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电力电子学 特徵與應用領域
在微電子技術發展帶領下,功率電子技術化的電子元件實現了更好的控制和調控性。並給予功率電子技術更好的發展前景。
电力电子学 特徵與應用領域
在電力驅動的驅動技術方面,運用功率電子技術中的可控制性實現電動機運行狀態的精確調控。因而現今的大型電機驅動設備和電力機車都運用此項技術經行控制。同樣,在能量的產生和傳送方面,功率電子技術也有舉足輕重的地位。而一些微功率設備與用傳統同步電機作為能量供給者的設備中卻很難得到應用。通過頻率轉換器實現電能向電力網絡的輸送。功率電子技術也應用在電能傳輸過程,實現從交叉耦合到高頻去耦的網路銜接。這種高壓直流傳輸技術也被應用在從變電站到火車電力網路和城市輕軌網路的電力傳輸。同樣,在三相电網路中實現針對性調控方面,功率電子技術在FACTS(精確交流傳動系統)中得到運用。借助于UPFC(統一功率流調節器)實現從封閉式的傳輸網路到單一的電路中的導向性功率流的設置。從而使輸送電路在傳輸電路實現盡可能的利用。功率電子技術在汽車製造方面也愈顯重要。在這方面,有許多的耗能設備需要通過功率電子技術化的元件進行接通(電流)與控制。在汽車方面的第一個應用就是常見的發電機調節器,因而使直流發電機被效率更高,體積更小,維護簡易的交流電機所代替成為可能。其他的應用如電子點火器(晶閘管)和內燃機中的電子燃油噴射裝置。混合動力汽車（例如豐田普瑞斯）也可以歸屬於電動汽車（叉式裝卸機“E-Car”），其驅動功率由一台電動機產生。其所需電能必須借助于功率電子技術轉換為驅動電機所需的電壓和頻率。因而功率強度需通過直流調控器和交流整流器來實現。也可實現電能在電池和雙電層電容器(Super Caps)儲存的過程。功率電子技術在高頻應用領域逐漸取代落後的管技術。在超高頻和大功率應用方面卻更多地採用電子管(調速管,磁控管),在感應熱依舊存在的情況下,能實現設備的小型化,高效能,免維修和持久使用的性能全部要歸功於功率電子技術。 其他例子,可以參考逆變換流器在電弧焊中的應用以及中頻逆變器在電阻焊中的應用。
韩正
韩正（1954年4月22日—），浙江慈溪人，中国共产党、中华人民共和国政治人物，現任中华人民共和国副主席，正国级领导人（排名第8，位列中共中央政治局常委之后）。曾任第十九届中共中央政治局常委（排名第7）、国务院副总理（排名第一）、中共国务院党组副书记、中共上海市委员会书记、上海市人民政府市长等职务。1975年12月参加工作，1979年5月加入中国共产党，毕业于华东师范大学，曾长期在上海市工作。任職國務院副總理期間负责推进“一带一路”、粤港澳大湾区建设、港澳事务、京津冀协同发展领导小组、推动长三角一体化发展领导小组等工作。是中共十六、十七、十八、十九届中央委员，十八、十九届中央政治局委员，十九届中央政治局常委。
韩正 生平
韩正1954年4月生于上海，中学就读于上海市徐汇区安福路247号黎明中学，该校于1943年建校，前身为“中华理科高级中学”。1975年12月，在上海市徐汇区任职超重安装队仓库管理员，后调任供销股办事员、共青团总支部副书记。1980年8月，任上海市化工装备工业公司干事、团委负责人。1982年11月，任上海市化工局团委书记。1983－1985年复旦大学大专班学习。1986年2月，任上海市化工专科学校党委副书记。1987年5月，任上海胶鞋厂副厂长、党委书记。1985-1987年华东师范大学夜大学政教系政教专业学习。1988年8月，任上海大中华橡胶厂副厂长、党委书记，期间时任上海市长朱镕基曾前往考查，并对韩正的工作予以了肯定。
韩正 生平
1990年6月，任共青团上海市委副书记（主持工作）。1991年5月，任共青团上海市委书记。1992年11月，任中共卢湾区委副书记、代区长（1993年5月正式当选区长，期间1991-1994年，在华东师范大学国际问题研究所国际关系与世界经济专业学习，获得在职经济学硕士学位）。韩正任职卢湾区时年仅39岁，任职期间韩正着手对辖区的著名商业街—淮海路进行改造和升级，并重点和海外势力雄厚的企业财团合作，使淮海路的升级改造基本没有受到之后爆发的亚洲金融危机的影响，此外韩正任职期间还对卢湾区以前社区环境不佳的地区进行了集中整治，基本解决了辖区内的环境问题。
韩正 生平
1995年7月，任上海市人民政府副秘书长，并先后兼任市综合经济工作党委副书记、上海市计划委员会主任、上海市证券管理办公室主任等职。1997年12月，任中共上海市委常委，晋升副部级。1998年2月，任中共上海市委常委、上海市副市长，成为两任市长徐匡迪和陈良宇的副手。2002年5月，任中共上海市委副书记、上海市副市长。2003年2月，在上海市第十二届人民代表大会第一次会议上，年仅49岁的韩正当选为新一届上海市市长，晋升正部级，同时韩正也成为了上海50年来最年轻的市长。2006年9月，因受到上海社保基金挪用案波及，时任中共上海市委书记陈良宇被停职，韩正代理中共上海市委书记职务。2007年3月，在习近平接任上海市委书记后，韩正不再代理上海市委书记职务。2008年1月30日，在上海市第十三届人民代表大会第一次会议上被选举连任上海市市长。2010年，适逢台北市与上海市的「双城论坛」，韩正到台湾访问四天，成為中国大陆首位访台的直辖市长。同年上海世博会成功举办。2012年2月，时任上海市市长的韩正因上海“11·15”特别重大火灾被国务院责成作出深刻检讨。
韩正 生平
2012年11月15日，58岁的韩正在中共十八届一中全会上当选中共中央政治局委员，进入党和国家领导人行列。11月20日，韩正接替俞正声出任中共上海市委书记，结束了10年作为“二把手”的副书记任期。2012年12月26日，辞去上海市市长职务。韩正上任时，上海经济处于数年发展受阻，成长率逐年下降的困局，不仅如此，上海还面临着体制沉疴、房价高企等诸问题。面对重重困境，韩正提出了以“开放倒逼改革”的发展思路，韩正发表文章指出：“上海已经到了没有改革就不能前进的阶段”，韩正认为：强化改革推动；强化市场作用；强化创新驱动和调整政府管理和服务方式”即“三强化、一调整”促进上海的体制机制改革，恢复经济发展活力。
韩正 生平
韩正表示在习近平总书记、李克强总理等中央领导的支持下，上海多项经济发展项目逐步展开，而其中的重点，是当好全国的“改革开放排头兵、创新发展先行者”，即自贸区建设和具有全球影响力的科技创新中心建设。主要有张江科学城、前滩商务区、上海自贸区 、临港新城软件园等。其中以上海自贸区的规划和立项最受瞩目，这是中国大陆首个自由贸易区项目，有评论指出，该项目将为上海带来十年的发展红利。2013年第一季度上海市投资增长10.3%，其中基础设施投资结束了近三年的负增长，GDP成长率约8%，2007年后首次高于全国平均水平，上海经济数年的“停滞式发展”有一定起色。
韩正 生平
2017年4月，《瞭望》新闻周刊封面系列报道“上海谋划新作为”，叙述了自从2013年以来，习近平总书记对上海改革发展的要求，以及上海市领导班子在谋划经济改革、自贸试验区探索、超大城市治理、科技创新发展以及反腐败制度建设等方面取得的成果。除了经济建设之外，韩正担任市委书记的中共上海市第十届委员会在“创新社会治理、加强基层建设”、“五违四必”综合整治、交通违法大整治、崇明世界级生态岛建设、黄浦江45公里岸线全面贯通开放等方面，做了大量工作。2017年5月，中共上海市第十一届委员会召开第一次全体会议，韩正连任中共上海市委书记。
2017年10月25日，63岁的韩正在中共十九届一中全会上当选为中共中央政治局常委（排名第七），进入最高领导层。2018年2月，在韓國平昌郡舉行的2018年冬奧會上，韓正以中共中央政治局常委和習近平特使身份代表中國政府率團出席開幕式，是他當選中央政治局常委後第一場重要外事活動。在升任政治局常委后，韩正还接替张高丽出任第24届冬季奥林匹克运动会工作领导小组组长一职，负责2022年北京冬奥会筹办工作。
韩正 生平
2018年3月19日，根据国务院总理李克强提名，第十三届全国人民代表大会第一次会议第七次全体会议投票表决决定，任命韩正为国务院副总理（排名第一），兼任中共国务院党组副书记，分管国家发展和改革委员会、财政部、自然资源部、生态环境部、住房和城乡建设部、国家税务总局、国务院港澳事务办公室。同时，他还兼任中央全面深化改革委员会副主任、中央财经委员会委员、中央军民融合发展委员会副主任和办公室主任。2018年4月接替张德江出任中央港澳工作协调小组组长，主管港澳事务。2020年2月，中央港澳工作协调小组更名为中央港澳工作领导小组，韩正续任组长，赵克志、夏宝龙任副组长。
2022年10月23日，68岁的韩正在中共二十届一中全会后卸任中共中央政治局常委。
2023年1月18日，韩正在山东省当选第十四届全国人大代表。十九届中共中央政治局常委中有四人（李克强、栗战书、汪洋、韩正）未连任，韩正是其中唯一一个当选全国人大代表的。在3月召开的第十四届全国人大一次会议上，韩正在卸任国务院副总理后以没有任何党内职务的身份接替退休的王岐山担任中华人民共和国副主席，政治排名在七位政治局常委之后，位列第八。在2023年两会闭幕之后，韩正卸任中央港澳工作领导小组组长，由丁薛祥接任。
2023年5月6日，韩正作为习近平的特別代表出席了在伦敦举行的英国国王查尔斯三世和卡米拉王后加冕仪式，并在前一天与英国外交大臣詹姆斯·克莱弗利会晤，成为自2018年时任英国首相特蕾莎·梅访问中国以来中英两国政府高级官员之间的首次会晤。在英国期间韩正也分别与英国首相里希·苏纳克、威尔士亲王威廉等进行简短会见，并与英國副首相奥利弗·道登举行了会见。随后韩正又在5月7日至12日访问葡萄牙和荷兰。
2023年9月18日至23日，韩正出席了第78届联合国大会一般性辩论，期间会见了联合国秘书长安东尼奥·古特雷斯和美国国务卿安东尼·布林肯。
2025年1月17日，中国外交部宣布，韩正将作为习近平的特别代表赴华盛顿参加美国当选总统唐纳德·特朗普于1月20日举行的就职典礼。参加该就职典礼之前，美东时间2025年1月19日，韩正在华盛顿会见美国候任副总统J·D·万斯。
罗宾德拉纳特·泰戈尔
罗宾德拉纳特·泰戈尔（孟加拉語：；1861年5月7日—1941年8月7日），孟加拉族文学家、音樂家、哲学家和反现代民族主义者，1913年，他以《吉檀迦利》成为第一位获得诺贝尔文学奖的亚洲人。
在西方国家，泰戈尔一般被看作是一位诗人，而很少被看做一位哲学家，但在印度則兩者皆是，因他的诗中含有深刻的宗教和哲学的见解。对泰戈尔来说，他的诗是他奉献给神的礼物，而他本人是神的求婚者。他的诗在印度享有史诗的地位。他本人被许多印度教徒看作是一个圣人。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 生平
泰戈尔出生于英属印度时加尔各答一个受到良好教育的家庭，家庭属于商人兼地主，婆罗门种姓。他的父亲戴宾德纳特·泰戈尔是一位地方的印度教宗教领袖。泰戈尔是家中的第14子。
泰戈尔8岁开始写诗，12岁开始写剧本，15岁发表了第一首长诗《野花》，17岁发表了叙事诗《诗人的故事》。1878年赴英国倫敦大學學院（UCL）留学，1880年回国专门从事文学活动。1886年，他发表《新月集》，成为印度各級學校必选的文学教材。这期间，他还撰写了许多抨击英国殖民统治政论文章。
泰戈尔在印度独立运动的初期支持这个运动，但后来他与这个运动疏远了。为了抗议1919年阿姆利則慘案，他拒绝了英国国王授予的骑士头衔，他是第一个拒绝英王授予荣誉的人:p209-。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 生平
他反对英国在印度建立起来的教育制度，反对这种“人为”的、完全服从的、死背书、不与大自然接触的学校。为此他在他的故乡建立了一个按他的设想设计的学校，这是维斯瓦·巴拉蒂大学的前身。
泰戈尔做过多次旅行，这使他了解到许多不同的文化以及它们之间的区别。他对东方和西方文化的描写至今为止是这类描述中最细腻的之一。1941年，泰戈爾在其生日留下控诉英国殖民统治和相信祖国必将获得独立解放的著名演講《文明的危机》，數個月後与世长辭，享壽80岁。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 文學成就
除诗外泰戈尔还写了小说、小品文、游记、话剧和2000多首歌曲。他的诗歌主要是用孟加拉语写成，在孟加拉语地区，他的诗歌非常普及。他的散文的内容主要是社会、政治和教育，他的诗歌，除了其中的宗教内容外，最主要的是描写自然和生命。在泰戈尔的诗歌中，生命本身和它的多样性就是欢乐的原因。同时，他所表达的爱（包括爱国）也是他的诗歌的内容之一。
印度國歌《人民的意志》和孟加拉国国歌《金色的孟加拉》都使用了泰戈尔的诗。威尔弗雷德·欧文和威廉·勃特勒·叶芝被他的诗深受感动，在叶芝的鼓励下，泰戈尔亲自将他的《吉檀迦利》译成英语，1913年他为此获得了诺贝尔文学奖。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 文學成就
泰戈爾是印度近代中、短篇小說的創始人。他的小說多取材於孟加拉河流域，多以抨擊殖民主義統治，斥責封建道德習俗為主題。《太陽與烏雲》、《飢餓的石頭》、《妻子的信》都是永遠受人喜愛的名篇。世人一致認為長篇小說《沈船》、《戈拉》是泰戈爾長篇小說的代表作，是孟加拉语最偉大的小說。《沈船》通過青年大學生羅梅西曲折複雜的戀愛、婚姻故事，揭示了封建婚姻制度與爭取婚姻自主的青年男女之間的尖銳矛盾，批判了包辦婚姻以及青年男女婚前不允許見面的陋習。《戈拉》則通過著力塑造愛國知識分子戈拉的形象，提出了消除宗教偏見，實現各民族解放才是愛國主義的課題。兩部小說所提出的問題，都是當時印度社會迫切需要解決的問題，具有重要的現實意義。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 思想
泰戈爾的思想植基於古印度的泛神論，吸收了《奧義書》和《神贊》裏人神一體、人我交融的哲學，用詩的語言，對生命加以肯定和禮讚。在他的诗歌中，泰戈尔也表达出了他对战争的绝望和悲痛，但他的和平希望没有任何政治因素，他希望所有的人可以生活在一个完美的和平的世界中。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 作品
泰戈尔以他的詩集聞名，不過他也寫過小說、評論、短篇故事、遊記、劇本以及上千首歌。在泰戈尔的散文中，短篇故事是最受大家重視的。他的作品以其節奏、流暢及樂觀著稱。許多的故事都是來自看似簡單的題材：平民。泰戈尔非小說的作品中包括了歷史、語言學及性靈層面的事物。泰戈尔也寫過自傳，他的遊記、評論及演講彙編成幾卷，包括Europe Jatrir Patro（來自歐洲的信）及Manusher Dhormo (人的信仰)。他和愛因斯坦的談話 "Note on the Nature of Reality"放在附錄中。在泰戈爾誕辰150週年時，他所有的作品依年代順序以孟加拉語出版，總共約八卷。2011年時哈佛大学出版社和維斯瓦·巴拉蒂大學一起出版了《The Essential Tagore》，是泰戈尔作品英文選集中最完整的一份。
罗宾德拉纳特·泰戈尔 评价
作家冰心：“泰戈尔是贵族出身，家境优越，自幼受过良好教育。他的作品感情充沛，语调明快，用辞华美。格调也更天真，更欢畅，更富神秘色彩。而纪伯伦是苦出身，他的作品更像一个饱经沧桑的老人在讲为人处世的哲理，于平静中流露出淡淡的悲凉。”
Maple
MAPLE是一個符號计算和數值計算軟體平臺。
Maple 總覽
用戶能够直接使用傳統數學符號进行輸入，也可以定制个性化的界面。对于数值计算有额外的支持，能够扩展到任意精度，同时亦支持符號演算及可视化。符號演算的例子参见下文。Maple内建有一种动态的命令行风格的编程语言，该语言支持具有作用域的变量。同时亦有其他語言的接口（C、FORTRAN、Java、Matlab和Visual Basic）。还具有与Excel进行交互的接口。
Maple由一个很小的由C语言编写的内核提供Maple语言。许多功能由各种来源的函数库提供。许多数值计算由NAG数值计算库, ATLAS库, GNU多精度库提供。大部分库由Maple语言编写，并且可查看源代码。
Maple中不同的功能需要不同格式的数值数据。符号表达式在内存中以有向无环图的形式存储。标准界面和计算界面由Java语言编写。经典界面由C语言编写。
Maple Maple代码示例
简单指令式程序的构造：
一些简单的函数也可以使用直观的箭头表示法表示
evalf[100](2^1/12)
1.059463094359295264561825294946341700779204317494185628559208431458761646063255722383768376863945569
f:=x^2-63*x+99=0;
solve(f,x);
,
f := x^7+3*x = 7;
solve(f,x);
RootOf(, index = 1),
RootOf(, index = 2),
RootOf(, index = 3),
RootOf(, index = 4),
RootOf(, index = 5),
RootOf(, index = 5),
RootOf(, index =7),
evalf(%);
f := sin(x)^3+5*cosh(x) = 0;
> solve(f, x);
RootOf(
> evalf(%);
0.2873691672 - 1.111497506 I
Maple Maple代码示例
根据，寻找的所有实数解。
答案：
代数方程组
> p1 := x*y*z-x*y^2-z-x-y; p2 := x*z-x^2-z-y+x; p3 := z^2-x^2-y^2;
> sys := {p1, p2, p3};
> var := {x, y, z};
> solve(sys, var);
{x = 0, y = y, z = -y}, {x = 3, y = 4, z = 5}, {x = 1, y = 0, z = -1}
三角方程组
> f1 := cos(x)+sin(3*y)+tan(5*z) = 0;
> f2 := cos(3*z)+tan(3*y^2)-sin(2*z^3) = 33;
> f3 := tan(4*x+y)-sin(5*y-4*z) = 2*x;
> sys1 := {f1, f2, f3};
> var1 := {x, y, z};
{x, y, z}
> fsolve(sys1, var1);
{x = -10.77771790, y = -2.397849343, z = -7.382158103}
Maple Maple代码示例
计算矩阵的行列式。
答案：
朗斯基行列式
with(VectorCalculus);
w:=Wronskian([1,x,x^3+x-1],x)
Matrix(3, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = x, (1, 3) = x^3+x-1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 1, (2, 3) = 3*x^2+1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 6*x})
d:=Determinant(w);
6x
雅可比矩阵
J := Jacobian([r*sin(t)), r^2*cosh(t)], [r, t]);
m:=Matrix(2, 2, {(1, 1) = cos(t), (1, 2) = -r*sin(t), (2, 1) = sinh(t), (2, 2) = r*cosh(t)})
d:=Determinant(m);
sin(t)*r^2*sinh(t)-2r^2cos(t)cosh(t)
海森矩阵
f := x^3+y*cos(x)+t*tan(y))
Maple Maple代码示例
with(VectorCalculus);
h:=hessian(f,[x,y,t]);
求.
答案：
求.
答案：
注意：Maple在积分时不提供常数项C，必须自行补上。
定积分
> int(cos(x/a), x = 1 .. 5);
16 a sin（1/a)* cos^4(1/a) - 12 a sin^2(1/a)
计算以下线性常微分方程的一个精确解初始条件为
答案：
解：
BesselI(,)
+BesselK(,)
with(inttrans);
拉普拉斯变换
> f := (1+A*t+B*t^2)*exp(c*t);
> laplace(f, t, s);
反拉普拉斯变换
invlaplace(1/(s-a),s,x)
z := y(t);
y(t)
f := diff(z, t, t)+a*(diff(z, t)) = b*z;
with(inttrans);
g := laplace(f, t, s);
s^2*laplace(y(t), t, s) - D(y)(0) - s y(0)
Maple Maple代码示例
+ a s^2 laplace(y(t), t, s) - a y(0) = b laplace(y(t), t, s)
invlaplace(g, s, t);
with(inttrans);
fourier(sin(x),x,w)
*(Dirac(w-1)+Dirac(w+1))
绘制函数，
绘制函数，和的范围为 -1到1
二维动画
with(plots);
animate(subs(k = .5, f), x = -30 .. 30, t = -10 .. 10, numpoints = 200, frames = 50, color = red, thickness = 3);
三维动画
with(plots)
animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y), x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi, t = 1 .. 2)
求解偏微分方程组
条件为.
答案：
寻找函数满足积分方程
.
答案：
导数
导数（英語：）是微积分学中的一個概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数的自变量在一点上产生一个增量时，函數输出值的增量與自變量增量的比值在趋于0时的極限如果存在，即為在处的导数，记作、或。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度:155。
导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。
对于可导的函数，也是一个函数，称作的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导（英語：）。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
导数 定义
直觀上 代表函數值從  到  的變化量，那這樣，
代表的是從  到  的平均變化率，如果把  趨近於 ，似乎就可以更能貼切的描述函數值在  附近的變化。
以此為動機，若实函数  於实数  有定義，且以下極限（注意這個表達式所定義的函數定義域不含  ）
存在則称  於  处可导，并称这个极限为  於  处的导数:117-118，记为也可记作   或  :154。
根據函數極限的定義，導數定義部分的 ＂存在  使所有的  ，只要  都有....＂ 可以直觀的理解為 ＂當  趨近於  都有....＂，但要把它寫成嚴謹的定義，會碰到 ＂存在  對所有的實數  ，只要  且  都有....＂這段敘述無法直接套入極限定義的問題，對此必須把以下的表達式
定義為導數原始極限表達式的簡記，而非另一種自動合法的導數定義。但如果存在  ，使  在  裡都有定義，那定義  為以
导数 定义
為定義域，然後以
為對應規則的函數，那以下的極限式
就可以把以  為自變數的偏差，將之趨近於零求導數的想法納入正式的運算裡。
当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设为曲线上的一个定点，为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点时，并且割线的极限位置存在，则称为曲线在处的切线。
若曲线为一函数的图像，那么割线（粉紅色）的斜率为：
当处的切线（橘紅色），即的极限位置存在时，此时，，则的斜率为：
上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说，因此，导数的几何意义即曲线在点处切线的斜率。:117:153
若函数  在其定义域包含的某区间  内每一个点都可导，那么也可以说函数 在区间  内可导，这时对于  内每一个确定的 值，都对应着  的一个确定的导数值，如此一来就构成了一个新的函数，这个函数称作原来函数  的导函数:155，记作：、 或者 。值得注意的是，导数是一个数，是指函数  在点  处导函数的函数值。但在不至于混淆的情况下，通常也可以说导函数为导数。
导数 定义
由于对每一个可导的函数 ，都有它的导函数  存在，我们还可以定义将函数映射到其导函数的算子。这个算子称为微分算子，一般记作  或 。例如：
由于微分算子的输出值仍然是函数，可以继续求出它在某一点的取值。比如说对于函数 ，
所以，。
微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数的微分又可记作。
导数 历史
导数和积分的发现是微积分发明的关键一步。17世纪以来，光学透镜的设计以及炮弹弹道轨迹的计算促使欧洲的数学家对曲线的切线进行研究。1630年代，法国数学家吉尔·德·罗伯瓦尔作出了最初的尝试。与此同时，同是法国人的费马在计算切线时已经使用了无穷小量的概念:52。
如右图，费马考虑曲线  在  处的切线。他声称，对于切线，有以下的关系成立：
对上式变形后得到：
对于具体的函数 ，比如 ，费马计算  的值，并将 设为0，就得到 ，从而确定切线的斜率。可以看出，费马的方法实质上已经是求导。费马还给出了  为多项式时切线的公式。英国的巴罗、荷兰的于德（Johnann Van Waveren Hudde）和瓦隆的斯卢兹（René Francoiss Walther de Sluze）继续了费马的工作。然而，费马和巴罗等人并没有将求导归纳为一种独立的工具，只是给出了具体的计算技巧。
导数 历史
1660年代，英国人伊萨克·牛顿提出了“流数”的概念。牛顿在写于1671年的《流数法与无穷级数》中对流数的解释是：“我把时间看作是连续的流动或增长，而其他的量则随着时间而连续增长。我从时间流动性出发，把所有其他量的增长速度称为流数。”也就是说，流数就是导数。牛顿将无穷小的时间间隔定义为“瞬间”（moment），而一个量的增量则是流数与瞬间的乘积。求导数时，牛顿将自变量和因变量两边展开，同时除以瞬间，再将剩下的项中含有瞬间的项忽略掉:72。而在他的第三篇微积分论文中，牛顿使用了新的概念：最初比和最后比。他说：
相比于牛顿，德国数学家莱布尼兹使用了更清晰的记号来描述导数（见导数的记法一节）。他利用了巴罗的“微分三角形”概念，将自变量和因变量的增量记为  和 。他把  理解为“比任何给定的长度都要小”，而  则是  移动时 “瞬刻的增长”:89。而导数则是两者之间的比例。他还研究了函数之和、差、积、商的求导法则。
牛顿和莱布尼兹的差别在于，牛顿将无穷小量作为求流数或导数的工具，而莱布尼兹则用无穷小量的比值来表示导数。这与二人的哲学思想差异有关:92。
导数 历史
微积分的理论面世后，遭到了有关无穷小量定义的攻击与质疑。导数的定义自然也包括在内。莱布尼兹和牛顿对无穷小量的认识都是模糊的。不仅如此，莱布尼兹甚至引入了 和 ，称其为“未消失的量”，用以进行求导前部的计算。在完成计算后再用“消失的量” 和 来代替它们，并假定前两者之比等于后两者之比，认为这是一个不容置疑的真理:102。
许多数学家，包括伯努利兄弟、泰勒、麦克劳林、达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都想要对微积分的严密性辩护或将微积分严密化。但受限于对无穷小量的认识，十八世纪的数学家并没有做出太大的成果。微积分的强烈抨击者，英国的乔治·贝克莱主教在攻击无穷小量时认为，流数实际上是“消失的量的鬼魂”，是0与0之比。欧拉承认后者，并认为0与0之比可以是有限值。拉格朗日则假定函数都可以展开为幂级数，并在此基础上定义导数:154-156。
十九世纪后，随着对函数连续性和极限的更深刻认识，微积分终于趋于严谨。波尔查诺是首先将导数定义为函数值的改变量与自变量增量之比在自变量增量无限接近0时趋向的量。波尔查诺强调导数不是0与0之比，而是前面的比值趋向的数:10。柯西在他的著作《无穷小分析教程概论》中也使用了同样的定义，并定义 为导数与  的乘积。这样，导数和微分的概念得到了统一:11。
导数 导数的记法
从微积分发轫至如今，不同的数学家都曾使用过不同的记号来表示函数的导数。部分记号至今仍然使用，成为现代的通用记法。
作为微积分的发明人之一，牛顿在1704年著作中将导数用函数符号上方的点来表示。例如 的导数就记作，而二阶导数则记为:193-196。他以后的数学家也会将用来表示函数的微分。牛顿的记法中没有明确自变量，因此  对  的导数在牛顿的著作中也会被记成，因为这可以理解为两个函数 和  对于另一个变量 的导数比:196。而这个导数比（使用莱布尼兹的记号）：
牛顿的记号多见于物理学或与之有关的方面，如微分方程中。以及直到现在，使用函数符号上加一点来表示某一变量的变化率（即对时间的导数）依然常见于各类物理学教材中（如使用来表示加速度等）。注意到对于高阶的导数，这种记法就无法表示了。
莱布尼兹在他的研究中分别使用  和  来表示函数自变量和應变量（输出值）的有限变化量，而使用  和  来表示“无限小”的变化量（即所谓的“无穷小量”）。如果将函数记为的话，那么在莱布尼兹的记法下，其导数记为：
、、 或
导数 导数的记法
这个记法最早出现在莱布尼兹1684年的论文中:204，莱布尼兹在之前的文章中会将  记成 ，把  记成 。莱布尼兹记法的好处是明确了自变量和應变量。要注意的是记号是一个整体，也是，而可以看成一个整体，也可以不严谨地看成和的比值。此外， 表示的是导函数，在某一点  的导数则记为： 
对于更高阶的导数（比如说n阶，见高阶导数一节），莱布尼兹的记法是：
、 或
这种记法是在1695年出现的:205。这里的分子和分母不再具有单独的意义。莱布尼兹的记法中使用  来表示微分算子，比如说二阶的导数  就可以看成：
莱布尼兹记法的另一个好处是便于记忆导数计算的法则。例如链式法则（见导数的计算一节）应用莱布尼兹的记法就是：
可以想象为右边是两个分式的乘积，消去之后就变成左边。
由于牛顿和莱布尼兹之间关于微积分创始人称号的持久纠纷，在十八世纪早期的很长时间里，英国数学界与欧洲大陆的数学界分别采用牛顿和莱布尼兹的记号，泾渭分明。这种情况直到十八世纪后期才开始改变，随着拉格朗日记法的出现而变得多样化起来:197-200。
导数 导数的记法
另一种现今常见的记法是十八世纪拉格朗日于1797年率先使用的，以在函数的右上角加上一短撇作为导数的记号。函数  的导数就记作  或 。二阶和三阶导数记为、 和 、:207。如果需要处理更高阶的导数，则用括号内的求导阶数n来代替短撇，记为：、。当十九世纪的数学家柯西处理微分学时，他认为莱布尼兹的记法“模糊不便”，而采用更为“紧凑”的记法，将  记为。这种记法可说是拉格朗日记法的变种:218。后来这种记法曾继续被精简为。
十九世纪以前，尽管大部分数学家会选择采用牛顿、莱布尼兹或拉格朗日的记号来表示导数，但也有很多的数学家希望使用自己的方法来记录。在不同数学家的著作中可以看到各种主流记法的混合或变体。数学家之间关于什么样的记法最为简便和严谨也是各执一词。同时，由于函数的微分、导数、偏导数以及无穷小量等概念尚未成熟，记号的不统一更增加了数学家之间相互理解的难度:214-234。十九世纪初期的德国数学家马尔丹·欧姆采用来表示导数，而同时期的雅可比则采用来表示偏导数。同时许多数学家采用、或 表示偏导数。
用大写字母表示导数从十八世纪末就开始。1800年，法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托内·阿伯加斯特（）使用表示函数  的m阶导数或全微分。而其后本杰明·佩尔斯也使用表示  对  的导数。而柯西也采用类似的记号，用表示函数  对  的m阶偏导数。
导数 函数可导的条件
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。这个结论来自于连续性的定义。
符号函数（sgn函数）是一个不连续的函数在断点处不可导的例子：
首先注意到这个函数在处不连续。作为验证，可以求出函数在处附近的变化率，根据函数可导的条件再进行判断：
该函数在左侧附近的变化率为：
当时，上面的比值趋于正无穷大发散，不存在，故这个符号函数在处不可导。
然而，连续性并不能保证可导性。即使函数在一点上连续，也不一定就在这一点可导。事实上，存在着在每一点都连续，但又在每一点都不可导的“病态函数”。1931年，斯特凡·巴拿赫甚至证明，事实上“绝大多数”的连续函数都属于这种病态函数（至少在一点可导的连续函数在所有连续函数中是贫集）。在连续而不可导的函数里，一种常见的情况是，函数在某一点连续，并且可以定义它的左导数和右导数：
导数 函数可导的条件
然而左导数和右导数并不相等，因而函数在该处不可导。实际上，若函数导数存在，则必然可以推出左右导数相等，这是由极限的性质（极限存在则左右极限相等）得来：
下面以绝对值函数作为例子：
该函数在处的左导数为：
该函数在处的右导数为：
绝对值函数在处的左右导数皆存在，但由于左右导数不相等，故绝对值函数在处不可导。:118-119
如果函数在一点的左右导数都存在并且相等，那么函数在该处可导。:155
导数 导数与函数的性质
通过认识可导函数的导数，可以推断出不少函数本身的性质。
根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足  的一点 ，如果存在  使得  在区间 上都大于等于零，而在区间  上都小于等于零，那么  是一个极大值点，反之则为极小值点:170。如果 並且  在  改變加減號，則称这个点是拐点；否則这个点不是拐点。:200
如果函数在  处的二阶导数  存在，极值点也可以用它的正负性判断（已确定）。如果，那么  是一个极小值点，反之为极大值点:170-171。
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上  恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的:176-178。
导数 导数的计算
原则上，函数的导数可以通过考虑差商和计算其极限来从定义计算。在实践中，一旦知道了一些简单函数的导数，就可以使用从更简单的函数获得更复杂函数的导数的规则，来更容易地计算其他函数的导数。
所谓基本函数是指一些形式简单并且容易求出导数的函数。这些基本函数的导函数可以通过定义直接求出。
其中是任意实数，那么
函数的定义域可以是整个实数域，但导函数的定义域则不一定与之相同。例如当 时：
:119
导函数的定义域只限所有正实数而不包括0。需要注意的是，不会有多项式函数的导数为。当  时，常函数的导数是0。
自然对数函数的导数则是 ：:123 同样的，一般的对数函数导数则还需要乘以一个系数：
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
（其中为常数）:121
:125
（在处方有意义）:126
:128
若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上方法求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。
欲求函数
在处的导数。可以先求出其导函数：
其中第二项使用了复合函数的求导法则，而第三项则使用了乘积的求导法则。求出导函数后，再将代入，得到导数为：
导数 高阶导数
如果函数的导数在处可导，则称为的二阶导数。记做：，，或:132、
二阶导数可用于求解函数凹凸性问题。
函数在x上凹。
函数在x下凹。
二阶导数的导数称为三阶导数，记做，，或
三阶导数的导数称为四阶导数，记做，，或
一般的的阶导数的导数称为的阶导数，记为，，或:133
一般来说，高阶导数的计算和导数一样，可以按照定义逐步求出。同时，高阶导数也有求导法则：
因此，可以利用已知的高阶导数求导法则，通过四则运算, 变量代换等方法，求出阶导数。一些常见的有规律的高阶导数的公式如下:133：
导数 多元函数的导数
当函数  的取值不再是实数，而是一般的中的向量时，仍然可能对其求导。这时的函数值是：。每个  都是一个实数值的函数。具体的例子如二维或者三维空间里的参数方程。因此，对  求导实际上是对每个分量函数  求导。
:191
这也符合定义
设为的一组基，那么对函数：
其导函数为：
如果有函数  其自变量不是单个实数，而是多于一个元素，例如：
这时可以把其中一个元素（比如  ）看做参数，那么  可以看做是关于另一个元素的参数函数：
也就是说，对于某个确定的 ，函数  就是一个关于  的函数。在  固定的情况下，可以计算这个函数  关于  的导数。
这个表达式对于所有的  都对。这种导数称为偏导数，一般记作：
这里的符号 ∂ 是字母  的圆体变体，一般读作  的首音节或读“偏”，以便与  区别。
更一般地来说，一个多元函数  在点  处对  的偏导数定义为：
上面的极限中，除了  外所有的自变元都是固定的，这就确定了一个一元函数：
因此，按定义有：
导数 多元函数的导数
偏导数的实质仍然是一元函数的导数。:56
多变量函数的一个重要的例子，是从（例如  或 ）映射到上的标量值函数 。在这种情况下， 关于每一个变量  都有偏导数。在点 ，这些偏导数定义了一个向量：
。
这个向量称为  在点  的梯度。如果  在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数 ，它把点  映射到向量 。这样，梯度便决定了一个向量场。
方向导数是比偏导数更加广泛的概念。导数的本质是函数值增量与自变量增量之比的极限。在多元函数  中，可以选定一个确定的方向（以这个方向上的单位向量  表示），并考虑函数在这个方向上的增量：
这个增量为关于  的一元函数。函数  的方向导数定义为这个增量与  的比值在  趋于0时的极限，记为。
方向导数表示了函数从某点开始在某个方向上的变化率。:55-56
在中，如果将向量  选为正规基  之中的一个，如，那么方向导数就是关于  的偏导数。:55-56
导数 推广
导数的概念建立在变量为实数之上，但也可以推广到更加广泛的意义上。推广的导数本质上仍旧是函数在局部一点上的线性逼近。
对于变量为复数的函数，也可以定义导数的概念。假设有复变函数。如果  在某一点  及附近有定义，并且极限：
存在，那么就说函数  在  可导。其中  表示  的模长趋向于0。如果将复变量  视作 ，那么  可以视作一个上的函数。如果作为复变函数的  可导，那么作为上函数的  的偏导数也存在，但反之则不然。只有当柯西-黎曼条件满足的时候才能保证复变函数的复可导性。
在分布理论里，弱微分的概念使得对更多严格意义上无法求导的函数也可以定义导函数。设是一个局部勒贝格可积（比如说在中）的函数，称是的一个弱微分，如果对所有的测试函数，都有：
成立。其中测试函数是指紧支撑的光滑函数。弱微分包括了强微分，也就是通常意义上的导数。
导数 推广
在凸分析，也就是对凸函数的研究中，可以定义凸函数的次导数。次导数的概念是导数的几何意义的推广。由于函数是凸的，过它的图像上每一点总可以作一条直线，使得函数的图像在直线上方。这种直線的斜率称为函数在这点的次导数。如果函数在某点可导，那么次导数只有一个，等于其导数。如果函数像绝对值函数一样在零点有突然的转折，那么次导数可能不止一个。比如过零点而斜率在之间的直线都在绝对值函数下方，因此之间的每个数都是绝对值函数在零点的次导数。
早在十九世纪，在数学家明确了求导与积分的互逆关系以后，就出现了负阶次导数的记号：（表示求n次积分）:208。而非整数阶导数的概念则进一步将其推广。比如，半微分算子表示其作用于函数上两次以后的效果将等于一次求导：
定义非整数阶导数的方法不止一种，最常用的非整数阶导数定义为黎曼-刘维尔定义：
设，函数  的s阶积分为：
而对，函数  的阶导数为：
方向导数在无穷维向量空间如巴拿赫空间和弗雷歇空间上可以推广为加托导数和弗雷歇导数。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。
微分代数中有导子的概念。导子是具备了微分算子的某些特征的运算子，例如向量场的李导数，或非交换代数中的交换子。给定一个环或域  上的一个代数 ， 上的一个-导子  是一个从  射到自身的-线性映射（线性自同态），并满足导数的乘积法则：
所有-导子构成了  上线性自同态集  的子空间。
导数 导数的应用
物理学、几何学、工程科学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度，也可以表示曲线在一点的斜率。
经济学中，所谓边际和弹性的概念与导数紧密相关。比如边际成本就是产量增加一个单位所带来的成本的增加，若将其连续化，得到的便是成本函数的导数。又如需求的弹性是指价格变化一个单位时，需求量的变化，连续化后相应的也是需求函数关于价格的导数。
中央处理器
（英語：，縮寫：CPU，），為计算机的主要设备之一，功能主要是解释计算机指令以及处理计算机软件中的数据。1970年代以前，中央处理器由多个独立单元构成，后来发展出由集成电路制造的中央处理器，這些高度收縮的元件就是所謂的微处理器，其中分出的中央处理器最為复杂的电路可以做成单一微小功能强大的单元，也就是所謂的核心。
中央处理器廣義上指一系列可以执行复杂的计算机程序的逻辑机器。这个空泛的定义很容易地将在“CPU”这个名称被普遍使用之前的早期计算机也包括在内。无论如何，至少从1960年代早期开始，这个名称及其缩写已开始在电子计算机产业中得到广泛应用。尽管与早期相比，“中央处理器”在物理形态、设计制造和具体任务的执行上有了极大的发展，但是其基本的操作原理一直没有改变。
中央处理器
早期的中央处理器通常是为大型及特定应用的计算机而定制。但是，这种昂贵的为特定应用定制CPU的方法很大程度上已经让位于开发便宜、标准化、适用于一个或多个目的的处理器类。这个标准化趋势始于由单个晶体管组成的大型机和微机年代，随着集成电路的出现而加速。IC使得更为复杂的中央处理器可以在很小的空间中设计和制造（在微米的數量级）。中央处理器的标准化和小型化都使这一类電子零件在现代生活中的普及程度越來越高。现代处理器出现在包括从汽车、手机到儿童玩具在内的各种物品中。
中央处理器 历史
在现今的CPU出现之前，如同ENIAC之类的计算机在执行不同程序时，必须经过一番线路调整才能启动。由于它们的线路必须被重设才能执行不同的程序，這些机器通常称为「固定程序计算机」（fixed-program computer）。而由于CPU这个词指称为执行软件（计算机程序）的装置，那些最早与储存程序型计算机一同登场的装置也可以被称为CPU。
储存程序型计算机的主意早已体现在ENIAC的设计上，但最终还是被省略以期早日完成。在1945年6月30日，ENIAC完成之前，著名数学家冯·诺伊曼发表名为《关于EDVAC的报告草案》的论文。它揭述储存程序型计算机的计划将在1949年8月完成。EDVAC的目标是执行一定数量与种类的指令（或操作），这些指令结合产生出可以让EDVAC执行的有用程序。特別的是，为EDVAC而写的程序是储存在高速计算机内存中，而非由实体线路组合而成。这項设计克服了ENIAC的某些局限——即花费大量时间与精力重设线路以执行新程序。在冯·诺伊曼的设计下，EDVAC可以借由改变内存储存的内容，简单更换它执行的程序（软件）。
中央处理器 历史
值得注意的是，尽管冯·诺伊曼由于设计了EDVAC，使得他在发展储存程序型计算机上的贡献最为显著，但其他早于他的研究员如康拉德·楚澤（Konard Zuse）也提出过类似的想法。另外早于EDVAC完成，利用哈佛架构制造的马克一号，也利用打孔带而非电子内存用作储存程序的概念。冯·诺伊曼架构与哈佛架构最主要的不同在于后者将CPU指令与资料分开存放与处置，而前者使用相同的内存位置。大多近代的CPU依照冯·诺伊曼架构设计，但哈佛架构一样常见。
中央处理器 历史
身为数位装置，所有CPU处理不连续状态，因此需要一些转换与区分这些状态的基础元件。在市场接受晶体管前，继电器与真空管常用在这些用途上。虽然这些材料速度上远优于纯粹的机械构造，但是它们有许多不可靠的地方。例如以继电器建造直流时序逻辑回路需要额外的硬件以应付接触点跳动問題。而真空管不会有接触点跳动问题，但它们必须在启用前预热，也必须同时停止运作。通常當一根真空管坏了，CPU必须找出损坏元件以置换新管。因此早期的电子真空管式计算机快于电子继电器式计算机，但维修不便。类似EDVAC的真空管计算机每隔八小时便会损坏一次，而较慢较早期的马克一号却不太发生故障。但在最后，由于速度优势，真空管计算机主宰了当时的计算机世界，尽管它们需要较多的维护照顾。大多早期的同步CPU，其时钟频率低于近代的微电子设计（见下列对于时钟频率的讨论）。那时常见的时钟频率为10万赫兹到4百万赫兹，大大受限于内建切换装置的速度。
中央处理器 历史
由于许多科技厂家投入更小更可靠的电子装置，使得设计CPU变得越来越复杂。晶体管的面世即是CPU第一个质的飞跃。1950到60年代的晶体管CPU不再以体积庞大、不可靠与易碎的开关元件（例如继电器与真空管）建造。借由这项改良，更加复杂与可靠的CPU便被建造在一个或多个包含分立（离散）元件的印刷电路板上，从而向体积小、可靠与不易损坏方向发展。
在此时期，将许多晶体管放置在拥挤空间中的方法大为普及。積體電路（IC）将大量的晶体管集中在一小块半导体片，或晶片（chip）上。刚开始只有非常基本、非特定用途的数字电路小型化到IC上（例如NOR逻辑閘）。以这些预装式IC为基础的CPU称为小规模集成电路（SSI）装置。SSI IC，例如装置在阿波罗导航计算机上的那些计算机，通常包含数十个晶体管。以SSI IC建构整个CPU需要数千个独立的晶片，但与之前的分立晶体管设计相比，依然省下很多空间与电力。肇因于微電子科技的进步，在IC上的晶体管数量越来越大，因此减少了建构一个完整CPU需要的独立IC数量。「中规模集成电路」（MSI）与「大规模集成电路」（LSI）将内含的晶体管数量增加到成百上千。
中央处理器 历史
1964年IBM推出了System/360计算机架构，此架构让一系列速度与性能不同的IBM计算机可以运行相同的程序。此确实为一项创举，因为当时的计算机大多互不相容，甚至同一家厂商制造的也是如此。为了实践此项创举，IBM提出了微程序概念，此概念依然广泛使用在现代CPU上。System/360架构由于太过成功，因此主宰了大型计算机数十年之久，并留下一系列使用相似架构，名为IBM zSeries的现代主机产品。同一年（1964），迪吉多（DEC）推出另一个深具影响力且瞄准科学与研究市场的计算机，名为PDP-8。DEC稍后推出非常有名的PDP-11，此产品原先计划以SSI IC构组，但在LSI技术成熟后改为LSI IC。与之前SSI和MSI的祖先相比，PDP-11的第一个LSI产品包含了一个只用了4个LSI IC的CPU。
晶体管计算机有许多前一代产品沒有的优点。除了可靠度与低耗电量之外，由于晶体管的状态转换时间比继电器和真空管短得多，CPU也就拥有更快的速度。得益于可靠度的提升和晶体管转换器切换时间的缩短，CPU的时钟频率在此时期达到十几百万赫兹。另外，由于分立晶体管与IC CPU的使用量大增，新的高性能设计，例如SIMD（单指令多数据）、向量处理机开始出现。这些早期的实验性设计，刺激了之后超级计算机（例如克雷公司）的崛起。
中央处理器 中央處理器操作原理
CPU的主要运作原理，不论其外觀，都是执行储存于被称为程序裡的一系列指令。在此討论的是遵循普遍的馮·諾伊曼結構（von Neumann architecture）设计的装置。程序以一系列数字储存在计算机記憶體中。差不多所有的冯·诺伊曼CPU的运作原理可分为四个階段：提取、解碼、执行和写回。
第一階段，提取，从程序内存中檢索指令（为数值或一系列数值）。由程序計数器指定程序記憶體的位置，程序計数器保存供識別目前程序位置的数值。换言之，程序計数器記錄了CPU在目前程序裡的蹤跡。提取指令之后，PC根據指令式長度增加記憶體單元。指令的提取常常必须从相对较慢的記憶體尋找，导致CPU等候指令的送入。这个问题主要被论及在現代处理器的快取和管線化架构（见下）。
中央处理器 中央處理器操作原理
CPU根據从記憶體提取到的指令来決定其执行行为。在解碼階段，指令被拆解为有意義的片段。根據CPU的指令集架构（ISA）定義将数值解譯为指令。一部分的指令数值为运算碼，其指示要进行哪些运算。其它的数值通常供給指令必要的資訊，諸如一个加法运算的运算目标。这样的运算目标也许提供一个常数值（即立即值），或是一个空間的定址值：暫存器或記憶體位址，以定址模式決定。在舊的设计中，CPU裡的指令解碼部分是無法改变的硬体装置。不过在眾多抽象且复杂的CPU和ISA中，一个微程序时常用来幫助转换指令为各種形態的訊号。这些微程序在已成品的CPU中往往可以重写，方便变更解碼指令。
在提取和解碼階段之后，接著进入执行階段。該階段中，連接到各種能夠进行所需运算的CPU部件。例如，要求一个加法运算，算术逻辑单元将会連接到一组輸入和一组輸出。輸入提供了要相加的数值，而且在輸出将含有總和结果。ALU内含電路系統，以于輸出端完成简单的普通运算和逻辑运算（比如加法和位元运算）。如果加法运算產生一个对該CPU处理而言过大的结果，在标誌暫存器裡，溢出标誌可能会被設置（參见以下的数值精度探討）。
中央处理器 中央處理器操作原理
最终階段，写回，以一定格式将执行階段的结果简单的写回。运算结果经常被写进CPU内部的暫存器，以供隨后指令快速存取。在其它案例中，运算结果可能写进速度较慢，如容量较大且较便宜的主記憶體。某些类型的指令会操作程序計数器，而不直接產生结果資料。这些一般稱作「跳轉」並在程序中帶来循環行为、條件性执行（透过條件跳轉）和函式。许多指令也会改变标誌暫存器的状态位元。这些标誌可用来影響程序行为，緣由于它们时常显出各種运算结果。例如，以一个「比较」指令判斷兩个值的大小，根據比较结果在标誌暫存器上設置一个数值。这个标誌可藉由隨后的跳轉指令来決定程序动向。
在执行指令並写回结果資料之后，程序計数器的值会遞增，反覆整个过程，下一个指令周期正常的提取下一个順序指令。如果完成的是跳轉指令，程序計数器将会修改成跳轉到的指令位址，且程序繼續正常执行。许多复杂的CPU可以一次提取多个指令、解碼，並且同时执行。这个部分一般涉及「經典RISC管線」，那些实際上是在眾多使用简单CPU的電子装置中快速普及（常称为微控制器）。
中央处理器 设计与實作
CPU数字表示方法是一个设计上的选择，这个选择影响了设备的工作方式。一些早期的数字计算机内部使用电气模型来表示通用的十进制（基于10进位）記數系統数字。还有一些罕见的计算机使用三进制表示数字。几乎所有的现代的CPU使用二进制系统来表示数字，这样数字可以用具有两个值的物理量来表示，例如高低电平等等。
与数表示相关的是一个CPU可以表示的数的大小和精度，在二进制CPU情形下，一个位（bit）指的是CPU处理的数中的一个有意义的位，CPU用来表示数的位数量常常被称作“字长”、“位宽”、“数据通路宽度”，或者当严格地涉及到整数（与此相对的是浮点数）时，称作“整数精度”，该数量因体系结构而异，且常常在完全相同的CPU的不同部件中也有所不同。例如：一个8位的CPU可处理在八个二进制数码（每个数码具有两个可能的取值，0或1）表示范围内的数，也就是说，28或256个离散的数值。  实际上，整数精度在CPU可执行的软件所能利用的整数取值范围上设置了硬件限制。
中央处理器 设计与實作
整数精度也可影响到CPU可寻址（定址）的内存数量。譬如，如果二进制的CPU使用32位来表示内存地址，而每一个内存地址代表一个八位元组，CPU可定位的容量便是232个位元组或4GB。以上是简单描述的CPU地址空间，通常实际的CPU设计使用更为复杂的寻址方法，例如为了以同样的整数精度寻址更多的内存而使用分页技术。
中央处理器 设计与實作
更高的整数精度需要更多线路以支持更多的数字位元，也因此结构更复杂、更巨大、更花费能源，也通常更昂贵。因此尽管市面上有许多更高精准度的CPU（如16，32，64甚至128位），但依然可见应用软件执行在4或8位的微控制器上。越简单的微控制器通常较便宜，花费较少能源，也因此产生较少热量。这些都是设计电子设备的主要考量。然而，在专业级的应用上，额外的精度给予的效益（大多是给予额外的地址空间）通常显著影响它们的设计。为了同时得到高与低位宽度的优点，许多CPU依照不同功用将各部分设计成不一样的位宽度。例如IBM System/370使用一个原为32位的CPU，但它在其浮点单元使用了128位精度，以得到更佳的精确度与浮点数的表示范围。许多后来的CPU设计使用类似的混合位宽，尤其当处理器设计为通用用途，因而需要合理的整数与浮点数运算能力时。
主頻＝外頻×倍頻。
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大部分的CPU，甚至大部分的时序逻辑设备，本质上都是同步的。也就是说，它们被设计和使用的前題是假设都在同一个同步信号中工作。这个信号，就是众所周知的时脈訊号，通常是由一个周期性的方波（构成）。通过计算电信号在CPU众多不同电路中的分支中循环所需要的最大时间，设计者们可为时脈訊号选择一个适合的周期。
该周期必须比信号在延迟最大的情況下移动或者传播所需的时间更长。设计整个CPU在时钟信号的上升沿和下降沿附近移动数据是可能的。无论是在设计还是元件的维度看来，均对简化CPU有显著的优点。同时，它也存在CPU必须等候回应较慢元件的缺点。此限制已透过多种增加CPU并行运算的方法下被大幅的补偿了。（见下文）
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无论如何，结构上的改良无法解決所有同步CPU的弊病。比方說，时脈訊号易受其它的电子信号影响。在逐渐复杂的CPU中，越来越高的时钟频率使其更难与整个单元的时脈訊号同步。是故近代的CPU傾向发展多个相同的时脈訊号，以避免单一信号的延迟使得整个CPU失灵。另一个主要的问题是，时脈訊号的增加亦使得CPU产生的热能增加。持续变动的时钟频率使得许多元件切换（Switch）而不论它们是否处于运作状态。一般来說，一个处于切换状态的元件比处于静止状态还要耗费更多的能源。因此，时钟频率的增加使得CPU需要更有效率的冷却方案。
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其中一个处理切换不必要元件的方法称为时脈閘控，即关闭对不必要元件的时钟频率（有效的禁止元件）。但此法被认为太难实行而不见其低耗能通用性。另一个对全程时钟信号的方法是同时移除时钟信号。当移除全程时钟信号;使得设计的程序更加复杂时，非同步（或無時脈）设计使其在能源消耗与產生熱能的维度上更有优势。罕见的是，所有的CPU建造在沒有利用全程时钟信号的狀況。兩个值得注意的範例是ARM（"Advanced RISC Machine"）順从AMULET以及MIPS R3000相容MiniMIPS。与其完全移除时脈訊号，部份CPU的设计允许一定比例的装置不同步，比方說使用不同步算術邏輯單元連接超純量管線以達成一部份的算術效能增进。在不将时脈訊号完全移除的情況下，不同步的设计可使其表現出比同步計数器更少的数学运算。因此，结合了不同步设计極佳的能源耗损量及熱能產生率，使它更適合在嵌入式计算机上运作。
前面描述的CPU结构只能在同一时间点执行一个指令，这种类型的CPU被称为低标量。
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这一类型的CPU有一很大的缺点：效率低。由于只能执行一个指令，此类的进程給与低标量CPU固有的低效能。由于每次僅有一个指令能夠被执行，CPU必须等到上个指令完成才能繼續执行。如此便造成下标量CPU延宕在需要兩个以上的时钟循環才能完成的指令。即便增加第二个执行單元（见下文）也不会大幅提升效能；除了單一通道的延宕以外，雙通道的延宕及未使用的晶体管数量亦增加了。如此的设计使得不论CPU可使用的資源有多少，都僅能一次运行一个指令並可能達到标量的效能（一个指令需一个时脈循環）。無论如何，大部份的效能均为下标量（一个指令需超过一个时脈循環）。
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为了達成标量目标以及更佳的效能，导致使得CPU傾向平行运算的各種设计越来越多。提到CPU的平行，有兩个字彙常用来區分这些设计的技術。指令平行处理（Instruction Level Parallelism, ILP）以增加CPU执行指令的速率（换句話說，增加on-die执行資源的利用），以及执行緒平行处理（Thread Level Parallelism, TLP）目的在增加执行緒（有效的个別程序）使得CPU可以同时执行。每種方法均可由其如何嵌入或相对有效（对CPU的效能）来區分。
指令級並行（Instruction level parallelism，ILP）：指令管線化与超純量架构
其中一種達成增加平行运算的方法，便是在主要指令完成执行之前，便进行指令提取及解碼。这種最簡易的技術，我們称为指令管線化，且其被利用在泰半現代的泛用CPU中。透过分解执行通道至離散階段，指令管線化可以兩个以上的指令同时执行。相较于已被淘汰的组合管線，指令管線化不再使用等候指令完全在管線中退出才执行下一指令的技術。