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离散傅里叶变换 应用
啁啾-Z轉換（Chirp-Z transform）是一種離散傅立葉轉換（DFT）的擴展算法，適用於當取樣頻率間隔與取樣時間間隔的乘積不等於信號的時頻分佈面積時的情況。它利用卷積來實現任意大小的DFT，從而加快計算速度，是一種基於快速傅立葉轉換（FFT）的高效算法。
此外，啁啾-Z變換也是一種用於評估非單位圓上的Z變換的算法。
由以色列裔美國計算機科學家Shmuel Winograd於1976年提出的，是一種改進型的快速傅立葉轉換（FFT）算法，旨在進一步提高計算效率和速度。此演算法使用的加法數量與庫利-圖基演算法大致相同，但其所需的乘法數量只有其演算法的約20%。
前面指出，DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x（t）均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x（t）频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。
离散傅里叶变换 应用
由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号。
离散傅里叶变换及其多维形式在偏微分方程的求解中也有应用。此时DFT被看作傅里叶级数的近似。傅里叶级数将函数在复指数einx上展开，这正是微分算子的特征方程：d/dx einx = in einx。因此，通过傅里叶级数的形式，线性常微分方程被转换为代数方程，而后者是很容易求解的。此时得到的结果是偏微分方程解的级数表示，只要通过DFT逆变换即可得到其一般表示。这种方法被称作谱方法或级数解法。
离散傅里叶变换 应用
目前长整数或多项式乘法最快速的算法是基于离散傅里叶变换的。由于整数（或多项式）乘法是逐位（或逐项）乘累加的形式，因此整数（或多项式）乘积的数字（或系数）可以用乘数数字（或乘式系数）的卷积表示。利用卷积定理，只要将数字（或系数）序列通过离散傅里叶变换变到频域，就可以将逐个乘累加的卷积变为对位的乘法，从而减少计算量，再以一次逆变换便可以得到乘法结果。需要注意整数乘法还有进位的问题。下面以多项式乘法为例说明这一应用：
假设需要计算多项式乘法c(x) = a(x)·b（x），这一乘积结果的各项系数的表达式实际上是线性卷积的形式。由于离散傅里叶变换对应于圆周卷积，因此需要将这两个乘式的系数按照次数升序排列，序列后“补零”，使它们的长度d大于两式最高项次数的和：d > deg(a(x)) + deg(b(x))。然后作圆周卷积：
其中c就是c(x)系数的向量。由于圆周卷积的DFT是乘积，有：
则
利用快速傅里叶变换，这一算法的运算复杂度为。
OFDM（正交频分复用）在宽带无线通信中有重要的应用。这种技术将带宽分为N个等间隔的子载波，可以证明这些子载波相互正交。尤其重要的是，OFDM调制可以由IDFT实现，而解调可以由DFT实现。OFDM还利用DFT的移位性质，在每个帧头部加上循环前缀（Cyclic Prefix），使得只要信道延时小于循环前缀的长度，就能消除信道延时对传输的影响。
离散傅里叶变换 特殊例子
數論轉換是一種可以計算摺積的快速演算法。計算摺積的快速演算法中最常用的一種是使用快速傅里葉變換，然而快速傅立葉變換具有一些實現上的缺點，舉例來說，資料向量必須乘上複數係數的矩陣加以處理，而且每個複數係數的實部和虛部是一個正弦及餘弦函數，因此大部分的係數都是浮點數，也就是說，必須做複數而且是浮點數的運算，因此計算量會比較大，而且浮點數運算產生的誤差會比較大。
而在數論轉換中，資料向量需要乘上的矩陣是一個整數的矩陣，因此不需要作浮點數的乘法運算，更進一步，在模數為的情況下，只有種可能的加法與種可能的乘法，這可以使用記憶體把這些有限數目的加法和乘法存起來，利用查表法來計算，使得數論轉換完全不須任何乘法與加法運算，不過需要較大的記憶體與消耗較大的存取記憶體量。
雖然使用數論轉換可以降低計算摺積的複雜度，不過由於只進行整數的運算，所以只能用於對整數的訊號計算摺積，而利用快速傅立葉變換可以對任何複數的訊號計算摺積，這是降低運算複雜度所要付出的代價，也不一定所有信號都可以找到適合做數論轉換的質數。
离散傅里叶变换 特殊例子
，此運算是根據模運算而取得的，需要是質數 ，如此可以建構出有限域，並且存在  個可以整除  的實數根。如此可以得到， 為正整數。令  為第  個單位根，則第  個單位根  可以表示成  。另外，再令 為  次方  模運算之循環個數。
其中有幾點限制以及應該注意的事項:
1.M應是一個質數
2.N應該是M-1的因數
3.是滿足  modM=1 的整數（當 N = M−1 時，  = M−1）。它也被稱為 N 的模 M 的逆元
4.是 N 階的單位根。
舉個例子來說，當  則
因為  經  的模運算為  ，因此可以判定此情況為  個次方一循環，所以 ，可以整除 。則數論矩陣可以表示成
在一些特殊的情況下，令  ，而  不是值數也是有意義的。像是 Fermat Number Transform 中，以及 Mersenne Number Transform 中 .
前面提到數論轉換是一種離散傅立葉轉換的特例，因此數論轉換具有許多離散傅立葉轉換的數學性質。
离散傅里叶变换 特殊例子
若F[k]為f[n]的數論轉換結果，即f[n]→F[k](NTT)
矩陣中的每個行或列，彼此正交，即任兩個行或列的內積為0
證明:
當，
當，
NTT 符合線性轉換，即：
並且對於常數 c 有：
若，則。
若，則，且
NTT 變換是可逆的，存在反轉換 INTT 使得：
INTT(NTT(n))=n
若具有對稱性質，即，則的數論轉換也會有對稱性質，即的特性。
若，則的數論轉換也會有的特性。
此性質在線性非時變系統當中非常重要，NTT的主要應用多與此性質有關。
若考慮兩個信號，，
1.使用整數進行計算，計算較容易，也可以節省記憶體空間。
2.使用整數不會像浮點數一樣產生誤差，可以非常精確地計算。
3.很多性質都跟離散傅立葉轉換相同。
1.只能對整數做計算，若信號為非整數，可能需要事先處理。
2.不容易找到root of unity，即不容易找到合適的對數轉換。
3.相對而言缺乏物理意義。
离散傅里叶变换 特殊情況替代方案
對於一些符合特殊情形的訊號，可以使用不同的轉換去進行運算，以減少運算量。其中包括使用discrete cosine transform (DCT), discrete sine transform (DST) 以及 discrete Hartley transform (DHT)。
給定一訊號 , 。則   可以被   取代。
,
, when  or 。
, otherwise。
可以證明，當  為偶函數，。
When ,  is even (N is odd can be proved in the similar way)
, , when  or 。, otherwise。
給定一訊號 , 。則   可以被   取代。
,
可以證明，當  為奇函數，。
When ,
給定一訊號 。則   可以被   取代。
, where
可以證明，當  為實函數，。
,
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换（英語：），是快速计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换的方法。傅里叶分析将信号从原始域（通常是时间或空间）转换到頻域的表示或者逆过来转换。FFT会通过把DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积来快速计算此类变换。因此，它能够将计算DFT的复杂度从只用DFT定义计算需要的 ，降低到 ，其中  为数据大小。
快速傅里叶变换广泛的应用于工程、科学和数学领域。这里的基本思想在1965年才得到普及，但早在1805年就已推导出来。1994年美國數學家吉爾伯特·斯特朗把FFT描述为“我们一生中最重要的数值算法”，它还被IEEE科学与工程计算期刊列入20世纪十大算法。
快速傅里叶变换 定义和速度
用FFT计算DFT会得到与直接用DFT定义计算相同的结果；最重要的区别是FFT更快。（由于捨入誤差的存在，许多FFT算法还会比直接运用定义求值精确很多，后面会讨论到这一点。）
令  為复数。DFT由下式定义
直接按这个定义求值需要  次运算： 共有  个输出，每个输出需要  项求和。直接使用DFT運算需使用  個複數乘法（  個實數乘法）與  個複數加法（ 個實數加法），因此，計算使用DFT所有  點的值需要  複數乘法與  個複數加法。FFT则是能够在  次操作计算出相同结果的任何方法。更准确的说，所有已知的FFT算法都需要  次运算（技术上  只标记上界），虽然还没有已知的证据证明更低的复杂度是不可能的。
快速傅里叶变换 定义和速度
要说明FFT节省时间的方式，就得考虑复数相乘和相加的次数。直接计算DFT的值涉及到  次复数相乘和  次复数相加（可以通过削去琐碎运算（如乘以1）来节省  次运算）。众所周知的基2库利-图基算法， 为2的幂，可以只用  次复数乘法（再次忽略乘以1的简化）和  次加法就可以得到相同结果。在实际中，现代计算机通常的实际性能通常不受算术运算的速度和对复杂主体的分析主导，但是从到的总体改进仍然能够体现出来。
快速傅里叶变换 一般的簡化理論
假設一個  型矩阵  可分解成列向量以及行向量相乘：
若  有  個相異的非平凡值（  其中  ）
有  個相異的非平凡值
則  共需要  個乘法。
Step 1：
Step 2：
簡化理論的變型：
也是一個  的矩陣。
若  有  個值不等於  ，則  的乘法量上限為  。
快速傅里叶变换 快速傅立葉變換乘法量的計算
假設 ，其中  彼此互質。
點DFT的乘法量為  ，則  點DFT的乘法量為：
假設 ， 是一個質數。
若  點的DFT需要的乘法量為
且  當中（  ）
有  個值不為  及  的倍數，
有  個值為  及  的倍數，但不為  的倍數，
則  點DFT的乘法量為：
快速傅里叶变换 库利-图基算法
库利-图基算法是最常见的FFT算法。这一方法以分治法为策略递归地将长度为的离散傅里叶变换分解为长度为的个较短序列的离散傅里叶变换，以及与个旋转因子的复数乘法。
这种方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作发表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之后开始为人所知。但后来发现，实际上这两位作者只是重新发明了高斯在1805年就已经提出的算法（此算法在历史上数次以各种形式被再次提出）。
快速傅里叶变换 库利-图基算法
库利-图基算法最有名的应用，是将序列长为  的DFT分割为两个长为  的子序列的DFT，因此这一应用只适用于序列长度为2的幂的DFT计算，即基2-FFT。实际上，如同高斯和Cooley与Tukey都指出的那样，Cooley-Tukey算法也可以用于序列长度  为任意因数分解形式的DFT，即混合基FFT，而且还可以应用于其他诸如分裂基FFT等变种。尽管Cooley-Tukey算法的基本思路是采用递归的方法进行计算，大多数传统的算法实现都将显式的递归算法改写为非递归的形式。另外，因为Cooley-Tukey算法是将DFT分解为较小长度的多个DFT，因此它可以同任一种其他的DFT算法联合使用。
下面，我们用  次单位根  来表示  。
的性质：
为了简单起见，我们下面设待变换序列长度  。根据上面单位根的对称性，求级数  时，可以将求和区间分为两部分：
和  是两个分别关于序列  奇数号和偶数号序列N/2点变换。由此式只需计算出  的前  个点，对于后N/2个点可以通过复指数函数的对称性快速求解。即，注意  和  都是周期为  的函数，由单位根的对称性，有以下变换公式：
快速傅里叶变换 库利-图基算法
这样，一个  点变换就分解成了两个  点变换。照这样可继续分解下去。这就是库利-图基快速傅里叶变换算法的基本原理。根据主定理不难分析出此时算法的时间复杂度为.
首先将个输入点列按二进制进行编号，然后对各个编号按位倒置并按此重新排序。例如，对于一个8点变换，
001倒置以后变成 100
000 → 000
001 → 100
010 → 010
011 → 110
100 → 001
101 → 101
110 → 011
111 → 111
倒置后的编号为{0,4,2,6,1,5,3,7}。
然后将这n个点列作为输入传送到蝶形结网络中，注意将因子  逐层加入到蝶形网络中。
由于按蝶形结网络计算  点变换要进行  层计算，每层计算n个点的变换，故算法的时间复杂度为 。
快速傅里叶变换 其他算法
在Cooley-Tukey算法之外还有其他DFT的快速演算法。对于长度  且  与  互质的序列，可以采用基于中国剩余定理的互质因子算法将N长序列的DFT分解为两个子序列的DFT。与Cooley-Tukey算法不同的是，互质因子算法不需要旋转因子。
Rader-Brenner算法是类似于Cooley-Tukey算法，但是采用的旋转因子都是纯虚数，以增加加法运算和降低了数值稳定性为代价减少了乘法运算。这方法之后被split-radix variant of Cooley-Tukey所取代，与Rader-Brenner演算法相比，有一样多的乘法量，却有较少的加法量，且不牺牲数值的准确性。
Bruun以及QFT演算法是不断的把DFT分成许多较小的DFT运算。（Rader-Brenner以及QFT演算法是为了2的指数所设计的演算法，但依然可以适用在可分解的整数上。Bruun演算法则可以运用在可被分成偶数个运算的数字）。尤其是Bruun演算法，把FFT看成是  ，并把它分解成 与 的形式。
快速傅里叶变换 其他算法
另一个从多项式观点的快速傅立叶变换法是Winograd算法。此演算法把  分解成cyclotomic多项式，而这些多项式的系数通常为1，0，-1。这样只需要很少的乘法量（如果有需要的话），所以winograd是可以得到最少乘法量的快速傅立叶演算法，对于较小的数字，可以找出有效率的算方式。更精确地说，winograd演算法让DFT可以用  点的DFT来简化，但减少乘法量的同时，也增加了非常多的加法量。Winograd也可以利用剩余值定理来简化DFT。
Rader演算法提出了利用点数为N（N为质数）的DFT进行长度为N-1的回旋摺积来表示原本的DFT，如此就可利用摺积用一对基本的FFT来计算DFT。另一个prime-size的FFT演算法为chirp-Z演算法。此法也是将DFT用摺积来表示，此法与Rader演算法相比，能运用在更一般的转换上，其转换的基础为Z转换（Rabiner et al., 1969）。
快速傅里叶变换 实数或对称资料专用的演算法
在许多的运用当中，要进行DFT的资料是纯实数，如此一来经过DFT的结果会满足对称性：
=
而有一些演算法是专门为这种情形设计的（e.g. Sorensen, 1987）。另一些则是利用旧有的演算法（e.g. Cooley-Tukey），删去一些不必要的演算步骤，如此省下了记忆体的使用，也省下了时间。另一方面，也可以把一个偶数长度且纯实数的DFT，用长度为原本一半的复数型态DFT来表示（实数项为原本纯实数资料的偶数项，虚数项则为奇数项）。
在Matlab上用一次N點FFT計算兩個N點實數信號x,y的FFT:
一度人们认为，用离散哈特利转换（Discrete Hartley Transform）来处理纯实数的DFT会更有效率，但接着人们发现，对于同样点数的纯实数DFT，经过设计的FFT，可以比DHT省下更多的运算。Bruun演算法是第一个试着从减少实数输入的DFT运算量的演算法，但此法并没有成为人们普遍使用的方法。
快速傅里叶变换 实数或对称资料专用的演算法
对于实数输入，且输入为偶对称或奇对称的情形，可以更进一步的省下时间以及记忆体，此时DFT可以用离散余弦转换或离散正弦转换来代替（Discrete cosine/sine transforms）。由于DCT/DST也可以设计出FFT的演算法，故在此种情形下，此方法取代了对DFT设计的FFT演算法。
DFT可以应用在频谱分析以及做摺积的运算，而在此处，不同应用可以用不同的演算法来取代，列表如下：
用来做频谱分析的情况下，DFT可用下列的演算法代替：
用来做摺积的情况下，DFT可用下列的演算法代替：
快速傅里叶变换 單一路徑延遲迴授系統
單一路徑延遲迴授系統(英語：Single-path delay feedback，縮寫為SDF)是一種用於實現快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform)中運算的管線式架構(pipeline architecture)。此架構的特點是資料從輸入一直到最終的輸出只會通過單一的路徑，並使用蝶形結(butterfly diagram)做為資料的運算單元。經過蝶形結後的輸出資料會先暫存在系統的移位暫存器(shift registers)或是隨機存取記憶體(RAM)當中，而由於只有單一路徑的關係，對於每一級的蝶形結架構我們只需要一個複數乘法器來進行和FFT當中的旋轉因子(twiddle factor)的乘積運算。
快速傅里叶变换 單一路徑延遲迴授系統
SDF的優點在於其架構簡單並且利用硬體實現的成本較低，原因在於其單一路徑的設計，使得資料會依序進行處理並輸出，並不會在系統中加入多個複雜的運算單元以進行平行化的運算，事實上SDF的架構在管線式快速傅立葉轉換處理器(pipelined FFT processors)中具有最高的記憶體使用效率，而由於記憶體單元數量會隨快速傅立葉轉換的級數而指數增長，記憶體使用效率進而成為影響電路面積和功耗的主要因素之一。因此在實作大型快速傅立葉轉換處理器的情況下，SDF架構一直是被優先考量採用的選擇。然而其缺點也同樣來自於單一路徑的設計，導致其吞吐量(throughput)和多路徑延遲交換線路系統(英語：Multiple-path delay commutator，縮寫為MDC)相比較低。
接著我們將以8個點的基-2單一路徑延遲迴授系統(8-point R2SDF)為例進行其演算法細節的介紹，並且展示在硬體實作中每一個cycle的運算和中間結果的存儲位置。
快速傅里叶变换 單一路徑延遲迴授系統
首先考慮系統輸入為x0, x1, ..., x7，並在前8個cycle依序輸入。
Cycle 7: x3和x7輸入第一級BF-2後輸出x3'和x7'，x7'存入第一級BF-2上方的暫存器中，x1'和x3'輸入第二級BF-2後輸出x1''和x3''，x3''存入第二級BF-2上方的暫存器中，x0''和x1''輸入第三級BF-2後輸出x0'''和x1'''，x0'''直接輸出，x1'''存入第三級BF-2上方的暫存器中。(此為第一筆輸出，此後每一個cycle皆會輸出一筆資料。)
此外，我們可以在蝶形結中的加法器和乘法器加上額外的暫存器(register)來降低系統的關鍵路徑(critical path)，來避免某些時刻不同級之間的繁重運算必須擠在同一個cycle中運算完成，進而嚴重影響整體電路在timing上的表現。但如此的管線式設計(pipeline design)也會增加整體電路的延遲(latency)和暫存器使用量。
快速傅里叶变换 複雜度以及運算量的極限
長久以來，人們對於求出快速傅立葉變換的複雜度下限以及需要多少的運算量感到很有興趣，而實際上也還有許多問題需要解決。即使是用較簡單的情形，即  點的DFT，也還沒能夠嚴謹的證明出FFT至少需要  （不比  小）的運算量，目前也沒有發現複雜度更低的演算法。通常數學運算量的多寡會是運算效率好壞最主要的因素，但在現實中，有許多因素也會有很大的影響，如快取記憶體以及CPU均有很大的影響。
在1978年，Winograd率先導出一個較嚴謹的FFT所需乘法量的下限：  。當  時，DFT只需要  次無理實數的乘法即可以計算出來。更詳盡，且也能趨近此下限的演算法也一一被提出（Heideman & Burrus, 1986; Duhamel, 1990）。很可惜的是，這些演算法，都需要很大量的加法計算，目前的硬體無法克服這個問題。
快速傅里叶变换 複雜度以及運算量的極限
對於所需加法量的數目，雖然我們可以在某些受限制的假設下，推得其下限，但目前並沒有一個精確的下限被推導出來。1973年，Morgenstern在乘法常數趨近巨大的情形下（對大部分的FFT演算法為真，但不是全部）推導出加法量的下限：  。Pan（1986）在假設FFT演算法的不同步的情形有其極限下證明出加法量的下限  ，但一般來說，此假設相當的不明確。長度為  的情形下，在某些假設下，Papadimitriou（1979）提出使用Cooley-Tukey演算法所需的複數加法量  是最少的。到目前為止，在長度為  情況，還沒有任何FFT的演算法可以讓複數的加法量 比 還少。
快速傅里叶变换 複雜度以及運算量的極限
還有一個問題是如何把乘法量與加法量的總和最小化，有時候稱作"演算複雜度"（在這裡考慮的是實際的運算量，而不是漸近複雜度）。同樣的，沒有一個嚴謹下限被證明出來。從1968年開始，點DFT而言，split-radix FFT演算法需要最少的運算量，在  的情形下，其需要  個乘法運算以及加法運算。最近有人導出更低的運算量：  。（Johnson and Frigo, 2007; Lundy and Van Buskirk, 2007）
大多數嘗試要降低或者證明FFT複雜度下限的人都把焦點放在複數資料輸入的情況，因其為最簡單的情形。但是，複數資料輸入的FFT演算法，與實數資料輸入的FFT演算法，離散餘弦轉換（DCT），離散哈特列轉換（DHT），以及其他的演算法，均有很大的關連性。故任何一個演算法，在複雜度上有任何的改善的話，其他的演算法複雜度也會馬上獲得改善（Duhamel & Vetterli, 1990）。
快速傅里叶变换 快速演算法查表
对于   点的DFT:
= 1~60
< 1000
> 1000
其他  的算法:
(1)若  可被兩個以上互質的數相乘得到
設  ，且  與  互質(無須  與  為質數):
則當輸入信號長度為N所需之的乘法器 ，
其中  為 点DFT乘法量，  為  点DFT乘法量。
例如:  可以拆成  ，其中5與13互質，
藉由查表可得知5点 DFT乘法量為10，13点DFT乘法量為52，
所以65点DFT乘法量為  。
擴展:
設 ，且  互質，
点DFT乘法量為  ，
則  点DFT可分解為  個-point DFT+ 個 -point DFT++ 個-point DFT ，
總乘法量為
(2)若N不可被兩個互質的數相乘得到
設  ，且  與  不互質:
且  當中( ， )，
有  個值不為  及  的倍數，
有  個值為  或  的倍數，但不為  的倍數。
則  点DFT所需之的乘法量 ，
其中  為  点DFT乘法量，  為  点DFT乘法量。
例如:16点DFT，
乘法量
或
乘法量
快速傅里叶变换 FFT的應用
快速傅立葉變換可將卷積化乘法並以對數級數降低運算量，已成數位訊號與科學計算核心工具。
其應用涵蓋：
MP3、AAC 與 JPEG 均把訊號分塊後先作 FFT／MDCT，以把時域樣本轉到頻域；高能量係數集中於低頻，小幅子載波便能重現重要訊息。接著結合人耳／視覺掩蔽模型及 Zig-zag 掃描，將低感知值係數量化為零，大幅降低位元率。最後用霍夫曼或算術編碼存儲係數與量化步階，達到有損壓縮與可調畫質／音質的目的。若不經 FFT，逐點卷積將耗費 O(N²) 運算，無法在即時裝置上完成。
現代蜂巢式網路與 Wi-Fi 系統皆採正交分頻多工 (OFDM)。基站先將並行調變符號經 IFFT 合成等間隔子載波；終端則以 FFT 還原頻域資料。此架構可在多徑通道中保持子載波互不干擾，同時透過可變子載波間距支撐 5G NR 的 eMBB 與 mMTC 場景。運用循環字首可把時域摺積化為頻域乘法，等效頻率選擇通道簡化為每載波一次複數乘法，計算量對比傳統單載波大幅減少。
快速傅里叶变换 FFT的應用
FFT 讓示波器、功率分析儀與機房電力品質監控能在毫秒級顯示功率頻譜。將長度 N 的窗函數樣本取 FFT 後，平方其複數幅度並適當標準化，即得單／雙邊功率譜密度 (PSD)。工程師可由此快速辨識諧波、雜訊底或機械轉速邊帶；科學領域亦用來分析地震波與星體光譜。無須昂貴的掃頻式分析器，即可精確估測頻率分量與相位。
空間濾波、去模糊及模板匹配常利用「乘頻域、回時域」策略：對影像與濾波器 PSF 取 FFT，相乘後作 IFFT，即得卷積結果，計算量  降為  。在盲去模糊或維納解卷積中，亦可用頻域除法抑制模糊並保留高頻細節。此方法支援任意遮罩大小，遠優於滑動視窗直接卷積，適用醫學影像與天文攝影等高解析度場景。
雷達為兼顧高解析與大探測距離，常發射長碼調變脈衝並於接收端做匹配濾波。將回波與已知碼序列分別取 FFT，相乘後 IFFT，即可在頻域完成相關；此「脈衝壓縮」技術能在固定峰值功率下獲得窄等效脈衝寬，提升距離解析度與信雜比，並大幅降低即時硬體乘加數。
快速傅里叶变换 FFT的應用
在多項式乘法或卷積為瓶頸的應用（例如格基同態加密、FFT-based 大數計算）中，先將係數以 NTT/FFT 轉到頻域，再做逐點乘法，最後逆變換還原，即可把  乘法降至  。加密函式庫 SEAL、HElib 均內建此優化，使百萬階多項式運算在一般 CPU 上於毫秒內完成，直接左右現代隱私計算性能。
由此可見，FFT已由數學演算法演變為支撐資訊社會不可或缺的基礎技術。
蘆葦筆
蘆葦筆是用蘆葦作成的書寫工具，是西方書法的一種古老工具，歷史非常悠遠。遠至美索不達米亞時代的楔形文字，就是用蘆葦筆在黏土上寫成的。後來蘇美人將蘆葦筆改良，將書寫的那一端以三個大斜切面削尖，簡易的蘆葦筆大致就成形了。它是後世鵝毛筆和鋼筆的前身。埃及出土的文物中，也有蘆葦筆和裝筆的盒子，表示蘆葦筆不僅用來寫在黏土上，也寫在埃及的莎草紙上。
中世紀有羊皮紙出現之後，蘆葦筆才漸漸地被淘汰。
泥金裝飾手抄本
泥金裝飾手抄本（英語：）是手抄本的一種，其内容通常是关于宗教的，内文由精美的装饰来填充，例如经过装饰性处理的首字母和边框。泥金装饰图形则经常取材自中世纪纹章或宗教徽记。
泥金裝飾手抄本 发展历史
拜占庭帝国发明了羊皮纸，镶嵌画、肖像画在拜占庭建筑中得到了广泛运用。现存最早的泥金裝飾手抄本之一是497年左右抄于君士坦丁堡的《盎博罗削伊利亚特》。
5世纪末，不列颠群岛受罗马影响日益基督教化。6世纪—7世纪，在爱尔兰和英格兰发展了装饰性的插图。它们的绘画具有凯尔特人和盎格鲁-撒克逊人的民族特色，有着风格诡异的构图。
7世纪，爱尔兰修道士把林迪斯法恩变成整个英伦三岛的宗教和文化中心。
凯兰书卷是800年左右由苏格兰西部愛奧那島上的僧侣绘制。这部书由四部福音书组成，每篇短文的开头都有一幅插图，总共有两千幅。
泥金裝飾手抄本 发展历史
查理曼请来的英国学者把这种艺术带到了欧洲大陆，并发展出了更文雅的欧陆风格。之前，抄写员可以自由选取字体，包括onciale, semi-onciale, capital, rustic。查理曼时期为保证抄本内容的准确性，统一为“卡洛林小写字体”。789年，国王查理曼发布命令，努力统一整个欧洲书籍的版面标准、字体标准、装饰标准。这一时期著名的抄本有：戈德斯卡尔克福音书（781年－783年）、the Lorsch Gospels（778年－820年）、the Ada Gospels、the Soissons Gospels和the Coronation Gospels等。现存的卡洛林王朝时期的手稿有9000册，可见数量之大。
卡洛林小写字体被哥特体所取代。
《圣丹尼斯传记》中共有27幅插图，其中描绘了当时流行的纤细的哥特式建筑，在表现教会生活之余，也描绘了世俗生活的画面。
哥特式插图中最著名的是尼德兰的宫廷画家林堡兄弟（Paul，Herman，Jean）的《时令之书》（Book of Hours），一本按照日历来安排的祈祷书。
为富裕阶层精心装帧的祈祷书出现：通篇采用哥特字体；叶漩涡饰框架；章节起首字母大写，并配有小巧装饰物；大量使用精美彩画等等。
图画的镶框得到了大量的应用，一种是天线状的植物图案，从首字母延伸出来，最终包围住整个书面文本；另一种是葡萄树图案的类型。
人文主义风格的镶框于15世纪出现于意大利，尤其强调满是花朵、飞禽以及一些来自远古的小人物和裸体小爱神的叶饰。
泥金裝飾手抄本 技艺
泥金技术是一项复杂和昂贵的工艺过程，因此通常用在有特殊用途的书籍上，例如：祭坛上摆放的圣经。富人通常都拥有贵重的泥金祷告书，这样在礼拜天的很多时候都可以进行祈祷。
在制作泥金手写本的过程中，通常首先抄写内文。按照一定的尺寸裁好羊皮纸后，再经过总体的页面规划设计（首字母、边框等），将纸页用尖木棍固定，抄写者就用鹅毛笔或者苇杆笔沾着墨水开始抄写了。
内文抄写完成后，插画师开始工作。对这些复杂的设计预先要进行策划，或许是使用衬有耐热耐腐蚀的金属板的蜡板草图。然后再影描到皮纸上（可能使用针孔或者其他的手段进行辅助，就像在林迪斯法恩福音書做的那样。）
13世纪，法国常用一种白垩质的制剂，使金箔贴在图画上能显得微微隆起。
泥金裝飾手抄本 艺术特点
泥金裝飾手抄本中通常都有下列特色。
手抄本的书体风格和地方风格、口味紧密相关。黑暗时代早期刚劲的罗马体逐步让位给诸如安色尔体和半安色尔体这样的草书体，尤其是在不列颠群岛发展出了与众不同的书体海岛体（英語：）。13世纪，结实、纹理丰富的哥德体也首次出现，在中世纪晚期特别流行。
羊皮紙
羊皮紙是一種製作書本或提供書寫的材料，由羊皮或小牛皮为原料制成。公元前170年左右，安納托利亞古國帕加馬（Pergamon）的國王歐邁尼斯二世率先使用羊皮紙。羊皮經石灰處理，剪去羊毛，再用浮石軟化，便成了這種新的書寫材料。羊皮紙的英文名稱“parchment”就是由這個城市的名字而来的。把這些羊皮訂成小冊子，稱為手抄本，再合訂成冊，使成為留傳後世的羊皮典籍。此後，手稿一直使用羊皮紙。
羊皮紙之所以會逐漸取代莎草紙的原因在於，它兩面都能書寫（莎草紙較粗糙的那一面通常不會拿來書寫文字，且有助於防止墨水滲透紙張），而且能夠讓鵝毛筆的書寫呈現飽滿的色彩，拿來摺成書本也沒有問題。唯一問題是它相當昂貴，製作也比較耗時耗工。
最好的羊皮紙稱做犢皮紙（vellum），往往被拿來抄寫最重要的書籍。
羊皮紙的英文是Parchment，而英文Parchment paper則是烘焙紙、亦可翻譯成防油紙、烤盤紙。
碳-14
碳14（14C）或放射性碳是碳元素的一種具放射性的同位素，於1940年2月27日由加州大学伯克利分校放射性实验室（现劳伦斯伯克利国家实验室）的馬丁·卡門和薩姆·鲁本首先發現。碳-14原子由宇宙射線撞擊空氣中的氮原子所產生，如太陽質子事件。碳-14的原子核由6个质子和8个中子构成，其半衰期約為5,730±40年，衰變方式為β衰變，衰變过程中，碳-14原子轉變為氮-14原子。在地球上有99%的碳以碳-12的形式存在，其次约1%的碳以碳-13的形式存在，而只有萬億分之一（0.0000000001%）的碳-14存在于大气中。
1940年代，威拉得·利比在美国芝加哥大学利用碳-14的特性发明了放射性碳定年法，并于1960年获得诺贝尔化学奖 。由于有机材料中含有碳-14，因此根据它可以确定考古学、地质学和水文地质学样本的大致年代，利用放射性碳定年法最大测算不超过6万年，而且没有参照的情况下测算结果誤差较大。
碳-14 放射性碳定年法
由於碳-14之半衰期達5,730年，且碳是有機物的元素之一，一般可以根據死亡生物體的體內殘餘碳-14成份來推斷其年齡。生物藉由呼吸攝入碳-14，在生物體內含量大致穩定不變，而死去後停止呼吸，此時體內留存的碳-14因衰變開始減少。由於碳-14在自然界的各個碳的同位素中的比例很穩定，因此可以透過測量一件古物的碳-14含量，來估計它的大概年齡。這種方法被稱為放射性碳定年法。
这个方法估计的大气碳-14含量可以通过植物年轮（最多可推算到大约10000年前）或者洞穴沉積物（例如钟乳石，最多可推算到大约45000年前）来推算，根据推算结果对比年轮和洞穴沉積物就可以建立起碳-14的年代变化模型，从而获得其它样本的年龄。
碳-14 放射性碳定年法
碳-14定年法最大测算时间不能超过6万年，而且所測得的年代有頗大的誤差。而且其假定大氣中的碳-14濃度不會隨時間而改變，也與事實有落差。此外，碳-14測定亦有可能受到諸如火山爆發等自然因素影響，因为在火山喷发时将地下大量气体和物质带到大气中，从而影响碳-14在某区域大气中的含量。所以，若沒有其他年代測定方法（如：利用樹木的年輪）來檢訂，單單依賴碳-14的測年數據並不完全可靠。随着现代工业的高速发展和大量化石燃料的应用，古代深藏地下的碳被排放到大气中并进入生物循环，但是這些化石燃料的碳-14含量非常稀少，因此不會對放射性碳定年法的结果產生干擾。
碳-14 存在
大多数人造材料（塑料）由化石燃料，诸如石油或者煤炭制成，其中包含着远古时期的碳-14。然而，石油蕴藏物中通常存有微量的碳-14，但所含的碳-14的量不稳定，误差范围可以从当时有机物中的1％到40000年之间碳-14曾经存在过的最高水平。这表明碳-14的浓度有可能会在自然界当中受到污染，例如细菌、地下放射性物质（例如铀元素的衰变辐射） 或其它的碳-14的二次制造源。现存的碳-14在其碳质原料的同位素特征中有机会受到生物源污染或地质岩层附近环境的放射性污染。
在人体中，碳元素约占整个身体质量的18%。生物体的每克碳内含有大约500亿个碳-14原子，其中每分钟大约有10个碳-14原子衰变。
碳-13
碳13是碳的穩定同位素之一，在地球自然界的碳中佔約1.109%。
碳-13 测试
在常规含碳物质的质谱中，由于会存在约1.1%的13C，因此除了正常的分子离子峰（M）外，还会表现出M+1峰。
在氢谱核磁（1H NMR）中，13C（自旋量子数为1⁄2）的存在会对1H偶合，而产生卫星峰。
气体吸收
气体吸收利用各种气体在某种溶液中的溶解度不同的性质，使各种气体的混合物分离的单元操作，让容易溶解的组分溶于溶液中，和其他的组分分离。气体吸收有两种方式：
隕石
隕石（英語：）是起源於外太空某一物体坠落在地面的固体碎片，如彗星、小行星或流星体。它們在穿过大气层到达固體行星或卫星表面后殘餘的部分。当原始物体进入大气层时，各种因素，如摩擦、压力和与大气气体的化学相互作用使其升温并辐射能量。然后它变成流星（meteor，英文裡也被称为shooting star 或 falling star），形成火球，射星或墜星。天文学家称其中與地球碰最明亮的流星的例子为“火流星”。而像火球這樣的流星無論如何最終都會影響地球的表面。
陨石对地球的表面及生物都有影响，大小範圍從小型到極大不等。而火星上也有發現隕石。
被觀察到穿越大氣層或撞擊地球的隕石稱為墜落隕石，其它的隕石都稱為發現隕石。截至2010年2月，只有大約1,086顆的墜落隕石的標本被收藏 ，但卻有38,660顆被確認的發現隕石。
隕石通常分為三大類：石隕石主要是岩石，其組成大多是矽酸鹽礦物；鐵隕石，很大部分的成分是鐵與鎳；石鐵隕石的成分既有大量的岩石也有金屬。現代的隕石分類是根據其結構、化學同位素和礦物學來分類，小於2毫米的隕石被分類為微隕石。
隕石 命名
隕石迄今都以找到的地方來命名，通常使用鄰近的城市或地理特徵的名稱。如果在一個地區發現了許多的隕石，則在名稱之後會跟隨著數字或字母（例如，ALH 84001或迪米特(b)）。有些陨石會有非正式的暱稱：阿拉巴馬州夕拉科加隕石有時被稱為霍奇斯隕石，因為它擊中了安妮·霍奇斯這名女子；迪亞布洛峽谷隕石形成的巴林傑隕石坑有一打以上的別名。但是，經由隕石學會公布官方命名的唯一名稱，是科學家、目錄以及大多數的收藏家最常使用的名稱。
隕石 墜落現象
大多數流星體在進入大氣層時都會瓦解，估計每年仍有500顆左右的小至彈珠大至籃球的隕石落在地面上；但是，通常每年只有5至10顆流星會被發現墜落，並被科學家得知和尋獲。少數的隕石夠大，可以創造出巨大的撞擊坑；相對的，其它的隕石則因為不夠大，墜地時都已經達到終端速度，最多只能創造出一個小坑洞。
隕石 墜落現象
大隕石擊中地面時的速度可能仍接近它們的第二宇宙速度，在超高速的撞擊下會留下一個撞擊坑。坑洞的類型取決於隕石的大小、組成、破碎的程度、和進入的撞擊角度。這種碰撞的力量有可能造成廣泛的破壞。在地球上最常見到的超高速撞擊，是由最容易穿越大氣層的鐵隕石造成的。鐵隕石造成的撞擊坑例子如，巴林傑隕石坑、奧德薩隕石坑、瓦巴爾隕石坑和狼溪隕石坑，在這些隕石坑都發現相關聯的鐵隕石。相較之下，夠大的石質流星體或像彗星這樣的冰雪球或小行星，即使重量達到數百萬公噸，在進入和通過大氣層時，依然會被破壞而不會留下撞擊坑。雖然這種瓦解的事件很罕見， 它們會造成可以引起重視的振盪，著名的通古斯事件可能就是這種事件。非常大的石質流星體，直径數百米或更大，質量達到千萬公噸或更重，可以墜落到地球表面，並撞擊出大撞擊坑，但是這是非常罕見的。這種撞擊通常都伴隨著巨大的能量，因此撞擊體會完全被摧毀，而沒有隕石能殘留下來（第一個被發現與石隕石有關聯的大隕石坑，是2006年五月提出報告的南非摩洛袞隕石坑）。
隕石 墜落現象
幾種由于太小而無法造成超高速撞擊坑的墜落隕石需要由目擊者提出證據。流星體穿過大氣層時的火球可以非常明亮，甚至足以媲美太陽的強度，然而大多數都比較黯淡，甚至在白天而不會被注意到。有許多的顏色曾被報告過，包括黃色、綠色和紅色。隨著物件的碎裂，會有閃光和爆發。在隕石墜落時經常會聽到主要碎裂事件引起的激波產生爆炸、碎裂或隆隆的聲爆。在廣大的範圍內都可以聽到這種聲音，半徑可以達到數百公里或更大；有時可以聽到口哨聲或嘶嘶聲，但還缺乏理解。在火球經過之後，經常會看見煙塵的尾巴在大氣層內殘留好幾分鐘。
流星體在進入大氣層的過程中會被加熱，它的表面會融化和經歷燒蝕的體驗。在這個過程中，它們可以被雕塑成各種不同的形狀，在表面出現和留下被稱為氣印的淺層指紋狀凹陷。如果流星體保持固定的方位，沒有翻滾的前進一段時間，它可能會形成一個錐形的鼻錐或是熱遮罩的形狀。當它減速，最終會使融化的表面層凝固成薄薄的熔殼。在大多數的隕石，這一層是黑色的（在一些無粒隕石，熔殼可能是非常明亮的色彩）。在石隕石，熱影響區頂多只有幾毫米深；在鐵隕石，是較好的熱導體在表面下1（0.39英寸）的金屬結構可能會受到高溫的影響，但報告不盡相同。一些隕石據報說在落地後有被燒得滾燙的觸感，而其他的則是冷到足以讓水凍結成霜。來自許多墜落隕石，像是Bjurbole、塔吉什湖隕石、和Buzzard Coulee，被發現落在冰冷的湖或海內，或許它們在墜落時並不是熱的。
流星體在大氣層中碎裂，有可能形成隕石雨，落下的隕石從幾顆到幾千顆都有可能。這些隕石雨墜落的區域被稱為散布區，通常是橢圓的形狀，長軸的方向與流星飛行的方向平行。在大多數況下，在隕石雨中最大的隕石會墜落在散布區最遠的距離。
隕石 隕石的類型
絕大部分的隕石都是石隕石，可以分為球粒隕石和無粒隕石兩大類，只有6%的隕石是鐵隕石或混雜著岩石和金屬的石鐵隕石。現代的隕石分類頗為複雜，可以回顧Krot等人的論文（2007年），總結了現代隕石的分類法。
墜落在地球上的隕石有86%是球粒隕石，它們因為含有圓形的小顆粒而得名。這些顆粒，或隕石球粒，的主要成分是在太空中自由漂浮時被熔化過的矽酸鹽礦物。有些類型的球粒隕石也包含少量的有機物質，包括胺基酸和太陽前顆粒。球粒隕石通常有45.5億歲的年齡，被認為是來自小行星帶中未能結合成大天體的物質。像彗星一樣，球粒的小行星是太陽系中最早和最原始的質點。球粒隕石常被稱為行星構造的基材。
隕石 隕石的類型
掉落在地球上的隕石有8%是無粒隕石（意味著它們不包含球粒），其中一些類似於地球上的鎂鐵質火成岩。大多數的無球粒隕石也是古老的岩石，並且被認為是已經被分化的小行星地殼物質。無粒隕石的一個大家族（HED隕石）的母體可能源自灶神星族，然而這種說法尚有爭議；其他的則衍生自不同的小行星。有兩個無粒隕石的小族群是很特別的，它們太年輕而不像是來自小行星帶。其中一族來自月球，它們與阿波羅計畫和月球計畫帶回的月球岩石相似；另外一族幾乎可以肯定是來自火星，並且是人類發現來自其他行星的唯一物質。
大約5%的墜落隕石是鐵鎳合金共生的鐵隕石，像是錐紋石和白沸石。多數鐵隕石被認為來自多個曾經被熔解的小行星核心。如同在地球，高密度的金屬從矽酸鹽物質中分離出來，並沉澱至小行星的中心，形成核心。這顆小行星凝固之後，它與其它的小行星相撞而碎裂。由於在像是絕大多數的隕石都能被尋獲的南極地區，蒐集到的鐵隕石比例偏低，有可能鐵隕石實際墜落的百分比會低於5%。目前，這被解釋為再發現性的偏差：外行人都會注意到的固體物質，鐵隕石比其它類型的隕石要多；在南極發現的鐵隕石豐度只是總數的0.4% 。
石鐵隕石構成剩餘的1%，它們是鐵鎳金屬和矽酸鹽礦物的混合物。其中一種是橄欖隕鐵，被認為是撞擊有鐵核心天體的鐵核邊界所產生的隕石；另一種主要的石鐵隕石是中隕鐵。
雷公墨（英文的字源來自希臘的tektos，熔）本身不是隕石，而是自然界很稀罕的玻璃物體，大小只有數公分，是大隕石撞擊地球表面而產生的－－大多數科學家認為。少數研究人員認為雷公石源自於月球火山噴發的熔岩，但是這種理論在過去的數十年已經失去大多數支持者。
隕石 隕石化學
在2015年3月，NASA的科學家報告，用隕石內發現的化學物質，像是嘧啶，在實驗室的外太空環境下，首度發現複雜的DNA和RNA等與生命相關的有機化合物，包括尿嘧啶、胞嘧啶和胸腺嘧啶。嘧啶，像多環芳香烴 （PAHs，polycyclic aromatic hydrocarbons），是在宇宙中發現最富含碳的化合物。依據科學家所說，可能在紅巨星和星際塵埃就已經形成。
隕石 隕石的再發現
大多數墜落隕石都是因為肉眼觀察到火流星，或是在地面上確實發現隕石撞擊坑，甚至是兩者都有。因此，儘管隕石撞擊在地球上各處的機率實際上應該都是相等的，但是經過驗證的墜落隕石傾向於集中在人口密度較高的地區，像是歐洲、日本和印度北部。
少數的墜落隕石被自動觀測的攝影機觀測到，並經過計算墜落點的位置因而尋獲。第一顆這樣找到的隕石是1959年墜落在捷克斯洛伐克（現在的捷克共和國）的普利布蘭隕石
。在這個事件中，有兩架攝影機捕捉到這顆流星還是火球時的影像。這兩個影像被用來確定墜落在地上的位置，更有意義的是，這是第一次準確的計算出軌道來找到隕石。
隕石 隕石的再發現
隨著普利布蘭隕石的墜落，許多國家的研究都瞄準墜落隕石，建立起自動觀測的系統。其中一個名為"草園網路"的系統，是由史密松寧天文物理天文台在1963至1975年間在美國中西部運作的。這個計畫也觀測到过隕石的下墜，「失落城市」球粒隕石，就是由這個計畫計算出軌道而尋獲的。另一個加拿大的隕石觀察和發現計畫，在1971至1985年的執行期间，也于1977年發現單獨一顆的「Innisfree」隕石。最後，由發現普利布蘭隕石的捷克原始計畫衍生出的歐洲火球網路觀測，也在2002年計算出軌道并發現「新天鵝堡」隕石。NASA有一個檢測美國東南部的流星事件的自動化系統，可以計算出所見流星的軌道、星等、地面軌跡和其它的參數，每晚也都能檢測到一些事件。
直到20世紀，只有數百顆的發現隕石被尋獲。其中80%是鐵隕石和石鐵隕石，這两種很容易和在地的岩石區分出來的隕石。直到今天，每年只有少數的隕石被報告是意外尋獲的，原因是從哈維·尼寧格的發現，在世界各地蒐集到的隕石已經超過30,000顆以上，顯示隕石在地球表面各地的分布遠比過去認為的更為普遍。
隕石 隕石的再發現
阜康隕石是於2000年在中國新疆维吾尔自治区的阜康附近山中發現的。橄欖隕鐵是有著橄欖石結晶的美麗石鐵隕石。
尼寧格的策略是在美國的大平原上搜尋隕石，因為在廣大的耕種平原上，土壤中只有少量的岩石。在1920年代晚期至1950年代，他在這些地區旅行并教導當地人隕石的外觀，和如果它們認為偶然發現了一顆隕石該如何處理，例如，在清理場地的過程中。結果新發現了200多顆隕石，而大部分都是石隕石。
1960年代末期，人们发现大平原中的新墨西哥州羅斯福縣是尋找隕石的好場所。在1967年發現了幾顆隕石之後，又在隨後的幾年中新發現了100多顆的隕石標本，而且許多都是由伊萬·威爾遜獨自一人發現的。從1967年起，在這個地區發現的隕石总共約有140顆。發現它们的地区，地表以表面被淺而鬆的土壤覆蓋的硬質岩層为主。在黑色風暴事件的年代，松散的土壤被吹離，留下的岩石和隕石就浮現在表面。
隕石 隕石的再發現
在1921年至1964年間，在南極只有少量數的隕石被發現。在1969年，第10次的日本南極研究探險隊在靠近大和山的一片藍色冰原上發現了9顆隕石。這次的發現使得我们認為，冰層的運動可能會使隕石集中到某些地區。在1973年，又在相同的地區發現了大量隕石之後，一支在1974年成立的日本探險隊專程前往該地搜尋隕石，他們發現了將近700顆的隕石。
不久之後，美國在南極大陸另一側的傳聖塔提克山脈開始了自己在南極洲尋找隕石的計畫：南極隕石搜索計畫（ANSME，Antarctic Search for Meteorites）  歐洲的團隊也在1980年代後期開始稱為"EUROMET"的計畫，由義大利繼續進行Nazionale di Ricerche計畫，在南極有系統的搜尋隕石。
中國的南極探險自2000年起成功的搜尋隕石；韓國自2007年開始蒐集隕石的計畫（KOREAMET），也已經找到了幾顆隕石。自1974年以來，所有的這些探險總計蒐集到的隕石標本之中，已經有逾23,000顆已完成分類，還有更多尚未完成分類的。更多詳細的資料，可以參考哈崴的文章（2003）。
隕石 隕石的再發現
大約就在冰凍荒蕪的南極發現大量隕石的同時，蒐集者發現在高溫的澳洲沙漠也能找到許多的隕石，在南澳和西澳的納拉伯地區已經找到了大量隕石。自1971年至今，在有系統的搜尋下，已經找到超過500顆隕石，其中大約300顆有明顯的特徵。在這些地區能夠發現隕石，是因為這裡是平坦、缺乏特徵的石灰岩平原地形。在極度乾旱的氣候下，數千萬年以來，那裏的風化或沉積相對的較小，因此隕石在哪兒是不斷的累積，而不是被掩埋或是摧毀。顏色黑暗的隕石很容易從石灰岩的卵石和岩石之間分辨出來。
隕石 隕石的再發現
在1986-87年，一組在利比亞東南方約100（62英里）的多羅沙漠安裝探勘石油地震站網的德國團隊，在平原上發現了65顆隕石。數年後，一位沙漠愛好者看見科學家在南極發現隕石的照片，想起他在北非看見相似的場景。 在1989年，他在利比亞和阿爾及利亞的幾處顯著不同的地點找到了近百顆的隕石。之後的數年內，他與其他的人陸續發現了400多顆隕石。發現隕石的地點都是沙漠或岩漠等荒漠的不毛之地：这些平坦、沒有特徵的地區，只有少量的卵石和沙礫覆蓋著，深色的隕石在這些地方很容易被發現。有幾個隕石場，像是Dar el Gani、Dhofar、和其它地點，由基底岩石（粘土、白雲石和石灰石）和未被侵蝕的石英砂構成的淺色地質，使隕石很容易識別。
隕石 隕石的再發現
雖然隕石愛好者收集與出售的商業行為已經持續了數十年，但在1980年代和1990年代早期，在撒哈拉發現的隕石，多數都被博物館和類似的機構購買和保存，以供科學的研究或展覽之用。突然有大量的隕石可以利用，並且也可以相对方便地找到（特別是與南極比較），導致商業性的隕石蒐集顯著提高，這種活動在1997年於利比亞發現來自月球和火星的隕石之後更為活躍。在1990年代的後期，私人的隕石蒐集探勘隊已經出現在撒哈拉沙漠。以這種方法找到的隕石標本雖然還會被收集做為研究之用，但大部份的都被賣給私人的收藏者收藏。這些探險隊在阿爾及利亞和利比亞發現的陨石中，經描述狀況良好的隕石總數已經超過了2000顆。
有關隕石交易的利益增長在撒哈拉國家間透過語詞傳播，隕石市場開始存在，特別是在摩洛哥，遊牧民族和當地人拿著在沙漠找到的隕石兜售。數以千計的隕石通過這種方法散佈出去，這些隕石絕大部分都缺乏在何時、何地，以及如何找到的資訊，他們通通稱為西北非隕石。
在1999年，隕石獵人在阿曼南部和中部的沙漠也收集到許多隕石的標本。在阿曼地區的多法和Al Wusta礫石平原，Rub' al Khali以南的沙質沙漠，迄2009年中已經發現了5,000顆隕石。其中還包括了大量的月球隕石和來自火星的火星的隕石，使得阿曼成為科學家和收藏家特別重視的一個地區。早期在阿曼的探測，主要是通過隕石的經銷商，但是由阿曼和歐洲科學家組成的國際小組，現在也在搜尋隕石標本。
目前在阿曼發現的隕石受到國際法的保護禁止私人收藏，但是隕石獵人不顧這些禁令繼續盜取這些被視為國際財富的隕石。
當要確實執行這一條法律和公告周知时，這項新法律惹出小小的國際事件，因為長期以來受到監視的隕石獵人主要來自俄羅斯，但是他們的夥伴有些來自美國或者一些歐洲國家。
在麥加克爾白卡巴聖殿牆上的黑石長期以被歷史學家被認為是一塊隕石，但是在科學文獻上只有極少的資料。
從1990年代中期開始，業餘的隕石獵人開始在西南美國的乾旱地區搜尋。迄今可能已經有上千顆的隕石在莫哈維沙漠（Mojave）、索諾蘭沙漠（Sonoran）、大盆地和奇華胡安沙漠中乾涸的湖床（乾鹽湖）上被發現。重大的發現包括高級谷的104 Acapulcoite，這種隕石在美國境內只發現了兩顆；以及藍鷹隕石，在美洲境內找到的第一顆魯木路提型球粒隕石。最重要的發現或許是在洛杉磯找到的火星隕石，是在莫哈維沙漠中的某處尋獲的，發現者Robert Verish只是為了辨識多年來在他家後院中的岩石。在西南美國發現的一些隕石尚未正式提交給隕石命名委員會，很多玩家怕會被聯邦政府充公，而很不明智的不願公開發現地點的座標。
有幾顆被發現的隕石目前在洛杉磯的葛利芬天文台展示中。
隕石 分類
全世界收集到的隕石約有3萬多塊，隕石根据所含金属含量高低不同，可以分为：
隕石有大有小，最小的可能因燃燒變成微塵。大型隕石撞擊到地表會留下撞擊的痕跡，稱隕石坑。1976年3月8日呈雨状陨落在吉林市区的陨石总重量达2700公斤，其中最大的1号陨石重1770公斤，体积为117×93×84立方厘米。从而吉林陨石成为“世界陨石之最”。吉林陨石雨降落时，没有造成一人一畜一物的伤害，实属世界陨石雨降落历史中所罕见。2005年1月美國太空總署火星越野車機遇號在火星中央平原首次發現了地球以外天體上的隕石。
行星闯入大气层后由于经受高温高压，会产生炸裂；熔点较低的铁之类物质会被熔融分离成另一类陨石，所以主体陨石大都带有熔壳，跌落到地面大多成球状的或是扁圆的并通常带有解体口，这类陨石较为普遍。
现在所发现的陨石上的组成都是由一致的地球上的元素组成的。在一些陨石当中曾发现有水，还在一些陨石当中发现了构成生命物质基本成分之一的氨基酸，因此有一种假说认为地球上最初的生命来自宇宙，是陨石把生命帶來地球。
蒸馏
蒸馏（英語：，法語：）是一种热力学的分离工艺，它利用混合液体或液-固体系中各组分沸点不同，使低沸点组分蒸发，再冷凝以分离整个组分的单元操作过程，是蒸发和冷凝两种单元操作的联合。蒸餾可以清除絕大部分雜質和殺死微生物。与其它的分离手段，如萃取、吸附等相比，它的优点在于不需使用系统组分以外的其它溶剂，从而保证不会引入新的杂质。
蒸馏有許多的應用，例如：
蒸馏 原理
不同组分液体具有不同的沸点，是蒸馏最基本的理论依据。在相同温度下，液体上方各个组分蒸气的分压也有所不同。
参考二元单相液体的相图，当由液体A和B按一定比例配成的混合液（设A的浓度为c1）经过加热后到达沸点线，然后通过无差异的气液平衡（从1到2），在生成的气相中得到A的含量为c2的混合气；该气体经过降温冷凝后收集便得到具有新组成（A浓度为c2）的液体。按图例来讲，就是左侧的A组分被提纯了（因为c2大于c1）。
蒸馏有两种形式：
台灣政治
台灣政治概念所涵蓋的台灣政府型態、統治者或行政區劃體制，1949年以後普遍與中華民國政治等同，在此前則不同。歷史上，台灣具有文字記錄的政治實體，約可自1624年起的台灣荷西時期算起。歷史上台灣各地分別歷經多個政權統治，亦歷經荷蘭、西班牙、明鄭、清帝國、大日本帝國與中華民國等。
台灣政治 政府
總統為國家元首，對外代表國家，對內向全國人民負責，依法公布法律、發布命令，宣布戒严，行使大赦、特赦、减刑及復權之權，任免文、武官員以及授與榮典。總統同時也是三軍統帥，統率全國陸、海、空軍。總統實際掌握所有行政權，且為了依法行使職權，配有幕僚機構總統府及諮詢機構國家安全會議等。總統府為總統、副總統之幕僚機關，下設資政、國策顧問、戰略顧問等顧問人員，以對國家政策向總統提供意見與諮詢；中央研究院、國史館等國家學術機構亦附屬於總統府之下。國家安全會議則是國家安全事務之最高議事機關，國安會主席由總統兼任，下設國家安全局，以執行情報、特種勤務等國家安全相關工作。
副總統為備位元首，沒有政治實權，但總統可以賦予副總統部分職權。
台灣政治 政府
司法院為國家最高司法機關，掌理解釋權、審判權、懲戒權、司法行政權。司法院置大法官15人，並以其中1人為院長、1人為副院長，由總統提名，經立法院同意任命。憲法法庭由大法官組成，具有「解釋憲法」、「統一解釋法律及命令」以及「裁判憲法審查」之職務、並有審理「政黨違憲解散案」及「總統、副總統彈劾案」權限之常設機關，相當於他國之憲法法院。原本係於《中華民國憲法》第79條中規定設立之基礎，後《中華民國憲法增修條文》第5條明定：「司法院設大法官十五人，並以其中一人為院長、一人為副院長，由總統提名，經立法院同意任命之」，最終由《憲法訴訟法》進一步將憲法所定之「解釋憲法」職權具體化。憲法法庭之判決，有拘束各機關及人民之效力；各機關並有實現判決內容之義務。
台灣政治 統治者
延平郡王為南明永曆帝於公元1653年賜於鄭成功的封號，因此一般來說，延平郡王指的都是鄭成功。如：台灣各地今常見的延平郡王祠。不過即使如此，繼任鄭氏王朝統治者的鄭經與鄭克塽亦自稱為延平郡王。而1661年起，延平郡王所轄領土除了福建一部份之外，也包含了台灣台南一帶。尤其是1664年，鄭經失去福建大部領土後，延平郡王實為台灣南部統治者。較為特殊的是，鄭成功與鄭經建台期間，仍據閩南部分領土，故台灣事務多由承天府府尹或東寧總制統治治理。
而台灣巡撫設置於1885年，為台灣建省後的全省最高地方統治者。同年，福建巡撫裁撤，設閩浙總督，而建省後的台灣省正式名稱亦稱為福建台灣省。1887年，台灣巡撫更名為福建台灣巡撫。台灣巡撫或福建台灣巡撫總管台灣軍政。在官職上，台灣屬巡撫官銜，品等為正二品或從二品。在官餉方面，以首任巡撫劉銘傳為例：年薪約為155銀兩，養廉銀則為一萬兩，與升格前的按察使台灣道薪津相距甚大，而當時工人差役一年薪餉則約為二、三十兩左右。
台灣政治 統治者
台灣總督是指台灣日治時期，由日本所指派的總督。大清帝國因為甲午戰爭戰敗，在1895年將台灣割讓給日本，1945年日本於第二次世界大戰中戰敗，日本放棄對台統治，台灣日治時期結束。在1895年到1945年半個世紀當中，日本共派任了19個總督，可以劃分為以下三個時代：「前期武官總督」（1895年—1919年）、「文官總督時代」（1919年—1937年）、以及「後期武官總督」（1937年—1945年）。
台灣省主席為1947年5月16日起之台灣地方統治者。其中，跨越了國共內戰之前國民政府時期與遷台後的中華民國政府。而於1945年戰後至1949年中華民國政府未遷台之前，台灣省主席為當時為台灣最高行政首長。而其兩任主席分別為：魏道明（1947年5月16日上任）及陳誠（1949年1月5日）。不久，中國國民黨於國共內戰失利，1949年12月7日，行政院院長閻錫山正式宣佈中華民國行政院於台北的「介壽館」（即總統府）辦公，至此，台灣最高行政首長又變成行政院院長。而此情形延續到1950年3月，蔣中正移署台北總統府實際統治台灣為止。
台灣政治 行政區劃
1887年，台灣才獨立設省，因為與中國大陸福建省仍有部分行政業務，因此官方正式名稱稱為福建台灣省，不過一般仍稱分治後的台灣為台灣省。台灣建省之後下設台北府、台灣府、台南府三府，此時的「台灣府」範圍約是現今的台灣中部地區。
1684年(清康熙23年) 台廈道轄下設一府三縣
1723年(雍正元年) 台廈道改台灣道，轄下設一府四縣一廳
1727年(雍正5年) 設一府四縣二廳
1787年(乾隆52年) 將諸羅縣改為嘉義縣
1809年(嘉慶17年) 增設噶瑪蘭廳
1875年(光緒元年) 設二府八縣四廳
1885年(光緒11年) 台灣建省， 設二府八縣五廳
1887年(光緒13年)設三府十一縣四廳一直隸州
1895年至1945年条目：台灣日治時期行政區劃
台灣政治 選舉
所有中華民國公民(即年滿20歲的國民)，只要符合以下所有條件，即享有被選舉權：
積極條件：年滿23歲，得於其行使選舉權之選區參選。(總統、副總統候選人為年滿40歲)
消極條件：被選舉人不得有下列任一情事，否則不得登記參選：
犯有內亂外患罪，經判刑確定者。
犯有貪汙罪，經判刑確定者
曾犯組織犯罪條例之罪，經判刑確定者
遭褫奪公權尚未復權者
被選舉人不得為現役軍人、軍校學生及替代役男
被選舉人不得為選務