hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
時頻分析 應用
應用時頻分析的觀念，我們可以將一個電磁波表示成一個2x1的矩陣。而當電磁波經過一段自由空间時，著名的 菲涅耳衍射就產生了。菲涅耳衍射可以用線性完整轉換的參數矩陣來表達，其中z是電磁波在自由空间中傳遞的距離，而則是波長。
光也是一種電磁波，所以在光學上的應用就跟電磁波傳遞很類似。
如果電磁波通過一片球面透鏡片或是經過一個碟型面的反射，則線性完整轉換的參數矩陣可分別表示為 和  ，其中f是球面透鏡的焦距，而R是碟型面的半徑。
用 LCT 來分析光學系統的好處是只需要用到2x2的矩陣運算 ，避免了複雜的物理理論和數學積分，但只有在「近軸」的情形下才能準確得到。
光學也可以用在無線通訊(wireless communication), 光學系統分析(optical system analysis), 雷射(laser)和雷達系統分析(radar system analysis)。
以下兩個訊號無法經由單純的傅立葉分析分辨出來，它們的頻譜都長得一樣。


不過幸虧有時頻分佈函數，我們可以看出隨時間改變之頻率的起落，進而鑑別訊號。這個想法也可以應用至模式识别。
時頻分析 應用
語音訊號的特性就是它的頻率隨著時間劇烈變化。因為語音訊號所涵蓋的資訊非常的多，所以相對的計算時間會是很重要的考量。
根據奈奎斯特采样频率及人耳可聽的的頻率上限約為20000Hz這兩個條件，因此語音信號的取樣頻率需為40000Hz左右。
然而我們對於時頻分析的輸出在時間軸的解析度要求往往不會到這麼高，加上時頻分析出來的結果為原本輸入訊號維度的兩倍，為減少運算時間，我們會降低輸出的取樣頻率，如100Hz。
以短時距傅立葉變換為例
可改寫為
其中為輸入信號的取樣間隔，
為輸出信號的取樣間隔
其中需滿足下列條件
(1) N為一整數
(2)
(3)
令
其中
時頻分析在語音領域同時包含音樂訊號、聲音訊號以及聲紋辨識。
例如语音信号:
例如研究指出在聲紋(中文注音第一、二、三、四聲和輕聲)當中的語調會使時間和瞬時頻率的關係有所不同。
時頻分析在生醫工程上的應用幾乎都是用以分析生理訊號，如肌電圖(EMG)、心電圖(ECG)等等。
時頻分析 應用
其中肌電圖(EMG)是肌肉收縮時的電位變化和肌纖維震動的變化所產生的生理訊號，故常用以探討肌肉收縮力量程度大小或用來判定肌肉是否產生疲勞的工具，進而推估身體狀態的生理訊號。EMG訊號為非週期性且隨機的訊號，所以若將時域訊號進行快速傅利葉轉換(FFT)並不適宜，取而代之的是對EMG信號進行短時傅立葉轉換(STFT)，獲得EMG信號的功率頻譜密度函數(power spectral density function，PSDF)，其反映了EMG信號頻率隨時間而變化。
時頻分析 應用
短時傅立葉轉換屬於時頻分析的一種，是在傅立葉轉換中加入一個移動的視窗函數(window function) w(t)，用來對輸入的訊號做切割，在對視窗內的訊號做傅立葉轉換，產生一個二維的時間頻率分佈圖。視窗選擇方面大約包含了Hamming、Hanning、Gaussian 等等，而視窗選擇對於STFT有很大的影響，若為較小的window function可得到較佳的時域解析度，但會犧牲頻域解析度；反之，若選擇較大的window function將會得到較佳的頻域解析度但較差的時域解析度，藉由適當window size的設定，就能觀察出肌肉收縮力量程度大小隨著時間而改變。
時頻分析 應用
心電圖也是常見的電生理訊號之一，記錄了心臟整個活動過程，心臟收縮前必先產生電氣活動(electrical activity)，此電氣活動是由許多心肌的興奮波所組成。興奮波起源於心臟的竇房節(SA Node)，並經由心肌特化的傳導系統(conducting system)將此興奮波傳遍整個心臟，心電圖即是源於心臟的興奮區與未興奮區之間的電位差。而在心電圖(ECG)的應用最常見的例子即為心率變異度分析（heart rate variability, HRV），將ECG信號使用時頻分析可用以檢測自主神經系統活性，亦可進行進行個人壓力與情緒分析。
時頻分析 應用
為了評估自主神經系統功能及對心血管活動的影響，亦可對ECG信號進行希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang transform,HHT）以獲得Hilbert時頻譜，利用Hilbert-Huang時頻來做時頻特徵提取和分析。依據短時程HRV信號的線性頻域分析指標，得到不同生理頻帶的Hilbert能量圖，提取總能量，各生理頻帶的能量和其歸一化能量以及生理頻段的能量比值作為評價心率變異性的時頻特徵。基於Hilbert譜的時頻特徵的區分性能好，有較清晰的生理意義，能反映人的生理病理變化，為短時程HRV信號分析提供了一種有效方法。
時頻分析 應用
以往大多數的心率變異度分析都是以快速傅立葉轉換頻譜分析為基礎，來探討研究現象之心率變異頻譜特性與自主神經活性之間關聯性。但是對於快速變化的生理訊號，如ECG是一個非穩定(non-stationary)訊號，使得傅立葉轉換無法達到有效的處理，使用快速傅立葉轉換頻譜分析有其侷限性。另一種較為合適的方法是以平滑式魏格納－韋立分佈時頻分析法(smoothed pseudo Wigner-Ville distribution; SPWVD)為基礎，分析受試者之心率變異度之頻譜特性，來檢視受試者心率變異度中之低頻頻譜能量(LF)與高頻頻譜能量(HF)的增減現象，其比值為自主神經平衡指標(LF/HF)，其頻率範圍定義如下所列。
1. 極低頻範圍的正常心跳間期的變異數(VLF) - 截取頻率範圍為0 - 0.04 Hz
2. 低頻範圍的正常心跳間期的變異數(LF) - 截取頻率範圍為0.04 - 0.15 Hz，為交感神經活性指標
3. 高頻範圍的正常心跳間期的變異數(HF) - 截取頻率範圍為0.15 - 0.4 Hz，為副交感神經活性指標
時頻分析 應用
PCG訊號含有預知身體狀況的資訊，所以可說是有臨床診斷的價值。
在一個心動週期當中，有兩個主要的聲音，也就是第一心音及第二心音。
第一心音是由四個成分組成，是因為主動脈膜的閉合所產生。
第二心音是由兩個成分組成，是因為肺動脈瓣膜的閉合所產生。
雖然心音訊號可以說是一個不段重複的訊號，但是我們不將它定義為一個簡單的週期訊號。
這是因為，心音訊號具有非平穩性，而且心音訊號是由許多複雜的事件所產生的訊號所疊加的多成分訊號。
而傳統的頻譜分析方法，只能反映訊號的靜態頻譜特徵，但是，能夠反映心臟及心血管系統病理特徵的心音訊號，一般來說是非平穩時變特徵。
所以，使用頻譜分析方法，就無法反映心音訊號隨時間的變化。
因此，心音訊號的時頻分析用於心臟方面的研究和臨床診斷，有非常好的分析效果。
EEG分析，是一種研究大腦電訊號的方法，並且是一種無創傷的方法。
EEG可以分成三種，也就是非瞬時自發性EEG、瞬時自發性EEG和誘發性EEG。
傅立葉轉換和各種衍生的方法，可以很好地用在非瞬時自發性EEG。
時頻分析 應用
但是，對於瞬時自發性EEG和誘發性EEG，用傅立葉轉換的方式來分析顯然無法給予充分的資訊，因為這兩種訊號都是非平穩訊號，因此就會用到時頻分析的方法。
另外，EEG訊號中，有時會出現一些短瞬時脈衝，這些脈衝可能含有病理資訊，也可能僅僅只是干擾訊號。不論屬於哪種類型，對這些脈衝訊號做檢測和分析都十分重要，因此將時頻分析方法應用在EEG訊號處理中，是許多學者的研究方向。
一個機械設備的故障診斷可以概括為以下五個部分：
(1)	採集訊號
(2)	從採集的訊號中，用訊號處理的方法，提取出能夠反映機械設備狀態的特徵。
(3)	以某些狀態識別方法，監測機械設備並判斷機械設備的狀態，檢查是否有故障的狀況。
(4)	分析與診斷機械設備的狀態。若機械設備發生故障，要分析故障的類型、性質、發生部份等。
(5)	最後，根據機械設備的狀態及可能的發展趨勢做出決策，例如維修。
而對於蒐集來的訊號，不僅只會蒐集到能夠反映出機械設備某特定部分的工作狀態資訊，也會蒐集到其他零件的資料，這些資料對於研究該特定部分的狀態而言，是一種背景雜訊。
時頻分析 應用
另外，一般而言，這樣的背景雜訊會比狀態資訊來的更大，而由於大多數的機械訊號都是非平穩訊號，特徵時頻譜範圍又廣，成分非常複雜，並且又如前述參雜許多背景雜訊。
所以，要怎樣把所需的狀態資訊提取出來，提高訊雜比，並且將故障特徵資訊放大，是一個重要的機械故障診斷的研究方向。
時頻分析則為機械故障診斷帶來了一線曙光。作為一種聯合時間與頻率的分析方法，它能夠很好的分析非平穩訊號，並且將訊號與雜訊做分離，找出所謂的故障訊號。
目前，幾種主要的時頻分析方法已被提出並應用於機械設備故障診斷，主要包括短時傅立葉變換（STFT）、小波變換（WT）和希爾伯特-黃變換（HHT）。
滾動軸承是機械設備中至關重要的部件，其運行狀態直接影響整個機械系統的可靠性和效率。滾動軸承故障通常以振動信號中的週期性衝擊表現出來，這些衝擊具有強烈的非平穩性。因此，傳統的振動分析方法如時域分析、頻域分析往往無法有效捕捉這類故障的特徵。為了克服這一挑戰，時頻分析方法如小波變換（Wavelet Transform, WT）在滾動軸承故障診斷中得到了廣泛應用。
時頻分析 應用
小波變換具有多解析度分析的特性，能夠同時處理信號的高頻和低頻成分，並且能在時間和頻率上自適應地選擇分解層級。因此，它能夠有效捕捉到滾動軸承故障引起的瞬時衝擊信號。此外，結合深度學習技術，這些時頻特徵可以進一步用於故障分類。比如，Zhang等人（2020年）提出了一種基於時頻分析和深度學習的滾動軸承故障診斷方法。該方法首先利用連續小波變換方法提取滾動軸承的故障特徵，然後將這些特徵輸入深度學習模型進行故障分類，結果顯示該方法能夠顯著提高故障診斷的準確性，尤其是在處理複雜故障模式時。
齒輪故障是機械設備中常見的問題，故障會引起機械系統的振動信號變化。由於齒輪故障引起的振動信號通常較為微弱，傳統的頻域方法難以有效檢測。為了更準確地識別這些微弱信號，Liu等人（2022年）提出了一種基於連續小波變換（CWT）的齒輪箱故障診斷方法。該方法通過CWT對齒輪箱故障振動信號進行時頻分析，構建其時頻圖，捕捉到信號在時間和頻率域的變化特徵。CWT能夠有效地揭示齒輪故障引起的微弱振動，並提供更為靈敏的故障識別能力。這一方法克服了傳統頻域方法的局限，實現了對早期齒輪故障的敏感檢測，並顯著提高了診斷準確性
時頻分析 應用
引擎是機械系統中一個至關重要的部件，其運行狀態直接影響整體性能和效率。在可變氣門正時系統（VVT）控制的引擎中，機械部件的故障可能會表現為特定的聲音特徵，這些聲音隨著引擎運行狀態的變化而改變。因此，聲音信號的分析成為引擎故障診斷的一個重要方法。傳統的診斷方法通常依賴於振動或其他物理量的測量，而利用時頻分析方法來識別引擎中各個機械部件的故障則能提供更多的診斷信息。
時頻分析方法，特別是希爾伯特黃變換（HHT），在這一領域中發揮了重要作用。HHT能夠有效地處理非平穩信號，並且在時間和頻率域中自適應地分析信號的特徵。通過對引擎聲音信號進行HHT分析，可以提取出不同機械部件的聲音能量分佈，從而識別哪些部件處於良好工作狀態，哪些部件可能存在故障。例如，研究中使用HHT分析引擎聲音信號，發現引擎的聲音能量分佈與引擎輸出扭矩之間存在關聯，這一發現有助於早期識別故障並提高故障診斷的準確性。
運用無線電受到海面反射來的回波頻譜來估算表層海流。原理包括了幾種物理現象，布拉格散射、都卜勒效應、深水波假設。
時頻分析 應用
海洋的表面是粗糙的，其中包含了各種波長的波浪，當一個近岸的測站發射無線電波，電波碰撞到海面，因為布拉格散射，波浪波長為二分之一的無線電波長的波浪會造成強的回波。
若是打向一靜止的粗糙面，回波訊號的頻率應該與發射頻率相符，但海面上的波浪是行進的，對於電波接收站而言，其所收到的訊號，是一個移動中的訊號來源，所以觀察到的回波頻率因為都卜勒效應，回波訊號頻率不再是原發射頻率，而會發生在發射頻率加上一偏移頻率。
因為波浪沒有特定的方向，可說是在海面往四面傳遞，對於無線電側站位置而言，遠離的波會造成負的偏移頻率，即回波頻率降低，反之，靠近測站的波浪會形成一偏移頻率為正的回波。
其偏移頻率的大小值與波速相關，波浪波速根據深水波的假設，波速是波長之函數，因為先前布拉格散射，當無線電波頻率給定，其回波訊號主要是二分之一無線電波長的波浪，故此偏移頻率可以估計出來。
由於表層海流載著海表面的波浪走，所以觀測到的無線電頻譜，和預測上的頻譜會有所不同，而這中間不同的量可以來估算出表層海流。
時頻分析 應用
通常無線電波站都有Ｘ, Y, Z軸三個方向的天線，藉由三個方向的接收訊號，雷達可以分辨出回波的方位，藉由到達回波在時間軸上可以分辨出回波的距離。
以下舉一個虛構的例子來解說。
無線電測站發出一頻率為Fc，也就是波長為的無線電波，因為1) 海表面有波長不一的波浪2) 因為布拉格散射，波長為的波浪會產生較大的回波能量 3)這些波浪四面傳遞，且波浪波速在深水波假設中，可以近似成。
回波的產生源，波浪，因為以波浪波速移動，都卜勒現象的緣故，回波訊號會有一個頻率位移Δf，遠離測站靠近測站的波浪分別造成Fc-Δf， Fc+Δf的回波（如虛線所示）。
假設又一個靠岸（流向測站）表層海流，海流帶著波浪行進，其結果是離岸的浪減速，靠岸的流加速，其在頻率域相當於右偏（頻率增加）。藉著觀察回波頻率極強值（實線）和無流情況推算出來的頻率強值之間的差距，來推算出逕向上流速（遠離或靠近測站方向上的流速）。
時頻分析 應用
鯨豚的研究常常仰賴著研究者現場目視觀察，由於人力物力有限，只能在小範圍內，海況佳，日間的情況下來研究。鯨豚的一大習性是發聲，透過被動地監聽鯨豚，研究者可以更進一步的來研究。以海豚的聲音為例，最粗淺地看至少有兩種，即click 和 whistle。二種聲音從時頻圖來看是一目了然，二種在時頻圖有截然不同的特性，click是短時間(50-150 μs)寬頻的信號(65 – 100kHz)，whistle是頻率調變的訊號（2 – 20kHz）。一般來說，click信號和海豚用來定位導航，獵食有關，而whistle和海豚的社交，溝通有關。也有可能同一時間發出兩種聲音。這當中許多學問，包含各種聲音的功能，發聲的機制，有待釐清。
時頻分析 應用
資料的壓縮包含圖像、影像及語音的壓縮，其中最廣為利用的時頻分析方法應為小波分析。以影像來說，是用二維離散的小波轉換進行壓縮，圖一為二維離散小波轉換的結構圖，所得的四個結果分別為影像中的低頻及不同範圍的高頻成分，為影像中的低頻成分，為水平方向的邊緣，為垂直方向的邊緣，為圖像中的角落。而保留低頻成分，捨棄其他高頻部分，再進行數次的二維離散的小波轉換，可得粗略但很接近原圖的縮圖，以達到縮圖的效果，每進行一次二維離散的小波轉換可將資料量縮為原圖的1/4倍左右，其中小波分析的影像壓縮以JPEG 2000為主。
時頻分析 應用
台灣的第二顆衛星FORMOSAT-2(FS-2)是具高分辨率的遙感衛星，而FORMOSAT-3(FS-3)/COSMIC(Formosa 3號衛星，氣象、電離層和氣候星座觀測系統）包括6個低地球軌道(Low-Earth-Orbit, LEO)衛星是第一個演示近實時數值天氣的星座，使用來自全球定位系統(Global Positioning System, GPS)衛星的無線電信號進行預測(Numerical Weather Prediction, NWP)。資料中指出，衛星任務每天都會受到自動重配置命令 (Automatic Reconfiguration Order, ARO)的干擾，FS-2記錄著相當多ARO事件，另外在另一顆FS-3上也記錄了許多計算機異常事件(衛星重啟或重置)，同時也有相關紀錄在FS-2上。而這些ARO事件也大多歸因於發現這些異常當中有相當star tracker data多應歸因於單事件失敗(Single Event Upset, SEU)，也因此我們必須了解更多SEU的起因來避免ARO的事件一再發生而使衛星受到干擾。在研究中發現FS-2的ARO和星體追蹤儀數據的遺失位元(Lost Bytes, LB)與太空天氣成正向相關，而幾個太空氣象的主要參數正是影響衛星任務的原因:例如地球磁場的Kp指數，質子密度，電子密度和10.7 cm radio flux (RF)。另外也發現FS-3的電腦重置也與地球磁場的Kp指數，質子密度，10.7 cm radio flux (RF)和X射線相關。因此若能使用時頻分析當中的希尔伯特-黄转换和其他方法來分析此非線性且不穩定的太空數據，可以結合這些太空天氣的相關參數，進而避免SEU甚至其餘ARO事件的發生機率，也可使得衛星任務更為穩定。
時頻分析 應用
加速規在各種應用中扮演著重要角色，尤其是在動態測量、健康監測等。透過時頻分析，我們可以深入了解加速規數據的時間變化及其頻譜特徵，特別適用於處理非穩定信號和動態事件。以下將介紹幾個加速規數據利用時頻分析的應用範疇。
時頻分析的核心在於能夠同時觀察信號在時間域與頻域上的特徵，這在處理如加速規這類動態信號時格外有用。例如，當我們面對加速規數據時，往往需要了解信號中包含的頻率成分及其隨時間的變化。這正是時頻分析所提供的價值，它能夠在時間與頻率上提供綜合視角。
在跌倒檢測領域，加速規被廣泛用於監測使用者的活動，並區分跌倒與其他日常活動。透過時頻分析，可以有效地將跌倒事件與非跌倒事件區分開來。例如，研究顯示，跌倒事件在特定時間窗內會出現高能量的頻率成分，這些頻率通常集中在 2 到 3.5 Hz 之間，而跑步、跳躍等活動則表現出不同的頻率範圍。經過時頻圖的分析，能夠實現高靈敏度和高特異性，顯示出時頻分析在動態信號識別中的強大能力。
對於患有帕金森氏症的人，加速度計數據的時頻分析可以用來檢測如“凍結步態”（freezing of gait）等症狀，利用加速規數據進行步態凍結的實時檢測，並使用時頻分析來分析加速規信號的特徵。短時傅立葉變換（STFT）來進行時頻分析，這使得他們能夠捕捉到步態運動中的頻率變化，尤其是在帕金森病患者的步態凍結事件發生時。
時頻分析能夠將加速規信號的時間變化和頻率成分同時顯示出來，幫助識別信號中的異常模式。例如，當患者的步態發生凍結時，步態運動的頻率成分會顯著改變，這一變化可以通過時頻分析中的頻率圖清晰地觀察到。該方法提供了精確的時間-頻率定位，能夠及時檢測到步態凍結，進而實現對帕金森病患者的即時預警。
傳統上，經濟數據被視為不穩定且具嘈雜訊號的時間序列資訊，且被正統理論認為是隨機程序，基本上不存在規律性。經濟或金融資料屬於時變的資訊，而其在此領域中大多使用統計方法做分析，例如自回歸模型(AR)，經濟學家大多使用經驗數據來手動擬合人工線性模型，而此隨機模型的擬合通常只能計算均值和方差，對於大量的金融經濟應用層面並不足夠。因為經濟金融的時序統計資料在頻域上是相對未開發的領域。在這種情況下，其頻譜資訊會隨著時間而一直改變，以傳統的傅立葉轉換是不足以充分描述該資訊的循環特性，因此後人研發了聯合時頻表示法(joint time-frequency representation, JTFR)來克服這個問題，因為它能同時在時域和頻域表現其時間序列和做分析。使用JTFA，我們不僅可以知道此信號(資訊)當中存在哪種類型的周期，而且知道它們何時發生以及持續多長時間。當有持續一定時間的周期集中在聯合時頻域中時，隨機噪聲趨於均勻地擴展到整個時頻平面。因此，JTFA具有更高的信噪比(SNR)。例如部分研究中，會在JTFA當中先用加伯轉換(Gabor transform)和短時傅立葉轉換兩個線性模型分析原始的ISE資料，以及兩個二次模型(韋格納分布和Page distribution)做時頻分析。通過特殊合成的時間序列可以藉此評估每個TFR在檢測和解碼原始ISE數據中可能存在的特性，也可以對它們的趨勢或是週期分量進行分析和計算。此方法可以大致模擬股票指數系列(例如原始ISE系列)的模式，並以此做為比較績效分析的基準。接著比較不同時頻分析方法以取最優，並再使用過去指數數據重複做分析，以察看結果是否對從新興市場到成熟市場的股票數據來源變化是否可靠。另外也可以使用希尔伯特-黄转换，不是先進行預白化，而是找到一條平滑的趨勢曲線以擬合經驗數據，以便差值包含盡可能多的有意義的周期;儘管平滑曲線呈現長期趨勢，但差值可進一步用於分析短期行為。儘管頻譜表明了殘差所包含的頻率成分，但它並不能告訴它們何時出現或持續多長時間。因為只有那些持續一定時間的頻率才被認為是有意義的周期，所以無法僅從頻譜上確定經濟週期。
使用JTFA或其餘時頻分析方法進行經濟數據分析的發展是指日可待的，這種發展趨勢可以使金融界發生分析及預測上大革命。
以訊號處理的方式解析地震波有助於地質學家更準確的掌握地底構造，透過觀察地震波在地底中傳播的情形，辨識岩層、礦物等物質。除了自然發生的地震，人為爆破而生成的震波，搭配訊號處理技術的使用，也可以應用於石油探測及礦石開採等實務面。
近代隨著科技進步，電腦輔助運算成為必要之工具，地震觀測主要為數位地震儀系统，這樣一來，可獲取大量取樣點及高解析度、高頻寬、足夠的動態範圍的數位化地震波形資料。由於地震觀測系统得動態範圍和頻率範圍皆為有限值，並且記錄地面的活動有著不同程度的變形；因此不同型態的外界干擾和系統內部雜訊會對於地震波紀錄造成干擾。在資料記錄過程中，會出現傾斜、平移、波形變形等現象，因此在對地震波進行時頻分析前，必須進行修正，調整儀器內部影響，以及過濾雜訊。
以時頻分析而言，對於地震波的處理，可以分為以下幾種，分別為使用短時傅立葉轉換(Short Time Fourier Transform), 希爾伯特-黃轉換(Hilbert-Huang Transform)以及小波轉換(Wavelet Transform)。
窗函數(window function)若為矩形，則寫為 ，
計算速度快，呈現的圖形直觀且方便，可以於野外觀測現場進行。
分析過程中，主要目的為確定各窗函數(window function)中的主頻，因此窗函數大都選擇為矩形，矩形窗(rectangular window)的寬度 T 一般選擇大於地震波的週期，透過窗函數的滑動，得到地震波隨時間變化的頻率表現。
適合用來對非線性及非穩定的訊號做時頻分析。
透過經驗模態分解及希爾伯特轉換，得到包含時間、頻率、及振幅三種資訊的結果。由於經驗模態分解的效率高，加上此時頻分析方法不依賴於傅立葉轉換的使用，因此能有效反映訊號內部特徵，達到去除雜訊並保有訊號的非線性及非穩定特徵，符合地震波的訊號分析。
小波轉換分析具有良好的時頻局部化性質，優於傳統的傅立葉分析。
透過時間窗(time window)及頻率窗(frequency window)的改變，能在時間軸及頻率軸上表達局部特徵，因此，適合用於觀察一正常訊號中的反常結果，在分析訊號的過程中具有放大鏡的功能。
另外，ZAM(Zhao-Atlas-Marks distribution )方法為非線性時頻分析方法，其母函數為錐形函數，研究顯示，此類時頻分析方法適合應用像地震波等非平穩訊號之研究，能有效抑制時頻分析结果中的交互干擾項，同時使時頻分析之结果密集度較高。
以下舉例以時頻分析對地震波之分析結果:
對自然發生之地震及人為爆破事件進行ZAM時頻分析，觀察結果得知
1.包括天然地震和人為爆破在内的數位地震波形中，S波之較高能量密度區域處於低頻區域，其頻带比P波之高能量密度區域頻带來得窄，且其能量密度比P波能量密度更大；
2.天然地震的高能量密度分布較為離散，而人為爆破的高能量密度分布區域較為集中。
鵬利國際
鵬利國際 ，(當時為0268.HK)，當時是以1973年「國際京華地產有限公司」在香港交易所上市，直至2003年在特別股東大會通過私有化，正式脫離香港股市。
鵬利國際 業務
物業、地產及酒店經營，當中主要經營凱萊酒店、鵬利中心等。
鵬利國際 收購事項
1987年，奔達國際收購電視廣播(0511.HK)股權，但交易告吹。
磺溪 (新北市)
磺溪（亦稱北磺溪、Nothern Sulfur creek）為於台灣北部的獨立水系，發源於七星山北麓，於新北市金山區注入東海。其幹流長度13.50公里，流域面積49.07平方公里，分佈於台北市士林區、北投區、新北市金山區等行政區，主要支流有清水溪、西勢溪。
磺溪 (新北市) 水系主要河川
以下由河口至源頭列出水系主要河川，其中粗體字為主流河道。
磺溪：新北市金山區、台北市士林區、北投區
西勢溪：新北市金山區
清水溪：新北市金山區
坑內溪：新北市金山區
格腳溪：新北市金山區
三重橋溪（又名八煙溪）：新北市金山區
後埔溪：新北市金山區
鹿角坑溪：新北市金山區、臺北市士林區、北投區
楓林溪：新北市金山區、臺北市北投區
馬槽溪：臺北市士林區、北投區
清水溪：臺北市北投區
紅石仔坑溪：臺北市北投區
冷水溪：臺北市北投區
濁水溪仔溪：臺北市北投區
八煙溪：新北市金山區、台北市士林區
出水溪：新北市金山區
大油坑溪：台北市士林區
上磺溪：臺北市士林區、新北市金山區
後尖窟坑溪：新北市金山區
土地公坑溪：新北市金山區
磺溪 (新北市) 溪流周邊
磺溪中游段的河床岩石因受硫磺質浸染而成黃褐色，為本溪特色。磺溪流域有楓林瀑布、馬槽溫泉等景點，下游附近有金山老街、磺港漁港，為陽明山、北海岸地區著名的旅遊勝地。
沃波爾內閣
羅伯特·沃波爾爵士被普遍認為是英國歷史上首位首相。一般認為，他的首相任期在他於1721年4月獲委為第一財政大臣、財政大臣及下議院領袖三職開始；但也有人認為他的首相任期始於內閣重臣湯森子爵在1730年退休後才開始。總括而言，自1721年4月至1730年5月，由於內閣由沃波爾爵士及湯森子爵兩人分掌，因此後人稱為沃波爾／湯森內閣；而自1730年5月至1742年2月，內閣大權由沃波爾一人掌握，因此後人稱為沃波爾內閣。
沃波爾內閣 內閣
1721年－1730年：羅伯特·沃波爾爵士
1721年－1730年：湯森子爵
1721年－1724年：加特利勳爵
1724年－1730年：紐卡素公爵
1721年－1725年：麥克爾斯菲爾德伯爵
1725年：委員會狀態
1725年－1730年：金勳爵
1721年－1726年：京斯敦公爵
1726年－1730年：特雷弗勳爵
1721年－1725年：卡爾頓勳爵
1725年－1729年：德文郡公爵
1730年：特雷弗勳爵
1721年－1722年：馬爾博羅公爵
1722年－1725年：卡多根伯爵
1725年－1730年：阿蓋爾公爵
1721年－1722年：康華里勳爵
1722年－1730年：維明頓伯爵
1730年－1742年：羅伯特·沃波爾爵士
沃波爾內閣 內閣
1730年－1742年：紐卡素公爵
1730年－1742年：哈林頓勳爵
1730年－1733年：金勳爵
1733年－1737年：塔爾博特勳爵
1737年－1742年：哈德威克伯爵
1730年：維明頓伯爵
1730年－1731年：委員會狀態
1731年－1733年：德文郡公爵
1733年－1735年：朗斯代爾子爵
1735年－1740年：戈多爾芬伯爵
1740年－1742年：伊克沃斯赫維勳爵
1730年：特雷弗勳爵
1730年－1742年：維明頓伯爵
1730年－1740年：阿蓋爾公爵
1740年－1742年：孟塔古公爵
1730年－1742年：亨利·佩勒姆
橫山 (越南)
橫山（越南语：／）是分隔越南北部及中部的山脈，為越南河靜省和廣平省兩省的边界。橫山山脈屬安南山脈的一部分。山脉总长50公里，山勢險峻。
在古代，橫山是交通上的一大障碍。在黎中興朝的時候，阮潢受到鄭檢的迫害，向阮秉謙求教。阮秉謙說：「橫山一帶，萬世容身。」阮潢接受了他的建議，得以在廣南建立與北方鄭氏分庭抗禮的根據地。在16世紀至18世紀時，橫山與𤅷江成為越南鄭氏政權及阮氏政權的國境分界線。其山頂上有橫山關，在古代是戰略要地。越南淪為法國殖民地之後，橫山成為中圻與北圻的自然分界線。法國殖民政府駐軍於橫山關。
现代越南在開通國道1號的時候，在橫山修築了横山隧道。從此以後，交通開始大大方便起來。
磺溪 (臺北市)
磺溪（亦稱南磺溪、Southern Sulfur creek）位於台灣北部，屬於淡水河水系，為外雙溪的支流。流域分佈於台北市北投區、士林區。磺溪的後段亦為北投區及士林區的界河。上游又稱陽明溪，發源於陽明山國家公園的七星山小油坑，流經竹子湖、過峰頂橋後匯入另一個發源於竹子湖西側的源流下湖溪，之後在頂北投一帶匯入支流紫明溪（烏樹腳坑溪）後始稱磺溪，然後於猴洞附近匯集來自華岡地區的支流松溪後成為北投區、與士林區的邊界河流，最後於外雙溪沿溪道路之「建德橋」（士林之「司法院法官學院」、及「臺北高等行政法院辦公廳舍」旁）下注入基隆河的支流外雙溪。
磺溪 (臺北市) 名稱由來
磺溪因上游有硫磺而得名、溪水含硫磺不適生飲。有時為與同樣發源於七星山，但往北流至新北市金山區出海的另一條（北）磺溪區隔，稱本溪為南磺溪，而該溪為北磺溪。
磺溪 (臺北市) 溪流周邊
從陽投公路（北投區泉源路）上的惇敘高工到天母西路的磺溪橋段，是磺溪的中游，地勢落差有150公尺。行義路沿著溪谷一路下降，路旁有許多可泡溫泉的餐廳。自磺溪橋至建德橋之間沿溪兩岸均築有堤岸步道、栽種有金露花（堤岸步道旁的綠籬）、櫻花樹等喬灌木樹種，可供散步、健行、賞鳥等休閒活動。介於明德橋及東華僑之間、即北投區榮華里與士林區蘭興里之交界段落，段落兩岸除堤岸散步道外靠溪沿岸均另建有平行堤岸散步道之單一出入口專用「沿溪賞鳥步道」。
淡水信義線在明德站與芝山站間介於東華橋及建民橋的河段跨過（南）磺溪。
沿著磺溪之軟橋與磺溪橋之間，兩岸設有「磺溪彩虹健康步道」。
完親王
完親王（1868年—1880年），名李墡，朝鮮高宗的庶長子，封為完和君。其母為賜號永保堂的淑媛李順娥（追封為貴人）。
完親王 生平
其父高宗15岁时大婚，王妃是长其一岁的闵妃。但高宗对闵妃敬而远之，迷恋尚宫李顺娥，李尚宫于同治七年（1868年）首先生子李墡。
闵妃先后怀孕四次，流产一次，夭折两次，因此高宗生父興宣大院君对闵妃的生育能力产生怀疑，主张立永宝堂李氏（李尚宫）之子完和君李墡为王世子。闵妃联合自己家族的闵升镐、闵谦镐及其他反興宣大院君势力于同治十二年（1873年）十一月发动兵变，闵妃集团掌握实权，興宣大院君被迫離京，隱居慶尚道三溪洞。
李坧出生后，闵妃要求立刻将刚出生的李坧封为世子。神贞王后不满闵妃掌权，主张立李墡为世子。高宗支持闵妃，闵妃花重金贿赂清朝，获得清朝支持。光绪元年（1875年）正月初一，高宗册封不满周岁的李坧为王世子，李坧成为朝鲜王朝五百年来受封年龄最小的世子。
完親王 生平
光绪二年（1876年）正月，清朝派前盛京户部侍郎吉和、内阁学士乌拉喜崇阿为正副敕使前往朝鲜，正式册封李坧为王世子。李坧的“竞争对手”李墡，则在世子册封后被封为完和君，與母親一起居住於宮外。1880年，完和君去世，年僅十三歲。坊间盛传为明成皇后所害，比如黄玹的记载称当时民间关于完和君的死有两种说法，一种是明成皇后将他倒立塞进鲊瓮而活活憋死，另一种说法是用棒槌打死的。正史上对完和君的死因也没有明确的记载。
大韩帝国隆熙元年10月1日（陰曆八月二十四日），純宗以完平君李昇應為正使、趙同熙為副使，追封李墡為完親王，諡號孝憲(효헌)，全稱完孝憲王(완효헌왕)。
斯雷姆斯卡米特罗维察
斯雷姆斯卡米特罗维察（塞爾維亞語：）是塞尔维亚伏伊伏丁那自治省斯雷姆区的城市，位于萨瓦河畔。城市辖区面积为762平方公里，2022年人口数量为72,580人。
小酸模
小酸模（学名：），蓼科多年生草本植物。原生於歐亞大陸，被廣泛引入到北半球其餘區域。
酸模
酸模（学名：），又名蕦、薞蕪，蓼科多年生草本植物，歐洲和西亞大多數的草原均可見到其蹤跡。酸模含有豐富的維他命A、維他命C及草酸，草酸導致此植物嚐起來有酸溜口味，常作料理調味用。酸模亦具藥用價值，有利尿、發汗、行血等功效。
酸模 延伸阅读
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《欽定古今圖書集成·博物彙編·草木典·酸模部》，出自陈梦雷《古今圖書集成》
《植物名實圖考·酸模》，出自吳其濬《植物名實圖考》
沃克·施隆多夫
沃克·施隆多夫（德語：，1939年3月31日—）是一位德國導演，也是德國新浪潮的成員之一，並曾經贏得金棕櫚獎和奥斯卡最佳外语片。
玛米·艾森豪威尔
玛米·热纳瓦·杜德·艾森豪威尔（英語：，1896年11月14日—1979年11月1日）是美国第34任总统德怀特·艾森豪威尔的妻子，在1953年至1961年丈夫任职总统期间为美国第一夫人。
1916年，19岁的玛米与艾森豪威尔结为夫妻。艾森豪威尔的整个军旅生涯中在全美国各个军营间四处奔波，还多次被派驻至海外，玛米也和他一同辗转，在两人婚后30年才买下首座房产。艾森豪威尔在第二次世界大战中名声远扬，玛米则一直在华盛顿深居简出。之后艾森豪威尔在1953年就职美国总统，玛米也因此入住白宫成为第一夫人。在白宫期间，玛米曾与多国政治人物会面，她自信的风格和周密的招待也给各国政要留下深刻印象。玛米性格开朗，喜爱服饰珠宝，在民众中广受欢迎。她喜爱社交，但依然看重隐私，在很多事务中不愿公开表达立场，同时也在个别议题中做出了关键贡献。艾森豪威尔于1961年卸任后，玛米和他回到宾夕法尼亚州葛底斯堡的农场居住，直至1979年逝世。
玛米·艾森豪威尔 早年生活
玛米·热纳瓦·杜德于1896年11月14日在美国艾奥瓦州布恩出生。父亲是约翰·谢尔顿·杜德（，1870年11月18日－1951年6月23日），从事肉类加工行业；母亲原名埃莉弗拉·玛蒂尔德·卡尔森（，1878年5月13日－1960年9月28日），是瑞典移民的后代。玛米的名字中的“热纳瓦”来自一首流行歌曲《可爱的热纳瓦湖》（）。她是家中的次女，家中还有一个姐姐埃莉诺·卡尔森·杜德（，1895年6月27日－1912年1月8日）和两个妹妹艾达·梅·杜德（，1900年12月23日－1918年11月9日）、玛贝尔·弗朗西丝·“麦克”·杜德（，1902年10月6日－1988年10月15日）。
玛米·艾森豪威尔 早年生活
玛米9个月大的时候随全家搬到了艾奥瓦州錫達拉皮茲居住，7岁时又搬到了科罗拉多州，定居在科罗拉多斯普林斯。1905年，杜德家搬到丹佛定居，之后的冬天则会较温暖的在德克萨斯州圣安东尼奥度过。玛米父亲的肉类生意极为成功，因此她的童年生活也十分优渥，自幼便四处旅行，接触各种服饰和珠宝。
玛米曾在丹佛和圣安东尼奥两地的学校学习，1914年到1915年间还曾在沃尔科特私立女子精修学校（）读书。她对学习没什么兴趣，在校期间学业也不突出，但她跟父亲学会了理财，很早就能轻松处理财务问题。尽管家庭条件优越，玛米依然懂得如何省钱。她还学会了弹钢琴和电风琴，喜欢跳舞、桥牌和卡纳斯塔纸牌戏。
玛米·艾森豪威尔 婚姻
1915年10月，玛米在德克萨斯州山姆·休斯顿堡拜访朋友时，遇到了当时还是少尉的德怀特·艾森豪威尔。1916年2月14日情人节当天，艾森豪威尔送给她一枚戒指，二人正式订婚。这枚戒指是艾森豪威尔亲自设计，仿照他的西点军校毕业纪念戒指打造，以紫水晶镶嵌在金戒指当中。同年7月1日，两人在玛米父母位于丹佛的家中结为夫妻。这一天也是艾森豪威尔第一次被提拔的日子。夫妇二人婚后在科罗拉多州和堪萨斯州阿比林的艾森豪威尔家度过了10天的蜜月，之后就住在山姆·休斯顿堡的营房里。
玛米在1917年9月24日产下一子杜德·德怀特·艾森豪威尔（），但他在1921年1月2日便因猩红热病逝，死时仅3岁。次年8月3日，玛米又在丹佛产下次子约翰·谢尔顿·杜德·艾森豪威尔（）。他在日后成为美国军事史学家、作家和外交家，曾任美国驻比利时大使。
玛米·艾森豪威尔 婚姻
婚后，艾森豪威尔曾被多次提拔调动，玛米也和其他的军人妻子一样跟随丈夫四处奔波。玛米曾经估计自己在丈夫37年的军旅生涯中至少搬家过27次。两人曾在宾夕法尼亚州葛底斯堡居住，还曾到过马里兰州、科罗拉多州、堪萨斯州、佐治亚州和华盛顿特区的多个军事营地。艾森豪威尔被派驻海外的巴拿马运河区、法国和菲律宾自治领期间，玛米也都跟随他前往。
1941年珍珠港事件爆发后，夫妇二人回到美国。在整个第二次世界大战期间，艾森豪威尔在海外征战，声名大噪；玛米则几乎一直住在华盛顿特区，夫妇二人近三年未见一面，仅凭书信交流。她还担忧丈夫的安危，一度因此抑郁和焦虑。在华盛顿居住期间，玛米深居简出，甚少公开露面。这期间她一直和其他军人妻子一起，在华盛顿的军人餐厅和红十字会做志愿工作。战后的1948年，艾森豪威尔退伍出任哥伦比亚大学校长，这对夫妇搬到纽约居住，还在1949年买下了宾夕法尼亚州葛底斯堡的一处农场。这处农场是夫妇二人拥有的首个房产。1950年，艾森豪威尔再次入伍，赴法国巴黎出任北约欧洲盟军最高司令，玛米也陪同前往，直至1952年才回到美国。两人在葛底斯堡的房子因此一直搁置到1955年才正式完工。
玛米·艾森豪威尔 第一夫人
1952年，艾森豪威尔夫妇回到美国，玛米陪同丈夫在全美举行竞选活动。在竞选活动中，玛米受到民众的热烈欢迎。艾森豪威尔最终成功当选第34任总统，于1953年就职。两人在就职典礼上公开接吻，成为第一对完成此举的总统夫妇。当时的美国仍然实行种族隔离制度，但她力主邀请非裔歌手瑪麗安·安德森到就职典礼现场演唱，还安排自己的非裔女佣参加了典礼的全部活动。
在就职典礼中，玛米身着一件由内蒂·罗森斯坦设计的粉红色晚礼服。她本人尤其喜爱一种粉红色，这种色彩常被称作“第一夫人”或“玛米粉”，一度引起美国民众的流行热潮。她热爱服饰珠宝，在任期间每年都被纽约服装学院（）评为全美十二位最会穿衣的女性之一。她的经典造型是身穿及地长裙，佩戴手镯和珍珠首饰，头戴小帽，留着短发和刘海。
玛米·艾森豪威尔 第一夫人
在白宫期间，玛米和艾森豪威尔一同接见过多国政要，其开朗的性格给他们留下了深刻的印象。她将白宫管理得井井有条，对白宫员工也亲切对待，甚至会给员工举办生日晚会、帮他们收集商品优惠券。她还会烹饪一种“百万美元软糖”（），成为在全美广受民众欢迎的一种甜点。玛米热情好客，但仍然谨慎保护自己的隐私，不愿在大多数公众事务中表明立场，仅有极个别时候会表达自己的意见。她反对种族隔离制度，曾邀请非裔儿童参加白宫复活节滚彩蛋活动，成为美国历史上的首次，也因此被全美黑色人种妇女协会选为荣誉会员。她不喜欢约瑟夫·麦卡锡的粗鲁为人，尤其厌恶他在美国国内搜寻共产主义者时所采用的手段，因此坚决拒绝邀请他到白宫参加活动。在艾森豪威尔罹患心脏病后，玛米积极帮助美國心臟協會筹款，之后该协会的收入上涨了70%。她还帮助丧偶后寡居生活困难的军人妻子，为她们提供住房保障和医疗服务。玛米在民众中极受欢迎，自1952年起连续多年登上盖洛普民调的“全美最受敬仰的十位女性”名单。
艾森豪威尔在任期间曾在1955年突发心脏病，1956年接受腹部手术，1957年又轻微中风。玛米之后将丈夫的健康放在首位，一直细心照顾丈夫。而她本人也有心脏疾病，还患有美尼尔氏综合症，难以保持身体平衡，行走不稳。一度有传言误以为她有酗酒的习惯。
玛米·艾森豪威尔 晚年生活
1961年，艾森豪威尔卸任，两人回到宾夕法尼亚州葛底斯堡居住。夫妇二人退休后在加利福尼亚州棕榈沙漠亦有一处房产。1968年，艾森豪威尔的健康状况急剧恶化，入住沃尔特·里德陆军医疗中心，玛米也陪同他一起前往。艾森豪威尔最终于1969年3月28日逝世，之后玛米一直住在葛底斯堡的农场，在冬天会前往加利福尼亚州和佐治亚州度假。她曾四处旅行，在孙子大卫与理查德·尼克松的女儿朱莉结婚后，还经常前往白宫看望。1972年，玛米曾在理查德·尼克松的选举广告中现身。1970年代末，玛米健康状况开始恶化，她于是搬到华盛顿特区的一处公寓居住。
1979年9月25日，玛米突发中风，被紧急送往沃尔特·里德陆军医疗中心。11月1日清晨，她在睡梦中逝世。玛米之后被埋葬在堪萨斯州阿比林的德怀特·艾森豪威尔总统图书馆，与丈夫德怀特和长子杜德埋葬在一起。第一夫人罗莎琳·卡特和帕特·尼克松出席了她的葬礼。
声空感应
《声空感应》（英語：）是2008年马来西亚电视台八度空间继《星空》之后所推出的一部恐怖电视剧，第一季于2008年1月6日至3月30日播出，由本地著名中文电台播音员陈峰及曾宏辉主演。本剧因第一季大受欢迎而拍攝第二季，于2010年10月17日至翌年1月9日播出，由张智成与李洺中主演。
声空感应 故事简介
《声空感应》故事内容主要环绕在电台各具不同背景的DJ身上，剧情以一些无法解释的或灵异或怪趣的事件出发，有些是在不经意间，有些是DJ与听众在空中交流时发生的不可思议、如幻似真的奇异怪事。剧情有的扑朔迷离、有的惊险刺激、有的幽默滑稽，各種不同类型的故事逐一展开。《声空感应》的十一个不同内容故事，由不同的演员担纲演出，演员阵容包括实力派演员、真人秀出身的新生代艺人以及主持界跨刀演出的艺人等。
《声空感应2》的单元故事不再仅是围绕着电台DJ与听众所发生的灵异经历而已，甚至还延续至电台上下不同阶层的职员，从电台见习生、电台小职员到电台创作主管，一样无可避免地经历了不可思议的奇遇，因而改变了他们的人生。《声空感应2》总共由7个独立故事单元组成，分为13集播出，并由出身于香港的资深制作人周以勤任编审及监制。
声空感应 收视
《声空感应》当本土制作华语电视剧收视方面得佳绩，收视最高收视更成功突破50万人。本剧也有改编至菲律宾版本《Midnight DJ》，在当地TV5电视台播映。
孝明王皇后
孝明皇后（942年—964年），王氏，邠州新平县（今陕西省彬州市）人，宋太祖继室，亦是宋朝建立后册立的第一位皇后。
孝明王皇后 生平
彰德军节度使王饶第三女（其姐為太原郡夫人），有胞弟王繼勳。後周顯德五年（958年），宋太祖在第一任妻子贺氏逝世後，迎娶王氏為繼室。但王饶去世于显德五年十月，王氏并未守丧便婚嫁，且在次年生下儿子赵德芳，实属不合礼法。宋太祖当时為殿前都指挥使。王氏為人「恭勤不懈，仁慈御下」。後來，周世宗賜王氏凤冠霞帔，封為琅邪郡夫人。
建隆元年（960年），太祖即位，同年八月甲申，冊王氏為皇后。她常服寬衣，佐御膳，善彈箏鼓琴，早上起床，便會誦讀佛書。王皇后事奉杜太后至孝。生子女三人，两个女儿皆早夭，儿子赵德芳也早早死去。乾德元年十二月（964年）甲申，王皇后逝世，年二十二。二年四月，葬安陵之北。神主享於別廟。太平興國二年，祔享太廟。
孝明王皇后 生平
王继勋因为王皇后的缘故被任用，后来屡次犯法，也因为宋太祖追思王皇后而没有得到追究，宋太宗登基后才伏法。后来宋真宗得知王继勋的子孙陷入贫困，也因为王皇后的原因予以照拂。
《文献通考》：“宋太祖皇帝四子：贺皇后生留哥、魏王德昭、显哥。王皇后生岐王德芳。”似王皇后为宋太祖生子赵德芳。韩维《荣王从式墓志》志主为赵德芳孙、趙惟憲次子赵从式，亦作王皇后生赵德芳。赵德芳享年二十三岁，勉强可谓早逝，但《宋史》说王皇后“生子女三人，皆夭”，《宋史》之疏漏不严谨之处可见一斑。
孝明王皇后 延伸阅读
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《宋史·卷242》，出自脱脱《宋史》
任國
任國为周代的諸侯，在今天的山东济宁市任城区，泗上十二諸侯之一，一直充当小国的角色，为齐、晋、鲁等大国的藩屬，后来亡于秦国。
有仍氏又名有任氏，风姓，居于山东济宁微山湖畔，是太昊、少昊的后裔。有仍与夏后来往密切，之间有通婚现象。相妻缗来自有仍。相被寒浞杀害时，缗已方妊，她避居故乡，在有仍生下少康。少康复兴后，封有仍族人于任国。
多贝西小波
多貝西小波（英語：），是以比利時女性物理暨數學家英格丽·多贝西（Ingrid Daubechies）的名字命名之一種小波函数，當初英格丽·多贝西發現了一種具有階層（hierarchy）性質的小波，便將此小波以她的名字命名。多貝西小波主要應用在離散型的小波轉換，是最常使用到的小波轉換，通常使用在數位信號分析、信號壓縮跟雜訊去除。
一般而言的離散小波轉換通常是以正交小波（orthogonal wavelet）為基底，而多貝西小波也是一種正交小波。由於它很容易經由快速小波轉換（fast wavelet transform（FWT））實現，所以常會放在數位信號處理的教科書中教學。
對於有限長度的小波，應用於快速小波轉換（fast wavelet transform（FWT））時，會有兩個實數組成的數列：一是作為高通濾波器的係數，稱作小波濾波器（wavelet filter,也稱為mother wavelet）；二是低通濾波器的係數，稱作調整濾波器（scaling filter,也稱為father wavelet）。
多贝西小波
我們則以濾波器的長度N來形容濾波器為DN，例如：N=2的多貝西小波寫作D2、N=4的多貝西小波寫作D4，以此類推（N為偶數）。實際上常用的多貝西小波為D2到D20。与之对应的另一种描述方式是db N，其中N指消失矩的数量，由此，D4和db2是同一种多贝西小波。
多贝西小波 性質
分類方式
多貝西小波的分類是以消失動量（vanishing moment）的值A（亦為消失動量的個數）為依據（A稱為tap），調整函式（scaling function）及小波函式（wavelet function）的平滑度（smoothness）皆會隨著消失動量的值（tap）增加而增加：例如，當A=1時，多貝西小波即是哈爾小波（Haar wavelet），調整函式及小波函式都是不連續的；當A=2時，多貝西小波的調整函式及小波函式為不能平滑微分的連續函式；當A=3時，調整函式及小波函式已經是連續可微的函式了。以此類推，當A愈大時，多貝西小波的兩個函式平滑度會愈來愈高。以下為多貝西小波跟不同A的調整及小波函式圖：
多贝西小波 性質
長度
多貝西小波的長度為消失動量（vanishing moment）值A的兩倍；所以當消失動量為A時，多貝西小波的小波濾波器（wavelet filter）及調整濾波器（scaling filter）長度皆為2A（N=2A）。一般而言，我們仍是以N來形容多貝西小波的長度：例如，當A=1時，有一個消失動量，多貝西小波寫成D2，長度為2（也是Haar小波）；當A=2時，有兩個消失動量，多貝西小波寫成D4，長度為4；以此類推。但是，在MATLAB的使用上是以dbA描述多貝西小波，以下則為調整濾波器的係數及A的關係表：
多贝西小波 建立
多貝西小波具有調整函式（低通濾波）及小波函式（高通濾波）兩個函式。因此，我們需先建立調整函式及小波函式的係數:
首先，調整函數在多尺度分析（multi-resolution analysis）中的每一層皆可寫為下列方程式：
,
其中為有限長度實數數列，稱作調整係數。同時，小波函數也可以調整函數的線性組合表示：
,
其中亦為有限長度的實數數列，稱做小波係數。
因為上述方程式必須是齊性的（homogeneous），在建立上，這兩個函式會正規化（normalize）為和（sum）及平方和（sum of square）皆是2。
多贝西小波 建立
消失動量及多項式估計
常用的多貝西小波為D2到D20，由於多貝西小波的消失動量為有限個，所以調整及小波係數可以表示為有限長度的多項式

上式經過Z轉換（Z-transform）後會變成：
,
我們可以將上式轉換為正交離散小波轉換的一般表示式
, ，此時，、有實係數及。
而正交的條件可寫成
,或是等同於(#),
定義為可以產生對稱數列的勞倫茲多項式滿足
因此便成為對稱型勞倫滋多項式，即。因為  及, 則會是區段[0,2]中的非負實數。
方程式（#）如果除上的truncated power series則可求得對於每個的最小解
.（明顯的值會是在（0,2）間的正數）
而（#）的齊性方程式是一個對於的反對稱方程式，因此可得一般解為，此一般解有個多項式實係數。
因此和為
(sum)
的值在區間[0,2]中並有界線（界線為,）。為了將最大化的過程中會產生許多具有不等式條件的線性方程式。
為了解出的，這裡使用Fejer-Riesz-algorithm這個方法（此為頻譜分解的方法）。多項式會因此分開成許多線性因子（linear factor）,此時。每一個線性因子代表可以分解成兩個線性因子的一個勞倫茲多項式，任選其中一個線性因子都可設為。所以會有2N個可能的答案。為了極端相位的目的，挑選所有根都是在單位圓上或是在單位圓內複數根的。
多贝西小波 演算法
以下為示範小波轉換應用於影像壓縮，壓縮後為原本圖片的四分之一。
假設輸入的圖片大小為M*N，讓圖片對高頻和低頻進行卷积运算。
對M的基數進行取樣，這個結果會讓兩個維度都變成(M/2)*N。
把低頻的圖片放在上面，高頻的放在下面，低頻的圖片會長的像原本的圖片，高頻的圖片會是只有灰色的圖片。
對新的圖片再進行高頻和低頻的卷积，這時變成M*(N/2)的大小，低頻放在左邊，高頻放在右邊，
最後可以看到[0:M/2, 0:N/2]就會是原本壓縮過後的圖片。
因小波轉換有良好的性質，經過多次壓縮還是能保有原本的資訊。也就是說可以修改以下的程式碼改成迴圈的方式，
進行多次小波轉換，經過類似的模式再使用多次的反小波轉換，還原出原本大小的圖片。
金玟廷
金玟廷（韓語：，1982年7月30日—），名字常被譯作金敏贞，韓國女演員。1988年六歲時以MBC暢銷劇場出道，至今一直活躍於螢屏上，不僅擁有「最美童星」稱號，也打破了90年代「童星成功但無法成長為真正演員」的不成文規定，以總是令人驚豔的演技與角色，成功轉型為全方位演員。
哈爾小波轉換
哈爾小波轉換（英語：）是由数学家哈尔·阿尔弗雷德於1909年所提出的函数变换，是小波轉換中最簡單的一種轉換，也是最早提出的小波轉換。他是多贝西小波的於N=2的特例，可稱之為D2或db1。
哈爾小波的母小波（mother wavelet）可表示為：
對應的尺度函数（scaling function）可表示為：
其濾波器（filter）被定義為 當時，滤波器系数非零，此时可以用哈尔小波的滤波器系数及其尺度函数，将母小波函数表示为：
在所有正交（orthonormal）小波轉換中，哈爾小波轉換是最簡單的一種轉換，但它並不適合用於較為平滑的函數，因為它只有一個消失矩（Vanishing Moment）。
哈爾小波轉換 小波母函數
参与变换的小波函数（wavelet function）也叫母小波（mother wavelet）。
小波母函數可以用尺度函数表示：
对小波的母函数可以进行伸缩和平移，例如、。
当尺度离散方式选取时，依据哈尔小波函数的定义，我们可以推出：
（1）不同尺度的小波函数相互正交（即），例如：
（证明同上）
（2）同一尺度及不同尺度下，小波函数的整数位移之间相互正交（即），例如：
哈爾小波轉換 尺度函數
尺度函数（scaling function），以下為尺度函數的簡易圖示：
(1):
(2):
(3):
哈爾小波轉換 優點
（1）簡單（Simple）
（2）快速算法（Fast algorithm）
（3）正交（Orthogonal）→可逆（reversible）
（4）結構緊湊（Compact），實（real），奇（odd）
（5）具有一阶消失矩（Vanish moment）
哈爾小波轉換 特性
哈爾小波具有如下的特性：
（1）任一函數都可以由以及它們的位移函數所組成
（2）任一函數都可以由常函數，以及它們的位移函數所組成
（3）正交性（Orthogonal）
（4）不同寬度的（不同m）的小波函数和尺度函数之間會有一個關係
（5）可以用m+1的 係數来計算m的係數
若
若
圖示如下：
哈爾小波轉換 快速演算法
上圖為哈爾小波轉換的快速演算簡易圖示，此為多重解析結構（multiresolution analysis）。
哈爾小波轉換 哈爾轉換
哈尔变换最早是由哈尔在1910年的论文《论正交函数系理论》（德語：）中所提出，是一種最簡單又可以反應出時變頻譜（time-variant spectrum）的表示方法。其觀念與傅里叶变换相近。傅里叶变换的原理是利用正弦波與余弦波來對訊號進行調變；而哈尔变换則是利用哈尔函数來對訊號進行調變。哈尔函数也含有正弦函数系和余弦函数系所擁有的正交性，也就是說不同的哈尔函数是互相正交的，其內積為零。
以下面的哈爾轉換矩陣為例，我們取第1行和第2行來做內積，得到的結果為零；取第二行和第三行來做內積，得到的結果也是零。依序下去，我們可以發現在哈爾轉換矩陣任取兩行來進行內積的運算，所得到的內積皆為零。
，。
，。
，。
在此前提下，利用傅里叶变换的觀念，假設所要分析的訊號可以使用多個頻率與位移不同的哈尔函数來組合而成。進行哈尔变换時，因為哈尔函数的正交性，便可求出訊號在不同哈尔函数（不同頻率）的情況下所占有的比例。
哈爾小波轉換 哈爾轉換
哈尔变换有以下幾點特性：
對一矩陣做哈爾小波轉換的公式為，其中為一的區塊且為點的哈爾小波轉換。而反哈爾小波轉換為。以下為在2、4及8點時的值：
，。
，。
，。
此外，當時，。其中除了第0行為（=[1 1 1 ... 1]/，共N個1），第行為且
。
Matlab 代码:
哈爾小波轉換 哈爾轉換
function [Hr]=haar_matrix(N, normalized)
    % Input :
    %     N : size of matrix, N must be power of 2.
    % Output:
    %    Hr : Haar matrix of size NxN
    p=[0 0];
    q=[0 1];
    n=nextpow2(N);

    for i=1:n-1
        p=[p i*ones(1,2^i)];
        t=1:(2^i);
        q=[q t];
    end

    Hr=zeros(N,N);
    Hr(1,:)=1;
    for i=2:N
        P=p(1,i); Q=q(1,i);
        for j= (N*(Q-1)/(2^P)):(N*((Q-0.5)/(2^P))-1)
            Hr(i,j+1)=2^(P/2);
        end
        for j= (N*((Q-0.5)/(2^P))):(N*(Q/(2^P))-1)
            Hr(i,j+1)=-(2^(P/2));
        end
    end
    if normalized
        Hr=Hr*(1/sqrt(N));
    end
end
 Python 代码:
哈爾小波轉換 哈爾小波轉換應用於圖像壓縮
由於數位圖片檔案過大，因此我們往往會對圖片做圖像壓縮，壓縮過後的檔案大小不僅存放於電腦中不會佔到過大容量，也方便我們於網路上傳送。哈爾小波轉換其中一種應用便是用來壓縮圖像。壓縮圖像的基本概念為將圖像存成到一矩陣，例如256x256大小的圖片會存成256x256大小的矩阵，矩陣中的每一元素則代表是每一圖像的某畫素值，介於0到255間。JPEG影像壓縮的概念為先將圖像切成8x8大小的區塊，每一區塊為一8x8的矩陣。示意圖可見右圖。
在處理8x8二維矩陣前，先試著對一維矩陣作哈爾小波轉換，
公式為。
對8x8的二維矩陣A作哈爾小波轉換，由於是對的每一列作哈爾小波轉換，作完後還要對的每一行作哈爾小波轉換，因此公式為。以下為一簡單的例子：
哈爾小波轉換 哈爾小波轉換應用於圖像壓縮
。
列哈爾小波轉換（row Haar wavelet transform）
。
行哈爾小波轉換（column Haar wavelet transform）
。
由以上例子可以看出哈爾小波轉換的效果，原本矩陣中變化量不大的元素經過轉換後會趨近零，再配合適當量化便可以達到壓縮的效果了。此外若一矩陣作完哈爾小波轉換後所含的零元素非常多的話，稱此矩陣为稀疏矩阵，若一矩陣越稀疏壓縮效果越好。因此可對定一臨界值，若矩陣中元素的絕對值小於此臨界值，將該元素置零，可得到更大的壓縮率。然而取過大的話會造成圖像嚴重失真，因此如何取適當的也是值得討論的議題。
哈爾小波轉換 哈爾小波轉換運算量比沃爾什轉換更少
若應用於區域的頻譜分析及偵測邊緣的話，离散傅立叶变换、Walsh-Hadamard变换及哈爾小波轉換的計算量見下表
卢·亨利·胡佛
盧·亨利·胡佛（英語：，1874年3月29日—1944年1月7日），中文名為古鹿，是美國慈善家、地質學家，1929年至1933年間擔任美国第一夫人，是總統赫伯特·胡佛之妻。她一生活躍於社區組織和志願團體，曾於1922年至1925年以及1935年至1937年領導美國女童軍。她也支持婦女權利和婦女獨立。同時，她精通多國語言，能流利地說漢語，曾與丈夫合作翻譯由16世紀學者格奧爾格·阿格里科拉以拉丁語撰寫的採礦和冶金手冊《論礦冶》。
卢·亨利·胡佛
胡佛在艾奥瓦州滑鐵盧出生，幼時於當地長大，之後輾轉於德克萨斯州、堪薩斯州、加利福尼亚州定居。她先後就讀洛杉磯師範學校、聖荷西師範學校、史丹佛大學。她更是首位取得史丹福大學地質學學士學位的女性。在校期間，她認識了同樣修讀地質系的赫伯特·胡佛，很快地兩人便墮入愛河。二人於1899年成婚，並於翌日乘船前往中國。然而，义和团运动在二人在華期間爆發，他們也被捲入1900年發生的天津之战。1901年，二人定居於英國倫敦。她時常宴請大批朋友，二人的家甚至成為僑民以及丈夫同行的聚腳點。第一次世界大战時，他們領導人道工作，援助戰爭难民。1917年，胡佛一家返回美國，並居於华盛顿哥伦比亚特区。在丈夫獲任命為食品管理局局長後，她也化身為助手，向民眾推廣保存糧食、節約糧食的重要性。