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皇家马德里足球俱乐部 競爭對手
皇家馬德里的最主要競爭對手無疑是。兩大勁旅無論球隊風格及政治立場各有不同，一隊是代表馬德里的皇家馬德里，另一隊則是代表加泰罗尼亚的巴塞隆拿，這兩個地區在文化上、政治上，皆有著強烈的對比，在歷史上更已有著深厚的恩怨。而兩隊對壘漸被認為是「西班牙国家打吡」，也是西班牙國內每年至少两度引人注目的體育盛典。所以每当两队对决时，必定有球迷间暴力事件爆发。
皇家马德里足球俱乐部 競爭對手
加泰隆尼亞及其他在伊比利亚半島上靠地中海的地區，曾被希臘人與迦太基人所殖民。在迦太基人被羅馬擊敗以後，加泰隆尼亞成為羅馬帝國西班牙行省（Hispania）的一部分。羅馬帝國崩潰之後此處落入哥德人的統治，隨後在八世紀成為摩爾人安達盧斯的一部分。查理大帝驅逐摩爾人后在此成立了西班牙邊疆區，作為法蘭克王國與摩爾人的倭馬亞王朝之間的緩衝區。12世纪时加泰罗尼亚与阿拉贡王国联合建立阿拉貢聯合王國。1469年，卡斯蒂利亞女王伊莎貝拉一世和阿拉貢國王斐迪南二世結婚，標誌了西班牙王國的誕生。但在此時阿拉貢與與卡斯蒂利亞仍然保有各自的傳統制度與政治體制。伴隨之後的王權強化，國內動亂和王位戰爭，民族和地區之間的矛盾不斷。西班牙內戰爆發后，因為皇家馬德里是極權獨裁者弗朗西斯科·佛朗哥最喜愛的足球隊而得到他的後台支持，由於佛朗哥是一位追崇西班牙國家主義的領袖，所以得到反對派及右翼所支持，這時佛朗哥下令將取消加泰羅尼亞自治區而且全國禁用加泰羅尼亞語，忠於加泰羅尼亞民族主義的因而受到佛朗哥獨裁政權的政治壓迫，不幸的是當時的會長約瑟普·索諾爾（Josep Sunyol）更被佛朗哥槍殺謀害来源请求内容，這也為巴塞隆納和皇家馬德里未來進一步對立埋下了伏筆。50年代，兩隊為了爭奪迪史提芬奴（Alfredo di Stéfano）爭持多個月，起初巴塞隆納已經成功與迪史提芬奴簽約，更為球隊參與過3場友誼賽，但得到王室及政府龐大支持以至與政府有密切關係的皇家馬德里間接令政府阻止收購，最後皇家馬德里成功從巴塞手中搶得迪史提芬奴，其後因為他的帶領而連續五年奪得歐冠盃。
皇家马德里足球俱乐部 競爭對手
論球場上，兩隊早年已經視對手為競爭目標，他們的首次對碰來自1902年5月13日的首屆西班牙國王盃，當時於主場以3比1擊敗馬德里足球會（及後成為現時的皇家馬德里）。稍後數年他們仍有相約對手進行友誼賽，但當時的實力稍為技高一籌的巴塞隆納面對馬德里時感到輕鬆，曾經主場毫不留情地七比零大勝對方可見一斑来源请求内容，皇家馬德里直到1916年的西班牙國王盃終於以4比1首次擊敗。
在第一屆西班牙足球聯賽，皇家馬德里與的整體實力旗鼓相當，雙方為奪得首屆聯賽而努力，直至比賽到最後一輪，皇家馬德里因最後一場失利令後上成為聯賽冠军。1961年當皇家馬德里邁向6奪歐冠盃進發，但被擊敗再度令冠軍夢碎。2001年球星費高破天荒加盟皇家馬德里，令雙方球迷之間的仇恨提升至最高點，當費高以皇家馬德里球員身份重返魯營球場，球場內的球迷高舉起侮辱性的標語，不斷有球迷投擲硬物，甚至扔出豬頭以示侮辱。
皇家马德里足球俱乐部 競爭對手
2011年以来，随着两队实力的不断增强，双方在各项赛事中的交手次数逐渐增多，譬如2010-11赛季两队曾在18天内交手4次（联赛、西班牙国王杯决赛、欧洲冠军联赛半决赛），在2011-12赛季的上半赛季也已交手5次（西班牙超级杯、联赛、西班牙国王杯1/4决赛）。然而在这几次的交手中，双方球员因为高强度比赛和球迷舆论压力，开始频繁出现严重违反体育道德的暴力犯规引致两队球员间大规模群殴，两队教练、球员和俱乐部高层在场下的口水大战亦从未间断，西班牙国家队时任主帅博斯克曾表示，他担心两队近年来不断加剧的恶斗会影响西班牙国家队的团结。这种恶性对立在2011年西班牙超级杯达到了顶点，次回合的比赛因双方球员及教练的斗殴而多次中断，時任皇马主教练穆里尼奥亦使用手指戳击时任巴塞罗那助理教练（及後出任主教练）比拉诺瓦的眼睛而被判停赛两场。巴塞罗那发表声明对皇马的一系列行为表示不满，並一度表示若情況持續將與皇家马德里断絕一切關係。之后在两队之间非竞技层面的恶性对立有所缓解。
皇家马德里足球俱乐部 競爭對手
球迷方面，两隊球迷时不时做出暴力行动和互相贼喊捉贼，从场上对骂场下约架暴力冲突，到反串为对家拉仇恨恶意修改各網絡百科页面。相對而言，球员之间的冲突其实仅仅停留在比赛场上普通体育争执。2019年，皇馬時任队长拉莫斯辦婚礼，數位巴塞罗那球员有到场祝贺。
兩隊在數十年間一直領導西班牙球壇，截至2017年兩隊共有奪得57個聯賽冠軍，48個西班牙盃冠軍及26個西班牙超級盃冠軍。
以下是近年皇家馬德里於聯賽對巴塞隆拿的對賽成績：
除了巴塞隆拿外，馬德里市內還有眾多球隊，其中以為最大的市內競爭對手，皇家馬德里曾奪得多個聯賽冠軍，兩隊每逢聯賽碰頭必定成為馬德里市以及西甲聯賽的焦點。他們歷史上首度碰頭於1929年2月24日，皇馬主場以二比一取勝。1960年及1961年西班牙国王盃決賽剛好由該兩支同市球隊爭奪，結果馬競先後以三比一及三比二奪取冠軍。皇馬自1999年10月30日於聯賽中1比3主場落敗後，便連續13年在各項賽事中對馬競保持不敗。
皇家马德里足球俱乐部 競爭對手
馬競雖歷經低潮，不過近十幾年也崛起成為歐洲豪門之一。2012/13年賽季，皇馬於5月17日主場班拿貝球場作賽的西班牙国王盃決賽中，在加時賽以1-2不敵馬競，終結了連續14年不敗於馬競的記錄。
2013/14年賽季，馬德里體育會在2013年9月23日聯賽作客班拿貝球場憑着迪亞高·哥斯達的入球以1:0擊敗皇家馬德里，並在次年保持聯賽對皇馬的優勢，最終輪逼和巴塞隆納奪得西甲冠軍。2014年歐洲冠軍聯賽決賽，兩隊再度碰頭，亦是歐冠史上首次由兩支同城球隊爭奪歐冠冠軍，最終皇馬踢至加時以4-1大勝馬體會，捧起球會史上第10座大耳朵盃。
在14-15球季，2014年西班牙超級盃中，馬競兩回合計2:1擊敗皇馬歷史上第二次奪得此項錦標，而次回合馬競主場以1:0擊敗皇馬的比分，也打破了馬競近15年主場不勝皇馬的紀錄。
2016年歐洲冠軍聯賽決賽，兩隊再度於歐冠決賽碰頭，再度帶著1-1進入延長賽，最終皇馬踢至PK大戰以5-3氣走馬體會，捧起球會史上第11座大耳朵盃。
2018年歐洲超級盃中，馬競加時以4:2擊敗皇馬奪標。
在西班牙因為佛朗哥的獨裁而被國際孤立的時候，一位部長說「皇馬是我們有史以來最好的大使館」。政府官員這種看法已經對這個城市的足球身份產生了重要影響，它冒犯到當地人的集體意識。在這方面，在當地佔多數的馬德里競技球迷們原創大量事物去諷刺皇馬，而且是最常見的歌曲為"Hala Madrid, hala Madrid, el equipo del gobierno, la vergüenza del país"(「皇马万岁，皇马万岁，政府的俱樂部，國家的恥辱。」)
以下是近年皇家馬德里於聯賽對馬德里競技的對賽成績：
皇家马德里足球俱乐部 附屬球隊
皇家馬德里預備隊──皇家馬德里卡斯蒂利亞，在西班牙足球乙二级联赛比賽。
另外皇家馬德里於1932年成立籃球隊─皇家馬德里籃球俱樂部，10度成為歐洲冠軍及多次成為本土籃球聯賽冠軍，每年西班牙打吡都是籃球比賽的焦點。
皇家馬德里於2020年成立女子隊─皇家馬德里女子足球俱樂部，前身是2014年成立的DeportivoTACÓN，同年內遂出現El Viejo Clásico、馬德里打吡、西班牙打吡。
皇家马德里足球俱乐部 支持者
在大多数主场比赛中，球场上的大部分座位都由季票持有者占据，季票持有者的数量上限为65,000人。要成为季票持有者，首先必须成为"会员"，即俱乐部成员。除了会员外，该俱乐部还在西班牙和世界各地拥有1,800多个"peñas"（官方俱乐部附属支持者团体）。皇马在西班牙足球历史上的平均入场人数排名第二，伯纳乌球场经常吸引超过74,000名球迷。
皇马的核心支持者被称为"Ultras Sur"，简称Ultras。他们以其极端的右翼政治而闻名，类似于巴塞罗那的核心支持者团体疯狂男孩。Ultras Surs与其他右翼团体，尤其是拉齐奥的"Irriducibili"球迷建立了联盟，并且还与左翼团体建立了联系。他们曾多次因对对方球员进行种族歧视而受到欧足联的调查。弗洛伦蒂诺·佩雷斯决定禁止Ultras进入伯纳乌球场，并将他们的座位分配给大众。然而，这个决定在伯纳乌忠实的球迷中引起了争议，因为比赛的热烈氛围将因此受到影响。Ultras此后在伯纳乌球场外举行抗议，要求被恢复并允许进入球场。
皇家马德里足球俱乐部 支持者
当被问及教宗方济各是否支持2014年国际足联俱乐部世界杯决赛对手圣洛伦佐时，马德里队长塞尔吉奥·拉莫斯表示：“在半决赛中，我们注意到马拉喀什的支持者对我们的爱，感觉就像在自己的主场比赛。这展示了我们球队的伟大之处。马德里是上帝的球队，也是世界的球队”。俱乐部的著名支持者之一是高尔夫球手塞尔吉奥·加西亚，他受邀身穿自己在2017年大师赛夺冠时的绿色外套，在伯纳乌球场为El Clásico进行了荣誉开球。
皇家马德里足球俱乐部 相关事件
2024年6月2日，一名中国博主在英国街头进行欧冠决赛赛后采访时，遇到一名庆祝皇马夺冠的球迷。在得知博主不是韩国人后，这名球迷对着镜头高唱一首涉嫌种族歧视、侮辱中国女性的歌曲，并谎称此曲为庆祝皇马夺冠的歌曲。在被懂西班牙语的观众提醒后，这名博主于6月5日发布视频，宣布自己遭到“西班牙球迷”种族歧视。后经西语观众指认，种族歧视者为皇马前主席洛伦索·桑斯之孙，皇马官方解说员洛伦索·桑斯·杜兰之子，消息随即在社交媒体上引发关注。西班牙媒体“Diario AS”也报道了此事。
2024年6月10日，中国驻西班牙大使馆发布公告，宣布就皇马个别球迷在接受采访中发表不当辱华言论向俱乐部提出严正交涉。与此同时，瓦伦西亚地方法院判处3名在2023年歧视维尼修斯·儒尼奥尔的球迷8个月监禁，再次引发中国舆论不满。很显然，皇马在对待不同种族遭遇歧视的问题上采取了双重标准。
文字
文字（script）是人类用来记录和传播语言的书写符号体系，可单独或经组合表达某种或某些语意信息。书写体系（writing system）则是一种基于文字和使用规则以利在视觉上表现口语沟通的方法。
类文字是新石器时代早期的書寫符号体系，用来记录特定事物、簡化圖像。文字在发展早期都是图画形式的，有些是以形表意，有些是以形表音，其中有表意文字（象形文字，以形表意的文字），與語音無甚關係，中國文字便是從此漸次演變而成。有些中文字可以從表面、部首、字旁看到一些聯繫旁通的字義。而這些特色是拼音文字所沒有的。所以古代中國文字在不同的語系區域擁有不同發音，即方言的存在。漢字已經被鄰近的族群借用其文字用作為書寫紀錄。一般认为，文字是文明社会的标志。
文字
有些文字是以形表音的图画文字，其后歷經不同演變，部分發展成语言的符号体系，後亦可用來紀錄人生經驗與見聞。除了漢字及其衍生文字之外，當代世界絕大部分的文字的歷史都可追溯至古埃及聖書體文字。
以形表音的图画文字经过不断的发展，從古埃及文、羅馬文字、及拉丁文字則发展到后期都成为語音符號，即文字的字母，不同的字母合併成一個文字。由於不同字母分別付予一個音，不同的字母合併成切音（混音），形成音節，合併不合的音節，成為了记录语音的表音文字。
文字 文字史
依现在的观点，侧重表意或侧重表音是文字的不同发展方向。有研究者認為，人类的文字史分为形意文字、意音文字和拼音文字三个发展方向：
又称为表意文字，是一种以图像表示内容的象形符号。像中文中的“日”、“月”等字都属于象形文字。象形文字是文字萌芽时期的产物，主要的优势便是易于理解，一看便懂，用于记录语言会有些困难，尤其是纪录虚词，可以分为四种类型--刻符、岩画、文字画和图画字。不過到今天，這種表達意義的符號依舊很常見。比如网络上流行的颜文字。
文字 文字史
有些意音文字是由象形文字发展而来的，这种文字既吸收了象形文字易于理解的优点，又吸收了拼音文字造字方便的优势，尤其是对于虚词的造字，同时汉字摒弃了原音意文字中的读音成分，形成了一种独特的指示会意文字体系，克服了拼音文字只能被一种语言拘束的缺点，无论是操何种语言都可以用一套指示会意文字来很好的交流。有的語言學者認為意音文字代表人类文字史走出原始时期，进入高度文明时期，而這種文字已經可以編寫歷史了。如两河流域的楔形文字、古埃及的圣书体、中国的汉字、中美洲的瑪雅象形文字。发展成熟而又代表高度文化的意音文字不多，目前主要有中国的汉字。楔形文字、圣书体、玛雅象形文字早已没人使用（有学者认为楔形文字、圣书体、玛雅文字其实仍然只是一种以形表音的表音文字不应看做音意文字，但更多人认为实际上所有的文字字形本来就都是用来记录语音的，按这种观点连汉字都是表音文字了），汉字是当今世界上仍被广泛采用的意音文字。但意音文字的缺點也是極為明顯的，意音文字對應每項事物解釋會創一個字體來表達，若將來遇到現有文字庫沒有對應解釋的字，在新的字體創造與決定出來前，該事物便無法普遍表達，因此意音文字對應新事物的限制較大，沒有拼音文字使用上的彈性。但是也可以通過組合其他字詞而產生新的意思。像是"母牛"，而不是用牝。
又称为字母文字，有些学者认为它是形意文字和意音文字之外的、人类文字的第三个方向。拼音文字只以簡單的筆畫來標音，而且泛用性高，可以套用在多數語言。
分类：
与音节文字的区别：
拼音文字（音素文字）和音节文字（日文）的区别是，音节文字的一个字位表示一个音节，如日文假名；而拼音文字的一个字位只表示一个音素。
周有光等某些学者曾提出字母文字的发展又分为三个时期：
但这种观点明显不符合考古和历史，例如腓尼基字母直接脱胎于埃及圣书体，并没有经过音节文字阶段。因此该观点是不对的。
文字 基本術語
各種文字的研究已獨立發展相當長的一段時間，因此有些術語的定義可能會隨領域或是文字而不同。
文字（text）一詞一般是指書面資料。編寫及記錄文字可稱為寫作，觀看及解釋文字的活動則稱為閱讀。正字法是指字母體系的方式及規則，也包括拼音的概念。
字位是書寫體系的一個特殊基礎單位，是最小的有意義元素。字位的概念類似語言中的音位，例如在使用拉丁字母的英文，字位包括二十六個字母的大寫及小寫，一些附加符号，以及阿拉伯數字等。
一個字位可能會以不同的方式表示，有些變化在視覺上可以清楚的識別，但這些不同的表示方式仍對應同一個字位，這稱為字位的異形文字，類似語言學研究中的同位異音。例如小寫字母a在手写体及印刷體的字形都有所不同。會選用的異形文字和使用的媒介、寫作器具、寫作者的風格、前後文字的形狀、預期的讀者等有關。
文字 基本術語
有時會字形或字母之類的詞來表示字位。常見的用法也隨領域而不同。比較楔形文字、瑪雅象形文字及汉字，大部份書寫體系的字位是由直線（或筆畫）所組成，因此稱為「線性文字體系」，但也有字位不由直線構成的「非線性文字體系」，像楔形文字及點字。
文字是和對應的語言一様，是一種概念系统。若文字可以表達所有語言可以表示到的極致，則此文字可以稱為「完整」。
文字 文字类型
註：1.这里音素和音位（英語：）同義。　2.語素文字又稱意音文字。
語素文字也稱為表意文字是表示詞或語素（語言的最小語義單位）的文字，一般來說可以分解為字位，一個字位代表一個語素。語素文字的文字本身可能有表示聲音、意義或是形狀的部份。例如漢字及楔形文字都屬於語素文字。
音節文字是表音文字的一種，是一套代表着用以构成詞的音节和音拍的字位，一般一个音节对应一个字符。音節文字中的字位被称为「syllabogram」，一般是由一个辅音（不是必须有）加上一个在后的元音组合而成，比如音节CV或V。有些表音文字中，可以看到CVC的组合和代表CV发音的字。代表有日語的假名。像假名一樣並不是音素的組合，各音節有獨自字位的音節文字，在世界上也是相當稀少的。
輔音音素文字對每種辅音都有一個符號，元音符號通常不標示。
某些輔音音素文字有元音的符號，但只用在特殊場合，如教學。
盲人使用的文字，透过特定工具在纸张上制作出不同组合的凸点而组成。盲文的基本单位是长方形的盲符，有位置固定的六个点，每个点可以凸出或不凸出，形成64种可能之表達方式。
文字 文字的圖像上分類
也許，最主要以圖像上區別來分類的是線條。線性書寫體系是指字符由許多線條所組成，如拉丁字母和漢字。漢字如果是用原子筆、毛筆或鑄刻在青銅器上，則視為是線性的。類似地，埃及象形文字和瑪雅文字則通常是描繪線性外框，但在正式場合，他們雕刻在bas-relief中。另一方面，非線性書寫體系則如盲文，不論是用什麼材質，都非由線條構成。最早的例子則是線條的：西元前3300年的楔形文字是線條的，雖然從它衍生的楔形文字不是。
楔形文字也許是最早的非線條文字。它的字形是由蘆葦筆尖所壓制在潮溼泥板而成，而非之前在泥板上用筆尖描繪線條。
最後變成其文字的字根外觀上的變化。
盲文則是拉丁文字的非線條版本，它完全放棄拉丁文字的外形。字母是由凸塊所組成，其基底可以是皮革（路易斯·布萊葉原本採用的材質），堅硬塑膠或金屬。
也有拉丁文字的非線條的短暫性版本，包含摩爾斯電碼，手語的manual alphabet版本和藉由旗幟或布條放置在不同角度旗語。然而，如果文字是定義成永久紀錄資訊的能力的話，因為這些符號很快就會消失，則這些體系根本並非文字。
文字 文字的圖像上分類
文稿的一項特徵是它們書寫的方向。埃及聖書體可以任一方向橫寫，只要動物或人的字形面向書寫它們的方向。早期的字母可以被以很多方向書寫，包含横向（左至右或右至左）或縱向（上或下）。它一般是用牛耕式轉行書寫法。由一個（水平）方向開始，然後在一行結尾轉折以反方向書寫。
希臘字母和其後繼者則是左至右的模式，然後在一頁中由上往下寫。在Timed Text (TT) Authoring Format中，這個模式被簡稱為LRTB。其它文字，如阿拉伯文字和希伯來語則由右至左書寫。漢字傳統上是縱向書寫（上至下），接著在頁中由右至左排列。但近年來因為西方文化的影響，為了能使用羅馬字母的術語及電子文件的技術上限制，則逐漸出現由左至右，上而下的方式書寫，但傳統寫法在臺灣、马来西亚华人社会仍然常見，甚至遷就於無法直寫，以「一字一行」方式，由右向左橫寫的書寫方式也尚未完全消失（例如匾額）。回鹘文字母和其後繼者則是由上至下，左至右的文字；這種方向源自於將祖傳閃語方向90°逆時針方向以便在外觀上適合中文書寫。一些菲律賓和印度尼西亞的文字，如哈努诺文，則是以遠離寫者方向，由下而上的方式書寫。
文字 最常见的几种文字
世界上有文字的语言里，绝大多数都是用以下文字形式写成的：
西里尔字母
受前苏联的影响东欧、前苏联的一些加盟国也采用斯拉夫字母拼写语言，如哈萨克斯坦（將於2025年改拉丁字母書寫）、塔吉克、吉爾吉斯、烏克蘭、白俄羅斯、保加利亞、馬其頓、蒙古国（蒙古国在独立之前使用旧蒙文和汉字，脱离中国后受前苏联的影响，开始排华废除汉字的地位，也废弃了属于蒙古文化的本国文字，将本国语言使用西里尔字母称为“新蒙文”，目前蒙古國計劃2025年將全面恢復使用舊蒙文書寫）
塞爾維亞、蒙特內哥羅和波士尼亞三國則是將西里尔字母和拉丁字母一起並列使用
其它的（往往是孤立的）文字形式有：
希臘字母、回鶻字母、亞美尼亞字母、敘利亞字母、希伯來字母、喬治亞字母、吉茲字母、它拿字母 、提非納文字、加拿大原住民音節文字、古匈牙利字母等
带宽
带宽（英語：）指信号所占据的频带宽度；在被用来描述信道时，带宽是指能够有效通过该信道的信号的最大频带宽度。对于模拟信号而言，带寬又称为频寬，以赫兹（Hz）为单位。例如模拟语音电话的信号带宽为3100Hz（从300Hz到3400Hz），一个PAL-D电视频道的带宽为8MHz（含保护带宽）。对于数字信号而言，带宽是指单位时间内链路能够通过的数据量。例如ISDN的B信道带宽为64Kbps。由于数字信号的传输是通过模拟信号的调制完成的，为了与模拟带宽进行区分，数字信道的带宽一般直接用波特率或符号率来描述。
带宽在信息论、无线电、通信、信号处理和波谱学等领域都是一个核心概念。
带宽 解释
带宽在许多应用中都是一个关键的概念。例如在无线电通信中，带宽是调制载波占据的频率范围，然而在光学中带宽是单个谱线宽度或者整个频谱范围。
对于不同的应用领域有不同的精确定义。例如，其中一个带宽定义就是超出范围的频率函数为零的频率范围。这就对应于数学概念中的函数，例如函数不是零的所有值的“长度”。
另外一些定义可能没有那么严格，它们丢弃了频率函数“很小”的信号频率。很小可能是意味着它的值在最大值 3 dB 以下，也就是最大值的一半（半能點）以下；也可能是小于某一个绝对值。由于函数的宽度有各种各样的定义，带宽的定义也就多种多样，分别用于不同的系统。
根据Shannon-Hartley 定理，可靠通信的数据速率直接与通信所用信号频率范围成比例。在这篇文章中，带宽一词有时用来表示数据速率，有时也表示通信系统的频率范围，有时同时表示两个概念。
在心理学上，带宽就是心智的容量，包括两种能力，分别为认知能力和执行控制力。
带宽 模拟系统
对于在数学上可以看作时间函数的模拟信号来说，带宽是以赫兹为单位、信号的傅里叶变换不为0的频率范围。这个定义也可以不严格地定义为在频域内信号的傅里叶变换功率在一个特定门限之上、例如与最大值差在 3dB 的范围之内的频率范围。信号带宽是信号随着时间波动速度的一个度量，这样，带宽越大，信号的变化越快。上面是信号带宽的描述，带宽也可以用于系统。在表示系统带宽的时候，系统带宽是系统传递函数带宽的简称。
例如，函数的 3dB 带宽在图上表示是 ，但是其它的带宽定义就会得到另外不同的结果。一个常用的数量是分数带宽（英語：，縮寫：FBW），它是除以设备中心频率得到的带宽。例如，一个带宽 2MHz、中心频率 10MHz 的设备的分数带宽是 2/10 或者表示为 20%。
带宽 模拟系统
实数基带系统既有负频率又有正频率这样一种现实可能使带宽变得易于混淆，因为有时带宽仅仅用来表示正的一半，例如偶尔可以看到这样的表示 ，其中  是总的带宽， 是正的带宽，如果需要为这个信号设计一个低通滤波器，那么截止频率至少要保证  不受影响。
电子滤波器带宽是频率响应在峰值中心频率响应差在 3dB 范围内的频率部分。
在信号处理和控制理论中，带宽是闭环控制系统增益衰减到 −3dB 的频率。
在基础电路理论中带通和带阻滤波器的带宽表示频域中信号强度是最大信号强度  的两个频率之间的距离。
在光子学中，带宽有不同的含义：
带宽 數位系統
在數位通訊系統中，頻寬有兩種含義。從技術意義上來說，它是波特率的俗稱，波特率是系統傳輸數據符號的速度；口語中它也用來表示頻道容量，頻道容量是系統能夠傳輸數據的速度（參見Shannon Limit）。這樣，有32 條獨立數據線的66MHz 數位匯流排可以恰當地說成是66MHz 頻寬、2.1Gbit/s 的數據傳輸能力，但是對於匯流排“頻寬2.1Gbit/s”這樣一種說法這也不應感到奇怪。對於模擬的數據機來說也有同樣的問題，對它來說，每個符號攜帶多位的訊息所以通過頻寬12kHz 的電話線 能夠傳輸56kbit/s 的訊息。
在離散時間系統和數位訊號處理中，根據Nyquist-Shannon 採樣定理頻寬與採樣率有關。
頻寬也用於日常生活中用表示某些有限的或者花費金錢的東西。這樣，通信消耗頻寬，不合理地使用其它人的頻寬可以稱為频盗（bandwidth theft）。
带宽 網路服務
一些主机服务商会给带宽以不同的含义。在这里，带宽几乎变成一个單位時間內的流量概念。意思是單位時間內的下行数据总量。意味着如果一个公司提供每月2GB的带宽，意思就是用户每月最多只能下载2GB的内容。
带宽 影片串流
影片頻寬為在一段時間內傳輸或接收影片數據，所需要的資料大小。通常以每秒多少位元（bps）或每秒多少兆位元（Mbps）作為單位。影片的解析度越大，所需要的頻寬越高，需要傳送的數據量也越大，通常高品質的影片串流，就需要注意網路的頻寬是否足夠影片頻寬作為傳輸使用所需。
影片頻寬的多寡受到多種的因素影響，包括影片的解析度（標清、高清、4K、8K...）、FPS（每秒顯示的畫面格數Frames）、以及影像的視訊壓縮技術等。例如，高清影片串流通常需要最少 5 Mbps 的頻寬，4K影片更可能需要 25 Mbps 或者更高的頻寬條件，才能讓影片順暢的傳輸以及播放來觀看。
信息论
信息论（英語：）是应用数学、電子學和计算机科学的一个分支，涉及信息的量化、存储和通信等。信息论是由克劳德·香农发展，用来找出信号处理与通信操作的基本限制，如数据压缩、可靠的存储和数据传输等。自创立以来，它已拓展应用到许多其他领域，包括统计推断、自然语言处理、密码学、神经生物学、进化论和分子编码的功能、生态学的模式选择、热物理、量子计算、语言学、剽窃检测、模式识别、异常检测和其他形式的数据分析。
熵是信息的一个关键度量，通常用一条消息中需要存储或传输一个符号的平均比特数来表示。熵衡量了预测随机变量的值时涉及到的不确定度的量。例如，指定擲硬幣的结果（两个等可能的结果）比指定掷骰子的结果（六个等可能的结果）所提供的信息量更少（熵更少）。
信息论
信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大领域。这两个方面又由信道编码定理、信源－信道隔离定理相互联系。
信息论的基本内容的应用包括无损数据压缩（如ZIP文件）、有损数据压缩（如MP3和JPEG）、信道编码（如数字用户线路（））。这个领域处在数学、统计学、计算机科学、物理学、神经科学和電機工程學的交叉点上。信息论对航海家深空探测任务的成败、光盘的发明、手机的可行性、互联网的发展、语言学和人类感知的研究、对黑洞的了解，以及许多其他领域都影响深远。信息论的重要子领域有信源编码、信道编码、算法复杂性理论、算法信息论、資訊理論安全性和信息度量等。
信息论 简述
信息论的主要内容可以类比人类最广泛的交流手段——语言来阐述。
一种简洁的语言（以英语为例）通常有两个重要特点：
首先，最常用的词（比如"a"、"the"、"I"）应该比不太常用的词（比如"benefit"、"generation"、"mediocre"）要短一些；其次，如果句子的某一部分被漏听或者由于噪声干扰（比如一辆车辆疾驰而过）而被误听，听者应该仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把电子通信系统比作一种语言的话，这种健壮性（）是不可或缺的。将健壮性引入通信是通过信道编码完成的。信源编码和信道编码是信息论的基本研究课题。
注意这些内容同消息的重要性之间是毫不相干的。例如，像“多谢；常来”这样的客套话與像“救命”这样的紧急请求在说起来、或者写起来所花的时间是差不多的，然而明显后者更重要，也更有实在意义。信息论却不考虑一段消息的重要性或内在意义，因为这些是数据的质量的问题而不是数据量（数据的长度）和可读性方面上的问题，后者只是由概率这一因素单独决定的。
信息论 信息的度量
美國數學家克劳德·香农被称为“信息论之父”。人们通常将香农于1948年10月发表于《贝尔系统技术学报》上的论文《通信的数学理论》作为现代信息论研究的开端。这一文章部分基于哈里·奈奎斯特和拉尔夫·哈特利於1920年代先後發表的研究成果。在该文中，香农给出了信息熵的定义：
其中為有限个事件x的集合，是定义在上的随机变量。信息熵是随机事件不确定性的度量。
信息熵与物理学中的热力学熵有着紧密的联系:
其中S(X)為熱力學熵，H(X)為信息熵，為波茲曼常數。
事實上這個關係也就是廣義的波茲曼熵公式，或是在正則系綜內的熱力學熵表示式。如此可知，玻尔兹曼与吉布斯在统计物理学中对熵的工作，啟發了信息論的熵。
信息熵是信源編碼定理中，壓縮率的下限。若編碼所用的資訊量少於信息熵，則一定有資訊的損失。香农在大數定律和渐进均分性的基础上定義了典型集和典型。典型集是典型的集合。因為一个独立同分布的属于由定义的典型集的機率大約為1，所以只需要将屬於典型集的无记忆信源编为唯一可译碼，其他隨意編碼，就可以達到幾乎無損失的壓縮。
信息论 信息的度量
設有一個三個面的骰子，三面分別寫有，為擲得的數，擲得各面的概率為
則
聯合熵（）由熵的定義出發，計算聯合分布的熵：
條件熵（），顧名思義，是以條件機率計算：
由貝氏定理，有，代入聯合熵的定義，可以分離出條件熵，於是得到聯合熵與條件熵的關係式:
可以再對聯合熵與條件熵的關係做推廣，假設現在有個隨機變量，重複分離出條件熵，有：
其直觀意義如下：假如接收一段數列，且先收到，再來是，依此類推。那麼收到後總訊息量為，收到後總訊息量為，直到收到後，總訊息量應為，於是這個接收過程給出了链式法則。
互信息（）是另一有用的信息度量，它是指两个事件集合之间的相关性。两个事件和的互信息定义为：
其意義為，包含的多少資訊。在尚未得到之前，對的不確定性是，得到後，不確定性是。所以一旦得到，就消除了的不確定量，這就是對的資訊量。
如果互為獨立，則，於是。
又因為，所以
其中等號成立條件為，是一個函數。
互信息与G检验以及皮尔森卡方檢定有着密切的联系。
8月19日
8月19日是阳历年的第231天（闰年是232天），离一年的结束还有134天。
8月20日
8月20日是阳历年的第232天（闰年是233天），离一年的结束还有133天。
芥子毒气
芥子毒气（英語：），亦簡稱為芥子气，学名二氯二乙硫醚，是一种重要的糜烂性毒剂，因味道與芥末相似而得名。
芥子气主要通过皮肤或呼吸道侵入肌体，潜伏期2—12小时。它會直接损伤组织细胞，对皮肤、黏膜具有糜烂刺激作用：皮肤烧伤，出现红肿、水泡、溃烂；呼吸道黏膜发炎坏死，出现剧烈咳嗽和浓痰，甚至阻碍呼吸；眼睛出现结膜炎，导致红肿甚至失明；对造血器官也有损伤；多半有继发感染。摄入芥子气会引起呕吐和腹泻。世界衛生組織界定為一級致癌物。正常气候条件下，仅0.2的浓度就可使人受到毒害，死亡率約為1%。
由于其可以經皮膚入侵人體，只使用防毒面具不足以應付芥子氣的威脅，唯有穿著全套防毒衣或乘搭有核生化防護的載具，才可以安全通過受污染地區。在戰史上使用量、普遍性和殺傷最大，故被称作「毒剂之王」。
芥子气的含氮类似物称为氮芥，毒性比芥子气弱，被作为肿瘤化疗药物使用。
芥子毒气 历史
1822年，比利时化學家德斯普雷兹（César-Mansuète Despretz）发现芥子气。1886年，德国化學家维克托·梅耶首次人工合成纯净的芥子气；他发明的合成方法至今仍是芥子气最重要的合成方法之一。
在第一次世界大战中，德军首先在比利时的伊普尔地区对英法联军使用芥子气，并引起交战各方仿效，當時稱芥子气為「Yperite」；当时身为德國巴伐利亚步兵班长的希特勒曾被英军的芥子气炮弹毒伤，眼睛暂时失明。据统计，在第一次世界大战中共有12,000吨芥子气被用於战争用途；因毒气伤亡的人数达到130万人，其中88.9%是因芥子气中毒。
在第二次世界大战中，日軍曾在中国东北地区秘密驻有负责毒气研究和试验的七三一部隊；并在中日战争初期的淞滬會戰、徐州會戰、衡陽戰役等大规模戰役中使用过大量芥子气，造成中国军民大量傷亡。两伊战争中，伊拉克也使用過芥子氣對付伊朗軍隊。
芥子毒气 物理性质
芥子气的凝固点高，当气温低于凝固点时纯品会形成针状结晶，所以一般不在气温低的情况（如冬季）下使用，或加入四氯化碳/二氯乙烷/路易氏气形成低凝固点的混合物；比重大、溶解度小，在水中大都沉于水底，少部分呈油状薄膜漂浮水面，可造成水源长期染毒；蒸氣壓低而難揮發，但能穿透橡膠製品。
芥子毒气 化学性质
芥子气可以被浓硝酸氧化为β,β'-二氯乙基亚砜，被三氧化铬-乙酸氧化为β,β'-二氯乙基砜。
芥子毒气 合成
Depretz利用乾燥的乙烯處理二氯化硫製備芥子氣:
SCl2 + 2 C2H4 → (ClCH2CH2)2S
Levinstein法則以一氯化硫為底物:
8 S2Cl2 + 16 C2H4 → 8 (ClCH2CH2)2S + S8
以上反應都要求和緩的加料速度，成品純度在66%~70%間，且含有膠狀硫，久置則析出。多用於工業規模的生產。
Meyer法用三氯化磷作氯化劑，通過硫二甘醇的氯代獲得芥子氣。硫二甘醇可由2-氯乙醇和硫化鈉作用製得：
3 (HOCH2CH2)2S + 2 PCl3 → 3 (ClCH2CH2)2S + 2 P(OH)3
1912年，Clarke以濃鹽酸替代Meyer法所用的三氯化磷，進一步降低了生產成本：
(HOCH2CH2)2S + 2 HCl → (ClCH2CH2)2S + 2 H2O
此外，氯化亞砜、光氣均可用作硫二甘醇的氯化劑。後者可以製得純度很高的芥子氣。
芥子毒气 毒害机理
硫原子的亲核性产生邻基参与作用，使得氯格外容易脫離，形成强亲电试剂锍离子。后者受DNA的鸟嘌呤碱基进攻，形成交联DNA，干扰基因复制与表达，从而诱发胞溶作用，产生组织坏死、水肿乃至癌变。
芥子毒气 急救办法
在染毒12小时内用30％浓度的硫代硫酸钠（大蘇打）溶液处理染毒部位皮肤可以有效减轻痛苦。临床上常用注射谷胱甘肽配合口服维生素E来治療芥子气中毒。芥子气可溶於鹼性液，所以残毒可以用石灰水消毒。
群
在數學中，群（英語：）是指配備二元運算的集合，其二元運算需要具有結合律、單位元和逆元素。因為眾多數學結構都是群（如整數系配備上加法就形成一個群），因而可以簡潔地從不同的數學結構歸納出共通的結果，这使群成為當代數學的核心概念。
很多自然界的變換（如平移、鏡射）的匯總都符合群的定義，而某群變換下保持不變的某種性質被稱為对称性；如在空間對稱群的哪些變換下，面积或角度會保持不變，就是在研究立体几何的对称性。
群 歷史
抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦，擴展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判别准则。這個伽罗瓦群的元素對應於根的特定置換。伽罗瓦的想法最初被同代人所拒絕，只在死后才出版。更一般的置換群由奥古斯丁·路易·柯西專門研究。阿瑟·凱萊的“On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ”（1854 年）給出有限群的第一個抽象定義。
幾何是第二個系统性的使用群，特別是對稱群的領域。这类群是菲利克斯·克莱因 1872 年的爱尔兰根纲领的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之后，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯·李進一步發展了這些想法，在 1884 年創立了李群的研究。
群 歷史
对群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾·弗里德里希·高斯的數論著作《算术研究》（1798 年）中被隐含地用到，并被利奥波德·克罗内克更明顯地用到。 1847 年，恩斯特·库默尔發展了描述用素数做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。
把上述各種來源融合成一个群的統一理論是从卡米尔·若尔当的“Traité des substitutions et des équations algébriques” (1870 年）開始的。 瓦尔特·冯·迪克（1882年）給出了第一个抽象群的現代定義的陳述。在二十世紀，群在费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和威廉·伯恩赛德的开拓性著作中獲得了廣泛的认识，他們研究有限群的表示理論，還有理查德·布劳尔的模表示論和 Issai Schur 的論文。 赫尔曼·外尔、埃利·嘉当和很多其他人推進了李群和更一般的局部緊群的理論。它的代數對應者——代數群的理論，由克劳德·舍瓦莱（從 1930 年代晚期开始）和后來阿尔曼德·波莱尔和雅克·蒂茨的重要著作奠基。
群 歷史
芝加哥大学于 1960-61 年举办的“群论年”活动促使群论家们以丹尼尔·戈伦斯坦，约翰·格里格斯·汤普森和瓦爾特·法伊特为基础展开合作。在大量其他数学家的帮助下，他们完成了有限单群的分类。这项工程，不论是从证明长度来说还是从参与人数来说，其浩大程度超越了之前一切的数学成果。简化此证明的研究还在进行中。群论在当下仍是一个活跃的数学分支，并仍在对其他分支产生重大影响。[a]
群 正式定義
給定集合  ，且它配備的二元運算  滿足（其中運算結果  被簡記為  ）：
的話，稱  是一個群。當其配備的二元運算  不是那麼重要時，  也常常简记为 。單位元常稱作幺元。
群运算的次序很重要，也就是說，等式 （交换律）不一定成立。满足交换律的群称为交换群（或阿貝爾群，以尼尔斯·阿贝尔命名），不满足交换律的群称为非交换群（非阿贝尔群）。如以下面舉例一節的二面體群就不是交换群。
上面關於單位元和逆元素的部分也可以改為：
因為不管原來的淡紫色定義，還是淡黃色的替代性定義，配上結合律都會等價於以下的定義：
若二元運算  滿足結合律，且  對任意  有
「 」(left-1)
「存在某  使 」(left-2)
群 正式定義
因為  是二元運算，  。所以根據 (left-2)，存在  滿足
這樣根據結合律和 (left-1) 與 (left-2) 有
所以左逆元必為右逆元，這樣根據結合律有
所以左單位元必為右單位元。
類似地，若二元運算  滿足結合律，且  對所有  有
「  」(right-1)
「存在某  ，使  」(right-2)
因為  ，所以根據 (right-2) 存在  滿足
所以根據結合律、(right-1) 和 (right-2) 有
所以右逆元也為左逆元。這樣根據結合律有
所以右單位元必為左單位元。
再考慮到淡藍色是要求  同時為左右單位元且存在左右逆元，這樣就證明以上三種定義在有結合律的前提下等價。
群 舉例
整數系  是由所有整數所组成：
可以看出，整数系和整数的加法是可以构成群的：
实数集去掉 ，即 ，在實數乘法下構成群，驗證如下：
以下是正方形的 8 个旋轉和翻轉：
如果  和  是上述 8 個「操作」的其中一個，「操作的複合」  定義為先對正方形操作  之後再操作  。比如說，右旋 270° (  ) 然后水平翻轉（  ），等同於沿對角線的反射（  ），這樣就可以表示為  。
下面的群表列出了這種「操作的複合」的所有可能結果。
如果取
，
那麼根據以上的群表，  的確是個二元运算，而且  為群（其中  符合單位元的要求），它被稱為二面體群。注意到上表蓝色的部分破壞了交換律，所以二面體群不是交换群。
群 基本性質
引入以下证明：
若群  同時有兩個單位元  和  ，那根據定義裡對單位元的定義，對於任意   有：
這樣的話，把  分別代換為  和  就有
所以
基于以上证明，群的單位元是唯一的。所以，根據函數符號與唯一性間的關係，可以添加新的三元函數符號  與以下的新公理（以下的合式公式  是 「 是  上的一個二元运算，且存在  的單位元」的正式邏輯表述）
這條公理直觀上表示，只要「 是  上的一個二元運算，且存在  的單位元」，就可以用  這個符號簡記 「 上的那個唯一單位元」，否則取  為空集。
為了簡便起見，  通常記為  甚至是  。
在增添以上的新函數符號  和新公理的情況下，就可以證明逆元素的唯一性。
若群  的某元素  有兩個逆元  和   ，那根據定義和  的新公理有
那這樣的話，依據定義裡的结合律和  的新公理有
所以任意  只有一個逆元。這樣根據函數符號與唯一性間的關係，可以添加一個三元函數符號  與以下的新公理（以下的合式公式  是 「  為一群，且  」的正式邏輯表述）
群 基本性質
這條公理直觀上表示，只要「 為一群，且 」，就可以用  簡記 「 在  上對應的那個唯一逆元素」，否則取  為空集。
簡便起見，  通常記為 。
若  為一群，可以仿造整数指數，對任意  作如下關於符號簡寫的递归定义
（單位元視為  次方）
對所有的整数  ，
對所有的整数  ，
有時，某個群的運算可以跟直觀上的加法聯想在一起，這個運算也可以改記為「  」或「  」，這時也會把  改記為  或  ，這時會暱稱  為減法。更有甚者， 會被記為  。
類似的，如果群的運算可以跟直觀上的乘法聯想在一起而改記為「  」或「  」，這時會把  改記為  或  ，並暱稱為除法；更有甚者， 會被記為   。
注意以上都是為了直觀理解方便所規定的簡寫，並不是斷定群的運算必然跟一般实数的加減乘除一模一樣。
群 群論術語
本章節羅列一些群論涉及到的概念，其并非群本身的固有性質，但其與群的應用息息相關。本章節使用了數學符號如  以示集合  包含元素  和 ，或以  表記  是  的一個元素，而記號  意指  為將  的所有元各自唯一指定到  的某個元的函數。
要超越上述純粹符號操作水平去理解群，必須采用更加結構性的概念。[c]有一個概念性原理位于所有下列概念的底層：要发挥群提供的結構（而無結構的集合就沒有）的优势，與群有關的構造必須与群運算兼容。下列概念中以各種方式表现了這種兼容性。例如，群可以通過叫做群同態的函數相互關聯。根據上述這個原理，要求它們以精確的意义照顧到群結構。群的結構還可以通過把它們分解成子群和商群來理解。“保持結構”的原理是在數學中反復出現的一個主題，它是靠範疇來工作的一個實例，在這裡的情況下靠群范疇。
群同态[g]是保持群結構的映射。稱兩群之間的映射  為群同態，當且僅當
對  的所有元  均成立。上式同樣蘊含了  與 。因此說：群同態保持了群的所有結構。
群 群論術語
兩群  被稱作同構的，當且僅當存在群同態 ，使得 ，也就是説，其複合分別得到了  和  上的恆等變換，此時也記 。從抽象的觀點來看，同構的一類群携帶了完全相同的信息，或者說，在「模去」群結構以外的性質后，所有同構的群可以視作唯一的單個對象。例如，對群  中的某個元  已經證實了 ，如果另一群  由映射  同構于該群，則相當於證明了 。
此外，一個群可以擁有非恆等變換的自同態或自同构，如果以映射為元，映射复合為群乘法，則任意群  擁有其自同態群和自同構群，分別記作  和 。
非正式地說，子群是包含在更大的群内的一個群。
具體而論，對群  與其子集 ，如果  對  的群乘法  和幺元  亦構成群，則稱  為  的一個子群，常記之為 。
可以證明，可通過以下判據校驗群  的子集  是否爲其子群：。
前文所述的例子中，幺元與旋轉構成其一個子群 ，在上面的表格中突出為紅色：任意兩個旋轉，其複合仍爲旋轉，且任意旋轉可被一個相反方向上的旋轉所抵消。
了解子群族對于作為一個整體來理解群是重要的。[d]
群 群論術語
給定群  的任意子集 ，稱由  生成的子群為 ，其中 。這是包含  的  的最小子群，由  本身的元素與其逆元的所有可能的有限乘積組成。
同樣在前文所述的二面體群中存在例子：由  生成的子群為 。這一集合的確構成群，驗證時需要注意，在該群内有 ，這也意味著所有元都是自身的逆元，也就是説該群的方次數為 2，關於這一性質，見後文所述之階。
在很多情況下，需要認為兩個元是等同的，如果它們只相差一個给定子群中的元素。例如，在上述  中，一旦進行了翻轉，再只进行旋轉而不再进行翻轉，正方形就永遠不能回到  的构型，此時可以認爲，旋轉運算對于是否已經進行了翻轉的問題是無關緊要的。陪集可用來把這種现象形式化：子群  定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把  平移了一个任意群元素 。用符號表示， 的包含  的左和右陪集分別構成集合
與 ，
其中
左陪集 ，右陪集 。
同時也可以定義雙陪集為
，
顯然，左右陪集為雙陪集之特例，取某一側子群為  即可。
任何子群  的陪集形成了  的一个劃分，換言之，
設有 ，倘 ，則 ，即 ；同理 。故而矛盾，第一句命題得證。
群 群論術語
第二句命題是顯然的，不過須要注意到，代表元的選取依賴於選擇公理。
考慮左右陪集。 的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對于所有  中的  有 ，則  被稱為正規子群。
在前面介绍的對稱群  中，由旋轉構成的子群  的左陪集
此處的子群  還是對  正規的，因為有 ，且對于任何  以外的元素也類似。
有时，在由陪集形成的集合上可以赋予一个满足群公理的运算，使之成为商群或因子群。这仅在子群正规时可行。給定任何對  正規的子群 ，定義由  決定的商群為
，其中 。
這個定義是由關聯任何元素  到它的陪集  的映射  是群同態的想法（自身是上面提出的一般結構性考慮的一個實例）所激發的，或者是叫做泛性質的一般抽象考慮。陪集 充當了這個群的單位元，在商群中  的逆元是 。[e]
商群  的元素是代表單位元的  自身和 。商群上的群運算如右側所示。例如，。子群  與其構造的商群  均交換，而  本身并不交換。通過较小的群构造较大的群，例如從子群  和商群  构造 ，被抽象為叫做半直積的概念。
群 群論術語
商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一種方法：任何群都是這個群的生成元上的自由群模以“關係”子群得到的商群。例如，二面體群  可以由兩個元素  和  生成（比如  右旋，和   垂直，或任何其他翻轉），這意味著正方形的所有對稱變換都是這兩個對稱或它們的逆元的有限復合。与
關係在一起，這個群就完全描述出來了。群的表示還可以被用來構造凱萊圖，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。
此外，子群與商群以下列方式聯係起來： 之子集  可視作由單射  構造，而  對正規子群  之商群 ，則由一個滿射，即典範同態  匯出。[y]需要指出，一般意義上的同態既不一定單，亦不一定滿。
如果同一個群中的兩個元素p 和q 滿足關係：p = x−1qx，其中x 也是同一個群中的元素，則稱元素p 和q 共軛。共軛关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共軛是自反的、对称的和傳遞的。
在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱这种集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。
群中元素個數稱為群G的階，記為|G|
子群的階能整除這個群的階
群 應用
群的例子和應用大量存在。起點是上面介紹過的整數的群 Z 帶有加法作為群運算。如果把加法替代為乘法，就得到了乘法群。這些群是抽象代數中重要概念的前身。
群應用於很多數學領域中。數學物件的性质經常是通過将群關聯与数学对象关联，并研究相應的群的性質来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通過引入基本群創立了現在所謂的代數拓撲。通過這種連接方式，拓撲性質比如臨近和連續轉換成了群的性質。[i]例如，右側的圖像描繪了平面減去一個點的基本群的元素。這個群的元素給出為在這個區域內的環路。藍色環路被認為是零同倫（因此是無關緊要的），因為它可以收縮為一個點。圓孔的存在防止了橙色環路被收縮。橙色環路（或任何環繞這個圓孔一次的其他環路）所生成的，去掉了一個點的平面的基本群是無限循環群。基本群以這種方式探測到了這個圓孔。
在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。[j]在類似的脈絡下，幾何群論采用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代數幾何和數論。例如，典型群和皮卡德群在代数几何上有重要应用；參見
群 應用
除了上述理論應用之外，還存在很多群的實踐應用。密碼學依賴於抽象群論方式和從計算群論中特別是實現于有限群上的時候所得到的算法知識的結合。群論的應用不限於數學；科學如物理、化學和計算機科學都受益於這個概念。
很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對于有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和的更一般的代數結構的前身。
整數Z在加法下的群记為（Z, +），它在上面已經描述了。整數帶有用乘法替代加法的運算，(Z, ·)不形成群。閉合、結合律和單位元公理滿足，但逆元不存在：例如，a = 2是整數，但方程a·b = 1的唯一解在這種情況下是b = 1/2，它是有理數而非整數。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。[k]
對乘法逆元存在的要求建议了考慮分式
。
整數的分式（要求b非零）叫做有理數。[l]所有這種分數的集合通常記為Q。對于有理數帶有乘法(Q,·),成為群仍有一個小障礙：因為有理數0沒有乘法逆元（就是說沒有x使得x·0 = 1），(Q, ·)仍然不是群。
群 應用
但是，所有非零有理數的集合Q\{0} = {q ∈ Q, q ≠ 0}形成一個在乘法下的阿貝爾群，記為(Q\{0},·)。[m]結合律和單位元公理從整數的性質中得出。閉合要求在去掉零之后仍成立，因為任何兩個非零有理數的乘積永遠不是零。最后，a/b的逆元是b/a，所以逆元公理也滿足。
有理數（包括0）在加法下也形成群。同時帶有加法和乘法運算產生更復雜的結構叫做環—如果同时除法总是可能的話（如在Q中）就是域，它在抽象代數中占據中心位置。群論理論因此位于這些實體的理論的底層部分。[n]
對于任何素數p，模算術提供了整數模以p的乘法群。群的元素是不能被p整除的整數模p的同余类，就是說兩個數被認為是等價的如果它們的差被p整除。例如，如果p = 5，則精確地有四個群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍數而6和−4都等價于1。群運算給出為乘法。因此4·4 = 1，因為通常意义下的乘積16等價於1,而5整除16 − 1 = 15。以上事实記為
16 ≡ 1（mod 5）。
群 應用
p的首要作用是確保了兩個都不被p整除的整數的乘積也不被p整除，因此指示的同馀類的集合在乘法下閉合。[o]單位元如平常的乘法群一樣是1，而結合律可以從整數的相應性質得出。最后，逆元公理要求給定不整除于p的整數a，存在一個整數b使得
a · b ≡ 1（mod p），就是說p整除a·b − 1的差。
逆元b可以使用貝祖等式和最大公約數gcd(a, p)等于1的事實找到。在上述p = 5的情況下，4的逆元是4，3的逆元是2，因為3·2 = 6 ≡ 1 (mod 5)。所有的群公理都滿足。實際上，這個例子類似于上述（Q\{0},·），因為它是在有限域Fp中非零元素的乘法群，記為Fp×。這些群對于公开密钥加密是至關重要的。[p]
循環群是其所有元素都是特定元素a的冪的群（在群運算被寫為加法的時候使用術語倍數）。在乘法符號下，群的元素是：
..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,
這裡的a2意味著a·a，而a−3表示a−1·a−1·a−1=(a·a·a)−1等等。[h]這個元素a叫做這個群的生成元或本原元。
群 應用
這類群的典型例子是單位一的n次複數根，由滿足zn = 1的複數z给出，其運算為乘法。任何有n個元素的循環群同構於這個群。使用某些域論，群Fp×可以被證明為是循環群：對于p = 5, 3是生成元因為31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2,而34 ≡ 1。無限循環群同構於（Z, +），它是前面介紹的整數在加法下的群。因為這兩個原型都是阿貝爾群，所以任何循環群都是。
阿貝爾群包括有限生成阿貝爾群的基本定理的研究是非常成熟的；對這個事態的反映是很多有關群論的概念，比如中心和交換子，描述了一個給定群不是阿貝爾群的程度。
群 應用
對稱群是由給定數學對象的對稱組成的群，對稱源于它們的幾何本性（比如前面介紹的正方形的對稱群）或源于代數本性（比如多項式方程和它们的解）。概念上說，群論可以被認為是對稱性的研究。[t] 數學中的對稱性極大的簡化了幾何或分析對象的研究。群被稱為作用於另一個數學對象X上，如果所有群元素進行某個在X上的運算兼容於群定律。在下面最右側例子中，7階的（2,3,7）三角群的一個元素通過置換突出的彎曲的三角形作用在鑲嵌上（其他的元素也是）。通過群作用，群模式被連接到了所作用到的對象的結構上。
在化學領域中，比如晶體學、空間群和點群描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位于這些系統的化學和物理表現的底層，而群論使簡化對這些性質的量子力學分析成为可能。例如，群論被用來證實在特定量子級別間不出現光學躍遷簡單的因為涉及到了狀態的對稱性。
群不只對評定在分子中蘊含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱性有时候可以改变。姜-泰勒效应是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關聯的一組可能基態中，该分子将采纳一個特定的低對稱的基態。
群 應用
同樣的，群論還可以幫助預測在物質經歷相變的時候出現的物理性質的變更，比如晶體形式從立方體變為四面體。一個例子是鐵電物質，這裡從順電到鐵電狀態的變更出現在居里溫度時，與從高對稱順電狀態到低對稱鐵電狀態的變更有關，并伴隨著所謂的軟聲子模式，它是在變化時轉到零頻率的振動晶格模式。
這種自發對稱性破缺在基本粒子物理中找到了進一步應用，這裡它的出現与戈德斯通玻色子的出現有关。
有限對稱群比如马蒂厄群被用于編碼理論中，它又用于傳輸數據的糾錯和CD播放器中。另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函數，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。[u]在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變量理論中研究。
矩陣群由矩陣加上矩陣乘法一起構成。一般線性群GL(n, R)由所有可逆的n乘n的帶有實數元素的矩陣構成。它的子群被稱為矩陣群或線性群。上面提及的二面體群例子可以被看作（非常小的）矩陣群。另一個重要矩陣群是特殊正交群SO(n)。它描述了n維的所有可能旋轉。通過歐拉角，旋轉矩陣被用于計算機圖形學中。
群 應用
表示理論是對群概念的應用并且對深入理解群是很重要的。它通過群作用於其他空間來研究群。一類廣泛的群表示是線性表示，就是說群作用在線性空間中，比如三維歐幾里得空間R3。G在n-維實向量空間上的表示簡單的是從群到一般線性群的群同態
ρ: G → GL(n, R)。
以這種方式，抽象給出的群運算被轉換成用明確的計算可觸及到的矩陣乘法。[w]
給定一個群作用，這給出了研究所作用的對象的進一步方法。[x]在另一方面，它還產生了關于群的信息。群表示是在有限群、李群、代數群和拓撲群特別是（局部）緊群理論中的起組織作用的原則。
伽羅瓦群是通过对求解多項式方程的过程中涉及到的对称性的研究而被发展起来的。例如，二次方程ax2 + bx + c = 0的解給出為
。
對換表達式中的"+"和"−"，也就是置換方程的兩個解可以被看作（非常簡單的）群運算。類似的公式對於三次方程和四次方程也有，但是對於五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。与多項式相关联的伽羅瓦群的抽象性質（特別是它們的可解性）給出了那些多項式的所有解都可用根式表達的判定標準，就是說這些解可以類似上面公式那樣只使用加法、乘法和方根來表達。
這個問題可以使用域論來處理：考慮一個多項式的分裂域就把問題轉移到了域論的領域中了。現代伽羅瓦理論把上述類型的伽羅瓦群推廣到了域擴張，并通過伽羅瓦理論基本定理建立了在和群之間的嚴格關聯，再次凸顯了群在數學中無所不在。
群 有限群
一個群被稱為有限群，如果它有有限個元素。元素的數目叫做群G的階。一類重要的有限群是n次对称群SN，它是N個字母的置換的群。例如，在3個字母上的n次对称群S3是由三個字母ABC的所有可能置換構成的群，就是說它包含元素ABC, ACB, ...,直到CBA，總共有6（或3的階乘）個元素。這類群是基礎性的，因為任何有限群都可以表達為n次对称群SN在適合的整數N下的子群（凱萊定理）。相似於上述正方形的對稱的群，S3還可以解釋為等邊三角形的對稱的群。
在群G中的一個元素a的階是最小的使得an = e的正整數n，這裡的  an表示，就是應用運算·於a的n個復本上。（如果·代表乘法則an對應於a的n次冪）。在無限群中，這個n可能不存在，在這種情況下a的階被稱為無限的。一個元素的階等于這個元素生成的循環子群的階。
群 有限群
更復雜的計數技術例如計數陪集，產生關于有限群的更精確陳述：拉格朗日定理聲稱有限群G的任何有限子群H的階整除G的階。西羅定理證明了它的部分逆命題。
上面討論的二面體群是8階有限群。r1的階為4，這是它生成的子群R（見上）的階。反射元素fv等的階是2。如拉格朗日定理所述這兩個階都整除8。上面的群Fp×有階p − 1。
群 有限群
数学家们常常为寻求一种数学对象的完备的分类（或列表）而努力。并且这种分类是十分有用的: 如果有限群有一个完备的列表, 假设我们需要证明定理P时, 如果可以一步一步证明定理对列表中给出的群成立, 那我们即可证明定理P在有限群的领域内成立。这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。
根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔群）群Zp。
p2阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p3阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群  所示，其中 8 = 23。可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。[q] 一个中间步骤是有限单群分类。[r]如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。[s]合成列说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。 有限单群分类是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查德·博赫兹成功地证明了怪兽月光理论。该猜想指出了有限单群中分类中的最大的散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。