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쥐 (만화)
Section: 줄거리

만화는 또한 아트가 아버지와 인터뷰를 할 당시(1970년대~1980년대) 스피겔먼 가족의 삶을 다룬다. 작품은 특히 작가 자신의 눈에 비친 아버지 블라덱의 모습과 아버지 당신이 이야기하는 과거의 모습을 대비시키고 있다. 블라덱은 나치 반유대주의의 직접적인 피해자임에도 불구하고 흑인에 대한 인종적인 편견을 가지고 있다. 그는 돈을 쓰는데에 너무 인색하여 다른 가족들을 힘들게 하기도 한다.

아트 스피겔먼은 아버지 블라덱 스피겔먼(Vladek Spiegelman, 브와디스와프 슈피겔만)의 삶을 만화로 그리기 위해 몇 년간 수 차례에 걸쳐 그와 녹취 인터뷰를 한다.

유대인인 블라덱과 그의 아내, 안야 스피겔먼 (Anja Spiegelman)은 나치 정권 하의 독일에서 어렵게 숨어살다가 밀고로 발각되어 아우슈비츠 수용소로 끌려갔다. 수용소에서 그는 많은 죽음과 학살을 보았다.
천상열차분야지도
Section: 참고 문헌 및 링크

나일성, 〈천상열차분야지도와 각석 600주년 기념복원〉, 《동방학지》, 1996년.

남문현·한영호, 〈조선지명이 있는 천상열차분야지도 사본〉, 《동방학지》, 1996년.

Park, Changbom, 〈Analysis of the Korean Celestial Planisphere: Ch'on-Sang-Yul-Cha-Bun-Ya-Ji-Do〉, 《한국천문학회지》, 1996년.

태종 석각본 〈천상열차분야지도〉, 국립고궁박물관 소재.

김수길·윤상철 공역, 《천문류초》, 대유학당, 1998년.

한국의 고대 천문학(Ancient Astronomy)

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천상열차분야지도
Section: 개요

국립 고궁 박물관에 현존하는 이 천문도의 석본은 가로 122.8cm, 세로 200.9cm의 돌에 새겨진 것인데, 그것은 대체로 다음과 같이 구성되어 있다.

성도는 원형(圓形)의 중심에 북극이 있고, 그 북극을 중심으로 하여 관측지의 북극의 고도에 따른 작은 원과 더 큰 적도 및 황도권이 그려져 있다. 원의 주위에는 28수(宿)의 명칭과 적도수도(赤度宿度)가 기록되어 있고, 각 수(宿)의 거성(距星)과 북극을 연결하는 선에 의하여 개개의 별의 입수도(入宿度)가 눈으로도 매우 정밀하게 읽어갈 수 있게 그려져 있다. 관측의 글에는 28수(宿) 거극분도(去極分度), 24절기의 동틀 무렵과 저물 무렵에 자오선을 지나는 별에 대한 글, 12국 분야(分野) 및 성수분도(星宿分度), 해와 달에 대한 글, 논천설(論天說), 천문도 작성 경과, 작성자들의 관직과 성명에 이르기까지 자세히 기록되어 있다.

국보 제228호 천상열차분야지도각석(天象列次分野之圖刻石)은 조선조 태조 4년(1395)에 본디 평양성에 있었던 각석의 탁본을 하나 얻어 이를 비석에 다시금 새긴 것이다.

이 천문도에 적혀 있는 설명문에는 천문도의 제작 경위가 적혀 있다. 그 글에 따르면, 이성계가 조선을 건국하였을 때, 어떤 사람이 천문도의 탁본 한 점을 바쳤는데, 그 탁본의 원본 석각은 원래 평양성에 있었던 것이었으나 전쟁으로 인해 강물에 빠졌다고 한다. 이성계가 이 탁본을 귀중하게 여겨서 새로 돌에 새길 것을 명하였다. 이 천문도가 새 왕조가 하늘의 뜻에 의하여 세워졌다는 권위를 부여한다고 믿었기 때문이었다. 그 석각을 제작하는 작업은 특진보국숭록대부 판문하부사 권중화가 책임자로 있던 서운관의 천문학자들에 의해 수행되었으며, 권근이 설명문을 작성하였고 류방택이 새로 중성기를 계산하여 수정하였으며 설경수가 비문의 글씨를 썼다고 명시되어 있다. 또한 이 설명문에 따르면, 성도는 탁본의 내용을 따르고, 중성기를 새로 계산하여 돌에 새겼다고 적혀 있다.
천상열차분야지도
Section: 유래 및 연구

한편, 천상열차분야지도와 같은 천문도의 일부에서 원래 중국 별자리에서 "건성(建星)"으로 표기되어야 할 중국 별자리가 "입성(立星)"으로 표기되어 있음을 근거로 천문도의 원도가 고려시대에 제작되었을 가능성이 제시되기도 한다. 이것은 고려 왕조의 설립자인 고려 태조 왕건의 이름을 피한, 전형적인 피휘(避諱)라는 것이다. 또한, 천상열차분야지도의 도설에는 남송(南宋) 시대의 책에 나오는 문장이 인용되어 있다 이러한 내용으로부터, 천상열차분야지도의 원본은 고려 시대에 제작되었고, 성도의 적도환과 중성기만을 수정하고 성도는 원본 그대로 수록한 것으로 추측하기도 한다.

천상열차분야지도 하단부에 적힌 권근의 설명을 참조하면, 본래의 석본이 평양에 있었으나 전란 중 강에 빠져 잃어버렸다고 하였다.

조선을 건국한 그 해(1392년)에 평양 석각본의 인본을 바치는 사람이 있었고, 태조가 매우 기뻐하여 돌에 새길 것을 지시하였으나, 천문도가 세월이 오래 되어 그 도수가 차이가 나므로 그 값을 새로 측정하여 고쳐 새겼다고 한다. 이에, 권근을 비롯한 10여명의 학자들이 수년 간의 노력 끝에 태종 석각본 천상열차분야지도를 완성하였다.
공인회계사
Section: 회계업무의 변화

1950년 계리사법이 공포되었으나 6·25전쟁이 끝난 후인 1954년 12월에 비로소 한국계리사회가 설립되었다. 1965년에 계리사법이 폐지되고, 1966년 7월 15일 공인회계사법이 공포됨에 따라, 공인회계사가 그 업무를 행하게 되었다.

1965년에 계리사법이 폐지되면서 세무대리의 모호한 상태로 유지하다가 1961년 9월 법률 제712호로 ＜세무사법＞이 제정되면서 공인회계사의 업무에서 세무대리업무만 할 수 있는 세무사가 탄생하였으며 공인회계사 자격을 취득하면 세무사 자격을 자동부여 받도록 하였다.
공인회계사
Section: 공인회계사 자격취득

REG(4시간): U.S. Tax, U.S. Business Law

BEC(4시간): Information & Technologies, Corporate Governance, Financial Management, Cost Accounting, Economics

미합중국의 공인회계사 시험은 대한민국 공인회계사 시험과 비교해 볼 때, 계산적인 면을 한국회계사 시험에서 더 많이 다루고 있다면, 미합중국회계사 시험은 내용적인 면과 기본이해, 개념, 논리구조에 대해서 더 많은 범위를 다루고 있는 편이다. 미합중국 내에서는 가장 권위있는 시험 중에 하나로 꼽히고 있다. 미합중국 외 인증받은 국가에서도 미합중국의 CPA 자격을 이용할 수 있다.
블라디미르 드린펠트
Section: 생애

1990년에 양자군 이론 및 정수론에 대한 업적으로 필즈상을 수상하였다.

1998년에 우크라이나에서 미국으로 이주했으며, 시카고 대학교의 교수가 되었다. 이후 2008년에 미국 국적을 취득하였으며, 2001년 3월 1일에 시카고 대학교에서 해리 프랫 저드슨 석좌 교수(영어: Harry Pratt Judson Distinguished Service Professor)로 승진하였다.

유대인이며 우크라이나 태생이었던 드린펠트는 당시 소련의 정책에 따라 모스크바에서 일자리를 얻을 수 없었으며, 이 때문에 우파에 있는 바슈키르 국립 대학교에 취직하였다. 이후 1981년에 하르키우로 귀향하여 우크라이나 과학 아카데미(Національна академія наук України)에 소속된 물리학 연구소에서 일했다.
블라디미르 보예보츠키
Section: 작업

보예보츠키는 대수기하학의 주 연구 대상인 대수다양체의 연구에 대수적 위상수학에서 주로 쓰이는 호모토피 이론을 접목하여, 대수다양체의 -호모토피 이론을 개발함으로써 모티브와 모티브 코호몰로지에 관한 중요 업적을 남겼고, 이를 응용하여 1995년에 블록-가토 추측의 인 경우(밀너 추측)를 증명하였다. 이 업적으로 2002년 중화인민공화국 베이징에서 개최된 제24회 세계 수학자 대회에서 프랑스의 수학자 로랑 라포르그와 함께 필즈상을 수상하였다.

2009년 1월 프랑스 고등과학연구원에서 열린 알렉산더 그로텐디크 기념 컨퍼런스에서 그는 모티브 코호몰로지를 사용한 일반적인 블록-가토 추측의 증명을 발표하였다.

2009년 단체 집합에서 마르틴뢰프 유형 이론의 일가성 모형을 구성한 것을 비롯하여, 그는 유형 이론과 일가성 기초(Univalent foundations)라 불리는 수학 기초론의 개발에 중요한 기여를 하였다. 그는 일가성의 아이디어를 사용하여 Coq의 라이브러리인 UniMath를 개발하였다.
알렉산더 그로텐디크
Section: 생애

제2차 세계 대전이 독일의 패배로 막을 내린 후, 젊은 그로텐디크는 프랑스 몽펠리에 대학교에서 수학 공부를 시작하였다. 그는 미적분을 가르친 술라(Soula)교수에게 수학계에서 일어난 발견에 대해 물어보았는데, “수학 분야에 남아있던 마지막 공개 문제들은 르베그라는 사람이 모두 풀었다”는 대답을 들었다. 이것은 사실이 아니었고, 그는 이 말에 전혀 낙담하지 않았다. 대학에서의 수학 공부를 시작한 이후, 그로텐디크의 뛰어난 수학적 능력은 여러 교수들의 눈에 띄었고, 이들의 추천으로 1948년, 그로텐디크는 더 심도있는 수학 공부를 위해 프랑스 파리로 가게 되었다.

파리에서 그로텐디크는 프랑스의 유망한 수학자 집단과 어울리면서 수학 공부를 계속했다. 그러나 그는 협력 연구에는 잘 맞지 않았는데, 그 이유는 다른 수학자들이 '합의를 통해' 참이라고 간주하는 개념들을 그대로 받아들이기 싫어했고, 그 개념들을 직접 증명하면서 나아가려고 했기 때문이다. 또 그는 야심이 매우 커서 쉬운 길을 가기보다는 어려운 문제를 붙들고 늘어지는 것을 좋아했고 '모든 것을 무척 힘들게 노력해서 얻었다.' 그는 그때의 기분을, 동료 수학자들에게 수학은 아주 손쉬운 것처럼 보인 반면 자신은 '느릿느릿 굴을 파며 산으로 올라가는 것처럼'느꼈다고 회고했다. 그러나 그는 또한 다음과 같이 회고했다.
알렉산더 그로텐디크
Section: 업적

그로텐디크는 자리스키 위상을 대체하여, 에탈 코호몰로지를 도입하였고, 이를 사용하여 베유 추측의 상당 부분을 증명하였다. 1970년대 초반에 그로텐디크의 제자인 피에르 들리뉴는 에탈 코호몰로지를 사용하여 베유 가설을 완전히 증명하였고, 이 업적으로 필즈상을 수상하였다.

앙드레 베유는 대수다양체의 위상수학적인 성질과 정수론적인 성질 사이의 베유 추측을 발표하였고, 이를 새로운 코호몰로지 이론을 통해 증명할 수 있음을 보였다. 그러나 베유 자신은 이러한 코호몰로지 이론을 정의하지 못했다.
알렉산더 그로텐디크
Section: 저서

그로텐디크의 논문과 강연들은 대부분 일반 저널에 출판되지 않고, 대신 《대수기하학 원론》(프랑스어: Éléments de géométrie algébrique, 약자 ÉGA) 및 《마리 숲 대수기하학 세미나》(프랑스어: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, 약자 SGA) 등으로 모아졌다.

《대수기하학 원론》(프랑스어: Éléments de géométrie algébrique, 약자 ÉGA)은 그로텐디크와 장 디외도네가 쓴, 스킴과 층을 일관적으로 사용한, 대수기하학의 기초를 체계적으로 다루는 교재이다. 총 13권이 계획되었으나, 오직 1권~4권만이 출판되었다.
존 찰스 필즈
Section: 약력

필즈는 1920년대부터 수학자상을 계획했으나, 악화되는 건강으로 생애동안은 그 상이 주어지는 것을 보지 못한다. 그는 3개월 동안 앓다가 1932년 8월 9일 사망한다. 그는 유언에서 47,000 달러를 필즈상 기금으로 기부한다.

필즈는 수학의 노벨상이라고 불리는 필즈상을 탄생시킨 것으로 가장 유명하다. 1936년 처음 수여된 필즈상은 1950년 다시 시작되어, 이후 매 4년마다 수학에 중요한 공헌을 한 40세 이하의 수학자 적게는 2명에서 많게는 4명에게 주어진다.
시카고 대학교
Section: 저명한 동문

현재 세계에서 가장 많은 29명의 노벨 경제학상 수상 졸업생과 교수를 배출했으며 시카고 학파로 유명한 경제학 분야에는 노벨 경제학상 수상자 폴 새뮤얼슨, 밀턴 프리드먼, 허버트 사이먼, 제임스 뷰캐넌, 조지 스티글러, 로버트 루카스, 해리 마코위츠, 게리 베커, 마이런 스콜스, 유진 파마 등이 시카고대를 졸업했다.

또한 경제학만큼 대중적으로는 알려져있지는 않지만 시카고대의 물리학과도 경제학부랑 같이 29명의 노벨 물리학상 수상자를 배출해 왔다. 실제로 세계 첫 핵반응로를 시카고 대학 캠퍼스에서 전설적인 물리학자인 엔리코 페르미교수가 개발했다.
시카고 대학교
Section: 개요

시카고 대학은 많은 분야에서 잘 알려져 있지만 전통적으로 사회과학 분야에서 특히 강세를 보이고 있다. 특히 경제학과 물리학은 시카고가 주력으로 내세우는 학과이다. 경제학은 정부의 개입을 최소화하고 규제완화를 주장하는 신자유주의 경제학을 이끌어 온 시카고 학파의 창시지로 명성이 높다. 또한 물리학과는 시카고 대학 교수로 제직했던 물리학자 엔리코 페르미의 이름을 딴 페르미 국립 가속기 연구소와 아르곤 국립 연구소와의 활발한 연계로 유명하다. 그 외에도 정치학, 철학, 사회학 등은 최상위의 위치를 인정받고 있으며, 천문학, 지리학, 수학 등도 정상급에 올라 있다. 시카고 대학의 학부생 80% 이상은 졸업 후 5년 이내에 전문대학원이나 일반대학원 과정으로 진학한다.

전문대학원 중에는 의학대학원(Pritzker School of Medicine, University of Chicago), 법학대학원(University of Chicago Law School), 경영대학원(University of Chicago Booth School of Business) 등이 유명하다. 특히 경영대학원은 세계랭킹 1위를 매년 앞다투는 수준이며 법학대학원 역시 미국의 T6라고 불리는 6대 로스쿨 중 하나이다. 버락 오바마 대통령은 1993년부터 2004년까지 시카고대학교 법학대학원에서 강사로 재직하며 헌법학 강의를 했다.
시카고 대학교
Section: 학부 입학 현황과 각종 평가

2019년 《U.S. 뉴스 & 월드 리포트》 미국 종합대학 학부 순위에서 시카고 대학교의 학부는 예일 대학교, 컬럼비아 대학교, 메사추세츠 공과대학교와 공동 3위로 평가되었다. 전문대학원은 경영대학원이 하버드 경영대학원과 공동 종합MBA 순위 1위, 로스쿨이 4위, 의학대학원이 11위를 기록했다. 또한 경영대학원은 《파이낸셜 타임스》의 2014년 세계 경영대학원 순위에서 세계 9위, 《이코노미스트》의 2013년 세계 경영대학원 순위에서 세계 1위를 기록했다.

세계 대학 순위에서는 시카고 대학을 2014년 《U.S. 뉴스 & 월드 리포트》세계 대학 순위가 9위로, 2014년 중국 세계 대학 학술 순위가 9위로, 2014년 영국 타임즈 고등교육 세계 대학 랭킹이 9위로, 타임즈 고등교육 세계 대학 학계 평판도 순위가 14위로, 2013년 영국 QS 세계 대학 순위가 9위로, 2013년 사우디아라비아 세계대학랭킹센터(Center for World University Rankings)가 발표한 세계 대학 순위가 9위로 평가했다.
장피에르 세르
Section: 업적

수학연보(Annals of Mathematics)에 프랑스어로 실린 역사적인 논문 《대수적 연접층》(프랑스어: Faisceaux algébriques cohérents)에서 대수다양체의 개념을 최초로 엄격하게 정의하였으며, 알렉산더 그로텐디크와 더불어서 현대 대수기하학 발전의 기초를 닦은 사람으로 간주된다. 세르의 대수다양체 정의는 그로텐디크의 스킴 이론으로 일반화되며, 이것은 현대 대수기하학과 정수론을 연결하는 중요한 고리가 된다.

또 다른 대표적인 위대한 업적들로는

세르 쌍대성

가가 정리

Serre vanishing theorem

등 많은 결과들이 있다.

그로텐디크와 세르가 위의 업적들을 발달시킬 단계에서 주고 받은 서신들의 모음집(Grothendieck-Serre correspondences)이 2004년 프랑스 수학회와 미국 수학회에 의해 공동 출판되었다.
코넬 대학교
Section: 대중문화 속 코넬 대학교

《아메리칸 파이》 (미국 영화, 1999, 2001, 2003, 2012)

《30 ROCK》 (미국 시트콤, 2006-2013)

《모던 패밀리》 (미국 시트콤, 2009-)

《어글리 베티》 (미국 드라마, 2006-2010)

《오피스》 (미국 시트콤, 2005-2013)

《앨리 맥빌》 (미국 드라마, 1997-2002)

《섹스 앤 더 시티》 (미국 드라마, 1998-2004)

《넘버스》 (미국 드라마, 2005-2010)
코넬 대학교
Section: 캠퍼스

동쪽 캠퍼스(East Campus)에는 각종 식물원과 수목원, 식품영양학과 건물인 Stocking Hall, 교내에서 직접 생산한 유제품과 아이스크림 등을 판매하는 Cornell Dairy Bar, 수의학대학원(College of Veterinary Medicine) 등이 있다. 코넬 소유의 2,800 에이커 부지 내에 위치한 식물원에는 멋진 조경으로 꾸며진 다양한 종류의 꽃, 나무, 그리고 연못을 볼 수 있다.

북쪽 캠퍼스(North Campus)에는 신입생과 대학원생들을 위한 기숙사, 프로그램 하우스, 그리고 29개의 남녀 동아리 기숙사가 있다. 서쪽 캠퍼스(West Campus)에는 상급생들과 25개의 남녀 동아리 기숙사가 있다. 컬리지 타운(Collegetown)에는 슈워츠 퍼포밍 아츠(Schwartz Performing Arts)센터가 있고, 상급생들이 사는 2개의 기숙사 건물과 교외 캠퍼스 아파트, 상가, 레스토랑, 바 등이 위치해 있다.
코넬 대학교
Section: 학부 입학 현황과 각종 랭킹

가장 극악의 합격률을 가진 분야대학은 경영대학내의 Dyson School of Applied Economics & Management이다. 이 소수정예 프로그램은 약 4천 명의 지원자 가운데 100명 정도의 인원만 선출하기 때문에 2020년 기준 2.9%라는 극악의, 코넬 내 최고의 입학 경쟁률을 보유하고 있다. 이 학과는 전미 기준 3위 수준의 학부 Business School이다.

2022년 졸업예정으로 2018년 가을에 입학하는 학부 신입생의 경우 51,324명의 지원자 중 코넬 대학교 역사상 가장 낮은 10.3%인 5,448명이 합격하였다.

각 대학별 합격률은 2011년의 경우 농생명과학대학 19%, 건축예술대학 16%, 문리과 대학 15%, 공과대학 20%, 호텔경영대학 27%, 인간생태연구대학 32%, 노사관계대학 24%였다.
부분군
Section: 정의

만약 가 의 부분군이라면, 흔히

라고 쓴다. 만약 가 의 부분군이며, 라면, 흔히

라고 쓴다.

부분군 은 의 연산을 물려받아 스스로 군을 이룬다. 의 이항 연산을 라고 하였을 때, 이를  위로 제한한 이항 연산

임의의 에 대하여, . 즉, 의 원소의 역원은 에 속한다.

항등원을 유일한 원소로 하는 부분 집합 는 의 부분군을 이룬다. 이를 의 자명 부분군(自明~, 영어: trivial ~)이라고 한다. 군 전체 는 의 부분군이다. 가 아닌 의 부분군을 의 진부분군(眞~, 영어: proper ~)이라고 한다.
부분군
Section: 예

는 차 순환 부분군이다. 마찬가지로,  및 에 대하여,

는 부분군이며, 차 정이면체군과 동형이다. 또한, 이 목록은 겹치지 않는다.

이 홀수인 경우, 의 부분군들의 켤레류의 목록은 다음과 같다.

에 대하여,

에 대하여,

이 짝수인 경우, 다음과 같다.

에 대하여,

홀수 에 대하여,

짝수 에 대하여,

짝수 에 대하여,

특히, 의 정규 부분군의 목록은 다음과 같다. 이 홀수인 경우,
부분군
Section: 성질

주어진 군의 임의의 수의 부분군들의 교집합은 부분군이다. 특히, 군  및 부분 집합 에 대하여, 를 포함하는 의 모든 부분군들의 교집합은 의 부분군을 이룬다. 이는 를 포함하는 의 최소의 부분군이다. 구체적으로, 이 부분군은 다음과 같다.

는 의 부분 집합이다. 가 유한 집합이므로,  역시 유한 집합이다. 즉, 인 양의 정수 가 존재한다. 편의상 라고 하자. 양변에 를 곱하면 을 얻는다. 즉, 이다. 이므로, 이며, 은 양의 정수이다. 즉, 은 의 양의 정수 번 거듭제곱이다. 가정에 따라, 이다.
단순군
Section: 유한단순군의 분류

유한단순군의 분류는 수학에서 아주 중요한 문제였고, 1981년에 다니엘 고렌스틴에 의해 해결되었다고 선언되었으나, 증명 과정에서 일부 문제가 발견되어, 이후 2004년에 마이클 아시바커와 스티븐 스미스가 쓴 Quasithin case에 대한 논문이 출간됨으로 해서 완결되었다.

유한단순군은 18가지 종류로 분류되며, 이들 분류에 속하지 않는 산재군이 26개 존재한다. 분류는 대략적으로 다음과 같다.

소수 차수를 가지는 순환군()

인 교대군()

16가지의 리 형태(Lie type) 군
스티브 잡스
Section: 일화

철저한 채식주의자로 견과류와 물만 섭취했다고 알려져 있으며, 펩시에 계약차 들렀을 때 펩시 음료에 전혀 손을 대지 않았다고 한다.

애플 설립 초기 당시에 펩시 사장인 존 스컬리를 애플에 영입할 때, 대기업의 사장자리를 버리고 신생기업으로 가기를 망설이던 스컬리에게 "인생 끝날 때까지 설탕물을 팔겠나, 나한테 와서 세상을 바꾸겠나?"(Do you want to sell sugar water for the rest of your life, or do you want to come with me and change the world?)라고 하자 존 스컬리는 망설임 없이 애플로 이적했다고 한다.

딸인 리사가 태어났을 때 부친임을 인정하지 않으려 했으나 결국 받아들였고, 애플 리사는 그녀의 이름을 딴 것이다.

연봉이 1달러인 최고경영자로 유명한데 이 1달러마저 연봉을 단 한푼도 받지 않을 경우에 노동법상 고용관계가 유지될 수 없기에 최소한으로 정해 놓은 액수이다. 또한 회사로부터 봉급을 받으면 의료보험 혜택도 받을 수 있다는 것도 한 몫 했다고 전해진다. 그러나 그는 연봉 1달러 외에도 스톡 옵션이나 여러 가지 성과급 형태로 보상받았다. 하지만 애플은 주주배당이 적기 때문에 실제 그의 소득은 디즈니 주식의 배당인 연 500억원 정도다.
스티브 잡스
Section: 죽음

2011년 1월에는 잡스의 건강이 다시 악화되어 병가를 냈다. 이에 따라 애플의 주가는 6.5% 급락했다. 스티브 잡스의 건강에 대한 우려가 나오던 가운데 잡스는 백악관에서 만찬을 가졌고 사진도 공개되어 화제를 모았다. 이후 파파라치가 찍은 스티브 잡스의 사진이 공개되었는데 이전보다 훨씬 수척해진 모습이어서 당뇨 악화로 인한 6주 시한부설이 사실이 아니냐는 목소리가 나오기도 했다. 그러던 중 2011년 3월, 아이패드2를 발표하기 위해서 잡스가 모습을 나타냈다. 잡스는 언론에 보도된 것 보다는 건강한 모습을 보여 경영에 문제가 없음을 과시했으나, 이후 다시 병세가 급속히 악화되어 같은 해 8월 애플 CEO직을 사임하고, 당뇨로 2011년 10월 5일, 향년 56세로 세상을 떠났다.

2000년대 들어서 스티브 잡스의 건강이 악화되었으며 2004년에 당뇨 수술도 받았다. 그러나 그의 건강이 회복되지 않았고 계속 악화된다는 이야기가 나오던 가운데 애플 측은 주가 하락 등을 이유로 건강 이상설을 부인해왔다. 그러나 2009년 6월 간 이식 수술을 받은 것으로 드러났으며, 호르몬 이상으로 체중 또한 지속해서 줄어 2009년부터 호르몬 치료도 받고 있는 것으로 알려졌다. 그의 건강 이상설에 따라서 주가가 무려 6%씩이나 등락하는 등 그의 영향력을 알 수 있는 계기가 되었으나, 애플이 너무 잡스에만 기대고 있는 것을 보여주었다는 비판도 존재한다.
스티브 잡스
Section: 사생활

잡스의 식습관에 큰 영향을 미친 또 다른 책은 영양학 전문가 아르놀트 에렛의 <디톡스 식습관의 치유 체계>라는 책이었다. 잡스는 이 책을 읽고 채소와 과일만 먹으면 몸에 좋지 않은 점액이 형성되는 것을 막을 수 있으며, 정기적으로 장기 단식을 행해야 몸 속의 독소가 사라진다고 믿게 되었다. 또한 채식을 하면 몸에 냄새가 나는 점액이 분비되지 않는다고 생각해 여러 주 몸을 씻지 않기도 해서 아타리에서 일했을 당시 동료들 사이에서 불만이 많았다.

프랜시스 무어 라페의 <작은 지구를 위한 식습관> 역시 잡스의 채식주의 식습관에 지대한 영향을 미쳤다. 라페는 이 책을 통해 채식 습관은 개인적인 혜택 뿐만 아니라 지구적인 혜택 역시 제공한다고 주장했다. 하지만 이 책은 잡스로 하여금 극단적인 식습관을 추구하도록 만들었는데, 예를 들어 일주일 이상을 단식하거나 로만 밀에서 나오던 시리얼 제품만 먹는 식이었다.
대수다양체
Section: 종류

고전적 대수기하학에서는 보통

아핀 다양체(affine多樣體, 영어: affine variety)

준아핀 다양체(準affine多樣體, quasi-affine variety)

사영 다양체(射影多樣體, 영어: projective variety)

준사영 다양체(準射影多樣體, 영어: quasi-projective variety)

를 정의한다.

가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. 이 에 대한 아핀 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
대수다양체
Section: 성질

아핀 다양체 ⊊ 아핀 대수 집합 ⊊ -스킴

사영 다양체 ⊊ 사영 대수 집합 ⊊ -스킴

이는 아핀 공간 이 사영 공간 의 자리스키 열린 집합이기 때문이다.

일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다. 또한, 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재한다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 아핀 다양체 의 부분 대수다양체들은 정역 의 소 아이디얼들과 일대일 대응하며, 의 부분 대수 집합들은 의 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.

마찬가지로, 사영 다양체 의 부분 대수다양체들은 등급환 의 동차 소 아이디얼과 일대일 대응하며, 부분 대수 집합들은 의 동차 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.
대수다양체
Section: 정의

축소 스킴이다. 이는 와 같은 멱영원의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 싹으로 해석할 수 있다.

분리 스킴이다. 예를 들어, 두 개의 아핀 직선 을, 0을 제외한 열린 집합 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.:75–76, Example 2.3.6 이는 위상 공간의 하우스도르프 조건에 대응한다.

이 정의는 스킴 이론을 사용하여 서술할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 에 대하여, -대수다양체는 다음 조건들을 모두 만족시키는 -스킴 이다.:105

기약 스킴이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 연결성보다 더 강한 조건이다.
로랑 라포르그
Section: 생애

프랑스 안토니에서 태어났다. 1986년에 파리의 에콜 노르말 쉬페리외르에 입학하였고, 1994년에는 남파리 대학(Université de Paris XI-Sud Orsay)에서 산술기하학과 대수기하학 분야에서 박사학위를 마쳤다. 현재 그는 프랑스 국립과학연구센터에서 일을 하고 있고 동시에 IHÉS의 교수이기도 하다.

2002년 중화인민공화국 베이징시에서 열린 24회 세계 수학자 대회에서 필즈상을 수상하였다. 라포르그는 정수론과 대수기하학에 속하는 분야인 랭글랜즈 추측에서 위대한 업적을 남겼는데 이것이 수상의 이유이다. 그의 업적 중 한가지 정리를 증명하기 위해서 그는 6년간 그 문제에 집중하여 연구를 하였다고 알려져 있다.
히로나카 헤이스케
Section: 생애

재수를 해서 교토 대학 수학과에 입학하였다. 4년 뒤 졸업하고, 교토 대학 대학원 수학과에 입학하였다. 우수한 논문들을 제출하는 다른 학생들을 보고 자신의 능력에 대해서 비관하였는데, 어느 날 한 여학생이 히로나카가 흘린 손수건을 줍고 "선생님! 이거 선생님 것 맞죠?"라고 외치면서 달려와 그의 수첩을 주고 사라졌다. "선생님"이라는 말에 영감을 얻고 첫 번째 논문을 쓰게 되었지만 혹평을 받았다. 그러나 두 번째 논문은 좋은 평가를 받고, 석사 학위를 취득하였다.

히로나카가 교토 대학 대학원 수학과에서 석사 학위를 취득했을 당시, 오스카 자리스키라는 하버드 대학교 수학과에서 대수기하학을 가르치는 수학 교수의 도움으로, 하버드 대학교 대학원 수학과에 입학해서 평소에 관심있었던 분야인 대수기하학을 공부하게 됐다고 한다. 그 후, 하버드 대학교 대학원 수학과에서 오스카 자리스키 교수의 지도 아래 박사 학위를 취득했다. 같이 공부했던 유명한 대수기하학자들로는 데이비드 멈퍼드와 마이클 아틴, 스티븐 클라이먼(Steven Kleiman) 등이 있다(데이비드 멈퍼드와 마이클 아틴이 하버드 대학교 재학 시절에 도움을 많이 줬다고 한다).
도쿄 대학
Section: 현황

도카이무라(東海村) 캠퍼스 : 이바라키현 나카군

니시치바(西千葉) 캠퍼스 : 지바현 지바시

다나시(田無) 캠퍼스 : 도쿄도 니시토쿄시

게미가와(検見川) 캠퍼스 : 지바현 하나미가와구

혼고(本郷) 캠퍼스 : 도쿄도 분쿄구

고마바(駒場) 캠퍼스 : 도쿄도 메구로구

가시와(柏) 캠퍼스 : 지바현 가시와시

시로가네(白金) 캠퍼스 : 도쿄도 미나토구

나카노(中野) 캠퍼스 : 도쿄도 나카노구
도쿄 대학
Section: 조직

정보학환부속
사회정보연구자료센터

동양문화연구소

물성연구소

사료편찬소

사회과학연구소

생산기술연구소

선단과학기술연구센터

분자 세포 생물학 연구소

우주 물리 수학 연구소 (IPMU)

교육학연구과부속
학교교육고도화센터

총합문화연구과부속
아태지역연구센터

의학계연구과부속
질환생명공학센터

약학계연구과부속
약용식물원

신영역창성과학연구과부속
생애스포츠건강과학연구센터
도쿄 대학
Section: 연혁

1942년 3월 - 지바현 지바시에 제2공학부를 설치. 혼고의 공학부는 제1공학부로 개칭.

1947년 9월 - 도쿄 대학으로 개칭.

1949년 5월 - 제1고등학교(第一高等學校), 도쿄 고등학교(東京高等學校) 통합

1953년 3월 - 신제(新制) 대학원을 설치(인문학과·사회학과·수물계·화학계·생물계의 5개 연구과).

1958년 4월 - 약학부를 설치(마지막 학부 신설).

2003년 3월 - ‘도쿄 대학 헌장’을 제정
교토 대학
Section: 개관

제2차 세계 대전 종결 후, 다키카와 사건으로 대학을 떠나 있었던 다키카와 유키토키교수가 대학에 복귀했다. 창립 50주년에 즈음한 1947년에는 대학명에서 「제국」이 사라지고 교토대학으로 개칭되었다.

전시체제의 강화에 수반해 일본 정신사(문학부), 동아 경제정책 원론(경제학부), 항공학·연료 화학(공학부)등의 국책에 따른 강좌가 설치되었고, 1943년에는 문과 학생의 징병 유예가 정지되어 학생이 잇달아 전장으로 가게 되었다.
교토 대학
Section: 평가

2007년 뉴스위크 세계100대 글로벌대학평가에서 세계 29위를 기록하였다.

2010년 QS World University Rankings™ 세계대학평가에서 세계 25위(일본 국내 2위)를 기록하였다.

대학 설립 초기부터 자유로운 연구 학풍을 중시해 일본 최초의 노벨상 수상자를 비롯해 2025년 기준 13명의 노벨상 수상자를 배출했다.

2020년 ARWU 세계대학평가에서 세계 34위(일본 2위)를 기록하였다.
교토 대학
Section: 학교 동문

도네가와 스스무(노벨 생리학·의학상, 1987년)

노요리 료지 (노벨 화학상, 2001년)

고바야시 마코토 (노벨 물리학상, 2008년)

마스카와 도시히데 (노벨 물리학상, 2008년)

노벨상을 받은 교토 대학 동문 및 교직원

유카와 히데키 (노벨 물리학상, 1949년)

도모나가 신이치로 (노벨 물리학상, 1965년)

후쿠이 겐이치 (노벨 화학상, 1981년)
모리 시게후미
Section: 업적

3차원 대수 다양체에서 처음으로 수학자들이 부닥친 문제는, 3차원 비특이 대수다양체들의 쌍유리 동치류 안에서 최소 모형을 찾으려고 할 경우, 최소 모형이 존재하지 않는 경우가 있다는 것이었다. 이 때문에 1, 2차원에서 해결된 문제가 3차원에서는 큰 난관에 부닥치게 되었다. 이때 모리가 생각해 낸 것은 바로, '비특이 3차원 대수 다양체들'안에서만 이것을 찾으려고 하지 말고, '적당히 좋은' 특이점을 가지는 것이 허락된 그러한 확장된 3차원 대수 다양체들의 모임 안에서 최소 모형을 찾으려고 시도할 경우에는, 최소 모형이 실제로 존재한다는 것이었다. 이 방법은 아주 효과적으로 통했고, 3차원 대수 다양체의 분류에 혁혁한 결과들을 남겼다.

2차원 대수 다양체, 즉, 대수 곡면의 경우, 주어진 함수체에 대해서 유일하지는 않으나, 비특이 최소 모형이 존재한다는 것이 대수 곡면 이론에서 가장 중요하고도 기본적인 결과이다. 대수 곡면의 최소 모형을 찾아가는 과정에 따라서 대수 곡면을 크게, 유리 곡면, 선직면(ruled surface), 그리고 일반형 곡면(surfaces of general type), 이렇게 3가지로 분류한다. 유리 곡면과 선직면의 경우에는 최소 모형이 유일하지는 않으나 완벽하게 모든 최소 모형들을 알 수 있다. 일반 대수 곡면의 경우에는 최소 모형을 모두 다 알지는 못하지만, 대신, 각각의 쌍유리 동치류에 대해서 유일한 최소 모형이 존재한다는 것을 알 수 있다. 이렇게 모든 최소 모형들을 다 알게 되면, 나머지의 모든 대수 곡면들은 최소 모형들에서 유한번 점에 대한 부풀리기 과정을 거쳐서 얻어낼 수 있게 되어, 사실은, 모든 비특이 대수 곡면은 모두 분류해 낼 수 있다.
모리
Section: 인물

모리 나오키

모리 하나코

모리 가즈히로: 일본의 축구 선수

모리 히로유키: 일본의 사람 이름

모리 히데아키: 일본의 축구 선수

모리 긴즈버그: 미국의 배우

모리 다이지로: 일본의 축구 선수

모리 겐이치: 일본의 축구 선수

모리 나오키 (1972년): 일본의 축구 선수

모리 아쓰히코: 일본의 축구 선수

모리 나오키 (1977년): 일본의 축구 선수

모리 게이스케: 일본의 축구 선수
피레네산맥
Section: 기후

연간 적설선은 피레네 산맥의 각 지역마다 해발 약 2,700~2,800m(8,900~9,200피트)까지 다양하다. 평균적으로 계절성 눈은 12월과 4월 사이에 1,600미터(5,200피트) 이상에서 적어도 50% 이상 관찰된다.

비와 눈을 포함하여 이 산맥에 내리는 강수량은 대서양에서 비스케이 만 위로 불어오는 습한 공기로 인해 피레네 산맥 동부보다 서부에서 훨씬 더 많다. 서부와 중부 피레네 산맥에 습기가 떨어지면, 동부 피레네 산맥에는 공기가 건조한 채로 남는다. 겨울 평균 기온은 −2°C(28°F)이다.
스킴 (수학)
Section: 예

이다. 이 경우, 의 점들의 집합은 의 점들의 집합의 제곱과 일반적으로 다르다. 이는 아핀 평면 속에는 곱으로 나타낼 수 없는 대수 곡선들이 존재하기 때문이다. 다만, 닫힌 점들로 국한할 경우, 의 닫힌 점들은 와 표준적으로 대응하므로, 의 닫힌 점들은 의 닫힌 점들의 집합의 제곱과 같다.

다른 예로, 와 가 서로 다른 표수의 체 위에 정의된 스킴이라면, 는 아무 점을 갖지 않는다.:footnote 38

체 위의 스킴의 경우, 체에 대한 올곱 역시 위상 공간으로서의 곱공간과 다르다. 예를 들어, 체 에 대한 아핀 스킴 을 생각하자.:91, Exercise II.3.9 그렇다면
스킴 (수학)
Section: 정의

보다 일반적으로, 임의의 스킴 에 대하여, 의 -점(영어: -point)은 스킴 사상 를 뜻한다. 고전적으로는 가 어떤 체 의 스펙트럼인 경우를 다루며, 이 경우 는 를 체  위에서 정의하였을 때의 점에 대응한다.

의 기하학적 점(幾何學的點, 영어: geometric point)은 어떤 대수적으로 닫힌 체 에 대한 -점이다.

스킴 로 매개화되는 스킴의 족(族, 영어: family of schemes)은 스킴의 사상 이다.:70 스킴의 족 의, 점 에서의 올(영어: fiber)은 에서의 줄기인 국소환 의 잉여류체 에 대한 올곱
스킴 (수학)
Section: 성질

스킴의 범주  위에는 다양한 그로텐디크 준위상들이 존재한다. 이들은 공통적으로 다음과 같은 형태로 정의된다.

어떤 스킴 사상들의 모임 이 주어졌을 때, 의 덮개는 다음 조건을 만족시키는 사상들의 집합 이다.

집합으로서, 이다.

모든 국소환 달린 공간의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

포함 함자

에 따라, 스킴의 범주는 국소환 달린 공간의 범주의 충만한 부분 범주를 이룬다.

이 포함 함자는 쌍대극한을 보존하지 않으며, 일반적 극한도 보존하지 않는다. 그러나 이는 유한 극한을 보존한다.:Theorem 8
화순군
Section: 역사

1914년 4월 1일: 통합된 화순군의 면을 아래와 같이 정하였다.

17면 - 능주면, 춘양면, 청풍면, 도곡면, 도암면, 화순면, 한천면, 서면, 동면, 송석면, 도림면, 동복면, 이서면, 내북면, 외북면, 내남면, 외남면

1932년 11월 1일: 서면을 화순면에 편입하고, 도림면·송석면을 이양면으로, 내북면·외북면을 북면으로, 내남면·외남면을 남면으로 합면하였다. (13면)

1963년 1월 1일: 화순면을 화순읍으로 승격하였다. (1읍 12면)
화순군
Section: 산업

1993년 이후 민영탄광은 문을 닫고, 대한석탄공사 화순광업소에서만 채광작업을 하고 있다. 그러나 2023년 4월 27일 대한석탄공사측에서 조기 폐광을 위한 예비 신청서를 내고 사실상 추가 생산을 종료한다. 6월 30일, 개광 118년만에 공식적으로 생산종료되었다.

산지가 75%나 되어 석탄을 비롯한 석회석·고령토·규석·납석 등 지하자원이 많이 매장되어 있다. 소량의 금 외에 특히 고생대 평안 누층군이 분포하는 화순탄전이 있어 무연탄의 매장량과 생산량이 많다. 총매장량은 약 3,600만t이며, 이 중 가채매장량은 약 1,700만t 정도로 추정된다. 1989년에 최대생산량이 연 70만t가량 기록했으며, 주로 서울·부산·광주 등에 공급되었다.
아이북
Section: iBook G3 ("클램셸"; 1999-2000)

미학, 기능, 무게, 성능 및 가격 등 많은 부분에서 열띤 논쟁이 있었다. 충분한 충격 보호를 제공하기 위해 iBook은 당시 파워북보다 크고 무거웠지만 사양은 더 낮았다. PC 카드 슬롯과 같은 표준 기능은 없었으며, 터치 스크린 및 초장시간 배터리 수명과 같은 추측된 기능도 없었다. iBook은 독특한 디자인으로 인해 "바비의 변기 시트"라는 별명을 얻었다. 그럼에도 불구하고, 이 디자인 덕분에 iBook G3는 영화와 텔레비전 프로그램에서 틀림없이 인식될 수 있었다.

iBook은 통합 무선 네트워킹을 내장하고 판매된 최초의 주류 컴퓨터였다. iBook 소개 시 필 실러 애플 마케팅 부사장은 iBook을 들고 높은 곳에서 뛰어내리면서 컴퓨터에서 다른 컴퓨터로 데이터가 전송되는 것을 시연하여 무선 네트워킹 기능을 보여주었다. 디스플레이 베젤에는 무선 안테나가 포함되어 있었는데, 이는 선택 사항인 내부 무선 카드에 연결되었다. 루슨트 테크놀로지는 이러한 무선 기능을 구축하는 데 도움을 주어 산업 표준을 확립했다. 애플은 동시에 에어포트 무선 베이스 스테이션을 출시했다.
아이북
Section: iBook G3 듀얼 USB ("Snow"; 2001-2003)

이 개정을 통해 애플은 아이맥 및 EMac과 같은 대부분의 소비자 라인에서 반투명 및 흰색 폴리카보네이트 케이싱으로 전환하기 시작했다. 이와 대조적으로 대부분의 전문가용 제품은 아노다이징된 알루미늄 마감을 사용했다. 생산 막바지에는 스노우 iBook G3 케이스가 반투명 흰색과 마그네슘 대신 불투명 흰색으로 바뀌었다.

그 결과 iBook은 흰색으로만 제공되었으며, 그래서 "스노우"라는 이름이 붙었고 케이싱에 투명한 폴리카보네이트가 통합되었다. 이전 모델보다 30% 가벼웠고, 세 가지 차원 모두에서 더 작아 부피가 절반 미만을 차지했다. 그럼에도 불구하고 추가 USB 포트와 더 높은 해상도 화면이 추가되었다. 애플은 컴팩트한 디자인이 내구성을 희생하지 않았다고 주장하며 이전 모델보다 "두 배 더 내구성이 뛰어나다"고 말했다. 이는 최초의 아이팟 상업 광고에서 볼 수 있는 모델이다.
아이북
Section: 품질 문제

2007년 5월 2일, 덴마크 소비자 위원회는 애플 iBook G4 로직 보드 문제에 관한 광범위한 제3자 보고서를 발표했다. 보도 자료는 이것이 보증 청구에 미칠 수 있는 전 세계적인 결과에 대해 언급했다.

iBook G4의 초기 모델들도 iBook G3와 유사한 디스플레이 문제로 고통받았지만, 수리 연장 프로그램의 적용을 받지 못했다. 이러한 문제로 인해 고가의 수리가 필요했던 iBook 소유자들은 2006년 12월에 새로운 집단 소송을 제기했다.
필즈

조시 필즈 (1982년): 미국의 프로 야구 선수

조시 필즈: La 다저스의 구원 투수

그레이시 필즈: 영국의 배우이자 가수

어빙 필즈: 뉴욕의 호텔을 중심으로 안정된 인기를 지닌 피아노 주자

필즈의 다른 뜻은 다음과 같다.

존 필즈는 캐나다의 수학자이다.
필즈상은 존 필즈를 기념하기 위해 만든 수학상이다.

존 찰스 필즈: 캐나다의 수학자

그렉 필즈: 미국의 전직 스타크래프트 II 프로게이머
아이팟 나노
Section: 모델

게다가, 애플은 아이팟 나노 4세대는 "애플이 지금까지 만든 아이팟 중 가장 친환경적인 제품"이라고 주장했다. 비소가 없는 유리와 폴리염화비닐, 수은, '브롬계 내연제'가 없는 디자인으로 만들어졌다. 아이팟 나노 4세대는 4GB(유럽 일부 제한), 8GB, 16GB의 용량을 제공한다(4GB는 후에 고용량 제품에 대항하기 위해 단종되었다). 아이팟 퀴즈 게임(iPod Quiz game)이 사라졌으며, 대신에 가속도 및 중력 센서를 이용하는 미로 퍼즐이 추가되었다.

4세대부터는 파이어와이어를 이용한 전송이 완전히 불가능해지면서, 일부 거치대와의 충전과 동시에 음악을 듣는 일이 불가능해졌다.

아이팟 나노 5세대는 2009년 9월 10일 발표되었다. 5세대는 4세대에 비해 가격이 내려가고 더 커졌다. 출시 당시에, 8GB는 미국 달러로 $149, 16GB는 $179이었다. 56.3mm의 더 커진 화면의 대각선 길이와 너비도 더 넓어졌다. 기능에는 16가지 특수 효과 기능을 사용할 수 있는 '비디오 카메라', 마이크로폰, RDS을 통한 FM 라디오가 포함되었다.
아라비아반도

남서쪽은 아카바만, 홍해, 아덴만, 남동쪽은 인도양의 일부인 아라비아해, 북동쪽은 오만만, 호르무즈 해협, 페르시아만으로 둘러싸여 있다. 반도의 북쪽은 보통 자그로스산맥을 경계로 삼는다. 시나이반도를 통해 아프리카와 연결되어 있다.

아라비아반도는 정치적으로 아래 나라들로 나뉜다:

바레인 - 반도 연안의 섬나라

사우디아라비아

아랍에미리트

예멘

오만

카타르

쿠웨이트

반도의 대부분 땅은 사우디아라비아에 속한다. 대부분 사람들은 사우디아라비아와 예멘에 살고 있다.
가환환
Section: 성질

가환환과 환 준동형의 범주 는 정의에 따라 아핀 스킴의 범주 의 반대 범주와 동치이다.

구체적으로, 이 동치는 환의 스펙트럼 에 의하여 주어진다.
즉, 스킴 이론을 통해 가환환 사이의 연산을 대수기하학적으로 해석할 수 있다.

가환환의 범주는 다음과 같은 성질을 갖는다.

가환환의 범주 은 환의 범주 의 충만한 부분 범주를 이루며, 모든 극한을 보존시킨다. 즉, 환의 범주에서의 극한은 가환의 범주에서의 극한과 같다. 그러나 쌍대극한은 일반적으로 다르다.
가환환
Section: 예

임의의 위상 공간  위의 실수값 연속 함수들의 집합 는 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다.

비가환환의 예로는, 실수 행렬환 이 있다. 이는  정사각 행렬로 구성된 환인데, 라면 이는 가환환이 아니다.

가환환의 예로는 다음을 들 수 있다.

정수의 집합 에 덧셈과 곱셈을 가하면, 가환환을 이룬다.

자명환은 가환환이다.

모든 불 대수는 가환환으로 여길 수 있다.

모든 체는 가환환이다. 대표적인 예로, 유리수체, 실수체, 복소수체 등이 있다.
대구과학고등학교
Section: 학교 연혁

2018년 2월 20일 : 제31회 신입생 입학식(6학급 96명)

2019년 1월 31일 : 제29회 졸업식(제29기 졸업생 96명)

2019년 3월 1일 : 제12대 석창원 교장 취임(영재학교 제3대 교장)

2017년 2월 2일 : 제27회 졸업식(제27기 졸업생 97명)

2017년 2월 20일 : 제30기(영재학교 7기) 신입생 입학식(6학급 96명)

2018년 2월 1일 : 제28회 졸업식(본교대강당, 졸업생 95명)
모티브 (수학)
Section: 모티브란 무엇인가?

유한체위에서, 대수다양체의 닫힌 점들의 개수가 이를 만족한다.

컨덕터(conductor)에 대해서 성립한다.

각각의 모티브는 차수(degree)로 위계가 매겨져있다(graded). 구체적으로 말하자면, 대수다양체 X에 대해서 대응되는 모티브 [X]는 차수 0부터 차수 2 dim X까지로 위계가 매겨져있다. 대수다양체는 이러한 성질을 가지고 있지만, 모티브는 항상 모티브 전체에서 특정 차수의 모티브의 부분으로 가는 사영(projection)이 존재한다. 예를 들자면,

E가 타원곡선일 때에, h:= [E] - [선] - [점]은 차수가 순수히 1인 모티브이다.

기본적인 철학은 다음과 같다. 즉, 모티브는 충분히 좋고 잘 정의되는 코호몰로지 이론들 안에서는 항상 같은 구조를 가져야 한다는 것이다. 예를 들어, 임의의 베유 코호몰로지(Weil cohomology)이론은 이런 '충분히 좋은' 코호몰로지이다.
모티브 (수학)

따라서, 엄격하게 말하자면, 아직은 '모티브 이론'은 완전하게 완성되지는 못했으나, 그런 가설속의 대상들인 모티브들 사이의 관계에 대해서는 제법 많은 것들을 알게 되었고, 이러한 사실들은 대수다양체들에 대한 일반적인 바탕 인프라스트럭처를 만드는 것으로 믿어지고 있다.

모티브(영어: motive, 프랑스어: motif 모티프[*])는 대수기하학의 연구대상 중 한가지로, 직관적으로 말하자면, '대수다양체의 궁극적인 성질들을 가지고 있는 대상'을 뜻한다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 말하자면, '모티브 이론'이란 '대수다양체에 관한 범용 코호몰로지 이론(universal cohomology theory)'이다.
모티브 코호몰로지

이러한 이유로 인해, 모티브 이론은 단지 직관적이고 모호한 상태로 남아있다. 이 때문에, 예를 들어 장피에르 세르의 경우, 모티브를 가지고 일하기보다는, 복수계의 호환되는 -진 표현(영어: system of compatible l-adic representations) 같은 구체적인 수학적 대상을 가지고 연구하는 것을 선호하였다. 이것은 모티브에 관한 가설들이 맞다면 아마도 모티브만큼 좋은 성질들을 만족할 것이라고 사람들은 생각하고 있다. 어쨌건, 세르는 모티브 대신 이러한 표현들을 이용해서, ℓ진 코호몰로지 안에서의 모티브의 구현에서 등장하는 데이터를 가지고 일하였다.

1960년대에 그로텐디크가 이 이론의 존재성을 예측할 당시에는, 이 이론은 아마도 대수기하학의 대수 순환에 관한 표준 가설들(the standard conjectures on algebraic cycles)이 증명되면 이론이 확립될 것이라고 생각하였다. 이러한 가설이 맞다는 가정하에서 적절한 범주론을 사용하여 그로텐디크와 엔리코 봄비에리는 베유 가설(Weil conjecture)에 대한 색다른 증명을 얻어낼 수도 있었다. (베유 가설은, 피에르 들리뉴에 의해서 다른 방식으로 증명되었다.) 하지만, 불행하게도 현재까지도 이 '대수 사이클에 관한 표준 가설들'은 증명되지 않고 있다.
드람 코호몰로지
Section: 정의

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 는 의 곡률에 비례하며, 만약 가 평탄 선형 다발 접속이라면 이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체

가 존재한다. 이를 드람 공사슬 복합체(de Rham共사슬複合體, 영어: de Rham cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지

를  계수의 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology with coefficients in )라고 한다.

특히, 가 자명한 선형 다발 접속을 갖춘 자명한 선형 다발인 경우,   값의 미분 형식은 단순한 미분 형식이다. 만약 계수 가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다.
드람 코호몰로지
Section: 성질

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다.

복소다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.

매끄러운 다양체  안의 k-특이 사슬 위에 k-형식 를 적분할 수 있다. 즉 가 정의 가능하다.
이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 에서 실수 계수 특이 코호몰로지 으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다.
드람 코호몰로지
Section: 예

차원 초구의 코호몰로지 군은

이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 가 임의의 선분일 때에,

도 성립한다.

차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 를 말한다. 이때에,

뫼비우스의 띠 는 원과 호모토피 동치이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다.

간단한 예로, 매끄러운 다양체 이 개의 연결 성분을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.