中学数学3年 円
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この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。
円周角と中心角

中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB (こAB)といい、 ⌢ A B {\displaystyle {\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {AB}}\end{array}}} と書く。 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} を弧ABに対する 中心角(ちゅうしんかく) という。また、弧ABを中心角 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} に対する弧(こ)という。
円周角と中心角

円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、 ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} を弧ABに対する 円周角(えんしゅうかく) という。また、弧ABを円周角 ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} に対する弧という。
円周角と中心角

右の図のように、弧ABに対する円周角は ∠ A P B , ∠ A P ′ B , ∠ A P ′′ B {\displaystyle \angle APB\ ,\ \angle AP'B\ ,\ \angle AP''B} のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} は1つに決まる
円周角の定理

中心角と円周角には次の性質がある。
円周角の定理

この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} として、 ∠ A P B = 1 2 ∠ A O B {\displaystyle \angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB} を示せばよい。
円周角の定理

Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} は △ A O P {\displaystyle \triangle AOP} の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので
円周角の定理

△ A O P {\displaystyle \triangle AOP} の辺OP , OAは等しいから
円周角の定理

(1)、(2)より
円周角の定理

したがって
円周角の定理

よって、中心Oが 直線PB上にある場合、 ∠ A P B = 1 2 ∠ A O B {\displaystyle \angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB} が成り立つ。
円周角の定理

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、 ∠ A O C {\displaystyle \angle AOC} は △ A O P {\displaystyle \triangle AOP} の外角であるから
円周角の定理

△ A O P {\displaystyle \triangle AOP} の辺OP , OAは等しいから
円周角の定理

したがって
円周角の定理

∠ B O C {\displaystyle \angle BOC} は △ B O P {\displaystyle \triangle BOP} の外角であるから
円周角の定理

△ B O P {\displaystyle \triangle BOP} の辺OP , OBは等しいから
円周角の定理

したがって
円周角の定理

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると
円周角の定理

したがって
円周角の定理

すなわち
円周角の定理

よって、中心Oが ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} の内部にある場合、 ∠ A P B = 1 2 ∠ A O B {\displaystyle \angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB} が成り立つ。
円周角の定理

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、 ∠ A O C {\displaystyle \angle AOC} は △ A O P {\displaystyle \triangle AOP} の外角であるから
円周角の定理

△ A O P {\displaystyle \triangle AOP} の辺OP , OAは等しいから
円周角の定理

したがって
円周角の定理

∠ B O C {\displaystyle \angle BOC} は △ B O P {\displaystyle \triangle BOP} の外角であるから
円周角の定理

△ B O P {\displaystyle \triangle BOP} の辺OP , OBは等しいから
円周角の定理

したがって
円周角の定理

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと
円周角の定理

したがって
円周角の定理

すなわち
円周角の定理

よって、中心Oが ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} の外部にある場合、 ∠ A P B = 1 2 ∠ A O B {\displaystyle \angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB} が成り立つ。
円周角の定理

以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。
円周角の定理

半円の弧に対する中心角は 180 ∘ {\displaystyle 180{}^{\circ }} であるから、円周角は 90 ∘ {\displaystyle 90{}^{\circ }} である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。
円周角と弧

右の図の円Oで、円周角 ∠ A P B , ∠ C Q D {\displaystyle \angle APB\ ,\ \angle CQD} が等しい場合、円周角の定理により
円周角と弧

となる。
円周角と弧

∠ A P B = ∠ C Q D {\displaystyle \angle APB=\angle CQD} であるから、(1)、(2)より
円周角と弧

となる。
円周角と弧

1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
円周角と弧

が成り立つ。
円周角と弧

また、右の図の円Oで、 ⌢ A B , ⌢ C D {\displaystyle {\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {AB}}\end{array}}\ ,\ {\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {CD}}\end{array}}} が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので
円周角と弧

となる。
円周角と弧

よって、円周角の定理により
円周角と弧

が成り立つ。
円周角の定理の逆

円Oの周上の点をA,B,Cとし、 ∠ A C B = ∠ a {\displaystyle \angle ACB=\angle a} とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、 ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} と ∠ a {\displaystyle \angle a} との大きさを比べる。
円周角の定理の逆

円周角の定理により
円周角の定理の逆

APの延長と円周の交点をQとする。 ∠ A P B {\displaystyle \angle APB} は △ P B Q {\displaystyle \triangle PBQ} における ∠ P {\displaystyle \angle P} の外角であるから
円周角の定理の逆

となる。 円周角の定理により、 ∠ A Q B = ∠ A C B = ∠ a {\displaystyle \angle AQB=\angle ACB=\angle a} であるから、
円周角の定理の逆

よって
円周角の定理の逆

APと円周の交点をQとする。 ∠ A Q B {\displaystyle \angle AQB} は △ Q B P {\displaystyle \triangle QBP} における ∠ Q {\displaystyle \angle Q} の外角であるから
円周角の定理の逆

となる。 円周角の定理により、 ∠ A Q B = ∠ A C B = ∠ a {\displaystyle \angle AQB=\angle ACB=\angle a} であるから、
円周角の定理の逆

式を変形すると
円周角の定理の逆

よって
円周角の定理の逆

上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき
円周角の定理の逆

ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。
円周角の定理の応用

まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。
円周角の定理の応用

直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する(せっする)といい、この直線を円の 接線(せっせん) といい、出あう1点を 接点(せってん) という。
円周角の定理の応用

円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。 AP,AP'は円Oの接線であるから、
円周角の定理の応用

であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。
円周角の定理の応用

このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。
円周角の定理の応用

△ A P O {\displaystyle \triangle APO} と △ A P ′ O {\displaystyle \triangle AP'O} において
円周角の定理の応用

AP,AP'は接線だから
円周角の定理の応用

共通な辺だから
円周角の定理の応用

円Oの半径だから
円周角の定理の応用

(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
円周角の定理の応用

したがって、 A P = A P ′ {\displaystyle AP=AP'}
円周角の定理の応用

線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。
円周角の定理の応用

上で調べたことから、次のようにまとめられる。