hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
모스크바 수학 파피루스 두 가지 기하학 문제
모스크바 수학 파피루스의 열 번째 문제는 반구의 표면적(스트루베, 길링스) 또는 아마도 반원통의 넓이(피트)를 계산하도록 요구한다. 아래에서는 이 문제가 반구의 넓이를 나타낸다고 가정한다.
문제 10의 텍스트는 다음과 같다: "바구니 계산의 예. 입구가 4 1/2인 바구니가 주어졌다. 그 표면적은 얼마인가? 바구니가 반쪽 달걀 껍질이므로 9의 1/9을 취하라. 1을 얻는다. 나머지 8을 계산하라. 8의 1/9을 계산하라. 2/3 + 1/6 + 1/18을 얻는다. 이 8에서 2/3 + 1/6 + 1/18을 뺀 나머지를 구하라. 7 + 1/9을 얻는다. 7 + 1/9에 4 + 1/2를 곱하라. 32를 얻는다. 보라, 이것이 그 면적이다. 너는 그것을 정확하게 찾았다."
이 해법은 면적을 다음과 같이 계산하는 것과 같다.
이 공식은 반구의 면적을 계산하며, 모스크바 파피루스의 서기관은 를 사용하여 원주율을 근사했다.
모스크바 수학 파피루스의 14번째 문제는 절두체의 부피를 계산한다.
모스크바 수학 파피루스 두 가지 기하학 문제
문제 14는 그림과 같이 밑면이 길이 4단위의 정사각형이고 윗면이 길이 2단위의 정사각형이며 높이가 6단위인 방식으로 피라미드가 절단되었다고 명시한다. 부피는 56입방단위로 계산되며, 이는 정확하다.
예시 텍스트는 다음과 같다: "만약 당신에게 말하기를: 수직 높이가 6이고 밑변이 4, 윗면이 2인 절두피라미드: 당신은 4를 제곱해야 합니다; 결과는 16. 당신은 4를 두 배 해야 합니다; 결과는 8. 당신은 이 2를 제곱해야 합니다; 결과는 4. 당신은 16과 8과 4를 더해야 합니다; 결과는 28. 당신은 6의 1/3을 취해야 합니다; 결과는 2. 당신은 28을 두 번 취해야 합니다; 결과는 56. 보십시오, 56입니다. 당신은 [그것이] 옳다는 것을 알게 될 것입니다"
이 문제의 해법은 이집트인들이 절두피라미드의 부피를 구하는 올바른 공식을 알고 있었음을 나타낸다:
여기서 a와 b는 절두피라미드의 밑면과 윗면의 길이이고 h는 높이이다. 연구자들은 이집트인들이 절두체의 부피 공식을 어떻게 도출했을지 추측했지만, 이 공식의 유도 과정은 파피루스에 나와 있지 않다.
모스크바 수학 파피루스 요약
리처드 J. 길링스(Richard J. Gillings)는 파피루스 내용에 대한 간략한 요약을 제공했다. 위선이 있는 숫자는 해당 숫자를 분모로 하는 단위분수를 나타낸다. 예를 들어 이다. 단위분수는 고대 이집트 수학에서 흔한 연구 대상이었다.
모스크바 수학 파피루스 다른 파피루스
고대 이집트의 다른 수학 문서에는 다음이 포함된다:
일반 파피루스:
2/n 표는 다음을 참조하십시오:
모스크바 수학 파피루스 각주
Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
김정희 (소방공무원)
김정희(Kim Jeong-hui)는 강원특별자치도 소속의 소방공무원으로, 평창·동해·삼척·인제 소방서장을 역임하였다. 1984년에 임용되어 행정과 현장 보직을 두루 거쳤고, 2019년 소방의 날에 근정포장을 받았다.
김정희 (소방공무원) 생애와 배경
경희사이버대학교를 졸업하였다. 1984년 강원도에서 지방소방사로 임용되어 경력을 시작하였다.
김정희 (소방공무원) 임용과 초기 보직
동해소방서 예산장비계장과 동해송정소방파출소장을 거쳐, 2012년 인제소방서 소방행정과장을 맡았다. 이후 삼척소방서 방호구조과장, 강원소방학교 교육지원과장, 강원도 소방본부 장비관리담당·기획예산담당을 역임하였다.
김정희 (소방공무원) 조직 운영과 예산·장비 관리
강원도 소방본부에서 장비관리와 기획예산 업무를 담당하며 장비 운용과 예산 집행을 총괄하였다. 이 시기 경험은 이후 각 소방서장 보직에서 현장 대응력과 행정 효율화를 병행하는 지휘 기조로 이어졌다.
김정희 (소방공무원) 평창 소방서장 시기
2018년 7월 평창소방서장으로 부임하였다. 2019년 제57주년 소방의 날에 근정포장을 수훈하였다.
김정희 (소방공무원) 동해 소방서장 시기
2020년 1월 동해소방서장으로 취임하여 "현장대응능력 향상, 기본에 충실한 자율적 업무수행, 협력과 소통을 중시하는 조직문화"를 운영 기조로 제시하였다. 같은 해 지역 안전 행사와 출동체계 점검을 진행하였다.
김정희 (소방공무원) 삼척 소방서장 시기
2021년 7월 삼척소방서장에 취임하였다. 여름철 119 시민수상구조대 운영 체계를 정비하고 수변 안전 활동을 강화하였다. 2022년에는 재난대응 안전한국훈련을 실시하였다.
김정희 (소방공무원) 인제 소방서장 시기
2023년 1월 제9대 인제소방서장에 취임하였다. 2024년 1월 신규 소방공무원 임용장 수여식과 조직 적응 지원을 진행하였다. 같은 해 6월 긴급구조통제단 불시가동훈련을 지휘하였다.
김정희 (소방공무원) 지휘 철학과 행정 관점
현장대응 역량 강화를 우선 순위로 두고, 기본 업무 준수와 자율적 수행을 강조하였다. 지역 유관기관과의 협력 및 소통을 통해 재난대응 체계를 정비하였다.
김정희 (소방공무원) 재난 대비 훈련과 현장 대응
재난대응 안전한국훈련, 긴급구조통제단 불시가동훈련 등을 주관하며 훈련 평가와 보완 과제를 제시하였다. 코로나19 시기에는 현장 활동 유공자를 격려하였다.
김정희 (소방공무원) 지역 안전문화 확산 활동
자치분권 캠페인에 동참하고, 시민수상구조대 운영 및 업무보고회 등 지역 참여 프로그램을 운영하였다. 의용소방대와 협력해 지역 안전 기여 단체를 포상하였다.
사토 초함수
수학에서 사토 초함수 또는 초함수(hyperfunction)는 함수를 일반화한 것으로, 경계에서 하나의 정칙 함수에서 다른 정칙 함수로 '도약'하는 것을 의미하며, 비공식적으로는 무한 차수의 분포로 생각될 수 있다. 초함수는 사토 미키오가 1958년에 일본어로 (영어로는 1959년, 1960년) 도입했으며, 로랑 슈바르츠, 그로텐디크 등의 선행 연구를 바탕으로 발전했다.
사토 초함수 공식화
실직선 상의 초함수는 상반평면에 정의된 하나의 정칙 함수와 하반평면에 정의된 다른 정칙 함수의 '차이'로 생각할 수 있다. 즉, 초함수는 (f, g) 쌍으로 지정되는데, 여기서 f는 상반평면의 정칙 함수이고 g는 하반평면의 정칙 함수이다.
비공식적으로, 초함수는 실직선 자체에서 의 차이이다. 이 차이는 f와 g에 동일한 정칙 함수를 더해도 영향을 받지 않으므로, h가 전체 복소평면에서 정칙 함수라면 초함수 (f, g)와 (f + h, g + h)는 동등한 것으로 정의된다.
이러한 동기는 층 코호몰로지의 아이디어를 사용하여 구체적으로 구현될 수 있다. 를  상의 정칙 함수의 층이라고 하자. 실직선 상의 초함수를 첫 번째 국소 코호몰로지 군으로 정의한다:
사토 초함수 공식화
구체적으로, 와 를 각각 상반평면과 하반평면이라고 하자. 그러면 이므로
어떤 층의 0번째 코호몰로지 군은 단순히 그 층의 전체 단면이므로, 초함수는 상부 복소수 반평면과 하부 복소수 반평면에 각각 하나씩 있는 한 쌍의 정칙 함수를 전체 정칙 함수를 법으로 하여 정의된다는 것을 알 수 있다.
더 일반적으로, 인 임의의 열린집합 에 대해 를 몫 로 정의할 수 있다. 여기서 는 인 임의의 열린집합이다. 이 정의는 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이는 초함수를 정칙 함수의 "경계값"으로 생각하는 또 다른 이유를 제공한다.
사토 초함수 예시
디랙 델타 "함수"는 로 표현된다. 이는 코시 적분 공식의 재진술이다. 이를 확인하기 위해 실수 선 바로 아래의 f 적분을 계산하고 실수 선 바로 위의 g 적분을 빼면 된다. 둘 다 왼쪽에서 오른쪽으로 진행한다. 초함수는 구성 요소가 동일한 함수의 해석적 연속이더라도 자명하지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다. 또한 이는 헤비사이드 함수를 미분하여 쉽게 확인할 수 있다.
I를 유계 구간으로 포함하는 지지집합을 가진 실직선 상의 연속 함수 (또는 더 일반적으로 분포) g에 대해, g는 (f, -f)에 대응한다. 여기서 f는 I의 보집합에서 정의된 정칙 함수이며, 로 주어진다. 이 함수 f는 x점에서 실수 축을 가로지를 때 g(x)만큼 값이 변화한다. f에 대한 공식은 g를 디랙 델타 함수와의 합성곱으로 작성함으로써 이전 예시로부터 얻을 수 있다.
사토 초함수 예시
f가 0에서 본질적 특이점을 제외하고 모든 곳에서 정칙 함수인 경우(예: e1/z), 는 지지집합 0을 갖는 초함수이지만 분포는 아니다. f가 0에서 유한 차수의 극을 갖는다면 는 분포이며, 따라서 f가 본질적 특이점을 갖는다면 는 0에서 "무한 차수의 분포"처럼 보인다. (분포는 항상 어떤 점에서 유한 차수를 갖는다.)
사토 초함수 초함수의 연산
가 임의의 열린 부분집합이라고 하자.
콤팩트 지지집합을 갖는 초함수의 공간을 라고 하자. 쌍선형 형식 를 통해 콤팩트 지지집합을 갖는 각 초함수에 대해  상의 연속 선형 함수를 연관시킨다. 이는 이중 공간인 와 의 동형을 유도한다. 고려할 가치가 있는 특별한 경우는 콤팩트 지지집합을 갖는 연속 함수 또는 분포의 경우이다: 만약  (또는 )를 위 임베딩을 통해 의 부분집합으로 간주하면, 이는 정확히 전통적인 르베그 적분을 계산한다. 또한: 만약 가 콤팩트 지지집합을 갖는 분포이고, 가 실수 해석 함수이며, 이면  따라서 이 적분 개념은 와 같은 형식적인 표현에 정확한 의미를 부여하며, 이는 일반적인 의미에서는 정의되지 않는다. 더욱이: 실수 해석 함수가 에서 조밀하기 때문에 는 의 부분공간이다. 이는 동일한 임베딩 의 다른 설명이다.
사토 초함수 각주
Kashiwara, Masaki; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], 《Foundations of Algebraic Analysis》 Reprint판, 번역 Kato, Goro, Princeton Legacy Library (Book 5158), PMS-37, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
사토 초함수 각주
Komatsu, Hikosaburo 편집 (1973), 《Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Proceedings of a Conference at Katata, 1971》, Lecture Notes in Mathematics 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9 .
Komatsu, Hikosaburo, 《Relative cohomology of sheaves of solutions of differential equations》, 192–261쪽 .
Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, 《Microfunctions and pseudo-differential equations》, 265–529쪽 . - It is called SKK.
사토 초함수 각주
Pham, F. L. 편집 (1975), 《Hyperfunctions and Theoretical Physics, Rencontre de Nice, 21-30 Mai 1973》, Lecture Notes in Mathematics 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1 .
Cerezo, A.; Piriou, A.; Chazarain, J., 《Introduction aux hyperfonctions》, 1–53쪽 .
Sato, Mikio (1959), “Theory of Hyperfunctions, I”, 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 8 (1): 139–193, hdl:2261/6027, MR 0114124 .
Sato, Mikio (1960), “Theory of Hyperfunctions, II”, 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 8 (2): 387–437, hdl:2261/6031, MR 0132392 .
Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], 《Hyperfunctions and Harmonic Analysis on Symmetric Spaces》 Softcover reprint ofe original 1판, Progress in Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8
숀 바이에른
숀 J. 바이에른(Shawn J. Bayern)은 미국의 법학자이자 플로리다 주립 대학교 법학대학원의 Larry and Joyce Beltz 교양불법 교수로, 계약법·불법행위법·조직법 분야의 연구와 '알고리즘적 법인체' 이론으로 알려져 있다. 예일 대학교에서 컴퓨터 과학을 공부한 뒤 버클리 로스쿨에서 법학박사(J.D.)를 취득하였고, 학부 시절과 초기 경력기에 예일 중앙 인증 서비스(CAS)를 구상·개발하고 자바 표준화(JSTL·JSP·JAX‑RPC·JSF)에 기여하는 등 정보기술 분야의 활동을 병행하였다.
숀 바이에른 생애와 교육
바이에른은 예일 대학교에서 1999년에 컴퓨터 과학 학사(B.S.)를 취득하였다. 이후 캘리포니아 대학교 버클리 로스쿨에서 2006년 법학박사(J.D.)를 받고, California Law Review 편집장으로 활동하였으며 졸업 시 학업 성취 최우수상(Thelen Marrin Prize)을 수상하였다.
숀 바이에른 정보기술과 초기 활동
예일 대학교 정보기술부(Technology & Planning) 연구원으로 근무하며 중앙 인증 서비스(CAS)를 고안하고 구현하였다. CAS는 이후 공용 표준으로 정착하여 다수 기관에서 채택되었다. 같은 시기 자바 표준 태그 라이브러리(JSTL)의 레퍼런스 구현 책임자이자 JSP·JAX‑RPC·JSF 등 자바 표준화 작업에 참여하였다. 또한 이메일 예약 발송 서비스 '타임케이브(Time Cave)'를 2000년대 초 개설하였다.
숀 바이에른 개방형 인증 체계(CAS)의 설계와 확산
예일에서 2000~2002년에 개발된 CAS는 웹 기반 단일 로그인(SSO) 프로토콜로, 이후 러트거스 등과의 협업을 거쳐 공개재단(Jasig/Apereo)으로 이관되며 여러 버전으로 발전하였다. 이 소프트웨어와 프로토콜은 대학과 공공기관의 인증 연동에 널리 적용되었다.
숀 바이에른 법학 전환과 학업 성취
버클리 로스쿨 재학 중 불법행위·계약·회사법 등에서 학업상 수상을 거듭하고, 2006~2007년 미국 제10순회항소법원 해리스 하츠 판사 서기를 마친 뒤 듀크 로스쿨 방문 조교수를 거쳐 2009년부터 플로리다 주립대 법과대학에서 교수로 재직하고 있다. 2013년부터는 Larry and Joyce Beltz 교양불법 교수직을 맡고, 학사·기술 관련 부학장을 지냈다.
숀 바이에른 연구 관심과 방법론
바이에른의 연구는 사법(common law)의 실제 작동과 해석 방법에 초점을 두며, 경제분석의 단순화 경향을 비판하고 텍스트주의·상황주의 사이의 해석 선택을 '메타‑해석(meta‑interpretation)'으로 설명한다.
숀 바이에른 계약법·조직법에서의 주요 주장
그는 전통적 '청약‑승낙' 도식이 현대 계약 실무를 잘 설명하지 못한다고 보고, 계약 형성·해석을 당사자의 선호와 문맥에 기초해 재구성할 것을 제안하였다. 또한 현대 조직법(특히 LLC 법)이 비인격적 시스템의 법적 능력을 구조적으로 부여할 수 있음을 논증하였다.
숀 바이에른 알고리즘적 법인체 이론
바이에른은 소프트웨어가 조직법의 기성 수단을 통해 계약·재산 보유 등 법적 능력을 행사할 수 있다는 '알고리즘적 법인체' 이론을 체계화하였다. 이 이론은 분산형 자율조직(DAO)과 신기술의 책임 배분 논의와도 접점을 갖는다.
숀 바이에른 자바 표준화와 오픈소스 공헌
JSTL의 레퍼런스 구현을 이끌고, JSP·JAX‑RPC·JSF 표준화 전문가 그룹에서 활동하였다. 자바 웹 기술 입문서와 실무서를 집필하여 초기 웹 애플리케이션 생태계에 기여하였다.
숀 바이에른 학술·전문 활동
아메리칸 로 인스티튜트(ALI) 회원으로 2017년 선출되었고, Restatement (Third) of Torts 관련 프로젝트 자문으로 참여하였다.
숀 바이에른 저서
조직법의 최소 요건만으로도 기술 시스템이 법적 능력을 가질 수 있음을 사례와 조문 분석으로 제시한다. 법제 간 비교를 통해 자율조직의 설계 변수와 위험 분산 구조를 설명한다. 실무가가 활용할 수 있는 계약·지배구조 도구를 단계별로 정리한다.
불법행위·계약·재산법에서 경제분석이 현행 법 규범을 충분히 설명하지 못한다는 점을 논증한다. 주요 모형의 전제와 범위 한계를 구체적 판례·조문에 대조한다. 법경제학의 통찰을 남기되 법원의 실제 추론과정에 맞춘 분석틀을 제안한다.
JSP와 초기 자바 웹 스택의 구조와 사용법을 체계적으로 정리한다. 실무 구현 예시와 설계 원칙을 병행하여 설명한다. 당시 웹 개발자 교육용 표준 참고서로 사용되었다.
JSTL의 표준 태그 구조와 설계 철학을 설명한다. 국제화·형식화·데이터 접근 등 공통 과제를 표준 태그로 해결하는 방법을 제시한다. 레퍼런스 구현 관점에서 사용상 주의점과 모범 사례를 제공한다.
숀 바이에른 논문
이 글은 계약 성립을 전통적 청약·승낙 틀로만 설명하기 어렵다는 점을 보여준다. 법원이 실제로는 당사자의 의도와 거래 맥락을 종합해 판단한다는 점을 사례로 제시한다. 따라서 해석 규칙을 고정식으로 적용하기보다 당사자의 해석 선호를 먼저 파악해야 한다고 주장한다. 이 접근은 분쟁 예방과 문구 설계에도 유용하다는 점을 논증한다. 결론에서 해석 절차를 메타‑해석으로 구조화하는 방안을 제안한다.
바이에른, 숀 J. (2016), "현대 조직법이 자율 시스템 규제에 갖는 함의(The Implications of Modern Business‑Entity Law for the Regulation of Autonomous Systems)", 《European Journal of Risk Regulation》 7(2): 297. https://doi.org/10.1017/S1867299X00005729.
숀 바이에른 논문
글은 LLC 등 현대 조직법 장치가 비인격적 시스템에도 법적 능력을 부여할 수 있음을 보인다. 이는 자율 시스템의 책임 귀속과 위험 관리에 새로운 선택지를 제공한다. 동시에 우회 규제나 책임 공백을 막기 위한 보완 설계가 필요함을 지적한다. 제도 설계 원칙과 사례를 비교법적으로 제시한다. 결론은 기술 변화에 대응하는 조직법적 규율틀의 중요성을 강조한다.
이 글은 조직법의 기본 기능과 설계 원리를 재평가한다. 법적 인격과 대리의 구조가 기술 환경에서도 유연하게 작동함을 논증한다. 규제 순응과 혁신 촉진 사이의 균형을 위한 설계 지침을 제시한다. 사례 분석을 통해 법정책 대안을 비교한다. 결론은 조직법을 신뢰 가능한 공공 인프라로 보는 관점을 제안한다.
포물면
기하학에서 포물면(Paraboloid)은 정확히 하나의 대칭축을 가지며 대칭 중심이 없는 이차 곡면이다. "포물면"이라는 용어는 유사한 대칭 속성을 갖는 원뿔 곡선인 포물선에서 유래했다.
대칭축에 평행한 평면으로 포물면을 자른 모든 평면 단면은 포물선이다. 다른 모든 평면 단면이 쌍곡선, 또는 두 개의 교차하는 선(접평면으로 자른 경우)이면 포물면은 쌍곡 포물면이다. 다른 모든 비어있지 않은 평면 단면이 타원, 또는 하나의 점(접평면으로 자른 경우)이면 포물면은 타원 포물면이다. 포물면은 타원형이거나 쌍곡형이다.
동등하게, 포물면은 원기둥이 아니고 복소수 위에서 이차 항의 부분이 두 개의 서로 다른 선형 인수로 인수분해될 수 있는 음함수 방정식을 갖는 이차 곡면으로 정의될 수 있다. 인수가 실수이면 포물면은 쌍곡형이고, 인수가 켤레 복소수이면 타원형이다.
포물면
타원 포물면은 타원형 컵 모양을 가지며 축이 수직일 때 최대값 또는 최소값을 갖는다. 세 축 x, y, z를 갖는 적절한 좌표계에서 다음 방정식으로 표현될 수 있다.

여기서 a와 b는 각각 xz 및 yz 평면에서 곡률의 정도를 결정하는 상수이다. 이 위치에서 타원 포물면은 위로 열린다.
쌍곡 포물면은 (쌍곡면과 혼동하지 말 것) 안장 모양의 이중 곡면이다. 적절한 좌표계에서 쌍곡 포물면은 다음 방정식으로 표현될 수 있다.

이 위치에서 쌍곡 포물면은 x-축을 따라 아래로 열리고 y-축을 따라 위로 열린다 (즉, 평면 x = 0의 포물선은 위로 열리고 평면 y = 0의 포물선은 아래로 열린다).
모든 포물면(타원형 또는 쌍곡형)은 두 번째 포물선에 의해 유도되는 움직이는 포물선에 의해 생성될 수 있으므로 평행 이동 곡면이다.
포물면 속성 및 응용
적절한 데카르트 좌표계에서 타원 포물면은 다음 방정식을 갖는다.
만약 a = b이면, 타원 포물면은 원형 포물면 또는 회전 포물면이다. 이것은 포물선을 그 축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면이다.
원형 포물면은 원을 포함한다. 이것은 일반적인 경우에도 마찬가지이다 (원호형 단면 문서 참고).
사영기하학의 관점에서, 타원 포물면은 무한원 평면에 접하는 타원면이다.
평면 단면
타원 포물면의 평면 단면은 다음과 같다.
원형 포물면의 축에는 초점 (또는 초점)이라고 불리는 점이 있는데, 만약 포물면이 거울이라면 초점의 점 광원에서 나오는 빛(또는 다른 파동)은 포물면의 축에 평행한 평행 빔으로 반사된다. 이것은 반대로도 작동한다: 포물면의 축에 평행한 평행 빔은 초점에 집중된다.
따라서 원형 포물면의 모양은 천문학에서 포물선 반사경과 파라볼라 안테나에 널리 사용된다.
회전하는 액체의 표면도 원형 포물면이다. 이것은 액체 거울 망원경과 고체 망원경 거울 제작 (회전로 참조)에 사용된다.
포물면 속성 및 응용
쌍곡 포물면은 이중 곡면: 서로 꼬인 위치에 있는 두 가지 선군을 포함한다. 각 선군의 선들은 공통 평면에 평행하지만 서로는 평행하지 않다. 따라서 쌍곡 포물면은 코노이드(conoid)이다.
이러한 속성들은 쌍곡 포물면을 특징지으며 쌍곡 포물면의 가장 오래된 정의 중 하나에 사용된다: 쌍곡 포물면은 고정된 평면에 평행하고 두 개의 고정된 꼬인 선을 가로지르는 움직이는 선에 의해 생성될 수 있는 곡면이다.
이러한 속성 덕분에 콘크리트 지붕부터 스낵 식품에 이르기까지 다양한 재료와 다양한 용도로 쌍곡 포물면을 쉽게 제작할 수 있다. 특히 프링글스 튀김 과자는 잘린 쌍곡 포물면과 유사하다.
쌍곡 포물면은 모든 점에서 가우스 곡률이 음수이므로 안장 곡면이다. 따라서 곡면임에도 불구하고 전개 가능하지 않다.
사영기하학의 관점에서, 쌍곡 포물면은 무한원 평면에 접하는 한 겹 쌍곡면이다.
방정식  또는 인 쌍곡 포물면은 (좌표축 회전까지) 직각 쌍곡선과 유사하게 직각 쌍곡 포물면이라고 불릴 수 있다.
평면 단면
방정식이

인 쌍곡 포물면의 평면 단면은 다음과 같다.
안장 지붕은 재료의 직선 부분으로 쉽게 지을 수 있기 때문에 종종 쌍곡 포물면으로 만들어진다. 몇 가지 예는 다음과 같다.
포물면 타원 포물면과 쌍곡 포물면의 다발 사이의 원기둥
타원 포물면의 다발

과 쌍곡 포물면의 다발

은 일 때 동일한 곡면

에 접근하는데, 이것은 포물선 원기둥이다 (그림 참조).
포물면 곡률
간단히 다음과 같이 매개변수화된 타원 포물면은

가우스 곡률

과 평균곡률

을 가지는데, 이 둘은 항상 양수이며 원점에서 최댓값을 갖고, 표면 위의 점이 원점에서 멀어질수록 작아지며, 해당 점이 원점에서 무한히 멀어질수록 점근적으로 0에 수렴한다.
쌍곡 포물면은 다음과 같이 매개변수화될 때

가우스 곡률

과 평균곡률

을 갖는다.
포물면 구구단의 기하학적 표현
만약 쌍곡 포물면

이 +z 방향으로 ( 오른손 법칙에 따라) ⁠π/4⁠ 각도로 회전하면 그 결과는 다음 곡면이 된다.

그리고 만약 a = b이면 이것은 다음으로 단순화된다.

마지막으로, a = √2라고 하면, 쌍곡 포물면

이 곡면

와 합동임을 알 수 있는데, 이는 구구단의 기하학적 표현 (말하자면 3차원 노모그램)으로 생각할 수 있다.
두 포물면 R2 → R 함수

와

는 조화 켤레 함수이며, 함께 해석 함수

를 형성하는데, 이는 R → R 포물선 함수 f(x) = ⁠x2/2⁠의 해석적 연속이다.
포물면 포물면 접시의 치수
대칭 포물면 접시의 치수는 다음 방정식으로 관련된다.

여기서 F는 초점 거리, D는 접시의 깊이 (정점부터 테두리 평면까지 대칭축을 따라 측정), R은 테두리의 반경이다. 이들은 모두 동일한 길이 단위여야 한다. 이 세 길이 중 두 개를 알면 이 방정식을 사용하여 세 번째를 계산할 수 있다.
접시의 표면을 따라 측정한 지름을 찾으려면 더 복잡한 계산이 필요하다. 이것은 때때로 "선형 지름"이라고 불리며, 접시를 만들기 위해 자르고 구부리기에 적절한 크기의 평평하고 원형인 재료 시트 (일반적으로 금속)의 지름과 같다. 계산에 유용한 두 가지 중간 결과는 다음과 같다. P = 2F (또는 동등하게: P = ⁠R2/2D⁠) 및 Q = √P2 + R2)이며, 여기서 F, D, R은 위에서 정의된 바와 같다. 표면을 따라 측정한 접시의 지름은 다음으로 주어진다.

여기서 ln x는 x의 자연로그, 즉 e를 밑으로 하는 로그를 의미한다.
포물면 포물면 접시의 치수
접시의 부피, 즉 테두리가 수평이고 정점이 바닥에 있을 때 담을 수 있는 액체의 양 (예: 포물면 웍의 용량)은 다음으로 주어진다.

여기서 기호는 위에서 정의된 바와 같다. 이것은 원기둥 (πR2D), 반구 (⁠2π/3⁠R2D, 여기서 D = R), 그리고 원뿔 (⁠π/3⁠R2D})의 부피 공식과 비교할 수 있다. πR2는 접시의 개구면적, 즉 테두리에 의해 둘러싸인 영역으로, 반사경 접시가 가로챌 수 있는 햇빛의 양에 비례한다. 포물면 접시의 표면적은 회전면의 면적 공식을 사용하여 찾을 수 있으며 다음과 같다.
서순탁 (1963년)
서순탁(Seo Sun-tak)은 대한민국의 소방공무원으로, 서울특별시 소방재난본부 산하 동작·서대문·영등포·종로 소방서장을 역임하였다. 1993년 소방간부후보생 7기로 임용되어 예방·위험물 정책과 현장지휘를 두루 거쳤다.
서순탁 (1963년) 초기 생애와 교육
1963년 10월 10일에 태어났다. 경기대학교 법학을 졸업한 뒤, 서울시립대학교 도시과학대학원에서 방재공학 석사학위를 취득하였다.
서순탁 (1963년) 임용과 초기 경력
1993년 2월 10일 소방간부후보생 7기로 임용되어 서울소방재난본부 예방팀장과 서울소방학교 교육지원과장을 거쳤다. 이후 서울소방학교 소방과학연구센터 소장과 본부 예방과 위험물팀장 등을 맡아 본부 정책과 기술 업무를 병행하였다.
서순탁 (1963년) 동작소방서 (2014–2016): 지역 안전 기반 구축
2014년 7월 제8대 동작소방서장으로 부임하여 지역 대학·교육기관과의 협력과 생활안전 교육을 확대하였다. 특히 중앙대학교와 안전관리 협력을 논의하며 "범국가적 안전관리"의 중요성을 강조하였다. 2016년에는 관내 초·중·고 46개 학교를 대상으로 화재 대응 컨설팅과 소집교육을 진행하였다.
서순탁 (1963년) 서대문소방서 (2016): 도심 서북권 대응
2016년 7월 제7대 서대문소방서장으로 부임하였다. 관내 노후 건축물과 밀집 주거지의 화재 위험 요인을 점검하는 한편 교육기관 대상 맞춤형 안전지도를 강화하였다.
서순탁 (1963년) 영등포소방서 (2018–2019): 산업·업무지구 안전관리
2018년 7월 제51대 영등포소방서장으로 취임해 대형 업무·산업시설의 점검과 공사장 화재 예방 활동을 운영하였다.
서순탁 (1963년) 종로소방서 (2019–2020): 전통지구 화재 예방
2019년 7월 제56대 종로소방서장으로 부임해 익선동 한옥마을·낙원상가 등 전통·상업 지구의 화재 취약 요소를 점검하였다. 같은 해 추석 연휴에는 각 안전센터를 찾아 특별경계근무를 앞둔 현장 대원을 격려하였다. 2020년에는 건축공사장 합동 안전점검과 코로나19 관련 공공캠페인에 참여하였다.
서순탁 (1963년) 예방·위험물 정책과 현장 경험
본부 예방과(위험물팀 포함) 근무와 마포소방서 구조진압과장을 지내며 위험물 사고 예방과 구조 현장 운영을 아울렀다. 종합민원·유해물질 저장시설 지도점검, 공사장 화재 위험도 평가 등 정책과 현장 연계를 강조하였다.
서순탁 (1963년) 교육·캠페인 및 지역 협력
대학교·교육기관과 협약·면담을 통해 학내 안전관리 체계를 구축하고, 영유아·학생 대상 체험형 안전교육을 주도하였다.
서순탁 (1963년) 재난 대응 철학과 조직 운영
세월호 참사 이후 "범국가적 안전관리"의 필요성을 공개 발언에서 제시하고, 현장 대응 역량과 공직기강 강화를 병행하였다.
서순탁 (1963년) 정책적 기조
위험물 저장·취급시설의 사전 점검과 공사장 화재위험 통제를 중시하였고, 지역 특성(전통 한옥 밀집·산업시설 분포)에 맞춘 예방정책을 추진하였다.
병적
수학에서 어떤 수학적 현상이 일부 직관에 반할 때, 그 현상을 때때로 병적(pathological)이라고 부른다. 반대로 어떤 현상이 직관에 반하지 않으면, 잘 동작한다(well-behaved) 또는 좋다(nice)고 부른다. 이러한 용어들은 수학 연구 및 교육에서 때때로 유용하지만, 병적 또는 잘 동작한다는 것의 엄격한 수학적 정의는 없다.
병적 해석학에서
병리 현상의 고전적인 예로는 모든 곳에서 연속 함수이지만 어느 곳에서도 미분 가능 함수가 아닌 바이어슈트라스 함수가 있다. 미분 가능한 함수와 바이어슈트라스 함수를 합하면 다시 연속이지만 어느 곳에서도 미분 가능하지 않다. 따라서 미분 가능한 함수만큼 많은 그러한 함수들이 존재한다. 사실, 베르의 범주 정리를 사용하면 연속 함수는 일반적으로 어느 곳에서도 미분 가능하지 않음을 보일 수 있다.
이러한 예들은 처음 발견되었을 때 병적이라고 여겨졌다. 앙리 푸앵카레의 말을 인용하자면 다음과 같다.
병적 해석학에서
논리는 때때로 괴물을 낳는다. 반세기 동안 유용한 정직한 함수와 가능한 한 닮지 않으려고 노력하는 것처럼 보이는 기묘한 함수들이 많이 생겨났다. 더 이상 연속성이 없거나, 연속성은 있지만 미분은 없는 등. 게다가 논리의 관점에서 볼 때, 이 이상한 함수들이 가장 일반적이다. 찾지 않고 마주치는 함수들은 더 이상 특정 사례로만 보이지 않으며, 그들에게 남은 자리는 아주 작다.
이전에는 새로운 함수가 발명될 때 어떤 실용적인 목적을 위해서였다. 오늘날에는 우리 조상들의 추론이 틀렸음을 보여주기 위해 의도적으로 발명되며, 우리는 그 이상을 얻지 못할 것이다.

만약 논리가 교사의 유일한 지침이었다면, 그는 가장 일반적인 것, 즉 가장 기묘한 함수들부터 시작해야 했을 것이다. 그는 초보자가 이러한 괴물들의 집합과 씨름하게 해야 했을 것이다. 만약 그렇게 하지 않는다면, 논리학자들은 당신이 단계적으로만 정확성에 도달할 것이라고 말할 수도 있다.— 앙리 푸앵카레, 과학과 방법 (1899), (1914년 번역), 125페이지
푸앵카레 이후, 미분 불가능한 함수들은 브라운 운동과 같은 기본적인 물리적 및 생물학적 과정과 금융의 블랙-숄즈 모델과 같은 응용 분야에서 나타나는 것으로 밝혀졌다.
『해석학의 반례들(Counterexamples in Analysis)』은 그러한 반례들로 가득 찬 책이다.
또 다른 병적 함수의 예로는 뒤 부아-레몽 연속 함수가 있으며, 이는 푸리에 급수로 표현될 수 없다.
병적 위상수학에서
위상수학에서 유명한 반례 중 하나는 알렉산더의 뿔 달린 구인데, 이는 구 S2를 R3에 위상적으로 삽입하는 것이 공간을 깔끔하게 분리하지 못할 수 있음을 보여준다. 반례로서, 이는 수학자들이 뿔 달린 구, 야생 매듭, 그리고 다른 유사한 예들이 보여주는 종류의 거친 행동을 억제하는 유순성 속성을 정의하도록 동기를 부여했다.
다른 많은 병리 현상처럼, 뿔 달린 구는 어떤 의미에서 무한히 미세하고 재귀적으로 생성된 구조를 가지고 있으며, 이는 극한에서 일반적인 직관을 위반한다. 이 경우, 극한에서 구의 연속적인 조각들의 끊임없이 내려가는 연동 고리들의 위상은 일반적인 구의 위상을 완전히 반영하며, 삽입 후 그 바깥쪽도 동일하게 작동할 것이라고 예상할 수 있다. 그러나 그렇지 않다. 이는 단일 연결이 되지 못한다.
기본 이론에 대해서는 조르단-쇤플리스 정리를 참조하라.
『위상수학의 반례들(Counterexamples in Topology)』은 그러한 반례들로 가득 찬 책이다.
병적 잘 동작함
수학자들 (및 관련 과학 분야 종사자들)은 수학적 객체—함수, 집합, 어떤 종류의 공간—가 "잘 동작하는지"에 대해 매우 자주 이야기한다. 이 용어는 고정된 형식적 정의가 없지만, 일반적으로 문맥, 수학적 관심사, 유행, 취향에 따라 달라질 수 있는 지배적인 조건 목록을 만족하는 특성을 의미한다. 객체가 "잘 동작하도록" 보장하기 위해 수학자들은 연구 영역을 좁히기 위해 추가적인 공리를 도입한다. 이는 분석을 더 쉽게 만드는 이점이 있지만, 도출된 결론의 일반성 상실을 초래한다.
순수 및 응용 수학 (예: 최적화, 수치적분, 수리물리학)에서 잘 동작한다는 것은 논의 중인 분석을 성공적으로 적용하는 데 필요한 어떤 가정도 위반하지 않음을 의미하기도 한다.
그 반대 경우는 보통 "병적"이라고 불린다. 대부분의 경우 (집합의 크기 또는 측도의 측면에서) 병적이지만, 병적 사례가 실제로는 발생하지 않는 상황은 드물지 않다—의도적으로 구성되지 않는 한.
병적 잘 동작함
"잘 동작함"이라는 용어는 일반적으로 절대적인 의미로 적용된다—어떤 것이 잘 동작하거나 그렇지 않거나. 예를 들어:
특이하게도 이 용어는 비교적인 의미로도 적용될 수 있다.
미적분학에서:
해석 함수는 일반적인 매끄러운 함수보다 잘 동작한다.
매끄러운 함수는 일반적인 미분 가능한 함수보다 잘 동작한다.
연속 미분 가능 함수는 일반적인 연속 함수보다 잘 동작한다. 함수를 미분할 수 있는 횟수가 많을수록 더 잘 동작한다.
연속 함수는 콤팩트 집합에서 리만 적분 가능 함수보다 잘 동작한다.
리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 가능 함수보다 잘 동작한다.
르베그 적분 가능 함수는 일반적인 함수보다 잘 동작한다.
위상수학에서:
연속 함수는 불연속 함수보다 잘 동작한다.
유클리드 공간은 비유클리드 기하학보다 잘 동작한다.
인력 고정점은 척력 고정점보다 잘 동작한다.
하우스도르프 위상은 임의의 일반위상수학보다 잘 동작한다.
보렐 집합은 실수의 임의의 집합보다 잘 동작한다.
정수 차원을 가진 공간은 프랙탈 차원을 가진 공간보다 잘 동작한다.
병적 잘 동작함
추상대수학에서:
군은 마그마와 반군보다 잘 동작한다.
아벨 군은 비아벨 군보다 잘 동작한다.
유한 생성 아벨 군은 유한하게 생성되지 않은 아벨 군보다 잘 동작한다.
유한-차원 벡터 공간은 무한 차원 공간보다 잘 동작한다.
체는 나눗셈환 또는 일반적인 환보다 잘 동작한다.
분리 가능한 체의 확대는 비분리 가능한 것보다 잘 동작한다.
노름 나눗셈 대수는 일반적인 합성 대수보다 잘 동작한다.
병적 병적인 예시
병적인 예시는 종종 이론 내에서 다루거나 설명하기 어려운 바람직하지 않거나 특이한 속성을 갖는다. 이러한 병적인 행동은 종종 새로운 조사와 연구를 촉발하여 새로운 이론과 더 일반적인 결과를 이끌어낸다. 몇 가지 중요한 역사적 예시는 다음과 같다.
발견 당시, 이들 각각은 매우 병적이라고 여겨졌다. 오늘날에는 각각 현대 수학 이론에 동화되었다. 이러한 예시들은 관찰자들이 자신의 믿음이나 직관을 수정하도록 유도하고, 어떤 경우에는 기초적인 정의와 개념을 재평가할 필요성을 제기한다. 역사적으로 이들은 더 정확하고, 더 정밀하며, 더 강력한 수학으로 이어졌다. 예를 들어, 디리클레 함수는 르베그 적분 가능하며, 테스트 함수와의 컨볼루션은 국소 적분 가능 함수를 매끄러운 함수로 근사하는 데 사용된다.
병적 병적인 예시
어떤 행동이 병적인지 여부는 정의상 개인적인 직관에 달려 있다. 병리 현상은 문맥, 훈련, 경험에 따라 달라지며, 한 연구자에게 병적인 것이 다른 연구자에게는 표준적인 행동일 수 있다.
병적인 예시들은 정리의 가정의 중요성을 보여줄 수 있다. 예를 들어, 통계학에서 코시 분포는 대칭적인 종 모양이 중심 극한 정리를 만족하는 많은 분포들과 유사해 보이지만, 존재하고 유한해야 하는 평균과 표준 편차를 가지지 못해 중심 극한 정리를 만족하지 않는다.
바나흐-타르스키 역설과 하우스도르프 역설과 같이 잘 알려진 역설 중 일부는 비가측 집합의 존재에 기반을 두고 있다. 수학자들은 선택 공리를 부정하는 소수 입장을 취하지 않는 한, 일반적으로 그러한 집합들과 함께 사는 것에 체념한다.
병적 컴퓨터 과학
컴퓨터 과학에서 병적이라는 용어는 알고리즘 연구와 관련하여 약간 다른 의미를 갖는다. 여기서는 입력(또는 입력 집합)이 병적이라고 불리는데, 이는 알고리즘에서 평균 사례 복잡성 위반이나 심지어 정확성 위반과 같은 비정형적인 동작을 유발하기 때문이다. 예를 들어, 해시 테이블은 일반적으로 병적인 입력, 즉 해시 값에서 충돌하는 키 집합을 갖는다. 퀵 정렬은 일반적으로  시간 복잡도를 갖지만, 최적화되지 않은 동작을 유발하는 입력이 주어지면 로 성능이 저하된다.
이 용어는 종종 경멸적으로 사용되며, 실제로는 건전한 루틴을 파괴하기 위해 특별히 설계된 입력으로 그러한 입력을 일축하는 방식이다 (비잔틴과 비교). 다른 한편으로, 병적인 입력에 대한 인식은 중요하다. 왜냐하면 이는 컴퓨터 시스템에 대한 서비스 거부 공격을 가하는 데 악용될 수 있기 때문이다. 또한, 이 용어는 다른 의미에서와 마찬가지로 주관적인 판단의 문제이다. 충분한 실행 시간과 충분히 크고 다양한 사용자 커뮤니티(또는 기타 요인)가 주어지면, 병적이라고 일축될 수 있는 입력이 실제로 발생할 수 있다 (아리안 5호의 아리안 5 첫 시험 비행에서 볼 수 있듯이).
병적 예외
유사하지만 다른 현상으로는 예외적인 대상 (및 예외적인 동형사상)이 있는데, 이는 일반적인 패턴에 대한 "소수"의 예외가 있을 때 발생한다 (예: 그렇지 않으면 무한한 규칙에 대한 유한한 예외 집합). 대조적으로, 병리 현상의 경우 종종 현상의 대부분 또는 거의 모든 인스턴스가 병적이다 (예: 거의 모든 실수는 무리수이다).
주관적으로, 예외적인 대상 (예: 이십면체 또는 산재 단순군)은 일반적으로 이론의 "아름답고" 예상치 못한 예로 간주되는 반면, 병적인 현상은 이름에서 알 수 있듯이 종종 "추악한" 것으로 간주된다. 따라서 이론은 일반적으로 예외적인 대상을 포함하도록 확장된다. 예를 들어, 예외 리 대수는 반단순 리 대수 이론에 포함된다. 공리는 좋다고 여겨지고, 예외적인 대상은 예상치 못했지만 유효하다고 여겨진다.
병적 예외
대조적으로, 병적인 예시들은 공리의 단점을 지적하며, 이를 배제하기 위해 더 강력한 공리가 필요하다. 예를 들어, 쇤플리스 문제에서 구의 삽입에 대한 유순성 요구. 일반적으로, 병리 현상을 포함하는 더 일반적인 이론을 연구할 수 있으며, 이는 자체적인 단순화를 제공할 수 있지만 (실수는 유리수와 매우 다른 속성을 가지며, 연속 사상도 매끄러운 사상과 매우 다른 속성을 가진다), 원래 예시가 파생된 더 좁은 이론도 연구할 수 있다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분
수학에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분(Henstock–Kurzweil integral)은 함수의 적분에 대한 여러 비등가적인 정의 중 하나이다. 이는 리만 적분의 일반화이며, 어떤 상황에서는 르베그 적분보다 더 일반적이다. 특히, 의 부분 집합 위에서 함수가 르베그 적분 가능하려면 함수와 그 절댓값이 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능해야 한다.
이 적분은 아르노 당주아(1912)에 의해 처음 정의되었다. 당주아는 다음과 같은 함수를 적분할 수 있는 정의에 관심을 가졌다.
이 함수는 0에서 특이점을 가지며 르베그 적분 가능하지 않다. 그러나 구간 를 제외하고 적분을 계산한 다음 으로 보내는 것이 자연스러워 보인다.
일반적인 이론을 만들려고 시도하면서 당주아는 가능한 특이점 유형에 대한 초한 귀납법을 사용하여 정의를 상당히 복잡하게 만들었다. 다른 정의는 니콜라이 루진(절대 연속 측도 개념의 변형을 사용)과 연속 상위 함수 및 하위 함수에 관심이 있던 오스카 페롱에 의해 제시되었다. 페롱 적분과 당주아 적분이 실제로 동일하다는 것을 이해하는 데 시간이 걸렸다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분
이후 1957년, 체코의 수학자 야로슬라프 쿠르츠바일은 이 적분에 대한 새로운 정의를 발견했는데, 이는 리만의 원래 정의와 우아하게 유사하며 쿠르츠바일은 이를 게이지 적분이라고 명명했다. 1961년 랄프 헨스톡은 페롱 적분에 대한 워드의 확장에 대한 자신의 연구를 인용하며 독립적으로 유사한 적분을 도입하여 이론을 확장했다. 이 두 가지 중요한 기여로 인해 현재는 일반적으로 헨스톡-쿠르츠바일 적분으로 알려져 있다. 쿠르츠바일 정의의 단순성 때문에 일부 교육자들은 이 적분이 초급 미적분학 과정에서 리만 적분을 대체해야 한다고 주장했다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 정의
Bartle (2001)에 따르면, 의 태그된 분할 가 주어졌을 때, 즉,

각 부분 구간의 태그가 점으로 정의되면

함수 에 대한 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

여기서 이다. 이는 각 부분 구간의 길이 ()에 그 부분 구간의 태그에서 평가된 함수 ()를 곱한 것들의 합이다.
양의 함수가 주어졌을 때

이를 게이지라고 부르며, 태그된 분할 P가 -미세하다고 하는 것은 다음을 만족할 때이다.
이제 수 I를 f의 헨스톡-쿠르츠바일 적분이라고 정의하는 것은 모든 ε > 0에 대해 게이지 가 존재하여 P가 -미세할 때마다 다음을 만족하는 경우이다.
만약 그러한 I가 존재한다면, f는 에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다고 말한다.
Cousin's theorem은 모든 게이지 에 대해 그러한 -미세 분할 P가 존재한다고 명시하므로, 이 조건은 무의미하게 만족될 수 없다. 리만 적분은 상수 게이지만 허용하는 특수한 경우로 간주될 수 있다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 성질
가 임의의 함수라고 하자.
가 주어졌을 때, 가 에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능할 필요충분조건은 와  모두에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다는 것이다. 이 경우 (Bartle 2001, 3.7),
헨스톡-쿠르츠바일 적분은 선형이다. 적분 가능한 함수 와  그리고 실수 와 가 주어졌을 때, 는 적분 가능하다 (Bartle 2001, 3.1). 예를 들어,
만약 f가 리만 또는 르베그 적분 가능하면, 헨스톡-쿠르츠바일 적분도 가능하며, 이 세 가지 공식 모두에서 동일한 결과를 얻는다. 중요한 Hake's theorem (Bartle 2001, 12.8)은 다음을 명시한다.
이 방정식의 어느 한 쪽이 존재할 때마다, 그리고 아래쪽 적분 경계에 대해서도 대칭적으로 마찬가지이다. 이는 가 "이상 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능"하면, 적절히 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다는 것을 의미한다. 특히, 다음과 같은 유형의 이상 리만 또는 르베그 적분은
헨스톡-쿠르츠바일 적분 성질
또한 적절한 헨스톡-쿠르츠바일 적분이다. 유한 경계를 가진 "이상 헨스톡-쿠르츠바일 적분"을 연구하는 것은 의미가 없을 것이다. 그러나 무한 경계를 가진 이상 헨스톡-쿠르츠바일 적분을 고려하는 것은 의미가 있다.
많은 유형의 함수에 대해 헨스톡-쿠르츠바일 적분은 르베그 적분보다 더 일반적이지 않다. 예를 들어, f가 유계이고 콤팩트 지지 집합을 가지면 다음은 동등하다.
일반적으로 모든 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능한 함수는 가측이며, 가 르베그 적분 가능할 필요충분조건은 와  모두 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하다는 것이다. 이는 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 "비절대 수렴 르베그 적분"으로 생각될 수 있음을 의미한다. 또한 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 단조 수렴 정리 (함수가 음이 아닐 필요 없음) 및 지배 수렴 정리 (지배 조건이 일부 적분 가능한 g, h에 대해 g(x) ≤ fn(x) ≤ h(x)로 완화됨)의 적절한 버전을 만족함을 의미한다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 성질
만약 가 모든 곳에서 (또는 가산 개의 예외를 제외하고) 미분 가능하면, 도함수 는 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하며, 그 부정 헨스톡-쿠르츠바일 적분은 이다. (참고로 는 르베그 적분 가능할 필요는 없다.) 즉, 우리는 미적분학의 제2 기본 정리의 더 간단하고 만족스러운 버전을 얻는다. 각 미분 가능한 함수는 상수를 제외하고 그 도함수의 적분이다.
역으로, 르베그 미분가능성 정리는 헨스톡-쿠르츠바일 적분에도 계속 적용된다. 만약 가 에서 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능하고,
이면 는 에서 거의 어디서나 성립한다 (특히 는 거의 어디서나 미분 가능하다).
모든 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능한 함수들의 함수 공간은 종종 알렉시에비츠 노름으로 부여되며, 이에 대해 배럴 공간이지만 불완비이다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 유용성
게이지 적분은 리만 적분과 비교했을 때 증가된 유용성을 가진다. 즉, 가산 집합의 점 을 제외하고는 상수 값 c를 가지는 임의의 함수 에 대한 게이지 적분을 계산할 수 있다. 예를 들어, 구간별 정의 함수를 고려하자.

이는 구간 [0,1]에서 디리클레 함수의 1에서 뺀 값과 같다.
이 함수는 -미세 태그된 분할의 매핑 특성으로 인해 f(x)의 변화하는 값을 캡슐화할 만큼 구간 를 충분히 작게 만들 수 없으므로 리만 적분을 사용하여 적분하는 것은 불가능하다.
위에서 설명한 유형의 적분 값은 와 같다. 여기서 c는 함수의 상수 값이고, a, b는 함수의 끝점이다. 이를 증명하기 위해, 가 주어졌다고 가정하고, 태그 와 구간 를 가지는 의 -미세 태그된 분할을 라고 하자. 그리고 를 위에서 설명한 구간별 정의 함수라고 하자. 다음을 고려하자.

여기서 는 구간 의 길이를 나타낸다. 모든 구간 의 길이의 연속적인 차이의 합이 구간의 길이 (또는 )와 같으므로 이 등가성이 확립된다는 점에 유의하자.
게이지 적분의 정의에 따라, 우리는 위의 방정식이 주어진 보다 작다는 것을 보여야 한다. 이는 두 가지 경우로 이어진다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 유용성
경우 1:  (D의 모든 태그가 무리수인 경우):
태그된 분할 의 태그 중 유리수가 없는 경우, 의 정의에 따라 는 항상 1이 되므로 이 된다. 이 항이 0이면, 어떤 구간 길이에 대해서도 다음 부등식이 성립한다.
따라서 이 경우, 의 적분은 1이다.
경우 2:  (D의 일부 태그가 유리수인 경우):
D의 태그가 유리수이면, 그 점에서 평가된 함수는 0이 되어 문제가 발생한다. 가 -미세하다는 것을 알고 있으므로, 다음 부등식이 성립한다.

이는 임의의 구간 의 길이가 -미세하다는 정의에 의해 그 커버링보다 짧기 때문이다. 만약 우리가 부등식의 오른쪽에서 게이지 를 구성할 수 있다면, 적분이 존재하기 위한 기준이 충족됨을 보여줄 수 있다.
이를 위해, 라고 하고 우리의 커버링 게이지를 라고 설정하면, 다음이 된다.
여기서부터 다음을 얻는다.
왜냐하면

등비급수이기 때문이다. 이는 이 경우, 의 적분은 1임을 나타낸다.
경우 1과 2는 상호 배타적이므로, 이는 의 적분이 1이며 위 섹션의 모든 속성이 성립함을 보여준다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 맥셰인 적분
선 위의 르베그 적분도 비슷한 방식으로 제시될 수 있다.
위의 헨스톡-쿠르츠바일 적분 정의에서 다음 조건을 삭제하면
맥셰인 적분의 정의를 얻게 되며, 이는 르베그 적분과 동등하다. 다음 조건은 여전히 적용된다는 점에 유의하자.
그리고 기술적으로 가 정의되려면 도 요구된다.
임종환 (공학자)
임종환(Jong-Whan Rhim)은 대한민국의 식품공학자이자 경희대학교 생활과학대학 식품영양학과 고황명예교수로, 생고분자 기반 친환경·지능형 식품 포장재와 황(硫黃) 유래 나노소재를 응용한 기능성 포장 기술 연구로 알려져 있다. 2016년부터 2023년까지 Clarivate가 선정하는 'Highly Cited Researchers(HCR)'에 연속 선정되었다. 그의 연구는 플라스틱 저감, 미세플라스틱 대체 소재 개발, 식품 안전성 향상을 목표로 단백질·탄수화물 기반 생고분자와 황 나노입자·황 양자점 등을 포장재에 통합하는 데 초점을 둔다.
임종환 (공학자) 생애
임종환은 산업계와 학계를 모두 경험한 식품공학자로, 1989년 ㈜미원 중앙연구소 식품포장연구실 실장으로 재직한 뒤 1991년부터 목포대학교 식품공학과 교수로 25년간 재직하였다. 이후 경희대학교로 옮겨 고황명예교수로 연구를 이어가고 있다.
임종환 (공학자) 연구 분야
임종환의 핵심 연구는 단백질·전분·셀룰로오스 등 생고분자를 바탕으로 한 생분해성 포장재의 물성·차단성·항균성·항산화성 향상이며, 이를 위해 나노입자 및 지능형 색변화 지표를 도입하는 접근을 취한다.
임종환 (공학자) 황 기반 고분자 및 나노소재
정유·석유화학 공정의 부산물로 과잉 생산되는 황을 고부가가치화하기 위해, 황 나노입자(SNP)·황 양자점(SQD) 등 황 기반 소재를 포장재에 충전재로 활용하여 항균·항산화·자외선 차단 등 기능을 부여하는 연구를 수행하였다.
임종환 (공학자) 생고분자 포장재와 지능형 포장
동식물에서 추출한 단백질·탄수화물 생고분자를 활용한 포장재는 자연 분해 가능하며, 특정 구성은 식용 가능하고 동물 사료로도 전환할 수 있다. 또한 천연 색소 기반 pH-반응 지표 등 지능형 기술을 접목해 신선도 변화를 시각화하는 응용을 제안하였다.
임종환 (공학자) 산업·환경·식품안전 영향
그의 연구는 폐플라스틱 저감, 잉여 황의 재자원화, 식품 안전성 관리라는 다중 목표를 동시에 겨냥한다.