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Théorème de Lagrange sur les polynômes
Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange[réf. souhaitée] concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

où les  sont réels.

Si a est une racine de P, alors a vérifie

Ce théorème reste vrai si les  et  sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon , ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Preuve :

Supposons que  est une racine du polynôme de module supérieur à 1 (Dans le cas contraire, la majoration est triviale). Réécrivons  de la sorte :

en écrivant   :

Comme  et pour tout entier  on a  , on obtient :

l'expression entre crochet est une suite géométrique finie, on peut écrire:

Comme  :

Alors:

Donc  , ce qui achève la démonstration.

Racine d'un polynôme
En mathématiques, une racine d'un polynôme P est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de x2 – x sont 0 et 1.

Un polynôme non nul à coefficients dans un certain corps peut n'avoir de racines que dans un corps « plus gros », et n'en a jamais plus que son degré. Par exemple x2 – 2, qui est de degré 2 et à coefficients rationnels, n'a aucune racine rationnelle mais a deux racines dans ℝ (donc aussi dans ℂ). Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines complexes (non nécessairement distinctes).

La notion de « racine » se généralise, sous le nom de « zéro », à un polynôme en plusieurs indéterminées.
Stopići
Stopići (en serbe cyrillique : Стопићи) est un village de Bosnie-Herzégovine. Il est situé dans la municipalité de Čajniče et dans la république serbe de Bosnie. Selon les premiers résultats du recensement bosnien de 2013, il compte 19 habitants.

Čajniče
Čajniče (en serbe cyrillique : Чајниче) est une ville et une municipalité de Bosnie-Herzégovine située dans la république serbe de Bosnie. Selon les premiers résultats du recensement bosnien de 2013, la ville intra muros compte 2 401 habitants et la municipalité 5 449.
Musée national d'art d'Azerbaïdjan
Le musée national d’art d’Azerbaïdjan (en azéri : Azərbaycan Dövlət İncəsənət Muzeyi) est l’un des plus grands musées d’art d'Azerbaïdjan. Dix-sept mille objets y sont stockés. Le musée est fondé en 1936 et depuis 1943, il porte le nom de Roustam Moustafaïev, l’un des fondateurs de l’art décoratif théâtral en Azerbaïdjan.

Le musée est installé dans deux bâtiments : l'ancien palais De Bourr et l'ancien lycée pour femmes Marie, construits à la fin du XIXe siècle à Bakou. Le musée contient des œuvres d’art couvrant les différentes périodes de l’art de l’Orient ancien et d’Azerbaïdjan, de Russie et d’Europe occidentale. Les œuvres d'art de valeur de la collection du musée ont été exposées au Canada (1966), à Cuba (1967), en Syrie (1968), en France (1969), en Tchécoslovaquie (1970), en Algérie (1970), en Irak (1971) et dans d'autres pays.

Vassili Verechtchaguine
Vassili Vassilievitch Verechtchaguine (en russe : Василий Василиевич Верещагин), né le 26 octobre 1842 à Tcherepovets et mort le 13 avril 1904 près de Port-Arthur en Chine, est un peintre russe, célèbre pour ses peintures de batailles.
Jerez de García Salinas
Jerez de García Salinas est une ville mexicaine, chef-lieu de la municipalité de Jerez dans l'État de Zacatecas.

Elle est située dans le centre de cet état, à 56 km au sud-ouest de la ville de Zacatecas, et revêt une importance touristique et culturelle.

Zacatecas
Zacatecas (prononcé en espagnol latinoaméricain : /sakaˈtekas/) est la capitale de l'État de Zacatecas au Mexique, à 100 km au nord d'Aguascalientes. Elle est située à 2 450 m d'altitude au nord de la Sierra Fría, au pied du Cerro de la Bufa.

En 2005, sa population était de 108 000 habitants.

Son centre historique a été classé au patrimoine mondial de l'UNESCO en 1993.
Jean-Paul Cluzel
Jean-Paul Cluzel, né le 29 janvier 1947, est un haut fonctionnaire français.

Il fut inspecteur général des finances, directeur de l'Opéra de Paris, président de Radio France internationale et de Radio France, et président jusqu'en janvier 2016 de l'établissement public de la Réunion des musées nationaux et du Grand Palais des Champs-Élysées.

Act Up-Paris
Act Up-Paris (AUP) est une association militante de lutte contre le sida, issue de la communauté homosexuelle, créée le 9 juin 1989 par Didier Lestrade, Pascal Loubet et Luc Coulavin, suivant le modèle américain, né deux ans plus tôt. Ce modèle a essaimé essentiellement dans le monde occidental (New York, Philadelphie, Bâle, , etc., en France : Paris et Toulouse), chaque association bénéficiant d'une totale autonomie ; il se caractérise par un certain nombre de techniques activistes relatives tant à la visibilité de la lutte engagée qu'au mode de fonctionnement interne du collectif (prise de décision à partir d'un consensus par exemple).
Éolienne et lavoir de Vignol
L'éolienne et lavoir de Vignol est un lavoir muni d’une éolienne Bollée située à Vignol dans le département de la Nièvre, en France.

L’ensemble est inscrit au titre des monuments historiques depuis 1996 ; il détient également le label « Patrimoine du XXe siècle ».

Éolienne Bollée
L’éolienne Bollée est un type d'éolienne inventé par Ernest-Sylvain Bollée (1814-1891), qui servait au pompage de l'eau (une pompe à vent). Elle fut produite en France de 1872 à 1933, à environ 350 exemplaires, qui furent installés principalement en France, dans quarante-quatre départements. Environ 80 sont encore visibles.

Ernest-Sylvain Bollée a utilisé le mot « éolienne » pour la première fois (1885) comme nom commun et non plus comme un adjectif (énergie éolienne). Le mot se retrouve dans le Nouveau Larousse illustré quelques années plus tard en 1907.
Culture de la céramique imprimée
La culture de la céramique imprimée correspond à la première culture du Néolithique de plusieurs régions du bassin méditerranéen. Elle doit son nom au décor des poteries qui consistent en des motifs imprimés sur la pâte avant la cuisson,,.
Ne sont évoqués ici que les premiers aspects de cette céramique et non ses évolutions postérieures qui permettent dans la plupart des régions de définir de nouvelles cultures.

Pression (technique de taille)
La pression est une technique de taille des roches dures utilisée depuis la Préhistoire. Elle consiste à détacher des éclats de matière non pas par percussion mais en exerçant une forte pression sur la roche taillée. Elle est utilisée pour le débitage et pour la retouche.
Montipora socialis
Montipora socialis est une espèce de coraux appartenant à la famille des Acroporidae. Selon le World Register of Marine Species, cette espèce n'est pas acceptée et est assimilée à Montipora foveolata (Dana, 1846).

Acroporidae
Acroporidae (du latin et grec, « pores au sommet ») est une famille de cnidaires anthozoaires (coraux). La famille est apparue au Jurassique supérieur et regroupe les plus importantes espèces bâtisseuses de récifs parmi les Scleractinia.
Bulldog anglais
Le bouledogue ou bulldog anglais est une race de chien du type molosse. Le bulldog anglais (littéralement, en anglais, « chien-taureau ») est un chien trouvant naturellement son origine en Grande-Bretagne. Son apparition a été favorisée par le développement d'un sport apparu au XIIIe siècle : le combat entre chien et taureau désigné en anglais comme bullbaiting.

Molossoïde
Les molossoïdes, ou plus communément molosses, sont l'un des quatre types de chiens définis par le vétérinaire français Jean Pierre Mégnin, ayant comme caractéristiques anatomiques la tête et le corps massifs, le museau court, les babines longues et épaisses, les oreilles courtes et tombantes (ou droites par exemple dans le cas du bouledogue français). Le terme molosse remonte à l'Antiquité et dérive du peuple des Molosses vivant dans l'Épire qui fournirent à Alexandre le Grand son chien Péritas.

Selon la nomenclature de la Fédération cynologique internationale, la majorité des molossoïdes appartiennent au groupe 2 dont ils constituent la seconde section. Celle-ci est divisée en deux sous-sections, les molossoïdes de type dogue et ceux de type montagne. Quant aux molossoïdes de petit format, ils appartiennent à la huitième section du groupe 9 des chiens de compagnie.
Ololiuqui
L’ololiuqui (ololiuhqui ou ololiúqui) est une drogue préparée avec des graines de diverses plantes de la famille des Convolvulaceae dont les propriétés enthéogènes sont au centre d'un usage rituel au Mexique et en Amérique centrale.

La préparation varie en fonction des ethnies. Elle contient des graines d'Ipomoea tricolor (badoh negro pour les Zapotèques)  ou de Turbina corymbosa (badoh pour les Zapotèques).

Les auteurs différencient généralement l’ololiuqui du tlitliltzin en associant uniquement l'une des plantes à l'un des noms, ainsi il est courant de voir les graines d’Ipomoea tricolor associées au tlililtzin et celles de Turbina corymbosa à l’ololiuqui.

Turbina corymbosa possède plusieurs synonymes : Ipomoea sidaefolia, Rivea corymbosa.

Selon certains auteurs, Ipomoea purpurea est aussi utilisée et plutôt associée au tlitliltzin.

Enthéogène
Un enthéogène est une substance psychotrope induisant un état modifié de conscience utilisée à des fins religieuses, spirituelles, thérapeutiques ou chamaniques. Les enthéogènes regroupent un grand nombre de plantes et champignons, ainsi que certains venins d’animaux qui possèdent des propriétés hallucinogènes et dont on peut dériver les substances actives. Les enthéogènes sont employés depuis plusieurs milliers d’années et sur tous les continents, on les retrouve dans le chamanisme et lors de pratiques de guérison, de transcendance, de révélation, de méditation, dans des rituels initiatiques divers et aussi dans le psychonautisme. Parfois, les plantes enthéogéniques sont détournées de leur usage traditionnel et sont consommées à des fins artistiques ou simplement afin de connaitre une expérience psychédélique.
Antef II
Antef II est un roi de la XIe dynastie, pendant la Première Période intermédiaire. Il est probablement le fils du nomarque thébain Montouhotep Ier (proclamé roi de manière posthume) et le frère de son prédécesseur Antef Ier. On situe son règne de -2118 à -2069. Le Canon royal de Turin (5.14) a une lacune sur son nom et lui compte quarante-neuf ans de règne.

Nome (Égypte antique)
Les nomes, du grec νομός / nomós, « nome, division administrative » (en égyptien ancien : sepat,), au nombre de trente-huit pendant l'Ancien Empire et le Moyen Empire et quarante-deux à l’époque ptolémaïque, sont les circonscriptions administratives de l’Ancienne Égypte.
NGC 6871
NGC 6871 est un amas ouvert situé dans la constellation du Cygne. Il a été découvert par l'astronome germano-britannique William Herschel en 1783.

La taille apparente de l'amas est de  30 minutes d'arc, ce qui, compte tenu de la distance égale à 1 741 ± 69 pc (∼5 680 al) et grâce à un calcul simple, équivaut à une taille réelle de 50 ± 2 al.

Selon la classification des amas ouverts de Robert Trumpler, cet amas renferme moins de 50 étoiles (lettre p),, dont la concentration est faible (IV), ou moyenne (II) selon le site Lynga et dont les magnitudes se répartissent sur un intervalle moyen (le chiffre 2),,. Le site Lynga indique que l'amas renferme 15 étoiles.

Cygne (constellation)
Cygnus

Le Cygne est une grande et brillante constellation, parfois appelée la Croix du nord (en référence à la Croix du Sud) car ses étoiles sont principalement disposées selon une grande croix. L'oiseau qu'elle représente s'étend sur la Voie lactée estivale, paraissant en migration vers le sud. Son nom lui est donné par Ptolémée dans le Livre VIII de l'Almageste datant du IIe siècle.

Traversée par la Voie lactée, elle contient plusieurs étoiles brillantes et de nombreux objets célestes.
Domaine de Sano
Le domaine de Sano (佐野藩, Sano-han) est un fief féodal japonais de l'époque d'Edo situé dans la province de Shimotsuke (actuelle préfecture de Tochigi). Il était dirigé à partir de l'actuelle ville de Sano par une branche cadette du clan Hotta.

Han (Japon)
Les han (藩) ou domaines étaient des unités administratives correspondant aux territoires des fiefs des daimyos du Japon. Ce système fut créé par Toyotomi Hideyoshi et a existé jusqu'à son abolition en 1871, trois ans après la restauration de Meiji. Le nombre de han varia ; il y en avait approximativement 300 durant la période Edo. La plupart étaient dirigés par un daimyo avec un territoire correspondant à 10 000 koku ou plus. Le daimyo jurait fidélité au shogun. Parfois, un daimyo puissant laissait un homme gouverner un domaine de plus de 10 000 koku. Ces hommes n'étaient pas des daimyos mais leur domaine était appelé han.

Le han le plus riche était le han de Kaga avec un million de koku. Il couvrait les provinces de Kaga, d'Etchu et de Noto. En juillet 1871, tous les han furent abolis en faveur de la création des préfectures du Japon.
Histoire de la Meuse
Duché de Bar

Duché de Lorraine

Champagne et Clermontois

Les Trois-Évêchés

Prévôté de Montmédy, partie du Luxembourg français

Duché de Carignan

Cet article décrit les faits saillants de l'histoire du département de la Meuse, situé dans le Nord-Est de la France.

Duché de Bar
Le comté, puis duché, de Bar est un état qui fut formé au Xe siècle par Ferry d'Ardenne, frère de l'évêque de Metz Adalbéron.
Depuis 1301, il relevait à la fois du domaine royal de France (pour la partie située à l'ouest de la Meuse, appelée Barrois mouvant) et du Saint-Empire romain germanique (Barrois non mouvant).

Élevé au rang de duché par l'empereur Charles IV au profit de Robert Ier de Bar en 1354, il est uni de facto au duché de Lorraine en 1419 par le mariage de René Ier et d'Isabelle de Lorraine. Les deux duchés connurent alors une histoire et un destin communs tout en conservant leurs institutions propres. Conformément au traité de Vienne de 1738, les deux duchés furent donné à titre viager  au roi en exil Stanislas Ier de Pologne puis à la mort du souverain Polonais en 1766, annexés par la France.

Ses habitants sont appelés les Barrois.
Viliami Tupoulahi Mailefihi Tukuʻaho
Le prince Viliami Tupoulahi Mailefihi Tukuʻaho (né le 17 juin 1957, et mort le 14 juin 2014 à Nukuʻalofa,) est une personnalité politique tongienne, membre de la famille royale, et détenteur du titre de prince Tuʻipelehake,  l'un des trente-trois titres de la noblesse héréditaire tongienne.

Noblesse tongienne
La noblesse tongienne constitue une classe aristocratique, très restreinte et principalement héréditaire, au royaume des Tonga, État polynésien. Elle a été forgée par une longue histoire de stratification sociale, puis par les spécificités de l'unification du royaume au dix-neuvième siècle, mais aussi par son adaptation à des titres de noblesse d'inspiration britannique.
Lionel Medeiros
Lionel Jesus Gonçalves Medeiros est un footballeur franco-portugais né le 14 avril 1977 à Orléans. Il commence sa carrière professionnelle au poste de milieu de terrain, il sera ensuite repositionné en défense centrale.

Varzim Sport Club
Le Varzim SC est un club de football portugais basé à Póvoa de Varzim, à proximité de Porto. Le club évolue pour la saison 2022-2023 en Liga 3 (troisième division portugaise). Après une saison difficile, il arrive à se maintenir lors des play-off en troisième division pour la saison 2023-2024.
Craterellus aureus
Craterellus aureus est une espèce de champignons du genre Craterellus, de la famille des Cantharellaceae. Cette espèce comestible, décrite depuis Hong-Kong, est présente au Japon, à Taïwan, au Vietnam et au Laos ainsi qu'au Congo et au Gabon,.

Craterellus aureus est représenté par un carpophore de 4 à 10 cm de diamètre en entonnoir jaune orange infundibuliforme et décurvé. L'hymenium est décurrent et orange. Les pieds sont égaux, de 1.5 à 2.5 cm sur 0.5 à 1 cm. Les spores sont elliptiques, mesurant de 7 à 9 sur 5 à 7 μm. Les cystides sont invisibles et les basides, portant quatre stérigmates, mesurent de 50 à 75 par 6 à 8 μm,,.

Cantharellaceae
Les Cantharellacées (Cantharellaceae) sont une famille de champignons de l'ordre des Cantharellales. Cette famille est constituée de cinq genres dont deux sont particulièrement connus : les Chanterelles (genre Cantharellus) et les Craterelles (genre Craterellus).
Jeux olympiques de la jeunesse de 2026
Les Jeux olympiques de la jeunesse d'été 2026 seront la quatrième édition des Jeux olympiques de la jeunesse d'été et la septième édition des Jeux olympiques de la jeunesse. Ils auront lieu au Sénégal, à Dakar, Diamniadio et Saly. Il s'agit du premier événement olympique se tenant sur le continent africain.

Jeux olympiques de la jeunesse d'été
Les Jeux olympiques de la jeunesse d'été sont des jeux réservés aux personnes âgés de 14 à 18 ans, créés par le Comité international olympique (CIO) lors de sa 119e session, qui a eu lieu à Guatemala du 4 au 7 juillet 2007.
Ces JOJ d'été ont lieu tous les 4 ans, les années des Jeux olympiques d'hiver. La première édition a eu lieu en 2010 à Singapour.
Klikawa (Lublin)
Klikawa (prononciation [kliˈkava]) est un village de la gmina de Puławy du powiat de Puławy dans la voïvodie de Lublin, situé dans l'est de la Pologne.

Il se situe à environ 4 kilomètres à l'ouest de Puławy (siège de la gmina et du powiat) et 50 kilomètres à l'ouest de Lublin (capitale de la voïvodie).

Le village comptait approximativement une population de 480 habitants en 2006.

Powiat de Puławy
Le powiat de Puławy (polonais : powiat puławski) est un powiat (district) de la voïvodie de Lublin, dans le sud-est de la Pologne.

Il est né le 1er janvier 1999, à la suite des réformes polonaises de gouvernement local passées en 1998.

Le siège administratif du powiat est la ville de Puławy, située à 46 kilomètres (km) au nord-ouest de la capitale régionale Lublin (capitale de la voïvodie). Le powiat possède également deux autres villes : Nałęczów, située à 23 kilomètres au sud-est de Puławy, et Kazimierz Dolny, située à 11 kilomètres au sud de Puławy

Le district couvre une superficie de 933 kilomètres carrés. En 2006, sa population totale est de 116 829 habitants, avec une population pour la ville de Puławy de 49 839 habitants, pour la ville de Nałęczów de 4 243 habitants, pour la ville de Kazimierz Dolny de 3 572 habitants et une population rurale de 59 175 habitants.
Jørgen Breder Stang
Jørgen Breder Stang (né le 24 mai 1874 à Sarpsborg et décédé le 25 novembre 1950 à Oslo), également désigné sous le nom de « I.B. Stang, » est un armateur, homme d’affaires et collectionneur d'œuvres d’art norvégien.

Sa collection était composée de chefs-d'œuvre impressionnistes et post-impressionnistes d'artistes tels qu'Édouard Manet, Auguste Renoir, Berthe Morisot, Paul Cézanne et Paul Gauguin. Bien que remarquable, sa collection n'a connu qu'une existence brève et elle est aujourd'hui disséminée dans des musées internationaux et de grandes collections privées.

Musée des Beaux-Arts (Boston)
Le musée des Beaux-Arts, à Boston, en anglais : Museum of Fine Arts, Boston, dans le Massachusetts, est l'un des plus grands musées des États-Unis.

L'institution fut fondée en 1870 et ouvrit en 1876, après avoir emprunté une grosse partie des collections du Boston Athenæum. Le musée a emménagé dans ses locaux de Huntington Avenue en 1909.

Ses collections sont variées ; parmi les domaines les mieux représentés figurent l'Antiquité, notamment de l'Ancien Empire égyptien, et la peinture française de la fin du XIXe siècle, avec par exemple la grande toile D'où venons-nous ? Que sommes-nous ? Où allons-nous ? de Paul Gauguin.
Pyrrhon d'Élis
Pyrrhon d'Élis (en grec ancien Πύρρων / Pýrrhôn) (vers 365–275 av. J.-C.) est un philosophe sceptique originaire d'Élis, ville provinciale du nord-ouest du Péloponnèse. Son activité philosophique se situe vers 320 av. J.-C., avec, pour disciples, Onésicrite, Philon d'Athènes et Timon de Phlionte (à ne pas confondre avec Timon d'Athènes), un poète-philosophe qui vécut dans sa familiarité pendant vingt ans. Il est considéré par les sceptiques anciens comme le fondateur de ce que l'on a appelé le pyrrhonisme.

Diogène Laërce
Diogène Laërce (en grec ancien Διογένης Λαέρτιος / Diogénês Laértios) est un poète, un doxographe et un biographe du début du IIIe siècle.

On sait peu de chose sur sa vie. Diogène Laërce est essentiellement connu parce qu'il a compilé (et ainsi permis de conserver) un grand nombre de textes et de doctrines de l'Antiquité ; sources auxquelles Nietzsche consacra un mémoire universitaire. C'est par exemple par lui que nous sont parvenues les lettres d'Épicure, ainsi que ses Maximes capitales. On connaît aussi grâce à lui les testaments de certains philosophes.
Château de Guarda
Le château de Guarda est une fortification militaire médiévale située sur le territoire de la municipalité de Guarda (district de Guarda, Portugal),.

Dominant la ville la plus haute du pays, il s'élève à 1 056 m au-dessus du niveau de la mer. Bien que très modifié par des interventions, notamment depuis le XIXe siècle, les sections restantes de ses anciens remparts définissent encore, à certains endroits, les limites urbaines.

Il est classé Monument national depuis 1910.

Monument national (Portugal)
Monument National - La classification du patrimoine portugais est l'acte final de la procédure administrative par laquelle il est établi qu’un certain bien a une valeur culturelle inestimable.

Un bien est considéré comme d'intérêt national lorsque sa protection et la valorisation, en tout ou en partie, représente une valeur culturelle significative pour la nation. Les immeubles appartenant à des particuliers ne peuvent être classés d'intérêt national que quand leur dégradation ou leur perte constitue une perte irréparable pour le patrimoine culturel. (Art.15º,16º,18º)
Pourouma cecropiifolia
Pourouma cecropiifolia est une espèce de plantes à fleurs de la famille des Urticaceae. C'est un arbre fruitier natif du bassin amazonien occidental en Amérique du Sud tropicale, dans le nord de la Bolivie, l'ouest du Brésil, le sud-est de la Colombie, l'est de l'Équateur, l'est du Pérou et le sud du Venezuela. C'est le plus connu de la vingtaine d'espèces du genre Pourouma.

Urticaceae
Les Urticaceae (Les Urticacées) sont une famille de plantes à fleurs de l'ordre des Rosales. Elle comprend près de 2 625 espèces réparties en une soixantaine de genres, dont les emblématiques orties (Urtica).
Tujlići
Tujlići (en cyrillique : Тујлићи) est un village de Bosnie-Herzégovine. Il est situé dans la municipalité de Visoko, dans le canton de Zenica-Doboj et dans la fédération de Bosnie-et-Herzégovine. Selon les premiers résultats du recensement bosnien de 2013, il compte 221 habitants.

Visoko (Bosnie-Herzégovine)
Visoko (en cyrillique : Високо) est une ville et une municipalité de Bosnie-Herzégovine située dans le canton de Zenica-Doboj et dans la fédération de Bosnie-et-Herzégovine. Selon les premiers résultats du recensement bosnien de 2013, la ville intra muros compte 11 552 habitants et la municipalité 41 352.

Visoko est une ville du centre de la Bosnie-Herzégovine, riche de culture et d'histoire. Elle est située à mi-chemin sur la route reliant Zenica et Sarajevo. Visoko est traversée par la rivière Bosna, à la confluence avec la rivière Fojnička (Fojnička rijeka).