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不平等条约 各国的不平等条约
以「扶清灭洋」为口号的义和团运动迅速在中国北方兴起（南方也有类似性质的运动，规模较小）。义和团运动极端排外，在华北杀害外国人与信仰基督教的中国人，燒毀教堂。外国人紛躲入使館避難。列强以保護僑民为名，英、法、美、俄、德、日、意、奥八国联合起来，组成联军，在天津登陸後，向北京進發。清政府則以「义和团可用」，讓义和团及清兵在北京圍攻外国使館，于1900年6月21日並向十一國宣戰。八国联軍攻入北京後，清皇室倉皇逃离；並以政府之前是被义和团脅持為名，由李鸿章出面跟列強求和。义和团则被中外联合剿滅。同時俄國更乘機佔領中國東北。1901年，李鸿章代表清政府同11国签订了《辛丑条约》。条约對中國處以懲罰性的條款，包括容許外國在北京至天津駐兵，並對各國賠償大額軍費。李鸿章不久病死。这个条约進一步削弱清政府的統治。
不平等条约 各国的不平等条约
一战后为了调和各方（也包括英、法、意等国）在内的利益，华盛顿会议应运而生。不愿看到日本独占中国带来的利益，以《九国公约》大幅削减日本的在华权利，为中国收回自民四条约丧失的部分主权提供了契机。1915年之後，中華民國北京政府廢除了不少不平等條約。十月革命後，苏联曾兩次宣布废除俄罗斯帝国与中国签订的不平等条约，但苏联實際上並沒有歸還中國領土。国内民主意识与救亡图存观念日益上涨，大规模的群众集会此起彼伏，令当时的北洋政府受到极大压力。1919年爆发的五四运动，抗議北洋政府把德國在山東的權益轉讓給日本，因此在法国召开的巴黎和会上，中国代表没有在損害中国权益的《凡尔赛条约》上签字。1921年，中華民國第一件平等新約《中德協約》，在北洋政府與德國談判八個月後簽署，爭回領事裁判權與關稅自主權。此后不久，随着聯俄容共的实现，中國國民黨领导进行北伐。自1927年中华民国南京国民政府成立后，中国持续不断的收回权力与「改订新约」，使得中国的民族自尊心得到极大满足。
政府在二、三十年代虽沒有彻底废除所有的不平等条约，但已经对部分国家主权展开收回行动。其主要活动为：
不平等条约 各国的不平等条约
但这一系列的活动并没有彻底废除所有的不平等条约。各资本主义国家也畏惧各国广大人民的力量，采用了秘密协定与偷换概念的方式，一方面废除一些已经没有多大用途的不平等协定，又采用新名词取代「最惠国」等具有强烈殖民色彩的权利。比如《中美新约》的美国国务院经济顾问就曾说：「1928年七月间的一个问题是如何想办法不使用中国所反对的『最惠国』字样而保持美国的权利。我们在国务院想到这个和以后的条约中使用『待遇不得有所差别』这一字句的方法。」，可见这些改定新约运动并没能真正触及不平等条约体系的核心。
不久，第二次世界大战全面爆发，由于中国与意、日为交战方，因此废除了在华的不平等条约。1943年1月11日，美国和英国分别与中華民國签署《中美新约》、《中英新约》，自愿放弃在中国的特权。治外法權廢除後，中國司法權才完全獨立，因此中華民國政府定1月11日為「司法節」。1945年8月14日中國被迫与苏联签订中苏友好同盟条约，导致外蒙古独立。到1947年時，中國與比利時、挪威、加拿大、瑞典、荷蘭、法國、瑞士、丹麥、葡萄牙九國的不平等条约已經陸續廢除。
不平等条约 各国的不平等条约
1917年苏维埃俄国自愿放弃其在中国的特权（事後未完全兑現，亦無退還条约中獲得的領土，且历届苏联、俄罗斯政府均否认这些条约是“不平等条约”，并且苏俄对华宣言明确写着就废除1896年条约、1901年北京条约、1907年至1916年与日本签定的一切协定進行談判，并不包括之前的条约）。1945年2月11日美、英、蘇聯簽定《雅爾達協定》，其中規定：「外蒙古（蒙古人民共和國）的現狀應予保持。」1945年8月14日，國民政府与苏联签订《中蘇友好同盟條約》，在苏联不支持中国国内共产党；尊重東北的主權、領土完整；不干涉新疆內部事務的前提下，1946年1月5日，中华民国国民政府承认外蒙古独立和蒙古人民共和國。1950年苏联和中华人民共和国签署了《中苏友好同盟互助条约》而废除了《中蘇友好同盟條約》。1952年，管辖范围仅有台湾岛及周边地区的中華民國向聯合國控告蘇聯違反《中蘇友好同盟條約》中“不援助中共”等条件，聯合國大會2月1日以25票贊成，9票反對，24票棄權，通過聯合國大會505號決議譴責蘇聯，是為「控蘇案」。1953年2月20日美國總統艾森豪對國會正式否認雅爾達秘密協定的存在，中华民国政府2月23日宣布《中蘇友好同盟條約》失效，从而推翻对蒙古人民共和国的独立承认。2月25日，外交部正式宣告廢除《中蘇友好同盟條約》。1961年10月25日，联合国安理会以9票赞成，0票反对，1票（美国）弃权的表决结果，通过了聯合國安理會166號決議，建議聯合國大會接受蒙古國加入聯合國。中华民国未参加投票表决。10月27日，联合国大会通过第1630号决议案，接纳蒙古人民共和国加入联合国，中华民国未参加表决。2012年5月21日，行政院大陸委員會發表新聞稿，表示「一、民國35年我國憲法制定公布時，蒙古（俗稱外蒙古）獨立已為我政府所承認，因此，當時蒙古已非我國憲法第4條所稱的『固有之疆域』。」「二、外交部雖於民國42年提經立法院決議廢止「中蘇友好同盟條約」，但並未完成憲法領土變更之程序。」「三、外交部在91年7月8日函示略以：‘蒙古已為主權獨立國家，且為聯合國會員國之一。國際法上國家之承認，原則上屬於『無條件與不可撤回的’，當時承認之相關要件迄今仍存在。」中华人民共和国成立后，宣布继承中华民国的国际法地位，在中华民国已经于1946年承认蒙古人民共和国的基础上发展对蒙外交，1949年10月16日，中国总理兼外长周恩来复函蒙古总理兼外长乔巴山，两国建立大使级外交关系。
不平等条约 各国的不平等条约
中华民国曾保留对唐努乌梁海（今图瓦共和国）的声索。1948年5月，中華民国驻苏大使傅秉常照会苏联外交部，声明唐努乌梁海为中華民国领土，但蘇聯方面並未理會。中华人民共和国政府过去未正式對唐努乌梁海的归属问题表態，但在中苏交恶后曾一度与苏联争论其归属，据文革时期人民出版社出版的《各国概况》（人民出版社，书号17001.36，1972年3月出版）指出：“苏联在1944年吞并了我国领土唐努乌梁海，中国政府没有承认。”《辞海》等书籍亦作相同描述，至今仍未作出明確說明。2001年，中华人民共和国政府与俄罗斯联邦政府在《中俄睦邻友好合作条约》中指出两国“相互沒有領土要求”。中华民国政府则于2006年廢止蒙古盟部旗組織法，2013年說明由于“務實考量國際局勢與實際需求”，承认图瓦共和国为俄罗斯联邦主体之一。而其外交部網站上的俄羅斯地圖也包含唐努烏梁海。
不平等条约 各国的不平等条约
第二次世界大战结束后，根据1945年8月14日签订的《中苏友好同盟条约》附件一《关于中国长春铁路之协定》，规定将中东铁路和南满铁路合并为长春铁路，由中苏双方成立机构共管，三十年期限后由中华民国收回主权。中华人民共和国成立后，根据1950年2月14日中苏双方签订的《中苏友好同盟互助条约》附件《关于中国长春铁路、旅顺口及大连协定》，苏方同意不迟于1952年将长春铁路全部财产移交给中国政府。1952年8月，中苏双方发表《中苏关于中国长春铁路移交给中华人民共和国政府的公告》。同年12月31日，中国收回了长春铁路的全部主权。
时任中共中央总书记江泽民分别于1991年、1994年访俄，先后分别与時任蘇聯共產黨總書記兼蘇聯總統戈爾巴喬夫和时任俄罗斯总统叶利钦签署了《中蘇國界東段協定》、《中俄国家西段协定》；1999年叶访北京时两人又签署了《关于中俄国界线东西两段的叙述议定书》，议定书构成了以后中俄边界的法律文件。2001年7月江泽民再次访莫斯科，与俄罗斯总统普京签定《中俄睦邻友好条约》，以条约形式肯定国界线。
奥斯曼帝国在第一次世界大战戰敗後，先後簽署的穆德洛斯停戰協定和色佛尔条约都被認為是不平等條約。惟由於土耳其獨立戰爭的關係，該兩條條約最終沒有被執行，由洛桑条约取代。
20 30 40
《20 30 40》是張艾嘉导演的一部电影作品，故事發生在現代的台北。由李心潔、劉若英和張艾嘉分別飾演20多歲、30多歲及40多歲的現代女性。
韓國電影列表
本表列出歷年來在韓國上映的韓國電影作品（包含與他國合拍的電影作品，按照電影在韓國首映日期依序排列）：
江涛 (足球运动员)
江涛（1985年9月2日—2004年3月10日），是已故足球运动员，中国吉林人，曾在新加坡职业足球联赛的新麒足球俱乐部效力。
江涛 (足球运动员) 意外逝世
2004年3月10日，江涛在训练场上遭雷击而当场死亡，年仅18岁。江涛生前被认为是新麒队中最有天赋的球员之一，不料遭此横祸。这也是中国运动员中第一次发生因为雷击突然死亡的事件。2000年，前南斯拉夫拉德尼基足球俱乐部的伊万·科斯蒂奇也曾遭雷击死。
质数
質數，又称素数，指在大於1的自然数中，除了和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合数（也稱為合成數）。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。7是個質數，因為其正因數只有1與7。而4則是個合數，因為除了1與4外，2也是其正因數。6也是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位：任何大於1的整数均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如、、等都是3的有效因數分解）。
质数
古希臘數學家欧几里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中试除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為，使用此方法者需逐一測試2與之間的質數，確保它們無一能整除。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如282589933-1是直至2024年4月為止已知最大的梅森質數，也是直至2024年4月為止已知最大的質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，甚至研究質數分布時相當有力的篩法也會碰到奇偶性問題（也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題），但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或的对数）。
許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代数裡，如質元素及質理想。
质数 定義和例子
一個自然數（如1、2、3、4、5、6等）若恰有兩個正因數（1及此數本身），則稱之為質數。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。
在數字1至6間，數字2、3與5為質數，1、4與6則不是質數。1不是質數，其理由見下文。2是質數，因為只有1與2可整除該數。接下來，3亦為質數，因為1與3可整除3，3除以2會餘1。因此，3為質數。不過，4是合數，因為2是另一個（除1與4外）可整除4的數：
4 = 2 · 2
5又是個質數：數字2、3與4均不能整除5。接下來，6會被2或3整除，因為
6 = 2 · 3
因此，6不是質數。右圖顯示12不是質數：12 = 3 · 4。不存在大於2的偶數為質數，因為依據定義，任何此類數字均至少有三個不同的因數，即1、2與。這意指不是質數。因此，「奇質數」係指任何大於2的質數。類似地，當使用一般的十進位制時，所有大於5的質數，其尾數均為1、3、7或9，因為尾數0、2、4、6、8為2的倍數，尾數為0或5的數字為5的倍數。
若為一自然數，則1與會整除。因此，質數的條件可重新敘述為：一個數字為質數，若該數大於1，且沒有
质数 定義和例子
會整除。另一種敘述方式為：一數為質數，若不能寫成兩個整數與的乘積，其中這兩數均大於1：
.
換句話說，為質數，若無法分成數量都大於1且都相同的各組。
由所有質數組成之集合通常標記為P或。
质数 定義和例子
前168個質數（所有小於1000的質數）為2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ...（OEIS數列A000040）。
质数 算術基本定理
質數對於數論與一般數學的重要性來自於「算術基本定理」。該定理指出，每個大於1的整數均可寫成一個以上的質數之乘積，且除了質因數的排序不同外是唯一的。質數可被認為是自然數的「基本建材」，例如：
如同此例一般，相同的因數可能出現多次。一個數n的分解：
成（有限多個）質因數、、……、，稱之為的「因數分解」。算術基本定理可以重新敘述為，任一質數分解除了因數的排序外，都是唯一的。因此，儘管實務上存在許多質數分解演算法來分解較大的數字，但最後都會得到相同的結果。
若為質數，且可整除整數的乘積，則可整除或可整除。此一命題被稱為歐幾里得引理，被用來證明質數分解的唯一性。
质数 算術基本定理
最早期的希臘人甚至不將1視為是一個數字，因此不會認為1是質數。到了中世紀與文藝復興時期，許多數學家將1納入作為第一個質數。到18世紀中期，克里斯蒂安·哥德巴赫在他與李昂哈德·歐拉著名的通信裡將1列為第一個質數，但歐拉不同意。然而，到了19世紀，仍有許多數學家認為數字1是個質數。例如，德里克·諾曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大達10,006,721的質數列表中，將1列為第1個質數。昂利·勒貝格據說是最後一個稱1為質數的職業數學家。到了20世紀初，數學家開始認為1不是個質數，但反而作為「可逆元素」此一特殊類別。
如果將1視為質數時，許多與質數有關的敘述將不得不以拗口的方式重新表達。像是算術基本定理需要表述成分解為大於1的質數積，否則分解不再唯一。同樣地，埃拉托斯特尼篩法將無法正常運作，若將1視為質數，此一篩法將會排除掉所有1的倍數（即所有其他的數），只留下數字1。此外尚有與質數有關的公式，對1不成立，如歐拉函數以及除數函數。
质数 歷史
在古埃及人的倖存紀錄中，有跡象顯示他們對質數已有部分認識：例如，在萊因德數學紙草書中的古埃及分數展開時，對質數與對合數有著完全不同的類型。不過，對質數有過具體研究的最早倖存紀錄來自古希臘。公元前300年左右的《幾何原本》包含與質數有關的重要定理，如有無限多個質數，以及算術基本定理。歐幾里得亦展示如何從梅森質數建構出完全數。埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼篩法是用來計算質數的一個簡單方法，雖然今天使用電腦發現的大質數無法使用這個方法找出。
希臘之後，到17世紀之前，質數的研究少有進展。1640年，皮埃爾·德·費馬敘述了費馬小定理（之後才被萊布尼茨與歐拉證明）。費馬亦推測，所有具形式的數均為質數（稱之為費馬數），並驗證至（即216 + 1）不過，後來由歐拉發現，下一個費馬數232 + 1即為合數，且實際上其他已知的費馬數都不是質數。法國修道士馬蘭·梅森發現有的質數具的形式，其中為質數。為紀念他的貢獻，此類質數後來被稱為梅森質數。
歐拉在數論中的成果，許多與質數有關。他證明無窮級數會發散。1747年，歐拉證明每個偶完全數都確實為的形式，其中第二個因數為梅森質數。
质数 歷史
19世紀初，勒壤得與高斯獨立推測，當趨向無限大時，小於的質數數量會趨近於，其中為的自然對數。黎曼於1859年有關ζ函數的論文中勾勒出一個程式，導出了質數定理的證明。其大綱由雅克·阿達馬與夏尔-让·德拉瓦莱·普桑所完成，他們於1896年獨立證明出質數定理。
證明一個大數是否為質數通常無法由試除法來達成。許多數學家已研究過大數的質數測試，通常侷限於特定的數字形式。其中包括費馬數的貝潘測試（1877年）、普羅絲定理（約1878年）、盧卡斯-萊默質數判定法（1856年起）及廣義盧卡斯質數測試。較近期的演算法，如APRT-CL、ECPP及AKS等，均可作用於任意數字上，但仍慢上許多。
長期以來，質數被認為在純數學以外的地方只有極少數的應用。到了1970年代，發明公共密鑰加密這個概念之後，情況改變了，質數變成了RSA加密演算法等一階演算法之基礎。
自1951年以來，所有已知最大的質數都由電腦所發現。對更大質數的搜尋已在數學界以外的地方產生出興趣。網際網路梅森質數大搜索及其他用來尋找大質數的分散式運算計畫變得流行，在數學家仍持續與質數理論奮鬥的同時。
质数 素数的数量
存在無限多個質數。另一種說法為，質數序列
永遠不會結束。此一陳述被稱為「歐幾里得定理」，以古希臘數學家歐幾里得為名，因為他提出了該陳述的第一個證明。已知存在其他更多的證明，包括歐拉的分析證明、哥德巴赫依據費馬數的證明、弗斯滕伯格使用一般拓撲學的證明，以及庫默爾優雅的證明。
歐幾里得的證明取任一個由質數所組成的有限集合。該證明的關鍵想法為考慮內所有質數相乘後加一的一個數字：
。
如同其他自然數一般，可被至少一個質數整除（即使本身為質數亦同）。
任何可整除的質數都不可能是有限集合內的元素（質數），因為後者除都會餘。所以，可被其他質數所整除。因此，任一個由質數所組成的有限集合，都可以擴展為更大個由質數所組成之集合。
质数 素数的数量
這個證明通常會被錯誤地描述為，歐幾里得一開始假定一個包含所有質數的集合，並導致矛盾；或者是，該集合恰好包含n個最小的質數，而不任意個由質數所組成之集合。今日，個最小質數相乘後加一的一個數字，被稱為第個歐幾里得數。
歐拉的證明使用到質數倒數的總和
。
當夠大時，該和會大於任意實數。這可證明，存在無限多個質數，否則該和將只會增長至達到最大質數為止。的增加率可使用梅滕斯第二定理來量化。比較總和
當趨向無限大時，此和不會變成無限大（見巴塞爾問題）。這意味著，質數比自然數的平方更常出現。布朗定理指出，孿生質數倒數的總和
是有限的。
质数 測試質數與整數分解
確認一個數是否為質數有許多種方法。最基本的程序為試除法，但因為速率很慢，沒有什麼實際用處。有一類現代的質數測試可適用於任意數字之上，另有一類更有效率的測試方法，則只能適用於特定的數字之上。大多數此類方法只能辨別是否為質數。也能給出的一個（或全部）質因數之程序稱之為因數分解演算法。
測試是否為質數的最基本方法為試除法。此一程序將n除以每個大於1且小於等於的平方根之整數。若存在一個相除為整數的結果，則不是質數；反之則是個質數。實際上，若是個合數（其中與），則其中一個因數或必定至大為。例如，對使用試除法，將37除以，沒有一個數能整除37，因此37為質數。此一程序若能知道直至的所有質數列表，則可以只檢查為質數的狀況，以提升效率。例如，為檢查37是否為質數，只有3個相除是必要的（），因為4與6為合數。
作為一個簡單的方法，試除法在測試大整數時很快地會變得不切實際，因為可能的因數數量會隨著n的增加而迅速增加。依據下文所述之質數定理，小於的質數之數量約為，因此使用試除法測試是否為質數時，大約會需要用到這麼多的數字。對，此一數值約為4.5億，對許多實際應用而言都太過龐大。
质数 測試質數與整數分解
一個能給出某個數值以下的所有質數之演算法，稱之為質數篩法，可用於只使用質數的試除法內。最古老的一個例子為埃拉托斯特尼篩法（見上文），至今仍最常被使用。阿特金篩法為另外一例。在電腦出現之前，篩法曾被用來給出107以下的質數列表。
現代測試一般的數字是否為質數的方法可分成兩個主要類型，隨機（或「蒙特卡洛」）與確定性演算法。確定性演算法可肯定辨別一個數字是否為質數。例如，試除法即是個確定性演算法，因為若正確執行，該方法總是可以辨別一個質數為質數，一個合數為合數。隨機演算法一般比較快，但無法完全證明一個數是否為質數。這類測試依靠部分隨機的方法來測試一個給定的數字。例如，一測試在應用於質數時總是會通過，但在應用於合數時通過的機率為。若重復這個測試次，且每次都通過，則該數為合數的機率為，會隨著測試次數呈指數下滑，因此可越來越確信（雖然總是無法完全確信）該數為質數。另一方面，若測試曾失敗過，則可知該數為合數。
质数 測試質數與整數分解
隨機測試的一個特別簡單的例子為費馬質數判定法，使用到對任何整數，，其中為質數的這個事實（費馬小定理）。若想要測試一個數字是否為質數，則可隨機選擇來計算的值。這個測試的缺點在於，有些合數（卡邁克爾數）即使不是質數，也會符合費馬恆等式，因此這個測試無法辨別質數與卡邁克爾數，最小的三個卡邁克爾數為561，1105，1729。卡邁克爾數比質數還少上許多，所以這個測試在實際應用上還是有用的。費馬質數判定法更強大的延伸方法，包括貝利-PSW、米勒-拉賓與Solovay-Strassen質數測試，都保證至少在應用於合數時，有部分時候會失敗。
確定性演算法不會將合數錯誤判定為質數。在實務上，最快的此類方法為橢圓曲線質數證明。其運算時間是透過實務分析出來的，不像最新的AKS質數測試，有已被嚴格證明出來的複雜度。確定性演算法通常較隨機演算法來得慢，所以一般會先使用隨機演算法，再採用較費時的確定性演算法。
质数 測試質數與整數分解
下面表格列出一些質數測試。運算時間以被測試的數字來表示，並對隨機演算法，以表示其測試次數。此外，是指一任意小的正數，是指一無特定基數的對數。大O符號表示，像是在橢圓曲線質數證明裡，所需之運算時間最長為一常數（與n無關，但會與ε有關）乘於log5+ε(n)。
除了前述可應用於任何自然數  之上的測試外，一些更有效率的質數測試適用於特定數字之上。例如，盧卡斯質數測試需要知道  的質因數，而盧卡斯-萊默質數測試則需要以  的質因數作為輸入。例如，這些測試可應用在檢查
n! ± 1 = 1 · 2 · 3 · ... · n ± 1
是否為一質數。此類形式的質數稱之為階乘質數。其他具  或  之類形式的質數還包括索菲·熱爾曼質數（具  形式的質數，其中  為質數）、質數階乘質數、費馬質數與梅森質數（具  形式的質數，其中  為質數）。盧卡斯-雷默質數測試對這類形式的數特別地快。這也是為何自電腦出現以來，最大已知質數總會是梅森質數的原因。
质数 測試質數與整數分解
費馬質數具下列形式
,
其中， 為任意自然數。費馬質數以皮埃爾·德·費馬為名，他猜想此類數字  均為質數。費馬認為  均為質數的理由為此串列的前5個數字（3、5、17、257及65537）為質數。不過， 卻為合數，且直至2015年發現的其他費馬數字也全都是合數。一個正n邊形可用尺規作圖，若且唯若
其中， 為任意個不同費馬質數之乘積，及  為任一自然數，包括0。
下列表格給出各種形式的最大已知質數。有些質數使用分散式計算找到。2009年，網際網路梅森質數大搜索因為第一個發現具至少1,000萬個數位的質數，而獲得10萬美元的獎金。電子前哨基金會亦為具至少1億個數位及10億個數位的質數分別提供15萬美元及25萬美元的獎金。
給定一合數 ，給出一個（或全部）質因數的工作稱之為  的因數分解。橢圓曲線分解是一個依靠橢圓曲線上的運算來分解質因數的演算法。
质数 質數分佈
1975年，數論學家唐·察吉爾評論質數
像生長於自然數間的雜草，似乎不服從機率之外的法則，（但又）表現出驚人的規律性，並有規範其行為之法則，且以軍事化的精準度遵守著這些法則。
大質數的分佈，如在一給定數值以下有多少質數這個問題，可由質數定理所描述；但有效描述第n個質數的公式則仍未找到。
存在任意長的連續非質數數列，如對每個正整數，從至的個連續正整數都會是合數（因為若為2至間的一整數，就可被k整除）。
狄利克雷定理表示，取兩個互質的整數  與  ，其線性多項式
會有無限多個質數值。該定理亦表示，這些質數值的倒數和會發散，且具有相同  的不同多項式會有差不多相同的質數比例。
有關二次多項式的相關問題則尚無較好之理解。
對於質數，還沒有一個已知的有效公式。例如，米爾斯定理與賴特所提的一個定理表示，存在實常數  與 ，使得
质数 質數分佈
對任何自然數  而言，均為質數。其中，為高斯符號，表示不大於符號內數字的最大整數。第二個公式可使用伯特蘭-切比雪夫定理得證（由切比雪夫第一個證得）。該定理表示，總是存在至少一個質數 ，使得  ，其中  為大於3的任一自然數。第一個公式可由威爾遜定理導出，每個不同的n會對應到不同的質數，除了數字2會有多個  對應到外。不過，這兩個公式都需要先計算出  或  的值來。
不存在一個只會產生質數值的非常數多項式，即使該多項式有許多個變數。不過，存在具9個變數的丟番圖方程，其參數具備以下性質：該參數為質數，若且唯若其方程組有自然數解。這可被用來獲得其所有「正值」均為質數的一個公式。
質數計算函數 被定義為不大於  的質數之數量。例如，，因為有5個質數小於或等於11。已知有演算法可比去計算每個不大於  的質數更快的速率去計算  的值。質數定理表示， 的可由下列公式近似給出：
亦即， 與等式右邊的值在  趨近於無限大時，會趨近於1。這表示，小於  的數字為質數的可能性（大約）與  的數位呈正比。對  更精確的描述可由對數積分給出：
质数 質數分佈
。
質數定理亦薀涵著對第  個質數 （如、等）的大小之估算：當數字大到某一程度時，的值會變得約略為 。特別的是，質數間隙，即兩個連續質數  與  間的差會變得任意地大。後者可由數列 （其中  為任一自然數）看出。
等差数列是指由被一固定數（模） 除後會得到同一餘數的自然數所組成之集合。例如：
3, 12, 21, 30, 39, ...,
是一個等差數列，模 。除了3以外，其中沒有一個數會是質數，因為 ，所以此一數列裡的其他數字均為合數。（一般來所有大於  的質數都具有 的形式，其中 ，且  沒有不大於  的質因數。）因此，數列
只在  與  互質（其最大公因數為1）之時，可以有無限多個質數。若滿足此一必要條件，狄利克雷定理表示，該數列含有無限多個質數。下圖描述  時的情形：數字每遇到9的倍數就會再再由下往上纏一次。質數以紅底標記。行（數列）開始於  者至多只包含一個質數。其他行（）則均包含無限多個質數。更甚之，質數以長期來看，會均勻分佈於各行之中，亦即每個質數模9會與6個數其中一數同餘的機率均為。
质数 質數分佈
格林-陶定理證明，存在由任意多個質數組成的等差數列。一個奇質數  可表示成兩個平方數之和 ，若且唯若  同餘於1模4（费马平方和定理）。
歐拉指出函數
於  時會給出質數，此一事實導致了艱深的代數數論，或更具體地說為黑格納數。當  更大時，該函數會給出合數值。哈代- 李特伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）能給出一個有關具整數係數 、 與  的二次多項式
的值為質數之機率的一個漸近預測，並能以對數積分及係數  、、 來表示。不過，該程式已被證實難以取得：仍未知是否存在一個二次多項式（）能給出無限多個質數。烏嵐螺旋將所有自然數以螺旋的方法描繪。令人驚訝的是，質數會群聚在某些對角線上，表示有些二次多項式會比其他二次多項式給出更多個質數值來。
质数 未解決的問題
黎曼ζ函數 被定義為一無窮級數
其中， 為實數部分大於1的一個複數。由算術基本定理可證得，該級數會等於下面的無窮乘積
。
函數與質數密切相關。例如，存在無限多個質數這個事實也可以使用  函數看出：若只有有限多個質數，則  將會是個有限值。不過，調和級數  會發散，所以必須有無限多個質數。另一個能看見  函數的豐富性，並一瞥現代代數數論的例子為下面的恆等式（巴塞爾問題，由歐拉給出）：
。
的倒數，是兩個隨機選定的數字會互質的機率。
未被證明的「黎曼猜想」，於1859年提出，表示除  外， 函數所有的根，其實數部分均為 。此一猜想與質數間的關連在於，該猜想實際上是在說，質數在正整數中出現頻率和統計學的隨機不同；若假設為真，質數計算函數便可有效掌握，在大數時不再需要近似求值。從物理的觀點來看，這大約是在說，質數分佈的不規則性僅來自於隨機的雜訊。從數學的觀點來看，則大約是在說，質數的漸近分佈（質數定理表示小於  的質數約有個）在  周圍的區間內，於區間長度遠小於  的平方根時亦成立。此一猜想一般認為是正確的。
质数 未解決的問題
除了黎曼猜想之外，還有許多其他的猜想存在。雖然這些猜想的陳述大多很簡單，但許多猜想經過了數十年仍提不出證明，如4個蘭道問題，從1912年提出至今仍然未解。其中一個為哥德巴赫猜想，該猜想認為每個大於2的偶數n都可表示成兩個質數之和。至於2011年2月，這個猜想對最大達 的所有數字都會成立。較弱形式的哥德巴赫猜想已被證明，如維諾格拉多夫定理，該定理表示每個足夠大的奇數都可表示成三個質數之和。陈氏定理表示，每個足夠大的偶數都可表示成一個質數與一個半質數（兩個質數的乘積）之和。此外，任一個偶數均可寫成六個質數之和。數論研究這些問題的分支稱之為加性數論。反哥德巴赫猜想，所有的正偶數  都可以表示成兩個質數之差，但此猜想可由波利尼亞克猜想類推證明。
质数 未解決的問題
其他猜想處理是否有無限多個具某些限制的質數這類問題。據猜想，存在無限多個費波那契質數與無限多個梅森質數，但沒有無限多個費馬質數。還不知道是否存在無限多個維費里希質數與歐幾里得質數。
第三種類型的猜想涉及到質數的分佈情形。據猜想，存在無限多對孿生質數，即有無限多對相差2的質數（孿生質數猜想）。波利尼亞克猜想是比孿生質數猜想更強的一個猜想，該猜想表示存在無限多對相差  的連續質數。據猜想，存在無限多個具  形式的質數。上述猜想都是申策爾猜想的特例。布羅卡猜想表示，在兩個大於2的連續質數之平方數之間，總是會有至少4個質數。勒讓德猜想表示，對每個正整數 ， 與  間總會存在一個質數。克拉梅爾猜想可導出勒讓德猜想。
质数 應用
長期以來，數論，尤其是對質數的研究，一般都會被認為是典型的純數學，除了求知的趣味之外，沒有其他應用。特別是，一些數論學家，如英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代即對其工作絕對不會有任何在軍事上的重大性感到自豪。然而，此一觀點在1970年代時遭到粉碎，當質數被公開宣布可以作為產生公鑰加密演算法的基礎之時。質數現在也被用在雜湊表與偽亂數產生器裡。
國際標準書號的最後一碼為校驗碼，其演算法使用到了11是個質數的這個事實。
在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒数最好設計成素数，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次数的最小公倍数，可增強耐用度減少故障。
在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關係上，殺蟲劑的素数次数的使用也得到了證明。實驗表明，素数次数地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難産生抗藥性。
以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。
「模運算」使用下列數字修改了一般的運算
质数 應用
其中  是個固定的自然數，稱之為「模」。計算加法、減法及乘法都與一般的運算一樣，不過負數或大於  的數字出現時，會被除以  所得的餘數取代。例如，對 ，3+5為1，而不是8，因為8除以7餘1。這通常念為「3+5同餘於1模7」，並標記為
。
同樣地，、，因為 ，以及，因為12除以7餘5。加法與乘法在整數裡常見的標準性質在模運算裡也依然有效。使用抽象代數的說法，由上述整數所組成之集合，亦標記為，且因此為一可交換環。不過，除法在模運算裡不一定都是可行的。例如，對，方程
的解  會類比於，無解，亦可透過計算、...、模6看出。不過，有關質數的不同性質如下：除法在模運算裡是可行的，若且唯若  為質數。等價地說， 為質數，若且唯若所有滿足 的整數  都會與  互質，亦即其公因數只有1。實際上，對，方程
會有唯一的解 。因此，對任何質數 ，（亦標記為）也會是個體，或更具體地說，是個有限體，因為該集合包含有限多（即 ）個元素。
許多定理可以透過從此一抽象的方式檢查  而導出。例如，費馬小定理表示
质数 應用
，其中  為任一不被  整除的整數。該定理即可使用這些概念證得。這意味著
。
吾鄉-朱加猜想表示，上述公式亦是  為質數的必要條件。另一個費馬小定理的推論如下：若  為2與5之外的其他質數，總是個循環小數，其週期為  或  的因數。分數  依 （10以外的整數）為基底表示亦有類似的效果，只要  不是  的質因數的話。威爾遜定理表示，整數  為質數，若且唯若階乘 可被  整除。此外，整數  為合數，若且唯若  可被  整除。
許多數學領域裡會大量使用到質數。舉有限群的理論為例，西羅定理即是一例。該定理表示，若  是個有限群，且  為質數  可整除  的階的最大冪次，則  會有個  階的子群。此外，任意質數階的群均為循環群（拉格朗日定理）。
质数 應用
幾個公開金鑰加密演算法，如RSA與迪菲－赫爾曼金鑰交換，都是以大質數為其基礎（如512位元的質數常被用於RSA裡，而1024位元的質數則一般被迪菲-赫爾曼金鑰交換所採用）。RSA依靠計算出兩個（大）質數的相乘會比找出相乘後的數的兩個質因數容易出許多這個假設。迪菲－赫爾曼金鑰交換依靠存在模冪次的有效演算法，但相反運算的離散對數仍被認為是個困難的問題此一事實。
周期蟬屬裡的蟬在其演化策略上使用到質數。蟬會在地底下以幼蟲的形態度過其一生中的大部分時間。周期蟬只會在7年、13年或17年後化蛹，然後從洞穴裡出現、飛行、交配、產卵，並在至多數週後死亡。此一演化策略的原因據信是因為若出現的週期為質數年，掠食者就很難演化成以周期蟬為主食的動物。若周期蟬出現的週期為非質數年，如12年，則每2年、3年、4年、6年或12年出現一次的掠食者就一定遇得到周期蟬。經過200年以後，假設14年與15年出現一次的周期蟬，其掠食者的平均數量，會比13年與17年出現一次的周期蟬，高出2%。雖然相差不大，此一優勢似乎已足夠驅動天擇，選擇具質數年生命週期的這些昆蟲。
據猜測，ζ函數的根與複數量子系統的能階有關。
质数 推廣
質數的概念是如此的重要，以致此一概念被以不同方式推廣至數學的不同領域裡去。通常，「質」（prime）可在適當的意義下，用來表示具有最小性或不可分解性。例如，質體是指一個包含0與1的體F的最小子體。質體必為有理數或具有p個元素的有限體，這也是其名稱的緣由。若任一物件基本上均可唯一地分解成較小的部分，則這些較小的部分也會用「質」這個字來形容。例如，在紐結理論裡，質紐結是指不可分解的紐結，亦即該紐結不可寫成兩個非平凡紐結的連通和。任一紐結均可唯一地表示為質紐約的連通和。質模型與三維質流形亦為此類型的例子。
質數應用於任一可交換環 （具加法、減法與乘法的代數結構）的元素，可產生兩個更為一般的概念：「素元」與「不可約元素」。 的元素稱為素元，若該元素不為0或單位元素，且給定  內的元素  與 ，若   可除以 ，則  可除以  或 。一元素稱為不可約元素，若該元素不為單位元素，且無法寫成兩個不是單位元素之環元素的乘積。在整數環  裡，由素元所組成的集合等於由不可約元素所組成的集合，為
。
在任一環  裡，每個素元都是不可約元素。反之不一定成立，但在唯一分解整環裡會成立。
质数 推廣
算術基本定理在唯一分解整環裡仍然成立。此類整環的一個例子為高斯整數 ，由具 （其中  與  為任意整數）形式的複數所組成之集合。其素元稱之為「高斯質數」。不是所有的質數都是高斯質數：在這個較大的環  之中，2可被分解成兩個高斯質數  與  之乘積。有理質數（即在有理數裡的素元），具  形式者為高斯素數；具  形式者則不是。
在環論裡，數的概念一般被理想所取代。「質理想」廣義化了質元素的概念，為由質元素產生的主理想，是在交換代數、代數數論與代數幾何裡的重要工具與研究對象。整數環的質理想為理想 (0)、(2)、(3)、(5)、(7)、(11)、…算術基本定理被廣義化成準素分解，可將每個在可交換諾特環裡的理想表示成準素理想（為質數冪次的一適合廣義化）的交集。
透過環的譜這個概念，質理想成為代數幾何物件的點。算術幾何也受益於這個概念，且許多概念會同時存在於幾何與數論之內。例如，對一擴張體的質理想分解（這是代數數論裡的一個基本問題），與幾何裡的分歧具有某些相似之處。此類分歧問題甚至在只關注整數的數論問題裡也會出現。例如，二次體的整數環內的質理想可被用來證明二次互反律。二次互反律討論下面二次方程
质数 推廣
是否有整數解，其中  為整數， 與  為（一般）質數。早期對費馬最後定理證明之嘗試，於恩斯特·庫默爾引入正則素數後達到了高潮。正則質數是指無法在由下列式子（其中  為整數， 則是能使ζp = 1的複數）
組成的環裡，使得唯一分解定理失效的質數。
賦值理論研究由一個體  映射至實數  的某個函數（稱之為賦值）。每個此類賦值都能給出一個 K上的拓撲，且兩個賦值被稱為等價，若兩者有相同拓撲。 的質數為一賦值的等價類。例如，一個有理數  的p進賦值被定義為整數 ，使得
其中  與  不被  所整除。例如，。 進範數被定義為
特別的是，當一個數字乘上  時，其範數會變小，與一般的絕對賦值（亦稱為無限質數）形成明顯的對比。當透過絕對賦值完備有理數會得出由實數所組成的體，透過  進範數完備有理數則會得出由p進數所組成的體。實際上，依據奧斯特洛夫斯基定理，上述兩種方法是完備有理數的所有方法。一些與有理數或更一般化之大域體有關的算術問題，可能可以被轉換至完備（或局部）體上。此一局部-全域原則再次地強調了質數對於數論的重要性。
质数 在藝術與文學裡
質數也影響了許多的藝術家與作家。法國作曲家奧立佛·梅湘使用質數創造出無節拍音樂。在《La Nativite du Seigneur》與《Quatre etudes de rythme》等作品裡，梅湘同時採用由不同質數給定之長度的基調，創造出不可預測的節奏：第三個練習曲《Neumes rythmiques》中出現了質數41、43、47及53。據梅湘所述，此類作曲方式是「由自然的運動，自由且不均勻的持續運動中獲得的靈感」。
NASA科學家卡爾·薩根在他的科幻小說《接觸未來》（Contact）裡，認為質數可作為與外星人溝通的一種方式。這種想法是他與美國天文學家法蘭克·德雷克於1975年閒聊時形成的。
质数 在藝術與文學裡
許多電影，如《異次元殺陣》（Cube）、《神鬼尖兵》（Sneakers）、《越愛越美麗》（The Mirror Has Two Faces）及《美麗境界》（A Beautiful Mind），均反映出大眾對質數與密碼學之神秘的迷戀。保羅·裘唐諾所著的小說《質數的孤獨》（The Solitude of Prime Numbers）裡，質數被用來比喻寂寞與孤獨，被描述成整數之間的「局外人」。
荒木飛呂彥所創作的日本漫畫《JoJo的奇妙冒險》第六部《石之海》的反派普奇神父喜歡數質數，他認為質數是孤獨的數字，並透過數質數安撫他緊張的情緒。
直角三角形
有一个角为直角的三角形称为直角三角形（英語：right triangle）。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角邊。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作「弦」。若兩條直角邊不一樣長，短的那條邊叫作「勾」，長的那條邊叫作「股」。
直角三角形满足畢氏定理（勾股定理），即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各邊和角之間的關係也是三角學的基礎。
直角三角形的外心是斜边中点；其垂心是直角顶点。
若直角三角形的三邊均為整數，稱為畢氏三角形，其邊長稱為勾股數。
埃及將邊長比例為3:4:5的直角三角形称为埃及三角形。
在三角尺當中有兩組特殊直角三角形
等腰直角三角形（45°、45°、90°）邊長比為
被垂直平分的正三角形（30°、60°、90°）邊長比為
直角三角形 主要性質
和其他三角形相同，直角三角形的面積等於任一邊（底邊）乘以對應高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角邊）為底邊，另一股即為對應的高，因此面積為二股直角邊乘積的一半，面積T的公式為
其中和是直角三角形的二股。
若內切圓和斜邊相切於點，令半周長為，則且，面積可表示為
此公式只適用在直角三角形。
若在直角三角形有直角的頂點處作往斜邊的高，可以將三角形切割成二個較小的三角形，兩者均和原三角形相似，且二個小三角形彼此相似。因此：
若以方程式表示
（有時稱為直角三角形高定理）
其中, , , , , 均如圖所示:p.156。
三角形的面積等於底邊乘高除二，也等於二股乘積除二，兩者相等，因此
。
斜邊上的高和兩股還有以下的關係。
。
勾股定理也稱為畢氏定理，內容如下：
在任意直角的三角形中，邊長等於斜邊的正方形，其面積等於邊長等於兩股的二個正方形的和
可以表示為以下的公式表示
其中為斜邊長，而和為剩下二股的長度。
直角三角形的二股長度為和，斜邊長度為，內切圓的半徑為
外接圓的半徑為斜邊的一半
直角三角形的任一股可以用內切圓半徑和另一股長度表示：
直角三角形 性质
一三角形，其各邊為、半周長、面積、斜邊的高、外接圓半徑、內切圓半徑、旁切圓半徑, , （分別和, , 邊相切）、中線, , ，此三角形為直角三角形若且唯若以下六類的敘述中有任何一個成立。以下的敘述也是直角三角形的性質。
直角三角形 各邊的比例
銳角的三角函數可以用直角三角形各邊的比例來定義。針對一特定銳角，可以繪製一直角三角形，各邊分別是此銳角的對邊、鄰邊及斜邊。所有有相同大小銳角的直角三角形都為相似形，因此依照上面的定義，各邊的比例只和此銳角的角度有關。若一角度，其對邊、鄰邊及斜邊分別是, 及，則其三角函數為：
直角三角形 特殊的直角三角形
特定角度的三角函數可以計算其精確值，因此對應直角三角形的各邊比例也可以得知。例如像30°-60°-90°三角形，可以用來計算角度為π/6倍數的三角函數，以及45°-45°-90°三角形，可以用來計算角度為π/4倍數的三角函數，這些都屬於特殊直角三角形。
直角三角形 泰勒斯定理
泰勒斯定理提到若點是直徑的的一圓上的一點，且不和點及點共點，為直角三角形，為直角。其逆定理為若一三角形內接於一圓，則其斜邊長度即為該圓的直徑。因此可以推論由直角頂邊到斜邊的中線（外接圓半徑）為斜邊的一半。而直角三角形外接圓的半徑為直角頂邊到斜邊的中線長．也是直徑的一半。
直角三角形 中線
直角三角形的中線長和內切圓半徑滿足以下的公式：
因為直角三角形斜邊的中線長是斜邊的一半，會將直角三角形分為二個等腰三角形。
直角三角形 不同平均和黃金比例的關係
令、和是二個正整數和（）的調和平均、幾何平均及算術平均。若一直角三角形的二股為和，其斜邊為，則
及
其中為黃金比例
直角三角形 其他性質
若長度為及，通過頂點的線段，將斜邊分為三等分，則:pp. 216-217
。
除直角三角形以外的三角形都可以找到三個相異的內接正方形，但直角三角形只能找到二個相異的內接正方形。
令和（）為一斜邊長為的直角三角形的二個內接正方形邊長，則
直角三角形的周長等於內切圓及三個旁切圓的半徑和。
社会主义市场经济
社会主义市场经济是中华人民共和国政府对在该国所推行的经济体制的官方術語：使市场在资源配置中起决定性作用，以及更好地发挥政府作用。由时任中共中央总书记江泽民在1992年中共十四大报告中首次提出，此后多次修改。社会主义市场经济是改革開放的一項重要方針，是中國特色社會主義的一部分，此項措施影響了越南、老撾等社会主义国家。
社会主义市场经济 理论背景
根据斯大林时代苏联教科书提出的“五段论”，人類历史发展大体上要经过五个历史阶段，即需要一同走過奴隶社会、封建社会、资本主义社会、社会主义社会、共产主义社会。起初中国共产党认为，随着1956年中国的社会主义改造基本完成，中国社会已从新民主主义社会转变为社会主义社会。根据这种历史观，此后中国一直处于社会主义社会。
与苏联决裂后，推动文化大革命的错误使中国共产党最后采用的方法是重新探索社会主义的本质，并且力争在党内智庫研究中取得一致意见，即發現了社会主义制度与诸如市场、自由贸易或任何可行的经济政策是不矛盾的；20世纪末苏联的失败證實此結論，更促进了这个普遍认识。当前中共认为，中國的社會將長期处于社会主义初级阶段，同时也确认了“计划经济不可行”的事实，这个使得中国可以使用任何可行的市场经济措施，而不会遇到理论上的困难；但此举也授人（主要是正统共产主义者或民间左翼反对派）以柄，对其政权存在的合法性提出质疑。因此，中共对社会主义的重新定义使得中国的社会主义不同于传统意义上的社会主义，因此被称为“中国特色社会主义”。
社会主义市场经济 理论背景
这个陈述的另一个问题是，如果不能使用理论或其他国家普及的经验来决定该干什么，该怎么办？答案是邓小平的格言“实事求是”和务实主义。中国当代的政治家们通常遵循下面的原则：“中国尊重世界的多样性。全球有将近200个国家和超过50亿的人口。世界上不可能只存在一种发展模式、一种价值观或一种社会制度，因为世界各国的历史条件不同、社会体系不同、发展水平不同、文化传统价值观不同。”
社会主义市场经济 学术观点
中国经济学界对于“什么是社会主义市场经济”问题存在着下列不同看法：
中华人民共和国的“社会主义市场经济”实践，并不被国际经济学界视为“社会主义市场经济”，而是视为一种处于渐进转轨制度下的在一部分领域实行开放竞争而另一部分领域实行垄断限入的经济体制，因此普遍认为中国现行的经济体制属于裙帶资本主义。国际经济学界普遍认可的社会主义市场经济，只有前南斯拉夫在其二战后实行的“工人自治制度”。另外，匈牙利所实行的部分经济制度也被认为是“社会主义市场经济”。但是以上两种体制均已告终结。传统观点认为，马克思提出的科学社会主义与市场经济是不可能相容的，因此社会主义市场经济只是中国共产党所提出的一个政治口号。
社会主义市场经济 历史
苏联布哈林最早提出在社会主义制度下保留商品生产与商品流通，但在斯大林统治时期被处决，上述主张成为其罪名中的重要一条。第二次世界大战结束后，斯大林不得不承认社会主义制度下的商品生产和价值规律，但仍不承认生产资料是商品，不准价值规律对重要的生活资料发挥调节作用，不准生产根据价格变动进行调节。
中华人民共和国成立后，曾长期实行高度集中的计划经济体制。该体制曾在中华人民共和国成立初期发挥巨大作用，但在工业基础建立后，其弊端日显。
1957年，顾准最早提出并论证计划经济体制不可能完全消灭商品货币关系及价值规律，写出《试论社会主义制度下商品生产和价值规律》一文。1958年，顾准被打成右派，开除中国共产党党籍。1964年，顾准的老友、经济学家孙冶方由于提倡价值规律的作用而遭批判，文化大革命中被关在监狱7年。
自改革开放后，从1970年代末到1990年代初，通过市场取向的经济体制改革，使中国经济迈上新台阶。但市场经济和旧有的推崇计划经济的社会主义理论产生矛盾，按照旧观点，市场经济属于资本主义。
社会主义市场经济 历史
1979年2月16日，四川省计委、四川省物价委、四川省社科院联合发起的“四川省价值规律理论讨论会”开幕。在为期10天的讨论会中，130余位经济管理官员和学者共同讨论。此次会议史称“成都会议”。举办成都会议的直接原因，是中共中央副秘书长、中国社会科学院院长胡乔木此前在一次会议上讲话，要求全国各地计划委员会、物价委员会、社会科学院联合发起组织会议，对在文化大革命中被搅乱的经济学理论开展清理及探讨。在成都会议上，四川财经学院（即今西南财经大学）经济学系副系主任袁文平受到小组推举，作大会发言《试论社会主义计划经济同市场经济结合的问题》，提出搞社会主义市场经济，实行社会主义计划经济同社会主义市场经济相结合，引发讨论会热议。袁文平回忆，“我发言六个小时，引起了轰动。讲完后就有人起来反对，说是鼓吹资本主义复辟。”不仅是袁文平，四川省社科院研究员周振华、中共四川省委党校教授田善耕也在发言中提到市场经济。讨论会发言结束以后，林凌、刘兆丰等此次会议组织者将会议纪要上交中共四川省委第一书记赵紫阳，赵紫阳鼓励大家大胆探讨。
社会主义市场经济 历史
1979年3月13日，《四川日报》大篇幅报道成都会议。其中有程珮传撰写的《把计划经济同市场经济结合起来省价值规律理论讨论会侧记》。程珮传回忆：“经过部门同志讨论决定，在《四川日报》上也采用"社会主义市场经济"这一新提法，这在全国的报纸中是开了先河的。”
1979年4月，比成都会议规模更大的“无锡会议”召开，许多经济学家在会议讨论中采用了“社会主义市场经济”的提法。
1979年11月26日，国务院副总理邓小平在会见美国不列颠百科全书出版社编委会副主席弗·吉布尼和保·阿姆斯特朗、加拿大麦吉尔大学东亚研究所主任林达光教授和夫人等外国客人时说：“我们不要资本主义，但是我们也不要贫穷的社会主义，我们要发达的、生产力发展的、使国家富强的社会主义。”“我们是计划经济为主，也结合市场经济，但这是社会主义的市场经济。”“市场经济不能说是资本主义的。……社会主义也可以搞市场经济。”1979年为计划经济时代。
社会主义市场经济 历史
1983年至1984年，在“计划经济为主，市场调节为辅”还是“社会主义商品经济”的争论中，邓小平、胡耀邦坚决支持了总理赵紫阳，最终1984年在中共十二届三中全会上，通过了《关于经济体制改革的决定》，首次提出“社会主义经济是在公有制基础上的有计划的商品经济”，并将“建立社会主义有计划的商品经济体制”作为中国经济体制改革的目标。对于该决定，邓小平称赞说“感觉是写出了一份政治经济学初稿”。该决定奠定了中国经济体制改革的目标模式，即社会主义商品经济。
1988年，在一次中共中央政治局常委会上，国务院发展研究中心主任马洪问总书记赵紫阳，“咱们一直说搞社会主义商品经济，商品经济和市场经济是什么关系？”赵紫阳回答，“就是一回事，只不过是有人不太能接受市场经济这个说法，现在只好绕个弯子提商品经济。”
社会主义市场经济 历史
八九学潮以后，随着赵紫阳下台，中国经济体制改革遭到搁置，1992年，邓小平南巡時提出，“市场经济不等于资本主义，社会主义也有市场；计划经济不等于社会主义，资本主义也有计划。”这一论述打破了旧有的将社会主义与计划经济捆绑起来的理论认识。1992年10月12日，中共中央总书记江泽民在中共十四大上宣布，中国经济体制改革的目标是建立“社会主义市场经济体制”。
中共十四大中央国家机关代表、中国社会科学院副院长刘国光1992年表示，市场经济和商品经济既有联系又有区别。市场经济是商品经济高度发展的产物。但并不是说商品经济的所有阶段都是市场经济。商品经济是就产品交换而言，市场经济是就资源配置而言。用“市场经济”代替“有计划的商品经济”，意在强调进一步发展商品经济，在资源配置上从行政计划配置为主转变为以市场配置为主。这是中国经济改革的实质。
1993年3月29日，社会主义市场经济在八届全国人大一次会议上被寫入中華人民共和國憲法。同年11月，十四届三中全会审议通过《中共中央关于建立社会主义市场经济体制若干问题的决定》。
中華民國憲法
《中華民國憲法》是中華民國的根本法，擁有最高的法律位階。1946年（民國35年）12月25日由制憲國民大會於南京議決通過，1947年（民國36年）1月1日由國民政府公布，同年12月25日施行:8251。
中華民國憲法全文共14章、175條:8251，主要特色為彰顯三民主義與主權在民的理念，明定人民自由和平等等權利的保障、規定五權分立的中央政府體制、地方自治制度，明示中央與地方權限劃分採取均權制度，並明列基本國策等。其核心價值為：民主制度、法治規範、保障自由與人權、政府機關相互制衡、婦女權益（婦女權利）、弱勢族群及少數族群、生態保護與環境保護、社會福利與社會救助、義務教育實施、農業與科技以及經濟發展。
中華民國憲法
中華民國憲法為中華民國成立以來第3部憲制性法律，取代之前的《中华民国训政时期约法》。該憲法施行前，國共內戰全面爆發，國民大會於1948年（民國37年）制定《動員戡亂時期臨時條款》，做為戰時的憲法附屬條款；但隨著中華民國在1949年（民國38年）後因內戰失去對中國大陸等主要領土的實際管治，有效統治區域限縮至台澎金馬，該條款的適用時間不斷被延長，致使憲政的實施有名無實。該條款至1991年（民國80年）廢止，做為配套，國民大會同時增訂《中華民國憲法增修條文》、並透過增修條文凍結部分憲法本文，以應對當前國情，現已經過7次修訂。依照憲政現況，身為國會的立法院不能直接修改憲法條文，只能提出「憲法修正案」，經立法委員議決通過後交公民投票複決，始生效力。
中華民國憲法 制憲歷史
辛亥革命後，中華民國於1912年1月1日在南京宣告成立。1912年3月8日，當時位於南京的中華民國臨時參議院通過《中華民國臨時約法》，又稱臨時約法、民元約法，同年3月11日，時任中華民國臨時大總統孫中山公布臨時約法的施行，將其作為國家的臨時基本法，袁世凱就任中華民國臨時大總統時生效，《中華民國臨時約法》是中國歷朝歷代首次將「主權在民」的思想寫入法規。
1913年，以臨時約法為基礎，《中華民國憲法草案》（又稱天壇憲草）由中華民國第一屆國會提出，該草案是北洋政府為制定《中華民國憲法》而起草的第一部憲法草案，基本上是《臨時約法》的增訂版，採用三權分立憲法原則，共11章，113條。當時國民黨與中華民國大總統袁世凱在制憲問題上有分歧，袁世凱提案主張擴大總統權限，以利政務統一，但國會將大總統的提案置於毋庸討論之境地。在這種情況下，袁世凱通電全國各省都督及民政長官，對《天壇憲草》表示反對，各省都督及民政長官都支持袁世凱的意見，並於1914年（民國3年）將國會解散，於5月1日公布自己的《中華民國約法》（袁記約法，當時又稱作《民國三年約法》，簡稱《民三約法》）。
中華民國憲法 制憲歷史
1919年（民國8年）段祺瑞執政期間中華民國第二屆國會提出過一部《中華民國憲法草案》（八年草案），1923年（民國12年）曹錕任中華民國大總統期間公布一部《中華民國憲法》（曹錕憲法），1925年（民國14年）段祺瑞再次執政時又提出過一部《中華民國憲法草案》（十四年草案）。
1928年（民國17年）國民革命軍北伐统一南北後，中國國民黨中央執行委員會常務委員會10月3日通過《訓政綱領》；1931年（民國20年）5月5日召開的國民會議通過《中華民國訓政時期約法》，6月1日開始施行。在這部約法中，三民主義作为國家基本思想和行政、立法、司法、考試、監察五權分立的國家組織方法被確定。
1936年（民國25年）5月5日，國民政府公布《中華民國憲法草案》（五五憲草）。1937年5月18日，國民政府公布《中華民國憲法草案》，凡八章147條:5427，是《中華民國憲法》的雛形，原定在預定同年召开的制憲國民大會通過，但大會因日本發動七七事變入侵华北、中国抗日战争全面爆發而延宕，未能如期召開。
中華民國憲法 制憲歷史
1938年（民國27年），國民參政會成立。它是國民政府在抗戰期間，為了集思廣益且團結全國力量的政治機構。在促成憲政一事的主要貢獻上，該會是於1939年（民國28年）9月，組成憲政期成會，以提出有關制定憲法的意見。1940年3月，憲政期成會，根據其所收到之各方意見，而對五五憲草依次作逐條討論，其最後亦通過名曰「中華民國憲法草案修正草案」的定稿。
1943年（民國32年），中國國民黨召開五屆十一中全會，其決議在戰爭結束後的一年內，召集國民大會，並且制定憲法。為了促進憲政政策，國防最高委員會，即設置憲政實施協進會，以司其事。該會於1946年3月，即提出其研究憲法的意見。學者荊知仁認為，該會對於五五憲草的修正意見，是對於政治協商會議後的憲法草案問題的討論上，提供一種參考。
中華民國憲法 制憲歷史
王雲五表示，憲政期成會的組織分子，是國民參政會的全體參政員。由於該會中的中國國民黨以外的人士為數不少，因此其對於五五憲草在內容上的修改頗多。至於憲政實施協進會的組織分子，大多數是由國防最高委員會就中國國民黨的中央執行委員與中央監察委員中指定之。而該會對於五五憲草的修正意見，多屬於枝節，其對於五五憲草中的重要內容，均是給予維持。學者董保城與法治斌認為，憲政期成會與憲政實施協進會之修正意見，「均僅止於紙面文章，並未產生任何直接或具體之成果」。