中学3年生むけ ひろがる数学
不正確な記述が含まれる記事です。詳細はトークページをご覧ください。
数学には、中学でならう数学のほかにも、色々な数学があります。
また、次に紹介するもののいくつかは、日本の高校の数学や理科などで、習うものもあります。
ほんの少しだけ見てみましょう。
理科の運動の法則 と 数学の関係

ボールなどを高いところから落下させるとき、落下した高さを y {\displaystyle y} 〔m〕として、手を話してから経過した時間を x {\displaystyle x} 〔秒〕とすると、およそ y = 5 x 2 {\displaystyle y=5x^{2}} の関係で落下します。
理科の運動の法則 と 数学の関係

中学3年の数学で y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} の形の関数を習いましたが、この関数をつかって、高校では、物体の落下などの運動を分析できるようになります。
2次関数 



y
=
a

x

2


+
b
x
+
c


{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}



中学校では y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} の形の関数を習いましたが、高校では、さらに y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} の形の関数を習います。
2次関数 



y
=
a

x

2


+
b
x
+
c


{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}



なお、 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} の形の関数のことを 2次関数 といいます。
2次関数 



y
=
a

x

2


+
b
x
+
c


{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}



中学校で「1次関数」というのを習いましたが、「2次関数」とは y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} の形の関数です。
2次関数 



y
=
a

x

2


+
b
x
+
c


{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}



この2次関数を使うことにより、より一般的な現象が計算できるようになります。
マイナスの数の平方根

2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解の公式で、 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} というのを、中学校で習っています。
マイナスの数の平方根

ところで、 y = x 2 + 2 x + 5 {\displaystyle y=x^{2}+2x+5} をグラフに書くと、この関数はx軸とは交わりません。
マイナスの数の平方根

x 2 + 2 x + 5 = 0 {\displaystyle x^{2}+2x+5=0} について、解の公式に代入しても、
マイナスの数の平方根

のように、 − 16 {\displaystyle {\sqrt {-16}}} のような負の数の平方根が出現してしまいます。
マイナスの数の平方根

高校で習う数学により、このような数の使い方が分かるようになります。
マイナスの数の平方根

なお、負の数の平方根のことを「純虚数」(じゅん きょすう)といいます。
マイナスの数の平方根

− 16 {\displaystyle {\sqrt {-16}}} は虚数です。
マイナスの数の平方根

いっぽう、有理数の集合 と 無理数の集合 をあわせた集合にふくまれる数のことを 実数 (じっすう)と言います。
マイナスの数の平方根

虚数は、実数ではないです。
マイナスの数の平方根

次に言うことは数学的には厳密ではないですが、「実数」とは「物の長さとして表せる数またはその-1倍のこと」だと思っておけば、中学〜高校レベルでは充分でしょう。
マイナスの数の平方根

2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} だって、正方形 ABCD の対角線の長さは、辺ABの長さの 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 倍ですので(三平方の定理 で証明できます)、平方根だって長さとして表わせます。
マイナスの数の平方根

さて、2つの実数 a,b を用意して、
マイナスの数の平方根

の形であらわされる数のことを「複素数」(ふくそすう)と言います。
マイナスの数の平方根

b=0 とすることで、実数も複素数として扱うことができます。なお(「純虚数」ではなく)「虚数」とは、複素数のうち実数でない複素数のことです(つまり複素数 a + b − 1 {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}} において b≠0 の場合が虚数)。
マイナスの数の平方根

また、中学の範囲では説明できませんが、複素数をつかうと、a=0 とすることで(ただし b≠0 )、 − 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}} や − 3 {\displaystyle {\sqrt {-3}}} などの純虚数もすべて扱えます。
マイナスの数の平方根

なので、複素数を考えることにより、扱える数の範囲が広がり、二次方程式の解もすべての場合に扱えるようになります。
マイナスの数の平方根

なお、高校では、さらに − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} を文字 i {\displaystyle i} に置き換え、複素数は
マイナスの数の平方根

のような形で表します。( もし − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} の形のままで計算すると、計算ミスをしやすいので、文字 i {\displaystyle i} に置き換えて複素数を計算するのが普通である。)
素数ゼミ

夏に、ふつうのセミは毎年発生しますが、北アメリカには13年周期で発生する特別なセミと、17年周期で発生する特別なセミがいます。
素数ゼミ

13と17は素数なので、北アメリカのこのセミは 素数ゼミ (そすうゼミ)と言われています。
素数ゼミ

科学的には仮説ですが、素数ゼミは、天敵の発生の周期となるべくズレた周期で発生したほうが生存しやすいので、進化によって、素数の周期で発生するように進化してきたのだろうと思われています。
素数ゼミ

たとえば、もし12年周期で発生するセミなら、天敵の発生周期が周期2年や周期3年や周期4年だとすると、天敵に食べられてしまいます。
素数ゼミ

しかし、13年周期のセミなら、周期2年や3年や4年の天敵とは、あわなくてすみます。
素数ゼミ

周期1年の天敵にだけが敵なので、だいぶ生存の確率が増えるでしょう。
むかし中学で習ってた内容

中学教育の内容は、定期的に変わるので、むかしは中学で教えてた分野が、いまでは高校で初めて教える分野になっている場合もあります。
むかし中学で習ってた内容

次に紹介する「三角形の重心」と「最大公約数と最小公倍数」は、むかしは中学で教えていた時代もありました。
むかし中学で習ってた内容

ぶあつい画用紙などで作った三角形の模型を、右図のように棒などで支えるとき、どこを支えると、バランスよく、三角形が落ちずに支えられるでしょうか?
むかし中学で習ってた内容

じつは、下の図のように、ある頂点から、向かいあう辺の中間点に引いた線分を、 比率 2:1 に分割する点で支えると、バランスよく支えられることが分かっています。
むかし中学で習ってた内容

また、このような点のことを 三角形の重心(じゅうしん)と言います。
むかし中学で習ってた内容

まず、「約数」(やくすう)という用語があります。
むかし中学で習ってた内容

約数とは、ある数を整数(普通は自然数)で割り算したとき、商として現れる数のことです。
むかし中学で習ってた内容

たとえば、24の約数は、
むかし中学で習ってた内容

24の約数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
むかし中学で習ってた内容

のようになります。
むかし中学で習ってた内容

24÷1=24 なので、「24」自身も24の約数に ふくまれます。
むかし中学で習ってた内容

同様に「1」も、24÷24=1 として整数の割り算の商として表われるので、1も約数に ふくまれます。
むかし中学で習ってた内容

さて、たとえば 24 と 30 のように2つの数があるとき、
むかし中学で習ってた内容

その両方に約数としてふくまれる数があり、これを公約数(こうやくすう)といいます。
むかし中学で習ってた内容

24の約数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
むかし中学で習ってた内容

30の約数 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
むかし中学で習ってた内容

ですので、よって
むかし中学で習ってた内容

24と30の公約数は
むかし中学で習ってた内容

の4個です。
むかし中学で習ってた内容

そして最大公約数(さいだい こうやくすう)とは、その名のとおり、公約数のうち、いちばん大きな数のことです。
むかし中学で習ってた内容

24と30の最大公約数は 6 です。
むかし中学で習ってた内容

なお、2つの数の最大公約数が1の場合、その2つの数を「互いに素」(たがい に そ)と言います。
むかし中学で習ってた内容

たとえば、数 8 と 数 15 は「互いに素」です。なぜなら、公約数は1しかないからです。
むかし中学で習ってた内容

2も3も4も5も6も7も8も、いっさい公約数ではないです。
むかし中学で習ってた内容

「2」は8の約数ですが、しかし15の約数ではないです。
むかし中学で習ってた内容

「3」は15の約数ですが、しかし8の約数ではないです。
むかし中学で習ってた内容

同様に、4から8まで、公約数には、なっていないです。
むかし中学で習ってた内容

「7」にいたっては、そもそも、8の約数ではなく、15の約数でもなく、まったく無関係の数になっています。
むかし中学で習ってた内容

さて、ある数が「素数」であるかどうかと、「互いに素」とは、別々(べつべつ)の考え方です。混同しないように気をつけましょう。
むかし中学で習ってた内容

たとえば、上の8と15の約数の例では、
むかし中学で習ってた内容

素数3は15の約数ですが、しかし「互いに素」ではないです。
むかし中学で習ってた内容

いまの中学校では、すでに「集合」という考え方を習っています(「自然数の集合」など習っている)。2つの集合の共通部分や、共通でない部分などを図解するさいに、よくベン図が使われます。
むかし中学で習ってた内容

「24の約数の集まり」も、ものの集まりなので、数学的には「集合」として扱えます(実際、高校以上の数学では、集合として あつかう)。
むかし中学で習ってた内容

2つ以上の倍数に共通する数を 公倍数(こうばいすう)といいます。 たとえば 6 と 14 の倍数については、それぞれかき鳴らべると、
むかし中学で習ってた内容

なので、24 や 48 は、6と8の公倍数です
むかし中学で習ってた内容

最小公倍数とは、その名のとおり、公倍数のうち、自然数で最も小さい数です。(負の倍数を考えると、いくらでも小さくできてしまうので、「公倍数」といった場合は自然数だけを考える。)
むかし中学で習ってた内容

つまり、24が、6と8の最小公倍数です。
むかし中学で習ってた内容

大きな数の最大公約数や最小公倍数を求めるときは、素因数分解をすると、もとめやすい。(くわしくは『高等学校数学A/整数の性質』で習う。 私立高校の受験とかで出るかもしれないので、リンクだけ紹介しておく。)
むかし中学で習ってた内容

むかしは中学で、二進法(にしんほう)などを教えていましたが、2019年の時点では、二進法などは習わなくなっています。現在の日本の教育カリキュラムでは、二進法の単元は、高校の『数学1A』に移動しています。
むかし中学で習ってた内容

小学校でならう、1 → 2 → 3 → ...... → 7 → 8 → 9 → 10 のような数え方は十進数(じっしんすう)といいます。
むかし中学で習ってた内容

二進法とは、 1 → 10 → 11 → 100 → 101 →・・・ のように、0と1だけで整数を表す数え方です。
むかし中学で習ってた内容

むかし、中学の数学教育では「二進法がコンピュータに使われてる」などと教えていました。現在のコンピュータでも、コンピュータ内部の計算で二進法が使われている事じたいは、同じままです。
むかし中学で習ってた内容

さて、現代のパソコン利用者とって身近なところでは、
むかし中学で習ってた内容

お絵描き系のソフトとかで色を調整するとき、よく
むかし中学で習ってた内容

みたいに、ある色の、色のつよさを0から最大で255まで、色を強くできます。
むかし中学で習ってた内容

この「255」の数字の由来は、
むかし中学で習ってた内容

十進数の式
むかし中学で習ってた内容

が由来です。(かけ算で 2 が 8個)
むかし中学で習ってた内容

この255(十進数)は、2進数で表すと
むかし中学で習ってた内容

です。(ケタ数が多いので、4つずつで区切るのが普通。)
むかし中学で習ってた内容

「256」でなく「255」なのは、コンピュータ内部ではゼロから数字を数えているため、0から255までの数字の数が256個だからです。
むかし中学で習ってた内容

つまり、
むかし中学で習ってた内容

のような色のデータの形式では、色の三原色あたり、2進数で8ケタずつのデータを確保している事になります。
むかし中学で習ってた内容

そして、三原色というように、3つの原色のつよさの比で色を表しているので、合計で 3×8 = 24 で、24ケタの2進数で色を表すことになります。
むかし中学で習ってた内容

「24ビットカラー」というのは、このようなデータ形式で色を管理しているという意味です。
暗号と素因数分解

現在のインターネットなどコンピュータ環境でよく利用されている暗号として、RSA暗号(アールエスエーあんごう)というのがありますが、この暗号は原理として素因数分解を利用しています。
暗号と素因数分解

たとえば、37 × 71 = 2627 というのは筆算をすればいいだけなので簡単ですが、
暗号と素因数分解

しかし、いきなり「2627」という数字を、もし貴方が見せられて、それを「素数か、素数でないかを判定してください。もし素数でないなら、素因数分解してみなさい」といわれても、むずかしいでしょう。
暗号と素因数分解

じっさいに、たとえば「5371」という数字をいきなり出されて、これが「素数であるかどうかを判定して」と言われても、コンピュータも何も持ってない人には、むずかしいでしょう。(ちなみに 5371 は素数ではなく、41×131=5371 です。)
暗号と素因数分解

2つの大きな素数のかけ算を素因数分解するのは、一般に難しいという性質を、RSA暗号は利用しています。
統計のばらつき

たとえば、少人数学級の中学校があり、1クラスの生徒数が9人で、1つの学年に学級が2クラスあるとしましょう。 ある科目のクラス平均点は、
統計のばらつき

だったとしましょう。
統計のばらつき

そして、補習はテストで30点以下だった生徒に対して行われる学校だとしましょう。
統計のばらつき

しかし、A組のほうは補習をうけさせられる30点以下の成績をとっている生徒が1人ですが、B組のほうは補習をうけさせられる30点以下の生徒が4人もいたとして、
統計のばらつき

実際のそれぞれの生徒の得点の分布が
統計のばらつき

だったとしましょう。
統計のばらつき

A組とB組は、平均点(50点)だけで見ると同じですし、範囲(10〜90の範囲である)も同じですが、しかし、クラス内の得点の事情が、かなり違っています。
統計のばらつき

A組とB組は、平均も範囲も同じなのに、なのにA組のほうは、補習をうける生徒は,10点をとっている1人目の生徒1人だけなのに、いっぽうB組のほうは、クラス9人中の半数ちかい4人の生徒が10点ですので、B組では補習をクラスの半分ちかくが受けます。
統計のばらつき

なのに、「平均」と「範囲」いう考え方だけでは、このような 散らばり の程度を表現できないので、新しい考え方が必要です。
統計のばらつき

そこで、高校で習う「分散」(ぶんさん)や「標準偏差」(ひょうじゅん へんさ)という概念を使うと、このような ばらつき の程度を、数値的に表せるようになります。
統計のばらつき

なお、「分散」は
統計のばらつき

で定義されます。
統計のばらつき

(※ 教育出版の検定教科書では、分散の定義まで、教える)
統計のばらつき

標準偏差は分散の平方根です。 例では、数えやすいように、たったの9人のクラスにしましたが、実際の社会では、もっと多くのものの統計を数えるわけです。
統計のばらつき

たとえば、もし9人の受けたテストでなくて、900人の受けたテストだったら...という場合もあるわけです。
統計のばらつき

よく受験産業でいう「偏差値」(へんさち)を求める計算には、この「分散」や「標準偏差」が利用されています。
背理法

中学では 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が 、けっして 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}} や 13 7 {\displaystyle {\frac {13}{7}}} のような整数だけを分子と分母にもつ分数では表せないこと(つまり無理数であるという事)を習っていますが、しかし、その証明は習っていません。
背理法

高校の数学で、その証明を習います。
背理法

証明の方法は、おおまかに言うと、
背理法

上述のような、証明したい内容と反対のことを仮定して矛盾をみちびくことにより、証明したい内容を証明する論法のことを 背理法(はいりほう) といいます。
背理法

2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} だけでなく 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} や 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} も同様にして、無理数であることを証明できます。
背理法

また、素数がかぎりなく存在することも 背理法で証明できます。
三角関数

中学校では、右の図のように、60°など といった角度が特別な角度の直角三角形について、3辺の長さの比が決まっている事を習った。
三角関数

しかし、直角三角形の相似の条件を考えれば、角度が50°や75°などの角度であっても、3辺の比率は決まるはずである。
三角関数

そこで高校では、もはや 60°や45°などの特別な角度でなくても、3辺の長さの比が決まることを利用して、斜辺の基準にして比率を求める。
三角関数

直角三角形の斜辺と高さの比率を
三角関数

で表したものを「正弦」(せいげん)といい、 記号では「 sin 」 (サイン)という記号を使って
三角関数

のような記法で表す。
三角関数

具体例をあげると
三角関数

である。
三角関数

角度が50°の直角三角形については、分度器(ぶんどき)や定規(じょうぎ)などを使って実際に書いてみれば、 3辺の長さの比を測定することができる。
三角関数

なので、sin 50° の近似値を求めることもできる。
三角関数

実際に求めてみると、
三角関数

である。
三角関数

なお、「コサイン」とか「タンジェント」という言葉も、三角関数の一種です。
三角関数

コサインは
三角関数

です。
三角関数

コサインは記号で cos と表します。
三角関数

タンジェントは記号で tan と表します。
三角関数

そして、「sin (角度)」の記法と同様に、cos や tan の後ろに角度を書きます。
三角関数

です。
三角関数

詳しくは高校で習うので、ここでは、これより深くは解説しないでおきます。
放射性年代測定と指数

中学で 3=9 のように「指数」(しすう)という考えかたを習いました。
放射性年代測定と指数

ところで、歴史の研究の分野で使う放射性年代測定(ほうしゃせい ねんだいそくてい)では、
放射性年代測定と指数

放射性物質の強さが一定の年月が経つと半分ずつになっていく事を、年代測定に利用しています。
放射性年代測定と指数

放射性炭素 が半分になるのは、約 5730年 の時間が掛かります。ここでいう「炭素」とは、理科で習う 元素記号 C の炭素のことです。通常の炭素とは別に、放射性炭素がわずかながら空気中に存在しています。
放射性年代測定と指数

くわしい原理の理解には、高校で習う理科の化学(かがく)などの知識も必要なので、中学では解説しきれないのですが、
放射性年代測定と指数

放射性年代測定には、指数の計算も必要になります。
放射性年代測定と指数

たとえば、放射能のつよさが半分になる一定の年月が x {\displaystyle x} 回 だけ経過したとすると、その放射能の強さは、もとの放射能の強さを a とすると
放射性年代測定と指数

のように、指数をつかった数式で表すこともできます。
放射性年代測定と指数

たとえば放射性炭素の場合、
放射性年代測定と指数

なので、
放射性年代測定と指数

17190年後の放射能の強さは、もとの放射能の強さの ( 1 2 ) 3 {\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{3}} 倍、つまり、もとの強さの8分の1になっているわけです。
「未解決問題」とは

数学の世界には、まだ、人類のだれにも答えが知られてない難問もあります。そのような、まだ誰にも解かれてない数学の問題のことを「未解決問題」(みかいけつ もんだい)といいます。
「未解決問題」とは

中学でも、問題の意味が理解できるような未解決問題もあります。
「未解決問題」とは

たとえば、ゴールドバッハ予想という未解決問題の内容は、
「未解決問題」とは

というものです。
「未解決問題」とは

たとえば、
「未解決問題」とは

などです。
「未解決問題」とは

まだ誰にも、この予想は証明されていないのです。