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칼도-힉스 효율성 정책 결정에서의 활용
칼도 기준은 이득을 보는 사람들이 변화에 동의하도록 손해를 보는 사람들에게 지불할 의향이 있는 최대 금액이 손해를 보는 사람들이 받아들일 준비가 된 최소 금액보다 클 경우 활동이 경제를 파레토 최적에 더 가깝게 만든다는 것이다. 힉스 기준은 손해를 보는 사람들이 변화를 포기하도록 이득을 보는 사람들에게 지불할 최대 금액이 이득을 보는 사람들이 동의하기 위해 받아들일 최소 금액보다 적을 경우 활동이 경제를 파레토 최적으로 이동시킨다는 것이다. 따라서 칼도 테스트는 손해를 보는 사람들이 합의를 막을 수 있다고 가정하고 이득을 보는 사람들이 그들의 이득을 너무 중요하게 여겨 손해를 보는 사람들이 합의를 받아들이도록 지불할 의향과 능력이 있는지를 묻는다. 반면 힉스 테스트는 이득을 보는 사람들이 변화를 진행할 수 있다고 가정하고 손해를 보는 사람들이 그들의 손실이 변화를 진행하지 않도록 이득을 보는 사람들에게 지불할 비용보다 적은 가치가 있다고 여기는지를 묻는다. 각 개별 기준에 대한 몇 가지 기술적 문제가 발견된 후, 이들은 동일한 결함을 공유하지 않는 스치토프스키 기준, 즉 "칼도-힉스 기준"으로 더 일반적으로 알려진 기준으로 통합되었다.
칼도-힉스 효율성 정책 결정에서의 활용
칼도-힉스 기준은 게임 이론의 비제로섬 게임, 예를 들어 DOTMLPF, 후생경제학, 경영경제학에 널리 적용된다. 예를 들어, 비용 편익 분석의 근본적인 논리를 형성한다. 비용 편익 분석에서 프로젝트(예: 새 공항)는 건설 비용 및 환경 비용과 같은 총 비용을 항공사 이익 및 여행객 편의와 같은 총 편익과 비교하여 평가된다. (그러나 비용 편익 분석은 또한 다른 개인에게 다른 사회적 복지 가중치, 예를 들어 빈곤층에게 더 많은 가중치를 부여할 수 있으므로, 보상 기준이 항상 비용 편익 분석에 의해 호출되는 것은 아니다.)
프로젝트는 일반적으로 편익이 비용을 초과하면 승인될 것이다. 이는 본질적으로 칼도-힉스 기준의 적용인데, 이는 이득을 보는 사람들이 이론적으로 손해를 본 사람들에게 보상할 수 있을 만큼 편익이 충분해야 한다는 요구와 동일하기 때문이다. 이 기준은 사회 전체가 다른 사람들에게 더 큰 이득을 의미한다면 일부 사람들을 더 나쁘게 만드는 것이 정당화될 수 있다고 주장되기 때문에 사용된다.
칼도-힉스 효율성 비판
아마도 칼도-힉스 기준에 대한 가장 일반적인 비판은 보상이 실제로 지불되지 않는다면 승리자들이 패자들에게 보상할 수 있는 능력이 왜 중요해야 하는지, 또는 결정 기준으로 도덕적 또는 정치적 중요성을 가져야 하는지가 불분명하다는 점이다.
더 기술적인 수준에서, 칼도-힉스 기준의 다양한 버전은 바람직한 형식적 특성을 결여하고 있다. 예를 들어, 티보르 스치토프스키는 칼도 기준만으로는 반대칭적이지 않다는 것을 입증했다. 즉, 결과 A가 결과 B보다 (칼도 기준에 따라) 개선이지만, B도 A보다 개선인 상황이 가능하다. 결합된 칼도-힉스 기준은 이러한 문제를 가지고 있지 않지만, 비추이성일 수 있다 (A가 B보다 개선이고 B가 C보다 개선일지라도, A가 C보다 개선이 아닐 수 있다).
나카무라 도야
나카무라 도야(일본어: 中村 桐耶 (なかむら とうや), 2000년 7월 23일~)는 일본의 축구 선수이다.
나카무라 도야 구단 경력
그는 2019년 J1리그의 홋카이도 콘사돌레 삿포로에 입단했다. 2019년 8월 일본 풋볼 리그의 혼다 FC로 임대 이적했다. 2021년 홋카이도 콘사돌레 삿포로로 복귀했다. 2024년후 J2리그에 강등했다.
모로오카 히로토
모로오카 히로토(일본어: 諸岡 裕人 (もろおか ひろと), 1997년 1월 4일~)는 일본의 축구 선수이다.
모로오카 히로토 구단 경력
그는 2019년 J3리그의 후쿠시마 유나이티드 FC에 입단했다. 2022년까지 87경기에 출전하여, 2득점을 넣었다. 2023년 J2리그의 블라우블리츠 아키타로 이적했다.
오이시 류헤이
오이시 류헤이(일본어: 大石 竜平 (おおいし りゅうへい), 1997년 1월 21일~)는 일본의 축구 선수이다.
오이시 류헤이 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 츠바이겐 가나자와에 입단했다. 2023년까지 115경기에 출전하여, 14득점을 넣었다. 2024년 블라우블리츠 아키타로 이적했다.
가와모토 리요
가와모토 리요(일본어: 川本 梨誉 (かわもと りよ), 2001년 6월 11일~)는 일본의 축구 선수이다.
가와모토 리요 구단 경력
그는 2019년 J1리그의 시미즈 에스펄스에 입단했다. 2021년부터 2023년까지 J2리그의 파지아노 오카야마와 더스파구사쓰 군마에서 뛰었다. 2024년 J2리그의 시미즈 에스펄스로 복귀했다. 2024년 5월 더스파 군마로 임대 이적했다. 2025년 블라우블리츠 아키타로 이적했다.
정윤채
윤채는 HYBE와 Geffen Records 소속의 한국인 가수이며, KATSEYE의 막내(가장 어린 멤버)이다.
그녀는 리얼리티 프로그램 더 데뷔: 꿈의 연습생의 참가자로 활동했으며, 결선에서 4위를 차지하여 걸그룹 KATSEYE의 멤버가 되었다.
정윤채 경력
2023년 8월 29일, 윤채는 더 데뷔: 꿈의 연습생의 참가자로 소개되었다.
11월 18일, 그녀가 최종 4위로 선발되어 데뷔 그룹 KATSEYE의 멤버임이 밝혀졌다.
윤채는 2023년 9월 1일 시작되어 11월 17일 종료된 HYBE X Geffen Records의 생존 경쟁 프로그램에 참여했으며, 성공적으로 KATSEYE로 데뷔하였다.
미션 1 (2023년 9월 1일 - 2023년 9월 15일) 동안, 그녀는 댄스팀 B에 소속되어 에밀리 켈라보스(미국), 에즈렐라 아브라함(호주), 마키스 아우라모른라트 (태국), 테라다 메이 (일본)와 함께 공연하였다. 그녀는 중간 결과 5위, 최종 투표 6위로 면제권을 획득하였다.
미션 2 (2023년 9월 28일 - 2023년 10월 8일) 동안, 그녀는 안티프래자일팀 A에 속해 에밀리 켈라보스, 라라(미국), 소피아(필리핀)와 함께 활동하였다. 팀 A가 B팀을 이기면서, 그녀는 개인 투표 3위로 면제권을 얻었다.
정윤채 경력
미션 3 (2023년 10월 28일 - 2023년 11월 5일) 동안, 자신감 팀에 속해 라라, 마키즈, 메건(미국)과 함께 공연하였다. 팬 투표에서 12위에 올라 탈락 위기를 맞았으며, 이 미션이 유일하게 윤채가 탈락 위험에 처한 미션이었다.
라이브 파이널(2023년 11월 17일)에서는 걸스 돈트 라잇 팀에 속해 다니엘라(미국), 에밀리, 마키즈, 메건과 함께 공연하였다. 그녀의 최종 점수는 78.00점으로, 데뷔를 확정지었다.
정윤채 인생
2020년, 서울의 댄스 아카데미를 다녔으며, 2020년 CJ E&M 오디션에 합격하였다.
오노하라 가즈야
오노하라 가즈야(일본어: 小野原 和哉 (おのはら かずや), 1996년 4월 19일~)는 일본의 축구 선수이다.
오노하라 가즈야 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 레노파 야마구치 FC에 입단했다. 2020년부터 2021년까지 UD Oliveirense에서 뛰었다. 2022년 J2리그의 츠바이겐 가나자와로 이적했다. 2023년까지 65경기에 출전하여, 2득점을 넣었다. 2024년 블라우블리츠 아키타로 이적했다.
다카하시 준야
다카하시 준야(일본어: 高橋 潤哉 (たかはし じゅんや), 1997년 5월 28일~)는 일본의 축구 선수이다.
다카하시 준야 구단 경력
그는 2020년 J2리그의 몬테디오 야마가타에 입단했다. 2021년부터 2022년까지 J3리그의 아술 클라로 누마즈와 후쿠시마 유나이티드 FC에서 뛰었다. 2023년 몬테디오 야마가타로 복귀했다.
에지워스 박스
경제학에서 에지워스 박스(영어: Edgeworth box)는 때때로 에지워스-볼리 박스(영어: Edgeworth-Bowley box)라고도 불리며, 두 가지 상품 X와 Y, 그리고 두 명의 소비자로만 구성된 시장을 그래픽으로 표현한 것이다. 박스의 크기는 두 상품의 총량 Ωx와 Ωy이다.
소비자를 옥타비오(Octavio)와 애비(Abby)라고 하자. 박스의 오른쪽 상단 모서리는 옥타비오가 모든 상품을 소유하는 배분을 나타내고, 왼쪽 하단 모서리는 애비가 모든 상품을 소유하는 배분에 해당한다. 박스 내의 점들은 두 소비자 간에 상품을 배분하는 방식을 나타낸다.
시장의 행동은 소비자의 무차별 곡선에 의해 결정된다. 도표의 파란색 곡선은 옥타비오의 무차별 곡선을 나타내며, 그의 관점(즉, 왼쪽 하단에서 볼 때)에서 볼록하게 표시된다. 주황색 곡선은 애비에게 적용되며, 오른쪽 상단에서 볼 때 볼록하다. 오른쪽 위로 이동하면 옥타비오의 배분이 증가하고, 그는 더 바람직한 무차별 곡선으로 이동하는 반면, 애비는 덜 바람직한 무차별 곡선으로 이동한다.
에지워스 박스
볼록한 무차별 곡선은 일반적인 경우로 간주된다. 이는 각 상품이 다른 상품에 비해 수확 체감을 나타내는 것에 해당한다.
시장 내 교환은 초기 배분, 즉 부존자원(endowment)에서 시작된다.
에지워스 박스의 주요 용도는 일반균형이론의 주제들을 그래픽으로 시각화할 수 있는 형태로 소개하는 것이다. 이는 또한 쌍방 독점이 존재하는 상황에서 효율적인 결과로 나아가는 어려움을 보여줄 수도 있다. 후자의 경우, 이는 고유한 수치적 해를 허용하는 게임 이론의 교섭 문제의 전조 역할을 한다.
에지워스 박스 역사
에지워스 박스는 프랜시스 에지워스의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 1881년 그의 저서 《Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences》에서 이를 발표했다. 에지워스의 원래 두 축 묘사는 빌프레도 파레토가 1906년 《정치경제학 매뉴얼》(Manual of Political Economy)에서 현재 익숙한 박스 다이어그램으로 발전시켰고, 이후 아서 라이언 볼리에 의해 대중화되었다. 이 다이어그램의 현대적 버전은 일반적으로 에지워스-볼리 박스라고 불린다.
시장 경제에서의 균형에 대한 개념적 틀은 레옹 발라스에 의해 개발되었고 빌프레도 파레토에 의해 더욱 확장되었다. 이는 아브라함 왈드, 폴 새뮤얼슨, 케네스 애로, 제라르 드브뢰와 같은 20세기 수학 경제학자들에 의해 일반성과 엄격성에 주의를 기울여 연구되었다. 이는 왈드가 결정 이론에 더 큰 엄격함을 가져오려 했고 많은 수학자들이 선택 공리에 대한 의존도를 최소화하는 데 집중했던 더 넓은 운동의 일부였다.
에지워스 박스 역사
왈라스적 시장 이론은 주어진 결론을 얻을 수 있는 가장 일반적인 전제를 찾는 데 많은 노력을 기울여 왔다. 전제를 강화하거나 약화시킬 수 있는 영역은 다음과 같다.
더 기술적인 성격의 가정도 이루어진다(예: 비가역성, 국소 비포화성, 등).
엄격함을 추구하는 것이 항상 이해하기 쉬운 것은 아니다. 이 글에서는 무차별 곡선을 원시적인 것으로 취급할 것이다. 처음에는 무차별 곡선을 볼록하고 미분 가능한 것으로 보고 내부 균형에 집중하겠지만, 이후 이러한 가정을 완화할 것이다.
에지워스 박스 시장 균형
상품이 두 개뿐이므로 유효 가격은 상품 간의 교환 비율이다. 우리의 목표는 주어진 부존자원으로부터 더 이상 거래가 원치 않는 지점, 즉 시장 균형이 달성될 수 있는 가격을 찾는 것이다. 이 수량들은 그림 2에 나타난 두 소비자의 무차별 곡선에 의해 결정될 것이다.
매일 옥타비오와 애비가 시장에 나와 두 상품의 부존자원 (ωx,ωy )와 (Ωx – ωx , Ωy – ωy )를 가지고 온다고 가정한다. 이는 도표의 ω 위치에 해당한다. 두 소비자는 경쟁 시장 행동 하에서 서로 교환할 것이다. 이 가정은 완전 경쟁의 조건(무한한 수의 소비자를 포함)이 충족되지 않으므로, 어느 정도 불신을 유보해야 한다.
X 두 개가 Y 한 개와 교환된다면, 옥타비오와 애비의 거래는 예산선(budget line)이라고 불리는 실선 회색 선을 따라 어떤 지점으로 그들을 데려갈 것이다. (더 정확히 말하면, 예산선은 특정 가격에서의 교환을 통해 얻을 수 있는 배분을 나타내는, 부존자원 지점을 통과하는 직선으로 정의될 수 있다.) 다른 몇몇 가격에 대한 예산선도 그림 2에 점선과 파선으로 표시되어 있다.
에지워스 박스 시장 균형
주어진 부존자원 ω에 해당하는 균형은 공통 접선을 가지며 이 접선이 ω를 통과하는 한 쌍의 무차별 곡선에 의해 결정된다. 우리는 '가격선'(price line)이라는 용어를 두 무차별 곡선의 공통 접선을 나타내는 데 사용할 것이다. 따라서 균형은 가격선이기도 한 예산선에 해당하며, 균형에서의 가격은 그 선의 기울기이다. 그림 3에서 ω는 부존자원이고 ω'는 균형 배분이다.
이러한 추론의 배경은 다음과 같다.
첫째, 박스 안의 어떤 지점도 애비의 무차별 곡선 중 하나와 옥타비오의 무차별 곡선 중 하나에 정확히 놓여야 한다. 곡선이 교차한다면(그림 4 참조), 즉각적인 인근 지역을 네 개의 영역으로 나누며, 그 중 하나(옅은 녹색으로 표시된)는 두 소비자 모두에게 더 바람직하다. 따라서 무차별 곡선이 교차하는 지점은 균형일 수 없으며, 균형은 접점이어야 한다.
둘째, 접점에서 시장에 존재할 수 있는 유일한 가격은 접선의 기울기에 의해 주어진 가격이다. 왜냐하면 오직 이 가격에서만 소비자들이 극히 작은 교환을 받아들일 의향이 있기 때문이다.
에지워스 박스 시장 균형
셋째(가장 어려운 점), 소비자들을 ω에서 균형으로 이끄는 경로상의 모든 교환은 동일한 가격으로 이루어져야 한다. 만약 이것이 받아들여진다면, 그 가격은 접점에서 작용하는 가격이어야 하고, 그 결과가 도출된다.
두 사람 경제에서는 모든 교환이 동일한 가격으로 이루어질 것이라는 보장은 없다. 그러나 에지워스 박스의 목적은 경쟁이 없을 때 발생할 수 있는 가격 결정(price fixing)을 설명하는 것이 아니라, 최소한의 경우에 경쟁 경제를 설명하는 것이다. 따라서 우리는 단 한 명의 애비와 옥타비오가 아니라, 각각의 무한한 복제본이 다른 시간에 동일한 부존자원을 가지고 시장에 와서 점진적으로 균형을 향해 협상하는 것을 상상할 수 있다. 새로 도착한 옥타비오는 균형에 가까워진 애비와 시장 가격으로 교환할 수 있으며, 새로 도착한 애비가 거의 만족한 옥타비오와 교환하는 한 숫자는 균형을 이룰 것이다. 대규모 경쟁 경제에서 교환이 작동하려면 동일한 가격이 모두에게 적용되어야 한다. 따라서 교환은 우리가 정의한 가격선을 따라 배분을 이동시켜야 한다.
따라서 경쟁 균형을 찾는 작업은 주어진 점을 통과하는 접선을 갖는 두 무차별 곡선 간의 접점을 찾는 작업으로 귀결된다. 제안 곡선의 사용(아래 설명)은 이를 수행하는 체계적인 절차를 제공한다.
에지워스 박스 파레토 집합
어떤 상품 배분이 다른 배분보다 한 소비자에게는 더 바람직하고 다른 소비자에게는 나쁘지 않을 경우, 그 배분은 다른 배분을 '파레토 우위'한다고 말한다. 어떤 배분이 다른 어떤 배분도 파레토 우위하지 않을 경우, 그 배분은 '파레토 최적'(또는 '파레토 효율적')이라고 말한다. 파레토 최적 배분들의 집합은 파레토 집합(Pareto set, 또는 '효율적 궤적')이라고 알려져 있다.
그림 5에 나타난 바와 같이 각 소비자에 대한 한 쌍의 접하는 곡선을 고려하자. 접점은 보라색 점으로 표시되어 있다. 그러면 볼록성은 곡선이 접점 이외의 지점에서 교차할 수 없음을 보장하며, 따라서 박스는 3개의 영역으로 나뉜다. 옅은 파란색 영역은 옥타비오에게는 접점보다 더 바람직하지만 애비에게는 더 나쁘다. 옅은 주황색 영역은 애비에게는 더 바람직하지만 옥타비오에게는 더 나쁘다. 그리고 흰색 영역은 둘 다에게 더 나쁘다. 경계에도 유사한 고려 사항이 적용된다. 따라서 접점은 파레토 최적이다.
에지워스 박스 파레토 집합
따라서 파레토 집합은 곡선들의 접점들의 궤적이다. 이는 옥타비오의 원점(O)과 애비의 원점(A)을 연결하는 선이다. 그림 6에 예시가 나와 있으며, 보라색 선은 두 소비자의 무차별 곡선에 해당하는 파레토 집합이다.
에지워스 박스의 여러 대상을 설명하는 용어는 다양하게 사용된다. 파레토 집합 전체를 때때로 계약 곡선이라고 부르기도 하지만, 마스-콜렐 외(Mas-Colell et al.)는 계약 곡선의 정의를 파레토 집합 중 애비와 옥타비오 모두에게 초기 부존자원만큼 혹은 그 이상으로 나은 점들로 제한한다. 마틴 오스본(Martin Osborne)과 아리엘 루빈스타인(Ariel Rubinstein)과 같이 게임 이론적 성향이 강한 다른 저자들은 파레토 집합의 해당 부분을 각 소비자에게 초기 부존자원만큼 혹은 그 이상으로 좋은 부분에 대해 핵심이라는 용어를 사용한다.
파레토 집합은 소비자의 무차별 곡선이 접하는 점들의 집합이므로, 각 소비자의 한계대체율이 다른 사람의 한계대체율과 동일한 점들의 집합이기도 하다.
에지워스 박스 후생경제학의 제1 기본 정리
무차별 곡선의 접점이 파레토 최적점이라는 것을 보았지만, 이전에 경제 균형이 무차별 곡선이 공통 가격선에 접하는 점이라는 것도 보았다. 따라서 균형은 정확히 파레토 최적점이다.
이 주장은 곡선이 미분 불가능하거나 균형이 경계에 있더라도 하나의 제약하에 적용된다. 균형 조건은 더 이상의 교환이 일어나지 않는 것이고, 더 이상의 교환이 일어나지 않는 조건은 한 소비자를 해치지 않고 다른 소비자에게 이득을 주는 움직임의 방향이 없다는 것이다. 이것은 파레토 최적의 정의와 동등하다.
제약은 균형이 국소적 개선이 불가능하다는 것을 의미한다는 점이다. 즉, 그 지점이 '국소적으로' 파레토 최적이라는 것이다. 그러나 파레토 최적은 오늘날 정의상 전역적인 것으로 간주된다. 따라서 무차별 곡선의 특성이 비전역적 최적점(볼록한 경우에는 발생할 수 없음)이 발생하도록 허용한다면, 균형이 파레토 최적이 아닐 수도 있다.
완전 경쟁은 이 정리의 전제 조건이 아니다. 소비자들이 자유롭게 교환할 수 있고, 상호 수용 가능한 교환이 없을 때까지 계속 그렇게 한다면 균형에 도달할 것이고 (적어도 '국소적으로') 파레토 최적이 될 것이다.
에지워스 박스 후생경제학의 제2 기본 정리
이제 그림 7에 표시된 것처럼 소비자들이 부존자원 ω를 가진 경제를 고려해 보자. 자유 시장은 스스로 그들을 ω'로 이끌 것이다. 하지만 박스 내의 다른 위치, 예를 들어 α'가 사회적으로 더 바람직하다고 간주된다고 가정해 보자. 우리는 사회적으로 바람직한 위치가 파레토 최적이라고 가정할 수 있다.
(도표에 점선으로 표시된) 가격선을 실질 소득의 다른 분배에 해당하는 것으로 생각할 수 있으며, 그 선을 따라 이동하는 것은 소득이 고정된 상태에서 자원의 재할당으로 볼 수 있다.
그렇다면 사회를 원하는 지점 α'에 재배치하기 위해 정부가 옥타비오가 (α'x,α'y)를 소유하고 애비가 나머지를 소유하는 방식으로 자원을 재분배할 필요는 없다. 대신, 경제를 α'를 통과하는 가격선 상의 어떤 지점(예: α)으로 자원을 재할당한 다음, 시장이 스스로 균형을 찾도록 두는 것으로 충분하다. 실제로, 정부가 바람직한 소득 분배를 인식하는 한, 자원의 최적 배분에 대한 어떤 아이디어를 가질 필요도 없다.
에지워스 박스 후생경제학의 제2 기본 정리
더 일반적인 경제에 대한 진술에서, 이 정리는 α'가 화폐 이전(monetary transfer) 후 시장 교환의 자유로운 작용을 통해 도달될 수 있다고 말하는 것으로 받아들여질 것이다. 그러나 에지워스 박스에는 화폐가 없다.
두 번째 기본 정리는 사회의 문제를 해결하기 위한 청사진을 제공하지 않는다. 정부는 옥타비오와 애비 간에 자원을 재할당하여 그들을 ω에서 α로 이동시킬 수 있으며, 그 결과 손해를 보는 사람은 다음 날 시장에 덜 내놓기로 결정할 수 있다. 두 번째 기본 정리는 재할당으로 인해 발생하는 왜곡을 고려하지 않는다.
에지워스 박스 제안 곡선
제안 곡선(Offer curve)은 균형점을 찾는 수단을 제공하며, 균형점의 존재 및 유일성을 조사하는 데도 유용하다.
두 소비자에 대해 각각 하나씩, 부존자원에 따라 달라지는 두 개의 곡선을 박스 안에 그릴 수 있다. 우리는 예산선을 ω를 중심으로 회전시키고, 그림 8의 색깔 있는 점들로 표시된 대로 두 소비자가 선을 따라 가장 선호하는 점들을 추적한다. 이 점들은 선이 그들 자신의 무차별 곡선에 접하는 점들이다.
소비자가 가장 선호하는 점들의 궤적이 바로 그의 제안 곡선이다. 그림 9는 옥타비오의 제안 곡선을 짙은 파란색으로, 애비의 제안 곡선을 갈색으로 보여준다. 이들은 지점 ω'에서 만나고, 회색으로 그려진 균형 예산선은 이 지점을 통과하는 선이다. 두 소비자의 ω'를 통과하는 무차별 곡선은 더 옅은 색으로 표시되어 있다.
제안 곡선은 반드시 부존자원 점 ω를 통과한다. 애비를 예로 들면, 그녀의 무차별 곡선 중 하나가 ω를 통과해야 하고, 예산선은 이곳에서 무차별 곡선과 동일한 기울기를 가지도록 선택될 수 있으며, 따라서 ω는 이 선에 대해 가장 선호되는 점이 된다.
에지워스 박스 제안 곡선
결과적으로 두 소비자의 제안 곡선은 필연적으로 ω에서 교차한다. 그러나 이러한 현상을 가능하게 하는 속성은 ω가 서로 다른 기울기를 가진 예산선과 일치하는 유일한 가능한 교차점이라는 것이며, 따라서 반드시 균형을 구성하는 것은 아니다.
ω 이외의 지점에서 제안 곡선이 교차하면 안정적인 균형이 결정된다. 두 제안 곡선이 부존자원 지점에서 접한다면, 이 지점은 실제로 균형이며 그들의 공통 접선은 해당 예산선이다.
제안 곡선은 빌프레도 파레토가 처음 사용했다. 그의 《Manuale/Manuel》 3장 §97을 참조하라. 그는 이를 '교환 곡선'(linee dei baratti / lignes des échanges)이라고 불렀으며, 옥타비오가 예산선을 따라 선호하는 배분을 '균형점'이라고 불렀다.
이 선호 배분은 오늘날 때때로 옥타비오의 '수요'라고 불리는데, 이는 대칭적인 사실을 비대칭적으로 기술하는 것이다. 배분은 옥타비오의 보유량뿐만 아니라 애비의 보유량도 결정하므로, 수요만큼이나 공급이기도 하다.
에지워스 박스 제안 곡선
'Offre'는 프랑스어로 '공급'을 의미하므로, 제안 곡선을 수요의 궤적이라고 부르는 것은 공급 곡선을 수요의 궤적이라고 부르는 것과 마찬가지이다.
경제적 고려 사항에 따르면 주어진 부존자원을 통해 공유 접선이 존재하고 무차별 곡선의 형태가 병리적이지 않다면 접점은 유일할 것이라고 가정할 수 있다. 그러나 이는 사실이 아닌 것으로 밝혀졌다. 균형의 유일성 조건은 광범위한 연구의 대상이었다. 일반균형이론을 참조하라.
그림 9와 10은 Mas-Colell 등의 예시를 보여주며, 이 예시에서는 부존자원 지점 ω에 세 가지 다른 균형이 해당한다. 무차별 곡선은 다음과 같다.
(옥타비오)
(애비).
무차별 곡선은 박스를 채우지만, 몇몇 대표적인 예산선에 접하는 경우에만 표시된다. 그림 11에 그려진 제안 곡선은 큰 회색 점으로 표시된 세 지점에서 교차하며, 이는 각각 1⁄2, 1, 2의 교환율에 해당한다.
에지워스 박스 일반화
균형의 속성에 대한 초기 검토는 접선이라는 암묵적 정의에 기반을 두었고, 볼록성은 암묵적으로 가정된 것으로 보인다. 균형이 달성될 것이라는 데는 의심의 여지가 없었다. 경사 하강법은 균형으로 이끌 것이다. 그러나 결과는 일반성을 결여했다.
케네스 애로와 제라르 드브뢰는 1951년에 독립적으로 논문을 발표하여 균형 정리의 미분 증명에 대한 한계에 주목했다. 애로는 특히 경계에서의 균형으로 인한 어려움을 언급했고, 드브뢰는 미분 불가능한 무차별 곡선 문제를 언급했다.
포괄적인 설명을 목표로 하지 않고도, 이러한 경우에 우리의 방법을 어떻게 확장할 수 있는지 직관적으로 쉽게 알 수 있다. 우리는 곡선에 접하는 모든 선을 포함하도록 접선의 개념을 확장해야 한다. 즉, 미분 미적분학의 의미가 아닌 어원학적 의미의 접선이다. 그림 12의 예시에서 접점(point of contact)을 통과하는 합법적인 가격선의 호가 있는데, 각 선은 박스 안에서 무차별 곡선을 자르지 않고 접하며, 따라서 주어진 부존자원에 대해 가능한 균형의 범위가 존재한다.
에지워스 박스 일반화
그림 12의 균형은 곡선들이 서로 진정한 접선을 이루는 지점이 아니다. 그러나 이들은 접선을 통한 정의를 일반화하는 속성을 가지고 있는데, 그것은 두 곡선이 직선에 의해 국소적으로 분리될 수 있다는 것이다.
애로와 드브뢰는 1951년의 (독립적인) 논문에서 서로 동일한 방식으로 균형을 정의했으며, 그들의 정의에 대한 출처나 근거를 제공하지 않았다. 그들은 1954년의 공동 논문(균형의 존재에 관한)에서 그들의 정의를 유지했다. 새로운 정의는 수학적 기법을 미분 미적분학에서 볼록 집합 이론으로 변경해야 했다.
그들의 정의는 사실상 다음과 같았다: 부존자원 ω로부터 달성 가능한 균형은 배분 x와 x와 ω를 통과하는 예산선으로 구성되며, 이 예산선을 따라 어느 소비자도 x보다 (엄격하게) 선호하는 지점이 없어야 한다. 이 속성을 만족하는 배분과 선의 쌍을 '왈라스 균형' 또는 경쟁 균형이라고 한다.
에지워스 박스 일반화
이 정의의 예산선은 두 소비자의 무차별 곡선을 분리하는 선이지만, 국소적으로가 아니라 전역적으로 분리한다. 애로와 드브뢰는 왜 전역적 분리를 요구하는지 설명하지 않는데, 이는 그들의 증명을 더 쉽게 만들었을 수도 있지만 예상치 못한 결과를 초래할 수 있다. 그림 13에서 지점 x는 접점이며, 무차별 곡선이 점선 가격선에 의해 국소적으로 분리되는 지점이기도 하다. 그러나 전역적으로 분리되지 않으므로, 애로와 드브뢰의 정의에 따르면 이 지점은 균형이 아니다.
그림 14에서 지점 x는 경쟁 균형의 정의를 만족하지 않는 파레토 최적이다. 경제가 그러한 지점에 정착할 것인지에 대한 질문은 주어진 균형 정의를 만족하는지 여부와는 완전히 별개이다. 분명히 이 경우 경제는 실제로 그 지점에 정착할 것이다.
에지워스 박스 일반화
애로와 드브뢰는 항상 무차별 곡선의 볼록성을 그들의 '가정'에 포함했다. '가정'이라는 용어는 정의와 정리의 기초가 되는 전제, 또는 후자에만 필요한 전제를 의미할 수 있는 모호한 용어이다. 그들의 정의가 곡선이 비볼록할 때 존재할 수 있는 모든 균형을 포함하지 않는다는 점을 고려하면, 그들이 볼록성 가정을 전자 의미로 의도했을 가능성이 있다. 그렇든 아니든, 이 정의는 영역의 제한 없이 널리 채택되었다.
때때로 증명에서 볼록성을 가정하지 않고도 그들의 정의하에서 결과가 도출될 수 있음이 밝혀졌다 (후생경제학의 제1 기본 정리가 그 예이다).
일부 경제에서는 균일한 가격으로 교환하여 주어진 부존자원으로부터 도달할 수 있는 정착점이 없을 것이다. 따라서 경쟁 균형의 정의를 만족하는 정착점은 존재하지 않는다. 그림 14와 같은 패턴의 곡선 군이 그 예시이다.
균형이 '경쟁 균형'으로 정의되면, 무차별 곡선이 볼록할 필요가 없어도 제1 기본 정리를 증명할 수 있다. 즉, 어떤 경쟁 균형이든 (전역적으로) 파레토 최적이다. 그러나 증명은 더 이상 명확하지 않으며, 후생경제학의 기본 정리에 대한 문서를 참조해야 한다.
에지워스 박스 일반화
동일한 결과는 균형의 접선 정의 하에서는 (비볼록 무차별 곡선과 함께) 성립하지 않는 것으로 간주되었을 것이다. 그림 13의 지점 x는 노란색 영역이 파레토 우위하므로 (전역적으로) 최적이 아닌 균형으로 간주되었을 것이다.
균형의 달성 가능성이 의심스러워졌기 때문에 결과가 강화되었다고는 할 수 없다. 그림 13에서 지점 x는 '경쟁 균형'이 아닐 수 있지만, 경제는 그곳에 갇혀 '진정한'(그리고 파레토 최적의) 균형에 도달하지 못할 수 있다.
균형이 실제로 달성될 것이라는 점은 항상 제1 후생정리의 핵심으로 간주되었다. 러너(Lerner)의 정리에 대한 해석은 "다행히도 상품의 최적 배분은 자동으로 달성될 수 있다"는 것이었다. 그러나 국소 최적점이 존재할 때 전역 최적점이 달성될 것이라고 보장할 수 있는 것은 없다. 만약 균형의 개념이 x와 같은 국소 최적점을 포함한다면, 균형은 달성 가능하지만 차선책일 수 있다. 만약 그러한 점들이 제외된다면, 균형은 최적일 수 있지만 달성 불가능할 수 있다.
비볼록성으로 인한 차이는 제2 기본 정리를 살펴볼 때 더욱 깊어진다. 모든 파레토 최적점이 경쟁 균형인 것은 아니다 (비록 여전히 경제의 정착점일 수 있더라도). 결과적으로 이 정리는 선호의 볼록성을 전제로 하거나, '균형'이 위에서 정의한 '경쟁 균형'으로 이해되지 않도록 명시되어야 한다.
에지워스 박스 각주
빌프레도 파레토, Manuale di Economia Politica con una Introduzione alla Scienza Sociale (1906) / Manuel d'Économie Politica (1909) (사실상 이탈리아어판의 제2판), Eng. tr. (프랑스어판) as "Manual of Political Economy" (1971). 이탈리아어 원문은 https://archive.org/details/manualedieconomi00pareuoft 에서 온라인으로 이용 가능하다.
다나카 와타루
다나카 와타루(일본어: 田中 渉 (たなか わたる), 2000년 9월 23일~)는 일본의 축구 선수이다.
다나카 와타루 구단 경력
그는 2019년 J1리그의 베갈타 센다이에 입단했다. 2021년 7월 J2리그의 레노파 야마구치 FC로 이적했다. 2022년까지 55경기에 출전하여, 6득점을 넣었다. 2023년 몬테디오 야마가타로 이적했다. 2024년 가고시마 유나이티드 FC로 임대 이적했다. 2025년 몬테디오 야마가타로 복귀했다.
디사로 아키라 실바노
디사로 아키라 실바노(일본어: ディサロ 燦 シルヴァーノ (ディサロ あきら シルヴァーノ), 1996년 4월 2일~)는 일본의 축구 선수이다.
디사로 아키라 실바노 구단 경력
그는 2019년 J3리그의 기라반츠 기타큐슈에 입단했다. 2019년 J3리그 우승으로 J2리그로 승격했다. 2020년엔 리그 35경게 출전하여 18득점을 기록했다. 2021년 J1리그의 시미즈 에스펄스로 이적했다. 2022년 7월 J2리그의 몬테디오 야마가타로 임대 이적했다. 2023년 J2리그의 시미즈 에스펄스로 복귀했다. 2023년 7월부터 2024년 6월까지 J1리그의 쇼난 벨마레에서 뛰었다. 2024년 7월 J2리그의 몬테디오 야마가타로 이적했다.
시바타 소스케
시바타 소스케(일본어: 柴田 壮介 (しばた そうすけ), 2001년 5월 26일~)는 일본의 축구 선수이다.
시바타 소스케 구단 경력
그는 2018년 J1리그의 쇼난 벨마레에 입단했다. 2018년에 J리그컵 우승을 차지했다. 2022년부터 2023년까지 J3리그의 카탈레 도야마에서 뛰었다. 2024년 반라우레 하치노헤로 이적했다. 2024년 8월 J2리그의 이와키 FC로 이적했다.
구사노 유키
구사노 유키(일본어: 草野 侑己 (くさの ゆうき), 1996년 7월 21일~)는 일본의 축구 선수이다.
구사노 유키 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 요코하마 FC에 입단했다. 2019년 J2리그 준우승으로 J1리그로 승격했다. 2021년부터 2022년까지 J2리그의 레노파 야마구치 FC와 FC 류큐에서 뛰었다. 2023년 미토 홀리호크로 이적했다.
나가오 유토
나가오 유토(일본어: 長尾 優斗 (ながお ゆうと), 2001년 8월 31일~)는 일본의 축구 선수이다.
나가오 유토 구단 경력
그는 2019년까지 J3리그의 감바 오사카 U-23에서 뛰었다. 2020년부터 2023년까지 간세이 가쿠인 대학에서 활동했다. 2024년 J2리그의 미토 홀리호크에 입단했다.
무라타 고이치
무라타 고이치(일본어: 村田 航一 (むらた こういち), 1996년 9월 6일~)는 일본의 축구 선수이다.
무라타 고이치 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 미토 홀리호크에 입단했다.
우라카미 니키
우라카미 니키(일본어: 浦上 仁騎 (うらかみ にき), 1996년 11월 11일~)는 일본의 축구 선수이다.
우라카미 니키 구단 경력
그는 2019년 J3리그의 AC 나가노 파르세이루에 입단했고, 2년동안 팀에서 뛰었다. 2021년 J2리그의 방포레 고후로 이적했다. 2022년까지 75경기에 출전하여, 2득점을 넣었다. 2023년 오미야 아르디자로 이적했다. 2023년후 J3리그에 강등했다. 2024년 J3리그 우승으로 J2리그로 승격했다. 2025년 6월 홋카이도 콘사돌레 삿포로로 이적했다.
나카노 가쓰야
나카노 가쓰야(일본어: 中野 克哉 (なかの かつや), 1996년 9월 13일~)는 일본의 축구 선수이다.
나카노 가쓰야 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 교토 상가 FC에 입단했다. 2021년까지 33경기에 출전하여, 2득점을 넣었다. 2022년 FC 류큐로 이적했다. 2022년후 J3리그에 강등했다. 2024년 오미야 아르디자로 이적했다. 2024년 J3리그 우승으로 J2리그로 승격했다. 2025년 6월 J3리그의 도치기 SC로 이적했다.
계약 곡선
미시경제학에서 계약 곡선(영어: Contract curve) 또는 파레토 집합(Pareto set)은 두 사람 간에 재화의 초기 할당량이 주어졌을 때 상호 이익이 되는 거래의 결과로 발생할 수 있는 두 재화의 최종 할당량을 나타내는 점들의 집합이다. 이 자취 상의 모든 점들은 파레토 최적 할당량이며, 이는 이러한 점들 중 어느 한 점에서도 다른 사람을 덜 만족시키지 않고는 한 사람의 할당량을 더 만족시킬 수 있는 재할당이 없다는 것을 의미한다. 계약 곡선은 두 재화의 초기 보유량으로부터 거래를 통해 도달할 수 있는 파레토 효율적인 점들의 부분 집합이다. 이는 여기에 보이는 에지워스 박스 다이어그램에 그려져 있는데, 각 사람의 할당량은 한 재화에 대해 수직으로, 다른 재화에 대해 수평으로 그 사람의 원점(두 재화의 할당량이 0인 지점)에서 측정된다. 한 사람의 원점은 에지워스 박스의 왼쪽 하단 모서리이고, 다른 사람의 원점은 박스의 오른쪽 상단 모서리이다. 사람들의 초기 부존량(두 재화의 시작 할당량)은 다이어그램의 한 점으로 표시된다. 두 사람은 더 이상 상호 이익이 되는 거래가 불가능할 때까지 서로 재화를 거래할 것이다. 개념적으로 그들이 멈출 수 있는 점들의 집합은 계약 곡선 상의 점들이다.
계약 곡선
그러나 대부분의 저자들은 계약 곡선을 한 원점에서 다른 원점까지의 전체 파레토 효율 자취로 식별한다.
모든 왈라스 균형은 계약 곡선 상에 있다. 파레토 최적인 모든 점과 마찬가지로, 계약 곡선 상의 각 점은 한 사람의 무차별 곡선과 다른 사람의 무차별 곡선 사이의 접점이다. 따라서 계약 곡선 상에서는 한계대체율이 두 사람에게 동일하다.
계약 곡선 예시
위 에지워스 박스 다이어그램에 나와 있듯이, 고정된 공급량을 가진 두 재화 X와 Y를 소비하는 두 행위자 옥타비오와 애비를 가진 경제가 존재한다고 가정해 보자. 또한, 옥타비오와 애비 사이에 재화의 초기 분포(부존량)를 가정하고, 각자가 해당 원점에 대해 볼록한 정상적으로 구조화된 (볼록한) 선호를 무차별 곡선으로 나타낸다고 가정해 보자. 초기 할당량이 옥타비오의 무차별 곡선과 애비의 무차별 곡선 사이의 접점에 있지 않다면, 그 초기 할당량은 옥타비오의 무차별 곡선이 애비의 무차별 곡선과 교차하는 지점에 있어야 한다. 이 두 무차별 곡선은 렌즈 모양을 형성하며, 초기 할당량은 렌즈의 두 모서리 중 하나에 있다. 옥타비오와 애비는 상호 이익이 되는 거래를 선택할 것이다. 즉, 그들은 둘 모두에게 더 나은 (원점에서 더 먼) 무차별 곡선 상의 지점으로 거래할 것이다. 이러한 지점은 렌즈의 내부에 있을 것이며, 한 재화가 다른 재화로 거래될 비율은 옥타비오의 한계대체율과 애비의 한계대체율 사이에 있을 것이다. 거래는 항상 각 사람에게 한 재화는 더 많이, 다른 재화는 더 적게 제공할 것이므로, 거래는 다이어그램에서 위쪽과 왼쪽으로, 또는 아래쪽과 오른쪽으로 이동하는 결과를 낳는다.
계약 곡선 예시
두 사람은 각자의 한계대체율(해당 지점에서 사람의 무차별 곡선 기울기의 절댓값)이 현재 할당량에서 다른 사람의 한계대체율과 다른 한 계속 거래할 것이다(이 경우, 다른 한계대체율 사이에서 한 재화에 대한 다른 재화의 상호 허용 가능한 거래 비율이 있을 것이다). 옥타비오의 한계대체율이 애비의 한계대체율과 같아지는 지점에서는 더 이상 상호 이익이 되는 교환이 불가능하다. 이 지점을 파레토 최적 균형이라고 한다. 에지워스 박스에서 이는 옥타비오의 무차별 곡선이 애비의 무차별 곡선에 접하고, 그들의 초기 할당량으로 형성된 렌즈 내부에 있는 지점이다.
따라서 옥타비오와 애비가 도달할 수 있는 점들의 집합인 계약 곡선은 초기 할당량으로 형성된 렌즈 내부에 있는 파레토 효율 자취의 구간이다. 이 분석으로는 계약 곡선 상의 어느 특정 지점에 도달할지는 알 수 없다. 이는 두 사람의 협상 기술에 달려 있다.
계약 곡선 수학적 설명
두 재화와 두 개인의 경우, 계약 곡선은 다음과 같이 찾을 수 있다. 여기서 은 개인 1에게 할당된 재화 2의 최종량을 의미하고, 과 는 각각 개인 1과 개인 2가 경험하는 최종 효용 수준을 의미하며, 는 거래를 전혀 하지 않았을 때 개인 2가 초기 할당량에서 받을 효용 수준을 의미하고, 와 는 각각 재화 1과 2의 고정된 총 가용량을 의미한다.
제약 조건:
이 최적화 문제는 두 재화의 총량이 두 사람에게 할당된 양을 초과하지 않도록, 그리고 두 번째 사람의 효용이 초기 할당량보다 낮아지지 않도록 (따라서 두 번째 사람이 초기 할당량에서 찾아낸 지점으로 거래하는 것을 거부하지 않도록) 첫 번째 사람의 효용을 가능한 한 높게 유지하는 방식으로 재화를 두 사람에게 할당해야 한다는 것을 명시한다. 이 문제의 공식화는 렌즈 상의 파레토 효율적인 지점을 개인 1의 원점에서 가능한 한 멀리 찾아낸다. 이것은 개인 1이 모든 협상력을 가졌을 때 달성될 수 있는 지점이다. (사실, 개인 2가 식별된 지점으로 거래하는 데 동의하도록 최소한의 작은 인센티브를 주기 위해서는 그 지점이 렌즈 안에 약간 있어야 한다.)
계약 곡선 수학적 설명
전체 계약 곡선을 추적하기 위해 위 최적화 문제는 다음과 같이 수정될 수 있다. 각 재화의 할당량이 그 공급량을 초과하지 않도록 하는 제약 조건과 두 사람 모두의 효용이 초기 부존량에서의 효용보다 최소한 같거나 커야 한다는 제약 조건 하에서, b와 1 – b의 가중치를 사용하여 개인 1과 개인 2의 효용의 가중 평균을 최대화한다.
제약 조건:
여기서 은 개인 1이 초기 부존량으로부터 거래하지 않고 경험할 효용이다. 가중치 매개변수 b를 변화시킴으로써 전체 계약 곡선을 추적할 수 있다. b = 1이면 문제는 이전 문제와 동일하며, 초기 부존량의 무차별 곡선으로 형성된 렌즈의 한쪽 가장자리에 있는 효율적인 지점을 식별한다. b = 0이면 모든 가중치가 개인 1의 효용이 아닌 개인 2의 효용에 가해지므로, 최적화는 렌즈의 다른 가장자리에 있는 효율적인 지점을 식별한다. b가 이 두 극단 사이에서 부드럽게 변함에 따라 계약 곡선 상의 모든 중간 지점이 추적된다.
위의 최적화는 두 사람이 명시적으로나 암묵적으로 실제로 참여할 수 있는 최적화가 아니다. 대신, 이러한 최적화는 경제학자가 계약 곡선 상의 지점을 식별하는 단순한 방법일 뿐이다.
가와노 다카시
가와노 다카시(일본어: 河野 貴志 (かわの たかし), 1996년 6월 17일~)는 일본의 축구 선수이다.
가와노 다카시 구단 경력
그는 2019년 J3리그의 기라반츠 기타큐슈에 입단했다. 2019년 J3리그 우승으로 J2리그로 승격했다. 2021년후 J3리그에 강등했다. 2023년 J2리그의 블라우블리츠 아키타로 이적했다. 2024년까지 77경기에 출전하여, 5득점을 넣었다. 2025년 제프 유나이티드 지바로 이적했다.
고바야시 이와나
고바야시 이와나(일본어: 小林 岩魚 (こばやし いわな), 1996년 10월 17일~)는 일본의 축구 선수이다.
고바야시 이와나 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 방포레 고후에 입단했다. 2022년에 천황배 우승을 차지했다.
나카야마 리쿠
나카야마 리쿠(일본어: 中山 陸 (なかやま りく), 2001년 1월 22일~)는 일본의 축구 선수이다.
나카야마 리쿠 구단 경력
그는 2018년 J2리그의 방포레 고후에 입단했다. 2021년 7월 J3리그의 카탈레 도야마로 임대 이적했다. 2022년 방포레 고후로 복귀했다. 2022년 8월 J3리그의 마쓰모토 야마가 FC로 임대 이적했다. 2023년 방포레 고후로 복귀했다.
경쟁 균형
경쟁 균형(영어: Competitive equilibrium또는 왈라스 균형(Walrasian equilibrium))은 1951년 케네스 애로와 제라르 드브뢰가 도입한 경제적 균형의 개념으로, 가격이 유연하고 거래자가 많은 상품 시장 분석에 적합하며, 경제 분석에서 효율성의 벤치마크 역할을 한다. 이는 각 거래자가 시장에서 거래되는 총량에 비해 너무 작은 수량을 결정하여 개별 거래가 가격에 영향을 미치지 않는 완전 경쟁 환경을 가정하는 데 결정적으로 의존한다. 경쟁 시장은 다른 시장 구조가 평가되는 이상적인 기준이다.
경쟁 균형 정의
경쟁 균형(CE)은 두 가지 요소로 구성된다:
이러한 요소들은 다음 요구 사항을 충족해야 한다:
, 만약 이면 .
종종 초기 보유 행렬 가 있다. 모든 에 대해 는 에이전트 의 초기 보유량이다. 이 경우, CE는 몇 가지 추가 요구 사항을 충족해야 한다:
.
.
.
이 정의는 여러 상품 배열이 동등하게 매력적일 수 있는 가능성을 명시적으로 허용한다. 또한 가격이 0일 때도 마찬가지다. 대안적인 정의는 수요 집합의 개념에 의존한다. 가격 함수 P와 효용 함수 U를 가진 에이전트가 주어졌을 때, 특정 상품 묶음 x는 다음 경우에 에이전트의 수요 집합에 속한다:  (다른 모든 묶음 y에 대해). 경쟁 균형은 가격 함수 P와 할당 행렬 X로 구성되며, 다음을 만족한다:
경우에 따라 합리성 조건이 완화된 균형을 정의하는 것이 유용하다. 양의 값  (통화 단위, 예를 들어 달러로 측정됨)이 주어졌을 때, 가격 벡터 와 묶음 가 있다면, 을 에 있는 모든 품목이 에서 가진 동일한 가격을 가지며, 에 없는 모든 품목은 에서의 가격보다 만큼 더 높은 가격이 매겨진 가격 벡터로 정의한다.
경쟁 균형 정의
-경쟁 균형에서, 에이전트에게 할당된 묶음 는 수정된 가격 벡터 에 대한 해당 에이전트의 수요 집합에 속해야 한다.
이 근사는 매수/매도 수수료가 있을 때 현실적이다. 예를 들어, 에이전트가 품목의 가격 외에 품목 한 단위를 구매하는 데  달러를 지불해야 한다고 가정해 보자. 해당 에이전트는 현재 묶음이 가격 벡터 에 대한 수요 집합에 있는 한 그것을 유지할 것이다. 이는 균형을 더욱 안정적으로 만든다.
경쟁 균형 예시
다음 예시들은 제인과 켈빈 두 에이전트, 바나나(x)와 사과(y) 두 가지 재화가 있고 화폐가 없는 교환 경제를 다룬다.
1. 그래픽 예시: 초기 할당이 X 지점이라고 가정해 보자. 이 지점에서 제인은 켈빈보다 사과를 더 많이 가지고 있고, 켈빈은 제인보다 바나나를 더 많이 가지고 있다.
제인의 무차별 곡선 과 켈빈의 무차별 곡선 을 보면 이것이 균형이 아님을 알 수 있다. 즉, 두 에이전트 모두 와  가격에서 서로 거래할 의향이 있다. 거래 후, 제인과 켈빈 모두 더 높은 효용 수준을 나타내는 무차별 곡선 와 로 이동한다. 새로운 무차별 곡선들은 E 지점에서 교차한다. 두 곡선의 접선 기울기는 -와 같다.
그리고 ;
.
제인의 한계대체율(MRS)은 켈빈의 한계대체율과 같다. 따라서 두 개인 사회는 파레토 최적에 도달하며, 이는 다른 사람을 더 나쁘게 만들지 않고서는 제인이나 켈빈을 더 좋게 만들 방법이 없음을 의미한다.
2. 산술 예시::322–323 두 에이전트가 모두 콥-더글라스 효용 함수를 가진다고 가정하자:
여기서 는 상수이다.
경쟁 균형 예시
초기 보유량은 이라고 가정한다.
x에 대한 제인의 수요 함수는 다음과 같다:
x에 대한 켈빈의 수요 함수는 다음과 같다:
x에 대한 시장 청산 조건은 다음과 같다:
이 방정식은 균형 가격 비율을 산출한다:
y에 대해서도 유사한 계산을 할 수 있지만, 왈라스의 법칙이 결과가 동일할 것을 보장하기 때문에 필요하지 않다. CE에서는 상대 가격만 결정된다는 점에 유의한다; 예를 들어 을 요구함으로써 가격을 정규화할 수 있다. 그러면 를 얻는다. 하지만 다른 어떤 정규화도 작동할 것이다.
3. 비존재 예시: 에이전트들의 효용이 다음과 같다고 가정하자:
그리고 초기 보유량은 [(2,1),(2,1)]이다.
CE에서는 모든 에이전트가 x만 또는 y만 가지고 있어야 한다 (다른 상품은 효용에 아무런 기여를 하지 않으므로 에이전트는 그것을 교환해 버리고 싶어할 것이다). 따라서 가능한 CE 할당은 [(4,0),(0,2)]와 [(0,2),(4,0)]뿐이다. 에이전트들이 동일한 소득을 가지므로, 필연적으로 가 된다. 하지만 그렇다면 y 2단위를 가진 에이전트는 그것을 x 4단위로 교환하기를 원할 것이다.
경쟁 균형 예시
4. 선형 효용과 관련된 존재 및 비존재 예시는 선형 효용#예시를 참조한다.
경제에 분할 불가능한 품목이 있는 경우, 일반적으로 화폐도 분할 가능하다고 가정한다. 에이전트들은 준선형 효용 함수를 가지는데, 이는 그들의 효용이 가진 화폐의 양과 보유한 품목 묶음으로부터 얻는 효용을 합한 것이다.
A. 단일 품목: 앨리스는 자신이 10으로 평가하는 자동차를 가지고 있다. 밥은 차가 없지만, 앨리스의 차를 20으로 평가한다. 가능한 CE는 다음과 같다: 자동차 가격은 15이고, 밥이 차를 받고 앨리스에게 15를 지불한다. 이것은 시장이 청산되고 두 에이전트 모두 초기 묶음보다 최종 묶음을 선호하기 때문에 균형이다. 사실, 10에서 20 사이의 모든 가격은 동일한 할당으로 CE 가격이 될 것이다. 자동차가 앨리스에게 처음부터 있던 것이 아니라 앨리스와 밥 모두 구매자인 경매에 나온 경우에도 동일한 상황이 적용된다: 자동차는 밥에게 돌아가고 가격은 10에서 20 사이가 될 것이다.
경쟁 균형 예시
반면에 10 미만의 가격은 초과 수요(앨리스와 밥 모두 그 가격에 차를 원함)가 있기 때문에 균형 가격이 아니며, 20을 초과하는 가격은 초과 공급(앨리스와 밥 모두 그 가격에 차를 원하지 않음)이 있기 때문에 균형 가격이 아니다.
이 예시는 이중 경매의 특수한 경우이다.
B. 대체재: 자동차와 말이 경매에서 팔린다. 앨리스는 운송수단에만 관심이 있어, 그녀에게 이들은 완벽한 대체재이다: 말로부터 효용 8, 자동차로부터 효용 9를 얻고, 둘 다 가지면 자동차만 사용하므로 효용은 9이다. 밥은 말로부터 효용 5, 자동차로부터 효용 7을 얻지만, 둘 다 가지면 말을 애완동물로도 좋아하기 때문에 효용은 11이다. 이 경우 균형을 찾기가 더 어렵다 (아래 참조). 가능한 균형은 앨리스가 말을 5에 사고 밥이 자동차를 7에 사는 것이다. 밥은 추가 효용이 4에 불과한 말에 5를 지불하기를 원치 않을 것이고, 앨리스는 추가 효용이 1에 불과한 자동차에 7을 지불하기를 원치 않을 것이므로 이것은 균형이다.
경쟁 균형 예시
C. 보완재: 말과 마차가 경매에서 팔린다. 잠재적 구매자는 AND와 XOR 두 명이다. AND는 말과 마차를 함께 가질 때만 관심을 가지며, 둘 다 가질 때 의 효용을 얻지만 둘 중 하나만 가질 때는 0의 효용을 얻는다. XOR은 말이나 마차 중 하나를 원하지만 둘 다 필요하지는 않다. 둘 중 하나를 가질 때 의 효용을 얻고, 둘 다 가질 때도 동일한 효용을 얻는다. 이 경우, 일 때 경쟁 균형이 존재하지 않는다. 즉, 시장을 청산할 가격이 없다. 증명: 가격의 합(말 가격 + 마차 가격)에 대한 다음 옵션들을 고려한다:
D. 단위 수요 소비자: n명의 소비자가 있다. 각 소비자에게는 의 인덱스가 있다. 단일 유형의 상품이 있다. 각 소비자 는 최대 단일 단위의 상품을 원하며, 이는 그에게 의 효용을 준다. 소비자들은 가 약하게 증가하는 함수가 되도록 정렬된다. 공급이  단위인 경우, 을 만족하는 모든 가격 는 균형 가격이다. 왜냐하면 상품을 구매하려는 소비자 또는 구매 여부에 무차별한 소비자가 k명 있기 때문이다. 공급 증가는 가격 하락을 유발한다는 점에 유의한다.
경쟁 균형 경쟁 균형의 존재
애로-드브뢰 모형은 다음과 같은 조건을 만족하는 가분 상품을 가진 모든 교환 경제에 경쟁 균형이 존재함을 보여준다:
증명은 여러 단계로 진행된다.:319–322
A. 구체적으로, 명의 에이전트와 개의 가분 상품이 있다고 가정한다. 가격의 합이 1이 되도록 정규화한다. 즉, . 그러면 모든 가능한 가격의 공간은  내의 차원 단위 심플렉스이다. 이 심플렉스를 가격 심플렉스라고 부른다.
B. 를 초과 수요 함수라고 하자. 이는 초기 보유량 가 상수로 유지될 때 가격 벡터 의 함수이다:
에이전트들이 엄격하게 볼록 선호를 가질 때, 마샬 수요 함수는 연속적임이 알려져 있다. 따라서 도 의 연속 함수이다.
C. 가격 심플렉스에서 자기 자신으로의 다음 함수를 정의한다:
이것은 연속 함수이므로 브라우어르 고정점 정리에 의해 다음을 만족하는 가격 벡터 가 존재한다:
따라서,
D. 왈라스의 법칙과 약간의 대수학을 사용하여, 이 가격 벡터에 대해 어떤 상품에도 초과 수요가 없음을 보일 수 있다. 즉,
E. 바람직성 가정은 모든 상품이 엄격하게 양의 가격을 가진다는 것을 의미한다:
왈라스의 법칙에 의해 이다. 그러나 이는 위 부등식이 등식이 되어야 함을 의미한다: