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儿童 儿童发展
儿童的饮食行为是无法达到成年人的标准的，他们经常会依据食物的性质来完成其进食的动作。一些不好的行为是社会规范无法接受的，却要在限制他们时同样不能让他们感觉到焦虑和挫折就很困难了。大人们应记得孩子常常需要花费相当长的一段时间来学习成年人的饮食习惯和规则，对于孩子吃饭时过分的行为，需要加以制止，但对于较为不过火的动作，就不应该过于急切，以避免对孩子造成不愉快。
在儿童接触的环境越多时，社会化的压力也就越重，这时，他们的活动所带来的困扰亦会增加。其结果可能使孩子常常觉得挫折、愤怒、更有可能表现出攻击的欲望。愈年长的孩子愈容易产生愤怒，而越大的孩子注意力就越不易转移。其亲人常会认为孩子的活动不太重要，而不会考虑到他们为什么会那样让人心烦。孩子的反应则不然，有些行为对他们很重要。多数情况下，父母必须在不做警告的状态下，阻止孩子的行为，用以避免他们遭受到伤害。在不太紧急的情况下，可尝试着对他们说“爸妈就来了”，或者转移其注意力都是不错的办法。
大部分的人们都认为儿童在具备了语言能力之后，就应该尽快地从事社会化训练，这样才能让父母使用语言对其表达行为的不悦。近期的研究却认为在行为发生之后处罚，行为会不易受到限制，反而会使其产生罪恶感。
模仿或仿效是影响儿童社会发展的重要因素，其也是儿童对大人或其他儿童认可的结果。人们很早前就明白，孩子会去模仿别人的行为，但重要的是在什么情况下，孩子会去模仿。虽然这个问题依旧需要更多的工作才会有答案，但是我们早已明显地观察到孩子常常是按照能够有效控制环境或别人的人作为模仿对象的。如，孩子的卫生习惯、饮食、穿着等都是照着父母来模仿的，当然，他们也会模仿学校中的孩子王。父母对孩子攻击行为的惩罚不过是让孩子表现出攻击的另外的榜样，由此，对孩子的进攻行为采取不适当的处罚也只会增加他们的攻击倾向，在家以外的地方，更是如此。
多数的父母都会关心孩子的善恶观念，早期，儿童可经由简单的逃避来学会控制其行为，但等到长大一点，就需要依靠自身的约束力才控制行为了。虽然行为都是受到模仿作用的影响，人们也不能忽视的是有许多行为本来就是从简单直接的加强而来的。
当孩子不愿意离开父母与其他孩子一起游戏时，甚至都不愿意自己独立玩耍时，依赖的问题就应该值得注意。虽然有种看法是认为这种强烈的需求的产生是因为早期父母对孩子过分依赖行为的后果，但更为科学的说法是认为依赖现象反映出孩子的焦虑和缺乏安全感。
父母或相当于父母的其他人给予孩子提供安慰，是对孩子将来的身心健康有着重要影响。过度担忧与外界接触的孩子常会变得更依赖，而得到足够温暖与保护的孩子则更向往离开父母，拥抱世界。一般来说，被父母排斥的孩子，其依赖性更强。因此，依赖行为是父母对孩子的注意力不够，才导致孩子感到的不安全感以及焦虑的结果。
如同依赖一样，学者认为成就也是有其独立性的，成就行为并不一定需要特殊的驱动力才会产生。实际中，在某些工作中获取成就的努力也是以模仿为基础的，或者来源于父母、同龄人等得到鼓励以及肯定。
一个安排合适的学习环境的优点就是让成功与失败的比率更高。即便有的孩子进步速度缓慢，但是其成功率依旧维持不变，而且进步较慢的孩子也不容易受到挫折。很重要的一点就是，很多成就的获得无关于智力。然而，不幸的是不合适的教育方法导致了孩子的失败时，这种经验通常让他们对自己能力的看法都造成影响。
儿童需要逐步发展变为社会中负责任的，能够独立行动的社会成员的过程，是儿童向社会化过程的第一步。包含五个方面，1.基本生活技能教育。2.自我观念的发展。3.养成较好的生活习惯。4.培养良好的道德观。5.培养成为社会角色。其方法为：1.家庭；2.伙伴群体；3.学校；4.大众传媒等。
儿童 娛樂文化
几个世纪以来，儿童对于他们所听过的或看过的那些童谣、童诗、故事和传说等，几乎都有着刻骨铭心的记忆。这些文学著作中，有些是专门为儿童所写的，有些却是儿童涉猎到成人文学的领域所获得的。
为促使儿童获得娱乐和教育而创作的兼顾有文字和插画的文学作品。这一文学类型包括范围广阔的作品，公认的世界文学经典、漫画、专为儿童撰写的简单故事及童话、搖籃曲、寓言、民歌和其他主要由口头传播的资料均被囊括在内。从18世纪末期，儿童文学才是借着一种明确而独立的方式展现出来。在此以前，它都处于萌芽阶段，到20世纪时，更是得到突飞猛进的发展。
儿童文学虽然说专为儿童所写，但其作者、出版商、经销商、消费者、评论人、读者中都有许多是成年人。儿童文学可分为：1、即为儿童所阅读又影响儿童文学发展的成人读物，如笛福的《鲁滨逊漂流记》、斯威夫特的《格利佛游记》、格林兄弟童话集、民间诗集《男童的神奇号角》、布莱克的《天真之歌》；2、作者并未考虑读者对象的部分，但现在广泛地变为儿童文学的经典作品，马克·吐温的《哈克贝利·费恩历险记》、佩罗的童话集；3、漫画书和浅显易懂的故事；4、优秀的成人读物改写本；5、各种民间故事和神话故事等。
儿童 娛樂文化
演进史，对儿童所言，文学开始于他们的所听所闻，比如催眠曲、床头故事、搭配游戏的道白等，甚至到了现代电视被儿童所熟悉的广告词曲等都可被纳入到广大的儿童歌谣中。
现今的儿童不是过去所能攀比的，他们从小便能接受到电视，电脑甚至手机等产品，甚至是长时间的沉迷于那些即具有戏剧性有极易消化的节目当中，若稍有不满，只要另外换一个选择便可。广播、电视、手机和电脑，早就为现代的儿童设下了天罗地网，让他们每时每日都能听闻到这些话语，比如电视中的广告和新闻报道等。他们也早习惯接受那些冲击性的词句了，所见所闻也将他们拉入到成人的世界，甚至一天中的好几个小时，其结果，当代的儿童在品味和行为方面常常非常的老练了。
然而他们也有其父母和祖父母童年时所具有的那些需求：爱与被爱、熟知独立的自我和至于人际关系的自我、明白新的经验和事物，甚至是安全感和成就感。当这些需求渴望达成时，幸福的感觉便产生了。文学对于儿童于成人一样也有助于探索世界和现实的自我，但前提是儿童所接触的文学要有足以激发阅读兴趣的吸引力，并具备可助长身心提高的品质。
儿童 娛樂文化
在十一二岁前，很多儿童也已经投入了成年人的书籍中了，《安妮的日记》和《不可思议的旅程》等都是热门书籍。但连续不断的战争压力，世界性的贫穷与污染，以及人际间的不人道待遇等，这些有增无减的问题会引起人们的焦虑，这对儿童文学已有影响。越来越多的故事，都描述了种族冲突和激烈的生存斗争。包括离婚、遗弃、怀孕和吸毒等，只是较新的儿童读物中作为批判性题材中的一类。虽然这些都不适宜于儿童，但也是儿童等必须面对的现实，况且这些问题在成年的各种终端中也常常涉及到，这些全新的写实主义，尽管看起来很残酷，却也成为儿童急于了解他们所身处的世界的一部分。
儿童 娛樂文化
它并不是一定要专注于写神仙的、带着奇异因素和事件的神奇故事。这个包括如《灰姑娘》和《靴子里的猫》等这类流行于民间的故事，而1888年王尔德的《快乐王子》等，是属于后来创作的艺术童话。犹如意大利的G.斯特拉帕罗拉于1550年的《愉快的夜晚》和G.巴西莱于1634-1636年的《五日谈》。这些具有高度文学性的故事，改编于《白雪公主》、《睡美人》、《塔中的少女》等故事。而后1697年法国的C.佩罗的童话集《鹅妈妈的故事》，集中收纳了《灰姑娘》、《小红帽》以及保留口头传说形式的《美女与野兽》。而格林兄弟于1812-1815年的《儿童和家庭童话集》则直接根据口头讲述记录而成。佩罗和格林的影响一直很大，他们收集的故事多数都成为西方有教养家庭所讲述的童话。而艺术性童话在维多利亚时期的英国则有J.罗斯金于1851年创作的《金河之王》和C.金斯利在1863年的《水孩儿》等，而丹麦作家安徒生所创作的童话虽然源于民间传说，可也带着个人风格，内容多含有自传和讽刺社会的成分。
儿童 娛樂文化
带有魔法或神奇色彩的民间故事，其童话经常会在开头出现“从前......”这一套语。使得故事背景为模糊不清的时间和地点。这种故事几乎都有个主题，就是一个似乎完全无法成功的人，借助或不借助神奇力量战胜困难。其人物，如狠毒的继母、愚蠢的吃人妖魔或者英俊的王子等，均按照固定的方法叙述；其情景也是听众所熟知的。这种类型的故事在全世界各地都有，内容大多数也几乎完全类似。其起源早已不详了。因很早之前，这些故事就开始被文人所研究并皆有其笔墨加工润色，整理记录下来。
儿童 娛樂文化
儿童的任何娱乐消遣形式，亦可能是出于幻想和想象的、自发的、随意的活动，也可能是有组织的有固定规则的游戏。许多游戏都是来自于日常生活并且反映出儿童在其中成长的文化。部分的儿童游戏代代相传。秋千始于公元前1600年的克里特岛。使用几块小卵石进行的抛接子游戏可追溯至古希腊。而捉迷藏也起源于2000年前。随着社会态度的变化，一部分游戏逐渐不再流行，而另一部分更是消失了，如虐待动物的。少数游戏因为变得更加有组织性，而失去消遣功能。技术的创新也极大丰富了儿童游戏的历史。如橡胶的发现导致新类型球类的生产，从而导致球类游戏在数量和质量的增长。而与别国的文化贸易之间的交流也伴随着这些变化而产生了关联，因此更多的玩具便引进了，如中国的风筝流传到西方。录像和计算机也产生了全新的游戏方式。儿童主要是跟随着父母或其他成年人学习游戏方法的，游戏经常成为一种训练手段，儿童会从中学习到成长以后有用的技巧。尽管现代游戏更倾向于具备特定规则的，但是儿童经常喜欢那些无需经过特殊器具、准备工作和场地的游戏。
儿童 娛樂文化
儿童游戏器械是专供儿童娱乐和体育运动的大型器械玩具。多被放置于户外的，如游乐园，幼儿园等地方。许多儿童游戏器械是从民间的体育娱乐用品演变而来的。比如秋千和木马都是有着相当长的岁月了。进入二十世纪，伴随科学的发展，儿童游戏器械种类增长异常迅速，如360°载人轨道列车、电动起降飞机、电子冲浪船、回旋木马等等，还有依靠发动机的卡丁车也风靡全球。时下滑板和轮滑鞋也成为儿童的游戏玩具。
儿童口头颂唱或唱给儿童听的歌谣，又称童谣。其中大部分是成年人依据儿童的理解能力和心理的特点，以简短的句子和简单的韵律等形式、生动形象和通俗易懂的词句编写的，而小部分也是儿童在不同场合下自己编写唱诵的。儿歌虽然包含教诲的含义，但其主要的目的应是给儿童娱乐化的，所以势必符合儿童的想象和感受，力图避免生硬的说教。
有文字记载的儿歌源于公元前三世纪的希腊，在古印度和古埃及在一些著作中也有描述当时的儿歌。中世纪后，西方有名的宗教改革家马丁·路德就有意识地搜集和整理一些儿歌的工作。德国L.A.阿尔尼姆和C.布伦塔诺就广泛地收集了包括德国在内欧洲的儿歌，收录在他们出版的作品《男童的神奇号角》中。
在中国，在2000年前的《春秋》、《左传》和《战国策》等，亦有关于儿歌的记载。清代郑旭旦的《天籁集》和后来的悟痴生的《广天籁集》都是专门收集儿歌的。中华人民共和国成立之后，更有《中国儿歌选》、《古代儿歌资料》和《儿歌》等著作。
从19世纪开始，一些国家就在公园内设立专门的场地和器械，以供儿童玩乐。在20世纪，儿童公园就成为城市公园中的一个类型，美、日、英、法和德国以及苏联等就相继设立了儿童公园。中华人民共和国也于1956年建立了哈尔滨儿童公园。
动画以连续的画面映射在大脑中以展示故事情节的一种绘画样式，而漫畫指单幅或者组合式的绘画，，造型经常利用夸张变形、拟人态和拟动物化的手法，寓教于乐。其早期都是用手绘的，随着计算机技术的发展，现今多用计算机制作。有許多以兒童為目標觀眾和讀者的動畫及漫畫作品，如米老鼠、铁臂阿童木、哆啦A夢、黑猫警长等成为儿童所喜爱的动画角色。
符合儿童心理和生理需求的服装。在中国，依据儿童不同阶段的成长情况分成婴幼儿服装（0-2岁）、小童装（3-6岁）、中童装（7-12岁）、大童装（13-18岁）。其中国服装号型系列标准是GB/T1335-1997，含有完整的标准。
而2017年起開始盛行兒童的中性打扮，更有日本童裝品牌把成人服飾的趨勢和流行剪裁放進了童裝。
五峰鄉 (台灣)
五峰鄉，位於台灣新竹縣南部，新竹縣的山地鄉之一。東鄰尖石鄉，南鄰苗栗縣泰安鄉，西鄰苗栗縣南鄉，西北至北鄰分別為北埔鄉、竹東鎮和橫山鄉。鄉內人口約有4千多人，是新竹縣人口最少的行政區。族群結構上主要為台灣原住民泰雅族及賽夏族，僅有少部份客家族群及戰後大陸移民。
五峰鄉 (台灣) 歷史
在清代光緒 13 年（1887）臺灣省建省後，隸屬新竹縣大嵙崁撫墾局五指山分局管轄，日治時期則屬五指山撫墾署管理的番地。明治 31 年（1898）改由新竹辦務署樹杞林支署蕃地。明治 34 年（1901）改隸新竹廳樹杞林支廳番地。大正 9 年（1920）改制為新竹州竹東郡蕃地。民國時期初期，則又改制為新竹縣竹東區番地。
民國 36 年（1947）改制為新竹縣竹東區五峰鄉，下轄大隘、竹林、花園、桃山等四村。民國 38 年（1949）則又與角板鄉（今桃園市復興區）、五峰鄉、大安鄉（今苗栗縣泰安鄉）劃成新竹縣新峰區，至民國 39 年（1950）改制為新竹縣五峰鄉，沿用至今。
五峰鄉 (台灣) 地理
五峰鄉的前身為臺灣日治時期新竹州竹東郡直轄的臺灣原住民蕃地之西南側，戰後才改制為新竹縣五峰鄉。五峰鄉位於新竹縣西南隅，境内超過三千至兩千多公尺的高山林立，分為大隘、桃山、花園、竹林四村。
「五峰」一名通常被認定為因五指山（五峰山）（海拔1062米）而得名。
五峰鄉水系由高至低主要為爺八堪溪、霞喀繫溪、麥巴來溪、上坪溪及花園溪。於竹東鎮與頭前溪匯合，經新竹舊港入海。
2014年公告五峰鄉土石流潛勢溪數共15條
根據新竹縣五峰鄉戶政事務所及新竹縣政府民政處統計，2024年底五峰鄉戶數約1.8千戶，人口約4.4千人，是新竹縣人口最少的行政區，鄉內人口最多與最少的村分別是桃山村與竹林村，2024年底兩村人口分別為1,644人與422人。
五峰鄉 (台灣) 政治
五峰鄉公所是五峰鄉最高層級的地方行政機關，在中華民國政府架構中為鄉自治的行政機關，同時負責執行縣政府及中央機關委辦事項，五峰鄉的自治監督機關為新竹縣政府。鄉長由全體鄉民直接選舉產生，任期為四年，可連選連任一次。五峰鄉公所並置鄉政會議，為鄉政最高決策機構，在鄉長之下，設有3課3室等6個內部單位及1個附屬機關。
五峰鄉民代表會是五峰鄉的最高民意機關，代表五峰鄉全體鄉民立法和監察鄉政。鄉民代表由公民直選選出，任期為四年，可連選連任。五峰鄉民代表會共有7位鄉民代表，分別為第一選區2席鄉民代表、第二選區3席鄉民代表、第三選區2席鄉民代表，主席、副主席由7位鄉民代表互選產生。
五峰鄉 (台灣) 旅遊
清泉風景特定區
境內的「清泉溫泉」舊名「井上溫泉」，在日治時期就相當著名，大正3年(1914年)，設溫泉療養所。泰雅族語稱為Ulai Pejitan，意為山洞溫泉。
此亦為東北軍少帥張學良將軍，被蔣介石為首的國民政府流放來台灣時，最早被軟禁的居住地之一。
霞喀羅古道
霞喀羅道路又稱為石鹿古道，自井上(今新竹縣五峰鄉清泉)至控溪(今尖石鄉秀鑾村)，自桃山新道路分岔處，沿霞喀羅溪往上游至霞喀羅大山鞍部，大正11年(1922年)3月底完工。
雪霸國家公園
觀霧森林遊樂區
銀絲瀑布
八仙瀑布
谷燕瀑布
谷燕步道
雪霸休閒農場
白蘭休閒農業區
和平部落休閒農業區
賽夏族矮靈祭
兩年一度的原住民賽夏族矮靈祭場亦在五峰鄉境內 ，每每吸引國內外無數的旅客湧入部落。
井上警察官吏駐在所遺址
大正2年(1913年)霞喀羅衝突時，警部補井上國太郎駐紮於此。大正4年(1915年)6月15日，以井上國太郎作為分遣所之名稱，設置井上分遣所，作為「シヤカロ－隘勇線」之警備單位。大正10年7月24日，改稱井上分警戒所，大正11年(1922年)4月1日，改置井上警察官吏駐在所，設有巡查部長1名。終戰後，改名為清泉派出所。
生日問題
生日問題是一個機率論中的問題，它的敘述是：「需要多少人聚在一起，才能讓其中至少有兩人同一天生日的機率超過一半？」
答案是只需要23人。這個問題有時被稱為「生日悖論」，不過這其實並不是真正的悖论，只是因為結果違反了一般人的直覺。大多数人会认为23人中兩人同生日的機率應該遠小於50%。它衍生出的數學理論被用於設計一種名為「生日攻击」的密碼破解方法。
生日問題 解释
生日問題可理解成盲射打靶问题。首先計算：23人皆不同生日的概率是多少？可想像一間有23人進入的房間，這23人依次進入，每個進入的人的生日都與房裏其他人的生日不同的概率依次是1、、、、等。先入房的人的生日皆不同的概率很高，前五个是1××××=97.3%；而最后入房的几人就完全不同，他們入房且找不到同生日者的概率是、、。这种概率可看成对靶的盲射：靶有365格，其中17个左右黑格，其余白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，连射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日皆不同）十分微小。
理解生日問題的关键在于考虑上述“依次入房”模型中最后几个入房的人“全都没碰到同生日的人”概率多少。
简言之，大多数人之所以会认为23人中兩人同生日的概率应该远远小于50%，是因为将问题理解为“其他22人与你同生日的概率”，而非问题真諦“23人中两两之间存在生日相同”。如果有考虑这点，直觉上会将原来的概率乘以23（注意：此算法并不正确），则会意识到概率很大。
生日問題 概率估计
假設有n個人在房內，如果要計算兩人同生日的機率，在不考慮特殊因素如閏年、雙胞胎的前提下，假設一年365日出生概率平均分佈（現實的出生機率不是平均分佈）。
計算概率的方法是，首先找出p（n）表示n人中，每人生日都不同的概率。假如n > 365，根據鴿巢原理其概率為0，假设n ≤ 365，则概率为
因为第二人不能跟第一人同生日（概率是364/365），第三人不能跟前两人同生日（概率是363/365），依此类推。用阶乘可写成如下形式
p(n）表示n个人中至少兩人同生日的概率
n≤365，根据鸽巢原理，n大于365时概率为1。
n是23時概率约0.507。其他人數的概率用上面算法可得出：
注意所有人都是随机选出：作为对比，q(n)表示房间中有n+1人，當中与特定人（比如你）同生日的概率：
当n = 22时概率只有大约0.059，约高于十七分之一。如果n人中有50％概率存在某人跟你同生日，n至少要达到23。注意这数字大大低于365/2 = 182.5；究其原因是因为房间内可能有些人同生日。
生日問題 数学论证（非数字方法）
保羅·哈莫斯在自传中认为生日問題只用计算数值来解释是种悲哀，所以给出了一种概念数学方法的解释（尽管这方法有一定的误差）：乘积
等于1－p（n），因此关注第一个n，欲使乘积小于1/2。由平均数不等式可知：
再用已知的1到n－1所有整数和等于n（n－1）/2，然后用不等式1－x < e−x，可得到：
如果仅当
最后一條表达式的值会小于0.5。其中loge表示自然对数，略小于506，如果取n2－n=506就得到n＝23。
在推导中，哈莫斯写道：
这推論是基于数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾是用来演示纯思维如何胜过机械计算的绝妙例子：这些不等式一两分钟就写得出，但乘法运算就要更多时间且更易出错，无论使用的工具是铅笔还是老式电脑。计算器不能提供的是理解力、数学才能、或产生更高级、普适化理论的坚实基础。
然而哈莫斯的推論只显示至少超過23人就能保证平等机会下的生日匹配。因为不知道给出的不等式有多強（嚴格、清晰），因此無法藉此計算過程確定n＝22是否能讓機率過半；相反，現在任何人都可用Microsoft Excel等個人電腦程式在幾分鐘內把整幅機率分佈圖畫出來，對問題答案很快就有通盤掌握，一目了然。
生日問題 泛化和逼近
生日問題可以推广一下：假设有n人，每人都随机从N个特定的数中选一个数出来（N可能是365或其他正整数）。
p（n）表示有两个人选择了同样的数字，这概率多大?
下面的逼近公式可以回答这个问题
。
下面泛化生日问题：给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数，至少2个数字相同的概率p（n;d）有多大?
类似的结果可以根据上面的推导得出。
生日問題 反算问题
反算问题可能是：
对于确定的概率p…
…找出最大的n（p）满足所有的概率p（n）都小于给出的p，或者
…找出最小的n（p）满足所有的概率p（n）都大于指定的p。
这问题有如下逼近公式：
。
注意：某些值有色，说明逼近不总是正确。
生日問題 经验性测试
生日問題可以用计算机代码经验性模拟
生日問題也可以用Microsoft Excel Spreadsheet模拟
当行数达到23（即人数），可看到概率结果开始過半。
生日問題 应用
生日問題普遍的应用于检测哈希函数：N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次，这结论用在破解密码学散列函数的生日攻击中。
生日问题隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做捉放法（capture-recapture）的统计试验得到应用，来估计湖的鱼数。
生日問題 不平衡概率
就像上面提到的，現实世界人口的生日并非平均分佈，这种非均衡生日概率问题也已解决。
生日問題 近似匹配
此问题的另外一个泛化是求在n人中有两人的生日同在k日历天内的概率。假设有m个同等可能的生日。
能找到两个人生日相差k天或更少的概率高于50%所需要的人数：
只須随机抽取7人，找到两人生日相差一周内的概率就会過半。
生日問題 其它相關生日錯覺機率問題
星期二男孩問題：一個兩孩家庭有一個男孩，他是星期二出生的，那麼另一個孩子也是男孩的機率是多少？答：13/27
橫山鄉
橫山鄉（臺灣客家語海陸腔：vang sanˋ hiongˋ）為台灣新竹縣的一個鄉，位於新竹縣中央。知名景點內灣位於此區的內灣村，包含內灣老街、內灣車站、內灣吊橋、內灣派出所及劉興欽漫畫暨發明展覽館等。
橫山鄉 歷史
橫山鄉古名「橫山聯興」，為大山背山，其地名由來，係由芎林、石壁潭遠望，眼前一座有橫臥山頭，如屏障橫陳，而有橫山之稱。
橫山鄉的開發，由清乾隆年間至光緒年間的開墾，近百年的拓墾，在閩、客、平埔原住民道卡斯族人的合作下，在設隘防範、水患不斷的情形，亦逐漸地將橫山地區開墾完成。清朝雍正元年（1723年），橫山屬竹塹堡。乾隆二十一年（1756年），橫山隸屬淡水廳東廂二十五。清乾隆五十五年（1785年），終於有福建晉江人陳長順率子福成渡台，東向進墾鹿寮坑（今芎林鄉華龍村）、沙坑（今橫山鄉沙坑村）、大平地（橫山鄉沙坑村太平）、新城（今關西鎮南新里新城）、石門（同鎮新富里）一帶。清嘉慶九年（年1804），廣東饒平人劉子謙，由九芎林石壁潭（今芎林鄉石潭村），進墾大肚荒埔（今橫山鄉大肚村）。又進而開南窩至芎蕉湖一帶（均在今橫山鄉豐田村），於地設隘寮六座，隘丁二十四人以為防禦。
橫山鄉 歷史
清嘉慶二十五年（1820年），九讚頭（今橫山鄉新興村）、山豬湖碧潭（今芎林鄉秀湖村、石潭村）、水坑（芎林鄉水坑村）、南河（今橫山鄉力行村南河）、燥坑（今芎林鄉新鳳村）、上、下橫坑（今關西鎮上林里、新力里），山豬湖墾戶劉引源、新興莊（今關西鎮北山、南山一帶）墾護衛壽宗等，為「生番」侵櫌，爰與眾莊籌議，由陳長順為首，招佃承墾，由南河及九讚頭起，至水坑、下橫坑止，所有為墾餘埔及山林，並任其起蓋隘寮，就地耕墾，幕丁防守，以保附近住民。清嘉慶末，陳長順之子福成，進墾沙坑（今橫山鄉沙坑村）至白石湖（今橫山鄉力行村南河）一帶。光緒年間，橫山改隸竹北一堡。
日治時代明治二十九年（1896年）屬臺北新竹支廳改隸竹北一堡，至大正九年（1920年）隸屬新竹州竹東郡橫山。戰後初期為省轄新竹市及新竹縣竹東區橫山鄉，民國35年（1946年）起改稱為新竹縣橫山鄉至今。
橫山鄉 地理
橫山鄉位於新竹縣中央部位，東南與尖石、五峰相鄰，西北與芎林相接，東北與關西毗連，西面與竹東鎮隔溪為界。行政區域東西寬約13.8公里，南北長約14.2公里，總面積為66.35平方公里，其中心位置在東經一百二十一度八分十五秒，北緯二十四度四十三分三十三秒處。
橫山鄉靠近雪山山脈，全鄉為平原、山岳、丘陵、河谷所構成。主要分成三個地帶：
土壤分佈與地形有密切關係。
擁有大樹龍、大寮、新路坪、新公館、大空殼、騎龍、四份壢等部落，總稱大山背。
橫山鄉全境皆位於北回歸線以北，氣候屬副熱帶濕潤氣候，夏長冬短，年均溫約為攝氏22.2度，平均最高溫與最低溫分別為攝氏26度及攝氏19.2度。且因黑潮經過，濕度較高，其年平均相對濕度約在80%至90%之間，全年濕度相差不大。橫山鄉全年雨量豐沛，分別有5月至6月為梅雨季；7月至8月為降雨日數最少，但因颱風影響而有較多的雨量；9月中旬至11月受東北季風及颱風環流的雙重影響，暴雨頻仍；12月至翌年4月則有東北季風帶來綿綿細雨。其境內雨量分布情況為隨地勢高低變化，油羅溪及頭前溪、上坪溪二旁之平原地區約在年雨量1,600公厘左右，山區則因地形雨作用，雨量較多。
橫山鄉 地理
橫山鄉的風向大致分為10月至翌年4月的東北風與4月至10月的西南風，由於新竹地區經年季風盛行，冬季受到蒙古高壓帶氣流南下吹送的影響，寒冷乾燥，盛行東北風。橫山鄉年總和平均日照時數為1,975小時，平均每日日照時數為5.41小時，四季各季當中日照時數按照多少依序分別為夏季的771.2小時、秋季的567.9小時、春季的352.6小時、冬季的318.3小時。
根據新竹縣橫山戶政事務所及新竹縣政府民政處統計，2024年底橫山鄉戶數約4.4千戶，人口約1.2萬人，鄉內人口最多與最少的村分別是橫山村與南昌村，2024年底兩村人口分別為3,538人與163人，其中南昌村也是新竹縣人口最少的村。
橫山鄉 政治
橫山鄉公所是橫山鄉最高層級的地方行政機關，在中華民國政府架構中為鄉自治的行政機關，同時負責執行縣政府及中央機關委辦事項，橫山鄉的自治監督機關為新竹縣政府。鄉長由全體鄉民直接選舉產生，任期為四年，可連選連任一次。橫山鄉公所並置鄉政會議，為鄉政最高決策機構，在鄉長之下，設有5課4室等9個內部單位及2個附屬機關。
橫山鄉民代表會是橫山鄉的最高民意機關，代表橫山鄉全體鄉民立法和監察鄉政。鄉民代表由公民直選選出，任期為四年，可連選連任。橫山鄉民代表會共有11位鄉民代表，分別為第一選區5席鄉民代表、第二選區3席鄉民代表、第三選區2席鄉民代表、第四選區1席鄉民代表，主席、副主席由11位鄉民代表互選產生。
橫山鄉的行政區劃轄有橫山村、田寮村、南昌村、豐鄉村、豐田村、內灣村、力行村、福興村、沙坑村、新興村、大肚村等11村，共計152鄰。
橫山鄉 醫療
橫山鄉曾屬臺灣的無醫鄉之一，過去鄉內僅有一間衛生所可提供醫療服務，至2018年初，鄉內已設有橫山診所。
橫山鄉 交通
臺灣鐵路公司
捷乘客運
【5614】新竹－六家－芎林－下店子－香園窩口－九讚頭
【5625】竹東－下公館－橫山－香園窩口－九讚頭－十分寮－內灣－尖石－梅花－那羅
【5631】竹東－下店子－香園窩口－九讚頭－十分寮－內灣－尖石－水田－煤源－八五山
【5634】竹東－下公館－橫山－香園窩口－九讚頭－十分寮－關西－龍潭－山子頂－中壢
【5635】竹東－下公館－橫山－香園窩口－頭份林
北埔鄉
北埔鄉，位於臺灣新竹縣西南方，西鄰峨眉鄉，北鄰寶山鄉，東接竹東鎮，南至五指山與五峰鄉毗鄰，西南與苗栗縣相連。行政區域東西寬約8公里，南北長約12.8公里，面積約50.667平方公里。
清治時期以前的北埔鄉原為賽夏族與其他平埔族原住民的混居地與獵場，清道光十五年（1835），淡水同知李嗣鄴先後下令粵籍姜秀鑾與閩籍林德修、周邦正仝立合約，閩粵各募資本一萬二千六百圓，共同設立閩粵合股之武裝拓墾組織「金廣福墾號」拓墾位於新竹東南方之大隘地區，範圍包括今日之北埔鄉、寶山鄉、峨眉鄉等地，其後客家人入墾移民當地，因此北埔鄉居民現以客家人為多數，鄉內客家人口約佔總人口的95%，是臺灣客家人比率較高的地區。
日治時期北埔鄉分屬新竹廳竹北一堡北埔莊、南埔莊、小份林莊、大湖莊、水磜仔莊、南坑莊、大坪莊管轄，1920年10月後7莊合併為由新竹州竹東郡管轄之北|埔，下轄北埔、南埔、小分林、大坪、水磜子、南坑、大湖等7個大字。戰後時期，行政區劃重組為新竹縣竹東區北埔鄉，1950年再調整區署制廢止，北埔鄉改由新竹縣直轄。
北埔鄉 地理
北埔鄉地形以山地及丘陵為主，地勢南高北低，因受樹狀分佈溪流之切割而形成位置偏北的北埔、南埔為中心之二大台地。但由於山地與台地之間落差大、水流急，溪流集水區也不夠大，無法形成較寬廣之沖積平原。北埔盆地標高約介於90至150公尺之間，地勢平坦且土質肥沃，加上灌溉水源豐沛，故早期即已被開發成梯田，為全鄉之穀倉。盆地周圍之丘陵地形標高大抵介於90至200公尺之間，當地居民多開闢成為茶園、果園或梯田。
北埔鄉境河川密佈，均屬於中港溪支流峨眉溪水系。大坪溪為全鄉最長河川，發源於縣界南側約500公尺處的鵝公髻山東北坡，經五峰鄉流進北埔後，由南向北流至北埔台地，先後匯集來自東方的大湖溪及來自東北方的水磜溪後，進入峨眉鄉境，隨後再匯集來流經南埔台地之番婆坑溪，成為峨眉湖的主要水源之一。
北埔鄉 地理
北埔鄉因四周有山地及丘陵地形屏障，並未受到鄰近新竹都會區空氣污染所形成之溫室效應影響，全年氣候適中宜人，年平均氣溫約為攝氏22度，降雨量1,700厘米以上。夏秋颱風季節時，雖然極少遭受嚴重風害，但所帶之大量雨水常使溪流水位暴漲，形成嚴重的水土沖刷，往往危及當地居民的生命財產安全，為主要的天然災害。
根據新竹縣北埔鄉戶政事務所統計，2024年底北埔鄉戶數約3.1千戶，人口約8.4千人，鄉內人口最多與最少的村分別是埔尾村與外坪村，2024年底兩村人口分別為2,829人與277人。
北埔鄉 政治
北埔鄉公所是北埔鄉最高層級的地方行政機關，在中華民國政府架構中為鄉自治的行政機關，同時負責執行縣政府及中央機關委辦事項，北埔鄉的自治監督機關為新竹縣政府。鄉長由全體鄉民直接選舉產生，任期為四年，可連選連任一次。北埔鄉公所並置鄉政會議，為鄉政最高決策機構，在鄉長之下，設有5課4室等2個內部單位及4個附屬機關。
北埔鄉民代表會是北埔鄉的最高民意機關，代表北埔鄉全體鄉民立法和監察鄉政。鄉民代表由公民直選選出，任期為四年，可連選連任。北埔鄉民代表會共有7位鄉民代表，分別為第一選區2席鄉民代表、第二選區4席鄉民代表、第三選區1席鄉民代表，主席、副主席由7位鄉民代表互選產生。
北埔鄉 古蹟
金廣福公館是新竹縣境內唯一的國定古蹟（原國家一級古蹟），創建於1835年（清道光15年），為粵籍姜秀鑾及閩籍林德修、周邦正在清朝官方支持之下所共同設立的閩粵合股之拓墾組織（俗稱金廣福大隘）之墾隘指揮中心及開墾辦事處。金廣福之「金」為臺商俗例，以金字蒙頭取其吉祥之意，「廣」代表廣東，「福」代表福建，這在臺灣早期閩、粵兩地互鬥嚴重情況下，堪稱少見，為臺灣閩粵族群之合作立下典範。
金廣福公館的建築形式為兩進一院之四合院格局，其兩側還各有一條外橫屋。右外橫屋於1935年大地震後改建為日式建築，而左外橫屋目前仍維持清代原有格局。
新竹縣另有縣定古蹟北埔慈天宮、姜阿新洋樓（現為姜阿新教育基金會會址）、北埔姜氏家廟、忠恕堂（曾學熙故居）等。
北埔鄉 教育
目前全鄉國小在學學生人數計八百餘人，國中在學人數三百餘人，合計一千二百餘人。高中以上學生則需赴外地就讀，目前國中畢業生升學率達九成以上。
北埔在新竹縣東部山區一帶是屬於較早開發之地，文風鼎盛。在人口全盛時期，全鄉共有國小三所－北埔國小、大坪國小、內豐國小，另有北埔國中一所。近年來受到鄉村人口外移的影響，位於山區（外坪村內大坪地區）的內豐國小先是降級成為分校，不久後亦在1994年（民國83年）裁撤，從此走入歷史。
北埔鄉 交通
台3線向西南可通往峨眉鄉市區，至苗栗縣頭份市珊珠湖後，可經由縣道124號通往國道1號，即可快速轉赴全台各地。亦可在頭份市珊珠湖續沿台3線本線通往三灣鄉、獅潭鄉、大湖鄉、卓蘭鎮，並可遠達台灣中、南部。
另一聯外道路為新竹市區三號道路（市竹3線），為北埔地區經由寶山鄉通往新竹市區之主要通道。隨著新竹市區生活圈的快速發展，加上新竹科學園區提供大量的就業機會，使得北埔鄉與新竹市區的來往更加頻繁，該道路的重要性也日益增加。
北埔鄉境內鄉道有竹37線。鄉內各村連絡道路因地形關係大致形成一封閉體系，並以北埔市街為中心呈放射狀分佈。鄉道竹37線為全鄉最主要的南北向連絡道路，向北可通往竹東鎮，向南貫穿全境後，可通往苗栗縣東河地區。
斯涅尔定律
當光波從一種介質傳播到另一種具有不同折射率的介質時，會發生折射現象，其入射角與折射角之間的關係，可以用斯涅尔定律（英語：）來描述。斯涅尔定律是因荷兰物理学家威理博·斯涅尔而命名，又稱為「折射定律」。它只是在无吸收损耗介质间的界面才严格成立，对于有损耗介质参与的情况，请参见下面的章节“耗损性、吸收性、导电性介质”。
在光學裏，光線跟蹤科技應用斯涅尔定律來計算入射角與折射角。在實驗光學與寶石學裏，這定律被應用來計算物質的折射率。對於具有負折射率的负折射率超材料（），這定律也成立，允許光波因負折射角而朝後折射。
斯涅尔定律表明，當光波從介質1傳播到介质2時，假若兩種介質的折射率不同，則会发生折射現象，其入射光和折射光都處於同一平面，稱為「入射平面」，并且与界面法线的夹角满足如下关系：
；
其中，、分别是两種介质的折射率，和分别是入射光、折射光与界面法线的夹角，分别叫做「入射角」、「折射角」。
這公式稱為「斯涅尔公式」。
斯涅尔定律可以從費馬原理推導出來，也可以從惠更斯原理、平移對稱性或馬克士威方程組推導出來。
斯涅尔定律 歷史
最早有系統研究折射問題的學者是住在埃及的希臘人托勒密。西元二世紀，在著作《光學》（Optics）第五卷裏，他提出了他的折射實驗與定律。但是，他從做實驗得到的數據與結論並不準確，沒有給出正弦定律。在那時候，希臘學者不清楚正弦的概念。
為巴格達宮廷效勞的伊朗學者伊本·沙爾（Ibn Sahl）在984年的專著《論點火鏡子與透鏡》（On Burning Mirrors and Lenses）裏最先正確地描述折射定律。他應用這定律來找出能夠將光聚焦而不會產生幾何像差的透鏡的形狀。這種透鏡稱為曲折透鏡（anaclastic lens）。很可惜的是其它學者並沒有注意到他的研究結果。之後很多年，人們都是從托勒密的錯誤理論開始研究折射。
十一世紀初，阿拉伯學者海什木重做托勒密的實驗。他在著作《光學書》（Kitab al-Manazir, Book of Optics）裏，從做實驗得到的數據，粗略地總結出一些定則。他也沒有得到正弦定律。
斯涅尔定律 歷史
1602年，英國天文學者托馬斯·哈里奧特又重新發現了折射定律，可是，他並沒有發表他的結果，雖然他曾經在與约翰内斯·开普勒通信中提到這件事。1621年，斯涅尔推導出一個數學等價形式，但是在他有生之年，學術界並不知道他的成就。勒内·笛卡儿在1637年專著《屈光學》（Dioptrics）裏，獨立地推導出這个定律，並且用他的理論解析了一系列光學問題。在這導引裏，他做了兩個假定，第一個假定是光的傳播速度與介質密度呈正比，第二個假定是光速度沿著界面方向的分量守恆。1662年，皮埃爾·德·費馬發表了另一種導引，從他的版本的最小作用量原理推導出同樣的定律，但是費馬的假定是光的傳播速度與介質密度呈反比。因此，他激烈地反駁笛卡儿的解答，認為笛卡爾的假定有誤。1802年，托馬斯·楊做實驗發現，當光波從較低密度介質傳播到較高密度介质時，光波的波長會變短，他因此推論光波的傳播速度會降低。
斯涅尔定律 歷史
根據歷史學者以撒·福雪斯（Issac Vossius）在著作《De natura lucis et proprietate》裏的敘述，笛卡儿先閱讀了斯涅尔的論文，然後調製出自己的導引。有些歷史學者覺得這指控太過誇張，難以置信；但是很多歷史學者都存疑曾經發生了這回事，費馬與惠更斯分別多次重複地譴責笛卡儿的行為缺失。儘管這不名譽事件所造成的風波，在法國，斯涅尔定律被稱為「笛卡儿定律」，或「斯涅尔-笛卡儿定律」
1678年，克里斯蒂安·惠更斯在著作《光論》（Traité de la Lumiere）裏表明，應用惠更斯原理，可以從光的波動性質，解釋或推導出斯涅尔定律。
斯涅尔定律 從费马原理推導
費馬原理又稱為「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點、的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點、的反射路徑的光程是拐值。
設定介質1、介質2的折射率分別為、，光線從介質1在點O傳播進入介質2，為入射角，為折射角。
從費馬原理，可以推導出斯涅尔定律。光線在介質１與介質２的速度  和  分別為
、
；
其中，是真空光速。
由於介質會減緩光線的速度，折射率和都大於。
如右圖所示，從點Q到點P的傳播時間為
。
根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間對變數的導數，設定其為零：
。
根据正弦函数定义，可以得到傳播速度與折射角的關係式：
。
將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到斯涅尔定律：
。
斯涅尔定律 從惠更斯原理推導
惠更斯原理表明，波前的每一点可以視为产生球面次波的點波源，而以後任何时刻的波前则可看作是正切这些次波的包络。假設傳播速度為的波前，在時間為平面，在這波前的每一點所產生的球面次波，在時間已傳播了距離，由於正切這些球面次波的包络只能為平面，所以波前在時間為平面。波前傳播的方向垂直於這兩個相互平行的平面。
如右圖所示，光波從介質1傳播進入介質2，其入射角、折射角分別為、，傳播速度分別為、，假設。在時間時，光波的波前會包含點和點  的位置，標記這時的波前為。假設時間與之間的間隔為常數，則以下幾個直線段之間的長度相等關係成立：
斯涅尔定律 從惠更斯原理推導
、
。
從波前的每一個點波源發射出的球面次波，分別在介質1、介質2的傳播速度為、，必須正切這些球面次波。特別而言，在時間間隔之後，波前在介質1的部分必須平行於相距的波前，而波前在介質2的部分必須正切從點波源發射出的半徑為的球面次波。所以，在通過界面時，會出現彎曲的波前。
由於光波傳播的方向垂直於波前，所以在介質1、介質2裏，波前與界面之間的夾角分別等於入射角、折射角。直線段長度與之間的關係為
。
即
。
應用折射率的定義式：
；
其中，為光速。
總結，斯涅尔定律成立：
；
其中，、分別為介質1、介質2的折射率
斯涅尔定律 從平移對稱性推導
假設對某系統整體做一個平移之後，這系統仍舊保持不變，則稱此系統具有平移對稱性。從平移對稱性，可以推導出斯涅尔定律。這是建立於橫向均匀界面不能改變橫向動量的道理。由於波向量與光子的動量成正比，假設介質1、介質2的界面垂直於z-方向，則在介質1、介質2裏的光波橫向傳播方向必須保持不變：
、
。
因此，
。
應用折射率的定義式：
；
其中，是光波的角頻率。
總結，斯涅尔定律成立：
。
微觀至原子尺寸，雖然沒有任何界面是完全均勻的，假若精細至光波波長尺寸，傳播區域可以估視為均勻，則平移對稱性仍不失為優良近似。
斯涅尔定律 從馬克士威方程組推導
幾何光學的三條基礎定律為
從入射波、反射波、折射波之間的相位關係，就可以推導出幾何光學的三條基礎定律。
光波是電磁輻射，必須滿足馬克士威方程組與伴隨的邊界條件，其中一條邊界條件為，在邊界的臨近區域，電場平行於邊界的分量必須具有連續性。假設邊界為xy-平面，則在邊界，
；
其中，、、分別為在入射波、反射波、折射波（透射波）的電場平行於邊界的分量。
假設入射波是頻率為的單色平面波，則為了在任意時間滿足邊界條件，反射波、折射波的頻率必定為。設定、、的形式為
、
、
；
其中，、、分別是入射波、反射波、折射波的波向量，、、分別是入射波、反射波、折射波的波幅（可能是複值）。
為了在邊界任意位置滿足邊界條件，相位變化必須一樣，必須設定
斯涅尔定律 從馬克士威方程組推導
。
因此，
、
。
不失一般性，假設，則立刻可以推斷第一定律成立，入射波、反射波、折射波的波向量，與界面的法線共同包含於入射平面。
從波向量x-分量的相等式，可以得到
。
而在同一介質裏，。所以，第二定律成立，入射角等於反射角。
應用折射率的定義式：
，
可以推斷第三定律成立：
；
其中，、分別是折射介質的折射率與折射角。
第三定律的推导只适用于无耗损介质。此种情况下E，D，B和H都是同相位的，第三定律与电磁场的边界条件是相符合的，所以是成立的。但如果介质是耗损的，因折射率和波矢是复数，那四个场量是不同相的，因此，它与电磁场的边界条件是冲突的，是不成立的。详细请见以下章节“耗損性、吸收性、導電性介質”。
斯涅尔定律 全內反射與臨界角
「光密介質」是折射率比較大的介質；「光疏介质」是折射率比较小的介质。假設光從折射率為的光密介质傳播進入到折射率為的光疏介质（例如，從玻璃傳播進入到空气中），而入射角等於临界角，則能量近乎为零的折射光线会沿折射界面的切线进行，即折射角。此时会有。因此，可推得
。
假若入射角，則無法找到對應的折射角，不存在折射光，而只存在反射光，這現象稱為全内反射。临界角是促使全内反射发生的最小入射零角，它的值取决于两种介质的折射率的比值：
。
例如，水的折射率为1.33，空气的折射率近似等于1.00，临界角為
弧度，即48.8°（角度）。
斯涅尔定律 耗損性、吸收性、導電性介質
在導電性介質裏，電容率與折射率都是複值，連帶的，折射角與波向數都是複值。這意味著，等實相位曲面的法線與界面的法線之間的角度等於折射角，而等波幅曲面是與界面相互平行的平面。由於這兩個曲面通常不會重疊在一起，這種波被稱為「非均勻波」。折射波呈指數衰減，指數與折射率的虚数部分成正比。
最近的理论和实验研究表明, 斯涅尔定律对于有吸收损耗的介质是不成立的，复数折射角是一个错误的概念。电磁场的边界条件要求电磁波在无自由电子和自由电流界面的电场E，电位移D，磁场B 和磁场强度H的法向或切向分量是连续的。这首先要求它们的相位是连续的，而复数折射率和波矢让这四个场量都不同相。例如平面波，， ，其中ω是电磁波角频率，而，和分别是复数介电常数，磁导率和波数，它们的相位各不相同，让D，B 和H都与E不同相。复数斯涅尔定律只能保证E的相位连续性，而与D，B 和H的相位连续性都是冲突的。
主要原因是两个介质的过渡层不能简单地当成一个界面来处理。考虑这个因素后，普适的折射定律是
斯涅尔定律 耗損性、吸收性、導電性介質
其中是折射率，是消光系数。即便消光系数不为零（损耗介质），折射角也是个实数而不是复数。
光束在损耗介质中的折射与在无损耗介质中的折射没有本质上的区别，只是由于波前（等相面）不同位置在损耗介质的光程不同（吸收损耗不同）会表现为”非均匀波“，但如果在与界面平行的截面上看折射波是均匀的（等幅的）。因此，如果损耗介质是平行平板，光透过平板后，这种”非均匀波“特性就会消失，就如透过衰减片你依然能清晰看东西，只是光线变暗而已，无论衰减片的角度如何。
斯涅尔定律 各向異性物質
對於各向同性或鏡面介質（例如玻璃），通常斯涅尔定律成立。對於各向異性介質，例如，方解石，雙折射會將折射線分為兩束射線，「尋常射線」與「非常射線」。尋常射線照樣遵守斯涅尔定律，而非常射線可能會與入射線不共面。
折射光的等相面传播方向（波矢方向）不会违反以上章节“从马克士威方程组推导”中得到的第一定律，即折射光波矢方向与入射光波矢是共面的。对于各向异性介质，折射光线光线通常不再是一束，而会分为两束，即折射介质中的寻常光和非寻常光。它们的波矢与入射光波矢是共面的，只是因折射率不同，它们的折射角会有偏差。非寻常光的能量传播方向与波矢方向通常有一个走离角。如果波矢的折射平面与走离方向不在同一平面，其光线（能量传播方向）与入射光线不共面，但不影响两者的波矢是共面的。
威尼托大区
威尼托（義大利語：，發音：[ˈvɛːneto]；威尼斯語：，發音：[ˈvɛneto]；拉定語：；德語：）是意大利东北部的一个大区，人口約500萬，在意大利排名第四。其边界与伦巴第、特伦蒂诺-上阿迪杰、奥地利、弗留利-威尼斯朱利亚和艾米利亚-罗马涅接壤，在阿尔卑斯山和亚得里亚海之间。贯穿波河、阿迪杰河、布伦达河和皮亚韦河。該地區的首府是威尼斯，最大的城市是維羅納，其他的重要城市包括維羅納、帕多瓦、特雷维索、贝卢诺、罗维戈和维琴察。
威尼托大区在公元前9世紀左右就被威尼蒂人佔據，直到公元5世紀，威尼託一直是羅馬帝國的一部分，直到它被入侵的蠻族滅亡。在中世紀，威尼托地區誕生的威尼斯共和國成為了歐洲最大、最富有、文明最先進的海上共和國和貿易帝國，並將這種繁榮維持了數個世紀，直到1797年拿破崙入侵。1815年維也納會議之後，威尼托與倫巴第合併，並併入奧地利帝國，1866年因第三次意大利戰爭，奧地利不得不放棄這片土地，威尼托因而成為了統一的意大利的一部分。
威尼托大区
威尼托擁有豐富的藝術和文化。具有歷史價值的建築包括獨特的威尼斯建築物及橋樑，以及不少帕拉第奧式建築的別墅。維羅納競技場是一個古羅馬的圓形競技場，傳統上專演歌劇。其他的旅遊勝地還有有耶索洛、科爾蒂納丹佩佐、加尔达湖。
除意大利語外，大多數居民還講當地的威尼斯語。自1971年起，威尼托議會將該地區的公民稱為“威尼斯人民”。第一條將威尼托定義為“自治區”，“由威尼斯人民和貝盧諾、帕多瓦、羅維戈、特雷維索、威尼斯、維羅納和維琴察省的土地組成”，同時保持“與世界各地威尼斯人的聯繫”。第2條規定了“威尼斯人民自治”的原則，並授權該地區“促進威尼斯人民和文明的歷史認同”。儘管有這些得到意大利議會批准的確認書，但威尼托並不屬於具有特殊法規的自治區，與其東北和西北部的鄰居弗留利-威尼斯朱利亞和特倫蒂諾-上阿迪傑/南蒂羅爾不同。
威尼托大区
威尼托是著名的威尼托民族主義運動的發源地，該地區最大的政黨是威尼斯聯盟黨，它是北方聯盟黨的創始組成部分。威尼托現任主席是盧卡·扎亞，於2020年以76.8%的得票率連任。2017年舉行了自治公投：57.2%的威尼斯人參加了投票，其中98.1%的人對“進一步的自治形式和特殊條件”投了“贊成”票。
威尼託在歷史上很長一段時間內都是大規模移民的土地，如今已成為該國最大的移民接收地區之一，有487,493名外國人（佔該地區人口的9.9%；2018年1月），其中特別包括羅馬尼亞人（25.2%）、摩洛哥人（9.3%）、华人（7.1%）和摩爾多瓦人。
威尼托大区 地理
威尼托是意大利面積第8大大区，總面積為 18,398.9 平方公里。 它位於意大利東北部，東與弗留利-威尼斯朱利亞接壤，南與艾米利亞-羅馬涅大區接壤，西與倫巴第大區接壤，北與特倫蒂諾-上阿迪傑/南蒂羅爾接壤。其最北角還與奧地利接壤。
威尼託大區南北延伸，從奧地利邊境到波河口，長 210 公里（130 英里）。 按面積計算，29% 的面積為山區（卡尼克阿爾卑斯山、東部多洛米蒂山和威尼斯前阿爾卑斯山）。 白雲石山脈最高的山體是馬爾莫拉達山，海拔 3,342米。 威尼斯前阿爾卑斯山海拔不高，海拔在 700 米至 2,200 米之間。 阿爾卑斯山麓地區的一個獨特地標是洞穴構造，包括裂縫和陷坑；斯普盧加德拉普雷塔（）位於維羅納省的萊西尼山，已探索深度達 985 米，是意大利最深的洞穴。 那裡的化石礦藏也很豐富。
威尼托大区 地理
波河谷覆蓋了威尼託大區57%的面積，從山脈一直延伸到亞得里亞海，中間僅被一些低矮的山丘所分割，它們構成了剩下的14%的領土。 平原本身又分為較高平原（佈滿礫石且不太肥沃）和較低平原（水源豐富且可耕地）。 低平原是農業生產的支柱，也是該地區人口最多的地區。
波河、阿迪傑河、布倫塔河、巴基廖內河、利文扎河、皮亞韋河和塔利亞門托河等多條河流流經該地區。 意大利最大的湖泊加爾達湖的東岸屬於威尼託大區。 海岸線長約 200 公里，其中 100 公里是沙灘。
亞得里亞海沿岸的著名地理景观是威尼斯潟湖，这里地勢平坦，有池塘、沼澤和島嶼。 南部的波河三角洲沿岸有沙洲和沙丘。 內陸部分包含最近通過運河和堤壩係統開墾的可耕地。 那裡也建了魚塘。 三角洲和潟湖是候鳥的停留地。
威尼托大区 歷史
公元前2世紀至1世紀期間，該地區居住著尤加奈（Euganei）人。古代歷史學家或許想將威尼斯人的起源與特洛伊的羅馬起源傳說聯繫起來，據他們稱，特洛伊陷落時（公元前12世紀），威尼斯人（通常稱為帕萊奧維尼蒂人）從安納托利亞的帕夫拉戈尼亞，由安特諾爾，埃涅阿斯的戰友領導逃難到此。而歷史學家將威尼斯起源與凱爾特人聯繫起來。
公元前7-6世紀，威尼托當地居民與伊特魯里亞人和希臘人發生了接觸。威尼斯文化在公元前4世紀達到了頂峰。這些古老的威尼蒂人講威尼提克語，這是一種印歐語系語言，類似於拉丁語和其他意大利語言，但又有所不同。與此同時，威尼蒂人通過琥珀貿易和馬匹飼養而繁榮起來。埃斯特、帕多瓦、奧德爾佐、阿德里亞、維琴察、維羅納和阿爾蒂諾成為威尼斯文化中心。隨著時間的推移，威尼蒂人開始採用凱爾特鄰居的服飾和某些其他習俗。
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公元前3世紀，隨著羅馬擴張並與因蘇布雷人和博伊人（凱爾特人）作鬥爭，威尼蒂人及其西部邊境的塞諾馬尼凱爾特人站在羅馬人一邊。在第二次布匿戰爭（公元前218年至202年）期間，威尼蒂人甚至派遣了一支士兵分遣隊與羅馬人並肩作戰，對抗漢尼拔和入侵的迦太基人。這些威尼蒂人絕大多數在坎尼戰役（公元前216年）中陣亡。
公元前181年，羅馬三巨頭普布利烏斯·科尼利厄斯·西庇阿·納西卡、凱厄斯·弗拉米尼烏斯和盧修斯·曼利烏斯·阿迪努斯在阿奎萊亞建立了一個拉丁殖民地，作為保護威尼蒂領土免遭敵對的卡尼和希斯特里入侵的基地。從那時起，羅馬對該地區的影響力與日俱增。公元前169年，羅馬又向阿奎萊亞派遣了1,500個殖民家庭。公元前148年，連接阿奎萊亞和熱那亞的波斯圖米亞大道竣工。公元前131年，安尼亞大道連接了阿德里亞（Adria）、帕塔維烏姆（Patavium，今帕多瓦）、阿爾提努姆（Altinum）、康科迪亞（Concordia）、阿奎萊亞（Aquileia）。
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羅馬共和國逐漸將與威尼蒂人的聯盟轉變為統治關係。公元前91年的意大利叛亂之後，根據《龐培法》，威尼蒂的城市以及跨巴達尼亞的其他城市被授予了部分羅馬公民權。後來在公元前49年，《羅西亞法》授予威尼蒂人完全的羅馬公民身份。克勞迪婭大道（拉丁語：）於公元46年竣工，連接阿爾提努姆（Altinum，今夸爾托達爾蒂諾）、塔爾維斯姆（Tarvisium，今特雷維索）、費爾提拉（Feltria，今費爾特雷）和特里登圖姆（Tridentum，今特倫托）。從塔爾維斯姆繼續向北再進一步到達奧古斯塔·文德利科魯姆（Augusta Vindelicorum，今奧格斯堡），再從特倫托向南到達維羅納和穆蒂納（Mutina，今摩德納）。
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腓立比戰役（公元前42年）結束羅馬內戰後，威尼蒂地區以及山南高盧的其他地區不再是同一個行省。公元前8至6年間，奧古斯都將意大利重組為11個地區。現代威尼託的領土以及伊斯特拉、現代弗留利和特倫蒂諾-上阿迪傑以及倫巴第東部（包括曼圖亞、克雷莫納、布雷西亞和桑德里奧等城市）成為第十區（拉丁語：）。阿奎萊亞雖然不是正式首都，但卻是該地區的主要市政當局。與此同時，在羅馬治下，帕塔維姆發展成為意大利北部最重要的城市之一。其他威尼斯城市，如奧皮特爾吉姆（Opitergium，今奧德爾佐）、塔爾維斯姆（Tarvisium，今特雷維索）、費爾提拉（Feltria，今費爾特雷）、维茨西亚（Vicetia，今維琴察）、阿特斯特（Ateste，今埃斯特）採用了拉丁語和羅馬文化。到公元一世紀末，拉丁語已經取代了原來的威尼斯語言。
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公元166年，誇迪人和馬可曼尼人入侵威尼斯。這是許多蠻族入侵的開始。馬庫斯·奧勒留保留了意大利的地區，並通過將第十區（威尼斯和希斯特里亞，拉丁語：）和第十一區劃歸到特蘭巴達那地區，置於律法官（iuridicus）之下，從而疊加了另一層行政管理。第三世紀末。當戴克里先廢除地區和地區並建立省時，帶來了進一步的行政變革。因此第十區成為第八省，向西擴大到阿達河，直到363年由一位校正者管轄，從368年到373年由一位駐紮在阿奎萊亞的執政官管轄。
5世紀，威尼斯和希斯特里亞仍然是意大利16個行省之一，隨後哥特人阿拉里克以及後來的阿提拉和匈人都蹂躪了該地區。公元452年，阿提拉圍攻阿奎萊亞，將其變成廢墟。許多大陸居民在附近的潟湖尋求保護，這些潟湖後來成為東部的格拉多和西部的威尼斯。繼匈人之後，東哥特人不僅入侵，還在此定居，托提拉即出生在此地。
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六世紀中葉，查士丁尼大帝為東羅馬帝國重新征服了威尼斯。在拉文納設立了總主教，在奧德爾佐設立了軍事保民官。希臘-拜占庭的統治並沒有持續多久。從公元568年開始，倫巴第人翻越了朱利安阿爾卑斯山。這些入侵者將威尼西亞的領土細分為由日耳曼公爵和伯爵統治的眾多世仇，實質上造成了威尼託與弗留利的分裂。
這次入侵引發了另一波從大陸到拜占庭控制的海岸和島嶼的移民浪潮。公元643年，倫巴第人征服了拜占庭在奧德爾佐的基地，並幾乎佔領了除威尼斯和格拉多之外的整個威尼托（和弗留利）。倫巴第公國包括塞內達、特雷維索、維羅納和維琴察等36個威尼斯城市。從以“法拉”（ferra）一詞開頭的地名中可以看出倫巴第統治的痕跡。
到八世紀中葉，法蘭克人取得了對該地區的政治控制，威尼託成為加洛林帝國的一部分。儘管這些日耳曼入侵者在政治上佔據主導地位，但幾個世紀以來逐漸被威尼斯人口吸收。9世紀末，弗留利侯爵貝倫加爾被選為意大利國王。在他動蕩的統治下，弗留利邊疆被併入維羅納邊疆，維羅納的領土包含了羅馬威尼斯的大部分地區。
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10世紀，威尼託大陸在遭受馬扎爾人和斯拉夫人的襲擊後被併入神聖羅馬帝國。大陸公社的權力和財富逐漸增長。1167年，帕多瓦、特雷維索、維琴察和維羅納等威尼斯城市與意大利北部其他城市結成聯盟（稱為倫巴第聯盟），以維護自己的權利，對抗神聖羅馬帝國。
1183年的《第二次康斯坦茨條約》確認了1177年的《威尼斯和約》，其中各城市同意保留為帝國的一部分，只要它們對自己領土的管轄權不被侵犯。該聯盟在皇帝腓特烈二世於1250年去世後解散。這一時期還見證了意大利第二古老的大學——帕多瓦大學在1222年的成立。大約在這個時期，帕多瓦也是聖安東尼奧大學的所在地。這位深受愛戴的教士被鎮上的居民簡稱為「聖人」（義大利語：）。
由於野蠻人對大陸的財富感興趣，部分威尼斯人在潟湖中一些孤立且無人居住的島嶼上尋求庇護，威尼斯城就是從這些島嶼誕生的。在八世紀的拜占庭統治時期，威尼斯成為一個獨立的海上共和國，由其選出的總督統治。
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共和國成為商業超級大國，其影響力貫穿中世紀和文藝復興時期。事實上，威尼斯共和國在整個地中海地區享有1100年不間斷的影響力。到16世紀，威尼斯共和國統治了威尼托、弗留利、倫巴第和羅馬涅的部分地區、伊斯特拉半島、達爾馬提亞、科孚島、凱法利尼亞島、伊薩基島和伊奧尼亞群島。從13世紀到17世紀，它佔領了克里特島，從15世紀中葉到16世紀中葉，它佔領了塞浦路斯島。
威尼斯大陸疆土導致威尼斯參與歐洲政治，特別是意大利政治。城市必須加固，兩個令人印象深刻的例子是伯羅奔尼撒的納夫普利翁和弗留利的帕爾馬諾瓦。最寧靜的共和國（義大利語：Serenissima）帶來的明智統治和繁榮使陸地上的城市願意臣服。東部島嶼是威尼斯航運的有用港口。然而隨著奧斯曼帝國變得更加強大和侵略性，威尼斯經常處於守勢。奧斯曼帝國對東地中海的控制以及繞非洲和美洲通往亞洲的海上航線的發現對威尼斯經濟造成了削弱。
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1797年，拿破崙入侵威尼斯共和國領土。最後一任威尼斯總督盧多維科·馬寧在巨大的壓力之下，被迫辭職並退休到弗留利帕薩里亞諾的別墅，這個有著千年曆史的共和國作為一個獨立國家消失了。事實證明，這在對威尼斯共和國有強烈同情心的大陸城市中非常不受歡迎。根據1797年10月17日簽署的《坎波福米奧條約》，威尼斯的大陸部分被移交給神聖羅馬帝國的弗朗西斯二世，而西部地區則被併入法國支持的山南共和國。1801年，這片領土很快又歸還給拿破崙。
然後在1805年至1806年，它被拿破崙軍隊征服並納入意大利王國。1809年，該地區起義反抗法意統治，在第五次反法同盟戰爭期間支持前進的奧地利軍隊。這主要是一場農民起義，其組織性不如附近的安德烈亞斯·霍費爾的起義，而城市國民警衛隊則站在法意一邊作戰。1814年至1815年維也納會議之後，威尼斯成為倫巴第-威尼斯王國的東半部，倫巴第-威尼斯王國則奧地利帝國的一個獨立王國而存在。