hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-related-paragraph-pairs huggingface dataset:
실질 조건문
Section: 자연어와의 불일치

20세기 중반, H. P. 그라이스와 프랭크 잭슨을 포함한 여러 연구자들은 화용론적 원리가 자연어 조건문과 실질 조건문 사이의 불일치를 설명할 수 있다고 제안했다. 그들의 설명에 따르면, 조건문은 실질적 함의를 지시하지만, 그라이스의 격률과 같은 대화적 규범과 상호작용할 때 추가 정보를 전달하게 된다. 형식 의미론 및 언어철학의 최근 연구는 일반적으로 자연어 조건문에 대한 분석으로서 실질적 함의를 피하고 있다. 특히, 이러한 연구는 자연어 조건문이 "P라면 Q"의 진리값이 오직 P와 Q의 진리값에 의해서만 결정된다는 의미에서 진리 함수적이라는 가정을 종종 거부했다. 따라서 조건문의 의미론적 분석은 일반적으로 양상 논리, 연관 논리, 확률론 및 인과 모델과 같은 기초 위에 구축된 대안적 해석을 제안한다.

실질적 함의는 자연어의 조건문 사용과 밀접하게 일치하지 않는다. 예를 들어, 거짓 전건을 가진 실질 조건문은 공허하게 참이지만, 자연어 문장 "8이 홀수라면, 3은 소수이다"는 일반적으로 거짓으로 판단된다. 마찬가지로, 참 후건을 가진 어떤 실질 조건문도 그 자체로 참이지만, 화자들은 일반적으로 "내 주머니에 1페니가 있다면, 파리는 프랑스에 있다"와 같은 문장을 거부한다. 이러한 고전적인 문제들은 실질적 함의의 역설이라고 불렸다. 역설 외에도, 실질적 함의 분석에 반대하는 다양한 다른 주장이 제기되었다. 예를 들어, 반사실적 조건문은 그러한 설명에서는 모두 공허하게 참이 될 것이지만, 실제로는 일부는 거짓이다.
실질 조건문
Section: 추가 문헌

에징턴, 도로시 (2001), "Conditionals", Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, 블랙웰.

콰인, W.V. (1982), Methods of Logic, (1판 1950), (2판 1959), (3판 1972), 4판, 하버드 대학교 출판부, 케임브리지, MA.

Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, 클루어 아카데미 출판사, 노웰, MA. 2nd edition, 도버 출판사, 미니올라, NY, 2003.
연경도약대암장
Section: 개요

연경도약대암장은 대구광역시에 있어 시내와 가까와 접근이 매우 편리하며 연경체육공원 주차장(도로명주소: 대구광역시 북구 동화천로 330) 뒤쪽 길로 접근하거나 연경공원(도로명주소: 대구 북구 동화천로 333)에서 동화천 하천 산책로를 따라 접근할 수 있다. 연경체육공원 주차장에는 20여 대가 주차할 수 있고 화장실이 있으며 이 주차장 뒤쪽에서 연경도약대암장으로 접근할 수 있는 길이 있다.

자동차 (지번: 대구 동구 지묘동 산 73-1/도로명주소: 대구광역시 북구 동화천로 330 또는 333)
대구외곽순환고속도로 파군재 나들목 → 동화천로 → 연경체육공원 주차장/연경공원
경부고속도로 북대구 나들목 → 서변남로 → 호국로 → 동화천로 → 연경체육공원 주차장/연경공원
미정의 동작
Section: 장점

만약 컴파일러가 부호 있는 정수 오버플로가 래핑 동작을 가진다고 가정해야 했다면, 위의 변환은 유효하지 않았을 것이다.

코드가 더 복잡하고 인라이닝과 같은 다른 최적화가 이루어질 때, 이러한 최적화는 사람이 알아차리기 어려워진다. 예를 들어, 다른 함수가 위 함수를 호출할 수 있다.

C 언어의 예시:

x의 값은 음수가 될 수 없으며, 부호 있는 정수 오버플로가 C에서 미정의 동작이라는 점을 고려할 때, 컴파일러는 value < 2147483600이 항상 거짓일 것이라고 가정할 수 있다. 따라서 if 문의 테스트 표현식에 부작용이 없고 조건이 결코 충족되지 않으므로, 함수 bar 호출을 포함한 if 문은 컴파일러에 의해 무시될 수 있다. 따라서 코드는 의미론적으로 다음과 동일하다.
미정의 동작
Section: C 및 C++의 예시

C에서 미정의 동작의 주요 형태는 크게 다음과 같이 분류할 수 있다. 공간 메모리 안전 위반, 시간 메모리 안전 위반, 정수 오버플로, 엄격한 별칭 위반, 정렬 위반, 순서 없는 수정, 데이터 경합, 그리고 I/O를 수행하지도 종료하지도 않는 루프.

C에서 자동 변수를 초기화하기 전에 사용하면 미정의 동작이 발생하며, 정수 0으로 나누기, 부호 있는 정수 오버플로, 정의된 범위 밖의 배열 인덱싱(버퍼 오버플로 참조) 또는 널 포인터 역참조도 마찬가지이다. 일반적으로 미정의 동작의 모든 인스턴스는 추상 실행 기계를 알 수 없는 상태로 남겨두고 전체 프로그램의 동작을 미정의 상태로 만든다.
미정의 동작
Section: 개요

바운드 오류 외에도 언어 규칙은 특정 종류의 오류가 오류 실행으로 이어진다고 정의한다. 바운드 오류와 마찬가지로, 구현은 런타임 이전 또는 도중에 그러한 오류를 감지할 필요가 없다. 바운드 오류와 달리, 오류 실행의 가능한 효과에 대한 언어 지정 바운드는 없으며, 그 효과는 일반적으로 예측할 수 없다.

조건을 "오류"로 정의하는 것은 언어 구현이 잠재적으로 비용이 많이 드는 검사(예: 전역 변수가 서브루틴 매개변수와 동일한 객체를 참조하는지 여부)를 수행할 필요는 없지만, 프로그램의 의미론을 정의할 때 조건이 참이라는 것에 의존할 수 있음을 의미한다.
미지정 동작
Section: 정의

미지정 동작의 정확한 정의는 다양하다. C++에서는 "잘 구성된 프로그램 구성과 올바른 데이터에 대한 동작으로, 구현에 의존하는 것"으로 정의된다. C++ 표준은 가능한 동작의 범위가 일반적으로 제공된다고도 명시한다. 구현 정의 동작과 달리, 구현이 해당 동작을 문서화해야 하는 요건은 없다. 마찬가지로, C 표준은 "두 가지 이상의 가능성을 제공하고 어떠한 경우에도 어느 것이 선택될지에 대한 추가 요구 사항을 부과하지 않는" 동작으로 정의한다. 미지정 동작은 미정의 동작과 다르다. 후자는 일반적으로 잘못된 프로그램 구성 또는 데이터의 결과이며, 그러한 구성의 번역 또는 실행에 대한 요구 사항은 없다.

컴파일러가 각 대상 플랫폼에 최적의 코드를 생성할 수 있도록, 프로그래밍 언어 표준은 주어진 소스 코드 구성에 대해 항상 특정 동작을 부과하지는 않는다. 모든 가능한 프로그램의 정확한 동작을 명시적으로 정의하지 않는 것은 언어 사양의 오류나 약점으로 간주되지 않으며, 그렇게 하는 것은 실현 불가능할 것이다. C 및 C++ 언어에서는 이러한 비-이식성 구성이 일반적으로 세 가지 범주로 분류된다: 구현 정의(implementation-defined), 미지정(unspecified), 그리고 미정의 동작(undefined behavior).
Colorless green ideas sleep furiously
Section: 관련 및 유사한 예시

철학자 버트런드 러셀은 1940년 저서 "의미와 진리에 대한 탐구"에서 "사중성(四重性)이 지연을 마신다(Quadruplicity drinks procrastination)"는 문장을 사용하여 유사한 주장을 펼쳤다. W.V. 콰인은 이에 대해 문장이 거짓이라는 것은 그것이 참이 아니라는 것일 뿐이며, 사중성은 아무것도 마시지 않으므로 그 문장은 단순히 거짓이지 무의미한 것이 아니라는 이유로 반대했다.

그러한 문장들의 더 이른 예시가 아마도 언어 철학 문헌에서 존재할 것이지만, 초점이 대부분 경계 사례에 맞춰져 있었기 때문에 반드시 논란의 여지가 없는 것은 아니다. 예를 들어, 논리실증주의 추종자들은 "형이상학적"(즉, 경험적으로 검증할 수 없는) 진술은 단순히 무의미하다고 주장한다. 예를 들어, 루돌프 카르나프는 마르틴 하이데거의 거의 모든 문장이 문법적으로 잘 형성되었지만 무의미하다고 주장하는 논문을 썼다.
Colorless green ideas sleep furiously
Section: 무의미하지만 문법적인

자동사 'sleep'의 c-선택은 충족되는데, 주어 'colorless green ideas'와 결합하여 자동사가 주어와 결합한다는 요건을 충족시키기 때문이다.

이는 이 문장이 의미는 없지만 구조적 완성도는 높다는 결론으로 이어진다.

부사 'furiously'의 c-선택은 충족되는데, 동사 'sleep'과 결합하여 부사가 동사를 수식한다는 요건을 충족시키기 때문이다.

형용사 'colorless'와 'green'의 c-선택은 충족되는데, 명사 'idea'와 결합하여 형용사가 명사를 수식한다는 요건을 충족시키기 때문이다.
Colorless green ideas sleep furiously
Section: 의미 있는 해석 시도

furiously의 비유적 의미: 빠르게, 격렬하게, 강렬하게, 활기차게 또는 맹렬하게 행동하다

이러한 비유적 의미를 고려하면 "Colorless green ideas sleep furiously"라는 문장은 덜 모호한 의미를 가질 수 있으며, 따라서 다음과 같은 해석과 양립할 수 있다.

colorless의 비유적 의미: 특징 없는, 보이지 않는, 칙칙한

green의 비유적 의미: 미숙한, 환경 의식과 관련된, 새로 형성된, 순진한, 질투하는

sleep의 비유적 의미: 휴면 상태에 있다
진리 함수
Section: 추가 문헌

알론조 처치 (1944), Introduction to Mathematical Logic, Princeton, NJ: Princeton University Press. 진리 함수 개념의 역사에 대해서는 서론을 참조하시오.

유제프 마리아 보헨스키 (1959), A Précis of Mathematical Logic, Otto Bird에 의해 프랑스어 및 독일어 버전 번역, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
진리 함수
Section: 개요

공식 구성에 사용되는 고전 논리 연산(예: &, →)은 진리 함수적이다. 인수로 다양한 진릿값을 사용할 때의 값은 일반적으로 진리표로 주어진다. 진리 함수적 명제 논리는 공식이 참 또는 거짓으로 해석될 수 있는 형식 체계이다.

"x는 ...라고 믿는다" 형식의 논리 연산은 진리 함수적이 아닌 연산의 전형적인 예이다. 예를 들어 메리가 2000년 4월 20일에 앨 고어가 미국 대통령이었다고 잘못 믿지만, 달이 녹색 치즈로 만들어졌다고는 믿지 않는다고 가정하자. 그렇다면 다음 문장은
진리 함수
Section: 대수적 속성

교환법칙: 논리 연산의 피연산자는 식의 진릿값에 영향을 주지 않고 서로 바꿀 수 있다.

분배법칙: ·로 표시되는 논리 연산이 +로 표시되는 다른 논리 연산에 대해 분배된다는 것은 모든 피연산자 a, b, c에 대해 a · (b + c) = (a · b) + (a · c)가 성립함을 의미한다.

일부 진리 함수는 해당 논리 연산을 포함하는 정리로 표현될 수 있는 속성을 가지고 있다. 이항 진리 함수(또는 해당 논리 연산)가 가질 수 있는 속성 중 일부는 다음과 같다.

결합법칙: 같은 결합 연산자가 연속으로 두 개 이상 포함된 식에서, 피연산자의 순서가 바뀌지 않는 한 연산의 순서는 중요하지 않다.
성 마태오의 영감

성 마태오의 영감(The Inspiration of Saint Matthew, 이탈리아어: San Matteo e angelo)은 이탈리아 바로크 대가 미켈란젤로 메리시 다 카라바조가 1602년에 그린 캔버스 유화이다. 프랑스 추기경 마티외 캥테렐의 의뢰로 제작된 이 그림은 로마의 프랑스 교단 산 루이지 데이 프란체시 성당의 콘타렐리 예배당 제단에 걸려 있다.

이 그림은 예배당에 있는 카라바조의 세 작품 중 하나로, 이전에 그려진 성 마태오의 순교와 성 마태오를 부르심 사이에 걸려 있다. 이것은 카라바조에게 쉬운 의뢰가 아니었으며, 세 그림 중 적어도 두 개는 후원자인 프란체스코 마리아 델 몬테 추기경가 만족하지 못해 교체되거나 다시 그려져야 했다.
도메인 특화 모델링
Section: 개요

도메인 특화 언어는 1980년대의 CASE 도구나 1990년대의 UML 도구에서 시도된 이전의 코드 생성 시도와는 다르다. 이 두 가지 모두에서 코드 생성기와 모델링 언어는 도구 공급업체에 의해 구축되었다. 도구 공급업체가 도메인 특화 언어 및 생성기를 만들 수 있지만, 도메인 특화 언어가 하나의 조직 내에서 발생하는 것이 더 일반적이다. 한두 명의 전문 개발자가 모델링 언어와 생성기를 만들고, 나머지 개발자가 이를 사용한다.

도메인 특화 모델링은 종종 코드 생성의 개념, 즉 도메인 특화 언어 모델에서 실행 가능한 소스 코드 생성을 자동화하는 것을 포함한다. 소스 코드의 수동 생성 및 유지 관리로부터 자유로워진다는 것은 도메인 특화 언어가 개발자 생산성을 크게 향상시킬 수 있음을 의미한다. 수동 코딩에 비해 자동 생성의 신뢰성은 결과 프로그램의 결함 수를 줄여 품질을 향상시킬 것이다.
도메인 특화 모델링
Section: 주제

파생된 메타-메타모델에는 개체-관계 모델, 형식 언어, EBNF, 온톨로지 언어, XML 스키마, 그리고 메타 오브젝트 퍼실리티 (MOF)가 포함된다. 이 언어들의 강점은 원본 언어의 친숙함과 표준화에 있다.

언어를 정의하려면 정의를 작성할 언어가 필요하다. 모델의 언어는 종종 메타모델이라고 불리므로, 모델링 언어를 정의하기 위한 언어는 메타-메타모델이다. 메타-메타모델은 두 그룹으로 나눌 수 있다: 기존 언어에서 파생되거나 사용자 정의된 언어와 특히 메타-메타모델로 개발된 언어이다.
도메인 특화 모델링
Section: 도메인 특화 언어 및 UML

UML은 특정 도메인 및 플랫폼에 대해 제한하고 사용자 정의할 수 있는 프로파일 메커니즘을 포함한다. UML 프로파일은 스테레오타입, 스테레오타입 속성(UML 2.0 이전에는 태그 값으로 알려짐), 및 제약 조건을 사용하여 UML의 범위를 특정 도메인으로 제한하고 확장한다. 특정 도메인에 대해 UML을 사용자 정의한 가장 잘 알려진 예는 시스템 공학을 위한 도메인 특화 언어인 SysML이다.

통합 모델링 언어 (UML)는 소프트웨어 집약적인 시스템을 위한 범용 모델링 언어로, 주로 객체 지향 프로그래밍을 지원하도록 설계되었다. 결과적으로, 도메인 특화 언어와는 달리 UML은 광범위한 도메인에 걸쳐 다양한 목적으로 사용된다. UML이 제공하는 기본 요소는 객체 지향 프로그래밍의 것이지만, 도메인 특화 언어는 해당 도메인의 모든 실무자에게 익숙한 의미론을 가진 기본 요소를 제공한다. 예를 들어, 자동차공학 도메인에서는 ABS 또는 스티어링 휠 등의 속성을 나타내는 소프트웨어 모델이 있을 것이다.
라이스의 정리

계산 가능성 이론에서 라이스의 정리(Rice's theorem)는 프로그램의 모든 비자명한 의미론적 속성이 판단 불가능하다고 말한다. 의미론적 속성은 프로그램의 동작에 관한 것이다 (예를 들어, "프로그램이 모든 입력에 대해 종료하는가?"), 이는 구문적 속성 (예를 들어, "프로그램에 if-then-else 문이 포함되어 있는가?")과는 다르다. 비자명한 속성은 모든 프로그램에 대해 참이거나 모든 프로그램에 대해 거짓이 아닌 속성이다.

이 정리는 정지 문제의 판단 불가능성을 일반화한다. 이는 프로그램의 정적 분석의 실현 가능성에 광범위한 영향을 미친다. 이는 예를 들어, 주어진 프로그램이 정확한지 또는 오류 없이 실행되는지 확인하는 도구를 구현하는 것이 불가능함을 의미한다 (항상 과대평가하거나 과소평가하는 도구를 구현하는 것은 가능하므로, 실제로는 어떤 것이 덜 문제인지 결정해야 한다).
라이스의 정리
Section: 서론

일반적인 소프트웨어 검증 측면에서, 이는 주어진 프로그램이 주어진 명세를 만족하는지 알고리즘적으로 확인할 수는 없지만, 프로그램이 정확함을 증명하는 추가 정보로 주석을 달거나, 검증을 가능하게 하는 특정 제한된 형태로 작성되도록 요구하고, 이런 방식으로 검증된 프로그램만 받아들일 수 있음을 의미한다. 자료형 안전성의 경우, 전자는 자료형 주석에 해당하고, 후자는 자료형 추론에 해당한다. 자료형 안전성을 넘어, 이 아이디어는 호어 논리와 같은 증명 주석을 통한 프로그램의 정확성 증명으로 이어진다.

이것이 특정 유형의 버그를 방지하는 것이 불가능하다는 것을 의미하지는 않는다. 예를 들어, 라이스의 정리는 튜링 완전한 동적 프로그래밍 언어에서 자료형 오류의 부재를 검증하는 것이 불가능하다는 것을 의미한다. 반면에, 정적 자료형 프로그래밍 언어는 자료형 오류를 정적으로 방지하는 자료형 시스템을 특징으로 한다. 본질적으로, 이것은 해당 언어의 구문(광범위한 의미에서)의 특징으로 이해되어야 한다. 프로그램을 자료형 검사하려면 소스 코드를 검사해야 한다; 이 작업은 프로그램의 가설적인 의미론에만 의존하지 않는다.
라이스의 정리
Section: 정지 문제로부터의 환원을 통한 증명

주장은 제곱 프로그램을 식별하는 알고리즘을 정지하는 함수를 식별하는 알고리즘으로 변환할 수 있다는 것이다. 우리는 입력 a와 i를 받아 프로그램 a가 입력 i에서 정지하는지 여부를 결정하는 알고리즘을 설명할 것이다.

구체적으로, 프로그램 p를 검사하여 p가 정수 d를 받아 d2을 반환하는 제곱 함수의 구현인지 정확하게 판별하는 알고리즘이 있다고 가정해 보자. 이 증명은 프로그램 동작의 다른 비자명한 속성(즉, 의미론적이고 비자명한 속성)을 결정하는 알고리즘이 있는 경우에도 마찬가지로 잘 작동하며, 아래에 일반적인 형태로 제시된다.
왕 타일
Section: 도미노 문제

즉, 도미노 문제는 주어진 모든 도미노 세트에 대해 문제를 올바르게 해결하는 효과적인 절차가 있는지 묻는 것이다.

1966년, 버거는 도미노 문제를 부정적으로 해결했다. 그는 튜링 기계가 멈추지 않는 경우에만 평면을 타일링하는 왕 타일 세트로 모든 튜링 기계를 번역하는 방법을 보여줌으로써 문제에 대한 알고리즘이 존재할 수 없음을 증명했다. 정지 문제 (튜링 기계가 결국 멈추는지 여부를 테스트하는 문제)의 결정 불가능성은 왕의 타일링 문제의 결정 불가능성을 의미한다.

왕의 학생인 로버트 버거에 따르면,

도미노 문제는 모든 도미노 세트의 클래스를 다룬다. 각 도미노 세트에 대해 풀 수 있는지 여부를 결정하는 것으로 구성된다. 우리는 임의의 도미노 세트의 사양이 주어졌을 때, 그 세트가 풀 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재하거나 존재하지 않는지에 따라 도미노 문제가 결정 가능하거나 결정 불가능하다고 말한다.
에르브랑의 정리
Section: 서술

및 ,

다음과 같은 조건이 충족된다:

이 타당하다. 만약 타당하다면, 이를 다음의 에르브랑 분리합이라고 부른다.

비공식적으로: 존재 양화사만을 포함하는 프레넥스 형식의 공식 가 1차 논리에서 증명 가능(타당)한 것은 의 양화사 없는 하위 공식의 치환 인스턴스로 구성된 분리합이 항진식 (명제적으로 도출 가능)인 경우에만 해당된다.

존재 양화사만을 포함하는 프레넥스 형식의 공식으로 제한하는 것은 정리의 일반성을 제한하지 않는다. 공식은 프레넥스 형식으로 변환될 수 있고, 보편 양화사는 에르브랑화를 통해 제거될 수 있기 때문이다. 구조적 에르브랑화를 수행하면 프레넥스 형식으로의 변환을 피할 수 있다. 에르브랑 분리합에 허용되는 변수 의존성에 추가적인 제한을 가함으로써 에르브랑화를 피할 수도 있다.
에르브랑의 정리
Section: 증명 스케치

수축 제거는 의 모든 관련 치환 인스턴스를 시퀀트의 오른쪽에 축적하여 의 증명을 초래하며, 여기서 에르브랑 분리합을 얻을 수 있다.

그러나 에르브랑이 증명을 하던 당시에는 시퀀트 계산과 자름-제거가 알려지지 않았기 때문에, 에르브랑은 더 복잡한 방식으로 자신의 정리를 증명해야 했다.

리프에서 시작하여 아래로 내려가면서 존재 양화사를 도입하는 추론을 제거한다.

이전에 존재적으로 양화된 공식에 대한 수축 추론을 제거한다. 양화사 추론이 제거된 후, (이제 이전에 양화된 변수에 대해 항이 대입된) 공식들이 더 이상 동일하지 않을 수 있기 때문이다.
아벨-루피니 정리
Section: 역사

1770년경, 조제프 루이 라그랑주는 라그랑주 분해식의 형태로 순열 군 이론과 관련하여 그 시점까지 방정식 해결에 사용되었던 여러 가지 다른 방법들을 통합하는 기초 작업을 시작했다. 라그랑주의 이 혁신적인 작업은 갈루아 이론의 전신이었으며, 5차 이상의 방정식에 대한 해법을 개발하는 데 실패한 것은 그러한 해법이 불가능할 수 있음을 암시했지만, 결정적인 증거를 제공하지는 않았다. 5차 방정식의 근호를 이용한 해결 문제가 불가능할 수 있다고 처음 추측한 사람은 카를 프리드리히 가우스였다. 그는 1798년 자신의 저서 정수론 연구 (1801년에 출판될 예정이었음) 359절에서 "이 문제는 현대 분석 방법을 거부한다기보다는 불가능한 것을 제안하는 것에 가깝다는 의심이 거의 없다"고 썼다. 다음 해, 그의 학위논문에서 그는 "많은 기하학자들이 일반 방정식을 대수적으로 해결할 희망을 거의 남기지 않은 후, 이 해결은 불가능하고 모순된다는 것이 점점 더 확실해 보인다"고 썼다. 그리고 그는 "5차에 대한 불가능성을 모든 엄격함으로 증명하는 것이 그렇게 어렵지 않을 것이다. 나는 이에 대한 나의 연구를 다른 곳에서 더 자세히 설명할 것이다"라고 덧붙였다. 실제로 가우스는 이 주제에 대해 더 이상 아무것도 발표하지 않았다.

증명은 또한 나중에 밝혀졌듯이 불완전했다. 루피니는 그가 다루는 모든 근호가 체 연산만 사용하여 다항식의 근에서 표현될 수 있다고 가정했다. 현대 용어로 말하면, 그는 근호가 다항식의 분해체에 속한다고 가정했다. 이것이 왜 실제로 추가적인 가정인지 이해하려면, 예를 들어 다항식 을 고려해보라. 카르다노의 공식에 따르면, 그 근 중 하나(실제로는 모든 근)는 의 세제곱근과 의 세제곱근의 합으로 표현될 수 있다. 다른 한편으로, , , , 이므로 의 근 , , 는 모두 실수이고 따라서 체 는 의 부분체이다. 그러나 그러면 숫자 는 에 속할 수 없다. 코시는 루피니의 가정을 알아차리지 못했거나 사소하다고 느꼈지만, 대부분의 역사가들은 아벨이 일반 다항식의 경우에 가정이 성립한다고 주장하는 자연적 무리수 이론에 대한 정리를 증명하기 전까지는 증명이 완전하지 않았다고 믿는다.
아벨-루피니 정리는 따라서 일반적으로 아벨에게 귀속되며, 그는 1824년에 단 6페이지로 압축된 증명을 발표했다. (아벨은 종이와 비용을 절약하기 위해 매우 간결한 스타일을 채택했다. 증명은 자비로 인쇄되었다.) 더 정교한 버전의 증명은 1826년에 발표되었다.
아벨-루피니 정리

이 용어는 5차 이상의 방정식 중 근호를 이용해 풀 수 없는 방정식이 있다는 약간 더 강한 결과도 지칭할 수 있다. 이는 아벨의 정리 진술에서 도출되는 것은 아니지만, 그의 증명의 귀결이다. 왜냐하면 그의 증명은 방정식 계수의 일부 다항식이 영 다항식이 아니라는 사실에 기반하기 때문이다. 이 개선된 진술은 갈루아 이론 § 해결 불가능한 5차 방정식의 예시에서 직접적으로 이어진다. 갈루아 이론은 또한

이 근호를 이용하여 풀 수 없는 가장 간단한 방정식이며, 5차 이상의 거의 모든 다항식이 근호를 이용하여 풀 수 없음을 의미한다.

5차 이상 방정식의 불가능성은 저차 방정식의 경우와 대조된다. 2차, 3차, 4차 방정식에는 각각 이차 근의 공식, 삼차 근의 공식, 사차 근의 공식이 있다.
아벨-루피니 정리
Section: 배경

양의 차수를 가진 모든 다항 방정식에 실수가 아닌 해가 있을 수 있다는 사실은 17세기에 주장되었지만, 19세기 초에 이르러서야 완전히 증명되었다. 이것이 대수학의 기본 정리인데, 이는 해를 계산하는 도구를 제공하지는 않지만, 모든 해를 원하는 정확도로 근사하는 몇 가지 방법이 알려져 있다.

16세기부터 19세기 초까지 대수학의 주요 문제는 5차 이상의 다항 방정식 해에 대한 공식을 찾는 것이었다. 그래서 "대수학의 기본 정리"라는 이름이 붙었다. 이는 근호를 이용한 해를 의미했으며, 즉 방정식의 계수와 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 그리고 n제곱근 연산만을 포함하는 수식을 의미했다.
비티 수열
Section: 일반화

약간 수정하면 레일리 정리는 양의 실수(반드시 무리수일 필요는 없음)와 음의 정수로도 일반화될 수 있다. 양의 실수 과 가 을 만족하면, 수열 과 은 정수의 분할을 이룬다. 예를 들어, 피아노 건반의 흰색 건반과 검은색 건반은 과 에 대한 그러한 수열로 분포된다.

람베크–모저 정리는 레일리 정리를 일반화하며 정수 함수와 그 역함수로부터 정의된 더 일반적인 수열 쌍이 정수를 분할하는 동일한 특성을 가짐을 보여준다.

우스펜스키 정리는 이 에 모든 양의 정수가 정확히 한 번씩 포함되는 양의 실수라면 임을 명시한다. 즉, 세 개 이상의 비티 수열에 대한 레일리 정리와 동등한 것은 없다.
비티 수열
Section: 예시

이 황금비 일 때, 의 정수 배수 수열은 대략 다음과 같은 값을 갖는다.

이 숫자들을 정수로 내림하면 다음 수열 이 얻어지며, 이는 하위 위토프 수열로 알려져 있다.

이 경우, 상호 보완적인 비티 수열은 다음으로부터 생성된다.

그 정수 배수는 대략 다음과 같은 값을 갖는다.

이 값들을 정수로 내림하면  상위 위토프 수열이 생성된다.

모든 양의 정수는 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다. 이 수열들은 위토프의 게임에 대한 최적 전략을 정의하며, 위토프 배열의 정의에 사용된다.
비티 수열

수학에서 비티 수열(Beatty sequence) 또는 동차 비티 수열(homogeneous Beatty sequence)은 1보다 큰 무리수의 양의 배수의 바닥 함수를 취하여 얻어지는 정수의 수열이다. 비티 수열은 1926년에 이 수열에 대해 저술한 새뮤얼 비티의 이름을 따서 명명되었다.

레일리 경의 이름을 딴 레일리 정리는 비티 수열에 속하지 않는 양의 정수로 구성된 비티 수열의 여집합이 다른 무리수에 의해 생성되는 비티 수열 자체임을 명시한다.

비티 수열은 슈투름 단어를 생성하는 데도 사용될 수 있다.
웨더번-아르틴 정리
Section: 증명

여기서 우리는 오른쪽 가군을 사용했는데, 이는 이기 때문이다. 만약 왼쪽 가군을 사용했다면 은 의 반대환과 동형이었겠지만, 증명은 여전히 통과되었을 것이다. 더 넓은 맥락에서 이 증명을 보려면 가군의 분해를 참조하라. 중요한 특수 사례의 증명은 단순 아르틴 환을 참조하라.

여기서 는 서로 동형이 아닌 단순 오른쪽 -가군이며, i번째는 중복도 로 나타난다. 이는 자기 사상환의 동형을 제공한다.

그리고 우리는 를 행렬환과 동일시할 수 있다.

여기서 의 자기 사상환 는 가 단순하므로 슈어 보조정리에 의해 나눗셈환이다. 이므로 다음과 같이 결론을 내린다.
웨더번-아르틴 정리
Section: 정리

체 k에 대한 대수를 위한 웨더번-아르틴 정리 버전도 있다. R이 유한 차원 반단순 k-대수라면, 위의 진술에서 각 Di는 k에 대한 유한 차원 나눗셈 대수이다. 각 Di의 중심이 k일 필요는 없으며, k의 유한 확대일 수 있다.

R을 (아르틴) 반단순환이라고 하자. 그러면 웨더번-아르틴 정리는 R이 나눗셈환 Di에 대한 유한개의 ni-by-ni 행렬환 의 곱과 동형임을 나타내며, 여기서 정수 ni와 나눗셈환 Di는 인덱스 i의 순열을 제외하고 유일하게 결정된다.
웨더번-아르틴 정리
Section: 결과

체에 대한 유한 차원 대수는 아르틴이므로, 웨더번-아르틴 정리는 체에 대한 모든 유한 차원 단순 대수가 에 대한 유한 차원 나눗셈 대수 D에 대한 n-by-n 행렬환과 동형임을 의미하며, 여기서 n과 D는 모두 유일하게 결정된다. 이는 조지프 웨더번이 보였다. 에밀 아르틴은 나중에 이 결과를 단순 좌 또는 우 아르틴 환의 경우로 일반화했다.

대수적으로 닫힌 체에 대한 유일한 유한 차원 나눗셈 대수는 체 자체이므로, 웨더번-아르틴 정리는 이 경우에 강력한 결과를 가져온다. R을 대수적으로 닫힌 체 에 대한 유한 차원 대수인 반단순환이라고 하자. 그러면 R은 유한 곱 이며, 여기서 는 양의 정수이고 는 에 대한  행렬의 대수이다.
보어-몰레루프 정리

수학적 해석학에서 보어-몰레루프 정리(Bohr–Mollerup theorem)는 덴마크 수학자 하랄 보어와 요하네스 몰레루프가 증명한 정리이다. 이 정리는 x > 0에 대해 정의된 감마 함수를 다음과 같이 특성한다.

구간 x > 0에서 다음 세 가지 속성을 동시에 갖는 유일한 양의 함수  f 이다.

f (1) = 1, 그리고

x > 0에 대해  f (x + 1) = x f (x) 그리고

f 는 로그적으로 볼록하다.
보어-몰레루프 정리
Section: 증명

는 그 사이에 끼워져 있다. 이것은 다음을 의미할 수밖에 없다.

이 증명에서 이것은 다음을 의미한다.

는 Γ(x)에 속하는 세 가지 특정 속성을 갖는다. 또한, 증명은 특성 속성이 참일 경우 유효해야 하는 Γ(x)에 대한 특정 표현을 제공한다. 따라서, 에서 Γ(x)에 할당된 모든 속성을 갖는 다른 함수는 없다.

이 마지막 줄에서 함수가 두 표현식 사이에 끼워져 있다는 것이 분명하며, 이는 극한의 존재나 수렴과 같은 다양한 것들을 증명하는 일반적인 분석 기법이다. n → ∞이라고 하자.

이므로 마지막 부등식의 왼쪽은 극한에서 오른쪽과 같아지며,
이계 도함수의 대칭성
Section: 슈바르츠 정리

이 함수들은 에 대해 정의된다. 여기서 이고 는 에 포함된다.

평균값 정리에 의해, 고정된 h와 k가 0이 아닐 때, 는 열린 구간 에서 다음을 만족한다.

이므로, 아래 첫 번째 등식은 로 나눌 수 있다.

마지막 등식에서 를 0으로 보내면 와 에 대한 연속성 가정에 따라 다음이 성립한다.

이 설명은 버킬, 아포스톨, 루딘 등 많은 교과서에서 찾아볼 수 있는 간단한 고전적인 방법이다.
이계 도함수의 대칭성
Section: 연속성 요구 사항

반대로 y축을 따라 x-도함수는 이므로 이다. 즉, 혼합 편도함수가 존재함에도 불구하고 (0, 0)에서 이고, 다른 모든 점에서는 대칭성이 성립한다.

위의 함수를 극좌표로 나타내면 다음과 같다.

이는 원점을 포함하는 임의로 작은 루프를 한 번 돌 때 함수가 네 번 진동함을 보여준다. 따라서 직관적으로, (0, 0)에서의 함수의 국소적 행동은 이차 형식으로 설명될 수 없으며, 따라서 헤세 행렬은 대칭적이지 않다.
이계 도함수의 대칭성
Section: 역사

특정 조건에서 혼합 편도함수의 등식에 대한 결과는 오랜 역사를 가지고 있다. 실패한 제안된 증명 목록은 1740년에 발표된 오일러의 증명으로 시작되었지만, 이미 1721년에 베르누이는 형식적인 정당화 없이 이 결과를 암묵적으로 가정했다. 클레로 또한 1740년에 제안된 증명을 발표했으며, 18세기 말까지 다른 시도는 없었다. 그 이후 70년 동안 여러 불완전한 증명이 제안되었다. 라그랑주의 증명(1797)은 코시에 의해 개선되었지만(1823), 편도함수 와 의 존재와 연속성을 가정했다. P. 블랑셰(1841), 뒤아멜(1856), 스튀름(1857), 슐뢰밀히(1862), 베르트랑(1864)도 다른 시도를 했다. 마침내 1867년 린델뢰프는 이전의 모든 결함 있는 증명을 체계적으로 분석하여 혼합 도함수가 같지 않은 특정 반례를 제시할 수 있었다.

그로부터 6년 후, 슈바르츠는 최초의 엄밀한 증명을 성공적으로 제시했다. 디니는 나중에 슈바르츠의 조건보다 더 일반적인 조건을 찾아 기여했다. 결국 1883년 조르당에 의해 대부분의 교과서에서 여전히 발견되는 깨끗하고 더 일반적인 버전이 발견되었다. 이전 증명의 작은 변형은 로랑(1885), 페아노(1889 및 1893), J. 에드워즈(1892), P. 하그(1893), J. K. 휘트모어(1898), 비반티(1899), 피어폰트(1905)에 의해 발표되었다. 1907-1909년에 E. W. 홉슨과 W. H. 영이 슈바르츠와 디니의 조건보다 더 약한 조건으로 증명을 찾아 추가적인 진전이 있었다. 1918년 카라테오도리는 르베그 적분을 기반으로 하는 다른 증명을 제시했다.
갈루아 이론의 기본 정리
Section: 대응의 명시적 설명

유한 확대의 경우, 대응은 다음과 같이 명시적으로 설명할 수 있다.

의 모든 부분군 에 대해, 해당 고정체 는 의 모든 자기 동형 사상에 의해 고정되는 의 원소들의 집합이다.

의 모든 중간 필드 에 대해, 해당 부분군은 이며, 이는 의 모든 원소를 고정하는 의 자기 동형 사상 집합이다.

표기는 갈루아 확대에만 사용된다. 만약 가 갈루아라면, 이다. 만약 가 갈루아가 아니라면, "대응"은 에서 로의 단사 함수 (하지만 전사 함수는 아님)만 제공하며, 역방향으로는 전사 함수 (하지만 단사 함수는 아님)를 제공한다. 특히, 가 갈루아가 아니라면, 는 의 어떤 부분군의 고정체도 아니다.
갈루아 이론의 기본 정리
Section: 예시 3

가 의 부분군이면, 다항식

의 계수들이 의 고정체를 생성한다. 갈루아 대응은 의 모든 부분 필드가 이런 식으로 구성될 수 있음을 의미한다. 예를 들어, 일 때 고정체는 이고, 일 때 고정체는 이다. 의 고정체는 기본 필드 이며, 여기서 j는 모듈러 람다 함수로 표현된 j-불변량이다:

λ에 대한 유리 함수 체를 라고 하고, 다음 자기 동형 군을 고려하자:

여기서 자기 동형 사상 를 그 값 로 나타내며, 이다. 이 군은 와 동형이다 (여섯 개의 비조화비 참조).
를 의 고정체라고 하자. 그러면 이다.
갈루아 이론의 기본 정리

수학에서 갈루아 이론의 기본 정리(Fundamental theorem of Galois theory)는 특정 유형의 체의 확대의 구조를 군과 관련하여 설명하는 결과이다. 이 정리는 에바리스트 갈루아가 갈루아 이론을 개발하면서 증명했다.

가장 기본적인 형태로, 이 정리는 유한 확대이며 갈루아 확대인 체의 확대 가 주어졌을 때, 중간 필드와 갈루아 군의 부분군 사이에 일대일 대응이 존재한다고 주장한다. (중간 필드는 를 만족하는 체 이며, 의 부분 확대라고도 불린다.)
햄 샌드위치 정리

이 정리는 후고 스테인하우스에 의해 제안되었고 스테판 바나흐에 의해 증명되었으며 (명시적으로 3차원인 경우에, n-차원인 경우는 언급하지 않았다), 수년 후 아서 H. 스톤과 존 투키의 이름을 따서 스톤-투키 정리라고도 불렸다.

수학의 측도론에서, 모든 양의 정수 n에 대해 햄 샌드위치 정리(ham sandwich theorem)는 n-차원 유클리드 공간에 있는 n개의 가측 "객체"가 주어졌을 때, 하나의 (n − 1)-차원 초평면으로 각각의 객체를 절반(해당 측도, 예를 들어 부피에 따라)으로 나눌 수 있다고 말한다. 이 객체들이 겹쳐 있어도 이것은 가능하다.
햄 샌드위치 정리
Section: 대수곡면으로의 일반화

n차원 공간에 개의 측도가 주어졌을 때, 이들 모두를 이등분하는 k차 대수곡면이 존재한다. (Smith & Wormald (1998)).

이 일반화는 n차원 평면을 차원 평면으로 매핑한 다음, 원래의 정리를 적용하여 증명된다. 예를 들어, n = 2이고 k = 2일 때, 2차원 평면은 다음을 통해 5차원 평면으로 매핑된다:

원래의 정리는 최대 n개의 모음에 대해 작동하는데, 여기서 n은 차원의 수이다. 더 많은 수의 모음을 더 높은 차원으로 가지 않고 이등분하려면, 초평면 대신 k차 대수곡면을 사용할 수 있다. 즉, k차 다항 함수로 정의된 (n−1)차원 곡면을 사용하는 것이다.
햄 샌드위치 정리
Section: 이산 기하 및 계산 기하 버전

이산기하학에서 햄 샌드위치 정리는 일반적으로 나누어지는 각 집합이 점들의 유한 집합인 특수한 경우를 의미한다. 여기서 관련 측도는 셈측도이며, 이는 단순히 초평면의 양쪽에 있는 점의 수를 센다. 2차원에서 이 정리는 다음과 같이 표현될 수 있다:

평면에서 "빨간색" 또는 "파란색"으로 색칠된 유한한 점들의 집합에 대해, 빨간색 점들을 동시에 이등분하고 파란색 점들을 동시에 이등분하는 선이 존재한다. 즉, 선의 양쪽에 있는 빨간색 점의 수는 동일하고 파란색 점의 수도 동일하다.
성 마태오를 부르심
Section: 같은 주제의 다른 그림

마태오의 부르심을 묘사한 다른 근세 작품들이 많이 있다. 카라바조의 작품 이전에도 두 점이 있지만, 카라바조가 이들을 접했을 가능성은 낮다.

비토레 카르파초의 베네치아 아카데미아 미술관 소장 작품

마리누스 판 레이머스발러의 작품 (1536년)

조반니 란프란코의 파생 작품 (1626–28년)

스페인 화가 후안 데 파레하의 작품 (1661년) 마드리드의 프라도 미술관 소장.
마슈케의 정리
Section: 공식화

유한군 표현에 대한 접근 방식 중 하나는 가군론을 통해서이다. 군 의 표현은 군환  위의 모듈로 대체된다 (정확히 말하면, 와  (G의 표현의 범주) 사이에 범주의 동형 사상이 존재한다). 기약 표현은 단순 가군에 해당한다. 모듈론 언어로, 마슈케의 정리는 "임의의 모듈이 반단순인가?"라고 묻는다. 이 맥락에서, 정리는 다음과 같이 재구성될 수 있다:

그러면 따름정리는 다음과 같다:

따름정리 (마슈케의 정리)—표수가 차수를 나누지 않는 체  위의 유한군 의 모든 표현은 기약 표현의 직합이다.

군 의 복소수 값 클래스 함수의 벡터 공간은 슈어 직교 관계 문서에 설명된 자연스러운 -불변 내적 구조를 가진다. 마슈케의 정리는 원래  위에서의 표현의 경우에 대해 이 내적 아래에서 의 직교 여공간으로 를 구성함으로써 증명되었다.
마슈케의 정리
Section: 증명

따라서 이면 가 된다. 따라서 에 대한 의 제한도 표현이다.

의 정의에 의해, 모든 에 대해 이므로 이고, 모든 에 대해 이다. 따라서 이고 이다. 그러므로 이다.

V를 K[G]-부분 모듈이라고 하자. V가 직합 인자임을 증명할 것이다. K[G]에서 V로 가는 K-선형 사영을 π라고 하자. 다음 맵을 고려해보자.

W의 여공간인 V의 부분 공간을 U라 하자. 를 사영 함수, 즉 모든 에 대해 라 하자.

로 정의하자. 여기서 는 W와 V에 대한 G의 표현인 의 약어이다. 그러면 는 표현  아래에서 G에 의해 보존된다: 모든 에 대해,
마슈케의 정리
Section: 역 명제

위의 증명은 #G가 K에서 가역이라는 사실에 의존한다. 이는 마슈케의 정리의 역도 성립하는지 묻게 만들 수 있다: K의 표수가 G의 차수를 나눈다면, K[G]가 반단순이 아니라는 결론이 나오는가? 답은 '예'이다.

증명. 에 대해 로 정의한다. 이라 하자. 그러면 I는 K[G]-부분 모듈이다. K[G]의 모든 비자명 부분 모듈 V에 대해 임을 증명할 것이다. V가 주어지고, 가 V의 어떤 비영 원소라고 하자. 만약 이면, 주장은 즉각적이다. 그렇지 않으면, 라 하자. 그러면 이므로 이고
섀넌-하틀리 정리
Section: 정리의 함의

채널 용량을 하틀리 법칙의 정보율과 비교하면, 구별 가능한 유효 레벨 M의 수를 찾을 수 있다.

제곱근은 전력 비율을 전압 비율로 효과적으로 변환하므로, 레벨 수는 신호 제곱평균제곱근 진폭과 잡음 표준 편차의 비율에 대략적으로 비례한다.

섀넌 용량과 하틀리 법칙 사이의 이러한 형태의 유사성은  펄스 레벨이 어떤 혼동 없이 문자 그대로 전송될 수 있다는 것을 의미한다고 해석해서는 안 된다. 중복 코딩 및 오류 정정을 허용하기 위해 더 많은 레벨이 필요하지만, 코딩으로 접근할 수 있는 순 데이터 속도는 하틀리 법칙에서 그 을 사용하는 것과 동일하다.
섀넌-하틀리 정리
Section: 역사적 발전

하틀리는 M의 수가 채널의 잡음 통계에 어떻게 의존해야 하는지, 또는 개별 기호 펄스가 M 레벨로 안정적으로 구별될 수 없을 때에도 통신을 어떻게 신뢰할 수 있게 만들 수 있는지 정확히 알아내지 못했다. 가우스 잡음 통계를 사용하면 시스템 설계자는 낮은 오류율을 달성하기 위해 매우 보수적인 M 값을 선택해야 했다.

하틀리 법칙은 때때로 아날로그 대역폭  (헤르츠)와 오늘날 디지털 대역폭  (비트/초) 간의 비례 관계만으로 인용된다.
다른 경우에는 초당  비트의 달성 가능한 회선 속도로서 다음과 같은 더 정량적인 형태로 인용된다.
섀넌-하틀리 정리
Section: 정리의 진술

는 대역폭에 걸쳐 평균 수신 신호 전력이며 (반송파 변조 대역통과 전송의 경우, 종종 C로 표시됨), 와트 (또는 제곱 볼트) 단위로 측정된다.

은 대역폭에 걸쳐 잡음 및 간섭의 평균 전력이며, 와트 (또는 제곱 볼트) 단위로 측정된다.

여기서

는 초당 비트 단위의 채널 용량이며, 오류 정정 코드를 제외한 순 비트 전송률(정보율, 때때로 로 표시됨)의 이론적 상한이다.

는 헤르츠 단위의 채널 대역폭 (신호 처리) (대역통과 신호의 경우 대역통과 대역폭)이다.
권미나
Section: 음반

10P.M. (2016)

언제까지 (2017)

날 사랑해줘요 (2017)

굳이 (2021)

민낯 (2021)

In The Raw (2022)

May I take your order? op.1 (2023)

NOMINATE (2023)

FLOWER (2023)

난 이런 사람이 아니에요 (2023)

나의명복을빕니다 OST Part 1 (2024)

나의명복을빕니다 OST Part 2 (2024)
스톤-바이어슈트라스 정리
Section: 스톤-바이어슈트라스 정리, C* 대수 버전

1960년에 제임스 글림은 위 추측의 약한 버전을 증명했다.

Glicksberg (1962)는 크레인-밀만 정리와 한-바나흐 정리를 본질적으로 사용하여 비숍 정리의 짧은 증명을 제시한다. 이는 Louis de Branges (1959)의 과정이다. Rudin (1973, §5.7)도 참조하라.

콤팩트 하우스도르프 공간  상의 복소수 값 연속 함수 공간, 즉 는 단위 가환 C* 대수 의 전형적인 예시이다. 공간 X는 약*-위상을 가진  상의 순수 상태 공간으로 볼 수 있다. 위 단서를 따라, 아직 해결되지 않은 스톤-바이어슈트라스 정리의 비가환 확장 버전은 다음과 같다.
스톤-바이어슈트라스 정리
Section: 격자 버전

위의 스톤-바이어슈트라스 버전은 격자 속성이 절댓값 | f |을 사용하여 공식화될 수 있고, 이는 다시  f 의 다항식으로 근사될 수 있다는 것을 깨달으면 이 버전으로부터 증명될 수 있다. 정리의 변형은 max에 대해 닫힌 C(X, R)의 선형 부분 공간에 적용된다.

더 정확한 정보는 다음과 같다.

X가 적어도 두 개의 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간이고 L이 C(X, R)의 격자라고 가정하자. 함수 φ ∈ C(X, R)는 L의 폐포에 속할 필요충분조건은 X의 서로 다른 두 점 x와 y 쌍 각각에 대해 그리고 각 ε > 0에 대해 | f (x) − φ(x)| < ε 및 | f (y) − φ(y)| < ε인 어떤  f  ∈ L이 존재한다는 것이다.
스톤-바이어슈트라스 정리
Section: 바이어슈트라스 근사 정리

바이어슈트라스 근사 정리의 결과로, 공간 C[a, b]가 분해 가능하다는 것을 보일 수 있다. 다항 함수는 조밀하며, 각 다항 함수는 유리수 계수를 가진 다항식에 의해 균등하게 근사될 수 있다. 유리 계수를 가진 다항식은 가산 개만 존재한다. C[a, b]가 거리화 가능하고 분해 가능하므로, C[a, b]의 농도는 최대 2ℵ0이다. (참고: 이 농도 결과는 실수 상의 연속 함수가 유리수 제한에 의해 유일하게 결정된다는 사실에서도 도출된다.)

바이어슈트라스가 처음 발견한 근사 정리의 진술은 다음과 같다.

베른슈타인 다항식을 사용한 이 정리의 구성적 증명은 해당 페이지에 설명되어 있다.

미분 가능한 함수에 대해 잭슨 부등식은 주어진 차수의 다항식에 의한 근사의 오차를 제한한다. 만약 가 연속적인 k차 도함수를 가진다면, 모든 에 대해 차수가 최대 인 다항식 이 존재하여 가 성립한다.
햄 샌드위치
Section: 종류

브라질 요리에서는 구운 햄 치즈 샌드위치를 misto-quente (직역: '뜨거운 혼합')라고 부른다.

쿠바식 샌드위치는 햄, 치즈, 바삭한 쿠바 빵으로 만들어지며, 종종 파니니 프레스에서 구워진다. 이 샌드위치의 변형은 쿠바와 미국 플로리다주 남부에서 인기가 많다.

아르헨티나 요리에서 포스포리토는 페이스트리 빵을 사용한 햄 치즈 샌드위치이다. 우루과이 요리에서는 같은 페이스트리 샌드위치를 헤수이타(jesuita)라고 부른다.

프랑스 요리에서 크로크므시외는 햄 치즈 샌드위치의 일종이다. 굽거나 튀겨서 만든다.
햄 샌드위치
Section: 햄 치즈 샌드위치

햄 치즈 샌드위치의 기원은 수년간 요리 지식인들 사이에서 논의되어 왔다. 햄, 치즈, 빵 요리를 처음 만들었다는 주요 이론은 1961년의 라루스 가스트로노미크(Larousse Gastronomique)에 언급되어 있다. 여기에 따르면 18세기 영국으로 이주한 아일랜드 이민자 패트릭 코놀리는 다음을 포함한 빵 요리를 판매했다.

돼지고기 잔여물, 경화하여 얇게 썬 고기 위에 레스터 치즈와 약간의 달걀 노른자 소스(마요네즈의 일종)를 얹어 둥근 빵 롤에 넣은 것이다. 이 요리는 다소 상상력이 부족하게도 코놀리(Connolly)로 알려졌으며, 영국 미들랜즈 일부 지역에서는 여전히 그렇게 불리기도 한다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년)
Section: 공격

싱가포르 폭격은 2월 24일에 다시 진행되었다. 이날 B-29 116대가 싱가포르 남단에 위치한 엠파이어 도크 지역을 폭격하기 위해 출격했다. 이곳은 상업용 도크였으며, 제20폭격기사령부 계획자들은 "이 전구에서 유일하게 적합한 규정 없는 주요 목표물"로 간주했다. 폭격기는 소이탄으로 무장했으며, 싱가포르에 도달한 B-29 105대가 도크 근처 창고 지역의 39%를 소각하는 데 성공했다. 여러 유류 저장 탱크도 심하게 손상되었다. 목표물이 연기로 가려져 B-29 26대가 육안 폭격 대신 맹폭격 기술을 사용했으며, 이로 인해 정확도가 떨어져 도크 지역 근처의 민간인 주거 및 상업 지역에 피해가 발생했다. 100채 이상의 상업 및 주거 건물이 파괴되었다. 쇼난 신문은 이 공습으로 396명이 집을 잃었다고 보도했다. 미국 육군 항공대의 손실은 인도 귀환 중 연료가 떨어져 추락한 B-29 1대 뿐이었다.

제20폭격기사령부는 2월 6일 싱가포르 해군기지를 다시 공격할 준비를 시작했지만, 이 공습은 3일에 루이 마운트배튼 제독(동남아시아 전구 연합군 사령관)이 취소했다. 마운트배튼은 싱가포르와 페낭의 해군 시설이 1945년 후반에 예정된 말라야와 싱가포르 해방 이후 연합군에 필요할 것이므로 목표물이 되어서는 안 된다고 명령했다. 이 명령에 대한 설명을 요청한 후, 램지는 캔디에서 마운트배튼을 만났다. 이 회의에서 마운트배튼은 쿠알라룸푸르 지역의 목표물을 제20폭격기사령부의 최우선 순위로 지정했으며, 두 번째 목표는 싱가포르섬 중 지휘부가 신중하게 고른 지역으로 한정되었다. 마운트배튼은 킹 조지 6세 건선거와 기타 여러 도크 및 중장비 지역은 제외했지만, 싱가포르 해군기지의 서쪽 벽 지역, 해군 유류 저장고 및 상업용 도크 시설에 대한 공격은 허용했다. 호찌민시는 제20폭격기사령부의 세 번째 우선 목표로 지정되었고, 네 번째 목표는 싱가포르 근처 섬의 유류 저장고에 주어졌다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년)
Section: 배경

제1차 세계 대전 이후 수십 년 동안 영국은 일본의 지역 확장주의를 저지하기 위한 계획인 싱가포르 전략의 일환으로 싱가포르 북부 해안의 셈바왕에 싱가포르 해군 기지를 확장했다. 그 결과 이 시설은 대영제국에서 가장 중요한 시설 중 하나가 되었으며, 이 때 확충된 시설에는 킹 조지 6세 건선거와 해군성 제9호 부유식 건조 도크도 있었다. 그러나 태평양 전쟁 발발 후 몇 달 만에 말라야와 싱가포르에 주둔한 영연방 군대는 예상보다 빨리 패배했고, 1942년 2월 15일 싱가포르는 일본에 항복했다. 말라야 전투와 그 이후의 싱가포르 전투에서 일본 제국군은 싱가포르를 여러 차례 폭격했고, 이 공습으로 많은 민간인이 사망했다.

싱가포르 해군 기지는 1941년과 1942년의 전투에서 거의 피해를 입지 않았으며, 일본 본토 외부에 있는 일본 제국 해군의 가장 중요한 시설이 되었다. 영국 통치하에 있던 것처럼 많은 현지 민간인이 기지에서 일했지만, 일본 해군은 사소한 실수에 대한 신체적 폭행뿐만 아니라 절도 및 정보 누설에 대한 투옥 또는 처형을 포함하는 가혹한 징계를 가했다. 일본 제2함대와 제3함대는 연료유 공급원에 더 가까워지기 위해 1944년 2월에서 4월 사이에 중앙 태평양에서 싱가포르와 인근 링가 제도로 이동했다. 이 두 함대는 일본 제국 해군의 주력 함대였으며, 일본 제국 해군에 남아있는 대부분의 전함과 항공모함을 운용했다.