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피임 패치 부작용
경구 피임약에 대한 연구에서, 담배를 피우는 35세 이상 여성의 심혈관 질환 (혈전색전증 등) 위험이 유의미하게 증가한다. 따라서 오르토 에브라의 제품 설명서에는 "오르토 에브라를 포함한 호르몬 피임약을 사용하는 여성은 흡연을 강력히 삼가야 한다"고 명시되어 있다.
제조업체에 따르면 패치는 경구 피임약에 비해 혈액 내 에스트로겐 수치를 60% 더 높게 유입시키지만, 이 차이의 임상적 유의성은 알려져 있지 않다.
2005년 11월 10일, 오르토 맥닐은 FDA와 협력하여 오르토 에브라 라벨을 개정했는데, 여기에는 35 μg의 에스트로겐을 함유한 매일 복용하는 피임약과 비교하여 주간 패치를 사용하는 여성의 에스트로겐 노출이 더 높다는 새로운 굵은 글씨 경고가 포함되었으며, 더 높은 에스트로겐 수치가 일부 여성에게 혈전 발생 위험을 증가시킬 수 있다고 언급했다. 라벨은 2006년 9월에 다시 개정되었고, 2008년 1월 18일, FDA는 연구 결과를 반영하여 라벨을 다시 업데이트했다. "FDA는 오르토 에브라가 라벨에 따라 사용될 때 안전하고 효과적인 피임법이라고 믿으며, 심각한 혈전에 대한 우려나 위험 요인이 있는 여성은 오르토 에브라 대 다른 피임 옵션 사용에 대해 의료 제공자와 상담할 것을 권장한다."
피임 패치 사용 방법
패치는 월경 주기 첫째 날(1일차) 또는 그 날 이후 첫 번째 일요일 중 선호하는 날에 팔의 상부 바깥쪽, 둔부, 복부 또는 허벅지에 처음 부착한다. 부착한 날은 그 시점부터 패치 교체일로 알려진다. 7일 후, 패치 교체일이 다시 돌아오면 사용자는 패치를 제거하고 신체 승인된 부위 중 한 곳에 다른 패치를 부착한다. 이 과정은 다음 패치 교체일에 다시 반복된다. 그 다음 패치 교체일에는 패치를 제거하고 교체하지 않는다. 사용자는 패치 없이 7일을 기다린 후, 다음 패치 교체일에 새 패치를 부착한다. 패치 없는 주가 있기 전에 패치를 여러 주 동안 사용하는 확장 사용 요법이 연구되었다.
패치는 깨끗하고 건조하며 손상되지 않은 피부에 부착해야 한다. 즉, 피부가 붉거나, 자극받았거나, 상처가 있다면 그 부위에 패치를 붙이지 않아야 한다. 또한, 패치가 있거나 부착될 부위 주변에 로션, 파우더, 화장품 사용을 피해야 한다.
임신 초기 낙태 또는 유산 후 피임 패치 사용을 시작하려는 경우, 패치 부착은 즉시 가능하다. 이는 위에서 언급한 첫째 날 시작과 동일하게 간주되며, 보조 피임법은 필요하지 않다.
피임 패치 작용 메커니즘
모든 복합 호르몬 피임약과 마찬가지로 오르토 에브라 / 에브라는 주로 배란을 막는 방식으로 작용한다. 이차적인 작용 메커니즘은 자궁경부 점액의 변화를 통한 정자 침투 억제이다. 호르몬 피임약은 자궁내막에도 영향을 미쳐 이론적으로 착상에 영향을 미칠 수 있지만, 착상 방지가 실제로 사용 결과로 나타난다는 과학적 증거는 없다.
20 cm2 오르토 에브라 피임 패치는 750 μg의 에티닐에스트라다이올 (에스트로겐)과 6000 μg의 노르엘게스트로민 (프로게스틴)을 함유한다. 20 cm2 에브라 피임 패치는 600 μg의 에티닐에스트라다이올과 6000 μg의 노르엘게스트로민을 함유한다. 오르토 에브라 피임 패치와 에브라 피임 패치는 모두 전신 순환계로 약 20 μg/일의 에티닐에스트라다이올과 150 μg/일의 노르엘게스트로민을 서서히 방출하도록 고안되었다.
피임 패치 소송
이 패치는 뇌졸중 및 혈전증과 관련이 있으며, 신체 조직에서 호르몬 흡수 및 소실 메커니즘이 "경구 피임약"과는 다르다. 이 문제로 인해 여러 소송이 제기되었다.
2005년 9월 2일 뉴저지 연방 법원에 조지아 여성이 폐색전증으로 제기한 소송에서는, 회사가 건강 위험을 알고 있었음에도 불구하고 재정적 이득을 위해 패치를 홍보했으며, 혈전 및 기타 부상 위험에 대해 경고하지 않았다고 주장했다.
위스콘신 주에 사는 14세 소녀의 부모는 그녀가 패치 사용으로 인한 혈전으로 사망했다고 주장하며 존슨앤드존슨을 상대로 소송을 제기했다.
샹베를랑 필터
샹베를랑 필터(Chamberland filter)는 파스퇴르-샹베를랑 필터로도 알려져 있으며, 1884년 샤를 샹베를랑이 발명한 도자기 워터 필터이다.
이는 1827년 헨리 돌턴의 세라믹 워터 필터 이후에 개발되었다. 원리는 베르케펠트 필터와 유사하다.
샹베를랑 필터 설계
필터는 유입 파이프가 끼워지는 에나멜 도자기 링이 포함된 투과성 유약 없는 도자기 튜브(비스킷 도자기라고도 함)로 구성된다. 도자기의 중심은 물이 흘러나와 수집되는 구멍이 있는 금속 파이프로 이루어져 있다. 유입은 여압되어 여과가 강제로 이루어진다.
L1에서 L13까지 13가지 유형이 있다. L1 필터는 가장 거친 기공 크기를 가지며 L13은 가장 미세하다.
샹베를랑 필터 유용성
파스퇴르-샹베를랑 필터는 다른 세라믹 및 도자기 필터만큼 유용하다. 주로 대량 워터 필터로 사용되는 우수한 세균 워터 필터이다. 공급되는 물이 압력을 받을 때 필터가 더 빠르게 작동한다. 다른 유사 필터와 마찬가지로 바이러스나 미코플라스마와 같이 매우 작은 입자는 걸러낼 수 없다. 이는 세균 독소를 얻기 위해 유체 배양액에서 유기체를 제거하는 데 사용된다.
샹베를랑 필터 역사
샹베를랑 필터는 루이 파스퇴르의 파리 조수 중 한 명인 샤를 에두아르 샹베를랑에 의해 개발되었다. 원래 목적은 파스퇴르의 실험에 사용할 세균이 없는 여과수를 생산하는 것이었다.
이 필터는 당시 알려진 가장 작은 살아있는 유기체인 세균을 걸러내는 능력으로 점점 더 유명해졌다. 이 필터는 샹베를랑과 파스퇴르에 의해 미국과 유럽에서 특허를 받았다. 한 미국 회사가 오하이오주에서 이 이름의 라이선스를 취득했다. 그들은 개인 가정, 호텔, 레스토랑, 그리고 1893년 시카고 1893년 만국 박람회에 필터를 판매했다.
파스퇴르-샹베를랑 필터의 사용은 디프테리아와 파상풍 독소 등이 여과 후에도 질병을 유발할 수 있음을 발견하는 계기가 되었다. 이러한 독소의 식별은 그러한 질병을 치료하기 위한 항독소의 개발에 기여했다. 또한 처음에는 "여과성 바이러스"로 알려진 한 유형의 물질이 가장 작은 파스퇴르-샹베를랑 필터를 통과하고 살아있는 세포 내에서 스스로 복제한다는 사실도 발견되었다. 세균보다 작은 생물체가 존재한다는 발견은 바이러스학 분야를 확립하는 데 중요했다.
크룩스 방사계
크룩스 방사계(Crookes radiometer) 또는 빛 수차는 스핀들에 장착된 날개가 내부에 있는 부분 진공 상태의 밀폐된 유리 전구로 구성된다. 날개는 빛에 노출되면 회전하며, 빛의 강도가 강할수록 더 빠르게 회전하여 전자기파 강도를 정량적으로 측정할 수 있다.
회전의 원인은 장치 발명 후 10년 동안 많은 과학 논쟁의 원인이었지만, 1879년에 현재 통용되는 회전 설명이 발표되었다. 오늘날 이 장치는 주로 물리학 교육에서 빛 에너지로 작동하는 열기관 시연에 사용된다.
이 장치는 1873년 화학자 윌리엄 크룩스 경이 일부 화학 연구의 부산물로 발명했다. 매우 정확한 정량 화학 작업 과정에서 그는 공기 흐름의 영향을 줄이기 위해 부분적으로 진공 상태인 챔버에서 샘플을 측정하고 있었는데, 햇빛이 저울에 비추면 측정이 방해받는다는 것을 알게 되었다. 이 효과를 조사하면서 그는 자신의 이름을 딴 장치를 만들었다.
이 장치는 여전히 교육 보조재 또는 호기심을 위해 제조 및 판매되고 있다.
크룩스 방사계 일반적인 설명
방사계는 공기가 많이 제거되어 부분 진공이 형성된 유리 전구로 만들어진다. 전구 내부에는 마찰이 적은 스핀들 위에 축 주위에 동일한 간격으로 배치된 여러 개의(보통 4개) 수직 경량 날개가 있는 로터가 있다. 날개는 한쪽은 광택 처리되거나 흰색이고 다른 쪽은 검은색이다.
햇빛, 인공 조명 또는 적외선 복사(심지어 근처 손의 열만으로도 충분함)에 노출되면 날개는 명백한 동력 없이 회전하며, 어두운 면은 복사원으로부터 물러나고 밝은 면은 전진한다.
방사계 외부를 빠르게 냉각하면 반대 방향으로 회전한다.
효과는 수백 파스칼 (또는 수 토르)의 부분 진공 압력에서 관찰되기 시작하여 1 파스칼 (0.0075 토르) 주변에서 최고조에 달하며 진공이 1×10−4 파스칼 (7.5×10−7 토르)에 도달할 때 사라진다 (설명 참조 주석 1). 이러한 매우 높은 진공에서는 광자 복사압이 날개에 미치는 효과를 매우 민감한 장치(참조: 니콜스 방사계)에서 관찰할 수 있지만, 이는 회전을 유발하기에 불충분하다.
크룩스 방사계 일반적인 설명
제목의 접두사 "radio-"는 라틴어 radius(광선)의 결합형에서 유래했으며, 여기서는 전자기파를 나타낸다. 크룩스 방사계는 제목의 접미사 "-meter"와 일치하게 전자기파 강도를 정량적으로 측정할 수 있다. 예를 들어, 시각적 수단(예: 간단한 스트로보스코프로 작동하는 회전 슬롯 디스크)을 사용하여 측정 자체를 방해하지 않고 수행할 수 있다.
크룩스 방사계 열역학적 설명
복사 에너지원이 크룩스 방사계에 향하면 방사계는 열기관이 된다. 열기관의 작동은 기계적 출력으로 변환되는 온도 차이에 기반한다. 이 경우 날개의 검은색 면은 다른 면보다 더 뜨거워지는데, 이는 광원으로부터 오는 복사 에너지가 은색 또는 흰색 면보다 흡수를 통해 검은색 면을 더 빠르게 가열하기 때문이다. 내부 공기 분자는 날개의 검은색 면에 닿을 때 가열된다. 날개의 더 따뜻한 면은 힘을 받는다는 점이 날개를 앞으로 움직인다.
크룩스 방사계 열역학적 설명
검은 날개가 공기 분자에 열을 가하면서 내부 온도는 상승하지만, 분자는 주변 온도에 있는 전구의 유리 표면에 닿으면 다시 냉각된다. 유리창을 통한 이러한 열 손실은 내부 전구 온도를 일정하게 유지하여 날개 양쪽에 온도 차이가 발생한다. 날개의 흰색 또는 은색 면은 내부 공기 온도보다 약간 따뜻하지만 검은색 면보다는 차갑다. 일부 열이 검은색 면에서 날개를 통해 전도되기 때문이다. 날개의 양면은 광택 처리되거나 흰색 면이 검은색 면의 온도에 즉시 도달하지 않도록 어느 정도 단열되어야 한다. 날개가 금속으로 만들어진 경우 검은색 또는 흰색 페인트가 단열재 역할을 할 수 있다. 유리는 날개 검은색 면이 도달하는 온도보다 주변 온도에 훨씬 가깝게 유지된다. 외부 공기는 유리로부터 열을 멀리 이동시키는 데 도움이 된다.
크룩스 방사계 열역학적 설명
전구 내부의 기압은 너무 낮지도 높지도 않은 균형을 이루어야 한다. 전구 내부의 강한 진공은 움직임을 허용하지 않는데, 이는 날개를 추진하고 날개 재료를 통한 열 전도로 날개 양면이 열평형에 도달하기 전에 외부로 열을 전달할 공기 분자가 충분하지 않기 때문이다. 높은 내부 압력은 움직임을 방해하는데, 이는 온도 차이가 더 높은 농도의 공기를 통해 날개를 밀어낼 만큼 충분하지 않기 때문이다. 즉, "와류"가 발생하기에는 공기 저항이 너무 크고, 온도 차이로 인한 미세한 공기 움직임은 전류가 다른 쪽으로 "감싸지기" 전에 더 높은 압력에 의해 감쇠된다.
광원이 없는 상태에서 방사계가 가열되면 정방향(즉, 검은색 면이 뒤로 가는 방향)으로 회전한다. 사람이 유리를 만지지 않고 손을 유리 주위에 놓으면 날개는 천천히 회전하거나 전혀 회전하지 않지만, 유리를 만져 빠르게 가열하면 더 눈에 띄게 회전한다. 직접 가열된 유리는 날개를 회전시킬 만큼 충분한 적외선 복사를 방출하지만, 유리는 접촉하지 않는 열원으로부터 오는 많은 원적외선을 차단한다. 그러나 근적외선과 가시광선은 유리를 더 쉽게 통과한다.
강한 광원이 없는 상태에서 얼음을 유리 위에 놓거나 문을 거의 닫은 채 냉동고에 넣어 유리를 빠르게 냉각하면 역방향(즉, 은색 면이 뒤로 가는 방향)으로 회전한다. 이는 흡수보다는 날개 검은색 면에서 나오는 복사를 보여준다. 바퀴는 검은색 면과 주변 환경 사이의 순 열 교환으로 인해 초기에는 흰색 면보다 검은색 면이 더 빠르게 냉각되기 때문에 역회전한다. 일반적으로 1~2분 후에 평형에 도달하면 역회전은 멈춘다. 이는 하루 종일 정방향 회전을 유지할 수 있는 햇빛과는 대조적이다.
크룩스 방사계 날개에 가해지는 힘에 대한 설명
오랜 세월 동안 크룩스 방사계가 어떻게 작동하는지 설명하려는 많은 시도가 있었다.
크룩스 방사계 날개에 가해지는 힘에 대한 설명
크룩스는 이 힘이 빛의 압력 때문이라고 잘못 제안했다. 이 이론은 원래 이 힘을 예측했던 제임스 클러크 맥스웰이 지지했다. 이 설명은 여전히 장치와 함께 포장된 전단지에서 자주 볼 수 있다. 이 이론을 시험하기 위한 첫 번째 실험은 1876년 아서 슈스터에 의해 이루어졌는데, 그는 크룩스 방사계의 유리 전구에 날개 회전과 반대 방향으로 힘이 작용하는 것을 관찰했다. 이는 날개를 회전시키는 힘이 방사계 내부에서 발생한다는 것을 보여주었다. 빛의 압력이 회전의 원인이라면 전구 내부의 진공이 좋을수록 움직임에 대한 공기 저항이 줄어들고 날개가 더 빠르게 회전해야 한다. 1901년, 더 나은 진공펌프를 사용하여 표트르 레베데프는 사실 방사계는 전구 안에 저압 가스가 있을 때만 작동하며, 강한 진공에서는 날개가 움직이지 않는다는 것을 보여주었다. 마지막으로, 빛의 압력이 동력이라면 방사계는 반대 방향으로 회전할 것이다. 왜냐하면 반사되는 광택 있는 면의 광자는 광자가 흡수되는 검은색 면보다 더 많은 운동량을 전달할 것이기 때문이다. 이는 운동량 보존 법칙에 따른 것으로, 빛나는 면에서 반사되어 나가는 광자의 운동량은 이를 반사한 날개에 작용하는 반작용과 일치해야 한다. 빛이 가하는 실제 압력은 이 날개들을 움직이기에는 너무 작지만, 니콜스 방사계와 같은 장치로 측정할 수 있다. 사실 빛이 없는 상태에서 열을 가하거나 차가운 환경(냉동고 등)에 놓으면 검은색 면이 열복사로 인해 흰색 면보다 차가워지면서 방사계를 반대 방향으로 회전시킬 수 있다.
크룩스 방사계 날개에 가해지는 힘에 대한 설명
또 다른 잘못된 이론은 어두운 면의 열이 물질을 탈기시켜 방사계를 돌게 한다는 것이었다. 이는 나중에 슈스터의 실험(1876년)과 레베데프의 실험(1901년) 모두에 의해 효과적으로 반증되었다.
크룩스 방사계 날개에 가해지는 힘에 대한 설명
부분적인 설명은 날개의 더 따뜻한 면에 부딪히는 가스 분자가 열의 일부를 흡수하여 속도가 증가한 채로 날개에서 튕겨 나간다는 것이다. 분자에 이러한 추가적인 추진력을 부여하는 것은 날개에 미세한 압력이 가해진다는 것을 효과적으로 의미한다. 더 따뜻한 검은색 면과 더 차가운 은색 면 사이의 이러한 효과의 불균형은 날개에 가해지는 순 압력이 검은색 면에 대한 밀어내기와 같다는 것을 의미하며, 그 결과 날개는 검은색 면이 뒤로 가면서 회전한다. 이 아이디어의 문제는 더 빠르게 움직이는 분자가 더 많은 힘을 생성하는 동안, 다른 분자가 날개에 도달하는 것을 더 잘 막는다는 것이므로 날개에 가해지는 순 힘은 동일해야 한다는 것이다. 더 높은 온도는 국부 밀도를 감소시켜 양쪽에 동일한 힘을 가한다. 이 설명이 기각된 지 몇 년 후, 알베르트 아인슈타인은 날개 가장자리의 온도 차이 때문에 두 압력이 정확히 상쇄되지 않는다는 것을 보여주었다. 아인슈타인이 예측한 힘은 날개를 움직이기에 충분했지만, 충분히 빠르지는 않았다.
현재 통용되는 이론은 오스본 레이놀즈가 정립했는데, 그는 열 증발이 움직임의 원인이라고 이론화했다. 레이놀즈는 다공성 판의 한쪽이 다른 쪽보다 뜨거울 경우, 가스 분자와 판 사이의 상호작용으로 인해 가스가 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로 흐른다는 것을 발견했다. 일반적인 크룩스 방사계의 날개는 다공성이 아니지만, 가장자리 너머의 공간은 레이놀즈 판의 구멍처럼 작동한다. 가스가 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로 이동하면 뜨거운 쪽의 압력이 증가한다. 판이 고정되어 있으면 뜨거운 쪽의 압력은 양쪽 압력의 비가 절대 온도의 비의 제곱근과 같아질 때까지 증가한다. 방사계의 판은 고정되어 있지 않으므로 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로의 압력 차이가 날개를 움직이게 한다. 차가운(흰색) 쪽은 뒤쪽의 더 높은 압력에 의해 밀려 앞으로 이동한다. 분자 관점에서 보면, 날개는 희박한 가스가 뜨거운 쪽과 차가운 쪽 사이의 날개 가장자리와 다르게 충돌하는 접선 방향의 힘 때문에 움직인다.
레이놀즈의 논문은 한동안 출판되지 못했는데, 이는 맥스웰이 심사위원을 맡았고, 그 후 맥스웰이 자신의 논문을 발표했는데, 여기에는 레이놀즈의 미출판 논문에 대한 수학적 비판이 포함되어 있었다. 맥스웰은 그해 사망했고, 왕립학회는 레이놀즈의 미출판 논문에 대한 맥스웰의 반박에 대한 레이놀즈의 비판을 출판하는 것을 거부했는데, 이는 관련 인물 중 한 명이 이미 사망한 상황에서 부적절한 논쟁이 될 것이라고 여겨졌기 때문이다.
크룩스 방사계 올블랙 라이트 밀
회전하려면 라이트 밀이 각 날개에 다른 색으로 코팅될 필요는 없다. 2009년 텍사스 대학교 오스틴의 연구원들은 네 개의 곡선형 날개를 가진 단색 라이트 밀을 만들었다. 각 날개는 볼록한 표면과 오목한 표면을 형성한다. 라이트 밀은 강력한 빛 흡수제인 금 나노결정으로 균일하게 코팅되어 있다. 노출 시 기하학적 효과로 인해 날개의 볼록한 면이 오목한 면보다 더 많은 광자 에너지를 받고, 그 결과 가스 분자는 오목한 면보다 볼록한 면에서 더 많은 열을 받는다. 거친 진공 상태에서 이러한 비대칭적인 가열 효과는 각 날개에서 오목한 면에서 볼록한 면으로 순 가스 이동을 생성하며, 이는 연구원들의 직접 모의 몬테카를로 모델링으로 보여졌다. 가스 이동은 뉴턴의 제3법칙에 따라 라이트 밀이 오목한 면이 앞으로 움직이면서 회전하게 한다. 이 단색 디자인은 마이크로미터 또는 나노미터 크기의 라이트 밀 제작을 촉진하는데, 이는 매우 좁은 3차원 공간 내에서 서로 다른 광학적 특성을 가진 재료를 패턴화하기 어렵기 때문이다.
크룩스 방사계 수평 날개 라이트 밀
날개의 뜨거운 면에서 차가운 면으로의 열 크리프는 검은색 절반과 흰색 절반으로 구성된 두 가지 색상의 표면을 가진 수평 날개가 있는 밀에서 입증되었다. 이 디자인을 헤트너 방사계라고 부른다. 이 방사계의 각속도는 열 크리프 힘의 거동보다 용기 내 가스에 의한 항력의 거동에 의해 제한되는 것으로 나타났다. 이 디자인은 면이 온도 구배와 평행하기 때문에 아인슈타인 효과를 경험하지 않는다.
크룩스 방사계 나노스케일 라이트 밀
2010년 캘리포니아 대학교 버클리의 연구원들은 크룩스 방사계와는 완전히 다른 원리로 작동하는 나노스케일 라이트 밀을 성공적으로 제작했다. 직경이 100나노미터에 불과한 금 라이트 밀이 제작되어 튜닝된 레이저 빛으로 조명되었다. 이 가능성은 1936년 프린스턴 물리학자 리처드 베스에 의해 제안되었다. 토크는 입사광과 금 구조의 표면 플라스몬 파동의 공명 결합에 의해 크게 향상되었다.
크룩스 방사계 실용적인 응용
방사성 효과는 실제 응용 분야에 자주 사용되지 않았다. 마르셀 베트리세는 2001년에 빛으로 작동하는 두 가지 시계(르 크로놀리트와 콘티)를 만들었다. 이 시계의 추는 유리 돔 밖에 위치한 전구 램프를 가지고 있었고 4개의 운모 날개를 향했다. 1미터 추는 1초를 나타내고, 양쪽에 배치된 두 개의 램프는 번갈아 켜져서 4킬로그램 추를 매번 "밀어낸다". 내부가 진공 상태였기 때문에 정확도는 한 달에 2초 정도였다.
방사계는 현재 전 세계적으로 참신한 장식품으로 흔히 판매되고 있다. 배터리가 필요 없이 빛만 있으면 날개가 회전한다. 사진에 보이는 것과 같은 다양한 형태로 제공되며, 종종 과학관에서 "복사압"을 설명하는 데 사용된다. 하지만 실제로는 이 과학적 원리를 시연하지 않는다.
주예멘 대한민국 대사관
주예멘 대한민국 대사관(아랍어: سفارة جمهورية كوريا في الجمهورية اليمنية)은 예멘 사나에 개설된 대한민국 대사관이다. 현재는 예멘 내전의 여파로 인하여 사우디아라비아 리야드에 위치한 주사우디아라비아 대한민국 대사관 내에 개설된 임시 사무소에서 운영하고 있다.
구간별 함수
수학에서 구간별 함수(piecewise function) 또는 구간별 정의 함수, 혼합 함수, 경우별로 정의된 함수는 함수의 정의역이 여러 구간("부분 정의역")으로 분할되어 함수가 다르게 정의될 수 있는 함수를 말한다. 구간별 정의는 결과 함수 자체의 특성이라기보다는 함수를 지정하는 방법인데, 정의역이 적어도 두 개의 점을 포함하는 모든 함수는 구간별 함수로 다시 작성할 수 있기 때문이다. 이 문서의 처음 세 문단은 "구간별"의 이러한 첫 번째 의미만을 다룬다.
구간별 선형, 구간별 매끄러움, 구간별 연속 등과 같은 용어들도 매우 흔하다. 어떤 속성 에 대해 함수가 구간별 라는 의미는 대략적으로 함수의 정의역을 속성 가 성립하는 조각들로 분할할 수 있다는 것이지만, 저자마다 약간 다르게 사용된다. 첫 번째 의미와 달리, 이것은 함수 자체의 속성이지 그것을 지정하는 방법만이 아니다. 때로는 이 용어가 삼각 분할과 관련된 더 전역적인 의미로 사용되기도 한다. 구간별 선형 다양체를 참고하라.
구간별 함수 표기법 및 해석
구간별 함수는 일반적인 함수 표기법을 사용하여 정의할 수 있으며, 함수의 본문은 함수의 배열과 관련 부분 정의역으로 구성된다. 부분 함수 또는 부분 정의역 열 뒤에 세미콜론이나 쉼표가 올 수 있다. 오른쪽 열 시작 부분의  또는 는 거의 생략되지 않는다.
부분 정의역들은 함께 전체 정의역을 덮어야 한다. 때로는 이들이 쌍별로 서로소여서 정의역의 분할을 형성해야 한다는 요구사항도 있다. 이것만으로도 함수가 "경우별로 정의"될 수 있지만, 전체 함수가 "구간별"이 되려면 부분 정의역들은 일반적으로 비어 있지 않은 구간(일부는 특이 구간, 즉 단일 점 또는 무한 구간일 수 있음)이어야 하며, 어떤 유계 구간에서도 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 없는 경우가 많다. 이는 유계 정의역을 가진 함수는 유한한 수의 부분 정의역만 가지며, 무한 정의역을 가진 함수는 적절하게 퍼져 있는 한 무한히 많은 부분 정의역을 가질 수 있음을 의미한다.
구간별 함수 표기법 및 해석
예를 들어, 절댓값 함수의 구간별 정의를 고려해보자.

0보다 작은 모든  값에 대해서는 첫 번째 부분 함수 ()가 사용되며, 이는 입력 값의 부호를 반전시켜 음수를 양수로 만든다. 0보다 크거나 같은 모든  값에 대해서는 두 번째 부분 함수 ()가 사용되며, 이는 입력 값 자체로 자명하게 평가된다.
다음 표는 특정  값에 대한 절댓값 함수를 보여준다.
주어진 입력 값에 대해 구간별 정의 함수를 평가하려면, 올바른 부분 함수를 선택하고 올바른 출력 값을 생성하기 위해 적절한 부분 정의역을 선택해야 한다.
구간별 함수 구간별 정의 함수의 연속성과 미분 가능성
구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 연속이려면 다음 조건이 충족되어야 한다.
예를 들어, 그림에 있는 함수는 부분 정의역들 내에서는 구간별 연속이지만, 에서 점프 불연속을 포함하므로 전체 정의역에서는 연속이 아니다. 채워진 원은 이 위치에서 오른쪽 부분 함수의 값이 사용됨을 나타낸다.
구간별 정의 함수가 정의역의 주어진 구간에서 미분 가능하려면, 위의 연속성 조건 외에 다음 조건들도 충족되어야 한다.
구간별 함수 응용
응용 수학적 분석에서 "구간별 정규" 함수는 많은 인간 시각 시스템 모델과 일치하는 것으로 밝혀졌는데, 이 모델에서 이미지는 첫 번째 단계에서 가장자리로 분리된 매끄러운 영역(마치 카툰)으로 인식된다.
카툰과 같은 함수는 불연속 곡선이 존재하는 것을 제외하고는 매끄러운 C2 함수이다.
특히, 쉬어렛은 2D 및 3D에서 이 모델 클래스의 희소 근사를 제공하는 표현 시스템으로 사용되었다.
구간별 정의 함수는 최근접 이웃 보간법과 같은 보간법에도 일반적으로 사용된다.
리만-스틸티어스 적분
수학에서 리만-스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)은 베른하르트 리만과 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 명명된 리만 적분의 일반화이다. 이 적분의 정의는 스틸티어스에 의해 1894년에 처음 출판되었다. 이는 르베그 적분의 유익하고 유용한 전신 역할을 하며, 이산 확률과 연속 확률에 적용되는 통계 정리의 동등한 형태를 통합하는 데 귀중한 도구이다.
리만-스틸티어스 적분 형식적 정의
구간 에서 실수 변수의 실수 값 함수 에 대한 또 다른 실함수 에 대한 리만-스틸티어스 적분은 다음과 같이 표기한다.
그 정의는 구간 의 분할 의 수열을 사용한다.
적분은 분할의 메시 (가장 긴 부분 구간의 길이)가 에 접근할 때 다음 근사합의 극한으로 정의된다.
여기서 는 -번째 부분 구간 에 있다. 두 함수 와 는 각각 피적분함수와 적분함수라고 불린다. 일반적으로 는 단조 (또는 적어도 유계 변동)이고 우반연속으로 간주된다 (그러나 마지막은 본질적으로 관례이다). 우리는 특히 가 연속적일 것을 요구하지 않으며, 이는 점 질량 항을 갖는 적분을 허용한다.
여기서 "극한"은 모든 ε > 0에 대해 δ > 0이 존재하여, 메시(P) < δ인 모든 분할 P와 [xi−1, xi]의 점 ci의 모든 선택에 대해 다음을 만족하는 숫자 A (리만-스틸티어스 적분의 값)로 이해된다.
리만-스틸티어스 적분 속성
리만-스틸티어스 적분은 다음과 같은 형태의 부분 적분을 허용한다.
그리고 어느 한쪽 적분의 존재는 다른 쪽 적분의 존재를 의미한다.
다른 한편으로, 고전적인 결과는 f가 α-횔더 연속이고 g가 β-횔더 연속이며 α + β > 1인 경우 적분이 잘 정의됨을 보여준다.
만약 가 에서 유계이고, 가 단조적으로 증가하며, 가 리만 적분 가능하면, 리만-스틸티어스 적분은 리만 적분과 다음과 같이 관련된다.
계단 함수

에 대해, 이고 가 에서 연속이면,
리만-스틸티어스 적분 확률론에의 응용
만약 g가 르베그 측도에 대한 확률 밀도 함수를 갖는 확률 변수 X의 누적 분포 함수이고, f가 기댓값 이 유한한 어떤 함수라면, X의 확률 밀도 함수는 g의 도함수이며 우리는 다음을 갖는다.
그러나 이 공식은 X가 르베그 측도에 대한 확률 밀도 함수를 갖지 않는 경우에는 작동하지 않는다. 특히, X의 분포가 이산적 (즉, 모든 확률이 점 질량으로 설명됨)인 경우에는 작동하지 않으며, 누적 분포 함수 g가 연속적이더라도 g가 절대 연속이 아닌 경우에는 작동하지 않는다 (이 경우에도 칸토어 함수가 이러한 실패의 예시가 될 수 있다). 그러나 다음 항등식은
g가 아무리 나쁜 동작을 보이더라도 실수 선상의 모든 누적 확률 분포 함수에 대해 성립한다. 특히, 확률 변수 X의 누적 분포 함수 g가 아무리 나쁜 동작을 보이더라도, 모멘트 E(Xn)이 존재한다면, 이는 다음과 같다.
리만-스틸티어스 적분 함수해석학에의 응용
리만-스틸티어스 적분은 F. 리즈의 정리의 원래 공식화에 나타나는데, 이는 구간 [a,b]에서 연속 함수들의 바나흐 공간 C[a,b]의 쌍대 공간을 유계 변동 함수의 함수에 대한 리만-스틸티어스 적분으로 표현한다. 나중에, 그 정리는 측도의 관점에서 재구성되었다.
리만-스틸티어스 적분은 또한 힐베르트 공간에서 (비콤팩트) 자기수반 (또는 더 일반적으로, 정규) 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 공식화에 나타난다. 이 정리에서 적분은 사영의 스펙트럼 패밀리에 대해 고려된다.
리만-스틸티어스 적분 적분의 존재
가장 좋은 간단한 존재 정리는 f가 연속이고 g가 [a, b]에서 유계 변동 함수이면 적분이 존재한다는 것이다.
부분 적분 공식 때문에, f와 g에 대한 조건이 반전되어도 적분은 존재한다. 즉, f가 유계 변동 함수이고 g가 연속인 경우에도 적분은 존재한다.
함수 g는 두 (유계) 단조 함수 간의 차이일 때만 유계 변동 함수이다. 만약 g가 유계 변동 함수가 아니라면, g에 대해 적분할 수 없는 연속 함수들이 존재할 것이다. 일반적으로, f와 g가 불연속점을 공유하는 경우 적분은 잘 정의되지 않지만, 다른 경우도 있다.
리만-스틸티어스 적분 기하학적 해석
x, f(x), g(x)가 모두 직교 축을 따라 있는 3차원 플롯은 리만-스틸티어스 적분의 기하학적 해석으로 이어진다.
g(x)-x 평면이 수평이고 f(x) 방향이 위로 향하고 있다면, 고려해야 할 표면은 구부러진 울타리와 같다. 울타리는 g(x)에 의해 그려진 곡선을 따르고, 울타리의 높이는 f(x)에 의해 주어진다. 울타리는 g(x)-x 평면과 f(x)-시트 사이에 경계가 있는 g(x)-시트 (즉, f(x) 축을 따라 확장된 g(x) 곡선)의 섹션이다. 리만-스틸티어스 적분은 이 울타리의 f(x)-g(x) 평면으로의 투영의 면적이다 — 사실상, 그 "그림자"이다.

g(x)의 기울기는 투영의 면적에 가중치를 부여한다. g(x)가 가장 가파른 기울기 g'(x)를 갖는 x 값은 더 큰 투영을 갖는 울타리의 영역에 해당하며, 따라서 적분에서 가장 큰 가중치를 갖는다.
g가 계단 함수일 때
울타리는 너비 1, 높이 f(s)와 같은 직사각형 "문"을 갖는다. 따라서 문과 그 투영은 리만-스틸티어스 적분 값인 f(s)와 같은 면적을 갖는다.
리만-스틸티어스 적분 일반화
중요한 일반화는 르베그-스틸티어스 측도로, 이는 르베그 적분이 리만 적분을 일반화하는 방식과 유사하게 리만-스틸티어스 적분을 일반화한다. 만약 이상 적분 리만-스틸티어스 적분이 허용된다면, 르베그 적분은 리만-스틸티어스 적분보다 엄격하게 더 일반적이지 않다.
리만-스틸티어스 적분은 피적분함수 ƒ 또는 적분함수 g가 바나흐 공간에 값을 취하는 경우에도 일반화된다. 만약 g : [a,b] → X가 바나흐 공간 X에 값을 취한다면, 이는 강하게 유계 변동이라고 가정하는 것이 자연스러운데, 이는 다음과 같다.
최대값은 구간 [a,b]의 모든 유한 분할
에 대해 취해진다. 이 일반화는 라플라스-스틸티어스 변환을 통해 반군 연구에 중요한 역할을 한다.
이토 적분은 리만-스틸티어스 적분을 단순 함수가 아닌 확률 과정인 피적분함수와 적분함수를 포함하도록 확장한다. 확률미적분학도 참조하라.
리만-스틸티어스 적분 일반화
약간의 일반화는 위의 정의에서 Pε를 정제하는 분할 P를 고려하는 것이다. 즉, P가 더 미세한 메시를 가진 분할에서 발생하는 것이 아니라 Pε에 점을 추가하여 발생한다는 의미이다. 구체적으로, g에 대한 f의 일반화된 리만-스틸티어스 적분은 모든 ε > 0에 대해 Pε가 존재하여, Pε를 정제하는 모든 분할 P에 대해,
[xi, xi+1]에서 점 ci의 모든 선택에 대해 A라는 숫자를 의미한다.
이 일반화는 리만-스틸티어스 적분을 [a, b]의 분할의 상향 원순서 집합에 대한 무어-스미스 극한으로 나타낸다.
결과적으로 이 정의를 사용하면, f와 g가 공통 불연속점을 가질 수 있는 경우에도  적분을 정의할 수 있다.
리만-스틸티어스 적분은 다르부 합의 적절한 일반화를 사용하여 효율적으로 처리할 수 있다. [a, b]에서 분할 P와 비감소 함수 g에 대해 g에 대한 f의 상 다르부 합을 다음과 같이 정의한다.
그리고 하 다르부 합을 다음과 같이 정의한다.
그러면 g에 대한 f의 일반화된 리만-스틸티어스 적분은 모든 ε > 0에 대해 다음을 만족하는 분할 P가 존재할 때만 존재한다.
또한, f는 다음을 만족할 때 g에 대해 리만-스틸티어스 적분 가능(고전적 의미에서)하다.
리만-스틸티어스 적분 예시 및 특수 사례
에서 연속적으로 미분 가능한 가 주어지면 다음 등식이 성립함을 보일 수 있다.
여기서 우변의 적분은 표준 리만 적분이며, 가 리만-스틸티어스 적분으로 적분될 수 있다고 가정한다.
더 일반적으로, g가 그 도함수의 르베그 적분일 경우 리만 적분은 리만-스틸티어스 적분과 같다. 이 경우 g는 절대 연속이라고 한다.
g는 불연속점을 가질 수 있거나, 연속적이고 증가하면서 거의 모든 곳에서 도함수가 0일 수 있다 (예를 들어, g는 칸토어 함수 또는 "악마의 계단"일 수 있다). 이 두 경우 모두 리만-스틸티어스 적분은 g의 도함수를 포함하는 어떤 표현으로도 포착되지 않는다.
표준 리만 적분은 인 리만-스틸티어스 적분의 특수한 경우이다.
신경망 연구에서 사용되는 함수 를 고려하자. 이는 정류 선형 단위라고 불린다. 그러면 리만-스틸티어스 적분은 다음과 같이 평가할 수 있다.
리만-스틸티어스 적분 예시 및 특수 사례
여기서 우변의 적분은 표준 리만 적분이다.
카발리에리의 원리는 리만-스틸티어스 적분을 사용하여 곡선으로 둘러싸인 면적을 계산하는 데 사용될 수 있다. 리만 적분의 적분 스트립은 비직사각형 모양의 스트립으로 대체된다. 이 방법은 "카발리에리 영역"을 변환 로 변환하거나, 를 피적분함수로 사용하는 것이다.
구간 에서 주어진 함수 에 대해, "변환 함수" 는 구간 내 어떤 이동에 대해서도 와 정확히 한 번 교차해야 한다. "카발리에리 영역"은 , -축, 그리고 로 둘러싸인다. 그러면 영역의 면적은 다음과 같다.
여기서 와 는 와 가 와 교차하는 -값이다.
리만-스틸티어스 적분 각주
Bullock, Gregory L. (May 1988). 《A Geometric Interpretation of the Riemann-Stieltjes Integral》. 《The American Mathematical Monthly》 95 (Mathematical Association of America). 448–455쪽. doi:10.1080/00029890.1988.11972030. JSTOR 2322483.
Hildebrandt, T.H. (1938). 《Definitions of Stieltjes integrals of the Riemann type》. 《The American Mathematical Monthly》 45. 265–278쪽. doi:10.1080/00029890.1938.11990804. ISSN 0002-9890. JSTOR 2302540. MR 1524276.
리만-스틸티어스 적분 각주
Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1978). 《Integral, Measure, and Derivative: A unified approach》. 번역 Silverman, Richard A. Dover Publications. Bibcode:1966imdu.book.....S. ISBN 0-486-63519-8.
점별
수학에서 수식어 점별(pointwise)은 어떤 함수 의 각 값 를 고려하여 특정 속성이 정의됨을 나타내기 위해 사용된다. 점별 개념의 중요한 종류는 점별 연산으로, 이는 정의 영역의 각 지점에 대해 개별적으로 함수 값에 연산을 적용하여 함수에 정의된 연산이다. 중요한 관계론 또한 점별로 정의될 수 있다.
점별 점별 연산
집합 Y에 대한 이항 연산 o: Y × Y → Y는 X에서 Y로 가는 모든 함수 집합 X → Y에 대한 연산 O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y)로 점별로 확장될 수 있다. 다음과 같다. 두 함수 f1: X → Y 및 f2: X → Y가 주어졌을 때, 함수 O(f1, f2): X → Y는 다음과 같이 정의된다.
일반적으로 o와 O는 같은 기호로 표시된다. 단항 연산 o 및 다른 항수의 연산에도 유사한 정의가 사용된다.
동일한 정의역과 공역을 가진 두 함수 와 의 점별 덧셈 는 다음과 같이 정의된다.
점별 곱 또는 점별 곱셈은 다음과 같다.
스칼라와의 점별 곱은 일반적으로 스칼라 항이 먼저 오도록 작성된다. 따라서 가 스칼라일 때:
점별 연산이 아닌 함수의 연산의 예로는 합성곱이 있다.
점별 연산은 공역에 대한 해당 연산으로부터 결합법칙, 교환법칙 및 분배법칙과 같은 속성을 상속받는다.
가 어떤 대수 구조일 때, 에서 의 캐리어 집합으로 가는 모든 함수의 집합은 유사한 방식으로 동일한 유형의 대수 구조로 바뀔 수 있다.
점별 성분별 연산
성분별 연산은 일반적으로 벡터에 대해 정의되며, 여기서 벡터는 어떤 자연수 과 어떤 체 에 대한 집합 의 원소이다. 임의의 벡터 의 번째 성분을 로 나타내면, 성분별 덧셈은 이다.
성분별 연산은 행렬에 대해 정의될 수 있다. 행렬 덧셈, 즉 는 성분별 연산인 반면 행렬 곱셈은 아니다.
튜플은 함수로 간주될 수 있으며, 벡터는 튜플이다. 따라서 임의의 벡터 는 인 함수 에 해당하며, 벡터에 대한 모든 성분별 연산은 해당 벡터에 해당하는 함수에 대한 점별 연산이다.
점별 점별 관계
순서론에서는 함수에 대한 점별 부분 순서를 정의하는 것이 일반적이다. A, B가 부분 순서 집합일 때, 함수 A → B의 집합은 (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x)인 경우 f ≤ g로 정의하여 순서를 매길 수 있다. 점별 순서는 또한 기본 부분 순서 집합의 일부 속성을 상속받는다. 예를 들어, A와 B가 연속 격자라면 점별 순서가 있는 함수 A → B의 집합도 그렇다. 함수에 대한 점별 순서를 사용하여 다음과 같은 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있다.
무한 점별 관계의 예는 함수의 점별 수렴이다.

와

의 수렴은 각 x에 대해 X에서
제곱 적분 가능 함수
수학에서 제곱 적분 가능 함수(square-integrable function)는 이차 적분 가능 함수 또는  함수 또는 제곱 합 가능 함수라고도 불리며, 절댓값의 제곱의 적분이 유한한 실수 또는 복소수 값을 갖는 가측 함수이다. 따라서 실수 직선 에서의 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 정의된다.
에 대해 와 같은 유계 구간에서의 이차 적분 가능성을 언급할 수도 있다.
동등한 정의는 함수 자체의 제곱(절댓값이 아닌)이 르베그 적분 가능하다는 것이다. 이것이 참이 되려면 실수 부분의 양수 및 음수 부분의 적분이 모두 유한해야 하며, 허수 부분도 마찬가지다.
( 르베그 측도에 대한) 제곱 적분 가능 함수의 동치류로 구성된 벡터 공간은 인  공간을 형성한다.  공간 중에서 제곱 적분 가능 함수 클래스는 내적과 호환된다는 점에서 독특하며, 이를 통해 각도 및 직교성과 같은 개념을 정의할 수 있다. 이 내적과 함께 제곱 적분 가능 함수는 힐베르트 공간을 형성하는데, 모든  공간은 각 -노름에 대해 완비 거리 공간이기 때문이다.
종종 이 용어는 특정 함수를 지칭하기보다는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 지칭하는 데 사용된다.
제곱 적분 가능 함수 속성
제곱 적분 가능 함수(여기서 "함수"는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 의미한다)는 다음으로 주어지는 내적을 갖는 내적 공간을 형성한다.

여기서
이므로, 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 말하는 것과 같다.
제곱 적분 가능 함수는 위에 정의된 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비 거리 공간을 형성한다는 것을 보일 수 있다.
완비 거리 공간은 코시 공간이라고도 불리는데, 이러한 거리 공간의 수열은 코시 열일 때만 수렴하기 때문이다.
노름에 의해 유도된 거리 공간에서 완비인 공간은 바나흐 공간이다.
따라서 제곱 적분 가능 함수 공간은 노름에 의해 유도된 거리 공간에서 바나흐 공간이며, 이 노름은 다시 내적에 의해 유도된다.
내적의 추가 속성을 가지고 있으므로, 이 공간은 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비이므로 특히 힐베르트 공간이다.
이 내적 공간은 관례적으로 로 표시되며 여러 번 로 축약된다.
는 제곱 적분 가능 함수의 집합을 나타내지만, 이 표기법으로 거리, 노름 또는 내적의 선택은 지정되지 않는다.
집합은 특정 내적 와 함께 내적 공간을 지정한다.
제곱 적분 가능 함수 공간은 인  공간이다.
제곱 적분 가능 함수 예시
에서 정의된 함수 은 일 때는 에 속하지만 일 때는 속하지 않는다.
에서 정의된 함수 는 제곱 적분 가능하다.
에서 정의된 유계 함수는 제곱 적분 가능하다. 이 함수들은 어떤  값에 대해서도 에 속한다.
에서 정의된 함수  (여기서 에서의 값은 임의적이다). 또한 이 함수는 의 어떤  값에 대해서도 에 속하지 않는다.
시간 척도 미적분학
수학에서 시간 척도 미적분학(Time-scale calculus)은 차분 방정식 이론과 미분방정식 이론을 통합하고, 적분 및 미분학과 유한 차분 미적분학을 통합하여 하이브리드 시스템을 연구하기 위한 형식을 제공한다. 이는 이산 및 연속 데이터를 동시에 모델링해야 하는 모든 분야에 응용된다. 이 이론은 새로운 미분 정의를 제공하는데, 실수에 정의된 함수를 미분할 경우 표준 미분과 동일하지만, 정수에 정의된 함수를 사용할 경우 전진 차분 연산자와 동일하다.
시간 척도 미적분학 역사
시간 척도 미적분학은 1988년 독일 수학자 슈테판 힐거에 의해 소개되었다. 그러나 이와 유사한 아이디어는 이전에 사용되었으며, 적분과 합을 통합하는 리만-스틸티어스 적분의 도입까지 거슬러 올라간다.
시간 척도 미적분학 동적 방정식
미분방정식에 관한 많은 결과는 차분방정식에 해당하는 결과로 쉽게 이어지지만, 다른 결과들은 연속적인 결과와는 완전히 다른 것처럼 보인다. 시간 척도 상의 동적 방정식 연구는 이러한 불일치를 밝혀내고, 결과를 두 번 증명하는 것을 피하는 데 도움을 준다. 즉, 한 번은 미분방정식에 대해, 또 한 번은 차분방정식에 대해 증명하는 것을 피한다. 일반적인 아이디어는 미지의 함수의 도메인이 시간 척도(시간 집합이라고도 함)인 동적 방정식에 대해 결과를 증명하는 것이다. 시간 척도는 실수의 임의의 닫힌 부분 집합일 수 있다. 이러한 방식으로 결과는 실수 집합이나 정수 집합뿐만 아니라 칸토어 집합과 같은 더 일반적인 시간 척도에도 적용된다.
시간 척도 상의 미적분학의 세 가지 가장 인기 있는 예는 미분학, 차분 미적분학, 양자 미적분학이다. 시간 척도 상의 동적 방정식은 개체군 동역학과 같은 응용 분야에 대한 잠재력을 가지고 있다. 예를 들어, 계절 동안 지속적으로 진화하고, 겨울에는 알이 부화하거나 휴면하는 동안 사라지고, 새 계절에 부화하여 겹치지 않는 개체군을 형성하는 곤충 개체군을 모델링할 수 있다.
시간 척도 미적분학 형식적 정의
시간 척도(또는 측정 사슬)는 실직선 의 닫힌 부분 집합이다. 일반적인 시간 척도에 대한 일반적인 표기는 이다.
가장 흔하게 접하는 시간 척도의 두 가지 예는 실수 와 이산 시간 척도 이다.
시간 척도 내의 단일 점은 다음과 같이 정의된다.
전방 점프 및 후방 점프 연산자는 주어진 점 의 오른쪽 및 왼쪽에 있는 시간 척도에서 가장 가까운 점을 나타낸다. 형식적으로:
(전진 이동/점프 연산자)
(후진 이동/점프 연산자)
입상도 는 한 점에서 오른쪽으로 가장 가까운 점까지의 거리이며 다음과 같이 주어진다.
오른쪽 조밀한 의 경우 이고 이다.
왼쪽 조밀한 의 경우
임의의 에 대해 는 다음이다.
오른쪽 그림에 설명된 대로:
시간 척도의 연속성은 조밀성과 동등하게 재정의된다. 시간 척도는 점 에서 오른쪽 조밀하면 점 에서 오른쪽 연속이라고 말한다. 유사하게, 시간 척도는 점 에서 왼쪽 조밀하면 점 에서 왼쪽 연속이라고 말한다.
시간 척도 미적분학 미분
함수를 다음과 같이 정의한다.
(여기서 R은 어떤 바나흐 공간이 될 수 있지만, 단순화를 위해 실직선으로 설정된다).
정의: 델타 미분(힐거 미분이라고도 함) 는 다음 경우에만 존재한다.
모든 에 대해 의 근방 가 존재하여 다음을 만족한다.
내의 모든 에 대해.
로 가정하자. 그러면 , , 는 표준 미적분학에서 사용되는 미분이다. 만약 (정수)이면, , , 는 차분 방정식에서 사용되는 전진 차분 연산자이다.
시간 척도 미적분학 적분
델타 적분은 델타 미분에 대한 원함수로 정의된다. 만약 가 연속 미분 를 갖는다면 다음과 같이 설정한다.
시간 척도 미적분학 라플라스 변환 및 Z변환
시간 척도 상의 함수에 대한 라플라스 변환을 정의할 수 있으며, 이는 임의의 시간 척도에 대해 동일한 변환표를 사용한다. 이 변환은 시간 척도 상의 동적 방정식을 해결하는 데 사용될 수 있다. 만약 시간 척도가 음이 아닌 정수이면 이 변환은 수정된 Z변환과 동일하다.
시간 척도 미적분학 편미분
편미분 방정식과 편차분 방정식은 시간 척도 상의 편동적 방정식으로 통합된다.
시간 척도 미적분학 다중 적분
시간 척도 상의 다중 적분은 Bohner(2005)에서 다루어진다.
시간 척도 미적분학 시간 척도 상의 확률 동적 방정식
확률미분방정식과 확률차분 방정식은 시간 척도 상의 확률 동적 방정식으로 일반화될 수 있다.
시간 척도 미적분학 시간 척도 상의 측도론
모든 시간 척도에는 다음을 통해 정의된 자연적인 측도가 관련되어 있다.
여기서 는 르베그 측도를 나타내고 는 에 정의된 후진 시프트 연산자이다. 델타 적분은 이 측도에 대한 일반적인 르베그-스틸티어스 적분으로 판명된다.
그리고 델타 미분은 이 측도에 대한 라돈-니코딤 미분으로 판명된다.
시간 척도 미적분학 시간 척도 상의 분포
디랙 델타 함수와 크로네커 델타는 시간 척도 상에서 힐거 델타로 통합된다.
시간 척도 미적분학 시간 척도 상의 분수계 미적분학
시간 척도 상의 분수계 미적분학은 Bastos, Mozyrska, Torres에 의해 다루어진다.
시간 척도 미적분학 더 읽어보기
Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O’Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). 《Dynamic equations on time scales: a survey》. 《Journal of Computational and Applied Mathematics》 141. 1–26쪽. Bibcode:2002JCoAM.141....1A. doi:10.1016/S0377-0427(01)00432-0.
데이비드 사울 마셜
데이비드 사울 마셜(David Saul Marshall, 1908년 3월 12일~1995년 12월 12일)은 싱가포르의 정치인, 법조가, 외교관으로 1955년 4월부터 1956년 6월까지 싱가포르 수석대신을 맡았다. 그는 싱가포르의 자치와 영국으로부터 싱가포르가 독립해야 한다고 주장했지만 영국 정부의 반대로 무산되자 재임 1년 만에 수석대신을 사임했다. 그러나 그는 싱가포르의 주권을 회복하기 위해 다양한 노력을 기울였고, 1959년 영국으로부터 싱가포르가 완전한 자치를 얻을 때까지 영국 정부와 꾸준히 협상했다.
데이비드 사울 마셜
데이비드 마셜은 싱가포르 특권층에서 자랐지만 그는 좌익 민족주의자로서 활동하며 왕령 식민지였던 싱가포르에 자치권이 필요하다고 생각했다. 그는 이 생각을 실현하기 위해 노동전선과 싱가포르 노동당을 창립했다. 1963년 싱가포르가 공식적으로 영국으로부터 독립한 이후 그는 파벌 정치로부터 결별하고 무소속 의원으로 정치를 이어갔다. 그가 주장했던 싱가포르의 독립은 1965년 싱가포르 독립 합의를 통해 싱가포르가 말레이시아로부터 독립하면서 결실을 맺게 되었다.
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1978년 마셜은 싱가포르의 외교관이 되어 프랑스, 스위스, 포르투갈, 스페인 등 다양한 국가에서 대사를 지냈다. 이 기간 동안 그는 그의 정치적 라이벌이었던 리콴유가 싱가포르 총리로 장기집권하고 있음에도 불구하고 싱가포르의 국익을 보호하는데 최선을 다했다. 그러나 마셜은 그가 동의하지 않는 국내 정책에 대해서는 꾸준히 비판을 이어나갔다. 마셜은 1993년 정계에서 은퇴했고, 1995년 12월 사망했다.
데이비드 사울 마셜 유년기
마셜은 1908년 3월 12일 싱가포르 셀레기 로드에서 데이비드 사울 마샬(David Saul Mashal)이라는 이름으로 태어났다. 바그다드 유대인 부모인 사울 나심 마샬과 플로라 에제키엘 마샬의 일곱 자녀 중 둘째였다. 그의 아버지 사울은 유대인 마나세 메이어가 싱가포르를 여행한 것에 영감을 받아 1900년 바그다드에서 싱가포르로 왔다. 그는 처음 싱가포르로 이주할 때 아내 플로라를 바그다드에 남겨두고 체인지 앨리에 사업을 차렸다. 사울은 주로 중동과 인도에서 물건을 팔았다. 사울은 메소포타미아 출신의 스페인계 세파르딤 유대인이었다.
그의 사업은 성공했고, 그는 곧 아내를 싱가포르로 데려왔다. 그녀는 이란 이스파한 출신의 사디크 가문 출신이었다. 1920년에 마셜의 원래 성인 마샬(Mashal)은 가족 주치의의 조언에 따라 마셜(Marshall)로 영어화되었다. 사울의 형제 가족도 이미 마셜(Marshall)로 성을 바꾼 것이 또 다른 이유였다. 사울 나심 마샬은 영어, 튀르키예어, 아랍어를 구사했다. 말년에 사울과 플로라는 헤어졌고, 사울은 1953년 오스트레일리아 시드니에서 사망했으며, 플로라는 1948년 이스라엘에서 사망했다.
데이비드 사울 마셜 유년기
마셜은 아버지의 재산 문제로 어린 시절을 자주 이사를 다녔다. 그는 셀레기 로드에서 윌키 로드로, 그 다음에는 카통, 마린 퍼레이드, 시 애비뉴, 채플 로드로 이사했다고 한다. 제1차 세계 대전 중인 1914년, 마셜은 어머니와 형 조지, 그리고 중국인 아마 아 시 카와 함께 바그다드에 있는 외가를 방문했다. 그들이 도착하자 튀르키예인들은 그들이 영국 여권을 소지하고 있음을 발견하고 가택 연금을 시켰다. 마셜은 6세에 억류되었지만 바그다드에서 히브리어와 아랍어를 배울 수 있는 유치원 수업에 참석할 수 있었다. 그와 그의 가족은 바그다드 전투 후 1917년 3월에 싱가포르로 돌아왔다.
데이비드 사울 마셜 유년기
그의 부모는 "극정통파 유대인"이었고, 마셜은 엄격한 유대교 양육을 받아 시나고그에 자주 가고 안식일을 지켰다. 그는 마가인 아보트 시나고그에서 히브리어로 구약성경을 배웠고 13세에 바르 미츠바를 했다. 어린 시절부터 부모님 밑에서 유대교를 따랐던 마셜은 나중에 욤키푸르 때문에 수업을 빼먹어 세인트 조셉 기관에서 퇴학당하는 사건을 겪었다. 이로 인해 그는 부모님의 신념에 의문을 제기하고 반항하기 시작했다. 바그다드에서 싱가포르로 돌아온 후, 마셜은 빅토리아 스트리트에 있는 성모영아수녀원 유치원에 다녔다.