解析学基礎/実数
はじめに

実数全体からなる集合は、さまざまな数学を考えるための舞台として基本的なものである。しかし、それにもかかわらず「実数とは何か」という問いに答えるのは案外難しい。たとえば、手近な高等学校の教科書を紐解くと、次のような記述が見つかる。
はじめに

間違ったことは含んでいないようだが、「実数とは何か」という問いの答えとして期待する答えには程遠く感じられないだろうか。「無限小数で表される数」とはどのような数か。ぼんやりとしたイメージを描くことはできなくはないが、「無限」を正しく理解するのは簡単ではない。それゆえに、この表現だけでは数学を展開する確固たる土台とするには心もとない。しかし、ではどうすればよいのだろうか。
はじめに

この本では、上で提起した「実数とは何か」という問いに、次のような形で答えていきたい。
はじめに

まず、我々がナイーブに想像する「実数全体の集合」が満たすべき性質としてどのようなものがあるかを列挙していく。その中で、たとえば有理数全体の集合は満たさない、実数ならではといえる性質に注目し、それらの性質が実は同値であることを示す。同値であることが確認できれば、それらのうち好みの1つを公理として採用することで、理論を展開する土台ができたことになる。
はじめに

その後、公理から簡単に導かれるいくつかの定理を証明し、実数全体の集合や、実数上の実数値関数の性質を理解する。そして最後に、有理数全体の集合をもとにして、公理を満たす実数全体の集合を集合論的に構成してみる。以上をもって、「実数とは何か」という問いに対するある一定の答えを与えるのが、この本の目標である。
順序体

まず、我々の知っている実数について成り立つことが期待される性質を順に挙げていく。この節で挙げる性質をまとめると、実数全体の集合はアルキメデス順序体である、という言葉で表すことができる。
順序体

我々の知っている実数には四則演算が定義されていて、常識的な計算法則が成り立つ。つまり、次にあげる体の公理を満たす。
順序体

命題2.1.1 実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } には加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つ。
順序体

この10個の公理を満たす集合を一般に体という。公理(F3)の x o {\displaystyle x_{o}} はふつう − x {\displaystyle -x} と書く。公理(F7)の x r {\displaystyle x_{r}} はふつう x − 1 {\displaystyle x^{-1}} と書く。実数の集合は体である。他に、有理数全体の集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } や、複素数全体の集合 C {\displaystyle \mathbb {C} } も体である。
順序体

我々の知っている実数は、大小を比較することができる。すなわち、次が成り立つ。
順序体

命題2.2.1 実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } には ≤ {\displaystyle \leq } という二項関係が定義されていて、次が成り立つ。
順序体

この3つの公理を満たす集合を一般に全順序集合という。実数全体の集合は全順序集合である。のみならず、この順序と加法・乗法が以下のような形で両立する。
順序体

命題2.2.2 実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } において、次が成り立つ。
順序体

体である全順序集合がさらにこの2つの公理を満たすとき、一般にこの集合を順序体という。実数全体の集合は順序体である。有理数全体の集合も順序体である。順序体の公理を用いて、順序体で一般に成り立つ命題をひとつ証明してみる。
順序体

補題2.2.3 順序体において、 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq 1} である。
順序体

この補題を用いると、複素数全体の集合には順序体になるような順序を考えることはできないことがわかる。本筋からはそれるが、証明してみよう。
順序体

もうひとつ、アルキメデスの性質と呼ばれる次の性質も重要である。
順序体

命題2.3.1 実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } において、次が成り立つ。
順序体

この性質を満たす順序体をアルキメデス順序体という。実数全体の集合はアルキメデス順序体である。有理数全体の集合もアルキメデス順序体である。
順序体

アルキメデスの性質は、数列の極限と関係がある。ここで、数列の極限が収束するとは、下の意味である。
順序体

定義2.3.2 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が次の条件を満たすとき、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は α {\displaystyle \alpha } に収束するといい、 lim n → ∞ a n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha } と書く。
順序体

このように定義するとき、次が成り立つ。
順序体

定理2.3.3 アルキメデス順序体において、 lim n → ∞ 1 n = 0 , lim n → ∞ 1 2 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0,\ \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0} である。
順序体

以上、この節の内容をまとめると、実数全体の集合はアルキメデス順序体である、ということが言える。だが、それは有理数全体の集合も同じことである。そもそも我々は、実数全体の集合とはどのようなものかはよく知らず、有理数全体の集合における演算や大小関係のことならば知っているという状態なのであった。その状態の我々が、有理数についての知っていることをもとに実数全体の集合をとらえようとしている段階なのだから、有理数全体の集合でも成り立つ性質ばかりが挙がるのは当然のことである。有理数全体の集合は満たさず実数全体の集合ならば満たす性質にはどのようなものがあるかは、次節で見ていきたい。
実数の連続性

本節では、いよいよ実数ならではといえる性質を扱う。それらはいずれも、実数が「ぎっしりたくさん」存在することを主張する命題たちであり、実はすべて同値な命題である。これらの命題によって表現される実数の性質を、「実数の連続性」と呼ぶ。
実数の連続性

まず、実数からなる集合 A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } に対して、いくつかの概念を定義しよう。
実数の連続性

定義3.1.1 ある実数 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } が、集合Aの任意の元 x ∈ A {\displaystyle x\in A} に対して x ≤ a {\displaystyle x\leq a} を満たすとき、aはAの上界であるという。同様に、ある実数 a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } が、集合Aの任意の元 x ∈ A {\displaystyle x\in A} に対して a ≤ x {\displaystyle a\leq x} を満たすとき、aはAの下界であるという。
実数の連続性

一般に、実数からなる集合に対して上界・下界が存在するとは限らない。上界が存在する集合を上に有界であるといい、下界が存在する集合を下に有界であるという。上に有界かつ下に有界な集合は有界であるという。
実数の連続性

定義3.1.2 集合Aの上界aが a ∈ A {\displaystyle a\in A} を満たすとき、aをAの最大元という。同様に、集合Aの下界aが a ∈ A {\displaystyle a\in A} を満たすとき、aをAの最小元という。
実数の連続性

上界・下界が存在するとは限らないので、最大元・最小元も存在するとは限らない。ただし、最大元・最小元は存在すればただ一つであることは、順序の公理(O1)からわかる。
実数の連続性

定義3.1.3 集合Aの上界の集合が最小元を持つとき、その元をAの上限と呼ぶ。同様に、集合Aの下界の集合が最大元を持つとき、その元をAの下限と呼ぶ。
実数の連続性

用語の意味を整理するために、例をいくつか挙げよう。
実数の連続性

例3.1.4
実数の連続性

ここで用意した用語を用いると、実数の連続性、すなわち実数が「ぎっしりたくさん」存在するという主張は、次のように表現できる。
実数の連続性

命題3.1.5 実数からなる空集合でない集合Aが上に有界ならば、Aの上限が R {\displaystyle \mathbb {R} } の中に存在する。
実数の連続性

例3.1.4の1,2,4がこのような例になっていることが容易に確認できる。3,5は上限が存在しないが、3は上に有界ではなく、5は空集合である。
実数の連続性

命題3.1.5は、実数ならではの、実数が「たくさん」存在することからいえる性質である。これは、実数よりもずっと「少ない」元しか存在しない有理数の集合について考えてみるとわかる。
実数の連続性

定理3.1.6 「有理数からなる空集合でない集合Aが上に有界ならば、Aの上限が Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の中に存在する」という主張は偽である。
実数の連続性

この節では、数列が収束するための十分条件を考えたい。そのために、概念をいくつか定義しよう。
実数の連続性

定義3.2.1 実数からなる数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の値域 { a n | n ∈ N } {\displaystyle \{a_{n}|n\in \mathbb {N} \}} が有界であるとき、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は有界な数列であるという。上に有界、下に有界も同様に定義する。
実数の連続性

定義3.2.2 実数からなる数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が、任意の自然数nに対して a n ≤ a n + 1 {\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}} を満たすとき、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は単調増加であるという。また、任意の自然数nに対して a n ≥ a n + 1 {\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}} を満たすとき、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は単調減少であるという。
実数の連続性

このとき、次が成り立つ。この命題も、実は実数の連続性のひとつの表現である。
実数の連続性

命題3.2.3 実数からなる上に有界な単調増加数列は、ある実数に収束する。また、実数からなる下に有界な単調減少数列は、ある実数に収束する。
実数の連続性

命題3.2.3を用いて、いくつかの数列の極限を考えてみよう。
実数の連続性

例3.2.4 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} を次の漸化式で定義する。
実数の連続性

漸化式より任意の自然数nに対して a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} なので、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は下に有界である。相加平均・相乗平均の関係を用いると、さらに任意の自然数nに対して a n ≥ 2 {\displaystyle a_{n}\geq {\sqrt {2}}} であることがわかる。よって、
実数の連続性

であるから { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は単調減少数列である。以上から、命題3.2.3によりこの数列は収束する。極限値 lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} を α {\displaystyle \alpha } とおくと、 lim n → ∞ a n + 1 = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n+1}=\alpha } でもあることに注意すると、
実数の連続性

整理すると、
実数の連続性

すなわち、 lim n → ∞ a n = 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\sqrt {2}}} である。
実数の連続性

この例は、実数からなる具体的な数列に命題3.2.3を適用した例となっているだけでなく、有理数からなる数列について命題3.2.3は成り立たないことの反例にもなっている。すなわち、
実数の連続性

定理3.2.5 「有理数からなる上に有界な単調増加数列は、ある有理数に収束する」や「有理数からなる下に有界な単調減少数列は、ある有理数に収束する」という主張は偽である。
実数の連続性

が既に示されたことになる。
実数の連続性

もうひとつ、別の例に命題3.2.3を適用してみよう。
実数の連続性

例3.2.6 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} を a n = ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} で定めると、この数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は収束する。
実数の連続性

であることから、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は単調増加数列である。よって、命題3.2.3より数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は収束する。//
実数の連続性

例3.2.6の数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} について、 lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} を自然対数の底といい、記号 e {\displaystyle e} で表す。
実数の連続性

次の命題も、実数の連続性のひとつの表現である。
実数の連続性

命題3.3.1 2つの数列 { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}} が次の条件を満たすならば、 { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}} はともに収束し、 lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
実数の連続性

数列に対して、たとえばその奇数番目の項だけを取り出すなどのように、その一部分を順番を変えずに取り出してできる新しい数列を、元の数列の部分列という。このとき、次の命題が成り立つ。この命題は、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と呼ばれ、これも実数の連続性のひとつの表現である。
実数の連続性

命題3.4.1 実数からなる数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が有界ならば、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} はある実数に収束するような部分列を持つ。
実数の連続性

数列が収束する条件を別の形で言い換えることはできるだろうか。ここで、コーシー列という概念を定義する。
実数の連続性

定義3.5.1 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が次の条件を満たすとき、コーシー列であるという。
実数の連続性

収束する数列が必ずコーシー列であることは、次に示すように容易にわかる。
実数の連続性

定理3.5.2 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} がある値 α {\displaystyle \alpha } に収束するならば、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} はコーシー列である。
実数の連続性

では、逆は成り立つだろうか。実は、定理3.5.2の逆は成り立つのだが、これもやはり実数の連続性を表す命題なのである。
実数の連続性

命題3.5.3 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} がコーシー列ならば、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} はある値 α {\displaystyle \alpha } に収束する。
同値性の証明

本節では、実数の連続性を表現するものとして前節で挙げた5つの命題、命題3.1.5・命題3.2.3・命題3.3.1・命題3.4.1・命題3.5.3が、すべて同値であることを証明する。
同値性の証明

定理4.1.1 命題3.1.5が成り立つならば、命題3.2.3が成り立つ。
同値性の証明

定理4.2.1 命題3.2.3が成り立つならば、命題3.3.1が成り立つ。
同値性の証明

定理4.3.1 命題3.3.1が成り立つならば、命題3.4.1が成り立つ。
同値性の証明

この定理の証明には、高校数学でもおなじみの「はさみうちの原理」を用いる。この本では数列の極限を定義2.3.2で定義するので、まずはこの定義に従ってはさみうちの原理を証明しておこう。
同値性の証明

補題4.3.2 数列 { a n } , { b n } , { c n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}} が、すべての自然数nに対して a n ≤ b n ≤ c n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}} を満たし、かつ lim n → ∞ a n = lim n → ∞ c n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=\alpha } を満たすならば、 lim n → ∞ b n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha } である。
同値性の証明

この補題を用いて、定理4.3.1を示す。
同値性の証明

定理4.4.1 命題3.4.1が成り立つならば、命題3.5.3が成り立つ。
同値性の証明

定理を示す前に、まずコーシー列の性質をひとつ示しておこう。
同値性の証明

補題4.4.2 数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} がコーシー列ならば、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は有界である。
同値性の証明

この補題を用いて、定理を示そう。
同値性の証明

定理4.5.1 命題3.5.3が成り立つならば、命題3.1.5が成り立つ。
同値性の証明

以上により、5つの命題が同値であることが示された。
アルキメデス性と実数の連続性

前節では、実数の連続性を表す5つの命題が同値であることを証明した。その中では、アルキメデスの性質から導かれる定理2.3.3を用いていることに注意しよう。すなわちこれまでに示されたのは、この5つの命題はアルキメデスの性質を仮定したうえでは同値、ということである。アルキメデスの性質を仮定しない場合、5つの命題は、それ自身がアルキメデスの性質を含意する命題と、アルキメデスの性質とは独立な命題とに分かれており、つまり同値ではない。本節ではこのことについて詳しくみていく。
アルキメデス性と実数の連続性

まず、命題3.1.5と命題3.2.3は、それ自身がアルキメデス性を含意していることを示す。
アルキメデス性と実数の連続性

定理5.1.1 命題3.2.3が成り立つならば、命題2.3.1が成り立つ。
アルキメデス性と実数の連続性

系5.1.2 命題3.1.5が成り立つならば、命題2.3.1が成り立つ。
アルキメデス性と実数の連続性

ほぼ同様に、命題3.4.1もそれ自身がアルキメデス性を含意していることが示される。
アルキメデス性と実数の連続性

定理5.2.1 命題3.4.1が成り立つならば、命題2.3.1が成り立つ。
アルキメデス性と実数の連続性

残る2つの命題、命題3.3.1と命題3.5.3については、この命題からアルキメデスの性質を導き出すことはできないことが知られている。そのことを示すには反例を挙げればよいのだが、その反例は当然実数体ではない別の順序体ということになり、実数を理解するという本筋からは外れることになるので、ひとまずここでは触れないことにしておく。
実数の連続性の帰結

この節では、実数の連続性を用いて、実数上の実数値関数に関する種々の性質を証明していく。以下、この節では実数の連続性を表す命題たちは成り立つものとして議論を進める。
実数の連続性の帰結

まず、関数の極限と連続性を定義しておこう。
実数の連続性の帰結

定義6.1.1 関数 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } が次の条件を満たすとき、xをaに近づけたとき f ( x ) {\displaystyle f(x)} は α {\displaystyle \alpha } に収束するといい、 lim x → a f ( x ) = α {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\alpha } と書く。
実数の連続性の帰結

定義6.1.2 関数 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } が
実数の連続性の帰結

を満たすとき、fは x = a {\displaystyle x=a} で連続であるという。区間Iに属する任意の数aについてfが x = a {\displaystyle x=a} で連続のとき、fは区間Iで連続であるという。
実数の連続性の帰結

連続関数について、次のことが成り立つことは定義よりすぐわかる。
実数の連続性の帰結

補題6.1.3 関数 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } が x = a {\displaystyle x=a} で連続であり、数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が lim n → ∞ a n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} をみたすならば、 lim n → ∞ f ( a n ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(a)}
実数の連続性の帰結

この補題と実数の連続性を用いて、中間値の定理と呼ばれるおなじみの定理を証明してみよう。
実数の連続性の帰結

定理6.1.4 関数fは閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続で、 f ( a ) < 0 , f ( b ) > 0 {\displaystyle f(a)<0,f(b)>0} とすると、
実数の連続性の帰結

を満たす数cが存在する。
実数の連続性の帰結

関数の最大値・最小値とは、その値域の最大元・最小元のことである。すなわち、次のように定義される。
実数の連続性の帰結

定義6.2.1 集合 A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } で定義される関数fについて、実数Mが集合 f ( A ) := { f ( x ) | x ∈ A } {\displaystyle f(A):=\{f(x)|x\in A\}} の上界であり、かつ M ∈ f ( A ) {\displaystyle M\in f(A)} であるとき、このMをfの最大値という。また、mが集合 f ( A ) {\displaystyle f(A)} の下界であり、かつ m ∈ f ( A ) {\displaystyle m\in f(A)} であるとき、このmをfの最小値という。
実数の連続性の帰結

このように定義するとき、次の定理もよく知られている定理であり、高校の教科書では中間値の定理と並んで証明抜きで紹介されている連続関数についての定理である。この定理の証明も、下に示すように実数の連続性を用いてなされる。
実数の連続性の帰結

定理6.2.2 閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で定義される関数fが連続ならば、最大値・最小値を持つ。
実数の連続性の帰結

次に、微分可能な関数についての重要な定理である平均値の定理を証明しよう。平均値の定理の証明には前節で述べた最大値・最小値の存在定理を用いるので、これもまた実数の連続性から得られる帰結なのである。まず、微分を定義することから始める。
実数の連続性の帰結

定義6.3.1 関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} について、極限
実数の連続性の帰結

がある値に収束するとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は x = a {\displaystyle x=a} で微分可能であるという。その極限値を f ( x ) {\displaystyle f(x)} の x = a {\displaystyle x=a} における微分係数といい、 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} と書く。区間Iに属する任意の数aについてfが x = a {\displaystyle x=a} で微分可能のとき、fは区間Iで微分可能であるという。
実数の連続性の帰結

この定義に従って、ロルの定理と呼ばれる次の定理が成り立つことを証明しよう。これは、後で述べる平均値の定理の特別な場合である。
実数の連続性の帰結

定理6.3.2 関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は閉区間 [ a , b ] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x\leq b\}} で連続で、開区間 ( a , b ) = { x ∈ R | a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}} で微分可能であるとする。さらに、 f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} であるとする。このとき、 f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=0} を満たす実数 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} が存在する。
実数の連続性の帰結

ロルの定理を用いれば、下に挙げる平均値の定理はすぐに証明できる。
実数の連続性の帰結

定理6.3.3 関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続で、開区間 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で微分可能であるとする。このとき、
実数の連続性の帰結

を満たす実数 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} が存在する。
実数の連続性の帰結

次にあげる定理もこれらの定理の亜種で、コーシーの平均値の定理と呼ばれる。
実数の連続性の帰結

定理6.3.4 関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} は閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で連続で、開区間 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} で微分可能であるとする。また、 g ( a ) ≠ g ( b ) {\displaystyle g(a)\neq g(b)} であり、 g ′ ( x ) = 0 {\displaystyle g'(x)=0} となる x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} は存在しないとする。このとき、
実数の連続性の帰結

を満たす実数 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} が存在する。
実数の連続性の帰結

なお、コーシーの平均値の定理との対比を強調するために、定理6.3.3をラグランジュの平均値の定理と呼ぶこともある。
実数の構成

最後に、本書で挙げた性質を満たすような実数の集合を、有理数の集合をもとにして集合論的に構成してみよう。ここでは、有理数からなるコーシー列の集合をある同値関係で割った商集合の元として、実数を定義してみることにする。
実数の構成

定義7.1.1 集合Aを、有理数からなる数列でコーシー列であるものの集合とする。すなわち、
実数の構成

とする。この集合A上の関係 ∼ {\displaystyle \sim } を
実数の構成

で定義する。
実数の構成

補題7.1.2 定義7.1.1の関係 ∼ {\displaystyle \sim } は同値関係である。
実数の構成

定義7.1.3 定義7.1.1の集合Aと同値関係 ∼ {\displaystyle \sim } に対して、
実数の構成

と定義する。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} を代表元とする同値類を [ a n ] {\displaystyle [a_{n}]} と書くことにする。この集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の加法・乗法・順序を
実数の構成

と定義する。
実数の構成

補題7.1.4 定義7.1.3はwell-definedである。
実数の構成

補題7.1.2により集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } が定義できることが、補題7.1.4により集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上に加法・乗法・順序が定義できることがわかった。この構成法のことを完備化と呼ぶ。次節では、このように構成された実数の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } が、実際に実数の公理を満たすことを確認しよう。
実数の構成

定理7.2.1 前節で定義した R {\displaystyle \mathbb {R} } について、命題2.1.1が成り立つ。
実数の構成

定理7.2.2 前節で定義した R {\displaystyle \mathbb {R} } について、命題2.2.1が成り立つ。
実数の構成

定理7.2.3 前節で定義した R {\displaystyle \mathbb {R} } について、命題2.2.2が成り立つ。
実数の構成

定理7.2.4 前節で定義した R {\displaystyle \mathbb {R} } について、命題2.3.1が成り立つ。
実数の構成

定理7.2.5 前節で定義した R {\displaystyle \mathbb {R} } について、命題3.5.3が成り立つ。
実数の構成

であるが、これは lim n → ∞ a n = [ c k ] = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=[c_{k}]=\alpha } であることを示している。//
実数の構成

以上により、前節で定義した R {\displaystyle \mathbb {R} } は我々の期待する実数の集合であることが示された。