = ( x − x 1 , y − y 1 ) {\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {a}}=(x-x_{1}\ ,\ y-y_{1})} だから、(2)は次のようになる。
ベクトル方程式

この方程式は、 − a x 1 − b y 1 = c {\displaystyle -ax_{1}-by_{1}=c} とおくと、 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} となるから、次のことがいえる。
ベクトル方程式

直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} の法線ベクトルは、 n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a\ ,\ b)} である。
ベクトル方程式

演習問題
ベクトル方程式

点A ( 2 , 5 ) {\displaystyle (2\ ,\ 5)} を通り、 n → = ( 4 , 3 ) {\displaystyle {\vec {n}}=(4\ ,\ 3)} に垂直な直線の方程式を求めよ。
ベクトル方程式

つまり
空間座標とベクトル

ここまでは、平面上のベクトルについて考えてきたが、ここからは3次元空間上のベクトルについて考える。より一般にベクトルはn次元(ユークリッド)空間上で定義することができるが、このようなものは高校では扱わない。
空間座標とベクトル

今までは、平面上の図形をベクトルや数式を用いて表現する方法を学んで来た。 ここでいう2次元とは、平面のことである。平面上の任意の点を指定するには最低でも2以上の実数が必要だからこのように呼ばれている。
空間座標とベクトル

もちろん容易に分かる通り、2つ以上の次元を持っている図形も存在する。 例えば、3次元立体の1つである直方体は縦、横、高さの3つの長さを持っているので、3次元図形と呼ばれる。
空間座標とベクトル

空間に1つの平面をとり、その上に直交する座標軸 O x , O y {\displaystyle O_{x}\ ,\ O_{y}} をとる。次にOを通りこの平面に垂直な直線 O z {\displaystyle O_{z}} をひき、その直線上で、Oを原点とする座標を考える。
空間座標とベクトル

この3直線 O x , O y , O z {\displaystyle O_{x}\ ,\ O_{y}\ ,\ O_{z}} は、どの2つも互いに垂直である。これらを座標軸といい、それぞれx軸、y軸、z軸という。
空間座標とベクトル

また、x軸とy軸とで定まる平面をxy平面といい、y軸とz軸とで定まる平面をyz平面といい、z軸とx軸とで定まる平面をzx平面といい、これらを座標平面という。
空間座標とベクトル

空間内の点Aに対して、Aを通って各座標平面に平行な3つの平面をつくり、それらがx軸、y軸、z軸と交わる点を A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A_{1}\ ,\ A_{2}\ ,\ A_{3}} とし、 A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A_{1}\ ,\ A_{2}\ ,\ A_{3}} のそれぞれの軸上での座標を a 1 , a 2 , a 3 {\displaystyle a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ a_{3}} とする。
空間座標とベクトル

このとき、3つの数の組
空間座標とベクトル

を点Aの座標といい、 a 1 {\displaystyle a_{1}} をx座標といい、 a 2 {\displaystyle a_{2}} をy座標といい、 a 3 {\displaystyle a_{3}} をz座標という。
空間座標とベクトル

このように座標の定められた空間を座標空間と呼び、点Oを座標空間の原点という。
空間座標とベクトル

ここでは、特に3次元空間の図形に注目する。 まずはベクトルを用いる前に3次元空間の空間図形を、数式によって記述する方法を考察する。
空間座標とベクトル

2次元空間において、もっとも簡単な図形は直線であり、その式は一般的に
空間座標とベクトル

で表わされた。 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} は任意の定数。) ここで x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} は、2次元空間を代表する2つのパラメーターであり、3次元空間を用いたときには、これらは3つの文字で表わされることが期待される。
空間座標とベクトル

実際このような式で表わされる図形は、3次元空間でも基本的な図形である。つまり、
空間座標とベクトル

が、上の式の類似物として得られる。 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} は任意の定数。)
空間座標とベクトル

このような図形はどんな図形に対応するだろうか?
空間座標とベクトル

実際にはこの図形を特徴づけるのは、後に学ぶ3次元ベクトルを用いるのがもっとも簡単であるので、これは後にまわすことにする。
空間座標とベクトル

しかし、ただ1つこの式から分かることは、3次元空間の座標を表わすパラメーター
空間座標とベクトル

のうちに1つの関係
空間座標とベクトル

を与えることで、3次元空間上の図形を指定できるということである。この場合は、
空間座標とベクトル

を用いていた。
空間座標とベクトル

ベクトルを使わなくても図形的解釈が得られる式として、
空間座標とベクトル

が挙げられる。 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , r {\displaystyle r} は任意の定数。) この式は、2次元でいうところの
空間座標とベクトル

の式の類似物である。2次元の場合はこの式は、
空間座標とベクトル

中心 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 半径 r {\displaystyle r} の円に対応していた。 3次元のこの式は、結論をいうと中心 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 半径 r {\displaystyle r} の円に対応しているのである。
空間座標とベクトル

上の式
空間座標とベクトル

を満たすある点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} を取り、その点と点 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} との距離を考える。
空間座標とベクトル

空間座標に置ける x {\displaystyle x} 軸、 y {\displaystyle y} 軸、 z {\displaystyle z} 軸はそれぞれ直交しているので、2点の距離は3平方の定理を用いて
空間座標とベクトル

で与えられる。
空間座標とベクトル

しかし、上の式からここで選んだ点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} は、条件
空間座標とベクトル

を満たしているので、2点の距離は
空間座標とベクトル

である。 ( r > 0 {\displaystyle r>0} を用いた。)
空間座標とベクトル

よって、上の式を満たす点は全て点 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} からの距離が r {\displaystyle r} である点であり、これは中心 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 半径 r {\displaystyle r} の円に他ならない。
空間座標とベクトル

演習問題
空間座標とベクトル

中心
空間座標とベクトル

半径
空間座標とベクトル

の球の式を求めよ。
空間座標とベクトル

に代入することで、
空間座標とベクトル

が求められる。
空間座標とベクトル

演習問題
空間座標とベクトル

がどのような 球に対応するか計算せよ。
空間座標とベクトル

このような数式が球に対応するとき、
空間座標とベクトル

の係数は必ず等しくなくてはならない。そうでない場合はこの図形は楕円体に対応するのだが、これは指導要領の範囲外である。 ここでは上の式はその条件を満たしている。
空間座標とベクトル

ここでは、この式を
空間座標とベクトル

の形に持って行くことが重要である。
空間座標とベクトル

のそれぞれについてこの式を平方完成すると、
空間座標とベクトル

が得られる。よって、上の式
空間座標とベクトル

は、 中心
空間座標とベクトル

、半径
空間座標とベクトル

の球に対応する。
空間座標とベクトル

次に3次元空間上におけるベクトルを考察する。 2次元空間上ではベクトルは2つの量の組み合わせで表わされた。 これは1つのベクトルはx軸方向に対応する量とy軸方向に対応する量の2つを持っている必要があったからである。 このことから、3次元空間のベクトルは3つの量の組み合わせで書けることが予想される。 特に x {\displaystyle x} 軸方向の成分 a {\displaystyle a} , y {\displaystyle y} 軸方向の成分 b {\displaystyle b} , z {\displaystyle z} 軸方向の成分 c {\displaystyle c} ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} は任意の定数。) で表わされるベクトルを、
空間座標とベクトル

と書いて表わすことにする。
空間座標とベクトル

2次元平面では あるベクトル
空間座標とベクトル

は、 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} は任意の定数。)
空間座標とベクトル

の2本のベクトルを用いて、
空間座標とベクトル

で表わされた。 3次元空間でもこのような記述法があり、上で用いたベクトル
空間座標とベクトル

は、
空間座標とベクトル

を用いて
空間座標とベクトル

と書かれたベクトルに対応している。
空間座標とベクトル

3次元ベクトルに対しても2次元ベクトルで定めた定義や性質がほぼそのまま成立する。
空間座標とベクトル

3次元ベクトルの加法は、それぞれのベクトル要素を独立に足し合わせることによって定義する。
空間座標とベクトル

また、それぞれのベクトルの要素が全て等しいベクトルを"ベクトルとして等しい"と表現する。
空間座標とベクトル

演習問題
空間座標とベクトル

ベクトルの和
空間座標とベクトル

を計算せよ。
空間座標とベクトル

が得られる。
空間座標とベクトル

ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} , b → {\displaystyle {\vec {b}}} 間のベクトルの内積も平面の場合と同様に
空間座標とベクトル

( θ {\displaystyle \theta } は、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} , b → {\displaystyle {\vec {b}}} のなす角。)
空間座標とベクトル

分配法則や1次独立の性質もそのまま成り立つ。 ただし、3次元空間の全てのベクトルを張るには、3つの線形独立なベクトルを持って来る必要がある。
空間座標とベクトル

このことの証明はおそらく線型代数学などに詳しい。
空間座標とベクトル

演習問題
空間座標とベクトル

2つのベクトルの内積
空間座標とベクトル

を計算せよ。
空間座標とベクトル

2次元の場合と同じようにここでもそれぞれの要素は互いに直交する単位ベクトル
空間座標とベクトル

によって張られている。そのため以前と同じく要素ごとの計算が可能であり、
空間座標とベクトル

となる。
空間座標とベクトル

もうすこし細かく計算を行なうと、
空間座標とベクトル

が得られる。それぞれのベクトルを
空間座標とベクトル

に従って展開し、
空間座標とベクトル

( i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} は1,2,3のどれか。) を代入することで上の式が計算できるはずである。
空間座標とベクトル

しかし、 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} が等しくないときには
空間座標とベクトル

が成り立つことから、上の展開した後の9個の項のうちで、6つは
空間座標とベクトル

に等しい。
空間座標とベクトル

また、 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} が等しいときには
空間座標とベクトル

が成り立つことから、上の式
空間座標とベクトル

の展開は
空間座標とベクトル

となって確かに要素ごとの計算と一致する。
空間座標とベクトル

演習問題
空間座標とベクトル

2次元空間のベクトルは2本の1次独立なベクトルがあれば、必ずそれらの線形結合によって計算できるはずである。
空間座標とベクトル

ここで、
空間座標とベクトル

と
空間座標とベクトル

を用いて、
空間座標とベクトル

を、
空間座標とベクトル

の形に書いてみよ。 ( c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} は、何らかの定数。)
空間座標とベクトル

2次元のベクトルの係数を求める問題である。 c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} の文字をそのまま用いると、 c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} の満たす条件は
空間座標とベクトル

つまり
空間座標とベクトル

となる。これは c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} に関する連立1次方程式で書き換えられる。
空間座標とベクトル

これを解くと、
空間座標とベクトル

が得られる。
空間座標とベクトル

よって、 上の式は
空間座標とベクトル

と書け、確かに2本の線形独立なベクトルによって他のベクトルが書き表されることが分かった。
空間座標とベクトル

このような計算は3次元ベクトルに対しても可能であるが、計算手法として3元1次連立方程式を扱う必要があり、指導要領の範囲外である。実際の計算手法は、線型代数学,物理数学I 線形代数を参照。
空間座標とベクトル

この表式を用いて、以前見た
空間座標とベクトル

の図形的解釈を述べる。
空間座標とベクトル

この図形上の任意の点を ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} で表わす。 この点は原点Oに対する位置ベクトルを用いると ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} で与えられる。 便宜のために このベクトルを x → {\displaystyle {\vec {x}}} と書くことにする。
空間座標とベクトル

一方、ベクトル a → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b,c)} を用いると、上の式はベクトルの内積を用いて a → ⋅ x → = d {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=d} で与えられる。 つまり、この式で表わされる図形はあるベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} との内積を一定に保つ図形である。 この図形は、実際には a → {\displaystyle {\vec {a}}} に直交する平面で与えられる。 なぜならこのような平面上の点は、必ず平面上のある一点の位置ベクトルに加えて、 ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に直交するベクトルを加えたもので書くことが出来る。 しかし、 ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に直交するベクトルと ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の内積は必ず0であるので、 このような点の集合は ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と一定の内積を持つのである。
空間座標とベクトル

よって元の式
空間座標とベクトル

は、 ベクトル a → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b,c)} に直交する平面に対応することが分かった。 次に d {\displaystyle d} が、図形が表わす平面と、原点との距離に関係があることを示す。
空間座標とベクトル

特に、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に比例する位置ベクトルを持つ点 x → {\displaystyle {\vec {x}}} を考える。このときこの点と原点との距離は、 平面
空間座標とベクトル

と原点との距離に対応する。 なぜなら、位置ベクトル x → {\displaystyle {\vec {x}}} は、原点から平面
空間座標とベクトル

に垂直に下ろした線に対応するからである。
空間座標とベクトル

このことから仮に a → {\displaystyle {\vec {a}}} 方向の単位ベクトルを n → {\displaystyle {\vec {n}}} と書き、平面と原点との距離を m {\displaystyle m} と書くと、 x → = m n → {\displaystyle {\vec {x}}=m{\vec {n}}} が得られる。 この式を
空間座標とベクトル

に代入すると、
空間座標とベクトル

が得られる。よって、 d {\displaystyle d} は、 平面と原点の距離 m {\displaystyle m} とベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の大きさをかけたものである。
空間座標とベクトル

演習問題
空間座標とベクトル

特にベクトル
空間座標とベクトル

を取ると、どのような式が得られて、その式は どのような図形に対応するか。
空間座標とベクトル

このとき
空間座標とベクトル

は、
空間座標とベクトル

に対応する。
空間座標とベクトル

この式は z {\displaystyle z} 座標が d {\displaystyle d} に対応し、それ以外の x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 座標を任意に動かした 平面に対応しているが、これは x y {\displaystyle xy} 平面に平行であり、 x y {\displaystyle xy} 平面からの距離が d {\displaystyle d} である平面である。 また、 x y {\displaystyle xy} 平面とベクトル
空間座標とベクトル

は直交しているので、そのことからもこの式は正しい。
発展:外積

外積は高校数学範囲外で入試には出ないが、外積は数学や物理などに応用でき、便利なのでここで扱う。
発展:外積

三次元ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} に対し、外積 a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} を次を満たすものとする。
発展:外積

次に外積の成分表示を考えてみよう。この定義から成分表示を直接導くのは面倒なので、天下り的に成分表示を与えてから、それが外積の定義を満たすことを確認する。
発展:外積

a → = ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}} 、 b → = ( b 1 b 2 b 3 ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}} としたとき、 a → × b → = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}} である。
発展:外積

まずは、 a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} は a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} それぞれと垂直であることを確認する。これは、 ( a → × b → ) ⋅ a → = 0 {\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=0} と ( a → × b → ) ⋅ b → = 0 {\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {b}}=0} であることを成分表示を代入すれば証明できる。
発展:外積

次に、 | a → × b → | = | a → | | b → | sin θ {\displaystyle |{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \theta } を証明する。 | a → × b → | 2 = | a → | 2 | b → | 2 sin 2 θ = | → a | 2 | b → | 2 ( 1 − cos 2 θ ) {\displaystyle |{\vec {a}}\times {\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta ={\vec {|}}a|^{2}|{\vec {b}}|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )} 。ここで、 cos 2 θ = ( a → ⋅ b → ) 2 | a → | 2 | b → | 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}{|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}}}} を代入し、 | a → × b → | 2 = | → a | 2 | b → | 2 − ( a → ⋅ b → ) 2 {\displaystyle |{\vec {a}}\times {\vec {b}}|^{2}={\vec {|}}a|^{2}|{\vec {b}}|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}} を得る。この式に、成分表示を代入すれば、両辺が等しいことが確認できる。
発展:外積

最後に、フレミングの左手の法則で a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} は親指の方向であることを確認する。
発展:外積

a → = ( 1 0 0 ) {\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}} 、 b → = ( 0 1 0 ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}} のとき、 a → × b → = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}} である。これより、二番目の性質も確認できた。
発展:外積

外積の応用
発展:外積

2つのベクトルに垂直なベクトルを求めたいときなどは、外積の成分表示から計算すれば、面倒な計算をしなくても求められる。
発展:外積

四面体 O A B C {\displaystyle \mathrm {OABC} } の体積は 1 6 | ( O A → × O B → ) ⋅ O C → | {\displaystyle {\frac {1}{6}}|({\vec {\mathrm {OA} }}\times {\vec {\mathrm {OB} }})\cdot {\vec {\mathrm {OC} }}|} である。 実際、 1 6 | ( O A → × O B → ) ⋅ O C → | = 1 3 | 1 2 O A → × O B → | | h | {\displaystyle {\frac {1}{6}}|({\vec {\mathrm {OA} }}\times {\vec {\mathrm {OB} }})\cdot {\vec {\mathrm {OC} }}|={\frac {1}{3}}\left|{\frac {1}{2}}{\vec {\mathrm {OA} }}\times {\vec {\mathrm {OB} }}\right||h|} である。ただし、 h はΔABCを底面としたときの四面体の高さである。
発展:外積

また、物理学のローレンツ力は外積を使うと F → = q v → × B → {\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}} と簡潔に表せる。
発展:外積

覚え方
発展:外積

図のように要素をかけ合わせる。