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베누 스리니바산 수상 및 명예
베누 스리니바산은 2009–10년 인도 산업 연합(CII) 회장으로 선출되었다. 스리니바산은 2010년 무역 및 산업 분야에 대한 공헌으로 인도 대통령으로부터 명망 높은 파드마 슈리 상을 수여받았다. 그는 "대한민국 문화 외교 친선대사"이다. 이전에 그는 대한민국 첸나이 명예 총영사였다. 2010년, 그는 한국과 인도 간의 양자 관계 증진에 기여한 공로를 인정받아 이명박 대한민국 대통령으로부터 민간인 훈장인 수교훈장을 수여받았다.
아시아 품질 네트워크(ANQ)는 스리니바산을 2012년 이시카와-카노 상 수상자 중 한 명으로 선정했으며, 이는 TVS 모터 컴퍼니 내에서의 품질 관리 이론 및 실천에 대한 그의 기여를 인정하는 것이다.
스리니바산은 대한민국과 인도 공화국 간의 우정과 협력을 증진하는 데 헌신한 공로로 한국 해군 함정 ROKS 최영(DDH-981)의 명예 함장으로 임명되었다. 2014년 12월, 스리니바산은 한국에서 두 번째로 큰 도시인 부산광역시 시장으로부터 부산시 명예시민으로 선정되었다.
포브스 인도의 100대 부자 목록(2024년 10월 9일 기준)에 따르면, 베누 스리니바산은 순자산 56억 5천만 달러로 55위에 올랐다.
베누 스리니바산 비판
베누 스리니바산은 스리랑감의 스리 랑가나타스와미 사원 이사회 의장과 첸나이의 카발리쉬와라라 사원 티루파니 위원회 수장으로 재직하면서 여러 차례 비판을 받았다. 티루쿠룽구디 사원의 시바 사원 무단 및 불법 철거와 관련하여 현재 소송이 진행 중이다.
랑가라잔 나라심한이 널리 공개한 불만 사항에 따르면, 베누 스리니바산에 대한 다수의 FIR 및 소송이 진행 중이다:
유비테크 로보틱스
유비테크 로보틱스 주식회사(영어: UBtech Robotics)는 중국 광둥성 선전시에 본사를 둔 로봇 제조사이다.
유비테크 로보틱스 역사
UB테크는 2012년 저우젠이 설립했다. UB테크는 휴머노이드 로봇을 전문으로 한다. UB테크는 2017년 베를린 국제가전박람회에 참가하여 최신 혁신 기술을 선보였다.
2018년, 이탈리아 이동통신사 텔레콤 이탈리아 모바일은 UB테크의 알파 S1 로봇 1,372대로 로봇 동시 춤 기네스 세계 기록을 세웠다. 이전 기록은 1,069대였다. 2020년에는 이 회사의 로봇이 선전에서 코로나바이러스감염증-19 환자를 치료하는 의료진을 돕는 데 사용되었다.
텐센트와 중국공상은행의 시리즈 C 펀딩 라운드 이후 기업 가치는 50억 달러로 평가되었다. 2019년에는 기업공개를 계획하고 있었다.
2021년 12월, 이 회사는 서울의 유치원 300곳에 소형 로봇을 납품했다.
유비테크 로보틱스 역사
2022년 1월, UB테크는 자외선을 방출하여 소독하는 모바일 로봇을 출시했다. 이 로봇은 미국에서 상업적으로 출시되었다.
이 회사는 2023년 12월 기업공개 (IPO)를 실시하여 홍콩 증권거래소에서 HK$10억을 조달했다.
2024년 10월, UB테크는 산업용으로 제작된 워커 S 시리즈(워커 S1 및 워커 S 라이트 모델 포함)를 출시했다. 특히 워커 S 라이트는 지능형 제조 및 스마트 물류를 위해 설계되었으며, 경량 구조와 신속한 배포 기능을 특징으로 한다.
2025년 7월, 이 회사는 워커 S2 모델을 출시했는데, 이는 자체 배터리를 자율적으로 교체할 수 있는 세계 최초의 휴머노이드 로봇이 되었다.
콜로부스족
콜로부스족(Colobini)은 흑백콜로부스와 붉은콜로부스, 올리브콜로부스 원숭이를 모두 포함하는  구세계원숭이 족이다.
콜로부스족 계통 분류
긴꼬리원숭이과의 계통 분류는 다음과 같다.
다음은 콜로부스족의 계통 분류이다.
존 레녹스
존 카슨 레녹스(John Carson Lennox, 1943년 11월 7일 ~ )는 북아일랜드의 수학자, 생명윤리학자, 그리고 평신도 신학자이다. 그는 종교, 윤리, 과학과 신의 관계(그의 저서 『과학은 신을 묻었는가(Has Science Buried God)』와 『과학이 모든 것을 설명할 수 있는가(Can Science Explain Everything)』와 같은)에 대한 많은 책을 썼으며, 리처드 도킨스와 크리스토퍼 히친스를 포함한 무신론자들과 공개 토론을 벌였다.
레녹스는 케임브리지 대학교에서 수학 박사 학위를 취득한 후, 옥스퍼드 대학교와 카디프 대학교에서 각각 두 번째와 세 번째 박사 학위를 취득했다. 교수로서 레녹스는 군론을 전문으로 했다. 그는 옥스퍼드 대학교의 수학 명예 교수이며, 그곳에서 그린 템플턴 칼리지의 수학 및 과학 철학 명예 연구원이자 위클리프 홀과 옥스퍼드 기독교 변증 센터의 겸임 교수로 일했다. 그는 또한 사이드 경영대학원의 준회원이자 트리니티 포럼의 선임 연구원이다.
존 레녹스 어린 시절과 교육
존 레녹스는 1943년 11월 7일 북아일랜드에서 태어나 아버지가 가게를 운영하던 아마 (아마주)에서 자랐다. 그는 아마 로열 스쿨에 다녔고, 임마누엘 칼리지 (케임브리지 대학교)에서 전시 학자 및 선임 학자가 되었으며, 1962년에는 존 던 시인에 대한 C. S. 루이스의 마지막 강의를 들었다. 레녹스는 케임브리지 대학교에서 "가용군의 중심성과 치환성(Centrality and Permutability in Soluble Groups)"이라는 학위논문으로 인문사회 석사 학위, 수학 석사 학위, 그리고 철학박사 학위를 받았다(1970).
레녹스는 1993년 카디프 대학교에서 그의 연구에 대해 수학 이학박사 학위를 받았다. 레녹스는 또한 옥스퍼드 대학교에서 (편입으로) 철학박사 학위를 취득했으며 서리 대학교에서 생명윤리학 인문사회 석사 학위를 취득했다. 또한 그는 뷔르츠부르크 대학교와 프라이부르크 대학교의 훔볼트 펠로우였다.
존 레녹스 경력
박사 학위를 마친 후, 레녹스는 웨일스의 카디프로 옮겨 웨일스 대학교 카디프에서 수학 강사가 되었다. 레녹스는 옥스퍼드 대학교에서 과학과 종교를 가르친다. 카디프에서 29년 동안 그는 뷔르츠부르크, 프라이부르크 (알렉산더 폰 훔볼트 펠로우로서), 빈 각 대학에서 1년씩 보냈고, 동유럽과 서유럽, 러시아, 북아메리카에서 수학, 변증학, 성경 해설에 대해 광범위하게 강의했다.
레녹스는 과학, 종교, 윤리 관계에 대한 여러 책의 저자이다. 그는 70편 이상의 동료 검토 논문을 수학 분야에 발표했으며, 두 권의 옥스퍼드 수학 모노그래프를 공동 저술했고, 러시아 수학 번역가로 활동했다.
그는 이전 소련을 여러 차례 방문하는 등 많은 다른 나라에서 회의와 학술 연구원으로서 강연을 했다.
존 레녹스 경력
2012년 3월 14일, 그는 BBC 라디오 4의 사순절 강연 중 한 편을 발표했다. 레녹스는 또한 베리타스 포럼에서 과학과 종교의 관계, 신의 존재, 의심, 그리고 악과 고통의 문제와 같은 주제에 대해 강연했다. 또한 그는 문명 회복에 기여할 리더를 양성하는 기독교 비영리 단체인 트리니티 포럼의 선임 연구원이다.
레녹스는 크리스토퍼 히친스, 마이클 셔머, 리처드 도킨스, 로렌스 크라우스, 피터 앳킨스, 빅터 스텡어, 마이클 툴리, 스티븐 로, 그리고 피터 싱어와의 토론을 포함하여 기독교 신앙을 옹호하는 수많은 공개 토론에 참여했다.
존 레녹스 사생활
레녹스는 영어, 러시아어, 프랑스어, 스페인어, 독일어를 구사한다. 그는 샐리와 결혼하여 세 명의 자녀와 10명의 손주를 두고 있다. 그에게는 이전에 글렌고믈리의 글렌애비 교회 장로였던 길버트 레녹스라는 형제가 있다. 찬송가 작가이자 녹음 예술가인 크리스틴 게티는 길버트의 딸이자 레녹스의 조카이다.
존 레녹스 저서
———; Gooding, David W. (2018). 《Being Truly Human: The Limits of Our Worth, Power, Freedom and Destiny》. The Quest for Reality and Significance 1. Belfast: Myrtlefield House. ISBN 978-1912721016.
———; Gooding, David W. (2018). 《Finding Ultimate Reality: In Search of the Best Answers to the Biggest Questions》. The Quest for Reality and Significance 2. Belfast: Myrtlefield House. ISBN 978-1912721061.
———; Gooding, David W. (2019). 《Questioning Our Knowledge: Can We Know What We Need to Know?》. The Quest for Reality and Significance 3. Belfast: Myrtlefield House. ISBN 978-1912721115.
존 레녹스 저서
———; Gooding, David W. (2019). 《Doing What's Right: The Limits of Our Worth, Power, Freedom and Destiny》. The Quest for Reality and Significance 4. Belfast: Myrtlefield House. ISBN 978-1912721214.
———; Gooding, David W. (2019). 《Claiming to Answer: How One Person Became the Response to Our Deepest Questions》. The Quest for Reality and Significance 5. Belfast: Myrtlefield House. ISBN 978-1912721269.
———; Gooding, David W. (2019). 《Suffering Life's Pain: Facing the Problems of Moral and Natural Evil》. The Quest for Reality and Significance 6. Belfast: Myrtlefield House. ISBN 978-1912721160.
애드미럴티제도어군
애드미럴티제도어군(영어: Admiralty Islands languages)은 애드미럴티 제도에서 사용되는 30여 개의 언어로 이루어진 오세아니아어군(Oceanic)의 하위 그룹이다. 종종 분류에 논쟁이 있는 야프어를 포함한다.
애드미럴티제도어군 언어
Lynch, Ross, & Crowley (2002)에 따르면, 어군의 내부 구조는 다음과 같다.
애드미럴티제도어군
언급한 바와 같이, 야프어와 응굴루완어도 이 언어군에 속할 수 있다.
안도케어
안도케어(Andoque)는 콜롬비아의 원주민인 안도케족이 사용하는 언어이다.
안도케족의 인구는 수백 명이며 언어는 현재 쇠퇴하고 있다. 1908년에는 10,000명의 화자가 있었다고 하나 2007년에 와서는 370명으로 크게 줄었고, 그 중 단일언어화자(monolingual)는 많아야 50명 정도이다. 오늘날 남은 화자들은 자푸라강의 지류인 아두체(Aduche)강을 따라 있는 콜롬비아의 4개의 마을에 거주하고 있으며, 페루 영토에는 더 이상 화자가 없다. 대부분의 안도케족은 스페인어로 언어를 전환했다.
이름이 유사한 인근의 안다키어(Andaqui) (미분류), 안도케로어(Andoquero) (위토토어족)와는 다르다.
안도케어 계통
사멸한 우레케나어(Urequena)와 연관되었을 가능성이 있는데, 우레케나어는 1831년경에 요한 나터러(Johann Natterer)가 기록한 단 하나의 단어목록을 통해서만 전해지고 있다. Kaufman(2007)은 보라위토토어족과의 연관성을 주장하나, Richard Aschmann 등 다른 학자들은 안도케어를 고립어로 간주한다.
안도케어 어휘
당믕느 체스트미르 로우코트카(1968)에 의한 안도케어의 기초 어휘 목록이다.
동의단지회
동의단지회(한국 한자음: 同義斷指會) 또는 단지동맹은 1909년 안중근이 설립한 소규모 운동단체이다. 독립운동가인 안중근이 조선에서 넘어가 러시아 제국 크라스키노에서 김기룡, 강기순, 정원주, 박봉석, 유치홍, 조순응, 황병길, 백남규, 김백춘, 김천화, 강계찬 등 12명과 모여 각자 왼손 약지를 자르고 대한독립이라는 글자를 쓰면서 맹세를 하였다. 이들은 이토 히로부미와 이완용, 박제순, 송병준을 처단하기로 합의하였다. 동의단지회 설립 이후 얼마 지나지 않아 안중근은 이토 히로부미 저격 사건에 성공한다.
메이테이인
메이테이인(Meitei) 또는 마니푸르인(Manipuri)은 인도 마니푸르주의 토착민인 티베트버마 계통의 민족이다. 북동인도에 위치한 마니푸르주에서 최대 집단(주 인구의 약 53%)이자 다수 민족을 이룬다. 이들이 사용하는 메이테이어(공식 명칭은 마니푸르어)는 인도 정부의 22개 공용어 중 하나이며 마니푸르 주정부의 유일한 공용어이다.
메이테이인의 다수는 오늘날 마니푸르의 임팔 계곡(Imphal Valley) 지대에 살고 있으며, 이외에도 상당수의 인구가 인도령인 아삼주, 트리푸라주, 나갈랜드주, 메갈라야주, 미조람주에 살고 있다. 인접한 미얀마와 방글라데시에도 유의미한 메이테이인 인구가 분포한다.
메이테이인 인구
대부분의 인구는 인도 영토에 거주한다. 2011년 인도 인구조사에서는 1,761,079명의 메이테이어 화자가 집계되고 있다. 인구의 다수는 힌두교 신자로, 특히 비슈누파 영향이 강하다. 한편 민족의 토착 종교인 사나마히교(Sanamahism)가 있는데 2011년 인구조사에서 222,422명(14.6%)의 신자가 있는 것으로 집계되었다. 이외에 소수의 기독교 신자가 있다.
팝 에어플레이
팝 에어플레이(Pop Airplay, 메인스트림 톱 40(Mainstream Top 40), 팝 송스(Pop Songs), 톱 40/CHR(Top 40/CHR)라고도 함)는 《빌보드》지가 매주 발행하는 40곡짜리 음악 차트로, 미국 내 톱 40 라디오 방송국 패널에서 재생되는 팝 음악의 인기곡 순위를 매긴다. 순위는 미국의 대표적인 마케팅 조사 회사 자회사인 닐슨 브로드캐스트 데이터 시스템(Nielsen BDS)이 측정한 라디오 방송 재생 감지 수에 기반한다. 소비자 조사 기관인 닐슨 오디오(구 아르비트론)는 이 형식을 컨템퍼러리 히트 라디오(CHR)라고 부른다. 현재 이 차트의 1위 곡은 알렉스 워런의 〈Ordinary〉이다.
리드믹
리드믹 차트(Rhythmic Airplay로도 불리며, 이전에는 Rhythmic Songs, Rhythmic Top 40, CHR/Rhythmic으로 명명됨)는 《빌보드》 잡지에서 매주 발행하는 방송 차트이다.
이 차트는 미국의 리드믹 라디오 방송국에서 재생되는 노래의 방송 횟수를 추적·측정하며, 이 방송국들의 재생 목록에는 주로 히트 지향적인 알앤비/힙합, 리드믹 팝, 일부 댄스 곡이 포함된다. Nielsen Audio는 이 포맷을 ‘리드믹 컨템퍼러리 히트 라디오’라고 부르기도 한다.
리드믹 컨템퍼러리
리드믹 컨템포러리(영어: Rhythmic contemporary)는 리드믹 톱 20(영어: Rhythmic Top 20), 리드믹 톱 30(Rhythmic Top 30), 리드믹 톱 40(영어: Rhythmic Top 40), 리드믹 CHR, 또는 리드믹 크로스오버(rhythmic crossover)라고도 불리는 주로 미국에서 운영되는 음악 라디오 형식이다. 이 형식은 EDM, 경쾌한 리드믹 팝, 힙합, 경쾌한 알앤비 히트곡을 혼합해 방송한다. 리드믹 컨템포러리는 하드 록이나 컨트리 음악을 방송하지 않지만, 가끔 레게, 라틴, 레게톤, 어번 컨템포러리 가스펠 히트곡을 방송하기도 한다. 본질적으로 이 형식은 메인스트림 라디오와 어번 컨템포러리 라디오 형식의 절충형이다.
모트 문제
모트 문제(영어: Mott problem)는 양자역학 이론에 대한 상징적인 과제이다. 구형 대칭을 띠는 파동 함수 예측이 어떻게 안개 상자에서 보이는 선형 궤적으로 이어지는가에 대한 문제이다.:119ff 이 문제는 1927년 알베르트 아인슈타인과 막스 보른에 의해 처음 정립되었고, 1929년 네빌 프랜시스 모트(Nevill Francis Mott)에 의해 해결되었다. 모트의 해결책은 파동 함수 붕괴가 아닌 파동 방정식을 사용했다는 점에서 주목할 만하며, 이는 현재 결어긋남 이론이라고 불리는 것의 가장 초기 사례로 여겨진다.
모트 문제 구형파, 입자 궤적
나중에 모트와 관련이 깊어진 이 문제는 방사성 원자핵의 붕괴에서 방출되는 알파선과 관련된 구형 파동 함수에 관한 것이다. 직관적으로는 이러한 파동 함수가 안개 상자 전체에 무작위로 원자를 이온화시킬 것이라고 생각할 수 있지만, 실제로는 그렇지 않다. 이러한 붕괴의 결과는 항상 윌슨의 안개 상자에서 보이는 선형 궤적으로 관찰된다. 이론에 의해 예측된 원래의 구형파가 주어졌을 때 궤적의 기원은 물리적 설명을 필요로 하는 문제이다.
실제로 입자 충돌기에서 수행되는 실험과 같은 거의 모든 고에너지 물리 실험은 본질적으로 구형인 파동 함수를 포함한다. 그러나 입자 충돌의 결과가 감지될 때, 그것들은 항상 선형 궤적의 형태로 나타난다(예를 들어, 거품 상자에 대한 기사와 함께 제공되는 삽화를 참조). 구형 대칭 파동 함수가 직선 궤적으로 관찰되어야 한다는 것은 다소 이상하게 들리지만, 모든 입자 충돌기 실험에서 매일 일어나는 일이다.
모트 문제 역사
알파 입자 궤적 문제는 1927년 제5차 솔베이 회의에서 논의되었다.:160 막스 보른은 이 문제를 알베르트 아인슈타인이 지적한 문제로 묘사하며 "현상의 입자적 특성이 파동으로 표현되는 것과 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?"라고 물었다. 보른은 1927년 5월에 도입된 하이젠베르크의 "확률 파동 묶음의 축소", 즉 현재 파동 함수 붕괴라고 불리는 것으로 답한다. 보른은 안개 상자 궤적의 각 물방울이 물방울 바로 근처에서 파동의 축소에 해당한다고 말한다. 그는 볼프강 파울리의 제안으로 알파 방출체와 두 원자 모두가 같은 상태에 있고 파동 함수 붕괴 없이 해결하는 방법도 논의하지만, 짧은 논의 이상으로 이 아이디어를 추구하지는 않는다.:220
베르너 하이젠베르크는 1930년 자신의 영향력 있는 저서에서 이 문제를 질적으로 상세하게 분석했다. 그는 각 상호작용에서 파동 함수 붕괴가 일어나는 경우와 최종 장치에서만 파동 함수 붕괴가 일어나는 두 가지 경우를 고려하며, 이들이 동등하다는 결론을 내린다.:221
모트 문제 역사
1929년 찰스 갈튼 다윈(Charles Galton Darwin)은 파동 함수 붕괴를 사용하지 않고 이 문제를 분석했다. 그는 올바른 접근 방식은 파동 함수를 연구 대상 시스템(알파 입자)과 그것이 상호작용하는 환경(안개 상자의 원자)으로 구성된 것으로 보는 것을 필요로 한다고 말한다. 간단한 구형파로 시작하여 각 충돌은 더 많은 좌표와 증가하는 복잡성을 가진 파동 함수를 포함한다. 그의 모델은 현대 양자 결어긋남 이론의 전략과 일치한다.:224
1960년대의 레닝거 음성 결과 실험은 파동 함수 붕괴와 관련된 역설 중 하나를 더욱 명확히 하기 위한 모트 문제의 개선된 형태이다.
모트 문제 모트의 분석
네빌 모트(Nevill Mott)는 다윈의 논문을 명시적으로 인용하며 다윈이 중단했던 부분에서 논의를 이어간다.
모트의 목표는 구형파로 여기될 때 왜 선형 궤적을 만드는지 이해하기 위해 안개 상자의 여러 원자를 여기시키는 확률을 계산하는 것이다. 모트는 알파 입자에 대한 구형파와 수소 원자로 모델링된 두 개의 대표적인 안개 상자 원자로 시작한다. 방출체(도표의 검은 점, 모트의 처리에서는 원점으로 간주됨)와 두 원자(  및 의 주황색 점)의 상대적 위치는 궤적 계산 중에 고정된다. 이는 알파 입자의 속도가 기체 원자의 열 운동보다 훨씬 크다고 가정함을 의미한다. 이 상대 좌표는 해의 매개변수이므로 다양한 위치에 대한 여기 강도를 비교할 수 있다. 수소 원자는 안개 상자 기체를 구성하는 어떤 원자든 대신할 수 있다.
원자의 고정된 위치가 주어졌을 때, 모트는 그 원자들의 전자를 여기시키는 것을 계산한다. 방출체와 수소 원자가 서로 가깝지 않다고 가정함으로써 모트는 시스템의 3체 상태의 시간에 독립적인 부분 를 수소 원자 고유함수 의 곱의 합으로 나타낸다.
모트 문제 모트의 분석
여기서 은 알파 입자의 위치, 는 수소 원자 전자의 위치이며, 합은 원자 I과 II의 들뜬 상태에 대해 이루어진다. 확장 인자 는 원자 I이  상태로 여기되고 원자 II가  상태로 여기되었을 때,  근처의 알파 입자에 대한 조건부 확률이라는 물리적 해석을 갖는다.
확장 인자를 풀기 위해 모트는 보른 근사, 즉 입사 파동이 산란에 의해 크게 변하지 않을 때 잘 작동하는 산란에 대한 섭동 이론의 한 형태를 사용했다. 결과적으로, 모트는 알파 입자가 안개 상자를 통과하면서 여기시키는 원자들을 거의 감지하지 못한다고 가정하고 있다.
모트는 첫 번째 원자가 여기되고 두 번째 원자는 바닥 상태에 있을 때 산란된 알파 입자 파동을 설명하는 인자 의 공간적 특성을 분석한다. 그는 이 인자가 방출체에서 첫 번째 원자까지의 선(다이어그램에서 을 따라)을 따라 강하게 봉우리를 이룬다는 것을 보여준다.
모트는 두 원자가 모두 여기될 확률이 하나의 원자가 여기될 확률 과 다른 원자의 전자 전위의 공간적 확장 곱에 의존한다는 것을 보여준다. 두 원자 모두는 동선상 배열에서만 여기된다.
모트 문제 모트의 분석
모트는 배치 공간에서 상호작용을 고려함으로써, 즉 안개 상자의 모든 원자가 역할을 하는 경우, 안개 상자의 모든 응축된 물방울이 동일한 직선에 가까이 놓일 가능성이 압도적으로 높다는 것을 입증했다. 유진 위그너는 양자 측정에 대한 그의 연구에서 모트의 배치 공간에 대한 통찰력을 양자역학의 중요한 측면으로 인용한다. 즉, 배치 공간 접근 방식은 원자의 선과 같은 공간적 상관관계를 양자역학의 구조에 통합할 수 있게 한다. 불확실한 것은 파동 묶음이 어떤 직선으로 축소될지이며, 직선 궤적의 확률 분포는 구형 대칭이다.
모트 문제 현대적 적용
에리히 요스(Erich Joos)와 H. 디터 제흐는 양자 결어긋남 이론의 첫 번째 구체적인 모델에서 모트의 모델을 채택한다. 모트의 분석은 현대 결어긋남 이론보다 앞서지만, 그 접근 방식에 완벽하게 부합한다. 브라이스 디윗은 모트의 분석에서 알파 입자와 전자 사이의 엄청난 질량 차이를 더 무거운 시스템인 알파 입자의 상태 결어긋남의 특징으로 지적한다.:195
현대에는 모트 문제가 때때로 천체물리학 및 우주론의 맥락에서 이론적으로 고려된다. 이 분야에서는 대폭발 또는 다른 천체물리학적 현상으로부터의 파동 함수의 진화를 고려한다.
POVM
함수해석학 및 양자정보과학에서 양의 연산자 값 측도(영어: positive operator-valued measure, POVM)는 힐베르트 공간에서 양의 준정부호 연산자를 값으로 하는 측도이다. POVM은 사영값 측도(PVM)의 일반화이며, 그에 따라 POVM으로 설명되는 양자 측정은 PVM(사영 측정이라고 함)으로 설명되는 양자 측정의 일반화이다.
대략적인 비유로, POVM은 PVM에 대해 혼합 상태가 순수 상태에 대해 가지는 관계와 같다. 혼합 상태는 더 큰 시스템의 하위 시스템 상태를 지정하는 데 필요하며(양자 상태의 정화 참조), 이와 유사하게 POVM은 더 큰 시스템에서 수행된 사영 측정의 하위 시스템에 대한 효과를 설명하는 데 필요하다.
POVM은 양자역학에서 가장 일반적인 유형의 측정이며 양자장론에서도 사용될 수 있다. 이들은 양자 정보 분야에서 광범위하게 사용된다.
POVM 정의
를 힐베르트 공간이라고 하고 을 이 에 대한 보렐 시그마 대수인 가측 공간이라고 하자. POVM은 에 정의된 함수 로, 그 값은 에서 양의 유계 자기 수반 작용소이며, 모든 에 대해 다음이 성립한다.
는 시그마 대수 에 대한 음이 아닌 가산 가법 측도이며 는 항등 연산자이다.
양자역학에서 POVM의 핵심 속성은 결과 공간에 대한 확률 측도를 결정한다는 것이다. 따라서 는 양자 상태 를 측정할 때 사건 가 발생할 확률로 해석될 수 있다.
가장 간단한 경우, 가 유한 집합이고 이 의 멱집합이며 가 유한 차원일 때, POVM은 양의 준정부호 에르미트 행렬 의 집합과 동일하며, 이들은 합쳐서 단위 행렬이 된다.:90
POVM은 사영값 측도와는 다르다. 사영값 측도의 경우 의 값은 직교 사영이어야 한다.
POVM 정의
이산적인 경우, POVM 요소 는 측정 결과 와 연관되며, 양자 상태 에서 양자 측정을 수행할 때 이를 얻을 확률은 다음과 같이 주어진다.
,
여기서 은 대각합 연산자이다. 측정되는 양자 상태가 순수 상태 일 때, 이 공식은 다음과 같이 축소된다.
.
POVM의 이산적인 경우는 PVM의 가장 간단한 경우를 일반화한다. PVM은 직교 사영 의 집합으로, 단위 행렬로 합산된다.
PVM에 대한 확률 공식은 POVM에 대한 것과 동일하다. 중요한 차이점은 POVM의 요소가 반드시 직교하는 것은 아니라는 점이다. 결과적으로 POVM의 요소 수 은 POVM이 작용하는 힐베르트 공간의 차원보다 클 수 있다. 반면에 PVM의 요소 수 은 힐베르트 공간의 차원보다 많아야 한다.
POVM 나이마르크 확장 정리
참고: 이 이름은 "노이마르크 정리"로도 표기될 수 있다.
나이마르크 확장 정리는 POVM이 더 큰 공간에 작용하는 PVM으로부터 어떻게 얻어지는지를 보여준다. 이 결과는 양자역학에서 POVM 측정을 물리적으로 구현하는 방법을 제공하므로 매우 중요하다.:285
유한 차원 힐베르트 공간에 작용하는 유한 개수의 요소가 있는 POVM의 가장 간단한 경우, 나이마르크 정리는 차원 의 힐베르트 공간 에 작용하는 POVM 이 있다면, 차원 의 힐베르트 공간 에 작용하는 PVM 과 등거리변환 이 존재하여 모든 에 대해 다음이 성립함을 말한다.
계수 1 POVM, 즉  (일부 비정규화 벡터 에 대해)의 특정 경우에, 이 등거리변환은 다음과 같이 구성될 수 있다.:285
그리고 PVM은 단순히 로 주어진다. 여기서 이다.
일반적인 경우, 등거리변환과 PVM은 ,  및
로 정의함으로써 구성될 수 있다. 여기서 이므로, 이는 더 낭비적인 구성이다.
POVM 나이마르크 확장 정리
두 경우 모두, 이 PVM과 등거리변환에 의해 적절히 변환된 상태로 결과 를 얻을 확률은 원래 POVM으로 얻을 확률과 동일하다.
이 구성은 등거리변환 를 유니터리 연산자 로 확장하여 POVM의 물리적 구현을 위한 레시피로 전환될 수 있다. 즉, 1부터 까지의 에 대해
를 만족하는 를 찾는 것이다. 이는 항상 가능하다.
양자 상태 에서 으로 설명되는 POVM을 구현하는 레시피는 양자 상태를 힐베르트 공간 에 임베딩하고, 유니터리 연산자 로 진화시키며, PVM 으로 설명되는 사영 측정을 수행하는 것이다.
측정 후 상태는 POVM 자체에 의해 결정되는 것이 아니라, POVM을 물리적으로 구현하는 PVM에 의해 결정된다. 동일한 POVM을 구현하는 무한히 많은 다른 PVM이 존재하기 때문에, 연산자 만으로는 측정 후 상태가 무엇이 될지 결정할 수 없다. 이를 확인하려면, 임의의 유니터리 연산자 에 대해 연산자
도 의 속성을 가지므로, 위에서 두 번째 구성에서 등거리변환
POVM 나이마르크 확장 정리
를 사용하면 동일한 POVM을 구현한다는 점에 유의하라. 측정되는 상태가 순수 상태 일 경우, 결과 유니터리 연산자 는 이를 보조 시스템과 함께 다음 상태로 만든다.
그리고 보조 시스템에 대한 사영 측정은 결과 를 얻을 때 를 다음 상태로 붕괴시킨다.:84
측정되는 상태가 밀도 행렬 로 설명될 때, 해당 측정 후 상태는 다음과 같이 주어진다.
.
따라서 측정 후 상태는 유니터리 연산자 에 명시적으로 의존함을 알 수 있다. 는 항상 에르미트이지만, 일반적으로 는 에르미트일 필요는 없다.
사영 측정과의 또 다른 차이점은 POVM 측정이 일반적으로 반복될 수 없다는 것이다. 첫 번째 측정에서 결과 가 나왔을 때, 두 번째 측정에서 다른 결과 를 얻을 확률은 다음과 같다.
,
이는 와 이 직교하지 않으면 0이 아닐 수 있다. 사영 측정에서는 이 연산자들이 항상 직교하므로 측정은 항상 반복 가능하다.
POVM 예시: 모호하지 않은 양자 상태 판별
2차원 힐베르트 공간을 가진 양자 시스템이  상태 또는  상태 중 하나에 있다는 것을 알고, 어느 상태인지 판별하고 싶다고 가정해보자. 만약 와 가 직교한다면, 이 작업은 쉽다. 집합 는 PVM을 형성하며, 이 기저에서의 사영 측정은 상태를 확실히 판별할 것이다. 그러나 만약 와 가 직교하지 않는다면, 이 작업은 불가능하다. 즉, 확실하게 구별할 수 있는 PVM 또는 POVM 측정은 없다.:87 비직교 상태를 완벽하게 구별할 수 없다는 것은 양자 암호, 양자 코인 플리핑, 양자 화폐와 같은 양자 정보 프로토콜의 기초가 된다.
모호하지 않은 양자 상태 판별(UQSD) 작업은 그 다음으로 최선책이다. 즉, 상태가 인지 인지에 대해 절대 실수를 하지 않지만, 때로는 결론이 나지 않는 결과를 얻는 대가를 치르는 것이다. 사영 측정으로 이를 수행할 수 있다. 예를 들어, 가 에 직교하는 양자 상태인 PVM 를 측정하여 결과 를 얻으면, 상태가 였다는 것을 확실히 알 수 있다. 만약 결과가 였다면, 결론이 나지 않는다. 유사한 추론이 가 에 직교하는 상태인 PVM 에도 적용된다.
POVM 예시: 모호하지 않은 양자 상태 판별
하지만 이는 만족스럽지 않다. 단일 측정으로 와  모두를 감지할 수 없으며, POVM보다 확정적인 결과를 얻을 확률이 더 작다. 이 작업에서 확정적인 결과가 나올 확률을 가장 높이는 POVM은 다음으로 주어진다.
여기서
임을 주목하라. 따라서 결과 를 얻으면 양자 상태가 임을 확신할 수 있고, 결과 를 얻으면 양자 상태가 임을 확신할 수 있다.
결론적인 결과를 얻을 확률은 다음과 같다.
양자 시스템이  또는  상태에 동일한 확률로 있을 때이다. 이 결과는 UQSD 연구를 개척한 저자들의 이름을 따서 이바노비치-디에크스-페레스 한계로 알려져 있다.
POVM은 계수 1이므로, 위의 구성의 간단한 경우를 사용하여 이 POVM을 물리적으로 실현하는 사영 측정을 얻을 수 있다. 확장된 힐베르트 공간의 세 가지 가능한 상태를 , , 로 명명하면, 결과 유니터리 연산자 는 상태 를 다음으로 만든다는 것을 알 수 있다.
마찬가지로 상태 는 다음으로 만든다.
그 후 사영 측정은 POVM과 동일한 확률로 원하는 결과를 제공한다.
이 POVM은 광자의 비직교 편광 상태를 실험적으로 구별하는 데 사용되었다. POVM을 사영 측정으로 구현하는 방식은 여기서 설명된 방식과 약간 달랐다.
POVM 각주
POVM
K. Kraus, States, Effects, and Operations, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
A.S. Holevo, Probabilistic and statistical aspects of quantum theory, North-Holland Publ. Cy., Amsterdam (1982).
사영값 측도
수학, 특히 함수해석학에서 사영값 측도(영어: Projection-valued measure) 또는 스펙트럼 측도(영어: spectral measure)는 고정된 집합의 특정 부분집합에 정의된 함수이며, 그 값은 고정된 힐베르트 공간의 자기 수반 사영이다. 사영값 측도(PVM)는 실수 대신 자기 수반 사영을 값으로 가진다는 점을 제외하고는 실수값 측도와 형식적으로 유사하다. 일반적인 측도의 경우와 마찬가지로 PVM에 대해 복소수값 함수를 적분하는 것이 가능하며, 이러한 적분의 결과는 주어진 힐베르트 공간에 대한 선형 작용소이다.
사영값 측도는 스펙트럼 이론의 결과를 표현하는 데 사용되며, 자기 수반 작용소에 대한 중요한 스펙트럼 정리가 그 예이다. 이 경우 PVM은 때때로 스펙트럼 측도라고 불린다. 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학은 PVM에 대한 적분을 사용하여 구성된다. 양자역학에서 PVM은 사영 측정의 수학적 설명이다. 이는 순수 상태의 개념을 혼합 상태 또는 밀도 행렬이 일반화하는 것과 같은 의미에서 양의 연산자 값 측도(POVM)에 의해 일반화된다.
사영값 측도 정의
를 분해 가능 복소 힐베르트 공간이라고 하고, 을 집합 와  상의 보렐 시그마 대수 로 구성된 가측 공간이라고 하자. 사영값 측도 는 에서  상의 유계 자기 수반 작용소 집합으로 가는 다음 속성을 만족하는 사상이다.
두 번째와 네 번째 속성은 과 가 서로소, 즉 인 경우, 과 의 상이 서로 직교함을 보여준다.
와 그 직교 여공간 를 각각 의 상과 영공간이라고 하자. 만약 가 의 닫힌 부분공간이면, 는 직교 분해 로 표현될 수 있으며 는 네 가지 속성을 모두 만족하는  상의 유일한 항등 작용소이다.
모든 와 에 대해 사영값 측도는 다음과 같이 정의되는  상의 복소수값 측도를 형성한다.
전변동은 최대 이다. 다음의 경우 실수값 측도로 환원된다.
그리고 가 단위 벡터일 때 확률 측도이다.
예시 가 σ-유한 측도 공간이라고 하고, 모든 에 대해
가 다음과 같이 정의된다고 하자.
즉, L2(X)에서 지시 함수 에 의한 곱셈으로 정의된다. 그러면 는 사영값 측도를 정의한다. 예를 들어, , , 그리고 인 경우, 가측 함수 를 취하여 다음 적분을 제공하는 연관된 복소 측도 가 있다.
사영값 측도 사영값 측도의 확장
만약 π가 가측 공간 (X, M) 상의 사영값 측도라면, 다음 사상
는 X 상의 계단 함수 벡터 공간에 대한 선형 사상으로 확장된다. 사실, 이 사상이 환 준동형사상임을 쉽게 확인할 수 있다. 이 사상은 X 상의 모든 유계 복소수값 가측 함수로 정규적으로 확장되며, 다음이 성립한다.
이 정리는 무계 가측 함수 에 대해서도 성립하지만, 이 경우 는 힐베르트 공간  상의 무계 선형 작용소가 된다.
이를 통해 그러한 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학을 정의하고 리스–마르코프–카쿠타니 표현 정리를 통해 가측 함수로 넘어갈 수 있다. 즉, 가 가측 함수라면, 다음을 만족하는 유일한 측도가 존재한다.
를 분해 가능 복소 힐베르트 공간이라고 하고, 를 유계 자기 수반 작용소라고 하며 를 의 스펙트럼이라고 하자. 그러면 스펙트럼 정리는 보렐 부분집합 에 정의된 유일한 사영값 측도 가 존재하여 다음을 만족한다고 말한다.
여기서 적분은 의 스펙트럼이 무계일 때 무계 함수 로 확장된다.
사영값 측도 사영값 측도의 확장
먼저 직접 적분에 기반한 사영값 측도의 일반적인 예를 제공한다. (X, M, μ)가 측도 공간이라고 가정하고, {Hx}x ∈ X 를 분해 가능한 힐베르트 공간의 μ-가측 군이라고 하자. 모든 E ∈ M에 대해, π(E)를 힐베르트 공간에 대한 1E의 곱셈 연산자라고 하자.
그러면 π는 (X, M) 상의 사영값 측도이다.
π, ρ가 H, K의 사영에서 값을 취하는 (X, M) 상의 사영값 측도라고 가정하자. π, ρ는 모든 E ∈ M에 대해
를 만족하는 유니터리 연산자 U:H → K가 존재할 때만 유니터리 동치이다.
정리. (X, M)이 표준 보렐 공간인 경우, 분해 가능한 힐베르트 공간의 사영에서 값을 취하는 (X, M) 상의 모든 사영값 측도 π에 대해, 보렐 측도 μ와 μ-가측 힐베르트 공간 군 {Hx}x ∈ X 가 존재하여 π가 힐베르트 공간에 대한 1E의 곱셈과 유니터리 동치이다.
μ의 측도 등급과 다중성 함수 x → dim Hx의 측도 동치 등급은 유니터리 동치까지의 사영값 측도를 완전히 특성화한다.
사영값 측도 π는 다중성 함수가 상수 값 n을 가질 때만 다중성 n의 동차이다. 분명히,
정리. 분해 가능한 힐베르트 공간의 사영에서 값을 취하는 모든 사영값 측도 π는 동차 사영값 측도의 직교 직접 합이다.
여기서
이고
사영값 측도 양자역학에서의 응용
양자역학에서, 가측 공간 에서 힐베르트 공간 의 연속 자기 동형 공간으로 가는 사영값 측도가 주어졌을 때,
에 대한 일반적인 선택은 실수선이지만, 다음도 가능하다.
를 의 가측 부분집합이라고 하고 를  내의 정규화된 벡터 양자 상태라고 하자. 따라서 그 힐베르트 노름은 단위적이다. . 계가 상태 에 있을 때, 관측가능량이 에서 값을 취할 확률은 다음과 같다.
이것은 두 가지 방식으로 해석될 수 있다. 첫째, 각 고정된 에 대해, 사영 는  상의 자기 수반 작용소이며, 그 1-고유공간은 관측가능량의 값이 항상 에 속하는 상태 이고, 그 0-고유공간은 관측가능량의 값이 결코 에 속하지 않는 상태 이다.
둘째, 각 고정된 정규화된 벡터 상태 에 대해, 다음 대응
는 관측가능량의 값을 확률 변수로 만드는  상의 확률 측도이다.
사영값 측도 에 의해 수행될 수 있는 측정을 사영 측정이라고 한다.
가 실수선이면, 에 연관된 자기 수반 작용소 가  상에 다음과 같이 정의된다.
이는 의 지지 집합이 의 이산 부분집합일 경우 다음과 같이 환원된다.
위의 연산자 는 스펙트럼 측도와 연관된 관측가능량이라고 불린다.
사영값 측도 일반화
사영값 측도의 개념은 양의 연산자 값 측도(POVM)에 의해 일반화되는데, 여기서 사영 연산자가 함의하는 직교성의 필요성은 양의 반정부 헤르미트 연산자의 집합으로 구성된 비직교 "단위 분할" 개념으로 대체된다. 이 일반화는 양자 정보 이론에 대한 응용에 의해 동기 부여된다.
사영값 측도 각주
Ashtekar, Abhay; Schilling, Troy A. (1999). 〈Geometrical Formulation of Quantum Mechanics〉. 《On Einstein's Path》. New York, NY: Springer New York. arXiv:gr-qc/9706069. doi:10.1007/978-1-4612-1422-9_3. ISBN 978-1-4612-7137-6. * Conway, John B. (2000). 《A course in operator theory》. Providence (R.I.): American mathematical society. ISBN 978-0-8218-2065-0.
Moretti, Valter (2017), 《Spectral Theory and Quantum Mechanics Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation》 110, Springer, Bibcode:2017stqm.book.....M, ISBN 978-3-319-70705-1
사영값 측도 각주
G. 테슐, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
버진 EMI 레코드
버진 EMI 레코드는 2013년에 설립된 영국의 음반사로, 유니버설 뮤직 그룹이 소유하고 있었다. 2020년 6월, 이 레이블은 EMI 레코드로 리브랜딩되었으며, 새로운 EMI 레코드의 임프린트로 버진 레코드를 운영하고 있다.
버진 EMI 레코드 역사
버진 EMI 레코드는 2013년 3월, 머큐리 레코드 UK와 버진 레코드가 합병되면서 설립되었다. 이 레이블은 버진(Virgin)과 EMI 레코드라는 두 개의 독립적인 A&R 및 마케팅 부문을 운영했다. 버진 EMI는 폴리도르 레코드, 아일랜드 레코드, 데카 레코드, 새로 설립된 캐피톨 레코드 UK와 함께 유니버설 뮤직 UK의 주력 레이블 중 하나가 되었다. 기존에 영국에서 인터내셔널 아일랜드와 데프 잼 아티스트를 발매하던 머큐리 레코드 UK는, 리퍼블릭 레코드 아티스트를 발매하던 유니버설 아일랜드와 함께 버진 EMI의 임프린트로 운영되게 되었다. 새로운 레이블은 영국에서 데프 잼과 아일랜드 US의 인터내셔널 아티스트 명단, 그리고 버진 레코드 아메리카 아티스트들의 발매 레이블로 머큐리와 버진을 대체하게 된다.
2020년 6월 16일, 유니버설은 버진 EMI 레코드를 EMI 레코드로 리브랜딩하고, UMG의 데카 레이블 사장이었던 레베카 앨런을 신임 사장으로 임명했으며, 버진 레코드를 EMI 레코드의 임프린트로 계속 운영하게 되었다.
W 상태
W 상태(영어: W state)는 브라-켓 표기법에서 다음 형태를 갖는 세 큐비트의 얽힌 양자 상태이다.
이는 특정 유형의 다자 얽힘을 나타내고 양자 정보 이론의 여러 응용 분야에서 발생한다는 점에서 주목할 만하다. 이 상태로 준비된 입자는 국소 은닉 변수(local hidden variable)의 고전 이론으로는 양자 역학의 예측을 생성할 수 없다고 명시하는 벨 부등식의 속성을 재현한다. 이 상태는 2000년에 기프레 비달 및 이그나시오 시락과 함께 이 상태를 처음 보고한 볼프강 뒤르의 이름인 W에서 따왔다.
W 상태 속성
W 상태는 세 큐비트 상태의 두 비분리성 클래스 중 하나를 대표하며, 다른 하나는 그린버거-호른-자일링거 상태(Greenberger–Horne–Zeilinger state)인 이다. 와  상태는 국소 양자 연산(local quantum operations)을 통해 (확률적으로도) 서로 변환될 수 없으므로 두 가지 매우 다른 종류의 삼자 얽힘을 나타낸다.
이러한 차이는 예를 들어 W 상태의 다음과 같은 흥미로운 속성으로 설명된다. 세 큐비트 중 하나가 손실되더라도 나머지 2큐비트 시스템의 상태는 여전히 얽혀 있다. W형 얽힘의 이러한 강인함은 한 큐비트가 손실된 후 완전히 분리되는 GHZ 상태와는 크게 대조된다.
W 클래스의 상태는 다자 얽힘 측정을 통해 다른 모든 3큐비트 상태와 구별될 수 있다. 특히 W 상태는 모든 이분할에 걸쳐 0이 아닌 얽힘을 가지지만 3-탱글(3-tangle)은 0이 되며, 이는 GHZ형 상태에서는 0이 아니다.
W 상태 일반화
W 상태의 개념은  큐비트로 일반화되었으며 이때는 큐비트 중 정확히 하나가 "들뜬 상태" 이고 다른 모든 큐비트가 "바닥 상태" 인 모든 가능한 순수 상태의 동일한 확장 계수를 가진 양자 중첩을 나타낸다.
입자 손실에 대한 강인함과 (일반화된) GHZ 상태와의 LOCC-불일치성 모두 -큐비트 W 상태에서도 유효하다.
W 상태 응용
단일 큐비트가 많은 2단계 시스템 앙상블에 저장되는 시스템에서 논리적 "1"은 종종 W 상태로, 논리적 "0"은 상태 으로 표현된다. 여기서 입자 손실에 대한 W 상태의 강인함은 이러한 앙상블 기반 양자 메모리의 우수한 저장 속성을 보장하는 매우 유익한 속성이다.
다자 얽힘
개의 하위 시스템으로 구성된 시스템의 경우, 양자 얽힘 상태의 분류는 이분할 경우보다 더 풍부하다. 실제로 다자 얽힘(영어: Multipartite entanglement)에서는 완전히 분리 가능 상태와 완전히 얽힘 상태 외에도 부분적으로 분리 가능한 상태의 개념이 존재한다.
다자 얽힘 완전 및 부분 분리 가능성
완전히 분리 가능하고 완전히 얽힌 다자 상태의 정의는 이분할 경우의 분리 가능하고 얽힌 상태의 정의를 다음과 같이 자연스럽게 일반화한다.
힐베르트 공간 를 가진 개 하위 시스템 의 상태 는 다음 형식으로 작성될 수 있는 경우에만 완전히 분리 가능하다.
이에 상응하여, 상태 가 위 형식으로 작성될 수 없는 경우 완전히 얽혀 있다고 한다.
이분할 경우와 마찬가지로, -분리 가능한 상태의 집합은 트레이스 노름(trace norm)에 대해 볼록하고 닫혀 있으며, 분리 가능성은 이분할 연산의 직접적인 일반화인 -분리 가능 연산  하에서 유지된다.
그러나 위에서 언급했듯이, 다자 환경에서는 부분 분리 가능성에 대한 여러 개념도 존재한다.
개 하위 시스템 의 상태 는 주어진 분할 에 대해 분리 가능하다. 여기서 는 인덱스 의 서로소 부분 집합이며, 이는 다음 형식으로 작성될 수 있는 경우에만 해당한다.
다자 얽힘 완전 및 부분 분리 가능성
상태 는 모든 - 분할,  하에서 분리 가능한 경우에만 반분리적이다.
-입자 시스템은 -생성 가능하며, 이는 각각의 상태가 특정 분할 에 대해 분리 가능한 상태들의 혼합이다. 여기서 의 크기는 최대 이다. 상태가 k-생성 가능하지 않으면 최소 -입자 얽힘이다.
s-입자 얽힘은 여러 입자로 진행된 다양한 실험에서 감지되었다. 이러한 실험은 종종 양자 상태의 얽힘 깊이를 감지하는 것으로 언급된다.
k-생성 가능하지만 -생성 가능하지 않고 h-분리 가능하지만 -분리 가능하지 않은 순수 상태의 경우, 확장성은 이다. 이 정의는 일반적인 방식으로 혼합 상태로 확장될 수 있다. 입자를 그룹으로 분할하는 것에 기반한 추가적인 속성을 정의할 수 있으며, 이에 대한 연구가 광범위하게 이루어졌다.
다자 얽힘 분리 가능성 특징화 및 기준
완전 m-분리 가능성에 대한 동등한 정의는 다음과 같다. 개 하위 시스템 의 순수 상태 는 다음 형식으로 작성될 수 있는 경우에만 완전히 -부분 분리 가능하다.
이를 확인하기 위해서는 기본 하위 시스템의 축약 밀도 행렬을 계산하여 순수 상태인지 확인하는 것으로 충분하다. 그러나 다자 경우에서는 일반화된 슈미트 분해 를 허용하는 다자 순수 상태가 드물기 때문에 쉽게 수행할 수 없다. 다자 상태는 임의의 하위 시스템을 제거했을 때 나머지가 완전히 분리 가능한 상태인 경우 일반화된 슈미트 분해를 허용한다.
따라서 일반적으로 순수 상태의 얽힘은 모든 이분 분할의 축약 밀도 행렬 스펙트럼으로 설명된다. 즉, 모든 이분 분할이 혼합 축약 밀도 행렬을 생성하는 경우에만 상태는 진정으로 -얽혀 있다.
다자 경우에는  및  경우에 PPT 기준이 제공하는 것과 같은 간단한 필요충분 분리 가능성 조건은 없다. 그러나 이분할 설정에서 사용되는 많은 분리 가능성 기준은 다자 경우로 일반화될 수 있다.
다자 얽힘 분리 가능성 특징화 및 기준
양수이지만 완전 양수가 아닌 맵 측면에서 분리 가능성의 특징화는 이분할 경우에서 자연스럽게 일반화될 수 있다.
양수이지만 완전 양수가 아닌 (PnCP) 맵 은 다음과 같은 형태의 비자명한 필요 분리 가능성 기준을 제공한다.
여기서 는 첫 번째 하위 시스템 에 작용하는 항등원이다.
상태 는 모든 PnCP 맵 에 대해 위 조건이 충족될 때에만 분리 가능하다.
얽힘 증거의 정의와 이분할 경우에서 PnCP 맵과 얽힘 증거를 연결하는 초이-자미오우코프스키 동형도 다자 설정으로 일반화될 수 있다.
따라서 다자 상태에 대한 얽힘 증거로부터 분리 가능성 조건을 얻는다. 즉, 상태 는 모든 얽힘 증거 에 대해 비음수 평균값 을 가지는 경우 분리 가능하다. 이에 상응하여, 의 얽힘은 인 경우에만 증거 에 의해 감지된다.
위 설명은 -자 시스템의 -분리 가능성에 대한 완전한 특징화를 제공한다.
다자 얽힘 분리 가능성 특징화 및 기준
"범위 기준"도 이분할 경우에서 다자 경우로 즉시 일반화될 수 있다. 후자의 경우 의 범위는 벡터 에 의해 스팬되어야 하며, 부분 집합 에 대해 부분 전치된 의 범위는 이 벡터들의 곱으로 스팬되어야 한다. 여기서 인덱스 을 가진 벡터들은 복소 공액이다. 상태 가 분리 가능하다면, 그러한 모든 부분 전치는 비음수 스펙트럼을 가진 행렬로 이어져야 한다. 즉, 모든 행렬 은 그 자체로 상태여야 한다.
이분할 경우의 "재정렬 기준"은 다자 설정에서 순열 기준으로 일반화된다. 상태 가 분리 가능하다면, 곱셈 기반에서 행렬 인덱스의 순열 를 통해 원래 상태에서 얻은 행렬 는 을 만족한다.
마지막으로, 수축 기준은 이분할 경우에서 다자 경우로 즉시 일반화된다.
다자 얽힘 다자 얽힘 측정
얽힘의 상대 엔트로피, 얽힘의 강건성 및 얽힘 압축과 같은 이분할 상태에 대한 많은 공리적 얽힘 측정은 다자 설정으로 일반화될 수 있다.
예를 들어, 얽힘의 상대 엔트로피는 이분할 분리 가능 상태 집합 대신 적절한 집합을 취함으로써 다자 경우로 일반화될 수 있다. 완전히 분리 가능한 상태의 집합을 취할 수 있지만, 이 선택으로는 진정한 다자 얽힘과 와 같은 여러 이분할 얽힘을 구별하지 못할 것이다. 진정한 다자 얽힘을 분석하려면 -입자 얽힘을 초과하지 않는 상태 집합을 고려해야 한다.
얽힘 압축의 경우, 다자 버전은 단순히 이분할 시스템의 상호정보를 다자 시스템에 대한 일반화로 대체함으로써 얻을 수 있다. 즉,
이다.
그러나 다자 설정에서는 상태의 얽힘을 설명하는 데 훨씬 더 많은 매개변수가 필요하며, 따라서 특히 순수 다자 상태에 대해 많은 새로운 얽힘 측정이 구성되었다.
다자 얽힘 다자 얽힘 측정
다자 설정에는 이분할 얽힘 측정의 합의 함수에 불과한 얽힘 측정이 있다. 예를 들어, 하나의 큐비트와 다른 모든 큐비트 사이의 합치도의 합으로 주어지는 전역 얽힘이 있다. 이러한 다자 얽힘 측정의 경우 LOCC 하에서의 단조성은 이분할 측정에서 단순히 상속된다. 그러나 다음과 같이 특히 다자 상태를 위해 구성된 얽힘 측정값도 있다.
이분할 측정의 직접적인 일반화도 아니고 쉬운 조합도 아닌 첫 번째 다자 얽힘 측정은 Coffman 등이 도입했으며 엉킴(tangle)이라고 불린다.
정의:
여기서 우변의 -엉킴은 합치도의 제곱이다.
엉킴 측정은 순열 불변이다. 그것은 어떤 절단에서도 분리 가능한 모든 상태에서 사라진다. 예를 들어, GHZ-상태에서는 0이 아니며, W-상태와 같이 3-얽힌(즉, 어떤 절단에 대해서도 곱이 아닌) 상태의 경우 0으로 간주될 수 있다. 또한, 초행렬식을 통해 다중 큐비트 시스템에 대한 엉킴의 좋은 일반화를 얻을 가능성이 있을 수 있다.