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양자역학
Section: 역사

1912년 앙리 푸앵카레가 "양자론의 측면에서(Sur la théorie des quanta)"라는 논문에서 양자화의 엄밀한 정의를 논의 하였다.

1913년에는 보어가 고전 역학으로는 설명할 수 없었던 수소의 불연속적인 스펙트럼을 양자화를 이용해 설명하는 이론을 세상에 내놓았다.

1924년에 드브로이는 드브로이파(물질파)의 개념을 주장했다.

1926년경엔 양자역학의 수학적 기초가 슈뢰딩거와 하이젠베르크에 의해 파동역학과 행렬역학이라는 두 가지 형식이 제안되었고, 슈뢰딩거는 이 두 형식이 동일한 물리학의 다른 표현임을 보였다.
양자역학

양자역학이라는 용어는 독일의 물리학자 막스 보른(Max Born, 1882~1970)이 처음 제시했다. 독일어 'Quantenmechanik(퀀텐메카닉)'이 영어 'Quantum mechanics'로 번역되었고 일본에서 이를‘量子力學(료오시리키가쿠)’라 번역했는데 이것이 한국에 그대로 들어와 ‘양자역학'이라 부르게 되었다.

양자역학은 모든 역학, 전자기학(일반 상대성 이론은 제외)을 포함하는 고전 이론을 일반화한다. 양자역학은 고전역학으로 설명되지 않는 현상에 대한 정확한 설명을 제공한다. 양자역학의 효과는 거시적으로는 관측이 어렵지만 고체의 성질을 연구하는 과정에서 양자역학 개념이 필수적이다. 예를 들어 드하스-판알펜 효과는 양자역학을 통해서만 설명이 가능하다. 물론, 원자 또는 그보다 작은 영역에서는 분명해진다.
양자역학
Section: 양자역학의 영향

한편으로는 19세기 말부터 20세기 초반까지의 실험가능한 물리학의 혁명적 발전이 실험이 불가능한 한계에 다다랐다는 점을 내포하기도 했다. 물리학은 실제로 20세기 후반부터 지금의 21세기 초반까지 끈 이론, 통일장 이론 등 여러 이론을 내놓았으나 실험이 불가능한 가설에 그치는 경우가 많았다.

플랑크와 보어의 초기 양자역학은 전자의 궤도가 점프하는 현상을 강조한 반면 후기의 슈뢰딩거, 하이젠베르크의 이론은 전자의 위치가 확률적 분포로밖에 알 수 없다는 점을 강조했다고 볼 수 있다. 초기의 양자역학은 원자폭탄, 반도체 등에 이론적 배경을 제공했고 후기의 양자역학은 물질에 대한 인간의 인식에 큰 변화를 주었다는 것에 큰 의의가 있다. 특히 후기 양자역학은 인간의 인식의 한계성을 인정함으로써 현대철학에도 큰 영향을 주었다.
양자역학의 수학 공식화
Section: 전개

관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반(self-adjoint) 선형 연산자 로 나타낸다. 여기서  (의 정의역)는 힐베르트 공간 의 조밀 선형 부분공간이다.

계 와 관측가능량 가 주어지면, 그 기댓값은 이다. 대신 밀도 연산자 로는 이다.

계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.

여기서 는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.
베르너 하이젠베르크
Section: 교육 경력

쌍극자 진동자(dipole oascillator)는 외부 전하와 같은 외력에 의해 섭동을 일으키는 스프링 상의 하전 입자로 생각되는 단순 조화 진동자(simple harmonic oscilator)로 구성된다. 진동하는 전하의 운동은 그 진동자의 주파수에서 푸리에 급수로 표현될 수 있다. 하이젠베르크는 두 가지 다른 방법으로 양자 거동을 해결했다. 첫째, 그는 가상 진동자 방법으로 시스템을 처리하여 외부 소스에 의해 생성될 레벨 간의 전환을 계산했다.

그리고 그는 비조화(anharmonic) 포텐셜 항을 조화 진동자에 대한 섭동으로 취급하여 그와 보른이 개발한 섭동 방법을 사용하여 동일한 문제를 해결했다. 두 방법 모두 1차 및 매우 복잡한 2차 수정 항에 대해 동일한 결과를 가져왔다. 이것은 매우 복잡한 계산 뒤에 한 일관된 설계(consistent scheme)가 있음을 시사했다.
베르너 하이젠베르크
Section: 자서전과 사망

1980년 그의 아내인 엘리자베트 하이젠베르크는 《정치인의 정치 생활(De, Das politische Leben eines Unpolitischen)》을 출판했다. 그 책에서 그녀는 하이젠베르크를 "무엇보다도 자발적인 사람, 그 다음은 뛰어난 과학자, 그 다음은 매우 재능 있는 예술가, 그리고 네 번째로 의무감으로부터의 호모 폴리티쿠스(homo politicus)"로 묘사했다.

하이젠베르크는 1976년 2월 1일 자택에서 신장암으로 사망했다. 다음날 저녁, 그의 동료와 친구들은 물리학 연구소에서 그의 집까지 추모하기 위해 뛰어가서 촛불을 켜고 그의 앞에 두었다. 하이젠베르크는 뮌헨 발트프리드호프(Waldfriedhof)에 묻혔다.
베르너 하이젠베르크
Section: 기타 연구 출판물

— (1936 ~ 1948). 독일어 논문 10편

— (1955). "매우 높은 에너지 충돌에서 중간자 생성(The production of mesons in very high energy collisions)". Nuovo Cimento. 12 (Suppl): 96–103.

— (1949). 독일어 논문 2편

— (1950). "층류 흐름의 안정성에 대하여(On the stability of laminar flow)". Proc. International Congress Mathematicians. II: 292–296.
중국의 역사
Section: 중화 제국

한편 서진 황실의 계승을 천명한 동진(東晉)은 서진의 영토를 되찾으려 여러 차례 노력했으나 모두 실패한다. 세력권은 주로 장강 이남으로 한정되었다. 동진을 계승한 국가들이 이어진 왕조를 남조라고 하며, 송(宋)=유송(劉宋), 제(齊)=남제(南齊), 양(梁), 진(陳)이 있다. 수나라에게 멸망당한다.

원(元) (1271년 - 1368년)은 만주, 중앙아시아, 서남아시아, 동유럽까지 지배한 몽골 제국의 적장자인 쿠빌라이 칸이 몽골고원, 만주, 화북력들을 아우르는 지역의 한족식으로 세운 국가로, 남송을 멸망시키고 중국 본토를 장악하게 된다.
중국의 역사
Section: 현대사

중화민국(中華民國) (1912년 - 현재)은 신해혁명의 성공으로 수립된/ 아시아 최초의 공화제 국가이다. 이후 각 지방의 실력자들이 군벌로 등장하였다. 특히 위안스카이는 자신이 거느리는 북양 군벌을 이끌고 쑨원으로부터 대총통 자리를 넘겨받았다. 위안스카이가 1916년 사망하자, 이후 그의 부하들이 할거했는데, 대표적으로 안휘파의 돤치루이, 직예파의 펑궈장, 차오쿤, 오패부, 봉천파의 장쭤린, 산시파의 옌시산 등이 중국 각지에서 할거하였다. 한편 중화민국 최초의 공화정 체제인 북양 정부는 1928년까지 존속했다. 그 후 북벌이 재개되고 모든 세력이 장제스가 이끄는 중국국민당 수중으로 들어왔다. 이로써 난징을 수도로 하는 중국국민당 주도의 국민 정부가 집권하게 되었다.

한편 일본 제국이 세운 괴뢰 정부로 왕징웨이 정권, 몽강연합자치정부, 만주국이 있으나 국민 정부에 통합된다.

국공 내전으로 1949년 10월 중국공산당의 주도로 중국 대륙에 사회주의 국가인 중화인민공화국(中華人民共和國) (1949년 - 현재)이 건국되었다. 소비에트 연방과의 유대 관계를 통해 여러 가지 경제 개혁을 시도하였으나 실패하였고, 국경 분쟁을 일으키는 등 소련과의 관계도 소원해진다. 1971년 유엔 총회 결의 제2758호를 통해 중화민국을 제치고 유엔에 입성하였으며 국제 사회로부터 널리 인정받게 된다. 1971년 '핑퐁외교'로 불리던 리처드 닉슨의 베이징 방문을 계기로, 마침내 1979년 중화민국의 강력한 후원국이던 미국과도 수교하게 된다. 덩샤오핑(중국어: 鄧小平) 이후 비약적인 경제 성장을 통해 경제 대국 반열에 진입하였다. 1990년대에 영국으로부터 홍콩을, 포르투갈로부터 마카오를 차례로 편입하였다. 2008년에는 베이징 하계 올림픽이, 2010년에는 상하이 엑스포가 개최되으며, 2022년에는 베이징 동계 올림픽이 개최되었다.
브라-켓 표기법
Section: 벡터 공간

수학 용어에서, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 리스 표현 정리에 따라 연관되어 있다.

브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다.

즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 내적이 아니다. 이러한 내용이 혼란스러울 수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다.
브라-켓 표기법
Section: 양자역학에서의 사용

하지만 이것은 표기법의 남용이다. 미분 연산자는 반드시 위치기저

에 사영되는, 켓에 작용하는, 파동함수를 미분하는 효과를 가진 추상적인 연산자로 이해되어야한다.
그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는 iħp 와 같이 단순한 곱셈 연산자에 해당한다.

양자 역학에서 식 ⟨φ|ψ⟩은 일반적으로 상태ψ가 상태 φ으로 붕괴할 확률 진폭으로 해석된다. 수학적으로는 ψ가 φ으로 사영될 때의 계수를 의미한다. 또한 그것은 상태 ψ의 상태 φ로의 사영을 의미한다.
브라-켓 표기법
Section: 참고 서적

Grassmann, H. (1862). 《Extension Theory》. History of Mathematics Sources. 2000 translation by Lloyd C. Kannenberg. American Mathematical Society, London Mathematical Society.

Cajori, Florian (1929). 《A History Of Mathematical Notations Volume II》. Open Court Publishing. 134쪽. ISBN 978-0-486-67766-8.
대한민국
Section: 문화

한자는 훈민정음 창제 이후에도 양반층 및 관공서에서 계속 썼으며, 1894년 갑오개혁 이후에야 공문서에 한글을 쓰기 시작했다. 일부에서는 글의 이해를 돕는다는 측면에서 한글 대신 한자로 직접 표기하기도 한다. 1962년 3월 1일 박정희 대통령의 한글전용정책을 시행하면서 표기문자 주류로 등장했고, 현재 한자 표기는 중의적 표현을 막기 위해 부수적으로 쓴다.(한글맞춤법 참고)

초등학교 3학년부터 고등학교까지 영어를 제1외국어로 의무 교육으로 가르친다. 중,고등학교에서 선택하여 배우는 제2외국어는 중국어, 프랑스어, 독일어, 일본어, 스페인어, 러시아어, 아랍어이다. 대학수학능력시험때 수험생이 제2외국어를 선택한다. 특히 중국어와 일본어는 대한민국 국민들이 가장 많이 배우는 제2외국어이다.
대한민국
Section: 정치

1945년 냉전시대에 이북지역은 소련군이 38선 이남 지역은 미군이 들어와 대한민국과의 관계를 시작한 미국은 1950년 한국 전쟁 당시 유엔군을 조직하여 한국에서 전쟁을 수행했다. 휴전 이후에도 한미상호방위조약 체결과 그에 따른 주한 미군이 계속 주둔하고 있다.

1979년 제5공화국 때는 미국에 대한 반감이 형성되었고, 이는 1982년 3월의 부산 미국문화원 방화사건을 시작으로 1985년 서울 미국문화원 점거 농성 사건 등을 통해 학생·재야에서는 반미운동이 가속되었고 정부간에는 통상마찰이 심화되어 급기야 국민적 갈등으로까지 확대되었다.
대한민국
Section: 사회

기독교의 경우 천주교는 조선 후기에 이승훈 등이 서학이라는 이름으로 전파했으며, 그 교세가 확장되자 병인박해, 신유박해 등 대규모 박해 사건이 일어났다.  이는 프랑스 병인양요가 일어난 계기가 되어 조선 정부의 탄압이 거세졌다. 당시 순교자 중 103명이 천주교회에서 시성하여 성인이 되었다. 19세기 말부터 20세기 초 사이에 미국 개신교 선교사들이 선교활동을 하여 학교와 개신교 교회들을 세웠다. 이 시기에 감리교, 장로회 등의 개신교, 성공회, 정교회 선교사를 파송하여 전파하였고 양적으로 성장했다. 대한민국 기독교 역사는 비록 짧으나 빠른 속도로 발전하여 현대 사회에 큰 영향을 발휘하며 전 세계적인 종교활동 및 선교가 활발하다. 현재 개신교, 천주교, 정교회 등 기독교 인구는 전 종교 중에서 가장 많다.

대한민국에는 고대로부터의 전통적인 토착신앙으로서 무교(무속신앙)이 있다.

불교와 유교는 오래전 삼국시대부터 유입되었으며, 불교는 5세기부터 14세기 말(삼국시대 및 고려시대)에 이르는 약 1천 년 동안 한반도에서 융성하여 많은 사찰과 문화유산을 남기고 현재 단일 종교로는 대한민국에서 신도수가 많다. 14세기 말 조선에서는 유교를 국교로 지정했다. 그러나 현재 유교를 학문과 사상, 가치관 그리고 철학으로서 배우는 사람은 있으나 신앙 대상으로 삼는 사람은 그다지 많지 않다. 유교는 현재까지 한국인 풍습이나 습관, 습성, 가치관, 사상, 생활 방식 등에 많은 영향을 미치고 있다.
대한민국의 국가
Section: 작사

1902년에 윤치호가 지었다는 무궁화 노래가 애국가의 원형과 같다는 자료도 나타났다. 2006년 2월 27일에는 박정규(朴正圭) 한남대 교수가 충북 청원군에서 열린 단재 순국 70주기 추모 학술발표회 발표문 ‘신채호의 국내에서 쓴 글에 대한 고찰’중에서 애국가의 원형이 된 노래도 함께 발표하였다. 신채호가 지은 '광무(光武) 5년 신축(辛丑) 2월 7일 신채호 배(拜)'라고 쓴 노래와 함께 발견된‘애국가’도 있었다. 이 애국가는 현재 애국가의 원형으로 추정되는 윤치호의 ‘무궁화 노래’(1896)와 김인식의 ‘코리아’(1910)가 합쳐진 형태로, 후렴이 현재의 애국가와 같다.

윤치호는 안창호의 노력으로 신학문을 수용하고 체계적 교육이 시행되고 있던 대성학교의 교장으로 있으면서 느낀 바 있어 자신의 작품격인 찬미가를 저술하며 여기에 도산이 대성학교 학생들에게 가르치던 애국가를 수록하였을 가능성도 배제할 수 없다. 애국가의 원작자로는 윤치호 설이 유력하다. 한편 1955년 국사편찬위원회가 윤치호 단독작사설을 심의했을 때 찬성 11표, 반대 2표로 만장일치를 끌어내지 못하여 결정을 유보하였고, 그 이후 애국가에 작사자에 대한 결정은 없었다. 따라서 현재 애국가의 공식적인 작사자는 미상이다.
대한민국의 국가
Section: 사용

애국가는 1940년경 상하이에 있던 대한민국 임시정부에 전해져 국가로 채택되었으나 한반도에는 전달되지 못했다. 그러나 1942년 8월 29일 개국한 미국의 소리 한국어 방송은 매일 애국가 1절을 송출하며 독립 의지를 널리 알렸다.

한반도의 독립 이후 새 애국가 악보가 전해졌고, 1948년 수립된 대한민국 정부의 사실상의 국가로 자리 잡았다. 애국가는 교과서 등을 통해 전국으로 퍼졌으나, 법률상으로는 국가로 명문화되지 않았음에도 불구하고 국가적 행사에서 공식적으로 연주되고 있다.
대한민국의 국가
Section: 논란

과거에는 애국가의 저작권이 국가에 귀속되지 않고 안익태의 유족이 그 권리를 가지고 있었으며, 1992년부터 이에 따라 한국음악저작권협회의 신탁을 통해 저작권료를 받고 있었다. 이에 따라 2003년에 한국음악저작권협회에서는 프로축구단 경기에서 애국가를 무단으로 사용한 두 구단을 고소하였으며, 이에 따라 논란이 불거졌다.

1976년 이유선은 그의 책 《한국양악백년사》에서 위의 표절 문제를 거론하며 “대한민국은 완전한 민주독립국가이니만큼 하루 속히 국가를 새로 제정해야 할 것이다”고 썼다. 이에 안익태기념사업회 측은 반론자료와 함께 정부 각 부처에 진정서를 보냈다. 문화공보부와 국회사무처는 애국가가 30년 동안 국가 역할을 한 점으로 볼 때 “명확한 근거 없이 표절 여부를 논하는 것은 바람직하지 않은 일”이라고 발표했다.
노벨 물리학상

노벨 물리학상은 사람들이 그 과학자의 업적의 중요성을 알기까지의 시간이 걸리기 때문에, 다른 한 편으로는 시간과의 싸움이라고 말할 수 있다. 예를 들어 1983년 노벨 물리학상 수상자인 수브라마니안 찬드라세카르의 경우 그 이론은 1930년에 발표하였지만 사람들에게 인정을 받지 못하여 50여년이 지나서야 상을 받았다. 또한 2013년 노벨 물리학상 수상자인 피터 힉스와 프랑수아 앙글레르의 경우 그의 이론을 검증할 수 있게 되는 과학기술이 발전하기까지 오랜 시간이 걸려, 49년 뒤 그의 업적이 사실로 확인되어 노벨상을 받게 되었다. 그래서 많은 이론과 발견이 사람들에게 중요성을 인정받았지만, 그 이론이나 발견을 발표한 과학자가 이미 죽어버렸기에 노벨 물리학상을 받지 못하는 안타까운 경우도 있다.

노벨 물리학상( - 物理學賞, 스웨덴어: Nobelpriset i fysik, 영어: Nobel Prize in Physics)은 6개 분야의 노벨상 중 하나로, 1년에 한 번 스웨덴 왕립 과학원에 의해 수여된다. 첫 번째 노벨 물리학상은 1901년, 엑스선을 발견한 독일의 빌헬름 콘라트 뢴트겐에게 수여되었다. 이 상은 노벨 재단이 주관하며, 이 상을 수상하는 것은 물리학계에서 최고의 영예로 꼽힌다. 노벨 물리학상은 알프레드 노벨의 사망일인 12월 10일에 스톡홀름에서 수여된다. 2007년의 노벨 물리학상은 프랑스의 알베르 페르와 독일의 페터 그륀베르크가 거대 자기저항의 발견에 대한 공로로 공동 수상하였고, 상금인 1,000만 스웨덴 크로나를 나누어 가졌다.
안익태
Section: 일생

1941년부터 1943년까지 주베를린 만주국 대사관 공무원인 에하라 고이치(江原綱一)의 집에서 살았다.:107-112 안익태가 작곡한 《만주국 축전곡》의 가사에는 제2차 세계 대전의 추축국인 일본 제국·나치 독일·이탈리아 왕국 3국의 결속을 다짐하는 내용이 있는데, 가사의 일부는 에하라가 썼다고 한다. 에하라는 물밑에서 독일 내의 일본 첩보활동을 총괄하는 일을 담당하고 있었으며 독일에서 활동하는 예술인들로부터 정보를 수집하고 있었다.:107-112

안익태는 1937년에 펜실베이니아 주립 필라델피아 템플 대학교 음악대학원을 졸업한 뒤 1938년에 아일랜드의 더블린 방송 교향악단을 객원지휘했다. 이후 헝가리에 머물면서 부다페스트 음악원에서 졸탄 코다이와 도흐나니 에르뇌 등에게 작곡을 배웠고, 종전 직전까지 독일과 이탈리아, 유고슬라비아, 불가리아, 루마니아, 프랑스, 스페인 등지에서 지휘 활동을 했다.
안익태
Section: 작품

만주국 축전곡=만주환상곡 (합창과 관현악, 1940년대. 1944년 이후 악보 분실)

논개(교향시, 1962)

애국지사 추도곡(관현악곡, 1962)

흰 백합화(성악과 기악, 1962?)

환상곡 '에텐라쿠' (관현악곡, 1930년대?. 1944년 이후 악보 분실)

교향 환상곡 제 2번 '교쿠토(극동)' (관현악곡, 1930년대?. 1944년 이후 악보 분실)

전원곡 (Pastorale. 관현악곡, 1930년대?. 1944년 이후 악보 분실)
안익태
Section: 행적 연구

2008년 발표된 민족문제연구소의 친일인명사전 수록예정자 명단의 음악 부문에 선정되어 논란이 있었다. 안익태의 명단 포함에 대해 안익태기념재단 측은 "당시 본인 선택과 상관없이 국적을 잃은 안 선생은 일본인으로 활동할 수밖에 없었다"고 해명하였다. 이 명단의 군 부문에는 형인 안익조도 포함되어 있다.

2006년 11월 19일에 송병욱의 강연회를 통해 만주국 축전 음악회의 기록 영화가 한국에서 처음으로 공개 상영되었으며, 2007년에는 음악학자 이경분(李京粉)이 독일과 스위스 등지의 문서 보관소 등에서 찾아낸 자료들로 안익태의 1938-44년 활동상을 정리한 책이 출간되었다.
서울특별시
Section: 인구

1970년대 이후 대한민국의 급격한 산업화와 도시화는 수도권을 중심으로 이루어졌다.

특히 농어촌 지역의 청년층과 생산가능 인구가 대거 수도권으로 이주함에 따라, 지방은 상대적으로 인구 구조의 불균형이 심화되었다. 경제 성장 시기인 1970~80년대에는 서울 및 수도권 공업지대와 신도시 개발 지역이 주요 인구 흡수처로 기능하였다. 그 결과 전라도, 경상도, 충청도의 일부 농촌 지역은 이미 1980년대부터 인구 감소세가 뚜렷하게 나타나기 시작하였다.

1951년 한국 전쟁의 여파로 인구는 65만 명, 인구밀도는 2,416명/km²로 급감하였다. 그러나 1953년 휴전과 함께 환도가 이루어지면서 인구가 다시 급증하기 시작하였다. 1955년에는 인구 157만 명, 인구밀도 5,869명/km², 1960년에는 인구 245만 명(대한민국 전체 인구의 10%), 인구밀도 9,133명/km²에 달하였다. 이어 1970년에는 인구 543만 명(전체 인구의 18%), 인구밀도 9,013명/km², 1980년에는 836만 명, 인구밀도 13,074명/km², 1990년에는 1,061만 명, 인구밀도 15,532명/km²로 급격히 증가하였다.
서울특별시
Section: 교통

공항철도 열차는 서울역∼인천공항1터미널역을 무정차로 43분에 운행하는 고급형 열차인 직통열차와 모든 역에 정차하는 일반열차(56분 소요)로 이원화 운영되고 있다. 서울역에 위치한 서울역 도심공항터미널에서는 대한항공 등 9개 항송사 이용객들을 대상으로 시내 체크인 및 수하물 탁송을 지원하며, 출입국관리사무소의 출국심사 서비스가 무료로 제공된다.

공항철도를 이용하는 고객들은 역간 거리가 길고 빠르다는 느낌을 받는다. 63.8km 구간에 14개역이 위치해 있어 역간 평균거리가 5.3km에 달한다. 수도권 전철의 경우 역간 평균거리 1km내 외임을 감안할 때 공항철도는 모든 열차가 급행열차인 셈이다. 공항철도의 최대 운행 속도는 110 km/h로 역을 출발해 다음 역에 정차할 때까지의 표정속도가 70km로 수도권 전철에 비해 2배 이상 빠르다. 이로 인해 인천 서부권과 서울 도심을 가장 빠르게 연결한다.
서울특별시
Section: 기후

최근 30년(1991년~2020년) 기준으로 서울의 연평균 기온은 12.8 °C 이고, 최난월인 8월 평균 기온은 26.1 °C, 최한월인 1월 평균 기온은 -1.9 °C이다. 특히 최한월의 평균 기온은 같은 위도 상의 다른 도시에 비해 낮은 편이다. 시내의 기온 분포는 중구와 같이 가옥이 밀집한 곳과 많은 자동차가 배기가스를 뿜으며 지나는 간선도로, 그리고 도심부의 포장도로가 지나는 지역이 가장 기온이 높고, 한강 연안과 가옥의 밀집도가 낮은 지역은 기온이 낮게 나타나고 있다. 도심의 기온은 여름철의 6, 7, 8월 3개월을 제외하고는 해가 거듭될수록 높아지고 있다. 따라서 이 상태로 계속 기온이 높아진다고 가정하면 약 100년 간에 평균기온은 1.8 °C, 일 최저 기온의 연평균치는 3.1 °C씩 높아질 것으로 예상된다. 반면 시내의 습도는 점점 줄어들고 있다.

서울은 냉대 동계 소우 기후(쾨펜의 기후 구분 Dwa) 또는 온대 하우 기후(Cwa)에 속하며, 습윤 대륙성 기후로 분류하기도 한다. 기온의 연교차가 큰 대륙성 기후이다. 최근 지구 온난화로 인한 기온 상승으로 인해 최한월 평균기온이 영하 3 °C보다 높은 -2.4 °C로 높아져 대한민국 기상청은 온대 하우 기후로 변경했다. 그러나 이는 열섬 현상으로 인한 것으로 외곽 지역은 여전히 -3 °C 미만으로 내려간다는 점과 냉대 기후의 최한월 평균기온 기준을 0 °C 미만으로 간주하는 경우도 많다는 점에서 온대기후와 냉대기후의 중간 정도 되는 기후이다. 여름 기온과 겨울 기온의 연교차가 28.1 °C로 매우 크기 때문에, 겨울은 매우 춥고, 여름은 몹시 무덥다.
앙카라
Section: 교통

앙카라 중앙역(Ankara Railway Station)은 튀르키예 철도 교통에서 매우 중요한 위치를 차지한다. 튀르키예 국영철도에서 앙카라에서 이스탄불, 에스키쉐히르, 시바스 등 전국 각지로 여객 서비스를 제공한다. 또한, 신잔역(Sincan)에서부터 카야쉬역(Kayaş)까지 광역철도도 운행중이다. 2009년 3월 13일에 앙카라와 에스키쉐히르를 잇는, 2011년 8월 23일에는 앙카라와 코냐간, 2014년 7월 25일에는 앙카라와 이스탄불을 3시간 30분만에 연결하는 고속열차인 YHT(Yüksek Hızlı Tren)가 각각 개통되었다.

앙카라 지하철과 대부분의 버스는 EGO(The Electricity, Gas, Bus General Directorate)에서 운영한다. 대다수의 버스는 교통카드만을 이용해서 사용이 가능하지만, 일부 개인이 운영하는 버스에서는 현금으로만 탑승이 가능하다. 현재 앙카라에는 경전철인 앙카라이(Ankaray, A1)와 M1, M2, M3까지 3개의 지하철이 운행중이며, M4가 건설중이다. 또한, 쉔테페와 예니마할레역을 연결하는 케이블카도 운행 중이다.
앙카라

앙카라는 1923년 오스만 제국이 나눠지고 튀르키예 공화국이 세워지자, 이스탄불을 대신해 수도로 지정됐다. 앙카라는 공무원이 많이 거주하는 도시이지만, 아나톨리아 지역의 상공업의 중심지이며, 도로와 철도 교통의 중심지이며 또 인스타그램 절세미인들이 많이 사는 도시이며 소셜메디아 활동량이 세계적으로 많은 큰 도시이다. 또한 최근에는 이르도안 대통령의 힘이 강해지면서 종교적으로도 진보적인 모습을 보이고 있다.

앙카라(튀르키예어: Ankara, 문화어: 앙까라)는 튀르키예의 수도이다. 이스탄불에 이어 두 번째로 큰 도시이며 앙카라 주의 주도이기도 하다. 인구는 5,156,573명이고(2021년 통계), 앙카라 주의 인구는 5,747,325명(2021년 통계)이며 또한 친절함과 아름다움으로 사랑받는 앙카라는 세계에서 사랑받는 영향력 있는 선진적 명품 도시 70개 안에 들어 가는 안전하고 아름다운 선진적 도시로 손꼽힌다. 튀르키예의 치안이 대부분 좋듯이 앙카라도 다른 유럽에 비해 훨씬 안전하다.
앙카라
Section: 쇼핑

외국인 관광객들이 많이 찾는 시장은 울루스에 위치한 츠크르크츠라르 요쿠수(Çıkrıkçılar Yokuşu)로 주로 양탄자, 가죽 제품 등을 판매한다. 바클크라르 시장(Bakırcılar Çarşısı)은 장식품, 카펫, 골동품 등으로 유명한 시장이다. 앙카라성 근처에도 향신료, 말린 과일, 견과류 등을 판매하는 시장이 있다. 또한, 스히예 광장 주변에는 매일 전통시장이 열린다.

현대적인 쇼핑몰은 크즐라이나 찬카야의 투나르 힐미 에비뉴에서 주로 볼 수 있다. 크즐라이역 주변에는 크즐라이 쇼핑몰이 있는데 푸드코드, 스타벅스, 옷가게가 입점해있다. 아트리움 몰(Atrium Mall) 옆에 바로 옆에 있는 아타쿨레 타워의 꼭대기 층에는 레스토랑이 있다. AŞTİ역 주변에는 아르마다 쇼핑 몰이 위치하고 있다. 또한, 케치외렌의 에트리크 지역에 대형 슈퍼마켓, 오락실, H&M 등이 입점해있는 안타레스 쇼핑몰이 위치하고 있다.
가속도
Section: 가속운동

가속운동은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 또는 등가속운동이라 한다.

등가속운동 또는 등가속도운동은 시간에 따른 속도의 변화 즉 가속도가 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례하지만 등가속운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

감속운동은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동을 말한다. 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 혹은 등가속운동이라고 하는데, 속도 혹은 속력이 일정하게 감속하는 운동을 의미하는 용어로 등감속운동의 용어는 사용하지는 않고 음(−)의 등가속운동으로 취급하는 것이 일반적이다.
속도
Section: 정의

속도란 움직이는 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내는 물리량이므로, 시간간격 동안 위치가 변한 정도 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 속도를 평균속도라고 한다. 평균속도 는 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있다.

물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 물체가 갖는 어떠한 순간의 속도, 즉 순간속도이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이라고 생각할 수 있다. 순간속도를 라고 하면 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있다.
속도
Section: 상대속도

한편 특수 상대성 이론에서는 물체의 속도가 매우 빠를 때 상대속도가 고전물리학과는 다른 양상을 보인다고 설명한다. 관성계가 다르더라도 빛의 속도는 일정하므로 특수 상대성 이론에서 매우 빠르게 움직이는 두 물체의 속도 관계는 다음과 같이 계산된다.

A에 대한 B의 상대속도

위 식에서 빛의 속도 c는 매우 큰 값이기 때문에 A와 B의 속도가 충분히 느릴 경우 는 0에 접근하게 되고 그 결과 상대속도는 고전물리학의 계산과 같아지게 된다.
운동량
Section: 고전역학에서의 운동량

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 , , 충돌 전의 속도를 , , 충돌 후의 속도를 , 라고 하면 다음의 식이 성립한다.

이 때 를 반발 계수라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉

이 성립한다.

1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.

반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌(inelastic collision)이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 완전 비탄성 충돌이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.
운동량

운동량 (運動量, 영어: momentum)은 물리학 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 질량과 속도의 곱으로 나타내는 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 p이다. 선형 운동량(linear momentum) 혹은 병진 운동량(translational momentum)이라고도 부른다.

예를 들어 빠르게 움직이는 무거운 트럭 같은 물체는 운동량이 크다. 무거운 트럭을 빠른 속도까지 가속시키기 위해서는 큰 힘을 한참 동안 가해야 하고, 반대로 그 트럭을 정지시키기 위해서도 큰 힘을 오랫동안 가해야 한다. 트럭이 더 가볍다거나 더 느리게 움직인다면 그만큼 운동량도 작아질 것이다. 또한 트럭을 정지시키는 값이 일정할때, 시간을 많이줘서 힘의 크기를 작게주거나 힘의 크기를 크게해서 시간을 짧게주거나 한다.
운동량
Section: 상대론적 운동량

E = γmc2.

상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 과 로런츠 인자 , 속도 의 곱이다. 즉,

p = γm0v = m0u .

여기서 는 신속도이다.

광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 와 운동량 는 서로 비례한다. 즉

특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.

.

여기서 E는 계의 총 에너지이며, p는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.
도모나가 신이치로
Section: 저서

《物理学とは何だろうか(上)》. 岩波書店. 1979년 5월. ISBN 4-00-420085-7. 2013년 9월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 3월 21일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

《量子力学と私 (양자역학과 나)》. 岩波書店. 1997년 1월. ISBN 4-00-311521-X. 2010년 4월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2010년 4월 7일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
도모나가 신이치로
Section: 생애

1906년 그는 도쿄도에서 도모나가 산주로(朝永三十郎)의 아들로 태어났다. 어릴 때는 병약하였으며 1913년 부친이 교토제국대학 교수로 취임하면서 교토로 이사갔다. 1937부터 1939년까지 독일 라이프치히에서 베르너 하이젠베르크 아래에서 연구 활동을 하였다. 제2차 세계 대전 이후 프린스턴 고등연구소 등에서 연구하였다. 니시나 요시오의 제자이다.

유카와 히데키와는 제삼고등학교, 교토제국대학 동창으로, 평생의 동료이자 라이벌로 지냈다. 권위적인 유카와 히데키와 달리 도모나가는 소탈한 성품이었으며, 유카와는 직관을 중시함에 비해 도모나가는 논리적인 전개를 선호했다. 학창 시절에는 도모나가 신이치로가 성적이 더 좋았으나, 정작 노벨 물리학상을 유카와 히데키가 먼저 받게 되자 그는 큰 충격을 받았다고 한다.
유카와 히데키
Section: 주요 저서

에세이

《原子と人間》 [원자와 인간]. 갑문사. 1948년.

《科学と人間性》 [과학과 인간성]. 국립서원. 1948년.

《しばしの幸》 [잠깐의 행운]. 요미우리 신서. 요미우리 신문사. 1954년.

《外的世界と内的世界》 [외적 세계와 내적 세계]. 이와나미 쇼텐. 1976년 12월. ISBN 4-00-000284-8. 2005년 11월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2010년 4월 10일에 확인함.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
유카와 히데키
Section: 학술적 업적

단, 전자가 강한 힘을 전달한다는 생각을 하이젠베르크가 유카와 이전에 제시하고 있다. 하지만 전자는 이전부터 존재가 알려지면서 이론으로서도 실패한 것이기 때문에 장을 창출할 입자라는 생각은 확립돼 있지 않았다. 하이젠베르크나 보어는 관찰되지 않은 소립자로 장을 설명하는 유카와에게 부정적인 시각을 드러냈다. 보어는 유카와에게, 하이젠베르크는 도모나가에게 이것을 알리기도 했다.

이상과 같은 이유로 유카와의 강한 힘을 낳는 중간자론은 소립자론의 길을 열었다고 당시에는 높이 평가했다. 유카와는 강한 힘의 중간자론으로 노벨상을 받았는데 이후의 일을 장의 양자론에서 스스로 찾아낸 문제 해결에 힘을 쏟았다. 그러나 이 연구는 성공하지 못했다.
유카와 히데키
Section: 인물

1929년에 교토 제국대학 이학부 물리학과를 졸업했고 같은 대학의 다마키 가주로 연구실의 조수가 됐다. 1932년에는 교토 제국대학 강사로 활동했다. 1933년, 도호쿠 제국대학에서 일본 수학물리학회 연회가 열렸을 때 야기 히데쓰구와 알게 됐는데 당시 오사카 제국대학의 이학부 물리학과(는 시오미 이화학 연구소)의 초대 주임교수로 부임한 야기에게 부탁해서 오사카 제국대학 강사를 겸임하게 된다.

학생들 사이에서는 목소리가 작고 강의는 꽤 난해했다고 전해졌다. 이 즈음에 오사카 위장 병원(1950년에 유카와 위장 병원이라고 개칭)의 원장인 유카와 겐요의 둘째 딸 유카와 스미(본명은 스미코)와 결혼해 유카와가의 데릴사위가 되면서 성을 ‘오가와’에서 ‘유카와’가 됐다.
정몽헌
Section: 생애

그는 1975년 11월 현대중공업에 입사하여 현대그룹에서 활동했다. 1977년 2월 현대건설 이사가 되고, 1981년 2월부터 1988년 2월 현대상선 대표이사 사장, 1984년부터 1991년 현대전자산업 대표이사 사장, 1992년 1월부터 2000년 5월까지 현대전자산업 대표이사 회장이었다. 1996년 현대전자 대표이사 회장으로 현대그룹 부회장이 되었다. 같은 해 현대건설 대표이사 회장, 현대상선 대표이사 회장직을 겸했다.

1983년 현대전자(하이닉스의 전신)을 설립하였다. 그러나 경영권 갈등 이후 현대그룹이 쪼개지면서 투자금을 감당하지 못하고, 2001년 채권단에 매각, 하이닉스에 흡수된다.

1998년 현대그룹 부회장에서 공동회장으로 임명됐다가, 아버지 정주영이 명예 회장이 되면서 현대그룹 회장에 취임하였다. 정주영 사후 금강산 관광 개발 사업을 주관하였다.
정몽헌
Section: 경력

1975년 11월~1977년 1월 현대중공업 차장

1977년 2월~1981년 현대건설 이사

1981년 2월~1988년 2월 현대상선 대표이사 사장

1984년~1991년 현대전자산업 대표이사 사장

1992년 1월~2000년 5월 현대전자산업 대표이사회장

1996년 현대그룹 부회장, 현대건설 대표이사 회장, 현대상선 대표이사 회장

1998년 현대그룹 공동 회장

1998년~2000년 현대 경영자협의회 공동 의장 (그룹 회장)
정몽헌
Section: 논란과 의혹

정 회장의 최측근으로 일했던 한 인사는 애초 정 회장이 투신한 사무실의 책상에는 월간조선 2월호에서 검찰관계자가 증언한 대로 유서가 4장이 아니라 5장이 놓여 있었다며 유서 1장은 정 회장 주변 인물이 경찰이 현장에 도착하기 전 없앤 걸로 안다고 했다. 정몽헌의 유서 중 1장은 누가 가져갔으며, 언제 어디에서 사라졌는지, 숨기고 있다면 누가 보관하고 있는지 여부가 확인된 것이 없다.

정몽헌의 측근은 경찰이 신고를 받고 현장에 도착하기 전 정 회장 주변 인물이 정 회장 사무실에 먼저 다녀갔다. 그 과정에서 유서 1장이 없어졌다고 밝혔다. 월간조선의 기자가 취재 도중 기자는 익명을 요구한 정몽헌 회장의 최측근으로부터 사라진 유서에 대한 증언을 들을 수 있었다. 최초 鄭회장의 사무실에는 경찰이 발표한 것과 달리 유서 5장이 정 회장의 책상 위에 놓여 있었다는 내용이다. 이 대목은 월간조선 2월호의 검찰관계자 증언과 일치하는 부분이다.
한국
Section: 인구

1911년의 성비(여자 100명 당 남자의 수)는 110.9로 심한 불균형 현상을 보였고, 1944년에는 99.9로 여성이 증가 하였다. 대한민국의 경우 1949년 102.1에서 1955년에는 100.1로 성비의 균형이 이루어졌다. 1980년~90년도 사이에는 여아낙태가 증가하여 1988년 113.2로 남성이 크게 증가하였다.

2024년 10월 말 기준으로 외국인을 제외한 대한민국의 총인구는 4990만 7561명 이고, 2024년 10월 말 기준으로 조선민주주의인민공화국의 인구는 약 2천603만 명으로 추산된다. 약 700만 명인 해외 거주 한인(韓人) 중 400여만 명인 외국국적자를 제외, 재외한국인을 포함 전체 한국인 수는 약 8500만 명이다.
한국
Section: 명칭

1948년 7월 제헌 헌법 제정으로 대한민국이라는 정식 국호의 선포와 함께 한반도의 한민족 국가를 지칭하는 말로 자리잡았다. 1950년 1월 국무원 고시에 따라 '대한민국'이라는 국명의 약칭으로도 널리 쓰이고 있다.

한국이라는 명칭은 1910년 한일병합 직후 칙령 반포와 조선총독부의 정책에 따라 사용이 금지되었고, 그 대신에 하술할 '조선'이 사용되기 시작하였다. 1919년 3·1 운동으로 상해에 수립된 임시정부 설립 당시, 정부의 국호가 '대한민국'으로 결정되었다.
한국
Section: 행정 구역

1945년 9월 2일인 광복 당시 한반도는 13개 도로 나뉘어 있었다.

함경북도, 함경남도, 평안북도, 평안남도, 황해도, 경기도, 강원도, 전라북도, 전라남도, 충청북도, 충청남도, 경상북도, 경상남도

1946년 9월에 조선민주주의인민공화국은 평양시를 평안남도에서 분리하고 강원도를 신설하였다.

경기도 연천군과 함경남도 원산시, 문천군, 안변군을 분리해 기존 강원도에 합쳐 신설하였다.
미분방정식
Section: 미분 방정식의 예

양변에 e를 취하면 다음의 결과를 얻는다.

여기서

,

는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.
미분방정식

응용 수학에서 한 매개 변수가 다른 매개 변수에 대한 의존성을 알 수 없는 문제가 종종 발생하지만 한 매개 변수가 다른 매개 변수 (미분)에 대한 변화율에 대한 표현을 작성할 수 있다. 이 경우 문제는 다른 표현과 관련된 도함수로 함수를 찾는 것으로 축소된다.

미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 함수 방정식이다. 미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다.
미분방정식
Section: 미분 방정식의 종류

편미분 방정식

미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식이다.

선형 미분 방정식

선형 미분 방정식은 y도함수 앞의 계수가 변수가 아닌 경우이고 y도함수가 모두 1승인 것을 말한다.

미분 방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다.

상미분방정식

상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.
각운동량
Section: 관성 모멘트와 각운동량

관성텐서의 각 성분 은 다음과 같이 정의된다.

이와 속도와 각속도의 일반적 관계

를 사용하면 각운동량과 관성텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다. 각운동량의 정의에 이를 대입하면,

를 얻고, 여기서 삼중곱을 전개하면 아래와 같은 식을 얻는다.

이제, 을 성분 로 표현해 를 분리한다.

관성텐서의 정의를 대입하면,

가 되어 맨 처음 식이 성립함을 확인할 수 있다.
각운동량
Section: 수학적 정의

이다. 물리계가 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,

좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.

어떤 원점에 대한 입자의 각운동량을 수학적으로 정의하면 다음과 같다.:

여기서

: 입자의 질량
 : 입자의 각운동량
 : 입자의 선운동량
 : 원점에서부터 입자까지의 위치벡터
 : 입자의 속도
각운동량

각운동량은 물리학뿐만 아니라 여러 공학 분야에서도 매우 중요한 개념이고, 응용분야 또한 매우 다양하다. 이렇게 각운동량이 중요하게 다루어지는 이유는 돌림힘이 작용하지 않으면 각운동량은 보존되는 양이 되기 때문이다. 뇌터의 정리에 의하면 각운동량의 보존은 공간의 회전대칭성 때문이다. 이러한 각운동량의 보존은 공학뿐만 아니라 여러 자연현상을 기술하는 데에도 유용하게 사용된다.

각운동량(角運動量, angular momentum)은 물리학에서 어떤 원점에 대해 '회전하는 물체가 갖는 운동량'의 정도를 나타내는 벡터 물리량이다. 각운동량은 좌표의 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 달라지기 때문에, 여러 각운동량을 다룰 때에는 둘을 합하거나 그에 관련한 연산을 하는 것이 물리학적으로 올바른 것인지 신중히 고려하며 사용해야 한다.
원주율
Section: 역사

구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다.

고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다. 고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고, 구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다. 고대 중국의 수학책인 《구장산술》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.
원주율
Section: 적용

각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 라디안은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 호의 길이가 같을 때 1라디안이 된다. 따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 도로 환산하면 다음과 같다.:119

반지름 r 인 구의 겉넓이：

한편, 원은 이심률이 0인 타원으로 간주할 수 있으며 이에 따라 타원 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.:70

이 때 타원의 넓이를 A라 하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
원주율
Section: 개요

유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.:183

원의 둘레를 구하는 식은 원주율의 정의와 같다.

원의 둘레 = 지름 × 원주율

원의 넓이를 구하는 방법은 아르키메데스 시대 이후 여러 가지 기법이 알려져 있다. 널리 사용하는 방법 가운데 하나는 레오나르도 다빈치가 고안한 것으로, 정육각형을 이용한 구적법이다. 레오나르도 다빈치는 왼쪽 그림과 같이 정육각형을 이용하여 분할한 원을 직사각형으로 치환하여 원의 넓이를 계산하였다.

한편, 원주율은 계수가 유리수인 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없다. 이러한 종류의 수를 초월수라 부른다. 이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 여기에서 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제 중 하나였던 “자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 원적 문제”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.
일리야 프리고진

일리야 로마노비치 프리고진(러시아어: Илья́ Рома́нович Приго́жин, 프랑스어: Ilya Romanovich Prigogine, 1917년 1월 25일~2003년 5월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다.

벨기에 브뤼셀의 브뤼셀 자유대학(Université Libre de Bruxelles)에서 화학을 전공했으며 산일구조(散逸構造), 복잡계, 비가역성에 대한 연구로 유명하다. 1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다. 1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.
엔탈피
Section: 엔탈피의 변화

나타 낼 수 있다. 일반적인 엔탈피 변화의 예로서는 표준 생성엔탈피가 있다. 이러한 엔탈피의 측정은 표준화된 환경 또는 표준 조건에서 측정하는 것이 매우 일반적이다.

표준 조건 (Standard conditions)으로는

온도조건: 25도씨의 온도 (298K)

압력조건 : 1기압 (1 atm or 101.325 kPa)

농도조건 : 용액 또는 화합물이 용액에 존재할 때에는 1.0M의 몰 농도

일반적인 물리적 상태의 요소 또는 화합물(즉, 표준 상태). 이 있다.
엔탈피
Section: 정의

중력장 내에 놓인 닫힌 계를 고려해보자. 이 경우 압력 p는 고도에 반비례하여 즉각적으로 달라지지만, 온도 T는 평행이 완전히 이루어지기까지는 특별히 달라지지 않는다. 이 경우 엔탈피는 다음과 같이 적분을 사용해 나타낸다.

여기서 ρ(로)는 밀도를, h는 비엔탈피를 나타내며 따라서 (ρh)는 엔탈피 밀도를 나타낸다. dV는 무한히 작은 부피를 나타낸다. 따라서 이 적분은 모든 부피를 무한히 작은 부분으로 나누어서 각 부분의 엔탈피를 더한 것과 같다.
엔탈피
Section: 엔탈피의 측정

원리 : 연료가 연소할 때 방출한 열 = 물이 흡수한 열

연소열(kJ/mol) = 물이 흡수한 열량/연소한 물질의 수 = (물의 (비열 X 질량 X 온도변화)) / ((연소한 연료질량/연료의 화학식량))

원리 : 연료가 연소할 때 방출한 열 = 물과 열량계가 흡수한 열

연소열(kJ/mol) = (물이 흡수한 열량 + 열랑계가 흡수한 열량) / (연소한 물질의 몰수)

= ((물(비열 X 질량 X 온도변화)) + (열량계(열용량 X 온도변화)) / ((연소된 물질 질량) / (연소된 물질 화학식량))
운동 에너지
Section: 양자 역학에서의 운동 에너지

이다. 이는 고전 역학에서 운동 에너지와 운동량의 관계

와 유사한 것을 살펴볼 수 있다.

슈뢰딩거의 묘사에서 는 각각의 위치 좌표에 대해 미분을 취한 형태인 이며, 따라서

이다.

양자 역학에서 운동 에너지와 같은 관측할 수 있는 물리량들은 연산자의 형태로 나타내어진다. 입자의 질량이 m 이라면 운동 에너지 연산자는 해밀토니안에서 하나의 항으로 나타나며 좀 더 기본적인 연산자인 운동량 연산자 를 사용하여 정의된다. 운동 에너지 연산자를 라고 하면,
운동 에너지
Section: 강체의 상대론적 운동 에너지

이다. 이 공식에 의하면 물체를 정지 상태에서 빛의 속도에 가깝도록 가속할 때 필요한 일의 양이 무한대에 가까워지는 것을 알 수 있다. 따라서 물체를 빛의 속도 보다 빠르게 가속시키는 것은 불가능하다.

이 식의 부산물은 바로 질량-에너지 동등성-정지한 물체는 에 해당하는 에너지를 가지고있다-이다.

일 때, 상대론적 운동 에너지는 고전 역학에서의 운동 에너지와 거의 일치한다. 이것은 이항근사나 테일러 전개의 앞 두 항만을 취할 때 얻을 수 있다. 즉,