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新天鹅堡 地理位置
今天，新天鵝堡建於隸屬阿爾卑斯山的一座近千公尺高的山頂上，與高天鵝城堡所在的施萬高市鎮位於德國巴伐利亞州西南邊界，海拔約800米（2,620英尺）。其地形介於南部接近奧地利邊境的阿爾卑斯山前山地與北部相對平緩的丘陵之間。中世紀時期，這裡已有三座城堡俯瞰村莊，其中一座名為「天鵝石堡（Schwanstein Castle）」。1832年，路德維希的父親巴伐利亞王國國王马克西米利安二世購得其遺址，並以哥德復興式風格重建為現今的高天鵝堡。該城堡於1837年完工，成為王室夏季行宮，而長子路德維希（1845年生）在此度過大部分童年。
前霍恩施萬高堡（Vorderhohenschwangau Castle）與後霍恩施萬高堡（Hinterhohenschwangau Castle）建於俯瞰天鵝石堡的山丘上，。兩堡可俯瞰附近阿爾普湖與天鵝湖，以及周邊村莊。兩堡之間以壕溝隔開，形成包含大廳、主殿與防禦塔樓的完整結構。19世紀時，兩座城堡僅剩遺跡，其中後霍恩施萬高堡的遺址後來被用作瞭望台。
新天鹅堡 地理位置
這些位於王室行宮之上的廢墟，是路德維希王儲在遠足時熟悉的地方。他於1859年的日記中首次描繪其中一座遺跡。 1864年繼位後，路德維希將在這兩座廢墟上興建新宮殿列為建築計畫首要工程。起初，他將新建宮殿命名為「新霍恩施萬高堡」，造成名稱混淆：霍恩施萬高城堡取代天鵝石堡遺址，而新天鵝堡則取代兩座舊霍恩施萬高堡的舊址。直至路德維希去世後，建築正式命名為「新天鵝堡（Neuschwanstein）」。
新天鹅堡 歷史
新天鵝堡的設計靈感源自19世紀盛行的浪漫主義風潮，以及路德維希二世對作曲家理查德·瓦格纳的崇敬。華格納歌劇《唐懷瑟》與《罗恩格林》中的音樂神話給他留下深刻印象。
建造新天鵝堡的靈感部分來自路德維希於1867年的兩次旅行：5月，他與弟弟奥托一世一同參觀瓦特堡的重建工程；7月，他造訪由歐仁·維奧萊-勒-杜克主持修復的皮埃尔丰城堡，該城堡正在改造為歷史主義風格宮殿。路德維希認為瓦特堡與皮埃尔丰城堡都展現了對中世紀浪漫主義的詮釋，與新天鵝堡的建築計畫理念相似。早前此類建築風格已在德國多個邦國推行，例如高天鵝堡、利希滕施泰因城堡、霍亨索伦城堡及沿萊茵河的多座城堡，如施托爾岑費爾斯城堡等。
1868年2月，路德維希的祖父路德維希一世去世，使原先用於退位國王歲費的巨額資金得以釋出。這筆資金使路德維希二世得以啟動私人建築計畫，在遠離慕尼黑的熟悉山區中，打造實現中世紀幻想的「夢幻城堡」。他於1868年5月致信華格納寫道：
這筆資金讓路德維希二世得以啟動其私人建築計畫，在遠離首都慕尼黑的熟悉山區中，打造一處能實現他中世紀幻想的「夢幻城堡」。他於1868年5月致信華格納時寫道：
新天鹅堡 歷史
我打算在波拉特峽谷附近，以真正的德意志騎士古堡風格重建高天鵝堡舊址遺跡。坦白說，我非常期待有朝一日能居住於此（三年後）；……您知道我希望迎接的尊貴客人是誰。這片聖潔且不可侵犯的土地，將成為為那位給世界帶來救贖與祝福的神聖友人所建的殿堂。它將讓您想起《唐懷瑟》（以城堡為背景的歌手大廳）與《羅恩格林》（通往禮拜堂的庭院與長廊）。
建築最初由舞台設計師克里斯蒂安·楊克構思，並由建築師愛德華·里德爾實際負責。 由於技術限制，舊城堡遺址無法納入新計畫。最初設計受纽伦堡城堡啟發，計畫在舊的前高天鵝堡遺址上建造簡單建築，但最終被棄用，取而代之的是更宏大的設計，最終形成以瓦特堡為藍本的宮殿。
國王堅持親自審核所有圖紙與設計細節。 由於對細節的高度掌控，新天鵝堡常被視為路德維希二世本人的創作，而非建築師的作品。 儘管當時建築評論家批評這是19世紀最後一批大型宮殿建築中的「媚俗」之作，但今日，新天鵝堡與路德維希二世的其他宮殿已被視為歐洲歷史主義建築的重要代表。 由於資金有限，另一座規模相近的計畫法爾肯施泰因城堡最終僅停留於設計階段。
新天鹅堡 歷史
宮殿的建築風格融合多種歷史元素。其結構結合了罗曼式建筑的幾何形體（如立方體與半圓拱）、哥德式建築的垂直線條與纖細塔樓，以及拜占庭風格裝飾（尤其體現在寶座廳設計中）。宮殿立面上「巴伐利亞的聖母」與聖喬治圖像採用當地露天壁畫技法呈現，這種濕壁畫風格常見於阿爾高農舍。未完成的騎士屋迴廊設計亦可見新艺术运动早期特徵。 整體風格最初以哥德復興式為主，但最終以羅曼復興式建築為基調。劇院元素貫穿設計：楊克的繪圖明顯受到舞台布景影響。 隨工程進展，主題由《唐懷瑟》、《羅恩格林》逐漸轉向《帕西法尔》。
1868年，舊有中世紀雙城堡遺跡被完全拆除，舊主殿甚至被炸毀。 新天鵝堡於1869年9月5日奠基，1872年完成地窖工程，至1876年主體一樓與門樓皆完工。1882年底，部分區域已足以居住，路德維希遂暫時入住以監督後續施工。 1874年，工程主管由愛德華·里德爾交接給格奧爾格·馮·多爾曼。
新天鹅堡 歷史
1880年舉行主殿上樑儀式，1884年國王正式遷入新建部分，同年因多爾曼失寵，項目改由尤利烏斯·霍夫曼（Julius Hofmann）接任。宮殿以傳統紅磚建造，外覆多種岩石。外牆白色石灰岩取自鄰近採石場，門廊與凸窗砂岩來自符騰堡的施莱特多夫，窗戶、拱肋、柱體與柱頭等部分採近薩爾茨堡溫特斯貝格山大理石。寶座廳後期增建，採鋼架結構。建材運輸由蒸汽起重機與鷹架系統輔助，施工設備由蒸汽鍋爐檢驗協會（Dampfkessel-Revisionsverein）定期檢查。約二十年間，工地為當地最大雇主。
1880年約有200名工匠直接參與， 國王要求趕工時人數可達300人，夜間以油燈施工。1879–1880年間材料統計包括465公噸（513短噸）薩爾茨堡大理石、1,550 t（1,710 short ton）砂岩、40萬塊磚與2,050立方（2,680立方碼）木材。1870年成立的工人保險會由國王資助，施工意外遺族（統計30起）可領撫卹金。1884年國王入住仍未完工主殿，隔年邀母親普魯士的瑪麗王后參觀。 至1886年，主殿外部大致完工。 同年，國王下令將橫跨佩拉特峽谷的木橋「瑪麗安橋」改建為鋼結構。
新天鹅堡 歷史
雖然新天鵝堡規模龐大，但內部並無空間容納王室朝廷，僅設國王私人住所與僕役房間。宮廷區建築主要具有裝飾性，而非居住用途。 宮殿旨在成為路德維希二世可居住的「劇場式」建築場景。 作為「友誼之殿」，同時獻給理查德·瓦格纳的生平與創作。然而華格納於1883年逝世，未能親眼見到此建築。 最終，路德維希二世僅在此居住172日。
隨建造進程推進，國王對新天鵝堡要求不斷擴張，開支節節上升，設計圖與預算屢次修訂。 起初僅計畫設小型書房取代大型寶座廳，原定賓客房間被刪除，以興建「摩爾式大廳」，但因資金不足未能實現。原定1872年完工的工程亦多次延後。
作為象徵中世紀騎士精神的城堡，新天鵝堡並非國王唯一的建築計畫。隨後還有洛可可風格林德霍夫宫與巴洛克風格海伦基姆湖宫，後者旨在向絕對主義時代致敬。 三者中林德霍夫宮最小，於1886年竣工；其餘兩座皆未完成。三項計畫合計耗盡國王財力，建築支出由私人資金及民事清单收入支應，巴伐利亞國庫未直接負擔。 自1871年起，路德維希二世還透過政治協議自奧托·馮·俾斯麥處獲一筆秘密收入。
新天鹅堡 歷史
國王生前，新天鵝堡建造費用共計達620萬黃金馬克（約€44百萬，按2021年通脹計算）， 幾乎是最初預算320萬馬克的兩倍。 私人資金不足，國王不得不持續開設新信貸額度。 1876年，一位指出破產風險的宮廷顧問被撤職。 至1883年，國王已負債700萬馬克， 並於1884年春與1885年8月兩度重組債務，金額分別為750萬與650萬馬克。
即使債務達1,400萬馬克，路德維希二世仍堅持建造，並威脅若債權人查封宮殿，他將自盡。 1886年初，國王向內閣請求600萬馬克貸款遭拒，4月依俾斯麥建議向議會申請資金。6月，巴伐利亞政府決定罷黜居於新天鵝堡的國王。6月9日，路德維希被宣告喪失行為能力；翌日，他下令逮捕執行罷黜命令的委員會人員。 國王為自保，命周邊村鎮憲兵與消防隊待命。次日，由伯恩哈德·馮·古登領導的第二次委員會抵達，當夜強迫國王離開宮殿。之後，路德維希被置於古登監護下，1886年6月13日，兩人在施塔恩貝格湖近貝格城堡淺水區神秘身亡。
新天鹅堡 歷史
路德維希二世逝世時，新天鵝堡仍遠未完工。門樓與主殿外部結構大致完成，但矩形塔樓仍架設鷹架；女塔樓尚未動工，直到1892年才以簡化形式完工，未雕刻原計畫中的聖女像。騎士樓亦被簡化。在國王設計中，騎士樓畫廊的柱身呈樹幹造型，柱頭象徵樹冠；而宮殿群的核心部分——位於上庭院、原計畫高達90公尺、坐落於三層中殿禮拜堂上的城堡主樓最終並未建成。 此外，門樓與女塔樓間的連接翼亦遭取消。 國王逝世後，西側原預定建造的花園、露台與噴泉計畫亦被放棄。
宮殿內部的王室居所於1886年基本完工；1888年前，大廳與走廊以較簡樸風格繪飾完成。 國王期望設於寶座廳下方的「摩爾式大廳」最終未能實現，與模仿瓦特堡「騎士浴場」的「騎士浴室」同樣被取消。女塔樓原定設立的「新娘之間」（靈感源自《羅恩格林》），以及主殿一、二層的賓客房與大型宴會廳，也全數未動工。 實際上，新天鵝堡的完整開發計畫從未真正確立，國王身故時仍有多處空間缺乏具體用途設想。
新天鹅堡 歷史
路德維希二世從未打算向公眾開放此宮殿。 然而國王逝世僅六週後，攝政王盧伊特波爾德親王便下令對外收費開放。國王遺產管理人於1899年前清償建築債務。 自此至第一次世界大戰前，新天鵝堡成為維特爾斯巴赫家族最穩定且可觀的收入來源之一，在1914年前後幾乎成為王室最主要的經濟支柱。為維持參觀秩序，部分房間與宮廷建築率先完工。初期遊客可自由在館內行動，導致家具迅速磨損。
1918年巴伐利亞成立共和國後，政府將王室俸金及資產收歸國有。與維特爾斯巴赫家族的爭議最終於1923年劃分資產：包括新天鵝堡在內的路德維希二世宮殿歸國家所有，現由巴伐利亞宮廷管理局（隸屬巴伐利亞財政部）管理；而鄰近的高天鵝堡則歸維特爾斯巴赫補償基金，其收益用於維特爾斯巴赫家族。 之後遊客人數逐年攀升，至1939年已達20萬人次。
由於地處偏遠且無戰略價值，新天鵝堡在兩次世界大戰中皆未遭破壞。直到1944年，宮殿被用作存放由納粹黨下屬機構「羅森堡特別行動隊」自法國掠奪的藝術品倉庫。 宮殿內部被用於登錄與編目這些藝術作品。第二次世界大戰結束後，城堡內發現39冊記錄藝術品掠奪規模的相冊，現收藏於国家档案和记录管理局。
1945年4月，党卫队曾考慮炸毀新天鵝堡，以防建築及藏品落入敵軍之手。 不過，負責執行任務的親衛隊集團領袖最終未實施此命令。戰爭結束時，宮殿完好無損地向第二次世界大戰同盟國代表投降。
戰後，盟軍佔領當局將宮殿交還重建後的巴伐利亞自由邦政府。其後，巴伐利亞檔案局暫時使用部分房間存放從遭轟炸的慕尼黑檔案館中搶救出的文件。
新天鹅堡 建築
新天鵝堡整體建築風格極具藝術性與象徵性，內外皆呈現高度風格化設計。國王路德維希二世的個人影響處處可見，他對設計與裝飾皆懷有濃厚興趣，並經常親自提出修改意見。例如，他曾針對主殿描繪《羅恩格林》的壁畫下達指示：「陛下希望……船隻應離岸更遠，羅恩格林的頸部不要過於傾斜，連接船與天鵝的鏈條應為金色而非玫瑰花，最後，城堡整體風格應保持中古風。」
主殿內的主要房間包括王座廳、國王寢宮、歌手大廳與人工洞穴。室內設計中，特別是王座廳，其拜占庭—阿拉伯風格建築靈感源自西西里諾曼—施瓦本時期德意志國王在巴勒莫所建教堂與禮拜堂。整體設計向德國傳說中的「天鵝騎士羅恩格林」致敬。路德維希二世少年時居住的高天鵝堡（Hohenschwangau）亦以此傳說為裝飾主題，並在理查德·華格納的歌劇中再現。新天鵝堡的多數房間以華格納歌劇為邊飾，部分房間甚至永久設有舞台布景。然而，國王逝世時工程尚未完工，內部僅完成約14間房間。原計畫作為整體建築群核心的大型城堡主樓最終未建成，僅留下地基，其位置至今仍可於上層庭院見到。
新天鹅堡 建築
新天鵝堡由多個獨立建築結構組成，沿懸崖脊線綿延約150公尺。其修長建築體搭配眾多塔樓、裝飾尖塔、山牆、陽台與雕塑。依循羅馬式風格，多數窗戶為雙拱窗或三拱窗。城堡南側以Tegelberg與佩拉特峽谷為背景，北側俯瞰阿爾卑斯山前丘陵與湖泊，整體景觀如畫，體現浪漫主義「騎士城堡」理想。與歷史上經過數百年增建的城堡不同，新天鵝堡自始即為非對稱設計，依計畫分階段建造。雖具城堡典型元素，實際防禦功能完全捨棄。
宮殿群自對稱門樓進入，門樓兩側各有階梯塔。朝東的門樓是城堡中唯一外牆以強烈對比色設計的建築：外牆紅磚，面向內庭立面覆黃色石灰岩，屋頂檐口環繞尖塔。門樓上層由馬頭牆覆頂，曾是國王首個居所，方便觀察施工進度。門樓底層原設計為馬廄。通過冠有巴伐利亞王室紋章的門樓後，可進入庭院。庭院分上下兩層；下層東側由門樓界定，北側由長方塔與畫廊地基形成，南端開放，可遠眺群山，西端由磚造堤岸圍限，多邊形突起部分標示原計畫禮拜堂唱詩班座位位置，該三殿式教堂原設為城堡主樓基座，高90公尺（295英尺），為建築群核心。側邊階梯通向上層庭院。
新天鹅堡 建築
上層庭院地面以鋪石標示禮拜堂與塔樓基礎。最醒目建築為高45公尺（148英尺）的矩形塔樓，主要為裝飾用途。觀景平台可俯瞰北方阿爾卑斯山前丘陵。庭院北端由騎士樓構成，三層建築透過盲拱迴廊與矩形塔樓及門樓相連。騎士樓象徵男性侍從住所，實際原設為莊園與僕役房。對應的閣樓（仕女樓）位於庭院南側，原計畫作為女性居所，但未使用。兩者構成華格納《羅恩格林》第一幕「斯滕城堡」舞台構圖。庭院鋪地中嵌有宮廷禮拜堂平面圖。庭院西端為主殿，城堡主體與居住區，內含國王套房及僕役房。主殿為五層巨型建築，由兩個相連巨大立方體組成，覆雙高山牆屋頂。形狀沿山脊延展，兩角各有階梯塔，北塔高65公尺（213英尺）。屋頂造型多變，令人聯想皮埃尔丰城堡。主殿西側外牆有兩層陽台，可遠眺阿尔卑湖；北側延伸低矮觀景塔與溫室。整體裝飾煙囪與尖塔，內庭立面繪彩色濕壁畫，內庭山牆有銅製雄獅雕像，西側外牆山牆立有騎士浮雕。
新天鹅堡 建築
原計畫新天鵝堡內部超過200間房，包括賓客與僕人住所、服務及後勤空間，但僅約15個房間與大廳完工。 主殿下層設行政與僕役房，現宮殿管理處亦位於此；國王寢宮位於上層。前部三樓為起居區，上方為「歌手大廳」；西側後翼上層幾乎全為王座廳，全樓層總面積約6,000平方（65,000平方英尺）。
宮殿內包含具備歷史主義風格的房間，並配備當代最先進技術設施，包括以電池供電的僕人呼叫系統與電話線路、可自動旋轉烤串的倫福德烤爐、熱空氣供應中央供暖系统、自來熱水與自動沖洗馬桶。
宮殿中最大房間為歌手大廳，其次為王座廳。歌手大廳位於主殿東側臨庭院翼樓，位於國王寢宮上方四樓，長方形廳堂以《羅恩格林》與《帕西法爾》為主題裝飾，長邊設仿瓦特堡畫廊與觀眾席，東端設拱廊舞台區「歌手長廊」。此廳非為國王隱居宴會而設，而是以可行走紀念性空間形式再現中世騎士精神與宮廷愛情文化。首場音樂會於1933年舉行，以紀念華格納逝世50週年。
新天鹅堡 建築
王座廳面積20乘12（66乘39英尺），位於主殿西翼，高13（43英尺），橫跨三、四樓。由建築師尤利烏斯·霍夫曼依慕尼黑王宮諸聖教堂設計靈感建造。三面環繞彩色拱廊，以半圓形後殿收尾，原設計預留國王寶座位置但未完成。寶座基座周圍繪有耶穌、十二使徒及六位封聖君王畫像。壁畫由威廉·豪斯希爾德創作，地板馬賽克於國王逝後完成，吊燈仿拜占庭王冠造型，氛圍莊嚴如聖殿。依國王意願，廳內融合《帕西法爾》聖杯殿象徵與「君權神授」理念，象徵無限制王權，後殿六位封聖君王包括：法蘭西的聖路易、匈牙利聖史蒂芬、懺悔者愛德華、波希米亞聖溫塞斯勞斯、挪威聖奧拉夫與神聖羅馬皇帝聖聖亨利二世。
除大型禮儀空間外，城堡內亦設有多間供路德維希二世私人使用的小房間。 國王的私人套房位於主殿東翼三樓，共八間主要房間及若干附屬空間。雖然裝飾華麗，但中等大小的房間配備沙發與家具，使今日參觀者仍可感受到相對現代的生活氛圍。國王已不再重視過往君主強調的公共性，而追求個人化的寧靜。整體室內裝飾，包括壁畫、掛毯、家具與工藝品，皆圍繞國王鍾愛的主題：聖杯傳說、沃尔夫拉姆·冯·埃申巴赫作品，以及華格納歌劇的詮釋。
新天鹅堡 建築
東向起居室以《羅恩格林》傳說為主題，家具包括沙發、桌子、扶手椅及北側凹室中的座椅，格調溫馨。起居室旁通往書房的小型人工grotto原配有人工瀑布與虹光裝置，並連接小型溫室。該洞穴模仿《赫塞爾山》場景，呼應華格納歌劇《唐懷瑟》主題。國王在林德霍夫宮亦建有類似但規模更大的洞窟。書房對面為餐廳，裝飾主題為「宮廷之愛」。由於新天鵝堡廚房位於餐廳下方三層，無法設置可升降的「魔法餐桌」，餐廳透過服務升降機與廚房相連。
緊鄰餐廳的臥室與相鄰小禮拜堂是宮殿中唯一保持哥德復興式風格的空間。國王臥室以巨大雕刻床為中心，十四位雕刻師耗時四年才完成床罩上的尖塔雕飾與橡木牆板。1886年6月11日至12日夜間，國王即在此被逮捕。小禮拜堂奉獻給聖路易，即國王同名的守護聖人。僕人房位於主殿地下一層，設備簡樸，配以沉重橡木家具，每間設有桌子、櫥櫃及兩張長1.80公尺的床。磨砂玻璃窗將房間與走廊隔開，使國王可不被察覺地進出。僕人不得使用主殿梯，只能通過狹窄陡峭的僕人專用樓梯。
新天鹅堡 旅遊
新天鵝堡每年接待近150萬名遊客，使其成為歐洲最受歡迎的旅遊目的地之一。 出於安全考慮，宮殿只能透過35分鐘導覽參觀，且城堡內禁止拍照。此外，還有針對特定主題的特別導覽。6月至8月旅遊旺季，新天鵝堡每日接待多達6,000名遊客，未預訂者可能需等候數小時。即使未持門票，遊客仍可沿山道步行至山頂，參觀庭院和外部區域，但無法進入城堡內部。門票僅可於高天鵝堡票務中心購買。 截至截至2008年 (2008-Missing required parameter 1=month!)，累計參觀人數已超過六千萬。 2004年收入為650萬歐元。
2023年6月14日，兩名年輕的美國女遊客在瑪麗安橋附近遭一名30歲美國男子襲擊，造成其中一人死亡。
新天鹅堡 文化、藝術與科學
新天鵝堡是浪漫主義時代的象徵。此宮殿曾在多部電影中登場，例如赫爾穆特·凱特納執導的《路德維希二世：國王的榮光與終結》（1955年）、盧奇諾·維斯孔蒂執導的《諸神的黃昏》（1972年）等路德維希二世傳記片，也出現在音樂劇《飛天萬能車》（1968年）、惡搞喜劇《太空炮彈》及戰爭劇《第三集中營》（1963年）中。此外，城堡設計啟發了迪士尼樂園睡美人城堡，以及2005年日本動畫電影《神奇寶貝劇場版：夢幻與波導的勇者 路卡利歐》中的卡梅蘭宮殿。1996年遊戲《野獸之內：加百列的秘密》亦有登場。
1977年，新天鵝堡出現在西德郵票上，並於2012年收錄於德國邦聯紀念幣系列2歐元紀念幣。2007年，它入選「世界新七大奇蹟」決賽名單之一。
新天鹅堡 文化、藝術與科學
2002年4月6日，一顆墜落於奧地利邊境、靠近霍恩施旺高的隕石被命名為「新天鵝堡隕石」，共發現三個碎片：「新天鵝堡I」（重1.75公斤，2002年7月發現）、「新天鵝堡II」（重1.63公斤，2003年5月發現）位於德國境內，「新天鵝堡III」（重2.84公斤，2003年6月發現）位於奧地利羅伊特附近。該隕石屬於頑火輝石球粒隕石，特徵為高比例純鐵（29%）、頑火輝石及罕見礦物矽氮氧石（Si2N2O）。
2025年7月12日，新天鵝堡與林德霍夫宮、夏亨狩猎行宫及海倫基姆湖宮一同被聯合國教科文組織列入世界遺產名錄。
新天鹅堡 參考資料
[Faltlhauser welcomed the 50 millionth visitor in Neuschwanstein Castle] (新闻稿). Bayerisches Staatsministerium der Finanzen. 27 July 2005  [11 March 2010]. （原始内容存档于16 July 2011） （德语）.
[Pschierer: Neuschwanstein Castle today is a global premium brand] (新闻稿). Bayerisches Staatsministerium der Finanzen. 19 September 2009  [11 March 2010]. （原始内容存档于16 July 2011） （德语）.
同餘
同余（英語：，符號：≡）在数学中是指數論中的一種等價關係。當两个整数除以同一个正整数，若得相同，则二整数同余。同餘是抽象代數中的同餘關係的原型。最先引用同余的概念与「≡」符号者为德國数学家高斯。
同餘 定義
對某兩個整数，，若它们除以正整数所得的余数相等，则称，对于模同余，也就是嚴格來說，存在整數使得
則稱對於除數是同餘的。一般記做
比如
故可以記為
但另一方面，從有，故等價於
同餘符號「≡」其UTF-8碼為U+2261。
同餘 同餘類
可以證明所有对于模同餘的整數對構成一個（整数系上的）等价关系，換句話說，對於任意兩個整数，：
(1)
(2)
(3)
故以下的集合
可稱為对于模的同余類（或），也可標記為；模在上下文很清楚時，也可簡記為。會被稱為該同余類的代表數（）。
同餘 剩餘系
剩餘系（英語：）亦即模同餘類的代表數的集合，通常使用的代表數是最小非負整數，因為它是除法中的應當餘數。要注意的是，對於同一個模數，不同的同餘類不等價，亦即，屬於不同同餘類的整數不同餘於模數，或者說，模剩餘系中的任二元素不同餘於模；而且，整數域中的每個整數只屬於模數的一個同餘類，因為模將整數域划分為互斥區塊，每個區塊是一個同餘類。
一個完全剩餘系（英語：）指的是模的全部同餘類的代表數的集合；因為剩餘系中的任二元素不同餘於模，所以它也稱為非同餘餘數的完整系統（英語：）。例如，模有三個同餘類，其完全剩餘系可以是。如果該集合是由每個同餘類的最小非負整數所組成，亦即，則稱該集合為模的最小剩餘系（英語：）。
模完全剩餘系中，與模互質的代表數所構成的集合，稱為模的簡約剩餘系（英語：），其元素個數記為，亦即欧拉函数。例如，模的簡約剩餘系為或。如果模是質數，那麼它的最小簡約剩餘系是，只比最小剩餘系少一個。
同餘 性质
（即是說 a 和 b 之差是 m 的倍數）換句話說，
同余可以用来检验一个数是否可以整除另外一个数，见整除规则。
當時，則為等量加法、減法：
這性質更可進一步引申成為這樣：
其中为任意整系数多项式函数。
k為整數，n為正整數，
為正整數，，若且唯若
若且互質，則
每個正整數都可以分解為數個因數的乘積，稱為整数分解。例如 ，因數  與  都可以整除 ，記為  與 。如果  可以整除某正整數 ，亦即 ，那麼  就是  的因數：，其中  為另一因數。，因此， 的因數也可以整除 ：。
等價於 ，也就是 。亦即，如果 ，那麼它可以寫成 ，因此有以下除法原理：
的因數也可以整除 。亦即， 是  的倍數：，。因為 ，所以 。
同餘 性质
現假設  可以整除  的倍數 。如果  和  互質（記為 ），那麼  必定可以整除 ：。
如果  而且 ，那麼  與  的最小公倍数必定可以整除 ，記為 。這可以推廣成以下性質：
上面的最後一個性質可以使用算术基本定理與集合來解釋。一個大於1的正整數  可以分解為一串質數冪的乘積：（ 兩兩相異，且），令  為所有能整除  的質數冪的集合，即 。設  為正整數，則  整除 ，當且僅當  是  的子集。令  且 ，則 與  的聯集必定也是  的子集。取這個聯集中冪次最高的各個元素，它們的乘積就是  與  的最小公倍数。事實上，有 ，所以  也能夠整除  。
同餘 相关概念
可用輾轉相除法、歐拉定理、卡邁克爾函數求解。
存在最小的正整数d使得成立，且。
同餘 同余方程
考虑最大公约数，有解时用輾轉相除法等方法求解。
先求解每一个线性同余方程，再用中国剩余定理解方程组。
勒让德符号、雅可比符号、克罗内克符号、二次互反律用于判别d是否为模n的二次剩余。
同餘 應用
模數算術在數論、群論、環論、紐結理論、抽象代數、計算機代數、密碼學、計算機科學、化學、視覺和音樂等學科中皆有應用。
它是數論的立基點之一，與其各個面向都相關。
模數算術經常被用於計算標識符中所使用的校验和，比如国际银行账户号码（IBANs）就用到了模97的算術，來捕獲用戶在輸入銀行帳戶號碼時的錯誤。
於密碼學中，模數算術是RSA與迪菲－赫尔曼密钥交换等公鑰系統的基礎，它同時也提供有限域，應用於 橢圓加密，且用於許多對稱密鑰加密中，包括高级加密标准、國際資料加密演算法等。
於計算機科學, 同餘被應用於位元運算或其他與固定寬度之循環資料結構相關的操作。
於化學中, CAS號（一個對各種化合物皆異之的識別碼）的最後一碼為校驗碼，將CAS號首二部分最後的數字乘上一，下一碼乘上二，下一碼乘上三以此類推，將所有積加起來再取模10。
在音樂領域，模12用於十二平均律系統。
星期的計算中取模7算術極重要。
更廣泛而言，同餘在法律、經濟（見賽局理論）或其他社會科學領域中也有應用。
同餘 範例
以下為快速展示小於63位元無號整數之模數乘法的C程式，且轉換過程中不發生溢位。計算 a * b (mod m)之演算法:
宇宙世紀
宇宙世紀（Universal Century，简称U.C.）是GUNDAM世界中存在的紀元。從第一座宇宙殖民地完成建設並殖民開始，作中人類紀元就由公元（A.D.）改為宇宙世紀。
雖然「GUNDAM系列作品」照不同世界觀設定了許多背景紀元，但宇宙世纪是首部《机动战士GUNDAM》所使用，之後40年間數十部作品繼承的設定（包括除影视剧作外的漫画、小说、游戏、模型等），故有一部分觀眾意見認為套用宇宙世紀設定的GUNDAM作品才是正統，称之为“正史”；當然更多人意見认为這只是偏頗的說法。
除正統論還有人認為宇宙世紀是共同宇宙，只是很多證據表明，宇宙世紀系列只是擁有很多和元祖或一年戰爭編相似的設定，但彼此無關係的作品群。
宇宙世紀
而值得注意的是，在《∀GUNDAM》的人物口中的宇宙世紀，是包括了其他所有鋼彈系列，唯SD GUNDAM之類例外。
而在V GUNDAM到GUNDAM UC，宇宙世紀系列曾經有超過十五年備受到冷落，新動畫僅有OVA MS08小隊戰記、一年戰爭默示錄、Z GUNDAM劇場版，并未推出電視作品。至獨角獸和GUNDAM THE ORIGIN OVA成功，才編輯成電視動畫。
在系列首播四十五周年推出的機動戰士Gundam GQuuuuuuX，則是從V後三十年第一次，以原創電視版動畫的姿態回歸宇宙世紀。
宇宙世紀 年表
以下年表所註記之作品並非皆發生於同一時間線。以下提及作品時，皆以機動戰士GUNDAM為延伸之時間線為主時間線。
宇宙世紀（Universal Century）
發生在西元改歷到宇宙世紀的祭典中，設置在地球低軌道上的地球聯邦总理官邸「拉普拉斯」遭炸彈攻擊，第一任总理「里卡德·馬瑟納斯」死亡的事件。
表面上是反對成立地球聯邦政府的恐怖份子所為，但真相是地球聯邦政府保守派策劃的暗殺。《機動戰士GUNDAM UC》的故事圍繞此時被抹消的真相展開。
提及作品：
《機動戰士GUNDAM UC》（2010年 - 2014年）（故事開頭）
離地球最遙遠的宇宙殖民地群「Side3」的市民要求自治權，以「吉翁公國」為名向地球聯邦發起的獨立戰爭。
本戰爭是人形機動兵器「机动战士」首次投入實戰，且在戰爭初期就有全人類半數人口死亡。戰爭最終以支配吉翁公國的薩比家滅亡，新建的吉翁共和國臨時政府和地球聯邦政府簽訂終戰協定作結。
宇宙世紀 年表
提及作品：
《機動戰士GUNDAM》（1979年 - 1980年）
《機動戰士GUNDAM 0080：口袋裡的戰爭》（1989年）
《機動戰士GUNDAM 第08MS小隊》（1996年 - 1999年）
《機動戰士GUNDAM MS IGLOO》（2004年 - 2009年）
《機動戰士GUNDAM THE ORIGIN》（2015年 - 2018年）(*，因為事情和本傳後來對歷史的記述有異，所以很可能是平行世界)
《机动战士GUNDAM Thunderbolt 第一季》（2015年 - 2016年）(*，因劇中科技發展問題，是否仍位於主時間線存疑)
《機動戰士GUNDAM 庫克羅斯·德安之島》（2022年）
提及作品：
《机动战士GUNDAM Thunderbolt 第二季》（2017年 - ）(*，因劇中科技發展問題，是否仍位於主時間線存疑)
提及作品：
《机动战士GUNDAM战记》（2009年）
吉翁公國軍的殘黨「迪拉茲艦隊」和地球聯邦軍間的紛爭。
宇宙世紀 年表
紛爭的最後，地球北美農業地帶被迪拉茲艦隊的殖民地墜落作戰摧毀。以此為契機，聯邦內以「賈米托夫·海曼」准將為中心成立「迪坦斯」，開始強行鎮壓宇宙居民，造成日後「格利普斯戰役」的遠因。但整個紛爭事後被聯邦高層掩蓋，殖民地墜落被當成殖民地運送中發生的意外處理。
提及作品：
《機動戰士GUNDAM 0083：Stardust Memory》（1991年 - 1992年）
《機動戰士Gundam GQuuuuuuX》 （2025年 - ）(^，發生於機動戰士GUNDAM中若吉翁公國勝利之平行世界)
為地球聯邦軍的內戰，以鎮壓宇宙居民為目的，由地球聯邦軍內地球至上主義者組成的軍閥「迪坦斯」和地球聯邦軍內對抗迪坦斯而組成的組織「幽谷」間的軍事衝突。
戰役後期，從木星圈歸來的吉翁殘黨的攝政「哈曼·坎恩」率領的「阿克西斯」介入，三方陷入混戰，最終迪坦斯因失去領導階層而瓦解。
提及作品：
《機動戰士Z GUNDAM》（1985年 - 1986年）
吉翁公國軍殘黨「阿克西斯」改組成的「新吉翁」與格利普斯戰役的勝利者「幽谷」的戰爭。
宇宙世紀 年表
後期，新吉翁因夏亞調略古利明分裂內鬥而弱化，實質指導者的攝政「哈曼·坎恩」戰死，吉翁勢力失去小行星阿克西斯。
提及作品：
《機動戰士GUNDAM ZZ》（1986年 - 1987年）
吉翁國父「吉翁·茲姆·戴昆」之子「卡斯巴爾·雷姆·戴昆（夏亞·阿茲納布爾）」組成的「新吉翁」對地球聯邦政府發起的叛亂。
提及作品：
《機動戰士GUNDAM 逆襲的夏亞》（1988年）
提及作品：
《機動戰士GUNDAM UC》（2010年 - 2014年）
提及作品：
《機動戰士GUNDAM NT》（2018年）
提及作品：
《机动战士GUNDAM 闪光的哈萨维》（1989年）
提及作品：
《機動戰士GUNDAM F91》（1991年）
提及作品：
《機動戰士海盜GUNDAM》（1994年- 1997年）
提及作品：
《機動戰士海盜GUNDAM 鋼鐵之七人》（2006年- 2007年）
提及作品：
《機動戰士V GUNDAM》（1993年 - 1994年）
《機動戰士海盜GUNDAM GHOST》（2012年 - 2016年）
提及作品：
《機動戰士海盜GUNDAM DUST》（2016年- 2021年）
提及作品：
《G-Saviour》（2000年）
宇宙世紀 有關A.D.和U.C.的轉換年份矛盾
最起初富野在企劃初代GUNDAM時，設定U.C.0079為A.D.2066年，但是此數字並沒有被正式採用。相對地，在初代動畫第26集的作品中，卻可以看到“2079”這個郵印，而在Z GUNDAM中，也可以看到一幅相片中的“2087”年份，如果這樣看，轉換年份應為A.D.2000。但是在後來的劇場版（即電影版）里兩個年份數字都被修改抺掉，因此可以肯定官方已經不承認此種說法。
由官方最初給予的年表，則是以2045年作為A.D.曆最後一年，之後轉換成U.C.0001。但是此種曆法在後來漸漸沒有刊登，因此亦不知道是否有再被官方支持。美國電影鋼彈救世主（Gセイバー）指出「西曆2045時生活圈擴展至宇宙，此後改為宇宙世紀」。
宇宙世紀 有關A.D.和U.C.的轉換年份矛盾
現時官方放出的日期，實際上有兩個。一個出自設定“U.C.0088年2月29日阿克西斯正式成為新自護”，以及出自《GUNDAM0080》動畫中的報章“U.C.0080年1月14日星期一”。以此兩個日期來推算，可以肯定的就是U.C.0080是一個1月14日為星期一而且為闰年的年份（因為0088為闰年，其8年前亦應為一闰年），在此可以鎖定一些年份。因為可以肯定在A.D.2045年之後，因此能鎖定為U.C.0080的年份有A.D.2132，2160、2188或更後，以這三個年份來反推算，U.C.0001應該為A.D.2053、2081、2109或更後。
而因為於宇宙世紀世界中，第一個殖民衛星乃於A.D.2045年開始建設，故可估計其於西元A.D之大概建築時間。由島三型殖民衛星的原設計者推算，大約需要24至30年的時間興建。故若2109年才開始殖民，就會使用頗長時間才能夠興建完成（共用64年），所以此年份和以後的年份可以不考慮。2053和2081年前者雖然只和2045年相差8年，但樂觀的考慮到整個地球的支持下，興建速度應比原來預測只有美國在1960年代為高，因此亦並非不可能。而後者則和2045年相差36年，在考量到測試以及確定安全的程序之後才予人入住亦為正常的作法，因此亦在合理範圍內。所以以官方承認日期來推算，宇宙世紀元年，即U.C.0001年應為A.D.2053或2081年。
吸血鬼之安魂挽歌
吸血鬼之安魂挽歌（Vampire: The Requiem）是白狼游戏设定在新黑暗世界（后改名为黑暗编年史）的一款桌上角色扮演游戏，其的对应物为旧黑暗世界（后被称为经典黑暗世界）的吸血鬼之避世潜藏。
它不是旧黑暗世界的吸血鬼产品线的延续，虽然它使用了许多旧产品线的元素。将13个吸血鬼氏族更改到5个（迪瓦、冈格罗、密卡特、诺斯弗拉图、梵卓）,并且删除了机构的政治体系，而以派系(Convent)而区代之。
公升
，又稱升，是容量计量单位，符號為l。過去曾經採用小寫手寫體作為符號，但由於印刷不方便，所以改用大寫印刷體L。公升本身不是國際單位制（SI）單位，但它是米制单位，而且是接受與SI合併使用的單位。
最初的法国米制系统以公升作为基本单位。Liter是从更舊的单位litron发展而来。litron来自于拉丁语转译的希腊语，大约等于0.831公升。公升在后来的几个米制系统内也使用过，是国际单位制接受的非SI单位。
公升起初的名字是Cadil，其标准展示于巴黎国立工艺博物馆。
中華民國在1928年提出《中华民国权度标准方案》中，規定「公升」為的体积单位名称。
公升 定義
公升定義為一立方分米或是1分米(10cm)見方的立方體的體積（1 L ≡ 1 dm3≡ 1000 cm3）。因此一公升 ≡ 0.001 m3 ≡ 1000 cm3，而1 m3 (也就是一立方公尺，為國際單位制的體積單位）恰為1000L。
從1901年至1964年的這段期間，公升曾被定義為在攝氏4度、大氣壓力760托的條件下，一公斤純水的體積。若以此定義，一公升約為1.000028 dm3。在1964年後才改為現行的定義。
公升 說明
公升常用來描述容器的容量及液體的體積，立方公尺（及其衍生單位）則常用來描述一物體本身的體積大小。公升也常用在其他的量測單位，例如密度單位使用kg/L時，水的密度可近似為1，方便和其他液體的密度比較。
水在攝氏4度時密度最大，在攝氏4度時體積為一公升的水，其質量幾乎就是一公斤。同理可推得相同條件下一毫升的水質量約為就是一公克。一公克的原始定義就是一毫升水的質量。不過由於後來發現水的密度會隨溫度及壓力變化，在1799年後已不用此定義方式。
水的密度也和其中氫原子和氧原子的同位素比例有關。現代對水的研究會以维也纳标准平均海水的量測為準，维也纳标准平均海水是從海水蒸餾而得的純水，其中同位素的比例可以反應在世界各海洋的水中，各同位素比例的平均。水在一大氣壓力（760托）下的最大密度出現在溫度攝氏3.984度時，數值為6999999975000000000♠0.999975 ±6994100000000000000♠0.000001 kg/L
公升 配合國際單位制的詞頭
是米制单位。雖然它不是國際單位制的單位，但常和國際單位制詞頭一併使用。最常用到的衍生單位是毫升（mL），是千分之一公升，相當於國際單位制衍生單位的立方公分。毫升也是常用的容積單位，常見於醫藥及烹飪中。其他的單位列在下表中，常用的單位以粗體表示。有些標準機構也有建議的使用單位，例如美國的國家標準技術研究所就建議使用或毫升，不建議使用釐升（cL）。
公升 歷史
公升最早是由法國於1795年訂定，是一系列「共和國量度單位」中的一個，定義為一立方公寸。原始公寸的長度為44.344法分（ligne），在1798年修正為44.3296法分，因此原始的公升相當於現今的1.000974立方公寸。最早公斤的定義也是以公升為基礎。
1879年時國際度量衡委員會（CIPM）通過了公升的定義，其單位的符號為l（小寫的L）。
在1901年的第三屆國際度量衡大會（CGPM）中，將公升的定義改為1公斤的純水在1大氣壓力，在對應最大密度的溫度（3.98 °C）下，本身所佔的體積。以此定義下的一公升等於1.000 028立方公寸。（有些早期的文獻中，此定義下的一公升等於1.000 027立方公寸）。
在1964年的第十二屆國際度量衡大會中，公升的定義再恢復為一立方公寸。
在1979年的第十六屆國際度量衡大會中，提出了公升單位的替代符號L（大寫的L），也表示未來應該從二個公升單位的符號中，選擇一個為正式的單位符號，另一個則不予使用。
有机分析
有機分析，大多是指利用來研究有機化合物實驗時所用到的實驗方法。
常用到的實驗方法包含有機化合物的純化、分離以及化合物結構鑑定。在有機化合物的純化、分離的實驗方法為色層分析方法，色層分析包含薄層色層分析 (薄板層析)、管柱色層分析、高效能液相層析等等。化合物結構鑑定包括紫外光-可見光吸收光譜、質譜、紅外光譜及核磁共振光譜等等。總而言之，有機分析是指應用儀器分析方法來研究有機化學。
向量
向量（，在中国大陆物理、工程领域通称量），是同时具有数值和方向，且满足平行四边形法则的几何對象。向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科學領域中的基本概念。
理论数学中對向量的定义为任何在稱為向量空间的代數結構中的元素。向量常常以符号與箭头共同标示以作為区别。与向量相对的概念称為纯量。
一些物理量雖然具有方向性，但只能使用算術加法，不符合向量加法，所以不是向量，如角移、電壓及電流。
向量 不同学科中的向量
在线性代数中，向量經常采用更抽象的向量空间（线性空间）来定义，向量是向量空间中的基本构成元素。
向量空间是基于物理学或几何学中的空间概念，依其代數性質所形成的抽象概念。向量空間相伴的純量未必是實數，也可以是複數等域。欧几里得空间便是向量空间的一种。
向量空间中的元素就可被称为向量。除歐幾里德向量外，也存在一般的向量空間，例如所有次數不大於3的複係數多項式的集合、所有6×6實對稱矩陣的集合、區間[0, 1]上的所有實值連續函數的集合、所有收斂於0的複數數列的集合等。
向量可以描述许多常见的物理量，如运动学中的位移、速度、加速度，力学中的力、力矩，电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波等等。
物理学和一般的几何学中涉及的向量概念严格意义上应当被称为欧几里得向量或几何向量。定义具有物理意义上的數值和方向的向量概念则需引进定义范数和内积的欧几里得空间。
向量 不同学科中的向量
在一些上下文中，尤其在物理学领域，有些向量会与起点有关（如一个力与其的作用点有关，质点运动速度与该质点的位置有关），因而假设向量有确定的起点和终点，当起点和终点改变后，构成的向量不再是原来的向量。这样的向量也被称为固定向量。例子之一是运动学中常见的物理量位置向量。
在特定情境下，因為向量的共同性質皆具有數值和方向，引此向量的起点和终点變得未必如此重要。两个起点不一样的向量，只要數值相等，方向相同，就可以称为是同一个向量。这样的向量被称为自由向量。在数学中，一般只研究自由向量，并且数学中所指的向量就是指自由向量。也就是只要數值以及方向一樣，即可視為同一向量，與向量的起始點並無關係。一些文献中会提到向量空间带有一个特定的原点，这时可能会默认向量的起点是原点。
向量 表示方法
符号形式实际上只是对向量规定的一个概念化代号。向量在包括数学和物理等诸多领域均被广泛采用，优点是简洁明瞭，缺点則是高度抽象化，既缺少几何形象性，又缺少定量精确性。
数学上的向量通常可用加向右箭头的小写字母表示，如, , 。有时也有用加箭头的大写字母表示数学量，如微积分中的面积元。给定两点、时，也可确定一固定向量：如确定一个始于点从终于点的向量，符号表示为：，此符號廣泛運用於手寫標示。
在表示物理学上的矢量也可用加箭头的小写字母表示，如速度、摩擦力、动量。
物理学还有许多物理量以含有箭头的大写字母表示，如电场、磁场、力。
向量也可用粗体小写字母表示，如，许多書本会采用此种记法，但缺点是區分粗體字有時不容易，例如 和 肉眼看易混淆。
直观上，向量通常被标示为一个带箭头的有向线段。线段的长度表示向量的大小（或称模长），向量的方向即箭头所指的方向，可以記為。该种表示的优点是具有强烈的几何直观形象性，缺点是在纸面上作图繁琐，不便定量分析。
向量 表示方法
而遇到某些特殊情况（如表示磁场的磁通量密度）需要表示与记载纸面垂直的向量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中带点的记号（⊙）表示由纸下方指向纸上方的向量，而圆圈中带叉的记号（⊗）则表示由纸的上方指向纸下方的向量。由于这种记号不表示向量的大小，所以必须时需要在旁边或其它地方另外注明。
代数表示指在指定了一个坐标系之后，用一个向量在该坐标系下的坐标来表示该向量，兼具了符号的抽象性和几何形象性，因而具有最高的实用性，被广泛采用于需要定量分析的情形。
对于自由向量，将向量的起点平移到坐标原点后，向量就可以用一个坐标系下的一个点来表示，该点的坐标值即向量的终点坐标。
向量 表示方法
设有一向量，有坐标系。在中定义好若干个特殊的基本向量（称为基向量，各个基向量共同组成该坐标系下的基底），，...，之后，则向量在各个基方向的投影值即为对应的坐标值，各个投影值组成的有序数组，稱為该向量在坐标系的坐标，是向量的唯一表示，即与向量的终点一一对应。换言之，其它的向量只需通过将这些基本向量拉伸后再按照平行四边形法则进行向量加法即可表示（通常被称为“用基底线性表出一个向量”，即该向量是基向量的某种线性组合），即：
其中, ..., 分别为在，方向的投影。当基底已知，可直接省略各基向量的符号，类似于坐标系上的点，直接用坐标表示为：
在矩阵运算中，更常將向量写成类似于矩阵的列向量或行向量。在线性代数中所指的向量，通常默认为列向量。如一个向量，可写成：
其中，上者为列向量写法，下者为行向量写法；此处採中国大陆定义。
值得注意的是：
对于由两个点确定的向量，同样可以用坐标进行表示，详见向量運算。
在常见的三维空间直角坐标系Oxyz里，基本向量就是以横轴（Ox）、竖轴（Oy）以及纵轴（Oz）为方向的三个长度为1的单位向量、、。这三个向量取好以后，其它的向量就可以透過三元数组来表示，因為他們可以表示成一定倍数的三個基本向量的總和。比如说一个标示为（2,1,3）的向量就是2个向量加上1个向量加上3个向量得到的向量，即：
向量 特殊向量
类似于數字中的1（单位元）、相反数（加法逆元）、0（加法单位元），向量中有单位向量（单位元）、反向量（加法逆元）、零向量（加法单位元）、等概念量。此外，还有方向向量、相等向量等概念。
对于任意向量，不论方向如何，若其數值为单位长度，则称其为方向上的单位向量（）。单位向量通常被记为。
特殊地，三维笛卡尔坐标系上的三个基向量，，都是单位向量。
一個向量的反向量（）與它大小相等，但方向相反，一般記作。如果向量是向量的反向量，那麼也是的反向量。
另外，向量的反向量也可按如下定义：
始點與終點重合，即大小为0的向量，被称为零向量（），记以数字0上加箭头，即。有时亦可以用粗体的0表示，如。在坐标表示下，不论含有多少分量，不论指向任何方向，若所有的分量均为0的向量即为零向量。关于零向量有两点值得一提：
向量 特殊向量
零向量可以如下进行形式化定义：
舉例來說，一個人跑了100米，然後反方向跑回來。他的移動距離是200米，位移則是零向量。在這個情況下，零向量的方向平行於他跑回來的方向，所以可以是任何方向。
不论起点终点，兩向量長度、方向相等，即為等向量或相等向量（）。
对于任意向量，若其一个相等向量为，则对和数字-1进行係數積运算后得到的向量即的反向量。
另外，类似于反向量的定义，向量等向量也可按如下定义：
方向向量（）的形式化定义如下：
一般地，所有方向相同的向量之间互为方向向量。
向量 向量的性质
有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了始點與終點。在文字描述時，如果已知某有向線段的始点和終點分别是和，则此線段的長度称为线段的模或绝对值，可以記為，即，此线段带有正负号的模称为有向线段的数量，可以记为，此时。
向量的大小（）也称模长、长度。几何上，当确定了单位长度后作图所得的向量的长度，即为向量的大小，记作。在有限维赋范线性空间中，向量的模长也称为范数（），记作。已知向量的坐标，就可以知道它的模长。
设向量，其范数的计算表达式由弗罗贝尼乌斯范数（一种同时适用于向量和矩阵的范数计算方法）给出：
。
特殊地，对于n 维欧几里得空间 Rn上的向量，其模长或范数为：
。
向量 向量的性质
更特殊地，对于三维笛卡尔坐标系下的向量，其模长为：
。
向量的夹角（）是对于两个向量而言的概念。对于任意两个给定的向量和，二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角。由于夹角具有互补性，因此在不同的出发规定、不同的旋转方向下，所得夹角亦不同。
向量的夹角可由內積的定义导出计算公式，即：
对于个向量，，…，，如果存在一组不全為零的个数、、…、，使得，那么，称个向量，，…， 為（）。
如果这样不全為零的个数不存在，即上述向量等式仅当 = = … =  = 0时才能成立，就称向量，，…， 為（）。
向量 向量運算
向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。
向量之间可以如数字一样进行运算。常见的向量运算有：加法、减法、数与向量之间的乘法（数量积）以及向量与向量之间的乘法（外积），但向量的除法沒有定義。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。具体地，两个向量和相加，得到的是另一个向量。这个向量可以表示为和的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将的终点和的起点重合后，从的起点指向的终点的向量：
两个向量和的相减，则可以看成是向量加上一个与大小相等，方向相反的向量。又或者，和的相减得到的向量可以表示为和的起点重合后，从的终点指向的终点的向量：
当这两个向量数值、方向都不同，基本向量时，向量和计算为
向量 向量運算
并且有如下的不等关系：
此外，向量的加法也满足交换律和结合律。
向量空间分为有限维向量空间与无限维向量空间。在有限维向量空间中，可以找到一组（有限个）向量，使得任意一个向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合：
其中的标量是随着向量而确定的。这样的一组向量称为向量空间的基。给定了向量空间以及一组基后，每个向量就可以用一个数组来表示了。两个向量和相同，当且仅当表示它们的数组一样。
两个向量和  的和：
它们的数量积为：
而标量k与向量v的乘积则为：
一个标量k和一个向量之间可以做乘法，得出的结果是另一个与方向相同或相反，大小为的大小之｜k｜倍的向量，可以记成 ，该种运算被称为係數積。-1乘以任意向量会得到它的反向量，0乘以任何向量都会得到零向量  。
內積是向量与向量的乘积，其结果為一個純量。
向量 向量運算
几何上，可以定义如下：
设 、 为两个任意向量，它们的夹角为 ，则他们的为：
即  向量在  向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與  向量長度的乘積。
被广泛应用于物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 。
外积也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量張成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。舉例來說  但是 。
设有向量、，
则其向量积的矩阵表达式可用下列符號表示：
三个向量、和的三重積定义为，物理意義為三向量始於同點時所構成的體積：
若、為平面上兩個不平行的非零向量，則平面上的每一個向量都可以唯一表示為的形式。這種表示方式，稱為向量的線性組合。
向量 关于向量运算的定理
在实际应用中，向量运算时常会运用到定比分点定理。
设平面直角坐标系原点，内有点，点，点，点在点、之间，且
，则：
特殊地，当，
相应的有中点坐标：
实际上，上述结论可以推广到空间向量中。
设空间直角坐标系内原点为，有点，，、点间有一点，且
，
则：
中点坐标：
设平面直角坐标系内原点，有点，点，点，点在点、之间，且，则：
，
義肢裝具師
義肢裝具師（英語：），指負責量製、評估、製作、校正義肢的專業人員。和「義肢師傅」最大差別在於義肢裝具師需擁有相關學歷及臨床訓練，並且在執業時親自接觸患者。義肢裝具師大多是在醫療院所從事臨床服務，也有些是在廠商或研發單位擔任設計人員。
飛行器製造商列表
以下列出飛機製造商，以國際民航組織（ICAO）或常用英文名按照字母順序排列。列表包含ICAO或常用名、製造商名、國家、和其他資料，已知的營運年份包含在括弧裡。
ICAO名以粗體表示。有ICAO名不代表該製造商仍在營運，只是該公司製造的飛機仍在飛行。
壞血病
壞血病（英語：）俗称水手病，是一种因缺乏维生素C所引起的疾病。维生素C主要参与人体内胶原的合成，其化学名称是抗坏血酸，源自拉丁语  “坏血”。
早期症狀包括虛弱、感覺疲勞及手腳疼痛。若不即時進行治療，可能會造成貧血、牙齦疾病、頭髮產生變異以及皮膚出血。隨著壞血病持續惡化，會出現傷口不容易癒合，性情大變甚至因為感染或出血而死亡。
通常，壞血病是由飲食中缺乏維生素C引起的。在出現症狀之前至少需要一個月幾乎不攝取維生素C。在現代，它最常見於精神障礙，不尋常的飲食習慣、酗酒和獨居老人。其他風險因素包括腸道吸收不良和透析。人類和某些其他動物在飲食中需要維生素C來製造膠原蛋白的組成部分。診斷此疾病通常基於症狀、X光檢查結果和治療後是否改善。
壞血病的治療方式為口服維生素C營養補充品，幾天內症狀就會改善，幾周內就可以完全康復。含維生素C食物有柑橘屬水果、生肉以及數種蔬菜、糧食作物，如菠菜、花椰菜、高麗菜、番茄和馬鈴薯等，但烹調時食物中的維生素C通常會被破壞降解。在緊急情況時，食用生肉也可以補充維生素C。極地探險船比利時號當年被困在南極時，船醫就靠給船員吃生肉的方式來避免壞血病。
壞血病 歷史
坏血病曾经一度流行于船员、海盗和其他长期在海上作业的人员当中，主要是因为当时水果和蔬菜无法长期保存，當然也不止海上，在寒冷或乾燥地帶的居民也會遇到。坏血病首次被希波克拉底（公元前460年—公元前380年）描述。草药治疗坏血病在各国历史中均有提及，因此古代人類的飲食中，許多依賴海洋與極冷地區的文明，傳統菜色裡多有準備醃漬蔬果與豆類、奶製品與食用未烹煮的肉類的現象，不過因為不了解根本原因，仍然時有發生營養不足的情況。在歐洲開始航海後此病得到特別重視，1536年，发现圣劳伦斯河的法国探险家雅克·卡蒂亚，向印第安人詢問後，飲用了柏树叶所煮成的茶，成功地救治了自己的部下。但类似这样的治疗方法并不适用於远航的船员，船上依舊只能準備泡菜和在甲板上種植蔬菜的方法。后来研究此植物发现，每100克柏树叶中含有50mg维生素C。1753年，蘇格蘭海軍軍醫詹姆斯·林德發現此病與飲食水果有關，並經由英格蘭探險家詹姆斯·庫克進一步引證下。發現飲用橘子汁、檸檬汁後，可治療和預防壞血病，英國人便將檸檬汁加入萊姆酒內，壞血病才徹底被人類征服。
壞血病 流行病學
壞血病與腳氣病、糙皮病同被分為營養不良的疾病。在糧食不足的地區中，患上此類疾病的比例會較高。
在現代的社會中，壞血病甚少在成年人中出現。
但是，如果餵飼嬰兒只使用瓶裝奶，而忽略從其他途徑補充維他命，該嬰兒也會有機會患上壞血病。因为瓶裝奶的巴斯德消毒法除了殺掉病菌外，也會破壞牛奶所含的维生素C。因此提倡嬰兒母親餵飼母乳，母乳有足夠的維他命C去預防壞血病。
嬰兒的壞血病又稱作巴洛氏病，有下肢腫脹、肢體彎曲有疼痛感、骨骼損害等症狀。
正常的膠原合成依賴於細胞內質網脯氨酸和離氨酸殘基的羥化，分別形成羥化脯氨酸和羥化賴氨酸。催化這一羥化過程的纈氨酸和賴氨酸羥化酶需要維生素C的參與以保持其正常功能。維生素C缺乏將導致纈氨酸和賴氨酸不能羥化，因而不能進行正常的膠原合成，從而引起壞血症的各種症狀。
一般情况下，极度缺乏维生素C三个月以上才会看出坏血病的症状。如仍不治疗，病人必會死亡。唯一需要的疗程是重新开始正常量的维生素C，只要給病人補充維生素C即可快速痊癒，所以现代壞血病致死非常少见。
亚健康
亚健康是指人处于健康和疾病之间的一种临界状态，人的心理或身体处于混乱，但并没有明显的病理特征。
亚健康 流行说法
經據香港心理學專業機構全人發展中心的一項問卷調查報告指出，香港有高達30%的白領人士正處於「亞健康狀態」。从亚健康状态既可以向好的方向转化恢复到健康状态，也可以向坏的方向转化而进一步发展为各种疾病。
亚健康 争议
亞健康的概念主要在中國大陸媒体上出现，尤其是保健品的市场宣传之中。英文  一词也绝大多数出现在源自中国的媒体报道中。有学者认为“‘亚健康’的说法仅存在于中国人的社会环境里，又是一个所谓的‘中国特色’。”
根据司马南的观点，这个概念是“1980年代由一个大学毕业生自己造出来的，现在他都不知道亚健康居然成了我们今天众多保健品厂家的理论依据。”有人认为“判断是否保健品广告的一个简单准确的办法就是看是否用‘亚健康’一词”。
2012年1月，中国网络媒体腾讯新闻以《亚健康：忽悠国人十六年》为话题，在调查“亚健康”的词源及其应用情况后对这个概念明确表达出否定态度，认为中国人“已被这个概念忽悠了十六年”。
中国大陆医学生本科教材有关于“亚健康”的章节，并有一句“世界卫生组织的一项调查表明，人群中真正健康的人约占5%，患疾病者约占20%，而处于亚健康状态者约占75%”。
腸道病毒
腸道病毒（英語：）又稱腸病毒，是一種主要寄生於腸道的正股單股RNA病毒，和人類及哺乳類的疾病有關。雖然名為腸病毒，在人類卻很少出現腸道的病狀。在病毒分類中，屬於第IV類的RNA病毒。腸道病毒的命名主要以它的英文名稱“Enterovirus”的英文簡寫“EV”，再後綴以數字命名。例如，近年在亞洲和北美洲流行、可以引起手足口病的EV71就是其中的一種。
常見的腸病毒有：克沙奇病毒（有A型23種與B型6種）、埃可病毒31種、造成小兒麻痺症的脊髓灰質炎病毒3種、以及不分類的腸病毒68－71型，共67種。
腸道病毒
腸病毒在全球皆有分布，而人類是唯一宿主及唯一感染源。腸病毒具高傳染性，主要經由兩途徑傳染，經由吃到被汙染的食物、水、玩具、口水等或經由呼吸道(飛沫、咳嗽等)傳染，故為了避免被感染應經常正確洗手尤其吃東西前一定洗手、不吃生食、兒童玩具經常清洗與消毒、室內保持良好的通風環境、流行期間避免到公共場所、感染者盡量在家休息至少3-5天，都是預防腸病毒感染有效途徑。大部分的腸病毒感染之臨床症狀都是輕微的類流感症狀，如發燒、喉痛、頭痛、噁心等，典型的疱疹型咽峽炎及手足口病(hand-foot-mouth disease)有時亦可見。疱疹型咽峽炎典型特徵為於咽峽部會出現潰瘍或小水泡。手足口病典型特徵為在手、腳、口腔有隆起紅疹與水泡。大部分的腸病毒感染都屬於自限型疾病，給予保守性的療法如控制發燒、疼痛及適當補充水分、足夠休息等即可控制病情。
但少部分兒童尤其是五歲以下兒童，腸病毒感染可能會併發重症以及大流行，尤其是感染腸病毒71型最多見，次為克沙奇病毒。故如有疱疹型咽峽炎或手足口病之特異症狀，又合併出現以下重症症狀時應儘速就醫：1‧神經系統症狀包括嗜睡、意識改變、持續噁吐、肌躍型抽槒(myoclonic jerk)、急性肢體麻痺症候群或其他腦炎、腦膜炎症狀。2‧心肺系統症狀包括呼吸急促、呼吸困難、心跳過快、臉色蒼白、發紺、甚至心肺衰竭。
腸道病毒 物種和基因序列
腸道病毒是小核糖核酸病毒家族的成員，一個龐大而多樣的小RNA病毒組群，其特徵在於由單一的正鏈基因組RNA組成。 所有的腸道病毒包含約7500個鹼基基因組，並已知具有高的突變率由於低高保真複製和頻繁重組。宿主細胞的感染後，基因組被翻譯成一個依賴帽的方式成一個單一的多蛋白，其隨後由病毒編碼的蛋白酶加工成的結構的衣殼蛋白和非結構蛋白，其主要涉及的病毒的複製。
腸道病毒屬包括以下12種：
這十二個種類的各種血清型：
腸道病毒 物種和基因序列
柯薩奇病毒
serotypes CV-A2, CV-A3, CV-A4, CV-A5, CV-A6, CV-A7, CV-A8, CV-A10, CV-A12, CV-A14 & CV-A16 found under the species: Enterovirus A.
serotypes CV-B1, CV-B2, CV-B3, CV-B4, CV-B5, CV-B6 & CV-A9 found under the species: Enterovirus B.
serotypes CV-A1, CV-A11, CV-A13, CV-A17, CV-A19, CV-A20, CV-A21, CV-A22 & CV-A24 found under the species: Enterovirus C.
腸道病毒 物種和基因序列
埃可病毒
serotypes E-1, E-2, E-3, E-4, E-5, E-6, E-7, E-9, E-11, E-12, E-13, E-14, E-15, E-16, E-17, E-18, E-19, E-20, E-21, E-24, E-25,                  E-26, E-27, E-29, E-30, E-31, E-32, & E-33 found under the species: Enterovirus B.