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세데르 순서와 절차
일부 현대 하가다는 "아들들" 대신 "자녀들"을 언급하며, 일부는 다섯 번째 자녀를 추가했다. 다섯 번째 자녀는 질문할 정도로 살아남지 못한 홀로코스트의 자녀들을 또는 유대인의 삶에서 너무 멀리 떨어져 세데르에 참여하지 않는 유대인들을 나타낼 수 있다.
전자의 경우, 그 아이에게는 "왜?"라고 묻고, 단순한 아이처럼 답이 없다고 말하는 것이 전통이다.
신명기 (26:5–8)의 네 구절이 시프레에 기반한 정교하고 전통적인 주석과 함께 설명된다. ("너는 주 너의 하나님 앞에서 말하여 이르기를: '내 조상은 유리하는 아람 사람이었으며, 그는 적은 수로 이집트로 내려가서 거기에서 거주하였고, 거기서 크고 강하고 번성한 민족이 되었다. 이집트인들은 우리를 학대하고 괴롭히며 우리에게 혹독한 노역을 시켰다. 우리는 주 우리 조상의 하나님께 부르짖었고, 주께서는 우리의 목소리를 들으시고 우리의 고통과 수고와 압제를 보셨다. 주께서는 우리를 이집트에서 강한 손과 편 팔로, 큰 두려움과 징조와 기사로 인도하여 내셨다.'")
세데르 순서와 절차
하가다는 이 구절들의 의미를 탐구하고 이야기를 자세히 설명한다. 이 이야기는 유대 민족의 노예 생활과 하나님에 의한 기적적인 구원을 묘사한다. 이는 10가지 재앙의 열거로 절정에 달한다:
열 가지 재앙을 암송할 때, 독일-유대인 사회에서 시작된 후기 풍습이 있는데, 각 참가자는 열 가지 재앙이 언급될 때마다 손가락 끝으로 포도주 잔에서 한 방울을 덜어낸다. 이 밤이 구원의 밤이지만, 돈 이삭 아바르바넬은 하나님의 피조물 중 일부가 고통받아야 할 때 완전히 기뻐할 수 없다고 설명한다. 재앙에 대한 기억술적인 두문자어인 "드차흐 아다쉬 바차브"도 소개되며, 각 단어마다 포도주 한 방울을 흘린다.
세데르의 이 부분에서는 찬양 노래가 불려지는데, 다예누 노래도 포함되어 있다. 이 노래는 하나님께서 유대 민족을 위해 행하신 많은 일들 중 단 한 가지라도 행하셨다면 우리가 감사해야 할 의무가 충분했을 것이라고 선언한다. 일부는 미셸 랜즈버그의 다예누의 페미니스트 변형인 여성의 다예누를 부른다.
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다예누 다음에는 라반 가말리엘이 명령한 유월절 어린 양, 마차 (음식), 마로르 계명의 이유에 대한 선언이 성경적 출처와 함께 이어진다. 그리고 짧은 기도와 할렐의 처음 두 시편 (식사 후에 마무리될) 암송이 이어진다. 긴 축복이 암송되고 두 번째 포도주 잔이 마셔진다.
의식적인 손 씻기가 반복되며, 이번에는 축복을 포함한 모든 관습이 따른다.
두 가지 축복이 암송된다.
먼저 "내어 오시는 분"(히브리어로 모치)이라는 단어를 포함하는 빵을 먹기 전의 표준 축복을 암송한다.
그리고 나서 마차를 먹으라는 계명에 대한 축복을 암송한다.
올리브 크기(일부는 두 개라고 함)의 조각을 왼쪽으로 기대어 먹는다.
마로르 (쓴 나물)를 먹는 것에 대한 축복이 낭송되고 먹어야 한다.
마로르(쓴 나물)는 두 개의 작은 마차 조각 사이에 끼워 샌드위치 내용물이 두 조각 빵 사이에 끼워지는 것과 비슷하게 먹는다. 이는 2000년 전 힐렐이 자신의 세데르 식탁에서 했던 전통(다만 힐렐 시대에는 유월절 희생제물, 마차, 마로르를 함께 먹었다)을 따른다.
세데르 순서와 절차
축제 식사가 시작된다. 전통적으로 식사는 세데르 접시 위의 그을린 달걀을 참조하여 소금물에 찍은 삶은 달걀로 시작한다. 이디시어로 다음과 같은 속담이 있다: מיר צוגרייטן די טיש און עסן די פיש, 이는 "우리는 식탁을 차리고 생선을 먹는다"는 뜻이다.
세데르 초반에 숨겨졌던 아피코만은 전통적으로 세데르 참가자들이 먹는 마지막 음식이다.
각 참가자는 아피코만으로 먹을 올리브 크기의 마차 조각을 받는다. 아피코만을 먹은 후에는 전통적으로 남은 포도주 두 잔을 제외하고는 밤새 다른 음식을 먹을 수 없다. 또한, 남은 두 잔의 포도주를 제외하고는 취하게 하는 음료를 마실 수 없다.
비르카트 아마존 암송.
세 번째 포도주 잔을 마신다.
참고: 세 번째 잔은 일반적으로 식사 후 감사 기도 전에 따르는데, 세 번째 잔이 특별한 경우 식사 후 감사 기도와 관련된 축복의 잔 역할도 하기 때문이다.
많은 전통에서 이 시점에 집의 현관문이 열린다. 시편 79:6–7은 아슈케나지 및 세파르디 전통 모두에서 암송되며, 아슈케나지 사이에서는 애가 3:66도 추가된다.
세데르 순서와 절차
대부분의 아슈케나지는 이 시점에서 네 번째와 다섯 번째 잔을 모두 채우는 풍습을 가지고 있다. 이는 마셔야 할 잔의 수에 관한 탈무드 논의와 관련이 있다. 네 잔이 출애굽기 6:6-7의 네 가지 구원 표현을 언급한다는 점에서, 일부 랍비들은 출애굽기 6:8의 다섯 번째 구원 표현을 위해 다섯 번째 잔을 포함하는 것이 중요하다고 느꼈다. 모두 다섯 잔을 따라야 한다는 데 동의했지만, 다섯 번째 구원 표현이 이스라엘 땅으로 인도되는 것과 관련이 있었고, 당시에는 자율적인 유대인 공동체가 없었기 때문에 다섯 번째 잔을 마셔야 할지 여부에 대한 질문은 풀리지 않은 채로 남았다. 랍비들은 이 문제가 엘리야의 도래(엘리야의 도래가 메시아의 도래를 촉진하고, 그 때 모든 할라카 질문이 해결될 것이라는 개념과 관련하여)까지 남겨져야 한다고 결정했으며, 다섯 번째 잔은 코스 셸 엘리야후("엘리야의 잔")로 알려지게 되었다. 시간이 지나면서 사람들은 이 잔을 엘리야가 마지막 날에 메시아의 도래를 알리기 위해 미래에 올 것을 예고하며 유월절 밤에 각 유대인 가정을 방문할 것이라는 생각과 연결했고, 그가 들어오도록 문이 열려 있다는 생각과도 연결되었다.
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일부 세데르(원래 여성 세데르를 포함하되 여성 전용 세데르에 국한되지 않음)에서는 이제 전통적인 예언자 엘리야의 잔 외에 예언자 미리암을 위한 잔도 마련하며, 때로는 미리암을 기리는 의식도 동반한다. 미리암의 잔은 1980년대 보스턴 신월제 그룹에서 시작되었으며, 스테파니 루가 만들었다. 그녀는 그 잔을 마임 하임(생명수)으로 채우고 여성주의 유도 명상 의식에서 사용했다. 미리암의 잔은 미리암의 우물 미드라시와 연결되어 있는데, 이는 "이스라엘 민족이 이집트 탈출 후 40년 동안 광야에서 이동할 때 기적적으로 동행했던 우물에 대한 랍비 전설"이다. 또한 일부 유대인들은 세데르 접시에 오렌지를 포함한다. 오렌지는 모든 소외된 사람들, 특히 여성과 성소수자가 포함될 때 모든 유대인에게 풍요로움을 상징한다. 잘못되었지만 흔한 소문은 이 전통이 한 남자가 수사나 헤셀에게 여성이 세데르 접시 위의 오렌지처럼 비마에 속한다고 말했을 때 시작되었다고 한다. 그러나 실제로는 1980년대 초, 수사나 헤셀이 오벌린 대학 힐렐에서 연설할 때, 유대인 레즈비언들과의 연대를 상징하기 위해 세데르 접시에 빵 껍질을 추가할 것을 제안하는 초기 페미니스트 하가다를 소개받았을 때 시작되었다 (어떤 사람들은 유대교에 레즈비언이 있을 공간은 세데르 접시에 빵 껍질이 있을 공간만큼이라고 말할 것이다). 헤셀은 유월절에 금지된 빵을 세데르 접시에 놓는 것은 유대인 레즈비언과 게이 남성들이 하메쯔가 유월절을 침해하는 것처럼 유대교를 침해한다는 것을 받아들이는 것이라고 느꼈기 때문에, 다음 세데르에서는 유대 공동체 내에서 소외된 게이, 레즈비언 및 다른 사람들을 포함한다는 상징으로 오렌지를 선택했다. 또한 오렌지에는 뱉어내야 하는 씨앗이 있었는데, 이는 전통적인 유대교의 동성애 혐오를 뱉어내고 부인하는 제스처였다.
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많은 하가다는 이제 성 중립적인 영어 번역을 사용한다.
유월절 세데르를 함께 하는 사람들의 모임을 탈무드 (페사힘 논문)에서는 차부라(그룹)라고 부른다. 예를 들어, 극동에서는 하바드-루바비치 선교사들이 정기적으로 수백 명의 방문 학생, 사업가, 유대인 여행객을 위한 세데르를 진행한다. 카트만두의 하바드 세데르는 정기적으로 1,200명 이상의 참가자를 끌어모은다. 2006년에는 CIS 및 발트해 국가 유대인 공동체 연맹이 옛 소련 전역에서 500개 이상의 공개 세데르를 조직했으며, 현지 랍비와 하바드 랍비 학생들의 지도로 15만 명 이상이 참석했다.
이스라엘에서는 영주권자들이 세데르를 한 번만 지키는 반면, 예시바와 여성 신학교에서 공부하는 해외 학생들은 아웃리치 단체와 개인들이 주최하는 "둘째 날 세데르"에 최대 100명씩 초대된다.
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일부 기독교인, 특히 복음주의 개신교도들만이 아니라 그 외의 기독교인들도 최근틀:Timeframe? 고대 의례에 따라 세데르를 행하는 데 큰 관심을 보이고 있다. 많은 교회들이 세데르를 주최하며, 대개 메시아적 유대인들의 유월절 메시지를 추가하고, 때로는 메시아적 유대인들을 초대하여 인도하고 가르치기도 한다. 복음서는 최후의 만찬을 유월절에 위치시키므로, 일부 기독교인들은 이를 세데르로 해석했다. 결과적으로 일부 기독교 세데르는 성목요일에 최후의 만찬을 기념하는 일환으로 열린다. 많은 기독교인들은 이 식사를 자신들의 종교 유산과 연결하고, 고대 세계의 관행이 오늘날 기독교와 어떻게 관련되어 있는지를 이해하는 방법으로 인용한다. 그러나 유월절 세데르의 현재 형태는 기독교와 유대교가 이미 각자의 길을 간 이후인 랍비 유대교 시대부터 시작되었다. 일부 유대인과 기독교인들은 기독교 세데르를 비유대적인 목적으로 유대인 의례를 문화적 전유하는 부적절한 행위로 간주한다.
세데르 순서와 절차
많은 교회들이 유대인과 비유대인 모두를 초대하여 이야기를 나누고 평화, 자유, 종교적 관용이라는 공통 주제를 논의하는 종교간 세데르를 개최한다. 1960년대 미국 민권 운동 동안, 종교간 세데르는 모든 사람을 위한 동등한 보호를 위해 함께 행진하기 위해 모인 다양한 공동체의 지도자들에게 활력과 영감을 주었다. 이 중 첫 번째인 자유 세데르는 아서 와스코가 작성하여 램파츠 잡지와 미카 프레스의 작은 소책자에 출판되었고, 나중에 (1970년) 홀트-라인하트-윈스턴에서 출판되었으며, 실제로 1969년 4월 4일, 마틴 루터 킹 주니어 사망 1주년이자 유월절 셋째 날, 워싱턴 D.C. 링컨 기념 사원에서 공연되었다. 이는 고대 이스라엘의 파라오로부터의 해방 투쟁과 함께 흑인 미국의 해방 투쟁을 기념했으며, 원래의 성경 이야기를 넘어선 최초의 하가다였다. 이는 페미니즘, 채식주의, 1970년대 라틴 아메리카의 해방 운동, 생태 치유 등 다양한 형태의 해방을 기념하는 수많은 하가다를 촉발시켰다.  오늘날 많은 유니테리언 보편주의 회중은 매년 종교간 공동체 세데르를 개최한다. 이 목적을 위해 특별히 많은 종교간 유월절 세데르 하가다가 작성되었다.
2009년 미국 대통령 버락 오바마는 백악관의 옛 가족 식당에서 연례 유월절 세데르를 개최하기 시작했는데, 이는 현직 대통령이 백악관에서 세데르를 주최한 첫 사례였다. 약 20명의 손님을 위한 비공개 만찬에는 유대인과 비유대인 모두 – 대통령과 그의 가족, 대통령 및 영부인 직원, 친구와 그들의 가족이 포함되었다 – 하가다 낭독, 아피코만 숨기기 및 엘리야의 잔과 같은 전통 의식, 그리고 노예 해방 선언 낭독이 포함되었다.
사람들이 함께 세데르에 참여하고 싶지만 물리적으로 함께할 수 없을 때, 화상통화 소프트웨어와 같은 기술을 사용하여 "가상" 세데르를 용이하게 할 수 있다. 2020년, 코로나19 범유행으로 인해 많은 유대인들이 명절 동안 사회적 거리두기를 실천하거나 법적으로 의무화된 지역에 살았기 때문에 가상 세데르가 급증했다. 웹사이트 원테이블은 2019년부터 2020년까지 주최한 가상 세데르 수가 4배 증가했으며, 줌 화상 회의 소프트웨어가 가상 세데르를 주최하는 데 널리 사용되었다. 가상 세데르는 진보 유대교 랍비들에게 지지받았지만, 정통파 유대교 랍비들에게는 피했다. 보수파 유대교의 랍비 의회는 2020년에 한해 유대교의 절기에 전기 장치 사용에 대한 욤 토브 제한을 피하거나 최소화하면서 화상 회의를 사용하여 세데르를 진행하는 것에 대한 지침(공식적인 보수 할라카 응답은 아님)을 발표했다.
2022년, 이스라엘 우주비행사 에이탄 스팁베는 "라키아" 임무의 일환으로 국제우주정거장으로 가는 최초의 민간 후원 여행에 참여하여 이스라엘의 여러 대학과 스타트업을 위한 과학 및 기술 실험을 수행했다. "라키아" 임무의 일환으로 스팁베는 명절 첫째 날 우주에서 첫 세데르를 개최했다. 여기에는 키뒤시 암송, 포도 주스 마시기, 마차 먹기, 그리고 동료 우주비행사들에게 세데르 전통과 하가다 낭독이 가르칠 수 있는 가치에 대해 이야기하는 것이 포함되었다. 그는 이스라엘 백성의 이집트 탈출 이야기가 "노예 상태에서 자유로" 이동하는 것이 "어떤 꿈도 이룰 수 없는 것이 아니다"라는 것을 보여준다고 언급했다.
세데르 대중문화에서
텔레비전 시리즈 피키 블라인더스 시즌 2에는 아서 셸비 주니어가 휴전 협상의 일환으로 알피 솔로몬스의 집에서 유월절 세데르를 축하하도록 초대받는 장면이 나온다. 이 세데르 묘사에는 여러 가지 부정확한 점이 있는데, 예를 들어 유월절 기간 동안 엄격히 금지된 하메쯔와 같은 누룩을 넣은 빵이 식탁에 있다. 또한 솔로몬스는 염소를 도살하고 이것이 유대인 전통이라고 주장하는 것으로 나타난다. 실제로는 고대에 유대인 관습은 염소가 아닌 어린 양을 의식적으로 희생하는 것을 포함했으며, 이는 개인 가정에서가 아니라 예루살렘 성전에서만 이루어졌다.
사프디 형제가 감독하고 아담 샌들러가 주연을 맡은 영화 《언컷 젬스》는 전형적인 미국 유월절 세데르 장면을 담고 있다.
제이컵슨 밀도 정리
수학, 특히 비가환 환론, 추상대수학, 가군론에서 제이컵슨 밀도 정리(영어: Jacobson density theorem)는 환 R에 대한 단순 가군에 관한 정리이다.
이 정리는 모든 원시환을 벡터 공간의 선형 변환 환의 "조밀한" 부분환으로 볼 수 있음을 보여주는 데 적용될 수 있다. 이 정리는 1945년 네이선 제이컵슨의 유명한 논문 "무한성 가정이 없는 단순 환의 구조 이론(Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions)"에서 처음 등장했다. 이것은 단순환 아르틴 환의 구조에 대한 아르틴-웨더번 정리의 결론을 일종의 일반화로 볼 수 있다.
제이컵슨 밀도 정리 동기와 형식적인 서술
R을 환이라고 하고 U를 오른쪽 단순 R-가군이라고 하자. 만약 u가 U의 0이 아닌 원소이면, u • R = U이다 (여기서 u • R은 u에 의해 생성된 U의 순환 부분가군이다). 그러므로, 만약 u, v가 U의 0이 아닌 원소이면, u를 v로 변환하는 U의 자기 사상을 유도하는 R의 원소가 존재한다. 이제 자연스러운 질문은 이것이 임의의 (유한한) 원소 튜플로 일반화될 수 있는가 하는 것이다. 더 정확하게 말하면, 튜플 (x1, ..., xn)과 (y1, ..., yn)에 대해 각각 필요한 충분 조건을 찾아, 모든 i에 대해 xi • r = yi 속성을 갖는 R의 원소가 존재하도록 하는 것이다. 만약 D가 U의 모든 R-가군 자기 사상들의 집합이라면, 슈어 보조정리는 D가 나눗셈환임을 주장하고, 제이컵슨 밀도 정리는 xi들이 D 위에서 선형 독립이라면 튜플에 대한 질문에 긍정적인 답변을 제공한다.
제이컵슨 밀도 정리 동기와 형식적인 서술
위 내용을 염두에 두고, 이 정리는 다음과 같이 진술될 수 있다:
제이컵슨 밀도 정리. U를 오른쪽 단순 R-가군, D = End(UR), 그리고 X ⊂ U를 유한하고 D-선형 독립인 집합이라고 하자. 만약 A가 U의 D-선형 변환이라면, r ∈ R이 존재하여 X의 모든 x에 대해 A(x) = x • r이 성립한다.
제이컵슨 밀도 정리 증명
제이컵슨 밀도 정리에서 오른쪽 R-가군 U는 자연스러운 방식으로 D = End(UR)인 왼쪽 D-가군으로 동시에 간주된다: g • u = g(u). 이것이 실제로 U에 대한 왼쪽 가군 구조임을 확인할 수 있다. 이전에 언급했듯이, 슈어 보조정리는 U가 단순 가군이면 D가 나눗셈환임을 증명하므로, U는 D 위의 벡터 공간이다.
증명은 또한 (Isaacs 1993) p. 185에 증명된 다음 정리에 의존한다:
정리. U를 오른쪽 단순 R-가군, D = End(UR), 그리고 X ⊂ U를 유한 집합이라고 하자. R에서 X의 소멸자를 I = annR(X)로 쓰자. U의 원소 u가 u • I = 0을 만족한다고 하자. 그러면 u는 XD에 속한다; 이는 X의 D-선형 생성이다.
일반적으로 |X|에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. 만약 X가 공집합이면, 정리는 자명하게 참이므로 귀납법의 기본 단계가 확인된다.
제이컵슨 밀도 정리 증명
X가 공집합이 아니라고 가정하고, x를 X의 한 원소로, Y = X \{x}.로 쓰자. 만약 A가 U의 임의의 D-선형 변환이라면, 귀납 가설에 의해 모든 y in Y에 대해 A(y) = y • s를 만족하는 s ∈ R가 존재한다. I = annR(Y)로 쓰자. x • I는 U의 부분가군임을 쉽게 알 수 있다. 만약 x • I = 0이라면, 이전 정리에 의해 x는 Y의 D-선형 생성에 속하게 되어, X의 D-선형 독립성에 모순된다. 따라서 x • I ≠ 0이다. U는 단순 가군이므로, x • I = U이다. A(x) − x • s ∈ U = x • I이므로, I의 원소 i가 존재하여 x • i = A(x) − x • s이다.
r = s + i로 정의하고, Y의 모든 y에 대해 다음을 관찰한다.
이제 x에 대해 같은 계산을 한다:
따라서, 원하는 대로 X의 모든 z에 대해 A(z) = z • r이 성립한다. 이것으로 증명의 귀납 단계가 완료된다. 이제 수학적 귀납법에 따라 정리는 모든 크기의 유한 집합 X에 대해 참이다.
제이컵슨 밀도 정리 위상적 특성화
환 R은 제이컵슨 밀도 정리의 결론을 만족할 경우 단순 오른쪽 R-가군 U에 조밀하게 작용한다고 말한다. R을 "조밀하다"고 설명하는 위상적 이유가 있다. 첫째, R의 각 원소를 오른쪽 곱셈에 의해 유도되는 D 선형 변환과 동일시함으로써 End(DU)의 부분환으로 식별할 수 있다. 만약 U에 이산 위상이 주어지고, UU에 곱위상이 주어지며, End(DU)가 UU의 부분공간으로 간주되고 부분공간 위상이 주어졌을 때, R은 이 위상에서 End(DU)의 조밀 집합일 때 그리고 그 때에만 U에 조밀하게 작용한다.
제이컵슨 밀도 정리 결과
제이컵슨 밀도 정리는 환의 구조 이론에서 여러 중요한 결과를 가진다. 특히 아르틴-웨더번 정리의 단순 오른쪽 아르틴 환의 구조에 대한 결론이 다시 얻어진다. 제이컵슨 밀도 정리는 또한 오른쪽 또는 왼쪽 원시환을 특정 D-벡터 공간 U의 D-선형 변환 환의 조밀한 부분환으로 특성화한다. 여기서 D는 나눗셈환이다.
제이컵슨 밀도 정리 다른 결과와의 관계
이 결과는 힐베르트 공간 H상의 연산자의 *-대수 A에 대해 이중 교환자 A′′가 주어진 유한 벡터 집합에 대해 A로 근사될 수 있음을 나타내는 폰 노이만 이중 교환자 정리와 관련이 있다. 다시 말해, 이중 교환자는 약작용자 위상에서 A의 폐포이다.(폰 노이만 대수 설정에서 카플란스키 밀도 정리도 참조)
제이컵슨 밀도 정리 각주
Jacobson, N. (1945), “Structure theory of simple rings without finiteness assumptions”, 《Trans. Amer. Math. Soc.》 57 (2): 228–245, doi:10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8, ISSN 0002-9947, MR 0011680
브라우어 군
수학에서 체 K의 브라우어 군(영어: Brauer group)은 K 위의 중심 단순 대수의 모리타 동치 동치류로 이루어진 아벨 군이며, 덧셈은 대수의 텐서곱으로 주어진다. 이 군은 대수학자 리하르트 브라우어에 의해 정의되었다.
브라우어 군은 체 위의 나눗셈 대수를 분류하려는 시도에서 시작되었다. 이 군은 갈루아 코호몰로지로도 정의될 수 있다. 더 일반적으로, 스킴의 브라우어 군은 아즈마야 대수 또는 동등하게 사영 다발을 사용하여 정의된다.
브라우어 군 구성
체 K 위의 중심 단순 대수(CSA)는 K-대수 A가 단순환이고 A의 중심이 K와 같은 유한 차원 결합 대수이다. CSA는 일반적으로 나눗셈 대수가 아니지만, CSA를 사용하여 나눗셈 대수를 분류할 수 있다.
예를 들어, 복소수 C는 그 자신 위에 CSA를 형성하지만, R 위에는 아니다 (중심이 C 자체이므로 R 위의 CSA가 되기에는 너무 크다). 프로베니우스 정리 (환론)에 의해 중심이 R인 유한 차원 나눗셈 대수는 실수와 사원수이며, 실수나 사원수 위의 모든 행렬환 – M(n, R) 또는 M(n, H) –은 실수 위의 CSA이지만 나눗셈 대수는 아니다 (n > 1인 경우).
아르틴-웨더번 정리 (조지프 웨더번의 부분)에 따라 K 위의 CSA에 대한 동치 관계를 얻고, 이는 모든 CSA를 어떤 나눗셈 대수 D에 대한 M(n, D)로 표현한다. D만을 고려하면, 즉 모든 양의 정수 m과 n에 대해 M(m, D)를 M(n, D)와 동일시하는 동치 관계를 부과하면, K 위의 CSA에 대한 브라우어 동치 관계를 얻는다. 브라우어 군의 원소는 K 위의 CSA의 브라우어 동치류이다.
브라우어 군 구성
중심 단순 대수 A와 B가 주어지면, 이들의 텐서곱 A ⊗ B를 K-대수로 볼 수 있다. 이것은 항상 중심 단순임이 밝혀진다. 이를 깔끔하게 보는 방법은 특징을 사용하는 것이다: K 위의 중심 단순 대수 A는 스칼라의 체를 K의 대수적 폐포로 확장할 때 행렬환이 되는 K-대수이다. 이 결과는 K-벡터 공간으로서 중심 단순 대수 A의 차원이 항상 정사각수임을 보여준다. A의 차수는 그 차원의 제곱근으로 정의된다.
결과적으로, K 위의 CSA의 동형류는 텐서곱에 대해 모노이드를 형성하며, 브라우어 동치와 양립하고, 모든 브라우어류는 가역원이다. 대수 A의 역원은 그 역대수 Aop (K → A의 상이 A의 중심에 있으므로 K에 의한 동일한 작용을 갖는 역환)로 주어진다. 명시적으로, CSA A에 대해 A ⊗ Aop = M(n2, K)이며, 여기서 n은 K 위의 A의 차수이다.
어떤 체의 브라우어 군은 꼬임 군이다. 더 자세히 말하면, K 위의 중심 단순 대수 A의 주기는 브라우어 군의 원소로서의 A의 차수로 정의된다. A의 지수는 A와 브라우어 동치인 나눗셈 대수의 차수로 정의된다. 그러면 A의 주기는 A의 지수를 나누며 (따라서 유한하다).
브라우어 군 예시
다음의 경우, 체 K 위의 모든 유한 차원 중심 나눗셈 대수는 K 자신이며, 따라서 브라우어 군 Br(K)는 자명군이다:
K는 대수적으로 닫힌 체이다.
K는 유한체이다 (웨더번 정리). 동등하게, 모든 유한 나눗셈환은 가환환이다.
K는 대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 유리 함수체이다 (Tsen 정리). 더 일반적으로, 브라우어 군은 모든 C1 체에 대해 소멸한다.
K는 모든 단위근을 포함하는 Q의 대수적 확대이다.
브라우어 군 세베리-브라우어 다양체
체 K의 브라우어 군에 대한 또 다른 중요한 해석은 K 위에서 사영 다형체를 분류한다는 것이다. 이들은 K의 대수적 폐포 위에서 사영 공간과 동형이 된다. 이러한 다양체를 세베리-브라우어 다양체라고 하며, K 위에서 차원 n − 1인 세베리-브라우어 다양체의 동형류와 K 위에서 차수 n인 중심 단순 대수의 일대일 대응이 존재한다.
예를 들어, 차원 1의 세베리-브라우어 다양체는 정확히 K 위의 사영 평면에서 매끄러운 원뿔 곡선이다. 환의 표수가 2가 아닌 체 K에 대해, K 위의 모든 원뿔 곡선은 K의 어떤 0이 아닌 원소 a와 b에 대해 ax2 + by2 = z2 꼴의 하나와 동형이다. 대응하는 중심 단순 대수는 사원수 대수이다.
원뿔 곡선은 해당 사원수 대수가 행렬 대수 M(2, K)와 동형인 경우에만 K 위의 사영선 P1과 동형이다.
브라우어 군 순환 대수
양의 정수 n에 대해, n이 가역원이고 K가 원시 n제곱근 ζ를 포함하는 체 K라고 하자. K의 0이 아닌 원소 a와 b에 대해, 연관된 순환 대수는 다음과 같이 정의되는 K 위의 차수 n 중심 단순 대수이다:
순환 대수는 가장 잘 이해되는 중심 단순 대수이다. (n이 K에서 가역원이 아니거나 K가 원시 n제곱근을 갖지 않는 경우, 유사한 구성으로 K의 순환 Z/n-확대 χ 및 K의 0이 아닌 원소 a에 연관된 순환 대수 (χ, a)를 얻는다.)
대수적 K이론의 메르쿠리예프-수슬린 정리는 브라우어 군에 대해 강력한 결과를 제시한다. 즉, 양의 정수 n에 대해, n이 가역원이고 K가 원시 n제곱근을 포함하는 체 K라고 하자. 그러면 n에 의해 소멸되는 K의 브라우어 군의 부분군은 차수 n의 순환 대수에 의해 생성된다. 동등하게, 주기가 n을 나누는 모든 나눗셈 대수는 차수 n의 순환 대수의 텐서곱과 브라우어 동치이다. 소수 p에 대해서도, 주기 p의 나눗셈 대수가 실제로 주기 p의 순환 대수의 텐서곱과 동형일 필요는 없음을 보여주는 예시가 존재한다.
브라우어 군 순환 대수
체 위의 소수 차수 나눗셈 대수가 모두 순환 대수인지 여부는 알베르트가 제기한 주요 열린 문제이다. 차수가 2 또는 3인 경우에는 참이지만, 5 이상의 소수에 대해서는 문제가 아직 해결되지 않았다. 알려진 결과는 특별한 종류의 체에 대해서만 유효하다. 예를 들어, K가 대역체 또는 국소체인 경우, K 위의 모든 차수 나눗셈 대수는 알베르트-브라우어-하세-뇌터 정리에 의해 순환 대수이다. 같은 방향의 "고차원" 결과는 솔트만이 증명했다: K가 국소체 Qp 위의 초월 차수 1인 체인 경우, K 위의 소수 차수 l ≠ p인 모든 나눗셈 대수는 순환 대수이다.
브라우어 군 주기-지수 문제
체 K 위의 모든 중심 단순 대수 A에 대해, A의 주기는 A의 지수를 나누고, 두 수는 동일한 소인수를 갖는다. 주기-지수 문제는 관심 있는 체 K에 대해 주기를 사용하여 지수를 한정하는 것이다. 예를 들어 A가 국소체 또는 대역체 위의 중심 단순 대수라면 알베르트-브라우어-하세-뇌터는 A의 지수가 A의 주기와 같음을 보였다.
대수적으로 닫힌 체 위의 초월 차수 n인 체 K 위의 중심 단순 대수 A에 대해, ind(A)가 per(A)n−1을 나눈다는 추측이 있다. 이것은 n ≤ 2인 경우에 참이며, n = 2인 경우는 드 종의 중요한 발전이며, 드 종-스타와 리블리히에 의해 양의 표수에서 정밀화되었다.
브라우어 군 유체론
브라우어 군은 유체론의 현대적 공식화에서 중요한 역할을 한다. Kv가 비아르키메데스적 국소체인 경우, 국소 유체론은 정규 동형 invv : Br Kv → Q/Z, 즉 대수의 하세 불변량을 제공한다.
수체와 같은 대역체 K의 경우는 대역 유체론에서 다루어진다. D가 K 위의 중심 단순 대수이고 v가 K의 위치이면, D ⊗ Kv는 K의 v에서의 완비인 Kv 위의 중심 단순 대수이다. 이는 K의 브라우어 군에서 Kv의 브라우어 군으로의 준동형을 정의한다. 주어진 중심 단순 대수 D는 유한한 v를 제외한 모든 v에 대해 분해되므로, 거의 모든 이러한 준동형에 의한 D의 상은 0이다. 브라우어 군 Br K는 하세가 구성한 완전열에 들어맞는다.
여기서 S는 K의 모든 위치 집합이고 오른쪽 화살표는 국소 불변량의 합이다. 실수의 브라우어 군은 Z/2Z와 동일시된다. 왼쪽 화살표의 단사성은 알베르트-브라우어-하세-뇌터 정리의 내용이다.
K 위의 중심 단순 대수의 모든 국소 불변량의 합이 0이라는 사실은 전형적인 상호 법칙이다. 예를 들어, 이를 Q 위의 사원수 대수 (a, b)에 적용하면 이차 상호 법칙을 얻는다.
브라우어 군 갈루아 코호몰로지
임의의 체 K에 대해, 브라우어 군은 갈루아 코호몰로지로 다음과 같이 표현될 수 있다.
여기서 Gm은 곱셈군을 나타내며, K 위의 대수군으로 간주된다. 더 구체적으로, 표시된 코호몰로지 군은 H 2(Gal(Ks/K), Ks*)를 의미하며, 여기서 Ks는 K의 분리 폐포를 나타낸다.
브라우어 군과 갈루아 코호몰로지 군의 동형은 다음과 같이 설명될 수 있다. n-by-n 행렬 대수의 자기동형군은 사영 선형군 PGL(n)이다. K 위의 모든 중심 단순 대수는 K의 분리 폐포 위의 행렬 대수와 동형이 되므로, K 위의 차수 n인 중심 단순 대수의 동형류 집합은 갈루아 코호몰로지 집합 H1(K, PGL(n))과 동일시될 수 있다. H 2(K, Gm)에서 중심 단순 대수의 클래스는 짧은 완전열 1 → Gm → GL(n) → PGL(n) → 1에 연관된 경계 준동형
아래에서 H1의 클래스의 상이다.
브라우어 군 스킴의 브라우어 군
브라우어 군은 아우스란데르와 골드만에 의해 체에서 가환환으로 일반화되었다. 그로텐디크는 더 나아가 모든 스킴의 브라우어 군을 정의했다.
스킴 X의 브라우어 군을 정의하는 두 가지 방법이 있다. X 위의 아즈마야 대수를 사용하거나 X 위의 사영 다발을 사용하는 것이다. 두 번째 정의는 자리스키 위상에서가 아니라 에탈 위상에서 국소적으로 자명한 사영 다발을 포함한다. 특히, 사영 다발은 벡터 다발의 사영화인 경우에만 브라우어 군에서 0으로 정의된다.
준콤팩트 스킴 X의 코호몰로지 브라우어 군은 에탈 코호몰로지 군 H 2(X, Gm)의 꼬임 부분군으로 정의된다. (전체 군 H 2(X, Gm)은 정규, 정수적, 준콤팩트 스킴 X의 경우 꼬임 군이지만, 일반적으로 꼬임 군일 필요는 없다.) 브라우어 군은 항상 코호몰로지 브라우어 군의 부분군이다. 가버는 풍부한 가역층을 갖는 모든 스킴 (예: 가환환 위의 모든 준사영 다형체)에 대해 브라우어 군이 코호몰로지 브라우어 군과 같음을 보였다.
브라우어 군 스킴의 브라우어 군
전체 군 H 2(X, Gm)은 구조 군 Gm을 갖는 X 위의 제르브를 분류하는 것으로 볼 수 있다.
체 위의 매끄러운 사영 다양체에 대해 브라우어 군은 중요한 쌍유리 불변량이다. 예를 들어, X가 복소수 위에서 유리 연결 다양체이기도 한 경우, X의 브라우어 군은 특이 코호몰로지 군 H 3(X, Z)의 꼬임 부분군과 동형이며, 따라서 쌍유리 불변량이다. 아틴과 멈퍼드는 브라우어 군의 이러한 설명을 사용하여 C 위의 유리 다양체 X가 안정적으로 유리적이지 않은 (즉, X와 사영 공간의 어떤 곱도 유리적이지 않은) 첫 번째 예를 제시했다.
브라우어 군 테이트 추측과의 관계
아틴은 정수 위의 모든 고유 스킴이 유한 브라우어 군을 갖는다고 추측했다. 이는 유한체 위의 매끄러운 사영 다양체 X라는 특수한 경우에도 알려져 있지 않다. 사실, 이 경우 표면의 브라우어 군의 유한성은 X 위의 인자에 대한 테이트 추측과 동등하며, 이는 대수적 순환 이론의 주요 문제 중 하나이다.
수체의 대수적 정수환 위에서 평탄하고 고유하며 차원 2인 정수적 스킴이 단면을 갖는 경우, 브라우어 군의 유한성은 일반 섬유의 야코비 다양체 (수체 위의 곡선)에 대한 테이트-샤파레비치 군 Ш의 유한성과 동등하다. Ш의 유한성은 타원곡선과 더 일반적으로 아벨 다양체의 산술에서 중심적인 문제이다.
브라우어 군 브라우어-마닌 장애
X를 수체 K 위의 매끄러운 사영 다양체라고 하자. 하세 원리는 K의 모든 완비 Kv 위에서 X가 유리점을 갖는다면, X가 K-유리점을 갖는다고 예측할 것이다. 하세 원리는 특정 종류의 다양체에 대해서는 성립하지만, 일반적으로는 아니다. 마닌은 X의 브라우어 군을 사용하여 브라우어-마닌 장애를 정의했는데, 이는 X가 K의 모든 완비 위에서 점을 갖더라도 X가 K-점을 갖지 않음을 보여주는 많은 경우에 적용될 수 있다.
칼릴 울라 칸
아불 파잘 모하마드 칼릴 울라 칸(벵골어: আবুল ফজল মোহম্মদ খলিল উল্লাহ খান, 1934년 2월 2일~2014년 12월 7일)은 방글라데시의 배우이다.
이탈리아 르네상스 회화
이탈리아 르네상스 회화는 13세기 후반에 시작되어 15세기 초부터 16세기 후반까지 번성한 시기의 회화로, 당시 많은 정치적 국가로 나뉘어 있던 이탈리아반도에서 일어났다. 이 국가 중 일부는 독립적이었으나 외부 세력의 지배를 받는 국가도 있었다. 르네상스 이탈리아의 화가들은 종종 특정 궁정에 소속되어 특정 도시에 충성했지만, 그럼에도 불구하고 이탈리아 전역을 여행하며 외교적 지위를 얻기도 하며 예술적, 철학적 사상을 전파했다.
토스카나주의 피렌체는 르네상스의 발상지로, 특히 르네상스 회화의 발상지로 명성이 높지만, 후기에는 로마와 베네치아가 점점 더 중요해졌다. 상세한 배경은 관련 문서인 르네상스 미술과 르네상스 건축에서 확인할 수 있다. 이탈리아 르네상스 회화는 주로, 원시 르네상스(1300–1425), 초기 르네상스(1425–1495), 전성기 르네상스(1495–1520), 그리고 매너리즘(1520–1600) 등 네 시기로 구분한다. 이 시기들의 날짜는 이탈리아 회화의 전반적인 경향을 나타내는 것일 뿐, 개별 예술가들의 삶과 개인적인 스타일은 이 시기에 맞아 떨어지는 것은 아니다.
이탈리아 르네상스 회화
원시 르네상스는 화가 조토 디 본도네로 시작하며 타데오 가디, 오르카냐, 알티키에로를 포함한다. 초기 르네상스 스타일은 마사초에 의해 시작되었고 이후 프라 안젤리코, 파올로 우첼로, 피에로 델라 프란체스카, 산드로 보티첼리, 베로키오, 도메니코 기를란다요, 조반니 벨리니에 의해 더욱 발전되었다. 전성기 르네상스는 레오나르도 다 빈치, 미켈란젤로 부오나로티, 라파엘로 산치오, 안드레아 델 사르토, 코레조, 조르조네, 조반니 벨리니의 후기 작품, 그리고 티치아노 베첼리오가 활동하는 시기였다. 별도의 문서에서 다루는 매너리즘 시기에는 미켈란젤로의 후기 작품뿐만 아니라 자코포 다 폰토르모, 파르미자니노, 브론치노, 틴토레토도 포함된다.
이탈리아 르네상스 회화 영향
이탈리아 르네상스 회화 발전에 영향을 미친 요소들은 르네상스 시대 이탈리아 사회의 건축, 공학, 철학, 언어, 문학, 자연 과학, 정치, 윤리, 신학 등 거의 모든 분야에도 영향을 미쳤다. 다음은 르네상스 전반에 영향을 미친 요인을 요약한 것이다(위에 언급된 주요 문서에서 더 자세히 확인할 수 있다).
수세기 동안 서유럽 학자들에게 잊혀졌던 여러 고전 텍스트들이 다시 이용 가능해졌다. 여기에는 철학, 시, 드라마, 과학, 예술에 대한 논문, 초기 기독교 신학 관련 문서가 포함된다. 그 결과로 인본주의 철학에 대한 관심이 부활하면서, 인간과 인류, 우주, 그리고 신과의 관계가 더 이상 교회의 전유물이 아니게 되었다. 고전에 대한 관심이 되살아나고, 건축가 브루넬레스키와 조각가 도나텔로에 의한 고대 로마 유적에 대한 최초의 고고학 연구가 이루어졌다. 고전적 선례에 기반한 건축 양식의 부활은 회화에서도 상응하는 고전주의를 불러왔는데, 1420년대 마사초와 파올로 우첼로의 그림에서 나타나기 시작했다.
이탈리아 르네상스 회화 영향
고전 문헌에 접근할 수 있게 됨과 동시에, 유럽은 비잔틴과 이슬람 학자들의 작품에서 유래한 고급 수학에 접근할 수 있게 되었다. 15세기 이동식 인쇄 기술의 등장으로 아이디어가 쉽게 전파되는 환경이 만들어졌으며, 광범위한 대중을 위한 책들이 점점 더 많이 저술되었다. 북유럽에서 개발된 유성 페인트가 이탈리아로 전파되면서, 회화 예술에 지속적인 영향을 미쳤다.
메디치 은행이 설립되고, 이를 기반하여 무역이 활성화되면서, 이탈리아 피렌체에 전례 없는 부를 가져왔다. 코시모 데 메디치는 교회나 군주정과 관련 없는 새로운 예술 후원 기준을 세웠다. 피렌체 지역에 있었던 조토 디 본도네, 마사초, 브루넬레스키, 피에로 델라 프란체스카, 레오나르도 다 빈치 및 미켈란젤로 부오나로티와 같은 예술적 천재들의 우연한 존재는, 수많은 예술가들이 뛰어난 품질의 작품을 달성하도록 지원하고 장려하는 풍토를 형성했다.
베네치아에서도 재능 있는 벨리니 가문, 그들의 영향력 있는 인척 만테냐, 조르조네, 티치아노 베첼리오, 틴토레토를 통해 유사한 예술적 업적이 만들어졌다.
이탈리아 르네상스 회화 주제
르네상스 시대의 많은 그림은 가톨릭 교회의 의뢰를 받아 제작되었다. 이 작품들은 종종 대규모였고, 그리스도의 생애, 성모의 생애 또는 성인, 특히 아시시의 프란치스코의 생애를 다루는 연작으로, 주로 프레스코로 그려졌다. 또한 구원과 이를 달성하는 데 있어 교회의 역할에 대한 알레고리적 그림도 많이 있었다. 교회는 또한 제단화를 의뢰했는데, 제단화는 주로 템페라로 패널에, 나중에는 캔버스에 유화로 그려졌다. 대형 제단화 외에도, 교회와 개인 모두를 위해 크기가 작고 헌신을 내용으로 하는 그림들이 대량으로 제작되었으며, 이러한 작품의 가장 흔한 주제는 성모자와 아기 예수였다.
르네상스 시대에는 공공 기관의 의뢰 또한 중요했다. 지방 정부 건물은 암브로조 로렌제티의 선한 정부와 악한 정부의 알레고리와 같은 세속적인 작품과, 시에나의 푸블리코궁에 있는 시모네 마르티니의 마에스타 프레스코와 같은 종교적인 작품들로 장식되었다.
이탈리아 르네상스 회화 주제
초상화는 14세기와 15세기 초에는 흔치 않았으며, 주로 시에나의 시모네 마르티니가 1327년에 그린 귀도리치오 다 포글리아노의 기마 초상화나, 15세기 초 피렌체 대성당에 있는 우첼로의 존 호크우드 초상화와 그와 짝을 이루는 안드레아 델 카스타뇨의 니콜로 다 톨렌티노 초상화와 같은 기념화로 제한되었다.
15세기 중반을 넘어서면서 초상화는 점점 흔해져, 처음에는 종종 공식화된 측면 초상화만 그려졌지만, 점차 4분의 3 자세의 상반신 초상화가 많아졌다. 제단화와 프레스코 연작과 같은 미술 작품에 종종 후원자들이 그려지게 되었는데, 대표적으로 사세티 예배당에서 도메니코 기를란다요의 연작에 사세티 가문과 메디치 가문이 포함된 예를 들 수 있다. 초상화는 라파엘로 산치오와 티치아노 베첼리오와 같은 전성기 르네상스 화가들의 주요 주제가 되었고, 브론치노와 같은 예술가들의 작품에서 매너리즘 시기까지 이어졌다.
이탈리아 르네상스 회화 주제
인문주의의 성장과 함께 예술가들은 고전적 주제로 눈을 돌렸는데, 특히 부유한 후원자들의 저택 장식 의뢰에 많이 적용되었다. 가장 잘 알려진 작품은 보티첼리가 메디치 가문을 위해 그린 비너스의 탄생이다. 점차 고전적 주제는 시민 의뢰를 위한 적절한 알레고리적 소재로 간주되기 시작했다. 인문주의는 또한 종교적 주제를 묘사하는 방식에도 영향을 미쳤는데, 특히 미켈란젤로의 시스티나 경당 천장에서 이러한 경향이 두드러지게 나타난다.
이상과 같이 종교적, 고전적 주제가 대세를 차지했으나, 때로는 알레고리적 의미나, 때로는 순수하게 장식적인 목적으로 동시대 생활에서 가져온 모티프도 사용되었다. 만토바의 곤차가가 가문을 위해 만테냐가 그린 카메라 델리 스포지와 같이 특정 가족에게 중요한 사건들을 묘사하는 경우도 있었다. 회화의 저변이 넓어지면서, 점차 정물화와 일상생활의 장식적인 장면을 그린 작품도 등장했는데, 약 1490년 로렌초 코스타의 <콘서트>와 같은 작품이 주요한 예이다.
우첼로의 산로마노 전투와 같은 중요한 사건들은 종종 그림으로 기록되거나 기념되었으며, 중요한 지역 종교 축제도 마찬가지였다. 역사와 역사적 인물들은 종종 현재의 사건으로 묘사하거나, 현재 사람들의 삶을 반영하는 방식으로 묘사되었다. 초상화의 경우에도 동시대 인물을 종종 역사나 문학 속 인물의 모습으로 그리기도 했다. 단테, 보라기네의 황금 전설, 보카치오의 데카메론은 중요한 주제의 원천이었다.
이 모든 주제에서, 그리고 점점 더 많은 화가들의 작품에서, 자연 관찰, 해부학 연구, 빛, 그리고 원근법 연구 등, 기본적인 회화 기법이 발전하고 있었다.
이탈리아 르네상스 회화 원시 르네상스 회화
13세기 후반 토스카나주 지역의 예술은 이탈리아-비잔틴 양식의 두 거장, 피렌체의 치마부에와 시에나의 두초에 의해 지배되었다. 그들의 의뢰 작품은 대부분 종교화였으며, 그중 상당수는 성모와 아기 예수를 그린 매우 큰 제단화였다. 이 두 화가와 그들의 동시대인 시에나의 구이도, 코포 디 마르코발도, 그리고 그들의 선배로 추정되는 신비로운 화가, 소위 성 베르나르디노의 대가(Master of St Bernardino)는 모두 이콘 회화의 고대 전통에 의존하여 매우 형식화된 방식으로 작업했다. 이들의 템페라 그림들은 많은 세부 사항이 주제에 의해 엄격하게 고정되어 있었다. 예를 들어, 성모와 아기 예수의 손의 위치는 그림이 보는 이에 대한 축복의 성격에 따라 결정되었다. 성모의 머리와 어깨의 각도, 그녀의 베일 주름, 그리고 그녀의 특징을 정의하는 선들은 모두 수많은 그림에서 반복되었다. 하지만 치마부에와 두초는 더 큰 자연주의를 향해 나아갔고, 로마의 동시대인 피에트로 카발리니도 마찬가지였다.
이탈리아 르네상스 회화 원시 르네상스 회화
조토 디 본도네 (1266–1337)는 피렌체 북부 언덕의 양치기 소년이었으나, 치마부에의 제자가 되어 당대 가장 뛰어난 화가로 부상했다. 조토는 피에트로 카발리니와 다른 로마 화가들의 영향을 받았을 가능성이 있으며, 그가 그린 인물들은 어떤 회화적 전통에 기반하기보다는 삶의 관찰에 기반했다. 동시대인들의 비잔틴 양식 작품과는 달리, 조토의 인물들은 견고하고 삼차원적이다. 그들은 땅 위에 굳건히 서 있고, 해부학적 구조가 드러나며, 무게와 구조가 있는 의복을 입고 있다. 그러나 무엇보다 조토의 인물들을 동시대인들과 구별시키는 것은 그들의 감정이다. 조토의 인물들의 얼굴에는 기쁨, 분노, 절망, 수치심, 악의, 사랑이 담겨 있다. 그가 파도바의 스크로베니 경당에 그린 그리스도의 생애와 성모의 생애 프레스코 연작은 서사 그림의 새로운 기준을 세웠다.  피렌체의 우피치 미술관에는 조토의 오니산티 마돈나와 치마부에의 <산타 트리니타 마돈나>, 두초의 <루첼라이 마돈나>가 같은 방에 걸려 있어 세 작품 간의 양식적 비교를 쉽게 할 수 있다. 조토의 작품에서 분명하게 드러나는 특징 중 하나는 자연주의적 원근법의 관찰이다. 그는 르네상스의 선구자로 여겨진다.
이탈리아 르네상스 회화 원시 르네상스 회화
조토에게는 그에게 훈련받고 영향을 받았거나, 자연 관찰을 통해 비슷한 방향으로 나아간 동시대인들이 여러 명 있었다. 조토의 제자 중 몇몇은 그의 작품 방향을 흡수했지만, 그 누구도 그만큼 성공하지는 못했다. 타데오 가디는 피렌체 산타 크로체 교회의 바론첼리 예배당에 있는 <목동들에게 알림> 장면에서 처음으로 야경을 대규모로 그렸다.
아시시의 성 프란치스코 대성당 상부 교회에 있는 그림들은 이 시기 자연주의 회화의 예시로, 종종 조토 자신에게 귀속되지만, 피에트로 카발리니 주변의 예술가들의 작품일 가능성이 더 높다. 아시시 하부 교회에 있는 치마부에의 후기 그림인 <성모자와 성 프란치스코>은 그의 이전 패널 그림들과 상부 교회에 남아있는 초기 프레스코화보다 분명히 자연주의 양식이 더욱 강하게 나타난다.
이탈리아 르네상스 회화 원시 르네상스 회화
중세 교회 장식에서 가장 일반적인 주제는 최후의 심판이었는데, 북유럽 교회에서는 서쪽 문 위의 조각 공간에 있는 경우가 많았지만, 조토의 스크로베니 경당과 같은 이탈리아 교회에서는 내부 서쪽 벽에 그려졌다. 1348년 흑사병이 퍼지자, 생존자들은 참회와 사죄의 상태로 죽음을 맞도록 준비할 필요가 있었다. 이에 여러 프레스코에서 죽음의 불가피성, 참회자에게 주어지는 보상, 죄에 대한 형벌이 강조되었는데, 고통의 암울한 묘사와 지옥의 고문에 대한 초현실적인 이미지로 주목할 만하다.
이러한 작품으로는 현재 산타 크로체 박물관에 파편 상태로 남아있는 조토의 제자 오르카냐의 <죽음의 승리>와, 미상의 화가(아마도 구원 주제의 다른 세 연작에 작업했던 프란체스코 트라이니 또는 부오나미코 부팔마코)가 그린 피사의 캄포산토 모누멘탈레에 있는 <죽음의 승리>가 있다. 이 프레스코가 언제 시작되었는지는 정확히 알려지지 않았지만, 일반적으로 1348년 이후로 추정된다.
이탈리아 르네상스 회화 원시 르네상스 회화
14세기 후반 파도바에서는 두 명의 중요한 프레스코 화가, 알티키에로와 주스토 데 메나부오이가 활동했다. 주스토의 걸작인 파도바 세례당 장식은 인류의 창조, 타락, 구원이라는 주제를 따르며, 작은 제단실에는 희귀한 묵시 연작도 남겼다. 이 모든 작품은 작품의 크기, 품질, 상태 등이 당시 작품들과 예외적으로 뛰어나지만, 알티키에로의 파도바에 있는 산탄토니오 대성당의 <십자가형>과 비교할 때 인간 감정을 보수적(비잔틴적)으로 다루고 있다. 주스토의 작품에 나타나는 몸짓은 형식화되어 있음에 반해, 알티키에로는 그리스도의 죽음과 관련된 사건들을 위대한 인간 드라마와 강렬함으로 표현한다.
피렌체 산타 마리아 노벨라 성당의 스페인 예배당에서는 안드레아 디 보나이우토 다 피렌체에게 구원 과정에서 교회의 역할, 특히 도미니코회의 역할을 강조하도록 의뢰되었다. 그의 프레스코화 <활발하고 승리하는 교회의 알레고리>는 다음 세기에 지어지게 될 돔을 포함하여 피렌체 대성당을 완벽히 묘사한 것으로 주목할 만하다.
이탈리아 르네상스 회화 원시 르네상스 회화
14세기 후반, 국제 고딕은 토스카나 회화를 지배하는 양식이었다. 이는 피에트로 로렌체티와 "암브로조 로렌체티"의 작품에서 어느 정도 볼 수 있는데, 형식화된 부드러움과 우아함, 그리고 후기 고딕 양식의 우아한 옷주름이 특징이다. 이 양식은 시모네 마르티니와 젠틸레 다 파브리아노의 작품에서 완전히 발전되었으며, 우아함과 세부의 풍요로움과 이상화된 품질을 가지고 있어, 조토의 그림에서 보이는 엄격한 자연주의적 표현과는 거리가 있다.
15세기 초, 국제 고딕과 르네상스 사이의 간극을 메운 것은 프라 안젤리코의 그림들이었다. 그의 많은 작품들, 특히 템페라로 그려진 제단화들은 금박, 그리고 찬란한 색채 등 고딕 양식의 정교함이 특징이다. 반면, 산 마르코 수도원의 숙소에 있는 프레스코화에서는 프라 안젤리코가 조토의 예술적 계승자임을 볼 수 있다. 수사들이 거주하는 독방과 복도를 장식하는 이 헌신적인 그림들은 예수의 생애에서 발췌한 에피소드들을 묘사하는데, 그 중 많은 장면들이 예수의 십자가형 장면이다. 이들은 극히 단순하고 색채는 절제되어 있으며, 예술가가 영적 계시를 시각적 현실로 만들고자 노력했기에 분위기는 강렬하다.
이탈리아 르네상스 회화 초기 르네상스 회화
피렌체에서 최초의 진정한 르네상스 예술 작품은 1401년에 제작되었지만, 그림은 아니었다. 그 해 도시에서 가장 오래된 교회인 피렌체 세례당에 한 쌍의 청동 문을 제작할 예술가를 선정하기 위해, 7명의 젊은 예술가들을 대상으로 공모전이 열렸다. 참가자들은 각각 이삭의 희생을 나타내는 비슷한 모양과 크기의 청동 패널을 디자인해야 했다.
공모전에서 살아남은 두 개의 패널은 로렌초 기베르티와 브루넬레스키의 패널이었다. 각 패널은 당시 예술과 철학이 나아가던 방향을 보여주는 강력한 고전주의적 모티프를 담고 있다. 기베르티는 벌거벗은 이삭을 사용하여 고전 양식의 작은 조각을 만들었다. 이 인물은 고대 로마 예술을 참조하는 아칸서스 덩굴로 장식된 무덤에 무릎을 꿇고 있다. 브루넬레스키의 패널에는 이 장면에 포추가 인물이 하나 더 있는데, 발에서 가시를 뽑는 소년으로 잘 알려진 로마 청동 인물을 연상시킨다. 브루넬레스키의 창작물은 그 역동적인 강렬함에서 도전적이다. 기베르티의 작품보다 덜 우아하지만, 인간 드라마와 임박한 비극에 더 가깝다.
이탈리아 르네상스 회화 초기 르네상스 회화
기베르티는 공모전에서 우승했다. 그의 첫 번째 세례당 문 세트는 완성하는 데 27년이 걸렸고, 그 후 그는 또 다른 문을 제작하도록 의뢰받았다. 기베르티가 문에 작업한 총 50년 동안, 이 문은 피렌체의 많은 예술가들에게 훈련장이 되었다. 서사적 주제를 가지고 인물 구성을 배열하는 기술뿐만 아니라 급성장하는 선형 원근법 기술을 사용한 이 문은 피렌체 회화 예술의 발전에 엄청난 영향을 미쳤다.
최초의 초기 르네상스 프레스코화는 1425년에 두 명의 예술가에 의해 시작되었다. 그들은 피렌체 카르멜회 교회의 브란카치 가문 예배당에서 성 베드로의 생애 프레스코 연작을 그리도록 의뢰받았다. 그들은 모두 토마소라는 이름으로 불렸고 마사초와 마솔리노, 즉 게으른 톰과 작은 톰이라는 별명을 얻었다.
이탈리아 르네상스 회화 초기 르네상스 회화
다른 어떤 예술가보다 마사초는 조토의 작품에 담긴 함의를 인식했다. 그는 자연에서 그리는 관행을 계승했다. 그의 프레스코화를 살펴보면 그가 해부학, 단축법, 선형 원근법, 빛, 그리고 옷 주름 등의 연구를 충분히 이해했음을 알 수 있다. 브란카치 예배당에 있는 그의 성전세 프레스코화는 하나의 소실점을 가지며 빛과 어둠의 강렬한 대비를 사용하여 작품에 삼차원적 특성을 전달한다. 또한 예배당 아치 측면에 그려진 에덴에서 추방되는 아담과 하와의 인물들은 인간의 형태와 감정을 사실적으로 묘사한다. 이는 반대편에 마솔리노가 그린 <금단의 열매를 받는 아담과 하와>의 부드럽고 예쁜 인물들과 대조를 이룬다. 브란카치 예배당의 그림은 마사초가 1428년 26세에 사망하면서 미완성으로 남았다. 성전세는 마솔리노가 완성했으며, 예배당의 나머지 작업은 1480년대에 필리피노 리피가 마쳤다. 마사초의 작품은 레오나르도 다 빈치와 미켈란젤로 부오나로티를 포함한 많은 후기 화가들에게 영감의 원천이 되었다.
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15세기 전반기 동안 선형 원근법을 사용하여 그림에 사실적인 공간 효과를 구현하는 것은, 많은 화가들의 주요 관심사였다. 뿐만 아니라 이 주제를 이론화했던 건축가 브루넬레스키와 알베르티에게도 중요한 문제였다. 브루넬레스키는 피렌체 대성당 밖 광장과 팔각형 세례당에서 여러 정밀한 연구를 수행한 것으로 알려져 있으며, 마사초가 산타 마리아 노벨라 성당에 그린 유명한 <성 삼위일체>를 그리는 데 도움을 주었을 것으로 생각된다.
바사리에 따르면, 파올로 우첼로는 원근법에 너무 집착하여 거의 다른 생각은 하지 않고 많은 그림에서 실험을 거듭했다. 가장 잘 알려진 작품은 지면에 부서진 무기와 멀리 떨어진 언덕의 들판을 사용하여 원근감의 인상을 주는 세 점의 산로마노 전투 그림(1450년대)이다.