hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-related-paragraph-pairs huggingface dataset:
주기율표
Section: 구조

주기율표의 일곱 번째 줄은 여섯 번째 줄과 유사하다. 7s 궤도(프랑슘과 라듐)가 채워지고, 이어서 5f 궤도(악티늄부터 노벨륨까지), 그 다음 6d 궤도(로렌슘부터 코페르니슘까지), 마지막으로 7p 궤도(니호늄부터 오가네손까지)가 채워진다. 로렌슘부터는 5f 궤도가 내부 껍질에 있으며, 아마도 니호늄부터는 6d 궤도도 내부 껍질에 포함될 것이다. 다시 중간에 몇 가지 이상 현상이 나타난다. 예를 들어, 단일 원자로는 악티늄과 토륨도 실제로는 5f 부껍질을 채우지 않으며, 로렌슘도 6d 껍질을 채우지 않지만 이 모든 부껍질은 다양한 화학 환경에서 채워질 수 있다. 아주 오랫동안 일곱 번째 줄은 불완전했는데, 이 줄의 원소 대부분이 자연에 존재하지 않기 때문이었다. 누락된 초우라늄 원소는 1940년 넵투늄이 만들어지면서 실험실에서 인공적으로 합성되기 시작했다. (그러나 자연이 아닌 합성으로 발견된 최초의 원소는 1937년의 테크네튬이었다.) 이 줄은 2010년 테네신 합성으로 완성되었고 (마지막 원소 오가네손은 이미 2002년에 만들어졌다), 이 일곱 번째 줄의 마지막 원소들은 2016년에 이름이 모두 붙여졌다. 그렇게 완성된 주기율표는 아래와 같다.

주기율표의 여섯 번째 줄도 마찬가지로 두 개의 s-구역 원소인 세슘과 바륨으로 시작한다. 그 다음부터는 란타넘부터 시작하는 첫 번째 f-구역 원소(아래 녹색)가 나타나기 시작한다. 이들은 때때로 내부 전이 원소라고 불린다. 이제 4f뿐만 아니라 5d와 6s 부껍질도 비슷한 에너지에 존재하므로, 다시 수많은 불규칙한 배열이 나오며 서로간 경쟁이 발생한다. 이 때문에 f-구역이 정확히 어디에서 시작되어야 하는지에 대한 논쟁이 있었지만, 이 문제를 연구하는 대부분의 사람들은 쌓음 원리에 따라 란타넘에서 시작한다는 데 동의한다. 란타넘 자체는 단일 원자로 4f 부껍질을 채우지는 않지만, 전자 간의 반발 때문에 4f 궤도는 화학 반응에 참여할 수 있을 만큼 충분히 낮은 에너지에 있다. 이터븀에서 7개의 4f 궤도는 14개의 전자로 완전히 채워진다. 그 후, 10개의 전이 원소(루테튬부터 수은까지)가 뒤따르고, 마지막으로 6개의 주족 원소(탈륨부터 라돈까지)가 주기를 완성한다. 루테튬 이후부터는 4f 궤도가 코어에 있으며, 탈륨 이후부터는 5d 궤도도 코어에 있다.
주기율표
Section: 7주기 너머로의 주기율표 확장

여덟 번째 줄 원소가 존재할 수 있다고 하더라도 이를 생성하는 것은 어려울 가능성이 높고, 원자 번호가 증가함에 따라 더욱 어려워질 것이다. 8s 원소인 119번과 120번은 현재의 수단으로 합성 가능할 것으로 예상되지만, 그 이후의 원소는 새로운 기술을 필요로 할 것으로 예상된다. 만약 생산될 수 있다면 말이다. 이 원소를 화학적으로 특성화하는 것도 큰 도전이 될 것이다.

또는 핵이 양성자와 중성자로 결합하는 대신 자유롭게 흐르는 위 쿼크와 아래 쿼크로 구성될 때, 쿼크 물질이 높은 질량수에서 안정해질 수 있다. 이는 안정성의 섬 대신 안정성의 대륙을 만들 것이다. 다른 효과도 작용할 수 있다. 예를 들어, 매우 무거운 원소에서는 1s 전자가 핵에 너무 가까이 머무르면서 실제로 핵 내부에 있는 시간이 상당할 것으로 예상되는데, 이는 전자 포획에 취약하게 만들 것이다.
아미노산
Section: 산업에서의 용도

유사하게 일부 아미노산 유도체들은 제약 산업에서 사용된다. 예로는 우울증의 실험적 치료에 사용되는 5-하이드록시트립토판(5-HTP), 파킨슨병 치료에 사용되는 L-다이하이드록시페닐알라닌(L-DOPA), 오르니틴 탈카복실화효소를 저해하여 수면병 치료에 사용되는 에플로르니틴 등이 있다.

2001년부터 40가지의 비천연 아미노산들이 단백질에 추가되어 고유한 코돈(리코딩)을 생성하고 이에 상응하는 다양한 물리화학적 및 생물학적 특성을 지닌 tRNA와 아미노아실-tRNA 합성효소의 쌍을 생성하여 단백질의 구조 및 기능을 탐색하거나 신규 또는 강화된 단백질을 생성하는 도구로 사용된다.
아미노산
Section: 물리화학적 특성

또한 글리신과 프롤린은 진핵생물 및 원핵생물 단백질의 복잡성이 낮은 영역 내에서 매우 풍부한 반면 시스테인, 페닐알라닌, 트립토판, 메티오닌, 발린, 류신, 아이소류신과 같은 반응성이 높거나 복잡하거나 소수성 아미노산의 경우 반대(과소 표현됨)가 관찰되었다.

일부 아미노산은 다른 시스테인 잔기에 대한 공유 결합인 이황화 결합을 형성할 수 있는 시스테인, 폴리펩타이드 골격에 대한 고리형 구조를 형성하는 프롤린, 다른 아미노산들보다 더 유연한 글리신과 같은 특별한 특성을 가지고 있다.
아미노산
Section: 반응

그러나 모든 펩타이드 결합들이 이런 방식으로 형성되는 것은 아니다. 몇몇 경우에 펩타이드는 특정 효소에 의해 합성된다. 예를 들어 트라이펩타이드인 글루타티온은 산화 스트레스에 대한 세포 방어의 필수적인 부분이다. 이 펩타이드는 유리 아미노산으로부터 두 단계로 합성된다. 첫 번째 단계에서 γ-글루타밀시스테인 합성효소는 글루탐산의 곁사슬에 있는 카복실기(이 곁사슬의 γ 탄소)와 시스테인의 아미노기 사이에 펩타이드 결합을 형성하게 하여 글루탐산과 시스테인을 축합한다. 이 다이펩타이드는 글루타티온 합성효소에 의해 글리신과 축합되어 글루타티온을 형성한다.

아미노산은 구성 작용기의 예상되는 반응을 겪는다.

한 아미노산의 아미노기와 다른 아미노산의 카복실기가 반응하여 펩타이드 결합을 형성하여 결합될 수 있다. 이러한 아미노산들의 중합 반응을 통해 단백질이 생성된다. 두 개의 아미노산이 펩타이드 결합으로 연결될 때 물이 생성된다. 세포에서 이 반응은 직접적으로 일어나지 않는다. 대신에 아미노산은 먼저 에스터 결합을 통해 tRNA 분자에 부착되어 활성화된다. 이 아미노아실-tRNA는 아미노아실-tRNA 합성효소에 의해 수행되는 ATP 의존성 반응으로 생성된다. 이 아미노아실-tRNA는 리보솜의 기질이 되며, 이는 에스터 결합에서 신장되는 단백질 사슬의 아미노기의 공격을 촉매한다. 이러한 메커니즘의 결과로 리보솜에 의해 만들어지는 모든 단백질들은 N-말단에서 시작하여 C-말단 쪽으로 합성된다.
히라가나

히라가나(일본어: ひらがな, 영어: Hiragana)는 일본어에서 사용하는 두 가지 가나 가운데 하나다. 가타카나는 주로 외래어 표기 등에 쓰고, 히라가나는 다음과 같은 용도로 쓴다.

동사의 활용 어미, 조사, 조동사

일본 고유어로서 해당 한자가 없는 단어, 또는 해당하는 한자가 잘 쓰지 않는 어려운 글자일 때.

어린이가 사용하는 일본어의 뉘앙스를 보여 주고 싶을 때
토마스 만
Section: 정치적인 관점

사회 비판가 Michael Harrington의 컬렉션 The Accidental Century에 있는 "Images of Disorder"는 토마스 만의 정치적 성형이 바뀌는 것을 설명한다.

전쟁 동안, 토마스 만은 반-나치 라디오 연설 시리즈(Deutsche Hörer! ("German listeners!"))를 만든다. 이것은 미국에서 녹음돼서 영국에 전해지고, BBC가 방송을 하게 되면서 독일 청취자들이 듣기를 원한다.
토마스 만
Section: 생애

1942년 그의 가족들은 캘리포니아 로스엔젤레스에 있는 Pacific Palisades로 이사를 한다. 그 곳에서 제2차 세계 대전이 끝날 때까지 살게 된다. 1944년 6월 23일, 토마스 만은 미국 시민권을 받게 된다. 1952년에 스위스, 취리히 근처에 있는 Kilchberg에서 살게 된다.

1933년 나치스 정권 성립으로 조국을 떠나, 남프랑스·스위스 등을 거쳐, 1938년 미국에 이르렀다. 그 곳에서 프린스턴 대학에서 수업을 한다. 제2차 세계 대전 때는 높은 휴머니즘의 입장에서 민주주의 옹호를 위해 싸웠다.
하인리히 뵐
Section: 생애

1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다.

1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 '47그룹 문학상'을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 『그리고 아무 말도 하지 않았다』로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 '게오르크 뷔흐너 상'을 수상했다.
방정식

방정식(方程式, 영어: equation)은 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 등식이다.

방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 미지수의 값을 해(解, solution) 또는 근(根, root)이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫 번째의 경우는 불능이라고 하고, 마지막의 경우는 항등식(부정)이라 한다.

방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.
방정식
Section: 예시

연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.

미분방정식은 함수와 그 도함수들로 표현되는 방정식이다. 일반적으로 어떤 물리적 대상을 표현하는 함수에 대해 그 도함수는 대상의 변화율을 의미하며, 따라서 물리적 대상과 그 변화율 간의 관계는 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 공학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지한다.
삼각 함수 항등식
Section: 덧셈 정리

여기서

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다.

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.

이 번째 체비쇼프 다항식일 때,

드무아브르의 공식:

디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
삼각 함수 항등식
Section: 미적분학

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

과

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.
노무현
Section: 노무현을 연기한 배우들

김대성 - 2014년 KBS 2TV 개그콘서트 우리동네 청문회 (영화 《변호인》'송우석' 패러디)

서진원 - 2022년 영화 《하로동선》(영화에서는 김경백이라는 이름으로 등장한다.)

배칠수 - 2003년 MBC 코미디 하우스 삼자 토론

김상태 - 2003년 KBS2 개그콘서트 봉숭아학당

송강호 - 2013년 영화 《변호인》 (영화에서 실제로 맡은 역할은 노무현을 모티브로 한 "송우석"이라는 가상의 캐릭터)
노무현
Section: 대통령 재임시

10월 청와대 총무비서관인 최도술이 SK그룹으로부터 비자금을 수수했다는 의혹이 터지고,10월 10일에는 대통령 측근 비리 의혹에다가 김두관 행정자치부 장관 해임 건의안 가결되었고, 윤성식 감사원장 임명 동의안 부결 등의 문제가 계속해서 발생하자 노무현은 청와대에서 열린 기자 회견에 "국민에게 재신임을 묻겠다"고 선언했다.

불법 관권선거 개입 사례로는 노무현의 양강구도 언급 등 총선관련 발언들과 군복무기간 추가단축 검토를 비롯한 행정부의 총선용 선심성 공약 남발 사례, 민주당 파괴공작, 총선 올인 등을 꼽았으며 이와함께 장관임기 보장 약속 파기, 대북송금 특검 수용과 정몽헌 현대아산 회장의 자살을 비롯한 사례 21가지 등 총 43가지 예를 들어 노무현 정부 1년을 혹평했다.
노무현
Section: 평가와 비판

이후 2006년 12월 28일에는 황우석 사건을 통해 대통령에게 제대로 보고하지 않은 책임을 지고 같은 해 1월에 물러난 박기영 전 대통령 정보과학기술 보좌관이 정책기획위원으로 발탁되었는데, "박 전 보좌관이 정책기획위원을 맡을 수 없을 정도로 심각한 도덕적 문제를 일으켰다고 판단하지는 않는다"라고 발언을 해 논란이 되기도 하였다.

황우석 사건에서의 태도 또한 비판의 대상이 되고 있다. 2005년 11월 27일, 청와대 홈페이지에 "PD수첩이 황당한 취재를 한다는 이야기를 들었다. 심지어 협박과 위협도 한다고 한다. 말도 안 된다고 생각한다"라는 글을 올리면서 PD수첩의 줄기세포에 진위에 대한 취재에 대해 부정적인 언급을 했으며, 이후 줄기세포가 가짜로 판명된 후에도 "자, 이걸로 정리를 하자"라는 말로 상황을 무마시키려 했다는 비판이 있다.
곱셈적 함수
Section: 예

: 오일러 피 함수. 보다 작고 과 서로소인 양의 정수의 개수

: 뫼비우스 함수. 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.

(는 음이 아닌 정수): 약수 함수. 의 모든 양의 약수의 제곱의 합
: 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 인 경우이다.
: 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 인 경우이다.
곱셈적 함수
Section: 성질

여기서 는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면,

이다.:417

곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱

와 디리클레 역원

은 곱셈적 함수이다.:423, 정리5; 429, 문제22

곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가

일 경우, 다음이 성립한다.:418, 정리1; 423, 식(27)
체비쇼프 다항식
Section: 성질

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.

즉, 다음이 성립한다.

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간  속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.

분지점에서의 값들은 모두  또는 이다.
체비쇼프 다항식
Section: 정의

(실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)

실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식이라고 한다.

(재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.

(삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.

은 에서 서로 다른 개 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 개 극값을 갖는다.

(최소 상한 노름)

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다.
파이의 날

파이의 날(영어: Pi Day 파이 데이[*])은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.

3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.
코사인 법칙
Section: 증명

이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.

이로써 코사인 법칙이 증명된다.

다음과 같은 세 벡터를 정의하자.

그렇다면, 벡터 의 길이는 각각 이며, 벡터 와  사이의 각도는 이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.:78

이 가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다.:64-65 가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.

삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.

세 등식의 양변에 각각 를 곱하면 다음을 얻는다.
코사인 법칙
Section: 역사

명제13예각 삼각형에서, 예각을 마주하는 변 위의 정사각형은 예각을 이루는 변들 위의 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 예각의 변, 그리고 예각을 향하는 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 안에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 적다.Proposition 13†In acute-angled triangles, the square on the side subtending the acute angle is less than the (sum of the) squares on the sides containing the acute angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the acute angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off inside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the acute angle.
— :65

유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다.

명제12둔각 삼각형에서, 둔각을 마주하는 변 위의 정사각형은 둔각을 이루는 변들 위의 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 둔각의 변, 그리고 둔각을 향한 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 밖에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 많다.Proposition 12†In obtuse-angled triangles, the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the (sum of the) squares on the sides containing the obtuse angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the obtuse angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off outside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the obtuse angle.
— :64
코사인 법칙
Section: 비유클리드 기하학의 경우

쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.

이에 따라 각 의 사인 값은 다음과 같다.

또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 의 코사인 값은 다음과 같다.

따라서, 다음이 성립한다.

넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.:72-74
사인 법칙
Section: 증명

만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

삼각형 의 외접원을 그리자.:52 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.
사인 법칙
Section: 구면 사인 법칙의 증명

두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.:21, Art. 42

구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

따라서 다음이 성립한다.

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.:20-21, Art. 40, 41
벡터 공간
Section: 성질

직합 말고도, 텐서곱 을 가지며, 이에 따라 는 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터 공간 이다.

집합으로의 망각 함자 , 가 존재하며, 이에 따라서 구체적 범주를 이룬다. 망각 함자는 왼쪽 수반 함자 를 갖는데, 은 집합 를 차원 벡터 공간으로 대응시킨다.

모형 이론의 관점에서, 체 에 대한 벡터 공간의 개념은 대수 구조로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.

0항 연산  (영벡터)

각 에 대하여, 1항 연산
벡터 공간
Section: 연산

같은 체  위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.

체  위의 벡터 공간 와 그 임의의 부분 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.

몫공간(몫空間, 영어: quotient space) 는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합(=동치류들의 집합)이다.

그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
벡터 공간
Section: 정의

체  위의 벡터 공간 은 에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.

는 집합이다. 이 집합의 원소를 벡터라고 한다.

는 함수이다. 이 연산을 벡터 덧셈이라고 한다.

는 함수이다. 이 연산을 스칼라 곱셈이라고 한다.

이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

는 아벨 군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
(벡터 덧셈의 결합 법칙) 임의의 에 대하여, 
(벡터 덧셈의 교환 법칙) 임의의 에 대하여, 
(벡터 덧셈의 항등원) 임의의 에 대하여 인 원소 가 존재한다.
(역원의 존재) 임의의 에 대하여, 인 원소 가 존재한다.
펜로즈 삼각형

이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.

펜로즈 삼각형(Penrose triangle 또는 Penrose tribar)은 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.
수론적 함수
Section: 예시

1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,

그러므로 c4(1)=4.

P(n), 분할수 - n을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수. 여기선 덧셈의 순서를 구분하지 않음. 예를 들어, P(2 · 5) = P(10) = 42 그리고 P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42 따 라서 곱셈적 함수가 아님.

π (n), 소수 계량 함수 - 주어진 n과 같거나 작은 소수의 개수. π(1) = 0 그리고 π(10) = 4 (10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7).

a0(n) - n을 나누는 소수의 합. 또한 sopfr(n)(Sum of the prime factors with repetition)라고도 불림. a0(20) = a0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. (OEIS의 수열 A001414)
물리 상수

물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다.

물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.

물리 상수(物理常數, 영어: physical constant)는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.
대수학의 기본 정리
Section: 증명

이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식

이 성립하므로 식 (a)로부터

을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석 함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 는 상수 함수이고, 도 상수 함수이다. 즉 가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.

은 n차 다항식이므로 최대 n개의 근을 갖는다. 따라서 의 근들이 복소평면에서 반지름이 R인 원판 안에 들어오도록 하는 어떤 양의 실수 R을 잡을 수 있다. 이제 r>R인 실수 r에 대해 편각 원리를 적용하면,
대수학의 기본 정리
Section: 실계수 다항식의 표현

실계수 차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理, 영어: fundamental theorem of algebra)는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.

상수가 아닌 실수 계수 다항식을 복소수체 위에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다.
정규 분포
Section: 성질

정규분포는 절대근사한다.

정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다.

정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다.

정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.

정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다.
뫼비우스 반전 공식
Section: 정의

두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 가 곱셈적 함수라면, 그 상  역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 가 곱셈적이라면, 그 원상  역시 곱셈적이다.

가환환 가 주어졌을 때, 두 함수 의 디리클레 합성곱

이며, 소수  및 양의 정수 에 대하여

이다.)

두 공식에서 에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.
뫼비우스 반전 공식
Section: 근접 대수

함수 에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합

의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.

수론의 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합

을 이룬다. 의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다.
푸리에 급수
Section: 정의

가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 의 푸리에 계수(Fourier coefficient) 을 다음과 같이 정의한다.

그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.

푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여,
감마 함수
Section: 성질

감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

두 번째 공식은 오일러 반사 공식(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다.

곱의 정리

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다.

특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.
감마 함수
Section: 정의

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

만약 감마함수를 자연수 에 대해

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.
아쿠타가와 류노스케
Section: 작품의 특징

초기와 중기, 후기로 작품의 시기를 나누며, 각 시기에 따라 특성이 두드러진다. 대부분 초기의 작품이 좋은 평가를 얻고 있다. 중기 이후에는 아동용 작품의 집필이 늘어 폭넓은 장르의 작품을 다루었다. 후기, 특히 말년에는 사람의 생사에 대해 다룬 작품이 늘어나, 자살 직전 어떻게 죽음을 마주하며 집필했는지 알 수 있다.

작품에서 아마테라스 오미카미를 등장시킬 때는 별명인 "오히루메무치"(大日孁貴)을 이용했는데, 이는 "아마테라스"라는 호칭이 당시 일본 천황가의 조상신이기도 했던 아마테라스를 그대로 글 속에 등장시키는 것이 되어 불경하다는 비판을 받을 수 있었기에, 태양신, 그것도 자연신의 성격을 가진 신으로써 "오히루메무치"를 이용해야 했기 때문이다.
아쿠타가와 류노스케
Section: 생애

원래 류노스케의 위로는 하쓰(はつ)와 히사(ひさ)라는 두 명의 누나가 있었는데, 큰누나였던 하쓰는 류노스케가 태어나기 1년 전에 여섯 살의 나이로 요절했고, 어머니는 그 충격으로 정신장애를 겪어서 류노스케를 양육할 수 없었다. 생후 7개월 된 류노스케는 도쿄시 혼죠구 고이즈미쵸에 있던 외가 아쿠타가와 집안에 맡겨졌고, 백모 후키(フキ)가 양육을 맡았다. 11살 때인 1902년에 어머니가 끝내 사망하자 이듬해에 그는 외삼촌으로 도쿄시의 토목과장을 지내기도 했던 아쿠타가와 미치아키(芥川道章)의 양자가 되어 아쿠타가와 성을 쓰게 된다. 아쿠타가와 집안은 에도 시대에는 사족(士族)으로서 대대로 도쿠가와(德川) 집안을 섬겨 다도와 관련된 업무를 담당하던 스키야호즈(數寄屋坊主) 집안이었고, 예술·연예를 애호하던 에도의 문인적 취미가 집안에 남아 있었다.

1892년(메이지 25년) 3월 1일 도쿄에서 우유 판매업자였던 아버지 니하라 도시조(일본어: 新原敏三 ())와 어머니 후쿠(일본어: フク ()) 사이에서 니하라 류노스케(일본어: 新原龍之介 ())라는 이름으로 태어났다(아쿠타가와라는 성은 원래 그의 어머니쪽 성씨였다). 이때 태어난 시간이 진년(辰年) 진월(辰月) 진일(辰日) 진시(辰時)였기 때문에 '용(龍)' 자를 이름에 넣어 류노스케(龍之介)라 짓게 되었다고 전하나 실제 그가 태어난 1892년 3월 1일은 간지로는 임진년·임인월·임진일에 해당하며 출생 시각에 대해서는 자료가 없기 때문에 확실한 것이 없다. 이름도 호적상으로는 '龍之介'이지만 그가 양자로 들어갔던 아쿠타가와 집안이나 졸업한 학교의 명단 등의 문서에는 '龍之助'로 되어 있다(아쿠타가와 자신은 '龍之助' 표기를 싫어했다).
장국영
Section: 수상 내역

1995년 홍콩영화비평가협회 최고배우상

1995년 홍콩영화제 최우수영화주제가상

2002년 연예동력대장 최우수 남우주연상 - 이도공간

2003년 20세기 중국 10대 문화우상 선정

1993년 제30회 대만 영화 금마장 최우수 영화 주제가상 - 홍안백발

1994년 일본 영화 평론가협회 외국영화 최우수 남우주연상 - 패왕별희

1994년 제1회 홍콩 영화 평론가협회 최우수 남우주연상 - 동사서독
장국영

장국영(중국어 정체자: 張國榮, 간체자: 张国荣, 병음: Zhāng Guóróng 장궈룽[*], 광둥어: Zoeng Gwok wing 정궉윙, 영어: Leslie Cheung 레슬리 청[*], 1956년 9월 12일~2003년 4월 1일)은 홍콩의 배우이자 가수이다.

영국 북부의 리즈 대학교에서 섬유직물관리학(textile management)을 공부했으나 알콜중독으로 인한 아버지의 건강 악화로 중퇴 후 홍콩으로 돌아왔다. 홍콩으로 귀국한 후 아시아 가요제에 참가하여 〈American Pie〉를 불러 2위로 입상하며 데뷔했다.
장국영
Section: 개인사

홍콩의 성상납 X파일이 터졌을 때 당시 2000년대 초기에 장국영이 알 수 없는 이유로 자살했다. 이때 유명 연예인들이 정치인, 재벌가 등 사회의 돈권력이 많은 유력 인사들에게 몸을 팔았는데 이를 폭로하려고 하다가 정계 일부에서 사람들을 써서 장국영을 타살한 것이 아니냐는 추측이 있었다. 하지만 죽은 자는 말이 없었다.

1997년 콘서트에서 남자 애인이자 무명 시절 그의 매니지먼트를 담당했던 당학덕와 함께 나타났으며, 당학덕은 장국영이 사망할 때까지 꾸준히 그를 방문하며 관계를 지속했다. 당학덕은 장국영이 죽은 이후 장국영의 화장한 유골을 직접 인계하였으며 장국영과 단 둘이 살던 집에서 홀로 거주하다가 2011년 초 장국영과 자신이 키우던 개가 죽은 이후 그 집을 매각했다.
통계학
Section: 통계학 관련 학문

특히 정보화사회와 빅데이터 시대를 맞아 다양한 사회정보의 수집·분석·활용을 담당하는 새로운 직종으로 기업, 정당, 지방자치단체, 중앙정부 등 각종 단체의 시장조사 및 여론조사 등에 대한 계획을 수립하고 조사를 수행하며 그 결과를 체계적으로 분석, 보고서를 작성하는 관련 학문이 필요하게 되어 사회조사분석학이 등장하게 된다.

통계학은 컴퓨터 과학, 프로그래밍 언어, 선형대수학, 해석학, 분포론, 수치해석, 확률론 등 여러 학문과 관련되어 있다.

통계학과 사회과학의 발전에 따라 분산분석, 회귀분석, 요인분석 등과 같은 평가모형들이 발전되고, 이들이 정책평가에 응용됨으로써 정책영향의 평가에 공헌을 하고 있으며, 아직도 계속 발전되어 가는 과정에 있다.
통계학
Section: 변인

종속 변인(從屬變因): 독립변인의 조작결과(操作結果)에 의존하며 이의 효과를 판단하는 준거가 되는 변인.

실험의 기본적인 형태는 어떤 변인이 다른 어떤 변인에 어떠한 영향을 미치는지를 알아보고자 한다.

매개 변인(媒介變因): 종속변인에 영향을 주는 독립변인 이외의 변인으로서 연구에 통제되어야 할 변인

양적 변인(量的變因): 양의 크기를 나타내기 위하여 수량으로 표시되는 변인

질적 변인(質的變因): 변인이 가지고 있는 속성을 수량화 할 수 없는 변인
통계학
Section: 통계분석 소프트웨어

SAS(Statistical Analysis System) - 기업체에서 주로 쓰는 대표적 프로그램이다. 큰 규모의 자료를 편리하게 다룰 수 있으나 각종 통계 분석 결과를 왜곡해서 보여준다는 비판을 받기도 한다.

R은 무료 공개 통계 프로그래밍 및 개발환경이다. S 언어에 바탕을 두고 개발되었으며, 학술적 목적으로 널리 사용된다. 새로 개발된 분석 방법들이 확장 패키지를 통해 공개되고 있다.
컴퓨터 과학
Section: 분야

알고리즘

알고리즘 분석

확률적 알고리즘

자료 구조

계산기하학

조합 최적화

프로그래밍 언어

유형이론

컴파일러

자동 정리 증명

병렬 컴퓨팅

그리드 컴퓨팅

병행 컴퓨팅

도메인 이론

확률론과 통계학

암호학

계산 이론

그래프 이론

최적화 이론

오토마타 이론

유형 이론

정보 이론

부호 이론

양자 컴퓨팅

계산 가능성 이론

형식언어

람다 대수
컴퓨터 과학

컴퓨터 과학(영어: computer science, 컴퓨터 사이언스) 또는 전산학(電算學)은 계산(computation), 정보(information) 그리고 자동화(automation)에 대한 학문이다.

컴퓨터 과학은 알고리즘, 계산 및 정보에 대한 이론적 연구에서부터 하드웨어와 소프트웨어의 계산 시스템 구현에 대한 실질적인 문제에 이르기까지 다양한 주제를 다룬다.

전산 이론 및 시스템 설계를 연구하는 전문가를 컴퓨터 과학자 또는 전산학자라 부른다.
컴퓨터 과학
Section: 역사

컴퓨터 과학의 역사는 현대의 디지털 컴퓨터의 역사만을 가리키는 것이 아니다. 주판과 같이 계산을 수행하는 기계는 오래전부터 있었다. 1623년에는 최초의 계산기계가 만들어졌고, 찰스 배비지는 19세기 초에 차분기관을 만들었다. 1900년대에 들어서 IBM사가 펀치카드 시스템(PCS)을 개발하여 회계에 관련된 일을 하도록 보급하였다. 하지만 이들 모두는 주어진 한 가지의 일만 수행할 수 있었다.

1940년대에 들어서자 더욱 강력한 기능을 지닌 계산기들이 등장했고, 이때부터 '컴퓨터'는 사람이 아닌 이들 기계를 부르는 용어로 굳어졌다. 컴퓨터가 단순한 숫자 계산보다 더 다양한 기능을 할 수 있는 것들이 알려지면서 컴퓨터 과학이라는 분야가 더욱 넓어지기 시작했다. 1960년대부터 여러 대학에 컴퓨터 과학 학과와 전공 과정이 생기면서 컴퓨터 과학이 학문으로 인정받기 시작하였으며, 학문의 쓰임새에 따라 세분되었다.
위키백과
Section: 특징

위키백과의 내용은 처음에는 GNU 자유 문서 사용 허가서 아래 배포되었으나 2009년 6월, 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 Unported 라이선스로 변경되었다. 2023년 6월부터는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 4.0 국제 라이선스로 변경되었다.

몇몇 언어의 위키백과 커뮤니티는 자체적으로 문서를 엮어서 출판물을 제작하기도 하는데, 독일어 위키백과의 경우 독일어 위키백과의 문서를 모아 2004년에 CD로, 2005년와 2006년에는 DVD와 책으로 제작하였다.
위키백과
Section: 관리

위키백과 사용자들 사이의 논쟁 또는 분쟁은 모두 위키백과 커뮤니티 안에서 해결된다. 사용자들 사이의 문제는 서로간의 토론을 통해 해결하는 것이 가장 바람직하지만, 문서의 훼손이나 악의적인 행위 등으로부터 선의의 편집 활동을 보호하기 위한 조치도 필요하다. 문서를 삭제하거나 악의적인 사용자를 차단하는 것과 같은 활동은 커뮤니티 안에서 충분히 신뢰할 수 있다고 평가받아 관리자로 선출 된 사용자가 실행한다. 한편 사용자 사이의 논쟁은 중재위원회와 같은 기구를 통해 상호 조정을 이루기도 한다.

위키백과는 특별한 위계가 없는 사용자들의 집단 활동이라는 점에서 아나키즘의 요소를 갖는 민주주의 체계로 평가되기도 한다. 위키백과 내의 모든 문서는 직접 내용 편집에 참여한 사용자를 포함하여 어느 누구도 소유권을 주장할 수 없다. 위키백과의 이러한 규칙은 커뮤니티가 공동으로 소유하는 가치에 대한 사적 이익 추구를 억제함으로써 공유지의 비극을 방지하고자 만들어졌다.
위키백과

위키백과(위키百科, IPA: [ɥikçibɛ̝k̚k͈wa̠], [ykçibɛ̝k̚k͈wa̠] ( 듣기)) 또는 위키피디아(영어: Wikipedia, IPA: [ˌwɪkɪˈpiːdɪə] ( 듣기))는 누구나 자유롭게 쓰는 다언어판 온라인 백과사전이다. 협업을 개방한 위키 기반 편집 시스템을 사용하여 자발적인 위키백과 사용자 공동체가 작성하고 관리한다. 위키백과는 대표적인 집단 지성의 사례로 평가받으며 역사상 최대로 가장 많이 읽는 참고서이기도 하다. 시밀러웹과 (과거) 알렉사 인터넷에서 가장 인기있는 웹사이트 10곳 중 하나로 꾸준히 순위를 올린다. 2024년 1월 기준으로 위키백과는 세계에서 7번째로 인기 있는 사이트로 순위를 올렸다. 위키백과는 자유 저작물을 보유하고 상업적인 광고가 없다. 주로 기부금으로 지원을 받는 비영리 단체인 위키미디어 재단이 소유하고 지원한다.

위키백과는 2001년 1월 15일 지미 웨일스와 래리 생어가 창립하였다. 생어는 위키(wiki)와 백과사전(encyclopedia)이라는 두 이름을 섞어서 '위키피디아'라는 이름을 만들어냈다. 웨일스는 프리드리히 하이에크와 오스트리아 경제학파와 관련된 자생적 질서의 영향을 받았다. 이 개념들은 자유지상주의 경제학자 마크 손턴이 널리 알렸다. 처음에는 영어판만 제공하였으나 빠르게 다른 언어판 개발을 이루었다. 2024년을 기준으로 영어판 6,801,674개, 한국어판 718,986개를 비롯하여 300여 언어판을 합하면 전체 위키백과의 일반 문서(넘겨주기와 막다른 문서 제외)의 수는 5,500만 개를 넘는다. 한 달 순수 방문자 수는 약 17억명이다. 2006년 타임지는 누구나 편집하도록 허용하는 정책이 위키백과를 세계 최대의 백과사전으로 만들었다고 기술했다.
보손
Section: 자연계의 보손

초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다.

짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.

힉스 보손은 힉스 메커니즘을 매개하는 스핀 0의 입자이다. 이는 최근에 발견되었다.

중력자는 중력자의 양자이며, 중력을 매개하는 스핀 2의 입자이다. 다만, 실험에서는 중력자의 존재는 중력파로 인한 효과로 간접적으로만 확인되었다.
디리클레 합성곱
Section: 성질

교환법칙: f * g = g * f

결합법칙: (f * g) * h = f * (g * h)

분배법칙: f * (g + h) = f * g + f * h

항등원: f * ε = ε * f = f, 여기서 ε은 n = 1에서 ε(n) = 1, n > 1에서 ε(n) = 0으로 정의되는 함수.

역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 f * g = ε를 만족한다.

덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.
동치 관계
Section: 반례

정수의 집합  위의 표준적인 순서

를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이지만, 이다.

정수 집합  위의 이항 관계

임의의 집합  위에서, 공관계

는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.
동치 관계
Section: 성질

그렇다면 는  위의 동치 관계이다. 과 는 서로 역함수이다. 즉,

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

집합 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 에 대하여, 를 포함하는 최소의 동치 관계 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

다음 조건을 만족시키는 열 가 존재한다.


에 대하여, 이거나

집합  위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 는 완비 격자이다. 의 최소 원소는 (로 국한된) 등호 이며, 최대 원소는 전체 관계 이다. 동치 관계들의 집합 의 만남 는 교집합
동치 관계
Section: 정의

집합  위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는,  위의 이항 관계 이다.

(반사 관계) 임의의 에 대하여,

(대칭 관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면,

(추이적 관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면

집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) 는 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 의 에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.
자연철학의 수학적 원리
Section: 유클리드의 ‘기하학 원론’과의 비교

『기하학 원론』은 정의와 유클리드의 가정이라고 불리는 공리 개념으로 시작하여 논리적 순서로 정리나 문제의 해를 유도하는 공리적 체계의 전형적인 모습을 보여주고 있다. 『기하학 원론』 은 엄밀하고 정확한 논리적 증명을 확립하는데 기초를 다진 점이 높이 평가되었고, 그 구성상의 뛰어난 특징 때문에 유클리드 이후의 많은 저명한 학자들이 책을 쓸 때 『기하학 원론』의 구성 양식을 참고할만했다.

그리고 1권과 2권에서 물체에 운동에 대한 일반적인 원리를 제시한다. 그 후에 3권에서 만유인력을 예를 들어 만유인력의 법칙이 천체 현상을 어떻게 설명하는가를 구체적으로 보여주었다. 일반법칙에 만유인력이라는 특수한 경우를 적용함으로써 자유낙하 현상, 지구의 타원궤도 운동, 달이나 혜성과 같은 천체의 운동, 조수 간만 및 계절의 변화와 같은 현상들이 어떻게 그리고 왜 일어나는지를 잘 설명하고 있다.
자연철학의 수학적 원리

에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다. 뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름 아닌 핼리 혜성이다.

이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다. 당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다. 그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다.
자연철학의 수학적 원리
Section: 각 권별 내용

저항이 있는 공간 속에서 물질의 입자가 어떻게 운동하는지에 대한 문제를 취급하고 있다. 이 내용은 오늘날의 소위 「유체역학」에 해당한다. 이것은 주로 당시에 널리 퍼져 있던 데카르트의 「소용돌이」우주관에 케플러의 행성 운동 법칙과 어울리지 않는다는 사실을 밝히기 위한 목적에 맞추어져 있다.

거리의 제곱에 반비례하는 만유 인력과 같은 힘들을 포함해서 다른 여러 가지 형태의 가상적인 힘에 의한 운동이 함께 취급되고 있다. 뉴턴은 케플러의 제 3법칙을 일반화시켰다. 그래서 모든 물체와 물체 사이에는 그 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 힘, 즉 만유 인력이 작용한다는 사실을 입증한 것이었다.