高等学校物理基礎/熱
温度

物体の温度(temperature)とは、実はその物体を構成している、それぞれの分子や原子の運動の強さのことである。この温度による運動は不規則である。
温度

温度が低く固体の場合は熱運動(ねつうんどう、thermal motion)の強さが弱いので、分子は分子どうしの引力で抑えこまれ、物体は固体状の形状を保つ。 固体でも、分子は、結晶の格子点を中心に運動している。液体では、外部から力を加えると、体積は変わらないものの、流動して容易に形を変える事ができる。 固体を加熱するなどして温度を高めると、いずれ、固体から液体へ変わる。これは、熱運動が強まり、もはや結晶の構造を取るのが不可能になったからである。 液体を加熱していくと、いずれ、気体へ変わる。気体は熱運動が、分子間力よりもはるかに大きく、もはや、各分子がバラバラに離れて行動している状態である。したがって、液体から固体になると体積が増える。
温度

なお、液体から気体への変化にかぎらず、一般に物体は温度が上がると、ほとんどの物質で体積が増える。
温度

ここでは、温度とは、物質を構成している分子や原子の運動がどのくらい強いかという、状態を表す数値だということを理解して頂きたい。
温度

物体の状態を表す、固体・液体・気体といった状態のことを相(そう、phase)という。固体のことを固相と言ったり、液体のことを液相と言ったり、気体のことを気相と言ったりする場合もある。
温度

温度の単位として実用上、多く用いられている°C単位の「摂氏温度」(せっしおんど)は、セルシウス温度(Celsius temperature)とも言う。
温度

このセルシウス温度では、温度の値の基準として、大気圧 1atm(=約101.3kPa。Paとは圧力の単位のひとつ。)のもとで、純水と氷の共存する温度を0°Cと定め、また、同じ大気圧1atmのもとで純水が沸騰するときの温度を100°Cと定めらている。 そして、0°Cと100°Cの間の温度を100等分している。
温度

温度計の種類にアルコール温度計や水銀温度計などあるが、これらは物体の温度が上がることによる膨張を、温度の測定器として利用した器具である。 いっぽう、温度があがることで体積が膨張するのは、なにも液体に限らず、気体や固体でも温度が上がれば膨張する。
熱量

1kgの物体と、べつの1kgの物体を合わせて、重量計に載せれば、測定値は2kgになる。だが、容器に入った10°Cの水に、等量の10°Cの水を注いでも、20°Cにはならない。
熱量

いっぽう、温度を上げるには、エネルギーが必要だが、エネルギーは足しあわせができる。 このような理由から、加熱された物体に蓄えられた熱エネルギーと温度とを区別する必要がある。 そこで、熱エネルギーのことを熱量(heat quantity)といい、これは温度とは区別する。
熱量

熱量の単位は、熱量はエネルギーの一種なので、力学的エネルギーの単位(ジュール:J)と同じであり、熱量の単位にジュール(記号はJ )を用いる。
熱量

なお、熱量の単位にはジュール(J)の他に、カロリー(記号はcal)という単位もある。カロリーは、水1gの温度を1K上昇させるのに必要な熱エネルギーのことである。栄養学の分野ではカロリーが用いられることが多い。
熱量

物理学や化学では、特に断りがない限り、熱量の単位には、ジュールを用いることが多い。本書でも、断らない限り、ジュールを用いる。
熱量

なぜ、ジュールが、高校以降の物理や化学で原則的に用いられるのかというと、国際単位系にエネルギーの単位としてジュールが採用されているからである。
熱量

カロリーとジュールの換算は、
熱量

である。
気体と温度との関係

ここでは、気体の膨張を利用した温度計について、説明したい。気体には様々な性質があるが、この節では、温度測定に必要なことを主に説明する。 まず、気体の力学的な性質について説明する。
気体と温度との関係

大気について考えよう。大気とは地球を包む空気の層のことである。空気にも重さがあるので、大気の中にいる物体には、その物体の上方にある空気の重さによって、圧力がかかる。 我々は大気圧にさらされている。一般に、気体の力は、分布して力が掛かるので単位面積あたりの力で考える必要がある。この単位面積あたりの力を圧力(あつりょく、pressure)という。圧力の単位はN/mで表す。 Nとは力の単位のニュートンであり、1ニュートン(1N)とは、質量1kgの物体に加速度1m/sを増加できる力のことである。 mは長さの単位のメートルのことである。面積あたりの力を考えているので、mが2乗されてmになっている。
気体と温度との関係

このN/mの単位を、そのままでも用いることもあるのだが、この単位N/mのをPaと表す。Paの読みかたは、「パスカル」(Pascal)と読む。 1N/mと1Paの大きさの基準は同じである。 つまり
気体と温度との関係

である。
気体と温度との関係

なお、圧力の単位は、他にもある。 atmという大気圧の標準値を基準に考えた単位がある。1atmの大きさの基準は、
気体と温度との関係

である。 なお、実際の大気圧の測定値は、必ずしも1atmにピッタリとは限らない。 「atm」とはatmospherという「大気」を意味する語の略語である。
気体と温度との関係

物理学では、0°Cで1atmの状態を標準状態と呼び、物理学や化学などの分野で、常温付近での実験の測定結果の比較などの際に、広く用いられている。つまり、0°Cで 1.013×10 Paの状態を標準状態という。 なお、わざわざ「物理学や化学などの分野で、・・・広く用いられている」というように、「物理学や化学などの分野で」と書いたのは、他の業界では、測定結果の比較の際に、べつの温度やべつの圧力を用いる場合があるからである。
気体と温度との関係

なお、大気圧をパスカル表示したときに、指数部の桁数が10とやや計算には大きくて不便なので、補助単位として、気象分野ではヘクトパスカルを用いる場合がある。ヘクトパスカルはhPaと表す。
気体と温度との関係

ヘクトとは100(百)を表す接頭語である。 つまり、
気体と温度との関係

である。 1atmをヘクトパスカルで換算すれば、
気体と温度との関係

である。
気体と温度との関係

なお、水銀柱の上部の液面からの深さ760mmの底部に掛かる圧力の大きさが1atmの大きさに、ほぼ等しいので、この水銀柱の760mm深さの圧力を760mmHgというふうに書く。Hgとは、化学式の水銀の記号Hgに由来している。このように圧力の単位にはmmHgという単位もある。 1mmHgと1atmの大きさの関係は、
気体と温度との関係

という関係である。
気体と温度との関係

さて、この節で扱うのは、気体と温度との関係であった。たとえば、ピストンを用いて気体を封じたシリンダーなどで、内部の気体を熱した時に、内部気体がピストンを押して容積を膨らますことからの振る舞いを考えれば、気体は熱すれば膨張するのが分かるだろう。
気体と温度との関係

(ここでは、シリンダーの細かい仕組みには考えない。シリンダーとピストンとの摩擦を減らすために多くの工夫がなされている。自動車などで実用されているのピストンシリンダの仕組みは、説明すると、けっこう長くなるので、この科目では省略する。興味のある人は、工業高校の科目「原動機」などを参照されたい。)
気体と温度との関係

この節では、ピストンやシリンダといった場合は、小学校や中学校の理科の実験などで扱ったような、注射器のような形のピストンで、直感的に考えて構わない。
気体と温度との関係

これらピストンとシリンダーの組み合わせと、似たような原理の装置で、気体の圧力が測定できる。ピストンに外部から、何らかの機構で力を加え、外部の力を変化させれば、その外部の力と内部の気体による力とが釣り合うときの外部の力を調べれば、内部の圧力も計算によって求まる。
気体と温度との関係

ボイルという人物が、一定温度での気体の圧力と気体の体積との関係を調べたところ、法則性を発見した。
気体と温度との関係

外部から、ピストンを押しこむなどして、気体の体積を半分にすると、気体の圧力が2倍になる。気体の体積を 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 倍にすると、圧力が3倍になる。同様に、気体の体積を 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 倍にすると、圧力が4倍になる。 以下、気体体積の 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} 倍や 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 倍でも同様に続く。べつに気体体積は整数倍でなくても、
気体と温度との関係

これ等をまとめると、気体の圧力p[Pa]と体積V[m]との関係には、以下の関係式がある。
気体と温度との関係

(Kは定数)
気体と温度との関係

この関係式を、ボイルの法則(Boyle's law)という。
気体と温度との関係

さて、シャルルという人物が、温度と容積の関係を測って研究したところ、法則性を発見した。大気圧の状況下では、気体を1°C温、上昇させると、0°Cの体積の 1 273 {\displaystyle {\frac {1}{273}}} ずつ膨張することを、シャルルは発見した。
気体と温度との関係

これを式で表すと、0°Cのときの気体の体積をV0として、一般の温度の体積をVとすると、温度t[°C]のときの関係式は、
気体と温度との関係

であることを、シャルルは発見した。
気体と温度との関係

シャルルの観測結果をグラフに書くと、-273.15°Cで、理論上では気体は体積が0になる。この-273.15°Cを絶対零度(ぜったいれいど、absolute zero)という。絶対零度以下の温度は、測定誤差の範囲程度を除けば、理論上は考えらない。 また実験的にも絶対零度以下の温度は、測定誤差の範囲程度を除けば、確認されていない。たとえばマイナス300°Cとかマイナス500°Cとかは、実在しない。
気体と温度との関係

なお、現代では、測定によって、絶対零度の、より正確な値が-273.15°Cだと、知られている現在、摂氏温度はケルビンから 273.15 を引いたものと定義されているので、絶対零度は(「約」は付かず正しく)-273.15 °Cです。
気体と温度との関係

なお、この節では。計算の都合上、特に断らない限り、絶対零度は273°Cとして扱うことにする。
気体と温度との関係

絶対零度の-273.15°Cとは、熱運動の全くない状態である。
気体と温度との関係

温度の新しい単位として、マイナス273°Cを基準とした、新しい温度単位を考える。
気体と温度との関係

絶対温度(ぜったいおんど、absolute temperature)を導入し、単位をケルビンとして、単位の記号は[K]で、絶対温度をT[K]と表した場合、ケルビン単位の絶対温度T[K]とセルシウス温度t[°C]との関係は、
気体と温度との関係

とする。
気体と温度との関係

絶対温度を用いて、気体の膨張式が
気体と温度との関係

V = V 0 ( 1 + t 273 ) = V 0 273 + t 273 = V 0 T 273 {\displaystyle V=V_{0}(1+{\frac {t}{273}})=V_{0}{\frac {273+t}{273}}=V_{0}{\frac {T}{273}}}
気体と温度との関係

と書け、結論をまとめると、
気体と温度との関係

となる。 変数どうしをまとめれば、
気体と温度との関係

である。
気体と温度との関係

なお、273Kが0°Cとなる。つまり、T0=273[K]とすれば、
気体と温度との関係

となり、つまり、 V T {\displaystyle {\frac {V}{T}}} は、大気圧のもとでは、定数であることがわかる。 この体積Vと温度Tの関係式は、なにも気体の圧力が大気圧でなくても成り立つことが、実験でも確認されて、分かっている。
気体と温度との関係

定数をK2とまとめれば、
気体と温度との関係

をシャルルの法則(Charles's law)という。
気体と温度との関係

なお、ケルビン温度の由来となった"Kelvin"とは人名で、彼は物理学者である。
気体と温度との関係

ボイルの法則とシャルルの法則を、組み合わせることを考えてみよう。まずボイルの法則とは、圧力をp[Pa]として体積をV[m]とすれば、ボイルの法則は、
気体と温度との関係

であった。
気体と温度との関係

シャルルの法則とは、温度をT[K]とすれば、
気体と温度との関係

であった。(ここで、Tの単位は[K]である。[°C]では無いので間違えないように。)
気体と温度との関係

これら、二つの法則から、どうやら、
気体と温度との関係

という法則が、成り立ちそうな予感がしそうだろうと、読者は思うだろう。実際に、この法則は成り立つと、実験的に確認されている。
気体と温度との関係

そこで、気体における法則の式、
気体と温度との関係

を、ボイル・シャルルの法則(Boyle-Charles law)という。
気体と温度との関係

このボイル・シャルルの法則は、気体が、「漏れ」などはしないかぎり、つまり容積の内部気体の物質が、一定量の場合に成り立つ。
気体の状態方程式

分子の数6.02×10個を1モルと言う。モルの記号はmolである。もし、読者がモルについて知らなければ、化学Iを参照のこと。
気体の状態方程式

気体は、分子の種類によらず、温度0°Cで圧力101kPaでは、分子量が1molあたり、体積22.4リットル(l)を取ることが、実験的に知られている。分子量が2molになれば、温度と圧力が同じなら、体積は2倍になるというふうに、体積は分子量に比例をする。
気体の状態方程式

これをアボガドロの法則(Avogadro's law)という。
気体の状態方程式

なお、22.4lをメートル単位で表せば、2.24×10^-2[m]である。(1000L = 1m から導ける。)
気体の状態方程式

そこで、アボガドロの法則をボイル・シャルルの法則と組み合わせることを考えよう。
気体の状態方程式

圧力をp[Pa]、体積をV[m]、分子量をn[mol]、温度をT[K]としよう。
気体の状態方程式

まず、ボイル・シャルルの法則とは、
気体の状態方程式

という法則であった。
気体の状態方程式

アボガドロの法則による、温度T一定かつ圧力P一定の条件下で、分子量nと体積Vが比例するということから、
気体の状態方程式

と書ける。定数を、わざわざ R と書いたのは、この値は分子の種類によらず、一定だからである。また、Rは圧力にもよらず一定であり、温度や体積にもよらず一定である。つまり、Rは完全に定数である。この定数Rを普遍気体定数(universal gas constant)あるいは単に気体定数という。
気体の状態方程式

この普遍気体定数Rの値は実験で求められ、測定結果は単位を [J/(mol・K)]で表した場合は
気体の状態方程式

である。 分母のTを移項すれば、
気体の状態方程式

と書ける。 この式 P V = n R T {\displaystyle PV=nRT} を気体の状態方程式という。
気体の状態方程式

一般に、気体の圧力・体積・温度の関係を計算する場合は、ボイルの式やシャルルの式などから計算するのではなく、気体の状態方程式から、必要な計算式を導く。
気体の状態方程式

なお、体積あたりのモル濃度をc[mol/m]とすれば、 C=n/V なので
気体の状態方程式

とも書ける。 こう書くと、気体の圧力はモル濃度に比例するとも考えられる。
気体の状態方程式

また、気体の密度ρ[kg/m]は、分子1モルあたりの質量(これを分子量という。)をMとすれば ρ = n M V {\displaystyle \rho ={\frac {nM}{V}}} となるので、この密度ρを用いて、状態方程式を表せば、
気体の状態方程式

である。
ランフォードの考察

今でこそ、熱はエネルギーの形態の一つであることが分かっている。しかし、昔の人類はそうでなかった。 ヨーロッパやアメリカでは、かつては力学的な仕事と熱とが別の量だと考えられていて、熱は「熱素」という架空の物質による現象だと思われていた時代があった。この熱素が熱や温度の原因であると考える仮説を熱素説という。 ランフォードという、1753年生まれのアメリカ人の科学者が、この熱素説に疑いを抱いた。彼は仕事柄、大砲の砲身の金属を削る実務に関わったことがあった。この金属を削る際の観察で、削るたびに金属から熱が発生することから、むしろ「削りの仕事こそが熱の発生原因であろう。熱素説は間違いだ。」と考え、熱素説を疑った。 彼は金属の削りくず(けずりくず)の比熱(ひねつ、specific heat)を実験で調べ、それが削る前の比熱と変わらないという実験結果から、「もしも熱素の流出が熱の原因ならば、削り屑からは熱素が流出しているので、比熱が変わらないと、おかしい。実験によると、削り屑の比熱は、もとの金属の比熱と変わらない。だから熱素説は間違いだ。」と結論づけた。
ランフォードの考察

イギリスの化学者ハンフリー・デービーも、このランフォードの意見に賛同し、デービーも1799年、2個の氷を摩擦すると熱が発生して溶解するという実験を行った。
仕事当量

ジュールが、水と温度を求めるため、右図のような羽根車で水をかき回す実験装置を用いて実験したところ、水の温度を1°Cあげるには、位置エネルギーが4.19[J]ほど必要だということが分かった。 これは運動エネルギーや位置エネルギーといった力学的な仕事と、熱との関係を調べたので、4.19[J/cal]のことを熱の仕事等量という。
比熱

水の場合は、1K上昇させるのに1gあたり4.19Jの仕事が必要ということが分かっているが、他の物質では、この値は異なる。物体の温度を1K上昇させるのに必要なエネルギーは、物体ごとよって異なる。
比熱

そこで、次のような、新しい物性値が定義された。
比熱

あるいは1kgあたりの熱量によって比熱を定義する場合もあり、この場合は単位は J/(kg・K) である。
比熱

式で表すと、物体に加えた熱量をQ[J]とし、その質量をm[g]とし、その物体の比熱をc[J/(g・K)]とし、その物体の温度上昇をΔT[K]とすれば、
比熱

である。
比熱

比熱の大きいほど、温度が変化しづらい。比熱の大きほど、温まりにくく、冷めにくい。
熱容量

ある物体を1K上昇させるのに必要な熱エネルギーを熱容量(ねつようりょう、heat capacity)という。熱容量の単位は[J/K]である。(ジュール毎ケルビン)。
熱容量

定義を数式で表せば、物体に加えた熱量をQ[J]とし、その物体の熱容量をC[J/K]とし、その物体の温度上昇をΔT[K]とすれば、
熱容量

である。
熱容量

比熱c[J/(g・K)]と熱容量C[J/K]の関係は、質量をm[kg]とすれば、
熱容量

である。
熱伝導

二つの固体の物体があったとして、その二物体は温度が異なるとしよう。高温の物体と、低温の物体とを接触させると、高温の物体から熱が低温の物体へ移動し、高温の物体は冷えて、低温の物体は温まる。 これは熱が、高温物体の側から、低温物体の側へと伝わったことになる。 この現象を熱伝導(heat conduction)という。
熱伝導

なお、比熱の概念と、熱伝導のしやすさは、べつの概念である。実際に物理学では、(高校物理や大学入試では立ち入らないが、)熱伝導のしやすさを表す物性値として、「熱伝導率」あるいは「熱伝導度」という物性値が存在する。間違えて、比熱と熱伝導とを混同しないように、注意が必要である。
熱の伝わり方

熱(heat)は、外部から手を加えなければ、自然と温度の高い所から、温度の低いところへと移動していく。 その結果、温度の高かった場所は、熱を手放していき、だんだんと温度は低くなる。逆に、周囲と比べて温度の低かった場所は、しだいに温度が高くなる。そして、いつしか、ふたつの箇所の温度は同じになる。このような熱の移動が無い状態を熱平衡(ねつへいこう、thermal equilibrium)という。 いっぽう、熱が、温度の低いところから、温度の高い所へと自然に移動することは、無い。
熱の伝わり方

さて、静止した物体での熱の伝わり方には、大きく分ければ、熱伝導と対流と熱放射の三つに分けられる。
熱の伝わり方

液体と気体とを総称して流体(fluid)という場合がある。文字通り、液体や気体は流れる事ができるから、流体という。静止している場合でも、便宜上、流体という場合がある。特に流体が静止していることを、呼称で明示したい場合には、静止流体などと呼ぶ場合もある。
熱の伝わり方

気体や液体などの流体の一部に温度差があり、その流体が運動をすると、熱を持った物体そのものが運動をするので、結果的に熱を運ぶことになる。このような場合は、熱伝達(ねつでんたつ、heat transfer)といい、熱伝達と熱伝導とは区別される。(日本語での名前が似ているので混同しないように注意。) とくに、その運動する流体の、運動の発生源が温度差による密度変化による場合は、この流体の運動は循環運動をする場合が多い。なぜなら、暖められて密度が軽くることで浮力が発生し、そのため暖められた流体が上方に移動し、かわりに元から上部にあった冷たい流体が押しのけられ、押しのけられた冷たい物体は重力によって降りてくる。このように、温度差によって生じる流体の循環運動のことを対流(convection)という。
熱の伝わり方

実は、絶対零度以外の温度を持つ、どの物体も、電磁波を出している。その放射する電磁波が、人間の眼に見えないのは、単に放射電磁波の周波数が、人間の目の可視領域で無いからという理由である。 この放射する電磁波は、常温では周波数が低く、赤外線の領域である。高音になるほど、物体の放射電磁波の周波数が高くなり、可視領域へと入っていく。溶鉱炉などで、高温で溶けた金属が光るのは、この放射光によるものである。このような高温物体から電磁波がでることを熱放射(thermal radiation)、あるいは単に放射という。熱輻射(ねつふくしゃ)と言う場合もある。 この放射電磁波によっても、エネルギーが高温側の物体から低温側の物体に輸送される。低温側からも放射電磁波が出るが、高温側の物体のほうが放射電磁波のエネルギーが大きいので、差し引きして、結局は、高温側から低温側へとエネルギーが移る。
内部エネルギー

物体が静止していても、物質内の分子は熱運動をしていて、温度が高いほど、その運動が激しくなるのであった。そのため、静止している物体でも、温度による熱運動のエネルギーを持っている。また、静止している物体でも、その物体を構成する分子どうしが起こす分子間引力による位置エネルギーを持っている。 このような物体内部の運動エネルギーや位置エネルギーの総和を内部エネルギー(ないぶエネルギー、internal energy)という。記号はUで表す。
内部エネルギー

温度が高いほど熱運動は激しくなるから、温度Tが高くなるにつれて内部エネルギーUも大きくなる。
内部エネルギー

理想気体に、外から熱をあたえたとすると、気体の漏れなどが無ければ、与えた熱量Q[J]の分だけ内部エネルギーU[J]は増加する。 また、外から圧縮などをして力学的仕事W[J]を加えた場合も、その分だけ内部エネルギーは増加する。気体が外部に仕事W[J]をした場合は、その分だけ内部エネルギーU[J]が減る。 これらをまとめると、内部エネルギーU[J]の増加量ΔUは、次の公式で表せる。外から加えた熱量をQ[J]として、外部との力学的仕事のやりとりをW[J]とした場合、
内部エネルギー

となる。 (上式のWの符号は、気体が外部から圧縮をされて力学的仕事をされる場合は W>0 、気体が膨張して外部に力学的仕事をする場合は W<0 とする。)
内部エネルギー

この式 Δ U = Q + W {\displaystyle \Delta U=Q+W} は、気体の漏れなどが無ければ、必ず成り立つ。この式を、熱力学の第一法則(first law of thermodynamics)という。
内部エネルギー

なお、この記事では、Wの符号の向きとして、気体にされた仕事を正の向きに取ったが、他書によっては気体が行った仕事を正の向きに取る場合もある。その場合、式のWの符号がマイナスに変わるので注意のこと。 Wの符号をどちらに定義するにせよ、気体が圧縮などの仕事をされたら、内部エネルギーは増え、気体が膨張して外部に仕事をしたら内部エネルギーは減る。
内部エネルギー

外部との熱のやりとりがない状態で、気体の圧力・体積・温度などの状態を変化させることを断熱変化(だんねつへんか)あるいは断熱過程という。断熱変化のとき、第一法則の式(ΔU=Q+W)は、Q=0なので、
内部エネルギー

である。 具体的に断熱変化と見なせる場合は、断熱性能の高い容器などに入れた気体で、特に熱源による加熱をせず、また冷却源による冷却などもしない場合は、気体の状態変化は断熱変化と見なして良い。また、断熱性能が通常の容器でも、特に熱源による加熱をせず、また冷却源による冷却などもしない場合なら、熱が伝わるにはある程度の時間が掛かるので、短時間的には断熱変化と近似しても良い場合もある。
内部エネルギー

体積を変えずに温度や圧力を変化させることを定積変化という。他の呼びかたでは、「等積変化」や「等容変化」や「定容変化」という場合もある。物理では定積変化という呼び方が一般に用いられるので、本記事でも、その呼び方に合わせる。 体積が変わらないので、仕事Wは W=0 である。
内部エネルギー

気体が状態変化をするとき、温度が一定のまま、状態変化をすることを等温変化という。外部とは熱のやりとりが必要である。なぜならば、もし熱のやりとりが無いと、気体が膨張して外部に仕事をした場合は、仕事をした分だけ内部エネルギーが減ってしまい温度変化をしてしまう。だから、等温変化には外部との熱のやりとりが必要である。理想気体の場合は、
内部エネルギー

である。
内部エネルギー

気体の圧力が一定のまま、体積や温度などの状態が状態変化をすることを定圧変化という。等圧変化ともいう。呼び方は、本記事では、なるべく「定圧変化」を用いるとする。
内部エネルギー

このとき、気体が行った力学的仕事Wと体積Vの関係は、
内部エネルギー

である。
熱膨張率

物体は温度が上昇すると体積が膨張する。これを熱膨張(ねつぼうちょう、thermal expantion)という。温度が1[°C](あるいは1[K])上昇するに連れて体積の増加する割合を体膨張率(たいぼうちょうりつ、coefficient of cubical expansion)という。 いっぽう、長さが、温度の1°C増加あたりに、長さの膨張する割合を、線膨張率(せんぼうちょうりつ、coefficient of linear expantion)という。
熱膨張率

金属は熱伝導率が高い。中でも銀Agが最も高く、Cu、Au、Al、などがこれに次いでいる。 線膨張率はプラスチックが最も高い。 線膨張率をαとして、長さをL、加熱後の長さの変化量をΔL、加熱後の温度上昇をΔTとすると、定義より
熱膨張率

Δ L L = α Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha \Delta T}
熱膨張率

の関係式が成り立つ。
熱膨張率

膨張量が小さい場合の近似式として、線膨張率αと体積膨張率βとの間に、以下の近似式が知られている。
熱膨張率

β = 3 α {\displaystyle \beta =3\alpha }
熱膨張率

導出は、物体の体積をV、その変化量をΔVとすると、
熱膨張率

V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 {\displaystyle V+\Delta V=\left(L+\Delta L\right)^{3}}
熱膨張率

および
熱膨張率

V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
熱膨張率

の関係より、
熱膨張率

1 + Δ V V = ( 1 + Δ L L ) 3 {\displaystyle 1+{\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{3}}
熱膨張率

さらに、近似式
熱膨張率

( 1 + Δ L L ) 3 = 1 + 3 Δ L L {\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{3}=1+3{\frac {\Delta L}{L}}}
熱膨張率

により、
熱膨張率

1 + Δ V V = 1 + 3 Δ L L {\displaystyle 1+{\frac {\Delta V}{V}}=1+3{\frac {\Delta L}{L}}}
熱膨張率

両辺から1を引き、この問題設定では体積膨張率βが、
熱膨張率

β = Δ V V {\displaystyle \beta ={\frac {\Delta V}{V}}}
熱膨張率

であり、線膨張率αが
熱膨張率

α = Δ L L {\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta L}{L}}}
熱膨張率

なので、結局は
熱膨張率

β = 3 α {\displaystyle \beta =3\alpha }
熱膨張率

となる。(以上、導出。)