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인산철 리튬 연구
LFP를 무기 산화물로 코팅하면 LFP의 구조를 더욱 안정화하고 전도도를 높일 수 있다. 산화물 코팅된 기존 LiCoO2는 향상된 사이클 성능을 보인다. 이 코팅은 또한 코발트의 용해를 억제하고 LiCoO2 용량의 감소를 늦춘다. 마찬가지로, ZnO 및 ZrO2와 같은 무기 코팅을 가진 LiMPO4는 더 나은 사이클 수명, 더 큰 용량 및 빠른 방전 시 더 나은 특성을 갖는다. 전도성 탄소의 추가는 효율성을 높인다. 미쓰이 그룹과 Aleees는 구리 및 은과 같은 전도성 금속 입자를 추가하면 효율성이 증가한다고 보고했다. 1중량%의 금속 첨가제를 가진 LiMPO4는 최대 140mAh/g의 가역 용량과 높은 방전 전류에서 더 나은 효율을 갖는다.
인산철 리튬 연구
LiMPO4의 철 또는 리튬을 다른 물질로 대체하는 것도 효율을 높일 수 있다. 아연으로 철을 대체하면 아연과 철이 비슷한 이온 반경을 가지므로 LiMPO4의 결정성이 증가한다. 순환 전압 전류법은 금속 대체 후 LiFe1−xMxPO4가 리튬 이온 삽입 및 추출의 더 높은 가역성을 가진다는 것을 확인한다. 리튬 추출 동안 Fe(II)는 Fe(III)로 산화되고 격자 부피는 수축한다. 수축하는 부피는 리튬의 복귀 경로를 변경한다.
안정성과 고품질을 갖춘 대량 생산은 여전히 많은 도전에 직면해 있다.
리튬 산화물과 유사하게 LiMPO4는 고체상 합성, 에멀전 건조, 졸-겔 공정, 용액 공침, 기상 증착, 전기화학 합성, 전자빔 조사, 마이크로웨이브 보조 합성(화학 반응을 가속화하기 위해 마이크로웨이브 에너지를 적용하여 합성 시간 및 에너지 소비를 줄임), 수열 합성, 초음파 열분해 및 스프레이 열분해를 포함한 다양한 방법으로 합성될 수 있다.
인산철 리튬 연구
에멀전 건조 공정에서는 먼저 유화제를 등유와 혼합한다. 다음으로 리튬 염과 철 염의 용액을 이 혼합물에 첨가한다. 이 공정은 나노탄소 입자를 생성한다. 수열 합성은 결정성이 좋은 LiMPO4를 생산한다. 전도성 탄소는 용액에 폴리에틸렌 글리콜을 첨가한 후 열 처리하여 얻는다. 기상 증착은 박막 LiMPO4를 생성한다. 화염 스프레이 열분해에서 FePO4는 탄산 리튬과 포도당과 혼합되어 전해질로 충전된다. 이 혼합물은 화염 속으로 주입된 다음 여과되어 합성된 LiFePO4를 수집한다.
리튬 인산철 배터리에 대한 온도의 영향은 고온의 영향과 저온의 영향으로 나눌 수 있다.
일반적으로 LFP 화학 배터리는 리튬 코발트 배터리에서 발생하는 것과 같은 열 폭주 반응에 덜 취약하다. LFP 배터리는 고온에서 더 나은 성능을 보인다. 연구에 따르면 상온(23°C)에서 초기 용량 손실은 약 40-50 mAh/g이다. 그러나 40°C와 60°C에서는 용량 손실이 각각 약 25 mAh/g과 15 mAh/g으로 감소하지만, 이러한 용량 손실은 상온 용량 손실의 경우처럼 한 번에 발생하는 것이 아니라 20주기 동안 분산되어 발생한다.
인산철 리튬 연구
그러나 이는 짧은 사이클 기간에만 해당된다. 나중에 진행된 1년간의 연구에 따르면 LFP 배터리가 동등한 전체 사이클의 두 배를 가짐에도 불구하고 LFP 셀의 경우 온도가 증가할수록 용량 감소율이 증가했지만, 온도가 NCA 셀에 영향을 미치거나 NMC 셀의 노화에 미미한 영향을 미치지는 않았다. 이러한 용량 감소는 주로 고체 전해질 계면(SEI) 형성 반응이 온도가 증가함에 따라 가속화되기 때문이다.
LFP 배터리는 특히 온도가 낮아질수록 영향을 많이 받아 고위도 지역에서의 적용을 방해할 수 있다. LFP/C 샘플의 초기 방전 용량은 23, 0, -10, -20°C에서 각각 141.8, 92.7, 57.9, 46.7mAh/g이었으며, 쿨롱 효율은 91.2%, 74.5%, 63.6%, 61.3%였다. 이러한 손실은 전극 내 리튬 이온의 느린 확산과 저온에서 형성되는 SEI로 인해 발생하며, 이는 이후 전해질-전극 계면에서의 전하 전달 저항을 증가시킨다. 용량 형성 감소의 또 다른 가능한 원인은 리튬 도금이다. 위에서 언급했듯이, 저온은 전극 내 리튬 이온의 확산 속도를 늦춰 리튬 도금 속도가 삽입 속도와 경쟁하게 만든다. 더 추운 조건은 더 높은 성장 속도로 이어지고 초기 지점을 더 낮은 충전 상태로 이동시켜 도금 공정이 더 일찍 시작된다. 리튬 도금은 리튬을 소비하여 흑연으로의 리튬 삽입과 경쟁하게 되므로 배터리 용량이 감소한다. 응집된 리튬 이온은 전극 표면에 "판" 또는 심지어 덴드라이트 형태로 침착되어 분리막을 관통하여 배터리를 완전히 단락시킬 수 있다.
고정점 논리
수리 논리학에서 고정점 논리(영어: Fixed-point logic)는 재귀를 표현하기 위해 도입된 고전 술어 논리의 확장이다. 고정점 논리의 발전은 기술 복잡도 이론과 데이터베이스 질의어, 특히 Datalog와의 관계에 의해 촉진되었다.
최소 고정점 논리는 1974년 이안니스 N. 모스호바키스에 의해 처음으로 체계적으로 연구되었고, 앨프리드 에이호와 제프리 울먼이 고정점 논리를 표현적인 데이터베이스 질의어로 제안한 1979년에 컴퓨터 과학자들에게 소개되었다.
고정점 논리 부분 고정점 논리
관계적 기호 X에 대해, FO[PFP](X)는 1차 연결사 및 술어, 2차 변수 그리고  형식의 공식을 형성하는 데 사용되는 부분 고정점 연산자 를 사용하여 X로부터 형성된 공식들의 집합이다. 여기서 는 2차 변수이고, 는 1차 변수들의 튜플이며, 는 항들의 튜플이고, 와 의 길이는 의 항수와 일치한다.
k를 정수라 하고, 를 k 변수들의 벡터라 하고, P를 항수 k의 2차 변수라 하고, φ를 x와 P를 변수로 사용하는 FO(PFP,X) 함수라고 하자. 우리는 를  및  (즉, 2차 변수 P 대신 을 대입한 φ)가 되도록 반복적으로 정의할 수 있다. 그러면 고정점이 있거나, 들의 목록이 순환적이다.
는 고정점이 있다면 y에 대한 의 고정점 값으로 정의되고, 그렇지 않다면 거짓으로 정의된다. P는 항수 k의 속성이므로, 에 대한 값은 최대 개가 존재하므로, 다항 공간 카운터를 사용하면 루프가 있는지 없는지 확인할 수 있다.
정렬된 유한 구조에서, FO(PFP,X)로 표현할 수 있는 속성은 PSPACE에 속하는 속성이라는 것이 증명되었다.
고정점 논리 최소 고정점 논리
부분 고정점 계산에 포함된 반복 술어는 일반적으로 단조적이지 않으므로, 고정점이 항상 존재하지 않을 수도 있다.
최소 고정점 논리 FO(LFP,X)는 부분 고정점이 P의 양의 발생 (즉, 짝수 개의 부정에 선행된 발생)만 포함하는 공식 φ에 대해서만 취해지는 FO(PFP,X)의 공식 집합이다. 이는 고정점 구성의 단조성을 보장한다 (즉, 2차 변수가 P이면 는 항상 를 의미한다).
단조성 때문에, 우리는 P의 진리표에 벡터를 추가하기만 하며, 가능한 벡터가 개밖에 없으므로  반복 전에 항상 고정점을 찾을 것이다. 닐 이머만과 모셰 바르디가 독립적으로 보인 이머만-바르디 정리는 FO(LFP,X)가 모든 정렬된 구조에서 P를 특징짓는다는 것을 보여준다.
최소 고정점 논리의 표현성은 데이터베이스 질의 언어인 Datalog의 표현성과 정확히 일치하며, 정렬된 구조에서 Datalog가 다항 시간 안에 실행 가능한 질의를 정확히 표현할 수 있음을 보여준다.
고정점 논리 팽창 고정점 논리
고정점 구성의 단조성을 보장하는 또 다른 방법은 반복의 모든 단계에서 새 튜플을 에 추가하고, 더 이상 가 유지되지 않는 튜플을 제거하지 않는 것이다. 공식적으로, 우리는 를 인 로 정의한다.
이 팽창 고정점은 후자가 정의되는 곳에서 최소 고정점과 일치한다. 처음에는 팽창 고정점 논리가 더 넓은 범위의 고정점 인수를 지원하므로 최소 고정점 논리보다 더 표현력이 풍부해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 모든 FO[IFP](X)-공식은 FO[LFP](X)-공식과 동등하다.
고정점 논리 동시 귀납
지금까지 도입된 모든 고정점 연산자는 단일 술어의 정의에 대해서만 반복했지만, 많은 컴퓨터 프로그램은 여러 술어에 대해 동시에 반복하는 것으로 더 자연스럽게 생각된다. 고정점 연산자의 항수를 늘리거나 중첩함으로써, 모든 동시 최소, 팽창 또는 부분 고정점은 사실 위에서 논의된 해당 단일 반복 구성을 사용하여 표현될 수 있다.
고정점 논리 전이 폐포 논리
임의의 술어에 대한 귀납을 허용하는 대신, 전이 폐포 논리는 전이 폐포만 직접 표현할 수 있도록 한다.
FO[TC](X)는 1차 연결사 및 술어, 2차 변수, 그리고  형식의 공식을 형성하는 데 사용되는 전이 폐포 연산자 를 사용하여 X로부터 형성된 공식들의 집합이다. 여기서 와 는 쌍으로 구별되는 1차 변수들의 튜플이고, 와 는 항들의 튜플이며, , , , 의 길이는 일치한다.
TC는 다음과 같이 정의된다: k를 양의 정수라 하고, 를 k 변수들의 벡터라 하자. 그러면 n개의 변수 벡터 가 존재하여 이고, 모든 에 대해 이 참이면 는 참이다. 여기서 φ는 FO(TC)로 작성된 공식이며, 는 변수 u와 v가 x와 y로 대체됨을 의미한다.
정렬된 구조에서, FO[TC]는 복잡도 클래스 NL을 특징짓는다. 이 특징화는 NL이 보수 하에서 닫혀 있다는 이머만 증명(NL = co-NL)의 중요한 부분이다.
고정점 논리 결정적 전이 폐포 논리
FO[DTC](X)는 전이 폐포 연산자가 결정적인 FO(TC,X)로 정의된다. 이는 를 적용할 때, 모든 u에 대해 가 참이 되는 v가 최대 하나만 존재한다는 것을 의미한다.
우리는 가 인 의 신택틱 슈거라고 가정할 수 있다.
정렬된 구조에서, FO[DTC]는 복잡도 클래스 L을 특징짓는다.
고정점 논리 반복
지금까지 정의한 고정점 연산은 고정점에 도달할 때까지 공식에 언급된 술어의 귀납적 정의를 무한정 반복한다. 구현 시에는 계산 시간을 제한하기 위해 반복 횟수를 제한해야 할 수도 있다. 결과로 나오는 연산자는 복잡도 클래스를 특징짓는 데 사용될 수 있으므로 이론적 관점에서도 흥미롭다.
우리는 반복을 포함하는 1차 논리 를 정의할 것이다. 여기서 은 정수에서 정수로의 함수 (또는 함수들의 클래스)이며, 의 다른 함수 클래스에 대해 다른 복잡도 클래스 를 얻을 것이다.
이 섹션에서 는 를 의미하고 는 를 의미한다. 우리는 먼저 양화자 블록(QB)을 정의해야 한다. 양화자 블록은 와 같은 목록으로, 는 양화자 없는 FO-공식이고 는  또는 이다. 만약 Q가 양화자 블록이라면 우리는 을 반복 연산자라고 부를 것이며, 이는 Q를 번 반복하여 작성한 것으로 정의된다. 여기에는 목록에 개의 양화자가 있지만, 변수는 k개뿐이며 각 변수는 번 사용된다는 점에 주의해야 한다.
이제 을 지수가  클래스에 속하는 반복 연산자를 가진 FO-공식으로 정의할 수 있으며, 다음 등식을 얻는다.
1452년~1453년 미확인 분화
1452년 또는 1453년의 의문의 화산 분화로 인해 1450년대에 첫 번째 대규모 황산염 급증이 발생했으며, 이어서 또 다른 의문의 분출로 인해 1458년에도 급증이 발생했다. 이 분출은 심각한 화산 겨울을 일으켜 북반구에서 가장 강력한 냉각 현상 중 하나를 일으켰다. 또한 이 날짜는 소빙기가 크게 심화된 시기와도 일치한다.
1452년~1453년 미확인 분화 황산염 급증 시기
1450~1460년의 대규모 분출에 대한 초기 증거는 남극의 빙하 코어에 기록된 막대한 황산염 급증에서 나왔는데, 이는 몇 년의 연대 불확실성을 가지고 있었다. 1990년대와 2000년대의 초기 연구는 연대 불확실성이 높은 것을 바탕으로 이 황산염 급증의 날짜를 1452/53년으로 잘못 설정했으며, 바누아투의 쿠와에 칼데라가 이 잘못 날짜가 지정된 황산염 급증의 원인으로 지목되었다. 2012년부터 정확하게 날짜가 지정된 빙하 코어를 기반으로 한 고해상도 황산염 기록은 원래의 황산염 급증(아마도 쿠와에 화산과 관련됨)의 날짜를 1458년으로 변경하고 1452/53년에 또 다른 황산염 급증 현상을 확인했다. 따라서 현재의 1452/53년 분출은 2012년에 발견된 황산염 급증을 지칭하며, 쿠와에 화산과 관련이 있다고 여겨졌던 과거의 1452/53년 분출은 2012년부터 날짜가 1458년으로 변경된 황산염 급증을 지칭한다.
1452년~1453년 미확인 분화 빙하 코어 및 나이테 기록
1452/53년 황산염 급증은 그린란드와 남극에서 모두 기록되었지만, 그린란드의 황산염 신호는 남극보다 훨씬 커서 북반구 저위도에 화산원이 있음을 시사한다. 1452/53년 황산염의 황 동위원소 조성은 분출이 화산 가스를 성층권으로 직접 방출하여 대기 화학 조성에 상당한 영향을 미치고 지구 기후에 여러 결과를 초래했음을 나타낸다. 1452/53년 사건의 재구성된 화산 성층권 황 주입량은 약 11조 그램의 황이 성층권에 주입되었음을 추정하는데, 이는 동일한 황산염 기록을 바탕으로 1815년 탐보라산 분화의 약 3분의 1에 해당한다.
1452년~1453년 미확인 분화 빙하 코어 및 나이테 기록
1450년대의 분출은 1257년 사말라스 분화와 다른 세 번의 미확인 분출로 두 세기 전에 시작된 소빙기의 두 번째 파동과 관련되어 있다. 분출 후 나온 나이테 증거는 1453년 여름에 스위스 알프스에서 0.4 °C (0.72 °F)의 감소에서 폴라 우랄산맥에서 6.9 °C (12.4 °F)의 감소까지 이르는 예외적인 수준의 기온 냉각을 보여주었다. 제트추진연구소의 케빈 팡 박사의 연구는 나이테, 빙하 코어, 유럽과 중국 문명의 역사 기록에서 발견된 증거를 활용했다. 영국 초상화의 오크판은 1453~1455년에 비정상적으로 좁은 고리를 보였다. 스웨덴에서는 농작물 실패로 곡물 십일조가 0으로 떨어졌다. 미국 서부의 브리슬콘 소나무는 1453년에 서리 피해를 보였다. 유럽과 중국 나무의 성장은 1453~1457년에 저해되었다.
1452년~1453년 미확인 분화 분출원
쿠와에 화산은 원래 1452/53년 황산염 사건과 관련이 있었으나, 2012년에 더 높은 연대 정확도에 따라 1458년으로 재조정되었다. 쿠와에 화산이 1458년 사건이 아닌 1452/53년 사건의 원인일 가능성은 그린란드와 남극의 황산염 분포가 비대칭적이기 때문에 부정적이라고 생각된다. 남극에 비해 그린란드에 황산염 침적량이 훨씬 많은 비대칭성은 화산원이 북반구 저위도에 위치한다는 것을 시사한다. 1452/53년 황산염층과 관련된 테프라 발견의 부재로 인해 지구화학적 일치법을 이용한 식별이 불가능했다.
1452년~1453년 미확인 분화 역사 기록
멕시코의 코덱스(고대 문서)에는 1453년 가을에 중앙 멕시코 전역의 농업에 영향을 미친 가을 서리가 묘사되어 있다.
명나라 시대 중국의 역사 기록에 따르면, 1453년 봄에는 "쉴 새 없이 눈이 내려 밀 농작물에 피해를 주었다". 그 해 말, 먼지가 햇빛을 가린 가운데 "여섯 성에 수 장(수 m)의 눈이 내렸고, 수만 명이 얼어 죽었다". 1454년 초에는 "장강 남쪽에 40일 동안 눈이 내렸고, 추위와 굶주림으로 셀 수 없이 많은 사람들이 죽었다". 호수와 강은 얼어붙었고, 황해는 해안에서 20 km까지 얼어붙었다.
1452년~1453년 미확인 분화 역사 기록
이 분출은 한때 강력했던 동로마 제국의 마지막 보루였던 콘스탄티노폴리스의 함락 직전에 일어났다. 메흐메트 2세 술탄이 이끄는 오스만 튀르크인은 1453년 4월 5일 도시를 포위했고 1453년 5월 29일 도시를 정복했다. 팡은 제국의 마지막 날의 연대기에서 화산 분출의 여파에 대한 언급을 발견했다. 역사학계는 그 해 봄 도시의 정원에서 농작물이 거의 생산되지 않았다고 기록했다. 1453년 5월 22일 밤, 콘스탄티노폴리스의 상징인 달이 어두운 식 상태로 떠올라 도시의 멸망에 대한 예언을 이뤘다. 1453년 5월 25일, 도시에 폭풍우가 몰아쳤다. "우박을 견뎌낼 수 없었고, 비가 너무 많이 내려서 거리 전체가 침수되었다". 다음 날인 1453년 5월 26일, 도시 전체가 짙은 안개에 가려졌는데, 이는 그 달 그 지역에서는 알려지지 않은 현상이다.
그날 저녁 안개가 걷히자 "아야 소피아의 돔을 불길이 휩쌌고, 멀리 튀르키예군 진영 뒤편(서쪽) 시골에서도 벽에서 불빛이 희미하게 보였다"고 역사가는 기록했다. 도시 주민들은 이 이상한 빛이 튀르키예군 공격자들이 지른 불의 반사라고 생각했다. 그러나 팡은 이 "불"이 대기 중 높은 곳에 있는 화산재 구름으로 강렬하게 붉은 황혼 노을의 반사로 인한 착시 현상이라고 말했다. 이러한 잘못된 화재 경보는 인도네시아 1883년 크라카타우산 분화 이후 전 세계적으로 많이 보고되었다.
팡이 "나는 쿠와에 화산이 1453년 초에 분출했다고 결론 내린다... 잔류 화산 구름은 1456년 6월 핼리 혜성의 묵시록적인 출현을 '붉게' 만들고 '황금색' 꼬리를 가지게 했을 수 있다. 동시대 천문학자들이 보고한 바와 같이"라고 말한 것은 부정확할 수 있지만, 묘사된 사건들은 화산 분출의 여파로 인한 것일 수 있다. 다만 어떤 분출인지는 명확하지 않다.
클레이니 재귀 정리
계산 가능성 이론에서 클레이니 재귀 정리(영어: Kleene's recursion theorem)는 계산 가능 함수가 자신에 대한 설명에 적용되는 방식에 대한 근본적인 결과 두 가지이다. 이 정리들은 스티븐 클레이니가 1938년에 처음 증명했으며 1952년 저서 《메타수학 서론》(Introduction to Metamathematics)에 실렸다. 계산 가능 함수의 고정점을 구성하는 관련 정리는 로저스의 정리(Rogers's theorem)로 알려져 있으며 하틀리 로저스 주니어의 업적이다.
재귀 정리는 계산 가능 함수에 대한 특정 연산의 고정점을 구성하고, 콰인을 생성하며, 재귀적 정의를 통해 정의된 함수를 구성하는 데 적용될 수 있다.
클레이니 재귀 정리 표기법
정리의 진술은 부분 재귀 함수의 허용 가능한 번호 매기기 를 참조하며, 색인 에 해당하는 함수는 이다.
와 가 자연수에 대한 부분 정의 함수일 때,  표기는 각 n에 대해 과 이 모두 정의되고 같거나, 또는 과 이 모두 정의되지 않았음을 나타낸다.
클레이니 재귀 정리 로저스의 고정점 정리
함수 가 주어졌을 때, 의 고정점은 인 색인 이다. 여기서 입력과 출력의 비교는 수치적 값이 아니라 관련 함수에 대한 것임을 유의해야 한다.
로저스는 다음 결과를 클레이니의 (두 번째) 재귀 정리의 "더 간단한 버전"으로 설명한다.
이는 본질적으로 우리가 프로그램에 효율적인 변환(예: 후속, 점프와 같은 명령을 바꾸거나, 줄을 제거하는 등)을 적용한다면, 항상 동작이 변환에 의해 변경되지 않는 프로그램이 존재한다는 것을 의미한다. 따라서 이 정리는 다음과 같이 해석될 수 있다. "프로그램을 변환하는 효과적인 절차가 주어지면, 그 절차에 의해 수정되었을 때 이전에 했던 작업을 정확히 수행하는 프로그램이 항상 존재한다" 또는 "모든 프로그램의 확장적 동작을 변경하는 프로그램을 작성하는 것은 불가능하다".
증명은 다음과 같이 정의된 특정 전체 계산 가능 함수 를 사용한다. 자연수 가 주어졌을 때, 함수 는 다음 계산을 수행하는 부분 계산 가능 함수의 색인을 출력한다.
입력 가 주어지면, 먼저 를 계산한다. 이 계산이 출력 를 반환하면, 를 계산하고 그 값을 반환한다 (만약 있다면).
클레이니 재귀 정리 로저스의 고정점 정리
따라서 부분 계산 가능 함수의 모든 색인 에 대해, 가 정의되면 이다. 만약 가 정의되지 않았다면, 는 어디에서도 정의되지 않은 함수이다. 함수 는 위에서 설명한 부분 계산 가능 함수 와 s-m-n 정리로부터 구성될 수 있다. 즉, 각 에 대해 는 함수 를 계산하는 프로그램의 색인이다.
증명을 완성하기 위해, 를 임의의 전체 계산 가능 함수로 두고, 위와 같이 를 구성한다. 의 색인을 라고 하자. 이는 전체 계산 가능 함수이다. 그러면 의 정의에 의해 이다.
그러나 가 의 색인이므로 이고, 따라서 이다. 의 전이성에 의해, 이는 를 의미한다. 그러므로 에 대해 이다.
이 증명은 Y 조합자를 구현하는 부분 재귀 함수의 구성이다.
모든 에 대해 인 함수 를 고정점이 없는 함수라고 한다. 고정점 정리는 어떤 전체 계산 가능 함수도 고정점이 없을 수 없음을 보여주지만, 계산 불가능한 고정점이 없는 함수는 많이 존재한다. 아르슬라노프의 완전성 기준은 고정점이 없는 함수를 계산하는 유일한 재귀적으로 열거 가능한 튜링 차수는 정지 문제의 차수인 0′라고 명시한다.
클레이니 재귀 정리 클레이니의 두 번째 재귀 정리
두 번째 재귀 정리는 함수에 두 번째 입력이 있는 로저스의 정리의 일반화이다. 두 번째 재귀 정리의 비공식적인 해석 중 하나는 자기 참조 프로그램을 구성하는 것이 가능하다는 것이다. 아래 "콰인에 대한 적용"을 참조하라.
두 번째 재귀 정리. 어떤 부분 재귀 함수 에 대해서도 인 색인 가 존재한다.
이 정리는 를 와 같은 함수로 두면 로저스의 정리로부터 증명할 수 있다(S-m-n 정리에 의해 설명된 구성). 그런 다음 이 의 고정점이 필요한 색인 임을 확인할 수 있다. 이 정리는 구성적이다. 즉, 고정된 계산 가능 함수가 에 대한 색인을 로 매핑한다.
클레이니의 두 번째 재귀 정리와 로저스의 정리는 서로를 통해 비교적 간단하게 증명될 수 있다. 그러나 클레이니 정리의 직접적인 증명은 보편적인 프로그램을 사용하지 않는다. 이는 보편적인 프로그램이 없는 특정 하위 재귀 프로그래밍 시스템에도 이 정리가 적용된다는 것을 의미한다.
클레이니 재귀 정리 클레이니의 두 번째 재귀 정리
두 번째 재귀 정리를 사용하는 고전적인 예시는 함수 이다. 이 경우 해당하는 색인 는 어떤 값에 적용되든 자신의 색인을 출력하는 계산 가능 함수를 생성한다. 컴퓨터 프로그램으로 표현될 때, 이러한 색인들은 콰인으로 알려져 있다.
다음 Lisp 예시는  함수로부터 따름정리의 가 어떻게 효과적으로 생성될 수 있는지를 보여준다. 코드의 s11 함수는 S-m-n 정리에 의해 생성된 해당 이름의 함수이다.
Q는 임의의 두 인자 함수로 변경될 수 있다.
다음 표현식의 결과는 동일해야 한다.  p(nil)
Q(p, nil)
와 가 함수 에 대한 재귀 정의에 사용되는 전체 계산 가능 함수라고 가정해 보자.
두 번째 재귀 정리는 이러한 방정식들이 계산 가능 함수를 정의한다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. 여기서 계산 가능성의 개념은 우선적으로 재귀 정의를 허용할 필요가 없다(예를 들어, 뮤-재귀나 튜링 기계에 의해 정의될 수 있다). 이 재귀 정의는 재귀를 시뮬레이션하기 위해 가 자신에 대한 색인이라고 가정하는 계산 가능 함수 로 변환될 수 있다.
클레이니 재귀 정리 클레이니의 두 번째 재귀 정리
재귀 정리는 인 계산 가능 함수 의 존재를 확립한다. 따라서 는 주어진 재귀 정의를 만족시킨다.
반사적(reflective) 프로그래밍은 프로그램에서 자기 참조를 사용하는 것을 의미한다. 존스(Jones)는 반사적 언어를 기반으로 한 두 번째 재귀 정리의 관점을 제시한다.
정의된 반사적 언어가 반사 기능이 없는 언어보다 강력하지 않음이 입증된다(반사적 언어용 인터프리터를 반사 기능을 사용하지 않고 구현할 수 있기 때문). 그런 다음, 반사적 언어에서 재귀 정리가 거의 자명하다는 것이 입증된다.
클레이니 재귀 정리 첫 번째 재귀 정리
두 번째 재귀 정리가 계산 가능 함수의 고정점에 관한 것인 반면, 첫 번째 재귀 정리는 열거 연산자에 의해 결정되는 고정점과 관련이 있다. 열거 연산자는 귀납적 정의의 계산 가능 아날로그이다. 열거 연산자는 A가 유한한 수의 집합(코드로 표현됨)이고 n이 단일 자연수인 쌍 (A,n)의 집합이다. 함수가 열거 연산자를 통해 정의될 때, n은 종종 자연수의 순서쌍에 대한 코드로 간주된다. 열거 연산자는 열거 축소성 연구에서 핵심적인 중요성을 갖는다.
각 열거 연산자 Φ는 자연수 집합에서 자연수 집합으로의 함수를 다음과 같이 결정한다.
재귀 연산자는 부분 재귀 함수의 그래프가 주어졌을 때 항상 부분 재귀 함수의 그래프를 반환하는 열거 연산자이다.
열거 연산자 Φ의 고정점은 Φ(F) = F인 집합 F이다. 첫 번째 열거 정리는 열거 연산자 자체가 계산 가능하면 고정점을 효과적으로 얻을 수 있음을 보여준다.
클레이니 재귀 정리 첫 번째 재귀 정리
첫 번째 재귀 정리. 다음 진술이 성립한다.
어떤 계산 가능 열거 연산자 Φ에 대해서도 Φ(F) = F인 재귀적으로 열거 가능한 집합 F가 존재하며, F는 이 속성을 가진 가장 작은 집합이다.
어떤 재귀 연산자 Ψ에 대해서도 Ψ(φ) = φ인 부분 계산 가능 함수 φ가 존재하며, φ는 이 속성을 가진 가장 작은 부분 계산 가능 함수이다.
첫 번째 재귀 정리는 (재귀 이론의) 고정점 정리라고도 불린다. 또한 다음과 같이 재귀 함수에 적용될 수 있는 정의도 있다.
가 재귀 함수라고 하자. 그러면 는 계산 가능한 최소 고정점 을 갖는다. 즉,
1)
2) 인 모든 에 대해 가 성립한다.
3) 는 계산 가능하다.
두 번째 재귀 정리와 마찬가지로, 첫 번째 재귀 정리는 재귀 방정식 시스템을 만족하는 함수를 얻는 데 사용될 수 있다. 첫 번째 재귀 정리를 적용하려면, 재귀 방정식을 먼저 재귀 연산자로 재구성해야 한다.
클레이니 재귀 정리 첫 번째 재귀 정리
계승 함수 f에 대한 재귀 방정식을 고려해 보자.
해당 재귀 연산자 Φ는 이전 값에서 f의 다음 값을 얻는 방법에 대한 정보를 가질 것이다. 그러나 재귀 연산자는 실제로 f의 그래프를 정의할 것이다. 먼저 Φ는 쌍 을 포함할 것이다. 이는 f(0)이 명백히 1이며, 따라서 쌍 (0,1)이 f의 그래프에 있음을 나타낸다.
다음으로, 각 n과 m에 대해 Φ는 쌍 을 포함할 것이다. 이는 f(n)이 m이면 f(n + 1)이 (n + 1)m이므로, 쌍 (n + 1, (n + 1)m)이 f의 그래프에 있음을 나타낸다. 기본 경우 f(0) = 1와 달리, 재귀 연산자는 f(n + 1)의 값을 정의하기 전에 f(n)에 대한 약간의 정보를 필요로 한다.
첫 번째 재귀 정리(특히 1부)는 Φ(F) = F인 집합 F가 존재한다고 명시한다. 집합 F는 전적으로 자연수의 순서쌍으로 구성되며, 원하는 계승 함수 f의 그래프가 될 것이다.
클레이니 재귀 정리 첫 번째 재귀 정리
재귀 방정식을 재귀 연산자로 재구성할 수 있다는 제약은 재귀 방정식이 실제로 최소 고정점을 정의하도록 보장한다. 예를 들어, 다음 재귀 방정식 집합을 고려해 보자.
이러한 방정식을 만족하는 함수 g는 존재하지 않는다. 왜냐하면 g(2) = 1이라는 것과 g(2) = 0이라는 것을 동시에 의미하기 때문이다. 따라서 이러한 재귀 방정식을 만족하는 고정점 g는 존재하지 않는다. 이러한 방정식에 해당하는 열거 연산자를 만들 수는 있지만, 이는 재귀 연산자가 아닐 것이다.
첫 번째 재귀 정리의 1부 증명은 공집합으로 시작하여 열거 연산자 Φ를 반복함으로써 얻어진다. 먼저 에 대해 수열 Fk를 구성한다. F0를 공집합으로 둔다. 귀납적으로 진행하여, 각 k에 대해 Fk + 1을 로 둔다. 마지막으로 F는 로 취한다. 증명의 나머지 부분은 F가 재귀적으로 열거 가능하며 Φ의 최소 고정점임을 확인하는 것으로 구성된다. 이 증명에 사용된 수열 Fk는 클레이니 고정점 정리 증명의 클레이니 사슬에 해당한다.
첫 번째 재귀 정리의 두 번째 부분은 첫 번째 부분으로부터 이어진다. Φ가 재귀 연산자라는 가정은 Φ의 고정점이 부분 함수의 그래프임을 보여주는 데 사용된다. 핵심은 고정점 F가 함수의 그래프가 아니라면, Fk가 함수의 그래프가 아닌 어떤 k가 존재한다는 것이다.
두 번째 재귀 정리와 비교했을 때, 첫 번째 재귀 정리는 더 강력한 결론을 도출하지만, 더 좁은 가설이 충족될 때만 그렇다. 로저스는 첫 번째 재귀 정리를 약한 재귀 정리로, 두 번째 재귀 정리를 강한 재귀 정리로 부른다.
첫 번째 재귀 정리와 두 번째 재귀 정리의 한 가지 차이점은 첫 번째 재귀 정리에 의해 얻어진 고정점은 최소 고정점임이 보장되는 반면, 두 번째 재귀 정리로부터 얻어진 고정점은 최소 고정점이 아닐 수 있다는 것이다.
두 번째 차이점은 첫 번째 재귀 정리가 재귀 연산자로 재구성될 수 있는 방정식 시스템에만 적용된다는 것이다. 이러한 제약은 순서론의 클레이니 고정점 정리에서 연속 연산자에 대한 제약과 유사하다. 두 번째 재귀 정리는 모든 전체 재귀 함수에 적용될 수 있다.
클레이니 재귀 정리 일반화된 정리
예르쇼프는 자신의 번호 매기기 이론의 맥락에서 클레이니의 재귀 정리가 모든 사전완비 번호 매기기에 대해 성립함을 보였다. 괴델 번호 매기기는 계산 가능 함수 집합에 대한 사전완비 번호 매기기이므로, 일반화된 정리는 클레이니 재귀 정리를 특수한 경우로 포함한다.
사전완비 번호 매기기 가 주어졌을 때, 두 개의 매개변수를 가진 어떤 부분 계산 가능 함수 에 대해서도 하나의 매개변수를 가진 전체 계산 가능 함수 가 존재하여 다음이 성립한다.
클레이니 재귀 정리 각주
Ershov, Yuri L. (1999). 〈Part 4: Mathematics and Computability Theory. 14. Theory of numbering〉.   Griffor, Edward R. 《Handbook of Computability Theory》. Studies in logic and the foundations of mathematics 140. Amsterdam: 엘스비어. 473–503쪽. ISBN 9780444898821. OCLC 162130533. 2020년 5월 6일에 확인함.
Footnotes
클레이니 재귀 정리 더 읽어보기
Jockusch, C. G.; Lerman, M.; Soare, R.I.; Solovay, R.M. (1989). 《Recursively enumerable sets modulo iterated jumps and extensions of Arslanov's completeness criterion》. 《The Journal of Symbolic Logic》 54. 1288–1323쪽. doi:10.1017/S0022481200041104. ISSN 0022-4812. JSTOR 2274816. S2CID 32203705.
클레이니 고정점 정리
수학의 순서론 및 격자 이론 분야에서 미국의 수학자 스티븐 클레이니의 이름을 딴 클레이니 고정점 정리(영어: Kleene fixed-point theorem)는 다음을 명시한다.
클레이니 고정점 정리. 가 최소 원소를 갖는 완비 원순서 집합 (dcpo)이고, 가 스콧 연속 (따라서 단조) 함수라고 가정하자. 그러면 는 최소 고정점을 가지며, 이는 의 상승 클레이니 연쇄의 상한이다.
f의 상승 클레이니 연쇄는
로 주어진 연쇄이며, L의 최소 원소 ⊥에 f를 반복 적용하여 얻어진다. 공식으로 표현하면 이 정리는 다음과 같이 명시한다.
여기서 는 최소 고정점을 나타낸다.
타르스키 고정점 정리는 f를 어떤 시작점으로부터 반복하여 고정점을 계산하는 방법을 고려하지 않지만 (또한, 완비 격자의 단조함수에 관한 것이다), 이 결과는 종종 가법 함수에 대해 이를 증명한 알프레트 타르스키에게 귀속된다. 더욱이, 클레이니 고정점 정리는 초한 반복을 사용하여 단조함수로 확장될 수 있다.
클레이니 고정점 정리 증명
출처:
먼저 의 상승 클레이니 연쇄가 에 존재함을 보여야 한다. 이를 위해 다음을 증명한다.
보조정리. 이 최소 원소를 갖는 dcpo이고, 가 스콧 연속이면,
증명. 귀납법을 사용한다:
n = 0이라고 가정하자. 그러면  왜냐하면 는 최소 원소이기 때문이다.
n > 0이라고 가정하자. 그러면 임을 보여야 한다. 정리하면 를 얻는다. 귀납 가정에 의해 가 성립하며, f는 단조 함수이므로 (스콧 연속 함수의 속성), 결과도 성립한다.
보조정리의 따름정리로 다음의 방향화된 ω-연쇄를 얻는다.
dcpo의 정의에 따르면 은 상한 을 가진다. 이제 남은 것은 이 최소 고정점임을 보이는 것이다.
먼저 이 고정점, 즉 임을 보인다. 는 스콧 연속이므로, , 즉 이다. 또한, 이고 는 상한을 결정하는 데 영향을 주지 않으므로: 이다. 따라서 이므로 은 의 고정점이다.
클레이니 고정점 정리 증명
이 실제로 최소 고정점임을 증명하는 것은 의 모든 원소가 의 어떤 고정점보다도 작다는 것을 보여줌으로써 가능하다 (왜냐하면 상한의 속성에 의해, 집합 의 모든 원소가 의 어떤 원소보다 작으면 도 그 의 동일한 원소보다 작기 때문이다). 이는 귀납법으로 수행된다. 가 의 어떤 고정점이라고 가정하자. 이제 에 대한 귀납법으로 임을 증명한다. 귀납의 기본 단계 는 분명히 성립한다:  왜냐하면 는 의 최소 원소이기 때문이다. 귀납 가설로서, 를 가정할 수 있다. 이제 귀납 단계를 수행한다: 귀납 가설과 의 단조성 (다시 말하지만, 의 스콧 연속성에서 유추됨)으로부터 다음을 결론지을 수 있다:  이제 가 의 고정점이라는 가정에 의해, 임을 알며, 이로부터 를 얻는다.
초콜릿 살라미
초콜릿 살라미(Chocolate salami)는 이탈리아, 루마니아, 포르투갈의 디저트로, 코코아 가루, 부서진 비스킷, 버터, 그리고 때때로 포트 와인이나 럼 같은 알코올로 구성된다. 이 디저트는 유럽 전역과 그 밖의 지역에서도 인기를 얻었으며, 그 과정에서 알코올은 종종 재료에서 빠지기도 했다.
“살라미”라는 명칭은 말린 햄의 일종인 살라미와의 외형적 유사성에서 유래한다. 살라미처럼 초콜릿 살라미도 길쭉한 원통형으로 만들어지며, 서빙할 때는 원형으로 얇게 썬다. 이 조각들은 갈색 초콜릿 매트릭스(살라미의 붉은 고기 부분과 유사)에 밝은 색의 비스킷 조각(살라미의 흰 지방 조각처럼 보임)이 섞여 있는 모습이다. 일부 변형은 아몬드나 헤이즐넛 같은 다진 견과류를 포함하기도 하고, 트뤼프 앙 쇼콜라 형태로 만들어지기도 한다.
초콜릿 살라미 국가별 변형
요르단에서는 이 디저트를 "레이지 케이크"(ليزي كيك)라고 부르며, 주로 마리 비스킷으로 만든다.
시리아에서는 "수크시예"(سوكسية)라고 부르며, 주로 호두나 피스타치오를 넣어 만든다.
그리스에서는 초콜릿 살라미를 "모사이코"(mosaiko, 모자이크) 또는 "코르모스"(kormos, 나무줄기)라고 부른다.
불가리아에서는 "슬라댁 살람"(Сладък Салам, 달콤한 살라미라는 뜻)으로 알려져 있으며, 러시아식 초콜릿 소시지처럼 호두를 사용한다.
키프로스에서는 "두키사"(Doukissa, 공작부인 케이크)라고 한다.
체코에서는 "바노치니 살람"(vánoční salám) 또는 "초콜라도비 살람"(čokoládový salám)이라 부르며, 종종 잘게 간 코코넛을 넣어 만든다.
덴마크에서는 "키크세카게"(kiksekage, 비스킷 케이크)라고 불린다.
에스토니아에서는 "키르유코에르"(Kirjukoer, 알록달록한 개)라고 불리며, 보통 코코아 가루, 버터, 부서진 쿠키, 젤리 큐브(에스토니아어로 marmelaad)로 만든다.
초콜릿 살라미 국가별 변형
독일에서는 "칼테 슈나우체"(Kalte Schnauze, 차가운 주둥이) 또는 "칼터 훈트"(Kalter Hund, 차가운 개)라고 부른다.
헝가리에서는 다양한 이름으로 불리며, 예를 들면 "케크스 롤라드"(Keksz rolád, 비스킷 롤), "케크스 살라미"(Keksz szalámi, 비스킷 살라미), "페퇴슈케"(Pöttyöske, 점박이), "케크스 테케르치"(Keksz tekercs, 말린 비스킷) 등이 있다.
이탈리아에서는 "살라메 알 초콜라토"(salame al cioccolato, 초콜릿 살라미)라고 하며, 특히 시칠리아에서는 "살라미 투르쿠"(salami turcu, 터키 살라미)라고도 불린다.
라트비아에서는 "쇼콜라데스 데사"(šokolādes desa, 초콜릿 소시지), "살다 데사"(saldā desa, 달콤한 소시지), "살다 브루네테"(saldā brunete, 달콤한 브루넷) 등 여러 이름으로 불리며, 코코아, 부서진 비스킷, 버터, 설탕, 계란, 선택적으로 젤리, 견과류, 말린 베리, 때때로 코냑 등을 넣어 만든다.
초콜릿 살라미 국가별 변형
리투아니아에서는 이와 유사한 디저트를 "팅기니스"(tinginys, ‘게으른 사람’이라는 뜻)라고 부르며, 코코아, 부서진 비스킷, 연유, 버터, 때때로 견과류를 넣어 만든다. 같은 이름 아래 다양한 레시피가 존재한다.
네덜란드에서는 유사한 디저트를 "아레티에스케이크"(arretjescake)라고 부른다.
폴란드에서는 "블록 체콜라도비"(blok czekoladowy, 초콜릿 블록)라고 한다.
포르투갈에서는 "살라메 드 초콜라테"(salame de chocolate)라고 하며, 전형적으로 마리 비스킷을 사용한다.
루마니아에서는 "살람 드 비스쿠이치"(salam de biscuiți, 비스킷 살라미)라고 하며, 1970~1980년대 공산주의 시절 식량 부족으로 인해 생겨났을 가능성이 있다.
러시아에서는 "쇼콜라드나야 콜바사"(шоколадная колбаса, 초콜릿 소시지)라고 한다.
튀르키예에서는 "모자익 파스타"(mozaik pasta, 모자이크 케이크)라고 불린다.
브라질에서는 "팔랴 이탈리아나"(palha italiana, ‘이탈리아 짚’이라는 뜻)라고 하며, 실제로는 짚과는 관련이 없다. 마리 비스킷을 브리가데이루 혼합물에 넣어 만든다.
우루과이에서는 "살치촌 데 초콜라테"(salchichón de chocolate, 초콜릿 소시지)라고 한다.
마찬가지로 아르헨티나에서는 "살라메 데 초콜라테"(salame de chocolate)라고 하며, 이탈리아식 명칭에 가깝다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물
리튬 니켈 망가니즈 코발트 산화물(영어: Lithium nickel manganese cobalt oxides, 약어 NMC, Li-NMC, LNMC 또는 NCM)은 리튬, 니켈, 망가니즈 및 코발트의 혼합 금속 산화물이며 일반식은 LiNixMnyCo1-x-yO2이다. 이 재료는 일반적으로 모바일 장치 및 전기차량용 리튬 이온 전지에 양극을 띠는 캐소드로 사용된다.
NMC는 높은 에너지 밀도와 작동 전압으로 인해 전기차량 응용 분야에서 최적화에 대한 특별한 관심이 있다. 금속의 높은 비용 때문에 NMC의 코발트 함량을 줄이는 것도 현재의 목표이다. 또한, 니켈 함량이 증가하면 안정적인 작동 범위 내에서 더 많은 용량을 제공한다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 구조
NMC 재료는 개별 금속 산화물 화합물인 리튬 코발트 산화물(LiCoO2)과 유사한 층상 구조를 가진다. 리튬 이온은 방전 시 층 사이에 층간 삽입되며, 배터리가 충전될 때까지 격자 평면 사이에 남아있다가 리튬이 탈층간 삽입되어 양극으로 이동한다.
말단 멤버인 LiCoO2, LiMnO2, LiNiO2 사이의 고용체 상평형 그림에서의 지점은 화학량론적 NMC 캐소드를 나타낸다. NMC 약어 뒤에 오는 세 숫자는 세 가지 정의 금속의 상대적인 화학량론을 나타낸다. 예를 들어, 니켈 33%, 망가니즈 33%, 코발트 33%의 NMC 몰 조성은 NMC111 (NMC333 또는 NCM333)으로 약칭되며, 화학식은 LiNi0.33Mn0.33Co0.33O2이다. 니켈 50%, 망가니즈 30%, 코발트 20% 조성은 NMC532 (또는 NCM523)라고 불리며, 화학식은 LiNi0.5Mn0.3Co0.2O2이다. 다른 새로운 일반적인 조성은 NMC622 및 NMC811이다. 일반적인 리튬 함량은 일반적으로 총 전이 금속 함량과 1:1 비율을 유지하며, 상업용 NMC 샘플에는 일반적으로 5% 미만의 초과 리튬이 포함된다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 성능
NMC 음극에서 배터리 방전 및 충전 중 리튬 이온의 가역 삽입(리튬화) 및 추출(탈리튬화)은 산화물 구조 내 원자의 산화·환원 반응 변화를 포함하는 산화수 반응에 의해 촉진된다.
.
새로운 이해 (음극 산화·환원): 최근 연구는 특히 망가니즈가 풍부한 NMC 조성물에서 산소 음이온 산화·환원(음극 산화·환원)이 전하 보상 메커니즘에서 중요한 역할을 한다는 것을 밝혔다. 산소는 산화·환원 반응에 참여하여, 탈리튬화 중에 -2 이외의 산화 상태를 나타낼 수 있다. 이는 산소를 단순한 구경꾼 음이온으로 보는 단순한 관점과 대조된다..
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 성능
NMC111의 경우, 전하 분포에 이상적인 산화수는 Mn4+, Co3+, Ni2+이다. 코발트와 니켈은 충전 중에 부분적으로 Co4+와 Ni4+로 산화되는 반면, Mn4+는 비활성 상태를 유지하고 구조적 안정성을 유지한다. 전이 금속 화학량론을 변경하면 재료의 특성이 달라져 음극 성능을 조정하는 방법이 제공된다. 가장 주목할 만한 점은 NMC의 니켈 함량을 늘리면 초기 방전 용량이 증가하지만, 열 안정성과 용량 유지율이 낮아진다. 코발트 함량을 늘리는 것은 더 높은 에너지 니켈 또는 화학적으로 안정적인 망가니즈를 대체하는 비용이 들며, 또한 비싸다. 산소는 완전 방전 시 300°C에서 금속 산화물에서 생성되어 브라베 격자를 저하시킬 수 있다. 니켈 함량이 높을수록 산소 생성 온도가 낮아지고 배터리 작동 중 열 생성이 증가한다. 격자에서 Li+가 Ni2+ 이온을 대체하는 양이온 혼합 과정도 니켈 농도가 증가함에 따라 증가한다. Ni2+(0.69Å)와 Li+(0.76Å)의 유사한 크기는 양이온 혼합을 용이하게 한다. 층상 구조에서 니켈을 제거하면 재료의 결합 특성이 변경되어 바람직하지 않은 상을 형성하고 용량이 낮아질 수 있다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 합성
결정화도, 입도분포 곡선, 형태, 조성 모두 NMC 재료의 성능에 영향을 미치며, 이러한 매개변수는 다양한 화학 합성 방법을 사용하여 조절할 수 있다. 니켈 망가니즈 코발트 산화물에 대한 첫 번째 보고서는 공침법을 사용했으며, 이는 오늘날에도 여전히 흔히 사용된다. 이 방법은 원하는 양의 금속 전구체를 함께 용해한 다음 건조하여 용매를 제거하는 것을 포함한다. 이 재료는 리튬 공급원과 혼합된 후 산소 분위기에서 최대 900°C로 가열되는 하소 과정을 거친다. 수산화물, 옥살산, 탄산염이 가장 흔한 공침제이다.
졸-겔 방법은 또 다른 일반적인 NMC 합성 방법이다. 이 방법에서는 전이 금속 전구체를 질산염 또는 아세테이트 용액에 용해한 다음, 질산 리튬 또는 아세트산 리튬과 시트르산 용액과 결합한다. 이 혼합물은 염기성 조건에서 약 80°C로 가열하며 점성이 있는 겔이 형성될 때까지 교반한다. 겔은 약 120°C에서 건조된 후 450°C에서 한 번, 800–900°C에서 다시 한 번 두 번 하소하여 NMC 재료를 얻는다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 합성
수열 처리(hydrothermal treatment)는 공침법 또는 졸-겔 경로와 함께 사용할 수 있다. 이는 공침물 또는 겔 전구체를 고압멸균기에 넣고 가열하는 것을 포함한다. 처리된 전구체는 여과되어 일반적인 방법으로 하소된다. 하소 전 수열 처리는 NMC의 결정도를 향상시켜 화학 전지에서 재료의 성능을 높인다. 그러나 이는 재료 처리 시간이 길어지는 단점을 가진다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 역사
NMC 음극 재료는 역사적으로 존 B. 구디너프의 1980년대 리튬 코발트 산화물(LiCoO2) 연구와 관련이 있으며, 층상 NaFeO2형 산화물과 초기 리튬 과량과 관련된 Li2MnO3 산화물 사이의 인터그로스로 표현될 수 있다. 리튬이 풍부한 NMC에 대한 첫 번째 보고는 1999년 싱가포르 재료 연구 및 공학 연구소의 자오린 류(Zhaolin Liu) 등이 발표했다. 리튬이 풍부한 NCM 음극 재료에 대한 추가 보고는 2000~2001년경 4개의 연구팀에 의해 독립적으로 보고되었다.
2023년 현재, NMC 재료의 가장 큰 생산자는 EcoPro, 론베이 기술, 이스프링(Easpring) 및 유미코어이다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 특성
NMC 음극이 있는 리튬 이온 전지의 전압은 3.6–3.7 V이다.
아루무감 만티람은 금속의 3d 띠구조가 산소 2p 띠에 상대적으로 위치함으로써 NMC 음극 재료 내에서 각 금속의 역할이 결정된다고 보고했다. 망가니즈 3d 띠는 산소 2p 띠 위에 있어 망가니즈의 높은 화학적 안정성을 초래한다. 코발트와 니켈 3d 띠는 산소 2p 띠와 겹쳐서 산소 이온이 전자 밀도를 잃지 않고 4+ 산화 상태로 충전될 수 있다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 용도
많은 전기자동차는 NMC 음극 배터리를 사용한다. NMC 배터리는 2011년에 BMW 액티브이에, 2013년부터는 BMW i8에 장착되었다. 2020년 현재 NMC 배터리를 사용하는 다른 전기차는 아우디 e-트론 GE, BAIC EU5 R550, BMW i3, BMW i4, BYD 위안 EV535, 쉐보레 볼트, 현대 코나 일렉트릭, 재규어 I-페이스, 장링 모터스 JMC E200L, 니오 ES6, 닛산 리프 S 플러스, 르노 조에, 로위 Ei5, 폭스바겐 e-골프, 폭스바겐 ID.3이다. 소수의 전기차 제조업체만이 트랙션 배터리에 NMC 음극을 사용하지 않는다. 테슬라는 중요한 예외로, 차량에 리튬 니켈 코발트 알루미늄 산화물 및 인산철 리튬 배터리를 사용한다. 2015년, 일론 머스크는 가정용 저장 장치인 테슬라 파워월이 유닛의 수명 동안 충전/방전 주기 수를 늘리기 위해 NMC를 기반으로 한다고 보고했다.
리튬 니켈 망간 코발트 산화물 용도
휴대폰/스마트폰, 노트북, 페달렉과 같은 모바일 전자 기기도 NMC 기반 배터리를 사용할 수 있다. 이러한 응용 분야는 이전에는 거의 전적으로 리튬 코발트 산화물 배터리를 사용했다. NMC 배터리의 또 다른 응용 분야는 배터리 에너지 저장소이다. 2016년에 한국에 총 용량 15 MWh의 두 가지 저장 시스템이 설치되었다. 2017년에는 호주 웨스턴오스트레일리아주 뉴먼에 용량 11 MWh의 35 MW NMC 배터리가 설치 및 가동되었다.
아이 (성경)
아이(히브리어: הָעַי; 두에-랭스: Hai)는 가나안에 위치했던 도시이다. 구약성경의 여호수아기에 따르면, 이스라엘 민족이 여호수아의 지휘 아래 가나안을 정복하는 과정에서 함락되었다.
아이의 유적은 오늘날의 고고학 유적지인 엣-텔로 여겨진다. 발굴 결과 기원전 3100년경으로 거슬러 올라가는 대규모 도시 정착지가 발견되었으며, 대략 기원전 2400년경까지 파괴와 재건의 반복이 있었다. 그 후 초기 철기 시대에 작은 마을이 생길 때까지 사람이 살지 않았다. 이러한 발견에 비추어 학자들은 아이 정복에 대한 성경의 기록을 지명의 기원을 설명하는 기원론적 이야기로 해석한다.
아이 (성경) 성경 이야기
창세기에 따르면, 아브라함은 벧엘과 아이 사이에 제단을 쌓았다.
여호수아기 7장과 8장에는 이스라엘 민족이 아이를 두 차례 정복하려는 시도가 나온다. 첫 번째 시도인 여호수아 7장은 실패한다. 성경 기록은 이 실패가 아간의 죄 때문이라고 묘사하며, 아간은 이스라엘 민족에게 돌에 맞아 죽는다. 두 번째 시도인 여호수아 8장에서는 이야기에서 이스라엘 민족의 지도자로 묘사되는 여호수아가 하느님으로부터 지시를 받는다. 하느님은 그들에게 매복을 설치하라고 지시하고, 여호수아는 순종한다. 도시 서쪽 후방에 매복이 배치된다. 여호수아는 전면에서 도시로 접근하는 병사들과 함께 있었고, 아이 사람들은 또 다른 쉬운 승리를 거둘 것이라고 생각하여 여호수아와 전사들을 도시 입구에서 추격하여 아이 사람들을 도시에서 멀리 유인한다. 그런 다음, 후방의 전사들이 도시로 진입하여 불을 지른다.
아이 (성경) 성경 이야기
도시가 함락되자 12,000명의 남자와 여자가 죽고 도시는 완전히 파괴된다. 왕은 붙잡혀 저녁까지 나무에 매달린다. 그의 시신은 도시 성문에 놓이고 그 위에 돌이 쌓인다. 이스라엘 민족은 아이를 완전히 불태우고 "영원한 폐허 더미로 만들었다." 하느님은 그들에게 가축을 약탈물로 가져가도 좋다고 말씀하셨고, 그들은 그렇게 했다. 또한, 전투 내내 여호수아는 창을 들고 있었고, 그 결과 이스라엘 민족은 승리를 거두었다.
2017년 연구에서 샤이 엘람은 말빔의 여호수아기 해석에 따라 칸나이 전투와 아이 전투(약 1,000년 전에 발생)를 비교하며, 아이 전투에서 여호수아 역시 적군을 완벽한 원으로 포위했으며(이는 두 매복병의 역할과 전투 중 그들의 위치를 설명함), 이는 한니발의 전술에 못지않다고 주장했다.
아이 (성경) 가능한 위치
현지 지명과 기본적인 지형을 바탕으로 레반트 지역의 많은 성경적 장소를 식별했던 에드워드 로빈슨 (1794–1863)은 엣-텔 또는 키르벳 하이야가 음운론적으로 가능성이 높다고 제안했다; 그는 엣-텔에 눈에 보이는 유적이 있었기 때문에 엣-텔을 선호했다. 엣-텔을 선호하는 또 다른 이유는 히브리어 아이라는 이름이 현대 아랍어 엣-텔과 거의 같은 의미를 가지기 때문이다.
1920년대까지는 당시 고고학에 대한 "실증주의적" 해석이 지배적이었는데, 이는 고고학이 출애굽과 정복 이야기가 기원전 1440년에 출애굽이, 기원전 1400년경에 여호수아의 가나안 정복이 일어났다는 역사성을 입증할 것이며 실제로 입증하고 있다는 믿음이었다.:117 이에 따라 1920년대 발굴을 바탕으로 미국의 학자 윌리엄 폭스웰 올브라이트는 엣-텔이 아이라고 믿었다.:86
아이 (성경) 가능한 위치
그러나 1930년대 주디스 마르케-크라우스가 엣-텔에서 수행한 발굴 결과, 기원전 3100년에서 2400년 사이에 초기 청동기 시대에 요새화된 도시가 있었고, 그 후 파괴되고 버려졌다는 사실이 밝혀졌다. 발굴에서는 중기 또는 후기 청동기 시대의 정착 증거가 발견되지 않았다.:117 이러한 발견은 벧엘 발굴과 더불어 올브라이트와 다른 학자들이 제시했던 연대 설정에 문제를 제기했으며, 마르틴 노트를 포함한 일부 학자들은 정복이 실제로 일어나지 않았고 대신 기원론적 신화라고 주장하기 시작했다; 이름 자체가 "폐허"를 의미하며, 정복 이야기는 단지 초기 청동기 시대 도시의 이미 오래된 파괴를 설명한다는 것이다.:117 고고학자들은 또한 후기 철기 시대 I 마을이 초기 정복의 증거 없이 나타났으며, 철기 I 정착민들은 저항 없이 버려진 언덕에 평화롭게 마을을 건설한 것으로 보인다는 것을 발견했다.:331–32