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模糊数学 模糊关系
模糊关系是建立在模糊集上的关系，此外，它也有一些特别的性质和应用。
设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。若 U = V，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α，则称 x 与 y 具有关系 R 的程度为 α。特别地：
模糊关系的并、交、补、包含、相等、λ 截和截积运算，实质上就是模糊集的相应运算（采用 Zadeh 算子）。但模糊关系还有一个特殊的运算转置，定义为
RT(x,y) = R(y,x)
易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。
关系的合成：
对于从 U x-m 到 V y-p 的关系 R，以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S，那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为
其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。
模糊数学 模糊关系
例子：设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：
那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：
模糊等价关系定义：
设 U 中的模糊关系 R 满足
1. 自反性
∀ x ∈ U, R(x , x) = 1
2. 对称性
∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)
3. 传递性
∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ [0,1], 当 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 时，R(x , z) ≥ λ
则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。
下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截关系 Rλ 是 U 中的普通等价关系。
只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R2 ⊆ R。
分类：
氣體交換
氣體交換（gas exchange），是指生物把體内氧氣和二氧化碳的交換過程。
人體的細胞需要氧來進行呼吸作用，過程中產生二氧化碳，若二氧化碳累積在體內會對人造成傷害。氣體交換是為了確保有充足的氧氣運到細胞，而且二氧化碳可以被帶出身體。
細胞與外界環境之間必須不斷地進行氣體交換，對於細小的生物如變形蟲等等，氣體交換只需經過身體表面的擴散進行，過程相對簡單。可是，對於體積較大的生物如人類，大多數細胞都不與外界直接接觸，而利用表皮呼吸的話，比表面積較低，因此人體需要透過呼吸系統才能有效地進行氣體交換。在人體內，氣體經由運送系統，往來運送於呼吸器官和與體細胞之間。
健康成年人安靜時每分鐘約16至18次，而兒童每分鐘約20至30次，每次吸入和呼出氣體約各為500毫升。人們在不同條件下，他們的呼吸型式亦不同：以肋骨運動為主的稱為「胸式呼吸」，以膈肌和腹直肌運動為主的稱為「腹式呼吸」。
氣體交換受呼吸表面的影響：
氣體交換 擴散
吸入空气中的氧氣分壓比血液内的氧氣分壓高，所以氧氣會從肺泡進入血液，而血液内的二氧化碳分壓高於肺泡內的二氧化碳分壓，所以二氧化碳由血液進入肺泡。
呼吸作用不斷進行，使肺泡內的氣體不斷交換，從而保證血液内的氣體得以持續進行。
意義：生物體進行代謝作用時所需要的能量，必須由細胞內的養分（如葡萄糖）分解而來，這樣的過程稱為呼吸作用。
足利義榮
足利義榮（日语：〔〕／ Ashikaga Yoshihide，1538年—1568年）是日本戰國時代的室町幕府第14代將軍。在職時期是永祿11年（1568年）2月至9月。父親是足利將軍家的一族兼堺公方足利義維（平島公方）。
足利義榮 生平
在天文7年（1538年）（一說是天文9年（1540年））於阿波國平島莊出生，家中長男。初名義親、義勝（與第7代將軍同名）。
永祿8年（1565年），在從兄兼第13代將軍義輝在永祿之變中被三好三人眾和松永久秀殺死後，被三好三人眾和久秀以父親義冬（義維）中風而不適合成為將軍為由，於是以將軍候補的身份被擁立。不過在同年11月開始，三人眾和久秀的櫂力鬥爭開始，於是被三人眾所逼，在12月發出討伐久秀的命令。
翌年（1566年）6月，被三人眾方的篠原長房、三好康長等人擁立，渡海至淡路國，並在9月23日進入攝津國越水城。12月5日，進入攝津富田的總持寺，在7日進入普門寺。24日，被許可任官從五位下左馬頭。翌年（1567年）1月5日，正式敘任，並改名為義榮。
11月，向朝廷申請「將軍宣下」，不過因為沒有答應朝廷的獻金要求而遭拒絕。翌年（1568年）2月8日，因為三人眾推舉，受朝廷允許成為第14代將軍，於是就任將軍，並被賜予禁色，及允許昇殿。不過三人眾和久秀的鬥爭沒有停止，而義榮自身亦因為背上有腫物，所以連就任将軍後，亦沒有入京。
足利義榮 生平
永祿11年（1568年）9月，義輝的次弟義昭被織田信長擁立並上洛，於是三人眾在畿內與信長戰鬥，不過被擊敗，並失去畿內勢力，於是逃到阿波。久秀向信長臣服，在沒有阻礙下，義昭在10月18日，就任第15代將軍。
此後，因為腫物惡化而病死。享年29歲（一說是31歲）。死去日期有9月13日、9月30日、10月1日、10月8日、10月20日、10月22日等諸多説法。而死去的地方亦有阿波國、淡路國、攝津國的普門寺等諸種説法。
足利義榮 義榮時期的室町幕府
從阿波國進入攝津國的義榮之下，有仕於父親義冬（堺公方）和父親的養父義稙（第10代將軍）的幕臣及其子孫以家臣身份出仕，不過在義冬、義榮兩代，被付到御內書的副狀發出者畠山維廣等人，數量被限制著，因此勢力脆弱。當時義冬因為中風而隱居，完全沒有發言力（足利義視作為足利義材的大御所，亦沒有權勢），因此希望換入仕於義輝的幕臣。當時在京幕臣的所領中，許多都集中在三好氏的勢力圈京都周圍，所領的安堵和交換都置於義榮之下，而回應這個行動的有大舘輝光、伊勢貞助、以及小笠原稙盛、秀清父子。而且允許在永祿之變前背叛義輝而被殺死的政所頭人（執事）伊勢貞孝的孫兒伊勢虎福丸（後來的伊勢貞為）歸返，承認伊勢氏宗家的再興。更提拔三好三人眾之一的三好長逸為御供眾。另一方面，伊勢貞孝的後任頭人攝津晴門和負責政所實務的奉行眾，則厭惡推舉許多殺死義輝的三好三人眾的義榮，部份人在前往越前國與義昭交往後，再沒有返回。當時，室町幕府的幕臣有執行武家故實而仕官的階層，以及裁許辯論和執行行政事務而仕官的階層（奉行衆），義榮雖然成功得到伊勢氏、大舘氏等武家故實階層，但是沒能得到諏方氏、飯尾氏、松田氏等奉行眾階層，於是在就任將軍後，造成再建幕府機構的不安形勢。即使如此，與父親義冬不同，當時沒有能爭奪將軍之位的人選（雖然前將軍的實弟義昭，在地位上比較合適，但因不是「將軍候補」，加上未能上洛，且當時仍是僧籍），因此對義榮申請「將軍宣下」比較有利。
足利義榮 義榮時期的室町幕府
從沒向春日大社或朝廷獻上太刀、馬等物品，被認為完全是三好三人眾和松永久秀的傀儡，不過在三人眾與久秀對立後，被三人眾一方擁立，而且介入石清水八幡宮的人事中，與朝廷對立。永祿10年（1567年）5月，在京都住民與大德寺對立的事件中，由義榮派遣的幕府奉行人松田藤弘與由朝廷派遣的勸修寺晴右一同仲裁。三人眾和久秀的對立，從結果上來看，義榮的受到制約減少，發言力亦有提高，不過「將軍宣下」的延遲，以及沒能得到在京幕臣的全體（特別是奉行眾）支持，而作為主要支援的三好家中，亦因為三好實休和三人眾對立而沒有團結等，這些情況亦有很大影響，自身生病、在任期間短暫、將軍在任中以自己意向而2次發出的奉行人奉書亦沒有被確認，並沒能發揮將軍的主體性。
静力学
靜力學是经典力学的分支，专门解析物体在靜力平衡狀态下的负载（力量，力矩）。在这狀态下，或许有外力作用于此物体；但是，各個分系統的相对位置、成分、结构仍旧保持不变。当呈靜力平衡狀态时，系統或者是静止的，或者其質心维持常速运动，处于力学平衡状态。
在静力学上，靜力解析的焦点是放在比较靜力學，就是比较各种不同的靜力平衡狀态。它除了稍微提到外生变数造成的变动外，并不注重狀态间的過程。
设为施于系统上的合力，为系统总质量，为系统加速度，则依照牛顿运动第二定律有（粗体表示向量，即有方向的量）。
将加速度为零的假设应用于外力力矩求和，可得，其中是外力力矩之和，是质量惯性矩，是系统的角加速度。对于的系统，也有
外净力又称为靜力平衡第一条件，外净力矩又称为靜力平衡第二条件，可以用来求解作用于系统的未知量。
静力学 历史
阿基米德（c. 287–c. 212 BC）在静力学领域做了先驱工作。萨比特的著作中有一些后来的工作。
静力学 背景
力是物体对另一个物体的作用，可以是推力，也可以是拉力，趋向于使物体沿其作用方向移动。力的作用由其大小、作用方向和作用点决定。因此，力是一个矢量，因为其效果既取决于作用方向，也取决于作用大小。
力分为接触力和体积力。接触力由直接物理接触产生，例如支撑表面对人体施加的力；体积力由体在 力场（如引力场、电场或磁场）中的位置产生，与任何其他接触无关。地球引力场中的物体重量是体积力的一个例子。
除了使物体沿作用方向移动的趋势外，力还能使物体绕轴旋转，轴线和力的方向之间是任意的。这种旋转趋势称作力矩（M），也称为扭矩。
力在O点的力矩大小等于O到F作用线的距离乘以力的大小：M = F · d，其中
F = 施加的力
d = 从轴线到力的作用线的距离，称作力臂。
力矩的方向由右手定则给出，逆时针代表指出纸面，顺时针表示进入纸面。力矩方向可用符号约定表示，例如逆时针用正号（+）表示，顺时针用负号（−）表示，反之亦然。力矩可以矢量形式相加。
用向量形式来写，力矩可以定义为径向量r与力向量F的叉乘：
静力学 背景
伐里农定理指出，力对任意点的力矩等于力对同一点各分力的力矩之和。
质点的静力平衡是静力学中的重要概念。只有当质点受外力为零时，质点才处于平衡状态。在矩形坐标系中，平衡方程可用3个标量方程表示，3个方向的合力都等于零。这概念在工程上的应用是确定3根缆绳在负载下的张力，例如提升物体的升降机或将热气球固定在地面上的缆绳上施加的力。
经典力学中，转动惯量（SI单位kg·m²），是物体对其旋转变化的阻力的量度，是旋转体相对于其旋转的惯性。转动惯量在旋转动力学中的作用与质量在线性动力学中的作用大致相同，描述了角动量与角速度、转矩与角加速度以及其他几个量之间的关系。I 和 J 通常指惯性矩或极惯性矩。
虽然转动惯量的简单标量处理在许多情况下已经足够，但更高级的张量处理可以分析陀螺运动等复杂系统。
这一概念由莱昂哈德·欧拉在《天体运动论》（1765）一书中提出；他讨论了转动惯量和许多相关概念，如惯性主轴。
静力学 应用
靜力學在分析结构上是很重要的。举例而言，在建筑学与结构工程学里，材料的强度常需应用到靜力平衡。一个关键概念是质心，即物体所有质量所在的假想点。质心所在的地基位置决定了物体在外力作用下的稳定性。若质心在地基之外，物体就不稳，因为有扭矩起作用：任何微扰都会使物体下坠或倾覆。若质心在地基内，则物体稳定，因为没有净扭矩作用在物体上。若质心与地基重合，则称系统处于准稳态。
流体静力学研究静止狀态下的液體。静态液體的特性是内部每个分子所受的力在任何方向都是同值的。否则，液體会往净力向量的方向流去。这概念是由法国数学家布莱兹·帕斯卡在1647年提出的，后来又称为帕斯卡定律。它在水力学中有许多重要应用。阿基米德、比鲁尼、Al-Khazini和伽利略·伽利莱在靜力學上也有很大的贡献。
运动学
运动学（kinematics）是力学的一门分支，专门描述物体的運動，即物体在空间中的位置随时间的演进而作的改变，完全不考慮作用力或质量等等影响運動的因素。運動学与動力學（dynamics）不同。動力學专门研究造成运动或影响运动的各种因素。動力學綜合運動學與动理学（Kinetics）在一起，研究力學系統由於力的作用隨著時間演進而造成的運動。
在開始研討經典力學時，很自然地應該先思考各種可能的運動樣式，而暫時不將任何造成運動的因素納入考量。這初步探詢的知識就是運動學的學術領域。 — 愛德蒙·維特克， 質點與剛體分析動力學通論
任何一个物体，像是车子、火箭、星球等等，不论其尺寸大小，假若能够忽略其内部的相对运动，假若其内部的每一部份都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那麼，可以简易地将此物体视为質點，将此物体的质心的位置当作質點的位置。在运动学裏，这种質點运动，不论是直線运动或是曲線运动，都是最基本的研究对象。
运动学
假若不能忽略物体内部的相对运动，则当解析其运动时，必须先将物体理想化为刚体，即一群彼此之间距离不变的質點。涉及刚体的问题比较困难。刚体可能会进行平移运动、旋转运动或两者的综合。更困难的案例是多刚体系统的運動。在這系统内，几个刚体由機械連桿连结在一起。運動學分析某連桿裝置的可能運動範圍，或反過來，設計滿足預定運動範圍的連桿裝置。起重機或引擎活塞系統都是簡單的運動系統。起重機是一種開運動鏈。活塞系統是四連桿組的一部分。
运动学 質點運動學
質點運動學研究關於單獨質點的運動。该学科可以應用於質點動力學、质点系动力学和其它力學領域。按照路徑的彎曲與否，質點運動可以分為直線運動與曲線運動。
在三維空間裏，詳細設定一個點P的位置需要完成三件事，找到參考點O（通常稱為原點）、給出從點O到點P的距離、給出從點O到點P的直線方向；缺少其中任何資料，都會使得位置的描述不完全。
將上述的資料數學化，用向量來描述位置。首先，為了要能夠一致地表示距離或方向，必須選擇一個三維坐標系，設定坐標系的原點O為參考點，以三維坐標系為參考系。這樣，位置向量的大小就是點P離參考點的距離，而位置向量的方向就是從參考點到點P的直線方向。
質點的位置向量是從參考系的原點到質點的位置的向量。這向量表達了從原點到質點位置的距離和方向。在三維空間裏，點P的位置向量  表達為
；
其中， 、 、 分別為點P的直角坐標。
位置向量  的大小是點P與原點之間的距離：
。
從不同的參考系觀測點P的位置，可以得到不同的位置向量。
运动学 質點運動學
從某參考系觀測，假若質點的位置向量隨著時間的演進而改變，則稱此質點處於「移動狀態」；假若質點的位置向量保持不變，則稱此質點處於「靜止狀態」。物体的移動狀態或靜止狀態不是絕對的，而是取决于所選擇的參考系：對於某參考系，處於靜止狀態的質點，對於另一個參考系，可能處於移動狀態。例如，假設在一列行驶的火車內有一位乘客坐在座位上不动。相對於火車，這乘客處於靜止狀態；但相對於火車外面的山嶺，這乘客處於移動狀態。
一個質點的移動「路徑」是從初始點移動到終結點所經過的軌跡。假設這初始點就是終結點，而移動時，其它每一個經過的點都只經過一次，則稱此路徑為「閉合迴路」。
路徑的樣子與參考系的選擇有關。對於某參考系，路徑可能是直線；對於另一個參考系，同樣的路徑可能是曲線。
位移向量表達兩點之間位置的向量差。它可以表達一個質點在某時間間隔內由於運動而造成的位置改變。假設，點P的位置為  ，點Q的位置為  ，則從點Q到點P的位移  為
。
运动学 質點運動學
位移向量的大小是點P與點Q之間的最短距離。位移向量與位置向量不同，位移向量不會因為選擇不同的參考系而改變。但是，在相對論裏，假設兩個參考系的相對速度不為零，則分別從這兩個參考系測量得到的位移向量也不相等。
距離是一種純量，表達一個質點從某一位置移動到另外一位置，所經過的路徑的長度。例如，一部跑車從初始點行駛到終結點，一共行駛了10公里距離的路程。但是，假若這路程是個閉合迴路，初始點與終結點相同，則這跑車的最終位移的大小（徑向距離）是０，這跑車最終回到了初始點。
假設質點的位置是時間的函數， ，則從時間  到時間  ，這質點所移動的距離  為
。
這方程式應用到一個論據：在一段無窮小時間間隔內，位移的大小等於經過的路徑的長度。這論據類似於幾何論據：曲線的一段無窮小曲弧與對應這曲弧的直弦重疊在一起。
平均速度是在一段時間間隔內的速度的平均值，以方程式定義為
；
其中， 是平均速度， 是質點的位移， 是時間間隔。
由於時間間隔  大於零，平均速度  與位移  同向。
运动学 質點運動學
速度是一種向量，表達隨著時間的演進而發生的位移改變。瞬時速度定義為，當  變得越來越小時，平均速度  的極限值。注意到，在這裏， 與  都會趨向於零，但是它們的比例  會趨向於非零極限  ：
。
以微分形式定義，速度是位移對於時間的導數。由於無窮小位移  正切於實際路徑，速度也正切於實際路徑。
速率  是速度的數值大小，是一種純量：
。
一個質點移動所經過的路程随时间單調遞增，因此  即速率为非負數。
平均加速度是在一段時間間隔內的加速度的平均值，以方程式定義為
；
其中， 是平均加速度， 是質點在微小時間間隔  內的微小速度改變。
加速度是一種表達質點移動速度隨著時間的演進而改變的向量。瞬時加速度定義為當  趨向於零時，平均加速度的極限值，以方程式表達，
。
以微分形式定義，加速度是速度對於時間的導數。
上述速度和加速度的定義式可以逆反過來，以積分形式表達為
、
；
其中， 是初始時間， 是初始速度， 是初始位置。
运动学 質點運動學
假設，已知質點P、質點Q對於某參考點G的相對運動，應用向量代數，就可以描述質點P對於質點Q的相對運動。假設，從某參考系觀測，質點P、質點Q、參考點G的位置分別為  、 、 ，則質點P、質點Q對於參考點G的相對位置分別為
、
。
質點P對於質點Q的相對位置為
。
換句話說，質點P對於參考點G的相對位置為
。
上述這些位移關係式，通過取時間導數，可以得到速度關係式：
。
取時間導數於這些速度關係式，可以得到加速度關係式：
。
特別注意，當速度接近光速時，上述這些位移關係式或速度關係式並不正確，必須改用狹義相對論推導出的關係式計算。
在直线运动中，質點沿着直线移动。如果将一个一维坐标系的坐标轴放在这直线上，那麼，就可以用其坐标来設定位置，从而计算出速度和加速度等等。假设，在时间是  时，質點P的位置是  ；经过  时间间隔后，时间是  ，質點P的位置是  。那麼，位移是  。質點P的平均速度  和瞬时速度  分别为∶
、
。
質點P的平均加速度  和瞬时加速度  分别为：
、
。
假設，質點P的位置是時間的函數  ，則其速度、加速度分別為
、
。
运动学 質點運動學
等速直线运动的加速度是零，速度  是常数，位置是
；
其中， 是初始位置， 是终结位置。
等加速直线运动的加速度  是常数，位移与速度分別是
、
、
、
；
其中， 是初始位置， 是终结位置， 是初始速度， 是终结速度。
思考一个向上发射的物体；它将以一定初速度上升，减速到静止后再加速落回到地面。若不计空气阻力，且规定竖直向上为正方向，则该物体将以 -9.81m/s2的匀加速度直线运动。那么它会在空中运动多久？在它开始往下落以前，它会升到多高？当它碰到地面时，它的最终速度是多少？假设物体的最初速度是 50 m/s。
它会在空中多久？
應用位移公式来計算时间：
因为这物体先飞离开地面，然后又落回到地面，净位移是零：
从这程式，可以求解到两个答案。第一个答案是零；虽然这明显解是正确的答案；但是，它代表的时间间隔是那物体开始移动前的时间间隔。离开地面与回到地面所需要的时间為
在它开始往下落以前，它会飞到多高呢？
当这物体升到最高点的时候，它的速度是零。所以可以應用速度平方公式，
假設以地面为座标系统的原点，那麼，是零。 则是最高高度：
当它碰到地面时，它的最终速度会是多少？
运动学 質點運動學
正当这物体从最高点往回落的时候，它的速度是零。因此，可以同样的用速度平方公式。代入  的值  127.55m：
注意到初始速度与最终速度大小相等，这符合能量守恒定律。
定义質點在空间中沿着曲线的運动为「曲线运动」。曲线运动的位置、速度、加速度等等，皆须用向量来表示。参考右图，假设質點在时间  的位置是  ；在间隔  时间后，位移是  、位置是  ，则質點的速度是
。
在  极限得到的速度向量，正切曲线于質點的位置。
定义速率为速度的大小。假设这曲线从  到  的路径长度是  ，则速率为
。
假设質點在间隔  时间的速度差是  ，则加速度是
。
求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系是一项非常重要的步骤。运动所遭遇到的约束、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假设，限制一粒串珠只能绕圆环移动，那麼，以圆心为顶点，包含串珠与圆环的另一点的角，其角弧可能是合适的坐标。类似地，假设施加於質點的作用力是连心力，則合适的坐标系可能是极坐标系。
三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：x-轴、y-轴、z-轴。采用直角坐标系，位置、速度、加速度表示为
、
、
；
运动学 質點運動學
其中， 、 、 分别是質點的位置的三个分量，速度和加速度的三个分量分别为
，
。
在二维空间裡，极坐标系用半径坐标  、角坐标  来表示質點的位置。半径坐标是極點与質點的直线距离；角坐标是極點与質點的连线对於极轴的角弧。位置、速度、加速度分别表示为
、
、
；
其中， 是半径单位向量， 是角单位向量。
質點的「角位置」就是它的角坐标   ，「角位移」  则是質點在运动时前後角位置的差值，角速度的大小  是角位置對於时间的导数  ，角加速度的大小  是角速度對於时间的导数：
。
類似等加速直线运动，假設曲線运动的角加速度  是常数，則角位移与角速度分別是
、
、
、
；
其中， 是初始角位置， 是终结角位置， 是初始角速度， 是终结角速度。
如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈  角度射出，那麼，这物体会按照抛物线軌跡移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率  ，与地平面呈  角度射出。
请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？
垂直方向，这物体会感觉到  加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是
运动学 質點運動學
为要解答这问题，必须找到  值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找  值：
现在求解  的表達式，代入原先的水平位移方程式。
在三維空間內，設定兩個參考系：空間參考系S與旋轉參考系R。空間參考系S的標準正交基為  、 、 。旋轉參考系R的標準正交基為  、 、 。兩個參考系的原點共點。空間參考系S靜止不動，旋轉參考系R繞著固定軸  旋轉。四個單位向量  、 、 、 共平面。這旋轉運動可以簡化為一個二維平面運動。
當計算質點的位置、速度、加速度之時，必須特別注意到旋轉參考系R是在持續地旋轉，單位向量  、 也跟著旋轉。在取這些單位向量對於時間的導數時，必須顧慮到旋轉運動。假設  和  以角速度  繞著  旋轉，在初始時間  ，
、
，
則在時間  ，
、
。
兩個單位向量  、 對於時間的導數分別為
、
。
對於含時向量  ，其對於時間的導數為
。
設定  、 分別為從空間參考系S、旋轉參考系R觀測到的向量  對於時間的導數，上述方程式可以表達為
。
這方程式的叉積項目可以這樣理解：假設向量  的尾部與空間參考系S的原點同點，向量  以角速度   繞著固定軸  旋轉，則向量  的頭部的速度是   。
向量  是任意向量，因此可以將  、 當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：
。
假設，從空間參考系S觀測，質點P的位置為
，
而從旋轉參考系R觀測，同一質點P的位置為
。
從空間參考系S觀測，質點P的速度  為
；
其中， 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的速度。
質點P的加速度為
；
其中， 是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度。
應用算符方程式，
；
其中， 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度。
總合起來，質點P的加速度  是
。
這方程式右手邊第一個項目是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度項目，第二個是科里奧利力項目，第三個是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度項目，第四個是向心力項目。
运动学 刚体运动学
在物理学裏，理想刚体是一種有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体內部，点与点之间的距离都不会改变。根據相對論，這種物體不可能實際存在，但物體通常可以假定為完美剛體，前提是必須滿足運動速度超小於光速的條件。
剛體是由一群數量超多的質點組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個質點的運動。為了簡化運算，通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以參數設定：
剛體的取向：描述剛體取向的方法有好幾種，包括方向餘弦、歐拉角、四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。
运动学 刚体运动学
歐拉旋轉定理表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，這位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉。
當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。沙勒定理是歐拉旋轉定理的一個推論。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。因此，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。
如右圖所示，從時間  到時間  ，當剛體在做平移運動時，任意內部兩點，點P與點Q的軌跡（以黑色實線表示）相互平行，線段  （以黑色虛線表示）的方向保持恆定。
挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G（稱為「基點」），則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置  為
；
其中， 、 分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。
运动学 刚体运动学
從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，但從空間參考系S觀測，剛體從時間  到時間  的運動，可以分為基點G從  到  的平移運動，與位移  從時間  到時間  的旋轉運動。
從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。
剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的基點G的速度。對於純平移運動（沒有任何旋轉運動），剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於轉動瞬軸，則它們的瞬時速度相等。
角速度也是向量，描述剛體取向改變的角速率，和剛體旋轉時的瞬時轉軸的方向（歐拉旋轉定理保證瞬時轉軸的存在）。在任意時間，剛體內部每一個質點的角速度相同。
假設一剛體呈純旋轉運動，旋轉的角速度為  ，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量  ，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。設定  、 分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量  對於時間的導數，則
运动学 刚体运动学
。
項目   可以想像為，從空間參考系S觀測，剛體內部位置向量為  的質點，由於剛體旋轉而產生的角速度。
向量  是任意向量，因此可以將  、 當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：
。
這算符方程式可以作用於任意含時向量。
根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於基點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置  為
；
其中， 、 分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。
點P的速度  為
；
其中， 、 分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。
應用前段推導出的適用於任意含時向量的算符方程式，可以計算出 。由於從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，項目  等於零：
；
其中， 是剛體的角速度向量。
所以，點P的速度為
。
點P的加速度  為
；
其中， 、 分別是基點G的加速度、點P對於基點G的相對加速度。
再應用前段推導出的算符方程式，可以計算出
；
其中， 是附體參考系B旋轉的角加速度向量。
运动学 運動約束
「運動約束」指的是一個動態系統的運動必須符合的約束。以下列出一些例子：
假若，一個圓柱形物體滾動於平面上，不做任何滑動運動（物體與平面之間，沒有任何滑動摩擦），則這物體的運動稱為「純滾動」，其質心的速度  必須符合約束條件：
；
其中， 是旋轉的角速度， 是從物體與平面的接觸點到物體質心的位移向量。
對於物體在滾動時不傾斜或不轉彎的案例，這約束條件約化為
。
當感受到張力的作用時，「無伸縮性繩子」不會因為張力的大小而改變繩子的長度。對於涉及無伸縮性繩子的物理問題，約束條件是繩子長度保持不變。
乔治·懿律
海軍上將乔治·懿律爵士，KCB，FRS（英語：，1784年8月1日—1863年6月24日），英国贵族，是一名参加过干涉法国大革命、拿破仑战争、第一次鸦片战争的英国海军军官，巴斯勋章获得者。在第一次鸦片战争中担任英国全权代表和英军总司令，是查理·义律的堂兄。
懿律出身于一个声名显赫的家族，家族中诞生过多名有影响力的政治家和外交官。他很早就参加了海军，参与过法国大革命时期多场具决定性的战斗，曾在热那亚、耶尔、圣维森特角等地作战。并曾跟随纳尔逊入侵尼罗河和哥本哈根。拿破仑战争开始时他已是战舰的指挥官，纳尔逊称他是海军中最优秀的军官之一，此后他曾在地中海和东印度地区服役，参与过入侵爪哇的行动，功勋卓著。与法国的战争结束后，懿律没有在军中担任要职，在克拉伦斯公爵和政府中亲戚的支持下，他转行投向政治事业，为英国的海军政策做出了许多贡献。
乔治·懿律
懿律曾短暂地作为罗克斯巴勒郡（Roxburghshire）的代表进入议会，并出任海軍部國會秘書（Secretary to the Admiralty），之后成为海軍部委員。后来他又短暂地重返现役，升为将军，负责指挥英国好望角舰队。第一次鸦片战争中懿律被派往中国指挥战斗，未能取得决定性的战果。返回英国后，他发现由于党派政治的原因，他和他的家族在政府中的影响力已大大减弱。此后他只在海军中担任次要职位，没有再次从政，后因资历升为海军上将，1863年去世。子孙中很多都曾担任高级军官。
乔治·懿律 家庭和早年生活
乔治·懿律生于1784年8月1日，是第一代明托伯爵吉尔伯特·艾略特-默里-基宁蒙德的次子，第二代明托伯爵之弟，母亲是安娜·玛利亚（Anna Maria）。1794年，就在法国大革命爆发后不久，乔治·懿律作为初级志愿兵（first-class volunteer）加入英国海军，在托马斯·佛雷（Thomas Foley ）指挥的拥有98门火炮的战舰圣乔治号上服役，当时该船还是海德·巴加（Hyde Parker）将军的旗舰。乔治·懿律在这条船上参加了1795年3月14日的热那亚海战和1795年6月13日的耶尔岛海战。
乔治·懿律 家庭和早年生活
此后懿律作为托马斯·佛雷的部下先后在布列塔尼亚号、歌利亚号、大象号上服役，并参加了1797年2月14日的圣维森特角海战，以及1798年8月的尼罗河之战。1800年8月12日，在经历了多场法国大革命时期的决定性海战之后，懿律晋升为海军上尉。1801年，他以上尉的身份先后跟随查尔斯·波尔（Charles Pole）和霍雷肖·纳尔逊在圣何塞号、圣乔治号战舰上作战。在圣乔治号上时懿律加入了海德·巴加前往波罗的海的远征队，参加了哥本哈根战役。1802年4月14日，懿律升为校级军官，次年5月，作为志愿兵随纳尔逊乘坐胜利号前往地中海服役。
乔治·懿律 指挥官生涯
1803年7月10日，纳尔逊任命懿律为纵帆船悍妇号的船长，这是他首次指挥一艘战舰。不过没过多久他就被调往32
门炮战舰梅德斯通（Maidstone）号。懿律在1804年1月2日晋升为上校船长，并率梅德斯通号参加了土伦封锁战。在1804年7月11日的战斗中，属于梅德斯通号、水仙号、海马号的几只舢板摧毁了拉芳度（Lavandou）的敌方船只。此后懿律短暂的参与了理查德·斯特罗恩（Richard Strachan）的分舰队，进行封锁加的斯的行动，纳尔逊称赞他是海军中最优秀的军官之一就是在这个时期。在拿破仑战争结束前，懿律还曾在多支舰队中服役，有时在英国领海，也有时轮班到地中海和东印度。
乔治·懿律 指挥官生涯
1805年3月，懿律成为英舰斗士号的船长。同年7月，他又被调往在地中海活动的22门炮战舰极光号，从10月起，他开始指挥36门炮战舰莫德斯特（Modeste）号，在这艘船上干了六年。1807年2月15日，懿律驾船向东印度进发，次年10月8日，他在孟加拉湾追击并俘获了法国18门炮护卫舰耶拿号，1811年8、9月间，懿律参与了入侵爪哇的行动。1813年，他成为38门炮战舰轻骑兵号的舰长，并于当年6月率该舰到婆罗洲清剿海盗。他还协助麦格雷戈（McGregor）上校让巨港苏丹复辟。懿律靠上述行动引发了上级的注意。随着拿破仑战争的结束，懿律也离开了指挥官的职位，不过他后来得以成为胜利号的指挥官，在1827年5月1日到1832年1月24日负责警卫朴茨茅斯。他在这一段时期的工作赢得了克拉伦斯公爵的赞许，后者后来成为英王威廉四世。
乔治·懿律 升为将级军官与从政经历
1830年，英王威廉四世任命懿律为海军侍从武官（aide-de-camp），当年9月懿律被授予巴斯勋章。11月29日，英王又任命他为海军部秘书，他担任此职一直到1834年12月，后又从1835年4月起担任第三海军大臣。而他的长兄，第二代明托伯爵正好又在1835年9月到1841年9月这段时间里担任第一海军大臣。1832年时，在政府中任职的懿律还同时作为罗克斯巴勒郡的辉格党代表加入议会，但1835年因选举失败而离开。
在海军部任职的懿律专门负责舰船设计与建造，他强烈反对海军测绘官威廉·西蒙兹（William Symonds）的做法。他和第一海务大臣查尔斯·亚当（Charles Adam）都极力宣称，应该把经费用于修船而非建造新的。这一时期里懿律还设计了一艘小型护卫舰尤丽黛号，1843年下水。该舰赢得了许多正面评价，尤其是关于舰体流畅的线条以及它轻快的速度。懿律长子曾在该舰上担任过一段时间的舰长。后来该舰成为一艘训练舰，1878年3月24日在怀特外海遭遇暴风袭击，伤亡惨重。
乔治·懿律 升为将级军官与从政经历
1837年1月10日，懿律晋升为海军少将，9月，就任好望角舰队总指挥。1840年2月，懿律前往中国参加鸦片战争，成为英国东印度&中国舰队总指挥，与堂弟查理·义律分别担任正副全权公使。他指挥了英军7月到11月的行动，但外相巴麦尊认为他的所作所为优柔寡断、毫无效果。懿律也承认他束手无策，加之健康状况恶化，便于11月返回了英国。
懿律回国后英国的政治环境发生了变化，约翰·罗素组建了新的内阁，兰斯唐（Lansdowne）派系的人取代了海军部中懿律家族的势力。1847年5月13日，懿律升为海军中将，在1848到1851年间担任诺尔的指挥官（Commander-in-Chief, The Nore），在1853年3月5日成为海军上将，1855年起过上了领一半薪水的退休生活。1862年11月获得第二级巴斯勋章。次年6月24日在伦敦肯辛顿太子台4号的家中去世，以私人形式葬于肯薩綠地公墓。
乔治·懿律 后代
懿律在1810年与艾丽莎·塞西莉亚（Eliza Cecilia）结婚，育有多名子女。与他自己同名的长子后来也参加海军，成为一名海军上将。另一名儿子亚历山大·詹姆斯·哈迪·懿律（Alexander James Hardy Elliot）当上了陆军少将。他的女婿中包括第八代诺特斯克伯爵威廉·卡耐基（William Carnegie）、第四代北安普顿侯爵威廉·康普顿（William Compton）、以及海军上将詹姆斯·罗伯特·杜蒙德（James Robert Drummond）。
莱特飞行器
萊特飛行器（也被稱為小鷹號、飛行者一號或1903飛行者）是一台於1903年12月17日，成功實現首次由人類駕駛的重於空氣的動力持續飛行的飛機，這標誌著航空先驅時代的開始。這架飛機是由萊特兄弟設計並駕駛。
該架飛機採用單座雙翼設計，機翼略微下垂，前部配有雙升降舵（前翼），後部配有雙向舵。它使用一台12馬力（9千瓦）的汽油引擎驅動兩個推式螺旋槳。採用了「機翼翹曲」技術，使得飛行相對不穩定且難以操縱。萊特兄弟在北卡羅來納州基蒂霍克以南約4英里（現屬殺手丘鎮）的地方進行了四次飛行。在第四次也是最後一次飛行中，飛機飛行了852英尺（260公尺），但在著陸時受損，幾分鐘後被強風吹翻而毀壞。
此後，這架飛機再也沒有飛行過，但被運回家並由奧維爾修復。最初，這架飛機在倫敦科學博物館的榮譽位置展出，直到1948年，解決了一場關於優先權的激烈爭議後，才得以在史密森尼学会展出。現在，它被陳列在華盛頓特區的美国国家航空航天博物馆中。
莱特飞行器 設計與施工
萊特飛行器的設計是基於萊特兄弟在1900年至1902年期間在基蒂霍克測試萊特滑翔機的經驗。他們最後一架滑翔機「1902年滑翔機」啟發了萊特飛行器的。
1903年，萊特兄弟製造了萊特飛行器，使用北美雲杉作為機身的直材（如翼梁）和白蜡树作為彎曲部件（如翼肋）。機翼的設計採用了1/20的弧度，機翼的布料是100%棉質平紋細布，名為“西方的驕傲”，一種用於女性內衣的布料。其經線密度為每吋107根，緯線密度為每吋102根，總線密度為209根。由於找不到合適的汽油引擎，他們萊特兄弟委託僱員查理·泰勒重頭開始設計一款新的輕量級12馬力（9千瓦）汽油發動機，重180磅（82公斤），配有一個1美製加侖（3.8公升）的燃油箱。這款引擎採用借鑒自自行車技術的鏈條驅動兩個手工製作的螺旋槳。為了避免力矩效應影響飛機操縱，其中一個傳動鏈被交叉，使螺旋槳朝相反方向旋轉。
根據泰勒的說法：
莱特飞行器 設計與施工
他們設計了四個氣缸，估計缸徑和衝程為四英寸。製造這個引擎花了六週。完成的引擎重180磅，在每分鐘1025轉時能產生12馬力。第一台引擎的機體是鑄鋁製成的，透過車床鑽孔來安裝獨立汽缸。活塞是鑄鐵製成的，並且經過加工和開槽以安裝活塞環，活塞環也是由鑄鐵製成的。一加侖的油箱懸掛在機翼支柱上，汽油透過重力透過一根管子輸送到引擎。燃油閥是一個普通的煤氣燈旋塞。沒有我們今天所知的化油器，燃油被輸送到進氣歧管的淺室。沒有火星塞，火花是透過在燃燒室內打開和關閉兩個接觸點產生的。乾電池用於啟動發動機，然後切換到從代頓電氣公司購買的磁電機。飛機上沒有電池。幾段傳聲筒被用在散熱器中。在將引擎裝箱運送到基蒂霍克之前，進行了封閉測試。
8.5英尺（2.6公尺）長的螺旋槳是基於他們風洞資料中的第九號翼型，提供了不同攻角下最佳的「滑翔角」。螺旋槳透過印第安納波利斯鏈條公司的鏈條與引擎連接，鏈輪減速比為23比8。威爾伯計算出轉速較慢的螺旋槳產生的推力更大，並且兩個螺旋槳比一個高速旋轉的螺旋槳更好。螺旋槳由三層雲杉層壓製成，尖端覆蓋鴨帆布，整個螺旋槳塗有鋁漆。:178–186
莱特飞行器 設計與施工
1903年11月5日，萊特兄弟在基蒂霍克測試他們在萊特飛行者上的發動機，但在調試發動機時，螺旋槳的輪轂鬆動了。驅動軸被送回代頓進行修理，並於11月20日返回，發現其中一個螺旋槳軸上有一條細小的裂縫。奧維爾於11月30日返回代頓，製造了新的彈簧鋼軸。12月12日，兄弟倆在萊特飛行器上安裝了新的軸，並在他們的60英尺（18米）發射軌道系統上進行了測試，這個系統包括一個帶輪子的發射滑車。根據奧維爾的說法：
我們設計的螺旋槳在每分鐘330轉（發動機約950轉）時提供90磅（41公斤）的推力，我們認為這是重630磅（290公斤）的飛行器所需的推力。
在實際測試中，他們達到了每分鐘351轉的螺旋槳轉速，推力為132磅（60公斤），足以推動重700磅（320公斤）的飛行器。:194–201
莱特飞行器 設計與施工
萊特飛行器是一種鴨式雙翼佈局，翼展為40英尺4英寸（12.29米），彎度為1/20，翼面積為510平方英尺（47平方米），長度為21英尺1英寸（6.43米）。由於引擎比奧維爾或威爾伯重30到40磅（14到18公斤），右翼比左翼長4英吋（10公分）。無人駕駛時，飛行器重605磅（274公斤）。像滑翔機一樣，飛行員趴在下翼上，頭朝向機頭，以減少阻力。飛行員位於中心線左側，而引擎在中心線右側。飛行員透過移動臀部搖籃來控制方向。搖籃拉動鋼絲使機翼變形，同時轉動方向舵，實現協調飛行。飛行員用左手操作升降舵桿，右手握住支柱。萊特飛行者的「跑道」是一條由2x4木條組成的60英尺（18公尺）長的軌道，兄弟倆稱其為「交匯鐵路」。萊特飛行者的滑橇放在一個發射滑車上，這個滑車由一塊6英尺（1.8公尺）長的木板和一個帶輪子的木製部分組成。兩個串聯滾珠軸承輪由自行車輪轂製成。一根約束鋼絲在發動機運轉和螺旋槳旋轉時將飛機固定，直到飛行員準備好釋放:202–204
萊特飛行者上有三個儀器：一個維德發動機轉速記錄器測量螺旋槳的轉數；一個秒錶記錄飛行時間；一個理查德手持風速計，安裝在前中央支柱上，記錄飛行距離（單位為米）:213
莱特飞行器 飛行試驗
在返回基蒂​​霍克後，萊特兄弟於1903年完成了飛行器的組裝，同時利用前一年使用的1902年滑翔機進行練習。到12月14日，他們覺得已經準備好進行首次動力飛行。在附近美國救生服務中心工作人員的幫助下，眾人將飛行器和發射軌道搬到附近的屠魔崗斜坡上，打算藉助重力起飛。透過拋硬幣決定由誰先駕駛，威爾伯贏得了機會。然而，在飛機離開軌道後，威爾伯拉起得太急，導致飛機失速，在飛行105英尺（32公尺）後墜落，用時3.5秒，但損傷不大。
第一次飛行失敗後的修復工作花了三天。 12月17日，當他們再次準備好時，風速平均超過每小時20英里（32公里），所以兄弟倆將發射軌道放在平地上，朝向風向，靠近他們的營地。這次起飛由風提供所需的空氣速度，而不是斜坡。由於威爾伯已經有第一次機會，這次輪到奧維爾操控。他的第一次飛行持續了12秒，飛行總距離為120英尺（37公尺），比波音747的翼展還要短。
莱特飞行器 飛行試驗
萊特兄弟輪流進行了四次短暫的低空飛行。這幾次飛行的路徑基本上都是直線，沒有嘗試轉彎。每次飛行都以顛簸和意外著陸結束。最後一次飛行由威爾伯進行，覆蓋了852英尺（260公尺），用時59秒，比前三次飛行的120、175和200英尺（37、53和61公尺）分別用時12、12和15秒長得多。第四次飛行降落時打壞了前部升降舵支架，萊特兄弟原本希望修復後進行一次到基蒂霍克村四英里（6公里）的飛行。不久後，一陣強風將飛行器翻滾並嚴重損壞，再也無法迅速修復。飛行器再也沒有飛行過。
1904年，萊特兄弟繼續完善他們的設計和飛行技術，以實現完全控制的飛行。他們在這個目標上取得了重大進展，首先是在1904年使用萊特飛行器二號，隨後更加決定性的進展出現在1905年，即萊特飛行器三號。威爾伯在1905年10月5日進行了一次持續39分鐘、飛行24英里（39公里）的無間斷環繞飛行。
莱特飞行器 影響
萊特飛行器系列是第一批實現受控重於空氣飛行的飛機，但萊特兄弟用於實現這一目標的某些機械技術並未對整個航空發展產生影響，儘管他們的理論成就卻很重要。萊特飛行器的設計依賴於由駕駛員座椅下的髖部固定器控制的翼彎曲和用於縱向控制的前平尾或「鴨翼」，這些特徵不適用於擴展並且生產出難以控制的飛機。萊特兄弟開創性地使用翼尖扭轉來實現「萊橫滾控制，從而導致後來的仿效者，如格倫·柯蒂斯和亨利·法爾曼，更實用地採用了副翼。
萊特兄弟最初的同時協調的橫滾和偏航控制概念，透過後方方向舵的偏轉來實現。這一概念在1902年被發現，並在1903年至1905年間得到了完善，並於1906年申請專利。這種控制方法代表了受控飛行的解決方案，如今幾乎所有固定翼飛機都在使用。萊特兄弟的專利包括使用鉸接而非翼彎曲表面作為前平尾和後方方向舵。使飛行器成功的其他特點包括高效的機翼和螺旋槳，這些得益於萊特兄弟嚴格的風洞測試和早期自製發動機提供的邊緣動力；低速飛行（因此事故發生後存活率較高）；以及漸進的測試和開發方法。飛機設計的未來取決於剛性機翼、副翼和後方控制面。1868年的英國副翼技術專利在20世紀初顯然已經完全被遺忘。
莱特飞行器 影響
萊特兄弟在1904年1月向媒體發表了一份聲明，並於同年5月進行了一次失敗的公開展示後，便不再公開宣傳他們的努力。媒體普遍認為，是其他飛行員（尤其是亞伯托·桑托斯·杜蒙）在很多年前就已經超越了他們。直到1908年8月8日在法國成功進行了示範飛行後，他們才被公認為先驅，並受到廣泛的媒體報道。
1909年，萊特軍用飛行器A型在成功測試後成為世界上第一架軍用飛機，測試於1909年6月3日進行。這架飛機由軍方購買，但從未在戰鬥中使用過；然而，它被用來訓練一些飛行員。 1911年，它被捐贈給史密森尼學會，並在國家航空航天博物館的早期飛行展覽中展出。萊特兄弟還生產了一個改進版本萊特B型，這個版本以較大的數量被軍方使用：「用於訓練飛行員和進行空中實驗」，包括對「瞄準器和投彈裝置」的測試。
莱特飞行器 影響
萊特兄弟正確看待專利控制問題的關鍵性，並獲得了廣泛的美國專利，旨在使他們擁有基本的空氣動力學控制權。這場爭端在美國和歐洲法庭上進行了激烈的爭鬥。歐洲設計師幾乎未受到訴訟的影響，繼續進行自己的發展。在美國，這場法律戰鬥對新生的美國飛機工業產生了沉重的打擊，甚至到了美國在1917年參加第一次世界大戰時，美國「只有六架[美國製造的]飛機和十四名訓練有素的飛行員」。這些數字在隨後的幾年中大幅增加，但在戰爭期間，所有美國飛行員駕駛的戰鬥機都是由歐洲設計和製造的。
萊特飛行器最初被構想為一種控制式鴨翼，因為萊特兄弟更關注的是控制能力而非穩定性。然而，實際上發現它非常不穩定，幾乎無法控制。在代頓附近的飛行測試中，萊特兄弟認識到這個問題，他們試圖通過在飛機機頭增加重量來向前移動重心，以減少俯仰不穩定性。萊特兄弟當時並未理解鴨式佈局所涉及的基本俯仰穩定性原理。航空專家F.E.C. Culick指出：“飛行力學理論和理解的普遍落後狀態阻礙了他們……事實上，他們知識中最嚴重的缺陷可能正是在選擇鴨式佈局時犯下的無意錯誤。根據航空作家哈里·孔姆斯的觀點，「萊特兄弟的設計採用了『平衡』的前平尾……移動表面在鉸鍊或軸心兩側等距離延伸，與『追蹤』配置形成對比……後者在飛行中將增強可控性。」
奧維爾·萊特對他們稱之為「前方舵」的平尾寫道：“我發現前舵的控制非常困難，因為它的平衡點太靠近中心，一旦啟動就有自轉的傾向，導致舵頭在一側轉動太遠，然後在另一側也轉動太遠。因此，這些早期的飛行受到了過度控制的困擾。:103,214–215
莱特飞行器 保存過程
萊特飛行器經歷首次飛行後，萊特兄弟回到代頓過聖誕節。儘管他們放棄了其他滑翔機的研究，但他們意識到這架飛行器具有重要的歷史意義。他們將嚴重損壞的飛行器運回代頓，並存放在萊特公司一間棚子後面的箱子裡，總共存放了九年。1913年3月，由於代頓大洪水的災害，這架飛行器被覆蓋在泥水中長達11天。
1948年，查理泰勒在一篇文章中提到，萊特兄弟幾乎考慮過要處理飛機。 1912年初，萊特兄弟的展覽隊經理羅伊·克納本舒與威爾伯交談，詢問他們打算如何處理飛行器。威爾伯表示，他們很可能會像處理1904年的機器一樣將其銷毀。據泰勒所述，克納本舒說服威爾伯保留飛行器作為歷史文物的一部分。
莱特飞行器 保存過程
1910年，萊特兄弟曾提議將飛行器捐贈給史密森尼學會作為展品，但遭到拒絕，表示願意接受萊特兄弟的其他航空器物。1912年威爾伯去世後，奧維爾在1916年將飛行器從存放處取出，並為其準備在麻省理工学院展出做了一些修復工作。他更換了部分機翼覆蓋物、螺旋槳以及引擎的曲軸箱、曲軸和飛輪。原發動機的曲軸箱、曲軸和飛輪曾於1906年被送往紐約的美國航空俱樂部展出，後來未能歸還給萊特兄弟。目前在莱特兄弟国家纪念馆的遊客中心展出的複製曲軸箱，是當時經過修復的一部分。
在與史密森尼學會的爭議中，該學會及其當時的秘書查爾斯·沃爾科特拒絕承認萊特兄弟是第一位成功進行動力驅動、可控制飛行的飛​​行器的飛行者。相反，他們向曾任史密森尼學會秘書的塞缪尔·兰利致敬，儘管蘭利在波托马克河上進行的1903年「飛機場號」試驗並不成功。但沃爾科特是蘭利的朋友，並希望看到蘭利在航空歷史中的地位恢復其名譽。1914年，格倫·柯蒂斯在與萊特兄弟的專利侵權法律戰中經歷了上訴程序的耗竭。柯蒂斯試圖證明蘭利的機器能夠進行受控、駕駛飛行，試圖使萊特兄弟的廣泛專利無效。
莱特飞行器 保存過程
史密森尼學會將「飛機場號」從展覽中撤下，並在紐約州凱尤卡湖為其準備了試飛。柯蒂斯稱這些準備為「修復」，聲稱只是增加了浮筒以支持在湖上的測試，但專利律師格里菲斯·布魯爾等批評者認為這是對原始設計的改動。柯蒂斯最後親自駕駛改裝後的飛機場號，但該飛行機每次只在湖面上跳躍幾英尺，飛行時間為5秒。
1916年至1928年期間，奧維爾在萊特公司技工吉姆·雅各布斯的監督下，多次為萊特飛行器準備展覽和組裝。它曾於1916年在馬薩諸塞理工學院短暫展出，1917年和1919年在紐約航空展上展出，1918年在俄亥俄州代頓市国际汽车工程师学会年會上展出，以及1924年在代頓市的全國航空比賽展出。
1925年，奧維爾試圖透過警告史密森尼學會，表示如果學會不承認他和威爾伯的成就，他將會把萊特飛行器送到倫敦科學博物館展出。但這項威脅沒有達到預期效果。1928年1月28日，奧維爾將萊特飛行器運送到倫敦，並在那裡展出，處於「最高榮譽的位置」，第二次世界大戰期間，萊特飛行器被移動到距離科舍姆100英里（160公里）的地下儲存設施。
莱特飞行器 保存過程
1942年，史密森尼學會在新任秘書查尔斯·格里利·阿博特的領導下，發布了一份清單，列出了柯蒂斯對「飛機場號」的35項改動，並撤銷了長期對該飛行器的聲明。阿博特接著表達了四個遺憾，包括學會在支持萊特兄弟專利訴訟中未能成功、有關“萊特飛行器”首次飛行後改動的錯誤信息，以及公開宣稱將“第一架能夠自由持續飛行的飛機」歸功於蘭利。史密森尼學會1942年年度報告的條目以以下聲明開頭：「廣泛認可，萊特兄弟於1903年12月17日在北卡羅來納州基蒂霍克首次駕駛比空氣重的機器，以進行持續飛行。」，並承諾：「如果萊特博士決定寄存該飛機……它將得到它應得的最高榮譽位置。」
隔年，奧維爾在與艾伯特來往了數封信函後，同意將萊特飛行器送回美國。在複製品建造完成前，萊特飛行器一直留在科學博物館展出。史密森尼學會改變立場的這一決定也引發了爭議——包括飛行器是在幾項合約條件下賣給了史密森尼學會，其中之一條款如下：
莱特飞行器 保存過程
史密森尼學會或其繼任者，以及史密森尼學會或其繼任者為美國政府管理的任何博物館或其他機構、局或設施，不得發布或允許顯示任何聲明或標籤，涉及或關於任何早於1903年萊特飛機的飛行器模型或設計，宣稱這類飛行器實際上能夠在控制飛行下載人飛行。
1948年10月18日，萊特飛行器正式移交給美國民航空軍官員利文斯頓·L·薩特思韋特 ，該儀式上有英國各飛行組織的代表以及一些英國航空先驅人物，如阿利奧特·弗頓-羅爵士。
莱特飞行器 保存過程
1948年11月11日，「萊特飛行器隨著1,111名乘客一同搭乘茅利塔尼亞號（1938年）抵達北美洲。當客輪停靠在新斯科細亞省的哈利法克斯時，史密森尼國家航空博物館的保羅·E·加伯會見了飛行器，並主持了後續的程序，監督其轉移至美國海軍航空母艦帛琉號，後者透過紐約港將飛行器遣返回國。在接下來的旅程中，飛行器繼續透過平闆卡車運送至華盛頓。在哈利法克斯，加伯會見了當時新斯科細亞省副省長約翰·A·D·麥卡迪。麥卡迪年輕時曾是亞歷山大·格拉漢姆·貝爾的「空中試驗協會」團隊成員之一，該團隊包括格倫·柯蒂斯，後來成為著名的航空先驅飛行員。在哈利法克斯的逗留期間，加伯和麥卡迪回憶了先驅航空時代和萊特兄弟的故事。麥卡迪還提供了加伯在將飛行器帶回家中所需的任何幫助。
萊特飛行器於1948年12月17日起，在史密森尼藝術與工業大樓中展出，正值飛行器首次飛行的45週年紀念日。（奧維爾已於當年1月去世，未能見證此刻。）1976年，萊特飛行器被搬至新建的國家航空航天博物館的「航空飛行里程碑」展廳。自2003年起，它一直在博物館的特別展覽「萊特兄弟與航空時代的發明」中展出，以紀念第一次飛行的100週年。
1981年，史密森尼學會開始討論對萊特飛行器進行修復的必要性，因為經過多年的展覽後，飛行器的老化問題日益嚴重。在慶祝首次飛行78週年的儀式上，萊特兄弟的侄女之一哈羅德·S·米勒夫人（洛林的女兒伊文內特·萊特）向博物館捐贈了飛行器機翼的原始覆蓋物，她是從奧維爾繼承了這件文物，並表達了希望看到飛行器修復的願望。
飛行器上的這些覆蓋物來自1927年的修復工程，但因老化而變色並長有水斑。連接機翼垂柱的金屬扣件開始生鏽，對附近的織物造成了損害。 1985年，對飛行器的修復工作正式展開。修復工作由高級館長羅伯特·邁克什和萊特兄弟專家湯姆·克勞奇共同監督。博物館館長沃爾特·J·博恩決定在公眾視線內進行修復。
木框架進行了清潔，金屬部件上的鏽跡被清除。僅更換了飛行器的覆蓋物，新的覆蓋物更接近1927年修復時的原始狀態。為了保護引擎上的原始油漆，修復者在重新塗抹新油漆之前先塗抹了惰性蠟。
預計1985年的修復效果將持續75年，也就是2060年才需要再次進行修復。
莱特飞行器 複製品
1978年，23歲的肯·凱萊特在科羅拉多州建造了一架萊特飛行器的複製品，並在第一次飛行的75週年和80週年紀念日時在基蒂霍克進行了飛行。這個複製品的建造耗時一年，花費3000美元。
2003年12月17日，即100週年紀念日，美國飛行百年委員會與其他組織共同向公司徵集再現最初飛行的投標。由肯·海德領導的「萊特體驗」公司贏得了投標，並精心再現了原始萊特飛行器，以及許多原型滑翔機、風箏和後續的萊特飛機。完成的飛行器複製品被帶到基蒂霍克，飛行員凱文·科克斯伯格試圖在2003年12月17日上午10點35分，在基爾魔鬼山腳下附近的平地上再現最初的飛行。儘管飛行器先前已進行了幾次成功的試飛，但惡劣的天氣、雨水和微弱的風阻礙了在紀念日當天的成功飛行。海德的複製品現在展示在密西根州迪爾伯恩的亨利福特博物館。
莱特飞行器 複製品
美國航空航天學會洛杉磯分會在1979年至1993年間根據史密森尼學會1950年發布的原始萊特飛行器計劃，建造了一架全尺寸的1903年萊特飛行器複製品。這個複製品是為了風洞測試而建造的，以提供萊特飛行器設計的歷史準確的空氣動力學資料庫。該飛行器在加州河濱市的馬奇場空軍博物館展出。美國及全球各地展示的許多靜態展示用的非飛​​行複製品，使其成為歷史上「先驅」時代中最多複製的單架飛行器之一，與路易·布莱里奥1909年橫渡英吉利海峽的布萊里奧11號飛機的複製品數量相匹敵，其中一些是可飛行的。
莱特飞行器 文物
1969年，萊特飛行器的原始織物和木材部分隨尼爾·阿姆斯特朗攜帶的PPK一同登上阿波羅11號鷹號登月艙抵達月球表面，隨後又從哥倫比亞指揮艙返回地球。這件文物現展示在北卡羅來納州基蒂霍克的萊特兄弟國家紀念館遊客中心。
1986年，萊特飛行器的另外一些原始木材和織物部分，以及奧維爾·萊特的一張便條，由北卡羅來納州本地的宇航員迈克尔·约翰·史密斯帶上了挑戰者號太空梭的STS-51-L任務，然而這架太空梭在發射後不久便發生了爆炸。這些木材、織物部分和萊特的便條從太空梭殘骸中被找回，並展示在北卡羅來納州歷史博物館。
萊特飛行器機翼織物的一小塊被固定在火星無人直升機「机智号」的太陽能板下方的電纜上。 2021年4月19日，「堅毅號」成為第一架在火星上進行控制大氣飛行的飛行器。在進行更多的探索和測試之前，「堅毅號」在火星上的第一個基地被命名為萊特兄弟飛行場。
莱特飞行器 紀念
萊特兄弟和他們的飛機已在美國225美分硬币和多張美國郵票上得到紀念。
马哈茂德·艾哈迈迪-内贾德
馬哈茂德·艾哈邁迪內賈德（波斯語：，羅馬化：Mahmūd Ahmadīnežād，發音：[mæhˈmuːd(-e) æhmædiːneˈʒɒːd] ⓘ；1956年10月28日—）是伊朗第6任總統，同時是伊朗保守派政治聯盟伊斯蘭伊朗建設者聯盟的主要政治領袖。
艾哈邁迪內賈德是一名出身貧寒的工程師及教師，他在伊朗伊斯蘭革命後加入一個名為鞏固聯合處的學生組織。艾哈邁迪內賈德在1993年出任阿爾達比勒省省長，在穆罕默德·哈塔米當選總統後被免職，重執教鞭。2003年，他獲選為德黑蘭市長，政治立場保守而且強硬，顛倒了前任市長的改革政策。伊斯蘭伊朗建築聯盟支持艾哈邁迪內賈德參選2005年伊朗總統選舉，結果在第二輪選舉當中獲得62%的選票，他在2005年8月3日正式就任伊朗總統，亦成為自伊朗革命以來首位非神职人员出身的總統。
马哈茂德·艾哈迈迪-内贾德
艾哈邁迪內賈德在伊朗國內外都是一位爭議性的政治人物。反對派批評他對人权的漠視及其政策導致經濟持續衰退。他在2007年推行汽油配給計劃，以減少國家的汽油消耗，減低公眾及私人銀行收取的利息。另外，艾哈邁迪內賈德支持伊朗核計劃。
艾哈邁迪內賈德在2009年伊朗總統選舉中成功連任，但當中涉及的選舉舞弊引發極大爭議，最終導致伊朗綠色革命的爆發，在國際上承受不少批評。反對派、傳統的教士階層及影響力巨大的政治人物也質疑艾哈邁迪內賈德當選總統的合法性。
內賈德亦曾宣佈參選2021年的伊朗總統大選，但被拒絕參選，後由同為強硬派的易卜拉欣·萊希當選。