小学校算数/6学年
式と計算

b a × c = b × c a {\displaystyle {\frac {b}{a}}\times {c}={\frac {b\times c}{a}}} となります。
式と計算

b a ÷ c = b c × a {\displaystyle {\frac {b}{a}}\div {c}={\frac {b}{c\times a}}} となります。
式と計算

分数のかけ算は、それぞれ真分数または仮分数の場合は分数の分子と分母を個別にかけ算すればできます。
式と計算

例えば、
式と計算

1 5 × 2 3 = 1 × 2 5 × 3 = 2 15 {\displaystyle {\frac {1}{5}}\times {\frac {2}{3}}={\frac {1\times 2}{5\times 3}}={\frac {2}{15}}}
式と計算

となります。
式と計算

ただし帯分数がふくまれている場合は仮分数に直してからでなければいけません。これは分数の割り算も同じです。
式と計算

2 2 3 × 1 2 5 = 8 3 × 7 5 = 8 × 7 3 × 5 = 56 15 ... ( = 3 11 15 ) {\displaystyle 2{\frac {2}{3}}\times 1{\frac {2}{5}}={\frac {8}{3}}\times {\frac {7}{5}}={\frac {8\times 7}{3\times 5}}={\frac {56}{15}}\dots (=3{\frac {11}{15}})}
式と計算

逆数は分数の分子と分母を入れ替えた物になります。つまり、 b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}} の逆数は a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} です。
式と計算

分数のわり算では、わられる数にわる数の逆数をかけると答えが得られます。
式と計算

この説明は、なんでこうすれば答えが出るのかと気になった人に向けて書いているので、読まなくていいです。また、ひとつ下で勉強する文字と式や中学校の勉強で出てくるものを使います。もし分からなくても一度読むのをやめて次の勉強をしてみてください。この教科書を読み終わった後にもう一回読めば、わかるようになっているかもしれません。
式と計算

それでは、 a b ÷ c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}} を例にして解説していきます。ここでまだわかっていない答えをとりあえず x {\displaystyle x} と書いておきます。
式と計算

左の式と右の式はまったく同じ数字になっています。なので、両方の式に c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} をかけても同じ数字同士になると思います。ちなみに、これは等式の性質といって中学1年生の知識です。
式と計算

そうすると ÷ c d × c d {\displaystyle \div {\frac {c}{d}}\times {\frac {c}{d}}} というものが現れると思います。わり算はひとり分はいくつになるか、かけ算はひとり分のものを人数分にするといくつになるかというものを求める計算で、つまりかけ算とわり算は真逆の計算をしているだけということがわかると思います。つまり、この ÷ c d × c d {\displaystyle \div {\frac {c}{d}}\times {\frac {c}{d}}} は打ち消し合ってなにも計算しないのと同じになります。
式と計算

左右両方の式に d c {\displaystyle {\frac {d}{c}}} をかけます。
式と計算

ここに現れた c d × d c {\displaystyle {\frac {c}{d}}\times {\frac {d}{c}}} を計算してみると
式と計算

つまり下のような式になります。
式と計算

というわけで、一番上の式と見比べると
文字と式

同じ値段のえん筆を6本買います。
文字と式

えん筆1本の値段を50円としたとき、式は 50 × 6 = 300 {\displaystyle 50\times 6=300} となります。
文字と式

えん筆1本の値段を ◻ {\displaystyle \Box } 円、6本の代金を △ {\displaystyle \triangle } 円として、 ◻ {\displaystyle \Box } と △ {\displaystyle \triangle } の関係を式に表すと、 ◻ × 6 = △ {\displaystyle \Box \times 6=\triangle } となります。
文字と式

これからは、 ◻ {\displaystyle \Box } や △ {\displaystyle \triangle } などの記号の代わりに、 x {\displaystyle x} や y {\displaystyle y} などの文字を使うことがあります。
文字と式

えん筆1本の値段を x {\displaystyle x} 円、6本の代金を y {\displaystyle y} 円として、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} の関係を式に表すと、 x × 6 = y {\displaystyle x\times 6=y} となります。
文字と式

x = 60 {\displaystyle x=60} のときは、 x × 6 = y {\displaystyle x\times 6=y} の x {\displaystyle x} に60をあてはめて計算すると、 60 × 6 = 360 {\displaystyle 60\times 6=360} となります。
量と測定

小学校算数/5学年までにw:平行四辺形やw:三角形等の図形の面積の求め方を学びました。しかし、実際に見られる図形は必ずしも完全な三角形ではなくでこぼこな図形などもあります。このような時にでもだいたいの面積を調べることができます。
量と測定

例えば方眼紙に適当に書いた図形の面積を求めてみましょう。今までのやり方だとその図形の面積を求めることはできません。しかしだいたいの大きさなら調べることはできます。
量と測定

方眼紙に書いた図形はたくさんのマスで区切られています。マスが完全にその図形にふまれている場合、マスの上を図形の線が通っています。そのマスの数を調べることによっておおよその面積を調べることができます。
量と測定

この図形の面積は、マス100個の面積よりも大きいことはすぐにわかります。そして、20個のマスは図形の線が通っていて、図形に完全にふくまれてはいないのですから、マス120個の面積よりは小さいことがわかります。だから、この場合はその図形の面積は 100 c m 2 {\displaystyle 100cm^{2}} と 120 c m 2 {\displaystyle 120cm^{2}} の間であることがわかります。これではまだ少しおおざっぱですが、方眼紙のマスをより細かくする(例えば5mmや1mm四方のマスにとりかえることによってよりくわしく面積を知ることができます。
図形

ある直線を軸として図形を折り重ねたとき、元の図形とぴったり重なる図形は 線対称であるといいます。
図形

また、その折り重ねたときの軸となった直線を 対称の軸 といいます。
図形

対応する2つの点を結ぶ直線は、対称の軸と垂直に交わります。また、その交点と対応する点のきょりは、それぞれ等しくなります。
図形

ある図形をある点を中心に180°回転させたとき、もとの図形と重なる図形は 点対称である といいます。また、その回転の中心の点を 対称の中心 といいます。
図形

対応する2つの点を結ぶ直線は、対称の中心を通ります。また、対称の中心と、対応する2つの点を結ぶと、そのきょりは、それぞれ等しくなります。
図形

正多角形は必ず線対称で、対称の軸の本数はその正多角形の辺の数に等しくなっています。また、辺の数が奇数の正多角形は点対称ではなく、偶数の正多角形は点対称となります。
図形

円の面積の求め方を考えてみましょう。
図形

図のように、円をおうぎの形に等分し、並べかえます。
図形

このとき、並びかえた図形は長方形(平行四辺形)とみることができます。
図形

その縦の長さは、 半径 で、横の長さは 円周の長さの半分 と等しくなります。
図形

円周÷2=直径×円周率÷2=(直径÷2)×円周÷2=半径×円周率 となるので、円周の半分の長さは半径×円周率と等しくなります。
図形

この長方形の面積(縦×横)=円周÷2×半径=半径×円周率×半径となりますから、
図形

円の面積は、 半径×半径×円周率 という式で求められることになります。ここでは円周率を3.14とします。
図形

この図形は、正方形の中に、円の一部を書いたものです。色のついた部分の面積の求め方を考えましょう。
図形

ある図形を、形をかえないで大きくすることを、その図形を 拡大するといいます。 たとえば右の図では、ある点を中心に上の青い図形を拡大して、下の黒い図形に重ねました。
図形

拡大された図を 拡大図 といいます。右の絵では、上の青い「L」の形をを基準に考えた場合は、下の黒い図のほうが拡大図です。
図形

ある図形を、形をかえないで小さくすることを、その図形を 縮小する といいます。 たとえば右の図では、下の黒い「L」の形を縮小して、上の青い図形にしています。
図形

縮小された図を 縮図といいます。「縮小図」ではないので注意してください。右の図では、下の黒い「L」の形を基準に考えた場合は、上の青い形のほうが縮図です。
図形

地図の縮尺も、縮図のような考え方です。例えば縮尺が25000分の1となっているなら、実際の25000分の1の大きさで、全く同じ形に書いてあります。 また、本などを縮小コピーしたり、拡大コピーしてみましょう(コピー機には「縮小コピー」「拡大コピー」の機能があることが多いです)。やはり、原稿と同じように印刷されますが、大きさは変わっているはずです。
図形

では、もっと簡単な図形である三角形はどうでしょうか。全く同じ形でも大きさが異なる三角形では、どのような共通の性質を持っているでしょうか。
図形

この2つの三角形は、全く同じ形をしていますが、大きさが違います。この2つの三角形を比べると、次のことがいえます。
図形

(「AB」は、「辺ABの長さ」をさします)
図形

三角形ABCを基準に考えてみれば、三角形DEFは、三角形ABCを拡大したものです。 つまり、三角形DEFは、三角形ABCの拡大図です。
図形

三角形DEFを基準に考えてみれば、三角形ABCは、三角形DEFを縮小したものです。 つまり、三角形ABCは、三角形DEFの縮図です。
図形

角柱や円柱で、底面の面積を 底面積 といいます。
数量関係

ここでは、数量の間の関係について学んでいきましょう。
数量関係

ウスターソースとケチャップを混ぜて、ハンバーグソースを作ろうと思います。
数量関係

比 a : b {\displaystyle a:b} において、 a {\displaystyle a} が b {\displaystyle b} の何倍かを表す値を 比の値 といいます。
数量関係

2つの比 3:4 と 9:12 について考えてみましょう。
数量関係

比 3:4 の「3」と「4」に、3をかけると 「9」「12」になるので 9:12に等しくなります。
数量関係

また、3:4 と 9:12の比の値を調べると ともに 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} で、等しくなっています。
数量関係

このように、2つの比の比の値が等しいとき、 2つの比は等しい といいます。
数量関係

2つの比 a : b {\displaystyle a:b} と c : d {\displaystyle c:d} が等しいとき、 a : b = c : d {\displaystyle a:b=c:d} とかきます。なお、このような式を 比例式 といいます。
数量関係

比 a : b {\displaystyle a:b} に、同じ数をかけたり割ったりしてもその比は等しくなります。
数量関係

比を、同じ比の値で、できるだけ小さい整数の比に直すことを「比を簡単にする」 といいます。
数量関係

15:3を簡単にしましょう。
数量関係

15と3の最大公約数は、3です。なので、3で15と3をわります。
数量関係

15:3=5:1
数量関係

5と1には最大公約数がないので、これ以上簡単になりません。
数量関係

では、 1 3 : 3 4 {\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {3}{4}}} を簡単にしてみましょう。
数量関係

問題 次のxにあてはまる数を求めましょう。
数量関係

3:x=6:4
数量関係

(1)ウスターソースとケチャップを3:2の比で混ぜてハンバーグソースを作ります。ウスターソースを60mL使うとき、ケチャップは何mL必要ですか。
数量関係

比の値を使って考えてみましょう。
数量関係

(2)AさんとBさんで、15枚のクッキーを、Aさんの枚数とBさんの枚数の比が 2 : 3 {\displaystyle 2:3} になるように分けようと思います。AさんとBさんはそれぞれ何枚とればよいですか。
数量関係

比の値を使って考えてみましょう。
数量関係

このような問題は、中学校で習う「方程式」を用いて計算されることがあります。
数量関係

詳しくは中学校数学 1年生-数量を参照。
比例と反比例

さまざまなものの変わり方を調べてみましょう。
比例と反比例

一方の数量が2倍、3倍、...になると、もう一方の数量が2倍、3倍、...になるとき、2つの数量は比例するといいます。 (注意)参考書などでは、「正比例」と書かれている場合があります。
比例と反比例

比例の関係を見るために、比例関係にある2数を用いて、表とグラフを 作ってみよう。ここでは、「 y = 2 × x {\displaystyle y=2\times x} 」の 比例の表、グラフを作る。
比例と反比例

このとき、この比例の表は
比例と反比例

一方比例のグラフは ファイル:Proportion.svg となる。
比例と反比例

グラフを見ると分かる通り、比例のグラフは両方が0になる点を通る直線になる。
比例と反比例

表は下のようになる。
比例と反比例

また、グラフは ファイル:A Proportion.svg となる。
比例と反比例

面積が12cmの長方形において、縦 の長さを変えたとき、横の長さはどうなるか調べてみましょう。
比例と反比例

このように、一方の数量が 2倍、3倍、...になると、もう一方の数量が 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍、 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 倍...になるとき、2つの数量は反比例しているといいます。
比例と反比例

反比例のグラフは、直線ではなく、右の図のようななめらかな曲線になります。
比例と反比例

小学生は、右上部分以外は、気にしなくて構いません。中学校で、左上部分、左下部分、右下部分について習います。
場合の調べ方

この節は書きかけです。この節を編集してくれる方を心からお待ちしています。
場合の調べ方

A,B,C,D,Eの5つのチームが、ほかのチームと1回ずつ試合をします。
場合の調べ方

この時のすべての試合数を求めるとき、どうすればよいでしょうか。
場合の調べ方

このように、ほかのチームと何回か試合をするとき、(A対B)と(B対A)は同じものとして数えます。
データの調べ方

この節は書きかけです。この節を編集してくれる方を心からお待ちしています。
データの調べ方

下は、ウィキ小学校の6年1組の30人のソフトボール投げの結果です。
データの調べ方

図のような、「10m以上20m未満」のような区間のことを階級と言います。また、このような階級が集まった表のことを度数分布表と言い、それぞれの階級の資料の個数を度数と言います。
データの調べ方

全ての値を足してそれを結果の数でわったものを平均値と言います。
データの調べ方

全ての値を大きさの順で並べて奇数の場合は真ん中、偶数の場合は真ん中の2つの数の平均をそれぞれ中央値といいます。
データの調べ方

上の例の場合、大きい順に並べて13番目から18番目を見てみると
データの調べ方

記録の数は30で偶数なので、中央値は ( 27 + 27 ) ÷ 2 = 27 {\displaystyle (27+27)\div 2=27} になります。
データの調べ方

全ての値の中でもっともよく出てくる数を最頻値といいます。
データの調べ方

上の例では27が3回と一番多く出てるので、27が最頻値です。
データの調べ方

(平均値、中央値、最頻値のことをまとめて代表値と呼びます。)
データの調べ方

資料を数直線上に並べ、同じ値のデータの個数だけドットを積み上げてあらわしたものを、ドットプロットと言います。
データの調べ方

統計で度数分布を示すグラフ. 横軸上に階級、縦軸上に度数を目盛り、おのおのの階級の上に、度数を高さとする長方形を立てたもの. ヒストグラムともよばれる
算数ドリル

下の「6年生のための算数ドリル」の文字を押すと、見ているページが、算数ドリルのぺージに、変わります。