線型代数学/行列と行列式/第三類/直線・平面
まず,ベクトルによって平面上の直線を表す方法を確認する.
定義3 直線の方程式(パラメータ表示)
平面上の点 A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り, u → {\displaystyle {\vec {u}}} に平行な直線を l {\displaystyle l} とする. この l {\displaystyle l} 上の点を P {\displaystyle \mathrm {P} } とし, O P → = x → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}} とする. すると A P → = t u → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}=t{\vec {u}}} を満たす実数 t {\displaystyle t} があって,
x → = a → + t u → {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {u}}}
( O P → = O A → + A P → ) {\displaystyle ({\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {AP} }})}
と表される.
これを直線 l {\displaystyle l} のベクトル方程式という.
t {\displaystyle t} は媒介変数,または パラメータ と呼ばれる.
これは平面上の直線を表しているが,空間内の直線を表す場合でも同じ要領であらわすことができる. 上で「平面上の」を「空間内の」に読み替えれば済むからである.
演習2. {\displaystyle \quad }
座標平面上の点 A ( − 4 , 5 ) {\displaystyle \mathrm {A} (-4,5)} を通り, u → = ( − 1 , 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(-1,3)} に平行な直線 l {\displaystyle l} を、 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} の形で表せ.
解答例1
l {\displaystyle l} 上の点 P {\displaystyle \mathrm {P} } について,ある実数 t {\displaystyle t} があって,
P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} とすれば, x = − t − 4 , y = 3 t + 5 {\displaystyle x=-t-4,y=3t+5} . これから t を消去する. 3 x + y {\displaystyle 3x+y} を考えると t {\displaystyle t} が消えることが容易に予想されるので,このまま 3 x + y {\displaystyle 3x+y} を計算すると,
すなわち
◼ {\displaystyle \blacksquare }
解答例2
パラメータ t {\displaystyle t} を用いない方法を示す. 問題の直線 l {\displaystyle l} は u → = ( − 1 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=\left({\begin{array}{c}-1\\3\end{array}}\right)} に平行であったが,これに垂直なベクトル h → = ( 3 1 ) {\displaystyle {\vec {h}}=\left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)} (成分を逆さにして片方にマイナスをつけた.すると u → ⋅ h → = 0 {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {h}}=0} .) を用いれば次のように表現できる.
l {\displaystyle l} は A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り h {\displaystyle h} に垂直だから,この l {\displaystyle l} 上に P {\displaystyle \mathrm {P} } をとり, O P → = x → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}} とすると, P {\displaystyle \mathrm {P} } が l {\displaystyle l} 上にある.
⇔ A P → ⊥ h → {\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {\mathrm {AP} }}\bot {\vec {h}}}
⇔ ( x → − a → ) ⋅ h → = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow ({\vec {x}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {h}}=0} ...1
P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} とすれば, x → = ( x y ) , a → = ( − 4 5 ) , h → = ( 3 1 ) {\displaystyle {\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right),{\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}-4\\5\end{array}}\right),{\vec {h}}=\left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)} なので,1より
∴ ( x + 4 y − 5 ) ⋅ ( 3 1 ) = 0 {\displaystyle \therefore \left({\begin{array}{c}x+4\\y-5\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)=0}
∴ 3 ( x + 4 ) + y − 5 = 0 {\displaystyle \therefore 3(x+4)+y-5=0}
∴ 3 x + y + 7 = 0 {\displaystyle \therefore 3x+y+7=0}
となり,同じ直線の式が得られた.
◼ {\displaystyle \blacksquare }
1のように、平面上の直線をベクトルで表す方法にはパラメータを用いない方法もある.
定義4 直線の方程式( a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} )
平面上の点 A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り, h → {\displaystyle {\vec {h}}} に垂直な直線を l {\displaystyle l} とする. この l {\displaystyle l} 上に点 P {\displaystyle \mathrm {P} } をとり, O P → = x → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}} とすると, x → {\displaystyle {\vec {x}}} は
( x → − a → ) ⋅ h → = 0 {\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {h}}=0}
を満たす. P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} として成分を計算すると.
a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0}
の形をしている.
次に,問題を解きながら空間内の平面の表し方を解説してゆく.
演習3. {\displaystyle \quad }
座標空間の点 A ( 0 , 2 , 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} (0,2,1)} を通り, ( 1 − 2 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right)} , ( 2 − 1 3 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)} に平行な平面を π {\displaystyle \pi } とする. π {\displaystyle \pi } 上の点 P {\displaystyle \mathrm {P} } について, O P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}} をパラメータ s , t {\displaystyle s,t} を用いて表せ. また, P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} をするとき, x , y , z {\displaystyle x,y,z} が満たす等式を求めよ.
解答
u → = ( 1 − 2 1 ) , v → = ( 2 − 1 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=\left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right),{\vec {v}}=\left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)} とおく. A P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}} は π {\displaystyle \pi } に含まれるベクトルだから,ある実数 s , t {\displaystyle s,t} を用いて A P → = s u → + t v → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}} と表すことができる.
O P → = O A → + A P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {AP} }}}
すなわち P ( x , y , z ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y,z)} として
{ x = s + 2 t y = 2 − 2 s − t z = 1 + s + 3 t {\displaystyle {\begin{cases}x=s+2t\\y=2-2s-t\\z=1+s+3t\end{cases}}}
これらからパラメータ s , t {\displaystyle s,t} を消去する.
x + 2 y = s + 2 t + 2 ( 2 − 2 s − t ) = − 3 s + 4 {\displaystyle x+2y=s+2t+2(2-2s-t)=-3s+4} ∴ s = 4 − x − 2 y 3 {\displaystyle \therefore s={\frac {4-x-2y}{3}}} 2 x + y = s ( s + 2 t ) + 2 − 2 s − t = 3 t + 2 {\displaystyle 2x+y=s(s+2t)+2-2s-t=3t+2} ∴ t = 2 x + y − 2 3 {\displaystyle \therefore t={\frac {2x+y-2}{3}}} これを z = 1 + s + 3 t {\displaystyle z=1+s+3t} に代入して z = 1 + 4 − x − 2 y 3 + 3 ⋅ 2 x + y − 2 3 {\displaystyle z=1+{\frac {4-x-2y}{3}}+3\cdot {\frac {2x+y-2}{3}}} 3 z = 3 + 4 − x − 2 y + 3 ( 2 x + y − 2 ) {\displaystyle 3z=3+4-x-2y+3(2x+y-2)} ∴ 5 x + y − 3 z = − 1 {\displaystyle \therefore 5x+y-3z=-1}
次に π {\displaystyle \pi } に垂直なベクトル(法線ベクトルという)を用いて,関係式を求める.
π {\displaystyle \pi } に垂直なベクトル h → {\displaystyle {\vec {h}}} は u → , v → {\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}} のそれぞれに垂直だから, h → {\displaystyle {\vec {h}}} は u → × v → {\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}} に平行である. だから,
h → = u → × v → = ( 1 − 2 1 ) × ( 2 − 1 3 ) = ( − 5 − 1 3 ) {\displaystyle {\vec {h}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}=\left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-5\\-1\\3\end{array}}\right)} とおくことができる.
O P → = x → , O A → = a → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}},{\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {a}}} とする.すると,
P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} とすれば, x → = ( x y z ) , a → = ( 0 2 1 ) {\displaystyle {\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right),{\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}}\right)} ,
( x − 0 y − 2 z − 1 ) ( − 5 − 1 3 ) = − 5 x − ( y − 2 ) + 3 ( z − 1 ) = 0 {\displaystyle \left({\begin{array}{c}x-0\\y-2\\z-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}-5\\-1\\3\end{array}}\right)=-5x-(y-2)+3(z-1)=0}
∴ 5 x + y − 3 z = − 1 {\displaystyle \therefore 5x+y-3z=-1}
これが平面 π {\displaystyle \pi } の方程式である.平面の方程式の係数 ( 5 , 1 , − 3 ) {\displaystyle (5,1,-3)} を並べると平面の法線ベクトルになっている.
一般の形でまとめておく.
定義5 平面の方程式(パラメータ表示)
空間内の点 A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り, u → , v → {\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}} に平行な平面を π {\displaystyle \pi } とする. この π {\displaystyle \pi } 上の点を P {\displaystyle \mathrm {P} } とし, O P → = x → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}} とすると, A P → = s u → + t u → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}=s{\vec {u}}+t{\vec {u}}} を満たす実数 s , t {\displaystyle s,t} があって, x → {\displaystyle {\vec {x}}} は,
と表される.
定義6 平面の方程式( a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle ax+by+cz+d=0} )
空間上の点 A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り, h → {\displaystyle {\vec {h}}} に垂直な平面を π {\displaystyle \pi } とする. この π {\displaystyle \pi } 上に点 P {\displaystyle \mathrm {P} } をとり, O P → = x → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}} とする. x → {\displaystyle {\vec {x}}} は,
を満たす. P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} として,成分を計算すると
の形になり,ベクトル ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} は h → {\displaystyle {\vec {h}}} に平行である.