hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-related-paragraph-pairs huggingface dataset:
قاعدة لوبيتال
Section: نص قواعد أوبيتال

هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على [a ; b] ونهايتهما في a لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على [a ; b] ولو كانت  فإن .
قاعدة لوبيتال
Section: الاستدلالات

و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0

بما أن (g(x مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]

يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت (g(x مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ حيث :
قاعدة لوبيتال
Section: الاستعمالات

موجودة :

في حين أن :

ليس لها نهاية في الصفر.

في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :

نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال
طريقة نيوتن
Section: أمثلة

حيث الأرقام الصحيحة مسطر عليهن. بعد عدد قليل فقط من التكرارات، أمكن الحصول على حلحلة دقيقة إلى حدود مجموعة من الأرقام بعد الفاصلة.

إذن، الدالة التي ينبغي استعمالها في إطار طريقة نيوتن هي:

ذات المشتقة التالية:

بقيمة متنبئة أصلية مساوية للعدد 10، المتتالية التي تعطيها طريقة نيوتن هي كما يلي:
طريقة نيوتن
Section: الطريقة

التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة قصوى قريبة من «جذر المعادلة». ونغير التمثيل البياني بالمماس ونحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة، ومن ثم يمكن إعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للجذر.

عمليا: العمليات بالنسبة لf : [a, b] → R, دالة معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال[a, b]
نختار قيمة اعتباريةx0 (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعيn:
حركة براونية
Section: مساهمة أينشتاين

الجزء الثاني لنظرية أينشتاين عن الحركة لبراونية  متعلق بالعلاقة بين معامل النفاذية وكمية فيزيائية يمكن قياسها عمليا، مثل متوسط مربع الإزاحة عند زمن معين. وقد أدت تلك الرؤية إل تعيين عدد أفوجادرو بطريقة معملية وتعيين حجم الجزيئات. واعتبر أينشتاين تواجد عدة قوى متضادة في حالة التوازن الديناميكي للحبيبات في سائل. وينبع عبقرية تلك الرؤية أن النتيجة النهائية لا تعتمد على نوع القوي المتسببة في التوازن الدينامي.

في معاملته الأصلية للمسألة اعتبر أينشتاين تجربة الضغط الأزموزي، ولكن يمكن الوصول إلى نفس النتيجة بافتراض طرق أخرى. فلنفترض حبيبة عالقة في سائل له لزوجة معينة وواقعة تحت تأثير الجتذبية الأرضية. فتعمل الجاذبية على تحريك الحبيبة إلى أسفل والرسوب بينما تعمل النفاذية (الانتشار) على توزيع الحبيبات متساويا أي تنزاح إلى مناطق في السائل تقل الكثافة الحبيبات فيها. تكتسب الحبيبة بسبب الجاذبية سرعة إلى أسفل قدرها
,
حركة براونية
Section: تاريخ الحركة البراونية

باعتبار  متوسط مربع الإزاحة للجسيم في الثانية ويمكن تقديره عمليا. بين ألبرت أينشتاين عام 1905 و«ماريان سمولوشوفسكي» عام 1906 - كل على حدة - أن:

حيث:

ثابت الغازات العام،

درجة الحرارة المطلقة،

عدد أفوجادرو،

نصف قطر حبيبة براونية

لزوجة السائل أو الغاز.
قصر الحمراء
Section: انظر أيضًا

قصبة قصر الحمراء

قائمة مواقع التراث العالمي في إسبانيا

موقع التراث العالمي

قائمة مواقع التراث العالمي في أوروبا

موقع أتابويركا التاريخي

كاتدرائية - جامع قرطبة

رومانثي ابن عمار

بهو السباع

الوقف في الأندلس

حكايات الحمراء (كتاب)
قصر الحمراء
Section: التاريخ

في أواخر القرن السابع الهجري، أنشأ محمد بن محمد بن الأحمر الغالب بالله ـ ثاني سلاطين غرناطة ـ مباني الحصن الجديد والقصر الملكي، ثم أنشأ ولده (محمد) في جوار القصر مسجدًا قامت محلّه فيما بعد (كنيسة سانتاماريا

أنشأ سورًا منيعًا حول الهضبة التي قامت عليها «قلعة الحمراء»، وبنى داخل هذا السور قصرًا أو مركز حكومته، وسميت القلعة «القصبة الحمراء»، وصار قصر الحمراء جزءًا منها، وغدت معقل غرناطة الهام.
قصر الحمراء
Section: عمارته وأقسامه

منظرة اللندراخا: في جهة شمال بهو السباع وقاعة الأختين بهو منظرة اللندراخا Mirador de Lindarata. وذهب بعضهم في تفسير هذا اللفظ بأنه محّرف لثلاث كلمات عربية (عين دار عائشة). والجدير بالذكر أن عائشة كانت إحدى ملكات غرناطة في القرن الرابع عشر الميلادي. وإن لفظ (عين) يفيد (نافذة). وتتألف هذه القاعة من بهو صغير مضلّع.

قاعة الملوك (أو قاعة العدل): في جهة شرق بهو السباع مدخل قاعة الملوك Sala de Los Reyes. زين سقف الحنية الوسطى بصور عشرة من ملوك غرناطة تعلوهم العمائم، تعبر ملامحهم عن الوقار والكبرياء. أولهم محمد الغني بالله. وآخرهم السلطان أبو الحسن والد أبي عبد الله. وهناك صور فرسان ومشاهد صيد.
كريكت
Section: الملعب

تتفاوت أبعاد ساحات لعب الكريكت من مكان لآخر، إلا أن الأبعاد الشائعة هي 137م للعرض و150م للطول، وتبلغ المسافة بين المرميين 22 ياردة (20,12م) في وسط الساحة، حيث يكونان متوازيين ومتقابلين، ويبلغ عرض كل مرمى تسع بوصات (22,9سم) وتسمى المسافة بينهما بمسافة الرمي، وتكون الجذوع قريبة بعضها من بعض حتى لاتتمكن الكرة من المرور بين أي اثنين منها، أما ارتفاع الجذوع فيبلغ 28 بوصة (71,1سم) يبلغ طول كل عصا (11,1سم)، وتستقر العصاتان في أخاديد على قمة الجذوع ولا ترتفعان أكثر من (13مم) فوق الجذوع.

وتستخدم الطباشير أو الجير الأبيض لرسم خطوط بيضاء لحدود معينة في الملعب. ويخترق أحد الخطوط الذي يبلغ طوله (2,46م) جذوع المرميين، على أن يكون الجذع الأوسط في منتصفه. ويحدد خط آخر مسافة (1,22م) للأمام، حيث يمتد لمسافة (1,83م) على أي من جانبي منتصف المرمى، غير أنه يعد غير محدد الطول. ومن نهايتي الخط المار بالمرمى يمتد خطان إلى الخط الآخر، وإلى الخلف لمسافة (1,22م) خلف الخط المار بالمرمى. ويجب على اللاعب تمرير الكرة وجزء من قدمه الأمامية خلف الخط الأمامي للمرمى، بينما يكون الجزء الخلفي من القدم بين الخطين.
كريكت
Section: اللعبة

وفي مباريات الدرجة الأولى تنتهي جولة الفريق عندما يخرج عشرة من مجموع 11 لاعبًا في الفريق، إلا أنه يمكن لرئيس الفريق الضارب أن يعلن إنهاء الجولة في أي وقت.

يقرر رئيس الفريق الترتيب الذي يلعب به الضاربون، وبعد خروج الضارب يحل محله لاعب من فريقه، حتى خروج عشرة لاعبين. ويبقى دائمًا لاعبٌ واحدٌ لا يخرج.
كريكت
Section: تاريخ الكريكت

ففي عام 1624 سقط أول ضحايا تلك اللعبة، عندما تلقى اللاعب جاسبر فينيل ضربة على رأسه أردته قتيلاً في الحال خلال مباراة للكريكت بقرية سوسكس.

كما تتضارب الآراء، أيضًا حول جذور كلمة «كريكت» ومعناها، فهناك من يرى أنها ذات جذور هولندية، وتعني العصا، وهناك من يرى أنها ذات جذور فرنسية وتعني مطرقة، وهناك من يرى أنها ذات جذور سَكسونية.
إراتوستينس

اشتُهر بكونه أول شخصٍ يحسب محيط الأرض، الأمر الذي فعله باستخدام نتائج المسح الشامل التي تمكن من الوصول إليها بموجب منصبه في المكتبة، وكان حسابه دقيقًا على نحو ملفت للنظر. كان أيضًا أول من حسب ميل الأرض المحوري، والذي تبين أيضًا أنه دقيق للغاية. ابتكر أول إسقاط عالمي للعالم، متضمنًا دوائر العرض وخطوط الطول بناء على المعرفة الجغرافية المتاحة في عصره.

كان إراتوستينيس القوريني (باليونانية: Ερατοσθένης) (276 ق.م – 195/194 ق.م تقريبًا) موسوعيًا إغريقيًا: رياضي وجغرافي وشاعر وعالم فلك ومنظّر موسيقي. كان رجلًا متعلمًا، ولد وتعلم في قورينا، وصار كبير أمناء مكتبة الإسكندرية. يشبه عمله ما يُعرف الآن بدراسة الجغرافيا، وقد قدّم بعض المصطلحات التي ما زالت مستخدمة اليوم.
نظرية الزمر

يعود التاريخ المبكر لنظرية الزمر إلى القرن التاسع عشر. كان أحد أهم الإنجازات الرياضية في القرن العشرين هو الجهد التعاوني، الذي احتل أكثر من 10000 صفحة في المجلات ونشر معظمها بين عامي 1960 و2004، والتي توجت بتصنيف كامل للزمر البسيطة المنتهية.

يمكن تشكيل أنظمة فيزيائية مختلفة، مثل البلورات وذرة الهيدروجين، وثلاثة من أربع قوى أساسية معروفة في الكون، بواسطة زمر التناظر. وبالتالي فإن نظرية الزمر ونظرية التمثيل وثيقة الصلة لها العديد من التطبيقات المهمة في الفيزياء والكيمياء وعلوم المواد. تعتبر نظرية الزمر أيضًا مركزية لتشفير المفتاح العام.
نظرية الزمر
Section: التاريخ

في الهندسة الرياضية، صارت الزمر مهمة في الهندسة الإسقاطية وفيما بعد في الهندسة غير الإقليدية. زعم فيليكس كلاين في عمل له يسمى برنامج إرلنغن نشره عام 1872، أن " نظرية الزمر هي المبدأ المنظِم للهندسة الرياضية ".

أبدع إيفاريست غالوا مصطلح Group (زمرة) وأنشأ رابطا، معروف حاليا باسم نظرية غالوا، بين نظرية الزمر حديثة الولادة من جهة، ونظرية الحقول من جهة أخرى.
نظرية الزمر
Section: تطبيقات نظرية الزمر

تطبيقات نظرية الزمر كثيرة، فأغلب البُنى التي يتطرق إليها الجبر التجريدي هي حالات خاصة من الزمر. الحلقات على سبيل المثال، يمكن أن ينظر إليها على أنها زمر أبيلية (بقانون الجمع) إضافة إلى عملية ثانية تتمثل في الضرب أو الجداء.

تدل على المبرهنة الأساسية في الحسابيات والتي تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي يمكن أن يكتب جداءً لأعداد أولية. فشل هذا النص على حلقات أكثر عمومية أدى إلى تعريف مفهومي زمر الصنف والأعداد الأولية النظامية. استعمل إرنشت كومر هذين المفهومين أثناء تطرقه إلى مبرهنة فيرما الأخيرة.
ولاية قفصة
Section: مشاهير الولاية

محمد القمودي (سيدي عيش، 11 فيفري 1938) عداء تونسي مختص في المسافات الطويلة وحائز على أربع ميداليات أولمبية.

أحمد التليلي (قصر, 10 أكتوبر 1916 - جوان 1967) قيادي وطني, نقابي تونسي وأحد مؤسسي الدولة الوطنية الحديثة.
خسوف
Section: لماذا لا يحدث الخسوف والكسوف كل شهر؟

عند بداية أو نهاية الشهر القمري فإن القمر يتوسط بين الأرض والشمس ولو كان القمر يدور في نفس مستوى دوران الأرض حول الشمس لكان الخسوف والكسوف يحدثان كل شهر،
ولكن لأن مستوى دوران القمر حول الشمس يميل بزاوية مقدارها خمس درجات تقريباً.
لذلك السبب لا يحدث الكسوف أو الخسوف إلا عندما تمر الشمس (بسبب دوران الأرض حول الشمس) في نقطة التقاء المستويين أو ما تسميان بالعقدتين.
وتمر الشمس مرتين كل سنة فيهما. لذلك تحدث تلك الظاهرة بمعدل مرتين كل سنة مثل ظاهرة خسوف القمر.

وتسمى الفترة التي تبقى الشمس في العقدتين بفترة الخسوف والكسوف حيث تبقى في كل عقدة أكثر من شهر وهو ما يجعل كل كسوف شمس يرافقه على الأقل خسوف قمر إما قبله أو بعده بنصف شهر والعكس صحيح.
وتستغرق الشمس فترة 346.62 يوم كي تعود إلى نفس العقدة وتلك الفترة تسمى السنة الكسوفية لذلك يتوقع بعد تلك الفترة أو نصفها حدوث خسوف وكسوف ما على سطح الأرض.
وبسبب الفرق بين السنة الكسوفية والسنة الشمسية فإن القمر يعود إلى نفس النقطة التي يحدث فيها الخسوف أو الكسوف بعد 18 سنة و 11.3 يوم أو ما تسمى بدورة الساروس للقمر والتي اكتشفها البابليون في عصور ما قبل الميلاد.
خسوف
Section: سبب الظاهرة

ثم يبدأ القمر بدخول منطقة ظل الأرض (umbra) فيبدأ الخسوف الجزئي. ومنطقة ظل الأرض هي المنطقة التي تنحجب فيها الشمس كاملة بسبب الأرض.

يبدأ القمر بدخول منطقة شبه ظل الأرض (penumbra) فيبدأ ضوءه بالخفوت دون أن يخسف (خسوف شبه الظل بالمصطلح الفلكي). ومنطقة شبه الظل التي ينحجب فيها بعض ضوء الشمس عن القمر بسبب الأرض.
خسوف
Section: أنواع الخسوف

خسوف أفقي، وهذا يحدث عندما يصادف الرصد شروق الشمس. حيث يطارد ظل الأرض القمر اثناء غروب القمر. وهذا لأن الخسوف يحصل عندما تتحاذى مراكز الشمس والأرض والقمر على استقامة واحدة.

ومنطقة شبه الظل هي المنطقة التي ينحجب فيها جزء من ضوء الشمس عن القمر أي أن المراقب للشمس من على سطح القمر يراها منكسفة جزئياً. ولا يصنف هذا النوع على أنه خسوف شرعي.
بليتش

عرضت سلسلة مانغا بليتش في مختارات المانغا اليابانية ويكلي شونن جمب (Weekly Shōnen Jump) بين عامي 2001 و2016 بعدد 74 مجلداً، تحولت المانغا إلى سلسلة حلقات أنمي تلفزوينية من إنتاج شركة استوديو بييرو منذ عام 2004 إلى غاية عام 2012 وقد توقفت عن إصدار الأنمي لوقت محدد. أفرزت السلسلة أيضا اثنين من حلقات الفيديو الأصلية OVA وأربعة أفلام رسوم متحركة والعديد من ألعاب الفيديو والكمبيوتر كما حصلت السلسلة على فيلم واقعي في 2018.

بليتش (ブリーチ، بوريتشي) أو (بالإنجليزية: BLEACH) هي مانغا يابانية من فئة الشونين من تأليف رسام المانغا الياباني تايت كوبو، بليتش يتّبع أحداث قصة «إيتشيغو كوروساكي» بعد اكتسابه لطاقة الشينيغامي (死神، شينيغامي، تعني حرفيا "إله الموت") من شينيغامي آخر، ونظرًا لاكتسابه هذه الطاقة الجديدة فهو عليه القيام بواجبات الشينيغامي، والتي هي هزيمة الأرواح الشريرة والتي تسمى المجوفين أو الهولو (بالإنجليزية: Hollow) وقيادتهم إلى الحياة.
بليتش
Section: القصة

• إيتشيغو كوروساكي فتى مراهق يستطيع رؤية الأرواح. تظهر له الشينيغامي روكيا كوتشيكي لتقاتل الوحوش المجوفة (الهولو). • حينئذٍ يقابلها إيتشيغو وهي مصابة نتيجة لذلك وتقرر إعطائه قوى الشينيغامي ليدافع عن عائلته. عندئذٍ يستلم إيتشيغو واجباتها في قتال الوحوش (الهولو) ويصبح الشينيغامي البديل (حاصد الارواح البديل) ونتيجة لذلك وحسب قوانين مجتمع الأرواح أنها تحسب جريمة إذا نقل أحد الشينيغامي قواه إلى بشري.
• فيظهر القائد بياكويا كوتشيكي ونائبه رينجي أباراي لأخذ روكيا إلى مجتمع الأرواح لتعدم ولكن يحاول إيتشيغو التصدي لهم، فيهزمه بياكويا ويأخذ روكيا إلى مجتمع الأرواح ومعه رينجي أباراي.

• يتجه آيزن إلى مدينة كاراكورا، ولكن قام القادة بمساعدة اوراهارا كيسكي أن يصنعوا نموذج مطابق للمدينة، وعند وصوله يجد في انتظاره بقية القادة. يخوض القادة ونواب القادة معارك ضارية مع الإسبادا فيهزمون معظمهم.
• يظهر الفيزورد ليساعدوا في حماية مدينة كاراكورا. لكن يهزمهم آيزن وغين بينما يُهزم توسين. يلحق إيتشيغو وأبوه ويوروتشي وأوراهارا بهم ويخوضون معهم المعركة. يهرب آيزن قبل أن يهزم إيتشيغو والبقية ويتجه نحو مدينة كاراكورا الحقيقية.
بليتش
Section: مصطلحات المسلسل

الغوتاي 13 (護廷十三隊، غوتايجوسانتاي، تعني حرفيًا "فرق الحماية الملكية الثلاثة عشر"): هي مؤسسة عسكرية مخصصة لحماية مجتمع الأرواح؛ وكل فرقة لها قائد ونائب قائد ورتبها تسمى المقاعد.

مجتمع الأرواح (尸魂界 (ソウル・ソサエティ)، سورو سوسايتي، تعني حرفيًا "عالم الأرواح الميتة"): هو المكان الذي يعيش فيه الشينيغامي ومعظم الأرواح المبعوثة من عالم البشر.
مكتبة الإسكندرية
Section: حريق المكتبة

ثم في عام 391 م. قام بعض مسيحيي الإسكندرية بتحريض من البابا ثيوفيلوس بابا الإسكندرية بتدمير معبد السرابيون الوثني وبناء كنيسة فوق أنقاضه. ولكن تدمير السرابيون لم يطل مكتبته وذلك في الغالب لاحتوائها على العديد من أمهات الكتب المسيحية واليهودية بالإضافة للكتب العلمية الأخرى والتي كانت محل اهتمام العديد من العلماء الوثنيين والمسيحيين على السواء. وحتى نهاية القرن السادس الميلادي نجد العديد من الإشارات التاريخية لوجود مكتبة السيرابيوم في الإسكندرية، ومن تلك الإشارات وصف الفيلسوف السكندري امونيوس Ammonius لتلك المكتبة ولما حوته من كتب، مثل نسختيّن لكتاب المصنفات Categories لأرسطو.

وعلى هذا، وبالنظر لما كتبه المؤرخون الرومان السالف ذكرهم، فمن المرجح أن المكتبة الملكية الإسكندرية قد أُحرقت بعد زيارة سترابو للمدينة حوالي 25 ق.م. ولكن قبل بداية القرن الثاني الميلادي، وإلا ما كان هؤلاء المؤرخون قد ذكروا حادثة حرقها ونسبهم إياها خطأً يوليوس قيصر. والنتيجة هي أن المكتبة قد دُمرت في الغالب بفعل شخص آخر غير يوليوس قيصر ولكن الأجيال التالية للحادثة اعتادت الربط بين الحريق الذي وقع في الإسكندرية إبان وجود يوليوس قيصر فيها وبين إحراق المكتبة.
مكتبة الإسكندرية
Section: محاولات بعث من جديد

كانت البداية مع إعلان الرئيس السابق مبارك إعلان أسوان العام 1990 لإحياء المكتبة القديمة.

و مكتبة الإسكندرية هي أحد الصروح الثقافية العملاقة التي تم إنشاؤها، وتم تدشين مكتبة الإسكندرية الجديدة في احتفال كبير حضره ملوك ورؤساء وملكات ووفود دولية رفيعة لتكون منارة للثقافة ونافذة مصر على العالم ونافذة للعالم على مصر.

في سنة 2002 وبدعم من منظمة الأمم المتحدة للتربية والتعليم والثقافة «اليونسكو» تم تدشين مكتبة الإسكندرية الجديدة وتقع كلتا المكتبتين في مدينة الإسكندرية بمصر.
وظل الحلم في إعادة بناء مكتبة الإسكندرية القديمة وإحياء تراث هذا المركز العالمي للعلم والمعرفة قد راود خيال المفكرين والعلماء في العالم أجمع.
مكتبة الإسكندرية
Section: الحكماء

و من بين أجيال العلماء الذين تعاقبوا على مكتبة الإسكندرية وعملوا بها الساعات الطوال الدراسة والتمحيص، عباقرة حفظ التاريخ أسماءهم مثل أرخميدس (مواطن سيراقوسة)، وطوّر بها اقليدس هندسته، وشرح هيبارخوس للجميع حساب المثلثات وطرح نظريته القائلة بجيومركزية العالم فقال أنّ النجوم أحياء تولد وتتنقّل لمدة قرون ثمّ تموت في نهاية المطاف، بينما جاء أريستارخوس الساموزي بالأطروحة المعاكسة أي نظرية الهليومكزية (وهي القائلة بحركة الأرض والكواكب الأخرى حول الشمس وذلك قبل كوبرنيكوس بعدّة قرون).

نجد كذلك ومن بين جملة العلماء الذين عملوا في المكتبة إراتوسثينس والذي ألّف جغرافيّةً وأنجز خريطة على قدر كبير من الدقّة، وهيروفيلوس القلدوني وهو عالم وظائف استنتج أنّ مركز الذكاء هو الدماغ وليس القلب. كما كان من روّاد المكتبة الفلكيون طيمقريطس وأرسطيلو وأبولونيوس البرغامي وهو رياضي معروف، وهيرون الإسكندراني مخترع العجلات مسنّنة وآلات بخارية ذاتية الحركة وصاحب كتاب أفتوماتكا وهو أول عمل معروف عن الروبوتات. وفي مرحلة لاحقة وحوالي القرن الثاني في نفس المكان الفلكي كلاوديوس بطليموس وعمل بالمكتبة أيضا غالينوس الذي ألّف أعمالاً كثيرة حول فن الطب والتشريح.
هيباتيا
Section: حياتها

يتحدث المؤرخ الكنسي سقراط عن هيباتيا في كتابه «تاريخ الكنيسة»، قائلاً: «كانت هناك امرأة في الإسكندرية تدعى هيباتيا، وهي ابنة الفيلسوف ثيون. كانت بارعة في تحصيل كل العلوم المعاصرة، مما جعلها تتفوق على كل الفلاسفة المعاصرين لها، حيث كانت تقدم تفسيراتها وشروحاتها الفلسفية، خاصة فلسفة أفلاطون لمريديها الذين قدموا من كل المناطق، بالإضافة إلى تواضعها الشديد لم تكن تهوى الظهور أمام العامة. رغم ذلك كانت تقف أمام قضاة المدينة وحكامها دون أن تفقد مسلكها المتواضع المهيب الذي كان يميزها عن سواها، والذي أكسبها احترامهم وتقدير الجميع لها. كان والي المدينة (اورستوس) في مقدمة هؤلاء الذي كانوا يكنون لها عظيم الاحترام.»

كانت هيباتيا، بحسب للموسوعة البيزنطية المسماة (سودا) والتي صدرت في القرن العاشر الميلادي، أستاذة فلسفة وعلّمت فلسفتَي أرسطو وأفلاطون على السواء. وكان بين طلابها عدد من المسيحيين والأجانب، ورغم أنها كانت لا تؤمن بأي إله (لا يوجد مصدر يؤكد دينها)، إلا أنها كانت محل تقدير وإعجاب تلامذتها المسيحيين واعتبرتها في العصور اللاحقة بعض المؤلّفين المسيحيين رمزًا للفضيلة. وأشيع أنها كانت زوجة الفيلسوف ايزودور السكندري غير أنها بقيت طوال حياتها عذراء. ويحكى أنها رفضت أحد خطابها عن طريق إعطائه خرقة بها بقع من دمها موضحة له أنه لا يوجد «شيء جميل» في الرغبات الجسدية.
هيباتيا
Section: نشأتها

كان التدريب النحوي بمثابة تمهيد لكيفية القراءة والكتابة وفهم اللغة، ولكن كان له أيضًا غرض خفي. فقد كان المعلمون يصممون دروسهم بحيث يتم قراءة مجموعة من النصوص والتوقف عند كل مرة يتم فيها الإشارة إلى حدث أو شخصية مهمة لشرحها للطلاب. ومع تقدم الفتاة في التدريب، بدأت تعمل على تمرينات تعرف باسم «بروجيمناسماتا».

وقد كان التعليم لدى الصفوة في القرن الرابع عبارة عن عملية متعددة المراحل، تبدأ في المنزل بإعطاء مقدمة عن سبل الخطابة الملائمة ثم تحليل القصص التي تستخلص منها دروساً حول السلوك اللائق. وقد كان معظم هذا التدريب المبدأي يتم بواسطة مرضعات تعينهن الأسر للاعتناء بالطفل حتى سن السادسة أو السابعة. وفي سن السابعة تبدأ الفتاة في تعلم اللغة وقواعد السلوك الأساسية التي ستجعل منها أحد أفراد الصفوة.
هيباتيا
Section: تعليمها

لا يوجد أي أثر يوضح المنهج الدراسي الذي اتبعته  هيباتيا، لكن منهج دراسة الطب والفلسفة في القرن السادس يعطي فكرة عن ذلك، فقد كان طلاب الفلسفة يدرسون كتاب «الأورغانون» من تأليف أرسطو يليه مجموعة من حوارات أفلاطون التي يقرأونها بترتيب محدد وتهدف إلى تنمية الفضائل الفلسفية لدى الطلاب. وقد كان طلاب الطب يتبعون منهجًا مماثلاً يتكون من 11 عملاً لأبقراط و 15 أو 16 عملاً لجالين، تتم قراءتها بترتيب محدد وتنتمي إلى مجالات طبية مختلفة.

من المرجح أن دارسي الفلسفة من الرجال والنساء كانوا يرون أن مناهجهم تتشابه في طريقة إعدادها. وقد ألف عالم الرياضيات السكندري «ببس» عملاً بعنوان «المجموعة» في أوائل القرن الرابع ويضم 8 كتب تتناول عددًا من الموضوعات الرياضية من بينها: الحساب، والهندسة، والفلك، والميكانيكا. وهو بمثابة خلاصة وافية للتعليم الرياضي وهو منظم بحيث تستند المواد الأكثر صعوبة على تلك التي تم تناولها مسبقًا.
صيغة براهماغوبتا
Section: البرهان

إذن

بتطبيق قانون جيب التمام نستنتج أن:

نعوض cos C = −cos A، لدينا

نعوض في متساوية المساحة،

نأخذ ، فنجد

لتكن  هي مساحة الرباعي جانبه.  هي مجموع مساحتي المثلثين  و  إذن

بما أن  رباعي دائري فإن ∠DAB = 180° − ∠DCB و منه فإن sin A = sin C، و منه: .
مثلث متساوي الأضلاع
Section: مبرهنات مهمة

مبرهنة نابليون

مبرهنة فيفياني

مبرهنة بومبي

تنص صيغة لمتباينة المحيط الثابت تخص المثلثات، أن المثلث ذا المساحة القصوى عندما يكون المحيط ثابتا هو المثلث المتساوي الأضلاع.

تنص مبرهنة مورلي على أنه في أي مثلث، النقط الثلاث حيث يلتقي مثلِّثات الزوايا المتحادية تُكون مثلثا متساوي الأضلاع.
مثلث متساوي الأضلاع
Section: خصائص أخرى

نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي: ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
مثلث متساوي الأضلاع
Section: خصائص أساسية

P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم  P نقطة وسطى  P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.

AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع  AD متوسط  AD منصف للزاوية A.
ارتفاع (مثلث)
Section: المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات)

في أي مثلث حاد، المثلث المدرج بداخله ذو المحيط الأصغر هو المثلث العمودي. هذا هو الحل ل مسألة فانيانو [الإنجليزية] التي طُرِحَت عام 1775.

أضلاع المثلث العمودي متوازية مع مماسات الدائرة المحيطة عند رؤوس المثلث الأصلي.

يعطي المثلث العمودي لمثلث حاد مثلث المرور الضوئي.
ارتفاع (مثلث)

في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.

يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية.
ارتفاع (مثلث)
Section: المركز العمودي [الإنجليزية] (نقطة تلاقي الارتفاعات)

تمثله النقطة H، أي المركز العمودي للمثلث ABC. من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي H عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:

في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و C تمثل الأرقام  و  و ، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث ABC يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب
قطع ناقص
Section: خواص مماسية

والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل إهليلج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:

في طاولة بلياردو على شكل إهليلج، إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.
قطع ناقص
Section: محيط القطع الناقص

للتنبيه

للتنبيه التكاملات الإهليلجية ليس لها حلول مغلقة الشكل ولا يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الابتدائية.

تعبير عن المحيط بواسطة المتسلسلة اللانهائية:

حيث n!! هو عاملي ثنائي.

وبطريقة أشمل

كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:
قطع ناقص
Section: شروط المماس

الطريقة (هندسة وصفية)

يتم تمرير بالنقطة P أي خط مستقيم b (أو c) بحيث يقطع دلتا

يتم تحديد القطب B ل b بالنسبة لدلتا

يتم توصيل النقطتان P و B للحصول على الخط المطلوب p

استنتاج: إن النقاط القطبية لحزمة الخطوط التي تمر بالنقطة P، تنتمي للخط القطبي p.
قطع زائد

القطع الزائد ناتج عن قطع المخروط بمستو في أحد نصفي المخروط، وهو الذي يكون اختلافه المركزي أكبر من الواحد الصحيح، ويمكن تعريفه بعبارة أخرى: وهو القطع الذي ينشأ عن قطع سطح مخروطي دائري قائم وامتداده من جهة رأسه بمستو يميل على مستوى دليله بزاوية أكبر من زاوية ميل أحد الرواسم على مستوى الدليل.

ونقول أن القطعان الزائدان متشابهين (Similar)، إذا كان اختلافهما المركزيان متساويين، ويكون قطعان زائدان مترافقين إذا كان المحور المستعرض لأحدهما هو المحور المرافق للآخر والمحور المرافق للأول هو المستعرض للآخر.
قطع زائد
Section: معرض صور

يُعرف القطع الزائد بالموقع الهندسي للنقاط التي تكون قيمة اختلاف مسافاتها بالنسبة للبؤرتين عدد ثابت

إنشاء هندسي لقطع زائد عن طريق مخروطيته الارتدادية

لا تتطابق صورة مركز القطع الزائد الموضوعي مع مركز صورة القطع الزائد نفسه

اجراء هندسي سريع ودقيق لرسم قطع زائد، معلومة خمس نقاط, 3 منها غير متسامتة
قطع زائد
Section: في الهندسة الوصفية

يُعرَّف القطع الزائد كمحل هندسي للنقاط التي يكون فرق ابعادها عن البؤر ثابت.

معلوم قطع زائد. مطلوب تحديد محاور وبؤر وخطوط التقارب

الخطوات

نحدد المركز C كتقاطع بين الخطوط التي تمر بنقاط منتصف زوجين من الأوتار المتوازية

نرسم من C محوري القطع الزائد Λ بحيث يكونان متعامدين على بعضهما البعض
قطع مكافئ
Section: معادلات

حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum.

وبما أنه للقطع المكافئ يكون

.

معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة

هي

في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته
قطع مكافئ
Section: المعادلة في الإحداثيات الديكارتية

بحيث أن

حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.

وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي.

وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:
قطع مكافئ
Section: في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا

كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء.

كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات.

لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة.
اختلاف مركزي
Section: دراسة الإهليلج

إذا كان المحور الكبير = 2a

و طول المحور الصغير = 2b

فإن معادلة الإهليلج يمكن كتابتها على الصورة :

حيث x , y هي أي نقطة على محيط القطع الناقص في رسم بياني عمودي المحورين.

للإهليلج محور كبير AB في الشكل 1، ومحور صغير CD. المحوران متعامدان ويتقاطعان في نقطة تسمى مركز الإهليلج. للإهليلج (القطع الناقص) محوري تناظر، أحدهما AB والآخر CD (شكل1).