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序数 定义
按此定義，自然数也是序数。（參見自然數的集合論定義）例如，2是4 = {0, 1, 2, 3}的一个元素，而2等于{0, 1}，因而它是{0, 1, 2, 3}的子集。
可以通过超限归纳法证明，所有有限的良序集合都精确的同构于这樣構建的序数的其中一个。
进一步的，所有序数的元素也是序数自身。給定两个序数S和T，S是T的一个元素，当且仅当S是T的真子集。此外，要么S是T的一个元素，要么T是S的一个元素，要么它们是相等的。所以所有的序数集合都是全序集。事实上: 所有的序数集合都是良序集。这个重要结果一般化了“所有的自然数集合是良序集”此一事实，并允许我们自由地通过序数使用超限归纳法。
序数 定义
另一个推论是所有序数S都是完全由小于S的序数作为元素的一个集合。这个陈述以其他序数完全确定了所有序数的內部结构。它被用于证明关于序数的很多其他有用的结果。其中的一个例子是在序数间的次序关系的重要性質：所有的序数集合都有一个上确界，这个序数是通过取在这个集合中的所有序数的并集而获得的。另一个例子是所有序数的搜集不是集合的事实。因为所有序数只會是包含其他序数，從而所有序数的搜集的所有成员也是它的子集。所以，如果这个搜集是个集合，通过定义它自身将必定是个序数；那么它将是自身的成员，这跟正规公理矛盾。（请参见布拉利-福尔蒂悖论）。所有序数的类通常寫為"Ord"、"ON"或"∞"。
一个序数是有限的，当且仅当它的反序也是良序的，即当且仅当它的所有子集都有最大元素。
假設良序定理，所有集合都可加上良序關係。利用超窮遞歸可證明所有良序集都與某序數同構（即存在雙射使得a>b ⇔ f(a)>f(b)）。有限集合所有良序關係都是同構的，若有n個元素，對應序數就是n。無限集合有無限的良序關係，如自然數集配以0<2<4<...<1<3<5<...對應的序數是ω+ω。
注意，序數的元素必然是序數，而序數的子集亦必然是序數。兩個序數是可以比較大小，即會存在單射f使得a>b ⇒ f（a）>f（b）。一個集合對應的最小序數，就是這集合的基數。
还有序数定义的其他现代公式化。这些定义在本质等价于上面给出的定义。下面给出其中的一个。一个类S被称为传递性的，如果S的每个元素x是S的子集，也就是。序数接着被定义为其成员也是传递的传递集合。从它得出成员们自身也是序数。注意使用了正规公理（基础公理）来证实这些序数通过包含（子集）是良序的。
序数 超限归纳法
超限归纳法在任何良序集合中成立，但是它与序数的关系如此重要而值得在这里重申。
若有一性質可从小于给定序数α的序数的集合传递到α自身，則此性质對所有序数都成立。
就是说，如果“若P(β)对所有β<α为真，P(α)就为真”，则P(α)对所有α都为真。或者更加实际的说：为了证明性质P对所有序数α成立，你可以假定它对于所有β<α的更小的序数们已經是成立的。
超限归纳不只能用来证明各種結論，而且还可以用于定义（这种定义方式通常称为超限递归—我们使用超限归纳法证明这个结果是良好定义的）：形式陈述写起来太冗长，但重點在於，为了在序数α上定义一个（类）函数，你可以假定它对所有β<α更小的序数们已经定义了。你可以通过超限归纳法证明有且只有一个函数满足直到并包括α的递归公式。
序数 超限归纳法
下面是通过在序数上超限归纳定义的一个例子（后面还会给出）：通过设F(α)是不在对于所有β<α的F(β)的集合中的最小序数，定义出一个函数F。注意我们如何假定F(β)在真正定义F的过程中是已知的：这种表面的悖论完全是超限归纳所允许的。现在实际上F（0）是有意义的，因为没有β<0，所以β<0的所有F(β)的集合是空集，所以F（0）必定是0（所有序数中最小的），现在我们知道了F（0），那么F（1）有意义（它是不等于F（0）=0的最小序数），以此类推（這裡的“以此类推”正正就是超限归纳）。不過，这个例子不是太有趣，因为对于所有序数α有F(α)=α：而这可以通过超限归纳严格的证明。
任何非零序数都有一个最小元素（就是零）。但它可以有或没有最大元素：42或ω+6有最大元素，而ω没有（没有最大自然数）。如果一个序数有最大元素α，则它是在α之后的下一个序数，它叫做后继序数，就是α的后继者，写做α+1。在序数的冯·诺伊曼定义中，α的后继者是，因为它的元素是α的那些元素和α自身。
不是后继者的非零序数叫做极限序数。使用这个术语的一个理由是，极限序数实际上是在拓扑意义上的所有更小序数的极限（参见序拓扑）。
序数 超限归纳法
相当一般的说，在 (αι<γ)是一个序数序列（由极限γ标定的族）的时候，并且如果我们假定 (αι)是递增的（αι<αι′只要ι<ι′），或者至少非递减的，我们定义它的极限是集合{αι}的最小上界，就是说大于这个序列任何一项的最小序数（总是存在）。在这个意义上，极限序数是所有（由自身标定的）更小序数的极限。
因此，所有序数要么是零，要么是一个后继者（有一个良好定义的前驱者），要么是极限。这个区别是重要的，因为很多通过超限归纳的定义依赖于它。经常地，在通过超限归纳在所有序数上定义一个函数F的时候，你定义F（0），和F(α+1)（假定F(α)已定义了），并接着对极限序数δ定义F(δ)为对所有β<δ的F(β)的极限（這裡的極限，要么是指上述的序数极限，要么是別的极限概念，如果F的值並非序數）。所以，在这个定义中有意思的步骤是后继步骤，而不是极限序数。这种函数（特别是非递减和接受序数值的F）被称为是连续的。我们将看到序数加法、乘法和指数作为它们的第二个参数的函数是连续的。
序数 超限归纳法
我们已经提到了任何良序集合都类似（序同构）于一个唯一的序数，或者换句话说，它的元素可以通过小于的序数以递增的方式标定。这尤其适用于任何的序数集合：任何的序数集合都自然的通过小于某个的序数来标定。对于序数的类（通过某个性质而定义的序数的搜集，可能对于形成一个集合太大了），带有稍微的修改同样成立：任何的序数类都可以用序数标定（并且在这个类是无界的时候，这使它处在与所有序数的类的类双射中）。所以我们可以自由的谈论在类中的第个元素（一般而言，第“0”个是指最小的，而第“1”个是次小的，以此类推）。形式上说，这个定义本質上是超限归纳法：一个类的第个元素被定义为（假定对于所有的情況已经定义了），大于对于所有的第个元素的最小元素。
又例如，我们可以应用它于极限序数的类：要么是极限要么是零的第个序数是（參見序數算術中關於序數乘法的定義）。类似的，我们可以考虑“加法不可分解”的序数（意味着它是非零序數，且不能是两个严格更小的序数的和）：第个加法不可分解序数被标定为。标定序数类的技术经常在不动点的論述中有用：例如，使得的第个序数被写为。
序数 超限归纳法
一个序数被称为是无界的或共尾的，当给定任何序数，总是有这个类的某个元素大于它的时候（则这个类必定是真类，就是说不能是集合）。它被称为是闭合的，如果在这个类中序数的一个序列的极限總會在这个类中：或者等价的说，当标定（类-）函数是连续的，即对于這个极限序数，（在这个类中第个序数）是所有对于的的极限；这在拓扑意义上对于序拓扑也是闭合的，（为了避免谈论在真类上的拓扑，你可能要求这个类与任何给定序数的交在序数的序拓扑上是闭合的，这再次是等价的）。
特别重要的序数类是闭合无界的。例如，所有极限序数的类是闭合且无界的：也就是說，总是有一个极限序数大于给定序数，而且极限序数的极限是极限序数。加法不可分解序数的类，序数的类，基数的类，都是闭合无界的；而正规基数的类是无界但不闭合的，序数的任何有限集合則是闭合但非无界的。
一个类是固定的，如果它与所有闭合无界类有非空交集。任何闭合无界类的超类都是固定的，並且固定类必然是无界的；但也有着不闭合的固定类，以及那些没有闭合无界子类的固定类（比如带有可数共尾性的所有极限序数的类）。因为两个闭合无界类的交集是闭合和无界的，所以固定类和闭合无界类的交集是固定的。但是两个固定类的交可以为空，比如带有共尾性ω的序数的类和带有不可数共尾性的序数的类。
與其考慮作適用於序數的（真）類的公式化定義，我们可以對在给定序数之下的序数的集合作公式化定義：极限序数的子集被称为是在之下无界的（或共尾的），假定小于的任何序数會小于在这个集合中的某个序数。更加一般的说，我们可以称任何序数的子集为共尾于，如果小于的所有序数會小于或等于在这个集合中的某个序数。稱这个子集下闭合，如果它对在内的序拓扑是闭合的，就是说，在这个集合中的序数的极限要么在这个集合中，要么等于自身。
序数 序數算術
在序数上有三个常见运算：加法、乘法和（序数）指数。每个大致上都可以用两种不同的方式定义：要么构造一個明確的良序集合去表示這個運算，要么使用超限递归。康托尔范式提供了一個表示序数的标准方式。所谓的"自然"算术运算保持了交换律，但代价是损失了连续性。
序数 序数与基数
每个序数都有一个关联的基数，就是通过简单的忘记次序而获得的它的势。如果某良序集合的序类型就是該序數，那麼它們都會有相同的势。有给定基数作为它的势的最小序数，叫做这个势的初始序数。所有有限序数（自然数）是初始的，而絕多数无限序数都不是初始的。选择公理等价于声称所有集合都可以良序化，就是说所有基数都有一个初始序数。在这种情况下，传统上把基数等同为該初始序数，并称這個初始序数是一個基数。
第α个无限序数被写为。它的势被写为。例如，ω0 = ω的势为，它也是ω²或ε0（都是可数序数）的势。所以（假定选择公理）我们把ω等同於，除了记号用在写基数的时候，而ω用在写序数的时候（这一點很重要，因为而）。还有，是最小的不可数序数（要看出其存在性，只需考虑由自然数的良序的等价类組成的集合：每个这樣的良序都定义了一个可数序数，然後是这个集合的序类型），是势大于的最小序数，以此类推，而是对自然数n的极限（任何基数的极限是基数，所以这个极限实际上是在所有之后的第一个基数）。
序数 序数与基数
序数的共尾性是作为的共尾子集的序类型的最小序数。注意一些作者只对极限序数定义或使用共尾性。序数或任何其他良序集合的集合的共尾性是这个集合的序类型的共尾性。
因此对于极限序数，存在着一個极限為的-标定的严格递增序列。例如，ω²的共尾性是ω，因为序列ω·m（这裡的m在自然数上取值）趋向于ω²；但是，更加一般的说，任何可数极限序数都有共尾性ω。一個不可数的极限序数可以有要么同一样的共尾性ω，要么有不可数共尾性。
0的共尾性是0。任何后继序数的共尾性是1。任何极限序数的共尾性至少是。
等于其共尾性的序数叫做正规的，并且它总是初始序数。任何正规序数的极限都是初始序数的极限，因而也是初始的，即使它不是正规的（它通常不是）。如果有选择公理，则对于每个α，都是正规的。在这种情况下，序数0, 1, , ，和都是正规的，而2, 3, ，和ωω·2是非正规的初始序数。
任何序数α的共尾性都是正规序数，就是说α的共尾性的共尾性等同于α的共尾性。所以共尾性运算是等幂的。
序数 某些“大的”可数序数
我们已经提及了（参见康托尔范式）序数艾普塞朗數ε0，它是满足等式的最小序數，所以它是序列0, 1, , , ，等的极限。很多序数可以用特定序数函数的不动点的方式定义（如果使得的第个序数叫做，则我们總可以继续尝试找到使得的第个序数，“以此类推”，但微妙在于“以此类推”）。我们可以尝试有系统的这么做，而不管用什么系统来定义和构造序数，总是有一个序数正好位于这个系统所构造的所有序数之上。也許以这种构造系统的方式限定的最重要的序数是邱奇-克莱尼序数（儘管名字中有，这个序数是可数的），它是不能以可计算函数表示的最小序数。不過，還是可以在之下定义相当大的序数，它們有的標誌著特定形式系统的“证明论強度”（例如，標誌著皮亚诺算术的強度）。也可以在邱奇-克莱尼序数之上定义更大的序数，這些大序數會在逻辑的多个部分有研究价值。
关羽
關羽（？年—220年1月或2月），字雲長，本字長生，司隸河東解（）良人（今山西運城），东漢末年將領，劉備的重要亲信，被稱为“万人敌”。200年，曹操击败刘备后，关羽一度归降曹操，并在官渡之战中斩杀颜良，因功封为漢壽亭侯。不久，脱离曹操再次投奔刘备。赤壁之戰後，关羽参与围攻南郡曹仁，并长期为刘备镇守荆州。刘备占领益州后，关羽被任命总督荆州，拜前将军，假节钺。
219年，关羽进攻樊城，借汉水暴涨水淹七军，俘虏于禁，斩杀庞德。後，曹操派兵增援。而东吴趁机夺取荆州。关羽败走麦城，被吴将马忠所杀，首级被孙权送往曹操处。刘备为夺回荆州发动夷陵之战，最终失败，三国鼎立的格局正式形成。260年，刘禅追谥关羽为壮繆侯。
關羽因其忠义形象受到中華文化的推崇，逐渐被神化，成为信仰对象，產生關羽信仰，並傳至日本、朝鮮、越南、琉球等漢字文化圈國家。由于他体现了儒家文化中捍卫正统的忠義勇武的形象，多被民眾尊稱為關公、關老爺，又多次被后代帝王褒封，直至武聖，与“文圣”孔子齐名。故也俗稱為關聖帝、關帝君、關聖帝君、關帝、關帝爺等而流傳至今。
关羽
道教尊為協天大帝、伏魔大帝、翊漢天尊等，漢傳佛教及藏傳佛教奉其為護法神之一，稱為「伽藍菩薩」。其中儒宗神教奉為五文昌之一，而扶鸞信仰者則奉為恩主，故又稱關公為恩主公、山西夫子、文衡聖帝、文賢聖帝，是為五恩主之一。
民間受《三国演义》等传统作品影响，普遍认为关羽与刘备、张飞义结金兰，关羽排行第二，俗稱關二爺、關二哥。陈寿撰写之《三国志》，将關羽与張飛、馬超、黃忠、趙雲合为一传（《三国志·蜀书·关张马黄赵传》）。元末明初罗贯中的長篇小說《三国演义》又将該五人并称“五虎上将”，毛宗岗称其为“三绝”之“义绝”。至今，某些社会群体与场合仍常祭拜关公。
关羽 生平
關羽約生於東漢桓帝延熹年間。早年逃亡，避難於涿郡。184年（中平元年），劉備（涿郡人）在大商人张世平和苏双的资助下，招募民众，组建军队抵御黃巾軍的掠夺，关羽和張飛加入了这支队伍。190年，关东各州郡起兵讨伐董卓时，刘备投靠公孙瓒。公孙瓒派刘备与田楷前往青州，任命刘备为别部司马。191年，劉備因功被任为平原相（属于青州），關羽和張飛任別部司馬，协助指挥部队。刘、关、张三人情同手足。
194年，曹操攻打徐州陶谦，陶谦向青州刺史田楷求援，刘备与田楷率军前去救援。陶谦给刘备4千丹阳兵，并推举他为豫州刺史。刘备就离开田楷，投靠陶谦。陶谦去世后，劉備继任徐州牧。不久，袁术进攻刘备，刘备被吕布趁机击败。刘备向吕布求和，吕布接受了这一请求，以刘备为豫州刺史屯驻小沛。刘备派关羽驻守下邳。曹操上表朝廷，任命刘备为镇东将军，封为宜城亭侯。
关羽 生平
196年（建安元年），刘备在吕布再次进攻中失败，關羽随劉備投奔曹操，曹操推举刘备为豫州牧。197年，袁术在寿春僭号称帝。198年，劉備随曹操在下邳擒杀呂布。曹操任命車冑為徐州刺史。劉備和關羽隨曹操返回许都。刘备被任为左将军。199年，袁术兵势日蹙，准备从徐州向北投靠袁绍，曹操派刘备等率军前往徐州拦截。刘备到下邳后，袭杀车胄，占领徐州，举兵反曹，命關羽守下邳，自己守小沛。
200年（建安五年）正月，曹操击败劉備，劉備经青州投奔袁紹，關羽被擒（或投降）。曹操任命關羽為偏將軍，对他礼遇有加。关羽“身在曹营心在汉”，曹操察觉他无意久留，让张辽试探其心意。关羽坦言：“我深知曹公厚待，但我受刘备大恩，誓与共死，绝不背弃。我会立功报答曹公后再离开。”:278张辽如实禀告，曹操感叹：“事君不忘本，乃天下义士。”
关羽 生平
二月，袁绍进军黎阳，准备渡河，同时派顏良等進攻白馬。四月，曹操采用荀攸之计，佯装欲于延津渡河，诱使袁绍分兵。随后，曹操亲自率军突袭白马，命張遼與關羽為先鋒。關羽看到顏良旗帜后，單骑衝入敵陣斩杀顏良后顺利返回，袁軍無人能擋，白馬之圍被解。關羽因此功被封為漢壽亭侯。立功後，曹操加倍賞賜试图挽留，但關羽谢绝所有賞賜，留書告辭，准备回到劉備身邊。此时，刘备借口南联刘表离开袁绍集团，率领部队与刘辟等在汝南骚扰曹操后方，关羽赶去会合。曹操部下建议追击，曹操制止道：“他各為其主，勿追。”
200年底，曹操在官渡之战中击败袁绍。同年，孙策遇刺，孙权继掌江东。
201年，关羽随劉備投靠荆州牧劉表，驻军新野，负责守护荆州北部边境。
207年，曹操统一北方。
208年（建安十三年），诸葛亮加入刘备阵营，虽然年少，却深受刘备重视，这引发了关羽和张飞的不满。直到刘备重申诸葛亮的重要性后，二人才停止抱怨。
关羽 生平
208年七月，曹操南征刘表。八月，刘表去世，其子刘琮继位。得知曹操南下后，刘琮决定投降。九月，曹操收到刘琮的降书后进军襄阳。劉備准备南逃江陵，派关羽率领部分军队先从水路南行，计划在江陵会合。曹操考虑到江陵储有军资，遂率五千精骑追击。与此同时，江东使者鲁肃从江陵北上迎接刘备。三方在当阳长坂相遇，刘备被曹军击溃。幸好關羽船队及时抵达漢津，刘备军得以乘船撤往夏口。
刘备抵达夏口后，接受鲁肃的建议，驻扎樊口（今湖北鄂州），并派诸葛亮随鲁肃去柴桑见孙权。冬天，孫刘联军在烏林擊敗曹操，迫使曹操撤军北返，留曹仁等守江陵。刘备派关羽参与围攻江陵，试图从汉水出击截断曹仁的退路。至209年底，曹仁撤退。刘备成功占领荆州江南四郡，并被推举为荊州牧。210年，周瑜去世后，刘备与孙权协商调整荆州势力范围，借得南郡，任命關羽為襄陽太守、蕩寇將軍，駐守江北。
关羽 生平
211年，劉備应劉璋邀請入蜀，命關羽等留守荊州。期间，关羽曾与曹军将领乐进和文聘交战。后来，劉備与刘璋反目，开始攻略益州，调诸葛亮、張飛、趙雲和劉封等从荆州入蜀增援，留下關羽鎮守荊州。得知馬超歸降劉備后，关羽寫信询问馬超才能。諸葛亮称赞马超文武兼备，但不及关羽，令关羽非常满意。214年，刘备占领益州后，任命关羽督荆州事。
215年，孫權派诸葛瑾前往索取荆州三郡（长沙、桂阳和零陵），遭刘备拒绝。孙权不满，试图接管三郡，但关羽迅速驱逐孙权派出的官员。
孫權大怒，决定采取军事行动，派庐江太守呂蒙率军占领三郡，同时命令魯肅駐益阳，自己则进驻陆口指挥。劉備得知孙权动向后，親率五萬军队从益州赶回公安，并派關羽领兵爭奪三郡。關羽精选五千士兵计划從上游渡河。吴将甘寧率領一千多士兵前往駐守。關羽遂放弃渡河，选择在對岸扎營，這個地方後來稱為“關羽瀨”。對峙期間，呂蒙迅速占领三郡并北上與魯肅會合。關羽和魯肅在益阳进行了談判，但沒有达成共識。
关羽 生平
同年，曹操进攻漢中，為盡快解決荊州問題并腾出兵力保衛益州，劉備同意与孙权重划势力范围，以湘水為界，將江夏、長沙、桂陽三郡让給东吳，孙权则退出零陵，并承认刘备对江陵、武陵及零陵的控制。
217年春，孙权为缓和与曹操的关系，派徐详出使请降。自赤壁之战后，曹操四次进攻孙权（分别在209年、212年底至213年初、214年、216年底至217年初），而刘备在未与曹操大规模冲突的情况下，获得了益州和荆州的大部分利益，令孙权心生不满。同年，鲁肃去世，失去这一关键纽带后，孙刘联盟变得更加脆弱。
鲁肃去世后，孙权暂时任命严畯管理荆州事务，不久改派吕蒙为荆州上游军事统帅，镇守陆口。与鲁肃主张维持孙刘联盟不同，吕蒙认为关羽野心勃勃，凭借长江上游的战略地位，担忧关羽会趁机东进，攻取江东，威胁甚至大于曹操。为此，吕蒙拟定计划：东吴占领荆州后，由孙皎镇守南郡，潘璋扼守白帝城防备刘备，自己驻守襄阳防备曹操，蒋钦率军巡江作为机动部队，以确保江东上游安全。吕蒙到任后，表面上与关羽保持友好，暗中则筹划进攻和等待时机。
关羽 生平
218年（建安二十三年）春，刘备率军攻打汉中，攻下马鸣阁后进逼阳平关与夏侯渊对峙。曹操七月西征，九月驻长安。219年（建安二十四年）正月，黄忠在定军山之战中斩杀夏侯渊。五月，曹操最终撤军回长安，刘备得以占领汉中。占领汉中后，刘备派刘封从南郑（汉中）东下，孟达从秭归（荆州）北上，共同攻略东三郡（房陵、上庸、西城）。
七月，劉備称漢中王。关羽列名于汉献帝上表，仿效东汉初河西五郡推窦融为元帅故事，推刘备为汉中王，拜大司马。劉備派费诗去荆州，拜關羽為前將軍、假節鉞。
同月，關羽率軍自江陵北上，發起襄樊戰役，攻击曹仁驻守的樊城，让糜芳负责守江陵，士仁守公安。曹操派于禁前来增援，于禁统率七軍迅速赶往樊城，曹仁则让于禁、庞德等屯驻樊北。
八月，连绵大雨导致山洪暴發，漢水驟漲，七軍被淹，于禁无奈投降，其部下幾乎全部投降，副將龐德拒绝投降，活捉后被關羽殺死。關羽随即加紧进攻樊城，曹仁则固守待援。同时，关羽派遣軍隊包圍襄陽。
关羽 生平
饶胜文认为，关羽北攻襄阳并非自作主张，而是刘备阶段性布局的一部分。刘备在占据汉中后，主要军事策略即是攻取东三郡，以通过沔水联通汉中与荆州。沔水作为两地的关键纽带，在流出秦巴山地后流经荆州重镇襄阳。刘备意图打通这条水路通道，以加强汉中与荆州的联系，巩固荆、益二州的战略连接。因此，关羽在刘封和孟达攻下东三郡后不久便发起了对襄樊的进攻。
曹操派任的荆州刺史胡修、南鄉太守傅方等相继投降关羽。同時，許都以南，梁、郟、陸渾等地盜賊纷纷响應關羽号召，願為其效力。關羽一時之间威震華夏。这一局势促使曹操与群臣商议迁都，以避关羽锋芒。司馬懿、蔣濟等人对此表示劝阻，认为关羽得势后，孙权必然不满意，可以派人劝说孙权从后方干扰，并承诺将江南之地封给孙权，从而解决樊城的困境，曹操对此表示同意。
关羽 生平
关羽曾请求上庸的刘封和孟达出兵支援，但二人以“人心未附”为由未予响应。关羽北攻襄阳时，吕蒙认为时机成熟。然而，关羽在江陵、公安仍留有重兵，并沿江设防，对江东保持戒备。吕蒙于是假借治病之名，让孙权公开召他回建业，任命当时不知名的陆逊接替上游防务，暗中继续筹备进攻。陆逊到任陆口后，多次以谦逊口吻致信关羽，称赞其重创曹军的战功。关羽遂放松戒备，将部分守军调往樊城。于禁七军覆没后，沔水围城，曹仁等人被困固守。受东吴麻痹策略与急于求胜心态的影响，关羽将荆州守军调至樊城，笃信樊城指日可破。
建安二十四年初秋，没有人怀疑关羽将攻占樊城、襄阳。
关羽俘获于禁七军后，面临粮草不足的问题，便开始私自夺取湘关的粮食。孙权指使吕蒙展开行动。吕蒙前往寻阳，派士兵假装成商人，悄悄抓获关羽设置在江边的所有哨兵，关羽对此毫不知情。
关羽 生平
十月，孙权派使者给曹操上书，表示愿意讨伐关羽来贡献自己的力量。孙权希望曹操为其偷袭江陵的行动保密，但董昭认为不应让孙权轻易得到荆州，建议曹操表面上答应孙权，暗中将消息传递给襄樊守军，预料关羽仗着后方城池坚固不会撤军，即使撤军也将和吴军交战，同样能解襄樊之围。曹操同意。襄樊守军得到消息后果然士气振奋，关羽果未撤军。
十月，曹操调集徐晃、張遼等将领及兖州刺史裴潛、豫州刺史呂貢等前往救援樊城，準備親自征討關羽。屯兵居巢防御东吴的夏侯惇也到摩陂与曹操会合。
十月，呂蒙任征荊州大督，率兵西进南郡，迅速袭取公安和江陵，守将士仁和麋芳因與關羽有嫌隙而不戰而降。孫權親自率軍前来支援。呂蒙、陸遜逐步控制荊州。
救援樊城的徐晃起初因為部隊多為新兵，认为很难与关羽抗衡，不过，曹操随后派徐商、吕建等将领及殷署、朱盖等12营兵马增援徐晃，最终徐晃出战击败围困樊城的关羽军队。
此时，关羽水軍仍然控制漢水，隔绝襄阳，但孙权袭击关羽辎重。关羽知悉後方生變，于是南撤，襄阳因此解围。曹操下令不要追杀关羽，以免孙权改变主意对抗曹军，也希望坐看关羽与孙权互相交战。
關羽回軍江陵途中，陸遜任右護軍、鎮西將軍屯駐夷陵，呂蒙任南郡太守駐江陵。期間，關羽不斷派遣使者前往呂蒙處，關羽軍隊家屬多在江陵，呂蒙讓使者到城中傳遞家書，關羽軍因此漸漸潰散。
關羽至當陽，西保麥城。敗走麥城後，士兵繼續逃散，關羽身邊只剩十餘騎。
十二月，關羽偽降，在城墙上立幡旗模仿人样，借机率數十騎出逃，一路突圍至臨沮縣章鄉南（今湖北省襄陽市南漳县）。同月，關羽被馬忠捕殺，孫權將其首級送至洛陽曹操處。
《蜀記》記載，孫權一度有意不處決關羽，將他留下做為應對劉備和曹操的戰力；孫權近臣建言：「野狼絕不可豢養，否則一定會帶來禍害。曹操於活捉關羽後沒有立即將他處斬，自取大患，後來受他反攻而甚至一度考慮遷都，主公難道忘記了嗎？關羽萬萬不可活命。」裴松之注則認為，按吳書孫權遣將潘璋逆斷羽退路，羽至即斬，而且臨沮去江陵二三百里，不可能不即時殺關羽，焉有時間議其生死。南北朝時世人普遍認為關羽不願投降而殉節。
孫權將關羽首級送给曹操，民间传说曹操将其安葬于洛阳，通常认为埋葬地点为关林，但现代有观点认为关庄村关羽墓才是其头颅埋葬处，而关林是万历年间建造的祀祠场所。孙权以诸侯礼安葬关羽的身躯于当阳，即关陵，也称当阳大王冢。蜀汉政权在成都为关羽建衣冠冢，即成都关羽墓，以招魂祭祀。明嘉靖年间洛阳知府杨可大梦见关羽显灵，遂修葺关林并立碑，强化了曹操安葬首级于洛阳的传说。清《大清一统志》记载明确将洛阳关林列为关羽首级葬地，与当阳关陵（身躯）并称“头枕洛阳，身卧当阳”。后来，关羽故乡山西运城的解州建立了关帝庙，即解州关帝庙，被认为是关羽魂魄归返之处。因此民间称关羽“头枕洛阳，身卧当阳，魂归故鄉（或故里/山西）”。
220年正月，曹操逝世。同年，夏侯惇、程昱、刘璋、吕蒙、法正、黄忠相继逝世。
221年四月，刘备称帝。七月，刘备率军以为关羽报仇之名东征东吴，专程到大王冢祭拜关羽，在玉泉山建关羽祠。同月，张飞被部下范强、张达暗杀。
222年，蜀汉军队在夷陵之战中被陆逊击败，未能奪回荆州，退守白帝城。
223年，刘备逝世。
260年，蜀汉後主劉禪追谥關羽為“壯繆侯”。
关羽 人物
關羽個性堅毅忠直但是剛愎驕矜，不甘屈居人下。關羽聽說馬超歸降劉備，便寫信給諸葛亮，問馬超才能可與誰相比，諸葛亮回信說：「馬超文武兼備，氣概雄烈，過於常人，可稱得上一世之豪傑，是黥布、彭越一流之人物，可以與張飛相提並論，但是趕不上美髯公你超逸絕群。」:305及黃忠官拜後將軍，關羽憤怒地說：「大丈夫終不與老兵同列！」幸得諸葛亮和費詩勸解，關羽才接受。他看不起才能平庸的人，對這些人都會毫無掩飾的鄙視厭惡，其中麋芳、士仁十分怨恨關羽輕視自己，樊城一戰失利與他們見死不救投奔東吳有莫大關連，只有才能或品德受關羽認可的人，關羽才願意友善來往，諸葛亮、張飛、廖化和忠節著名的趙累都與他交好，當年身處魏營時徐晃、張遼也與之友好。
关羽 人物
關羽交友喜好與張飛相反，關羽愛護武士、輕視儒生；張飛則喜親近文人、待士兵嚴苛。
關羽身故後，蜀漢後主為其立諡號「壯繆侯」，然繆字語意有負面含意，被認為罪咎未守住荊州兵敗身死之意，然與繆與謬二字讀音相通及通用字有關，繆字用在宗廟追諡時讀音與涵義通穆字，與綢繆相搭時讀音作謀。卢弼综合了各种意见，如程敏政认为“按缪、穆古通用，若秦穆、鲁穆在《孟子》，汉穆生、晋穆彤在史，皆为‘缪’”，梁章矩则认为“壮繆并非美谥，不知当时何以取此”，卢弼自己则倾向于程敏政二字互通的见解，“程说极允，梁说非是”。
因而關羽的諡號「壯繆侯」中的“缪”字是善諡或惡諡，端看繆字的讀音應用場合（漢字字意普遍有一字多種涵義情況）。
关羽 評價
關羽和張飛在當時及後世都成為勇猛善戰與義士的代名詞：
「羽為曹公所厚而忠不忘其君，可謂賢矣。然戰國之士亦能之。曹公得羽不殺，厚待而用其力，可謂賢矣，然戰國之君亦能之。至羽必欲立效以報曹公，然後封還所賜，拜書告辭而去，進退去就，雍容可觀，則殆非戰國之士矣。曹公內能平其氣，不以彼我為心；外能成羽之忠，不私其力于己，是猶有先王之遺風焉。吾嘗論曹公曰：是人能為善而不能不為惡，能為善，是以能享國；不能不為惡，是以不能取天下。」（唐庚《三國雜記》）
李德裕：“蜀先主与关羽、张飞同卧起，而稠人广坐，侍立终日。皆用此道，故能成功。夫御英杰，使猛将，与见道德之人，接方正之士不同也，不可以繁礼饰貌，以浮辞足言，宜洞开胸怀，令见肝肺。气慑其勇，恩结其心，虽踞洗召之，不为薄矣。禄山，夷狄之谲诈者也，非将门英豪，草莱奇杰，其战斗之气，击刺之才，去关、张远矣！”（《英杰论》）；“魏得关羽，则张辽挟以前驱。故能挫强楚之锋，取颜良於麾盖。”（《授何清朝左卫将军兼分领蕃浑兵马制》）
关羽 評價
崔致遠： “军名定难，雅称关张之声；县号宜君，克符尧舜之德。”（《贺杀黄巢贼徒状》）；“斯乃司徒相公镜於心而宽兮绰兮，枰於事而无偏无党，网罗隽彦，笼罩骁雄，於儒则沈谢呈才，於武则关张效力。”（《初投献太尉启》）；“所谓有非常之人，然后有非常之事，绛灌亦一时俊杰，关张非累世勋庸，镂姓名於金鼎玉锺，饰仪形於云台烟阁，永言尽美，孰敢争先？”（《徐州时溥司空·第二》）
郭允蹈：“关云长以万人之敌，弘护荆州，昭烈君臣以为长城，而轻躁寡谋，坠吕蒙之诡计。昭烈勇于一决，以争荆州，君臣于是俱失之矣！或谓：是后也，昭烈不自将，而孔明长啸以下荆州，则何如？曰：非孔明之志也。孔明固谓孙权可以为援而不可图之。又谓国贼曹操非孙权，又谓法孝直在，必能谏止上此行，孔明盖亦难之矣。曰：然则荆州遂可置之度外乎？曰：向使云长自江陵出襄阳，而益德、黄权有一人焉，为居守之计。则固可震撼中原，而无后顾之忧矣。云长既死，虽孔明亦未如之何也。”（《蜀鉴 ·昭烈败绩于猇亭》）
关羽 評價
郑咸：“侯讳某，姓关氏，以忠义大节事蜀先主昭烈皇帝，为左右御侮之臣，官至前将军，假节钺。侯之名闻天下后世，虽老农稚子，皆能道之。然谓侯英武善战，为万人敌耳，此不足以知侯也。曹孟德以奸雄之资，挟天子以令中原，虎视邻国，谓‘本初犹不足数，而况其下乎？’独先主区区，欲较其力，而与之抗。然屡战而数败矣。士於此时，怀去就之计者，得以择主而事之。苟不明於忠义大节，孰肯抗强助弱，去安而即危者？夫爵禄富贵，人之所甚欲也。视万锺犹一芥之轻，比千乘於匹夫之贱者，岂有他哉，忠尽而义胜耳。侯以为曹公名为汉臣，实汉仇也。而先主固刘氏之宗种，侯尝受汉爵号矣。苟为择其所事，则当与曹乎？当与刘乎？曹、刘之不敌，虽愚者知之。巴蜀数郡，以当天下之半，其成功不可待也，而侯岂以此少动其心哉？秋霜之严，见日见则消；南金之坚，遇刚则折。而侯之忠义凛然，虽富贵在前，死亡居后，不可夺也。孔融、杨彪皆巨德元老，一日少忤曹公，乃戮而囚之。侯为曹公所得，不敢加无礼焉；比其去也，熟视而不敢追。然则侯之所本，胜曹公多矣。盖有以服其心而折其气，岂在行阵间乎！侯本解人，庙於郡城之西。庙久不治，里中父老相与经营，加完新焉。时维太守张公，别乘张公，相与为雍容镇静之政，而解民熙然乐之，日有馀暇，可以致力於神矣。然则神安其宅，厥有由哉。”（《重修庙记》）
关羽 評價
郝经：“羽、飞昭烈啑血起义，夙定君臣之分，期复汉室，百折兴王。阚如两虎啸风从龙，夹之以飞，雄猛震一世，号称万人敌。羽报效于操，致书而去，飞瞋目横矛，而与操决。矫轿义烈，上通于天，汉于是乎不亡。”；“羽仪状雄伟，岳岳尚义，俨若神人。”（《续后汉书·卷十六》）；“昔魏武之於关侯，梁高祖之於贺拔胜，孔明之於徐庶，皆谋臣猛将，反覆去就，知其无留，意犹不固止。”（《与贾丞相书》）；“云长万人之敌，而吕蒙袭取。昭烈一世之雄，而陆逊摧破。汉之义师，不复东征。祗保梁益，吴遂蹈跨荆扬。操不可圗，丕乃禅代曺氏。遂有中国，而天下三分，殆非人谋亦天意也！”（《续后汉书·卷五十六》）；“跃马斩将万众中，侯印赐金还自封。横刀拜书去曹公，千古凛凛国士风。跨有荆、益事战攻，直指许、洛期一戎。操为喘气谋避锋，权为鲸枭示象恭。”（《重建庙记》）
关羽 評價
何兹全在他的《三国史》中写道：“关羽和张飞，都很雄壮威猛，被时人称为万人敌。但从失荆州上可以看出，他傲慢、无智谋、无筹略，远不是他所遇到的对手们的敌手。在一次战斗或一个战役中，像斩颜良、诛文丑，或水淹七军，他是强手，但对战略政略他是一窍不通的。吕蒙、陆逊一给他戴高帽，他就上当、昏头转向，飘飘然不知所以。孙权和他联姻，当然也是政治婚姻，即使关羽同意，结为儿女亲家，为了夺取荆州，孙权也会一翻脸，把女儿牺牲掉。但即使不愿联姻，也不要骂人。关羽在前方打仗，麋芳、士仁守江陵、公安，这是何等重要的职务，即使对他们不能完成任务不满意，也不能说‘还，当治之’。”
关羽 評價
王仲荦在他的《魏晋南北朝史》中写道：“应该说，关羽北攻襄、樊，并没有错，错的是襄阳长期进攻不下，应该估计到自己后方虚弱，及早回师，以待再举。关羽的最大缺点，是没有把脆弱的吴、蜀同盟巩固住。孙“权遣使为子索羽女，羽辱骂其使，不许婚”​（​《三国志·蜀志·关羽传》​）​。作为策略来讲，这是很大的失着。还有，关“羽善待卒伍而骄于士大夫”​（​《三国志·蜀志·张飞传》​）​。关羽和他的僚属（文职人员）的关系很紧张，像潘濬这样一个优秀人物，关羽不知重用，关羽死后，反而被孙权争取过去了。麋芳是刘备的小舅子，时为南郡太守，守江陵；将军傅士仁屯兵公安，他们投降孙权，都和关羽同他们的紧张关系有关。这些事情，结合起来，关羽就一败涂地，不可收拾了。江陵、公安的失守，这在蜀汉政权方面来讲，不仅丧失了荆州基地，被封闭于三峡之内；而且脆弱的吴、蜀联盟，宣告破产，盟友变成敌人，这对刘备的打击是太大了。”
关羽 評價
中國魏晉南北朝史學會前會長朱大渭：「關羽並非只有一般名將英勇戰鬥的作風，以及武藝超群的素質，而且具有指揮大型戰役的能力，荊州的失守，主要責任不在關羽，而是蜀國戰略方針失誤造成的。關羽雖有一定責任，但其忠於職守，以身殉職，應無所非議。」「關羽從小受儒家思想薰陶，因而在處身立事道德規範上，同劉備、諸葛亮可算同道中人。劉備甚有知人之明，他之所以特別看重關羽，深知其德才兼備，後來將留守荊州以及北伐的重任交給他，其原因也在於此。」
关羽 評價
柏杨在其《白话版资治通鉴》里点评：“关羽是二三世纪之交、东汉王朝末年的名将，他的英勇被当时以及后世所肯定。然而，他在中国历史上的地位和在人民心目中的形象，得以永垂不朽，历时一千六百年而始终光芒四射，却不由于他的英勇，而由于他对刘备个人的效忠，这种效忠，被解释为“道义”​。尤其是十七世纪清王朝，以满洲民族控制汉民族之后，在关羽身上找到政治号召的取向，强调道义、强调满洲人跟汉人是异姓兄弟，海枯石烂，情义不变。不仅中国人崇拜关羽，就是在朝鲜半岛，也遍地都是关羽庙，受到万家香火。跨国英雄，关羽是第一人。然而，抛开《三国演义》这本影响力最大的小说，仅就史书上提供的资料，关羽实在没有资格在历史上占据一席之地。他虽然英勇，但事实上不过一个莽汉，既缺谋略，又缺修养，而且心胸狭窄、不识大体。他眼睛只有一个主子和一个小圈圈。一开始就排斥诸葛亮，是刘备把他说服；继而排斥黄忠，如果不是费诗能言善道，谁都不能逆料它的演变：那将是，刘备如果不支持关羽，关羽可能生出贰心；如果支持关羽，黄忠可能背叛，麋芳、傅士仁就是例证。”
廈門大學人文學院教授易中天：「關羽確實有令人崇敬之處，那就是特重情義。民間崇拜關羽雖然有道理，但有些信仰和習俗也很奇怪。比方說剃頭匠奉關羽為祖師爺，就匪夷所思。關羽並沒有當過剃頭匠呀！再說東漢時也不剃頭。想來想去，也就是他們手上都有一把刀。不過關老爺手上的刀是殺頭的，不是剃頭的。清代有一剃頭舖門前掛一對聯云：『問天下頭顱幾許，看老夫手段如何』，倒很像關羽的口氣。還把關羽奉為財神，什麼民營企業啊，個體戶啊，供個關羽當財神，難道他們的錢是靠打架搶來的嗎？你說關羽一個武將封個戰神不就行了嗎？怎麼還當起財神了呢？依我看啊，關羽，遲早要被民間推崇為愛神。因為他對愛情的追求是很執著的。據《三國志·關羽傳》裴松之註引《蜀記》和《華陽國志》，關羽曾經愛上了一個女人，一再向曹操表示要娶其為妻。這話說多了以後，曹操便『疑其有異色，先遣迎看。』一看，果然國色天香，結果『因自留之』，害得關羽很是鬱悶（羽心不自安）。此事如果屬實，曹操就太不厚道了。」
禚夢庵《三國人物論集》：「建安二十四年十月，曹操與孫權都已親自出馬，為了戰一關羽，魏吳兩國幾乎動員了傾國人馬，上下費盡心機，則關羽之勇猛善戰可知了。 這次戰役，關羽雖敗猶榮，但蜀漢克復中原的希望，也隨關羽俱逝了。本來萬人之敵的猛將，很少不剛而自矜的，只要用之得當，剛猛正是優點。這種剛烈人物，古今中外，代不乏人。即以吾國而論，如楚之項籍，漢之關羽，宋之岳飛，近人吳子玉，都是這一類型。這類人物，也同高人義士一樣，為歷史增加不少光彩。但他們成功最快，失敗也最速，只留下許多可歌可泣的故事，供人憑弔而已！」
首都师范大学历史系教授宋杰：“关羽在行政管理、外交、军事方面都犯有错误，荆州兵不血刃地落入敌手，属于他严重的失职。作为当地的最高军政长官，身有守土之责，别无旁贷，确实辜负了刘备给他的这份重任。不过，关羽只是一介武夫，领兵上阵厮杀是其所长，而运筹帷幄、处置政务和外交联络都是他的短处，因此并不具备总管荆州军政要务的才干和能力，派遣他“董督荆州事”可以说是刘备的用人不当，最终造成了无法弥补的损失。”
关羽 出生爭議
《三国志》、《资治通鉴》等正史以及三国魏晋时期的其它资料等并没有可以被用来推测关羽出生年月的相关信息，唯一牵涉到年龄长幼的信息是关羽比张飞年长数岁，不过张飞的年龄也无任何记载。
但是伴随着关羽从北宋开始在民间艺术形象及各统治政权对其推崇的不断提高，此后关于其出生时间开始出现了多种不同信息，诸如：
《關帝志》內容多出自《三國演義》，非嚴謹的史料；《祀田碑記》和《前將軍關壯穆侯祖墓碑銘》未經嚴格考究。现在，关于关羽出生日期的考证仍旧在继续，诸如田福生就认为延熹三年六月二十四日（160年8月13日）最可信，此外延熹三年（160年）六月二十二日等说法也有相关证据。
各种说法都缺乏「决定性证据」，值得注意的是所有出生年相关的资料首次出现的时间相距三国时期都超过一千年，可考证和确信程度均不大。當然近年來開始也有史學家指出陳壽的《三國志》也有記載錯誤。
明清官方祀典堅持一年兩祭，以五月十三為關帝君聖誕，每年南京六部太常寺官祭，今日民間主要以農曆六月二十四日作為神明關公聖誕日，五月十三則視為官方生日。
关羽 民間藝術
關羽於民間的形象，至宋代即與今日相去不遠。洪邁的《容齋隨筆》按理是史論，但其中已有「關羽手殺袁紹二將顏良、文醜於萬眾之中」的傳說。而膾炙人口的三英戰呂布、千里保皇嫂、華佗為關羽刮骨療毒、水淹七軍等民間傳說，都已見於《三國志平話》，《三國志平話》所敘事迹雖多為民間傳說、然卻初步架構了三國歷史進程的故事。元代關漢卿所作戲曲《關大王獨赴單刀會》有提到關羽過五關，可見《三國演義》中過五關斬六將的情節亦早已在民間流傳。《水滸傳》中，關勝為關羽後裔，穿著武器同關羽相若。
关羽 民間藝術
章回小說《三國演義》作者羅貫中著力將關羽這個人物形象，刻畫成繼呂布後的三國武藝第一人，頗有「武聖」之風。總成過往傳奇、野史、戲曲、地方世代說法、被官史避畏說法、說部話本及民間傳說中關羽的故事，和史書中關羽的事蹟有所出入，如關羽溫酒斬華雄為漢末、魏晉以來的傳說，按史華雄實為孫堅所殺；土山約三事是關羽戰敗而投降；文醜死因存見地方史料以及東晉王羲之父子的二王尺牘集和容齋隨筆。而桃園結義、戰呂布、與夏侯惇交戰、土山之戰殺退許褚、徐晃聯手夾攻、過五關斬六將、古城空手躲過張飛突襲、隨劉備訪周瑜讓對方大驚、戰黃忠、手持青龍偃月刀、坐騎赤兔馬、身高樣貌等都為三國演義小說中所雕塑。而後人更引此形象將關羽神話，造就了民間偶像。
《三國演義》對於關羽忠勇自負的性格也加以誇大、转嫁，如諸葛亮問關羽若曹、孫同時來侵，關羽回答要分兵拒之，關羽不滿馬超授官而起妒，改寫為要入川與馬超比武，關羽拒婚時罵孫權的兒子是犬子等等，都是小說的藝術創作。
从傳統戲曲至現代，各类文化作品对关羽多有演绎。
关羽 民間藝術
中國傳統戲曲中關羽的角色，以民間傳說、野史及《三國演義》的描寫而創作，其臉譜為揉紅臉，表示忠勇，「紅臉忠勇」之說法即由關羽臉譜而來。勾丹鳳眼，雙眼俊秀。加上關羽有「美髯公」之稱，所以都會加上演關羽時專用的大髯口，稱為「五绺」或「关公髯」。手執青龍偃月刀和红马鞭，頭戴专有的绿色盔头，缀黄绒球配后兜，两耳垂白飘带和黄丝穗，着绿蟒。因後世對關羽的信仰普遍，具有神格，為表示對關羽的敬畏，所以會特意在面譜上加一黑點或加一條金线，称做「破脸」，代表不敢完全模仿他。而且關公亮相姿式就有48种之多，稱為「关公48图」。
关羽 民間藝術
而在舊時上演关公戏曲時，有许多规矩：如扮演关羽的演员在演出前三到十天要斋戒淨身，不近女色；出场前要给关帝像燒香、奉茶、燒紙錢祭拜，常用牲禮，甚至殺雞殺豬；演员要在头盔或者前胸挂有关帝像的黄表附，演出结束要用此纸拭脸，并拿到关帝像前焚化，以示感谢关帝的庇护；演《單刀會》時，周圍不可有嬉鬧聲、在演《走麦城》时，更要台上台下烧檀香、点蜡烛。据说如果违犯戒律，关帝就会显灵，演员要出事故，戏园要出乱子。清朝后宫演戏时，每临关公出场，皇帝、后妃都得离座走几步，然后才能坐下看戏。一些有损于关帝形象的剧目，如《斩熊虎》、《怒斩关平》、《关公辞曹》等，宫廷及燕京的著名戏园皆禁止上演。而現今也有對演關羽的演員有不少禁忌，如當演員上了妝後，不可大笑、有邪淫，其他人看到上妝後的關羽也不能舉動失儀。
以关羽为主角的京剧剧目称关羽戏（简称关戏，也称老爷戏）。最初，演员在演出时以唱为主。同时，剧目仅有《战长沙》、《华容道》、《斩华雄》等几出。有作者认为在20世纪初，王鸿寿（老三麻子）丰富了关羽戏的剧目。并通过他在脸谱、服饰、念白、唱腔等方面的革新创造，使关羽的形象更为高大完美:18。
关羽 民間藝術
有關於關羽或有其角色的電影、電視劇集，及曾飾演關羽的演員亦有不少，例如有（依年份）：
在三國漫畫中，關羽被刻畫成是繼呂布之後的天下第一猛將，與張飛各自擁有萬夫莫敵的實力。而且在諸多的三國漫畫的劇情中，經常可以看見關羽獨戰呂布的場面，如：王欣太的《蒼天航路》、陳某的《火鳳燎原》、池上遼一的《超三國志霸》、本宮宏志的《吞食天地》等，也許是在人們的心目中認為關羽是武聖，而呂布是戰神的原因，所以才把這兩人設定為死敵。
在關羽家鄉解縣，傳說關羽本名馮賢，生在有文化教養的農家，青少年時期在家習文練武兼作農事，娶胡氏為妻，更在光和元年五月十三（178年6月16日）生了關平。大約在關羽24歲時，即183年，因斬殺惡豪呂熊而逃離家鄉至幽州涿郡，並改姓為關。
於明朝時，仍有關羽有一子關索一說，但關羽不認他，最後成為蜀漢一員將領，不過學者一般認為關索只是傳說，歷史上并沒有關索此人。
在陶弘景《古今刀劍錄》一書中，曾記載關羽當時為劉備重任，不惜親自採都山的鐵，鑄成二刀，銘為萬人。後來關羽兵敗，將二刀投入水中。
关羽 民間藝術
明朝小說《三國演義》中，將關羽所使用的武器設定為青龍偃月刀，然根據文獻記載及出土文物中，偃月刀係在宋朝才開始出現，但因《三國演義》廣為流傳，後世也將青龍偃月刀稱為「關刀」。因關羽善使關刀，故俚語以「關公面前耍大刀」來稱在專家面前賣弄本事、不自量力的意思。
因為《三國演義》故事家喻戶曉，所以產生不少與關羽有關的歇後語，如關羽過江赴會、單騎千里、義薄雲天、威震华夏、喝酒看不出來臉紅、华容道放曹操一念舊情等。
又因關公鬍子漂亮，因此有外號「美髯公」之稱。
南梁（此时南北朝，距离关羽生活年代約300年）陶弘景《古今刀剑录》记载：“关羽为先主所重，不惜身命，自采武都山铁为二刀，铭曰在万人。及羽败，惜刀，投于水。此记载较为可信，历史上的关羽很可能用的是两把环首刀。
正史上并未记载关羽使用的武器，受《三国演义》等的影响，现代关羽的形象一般使用偃月刀（青龙偃月刀），不过考古学上并无汉晋时期使用此类武器的证据。正史上也没有對于关羽坐骑战马的特别记载，不过《三国演义》讲述了曹操将原為吕布骑乘的赤兔马转送于关羽的故事，深入民心。据小说家言，赤兔马在关羽成仁之后绝食而死，故今日祭祀關羽的廟宇或大堂等，常會有一尊赤兔馬的雕塑像。戏曲剧目中，亦会为关羽安排服侍赤兔马的一位马童:18。
三国无双是1997年在PS平台上出现了一款对战游戏，直到2000年，光荣在PS2借用新平台制作了第一部真三国无双。这种独特的游戏方式可以让玩家体会到一骑当千的感觉，在游戏界一亮，受到玩家欢迎。无双系列除了它独特的游戏方式以外，它的人设也是颇为出色的。主要受到《蒼天航路》這部漫画所影响。相同的是，和吕布争锋的不是赵云，而是关羽。二人也被设定为死敌。另外在吞食天地II 赤壁之戰、三國戰紀作為主要角色也很受歡迎。
关羽 對關羽的神化和信仰
关羽自唐代起被佛教天台宗开始奉为神明，进行私人祭祀。天台宗创始人智顗（538年—597年）於隋朝时创建了位于湖北当阳县西约30里的玉泉寺，靠近关羽的殒命之地。寺内设有供奉关羽的“显烈庙”，尊其为护法伽藍神。《重修玉泉寺关庙记》记载智𫖮曾遇见自称关羽的神灵，并受赠土地建寺，关羽神灵被认为能掌控国家兴衰和影响农作物丰歉。
755年安史之亂后，唐朝国力衰退。760年，唐肃宗封太公望为武成王，提升太公庙为武成王庙，与文宣王孔庙同等，配享十位古今名将（孫武、吴起、田穰苴、乐毅、白起、韩信、张良、诸葛亮、李靖、李勣）。782年，关羽被列为六十四位名将之一，以蜀前将军和汉寿亭侯的身份开始享有国家祭祀，但这一祭祀到786年便中止，仅持续五年。此外，武庙还供奉其他三国武将（诸葛亮、张辽、邓艾、张飞、周瑜、吕蒙、陆逊、陆抗、羊祜和杜预），关羽此时并未受到特殊的信仰。
关羽 對關羽的神化和信仰
进入宋代，关羽的地位逐步提升。970年，赵匡胤表彰二十三位古今忠臣义士，关羽名列其中，为其坟墓设立守墓人进行祭祀。1013年，朝廷出资修缮玉泉寺的显烈庙。祭祀逐步变为官方活动。宋仁宗时期​，关羽再次成为武成庙的从祀。1096年，宋哲宗赐玉泉寺“显烈”匾额。北宋末年，战事增多，宋徽宗先后封关羽为“忠惠公”和“武安王”，寄托对抗北方民族入侵的期望。这些封号仪式多在显烈庙举行，使其成为官方祈愿所。靖康之变后，南宋继续加封关羽为“壮缪义勇王”等，但南宋也封诸葛亮为“威烈武灵仁济王”，关羽并非唯一的国家守护神。
北宋作为五代的继承者，平定了长江流域的十国，实现了中国的统一。为彰显正统性，北宋将曹魏视为正统，司马光在《资治通鉴》中质疑蜀汉的正统地位。南宋朱熹对此激烈反对，认为诸葛亮是三代以来唯一楷模。朱子学在南宋受到重视，民众和文人普遍支持蜀汉，诸葛亮北伐理想成为南宋的英雄象征，关羽信仰也在此背景下扩展。
关羽 對關羽的神化和信仰
宋朝军事力量相对较弱，主要依赖发达的商业来抵抗北方侵略。在财政中，盐税占据了重要地位。晋商凭借山西的地理优势和良好的商业环境，成为盐业的主要参与者。关羽本身是山西人，且其故乡解县是当时最大的盐产地，因此晋商将其尊奉为守护神。随着晋商势力和地位的提升，关羽的信仰也得到了相应的扩展。
元灭南宋后，盐税在税收中占据八成。元代以盐税和东西方贸易为经济基础，这为邻近都城大都（今北京）的晋商提供了商机。晋商在元代势力进一步壮大，关帝信仰随之盛行。他们在各地经商时修建关帝庙，并设立表演戏曲的舞台。老百姓通过戏曲接触到关帝信仰，并逐渐普及开来。元代曾一度废止科举取士，许多汉族士人成为元曲创作者。元末明初，长江流域的出版商大量印刷并普及据称由罗贯中整理的《三国志通俗演义》。
明太祖朱元璋废除武成庙，认为身为臣子的封号属于僭上，剥夺了以孔子和太公望为代表的封号，关羽的封号恢复为“壮缪侯”。
关羽 對關羽的神化和信仰
在明代万历年间（1573—1620年），总理河道都御史潘季驯因关羽在治河中显灵，请求赐封。1582年，万历帝封关羽为“协天大帝”，1590年，加封为“协天护国忠义大帝”。1614年，再封为“三界伏魔大帝神威远镇天尊关圣帝君”，举行仪式极大地改变了关羽信仰在国家祭祀中的地位。万历帝为了祈求神明保佑军事胜利，积极推动关羽信仰。在迎击丰臣秀吉的朝鲜，万历帝下令在今首尔东大门外修建祭祀关羽的东庙（即东关王庙），在南大门外修建南庙（即关圣庙，朝鲜战争中焚毁）。明军将领要求朝鲜国王在五月十三日关羽生辰这天前往祭拜。
明代中叶以后，面对外患的情况下，晋商努力承担边境地区的军事物资供给，从而加强了与国家的联系，赢得了盐法改革带来的便利，得以进入中国经济最发达的扬州及长江流域，逐渐发展成为与徽商并列的两大商人势力之一，关帝信仰也随之扩大。
关羽 對關羽的神化和信仰
从元朝开始，关羽的封号逐渐加上“真君”“帝君”“圣”等神祇的名号，直到清朝光绪时最后追封的称号为“忠义神武灵佑仁勇威显护国保民精诚绥靖翊赞宣德关圣大帝”，开始大规模塑像建庙供奉。民間祭祀中，關羽為武財神。據此而有《關聖帝君覺世真經》。官府推其忠，百姓崇其义。關羽作為勸忠勸善的神明，各朝皇帝多半敬奉非常，其「侯而王，王而帝，帝而聖，聖而天」的過程請參考下表：
元文宗至顺二年（1331年）敕封的官職最多，其次为清德宗光緒帝的「忠義神武靈佑仁勇威顯護國保民精誠綏靖翊贊宣德關聖帝君」封號，共26個字，採用了眾多美好的文詞。
關羽的祠廟遍佈各地，為中國最多祠廟的神明之一。唐初開始便有武廟，但主祀的是輔佐武王克殷的周朝宰相姜子牙，而關羽則為從祀之神。如平日出征，則祭拜佛教四大天王中掌管北方的毘沙門天王，並繪製毘沙門天王旗，以保佑戰爭勝利。
关羽 對關羽的神化和信仰
關帝信仰，可能肇始於宋代，完成於明代。關羽信仰由來已久，至宋朝更趨昌盛，至遲宋朝末年，民間供奉關羽的廟宇已經「郡國州縣、鄉邑間井皆有」，宋朝皇帝也多追封關羽為王。元代朝廷雖崇信藏傳佛教，但未箝制民間信仰，因此民間對關羽的崇信有增無減，元朝皇帝且曾遣使致祭。明代不立武廟，然而明太祖朱元璋嘗以「漢壽亭侯關羽廟」列為京師金陵祀典之一，之後明朝歷任皇帝不斷追封關羽，關羽漸漸成為明朝「所最崇奉」。明朝尊奉關羽，甚至要求藩屬朝鮮官方修建「關王廟」。隨著明朝追封關羽為帝，明朝人對關羽的尊稱也由「關王」漸漸升格為「關帝」，沿襲至今。
明清以降，供奉關羽的廟宇不僅遍佈漢地，且延伸至臺灣、蒙古、西藏。而朝鮮、越南、日本、琉球亦有供奉關帝的廟宇。
佛教也視關羽為護法神，漢地佛教尊奉為伽藍菩薩，源於隋代創建天台宗的智者大師。後來藏傳佛教亦尊關羽為護法神。民间宗教中也有尊关帝为主神的，如神武灵拳。隨著關羽地位變得顯赫，關羽更被尊稱為「武王」、「武聖人」，與孔子並肩而立，合稱「文武二聖」。也正因為關羽如此顯赫，除了軍人、武師奉他為行業神崇拜外，就連商業、煙業、描金業、香燭業、教育業、命相家等等不相干的行業也推崇關羽，所以也信奉他為財神、五文昌。在香港，香港警察和香港黑幫等黑白兩道都有信奉關羽的習俗。如香港警察在1930年代起有供奉關帝的習慣，以祈求關帝庇佑。而香港黑幫在接收新會員的入會儀式時，亦會有關帝象坐鎮。
藏傳佛教也逐漸將關羽視為護法神，尤其是噶瑪噶舉派的大寶法王。
非确定型图灵机
如果不加特殊说明，通常所说的图灵机都是确定型图灵机。非确定型图灵机和确定型图灵机的不同之处在于，在计算的每一时刻，根据当前状态和读写头所读的符号，机器存在多种状态转移方案，机器将任意地选择其中一种方案继续运作，直到最后停机为止。具体而言，其状态转移函数为
其中是状态集合，是带字母表，分别表示读写头向左和向右移动；符号 表示集合的幂集，即
例如，设非确定型图灵机的当前状态为，当前读写头所读的符号为，若
则将任意地选择一个，按其进行操作，然后进入下一步计算。
非确定型图灵机在输入串上的计算过程可以表示为一棵树，不同的分支对应着每一步计算的不同的可能性。只要有任意一个分支进入接受状态，则称接受；只要有任意一个分支进入拒绝状态，则称拒绝；某些分支可能永远无法停机，但只要有一个分支可以进入接受或拒绝状态，我们就说在输入上可停机。注意，我们规定必须是无矛盾的，即它不能有某个分支接受而同时另一个分支拒绝，这样有矛盾的非确定型图灵机是不合法的。
非确定型图灵机
定理：对于任意一个非确定型图灵机，存在一个确定型图灵机，使得它们的语言相等，即。
证明：因为非确定型图灵机的计算过程就是一棵树，因此我们只需遍历该树就可以模拟其计算过程。一个简单的想法是利用深度优先搜索来遍历的计算树，但这样行不通，因为的某些计算分支可能永远不停机。所以我们可以采用一种在算法设计中称为迭代加深搜索的技巧来遍历的计算树。具体证明如下：
对于非确定型图灵机，构造一个确定型图灵机如下：
显然，若有某个分支可以停机，则此也一定会找到该分支并停机。因此。
定理2：如果语言L被非确定型图灵机在多项式时间内接受，则一定存在多项式P使得语言L被时间复杂度为的确定型图灵机程序所接受。
定理2说明了为什么在证明P = NP之前，所有的NPC问题都只有指数时间复杂度算法。
张飞
张飞（？—221年），字益德，东汉末年幽州涿郡（今河北省涿州市）人氏，三国时期蜀汉名将，亦是劉備的主要親信之一，與關羽並称“万人敌”。
官至车骑将军、领司隶校尉，封西乡侯，后遇刺身亡，蜀汉追谥桓侯，是为西乡桓侯。元朝加封为武義忠顯英烈靈惠助順王。
陈寿在撰写《三国志》的时候，将張飛与關羽、馬超、黃忠、趙雲合为一传（《三国志·蜀书·关张马黄赵传》），罗贯中的長篇小說《三国演义》中又将該五人并称“五虎上将”，隨著民間劇目的發展，便广为世人所知。而在中国传统文化中，张飞以粗獷剛烈好酒著称，虽然此形象主要来源于小说和戏剧等民间艺术，但已深入人心。
张飞 表字
張飛表字為「益德」，而並非很多人误以为的「翼德」，以为「翼」才跟「飞」字相协。但其实「益」是「鷁」的通假字，「鷁」是一种会飞的水鸟，以应“飞”字。
小说家不明古音，以为“益”与“飞”不协，故改“益”为“翼”。比如清毛綸、毛宗崗父子評改《三國演義》將字改为翼德。但明嘉靖刊本《三國志通俗演義》、萬曆金陵周曰校刊本《三國志通俗演義》、萬曆刊本《李卓吾先生批評三國志》等都維持「益德」。
张飞 生平
中平元年（184年），与关羽在涿郡跟随刘备起兵，随从周旋，不避艰险。关羽年长张飞数岁，张飞事之如兄。刘备领平原相，关羽、张飞皆为别部司马，分统部曲。三人寝则同床，恩若兄弟。
兴平元年（194年），刘备领徐州牧，以张飞为司马。
建安元年（196年），左将军袁术不忿刘备据有徐州，自淮南来攻，两军在盱眙、淮阴相持，张飞留守下邳。下邳相曹豹与张飞不和，勾结当时正寄寓在徐州的奋武将军吕布袭取下邳。张飞杀曹豹，引起丹杨兵叛变，中郎将许耽开门引吕布入城。刘备将士在前方听说家属被俘，军无战心，不得已而投降吕布。吕布将刘备安置在小沛，而刘备兵力逐渐恢复到万余人，引起吕布警觉，于是再次进攻刘备，刘备西奔司空曹操。曹操表荐刘备为豫州牧，让他继续在小沛牵制吕布。
建安三年（198年），曹操东征，消灭吕布，表荐刘备为左将军，关羽、张飞为中郎将。刘备与车骑将军董承等人受汉献帝的衣带诏，密谋诛杀曹操。
建安四年（199年），僭号称帝的袁术因为势力衰弱打算北投身为大将军的从兄袁绍，刘备主动请缨去徐州截击袁术，会袁术病死，所部依附庐江太守刘勋。于是刘备在下邳杀死徐州刺史车胄，留关羽守下邳，身还小沛。
张飞 生平
建安五年（200年），曹操东征，刘备战败，北投袁绍，关羽被俘，后逃归刘备。史书并未记载张飞是否曾与刘备失散或重聚，只知同年张飞在谯郡遇到曹操大将夏侯渊的侄女并纳为妻室。曹操随后在官渡之战中大败袁绍。
张飞 生平
建安十三年（208年），丞相曹操南征刘表，恰逢刘表病死，少子刘琮投降曹操。刘备自樊城经襄阳南下江陵，诸葛亮劝刘备袭取襄阳，被刘备拒绝。曹操抵达襄阳，听说刘备已经南下，立即派出曹純率領五千精骑追击，一日一夜追出三百余里，在当阳长坂坡追上刘备，刘备和诸葛亮、张飞、赵云等数十骑逃亡。张飞奉命率二十骑断后，赵云则保护甘夫人和阿斗慢行。张飞依仗地勢，据水断桥，嗔目横矛，咆哮道：“身是张益德也，可来共决死！（我就是张益德，放马过来决一死战！）”，吼声震天。因张飞素有勇名，敌军内无人敢于向前，刘备等人得以顺利撤退至汉津，与关羽船队会合，然后抵达夏口，会合刘表长子江夏太守刘琦。刘备以诸葛亮为使，联合割据江东的讨虏将军孙权，在赤壁之战中击败曹操，曹操留行征南将军曹仁、横野将军徐晃于江陵，使折冲将军乐进守襄阳，然后北还。赤壁之战中，刘备、关羽、张飞的战斗力给讨虏将军帐下左部督周瑜留下了深刻印象，他在之后给孙权的上书中称“刘备以枭雄之姿，而有关羽、张飞熊虎之将”；然而早在赤壁之战前，曹操的谋士奋武将军程昱就已经盛称“刘备有英名，关羽、张飞皆万人敌也”了。
张飞 生平
赤壁之战后，刘备南征武陵、长沙、零陵、桂阳，四郡皆降。江陵之战时由于吴将周瑜围困江陵日紧，而关羽又断绝北道，曹仁、徐晃放弃江陵突围。当时刘备派张飞率领一千人追随周瑜作战，换来周瑜两千人马跟随关羽用来堵截曹仁后方。战后刘备封拜元勋，以关羽为荡寇将军、襄阳太守，张飞为征虏将军、宜都太守，封新亭侯，其間宜都實為孫權勢力範圍，所以张飞只是可能駐於江北或劉備大本營公安而已。诸葛亮为军师中郎将，趙雲为牙门将军。
建安十五年（210年），偏将军领南郡太守周瑜病死，孙权为减轻军事压力，采纳赞军校尉鲁肃的建议，将江陵转让刘备，张飞转任南郡太守。
张飞 生平
建安十六年（211年），刘备受益州牧刘璋之邀入蜀，帮其消灭割据汉中的镇民中郎将领汉宁太守张鲁。刘备北驻葭萌，次年与刘璋反目，召诸葛亮、张飞等夹攻益州。张飞溯流西上，所向披靡，在江州生擒巴郡太守严颜。张飞叱责严颜：“大军至，何以不降而敢拒战？”严颜回答：“卿等无状，侵夺我州，我州但有断头将军，无有降将军也。”张飞大怒，命左右牵去砍头，严颜脸色不变，说：“斫头便斫头，何为怒邪？”张飞大为钦佩，于是释放严颜，待为上宾。张飞随后从垫江西上，与刘璋领帐下司马张裔战于德阳，张裔败退，张飞追至成都，与刘备会合。
建安十九年（214年），刘璋投降，益州平定。