hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
라이프니츠 적분 규칙 증명
참고: 이 형태는 미분할 표현식이 다음과 같을 때 특히 유용할 수 있다.

는 적분 한계에 의존하지 않으므로 적분 기호 밖으로 옮길 수 있으며, 곱 규칙과 함께 위 형태를 사용할 수 있다. 즉,
다음을 설정하자.

여기서 a와 b는 α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb만큼 증가하는 α의 함수이다. 그러면,
평균값 정리의 한 형태인  ()를 위 Δφ 공식의 첫 번째와 마지막 적분에 적용하면 다음이 된다.
Δα로 나누고 Δα → 0으로 보내자. ξ1 → a이고 ξ2 → b임을 주목하자. 적분 기호를 통해 극한을 통과시킬 수 있다.

이는 다시 유계 수렴 정리에 의한 것이다. 이는 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태를 산출한다.
변수 한계를 가진 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태는 라이프니츠 적분 규칙의 기본 형태, 다변수 연쇄 법칙, 그리고 미적분학의 제1 기본 정리의 결과로 도출될 수 있다. 가 - 평면의 직사각형, 즉 와 에서 정의된다고 가정하자. 또한 와 편미분 가 이 직사각형에서 모두 연속 함수라고 가정하자. 는 에서 정의되고  값을 가지는 미분 가능한 실수 값 함수라고 가정하자 (즉, 모든 에 대해 ). 이제 다음을 설정하자.

그리고
라이프니츠 적분 규칙 증명
그러면 정적분의 성질에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.
함수 가 모두 미분 가능하므로 (증명 끝의 주석 참조), 다변수 연쇄 법칙에 의해 는 미분 가능하며, 그 미분은 다음 공식으로 주어진다.
이제 모든 와 모든 에 대해 임을 주목하자. 왜냐하면 의 에 대한 편미분을 취할 때, 표현식 에서 를 고정하기 때문이다. 따라서 적분 한계가 상수인 라이프니츠 적분 규칙의 기본 형태가 적용된다. 다음으로, 미적분학의 제1 기본 정리에 의해 이다. 왜냐하면 의 에 대한 편미분을 취할 때, 첫 번째 변수 는 고정되므로, 기본 정리가 실제로 적용될 수 있기 때문이다.
이러한 결과를 위  방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

원하는 대로이다.
위 증명에는 주목할 만한 기술적 사항이 있다. 에 연쇄 법칙을 적용하려면 가 이미 미분 가능해야 한다. 이것이 에 대한 가정을 사용하는 부분이다. 위에서 언급했듯이, 의 편미분은 공식 와 로 주어진다. 가 연속이므로, 그 적분도 연속 함수이고, 도 연속이므로, 이 두 결과는 의 두 편미분이 모두 연속임을 보여준다. 편미분의 연속성은 함수의 미분 가능성을 의미하므로, 는 실제로 미분 가능한다.
라이프니츠 적분 규칙 증명
시간 t에서 그림 1의 표면 Σ는 중심점  주위에 배열된 점들의 집합을 포함한다. 함수 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

는 시간에 독립적이다. 변수는 움직이는 표면에 부착된 새로운 참조 프레임으로 이동되며, 원점은 에 있다. 고정적으로 이동하는 표면에 대해 적분 한계는 시간에 독립적이므로,

여기서 적분 영역 Σ를 제한하는 적분 한계는 더 이상 시간에 의존하지 않으므로 미분은 적분 기호를 통과하여 피적분 함수에만 작용한다.

표면의 이동 속도는 다음과 같이 정의된다.
이 방정식은 장의 물질 미분을 표현하는데, 즉 움직이는 표면에 부착된 좌표계에 대한 미분이다. 미분을 찾았으므로 변수를 원래 참조 프레임으로 다시 전환할 수 있다. 우리는 다음을 주목한다 (참고: 회전 (벡터) 문서)

그리고 스토크스 정리는 Σ를 통한 회전의 면적분을 ∂Σ를 통한 선적분과 동일시한다.
라이프니츠 적분 규칙 증명
선적분의 부호는 선 요소 ds의 방향 선택에 대한 오른손 법칙에 기초한다. 이 부호를 설정하기 위해, 예를 들어 장 F가 양의 z방향을 가리키고, 표면 Σ는 xy-평면의 일부이며 경계 ∂Σ를 가진다고 가정하자. 우리는 Σ의 법선을 양의 z방향으로 채택한다. ∂Σ의 양의 횡단은 시계 반대 방향(z축을 따라 엄지손가락을 놓는 오른손 법칙)이다. 그러면 좌변의 적분은 Σ를 통과하는 F의 양의 선속을 결정한다. Σ가 속도 v로 양의 x방향으로 이동한다고 가정하자. y축에 평행한 Σ의 경계 요소인 ds는 시간 t 동안 영역 vt × ds를 쓸어낸다. 시계 반대 방향으로 경계 ∂Σ를 따라 적분하면, ∂Σ의 왼쪽(ds가 아래를 향하는 곳)에서는 vt × ds가 음의 z방향을 가리키고, ∂Σ의 오른쪽(ds가 위를 향하는 곳)에서는 양의 z방향을 가리킨다. 이는 Σ가 오른쪽으로 이동하여 오른쪽에 면적을 추가하고 왼쪽에서 면적을 잃는다는 점에서 의미가 있다. 이러한 근거로, F의 선속은 ∂Σ의 오른쪽에서 증가하고 왼쪽에서 감소한다. 그러나 스칼라곱 v × F ⋅ ds = −F × v ⋅ ds = −F ⋅ v × ds이다. 결과적으로 선적분의 부호는 음수로 취해진다.
라이프니츠 적분 규칙 증명
만약 v가 상수라면,

이는 인용된 결과이다. 이 증명은 표면이 이동하면서 변형될 가능성을 고려하지 않는다.
보조정리. 다음이 성립한다.
증명. 미적분학의 기본 정리 증명으로부터,
그리고
a와 b가 상수이고 f(x)가 적분에서는 상수이지만 다른 적분을 형성하기 위해 변할 수 있는 매개변수 α를 포함한다고 가정하자. f(x, α)는 콤팩트 집합 {(x, α) : α0 ≤ α ≤ α1 및 a ≤ x ≤ b}에서 x와 α의 연속 함수이고, 편미분 fα(x, α)가 존재하고 연속이라고 가정하자. 만약 다음을 정의하면:

그러면 는 적분 기호 아래에서 미분하여 α에 대해 미분할 수 있다. 즉,
하이네-칸토어 정리에 의해 그 집합에서 균일하게 연속이다. 즉, 임의의 ε > 0에 대해 [a, b]의 모든 x 값에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재한다.
다른 한편으로,
따라서 φ(α)는 연속 함수이다.
마찬가지로 가 존재하고 연속이라면, 모든 ε > 0에 대해 다음을 만족하는 Δα가 존재한다.
따라서,

여기서
이제 Δα → 0일 때 ε → 0이므로,
이것은 우리가 증명하려던 공식이다.
이제 다음을 가정하자.

여기서 a와 b는 α의 함수이며, α가 Δα만큼 증가할 때 각각 Δa와 Δb만큼 증가한다. 그러면,
평균값 정리의 한 형태인  ()를 위 Δφ 공식의 첫 번째와 마지막 적분에 적용하면 다음이 된다.
Δα로 나누고 Δα → 0으로 보내면, ξ1 → a, ξ2 → b임을 주목하고 위의 유도를 사용하여

다음이 나온다.
이것이 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태이다.
라이프니츠 적분 규칙 예시
함수를 고려하자.
적분 기호 아래의 함수는 점 에서 연속이 아니며, 함수 는 에서 불연속성을 갖는다. 왜냐하면 일 때 가 로 접근하기 때문이다.
를 적분 기호 아래에서 에 대해 미분하면,

인 경우. 이것을 ( 에 대해) 적분하면 다음을 얻는다.
변수 한계를 포함하는 예시:
라이프니츠 적분 규칙 응용
공식

특정 정적분을 평가할 때 유용할 수 있다. 이 맥락에서 사용될 때, 적분 기호 아래 미분하는 라이프니츠 적분 규칙은 적분에 대한 파인만의 묘수로도 알려져 있다.
다음을 고려하자.

이것의 미분은 푸아송 적분으로 알려져 있으며 다음과 같이 주어진다.
가 에서 까지 변함에 따라 다음이 성립한다.
따라서,
그러므로,
양변을 에 대해 적분하면 다음을 얻는다.
은 을 평가함으로써 얻어진다.
같은 방식으로 를 결정하려면 에 1보다 큰  값을 대입해야 한다. 이는 다소 불편하다. 대신 를 대입하는데, 여기서 이다. 그러면,
따라서
의 계산은 이제 완료되었다.
위의 논의는 물론 일 때는 적용되지 않는다. 미분 가능성 조건이 충족되지 않기 때문이다.
먼저 다음을 계산한다.
적분 한계가 에 독립적이므로 다음이 성립한다.
다른 한편으로:
이 두 관계를 등치시키면 다음이 나온다.
유사하게, 를 구하면 다음이 나온다.
두 결과를 더하면 다음이 나온다.

원하는 대로 를 계산한다.
라이프니츠 적분 규칙 응용
이 유도는 일반화될 수 있다. 다음을 정의하면

다음이 쉽게 증명될 수 있다.
이 주어지면, 이 적분 축소 공식을 사용하여 인 모든  값을 계산할 수 있다.  및 와 같은 적분은 바이어슈트라스 치환을 사용하여 처리할 수도 있다.
여기서 우리는 적분을 고려한다.
적분 기호 아래에서 에 대해 미분하면,
따라서:
그러나 정의에 따라 이므로 이고
여기서 우리는 적분을 고려한다.
새로운 변수 φ를 도입하고 적분을 다음과 같이 다시 작성한다.
φ = 1일 때 이는 원래 적분과 같다. 그러나 이 더 일반적인 적분은 에 대해 미분할 수 있다.
이제 φ를 고정하고 에서 로 정의된 벡터장을 고려하자. 또한 단위원 의 양의 방향을 가진 매개변수화 , 를 선택하여 가 되도록 한다. 그러면 위의 최종 적분은 정확히 다음과 같다.

의 을 통한 선적분이다. 그린의 정리에 의해 이는 이중 적분과 같다.

여기서 는 닫힌 단위 원판이다. 그 피적분 함수는 항등적으로 0이므로 도 항등적으로 0이다. 이는 f(φ)가 상수임을 의미한다. 상수는 에서 를 평가하여 결정할 수 있다.
라이프니츠 적분 규칙 응용
따라서 원래 적분도 와 같다.
적분 기호 아래 미분 기술을 사용하여 해결할 수 있는 수많은 다른 적분들이 있다. 예를 들어, 다음 각 경우에 원래 적분은 새로운 매개변수 를 가진 유사한 적분으로 대체될 수 있다.
첫 번째 적분인 디리클레 적분은 양의 α에 대해 절대 수렴하지만, 일 때는 조건부 수렴한다. 따라서 일 때는 적분 기호 아래 미분을 정당화하기 쉽지만, 결과 공식이 일 때도 유효하다는 것을 증명하려면 세심한 작업이 필요하다.
적분 기호 아래 미분의 측도론적 버전은 합을 셈측도로 해석함으로써 (유한 또는 무한) 합에도 적용된다. 응용의 한 예시는 멱급수가 수렴 반경 내에서 미분 가능하다는 사실이다.
라이프니츠 적분 규칙은 변분법에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데 사용된다.
라이프니츠 적분 규칙 대중문화에서
적분 기호 아래 미분은 고(故) 물리학자 리처드 파인만의 베스트셀러 회고록 파인만 씨, 농담도 잘하시네!의 "다른 도구 상자"라는 장에서 언급된다. 그는 고등학교 시절 매사추세츠 공과대학교의 수학 교수였던 프레데릭 S. 우즈의 오래된 교과서 "고등 미적분학"(1926)에서 이 기술을 배웠다고 설명한다. 파인만이 나중에 공식적인 미적분학 교육을 받았을 때는 이 기술이 자주 가르쳐지지 않았지만, 이 기술을 사용하여 파인만은 프린스턴 대학교 대학원에 입학했을 때 다른 어려운 적분 문제들을 해결할 수 있었다.
라이프니츠 적분 규칙 대중문화에서
내가 결코 배우지 못한 한 가지는 경로적분법이었다. 나는 고등학교 물리 선생님인 베이더 씨가 주신 책에 나와 있는 다양한 방법으로 적분을 하는 법을 배웠다. 어느 날 그는 나에게 수업 후에 남으라고 했다. "파인만," 그가 말했다. "너는 너무 말이 많고 너무 시끄러워. 왜 그런지 알아. 지루해서 그래. 그래서 내가 너에게 책을 줄게. 저기 뒤쪽 구석에 가서 이 책을 공부하고, 이 책에 있는 모든 것을 알게 되면 다시 말해도 돼." 그래서 모든 물리 수업 시간에 나는 파스칼의 법칙이나 그들이 하고 있는 다른 어떤 것에도 주의를 기울이지 않았다. 나는 이 책과 함께 뒤쪽에 있었다: "고등 미적분학", 우즈 저. 베이더는 내가 "실용인을 위한 미적분학"을 조금 공부했다는 것을 알고 있었기 때문에 나에게 진짜 작품을 주었다 – 그것은 대학의 3학년 또는 4학년 과정용이었다. 거기에는 푸리에 급수, 베셀 함수, 행렬식, 타원함수 등 내가 아무것도 모르는 온갖 멋진 것들이 있었다. 그 책은 또한 적분 기호 아래 매개변수를 미분하는 방법 – 일종의 연산 – 을 보여주었다. 그것은 대학에서는 그다지 많이 가르쳐지지 않는다; 그들은 그것을 강조하지 않는다. 하지만 나는 그 방법을 사용하는 법을 터득했고, 그 빌어먹을 도구를 계속해서 사용했다. 그래서 그 책으로 독학을 했기 때문에 나는 특이한 적분 방법을 가지고 있었다. 그 결과, MIT나 프린스턴의 친구들이 특정 적분을 하는 데 어려움을 겪었을 때, 그것은 그들이 학교에서 배운 표준 방법으로는 할 수 없었기 때문이었다. 만약 그것이 경로 적분이었다면 그들은 그것을 찾았을 것이다; 만약 그것이 간단한 급수 전개였다면 그들은 그것을 찾았을 것이다. 그리고 나서 나는 적분 기호 아래에서 미분하는 것을 시도했고, 종종 그것이 통했다. 그래서 나는 적분을 잘하는 것으로 명성을 얻었는데, 이는 단지 내 도구 상자가 다른 모든 사람의 도구 상자와 달랐기 때문이었고, 그들은 나에게 문제를 주기 전에 그들의 모든 도구를 이미 사용해 보았기 때문이다.
라이프니츠 적분 규칙 추가 자료
Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). 〈Single Integrals: Leibnitz's Rule; Numerical Integration〉. 《Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences》. New York: Wiley. 155–165쪽. ISBN 0-471-04934-4.
강성훈 (공학자)
강성훈(Sung Hoon Kang)은 한국과학기술원 신소재공학과의 재료과학자로, 존스 홉킨스 대학교에서 적응형·생체모방 소재를 연구해 온 공학자이다. 반복 하중을 받을수록 강성과 에너지 소산 능력이 동시 향상되는 '자가 강화' 신소재(LIPPS)를 국제학술지 Science Advances에 발표하였다.
강성훈 (공학자) 생애와 학력
서울대학교에서 재료공학을 전공하고 매사추세츠 공과대학교에서 재료과학·공학 석사, 하버드 대학교에서 응용물리학 박사 학위를 받았다. 박사후 연구과정 동안에는 하버드에서 구조·재료 상호작용과 기계적 자극에 따른 물성 변화 메커니즘을 다루는 연구를 수행하였다.
강성훈 (공학자) 학문적 정체성과 연구 주제
그의 연구는 생체모방(bioinspired) 접근으로 재료가 외부 자극에 스스로 적응하도록 만드는 데 초점이 있다. 전기적 하전, 이온 용액, 다공성 스캐폴드의 상호작용을 이용해 기계적 하중에 비례해 미네랄이 침전·성장하는 원리를 공학적으로 구현하였다.
강성훈 (공학자) '자가 강화' 신소재(LIPPS)
강성훈은 한·미 공동연구를 통해 액체 주입 다공성 압전 스캐폴드(LIPPS)를 제안하고, 1,200만 회 이상의 반복 하중 이후 탄성계수가 수십 배 증가하고 히스테리시스가 수천 퍼센트 향상되는 거동을 보고하였다. 이 소재는 뼈의 기계자극 유도 미네랄화에서 영감을 받아 사용 위치와 시간에 따라 재료가 스스로 보강되는 점이 특징이다.
강성훈 (공학자) 연구 방법과 기술
그의 팀은 다공성 압전 스캐폴드와 미네랄 이온을 포함한 매질을 결합하고, 하중에 따른 전하 분포 변화로 유도되는 국소 미네랄화를 통해 강성·인성·에너지 소산을 동시 향상시키는 기계적 적응 시스템을 제시하였다.
강성훈 (공학자) 산학 및 협력 네트워크
Hopkins Extreme Materials Institute와 Institute for NanoBioTechnology 소속으로 활동했으며, KAIST 부임 이후에도 미국 대학 연구팀과 공동 프로젝트를 지속하고 있다.
강성훈 (공학자) 응용과 영향
자체 강화 메커니즘은 인공관절, 자동차·항공 구조체, 고신뢰 피로부품 등 반복 하중 환경에서 설계 여유를 넓히는 응용 가능성이 제시되었다.
강성훈 (공학자) 교육 및 연구실 운영
존스 홉킨스에서 '바이오인스파이어드 재료 및 시스템' 분야의 강의를 담당하고 연구실을 이끌었고, KAIST에서도 유사한 주제로 대학원 교육과 연구지도를 수행한다.
강성훈 (공학자) 논문
오레고, 산티아고; 천, 제즈(Zhezhi Chen); 크레코라, 우르슐라; 허우, 더청; 전, 승열; 피트먼, 매슈; 몬토야, 카롤리나; 천, 윈; 강성훈 (2020). "Bioinspired Materials with Self‑Adaptable Mechanical Properties(생체모방 자가 적응형 기계적 특성)". Advanced Materials 32 (21): 1906970. https://doi.org/10.1002/adma.201906970.
자연계의 뼈가 하중에 반응해 국소적으로 물질을 추가해 파손을 막는 원리를 공학적으로 모사하였다. 다공성 압전 스캐폴드가 이온 용액에서 전하에 의해 미네랄 침전을 유도하도록 설계하였다. 하중이 커질수록 침전이 증가해 강성과 인성이 함께 향상되는 현상을 보였다. 실험은 간단한 구조와 표준 재료로 구현해 재현 가능성을 높였다. 결과는 반복 사용 환경의 피로 문제를 줄이는 새로운 설계 전략을 제시한다.
강성훈 (공학자) 논문
선, 보(B. Sun); 키친, 그레이엄; 허, 다니엘(D. He); 말루, 디. 케이.; 딩, 진; 황, 위; 에이사페, 아리; 오마르, 무함마드 엠.; 후, 유항; 강성훈 (2025). "A material dynamically enhancing both load‑bearing and energy dissipation capability under cyclic loading(반복 하중에서 하중 지지와 에너지 소산 능력이 동적으로 향상되는 소재)". Science Advances 11 (6): eadt3979. https://doi.org/10.1126/sciadv.adt3979.
액체가 주입된 다공성 압전 스캐폴드(LIPPS)가 반복 하중하에서 자체적으로 미네랄을 생성해 구조를 보강하는 현상을 보고하였다. 1,200만 회 이상의 하중 사이클 후 탄성계수와 히스테리시스가 큰 폭으로 동시 증가하였다. 이는 하중 분포에 의해 발생한 전하가 이온으로부터 국소 침전을 유도하기 때문임을 영상 분석으로 확인하였다. 설계 원리는 위치 선택적 보강과 손상 부위의 자가 수복을 가능하게 한다. 구조물, 의료용 임플란트 등 고피로 환경에서 사용될 수 있는 가능성을 제시한다.
이환주 (1964년)
이환주(Lee Hwan-ju)는 KB국민은행의 은행장으로, 1991년 입행 이후 영업과 기획, 재무를 두루 거쳐 2025년 1월부터 은행을 이끌고 있다. 취임사에서 "금융상품을 파는 은행을 넘어 고객과 사회에 '신뢰를 파는 은행'이 돼야 한다"고 밝히며 신뢰 회복과 내부통제 혁신, 디지털·글로벌 전략을 병행하고 있다.
이환주 (1964년) 생애와 교육
1964년 10월 태어났다. 선린상업고등학교를 졸업하고 성균관대학교 경영학과를 나왔으며, 핀란드 헬싱키대학교 경영대학원(MBA) 과정을 마쳤다.
이환주 (1964년) 임명과 취임
2024년 11월 KB금융지주는 계열사대표이사후보추천위원회를 열어 KB라이프생명 대표였던 이환주를 차기 국민은행장 후보로 선정하였다. 2025년 1월 취임 후 그는 "고객과 사회에 '신뢰를 파는 은행'이 되겠다"는 구상을 제시하였다.
이환주 (1964년) 리더십과 경영 기조
이환주는 '변화와 균형'을 내세워 내실 강화와 체질 개선, 실행력 중심의 리더십을 강조한다. 그는 취임사에서 비즈니스를 재정의하고 실행하며 관찰하는 방식(재정의–실행–관찰)을 통해 경영 혁신을 주문하였다.
이환주 (1964년) 전략 과제와 실행
개인금융·기업금융·자산관리 등 핵심 사업의 질적 성장을 목표로 하고, 은행과 비은행의 시너지를 강조하였다. 소상공인 대상 컨설팅 공간 확충 등 생활밀착형 지원도 확대하였다.
이환주 (1964년) 디지털 전환과 보안 체계
보이스피싱 등 금융사기를 선제 차단하기 위해 AI 기반 모니터링을 고도화하였다. 2025년 8월 한 달 동안 사기계좌 1,306건을 적발하고 약 225억 원 피해를 예방했다고 밝혔다. 또한 영업점 창구의 신속한 대응으로 9월 말 기준 약 116억 원의 피해를 막았다. 이 체계는 2022년의 ATM 이상거래 차단 시스템 등 과거 고도화 성과와 연동된다. 여기서 말하는 보이스피싱은 보이스피싱과 관련된 전기통신금융사기이며, 이상 징후 탐지에는 인공지능 기술이 활용된다.
이환주 (1964년) 고객 보호와 내부통제
그는 내부통제 혁신과 윤리 경영을 기반으로 "국민은행은 확실히 다르다"는 고객 경험을 만들겠다고 밝혔다. 국가고객만족도(NCSI) 시중은행 부문에서 은행은 2025년에 통산 19회 1위를 기록했다는 평가가 나왔다.
이환주 (1964년) 글로벌 확장과 해외 행보
취임 후 미국 뉴욕·시카고에서 기관투자자 대상 IR을 진행하고 해외 투자자와의 소통을 강화하였다. 캄보디아 중앙은행과의 면담을 통해 현지 사업 확대 의지를 나타냈다.
이환주 (1964년) 지역·취약계층과의 동행
소상공인 종합지원(컨설팅·교육·연계금융 등)을 강화하고 전국 거점 중심의 지원공간을 확대하였다.
이환주 (1964년) 논란 및 이슈
KB라이프생명 통합 과정에서 노동조합이 인사통합안 재검토를 요구하며 쟁의행위에 돌입해 리더십이 시험대에 올랐다.
강천석
강천석(Kang Chun-suk)은 대한민국의 언론인으로, 조선일보에서 1975년에 입사하여 도쿄 특파원, 사회·정치·국제부장, 편집국장, 주필을 거쳐 논설고문으로 활동한다.
강천석 생애
광주광역시에서 태어나 광주제일고등학교와 서울대학교 사회학과를 졸업하였다. 1975년 조선일보에 입사하였다.
강천석 기자 생활의 궤적
1975년 입사 이후 사회·정치·국제부를 거쳤고 도쿄 특파원을 지냈다. 편집국장과 주필을 역임하였으며, 2003년부터 '강천석 칼럼'을 연재하였다. 그의 프로필과 기사 목록은 조선일보 인물 페이지와 영문 프로필에서도 제공된다.
강천석 도쿄 특파원 시기와 국제 시각
도쿄 특파원 경험은 국제 정세와 산업 변화에 대한 논설의 배경이 되었다고 언급하였다. 이후 칼럼에서 외교·안보·정치제도 주제를 빈번히 다루었다.
강천석 편집국 리더십과 주필 재임
편집국장과 주필 재임 동안 사설·칼럼의 방향을 총괄하였고, 서울대 언론인상 대상(2013)을 받았다.
강천석 칼럼 활동과 주요 주제
그의 칼럼은 국내 정치, 권력 견제, 외교·안보 이슈를 중심으로 한다. 조선일보 웹사이트의 태그 페이지에는 다수의 연재물이 정리되어 있다.
강천석 언론관과 저널리즘 철학
인터뷰에서 "신문은 거대한 역사의 바다를 기록하는 매체"라고 강조하며, 권력에 대한 비판과 불편부당의 태도를 기자의 본령으로 제시하였다.
강천석 정치와 미디어에 대한 견해
"유튜브 포로가 된 정치"라는 표현으로 정치와 신매체의 결합이 여론을 왜곡할 수 있다고 지적하였다. 또한 제도적 견제와 균형의 약화가 대통령 중심제의 위험을 키운다고 비판하였다.
강천석 저서
지방정부 운영을 기업 경영처럼 효율화하는 사례를 소개한다. 선진국의 성공·실패 사례를 비교하여 제도 설계의 조건을 설명한다. 한국 지방자치의 정책 선택을 위한 참고틀을 제시한다.
지방자치 도입기의 행정 혁신을 주제로 한다. 재정·조직·서비스 혁신 도구를 사례 중심으로 정리한다. 현장 적용을 위한 간명한 지침을 담았다.
체적 적분
수학 (특히 다변수 미적분학)에서 체적 적분(volume integral, ∭) 또는 부피 적분은 3차원 영역에 대한 적분이다. 즉, 중적분의 특수한 경우이다. 체적 적분은 물리학에서 많은 응용 분야에 특히 중요하며, 예를 들어 선속 밀도를 계산하거나 해당 밀도 함수에서 질량을 계산하는 데 사용된다.
체적 적분 좌표계에서
종종 체적 적분은 미분 부피 요소 로 표현된다.

이것은 또한 함수 의 영역  내에서의 중적분을 의미할 수 있으며, 일반적으로 다음과 같이 쓰여진다.

원통 좌표계에서의 체적 적분은 다음과 같다.

그리고 구면좌표계에서의 체적 적분은 (ISO 각도 표기법을 사용하여 는 방위각, 는 극축에서 측정된 각도임 (자세한 내용은 규약 참조)) 다음과 같은 형태를 갖는다.

삼중 적분은 야코비 행렬을 사용하여 데카르트 좌표계에서 임의의 다른 좌표계로 변환할 수 있다. 좌표 변환 이 있다고 가정하면, 적분을 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 야코비 행렬식은 다음과 같이 정의된다.
체적 적분 예시
단위 정육면체에 대해 방정식 을 적분하면 다음 결과가 나온다.
따라서 단위 정육면체의 부피는 예상대로 1이다. 이는 다소 사소한 예시이지만, 체적 적분은 훨씬 더 강력하다. 예를 들어, 단위 정육면체에 스칼라 밀도 함수가 있다면 체적 적분은 정육면체의 총 질량을 제공할 것이다. 예를 들어 밀도 함수가 다음과 같을 때:

정육면체의 총 질량은 다음과 같다.
박성덕
박성덕(SungDeok Park)은 대한민국의 정신건강의학과 전문의이자 정서중심 부부치료(EFT) 전문가로, 연리지가족부부연구소 소장이다. ICEEFT 공인 트레이너·슈퍼바이저이며 2004년 한국에 EFT를 소개하고 EFTKorea를 설립하였다. 2010년대 이후 EBS 〈부부가 달라졌어요〉 등 방송과 조선일보 주말 섹션 〈박성덕의 부부 마음길〉 연재를 통해 대중 상담·자문을 이어왔다.
박성덕 생애
고려대학교 의과대학을 졸업한 뒤 정신건강의학과 전문의 자격을 취득하였다. 용인정신병원에서 진료부장을 맡고 가족·부부 상담 클리닉을 운영했다. 이후 민간 상담기관인 연리지가족부부연구소를 설립해 부부·가족 관계 전문 진료와 상담을 병행하고 있다.
박성덕 임상 및 진료 철학
박성덕은 애착 이론과 정서 조율을 핵심으로 하는 정서중심 부부치료(EFT)를 임상에 적용한다. ‘부부는 정서를 공유하는 공동체’라는 관점에서 공감적 대화와 정서적 접근을 치료의 출발점으로 제시한다.
박성덕 정서중심 부부치료 확산
2004년 EFT를 국내에 도입한 뒤 전문가 교육과 워크숍을 정기적으로 개최하고, 번역서와 저서를 통해 임상 지침을 소개하였다.
박성덕 교육·트레이닝 네트워크
ICEEFT 트레이너 자격을 바탕으로 국내 상담전문가를 대상으로 EFT 핵심과정·슈퍼비전을 제공한다. 관련 교육·도서 유통은 한국정서중심치료센터(EFTKorea) 플랫폼을 통해 안내된다.
박성덕 매체 활동
EBS 〈부부가 달라졌어요〉 책임전문가·패널로 참여했으며, 프로그램 관련 보도자료와 편성 정보가 공개되어 있다.
박성덕 신문 연재
2025년부터 조선일보 주말 섹션 〈아무튼, 주말〉의 ‘박성덕의 부부 마음길’에서 사례 중심 상담 칼럼을 연재하였다. 2025년 11월 8일자 지면과 온라인판에서는 빈둥지 증후군 상황에서의 애착 회복을 주제로 다뤘다.
박성덕 저서
정서중심 부부치료의 이론과 임상 절차를 한국어로 체계화하였다. 임상 현장에서 사용 가능한 단계와 기법을 사례와 함께 제시하였다. 한국의 상담·치료 현장에 EFT를 적용하는 출발점이 되었다.
부부가 겪는 갈등의 근원을 정서에서 찾고 대화·공감 중심의 변화 방법을 안내한다. 애착 관점에서 외도·양육관 차이·우울 등 주제를 설명한다. 일반 독자에게 적용 가능한 실천 지침을 제공한다.
EFT의 핵심 변화요인을 쉽게 설명해 임상가의 개입을 돕는다. 중독·외도 등 애착 손상 사례에의 적용을 상세히 다룬다. 국내 상담전문가의 현장 학습 자료로 쓰인다.
수전 M. 존슨의 최신 이론과 절차를 한국어로 옮겼다. 3기 9단계 모델을 업데이트하여 제시한다. 부부관계 회복의 체계적 지침을 제공한다.
부부가 정서를 이해하고 공감하는 법을 사례 중심으로 설명한다. 일상 언어로 정서 개념을 풀어 현장 적용성을 높였다. 방송·강연과 연계된 대중 심리서로 활용된다.
리슈 알고리즘
기호 계산에서 리슈 알고리즘(Risch algorithm)은 일부 컴퓨터 대수학 시스템에서 부정적분을 찾는 데 사용되는 부정 적분 방법이다. 이 알고리즘은 1968년에 이 알고리즘을 개발한 컴퓨터 대수학 전문가인 미국의 수학자 로버트 헨리 리슈의 이름을 따서 명명되었다.
이 알고리즘은 적분 문제를 대수학 문제로 변환한다. 이 알고리즘은 적분되는 함수의 형태와 유리 함수, 거듭제곱근, 로그 (수학), 지수 함수를 적분하는 방법에 기반을 둔다. 리슈는 이 알고리즘을 판정 절차라고 불렀는데, 그 이유는 함수가 초등함수를 부정적분으로 갖는지 여부를 결정하고, 갖는다면 그 부정적분을 결정하는 방법이기 때문이다. 그러나 이 알고리즘이 주어진 함수의 원시 함수가 실제로 초등함수로 표현될 수 있는지 여부를 식별하는 데 항상 성공하는 것은 아니다.
리슈 알고리즘의 완전한 설명은 100페이지가 넘는다. 리슈-노먼 알고리즘은 1976년 아서 노먼이 개발한 더 간단하고 빠르지만 덜 강력한 변형이다.
브라이언 L. 밀러는 혼합된 초월-대수 적분의 로그 부분을 계산하는 데 상당한 진전을 이루었다.
리슈 알고리즘 설명
리슈 알고리즘은 초등함수를 적분하는 데 사용된다. 초등함수는 지수 함수, 로그 함수, 거듭제곱근, 삼각 함수 및 4가지 산술 연산(+ − × ÷)을 합성하여 얻는 함수이다. 라플라스는 유리 함수의 경우에 이 문제를 해결했으며, 유리 함수의 부정적분은 유리 함수와 유리 함수의 로그에 상수를 곱한 유한 개의 항들의 합으로 이루어진다는 것을 보였다. 라플라스가 제안한 이 알고리즘은 일반적으로 미적분학 교과서에 기술되어 있으며, 컴퓨터 프로그램으로서는 1960년대에 최종적으로 구현되었다.
리우빌은 리슈 알고리즘으로 해결되는 문제를 정식화했다. 리우빌은 해석적 방법을 통해 방정식 g′ = f에 대한 초등적 해 g가 존재한다면, f에 의해 생성된 필드에 상수 αi와 함수 ui 및 v가 존재하여 해가 다음과 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다.
리슈 알고리즘 설명
리슈는 리우빌 형태의 유한한 함수 집합만을 고려할 수 있는 방법을 개발했다.
리슈 알고리즘에 대한 직관은 미분 하에서의 지수 함수와 로그 함수의 동작에서 비롯된다. 미분 가능 함수인 f와 g에 대해 함수 f eg의 경우 다음이 성립한다.
따라서 eg가 부정적분의 결과에 있다면 적분 내부에 있을 것으로 예상된다. 또한 다음과 같이
적분 결과에 (ln g)n이 있다면 로그의 몇 가지 거듭제곱만 예상해야 한다.
리슈 알고리즘 문제 예시
초등 원시 함수를 찾는 것은 세부 사항에 매우 민감하다. 예를 들어, 다음 대수 함수(1993년 앙리 코앙이 sci.math.symbolic에 게시한)는 버전 13 이후의 매스매티카가 보여주듯이 초등 원시 함수를 갖는다(그러나 매스매티카는 이 적분을 계산하기 위해 리슈 알고리즘을 사용하지는 않는다):
즉:
그러나 상수항 71이 72로 변경되면 원시 함수를 초등 함수로 표현할 수 없으며, FriCAS도 마찬가지다. 일부 컴퓨터 대수학 시스템은 여기서 비초등 함수(예: 타원 적분)로 표현되는 원시 함수를 반환할 수 있는데, 이는 리슈 알고리즘의 범위를 벗어난다. 예를 들어, 매스매티카는 EllipticPi 및 EllipticF 함수를 포함하는 결과를 반환한다.  형태의 적분은 체비쇼프에 의해 해결되었으나 (그리고 어떤 경우에 초등적인지), 이에 대한 엄밀한 증명은 최종적으로 졸로타레프에 의해 이루어졌다.
리슈 알고리즘 문제 예시
다음은 대수 함수와 초월함수를 모두 포함하는 더 복잡한 예시이다.
사실 이 함수의 원시 함수는 치환 를 사용하여 찾을 수 있는 비교적 짧은 형태를 갖는다(SymPy는 이를 풀 수 있지만 FriCAS는 리슈 알고리즘에서 "구현 불완전(상수 잔차)" 오류와 함께 실패한다):
일부 데이븐포트 "정리"는 여전히 명확하게 밝혀지고 있다. 예를 들어 2020년에 그러한 "정리"에 대한 반례가 발견되었으며, 결국 초등 원시 함수가 존재하는 것으로 밝혀졌다.
리슈 알고리즘 구현
리슈의 이론적 알고리즘을 컴퓨터로 효과적으로 실행할 수 있는 알고리즘으로 변환하는 것은 복잡한 작업이었고 오랜 시간이 걸렸다.
순수 초월 함수(다항식의 근을 포함하지 않는)의 경우는 비교적 쉽고 대부분의 컴퓨터 대수학 시스템에 일찍 구현되었다. 첫 번째 구현은 리슈의 논문이 발표된 직후 조엘 모제스에 의해 Macsyma에서 이루어졌다.
순수 대수 함수의 경우는 제임스 H. 데이븐포트에 의해 Reduce에서 부분적으로 해결되고 구현되었다. 단순화를 위해 이 구현은 제곱근과 반복 제곱근만 처리할 수 있었고 일반적인 거듭제곱근이나 변수 간의 다른 비-이차 대수적 관계는 처리할 수 없었다.
일반적인 경우는 Manuel Bronstein에 의해 Axiom의 전신인 Scratchpad에서 해결되고 거의 완전히 구현되었으며, 현재 github에서 활발한 리슈 및 기타 알고리즘 개발이 진행 중인 Axiom의 포크인 FriCAS가 있다. 그러나 이 구현에는 특수 사례에 대한 일부 분기가 완전히 포함되지 않았다. 2025년 현재, 리슈 알고리즘의 완전한 구현은 알려져 있지 않다.
리슈 알고리즘 판정 가능성
일반적인 초등 함수에 적용되는 리슈 알고리즘은 알고리즘이 아니라 준알고리즘이다. 이는 특정 표현식이 0과 동등한지(상수 문제)를 확인해야 하기 때문이며, 특히 상수 필드에서 그렇다. 일반적으로 초등함수로 간주되는 함수만 포함하는 표현식의 경우, 그러한 검사를 수행하는 알고리즘이 존재하는지는 알려져 있지 않다(현재 컴퓨터 대수학 시스템은 휴리스틱을 사용한다). 더욱이, 초등 함수의 목록에 절댓값 함수를 추가하면 그러한 알고리즘이 존재하지 않는다는 것이 알려져 있다. 리처드슨 정리를 참조하라.
이 문제는 다항식 나눗셈 알고리즘에서도 발생한다. 이 알고리즘은 계수가 항등적으로 소멸하는지 정확히 판단할 수 없으면 실패한다. 거의 모든 비자명한 다항식 관련 알고리즘은 다항식 나눗셈 알고리즘을 사용하며, 리슈 알고리즘도 마찬가지이다. 상수 필드가 계산 가능, 즉 x에 의존하지 않는 요소에 대해 영-동등성 문제가 판정 가능하면 리슈 알고리즘은 완전한 알고리즘이다. 계산 가능한 상수 필드의 예로는 ℚ 및 ℚ(y)가 있으며, 각각 유리수와 유리수 계수를 갖는 y의 유리 함수이며, 여기서 y는 x에 의존하지 않는 미지수이다.
리슈 알고리즘 판정 가능성
이것은 가우스 소거법 행렬 알고리즘(또는 행렬의 영공간을 계산할 수 있는 모든 알고리즘)에서도 문제인데, 이 역시 리슈 알고리즘의 많은 부분에 필요하다. 가우스 소거법은 피벗이 항등적으로 0인지 정확히 판단할 수 없으면 잘못된 결과를 산출한다.
미적분학 준비
수학 교육에서 미적분학 준비(precalculus)는 학생들이 미적분학 학습을 준비하도록 고안된 수준에서 대수학과 삼각법을 포함하는 과정 또는 일련의 과정으로, 미적분학 준비라는 이름이 붙었다. 학교에서는 종종 대수학과 삼각법을 교과 과정의 두 가지 별개의 부분으로 구분한다.
미적분학 준비 개념
학생들이 미분과 역도함수를 미적분학으로 성공적으로 찾으려면, 대수식, 특히 그러한 식의 수정 및 변형에 능숙해야 한다. 레온하르트 오일러는 1748년에 "미분 및 적분 미적분학 연구에 앞서 해석학 및 해석 기하학의 개념과 방법을 조사하기 위한 것"으로 Introductio in analysin infinitorum (라틴어: 무한 해석학 입문)이라는 첫 미적분학 준비 책을 썼다. 그는 변수와 함수의 기본 개념으로 시작했다. 그의 혁신은 거듭제곱을 사용하여 초월함수를 도입한 것으로 유명하다. 임의의 양의 밑을 갖는 일반적인 로그는 지수 함수의 역함수로 제시된다.
그 다음으로 자연로그는 "쌍곡 로그가 1이 되는 수"를 밑으로 취함으로써 얻어지며, 때때로 오일러 상수라고 불리고 로 표기된다. 그레고아르 드 생뱅상의 미적분학에서 중요한 수를 전유하는 것은 자연로그를 확립하기에 충분하다. 미적분학 준비의 이 부분은 학생이 인 경우에 단항식 를 적분할 준비를 시킨다.
미적분학 준비 개념
오늘날의 미적분학 준비 교재는 를 극한 으로 계산한다. 금융 수학의 복리 (금융)에 대한 설명은 이 극한을 유도할 수 있다. 현대 교재의 또 다른 차이점은 판별식이 음수인 이차 방정식의 근으로 나타나거나 삼각법의 응용으로 오일러 공식에 나타나는 경우를 제외하고는 복소수를 피한다는 것이다. 오일러는 미적분학 준비에 복소수뿐만 아니라 무한급수도 사용했다. 오늘날의 과정은 등차 및 등비 수열과 급수를 다룰 수 있지만, 오일러가 미적분학 준비를 능숙하게 하기 위해 사용했던 생뱅상의 쌍곡 로그를 얻기 위한 응용은 다루지 않는다.
미적분학 준비 변동 내용
미적분학 준비는 예비 대수학이 학생들을 대수학에 대비시키는 방식과는 다소 다르게 학생들을 미적분학에 대비시킨다. 예비 대수학은 종종 기본 대수 개념에 대한 광범위한 내용을 다루지만, 미적분학 준비 과정은 미적분학 개념을 거의 다루지 않거나 전혀 다루지 않으며, 일반적으로 이전 대수 과정에서 다루지 않았을 수도 있는 대수 주제를 다룬다. 일부 미적분학 준비 과정은 내용 면에서 서로 다를 수 있다. 예를 들어, 심화 과정은 원뿔 곡선, 유클리드 벡터 및 의학이나 공학 분야에서 사용되는 미적분학에 필요한 다른 주제에 더 많은 시간을 할애할 수 있다. 대학 진학 준비/정규 과정은 행렬 또는 멱함수와 같이 비즈니스 관련 직업에서 사용되는 주제에 집중할 수 있다.
미적분학 준비 변동 내용
표준 과정은 함수, 함수의 합성, 역함수를 종종 집합 및 실수와 관련하여 다룬다. 특히, 다항식과 유리 함수가 개발된다. 삼각 함수와 삼각 항등식으로 대수학 기술을 훈련한다. 이항 정리, 극좌표, 매개변수 방정식, 수열과 급수의 극한은 미적분학 준비의 다른 일반적인 주제이다. 때로는 자연수에 의존하는 명제에 대한 증명 방법인 수학적 귀납법이 시연될 수 있지만, 일반적으로 교과 과정은 이론보다는 연습 문제를 포함한다.
초함수
수학에서 초함수(generalized function)는 실수 또는 복소수 함수의 개념을 확장한 대상이다. 인식된 이론은 여러 가지가 있는데, 예를 들어 분포 이론이 있다. 초함수는 불연속 함수를 매끄러운 함수와 더 유사하게 다루고, 점전하와 같은 이산적인 물리 현상을 설명하는 데 특히 유용하다. 특히 물리학과 공학 분야에서 광범위하게 적용된다. 중요한 동기는 편미분 방정식 이론과 군의 표현의 기술적 요구사항이었다.
일부 접근 방식의 공통적인 특징은 일상적인 수치 함수들의 연산자 측면을 기반으로 한다는 것이다. 초기 역사는 연산 미적분에 대한 일부 아이디어와 관련이 있으며, 일부 현대적 발전은 사토 미키오의 대수적 해석학과 밀접하게 관련되어 있다.
초함수 일부 초기 역사
19세기 수학에서 초함수 이론의 측면이 나타났는데, 예를 들어 그린 함수의 정의, 라플라스 변환, 그리고 리만의 적분 가능 함수의 푸리에 급수가 반드시 아니었던 삼각급수 이론에서 찾아볼 수 있다. 이는 당시 해석학 (수학)의 단절된 측면들이었다.
공학에서 라플라스 변환의 집중적인 사용은 연산 미적분이라고 불리는 휴리스틱 이론적 기호 방법의 사용으로 이어졌다. 발산 급수를 사용한 정당화가 주어졌기 때문에 이 방법은 순수수학의 관점에서 의심스러웠다. 이들은 나중에 초함수 방법이 적용되는 전형적인 예시이다. 연산 미적분학에 대한 영향력 있는 책은 올리버 헤비사이드의 1899년 저서 『전자기 이론』이었다.
르베그 적분이 도입되었을 때, 수학의 핵심에 있는 초함수에 대한 개념이 처음으로 생겨났다. 르베그 이론에서 적분 가능 함수는 거의 어디서나 동일한 다른 어떤 함수와도 동등하다. 이는 각 지점에서의 함수 값이 (어떤 의미에서) 가장 중요한 특징이 아니라는 것을 의미한다. 함수해석학에서 적분 가능 함수의 본질적인 특징, 즉 다른 함수에 대한 선형 범함수를 정의하는 방식에 대한 명확한 공식화가 제공된다. 이를 통해 약도함수를 정의할 수 있다.
초함수 일부 초기 역사
1920년대 후반과 1930년대에 추가적인 기본 단계가 진행되었다. 폴 디랙은 디랙 델타 함수를 과감하게 정의했다(그의 과학적 형식주의의 한 측면). 이것은 밀도(예: 전하 밀도)로 간주되는 측도를 실제 함수처럼 다루기 위한 것이었다. 편미분 방정식 이론을 연구하던 세르게이 소볼레프는 편미분 방정식의 약해 (수학)를 정의하기 위해(즉, 초함수이지만 일반 함수는 아닐 수 있는 해) 초함수의 첫 번째 엄밀한 이론을 정의했다. 당시 관련 이론을 제안했던 다른 학자들은 잘로몬 보흐너와 쿠르트 프리드리히스였다. 소볼레프의 작업은 로랑 슈바르츠에 의해 확장되었다.
초함수 슈바르츠 분포
가장 결정적인 발전은 로랑 슈바르츠가 개발한 분포 이론으로, 위상 벡터 공간에 대한 쌍대 공간의 원리를 체계적으로 구현했다. 응용수학 분야에서 이 이론의 주요 경쟁자는 부드러운 근사치 시퀀스를 사용하는 완화자 이론이다(제임스 라이트힐 설명).
이 이론은 매우 성공적이었고 여전히 널리 사용되고 있지만, 분포를 일반적으로 곱할 수 없다는 주요 단점이 있다. 즉, 대부분의 고전적인 함수 공간과 달리 대수를 형성하지 않는다. 예를 들어, 디랙 델타 함수를 제곱하는 것은 무의미하다. 슈바르츠가 1954년경에 수행한 작업은 이것이 본질적인 어려움임을 보여주었다.
초함수 초함수 대수
곱셈 문제에 대한 몇 가지 해결책이 제안되었다. 하나는 Yu. V. Egorov의 간단한 정의에 기반한다 (아래 책 목록에 있는 Demidov의 책에 있는 그의 기사도 참조). 이것은 초함수 간에 임의의 연산을 허용한다.
곱셈을 허용하는 또 다른 해결책은 양자역학의 경로 적분 공식화에서 제안된다.
이것은 좌표 변환에 불변하는 슈뢰딩거 양자역학 이론과 동등해야 하므로, 이 속성은 경로 적분에도 공유되어야 한다. 이것은 하겐 클라이너트와 A. Chervyakov가 보여준 바와 같이 모든 초함수의 곱을 고정한다. 그 결과는 차원 조절에서 파생될 수 있는 것과 동일하다.
초함수 대수를 구성하기 위한 여러 가지 방법이 제안되었는데, 그 중에는 Yu. M. Shirokov의 것과 E. Rosinger, Y. Egorov, R. Robinson의 것이 있다.
첫 번째 경우, 곱셈은 초함수의 일부 정규화에 의해 결정된다. 두 번째 경우, 대수는 분포의 곱셈으로 구성된다. 두 경우 모두 아래에서 논의한다.
초함수 초함수 대수
초함수의 대수는 함수 를 그 매끄러운 부분 과 특이 부분 으로 적절하게 투영하는 절차로 구성될 수 있다. 초함수 와 의 곱은 다음과 같이 나타난다.
이러한 규칙은 주함수의 공간과 주함수 공간에 작용하는 연산자의 공간 모두에 적용된다.
곱셈의 결합성이 달성되며, 부호 함수(signum function)는 제곱이 모든 곳에서(좌표 원점을 포함하여) 1이 되도록 정의된다. 특이 부분의 곱은 (1)의 우변에 나타나지 않음에 유의하라. 특히, 이다. 이러한 형식주의는 (곱셈이 없는) 기존 초함수 이론을 특수한 경우로 포함한다. 그러나 결과 대수는 비가환적이다. 즉, 부호 함수와 델타 함수는 반교환한다. 이 대수의 몇 가지 응용이 제안되었다.
슈바르츠 분포 이론의 한계인 분포의 곱셈 문제는 비선형 문제에서 심각해진다.
초함수 초함수 대수
오늘날 다양한 접근 방식이 사용된다. 가장 간단한 것은 Yu. V. Egorov가 제시한 초함수 정의를 기반으로 한다. 결합 미분 대수를 구성하는 또 다른 접근 방식은 J.-F. Colombeau의 구성에 기반한다. 콜롬보 대수를 참조하라. 이들은 "보통" 모듈로 "무시할 만한" 함수 망의 몫공간이며, 여기서 "보통성"과 "무시할 만함"은 가족의 인덱스에 대한 성장을 의미한다.
N에 대한 다항식 스케일을 사용하여 간단한 예를 얻을 수 있다.
. 그러면 모든 반노름 대수 (E,P)에 대해 몫 공간은 다음과 같다.
특히, (E, P)=(C,|.|)의 경우 (콜롬보의) 초복소수를 얻는다(이는 "무한히 크고" "무한히 작을" 수 있으며 여전히 엄밀한 산술을 허용하며, 비표준 수와 매우 유사하다). (E, P) = (C∞(R),{pk})의 경우 (여기서 pk는 반경 k인 공에서 k차 이하의 모든 도함수의 상한이다) 콜롬보의 단순화된 대수를 얻는다.
이 대수는 주입을 통해 D'의 모든 분포 T를 "포함"한다.
초함수 초함수 대수
j(T) = (φn ∗ T)n + N,
여기서 ∗는 합성곱 연산이며,
φn(x) = n φ(nx).
이 주입은 완화자 φ의 선택에 따라 달라진다는 점에서 비정준적이다. 완화자는 C∞이고, 적분 값이 1이며, 0에서의 모든 도함수가 0이어야 한다. 정준적 주입을 얻기 위해서는 인덱스 집합을 N × D(R)로 수정할 수 있으며, D(R)에는 편리한 필터 기저가 사용된다(q차까지의 모멘트가 사라지는 함수).
만약 (E,P)가 어떤 위상 공간 X 상의 반노름 대수의 (준)층이라면, Gs(E, P)도 이 속성을 가질 것이다. 이는 제한의 개념이 정의될 수 있음을 의미하며, 이를 통해 하위층에 대한 초함수의 지지집합을 정의할 수 있다. 특히:
컴팩트 지지 초함수에 대해 푸리에 변환이 (잘) 정의되므로(구성 요소별로), 분포와 동일한 구성을 적용하여 초함수에 대한 라르스 회르만데르의 파면 집합도 정의할 수 있다.
이것은 수학적 특이점의 전파 분석에 특히 중요하게 적용된다.
초함수 다른 이론
여기에는 정역인 합성곱 대수의 분수체에 기반한 얀 미쿠신스키의 합성곱 몫 이론과 (초기 개념에서) 해석 함수의 경계 값에 기반하고 현재 층 이론을 사용하는 사토 초함수 이론이 포함된다.
초함수 초단면
이론이 확장된 또 다른 방법은 매끄러운 벡터 다발의 초단면으로서이다. 이는 테스트 대상(컴팩트 지지체를 가진 다발의 매끄러운 단면)의 쌍대 대상을 구성하는 슈바르츠 패턴에 따른 것이다. 가장 잘 개발된 이론은 미분 형식의 쌍대인 드람 전류 이론이다. 이들은 미분 형식이 드람 코호몰로지를 생성하는 방식에서 본질적으로 호몰로지적이다. 이들은 매우 일반적인 스토크스의 정리를 공식화하는 데 사용될 수 있다.
초함수 책
Grosser, M.; Kunzinger, M.; Oberguggenberger, Michael; Steinbauer, R. (2013). 《Geometric theory of generalized functions with applications to general relativity》. Springer. ISBN 978-94-015-9845-3.  지원되지 않는 변수 무시됨: |orig-date= (도움말)
Kleinert, H. (2009). 《Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets》 5판. World Scientific. ISBN 9789814273572.  (온라인 여기 보관됨 2008-06-15 - 웨이백 머신). 초함수의 곱셈에 대해서는 11장을 참조하라.
모스크바 수학 파피루스
모스크바 수학 파피루스(Moscow Mathematical Papyrus)는 첫 비이집트인 소유주인 이집트학자 블라디미르 골레니셰프의 이름을 따서 골레니셰프 수학 파피루스라고도 불리며, 산술, 기하학, 대수학의 여러 문제를 담고 있는 고대 이집트 수학 파피루스이다. 골레니셰프는 1892년 또는 1893년에 테베에서 이 파피루스를 구입했다. 이후 모스크바의 푸시킨 국립 미술관 소장품이 되었으며 오늘날까지 그곳에 보관되어 있다.
신관문자 텍스트의 고문자학 및 정자법에 따르면, 이 텍스트는 이집트 제13왕조에 작성되었을 가능성이 가장 높으며, 아마도 기원전 약 1850년 이집트 제12왕조로 거슬러 올라가는 오래된 자료를 기반으로 했을 것이다. 길이가 약 5.5m(18피트)이고 너비가 3.8 and 7.6 cm (1.5 and 3 in) 사이로 다양한 이 문서는 1930년 소련의 동양학자 바실리 바실리예비치 스트루베에 의해 25개의 문제와 해답으로 나뉘었다.
이는 린드 수학 파피루스와 함께 자주 언급되는 잘 알려진 수학 파피루스이다. 모스크바 수학 파피루스는 린드 수학 파피루스보다 오래되었지만, 후자가 둘 중 더 크다.
모스크바 수학 파피루스 모스크바 파피루스에 포함된 연습 문제
모스크바 파피루스의 문제들은 특별한 순서 없이 배열되어 있으며, 문제의 해설은 린드 수학 파피루스보다 훨씬 간략하다. 이 파피루스는 몇몇 기하학 문제로 잘 알려져 있다. 문제 10과 14는 각각 절두체의 표면적과 부피를 계산한다. 나머지 문제들은 더 일반적인 성격이다.
문제 2와 3은 선박 부품 문제이다. 한 문제는 선박 키의 길이를 계산하고, 다른 문제는 원래 30 큐빗 길이의 삼나무 통나무의 1/3 + 1/5 길이로 주어진 선박 돛대의 길이를 계산한다.
아하 문제는 미지의 양(아하, "더미"라고 불림)과 그 일부의 합이 주어졌을 때 미지의 양을 찾는 것을 포함한다. 린드 수학 파피루스에도 이러한 유형의 문제가 4개 포함되어 있다. 모스크바 파피루스의 문제 1, 19, 25는 아하 문제이다. 예를 들어, 문제 19는 어떤 양을 1과 1/2배 하여 4를 더하면 10이 될 때 그 양을 계산하도록 요구한다. 즉, 현대 수학 표기법으로는 을 풀도록 요구하는 것이다.
모스크바 수학 파피루스 모스크바 파피루스에 포함된 연습 문제
문제의 대부분은 페프수 문제이다(참고: 이집트 대수학): 25개의 문제 중 10개. 페프수는 헤카트 곡물로 만든 맥주의 강도를 측정한다.
페프수 숫자가 높을수록 빵이나 맥주가 약하다는 것을 의미한다. 페프수 숫자는 많은 봉헌 목록에 언급되어 있다. 예를 들어, 문제 8은 다음과 같이 번역된다.
(1) 페프수 20의 빵 100덩이를 계산하는 예
(2) 만약 누군가가 당신에게 말하길: "당신은 페프수 20의 빵 100덩이를 가지고 있습니다
(3) 페프수 4의 맥주로 교환할 것입니다
(4) 1/2 1/4 보리-대추 맥주와 같이"
(5) 먼저 페프수 20의 빵 100덩이에 필요한 곡물을 계산하십시오
(6) 결과는 5 헤카트입니다. 그런 다음 1/2 1/4 보리-대추 맥주라고 불리는 맥주와 같은 데스-단지 맥주에 필요한 것을 계산하십시오
(7) 결과는 상이집트 곡물로 만든 데스-단지 맥주에 필요한 헤카트 측정량의 1/2입니다.
모스크바 수학 파피루스 모스크바 파피루스에 포함된 연습 문제
(8) 5 헤카트의 1/2을 계산하십시오, 결과는 2 1/2이 될 것입니다
(9) 이 2 1/2을 네 번 취하십시오
(10) 결과는 10입니다. 그런 다음 당신은 그에게 말합니다:
(11) "보십시오! 맥주 양이 정확하다는 것이 확인되었습니다."
문제 11과 23은 바쿠 문제이다. 이 문제들은 노동자의 생산량을 계산한다. 문제 11은 누군가가 5x5 크기의 통나무 100개를 가져왔다면, 이는 4x4 크기의 통나무 몇 개에 해당하는지를 묻는다. 문제 23은 신발 제작자가 샌들을 자르고 장식해야 할 때 그의 생산량을 찾는다.
25개 문제 중 7개는 기하학 문제로, 삼각형의 넓이를 계산하는 것부터 반구의 표면적(문제 10)과 절두체(절두피라미드)의 부피를 찾는 것까지 다양하다.