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射流 (数学) 两个流形间的函数的射流
若M和N是两个光滑流形，我们如何定义函数的射流?也许可以通过M和N上的局部坐标来定义。这个方法的缺点是流形不能在这种方式下以等变的形式来定义。射流不像张量那样变换。实际上，两个流形间的函数的射流属于一个射流丛。
本节先引入从实直线到流形的函数的射流的概念。然后，证明这样的射流构成一个纤维丛，和切丛类似，它也是一个射流丛的一个伴随丛。接下来，讨论定义两个光滑流形间的函数的射流的问题。在整节中，我们全部采用分析方法。虽然代数几何方法在很多应用中更合适，因其过于微妙不便于在此系统论述。细节请参看射流 (代数几何)。
假设M为一个光滑流形，p为其中一点。我们来定义穿过p的曲线的射流，我们所指的曲线也即使得f(0)=p的光滑函数。定义一个等价关系如下。令f和g为一对穿过p的曲线。我们称f和g在p为k阶等价，如果存在p的某个邻域U，使得对于每个光滑函数, 。注意，这些射流是定义良好的，因为复合函数和只是从实直线到自身的映射而已。该等价关系有时称为在点p的曲线的k阶相切。
现在我们定义k阶射流空间为在关系下穿过p的曲线构成的等价类。曲线f穿过p的k阶射流定义为f所属的等价类，记为 or 。
射流 (数学) 两个流形间的函数的射流
这构成了一个实向量空间。随着p在M中变化，构成了M上的一个纤维丛:k阶切丛，经常记为TkM （虽然这个记号有时会导致混淆）。在k=1时，一阶切丛就是通常的切丛：T1M=TM。
要证明TkM实际上构成一个纤维丛，我们需要查看一下在局部坐标中的属性。令(xi)= (x1,...,xn)为M在p的邻域U中的一个局部坐标系。稍微滥用记号一下，我们可以视(xi)为一个局部微分同胚。
断言：穿过p的两条曲线f和g以为模等价，当且仅当在p的某个邻域上成立。
显然，仅当这部分很清楚，因为这n的函数x1,...,xn的每一个都是从M到的光滑函数。所以按照等价关系的定义，两个等价曲线必须满足。
反过来，假设φ是一个M上在p的一个邻域内的光滑实值函数。因为每个光滑函数有一个局部坐标表达式，我们可以将φ表达为坐标的函数。精确地讲，假设Q是M中接近 p的一点，则
对于某个n个实变量的光滑实值函数ψ成立。因此，对于穿过p的曲线f和g，我们有
从链式法则即可得到断言中当的部分。例如，若f和g是实变量t的函数，则
射流 (数学) 两个流形间的函数的射流
这和同样的表达式中用g代替f计算有相同的值，因为f(0)=g(0)=p并且f和g在坐标系(xi)中k阶相切。
因此，这个表面上的纤维丛TkM确实有每个坐标邻域中的局部平凡化。至此，要证明这个表面上的纤维丛是真正的纤维丛，只需证明它在坐标变换下有非奇异的变换函数。令为一个不同的坐标系，并令为相伴随的从欧氏空间到自身的坐标变换微分同胚。通过的仿射变换，我们可以不失一般性地假设ρ(0)=0。在该假设下，只要证明是射流复合下的可逆变换即可。（参看射流群。）但是由于ρ是微分同胚，也是光滑映射。因而，
这表明是非奇异的。而且，它是光滑的，虽然我们这里并不需要利用这一点。
直观的来讲，这意味着我们可以用M上的局部坐标中的泰勒级数来表达一个曲线的射流。
局部坐标中的例子：
给定这样的一个切向量v，令f为在坐标系xi中用给定的曲线。若φ是p的一个邻域中的光滑函数，且φ(p)=0，则
是一个光滑实值单变量函数，其1阶射流如下
.
这表明，可以自然地将切向量和过该点的曲线的1阶射流等同起来。
射流 (数学) 两个流形间的函数的射流
在以点p为中心的局部坐标系xi中，我们可以将曲线f(t)的二阶泰勒多项式表达如下
所以在这个x坐标系中，过p的曲线的2阶射流可以等同为一个实数的列表。和且向量（曲线的1阶射流）一样，2阶射流在坐标变换函数作用下的某种变化法则。
令(yi)为另一坐标系。按链式法则，
因此，变换通过在t=0计算如下两个表达式给出。
注意，二阶射流的变化法则在坐标变换函数中是二阶的。
现在可以定义从流形到流形的函数的射流了。
设M和N为两个光滑流形。令p为M一点。考虑由定义在p的某个邻域中的光滑映射组成的空间。在上定义一个等价关系如下。两个映射f和g称为等价的，若对于每条穿过p的曲线γ（按此处常规，这表示一个使得的映射，）我们在p的某个领域上有。
的射流空间则定义为以等价关系为模的等价类的集合。注意，因为目标空间N不需要有代数结构，也可以没有这样的结构。也就是说，这和欧氏空间的情形实际上形成鲜明的对比。
若是定义在p附近的光滑函数，则我们定义f在p的k阶射流为f以为模所属的等价类。
射流 (数学) 截面的射流
本节讨论向量丛的局部截面的射流的概念。所有本节的内容可以在做适当的改动后推广到纤维丛、巴拿赫流形上的巴拿赫丛、纤维化流形、或者概形上的准一致层的局部截面的情况。而且，这些例子只是可以作的推广的一部分而已。
设E为流形M上的有限维光滑向量丛，其投影为。则E的截面为满足为M上的恒等自同构的光滑函数。截面s在p的一个邻域上的射流就是从M到E的光滑函数在点p的射流。
这些在点p的射流的空间记为。虽然这个记法可能会和更一般的两个流形间的函数的射流空间造成混淆，上下文通常可以消除这种歧义。
和从流形到另一流形的函数的射流不同，在p的截面的射流有继承自截面本身的向量空间结构的向量空间结构。随着p在M上变化，射流空间形成一个M上的丛，也就是E的k阶射流丛，记为Jk(E)。
射流 (数学) 截面的射流
我们采用一点的局部坐标。考虑一个向量场
在M中点p的一个邻域。v的一阶射流可以通过取向量场的系数的一阶泰勒多项式得到：
在这个x坐标中，在一点的1阶射流可以和实数的列表等同起来。这和将一点的切向量和列表(vi)等同起来是一样的。在特定的坐标变换的变换法则之下，我们必须知道该变换如何影响这个列表。
因此我们考虑变换到另一个坐标系yi时所需的变化。令wk为向量场v在y坐标中的表示。则在y坐标系中，v的一阶射流是新的实数列表。因为
我们有
所以
用泰勒级数展开，我们有
注意变换法则在坐标变换函数中也是二阶的。
参看微分算子#坐标无关表述。
射流 (数学) 参考
Ehresmann, C., "Introduction a la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de mathcal{L}."  Geometrie Differentielle, Colloq. Inter. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97-127.
中国工农红军第七军团
中国工农红军第七军团，简称红七军团，中国工农红军主力部队之一。
1933年2月，根据中共中央军委的命令，红十一军由江西东北调往中央苏区，编入红一方面军。6月7日，中央军委决定将红十军改编为红七军团。10月28日，红七军团正式成立，军团长寻淮洲、政治委员萧劲光，下辖第十九师：师长寻淮洲（兼任，后周建屏代）、政治委员萧劲光（兼任，后吕振球代）；第二十师：师长李聚奎（后粟裕代）、政治委员李翔梧；第三十四师：师长周子昆（后彭绍辉代）、政治委员谭震林（后程翠林代）。
1934年7月6日，为减轻中央苏区所受到的军事压力，红七军团在江西瑞金改编为“北上抗日先遣队”，前往闽浙赣苏区，总指挥寻淮洲、政治委员乐少华。10月，在江西重溪与红十军会合，按中央指示，两部合编为红十军团，继续北上。红七军团改编为第十九师，师长寻淮洲、政委聂洪钧、参谋长王如痴。12月14日，在安徽黄山谭家桥战败，退回江西。
1935年1月，红十军团在怀玉山被国民革命军包围，大部溃散，仅千余人在粟裕、刘英等人率领下逃脱，后该部在1937年改编为新四军第二支队。
寻淮洲
寻淮洲（1912年8月29日—1934年12月15日），又名寻波，中国湖南浏阳人，中国工农红军将领，中华苏维埃共和国中央执行委员。
寻淮洲 生平
寻淮洲1927年参加秋收起义，并加入中国共青团，1928年转入中国共产党，1929年升任红四军排长，因作战英勇，1930年即升任团长，12月30日，寻淮洲在第一次反围剿战争龙冈战斗中生擒国民革命军第十八师师长、前线总指挥张辉瓒。
1932年3月，寻淮洲升任红一军团红十五军45师师长，12月任红二十一军军长。1933年6月红军改编后，任红三军团第五师师长，同年10月调任红七军团军团长。
1934年7月，红7军团受命组成中国工农红军北上抗日先遣队，从中央苏区的东部出发，向闽、浙、赣、皖诸省国民党后方挺进，并曾一度攻占罗源、穆阳、庆元、清湖、常山等城镇。
1934年11月，与红十军会师后，两军整编为红十军团，因为与原红七军团政治委员乐少华颇有矛盾，寻被降职为第十九师师长。12月6日，寻淮洲所部绑架牧师师达能夫妇（John Cornelius Stam），勒索2万元未果，7日将师达能夫妇斩首，二月大的婴儿为当地教友所救。12月14日，寻淮洲在安徽黄山谭家桥的战斗中，寻亲率敢死队夺占制高点，中弹负重伤，次日身亡。
寻淮洲 纪念
1938年5月新四军第一支队司令陈毅途经茂林时为寻淮洲所写碑文如下，现刻于泾县茂林镇寻淮洲烈士纪念碑上：
寻淮洲同志，湖南浏阳人，农家子，参加民十五年到十七年中国大革命，由农民自卫军追随毛泽东同志转入红军第四军，任战斗员排连营长之职，屡功晋升至红七军军团长。民国二十三年冬，随方志敏同志率抗日先遣队转战皖南谭家桥战役负伤，至茂林镇伤重不救身死。寻同志为红军青年将校，以游击战斗称著。毕生为革命利益、民族利益牺牲到底，在足为抗日战士之楷模。民二十七年夏，新四军出发东线杀敌，道经茂林，为修治墓道立碑以示不忘，且为完成其遗志而奋斗。目前抗日斗争已成为全国人民之神圣事业，国共两党由过去对立变为亲密合作一致对外，前线战局日益开展，全部胜利可期，中华民族独立解放之基础已奠，谨以此告慰寻同志。新四军全体指战员应更进一步以东线胜利、驱逐日寇回答先烈，庶几无愧。
陈毅谨志
新四军第一支队全体指战员敬立
中华民国二十七年五月十五日
篠原愛實
篠原愛實（1993年3月10日—）是出身於日本東京都的演員。是以可愛的外型與讓人喜愛的笑容而廣受歡迎的偶像。
血型是O型。身高155公分。性格是有點迷糊(在網誌中提到別人曾經說她是個"不思議ちゃん(不可思議的人)"）與害羞的感覺。因為有遠視性亂視而看不清楚近物的關係,而有備用的眼鏡,並且表示要注意保護視力。容易感冒,曾經因為感冒而住院過3次。習慣是在無意識中會撥弄自己的頭髮。過去討厭包括烏鴉在內的各種動物,但漸漸地加以克服,現在並飼養了一隻在2006年8月出生,名叫フゥタ的狗。有一個年紀小很多的妹妹來歩。從2004年度到2006年度在『天才兒童MAX』作為TV戰士。在2006年10月4日開設了個人網誌「(-「蜜柑」是橘子之意,-「缶」則是罐頭之意)」,在網誌中也有與讀者分享學習漢字心得的單元。從ピチレモン2007年6月號開始擔任雜誌的模特兒（ピチモ）。也以演員身份參與了戲劇，電影等。2012年12月在網誌上宣布，將從演藝活動轉向電視劇製作發展。在2015年春季畢業之後進入了波麗佳音公司工作。有自己的Twitter網頁。暱稱是『つぐちゃん(小愛)』、『つぐ(愛)』。
篠原愛實 天才兒童MAX
在2006年度『這裡是「週刊優克迪爾」編輯部』中,以「未來クッキング(未來烹飪)」為題,說料理是要用眼睛來享受,因此拿出了在餐廳外櫥窗展示之漢堡排與義大利麵的「食品サンプル(食物模型,假的料理)」,表演一邊看著模型一邊用嘴巴咀嚼的動作, 稱如此一來就可以感受到食物的美味。相當具有幽默感。接著還展示了自創的「みどりミルクティー(綠奶茶)」,做法是將綠茶加上牛奶與砂糖一起攪拌,雖然名稱與製作過程讓其他TV戰士們吃了一驚,但經過大家試喝後卻證實這是好喝且方便的飲料,綠茶,牛奶與砂糖間的成份比例也可以自由調配。
金田一少年之事件簿 (電視劇)
《金田一少年之事件簿》（原名：）是根據日本同名漫畫（包括衍生動畫、小説）改編，由名侦探金田一耕助的孙子金田一一和青梅竹马的七濑美雪、警视厅的剑持勇警部解决疑难事件的推理電視剧。讀賣電視台、日本電視台（NTV）分別在1995年、1996年、2001年、2014年、2022年五度日劇化，加上2005年的電視特別版，共有五個不同的主演版本，目前只有堂本剛演出的版本有一個正式的完結篇。
金田一少年之事件簿 (電視劇) 历代主要演員
歷代金田一飾演者均為傑尼斯旗下藝人，又以初代金田一堂本剛因印象契合最受好評，有些參與演出的演員有出現跨代參與演出的情況，通常是前代飾演配角的菜鳥演員在後代晉升飾演主要角色的情形，例如鈴木杏(第一代都築瑞穗→第二代七瀨美雪)以及成宮寬貴(第二代斑目揚羽→第四代高遠遙一)、上白石萌歌(第四代日劇單元「銀幕之殺人鬼」演出遊佐知惠美→第五代七瀨美雪)。
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第一代（1995年 - 1997年）
包括兩部《金田一少年事件簿》連續劇、单发特別篇《学园七不可思议杀人事件》、《雪夜叉传说杀人事件》、剧场版《上海鱼人传说》5部作品，是导演堤幸彦的成名作。
日本電視台於1995年4月8日21:00 - 22:54播出首個金田一系列特別篇《學園七不思議殺人事件》，結果反應十分熱烈。1995年7月15日起，首部金田一系列連續劇在日本電視台土九檔（周六晚九點）首播。雖然主角堂本剛的身形和髮型與漫畫中的金田一差距甚遠，而友坂理惠和上圍豐滿的七瀨美雪也有一段距離，但是劇集最後大受歡迎，平均收視率為23.9%。在1995年9月9日、9月16日播出的《蠟人形城殺人事件》，當時原作漫畫也正在連載中，結果電視劇比原作的連載進度更快，在漫畫出刊之前就已經洩漏了劇情。
1996年暑假時衛視中文台以中文配音方式在台灣播出，還請來歌手李玟代言，於每集開場前引言解說該集的劇情，中文形象曲為「愛我久一點」。同時近期網路上也有網友分享情報表示當年第一季電視劇的「蠟人形城殺人事件」中，單元角色之一的外國人瑪麗亞的中配為歌手李玟本人配音。
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第一代（1995年 - 1997年）
當年年末還製作了特別篇《金田一少年之事件簿 雪夜叉殺人事件》，接檔劇《銀狼怪奇檔案》主角不破耕助〈銀狼〉由堂本光一以一人分飾二角的方式在劇中結尾登場。在這個作品中，不破耕助被設定成是金田一的好友。此外，《雪夜叉傳說殺人事件》劇中的新聞節目「The Wide」（），主持人是由草野仁及飯星景子擔任，來賓則由織田無道以本人的身分演出。
演唱：堂本剛、作詞：森浩美、作曲：Mark Davis、編曲：船山基紀
第二季首播於1996年7月13日，為第一季的延續，因此演員及角色與第一季相同，平均收視率為22.4%。台灣地區由衛視中文台於1997年首播，首播月份不明。
《異人館飯店殺人事件》中，由於劇情安排金田一住院，因此由美雪代替他來進行推理（最後金田一也有登場）。此外，《銀狼怪奇檔案》中的「天神學園」學生（三宅健、秋山純、松山幸次）也特別客串了該集。有評論認為由於堂本剛（所屬團體為KinKi Kids）的搭檔堂本光一演出當時正在播出的TBS連續劇《嫩芽之時》（若葉のころ），由於無法確認光一的登場時間，為了讓兩人不要形成同團競爭的局面，因此刻意安排堂本剛（金田一）在本事件中住院。
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第一代（1995年 - 1997年）
此外，在《金田一少年的殺人》中，之後在第三季扮演七瀨美雪的鈴木杏飾演都築瑞穗一角，這也是她第一次的電視劇演出作品。
演唱：KinKi Kids、作詞：松本隆、作曲 / 編曲：山下達郎
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第二代（2001年）
以“21世纪的金田一少年”為口號，以全新班底製作，包括單發電視劇《魔術列車殺人事件》及第三部連續劇《金田一少年事件簿》。
日本電視台（NTV）於是在2001年3月25日以新的演員班底推出特別篇《魔術列車殺人事件》，效果不錯。因此，第三季正式於2001年7月14日播出，平均收視率13.7%。雖然是前兩季的延續，在第一代飾演配角督築瑞穗的鈴木杏在這一代則挑起飾演女主角七瀨美雪的大樑，此外、在本代中飾演命案關係人斑目揚羽的成宮寬貴日後在第四代亦飾演金田一的死敵：人稱「地獄傀儡師」的犯罪策畫者高遠遙一。
該劇於2003年3月28日於香港有線電視在播出，於2002年2月2日於TVBS-G在台灣首播。
演唱：嵐（ARASHI）、作詞 / 作曲：Tsukasa、編曲：Chokkaku
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第三代（2005年）
暌違四年后，日本电视台于2005年9月24日周六21:00 - 23:09播出金田一系列特別篇，由於主要登场人物的设定性格大幅变更，觀衆反應欠佳，連續劇版製作計劃被擱置，也是历代金田一系列中唯一一部只有单发剧，没有制作连续剧的版本。
演唱：KAT-TUN、作詞：Takeshi、編曲 / 作曲：
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第四代（2013年 - 2014年）
作爲日本電視台60周年特別節目，金田一系列於2013年以跨國拍攝的特別篇重啓。包括兩部单发电视剧和第四部連續劇《金田一少年の事件簿N（neo）》。連續劇一共九集，首集特別兩小時播放。
在香港進行外景拍攝，日本電視台於2013年1月12日21:00 - 22:54播出。在新加坡由星和都會台零時差同步播出；在韓國由SBS Plus播出；在香港由無綫電視J2晚日本一小時首播；臺灣由緯來日本台晚日本兩小時首播。此外，美國亦由TV Japan於北美東部時區2013年1月12日晚上播放。
演唱：山田涼介
於馬來西亞拍攝，並和馬來西亞最大的媒體Media Prima共同製作，日本電視台於2014年1月4日21:00 - 23:18首播。香港由無綫電視J2晚日本35分鐘播出，臺灣由緯來日本台晚日本一小時播出。值得一提的是，本作在拍攝時不是按照原作設定在日本取景拍攝，而是更改設定在馬來西亞拍攝，原因是因為日本找不到適合的拍攝場景，因此尋求觀光單位協助，選擇和馬來西亞合作。
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第四代（2013年 - 2014年）
演唱：Hey!Say!JUMP
2014年7月播出的日本電視台於週六晚間9點播映之週六連續劇，平均收視率10.5%。
（長篇漫畫第21宗案件）
私立不動高中一直流傳著“天蠍的詛咒”的傳聞，據說電影－《殺人狂天蠍》是一部神出鬼沒殺害其他人的驚嚇動作片，而且跟這部電影有關的人都會死亡，該電影最後被電影研究部的部員秘密封印於電影研究部。
（長篇漫畫第34宗案件）
包括金田一和美雪在內，一行八人乘坐末班巴士離開「東京Fantasia Park」，卻無故捲入一位自稱為「Game Master」的人監督之下，強制參加一場以性命作為賭注的無差別殺人遊戲（逃生遊戲）。
（長篇小說第4宗案件）
鬼火島有個傳說，懷著憎恨而死的人會變成鬼火的姿態出現。不動醫院的一批實習醫生來到不知火島上進行培訓，但卻逐一像謎一樣被殺。
（長篇漫畫第26宗案件）
原著漫畫發生地點在香港，電視劇則改為神奈川縣。
（長篇漫畫第23宗案件）
（漫畫單行本20周年第4宗案件）
演唱：Hey! Say! JUMP
金田一少年之事件簿 (電視劇) 第五代（2022年）
為紀念金田一系列30周年的徹底重啓之作，播出時段避開了系列傳統的七月期「土九」檔，首次重拍部份過去已真人化過的案件及拍攝系列一直較少拍攝的短篇事件，10集完結。已播畢。
2022年4月24日至7月3日於日本電視台「週日連續劇」時段播出的電視劇，由道枝駿佑主演。2022年3月10日，宣布登陸Disney+於全世界播出，于6月1日正式上线。
由於發生日本北海道观光船沉没事件，原定5月1日播出的第2集延期一周播出，當晚重播1996年版金田一日劇首集「悪魔組曲殺人事件」。
《The Answer》
演唱：浪花男子（J Storm）
金田一少年之事件簿 (電視劇) 無電視劇化的故事
是指沒有製作成為電視劇集的故事或案件，目前系列的製作範圍只包括長篇漫畫系列案件、長篇小說系列案件，以及有聲書籍系列案件，但未來也許有可能會拍攝為電視劇，不包括其他短篇、遊戲與外傳等。
副都心線
副都心線（日语：／ Fukutoshin sen */?）是一條連結日本埼玉縣和光市和光市站和東京都澀谷區澀谷站、由東京地下鐵运营的鐵路線。鐵道要覽內的名稱為「13號線副都心線」。和光市－小竹向原段與有樂町線共用軌道、車站、設施，而小竹向原－池袋則與同線並行於複複線路段。
路線名來自路線縱斷池袋、新宿、澀谷三大副都心的特色。車體、路線圖與轉乘資訊使用的路線顏色為棕色，路線記號為F。
包括本路線的5間鐵路公司（東武、西武、東京地下鐵、東急、橫濱高速鐵道）互相直通運行，形成埼玉縣西部的滑川町、川越市、飯能市、所澤市各方向起至神奈川縣橫濱市的廣域鐵路網。
副都心線 簡介
1985年，「運輸政策審議會」所提出的第7號報告，確立了副都心線路線原型「13號線」的規劃，尋求紓解JR山手線、埼京線「池袋站～澀谷站」段的運輸壓力。其中「志木站～和光市站」段以東武東上本線新建複線軌道方式處理；「和光市站～小竹向原站」段隨著「營團成增站（現在的地下鐵成增站）～池袋站」與「和光市站～營團成增站」路段先後通車，併入有樂町線的營運路線內；「小竹向原站～池袋站」段則有分屬有樂町線與副都心線的複線軌道，在副都心線通車前，此部份被納入「有樂町新線」營運區間；「池袋站～澀谷站」段則為新建區間，於2008年6月14日通車。此外，副都心線也是現階段東京地下鐵公司所興建的最後一條新路線。
副都心線 簡介
「小竹向原站～池袋站」段複線軌道中屬於副都心線的部分，自1994年起設置具有過渡性質的「有樂町新線」區間（或稱為「有樂町線複線部分」；亦可簡稱為「新線」）；代表色與副都心線同為棕色。列車於有樂町新線區間僅停靠小竹向原站與「新線池袋」站（由於副都心線池袋站與有樂町線池袋站位置不同，因此加註「新線」兩字作為區別），千川站與要町站皆為過站不停（副都心線「池袋站～澀谷站」段通車後，列車將開始停靠）；於「和光市站～小竹向原站」段則與有樂町線共用軌道與車站（「池袋站～澀谷站」段通車後亦同）。
副都心線設有急行列車服務；副都心線東新宿站設置避車線。副都心線急行列車行駛於與山手線、埼京線、湘南新宿線並行的區間（池袋站～澀谷站路段）的所需時間大致與埼京線、湘南新宿線列車相同（約11分鐘）；普通列車大致與山手線列車相同（約16分鐘）。
副都心線 歷史
包括一部分作為有樂町線興建的路段。
2007年（平成19年）
1月24日：13號線的路線名稱公布為「副都心線」，同時公布第二階段路線（池袋站－澀谷站間）的正式站名。池袋站起依次為雜司谷、西早稻田、東新宿（新宿七丁目）、新宿三丁目、北參道（新千駄谷）、明治神宮前、澀谷（括號內是建設中的臨時名稱）。
12月5日：東新宿站構內舉行軌道締結式、東新宿變電所舉行通電儀式。
12月7日：池袋－澀谷間首次有列車試運轉。
副都心線 歷史
2008年（平成20年）
3月27日：發表6月14日以後的有樂町線、副都心線時刻表概要。副都心線急行與通勤急行、有樂町線在該線內首次進行通過運行的準急開始運行。
4月16日：副都心線進行官方試運轉。
5月14日：平日早上繁忙時間帶的往澀谷將在6月16日引入女性專用車。
6月13日：通車前夕在新宿三丁目站內舉行通車典禮。
6月14日：副都心線池袋站－澀谷間通車。同時有樂町新線編入副都心線，新線池袋站改名為池袋站，開始與東武東上線、西武有樂町線-池袋線直通運轉。比起當初預定晚了3個月通車。
6月16日：通車後首次以平日時刻表運行，由於小竹向原站是複雜的直通運轉地點，造成本路線與有樂町線全天時刻表混亂，而直通的東武東上線與西武線一部分列車也發生延誤。
11月29日：與有樂町線一起改點。
2011年（平成23年）
2月23日：地下鐵成增－冰川台、小竹向原B線引入發車提示音。
3月14日：該月11日發生東北地方太平洋沖地震，導致發電所停止，電力供給短缺，東京電力需要實行輪流停電（計劃停電），停止與東武東上線、西武有樂町線、西武池袋線直通運轉，急行、通勤急行、和光市－池袋間也暫停運行。早尖峰於4/1恢復正常，假日時段與平日時段則分別在6/11與9/12恢復正常。
10月4日：8時54分許，小竹向原站混凝土崩落，信號切斷。
12月7日：2時10分許，有樂町線豐洲站發生夜間作業事故，出現死傷者。
副都心線 運行形態
副都心線的急行與通勤急行全部列車為10節編組，各站停車大部分為8節編組。10節編組與8節編組列車的停止位置不同，因此車站時刻表、顯示屏、接近廣播都會導覽列車的編組節數。另外由於可經澀谷站直通東急東橫線，再直通相鐵線（經東急新横濱線、相鉄新横濱線至相鐵本線、泉野線）、經小竹向原站直通西武線（途經西武有樂町線直通池袋線）、經和光市站直通東武東上線內，多數列車都有改變類別的設定，故此也會導覽直通路線內的類別。
副都心線的終點澀谷站，所有列車直通至東急東橫線。當中大半列車還會經東橫線的終點站橫濱站進一步直通至橫濱高速鐵道港未來線元町·中華街站；或者從日吉站經東急新橫濱線、相鐵新橫濱線、相鐵本線、泉野線直通至湘南台站（平日早晨直通至西谷站、大和站；平日與假日的清晨及夜間，因車輛出入庫的關係，則直通至海老名站）。不過東橫線、港未來線全日都有不少不直通至副都心線（澀谷站折返）的列車。
日間以30分鐘的循環頻率運行。其間急行每15分鐘2班，各站停車間隔不定5班，當中1班在池袋站折返東橫線方向。
日間的運轉模式與班次如下表。作為參考，在和光市—小竹向原與之共線的有樂町線列車也一並記載。
副都心線 運行形態
2008年6月14日開業當初就已經途經和光市站直通至東武東上線森林公園站，2019年3月16日時刻表改正後直通運行至小川町站。急行、通勤急行、各站停車在東武線內都作為各站停車的「普通」運行，直至2016年3月26日以後日間時副都心線急行「急行」運行時，週末假日一部分列車作為「快速急行」運行。
2016年3月26日時刻表改正前基本上都是川越市站到發列車，森林公園站到發列車只限進出鄰接車站構內的森林公園檢修區與早上晚間的東武車。2013年3月16日時刻表改正以後，日間以川越市站到發的急行（東武線內普通）每30分鐘1班運行，2016年3月26日時刻表改正以後，改為在森林公園站到發（東武線內急行）。10節編組運行。2019年3月16日時刻表改正起，只限週末假日時間表的早上一部分列車在小川町站到發。
只有在平日時刻表才有早上與黃昏以後一部分列車以志木站到發。這些列車都是8節編組。
相模鐵道的20000系列車截至2023年3月尚未駛進東武線，僅運行至副都心線的和光市為止。
副都心線 運行形態
2008年6月14日開業當初已途經小竹向原站和西武有樂町線直通至西武池袋線飯能站。西武線直通的速達列車有「急行」與「通勤急行」兩種。列車在小竹向原站更改類別，西武線內可改為快速急行、快速、準急、各站停車。
2013年3月16日時刻表改正以後，日間時段的急行在西武線內快速升級為「快速急行」。此時段急行（西武線內快速急行）與各站停車（西武線內各站停車）每30分鐘運行2班，1小時有1班小手指站、飯能站到發的急行，1班在保谷站、石神井公園站到發的各站停車。2013年改正前飯能站到發的急行（西武線內快速）與石神井公園站到發的各站停車各以30分鐘間隔運行。
西武線內各站停車列車全日運行，日間如前述設定在保谷站、石神井公園站到發。早上、黃昏有以清瀨站、小手指站到發的列車，週末假日往飯能有1班，所澤站到發有1班來回。所澤到發列車為8節，除此以外的列車不論節數運行。
西武線內準急列車在所澤站、小手指站、飯能站到發。
西武線內快速列車在飯能站到發與平日往所澤。
西武線內快速急行列車在所澤站、小手指站、飯能站到發。
副都心線 運行形態
2016年6月16日公佈收費指定席直通列車將於2017年春引入。2017年1月10日公佈了運行開始預定日、時刻表和收費等細節。列車名為「S-TRAIN」，並於同年3月25日起開始運行。
2013年3月16日時刻表改正起，新的另一端終點站澀谷站可直通至東急東橫線，東橫線的終點橫濱站可直通至橫濱高速鐵道港未來線，開始直通運行至元町·中華街站。
副都心線的澀谷側，除澀谷開往和光市2班列車外（早上首班車有1班，平日黃昏與週末假日夜間各1班）全數列車直通運行至東急東橫線。日間時段，副都心線急行在東急東橫線內作為特急，副都心線各站停車當中1小時有4班在東急東橫線內作為急行運行。另一方面，東急東橫線開抵的列車1小時6班當中，2班往池袋，餘下4班在澀谷站到發（不直通副都心線），直通至小竹向原方向的列車有三分之二。
東急線內作為特急、通勤特急的列車在橫濱站與元町·中華街站到發，都使用各公司的10節編組列車，週末假日只限1班特急往橫濱（到達橫濱站2號月台，可轉乘1號月台停車中的各站停車往元町·中華街）。
副都心線 運行形態
東急線內作為急行運行的列車大半都在「元町·中華街站」到發，不過也有在武藏小杉站、菊名站、橫濱站到發的列車。
東急線內作為各站停車運行的列車以「元町·中華街站」到發為中心，一部分列車以武藏小杉站、元住吉站、菊名站到發與往橫濱。
此互相直通運行開始時東橫線澀谷站－代官山站間進行地下化，副都心線澀谷站開業當初就與東京急行電鐵（當時。以下「東急電鐵」）的100%子公司東急鐵路服務與東急田園都市線（半藏門線）車站將車站管理業務一體化。車站構內的旅客資訊屏與發車標等為東急樣式，接近廣播與發車音樂則由東京地下鐵提供。現在作為副都心線出發的列車使用東京地下鐵樣式的發車音樂與喚起注意廣播。
與副都心線的互相直通運行開始以前東橫線與港未來線全部列車皆為8節編組，往副都心線的直通作為契機將除速達列車（特急、通勤特急、急行）的一部分列車外增強為10節編組，東橫線與港未來線的速達列車停靠站進行月台延伸工程，以停靠10節編組列車。但是各站停車一直都以8節編組運行。此為副都心線開業當初起各站停車就採用8節編組的原因。
副都心線 運行形態
在大田區的宣傳手冊中有記載，作為機場聯絡軌道系統而被考慮的蒲蒲線（新機場線）可經東橫線、東急多摩川線直通運行至副都心線及京急蒲田站方向。
隨著東急新橫濱線與相鐵新橫濱線在2023年3月18日全線通車，副都心線開始與相鐵線直通運行。平日早尖峰時段前往都心方向，以及晚尖峰時段前往相鐵線方向的列車，每小時最多運行4班；尖峰時段的反方向列車每小時運行3班；平日白天及週末假日則每小時運行約2班。大部分列車以泉野線湘南台站到發，除了在副都心線內以新宿三丁目站、池袋站及和光市站折返外，還有部分列車延伸至東武東上線。清晨前往都心方向以及夜間前往相鐵方向的列車則以相鐵本線海老名站到發。
直通相鐵線的列車在東急線區間內全部以急行運行，採用10節編組。運行的車輛僅限於東急電鐵或相模鐵道的列車。與西武線直通的列車尚未開行。
副都心線有以下類別列車運行。副都心線內現行的停靠站參見「車站列表」。包括S-TRAIN在該線內有速達運行的優等類別，是日本地下鐵首次有3種類列車運行。
副都心線 運行形態
2017年3月25日起週末假日開始運行指定席列車。在港未來線元町·中華街站－西武秩父線西武秩父站之間運行。乘車必須購買指定席券，中途只停靠澀谷站、新宿三丁目站、池袋站（另有只供乘務員交替的小竹向原站作運行停車），而且不發行只在副都心線內的指定席券。池袋站起不能乘車。地下鐵線內運行指定座列車是千代田線運行｢特急浪漫特快｣以来第2例。
東京地下鐵路線繼東西線的快速後第2例在地下鐵線內開行不加費速達列車，和光市站－澀谷站間全線運行急行，全數列車以10節編組運行。
副都心線 運行形態
定期時刻表當中大部分急行都在東新宿站追過各站停車。因此，南行在新宿三丁目站之後可轉乘各站停車（東橫線、港未來線內急行），北行在池袋站後同樣可轉乘各站停車。與有樂町線的轉乘站小竹向原站，可轉乘東武東上線方向到發的急行與和光市到發的各站停車（直通有樂町線）、之後直西武線方向到發的各站停車（直通有樂町線）、西武線方向到發的急行（西武線內定期列車除急行以外的類別）與東武東上線方向的各站停車（直通有樂町線）。澀谷站可轉乘東急東橫線的各站停車（澀谷站終到的東橫線各站停車多數都停靠不同的到站月台，不能轉乘副都心線急行的情況較多）。日間時段澀谷站起的東橫線內作為「特急」，西武線直通列車在小竹向原起作為「快速急行」，在東武東上線直通列車作為「急行」運行。這個組合改變的列車類別獲命名為「F-liner」。至2016年3月25日前，東武東上線直通列車的東武線內類別為「普通」。
乘搭速達列車的急行、通勤急行在池袋站－澀谷站的乘車時間與埼京線、湘南新宿線相同，均為11分鐘。早上與晚間除和光市到發以外列車都直通運行至東武東上線或西武池袋線，所有列車都直通至東急東橫線、港未來線。
副都心線 運行形態
雖然停靠站並無分別，不過F Liner與平日運行時的急行為紅色，週末假日運行時的急行為朱紅色。
東武東上線直通列車主要在森林公園站到發，一部分也在川越市站、小川町站到發。川越市站到發列車在和光市站類別改為「普通」，森林公園站到發列車改為「普通」、「急行」，小川町到發列車改為「急行」、「快速急行」（快速急行只限週末假日）。日間北行、南行均可在小竹向原站轉乘和光市站－有樂町線新木場站間的各站停車。除此以外該站北行可轉乘有樂町線開抵往西武池袋線小手指的列車，南行可轉乘池袋線石神井公園開往有樂町線新木場的列車。
西武池袋線直通主要在小手指站、飯能站到發，一部分列車也運行至保谷站、清瀨站、石神井公園站。小竹向原站類別會改為「各停」「準急」「快速」「快速急行」（快速急行為2013年3月起）。日間北行、南行都可在小竹向原站轉乘東武東上線川越市站－有樂町線新木場站間的各站停車。
東急東橫線、港未來線直通列車除週末假日2班菊名開出的列車外所有列車在元町·中華街站到發，澀谷站改別類別為特急、通勤特急、急行。
副都心線 運行形態
另外，副都心線內到發也有設定在和光市站到發。當中週末假日只限往和光市1班兼作車輛交會澀谷開（元住吉檢車區回送），可轉乘東急東橫線開至澀谷的急行列車。
當初與都營地下鐵新宿線的急行相同，不設2站以上連續停車，但在2010年3月6日時刻表改正起，週末假日時刻表急行也在明治神宮前〈原宿〉站停車。此起，雖然停車日有限，但可轉乘東京地下鐵其他路線。2016年3月28日起平日時刻表，急行也在明治神宮前站停車，2016年3月26日時刻表改正起，東武東上線內急行或西武線內快速急行、副都心線內急行、東急東橫線、港未來線內的特急組成的列車命名為「F Liner」。
在平日早上繁忙時段運行。和光市站－小竹向原站間為各站停車，小竹向原站－澀谷站間通過運行。車輛與車站的類別顯示為「通勤急行」或「通急」，北行的小竹向原站－和光市站間所有列車至和光市為止各站停車，該路段則作各站停車導覽。早上有數班東武線內急行運行的列車，此時會作宣佈。所有列車以10節編組運行。與急行同樣在東新宿站進入通過線，超過各站停車。
基本上以橙色、黃色顯示。
副都心線 運行形態
西武線直通的通勤急行，直至2016年3月26日實施的時刻表改正以前，與小竹向原站－澀谷站間的急行並無停靠站分別，該時段的運行直通東武東上線為速達列車，和光市站到發為通勤急行，西武線直通為急行，同年3月28日以後平日的急行也在明治神宮前站停車，小竹向原站－澀谷站間急行停靠站，而且因為通過明治神宮前站與通勤急行停靠站出現差異，西武線直通列車也新設通勤急行。因此通勤急行的設定上比急行等級低，比西武線直通列車的急行等級高。
以東武東上線內的普通類別為中心，也有一部分急行。川越市站（只限普通）、森林公園站到發。
西武有樂町線、池袋線內的類別以準急為中心，一部也以快速急行、快速、各站停車為中心。也存在以清瀨站（只限各站停車）、保谷站、所澤站、小手指站、飯能站到發。
東急東橫線、港未來線直通大多數列車都以元町·中華街站到發，澀谷站會改變類別為特急、通勤特急、急行，急行的一部分列車在武藏小杉站、菊名站、橫濱站開。
副都心線 運行形態
車站、車輛的類別顯示也導覽作「各站停車」。池袋站－澀谷站間的所需時間與山手線相同的16分鐘。基本上東京地下鐵車輛、東急電鐵車輛、橫濱高速鐵道車輛都作8節編組運行，不直通東急東橫線的列車都在澀谷站改變類別，皆以各公司的10節編組運行（東橫線、港未來線內的急行通過站有效長度為8節，東橫線內各站停車的列車必然為8節）。車輛編組視乎時刻表決定，車站時刻表的數字四角圍起來的列車為8節編組（但是檢査車輛不足與時刻表混亂時也會有以8節編組運用代替10節編組）。開業時起所有列車都在東新宿站進入待避線，通過線側的牆壁拆去後，2015年5月30日起待避急行、通勤急行通過的列車在東新宿站則進入本線。東急東橫線內作急行的列車在東新宿站待避急行、通勤急行。東橫線內各站停車列車在日間以外待避通過列車，大半都在副都心線內澀谷站（多數都前往東橫線自由丘）、小竹向原站。
日間以北行澀谷站、新宿三丁目站為基準，南行以小竹向原站、池袋站基準，東武東上線森林公園站到發F Liner正前行走的東橫線內急行的和光市站到發列車，可轉乘小竹向原站，西武池袋線小手指站、保谷站－有樂町線新木場站間的各站停車。
副都心線 運行形態
2017年3月25日的時刻表改正，東橫線、港未來線內急行只限在東新宿站待避座席定員制列車S-TRAIN。此時不另收費列車先到澀谷站、小竹向原站。
基本上和光市站、池袋站到發與東急東橫線、港未來線直通，以港未來線、東急東橫線－副都心線－西武池袋線直通，以早晚為中心，新宿三丁目站到發直通東急東橫線、港未來線直通，和光市起直通東武東上線。因此，小竹向原開往元町·中華街在早上有1班，只限副都心線內運行澀谷開往和光市的列車2班，千川開往武藏小杉平日1班，往元町·中華街於平日為去裡。
2017年3月25日改正，日間的東橫線菊名站到發的各站停車統一在池袋站到發。此列車因為除元住吉站待避F Liner特急以外不需待避速達列車，池袋站－大倉山站間不論南行北行都是先抵列車。
東武東上線直通以志木站（只限平日）為中心，一部分列車在川越市站、森林公園站到發。對於和光市站，東武線內作為急行運行，平日除1班來回外全部列車類別都由「各停」改為「普通」。8節編組全部以志木站到發。
西武池袋線直通以保谷站、石神井公園站（一部分列車為清瀨站、所澤站、小手指站、飯能站）到發運行。日間設有保谷站、石神井公園站到發。基本上以8節編組運行，一部分也以10節編組運行。小竹向原站存在數班快速急行、快速、準急更改類別的列車，存在夾着副都心線，在池袋線、西武有樂町線內為準急，東橫線、港未來線內為急行等兩端皆為優等列車。東橫線內急行需在東新宿站待避通過。
東急東橫線直通在日間菊名站與元町·中華街站到發運行以早晩為中心，存在武藏小杉站、元住吉站到發與在橫濱停運的列車。一部分列車在澀谷站改變類別為急行、特急、通勤特急。受月台有效長度影響，東橫線內各站停車列車均為8節編組，不使用東武車和西武車。平日深夜運行新宿三丁目站開的各站停車（東橫線內急行）往橫濱站終到的列車可在橫濱站先行轉乘往各站停車往元町·中華街，副都心線新宿三丁目站、北參道站、明治神宮前（原宿）站，是橫濱站以南的最終列車。此列車終點橫濱站折返成為急行往武藏小杉站，使用橫濱站上行列車的2號月台到站。另一方面此列車在澀谷站先行各站停車（東橫線內各站停車）可與和光市站開往元町、中華街站列車轉乘，澀谷站以南以此各站停車成為橫濱站以南的末班車。
類別色基本上以藍色與黑白顯示，車站與車輛顯示不同。
西武巨蛋舉辦職業棒球比賽等活動時，往小手指的急行（西武線內快速急行）將改為往西武球場前的急行（西武線內快速）。此時，作為代替，運行雲雀之丘開的快速急行往小手指，不帶「F Liner」名稱。
副都心線 使用車輛
全部車輛都屬於和光檢車區。
10000系（有樂町線、副都心線車輛）
為了池袋－澀谷間開業而製造的東京地下鐵成立後首種新系列車輛。2006年（平成18年）9月1日起開始在有樂町線營業運行，至翌年2007年度為止已有10節編組20班（200節），在開前配備10節編組2班（20節）。最終在2010年（平成22年）1月建成10節編組36班（360節），完成增建。副都心線車門位置與有樂町線共通。
副都心線的色帶顏色為茶色。但是至1次車的第04編組為止與有樂町線共通，在茶色色帶之下還有細條金色色帶。
至1次車的第05編組為止中間車2節可抽起作8節編組運行，7000系的8節編組不足時可作8節化運行。
17000系（有樂町線、副都心線車輛）
2021年2月21日開始引入，全數替換已有的7000系。
7000系（為用於有樂町線而製造的車輛）
副都心線 使用車輛
作為有樂町線用車輛而製造，其中改造編組也用於本路線。東急東橫線、橫濱高速鐵道港未來線只限各停停車的車站月台基本上不延長至10節編組，為了用於兩線互相直通運行的各站停車用車輛，第03、09、13、15、16、20、27－34編組均為8節編組，而帶色都改為與10000系相同，並實施副都心線專用車用的改造。
一部分編組為10節編組並進行副都心線相關工程，帶色也與10000系同樣更改。最終形成與有樂町線兼用的10節編組有6班（60節），副都心線專用的8節編組有15班（120節）的體系，餘下的7000系廢車。
此線直通的東急東橫線可在轉乘日比谷線的中目黑站看到與日比谷線用車輛並行的情況，而東橫線與東急目黑線並行的田園調布站－日吉站間可看見與三田線和南北線車輛並行。
有樂町線用07系全為6編組（07-101F－106F）時，預定也用於同系列，西早稻田站工地也描繪了該系列的插圖，北參道站建設預定地附近的看板也使用該系列的照片。之後，與有樂町線的共用站小竹向原站設置月台閘門，門距不同的07系無法停靠有樂町線、副都心線，最終所有編組都轉往東西線。
副都心線 使用車輛
列出小竹向原站－澀谷站間使用的車輛。
所有車輛分別屬於小手指車輛基地和武蔵丘車輛基地。
40000系
0番台（雙座位車）作為「S-TRAIN」直通運行。除代走時外，原則上不在副都心線、東急東橫線內、橫濱高速鐵道港未來線內作一般列車營業運行。50番台（長座位車）作為一般列車與6000系共通使用。
6000系
除6101、6102編組以外全部編組都直通運行。
所有車輛都屬於森林公園檢修所。
50000系50070型
現在有10節編組7班在籍，與9000系、9050系共通使用。
9000系、9050系
第1編組（9101F）以外使用10節編組9班90節（9102F－9108F、9151F、9152F）。在副都心線開業前除9101F以外都已完成編組直通對應工程。以電機子斬波控制的9000系是用於東京地下鐵、東急東橫線與橫濱高速鐵道港未來線車輛當中唯一不使用VVVF控制的車輛。
所有車輛都屬於元住吉檢車區。
5000系、5050系（包括4000番台）
Y500系
副都心線 使用車輛
2013年3月16日起東急東橫線、橫濱高速鐵道港未來線開始直通運行時開始直通。全部編組都可以直通。東急電鐵車輛與橫濱高速鐵道車輛可通用。直通運行前的2012年9月起，東急5050系4104F、4105F、5155F各編組已進行副都心線、有樂町線、東武東上線、西武池袋線各線先行營業運行。
相模鉄道
所有車輛都屬於柏台車輛中心。
20000系
副都心線 使用車輛
可根據列車編號分辨是哪一間公司的車輛運行。2020年3月14日改正時刻表後，東京地下鐵車輛的車次編號末尾字母為「S」（8節編組為01S－19S／10節編組為21S－97S的奇数編號）、「M」為西武鐵道車輛（02M－38M的偶數編號）、「T」為東武鐵道車輛（01T－23T的奇數編號）、「K」為東急電鐵車輛（8節編組橫濱高速鐵道車輛與共通的01K－35K／10節編組為51K－60K／時刻表混亂時為41K－46K）。車次編號為6位數字顯示，東橫線、港未來線以前3位車次編號顯示，700番台為東京地下鐵車輛，100番台為西武鐵道車輛，000番台為東急電鐵、橫濱高速鐵道車輛，800番台為東武鐵道車輛（例外是「01S」為東橫線、港未來線的「701」）。車次編號可在『MY LINE 東京時刻表』（交通新聞社）等確認。
10節編組與有樂町線共通，西武車也只直通至和光市站。多數使用地下鐵車輛，一部分使用東急車、西武車與東武車。8節編組大半用於平日和週末假日，地下鐵車輛用於澀谷始發的東急東橫線、港未來線直通列車。2016年3月26日時刻表改正，東武東上線內急行運行開始起，日間直通路段延長至森林公園站，平日日間恢復使用東武車。
2013年3月16日改正時刻表，東京地下鐵車輛為10節編組2班與8節編組3班在東急元住吉檢車區夜間停泊，10節編組各1班為西武的武藏丘車輛基地停泊與東武的森林公園檢修區夜間停泊。東京地下鐵車輛基地和光檢車區有2班東武，2班東急、橫濱高速車輛的8節編組與10節編組，1班西武車輛，新木場車輛基地在夜間停泊1班西武車。
卡茨-穆迪代数
卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。
卡茨-穆迪代数 定義
假定以下材料：
卡茨-穆迪代数
由符號  ,  (i=1,..,n) 及空間 生成：
以上各元滿足以下關係：
(其中 .)
一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.
卡茨-穆迪代数 釋義
其中 ω 是 的一元，
則稱g 為 權(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 的冪为零，ei的冪为α*i，而fi的冪为−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若  ) 則   一條件即指 α*i 都是簡單根。
卡茨-穆迪代数 分類
我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣,  S 是 對稱矩陣。
然則有三種可能:
S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.
可靠性定理
可靠性定理是数理逻辑的最基本结果。它们有关于某个形式逻辑语言与这个语言的形式演绎系统的特定语义理论。可靠性定理有两种主要变体：弱可靠性的和强可靠性的。“强”与“弱”的意义在于，强可靠性考虑句子的任意集合，而与弱可靠性有关的句子的空集是这种集合之一。大多数的演绎系统，强可靠性和弱可靠性都成立，但並非全部的演繹系統都如此。
可靠性定理 弱可靠性定理
演绎系统的弱可靠性定理声称，在这个演绎系统中任何可证明的句子，在所有释义或这个理论所基于的语言的语义理论的模型上为真。用符号表示，这里的S是演绎系统，而L是语言和一起的它的语义理论，而P是L的句子：若，则。
可靠性定理 强可靠性定理
演绎系统的强可靠性定理声称，演绎系统所基于的语言的任何句子P，可以从这个语言的一个句子集合Γ推导出来，则它也是这个集合Γ的语义推论，在使Γ的所有成员为真的任何模型也使P为真的意义上。用符号表示，这里的Γ是L句子的一个集合：若,则。
可靠性定理 与完备性定理的联系
可靠性定理的逆命题是语义完备性定理。在强形式下，它声称对于一个演绎系统和语义理论，是一个句子集合的语义推论的任何句子可以在这个演绎系统中从这个集合推导出来。（在一阶完备性定理的情况下常叫做哥德尔完备性定理。）用符号表示：若，则。
非形式的，演绎系统的可靠性定理告诉我们用这个演绎系统可以推导或证明的任何东西都是你希望能够推导或证明的东西。因此，没有你不想推导出的东西可以被推导出来。所以，推导关于语义可以被信任。完备性告诉我们你希望能被推导或证明的所有东西都可以被推导出来。
哥德尔第一不完备定理保证对于有充分表达力的语言，可能没有演绎系统关于经典语义是完备的，在其中所有句子是要么为真要么为假。因此，不是所有可靠的演绎系统都是完备的。
而可靠性一般被认为是对有价值的演绎系统根本上的最小要求。这是因为如果演绎系统是不可靠的，在这个系统中可以被推导或证明的一个句子不告诉我们关于这个句子的语义性质的任何事情。
新北市私立福瑞斯特高級中學
新北市福瑞斯特高級中學（Forestry High School），是台灣新北市土城區的一所私立學校，由中華中學停招後，轉由全新經營團隊辦學，學校現有小學部/國中部，學生人數約200人。
十時連貞
十時連貞（1556年（弘治3年）—1644年（宽永21年）），日本戰國時代、安土桃山時代、江戶時代初期的武將，通稱攝津守、孫右衛門，晚年號「雪齋」。為十時惟次次子、立花家老，是「立花四天王」之一。
十時連貞 生平
十時氏起源於九州豐後中的國人眾大神姓氏一族的一個分支，代代居住於入倉庄而稱「入倉」，在大友氏來到豐後成為守護大名之際，臣屬於大友家。之後，十時連貞的曾祖父入倉長門守惟信移住同國大野郡，十時庄成為十時城主，於是自此改稱「十時」，並依附大友家一族的重臣戶次氏、擔任其家老，也獲賜姓「戶次」。
大永6年（1526年）3月20日，十時連貞的祖父十時惟信與其孫十時惟種跟隨初次上陣的少主戶次鑑連（即立花道雪）參加豐前的「馬岳城攻略戰」；戶次鑑連在一天內攻下此城，而十時惟信與惟種陣亡。
十時連貞的父親十時惟次跟隨主君戶次鑑連為大友家南征北討，並於天文11年（1542年）平定由筑前鷹取山城城主毛利鎮實發動的叛亂；戶次鑑連等人率5百弓箭隊攀上福智山，向鷹取山城射下箭雨，最終迫使毛利鎮実投降而立下戰功，因而受領筑前那珂郡田數三十町領地。永祿12年（1569年），十時惟次和長子惟則跟隨立花道雪參與該年5月18日的戰役，於長尾一地突擊毛利軍，並於混戰中戰死；連貞一時喪失父兄，因而繼承攝津守之名及家族領地，他在元服時從主君戶次鑑連拜領“連”字，而取名「連貞」。
十時連貞 生平
元龜2年（1571年），戶次鑑連奉其主君大友宗麟之命，轉封位於筑前的立花山城並形式上繼承立花氏，戶次氏的家臣們此時以宗家嫡流留在豐後的鎧岳城繼續侍奉戶次本家，而十時連貞等庶流、支流、分流出身的家臣則跟隨戶次鑑連前往立花山城。
天正6年（1578年），大友家和島津家之間爆發「耳川之戰」，大友家於此役戰敗後其實力和威信漸失，使得原先臣服於大友家的筑前國人眾如秋月氏、宗像氏、原田氏、草野氏等陸續揭起叛旗，立花道雪和高橋紹運身為大友家鎮守筑前的重臣，負責平定叛亂，此時道雪配下的由布惟信、十時連貞、安東家忠、高野大膳等四名家臣因戰功彪炳，而被合稱為「立花四天王」。
十時連貞 生平
同年12月11日至13日，龍造寺隆信聯合筑紫廣門、秋月種實的兵力攻入筑前，進而威脅寶滿、立花城，立花軍的十時連貞、野上連貞、小野鎮幸、井手口盛高、井守口盛澄（盛高子）在宇美一地巡邏時，遭遇倒戈至秋月家的矢野・神武村鄉人伏擊，十時連貞、野上及井手口父子等人進行反擊後，鄉人退入障子嶽、極樂寺等地固守不出，於是立花道雪聯合高橋紹運出兵，以十時連貞督前軍進行討伐，直攻敵陣。由於遭遇敵軍的鐵砲狙擊，森下鎮安中彈身亡，十時連貞亦負重傷，靠十時惟元攙扶撤退，而井手口盛澄、城戶清種及其與力東鄉新五郎以及小野鎮幸被官新五郎等將以2百餘人兵力戰鬥並斬殺渠帥14人、俘獲其妻小，立花軍遂平定反亂。
十時連貞 生平
天正7年（1579年）4月27日，駐守鷹取山城的毛利鎮実遭受秋月軍・齋藤隊聯合宗像軍攻擊，為了救援，立花道雪派出家臣後藤連種、十時連貞於第一次「吉川之戰」成功擊退宗像家和秋月家的聯軍。同年7月12日至18日間，道雪為牽制原田軍，出兵攻往安樂平城，集結小田部及大津留的8百餘軍力，從海、陸二方面進軍至早良郡鳥飼、生松原，與原田親秀爆發第二次「生松原之戰」。薦野增時、小野鎮幸、十時連貞、東鄉三九郎、安東連善、足達連安、後藤種長、後藤連種、米多比彈介、米多比鎮久、由布惟時等立花家臣投入戰鬥，小田部鎮元、大津留鎮忠進行橫擊，擊敗原田親秀；之後原田隆種分兵擊退大津留和小田部的部隊，最終雙方各自撤退。
十時連貞 生平
9月11日，小田部鎮元聯合鎮守鷲嶽城的大津留鎮忠之弟大鶴宗逸對池田城發動夜襲，背叛小田部的大教坊一族85人全員戰死；同日，龍造寺軍攻向池田城，小田部鎮元與大鶴宗逸出城、渡江迎戰。另一方面，大津留鎮忠早前聯絡立花道雪，獲其派出十時連貞、小野鎮幸率6百人兵力輸送兵糧物資支援，仍趕不及龍造寺軍的攻勢，小田部鎮元展開籠城戰約三個月，最終與其長子九郎鎮虎、大鶴宗逸皆陣亡，而小田部氏以其次子統房為首之殘軍持續抵抗，大津留鎮正則做為孫子統房之「後見人」，在安樂平城繼續指揮籠城防衛。
十時連貞 生平
天正8年（1580年）2月，龍造寺隆信聯合秋月、筑紫、原田、草野等共2萬軍力，進逼筑前西南邊境的生松原；2日2日，立花道雪率十時連貞於早良郡討伐支持龍造寺家的鄉士（傳聞此戰也是立花宗茂的初陣）。同年10月中旬，立花與高橋聯軍在八木山石板道埋伏3千人兵力，以2千7百人在位於石坂道出口的大日寺佈陣，並以十時連貞等足輕2、3百人出擊嘉麻・穗波發動火攻，秋月家的方井田親氏從古處山率1千兵力至穗波，十時連貞偽退以引誘親氏追戰7里（30公里）至大日寺；此時親氏軍勢疲勞，立花和高橋布置的伏兵出擊，使親氏軍潰敗，十時連貞與親氏單挑並將其討殺（此役即第二次「嘉麻・穗波・八木山之戰」，秋月方則記為「石垣山之戰」）。
天正11年（1583年）4月16日，筑紫廣門軍出志免町吉原口，道雪令鎮幸為大將率2千餘騎，起初以薦野增時的與力被官出戰迎擊，十時連貞、佐野統幸合兵進擊但遭筑紫軍優勢兵力包圍、於是鎮幸高喊突進解圍，十時惟道、池邊永晟、森下釣雲奮戰驅敵，筑紫軍不敵敗退，兩軍各有死傷。
十時連貞 生平
天正13年（1585年）4月23日，龍造寺家晴、筑紫廣門又率1萬6千餘後備兵力進攻高良山，於高良川沿堤防分五段軍勢。立花道雪與高橋紹運察知龍造寺軍的行動，與良寬、蒲池氏合併8千兵力佈陣於祇園原，並將兵力二分，於各處配置伏兵；道雪此次親自為先陣大將，並指派由布惟信、十時惟由、十時連貞為先鋒，安東連忠、內田鎮家、竹迫連種、綿貫吉兼為後陣，高良山法師武者良寬等則隔軍配置做為後備。道雪布置約120至200挺鐵砲，若敵軍接近則發射20至30發加以威嚇，而龍造寺軍約7、800挺鐵砲因此連發；由於龍造寺軍於山間擊出多發鐵砲，造成煙霧瀰漫、視界不良並受回音干擾，道雪的鐵砲隊則因控制得宜未受砲擊的硝煙影響，此時龍造寺軍發動突擊，擔任先鋒部隊的惟信、惟由、連貞趁此狀況進行突擊並偽退誘敵，一度將其敵軍先鋒擊退，中計的龍造寺軍交替後陣持續追擊，道雪亦加入後陣安東連忠等兵力，兩軍進入激戰。此時，立花道雪立起馬印、吹起法螺貝鼓舞軍勢，並下令兵分二隊，以由布惟信、十時惟由、十時連貞、內田鎮家、竹迫連種等將從敵軍側面突擊，同時十時連秀、綿貫吉兼、後藤種任、野上清四郎等將領揮槍討取龍造寺方的武士，同時以「鳥雲之陣」潛伏已久的朽網鑑康亦對龍造寺軍發動襲擊，龍造寺軍潰散直至中軍，龍造寺家晴、筑紫廣門無法控制敗勢，立花道雪追擊約2町距離後引退，而在龍造寺軍重整軍勢反擊時，紹運和良寬之伏軍又從森林兩旁出現，並以弓箭和鐵砲攻擊，打擊龍造寺軍，使其受三方圍攻，最終大敗（此即「祇園原之戰」）。
十時連貞 生平
連貞的主君立花道雪有一名獨生女立花誾千代，道雪先後令城戶知正、連貞擔任誾千代的傅役、守役警護其出入安全。
立花道雪經過主家大友宗麟、大友義統的同意，讓誾千代正式繼承立花家為城主，而由於道雪終究需要男子繼承家族以統領立花家，因此他於天正9年（1581年）迎來大友家重臣高橋紹運之子高橋統虎（即立花宗茂）作為養子，並迎娶女兒立花誾千代為妻，以繼承立花家。
十時連貞此時受命擔任立花宗茂的傅役，宗茂有任何事皆與連貞商量，他也負責與其他大友家臣之間的通訊聯繫。天正13年（1585年）9月，立花道雪逝世，十時連貞向處在筑後軍陣中的家臣傳達宗茂的意思，
以及天正14年（1586年）7月島津家進攻宗茂實父高橋紹運的岩屋城之時，亦由連貞做為使者傳達宗茂的訊息；宗茂日後相當信賴十時連貞的處事，直到宗茂晚年逝世前夕，也是連貞從旁陪伴。
十時連貞 生平
天正13年（1585年）3月，在立花道雪「筑後遠征」期間，十時連貞陪伴立花宗茂守衛立花山城，秋月種實率8千兵力進攻，宗茂便下令如連貞、薦野增時、米多比鎮久等家族重臣實行夜襲；連貞自率一隊兵力作為伏兵，潛藏在秋月軍陣側翼旁的草叢內，待先行誘敵的鎮久繞回後，兩隊兵力一同夾擊敵軍，配合立花宗茂採取的火計，成功擊退秋月軍。
「九州征伐」時期，於天正14年（1586年）8月，十時連貞也作為大將隨宗茂守住立花山城並轉戰高鳥居城、岩屋城、寶滿城等地。天正15年（1587年），他率兵南下島津家的領地，與同僚薦野增時救回被島津軍捕獲並幽閉於薩摩祁答院一地的宗茂之弟高橋統增及其妻加禰姬，再由水路乘船北上肥前的早津江返回立花山城。
經過豐臣秀吉的九州征伐後，立花家因功獲封筑後柳川之領地，成為大名，連貞也因功獲領山門郡內田33町領地，獲配與力18人外加支配疋田眾9人，並擔任檢使役維護治安。
隨後歷經天正15年（1587年）9月至12月間鎮壓「肥後國人一揆」、天正16年（1588年）5月27日成為「柳川城黑門之戰」的討手以及文祿慶長年間(1592~1598年)兩次朝鮮派兵戰役，連貞因功加增至1千5百石俸祿。