高等学校数学I/2次関数
関数

一般に、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} の関数である場合に、 f {\displaystyle f} などの文字を用いて、
関数

と書き表すことができる。
関数

また、x の関数 y=f(x) のことを単に f(x) と省略して言う場合もよくある。
関数

関数 y=f(x) において、変数xの値をaにした場合の関数の値を f(a) で表す。
関数

つまり、関数f(x) の x=a の場合でのyの値が f(a) である。ちなみに関数のfとは 英語で関数を意味するfunctionの頭文字 からとっている。
関数

xy座標で第1象限(しょうげん)から第4象限までの位置を、図のように定義する。
関数

位置と象限の番号の対応の覚え方は、x軸の正方向を基準に、反時計周り(左回り)に番号が大きくなっていくと覚えればいい。
関数

それぞれの象限と、X、Yの値との関係は、左図のとおり。
2次関数

以下の関数はいずれも2次関数である。
2次関数

一方以下の関数は2次関数ではない
2次関数

読者はこれを当然と思うかもしれないが、上の式は
2次関数

と表記することもできる。しかし、これは x {\displaystyle x} 二次式ではないので2次関数ではない。 そのために、2次関数の定義において a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} でなければならないというルールを設けたのである。
2次関数のグラフ

まず、もっとも簡単な y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} のグラフは a > 0 {\displaystyle a>0} のとき図1のようになる。(図では a = 1 {\displaystyle a=1} の場合を表記)。また、 a < 0 {\displaystyle a<0} のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
2次関数のグラフ

a > 0 {\displaystyle a>0} のとき2次関数 y {\displaystyle y} は 下に凸 (したにとつ)といい、 a < 0 {\displaystyle a<0} のとき 上に凸 (うえにとつ)という。また、2次関数のグラフを放物線という。
2次関数のグラフ

2つの2次関数
2次関数のグラフ

のグラフを書くために値を求めると、下記の表のようになる。
2次関数のグラフ

表を見ると、(2) 2x+4 の値は、つねに (1) 2x の値よりも4だけ大きい。
2次関数のグラフ

したがって(2) 2x+4 のグラフは、 (1) 2x のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線であり、
2次関数のグラフ

の放物線である。
2次関数のグラフ

y=2(x-3) のグラフは、 2x のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であり、
2次関数のグラフ

の放物線である。
2次関数のグラフ

y=2(x-3)+4 のグラフは、 y=2(x-3) のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線である。
2次関数のグラフ

そして、y=2(x-3) のグラフは y=2x のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であったので、つまり
2次関数のグラフ

y=2(x-3)+4 のグラフは、y=2x のグラフを x軸方向に3, y軸方向に4, 平行移動した放物線である。
2次関数のグラフ

よって、
2次関数のグラフ

である。
2次関数のグラフ

本節では2次関数の一般形と標準形について学ぶ。この知識は後で2次関数をグラフで表す際に役立つ。
2次関数のグラフ

先ほど現れた
2次関数のグラフ

という形の式 ( a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) を2次関数の一般形といい、
2次関数のグラフ

という式を2次関数の標準形という。 (上で、 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 、 p {\displaystyle p} 、 q {\displaystyle q} は定数で、 x {\displaystyle x} は変数であるものとする。)
2次関数のグラフ

一般形で表記されている2次関数を標準形で表記する事を平方完成という。 後述するように、標準形は2次関数をグラフで表す際に用いる。
2次関数のグラフ

標準形
2次関数のグラフ

で表記されている2次関数の右辺を展開すると、
2次関数のグラフ

となるので、
2次関数のグラフ

とすれば一般形になる。
2次関数のグラフ

逆に一般形
2次関数のグラフ

で表記されている2次関数は以下の手順で標準形に変換できる(この変形手法を平方完成という)。
2次関数のグラフ

ここで、
2次関数のグラフ

とおくと、
2次関数のグラフ

となり標準形で表されたことになる。
2次関数のグラフ

一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} を標準形
2次関数のグラフ

に変換する。ここで、
2次関数のグラフ

この標準形のグラフは y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} のグラフを x {\displaystyle x} 軸方向に p {\displaystyle p} , y {\displaystyle y} 軸方向に q {\displaystyle q} 平行移動させたものと考えることができる。よって以下の事実が結論付けられる。
2次関数のグラフ

2次関数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} のグラフと x {\displaystyle x} 軸に共有点があるとき、その共有点の y {\displaystyle y} 座標は0であるから、共有点の x {\displaystyle x} 座標は、二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の実数解である。
2次関数のグラフ

次の2次関数のグラフと x {\displaystyle x} 軸の共有点の座標を求めよ。 (i)
2次関数のグラフ

(ii)
2次関数のグラフ

(i) 2次方程式 x 2 − 2 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-2x-1=0} を解くと
2次関数のグラフ

よって、共有点の座標は
2次関数のグラフ

(ii) 2次方程式 − 4 x 2 − 4 x − 1 = 0 {\displaystyle -4x^{2}-4x-1=0} を解くと
2次関数のグラフ

よって、共有点の座標は
2次関数のグラフ

(ii)のグラフはただ1点 ( − 1 2 , 0 ) {\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\ ,\ 0\right)} で共有し、共有点の x {\displaystyle x} 座標は二次方程式 − 4 x 2 − 4 x − 1 = 0 {\displaystyle -4x^{2}-4x-1=0} の重解である。このようなとき、2次関数のグラフは x {\displaystyle x} 軸に接するといい、その共有点を接点という。
2次関数のグラフ

2次関数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} のグラフと x {\displaystyle x} 軸との共有点の x {\displaystyle x} 座標は、二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の実数解で、実数解の個数は D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} の符号によって決まる。
2次関数のグラフ

b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} のことを 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の 判別式 (はんべつしき)という。
2次関数のグラフ

次の2次関数のグラフと x {\displaystyle x} 軸との共有点の個数を求めよ。
2次関数のグラフ

(I)
2次関数のグラフ

(II)
2次関数のグラフ

(III)
2次関数のグラフ

(I)
2次関数のグラフ

だから、 x {\displaystyle x} 軸との共有点はなし。 (II)
2次関数のグラフ

だから、 x {\displaystyle x} 軸との共有点は2個。 (III)
2次関数のグラフ

だから、 x {\displaystyle x} 軸との共有点は1個。
定義域と値域

2次間数にかぎらず、一般に関数 y = f(x)において、
定義域と値域

変数x のとりうる値の範囲のことを定義域(ていぎいき、domain)という。
定義域と値域

また、xの値に対応して y の値のとりうる範囲のことを値域(ちいき、range)という。
定義域と値域

多くの場合、値域は定義域の影響を受けて変化する。
定義域と値域

また、この例のように、定義域や値域を表す場合に、不等式で表す手法も多い。
定義域と値域

略式の記法として、定義域を表す場合に、
定義域と値域

のようにカッコ内の不等式で表すことも、よくある。この記法(「 y=2x ( 1 ≦ x ≦ 3 ) 」)の場合、定義域は 1 ≦ x ≦ 3 であると主張している。
定義域と値域

つまり、定義域を数式ではっきりと示す必要がある場合には
定義域と値域

のように示すことがよくある。この関数の場合、定義域は a ≦ x ≦ b {\displaystyle a\leqq x\leqq b} である。
定義域と値域

特に定義域の指定されてない場合は、可能なかぎり定義域を広くとるのが普通である。
定義域と値域

たとえば、さきほどの関数 y=2x の問題の例 、
定義域と値域

では、与えられた定義域で、この関数の値のとりうる最大の値は 6 である。
定義域と値域

このように、ある関数が、与えられた条件下でもつ最大の値のことを、その関数の最大値(さいだいち, maximum)という。
定義域と値域

または、さきほど習った「値域」という言葉をつかうなら、「最大値」とは、値域の最大の値のことである。
定義域と値域

つまり、関数 y=2x ( 1 ≦ x ≦ 3 ) の最大値は 6 である。
定義域と値域

もし、定義域を指定しなければ、関数 y=2x に最大値は無い(定義域の指定がなければ、xが どこまでも大きくなるし、それに比例してyも大きくなるので)。
定義域と値域

同様に、ある関数が、与えられた条件下でもつ最小の値のことを、その関数の最小値(さいしょうち, minimum)という。
定義域と値域

関数 y=2x ( 1 ≦ x ≦ 3 ) の最小値は 2 である。
2次関数の値の変化

定義域が実数全体である2次関数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} では、右図のように、aの正負によって最小値(a>0 の場合)、または最大値がある(a<0の場合)。
2次関数の値の変化

と標準形にし、グラフを書くと右図のようになる。
2次関数の値の変化

したがってグラフより答えは最大値は x = 0 {\displaystyle x=0} のとき 5 {\displaystyle 5} , 最小値は x = − 5 2 {\displaystyle x=-{\frac {5}{2}}} のとき − 5 4 {\displaystyle -{\frac {5}{4}}} 。
2次関数の値の変化

上の例題と同様の問題のように思えるが、定義域が 0 ≤ x ≤ 3 {\displaystyle 0\leq x\leq 3} ではなく、 0 ≤ x < 3 {\displaystyle 0\leq x<3} となっている。とりあえずグラフをかいてみることにする。
2次関数の値の変化

グラフから、最大値は x = 1 {\displaystyle x=1} のとき 2 {\displaystyle 2} , 最小値は存在しない。
2次関数の値の変化

二次不等式とは、 x {\displaystyle x} の二次式と不等号で表される式のことをいい、
2次関数の値の変化

のような形をしている。グラフを利用して二次不等式の解を考えてみよう。
2次関数の値の変化

2次関数 y = x 2 + 4 x = x ( x + 4 ) {\displaystyle y=x^{2}+4x=x(x+4)} のグラフは右図のようになる。
2次関数の値の変化

x 2 + 4 x > 0 {\displaystyle x^{2}+4x>0} となる x {\displaystyle x} の値の範囲は右のグラフの x {\displaystyle x} 軸より上側にある部分に対する x {\displaystyle x} の値の範囲であるから、
2次関数の値の変化

この問題をより一般化してみよう。 2次不等式 a x 2 + b x + c > 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c>0} を解くには y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} のグラフをかけば一目瞭然である。しかし、グラフをかいた場合にも我々が注目するのは x {\displaystyle x} 軸より上か下かということと、 x {\displaystyle x} 軸との共有点である。 x {\displaystyle x} 軸との共有点は二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解であるが、二次方程式の解の公式を思い出してほしい。それは次のようなものであった。
2次関数の値の変化

これを用いると、二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が解を持つとき、
2次関数の値の変化

と因数分解形で表すことができる。(右辺を展開して左辺と一致することを確かめてみよ。) ここで、
2次関数の値の変化

とおくと、
2次関数の値の変化

となる。 a > 0 {\displaystyle a>0} のとき y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} のグラフは下に凸であるからこの不等式の解は、
2次関数の値の変化

となる。 a < 0 {\displaystyle a<0} のときは両辺を − 1 {\displaystyle -1} で割ってから考えると、
2次関数の値の変化

となる。
2次関数の値の変化

次の二次不等式を解け。 (i)
2次関数の値の変化

(ii)
2次関数の値の変化

(i) 二次方程式 12 x 2 + 17 x − 7 = 0 {\displaystyle 12x^{2}+17x-7=0} を解くと
2次関数の値の変化

よって、この二次不等式の解は
2次関数の値の変化

(ii) 二次方程式 2 x 2 + 6 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+6x+1=0} を解くと
2次関数の値の変化

よって、この二次不等式の解は
2次関数の値の変化

y = x 2 − 6 x + 9 {\displaystyle y=x^{2}-6x+9} の値の符号について考えよう。 平方完成をすると
2次関数の値の変化

この関数のグラフは、 x {\displaystyle x} 軸と点 ( 3 , 0 ) {\displaystyle (3\ ,\ 0)} で接する。 y = x 2 − 6 x + 9 {\displaystyle y=x^{2}-6x+9} の値の符号について、下の表のようになる。
2次関数の値の変化

よって
2次関数の値の変化

次の二次不等式を解け。 (i)
2次関数の値の変化

(ii)
2次関数の値の変化

(iii)
2次関数の値の変化

(iv)
2次関数の値の変化

(i)
2次関数の値の変化

よって、-1以外のすべての実数 (ii)
2次関数の値の変化

よって、 x = − 2 3 {\displaystyle x=-{\frac {2}{3}}} (iii)
2次関数の値の変化

よって、解はない (iv)
2次関数の値の変化

よって、すべての実数
2次関数の値の変化

2次関数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} のグラフと x {\displaystyle x} 軸の位置関係について、 D = b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle D=b^{2}-4ac<0} のとき、 x {\displaystyle x} 軸と共有点をもたなかった。 さらに a > 0 {\displaystyle a>0} という条件を加えると、 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} のグラフは x {\displaystyle x} 軸より上側にある。
2次関数の値の変化

a > 0 , D = b 2 − 4 a c < 0 {\displaystyle a>0\ ,\ D=b^{2}-4ac<0} のとき
2次関数の値の変化

次の二次不等式を解け。 (i)
2次関数の値の変化

(ii)
2次関数の値の変化

(iii)
2次関数の値の変化

(i)
2次関数の値の変化

よって、解はない (ii)
2次関数の値の変化

よって、すべての実数 (iii)
2次関数の値の変化

よって、解はない
2次関数の値の変化

放物線と直線の共有点について考えよう。
2次関数の値の変化

放物線 y = x 2 − 4 x + 5 {\displaystyle y=x^{2}-4x+5} と次の直線の共有点の座標を求めよ。 (i)
2次関数の値の変化

(ii)
2次関数の値の変化

(i) 求める共有点の座標は、連立方程式
2次関数の値の変化

の実数の解である。 y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} を y = x 2 − 4 x + 5 {\displaystyle y=x^{2}-4x+5} に代入すると
2次関数の値の変化

すなわち
2次関数の値の変化

これを解いて
2次関数の値の変化

x = 1 {\displaystyle x=1} のとき y = 2 {\displaystyle y=2} x = 4 {\displaystyle x=4} のとき y = 5 {\displaystyle y=5} よって、共有点の座標は
2次関数の値の変化

である。 (ii) 求める共有点の座標は、連立方程式
2次関数の値の変化

の実数の解である。 y = 2 x − 4 {\displaystyle y=2x-4} を y = x 2 − 4 x + 5 {\displaystyle y=x^{2}-4x+5} に代入すると
2次関数の値の変化

すなわち
2次関数の値の変化

これを解いて
2次関数の値の変化

このとき y = 2 {\displaystyle y=2} よって、共有点の座標は
2次関数の値の変化

である。
2次関数の値の変化

例題の(ii)のように、放物線とその軸に平行でない直線がただ1点を共有するとき、放物線は直線に接するといい、共有点を接点という。