hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-related-lead-pairs huggingface dataset:
Keu
Keu est un personnage du cycle arthurien, chevalier de la Table ronde, généralement frère nourricier et sénéchal du roi Arthur. Selon les auteurs et les époques, il s'appelle également Cai, Cei, Kei, Key, Kai, Kay, Ké ou Kou. Il est souvent décrit comme quelqu'un d'arrogant, querelleur et vaniteux.

Keu est, avec Bedivere, un des personnages les plus anciens de la légende arthurienne, déjà présent dans la littérature galloise.
Il est arrogant et cherche toujours à plaire aux dames (dans Lancelot ou le Chevalier de la charrette il va s’attirer des ennuis à cause de son arrogance).

Chevaliers de la Table ronde
Les chevaliers de la Table ronde forment un ordre légendaire au service du roi Arthur que ce dernier a chargé de mener la quête du Graal et d'assurer la paix du royaume. La première trace écrite de la légende des chevaliers de la Table ronde se trouve dans le Roman de Brut écrit par l'écrivain normand Wace en 1155. Dans la littérature française, les œuvres de Chrétien de Troyes à la fin du  XIIe siècle ont eu une influence majeure sur la diffusion de la légende arthurienne.
Panagiótis Nikoússios
Panagiótis Nikoússios (grec moderne : Παναγιώτης Νικούσιος ; né à Constantinople en 1613 – mort le 2 octobre 1673) est considéré comme le premier Grand drogman de la Sublime Porte, dans la seconde moitié du XVIIe siècle.

D'origine phanariote, il étudia la philosophie et les mathématiques à Padoue.

Il fut l'interprète de l'ambassadeur de Pologne à Constantinople. Recruté par le grand vizir, qui avait besoin d'agents diplomatiques, il fut nommé « drogman de la Flotte » et négocia la reddition des Vénitiens à l'issue du siège de Candie, en 1669. Il fut alors nommé « grand drogman », au service du reis ul-kuttab.

Les revenus de l'île de Mykonos lui avait été attribués en guise de salaire. Il se heurta sur l'île au chevalier de Malte Téméricourt-Beninville.

Après sa mort, il fut inhumé sur ordre du Grand Vizir dans le Monastère de la Mère de Dieu, qu'il avait rebâti dans l'île de Heybeliada.

Drogman
Drogman est le terme utilisé en Orient pour désigner un interprète. Ce mot, utilisé entre les XIIe et XXe siècles, désignait à la fois les interprètes au service des Européens chargés des relations avec le Proche et Moyen-Orient et les fonctionnaires au service de l'administration ottomane, souvent d'origine grecque. Il en existait plusieurs classes, assumant toujours des fonctions de traduction, mais parfois aussi de chargé de mission, négociateur, intermédiaire. Le mot n'est cependant plus utilisé.
Sam Neill
Sir Nigel Neill, dit Sam Neill /sæːm ˈniːl/ est un acteur, réalisateur, scénariste, producteur et vigneron néo-zélandais, né le 14 septembre 1947 à Omagh au nord de l'Irlande.

Il est également citoyen britannique et irlandais.

Il est notamment connu pour avoir joué le rôle d'Alan Grant dans les 1er et 3e opus de la saga Jurassic Park.

Il se fait d'abord remarquer dans Ma brillante carrière en 1979 et dans Possession en 1981, puis il est récompensé par un AFI Award du meilleur acteur pour Un cri dans la nuit en 1988.

Il obtient une reconnaissance critique et publique en 1993 pour ses rôles dans La Leçon de piano de Jane Campion et Jurassic Park de Steven Spielberg, ce dernier lui valant une notoriété internationale.

Il apparait aussi dans À la poursuite d'Octobre rouge en 1990, L'Homme qui murmurait à l'oreille des chevaux en 1998 et The Hunter en 2011.

À la télévision, il joue dans les séries Merlin (1998), Les Tudors (2007) ou encore Peaky Blinders (2013-2014).

Crusoe (série télévisée)
Crusoé est une série télévisée en coproduction américaine, britannique et canadienne en un pilote de 90 minutes et treize épisodes de 42 minutes, créée par Stephen Gallagher d'après le roman Robinson Crusoé de Daniel Defoe et diffusée aux États-Unis entre le 17 octobre 2008 et le 31 janvier 2009 sur le réseau NBC, et en simultané sur Citytv au Canada.

En France, la série a été diffusée à partir du 7 août 2009 sur Canal+ Family, dès le 6 juillet 2013 sur NRJ 12 puis rediffusée sur RTL 9, Action et dès le 17 juillet 2015 sur AB1. Au Québec, à partir du 8 juin 2010 sur le réseau TVA.
Ignatius Kilage
Sir Ignatius Kilage (né en 1941 et mort le 31 décembre 1989) est un administrateur colonial britannique, gouverneur général de Papouasie-Nouvelle-Guinée du 1er mars 1989 à sa mort.

Avant d’occuper ce poste, Kilage est l’ombudsman en chef de la Papouasie-Nouvelle-Guinée et l’auteur du livre Ma mère m’appelle Yaltep .

Après sa mort, un stade est nommé en son honneur en 1991.

Gouverneur général de Papouasie-Nouvelle-Guinée
Le gouverneur général de Papouasie-Nouvelle-Guinée est le chef d'État de facto de la Papouasie-Nouvelle-Guinée. Il représente le chef d'État de jure, le monarque de Papouasie-Nouvelle-Guinée.

Le gouverneur général exerce les fonctions et responsabilités du monarque en son nom.

La Papouasie-Nouvelle-Guinée se distingue des autres royaumes du Commonwealth puisque le gouverneur général y est choisi par le Parlement, et non par le Premier ministre, ce qui est d'usage dans les autres royaumes de ce type.

L'actuel gouverneur général est Sir Bob Dadae.
Newton (Nouvelle-Zélande)
Newton est un faubourg d'Auckland, à la limite sud d'Auckland Central Business District dont il est séparé par Karangahape Road. Il est bordé au sud par Eden Terrace, à l'ouest par Freemans Bay et Grey Lynn, et à l'est par Grafton.

Grey Lynn
Grey Lynn est un faubourg d'Auckland comprenant aussi le quartier de Surrey Crescent. Il est bordé au nord par Ponsonby, à l'est par Freemans Bay et Newton, au sud par Arch Hill et St Lukes et à l'ouest par Point Chevalier et Westmere.
Ochudno
Ochudno (prononciation : [ɔˈxudnɔ]) est un village polonais de la gmina de Rząśnik dans le powiat de Wyszków de la voïvodie de Mazovie dans le centre-est de la Pologne.

Il se situe à environ 6 kilomètres au sud-est de Rząśnik (siège de la gmina), 9 kilomètres au nord de Wyszków (siège du powiat) et à 58 kilomètres au nord-est de Varsovie (capitale de la Pologne).

Rząśnik (gmina)
La gmina Rząśnik est un district administratif situé en milieu rural du powiat de Wyszków dans la voïvodie de Mazovie, dans le centre-est de la Pologne.

Son siège administratif (chef-lieu) est le village de Rząśnik, qui se situe environ 14 kilomètres au nord-ouest de Wyszków (siège du powiat) et 60 km au nord-est de Varsovie (capitale de la Pologne).

Elle s'étend sur 167,42 km2 et comptait une population de 7 016 habitants en 2016.
Division d'Oran
La division d'Oran est une division d'infanterie de l'Armée de terre française, qui fait notamment partie du 19e corps d'armée basé en Algérie. Elle regroupe les troupes de l'Armée d'Afrique en garnison dans la région d'Oran. Elle est dissoute en 1964.

24e corps d'armée (France)
Le 24e corps d’armée est un corps d'armée de l'armée de terre de l'Armée française. En décembre 1870, il est mis sur pied, à Lyon, par le général Bressolles et rattaché à l'armée de l'Est. Il est recréé brièvement en juin 1940 pendant la Seconde Guerre mondiale.
Émetteur de Riedlingen
L'émetteur de Riedlingen est une antenne-relais pour la radiodiffusion. Il se situe sur l'Österberg, une colline boisée culminant à 652 m d'altitude, à environ deux kilomètres à l'ouest du centre-ville de Riedlingen. Une tour à treillis en acier, haute de 69 mètres, est utilisée comme support d’antenne. Une maison au pied sert à la transition vers la tour de transmission, l'autre porte une sous-station de l'EnBW à partir de laquelle la tour de transmission est alimentée en électricité. L'énergie est fournie via un câble de Riedlingen.

Grâce à cet émetteur, la station de radio Donau 3 FM est diffusée sur la ville de Riedlingen et ses environs.

La station de radio suivante est diffusée en FM :

Donau 3 FM
Donau 3 FM est une radio privée régionale de Bade-Wurtemberg.

La station propose un programme Adult contemporary.

DONAU 3 FM est une station locale de la zone économique transnationale Danube-Iller (Ulm, Neu-Ulm et les arrondissements d'Alb-Danube, Biberach, Neu-Ulm et Guntzbourg).

Donau 3 FM, à l'instar de son prédécesseur Radio Donau 1, bénéficie des autorisations LFK et BLM en raison de la zone de distribution transfrontalière dans le Bade-Wurtemberg et en Bavière.

151 000 personnes à Ulm et ses environs écoutent quotidiennement DONAU 3 FM.

Les actionnaires sont Burda et Studio Gong, elle-même une filiale de Burda Media, chacune détient 50%.
Descente de croix
La Descente de croix (grec : Ἀποκαθήλωσις, Apokathelosis) est un thème iconographique très populaire concernant Jésus après la Crucifixion. Si les Évangiles, après sa mort, s'étendent sur sa Mise au tombeau par Joseph d'Arimathie et Nicodème (ainsi en Jn 19:38-42 et textes parallèles), ils ne disent rien à propos de la descente de son corps de la croix, qui est la treizième station du Chemin de croix. Ce thème inspira néanmoins de très nombreux artistes.

Déploration du Christ
La Déploration du Christ ou Lamentation du Christ est un épisode de la Passion du Christ qui a lieu à la fin de la Passion (Dies Passionis Domini) et qui a donné lieu à de multiples interprétations iconographiques à partir du haut Moyen Âge en occident et au XIe siècle dans l'art byzantin.

Cet épisode est médité dans l'Église catholique par la treizième station (l'avant-dernière) du chemin de Croix.
Route européenne
Une route européenne (en anglais : International E-road network) est une route du réseau routier européen dont la numérotation est sous la responsabilité de la Commission économique pour l'Europe des Nations unies (UNECE), en vertu d'un accord européen sur les artères internationales principales du trafic (AGR), fait à Genève le 15 novembre 1975.

Afin de s'affranchir des numérotations nationales, les routes européennes bénéficient d'une numérotation européenne qui ne varie pas d'un pays à l'autre.

Route européenne 40
La route européenne 40 (E40) est une route reliant initialement Calais (France) à Astrakhan (Russie) en passant par Bruxelles, Dresde, Cracovie et Kiev. Avec son extension, d'Astrakhan à Ridder (Kazakhstan), c'est la plus longue route européenne : 7 200 km. En France, son tracé est confondu avec l'autoroute A16. En Belgique, avec d'abord l'A18 jusqu'à Jabbeke, puis  l'A10 jusqu'à Bruxelles et enfin avec l'A3 jusqu'à la frontière allemande. En Allemagne, avec deux tronçons de l'autoroute A 4.
La route se prolonge jusqu'à Ridder, au Kazakhstan, près de la frontière avec la Chine.

En Belgique, l'autoroute est appelée 'l'autoroute de la mer', à l'ouest de Bruxelles. À l'est, elle est appelée autoroute de l'Allemagne.
Fernelmont
Fernelmont (en wallon Ferneamont, localement Fernêmont) est une commune francophone de Belgique située en Région wallonne dans la province de Namur.

La commune de Fernelmont est née officiellement le 3 janvier 1977 de la réunion de dix anciennes communes (Bierwart, Cortil-Wodon, Forville, Franc-Warêt, Hemptinne, Hingeon, Marchovelette, Noville-les-Bois, Pontillas et Tillier). La nouvelle commune fut nommée Fernelmont, signifiant Mont aux Frênes, nom du Château-ferme de Fernelmont situé plus ou moins au centre de la nouvelle entité. La maison communale se situe à Noville-les-Bois, proche du château, du fait qu'il n'existe pas de village Fernelmont.

Cortil-Wodon
Cortil-Wodon (en wallon Corti-Wodon) est une section de la commune belge de Fernelmont située en Région wallonne dans la province de Namur.

C'était une commune à part entière avant la fusion des communes de 1977.

Le hameau d'Hambraine fait partie de Cortil-Wodon.
Championnat de Santa Catarina de football 2011
Le championnat de Santa Catarina de football de 2011 était la 86e édition du championnat de Santa Catarina de football. Il fut remporté par Chapecoense, qui remporte à cette occasion son 4e titre à ce niveau.

Les deux finalistes, Chapecoense et Criciúma EC, représenteront l'État de Santa Catarina pour la Coupe du Brésil 2012.

Championnat de Santa Catarina de football
Le championnat de Santa Catarina de football ou championnat catarinense (campeonato catarinense en portugais) est une compétition de football qui réunit les clubs de l'État de Santa Catarina, au Brésil.
Médiathèque départementale de l'Isère
La Bibliothèque départementale de prêt de l'Isère, devenue Service de la lecture publique de l'Isère en 2012, puis Médiathèque départementale de l'Isère en 2018, est un service du Département de l'Isère directement rattaché à la Direction de la culture et du patrimoine. Le service est implanté à Saint-Martin-d'Hères et à Bourgoin-Jallieu pour desservir efficacement l'ensemble du département isérois.

Bibliothèque départementale
Une bibliothèque départementale est un type de bibliothèque de lecture publique existant en France.

À leur création, les bibliothèques départementales étaient appelées bibliothèques centrales de prêt, souvent abrégé en BCP. Elles ont été appelées bibliothèques départementales de prêt (BDP) en 1992, puis bibliothèques départementales en 2017. Il ne faut pas confondre ces bibliothèques départementales avec les « bibliothèques départementales » des départements d'outre-mer. Ces dernières sont placées sous l'autorité du Conseil départemental et ont le fonctionnement et les missions d'une bibliothèque municipale.
Parasenecio forrestii
Parasenecio forrestii est une espèce de plante à fleurs du genre Parasenecio et de la famille des Asteraceae que l'on trouve en Chine au sud-ouest du Sichuan et au Yunnan. Elle doit son nom au botaniste écossais George Forrest (1873-1932) qui la découvrit au Yunnan.

Parasenecio
Parasenecio est un genre de plante à fleurs appartenant à la famille des Asteraceae qui comprend environ une soixantaine d'espèces pour la plupart en Extrême-Orient et dans la région sino-himalayenne, ainsi que dans l'Extrême-Orient russe. On trouve une espèce dans les îles Aléoutiennes. Cinquante-deux espèces sont originaires de Chine, dont quarante-trois sont endémiques. Ce sont des plantes herbacées.
Eschau
Eschau [ɛʃo] (Aschöi en alsacien) est une commune française située dans la circonscription administrative du Bas-Rhin et, depuis le 1er janvier 2021, dans le territoire de la Collectivité européenne d'Alsace, en région Grand Est. Elle fait partie de l'Aire urbaine Sud de Strasbourg.

Cette commune se trouve dans la région historique et culturelle d'Alsace.

Remigius
Remi de Strasbourg ou Remigius, Remedius ( - † 783) est un bienheureux, fondateur de l'ancienne abbaye Sainte-Sophie et l'église Saint-Trophime d'Eschau, le 28e (ou 24e) évêque de Strasbourg sous le règne de Charlemagne. Sa fête est le 20 mars.
District de Shuangtaizi
Le district de Shuangtaizi (双台子区 ; pinyin : Shuāngtáizi Qū) est une subdivision administrative de la province du Liaoning en Chine. Il est placé sous la juridiction de la ville-préfecture de Panjin dont il couvre la partie nord.

Panjin
Panjin (chinois : 盘锦市 ; pinyin : Pánjǐn shì) est une ville de la province septentrionale du Liaoning en Chine. Le ministre chinois de la Sécurité publique, Zhou Yongkang a été maire de Panjin de 1983 à 1985.

Cet endroit est surtout connu pour une particularité biologique ; sa plage rouge (chinois simplifié : 红海滩 ; pinyin : hóng hǎitān), situé sur le xian de Dawa, recouverte de roseaux, lui donnant une couleur rouge. C'est la plus grande roselière au monde.. C'est également un des gîtes naturels de la grue à couronne rouge.

Un camp de travail y avait été implanté[réf. nécessaire] avant l’abolition de ceux-ci en 2013.
Société suisse de construction de locomotives et de machines
La Société suisse de construction de locomotives et de machines (SLM), en allemand : Schweizerische Lokomotiv- und Maschinenfabrik, était une société suisse pour la construction de locomotives, créée à Winterthour en 1871. Sa production est constituée surtout de locomotives à crémaillère (à vapeur et électriques), spécialement étudiées pour les chemins de fer de montagne.

Tramway de Saint-Étienne
Le tramway de Saint-Étienne est un réseau de tramway à écartement métrique dans la ville de Saint-Étienne. Fonctionnant sans interruption depuis sa création en 1881, c'est le réseau le plus ancien de France et l'un des seuls réseaux de France, avec Marseille et Lille, à avoir conservé sans interruption au moins une ligne de tramway des origines à nos jours.
Céteau
Dicologlossa cuneata

Le céteau ou séteau ou parfois langue d'avocat, Dicologlossa cuneata (parfois Dicologoglossa cuneata par cacographie ou Solea cuneata), est un poisson plat de la famille des Soleidae. Il atteint une dimension maximale de 30 cm ; c'est un carnivore qui habite dans des fonds marins sablonneux et boueux, entre 10 et 450 m sous la surface de l'eau.

Soleidae
Les Soleidae forment une famille de poissons majoritairement marins de l'ordre des Pleuronectiformes (poissons plats). Ils se répartissent, selon les sources, en 30 à 32, genres et 180, espèces. Les espèces de cette famille sont généralement appelées soles.

Ce sont des poissons benthiques, vivant à faible profondeur (généralement moins de 200 mètres, mais certaines espèces peuvent être observées jusqu'à 400 mètres de profondeur). La plupart des espèces sont marines (toutes les espèces des genres Pegusa, Solea, Austroglossus, etc.), d'autres vivent en eau douce ou saumâtre. Les espèces marines se trouvent dans l'Atlantique est, l'océan Indien et le Pacifique ouest, tandis que les espèces d'eau douce et saumâtre vivent en Afrique (Dagetichthys lakdoensis dans le bassin de la Benoué au Cameroun), en Asie du Sud-Est (les espèces du genre Achiroides peuvent notamment être observées dans le Mékong) et en Océanie (Synaptura salinarum est endémique d'Australie).

Les larves sont pélagiques.
Tsietsi Mashinini
Teboho Macdonald Mashinini, dit Tsietsi Mashinini, né le 27 janvier 1957 à Soweto (Afrique du Sud) et mort en 1990 à Conakry (Guinée), est un combattant révolutionnaire en lutte contre l'Apartheid.

Il fut avec Steve Biko l'un des principaux leaders des émeutes de Soweto le 16 juin 1976, au cours desquelles 15 000 à 20 000 lycéens s'insurgèrent contre la décision du gouvernement de faire de l'afrikaans la langue unique dans les classes. Tsietsi Mashinini est décrit comme un « prophète de la non-violence au 20e siècle ».

Exilé à partir de 1977, il meurt en 1990 à Conakry, en Guinée, dans des circonstances mal élucidées.

Organisation du peuple azanien
L'Organisation du peuple azanien (AZAPO), en anglais Azanian People's Organisation, nommée d'après l'Azanie (l'ancienne appellation d'une partie de la côte de l'Afrique orientale), est un groupe politique sud-africain, fondé en lutte contre l'apartheid, en 1978. À la suite des élections de 2019, elle n'a plus de siège à l'Assemblée nationale. Depuis 2017, l'AZAPO est dirigée par Strike Thokoane.
Golubinci
Golubinci (en serbe cyrillique : Голубинци) est une localité de Serbie située dans la province autonome de Voïvodine. Elle fait partie de la municipalité de Stara Pazova dans le district de Syrmie (Srem). Au recensement de 2011, elle comptait 4 678 habitants.

Golubinci est officiellement classé parmi les villages de Serbie.

Stara Pazova
Stara Pazova (en serbe cyrillique : Стара Пазова ; en slovaque : Stará Pazova ; en hongrois : Ópázova ; en allemand : Alt-Pazua ou Pazua) est une ville et une municipalité de Serbie situées dans la province autonome de Voïvodine. Elles font partie du district de Syrmie (Srem). Au recensement de 2011, la ville comptait 18 429 habitants et la municipalité dont elle est le centre 65 508.
Bothrops
Bothrops est un genre de serpents de la famille des Viperidae. En français, les différentes espèces de ce genre sont appelées Grage en Guyane française et en Martinique, mais aussi Fer de lance ou Trigonocéphale.

Bothrops asper
Bothrops asper est une espèce de serpents de la famille des Viperidae. Il est également appelé Terciopelo ou Fer de lance centro-américain. Il est souvent confondu avec le Fer de lance commun (Bothrops atrox).
Aqueduc de l'Avre
L’aqueduc de l’Avre est l’un des ouvrages qui alimente la ville de Paris en eau potable. Inauguré en 1893, il achemine 80 millions de litres (sur un total de 680 millions de litres) par jour depuis le Drouais en Eure-et-Loir.

L’aqueduc de l’Avre fait partie du système complexe d’approvisionnement en eau potable de la capitale. Celui-ci comprend des sources et puits profonds répartis dans un rayon de 175 kilomètres autour de Paris d’une part, et des usines de traitement d’eau de rivière d’autre part.

Il est géré par la société Eau de Paris, anciennement appelée SAGEP, Société anonyme de gestion des eaux de Paris.

L’acheminement de l’eau se fait par simple gravité : l’altitude des sources dans la région de l’Avre est supérieure de 40 m au niveau du réservoir de Saint-Cloud, leur point d'arrivée. Plusieurs sources sont captées dans la région de Dreux, dans le bassin d'alimentation de l'Avre.

Avre (affluent de l'Eure)
L'Avre (nom féminin) est une rivière française qui prend sa source dans la région naturelle du Perche. Elle sert de frontière naturelle entre les régions Normandie et Centre-Val de Loire. L'Avre est un affluent en rive gauche de l'Eure, donc sous-affluent de la Seine.
Hörsel (rivière)
L'Hörsel ou Petite Leina (jusqu'à Teutleben) est une rivière allemande de Thuringe, affluent de la Werra, appartenant au bassin de la Weser et qui s'écoule dans l'arrondissement de Gotha et l'arrondissement de Wartburg en traversant la ville d 'Eisenach.

Leinatal
Leinatal est une commune allemande de l'arrondissement de Gotha en Thuringe. Elle a été formée le 1er décembre 1996 par la fusion des anciennes communes d'Altenbergen, Catterfeld, Engelsbach, Gospiteroda, Leina, Schönau vor dem Walde et Wipperoda.
Aulus Cornelius Cossus (consul en -428)
Aulus Cornelius Cossus est un homme politique de la République romaine, consul en 428 av. J.-C. et resté célèbre dans l'histoire romaine pour avoir été le deuxième, après Romulus, à dédier à Jupiter des « dépouilles opimes ».

Mamercus Æmilius Mamercinus
Mamercus Aemilius Mamercinus est un homme politique de la République romaine, nommé dictateur en 437, 434 et 426 av. J.-C. pour prendre en main les opérations militaires contre les Étrusques lors de la deuxième guerre de Véies.
SC Hakoah Vienne
Le SC Hakoah Vienne (הכח וינה; hébr. la Force ou le Courage) est un ancien club multisports communautaire juif de Vienne durant l'entre-deux-guerres réputé pour son équipe de football et l'équipe féminine de natation.

Fritzi Löwy
Friederike 'Fritzi' Löwy, née le 18 novembre 1910 à Vienne (Autriche) et morte dans la même ville en 1994, est une nageuse autrichienne, spécialiste de la nage libre. En 1927, elle remporte une médaille de bronze lors des Championnats d'Europe. Juive, elle fuit l'Autriche en 1939 pour fuir les persécutions nazies et ne rentre en Europe qu'en 1949.
Opérateur unitaire
En analyse fonctionnelle, un opérateur unitaire est un opérateur linéaire U d'un espace de Hilbert tel que

où U* est l'adjoint de U, et I l'opérateur identité. Cette propriété est équivalente à :

U est une application d'image dense et

U préserve le produit scalaire ⟨ , ⟩. Autrement dit, pour tous vecteurs x et y de l'espace de Hilbert, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ (ce qui entraîne que U est linéaire).

D'après l'identité de polarisation, on peut remplacer « U préserve le produit scalaire » par « U préserve la norme » donc par « U est une isométrie qui fixe 0 ».

Le fait que U soit une isométrie assure qu'il est injectif et que son image est complète donc fermée donc (par densité) que U est surjectif.

La bijection réciproque U−1 = U* est également un opérateur unitaire.

Par conséquent, les opérateurs unitaires apparaissent comme des isomorphismes de l'espace de Hilbert, c’est-à-dire qu'ils en préservent la structure algébrique et métrique.

Opérateur linéaire
En mathématiques, un opérateur linéaire (ou plus simplement un opérateur) est une fonction entre deux espaces vectoriels qui est linéaire sur son domaine de définition.

Cette notion est particulièrement utile en analyse vectorielle et en analyse fonctionnelle mais également en physique quantique.