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전기 저항과 전도도 다른 조건에 대한 의존성
실온 근처에서 금속의 비저항은 온도가 증가함에 따라 일반적으로 증가하는 반면, 반도체의 비저항은 온도가 증가함에 따라 일반적으로 감소한다. 절연체와 전해질의 비저항은 시스템에 따라 증가하거나 감소할 수 있다. 자세한 동작 및 설명은 전기 비저항 및 전도도를 참조하라.
그 결과, 전선, 저항기 및 기타 부품의 저항은 종종 온도에 따라 변한다. 이 효과는 바람직하지 않을 수 있으며, 극한 온도에서 전자 회로가 오작동하게 만들 수 있다. 그러나 어떤 경우에는 이 효과가 잘 활용된다. 부품의 온도 의존적 저항이 의도적으로 사용될 때, 그 부품을 저항 온도계 또는 서미스터라고 한다. (저항 온도계는 금속, 일반적으로 백금으로 만들어지며, 서미스터는 세라믹 또는 폴리머로 만들어진다.)
전기 저항과 전도도 다른 조건에 대한 의존성
저항 온도계와 서미스터는 일반적으로 두 가지 방식으로 사용된다. 첫째, 온도계로 사용될 수 있다. 저항을 측정함으로써 환경 온도를 추론할 수 있다. 둘째, 줄 발열 (자체 발열이라고도 함)과 함께 사용될 수 있다. 만약 큰 전류가 저항을 통해 흐르면 저항의 온도가 상승하고 따라서 저항이 변한다. 그러므로 이러한 부품은 퓨즈와 유사한 회로 보호 역할이나 회로의 피드백 또는 다른 많은 목적을 위해 사용될 수 있다. 일반적으로 자체 발열은 저항기를 비선형 요소 및 이력적 회로 요소로 만들 수 있다. 자세한 내용은 서미스터#자체 발열 효과를 참조하라.
온도 T가 너무 많이 변하지 않으면 일반적으로 선형 근사가 사용된다.

여기서 는 저항의 온도 계수라고 불리며, 는 고정된 기준 온도(보통 실온)이고, 는 온도 에서의 저항이다. 매개변수 는 측정 데이터에서 도출된 경험적 매개변수이다. 선형 근사는 근사일 뿐이므로 는 기준 온도에 따라 다르다. 이러한 이유로 가 측정된 온도를 와 같이 접미사로 지정하는 것이 일반적이며, 이 관계는 기준 온도 주변의 온도 범위에서만 유효하다.
전기 저항과 전도도 다른 조건에 대한 의존성
온도 계수 는 실온 근처의 금속에서 일반적으로 +3×10−3 K−1에서 +6×10−3 K−1이다. 반도체와 절연체의 경우 일반적으로 음수이며, 그 크기는 매우 다양하다.
도체의 저항이 온도에 따라 달라지듯이, 도체의 저항은 변형에 따라 달라진다. 장력 (도체를 늘리는 형태의 응력을 유발하는 변형)을 가하면, 장력이 가해진 도체 부분의 길이가 늘어나고 단면적이 감소한다. 이 두 가지 효과는 모두 변형된 도체 부분의 저항을 증가시키는 데 기여한다. 압축 (반대 방향의 변형)에서는 변형된 도체 부분의 저항이 감소한다. 이 효과를 활용하여 제작된 장치에 대한 자세한 내용은 스트레인 게이지에 대한 논의를 참조하라.
일부 저항기, 특히 반도체로 만들어진 저항기는 광전도를 나타내는데, 이는 빛이 비출 때 저항이 변한다는 것을 의미한다. 따라서 이들은 포토레지스터 (또는 광의존 저항기)라고 불린다. 이들은 일반적인 유형의 광검출기이다.
전기 저항과 전도도 초전도 현상
초전도체는 정확히 0의 저항과 무한대의 전도도를 가진 재료이다. 왜냐하면 이들은 V = 0과 I ≠ 0을 가질 수 있기 때문이다. 이는 또한 줄 발열이 없거나, 다른 말로 전기 에너지의 흩어지기가 없음을 의미한다. 따라서 초전도 전선이 닫힌 루프를 형성하면 전류는 영원히 루프를 따라 흐른다. 초전도체는 대부분의 금속 초전도체(예: 나이오븀-주석 합금)의 경우 액체 헬륨으로 4 K에 가까운 온도로 냉각하거나, 값비싸고 취약하며 섬세한 세라믹 고온 초전도체의 경우 액체 질소로 77 K에 가까운 온도로 냉각해야 한다.
그럼에도 불구하고 초전도 기술 응용에는 초전도 전자석을 포함하여 많은 것이 있다.
아인슈타인 관계식 (운동학 이론)
물리학(특히 기체 분자 운동론)에서 아인슈타인 관계식(영어: Einstein relation)은 1904년 윌리엄 서덜랜드, 1905년 알베르트 아인슈타인, 1906년 마리안 스몰루호프스키가 브라운 운동에 대한 연구에서 독립적으로 밝혀낸 예상치 못한 연관성이다. 고전적 경우에 대한 방정식의 더 일반적인 형태는 다음과 같다.
여기서
이 방정식은 요동-산일 관계의 초기 사례이다.
위 방정식은 고전적인 경우를 설명하며 양자 효과가 관련될 때 수정되어야 한다.
자주 사용되는 중요한 특별한 두 가지 형태의 관계는 다음과 같다.
여기서
아인슈타인 관계식 (운동학 이론) 특수 사례
전하 q를 가진 입자의 전기 이동도 μq는 방정식 μ = μq/q에 의해 일반화된 이동도 μ와 관련된다. 매개변수 μq는 입자의 종단속도 표류 속도와 가해진 전기장의 비율이다. 따라서 전하를 띤 입자의 경우 방정식은 다음과 같이 주어진다.
여기서
온도가 볼트로 주어지는 경우(플라스마에서 더 흔함):

여기서
자유 전자 모형과 같이 일반 금속에서 전자의 이동도에 관련되는 페르미 기체 또는 페르미 액체 이론의 경우, 아인슈타인 관계식은 다음과 같이 수정되어야 한다.

여기서 는 페르미 에너지이다.
낮은 레이놀즈 수의 한계에서, 이동도 μ는 항력 계수 의 역수이다. 확산하는 물체의 역운동량 이완 시간(관성 운동량이 무작위 운동량에 비해 무시할 수 있게 되는 데 필요한 시간)에 대해 감쇠 상수 가 자주 사용된다. 반지름 r의 구형 입자의 경우 스토크스의 법칙은 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 매질의 점성도이다. 따라서 아인슈타인-스몰루호프스키 관계식은 스토크스-아인슈타인-서덜랜드 관계식으로 이어진다.

이것은 수년 동안 액체에서 자가 확산 계수를 추정하는 데 적용되었으며, 동형 이론과 일치하는 버전이 레너드-존스 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션에 의해 확인되었다.
아인슈타인 관계식 (운동학 이론) 특수 사례
회전 확산의 경우 마찰은 이며, 회전 확산 상수 은 다음과 같다.

이것은 때때로 스토크스-아인슈타인-디바이 관계식이라고 불린다.
임의의 상태 밀도를 가진 반도체, 즉 전하 운반자(양공 또는 전자)의 밀도 와 해당 준 페르미 준위(또는 전기화학적 전위)  사이의 관계 에서, 아인슈타인 관계식은 다음과 같다.

여기서 는 전기 이동도이다 (이 관계식의 증명은 § 일반적인 경우의 증명 참조). 포물선 분산 관계와 맥스웰-볼츠만 통계를 가정하는 예시(종종 무기 반도체 물질을 설명하는 데 사용됨)는 다음과 같이 계산할 수 있다(상태 밀도 참조):

여기서 는 사용 가능한 총 에너지 상태 밀도이며, 이는 단순화된 관계를 제공한다.
전해질의 등가 전도도 표현에서 양이온과 음이온의 전기 이온 이동도 표현에 확산 계수를 대입하면 네른스트-아인슈타인 방정식이 도출된다.
여기서 R은 기체 상수이다.
아인슈타인 관계식 (운동학 이론) 일반적인 경우의 증명
아인슈타인 관계식의 증명은 많은 참고 문헌에서 찾을 수 있으며, 예를 들어 구보 료고의 저서를 참조하라.
어떤 고정된 외부 위치 에너지 가 주어진 위치 에 있는 입자에 대해 보존력 (예: 전기력)를 생성한다고 가정하자. 우리는 입자가 속도 로 반응하여 움직인다고 가정한다(항력 참조). 이제 이러한 입자가 많이 있으며, 위치에 대한 함수로 국부 농도 를 가진다고 가정하자. 시간이 지나면 평형이 확립될 것이다. 입자들은 가장 낮은 위치 에너지  주변에 쌓일 것이지만, 확산 때문에 어느 정도 퍼져 있을 것이다. 평형 상태에서는 입자의 순 흐름이 없다. 즉, 입자가 낮은  쪽으로 끌리는 경향(드리프트 전류라고 함)이 확산으로 인해 입자가 퍼지는 경향(확산 전류라고 함)과 완벽하게 균형을 이룬다(드리프트-확산 방정식 참조).
드리프트 전류로 인한 입자의 순 플럭스는 다음과 같다.

즉, 주어진 위치를 지나는 입자의 수는 입자 농도에 평균 속도를 곱한 것과 같다.
아인슈타인 관계식 (운동학 이론) 일반적인 경우의 증명
확산 전류로 인한 입자의 흐름은 피크의 확산 법칙에 의해 다음과 같다.

여기서 음수 부호는 입자가 고농도에서 저농도로 흐른다는 것을 의미한다.
이제 평형 조건을 고려해 보자. 첫째, 순 흐름이 없다. 즉, 이다. 둘째, 상호 작용하지 않는 점 입자의 경우 평형 밀도 는 국부 위치 에너지 만의 함수이다. 즉, 두 위치가 동일한 를 가지면 동일한 를 가질 것이다(예: 아래에서 논의하는 맥스웰-볼츠만 통계 참조). 이는 연쇄 법칙을 적용하면 다음과 같다는 것을 의미한다.
따라서 평형 상태에서는:
이 표현식은 모든 위치 에서 성립하므로, 아인슈타인 관계식의 일반적인 형태를 의미한다.
고전 입자의 와  사이의 관계는 맥스웰-볼츠만 통계를 통해 모델링될 수 있다.

여기서 는 총 입자 수와 관련된 상수이다. 따라서
이 가정을 바탕으로 이 방정식을 일반 아인슈타인 관계식에 대입하면 다음과 같다.

이는 고전적인 아인슈타인 관계식에 해당한다.
클레베 공작 아돌프 1세
클레베 공작 아돌프 1세(독일어: Adolf I, 1373년 8월 2일~1448년 9월 23일)는 14세기에 활동했던 라 마르크가의 제2대 클레베 백작이자 제4대 마르크 백작이다.
클레베 공작 아돌프 1세 생애
마르크 백작 아돌프 3세와 마르가레테 폰 윌리히의 아들로 태어났다. 따라서 마르가레테 폰 클레베의 남매 관계에 해당된다. 1394년 아버지가 서거하면서 클레베 백작을 물려받았다. 1397년 클레버함 전투에서 삼촌 베르크 공작 빌헬름 7세를 물리치고 라벤스테인 영주가 되었다.
1398년 형제 마르크 백작 디트리히 9세가 전투에서 사망하자 마르크 백작을 겸하게 되었다. 나아가 부르고뉴 공작의 딸과 결혼하여 영향력을 한층 더 확대했다. 그 결과 클레베는 1417년 신성 로마 황제 지기스문트로부터 공국으로 승격되기에 이르렀다.
1409년부터는 마르크 백작령의 양위를 주장하던 동생 게르하르트와 충돌했다. 1423년경에는 게르하르트가 쾰른 대주교와 동맹을 맺고 무력충돌을 벌이면서 양측의 갈등이 절정에 달했다.
클레베 공작 아돌프 1세 생애
1430년 두 형제 간에 평화조약이 체결되고 1437년에 재확인되었다. 조약에 따라 게르하르트는 마르크의 대다수 봉토를 넘겨받았지만, 후계자는 조카인 요한 1세 폰 마르크로 지정되었다. 요한은 스스로를 이를 때 '마르크의 백작' (von Mark)이 아닌 '마르크 출신 백작' (zur Mark)라는 칭호만을 사용할 수 있었다. 1461년 게르하르트가 사망한 후, 마르크 백작령과 클레베 공국은 재통합되었다.
클레베 공작 아돌프 1세 결혼과 자녀
1400년경 루프레흐트 폰 더 팔츠와 엘리자베트 폰 뉘른베르크의 딸인 아그네스(Agnes)와 결혼했다. 아그네스는 자녀를 남기지 못하고 1년 후에 사망했다.
1406년 아돌프는 장 1세 드 부르고뉴 공작과 마르가레테 폰 바이에른의 딸인 마리 드 부르고뉴와 결혼했다. 두 사람 사이에 태어난 자녀는 다음과 같다.
보른-폰 카르만 경계 조건
보른-폰 카르만 경계 조건(영어: Born–von Karman boundary condition)은 파동 함수가 특정 브라베 격자에서 주기함수를 가지도록 요구한다. 막스 보른과 테오도르 폰 카르만의 이름을 딴 이 주기적 경계 조건은 고체물리학에서 이상적인 결정을 모델링하는 데 자주 적용된다. 보른과 폰 카르만은 1912년과 1913년에 결정 가설을 기반으로 고체의 비열 모델을 제시하고 이 경계 조건을 포함하는 일련의 논문을 발표했다. 역사적으로 보른-폰 카르만 경계 조건은 디바이 모형처럼 비열의 첫 양자 이론인 아인슈타인 모형을 개선한 것이다.
이 조건은 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 i는 브라베 격자의 차원에 걸쳐 실행되며, ai는 격자의 원시 벡터이고, Ni는 정수이다(격자가 N개의 셀을 가지고 N=N1N2N3라고 가정). 이 정의는 다음을 보여주는 데 사용될 수 있다.
보른-폰 카르만 경계 조건
다음과 같은 임의의 격자 병진 벡터 T에 대해:
그러나 보른-폰 카르만 경계 조건은 Ni가 클 때(무한할 때) 유용하다는 점에 유의해야 한다.
보른-폰 카르만 경계 조건은 회절 및 띠구조와 같은 결정의 많은 특징을 분석하는 데 있어 고체 물리학에서 중요하다. 결정의 퍼텐셜을 보른-폰 카르만 경계 조건을 가진 주기 함수로 모델링하고 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 결정의 띠구조를 이해하는 데 특히 중요한 블로흐 정리가 증명된다.
보른-폰 카르만 경계 조건 각주
Leighton, Robert B. (1948). 《The Vibrational Spectrum and Specific Heat of a Face-Centered Cubic Crystal》 (PDF). 《리뷰 오브 모던 피직스》 20. 165–174쪽. Bibcode:1948RvMP...20..165L. doi:10.1103/RevModPhys.20.165.
주기적 경계 조건
주기적 경계 조건(영어: Periodic boundary conditions, PBC)은 단위 셀이라는 작은 부분을 사용하여 큰(무한한) 시스템을 근사화하기 위해 종종 선택되는 경계 조건의 집합이다. PBC는 컴퓨터 시뮬레이션 및 수학적 모델에서 자주 사용된다. 2차원 PBC의 위상수학은 일부 비디오 게임의 세계 지도와 같고, 단위 셀의 기하는 완전한 2차원 테셀레이션을 만족하며, 객체가 단위 셀의 한 면을 통과하면 동일한 속도로 반대편에 다시 나타난다. 위상수학적 용어로, 2차원 PBC에 의해 생성된 공간은 원환면으로 매핑되는 것으로 생각할 수 있다 (콤팩트화). PBC로 근사화된 대형 시스템은 무한한 수의 단위 셀로 구성된다. 컴퓨터 시뮬레이션에서 이들 중 하나는 원본 시뮬레이션 상자이고 다른 것들은 이미지라고 불리는 복사본이다. 시뮬레이션 동안 원본 시뮬레이션 상자의 속성만 기록하고 전파하면 된다. 최소 이미지 관례는 PBC 입자 회계의 일반적인 형태로, 시뮬레이션의 각 개별 입자가 시스템의 나머지 입자 중 가장 가까운 이미지와 상호 작용한다.
주기적 경계 조건
주기적 경계 조건의 한 예는 매끄러운 실수 함수 에 따라 다음과 같이 정의할 수 있다.
여기서 m = 0, 1, 2, ...이고 와 는 상수이다.
분자동역학 시뮬레이션 및 몬테카를로 분자 모델링에서 PBC는 일반적으로 벌크 기체, 액체, 결정 또는 혼합물의 속성을 계산하는 데 적용된다. 일반적인 응용 분야에서는 PBC를 사용하여 명시적 용매 욕조에서 용매화된 고분자를 시뮬레이션한다. 보른-폰 카르만 경계 조건은 특수 시스템에 대한 주기적 경계 조건이다.
전자기학에서 PBC는 주기적 구조의 전자기적 속성을 분석하기 위해 다른 메시 유형에 적용될 수 있다.
주기적 경계 조건 요구 사항 및 인공물
3차원 PBC는 기체, 액체, 고체의 거시적 시스템의 동작을 근사화하는 데 유용하다. 3차원 PBC는 평면 표면을 시뮬레이션하는 데도 사용할 수 있으며, 이 경우 2차원 PBC가 더 적합한 경우가 많다. 평면 표면에 대한 2차원 PBC는 슬랩 경계 조건이라고도 한다. 이 경우 PBC는 두 직교 좌표(예: x 및 y)에 사용되며 세 번째 좌표(z)는 무한대로 확장된다.
PBC는 에발트 합 방법(예: 입자 메시 에발트 방법)과 함께 사용하여 시스템의 정전기력을 계산할 수 있다. 그러나 PBC는 또한 시스템의 병진 불변성을 존중하지 않는 상관 아티팩트를 도입하며, 시뮬레이션 상자의 구성 및 크기에 대한 제약이 필요하다.
고체 시스템 시뮬레이션에서 시스템의 모든 불균일성에서 발생하는 변형률 필드는 주기적 경계에 의해 인위적으로 잘리고 수정될 것이다. 유사하게, 시스템의 음파 또는 충격파 및 포논의 파장은 상자 크기에 의해 제한된다.
주기적 경계 조건 요구 사항 및 인공물
이온(쿨롱) 상호작용을 포함하는 시뮬레이션에서, PBC가 적용될 때 무한한 전하로 합산되는 것을 피하기 위해 시스템의 순 전하는 0이어야 한다. 일부 응용 분야에서는 관심 분자가 전하를 띠는 경우 적절한 수의 나트륨 또는 염화 이온과 같은 짝이온을 추가하여 중성을 얻는 것이 적절하다. 때때로 관심 분자가 중성인 시스템에도 이온을 추가하여 분자가 자연적으로 나타나는 용액의 이온 강도를 근사화하기도 한다. 최소 이미지 관례의 유지는 또한 일반적으로 비결합력에 대한 구형 차단 반경이 정육면체 상자 한 변 길이의 절반 이하가 되도록 요구한다. 정전기적으로 중성인 시스템에서도 단위 셀의 순 쌍극자 모멘트는 극성 결정의 초전기와 동일한 가짜 벌크-표면 에너지를 유발할 수 있다. 액체나 고체와 같은 시뮬레이션된 시스템에 PBC를 적용한 또 다른 결과는 이 가상의 시스템이 모든 방향으로 무한하기 때문에 "주변"과 접촉하지 않는다는 것이다. 따라서 정전기 퍼텐셜과 같은 장거리 에너지 기여와 확장하여 전자와 같은 전하를 띤 입자의 에너지는 실험적 에너지 스케일에 자동으로 정렬되지 않는다. 수학적으로, 이 에너지 준위 모호성은 정전기 에너지의 합이 방법 사용자가 설정해야 하는 표면 항에 의존한다는 것에 해당한다.
주기적 경계 조건 요구 사항 및 인공물
시뮬레이션 상자의 크기는 또한 시뮬레이션의 비물리적인 위상수학으로 인해 주기적 아티팩트가 발생하는 것을 방지할 만큼 충분히 커야 한다. 너무 작은 상자에서는 고분자가 이웃 상자에 있는 자체 이미지와 상호 작용할 수 있는데, 이는 분자의 "머리"가 자신의 "꼬리"와 상호 작용하는 것과 기능적으로 동일하다. 이는 대부분의 고분자에서 매우 비물리적인 동역학을 생성하지만, 결과의 크기와 따라서 고분자 크기에 대한 적절한 상자 크기는 시뮬레이션의 의도된 길이, 원하는 정확성 및 예상되는 동역학에 따라 달라진다. 예를 들어, 단백질 접힘 시뮬레이션은 천연 상태에서 시작하면 더 작은 변동을 겪을 수 있으므로 무작위 코일 형태에서 시작하는 시뮬레이션만큼 큰 상자가 필요하지 않을 수 있다. 그러나 용매화 껍질이 관찰된 동역학(시뮬레이션 또는 실험에서)에 미치는 영향은 잘 이해되지 않고 있다. DNA 시뮬레이션을 기반으로 한 일반적인 권장 사항은 모든 차원에서 관심 분자 주변에 최소 1nm의 용매를 요구하는 것이다.
주기적 경계 조건 실제 구현: 연속성과 최소 이미지 관례
시뮬레이션 상자의 한 면을 통과한 객체는 반대편 면을 통해 다시 들어가야 한다. 또는 그 이미지가 그렇게 해야 한다. 분명히 전략적 결정이 필요하다. (A) 입자가 상자를 떠날 때 다시 시뮬레이션 상자로 "접어 넣을" 것인가, 아니면 (B) 계속 가게 할 것인가(그러나 가장 가까운 이미지와의 상호 작용을 계산할 것인가)? 이 결정은 시뮬레이션 과정에 영향을 미치지 않지만, 사용자가 평균 변위, 확산 길이 등에 관심이 있다면 두 번째 옵션이 선호된다.
PBC 알고리즘을 구현하려면 최소 두 단계가 필요하다.
좌표를 제한하는 것은 다음과 같은 코드로 설명할 수 있는 간단한 작업이다. 여기서 x_size는 한 방향의 상자 길이(원점을 중심으로 하는 직교 단위 셀 가정)이고 x는 같은 방향의 입자 위치이다.
객체 사이의 거리와 벡터는 최소 이미지 기준을 따라야 한다.
이는 다음 코드에 따라 구현할 수 있다(dx가 객체 i에서 객체 j로의 거리 방향 벡터인 1차원 시스템의 경우).
주기적 경계 조건 실제 구현: 연속성과 최소 이미지 관례
3차원 PBC의 경우, 두 작업 모두 3차원 모두에서 반복되어야 한다.
이러한 작업은 원점을 상자의 한 모서리로 이동하면 직교사각형 셀에 대해 훨씬 더 간결한 형태로 작성할 수 있다. 그러면 1차원에서 위치 및 거리에 대해 각각 다음과 같다.
원점을 왼쪽 아래 앞 모서리에 두는 직교 시뮬레이션 상자를 가정하면, 유효 입자 거리 계산을 위한 최소 이미지 관례는 위에서 보듯이 "가장 가까운 정수" 함수를 사용하여 계산할 수 있으며, 여기서는 C/C++ 코드이다.
이 작업을 수행하는 가장 빠른 방법은 프로세서 아키텍처에 따라 달라진다. dx의 부호가 중요하지 않은 경우 다음 방법이
2013년에 x86-64 프로세서에서 가장 빠른 것으로 나타났다.
직교 셀이 아닌 경우 상황은 더 복잡하다.
이온 시스템 시뮬레이션에서는 에발트 합과 같이 여러 상자 이미지를 가로지르는 장거리 쿨롱 상호 작용을 처리하기 위해 더 복잡한 작업이 필요할 수 있다.
주기적 경계 조건 단위 셀 기하학
PBC는 단위 셀이 3차원 결정으로 완벽하게 테셀레이션될 수 있는 모양이어야 한다. 따라서 구형 또는 타원형의 액적은 사용할 수 없다. 정육면체 또는 직육면체가 가장 직관적이고 일반적인 선택이지만, 중앙 고분자에서 멀리 떨어진 모서리에 불필요한 양의 용매 분자가 존재하여 계산 비용이 많이 들 수 있다. 더 적은 부피를 필요로 하는 일반적인 대안은 깎은 정팔면체이다.
2D 및 3D 공간 시뮬레이션의 경우, 큐빅 주기적 경계 조건이 코딩이 가장 간단하므로 가장 일반적으로 사용된다. 그러나 고차원 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션에서는 초입방체 주기적 경계 조건이 모서리가 공간의 대부분을 차지하기 때문에 효율성이 떨어질 수 있다. 일반적인 차원에서는 단위 셀을 특정 격자 채우기의 비그너-자이츠 셀로 볼 수 있다. 예를 들어, 초입방체 주기적 경계 조건은 초입방체 격자 채우기에 해당한다. 따라서 해당 차원의 밀집 채우기에 해당하는 단위 셀을 선택하는 것이 선호된다. 4D에서는 D4 격자이고, 8D에서는 E8 격자이다. 이러한 고차원 주기적 경계 조건의 구현은 정보 이론의 오류 정정 부호 접근 방식과 동일하다.
주기적 경계 조건 보존되는 속성
주기적 경계 조건에서 시스템의 선형 운동량은 보존되지만, 각운동량은 보존되지 않는다. 이 사실에 대한 일반적인 설명은 뇌터 정리에 기반을 두고 있으며, 각운동량 보존은 라그랑주 함수의 회전 불변성에서 비롯된다고 한다. 그러나 이 접근 방식은 일관성이 없는 것으로 나타났다. 즉, 주기적 셀에서 움직이는 단일 입자의 각운동량 보존이 없는 이유를 설명하지 못한다. 입자의 라그랑주 함수는 상수이며 회전 불변이지만, 입자의 각운동량은 보존되지 않는다. 이 모순은 뇌터 정리가 일반적으로 닫힌 시스템에 대해 정식화되기 때문에 발생한다. 주기적 셀은 인접 셀과 질량 운동량, 각운동량 및 에너지를 교환한다.
주기적 경계 조건 보존되는 속성
작은 바른틀 앙상블(입자 수, 부피, 에너지가 일정한 NVE로 약칭됨)에 적용할 때, 반사벽 대신 PBC를 사용하면 총 선형 운동량과 질량 중심의 위치 보존으로 인해 시뮬레이션 샘플링이 약간 변경된다. 이 앙상블은 "분자동역학 앙상블" 또는 NVEPG 앙상블이라고 불린다. 이러한 추가 보존량은 온도의 통계역학적 정의, 볼츠만 분포에서 벗어나는 속도 분포, 이종 질량을 가진 입자를 포함하는 시스템에 대한 등분배 원리 위반과 관련된 사소한 인공물을 도입한다. 이러한 효과 중 가장 간단한 것은 N개의 입자 시스템이 분자 동역학 앙상블에서 N-1개의 입자 시스템처럼 행동한다는 것이다. 이러한 인공물은 완벽하게 단단한 입자만 포함하는 작은 모형 시스템에 대해 정량화할 수 있는 결과를 가져오지만, 표준 생체 분자 시뮬레이션에서는 심층적으로 연구되지 않았으며, 그러한 시스템의 크기를 고려할 때 그 효과는 대체로 무시할 수 있다.
주기적 경계 조건 각주
Schlick, T. (2002). 《Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide》. Interdisciplinary Applied Mathematics 21. New York: Springer. ISBN 0-387-95404-X.  특히 272–6쪽을 참조.
그리스도의 시신
《그리스도의 시신》(영어: Corpse of Christ)은 이탈리아 바로크 거장 안니발레 카라치가 약 1583년에서 1585년 사이에 그린 회화이다. 현재 독일 슈투트가르트의 슈타츠갤러리에 소장되어 있다.
이 작품은 카라치의 초기 시기에 제작된 작품에 속하며, 안드레아 만테냐의 1480년경 작품 《그리스도에 대한 애도》(브레라 미술관 소장)에 대한 분명한 오마주로, 그는 이를 알도브란디니가 소장품에서 보았을 가능성이 있다. 작품 속에서 그리스도는 뒤틀린 자세로 누워 있으며, 발 쪽에서 바라본 모습으로 묘사되어 있다. 그의 발 앞에는 가시관, 손과 발에 박혔던 못, 그리고 못을 뽑는 데 사용된 집게가 놓여 있다. 이러한 물건들은 아르마 크리스티, 즉 그리스도의 수난의 도구라 불린다. 만테냐와는 달리 카라치는 곁에서 슬퍼하는 인물들을 그리지 않았으며, 보다 사실적인 인체 묘사를 선택했다.
이온 수송수
화학에서 이온 수송수(영어: Ion transport number)는 운반율(영어: transference number)이라고도 불리며, 주어진 이온 종 i에 의해 전해질에서 전달되는 총 전류의 비율이다.
수송수의 차이는 전기 이동도의 차이에서 발생한다. 예를 들어, 염화 나트륨의 수용액에서 양전하를 띠는 나트륨 이온(양이온)이 운반하는 전류는 절반 미만이며, 음전하를 띠는 염화물 이온(음이온)이 운반하는 전류는 절반 이상이다. 이는 염화물 이온이 더 빠르게 움직일 수 있기 때문이다. 즉, 염화물 이온은 나트륨 이온보다 이동도가 더 높다. 용액 내 모든 이온에 대한 수송수의 합은 항상 1이다.
수송수의 개념과 측정은 요한 빌헬름 히토르프가 1853년에 도입했다. 용액 내 이온들의 이온 수송수가 다르면 액체 접합 전위가 발생할 수 있다.
농도가 0일 때, 극한 이온 수송수는 양이온(), 음이온(), 그리고 전해질()의 극한 몰 전도도로 표현될 수 있다.
이온 수송수
이고
여기서 와 는 전해질의 화학식 단위당 각각 양이온과 음이온의 수이다. 실제로는 측정된 이온 수송수와 총 몰 전도도에서 몰 이온 전도도를 계산한다. 양이온의 경우 이며, 음이온도 마찬가지이다. 이온 복합체 형성 또는 결합이 중요한 용액에서는 두 가지 다른 수송/운반율을 정의할 수 있다.
전하를 전달하는 이온(예: 리튬 이온 전지의 Li+)의 높은(즉, 1에 가까운) 운반율이 실질적으로 중요한 이유는 단일 이온 장치(예: 리튬 이온 전지)에서 이온의 운반율이 1에 가까운 전해질은 농도 기울기가 발생하지 않기 때문이다. 충방전 주기 동안 일정한 전해질 농도가 유지된다. 다공성 전극의 경우, 전해질의 이온 전도도가 감소하더라도 고전류 밀도에서 고체 전기 활성 물질을 더욱 완전하게 활용할 수 있다.
이온 수송수 실험적 측정
수송수를 결정하는 데는 여러 가지 실험 기법이 있다. 히토르프 방법은 전극 근처의 이온 농도 변화를 측정하는 것에 기반을 둔다. 이동 경계 방법은 전류에 의해 두 용액 사이의 경계가 이동하는 속도를 측정하는 것을 포함한다.
이온 수송수 실험적 측정
이 방법은 독일의 물리학자 요한 빌헬름 히토르프가 1853년에 개발했으며, 전극 근처 전해질 용액의 농도 변화 관찰에 기반한다. 히토르프 방법에서는 애노드, 중앙, 캐소드의 세 가지 구획을 가진 전지에서 전기분해가 수행된다. 애노드와 캐소드 구획의 농도 변화를 측정하여 수송수를 결정한다. 정확한 관계는 두 전극에서의 반응의 성격에 따라 달라진다. 예를 들어, 황산 구리(II) (CuSO4) 수용액의 전기분해에서 Cu2+(aq) 및 SO2−4(aq) 이온을 사용하면, 캐소드 반응은 Cu2+(aq) + 2 e−  →  Cu(s) 환원이고 애노드 반응은 Cu의 Cu2+로의 해당 산화이다. 캐소드에서  쿨롱의 전기가 통과하면  몰의 Cu2+가 환원된다. 여기서 는 패러데이 상수이다. Cu2+ 이온이 전류의  부분을 운반하므로 캐소드 구획으로 유입되는 Cu2+의 양은  몰이므로 캐소드 구획의 Cu2+는 순수하게  만큼 감소한다. 이 감소는 화학 분석으로 측정하여 수송수를 평가할 수 있다. 애노드 구획 분석은 확인을 위한 두 번째 값 쌍을 제공하며, 실험 시간 동안 용질의 확산으로 인해 상당한 혼합이 발생하여 결과가 무효화되지 않는 한 중앙 구획의 농도 변화는 없어야 한다.
이온 수송수 실험적 측정
이 방법은 영국의 물리학자 올리버 로지가 1886년, 윌리엄 세실 댐피어가 1893년에 개발했다. 이는 전기장의 영향을 받아 두 인접한 전해질 사이의 경계 이동에 의존한다. 유색 용액을 사용하고 인터페이스가 합리적으로 선명하게 유지되면, 이동하는 경계의 속도를 측정하고 이를 사용하여 이온 운반율을 결정할 수 있다.
지시 전해질의 양이온은 수송수를 결정하려는 양이온보다 빠르게 움직여서는 안 되며, 주 전해질과 동일한 음이온을 가져야 한다. 또한 주 전해질(예: HCl)은 지시 전해질 위에 뜨도록 가볍게 유지된다. 염화 카드뮴(CdCl2)은 Cd2+가 H+보다 이동성이 낮고 Cl−는 CdCl2와 주 전해질 HCl 모두에 공통적이기 때문에 가장 잘 작용한다.
이온 수송수 실험적 측정
예를 들어, 염산 (HCl(aq))의 수송수는 카드뮴 애노드와 Ag-AgCl 캐소드 사이의 전기분해를 통해 결정될 수 있다. 애노드 반응은 Cd  →  Cd2+ + 2 e−이므로 실험 중에 애노드 근처에 염화 카드뮴 (CdCl2) 용액이 형성되어 캐소드 쪽으로 이동한다. 브로모페놀 블루와 같은 산-염기 지시약을 첨가하여 산성 HCl 용액과 거의 중성인 CdCl2 용액 사이의 경계를 보이게 한다. 선행 용액인 HCl이 지시 용액인 CdCl2보다 높은 전도도를 가지므로 동일한 전류를 운반하기 위해 낮은 전기장을 가지기 때문에 경계는 날카롭게 유지되는 경향이 있다. 더 이동성이 높은 H+ 이온이 CdCl2 용액으로 확산되면 더 높은 전기장에 의해 경계로 빠르게 가속될 것이다. 더 이동성이 낮은 Cd2+ 이온이 HCl 용액으로 확산되면 더 낮은 전기장에서 감속되어 CdCl2 용액으로 돌아갈 것이다. 또한 장치는 애노드가 캐소드 아래에 있도록 구성되어 밀도가 더 높은 CdCl2 용액이 바닥에 형성된다.
선행 용액의 양이온 수송수는 다음과 같이 계산된다.
여기서 는 양이온 전하, c는 농도, L은 시간 Δt 동안 경계가 이동한 거리, A는 단면적, F는 패러데이 상수, I는 전류이다.
이 값은 이온 수송이 있거나 없는 두 농담전지의 함수 의 기울기에서 계산할 수 있다.
수송 농도 전지의 기전력은 양이온의 수송수와 활동 계수 모두를 포함한다.
여기서 와 은 각각 오른쪽 및 왼쪽 전극의 HCl 용액 활동도이고, 은 Cl−의 수송수이다.
이 방법은 전류 인가 시 전기화학 전지 내 NMR 활성 핵(일반적으로 1H, 19F, 7Li)을 포함하는 이온 분포의 자기공명영상에 기반한다.
활동 계수
열역학에서 활동 계수(영어: activity coefficient)는 화학 물질 혼합물이 이상적인 거동에서 벗어나는 것을 설명하는 데 사용되는 요소이다. 이상 용액에서 각 화학종 쌍 간의 미시적 상호 작용은 동일하며 (또는 거시적으로 동일하게, 용해열 및 혼합 시 부피 변화는 0임), 그 결과 혼합물의 특성은 존재하는 물질의 단순한 농도 또는 부분 압력(예: 라울의 법칙)으로 직접 표현될 수 있다. 이상성으로부터의 편차는 활동 계수로 농도를 수정하여 조정된다. 유사하게, 기체와 관련된 표현식은 퓨가시티 계수로 부분 압력을 조정하여 비이상성을 조정할 수 있다.
활동 계수 개념은 화학 활동 개념과 밀접하게 관련되어 있다.
활동 계수 열역학적 정의
액체 이상 용액 또는 이상 용액 내 물질 B의 화학 퍼텐셜, 는 다음과 같이 주어진다.
,
여기서 μoB는 순수 물질 의 화학 퍼텐셜이며, 는 혼합물 내 해당 물질의 몰분율이다.
이는 다음을 사용하여 비이상적인 거동을 포함하도록 일반화된다.
여기서 는 혼합물 내 물질의 활동도이며,
,
여기서 는 활동 계수이며, 이는 에 따라 달라질 수 있다. 가 1에 가까워질수록 물질은 이상적인 것처럼 거동한다. 예를 들어,  ≈ 1이면 라울의 법칙이 정확하다.  > 1 및  < 1인 경우, 물질 B는 각각 라울의 법칙에서 양의 편차와 음의 편차를 보인다. 양의 편차는 물질 B가 더 휘발성임을 의미한다.
많은 경우에 가 0에 가까워질수록 물질 B의 활동 계수는 상수에 가까워진다. 이 관계는 용매에 대한 헨리의 법칙이다. 이러한 관계는 깁스-듀헴 방정식을 통해 서로 관련되어 있다.
일반적으로 활동 계수는 무차원량이라는 점에 유의해야 한다.
자세히: 라울의 법칙은 구성 요소 B의 부분 압력이 액체상에서의 증기압(포화 압력) 및 몰분율 와 관련이 있다고 명시한다.
관례에 따라

즉, 순수 액체는 이상적인 경우를 나타낸다.
활동 계수 열역학적 정의
무한 희석에서 활동 계수는 극한 값인 ∞에 가까워진다. 헨리의 법칙과 비교하면 다음과 같다.
즉시 다음을 제공한다.
즉, 화합물은 희석된 경우 비이상적인 거동을 보인다.
위에 제시된 활동 계수의 정의는 화합물이 순수 액체로 존재하지 않는 경우 비실용적이다. 이는 전해질이나 생화학 화합물의 경우에 자주 발생한다. 이러한 경우, 무한 희석을 이상적인 상태로 간주하는 다른 정의가 사용된다.
여기서

그리고
여기서  기호는 두 가지 종류의 활동 계수를 구별하는 데 사용되었다. 일반적으로 어떤 종류가 의미하는지 문맥상 명확하므로 생략된다. 그러나 두 가지 종류의 활동 계수가 모두 필요하고 심지어 동일한 방정식에 나타날 수도 있는 경우가 있다(예: (물 + 알코올) 혼합물 내 염 용액). 이는 때때로 오류의 원인이 되기도 한다.
활동 계수로 몰분율 또는 농도를 수정하면 구성 요소의 유효 활동이 제공되어 라울의 법칙 및 평형 상수와 같은 표현을 이상적인 혼합물과 비이상적인 혼합물 모두에 적용할 수 있다.
활동 계수 열역학적 정의
활동 계수에 대한 지식은 전기화학 분야에서 특히 중요한데, 전해질 용액의 거동은 이온 분위기의 영향으로 인해 낮은 밀도에서도 이상적이지 않은 경우가 많기 때문이다. 또한, 용매의 부피가 적고 결과적으로 전해질의 농도가 높기 때문에 토양 화학 분야에서도 특히 중요하다.
용액에서 이온화되는 물질의 용액의 경우, 양이온과 음이온의 활동 계수는 용액 특성이 두 이온에 모두 의존하기 때문에 서로 독립적으로 실험적으로 결정할 수 없다. 단일 이온 활동 계수는 해리되지 않은 것처럼 용해된 전해질의 활동 계수에 연결되어야 한다. 이 경우 용해된 전해질의 평균 화학량론적 활동 계수 γ±가 사용된다. 이는 용액의 이상성으로부터의 편차와 이온 화합물의 불완전한 이온 해리(특히 농도가 증가함에 따라 발생)를 모두 표현하므로 화학량론적이라고 불린다.
NaCl과 같은 1:1 전해질의 경우 다음과 같이 주어진다.
여기서 와 는 각각 양이온과 음이온의 활동 계수이다.
보다 일반적으로,  공식의 화합물의 평균 활동 계수는 다음과 같이 주어진다.
활동 계수 열역학적 정의
단일 이온 활동 계수가 독립적으로 측정 불가능하거나, 심지어 물리적으로 무의미하다는 지배적인 견해는 1920년대 후반 구겐하임의 연구에 뿌리를 두고 있다. 이 관점에서, 물리적 전기화학 퍼텐셜을 활동 기여와 갈바니 전위 기여로 분할하는 것은 자의적이며, 따라서 이온 활동의 비이상성은 갈바니 전위의 비이상성으로 다시 매핑될 수 있고 그 반대도 마찬가지이다. 그럼에도 불구하고, 특정 활동 곱(예: )은 이 분할에 어쨌든 둔감한 전하 중성 화학량론을 반영하므로, 단일 이온 활동이 물리적으로 무의미하더라도 이러한 곱은 물리적으로 의미가 있다. 그러나 화학자들은 단일 이온 활동의 개념, 그리고 암묵적으로 단일 이온 활동 계수의 개념을 포기할 수 없었다. 예를 들어, pH는 수소 이온 활동의 음의 로그로 정의된다. 만약 단일 이온 활동의 물리적 의미와 측정 가능성에 대한 지배적인 견해가 옳다면, pH를 수소 이온 활동의 음의 로그로 정의하는 것은 이 양을 측정 불가능한 범주에 정확히 놓게 된다. 이러한 논리적 어려움을 인식하고 국제 순수·응용 화학 연합 (IUPAC)은 pH의 활동 기반 정의가 단지 명목상의 정의일 뿐이라고 명시한다. 단일 이온 계수의 측정 가능성에 대한 지배적인 부정적 견해에도 불구하고, 단일 이온 활동의 개념은 문헌에서 계속 논의되고 있다.
활동 계수 활동 계수의 실험적 결정
활동 계수는 비이상적인 혼합물에 대한 측정을 통해 실험적으로 결정될 수 있다. 라울의 법칙 또는 헨리의 법칙을 사용하여 이상적인 혼합물에 대한 값을 제공하고, 이를 실험값과 비교하여 활동 계수를 얻을 수 있다. 삼투압과 같은 다른 총괄성도 사용할 수 있다.
활동 계수는 방사화학적 방법을 통해 결정할 수 있다.
이성분 혼합물의 활동 계수는 종종 각 성분의 무한 희석에서 보고된다. 활동 계수 모델이 무한 희석에서 단순화되기 때문에, 이러한 경험적 값은 상호 작용 에너지를 추정하는 데 사용될 수 있다. 물에 대한 예시는 다음과 같다.
활동 계수 활동 계수의 이론적 계산
전해질 용액의 활동 계수는 데바이-휘켈 방정식 또는 데이비스 방정식, 피처 방정식 또는 TCPC 모델와 같은 확장된 방정식을 사용하여 이론적으로 계산할 수 있다. 특정 이온 상호작용 이론 (SIT)도 사용될 수 있다.
비전해질 용액의 경우, 적합한 구성 요소별 또는 모델 파라미터가 있는 경우 UNIQUAC, NRTL, MOSCED 또는 UNIFAC과 같은 상관 방법이 사용될 수 있다. COSMO-RS는 각 분자에 특정한 양자역학 계산(시그마 프로필)과 표면 세그먼트의 통계 열역학적 처리를 결합하여 필요한 정보를 얻으므로 모델 파라미터에 덜 의존하는 이론적 방법이다.
전하가 없는 종의 경우, 활동 계수 γ0는 대부분 염석 모델을 따른다.
이 간단한 모델은 많은 종 (CO2, H2S, NH3와 같은 용해된 비해리 기체, 비해리 산 및 염기)의 활동을 높은 이온 강도 (최대 5 mol/kg)까지 예측한다. CO2에 대한 상수 b의 값은 10 °C에서 0.11이고 330 °C에서 0.20이다.
물을 용매로 사용할 때, 활동 aw는 다음을 사용하여 계산할 수 있다.
활동 계수 활동 계수의 이론적 계산
여기서 ν는 용해된 염 한 분자의 해리로부터 생성되는 이온의 수, b는 물에 용해된 염의 몰랄 농도, φ는 물의 삼투 계수, 그리고 상수 55.51은 물의 몰랄 농도를 나타낸다. 위 방정식에서 용매(여기서는 물)의 활동은 용매 입자의 수에 대한 염 입자의 수에 반비례하는 것으로 표현된다.
이온 활동 계수는 전해질의 데바이-휘켈 이론에서 얻은 공식에 의해 이온 반지름과 연결된다.
여기서 A와 B는 상수이고, zi는 이온의 원자가이며, I는 이온 강도이다.
이온 활동 계수는 이론적으로 계산할 수 있다. 예를 들어, 데바이-휘켈 방정식을 사용하여 계산할 수 있다. 이 이론적 방정식은 계산된 단일 이온 활동 계수를 결합하여 실험값과 비교할 수 있는 평균값을 얻음으로써 검증할 수 있다.
농축 이온 용액의 경우, 1948년 스토크스와 로빈슨이 수화 모델에서 수행한 것처럼 이온의 수화를 고려해야 한다. 전해질의 활동 계수는 E. 글루카우프가 로빈슨-스토크스 모델을 수정하여 전기적 성분과 통계적 성분으로 나뉜다.
통계적 부분에는 용매화 껍질 h, 해리로부터의 이온 수 및 전해질의 겉보기 몰 부피와 물의 몰 부피 및 몰랄 농도 b 사이의 비율 r이 포함된다.
활동 계수 활동 계수의 이론적 계산
활동 계수의 농축 용액 통계적 부분은 다음과 같다.
스토크스-로빈슨 모델은 다른 연구자들에 의해 분석되고 개선되었다. 전해질 활동 계수가 높은 농도에서 수화 변화에 의해 좌우된다는 이 널리 받아들여지는 아이디어의 문제는 물 활동이 깁스-듀헴 방정식이라는 열역학적 관계에 의해 부과된 것처럼 이온 자체의 농도에 완전히 의존한다는 것이다. 이는 활동 계수와 해당 물 활동이 분자 수준 가설과 관계없이 근본적으로 연결되어 있음을 의미한다. 이러한 높은 상관 관계로 인해 이러한 가설은 만족스럽게 테스트하기에 충분히 독립적이지 않다.
대부분의 수성 강한 전해질 시스템에서 발견되는 활동 계수의 증가는 이온 간에 사용 가능한 공간이 줄어들면서 같은 전하를 띠는 이온들 사이에 증가하는 정전기적 반발로 설명할 수 있다. 이로 인해 데바이와 휘켈이 설명한 낮은 농도에서 양이온과 음이온 사이의 초기 인력은 점차 극복된다. 이러한 정전기적 반발은 주로 두 개의 동일 전하 이온이 평균적으로 그리고 거리를 두고 동일한 반대 이온과 상호 작용하는 이른바 이온 삼중체(ion trios)의 형성을 통해 일어난다고 제안되었다. 이 모델은 수많은 3-이온 수성 전해질 혼합물이 나타내는 활동 및 삼투 계수의 실험적 패턴을 정확하게 재현한다.
활동 계수 상태 변수에 대한 의존성
온도에 대한 활동 계수의 미분은 초과 몰 엔탈피와 다음과 같이 관련된다.
마찬가지로, 압력에 대한 활동 계수의 미분은 초과 몰 부피와 관련될 수 있다.
활동 계수 화학 평형에 대한 적용
평형 상태에서 반응물의 화학 퍼텐셜의 합은 생성물의 화학 퍼텐셜의 합과 같다. 반응에 대한 깁스 자유 에너지 변화 ΔrG는 이 합들의 차이와 같으며, 따라서 평형 상태에서는 0과 같다. 따라서 다음과 같은 평형에 대해
각 반응물의 화학 퍼텐셜에 대한 표현을 대입한다.
재배열하면 이 표현은 다음과 같다.
합
σμoS + τμoT − αμoA − βμoB는 반응에 대한 표준 자유 에너지 변화, 이다.
따라서,
여기서 K는 평형 상수이다. 활동과 평형 상수는 무차원 숫자라는 점에 유의한다.
이 유도는 두 가지 목적을 수행한다. 표준 자유 에너지 변화와 평형 상수 사이의 관계를 보여준다. 또한 평형 상수가 활동의 몫으로 정의된다는 것을 보여준다. 실질적으로 이것은 불편하다. 각 활동이 농도와 활동 계수의 곱으로 대체될 때, 평형 상수는 다음과 같이 정의된다.
여기서 [S]는 S의 농도 등을 나타낸다. 실제로 평형 상수는 활동 계수의 몫이 일정하고 무시할 수 있는 매체에서 결정되어 일반적인 표현으로 이어진다.
이는 활동 몫이 특정 (일정한) 값을 가질 때 적용된다.
보른 방정식
보른 방정식(영어: Born equation)은 이온의 깁스 자유 에너지의 용해의 정전기적 성분을 추정하는 데 사용될 수 있다. 이 방정식은 용매를 연속적인 유전 매체로 취급하는 정전기 모델이다(따라서 연속체 용매화 방법으로 알려진 방법들 중 하나이다).
이 방정식은 막스 보른에 의해 유도되었다.

여기서:
보른 방정식 유도
정전기장 분포에 저장된 에너지 U는 다음과 같다:유전 상수 εr인 매질 내 이온의 전기장 크기는 이고, 부피 요소 는 로 표현될 수 있음을 알면, 에너지 는 다음과 같이 쓸 수 있다:  따라서, 기체상 (εr = 1)에서 유전 상수 εr인 매질로 이온이 용매화될 때의 에너지는 다음과 같다:
디바이 길이
플라스마와 전해질에서 디바이 길이  (디바이 반경(Debye radius) 또는 디바이–휘켈 차폐 길이(Debye–Hückel screening length))는 전하 운반자의 용액 내 순 정전기 효과와 그 정전기 효과가 얼마나 멀리 지속되는지를 측정하는 값이다. 각 디바이 길이마다 전하는 점점 더 전기적으로 차폐되고 전위는 e만큼 감소한다. 디바이 구(Debye sphere)는 반경이 디바이 길이인 부피이다. 디바이 길이는 플라스마 물리학, 전해질, 콜로이드 (DLVO 이론)에서 중요한 매개변수이다.
밀도 , 전하 , 온도 를 가진 입자로 구성된 플라스마의 디바이 길이는 로 주어진다. 해당 디바이 차폐 파수는 로 주어진다. 매우 낮은 온도()에서의 유사한 양들은 각각 토마스-페르미 길이와 토마스-페르미 파수로 알려져 있다. 이들은 실온의 금속과 고온 고밀도 물질에서 전자의 거동을 설명하는 데 중요하다.
디바이 길이는 네덜란드-미국 물리학자이자 화학자이며 노벨 화학상 수상자인 피터 디바이(1884–1966)의 이름을 따서 명명되었다.
디바이 길이 물리적 기원
디바이 길이는 플라스마, 전해질 용액, 반도체와 같은 이동 가능한 전하를 가진 물질을 설명할 때 자연스럽게 나타난다. 이러한 물질에서 전하는 물질 내부에 유도된 전기장을 특정 특성 길이로 자연스럽게 차폐한다. 이 특성 길이가 디바이 길이이다.
이 값은 개의 서로 다른 종류의 대전 입자 시스템에 대해 수학적으로 도출될 수 있으며, 여기서 번째 종류는 전하 를 가지고 위치 에서 농도 를 가진다.
이 매질 내의 대전 입자 분포는 푸아송 방정식을 만족하는 전위 를 발생시킨다.

여기서 는 매질의 유전율이며, 는 매질의 일부가 아닌 모든 정적 전하 밀도이다.
이동 전하는 에만 영향을 미치는 것이 아니라 해당 쿨롱 힘, 으로 인해 의 영향을 받기도 한다.
시스템이 온도 에 있다고 추가로 가정하면, 평균장 이론의 가정 하에 전하 농도 는 볼츠만 분포로 향하는 경향이 있다고 볼 수 있다.

여기서 는 볼츠만 상수이고 는 종류 전하의 평균 농도이다.
푸아송 방정식의 순간 농도와 전위를 볼츠만 분포의 평균장 대응값과 동일시하면 푸아송–볼츠만 방정식이 나온다.
디바이 길이 물리적 기원
이 비선형 방정식의 해는 일부 간단한 시스템에 대해 알려져 있다. 더 일반적인 시스템의 해는 고온 (약한 결합) 한계, 에서 지수 함수를 테일러 전개하여 얻을 수 있다.
이 근사는 선형화된 푸아송–볼츠만 방정식으로 이어진다.

이는 또한 디바이–휘켈 방정식으로도 알려져 있다.
오른쪽 항의 두 번째 항은 전기적으로 중성인 시스템에서는 사라진다. 괄호 안의 항을 로 나눈 값은 역 길이 제곱의 단위를 가지며, 차원 해석에 의해 특성 길이 스케일의 정의로 이어진다.
이 길이 스케일을 디바이–휘켈 방정식에 대입하고 오른쪽 항의 두 번째 및 세 번째 항을 무시하면 훨씬 단순화된 형태인 이 나온다. 디바이–휘켈 방정식에서 유일한 특성 길이 스케일인 는 전위 및 대전 종의 농도 변화의 스케일을 설정한다. 모든 대전 종은 전하의 부호와 관계없이 같은 방식으로 디바이 길이에 기여한다.
디바이 차폐를 설명하기 위해 플라스마에 놓인 점전하의 예를 들 수 있다. 그러면 외부 전하 밀도는 가 되고, 결과적인 전위는

매질에 의해 순수한 쿨롱 전위는 디바이 길이만큼의 거리에서 지수적으로 차폐된다. 이를 디바이 차폐 또는 가림이라고 한다.
디바이 길이는 비에룸 길이 로 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 는 번째 이온 종의 전하와 기본 전하 를 관련시키는 정수 전하 수이다.
디바이 길이 플라스마에서
약하게 충돌하는 플라스마의 경우, 디바이 차폐는 플라스마의 입자 특성을 고려하여 매우 직관적인 방식으로 도입될 수 있다. 한 전자를 중심으로 구를 상상하고, 쿨롱 반발력이 있을 때와 없을 때 이 구를 통과하는 전자의 수를 비교해 보자. 반발력이 있을 때는 이 수가 더 적다. 따라서 가우스 정리(Gauss theorem)에 따르면 첫 번째 전자의 겉보기 전하는 반발력이 없을 때보다 작다. 구의 반경이 클수록 편향되는 전자의 수가 많아지고, 겉보기 전하는 작아진다. 이것이 디바이 차폐이다. 입자의 전체 편향에는 다른 많은 입자들의 기여가 포함되므로, 전자 밀도는 변하지 않으며, 랑뮤어 탐침 옆에서 작동하는 차폐(shielding at work next to a Debye sheath)와는 다르다. 이온은 반대 부호의 전하에 대한 쿨롱 인력 편향으로 인해 차폐에 비슷한 기여를 한다.
디바이 길이 플라스마에서
이 직관적인 그림은 디바이 차폐의 효과적인 계산으로 이어진다(참고:의 섹션 II.A.2). 볼츠만 분포 가정은 이 계산에서 필요하지 않다. 어떤 입자 분포 함수에도 적용된다. 이 계산은 또한 약하게 충돌하는 플라스마를 연속 매질로 근사하는 것을 피한다. N체 계산에 따르면 한 입자에 의한 다른 입자의 순수한 쿨롱 가속도는 다른 모든 입자에 의해 매개되는 기여에 의해 변형되는데, 이는 디바이 차폐의 특징이다(참고:의 섹션 8). 무작위 입자 위치에서 시작할 때, 차폐가 시작되는 전형적인 시간 척도는 열 입자가 디바이 길이를 가로지르는 시간, 즉 플라스마 주파수의 역수이다. 따라서 약하게 충돌하는 플라스마에서 충돌은 협력적인 자기 조직화 과정인 디바이 차폐를 유도함으로써 필수적인 역할을 한다. 이 차폐는 쿨롱 산란(쿨롱 충돌) 계산에서 유한 확산 계수를 얻는 데 중요하다.
디바이 길이 플라스마에서
비등온 플라스마에서는 전자의 온도와 무거운 종의 온도가 다를 수 있지만, 배경 매질은 진공으로 간주할 수 있으며 (), 디바이 길이는 다음과 같다.

여기서
준중성 저온 플라스마에서도 이온 온도가 낮아 이온 기여가 사실상 더 커 보이는 경우에도 이온 항은 종종 생략되어 다음을 얻는다.

이는 이온의 이동성이 공정의 시간 스케일에 비해 무시할 수 있을 때만 유효하다. 이 방정식의 유용한 형태는 다음과 같다.

여기서 는 cm 단위, 는 eV 단위, 는 1/cm3 단위이다.
전자 밀도가 비교적 낮은 우주 플라스마에서 디바이 길이는 자기권, 태양풍, 성간 물질, 은하간 물질과 같이 거시적인 값에 도달할 수 있다. 아래 표를 참고하라.
디바이 길이 전해질 용액에서
전해질 또는 콜로이드 현탁액에서 일가 전해질의 디바이 길이는 일반적으로 기호 κ−1로 표시된다.
여기서
또는 대칭적인 일가 전해질의 경우,

여기서
또는,

여기서 는 매질의 비에룸 길이 (단위: nm)이며,
 인수는 단위 부피를 세제곱 dm에서 세제곱 nm로 변환한 것이다.
상온의 탈이온수 (pH=7)에서 λB ≈ 0.71 nm이다.
상온 (20 °C or 70 °F)의 물에서 다음 관계를 고려할 수 있다.

여기서
액체에서 전도도를 사용하여 디바이 길이의 근사치를 추정하는 방법이 ISO 표준과 서적에 설명되어 있다.
디바이 길이 반도체에서
리소그래피 기술의 발전으로 더 작은 기하학적 구조가 가능해지면서 디바이 길이는 고체 소자 모델링에서 점점 더 중요해지고 있다.
반도체의 디바이 길이는 다음과 같다.

여기서
도핑 프로파일이 디바이 길이를 초과하면 다수 캐리어는 더 이상 도펀트 분포에 따라 거동하지 않는다. 대신, 도핑 기울기의 프로파일 측정은 다수 캐리어 밀도의 프로파일과 더 잘 일치하는 "유효" 프로파일을 제공한다.
고체와 관련하여 디바이 길이 대신 토마스-페르미 차폐 길이가 필요할 수 있다.
전기화학 동역학
전기화학 동역학(영어: Electrochemical kinetics)은 전기화학 공정의 반응 속도를 연구하는 전기화학 분야이다. 여기에는 농도 및 전위와 같은 공정 조건이 전극 표면에서 발생하는 산화 및 환원(산화·환원 반응) 반응 속도에 어떤 영향을 미치는지에 대한 연구와 전기화학적 반응 과정에 대한 조사가 포함된다. 전기화학 반응에는 두 가지 수반되는 과정이 포함되며 전체 반응 속도에 영향을 미친다.
이 분야에 기여한 사람들은 알렉산더 프룸킨, 존 앨프리드 발렌타인 버틀러, 막스 폴머, 율리우스 타펠이 있다.