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山东理工大学 历史沿革
1987年3月，山东建筑材料工业学院校本部由淄博市迁至济南市，国家建筑材料工业局党组决定，在原校址设立山东建材学院博山分部；1987年9月，经国家教委同意，山东建材学院博山分部更名为山东建材学院分院。分院最初设有非金属矿床开采、非金属选矿工程、非金属矿工程测量、非金属地质探测等四个专业，1993年起开始进行本科教育；截至1998年4月，设5系、1部，4个本科专业、11个专科专业、6个中专专业，形成了本科、专科、中专三个层次的办学格局。
1998年4月，经教育部批准，由山东建筑材料工业学院分院、淄博大学、淄博师范专科学校（淄博教育学院）、淄博市职工大学、淄博广播电视大学合并组建淄博学院（英文：Zibo University，缩写：ZBU）。2000年4月，中国科学院院士万哲先被聘为淄博学院学术委员会主任；6月，中国工程院院士杜善义被聘为淄博学院名誉院长。
2001年3月29日，山东省人民政府决定，山东工程学院与淄博学院合并组建山东理工大学。经过一年的筹备，2002年3月21日，教育部批准山东工程学院与淄博学院合并组建山东理工大学，由原山东工程学院院长、中国工程院院士姚福生担任山东理工大学首任校长。
山东理工大学 学科专业
学校设置27个学院、16个校级研究院，拥有3个博士后科研流动站、4个博士学位授权一级学科、24个硕士学位授权一级学科、4个硕士学位授权二级学科（不含一级学科覆盖点）、14个硕士专业学位授权类别，开设69个本科招生专业，学科涵盖9个学科门类；有教师2151人，全日制本科在校生33000余人，在学研究生3100余人。学科专业涵盖了工学、理学、经济学、管理学、文学、法学、历史学、教育学、艺术学等9个学科门类，已逐步形成以工为主、多学科协调发展的学科专业布局。
山东理工大学 校园
有东、西两个校区和北校生活区、瑞贤园生活区，东、西两校区占地面积约240万平方米（3600亩）。校舍建筑面积约105.47万平方米。
山东理工大学图书馆是2001年由原山东工程学院图书馆和淄博学院图书馆合并而成。图书馆馆舍面积51,891平方米，有阅览座位4,686个。馆藏图书总量611万册，其中纸质图书306万册，电子图书305万种（含中外文学位论文）；各种类型数据库165个；中文期刊8,000余种（纸质现刊2,266种），外文期刊16,000余种（纸质现刊39种）。
逸夫图书馆，建筑面积3.8万平方米。
东校区图书馆建筑面积1.1万平方米。
山东理工大学 科学研究
学校有1个国家级工程（技术）研究中心，4个国家级工程实践教育中心，1个国家级实验教学示范中心，1个国家级虚拟仿真实验教学中心，3个省级协同创新中心，1个省级工程技术研究院，1个省级经济技术研究院，15个省级工程技术研究中心，21个中央与地方共建实验室，1个中国工程院实验室，7个省级重点实验室，11个省级重点学科，4个省级人文社会科学研究基地，1个省级检测研发公共服务基地，5个省级高校科研创新平台，3个山东省实验教学示范中心，13个山东省骨干学科实验教学中心；设有山东省职教师资培训中心（全国重点建设职教师资培养培训基地）。
1990年至2013年，学校共获得国家级科技奖励13项；连续两次荣获山东省产学研合作创新突出贡献奖，成为山东省重要的科学研究和技术创新基地。
山东理工大学 科学研究
2006年至2012年，学校已获得七项国家级科研奖励，其中国家技术发明二等奖两项，国家科技进步二等奖五项。2006年和2007年，学校连续获得国家技术发明奖二等奖各一项；2008年、2009年、2011年、2012年和2013年，获得国家科学技术进步奖二等奖各一项。2003年、2005年和2012年，三次获得山东省科学技术进步奖一等奖​。
2013年3月，获中华人民共和国国家海洋局海洋科学技术奖二等奖（2012年度）。
2009年至2014年9月，学校获得省级以上教学成果奖32项，其中，获国家级教学成果二等奖3项；入选国家级教学团队2个，省级教学团队7个；国家级特色专业5个，省级品牌、特色专业14个；国家级精品课程6门，国家级双语示范课程1门，省级精品课程52门；国家“十一五”、“十二五”规划教材28部。
“十一五”以来，学校先后承担省部级以上课题1300余项，其中国家“863”计划、国家“973”计划、国家科技支撑计划等20余项，国家自然科学基金、国家社会科学基金等各类国家级项目等210余项；荣获各级科研奖励1200余项。
山东理工大学 科学研究
截至2014年1月，学校近五年发表学术论文7536篇。截至2010年9月，学术论文被SCI、EI、ISTP、SSCI检索收录已达936篇。在美国《科学》期刊上发表论文一篇，在物理期刊《物理评论快报》上发表论文一篇，入选美国科学信息研究所（ISI）TOP1%论文一篇，在机械工程领域刊物——《Procedia CIRP》2013年发表的论文入选2009年至2014年该刊引用率国际前10名（Elsevier出版社）。
2011年出版的国际顶尖医学期刊美国《新英格兰医学期刊》发表了学校生命科学学院申亮、纪洪芳两位教授有关突变导致对抗癌药物耐药性机理的研究成果。
2015年3月，进入Essential Science Indicators热点论文（Hot Papers）一篇，有包括该论文的6篇论文进入ESI高被引论文；根据2014年11月ESI数据统计，学校进入ESI高被引论文的被引次数在中国高校中排名90位。
山东理工大学 科学研究
山东理工大学等整理研究的《齐鲁古典戏曲全集》，2011年由中华书局出版发行。该书的出版填补了山东古典戏曲文献整理研究上的空白，为后来的研究者提供了可资利用的资料，在齐鲁历史文献的整理和地方古代戏曲的研究上，完成了一件颇具意义和价值的学术工程。
截至2014年1月，学校出版专著、译著、教材3740部，编辑出版《山东理工大学学报》（分“自然科学版”和“社会科学版”）、《管子学刊》等国内外公开发行的学术期刊。《山东理工大学学报》（自然科学版、社会科学版）为美国《剑桥科学文摘》（CSA）来源期刊；《山东理工大学学报》（自然科学版）为中文科技期刊数据库来源期刊；《山东理工大学学报》（社会科学版）为中国人文社会科学引文数据库（CHSSCD）来源期刊；《管子学刊》创刊于20世纪80年代，为中国人文社会科学核心期刊和中文社会科学引文索引（CSSCI）来源期刊。
山东理工大学 国家计划
学校是中华人民共和国国务院学位委员会批准的全国首批具有学士学位授予权的高等院校，为中华人民共和国教育部批准的全国首批“卓越工程师教育培养计划”高等院校（共61所）之一，也是首批国家级人才培养模式创新实验区，并入选首批国家级工程实践教育中心共建高校。
2012年10月，学校入选欧盟伊拉斯谟世界计划亚洲GATE项目（knowledGe mAnagement Technology transfer and Education programme）。
2012年11月，山东省确定了“山东省高等教育名校建设工程”首批立项建设单位，进行重点建设，在资金、资源等方面给予更大支持，山东理工大学入选首批应用型人才培养特色名校。
山东理工大学 军官选培
山东理工大学为中国大陆第一所成立空军国防教育学院的高等院校，是山东省6所招收和培养国防生的院校之一；为中国人民解放军空军19所签约高校之一，是山东省唯一与空军签约培养国防生的高校，也是从在校本科生中选拔国防生数量较多的高等院校。中国人民解放军在学校设立后备军官选拔培训工作办公室。
山东理工大学 学校标识
山东理工大学校训为厚德 博学 笃行 至善。学校校训由著名书法家、中国书法文化研究所所长、中国画研究院院务委员、首都师范大学博士生导师欧阳中石先生题写。
校训释义：
厚德——语出《易·坤卦》：“地势坤，君子以厚德载物。”“厚德载物”体现了中华民族顺应自然，与时俱进，以博大宽容的道德胸怀包举万物，承载理想的民族精神。引“厚德”二字，意在期望师生以高尚的道德立身，以高尚的道德承载天下重任。
博学——语出 《论语·子张》：“博学而笃志，切问而近思。”“博学”既指广泛学习，也指学问渊博。用“博学”二字就是倡导师生努力学习，博采众长，追求广博的学识和渊博的学问。
笃行——语出 《中庸》：“博学之、审问之、慎思之、明辨之、笃行之。”笃行的本意是专一实行，踏实去做。取“笃行”二字是引导师生脚踏实地、身体力行，学以致用。
至善——语出《大学》：“大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善。”“至善”是指达到善的最高境界。以“至善”二字勉励师生追求人格、学识和谐统一的完美的境界。
山东理工大学 学校标识
校训四个词语中，“厚德”突出了德育为首的教育理念；“博学”是求学、治学的目标；“笃行”强调的是重视实践、知行合一；“至善”则是人格与学识和谐统一的完美境界，也是教育所能达成的最高理想。
校徽名称：理工之星
校徽释义：
山东理工大学校徽为圆形，由内外两部分组成。外圆部分上方为“毛体”书写的中文校名，下方为英文校名。内圆部分为中心图案。中心图案为“理工”汉语拼音首字母“ L 、 G ”的变形笔划，同时构成一草书“山”字，指山东理工大学；两笔划相连处缀一颗星，象征着山东理工大学人的智慧光芒，也预示着山东理工大学的辉煌前程。
校歌名称：《你伴随我》
山东理工大学校歌是由中国著名艺术家阎肃先生和孟卫东先生分别作词、作曲，后经广泛征求意见，充分讨论，并征得作者同意，学校对词曲作了进一步完善而形成的。校歌的主调是开拓创新，与时俱进，勤奋共勉，勇担历史重任，发扬“厚德、博学、笃行、至善”的校训精神。
淮海经济区
淮海经济区包括山东省南部、江苏省北部、安徽省东北部以及河南省的最东部。狭义的淮海地区是指鲁南苏北。
淮海经济区 主要城市
2018年中国国务院发表《淮河生态经济带发展规划》，将淮河生态经济带分为三区，其中“北部淮海经济区”包括江苏省的徐州、连云港、宿迁；山东省的菏泽、济宁、临沂、枣庄；安徽省的淮北、宿州；河南省的商丘，共10个地级市。中心城市为徐州。 。
淮海经济区 交通
陇海铁路、京沪铁路、京沪高速铁路、兖石铁路、新兖铁路、胶新铁路、新长铁路。
日东高速公路、沈海高速公路、京沪高速公路等。
日月潭
日月潭（邵語：或），是一個位在臺灣南投縣魚池鄉日月村的半天然淡水湖泊兼水力發電用水庫；該潭是臺灣本島面積第二大的湖泊（僅次於曾文水庫）及第一大半天然湖泊兼發電用水庫。該潭平均水面海拔約736公尺，常態面積約7.93平方公里（滿水位時約8.4平方公里），最大水深達27公尺。其蘊含自然生態豐富，但其中有非常多是外來種生物。
該潭是台灣平埔族的邵族所生活的主要地區之一，屬於邵族傳統領域。由於過去當地附近平埔族稱居住於山裡的高山族，為「沙連」，當地又是山區最大的積水盆地，日月潭及其周圍地區因而得名「水沙連」。此外，尚有水社大湖、龍湖、珠潭、雙潭等名稱。其今名一作明潭，為日潭與月潭之合稱，該二名分別來自對其兩大組成部份水色及輪廓的描繪。同時，該潭景色自古以來經常受人讚賞，並自日本統治時期以來多次被有關當局列入臺灣八景。
2000年1月，交通部觀光署設立日月潭國家風景區，其範圍除原有日月潭特定區外，北面擴大至魚池鄉，東至水社大山，西至集集大山，南至水里蛇窯。
2016年3月，該潭與日本靜岡縣濱名湖締結為姐妹湖。
日月潭 歷史
日月潭原為全臺灣第一大的天然湖泊，水源來自濁水溪。「日月潭」一名首見於清道光元年（1821）升任臺灣府北路理番同知鄧傳安所著《蠡測彙抄》一書中的第2篇〈水沙連紀程〉所記：「…過水裏社，望見日月潭中之珠仔山；藍鹿洲東征集所紀之水沙連即此…」，及第11篇《遊水裡社記》所記：「…其水不知何來，瀦而為潭，長幾十里，闊三之一。水分丹、碧二色，故名日月潭。珠山矻立潭中，高一里許，圍五之…」。文中知其潭中有「珠仔山」（拉魯，舊稱珠嶼島、光華島），以其潭水之顏色而區分為日月潭。而不是如今所謂：「…島東及北側形圓如日，島西南側狹長微彎如月，故名『日月潭』」。日月潭名稱由來是因為形狀之說，可追溯到曹士桂《宦海日記》的記載：「山南水圓如日，山北水彎如半月，詢社人，潭名日月」:295。早期的英文文獻裡稱日月潭為「干治士湖」（Lake Candidius），乃紀念來台傳教的干治士，為1873年由甘為霖所命名。另有傳教士來日月潭向邵族人傳教時，亦將日月潭名之為「龍湖」（Dragon Lake）、「林伊西巴坦湖」（Nin-Isivatan Lake）等之名稱。
日月潭 歷史
1918年7月，臺灣電力株式會社開始在日月潭興建「門牌潭發電所」，但由於資金的不足，拖到1919年才大興土木。1934年6月完工，並改稱日月潭第一發電所。其相關工程包括在武界建壩攔截濁水溪上游溪水，開鑿人工引水隧道至日月潭以供給水源，而發電後的水則被引導注入濁水溪支流水里溪。為了運送電廠興建所需要的材料，集集線鐵路因此孕育而生。完工後的日月潭的水位上升，湖面面積也從原來的4.55平方公里擴張至7.73平方公里，當時稱為「珠子山」的拉魯島面積也稍為縮小。1944年發電廠遭美軍的戰機轟炸損壞，發電停頓。
日本戰敗，由中華民國國民政府接管臺灣後，於1946年成立臺灣電力公司，並隨後修復電廠恢復供電，1948年10月改名為大觀發電廠。
1970年，日月潭定為南投縣風景區，1990年8月25日，日月潭發生興業號事故，共57人死亡。
1999年的921大地震，日月潭地區觀光資源全面受損嚴重，政府決定日月潭由縣級風景區升格為國家級，進行重建工作，並設計新的服務計畫，2000年1月，在交通部觀光署下設立日月潭國家風景區，其範圍除日月潭外，北面擴大至魚池鄉，東至水社大山，西至集集大山，南至水里蛇窯。
日月潭 發電系統
日月潭擁有全臺灣最複雜的水力發電系統，主要由臺灣電力公司大觀發電廠與明潭發電廠管理使用。日月潭的水源來自於濁水溪上游的與濁水溪支流栗溪，由武界壩引濁水溪的溪水，以及所引栗栖溪溪水，經由武界隧道與新武界隧道兩座引水隧道，注入日月潭；1934年於其周圍水社、頭社兩地分別興築完成水社壩與頭社壩兩座混凝土心牆土壩而形成一座離槽水庫；日月潭湖水再經由三個出水口，分別送往大觀發電廠一廠（大觀一廠）、大觀二廠（明湖抽蓄水力電廠）及明潭發電廠抽蓄機組發電；大觀一廠發電後的尾水再引入銃櫃壩後，送往工發電廠發電；大觀二廠及明潭抽蓄電廠發電後尾水則分別於白天尖峰用電時段蓄存在明湖水庫與明潭水庫，到了夜間離峰時段再抽下池的水至日月潭上池；而明潭水庫的水除了抽至日月潭提供上下池間往復利用之外，尚送至明潭發電廠水里機組發電之用。而濁水溪上游由萬大發電廠所管理的霧社水庫亦與日月潭水庫聯合運用，配合發電系統需求以調節下游日月潭水庫水量。
日月潭 生態
在生態保育觀念尚未成熟前，許多宗教團體買了很多種外來魚，來日月潭進行放生活動，殊不知外來物種非常容易傷害原生物種的生態，而最嚴重的是玻璃魚。早年當地漁民所打撈上來的魚貨以奇力魚（kizuat）為主，而今魚貨中玻璃魚占了70%以上。而玻璃魚在日月潭里幾乎沒有天敵，其主食是奇力魚的卵，所以奇力魚的繁殖出現很大的危害。漁民曾嘗試炸玻璃魚來食用，因為全身都是骨頭刺，魚肉非常少，僅適於作水族箱內的觀賞魚。目前專家正研擬如何降低玻璃魚的族群的方法。
日月潭 氣候
日月潭地區屬於暖溫帶氣候區，四面環山，風向與氣候較為穩定，因此氣溫涼爽，寒暖適中，一年四季平均溫度在攝氏19度左右。
以下提供的氣象資訊是位於海拔1015公尺的貓囒山氣象站，並不是在日月潭邊。
日月潭 環潭風光
日月潭面積遼闊，處處皆有湖光山色，環潭景點如下：
伊達邵：伊達邵舊名德化社、化蕃社，邵族原名卜吉社（Barawbaw），邵族主要居住於此，是日月潭邊人口聚集最多的村落。當年蔣介石最喜愛乘舟到這觀賞邵族山地歌舞，遂使該社成為日月潭重要的原住民文化園區。現日月村是邵族、布農族與漢族共居，村內有藝品店、餐廳與旅館等。每年農曆八月十五日前後，這裡的邵族會舉行盛大的祭典，是為祖靈祭/換年祭(tungkariri Lus'an)。
日月潭 環潭風光
九蛙疊像：由南投縣政府風景區管理所委託工程顧問公司設計，聘請藝術家沈政瑩打造七公尺銅雕，目的在宣導當地「水蛙頭」豐富生態，而設置於步道旁的陸(旱) 蛙。「水蛙頭」因棲息許多蛙類而得名，沿線步道約有500公尺，因濕度高，蕨類植物生長良好，蝴蝶、水鳥也常在此覓食，常有蛙類出沒，成為潭區生態多樣性的步道。九蛙疊像於2000年日月潭管風景管理處成立後，轉移撥給其管理 ，為凸顯日月潭抽蓄發電水位變化，才將九蛙移至潭中成為「水蛙」，讓到訪遊客能觀察每天水位有近2公尺的落差變化，故平常因水位消長只會露出二隻青蛙，要遇旱象水位見底，九蛙疊像才會全部露臉，這時會招攬大批觀光客前來觀賞，成為知名景點。
日月潭 環潭風光
涵碧樓：涵碧樓是在台灣日治時期的1916年（大正5年），日本人伊藤氏所建，原為伊藤氏的住宅。在日治時期，涵碧樓即是各界官員、顯要到日月潭遊憩的重點之一。後因日月潭水利工程興建，台中州廳將之易地重建，作為招待所。據說曾被作為東宮裕仁太子訪台時的招待所，但最後並未前來。也曾為前總統蔣中正的行館。1998年由民間經營，1999年921大地震後，舊館幾乎完全被夷平。重建後，由中部地區建商鄉林建設集團改建成為觀光旅館。曾因為廢水污染日月潭而受罰。
日月潭龍鳳宮、龍鳳宮月下老人祠（原拉魯島月下老人亭）：主祀慚愧祖師、北極玄天上帝、天上聖母，為當地居民的信仰中心之一，昭和9年（西元1934年）因日月潭興建水力發電工程，自濁水溪引水入潭而水位上升，龍鳳宮則從原水社舊址遷移至現今日月潭北岸現址；其龍鳳宮月下老人祠，原祀奉於拉魯島上（舊時稱作「光華島」）921大地震後，遭地震破壞部分沉入水中，而在規劃重建時，邵族族人爭取恢復祖靈地，故日月潭國家風景區管理處於民國89年（西元2000年）年底將神像遷移至日月潭龍鳳宮並另建亭祠供奉原拉魯島月下老人；又因臺灣月老信仰逐漸蓬勃發展，遂使龍鳳宮的月下老人祠成為臺灣月下老人信仰重地之一，無數善男信女會至該祠祈求月下老人牽紅線有心儀對象。
日月潭 活動
從1983年開始，每年的中秋節前後，日月潭都會舉辦「萬人橫渡日月潭」的競泳活動。2002年也正式列入世界游泳名人堂。2006年共有21942人參加，首度突破2萬人。2012年嘉義縣新港奉天宮也正式參與每年的萬人泳渡日月潭。
日月潭跨年花火節
日月潭花火音樂嘉年華
九族櫻花季
日月潭 旅遊住宿
日月潭周邊民宿主要分布在水社碼頭鬧區，伊達邵鬧區，頭社盆地，魚池湖岸風情旅店市區，以及九族文化村附近等地，黃帝廟以及孔明廟亦提供信徒掛單。
十堰市
十堰（）市，古称郧阳，是中华人民共和国湖北省下辖的地级市，位于湖北省西北部。市境东南界襄阳市，南达神农架林区，西南毗重庆市，西接陕西省安康市，北抵陕西省商洛市，东北临河南省南阳市。地处鄂渝陕豫四省市交界的山地河谷区，南部为大巴山，中部为武当山，北部为秦岭。汉水自西往东横贯全境，其支流堵河发源于市境西南，东部有丹江口水库。全市总面积23,666平方公里，人口320.9万，市人民政府驻茅箭区北京中路8号。十堰是随丹江口水利枢纽工程、东风汽车公司等项目而发展起来的工业城市。四大道教名山之首武当山位于市境中部，是联合国教科文组织认定的世界文化遗产。
十堰市 历史
十堰作为地理名称来由，其来历有两种说法：
第二个说法源于明代志书记载。明朝成化二十年（1484年）《湖广图经志》和嘉靖元年（1522年）《湖广通志郧阳》说：十堰在县（郧县）南，因溪作十堰以溉田。其志记载《郧阳十景》：天马崖高，摘星坡峻，南门晴望，十堰春耕，萧寺留题，仙宫遗像，武阳神洞，盛水灵泉，龙滚滩声，沄洲雨意。而人之常识：山水寺宫常为风景，难得春耕亦是名胜。其志载韩弼《十堰春耕》赞颂诗：布谷声中水满溪，南畴北陇把锄犁；劝农不费田官力，腰鼓一声人自齐。诗中田官乃军屯官，专门管理屯田生产。万历十八年（1590年）《郧台志》卷之十载李荫诗中说：军民杂处乐耕锄，总属中丞保障余。军民杂处乃郧阳特色，中丞乃是巡抚别称。郧阳抚台，当时辖郧阳、襄阳等府。据说明朝的十堰有：十堰、九倾坪堰、虎尾堰、白龙堰、尖山堰、黄龙堰、双龙堰、佃户堰（白浪上堰）、么堰（白浪中堰）、谭家堰（白浪下堰）。
十堰市 历史
中华人民共和国初期，十堰只是一个荒凉小镇，因明朝筑十堰引溪水灌溉田地得名。1963年开始的三线建设政策，丹江口水利枢纽工程、第二汽车制造厂（东风汽车公司）等工程和企业的陆续上马，推动了当地工业大跃进式的发展，正是基于这种政策才催生了一座新的城市的诞生，十堰一跃成为一座现代化的汽车城。
今十堰市城区原为郧县的一部分，是随中国二汽落户此地发展起来的新型工业城市。1967年划郧县的十堰、黄龙两区和茶店区的茅坪公社成立十堰办事处，1969年成立县级十堰市，1973年将十堰市升为省辖市。
十堰市 地理
十堰位于湖北与河南、陕西和重庆四省市交界处，南与重庆市巫溪县、湖北神农架林区接壤，东南和湖北保康县、谷城县和老河口市为邻，东北与河南省邓州市、淅川县交界，北与陕西省商南、山阳县毗邻，西和陕西镇安、旬阳、白河、平利和镇坪县相邻。大巴山东段逶迤于南，秦岭餘脉屏障其北，汉水自西向东穿越全境，最高海拔2740米，最低海拔87米。境内的最大河流为汉水，自西向东贯穿全境，流经郧西、郧县、丹江口两县一市；境内50公里以上的有堵河、滔河、马栏河、神定河等30余条。有丹江口水电站，位于丹江口市境内，连接三省五县市，总水域面积745平方公里。
全境大部分属于亚热带季风气候，四季分明，雨热同期，降水充足。年日照时数平均为1620～1990小时。
十堰市 政治
十堰市下辖3个市辖区、4个县，代管1个县级市。
另外，十堰市设置了以下管理区：
十堰市 人口
根据2020年第七次全国人口普查，全市常住人口为3,209,004人。同第六次全国人口普查的3,340,841人相比，十年共减少了131,837人，下降3.95%，年平均增长率为-0.4%。其中，男性人口为1,652,060人，占总人口的51.48%；女性人口为1,556,944人，占总人口的48.52%。总人口性别比（以女性为100）为106.11。0－14岁的人口为599,932人，占总人口的18.7%；15－59岁的人口为1,998,483人，占总人口的62.28%；60岁及以上的人口为610,589人，占总人口的19.03%，其中65岁及以上的人口为451,977人，占总人口的14.08%。居住在城镇的人口为1,987,585人，占总人口的61.94%；居住在乡村的人口为1,221,419人，占总人口的38.06%。
十堰市 人口
全市常住人口中，汉族人口为3,193,073人，占99.5%；各少数民族人口为15,931人，占0.5%。与2010年第六次全国人口普查相比，汉族人口减少135,909人，下降4.08%，占总人口比例下降0.14个百分点；各少数民族人口增加4,072人，增长34.34%，占总人口比例增加0.14个百分点。
十堰市 经济
因中心城区人口数量不多，且主要人口构成为20世纪70年代前后支援东风公司建设到当地的外地技术移民，在东风公司汽车销售良好的20世纪90年代中期，十堰市人均可支配收入一度曾达到全国前十位。后因城市产业单一以及国有大型企业在九十年代末普遍出现的困境，加之东部沿海城市经济发展迅速，十堰市人均可支配收入虽年年增长，却不可能再进入该榜单的十强，但仍然长期占领湖北省地级城市城区人均可支配收入榜首位置，领先于省会武汉市。据官方统计，从1991年至2006年的16年间，十堰市市城市居民人均可支配收入由1685.64元增加到10944.45元，增长近5.49倍，扣除价格因素年均增长7.9%；城市居民人均消费性支出由1321.20元提高到8616.00元，增长5.52倍，扣除价格因素年均增长7.9%。
福布斯“大陆最佳商业城市榜”2007年度十堰市排名第1位。
十堰市 城市发展
在2008年10月《中国城市综合竞争力报告》中，十堰市在“最具潜力的城市”中排名第四，报告中称：“湖北的十堰市排在第四位，‘人均绿地面积’和‘每万人高校在校学生数’都排在前两位，说明城市环境优良，人才资本优势明显。”
十堰市 教育
市内有湖北汽车工业学院、湖北医药学院、汉江师范学院等高等学校。截止2008年，十堰大学生人口占全市总人口的比例超过北京、上海等城市，高居全国第一。
市内有东风高级中学、十堰市第一中学、郧阳中学三所省级示范高中。
十堰市 旅游
据国际旅游联合会评定，武当山入选“欧洲人最喜爱的中国十大景区”
十堰市周边景点
十堰市 环境
1999年被评为“国家园林城市”，2005年被评委“国家生态示范区”。
城区绿化面积在全国范围内仅次于深圳市排名第二。
汪达尔人
汪达尔人（Vandals）是古代一個東日耳曼部族，在民族大迁徙中于429年占领今北非突尼斯一带，建立了汪达尔王国。公元455年，他们从海上出发，并于6月2日洗劫了羅馬城。Vandals亦即英文中“财产破坏”（vandalism）一词由來。
公元533年，東羅馬帝国名將贝利萨留讨伐汪达尔人（汪達爾戰爭），大獲全勝並毀滅了汪达尔王国，將其重新纳入帝国疆土。汪达尔王国的亡国之君盖利默则被押解到君士坦丁堡，退隱度过余生。汪达尔人曾在554年发动过一次武装叛亂，亦被帝國派兵迅速鎮壓。此後大部分汪达尔人被陆续押解到帝国各境為奴，而少部分人则分散在帝國军中服役。如此这般，汪达尔人不仅丧失了自己的国家，而且作为一个民族自此之后也消失得无影无踪。
汪达尔人 詞源
汪達爾人的名称可能源自原始日耳曼语動詞*wand-（改變/流浪）或日耳曼神話人物「Aurvandil」（耀亮的流浪者；黎明流浪者，長庚），或名為「光明的汪達爾」的日耳曼神明。
輾轉相除法
在數學中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英語：），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。例如，欲求252和105的最大公约数（）；因为，所以这个最大公约数也是42与105的最大公约数()。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至余数为零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如。这个重要的結論叫做貝祖定理。
輾轉相除法
辗转相除法最早出现在欧几里得的《几何原本》中（大约公元前300年），所以它是现行的算法中歷史最悠久的。这个算法原先只用来处理自然数和几何长度（相當於正實數），但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的數學物件，如高斯整数和一元多项式。由此，引申出欧几里得整环等等的一些现代抽象代数概念。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。它还被用来解丢番图方程，比如寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域中元素的逆。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。
辗转相除法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。拉梅于1844年证明了这点，同時這也標誌著计算复杂性理论的開端。
輾轉相除法 背景
欧几里得的辗转相除法计算的是两个自然数和的最大公约数，意思是能够同时整除和的自然数中最大的一个。两个数的最大公约数通常写成，或者简写成，但是第二种写法也被使用在其他数学概念，如二维向量的坐标。
如果，則稱和互素。a和b是否互素和它们是否素数无关。如，6和35都不是素数，因为它们都可以分解为多于一个素因数的乘积：6 = 2 × 3，35 = 5 × 7。但是，6和35互素，因为除了1以外没有自然数同时整除6和35。
令。由于和都是的整数倍，所以可以写成，并且不存在更大的整数使等式成立。为了使尽可能大，就要使和中所有公约数都提取出来归入中，所以自然数和一定互素，并且和的最大公约数可以被和的所有其他公因数整除。
我们可以用右图来解释最大公约数的概念：設一个长方形的边长为和。因为和的任何公约数都可以整除和，所以长方形的边都可以等分为长度为的线段，也就是长方形可以被边长为的正方形正好填满。而最大公约数是所有可能的中最大的一个。例如，一个24 × 60的长方形区域可以分成1 × 1、2 × 2、3 × 3、6 × 6或12 × 12的正方形网格。也就是说，12是24和60的最大公约数。
輾轉相除法 背景
和的最大公约数是两数共有的素因数的乘积。例如，462可以分解成2 × 3 × 7 × 11；1071可以分解成3 × 3 × 7 × 17。462和1071的最大公约数等于它们共有的素因数的乘积3 × 7 = 21。如果两数没有公共的素因数，那么它们的最大公约数是1，也即这两个数互素。辗转相除法的优点就在於它能以有系統的方式求出兩數的最大公约数，而無需分別對它們作因式分解。大数的素因数分解被認為是一個困難的問題，即使是现代的计算机也非常难於處理，所以许多加密系统的原理都是建基於此。
在数学中，尤其是抽象代数的环论中，最大公约数有一个更加巧妙的定义：和的最大公约数是和的线性和中的最小正整數，即所有形如（其中和是整数）的数中的最小正整数。可以證明，所有都是的整数倍（，其中是整数）。用现代数学语言來說，和生成的理想即是由生成的主理想。最大公约数的这个定义和其他定义的等价性将在下面描述。
三个数的最大公约数的定义和两个数的相同，即是它们共有的素因数的积，它们或者也可以按下式计算：
輾轉相除法 背景
所以，欧几里得的辗转相除法实际可以计算任意多整数的最大公约数。
下文的論證會用到三種相關的数学方法，分別是数学归纳法、递归和无穷递降。数学归纳法经常用来证明某個定理對所有自然数成立：首先证明定理对一个特定的数成立（通常是1）；然后證明如果定理对自然数成立的話，那麼它对自然数成立。這樣，便可證明定理对所有大于的自然数也成立。递归是将相关的数组成一个数列（），當中除初始項外，其中每一项都用前一项或前几项表示。如斐波那契数列就是递归的，每一项都等于（）。辗转相除法中的一些等式也是递归的。最后，无穷递降是用方程的一个自然数解导出比它小的自然数解。但是，这种转化不能永远进行下去，因为只有有限個小於原來的自然数解的自然数。所以，要麼方程無解，不然在有限步内必然能得出最小的自然數解。在下文會用到此法來证明辗转相除法一定会在有限步内结束。
輾轉相除法 算法描述
辗转相除法是一种递归算法，每一步计算的输出值就是下一步计算时的输入值。设表示步骤数（从0开始计数），算法的计算过程如下。
每一步的输入是都是前两次计算的非負余数和。因为每一步计算出的余数都在不断减小，所以，小于。在第步中，算法计算出满足以下等式的商和余数：
其中。也就是要不断减去直到比小。
為求簡明，以下只說明如何求兩個非負整數和的最大公約數（負數的情況是簡單的）。在第一步计算时（），设和分别等于和，第2步（此时）时计算（即）和（第一步计算产生的余数）相除产生的商和余数，以此类推。整个算法可以用如下等式表示：
如果有，算法的第一步實際上會把兩個數字交換，因為這時除以所得的商會等于0，余数則等于。然後，算法的第二步便是把除以，再計算所得之商和餘數。所以，對於總有，即运算的每一步中得出的余数一定小于上一步计算的余数。
由于每一步的余数都在减小并且不为负数，必然存在第步时等于0，使算法终止，就是和的最大公约数。其中不可能无穷大，因为在和0之间只有有限个自然数。
輾轉相除法 算法描述
辗转相除法的正确性可以分成两步来证明。在第一步，我們會證明算法的最终结果同时整除和。因为它是一个公约数，所以必然小于或者等于最大公约数。在第二步，我們證明能整除。所以一定小于或等于。两个不等式只在时同时成立。
具体证明如下：
例如，计算和的最大公约数的过程如下：从1071中不断减去462直到小于462（可以减2次，即商），余数是147：
然后从462中不断减去147直到小于147（可以减3次，即），余数是21：
再从147中不断减去21直到小于21（可以减7次，即），没有余数：
此时，余数是0，所以1071和462的最大公约数是21，这和用素因数分解得出的结果相同（见上文）用表格表示如下：
輾轉相除法 算法描述
辗转相除法的计算过程可以用图形演示。假设我们要在的矩形地面上铺正方形瓷砖，并且正好铺满，其中大于。我们先尝试用的瓷砖，但是留下了的部分，其中。我们接着尝试用的正方形瓷砖铺，又留下了的部分，然后再使用的正方形铺……直到全部铺满为止，即到某步时正方形刚好覆盖剩余的面积为止。此时用到的最小的正方形的边长就是原来矩形的两条边长的最大公约数。在图中，最小的正方形面积是21×21（红色），而原先的矩形（绿色）边长是1071×462，所以21是1071和462的最大公约数。
在每个步骤中，辗转相除法都需要计算两个数和的商和余数：
其中。除法的算法保证这样的商和余数总是存在。自然数的除法算法还指出这样的商和余数是惟一的，但这对辗转相除法而言并非必要。
在欧几里得最初的描述中，商和余数是通过连续的减法来计算的，即从中不断减去直到小于。一個更高效的做法是使用整數除法和模除来计算商和余数：
辗转相除法可用伪代码表示，比如除法版本可以寫成
C++版本：
Rust版本：
Python 3版本：
輾轉相除法 算法描述
在第次循环开始时，变量的值是前一次运算的余数，变量的值是再前一次运算的余数。步骤的作用等同于递归式。变量的功能是在下一个余数计算过程中临时性地保存的值。在一次循环结束时，变量的值是前一次运算的余数，变量的值是再前一次运算的余数。
在欧几里得定义的减法版本，取餘运算被减法替换。
变量和的值分别是前两次的余数和。假定第次循环开始时大于，那么等于，因为。在循环过程中，重复减去直到比小，此时就是下一个余数；然后重复减去直到比小，此时就是下一个余数；重复执行直到。
以下是递归版本：
C++递归版本如下：
Rust递归版本：
Java版本：
Python 3版本：
例如的计算过程是：函数的第一次调用计算；下一次调用计算，在接下来是。
在另一个版本的算法中，每一步还要把取余运算时计算出的商增加一后再重新计算余数（此时计算出的余数应该是负的），然后取两个余数的绝对值较小的数作为下一步运算时使用的余数。取余运算后，设是计算出的余数（此時為正），是计算出的商：
即假設。然後使用以下式子计算出一个负的余数：
如果，那么用替换进行下一次运算。如利奥波德·克罗内克所指出的，这个版本需要的运算步骤是欧几里得算法的所有版本中最少的。
輾轉相除法 历史发展
辗转相除法是目前仍然在使用的历史最悠久的算法之一。它首次出现于《几何原本》（卷7命题1–2、卷10命题2–3）（大约公元前300年）。在卷7中用于整数，在卷10中用于线段的长度（以現代的觀點看，线段的长度可視為正实数，也就是說辗转相除法實際可用於實數上，但是当时未有实数的概念）。卷10中出现的算法是几何的，两段线段a和b的最大公约数是a和b的公度中的最大值。
这个算法可能并非欧几里得发明，因為他也有将先前其他數學家的一些成果编进他的《几何原本》。数学家、历史学家范德瓦尔登认为卷7的内容可能来自毕达哥拉斯学院出身的数学家写的关于数论的教科书。辗转相除法在當時很可能已為尤得塞斯（大約公元前375年）所知
，甚至可能更早之前就已经存在，因为欧几里得和亚里士多德的著作中都出现了一词（意为“辗转相减”）。
輾轉相除法 历史发展
几个世纪之后，辗转相除法又分别被中国人和印度人独立发现，主要用来解天文学中用到的丢番图方程以及制定准确的历法。5世纪末，印度数学家、天文学家阿里亚哈塔曾稱辗转相除法为“粉碎机”，這可能是因为它在解丢番图方程时很有效。在中国，《九章算术》中提到了一种类似辗转相减法的“更相减损术”。《孙子算经》中則出现了中国剩余定理的一个特例，但是直到1247年秦九韶才於其《数学九章》中解答了該定理的一般情況，當中用到了他發明的大衍求一术。此法的其中一部分實際上便是輾轉相除的原理，秦九韶在書中對此有明確表述。在欧洲，辗转相除法首次出现于克劳德·巴希特的著作《愉悦讨喜的问题》（）的第二版在欧洲，辗转相除法被用于丢番图方程和構建连分数。后来，英国数学家桑德森在其著作中收編了扩展欧几里得算法，作为一個有效计算连分数的方法。他將此法的來源歸名於罗杰·科茨。
輾轉相除法 历史发展
19世纪，辗转相除法促成了新数系的建立，如高斯整数和艾森斯坦整数。1815年，高斯用辗转相除法证明高斯整数的分解是惟一的，儘管他的研究到了1832年才首度发表。高斯在他的《算数研究》（出版于1801年）中實際上也有援引这个算法，但僅是以连分数方法的形式敘述。约翰·狄利克雷是第一个将辗转相除法作为数论的基础的数学家。狄利克雷提出，数论中的很多结论，如分解的惟一性，在任何使辗转相除法適用的数系中均有效。狄利克雷的數論講義後來經理查德·戴德金編輯和推广，戴德金也有以辗转相除法來研究代数整数。比如，他是第一个用高斯整数的分解惟一性证明费马平方和定理的数学家。戴德金还率先定义了欧几里得整环的概念。19世纪末，戴德金所定義的理想概念使得數論的重心不必建基於輾轉相除法，從而促進了理論的發展。
辗转相除法的其他应用发展于19世纪。1829年，施图姆将辗转相除法用于施图姆序列（用于确定多项式的不同实根的个数的方法）。
辗转相除法是历史上第一个整数关系算法，即寻找两個可通約實數的整数关系的算法。近年来，出现了一些新颖的整数关系算法，如埃拉曼·弗格森和福尔卡德于1979年发表的弗格森-福尔卡德算法（Ferguson–Forcade algorithm）
、以及与它相关的LLL算法、HJLS算法以及PSLQ算法。
1969年，科尔（Cole）和戴维（Davie）基于辗转相除法创造了一种二人游戏，叫做「欧几里得游戏」。这个游戏有最优策略。游戏开始于两列分别为a和b个棋子组成的序列，玩家轮流从较长一列中取走较短一列棋子数量的m倍的棋子。如果两列棋子p和q分别由x和y个棋子组成，其中x大于y，那么玩家可以將序列p的棋子数量减少为自然数x − my。最后率先将一列棋子清空的玩家胜出。
輾轉相除法 数学上的应用
贝祖等式说明，两个数和的最大公约数可以表示为和的线性和。也就是说，存在整数和使。
整数和可以从辗转相除法算出的商计算出。 从辗转相除法的最后一步开始，可以表示成前一步的商和前两步的余数和：
而前两步的余数又分别可以表示成它们前两步的余数和商：
将这两行式子先後代入第一个式子，可以将表示成和的线性和。重复进行迭代直到出现和：
最终，g可以表示成和的线性和：。贝祖等式以及以上证明都可以扩展至欧几里得整环。
贝祖等式提供了另一种定义和的最大公约数的方法。考虑形如（其中和是整数）的数的集合。因为和都可以被整除，所以这个集合中的所有元素都可以被整除。也就是说这个集合中的数都可以表示成的倍数，或者和的其他公约数的倍数。但是，只有最大公约数才是这个集合的元素。根据贝祖等式，有。換言之，当、时得出。任何其他的公约数都不是这个集合的元素，因为它们都不能被比它们大的整除。相反地，的任何倍数都属于这个集合，只要令、，便有：
輾轉相除法 数学上的应用
所以，形如的数的集合等于的整数倍的集合。也就是说，任意两个数的线性和的集合等同于它们最大公约数的整数倍的集合。和的最大公约数叫做和的理想的生成元素。这个最大公约数的定义导出了兩個现代抽象代数的概念：主理想（由单个元素生成的理想）以及主理想整环（其每一理想都是主理想的整环）。
这个结果可以解决某些實際问题。例如，考虑两个容积分别为和的量杯，其中和為正整數。通过加入或倒去倍第一个量杯的体积以及倍第二个量杯的体积的液体，任何体积为的液体都可以被量出（只要為正數）。根據贝祖等式，凡是可以被量出的液体，其体积一定是和的最大公约数的倍數。
贝祖等式的整数s和t可以通过扩展欧几里得算法算出。这个扩展算法在原有辗转相除法的基础上增加了两个递归等式：
算法开始时：
,
,
加上这兩个递归式后，当算法终止于，贝祖等式的整数和分别由和给出。
这个算法的正确性可以用数学归纳法来证明。假设递归至第步是正确的，也就是假设：
在小于時皆成立。则第步运算得出以下等式：
因为和被假定是正确的，所以可以用和表示：
整理后得到第步的结果，和我们期望得到的结果一致：
輾轉相除法 数学上的应用
整数和也可以用矩阵运算得出。辗转相除法的计算过程：
...
可以写作2×2的商矩阵乘以一个2维余数向量：
令表示所有商矩阵的乘积：
这使辗转相除法化简为：
如要用和的线性和表示，可將等式两边同时乘以矩阵的逆矩阵。的行列式等于，因为它等于商矩阵的行列式的乘积，而每一个的行列式都是−1。因为的行列式不为零，最终的余数向量可以利用的逆矩阵解出：
由上式可以得出。
贝祖等式中的两个整数分别是、。矩阵法的效率可前文描述的辗转相除法的递归算法是相同的，每一步都有两次乘法和两次加法。
贝祖等式对辗转相除法的很多应用都很重要，如证明自然数的唯一分解性质假设数字L可以写成两个因数和的乘积，即。如果另一个数与互素的数也能整除，那么必须整除，证明如下：如果和的最大公约数是1，则根据贝祖等式存在和使
。
两边都乘以：
因为整除等式右边，所以也应整除等式左边的。这个结果叫做欧几里得引理。如果一个素数整除那么它至少整除的一个因数。如果一个数互素于数列 中的每一个数，则w也一定互素于它们的乘积。
欧几里得引理足以证明每一个自然数的素数分解是惟一的。我们用反证法来证明，假设可以分别分解成个素数和个素数，即：
輾轉相除法 数学上的应用
根据假设，每个素数都能整除，因此它必须能够整除某個；因为也是一个素数，所以。同理，对于每一个都存在一个与它相等。所以两种分解除了顺序不同以外是完全相同的。整数分解的惟一性在数学证明中有很多应用，下文将会提到。
丢番图方程是以亚历山大数学家丢番图的名字命名的一类方程，它的解被限制在整数范围。关于整数和的线性丢番图方程形如：
其中、、是已知整数。这个方程可以写成关于的同余式：
令为和的最大公约数，、都能被整除，故能够被整除。所以，一定能够被整除，不然方程就无解。方程两边若同时除以 ，方程就变成了贝祖等式：
其中和可以用扩展欧几里得算法求解。所以这个丢番图方程的一个解即是：
总体而言，丢番图方程如果有解，就一定有无数个解。只需要考虑两个解 和：
或者可以写成：
所以相邻两个解的之间的差是，之间的差是。这样，所有的解都可以表示成：
当取遍所有整数时，方程所有的解都可以从计算出来。如果限制為正整数解 (, ) 的话，那么解的数量就可能是有限的。有時候，这种对解的限制使丢番图方程在未知数個數比方程數更多的情况下仍然能有唯一解，而在允許實數解的线性方程组中，这種情況是不可能的。
輾轉相除法 数学上的应用
有限域是一个支持四种运算的数集。这四种运算也通稱為加法、减法、乘法、除法，跟一般的四則運算有相同的性质，如交换律、结合律和分配律。举例来说，使用同余可以让13个数字的集合  构成一个有限域。在这个域中，任何数学运算（加减乘除）都归约成13的模，例如 。对于任意素数，都可以定义这种有限域；使用更复杂的方法，也可以对素数的次方定义这样的有限域。有限域也叫做伽罗瓦域，其缩写為  或。
在这样一个有个数的域中，任何非零元素都存在惟一乘法逆 使。这可以通过解同余式得出，或者也可以解与之等价的丢番图方程
这个方程可用扩展欧几里得算法解出（参见上文）。在RSA算法中，寻找乘法逆是非常重要的一步，它决定了使用哪个数来解密信息。虽然RSA算法不使用域而是使用环，扩展欧几里得算法仍然可以用来求乘法逆。欧几里得算法也被应用于纠错码，例如，它可以代替伯利坎普－梅西算法解基于有限域的BCH码和里德-所罗门码。
辗转相除法也可以用來解线性丢番图方程组。如在中国剩余定理中，整数可以表示成被个互素的数除留下的余数：
輾轉相除法 数学上的应用
为了从的个余数中确定的值，我们将这些式子组合成单个线性丢番图方程，其中模数是所有模数的乘积，然后定义如下：
也就是，是除了以外所有模数的乘积。接着是关键的一步，寻找个数使：
有了这些数之后，整数可以用下式从余数中解出：
因为是的乘法逆，所以可以使用扩展欧几里得算法求出（见上一节）。
辗转相除法和连分数有着紧密的关系。计算连分数的过程如下：
其中每个式子的右边最后一项都等于下一个式子的左边项的倒数。所以前两个式子可以组合成：
第三个式子可以代入分母中的：
每一步中，最后一项都可以用下一个式子代换，直至最后一个式子，结果是：
在上文的例子中计算了，其中商分别是2、3、7，所以分数  可以写成如下连分数形式：
计算最大公约数是很多整数分解算法的重要步骤，如Pollard's rho算法、Shor算法、Dixon分解法以及Lenstra椭圆曲线分解。用辗转相除法算最大公约数效率非常高。而连分数分解法由于用到了连分数，所以也需要使用辗转相除法。
輾轉相除法 算法效率
辗转相除法的计算效率已经被彻底研究过了。一个算法的效率可以用计算所需步数乘以每步计算的开销表示。加百利·拉梅于1884年指出，用辗转相除法计算两个数的最大公约数所需的步数不会超过其中较小数十進制下的位数的5倍。因为每一步的计算开销通常也是数量级的，所以辗转相除法的复杂度是。
计算两个自然数和的最大公约数所需的步数可以表示为。如果和的最大公约数是，，，而和是两个互素整数，那么：
这可以通过在辗转相除法的计算过程中的每一步都除以来证明。同样，当和同时乘以时，计算步数不变：。所以，对于数值上相近的数，如和，计算步数可能相差很大。
根据辗转相除法的递归性质可以得出另一个公式：
其中，根據定义有。
輾轉相除法 算法效率
假设用辗转相除法求自然数和（）的最大公约数需要步，那么满足这一条件的和的最小值分别是斐波那契数和。这可以用数学归纳法证明。假设，整除，满足这一条件的和最小是、，正是和。现在假设这一规律对有效。一个需要步的算法的第一步是，第二步是。因为算法是递归的，它需要步才能算出，其中和的最小值是和。所以的最小值是当的时候，此时 。1844年，加百利·拉梅发现这个证明标志着计算复杂性理论的诞生。这也是斐波那契数列的第一个实际应用。
这个结果也证明了辗转相除法的运算步骤不会超过较小数十进制下的位数的五倍。因为如果算法需要步，那么一定大于或等于，也就是一定大于或等于，其中是黄金分割比。因为，所以。因为，，所以。所以，辗转相除法不会进行超过O(h)次除法，其中是较小数在十进制下的位数。
辗转相除法的平均步骤数有三种不同的定义。第一种定义是计算已知自然数和从0到范围内随机选取的自然数的最大公约数所需的时间：
但是因为在连续整数间变化非常剧烈，所以的值也会显得很杂乱。
为了解决这个问题，第二种定义规定只要取遍其中所有和互素的数即可：
輾轉相除法 算法效率
在小于的数中，有个数与互素，其中是欧拉函数。在这个定义中，的函数值增长得平稳很多。
誤差項的增長率為，其中是无穷小量。公式中的常数等于：
其中是欧拉-马歇罗尼常数，是黎曼ζ函数的导数。公式最左边的由两个独立的方法确定。
因为第一种定义可以通过用第二种定义的求和来完成：
所以也可以由以下公式近似：
其中是冯·曼戈尔特函数。
第三种定义定义为从1到间随机选取和（均勻分佈）时计算它们的最大公约数所需的平均步骤数：
将的近似公式代入，得到的近似：
在辗转相除法的每一步中，商和余数都通过和求出：
所以每一步的计算开销主要与计算商的算法有关，因为余数可以很迅速地从、和计算出来：
而计算一个位整数的除法的算法复杂度是O(h(ℓ+1))，其中ℓ是商的位数。
輾轉相除法 算法效率
作为对比，辗转相除法原先的版本使用的是减法，因此效率要慢很多。进行一次除法等同于进行次减法（其中是商）。如果和的比很大，计算出的商也很大，也就需要进行很多次减法。但在另一方面，计算出来的商在大多数情况下都是非常小的，除法中得出一个确定的商的概率大约是。其中。比如，商是1、2、3、4的可能性分别是大约41.5%、17.0%、9.3%、5.9%。因为计算机计算减法要快于除法，特別是对于很大的数字，所以减法版本的辗转相除法的性能可以比得上除法版本。这也被运用于二进制最大公约数算法。
综合考虑算法需要的步数和每一步的计算开销，辗转相除法随两个数字和的平均位数成平方级的速度增长（）。设表示计算过程中的余数的位数，因为算法的步数随线性增长，所以算法的运算时间为：
因为辗转相除法的高效率，它在实践中被广泛使用。作为对比，本段中介绍以下辗转相除法以外的其他最大公约数算法的效率。
计算两数和的最大公约数有一个效率很慢的算法：将除以从2到之间的每一个整数以计算出它们所有的公约数，其中最大的一个即是最大公约数。在这个算法中，步骤数随线性增长，也就是随输入数字的位数呈指数级增长。另一个很低效的算法是计算出两个数的所有素因数（见上文），最大公约数等于所有公共素因数的乘积。但是整数分解算法效率极低，很多现代的加密系统甚至依靠这种低效率来防止资料被破解。
除了辗转相除法之外，也有一些高效的算法存在，如二进制最大公约数算法将除法操作替换成了二进制的移位，以进一步提高用计算机运算时的效率。但是，这种改变并没有降低算法的复杂度（仍然是O(h²)），虽然它在计算机上确实比辗转相除法快些。也可以通过只检視和的前几位数来进一步提高效率，不过效果并不明显。二进制版的算法还可以扩展到其它进制，效率最多可以提升五倍。
对于超过25,000位数的大数，有一种改进使算法复杂度降低至平方级以下，如Schönhage、Stehlé、Zimmermann等人提出的算法。这些算法利用2×2的矩阵（见上文）。这些亚平方级的算法复杂度通常是。
輾轉相除法 其他数系
如上文所述，辗转相除法最早用来寻找两自然数的最大公约数，但其实它也可以被推广至实数，甚至是多项式、二次整数和赫尔维茨四元数。在这些数系中，辗转相除法甚至被用来證明一个重要特性：惟一分解，即这些数系中的数能够被惟一地分解成不可約元素（素数在这些数系的对应物）。惟一分解是数论中很多证明的基础。
辗转相除法可以被应用至实数，如欧几里得在几何原本第10卷中所说的那样。算法的目的是计算出实数，使已知实数和是它的整数倍：、，其中和是整数。这也就找到了和的整数关系，即找到整数和使。欧几里得使用辗转相除法来处理不可通约的长度。
实数的辗转相除法和整数的算法有两个区别。第一，余数是实数，虽然商仍然是整数。第二，算法不能保证在有限步内结束。如果能在有限步内结束，那么分数是一个有理数，即：
于是我们可以写出它的有限连分数形式：。如果算法无法结束，那么是无理数，可以写成无限的连分数形式：。无限连分数的一个例子是：黄金分割比和2的算術平方根：。通常，算法能够结束的可能性是很低的，因为对于实数和，几乎所有都是无理数。
輾轉相除法 其他数系
如果算法不结束，也可以在第步时终止计算，得到近似连分数。终止时的越大，则近似越准确。连分数的分子和分母互素并满足下式：
其中递归的初始值是, 。是在分母是的数中最精确的有理数近似值：
只含有一个变量的多项式可以和整数一样进行加法、乘法和分解為不可約多项式（也就是多项式中的“素数”）。两个多项式和的最大公约数定义为它们分解之后共有的不可約因式的乘积，这可以用辗转相除法进行计算。对于多项式的算法和整数的算法很相似，在每个步骤，计算出满足以下递归式的商多项式和余数多项式：
其中，。所选择的商式必须能使的首项系數和的相等，这样才能保证每个余数的次数小于前一个余数（）。因为非零多项式的次数是非负整数，并且在每一步都减小，所以辗转相除法的计算一定能在有限步内结束。最后一个非零余数即是两个多项式和的最大公约数。
例如，有如下两个四次多项式，都可以分解成两个二次多项式的乘积：
和
.
除以得到余数：
在下一步中，除以得到。最终，除以得到的余数为0，所以是和的最大公约数，这和它们因式分解的结果相符合。
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上文所述的很多应用也适用于多项式。辗转相除法可以解多项式的线性丢番图方程和中国剩余定理，也可以用来定义多项式的连分数展开式。
多项式的辗转相除法也有其他应用，如施图姆定理，一个用于计算多项式在给定区间内的实根个数的方法。这被应用于其他领域，如控制论的劳斯-赫尔维茨稳定性判据。
最后，多项式的系数不必局限于整数、实数、甚至复数。这些系数可以是其他域中的元素，如上文所述的有限域。从辗转相除法得出的结论也可以直接推广至这类多项式。
高斯整数是满足的复数，其中和是普通整数，是虚数单位（-1的平方根）。通过在高斯整数中定义辗转相除法，根据上文贝祖等式可以证明高斯整数的惟一分解。高斯整数的惟一分解性质在很多应用中都很重要，如计算勾股数或者证明费马平方和定理。辗转相除法用于这些应用很方便，但并非必不可少，一些定理也可以由其他方式证明。
对于两个高斯整数和的辗转相除法和普通整数只有两个区别。像整数一样，算法的第步计算出商和余数：
輾轉相除法 其他数系
其中，，每个余数都严格地小于前一个余数，。第一个区别即是：商和余数都是高斯整数，也就是复数，所以商是透過對實際比例（如複數/）的实部和虚部取最近似整數來找出的。第二个区别就是需要定义复数比较大小的方法。所以我们定义一个范数函数，以将高斯整数转换成普通整数来比较大小。在每个步骤中，余数的范数必须小于前一个余数的范数。因为范数是非负整数并且在每一步都减小，所以辗转相除法在有限步内一定能结束。最后一个非零余数即是和的最大公约数，即能同时整除和的整数中范数最大的一个。若把乘以或的所得結果考慮在內，那麼可以說和的最大公约数是唯一的。
很多其他应用如线性丢番图方程、中国剩余定理都適用于高斯整数，高斯整数的连分数也可以用辗转相除法定义。
如果一个支持两种二元运算（+ 和 ·）的元素的集合形成一个交换环R并且可以使用辗转相除法求最大公约数，那么这个集合叫做欧几里得整环。这两个二元运算不必是平常算数中的加法和乘法，它们可以是更广泛的概念，如群或幺半群中的运算。但是这些运算仍然需要遵守交换律、结合律、分配律。
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推广之后的辗转相除法需要一个欧几里得函数，即一個将映射到非负整数集合的函數，使得对于中非零元素和，中存在和满足，。例如上文中用于高斯整数的范数函数。这个函数可以是数的绝对值或模，也可以是多项式的次数，只要辗转相除法计算过程中它的值不断减小就行，这样算法便能在有限步内结束。这非常依赖于非负整数的良序性，即每个非空的非负整数集合都有一个最小数。
任何欧几里得整环都满足算数基本定理：欧几里得整环中的数可以惟一分解。所以任何欧几里得整环都是惟一分解整环，但反之不然。欧几里得整环是GCD整环（任意两元素都存在最大公约数的整环）的子类。也就是说，在某些整环中，两元素存在最大公约数但却不能用辗转相除法计算。欧几里得整环都是主理想环，即其中每一个理想都是主理想，但并不是每个主理想环都是欧几里得整环。
輾轉相除法 其他数系
欧几里得整环的惟一分解性质在很多场合都非常有用。例如，高斯整数的惟一分解性质可以方便地导出勾股数的公式，或者证明费马平方和定理。惟一分解性质也是加百利·拉梅于1847年基于约瑟夫·刘维尔的建议发表的证明费马最后定理的尝试中的关键部分。拉梅的尝试需要形如的数的惟一分解性质，其中和是整数，是1的次方根，即。虽然这对于某些成立（如时的艾森斯坦整数），但在其他情况下并非总是正确的。惟一分解性质在分圆域的失效使恩斯特·库默尔发明了理想数的概念，随后理查德·戴德金创造了理想的概念。
二次整数环对于解释欧几里得整环很有帮助。二次整数是高斯整数的推广，高斯整数中的虚数单位i被替换成一个复数ω。二次整数的形式是，其中和是整数，有两种形式，取决于参数。如果不等于四的倍数加一，那么：
如果等于四的倍数加一，那么：
輾轉相除法 其他数系
如果二次整数环有像上文用来比较高斯整数的那样的范数函数，那么它就是规范欧几里德整环。只有当 −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57或73时，二次整数环才是规范欧几里德整环。 −1和−3时的二次整数分别叫作高斯整数和艾森斯坦整数。
但如果范数函数可以是任何欧几里得函数，那么使二次整数环是欧几里得整环的的可能值到目前为止还不确定。是欧几里得整环但不是规范欧几里德整环的第一个例子（）发表于1994年。温伯格於1973年证明，在广义黎曼猜想成立的前提下，时的二次整数环是欧几里得整环，當且僅當它是一个主理想环。
辗转相除法也可以应用至非交换环，如赫尔维茨四元数。令和表示这样一个环中的两个元素。他们有右公约数如果, （和是环中的元素）。同样，他们有左公约数如果, （和是环中的元素）。因为乘法不符合交换律，也就有两个版本的辗转相除法，一个计算右公约数，一个计算左公约数。例如对于右公约数，辗转相除法求最大公约数的第一步可以写成：
其中是商，是余数。对于左公约数，第一步过程是：
不管是哪一种，这个过程都会重复到最大左公约数或者最大右公约数计算出，像在欧几里得整环中一样，的“大小”一定小于，并且對於只有有限种的可能大小，这样才能保证算法能够结束。
由辗转相除法得出的大多数结果都适用于非交换环。例如，贝祖等式表明最大右公约数可以表示成α的倍数和β的倍数的和，即，存在和使：
对于最大左公约数，等式如下：
贝祖等式可以用来解非交换环的丢番图方程。
輾轉相除法 推广至其他数学结构
辗转相除法有三个性质保证它不会永远进行下去。第一，它可以写成一系列递归式：
其中每一个余数都比前一个余数小，。第二，余数的大小有嚴格下限，如。第三，小于的数的数量是有限的。辗转相除法推广至其他数学结构，如纏結和超限序数时仍保持这种性质。
辗转相除法的一个重要推广是代数几何中格罗布纳基的概念。像前文所述，和的最大公约数是它们的理想的生成元素。也就是说，对任何整数和，存在另一个整数使：
虽然这对一元多项式也成立，但是对多元多项式就不成立了。在多元多项式的情况下，生成元素的有限集合可以定义如下：
其中、和是多元多项式。任何这样的多元多项式可以表示成生成多项式的和加上惟一的余数多项式, 通常叫做多项式的一般形式。
虽然商多项式可能不惟一。这些生成多项式的集合就叫做格罗布纳基。