高等学校数学II/図形と方程式
ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。
点と直線

座標平面上の2点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)\ ,\ \mathrm {B} \left(x_{2}\ ,\ y_{2}\right)} 間の距離 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を求めてみよう。直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } が座標軸に平行でないとき、点 C ( x 2 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {C} \left(x_{2}\ ,\ y_{1}\right)} をとると
点と直線

△ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {C} } は直角三角形であるから、三平方の定理より
点と直線

この式は、直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ。
点と直線

特に、原点 O {\displaystyle \mathrm {O} } と点 A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)} 間の距離は
点と直線

点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\mathrm {B} (x_{1},y_{1})} と実数 m , n > 0 {\displaystyle m,n>0} に対して、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上の点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点という。
点と直線

また、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上でない点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に外分する点という。
点と直線

数直線上の点 A ( a ) , B ( b ) {\displaystyle \mathrm {A} (a),\mathrm {B} (b)} を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と外分する点を求める。
点と直線

内分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} のとき、 A P = x − a , P B = b − x {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {PB} =b-x} なので、 m : n = ( x − a ) : ( b − x ) {\displaystyle m:n=(x-a):(b-x)} なので、 n ( x − a ) = m ( b − x ) ⟺ x = n a + m b m + n {\displaystyle n(x-a)=m(b-x)\iff x={\frac {na+mb}{m+n}}} である。 a > b {\displaystyle a>b} のときも同様。
点と直線

次に外分点を求める。外分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} で m > n {\displaystyle m>n} のとき、 x > b {\displaystyle x>b} となるので、 A P = x − a , B P = x − b {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {BP} =x-b} なので、 m : n = ( x − a ) : ( x − b ) {\displaystyle m:n=(x-a):(x-b)} なので、 x = − n a + m b m − n {\displaystyle x={\frac {-na+mb}{m-n}}}
点と直線

これは、 a > b {\displaystyle a>b} または m < n {\displaystyle m<n} のときも同様。
点と直線

2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。
点と直線

よって、一般に点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A(x_{0},y_{0}),B(x_{1},y_{1})} を、a:bに内分する点と外分する点は、
点と直線

で与えられる。
点と直線

演習問題
点と直線

点 A ( 1 , 0 ) , B ( − 4 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1,0),\mathrm {B} (-4,7)} を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。
点と直線

解答
点と直線

内分点は ( − 11 4 , 21 4 ) {\displaystyle \left({\frac {-11}{4}},{\frac {21}{4}}\right)}
点と直線

外分点は ( − 13 2 , 21 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-13}{2}},{\frac {21}{2}}\right)}
点と直線

3点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm {B} \left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm {C} \left(x_{3},y_{3}\right)} を頂点とする三角形の重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を求めてみよう。 線分 B C {\displaystyle \mathrm {B} \mathrm {C} } の中点 M {\displaystyle \mathrm {M} } の座標は
点と直線

重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } は線分 A M {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {M} } を2:1に内分する点であるから、 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} とすると
点と直線

同様に
点と直線

よって、重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標は
点と直線

ある点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} を通って傾きaの直線の式は、 y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})} で与えられる。これは、傾きがyの変化分 / {\displaystyle /} xの変化分で表わされ、 y − y 0 {\displaystyle y-y_{0}} , x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。
点と直線

2点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} , ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} を通る直線は傾きが y 0 − y 1 x 0 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}} で与えられることを用いると、 y − y 0 = y 0 − y 1 x 0 − x 1 ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}(x-x_{0})} で与えられる。
点と直線

演習問題
点と直線

それぞれの直線を表わす式を計算せよ。
点と直線

(i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線
点と直線

(ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線
点と直線

解答
点と直線

を用いればよい。
点と直線

(i)
点と直線

(ii)
点と直線

また直線の方程式は一般に a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} で表される。
点と直線

点 ( 1 , 4 ) {\displaystyle (1,4)} を通り、直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。
点と直線

直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} の傾きは − 2 {\displaystyle -2} である。 平行な直線の方程式は
点と直線

垂直な直線の傾きを m {\displaystyle m} とすると
点と直線

よって、垂直な直線の方程式は
点と直線

点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} に対し、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に下ろした垂線 P H {\displaystyle \mathrm {PH} } の長さに等しい。
点と直線

直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} と点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} の距離は
点と直線

と表される。
点と直線

証明
点と直線

点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 a , b ≠ 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0\quad a,b\neq 0} とする。
点と直線

点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に垂線を下ろし、垂線の足を点 R {\displaystyle R} とする。
点と直線

また、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から y {\displaystyle y} 軸に平行な直線を引き、直線 l {\displaystyle l} との交点を点 S {\displaystyle \mathrm {S} } とする。
点と直線

次に、図のように、直線 l {\displaystyle l} 上の点 T {\displaystyle \mathrm {T} } に対して、直線 T V {\displaystyle \mathrm {TV} } が x {\displaystyle x} 軸と平行となり、 T V = | b | {\displaystyle \mathrm {TV} =|b|} となるように点 V {\displaystyle \mathrm {V} } をとり、直線 V U {\displaystyle \mathrm {VU} } が y {\displaystyle y} 軸に平行になる点 U {\displaystyle \mathrm {U} } を直線 l {\displaystyle l} 上に取る。
点と直線

直線 l {\displaystyle l} の傾きは − a b {\displaystyle -{\frac {a}{b}}} となるので V U = | a | {\displaystyle \mathrm {VU} =|a|} である。 ここで、 △ P R S , △ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} ,\bigtriangleup \mathrm {TVU} } は直角三角形であり、 ∠ P S R = ∠ T U V {\displaystyle \angle \mathrm {PSR} =\angle \mathrm {TUV} } なので、 △ P R S ∼△ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm {TVU} } である。したがって
点と直線

また点 S {\displaystyle \mathrm {S} } の座標を ( x 0 , m ) {\displaystyle (x_{0},m)} とすると、 P S = | y 0 − m | {\displaystyle \mathrm {PS} =|y_{0}-m|} で、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} の距離 P R {\displaystyle \mathrm {PR} } は、
点と直線

P R = P S ⋅ T V T U = | y 0 − m | | b | a 2 + b 2 {\displaystyle \mathrm {PR} ={\mathrm {PS} }\cdot {\frac {\mathrm {TV} }{\mathrm {TU} }}={\frac {|y_{0}-m||b|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
点と直線

ところで、点 S {\displaystyle \mathrm {S} } は直線 l {\displaystyle l} 上の点なので、
点と直線

である。これを代入すれば
点と直線

ベクトルを使った証明
点と直線

すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。
点と直線

点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} とし、点 Q ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {Q} (x_{1},y_{1})} を直線 l {\displaystyle l} 上の点とする。直線 l {\displaystyle l} の法線は n → := ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}:=(a,b)} で、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} であるので、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離 d {\displaystyle d} は d = | Q P → ⋅ n → | | n → | | | = | ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 | = | a x 0 + b y 0 − ( a x 1 + b y 1 ) | a 2 + b 2 = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d=\left|{\vec {\mathrm {QP} }}\cdot {\frac {\vec {n}}{||{\vec {n}}||}}\right|=\left|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\cdot {\frac {(a,b)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|={\frac {|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} である。
点と直線

演習問題
点と直線

直線 x − 2 y − 3 = 0 {\displaystyle x-2y-3=0} と点 ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} の距離を求めよ
点と直線

解答
点と直線

6 5 {\displaystyle {\frac {6}{\sqrt {5}}}}
円

中心 C ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {C} (a,b)} 半径 r {\displaystyle r} の円は、 C P = r {\displaystyle \mathrm {CP} =r} となる点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の集合である。つまり、 r = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して
円

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
円

を得る。これが円の方程式である。
円

特に原点が中心で半径 r {\displaystyle r} の円の方程式は x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} で与えられる。
円

演習問題
円

解答
円

方程式 x 2 + y 2 + l x + m y + n = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0} はいつも円であるとは限らない。
円

方程式を変形して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k} となるとき
円

円 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} で接する接線の方程式は
円

で表される。
円

同様に、円 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} で接する接線の方程式は
円

で表される。
円

円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。
円

一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。
円

円 C : ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r 2 {\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} について、円 C {\displaystyle C} の中心 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} と直線 l {\displaystyle l} の距離 d := | a q + b q + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d:={\frac {|aq+bq+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} とすると、
円

他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。
円

演習問題
円

直線 3 x + 4 y = 1 {\displaystyle 3x+4y=1} と円 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 14 {\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14} の交点の座標を求めよ
円

解答
円

直線の方程式を x {\displaystyle x} について解き、それを円の方程式に代入すればよい。
円

答えは ( 2 , − 1 ) , ( − 14 5 , 7 5 ) {\displaystyle (2,-1),\left(-{\frac {14}{5}},{\frac {7}{5}}\right)}
円

ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。
円

2点 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 2)} から等距離にある点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。
円

条件 A P = B P {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {B} \mathrm {P} } より、 A P 2 = B P 2 {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {B} \mathrm {P} ^{2}} P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とすると
円

だから
円

整理して、
円

したがって、求める軌跡は、直線 y = − x + 3 {\displaystyle y=-x+3} である。
円

2点 A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {A} (0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 0)} からの距離の比が 2 : 1 {\displaystyle 2:1} である点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。
円

P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とする。 P {\displaystyle \mathrm {P} } を満たす条件は
円

すなわち
円

これを座標で表すと
円

両辺を2乗して、整理すると
円

すなわち
円

したがって、求める軌跡は、中心が ( 4 , 0 ) {\displaystyle (4\ ,\ 0)} 、半径が 2 {\displaystyle 2} の円である。
円

m , n {\displaystyle m\ ,\ n} を異なる正の数とするとき、2点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} \ ,\ \mathrm {B} } からの距離の比が m : n {\displaystyle m:n} である点の軌跡は、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。
円

m = n {\displaystyle m=n} のときは、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } の垂直二等分線である。
コラム

このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。
コラム

なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。
コラム

中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。
ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。
点と直線

座標平面上の2点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)\ ,\ \mathrm {B} \left(x_{2}\ ,\ y_{2}\right)} 間の距離 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を求めてみよう。直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } が座標軸に平行でないとき、点 C ( x 2 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {C} \left(x_{2}\ ,\ y_{1}\right)} をとると
点と直線

△ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {C} } は直角三角形であるから、三平方の定理より
点と直線

この式は、直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ。
点と直線

特に、原点 O {\displaystyle \mathrm {O} } と点 A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)} 間の距離は
点と直線

点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\mathrm {B} (x_{1},y_{1})} と実数 m , n > 0 {\displaystyle m,n>0} に対して、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上の点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点という。
点と直線

また、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上でない点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に外分する点という。
点と直線

数直線上の点 A ( a ) , B ( b ) {\displaystyle \mathrm {A} (a),\mathrm {B} (b)} を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と外分する点を求める。
点と直線

内分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} のとき、 A P = x − a , P B = b − x {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {PB} =b-x} なので、 m : n = ( x − a ) : ( b − x ) {\displaystyle m:n=(x-a):(b-x)} なので、 n ( x − a ) = m ( b − x ) ⟺ x = n a + m b m + n {\displaystyle n(x-a)=m(b-x)\iff x={\frac {na+mb}{m+n}}} である。 a > b {\displaystyle a>b} のときも同様。
点と直線

次に外分点を求める。外分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} で m > n {\displaystyle m>n} のとき、 x > b {\displaystyle x>b} となるので、 A P = x − a , B P = x − b {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {BP} =x-b} なので、 m : n = ( x − a ) : ( x − b ) {\displaystyle m:n=(x-a):(x-b)} なので、 x = − n a + m b m − n {\displaystyle x={\frac {-na+mb}{m-n}}}
点と直線

これは、 a > b {\displaystyle a>b} または m < n {\displaystyle m<n} のときも同様。
点と直線

2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。
点と直線

よって、一般に点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A(x_{0},y_{0}),B(x_{1},y_{1})} を、a:bに内分する点と外分する点は、
点と直線

で与えられる。
点と直線

演習問題
点と直線

点 A ( 1 , 0 ) , B ( − 4 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1,0),\mathrm {B} (-4,7)} を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。
点と直線

解答
点と直線

内分点は ( − 11 4 , 21 4 ) {\displaystyle \left({\frac {-11}{4}},{\frac {21}{4}}\right)}
点と直線

外分点は ( − 13 2 , 21 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-13}{2}},{\frac {21}{2}}\right)}
点と直線

3点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm {B} \left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm {C} \left(x_{3},y_{3}\right)} を頂点とする三角形の重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を求めてみよう。 線分 B C {\displaystyle \mathrm {B} \mathrm {C} } の中点 M {\displaystyle \mathrm {M} } の座標は
点と直線

重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } は線分 A M {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {M} } を2:1に内分する点であるから、 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} とすると
点と直線

同様に
点と直線

よって、重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標は
点と直線

ある点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} を通って傾きaの直線の式は、 y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})} で与えられる。これは、傾きがyの変化分 / {\displaystyle /} xの変化分で表わされ、 y − y 0 {\displaystyle y-y_{0}} , x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。
点と直線

2点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} , ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} を通る直線は傾きが y 0 − y 1 x 0 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}} で与えられることを用いると、 y − y 0 = y 0 − y 1 x 0 − x 1 ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}(x-x_{0})} で与えられる。
点と直線

演習問題
点と直線

それぞれの直線を表わす式を計算せよ。
点と直線

(i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線
点と直線

(ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線
点と直線

解答
点と直線

を用いればよい。
点と直線

(i)
点と直線

(ii)
点と直線

また直線の方程式は一般に a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} で表される。
点と直線

点 ( 1 , 4 ) {\displaystyle (1,4)} を通り、直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。
点と直線

直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} の傾きは − 2 {\displaystyle -2} である。 平行な直線の方程式は
点と直線

垂直な直線の傾きを m {\displaystyle m} とすると
点と直線

よって、垂直な直線の方程式は
点と直線

点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} に対し、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に下ろした垂線 P H {\displaystyle \mathrm {PH} } の長さに等しい。
点と直線

直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} と点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} の距離は
点と直線

と表される。
点と直線

証明
点と直線

点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 a , b ≠ 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0\quad a,b\neq 0} とする。
点と直線

点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に垂線を下ろし、垂線の足を点 R {\displaystyle R} とする。
点と直線

また、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から y {\displaystyle y} 軸に平行な直線を引き、直線 l {\displaystyle l} との交点を点 S {\displaystyle \mathrm {S} } とする。
点と直線

次に、図のように、直線 l {\displaystyle l} 上の点 T {\displaystyle \mathrm {T} } に対して、直線 T V {\displaystyle \mathrm {TV} } が x {\displaystyle x} 軸と平行となり、 T V = | b | {\displaystyle \mathrm {TV} =|b|} となるように点 V {\displaystyle \mathrm {V} } をとり、直線 V U {\displaystyle \mathrm {VU} } が y {\displaystyle y} 軸に平行になる点 U {\displaystyle \mathrm {U} } を直線 l {\displaystyle l} 上に取る。
点と直線

直線 l {\displaystyle l} の傾きは − a b {\displaystyle -{\frac {a}{b}}} となるので V U = | a | {\displaystyle \mathrm {VU} =|a|} である。 ここで、 △ P R S , △ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} ,\bigtriangleup \mathrm {TVU} } は直角三角形であり、 ∠ P S R = ∠ T U V {\displaystyle \angle \mathrm {PSR} =\angle \mathrm {TUV} } なので、 △ P R S ∼△ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm {TVU} } である。したがって
点と直線

また点 S {\displaystyle \mathrm {S} } の座標を ( x 0 , m ) {\displaystyle (x_{0},m)} とすると、 P S = | y 0 − m | {\displaystyle \mathrm {PS} =|y_{0}-m|} で、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} の距離 P R {\displaystyle \mathrm {PR} } は、
点と直線

P R = P S ⋅ T V T U = | y 0 − m | | b | a 2 + b 2 {\displaystyle \mathrm {PR} ={\mathrm {PS} }\cdot {\frac {\mathrm {TV} }{\mathrm {TU} }}={\frac {|y_{0}-m||b|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
点と直線

ところで、点 S {\displaystyle \mathrm {S} } は直線 l {\displaystyle l} 上の点なので、
点と直線

である。これを代入すれば
点と直線

ベクトルを使った証明
点と直線

すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。
点と直線

点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} とし、点 Q ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {Q} (x_{1},y_{1})} を直線 l {\displaystyle l} 上の点とする。直線 l {\displaystyle l} の法線は n → := ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}:=(a,b)} で、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} であるので、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離 d {\displaystyle d} は d = | Q P → ⋅ n → | | n → | | | = | ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 | = | a x 0 + b y 0 − ( a x 1 + b y 1 ) | a 2 + b 2 = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d=\left|{\vec {\mathrm {QP} }}\cdot {\frac {\vec {n}}{||{\vec {n}}||}}\right|=\left|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\cdot {\frac {(a,b)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|={\frac {|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} である。
点と直線

演習問題
点と直線

直線 x − 2 y − 3 = 0 {\displaystyle x-2y-3=0} と点 ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} の距離を求めよ
点と直線

解答
点と直線

6 5 {\displaystyle {\frac {6}{\sqrt {5}}}}
円

中心 C ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {C} (a,b)} 半径 r {\displaystyle r} の円は、 C P = r {\displaystyle \mathrm {CP} =r} となる点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の集合である。つまり、 r = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して
円

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
円

を得る。これが円の方程式である。
円

特に原点が中心で半径 r {\displaystyle r} の円の方程式は x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} で与えられる。
円

演習問題
円

解答
円

方程式 x 2 + y 2 + l x + m y + n = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0} はいつも円であるとは限らない。
円

方程式を変形して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k} となるとき
円

円 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} で接する接線の方程式は
円

で表される。
円

同様に、円 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} で接する接線の方程式は
円

で表される。
円

円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。
円

一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。
円

円 C : ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r 2 {\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} について、円 C {\displaystyle C} の中心 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} と直線 l {\displaystyle l} の距離 d := | a q + b q + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d:={\frac {|aq+bq+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} とすると、
円

他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。
円

演習問題
円

直線 3 x + 4 y = 1 {\displaystyle 3x+4y=1} と円 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 14 {\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14} の交点の座標を求めよ
円

解答
円

直線の方程式を x {\displaystyle x} について解き、それを円の方程式に代入すればよい。
円

答えは ( 2 , − 1 ) , ( − 14 5 , 7 5 ) {\displaystyle (2,-1),\left(-{\frac {14}{5}},{\frac {7}{5}}\right)}
軌跡と領域

ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。
軌跡と領域

2点 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 2)} から等距離にある点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。
軌跡と領域

条件 A P = B P {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {B} \mathrm {P} } より、 A P 2 = B P 2 {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {B} \mathrm {P} ^{2}} P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とすると
軌跡と領域

だから
軌跡と領域

整理して、
軌跡と領域

したがって、求める軌跡は、直線 y = − x + 3 {\displaystyle y=-x+3} である。
軌跡と領域

2点 A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {A} (0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 0)} からの距離の比が 2 : 1 {\displaystyle 2:1} である点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。
軌跡と領域

P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とする。 P {\displaystyle \mathrm {P} } を満たす条件は
軌跡と領域

すなわち
軌跡と領域

これを座標で表すと
軌跡と領域

両辺を2乗して、整理すると
軌跡と領域

すなわち
軌跡と領域

したがって、求める軌跡は、中心が ( 4 , 0 ) {\displaystyle (4\ ,\ 0)} 、半径が 2 {\displaystyle 2} の円である。
軌跡と領域

m , n {\displaystyle m\ ,\ n} を異なる正の数とするとき、2点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} \ ,\ \mathrm {B} } からの距離の比が m : n {\displaystyle m:n} である点の軌跡は、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。
軌跡と領域

m = n {\displaystyle m=n} のときは、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } の垂直二等分線である。
コラム

このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。
コラム

なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。
コラム

中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。