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公历 历史
天主教地區為首批采纳
意大利、西班牙、葡萄牙、波兰立陶宛联邦、法兰西王国等天主教国家及其殖民地在1582年立即或很快采纳了格里历 。
新教地区的延迟
由于宗教对立，许多新教国家最初抵制格里历。例如，德意志各新教邦国直到1700年才部分采纳；大不列颠王国及其美洲殖民地（后来的美国一部分）在1752年才改用格里历，届时日期已需调整11天。
东正教地区的进一步延迟
东正教国家坚持使用儒略历更长时间。例如，俄罗斯直到1918年才采纳格里历（民用），希腊则在1923年成为最后一个采纳格里历（仅限民用）的欧洲国家。
日期标记的过渡
在格里历与儒略历并用的过渡时期，为了区分日期，常会同时标注“旧式”（Old Style, O.S.，指儒略历）和“新式”（New Style, N.S.，指格里历）日期 。
非西方国家的采纳
随着全球化的进程，特别是在19世纪和20世纪，大多数非西方国家也出于国际交往和现代化的需要，采纳了格里历作为民用历法。例如，日本在1873年（明治六年）改用格里历。
公历 历史
各国详细的采纳日期、背景及具体转换细节可参见格里历采纳史。
格里历传入中国经历了一个逐步认知、采纳和本土化的过程，其称谓也随之演变。
早期传入与“西历”
早在明末清初，通过耶稣会传教士的引介，格里历的知识已传入中国。格里历是一种纯粹的太阳历，以地球绕太阳公转的周期为基础，不考虑月相变化，因此被称为“阳历”。而中国传统农历是阴阳合历，既参考太阳的周年运动，也以月亮的朔望周期为基础，故称“阴历”。在清朝，官方和民间常将格里历称为“西历”，以示其外来属性。
中华民国的采纳与“国历”
辛亥革命后，中华民国临时政府于1912年1月1日成立。孙中山就任临时大总统后，采纳了改用阳历作为国历的建议，并于当日发布《改用阳历令》，决定自当年起采用格里历。尽管如此，在一段时间内，新旧历法（即公历与农历）处于并存状态（“新旧两曆并存”）。
国民政府时期的推广
国民政府在形式上统一全国后，于1928年10月10日通过决议，规定自1929年1月1日起，全国正式使用公历，并与中华民国纪年（民国纪元）并行。这标志着公历在中国作为官方主要历法地位的进一步巩固。同时，“公历”一词也开始出现在对外条约等官方文件中。
公历 历史
中华人民共和国的沿用与“公元纪年”
1949年9月27日，中国人民政治协商会议第一届全体会议决定，中华人民共和国采用世界通用的公元纪年制度，即改民国纪元为公元纪年，继续使用格里历作为国家的标准历法。采用“公元”这一称谓，部分原因是为了淡化其基督教色彩。
民间俗称
传统上，公历常被通俗地称为“阳历”，以区别于常被通俗地称为“阴历”的“农历”（“农历”兼顾太阳和月亮运行周期，实为阴阳历）。此外，“新历”也是一个相对于“旧历”（农历）的常用称呼。
中国对格里历的采纳并非一蹴而就，而是经历了从初步接触、官方倡导、双轨并行到全面确立的阶段性过程。这一过程伴随着称谓的演变，反映了国际标准历法与中国本土深厚历法传统的互动与融合。
公历 历法结构与规则
格里历與儒略曆一樣，每年都有12個月，每月的天数在28到31天之间。两种历法的年份通常为365天，在閏年的2月增加一个閏日，使闰年为366天。格里曆的月份名称和各月天数与儒略曆完全相同。
公历 闰年规则
格里历的核心改革在于其精确的閏年規則：
公元年份如能被4整除，则为閏年（例如，2020年、2024年）。但是，如果公元年份能被100整除（世纪年），则必須也能被400整除才是閏年（例如，1700年、1800年、1900年均不是閏年，而1600年、2000年是閏年。——美国海军天文台
此规则确保了格里历的平均年长为 365+97/400=365.2425 日。儒略历的闰年规则仅为“能被4整除的年份即为闰年”，导致其平均年长为365.25日。因此，格里历每400年比儒略历少3个闰年（即3个世纪平年）。
格里历的完整日期和星期对应关系每400年重複一次。一个400年的周期共有 400×365+97=146097 天。在这400年中，有303个平年（365天）和97个闰年（366天）。由于146097能被7整除（146097÷7=20871），所以400年后，相同的日期会对应到相同的星期。
公历 纪年方式
格里历通常采用基督纪年（Anno Domini, AD）或其现代世俗化版本公元（Common Era, CE）进行年份编号。此纪年体系传统上以推算的耶稣诞生之年为元年（即公元1年）。尽管现代学术研究普遍认为耶稣的实际出生年份并非恰好是公元1年。
在中文里，这一纪年系统标准名称为“公元”。公元纪年中不设“公元0年”，公元前1年（1 BC）之后紧接着的是公元1年（AD 1）。需要注意的是，天文学家在进行历史计算时，有时会采用一种包含0年的纪年方式（0年对应公元前1年，-1年对应公元前2年，以此类推），但这主要用于计算便利，与民用历法的习惯不同。
中华人民共和国采用“公元”作为官方纪年名称，这一选择在一定程度上也是为了使用一个更具世俗性的术语，以淡化该纪年方式原有的宗教关联。
公历 公历与阳历的关系
“公历”与“阳历”是两个相关的历法术语，在不同语境下有特定含义。
阳历
以地球绕太阳公转周期（即回归年，约365.2422天）为基础的历法系统，旨在使历年长度与季节循环保持一致。还包括历史上曽使用的儒略历。伊朗历也是一种阳历。
公历（即格里历)
是阳历的一种，目前国际上最广泛使用的标准历法。
因此，（现行）公历属于阳历，但阳历不限于公历。
在日常中文中，“公历”常被简称为“阳历”，这种用法简洁明了，但不够严谨，因为“阳历”是更广义的类别，而“公历”是其特定实现。
公历 準確性与长期稳定性
格里历的平均年长为365.2425日，与当前一个回归年的平均长度（约365.24219日）非常接近 。具体而言，格里历的历法年比回归年平均长约0.00031日，即大约26.8秒。
这意味着格里历相对于回归年（即季节周期）会缓慢积累误差。这种误差累积到一整天大约需要 1÷0.00031≈3225 年。因此，从几千年的人类文明尺度来看，格里历对于民用目的而言具有非常高的准确性和稳定性。
尽管如此，格里历并非完美无缺。除了上述与回归年的微小差异外，地球自转速度的长期变化（导致日长变化）以及回归年本身长度的缓慢变化等因素，都会对超长时间尺度的历法精度构成挑战。历史上曾有过对格里历进一步改革的讨论，例如约翰·赫歇尔曾提议修改闰年规则为“每4000年减1闰”（即4000年设969个闰年，使平均年长为365.24225日），以更逼近回归年，但此类提案均未被广泛采纳。
目前，格里历仍然是科学和民用领域最为精确和实用的历法系统。
阴阳历
阴阳合历，又稱太陰太陽曆，是許多文化採用的曆法，其日期採朔望月以指示月球的相位，年則與太陽相關，利用天文學觀察兼顧月相週期和太陽週期運動所安排，且一年的月數必須是整數。
採用陰陽合曆的主要目的是配合季節，因此需要安排閏月來調整，大多數年份有12個朔望月，閏年就會有13個月。連續十九年為一章，其中安置七個閏月置閏，使曆年的平均值大約與「地球公轉一年」相當（大多採用回歸年定義，也有採用恆星年定義者）。構成陰陽合曆的曆年連續19年一套可名為陰陽章曆，四章連續一套為一蔀（詳見史記曆書），可名為陰陽蔀曆。俗稱農民曆的夏曆就是陰陽合曆之一種。陰陽合曆制中單一一曆年，其月數、日數不定。
阴阳历 含義
純「陽曆」是指曆法中只保證一年的時間與地球繞日運行周期基本一致，不考慮月份，例如華夏24節氣；純「陰曆」是指曆法中只保證一個月的時間與月亮運行周期基本一致，不考慮年長；而陰陽曆則既保證“多年的平均值”與地球繞日周期的一致，又保證“月”與月亮周期的一致。以華夏曆法為例，大小月分別為30日和29日，平均每月為29.53日，與月亮運行周期一致（參見朔望月）；平年約354日，閏年約384日，每十九年平均為365.247日，與地球繞日運行周期一致（參見回歸年）。
阴阳历 例子
希伯來曆、佛曆、印度历法、庫德曆、孟加拉曆、藏曆，還有傳統的中國農曆、日本和曆、越南曆、蒙古曆，再加上古代希臘（參見默冬章）、科利尼、和巴比倫曆都是陰陽曆。也有些在南阿拉伯的古老前伊斯蘭曆是陰陽曆的系統。中國、科利尼和希伯來的陰陽曆或多或少的是追隨著回歸年；而佛曆和印度曆追隨的是恆星年。因此，前三種曆法有季節的想法在內，而後二者則以某個滿月所在的星座來定年，藏曆則受到中國和印度曆的影響。現代學者发现在皈依基督教之前日耳曼民族也使用陰陽合曆。
阴阳历 全阳历与阴历
伊斯蘭曆的日期與太陽無關，所以是陰曆，而不是陰陽曆。民用版的儒略曆和格里曆都是陽曆，因為它們的日期與月相無關。
阴阳历 閏月的推定
當要確認是否要插入閏月時，一些曆法依賴直接的觀察，一些則比較太陽和月球的黃經度數。夏威夷人則是觀察特定的幾顆恆星和月球的關係。
另一方面，計算的陰陽曆，要累積幾個月才需要插入閏月是有一個固定規則。要建構如此一個曆法原則，回歸年的長度除以朔望月的平均長度是：
12.368266……
轉此個十進位值為連分數的最佳近似值為（[12; 2, 1, 2, 1, 1, 17, ...]），所以在下面的清單中列出了朔望月在分子，回歸年在分母的整數的比值：
注意：沒有計算的曆法的年平均長度正好等於真實回歸年的長度。使用不同的曆法有不同的年平均長度和平均的每月長度，所以曆法的月和月球朔望月之間的差距並不等於上面給出的值。
8年的循環（99個朔望月，包括99 - 8 × 12 = 3個閏月）是古雅典曆法使用的八年法（）。8年的週期也曾在第三世紀初在羅馬用來計算復活節（或舊的計算法）。
阴阳历 閏月的推定
19年的循環（235過朔望月，包括235 - 19 × 12 = 7個閏月）是算數的陰陽曆，也是經典的默冬章。它結合了8年和11年的週期，使誤差逼近於1⁄19，這個循環可以截斷為11年（跳過包括3個閏月的8年），之後又可以恢復為19年的巡環。默冬章的週期是整數的日數，然而實際的陰曆月並不是整數的日數。它可以適用於一年365.25日，採用4 × 19年的卡利巴斯週期（）的年平均值。
羅馬從第三世紀至457年，採用84年的週期計算復活節的日期。島嶼基督教一直沿用至768年，當時的Bangor主教Bishop Elfodd說服他們採用St Augustine's mission改良的曆法。84年的週期相當4 × 19年的卡利巴斯週期（包括 4 × 7個閏月）加上8年的週期（包括3個閏月），總共1039個月（包括31個閏月）。這給出的年平均為12.3690476…個月，一個週期為30,681日。但比1,039個朔望月短少1.28日，比84個回歸年超出0.66日，比84個恆星年短少0.55日。
阴阳历 閏月的推定
繼默冬章之後的下一個近似值（連分數所產生）所採用的是非常敏感的太陰週期（朔望月）與年，特別是年的數值（例如334年的週期）。其他幾種為特定的目的而定義的一年，其近似值可能更精確：例如，353年的週期，包括130個閏月，總月數為4,366個朔望月（12.36827195…），對北半球的春分年會更準確；611年的週期，包括225個閏月，總數7557個朔望月（12.36824877…）對北半球的夏至年有常好的近似；160年的週期，包括59個閏月，總數1,979個朔望月（12.36875）對恆星年（12.3687462856朔望月）有非常好的近似。
阴阳历 計算閏月
在所有的陰陽曆，都可以通過以下的計算方法，用近似長度的月和年的日數，獲得插入閏月的粗略頻率：
一個代表平常月分和閏月的序列是ccLccLcLccLccLccLcL，這就是經典的默冬章（19年7閏）。佛曆和希伯來曆限制閏年只能插入一個閏月；因此在兩個閏月之間的正常月數通常是36個月，偶爾也會只有24個月。由於中國和印度的陰陽曆依據太陽的真實運動，可以插在任何一個月的前面或後面，但通常不會在太陽移動最快的那幾個月（通過近日點的前後，現在大約是1月3日）。這使得兩個閏月之間的正常月數通常大於34個月，而同時較少的月數大約是29個月。
阴阳历 與時間無關的陰陽曆
太陽年不能包含整數月數的另一種處理方法是在一年當中通過若干不屬於任何月份的日子。一些海岸薩利希人就是用這樣的曆法。例如，奇黑利斯（Chehalis）以奇努克鮭魚到來產卵的陰曆月（在格里曆的10月）開始計算10個月，然後留下不定的日數，直到下一次奇努克鮭魚的返回。
阴阳历 各種陰陽曆
格里曆中的陰陽曆適用於計算復活節的日期，它的規則參見條目：復活節計算表冊。
中國歷代之曆法，隨朝代而有不同。見歷代之曆法。
在中國南北朝，中國及日本都曾使用元嘉曆。後來日本有自己的曆法。
阴历
陰曆是基於月球的相位週期（朔望月、月曆）的曆。與陽曆相比，陽曆的年週期基於太陽年，以及陰陽曆，其通過某種過程，例如通過置閏 – 插入閏月與太陽年對齊。最廣泛依觀測使用的陰曆是伊斯蘭曆。月份開始時間的詳細資訊因曆法而異，有些使用新月、滿月或眉月，而另一些則採用詳細計算。
由於每個月相週期大約是29+1⁄2日，陰曆月在29和30日之間交替是很常見。由於12個這樣的陰曆週期，即「陰曆年」，是354天8小時48分34秒（354.36707日），陰曆比太陽年短11到12天。在不使用農曆置閏的陰曆中，陰曆月份在 33-34陰曆年週期的過程中，循環穿過太陽年的所有季節（例如，參見伊斯蘭年份列表）。
阴历 歷史
學者們認為，古代獵人早在舊石器時代晚期就定期對月球進行觀測。撒母耳·梅西（Samuel L. Macey）將月球作為時間測量依據追溯到28,000-30,000年前。
陰曆最早是由西亞人（及兩河流域的人）發明，在天文學中與陽曆對應，指主要按月球的月相週期来安排的曆法；不依據地球圍繞太陽公轉軌道位置。它的一年有12個朔望月，约354或355日
在農業氣象學中，陰曆略微不同於農曆、殷曆、古曆、舊曆，是指中國傳統上使用的農曆。而在天文學中認為農曆實際上是一種陰陽曆。
在古代農業經濟中，春天播種、秋天收耕，本來陽曆應更能反映農業週期，但不少古代曆法都是依據月相制定，一個推測是黑夜中的月球特別容易觀察，月球盈虧一目了然，直至天文技術成熟後，他們才能觀察到太陽在曆法中的作用。
阴历 陰曆的月初
陰曆和陰陽曆對哪一天是每月的第一天是不同的。有些是基於第一次看到新月，例如大多數伊斯蘭教所遵循的回曆。或者，在一些陰陽曆中，例如希伯來曆和中國曆法，一個月的第一天是發生在特定時區的天文新月。其它還有，例如某些印度曆法，每個月都從滿月後的第二天開始。
阴历 陰曆月的長度
每個月相週期的長度與平均值略有不同。此外，觀測結果還受到不確定性和天氣條件的影響。因此，為了盡量減少不確定性，人們嘗試創建固定的算術規則來確定每個日曆月的開始時間。其中最著名的是 伊斯蘭曆表：簡而言之，它有一個30年的週期，有11個閏年為355 日，19年為354日。從長遠來看，精確到大約2,500個太陽年或2,570個陰曆年誤差一天。短期內，它也會偏離觀察最多一兩天左右。該演算法由穆斯林天文學家在8世紀引入，用於預測第一個新月的大致日期，用於確定伊斯蘭陰曆。
阴历 陰陽曆
大多數被稱為「陰曆」的日曆都是陰陽曆。它們的月份基於對月球週期的觀測，使用週期性的置閏，將它們總體恢復到與太陽年一致。古埃及中使用的太陽曆，民用曆顯示出其起源於早期陰曆的痕跡，陰曆繼續與它一起用於宗教和農業目的。現存的陰陽曆包括中國的農曆、韓曆、越南曆、印度曆、希伯來曆和泰國陰曆。
最常見的置閏形式是每兩年或第三年增加一個月。一些陰陽曆還受到受月球週期和太陽週期影響的年度自然事件進行校準。這方面的一個例子是班克斯群島的陰陽曆，其中包括可食用的帕洛洛蟲在海灘上大量繁殖的三個月。因為帕洛洛斯的繁殖週期與月相同步，這些事件發生在陰曆月的最後一季。
纪元
纪元可以指：
纪元，历法中的起算之年。
纪元 (天文学)，天文学上的纪元。
纪年，記錄年的方法
纪元系列（Anno），即时战略电子游戏，又译“大航海世紀”。
纪年
纪年法，也稱為紀元法、計年法，是指历法中的年份命名体系，例如儒略曆与格里曆使用的基督纪年（公元），中国農曆使用的干支纪年等。世界各地曾存在过各种不同的纪年方法，其中一些至今仍在使用。
纪年 曾用纪年
古希腊的历史学家和学者常使用参照奥林匹克运动会的届次来纪年，如公元70年可以记作“第212届奥运会第2年”。这项始于公元前776年的泛希腊运动会每四年举行一次，为各个独立城邦提供了可以相互识别的纪年体系。在日常生活中，人们并不使用奥林匹克纪年。:769尤西比乌的《编年史》从亚伯拉罕第1241年（公元前776年）开始兼用奥林匹克纪年直至该书所记载的最后一年（公元325年，第276届奥运会第1年）。公元394年（第293届奥运会第2年），古罗马皇帝狄奥多西一世废止了这项运动，奥林匹克纪年不再适用。
纪年 曾用纪年
塞琉古纪年是塞琉古帝国以及受其影响的国家所采用的一种纪年方式，很多中东国家公元在前4世纪到公元6世纪间都曾使用该纪年，而东方基督徒直到10世纪仍有使用。该纪年可以追溯到公元前312年：当年8月，塞琉古一世重返巴比伦，在亚历山大帝国的亚洲疆土上建立了塞琉古帝国。但根据所用历法岁首的不同，塞琉古纪年元年开始于公元前312年或313年：犹太国历岁首为提斯利月，塞琉古纪年元年相当于公元前313年10月到前312年9月；巴比伦历和犹太教历岁首为尼散月，塞琉古纪年元年相当于公元前312年4月到前311年3月。
纪年 曾用纪年
古希腊和古罗马时期都曾使用执政官的名字来纪年。在雅典有九名执政官（Archon），其中统领一般行政事物的执政官任期为一年，被称为名年执政官（Archon Eponymous），各类文书通过标记名年执政官的名字来纪年。在斯巴达，每年选举监察官，故可以用他的名字纪年。古希腊史学家往往会同时使用多种方式来纪年，如底比斯军队入侵普拉提亚的公元前431年，在古希腊历史学家修昔底德笔下记作：征服优波亚后缔结“三十年和约”的第15年，即阿尔哥斯的克里西斯担任女祭司的第48年，斯巴达的埃尼希亚斯担任监察官之年，雅典执政官皮托多鲁斯执政之年。古罗马时期，有两名执政官，任期也是一年，罗马官方用两人的名字来纪年，如公元前59年的执政官是尤利乌斯·恺撒和马库斯·卡尔普尔尼乌斯·毕布道斯，这一年就被罗马人记作“恺撒与毕布道斯执政年”（the consulship of Caesar and Bibulus）。这种纪年方法一直沿用到公元541年，执政官职务被拜占庭皇帝查士丁尼一世撤销。
纪年 曾用纪年
罗马建城纪年（anno urbis conditae，简作AUC、a.u.c.，也作anno urbis，简作a.u.），也称罗马纪年，是古罗马时期历史学家所用的纪年方法之一，“anno urbis conditae”在拉丁文中意为“从建城起”。该纪年的元年，也就是罗马建城年（ab urbe condita）传统上采用罗马史学家蒂托·李维所著《罗马史》中的说法，定在公元前753年。该纪年方法最早由馬庫斯·特倫提烏斯·瓦羅在公元前1世纪开始使用的，岁首定于建城日（4月21日），不过近现代史学家一般假定其岁首与现在的相同。在罗马历和早期的儒略历中都不使用这种纪年，常用的是执政官纪年。文艺复兴时代的编著者常会为他们出版的罗马手稿添加罗马纪年，造成了一种罗马人常用罗马纪年的错误印象。公元2025年大致等同于罗马建城2777年（2025+753-1）。
纪年 曾用纪年
罗马占领纪年是罗马占领的一些地区作用的纪年方法，既用该地区已经被罗马占领了多少年或罗马在该地区建立统治多少年来纪年。西班牙纪年就是其中的一种，西班牙纪年的元年为公元前38年，这一年罗马开始对伊比利亚半岛上被征服的人们征收新的税赋，这标志着罗马统治在西班牙的建立。葡萄牙、阿拉贡、瓦伦西亚和卡斯蒂利亚的官方档案中都曾使用这一纪年，直至公元1381年被公元纪年取代。在整个罗马和拜占庭时期，德卡波利斯等叙利亚和巴勒斯坦地区的希腊化城市都使用庞培纪年，其元年是罗马将军庞培占领该地区的公元前63年。
小纪纪年（indiction cycle）是古罗马的一种纪年方式，每十五年一次循环，具体的年份被称为“第1小纪”、“第2小纪”等，但循环是不计数的，需要根据其他信息来确定具体年份。这种十五年周期最初是罗马埃及厘定财产以供征缴农业税和土地税的周期，4世纪开始有文档和事件使用小纪纪年，而且在原先的税政制度改变后很多年仍有使用。埃及、高卢和希腊大部分地区都曾使用这种纪年，其中埃及用至7世纪被穆斯林征服，拜占庭帝国用到1453年覆灭。公元纪年的发明者狄奥尼修斯·伊希格斯曾记载小纪纪年与公元纪年的换算方法为：公元纪年加3除以15，所得余数为小纪纪年，其中0视为15。:7706世纪初，马尔塞里努（Marcellinus）在其编年史中同时采用了小纪和执政官纪年。马里乌主教（Marius of Aventicensis）也在其编年史中采用了小纪纪年。公元2025年大致等同于第3小纪。
凯撒利亚的尤西比乌所著的《编年史》中，使用亚伯拉罕纪年贯穿整书，亚伯拉罕纪年即亚伯拉罕出生以来多少年，根据尤西比乌的说法亚伯拉罕纪年元年为公元前2017年，如公元70年被他记作“第212届奥运会第2年，亚伯拉罕第2086年”。普洛斯佩鲁发明了耶稣受难纪年，其元年是耶稣受难的公元33年。他在其著述中同时采用耶稣受难纪年和执政官纪年，如将公元455年记作“受难第428年，瓦伦提尼第八次和安提米翁第一次任执政官”。创世纪年是一种根据旧约圣经对于世界创造观点的纪年方式。在希伯来历与拜占庭历中都使用这个纪年法。拜占庭历中创世元年为公元前5509年，岁首在公历九月。拜占庭历已知最早记录是公元7世纪的，而其雏形早在公元400年左右就已形成。
大韓民國紀年並是從1919年開始。所以，建國的時候已經是大韓民國30年。這個年號於1948年9月25日被檀君紀元取代。1962年新憲法修改（第三共和制）時候，檀紀被公元取代。
朝鮮民主主義人民共和國官方自1997年9月9日至2024年10月12日曾使用的紀年，以1912年為主體元年，至2024年時為主體113年。
纪年 现存纪年
公历纪元，又稱作公元、西历纪元、西元，是當今國際社會最為廣泛使用的紀年標準。其源於西方國家使用的基督纪年，以當時認定的耶穌出生之后的那一年為紀年的開始，尽管目前学界普遍认为耶穌並非出生于如今所说的公元1年。目前现行的公历是格里历。
公历纪元的第1年稱作“公元1年”或“公元元年”，前一年称作“公元前1年”，没有“公元0年”。
为纪念戴克里先迫害，在基督教纪年中还有一种名为“戴克里先纪年”的纪年方法，其元年为戴克里先执政的第一年284年。但这并不是罗马的帝王纪年，而是埃及所用的一种纪年方法，最初它的岁首按照埃及当地历法确定的。戴克里先取消埃及的特殊地位之后，之后就遵循执政官纪年的岁首1月1日。虽然戴克里先以迫害基督徒而著名于世，但亚历山大编制的复活节表中曾长期使用这一纪年。亚历山大科普特正教会所用的科普特曆仍使用戴克里先纪年，不过已经在643年改称“殉道纪年”（Era of Martyrs）。:766–7
纪年 现存纪年
帝王纪年，或称王位纪年、王公即位年次纪年，是根据君主即位年次来表示年份的纪年方法，曾被广泛应用于欧洲和亚洲的多个地区。苏美尔王表、巴比伦年表等使用的都是这种纪年方式。
罗马帝国时期，也曾使用罗马皇帝的帝王纪年，但起初他的远不及执政官纪年常用。最初奥古斯都用他已经当执政官多少年和罗马元老院已经任命他为护民官第多少年来记述他在位时的年份。奥古斯都的继任者们延续了他的做法，直到公元200年左右罗马共和国的记忆已经所剩无几了，他们才公开的使用帝王纪年。
在东亚，除有多数国家直到20世纪仍使用由帝王纪年发展而来的年号纪年，但多已廢止。唯日本现在仍在使用年号纪年（现时为令和），今年是西元2025年，即令和7年。
干支纪年认为兴自东汉。东汉四分历以前，用岁星纪年和太岁纪年。到现在来用干支纪年。
中華民國官方的紀年，以1912年為中華民國元年，今年為民國114年。
矩阵
數學上，一個的矩陣（英語：）是一个有（row）（column）元素的矩形阵列。矩陣裡的元素可以是数字或符号甚至是函数。
大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的数等于第二个矩阵的数。矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如之类的線性函數的推广。设定基底后，某个向量可以表示为的矩阵，而线性变换可以表示为数为的矩阵，使得经过变换后得到的向量可以表示成的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。
矩阵
矩陣是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵在力学、电路学、光学和量子物理等領域中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，請參考矩陣理論。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
矩阵 词源
中文中矩阵的概念最早见于1922年。1922年，北京师范大学附属中学數學老師程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，在科学名词审查会算学名词审查组刊登於《科学》第十卷第四期的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。1949年中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。
矩阵 發展
作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，已经出现过以矩阵形式表示线性方程组系数以解方程的图例，可視為矩阵的雏形。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同时独立建立了行列式論。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。
矩阵 發展
进入十九世纪后，行列式的研究进一步发展，矩阵的概念也应运而生。奧古斯丁·路易·柯西是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。他还在1829年就在行列式的框架中证明了实对称矩阵特征根为实数的结论。其后，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特注意到，在作为行列式的计算形式以外，将数以行和列的形式作出的矩形排列本身也是值得研究的。在他希望引用数的矩形阵列而又不能用行列式来形容的时候，就用“matrix”一词来形容。而在此之前，数学家已经开始将增广矩阵作为独立的对象引用了。西尔维斯特使用“matrix”一词是因为他希望讨论行列式的子式，即将矩阵的某几行和某几列的共同元素取出来排成的矩阵的行列式，所以实际上“matrix”被他看做是生成各种子式的“母体”：
我在先前的文章中将矩形排布的序列称为“Matrix”，盖因从中可以产生出各种不同的行列式，就如由同一个母体的子宫中孕育出来一样。
矩阵 發展
阿瑟·凯莱被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现，这也使得凯莱认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯莱还提出了凱萊–哈密頓定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是弗罗贝尼乌斯于1898年给出的。
此后更多数学家开始对矩阵进行研究。埃尔米特证明了如果矩阵等于其复共轭转置，则特征根为实数。这种矩阵后来被称为埃尔米特矩阵。弗罗贝尼乌斯对矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面做了大量工作。1878年，在引进了不变因子、初等因子等概念的同时，弗罗贝尼乌斯给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念。同年，他探讨了矩阵的最小多项式（最小方程）问题。1894年的论文中，他讨论了矩阵理论和四元数理论的关系。1896年，他给出了凯莱-哈密尔顿定理的完整证明。矩阵理论在19世纪沿着两个方向发展，分别是作为抽象代数结构和作为代数工具描述几何空间的线性变换。矩阵理论为群论和不变量理论的发展。
无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。
矩阵 正式定义
直觀上就是用兩個數碼去標記一堆數學實體（如數字、函數），實際上是有限序列的一種推廣。
被暱稱為矩陣  裡的元素，通常簡記為、或。除此之外也會用小寫字母如  來表示元素，以跟矩陣  本身做區別，也可以用  或  來同時表示元素的記號和的上下限。
注意到计算机科学中常會將矩陣取為：
也就是直觀上要求數碼從  開始，這是因為計算偏移量比較方便。
如果表達式 （嚴格來說是合式公式，其中  表示為包含變數  的項）可以唯一決定一個矩陣  ，那可將記為   。如：
且
就可以表達為  。
根據公理化集合论，可以定義一個函數的集合  ，它囊括所有定義在   上的  矩阵，也就是說：
因為矩陣的英文以M開頭，也有人將記為或，更進一步若則記為。
矩阵 正式定义
以列舉元素的方式表示矩陣時，通常會排成矩形的樣子，如以下的  矩陣：
會排列成：
也就是第一個數碼標記某元素排在橫向的第幾排；第二個數碼標記縱向的第幾排；也就是一般來說，矩陣會如下表示：
在這種排列表示方法下，英文會將橫向的一排称為「row」，縱向一排称為「column」；但兩岸對此卻有相反的稱呼：
而對於任意矩陣 ，若 時這種排列的表示會變成正方形，所以此時特稱為方块矩阵（）；類似地，若 稱為「row vector」（臺灣譯為列向量）； 稱為「column vector」（臺灣譯為行向量）。但注意到矩陣只是一種特殊的函數，與具有「加法」與「純量乘法」的一般向量不必然相同。
矩阵 矩陣的基本運算
矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种。
為了定義矩陣間的「加法乘法」，對都在「取值」的任意矩陣來說，需額外要求  有「加法」(  ) 和「乘法」(  )，且加法乘法應該符合一些直觀的「運算規律」，也就是要求是個环；如直接取為实数系或复数系，這樣的矩陣分別被简称为实矩阵或复矩阵。
以下是最常用的基本運算定义：
矩阵的加法运算满足交换律：。矩阵的转置和数乘运算对加法满足分配律：
矩阵加法和数乘兩種運算使得成為一个维的實數線性空間。而转置和数乘运算满足类似于结合律的规律：
矩阵也有类似行列式的初等变换，即对矩阵的某些行和某些列进行三类操作：交换两行／列，将一行／列的每个元素都乘以一个固定的量，以及将一行／列的每个元素乘以一个固定的量之后加到另一行／列的相应元素上。这些操作在求其逆矩阵时有用。
矩阵 矩阵乘法
两个矩阵的乘法仅当第一个矩陣的數(column)和另一个矩阵的數(row)相等时才能定义。如是矩陣和是矩陣，它們的乘積是一個矩陣，它的一个元素
其中'。
例如
矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律（左分配律和右分配律）：
矩阵的乘法与数乘运算之间也满足类似结合律的规律；与转置之间则满足倒置的分配律。
矩阵乘法不满足交换律。一般来说，矩陣及的乘积存在，但不一定存在，即使存在，大多数时候。比如下面的例子：
这一特性使得矩阵代数与常见的一些数域（有理数、实数、复数）以及环（多项式环、整数环）都不同。给定一个维的方块矩阵，与交换的所有方块矩阵构成一个环，称为的交换子环。这些矩阵也构成的一个子空间，称为的可交换空间。与中所有矩阵交换的矩阵只有形如的矩阵（称为数乘矩阵）。其中的是单位矩阵，也就是主对角线上的元素为1，其它元素为0的矩阵。任意矩阵乘以单位矩阵都得到自身：。
矩阵 矩阵乘法
除了最常见的矩阵乘法定义以外，也有一些较不常见的矩阵乘法，比如阿达马乘积和克罗内克乘积。
矩阵乘法的一个基本应用是在线性方程组上。线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：
其中的以及等等是已知的常数，而等等则是要求的未知数。运用矩阵的方式，可以将线性方程组写成一个向量方程：
其中，是由方程组里未知量的系数排成的矩陣，是含有个元素的向量，是含有个元素的向量。
这个写法下，将原来的多个方程转化成一个向量方程，在已知矩阵和向量的情况下，求未知向量。
矩陣是线性变换的便利表達法。矩陣乘法的本质在联系到线性变换的时候最能体现，因为矩阵乘法和线性变换的合成有以下的联系：
以表示所有長度為的向量的集合。每个的矩阵都代表了一个从射到的线性变换。反过来，对每個线性变换，都存在唯一m×n矩陣使得对所有中的元素，。这个矩阵第第上的元素是正则基向量（第j个元素是1，其余元素是0的向量）在映射后的向量的第个元素。
矩阵 矩阵乘法
也就是说，从射到的线性变换构成的向量空间上存在一个到的一一映射：
以下是一些典型的2维实平面上的线性变换对平面向量（图形）造成的效果，以及它们对应的2维矩阵。其中，僅有伸縮（或壓縮）變換會影響變換後的圖形面積。每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点(0, 0)用黑点表示。此外，矩陣的線性變換亦可如同函數一般，以基本的伸縮、鏡射、旋轉、推移等，組成「合成變換」。
设有的矩陣代表线性變換，則矩陣積代表了綫性變換的复合，因为
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行／列向量的最大个数，同时也是矩阵对应的线性变换的像空间的维度。秩－零化度定理说明矩阵的数量等于矩阵的秩与零空间维度之和。
矩阵 方块矩阵
行数与列数相同的矩阵称为方块矩阵，简称方阵。所有维的方块矩阵构成一个线性空间，这个空间对矩阵乘法也是封闭的，因此也是一个代数。方阵称为可逆或非奇异的，如果存在另一个方阵，使得
成立。这时候可以证明也有成立，可将矩阵称为的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵如果存在的话，就是唯一的，通常记作。
矩阵的元素称为其主对角线上的元素。方块矩阵的所有主对角线元素之和称为它的迹，写作。尽管矩阵的乘法不满足交换律，方阵相乘时交换顺序会导致乘积变化，但它们的迹不会变，即。除此以外，矩阵转置的迹等于其自身的迹，。
如果一个方阵只有主对角线上的元素不是0，其它都是0，那么称其为对角矩阵。如果主对角线上方的元素都是0，那么称为下三角矩阵；反之如果主对角线下方的元素都是0，那么称为上三角矩阵。例如的时候，这些矩阵分别写作：
（对角矩阵），（下三角矩阵）和（上三角矩阵）。
矩阵 方块矩阵
方块矩阵的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作或，反映了矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于0当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵的行列式的绝对值表示单位面积（体积）的图形经过对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明它逆转空间定向。
2×2矩阵的行列式是
。
3×3矩阵的行列式由6项组成。更高维矩阵的行列式则可以使用莱布尼兹公式写出，或使用拉普拉斯展开由低一维的矩阵行列式递推得出。
两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：。将矩阵的一行／列乘以某个系数加到另一行／列上不改变矩阵的行列式，将矩阵的两行／列互换则使得其行列式变号。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程组的解（见克萊姆法則）。
的方块矩阵的一个特征值和对应特征向量是满足
矩阵 方块矩阵
的标量以及非零向量。特征值和特征向量的概念对研究线性变换很有帮助。一个线性变换可以通过它对应的矩阵在向量上的作用来可视化。一般来说，一个向量在经过映射之后可以变为任何可能的向量，而特征向量具有更好的性质。假设在给定的基底下，一个线性变换对应着某个矩阵，如果一个向量可以写成矩阵的几个特征向量的线性组合：
其中的表示此向量对应的特征值是，那么向量经过线性变换后会变成：
可以清楚地知道变换后向量的结构。
另一个等价的特征值定义是：标量为特征值，如果矩阵是不可逆矩阵。根据不可逆矩阵的性质，这个定义也可以用行列式方程描述：为特征值，如果
这个定义中的行列式可以展开成一个关于的n阶多项式，叫做矩阵A的特征多项式，记为。特征多项式是一个首一多项式（最高次项系数是1的多项式）。它的根就是矩阵特征值。哈密尔顿－凯莱定理说明，如果用矩阵本身代替多项式中的不定元，那么多项式的值是零矩阵：
转置等于自己的矩阵，即满足的方块矩阵叫做对称矩阵。满足的矩阵称为反对称矩阵。在复系数矩阵中，则有埃尔米特矩阵的概念：满足的方块矩阵称为埃尔米特矩阵，其中的表示的共轭转置矩阵。
根据谱定理，实对称矩阵和复埃尔米特矩阵拥有特征基，即由矩阵的特征向量组成的基底。因此任何向量都能表示成矩阵特征向量的线性组合。此外，这两类矩阵的特征值都是实数。
的实对称矩阵如果满足对所有非零向量，对应的二次型
函数值都是正数，就称为正定矩阵。类似地还有半正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵等概念。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。
矩阵 矩阵的计算
矩阵在许多学科领域中都有应用，在很多时候，除了需要知道矩阵的理论性质以外，还需要计算矩阵的数值。为了矩阵的计算能够足够精确与快捷，数值线性代数中专门有研究矩阵的数值计算方法。与其它的数值计算一样，矩阵的数值计算注重的主要也是算法的复杂度和数值稳定性。矩阵的数值计算可以使用直接计算，也可以用迭代算法，例如在计算方块矩阵的特征值时，可以从一个非零向量开始，通过特定迭代方法得到一个逼近某个特征向量的向量序列。
测量一个算法的复杂度是指估计此算法需要的基本运算如数字的加法和乘法的次数，或者找出它的一个上界。例如按照定义计算的话，两个阶方阵的乘法需要次数字乘法计算，因为其乘积是一个阶方阵，有个元素，计算每个元素需要次数字乘法。如果使用施特拉森算法的话，可以将数字乘法的次数减低到大约次。此外，编程语言或环境本身对算法的复杂度也会有影响。
某些特殊类型的矩阵携带的数据量比一般矩阵要少，同时带来的信息量比一般矩阵多。一个重要的例子是稀疏矩阵，这类矩阵中绝大部分的元素是零。有关稀疏矩阵的计算，如计算稀疏矩阵的线性方程组时，可以使用一些专用于稀疏矩阵的特殊算法（比如共轭梯度法），减低计算复杂度。
矩阵 矩阵的计算
算法的数值稳定性是指输入值的小变化不会让计算结果产生很大偏差。例如计算逆矩陣（亦稱反方陣、反矩陣，記作）時，可以用以下的算法（其中表示的伴随矩阵，表示的行列式）
这个算法在的行列式接近0的时候会引起很大的舍入误差。而如果使用全选主元的高斯消去法求逆，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。
矩阵研究的一大方向是将一般的矩阵用一些比较“简单”的矩阵来表示。这种表示方式称为矩阵的变换与分解。矩阵变换与分解的方法有很多，它们的目的都是希望化简后的矩阵保持原矩阵的某些性质，比如行列式、秩或逆矩阵，而形式相对简单，因而能用容易地进行讨论和计算，或者能使得某些算法更易执行。
矩阵 矩阵的计算
LU分解将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。分解后的矩阵可以方便某些问题的解决。例如解线性方程组时，如果将系数矩阵分解成的形式，那么方程的求解可以分解为求解和两步，而后两个方程可以十分简洁地求解（详见三角矩阵中“向前与向后替换”一节）。又例如在求矩阵的行列式时，如果直接计算一个矩阵的行列式，需要计算大约次加法和乘法；而如果先对矩阵做分解，再求行列式，就只需要大约次加法和乘法，大大降低了计算次数。这是因为做分解的复杂度大约是次，而后注意到和是三角矩阵，所以求它们的行列式只需要将主对角线上元素相乘即可。
高斯消去法也是一种矩阵分解方法。通过初等变换操作，可以将任何矩阵变为阶梯形矩阵，而每个操作可以看做是将矩阵乘上一个特定的初等矩阵。奇异值分解则是另一种分解方法，将一个矩阵表示成3个矩阵的乘积：。其中和是酉矩阵，是对角矩阵。
特征分解是将一个矩阵写成的形式，其中是一个可逆矩阵，是对角矩阵。如果的特征分解存在，就称它是可对角化的矩阵。不能对角化的矩阵，也有类似的分解方式。任意的矩阵都可以写成的形式，其中的矩阵是若尔当标准型。若尔当标准型是矩阵的一种，它与对角矩阵类似，只不过主对角线上的元素不是数值，而是若尔当块：主对角线上为同一元素，主对角线右上一行的次对角线上都是1，其它元素都是0的矩阵（见右图）。特征分解可以方便计算矩阵的幂次和多项式，如要计算：
而其中对角矩阵的幂次要比容易计算得多。同理还可计算矩阵指数：（在线性微分方程中有应用）、矩阵对数和矩阵的平方根。为了提高算法的数值稳定性，还有舒尔分解等矩阵分解方法。
矩阵 矩阵的推广
矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，也可以任意环或域中元素。在线性代数中，矩阵的性质可以经由有限维的线性空间中的线性变换定义。更广泛的，无限维空间中的线性算子，则可以定义更广泛的无穷维矩阵。矩阵的另一种推广是张量。标量可以看成零维方式排列的数据（只有一个“点”），向量可以看成是一维方式排列的数据（若干个“点”排成的“线段”），矩阵可以看成是二维方式排列的数据（若干个“线段”排成的“矩形”），而张量的概念则包括了这几种排列方式。在张量的概念中，标量是零维张量，向量是一维张量，矩阵是二维張量，而更高维方式排列的数据方式就是高维张量。
矩阵 矩阵的推广
矩阵的元素除了可以是实数和复数以外，还可以是任何能够使得矩阵的运算律成立的元素。首先，矩阵的元素可以是任意一个域（即能够进行“加减乘除”运算的集合）中元素。例如编码理论中会出现系数为有限域中元素的矩阵，以及有理数系数的矩阵。如果矩阵的系数所在域不是代数闭域，那么在求矩阵的特征值时，由于特征值是相应的特征多项式的根，可能不在系数域中，而是在系数域的某个扩域L中。反过来，如果考虑扩域，以及中的一个元素，以及中线性变换，那么由于也是一个-线性变换，它可以表示成一个的系数矩阵，其中的是扩域的阶数。是这个矩阵的特征值，这个矩阵的特征多项式是在中的最小多项式的幂次：
。其中的是扩域 的阶数。
更一般的情况是矩阵的元素属于某个环。环是比域更广泛的概念，只要求其中元素能够进行加减法和乘法运算（不一定能定义除法）。给定一个环，中的矩阵之间可以相互加减以及相乘，所以关于矩阵的加法和乘法也构成一个环，称为矩阵环。维方阵的环與左-模的自同態環同構。
矩阵 矩阵的推广
若是交换环，則是一个帶單位元的-代數，满足结合律，但不满足交换律。其中的矩阵仍然可以用莱布尼兹公式定義行列式。一个矩阵可逆当且仅当其行列式为环中的可逆元（域上的矩阵可逆只需行列式不等于0）。
前面已经提到，所有的线性变换都对应着一个中的矩阵。更一般地，给定了基底后，任意两个有限维线性空间之间的线性映射也对应着一个矩阵。设空间和的基底分别是和，那么
对任意  ，
矩阵实际上“记录”了中每个基底向量经过变换后得到的中的像在基底下的形式。要注意矩阵的内容取决于基底的选择。可以说，矩阵是线性变换f在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述的矩阵是不同的，但这些矩阵都是相似矩阵。与矩阵有关的基本概念都可以用线性变换的层面来解释，比如一个矩阵的转置可以用f的对偶变换来表示。
当矩阵的元素是带单位元的环中的元素时，的-矩阵对应的则是-自由模和之间的-线性变换。的时候，这些-线性变换可以相互复合，因此维的-矩阵环能够与-自同态环同构。
矩阵 矩阵的推广
群是比环更宽泛的代数结构，只需要集合配备一个满足结合律的二元运算，即将两个群内元素映射到群内一元素的运算。矩阵群是指矩阵关于矩阵乘法组成的群。显然，只有方块矩阵才能构成乘法群。所有维的可逆方阵构成一个群，称为阶一般线性群。由于群内每个元素都必须是可逆的，任意的矩阵群都必然是一般线性群的子群。
能够在矩阵乘法和求逆矩阵运算下保持的性质都可以用来刻画一定的矩阵群。例如所有行列式为1的矩阵可以构成一个群，称为阶特殊线性群。所有维的正交矩阵，即满足：
的矩阵也构成一个群，称为阶正交群。正交矩阵得名于它在中对应的线性变换具有保角性，也就是说对基本的点积，满足
每个有限群都同构于一个矩阵群。实际上，每个有限群都同构于某个置换群的子群，而每个置换群都同构于一个矩阵群（见置换群的正则群表示）鉴于矩阵群的性质可以通过与矩阵相关的更多手段更好地理解，常常通过研究矩阵群来研究一个有限群。相关的理论称为群表示论。
矩阵 矩阵的推广
无穷维矩阵可以指行数或列数无穷大，或两者都是无穷大的矩阵。尽管这样的矩阵无法完整写出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以对它进行矩阵操作和运算。这里矩阵的行数和列数甚至不一定需要是可数集。需要注意的是，无穷维矩阵的乘法涉及到无穷级数求和，因此只有在相关的无穷级数收敛的时候，才能定义矩阵的乘积。无限维矩阵也可以是方块矩阵，定义为行标记集合与列标记集合相同的矩阵（如）。
无限矩阵无法定义通常意义上的行列式，因此可逆矩阵不一定是方块矩阵，同理，酉矩阵也不一定要是方块矩阵。
空矩阵是指行数或列数为零的矩阵。空矩阵的定义可以完善一些关于零维空间的约定。包括约定一个矩阵与空矩阵相乘得到的也是空矩阵，两个和的空矩阵相乘是一个的零矩阵（所有元素都是零的矩阵）。0×0的空矩阵的行列式约定为1，所以它也可以有逆矩阵，约定为它自己。
分塊矩陣是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣
可分割成4個2×2的矩陣
。将矩阵分块可以使得矩阵结构清晰，在某些时候可以方便运算、证明。两个大小相同、分块方式也相同的矩阵可以相加。行和列的块数符合矩阵乘法要求时，分块矩阵也可以相乘。将矩阵分块相乘的结果与直接相乘是一样的。用分块矩阵求逆，可以将高阶矩阵的求逆转化为多次低阶矩阵的求逆。
矩阵 应用
矩阵在许多领域都应用广泛。有些时候用到矩阵是因为其表达方式紧凑，例如在博弈论和经济学中，会用收益矩阵来表示两个博弈对象在各种决策方式下的收益。文本挖掘和索引典汇编的时候，比如在TF-IDF方法中，也会用到文件项矩阵来追踪特定词汇在多个文件中的出现频率。
复数可以用实系数的2×2矩阵表示：
这种表示法与复数的加减法、乘法都相兼容。比如，2×2的旋转矩阵可以用来表示模长为1的复数，一个向量乘以此旋转矩阵可以视作一个复数乘以该模长为1的复数。对四元数也有类似的矩阵表达。
早期的密码技术如希尔密码也用到矩阵。然而，矩阵的线性性质使这类密码相对容易破解。计算机图像处理也会用到矩阵来表示处理对象，并且用放射旋转矩阵来计算对象的变换，实现三维对象在特定二维屏幕上的投影。多项式环上的矩阵在控制论中有重要作用。
化学中也有矩阵的应用，特别在使用量子理论讨论分子键和光谱的时候。具体例子有解罗特汉方程时用重叠矩阵和福柯矩阵来得到哈特里－福克方法中的分子轨道。
矩阵 应用
图论中可以用矩阵描述一个有限图。这个矩阵叫做相关矩阵的邻接矩阵，记录了图的每两个顶点之间是否有边连接。对简单图来说，邻接矩阵的元素只取两个值：0和1,第第上取值为0，表示没有从第个顶点连到第个顶点的边，取值为1则说明有。如果是一般情况的话，第第 上的取值是从第个顶点连到第j个顶点的边的数目。距离矩阵则是表示图中各顶点之间距离的矩阵。在研究互联网等复杂网络的时候，邻接矩阵常常会是稀疏矩阵。因此网络理论中有专门研究稀疏矩阵的方面。
在多元函数微积分学中，对二阶偏导数存在的函数，可以定义其海森矩阵：
。
严格来说，仅当函数在某一点上的二阶偏导数存在，才能定义这一点上的海森矩阵。海森矩阵给出了函数在这一点的变化率方面的信息。当给定的点是函数平稳点（即函数在这一点上的一阶偏导数都是0）时，就需要利用海森矩阵来查看函数在这一点周围的增长特性。多元函数在点的泰勒展开是：
矩阵 应用
如果函数在点x的一阶偏导数都是0，那么，所以函数在x附近的变化率取决于海森矩阵的性质。如果是正定矩阵，那么函数在点x取得局部最小值，如果是负定矩阵，则函数在x取得局部最大值。在这类情况下，关于函数f的条件最优化问题可以转变为关于海森矩阵的二次规划问题。
矩阵在多元函数微积分中的另一个应用是雅可比矩阵。函数在某一点x上的一阶偏导数存在时，可以定义它在这点上的雅可比矩阵：
。如果，而又是满秩矩阵（秩等于）的话，根据反函数定理，可以找到函数在x附近的一个局部的反函数。
偏微分方程理论中，二阶拟线性偏微分方程可以根据最高次偏导项系数构成的矩阵的正定性分类。假设有一个二阶拟线性偏微分方程：
并假设
记矩阵。如果矩阵是正定或负定矩阵，那么就称方程为椭圆形偏微分方程；如果不可逆，就称为抛物形偏微分方程，如果可逆而且恰有个特征值同号，就称为双曲型偏微分方程。其它情况下也称为超双曲形偏微分方程。不同类型的方程解的形式也不一样。
矩阵 应用
用数值方法解偏微分方程时更需要用到矩阵。一个重要的方法是有限元方法，在求解各种物理中遇到的偏微分方程时广泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“简单”函数的线性组合来“逼近”偏微分方程的精确解。这些“简单”函数通常是指将求解区域分割成一定数量的“小块”后，仅在某一“小块”上非零的分段线性函数。选定了网格和“简单”函数后，可以求解关于刚度矩阵的方程得到近似解。有限元理论中证明了在满足一定的条件下，近似解将随着网格趋于精细而弱收敛到精确解。
概率论中常用到随机矩阵，即向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之间，并且加起来等于1的向量）的矩阵。随机矩阵可用来定义有限概率空间中的马尔可夫链。设随机变量是某个马尔可夫链在时刻的状态，所有可能的状态称为状态空间，那么随机矩阵则记录了假设已知的可能情况下做各种取值的可能性。的第第上的元素表示当的时候，的可能性。的第记录了从转移到各种状态的可能性。所以叫做时刻的转移矩阵。如果马尔可夫链的转移矩阵不随时刻变化，则称为齐次马尔可夫链。这时马尔可夫链的吸引态可以通过计算转移矩阵的特征向量得到。
矩阵 应用
统计学中也会用到各种不同的矩阵。描述统计学中常常需要用矩阵的形式来描述数据样本，显得更为紧凑。几个随机变量的协方差矩阵表示它们之间的协方差关系，在某种程度上表示了它们相互间的关联程度（但不绝对）。
统计学中用到矩阵的另一个地方是线性回归中的最小二乘法分析。当观测到随机样本时，线性回归法的目标是希望找到以下的线性关系：
即将变量表示成的分量的线性组合与一个已知的随机误差的和。这个表示可以写成矩阵的形式，并利用矩阵的奇异值分解来分析。
另一种随机矩阵（）是指每个元素都是随机变量的矩阵，这些随机变量可以都遵循同一个分布，或各自遵循不同的分布。一个常见的例子是全部元素都是相互独立的标准正态分布随机变量的随机矩阵。这种随机矩阵在数论和物理中也有应用。
矩阵 应用
线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。
矩阵 应用
另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。
矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。
在幾何光學裏，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學是一種忽略了光波波動性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。採用近軸近似，假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對於光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面的垂直距離）。這矩陣稱為光線傳輸矩陣，內中元素編碼了光學元件的性質。對於折射，這矩陣又細分為兩種：「折射矩陣」與「平移矩陣」。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。
由一系列透鏡或反射元件組成的光學系統，可以很簡單地以對應的矩陣組合來描述其光線傳播路徑。
在電子學裏，傳統的網目分析或節點分析會獲得一個線性方程組，這可以以矩陣來表示與計算。
很多種電子元件的電路行為可以用矩陣來描述。設定為輸入向量，其兩個分量為輸入電壓與輸入電流。設定為輸出向量，其兩個分量為輸出電壓與輸出電流。這電子元件的電路行為可以描述為；其中，是2×2矩陣，內有一個阻抗元素、一個導納元素、兩個無量綱元素與。這樣，電路的計算可以約化為矩陣計算。
公元
公历纪元（英語：，縮寫為），又稱作公元、西历纪元、西元，是當今國際社會最為廣泛使用的紀年標準。其源於西方國家使用的基督纪年，以當時認定的耶穌出生之后的那一年為紀年的開始，尽管目前学界普遍认为耶穌並非出生于如今所说的公元1年。目前现行的公历是格里历。
公历纪元的第1年稱作“公元1年”或“公元元年”，前一年称作“公元前1年”，没有“公元0年”。
公元 歷史
公元紀年起源於基督教的影響。公元525年，基督教神學家狄奧尼修斯·伊希格斯建議將耶穌生年定為紀元元年，以取代當時羅馬教廷所採用的「戴克里先紀年」（以迫害基督徒著稱的羅馬皇帝戴克里先登基之年，即公元284年為元年，又稱「殉道者紀年」）。伊希格斯並推算耶穌是生於古羅馬建國後753年，但後來的歷史學家發現他的計算有誤，因耶穌出生時大希律王仍在位，但大希律王于公元前4年已駕崩。故此推定並非出生于公元1年，現在一般认为以耶穌誕生在约公元前7年至前4年左右的說法比较可靠。但是现在有学者说大希律王於公元前1年驾崩，因此推算出耶稣诞生於公元前2至3年。
公元 英語用法
在英語裡，傳統上「紀元前」是用「BC」來代表，「紀元後」是用「AD」代表；「BC」是「Before Christ」（基督前）的首字母縮寫，基督徒常譯為「主前」；而「AD」則是拉丁文「Anno Domini」（在主之年）的縮寫，基督徒常譯為「主後」。現代由於西曆紀元的通用和標準化，為避免非基督徒的反感以及文化、意識形態上的爭議，也為了分清基督正確出生年份的訛誤（耶穌並非出生于公元1年），英語中越來越常用「BCE」和「CE」來分別代表「紀元前」和「紀元後」；「CE」是「Common Era」的縮寫，意為「公元」，而「BCE」是「Before the Common Era」的縮寫，意為「公元前」，但許多人基于各種因素仍然使用「BC」，「AD」则略去不寫。而「CE」也被一些人認為是「Christian Era」（基督紀年）的縮寫。
公元 採用
聯合國採用公元（BCE和CE）而非基督纪元（BC和AD）。本身信仰基督新教的前聯合國秘書長科菲·安南也支持使用公元做為紀年，他也指基督教人士可以將CE理解為「Christian Era」。1912年，中華民國臨時政府決定採用國際通用的元曆法做為國曆，但紀元部分沿用中國獨自的紀年傳統，稱民國紀年。
清朝时，多用西历称呼公历，自中華民國臨時政府成立之后，对外条约中普遍使用「公历」一词。現今臺灣官方及民間普遍沿用「西曆」或「西元」作為習慣翻譯。在1949年9月27日，中國人民政治協商會議第一屆全體會議決議，新成立的中華人民共和國放棄使用民國紀年，改用世界通用的元紀年制度；中華人民共和國改稱「元」，以昭明其是「國際共同」，避免「西方獨用」之義。
年代
年代，也称为十年纪（英語：，来源于古希腊语δεκάς，意为十个的），中国古代亦稱「秩」，1个年代一般为连续的10年，通常适用于用公元纪年。由于公元纪年中缺少0年，因此，有且仅有的两个只有9年的年代为前0年代和0年代。
年代的划分为依照公元纪年，如果某一年能被10整除，那么当年及此后9年（若公元前则为之前9年）共10年称为1个年代，即XXX0年到XXX9年为一个年代。