hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
앨런 맥켄지 경력
군대를 떠난 매켄지는 애크런의 음악계에 참여하여 커버 밴드들과 함께 연주했다. 매켄지는 우연히 자신과 같은 고무 정유 공장에서 일하던 데이브 잭슨을 만났다. 그들은 1985년 후반에 폭스(Foxx)라는 지역 하드 록 밴드를 결성했다. 폭스는 두 장의 앨범 - Foxx (1989)와 Stick It Out (1991) -을 발매하고 투어를 했다. 폭스는 1992년에 해체되었지만, 2012년 12월에 재결합하여 가끔 공연을 하고 있다.
1993년, 매켄지는 클리블랜드, 오하이오에 기반을 둔 프로그레시브 록 밴드 퀘스트(Quest)에 합류했다. 퀘스트에 합류하면서 그는 가수, 키보드 연주자, 작곡가로서의 관심사를 탐구할 수 있었다. 1994년 말, 퀘스트는 Opposite sides of the picket fence라는 CD를 발매했다. 1994년 여름, 퀘스트는 카이어호가폴스의 블러섬 뮤직 센터에서 예스 콘서트의 오프닝 공연을 했다. 퀘스트의 프로그 록 CD는 실패했고 1995년 그룹은 해체되었다.
앨런 맥켄지 경력
매켄지는 하드 록 밴드 피스트리(Peacetree)에 베이스 기타리스트로 합류했다. 이 밴드는 일라이자 블랙이 프론트를 맡았다. 피스트리는 Insense (1996), Wonderful Day (1998), Nice to meet you (2000) 세 장의 CD를 발매했다. Nice to meet you는 피스트리에게 2000년 클리블랜드 프리 타임스 음악 시상식에서 "최고의 하드 록 밴드" 후보 지명을 안겨주었다. 피스트리는 머틀리 크루, 스틱스, 신데렐라, 닐 영과 같은 전국 투어를 하는 밴드의 오프닝 공연을 했다. 피스트리는 또한 더 제니 존스 쇼에도 출연했다.
피스트리는 2002년에 해체되었다. 매켄지는 지역 클래식 록 밴드 JAK 밴드에서 연주했다. 그는 또한 일라이자 블랙이 이끄는 새로운 밴드와 리허설을 했다. 그 후, 밴드 워런트의 원년 보컬인 재니 레인이 자신의 CD Back Down to One을 홍보하기 위한 솔로 투어에 매켄지를 초대했다. 매켄지는 2002년 10월부터 2003년 3월까지 레인과 함께 작업했다.
앨런 맥켄지 경력
2004년, 매켄지는 레인의 기타리스트 빌리 모리스와 파이어하우스의 현재 사운드 엔지니어 토니 아비타의 추천으로 파이어하우스에 합류했다. 파이어하우스는 미국, 캐나다, 멕시코, 푸에르토리코, 일본, 인도, 브라질, 스페인, 이탈리아, 그리스, 영국을 투어했다. 앨런은 밴드의 나머지 멤버들과 함께 CD Monster Ballads Christmas (2007년 발매된 "Rockin' Around The Christmas Tree"), Hell Bent Forever-A Tribute To Judas Priest (2008년 발매된 "You've Got Another Thing Coming"), DVD Metal Mania Stripped Across America (2005년 발매된 "Don't Treat Me Bad"), 그리고 2011년에 재녹음된 "베스트 오브" 앨범인 밴드의 최신 정규 CD Full Circle에 기여했다.
타원체 방법
수학적 최적화에서 타원체 방법(영어: Ellipsoid method)은 볼록 집합 위에서 볼록 함수를 최소화하는 반복법이다. 타원체 방법은 매 단계마다 부피가 균일하게 감소하는 일련의 타원면들을 생성하여 볼록 함수의 최소값을 포함한다.
유리수 데이터를 가진 실행 가능한 선형 계획법 문제에 특화될 때, 타원체 방법은 입력 크기에 대해 다항식 단계 내에서 최적 해를 찾는 알고리즘이다.
타원체 방법 역사
타원체 방법은 오랜 역사를 가지고 있다. 반복법으로서 초기 버전은 나움 Z. 쇼어에 의해 소개되었다. 1972년, 실제 볼록 최소화를 위한 근사 알고리즘이 아르카디 네미로프스키와 데이비드 B. 유딘(유딘)에 의해 연구되었다.
유리수 데이터를 가진 선형 계획법 문제를 푸는 알고리즘으로서 타원체 알고리즘은 레오니트 하치얀에 의해 연구되었다. 하치얀의 업적은 선형 프로그램의 다항 시간 해법을 증명한 것이다. 이것은 이론적인 관점에서 중요한 진전이었다. 당시 선형 문제를 푸는 표준 알고리즘은 단체법 (알고리즘)으로, 일반적으로 문제 크기에 선형적으로 비례하는 실행 시간을 가지지만, 문제 크기에 대해 지수적으로 비례하는 예시도 존재했다. 따라서 모든 경우에 대해 다항식으로 보장되는 알고리즘을 갖는 것은 이론적인 돌파구였다.
타원체 방법 역사
하치얀의 연구는 선형 프로그램을 푸는 알고리즘의 실행 시간이 다항식임을 처음으로 증명할 수 있음을 보여주었다. 그러나 실제로는 이 알고리즘은 상당히 느리고 실용적인 관심은 거의 없었지만, 훨씬 더 실용적인 용도로 판명된 후속 작업에 영감을 주었다. 특히, 내부점법인 카르마카르의 알고리즘은 실제적으로 타원체 방법보다 훨씬 빠르다. 카르마카르의 알고리즘은 최악의 경우에도 더 빠르다.
타원체 알고리즘은 계산 복잡도 이론가들이 문제의 차원과 데이터의 크기에 따라 달라지지만 행 수에는 의존하지 않는 (최악의 경우) 경계를 달성할 수 있도록 했기 때문에 수년 동안 조합 최적화 이론에서 중요하게 유지되었다. 21세기에 들어서야 유사한 복잡도 특성을 가진 내부점 알고리즘이 등장했다.
타원체 방법 설명
볼록 최소화 문제는 다음 요소들로 구성된다.
또한, 최소화자 를 포함하는 초기 타원면 이 다음과 같이 정의된다.
여기서 이고 는 의 중심이다.
마지막으로, 볼록 집합 에 대한 분리 오라클의 존재가 필요하다. 점 이 주어졌을 때, 오라클은 다음 두 가지 답변 중 하나를 반환해야 한다.
타원체 방법의 결과는 다음 중 하나이다:
어디에서나 0인 함수의 부등식 제약 최소화는 단순히 실행 가능한 점을 식별하는 문제에 해당한다. 선형 계획법 문제는 선형 실행 가능성 문제(즉, 일부 선형 부등식 및 등식 제약 조건 하에서 0 함수를 최소화)로 환원될 수 있음이 밝혀졌다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 원시 및 이중 선형 프로그램을 하나의 프로그램으로 결합하고, 원시 해의 값이 이중 해의 값보다 나쁘지 않다는 추가 (선형) 제약 조건을 추가하는 것이다.:84 다른 방법은 선형 프로그램의 목표를 추가 제약 조건으로 처리하고 이진 탐색을 사용하여 최적 값을 찾는 것이다.:7–8
타원체 방법 제약 없는 최소화
알고리즘의 k번째 반복에서, 우리는 타원체의 중심에 있는 점 를 가지고 있다.
우리는 절단 평면 오라클에 질의하여 다음을 만족하는 벡터 을 얻는다.
그러므로 우리는 다음을 결론짓는다.
우리는 을 위에서 설명한 반타원체를 포함하는 최소 부피의 타원체로 설정하고 를 계산한다. 업데이트는 다음과 같이 주어진다.
여기서
정지 기준은 다음 속성에 의해 주어진다.
타원체 방법 부등식 제약 최소화
제약 최소화를 위한 알고리즘의 k번째 반복에서, 우리는 이전과 같이 타원체 의 중심에 있는 점 를 가지고 있다. 우리는 또한 현재까지의 실행 가능한 반복의 가장 작은 목적 함수 값을 기록하는  값 목록을 유지해야 한다. 점 가 실행 가능한지에 따라 다음 두 작업 중 하나를 수행한다:
타원체 방법 볼록 프로그램에서의 성능
실수 RAM 모델에서 타원체 방법의 실행 시간 복잡도 보장은 다음 정리에 의해 주어진다.:{{{1}}}
형태의 볼록 최적화 문제군을 고려해보자: f(x)를 최소화하되, x는 G 안에 있어야 한다, 여기서 f는 볼록 함수이고 G는 볼록 집합(유클리드 공간 Rn의 부분 집합)이다. 이 문제군 내의 각 문제 p는 데이터 벡터 Data(p)로 표현되는데, 예를 들어 함수 f와 실행 가능 영역 G를 나타내는 행렬 및 벡터의 실수 값 계수들이다. 문제 p의 크기, Size(p),는 Data(p)의 요소(실수) 수로 정의된다. 다음 가정이 필요하다:
이러한 가정 하에, 타원체 방법은 "R-다항식"이다. 이는 모든 문제 인스턴스 p와 모든 근사 비율 ε>0에 대해 다음을 만족하는 해 x를 찾는 방법이 존재한다는 것을 의미한다:
,
다음 산술 연산 수를 사용하여:
여기서 V(p)는 데이터에 의존하는 양이다. 직관적으로, 이는 각 추가 정확도 자리에 필요한 연산 수가 Size(p)에 대해 다항식이라는 것을 의미한다. 타원체 방법의 경우:
타원체 방법 볼록 프로그램에서의 성능
.
타원체 방법은 최대  단계를 필요로 하며, 각 단계는 Poly(Size(p)) 산술 연산을 필요로 한다.
타원체 방법은 평면 위치 문제와 같은 저차원 문제에서 사용되며, 여기서 수치적으로 안정적이다. 네미로프스키와 벤-탈:{{{1}}}은 변수 수가 최대 20-30개일 때 효율적이라고 말한다. 이는 제약 조건의 수가 수천 개라도 마찬가지인데, 반복 횟수가 제약 조건의 수에 의존하지 않기 때문이다. 그러나 변수가 많은 문제에서는 반복 횟수가 O(n2)로 증가하므로 타원체 방법은 매우 비효율적이다.
심지어 "작은" 크기의 문제에서도 수치적 불안정성과 실제적인 성능 저하를 겪는다.
타원체 방법은 조합 최적화에서 중요한 이론적 기법이다. 계산 복잡도 이론에서 타원체 알고리즘은 복잡성이 열의 수와 계수의 디지털 크기에 따라 달라지지만 행의 수에는 의존하지 않기 때문에 매력적이다.
타원체 방법을 사용하여 많은 볼록 집합에서의 알고리즘 문제가 다항 시간 동치임을 보일 수 있다.
타원체 방법 선형 프로그램에서의 성능
레오니트 하치얀은 타원체 방법을 선형 계획법의 특별한 경우에 적용했다: cTx를 최소화하되, Ax ≤ b를 만족해야 한다, 여기서 A,b,c의 모든 계수는 유리수이다. 그는 선형 프로그램이 다항 시간 안에 해결될 수 있음을 보여주었다. 다음은 하치얀 정리의 개요이다.:{{{1}}}
1단계: 최적화를 탐색으로 축소. 선형 계획법 쌍대성 정리는 위의 최소화 문제를 탐색 문제로 축소할 수 있음을 말한다: Ax ≤ b ; ATy = c ; y ≤ 0 ; cTx=bTy를 만족하는 x,y를 찾아라. 첫 번째 문제는 두 번째 문제가 해결 가능할 때만 해결 가능하다. 문제가 해결 가능할 경우, 두 번째 문제 해의 x-성분은 첫 번째 문제의 최적 해이다. 따라서 지금부터는 다음 문제를 해결해야 한다고 가정할 수 있다: Rz ≤ r을 만족하는 z ≥ 0을 찾아라. 모든 유리수 계수를 공통 분모로 곱하여 모든 계수가 정수라고 가정할 수 있다.
타원체 방법 선형 프로그램에서의 성능
2단계: 탐색을 실행 가능성 확인으로 축소. 문제 Rz ≤ r을 만족하는 z ≥ 0을 찾아라는 이진 결정 문제로 축소될 수 있다: "Rz ≤ r을 만족하는 z ≥ 0이 존재하는가?". 이는 다음과 같이 수행될 수 있다. 결정 문제에 대한 답이 "아니오"이면, 탐색 문제에 대한 답은 "없음"이고, 우리는 완료된다. 그렇지 않으면, 첫 번째 부등식 제약 조건 R1z ≤ r1를 취한다. 이를 등식 R1z = r1로 바꾸고, 결정 문제를 다시 적용한다. 답이 "예"이면 등식을 유지하고, 답이 "아니오"이면 부등식이 불필요하다는 의미이므로 제거할 수 있다. 그런 다음 다음 부등식 제약 조건으로 진행한다. 각 제약 조건에 대해 등식으로 변환하거나 제거한다. 마지막으로, 등식 제약 조건만 남게 되며, 이는 선형 방정식 시스템을 해결하는 어떤 방법으로도 해결할 수 있다.
타원체 방법 선형 프로그램에서의 성능
3단계: 결정 문제는 다른 최적화 문제로 축소될 수 있다. 잔여 함수 f(z) := max[(Rz)1-r1, (Rz)2-r2, (Rz)3-r3,...]를 정의한다. 분명히, f(z)≤0은 Rz ≤ r일 때만 성립한다. 따라서 결정 문제를 해결하려면 최소화 문제 minz f(z)를 해결하는 것으로 충분하다. 함수 f는 볼록하다 (선형 함수들의 최댓값이다). 최소값을 f*로 나타낸다. 그러면 결정 문제에 대한 답은 f*≤0일 때만 "예"이다.
4단계: 최적화 문제 minz f(z)에서, z는 문제 데이터의 비트 길이인 L에 대해 변의 길이가 2L인 상자 안에 있다고 가정할 수 있다. 따라서 우리는 유계 볼록 프로그램을 가지며, 이는 타원체 방법으로 L에 대한 다항식 시간에 임의의 정확도 ε까지 해결할 수 있다.
5단계: 만약 f*>0이면, f*>2-poly(L)이 어떤 다항식에 대해 성립함을 증명할 수 있다. 따라서 정확도 ε=2-poly(L)을 선택할 수 있다. 그러면 타원체 방법으로 찾은 ε-근사 해는 f*>0일 때만 양수이고, 이는 결정 문제가 해결 불가능할 때만 성립한다.
타원체 방법 변형
타원체 방법은 각 단계에서 어떤 절단면이 사용되는지에 따라 여러 변형이 있다.:{{{1}}}
중앙 절단 타원체 방법에서,(pp. 82, 87–94) 절단은 항상 현재 타원체의 중심을 통과한다. 입력은 유리수 ε>0, 약한 분리 오라클에 의해 주어진 볼록체 K, 그리고 S(0,R) (원점 주위 반지름 R의 구)이 K를 포함하는 숫자 R이다. 출력은 다음 중 하나이다:
단계 수는 이고, 필요한 정확도 자릿수는 p := 8N이며, 분리 오라클의 필요한 정확도는 d := 2−p이다.
깊은 절단 타원체 방법에서,(p. 83) 절단은 각 단계에서 타원체의 절반 이상을 제거한다. 이것은 K가 비어 있음을 더 빨리 발견하게 한다. 그러나 K가 비어 있지 않을 때는 중앙 절단 방법이 실행 가능한 점을 더 빨리 찾는 예시도 있다. 깊은 절단 사용은 실행 시간의 차수에는 영향을 미치지 않는다.
타원체 방법 변형
얕은 절단 타원체 방법에서,(pp. 83, 94–101) 절단은 각 단계에서 타원체의 절반 미만을 제거한다. 이 변형은 실제로는 그다지 유용하지 않지만, 이론적 중요성을 지닌다: 다른 변형으로는 도출할 수 없는 결과를 증명할 수 있게 한다. 입력은 유리수 ε>0, 얕은 분리 오라클에 의해 주어진 볼록체 K, 그리고 S(0,R)이 K를 포함하는 숫자 R이다. 출력은 양의 정부호 행렬 A와 점 a로, 다음 중 하나를 만족한다:
단계 수는 이고, 필요한 정확도 자릿수는 p := 8N이다.
또한 외접 타원체와 내접 타원체 방법 사이에도 구별이 있다.
이 방법들은 실행 시간 복잡도(아래에서 n은 변수의 수이고 엡실론은 정확도)에서 차이가 있다:
이 방법들의 상대적 효율성은 분리 초평면을 찾는 데 필요한 시간에 따라 달라지며, 이는 응용 분야에 따라 다르다: 실행 시간이 이고 이면 외접 방법이 더 효율적이지만, 이면 내접 방법이 더 효율적이다.
솔루션 .45
솔루션 .45는 기타리스트 야니 스테파노비치(Miseration, Divinefire, Essence of Sorrow)가 결성한 스웨덴의 멜로딕 데스 메탈 슈퍼그룹이었다. 최종 라인업은 보컬 크리스티안 엘베스탐(Miseration, ex-스카 스메트리), 기타리스트 스테파노비치와 패트릭 가드버그(Divinefire, Torchbearer, The Few Against Many, Ammotrack), 드러머 롤프 필베(Miseration, Essence of Sorrow, 스트라토바리우스), 베이시스트 헨릭 릴제산드(The Unguided, 사이퍼 시스템, Night Crowned, 나이트레이지, Dead by April)로 구성되었다.
솔루션 .45 역사
2007년 말 야니 스테파노비치는 솔루션 .45를 결성했으며, 크리스티안 엘베스탐(2008년 스카 스메트리를 탈퇴)이 마지막 멤버 중 한 명으로 합류했다. 야니는 크리스티안이 밴드에 있음에도 불구하고, 스카 스메트리 클론이 아니며 그의 합류 전부터 곡들이 준비되어 있었다고 강조한다. 2008년 가을, 토마스 "플렉" 요한손(Unmoored, Scar Symmetry)이 프로듀싱한 8트랙 데모가 제작되었으며, "Clandestinity Now"라는 데모 트랙이 인터넷을 통해 공개되었다.
Solution .45는 2009년 9월 Panic Room Studios에 들어가 첫 정규 앨범 For Aeons Past를 녹음했으며, 다크 트랭퀼리티 보컬 미카엘 스탄네가 앨범 대부분의 가사를 썼다. 이 앨범은 2009년 12월에 완성 및 마스터링되었고, 유럽에서는 AFM 레코드를 통해, 일본에서는 Marquee/Avalon을 통해 발매되었다. 유럽에서는 2010년 4월 9일, 북미에서는 5월 11일에 발매되었다.
솔루션 .45 역사
2010년 1월 23일, 밴드는 키보디스트 미코 하르킨과 결별한다고 발표했다. 미코는 여전히 앨범에 키보드 연주로 참여했지만, 영구 밴드 멤버라기보다는 게스트 뮤지션으로 간주된다. 또한, 2010년 5월 29일에는 야니 스테파노비치가 밴드를 원만하게 떠나며, 패트릭 가드버그(Torchbearer, The Few Against Many, Ammotrack 출신)가 그의 후임이 될 것이라고 발표되었다. 밴드는 여전히 미래 앨범을 포함한 향후 작업에 야니를 참여시키고 싶어한다.
2010년 8월 25일까지 Solution .45는 "Gravitational Lensing"의 뮤직비디오를 공개했다. "Lethean Tears"의 비디오는 2011년 7월 30일에 공개되었다.
2011년 8월 11일, 스테파노비치가 밴드로 돌아왔으며, 이제 밴드는 세 명의 기타리스트(스테파노비치, 가드너, 가드버그)를 포함하게 될 것이라고 발표되었다. 그 이후, 그룹의 베이시스트인 앤더스 에드룬드가 상호 합의 하에 그룹을 떠났다고 발표되었다.
솔루션 .45 역사
2014년 중반 현재, 그룹은 두 번째와 세 번째 스튜디오 앨범을 작업 중이다.
2014년 7월 9일, 밴드는 톰 가드너가 밴드를 떠났다고 발표했다.
2015년 8월 31일, 공식 페이스북 페이지에서 밴드는 새 앨범의 1부가 2015년 11월 20일에 바이닐, CD 및 대부분의 디지털 플랫폼을 통해 전 세계적으로 발매될 것이라고 발표했다. 앨범 제목은 나중에 Nightmares In The Waking State: Part I로 결정되었다. Part I 발매에 이어, Nightmares in the Waking State: Part II는 2016년 8월에 발매되었다.
2023년 1월, 새 앨범이 작업 중이며 2024년 초까지 완성될 것으로 예상된다고 발표되었다. 그러나 밴드는 동기 부족으로 2024년 5월 해체를 발표했다.
야니 스테파노비치
야니 스테파노비치 (1979년 5월 23일 출생)는 주로 스웨덴 데스 메탈을 연주하는 스웨덴의 다중 악기 연주자이다. 그는 13~14세경에 연주를 시작했다.
야니 스테파노비치 개인 생활
야니는 예테보리에서 핀란드인 어머니와 세르비아인 아버지 사이에서 태어났다. 그는 1993년에 어머니, 남동생, 여동생과 함께 핀란드 헬싱키로 이사했다. 야니는 2000년까지 핀란드에 살았다. 야니는 2000년에 스웨덴 예테보리로 돌아왔다. 2002년 Sins of omission에 합류한 후 스톡홀름으로 이사했다. 야니는 요리사 교육을 받았다. 야니 스테파노비치는 핀란드 출신의 동료 싱어송라이터인 카티아 스테파노비치와 결혼했다. 그들에게는 딸이 한 명 있다.
야니 스테파노비치 음반 목록
Renascent
Divinefire
Miseration
Crimson Moonlight
Mehida
The Few Against Many
Solution .45
제작
자산 가격 결정
금융경제학에서 자산 가격 결정(영어: Asset pricing)은 아래에 설명된 두 가지 상호 관련된 가격 원칙에 대한 공식적인 처리 및 개발과 그 결과로 나타나는 모형들을 의미한다. 다양한 상황에 맞춰 많은 모형들이 개발되었지만, 이들은 일반균형 자산 가격 결정 또는 합리적 자산 가격 결정 (후자는 위험 중립 가격 결정에 해당한다)에서 파생된다.
거의 동의어인 투자 이론(Investment theory)은 투자를 선택하는 의사결정 과정을 지원하는 데 사용되는 지식 체계를 포괄하며, 자산 가격 결정 모형은 해당 투자에 대한 자산별 요구수익률을 결정하고 헤지하는 데 적용된다.
자산 가격 결정 일반균형 자산 가격 결정
일반균형이론 하에서 가격은 수요와 공급에 의해 시장 가격 결정을 통해 결정된다.

여기서 자산 가격은 각 자산의 공급량과 수요량이 해당 가격에서 일치해야 하는 요구 사항을 공동으로 충족한다. 이를 시장 청산이라고 한다. 이러한 모형은 현대 포트폴리오 이론에서 파생되었으며, 자본자산 가격결정 모형(CAPM)이 전형적인 결과이다. 여기서 가격은 거시경제 변수(CAPM의 경우 "전체 시장", CCAPM의 경우 전체 부)를 참조하여 결정되며, 개별 선호도는 그 안에 포함된다.
이러한 모형은 주어진 미래 투자 시점에서 "모든" 증권의 시장 가격의 통계적으로 도출된 확률 분포를 모델링하는 것을 목표로 한다. 따라서 이들은 "고차원"적이다. 수리금융학의 § 위험 및 포트폴리오 관리: P 세계를 참조하라. 일반균형 가격 결정은 다양한 포트폴리오를 평가할 때 사용되며, 여러 자산에 대해 하나의 자산 가격을 생성한다.
자산 가격 결정 일반균형 자산 가격 결정
여기서 투자 또는 주식 가치를 계산하는 것은 다음을 수반한다.
(i) 해당 사업 또는 프로젝트에 대한 재무 예측;
(ii) 여기서 산출 현금 흐름은 선택된 모형이 반환하는 비율로 할인된다. 이 비율은 다시 이 현금 흐름의 "위험성", 즉 비체계적 위험 또는 분산 불가능한 위험을 반영한다;
(iii) 이 현재가치들은 집계되어 해당 가치를 반환한다.
참조: 재무 모델링 § 회계, 및 할인 현금 흐름을 이용한 가치 평가.
(대체적이지만 덜 일반적인 접근 방식은 회계 정보에 의존하여 회사의 예상 재무 성과를 기반으로 수익을 모델링하려는 T-모형과 같은 "근본적인 가치 평가" 방법을 적용하는 것이다.)
자산 가격 결정 합리적 가격 결정
합리적 가격 결정 하에서 파생상품 가격은 기초자산 (균형에 의해 결정된) 증권 가격에 대해 차익거래가 없도록 계산된다.
논리의 개요는 합리적 가격 결정 § 파생상품 가격 결정을 참조하라.
일반적으로 이 접근 방식은 자산을 그룹화하지 않고 각 자산에 대해 고유한 위험 가격을 생성한다. 따라서 이 모형은 "저차원"적이다.
더 자세한 논의는 수리금융학의 § 파생상품 가격 결정: Q 세계를 참조하라.
옵션 가격과 그 "그릭스", 즉 민감도를 계산하는 것은 다음을 결합한다.
(i) 기초자산 가격 행동 또는 "과정"의 모형 - 즉, 관찰된 가격에 보정된 매개변수를 가진 선택된 자산 가격 결정 모형;
및
(ii) 기초자산 가격 범위에 대한 옵션 페이오프의 기댓값으로 프리미엄(또는 민감도)을 반환하는 수학적 방법.
참조: 옵션 평가 § 가격 결정 모형.
자산 가격 결정 합리적 가격 결정
여기서 고전적인 모형은 블랙-숄즈로, 이는 파생상품을 포함하는 시장의 역학을 설명하며(옵션 가격 결정 공식), 더 일반적으로 마팅게일 가격 결정뿐만 아니라 위에서 나열된 모형들로 이어진다. 블랙-숄즈는 로그 정규 과정을 가정한다. 다른 모형들은 예를 들어, 평균회귀와 같은 특징을 통합하거나, 국소 변동성 또는 확률 변동성을 적용하여 "변동성 표면 인식"을 할 것이다.
합리적 가격 결정은 채권(단일 자산으로 구성됨)과 같은 고정 수입 증권에도 적용되며, 일반적으로 이자율 모델링에도 적용된다. 여기서 수익률 곡선은 개별 상품 가격에 대해 차익거래가 없어야 한다.
참조: 합리적 가격 결정 § 고정 수입 증권, 부트스트랩 (금융), 및 멀티 커브 프레임워크.
위에 나열된 모형이 이 상품의 옵션 및 기타 이자율 파생상품에 어떻게 적용되는지에 대한 논의는 단기 이자율 모형 및 히스-재로우-모튼 프레임워크를 참조하라.
자산 가격 결정 상호 관계
이러한 원칙들은 자산 가격 결정의 기본 정리를 통해 상호 관련되어 있다.

여기서 "차익거래가 없는 경우, 시장은 가능한 시장 시나리오 집합에 대해 위험 중립 또는 균형 측정이라고 불리는 확률 분포를 부과하며, ... 이 확률 측정은 할인된 기댓값을 통해 시장 가격을 결정한다."
이에 상응하여, 이는 본질적으로 관찰된 균형 가격과 일치하는 (즉, 해결된) 위험 중립 확률 분포를 사용하여 재정적 결정을 내릴 수 있음을 의미한다. 금융경제학 § 차익거래 없는 가격 결정과 균형을 참조하라.
자산 가격 결정 상호 관계
관련하여, 두 접근 방식 모두 애로-드브뢰 이론이라고 불리는 것과 일치한다.
여기서 모형은 "상태 가격"의 함수로 도출될 수 있다. 상태 가격은 특정 시간에 특정 상태가 발생하면 하나의 수량 단위를 지불하고 그렇지 않으면 0을 지불하는 계약이다. 취하는 접근 방식은 증권 가격이 상태 가격의 선형 조합으로 반환될 수 있으므로 (우발적 청구권 분석), 반대로 상태 가격이 주어지면 가격 결정 또는 수익률 모형을 역으로 도출할 수 있다는 것을 인식하는 것이다.


예를 들어, CAPM은 위험회피를 전체 시장 수익률과 연결하고 가격에 대해 재진술함으로써 도출될 수 있다. 블랙-숄즈는 수많은 가능한 현물 가격(즉, 상태) 각각에 이항 확률을 부여한 다음 공식의 항들을 재정렬함으로써 도출될 수 있다.
참조: 금융경제학 § 불확실성.
우전 (진)
우전(優旃, ? ~ ?)은 중국 진나라의 광대로, 난쟁이였으며 웃긴 말을 잘하였다.
우전 (진) 생애
시황제가 궁중에서 잔치를 베풀던 중 비가 쏟아졌다. 단 아래의 병사들은 비를 맞으며 추위에 떨고 있었고, 이를 불쌍히 여긴 우전은 그들에게 말하였다.
조금 있다가 신하들이 시황제의 건강을 기원하며 만세를 불렀고, 이때 우전은 난간에 이르러 병사들을 불렀다.
우전의 말을 들은 시황제는 호위병들을 교대로 근무시켜 쉬게 하였다.
시황제는 황실의 정원을 동쪽으로는 함곡관, 서쪽으로는 옹(雍)·진창(陳倉)까지 넓히려 하였는데, 이를 들은 우전은 이렇게 아뢰었다.
우전의 말을 들은 시황제는 계획을 그만두었다.
시황제의 뒤를 이어 즉위한 이세황제는 성벽을 옻칠로 뒤덮으려고 하였다. 이세황제의 계획을 들은 우전은 이렇게 아뢰었다.
이세황제는 한바탕 웃고는 계획을 그만두었다.
몇 년 뒤 이세황제가 죽으니 우전은 한나라에 귀부하였고, 몇 년 후 죽었다.
자산 가격 결정의 기본 정리
자산 가격 결정의 기본 정리(영어: Fundamental theorem of asset pricing, 또는 차익거래, 재무)는 금융경제학과 수리금융학 모두에서 시장이 차익거래-자유롭고 완전하기 위한 필요충분조건을 제공한다. 차익거래 기회는 초기 투자 없이 손실 가능성도 없이 돈을 버는 방법이다. 비록 차익거래 기회가 현실에서 잠시 존재하지만, 어떤 합리적인 시장 모델도 이러한 유형의 이익을 피해야 한다고 말해왔다.:5 첫 번째 정리는 시장 모델의 근본적인 속성을 보장한다는 점에서 중요하다. 완전성은 시장 모델의 일반적인 속성이다(예: 블랙-숄즈 모형). 완전시장은 모든 우발채무를 재현할 수 있는 시장이다. 이 속성은 모델에서 일반적이지만, 항상 바람직하거나 현실적이라고 간주되지는 않는다.:30
자산 가격 결정의 기본 정리 이산 시장
이산(즉, 유한 상태) 시장에서는 다음이 성립한다.
자산 가격 결정의 기본 정리 더 일반적인 시장에서
주식 가격 수익률이 단일 브라운 운동을 따를 때, 유일한 위험 중립 측도가 존재한다. 주식 가격 과정이 더 일반적인 시그마-마팅게일 또는 준마팅게일을 따른다고 가정하면, 차익거래의 개념은 너무 좁고, 무한 차원 설정에서 이러한 기회를 설명하기 위해 소멸하는 위험이 없는 공짜 점심 (NFLVR)과 같은 더 강력한 개념을 사용해야 한다.
연속 시간에서, 자산 가격 결정의 기본 정리의 한 버전은 다음과 같다.
를 d차원 준마팅게일 시장(주식 집합), 를 무위험 채권, 를 기초 확률 공간이라고 하자. 또한, 를 동등 국소 마팅게일 측도라고 부르는데, 이고 과정 가 측도 하에서 국소 마팅게일일 경우이다.
자산 가격 결정의 기본 정리 각주
출처
추가 자료
Harrison, J. Michael; Pliska, Stanley R. (1981). 《Martingales and Stochastic integrals in the theory of continuous trading》. 《Stochastic Processes and Their Applications》 11. 215–260쪽. doi:10.1016/0304-4149(81)90026-0.
바시첵 모형
금융에서 바시첵 모형(영어: Vasicek model)은 이자율의 변화를 설명하는 수학적 모델이다. 이 모형은 이자율 움직임이 단 하나의 시장위험 요인에 의해 좌우된다고 설명하는 단일 요인 단기 이자율 모형의 한 유형이다. 이 모형은 이자율 파생상품의 가치 평가에 사용될 수 있으며, 신용 시장에도 적용되었다. 1977년 올드리히 바시첵이 소개했으며, 확률적 투자 모형으로도 볼 수 있다.
바시첵 모형 상세 내용
이 모형은 순간 이자율이 다음의 확률미분방정식을 따른다고 명시한다.
여기서 Wt는 임의의 시장 위험 요인을 모델링하는 위험 중립 프레임워크 하의 위너 확률 과정으로, 시스템으로의 무작위성의 지속적인 유입을 모델링한다. 표준 편차 매개변수 는 이자율의 변동성을 결정하며, 순간 무작위성 유입의 진폭을 특성화한다. 일반적인 매개변수  및 는 초기 조건 와 함께 동역학을 완전히 특성화하며, 가 음수가 아니라고 가정할 때 다음과 같이 빠르게 특성화할 수 있다.
다음 파생된 양도 흥미롭다.
와 는 서로 반대되는 경향이 있다. 를 증가시키면 시스템으로 유입되는 무작위성의 양이 증가하지만, 동시에 를 증가시키면 시스템이 에 의해 결정되는 분산의 회랑과 함께 장기 평균  주변에서 통계적으로 안정화되는 속도가 증가한다. 이는 장기 분산을 볼 때 분명해진다.
이는 와 함께 증가하지만 와 함께 감소한다.
이 모형은 오른슈타인-울렌벡 확률 과정이다.
바시첵 모형 논의
바시첵 모형은 평균 회귀, 즉 이자율을 다른 금융 가격과 구별하는 본질적인 특성을 포착한 최초의 모형이다. 따라서 예를 들어 보통주 가격과는 달리 이자율은 무한정 상승할 수 없다. 이는 이자율이 매우 높은 수준에서는 경제 활동을 방해하여 이자율 하락을 유도하기 때문이다. 마찬가지로 이자율은 일반적으로 0 미만으로 크게 떨어지지 않는다. 결과적으로 이자율은 제한된 범위 내에서 움직이며 장기적인 가치로 회귀하는 경향을 보인다.
드리프트 요인 는 시간 t에서의 이자율의 예상 순간 변화를 나타낸다. 매개변수 b는 이자율이 회귀하는 장기 평형 값을 나타낸다. 실제로, 충격이 없을 경우 (), rt = b일 때 이자율은 일정하게 유지된다. 조정 속도를 제어하는 매개변수 a는 장기 값 주변의 안정성을 보장하기 위해 양수여야 한다. 예를 들어, rt가 b 미만일 때, 드리프트 항 는 양수 a에 대해 양수가 되어 이자율이 위쪽으로 (평형 쪽으로) 이동하는 경향을 생성한다.
바시첵 모형 논의
주요 단점은 바시첵 모형 하에서 이론적으로 이자율이 음수가 될 수 있다는 점인데, 이는 위기 이전 가정에서는 바람직하지 않은 특징이다. 이러한 단점은 콕스-잉거솔-로스 모형, 지수 바시첵 모형, 블랙-더만-토이 모형 및 블랙-카라신스키 모형 등 많은 다른 모형에서 수정되었다. 바시첵 모형은 헐-화이트 모형에서 더 확장되었다. 바시첵 모형은 또한 콕스-잉거솔-로스 모형과 함께 아핀 기간 구조 모형의 표준적인 예시이기도 하다. 최근 연구에서는 두 모형 모두 데이터 분할 및 예측에 사용되었다.
바시첵 모형 점근 평균 및 분산
확률미분방정식을 풀면 다음을 얻는다.
오른슈타인-울렌베크 확률 과정에 적용된 것과 유사한 기법을 사용하여 상태 변수가 평균과 함께 정규 분포를 따른다는 것을 얻는다.
및 분산
결과적으로, 다음을 얻는다.
및
바시첵 모형 채권 가격 결정
무차익거래 가정 하에서 할인채는 바시첵 모형에서 가격이 결정될 수 있다. 만기일 를 가진 할인채의 시간  가치는 이자율에 대해 지수적으로 아핀이다.
여기서
오른슈타인-울렌벡 과정
수학에서 오른슈타인-울렌벡 과정(영어: Ornstein–Uhlenbeck process)은 수리금융학 및 물리 과학에 응용되는 확률 과정이다. 물리학에서의 원래 응용은 마찰력의 영향을 받는 무거운 브라운 입자의 속도 모델이었다. 레오나르드 오른슈타인과 조지 유진 울렌벡의 이름을 따서 명명되었다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 정상 가우스 마르코프 과정으로, 이는 가우시안 과정, 마르코프 확률 과정, 그리고 시간적으로 균일하다는 것을 의미한다. 실제로 이 세 가지 조건을 만족하는 유일한 비자명 과정이다. 공간 및 시간 변수의 선형 변환을 허용할 때까지는 말이다. 시간이 지남에 따라 과정은 평균 함수로 향하는 경향이 있다. 이러한 과정을 평균 회귀(mean-reverting)라고 부른다.
이 과정은 연속 시간의 무작위 행보, 또는 위너 확률 과정의 수정으로 간주될 수 있으며, 과정의 속성이 변경되어 보행이 중심 위치로 돌아가는 경향이 있고, 중심에서 멀어질수록 더 큰 인력이 작용한다. 오른슈타인-울렌벡 과정은 이산 시간 AR(1) 과정의 연속 시간 아날로그로도 간주될 수 있다.
오른슈타인-울렌벡 과정 정의
오른슈타인-울렌벡 과정 는 다음 확률미분방정식으로 정의된다.
여기서  및 는 매개변수이고 는 위너 확률 과정을 나타낸다.
때때로 추가 항이 추가된다:
여기서 는 (장기) 평균이라고 불리는 상수이다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 때때로 다음과 같은 형태의 랑주뱅 방정식으로도 작성된다.
여기서 백색 잡음으로도 알려진 는 위너 과정의 가정된 미분 를 나타낸다. 그러나 위너 과정은 어디에서도 미분 가능하지 않으므로 는 존재하지 않는다. 따라서 랑주뱅 방정식은 분포적 의미로 해석될 때만 의미가 있다. 물리학 및 공학 분야에서는 잡음 항이 위너 과정의 미분 가능한 (예: 푸리에) 보간법의 미분이라고 암묵적으로 가정하여 오른슈타인-울렌벡 과정 및 유사한 확률미분방정식에 대한 일반적인 표현이다.
오른슈타인-울렌벡 과정 포커르-플랑크 방정식 표현
오른슈타인-울렌벡 과정은 시간 에서 상태 에서 과정을 찾을 확률을 지정하는 확률 밀도 함수 의 관점에서도 설명될 수 있다. 이 함수는 포커르-플랑크 방정식을 만족한다.
여기서 이다. 이것은 다양한 기술로 해결할 수 있는 선형 포물선형 편미분 방정식이다. 그린 함수라고도 하는 전이 확률 는 평균  및 분산 을 가진 가우시안이다.
이는 시간 에서 초기 상태 가 주어졌을 때 시간 에서 상태 가 발생할 확률을 제공한다. 동등하게, 는 초기 조건 을 가진 포커르-플랑크 방정식의 해이다.
오른슈타인-울렌벡 과정 수학적 속성
의 특정 값에 조건화된 평균은 다음과 같다.
그리고 공분산은 다음과 같다.
정상(비조건화) 과정의 경우, 의 평균은 이고, 와 의 공분산은 이다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 경계된 분산을 가지고 정상 확률 분포를 허용하는 가우시안 과정의 예시이며, 위너 확률 과정과는 대조적이다. 둘 사이의 차이점은 "드리프트" 항에 있다. 위너 과정의 경우 드리프트 항은 상수인 반면, 오른슈타인-울렌벡 과정의 경우 과정의 현재 값에 따라 달라진다. 과정의 현재 값이 (장기) 평균보다 작으면 드리프트는 양수이고, 과정의 현재 값이 (장기) 평균보다 크면 드리프트는 음수이다. 즉, 평균은 과정의 평형 수준 역할을 한다. 이것이 이 과정에 "평균 회귀"라는 정보적인 이름을 부여한다.
시간적으로 균일한 오른슈타인-울렌벡 과정은 스케일링된 시간 변환된 위너 확률 과정으로 표현될 수 있다.
여기서 는 표준 위너 과정이다. 이는 대략 Doob 1942의 정리 1.2이다. 동등하게, 변수 의 변화로 이것은 다음과 같다.
오른슈타인-울렌벡 과정 수학적 속성
이 매핑을 사용하여 의 알려진 속성을 에 대한 해당 진술로 번역할 수 있다. 예를 들어, 에 대한 로그 반복 법칙은 다음과 같다.
에 대한 확률미분방정식은 매개변수변환법으로 형식적으로 해결될 수 있다.
라고 쓰면 다음을 얻는다.
부터 까지 적분하면 다음을 얻는다.
여기서 다음을 알 수 있다.
이 표현으로부터 첫 번째 모멘트 (즉, 평균)는 다음과 같이 나타난다.
가 상수라고 가정한다. 또한 이토의 등량을 사용하여 공분산 함수를 계산할 수 있다.
결정론적 적분량의 이토 적분은 정규 분포를 따르므로 다음이 성립한다.
과정의 무한소 생성기는 다음과 같다.만약 라고 하면, 고유방정식은 다음으로 단순화된다.
이는 에르미트 다항식의 정의 방정식이다. 그 해는 이고, 이므로, 입자가 경계의 한 지점에 도달하는 평균 첫 통과 시간은 의 순서임을 의미한다.
오른슈타인-울렌벡 과정 수치 시뮬레이션
폭 의 시간 간격으로 이산적으로 샘플링된 데이터를 사용함으로써 오른슈타인-울렌벡 과정의 매개변수에 대한 최대가능도 추정량은 참값에 점근적으로 정규분포한다. 더 정확히 말하면,
표준편차 와 상관 시간 를 가진 OU 과정을 수치적으로 시뮬레이션하는 한 가지 방법은 다음과 같은 유한 차분 공식을 적용하는 것이다.
여기서 는 평균이 0이고 분산이 1인 정규 분포 랜덤 수이며, 각 시간 단계 마다 독립적으로 샘플링된다.
오른슈타인-울렌벡 과정 스케일링 극한 해석
오른슈타인-울렌벡 과정은 브라운 운동이 무작위 행보의 스케일링 극한인 것과 같은 방식으로 이산 과정의 스케일링 극한으로 해석될 수 있다. 개의 흑백 공이 들어있는 항아리를 생각해보자. 각 단계에서 공이 무작위로 선택되고 반대 색깔의 공으로 교체된다.  단계 후 항아리에 있는 검은 공의 수를 라고 하자. 그러면 는 이 무한대로 갈 때 오른슈타인-울렌벡 과정으로 법적으로 수렴한다. 이는 마크 카츠에 의해 얻어졌다.
이를 경험적으로 다음과 같이 얻을 수 있다.
라고 하고,  극한에서 확률미분방정식을 얻을 것이다. 먼저 다음을 유도한다.

이를 통해 의 평균과 분산을 계산할 수 있으며, 이는 각각 와 인 것으로 밝혀졌다. 따라서  극한에서 를 가지며, 해는 (가정  분포는 표준 정규) 이다.
오른슈타인-울렌벡 과정 응용
오른슈타인-울렌벡 과정은 잡음이 있는 이완 과정의 원형이다. 대표적인 예는 훅의 법칙에 따르는 용수철(조화 진동자)로, 용수철 상수 와 마찰 계수 로 과감쇠되어 있다. 온도 의 열적 요동이 있을 때, 용수철의 길이 는 용수철의 자연 길이 를 중심으로 요동한다. 그 확률론적 동역학은 다음을 가진 오른슈타인-울렌벡 과정으로 설명된다.
여기서 는 유효 확산 상수 에 대한 스토크스-아인슈타인 방정식에서 파생된다. 이 모델은 광학 트랩에서 브라운 입자의 운동을 특성화하는 데 사용되었다.
평형 상태에서 용수철은 에너지 등분배법칙에 따라 평균 에너지 를 저장한다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 이자율의 바시첵 모형에 사용된다. 오른슈타인-울렌벡 과정은 이자율, 통화 환율 및 상품 가격을 확률적으로 모델링하는 데 사용되는 여러 접근 방식 중 하나이다. 매개변수 는 기본 요소에 의해 지지되는 균형 또는 평균값을 나타내고, 는 충격으로 인한 주변의 변동성 정도를 나타내며, 는 이러한 충격이 소산되고 변수가 평균으로 회귀하는 비율을 나타낸다. 이 과정의 한 가지 응용은 페어 트레이딩으로 알려진 거래 전략이다.
오른슈타인-울렌벡 과정 응용
오른슈타인-울렌벡 과정의 추가 구현은 로그 정규 분포 동역학에서 주식 수익률을 모델링하기 위해 마르첼로 미넨나에 의해 파생되었다. 이 모델링은 시장 교란 현상을 예측하기 위한 신뢰 구간의 결정을 목표로 한다.
오른슈타인-울렌벡 과정은 시간이 지남에 따라 유기체 표현형의 변화를 모델링하는 데 브라운 운동 모델보다 개선된 것으로 제안되었다. 브라운 운동 모델은 표현형이 제한 없이 움직일 수 있음을 의미하지만, 대부분의 표현형의 경우 자연 선택은 어느 방향으로든 너무 멀리 이동하는 데 비용을 부과한다. 250개의 화석 표현형 시계열에 대한 메타 분석은 오른슈타인-울렌벡 모델이 조사된 시계열 중 115개(46%)에 가장 적합하며, 정체가 일반적인 진화 패턴임을 지지했다. 그러나 사용에는 특정 과제가 있다. 모델 선택 메커니즘은 충분한 지원 없이 OU 과정을 선호하도록 편향되는 경우가 많으며, 의심하지 않는 데이터 과학자에게는 오해하기 쉽다.
오른슈타인-울렌벡 과정 일반화
배경 구동 과정이 위너 과정 대신 레비 확률 과정인 레비 구동 오른슈타인-울렌벡 과정을 정의할 수 있다.
여기서 위너 과정 의 미분은 레비 과정 의 미분으로 대체되었다.
또한 금융에서는  값이 클수록 변동성이 증가하는 확률 과정이 사용된다. 특히, 변동성 항이 로 대체된 CKLS 과정(Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders)은 일 때와 기존 OU 과정에 해당하는 일 때 닫힌 형식으로 풀 수 있다. 또 다른 특수한 경우는 이며, 이는 Cox–Ingersoll–Ross 모델(CIR-모델)에 해당한다.
N차원 벡터 로 표시되는 다차원 오른슈타인-울렌벡 과정은 다음으로부터 정의될 수 있다.
오른슈타인-울렌벡 과정 일반화
여기서 는 N차원 위너 과정이고, 와 는 상수 N×N 행렬이다. 해는 다음과 같다.
그리고 평균은 다음과 같다.
이러한 표현은 행렬 지수 함수를 사용한다.
이 과정은 또한 확률 밀도 함수 의 관점에서도 설명될 수 있으며, 이는 포커르-플랑크 방정식을 만족한다.
여기서 성분 를 가진 행렬 는 로 정의된다. 1차원 경우와 마찬가지로 이 과정은 가우시안 확률 변수의 선형 변환이므로 그 자체로 가우시안이어야 한다. 이 때문에 전이 확률 는 명시적으로 작성될 수 있는 가우시안이다. 의 고유값의 실수 부분이 0보다 크면 다음과 같이 주어진 정상 해 도 존재한다.
여기서 행렬 는 랴푸노프 방정식 로부터 결정된다.
KING (Kanaria의 노래)
〈KING〉은 일본의 보컬로이드 프로듀서(보카로P)인 Kanaria가 작사, 작곡한 노래이다. 2020년 8월 1일에 먼저 발매되었으며, 2020년 8월 2일에 유튜브와 니코니코 동화를 통해 공개되었다. 보컬 음성은 보컬로이드인 메구포이드 구미의 보컬을 사용하였다. 일러스트는 노우가 맡았다. 또한, 빌보드 재팬 톱 유저 생성 송즈에서 33주 동안 1위 유지로 2021년 상반기와 연간에서 1위를 차지하였고, 2023년 연간에서는 니코니코 보컬로이드 송즈 톱 20에서 14위를 차지, 그리고 빌보드 재팬 여러 부문에서 100위권에 들기도 하였다.
KING (Kanaria의 노래) 배경
2020년 8월 1일에 스트리밍 서비스로 발매되었으며, 뮤직 비디오는 2020년 8월 2일에 공개되었다.
KING (Kanaria의 노래) 반응
니코니코 동화에 업로드된 뮤직 비디오는 2020년 8월 9일, 일주일 만에 10만 재생수를 기록하여 VOCALOID 전당입성에 달성하여 Kanaria는 10만 기념 일러스트를 SNS에 게시하였다. 이로부터 약 2개월 후인 2020년 10월 10일에는 100만 재생수를 기록하여 VOCALOID 전설입성에 달성하였다.
유튜브에 업로드된 뮤직 비디오는 2020년 8월 21일, 19일 만에 조회수 100만 회를 돌파하였으며, 약 4개월 후인 2020년 12월 30일에는 조회수 1,000만 회를 돌파하였고, 2022년 1월 29일에는 조회수 5,000만 회를 돌파하였다.
클레인-크라머르스 방정식
물리학과 수학에서 클레인–크라머르스 방정식(영어: Klein–Kramers equation) 또는 때로는 크라머르스–찬드라세카르 방정식(영어: Kramers–Chandrasekhar equation)은 브라운 운동 입자의 위상 공간 (r, p)에서 확률 밀도 함수 f (r, p, t)를 설명하는 편미분 방정식이다. 이것은 포커르-플랑크 방정식의 특수한 경우이다.
하나의 공간 차원에서 f는 스칼라 x, p, t의 세 독립 변수의 함수이다. 이 경우 클레인-크라머르스 방정식은 다음과 같다.

여기서 V(x)는 외부 포텐셜, m은 입자 질량, ξ는 마찰(항력) 계수, T는 온도, kB는 볼츠만 상수이다. d 공간 차원에서의 방정식은 다음과 같다.

여기서  및 는 r 및 p에 대한 경사 연산자이며, 는 p에 대한 라플라시안이다.
분수 클레인-크라머르스 방정식(영어: fractional Klein-Kramers equation)은 분수계 미적분학을 통해 이상 확산을 통합하는 일반화이다.
클레인-크라머르스 방정식 물리적 근거
클레인-크라머르스 방정식의 물리적 모델은 과소 감쇠 브라운 입자이다. 과대 감쇠 브라운 운동인 표준 브라운 운동과 달리, 과소 감쇠 브라운 운동은 마찰을 유한하게 취하며, 이 경우 운동량은 독립적인 자유도가 된다.
수학적으로, 입자의 상태는 위치 r과 운동량 p로 기술되며, 이는 랑주뱅 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다.

여기서 는 온도 T의 배경 매질에서 p의 열적 요동을 모델링하는 d-차원 가우스 백색 잡음이다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙과 유사하지만, 잡음 항  때문에 결정론적이 아닌 추계학적("무작위")이다.
동역학은 또한 확률 밀도 함수 f (r, p, t)로 설명될 수 있으며, 이는 시간 t에 입자가 위치 r에 있고 운동량 p를 가질 확률을 나타낸다. 랑주뱅 방정식에서 나오는 추계학적 궤적들을 평균함으로써, f (r, p, t)가 클레인-크라머르스 방정식을 따른다는 것을 보일 수 있다.
클레인-크라머르스 방정식 자유 공간에서의 해
d-차원 자유 공간 문제는 힘을 0으로 설정하고, 무한대에서 0으로 감소하는 에서의 해, 즉 |r| → ∞일 때 f (r, p, t) → 0인 해를 고려한다.
점원 초기 조건인 1D 자유 공간 문제, f (x, p, 0) = δ(x - x')δ(p - p')의 경우, x와 p에 대한 이변량 가우스 분포인 해는 수브라마니안 찬드라세카르가 1943년에 풀었다 (그는 또한 퍼텐셜이 존재하는 문제들을 풀기 위한 일반적인 방법론을 고안했다):

여기서

이 특수 해는 그린 함수 G(x, x', p, p', t)로도 알려져 있으며, 일반 해, 즉 일반적인 초기 조건 f (x, p, 0)에 대한 해를 구성하는 데 사용될 수 있다:

유사하게, 점원 초기 조건인 3D 자유 공간 문제 f (r, p, 0) = δ(r - r') δ(p - p')는 다음과 같은 해를 갖는다.

여기서 , 이며, 와 는 1D 해와 같이 정의된다.
특정 조건에서 자유 공간 클레인-크라머르스 방정식의 해는 확산 과정처럼 점근적으로 행동한다. 예를 들어,

이면 밀도 는 다음을 만족한다.

여기서 는 확산 방정식의 자유 공간 그린 함수이다.
클레인-크라머르스 방정식 경계 근처에서의 해
클레인-크라머르스 방정식의 1D, 시간에 무관한, 힘이 없는 (F = 0) 버전은 반무한 또는 유계 영역에서 변수분리법으로 풀 수 있다. 해는 일반적으로 공간적으로 빠르게 변하고 경계 자체에서는 비해석적인 경계층을 형성한다.
잘 설정된 문제는 p 영역의 절반에만 경계 데이터를 규정한다: 왼쪽 경계에서는 양의 절반 (p > 0), 오른쪽 경계에서는 음의 절반 (p < 0)이다. 0 < x < ∞에서 정의된 반무한 문제의 경우 경계 조건은 다음과 같이 주어질 수 있다.

일부 함수 g(p)에 대해.
점원 경계 조건의 경우, 해는 무한 합과 곱으로 정확한 표현을 갖는다. 여기서 결과는 클레인-크라머르스 방정식의 무차원 버전에 대해 기술된다.

이 표현에서 길이와 시간은  및  단위로 측정되며,  및 는 모두 무차원이다. z = 0에서의 경계 조건이 g(w) = δ(w - w0)이고, 여기서 w0 > 0이면, 해는 다음과 같다.

여기서

이 결과는 위너-호프 방법으로 얻을 수 있다. 그러나 이 표현의 실제 사용은 계열의 느린 수렴, 특히 w 값이 0에 가까울 때 제한적이다.
에티하드 철도
에티하드 철도(아랍어: الاتحاد للقطارات, Etihad Rail)는 아랍에미리트의 국가 철도망을 개발·운영하는 국영 철도회사로, 국가 화물 및 여객 철도망을 개발·건설·운영하고 있다. 2025년 현재 화물 서비스는 운행 중에 있으나, 여객 서비스는 아직 시작되지 않은 상태이다. 현재 역을 포함한 여객 운송 시설이 건설되고 있으며, 2026년 본격적으로 운행을 시작할 예정이다.
에티하드 철도 역사
2004년 걸프협력회의(GCC) 6개국은 역내 지역을 가로지르는 철도망에 대한 타당성 조사를 의뢰하였다. 이후 2009년 『연방법 제2호』가 통과, 그해 6월 에티하드 철도가 공식 설립되었다.
총 연장 264km의 에티하드 철도 1단계 구간은 내륙 가스전인 리와와 샤를 거쳐 항구 도시인 루와이스까지 이어지며, 2016년 1월에 개통되었다. 총 연장 605km의 에티하드 철도 2단계 구간은 사우디아라비아 국경에 있는 구웨이파트와 아랍에미리트 동부 해안에 있는 푸자이라를 잇는 구간으로, 2020년 착공하여 2023년 2월 28일에 개통되었다.
에티하드 철도 노선망
계획된 에티하드 철도 노선 개통이 전부 완료되면 노선망 총 연장은 약 1,200km가 될 예정으로, 7개 토후국이 모두 연결되며, 아랍에미리트와 사우디아라비아가 철도 노선으로 연결된다. 차량으로는, 디젤 기관차를 사용하나, 향후 전기 기관차로 전환될 가능성이 있다. 노선은 표준궤로, 또 주로 복선으로 설계되며 유럽 신호 시스템(ETCS 레벨2)을 사용한다.
랑주뱅 방정식
물리학에서 랑주뱅 방정식(영어: Langevin equation, 폴 랑주뱅의 이름을 따서 명명됨)은 결정론적 힘과 요동하는("무작위") 힘의 조합을 받을 때 시스템이 어떻게 진화하는지 설명하는 확률미분방정식이다. 랑주뱅 방정식의 종속 변수는 일반적으로 시스템의 다른 (미시적) 변수에 비해 느리게 변하는 집단적 (거시적) 변수이다. 빠른 (미시적) 변수는 랑주뱅 방정식의 확률적 특성을 담당한다. 한 가지 응용 분야는 유체 내 작은 입자의 요동 운동을 모델링하는 브라운 운동이다.