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친화 크로마토그래피 특정 용도
친화 크로마토그래피는 핵산 정제, 세포가 없는 추출물에서 단백질 정제 및 혈액에서 정제를 포함한 여러 응용 분야에서 사용될 수 있다.
친화 크로마토그래피를 사용하면 특정 단편에 결합하는 단백질을 특정 단편에 결합하지 않는 단백질과 분리할 수 있다. 이 정제 기술은 필요한 단백질의 생물학적 특성에 의존하기 때문에 유용한 기술이며, 한 단계에서 단백질을 여러 배로 정제할 수 있다.
다양한 용도에 맞는 여러 종류의 친화성 매체가 존재한다.
간단히 말해, 이는 기능성 스페이서, 지지체 매트릭스로 작동하며 독성 시약의 취급을 제거하는 (일반화된) 활성화/기능화된 매체이다.
아미노산 매체는 다양한 혈청 단백질, 단백질, 펩타이드, 효소뿐만 아니라 rRNA 및 dsDNA와 함께 사용된다. 아비딘 바이오틴 매체는 바이오틴/아비딘 및 그 유도체의 정제 과정에서 사용된다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
탄수화물 결합은 주로 당단백질 또는 다른 탄수화물 함유 물질과 함께 사용되며; 탄수화물은 렉틴, 당단백질 또는 다른 탄수화물 대사 단백질과 함께 사용된다. 염료 리간드 매체는 비특이적이지만 생물학적 기질 및 단백질을 모방한다. 글루타티온은 GST 태그 재조합 단백질의 분리에 유용하다. 헤파린은 일반화된 친화성 리간드이며, 핵산 효소 및 리파아제와 함께 혈장 응고 단백질 분리에 가장 유용하다.
소수성 상호작용 매체는 주로 자유 카르복실기 및 단백질을 표적으로 하는 데 사용된다.
면역친화성 매체(아래에 자세히 설명)는 항원 및 항체의 높은 특이성을 활용하여 분리하며; 고정화 금속 친화성 크로마토그래피는 아래에 더 자세히 설명되어 있으며 금속 이온과 단백질(일반적으로 특별히 태그된) 간의 상호작용을 사용하여 분리한다; 뉴클레오타이드/보조효소는 탈수소효소, 키나아제 및 트랜스아미나아제를 분리하는 데 사용된다.
핵산은 mRNA, DNA, rRNA 및 기타 핵산/올리고뉴클레오타이드를 포획하는 기능을 한다. 단백질 A/G 방법은 면역글로불린을 정제하는 데 사용된다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
특수 매체는 특정 클래스 또는 유형의 단백질/보조효소를 위해 설계되었다. 이러한 유형의 매체는 특정 단백질 또는 보조효소만 분리하는 데 작동한다.
이 절차의 또 다른 용도는 혈청에서 항체를 친화성 정제하는 것이다. 혈청에 특정 항원에 대한 항체가 포함되어 있는 것으로 알려진 경우(예: 혈청이 해당 항원에 면역된 유기체에서 유래한 경우) 해당 항원의 친화성 정제에 사용할 수 있다. 이를 면역친화성 크로마토그래피라고도 한다. 예를 들어, 유기체가 GST-융합 단백질에 면역되면 융합 단백질에 대한 항체와 GST 태그에 대한 항체도 생성할 수 있다. 그런 다음 단백질을 아가로스와 같은 고체 지지체에 공유 결합시키고 면역 혈청에서 항체를 정제하는 데 친화성 리간드로 사용할 수 있다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
철저함을 위해 GST 단백질과 GST-융합 단백질을 각각 별도로 결합시킬 수 있다. 혈청은 처음에 GST 친화성 매트릭스에 결합하도록 허용된다. 이것은 융합 단백질의 GST 부분에 대한 항체를 제거한다. 그런 다음 혈청은 고체 지지체에서 분리되어 GST-융합 단백질 매트릭스에 결합하도록 허용된다. 이것은 항원을 인식하는 항체가 고체 지지체에 포획되도록 한다. 관심 항체의 용출은 글리신 pH 2.8과 같은 낮은 pH 버퍼를 사용하여 가장 자주 달성된다. 용출액은 낮은 pH 용출 버퍼를 중화하고 항체 활성의 저하를 막기 위해 중성 트리스(히드록시메틸)아미노메테인 또는 인산 버퍼에 수집된다. 이는 초기 GST-융합 단백질을 정제하고, 혈청에서 바람직하지 않은 항GST 항체를 제거하고, 표적 항체를 정제하는 데 친화성 정제가 사용되는 좋은 예이다.
단클론 항체는 단백질을 매우 특이적으로 결합하도록 선택될 수 있으며, 단백질은 상당히 부드러운 조건에서 방출된다. 이는 미래의 추가 연구에 유용할 수 있다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
펩타이드 항원에 대해 생성된 항체를 정제하기 위해 종종 단순화된 전략이 사용된다. 펩타이드 항원이 합성적으로 생산될 때, 펩타이드의 N- 또는 C-말단 중 하나에 말단 시스테인 잔기가 추가된다. 이 시스테인 잔기에는 펩타이드가 운반 단백질(예: 키홀 림펫 헤모시아닌(KLH))에 쉽게 접합될 수 있도록 하는 설프히드릴 작용기가 포함되어 있다. 동일한 시스테인 함유 펩타이드는 시스테인 잔기를 통해 아가로스 수지에 고정화되며, 그런 다음 항체를 정제하는 데 사용된다.
대부분의 단클론 항체는 박테리아에서 유래한 면역글로불린 특이적 단백질 A 또는 단백질 G를 기반으로 하는 친화 크로마토그래피를 사용하여 정제되었다.
모놀리식 컬럼에 고정화된 단클론 항체를 이용한 면역친화성 크로마토그래피는 EV 표면에 있는 테트라스파닌과 인테그린을 표적으로 하여 인간 혈장에서 세포외 소포체(예: 엑소좀 및 엑소메어)를 포획하는 데 성공적으로 사용되었다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
면역친화성 크로마토그래피는 또한 환자 치료에서 신속한 진단 수단을 제공하는 면역크로마토그래피 테스트(ICT) 스트립의 기초가 된다. ICT를 사용하면 기술자는 실험실이 필요 없이 환자의 침대 옆에서 진단을 내릴 수 있다. ICT 검출은 감염을 일으키는 미생물에 대해 매우 특이적이다.
고정화 금속 이온 친화성 크로마토그래피(IMAC)는 아미노산, 특히 히스티딘과 금속의 특이적 배위 공유 결합을 기반으로 한다. 이 기술은 금속 이온에 대한 친화성을 가진 단백질이 고정화된 금속 이온을 포함하는 컬럼에 유지되도록 하여 작동한다. 예를 들어, 히스티딘 함유 단백질이나 펩타이드 정제에는 코발트, 니켈 또는 구리가 사용되며, 인산화 단백질이나 펩타이드 정제에는 철, 아연 또는 갈륨이 사용된다. 많은 자연 발생 단백질은 금속 이온에 대한 친화성이 없으므로, 재조합 DNA 기술을 사용하여 해당 유전자에 이러한 단백질 태그를 도입할 수 있다. 관심 단백질을 용출하는 데 사용되는 방법에는 pH 변경 또는 이미다졸과 같은 경쟁 분자 추가가 포함된다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
아마도 친화 크로마토그래피의 가장 일반적인 용도는 재조합 단백질의 정제이다. 알려진 친화성을 가진 단백질은 정제를 돕기 위해 태그된다. 단백질은 친화성 결합을 위해 선택될 수 있도록 유전적으로 변형되었을 수 있으며, 이를 융합 단백질이라고 한다. 표지단백질에는 헥사히스티딘(His), 글루타티온-S-트랜스퍼라제(GST), 말토스 결합 단백질(MBP) 및 콜리신 E7 변형 CL7 태그가 포함된다. 히스티딘 태그는 고정상에 통합된 킬레이트제와 배위 공유 결합을 형성하여 고정화된 니켈, 코발트, 아연, 구리 및 철 이온에 대한 친화성을 가진다. 용출을 위해 이미다졸과 같이 금속 이온 리간드로 작용할 수 있는 과량의 화합물이 사용된다. GST는 글루타티온에 대한 친화성을 가지며, 이는 글루타티온 아가로스로 고정화된 형태로 상업적으로 이용 가능하다. 용출 중에 과량의 글루타티온이 태그된 단백질을 대체하는 데 사용된다. CL7은 면역 단백질 7(Im7)에 대한 친화성 및 특이성을 가지며, 이는 Im7 아가로스 수지로 고정화된 형태로 상업적으로 이용 가능하다. 용출을 위해 활성 및 부위 특이적 단백질분해효소가 Im7 수지에 적용되어 태그가 없는 단백질을 방출한다.
친화 크로마토그래피 특정 용도
렉틴 친화성 크로마토그래피는 렉틴을 사용하여 샘플 내의 구성 요소를 분리하는 친화성 크로마토그래피의 한 형태이다. 콘카나발린 A와 같은 렉틴은 특정 알파-D-만노스 및 알파-D-포도당 탄수화물 분자를 결합할 수 있는 단백질이다. 렉틴 친화성 크로마토그래피에 사용되는 몇 가지 일반적인 탄수화물 분자는 Con A-Sepharose 및 WGA-아가로스이다. 렉틴의 또 다른 예는 D-N-아세틸글루코사민을 결합하는 밀 배아 응집소이다. 가장 일반적인 응용은 당단백질을 비당화 단백질과 분리하거나, 한 당형을 다른 당형과 분리하는 것이다. 렉틴 친화성 크로마토그래피를 수행하는 다양한 방법이 있지만, 목표는 원하는 단백질의 당 리간드를 추출하는 것이다.
친화 크로마토그래피의 또 다른 용도는 특정 단백질에 고유한 겔 매트릭스를 사용하여 특정 단백질을 정제하는 것이다. 예를 들어, 대장균 β-갈락토시다아제는 p-아미노벤질-1-티오-β-D-갈락토피라노실 아가로스를 친화성 매트릭스로 사용하여 친화성 크로마토그래피로 정제된다. p-아미노벤질-1-티오-β-D-갈락토피라노실 아가로스는 대장균 β-갈락토시다아제에 대한 좋은 기질 유사체 역할을 하는 갈락토피라노실 그룹을 포함하고 있기 때문에 친화성 매트릭스로 사용된다. 이 특성은 효소가 친화성 매트릭스의 고정상에 결합하도록 허용하며, β-갈락토시다아제는 컬럼에 염 농도를 증가시켜 용출된다.
대장균의 알칼리성 인산가수분해효소는 DEAE-셀룰로스 매트릭스를 사용하여 정제할 수 있다. 알칼리성 인산가수분해효소는 약간의 음전하를 띠고 있어 매트릭스의 양전하 아민 그룹에 약하게 결합할 수 있다. 이 효소는 더 높은 염 농도의 버퍼를 추가하여 용출될 수 있다.
보론산 친화성 크로마토그래피는 보론산 또는 보론산염을 사용하여 당단백질의 양을 용출하고 정량하는 것으로 구성된다. 임상적 적용은 이 유형의 크로마토그래피를 사용하여 당화 헤모글로빈 분석을 통해 당뇨병 환자의 장기 평가를 결정하는 데 적용되었다.
혈청 알부민 및 마크로글로불린 오염의 친화성 정제는 질량 분석을 수행할 때 과도한 알부민 및 α2-마크로글로불린 오염을 제거하는 데 도움이 된다. 혈청 알부민의 친화성 정제에서 혈청 단백질을 수집하거나 유인하는 데 사용되는 고정상은 Cibacron Blue-Sepharose일 수 있다. 그런 다음 혈청 단백질은 티오시안산염 (SCN−)을 포함하는 버퍼로 흡착제에서 용출될 수 있다.
친화 크로마토그래피 약한 친화성 크로마토그래피
약한 친화성 크로마토그래피 (WAC)는 신약 개발에서 친화성 스크리닝을 위한 친화성 크로마토그래피 기술이다. WAC는 고정화된 표적에 대한 서로 다른 약한 친화성을 기반으로 화합물을 분리하는 친화성 기반 액체 크로마토그래피 기술이다. 화합물이 표적에 대해 더 높은 친화성을 가질수록 분리 장치에 더 오래 머무르며, 이는 더 긴 유지 시간으로 표현된다. 친화성 측정 및 친화성 순위는 분석된 화합물의 얻어진 유지 시간을 처리하여 달성할 수 있다. 친화성 크로마토그래피는 화학 단백질체학 기반 약물 표적 식별에 사용되는 더 큰 기술 스위트의 일부이다.
WAC 기술은 단백질분해효소, 키나아제, 샤페론 및 단백질-단백질 상호작용 (PPI) 표적과 같은 여러 다른 단백질 표적에 대해 시연되었다. WAC는 단편 기반 스크리닝을 위한 기존 방법보다 더 효과적인 것으로 나타났다.
친화 크로마토그래피 역사
친화 크로마토그래피는 페드로 쿠아트레카사스와 메이어 빌체크가 고안하고 처음 개발했다.
이중 차분
이중 차분(difference in differences, DID 또는 DD)은 계량경제학 및 사회 과학의 양적 연구에서 사용되는 통계 기법으로, 자연 실험에서 '처치 집단'과 '통제 집단'에 대한 처치의 차등 효과를 연구함으로써 관찰 연구 데이터를 사용하여 실험 연구 설계를 모방하려는 시도이다. 이 방법은 처치 집단에 대한 결과 변수의 시간에 따른 평균 변화를 통제 집단에 대한 시간에 따른 평균 변화와 비교하여 처치(즉, 설명 변수 또는 독립변수)가 결과(즉, 반응 변수 또는 종속변수)에 미치는 효과를 계산한다. 이 방법은 외생 요인 및 선택 편향의 영향을 완화하기 위한 것이지만, 처치 집단이 선택되는 방식에 따라 특정 편향(예: 평균으로의 회귀, 역인과관계 편향 및 누락된 변수 편향)에 여전히 취약할 수 있다.
피험자에 대한 처치 효과의 시계열 추정(시간에 따른 차이 분석) 또는 처치 효과의 횡단면 연구 추정(처치 및 통제 집단 간의 차이 측정)과 달리, 이중 차분은 패널데이터를 사용하여 시간에 따라 발생하는 결과 변수의 변화에 대한 처치 및 통제 집단 간의 차이를 측정한다.
이중 차분 일반적인 정의
이중 차분은 처치 집단과 통제 집단에서 두 개 이상의 다른 시간대에 측정된 데이터를 필요로 하며, 특히 "처치" 전 최소 한 기간과 "처치" 후 최소 한 기간이 필요하다. 그림에 나타난 예에서 처치 집단의 결과는 선 P로, 통제 집단의 결과는 선 S로 나타난다. 두 집단의 결과(종속) 변수는 처치(즉, 독립 또는 설명 변수)를 받기 전인 시간 1에서 측정되며, 점 P1과 S1로 표시된다. 처치 집단은 처치를 받거나 경험하고 두 집단은 시간 2에서 다시 측정된다. 시간 2에서 처치 집단과 통제 집단 간의 모든 차이(즉, P2와 S2의 차이)가 처치 효과로 설명될 수는 없다. 왜냐하면 처치 집단과 통제 집단이 시간 1에서 같은 지점에서 시작하지 않았기 때문이다. 따라서 DID는 두 집단 간의 결과 변수의 "정상적인" 차이(두 집단 모두 처치를 경험하지 않았을 때 여전히 존재할 차이)를 점선 Q로 나타낸다. (P1에서 Q까지의 기울기가 S1에서 S2까지의 기울기와 같다는 점에 유의하라.) 처치 효과는 관찰된 결과(P2)와 "정상적인" 결과(P2와 Q의 차이) 간의 차이이다.
이중 차분 형식적인 정의
다음 모델을 고려하라.
여기서 는 개인 와 시간 에 대한 종속 변수이고, 는 가 속한 집단(즉, 처치 또는 통제 집단)이며, 는 에 설명된 사건이 참일 때 1이고 그렇지 않으면 0인 가변수에 대한 약어이다. 집단별로 시간 대  플롯에서 는 에 대한 그래프의 세로 절편이고, 는 평행 추세 가정(아래 가정 참조)에 따라 두 집단이 공유하는 시간 추세이다. 는 처치 효과이고 는 오차항이다.
집단 및 시간에 따른 종속 변수와 더미 지표의 평균을 고려하라.
그리고 단순화를 위해  및 라고 가정하자. 는 무작위가 아니며, 집단과 기간이 어떻게 레이블링되는지를 인코딩할 뿐이다. 그러면
엄격한 외생성 가정은 다음을 의미한다.
일반성을 잃지 않고, 가 처치 집단이고, 가 후 기간이라고 가정하면, 이고 이므로 DID 추정기는 다음과 같다.
이는 로 표시된 처치 효과로 해석될 수 있다. 아래에서는 이 추정기가 정규방정식 회귀에서 계수로 어떻게 읽힐 수 있는지 보여준다. 이 절에서 설명된 모델은 과도하게 매개변수화되어 있다. 이를 해결하기 위해 더미 변수 중 하나의 계수를 0으로 설정할 수 있다. 예를 들어, 으로 설정할 수 있다.
이중 차분 가정
DID는 OLS 모델의 특별한 버전이므로, OLS 모델의 모든 가우스-마르코프 가정이 DID에도 동일하게 적용된다. 또한, DID는 평행 추세 가정을 필요로 한다. 평행 추세 가정은 이 과  모두에서 동일하다는 것을 의미한다. 위의 형식적인 정의가 현실을 정확하게 나타낸다고 가정하면, 이 가정은 자동으로 성립한다. 그러나 을 포함하는 모델이 훨씬 더 현실적일 수 있다. 평행 추세 가정이 성립할 가능성을 높이기 위해 이중 차분 접근 방식은 종종 매칭과 결합된다. 이는 알려진 '처치' 단위를 모의 반사실 '통제' 단위(처치를 받지 않은 특성적으로 동일한 단위)와 '매칭'하는 것을 포함한다. 결과 변수를 시간적 차이(처치 전후 기간의 관찰 결과 변화)로 정의하고, 유사한 처치 전 이력을 기반으로 대규모 표본에서 여러 단위를 매칭함으로써, 결과적으로 평균 처치 효과 (즉, ATT: 처치 받은 집단에 대한 평균 처치 효과)는 처치 효과의 견고한 이중 차분 추정치를 제공한다. 이는 두 가지 통계적 목적을 달성한다. 첫째, 처치 전 공변량에 조건부로, 평행 추세 가정이 성립할 가능성이 높다. 둘째, 이 접근 방식은 유효한 추론에 필요한 관련 무시 가능성 가정에 대한 의존도를 줄인다.
이중 차분 가정
오른쪽에 설명된 바와 같이, 처치 효과는 관찰된 y 값과 처치가 없었을 때 평행 추세를 가졌을 y 값 간의 차이이다. DID의 아킬레스건은 처치와 동시에 한 집단에서는 처치 외의 다른 변화가 발생하고 다른 집단에서는 그렇지 않을 때 발생하며, 이는 평행 추세 가정 위반을 의미한다.
DID 추정치의 정확성을 보장하기 위해 두 집단의 개체 구성은 시간에 따라 변하지 않는다고 가정한다. DID 모델을 사용할 때 자기상관 및 애션펠터 딥과 같이 결과에 영향을 미칠 수 있는 다양한 문제를 고려하고 처리해야 한다.
이중 차분 구현
DID 방법은 아래 표에 따라 구현할 수 있으며, 오른쪽 아래 셀이 DID 추정기이다.
회귀 분석을 실행하면 동일한 결과가 나온다. OLS 모델을 고려하라.
여기서 는 기간에 대한 더미 변수로, 일 때 이고, 는 집단 구성원에 대한 더미 변수로, 일 때 이다. 복합 변수 는 일 때를 나타내는 더미 변수이다. 여기서 엄격하게 보여지지는 않지만, 이것은 형식적인 정의 모델의 적절한 매개변수화이며, 또한 해당 섹션의 집단 및 기간 평균은 다음과 같이 모델 매개변수 추정치와 관련된다.
이중 차분 구현
여기서 는 표본에서 계산된 조건부 평균을 나타낸다. 예를 들어, 은 후 기간 지표이고, 은 통제 집단 지표이다. 은 통제 집단의 영향이라기보다는 반사실의 추정치라는 점에 유의하라. 통제 집단은 종종 반사실에 대한 대리 변수로 사용된다(이 점에 대한 더 깊은 이해는 합성 통제 방법을 참조하라). 따라서 은 통제 집단과 개입(처치)의 반사실 모두의 영향으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 평행 추세 가정으로 인해 도 에서 처치 집단과 통제 집단 간의 동일한 차분이다. 위의 설명은 의 경우 통제 집단만의 (평균) 효과를, 의 경우 처치 전 기간에 처치 집단과 통제 집단 간의 차이만을 의미하는 것으로 해석되어서는 안 된다. 아래의 카드와 크루거의 경우와 같이, 결과 변수 의 첫 번째 (시간) 차분은 의 편향 없는 추정치를 형성하기 위해 시간 추세(즉, )의 필요성을 제거하며, 이는 이 실제로 처치 또는 통제 집단에 조건부적이지 않음을 의미한다. 마찬가지로, 처치 집단과 통제 집단 간의 차이는 의 편향 없는 추정치를 형성하기 위해 처치 차분(즉, )의 필요성을 제거한다. 이 미묘한 차이는 사용자가 평행 사전 추세의 (약한) 위반이 존재한다고 믿거나 비공통 충격 또는 혼란 사건의 존재를 고려할 때 적절한 반사실 근사 가정의 위반이 있는 경우 이해하는 데 중요하다. 이 표기법과 이전 섹션 간의 관계를 확인하려면, 위와 같이 각 집단에 대해 각 기간당 하나의 관측치만 고려하라. 그러면
그리고 와 의 다른 값에 대해서도 마찬가지이며, 이는 다음 등가이다.
그러나 이것은 형식적인 정의와 위의 표에서 주어진 처치 효과에 대한 표현이다.
이중 차분 프레임워크의 변형에는 처치 개입의 단계적 구현을 위한 프레임워크와 Brantly Callaway 및 페드로 H.C. 산타나가 도입한 다중 시간대 및 기타 변형을 위한 추정기가 포함된다.
이중 차분 예시
1994년에 발표된 카드와 크루거의 뉴저지주 최저임금에 대한 논문은 가장 유명한 DID 연구 중 하나로 꼽히며, 카드는 이 연구 및 관련 연구로 2021년 노벨 경제학상을 공동 수상했다. 카드와 크루거는 1992년 4월 뉴저지주의 최저임금이 4.25달러에서 5.05달러로 인상된 후, 1992년 2월과 1992년 11월에 뉴저지주와 펜실베이니아주의 패스트 푸드 부문 고용을 비교했다. 처치 전후 뉴저지주에서만 고용 변화를 관찰하는 것은 날씨나 지역의 거시경제 상황과 같은 누락된 변수를 통제하지 못했을 것이다. 이중 차분 모델에 펜실베이니아주를 통제 집단으로 포함함으로써 뉴저지주와 펜실베이니아주에 공통적인 변수(관찰되지 않은 변수라도)로 인한 편향은 암묵적으로 통제된다. 뉴저지주와 펜실베이니아주가 시간에 따라 평행 추세를 가진다고 가정하면, 펜실베이니아주의 고용 변화는 뉴저지주가 최저임금을 인상하지 않았더라면 경험했을 변화로 해석될 수 있으며 그 반대도 마찬가지이다. 증거는 최저임금 인상이 일부 경제 이론이 시사하는 바와 달리 뉴저지주에서 고용 감소를 유발하지 않았음을 시사했다. 아래 표는 FTE(또는 풀타임 상당 인력)으로 측정된 고용에 대한 카드와 크루거의 처치 효과 추정치를 보여준다. 카드와 크루거는 뉴저지주에서 0.80달러의 최저임금 인상이 매장당 평균 2.75 FTE의 고용 증가로 이어졌다고 추정한다.
이중 차분 예시
이 연구의 소프트웨어 예시 응용은 Stata의 -diff- 명령에서 찾을 수 있다.
이중 차분 응용
이중 차분(DID) 프레임워크는 노동 경제학과 최저 임금 연구를 넘어 광범위하게 적용되어 왔다.
공중보건 분야에서는 DID가 새로운 의료 지침이나 예방 접종 캠페인의 효과를 평가하기 위해
정책 시행 전후의 지역을 비교하는 데 사용되었다.
교육 분야에서는 DID 방법이 학교 재정이나 학급 규모 변화와 같은 개혁의 영향을 측정하는 데 도움이 된다.
환경경제학 분야에서는 오염, 에너지 소비 또는 기후 정책에 대한 규제를 평가하는 데 사용된다.
이러한 응용 프로그램은 평행 추세라는 핵심 가정에 의존하지만, 신중하게 설계될 경우 정책 입안자에게
관찰 데이터를 사용하여 강력한 인과 추정치를 제공한다.
이중 차분은 역사적 사건 연구, 특히 경제사 분야에도 적용되어 왔는데, 이곳에서 연구자들은 장기적인 결과를 조사하기 위해 자연 실험에 의존한다. 질병, 제도적 변화, 전쟁 파괴와 같은 충격에 차등적으로 노출된 지역이나 집단을 비교함으로써, 학자들은 직접 관찰할 수 없는 인과 효과를 식별하기 위해 이 방법을 사용해 왔다.
이중 차분 응용
2021년 엘레나 에스포지토는 DID를 사용하여 말라리아의 도래가 미국에서 아프리카 노예 제도의 확장에 어떤 영향을 미쳤는지 조사했다.
그녀는 17세기 후반에 질병이 도입되기 전후로 말라리아 전파에 생태학적으로 더 적합했던 카운티와 덜 적합했던 카운티를 비교했다. 결과는 말라리아에 취약한 카운티에서 질병이 풍토병이 된 후 노예화된 아프리카인의 비율이 훨씬 더 크게 증가했음을 보여주었다. 또한, 말라리아 유병률이 높은 아프리카 지역 출신의 노예들은 루이지애나 노예 시장에서 더 높은 가격에 팔렸는데, 이는 구매자들이 말라리아 저항력에 프리미엄을 부여했음을 시사한다. 이 응용은 DID가 환경 충격과 장기적인 제도적 발전을 연결하는 데 어떻게 사용될 수 있는지를 보여주었다.
이중 차분 응용
곤잘레스, 마셜, 나이두는 2017년에 DID를 사용하여 메릴랜드의 노예 제도 폐지가 기업가 정신 패턴에 어떻게 영향을 미쳤는지 분석했다. 그들은 인구 조사 데이터와 당시의 신용 보고서를 결합하여 1864년 무상 노예 제도 폐지 전후 노예 소유자와 비노예 소유자의 사업 설립을 비교했다. 그들은 노예 소유자들이 해방 전에 사업을 시작할 가능성이 더 높았지만, 노예 제도가 폐지되자 이러한 이점이 사라졌다는 것을 발견했다. 이 경우 DID는 해방을 갑작스러운 제도적 변화로 다루고 그것이 사업 활동에 어떻게 영향을 미치는지 볼 수 있게 해주었다.
이중 차분 응용
2022년 제임스 파이겐바움, 제임스 리, 필리포 메자노티는 DID를 사용하여 미국 남북 전쟁 중 셔먼 장군의 행진의 경제적 효과를 측정했다. 그들은 1850년부터 1920년까지의 카운티 수준 데이터를 사용하여 행진 경로에 직접적으로 있던 지역과 피해를 입지 않은 인근 카운티를 비교했다. 그들의 연구 결과는 영향을 받은 카운티에서 농지 가치, 농업 투자, 제조업 활동이 즉각적으로 크게 감소했음을 보여주었다. 제조업 생산량은 결국 19세기 후반에 회복되었지만, 농업적 효과는 수십 년간 지속되었고, 1920년에도 개량 농지 수준이 여전히 낮게 나타났다. 이 연구는 또한 남북 전쟁 이후 신용 부족과 은행 붕괴가 회복을 늦추었고, 특히 대출에 더 의존했던 지역에서 그러했음을 보여주었다. 전반적으로 이 연구는 DID를 사용하여 분쟁이 경제와 지역 제도에 지속적인 영향을 미쳤음을 입증했다.
2012년 리처드 혼벡은 DID를 사용하여 1930년대 미국 더스트 볼의 장기적인 경제적 결과를 연구했다. 그는 재난 전후로 심각한 토양 침식을 겪은 카운티와 덜 영향을 받은 인근 카운티를 비교했다. 그의 연구 결과는 심하게 침식된 카운티가 토지 가치와 농업 수입에서 20~30%의 지속적인 감소를 겪었으며, 10년이 지나도 거의 회복되지 않았음을 보여준다. 그 결과 많은 주민들이 이주했고, 인구 감소가 주요 조정 요인이 되었다. 이 연구는 DID가 경제사에서 환경 충격에 어떻게 적용될 수 있는지를 보여주며, 생태학적 재난이 지역 발전에 미치는 장기적인 영향을 지적한다.
이중 차분 추가 자료
Andrew Baker, Brantly Callaway, Scott Cunningham, Andrew Goodman-Bacon and Pedro H. C. Sant'Anna. 2025. "Difference-in-Differences Designs: A Practitioner’s Guide." Journal of Economic Literature.
Cameron, Arthur C.; Trivedi, Pravin K. (2005). 《Microeconometrics: Methods and Applications》. Cambridge university press. 768–772쪽. doi:10.1017/CBO9780511811241. ISBN 9780521848053. S2CID 120313863.
Imbens, Guido W.; Wooldridge, Jeffrey M. (2009). 《Recent Developments in the Econometrics of Program Evaluation》. 《Journal of Economic Literature》 47. 5–86쪽. doi:10.1257/jel.47.1.5.
이중 차분 추가 자료
Bakija, Jon; Heim, Bradley (August 2008). 《How Does Charitable Giving Respond to Incentives and Income? Dynamic Panel Estimates Accounting for Predictable Changes in Taxation》. 《NBER Working Paper No. 14237》. doi:10.3386/w14237.
오동진 (소방공무원)
오동진(1981년 1월 8일 ~ 2018년 8월 12일)은 대한민국의 소방공무원이다. 경기도 김포시 한강 신곡수중보 인근 구조 출동 중 보트가 전복되어 순직하였고, 사후 1계급 특별승진(지방소방위)과 옥조근정훈장이 추서되었으며, 유해는 국립대전현충원에 안장되었다.
오동진 (소방공무원) 생애
오동진은 1981년 1월 8일 인천에서 태어났다. 2012년 6월 4일 소방공무원으로 임용되어 수난 구조 분야에서 근무했다. 양평소방서 수난구조대에서 실무 경력을 쌓은 뒤 2017년 11월부터 김포소방서 수난구조대에서 활동했다.
오동진 (소방공무원) 주요 사건
2018년 김포 신곡수중보 구조보트 전복
2018년 8월 12일 오후, 김포시 고촌읍 신곡수중보 북단 일대에서 민간 보트 관련 신고에 대응하던 중 구조보트가 낙차·와류가 강한 구간에 휩쓸려 전복되었다. 동승 대원 1명은 구조되었으나, 오동진을 포함한 2명은 실종되었다가 13일에 숨진 채 발견되었다.
오동진 (소방공무원) 사후
2018년 8월 16일 김포생활체육관에서 경기도청장(葬)으로 합동 영결식이 거행되었다. 오동진은 사후 1계급 특별승진으로 지방소방위에 추서되었고, 옥조근정훈장을 받았다. 유해는 국립대전현충원에 안장되었다.
오동진 (소방공무원) 오동진·심문규 신곡수중보 통보시스템 설치
사고 이후 수중보의 구조적 위험(낙차에 따른 급류·소용돌이)과 수문 운영 정보의 실시간 공유 필요성이 제기되었고, 2021년 ‘오동진·심문규 신곡수중보 통보시스템’(한강사업본부→김포소방서 수문개방 핫라인)이 구축되어 수난 구조 대응의 예측 가능성과 기관 간 공조 체계가 보강되었다.
독립항등분포
확률론 및 통계학에서 확률 변수의 모음이 독립항등분포(Independent and identically distributed random variables, i.i.d., iid 또는 IID)라는 것은 각 확률 변수가 다른 변수와 동일한 확률 분포를 가지며 모두 상호 독립이라는 의미이다. IID는 통계학에서 처음 정의되었으며 데이터 마이닝 및 신호 처리와 같은 여러 분야에서 응용된다.
독립항등분포 서론
통계학은 일반적으로 무작위 표본을 다룬다. 무작위 표본은 무작위로 선택된 객체들의 집합으로 생각할 수 있다. 보다 공식적으로는 "독립항등분포(IID) 무작위 데이터 포인트들의 시퀀스"이다.
다시 말해, 무작위 표본과 IID라는 용어는 동의어이다. 통계학에서는 "무작위 표본"이 일반적인 용어이지만, 확률론에서는 "'IID"라고 말하는 것이 더 흔하다.
독립항등분포 응용
독립항등분포 확률 변수는 종종 기본 수학을 단순화하는 가설로 사용된다. 그러나 통계 모델링의 실제 응용에서는 이 가설이 현실적일 수도 있고 아닐 수도 있다.
i.i.d. 가정은 중심 극한 정리에서도 사용되는데, 이는 유한 분산을 가진 i.i.d. 변수들의 합(또는 평균)의 확률 분포가 정규 분포에 접근한다고 말한다.
i.i.d. 가정은 확률 변수의 시퀀스 맥락에서 자주 발생한다. 이때 "독립항등분포"는 시퀀스의 한 요소가 그 이전에 발생한 확률 변수와 독립적임을 의미한다. 이러한 방식으로 i.i.d. 시퀀스는 마르코프 연쇄와 다르다. 마르코프 연쇄에서는 n번째 확률 변수의 확률 분포가 시퀀스의 이전 확률 변수의 함수이다(1차 마르코프 연쇄의 경우). i.i.d. 시퀀스는 표본 공간 또는 사건 공간의 모든 요소에 대한 확률이 동일해야 함을 의미하지 않는다. 예를 들어, 편향된 주사위를 반복적으로 던지는 것은 결과가 편향되어 있음에도 불구하고 i.i.d. 시퀀스를 생성한다.
독립항등분포 응용
신호 처리 및 영상 처리에서 i.i.d.로의 변환 개념은 "i.d." 부분과 "i." 부분의 두 가지 사양을 의미한다.
i.d. – 신호 레벨은 시간축에서 균형을 이루어야 한다.
i. – 신호 스펙트럼은 평탄화되어야 한다. 즉, 필터링(예: 역합성곱)을 통해 백색 잡음 신호(즉, 모든 주파수가 동일하게 존재하는 신호)로 변환되어야 한다.
독립항등분포 정의
확률 변수 와 가 에서 값을 취하도록 정의되었다고 가정한다. 와 를 각각 와 의 누적 분포 함수라고 하고, 이들의 결합 누적 분포 함수를 로 나타낸다.
두 확률 변수 와 는 모든 에 대해 일 때에만 독립이다. (사건의 더 간단한 경우, 두 사건 와 는 일 때에만 독립이다.)
두 확률 변수 와 는 모든 에 대해 일 때에만 동일하게 분포한다.
두 확률 변수 와 는 독립항등분포, 즉 다음과 같을 때에만 i.i.d.이다.
정의는 두 개 이상의 확률 변수로 자연스럽게 확장된다. 개의 확률 변수 가 독립적이고 동일하게 분포할 때에만 i.i.d.라고 말한다. 즉, 다음과 같을 때에만 i.i.d.이다.
여기서 는 의 결합 누적 분포 함수를 나타낸다.
독립항등분포 예시
공정한 또는 불공정한 룰렛 휠의 스핀 결과 시퀀스는 i.i.d.이다. 이의 한 가지 함의는 예를 들어 룰렛 공이 20번 연속 "빨강"에 떨어진 경우, 다음 스핀에서 "검정"이 나올 확률이 다른 스핀보다 더 많거나 적지 않다는 것이다(도박사의 오류 참조).
동전을 10번 던지고 그 결과를 변수 에 기록한다.
이러한 i.i.d. 변수 시퀀스를 베르누이 과정이라고도 한다.
주사위를 10번 굴리고 그 결과를 변수 에 저장한다.
52장의 카드가 들어있는 표준 카드 덱에서 카드를 한 장 뽑은 다음, 그 카드를 덱에 다시 넣는다. 이를 52번 반복한다. 왕 카드가 언제 나타나는지 관찰한다.
독립항등분포 일반화
i.i.d. 확률 변수라는 가정하에 처음 증명된 많은 결과는 더 약한 분포 가설 하에서도 참임이 밝혀졌다.
i.i.d. 변수의 주요 특성을 공유하는 가장 일반적인 개념은 브루노 데 피네티가 도입한 교환 가능 확률 변수족이다. 교환 가능성은 변수들이 독립적이지 않을 수 있지만, 미래의 변수들이 과거의 변수들처럼 행동한다는 것을 의미한다. 즉, 형식적으로 유한 시퀀스의 어떤 값도 해당 값들의 어떤 순열과 마찬가지로 가능성이 높다는 것이다. 결합분포는 대칭군 하에서 불변이다.
이는 유용한 일반화를 제공한다. 예를 들어, 비복원 추출은 독립적이지 않지만 교환 가능하다.
확률미적분학에서 i.i.d. 변수는 이산 시간 레비 확률 과정으로 간주된다. 각 변수는 한 시점에서 다른 시점으로 얼마나 변하는지를 나타낸다. 예를 들어, 베르누이 시행의 시퀀스는 베르누이 과정으로 해석된다.
이는 연속 시간 레비 확률 과정으로 일반화될 수 있으며, 많은 레비 확률 과정은 i.i.d. 변수의 극한으로 볼 수 있다. 예를 들어, 위너 확률 과정은 베르누이 과정의 극한이다.
독립항등분포 기계 학습에서
기계 학습 (ML)은 데이터 내에서 통계적 관계를 학습하는 것을 포함한다. ML 모델을 효과적으로 훈련하려면 광범위하게 일반화 가능한 데이터를 사용하는 것이 중요하다. 훈련 데이터가 작업에 충분히 대표적이지 않으면 모델의 새로운, 보지 못한 데이터에 대한 성능이 저조할 수 있다.
i.i.d. 가설은 훈련 샘플에 필요한 개별 사례의 수를 크게 줄여 최적화 계산을 단순화한다. 최적화 문제에서 독립항등분포 가정은 가능도 함수의 계산을 단순화한다.
이 가정 덕분에 가능도 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다.
관찰된 사건의 확률을 최대화하기 위해 로그 함수가 적용되어 매개변수 를 최대화한다. 구체적으로는 다음을 계산한다.
여기서
컴퓨터는 여러 덧셈을 수행하는 데 매우 효율적이지만, 곱셈을 수행하는 데는 효율적이지 않다. 이러한 단순화는 계산 효율성을 향상시킨다. 로그 변환은 최대화 과정에서 많은 지수 함수를 선형 함수로 변환한다.
독립항등분포 기계 학습에서
이 가설이 중심 극한 정리 (CLT)와 함께 실제적으로 유용한 두 가지 주요 이유가 있다.
두 번째 이유는 모델의 정확도가 모델 단위의 단순성과 표현력, 그리고 데이터 품질에 달려 있기 때문이다. 단위의 단순성은 해석과 확장을 용이하게 하는 반면, 표현력과 확장성은 모델 정확도를 향상시킨다. 예를 들어, 깊은 인공 신경망에서 각 뉴런은 단순하지만 강력한 표현력을 가지며, 층별로 더 복잡한 특징을 포착하여 모델 정확도를 향상시킨다.
송건후
송건후는 대한민국 소방청 소속 소방공무원이다. 2023년 충청남도 부여소방서 재직 중 지역 출동·기후·인구 데이터로 화재 위험을 예측하는 인공지능 시스템을 개발했고, 2024년에는 충남소방본부의 집중호우 시 구조 수요를 선제적으로 예측하는 프로그램 ‘세안(SE:AN)’의 개발·도입에 참여하였다. 2024년 모범공직자로 선정되어 감사원장 표창을 받았고, 2025년에는 감사원 사보 『감사』의 감사활동 모범사례에 선정되었다.
송건후 개요
송건후는 현장 데이터와 인공지능 기법을 접목해 화재·수해 대응의 선제적 의사결정을 돕는 도구를 기획·구현한 실무형 개발자로 알려진 소방공무원이다. 부여소방서 근무 당시 지역 특성과 장기간 출동기록을 결합해 월별·격자(약 4㎢) 단위의 화재 발생 가능 지도를 마련했고, 충남소방본부 단계에서는 호우특보 상황에서 동시다발 신고가 들어올 때 우선대응 대상을 자동 선별하는 ‘세안’ 알고리즘을 개발·현장 적용하는 데 관여했다.
송건후 생애
충북대학교 물리학과에서 학부 과정을 밟았으며, 학업 과정에서 데이터 분석과 재난 대응의 접점을 모색한 뒤 소방공무원으로 임용되었다.
송건후 연구 및 개발
부여군 2012–2022년 화재 출동 기록을 위·경도 좌표로 정규화해 지도로 시각화하고, 기후(기온·강수)·건축물 현황·인구(특히 고령층 분포) 등의 변수를 결합해 월 단위의 발생 가능 구역을 예측하는 모델을 설계했다. 결과물은 4㎢ 격자 기반 예측도로 구현되어 시범운영에 활용되었고, 상반기 실측과의 비교 평가지표를 통해 성능을 점검하였다.
충남소방본부에서 집중호우 상황의 신고 폭주를 가정해 지역별 위험도를 자동 분류하고 우선대응 대상을 추천하는 프로그램을 개발했다. 구조 활동 이력, 기후·지형 정보 등 장기 데이터를 통합해 인명 구조의 골든타임 확보를 목표로 설계되었으며, 2024년 하반기 현장 시범 및 정책 콘퍼런스 공개가 예고되었다.
비선형 최소제곱법
비선형 최소제곱법(non-linear least squares)은 최소제곱법 분석의 한 형태로, 알려지지 않은 n개의 모수(매개변수)에 대해 비선형인 모델에 m개의 관측값 세트를 맞추는 데 사용된다(). 이는 일부 형태의 비선형 회귀에 사용된다. 이 방법의 기본은 모델을 선형 모델로 근사하고 연속적인 반복을 통해 모수를 정제하는 것이다. 선형 최소제곱법과 많은 유사점이 있지만, 몇 가지 중요한 차이점도 있다. 경제 이론에서 비선형 최소제곱법은 (i) 프로빗 회귀, (ii) 임계 회귀, (iii) 평활 회귀, (iv) 로지스틱 링크 회귀, (v) 박스-콕스 변환 회귀변수()에 적용된다.
비선형 최소제곱법 이론
개의 데이터 포인트 와 곡선(모델 함수) 를 고려하자. 이 곡선은 변수  외에도 개의 모수 에 의존하며, 이다. 이 곡선이 최소제곱 의미에서 주어진 데이터에 가장 잘 맞도록 모수 벡터 를 찾는 것이 목표이다. 즉, 제곱합

을 최소화해야 한다. 여기서 잔차(표본 내 예측 오차) ri는

()으로 주어진다.
S의 최솟값은 기울기가 0일 때 발생한다. 모델에는 n개의 모수가 포함되어 있으므로 n개의 기울기 방정식이 있다.
비선형 시스템에서 미분 는 독립 변수와 모수 모두의 함수이므로 일반적으로 이 기울기 방정식은 닫힌 해를 가지지 않는다. 대신, 모수에 대한 초기값이 선택되어야 한다. 그런 다음 모수는 반복적으로 정제된다. 즉, 값은 연속적인 근사를 통해 얻어진다.
여기서 k는 반복 횟수이고, 증분 벡터 는 이동 벡터(shift vector)로 알려져 있다. 각 반복에서 모델은 에 대한 1차 테일러 다항식 전개로 근사하여 선형화된다.

야코비 행렬 J는 상수, 독립 변수 및 모수의 함수이므로 반복마다 변한다. 따라서 선형화된 모델의 관점에서,

이고 잔차는 다음과 같이 주어진다.
비선형 최소제곱법 이론
이러한 표현을 기울기 방정식에 대입하면 다음과 같이 된다.

이를 재정렬하면 n개의 연립 선형 방정식, 즉 정규 방정식이 된다.
정규 방정식은 행렬 표기법으로 다음과 같이 쓰여진다.
이 방정식은 비선형 최소제곱 문제에 대한 가우스-뉴턴 알고리즘의 기초를 형성한다.
야코비 행렬의 미분 정의에서 부호 규칙에 유의하라. 다른 문서나 문헌에서는 에 선형인 공식이  인자와 함께 나타날 수 있다.
관측값이 동등하게 신뢰할 수 없을 때, 가중 제곱합이 최소화될 수 있다.
대각 가중치 행렬 W의 각 요소는 이상적으로 측정 오차 분산의 역수와 같아야 한다.
그러면 정규 방정식은 더 일반적으로 다음과 같다.
비선형 최소제곱법 기하학적 해석
선형 최소제곱법에서 목적 함수 S는 모수의 이차 함수이다.

모수가 하나만 있을 때 해당 모수에 대한 S의 그래프는 포물선이 된다. 두 개 이상의 모수가 있을 때, 임의의 두 모수에 대한 S의 등고선은 동심원의 타원이 된다(정규 방정식 행렬 가 양의 정부호라고 가정). 최소 모수 값은 타원의 중심에서 찾을 수 있다. 일반 목적 함수의 기하학적 구조는 포물면 타원형으로 설명될 수 있다.
비선형 최소제곱법에서 목적 함수는 최소값에 가까운 영역에서만 모수에 대해 이차적이며, 여기서 절단된 테일러 급수는 모델에 대한 좋은 근사이다.

모수 값이 최적 값과 더 많이 다를수록 등고선은 타원형에서 더 많이 벗어난다. 이로 인해 초기 모수 추정치는 (알려지지 않은!) 최적 값에 최대한 가까워야 한다. 또한 가우스-뉴턴 알고리즘이 모수에서 목적 함수가 대략 이차 함수일 때만 수렴하므로 발산이 어떻게 발생할 수 있는지 설명한다.
비선형 최소제곱법 계산
조건 불량 및 발산의 일부 문제는 최적 값에 가까운 초기 모수 추정치를 찾아 해결할 수 있다. 이를 위한 좋은 방법은 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하는 것이다. 관측된 데이터와 계산된 데이터가 화면에 표시된다. 관측된 데이터와 계산된 데이터 간의 일치가 합리적으로 좋아질 때까지 모델의 모수를 수동으로 조정한다. 비록 이것이 주관적인 판단이겠지만, 비선형 정제를 위한 좋은 시작점을 찾는 데는 충분하다. 변환 또는 선형화를 사용하여 초기 모수 추정치를 만들 수 있다. 더 나은 방법은 확률적 깔때기 알고리즘(Stochastic Funnel Algorithm)과 같은 진화 알고리즘이 최적 모수 추정치를 둘러싸는 볼록한 유인 분지(convex basin of attraction)로 이어질 수 있다는 것이다. 무작위화와 엘리트주의를 사용하고 뉴턴 방법을 따르는 하이브리드 알고리즘은 유용하고 계산적으로 효율적인 것으로 나타났다.
아래 설명된 방법 중 하나를 적용하여 해를 찾을 수 있다.
비선형 최소제곱법 계산
수렴의 상식적인 기준은 제곱합이 한 반복에서 다음 반복으로 증가하지 않는다는 것이다. 그러나 이 기준은 여러 가지 이유로 실제 구현이 어려운 경우가 많다. 유용한 수렴 기준은 다음과 같다.

0.0001이라는 값은 다소 임의적이며 변경해야 할 수도 있다. 특히 실험 오차가 클 때는 증가시켜야 할 수도 있다. 대안적인 기준은 다음과 같다.
마찬가지로, 수치 값은 다소 임의적이다. 0.001은 각 모수가 0.1% 정밀도로 정제되어야 함을 지정하는 것과 같다. 이는 모수에 대한 가장 큰 상대 표준 편차보다 작을 때 합리적이다.
야코비 행렬의 요소를 위한 해석적 표현을 도출하기 매우 어렵거나 심지어 불가능한 모델도 있다. 이때, 수치 근사

는 와 에 대해 를 계산하여 얻어진다. 증분 의 크기는 수치 미분이 너무 커서 근사 오차의 영향을 받거나, 너무 작아서 반올림 오차의 영향을 받지 않도록 선택되어야 한다.
일부 정보는 가중 최소제곱법 페이지의 해당 섹션에 나와 있다.
다중 최소점은 여러 상황에서 발생할 수 있으며, 그 중 일부는 다음과 같다.
비선형 최소제곱법 계산
여기서 는 높이, 는 위치, 는 반치폭(half-width)이며, 목적 함수에 대해 동일한 최적값을 제공하는 반치폭 와 의 두 가지 해가 존재한다.
모든 다중 최소점이 목적 함수의 값이 동일한 것은 아니다. 거짓 최소점(local minima)은 목적 함수 값이 소위 전역 최소값보다 클 때 발생한다. 찾아낸 최소값이 전역 최소값임을 확실히 하려면 모수의 초기값을 크게 다르게 하여 정제를 시작해야 한다. 시작점에 관계없이 동일한 최소값이 발견되면 전역 최소값일 가능성이 높다.
다중 최소점이 존재할 때 중요한 결과가 있다. 목적 함수는 두 최소점 사이에 정지점(예: 최대값 또는 안장점)을 가질 것이다. 목적 함수에서 정지점에서는 기울기가 사라지고 고유한 하강 방향이 존재하지 않으므로 정규 방정식 행렬은 양의 정부호가 아니다. 정지점 근처의 점(모수 값 집합)에서 정제를 시작하는 것은 조건이 좋지 않아 피해야 한다. 예를 들어, 로렌츠 곡선에 맞출 때 로렌츠 곡선의 반치폭이 0일 때 정규 방정식 행렬은 양의 정부호가 아니다.
비선형 최소제곱법 계산
비선형 모델은 때때로 선형 모델로 변환될 수 있다. 이러한 근사는 예를 들어 최적 추정량 근처에서 자주 적용 가능하며, 대부분의 반복 최소화 알고리즘에서 기본 가정 중 하나이다.
선형 근사가 유효할 때, 모델은 선형 템플릿 피팅의 방정식이 적용되는 일반화 최소제곱법을 사용하여 추론에 직접 사용될 수 있다.
선형 근사의 또 다른 예는 모델이 단순한 지수 함수일 때이다.

이는 로그를 취함으로써 선형 모델로 변환될 수 있다.

그래프적으로 이것은 반대수 그래프에서 작업하는 것에 해당한다. 제곱합은 다음과 같이 된다.

이 절차는 오차가 곱셈적이고 로그 정규 분포를 따르지 않는 한 피해야 하는데, 오도하는 결과를 줄 수 있기 때문이다. 이는 y에 대한 실험 오차가 무엇이든, log y에 대한 오차는 다르다는 사실에서 기인한다. 따라서 변환된 제곱합이 최소화될 때, 모수 값과 계산된 표준 편차 모두에 대해 다른 결과가 얻어질 것이다. 그러나 로그 정규 분포를 따르는 곱셈적 오차가 있는 경우, 이 절차는 편향되지 않고 일관된 모수 추정치를 제공한다.
또 다른 예는 두 모수 와 을 결정하는 데 사용되는 미카엘리스-멘텐 반응속도론에 의해 제공된다.

를 에 대해 그린 라인위버-버크 플롯은 모수 와 에 대해 선형이지만 데이터 오차에 매우 민감하고 독립 변수 의 특정 범위 내에서 데이터를 맞추는 데 강하게 편향되어 있다.
비선형 최소제곱법 알고리즘
정규 방정식

는 선형 최소제곱법에서 설명된 대로 숄레스키 분해를 통해 에 대해 풀 수 있다. 모수는 반복적으로 업데이트된다.

여기서 k는 반복 횟수이다. 이 방법은 단순한 모델에는 적합할 수 있지만, 발산이 발생하면 실패한다. 따라서 발산 방지가 필수적이다.
발산이 발생하면, 간단한 해결책은 이동 벡터 의 길이를 일부 분수 f만큼 줄이는 것이다.

예를 들어, 이동 벡터의 길이는 다음 반복에서의 목적 함수 값이 이전 반복에서의 값보다 작아질 때까지 계속 절반으로 줄일 수 있다. 분수 f는 직선 탐색을 통해 최적화될 수 있다. f의 각 시험 값은 목적 함수를 다시 계산해야 하므로 그 값을 너무 엄격하게 최적화할 가치는 없다.
이동량 절단을 사용할 때 이동 벡터의 방향은 변하지 않는다. 이는 이 방법의 적용 가능성을 모수 에서 목적 함수가 대략 이차 함수일 때 이동 벡터의 방향과 크게 다르지 않은 상황으로 제한한다.
비선형 최소제곱법 알고리즘
발산이 발생하고 이동 벡터의 방향이 "이상적인" 방향과 너무 달라서 이동량 절단이 매우 효과적이지 않다면, 즉 발산을 피하기 위해 필요한 분수 f가 매우 작다면, 방향을 변경해야 한다. 이는 마르쿼트 모수를 사용하여 달성할 수 있다. 이 방법에서는 정규 방정식이 다음과 같이 수정된다.

여기서 는 마르쿼트 모수이고 I는 단위 행렬이다.  값을 증가시키면 이동 벡터의 방향과 길이가 모두 변하는 효과가 있다.

일 때 이동 벡터는 최대 경사 하강 방향으로 회전한다.
는 최대 경사 하강 벡터이다. 따라서 가 매우 커지면 이동 벡터는 최대 경사 하강 벡터의 작은 부분이 된다.
비선형 최소제곱법 알고리즘
마르쿼트 모수 결정을 위한 다양한 전략이 제안되었다. 이동량 절단과 마찬가지로 이 모수를 너무 엄격하게 최적화하는 것은 낭비이다. 대신, 목적 함수 값의 감소를 가져오는 값이 일단 발견되면 그 모수 값은 다음 반복으로 전달되며, 가능하면 줄이고 필요하면 늘린다. 마르쿼트 모수 값을 줄일 때, 0으로 설정해도 안전한 하한값이 있으며, 즉 수정되지 않은 가우스-뉴턴 방법을 계속 진행한다. 하한값은 야코비 행렬의 가장 작은 특이값과 같게 설정할 수 있다. 이 값의 경계는 로 주어지며, 여기서 tr은 대각합 함수이다.
정규 방정식을 구성하지 않는 방법으로 제곱합의 최소값을 찾을 수 있다. 선형화된 모델의 잔차는 다음과 같이 쓸 수 있다.

야코비 행렬은 직교 분해된다. QR 분해는 과정을 설명하는 데 사용된다.

여기서 Q는 직교행렬인  행렬이고, R은  블록 과  영 블록으로 분할된  행렬이다. 은 상삼각행렬이다.
잔차 벡터는 로 왼쪽에서 곱해진다.
Q가 직교이기 때문에 이므로 이것은 제곱합에 영향을 미치지 않는다.
S의 최소값은 상위 블록이 0일 때 달성된다. 따라서 이동 벡터는 다음을 풀어 찾는다.
R이 상삼각행렬이므로 이 방정식은 쉽게 풀린다.
비선형 최소제곱법 알고리즘
직교 분해 방법의 한 변형은 특잇값 분해를 포함하며, 이 방법에서는 R이 추가 직교 변환에 의해 대각화된다.
여기서 는 직교 행렬, 는 특이값의 대각 행렬, 는 의 고유 벡터 또는 의 우측 특이 벡터의 직교 행렬이다. 이 경우 이동 벡터는 다음과 같이 주어진다.
이 표현의 상대적인 단순성은 비선형 최소제곱법의 이론적 분석에 매우 유용하다. 특이값 분해의 적용은 Lawson과 Hanson에서 자세히 논의된다.
비선형 데이터 피팅 문제에 다양한 방법이 사용된 과학 문헌의 많은 예가 있다.
행렬 H는 헤세 행렬로 알려져 있다. 이 모델은 최소값 근처에서 더 나은 수렴 속성을 가지지만, 모수가 최적 값에서 멀리 떨어져 있을 때는 훨씬 좋지 않다. 헤세 행렬의 계산은 알고리즘의 복잡성을 증가시킨다. 이 방법은 일반적으로 사용되지 않는다.
비선형 최소제곱법 알고리즘
최대 경사 하강. 이동 벡터가 최대 경사 하강 방향을 가리킬 때 제곱합의 감소가 보장되지만, 이 방법은 종종 성능이 좋지 않다. 모수 값이 최적 값에서 멀리 떨어져 있을 때, 목적 함수의 등고선에 수직(수직)인 최대 경사 하강 벡터의 방향은 가우스-뉴턴 벡터의 방향과 매우 다르다. 이로 인해 특히 최대 경사 하강 방향을 따른 최소값이 최대 경사 하강 벡터 길이의 작은 부분에 해당할 수 있으므로 발산이 훨씬 더 흔해진다. 모수 간의 높은 상관관계로 인해 목적 함수의 등고선이 매우 편심일 때, 이동량 절단과 함께 최대 경사 하강 반복은 최소값을 향해 느리고 지그재그 경로를 따른다.
직접 탐색 방법은 다양한 모수 값에서 목적 함수의 평가에 의존하며 미분을 전혀 사용하지 않는다. 이 방법은 가우스-뉴턴 방법 및 기울기 방법에서 수치 미분 사용에 대한 대안을 제공한다.
넬더-미드(단순체) 탐색. 이 맥락에서 단순체는 n차원 공간에서 n+1개의 꼭짓점을 가진 다포체이다. 평면의 삼각형, 3차원 공간의 사면체 등이다. 각 꼭짓점은 특정 모수 집합에 대한 목적 함수 값에 해당한다. 단순체의 모양과 크기는 가장 높은 꼭짓점의 목적 함수 값이 항상 감소하도록 모수를 변경하여 조정된다. 제곱합은 처음에는 빠르게 감소할 수 있지만, M. J. D. Powell의 예시처럼 준볼록 문제에서는 정지하지 않는 점으로 수렴할 수 있다.
이러한 방법과 다른 방법에 대한 더 자세한 설명은 수치 조리법에서 다양한 언어로 된 컴퓨터 코드와 함께 제공된다.
신진규
신진규(1988년 2월 1일~2021년 5월 9일)는 대한민국의 소방공무원이다. 2017년 임용 후 안성소방서에서 근무했고 2020년 7월 용인소방서로 전보되어 화재진압대 탱크차 운전원으로 복무하였다. 2021년 5월 9일 성남시 분당구 동원동의 농기계 창고 화재 출동 중 비포장 농로 지반 붕괴로 탱크차가 전도되어 순직하였다. 사후 1계급 특진(소방사→소방교)과 옥조근정훈장이 추서되었고, 유해는 국립대전현충원에 안장되었다.