hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
햄 샌드위치 정리 각주
Lo, Chi-Yuan; Steiger, W. L. (1990), 〈An optimal time algorithm for ham-sandwich cuts in the plane〉, 《Proceedings of the Second Canadian Conference on Computational Geometry》, 5–9쪽 .
Peters, James V. (Summer 1981), “The ham sandwich theorem and some related results”, 《The Rocky Mountain Journal of Mathematics》 11 (3): 473–482, doi:10.1216/RMJ-1981-11-3-473, JSTOR 44236614 .
Smith, W. D.; Wormald, N. C. (1998), 〈Geometric separator theorems and applications〉, 《Proceedings 39th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (Cat. No. 98CB36280)》, 232쪽, doi:10.1109/sfcs.1998.743449, ISBN 0-8186-9172-7, S2CID 17962961
성 마태오를 부르심
성 마태오를 부르심(The Calling of Saint Matthew, 이탈리아어: Vocazione di San Matteo)은 이탈리아의 바로크 거장 카라바조의 유화 작품으로, 예수 그리스도가 세금 징수원 마태오에게 자신을 따르라고 부르는 순간을 묘사한다. 1599–1600년에 로마의 프랑스 교단인 산 루이지 데이 프란체시 성당의 콘타렐리 예배당을 위해 완성되었으며, 현재도 그곳에 남아 있다. 이 작품은 카라바조의 다른 두 마태오 그림인 성 마태오의 순교 (이 작품과 거의 같은 시기에 그려짐)와 성 마태오의 영감 (1602년)과 함께 걸려 있다.
성 마태오를 부르심 의뢰
10여 년 전, 마티외 코앵트렐 추기경은 자신의 이름을 딴 성 마태오와 관련된 주제로 예배당을 장식하기 위해 유언으로 자금과 구체적인 지시를 남겼다. 예배당의 돔은 카라바조의 옛 고용주이자 당시 로마에서 가장 인기 있는 화가 중 한 명이었던 후기 매너리즘 화가인 주세페 체사리의 프레스코화로 장식되었다. 그러나 체사리가 왕실 및 교황의 후원으로 바빠지자, 카라바조의 후원자이자 성 베드로의 파브리카(Fabbrica, 바티칸 교회 재산을 담당 사무실)의 장관이었던 프란체스코 마리아 델 몬테 추기경이 개입하여, 카라바조에게 그의 첫 주요 교회 의뢰이자 많은 인물이 등장하는 첫 그림을 의뢰받게 해 주었다.
카라바조의 성 마태오를 부르심은 성 마태오의 순교의 맞은편에 걸려 있다. 순교가 아마도 먼저 시작되었겠지만, 기록에 따르면 부르심이 가장 먼저 완성되었다. 이 두 측면 그림에 대한 의뢰는 1599년 7월에 이루어졌으며, 최종 지불은 1600년 7월에 이루어졌다. 두 그림 사이의 제단에는 성 마태오의 영감 (1602년)이 있다.
성 마태오를 부르심 주제
이 그림은 마태오의 복음서 (마태복음 9:9)의 이야기를 묘사한다: "예수께서 세관에 앉아 있는 마태오라는 사람을 보시고 말씀하셨다, '나를 따르라', 그러자 마태오는 일어나 그를 따랐다." 카라바조는 세금 징수원 마태오가 다른 남자 네 명과 함께 테이블에 앉아 있는 모습을 묘사한다. 예수 그리스도와 베드로 성인이 방에 들어섰고, 예수님은 마태오를 가리키고 있다. 오른쪽에서 들어오는 한 줄기 빛이 테이블에 앉은 남자들의 얼굴을 비춘다. 이것은 많은 바로크 예술가들, 특히 카라바조가 관심을 가졌던 영적 각성과 회심의 순간을 묘사한다.
성 마태오를 부르심 마태오의 정체
그림 속 어떤 남자가 성 마태오인지에 대한 논쟁이 있다. 테이블에 앉아 수염 난 남자의 놀란 몸짓은 두 가지로 해석될 수 있기 때문이다.
대부분의 글에서는 성 마태오가 수염 난 남자라고 가정하며, 그는 그리스도의 부름에 "나 말입니까?"라고 묻는 듯이 자신을 가리키는 것으로 본다. 이 이론은 이 시리즈의 다른 두 작품인 "성 마태오의 영감"과 "성 마태오의 순교"를 고려하면 올바른 듯 하다. 성 마태오의 모델인 수염 난 남자는 세 작품 모두에 등장하며, "영감"과 "순교" 모두에서 성 마태오의 역할을 맡고 있기 때문이다.
최근의 해석에서는 수염 난 남자가 사실은 테이블 끝에 고개를 숙이고 있는 젊은 남자를 가리키고 있다고 주장한다. 이 해석에서 수염 난 남자는 그리스도의 부름에 "저 사람 말입니까?"라고 묻고 있으며, 그림은 젊은 마태오가 그리스도를 보려고 고개를 들기 직전의 순간을 묘사하고 있다고 말한다. 다른 작가들은 이 그림이 의도적으로 모호하게 만들었다고 설명한다.
성 마태오를 부르심 그리스도의 정체
일부 학자들은 예수님이 신약성경에 언급된 마지막 아담 또는 두 번째 아담으로 묘사되었다고 추측한다. 이는 그리스도의 손이 마태오를 향해 뻗어 있는 모습에서 드러난다. 이는  미켈란젤로(카라바조의 이름도 미켈란젤로이다)의 "아담의 창조"에 나오는 아담의 손과 거의 거울상이다. 신약성경에서 예수님과 아담을 명시적으로 비교하는 것은 두 번 나타난다. 로마서 5:12–21에서 바울은 "한 사람의 불순종으로 말미암아 많은 사람이 죄인이 된 것 같이, 한 사람의 순종으로 말미암아 많은 사람이 의인이 될 것" (로마서 5:19, NIV)이라고 주장한다. 또한 고린도전서 15:22에서 바울은 "아담 안에서 모든 사람이 죽는 것 같이, 그리스도 안에서 모든 사람이 살리심을 받을 것"이라고 주장하며, 45절에서는 예수님을 "마지막/궁극적인/최후의 아담"이라고 부른다.
성 마태오를 부르심 양식
"많은 매너리즘 그림과 달리 명확히 내용이 읽히는 것은... 이 작품의 엄청난 인기를 설명했다." 바로크 시대에 제작된 이 그림은 사실주의와 테네브리즘, 즉 명암의 뚜렷한 대비와 같은 특징을 보여주는 이 양식의 상징적인 예이다.
성 마태오를 부르심 반응
교황 프란치스코는 젊은 시절 산 루이지 성당에 자주 가서 이 그림을 묵상했다고 말했다. 그리스도의 뻗은 팔과 마태오의 반응을 모두 언급하며 프란치스코는 "이것이 바로 나다, 주님의 시선이 머문 죄인."이라고 말했다.
성 마태오를 부르심 같은 주제의 다른 그림
마태오의 부르심을 묘사한 다른 근세 작품들이 많이 있다. 카라바조의 작품 이전에도 두 점이 있지만, 카라바조가 이들을 접했을 가능성은 낮다.
성 마태오를 부르심 추가 자료
Jürgen Müller: Wer ist Matthäus? Eine neue Deutung von Caravaggios ‚Berufung des heiligen Matthäus‘ aus der Contarelli-Kapelle, in: Kunstgeschichte. Open Peer Reviewed Journal, 2021,
마슈케의 정리
수학에서 하인리히 마슈케의 이름을 딴 마슈케의 정리(Maschke's theorem)는 유한군의 표현을 기약표현으로 분해하는 것에 관한 군 표현 이론의 정리이다. 마슈케의 정리는 유한군 G의 표현을 실제로 계산하지 않고도 일반적인 결론을 내릴 수 있게 한다. 이 정리가 적용될 때, 모든 표현은 기약 부분(구성 요소)의 직합이므로, 모든 표현을 분류하는 작업을 기약표현을 분류하는 더 관리하기 쉬운 작업으로 줄인다. 더욱이, 조르당-횔더 정리에 따르면, 기약 부분 표현의 직합으로의 분해는 유일하지 않을 수 있지만, 기약 부분들은 잘 정의된 중복도를 가진다. 특히, 표수 0인 체 위의 유한군 표현은 지표에 의해 동형 사상까지 결정된다.
마슈케의 정리 공식화
마슈케의 정리는 일반적인 (유한 차원) 표현이 직합 연산을 사용하여 기약 부분 표현으로부터 구성되는 시점이 언제인가 하는 질문에 답한다. 이 질문(및 그 답)은 군 표현 이론에 대한 다른 관점에 따라 다르게 공식화된다.
마슈케의 정리는 일반적으로 다음 결과의 따름정리로 공식화된다:
정리—는 유한군 의 표현이며, 차수를 나누지 않는 표수를 가진 체  위에서 정의된다. 만약 가 부분 표현 를 가진다면, 를 만족하는 또 다른 부분 표현 를 가진다.
그러면 따름정리는 다음과 같다:
따름정리 (마슈케의 정리)—표수가 차수를 나누지 않는 체  위의 유한군 의 모든 표현은 기약 표현의 직합이다.
군 의 복소수 값 클래스 함수의 벡터 공간은 슈어 직교 관계 문서에 설명된 자연스러운 -불변 내적 구조를 가진다. 마슈케의 정리는 원래  위에서의 표현의 경우에 대해 이 내적 아래에서 의 직교 여공간으로 를 구성함으로써 증명되었다.
마슈케의 정리 공식화
유한군 표현에 대한 접근 방식 중 하나는 가군론을 통해서이다. 군 의 표현은 군환  위의 모듈로 대체된다 (정확히 말하면, 와  (G의 표현의 범주) 사이에 범주의 동형 사상이 존재한다). 기약 표현은 단순 가군에 해당한다. 모듈론 언어로, 마슈케의 정리는 "임의의 모듈이 반단순인가?"라고 묻는다. 이 맥락에서, 정리는 다음과 같이 재구성될 수 있다:
마슈케의 정리—를 유한군이라 하고, 를 그 표수가 의 차수를 나누지 않는 체라 하자. 그러면 의 군환인 는 반단순이다.
이 결과의 중요성은 잘 발달된 반단순환 이론, 특히 웨더번-아르틴 정리에 의해 주어진 분류에서 비롯된다. 가 복소수 체인 경우, 이는 대수 가 각 기약 표현에 대해 여러 개의 복소수 행렬 대수 사본의 곱임을 보여준다. 만약 체 가 표수 0이지만 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 예를 들어 가 실수 또는 유리수 체인 경우, 다소 더 복잡한 명제가 성립한다: 군환 는  위의 나눗셈환 위에서 정의된 행렬 대수의 곱이다. 합산되는 항들은  위에서 정의된 의 기약 표현에 해당한다.
반단순 범주의 언어로 재구성된 마슈케의 정리는 다음과 같이 서술된다.
마슈케의 정리—G가 군이고 F가 그 표수가 G의 차수를 나누지 않는 체라면, F 위의 G의 표현의 범주는 반단순이다.
마슈케의 정리 증명
W의 여공간인 V의 부분 공간을 U라 하자. 를 사영 함수, 즉 모든 에 대해 라 하자.
로 정의하자. 여기서 는 W와 V에 대한 G의 표현인 의 약어이다. 그러면 는 표현  아래에서 G에 의해 보존된다: 모든 에 대해,
따라서 이면 가 된다. 따라서 에 대한 의 제한도 표현이다.
의 정의에 의해, 모든 에 대해 이므로 이고, 모든 에 대해 이다. 따라서 이고 이다. 그러므로 이다.
V를 K[G]-부분 모듈이라고 하자. V가 직합 인자임을 증명할 것이다. K[G]에서 V로 가는 K-선형 사영을 π라고 하자. 다음 맵을 고려해보자.
그러면 φ는 다시 사영이다: 분명히 K-선형이고, K[G]를 V로 매핑하며, V에 대한 항등을 유도한다 (따라서 K[G]를 V 위로 매핑한다). 게다가 다음이 성립한다.
따라서 φ는 사실 K[G]-선형이다. 분할 완전열에 의해 이다. 이것은 모든 부분 모듈이 직합 인자임을 증명하며, 즉 K[G]가 반단순임을 증명한다.
마슈케의 정리 역 명제
위의 증명은 #G가 K에서 가역이라는 사실에 의존한다. 이는 마슈케의 정리의 역도 성립하는지 묻게 만들 수 있다: K의 표수가 G의 차수를 나눈다면, K[G]가 반단순이 아니라는 결론이 나오는가? 답은 '예'이다.
증명. 에 대해 로 정의한다. 이라 하자. 그러면 I는 K[G]-부분 모듈이다. K[G]의 모든 비자명 부분 모듈 V에 대해 임을 증명할 것이다. V가 주어지고, 가 V의 어떤 비영 원소라고 하자. 만약 이면, 주장은 즉각적이다. 그렇지 않으면, 라 하자. 그러면 이므로 이고
이므로 는 I와 V 모두의 비영 원소이다. 이것은 모든 V에 대해 V가 I의 직접 보완이 아님을 증명하므로, K[G]는 반단순이 아니다.
마슈케의 정리 비예시
이 정리는 G가 무한군이거나 체 K의 표수가 #G를 나누는 경우에는 적용될 수 없다. 예를 들어,
무한군 와 로 정의된 표현 를 고려해보자. 로 생성된 의 1차원 부분 공간을 라 하자. 그러면 W에 대한 의 제한은 의 자명 부분 표현이다. 그러나 W, U 모두 의 부분 표현이고 를 만족하는 U는 없다. 이러한 U는 1차원이어야 하지만, 에 의해 보존되는 모든 1차원 부분 공간은 의 고유벡터에 의해 생성되어야 하며, 유일한 고유벡터는 이다.
마슈케의 정리 각주
Serre, Jean-Pierre (1977년 9월 1일). 《Linear Representations of Finite Groups》. Graduate Texts in Mathematics, 42. New York–Heidelberg: 스프링거-페를라크. ISBN 978-0-387-90190-9. MR 0450380. Zbl 0355.20006.
Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory. A first course》 (영국 영어). Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
섀넌-하틀리 정리
정보 이론에서 섀넌-하틀리 정리(Shannon–Hartley theorem)는 특정 대역폭의 통신 채널을 통해 잡음이 있는 상태에서 정보를 전송할 수 있는 최대 속도를 알려준다. 이것은 가우스 잡음에 노출된 연속 시간 아날로그 신호 통신 채널의 전형적인 경우에 대한 잡음 채널 부호화 정리의 응용이다. 이 정리는 그러한 통신 링크에 대한 섀넌의 채널 용량을 확립한다. 이는 신호 전력이 제한되고 가우스 잡음 프로세스가 알려진 전력 또는 전력 스펙트럼 밀도로 특성화된다고 가정할 때, 주어진 대역폭과 잡음 간섭이 있는 상태에서 시간 단위당 전송될 수 있는 최대 정보의 오류 없는 양에 대한 한계이다. 이 법칙은 클로드 엘우드 섀넌과 랄프 하틀리의 이름을 따서 명명되었다.
섀넌-하틀리 정리 정리의 진술
섀넌-하틀리 정리는 채널 용량 를 명시하는데, 이는 평균 수신 신호 전력 를 사용하여 가산 백색 가우스 잡음(AWGN) 전력 에 노출된 아날로그 통신 채널을 통해 임의로 낮은 비트 오류율로 통신할 수 있는 데이터의 정보율에 대한 이론적인 가장 엄밀한 상한을 의미한다.
여기서
섀넌-하틀리 정리 역사적 발전
1920년대 후반, 해리 나이퀴스트와 랄프 하틀리는 특히 전신을 통신 시스템으로 하는 맥락에서 정보 전송과 관련된 몇 가지 기본적인 아이디어를 개발했다. 당시 이 개념들은 개별적으로는 강력한 돌파구였지만, 포괄적인 이론의 일부는 아니었다. 1940년대에 클로드 섀넌은 나이퀴스트와 하틀리의 아이디어를 부분적으로 기반으로 하여 채널 용량 개념을 개발했고, 이어서 정보 및 그 전송에 대한 완전한 이론을 정립했다.
1927년, 나이퀴스트는 전신 채널을 통해 단위 시간당 전달될 수 있는 독립 펄스의 수가 채널의 단측 대역폭의 두 배로 제한된다는 것을 결정했다. 기호 표기법으로,
여기서 는 펄스 주파수(초당 펄스 수)이고 는 단측 대역폭(헤르츠)이다. 는 나중에 나이퀴스트율이라고 불리게 되었고, 초당  펄스의 제한된 펄스율로 전송하는 것을 나이퀴스트율로 신호한다고 했다. 나이퀴스트는 그의 논문 "전신 전송 이론의 특정 주제"의 일부로 1928년에 그의 결과를 발표했다.
섀넌-하틀리 정리 역사적 발전
1928년 동안, 하틀리는 정보와 그 회선 속도(데이터 신호 속도 R 비트/초라고도 함)를 정량화하는 방법을 공식화했다. 이 방법은 나중에 하틀리 법칙으로 알려졌으며, 섀넌의 더 정교한 채널 용량 개념의 중요한 전조가 되었다.
하틀리는 통신 채널을 통해 안정적으로 전송되고 수신될 수 있는 구별 가능한 펄스 레벨의 최대 수가 신호 진폭의 동적 범위와 수신기가 진폭 레벨을 구별할 수 있는 정밀도에 의해 제한된다고 주장했다. 특히, 전송된 신호의 진폭이 [−A ... +A] 볼트 범위로 제한되고 수신기의 정밀도가 ±ΔV 볼트인 경우, 고유한 펄스 M의 최대 수는 다음과 같이 주어진다.
.
초당 비트/펄스 단위의 정보가 전송될 수 있는 고유 메시지 M의 밑이 2인 로그라고 가정하여, 하틀리는 회선 속도 R의 측정값을 다음과 같이 구성했다.
여기서 는 펄스율이며, 초당 기호 수 또는 보 단위의 기호율이라고도 한다.
하틀리는 위에서 언급한 정량화를 나이퀴스트의 관찰, 즉 단측 대역폭  헤르츠 채널을 통해 전달될 수 있는 독립 펄스의 수가 초당  펄스라는 관찰과 결합하여 달성 가능한 회선 속도에 대한 그의 정량적 측정값을 도출했다.
섀넌-하틀리 정리 역사적 발전
하틀리 법칙은 때때로 아날로그 대역폭  (헤르츠)와 오늘날 디지털 대역폭  (비트/초) 간의 비례 관계만으로 인용된다.
다른 경우에는 초당  비트의 달성 가능한 회선 속도로서 다음과 같은 더 정량적인 형태로 인용된다.
하틀리는 M의 수가 채널의 잡음 통계에 어떻게 의존해야 하는지, 또는 개별 기호 펄스가 M 레벨로 안정적으로 구별될 수 없을 때에도 통신을 어떻게 신뢰할 수 있게 만들 수 있는지 정확히 알아내지 못했다. 가우스 잡음 통계를 사용하면 시스템 설계자는 낮은 오류율을 달성하기 위해 매우 보수적인 M 값을 선택해야 했다.
오류 없는 용량이라는 개념은 정보의 로그 측정에 대한 하틀리의 관찰과 대역폭 제한의 효과에 대한 나이퀴스트의 관찰을 기반으로 한 클로드 섀넌을 기다렸다.
하틀리의 속도 결과는 초당  기호의 오류 없는 M-진 채널 용량으로 볼 수 있다. 일부 저자들은 이를 용량이라고 부른다. 그러나 이러한 오류 없는 채널은 이상화된 것이며, 시끄러운 채널을 거의 오류 없게 만들기에 충분히 작은 M을 선택한다면, 그 결과는 나중에 나온 하틀리-섀넌 결과인 대역폭 의 시끄러운 채널의 섀넌 용량보다 필연적으로 작다.
섀넌-하틀리 정리 역사적 발전
제2차 세계 대전 중 클로드 섀넌의 정보 이론 개발은 잡음이 많은 채널을 통해 얼마나 많은 정보를 안정적으로 전달할 수 있는지 이해하는 데 다음 큰 발전을 가져왔다. 하틀리의 기초 위에, 섀넌의 잡음 채널 부호화 정리 (1948)는 잡음 간섭 및 데이터 손상 수준에 대한 오류 정정 부호 방법의 최대 가능한 효율성을 설명한다. 정리의 증명은 무작위로 구성된 오류 정정 코드가 본질적으로 가능한 최상의 코드만큼 좋다는 것을 보여준다. 이 정리는 그러한 무작위 코드의 통계를 통해 증명된다.
섀넌의 정리는 채널의 통계적 설명으로부터 채널 용량을 계산하는 방법을 보여주고, 용량 를 가진 잡음이 있는 채널과 회선 속도 로 전송되는 정보가 주어진 경우, 만약
수신기에서 오류 확률을 임의로 작게 만들 수 있는 코딩 기술이 존재한다는 것을 확립한다. 이는 이론적으로 초당 거의  비트의 한계까지 거의 오류 없이 정보를 전송할 수 있음을 의미한다.
그 역도 중요하다. 만약
수신기에서 오류 확률은 속도가 증가함에 따라 무한히 증가하므로 채널 용량을 넘어 유용한 정보를 전송할 수 없다. 이 정리는 속도와 용량이 동일한 드문 상황을 다루지 않는다.
섀넌-하틀리 정리 역사적 발전
섀넌-하틀리 정리는 가우스 잡음에 노출된 유한 대역폭 연속 시간 채널의 채널 용량이 무엇인지 확립한다. 이는 하틀리의 결과를 섀넌의 채널 용량 정리와 연결하여, 신호 대 잡음비 측면에서 하틀리의 회선 속도 공식에서 M을 지정하는 것과 동일한 형태이지만, 신뢰성 있게 구별 가능한 펄스 레벨을 통해서가 아니라 오류 정정 코딩을 통해 신뢰성을 달성한다.
만약 잡음이 없는 아날로그 채널과 같은 것이 존재한다면, 단위 시간당 무한한 양의 오류 없는 데이터를 전송할 수 있을 것이다 (무한 대역폭 아날로그 채널은 무한 신호 전력이 없으면 무한한 양의 오류 없는 데이터를 전송할 수 없다는 점에 유의하라). 그러나 실제 채널은 유한 대역폭과 0이 아닌 잡음에 의해 부과되는 제한을 받는다.
섀넌-하틀리 정리 역사적 발전
대역폭과 잡음은 아날로그 채널을 통해 정보를 전송할 수 있는 속도에 영향을 미친다. 대역폭 제한만으로는 최대 정보율에 상한을 두지 않는데, 이는 신호가 각 기호 펄스에서 무한히 많은 다른 전압 레벨을 취할 수 있고, 각 약간 다른 레벨에 다른 의미 또는 비트 시퀀스가 할당될 수 있기 때문이다. 그러나 잡음과 대역폭 제한을 모두 고려하면, 정교한 다단계 인코딩 기술이 사용되더라도 제한된 전력의 신호로 전송할 수 있는 정보의 양에는 한계가 있다.
섀넌-하틀리 정리에서 고려되는 채널에서 잡음과 신호는 덧셈으로 결합된다. 즉, 수신기는 원하는 정보를 인코딩하는 신호와 잡음을 나타내는 연속적인 무작위 변수의 합과 동일한 신호를 측정한다. 이 덧셈은 원래 신호 값에 대한 불확실성을 생성한다. 수신기가 잡음 과정을 생성하는 무작위 과정에 대한 일부 정보를 가지고 있다면, 원칙적으로 잡음 과정의 모든 가능한 상태를 고려하여 원래 신호의 정보를 복구할 수 있다. 섀넌-하틀리 정리의 경우, 잡음은 알려진 분산을 가진 가우스 과정에 의해 생성된다고 가정한다. 가우스 과정의 분산은 그 전력과 동일하므로, 이 분산을 잡음 전력이라고 부르는 것이 일반적이다.
이러한 채널을 가산 백색 가우스 잡음 채널이라고 부르는데, 가우스 잡음이 신호에 추가되기 때문이다. "백색"은 채널 대역폭 내의 모든 주파수에서 동일한 양의 잡음을 의미한다. 이러한 잡음은 무작위 에너지 원과 송신기와 수신기에서 각각 코딩 및 측정 오류로 인해 발생할 수 있다. 독립적인 가우스 무작위 변수의 합은 그 자체로 가우스 무작위 변수이므로, 이러한 오류 원인이 또한 가우스이고 독립적이라고 가정하면 분석이 편리하게 단순화된다.
섀넌-하틀리 정리 정리의 함의
채널 용량을 하틀리 법칙의 정보율과 비교하면, 구별 가능한 유효 레벨 M의 수를 찾을 수 있다.
제곱근은 전력 비율을 전압 비율로 효과적으로 변환하므로, 레벨 수는 신호 제곱평균제곱근 진폭과 잡음 표준 편차의 비율에 대략적으로 비례한다.
섀넌 용량과 하틀리 법칙 사이의 이러한 형태의 유사성은  펄스 레벨이 어떤 혼동 없이 문자 그대로 전송될 수 있다는 것을 의미한다고 해석해서는 안 된다. 중복 코딩 및 오류 정정을 허용하기 위해 더 많은 레벨이 필요하지만, 코딩으로 접근할 수 있는 순 데이터 속도는 하틀리 법칙에서 그 을 사용하는 것과 동일하다.
섀넌-하틀리 정리 주파수 의존적 (유색 잡음) 경우
위의 간단한 버전에서는 신호와 잡음이 완전히 상관 관계가 없으며, 이 경우 은 수신된 신호와 잡음의 총 전력이다. 가산 잡음이 백색이 아니거나 (또는 이 대역폭 전체에서 주파수에 따라 일정하지 않은 경우) 위 방정식의 일반화는 채널을 많은 좁은 독립적인 가우스 채널로 병렬로 처리하여 얻을 수 있다.
여기서
참고: 이 정리는 가우스 정상 과정 잡음에만 적용된다. 이 공식이 주파수 의존적 잡음을 도입하는 방식은 모든 연속 시간 잡음 과정을 설명할 수는 없다. 예를 들어, 시간의 어느 시점에서든 진폭이 1 또는 -1인 무작위 파동을 추가하는 잡음 과정과 그러한 파동을 원본 신호에 추가하는 채널을 고려해 보자. 이러한 파동의 주파수 구성 요소는 매우 의존적이다. 이러한 잡음은 높은 전력을 가질 수 있지만, 기본 잡음이 각 주파수 대역에서 독립적인 잡음의 합인 경우 필요한 것보다 훨씬 적은 전력으로 연속 신호를 전송하는 것이 상당히 쉽다.
섀넌-하틀리 정리 근사치
크거나 작고 일정한 신호 대 잡음비에 대해 용량 공식은 다음과 같이 근사화할 수 있다.
SNR이 클 때 (S/N ≫ 1), 로그는 다음과 같이 근사화된다.
이 경우 용량은 전력에 대해 로그적이며 대역폭에 대해 대략 선형적이다 (완전히 선형적이지는 않은데, N이 대역폭에 따라 증가하여 로그적 효과를 주기 때문이다). 이를 대역폭 제한 영역이라고 한다.
여기서
유사하게, SNR이 작을 때 (만약 ), 로그에 대한 근사를 적용하면 다음과 같다.
그러면 용량은 전력에 비례한다. 이를 전력 제한 영역이라고 한다.
이 저 SNR 근사에서, 잡음이 백색이고 스펙트럼 밀도가 헤르츠당  와트인 경우, 전체 잡음 전력은 이므로 용량은 대역폭과 무관하다.
섀넌-하틀리 정리 예시
1MHz 대역폭을 가지고 SNR이 -30dB로 수신된 신호의 채널 용량은 얼마인가? 이는 잡음에 깊이 묻힌 신호를 의미한다. -30dB는 S/N = 10-3을 의미한다. 이는 최대 정보 전송률 106 log2 (1 + 10-3) = 1443bit/s로 이어진다. 이러한 값은 GPS의 수신 측위 신호에서 일반적이며, 항법 메시지는 50bit/s(주어진 S/N에 대한 채널 용량 미만)로 전송되고 대역폭은 전송 전에 의사 잡음 곱셈을 통해 약 1MHz로 확산된다.
위에서 언급했듯이, 채널 용량은 채널 대역폭과 SNR의 로그에 비례한다. 이는 채널 용량을 고정된 SNR 요구 사항이 주어졌을 때 채널의 대역폭을 증가시키거나, 고정된 대역폭에서 작동하기 위해 매우 높은 SNR을 필요로 하는 고차 변조를 사용하여 선형적으로 증가시킬 수 있음을 의미한다. 변조율이 증가하면 스펙트럼 효율이 향상되지만, SNR 요구 사항이 증가한다. 따라서 16QAM 또는 64QAM을 채택하면 SNR 요구 사항이 기하급수적으로 증가하지만, 스펙트럼 효율은 향상된다.
권미나
권미나(SEOAN)는 대한민국의 가수다. 2021년 첫 정규 앨범 [민낯]으로 데뷔했다.
2011년 춘계 천황상
2011년 춘계 천황상은 중앙경마의 G1급 중상경주 천황상의 143번째 대회이자 춘계(봄) 천황상의 72번째 대회로, 2011년 5월 1일에 교토 경마장에서 개최되었다.
히루노 다무르가 에이신 플래시 등을 제치고 우승을 차지했다.
스톤-바이어슈트라스 정리
수학적 해석학에서 바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass approximation theorem)는 닫힌 구간 [a, b]에서 정의된 모든 연속 함수는 다항식 함수에 의해 원하는 만큼 가깝게 균등하게 근사될 수 있다고 명시한다. 다항식은 가장 단순한 함수 중 하나이며, 컴퓨터가 다항식을 직접 평가할 수 있기 때문에 이 정리는 특히 다항식 보간법에서 실용적이고 이론적인 중요성을 갖는다. 이 결과의 원래 버전은 카를 바이어슈트라스가 1885년 바이어슈트라스 변환을 사용하여 확립했다.
마셜 하비 스톤은 이 정리를 상당히 일반화하고 증명을 단순화했다. 그의 결과는 스톤-바이어슈트라스 정리(Stone–Weierstrass theorem)로 알려져 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리는 바이어슈트라스 근사 정리를 두 가지 방향으로 일반화한다. 실수 구간 [a, b] 대신 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X를 고려하고, 다항 함수들의 대수 대신  상의 다양한 다른 연속 함수족이 충분하다는 것을 보여준다. 이는 아래에 자세히 설명되어 있다. 스톤-바이어슈트라스 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간 상의 연속 함수 대수 연구에 중요한 결과이다.
스톤-바이어슈트라스 정리
또한, 스톤-바이어슈트라스 정리를 비콤팩트 티호노프 공간으로 일반화한 버전이 있다. 즉, 티호노프 공간 상의 모든 연속 함수는 스톤-바이어슈트라스 정리에 나타나고 아래에 설명된 유형의 대수에 의해 콤팩트 집합 상에서 균등하게 근사된다.
바이어슈트라스의 원래 정리의 또 다른 일반화는 메르게리안의 정리로, 복소평면의 특정 부분집합에 정의된 함수로 일반화한다.
스톤-바이어슈트라스 정리 바이어슈트라스 근사 정리
바이어슈트라스가 처음 발견한 근사 정리의 진술은 다음과 같다.
베른슈타인 다항식을 사용한 이 정리의 구성적 증명은 해당 페이지에 설명되어 있다.
미분 가능한 함수에 대해 잭슨 부등식은 주어진 차수의 다항식에 의한 근사의 오차를 제한한다. 만약 가 연속적인 k차 도함수를 가진다면, 모든 에 대해 차수가 최대 인 다항식 이 존재하여 가 성립한다.
그러나 가 단순히 연속인 경우, 근사의 수렴은 다음과 같은 의미에서 임의로 느릴 수 있다. 0으로 감소하는 양의 실수 수열 에 대해 차수가 최대 인 모든 다항식 에 대해 인 함수 가 존재한다.
바이어슈트라스 근사 정리의 결과로, 공간 C[a, b]가 분해 가능하다는 것을 보일 수 있다. 다항 함수는 조밀하며, 각 다항 함수는 유리수 계수를 가진 다항식에 의해 균등하게 근사될 수 있다. 유리 계수를 가진 다항식은 가산 개만 존재한다. C[a, b]가 거리화 가능하고 분해 가능하므로, C[a, b]의 농도는 최대 2ℵ0이다. (참고: 이 농도 결과는 실수 상의 연속 함수가 유리수 제한에 의해 유일하게 결정된다는 사실에서도 도출된다.)
스톤-바이어슈트라스 정리 스톤-바이어슈트라스 정리, 실수 버전
[a, b] 상의 연속 실함수 집합 C[a, b]는 최고값 노름 ‖f‖ = supa ≤ x ≤ b |f (x)|과 함께 바나흐 대수이다 (즉, 결합 대수이자 ‖fg‖ ≤ ‖f‖·‖g‖가 모든  f, g에 대해 성립하는 바나흐 공간이다). 모든 다항 함수의 집합은 C[a, b]의 부분대수를 형성하며 (즉, 함수 곱셈에 대해 닫힌 C[a, b]의 벡터 부분 공간이다), 바이어슈트라스 근사 정리의 내용은 이 부분대수가 C[a, b]에서 조밀하다는 것이다.
스톤은 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 X에서 시작하여 최고값 노름으로 유도된 위상과 함께 X 상의 실수 값 연속 함수 대수 C(X, R)를 고려한다. 그는 조밀한 C(X, R)의 부분대수를 찾고자 한다. 부분대수가 만족해야 할 결정적인 속성은 점을 분리한다는 것이다. X에 정의된 함수 집합 A는 X의 서로 다른 두 점 x와 y에 대해 p(x) ≠ p(y)인 함수 p가 A에 존재하면 점을 분리한다고 말한다. 이제 다음과 같이 진술할 수 있다.
스톤-바이어슈트라스 정리 스톤-바이어슈트라스 정리, 실수 버전
이는 [a, b]의 다항식이 상수를 포함하고 점을 분리하는 C[a, b]의 부분대수를 형성하기 때문에 바이어슈트라스의 원래 진술을 함축한다.
스톤-바이어슈트라스 정리의 버전은 X가 단순히 국소 콤팩트일 때도 성립한다. C0(X, R)를 무한대에서 소멸하는 X 상의 실수 값 연속 함수 공간이라고 하자. 즉, 연속 함수  f 는 모든 ε > 0에 대해 X \ K에서  |f|  < ε인 콤팩트 집합 K ⊂ X가 존재하면 C0(X, R)에 속한다. 다시 말해, C0(X, R)는 최고값 노름을 가진 바나흐 대수이다. C0(X, R)의 부분대수 A는 A의 모든 원소가 한 점에서 동시에 소멸하지 않으면 어디에서도 소멸하지 않는다고 말한다. 즉, X의 모든 x에 대해  f (x) ≠ 0인 A의 어떤  f 가 존재한다. 이 정리는 다음과 같이 일반화된다.
스톤-바이어슈트라스 정리 스톤-바이어슈트라스 정리, 실수 버전
스톤-바이어슈트라스 정리 (국소 콤팩트 공간)—X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이고 A가 C0(X, R)의 부분대수라고 가정하자. 그러면 A가 점을 분리하고 어디에서도 소멸하지 않을 때에만 (균등 수렴의 위상이 주어졌을 때) C0(X, R)에서 조밀하다.
이 버전은 X가 콤팩트인 경우 이전 버전을 분명히 함축한다. 이 경우 C0(X, R) = C(X, R)이기 때문이다. 국소 콤팩트성 가정을 완화하는 스톤-바이어슈트라스 정리의 더 일반적인 버전도 있다.
스톤-바이어슈트라스 정리는 바이어슈트라스의 결과를 넘어서는 다음 두 진술을 증명하는 데 사용될 수 있다.
스톤-바이어슈트라스 정리 스톤-바이어슈트라스 정리, 복소수 버전
조금 더 일반적인 것은 다음 정리이다. 여기서는 콤팩트 공간  상의 복소수 값 연속 함수 대수 를 다시 균등 수렴 위상과 함께 고려한다. 이것은 점별 복소 켤레에 의해 주어진 *-연산을 가진 가환 C* 대수이다.
에 의해 생성된 복소 단위 대합 대수는 의 원소들로부터 상수 함수 1을 추가하고, 더하고, 곱하고, 켤레를 취하고, 복소 스칼라를 곱하는 과정을 유한 번 반복하여 얻을 수 있는 모든 함수들로 구성된다.
이 정리는 실수 버전을 함축한다. 복소수 값 함수의 망이 주어진 함수로 균등하게 근사되면, 일 때 해당 함수의 실수 부분이 그 함수의 실수 부분으로 균등하게 근사되고, 이며, 실수 부분집합의 경우  생성된 복소 단위 (자가 수반) 대수의 실수 부분을 취하는 것은 생성된 실수 단위 대수와 일치하기 때문이다.
실수 경우와 마찬가지로, 이 정리의 유사한 버전이 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대해서도 성립한다.
다음은 이 복소수 버전의 응용이다.
스톤-바이어슈트라스 정리 스톤-바이어슈트라스 정리, 쿼터니언 버전
Holladay (1957)에 따라, 콤팩트 공간 X 상의 쿼터니언 값 연속 함수 대수 C(X, H)를 다시 균등 수렴 위상과 함께 고려한다.
쿼터니언 q를  형태로 쓸 때
마찬가지로
그러면 다음과 같이 진술할 수 있다.
스톤-바이어슈트라스 정리 스톤-바이어슈트라스 정리, C* 대수 버전
콤팩트 하우스도르프 공간  상의 복소수 값 연속 함수 공간, 즉 는 단위 가환 C* 대수 의 전형적인 예시이다. 공간 X는 약*-위상을 가진  상의 순수 상태 공간으로 볼 수 있다. 위 단서를 따라, 아직 해결되지 않은 스톤-바이어슈트라스 정리의 비가환 확장 버전은 다음과 같다.
1960년에 제임스 글림은 위 추측의 약한 버전을 증명했다.
Glicksberg (1962)는 크레인-밀만 정리와 한-바나흐 정리를 본질적으로 사용하여 비숍 정리의 짧은 증명을 제시한다. 이는 Louis de Branges (1959)의 과정이다. Rudin (1973, §5.7)도 참조하라.
스톤-바이어슈트라스 정리 격자 버전
X가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 스톤의 정리의 원래 증명은 C(X, R)에서의 격자 개념을 사용했다. C(X, R)의 부분집합 L은 임의의 두 원소  f, g ∈ L에 대해 함수 max{ f, g}, min{ f, g} 도 L에 속하면 격자라고 불린다. 스톤-바이어슈트라스 정리의 격자 버전은 다음과 같다.
위의 스톤-바이어슈트라스 버전은 격자 속성이 절댓값 | f |을 사용하여 공식화될 수 있고, 이는 다시  f 의 다항식으로 근사될 수 있다는 것을 깨달으면 이 버전으로부터 증명될 수 있다. 정리의 변형은 max에 대해 닫힌 C(X, R)의 선형 부분 공간에 적용된다.
더 정확한 정보는 다음과 같다.
X가 적어도 두 개의 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간이고 L이 C(X, R)의 격자라고 가정하자. 함수 φ ∈ C(X, R)는 L의 폐포에 속할 필요충분조건은 X의 서로 다른 두 점 x와 y 쌍 각각에 대해 그리고 각 ε > 0에 대해 | f (x) − φ(x)| < ε 및 | f (y) − φ(y)| < ε인 어떤  f  ∈ L이 존재한다는 것이다.
스톤-바이어슈트라스 정리 비숍 정리
스톤-바이어슈트라스 정리의 또 다른 일반화는 에렛 비숍에 의한 것이다. 비숍 정리는 다음과 같다.
Glicksberg (1962)는 크레인-밀만 정리와 한-바나흐 정리를 본질적으로 사용하여 비숍 정리의 짧은 증명을 제시한다. 이는 Louis de Branges (1959)의 과정이다. Rudin (1973, §5.7)도 참조하라.
스톤-바이어슈트라스 정리 나흐빈 정리
나흐빈 정리는 매끄러운 다양체 상의 복소수 값 매끄러운 함수 대수에 대한 스톤-바이어슈트라스 정리의 유사한 버전을 제공한다. 나흐빈 정리는 다음과 같다.
스톤-바이어슈트라스 정리 편집 역사
1885년에는 "실변수의 임의 함수에 분석적 표현을 부여할 가능성에 관하여(On the possibility of giving an analytic representation to an arbitrary function of real variable)"라는 제목의 영어 버전 논문으로도 출판되었다. 수학자 야밀렛 퀸타나(Yamilet Quintana)에 따르면, 바이어슈트라스는 "어떤 해석 함수라도 멱급수로 표현될 수 있다고 의심했다."
스톤-바이어슈트라스 정리 각주
Glicksberg, Irving (1962), “Measures Orthogonal to Algebras and Sets of Antisymmetry”, 《Transactions of the American Mathematical Society》 105 (3): 415–435, doi:10.2307/1993729, JSTOR 1993729 .
바이어슈트라스의 역사적 출판물 (독일어)은 베를린 브란덴부르크 과학 아카데미의 디지털 온라인 아카이브에서 자유롭게 이용할 수 있다.
K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).  Erste Mitteilung (part 1) pp. 633–639, Zweite Mitteilung (part 2) pp. 789–805.
햄 샌드위치
햄 샌드위치(ham sandwich)는 흔한 종류의 샌드위치이다. 빵은 신선하거나 토스트한 것일 수 있으며, 치즈와 상추, 토마토, 양파, 오이 피클 슬라이스 같은 채소를 포함한 다양한 토핑으로 만들 수 있다. 다양한 종류의 머스터드와 마요네즈도 흔히 사용된다.
햄 샌드위치의 주요 구성 요소인 얇게 썬 빵과 얇게 썬 익힌 햄은 서양 슈퍼마켓에서 쉽게 구할 수 있다. 그 결과, 준비와 섭취의 용이성 때문에 도시락의 흔한 구성 요소가 된다.
햄 샌드위치 햄 치즈 샌드위치
햄 치즈 샌드위치의 기원은 수년간 요리 지식인들 사이에서 논의되어 왔다. 햄, 치즈, 빵 요리를 처음 만들었다는 주요 이론은 1961년의 라루스 가스트로노미크(Larousse Gastronomique)에 언급되어 있다. 여기에 따르면 18세기 영국으로 이주한 아일랜드 이민자 패트릭 코놀리는 다음을 포함한 빵 요리를 판매했다.
돼지고기 잔여물, 경화하여 얇게 썬 고기 위에 레스터 치즈와 약간의 달걀 노른자 소스(마요네즈의 일종)를 얹어 둥근 빵 롤에 넣은 것이다. 이 요리는 다소 상상력이 부족하게도 코놀리(Connolly)로 알려졌으며, 영국 미들랜즈 일부 지역에서는 여전히 그렇게 불리기도 한다.
영국에서는 햄 치즈 샌드위치에 흔히 피클(원래 브랜스턴이 만든 달콤하고 시큼한 처트니)을 추가하며, 이 간식은 햄, 치즈, 피클 샌드위치로 알려져 있다.
햄 샌드위치 햄 치즈 샌드위치
구장 매점 운영자 해리 스티븐스는 1924년 인터뷰에서 1894년 뉴욕 야구장에서는 햄 치즈 샌드위치만 판매되었고, 프랑크푸르터 소시지는 1909년에 도입되었다고 회상했다.
1923년 미국 여행 중 엘리스섬을 통과한 한 영국 여인은 다음과 같이 기록했다.
외국인들이 그곳에서 받는 학대에 대한 이야기를 너무 많이 들어서 두려움과 떨림에 휩싸였다.... 그러나 직원들은 매우 친절했고 우리에게 전혀 거칠지 않았다. 점심시간이었고... 잠시 후 짐꾼들이 아주 좋은 햄 치즈 샌드위치와 어른들을 위한 커피, 아기들을 위한 우유 바구니를 가지고 왔다.
리처드 에벌린 버드는 1926년 극지 비행에 햄 치즈 샌드위치를 가져갔고, 1927년 대서양 횡단 비행에 나선 챔벌린과 레바인도 마찬가지였다.
햄 샌드위치 소비
영국 샌드위치 협회는 햄 샌드위치가 영국에서 가장 인기 있는 샌드위치라고 밝혔고, 2001년에 실시한 설문조사에서는 치즈 다음으로 햄이 두 번째로 좋아하는 속재료로 나타났다. 2008년 프랑스에서 소비된 18억 개의 샌드위치 중 70%가 햄 샌드위치였으며, 이로 인해 프랑스 경제 분석 회사는 전국적으로 가격을 비교하기 위해 빅맥 지수와 유사한 '장봉뵈르 지수'를 만들기 시작했다.
세계에서 가장 긴 햄 샌드위치는 2009년 스페인 팜플로나의 정육업자 니코 히메네즈가 만들었다.
햄 샌드위치 종류
아르헨티나 요리에서 포스포리토는 페이스트리 빵을 사용한 햄 치즈 샌드위치이다. 우루과이 요리에서는 같은 페이스트리 샌드위치를 헤수이타(jesuita)라고 부른다.
프랑스 요리에서 크로크므시외는 햄 치즈 샌드위치의 일종이다. 굽거나 튀겨서 만든다.
브라질 요리에서는 구운 햄 치즈 샌드위치를 misto-quente (직역: '뜨거운 혼합')라고 부른다.
쿠바식 샌드위치는 햄, 치즈, 바삭한 쿠바 빵으로 만들어지며, 종종 파니니 프레스에서 구워진다. 이 샌드위치의 변형은 쿠바와 미국 플로리다주 남부에서 인기가 많다.
햄 샌드위치 건강
세계 암 연구 기금은 2009년에 가공육으로 인한 대장암 위험 때문에 부모들이 자녀에게 햄 샌드위치를 너무 많이 먹이지 말라고 경고했다.
2000년 영국에서 햄 샌드위치가 돼지열병 발병의 원인으로 의심받았다.
햄 샌드위치 대중문화
미국에서는 전 뉴욕 대법원장 솔 와칠러가 톰 울프의 《부와 허영의 불꽃》에서 대배심은 "원한다면 '햄 샌드위치도 기소할 것이다'"라고 말했다.
"햄 샌드위치"라는 이름은 때때로 (특히 뉴올리언스 경찰국) 경찰이 범죄 현장에 허위 증거로 심은 총기를 지칭하는 데 사용된다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년)
싱가포르 폭격 (1944년~1945년)은 미국 제20폭격기사령부와 영국 공군 제222비행단이 마터호른 작전의 일환으로 수행한 폭격 작전이다. 미국 육군 항공대가 1944년 11월 5일부터 1945년 3월까지 일본군이 점령한 싱가포르의 해군기지와 조선소를 목표로 폭격을 수행했고, 싱가포르섬을 둘러싼 해상 일대에 기뢰를 부설했다. 미국 공군의 폭격이 끝난 후 영국 공군이 미국 공군의 업무를 이어받아 싱가포르 해상에 기뢰를 부설했고, 이 작업은 1945년 5월 24일까지 이어졌다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년)
연합군의 싱가포르 공격의 결과는 목표에 따라 달랐다. 싱가포르 해군기지와 조선소에 미친 피해는 매우 컸지만 일부 공습에서는 조선소와 해군기지에 타격을 입히는데 실패했다. 싱가포르 정유 시설들에 대한 폭격은 비효율적이었다. 기뢰 부설 작업은 싱가포르 내 일본 해군의 해상활동을 방해했고, 기뢰로 일본 해군은 선박 3척을 잃고 10척이 피해를 입었지만 결정적인 타격은 아니었다. 폭격은 싱가포르 주민들의 사기를 끌어올리는 것에 성공했다. 싱가포르 주민들은 폭격을 통해 연합군이 싱가포르를 해방할 날이 멀지 않았다고 믿게 되었다. 폭격으로 인한 민간인 피해는 상대적으로 적었지만, 군 시설 폭격 중 민간인 노동자들이 사망했고 한 차례의 공습에서는 수백 명의 민간인이 집을 잃은 적도 있었다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 배경
제1차 세계 대전 이후 수십 년 동안 영국은 일본의 지역 확장주의를 저지하기 위한 계획인 싱가포르 전략의 일환으로 싱가포르 북부 해안의 셈바왕에 싱가포르 해군 기지를 확장했다. 그 결과 이 시설은 대영제국에서 가장 중요한 시설 중 하나가 되었으며, 이 때 확충된 시설에는 킹 조지 6세 건선거와 해군성 제9호 부유식 건조 도크도 있었다. 그러나 태평양 전쟁 발발 후 몇 달 만에 말라야와 싱가포르에 주둔한 영연방 군대는 예상보다 빨리 패배했고, 1942년 2월 15일 싱가포르는 일본에 항복했다. 말라야 전투와 그 이후의 싱가포르 전투에서 일본 제국군은 싱가포르를 여러 차례 폭격했고, 이 공습으로 많은 민간인이 사망했다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 배경
싱가포르 해군 기지는 1941년과 1942년의 전투에서 거의 피해를 입지 않았으며, 일본 본토 외부에 있는 일본 제국 해군의 가장 중요한 시설이 되었다. 영국 통치하에 있던 것처럼 많은 현지 민간인이 기지에서 일했지만, 일본 해군은 사소한 실수에 대한 신체적 폭행뿐만 아니라 절도 및 정보 누설에 대한 투옥 또는 처형을 포함하는 가혹한 징계를 가했다. 일본 제2함대와 제3함대는 연료유 공급원에 더 가까워지기 위해 1944년 2월에서 4월 사이에 중앙 태평양에서 싱가포르와 인근 링가 제도로 이동했다. 이 두 함대는 일본 제국 해군의 주력 함대였으며, 일본 제국 해군에 남아있는 대부분의 전함과 항공모함을 운용했다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 배경
싱가포르 방어에 할당된 군 부대의 전력은 강하지 않았다. 1945년 초, 섬의 일본 대공 방어에 포함된 부대는 자동 기관포로 무장한 두 개의 육군 중대, 일부 일본 제국 해군 대공포 부대, 소수의 전투기만 포함했다. 일부 대공포는 말레이 보조병이 운용했다. 대공 방어 전력의 효율성은 육군과 해군 간의 협력 부족, 포의 사격 통제 장비 부족, 사격 통제 레이더 또는 조색기구의 부재로 인해 더욱 효율이 떨어졌다. 야간 전투기가 싱가포르 근처에 배치되지 않았고 대공포와 탐조등 부대 간의 협력이 미흡했기 때문에 야간 공습에 대한 방어는 특히 취약했다.
1944년 6월, 미국 육군 항공대(USAAF)의 제20폭격기사령부는 인도 북동부의 카라그푸르 근처 비행장에서 B-29 슈퍼포트리스 중폭격기를 이용한 전투 작전을 시작했다. 비록 사령부의 주요 임무는 일본 본토의 산업 목표물을 공격하는 것이었지만, 다른 절반의 임무는 태평양에서 다른 연합군 작전을 지원하기 위해 수행되었다. 제20폭격기 사령부는 미국 육군 항공대 제20공군에 보고했는데, 이 공군은 인도-중국 전구 사령관이 아닌 미국 육군 항공대 사령관 헨리 아놀드 장군이 워싱턴 D.C.에서 직접 지휘했다. 커티스 르메이 소장은 아놀드가 초대 사령관을 해임한 후 8월 29일에 XX 폭격기 사령부의 지휘를 맡았다.
1944년 10월 말 레이테만 전투에서 일본이 패배한 후, 일본 제국 해군은 두 개의 전투단으로 재편되었다. 한 전투단은 세토 내해의 기지로 돌아갔고, 다른 그룹은 링가 제도에 주둔했다. 10월 27일, 아놀드는 르메이에게 레이테만 전투로 싱가포르 해군 시설의 중요성이 증가했을 수 있다고 제안하며 제20폭격기사령부가 섬의 목표물을 공격할 수 있는지 물었다. 싱가포르에 대한 최신 정보는 거의 없었고, 10월 30일 정찰 B-29가 처음으로 싱가포르 상공을 비행하며 싱가포르 전체를 확인할 수 있는 사진을 찍었다. 르메이의 참모진은 사진 촬영이 성공했지만 싱가포르에 대한 주간 공격은 성공할 수 없다고 믿었다. 반대에도 불구하고 아놀드는 제20폭격기사령부에 싱가포르를 공격하라고 명령했다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 공격
싱가포르에 대한 첫 공격은 1944년 11월 5일에 이루어졌다. 제20폭격비행단은 카라그푸르 주변 기지에서 B-29 76대를 출격시켰다. 목표까지 비행 거리가 상당했기 때문에 각 항공기는 1,000파운드 폭탄 두 발만 탑재했다. 조종사들은 또한 평소 폭격 고도보다 낮은 20,000 피트에서 폭격하고 느슨한 편대를 유지하라는 명령을 받았다. 공격의 주요 목표는 킹 조지 6세 건선거였으며, 수마트라섬 북부의 팡칼란브란단 정유소가 보조 목표로 지정되었다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 공격
첫 B-29는 오전 06시 44분에 싱가포르 해군기지 상공에 도착했다. 폭격은 매우 정확하여 선두 항공기가 건선거의 케이슨 문 가까이에 폭탄을 떨어뜨렸다. 세 번째 B-29의 폭탄도 건선거 근처에 떨어졌고 다른 항공기들도 건선거에 직격탄을 날려 해당 시설을 3개월 동안 사용할 수 없게 만들었다. 킹 조지 6세 건선거 안팎에 떨어진 폭탄은 당시 수리 중이던 465 ft 길이의 수상기모함 노토로도 손상시켰다. 선거 안팎의 많은 민간인 노동자들은 탈출할 수 없어 사망했다. 공격자들은 또한 해군기지의 다른 시설에도 피해를 입혔다. 전체적으로 53대의 슈퍼포트리스가 싱가포르 해군기지를 폭격했고, 7대가 팡칼란브란단 정유소를 공격했다. 일본 대공포나 항공기는 거의 공격자들을 사격하지 않았지만, 두 대의 B-29가 사고로 손실되었다. 이 공격은 당시까지 수행된 가장 긴 주간 폭격 작전이었다. 공격 후, 일본 병사들은 부상당한 인도네시아 노동자들을 살해했다. 킹 조지 6세 건선거의 손상으로 인해 레이테만 전투에서 손상된 일본 전함들을 수리하는 데 사용할 수 없게 되었다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 공격
두 번째 싱가포르 공습은 1945년 1월에 일어났다. 일본 제국 해군이 필리핀 전역 당시 손상된 일본 전함을 싱가포르에서 수리하고 있다는 보고에 따라 인도에서 47대의 슈퍼포트리스로 구성된 부대가 파견되어 해군성 제10호 부유식 도크와 싱가포르섬 남해안의 킹스 도크를 공격했다. 슈퍼포트리스는 1월 10일 자정 무렵 이륙하여 1월 11일 08시 20분에 싱가포르 상공에 도착했다. 공격기 중 27대만이 도크를 강타했고, 조호르 해협에 있는 일본 전함의 강력한 대공포 사격으로 인해 폭격기는 전함에는 아무런 피해도 입히지 못했다. 나머지 항공기는 말라야의 페낭주, 버마의 뭇따마 및 여러 목표물을 폭격했지만 대체로 성공하지 못했다. 이 작전 중 B-29 2대가 손실되었다.
싱가포르 폭격 (1944년~1945년) 공격
1945년 1월, 제20폭격기사령부은 마리아나 제도로 재배치될 준비를 시작했다. 사령부는 중국 기지를 이용해 목표물로 향하는 B-29에 연료를 보급하는 일본과 동아시아에 대한 공격을 중단하고 대신 카라그푸르에서 도달할 수 있는 동남아시아 목표물에 집중했다. 카라그푸르에서 도달할 수 있는 산업 목표물이 거의 없었기 때문에 양곤, 방콕, 싱가포르와 같은 주요 항구와 소규모 항구의 선박 공격에 최우선 순위가 주어졌다. 공격은 재래식 폭격과 기뢰 부설을 통해 이루어졌다. 전환의 일환으로 커티스 르메이는 1월 18일 마리아나 제도로 떠났고 로저 M. 램지 준장이 그 뒤를 이었다.