hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-related-paragraph-pairs huggingface dataset:
교차상관
Section: 확정적 신호의 교차상관

만약 와 가 모두 주기 를 갖는 연속 주기 함수라면, 에서 까지의 적분은 길이 의 임의의 구간 에 대한 적분으로 대체된다:이는 다음과 동등하다:유사하게, 이산 함수의 경우 교차상관은 다음과 같이 정의된다:이는 다음과 동등하다:유한 이산 함수 의 경우, (원형) 교차상관은 다음과 같이 정의된다:이는 다음과 동등하다:유한 이산 함수 , 의 경우, 커널 교차상관은 다음과 같이 정의된다:여기서 는 커널 함수 의 벡터이고 는 아핀 변환이다.

연속 함수 와 의 경우, 교차상관은 다음과 같이 정의된다:이는 다음과 동등하다:여기서 는 의 켤레 복소수를 나타내고, 는 변위 또는 지연이라고 불린다.

특정 에서 최대 교차상관을 갖는 고도로 상관된 와 의 경우, 에서의 의 특징은 에서 에서 나중에 발생하므로 는 보다 만큼 뒤처진다고 설명할 수 있다.
교차상관

확률 및 통계학에서 교차상관이라는 용어는 두 확률 벡터 와 의 항목들 사이의 상관을 나타내며, 확률 벡터 의 상관은  자체의 항목들 사이의 상관, 즉 의 상관 행렬을 형성하는 상관을 나타낸다. 만약 와  각각이 시계열에서 반복적으로 실현되는 스칼라 확률 변수라면, 의 다양한 시간적 인스턴스의 상관은 의 자기상관으로 알려져 있으며, 시간 경과에 따른 와 의 교차상관은 시간적 교차상관이다. 확률 및 통계학에서 상관의 정의는 항상 표준화 요소를 포함하여 상관이 −1과 +1 사이의 값을 갖도록 한다.

신호 처리에서 교차상관(cross-correlation) 또는 상호 상관 관계는 다른 하나에 대한 하나의 변위 함수로서 두 계열의 유사도 척도이다. 이것은 슬라이딩 스칼라곱 또는 슬라이딩 내적으로도 알려져 있다. 일반적으로 더 짧고 알려진 특징을 찾기 위해 긴 신호를 검색하는 데 사용된다. 패턴 인식, 단일 입자 분석, 전자 토모그래피, 평균화, 암호 해독 및 신경생리학에 응용된다. 교차상관은 두 함수의 합성곱과 본질적으로 유사하다. 신호 자체와의 교차상관인 자기상관에서는 항상 지연이 0일 때 피크가 있으며, 그 크기는 신호 에너지이다.
교차상관
Section: 확률 벡터의 교차상관

예를 들어, 만약 와 가 확률 벡터라면, 는  행렬이며, -번째 항목은 이다.

기댓값과 분산이 존재하는 확률 변수를 각각 포함하는 복소 확률 벡터 와 의 경우, 와 의 교차상관 행렬은 다음과 같이 정의된다.여기서 는 에르미트 전치를 나타낸다.

기댓값과 분산이 존재하는 확률 변수를 각각 포함하는 확률 벡터 와 에 대해, 와 의 교차상관 행렬은 다음과 같이 정의된다.:p.337그리고 차원은 이다. 구성 요소별로 작성하면:확률 벡터 와 는 동일한 차원을 가질 필요는 없으며, 어느 쪽이든 스칼라 값일 수 있다.
여기서 는 기댓값 연산자이다.
생존 함수
Section: 모수적 생존 함수

지수 생존 분포의 경우, 개체나 장치의 연령에 관계없이 모든 시간 간격에서 고장 확률은 동일하다. 이 사실은 지수 생존 분포의 "기억상실" 속성으로 이어진다: 대상의 연령은 다음 시간 간격의 고장 확률에 영향을 미치지 않는다. 지수 분포는 부품이 고장나면 교체되는 시스템의 수명에 대한 좋은 모델이 될 수 있다. 또한 짧은 간격 동안 살아있는 유기체의 생존을 모델링하는 데 유용할 수 있다. 그러나 살아있는 유기체의 전체 수명을 모델링하는 데는 좋은 모델이 아닐 수 있다. 에프론(Efron)과 해스티(Hastie) (p. 134)가 지적했듯이, "인간의 수명이 지수적이라면, 노인이나 젊은 사람은 없고, 그저 운이 좋거나 운이 없는 사람들만 있을 것이다."

지수 생존 함수의 주요 가정은 위험률이 일정하다는 것이다. 위에서 주어진 예시에서 매년 사망하는 남성의 비율은 10%로 일정했으며, 이는 위험률이 일정하다는 것을 의미한다. 일정한 위험률이라는 가정은 적절하지 않을 수 있다. 예를 들어, 대부분의 살아있는 유기체에서는 노년기의 사망 위험이 중년기보다 크다. 즉, 위험률이 시간에 따라 증가한다. 유방암과 같은 일부 질병에서는 재발 위험이 5년 후에는 낮아진다. 즉, 위험률이 시간에 따라 감소한다. 베이불 분포는 지수 분포를 확장하여 위험률이 일정하거나, 증가하거나, 감소할 수 있도록 한다.
생존 함수
Section: 생존 함수의 예시

따라서 다음과 같다:

이 관계는 모든 고장 시간에 대해 일반화된다:

이 관계는 아래 그래프에 나와 있다. 왼쪽 그래프는 Pr(T ≤ t)인 누적 분포 함수이다. 오른쪽 그래프는 Pr(T > t) = 1 − Pr(T ≤ t)이다. 오른쪽 그래프는 생존 함수 S(t)이다. S(t) = 1 – CDF라는 사실이 생존 함수가 여누적 분포 함수라고 불리는 이유이다.

고장 시간이 100시간 이하일 확률을 그래프로 나타내는 것의 대안은 고장 시간이 100시간보다 길 확률을 그래프로 나타내는 것이다. 총 확률은 1이 되어야 하므로, 고장 시간이 100시간보다 길 확률은 고장 시간이 100시간 이하일 확률을 1에서 뺀 값과 같아야 한다.
심문규 (소방공무원)
Section: 2018년 신곡수중보 구조보트 전복 사고

2018년 8월 12일 낮 12시 50분경 군 초소에서 “민간 보트가 신곡수중보에 걸려 있다”는 신고가 접수되자, 김포소방서 수난구조대는 보트 1대와 제트스키 1대로 현장에 출동하였다. 수중보에 접근해 상황을 확인하던 중 급류에 휩쓸려 구조보트가 전복되었다. 동료 1명은 제트스키에 구조되었고, 심문규와 오동진은 실종되었다.

사고 다음 날인 8월 13일 오후, 두 사람은 한강 하류에서 각각 발견되었다.

2018년 8월 16일 김포생활체육관에서 경기도청장(葬)으로 합동 영결식이 거행되었다. 경기도는 두 대원을 1계급 특별승진(소방교→소방장)하고 옥조근정훈장을 추서했으며, 유해는 국립대전현충원에 안장되었다.
통계적 공정 관리
Section: 관리도의 수학적 원리

구간 을 벗어나는 관측치 는 잠재적인 통제 불능 상태를 알린다. 누적합 (CUSUM) 차트 및 지수 가중 이동 평균 차트 (EWMA 차트)와 같은 변형은 작거나 지속적인 변화에 대한 민감도를 향상시키는 데 사용된다.

일반적인 차트는 다음으로 구성된다.

관리 상태 평균을 나타내는 중심선(CL). 종종 다음과 같이 추정된다.

관리 한계. 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

여기서 와 는 관리 상태 평균과 표준 편차를 나타내며, 는 일반적으로 3으로 선택된다("삼 시그마 규칙").
통계적 공정 관리
Section: 적용

안정적인 공정은 능력 지수 범위를 벗어나는 분산이 없는 공정 서명으로 입증될 수 있다. 공정 서명은 능력 지수와 비교되는 플롯된 점들이다.

공정이 관리도의 "감지 규칙" 중 하나를 트리거하거나(또는 공정 능력이 낮을 때), 과도한 변동의 원인을 식별하기 위해 다른 활동이 수행될 수 있다.
이러한 추가 활동에 사용되는 도구에는 이시카와 다이어그램, 실험계획법, 파레토도 등이 있다. 실험계획법은 변동 원인의 상대적 중요성(강도)을 객관적으로 정량화하는 수단이다. (특수 원인) 변동의 원인이 식별되면, 이를 최소화하거나 제거할 수 있다. 변동 원인을 제거하는 단계에는 표준 개발, 직원 교육, 오류 방지, 공정 자체 또는 그 입력의 변경 등이 포함될 수 있다.

많은 공정을 관리도로 모니터링할 때, 공정의 안정성을 정량적으로 측정하는 것이 때때로 유용하다. 이 지표들은 시정 조치가 가장 필요한 공정을 식별/우선순위화하는 데 사용될 수 있다. 이 지표들은 전통적인 공정능력지수 지표를 보완하는 것으로도 볼 수 있다. Ramirez와 Runger가 설명한 바와 같이 여러 지표가 제안되었다.
이들은 (1) 장기 변동성을 단기 변동성과 비교하는 안정성 비율, (2) 소그룹 내 변동성을 소그룹 간 변동성과 비교하는 ANOVA 검정, (3) 웨스턴 일렉트릭 규칙 위반이 하나 이상 있는 소그룹의 수를 전체 소그룹 수와 비교하는 불안정성 비율이다.
통계적 공정 관리
Section: 인더스트리 4.0과 인공지능

한 가지 새로운 연구 분야는 SPC 기술을 인공 신경망 및 기타 기계 학습 모델에 적용하는 것이다. 제품 품질을 직접 모니터링하는 대신, AI 시스템의 신뢰할 수 없는 동작 감지에 초점을 맞춘다. 예를 들어, 레이블이 지정된 데이터 없이 비정상 상태 및 개념 드리프트 감지를 가능하게 하는 신경망 임베딩 분포의 변화를 추적하기 위해 비모수 다변량 관리도가 제안되었다. 이를 통해 산업 환경에서 배포된 AI 시스템의 실시간 모니터링이 가능해진다..

인더스트리 4.0의 등장은 통계적 공정 관리의 범위를 전통적인 제조 공정에서 현대적인 사이버 물리 및 데이터 기반 시스템으로 확장했다. Colosimo 등(2024)의 검토 기사는 SPC가 이제 기계 학습 및 인공지능(AI) 모델의 생산 환경 사용을 포함하여 인더스트리 4.0 환경을 특징짓는 복잡하고 고차원적이며 종종 자동화된 프로세스를 모니터링하는 데 중요한 역할을 한다고 언급한다.
노명래
Section: 2021년 성남동 상가 화재와 순직

영결식은 2021년 7월 2일 울산시청 햇빛광장에서 울산광역시장(葬)으로 엄수되었다. 고인에게는 소방사에서 소방교로의 1계급 특진과 옥조근정훈장이 추서되었고, 유해는 국립대전현충원 소방공무원 묘역에 안장되었다.

현장 대원들은 창문을 통한 탈출과 완강기·구조매트 등을 이용해 퇴로를 확보했고, 노명래는 중화상을 입은 상태로 부산의 화상전문병원으로 이송되었다.

노명래는 다음날인 6월 30일 새벽 04시 31분 사망하였다.
관계대수 (수학)
Section: 정의

욘슨과 치나키스(1993)에 따르면, 추가 연산 x ◁ y = x • y˘, 그리고 이중적으로 x ▷ y = x˘ • y를 정의하는 것이 편리하다. 욘슨과 치나키스는 I ◁ x = x ▷ I이며, 둘 다 x˘와 같다는 것을 보여주었다. 따라서 관계대수는 대수 구조 (L, ∧, ∨, −, 0, 1, •, I, ◁, ▷)로도 정의될 수 있다. 이 서명이 일반적인 서명보다 유리한 점은 관계대수가 단순히 I ◁ x가 대합인 잔여 불 대수로 완전히 정의될 수 있다는 것이다. 즉, I ◁ (I ◁ x) = x. 후자의 조건은 일반 산술 역수에 대한 방정식 1/(1/x) = x의 관계적 대응물로 생각할 수 있으며, 일부 저자는 역수를 역의 동의어로 사용한다.

관계대수 (L, ∧, ∨, −, 0, 1, •, I, ˘)는 불 연산인 논리곱 x∧y, 논리합 x∨y, 부정 x−, 불 상수 0과 1, 관계 연산인 합성 x•y 및 역 x˘, 그리고 관계 상수 I로 구성된 대수 구조이며, 이 연산과 상수는 관계 계산의 공리화를 구성하는 특정 방정식을 만족한다. 대략적으로, 관계대수는 공집합(0), 전체(1), 항등((I)) 관계를 포함하고 이 다섯 가지 연산에 대해 닫혀 있는 집합에 대한 이항 관계 시스템에 대한 것으로, 군이 항등 순열을 포함하고 합성 및 역에 대해 닫혀 있는 집합의 순열 시스템에 대한 것과 같다. 그러나 관계대수의 1차 이론은 그러한 이항 관계 시스템에 대해 완전하지 않다.
관계대수 (수학)

수학 및 추상대수학에서 관계대수(relation algebra)는 대합이라고 불리는 단항연산인 역으로 잔여 불 대수가 확장된 것이다. 관계대수의 동기 부여 예시는 집합 X에 대한 모든 이항 관계의 대수인 2X 2이다. 즉, 곱집합 X2의 부분 집합이며, R•S는 이항 관계 R과 S의 일반적인 합성으로 해석되고, R의 역은 역관계로 해석된다.

관계대수는 19세기 오거스터스 드 모르간과 찰스 샌더스 퍼스의 연구에서 시작되었으며, 이는 에른스트 슈뢰더의 대수 논리에서 정점을 찍었다. 여기서 다루는 관계대수의 등식 형태는 1940년대부터 알프레트 타르스키와 그의 학생들이 개발했다. 타르스키와 기반트(1987)는 관계대수를 공리적 집합론의 변수 없는 처리에 적용했으며, 이는 집합론에 기반을 둔 수학 자체가 변수 없이 수행될 수 있음을 의미했다.
관계대수 (수학)
Section: 예시

G가 군이라고 하자. 그러면 멱집합 는 명백한 불 대수 연산, 군 부분 집합의 곱으로 주어진 합성, 역 부분 집합()으로 주어진 역, 그리고 싱글턴 부분 집합 로 주어진 항등을 가진 관계대수이다. 각 부분 집합 를 관계 로 보내는 를 에 삽입하는 관계대수 동형사상이 있다. 이 동형사상의 이미지는 G에 대한 모든 오른쪽 불변 관계들의 집합이다.

군의 합 또는 곱이 합성을 해석하고, 군의 역원이 역을 해석하고, 군의 항등원이 I를 해석하며, R이 일대일 대응이어서 R˘ • R = R • R˘ = I이면, L은 모노이드뿐만 아니라 군이다. B4-B7은 군론의 잘 알려진 정리가 되므로, RA는 불 대수뿐만 아니라 군론의 적절한 확장이 된다.
성공일
Section: 생애

윤석열 대통령 지시로 옥조근정훈장이 추서되었고, 전라북도는 1계급 특진(소방교)을 추서했다. 3월 8일 한덕수 국무총리가 빈소를 찾아 조문하며 유가족을 위로했다. 2023년 4월 19일 공무원재해보상심의회는 그의 사망을 ‘위험직무순직’으로 의결하였다.

그의 순직은 화재 현장 ‘재진입’ 판단, 초기 대응 인력 구성과 안전 원칙(예: 2인 1조·RIT)의 실효성 등에 관한 제도적 논의를 촉발했다. 2024년 전북 임실군 전북119안전체험관에 순직 소방공무원 추모시설이 조성되면서, 성공일의 사례는 지역 사회의 추모 교육 자료로도 활용되고 있다.
김종필 (1973년)
Section: 독도 소방헬기 추락 사고

국토교통부 항공·철도사고조사위원회는 2023년 11월 6일 최종 조사 결과를 발표해, 야간 해상 이륙 환경에서 발생한 조종사의 공간정위상실(비행 착각)이 사고의 주요 원인이었다고 결론지었다. 프랑스 민간항공안전조사국(BEA)은 해당 사고에 대해 한국 조사당국 주도의 조사 사건으로 공지하였다.

2019년 10월 31일 23시 25분경(한국표준시), 중앙119구조본부 EC225/H225(등록부호 HL9619)가 독도경비대 헬기장에서 이륙한 직후 약 486m 떨어진 해상에 추락하였다. 항공기는 절단상 응급환자를 경상북도 본토 병원으로 이송하기 위해 출동 중이었다.
친화 크로마토그래피
Section: 특정 용도

면역친화성 크로마토그래피는 또한 환자 치료에서 신속한 진단 수단을 제공하는 면역크로마토그래피 테스트(ICT) 스트립의 기초가 된다. ICT를 사용하면 기술자는 실험실이 필요 없이 환자의 침대 옆에서 진단을 내릴 수 있다. ICT 검출은 감염을 일으키는 미생물에 대해 매우 특이적이다.

대부분의 단클론 항체는 박테리아에서 유래한 면역글로불린 특이적 단백질 A 또는 단백질 G를 기반으로 하는 친화 크로마토그래피를 사용하여 정제되었다.

모놀리식 컬럼에 고정화된 단클론 항체를 이용한 면역친화성 크로마토그래피는 EV 표면에 있는 테트라스파닌과 인테그린을 표적으로 하여 인간 혈장에서 세포외 소포체(예: 엑소좀 및 엑소메어)를 포획하는 데 성공적으로 사용되었다.
친화 크로마토그래피
Section: 회분식 및 컬럼식 구성

때로는 하이브리드 방법이 사용되어 결합은 회분식 방법으로 수행되지만, 표적 분자가 결합된 고정상은 컬럼에 충전되고 세척 및 용출은 컬럼에서 수행된다.

친화 크로마토그래피에 사용되는 리간드는 유기 및 무기 공급원에서 얻어진다. 생물학적 공급원의 예로는 혈청 단백질, 렉틴 및 항체가 있다. 무기 공급원은 모로닉산, 금속 킬레이트 및 트리아진 염료이다.

고정상에 대한 결합은 고체 매질이 컬럼에 충전되고, 초기 혼합물이 컬럼을 통과하여 침전되도록 한 다음, 세척 버퍼가 컬럼을 통과하고 이어서 용출 버퍼가 컬럼에 적용되어 수집되는 컬럼 크로마토그래피를 통해 이루어질 수 있다. 이러한 단계는 일반적으로 주변 압력에서 수행된다. 대안으로, 결합은 회분식 처리를 사용하여 이루어질 수 있으며, 예를 들어 초기 혼합물을 용기 내 고정상에 추가하고, 혼합하고, 고정상을 분리하고, 액체상을 제거하고, 세척하고, 재원심분리하고, 용출 버퍼를 추가하고, 재원심분리하고 용출액을 제거한다.
이중 차분
Section: 응용

2021년 엘레나 에스포지토는 DID를 사용하여 말라리아의 도래가 미국에서 아프리카 노예 제도의 확장에 어떤 영향을 미쳤는지 조사했다.
그녀는 17세기 후반에 질병이 도입되기 전후로 말라리아 전파에 생태학적으로 더 적합했던 카운티와 덜 적합했던 카운티를 비교했다. 결과는 말라리아에 취약한 카운티에서 질병이 풍토병이 된 후 노예화된 아프리카인의 비율이 훨씬 더 크게 증가했음을 보여주었다. 또한, 말라리아 유병률이 높은 아프리카 지역 출신의 노예들은 루이지애나 노예 시장에서 더 높은 가격에 팔렸는데, 이는 구매자들이 말라리아 저항력에 프리미엄을 부여했음을 시사한다. 이 응용은 DID가 환경 충격과 장기적인 제도적 발전을 연결하는 데 어떻게 사용될 수 있는지를 보여주었다.

곤잘레스, 마셜, 나이두는 2017년에 DID를 사용하여 메릴랜드의 노예 제도 폐지가 기업가 정신 패턴에 어떻게 영향을 미쳤는지 분석했다. 그들은 인구 조사 데이터와 당시의 신용 보고서를 결합하여 1864년 무상 노예 제도 폐지 전후 노예 소유자와 비노예 소유자의 사업 설립을 비교했다. 그들은 노예 소유자들이 해방 전에 사업을 시작할 가능성이 더 높았지만, 노예 제도가 폐지되자 이러한 이점이 사라졌다는 것을 발견했다. 이 경우 DID는 해방을 갑작스러운 제도적 변화로 다루고 그것이 사업 활동에 어떻게 영향을 미치는지 볼 수 있게 해주었다.
이중 차분
Section: 구현

DID 방법은 아래 표에 따라 구현할 수 있으며, 오른쪽 아래 셀이 DID 추정기이다.

회귀 분석을 실행하면 동일한 결과가 나온다. OLS 모델을 고려하라.

여기서 는 기간에 대한 더미 변수로, 일 때 이고, 는 집단 구성원에 대한 더미 변수로, 일 때 이다. 복합 변수 는 일 때를 나타내는 더미 변수이다. 여기서 엄격하게 보여지지는 않지만, 이것은 형식적인 정의 모델의 적절한 매개변수화이며, 또한 해당 섹션의 집단 및 기간 평균은 다음과 같이 모델 매개변수 추정치와 관련된다.

그리고 와 의 다른 값에 대해서도 마찬가지이며, 이는 다음 등가이다.

그러나 이것은 형식적인 정의와 위의 표에서 주어진 처치 효과에 대한 표현이다.

이중 차분 프레임워크의 변형에는 처치 개입의 단계적 구현을 위한 프레임워크와 Brantly Callaway 및 페드로 H.C. 산타나가 도입한 다중 시간대 및 기타 변형을 위한 추정기가 포함된다.
이중 차분
Section: 추가 자료

Imbens, Guido W.; Wooldridge, Jeffrey M. (2009). 《Recent Developments in the Econometrics of Program Evaluation》. 《Journal of Economic Literature》 47. 5–86쪽. doi:10.1257/jel.47.1.5.

Bakija, Jon; Heim, Bradley (August 2008). 《How Does Charitable Giving Respond to Incentives and Income? Dynamic Panel Estimates Accounting for Predictable Changes in Taxation》. 《NBER Working Paper No. 14237》. doi:10.3386/w14237.
독립항등분포
Section: 기계 학습에서

i.i.d. 가설은 훈련 샘플에 필요한 개별 사례의 수를 크게 줄여 최적화 계산을 단순화한다. 최적화 문제에서 독립항등분포 가정은 가능도 함수의 계산을 단순화한다.
이 가정 덕분에 가능도 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다.

관찰된 사건의 확률을 최대화하기 위해 로그 함수가 적용되어 매개변수 를 최대화한다. 구체적으로는 다음을 계산한다.

여기서

컴퓨터는 여러 덧셈을 수행하는 데 매우 효율적이지만, 곱셈을 수행하는 데는 효율적이지 않다. 이러한 단순화는 계산 효율성을 향상시킨다. 로그 변환은 최대화 과정에서 많은 지수 함수를 선형 함수로 변환한다.
독립항등분포
Section: 정의

확률 변수 와 가 에서 값을 취하도록 정의되었다고 가정한다. 와 를 각각 와 의 누적 분포 함수라고 하고, 이들의 결합 누적 분포 함수를 로 나타낸다.

두 확률 변수 와 는 모든 에 대해 일 때에만 독립이다. (사건의 더 간단한 경우, 두 사건 와 는 일 때에만 독립이다.)

두 확률 변수 와 는 모든 에 대해 일 때에만 동일하게 분포한다.

두 확률 변수 와 는 독립항등분포, 즉 다음과 같을 때에만 i.i.d.이다.

정의는 두 개 이상의 확률 변수로 자연스럽게 확장된다. 개의 확률 변수 가 독립적이고 동일하게 분포할 때에만 i.i.d.라고 말한다. 즉, 다음과 같을 때에만 i.i.d.이다.
독립항등분포
Section: 예시

이러한 i.i.d. 변수 시퀀스를 베르누이 과정이라고도 한다.

주사위를 10번 굴리고 그 결과를 변수 에 저장한다.

독립: 각 주사위 굴림의 결과는 다음 굴림에 영향을 미치지 않는다. 이는 10개의 변수가 서로 독립적임을 의미한다.

동전을 10번 던지고 그 결과를 변수 에 기록한다.

독립: 각 결과 는 다른 결과 (, 1부터 10까지)에 영향을 미치지 않는다. 이는 변수 가 서로 독립적임을 의미한다.

항등분포: 동전이 공정하든(앞면이 나올 확률 1/2) 편향되었든 상관없이, 각 던지기에 동일한 동전이 사용되는 한, 앞면이 나올 확률은 모든 던지기에서 일관되게 유지된다.
송건후
Section: 연구 및 개발

충남소방본부에서 집중호우 상황의 신고 폭주를 가정해 지역별 위험도를 자동 분류하고 우선대응 대상을 추천하는 프로그램을 개발했다. 구조 활동 이력, 기후·지형 정보 등 장기 데이터를 통합해 인명 구조의 골든타임 확보를 목표로 설계되었으며, 2024년 하반기 현장 시범 및 정책 콘퍼런스 공개가 예고되었다.

부여군 2012–2022년 화재 출동 기록을 위·경도 좌표로 정규화해 지도로 시각화하고, 기후(기온·강수)·건축물 현황·인구(특히 고령층 분포) 등의 변수를 결합해 월 단위의 발생 가능 구역을 예측하는 모델을 설계했다. 결과물은 4㎢ 격자 기반 예측도로 구현되어 시범운영에 활용되었고, 상반기 실측과의 비교 평가지표를 통해 성능을 점검하였다.
비선형 최소제곱법
Section: 알고리즘

교대 변수 탐색. 각 모수는 고정 또는 가변 증분을 더하여 차례로 변경되며, 제곱합의 감소를 가져오는 값이 유지된다. 이 방법은 모수가 크게 상관되어 있지 않을 때 간단하고 효과적이다. 수렴 속성이 매우 좋지 않지만, 초기 모수 추정치를 찾는 데 유용할 수 있다.

켤레기울기법. 이는 이론적으로 우수한 수렴 특성을 가진 향상된 최대 경사 하강 기반 방법이지만, 이차 문제에 사용될 때도 유한 정밀도 디지털 컴퓨터에서 실패할 수 있다.

직접 탐색 방법은 다양한 모수 값에서 목적 함수의 평가에 의존하며 미분을 전혀 사용하지 않는다. 이 방법은 가우스-뉴턴 방법 및 기울기 방법에서 수치 미분 사용에 대한 대안을 제공한다.
비선형 최소제곱법
Section: 계산

야코비 행렬의 요소를 위한 해석적 표현을 도출하기 매우 어렵거나 심지어 불가능한 모델도 있다. 이때, 수치 근사

는 와 에 대해 를 계산하여 얻어진다. 증분 의 크기는 수치 미분이 너무 커서 근사 오차의 영향을 받거나, 너무 작아서 반올림 오차의 영향을 받지 않도록 선택되어야 한다.

일부 정보는 가중 최소제곱법 페이지의 해당 섹션에 나와 있다.

다중 최소점은 여러 상황에서 발생할 수 있으며, 그 중 일부는 다음과 같다.

모수가 두 제곱 이상으로 거듭제곱된 경우. 예를 들어, 로렌츠 곡선에 데이터를 맞출 때
비선형 최소제곱법
Section: 이론

이러한 표현을 기울기 방정식에 대입하면 다음과 같이 된다.

이를 재정렬하면 n개의 연립 선형 방정식, 즉 정규 방정식이 된다.

정규 방정식은 행렬 표기법으로 다음과 같이 쓰여진다.

이 방정식은 비선형 최소제곱 문제에 대한 가우스-뉴턴 알고리즘의 기초를 형성한다.

야코비 행렬의 미분 정의에서 부호 규칙에 유의하라. 다른 문서나 문헌에서는 에 선형인 공식이  인자와 함께 나타날 수 있다.
다항식 회귀
Section: 행렬 형식 및 추정치 계산

순수 행렬 표기법을 사용하면 다음과 같이 작성된다.

추정된 다항식 회귀 계수의 벡터(정규방정식 추정 사용)는 다음과 같다.

행렬이 가역적이기 위해 필요한 m < n을 가정한다. 그러면 가 방데르몽드 행렬이므로, 모든  값이 서로 다르면 가역 조건이 보장된다. 이것이 유일한 최소제곱법 해이다.

다항식 회귀 모델

은 디자인 매트릭스 , 반응 벡터 , 매개변수 벡터 , 및 임의 오차의 벡터  항으로 행렬 형식으로 표현될 수 있다.  및 의 i번째 행은 i번째 데이터 샘플에 대한 x 및 y 값을 포함한다. 그러면 모델은 연립 일차 방정식으로 작성될 수 있다.
다항식 회귀
Section: 대체 접근 방식

다항식 회귀는 두 양 사이의 함수적 관계를 모델링하기 위해 기저 함수를 사용하는 회귀 분석의 한 예이다. 더 구체적으로, 선형 회귀에서 를 다항식 기저 (예: )로 대체한다. 다항식 기저의 단점은 기저 함수가 "비국소적"이라는 것이다. 즉, 주어진 x = x0 값에서 y의 적합된 값은 x0에서 멀리 떨어진 x를 가진 데이터 값에 강하게 의존한다. 현대 통계학에서는 다항식 기저 함수가 스플라인 곡선, 방사형 기저 함수, 웨이블릿과 같은 새로운 기저 함수와 함께 사용된다. 이러한 기저 함수 계열은 많은 유형의 데이터에 대해 더 간결한 적합을 제공한다.

다항식 회귀의 목표는 독립 변수와 종속 변수(엄밀히 말하면 독립 변수와 종속 변수의 조건부 평균) 사이의 비선형 관계를 모델링하는 것이다. 이는 비선형 회귀 관계를 포착하는 것을 목표로 하는 비모수 회귀의 목표와 유사하다. 따라서 평활화와 같은 비모수 회귀 접근 방식은 다항식 회귀의 유용한 대안이 될 수 있다. 이러한 방법 중 일부는 고전적인 다항식 회귀의 국소화된 형태를 사용한다. 전통적인 다항식 회귀의 장점은 다중 회귀의 추론 프레임워크를 사용할 수 있다는 것이다(이는 스플라인과 같은 다른 기저 함수 계열을 사용할 때도 마찬가지이다).
다항식 회귀
Section: 정의 및 예시

회귀 분석의 목표는 독립 변수(또는 독립 변수 벡터) x의 값에 따라 종속 변수 y의 기대값을 모델링하는 것이다. 단순 선형 회귀에서는 다음 모델이 사용된다.

여기서 ε은 스칼라 변수 x에 조건화된 평균이 0인 관측되지 않은 임의 오차이다. 이 모델에서 x 값이 단위 증가할 때마다 y의 조건부 기대값은 β1 단위만큼 증가한다.

많은 경우에 이러한 선형 관계가 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 화학 합성의 수율을 합성이 일어나는 온도에 따라 모델링할 때, 온도가 단위 증가할 때마다 수율이 증가하는 양이 더 커지는 것을 발견할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 이차 모델을 제안할 수 있다.
차를 맛보는 여인

이 예시는 피셔의 삶에서 일어난 사건에 느슨하게 기반을 두고 있다. 문제의 여성인 조류학자 뮤리엘 브리스톨은 차나 우유가 컵에 먼저 첨가되었는지 구별할 수 있다고 주장했다. 그녀의 미래 남편인 윌리엄 로치는 피셔에게 여덟 잔의 컵을 주고, 각 종류별로 네 잔씩 무작위 순서로 주라고 제안했다. 그녀가 정확하게 식별한 특정 수의 컵(실제로는 여덟 잔 모두)을 맞출 확률이 얼마인지 물을 수 있었지만, 이는 단지 우연이었을 뿐이다.

통계학의 실험계획법에서 차를 맛보는 여인(lady tasting tea)은 로널드 피셔가 고안하여 그의 책 실험계획법 (1935)에 보고된 무작위 실험이다. 이 실험은 "실험 과정에서 결코 증명되거나 확립되지 않지만, 반증될 가능성이 있는" 피셔의 귀무 가설 개념을 최초로 설명한 것이다.
차를 맛보는 여인
Section: 실험

따라서 차를 맛보는 여인이 모든 8잔의 컵을 올바르게 분류한 경우에만 피셔는 귀무 가설을 기각할 의향이 있었다. 이는 감별사의 능력을 1.4% 유의수준으로 효과적으로 인정하는 것이다(그러나 그녀의 능력을 정량화하지는 않았다). 피셔는 나중에 더 많은 시행과 반복 테스트의 이점을 논의했다.

데이비드 설스버그는 피셔의 동료인 H. 페어필드 스미스가 실제 실험에서 감별사가 여덟 잔의 컵을 모두 정확하게 식별하는 데 성공했다고 밝혔다.
만약 그녀가 어떤 네 잔은 차가 먼저 들어갔고 나머지 네 잔은 우유가 먼저 들어갔다고 추측한다면, 단순히 추측으로 모든 것을 맞출 확률은 70분의 1에 불과할 것이다(8개 중 4개를 한 번에 선택하는 조합).
피셔의 원리
Section: 기본 설명

W. D. 해밀턴은 1967년 "특이한 성비"에 대한 논문에서 다음의 간단한 설명을 제시했다. 이는 수컷과 암컷을 생산하는 데 드는 비용이 같다는 조건하에 주어졌다.

수컷 출생이 암컷보다 드물다고 가정한다.

그러면 새로 태어난 수컷은 새로 태어난 암컷보다 더 나은 짝짓기 전망을 가지며, 따라서 더 많은 자손을 가질 것으로 기대할 수 있다.

그러므로 수컷을 생산하는 경향이 있는 유전자를 가진 부모는 평균보다 많은 수의 손주를 낳는 경향이 있다.
피셔의 원리
Section: 주장의 발전

피셔의 원리는 진화 게임 이론의 선구자이기도 하다. R.H. 매카서 (1965)는 성비에 게임 이론의 언어를 적용할 것을 처음 제안했고, 이는 나중에 W.D. 해밀턴 (1967)에 의해 받아들여져 균형점을 "무패 전략"이라고 명명했다. 해밀턴의 무패 전략은 존 메이너드 스미스와 조지 R. 프라이스 (1973)에 의해 돌연변이 전략에 의해 침범될 수 없는 개념인 진화적으로 안정한 전략으로 정교화되었다.

피셔의 부모 지출 (현재 부모 투자라고 불림) 개념은 특히 로버트 트리버스에 의해 발전되었으며, 현재 생태학에서 중요한 개념이다.

조지 C. 윌리엄스, 리처드 도킨스, 랜돌프 M. 네스는 피셔의 원리를 집단 선택보다 개체 수준 선택의 우위를 보여주는 예시로 인용한다. 왜냐하면 집단의 가상적인 성 불균형과 관계없이, 부모 유기체의 유전자는 다음 세대로의 전달을 극대화하기 위해 덜 빈번한 성의 자손을 생산하지만, 이는 집단 성장률에 상당한 비용을 초래하기 때문이다.
거짓말, 지독한 거짓말, 그리고 통계

거짓말, 지독한 거짓말, 그리고 통계(Lies, damned lies, and statistics)는 약한 논증을 강화하기 위한 통계학의 설득력, 즉 응용 통계학에 대한 "가장 좋고 가장 잘 알려진" 비판 중 하나를 묘사하는 문구이다. 또한 때때로 상대방의 주장을 증명하는 데 사용된 통계를 의심하기 위해 구어체로 사용되기도 한다.

이 문구는 마크 트웨인을 비롯한 여러 사람에 의해 미국에서 대중화되었는데, 그는 이 문구를 영국의 총리인 벤저민 디즈레일리에게 돌렸다. 그러나 이 문구는 디즈레일리의 어떤 작품에서도 발견되지 않으며, 가장 초기의 알려진 등장은 그의 사망 후 몇 년이 지나서였다. 다른 여러 사람들이 이 인용문의 원작자로 등재되어 있으며, 종종 트웨인 자신에게 귀속되기도 한다.
거짓말, 지독한 거짓말, 그리고 통계
Section: 출처

Delaunay, Paul (1953). 〈Les doctrines médicales au début du XIXe siècle. Louis et la méthode numérique〉 (프랑스어).   Underwood, E.A. (편집). 《Science, Medicine, and History》. Oxford University Press. ISBN 978-0-598-60762-1. 2024년 7월 7일에 확인함.

Деружинский, Григорий Викторович (2015). 《Существуют три вида обмана: ложь, наглая ложь и статистика. Этимология афоризма》 [세 가지 종류의 거짓말이 있다: 거짓말, 지독한 거짓말, 그리고 통계. 경구의 어원] (러시아어). 《Вопросы статистики》. 85–88쪽. doi:10.34023/2313-6383-2015-0-6-85-88 (년 이후로 접속 불가 2025-07-12).
거짓말, 지독한 거짓말, 그리고 통계
Section: 사용

Lies, Damned Lies, and Drug War Statistics: A Critical Analysis of Claims Made by the Office of National Drug Control Policy (2014), 매튜 B. 로빈슨 & 르네 G. 셔렌 저 뉴욕 주립 대학교 출판부; ISBN 9781438448381

스티븐 제이 굴드의 에세이 《중앙값은 메시지가 아니다》는 이 인용문을 반복하며 시작한다. 굴드는 1982년에 그가 진단받은 암의 형태인 복막 중피종이 "중앙 생존 기간이 8개월"이라는 통계가 어떻게 오해의 소지가 있는지를 설명한다.
산술기하학
Section: 개요

대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 상에서 정의된 대수다양체의 구조는 대수기하학의 현대적이고 추상적인 발전과 함께 관심의 중심 영역이 되었다. 유한체 상에서는 에탈 코호몰로지가 대수다양체와 관련된 위상적 불변량을 제공한다. p-진 호지 이론은 복소수 상의 다양체의 코호몰로지적 특성이 p-진수 상의 다양체로 확장되는지 여부를 조사하는 도구를 제공한다.

산술기하학의 고전적인 관심 대상은 유리점이다. 즉, 수체, 유한체, p-진수체 또는 대수 함수체, 즉 대수적으로 닫힌 체가 아닌 (실수를 제외한) 체 상에서 다항 방정식계의 해집합이다. 유리점은 그 산술적 복잡성을 측정하는 높이 함수에 의해 직접적으로 특성화될 수 있다.
산술기하학
Section: 역사

1983년에 게르트 팔팅스는 모델 추측을 증명하여, 종수가 1보다 큰 곡선은 유한개의 유리점만을 가진다는 것을 보여주었다 (모델-베유 정리는 유리점 집합의 유한 생성만을 증명하며 유한성을 직접 증명하지 않는다).

2001년, GLn에 대한 국소 랭글랜즈 추측의 증명은 특정 시무라 다양체의 기하학에 기반을 두었다.

2010년대에 페터 숄체는 p-진 체 상의 산술기하학에서 퍼펙토이드 공간과 새로운 코호몰로지 이론을 개발했으며, 이는 갈루아 표현과 가중치 단조성 추측의 특정 사례에 적용되었다.
조철희 (소방공무원)
Section: 연구 및 기여

화학사고 현장대응 가이드 체계화

소방청 『화학사고 현장대응 가이드북(CIRG-FF)』의 개발과 개정·보급에 참여해 현장대원 중심의 절차와 안전기술을 제시했다. 가이드북은 2014~2020년 국내 사고 데이터를 반영해 138종 물질 대응 정보를 정리하고, 119 전 대원에게 스마트폰 앱(‘119 e-book’) 형태로 제공된다.

현장 안전과 직업병 인과 추론

화재 연소 시 발생하는 유해물질 노출과 심혈관계 희귀암의 연관성을 논리적으로 제시한 공적으로 2020년 대한민국 공무원상을 수상했다. 해당 연구는 고 김범석 소방관의 공무상 사망 인정(2019년) 과정에서 제시된 근거들과 같은 맥락에서 현장 안전 정책의 개선 필요성을 부각시켰다.
조철희 (소방공무원)
Section: 논문

이 논문은 최근 국내 화학사고 원시자료를 정리하여 사고 유형과 발생 추세를 한눈에 볼 수 있도록 시각화했다. 분석 결과를 통해 산성·염기성 물질, 중금속 등 우선관리 물질을 계량적으로 도출했다. 교육시설과 연구실에서 반복되는 누출사고 특성을 지적하고 예방대책의 우선순위를 제시했다. 데이터 처리와 분류 기준을 명시해 재현 가능성을 높였다. 현장 대응계획과 교육과정 설계에 직접 활용할 수 있는 지표와 표준 절차를 제공한다.

조철희. 2022. 〈소방대원 『화학사고 현장대응 가이드북』 개발 및 적용〉(Development and Implementation of 『Chemical Incident Response Guide』 for Firefighters). 한국위험물학회지 10(2): 30–37. doi:10.31333/kihm.2022.10.2.30.
종합기하학
Section: 역사

평행선을 기본으로 취할 때, 종합은 아핀 기하학을 생성한다. 유클리드 기하학은 아핀 기하학이자 거리 기하학이지만, 일반적으로 아핀 공간에는 거리가 없을 수 있다. 따라서 추가된 유연성은 아핀 기하학의 역사에서 논의된 바와 같이 시공간 연구에 아핀 기하학을 적합하게 만든다.

1955년 허버트 부제만과 폴 J. 켈리는 종합기하학에 대한 향수를 표현했다.

비록 마지못해서지만, 기하학자들은 종합기하학의 아름다움이 새로운 세대에게 매력을 잃었다는 것을 인정해야 한다. 그 이유는 분명하다. 얼마 전까지만 해도 종합기하학은 추론이 공리에서 엄격하게 진행되는 유일한 분야였지만, 많은 수학적으로 관심 있는 사람들에게는 매우 근본적인 이 매력은 이제 다른 많은 분야에서 제공된다.
종합기하학

르네 데카르트가 해석기하학이라고 불리는 좌표 방법을 17세기에 도입한 후, "종합기하학"이라는 용어는 데카르트 이전에는 유일하게 알려져 있던 오래된 방법들을 지칭하기 위해 만들어졌다.

종합기하학(synthetic geometry, 공리적 기하학 또는 순수 기하학)은 좌표를 사용하지 않는 기하학이다. 이는 처음에 공준이라고 불렸고 현재는 공리라고 불리는 몇 가지 기본 속성에서 모든 결과를 증명하기 위해 공리적 방법에 의존한다.
종합기하학
Section: 추가 자료

핼스테드, 조지 브루스 (1906) Synthetic Projective Geometry, via 인터넷 아카이브.

Hilbert & Cohn-Vossen, Geometry and the imagination.

Boyer, Carl B. (2004) [1956], 《History of Analytic Geometry》, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0

Halsted, G. B. (1896) Elementary Synthetic Geometry via Internet Archive
원넓이
Section: 빠른 근사

아르키메데스가 넓이를 수치적으로 근사하는 데 사용한 계산은 고된 작업이었고, 그는 96변 다각형에서 멈췄다. 더 빠른 방법은 빌레브로트 스넬 (Cyclometricus, 1621)의 아이디어를 사용하며, 크리스티안 하위헌스 (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654)에 의해 더욱 발전되었다. 이는 Gerretsen & Verdenduin (1983, pp. 243–250)에 기술되어 있다.

원이 주어졌을 때, 내접하는 정n각형의 둘레를 un이라 하고, 외접하는 정n각형의 둘레를 Un이라 하자. 그러면 un과 Un은 n이 증가할수록 점점 더 정밀해지는 원둘레의 하한과 상한이 되며, 그 평균 (un + Un)/2는 원둘레에 대한 특히 좋은 근사치이다. 큰 n에 대해 un과 Un을 계산하기 위해 아르키메데스는 다음 배가 공식을 유도했다.
원넓이
Section: 역사적 논증

원이 둘러싸는 넓이가 삼각형의 넓이 T보다 작다고 가정하자. 부족량을 D라고 하자. 각 변의 중간점이 원 위에 놓이도록 정사각형을 외접시킨다. 정사각형과 원 사이의 총 넓이 간격 G4가 D보다 크다면, 원 접선으로 모서리를 잘라 외접된 팔각형을 만들고, 간격 넓이가 D보다 작아질 때까지 자르기를 계속한다. 다각형의 넓이 Pn은 T보다 작아야 한다.

그러나 이는 다음과 같이 모순을 강요한다. 중심에서 다각형 변의 중간점으로 수직선을 그리면 그 길이 h는 원 반지름보다 작다. 또한 다각형의 각 변의 길이를 s라고 하자. 그러면 변들의 합은 ns인데, 이는 원둘레보다 작다. 다각형 넓이는 높이 h와 밑변 s를 가진 n개의 동일한 삼각형으로 구성되므로 nhs/2와 같다. 그러나 h < r이고 ns < c이므로 다각형 넓이는 삼각형 넓이 cr/2보다 작아야 하며, 이는 모순이다. 그러므로 C가 T보다 클 수 있다는 우리의 가정은 틀려야 한다.
원넓이
Section: 일반화

더 높은 차원에서 유사한 측정을 고려할 수도 있다. 예를 들어, 구 안의 부피를 찾고 싶을 수 있다. 표면 넓이 공식이 있을 때, 원판에 사용했던 것과 동일한 종류의 "양파" 접근법을 사용할 수 있다.

원판을 늘려 타원을 만들 수 있다. 이 늘림은 평면의 선형 변환이므로, 넓이를 변경하지만 넓이의 비율을 보존하는 왜곡 인자를 가진다. 이 관찰은 단위 원의 넓이로부터 임의의 타원의 넓이를 계산하는 데 사용될 수 있다.
소진법
Section: 역사

명제 10: 원뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.

명제 11: 높이가 같은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례한다.

명제 12: 다른 원뿔 (또는 원기둥)과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면 지름의 비율의 세제곱에 비례한다.

에우클레이데스는 그의 에우클레이데스의 원론 제12권에서 다음 6가지 명제를 증명하기 위해 소진법을 사용했다.

명제 2: 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.

명제 5: 높이가 같은 두 사면체의 부피는 그 삼각형 밑면의 넓이에 비례한다.
소진법
Section: 예시 2: 원들은 지름의 제곱에 비례한다

그러나 두 정볼록다각형(원이 아닌)에 대해서는 임을 쉽게 보일 수 있다. 단, 이 고정되어야 한다.
이것을 이전 진술에 대입하면 다음과 같다.

그러나 이므로 이는 모순이다. 다음 단계는  또한 거짓임을 증명하는 것이다. 그러나 의 표시는 완전히 임의적이었으므로, 재표시함으로써 이 경우도 추가 증명 없이 따른다. 따라서 우리는 임을 알 수 있다.

이라는 이 진술은 에우독소스에게 귀속되지만, 그의 설명은 남아 있지 않다. 이는 에우클레이데스 원론 제12권 명제 2에서 재현된다.

증명의 개요를 위해, 귀류법으로 라고 가정하자.
를 각각 에 내접하는 변 정다각형이라고 하자.
로 정의하자. 그러면 에우클레이데스 원론 제10권 명제 1에 의해, 일 때마다 이 되는 을 찾을 수 있다. 따라서 의 정의를 사용하여 를 얻는다.
소진법
Section: 예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다

이는 다음과 같이 더 줄어든다.

그러나 이는 모든 양의 에 대해 거짓인데, 왼쪽 항의 첫 번째 항은 보다 크고 두 번째 항은 보다 크므로 그 곱은 보다 크기 때문에 모순에 도달했기 때문이다.

아르키메데스도 발견했던 제곱의 합 공식을 사용한다.

따라서 부등식으로 돌아가면 다음과 같다.

원의 반지름이 였으므로, 원의 넓이는 이다. 이를 위의 부등식에 와 함께 대입하면 다음과 같다.
회전면
Section: 좌표 표현

로 설명되는 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 생성된 회전면은 으로 가장 간단하게 설명될 수 있다. 이는 와 에 대한 매개변수화로 를 생성한다. 만약 대신 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킨다면, 곡선은 로 설명되며, 매개변수 와 에 대해 라는 표현을 생성한다.

x와 y가 매개변수 로 정의되면, 우리는 와 에 대한 매개변수화를 얻는다. 만약 와 가 의 함수라면, 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 로 설명되고, y-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 로 설명된다.
회전면
Section: 넓이 공식

예를 들어, 단위 반경의 구면은 t가 [0,π] 범위에 있을 때 곡선 y(t) = sin(t), x(t) = cos(t)에 의해 생성된다. 따라서 넓이는 다음과 같다.

반경 r의 구형 곡선, y(x) = √r2 − x2가 x-축 주위로 회전하는 경우

최소 회전면은 주어진 두 점 사이의 곡선 중 표면적을 최소화하는 곡선의 회전면이다. 변분법의 기본 문제는 이 최소 회전면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것이다.

회전면인 동시에 최소 곡면인 최소 회전면은 평면과 현수면의 두 가지뿐이다.
회전면

직선으로 생성된 회전면의 예로는 직선이 축에 평행한지 여부에 따라 원기둥 및 원추표면이 있다. 지름 주위로 회전하는 원은 대원이 되는 구를 생성하고, 원의 내부와 교차하지 않는 축 주위로 원이 회전하면 자체적으로 교차하지 않는 원환면 (환형 원환면)을 생성한다.

회전면(surface of revolution)은 유클리드 공간에서 곡선 (생성선)을 회전축 (일반적으로 끝점을 제외하고는 생성선과 교차하지 않음)을 중심으로 한 바퀴 회전시켜 생성되는 곡면이다.
이 회전으로 생성된 곡면으로 둘러싸인 부피는 회전체이다.
평면 곡선
Section: 대수 평면 곡선

모든 대수 평면 곡선은 정의 방정식의 차수와 같은 차수를 가지며, 이는 대수적으로 닫힌 체의 경우 일반 위치에 있는 직선과 곡선의 교점 수와 같다. 예를 들어, 방정식 로 주어지는 원은 차수가 2이다.

대수 평면 곡선은 하나의 다항 방정식  (또는 , 여기서 F는 사영의 경우 동차다항식임)으로 주어지는 아핀 평면 또는 사영 평면의 곡선이다.

대수 곡선은 18세기 이래로 광범위하게 연구되어 왔다.
김수영 (소방학자)
Section: 주요 논문

동일 차종 차량을 대상으로 점화 후 최성기에 질식소화덮개를 10·20·30분 적용해 소화 가능성을 검증한다. 일부 재발화가 있었으나 잔화정리로 완전 진화가 가능함을 보인다. 도로·주차장 등 현장 여건에서 펌프차 도착 전 대응수단으로서의 유용성을 제시한다. 적용시간·재발화 관리 등 운용상 고려사항을 구체화한다. 결과는 현장 활용 가이드와 장비 운용 지침 마련의 기초가 된다.

권진석; 김황진; 이수호; 김수영 외 (2021). “자동차화재 시 질식소화덮개 적용방안에 관한 실험적 연구 (Application of Car Fire Blankets to Car Fires)”. Fire Science and Engineering 35(1): 143–149. doi:10.7731/KIFSE.2513d05f.
김수영 (소방학자)
Section: 연구 분야와 기여

화재조사(감식)·위험물/전기 원인 규명

밀폐공간 화재 위험성, 유류증거물 정성 분석 등 감식 기반을 축적하며 학술지·학회에서 결과를 발표했다.

드론·3D 스캐너 기반 재난현장 매핑

드론과 3D스캐너로 현장 데이터를 수집·분석해 화재 원인 규명과 재현실험의 기초자료를 체계화하는 절차를 제시했다.

리빙랩 기반 R&D 실용화

사용자(일선 대원) 참여형 리빙랩 프레임을 소방장비 R&D에 도입해 현장 적합성·활용성을 높이는 정책·연구 논의를 주도했다.
배위 공간 (고전역학)
Section: 예시

연결되지 않고 상호작용하지 않는 n개의 점 입자의 경우, 배위 공간은 이다. 그러나 일반적으로 입자가 상호작용하는 경우에 관심이 있다. 예를 들어, 기어, 도르래, 구르는 공 등의 일부 조립체에서 특정 위치에 있으며 종종 미끄러지지 않고 움직이도록 제약된다. 이 경우 배위 공간은  전체가 아니라 점들이 취할 수 있는 허용 가능한 위치의 부분 공간(부분 다양체)이다.

3차원 공간에서 강체의 기준점 위치와 강체에 부착된 좌표계의 방향을 정의하는 좌표 집합은 그 배위 공간을 형성하며, 종종 로 표기된다. 여기서 는 강체에 부착된 프레임의 원점 좌표를 나타내고, 는 지상 프레임에 대한 이 프레임의 방향을 정의하는 회전 행렬을 나타낸다. 강체의 배위는 세 개의  매개변수와 세 개의  매개변수로 정의되며, 여섯 개의 자유도를 가진다고 한다.
기하학적 변환
Section: 분류

기하학적 변환은 피연산자 집합의 차원에 따라 분류할 수 있다(따라서 평면 변환과 공간 변환을 구분한다). 또한 보존하는 속성에 따라 분류할 수도 있다.

변위는 거리와 방향 각도를 보존한다(예: 평행 이동);

등거리 변환은 각도와 거리를 보존한다(예: 유클리드 변환);

닮음은 각도와 거리 사이의 비율을 보존한다(예: 크기 조정);

아핀 변환은 평행성을 보존한다(예: 스케일링, 전단);
기하학적 변환
Section: 반대 군 작용

행 벡터 v의 전치는 열 벡터 vT이고, 위 등식의 전치는  이다. 여기서 AT는 열 벡터에 대한 왼쪽 작용을 제공한다.

변환 기하학에는 합성 AB가 있다. 행 벡터 v에서 시작하여 합성 변환의 오른쪽 작용은 w = vAB이다. 전치 후,

많은 기하학적 변환은 선형대수로 표현된다. 전단사 선형 변환은 일반선형군의 요소이다. 선형 변환 A는 비특이적이다. 행 벡터 v의 경우, 행렬곱 vA는 또 다른 행 벡터 w = vA를 생성한다.
등방성 이차 형식

(V, q)가 이차 공간이고 W가 V의 부분 공간이라고 가정하자. 그러면 W는 그 안에 등방성 벡터가 있으면 V의 등방성 부분 공간, 그 안에 있는 모든 벡터가 등방성이면 완전 등방성 부분 공간, 그리고 (0이 아닌) 등방성 벡터를 포함하지 않으면 정부호 부분 공간이라고 한다. 이차 공간의 등방성 지수는 완전 등방성 부분 공간의 최대 차원이다.

수학에서 체 F에 대한 이차 형식은 형식이 0으로 평가되는 0이 아닌 벡터가 있는 경우 등방성(isotropic)이라고 한다. 그렇지 않으면 정부호 이차 형식이다. 더 명시적으로, q가 F 위의 벡터 공간 V에 대한 이차 형식인 경우, V의 0이 아닌 벡터 v는 q(v) = 0이면 등방성이라고 한다. 이차 형식은 0이 아닌 등방성 벡터(또는 영벡터)가 존재할 때만 등방성이다.