数学演習/中学校2年生/1次関数/解答
数学演習 中学校2年生
中学校数学 2年生-数量/一次関数
問題はこちらにあります。
1次関数の式(1)

(1)a=3,b=5
1次関数の式(1)

x=0の時のyの値が切片なのでbはすぐに分かる。xが1増加するとyが3増加しているので傾きaは3になる。
1次関数の式(1)

(2)a=-6,b=-38
1次関数の式(1)

xが1増加するとyが-6増加しているので傾きaは-6になる。bは(-2,-26)から-6×2をすると求められる。
1次関数の式(1)

(3) a = 2 9 , b = 52 9 {\displaystyle a={\frac {2}{9}},b={\frac {52}{9}}}
1次関数の式(1)

xが3増加するとyが 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} 増加しているので傾きaは 2 9 {\displaystyle {\frac {2}{9}}} 、bは ( 4 , 20 3 ) {\displaystyle (4,{\frac {20}{3}})} から 2 9 × ( − 4 ) {\displaystyle {\frac {2}{9}}\times (-4)} をすると求められる。
1次関数の式(1)

(4)a=0,b=7
1次関数の式(1)

xがいくつであってもyは7であるので傾きaは0、切片bは7になる。
1次関数の利用

(1)x=925、y=19
1次関数の利用

基本料金+第1段階の電力使用量×第1段階の料金=支払う料金の連立方程式を立てる。両方120kwh以下なので第2段階以降を考える必要はない。
1次関数の利用

(2)前半、z=27
1次関数の利用

第1段階を一杯まで使用した時の料金は925+120×19=3205円である。これを超過した分だけ第2段階の料金が適用されることになる。第2段階が適用される電力量は150-120=30kwhである。これをzの係数にして方程式を立てる。(zの係数は150でないことに注意)
1次関数の利用

3205 + 30 z = 4015 {\displaystyle 3205+30z=4015}
1次関数の利用

(2)後半、7390円
1次関数の利用

要領は前半と同様。第2段階が適用される電力量は275-120=155kwhである。料金は 925 + 120 × 19 + 155 × 27 {\displaystyle 925+120\times 19+155\times 27} で求められる。
1次関数の利用

(3)450kwh
1次関数の利用

第2段階までを一杯まで使用した時の料金は925+120×19+180×27=8065円である。これを超過した分だけ第3段階の料金1kwhあたり32円を払うことになるので第3段階が適用される電力量をwとして方程式を立てる。
1次関数の利用

8065 + 32 w = 12865 {\displaystyle 8065+32w=12865}
1次関数の利用

w=150kwhは第3段階だけの量なので第1段階の使用量120kwhと第2段階の使用量180kwhも合計する。
1次関数の利用

(4)電力使用量をa、料金をbとすると以下の式で表される。
1次関数の利用

b = { 19 a + 925 ( 0 ≦ a ≦ 120 ) , 27 a − 35 ( 120 < a ≦ 300 ) , 32 a − 1535 ( 300 < a ) {\displaystyle b={\begin{cases}19a+925&(0\leqq a\leqq 120),\\27a-35&(120<a\leqq 300),\\32a-1535&(300<a)\end{cases}}}
1次関数の利用

1番目の式は切片925、傾き19になる。2番目の式の切片は925+19×120と27×120の差分を取った-35になる。傾きは27。3番目の式の切片も同様に925+19×120+27×180と32×300の差分を取って-1535である。傾きは32。いずれも範囲の付け忘れに注意。
1次関数の利用

(5)略
1次関数とグラフ

(1)18
1次関数とグラフ

x軸とy軸の交点は原点。x軸(y=0)とy=-x+6の交点は(6,0)。y軸(x=0)とy=-x+6の交点は(0,6)。この場合は底辺と高さが既に分かっているので 6 × 6 2 = 18 {\displaystyle {\frac {6\times 6}{2}}=18} となる。
1次関数とグラフ

(2) 15 4 {\displaystyle {\frac {15}{4}}}
1次関数とグラフ

x軸とy=3xの交点は原点。x軸とy=-2x+5の交点は ( 5 2 , 0 ) {\displaystyle ({\frac {5}{2}},0)} 。
1次関数とグラフ

y=3xとy=-2x+5の交点は
1次関数とグラフ

の連立方程式を(代入法で)解いて、 ( x , y ) = ( 1 , 3 ) {\displaystyle (x,y)=(1,3)} 。
1次関数とグラフ

この場合も底辺と高さが既に分かっているので 5 2 × 3 × 1 2 = 15 4 {\displaystyle {\frac {5}{2}}\times 3\times {\frac {1}{2}}={\frac {15}{4}}} となる。
1次関数とグラフ

(3) 20 3 {\displaystyle {\frac {20}{3}}}
1次関数とグラフ

y=xとy=3xの交点は原点。y=xとy=-2x+10の交点は
1次関数とグラフ

の連立方程式を(代入法で)解いて、 ( x , y ) = ( 10 3 , 10 3 ) {\displaystyle (x,y)=({\frac {10}{3}},{\frac {10}{3}})} 。
1次関数とグラフ

また、y=3xとy=-2x+10の交点も同様に連立方程式
1次関数とグラフ

を(同じく代入法で)解いて、 ( x , y ) = ( 2 , 6 ) {\displaystyle (x,y)=(2,6)}
1次関数とグラフ

この問題ではx軸、もしくはy軸に平行な線分がないのですぐには求められない。この場合はこの三角形がちょうど収まるような長方形を考えて、余分な三角形を取り除く。
1次関数とグラフ

この場合上端は y = 6 {\displaystyle y=6} ・下端は y = 0 {\displaystyle y=0} (x軸)・左端は x = 0 {\displaystyle x=0} (y軸)・右端は x = 10 3 {\displaystyle x={\frac {10}{3}}} で囲まれた長方形Aを考える。
1次関数とグラフ

余分な三角形は
1次関数とグラフ

の3種類である。
1次関数とグラフ

まず、長方形Aの面積は
1次関数とグラフ

である。
1次関数とグラフ

余分な3種類の三角形B・C・Dの面積は
1次関数とグラフ

長方形の面積から余分な3種類の三角形の面積を引くと、 20 − 50 9 − 6 − 16 9 = 20 3 {\displaystyle 20-{\frac {50}{9}}-6-{\frac {16}{9}}={\frac {20}{3}}} となり問題で求める三角形の面積になった。
1次関数とグラフ

(公式) 三角形の頂点のうち1つが原点・残り2頂点の座標を(a,b)(c,d)・三角形の面積をSとすると、
1次関数とグラフ

と表される。ここで|ad-bc|とはad-bcの絶対値のことである。三角形の頂点が全て原点にない場合は任意の1つの点が原点に重なるように平行移動してあげればよい。
1次関数とグラフ

この公式を用いると、 ( 0 , 0 ) , ( 10 3 , 10 3 ) , ( 2 , 6 ) {\displaystyle (0,0),({\frac {10}{3}},{\frac {10}{3}}),(2,6)} の三角形の面積は
1次関数とグラフ

と簡単に求められる。