hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
다자 얽힘 다자 얽힘 측정
이는 다자 상태를 위해 특별히 구성된 최초의 얽힘 측정 중 하나이다.
정의:
의 최솟값, 여기서 은 곱셈 기반에서 상태 확장의 항 수이다.
이 측정은 상태가 완전히 곱셈일 때에만 0이다. 따라서 진정한 다자 얽힘과 이분할 얽힘을 구별할 수 없지만, 많은 상황에서 유용할 수 있다.
이것은 상태 분류의 맥락에서 얻어진 흥미로운 다자 얽힘 측정 종류이다. 즉, 상태의 임의의 동차 함수를 고려한다. 만약 SLOCC(확률적 LOCC) 연산 하에서 결정자가 1과 같을 때 불변이라면, 그것은 강한 의미에서 얽힘 단조 함수이다. 즉, 강한 단조성 조건을 만족한다.
미야케(Miyake)는 초행렬식이 얽힘 단조 함수이며, 의 곱과 같은 상태는 얽힘이 0이라는 의미에서 진정한 다자 얽힘을 설명함을 증명했다. 특히 합치도와 엉킴은 초행렬식의 특수한 경우이다. 실제로 두 개의 큐비트에 대한 합치도는 단순히 행렬식의 절댓값이며, 이는 1차 초행렬식이다. 반면 엉킴은 2차 초행렬식, 즉 세 개의 인덱스를 가진 텐서의 함수이다.
다자 얽힘 다자 얽힘 측정
의 기하학적 얽힘 측정은 다음 값의 최솟값이다.
모든 분리 가능한 상태 에 대해.
이 접근 방식은 구별 가능한 입자 또는 스핀 시스템에 적용된다. 동일하거나 구별 불가능한 페르미온 또는 보손의 경우, 전체 힐베르트 공간은 각 개별 입자의 텐서곱이 아니다. 따라서 간단한 수정이 필요하다. 예를 들어, 동일한 페르미온의 경우, 전체 파동 함수 가 완전히 반대칭이므로 도 그러해야 한다. 즉, 를 근사화하기 위해 취해진 는 슬레이터 행렬식 파동 함수여야 한다.
이 얽힘 측정은 도움의 얽힘의 일반화이며 스핀 사슬의 맥락에서 구성되었다. 즉, 두 스핀을 선택하고 그들 사이에 가능한 가장 큰 이분할 얽힘(두 이분할 상태에 대해 선택된 얽힘 측정에 따라 측정됨)을 얻는 것을 목표로 하는 LOCC 연산을 수행한다.
다자 얽힘 더 읽어보기
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그린버거-혼-차일링거 상태
물리학의 양자 정보 이론 분야에서 그린버거-혼-차일링거 상태(영어: Greenberger–Horne–Zeilinger state, GHZ state)는 최소 세 개의 하위 시스템([[입자] 상태, 큐비트, 또는 큐디트)을 포함하는 얽힌 양자 상태이다. 이 상태를 처음 기술한 세 저자의 이름을 따서 명명된 GHZ 상태는 모든 고전적인 국소적 숨은 변수 이론의 예측과 직접적으로 모순되는 실험 결과를 예측한다. 이 상태는 양자 컴퓨팅에 응용된다.
그린버거-혼-차일링거 상태 역사
4-입자 버전은 1989년 대니얼 그린버거, 마이클 혼 및 안톤 차일링거에 의해 처음 연구되었다. 다음 해 애브너 시모니가 합류하여 데이비드 머민의 제안을 바탕으로 3-입자 버전을 발표했다. 이러한 상태에 대한 실험 측정은 국소성과 인과율에 대한 직관적인 개념과 모순된다. 많은 수의 큐비트에 대한 GHZ 상태는 다른 큐비트 중첩 상태에 비해 계측 성능을 향상시키는 것으로 이론화되었다.
그린버거-혼-차일링거 상태 정의
GHZ 상태는 3개의 큐비트에 대한 얽힌 양자 상태이며 다음과 같이 쓸 수 있다:

여기서 큐비트의 0 또는 1 값은 두 물리적 상태에 해당한다. 예를 들어, 두 상태는 물리적 축을 따라 스핀 다운 및 스핀 업에 해당할 수 있다. 물리학 응용에서 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다:

여기서 상태의 번호 매기기는 스핀 고유값을 나타낸다.
GHZ 상태의 또 다른 예는 얽힌 상태에 있는 세 개의 광자이며, 좌표계에 대해 모든 수평 편광 (HHH) 또는 모든 수직 편광 (VVV)의 중첩 상태에 있다. GHZ 상태는 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다:
측정 이전에 광자들의 편광은 불확정하다. 두 채널 편광자를 사용하여 광자 중 하나에 대해 좌표계 축에 정렬된 측정을 수행하면 각 방향이 50% 확률로 관찰된다. 그러나 상태에 대한 세 가지 측정 결과 모두 동일한 결과를 제공한다: 세 편광 모두 동일한 축을 따라 관찰된다.
그린버거-혼-차일링거 상태 정의
일반화된 GHZ 상태는 M > 2 하위 시스템의 얽힌 양자 상태이다. 각 시스템이  차원을 가지고, 즉 국소 힐베르트 공간이 와 동형인 경우, -부분 시스템의 전체 힐베르트 공간은 이다. 이 GHZ 상태는 -부분 큐디트 GHZ 상태라고도 불린다.
텐서곱 형식의 공식은 다음과 같다:
.
각 하위 시스템이 2차원인 경우, 즉 M 큐비트의 집합인 경우, 다음과 같이 읽힌다:
그린버거-혼-차일링거 상태 GHZ 실험
양자 컴퓨팅 언어에서 각 광자의 편광 상태는 큐비트이며, 이 큐비트의 기저는 다음과 같이 선택할 수 있다:
및 에 대해 적절히 선택된 위상 요소를 사용하면 실험에 사용된 두 가지 유형의 측정 모두 파울리 측정이 되며, 두 가지 가능한 결과는 각각 +1 및 −1로 나타낸다:
세 큐비트 각각에 대한 이러한 측정의 조합은 파괴적인 다중 큐비트 파울리 측정으로 간주될 수 있으며, 그 결과는 각 단일 큐비트 파울리 측정의 곱이다. 예를 들어, "광자 1 및 2에 원형 편광자, 광자 3에 45° 선형 편광자" 조합은  측정에 해당하며, 네 가지 가능한 결과 조합 (RL+, LR+, RR−, LL−)은 전체 결과가 -1에 해당하는 조합과 정확히 일치한다.
그린버거-혼-차일링거 상태 GHZ 실험
GHZ 실험의 양자 역학적 예측은 다음과 같이 요약될 수 있다:
이는 양자 역학에서 일관성이 있다. 왜냐하면 이 모든 다중 큐비트 파울리 연산자는 서로 교환 가능하고,
는 와  사이의 반교환성 때문이다.
이러한 결과는 모든 국소적 숨은 변수 이론에서 모순을 야기한다. 국소적 숨은 변수 이론에서는 각 측정이 숨은 변수에 의해 결정되는 확정적인 (고전적인) 값 을 가져야 하기 때문이다.
은 +1이 되어야 하며, -1이 되어서는 안 된다.
실제 실험 결과는 국소적 실재론의 예측이 아니라 양자 역학의 예측과 일치한다.
그린버거-혼-차일링거 상태 특성
서로 변환될 수 없는 다른 유형의 다중 부분 얽힘이 존재하기 때문에 다중 부분 얽힘에 대한 표준적인 측정은 없다. 그럼에도 불구하고 많은 측정들은 GHZ 상태를 최대 얽힘 상태로 정의한다.
GHZ 상태의 또 다른 중요한 특성은 세 시스템 중 하나에 대해 부분 대각합을 취하면 다음과 같은 결과가 나온다는 것이다.
이는 얽히지 않은 혼합 상태이다. 이는 특정 이입자(큐비트) 상관 관계를 가지지만, 이들은 고전적인 본질을 지닌다. 반면에 우리가 하위 시스템 중 하나를 0과 1 상태를 구별하는 방식으로 측정한다면, 우리는 얽히지 않은 순수 상태인  또는  중 하나를 남길 것이다. 이것은 하위 시스템 중 하나를 측정하더라도 이분할 얽힘을 남기는 W 상태와는 다르다.
그린버거-혼-차일링거 상태 특성
개 당사자들의 순수 상태 는, 당사자들을 비어 있지 않고 서로소인 두 부분 집합 와 로 나눌 수 있고 이며 를 만족하는 경우에 이분할 가능하다고 불린다. 즉, 는 분할 에 대한 곱 상태이다. GHZ 상태는 이분할 불가능하며, 3-큐비트 상태 중 국소 양자 연산으로는 서로 변환될 수 없는 (심지어 확률적으로도) 두 이분할 불가능한 클래스 중 하나를 대표하며, 다른 하나는 W 상태, 이다.:903
따라서 와 는 세 개 이상의 입자에 대한 매우 다른 종류의 얽힘을 나타낸다.
W 상태는 어떤 의미에서는 GHZ 상태보다 "덜 얽혀" 있지만, 그 얽힘은 단일 입자 측정에 대해 어떤 의미에서는 더 견고하다. N-큐비트 W 상태의 경우, 단일 입자 측정 후에도 얽힌 (N-1)-큐비트 상태가 남는다. 이와 대조적으로 GHZ 상태에 대한 특정 측정은 이를 혼합 또는 순수 상태로 붕괴시킨다.
GHZ 상태에 대한 실험은 놀라운 비고전적 상관 관계(1989)를 보여준다. 이 상태로 준비된 입자들은 유명한 EPR 역설에서 소개된 "실재의 요소" 개념과의 내부적 불일치를 보여주는 벨 부등식의 한 버전을 이끌어낸다. GHZ 상관 관계의 첫 번째 실험실 관측은 안톤 차일링거 그룹(1998)에 의해 이루어졌으며, 그는 이 연구로 2022년 노벨 물리학상을 공동 수상했다. 더 정확한 관측들이 많이 이어졌다. 이러한 상관 관계는 일부 양자 정보 작업에 활용될 수 있다. 여기에는 다자간 양자 암호(1998) 및 통신 복잡성 작업(1997, 2004)이 포함된다.
그린버거-혼-차일링거 상태 쌍별 얽힘
세 번째 입자에 대한 GHZ 상태 측정이 두 상태를 구별하면 얽히지 않은 쌍이 되지만, 직교 방향으로 측정하면 최대 얽힘 벨 상태가 남을 수 있다. 이는 아래에서 설명된다.
3-큐비트 GHZ 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 세 번째 입자는 X 기저에서 중첩으로 쓰여진다 (Z 기저와 달리)  및 로.
세 번째 입자에 대한 X 기저를 따른 GHZ 상태의 측정은 가 측정되면 를 산출하고, 가 측정되면 를 산출한다. 후자의 경우, 측정 결과에 따라 위상을 Z 양자 게이트를 적용하여 회전시켜 를 얻을 수 있으며, 전자의 경우에는 추가적인 변환이 적용되지 않는다. 두 경우 모두, 연산의 결과는 최대 얽힘 벨 상태이다.
이 예시는 GHZ 상태의 어떤 측정이 이루어지는지에 따라 처음 보이는 것보다 더 미묘하다는 것을 보여준다: 직교 방향을 따른 측정 후 측정 결과에 의존하는 양자 변환은 최대 얽힘 상태를 남길 수 있다.
그린버거-혼-차일링거 상태 응용
GHZ 상태는 양자 암호(퀀텀 시크릿 쉐어링) 또는 양자 비잔틴 합의와 같은 양자 통신 및 암호화의 여러 프로토콜에 사용된다.
매개변수 방정식
수학에서 매개변수 방정식(영어: Parametric equation)은 점의 좌표와 같은 여러 양을 매개변수라고 하는 하나 또는 여러 변수의 함수로 표현한다.
하나의 매개변수가 있는 경우, 매개변수 방정식은 움직이는 점의 궤적을 표현하는 데 흔히 사용되며, 이 경우 매개변수는 종종 시간이지만 필수는 아니며, 점은 매개변수 곡선(영어: parametric curve)이라고 하는 곡선을 그린다. 두 개의 매개변수가 있는 경우, 점은 매개변수 곡면(영어: parametric surface)이라고 하는 곡면을 그린다. 모든 경우에 이 방정식들은 총체적으로 매개변수 표현(영어: parametric representation)이라 불리며, 또는 매개변수 시스템(영어: parametric system)이라 불린다. 또는 객체의 매개변수화(영어: parameterization, 또는 parametrization, parametrisation이라고도 표기)라 불린다.
매개변수 방정식
예를 들어,

라는 방정식은 단위원의 매개변수 표현을 형성하며, 여기서 t는 매개변수이다. 즉, (x, y)는 이 두 방정식이 그 점을 생성하는 t 값이 있을 때 단위원 위에 있다. 때로는 개별 스칼라 출력 변수에 대한 매개변수 방정식을 벡터의 단일 매개변수 방정식으로 결합하기도 한다.
매개변수 표현은 일반적으로 유일하지 않으므로 (아래 "2차원 예제" 섹션 참조) 동일한 양을 여러 다른 매개변수화로 표현할 수 있다.
곡선과 곡면 외에도 매개변수 방정식은 더 높은 차원의 다양체와 대수적 다양체를 기술할 수 있으며, 이때 매개변수의 수는 다양체 또는 다양체의 차원과 같고, 방정식의 수는 다양체 또는 다양체가 고려되는 공간의 차원과 같다 (곡선의 경우 차원은 1이고 하나의 매개변수가 사용되며, 곡면의 경우 차원은 2이고 두 개의 매개변수가 사용되는 식이다).
매개변수 방정식은 운동학에서 흔히 사용되며, 여기서 물체의 궤적은 시간을 매개변수로 하는 방정식으로 표현된다. 이러한 응용 때문에 단일 매개변수는 종종 t로 표기되지만, 매개변수는 다른 물리량(예: 기하학적 변수)을 나타내거나 편의상 임의로 선택될 수도 있다. 매개변수화는 유일하지 않다. 하나 이상의 매개변수 방정식 집합이 동일한 곡선을 지정할 수 있다.
매개변수 방정식 음함수화
매개변수 방정식 집합을 단일 음함수 방정식으로 변환하는 것은 동시 방정식 에서 변수 t를 제거하는 것을 포함한다. 이 과정을 음함수화라고 한다. 이 방정식 중 하나를 t에 대해 풀 수 있다면, 얻은 표현을 다른 방정식에 대입하여 x와 y만 포함하는 방정식을 얻을 수 있다. 를 풀어 를 얻고 이를 에 사용하면 명시적 방정식 를 얻는 반면, 더 복잡한 경우에는  형태의 음함수 방정식을 얻게 된다.
매개변수화가 유리 함수로 주어질 경우
여기서 p, q, r은 서로소인 다항식 집합일 때, 종결식 계산을 통해 음함수화할 수 있다. 보다 정확히 말하면, 음함수 방정식은 t에 대한 와 의 종결식이다.
더 높은 차원(두 개 이상의 좌표 또는 하나 이상의 매개변수)에서 유리 매개변수 방정식의 음함수화는 그뢰브너 기저 계산으로 수행할 수 있다. 그뢰브너 기저 § 더 높은 차원에서의 음함수화를 참조하라.
반지름이 a인 원의 예를 들면, 매개변수 방정식
는 피타고라스 삼각 항등식을 통해 x와 y로 음함수화될 수 있다.

이고

이므로,

을 얻고, 따라서
는 원점을 중심으로 하는 원의 표준 방정식이다.
매개변수 방정식 매개변수 평면 곡선
포물선에 대한 가장 간단한 방정식인
는 자유 매개변수 t를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.
더 일반적으로, 명시적 방정식으로 주어진 모든 곡선
은 자유 매개변수 t를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.
더 정교한 예는 다음과 같다. 일반 (데카르트) 방정식

으로 기술되는 단위를 고려해보자.
이 방정식은 다음과 같이 매개변수화될 수 있다.
데카르트 방정식으로는 한 점이 원 위에 있는지 여부를 확인하기가 더 쉽다. 매개변수 버전으로는 그래프 상의 점을 얻기가 더 쉽다.
어떤 맥락에서는, 존재한다면 유리 함수(즉 두 다항식의 분수)만을 포함하는 매개변수 방정식이 선호된다. 원의 경우, 이러한 유리 매개변수화는 다음과 같다.
이 한 쌍의 매개변수 방정식으로, 점 (−1, 0)은 t의 실수 값으로 표현되지 않고, t가 무한대로 갈 때의 x와 y의 극한으로 표현된다.
반축이 a와 b이고 표준 위치(원점 중심, 장축이 x-축을 따라 있음)에 있는 타원은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
일반 위치에 있는 타원은 다음과 같이 표현될 수 있다.
매개변수 방정식 매개변수 평면 곡선
매개변수 t가 0에서 2π까지 변할 때. 여기서 (Xc , Yc)는 타원의 중심이고, φ는 x-축과 타원의 장축 사이의 각도이다.
두 매개변수화는 반각 공식을 사용하고 로 설정함으로써 유리적으로 만들 수 있다.
리사주 곡선은 타원과 유사하지만, x와 y 사인파는 위상이 다르다. 표준 위치에서 리사주 곡선은 다음으로 주어진다.

여기서 kx와 ky는 도형의 엽수(loves)를 나타내는 상수이다.
동서로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
또는 유리적으로
남북으로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
또는 유리적으로
이 모든 공식에서 (h , k)는 쌍곡선의 중심 좌표이고, a는 반장축의 길이이며, b는 반단축의 길이이다. 이 공식의 유리 형식에서 점 (−a , 0)과 (0 , −a)는 각각 t의 실수 값으로 표현되지 않고, t가 무한대로 갈 때의 x와 y의 극한이다.
하이퍼사이클로이드는 반지름이 r인 원이 반지름이 R인 고정된 원의 내부를 따라 구를 때, 내부 원의 중심으로부터 거리 d에 있는 점이 그리는 곡선이다.
하이퍼사이클로이드에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다.
몇 가지 예:
매개변수 방정식 매개변수 공간 곡선
매개변수 방정식은 더 높은 차원의 공간에서 곡선을 설명하는 데 편리하다. 예를 들어:
는 반지름이 a이고 한 바퀴 돌 때마다 2πb 단위씩 올라가는 3차원 곡선인 나선을 나타낸다. 이 방정식들은 평면에서 원에 대한 방정식과 동일하다.
위와 같은 표현은 흔히 다음과 같이 쓰인다.
여기서 r은 3차원 벡터이다.
큰 반지름 R과 작은 반지름 r을 가진 원환면은 매개변수적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.
여기서 두 매개변수 t와 u는 모두 0에서 2π까지 변한다.
u가 0에서 2π까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍을 통과하는 짧은 원을 따라 움직인다. t가 0에서 2π까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍 주위를 도는 긴 원을 따라 움직인다.
점 를 지나고 벡터 에 평행한 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.
매개변수 방정식 응용
운동학에서 물체의 공간 경로(trajectory)는 일반적으로 매개변수 곡선으로 설명되며, 각 공간 좌표는 독립적인 매개변수(보통 시간)에 명시적으로 의존한다. 이런 방식으로 사용될 때, 물체의 좌표에 대한 매개변수 방정식 집합은 총체적으로 위치에 대한 벡터 함수를 구성한다. 이러한 매개변수 곡선은 항별로 적분되고 미분될 수 있다. 따라서 입자의 위치가 매개변수적으로 다음과 같이 기술된다면
그러면 그것의 속도는 다음과 같이 찾을 수 있다.
그리고 그것의 가속도는 다음과 같다.
매개변수 방정식의 또 다른 중요한 사용은 컴퓨터 지원 설계 (CAD) 분야에 있다. 예를 들어, 다음 세 가지 표현을 고려해 보자. 이들은 모두 평면 곡선을 설명하는 데 일반적으로 사용된다.
각 표현은 CAD 응용 분야에 따라 장점과 단점이 있다.
명시적 표현은 매우 복잡하거나 심지어 존재하지 않을 수도 있다. 또한, 기하 변환, 특히 회전에서 잘 동작하지 않는다. 반면에, 매개변수 방정식과 음함수 방정식은 명시적 표현에서 쉽게 유도될 수 있으므로, 간단한 명시적 표현이 존재할 경우 다른 두 표현의 장점을 모두 갖는다.
매개변수 방정식 응용
음함수 표현은 곡선 위의 점을 생성하기 어렵게 만들고, 심지어 실제 점이 있는지 결정하는 것도 어렵게 만들 수 있다. 반면에, 주어진 점이 곡선 위에 있는지 또는 닫힌 곡선 내부에 있는지 외부에 있는지 결정하는 데에는 잘 적합하다.
이러한 결정은 매개변수 표현으로는 어려울 수 있지만, 매개변수 표현은 곡선 위의 점을 생성하고 이를 그리는 데 가장 적합하다.
정수 삼각형의 수많은 문제는 매개변수 방정식을 사용하여 해결할 수 있다. 그러한 고전적인 해결책은 에우클레이데스의 직각삼각형 매개변수화로서, 변의 길이 a, b와 빗변 c가 서로소 정수이다. a와 b가 둘 다 짝수는 아니므로(그렇지 않으면 a, b와 c는 서로소가 아닐 것이므로), 이들을 교환하여 a가 짝수가 되도록 할 수 있으며, 그 매개변수화는 다음과 같다.
여기서 매개변수 m과 n은 모두 홀수가 아닌 양의 서로소 정수이다.
a, b와 c를 임의의 양의 정수로 곱하면 세 변의 길이가 정수인 모든 직각삼각형의 매개변수화를 얻을 수 있다.
매개변수 방정식 과소결정 연립방정식
n개의 미지수가 있는 연립 일차 방정식의 m개 방정식 시스템은 두 개 이상의 해를 가질 때 과소결정된다. 이는 시스템의 행렬과 그것의 첨가 행렬이 동일한 계수 r을 가지고 r < n일 때 발생한다. 이 경우, n − r개의 미지수를 매개변수로 선택하고 모든 미지수를 선택된 미지수들의 선형 결합으로 표현하는 매개변수 방정식으로 모든 해를 나타낼 수 있다. 즉, 미지수가 이라면, 해를 표현하기 위해 이들을 재정렬할 수 있다.
이러한 매개변수 방정식을 시스템 해의 매개변수 형식이라고 한다.
해의 매개변수 형식을 계산하는 표준 방법은 가우스 소거법을 사용하여 첨가 행렬의 기약 행 사다리꼴을 계산하는 것이다. 그러면 매개변수로 사용할 수 있는 미지수는 어떤 주요 항목(즉, 행 또는 행렬에서 가장 왼쪽의 0이 아닌 항목)도 포함하지 않는 열에 해당하는 것이며, 매개변수 형식은 쉽게 유도될 수 있다.
파올로 스탄차니
파올로 스탄차니(이탈리아어: Paolo Stanzani, 1936년 7월 20일~2017년 1월 18일)는 이탈리아의 기계공학자이자 자동차 디자이너이다.
파올로 스탄차니 생애
파올로 스탄차니는 1936년 7월 20일 볼로냐에서 태어났다. 그의 아버지는 렌치 운송회사에서 근무했으며, 어린 시절 스탄차니는 가능할 때마다 아버지를 따라다니며 트럭과 내연기관에 익숙해졌다. 기계에 대한 관심과 재능으로 그는 볼로냐 대학교에서 기계공학을 전공했고, ‘유압 프리앰프의 연구(Study of Hydraulic preamplifiers)’라는 논문으로 1962년 여름 학위를 받았다.
졸업 후 스탄차니는 1963년 9월 30일, 페루치오 람보르기니 자동차(Automobili Ferruccio Lamborghini S.p.A.)에 곧바로 채용되어, 약 한 달 먼저 입사한 당시 기술 책임자이자 엔지니어 잠파올로 달라라의 보조로 일하게 되었다. 그는 1975년까지 람보르기니에서 근무한 뒤 자신의 컨설팅 회사를 설립했고, 이후 부활한 캄포갈리아노의 부가티 오토모빌리를 비롯해 여러 제조사와 협력했다.
그는 첫 람보르기니 양산차의 ‘창시자’ 중 한 명으로 평가되며, 특히 미우라 개발에 중요한 기술적 역할을 맡았다. 또한 에스파다, 우라코, 쿤타치, 부가티 EB 110의 ‘아버지’로 불린다.
파올로 스탄차니 어린 시절과 디자인
그가 16세에 처음 고안하고 발명한 것은 우유가 끓어 넘치는 것을 방지하는 우유 가열 장치에 대한 특허였다. 그는 이 특허를 판매한 수익으로 라베르다 75 소형 오토바이를 구입했는데, 당시 운전면허 취득 연령에 도달하지 못했기 때문에 어머니 명의로 등록했다.
그는 또한 운전자의 조향 방향에 따라 헤드라이트가 회전하는 시스템을 고안하여 피아트(FIAT)에 제안했으나, 피아트 측은 관심을 보이지 않았다. 같은 아이디어는 이후 시트로엥(Citroën)에 의해 구현되었다.
파올로 스탄차니 람보르기니에서의 경력
스탄차니는 1963년부터 1975년까지 람보르기니에서 근무했으며, 여러 차종이 출시되어 판매된 회사의 생산성과 성공이 높은 시기였다. 그러나 1973년 오일쇼크는 대배기량·고성능(높은 연료 소모) 차량에 큰 타격을 주었다. 스탄차니가 처음 맡은 주요 업무는 람보르기니 최초의 로드카인 350 GT의 엔진을 재설계하여, 일상적인 주행에 적합하고 제조 비용을 줄이는 것이었다. 전 페라리 엔진 디자이너 조토 비차리니는 높은 리프트 캠샤프트, 단조 가공된 커넥팅 로드 등 레이싱 부품을 사용해 페루치오 람보르기니가 요구한 목표를 달성했지만, 스탄차니의 임무는 부품 단가를 낮추는 것이었다. 그는 단조 커넥팅 로드를 주조품으로 바꾸고, 저회전에서 토크를 발휘하도록 캠샤프트 프로파일을 수정했으며, 합리적인 가격과 주행성을 만족하는 카뷰레터를 조달했다.
파올로 스탄차니 람보르기니에서의 경력
1967년까지 스탄차니는 주로 치수·구조 계산, ‘레파르토 에스페리엔체(Reparto Esperienze)’ 테스트 부서(엔진 시험실, 도로 시험, 형식승인)와 차체 제작사(투어링, 베르토네, 마라치, 자가토, 실라트)와의 협업을 담당했다. 이 시기는 350 GT, 400 GT, 이슬레로(Islero), 그리고 무엇보다 미우라의 시대였다. 스탄차니는 미우라의 창시자 중 한 명이다. 개발 당시 미우라는 도로용 차량으로는 혁신적인 여러 특징을 갖추었는데, 대표적으로 횡배치 V12 엔진과 일체형 변속기를 꼽을 수 있다. 이는 달라라, 스탄차니, 그리고 엔진을 맡은 비짜리니의 성공적인 협업의 결실이었다. 람보르기니의 혁신적인 분위기 속에서 스탄차니는 “오늘 다른 사람들이 내일 할 일을 하자(Do today what others will do tomorrow)”라는 목표를 세웠다.
파올로 스탄차니 람보르기니에서의 경력
1967년부터 스탄차니는 총지배인 자리에 올랐고, 1968년부터는 기술 이사도 겸임했다. 원래 경력상 이 자리는 달라라에게 돌아가야 했지만, 페루치오 람보르기니는 스탄차니의 헌신을 더 높이 평가했거나, 달라라가 레이싱에 더 관심이 많다고 판단했을 가능성이 있다. 달라라는 곧 회사를 떠났지만, 이후로도 스탄차니와 좋은 관계를 유지했다.
이 시기에 에스파다, 하라마(Jarama), 미우라 S, 미우라 SV, 우라코, 쿤타치와 같은 전설적인 모델이 양산되었다. 또한 스탄차니는 람보르기니에 재직 중이던 1972년 뮌헨 올림픽을 기념하기 위해 제작된 BMW 터보 컨셉카 개발을 이끌었는데, 스타일링은 폴 브락(Paul Bracq)이 맡았으며, 차체는 우라코의 섀시를 기반으로 하고, 엔진은 BMW 2002tii에서 파생된 2.0리터 4기통 엔진이었다.
페루치오 람보르기니가 회사 지분 51%를 스위스인 조르주-앙리 로세티(Georges-Henri Rossetti)에게, 나머지 49%를 르네 레이머(René Leimer)에게 매각한 후, 스탄차니는 새 경영진으로부터 의사결정과 재정 지원을 얻기 어려워져 1975년 2월 회사를 떠났다. 회사는 1978년에 파산했다.
파올로 스탄차니 슈퍼카를 넘어선 활동
스탄차니는 부유층 개인에게 고성능 차량을 설계·판매하는 것이 사회에 얼마나 이익이 되는지에 대해 개인적인 고민을 하게 되었고, 그다지 사회적으로 유익하지 않다고 생각하기 시작했다. 이에 그는 이탈리아 국영 석유 기업인 ENI 그룹(Ente Nazionale Idrocarburi) 산하의 한 회사에서 일하기로 했다. 이 회사는 물댐을 건설했으며, 예를 들어 포를리와 피렌체 사이에 위치한 리드라콜리(Ridracoli) 댐 프로젝트가 있었다. 1979년부터 1986년까지 그는 르노(Renault), 알파 로메오(Alfa Romeo), 스즈키(Suzuki) 등 일부 자동차 제조사와 계약 설계를 진행했고, 볼로냐에 공학 및 경영 컨설팅 회사를 설립했다. 이 회사는 시간이 지나면서 성장해 PRO 그룹이 되었고, 기업 경영 소프트웨어와 기술 프로젝트 관리 솔루션을 제공하는 글로벌 IT 파트너로 활동하게 되었다.
파올로 스탄차니 부가티의 부활
스탄차니는 1975년 이후에도 페루치오 람보르기니와 친분을 유지했으며, 움브리아(Umbria)에 있는 그의 영지 ‘라 피오리타(La Fiorita)’를 종종 방문했다. 람보르기니는 또 다른 스포츠카를 만들고 싶다는 꿈을 이야기하기 시작했지만, 스탄차니는 차체 제작과 엔진 개발에 드는 높은 비용을 이유로 현실적인 반대 의견을 자주 내놓았다. 그러나 누초 베르토네(Nuccio Bertone)가 초기 논의에 참여하면서 프로젝트 가능성이 보다 구체화되었다. 람보르기니와 베르토네는 서로에 대한 신뢰가 매우 두터웠기 때문이다. 다만, 이 아이디어를 실행하려면 재정적 지원을 해줄 투자자를 찾을 필요가 있었다.
파올로 스탄차니 부가티의 부활
전 람보르기니 기술 이사 프랑코 바라르디니(Franco Baraldini, 1989년부터 INECO 딜러십 운영)는 페루치오 람보르기니와 로마노 아르티올리(Romano Artioli)를 연결해주었다. 로마노 아르티올리는 1978년 형인 잔카를로 아르티올리(Giancarlo Artioli)가 설립한 오토엑스포(Autoexpo) 회사를 통해 이탈리아와 유럽에 차량을 수입·등록해왔으며, 페라리, 스즈키 등 여러 차종 판매에서 성공을 거두고 있었다. 그는 어린 시절부터 꿈꾸던 부가티 브랜드의 부활에 필요한 자금을 갖추고 있었지만, 람보르기니는 곧 흥미를 잃고 프로젝트에서 손을 뗐다. 대신 스탄차니에게 계속 진행하라고 조언했다.
파올로 스탄차니 부가티의 부활
스탄차니는 초기 프로젝트 명칭으로 FL12(‘Ferruccio Lamborghini 12 Cylinders’의 약자)를 유지했으며, 차량의 기계적 레이아웃은 치제타-모로더 V16T의 엔진과 여러 설계를 담당했던 테크노스틸레(Tecnostile)에서 작업이 시작되었다. 테크노스틸레 창립자 아킬레 베비니(Achille Bevini)와 올리비에로 페드라치(Oliviero Pedrazzi)는 람보르기니에서 첫 로드카용 비짜리니 엔진 도면 작업을 했던 제도사로서 스탄차니와 잘 아는 사이였다. 약 15명의 테크노스틸레 팀은 V12 엔진, 알루미늄 허니콤 섀시, 서스펜션과 차량에 필요한 대부분의 부품 설계를 담당했다.
1987년 스탄차니는 A22 고속도로 서쪽, A1 고속도로에서 북쪽으로 약 2.5km 떨어진 사다리꼴 모양의 부지를 찾아냈다. 이곳은 모데나 북서쪽 10km에 있는 캄포갈리아노 지역으로, 신차 생산 공장을 점진적으로 건설하기에 충분한 공간을 제공했다.
부가티와 차량 개발을 위한 초기 합의에서 스탄차니는 부가티 오토모빌리 S.p.A.의 유일한 대표(Amministratore Unico)로 임명되었고, 회사 지분 35%를 보유하게 되었다. 그는 1990년 7월까지 부가티의 경영 및 기술 이사직을 맡았으나, 로마노 아르티올리가 회사 자본금을 늘리면서 그의 지분이 희석되었고 결국 회사를 떠났다. 이후 언론이나 자료에서 스탄차니의 이름은 전혀 언급되지 않았으며, 2000년대 웹 기사들이 프로젝트의 기원을 다시 조명하면서야 그의 역할이 알려졌다. 부가티 오토모빌리는 1995년에 파산했다.
파올로 스탄차니 부가티 이후: 포뮬러 1
1991년 스탄차니는 주세페 루키니의 요청으로 BMS 스쿠데리아 이탈리아 팀을 이끌기 위해 F1에 합류했다. 루키니는 이탈리아 철강업에 종사하는 가문 출신으로, 1970년대 오셀라(Osella) 레이싱카를 운전한 경력이 있었다. 브릭시아 모터 스포츠(Brixia Motor Sport)는 F1에 1988년 진입하기 전까지 투어링카 경주에 참여했던 팀이었다. 이곳에서 스탄차니는 잠파올로 달라라와 다시 만나게 되었는데, 달라라의 회사는 브레시아에 기반을 둔 팀에 복합소재 섀시를 공급했다.
이 시기 스탄차니는 엔진 공급업체(처음에는 저드, 이후 페라리)가 엔진을 임대·판매만 하고 내부 접근 권한을 주지 않아 성능에 관한 데이터가 거의 공개되지 않는 점에서 어려움을 겪었다. 이는 람보르기니 시절 파워트레인을 완전히 이해하던 경험과는 대조적이었다. 달라라와의 좋은 관계 덕분에 섀시와 서스펜션 역학은 잘 파악했지만, 1993년 로라(Lola) 섀시로 교체되면서(무상 제공 혜택 때문에) 다운포스가 줄어들었고, 이는 드라이버와 스탄차니, 루키니 모두에게 불만을 안겼다.
파올로 스탄차니 부가티 이후: 포뮬러 1
스탄차니는 페라리 엔진이 비교적 보수적인 세팅으로 공급된다고 판단하고, 혼다 엔진 사용을 위해 협상을 시작했다. 협상은 진행 중이었으나 혼다는 대신 팀 로터스의 로터스 107에 엔진을 공급하기로 했다. BMS 레이싱팀이 스폰서십이 줄어들 조짐이 보이자, 스탄차니는 루키니와 잔카를로 미나르디에게 협력하여 스쿠데리아 이탈리아와 미나르디 팀을 합병하라고 권했다. 합병 후 잔카를로 미나르디가 회장이 되었고, 파올로 스탄차니는 부회장이 되었으며, 새 조직은 ATR 그룹(복합소재 제조사)의 섀시와 포드 코스워스 HB 엔진을 장착한 F194를 출전시켰다. 당시 기술 이사는 알도 코스타였다.
1994년 산마리노 그랑프리에서 아이르통 세나가 사고를 당한 직후 스탄차니는 경기를 중단해야 한다고 주장했으나, FIA와 FOTA는 경기를 계속 진행했다. 그는 딸과 함께 세나의 상태를 확인하기 위해 포르투갈 드라이버 페드로 라미와 함께 볼로냐의 오스페달레 마조레 병원을 방문했다.
파올로 스탄차니 포뮬러 1 이후
BMS 스쿠데리아 이탈리아와 미나르디의 합병 이후에도 스탄차니는 잔카를로 미나르디의 인간적인 면과 기술력을 매우 존경했지만, 그리드에 남기 위해 필요한 막대한 자금에 점점 회의를 느꼈다. 이는 작은 팀들에게 매우 힘든 현실이었다. 결국 그는 1995년에 팀을 떠났고, 몇몇 파트너들과 함께 재생에너지 발전에 전념하는 회사를 설립했다. 이 회사는 오늘날까지 운영되고 있다.(https://www.energyintelligence.it/).
요시다 야세이
요시다 야세이(일본어: 吉田夜世)는 일본의 홋카이도 출신 보컬로이드 프로듀서(보카로P)이다. 니코니코 동화와 유튜브에서 보컬로이드 곡을 투고하고 있다. 또한, 오버라이드 곡 투고 이후 인기가 급격하게 상승하였다.
정적 힘과 가상 입자 교환
정적 힘 장(영어: Static force fields)은 단순한 전기장, 자기장 또는 중력장과 같이 여기 없이 존재하는 장이다. 물리학자들이 산란 계산에 사용하는 가장 일반적인 근사 방법은 두 물체 사이의 상호작용으로 인해 발생하는 정적 힘으로 해석될 수 있으며, 이는 불확정성 원리에 의해 결정되는 짧은 시간 동안만 존재하는 입자인 가상 입자에 의해 매개된다. 매개 입자라고도 알려진 가상 입자는 보손이며, 각 힘과 관련하여 다른 보손들이 존재한다.(pp.  16–37 )
정적 힘에 대한 가상 입자 설명은 만유인력의 법칙과 쿨롱 법칙에서의 역제곱 거동과 같이 힘의 공간적 형태를 식별할 수 있다. 또한 동종 물체에 대한 힘이 인력인지 척력인지도 예측할 수 있다.
경로 적분 공식화는 매개 입자를 설명하는 자연스러운 언어이다. 이 문서는 경로 적분 공식화를 사용하여 스핀 0, 1, 2 장의 매개 입자를 설명한다. 파이 중간자, 광자, 중력자가 이 각각의 범주에 속한다.
정적 힘과 가상 입자 교환
가상 입자 그림의 유효성에는 한계가 있다. 가상 입자 공식화는 상호작용이 너무 강하지 않다고 가정하는 섭동 이론이라는 방법에서 파생되었으며, 원자와 같은 구속 상태가 아닌 산란 문제에 사용되었다. 낮은 에너지에서 쿼크를 핵자로 결합하는 강한 힘의 경우, 섭동 이론은 실험과 일치하는 결과를 산출하는 것으로 입증된 적이 없으므로 "힘 매개 입자" 그림의 유효성은 의문시된다. 마찬가지로, 구속 상태의 경우 이 방법은 실패한다. 이러한 경우, 물리적 해석을 다시 검토해야 한다. 예를 들어, 원자 물리학에서 원자 구조 또는 양자 화학에서 분자 구조의 계산은 "힘 매개 입자" 그림을 사용하면 쉽게 반복될 수 없었다.
정적 힘과 가상 입자 교환
"힘 매개 입자" 그림(FMPP)의 사용은 비상대론적 양자역학에서는 불필요하며, 쿨롱 법칙은 원자 물리학 및 양자 화학에서 구속 상태와 산란 상태를 모두 계산하는 데 주어진 대로 사용된다. 로렌츠 불변성이 보존되는 비섭동 상대론적 양자 이론은 디랙 방정식을 따르는 참조 전자의 3차원 위치 벡터와 스케일된 시간에만 의존하는 두 번째 전자의 양자 궤적을 사용하여 쿨롱 법칙을 4차원 시공간 상호작용으로 평가함으로써 달성할 수 있다. 앙상블에서 각 전자의 양자 궤적은 각 전자에 대한 디랙 전류를 속도장 곱하기 양자 밀도로 설정하고, 속도장의 시간 적분으로부터 위치장을 계산하고, 마지막으로 위치장의 기댓값으로부터 양자 궤적을 계산함으로써 추론된다. 양자 궤적은 물론 스핀에 의존하며, 이론은 파울리 배타 원리가 페르미온 집합에 대해 준수되는지 확인함으로써 검증될 수 있다.
정적 힘과 가상 입자 교환 고전적 힘
한 질량이 다른 질량에 가하는 힘과 한 전하가 다른 전하에 가하는 힘은 놀랍도록 유사하다. 둘 다 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 둘 다 물체의 속성 곱에 비례하며, 중력의 경우 질량, 정전기학의 경우 전하이다.
둘은 또한 놀라운 차이를 가지고 있다. 두 질량은 서로 끌어당기는 반면, 두 동종 전하는 서로 밀어낸다.
두 경우 모두 물체는 거리를 두고 서로 작용하는 것처럼 보인다. 장의 개념은 물체 간의 상호작용을 매개하여 원격 작용의 필요성을 없애기 위해 고안되었다. 중력은 중력장에 의해 매개되고 쿨롱 힘은 전자기장에 의해 매개된다.
정적 힘과 가상 입자 교환 고전적 힘
질량 에 다른 질량 이 가하는 중력은 다음과 같다.

여기서 G는 중력 상수, r은 질량 사이의 거리, 은 질량 에서 질량 으로 향하는 단위 벡터이다.
힘은 또한 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 장 방정식으로 기술되는 중력장이다.

여기서 은 공간의 각 지점에서의 질량 밀도이다.
전하 에 전하 가 가하는 정전기 쿨롱 힘은 (SI 단위)

여기서 는 진공 유전율, 은 두 전하의 분리 거리, 은 전하 에서 전하  방향으로의 단위 벡터이다.
쿨롱 힘은 또한 정전기장의 형태로도 쓸 수 있다.

여기서

는 공간의 각 지점에서의 전하 밀도이다.
정적 힘과 가상 입자 교환 가상 입자 교환
섭동 이론에서 힘은 가상 입자의 교환에 의해 생성된다. 가상 입자 교환의 역학은 양자역학의 경로 적분 공식화로 가장 잘 설명된다. 그러나 고전적인 중력 및 정전기력이 물체 사이의 거리의 역제곱으로 감소하는 이유와 같이 경로 적분의 복잡한 계산 없이도 얻을 수 있는 통찰력이 있다.
가상 입자는 진공 상태에 대한 교란에 의해 생성되며, 다른 교란에 의해 다시 진공 상태로 흡수될 때 소멸된다. 이 교란은 가상 입자장과 상호작용하는 물체로 인한 것이라고 상상한다.
자연단위계에서 을 사용하여, 가상 입자의 생성, 전파 및 소멸에 대한 확률 진폭은 경로 적분 공식화에서 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 해밀턴 연산자, 는 경과 시간, 는 교란으로 인한 에너지 변화, 는 교란으로 인한 작용 변화, 는 가상 입자의 장이며, 적분은 모든 경로에 대해 수행되고, 고전 작용은 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 라그랑지언 밀도이다.
여기서 시공간 계량은 다음과 같이 주어진다.
정적 힘과 가상 입자 교환 가상 입자 교환
경로 적분은 종종 다음과 같은 형태로 변환될 수 있다.

여기서 는 와 가 시공간의 함수인 미분 연산자이다. 인수의 첫 번째 항은 자유 입자를 나타내고 두 번째 항은 전하 또는 질량과 같은 외부 소스에서 장에 대한 교란을 나타낸다.
적분은 다음과 같이 쓸 수 있다 (Common integrals in quantum field theory § Integrals with differential operators in the argument 참조)

여기서

는 교란으로 인한 작용의 변화이며 전파 인자 는 다음의 해이다.
두 개의 물체를 나타내는 두 개의 점 교란이 있고, 이 교란이 움직이지 않고 시간에 대해 일정하다고 가정한다. 교란은 다음과 같이 쓸 수 있다.


여기서 델타 함수는 공간에 있고, 교란은 과 에 위치하며, 계수 과 는 교란의 세기이다.
교란의 자기 상호작용을 무시하면 W는 다음과 같이 된다.
이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 는 다음의 푸리에 변환이다.
마지막으로, 진공의 정적 교란으로 인한 에너지 변화는 다음과 같다.
정적 힘과 가상 입자 교환 가상 입자 교환
이 양이 음수이면 힘은 인력이다. 양수이면 힘은 척력이다.
정적이고 움직이지 않는 상호작용하는 전류의 예로는 유카와 퍼텐셜, 진공에서의 쿨롱 퍼텐셜, 그리고 단순 플라스마 또는 전자 기체 내의 쿨롱 퍼텐셜이 있다.
상호작용 에너지에 대한 표현은 점 입자가 움직이지만 그 운동이 빛의 속도에 비해 느린 상황으로 일반화될 수 있다. 예로는 진공에서의 다윈 상호작용과 플라스마에서의 다윈 상호작용이 있다.
마지막으로, 상호작용 에너지에 대한 표현은 교란이 점 입자가 아니라 선 전하, 전하 튜브 또는 전류 소용돌이인 상황으로 일반화될 수 있다. 예시는 다음과 같다: 플라스마 또는 전자 기체 내부에 삽입된 두 선 전하, 자기장 내부에 삽입된 두 전류 루프 사이의 쿨롱 퍼텐셜, 그리고 단순 플라스마 또는 전자 기체 내의 전류 루프 사이의 자기 상호작용. 아래에 제시된 전하 튜브 사이의 쿨롱 상호작용 예에서 볼 수 있듯이, 이러한 더 복잡한 기하학적 구조는 분수 양자수와 같은 이국적인 현상으로 이어질 수 있다.
정적 힘과 가상 입자 교환 선정된 예시
스핀-0 라그랑주 밀도를 고려하자.(pp.  21–29 )
이 라그랑주에 대한 운동 방정식은 클라인-고든 방정식이다.
교란을 추가하면 확률 진폭은 다음과 같이 된다.
부분 적분하고 무한대 경계 항을 무시하면 확률 진폭은 다음과 같이 된다.
이러한 형태의 진폭에서 전파 인자는 다음의 해임을 알 수 있다.
여기서 다음을 알 수 있다.
정적 교란으로 인한 에너지는 다음과 같이 된다 (Common integrals in quantum field theory § Yukawa Potential: The Coulomb potential with mass 참조)

여기서

이는 인력이고 범위는 이다.
유카와는 이 장이 원자핵 내의 두 핵자 사이의 힘을 설명한다고 제안했다. 이는 그가 이 장과 관련된 입자(현재는 파이 중간자로 알려짐)의 범위와 질량을 모두 예측할 수 있게 해주었다.
스핀-1 프로카 라그랑주와 교란을 고려하자.(pp.  30–31 )
여기서

전하는 보존된다.

그리고 우리는 로렌츠 게이지를 선택한다.
또한, 우리는 교란에 대해 시간 성분 만 존재한다고 가정한다. 일반적인 언어로 말하면, 이는 교란 지점에 전하가 있지만, 전류는 없다는 것을 의미한다.
정적 힘과 가상 입자 교환 선정된 예시
유카와 퍼텐셜에서와 동일한 절차를 따르면 다음을 찾을 수 있다.

이는 다음을 의미한다.

그리고
이는 다음을 산출한다.

시간꼴 전파 인자에 대해

이는 유카와 경우와 반대 부호를 가진다.
광자 질량이 0인 극한에서, 라그랑주는 전자기학에 대한 라그랑주로 축소된다.
따라서 에너지는 쿨롱 힘에 대한 위치 에너지로 감소하고 계수 과 는 전하에 비례한다. 유카와 경우와 달리, 이 정전기학적 경우에서는 동종 물체가 서로 밀어낸다.
플라스마 파동의 분산 관계는 다음과 같다.(pp.  75–82 )

여기서 는 파동의 각진동수이고,

는 플라스마 진동수, 는 전자 전하의 크기, 은 전자 질량, 는 전자 온도 (볼츠만 상수는 1), 그리고 는 주파수에 따라 1에서 3까지 변하는 요소이다. 높은 주파수, 즉 플라스마 주파수 정도에서는 전자 유체의 압축이 단열과정이며 는 3과 같다. 낮은 주파수에서는 압축이 등온과정이며 는 1과 같다. 플라스마 파동 분산 관계를 얻는 데 지연 효과는 무시되었다.
낮은 주파수에서 분산 관계는 다음과 같이 된다.

여기서

는 드바이 수이며, 이는 드바이 길이의 역수이다. 이는 전파 인자가 다음임을 시사한다.
정적 힘과 가상 입자 교환 선정된 예시
실제로, 지연 효과를 무시하지 않으면 분산 관계는 다음과 같다.

이는 추측한 전파 인자를 실제로 산출한다. 이 전파 인자는 질량이 드바이 길이의 역수와 같은 질량 있는 쿨롱 전파 인자와 동일하다. 따라서 상호작용 에너지는 다음과 같다.

쿨롱 퍼텐셜은 드바이 길이의 길이 스케일에서 차폐된다.
양자 전자 기체에서는 플라스마 파동을 플라스몬이라고 한다. 드바이 차폐는 토마스-페르미 차폐로 대체되어 다음을 산출한다.

여기서 토마스-페르미 차폐 길이의 역수는 다음과 같다.

그리고 는 페르미 에너지이다.
이 표현은 전자 기체의 화학 퍼텐셜과 푸아송 방정식에서 파생될 수 있다. 평형 근처의 전자 기체의 화학 퍼텐셜은 일정하며 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 전위이다. 페르미 에너지를 밀도 요동의 1차까지 선형화하고 푸아송 방정식과 결합하면 차폐 길이가 산출된다. 매개 입자는 플라스마 파동의 양자 버전이다.
정적 힘과 가상 입자 교환 선정된 예시
전자 기체에 z축을 따라 전하선이 삽입되어 있다고 가정하자.

여기서 은 xy 평면에서 전하선까지의 거리, 는 z 방향의 물질 폭이다. 위 첨자 2는 디랙 델타 함수가 2차원임을 나타낸다. 전파 인자는 다음과 같다.

여기서 는 드바이-휘켈 차폐 길이의 역수 또는 토마스-페르미 차폐 길이의 역수이다.
상호작용 에너지는 다음과 같다.

여기서 와 는 베셀 함수이고 는 두 선 전하 사이의 거리이다. 상호작용 에너지를 얻기 위해 다음 적분들을 사용했다 (Common integrals in quantum field theory § Integration of the cylindrical propagator with mass 참조)

그리고
일 때,
자기장 내부에 삽입된 전자 기체에서 자기장을 따라 축이 있는 튜브 형태의 전하 밀도를 고려하자.

여기서 은 안내 중심으로부터의 거리, 는 자기장 방향의 물질 폭이다.

여기서 사이클로트론 진동수는 (가우스단위계)

이고

는 자기장 주위의 입자 속도이며, B는 자기장의 크기이다. 속도 공식은 고전 운동 에너지를 자기장 내에서 전하를 띤 입자의 양자 처리에서 란다우 준위 사이의 간격과 같게 설정하여 얻어진다.
정적 힘과 가상 입자 교환 선정된 예시
이 기하학에서 상호작용 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 전류 루프 중심 사이의 거리이고 는 제1종 베셀 함수이다. 상호작용 에너지를 얻기 위해 다음 적분을 사용했다.
평형 근처의 화학 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 전위 내 전자의 위치 에너지이고 와 은 각각 정전기 퍼텐셜이 없는 경우와 있는 경우 전자 기체 내 입자 수이다.
밀도 요동은 다음과 같다.

여기서 은 자기장에 수직인 평면에서 물질의 면적이다.
푸아송 방정식은 다음을 산출한다.

여기서
그러면 전파 인자는 다음과 같다.

그리고 상호작용 에너지는 다음과 같이 된다.

여기서 두 번째 등호에서 (가우스단위계) 와류가 동일한 에너지와 전자 전하를 가졌다고 가정한다.
플라스몬과 유사하게, 매개 입자는 자기장에 수직으로 전파되는 종방향 플라스마 파동인 어퍼 하이브리드 진동의 양자 버전이다.
정적 힘과 가상 입자 교환 선정된 예시
고전 전류와 달리 양자 전류 루프는 주어진 에너지에 대해 다양한 라모어 반지름 값을 가질 수 있다.(pp.  187–190 ) 자기장 내에서 전하를 띤 입자의 에너지 상태인 란다우 준위는 다중으로 축퇴되어 있다. 전류 루프는 동일한 에너지를 가질 수 있는 전하를 띤 입자의 각운동량 상태에 해당한다. 구체적으로, 전하 밀도는 다음 반지름 주위에 최고조를 이룬다.

여기서 은 각운동량 양자수이다. 일 때 전자가 라모어 반지름에서 자기장 주위를 궤도 운동하는 고전적인 상황으로 돌아간다. 두 각운동량 과 의 전류가 상호작용하고, 전하 밀도가 반지름 에서 델타 함수라고 가정하면 상호작용 에너지는 다음과 같다.
에 대한 상호작용 에너지는 다양한  값에 대해 그림 1에 주어져 있다. 두 가지 다른 값에 대한 에너지는 그림 2에 주어져 있다.
큰 각운동량 값의 경우, 에너지는 0과 무한대 이외의 거리에서 국소 최솟값을 가질 수 있다. 최솟값은 다음에서 발생한다는 것을 수치적으로 확인할 수 있다.
이는 구속되어  거리로 분리된 입자 쌍이 각운동량 를 가진 단일 준입자처럼 작용한다는 것을 시사한다.
길이를 로 스케일링하면 상호작용 에너지는 다음과 같이 된다.

여기서