hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
烏斯塔沙 与天主教会的联系
米罗斯拉夫·菲利波维奇（Miroslav Filipović）是一名方济各会修士，据称他以牧师身份加入了乌斯塔沙，并于1942年2月7日参与了对附近村庄约2730名塞族人的屠杀，其中包括约500名儿童。据称，他随后被解除了职务，尽管他在战后因战争罪被绞死时仍然穿着牧师的服装。他成为亚塞诺瓦茨集中营的警卫长，在那里他被克罗地亚同胞戏称为“Fra Sotona”（撒旦神父）。时任克罗地亚外交部长Mladen Lorković是这样表述的：“在克罗地亚，我们几乎找不到真正的塞尔维亚人。事实上，大多数塞尔维亚人都是克罗地亚人，他们被外国侵略者强迫接受异教徒信仰。现在我们有责任把他们带回罗马天主教阵营。”
在战争期间，根据梵蒂冈的长期外交惯例，即在战争期间诞生的新国家被和平条约合法化之前，梵蒂冈不承认这些国家，教皇没有按照要求向克罗地亚派遣大使或外交官，而是派遣了一名宗座访客，即住持朱塞佩·马科内，他将代表梵蒂冈出席克罗地亚天主教会，而不是政府。不过，克罗地亚政府忽视了这些细微差别。
在第二次世界大战结束后，许多乌斯塔沙成员成功逃到南美洲。这很大程度上是通过天主教牧师经营的鼠线实现的，这些牧师此前都曾在梵蒂冈获得职位。
乌斯塔沙政权将大量黄金，期中包括二战期间从塞尔维亚人和犹太人手中掠夺的黄金存入瑞士银行账户。 二战即将结束时，乌斯塔沙似乎还向奥地利运送了大量黄金。据估计，在乌斯塔沙卷走的3.5亿瑞士法郎的总额中，一份报告估计有2亿（约4700万美元）被转给了梵蒂冈。这个问题至今仍未得到澄清。
在第二次世界大战结束后，萨格勒布大主教阿洛伊齐耶·斯捷皮纳克被南斯拉夫当局指控支持乌斯塔沙而入狱，但南斯拉夫免除了与他们合作并因此参与强迫塞族人皈依的神职人员的罪行。斯捷皮纳克在1941年3月28日指出，他早期试图团结克罗地亚人和塞尔维亚人：
“总而言之，克罗地亚人和塞尔维亚人属于两个世界，北极和南极，除非上帝的奇迹，否则他们永远无法聚在一起。（天主教会和东正教之间）分裂是欧洲最大的诅咒，几乎比新教还要大。没有道德，没有原则，没有真理，没有正义，没有诚实。“
1960年2月10日，还在监狱中的斯捷皮纳克因为红细胞增多症而去世。而在1998年，斯捷皮纳克被教皇圣若望保禄二世封圣。2016年7月22日，萨格勒布县法院以“严重违反现行和以前的实体和程序刑法基本原则”为由，撤销了对他的战后定罪。
烏斯塔沙 与切特尼克的合作
切特尼克是第二次世界大战期间活动于南斯拉夫地区的塞尔维亚极右翼民族主义武装组织，南斯拉夫战败后一段时间成为和南斯拉夫共产游击队一样的抵抗运动，但随后变成和德国及意大利占领军合作的组织一同针对共产主义游击队。
尽管切特尼克代表着与乌斯塔沙对立的塞尔维亚民族主义，但是在面对日益强大的南斯拉夫游击队时，克罗地亚境内的切特尼克和乌斯塔沙于1942年签订了合作协议，这项协议一直持续到战争结束。该协议写道:
只要存在游击队武装的威胁，切特尼克部队就会主动配合克罗地亚军队打击和消灭游击队，并在这些行动中听从克军的指挥。
烏斯塔沙 与切特尼克的合作
除此之外，协议还规定，克罗地亚军队还要向切特尼克提供武器和弹药，在行动中受伤的切特尼克成员将在克军的军事医院接受治疗，战死的切特尼克成员的遗孀和孤儿将获得与克军士兵的遗孀和孤儿同等的财政援助。除此以外，乌斯塔沙当局还安排释放乌斯塔沙集中营中的一些塞族人，但这只是根据切特尼克指挥官的特别建议（因此，被释放者不是游击队及其同情者）。1942年6月30日，安特·帕韦利奇向克罗地亚其他部委发送了一份由斯拉夫科·克瓦特尼克（Slavko Kvaternik）签署的声明，总结了克罗地亚与切特尼克所达成的协议。
1945年，切特尼克指挥官莫姆契洛·杜伊奇（Momčilo Djujić）和他的部队在乌斯塔沙领导人的许可下，越过克罗地亚逃到了西部。1945年4月，莫姆契洛·杜伊奇承认，安特·帕韦利奇接待了德拉查·米哈伊洛维奇总部的两名将军，并与他们就联合打击铁托的共产主义游击队达成了协议”。而在5月的头几天，切特尼克的部队在前往布莱堡的途中经过乌斯塔什控制的萨格勒布时，许多切特尼克成员和乌斯塔沙成员在多个地点被游击队杀害。也因此，随着第二次世界大战的结束，两个组织的合作也走向了消亡。
烏斯塔沙 遗产
一位著名的的克罗地亚歌手马尔科·佩尔科维奇（Marko Perković），同时也是克罗地亚乐队汤普森乐队的主唱，经常以向乌斯塔沙致敬开始他的音乐会。在2019年，在萨格勒布举行的一场集会上，他本人在台上演唱了赞颂乌斯塔沙以及涉嫌支持种族屠杀的歌曲，而当时集会上的著名参加者有时任德国总理安格拉·默克尔、克罗地亚总理安德烈·普兰科维奇以及欧洲人民党党团主席曼弗雷德·韦伯。而早在2015年的一场演唱会上，现场的观众曾经高呼“杀死塞尔维亚人”。维森塔尔中心抗议这一点，同时抗议克罗地亚的历史修正主义和否认大屠杀的企图。
为了统一对克罗地亚独立的支持，克罗地亚第一任总统弗拉尼奥·图季曼在1980年代后期提倡“pomirba”，即乌斯塔沙和游击队之间的和解。这导致了克罗地亚政治右翼中支持乌斯塔沙的观点、象征和敬礼的复兴。克罗地亚独立后，许多街道被重新命名且带有乌斯塔沙领导人的名字，例如Mile Budak和Jure Francetić。尽管其中一些后来被移除，但自由欧洲电台指出，在90年代被更名为Mile Budak的约20条街道中，到2019 年仍有一半留在克罗地亚。
烏斯塔沙 遗产
许多犹太和塞尔维亚组织、克罗地亚历史学家和反法西斯主义者以及各种国际组织一再警告克罗地亚的历史修正主义，其目的是为了尽量减少乌斯塔沙的罪行，甚至是庆祝和赞扬乌斯塔沙政权。克罗地亚历史学家指出，教会一直是提倡修正主义和尽量减少乌斯塔沙罪行的领导者。2013年，克罗地亚天主教大主教管区报纸发表了一篇关于亚塞诺瓦茨集中营的系列文章，这一些列文章声称亚塞诺瓦茨集中营只是一个“纯粹的工作营”，没有发生大规模处决。2015年，克罗地亚主教会议负责人要求克罗地亚军队采用乌斯塔沙军队的敬礼方式来敬礼。
克罗地亚球迷曾多次高呼乌斯塔沙的口号以及敬礼，也因此国际足联和欧足联曾多次对克罗地亚足协进行处罚，称其为“法西斯分子的爆发”。2014年，克罗地亚足球运动员约瑟普·希穆尼奇因带领全场球迷向乌斯塔沙致敬而被禁止参加世界杯。
烏斯塔沙 遗产
2019年，奥地利政府通过了一项法律，禁止展示乌斯塔沙标志以及之前被禁止的纳粹标志，这主要是由于克罗地亚民族主义者在克罗地亚政府赞助的一年一度的布莱堡纪念活动中展示了同样的标志，奥地利警方多次因向纳粹和法西斯致敬而逮捕克罗地亚民族主义者。 三名奥地利欧盟议员宣布，成千上万的克罗地亚民族主义者参加的布莱堡仪式是“欧洲最大的法西斯集会”。奥地利天主教会禁止克罗地亚天主教堂成员在布莱堡举行弥撒，因为正如他们所说，“ 布莱堡的弥撒已经成为一种被政治工具化的表现形式的一部分，并且是一种政治-民族仪式的一部分，这种仪式有助于有选择地体验和解释历史”，并补充说它滥用“出于政治目的的宗教服务，同时又没有脱离法西斯世界观。”
烏斯塔沙 遗产
二战结束后，塞尔维亚历史学家利用乌斯塔沙宣扬塞尔维亚人抵抗轴心国，而克罗地亚人和波斯尼亚人则广泛支持轴心国。 然而，乌斯塔沙缺乏普通克罗地亚人的支持，也从未在民众中获得任何重要支持。 乌斯塔沙政权仅仅得到了部分克罗地亚人的支持，他们认为自己在两次世界大战期间感到在塞尔维亚人领导的南斯拉夫中受到压迫。 它最初通过创建克罗地亚民族国家而获得的大部分支持，但由于其开展大规模的种族屠杀和歧视政策而失败。在1980年代，塞尔维亚历史学家制作了许多关于二战期间塞尔维亚人被迫皈依天主教的著作。这些历史学家之间的辩论逐渐公开地变成了民族主义的对立，并且也进入了更广泛的群体当中。 1980年代贝尔格莱德的历史学家与政府有密切联系，他们经常上电视讨论二战期间乌斯塔沙针对塞尔维亚人进行的种族灭绝的虚构或真实细节。此外，塞尔维亚神职人员和民族主义者也指责所有克罗地亚人对乌斯塔沙犯下的罪行以及策划对塞尔维亚人的种族灭绝负责。这些宣传活动并没起到南斯拉夫民族和解的作用，反倒是为南斯拉夫内战中，塞尔维亚民族主义者对克罗地亚人和波斯尼亚人进行的种族灭绝起到到了推波助澜的作用。
苻登
秦高帝苻登（343年—394年），字文高，略陽臨渭（今甘肅秦安）氐族人，十六国前秦皇帝，苻堅族孫，建節將軍苻敞之子。在苻堅遭後秦君主姚萇殺害後，苻登曾領率氐族殘餘力量於關隴地區對抗後秦，後更被擁立為前秦皇帝。苻登起初屢次獲勝，但終敗給後秦，更遭俘殺。死後獲上廟號太宗，諡高皇帝。
苻登 生平
苻登年輕時就勇猛威武，有雄壯的氣慨，但為人粗豪好險而不修小節，並不受苻堅重視。苻登長大成人後卻一改舊習，謹慎厚道，亦看典籍。苻堅曾以其為殿上將軍、羽林監、揚武將軍、長安令，後來因過失被降為狄道長。
淝水之戰後，關中地區大亂，苻登逃到河州牧毛興駐守的枹罕（今甘肅臨夏市）。苻登兄苻同成是毛興的長史，於是請毛興以苻登任其司馬。苻登當時表現得器量不凡，喜歡設奇謀，而他對事物的分析連毛興也十分佩服，然而卻因受毛興所憚而沒有獲重用。
前秦太安二年（386年），時與後秦姚碩德對抗的毛興亦同時與同屬前秦的益州牧王廣及秦州牧王統作戰，頻繁的戰事令厭戰的氐人將其殺害。毛興臨死時就表示苻登能夠消滅姚碩德。同年七月，苻登獲眾人推舉，取代被指年老的氐豪衞平統領原毛興部眾，自稱使持節、都督隴右諸軍事、撫軍大將軍、雍河二州牧、「略陽公」，並即率兵五萬攻佔南安(今甘肅隴西東南)，又派使者向當時前秦皇帝苻丕請求任命。苻丕亦應其自稱授官，並以其為征西大將軍、開府儀同三司、南安王。苻登佔據南安後獲當地胡、漢共三萬多戶歸附，聲勢漸盛，於是進攻姚碩德，並在胡奴阜大敗前往救援的姚萇，更令其身受重傷。
苻登 生平
十月，苻丕進攻洛陽時被東晉將領所殺，當時苻丕子苻懿及苻昶都被帶到南安，苻登於是打算立苻懿為帝。但部眾都力勸苻登立長君，並指出非苻登一人不可。苻登於是即位為帝，改元「太初」，立了苻懿為太弟。
當時前秦宗室苻纂為另一軍事力量，他支持苻登令前秦聲勢大盛，並曾與楊定於涇陽（今陝西涇陽縣）大敗姚碩德，更圖謀攻取後秦都城長安。不過苻纂不久卻因不肯自立為帝而遭其弟苻師奴殺害，苻師奴亦遭姚萇擊敗，部眾遭後秦吸納，進攻長安行動亦告吹。
太初三年（388年）二月，苻登與姚萇各據朝那（今寧夏彭陽縣）及武都相持不下，互有勝負。當時關西豪傑見後秦久久不能消滅前秦勢力，很多都轉歸前秦。姚萇終於十月退還根據地安定，苻登亦到新平取軍糧以解軍中饑饉的狀況，並自率萬餘人兵圍姚萇軍營，四面以哭聲震動其軍心；不過姚萇亦命軍人以哭聲回應，苻登見不成功就退兵。
苻登 生平
太初四年（389年），苻登在大界留下輜重，自率萬多名輕騎兵進攻安定，先後擊敗安定羌密造保及後秦將吳忠等，並於八月進逼安定。但姚萇卻奇兵夜襲大界，殺害留守的毛氏並擒獲數十名名將，擄掠五萬多人。苻登見此唯有退守根據地胡空堡（今陝西省彬縣西南）。太初六年（391年），苻登因苟曜作為內應而進攻後秦，並擊敗姚萇，殺後秦將吳忠，但姚萇立刻重整軍勢再戰，苻登這次大敗，退兵至郿縣（今陝西眉縣）。同年苻登先後進攻新平及安定，但都遭姚萇擊敗。而當時氐族人強金槌叛歸後秦，兩年前勇略過人的羌人雷惡地亦因遭苻登所忌憚而出奔後秦，次年驃騎將軍沒弈干亦叛降後秦，這些事件都削弱了苻登的力量。
太初七年（392年），苻登以姚萇患病而出兵安定，但在城外九十多里就遭姚萇所派的軍隊攻擊，被逼退還；而姚萇更特意在夜裏命軍隊旁出跟隨苻登軍，苻登聽聞姚萇軍營空無一人，驚懼得說：「他究竟是甚麼人，離開時我不知道，來到時我亦不察覺，人說他快死了，突然又來了。朕和這個羌人活在同一年代，根本是不幸。」
苻登 生平
太初九年（394年），苻登知姚萇已死，於是十分高興，並盡率大軍進攻後秦。至夏季，苻登進攻廢橋以得水源，但為後秦將尹緯所阻，部分士兵更渴死。苻登因而急攻尹緯，而尹緯卻大敗苻登，兵眾潰散，苻登單騎逃返原由其弟苻廣留守的雍城（今陝西鳳翔縣南）卻發現苻廣已棄城，另一根據地胡空堡亦遭留守的太子苻崇所棄，苻登無處容身，只有逃到平涼（今甘肅平涼市），收集部眾據守馬髦山。苻登及後向乞伏歸求救，得其命乞伏益州領兵救援，卻就在七月苻登率兵迎接乞伏益州時就遇上後秦軍，苻登被生擒並處決，享年五十二歲。
其子苻崇在湟中稱帝，追諡苻登為高皇帝，上廟號太宗。
苻登 逸事
苻登與後秦軍作戰多年，其為史傳所載的生平事跡多為他在軍旅中的事跡。
苻登 延伸阅读
[在维基数据编辑]
《晉書/卷115》，出自房玄齡《晉書》
苻敞
苻敞，前秦皇族，曾任太尉司馬、隴東太守、建節將軍，最後卻被苻生所殺。他兒子苻登後來在前秦皇帝苻堅及苻丕被殺之後，被擁立為皇帝。
苻崇
苻崇（4世紀—394年），十六国前秦末主。
苻崇是高帝苻登之子，太初三年（388年）八月立為太子。
太初九年（394年）七月，苻登兵敗，被後秦姚興殺死，崇逃到湟中即帝位，改元延初。十月，苻崇被隴西鮮卑的梁王乞伏歸（後來的西秦王）驅逐，逃到隴西王楊定那裡。楊定率領二萬人與苻崇共攻歸，先勝後大敗，定及崇俱被殺，歸盡有隴西之地。
前秦太子苻宣投靠仇池楊盛，不再設置郡縣，前秦亡。
最优化
最优化（英语、法语：Optimisation）指从一组可选择的方案中，根据一定标准选择最佳方案的过程。其间往往要在特殊情况下，对在某个集合上最小化或最大化一个函数的问题进行建模、分析，并通过解析或数值方法求解。一般分为离散优化、连续优化两个子领域。
最优化在多个领域发挥着重要作用：应用数学（对工业与工程学发展至关重要）、運籌學（计算机科学、数学与经济学的交叉领域）、分析与数值分析、统计学（用于分布的最大似然估计）、博弈论中的策略研究，以及控制与指令理论等。
在更一般的方法中，优化问题是指通过在允许的集合中有系统地选择输入值并计算函数值，来最小化或最大化一个实函数的问题。将优化理论与技术推广至其他形式，构成了应用数学的一个广泛领域。更一般地说，优化包括在给定定义域（或输入）的前提下，找到某目标函数的“最佳可达值”。
许多可用数学模型描述的系统都会经过最优化。结果与预测的质量取决于模型的合理性、所选优化变量的恰当性、算法的效率，以及数值处理的手段。几百年来，求解方法的发展一直受到数学界的关注。
最优化 优化问题
根据变量的类型（连续或离散），优化问题可分为两类：
优化问题可用以下方式表示：
已知： 函数从某集合A映射到实数
求： 元素，使（“最小化”），或使（“最大化”）。
这样表述后，称作优化问题或数学规划问题。很多现实问题与理论问题都可用这个一般框架建模。
由于下式成立：
只需解最小化问题。只考虑最大化问题的相反观点是同理的。
物理学领域，使用这种技术提出的问题可称“能量最小化”，将函数f值视为所建模系统的能量。机器学习中，总要用损失函数持续评估模型的质量，损失函数取得极小值意味着一组可能的最优参数，同时具有最优（最小）的误差。
A通常是欧氏空间的子集，一般要求A的成员需满足一组约束（等式或不等式）。f的定义域A称作搜索空间或选择集，A的元素称作候选解或可行解。
函数f有多种叫法，常见的有目标函数、判别函数、损失函数、成本函数（最小化）、效率函数、适应度函数（最大化），某些领域还有能量函数、能量泛函等等。使得目标函数取最值（取决于问题）的可行解就是最优解。
最优化 优化问题
数学中，传统优化问题通常用最小化形式表示。
极值是局部的，定义为，满足一定条件。例如，极小值要满足
这就是说，在周围的一些闭球上，所有的函数值都大于或者等于在该点的函数值。
极小值至少于附近的任何元素一样好，最小值则至少与每个可行解一样好。一般来说，除非目标函数是凸函数，否则会存在多个极小值。凸优化问题中，若有位于可行集内（不位于边缘）的极小值，则它也是最小值；而非凸优化问题可能有多个极小值。
非凸问题所用的大量算法（包括大多数商业求解器）都无法区分局部最优解与全局最优解，而是将前者视作原问题的实际解。全局优化是应用数学与数值分析的一个分支，主要研究能在有限时间内收敛到非凸问题实际最优解的确定性算法。
最优化 符号
优化问题常用特殊符号表示，如下：
这是求，从实数集中选择x时，目标函数的最小值。此问最小值为1，出现在处。
相似地，
是求目标函数的最大值，其中x是任意实数。由于目标函数无界，所以不存在最大值，答案是“无穷大”或“未定义”。
或等价的
这是求参数x在区间时，能使目标函数取最值的值。此问题的答案是，因为不可行，不属于可行集。
相似地，
或等价的
表示使目标函数取最大值的对，且x要满足约束：位于区间内。此问题的答案是与，其中k的范围是所有整数。
算符有时也作，分别代表最小值点与最大值点。
最优化 历史
最优化问题可能由欧几里得于公元前3世纪在其经典著作《几何原本》中最早提出。三百年后，亚历山大的希罗在其著作《光学》中提出了“最短路径原理” ，实例便是我们耳熟能详的“将军饮马问题”。
17世纪，微分的出现推动了真正意义上最优化技术的发展。牛顿先提出了一种迭代法，通过引入导数（源于与莱布尼茨的合作）来寻找函数的局部極值。
18世纪，欧拉与拉格朗日的研究催生了变分法——泛函分析的一个分支，涵盖了多种优化方法。后者还发明了一种带约束的优化技术：拉格朗日乘数法。
用于部分优化情形的“线性规划”（linear programming）是乔治·伯纳德·丹齐格提出的，不过其中大部分理论是列昂尼德·坎托罗维奇于1939年提出的。丹齐格在1947年提出单纯形法，冯·诺依曼等人也在同时期致力于线性规划的理论研究（如对偶）。
其他著名的最优化研究者有：
最优化 主要分支
凸优化研究目标函数为凸函数（最小化）或凹函数（最大化），且约束集为凸集的问题。这可以看成非线性规划的特例，或凸二次规划的推广。
线性规划（LP），是凸规划的一种，研究目标函数f为线性函数、约束只包含线性等式与不等式的问题。若这种约束集是有界集合，又称作多面体或多胞形。
二阶锥规划（SOCP）是凸规划的一种，包括某些类型的二次规划。
半正定规划（SDP）是凸规划的一个子领域，其中底变量是半正定矩阵，它是线性规划与凸二次规划的推广。
锥规划是凸规划的一般形式。LP、SOCP、SDP都是其特例。
几何规划是一种表示不等式约束的正项式、表示等式约束的单项式化为凸规划的技术。
在一些子领域中，这些技术用于动态环境（随时间变化的决策）中的优化：
在优化问题中加入多个目标，会增加问题复杂性。例如，优化结构设计时人们希望设计轻而坚固。两目标发生冲突时，就要做出权衡：可能有一种最轻的设计、一种最坚固的设计与无数种重量与强度相折中的设计。牺牲一项标准，改进另一项标准的折衷设计集合称作帕累托集，据最佳设计的重量与强度绘制的曲线叫帕累托前沿（Pareto frontier）。
最优化 主要分支
若设计不被其他设计支配，就是“帕累托最优”的（等同于“帕累托有效”，或在帕累托集合中）：被支配设计在某些方面比别的设计差，而在任何方面都不比别的设计好。
帕累托最优给出了理想目标，而没有对目标的组合进行相对评定。在帕累托最优方案中进行选择的任务属于决策者。
多目标优化问题可进一步推广为向量优化，其中（部分）排序不再由帕累托排序给出。
优化问题通常是多峰的，即拥有多个好的解决方案，它们可能都是全局最优解（成本函数值相同）。获得所有（或至少一部分）解是多峰优化的目标。
经典优化技术采用的迭代法面对多峰问题的表现并不令人满意，因为即使运行起点不同，也不能保证获得不同的解。
对可能存在多个极值的全局优化问题，常用算法有进化算法、贝叶斯优化与模拟退火等。
最优化 临界点与极值的分类
可满足性问题又称可行性问题，是指在不考虑目标值的情况下找到任何可行解的问题。可以视为数学优化的一种特例，即每个解的目标值都相同，于是每个解都是最优解。
很多优化算法都要从可行点出发。获得可行点的一种方法是用松弛变量放松可行性条件，只要有足够的松弛变量，任何起点都是可行的。然后，最小化该松弛变量，直到松弛不为正。
卡尔·魏尔施特拉斯的极值定理指出，紧集上的连续实值函数会达到其最值。更一般地，紧集上的下半连续函数会达到其最小值，紧集上的上半连续函数会达到其最大值。
费马引理指出，无约束问题的最优点是驻点，即目标函数的一阶导或梯度为零（见导数判别法）。更一般地，最优点可能出现在临界点，即目标函数的一阶导或梯度为零或未定义，或在选择集的边界上。一阶条件（组）是指令内部最优点处的一阶导等于零的方程（组）。
等式约束问题的最优点可用拉格朗日乘数法找到。带等式和/或不等式约束的问题的最优值可由卡鲁什-库恩-塔克条件求得。
最优化 临界点与极值的分类
一阶导检验可以识别可能是极值的点，但不能区分极小值与极大值。无约束问题的目标函数二阶可微时，可通过检验二阶导（矩阵，叫做黑塞矩阵）来区分；有约束问题中，可检验目标函数与约束条件的二阶导矩阵（称作有界黑塞矩阵）。区分极大极小值与其他驻点的条件叫做二阶条件（见导数判别法）。若候选解满足一阶条件，则满足二阶条件便足以确定至少是局部最优。
包络定理描述了基本参数变化时，最优解的值如何变化。计算这种变化的过程称为比较静力学。
Claude Berge（1963）提出的极大值定理描述了最优解作为基本参数之函数的连续性。
对目标函数二阶可微的无约束问题，可通过寻找梯度为零的点（驻点）确定一些临界点。更一般地，对凸函数及其他局部利普希茨函数的最小化问题，零次梯度意味着已找到极小值。
此外，临界点还可根据黑塞矩阵的正定性分类：若临界点处的黑塞矩阵是正定的，则是极小值；若是负定的，则是极大值；若是不定的，则是某种鞍点。
最优化 临界点与极值的分类
在拉格朗日乘数的帮助下，有约束问题往往可以转为无约束问题。拉格朗日松弛法也能为困难的约束问题提供近似解。
目标函数是凸函数时，极小值也就是最小值。对凸函数的最小化，存在高效的数值技术，如内点法。
更一般地，若目标函数不是二次函数，那么很多优化方法都会用其他方法确保某些迭代子列收敛到最优解。第一种仍很流行的是线搜索，这种方法沿一个维度对函数进行优化。第二种越来越流行的，是置信域方法。线搜索与置信域方法都被用于现代不可微优化中。通常，全局优化器比先进的局部优化器（如BFGS算法）慢得多，因此通常可从不同起点启动局部优化器，构建高效的全局优化器。
最优化 计算优化技术
求解时往往使用有限步内终止的算法，或（在某些类的问题上）收敛到解的迭代法，或尽可能为某些问题提供近似解的启发式算法（迭代不一定收敛）。
迭代法用于解非线性规划，依其求值的是黑塞矩阵、梯度或函数值而有所不同。求黑塞矩阵（H）和梯度（G）可以提高收敛速度，但对变化足够平滑的函数，这会增加每次迭代的计算复杂度（计算成本），有时可能会过高。
优化器的一个重要指标就是所需的函数求值次数，因为这往往需要大量计算，通常比优化本身的计算量大得多，因为优化器要对N个变量进行操作。导数为此类优化器提供了详细信息，但算起来更困难。例如，近似梯度至少要求N+1次函数值。二阶导的近似（黑塞矩阵需要）每次迭代要求N²次函数值，例如牛顿法，而更简单的纯梯度优化器则只需要N次。优化器的选择取决于具体问题。
最优化 计算优化技术
需要梯度的方法（或近似值，或次梯度）：
坐标下降法：每次迭代更新一次坐标。
共轭梯度法：针对大型问题的迭代法（理论上在二次目标函数的有限步数内终止，但在有限精度计算机上不常能达到）。
梯度下降法（或“最陡下降法”“最陡上升法”）：具有历史与理论意义的（较慢）方法，在寻找巨大问题的近似解时再次受到关注。
次梯度法：使用广义梯度迭代大型局部利普希茨函数的方法。根据Boris T. Polyak的观点，次梯度投影法类似于共轭梯度法。
捆绑下降法（Bundle method of descent）：适用于局部利普希茨函数的中小型问题，尤其适用于凸最小化问题（类似于共轭梯度法）。
椭球法：适用于目标函数为拟凸函数的小型问题的迭代法，在理论上有重要意义，特别是在确定某些组合优化问题的多项式时间复杂度方面。与拟牛顿法有相似之处。
弗兰克–沃尔夫法（条件梯度法）：用于具有线性约束的特殊结构问题，特别是交通网络问题。对于一般的无约束问题简化为梯度法，而梯度法（对几乎所有问题）已经过时。
拟牛顿法：适于大中型（N<1000）问题的迭代法。
同时扰动随机逼近（SPSA），用于随机优化，运用随机（高效）梯度逼近。
除了（有限终止）算法与（收敛）迭代法，还有启发式算法，是指任何不能保证（数学上）找到解，但某些实际情况中有用的算法。一些著名的启发式算法：
最优化 应用
刚体力学问题（尤其铰接刚体力学）常常需要数学规划技巧，因为可以将刚体力学视为解约束流形上的常微分方程，约束是各种非线性几何约束，如“这两点必须重合”“此曲面不得穿过其他曲面”“此点须始终位于此曲线上的某处”之类。此外，1计算接触力的问题也可由线性互补问题解决，也可看作是二次规划问题。
很多设计问题可表述为优化规划。这种应用叫做设计优化，其中一类是工程优化，最近不断发展的另一类是多学科设计优化，在很多领域都很有用，尤其适用于航空航天工程问题。
这种方法可用于宇宙学与天体物理学。
经济学与行为主体的优化密切相关，有人将经济学作为一门科学，描述为“将人类行为视作目的与稀缺性之关系的研究”，还有其他用途。现代优化理论包括传统优化理论，也与博弈论、经济均衡研究有重叠。《经济文献杂志》的JEL分类系统将数学规划、优化技术与相关主题归入JEL:C61-C63。
最优化 应用
微观经济学中，效用最大化及其对偶问题支出最小化，都是经济优化问题。在行为一致的情形下，消费者被假定为效用最大化，公司被假定为利润最大化。此外，主体常被建模为风险厌恶者。资产定价也用最优化理论建模，不过其基础数学依赖于随机过程的优化，而非静态最优化。国际贸易理论也用最优化解释国家间的贸易模式。投资组合优化是经济学中多目标优化的一个例子。
1970年代以来，经济学家利用控制论建立了随时间变化的动态决策模型。例如，动态搜索模型用于研究劳动力市场行为。确定性模型与随机模型之间的区别至关重要。宏观经济学的动态随机一般均衡（DSGE）模型描述整个经济的动态，是工人、消费者、投资者与政府相互依赖的优化决策结果。
优化技术在电气工程的一些常见应用如有源滤波器设计、减少超导储磁系统中的杂散磁场、微波结构的空间映射设计、手机天线、基于电磁学的设计等等。自1993年提出空间映射以来，微波元件与天线的电磁验证设计优化已广泛使用了适当的物理/经验代理模型及空间映射方法。优化技术也用于功率流分析。
最优化 应用
优化已广泛用于土木工程。营建管理与運輸工程是土木工程中非常依赖优化的主要分支。通过优化解决的最常见的土木工程问题有道路的切割与填筑、基础设施生命周期分析、资源均衡、水资源分配、交通管理及进度优化。
另一个广泛使用优化技术的领域是运筹学。运筹学也使用随机建模与模拟来支持改进决策。近年来，运筹学越来越多地使用随机规划模拟适应事件的动态决策；此类问题可通过大规模优化与随机优化方法来解决。
数学优化被广泛用于现代控制器设计。模型预测控制（MPC）与实时优化（RTO）等高级控制器都采用了数学优化。这些算法在线运行，通过迭代求解约束与待控制系统模型在内的数学优化模型，反复确定决策变量的值，如工艺设备中的扼流圈开口。
优化技术常用于地球物理参数估计。根据一组测量数据（如地震记录），通常要求底层岩石与流体的物理特性与几何形状。地球物理学中大多数问题都是非线性的，确定性方法与随机方法都有广泛使用。
构象异构常用非线性优化方法。
优化技术被用于计算系统生物学的许多方面，如建立模型、优化实验设计、代谢工程与合成生物学等。线性规划被用于计算发酵产物的最大可能产量，从多个微阵列数据集推断基因调控网络以及从高通量数据推断转录调控网络等。非线性规划被用于分析能量代谢，并被应用于代谢工程与生化途径的参数估计。
最优化 與人工智能的關係
现代的计算机科学技术和人工智能科学把最优化作为一个重要的领域来研究。我们也可以认为人工智能的一些算法，就是模拟了人类寻求实际问题最优解的过程。例如，利用人工智能方法设计软件，配合外部的电子设备例如摄像头识别人脸；利用数据挖掘和神经网络算法来寻找投资的最佳时机等。
决策论
决策论（英語：）是一门横跨概率论、经济学和分析哲学的交叉学科。它通过结合期望效用和概率分析，探讨理性个体在不确定情境中的决策模式。与认知科学和行为科学不同，决策论本质上是规范性的，旨在识别理性主体在理想条件下的最优决策，而非描述人们实际如何做决定。
尽管如此，这一理论对社会科学研究具有重要意义。它为社会学、经济学、犯罪学、认知科学、伦理学以及政治学提供了数学建模和分析个体行为的基础框架。
决策论 理论分支
规范性决策论关注的是如何识别最优决策。这里的“最优”通常以一个理想决策者为参照——他们能够精确计算，并且在某种意义上完全理性。这种规范性方法的实际应用被称为“决策分析”，其目标是开发工具、方法论和软件，帮助人们做出更好的选择。
相比之下，描述性决策论试图解释观察到的行为模式，假设决策者遵循某些一致性规则。这些规则可能基于程序性框架，例如特沃斯基提出的“逐步淘汰”模型；或采用公理性框架，如随机传递性公理，调和冯·诺伊曼-莫根斯特恩公理与预期效用假说的行为偏差；亦或是为时间不一致的效用函数提供明确的函数形式，如莱布森的准双曲贴现理论。
预测性决策论则关注正向决策理论产生的行为预测，以便进一步验证实践中的决策机制。近几十年来，“行为决策理论”日益受到关注，这推动了对有效决策本质的重新评估。
决策论 决策类型
不确定性选择是决策论的核心问题之一，其思想可以追溯至17世纪。布莱斯·帕斯卡在1670年出版的《思想录》中对此已有论述。期望值理论认为，在面对多种可能导致不同结果的行动时，理性做法包括以下几个步骤：
然而，1738年丹尼尔·伯努利在《论风险测量的新理论》（）中指出，期望值理论存在规范性缺陷。他通过圣彼得堡悖论说明：一位荷兰商人需要决定是否为冬季从阿姆斯特丹发往圣彼得堡的货物投保。为了解决这一问题，伯努利提出使用效用函数来计算期望效用，而非直接计算财务价值。
20世纪，瓦尔德·亚伯拉罕在1939年的论文中重新激发了这一领域的兴趣。他指出，统计理论中的两个核心方法——假设检验和参数估计——实际上是一般决策问题的特殊情况。瓦尔德的工作整合了许多统计概念，包括损失函数、风险函数、可接受的决策规则、先验分布、贝叶斯方法以及极小极大方法。“决策论”一词由E·L·勒曼于1950年首次提出。
决策论 决策类型
主观概率理论的复兴得益于弗兰克·拉姆齐、布鲁诺·德·芬内蒂和利奥纳德·萨维奇等人的工作，他们将期望效用理论扩展到可以使用主观概率的情境。同时，冯·诺伊曼和莫根斯特恩的期望效用理论证明，期望效用最大化源于关于理性行为的基本公设。
然而，莫里斯·阿莱和丹尼尔·艾尔斯伯格的研究表明，人类行为往往系统性地偏离期望效用最大化原则（如阿莱悖论和艾尔斯伯格悖论）。丹尼尔·卡尼曼和阿摩司·特沃斯基提出的展望理论重新审视了经济行为的实证研究，不再过分强调理性假设。该理论揭示了人们在面临风险时的决策规律，主要包括以下三点：
跨期选择关注的是在不同时间阶段产生不同结果的决策问题。这类决策也可以被视为一种成本效益分析，因为它涉及对不同规模和到达时间的奖励进行权衡。
决策论 决策类型
例如，某人突然获得了一笔数千美元的资金，可以选择立即用于昂贵的假期以获得即时快乐，或者将其投资于养老金计划，为未来提供收入保障。那么，哪种选择是最优的？答案取决于多种因素，包括预期利率、通货膨胀率、个人预期寿命以及对养老金行业的信心等。然而，即便考虑了这些因素，人类行为仍然常常与规范性决策论的预测大相径庭，从而催生了一些替代模型，例如用主观贴现率取代客观利率。
有些决策之所以困难，是因为需要考虑其他参与者对自身决策的可能反应。这类社会决策通常在决策论框架下进行分析，尽管涉及复杂的数学方法。在新兴的社会认知工程领域，研究尤其关注人类组织在正常和非常态（如紧急/危机）情况下的分布式决策类型。
决策论的其他领域关注因复杂性或组织结构而导致的决策难题。个人在做决策时，资源（如时间和智力）有限，因此表现出“有限理性”。关键问题不仅在于真实行为与最优行为之间的偏差，还在于从一开始便难以确定何为最优行为。此外，决策还容易受到选项呈现方式的影响，即所谓的“差异偏差”。
决策论 启发式决策
启发式是决策方法之一。启发式方法使得决策基于常规思维。虽然这比一步一步处理快,启发式决策可能导致出现错误的风险。通过一步一步的加工而避免的错误可能会出现。一个常见的和不正确的认识是认为启发式思维的结果是赌徒的谬论。赌徒谬论是错误地相信一个随机事件受到之前的随机事件的影响。例如,有百分之五十的概率使一枚硬币出现正面。赌徒谬误的表明,如果硬币出现反面,下次它翻转,出现正面。这是完全不正确的。这种谬论通过一步一步进行思考的过程也很难反正。然而,这样的谬论也可能符合贝叶斯模型的思维,其中投掷的硬币的实际概率并不确定,只是以以往投掷的硬币的可能来改变之前的概率可能推断出一个可能的概率范围。考虑到贝叶斯理论的在统计学中的最高的地位，在这种情境下赌徒谬论是非常合理的,更多的证据表明,实效性统计频率论的假设的并不能现实的准确模型。
决策论 统计中的决策论
一些统计工具对于决策过程中的信息收集，风险估计是非常有帮助的。人们可以计算第一类错误和第二类错误发生的概率，从而正确的评估风险损失，做出更好的理性选择。
下面这个例子说明了在审判过程中的决策过程：
直觉主义
在数学哲学和邏輯中，直觉主义（英語：），或者新直觉主义（Neointuitionism ）（对应於前直觉主义），是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。也可翻译成直觀主義。
任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和古典的方法不同，因为根據古典方法，一个实体的存在可以通过否定它的不存在来证明。对直觉主义者來說，这是不正确的：不存在的否定不表示可能找到存在的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学构造主义的一种；但它不是唯一的一种。
直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造，还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢（如同直觉主义者所說的一样）？这意味着直觉主义者对一个数学命题的含义，可能與古典的数学家有不同理解。例如，说A或B，对于一个直觉主义者，是宣称A或是B可以被「证明」，而非兩者之一「為真」。值得一提的是，只允許A或非A的排中律，在直覺主義邏輯中是不被允许的；因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否定命题。
直觉主义
直觉主义也拒绝承认实无穷的抽象概念；也就是说，它不把像所有自然数的集合或任意有理数的序列这样的无穷当作实体来考虑。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造式集合论和构造式分析。
慕容德
燕献武帝慕容德（336年—405年11月17日），後改名慕容備德，字玄明，十六國時期南燕皇帝，鮮卑人，是前燕文明帝慕容皝之幼子，前燕景昭帝慕容儁、後燕成武帝慕容垂皆為其兄。《晉書》載其「年未弱冠，身長八尺二寸，姿貌雄偉」。又「博觀群書，性清慎，多才藝」。
慕容德 生平
前燕時期慕容儁在位時，慕容德被封為梁公。後來慕容儁之子慕容暐繼帝位，再被改封為范陽王。369年，曾與慕容垂一同大敗東晉桓溫的進攻。370年，前燕為前秦所滅後，一度被前秦帝苻堅任命為張掖（今中國甘肅省張掖市）太守，數年後被免職。
後來苻堅欲南東晉，慕容德被任命為奮威將軍隨軍，留下金刀拜別母親公孫氏及胞兄原北海王慕容納而去。383年，前秦於淝水之战敗北，苻坚宠妃张夫人走失投靠慕容暐，慕容暐送她回京，慕容德阻止并劝他趁乱复国，未果。
后来慕容垂趁機起兵建後燕，慕容德嚮應之，被命為車騎大將軍，重新受封為范陽王，然其諸子及慕容纳皆因留在後方而被前秦所殺。
396年，慕容垂臨終，遺命太子慕容寶將鄴城（今中國河南省臨漳縣）委由慕容德鎮守。慕容寶繼位後，即以慕容德為使持節、都督冀、兗、青、徐、荊、豫六州諸軍事、特進、車騎大將軍、冀州牧，領南蠻校尉，鎮守鄴城。
慕容德 生平
397年，北魏攻擊後燕，後燕兵敗如山倒，皇帝慕容寶向北方故地逃亡，後燕國土被截為南北二部，位在南方的慕容德被慕容寶任命為丞相，領冀州牧。不久，慕容垂另一子趙王慕容麟來逃至鄴城，以鄴城難守，建議慕容德南遷滑台（今中國河南省滑縣）。398年正月，慕容德又受慕容麟建議先稱燕王，稱燕王元年，史稱此一政權為南燕。次年（399年），再遷廣固（今中國山東省青州市），以為都城。
400年，慕容德正式稱帝，改元建平，並在此時把自己名字改為慕容備德，以便臣民避諱。慕容德时年已65歲，是中国历史上即位时年龄第二大的皇帝（第一名为唐朝的武則天，登基時67歲）。
慕容德 生平
慕容备德不知道母亲公孙夫人和胞兄慕容纳都已经不在人世，曾于建平二年（401年）十月派平原人杜弘去长安寻访。杜弘说：“臣至长安，若不能得知太后动止，当西往张掖，以死效力。”并为自己年逾六十的父亲杜雄乞求本县县令之职。慕容备德不顾中书令张华反对，认为杜弘“为君迎母，为父求禄，忠孝备矣，何罪之有！”以杜雄为平原令。杜弘到张掖为盗贼所杀。四年（403年），慕容备德旧部赵融从长安前来，告知公孙夫人和慕容纳的死讯，慕容备德放声痛哭以至于吐血，因而卧病不起，从此健康恶化。
慕容备德有女兒無兒子，為繼承人心焦，慕容納之子慕容超持當年慕容德拜別母親的金刀來歸，慕容备德遂以慕容超袭封北海王，后立為太子。
建平六年九月戊午（405年11月17日），慕容备德去世，慕容超繼位。去世當晚從四方城門抬出十餘口棺木，秘密埋葬在山谷之中，因此實際上他並未葬於其陵寢「東陽陵」，後人遂不知其安葬之處。慕容德後來被諡為獻武皇帝，廟號世宗。
慕容德 延伸阅读
[在维基数据编辑]
《晉書/卷127》，出自房玄齡《晉書》
慕容超
慕容超（385年—410年），字祖明，十六國南燕末代皇帝，鮮卑人。
慕容超 生平
前秦建元六年（370年），前燕為前秦所滅後，慕容超之父慕容納一度仕於前秦，後來遷居於張掖（今中國甘肅省張掖市）。慕容納之弟慕容德受前秦帝苻堅之命隨軍南東晉，留下金刀拜別母親公孫氏而去。
前秦建元十九年（383年），前秦於肥水之戰敗北，慕容納、德之兄慕容垂趁機起兵建後燕，前秦遂殺慕容納本人及慕容德諸子。公孫氏因年老而免死，慕容納之妻段氏正好懷孕，暫不執行死刑，羈押於獄中。有個叫呼延平的獄卒，是慕容德以前的下屬，慕容德曾免其死罪，對其有恩。因此，他幫助公孫氏及段氏逃至羌地，慕容超即於該處誕生。
慕容超十歲時，祖母公孫氏去世，臨終前把金刀給慕容超，說：「如果天下太平，你能夠向東回到故土，可以將這把刀還給你叔叔（慕容德）。」呼延平後來又讓慕容超母子逃亡到呂光在位時的後涼。後來的後涼王呂隆向後秦姚興投降，慕容超母子又被遷往長安（今中國陝西省西安市）。呼延平去世後，慕容超之母段氏讓慕容超娶呼延平之女。
慕容超 生平
慕容超認為幾位伯叔父先後在東方稱帝，恐怕被後秦知道身分，所以就裝成神智失常之人，並以行乞維生。後秦人都看不起他，遂對他不起疑，所以行動自由不受限制。當時已登上南燕帝位的慕容德聽說這件事，立即派使者迎接他，慕容超不告別母親、妻子即東行。後來到達南燕，呈獻金刀給慕容德，並告以其祖母也就是慕容德之母臨終的遺言，慕容德聽了之後哀傷不已。將慕容超封為北海王（即慕容纳在前燕的王爵），任命為侍中、驃騎大將軍、司隸校尉，開王府置僚佐。
史載「慕容超身高八尺，腰帶九圍，姿器魁傑」，和慕容德頗為相似，而且「精彩秀髮，容止可觀」，《晉書》和《十六國春秋》皆載此時他才被取名為慕容超。慕容德由於年輕時生的兒子已經在前秦被殺害，晚年只有女兒沒有兒子，所以動了讓慕容超繼承之心。而慕容超亦深知慕容德的意思，因此「入則盡歡承奉，出則傾身下士」，於是輿論一致稱讚。慕容德想立慕容超為太子，正在商议，因发生地震被认为恶兆而未果。后慕容德病重不能说话，皇后段季妃问是否召慕容超立为太子，慕容德点头，于是慕容超被立为太子。
慕容超 生平
南燕建平六年九月戊午（405年11月17日），慕容德去世，九月己未（11月18日），慕容超即皇帝位，改元太上。慕容超登位後，寵信舊部公孫五樓，聽信其言，大殺功臣，時稱“欲得侯，事五樓”。又喜好遊獵，使得人民苦不堪言。他的嬸母、皇太后段季妃等密謀廢掉他立慕容鐘，事發，段季妃吓得告发，慕容超殺了相關諸臣，廢黜了段季妃。
太上三年（407年），因母段氏、妻呼延氏尚留在後秦，遂向後秦稱藩，後秦就將其母、妻送還。慕容超追尊其父慕容納為穆皇帝，立其母為皇太后，妻為皇后。
南燕向後秦稱藩後，慕容超即計畫南下攻擊淮北，使得東晉不堪其擾。太上五年（409年），東晉將領劉裕率軍進攻南燕反擊。次年二月丁亥日（410年3月25日），南燕都城廣固（今中國山東省青州市）陷落，慕容超被俘，被送往東晉都城建康（今中國江蘇省南京市）斬首。死後無諡號及廟號。
慕容超同時也是除了系出同源的吐谷渾外，五胡十六國時期源自鲜卑慕容部的最後一位帝王。
慕容超 延伸阅读
[在维基数据编辑]
《晉書·卷128》，出自房玄齡《晉書》
数学构成主义
在数学哲学中，构成主义或构造主义认为要证明一个数学对象存在就必须把它构造出来。如果假设一个对象不存在，并从该假设推导出一个矛盾，对于构成主义者来说，不足以证明该对象存在。（构造性证明）
构成主义常常和直觉主义混淆，实际上，直觉主义只是构成主义的一种。直觉主义强调数学的基础建立在数学家们个人的直觉上，这样就把数学在本质上作为一种主观活动。构成主义不这样强调，并和对数学的客观看法保持一致。
数学构成主义 构造主义数学
构造主义者的数学使用构造性逻辑，该逻辑将真实性和证明等同起来。要构造性的证明，我们必须证明或，或两者同时成立。要构造式的证明，我们必须给出一个特定的和一个的证明。要构造式的证明，我们必须给出一个算法，它对于每个输出一个的证明。
构造主义同时拒绝采用无穷对象，例如无穷集合和序列。
在经典实分析中，实数构造的方法之一是把它作为有理数的柯西列对。这个构造在构造主义数学中不成立，因为序列是无穷的。
作为替换，我们把实数表示为一个算法，它取一个正整数然后输出一对有理数使得
使得当增大，区间变小，而前个这种区间的交不空。我们使用来计算它所表示的实数的任何精度的有理数近似。
数学构成主义 构造主义数学
在这个定义下，实数可以用一个算法表示，它对于每个计算出最大的整数使得然后输出。
这个定义和采用柯西列的经典定义相关，除了要求序列是构造式的：也就是说，我们有个计算第个序列中的元素的算法，所以有一个计算任意精确的对的有理数近似的算法。
注意构造性要求使得上述定义和通常非构造主义的实数定义不相容：因为每个算法必须是一个有限指令集上的有限序列，存在一个双射函数。所以所有算法的集合和所有自然数的集合有同样的基数。当使用一个非构造式的定义时，康托对角线论证证明实数比自然数有更高的基数。
数学构成主义 数学家们的态度
传统上，数学家对于数学构造主义曾经持怀疑甚至反对态度，很大程度上是因为它对构造分析的限制。
这些观点希尔伯特在1928年曾有强烈表示。他在《数学基础》（）写道：“把排中律从数学家那里拿走，就像把望远镜从天文学家那里拿走，或是从拳击手那里把拳头拿走一样”
（排中律在构造性逻辑中不成立）。
Errett Bishop，在他1967年的著作《构造性分析学基础》（）中，作了很多驱散这种恐怖，他的办法是用构造性的框架中发展出大部分传统的分析学。
但是，並不是所有数学家都认为Bishop非常成功，因为他的书比经典分析教科书更复杂。
无论如何，多数数学家不认为应该把自己限制到构造主义方式，甚至当可以这样做的時候。
数学基础
数学上，数学基础（英語：）一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论（可計算性理論）。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为“真”?
目前占统治地位的数学典範思想是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上，幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下，所謂数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
这个形式化的方法不能解释一些问题：为什么我们應沿用现行的公理而不是別的，为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的，为什么「真」数学命题（例如，算術領域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。
数学基础
在數學實在論（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类「发现」。在这种观点下，自然定律和数学定律有類似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？
一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注数学实践，並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个数学认知科学，把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，
数学基础 参考来源
Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.
模型论
模型论（英語：）一般是指数学中集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学形式系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学抽象对象(abstract objects)，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。
比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和（或）函数，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y,即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为i × i = 0 − 1。
模型论
模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。
现在模型论（及其方法）已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如艾胡德·赫鲁绍夫斯基用模型论方法证明了代数几何中的Mordell-Lang猜想(Mordell–Lang conjecture)。
模型论 定义
结构被形式的定义于某个语言L的上下文中，它由常量符号的集合，关系符号的集合，和函数符号的集合组成。在语言L上的结构，或L-结构，由如下东西组成：
函数或关系的价有时也叫做元数（术语"一元"、"二元"和"n-元"中的那个元）。
在语言L中的理论，或L-理论，被定义为L中的句子的集合。如果句子的集合闭合于通常的推理规则之下，则被称为闭合理论。例如，在某个特定L-结构下为真的所有句子的集合是一个闭合L-理论。
L-理论T的模型由在其中T的所有句子都为真的一个L-结构组出，它通常用T-模式的方式定义。
理论被称为可满足的，如果它有模型。
例如，偏序的语言有一个二元关系≥。因而偏序的语言的结构就是带有≥所指示的二元关系的一个集合；如果此外它还满足偏序的公理，則它是偏序的理论的模型。
模型论 定理
哥德爾完備性定理表明理论有一个模型当且仅当它是一致的，也就是说没有矛盾可以被该理论所证明。这是模型论的中心，因为它使得我们能够通过检视模型回答关于理论的问题，反之亦然。不要把完全性定理和完备理论的概念混淆。一个完备的理论是包含每个句子或其否命题的理论。重要的是，一个完备的协调理论可以通过扩展一个协调的理论得到。
紧致性定理说一组语句S是可满足的（即有一个模型）当且仅当S的每一个有限子集可满足。在证明理论的范围内类似的定义是下显而易见的，因为每个证明都只能有有限量的证明前提。在模型论的范畴内这个证明就更困难了。目前已知的有两个证明方法，一个是库尔特·哥德尔提出的（通过证明论），另一个是阿纳托利·伊万诺维奇·马尔采夫提出的（这个更直接，并允许我们限制最后模型的基数）。
模型论 定理
模型论一般与一阶逻辑有关。许多模型论的重要结果（例如哥德爾完備性定理和紧致性定理）在二阶逻辑或其它可选的理论中不成立。在一阶逻辑中对于一个可数的语言，任何理论都有可数的模型。这在勒文海姆-斯科伦定理中有表达，它说对于任何可数的语言中的任何有一个无限模型都有一个可数的初等子模型。
莫雷（Morley）证明了著名的范畴定理。即对于可数语言的任何可数完备理论，如果它在某个不可数基数上是范畴的，则它在所有不可基数上都是范畴的。这个定理极大的刺激了模型论的发展，产生了后来對稳定理论的研究。
近来模型论更加着重于对于其它数学分支，尤其是代数和代数几何的应用。
脊髓灰質炎
脊髓灰質炎（英語：），俗称小兒麻痺（）或脊灰（），又譯急性灰白髓炎，是由脊髓灰質炎病毒引起，可感染人類之病症。大約有90%到95%的感染並没有任何症状。剩下5%到10%有發燒、頭痛、嘔吐、腹瀉、頸部僵硬以及四肢疼痛等輕微症狀。這些有症狀的患者往往在一到兩周內就會完全復原。只有約0.5%的患者會發生肌力變弱而導致行動困難。疾病的進程可能只是數小時，也可能需要數天。肌力變弱的狀況往往發生在下肢，很少發生在頭部、頸部、橫膈膜的肌肉。大多數的人可以自行復原，但少數的人會造成終生殘疾。在感染此病毒造成肌力變弱的患者中，有2%到5%的幼年患者與15%到30%成年患者會導致死亡。從後小兒麻痺感染症候群中恢復，需要很長的時間，會很長一段時間都有如同感染時期一樣的肌力不足。
脊髓灰質炎病毒通常經糞口傳播。也有可能經由被糞便汙染的水或食物傳染，經由唾液傳染是較為少見的狀況。感染病毒的患者，即便已經毫無症狀達六周，還是有可能具有散播疾病的能力。藉由在患者的糞便之中找到病毒，或是在血液中找到相對應的抗體，可以用來作為小兒痲痹症的診斷依據。
脊髓灰質炎
1950年代，美國病毒學家乔纳斯·索尔克製作出世上第一劑小兒麻痺疫苗。脊髓灰質炎可以藉著脊髓灰質炎疫苗來預防感染，有口服滴劑、糖丸与注射型等形式。但為了讓疫苗達到效用，必須連續注射/服用多劑才行。美国疾病控制与预防中心建議旅客還有居住在脊髓灰質炎病毒依然猖獗的國家里面的居民，應追加注射/服用脊髓灰質炎疫苗。一旦感染後，目前尚無特效藥或療法。脊髓灰質炎的感染人數，已從1988年的35萬例，降至2013年的416例。2011年，源自巴基斯坦的病毒一度進入中國，但藉由疫苗的施打和早期發現，WHO原本在2013年預計最終可於2018年將這個疾病自世界上根除。在2013年，卻在敘利亞發現幾例新個案，且2014年5月，WHO 因為小兒麻痺症在亞洲、非洲奈及利亞以及中東的疫情爆發所以發佈國際公共衛生緊急事件，病毒來自巴基斯坦等主要疫區輸入。在2022年大多數地區再度被消滅，此疾病只剩在阿富汗與巴基斯坦間傳播，主因為戰亂與女性權益低落導致普及接種困難。到今天為止，在其他動物上並未發現感染小兒麻痺症的情形。
脊髓灰質炎
脊髓灰質炎已存在有千年之久，在古代的藝術品中，處處可見對此病症的描寫。在1789年，英國醫生麥可·安德伍德首先對脊髓灰質炎提出完整的臨床描述，接著再1908年，奧地利裔醫生蘭德施泰納是第一個確定脊髓灰質炎病毒的人。大規模的疾病爆發始於19世紀末的歐洲與美國。20世紀，小兒麻痺症更接著成為疫區中最讓人擔憂的幼童疾病。该病不仅會感染小儿，成年人也会因感染發病而造成残疾，如發明四乙基铅与氟利昂的美国化学家托马斯·米基利，美国第三十二任总统富兰克林·罗斯福等。
脊髓灰質炎 临床表现
最明显的特征就是稳定期过后，出现渐进的肌肉萎缩症（肌肉质量下降），四肢无力，感觉疼痛和疲劳，进行日常活动的能力下降；衰减的上肢功能和肺的功能。
最明显的症状是疲劳，即使是轻微的体力活动通常会产生疲劳，也可以加剧其它症状；呼吸或吞咽困难，睡眠相关呼吸障碍，如睡眠呼吸暂停的问题和耐寒能力下降等显著症状。
随着病情发展，四肢逐渐出现各种畸形。早期的畸形可以矯正，后遗症后期瘫痪肌肉不再恢复，肌纤维逐渐萎缩变小，甚至消失。因肌肉萎缩，肌力不平衡和身体的负重，产生组织挛缩，骨关节畸形。常见的畸形有关节挛缩，骨关节变形，马蹄内翻足，足外翻，膝内翻或外翻，骨盆倾斜，脊柱侧凸，下肢缩短等。腱反射减弱或消失。
脊髓灰質炎 治療
現在治療脊髓灰質炎的重點是減輕其症狀，加速復原以及避免併發症。支持性的措施包括避免萎缩肌肉感染的抗细菌药，止痛的鎮痛藥，適量的運動以及有營養的食物。脊髓灰質炎的治癒包括長期的復健治療，包括職能治療、物理治療、矯正鞋及背帶，有時會需要進行骨科整形。
有時可能會需要可攜式呼吸器來輔助呼吸。以往曾使用過一種未侵入式，負壓的呼吸器，一般稱為鐵肺，鐵肺用在急性的脊髓灰質炎感染時，在病患可以自主呼吸之前，以人工方式維持呼吸。今日許多曾得過脊髓灰質炎，有永久性呼吸麻痺的人會使用夾克式，穿在胸腹部的呼吸器來維持呼吸。
以往治療脊髓灰質炎的方式包括有水療、電療、按摩及被动式运动，也有像肌腱延長或是神經移植等手術治療。
脊髓灰質炎 預防
世界上有兩種對抗脊髓灰質炎的疫苗，兩種都可以誘導對脊髓灰質炎的免疫，有效隔絕人對人的脊髓灰質炎傳播，不但保護接種疫苗的人，也可以保護社會群體（稱為群體免疫）。
第一個計劃作為脊髓灰質炎疫苗的，是一種血清型減毒活疫苗，是由病毒學家希拉里·科普罗夫斯基所研發。疫苗原型在1950年2月27日施打在一位八歲的兒童身上。科普羅夫斯基在1950年代繼續研發疫苗，在比屬剛果有大規模的試驗，1958年至1960年時在波蘭也為七百萬名兒童注射PV1及PV3的血清型疫苗。
第二種滅活疫苗是在1952年由喬納斯·索爾克在匹茲堡大學開發，在1955年4月12日公諸於世沙克疫苗是無活性的脊髓灰質炎疫苗（IPV），是由猴子腎臟組織培養中生長的脊髓灰質炎病毒為基礎，再利用甲醛使病毒去活性。在注射兩劑後，90%以上的接種者會產生對三種血清型病毒的抗體，在注射三劑後，至少99%的接種者對脊髓灰質炎免疫。
脊髓灰質炎 預防
後來阿爾伯特·沙賓開發了另一種活的口服脊髓灰質炎疫苗（OPV），是在一般人體溫度下，將病毒反覆的通過非人體的細胞而得。減毒的沙賓疫苗會快速的在腸胃中複製，這是脊髓灰質炎首先會感染及複製的器官，但沙賓疫苗無法在神經系統組織中快速的複製。一劑沙賓疫苗可以使接種者對三種血清的脊髓灰質炎有50%的免疫力。三劑沙賓疫苗可以讓超過95%的接種者產生抗體沙賓疫苗的臨床試驗在1957年開始，在1958年時美國國立衛生研究院選擇沙賓疫苗及其他研究者的疫苗實驗，確認哪一種效果最好，在1962年註冊。很快沙賓疫苗就變成世界上唯一在使用的脊髓灰質炎疫苗。
由於沙賓疫苗價格便宜，容易接種，且在消化道中的免疫力非常好（在地方性流行病時，這可以避免感染），很多國家都曾經用沙賓疫苗來控制脊髓灰質炎。在非常少數的情形下（約75萬人中會出現一人），減毒的沙賓疫苗會轉變為可造成癱瘓的病毒。大部份已開發國家都已改為沙克疫苗，不論單獨施打或和沙賓疫苗一起接種，沙克疫苗都不會轉變為可造成癱瘓的病毒。
脊髓灰質炎 后遗症的病因
小儿麻痹症后遗症目前没有确定统一的理论解释。被广泛认同的是“神经疲劳”学说。神经疲劳理论认为，运动神经元纤维的扩大需要增加代谢应激来应对神经细胞体滋养纤维。经过多年的使用，这种应激可能超过神经元的承受力，导致生长的纤维逐渐恶化，最终是神经元本身。这会导致肌肉无力和瘫痪。
脊髓灰質炎 發病史
在古埃及第十八王朝時（1403 - 1365 BC）出土的石板畫，就很明確的畫出小兒麻痺病人的姿態。1789年，臨床醫師邁克爾·安德伍德清楚描述其病狀。後來經由微生物學的發展，明確的將小兒麻痺病毒歸在「腸道病毒」，傳染途徑藉由「人傳人」、「糞口傳染」（食物和飲水易受病人的糞便汙染），好發季節是溫帶地區的夏季與早秋或是熱帶地區的雨季。
由於，醫生雅各布·海涅1840年的研究工作和卡爾·奧斯卡·梅定1890年的研究工作等病例資料，以致曾被稱為「海涅－梅定」病。這種疾病後來被稱為「小兒麻痺症」，是根據發病傾向於兒童。
逆数学
逆数学（Reverse mathematics）是数学的一个分支，大致可以看成是“从定理导向公理”而不是通常的方向(从公理到定理)。更精确一点，它试图通过找出证明所需的充分和必要的公理来评价一批常用数学结果的逻辑有效性。
该领域由Harvey Friedman在其文章“二阶算术系统及其应用（Some systems of second order arithmetic and their use）”中创立。它被Stephen G. Simpson和他的学生以及其他一些人所追随。Simpson写了关于该主题的参考教科书二阶算数的子系统(Subsystems of Second Order Arithmetic);本条目大部分内容取自该书的简介性质的第一章。其他参考读物的细节参看参考。
逆数学 原则
逆数学的原则如下:从一个框架语言和一个基理论—一个核心(公理)体系—开始,它可能弱到无法证明大部分我们感兴趣的定理，但是它要强到足以证明一些特定的其区别和所研究的课题不相关的命题之间的等效性或者足以建立一些足够明显的事实(例如加法的可交换性)。在该弱的基系统之上有一个全理论，强到足以证明我们感兴趣的定理，而正常的数学直觉在该理论中又不受侵害。
在基系统和全系统之间，逆数学家需求给一些公理集标上中间的强度，它们（在基系统上）互相不等价:每个系统不仅要证明这个或那个经典定理而且需要在核心体系上等价于该定理。这保证定理的逻辑强度可以被精确的衡量(至少对所选的框架语言和核心系统来说):更弱的公理系统无法证明该定理，而更强的公理系统不被该定理所蕴涵。