中学数学2年 連立方程式
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連立方程式とは何か

まず、この問題を考えてみてほしい。
連立方程式とは何か

ここで、鉛筆をx本、消しゴムをy個買ったとすると、次の等式が成り立つ。
連立方程式とは何か

このような、文字が2種類あり、一次式である方程式を二元一次方程式という。(「元」とは文字の種類と考えればよい)
連立方程式とは何か

ここで、xとyにどのような数が当てはまるか考えると(問題文より、x,yはともに整数)、
連立方程式とは何か

などと、x,yの組が求められる。
連立方程式とは何か

このような、x,yについての二元一次方程式の当てはまるx,yの組のことを、その方程式の解という。上に挙げたものは、すべてこの方程式の解である。解がいくつもあるため、このままでは本当に求めたい答えが定まらない。(もし解を自然数だけに限定したとしても、(3,4)のほかに(8,1)という解もあるからである)
連立方程式とは何か

さて、上記の問題では、解がいくつもあるため、そのままでは本当に求めたい答えが定まらなかった。
連立方程式とは何か

しかし、この例題に、
連立方程式とは何か

という条件がつくとどうだろう。これは、
連立方程式とは何か

という式で表せる。この二元一次方程式の解は、
連立方程式とは何か

と考えられる。
連立方程式とは何か

では、次に、方程式(1)と(2)という2つの方程式を組みにして書き表す記法を学ぼう。2つ以上の方程式を組み合わせる場合、次のように書きあらわす。
連立方程式とは何か

このように、二つ以上の方程式を組にしたものを 連立方程式 という。また、その連立方程式に代入することですべての方程式が成立する文字の値の組を 連立方程式の解 といい、その解を求めることを 連立方程式を解く という。上の連立方程式の解は、(x,y)=(3,4)と表せる。
連立方程式とは何か

この2つの方程式に共通する解である(x,y)=(3,4)が、最終的に求めたい答えだとわかる。
連立方程式とは何か

つぎのア~ウの選択肢のなかから、連立方程式
連立方程式とは何か

の解を選べ。
連立方程式とは何か

実際に方程式の左辺に代入して確認してみればいい。
連立方程式とは何か

アの (3,-2) を代入してみると、
連立方程式とは何か

これは、それぞれ与えられた方程式の右辺に等しいので、よってアは解のひとつである。
連立方程式とは何か

では、他に解は無いだろうか。
連立方程式とは何か

念のため、イとウも確認してみよう。
連立方程式とは何か

まず、イから調べる。イの (1,4) を方程式に代入してみると、
連立方程式とは何か

となり、(イ)は1番目の方程式は満たすが、2番目の方程式は満たさないので、イ は解ではない。
連立方程式とは何か

ウ x = − 1 {\displaystyle x=-1} , y = − 3 {\displaystyle y=-3} を代入して確かめてみると、
連立方程式とは何か

となり、2番目の方程式は満たすが、1番目の方程式を満たさないので、ウ は解ではない。
連立方程式とは何か

よって、選択肢のうち、解は ア のみである。
連立方程式の解き方

加減法とは、2つの方程式を足したり引いたりすることによって文字を消去し、方程式を解く方法である。
連立方程式の解き方

たとえば、
連立方程式の解き方

という式について考える。
連立方程式の解き方

まず、下の式(2)の両辺を2倍して
連立方程式の解き方

となり、2つの式のyの係数がそろう。ここで、上の式(1)から下の式(2)を引くと、
連立方程式の解き方

となる。だから、x=2となる。
連立方程式の解き方

このように、xとyをふくむ方程式から、式を足したり引いたりして、yをふくまないでxだけの式を作ることを、 yを消去する という。
連立方程式の解き方

ここで、これをもともとの下の式(2)にx=2を代入してみると、
連立方程式の解き方

ゆえに、y=0となり、解 (x,y)=(2,0) が求められる。
連立方程式の解き方

このように、連立方程式を解くときに2つの方程式を足したり引いたりすることによって文字を消去し、方程式を解く方法のことを加減法という。
連立方程式の解き方

加減法で解くときのポイントは、どちらかひとつの文字の係数の絶対値をそろえることである。等式は両辺に同じ数をかけても成立する、という性質があるので、それを利用してそろえればよい。
連立方程式の解き方

さきほどの例題では、どちらか片方を整数倍するだけで、xまたはyの少なくとも片方の係数が、2つの方程式で同じになった。
連立方程式の解き方

しかし
連立方程式の解き方

のような連立方程式の場合、どちらか片方を整数倍するだけでは、係数が同じにならない。
連立方程式の解き方

これを解くには、どうすればいいだろうか?
連立方程式の解き方

解くための方針として主に2通りある。
連立方程式の解き方

のような、少なくとも2通りの方針がある。
連立方程式の解き方

とりあえず、方針1「両方の整数倍アイデア」で解いてみよう。
連立方程式の解き方

私達はxかyのどちらか片方を消去したいが、さきほどの例題1ではxを消去したから、今度の例題2ではyを消去してみよう。
連立方程式の解き方

yの係数に注目すると、(1)のyの係数は3、(2)のyの係数は2である。
連立方程式の解き方

(1)の式全体を2倍して(この「2」は(2)のyの係数)、(2)の式全体を3倍すれば(この「3」は(1)のyの係数)、(1)と(2)の両方ともyの係数が6になる。
連立方程式の解き方

このように、2つの式のある文字の係数が等しくなるようにすればよい。
連立方程式の解き方

では、やってみよう。
連立方程式の解き方

分配法則などを使って、この連立方程式からカッコを外すと、
連立方程式の解き方

になる。
連立方程式の解き方

さらにかけ算して整理して
連立方程式の解き方

となる。
連立方程式の解き方

(2)の式のxの係数のほうが、(1)の式のxの係数よりも大きいので、(2)の式から(1)の式を引き算したほうが、解を求めるための計算がラクになりそうであるので、そうしよう。
連立方程式の解き方

となる。
連立方程式の解き方

計算を実行すれば
連立方程式の解き方

両辺を11で割れば、
連立方程式の解き方

となる。
連立方程式の解き方

こうして、解の片方として x=-4 が求められた。
連立方程式の解き方

では、これから残りのyの解も求めよう。
連立方程式の解き方

のうち、(1)か(2)のどちらか片方に先ほどの x=-4 を代入すればいいのであるが、上の(1)の式ばかりに代入していたら飽きるので、今回は(2)の式に代入してみよう。
連立方程式の解き方

すると、
連立方程式の解き方

になる。
連立方程式の解き方

両辺に20を足せば、(つまり -20を移項して右辺に移せば)、
連立方程式の解き方

あとはyの係数の2で割れば( 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍すれば)
連立方程式の解き方

よって y = 1 {\displaystyle y=1} が求められた。
連立方程式の解き方

問1 { x + y = 2 2 x + 3 y = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y=2\\2x+3y=1\end{matrix}}\right.}
連立方程式の解き方

問2 { 5 x + y = 2 8 x + 2 y = − 7 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}5x+y=2\\8x+2y=-7\end{matrix}}\right.}
連立方程式の解き方

問3 { − 3 x + 4 y = − 2 9 x + 2 y = − 7 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-3x+4y=-2\\9x+2y=-7\end{matrix}}\right.}
連立方程式の解き方

解答
連立方程式の解き方

まずは、次の連立方程式を考えることにする。
連立方程式の解き方

このような連立方程式は、文字がひとつの、つまり、1年生で学習した一次方程式の形にして解くことができる。
連立方程式の解き方

上の式を(1)、下の式を(2)とする。(1)の式では、"y"と"2x+7"の2つが等しいことを示しているわけであり、また、(1)と(2)のxとyにはまったく同じ物が解として入る。そこで、(2)のyを(1)の2x+7に置き換える。つまり、(1)の式を(2)に代入するのである。このとき、(2)のyという文字を消去できる。
連立方程式の解き方

(1)を(2)に代入して、
連立方程式の解き方

これで、yが消去された。これを解いて、
連立方程式の解き方

また、このxの値を(1)に代入して、
連立方程式の解き方

これで、この連立方程式の解、(3,13)が得られた。普通、連立方程式の解は次のように書く。
連立方程式の解き方

あるいは、
連立方程式の解き方

この教科書では、以後上の書き方を用いる。
連立方程式の解き方

このように、一方の式を他方に代入することで連立方程式を解くことができる。これを、代入法という。
連立方程式の解き方

解答 1 (x,y)=(3/5,19/5) 2 (x,y)=(10/19,4/19) 3 (x,y)=(7/17,11/17)
いろいろな連立方程式の解法

次の方程式を解きなさい。
いろいろな連立方程式の解法

上のようにカッコのある連立方程式の場合、分配法則などをつかってカッコを外したり、移項したりして、簡単な式に置きかえておくと、解を求めやすくなる。
いろいろな連立方程式の解法

カッコのあるのは(2)だけなので、(2)を式変形すれば済む。
いろいろな連立方程式の解法

まず、(2)左辺を式変形すると
いろいろな連立方程式の解法

となる。
いろいろな連立方程式の解法

(2)の右辺より、左辺が11と等しいのであるから、つまり、
いろいろな連立方程式の解法

である。
いろいろな連立方程式の解法

次に、左辺の -2 を移項して、定数項どうしをまとめると、
いろいろな連立方程式の解法

になる。
いろいろな連立方程式の解法

よって、(2)は最終的に
いろいろな連立方程式の解法

に変形される。
いろいろな連立方程式の解法

すると、この例題の方程式を求めるには、新たな連立方程式
いろいろな連立方程式の解法

を解けばいいことになる。なお、(1)式と(1)'式とは同じであるが、新しい連立方程式を見やすくするために、新たに(1)'と置いた。
いろいろな連立方程式の解法

カッコの含まない連立方程式の解き方は、1年生で学んだ。 なので、あとはもう、今まで習ったとおりに加減法や代入法などで、この新たな連立方程式を解けば、解がもとめられる。
いろいろな連立方程式の解法

yの係数が(xの係数と比べると)絶対値が小さいので、yに注目して加減法で解くと計算がラクそうなので、では、加減法で その方法で解いてみよう。 (1)''式を2倍、(2)''式を3倍すれば、
いろいろな連立方程式の解法

式(2)''から式(1)''を引き算すれば、
いろいろな連立方程式の解法

よって、
いろいろな連立方程式の解法

になる。まず、解の片方であるxの解が求められた。
いろいろな連立方程式の解法

このx=3の結果を(1)''すれば、
いろいろな連立方程式の解法

左辺の定数項24を移項して、
いろいろな連立方程式の解法

よって
いろいろな連立方程式の解法

最終的に求めたいのは、連立方程式(1),(2)の解であるので、よって解が求められた。
いろいろな連立方程式の解法

のように、分数の係数をもつ連立方程式の解法を考えよう。
いろいろな連立方程式の解法

このような場合も、分母の数で掛け算することで、整数の式に置きかえればよいだけである。
いろいろな連立方程式の解法

とりあえず、係数から分数を一掃したいので、式(1)の両辺を6倍してしまおう。この6倍という数の根拠は、xの係数の分母の2と、yの係数の分母の3の公倍数が6だからである。
いろいろな連立方程式の解法

では、実際に式(1)を6倍すると、
いろいろな連立方程式の解法

これを式(2)と連立させるので、
いろいろな連立方程式の解法

となる。
いろいろな連立方程式の解法

あとはもう、係数がすべて整数なので、習ったとおりの方法で解けばいい。
いろいろな連立方程式の解法

解法は加減法でも代入法でも、どちらでも解けるが、とりあえず代入法で解いてみると、式(2)のxの係数が1なので、これを代入法に利用するためにyを移項すると、
いろいろな連立方程式の解法

これを式(1)'に代入してみると、
いろいろな連立方程式の解法

2つめの式と3つ目の式を取り出し、
いろいろな連立方程式の解法

分配法則などを使ってカッコを外して
いろいろな連立方程式の解法

同類項をまとめて、定数項9を左辺に移項して定数項どうしでまとめて、
いろいろな連立方程式の解法

両辺をマイナス7で割り算して、
いろいろな連立方程式の解法

が求められた。
いろいろな連立方程式の解法

この結果を、
いろいろな連立方程式の解法

に代入し、
いろいろな連立方程式の解法

よって答えは、 x = − 6 , y = 3 {\displaystyle x=-6,\quad y=3} である。
いろいろな連立方程式の解法

例題 次の連立方程式を解きなさい。
いろいろな連立方程式の解法

解き方は数通りありますが、ここでは「別の文字に置く方法」で、やってみましょう。 まず、 1 x = X {\displaystyle {\dfrac {1}{x}}=X} 、 1 y = Y {\displaystyle {\dfrac {1}{y}}=Y} と おいてみよう。
いろいろな連立方程式の解法

例題 次の連立方程式を解きなさい。
いろいろな連立方程式の解法

一般に、 A = B = C {\displaystyle A=B=C} のとき、次のことが成り立ちます。
いろいろな連立方程式の解法

ですから、 A = B = C {\displaystyle A=B=C} の形の連立方程式は、上の3つのどれかの連立方程式に直して解きます。
いろいろな連立方程式の解法

今まで解いてきたのは、含(ふく)まれる文字が1つか2つの方程式(2元1次方程式)だったが、ここでは、3つの文字が含まれる「3元1次方程式」を考えてみよう。
連立方程式の利用

連立方程式の問題を解くポイントは、
連立方程式の利用

ことである。次の問題を考えてみよう。
連立方程式の利用

連立方程式では、このような速さの問題や、あるいは食塩水の濃度に関する問題がよく出される。
連立方程式の利用

さて、問題を考えることにするが、この問題文から次の関係がわかる。
連立方程式の利用

ここで、自転車で進んだ距離をx km、走った距離をy kmとすると、この関係は
連立方程式の利用

と表せる。この連立方程式を解くと、(x,y)=(21,3)となるので、答えは、
連立方程式の利用

となる。