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狄拉克δ函数 歷史
之後，米歇爾·普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的L2理論（1910年）、諾伯特·維納和薩洛蒙·博赫納（Salomon Bochner）的貢獻（1930年前後）以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克δ函數的嚴格定義。
1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅里葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了δ函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。
狄拉克δ函数 定義
籠統地來說，δ函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，
並同時滿足以下條件
這只是一個概略的表述：δ函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，δ函數可以定義為分佈或測度。
測度是其中一種嚴謹定義δ函數的方法。作為一個測度，δ函數取一個實線R的子集A，當0 ∈ A時輸出δ(A) = 1，否則δ(A) = 0。如果把δ函數想象成位於0的一個理想化的質點，則δ(A)代表集合A所包含的質量。一個函數相對於δ的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數f，這一積分滿足：
測度δ相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個奇異測度。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數δ：
雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。
作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：
狄拉克δ函数 定義
換句話說，H(x)是積累指示函數1(−∞, x]相對於測度δ的積分：
δ函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：
δ函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。
在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義δ函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果δ函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這δ測度的勒貝格積分。
測試函數空間一般可包括所有上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，δ函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為
若要使δ成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數，有整數和常數，使得對每個測試函數，以下不等式都成立：
當就是δ分佈時，对所有的取，就能滿足這條不等式。因此，δ是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是。
狄拉克δ函数 定義
δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數，
直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為
而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到
在测度论中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式(1)在所有緊支撐連續函數空間上定義了一個Daniell積分，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為相對於某拉東測度的勒贝格积分。
當講到「狄拉克δ函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。
在n維歐幾里得空間Rn中，狄拉克δ函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f，滿足
作為一個測度，n維δ函數是每個獨立變量的1維δ函數的積測度。也就是說，若x = (x1, x2, ..., xn)，則
上文的1維δ分佈也存在n維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式(2)還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。
狄拉克δ函数 定義
狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設X是集合，x0 ∈ X，Σ為X子集上的任何σ-代数，則對每個集合A ∈ Σ可以定義測度：
這就是單位質量集中在x0處的狄拉克測度。
δ函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形M上以x0 ∈ M為中心的δ函數可定義為以下分佈：
對於所有M上的緊支撐光滑實數值函數φ。一個常見的特殊情況是，M是歐幾里得空間Rn中的一個開集。
在局部緊豪斯多夫空間X中，集中在點x的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數φ的Daniell積分(3)的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，X在這一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率測度空間中是一個稠密集。
狄拉克δ函数 性質
對非零純量，δ函數有以下縮放性質：
所以
δ函數是一個偶分佈，也就是說
因此δ函數屬於−1階齊次函數。
δ和的分佈積等於零：
相反，若，其中和為分佈，則存在常數使得
延時δ函數的積分為：
因此δ函數有「篩選」或「採樣」的功能──可以篩選出函數在的值。
可以推論，函數與延時δ函數卷積後會受到延時：
這必須在是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅里葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把δ視為分佈）
更一般地來說，δ分佈可以和光滑函數復合，使得熟悉的變量更換公式成立：
條件是為連續可微函數且處處非零。換言之，作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數f都成立。因此，定義域必須切割開來，排除這一點。如果處處非零，那麼此分佈滿足；否則如果在處有一個實數根，則
很自然地，對連續可微函數，可以把「定義」為
其中求和跑遍的所有根，這些根都假設為單根。比如，
狄拉克δ函数 性質
δ分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：
δ分佈在維空間中的縮放性質如下：
從而δ是一個階齊次分佈。δ分佈在任何鏡射和旋轉下不變：
和單變量時一樣，可以唯一地定義δ與雙利普希茨函數的復合，使得恆等式
對於所有緊支撐函數成立。
利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義δ函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數滿足的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：
其中右邊的積分範圍是，即所定義的一個維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。
更一般地來說，若是中的光滑超曲面，則可以把聯繫到在上對任何緊支撐光滑函數積分的分佈：
其中是聯繫到的超曲面測度。這種推廣與上的單層位勢的位勢論相關。設是中具有光滑邊緣的區域，則等於的指示函數的（分佈意義上的）法向導數：
其中是向外法線。
狄拉克δ函数 傅里葉變換
δ函數屬於緩增函數，所以擁有良好定義的傅里葉變換。正式地說，（在一些傅里葉變換慣例下）有
一個分佈的傅里葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函數的對偶配對下，要求傅里葉變換是自伴的。從而，定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈：
對於一切速降函數φ。從此可推導，的確。
這條恆等式意味著，δ函數與任何其他緩增分佈S的卷積即等於S：
這意味著，δ是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以δ函數為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於δ函數的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對δ作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特征。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。
緩增函數f(ξ) = 1的反傅里葉變換等於δ函數。更正式地表達，
更嚴謹地來說，有
對於一切速降函數f。
這樣，δ函數暗示著在R上的傅里葉核的正交性，即：
換句話說，緩增分佈
的傅里葉變換是
這同樣可以通過對傅里葉變換要求自伴性而得出。
利用傅里葉變換的解析延拓，可以得出δ函數的拉普拉斯變換：
狄拉克δ函数 分佈導數
狄拉克δ分佈的分佈導數是一個分佈δ′，它對於所有緊支撐光滑測試函數φ定義為
此處第一個等號類似於分部積分，因為若δ是個真正的函數，則
δ的k階導數的定義大同小異，對任何測試函數φ，
從而δ是個無限可微分佈。
δ函數的一階微分是差商
的分佈極限。更準確地說，有
其中τh是平移算子，對於函數的定義是τhφ(x) = φ(x + h)，而對於分佈S的定義是
在電磁學中，δ函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函數。
δ函數的導數滿足一些基本性質，包括：
這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。
另外，δ′與緊支撐光滑測試函數f的卷積為
這來自卷積的分佈導數的性質。
更一般地說，在n維歐幾里得空間Rn中的開集U上，以點a ∈ U為中心的狄拉克δ分佈定義為
狄拉克δ函数 分佈導數
對於一切φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的緊支撐光滑函數的空間。若α = (α1, ..., αn)是任何多重指標，而∂α表示相關的混合偏導數算子，則δa的α階導數∂αδa是
對於一切φ ∈ S(U)。也就是說，δa的α階導數是個分佈，它在任何測試函數φ的值等於φ在點a的α階導數（加上合適的正負號）。
δ函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。
高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若S是任何在U上、支撐集為一個點{a}的分佈，那麼存在整數m和一組係數cα，使得
狄拉克δ函数 δ函數的表示
δ函數可以視為一個函數序列的極限：
其中ηε(x)有時稱為初生δ函數。這一極限是個弱極限：對於一切緊支撐連續函數f，有
或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函數f都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分佈的收斂。
通常一個初生δ函數ηε可以如下建構。設η是一個R上的總積分為1的絕對可積函數，並定義
在n維當中，改用以下縮放
在簡單的變量更換之後，可見ηε的積分同樣等於1。不難證明，(5)對於一切連續緊支撐函數f都成立，從而ηε作為一個測度向δ弱收斂。
這樣建構的ηε叫做對單位元的近似，因為包含所有絕對可積函數的空間L1(R)在函數卷積這一作用下閉合：f ∗ g ∈ L1(R)，當f和g都屬於L1(R)。然而，L1(R)在卷積下並沒有單位元：沒有任何元素h使得f ∗ h = f對於所有f都成立。但序列ηε仍然能夠近似這種單位元，就是說
在平均收斂（即L1中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處點收斂，還需要對ηε加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函數的柔化函數。
狄拉克δ函数 δ函數的表示
如果最初的η = η1本身已經是光滑的而且具有緊支撐，那麼整個序列就叫做柔化序列。標準柔化序列可以通過選擇某個適當歸一化的脈衝函數η來定義，例如
在數值分析等的一些情況下，以分段線性函數對單位元進行近似會更加有用。可以定義η1是一個三角形函數，然後有
它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函數。
在概率論中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元近似的初始η1是正的，因為這樣它就會代表一個概率分佈。有時需要和概率分佈來卷積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝或下衝。取η1為任何隨意的概率分佈，並如上設ηε(x) = η1(x/ε)/ε，就可以取得對單位元的近似。此外，如果η的平均值為0，且更高矩較小，那麼序列就會向δ函數收斂得更快。比如，設η1是[−1/2, 1/2]上的均勻分佈，即矩形函數，則：
又以維格納半圓分布舉例，
這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函數。
初生δ函數往往以卷積半群的身份出現。這相等於另加一個條件──ηε與ηδ的卷積必須滿足
狄拉克δ函数 δ函數的表示
對於所有ε和δ > 0。L1中形成初生δ函數的卷積半群一定是對單位元的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。
在實踐當中，對單位元的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型和拋物型偏微分方程中，作為基本解或格林函數。在應用數學中，半群是線性非時變系統的輸出。抽象地來說，若A是一個作用在x的函數上的線性算子，則在對初值問題求解時會出現卷積半群：
其中極限同樣是弱極限。設ηε(x) = η(ε, x)，得出相關的初生δ函數。
下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的卷積半群。
熱核
熱核，定義是
代表的是一條無限長絲在t > 0時的溫度，如果在t = 0時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式演變：
在概率論中，ηε(x)是一個平均值為0、方差為ε的正態分佈。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動，在t = ε這一刻的概率密度函數。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質。
在高維歐幾里得空間Rn中，熱核等於
並且在作必要的修改後有著相同的物理解釋。而且，當ε → 0，ηε → δ，因此它也代表了一個初生δ函數。
帕松核
帕松核
狄拉克δ函数 δ函數的表示
是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為δ函數時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯繫。半群根據以下方程演變：
其中的算子嚴謹地定義為傅里葉乘數
在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生δ函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的歐拉-特里科米方程的解，取得歸一化艾里函數
雖然用的是傅里葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生δ函數，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。
另一個例子是R1+1中的波動方程式的柯西問題：
解u代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。
其他同類的對單位元的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的sinc函數
以及貝塞爾函數
要對線性偏微分方程
求解，其中L是Rn上的一個微分算子，可以先取得基本解，即對以下方程求解：
狄拉克δ函数 δ函數的表示
當L相對簡單的時候，通常直接利用傅里葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程
其中h是一個平面波函數，意思是對於某向量ξ，有
這樣的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理求解（如果L的係數是解析函數），或者用求積法求解（如果L的係數是常數）。所以，如果δ函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。
對δ函數進行平面波分解的方法，最早是約翰·拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲·約翰進一步發展至這種形式（1955）。選擇k，使得n + k是一個偶整數；對於實數s，定義
要取得δ，對g(x · ξ)相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中ξ屬於單位球面Sn−1：
此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數φ，
這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從φ(x)在超曲面上的積分取回φ(x)的值。例如，若n是奇數，而k = 1，則右邊的積分等於
其中Rφ(ξ, p)是φ的拉東變換：
狄拉克δ函数 δ函數的表示
平面波分解的另一個等價表達式是（Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGelfandShilov1966–1968 (幫助)）
對於偶數n，且
對於奇數n。
在對傅里葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數f的傅里葉級數的第n部分和，定義是與狄利克雷核在區間[−π,π]上的卷積：
因此
其中
傅里葉級數的一個基礎結果說明，當N → ∞，狄利克雷核趨向於δ函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即
對於一切緊支撐光滑函數f。從而，在區間[−π,π]上有
儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，DN從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核
費耶核從一種更強的意義向δ函數收斂：
對於一切緊支撐連續函數f。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。
狄拉克δ函数 δ函數的表示
狄拉克δ分佈是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間L2上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在L2中是一個稠密集，且δ分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對L2的某個子空間賦予更強的拓撲，使得δ函數能夠定義一個有界線性算子。
索伯列夫空間
索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數f，只要滿足
就必定是連續的，而且滿足
從而δ是一個在索伯列夫空間H1上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ是H1的連續對偶空間H−1的元素。更一般地說，在n維中，有δ ∈ H−s(Rn)，條件是s > n / 2。
在複分析中，δ函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若D是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則
對於一切在D的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，δ函數δz可以以柯西積分表示：
狄拉克δ函数 δ函數的表示
更一般地來說，設H2(∂D)是一個哈代空間，它是所有在D中直到D的邊緣都是連續的全純函數，在L2(∂D)中的凸包。H2(∂D)中的函數可以唯一地延續成D上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於z ∈ D，δ函數δz是一個H2(∂D)上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域D，塞格核代替了柯西積分的角色。
在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數{φn}組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量f都可以表達成：
係數{αn}可以如下得出：
也可以寫為
這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，f以並矢方式展開：
設I是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式
稱為單位分解。當希爾伯特空間是L2(D)，包含所有在域D上的平方可積函數，那麼
就是一個積分算子，而f可以重新表達為：
右邊的級數是在L2當中向f收斂。就算f是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫
如此來表示δ函數：
在適當的裝備希爾伯特空間(Φ, L2(D), Φ*)中，其中Φ ⊂ L2(D)包含所有緊支撐光滑函數，視乎基φn的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分佈的意義上收斂。
1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數α，使得函數δα滿足
他（以及拉扎爾·卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。
非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克δ函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見Yamashita (2007)論文所列出的相關書目。這樣定義的δ函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數F，都有
結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。
狄拉克δ函数 狄拉克梳子
由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做狄拉克梳子，亦以西里爾字母Ш相形稱為Ш分佈，是一個取樣函數，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個δ函數的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：
這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。
狄拉克梳子是其自身的傅里葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若f是速降函數，則f在週期化後的結果以以下卷積表示：
特別有，
這正是帕松求和公式。
狄拉克δ函数 索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理
索霍茨基-魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把δ函數和分佈p.v.1/x聯繫起來，後者是函數1/x的柯西主值，定義是
索霍茨基公式說明，
此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數f，
狄拉克δ函数 與克羅內克δ函數的關係
克羅內克δ函數δij的定義是，
對於所有整數i、j。它滿足以下的篩選性質：若是一個兩頭無限的序列，則
這和狄拉克δ函數的篩選性質十分相似：對於任何R上的實函數或複函數f，有
也就是說，克羅內克δ函數可以看作是與狄拉克δ函數對應的離散函數。
狄拉克δ函数 應用
在概率論和統計學中，狄拉克函數往往以概率密度函數的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（概率密度函數一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點x = {x1, ..., xn}，對應概率為p1, ..., pn；由這些點所組成的離散分佈的概率密度函數可以寫作
又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函數是
也可以以完全不同的方法，用δ函數表示擴散過程（如布朗運動）中的局部時。一個隨機過程的局部時的表達式為
這代表了該過程在某特定區間內，在點x所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成
其中1[x−ε, x+ε]是區間[x−ε, x+ε]的指示函數。
以下舉一個例子，展示δ函數如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函數所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函數假定屬於希爾伯特空間L2（平方可積函數空間），且粒子在某空間範圍內出現的總概率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數{φn}叫做標準正交，如果
狄拉克δ函数 應用
其中δ指的是克羅內克δ函數，而不是狄拉克δ函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數ψ都可以表達為一些φn的線性組合：
其中。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：
此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符Qψ(x) = xψ(x)。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為了解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的裝備希爾伯特空間取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點y：
狄拉克δ函数 應用
位置的本徵函數（分佈）用狄拉克符號記作，亦稱為位置本徵態。
這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子P，前提是P具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω（即算子的光譜）和一組分佈φy，對應於Ω的每個元素y，使得
也就是說，φy是P的特征向量（本徵分佈）。如果這些特征向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：
那麼對於一切測試函數ψ，就有
其中
此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：
其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若P的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。
δ函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如δ位勢阱。
在結構力學中，δ函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在t=0時突然受到衝量為I的力的衝擊，其演變可以如下描述：
狄拉克δ函数 應用
其中m是質量，ξ是撓度，而k是彈簧常數。
根據歐拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是
其中EI是樑的彎曲剛度，w是撓度，x是空間坐標，而q(x)則是負荷分佈。如果棟樑在x = x0處受到點力F的負荷，那麼負荷分佈可以寫作
由於δ函數的積分是黑維塞階躍函數，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。
δ函數還可以描述作用在一條樑上的點彎矩。設兩個相距d的相反方向的點力F，它們在棟樑上所產生的彎矩為M = Fd。在保持M不變的情況下，使d趨向於零。假設所產生的彎矩位於x = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是
因此點彎矩可以用δ函數的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。
孟菲斯 (埃及)
孟菲斯（阿拉伯語：；埃及阿拉伯語：；希臘語：）曾是諾姆─阿納赫奇的都城，也是下埃及的第一个诺姆。它的遗迹在拉希納村附近，位于开罗南方20公里处。
根据曼涅托的叙述，这座城市是由法老美尼斯于公元前3100年左右建立的。它是埃及古王国的首都，并直到古地中海时期都是一座重要的城市。它在尼罗河三角洲的河口占据了一个重要的战略位置，并是一系列重要活动的故乡。城市里有许多的工坊，工厂，以及仓库，人们在此将商品和食物运往整个王国。在巅峰时期，孟菲斯是商业，贸易和宗教中心。
一般认为孟非斯的保护神是卜塔，他同时也是工匠们的保护神。他的神庙Hut-ka-Ptah（意为“卜塔灵魂的所在”）是城市中最为杰出的建筑物之一。曼涅托将这座神庙的名称翻译成希腊文（），这个词被认为是现代埃及在英文中的名字（）的词源。
孟菲斯 (埃及)
孟菲斯的历史和古埃及历史息息相关。它最终的衰落被认为是后来建造的亚历山大港在经济上超过它的重要性的结果。而它在宗教上的重要性也在《薩洛尼卡敕令》发布之后，人们逐渐抛弃古代宗教而逐渐消散。
现在这座古代都城的遗址能让人们一窥它曾经的荣耀。自1979年以来，它就和吉萨的金字塔一同被认定为世界遗产。目前它作为生态博物馆開放給人们参观。
孟菲斯 (埃及) 命名
孟菲斯在几乎长达4千年的历史中有过许多不同的名字。《希伯來語經卷》中的挪弗一般是指孟斐斯。孟斐斯是古埃及的一座重要城邑。它在古埃及的名称是Inbu-Hedj（意为“白城”）。
由于它的大小，有时候人们也以其他的名字来称呼它。而这些名字通常来源于附近其他在某个时期重要的建筑或地区名。例如，根据一段第一中间期的记载，它被称呼为Djed-Sut（永恒的地方）而这是特提金字塔的名称。
在某个时期，这座城市也被称为Ankh-Tawy（意为“两片土地上的生命”（Life of the Two Lands））。这个名称显示了它位于上埃及和下埃及之间重要的战略地位。它能追溯到中王国时期并经常出现于古埃及的记载中。有一些学者们主张这个名字指的是城市的西部，位于卜塔神庙和萨卡拉墓地之间的有着一棵神树的地区。
孟菲斯 (埃及) 命名
在新王国开始的时候（公元前1550年），孟菲斯被称为Men-nefer（意为“不朽和美丽的”），在科普特语中写作Menfe。现在英文中的Memphis来自于希腊文对于Menfe的翻译，而这个名字最初被用来称呼位于城市西边的佩皮一世金字塔。
埃及历史学家曼涅托将这座城市称为Hut-kaPtah（意为“卜塔灵魂的所在”），他将这个名字在希腊文中写作Aί γυ πτoς（Ai-gy-ptos）。拉丁文中则写成AEGYPTVS，最终变成了现代英文中的Egypt。对科普特人的称呼（Copt）也被认为是来自于这个词。
在圣经中，门菲斯被称为Moph或Noph。
孟菲斯 (埃及) 归属
孟菲斯位于开罗南部20公里的尼罗河西岸。位于开罗南方的一些现代城市和小镇例如拉希納村，代赫舒尔，阿布希尔，Abu Gorab，Zawyet el'Aryan都在孟菲斯的范围内（29°50′58.8″N 31°15′15.4″E﻿ / ﻿29.849667°N 31.254278°E﻿ / 29.849667; 31.254278）。同时，这座城市也是上埃及和下埃及的分界点（上埃及的第22个诺姆，下埃及的第一个诺姆）。
目前没有人居住在孟菲斯的遗址处。距离孟菲斯最近的定居点是拉希納村。而因来源不同，估计出的孟菲斯的历史人口也有很大的不一致。根据T. Chandler的估计，孟菲斯曾经有3万人居住，并且在它建立直到公元前2250年左右和公元前1557到1400年之间是世界上最大的城市。K.A.Bard对于人口的估计比T. Chandler要保守，她认为这座城市在古王国时期有大约6000人居住。
孟菲斯 (埃及) 历史
孟菲斯在古王国时期连续做了8个王朝的都城，并于第六王朝时期作为卜塔（创造与艺术之神）崇拜的中心而达到了顶峰。保卫卜塔神庙的雪花石制斯芬克斯仍讲述着这座城市曾经的力量和荣耀。由神卜塔，塞克迈特和他们的儿子奈夫頓组成的孟菲斯三位神灵构成了这座城市崇拜的中心。
在第十八王朝和新王国开始之后，孟菲斯随着底比斯的崛起经历了一小段衰落时期。但在亚历山大港建城之前于波斯人的手中得到了复兴。在古罗马时期亚历山大港是最重要的城市，而孟菲斯在福斯塔特于公元641年建城之前一直是埃及第二重要的城市。但在后来它却遭到了抛弃，并成了附近居民点的采石处。在12世纪之前，它仍是一处雄伟的遗迹，但随着时间的推移逐渐变成了一处仅比低矮的遗迹和分散的石块要好的遗存。
曼涅托记载的传说中提到第一位统一上下埃及的法老美尼斯在用堤坝将河分隔开来，之后于河岸上建立了他的都城。希腊历史学家希羅多德也提到了一个类似的故事。他在波斯帝国时期访问了这座城市，并发现这个国家的统治者非常注意对堤坝的维护以保证城市不受每年河水泛滥的影响。希羅多德认为这座城市于在他造访之前2500多年之前于公元前3100年左右建城。
孟菲斯 (埃及) 历史
有一种理论认为美尼斯是一位传说中的法老，就像罗马帝国的罗慕路斯一样。还有一些人认为上下埃及是因为共同的需求而联合在一起的，并发展出了共同的文化和贸易伙伴，而且上下埃及联合之后的第一个都城毫无疑问是孟菲斯。古埃及学家还在那尔迈石板上发现了美尼斯和征服下埃及尼罗河三角洲并称呼自己为法老的那尔迈。这个石板能追溯到公元前31世纪，因此印证了由美尼斯将上下埃及联合起来的传说。2012年，一段描述前王朝时期法老Iry-Hor参观孟菲斯的碑文在西奈被发现了，由于Iry-Hor比那尔迈还要早两代，这证明那尔迈并不是城市的建立者。
这座城市在古王国时期留下来的信息很少。它是自第一王朝时开始统治孟菲斯地区的法老们的都城。据曼涅托所述，在美尼斯统治的早期，王权的中心位于南方的提尼斯。
孟菲斯 (埃及) 历史
曼涅托还记载道，古代的资料表明“白城”（the white walls）是由美尼斯所建。在一些记载中它被称为“白色的堡垒”（Fortress of the White Wall），有可能是法老为了更好的控制这两个以对方为对手的王国而将权利的中心转移来的。第三王朝时期位于薩卡拉的左赛尔建筑群变成了皇室仪葬室，有着所有和皇室有关的东西：神庙，圣地，纪念地，行宫和营房。
孟菲斯的黄金时期始于第四王朝这一时期，孟菲斯仍作为戴有双冠的法老们的住所以及将两个王国联合起来的神圣象征。卜塔神庙中会进行加冕仪式和大赦等纪念日的庆祝活动，例如赛德节的庆祝仪式。关于这些仪式最早的迹象发现于左赛尔（Djoser）室中。
同时开始了神职人员在卜塔神庙中进行祭祀的传统。皇室和贵族高官们的葬礼仪式所需献出的食物和其他物品显示了这座神庙的重要性。这座神庙也于孟卡拉统治早期被记载在巴勒莫石碑的年鉴上，从记载中我们得知孟菲斯的高阶祭司们成对进行祭祀工作，而这种情况至少持续到了特提的统治时期。
孟菲斯 (埃及) 历史
这段时期孟菲斯的建筑形式和在吉萨的很像。最近的考古活动在第四王朝的王室墓地发现那段时期王国的重心放在皇室墓地的建造上。而这一见解的有力证据来自于城市的名称，它和第六王朝时期修建的佩皮一世金字塔一样。接着，孟菲斯变成了一个艺术和建筑学实践场所，充满了对前任法老们的纪念性建筑。
所有墓地都被由工匠居住的帐篷所包围，而他们的唯一工作就是建造皇室坟墓。神庙们由神圣坦密诺斯（Temenos）相连，道路和运河则联系着不同的港口，这一景象向四面八方蔓延了好几公里。孟菲斯变成了真正意义上的大都市带。城市的边界不断地向外扩张，而中心地带仍位于卜塔神庙建筑群附近。
在中王国前期，埃及的都城和政治中心移去了位于南方的底比斯，这导致孟菲斯经历了一段时期的低潮。于卜塔神庙西边手工匠区和墓地的发掘表明，虽然孟菲斯已不是政治中心，但它仍是埃及在商贸和艺术上最重要的城市。
孟菲斯 (埃及) 历史
同时发现的遗迹也展现了这段时期孟菲斯的建造重心。一个有阿蒙涅姆赫特一世名字的巨大花岗岩祭台上记载了一位法老为真实之主（master of Truth）卜塔建造了一座神殿。另外一些发现的带有法老阿蒙涅姆赫特二世名字的石块则在拉美西斯二世修筑巨大的外墙之前被用作支撑巨大石块的地基。据一块记载这段时期皇室活动的石板上的记述，法老们还进行了以采矿为目的的远征，国境外有因远征而建立的营地，雕像和纪念物则被竖立起来以祭祀神圣的神灵。在卜塔神庙的废墟中发现了一块印有名字的石头，上面记载了将建造建筑物的承诺作为对孟菲斯神灵的礼物。而且，在这里发现的很多经过新王朝时期修复的雕塑能追溯到第十二王朝时期，例如在神庙废墟当中发现的曾以拉美西斯二世的名义修复的两座巨大石像。
孟菲斯 (埃及) 历史
根据希罗多德和狄奧多羅斯的记载，阿蒙涅姆赫特三世建造了卜塔神庙的北门。和这位法老有关的遗迹是在Flinders_Petrie所进行的发掘中被发现以及得到确认的。另外一个值得注意的地方是卜塔神庙高阶祭司的马斯塔巴在这段时期建造在萨卡拉皇室金字塔的附近，这表现了孟菲斯的皇室和祭司有着密切的联系。而这一倾向在第十三王朝得到了延续，有一些法老葬于萨卡拉，这证实了孟菲斯在王国内仍保持非常重要的地位。
在喜克索斯人变得强大并入侵埃及的时期（公元前1650年），孟菲斯遭受到了围攻。在陷落之后，喜克索斯人的国王拆卸，抢劫或损毁了许多孟菲斯的雕像和纪念碑，并于后来将劫掠来得物品运往他们位于阿瓦里斯的新首都。皇室宣传的证据后来被人们发现，并认为是第十七期王朝的底比斯法老们所为，他们于半个世纪之后重新夺回了王国。
孟菲斯 (埃及) 历史
第十八王朝随着底比斯人战胜入侵者而展开了。尽管阿蒙霍特普二世和图特摩斯四世的统治时期都将一部分皇室的重心放在孟菲斯，但是主要的权力仍在南方。随着他们统治所带来的和平时期，孟菲斯因它的地理位置而再一次迎来了繁荣。加强的于其他国家的贸易网络让Peru-nefer港变成了通往王国和其他地方（例如朱拜勒和黎凡特）的窗口。
在新王国时期，孟菲斯还变成了皇室公主和贵族男孩门的教育中心。在孟菲斯出生并长大的阿蒙霍特普二世在他的父亲统治时期成了setem—下埃及的高阶祭司。在图特摩斯四世还是孟菲斯的年轻王子的时候，他感受并记录了一个著名的梦。在对遗址进行发掘的时候，它在卜塔神庙的东边发现了一些有着图特摩斯四世名字的石块和破损的柱廊。这些遗存来自于一个皇室建筑，很有可能是一个正式的宫殿。
孟菲斯 (埃及) 历史
在遗址处找到的阿斯塔尔塔神庙（希罗多德曾错误地认为这是为希腊女神阿佛洛狄忒而造的）也能追溯到第十八王朝时期，准确的来说是阿蒙霍特普三世的统治时期（公元前1388/86年至1351/1349年）。这位法老在孟菲斯最重要的杰作是一座被称为“Nebmaatra和卜塔联合在一起”（Nebmaatra united with Ptah）的神庙。这座神庙在他统治的时期被多次提到，例如在描述孟菲斯高阶管理员（High Steward of Memphins）于伊（Huy）事迹的记载中。这座神庙的具体地址至今仍没被发现，但是来自神庙的石英岩石块后来被拉美西斯二世（公元前1279至1213年）用来修筑一间小型的卜塔神庙。而这让一些古埃及学家认为这座神庙建于阿蒙霍特普三世所建造的神庙之上。
孟菲斯 (埃及) 历史
根据在孟菲斯发现的铭文记载，阿肯那顿（公元前1353/51年至公元前1336/34年，又称阿蒙霍特普四世）在城中建立了一座阿頓神庙。其中一位掌管祭祀的祭祀的墓室被发现于萨卡拉。他的继承者图坦卡蒙（公元前1332至1323年）在统治的第二年的晚些时候将宫廷从阿玛那迁至孟菲斯。在经历过被认为是異端的对太阳神阿托恩的崇拜之后，图坦卡蒙在孟菲斯对神庙进行了修复并恢复了一些以往的传统。
在他统治时期重要政府官员如哈伦海布和玛雅的墓地位于萨卡拉，而哈伦海布后来因成为法老（公元前1319至公元前1292年）而被葬于国王谷。在图坦卡蒙和阿伊的统治时期，他是图坦卡蒙军队的指挥官，而玛雅则在图坦卡蒙，阿伊和哈伦海布的统治时期是国库的监督官。阿伊在图坦卡蒙的统治时期是首席部长，并在他之后成为了法老（公元前1323年至1319年）。为了巩固他的权力，他取了阿肯那顿和娜芙蒂蒂的六个女儿中的第三位，图坦卡蒙的遗孀Ankhesenamun，但他的命运现已不得而知。哈伦海布则在他迎娶娜芙蒂蒂的姊妹Mutnodjemet时做了同样的事。
孟菲斯 (埃及) 历史
由于离新任首都培爾—拉美西斯非常接近，孟菲斯在拉美西斯二世的统治时期得到了新的政治上的重要性。这位法老用巨大象征着荣耀的符号来装饰孟菲斯的纪念性建筑。他的继承者麦伦普塔（公元前1213年至1203年）建造了一座宫殿和卜塔神庙东南方的墙壁。在第十九王朝早期，孟菲斯因王室的注意而得到了一些特权，而这个时期也留下了最为明显的遗迹。
在第21和22王朝时期，拉美西斯启动了一系列宗教建筑物的修建工程。在第三中间期，埃及的地缘政治产生了很大的变动，但孟菲斯并没有因此衰落。这个时期的法老们在建造位于孟菲斯东北方的新首都塔尼斯时重现了孟菲斯的宗教狂热。在遗址处发现的殘骸证明那里也有一座卜塔神庙。据记载，法老Siamun在卜塔神庙的南方建造了一座献给阿蒙神的神庙，神庙的遗迹于20世纪早期被弗林德斯·皮特里所发现。
孟菲斯 (埃及) 历史
据描述建立22王朝的法老舍顺克一世建筑上的成就的碑文所述，他建造了卜塔神庙的前庭和高塔，他将之称为“受阿蒙神眷顾，舍顺克万世不朽的城堡”（Castle of Millions of Years of Sheshonk, Beloved of Amun）。围绕着这个纪念性建筑群的祭祀死者的区域在建成之后还被使用了很长一段时间，这让一些学者们认为这片地区包括了法老们的皇家墓室。舍顺克一世还新建造了一座阿匹斯神庙，这座神庙被用于举行葬礼仪式，在仪式中，人们会献祭一头牛并将其制成木乃伊。
在城镇广场的西边，人们发现了一个属于孟菲斯高阶祭司的墓地，墓地的时间能追溯到第22王朝。墓地中有奥索尔孔二世的儿子，Shoshenq王子所建造的一座献给卜塔的小礼拜堂。而Shoshenq的墓地被Pierre Montet发现于萨卡拉。这座小礼拜堂现位于开罗的开罗国家博物馆花园中，它位于同样是运自孟菲斯的拉美西斯二世的三位巨像之后。
在第三中间期和古埃及后期，孟菲斯位于埃及本土王国和外来入侵者（例如库施人，亚述人和波斯人）的交替统治之下。
孟菲斯 (埃及) 历史
库施帝国的国王皮耶在入侵成功后建立了第二十五王朝，王朝的统治中心位于纳帕塔。位于博爾戈爾山的阿蒙神神庙中的胜利石碑记载了皮耶对埃及的征服。在夺取了孟菲斯之后，他修复了在利比亚人统治时期被疏于维护的神庙和宗教建筑。他的继任者在卜塔神庙的西南方建造了一些小型礼拜堂。
在新亚述帝国强大的威胁下，孟菲斯成了一系列混乱的中心。在塔哈尔卡的统治时期，孟菲斯成了抵抗前锋的基地。当库施王向南逃往努比亚之时它被攻破了。亚述王阿萨尔哈东在一些埃及王子的协助下于公元前671年夺取了孟菲斯。他的军队洗劫了城市，并屠杀了当地居民，还将他们的头堆砌成一个个头堆。阿萨尔哈东带着他的战利品回到了他的首都尼尼微并树立了胜利石碑，碑刻的上显示塔哈尔卡的儿子们被用链条束缚在一起。当国王离刚一离开，埃及人马上掀起了反抗亚述人统治的活动。
孟菲斯 (埃及) 历史
在亚述帝国，亚述巴尼拔继续了他的父亲对埃及的侵略，在一次公元前664年的侵略中，孟菲斯再一次遭到了洗劫，法老坦沃塔玛尼在追逐下逃往努比亚，亚述帝国占領埃及全境，而这表示着库施人对埃及统治的结束。之后，埃及重归埃及人的统治之下。亚述帝国在50年后被新巴比伦帝国征服，出于对巴比伦入侵的担心，法老们重建了城市并加强了它的防御工事，而这体现在在法老阿普里伊所修建的宫殿中。
公元前539年新巴比伦帝国被波斯阿契美尼德王朝征服，在波斯统治中，城市的建筑得到了保留和修复，而孟菲斯也成了征服埃及的总督的行政中心。一个波斯得防卫部队驻扎在城市中，可能位于城市的北墙，阿普里伊的豪华宫殿附近。弗林德斯·皮特里所进行的发掘显示那个区域还有一个军械库。在一个半世纪中，孟菲斯都是埃及总督的治所，并正式成了阿契美尼德人所建立的广大帝国的商业中心。
孟菲斯 (埃及) 历史
由当时在位的法老在萨卡拉的塞拉比尤姆神庙中树立的石碑是了解这段时期孟菲斯的关键。在古埃及后期，埋葬神牛的地下墓穴越建越大，这是整个国家宗教本质（hypostasis）发展的表现，特别是在孟菲斯和它附近的墓地。希罗多德认为征服者并不尊重埃及神圣的传统，而这些发现以及一座冈比西斯二世所建的宗教性建筑反驳了这种说法。
埃及的民族主义者逐渐觉醒，但时间略为短暂。阿米尔塔尼乌斯在公元前404年结束了波斯人对埃及的统治。但他在公元前399年10月在孟菲斯被尼斐利提斯一世所击败并被杀。尼斐利提斯一世随后建立了第二十九王朝。对阿米尔塔尼乌斯的处决被记录在一个阿拉米语的纸莎草文件中（Papyrus Brooklyn 13）。尼斐利提斯一世将首度迁往尼罗河三角洲东边的门德斯，孟菲斯失去了它作为政治中心的地位。但它仍保持了宗教，商业和战略中心的地位，并成了用于抵挡波斯人重夺埃及的基地。
孟菲斯 (埃及) 历史
内克塔内布一世在全国开始了一系列对于神庙的修复工作。他于孟菲斯的卜塔神庙新建了新的庙墙，建筑群内部的神庙和礼拜堂也得到了修缮。内克塔内布二世除了继续这些工程之外还新建了大型的圣殿，并用高塔，雕塑和两旁饰有狮身人面像的道路来装饰它们，这其中值得注意的是位于萨卡拉墓地的圣殿。这位法老除了防止波斯人对埃及的入侵，还在公元前343年对波斯进行了一次大型进攻，但却在帕路修斯被打败。之后，内克塔内布二世向南逃回了孟菲斯，并在那遭到了波斯国王阿尔塔薛西斯三世的围攻。最终，法老逃往上埃及，并从那里逃到了努比亚。
据一个发现于萨卡拉，并能追溯到法老Khababash（公元前338至335年）统治的第二年的神牛石棺上的记载，他给孟菲斯带来了短暂的解放。但最终大流士三世的军队重新夺取了对城市的控制权。
在古埃及后期，孟菲斯数次遭受外族的入侵，并在之后得到了解放。城市还遭到了数次围剿，而随之而来的都是埃及历史上最血腥残暴的战斗。除了在同盟希腊的帮助下取得霸权的阿契美尼德王朝之外，埃及从未落入入侵者之手，但孟菲斯也从此失去了国都的地位。公元前332年，希腊人来到了埃及并从波斯人手上夺得了埃及的控制权。从此，埃及在1952年的埃及七月革命之前再没有受到埃及人的统治。
公元前332年，亚历山大大帝在卜塔神庙加冕为王，在他死后，埃及迎来了托勒密时期。在这段时期之内，孟菲斯仍然保持了在埃及的重要地位，特别是在宗教方面。在亚历山大大帝于公元前323年在巴比伦逝世之后，托勒密一世强忍着悲痛将亚历山大大帝的遗体运到孟菲斯。并宣称亚历山大大帝表达了希望被葬在埃及的愿望，他接着将亚历山大大帝的遗体运往卜塔神庙的中心区域，在那里，卜塔神庙的祭司们对亚历山大大帝的遗体进行了防腐处理。按传统，马其顿王国的国王有安葬先任君主的权利。托勒密二世后来将亚历山大大帝的石棺运往了位于亚历山大港的皇家陵墓，但那座陵墓的位置现在已不得而知。据埃里亚努斯的记载，预言家Aristander曾对亚历山大大帝的安息之地预言到“会感到高兴，并永不被征服”（would be happy and unvanquishable forever）。
亚历山大大帝死后，埃及开始了托勒密王国时期，在这一时期，孟菲斯开始逐渐衰败了下去。托勒密一世第一次将对塞拉比斯的崇拜引入埃及，并在萨卡拉地区开始了对他的祭祀活动。从这段时期开始，人们在萨卡拉的塞拉比尤姆神庙大兴土木，建造了诗人房间（Chamber of Poets），通往神庙的大道，以及一些其他的希腊化建筑。这座神庙的名声甚至传到了埃及以外的地方，但后来被由托勒密三世建造的亚力山大港塞拉比尤姆神庙所超过。
托勒密四世和托勒密五世于公元前216和196年分别颁布了孟菲斯法令。王国主要神职人员代表在卜塔神庙高阶祭司以及法老的面前于宗教会议制定了王国未来的宗教条例，税费额度，新的基金以及给法老的贡物。这些法令被用三种语言（世俗体，圣书体和古希腊文）记录在石碑上。最著名的一块就是罗塞塔石碑，人们利用它于19世纪破译了古埃及文字。
发现的属于这个时期的其他石碑以及墓葬促进了人们对这个时期由孟菲斯高阶祭司门组成的卜塔高阶祭司王朝的宗谱的了解。他们与位于亚历山大港的皇室有着非常紧密的血统关系，高阶祭司们和托勒密王朝的公主们会进行联姻，以加强两个家族之间的联系。
当罗马人到来之后，孟菲斯和底比斯一样将它们的地位永远的让给了面朝罗马帝国的亚历山大港。对最适合埃及新任统治者的意识的二合一神灵-塞拉比斯神崇拜的增加，以及基督教在埃及的生根及发展，意味着孟菲斯古代崇拜的末路。
这座城市在拜占庭时期和科普特时期之间逐渐消失，并成了附近定居点的采石场。这些定居点包括了一座阿拉伯人在7世纪占领埃及之后新建的都城。在孟菲斯以北修建的福斯塔特和之后修建的开罗都使用了从孟菲斯神庙和墓地拆卸下来的石料。在公元13世纪，阿拉伯编年者Abd-ul-Latif参观了孟菲斯遗址，并对其描述道：
译文：这座城市非常古老而且占地巨大，尽管它经历过王朝更迭，并受到过不止一次的摧毁，将其从地面上抹去，将建造它的石头运走，将装饰它的雕像摧毁；尽管，除了人们之外，四千年的时光也将其损毁，这些废墟带给人们的仍是一场华丽的视觉盛宴，让人们不知所措，这世界上最精巧的笔尖也不足以描述它的伟大。随着人们注视着这座城市，它在人们心中的地位也越发高大，对这片废墟的每一窥都是欢乐的源泉……孟菲斯遗址的各个方向都要花半天时间成参观。
尽管我们现在看到的孟菲斯遗址和那位阿拉伯历史学家所见过的相比不值一提，但是他的记载启发了一些考古学家。19世纪对于孟菲斯遗址的第一次发掘和弗林德斯·皮特里在此所进行的一系列发掘现已能够让人们一窥孟菲斯往日的荣耀。孟菲斯及其墓地，包括石制坟墓，马斯塔巴，神庙和金字塔，都于1979年被列入联合国教科文组织的世界遗产名单内。
孟菲斯 (埃及) 遗迹
在新王国时期，特别是第十九王朝法老们统治的时期，孟菲斯的权利和面积都急剧扩张，并在政治上和建筑上能与底比斯一较高下。在塞提一世献给卜塔神的一座小礼拜堂中发现了这次对孟菲斯发展的证据。经过一个多世纪对孟菲斯的发掘，考古学家们已经能够逐渐确定这座古城的布局安排。
献给卜塔的豪特-卡-卜塔（Hout-ka-Ptah）是古孟菲斯城中最大也是最重要的神庙。它是城中最为突出的建筑物，在城市中心的区域占了很大一块面积。并在数个世纪以来的崇拜中不断得到扩张及丰富，这座神庙是古埃及最为重要的三个祭祀地点之一，另外两个是赫里奥波里斯的拉神神庙和底比斯的阿蒙神神庙。
对于这座神庙的大部分了解来自于希罗多德的记载，他于新王国时期很久之后的波斯人第一次入侵时期游览了这个地点。希罗多德认为在这座神庙是法老美尼斯所建立的，而且神庙的核心建筑只有祭祀和法老才能进入。但是他并没有对神庙的外观进行描述。上个世纪的考古发掘逐渐的清理出了神庙的遗址，发掘显示这是一座被巨大城墙包围起来的建筑群，在南面，西面和东面有着数个纪念碑似的门。
孟菲斯 (埃及) 遗迹
神庙和它的建筑遗址现在作为一座生态博物馆成列于拉美西斯二世巨像不远处，而这座巨像原本位于神庙南方的中轴线处。在这里还有一座巨大的斯芬克斯雕像，它于19世纪被人发现并能追溯到第十八王朝，很有可能雕刻于法老阿蒙霍特普二世或者图特摩斯四世的统治时期。它是目前还位于原址的这种石雕中保存的最好的例子。
这座室外博物馆还有许多其他的石雕，巨像，斯芬克斯以及建筑部件。然而，大部分被发现在残骸都被卖与了世界上主要的博物馆。其中很多现在展示于开罗的开罗国家博物馆。
神庙具体的外观至今仍不清楚，而且只有通往神庙外围的主要通道被人们所知晓。最近的考古发掘发现了用来装饰大门或者高塔的巨像，而这些巨像能追溯到法老拉美西斯二世的统治时期。拉美西斯二世同时还在神庙中建造了至少三座神龛，在此，崇拜和他们所献与的神灵联系在一起。
这座小型神庙位于比它大的卜塔神庙的西南角，它被献给神化了的拉美西斯二世，以及另外三位神明：荷鲁斯，卜塔和阿蒙。它现在的全名是拉美西斯卜塔神庙，受阿蒙神的眷顾，神，赫里奥波里斯的统治者。
孟菲斯 (埃及) 遗迹
它的遗迹被考古学家Ahmed Badawy发现，而Rudolf Anthes则于1955年对抑制进行了发掘。这次发掘行动揭示了一个有着高塔的宗教建筑，一个用于贡品仪式的庭院，一个有着圆柱的柱廊，尽头是一个圆柱大厅以及一个三重圣所，它们全部被密封在由泥砖建成的墙内。神庙表面最近能够追溯到新王国时期。
神庙面朝东方一条由其他宗教建筑铺成的道路。在此进行的考古发掘显示城市的南方的确有许多的宗教建筑并且极度崇拜孟斐斯的主神，卜塔。
这座神庙位于城市的东面，在拉美西斯巨像附近。这座小型神庙能最速到第十九王朝，看上去是献给卜塔和他的神圣配偶賽克邁特以及神化了的拉美西斯二世。它的遗址并不像周围的建筑那样被保护的很好，而且它的石灰岩地基看上去像是在城市被抛弃之后被人挖了出来。
两个面朝西方用来装饰神庙外墙的巨大石像能追溯到中王国时期。现在他们已被移往孟菲斯博物馆内部，上面的雕刻描绘了法老面朝行军的方向，带着象征上埃及的白冠。
孟菲斯 (埃及) 遗迹
在神庙建筑群的东南方，第十九王朝的法老麦伦普塔为纪念城市的主神卜塔而建造了一座新神殿。弗林德斯·皮特里在20世纪早期发现了这座神庙，并辨认出了希罗多德曾引用过的对希腊神普罗透斯的描述。
Clarence Stanley Fisher在第一次世界大战期间对这个遗址进行了发掘。发掘开始于神庙的前部，这个地方由一个大概15平方米的天井组成，南方有一扇刻有法老名字和卜塔称号的大门。目前，这座神庙只有这个部位得到了发掘，而位于北方的内庭建筑仍然还没有被探寻过。在发掘中，考古学家们发现了大型泥砖制建筑物的首个痕迹，很快这就被证实是建造在神庙旁边的仪式性宫殿。有一些石制神庙的关键建材被埃及政府捐赠给了宾夕法尼亚大学博物馆，作为在金钱上支持发掘的报答，而剩下的则在开罗博物馆。
这座神庙在新王国时期一直被人使用，但它后来逐渐遭到了抛弃并被平民挪作他用。渐渐地，这座神庙被城市活动所掩埋，对于神庙的地层学分析显示在古埃及后期，神庙已经成了废墟，并很快埋没在新造的建筑物之下。
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Abdullah al-Sayed Mahmud在20世纪70年代于卜塔神庙南庙墙处发现了这座能够追溯到拉美西斯二世统治时期的小神庙。它被献给Sycamore女士，爱神哈索尔。这座神庙在建筑上和其他的小型神庙-神殿很像，特别是卡纳克神庙。从神庙的大小来看，这并不是一个哈索尔神的主要神殿，但这的确是在孟菲斯废墟中发现的唯一一个献给哈索尔神的建筑。
一般认为这座神庙主要用于主要宗教节日的游行中。在城市里应该存在着另外一座献给哈索尔的重要神庙，而且它应该是全国最重要的哈索尔神庙之一，但至今人们仍未找到它的地点。一个类似卜塔神庙旁边所找到的洼地也许暗示着它的位置。据古代记载，考古学家们认为它可能存有围墙的遗址以及一个大型纪念碑。
一座献给密特拉神的神庙在孟菲斯的北面被人们发现，这座神庙能够追溯到埃及的罗马时期。希罗多德曾描述过的阿施塔特神庙位于当他参观城市时，城市中预留给腓尼基人的区域。据记载，女神奈特位于卜塔神庙北面，但是目前这座神庙和阿施塔特神庙都尚未被发现。
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一般认为孟菲斯还有许多献给卜塔以及其相伴的神灵的神庙。其中有一些已经得到了象形文字的证明，但目前还没有在城市的废墟中发现它们的遗迹。目前，人们在在孟菲斯附近的拉希纳村进行着调查和挖掘行动，以期能加深对这个古代宗教城市的理解。
一座献给卜塔的妻子，塞克迈特的神庙现在还没有被人们找到，但是它的存在已经得到了古埃及记载的正式。考古学家们正在寻找他的遗址。
它也许在卜塔神庙的区域里面，19世纪晚期的发掘中发现了一块代表“大门”（great door）的石块，上面印有这位女神的名字，另外一个发现是一个刻有拉美西斯二世名字的圆柱，上面还说明拉美西斯二世“受到塞克迈特的眷顾”（beloved of Sekhmet），这两个发现在某种程度上印证了这个猜想。这座神庙还被记载于哈里斯大纸莎草中，据其记载，在拉美西斯三世统治时期，卜塔和塞克迈特的儿子的雕像旁边有一座塞克迈特的雕像，它是受孟菲斯神灵之托建造的，并立于神庙的中心部位。
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孟菲斯的阿比斯神庙是对神牛阿比斯的主祭地点，人们认为阿比斯是卜塔在人世间的代表。一些古典历史学家（例如：希罗多德，狄奥多罗斯，斯特拉博）的著作中都提及了这座神庙，但是现在它的遗址还没有被找到。
据希罗多德的记载，神庙的庭院被有着巨像的列柱廊环绕，而且神庙是在普萨美提克一世统治时期建造的。
古希腊历史学家斯特拉博在罗马军队于亞克興角战胜克娄巴特拉七世之后随军参观了这个地方。据他的记载，这座神庙位于卜塔神庙附近，且两个内庭，其中一个供奉的是神牛，而另外一个则是供奉他的母亲。在神庙里，阿比斯被用于神谕，而他的一举一动都被认为是预言。他的呼吸能够治愈疾病，而在他附近的人都能受到祝福而增加性能力。在神庙中还有一扇为他而开的窗户，在某些重要的节日，他的背上会被放上珠宝和鲜花，并被人引导着在街上游行。
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1941年，考古学家艾哈迈德·瓦埃勒（Ahmed Badawy）在孟菲斯发现了第一块描述阿比斯的孟菲斯遗迹。这个地方位于卜塔神庙之内，而且是专门为了对神牛进行遗体保存而建造的停尸间。在萨卡拉发现的一块石碑记载了内克塔内布二世下令对这座建筑进行修复，而在内庭北部发现的建筑部件能够追溯到第三十王朝时期，这证明这座神庙的这个部分在那个时期得到了修复。这个停尸间很有可能是古代记载中出现的阿比斯神庙的一部分。这座神圣的遗址可能是神庙唯一留存下来的部分，而它的地点也与斯特拉博和狄奥多罗斯记载的相符，位于卜塔神庙附近。
阿比斯神的大部分雕像来自于位于萨卡拉北部的塞拉比尤姆神庙的墓室中。在那里发现的最古老的墓葬能够追溯到法老阿蒙霍特普三世的统治时期。
在第二十一王朝时期，法老西阿蒙在卜塔神庙的南方建造了阿蒙神神庙。这座神庙（或神庙群）很有可能献给由阿蒙，他的妻子姆特和他们的孩子孔斯组成的底比斯三神。他是孟菲斯三神（卜塔，塞克迈特和廸姆）在上埃及的对应神。
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发现于萨卡拉十八王朝孟菲斯贵族墓中的象形文字证实了阿頓神庙的存在。文字中还提及图坦卡蒙在阿肯那顿的统治时期的职业是“孟菲斯阿顿神庙管理员”（steward of the temple of Aten in Memphis）。
从对孟菲斯开始进行发掘的19世纪末期至20世纪早期，在城中不同地方发现的人工制品都显示有一座进行日轮崇拜的建筑。现在，这座建筑的具体位置已经无从知晓，有着阿马纳时期特点的遗址上发现的象形文字都提到了这座建筑的存在。
人们在孟菲斯遗址处发现了一座法老拉美西斯二世的雕像。
现在，这座高达10米的雕像成列于孟菲斯博物馆中，它是由一座巨大的石灰石雕刻而成的。意大利考古学家乔瓦尼·卡维利亚于1820年在卜塔神庙南大门不远处发现了这座雕像。由于它的底座和腿部都已经损毁，现在以躺在地上的形式成列于博物馆中。雕像上原本的彩绘现在有一部分被保存了下来，但是雕像最值得注意的是在人体解剖学上对复杂的人体进行的完美而又细致的描绘。这座雕像显示拉美西斯二世带着象征上埃及的白冠。
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在艾特罗·罗塞里尼的调解下，卡维利亚提出将这座雕像献给托斯卡纳大公，利奥波德二世。罗塞里尼曾计算过将这座雕像切成小块并运往意大利的费用，结果发现它高的惊人。自封为埃及和苏丹的瓦利以及赫迪夫的穆罕默德·阿里帕夏曾提出将其赠送给大英博物馆，但馆方考虑到将巨像运往伦敦太过艰巨，便拒绝了这个提议。因此，这座巨像现在仍在它当年被发掘出来的地方，人们在它上面建了一座博物馆来保护它。
这座雕像是曾经用来装饰卜塔神庙东门的一对巨像之一。另一座卡维利亚于1820年发现的巨像在1950年已被修复，其全高达11米。它一开始被放置于开罗的Bab Al-Hadid广场，后来，这座广场被重命名为拉美西斯广场（Ramses Square）。由于这个地点不适合该巨像，它于2006年被移至吉萨，而人们现在在那对其进行修复。当大埃及博物馆于2015年开幕之后，它将会被放到博物馆的入口处进行展览。开罗近郊的赫利奥波利斯有一座该巨像的复制品。