hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
迪亚贝利变奏曲 标题与题献
贝多芬最早称此作为“（以著名德国舞曲旋律为主题的大变奏曲）”，但出版时改为现名，明确指出迪亚贝利的名字。贝多芬没有用更为普遍的由意大利语衍生来的“”而是德语词汇“”，一方面是由于贝多芬自己倾向于使用德语作乐曲的标示，另一方面可能也有更深的涵义：由于“”一词不仅指“变奏”，也可指“幻化、变形”之意，因而贝多芬也许在暗示此作品比先前的变奏曲更为深刻、高妙。
这部作品题献给“安東妮·布倫塔諾夫人”。有些评论家由此认为她即是贝多芬所谓的“不朽的爱人”。然而，这个献辞最初并非如此。贝多芬的这部作品是要送到伦敦的，因为在那里他的朋友费迪南德·里斯可以帮他找一个出版商；因而贝多芬一开始答应把作品献给里斯的妻子。但后来航船延误，导致贝多芬无法将乐谱及时送到，于是临时改变主意献给布伦塔诺夫人。为此，贝多芬写信向里斯解释了缘由，道了歉，还承诺将来另写一部作品送给他的妻子。
迪亚贝利变奏曲 结构
对于该变奏曲的结构概览如下：
贝多芬并没有把旋律作为变奏的主体，而是从主题中最小的元素入手，例如开头的倚音，四度和五度下降，以及重复的音符。布伦德尔写道：
他也没有进行多少调性的变化，33个变奏中有28个都在主题的C大调上，另外有4个在c小调，还有1个，即光辉灿烂的赋格（变奏卅二），在c小调的关系大调降E大调。这一变调为乐曲增添了戏剧成分。赋格的最后，一系列减七和弦琶音把音乐带到了几个安静的和弦上，并有休止符穿插其间，产生悬念的感觉；这一悬念最终在作结的小步舞曲（变奏卅三）被解决：调性又回归到C大调上。
贝多芬据说对迪亚贝利的圆舞曲主题评价甚低，因为它不过是一个个序列的重复，每一次的模进也很固定。对于这个主题的艺术价值，历来众说纷纭。一个极端是唐纳德·托维的褒奖：“健康、无忧无虑、充满能量”，“音乐元素充分”，“坚固的结构”，另一个极端是威廉·金德曼的诟病：“平庸乏味、愚笨无聊”，“低级趣味”。 中间也有彪罗较为和善的评价：“还算漂亮和有品位的小曲，没有俗套之嫌。”
迪亚贝利变奏曲 结构
弗拉迪米尔·阿什肯纳齐在2006年Decca公司的录音小册子中指出，贝多芬也许从该主题中得到了灵感：“迪亚贝利的主题有32个小节，由对称的4小节句子组成……中段的和声有略有些不寻常……其开头弱起的倚音和不合拍的重音，其中庸的品质和有些古怪的性格，都使得贝多芬的仔细得以有用武之地，令主题柔韧地变化出多种效果。贝多芬一生都热爱变奏曲，这里他更多地关注结构、和声，以及看似微不足道的小细节；反而旋律上的变化是次要的了。”
迪亚贝利变奏曲 評價與解讀
普遍认为，该作品以一个平淡无奇的主题为基础，使用多种手法进行激进的变形，并最终达到了贝多芬晚期作品所特有的高超境界。著名音乐评论家Donald Francis Tovey将作品赞誉为“最伟大的变奏作品”。 钢琴家阿尔弗雷德·布伦德尔甚至称之“最伟大的钢琴作品”。彪罗评价此作品“贝多芬作曲艺术之缩影”。马丁·库柏撰文称此作品“千变万化，无与伦比，显示了贝多芬表达方式的多样，对键盘的精熟”，并说它“本身也是部里程碑般的作品”。勋伯格在其《和声的结构功能》中指出，“从和声的角度来看，（迪亚贝利变奏曲）可称是贝多芬最为冒险、最为先锋的作品”。
自从出版以来，评论家就试图从这一巨大而变化多端的作品中找出一些规律，或者是整体的规划和架构。梅纳德·所罗门将全曲分为四部分：变奏一至八、九至十四、十五至二十、廿一至卅三。而金德曼则分为三部分：变奏一至十四、十五至廿四、廿五至卅三。一些早期的评论家对该作品与巴赫的《哥德堡变奏曲》做了形式上的比较，但也收效甚微。有些人提出其中蕴藏有对称性，但较牵强附会。也有人从曲式上进行分析，例如从中找出奏鸣曲式的特征，或者是由多乐章组合成的蛛丝马迹；但均未达成共识。
迪亚贝利变奏曲 評價與解讀
梅纳德·所罗门在《晚期贝多芬：音乐、思考与想象》中对于变奏曲进行了象征性的解释，即从平凡的生活直到崇高的现实。对所罗门而言，该变奏曲的结构就是一种向前和向上的动力，“一切可知的种类、性格和速率”。他认为变奏八、十四、二十都是“出于大局考虑，特殊布置的‘情感高原区’，以提供一种庇护港，使得之后能够重新焕发出灵性的力量，而且可以使钢琴家得到身体上的休整”。
威廉·金德曼所著的《贝多芬的迪亚贝利变奏曲》 详细地探讨了此问题，从源头处开始跟踪贝多芬的创作历程。他认为“戏仿”（parody）是该作品的核心，并指出了一些“戏仿”的成分（多创作于较早的时期），例如变奏廿二中对莫扎特《唐·乔望尼》咏叹调的幽默模仿，变奏廿三中对克拉默指法练习的调侃，以及两首赋格中对巴赫的致敬和终了的小步舞曲中的莫扎特元素。
迪亚贝利变奏曲 評價與解讀
而最大的戏仿还是对迪亚贝利本人。金德曼认为贝多芬后来所加的变奏有着特殊的地位，其中的一些甚至可以作为作品的拐点来看待；许多后加的变奏都重拾主题的旋律，使得作品不至于离题太远，以避免主题听起来不过是一个引子。然而讥讽的是，这些新变奏多对迪亚贝利的败笔进行强调，例如不断重复的C大调和弦，和下降的四度。开场的变奏一就是一例。变奏十五也使用了同样平庸的和声。变奏廿五则把单调的节奏转化为一个简单动机的不断重演。而从变奏廿六开始，音乐就“从荒唐走向崇高”，直到最后的小步舞曲。金德曼强调了这三个变奏的重要性，认为它们如同标点一样，充实了作品的内在逻辑。
阿尔弗雷德·布伦德尔在其论文《古典音乐一定要严肃吗》中也表达了和金德曼类似的观点，认为这个作品是“最宽泛意义上的幽默”。他的证据包括贝多芬写作时心情格外地好，而且据早期评论家威廉·冯·伦兹所说，贝多芬在这里充当“幽默的大祭司”，并把变奏叫做“对主题的讽刺”。布伦德尔对33个变奏所起的别名，也受到了金德曼不小的影响。
虽然《迪亚贝利变奏曲》与《哥德堡变奏曲》常常相提并论，但二者有很大差异。然而，贝多芬的变奏廿四和变奏卅二都是标准的教科书式赋格，明显地体现了复调大师巴赫的影响。值得注意的是慢速小调变奏的最后一个（变奏卅一）的结尾，有一处几乎是直接的对《哥德堡变奏曲》的参考。
釜山大學站
釜山大學站（：／ Busandae yeok */?）是釜山地鐵1號線沿線的一座高架車站，位於韓國釜山廣域市金井區長箭洞。該站原名釜山大學前站（／），2010年時更名為現站名。
釜山大學站 車站結構
站體為2面2線曲線式設計側式月台的高架車站，候車月台設有月台幕門，並有4處出口。
釜山大學站 相鄰車站
釜山交通公社
●釜山都市铁道1号线
溫泉場（127）－釜山大學（128）－長箭（129）
斯維什托夫
斯維什托夫（保加利亞語：，羅馬化：Svishtov）是保加利亞北部位於多瑙河右岸的小鎮，是大特爾諾沃州的第三大城市，距離索菲亞、普列文和魯塞分別為237公里、80公里和90公里。斯維什托夫是在俄土戰爭中最早解放的城市。斯維什托夫居民主要信奉東正教，經濟收益來自電子業、化學工業和農業。2009年12月，斯維什托夫有人口35,923人。斯維什托夫也是保加利亞重要的觀光地。
朱勛𣴣
瀋靖王朱勛𣴣（1492年—1525年），明朝第四代瀋王瀋恭王朱詮鉦的庶第一子。他在嘉靖元年（1522年）十月封福山王，嘉靖四年（1525年）去世，諡號福山恭和王。
其長子未命名就死了，次子朱胤榿在兩年後任瀋府宗理，未及嗣封瀋王就去世。後來堂侄瀋憲王朱胤栘嗣封瀋王，亦追封他為瀋王，諡號靖。
銀泉郡
銀泉郡（：／ Ŭnchŏn gun */?），一譯銀川郡，是朝鮮民主主義人民共和國黃海南道東北部的一個郡，東隔載寧江與黃海北道相望，北隔大同江與南浦特別市相望。2008年人口95,597人。下分1邑、22里。
原為安岳郡一部分，1952年設郡。
銀川郡
银川郡，中国唐朝时设置的郡。
天宝元年（742年）改银州置，治所在儒林县（今陕西省横山县东党岔镇）。辖境相当今陕西省榆林、米脂、佳县等市县及横山县东部。乾元元年（758年）复为银州。
長箭站
長箭站（：／ Jangjeon yeok */?）是釜山地鐵1號線沿線的一座高架車站，位於韓國釜山廣域市金井區長箭洞。
長箭站 車站結構
站體為2面2線曲線式設計側式月台的高架車站，候車月台設有月台幕門，並有4處出口。
長箭站 相鄰車站
釜山交通公社
●釜山都市铁道1号线
釜山大學（128）－長箭（129）－久瑞（130）
朱胤榿
瀋懷王朱胤榿（？—1530年），明朝第四代瀋王瀋恭王朱詮鉦的庶第一子瀋靖王朱勛𣴣的嫡第二子。他在嘉靖六年（1527年）管理瀋府事，未及嗣封瀋王就在嘉靖九年（1530年）去世，無子。
後來族兄弟瀋憲王朱胤栘嗣封瀋王，亦追封他為瀋王，諡號懷。
欧洲E34公路
欧洲E34公路（E34）是欧洲的一条国际公路，起点为比利时泽布吕赫，经过荷兰，终点为德国巴特恩豪森，全长约470公里。在巴特恩豪森与干线欧洲E30公路相连。
杜普尼察
杜普尼察（保加利亞語︰Дупница）是保加利亞西部丘斯滕迪爾州的小鎮，位於索菲亞以南約65公里，海拔高度500米，是熱門的渡假勝地。在保加利亞共產主義時期曾經改名。杜普尼察是發展快速的小鎮，鎮內有歷史古蹟和現代建築，而30%至40%的居民受僱於一間藥廠。
斯特恩报告
斯特恩报告（）由经济学家尼古拉斯·斯特恩为英国政府撰写的有关气候变化在经济学上影响的一个报告。该报告长达700页，于2006年10月30日公布。它探讨了影响全球气候变暖对世界经济的影响。该报告虽然不是第一次有关气候变化的经济报告，但意义重大，因为它是最大和最广为人知的报告，并讨论了气候变化的各种可能性。
报告审查了关于气候变化本身的经济影响的证据，并探讨了稳定大气中温室气体的经济问题，认为，必须采取政策，管理气候变化的挑战，以低碳经济和确保社会能够适应气候的后果，人类不能再回避。
其主要结论是：关于气候变化及早采取行动的好处大大超过成本。
朱幹跬
岷僖靖世子朱幹跬（？—1592年），明朝第七代岷王岷憲王朱定燿的庶长子（明实录称其为庶次子）。他在嘉靖四十五年（1566年）封南充王，萬曆十五年（1587年）改封岷世子。但他未及嗣封岷王就在萬曆二十年（1592年）去世，諡僖靖世子。
後來孫子岷哲王朱禋洪嗣封岷王，並未追封他為岷王。岷哲王朱禋洪是他的嫡长子朱企鉁的嫡长子。他的別子朱小魯是棠坡朱氏的第一世祖。
朱企鉁
岷世孫朱企鉁（？—1614年），為岷僖靖世子朱幹跬嫡長子。他在萬曆二十八年（1549年）封岷世孫。但他未及嗣封岷王就在萬曆四十二年（1614年）去世。後來兒子岷哲王朱禋洪嗣封岷王，並未追封他為岷王。
桑丹斯基
桑丹斯基（保加利亞語：，旧名：），是保加利亞西南部布拉戈耶夫格勒州桑丹斯基市鎮的城鎮及行政中心，小鎮名稱來自革命人物。桑丹斯基的氣候溫和，平均溫度為攝氏13.90度，是保加利亞氣溫最高的地方，鎮內有很多含豐富礦物質的水泉，這些都是使桑丹斯基成為渡假勝地的重要因素。
欧洲E35公路
欧洲E35公路（E35）是欧洲的一条国际公路，起点为荷兰 阿姆斯特丹，经过德国和瑞士，终点为意大利罗马，全长约1660公里，为南北方向干道。
上奧里亞霍維察
上奧里亞霍維察（保加利亞語：，羅馬化：Gorna Oryahovitsa）是保加利亞北部大特爾諾沃州的小鎮，位於下奧里亞霍維察和大特爾諾沃之間，是保加利亞的重要製糖業中心。上奧里亞霍維察是保加利亞北部的主要鐵路樞紐，鎮內的機場是國內6個國際機場之一，乘坐飛機前往索菲亞只需半小時。
小丘廣場
小丘廣場（法語：）是法國巴黎的一個廣場，位於巴黎十八區蒙馬特，距離聖心堂與狡兔酒吧（Lapin Agile）不遠。小丘廣場經常聚集許多藝術家，也是巴黎著名的景點之一。畢卡索等眾多知名畫家曾在這裡居住。
四川话拉丁化新文字
四川话拉丁化新文字（）是1936年1月由重庆新文字推行社制定的用拉丁字母拼写四川话的方案，该方案基于成都话及重庆话语音，是第一个由四川人制定的四川话拉丁化方案。四川话拉丁化新文字制定于民国新文字运动时期，是当时中国制定的适用于各地汉语的13套拉丁化新文字方案之一。在中国大陆开始大规模推广普通话以前，四川话拉丁方案是运用较为广泛的四川话注音方案。四川话拉丁化新文字一个显著特点是通常不标记声调，声调仅能依据上下文进行推断。
四川话拉丁化新文字 拼写方案
以下例句将四川俗语转写为四川话拉丁化新文字：
關風Fighting
《關風Fighting》（），為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第5張單曲。初回限定盤共有七種，再加上通常盤，合計共發行八種不同的版本。初回限定盤的特典為象徵成員7人代表色的幸運帶。由於購買時即可由外包裝看出CD內附贈的幸運帶顏色，因此一共發行了7種不同顏色的版本。通常盤則另外收錄「サムライブルース」與「未来の向こうへ」兩首歌曲。
自出道單曲『浪花いろは節(浪花いろは節)』之後，再度奪下Oricon單曲榜冠軍的作品。另外，首周的發行量也突破上一張單曲，創下演歌史上首周即突破20萬張的紀錄。而後初回版更創下45萬張的銷售量，打破了同唱片公司的前輩三波春夫的「東京五輪音頭」（1964年）及「來自世界各國，你好！」（，1967年）初回40萬張的紀錄。
關西地區的廣播節目『ABC Music Paradise』（ABC RADIO）的點播排行榜(2006年12月23日~2007年1月17日)上蟬聯22天的冠軍寶座，此舉更是突破1997年KinKi Kids的「玻璃少年(硝子の少年)」蟬聯20天冠軍的紀錄。
關風Fighting 收錄歌曲
1.関風ファイティング
曲名當中的「關風」指的並不是「關西風」而是「關8的風格(関ジャニ∞風)」。隱含著"並不只有關西地區，而是用自己的方式向全國擴展"的意思。雖為一首詩戀歌曲，但歌詞卻十分積極樂觀。另外於歌曲中穿插的口白部分，在演唱會時則會有另外不同的變化。2006年11月17日於『MUSIC STATION(ミュージックステーション)』(朝日電視台)演唱這首歌時，所有的成員都有配戴初回限定盤所附送的幸運帶。
2.プロ∞ペラ
3.関風ファイティング（Original Karaoke）
1.関風ファイティング
2.プロ∞ペラ
3.サムライブルース
4.未来の向こうへ
大馬15
《大馬15》（英語：）是一个汇集15部短片的计划，该计划是集合15位马来西亚的新世代电影导演导出15部风格各异的短片，参与该计划大部分的导演都曾经获得国際各大电影节的奖励，同是也是具有代表性的马来西亚“新浪潮”电影人。该系列的15部短片主要是集中探讨发生在马来西亚国内有关生活、社会时事和政治话题，当中一些也添加了新穎或搞笑的元素。而参与演出的演员除了一般的演员、歌手和艺人外，也包括了一些有争議性的政治人物。
曾经先后在釜山國際電影節、2009年金馬國際影展、巴黎龐畢度中心和2010年鹿特丹國際電影節上映。
天籥六
蛇夫座51（中文名天籥六）是一顆年輕的B型恆星，位於銀河中心西北方的蛇夫座，距離地球約410光年(126秒差距)。值得注意的是，這是鄰近的一顆"罕見、年輕的行星系統，剛進入行星形成最後階段的一個例子"。
天籥六 塵埃和氣體盤
蛇夫座51有一個氣體和塵埃的盤面，似乎是一個年輕的岩屑盤，並且可能是在形成行星系統的最後階段。這個系統有些性質類似於有巨大岩屑盤的一個著名恆星繪架座β：光譜類型、存在於邊緣的氣體和塵埃盤、和被認為是彗星掉落進盤面而呈現變化的藍移吸收線。
蛇夫座51的距離遠較繪架座β的遠，它的岩屑盤相對的也更複雜。結果是，環繞著蛇夫座51的盤面需要干涉來解析；相對的，觀察繪架座β只需要使用視訊光譜的影象。最近使用凱克天文台的凱克干涉儀觀測顯示，蛇夫座51的盤面至少有兩個部分：在中間的雲是顆粒較大的(外星黃道塵)，周圍環繞著顆粒細小但更廣大的矽顆粒，擴展至大約一千天文單位。內盤的半徑大約是地球到太陽距離的四倍，密度則是我們的太陽系內塵埃的十萬倍
溫泉場站
温泉場站（：／ Oncheonjang yeok */?）是釜山地鐵1號線沿線的一座高架車站，位於韓國釜山廣域市東萊區溫泉洞。
溫泉場站 車站結構
站體為2面2線側式月台的高架車站，候車月台設有月台幕門，並有5處出口。
溫泉場站 相鄰車站
釜山交通公社
●釜山都市铁道1号线
明倫（126）－溫泉場（127）－釜山大學（128）
新踏站
新踏站（：／ Sindap yeok */?）是首爾地鐵2號線聖水支線沿線的一座地面車站，位於韓國首爾特別市城東區龍踏洞。本站是首都圈電鐵當中唯一一座設置站內公園的地鐵車站。
新踏站 車站結構
站體為2面2線側式月台的地面車站，候車月台設有月台幕門，僅有1處出口。
1號線列車可通過本站進出君子車輛基地。
新踏站 相鄰車站
首爾交通公社
●首爾地鐵2號線聖水支線
龍踏（211-1）－新踏（211-2）－龍頭（211-3）
ZUKKOKE男道
《ZUKKOKE男道》（），為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第6張單曲。從這張單曲開始，所屬的唱片公司便由演歌部門的TEICHIKU轉為流行音樂部門的IMPERIAL RECORDS。初回限定盤贈送的特典為「concert ON-OFF shot mini poster」。
ZUKKOKE男道 收錄歌曲
1.ズッコケ男道
2.愛に向かって
3.ズッコケ男道（Original Karaoke）
1.ズッコケ男道
2.愛に向かって
3.Explosion
4.ズッコケ男道（Original Karaoke）
It's my soul
It's my soul（），為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第7張單曲。
It's my soul 收錄歌曲
1.イッツ マイ ソウル
2.あの言葉に
3.イッツ マイ ソウル（Original Karaoke）
1.イッツ マイ ソウル
2.あの言葉に
3.ヨリミチ
4.イッツ マイ ソウル（Original Karaoke）
Wahaha
《Wahaha》（），為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第8張單曲。其PV是在澡堂拍攝的，內容則是在打掃澡堂。
Wahaha 收錄歌曲
1.ワッハッハー
2.誰よりキミが好きだから
3.ワッハッハー（Original Karaoke）
1.ワッハッハー
2.誰よりキミが好きだから
3.BJ
4.ワッハッハー（Original Karaoke）
山田圭子 (漫畫家)
山田圭子（12月9日—），日本漫畫家。福岡縣北九州市出身。自稱精神年齡24歲。
美國郵政署
美國郵政署（英語：，縮寫：USPS），又稱美國郵局、美國郵政服務，是美國聯邦政府的一个獨立機構，是少數在美國憲法中提及設立的機構。郵政署的歷史可上溯至1775年，第二次大陸會議任命本傑明·富蘭克林為美國首任郵政署長。1792年，郵政署升格成為美國郵政部，成為美國內閣下屬部門之一，富蘭克林為首任郵政部長。1971年，郵政部根據《郵政重組法案》撤銷，并重新降格為現今的美國郵政署。
2022年美國郵政署擁有516,750名僱員，236,532輛汽車，是全球最龐大的民用車隊，處理1273億封信件和72億個包裹，佔全球數量的四成。郵政署投遞覆蓋美國國土的每一個角落，設置專用信箱，并採取統一資費，但其快遞業務評價仍輸給美國私營企業如聯邦快遞（FedEx）和联合包裹服务（UPS）。
美國郵政署 歷史
1775年第二次大陸會議設立了最初的美國郵政部門，并任命本傑明·富蘭克林為美國首任郵政署長。1792年《郵政法案》創立了美國郵政部，1872年被升格成為一個美國內閣級別部門。1970年尼克松總統簽署《郵政重組法案》，於次年廢止郵政部，將其變為聯邦政府的一個獨立機構。
無責任Hero
《無責任Hero》（），為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第9張單曲。非常有關8風格--船到橋頭自然直--的加油歌曲。同時也是2008年10月4日～2008年12月21日日本富士電視台『江川×堀尾のSUPERうるぐす』的節目主題曲。
初回限定A・B的特典為夏季巡迴演上會的最後一站・長野的現場片段（2008年8月30日 長野ビッグハット）。是繼嵐的「truth/風の向こうへ」之後，創下Oricon單日榜即超過10萬張銷售量的紀錄。此紀錄為嵐、KAT-TUN之外，日本唱片史上第3組、單曲榜部分則是第4張的紀錄。獲得Oricon首周第1名。同時也是首次首周突破30萬張的銷售量（更新了本身的首周銷售量紀錄）。
無責任Hero 收錄歌曲
1.無責任ヒーロー
2.ケムリ
3.∞o'clock 08
DVD
1.fuka-fuka Love the Earth
2.BJ
1.無責任ヒーロー
2.fuka-fuka Love the Earth
DVD
1.desire
2.torn
3.ホシイモノハ。
1.無責任ヒーロー
2.道標
3.無責任ヒーロー（Original Karaoke）
急☆上☆Show!!
《急☆上☆Show!!》，為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第10張單曲。
急☆上☆Show!! 收錄歌曲
特典DVD
『急☆上☆Show!!』(Music Clip)
特典DVD
『ひとつのうた』(Music Clip)
5~8為以上4首歌的Original Karaoke，一共收錄8個曲目
GIFT ～白～
《GIFT ～白～》為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第11張單曲，為3日連續發行的第1波。
GIFT ～赤～
《GIFT ～赤～》為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第12張單曲，也是3日連續發行的第2波。
趙善軒
趙善軒（英語：，1981年—）出生于香港，身兼歷史學者、YouTuber、主持人，早年任中文科補習名師。
趙善軒 生平
趙善軒自小在香港島南區華富邨長大，母親是水上人，在香港仔漁船上生活多年，後獲港府安置到田灣的公屋。趙善軒小學就讀於聖公會置富始南小學，中學時曾於香港中國婦女會馮堯敬紀念中學修讀中一。中學畢業後，他升讀香港樹仁學院（現香港樹仁大學）歷史系，先後獲榮譽文憑及榮譽文學士學位。之後在香港新亞研究所及廣州暨南大學兼讀學位，以《上海機器織局（1878－1893）發展史研究》取得新亞研究所文學碩士（2008），及以《歷史文學與經濟思想：<史記：貨殖列傳>研究》獲得暨南大學中國古代文學博士，其後擔任新亞研究所博士後研究員。
趙善軒曾創辦補習社「趙博教室」、亦曾任現代教育中文科補習導師及OurRadio「通識天地」節目主持。
趙善軒現為國立中山大學臺港國際研究中心兼任研究員，曾為深圳大學饒宗頤文化研究院副教授、明愛專上學院人文及語言學院助理教授、樹仁大學經濟系客席講師、臺灣中央研究院近代史研究所訪問學人（2017年1月10日 — 2017年3月10日）、美國布萊恩特大學及北京理工大學珠海學院合聘副教授。
趙善軒 生平
2024年5月，趙善軒當選英國皇家歷史學會副院士（Associate Fellows），2018年獲中國經濟思想史優秀（一等）著作獎，研究題目包括經濟思想、經濟史、政治經濟學，出版著作二十一部，論文三十餘篇。
趙善軒曾擔任母校香港中國婦女會馮堯敬紀念中學校董及謎米香港節目主持和行政總裁，曾為《周末趙集》主持及《蕭遙遊》客席主持，人稱趙博。2015年7月，他在《蕭遙遊》節目中透露，因參與佔領運動，他任職的學校收到數十封投訴信，所以他決定辭去網台節目、所有公職及學術工作。
趙善軒 個人生活
2014年7月1日七一大遊行後，香港專上學生聯會午夜在遮打道預演和平佔中，警方圍捕511名參與者，趙善軒是其中之一。
趙善軒在2014年11月24日的〈蕭遙遊〉節目中透露，他因與謎米香港的女主持Kate交往而遭「低俗頻道」的金主歐陽永權（綽號「鱷魚」）刑事恐嚇。
2015年趙善軒發現女友Phoebe意外懷孕，之後在同年仲夏舉行婚禮。太太任職鋼琴教師。
2016至2017年間，趙善軒在台灣擔任客席教授，一家人都喜歡台灣的生活環境，2017年曾申請移民台灣。但因自己和太太的健康及疫情等原因而未能實現計畫。
於2017年11月左右，趙善軒發現淋巴結脹大，之後證實患上癌症，屬最晚期的第四期，經過手術、電療、中醫、斷醣等治療後，於2018年9月康復。
趙善軒 個人生活
2020年，趙善軒的太太Phoebe再度意外懷孕，並發現有「胎盤前置三期」。2020年10月15日太太入院分娩時，醫生發現她有「植入性胎盤」問題，而且情況比想像中嚴重得多，導致產後大量出血昏迷，需要立即進行手術止血。經歷了11小時的搶救、四次手術及接受逾20包血液，太太最終成功逃出鬼門關，母女安全。當中涉及醫療費數十萬元。
2021年4月，由於台灣仍未能批簽證給他的妻子及女兒，趙善軒舉家移民英國，定居於倫敦。
趙善軒 爭議
2021年，趙善軒舉家移民英國後，經常批評選擇繼續留在香港的市民是「心存僥倖」，因而被指針對留港者。2022年7月，香港作家王迪詩在其面書公開發文，指某已經移民外國的KOL只批評留在香港的人是「心存僥倖」，而不理解和體諒選擇留在香港的人，必然有十分重要的理由。
2023年4月20日，趙善軒在其臉書網頁及Youtube提到，上個月旅行回家後，發現狐狸在花園裡生了六隻幼狐，於是在家中實行「捉狐狸計劃」，以獸籠捕捉狐狸，籠中並放有巧克力等食物為餌，結果捕捉了一個剛出生不久的幼狐狸，並成功誘使幼狐吃下巧克力，事件引起了網上熱議。很多網民批評他以巧克力為誘餌的行為殘忍，含有可可鹼的巧克力可能令狐狸中毒致死；捕捉幼狐的行動亦受指摘，因為即使將捕捉到的幼狐狸放野外放逐，離開了母親的幼狐亦難以生存。同年5月2日，趙善軒在 Youtube 頻道中以「受到猛烈攻擊，也上了報章，我學會什麼教訓？《別跟豬打架》學到的道理」為題，回應愛護動物人士對他以巧克力誘捕幼狐行為的批評，他並比喻批評者為豬，以「別跟豬打架，因為滿身泥濘的豬會弄髒自己」作總結。
趙善軒 爭議
趙善軒多次批擊特朗普第二届任期關稅和對烏克蘭的外交政策，認為前者會對美國和全球經濟經濟造成巨大損失，而後者則是背棄信義,他又駁斥特朗普對拜登在2020年國總統選選舉舞弊的指控。
趙善軒 學術著作
趙善軒為英國皇家歷史學會會員、副院士及歐洲漢學學會會員。研究領域為中國文化史、經濟思想史、中國經濟史。出版著作十九本，論文三十篇。他曾任教於美國 Bryant University 、北京理工大學珠海學院、深圳大學、香港樹仁大學等多間學府，歷任客座教授、副教授、中央研究院高級訪問學者，現任國立中山大學研究員（兼任）。
專書章節:
(With S. C. Kwan) “Monetary Thought in the Han Dynasty and Three Kingdoms Period (220 BCE-280 CE).” Edited by Cheng Lin, Terry Peach and Wang Fang. 𝘛𝘩𝘦 𝘗𝘰𝘭𝘪𝘵𝘪𝘤𝘢𝘭 𝘌𝘤𝘰𝘯𝘰𝘮𝘺 𝘰𝘧 𝘵𝘩𝘦 𝘏𝘢𝘯 𝘋𝘺𝘯𝘢𝘴𝘵𝘺 𝘢𝘯𝘥 𝘐𝘵𝘴 𝘓𝘦𝘨𝘢𝘤𝘺, 86-100. London: Routledge, 2019.
《評宋敘五<西漢貨幣史>》《二十一世紀》第81期，2004年 2月；並轉載於《二十一世紀》網絡版總第37期，2005年4月
尊·柏烈·尚尼
尊·柏烈·尚尼（英語：，1950年10月3日—）是一名美國劇作家、電影編劇及電影導演。成名作是他為《月滿抱佳人》所寫的電影劇本，而代表作則為舞台劇Doubt: A Parable（即《聖訴》的原著）。曾憑《月滿抱佳人》在第60屆奧斯卡金像獎上贏得最佳原創劇本獎，亦因Doubt: A Parable獲東尼獎及普立茲戲劇獎。
GIFT ～綠～
《GIFT ～綠～》，為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第13張單曲，也是3日連續發行的第3波。
上官流雲
上官流雲（馬來語：，1922年—2002年），馬來西亞華人，生於雪蘭莪州，1940年代至1950年代在南洋活躍的創作歌手，也是香港廈語及粵語電影演員。他曾創作國語歌曲《午夜香吻》及《新馬來情歌》（原唱歌手：上官流雲、巫美玲，20世紀40年代「馬標唱片公司」）。
上官流雲 國語歌曲
《午夜香吻》是1941年日本入侵前夕，他在马来亚槟城一处叫关子角的海滨为纪念初恋而写的作品。由新加坡歌手巫美玲演唱而一炮而红。1955年灌錄唱片。
上官流雲 粵語歌曲
《行快啲啦》是他在1965年為披頭四歌曲《Can't Buy Me Love》重新填詞的粵語歌曲，後被許冠傑翻唱而大熱。
《一心想玉人》是同年他為披頭四歌曲《I Saw Her Standing There》重新填詞的粵語歌曲。
其時香港樂壇由英文歌與華語歌平分秋色，粵語流行音樂還未成形，粵語歌幾不入流。然而，上官流雲這兩首歌旋即攻進香港市場，引起哄動。歌詞中的「阿珍已經嫁咗人」更成為當時的口頭禪。 香港粵語電影商更於1966年6月開拍由丁瑩、朱江主演的《阿珍要嫁人》；其他以「阿珍」與「行快啲啦」為名目的商品廣告更加多。這甚至可視為香港的粵語文化、草根階層對年輕人與披頭四風潮的反抗。
香港三育書院
22°18′26″N 114°17′09″E﻿ / ﻿22.3073°N 114.2858°E﻿ / 22.3073; 114.2858
香港三育書院（英語：）位於香港西貢區清水灣道1111號，開辦副學士等課程。香港三育書院暨三育中學中學部、行政樓、男生宿舍、教員宿舍及5家教員宿舍為列為香港二級歷史建築。
香港三育書院 校史
香港三育書院於1903年在中國廣州同慶坊（位於今北京路）創辦，初時稱為伯特利女校（），約於1905年增設益智男校（），5年後易名為三育學校（）。
1915至1917年間，兩校先後遷往東山西牛尾，1922年兩校合併為一所稱為三育中學的男女校，一度於1927年改稱神道訓練院，部分學生遷往香港九龍菴由街（今福華街），開設華安學校，成為三育中學第一分校，於翌年遷回廣州。其後又於1935年改稱廣州三育研究社（）。
於1937年，日本侵華，學校遷至香港沙田陳樓，改稱華南三育研究社（）。翌年，位於南京橋頭鎮之中華三育研究社（）也因戰事決定到香港復校，於1938年與華南三育研究社在沙田合併，更名中華華南三育研究社（），但在香港註冊時仍稱華南三育研究社。其後，學校獲香港政府批准以私產方式出售西貢清水灣道共1,374萬平方呎作為永久校址，首期建築於1939年完成，遷入新址後仍繼續與中華三育研究院合辦。
香港三育書院 校史
太平洋战争於1941年爆發，學校又遷回广东省老隆繼續校務，戰時仍然進行及發展教育工作。戰後由於香港的校舍仍然被英軍借用，未能即時遷回香港，臨時遷回廣州東山三育路，將「三育衛生食品廠」的建築物改建為臨時校舍，直至1947年才返回香港清水灣復校。戰後復校初期，仍然稱為「華南三育研究社」，但在1952年6月再次更名三育中學（）。
1962年，藉大專部成立將校名改為華南三育書院（），附設中學部，隨後獲政府批准註冊成一所大專院校。
1981年秋，正式定名為香港三育書院。
2007年9月起停收中一。
2014年1月24日，校方宣布由於收生率偏低，停止招收商務副學士課程2014/2015年度之學生，現就讀課程學生授課不受影響。
香港三育書院 教育宗旨
「三育」指的是智育、體育及靈育（Mental, Physical, Spiritual）。香港三育書院著重學生的身心靈全面發展，因此學校食堂只提供健康素食，管理學生身體。另外，學校提倡服務教育（Service Education），求學生必須參與義工服務，希望藉此讓學生學會付出和回饋社會、關懷有需要的人。
香港三育書院 收生情況
以下為香港三育書院全日制專上課程的實際收生人數：
香港三育書院 歷史建築
2009年12月18日，香港古物諮詢委員會確定將建於1939年、位於新界西貢上洋清水灣道1111號的五所建築物列為「二級歷史建築」：
2020年11月，文物保育專員辦事處對香港三育書院行政樓完成了保育維修。
香港三育書院 設施
香港三育書院位處西貢上洋山，俯瞰清水灣，校園建築典雅，有多座歷史建築物，為無綫電視不少電視劇的錄影場地。三育書院校園內的歷史建築物多是低層紅磚樓，矩形和對稱為其建築特色。中學部校舍有一個中央入口，延伸至內部「U」形走廊。走廊內設有多道裝飾拱門。行政樓的後方是一座雙分式的樓梯，日光可透過三個拱形長窗散落於樓房內。男生宿舍每層均設有臨向草地的拱形陽台。
三育書院內的景輝堂，是一所基督教堂。由於學校初期缺乏資金，未能興建教堂，直至1965年得到企業家陳俊捐款，令教堂得於1965年得以建成。教堂於2014年曾翻新，可容納約300人，教堂外型為一間紅磚式外牆的獨立屋，教堂正門與祭台兩端均設置大幅彩色玻璃窗，陽光照射下倍添宗教色彩。教堂外有由兩個大草地圍繞。雖然景輝堂是基督教堂，但它同時接受非教徒舉行婚禮，更提供牧師證婚，是香港少有為非教徒提供證婚儀式的教堂。由於三育書院屬基督復臨安息日會，它以星期六（即基督教與猶太曆中一周的第七天作）為安息日，所以景輝堂逢星期六休息。
香港三育書院 設施
學校圖書館佔地6,700尺，藏書達3萬7千冊，每週開放43小時。
開放時間：星期一至四：上午8時30分 至 下午5時30分。星期五：上午8時30分 至 下午3時正。
感謝＝∞
《感謝＝∞》為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第1張迷你專輯。
弱解
数学中, 微分方程的弱解或广义解是指对该方程中的微分可能不存在, 但是在某种精确定义的意义下满足该方程的解. 对于不同种类的微分方程, 弱解的定义性质也可能不同. 一类最重要的弱解基于广义函数的记号.
由于大量用于描述现实世界中现象的微分方程并不具有足够的光滑的解, 从而求解此类方程只能使用弱形式. 即使在方程确实具有可微解的情况下, 首先证明弱解的存在性然后证明弱解足够光滑是方便的.
弱解 一个具体的例子
作为弱解的说明, 考虑一阶波动方程.
(其中的记号请参阅偏导数)其中 u = u(t, x) 是两个实变量的函数. 假设 u 在欧式空间R2上连续可微 , 在方程的两侧同时乘以一个具紧支集的光滑函数 φ 并积分. 得到
使用富比尼定理和分部积分, 该方程化为
以上的陈述表明:如果 u 连续可微, 方程 (1) 蕴含方程 (2). 弱解概念的关键在于存在函数 u 对任何 φ 满足方程 (2), 而这样的 u 可能不可微, 从而不满足方程 (1). 该方程的一个简单的例子是  u(t, x) = |t − x| . (容易证明 u 满足方程 (2).) 方程 (2) 的解 u 被称作方程 (1) 的弱解.
弱解 更一般的情况
当求解关于u的偏微分方程时, 可以利用所谓的测试函数 φ, 使得方程中关于 u 的任意阶导数都转化为关于φ的分部积分. 用这样的方法, 可以得到原方程的不必可微的解.
上面的方法不只适用于波动方程. 事实上, 考虑在域Rn上的开集'W'内定义的线性微分算子
其中 (α1, α2, ..., αn) 是某有限集Nn上的多维下标变量, 并且系数  关于 x 足够光滑.
乘以紧支集上的光滑测试函数φ, 并作分部积分后, 微分方程 P(x, ∂)u(x) = 0 可以写作
其中微分算子 Q(x, ∂) 满足
其中
总而言之, 如果原(强)问题是找到一个开集 W 上的|α'|阶可微函数 u, 使得
(所谓的强解), 那么可积函数 u 被称作弱解如果
对每个支集W上的光滑函数 φ均成立.
志明與春嬌 (電影)
《志明與春嬌》（英語：）是導演彭浩翔於2010年執導的香港電影，由楊千嬅、余文樂領銜主演，編劇為彭浩翔、麥曦茵。故事講述香港室內全面禁煙後，兩個煙民譜出的戀曲。為2010年香港國際電影節的其中一部作品。因為有大量粗口對白，在香港根據《電影檢查條例》，本片被列為三級。在網民大力宣傳推動下，本片上映一個月後獲得6,324,774港元的票房。本片獲得第30屆香港電影金像獎最佳編劇。楊千嬅憑本片提名第30屆香港電影金像獎最佳女主角及香港電影評論學會大獎最佳女演員。
楊千嬅憑電影《志明與春嬌》奪得香港專業電影攝影師學會「攝影師眼中最具魅力女演員」，由於電影角色「余春嬌」深入民心，於5年後與影后吳君如及羅蘭一同獲頒發全民投選電影金影獎「最令人難忘香港電影女角色」一次性獎項。
志明與春嬌 (電影) 故事簡介
自2007年1月1日開始，香港實施室內全面禁煙，煙民都被迫從辦公室走至後巷抽煙。自此，來自不同背景職業的抽煙族，在後巷開闢了一個打諢聊天、結交朋友的特殊場所。一對男女煙民－－張志明與余春嬌，因抽煙而在骯髒又狹窄的後巷中邂逅。一段錯摸不定、曖昧難測的戀愛關係，由燃點香煙的瞬間中展開。
一次，志明主動上前為春嬌點煙，首先是這個微細動作令春嬌對他加倍留意；而兩人在談天說地間，滿腦子怪念頭的志明更令春嬌樂陶陶，自此一拍即合。志明與春嬌不停互發短訊來往，甚至相約在晚上一起抽煙見面。那晚，志明與春嬌在室內抽煙，惹來衛生署檢控人員追捕，二人牽手拔足狂奔，首度肌膚接觸。
KJ2 ZUKKOKE大脫走
《KJ2 ZUKKOKE大脫走》（），為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第2張專輯。這是睽違1年3個月的新專輯，共發行初回初回限定盤A、初回限定盤B、通常盤等三個種類，所附贈的特典也不同。
採雙CD裝，DISC1為團體合唱曲13首，DISC2為成員各自創作的獨唱曲共7首。另外，初回限定盤B的DISC2還另外收錄一首歌曲「いつかまた...。」。初回限定盤A另附有一張DVD『ズッコケお宝パニック!』。此為另外拍攝的短篇電影，成員們分別扮演角色扮演遊戲的不同人物，目的是取得位於終點的寶藏。初回限定盤B的DISC2另收錄一首歌曲「いつかまた...。」為在錄音室裡一刀未剪的錄音版本。另外還附贈『ズッコケお宝パニック!』的角色卡片，共7種。
板橋慈惠宮
25°00′34″N 121°27′26″E﻿ / ﻿25.009352°N 121.457340°E﻿ / 25.009352; 121.457340
板橋慈惠宮，是位於臺灣新北市板橋區挹秀里的媽祖廟，其媽祖稱為「板橋媽」。
鴻海集團創辦人兼首任董事長郭台銘幼時曾暫居於此。
板橋慈惠宮 沿革
雍正四年（1726年），墾號「林成祖」的開墾集團在板橋到土城的大安寮之間鑿水圳，使板橋開始繁榮。相傳在乾隆十五年（1750年），一位僧侶自福建湄洲嶼奉請一尊媽祖神像，至枋橋築一茅屋供奉，鄉紳以漳浦之浦字成立天上聖母金浦會，並籌募經費築一小廟，為慈惠宮草創伊始。和板橋接雲寺、枋橋街文昌廟、枋寮廣濟宮（中和廣濟宮）、及大安寮大墓公合稱「擺接堡五大廟」；與板橋大眾爺廟、迪毅堂、板橋接雲寺合稱「板橋四大廟」。
同治十二年（1873年），仕紳鑑於廟宇草葺、年久失修，由板橋林家林國芳召集陳元瑞、林瀾波、楊早明等擺接堡內眾鋪戶信眾，發起改建，該年三月興工，經歷一年完峻。光緒十七年（1891年） 慈惠宮總理林新傳再議將大殿屋頂昇高一尺五寸，工程費用由擺接堡漳州人樂捐，歷五個月完工。
明治廿八年（1895年）十二月，前殿牆壁坍塌，管理人林清山遂再募捐修繕，為期五個月，於翌年五月修繕完峻。住持師父為淡屬僧會的法紀法師。
板橋慈惠宮 沿革
戰後，廟方自木柵聘請俗名劉維昌的真明法師住持。廟址為府中路81號，屬於挹秀里。1960年代時廟旁為板橋派出所。1975、1976年間，廟方左邊屬於廟產小塊空地，一度被一家小型印刷廠佔用搭建。1975年，板橋施行舊市區更新方案，拓寬道路，由管理人朱茂陽組成修建委員會，推選留侯里里長劉屘擔任修建會主任委員，改建共增建二樓媽祖殿及後殿凌霄寶殿、及頂層天公殿，於當年冬開工，至1984年完工。主體係採傳統歇山頂三層三進式屋型。
1986年元月，召開第一屆第一次信徒大會，3月18日經主管機關台北縣政府核准組織管理委員會，第一、二屆主任委員為邱海水、第三、四屆主任委員陳騰麒、第五、六屆主任委員曹盛浴、及第七、八屆主任委員江清秀。
板橋慈惠宮 祭祀
媽祖稱為「板橋媽」。廟中也奉祀咸豐十年（1860年）由新莊慈祐宮分靈來的媽祖。廟方慶祝媽祖農曆三月廿三聖誕，曾邀請东京高圆寺阿波踊舞蹈團演出。新北市政府文化局每年會請此廟媽祖、接雲寺觀音、大稻埕霞海城隍廟城隍爺、城隍夫人、月老舉行聯合祈福遶境儀式。
一樓正殿陪祀中壇元帥，殿前供奉千里眼、順風耳，龍邊財神殿供奉文財神及五路財神，虎邊千歲殿供奉五府千歲、五年千歲。太歲殿有斗姥元君、太歲星君，圓通殿主奉千手觀音菩薩及護法，龍邊供奉魁斗星君，虎邊供奉月下老人。
二樓正殿主祀鎮殿媽祖、開基媽祖及釋迦牟尼佛、才光明佛、阿彌陀佛，偏殿龍邊供奉觀音菩薩、虎邊供奉地藏菩薩，虎爺殿供奉虎爺，三官殿供奉三官大帝。
三樓凌霄寶殿主祀玉皇上帝其座前陪祀有太陽星君、太陰娘娘並有南斗星君、北斗星君。
慈惠大樓4樓設立圖書館、並在入口服務台處立孔子像。
板橋慈惠宮 郭台銘與慈惠宮
郭台銘與本廟的淵源頗深，1960年代，郭台銘父親郭齡瑞在板橋派出所擔任警察，一家六口就借住此廟廂房達九年，直到郭齡瑞調任中永和才搬走。後來廟方將此空間改為財神殿。每年農曆正月初一，郭台銘都會帶全家大小回慈惠宮參拜，更大手筆認捐廟前龍柱，上刻「信士郭台銘、林淑如、郭守正、郭曉玲敬獻」為證。土城鴻海集團總部所供奉的媽祖就是由此廟分靈的。2019年4月17日上午，郭台銘在此廟表示媽祖曾託夢說要他「出來做一些事情」，外界解讀是表示會參加2020年中國國民黨總統提名選舉。
PUZZLE (關西傑尼斯8專輯)
《PUZZLE》為日本男偶像團體關西傑尼斯8的第3張專輯。
隨機微分方程
隨機微分方程（英語：），是常微分方程的擴展，其项是随机过程，解也是随机过程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。SDE在纯数学中有许多应用，可用于模拟随机模型的各种行为，如股价、随机增长模型或受热涨落影响的物理系统。
SDE具有随机的微分，在最基本的情形下是以布朗运动导数计算的白噪声，更一般地说是半鞅。不过，也可能存在其他随机行为，如莱维过程等跳跃过程或有跳跃的半鞅。随机微分方程还可扩展到微分流形。
隨機微分方程
隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式，由阿爾伯特·愛因斯坦在《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》論文中提出。这项研究隨後由保羅·朗之萬继续。此後伊藤清和鲁斯兰斯特拉托诺维奇完善了隨機微分方程的數學基礎，使得這門領域更加的科學嚴謹。
一般而言，隨機微分方程的解是一隨機過程函數，但解方程需要先定義隨機過程函數的微分。最常見的定義為根據伊藤清所創，假設B為布朗運動，則對於某函數H，作以下定積分之定義：
此稱為伊藤積分。伊藤式的隨機微分方程常用於在金融數學中。
隨機微分方程 背景
随机微分方程源于爱因斯坦和Marian Smoluchowski提出的布朗运动理论（1905），不过Louis Bachelier是第一个建立布朗运动模型的人（1900），给出了一个非常早期的SDE实例，即现在所谓Bachelier模型。一些早期例子是线性SDE，也称为郎之万方程，得名于法国物理学家保罗·郎之万，描述了谐振子在随机力作用下的运动。1940年代，日本数学家伊藤清发展了SDE的数学理论，提出了随机分析的概念，并开启了非线性随机微分方程的研究。后来，苏联物理学家鲁斯兰·斯特拉托诺维奇提出了另一种方法，产生了类似于普通微积分的随机积分。
隨機微分方程 背景
文献中，SDE最常见的形式是常微分方程，右式由一个取决于白噪音变量的扰动项。大多数时候SDE被理解为相应随机差分方程的连续时间极限，这种SDE理解是模糊的，必须辅以相应积分的适当数学定义。这种数学定义由伊藤清提出于1940年代，产生了伊藤积分。后来，苏联物理学家鲁斯兰·斯特拉托诺维奇提出了另一种构造，即所谓随机积分，与伊藤积分是相关但不同的对象，选择取决于具体应用。伊藤积分以非预期性或因果性概念为基础，这在以时间为变量的应用中很自然。而随机积分的规则则与普通微积分相似，且具有内在的几何特性，使它在处理流形上的随机运动等问题时更自然。尽管通过伊藤SDE来模拟流形上的随机运动也是可能的，且有时更可取，例如在试图优化逼近子流形上的SDE时。
SDE的另一种观点是微分同胚的随机流，这种理解十分确定，相当于随机差分方程连续时间极限的斯特拉托诺维奇版本。与SDE相关的是Smoluchowski equation或福克-普朗克方程，是描述概率分布函数随时间演化的方程。随机演化算符的概念将福克-普朗克演化推广为微分形式的时间演化。
隨機微分方程 背景
在物理科学中，“郎之万SDE”存在歧义：可以是更一般的形式，但通常指一类具有梯度流向量场的狭义SDE。这类SDE很受欢迎，是Parisi–Sourlas随机量子化过程的起点，产生了与超对称量子力学密切相关的N=2超对称模型。但从物理角度来看，这类SDE不怎么有趣，因为从未表现出拓扑超对称性的自发破缺：（过阻尼）郎之万SDE永不混沌。
人们发现布朗运动或维纳过程在数学上异常复杂：维纳过程几乎肯定不可微，因此要有自己的分析规则。随机分析有伊藤积分和随机积分两个版本，各有利弊，初学者往往搞不清楚特定问题用哪个更合适。有些指南(e.g. Øksendal, 2003)，人们可以很方便地将伊藤SDE变换为等价的随机SDE，反之亦然。不过，最初写下SDE时还是要决定使用哪种积分。
解SDE的数值方法有欧拉-丸山法、米尔斯坦法和龙格-库塔法。
隨機微分方程 物理学中的应用
物理学中，SDE具有广泛的适用性，从分子动力学到神经动力学，再到天体动力学，不一而足。更具体地说，SDE描述了所有动力系统，其中量子效应要么不重要，要么可以作为扰动加以考虑。SDE可被视为动力系统理论对有噪模型的一种概括，这很重要，因为实际系统不可能与其环境完全隔离，总会受外部随机影响。
有一些标准化手段可通过引入新的未知数，将高阶方程转化为耦合的一阶方程组。以下是最常见的一类SDE：
其中是系统在相（或状态）空间中的位置，设是可微流形，是表示确定演化规律的流向量场，是一组向量场，定义了系统与高斯白噪声的耦合。若是线性空间，是常数，则称系统受加性噪声影响，否则称系统受乘性噪声影响。这个术语有点误导性，它看上去像是有的约束，实际上意味着一般情形。
隨機微分方程 物理学中的应用
对于固定的噪声，SDE存在唯一解，对初始条件可微。当将各种研究对象平均到噪声配置上时，随机情形的非平凡性便显露出来。乘性噪声SDE被理解为随机差分方程的连续时间极限时，并不是唯一确定的实体，而必须辅以所谓“SDE诠释”，如伊藤或斯特拉托诺维奇解释。然而，当把SDE看做微分同胚的连续时间随机流时，则成了唯一确定的数学对象，相当于随机差分方程连续时间极限的斯特拉托诺维奇法。
物理学中，主要的求解方法是利用等效的福克-普朗克方程（FPE）求出时间函数的概率分布函数。福克-普朗克方程是确定的偏微分方程，给出了概率分布函数随时间的演变，类似于薛定谔方程给出了量子波函数随时间的演变，或扩散方程给出了化学浓度随时间的演变。此外还可用蒙特卡洛方法获得数值解。其他手段还有利用统计物理学和量子力学之间的类比关系进行路径积分（例如，福克-普朗克方程可通过缩放几个变量，变换为薛定谔方程），或写下概率分布函数矩的常微分方程。
隨機微分方程 在概率论和金融数学中的应用
概率论（及概率论中的许多应用，如信号处理中的[滤波问题]]和金融数学中的应用）使用的符号略有不同。它也是解决SDE数值方法的文献所用的符号。这种记法使物理公式中时间随机函数的奇异特性更加明确。从严格的数学角度来说，不能作为普通函数来选择，而只能作为广义函数。数学公式在处理这问题时，比物理公式明确一些。
典型方程的形式是
其中表示维纳过程（标准布朗运动）。方程被解释为表达相应积分方程（下式）的一种非正式方式。
上式将连续时间随机过程Xt的行为表为普通勒贝格积分与伊藤积分的和。对SDE的启发法（但非常有用）的解释是，在长为δ的微小时间区间内，随机过程Xt值的变化遵循期望为μ(Xt, t) δ 、方差为σ(Xt, t)2 δ 的正态分布，且与过程过去的行为无关。这是因为，维纳过程的增量是独立的正态分布。函数μ称为漂移系数，σ称为扩散系数。随机过程Xt称为扩散过程，满足马尔可夫性质。
隨機微分方程 在概率论和金融数学中的应用
SDE的形式解释可据SDE解的构成给出。SDE的解主要有两种定义，有强解和弱解，都要求存在一个能解SDE积分方程形式的过程Xt。两者的差别在于依赖的概率空间()，弱解包括一个概率空间和满足积分方程的过程，强解则包含满足方程并定义在给定概率空间上的过程。
一个重要例子是几何布朗运动方程
即金融数学中布莱克-舒尔斯模型中的股价动态方程。
推广几何布朗运动还可定义允许强解的SDE，分布是来自不同几何布朗运动或布莱克-舒尔斯模型的密度的凸组合，从而得到一个单一的SDE，其解的分布是不同布莱克-舒尔斯模型的对数正态分布的混合动力。这就产生了可以处理金融数学中所谓波动性微笑的模型。
更简单的SDE被称为算术布朗运动
Louis Bachelier在1900年将其作为第一个股价模型，即今天所谓Bachelier模型。
还有一些更一般的随机微分方程，其中的系数μ、σ不仅取决于过程Xt的现值，还取决于过程的前值，还可能取决于其他过程的现值或前值。这样，解过程X便不是马尔可夫过程或扩散过程，而称为伊藤过程。当系数只取决于X的现值和前值时，定义方程称为随机延迟微分方程。
隨機微分方程 在概率论和金融数学中的应用
将带斯特拉托诺维奇积分的SDE推广到带跳跃的半鞅的是马库斯型SDE。马库斯积分是McShane随机积分的推广。
奥恩斯坦-乌伦贝克过程过程方程在随机金融学中有创新应用：
是在收益率呈对数正态分布的条件下，股价收益率的动态方程。在此假设下，Marcello Minenna开发的方法确定了预测区间，能识别可能隐藏市场滥用现象的异常收益。
更一般地，可以将SDE理论扩展到可微流形上，并使用斯特拉托诺维奇积分。考虑流形、某个有限维向量空间、过滤概率空间，其中满足通常条件，并令为单点紧化，且为可测。则上的随机微分方程可写为
是一对使得
，映射都是线性的， for each 。
初始条件为的上的SDE的解是连续的适应的值过程（寿命），且满足：对每个检验函数，过程都是实值半鞅；对每个停止时间，方程
隨機微分方程 在概率论和金融数学中的应用
有的把握成立，其中是处的微分形式。若寿命最大，它就是最大解，即
有把握成立，由对每个检验函数都是半鞅可知，是上的半鞅。给定最大解，可以将的时间扩展到全部，然后在上延拓，可得
（不可分过程）。
虽然斯特拉托诺维奇 SDE满足链式法则，其漂移、扩散系数在坐标变化时表现为向量场，因此是流形上SDE的自然选择，但有时伊藤积分更可取。流形伊藤积分理论是首先由洛朗·施瓦兹通过施瓦兹同态的概念提出，另见基于射流丛的流形上伊藤SDE的2-射流解释。当试图用给定空间上的SDE解与给定空间子曲面上的SDE解进行最佳近似时，这种解释很有帮助，因为基于斯特拉托诺维奇的投影达不到最佳效果。这已被应用于滤波问题，从而产生了最优投影滤波器。
隨機微分方程 作为粗糙路径的SDE
SDE的求解需要概率设置，因为求解中隐含的积分是随机积分。若能逐路径处理微分方程，就不需要定义了，也就可以发展出独立于概率论的理论。
这就需要考虑SDE
，都是唯一确定的微分方程，其中是给定概率空间（）的样本空间。然而，从路径上直接解释SDE是不可能的，因为布朗运动路径的变化无界且无处可微的概率为1，因此没有简单方法赋予之类的项以直观意义。这也排除了将随机积分定义为对每个的积分的简单路径定义。不过，受Wong-Zakai结果对规则噪声的SDE解的极限的启发，利用粗糙路径理论，同时添加布朗运动迭代积分的选定定义，有可能为每个定义确定的粗糙积分，例如，若特定选择迭代积分可实现与伊藤积分重合的概率为1。迭代积分的其他定义产生不同随机积分的确定性路径等价，如斯特拉托诺维奇积分。在金融数学中，这被用于无概率期权的定价。
隨機微分方程 解的存在性与唯一性
与定微分方程一样，重要的是知道给定的SDE解的存在性和唯一性。下面是在n维欧氏空间Rn中取值，并由m维布朗运动B驱动的伊藤SDE的典型存在性与唯一性定理；证明可见Øksendal (2003, §5.2)。
令T > 0，并使
为可测函数，存在常数C、D使
对所有t ∈ [0, T]、所有x与y ∈ Rn，其中
令Z是独立于由Bs（s ≥ 0）生成的σ代数的随机变量，且有有限二阶矩：
则随机微分方程/初值问题
具有P-几乎必然独特t连续解(t, ω) ↦ Xt(ω)，使X适应由Z、Bs(s ≤ t)生成的滤子FtZ；另外
上述SDE只是更一般形式的特例：
其中
更一般地说，还可以研究流形上的SDE。
方程的解收不收敛取决于的选择。假设满足某局部利普希茨条件，即对和紧集、常数，满足条件
其中是欧氏范数。这一条件保证了所谓最大解的存在性和唯一性。
设连续、满足上述局部利普希茨条件，并设为初始条件，即是关于初始σ-代数的可测函数。令为可预测停时，几乎确定。值半鞅即下式方程的最大解
若：
则称为寿命或所谓“爆炸时间”。
隨機微分方程 能寫出解析解的SDE
其中
對於一個可微函數 ， 等價於 斯特拉托諾維奇 SDE
其有一般解
其中的如下所示：
對於一個可微函數 ， 等價於 斯特拉托諾維奇 SDE
可以簡化成下列形式:
其中  ，這裡的 如上面所定義。他的一般解可以寫成
隨機微分方程 SDE与超对称
在SDE的超对称理论中，随机动力是通过作用于模型相空间微分形式的随机演化算子定义的。在这一精确表述中，所有SDE都具有拓扑超对称性，即通过连续的时间流保持相空间连续性。这种超对称的自发破缺是混沌、湍流、自组织临界性等诸多动力现象的数学本质，而南部定理则解释了相关的长距动力行为，如蝴蝶效应、粉红噪声、爆裂声，以及地震、神经震荡、太阳耀斑等现象的无标统计等等。
隨機积分
隨機積分是對包含隨機函數的積分，常見形式為
一如黎曼－斯蒂尔杰斯积分，以上表示對函數在函數之上施行積分計算，若為一隨機過程函數，則此積分為一隨機積分。
隨機積分之結果通常為一隨機過程函數，但因涉及隨機變量，其計算方式可依不同的假設而異。最常見的形式為伊藤積分，即定義上述積分為
多元微积分
在微积分学中，多元微积分，也称为多变量微积分（英語：，）是涉及多元函數的微積分學的統稱。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如微分多元函數時，就引申出偏微分、全微分，對多元函數進行積分計算時，又會涉及多重積分。
多元微积分 历史
多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的物理量。例如托马斯·布拉德华曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。:210不过从十七世纪开始，这个概念有了长足发展。1667年，詹姆斯·格雷果里在 Vera circuli et hyperbolae quadratura 一文中给出了多元函数最早的定义之一：“（多元）函数是由几个量经过一系列代数运算或别的可以想象的运算得到的量。”:216十八世纪，人们发展了基于无穷小量的微积分，，并研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起偏导数（包括二阶偏导数）的计算法则。
多元微积分 多元函数
多元函数是指定义域为或其一部分，值域为或的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成个定义在上，值域是的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即n元组）对应唯一一个值域中的元素，记为或，如下所示：
如果线性空间和上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为值域是的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是的函数。比如，这种函数的导数存在的话，就称为原来多元函数的偏导数。
多元微积分 多元函数的分析
数学分析中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。
设是中的一个开集，是定义在上的函数。给赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对中的每个点，在处连续当且仅当
在多元微积分领域，对函數極限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元标量函数，当，沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。:19-22例如，函数
沿任何直线  趋近于原点  时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线  趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。
每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件::17-19
例如, 含有两个变量的实数函数 ，对于每一个固定的  ，  关于  的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的  ，  关于  的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。
举一个例子，考虑函数
多元微积分 多元函数的分析
很容易验证，在实数域中，定义函数：
，则对于每一个固定的  ， 在  上连续。同理，函数 
也是关于  的连续函数。然而，函数  在原点是不连续的。 
考虑序列  (  为自然数)，若在原点连续其结果应为  。然而，通过计算知其在原点的极限为
。 因此，  在原点不连续。
偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。:26ff
偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子()依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。
含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或「PDE」。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。:654ff
重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。:367ff