hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
비아 (일렉트로닉스) 집적 회로의 비아
집적 회로 (IC) 설계에서 비아는 서로 다른 층 간의 전도성 연결을 허용하는 절연 산화물 층의 작은 개구부이다. 실리콘 웨이퍼 또는 다이를 완전히 통과하는 집적 회로의 비아는 칩 관통 비아 또는 실리콘 관통 비아(TSV)라고 한다. 코닝은 실리콘 패키징에 비해 유리의 전기적 손실이 감소하기 때문에 유리 관통 비아(TGV)를 반도체 패키징용으로 연구해왔다. 가장 낮은 금속층을 확산층 또는 폴리층에 연결하는 비아는 일반적으로 "컨택"이라고 불린다.
비아 (일렉트로닉스) 추가 자료
“Via Tenting - Overview of the variations”. 《WE Online》. Würth Elektronik GmbH & Co. KG. 2014. Printed Circuit Boards > Layout > Design Tip > Tenting. 2017년 12월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 18일에 확인함.
“Via Plugging - Overview of the variations”. 《WE Online》. Würth Elektronik GmbH & Co. KG. 2014. Printed Circuit Boards > Layout > Design Tip > Plugging. 2017년 12월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 18일에 확인함.
비아 (일렉트로닉스) 추가 자료
“Via Filling - Overview of the variations”. 《WE Online》. Würth Elektronik GmbH & Co. Co. KG. 2013. Printed Circuit Boards > Layout > Design Tip > Filling. 2017년 12월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 18일에 확인함.
“Microvia Filling”. 《WE Online》. Würth Elektronik GmbH & Co. Co. KG. 2015. Printed Circuit Boards > Layout > Design Tip > Microvia Filling. 2017년 12월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 12월 18일에 확인함.
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버터워스 필터
버터워스 필터(Butterworth filter)는 통과대역에서 최대한 평탄한 주파수 응답을 가지도록 설계된 신호 처리 필터의 한 종류이다. 최대 평탄 필터(maximally flat magnitude filter)라고도 불린다. 1930년 영국의 엔지니어이자 물리학자인 스티븐 버터워스가 그의 논문 "On the Theory of Filter Amplifiers"에서 처음 기술했다.
버터워스 필터 원본 논문
버터워스는 '불가능하다'고 여겨지는 매우 복잡한 수학적 문제를 해결하는 것으로 명성이 높았다. 당시 필터 설계는 당시 사용되던 이론의 한계 때문에 상당한 설계자의 경험이 필요했다. 버터워스 필터는 출판 후 30년 이상 일반적인 사용이 이루어지지 않았다. 버터워스는 다음과 같이 말했다.
이러한 이상적인 필터는 달성할 수 없지만, 버터워스는 적절한 값을 가진 더 많은 수의 필터 소자를 사용하면 점진적으로 더 나은 근사치가 얻어진다는 것을 보여주었다. 당시 필터는 통과대역에서 상당한 잔물결(ripple)을 생성했고, 부품 값의 선택은 상호 작용이 매우 심했다. 버터워스는 로우패스 필터를 설계할 수 있음을 보여주었는데, 이 필터의 이득은 주파수 함수(즉, 주파수 응답의 크기)로서 다음과 같다.
버터워스 필터 원본 논문
여기서 는 초당 라디안 단위의 각진동수이고 은 필터의 극의 수로, 수동 필터에서는 반응성 소자의 수와 같다. 차단 주파수(대략 -3 dB 또는 전압 이득이 1/√2 ≈ 0.7071인 반파력점)는  = 1 라디안/초로 정규화된다. 버터워스는 그의 논문에서 짝수 개의 극을 가진 필터만 다루었지만, 홀수 차수 필터는 짝수 차수 필터의 출력에 단극 필터를 추가하여 만들 수 있다. 그는 2극 필터를 진공관 앰프로 분리하여 고차 필터를 만들었다. 그의 논문에 있는 원래 그래프에서 2, 4, 6, 8, 10극 필터의 주파수 응답 플롯은 A, B, C, D, E로 표시되어 있다.
버터워스는 2극 및 4극 필터에 대한 방정식을 풀어 4극 필터가 진공관 앰프에 의해 분리될 때 어떻게 캐스케이드될 수 있는지 보여주었고, 이로써 유도자 손실에도 불구하고 고차 필터의 구성을 가능하게 했다. 1930년에는 몰리퍼멀로이와 같은 저손실 코어 재료가 발견되지 않았으며, 공심 오디오 유도자는 상당히 손실이 많았다. 버터워스는 유도자의 권선 저항을 보상하기 위해 필터의 부품 값을 조정하는 것이 가능하다는 것을 발견했다.
그는 플러그인 단자가 있는 직경 1.25인치, 길이 3인치의 코일 형태를 사용했다. 관련 콘덴서와 저항은 권선된 코일 형태 안에 포함되었다. 코일은 플레이트 부하 저항의 일부를 형성했다. 진공관 당 두 개의 극이 사용되었고, 후속 관의 격자에는 RC 결합이 사용되었다.
버터워스는 또한 기본적인 로우패스 필터가 로우패스, 하이패스, 대역 통과, 대역 차단 기능을 제공하도록 수정될 수 있다는 것을 보여주었다.
버터워스 필터 개요
버터워스 필터의 주파수 응답은 통과대역에서 최대 평탄(즉, 잔물결이 없음)하며 저지대역에서 0으로 롤오프한다. 로그 보데 선도에서 보면 응답은 음의 무한대를 향해 선형적으로 기울어진다. 1차 필터의 응답은 옥타브당 -6 dB(decade당 -20 dB)로 롤오프한다(모든 1차 로우패스 필터는 동일한 정규화된 주파수 응답을 가진다). 2차 필터는 옥타브당 -12 dB, 3차 필터는 옥타브당 -18 dB 등으로 감소한다. 버터워스 필터는 통과대역 및 저지대역에 비단조 잔물결이 있는 다른 필터 유형과 달리 에 대해 단조적으로 변화하는 크기 함수를 갖는다.
체비셰프 I/II형 필터 또는 타원 필터와 비교할 때 버터워스 필터는 롤오프가 더 느리므로 특정 저지대역 사양을 구현하기 위해 더 높은 차수가 필요하지만, 버터워스 필터는 체비셰프 I/II형 필터 및 타원 필터보다 통과대역에서 더 선형적인 위상 응답을 갖는다.
버터워스 필터 예시
오른쪽 그림에 표시된 3차 로우패스 버터워스 필터 설계의 전달 함수는 다음과 같다.
버터워스 필터의 간단한 예는 오른쪽 그림에 표시된 3차 로우패스 설계로,  = 4/3 F,  = 1 Ω,  = 3/2 H,  = 1/2 H이다. 콘덴서 의 온저항을 로, 유도자 의 온저항을 로 취하면(여기서 는 복소 주파수), 회로 방정식은 이 장치에 대한 전달 함수를 산출한다.
주파수 응답의 크기(이득) 는 다음으로 주어진다.
다음에서 얻어진다.
그리고 위상은 다음으로 주어진다.
군지연은 각주파수에 대한 위상 편이의 음수 미분으로 정의되며, 서로 다른 주파수에 대한 위상 차이에 의해 신호에 도입되는 왜곡의 측정값이다. 이 필터의 이득과 지연은 왼쪽 그래프에 플롯되어 있다. 이득 곡선에는 통과대역이나 저지대역 모두에 잔물결이 없다.
전달 함수 의 절댓값의 로그는 오른쪽 두 번째 그래프에서 복소 주파수 공간에 플롯되어 있다. 이 함수는 복소 주파수 평면의 왼쪽 절반에 있는 세 개의 극으로 정의된다.
버터워스 필터 예시
이들은 실수  축에 대해 대칭적으로 단위 반경의 원 위에 배열되어 있다. 이득 함수는 원을 완성하기 위해 오른쪽 절반 평면에 세 개의 극을 더 갖게 된다.
각 유도자를 콘덴서로, 각 콘덴서를 유도자로 교체하여 하이패스 버터워스 필터를 얻을 수 있다.
대역 통과 버터워스 필터는 각 유도자와 직렬로 콘덴서를 놓고 각 콘덴서와 병렬로 유도자를 놓아 공진 회로를 형성함으로써 얻을 수 있다. 각 새 부품의 값은 관심 주파수에서 이전 부품과 공진하도록 선택해야 한다.
대역 차단 버터워스 필터는 각 유도자와 병렬로 콘덴서를 놓고 각 콘덴서와 직렬로 유도자를 놓아 공진 회로를 형성함으로써 얻을 수 있다. 각 새 부품의 값은 차단하려는 주파수에서 이전 부품과 공진하도록 선택해야 한다.
버터워스 필터 전달 함수
모든 필터와 마찬가지로 일반적인 원형 필터는 로우패스 필터이며, 하이패스 필터로 수정하거나 다른 필터와 직렬로 배치하여 대역 통과 및 대역 차단 필터, 그리고 이들의 고차 버전을 형성할 수 있다.
차 버터워스 로우패스 필터의 이득 는 전달 함수 에 대해 다음과 같이 주어진다.
여기서 은 필터의 차수이고, 는 차단 주파수(대략 -3 dB 주파수)이며, 는 DC 이득(제로 주파수에서의 이득)이다.
이 무한대로 접근함에 따라 이득은 사각 함수가 되고  미만의 주파수는 이득 으로 통과되는 반면,  이상의 주파수는 억제됨을 알 수 있다.  값이 작을수록 차단은 덜 날카로워진다.
우리는 라플라스 변환에서 인 전달 함수 를 결정하고자 한다. 이고, 에서 라플라스 변환의 일반적인 속성으로 이므로, 다음과 같이 를 선택하면:
그러면 에서 버터워스 필터의 주파수 응답을 얻게 된다.
이 표현식의 개 극은 반경 의 원 위에 등간격으로 놓여 있으며 음의 실수 축에 대해 대칭이다. 따라서 안정성을 위해 전달 함수 는 의 음의 실수 절반 평면에 있는 극만 포함하도록 선택된다. 번째 극은 다음과 같이 지정된다.
버터워스 필터 전달 함수
따라서
전달(또는 시스템) 함수는 이러한 극을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
.
여기서 는 수열의 곱 연산자이다. 분모는 에 대한 버터워스 다항식이다.
버터워스 다항식은 위와 같이 복소 형태로 쓸 수 있지만, 일반적으로 과 과 같이 복소 공액인 극 쌍을 곱하여 실수 계수로 쓰인다. 다항식은 로 설정하여 정규화된다. 그러면 정규화된 버터워스 다항식은 일반적인 곱 형태로 다음을 갖는다.
1차부터 10차까지의 버터워스 다항식의 인자는 다음 표에 나와 있다(소수점 여섯 자리까지).
1차부터 6차까지의 버터워스 다항식의 인자는 다음 표에 나와 있다(정확한 값).
여기서 그리스 문자 phi( 또는 )는 황금비를 나타낸다. 이는 이차 방정식 의 해인 무리수이며, 그 값은 다음과 같다.
차 버터워스 다항식은 합으로도 쓸 수 있다.
계수 는 재귀 공식으로 다음과 같이 주어진다.
그리고 곱 공식으로 다음과 같이 주어진다.
여기서
또한, 이다. 처음 10개의 버터워스 다항식 에 대한 반올림된 계수 는 다음과 같다.
정규화된 버터워스 다항식은 임의의 로우패스 필터 차단 주파수 에 대한 전달 함수를 결정하는 데 사용할 수 있다.
버터워스 필터 전달 함수
, 여기서
다른 대역 형태로의 변환도 가능하다. 시제품 필터를 참고하라.
및 이라고 가정하면, 주파수에 대한 이득의 미분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이는 이득 가 항상 양수이므로 모든 에 대해 단조적으로 감소한다. 따라서 버터워스 필터의 이득 함수는 잔물결이 없다. 이득 함수의 급수 전개는 다음과 같다.
다른 말로, 2차 미분을 포함하지 않는 이득의 모든 미분은 에서 0이 되어 "최대 평탄성"을 갖게 된다. 단조성의 요구 사항이 통과 대역에만 국한되고 저지 대역에 잔물결이 허용된다면, "최대 평탄" 버터워스 필터보다 통과 대역에서 더 평탄한 역체비셰프 필터와 같은 동일 차수의 필터를 설계하는 것이 가능하다.
다시 이라고 가정하면, 큰 에 대한 이득의 로그 기울기는 다음과 같다.
데시벨 단위로, 고주파 롤오프는 따라서 20 dB/decade 또는 6 dB/octave이다(20배수는 전력이 전압 이득의 제곱에 비례하기 때문에 사용된다. 20 log rule을 참고하라).
버터워스 필터 전달 함수
최소 개수의 소자를 사용하여 버터워스 필터를 설계하기 위해, 버터워스 필터의 최소 차수는 다음과 같이 계산할 수 있다.
여기서:
및 는 통과대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠(dB 단위)이다.
및 는 저지대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠(dB 단위)이다.
은 최소 극 개수, 즉 필터의 차수이다.
는 천장 함수를 나타낸다.
버터워스 필터의 차단 감쇠는 일반적으로 -3.01 dB로 정의된다. 차단 주파수에서 다른 감쇠를 사용하고자 한다면, 각 극에 다음 계수를 적용할 수 있으며, 그러면 극은 원 위에 계속 놓이지만 반경은 더 이상 단위가 되지 않는다. 차단 감쇠 방정식은 페이지 상단에 명시된 버터워스 정의 방정식의 대수 조작을 통해 도출될 수 있다.
여기서:
는 원하는 차단 감쇠를 설정하도록 재배치된 극이다.
은 단위 원 위에 놓이는 -3.01 dB 차단 극이다.
는 차단 주파수에서 원하는 감쇠(dB 단위, 1 dB, 10 dB 등)이다.
은 극 개수, 즉 필터의 차수이다.
버터워스 필터 필터 구현 및 설계
선형 아날로그 필터를 구현하기 위해 사용할 수 있는 여러 가지 필터 토폴로지가 있다. 수동 구현에 가장 자주 사용되는 토폴로지는 카우어 토폴로지이고, 능동 구현에 가장 자주 사용되는 토폴로지는 셀렌-키 토폴로지이다.
카우어 토폴로지는 수동 소자(병렬 콘덴서 및 직렬 유도자)를 사용하여 선형 아날로그 필터를 구현한다. 주어진 전달 함수를 갖는 버터워스 필터는 카우어 1형을 사용하여 실현할 수 있다. k번째 소자는 다음으로 주어진다.
원한다면 직렬 유도자로 시작할 수 있으며, 이 경우 Lk는 k가 홀수이고 Ck는 k가 짝수이다. 이 공식들은 Lk와 Ck를 모두 gk와 같게 만들어서 유용하게 결합할 수 있다. 즉, gk는 이미턴스를 s로 나눈 값이다.
이 공식들은 c = 1인 양측 종단 필터(즉, 소스 및 부하 온저항이 모두 1과 같음)에 적용된다. 이 시제품 필터는 다른 온저항 및 주파수 값에 대해 스케일링할 수 있다. 단일 종단 필터(즉, 이상적인 전압 또는 전류원에 의해 구동되는 필터)의 경우 소자 값은 다음으로 주어진다.
버터워스 필터 필터 구현 및 설계
여기서
그리고
전압 구동 필터는 직렬 소자로 시작해야 하고 전류 구동 필터는 병렬 소자로 시작해야 한다. 이 형식들은 다이플렉서 및 멀티플렉서 설계에 유용하다.
셀렌-키 토폴로지는 능동 및 수동 소자(비반전 버퍼, 일반적으로 연산 증폭기, 저항, 콘덴서)를 사용하여 선형 아날로그 필터를 구현한다. 각 셀렌-키 단은 공액 극 쌍을 구현한다. 전체 필터는 모든 단을 직렬로 캐스케이드하여 구현된다. 실수 극이 있는 경우(이 홀수인 경우), 이는 별도로, 일반적으로 RC 회로로 구현하고 능동 단과 캐스케이드 해야 한다.
오른쪽에 표시된 2차 셀렌-키 회로에 대한 전달 함수는 다음으로 주어진다.
분모가 버터워스 다항식의 2차 항 중 하나이기를 바란다. 이라고 가정하면, 이는 다음을 의미한다.
버터워스 필터 필터 구현 및 설계
그리고
이것은 임의로 선택할 수 있는 두 개의 미정 구성 요소 값을 남겨둔다.
하나의 연산 증폭기만 사용하는 3차 및 4차 셀렌-키 토폴로지를 갖는 버터워스 로우패스 필터는 Huelsman에 의해 기술되었으며, Jurišić 외 연구진에 의해 더 높은 차수의 단일 앰프 버터워스 필터도 제시되었다.
버터워스 및 다른 필터의 디지털 구현은 종종 아날로그 필터 설계를 이산화하는 두 가지 다른 방법인 쌍선형 변환 방법 또는 매칭 Z 변환 방법에 기반한다. 버터워스와 같은 전극 필터의 경우, 매칭 Z 변환 방법은 임펄스 불변 방법과 동일하다. 고차의 경우, 디지털 필터는 양자화 오류에 민감하므로 홀수 차수에 대해 종종 캐스케이드된 바이쿼드 섹션과 하나의 1차 또는 3차 섹션으로 계산된다.
버터워스 필터 다른 선형 필터와의 비교
버터워스 필터의 속성은 다음과 같다.
다음은 다른 일반적인 필터 유형과 함께 이산 시간 버터워스 필터의 이득을 보여주는 이미지이다. 이 필터는 모두 5차 필터이다.
버터워스 필터는 체비셰프 필터 또는 타원 필터보다 차단 주파수 주변에서 더 느리게 롤오프하지만, 잔물결이 없다.
챔퍼
챔퍼(Chamfer)는 물체의 두 면 사이의 전환 모서리다. 베벨의 한 형태로 정의되며, 종종 두 개의 인접한 직각면 사이에 45° 각도로 만들어진다.
챔퍼는 기계가공, 대목장, 가구, 콘크리트 거푸집, 거울 및 다양한 기계공학 설계의 조립을 용이하게 하는 데 자주 사용된다.
챔퍼 용어
재료 및 제조 분야에서 챔퍼는 안전을 위해 그리고 모서리가 손상되는 것을 방지하기 위해 날카로운 모서리를 "완화"하는 데 사용되며, 주로 장식적인 특징일 수도 있다. 일반적으로 베벨의 일종으로 간주될 수 있으며, 이 용어는 종종 서로 바꿔 사용할 수 있다. 그러나 기계가공에서는 특정 기술, 관행 및 결과에 대해서만 챔퍼라는 용어가 사용된다.
대목장에서 종다리의 혀(lark's tongue)는 조각의 끝에서 짧게 끝나며 점진적인 바깥 곡선으로 나머지 모서리는 직각으로 남겨두는 챔퍼다. 챔퍼는 물체나 방의 내부 또는 외부 인접면에 형성될 수 있다.
또는 필릿(/ˈfɪlɪt/, "fill it"처럼 발음)은 내부 모서리를 둥글게 처리하는 것이고, 라운드(또는 반지름)는 외부 모서리를 둥글게 처리하는 것이다. 넓은 반지름은 황소 코라고 한다.
챔퍼 대목장 및 가구
챔퍼는 안전 및 장식 효과를 위해 테이블 상판과 같은 카운터 및 가구에 추가되는 대목장에서 널리 사용된다. 챔퍼 밀, 챔퍼 대패, 챔퍼 비트와 같은 특수 도구는 형삭반 및 라우터에서 모서리를 완화하는 데 사용되기도 한다.
챔퍼 건축
챔퍼는 기능적 및 미적 이유로 건축에서 흔히 사용된다. 예를 들어, 타지마할의 기단은 챔퍼된 모서리를 가진 정육면체이므로 팔각형 건축 발자국을 생성한다. 그 큰 문은 챔퍼된 기단석과 발코니 또는 동등한 코니스를 위한 챔퍼된 코벨로 형성되어 있다.
챔퍼 도시 계획
스페인의 바르셀로나, 발렌시아 및 기타 여러 도시, 타이중시, 그리고 푸에르토리코 폰세의 길거리 모퉁이(갓돌)에 많은 가곽이 챔퍼되어 있다. 챔퍼링은 19세기 중반 바르셀로나의 에이삼플레 또는 확장 지구에서 도시 공간의 장식 및 현대화로 설계되었으며, 여기서는 건물이 보도와 거리의 챔퍼링을 따르고 있다. 이 선구적인 디자인은 더 넓은 시야를 확보하고 쾌적한 보행자 공간을 제공하며 회전 시 가시성을 높여준다. 또한 운전자가 코너가 정사각형 90도일 때보다 회전 시 속도를 덜 줄여도 되기 때문에 회전이 다소 편안해진다고도 생각할 수 있지만, 바르셀로나에서는 대부분의 챔퍼된 모서리가 주차 공간 또는 상하차 구역으로 사용되어 교통은 일반적인 90도 거리 코너처럼 흐르게 된다.
챔퍼 기계공학
챔퍼는 끼워맞춤 또는 손으로 삽입하는 부품의 조립을 용이하게 하는 데 자주 사용된다. 유체 동력 실과 같은 탄력 있는 재료는 일반적으로 45도보다 얕은 각도, 종종 20도를 요구한다. 조립 시 챔퍼는 절삭 공구에서 오는 내부 반지름을 제거하거나 인접 부품의 용접 비드와 같은 다른 특징을 제거하는 데도 사용된다. 이는 일반적으로 반지름보다 챔퍼의 치수를 제조하고 정확하게 확인하는 것이 훨씬 쉽고, 그렇지 않으면 반지름의 프로필 오류로 인해 평평한 표면이 서로 접촉하기 전에 반지름 사이에 간섭이 발생할 수 있기 때문이다. 챔퍼는 사람이 다룰 부품의 경우 부상을 방지하고 다른 부품의 손상도 방지하는 데 필수적이다. 이는 대부분의 금속과 같은 단단한 재료와 프레스 공구와 같은 무거운 조립품에 특히 중요하다. 또한 챔퍼된 모서리는 조립 또는 분해 또는 유지 보수 중에 다른 모서리나 모퉁이가 부딪혀 찌그러지는 것에 대해 사각 모서리보다 훨씬 강하다.
챔퍼 기계가공
기계가공에서 챔퍼는 가공물의 모든 직각 모서리, 예를 들어 구멍, 봉, 볼트, 핀의 끝, 판의 긴 모서리 모서리, 두 표면이 날카로운 각도로 만나는 다른 모든 곳에 잘린 경사다. 챔퍼링은 조립을 용이하게 한다. 예를 들어 구멍에 볼트나 너트를 삽입하는 것이다. 챔퍼링은 또한 날카로운 모서리를 제거하여 금속 조각을 다루는 사람들의 상처와 부상 가능성을 크게 줄인다. 또한 철분이 가장 얇고 취약한 영역을 제거하여 녹 발생을 최소화한다.
챔퍼 광학 거울 설계
미학 외에도 챔퍼링은 수제 포물선 유리 망원경 거울 제작 과정의 일부이다. 디스크의 표면을 연마하기 전에 모서리 깨짐을 방지하기 위해 먼저 모서리를 챔퍼해야 한다. 이는 탄화 규소가 담긴 금속 그릇에 디스크를 놓고 흔드는 동작으로 디스크를 회전시켜 수행할 수 있다. 이렇게 하면 유리 모서리의 날카로운 부분이 마모된다.
콘스탄티노스 타술라스
콘스탄티노스 타술라스(그리스어: Κωνσταντίνος Τασούλας, 1959년 7월 17일~)는 그리스의 정치인, 변호사로 2025년부터 그리스 대통령으로 재임 중이다. 2000년부터 2025년까지 신민주주의당 이오아니나 지역구 의원을 맡았으며 안토니스 사마라스 정부 시절인 2014년부터 2015년까지 문화체육부 장관을 역임했다. 이후 2019년부터 2025년까지 그리스 의회 의장을 지냈다.
멜빈 R. 레어드 시니어
멜빈 로버트 레어드 시니어(영어: Melvin Robert Laird Sr., 1878년 8월 7일 ~ 1946년 3월 19일)은 미국의 정치인으로 미국 위스콘신주 상원의원이다.
베벨
베벨은 아래 뜻을 함의한다.
베벨(bevel): 조각의 면에 수직이 아닌 구조의 모서리
아우구스트 페르디난트 베벨: 독일의 사회주의 사상가
베벨 광장: 독일 베를린 미테 지역에 위치한 광장
체비쇼프 필터
체비쇼프 필터(Chebyshev filter)는 버터워스 필터보다 가파른 롤오프를 가지고 통과대역에 리플을 가지거나(1형) 저지대역에 리플을 가지는(2형) 아날로그 또는 디지털 필터이다. 체비쇼프 필터는 이상적인 필터 특성과 실제 필터 특성 간의 오차를 동작 주파수 대역에서 최소화하는 속성을 갖지만, 주파수 응답에서 리플을 통해 이를 달성한다. 이러한 유형의 필터는 그 수학적 특성이 체비쇼프 다항식에서 파생되었기 때문에 파프누티 체비쇼프의 이름을 따서 명명되었다. 1형 체비쇼프 필터는 일반적으로 "체비쇼프 필터"로 불리는 반면, 2형 필터는 보통 "역체비쇼프 필터"로 불린다. 체비쇼프 필터에 내재된 통과대역 리플 때문에 특정 응용 분야에서는 통과대역에서는 더 부드러운 응답을 갖지만 저지대역에서는 더 불규칙한 응답을 갖는 필터가 선호된다.
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
1형 체비쇼프 필터는 가장 흔한 유형의 체비쇼프 필터이다. 차 로우패스 필터의 각주파수 에 대한 이득(또는 진폭) 응답 은 에서 평가된 전달 함수 의 절댓값과 같다.
여기서 는 리플 계수, 는 차단 주파수이고 는 차 체비쇼프 다항식이다.
통과대역은 리플 계수 에 의해 결정되는 동일 리플 특성을 나타낸다. 통과대역에서 체비쇼프 다항식은 -1과 1 사이를 교대하므로 필터 이득은 최대값 과 최소값  사이를 교대한다.
따라서 리플 계수 ε는 데시벨로 표시된 통과대역 리플 δ와 다음 관계로 연결된다.
차단 주파수 에서 이득은 다시  값을 갖지만 주파수가 증가함에 따라 저지대역으로 계속 떨어진다. 이 동작은 오른쪽 다이어그램에 표시되어 있다. -3 dB에서 차단 주파수를 정의하는 일반적인 관행은 체비쇼프 필터에는 일반적으로 적용되지 않는다. 대신 차단은 이득이 최종적으로 리플 값으로 떨어지는 지점으로 간주된다.
3 dB 주파수 는 와 다음 관계로 연결된다.
체비쇼프 필터의 차수는 아날로그 전자 회로를 사용하여 필터를 구현하는 데 필요한 리액턴스 부품(예: 유도자)의 수와 같다.
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
리플을 복소 평면의  축에 영점을 허용하여 저지대역에서 리플을 허용하면 훨씬 더 가파른 롤오프를 얻을 수 있다. 이는 이러한 영점 및 그 주변에서 거의 무한한 억제를 생성하지만(부품의 품질 계수, 기생 성분 및 관련 요인에 의해 제한됨), 저지대역에서의 전체 억제는 감소한다. 그 결과는 타원 필터라고도 알려진 카우어 필터라고 불린다.
단순화를 위해 차단 주파수가 1과 같다고 가정한다. 체비쇼프 필터의 이득 함수 의 극점 은 이득 함수의 분모의 영점이다. 복소 주파수 를 사용하면 다음에서 발생한다.
로 정의하고 체비쇼프 다항식의 삼각 함수 정의를 사용하면 다음과 같다.
에 대해 풀면
여기서 아르코사인 함수의 다중 값은 정수 인덱스 을 사용하여 명시된다. 체비쇼프 이득 함수의 극점은 다음과 같다.
삼각 함수 및 쌍곡선 함수의 속성을 사용하여 이것은 명시적으로 복소수 형태로 쓸 수 있다.
여기서  이고
이는 의 매개 변수 방정식으로 볼 수 있으며 극점이  공간에서 를 중심으로 한 타원 위에 있으며, 실수 반축 길이는 이고 허수 반축 길이는 임을 보여준다.
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
위의 식은 이득 의 극점을 나타낸다. 각 복소 극점에 대해 그 복소 켤레가 있으며, 각 켤레 쌍에 대해 그 음수에 해당하는 두 개의 극점이 더 있다. 전달 함수는 안정적이어야 하므로 그 극점은 음의 실수 부분을 갖는 이득의 극점이어야 하며 따라서 복소 주파수 공간의 좌반평면에 위치한다. 따라서 전달 함수는 다음과 같다.
여기서 은 위 식에서 실수항 앞에 음수 부호를 갖는 이득의 극점만이다.
군지연은 위상과 각주파수에 대한 미분으로 정의된다.
ε=0.5인 5차 1형 체비쇼프 필터의 이득과 군지연은 왼쪽 그래프에 그려져 있다. 저지대역에는 리플이 없다. 그러나 통과대역의 군지연 리플은 다른 주파수 성분이 다른 지연을 가지고 있음을 나타내며, 이는 통과대역의 이득 리플과 함께 파형 모양의 왜곡을 초래한다.
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
짝수 차수 체비쇼프 필터는 수동 소자, 일반적으로 인덕터, 커패시터, 전송선을 사용하여 구현되며, 각 측면의 종단 값이 같을 때, 특히 고주파에서 바람직하지 않거나 실현 불가능할 수 있는 결합 코일을 사용하지 않으면 전통적인 체비쇼프 전달 함수로 구현할 수 없다. 이는 에서의 S12 값을 초과하는 S12 값을 초래하는 짝수 차수 체비쇼프 반사 영점을 물리적으로 수용할 수 없기 때문이다. 통과대역 S12를 수용하기 위해 한쪽 종단을 증가 또는 감소시켜 필터를 설계하는 것이 실현 불가능하다면, 통과대역의 등리플 응답을 유지하면서 가장 낮은 짝수 차수 반사 영점을 로 이동시키도록 체비쇼프 전달 함수를 수정해야 한다.
필요한 수정은 가장 낮은 주파수 반사 영점을 0으로 매핑하고 나머지 극점은 등리플 통과대역을 유지하는 데 필요한 방식으로 각 체비쇼프 전달 함수 극점을 매핑하는 것을 포함한다. 가장 낮은 주파수 반사 영점은 체비쇼프 노드, 에서 찾을 수 있다. 완전한 체비쇼프 극점 매핑 함수는 아래에 표시되어 있다.
여기서:
n은 필터의 차수 (짝수여야 함)
P는 전통적인 체비쇼프 전달 함수 극점
P'는 수정된 짝수 차수 전달 함수에 대한 매핑된 극점.
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
"Left Half Plane"은 음의 실수 값을 포함하는 제곱근을 사용함을 나타낸다.
완료되면, 동일하게 종단된 수동 네트워크로 구현될 때 S12의 반사 영점 산란 행렬 값이 1이고 S11이 0인 새로운 등리플 전달 함수가 생성된다. 아래 그림은 8차 체비쇼프 필터가 가장 낮은 주파수 반사 영점을 유한 주파수에서 0으로 재배치하여 짝수 차수 동일 종단 수동 네트워크를 지원하도록 수정되었음을 보여주며, 동시에 등리플 통과대역 주파수 응답을 유지한다.
카우어 토폴로지의 LC 요소 값 공식은 짝수 차수 수정 체비쇼프 전달 함수에는 적용되지 않으며 사용할 수 없다. 따라서 반사 계수에서 파생될 수 있는 임피던스 함수의 전통적인 연분수에서 LC 값을 계산해야 하며, 이는 차례로 전달 함수에서 파생될 수 있다.
최소 필수 부품 수를 사용하여 체비쇼프 필터를 설계하려면 체비쇼프 필터의 최소 차수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 방정식은 표준 로우패스 체비쇼프 필터만 고려한다. 짝수 차수 수정 및 유한 저지대역 전달 영점은 이 방정식이 고려하지 않는 오차를 도입한다.
여기서:
및 는 dB 단위의 통과대역 리플 주파수 및 최대 리플 감쇠
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
및 는 dB 단위의 저지대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠
은 최소 극점 수, 즉 필터의 차수
ceil[]는 다음 정수로 올림 함수이다.
체비쇼프 필터의 통과대역 차단 감쇠는 일반적으로 위의 계산에 의해 설정된 통과대역 리플 감쇠와 같다. 그러나 듀플렉서 및 트리플렉서와 같은 많은 응용 분야는 필요한 반사를 얻기 위해 -3.0103 dB의 차단 감쇠를 필요로 한다. 다른 전문 응용 분야에서는 다양한 이유로 차단 감쇠에 다른 특정 값이 필요할 수 있다. 따라서 체비쇼프 통과대역 차단 감쇠를 통과대역 리플 감쇠와 독립적으로 설정할 수 있는 수단이 유용하다 (예: -1 dB, -10 dB 등). 차단 감쇠는 전달 함수의 극점을 주파수 스케일링하여 설정할 수 있다.
스케일링 인자는 정의 체비쇼프 필터 함수, 의 직접적인 대수적 조작으로 결정될 수 있으며, 여기에는 와 가 포함된다. 체비쇼프 다항식 방정식에서 파생될 수 있는 체비쇼프 함수 의 일반적인 정의가 필요하며, 역체비쇼프 함수는 이다.  값에 대해 숫자를 실수로 유지하기 위해 복소 쌍곡선 항등식을 사용하여 방정식을 와 로 다시 작성할 수 있다.
체비쇼프 필터 1형 체비쇼프 필터 (체비쇼프 필터)
위의 방정식과 참조에 간단한 대수학을 적용하여 각 체비쇼프 극점을 스케일링하는 표현은 다음과 같다.
여기서:
는 원하는 차단 감쇠를 설정하기 위해 재배치된 극점이다.
은 타원 위에 있는 리플 차단 극점이다.
는 dB 단위의 통과대역 감쇠 리플이다 (.05 dB, 1 dB 등).
는 dB 단위의 차단 주파수에서 원하는 통과대역 감쇠이다 (1 dB, 3 dB, 10 dB 등).
은 극점 수 (필터의 차수)이다.
통과대역 차단 감쇠에 통과대역 리플 감쇠(를 사용하여 위 방정식에 대한 빠른 검증을 수행하면 이 경우 극점 조정이 1.0이 될 것으로 예상된다는 것을 알 수 있다.
짝수 차수 수정 통과대역 리플로 설계되는 체비쇼프 필터의 경우 동일하게 종단된 수동 필터의 경우 감쇠 주파수 계산에 계산된 감쇠 주파수에 짝수 차수 조정 작업을 수행하여 짝수 차수 조정을 포함해야 한다. 이렇게 하면 짝수 차수 조정 산술이 약간 더 간단해진다. 이 경우 주파수는 실수 변수로 처리될 수 있기 때문이다 ().
여기서:
는 원하는 차단 감쇠를 설정하기 위해 재배치된 극점이다.
은 짝수 차수 통과대역에 대해 수정된 리플 차단 극점이다.
는 dB 단위의 통과대역 감쇠 리플이다 (.05 dB, 1 dB 등).
는 dB 단위의 차단 주파수에서 원하는 통과대역 감쇠이다 (1 dB, 3 dB, 10 dB 등).
은 극점 수 (필터의 차수)이다.
는 가장 작은 짝수 차수 체비쇼프 노드이다.
체비쇼프 필터 2형 체비쇼프 필터 (역체비쇼프 필터)
역체비쇼프 필터라고도 알려진 2형 체비쇼프 필터는 1형만큼 빠르게 롤오프되지 않고 더 많은 부품을 필요로 하기 때문에 덜 일반적이다. 통과대역에는 리플이 없지만 저지대역에는 등리플이 있다. 이득은 다음과 같다.
저지대역에서 체비쇼프 다항식은 -1과 1 사이를 진동하여 이득은 0과 다음 사이를 진동한다.
그리고 이 최대값에 도달하는 가장 작은 주파수가 차단 주파수 이다. 따라서 매개 변수 ε는 데시벨로 표시된 저지대역 감쇠 γ와 다음과 같이 관련된다.
5 dB의 저지대역 감쇠에 대해 ε = 0.6801이고, 10 dB의 감쇠에 대해 ε = 0.3333이다. 주파수 f0 = ω0/2π는 차단 주파수이다. 3 dB 주파수 fH는 f0와 다음과 같이 관련된다.
차단 주파수가 1과 같다고 가정하면, 체비쇼프 필터 이득의 극점 은 이득의 분모의 영점이다.
2형 체비쇼프 필터 이득의 극점은 1형 필터의 극점의 역수이다.
여기서 이다. 2형 체비쇼프 필터의 영점 은 이득의 분자의 영점이다.
따라서 2형 체비쇼프 필터의 영점은 체비쇼프 다항식의 영점의 역수이다.
에 대해.
체비쇼프 필터 2형 체비쇼프 필터 (역체비쇼프 필터)
전달 함수는 이득 함수의 좌반평면에 있는 극점에 의해 주어지며 동일한 영점을 가지지만 이 영점은 이중 영점이 아닌 단일 영점이다.
ε=0.1인 5차 2형 체비쇼프 필터의 이득과 군지연은 왼쪽 그래프에 그려져 있다. 저지대역에는 이득 리플이 있지만 통과대역에는 없다.
체비쇼프 필터 짝수 차수 필터와 마찬가지로, 표준 체비쇼프 II 짝수 차수 필터는 결합 코일을 사용하지 않으면 동일하게 종단된 수동 소자로 구현할 수 없으며, 이는 바람직하지 않거나 실현 불가능할 수 있다. 체비쇼프 II의 경우, 이는 저지대역에서 S12의 유한 감쇠 때문이다. 그러나 짝수 차수 체비쇼프 II 필터는 체비쇼프 II 저지대역의 등리플 함수를 유지하면서 가장 높은 주파수 유한 전달 영점을 무한대로 이동시켜 수정할 수 있다. 이 이동을 수행하기 위해 짝수 차수 수정된 체비쇼프 II 전달 함수를 생성하는 데 필요한 체비쇼프 II 극점을 정의하기 위해 표준 체비쇼프 함수 대신 짝수 차수 수정된 체비쇼프 함수가 사용된다. 영점은 짝수 차수 수정된 체비쇼프 다항식의 근인 짝수 차수 수정된 체비쇼프 노드를 사용하여 생성된다.
체비쇼프 필터 2형 체비쇼프 필터 (역체비쇼프 필터)
아래 그림은 짝수 차수 동일 종단 수동 네트워크를 지원하도록 수정된 8차 역체비쇼프 필터가 가장 높은 주파수 전달 영점을 유한 주파수에서 로 재배치하여 동시에 등리플 저지대역 주파수 응답을 유지함을 보여준다.
최소 필수 부품 수를 사용하여 역체비쇼프 필터를 설계하려면 역체비쇼프 필터의 최소 차수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 방정식은 표준 로우패스 역체비쇼프 필터만 고려한다. 짝수 차수 수정은 이 방정식이 고려하지 않는 오차를 도입한다. 이 방정식은 체비쇼프 필터 최소 차수에 사용된 것과 동일하지만 변수 정의가 약간 다르다.
여기서:
및 는 dB 단위의 통과대역 주파수 및 해당 주파수에서의 감쇠
및 는 dB 단위의 저지대역 주파수 및 최소 저지대역 감쇠
은 최소 극점 수, 즉 필터의 차수
ceil[]는 다음 정수로 올림 함수이다.
표준 차단 감쇠는 설명된 대로 통과대역 리플 감쇠와 동일하다. 그러나 체비쇼프 필터와 마찬가지로 차단 감쇠를 원하는 값으로 설정하는 것이 유용하며 이유는 동일하다. 체비쇼프 II 차단 감쇠 설정은 체비쇼프 차단 감쇠와 동일하지만, 감쇠 및 리플 입력은 방정식에서 반전되고 극점과 영점은 체비쇼프의 경우처럼 나누는 것이 아니라 결과에 곱해진다.
체비쇼프 짝수 차수 수정 차단 감쇠에 사용된 것과 동일한 극점 및 영점에 대한 짝수 차수 조정을 체비쇼프 II의 경우에도 사용할 수 있지만, 극점은 결과에 곱해진다.
체비쇼프 필터 구현
수동 LC 체비쇼프 로우패스 필터는 카우어 토폴로지를 사용하여 구현할 수 있다. 차 체비쇼프 프로토타입 필터의 인덕터 또는 커패시터 값은 다음 방정식에서 계산할 수 있다.
G1, Gk는 커패시터 또는 인덕터 소자 값이다.
3 dB 주파수 fH는 로 계산된다.
계수 A, γ, β, Ak, 및 Bk는 다음 방정식에서 계산할 수 있다.
여기서 는 데시벨 단위의 통과대역 리플이다.
숫자 는 정확한 값 에서 반올림되었다.
계산된 Gk 값은 오른쪽 그림과 같이 션트 커패시터와 직렬 인덕터로 변환하거나 직렬 커패시터와 션트 인덕터로 변환할 수 있다. 예를 들어,
또는
G1이 션트 커패시터 또는 직렬 인덕터일 때, G0는 각각 입력 저항 또는 컨덕턴스에 해당한다. 동일한 관계가 Gn+1 및 Gn에도 적용된다. 결과 회로는 정규화된 로우패스 필터이다. 주파수 변환 및 임피던스 스케일링을 사용하여 정규화된 로우패스 필터는 원하는 차단 주파수 또는 대역폭을 갖는 하이패스, 대역 통과, 대역 저지 필터로 변환될 수 있다.
체비쇼프 필터 구현
대부분의 아날로그 필터와 마찬가지로 체비쇼프 필터는 쌍선형 변환을 통해 디지털(이산 시간) 재귀 형태로 변환될 수 있다. 그러나 디지털 필터는 유한한 대역폭을 가지므로 변환된 체비쇼프의 응답 형태는 왜곡된다. 대안적으로 응답을 왜곡하지 않는 일치 Z-변환 방법을 사용할 수 있다.
체비쇼프 필터 다른 선형 필터와의 비교
다음 그림은 동일한 개수의 계수(5차)로 얻은 다른 일반적인 필터 유형 옆에 체비쇼프 필터를 보여준다.
체비쇼프 필터는 버터워스 필터보다 더 가파르다. 타원 필터만큼 가파르지는 않지만 대역폭 내에서 리플이 더 적다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
체비쇼프 필터 설계 유연성은 이 섹션에 문서화된 더 고급 설계 방법으로 보강될 수 있다. 특정 원치 않는 주파수를 중화시키거나 차단 감쇠를 증가시키기 위해 저지대역에 전달 영점을 삽입하거나, 더 바람직한 군지연을 얻기 위해 축에서 벗어난 영점을 삽입할 수 있다. 주파수 비대칭 설계 요구 사항을 더 효율적으로 충족시키기 위해 통과대역의 각 측면에 서로 다른 수의 극점을 포함하는 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 생성할 수 있다. 체비쇼프 필터로 알려진 등리플 통과대역은 통과대역의 일부만 등리플을 요구하는 설계 요구 사항을 더 효율적으로 충족시키기 위해 통과대역의 일정 비율로 제한될 수 있다.
체비쇼프 필터는 등리플 통과대역을 유지하면서 저지대역에 임의로 배치된 유한 전달 영점을 갖도록 설계될 수 있다.  축을 따라 있는 저지대역 영점은 일반적으로 원치 않는 주파수를 제거하는 데 사용된다. 실수 축을 따라 있는 저지대역 영점 또는 복소 평면에 있는 4중 저지대역 영점은 군지연을 더 바람직한 형태로 수정하는 데 사용될 수 있다. 전달 영점 설계는 전달 및 반사 영점을 배치하는 특성 다항식 K(S)를 사용하며, 이는 차례로 전달 함수 를 생성하는 데 사용된다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
K(S) 계산은 다음과 같이 관찰된 등식에 의존한다.
모든 , 허수 켤레 쌍, 4중 켤레 쌍 또는 실수 반대 부호 쌍에 대해.
통과대역 ()에서 크기가 항상 1임을 감안할 때, 유리항과 무리항은 0과 1 사이에서 달라져야 한다. 따라서  특성 함수를 생성하기 위해 유리항만 사용되면 통과대역에서 등리플 응답이 예상되고 모든 에서 특성 극점(전달 영점)이 예상된다.
위 식을 사용하여 K(S)를 설계하는 과정은 다음과 같다.
실수 및 허수  쌍에 대해 양의  해를 사용한다. 4중 복소수  쌍에 대해 양의 실수 및 켤레 허수  해를 사용한다.
필요한 경우 에서 이 되도록 를 정규화해야 한다.
"유리항만"은 곱의 유리 부분을 유지하고 무리 부분을 버리는 것을 의미한다. 유리항은 수동으로 다항식 산술을 수행하거나 다항식 산술에서 파생된 아래의 단축키를 사용하여 얻을 수 있으며, 이는 이항 계수를 사용한다. 이항 계수가 미리 계산된 값의 조회 테이블에서 구현되면 이 알고리즘은 매우 효율적이다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
모든 M 값이 1로 설정되면 은 표준 체비쇼프 방정식이 될 것이며, 이는 모든 전달 영점이 에 있기 때문에 예상된다. 짝수 차수 유한 전달 영점 체비쇼프 필터는 모든 극점의 경우와 동일한 제한을 가지며, 이는 동일하게 종단된 수동 네트워크를 사용하여 구성할 수 없다는 것이다. 짝수 차수 특성 다항식 에 동일한 짝수 차수 수정을 적용하여 동일하게 종단된 수동 네트워크 구현을 가능하게 할 수 있다. 그러나 짝수 차수 수정은 유한 전달 영점도 약간 이동시킨다. 이 이동은 가장 낮은 체비쇼프 노드 를 사용하여 짝수 차수 수정의 역수를 사용하여 전달 영점을 미리 배치함으로써 크게 완화될 수 있다.
2 rad/sec에 전달 영점 하나와 에 전달 영점 하나가 있는 3극 체비쇼프 필터를 1 dB 통과대역으로 설계한다.
전달 함수를 찾으려면 다음을 수행한다.
좌반평면에서 를 얻으려면 분자와 분모를 인수분해하여 근을 얻는다. 분모의 우반평면의 모든 근, 분자의 반복 근의 절반은 버리고 나머지 근으로 를 다시 구성한다. 일반적으로 에서 를 1로 정규화한다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
예제 가 올바른지 확인하기 위해 를 따른 의 그래프가 아래에 표시되어 있으며, 통과대역 리플은 1 dB, 차단 주파수는 1 rad/sec, 저지대역 영점은 2 rad/sec이다.
체비쇼프 대역 통과 필터는 위에서 설명한 체비쇼프 전달 영점 방정식의 더 일반적인 형태를 사용하여 0과 무한대에 원하는 수의 전달 영점을 배치하여 기하학적으로 비대칭 주파수 응답을 갖도록 설계될 수 있으며, 이는 아래에 표시되어 있다. 아래  방정식은 1에서 까지의 주파수 정규화된 통과대역을 고려한다. 0에서의 전달 영점 개수가 에서의 전달 영점 개수와 같지 않으면 필터는 기하학적으로 비대칭이 된다. 또한 유한 전달 영점이 기하학적 중심 주파수, 이 경우 에 대해 대칭적으로 배치되지 않으면 필터는 비대칭이 된다. 필터는 비대칭  방정식이 사용 가능한 결과를 생성하기 위해 순 짝수 차수, 즉 모든 극점의 합이 짝수여야 한다는 제한이 있다. 이 기술을 사용하여 실수 및 복소 4중 전달 영점을 생성할 수 있으며, 저역 통과 경우와 마찬가지로 군지연 응답을 수정하는 데 유용하다. 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 생성하기 위한 특성 방정식 의 도출은 아래에 표시되어 있다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
필요한 경우 에서 이 되도록 를 정규화해야 한다.
1에서 2 rad/sec까지 1dB 통과대역 리플, 에 전달 영점 하나, 0에 전달 영점 세 개를 갖는 비대칭 체비쇼프 필터를 설계한다. 위의 방정식에 수치 값을 적용하면 특성 다항식 를 다음과 같이 계산할 수 있다.
무리 부분을 버리고 s=j에서 를 1로 정규화:
저역 통과 경우와 동일한 과정을 사용하여 에서 를 찾고, 상수 를 사용하여 크기를 스케일링한다.
좌반평면 극점에서 분모를 재구성할 때, 반사 영점이 0dB에서 발생하도록  크기를 설정해야 한다. 이를 위해 통과대역 코너 주파수  및 에서 가 -1dB가 되도록 를 스케일링해야 한다. 완료되면 설계된 비대칭 체비쇼프 필터의 최종 전달 함수는 아래에 표시되어 있다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
s=j와 s=2j에서 를 평가하면 두 경우 모두 -1dB의 값이 나오며, 이는 예제가 올바르게 합성되었음을 보증한다. 주파수 응답은 아래에 표시되어 있으며, 에 대한 체비쇼프 1dB 등리플 통과대역 응답, 통과대역 가장자리에서 -1dB의 차단 감쇠,  방향으로 -60dB/십진 감쇠,  방향으로 -20dB/십진 감쇠, 통과대역 가장자리 근처에서 체비쇼프 스타일로 가파르게 변하는 기울기를 보여준다.
표준 저역 통과 체비쇼프 필터 설계는 0 rad/sec에서 1 rad/sec까지의 정규화된 주파수 값으로 시작하는 등리플 통과대역을 생성한다. 그러나 일부 설계 요구 사항은 저주파에서 등리플 통과대역을 필요로 하지 않는다. 이러한 응용 분야에 대한 표준 완전 등리플 체비쇼프 필터는 과도하게 설계된 필터를 초래할 것이다. 등리플을 통과대역의 정의된 백분율로 제한하면 더 효율적인 설계가 가능하며, 필터 크기를 줄이고 잠재적으로 하나 또는 두 개의 부품을 제거하여 보드 공간 효율성을 최대화하고 대량 생산 품목의 생산 비용을 최소화하는 데 유용하다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
제한된 통과대역 리플은 이 기사의 위에서 설명한 기술을 사용하여 0차 비대칭 고역 통과 측(0에서 전달 영점 없음)과 제한된 리플 주파수로 설정된 를 사용하여 비대칭 체비쇼프 대역 통과 필터를 설계함으로써 달성할 수 있다. 저역 통과 측의 차수는 홀수 차수 필터의 경우 N-1, 짝수 차수 수정된 필터의 경우 N-2, 표준 짝수 차수 필터의 경우 N이다. 이로 인해 에서 1보다 작은 S12가 발생하며, 이는 짝수 차수 표준 체비쇼프 설계의 일반적인 특징이므로 표준 짝수 차수 체비쇼프 설계의 경우 이 단계에서 프로세스가 완료된다. 홀수 차수 설계의 경우 에서 단일 반사 영점을 삽입해야 하고, 짝수 차수 수정된 설계의 경우 에서 두 개의 반사 영점을 삽입해야 한다. 추가된 반사 영점은 통과대역에 눈에 띄는 오차를 유발하며, 이는 반감을 일으킬 수 있다. 이 오차는 방정계에 대한 뉴턴 방법을 사용하여 유한 반사 영점을 재배치함으로써 빠르고 정확하게 제거할 수 있다.
뉴턴 방법을 사용하여 반사 영점을 배치하려면 다음 세 가지 정보가 필요하다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
체비쇼프 특성 방정식 는 모든 반사 영점이  축에 위치하고 모든 전달 영점은  축에 있거나  축에 대해 대칭이므로(수동 소자 구현에 필요), 통과대역 리플 최소점의 위치는 근 찾기 알고리즘을 사용하여 의 도함수 의 분자를 인수분해하여 얻을 수 있다. 이 다항식의 근은 통과대역 최소 주파수가 된다. 는 표준 다항식 미분 정의에서 얻을 수 있으며 이다.
편미분은 로 디지털로 계산할 수 있지만, 연속 편미분이 일반적으로 더 높은 정확성과 더 짧은 수렴 시간을 제공하므로 권장된다. 반사 영점에 대한 의 연속 편미분을 얻으려면 항상 을 강제하는 에 대한 연속 표현이 필요하다. 이는 아래와 같이 켤레 근 쌍의 함수로 를 표현함으로써 달성할 수 있다.
여기서 는 유한 반사 및 전달 영점만 포함하고,  및 는 반사 및 전달 영점 켤레 쌍의 수를 나타내며,  및 는 반사 및 전달 영점 켤레 쌍이다.  홀수 항은 홀수 차수 체비쇼프 필터에 발생하는 0에서의 단일 반사 영점을 설명한다. 4중 전달 영점을 사용하면 표현을 수정하여 4중 항을 수용해야 한다. 위의 표현에서 일 때 이 됨을 검사하여 알 수 있다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
체비쇼프 통과대역을 형성하는 데 필요한 것은 반사 영점의 이동 뿐이므로 편미분 표현은  항에 대해서만 만들어야 하고  항은 상수로 취급한다. 각 에 대한 편미분 표현의 결정에 도움을 주기 위해 위 표현은 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
여기서 는 특정 반사 영점 켤레 쌍을 나타낸다.
이 표현의 에 대한 도함수는 표준 미분 규칙에 따라 쉽게 계산할 수 있다. 상수는 함수의 무결성을 유지하기 위해 앞에 이동된  항을 나누어야 한다. 가장 쉬운 방법은 에 앞으로 이동된  항의 역수를 곱하는 것이다. 미분 가능한 표현은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
편미분은 에 표준 미분 절차를 적용하고 단순화하여 결정할 수 있다. 결과는 아래와 같다.
관련된 유일한 주파수는 제한 지점과 의 나머지 통과대역 최소값의  근에서의 주파수이므로 야코비 행렬은 다음과 같이 구성될 수 있다.
여기서 은 제한 한계 주파수이고, 은 나머지 통과대역 최소값 의 근의 크기이며, 는 반사 영점이다.
필터 차단 감쇠가 리플 크기와 같다고 가정하면, 모든 에서 의 값은 1이므로 해 벡터 항목은 모두 1이며, 뉴턴 방법을 사용하여 해를 구하는 반복 방정식은 다음과 같다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
수렴은 모든 이고 응용 분야에 대해 가 충분히 작을 때 달성되며, 일반적으로 1.e-05에서 1.e-16 사이이다. 더 큰 필터의 경우 수렴 초기 단계에서 과도한 진동을 방지하고 수렴 중에 의 값을 제한된 리플 범위 내로 유지하기 위해 각 의 크기를 제한해야 할 수 있다.
통과대역의 55%로 제한된 1 dB 등리플 통과대역을 갖는 7극 체비쇼프 필터를 설계한다.
1단계: 위에서 설명한 비대칭 합성 프로세스를 사용하여 비대칭 주파수 응답에 대한  특성 다항식을 .45에서 1까지 6개의 저역 통과 극점은 에, 0개의 고역 통과 극점은 0에 위치시킨다 (코너 주파수  = 0.45 사용).
2단계: 1단계의 에 단일 반사 영점을 삽입한다. (짝수 차수 수정된 필터의 경우 두 개의 반사 영점 추가가 필요하다.)
3단계: 의 근의 양의 실수 또는 허수 값을 계산하여 통과대역 영점 도함수 주파수에서 를 결정하고, 가장 낮은 근을 의 0.45 제한 주파수로 대체한다.
4단계 제한된 및 도함수 영점 각 지점에서 의 값을 결정한다.
체비쇼프 필터 체비쇼프 필터의 고급 주제
5단계: 5단계의 B 벡터는 각  주파수에서 목표 값을 빼서 선형 방정식에 대한 B 벡터를 생성한다. 이 예제에서는 차단 감쇠가 이 특정 예제에서 통과대역 리플 감쇠와 같기 때문에 모든 값이 1이다. 차단 주파수 에서 이다.
6단계: 각 반사 영점 에 대한 각 에 대한 의 편미분의 야코비 행렬을 결정한다.
7단계: 5단계에서 계산된 B 벡터를 사용하여 선형 방정식 에 대해 를 해 구하여 반사 영점의 움직임을 얻는다.
8단계: 계산된 를 이전 반복의 반사 영점 위치에서 빼서 새로운 반사 영점 위치를 계산한다.
응용 프로그램 수렴 기준인 이 충족될 때까지 3단계부터 8단계까지 반복한다. 이 예에서는 1.e-12로 선택되었다. 완료되면 최종 반사 영점 위치인 +/-j0.5278143, +/-J0.80460874, +/-J0.97721056, 및 0에서 최종 를 구성할 수 있다. 이 되도록 진폭을 정규화하면 구성된 는 아래와 같다.
합성 프로세스는 3단계에서 각 에 대해 를 빠르게 확인하여 해당 주파수에서 1dB 감쇠가 발생하는지 확인하고, 에서의 차단 감쇠도 1dB인지 확인하여 검증할 수 있다. 아래 계산 요약은 예제 합성 프로세스를 검증한다.