hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
상대론적 파동 방정식 상대론적 파동 방정식의 구성
비가환 표현은 반정수 또는 정수 쌍 (A, B)로 레이블이 지정된다. 이들로부터 다른 모든 표현은 텐서곱과 직합과 같은 다양한 표준 방법을 사용하여 구성될 수 있다. 특히, 시공간 자체는 사차원 벡터 표현 (⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠)을 구성하므로 Λ ∈ D(1/2, 1/2)이다. 이를 맥락에 맞게 설명하자면, 디랙 스피너는 (⁠1/2⁠, 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠) 표현 아래에서 변환된다. 일반적으로 (A, B) 표현 공간은 공간 회전의 부분군, SO(3) 아래에서 스핀 j의 객체처럼 비가환적으로 변환되는 부분 공간을 가지며, 각 허용된 값은 다음과 같다.

정확히 한 번 발생한다. 일반적으로 비가환 표현의 텐서 곱은 환원 가능하다. 즉, 비가환 표현의 직합으로 분해된다.
표현 D(j, 0) 및 D(0, j)는 각각 스핀 j의 입자를 나타낼 수 있다. 이러한 표현의 상태 또는 양자장은 클라인-고든 방정식 외에는 장 방정식을 만족하지 않을 것이다.
상대론적 파동 방정식 비선형 방정식
중첩 원리를 만족하지 않는 해를 갖는 방정식들이 있다.
전기 쌍극자 전이
전기 쌍극자 전이(영어: Electric dipole transition)는 원자 안의 전자와 전자기장 간 상호작용의 주요 효과이다.
다음 참조에 따라, 양자 해밀토니언 를 가진 원자 내 전자가 평면 전자기파와 상호작용하는 것을 고려하자.
이 전자기장 내 전자의 해밀토니언을 다음과 같이 쓰자.
시간 의존 섭동 이론을 사용하여 이 시스템을 다루면, 전자가 한 상태에서 다른 상태로 가장 많이 전이하는 것은 다음과 같이 정의된 의 합산항 때문임을 알 수 있다.
여기서 와 는 순수 전자의 전하와 질량이다. 전기 쌍극자 전이(영어: Electric dipole transition)는 해밀토니언 를 가진 시스템의 에너지 준위 간 전이이다.
특정 전자 상태들 사이에서는 하나 이상의 선택규칙, 특히 각운동량 선택규칙 때문에 전기 쌍극자 전이율이 0이 될 수 있다. 이 경우, 해당 전이는 전기 쌍극자 금지 전이라 불리며, 그러한 준위 간 전이는 고차 전이로 근사해야 한다.
의 다음 차수 합산항은 다음과 같이 정의된다.
그리고 이는 자기 쌍극자 전이를 설명한다.
전이율에 대한 더 작은 기여는 더 높은 전기 및 자기 다중극 전이에 의해 주어진다.
전기 쌍극자 전이 반고전적 접근법
원자에 대한 빛(주로 전기장)의 효과를 모델링하고 이해하는 한 가지 방법은 세 가지 에너지 준위로 구성된 더 간단한 모델을 살펴보는 것이다. 이 모델에서 우리는 원자를 각운동량 0의 상태()에서 각운동량 1의 상태()로의 전이로 단순화했다. 예를 들어, 수소에서 1s(바닥 상태)와 2p() 상태 간의 전이가 될 수 있다.
이 단순화된 원자에 대한 전기장의 효과를 이해하기 위해 우리는 전기장을 에서  전이 축과 평행하게 선형 편광된 것으로 선택할 것이다. 이 축을  축이라고 부른다. 이 가정은 일반성을 잃지 않는다. 사실 다른 축을 선택하더라도 전기장에 평행한 이전 상태의 선형 조합인 다른 상태를 찾을 수 있으므로 선형 편광된 전기장이 전이 축에 평행하다는 가정으로 돌아갈 수 있다.
이를 염두에 두고 에서 로의 전이로만 제한할 수 있다. 우리는 로 쓸 수 있는 전기장을 사용할 것이다. 여기서 는 전이 축이고, 는 원자로 들어오는 빛의 각진동수이며(원자에 비추는 레이저라고 생각하라), 는 위치에 따라 달라질 수 있는 빛의 위상이며, 는 레이저 빛의 진폭이다.
전기 쌍극자 전이 반고전적 접근법
이제, 우리가 풀고자 하는 주요 질문은 이런 종류의 빛 아래에서 원자가 느끼는 평균 힘은 무엇인가? 우리는 에 관심이 있는데, 이는 원자가 느끼는 평균 힘을 나타낸다. 여기서 괄호는 원자의 모든 내부 상태에 대한 평균(양자역학적 방식)을 나타내고, 막대는 고전적 방식의 시간 평균을 나타낸다. 는 원자의 전기 쌍극자로 인한 전위를 나타낸다.
이 전위는 로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 는 쌍극자 전이 연산자이다.
두 상태 모델을 사용하는 이유는 쌍극자 전이 연산자를 로 명시적으로 쓸 수 있게 해주기 때문이며, 따라서 우리는
를 얻는다.
그러면
이다.
이제, 반고전적 접근법은 쌍극자 모멘트를 원자의 분극률에 전기장을 곱한 것으로 쓰는 것을 의미한다.
그리고 마찬가지로 이고, 따라서 이며, 그러므로 이다.
전기 쌍극자 전이 반고전적 접근법
수학을 더 진행하고 비례 상수 에 대한 더 명시적인 표현을 찾기 전에 논의해야 할 중요한 측면이 있다. 그것은 빛에 의해 유도된 전위에서 원자가 느끼는 전위가 시간 평균된 전기장의 제곱을 따른다는 것을 발견했다는 것이다. 이는 냉각 원자 물리학에서 많은 실험 물리학에 중요한데, 물리학자들이 빛의 강도가 시간 평균된 전기장의 제곱에 비례한다는 사실(즉, )을 사용하여 원자에 적용되는 레이저 빛의 알려진 강도를 통해 원자에 적용되는 전위를 이해하기 때문이다.
이제, 분극률 의 표현을 얻는 방법을 살펴보자.
이를 위해 밀도 행렬 형식론과 광학 블로흐 방정식을 사용할 것이다.
여기서 주요 아이디어는 비대각 밀도 행렬 요소가 와 로 쓸 수 있다는 것이다. 그리고
여기서 광학 블로흐 방정식이 유용하게 사용될 것이다. 이들은 밀도 행렬의 동역학을 이해하는 방정식을 제공한다.
실제로, 우리는 다음을 가진다.
이는 밀도 행렬의 가역적인 정상 양자 진화를 설명한다.
그리고 원자의 자발 방출을 설명하는 또 다른 항이 있다.
여기서 는 우리의 반고전적 해밀토니언이다. 이는 로 쓰인다. 그리고 이다. 는 전이의 선폭을 나타내며, 따라서 를 주어진 전이의 반감기로 볼 수 있다.
전기 쌍극자 전이 반고전적 접근법
라비 진동수 를 도입하자.
그러면 와 에 대한 광학 블로흐 방정식을 쓸 수 있다.
이 부분을 위해 의 진화 방정식을 취하고 행렬 요소를 취한다. 우리는 다음을 얻는다.
에 대한 방정식은 그 켤레 복소수를 취함으로써 얻을 수 있다.
그런 다음 4가지 행렬 요소 모두에 대해 과정을 반복할 수 있지만, 우리의 연구에서는 작은 장 근사를 적용하여 전기장이 4가지 방정식을 분리할 수 있을 만큼 충분히 작다고 가정한다. 이 근사는 라비 진동수를 사용하여 수학적으로 다음과 같이 쓰인다.
, 여기서 .
그러면 을 무시하고 로 설정할 수 있다. 사실, 이 아이디어는 원자가 아무 빛도 보지 않는다면, 에 대한 첫 번째 근사에서 원자는 바닥 상태에 있고 들뜬 상태에 있지 않을 것이므로 , 로 설정해야 한다는 것이다.
그러면 진화 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
이것은 코사인 항을 포함하는 비동차 1차 미분 방정식이다. 이는 오일러 공식을 사용하여 쉽게 풀 수 있다.
다음과 같은 해를 얻는다.
또한, 만약 이탈 가 보다 훨씬 크다고 말한다면, 물론 의 합도 보다 훨씬 크고 이전 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
그리고
그리고 우리의 평균 쌍극자 모멘트로 돌아가서:
여기서
그러면 가 분명하고, 분극률은 가 된다.
마지막으로, 전기 쌍극자 상호작용으로 인해 원자가 느끼는 전위를 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 논의할 핵심 사항은 앞서 말했듯이 레이저의 빛의 강도 가 원자가 해당 영역에서 "느끼는" 비례적인 국소 전위를 생성한다는 것이다. 또한, 이제 우리는 그러한 전위의 부호를 알 수 있다. 우리는 그것이 이탈의 부호를 따르는 의 부호를 따른다는 것을 알 수 있다. 이는 우리가 적색 이탈 레이저()를 가질 때 전위가 인력적이고, 청색 이탈 레이저()를 가질 때 척력적이라는 것을 의미한다.
자기 쌍극자 전이
전자기파가 원자나 분자에 속박된 전자와 상호 작용하는 것은 시간 의존적인 섭동 이론으로 설명할 수 있다. 자기 쌍극자 전이(영어: Magnetic dipole transition)는 전자의 자기 쌍극자 모멘트와 전자기파의 자기 부분 사이의 결합이 지배적인 영향을 미치는 것을 설명한다. 이들은 관찰되는 주파수에 따라 두 그룹으로 나눌 수 있다. 광학 자기 쌍극자 전이는 서로 다른 두 전자 준위의 하위 준위 사이에서 적외선, 광학 또는 자외선 주파수에서 발생할 수 있는 반면, 자기 공명 전이는 단일 전자 준위 내의 각운동량 하위 준위 사이에서 마이크로파 또는 라디오 주파수에서 발생할 수 있다. 후자는 원자나 분자의 전자 각운동량과 관련된 경우 전자 상자성 공명(EPR) 전이, 핵 각운동량과 관련된 경우 핵 자기 공명(NMR) 전이라고 불린다.
자기 쌍극자 전이 이론적 설명
원자에 속박된 베어 전자가 시간 의존적인 전자기장과 상호 작용하는 해밀턴은 파울리 방정식에 의해 주어진다(이론적 설명은를 따른다).
여기서 와 은 베어 전자의 전하와 질량, 는 스핀 연산자, 는 파동의 벡터 퍼텐셜, 는 운동량 연산자이다.
해밀턴은 시간 독립적인 부분과 시간 의존적인 부분으로 나눌 수 있다.
여기서
은 원자 해밀턴이고, 전자기파와의 상호 작용(시간 의존적)은 다음과 같다.
마지막 항은 A에 대해 이차식이므로 작은 장에서는 무시할 수 있다.
시간 의존적인 부분은 전기 전이 쌍극자(첫 번째 항에서), 자기 전이 쌍극자(두 번째 항에서), 그리고 전기 사중극자와 같은 고차항에 속하는 항으로 테일러 전개될 수 있다. 자기 전이 쌍극자에 속하는 항은 다음과 같다.
자기 쌍극자 전이 선택규칙
허용된 자기 쌍극자 전이에 대한 선택규칙은 다음과 같다.
1.  (J: 총 각운동량 양자수)
2.  (: 지정된 축을 따른 총 각운동량의 투영)
3. 패리티 변화 없음
자기 쌍극자 전이 전기 쌍극자 전이와의 비교
원자와 분자의 전자 상태는 일반적으로 정적인 전기 쌍극자 모멘트를 가지지 않지만, 많은 상태는 정적인 자기 쌍극자 모멘트를 가진다. 고전적인 자화된 상단 모델은 정적인 자기 쌍극자 모멘트를 가진 원자에 대해 서로 다른 제만 분리된 하위 준위 사이의 자기 공명을 완전한 양자 역학적 설명 없이도 충분히 설명하는 데 사용될 수 있다.
표백 (드라마)
《표백》(漂白)은 2025년 방송되었던 중국의 웹 드라마이다.
사제왕상
파키스탄에서 종종 왕사제상(King-Priest)라고 불리는 사제왕상(Priest-King)은 1925~26년에 지금의 파키스탄 신드주에 위치한 폐허가 된 청동기 시대 도시 모헨조다로 발굴 중에 발견된 동석으로 조각된 작은 남성 조각상이다. 이 조각상은 기원전 2000~1900년경 모헨조다로 후기 시대의 것으로 추정되며, 인더스 문명("IVC")의 "가장 유명한 석조 조각상"이다. 현재 NMP 50-852번으로 파키스탄 국립박물관에 소장되어 있다. "조각가는 사실적인 세부 묘사와 양식화된 형태를 결합하여 실제보다 훨씬 커 보이는 강력한 이미지를 만들어냈다"는 점에서 널리 칭송받으며, 아마도 파슈파티 인장을 제외하고는 "인더스 문명을 더 잘 상징하는 것은 없다."
사제왕상
사제왕상은 단정하게 수염을 기른 남성이 머리에 필렛을 두르고 있는데, 이는 한때 정교했을 헤어스타일이나 머리 장식의 잔여물일 수 있으며, 그의 머리카락은 뒤로 빗어 넘겨져 있다. 그는 완장을 차고 있으며, 드릴로 뚫은 트레포일 무늬, 단일 원, 이중 원 모티프가 있는 망토를 입고 있는데, 여기에는 붉은색 흔적이 남아 있다. 그의 눈은 원래 상감 세공되었을 수도 있다. 이 조각상은 하단이 부러져 불완전하며, 아마도 미완성작일 수도 있다. 원래는 더 컸으며, 아마도 앉아 있거나 무릎을 꿇고 있는 전신상이었을 것으로 추정된다. 현재는 17.5 센티미터 (6.9 in) 높이이다.
사제왕상
현재 일반적으로 사제왕이라는 이름이 사용되지만, 이는 "근거 없는" 추측이다. 유물 발견 당시 발굴을 이끌던 고고학자 어니스트 J. H. 맥케이는 이것이 "사제"를 나타낼 수 있다고 생각했다. 존 마셜 경은 당시 분할 이전 인도 고고학 조사국("ASI") 국장이었으며, 이를 "왕사제"로 보았지만, "사제왕"이라는 용어를 처음 사용한 사람은 그의 후임자인 모티머 휠러 경인 것으로 보인다. 이 조각상과 다른 몇몇 인더스 문명의 남성 조각상에 대한 대안적인 명칭은 "씨족 지도자나 조상 인물의 기념상"이라는 것이다.
원본은 안전하게 보관되어 있고, 복제품이 파키스탄 국립박물관에 전시되어 있다. 박물관장 부카리 씨는 2015년에 "이것은 국가의 상징이다. 우리는 위험을 감수할 수 없다"고 설명했다. 박물관에서 사용하는 우르두어 명칭(영어 "King-Priest"와 함께)은 정확한 번역이 아니라, 우르두어-페르시아어-아랍어에서 주권자나 주교(의례 행사에서 국가 의자에 앉을 권리가 있는)를 의미하는 잘 알려진 표현인 "حاکم اعلی"(하킴 아알라)이다.
사제왕상 묘사
이 조각상은 부드러운 동석 광물로 조각되었으며, (겉보기에는 미완성이지만) 1000°C 이상의 온도에서 구워 단단하게 만들었다. 발굴 당시에도 이미 존재했던 얼굴 오른쪽 아래로 길게 이어진 균열은 이 과정이나 나중에 받은 충격으로 인해 발생했을 수 있다. 조각상의 하단은 고르지 않게 부러져 있으며, 패턴이 있는 가운이 앞쪽보다 뒤쪽으로 더 길게 이어져 있다. 코 끝 부분도 손상되었지만, 다른 많은 부분은 양호한 상태이다. 이 조각상은 더 완전한 다른 인더스 문명 남성 조각상과 비교되었는데, 이들은 앉은 자세를 보여주며, 경우에 따라 한쪽 무릎은 올리고 다른 다리는 몸 아래로 집어넣은 자세를 취하고 있다. 사제왕도 원래 이러한 형태였을 수 있다. 조너선 마크 케노이어를 포함한 일부 고고학자들은 이 조각상과 다른 조각상들이 그 대상이 위신을 잃으면서 의도적으로 "부서지고 훼손되었다"고 믿는다.
사제왕상 묘사
눈은 크지만 좁고, 반쯤 감은 것처럼 보인다. 원래는 동공을 나타내는 조개껍데기나 돌 조각이 박혀 있었을 것이다. 귀는 이 유적지에서 발견된 다른 석재 머리 조각들처럼 매우 단순한 형태이다. 머리 상단 뒤쪽은 평평한데, 아마도 현재 없어진 무언가를 부착하기 위한 것이었을 것이며, 이것이 조각된 "쪽진 머리"였는지, 아니면 다른 재료로 만들어져 때때로만 착용했을 더 정교한 머리 장식이었는지에 대한 다양한 이론이 있다. 귀 아래 두 개의 구멍은 이것을 부착하기 위한 것이거나, 아니면 목걸이를 위한 것이었을 수도 있다. 맥케이는 평평해진 것이 머리가 손상되었기 때문이라고 제안했지만, 이후의 많은 저술가들은 이에 동의하지 않는다. 또 다른 가능성은 경사진 상단이 있는 벽감에 맞도록 설계되었을 수도 있다는 것이다.
사제왕상 묘사
이 조각상은 트레포일 무늬가 있는 토가와 같은 겉옷을 한쪽 어깨에만 걸치고 있는데, 파키스탄 자료들은 이것이 지역의 아지락 블록 프린팅 기법을 사용한 것이라고 주장한다. 이 위에 돋아난 트레포일 및 다른 형태들의 내부에는 원래 붉은색 물질, 아마도 어떤 종류의 페이스트가 채워져 있었다. 형태의 내부는 거칠게 남겨져 있어 이것이 잘 접착되도록 도왔다. 형태 주변의 공간에서는 원래 발굴 당시 "검붉은색"이었지만 원래는 부조 형태에 녹색이나 파란색 배경을 주었을 물질의 흔적이 발견되었다.
마셜이 인더스 문명에 대해 처음 생각했던 것은 메소포타미아와의 연관성이 매우 밀접하다는 것이었고, 1926년까지의 예비 보고서에서는 이를 "인도-수메르 문명"이라고 불렀다. 그는 나중에 이것이 틀렸다는 것을 깨닫고 "인더스 문명"을 사용하기 시작했다. 사제왕과 다소 유사한 메소포타미아 인물들 사이의 관계 가능성에 대한 많은 논의가 있었다. 미술사학자 벤저민 로우랜드는 "딱딱하고 가면 같은 면으로 머리를 조형한 방식과 특정 다른 기술적 세부 사항들이 상당히 유사하지만, 실제 관계를 증명하기에는 충분히 가깝지 않다"고 결론 내렸다.
그레고리 포셀에 따르면, 특히 얼굴 털을 다룬 방식이 조각상이 완전히 완성되지 않았음을 시사한다. 주된 턱수염은 평행선으로 섬세하게 작업되었지만, 윗입술도 주변 살보다 돌출되어 있으며, 콧수염을 나타내는 선은 추가되지 않고 단순히 매끄럽게 처리되어 있다. 뺨에서는 턱수염 선이 뺨으로 더 희미하게 이어지는데, 완성된 작품에서는 아마도 매끄럽게 처리되었을 것이다.
이 인물을 종교적인 인물로 해석할 수 있는 가능한 증거로는 눈이 코끝에 고정된 것처럼 보이는 모습(이는 요가의 한 수련 방식)과 한쪽 어깨에 걸친 가운이 나중에 불교의 승가티와 같은 의복과 유사하다는 점이다. 코끝에 집중하는 모습은 마셜의 인도인 조수 중 한 명이 주목했으며, 마셜은 파슈파티 인장에서도 같은 특징을 보았다.
사제왕상 발굴 및 최근 역사
이 조각상은 도시의 "D-K B" 지역에서 고고학자 카시나트 나라얀 딕시트(이후 ASI 국장)에 의해 1.37미터 깊이에서 발견되었으며, 발견 번호 DK-1909가 부여되었다. 정확한 발견 장소는 "이상한 평행 벽이 있는 작은 울타리"였는데, 아마도 하맘이나 사우나의 히포카우스툼이었을 것이다. 이 조각상은 이 벽들 사이의 작은 통로에서 발견되었지만, 이는 정상적인 위치로 보이지 않으며, 도시가 폐허가 될 때 이 공간으로 떨어지거나 굴러들어갔을 것으로 추정된다.
모헨조다로에서 발견된 유물들은 처음에 라호르 국립박물관으로 보내졌지만, 나중에 영국령 인도의 새로운 수도이자 ASI 본부가 있는 뉴델리로 옮겨져 계획된 "중앙 제국 박물관"에 전시될 예정이었다. 결국 1947년 인도의 분할 이후 이것은 인도 국립박물관으로 설립되었다. 새로운 파키스탄 유산 당국은 인더스 문명 유물의 반환을 요청했는데, 독립 당시 발견된 거의 모든 유물은 모헨조다로와 같이 현재 파키스탄에 있는 유적지에서 나왔기 때문이다.
사제왕상 발굴 및 최근 역사
이 조각상은 1972년 심라 협정을 통해 파키스탄과 인도의 정부 수반인 줄피카르 알리 부토 파키스탄 대통령과 인디라 간디 인도 총리가 합의한 후에야 파키스탄으로 반환되었다. 파키스탄 고고학자에 따르면, 간디는 사제왕상과 다른 가장 상징적인 인더스 조각상인 춤추는 소녀상(모헨조다로에서 발견된 더 작은 청동 조각상) 둘 다 반환하기를 거부했고, 부토에게 둘 중 하나만 선택할 수 있다고 말했다.
이 조각상은 1931년 벌링턴 미술 클럽에서 열린 "인도 미술" 전시회에 전시되었으며(카탈로그 114번), 춤추는 소녀상도 함께 전시되었다(카탈로그 136번). 인도 밖에서 인더스 문명 유물이 처음으로 전시된 이 행사는 언론의 상당한 주목을 받았다. 다른 전시회로는 2003년 뉴욕 메트로폴리탄 미술관에서 열린 "최초 도시의 미술: 지중해에서 인더스까지의 기원전 3천년" 전시회(카탈로그 272a번)가 있다. 이 조각상의 복제품은 파키스탄 안팎에서 인기가 많으며, 원본보다 훨씬 큰 복제품이 모헨조다로 유적지 입구에 세워져 있다.
사제왕상 맥락
이 조각상은 "모헨조다로에서 발견된 7점의 주요 인간 조각품" 중 하나이다. 다른 조각품으로는 두 점의 작은 전신 나체 청동 여성 조각상이 있는데, 둘 다 어떤 이들은 "무희"라고 부르지만, 제물 운반과 같은 다른 활동들이 제안되기도 했다. 또한 석회암이나 알라바스터로 된 세 점의 남성 머리 조각상(부러진 것으로 보임)과 머리 없는 앉은 남성 조각상도 있다. 이 조각품들과 사제왕 사이에 다양한 대조점과 비교점이 제시되었으며, 세부 묘사에서 상당한 다양성이 나타난다. 머리 없는 앉은 남성 조각상은 사제왕의 없어진 하반신 자세를 보여줄 수 있다. 나무 조각상도 있었을 가능성이 높지만, 현존하는 것은 없다.
또한 인더스 문명 전역에서 매우 많고 단순한 테라코타 인형들이 발견되는데, 대부분 여성상이며, 일반적으로 나중에 인도 전역에서 생산된 것들과 유사하며, 심지어 오늘날까지도 그러하다. 정교한 머리 장식은 이 인형들의 두드러진 특징이다.
사제왕상 맥락
동석은 인더스 문명에서 널리 사용되었다. 한 기술에서는 그것을 갈아서 반죽으로 만들고, 구워서 장식된 구슬을 만들었는데, 이 중 많은 것이 수출되었다. 또한 인더스 인장을 조각하는 데 주로 사용된 재료이기도 했다. 때로는 구워지고 때로는 구워지지 않았으며, 많은 인장들은 조각된 후 가볍게 구워진 코팅이 입혀졌다.
일부 학자들은 그곳의 예술과 유사한 점 때문에 사제왕상과 인더스 문명 맥락에서 발견된 소수의 유사한 유물들이 북쪽, 특히 동시대 문화인 박트리아-마르기아나 고고학적 복합체("BMAC")의 전통에서 영향을 받았을 수 있다고 제안했다. 아마도 이 유물들은 인더스 문명 도시에 거주하는 북쪽 출신 사람들을 위해 만들어졌을 수 있다. 인더스 문명과 달리, BMAC는 상당한 사회적 차등화를 시사하는 풍부한 무덤을 남겼으며, 지금까지 발굴된 대규모 정착지들은 각각 거대한 요새화된 복합체를 중심으로 한다. 이들은 이전에는 "사원"으로 묘사되었지만, 아마도 지역 통치자의 거주지였을 가능성이 더 높다.
사제왕상 맥락
고도로 복잡한 사회 조직에 대한 풍부한 증거에도 불구하고 강력한 지배계급의 증거가 없다는 점은 초기 발굴가들에게 인더스 문명 도시의 가장 놀라운 측면 중 하나였으며, 웅장한 무덤과 궁전의 일반적인 형태로 명확한 증거는 여전히 부족하다. 청동기 시대 조건에서 대규모 도시화를 달성하기 위해 지배계급이 필요했는지 여부는 여전히 미해결 질문이며, 인더스 문명이 국가였는지, 그렇다면 단일 국가였는지 여러 국가였는지에 대한 질문과도 관련이 있다. 군사 기반의 군주나 지배계급에 대한 증거가 부족했기 때문에, 어떤 종류의 신권정치 모델이 초기 고고학자들에게 널리 받아들여졌다.
이것은 메소포타미아 고고학에서 지지를 받았는데, 실제로 수메르의 초기 도시들은 여전히 정치적 및 종교적 역할을 결합한 통치자들을 가졌다고 생각된다. 1940년대 인도에 있던 영국 고고학자 스튜어트 피곳은 인더스 문명이 "두 주요 정부 소재지에서 독재적이고 절대적인 권력을 휘두르는 사제왕들에 의해 통치되는 국가"라고 생각했다. 휠러는 이에 동의하며 다음과 같이 단언했다.
사제왕상 맥락
그들의 권위의 근원이 무엇이든—그리고 지배적인 종교적 요소가 상당히 가정될 수 있다—하라파의 통치자들이 그들의 도시를 수메르와 아카드의 사제왕이나 총독의 방식과 다르지 않게 통치했음은 더 이상 의심할 수 없다.
휠러는 큰 남성 조각상에 가해진 손상을 의도적인 것으로 보았으며, 그가 가설을 세운 아리아 침략자에 의한 인더스 문명의 폭력적인 전복 중에 발생한 것으로 보았는데, 이는 현재 일반적으로 신뢰받지 못하는 인더스 문명의 종말에 대한 설명이다. 21세기에는 인더스 문명의 권력이 가족이나 씨족 간에 더 넓게 분산되어 있었을 가능성이 있으며, 아마도 의회와 관련되었을 수도 있고, 도시의 쇠퇴가 더 점진적이었다고 보는 경향이 있다.
사제왕 인물들은 대략 인더스 문명과 동시대였으며 몇 세기 후에 흥망성쇠를 겪었지만, 발견과 발굴은 몇십 년 더 일찍 이루어진 미노스 문명에서도 상정되었다. 인더스 문명처럼 미노스 문명도 해독 가능한 문자가 없었으므로 고고학자들은 오직 물리적 증거에만 의존해야 했다. 인더스 문명과는 대조적으로, 크고 화려하게 장식된 "궁전"들이 매우 분명했지만, 누가 그 안에 살았는지에 대한 단서는 없었다. 발굴 책임자였던 아서 에번스 경은 사제왕의 개념을 선호했으며, 1901년 크노소스에서 발견된 파편적인 부조 프레스코에 그렇게 제목을 붙였다. 이는 휠러가 모헨조다로 인물에 대해 그렇게 한 것보다 훨씬 더 추측성 강한 것이었으며, 대부분의 학자들은 이제 그 파편들이 모두 단일 인물에서 나온 것인지에 대해 의심하고 있으며, 에번스의 재건축물에는 현재 백합 왕자라는 제목이 일반적으로 붙여진다. (에번스 밑에서 훈련받았던) 마셜처럼, 그는 자신의 "사제왕"을 발굴에 대한 주요 저서의 표지 이미지로 사용했다.
사제왕상 더 읽어보기
Ardeleanu-Jansen, A., "The Sculptural Art of the Harappa Culture", pp. 167–178 in Michael Jansen; Máire Mulloy; Günter Urban (eds.), Forgotten Cities on the Indus: Early Civilization in Pakistan from the 8th to the 2nd Millennium BC, 1991, Oxford University Press/Verlag Philipp von Zabern, ISBN 978-3-8053-1171-7.
양자 논리 게이트
양자 컴퓨팅과 특히 양자 회로 계산 모델에서 양자 논리 게이트(영어: Quantum logic gate, 또는 간단히 양자 게이트(quantum gate))는 소수의 큐비트에서 작동하는 기본 양자 회로이다. 양자 논리 게이트는 기존 디지털 회로의 논리 회로와 마찬가지로 양자 회로의 구성 요소이다.
많은 고전 논리 게이트와 달리 양자 논리 게이트는 가역적이다. 가역 게이트만 사용하여 고전적인 컴퓨팅을 수행할 수 있다. 예를 들어, 가역적인 토폴리 게이트는 종종 보조 비트를 사용해야 하는 비용으로 모든 불 함수를 구현할 수 있다. 토폴리 게이트는 직접적인 양자 등가를 가지며, 이는 양자 회로가 고전 회로가 수행하는 모든 작업을 수행할 수 있음을 보여준다.
양자 게이트는 유니터리 작용소이며, 일부 정규 직교 기저와 관련하여 유니터리 행렬로 설명된다. 일반적으로 계산 기저가 사용되는데, 이는 다른 것과 비교하지 않는 한, d-레벨 양자 시스템(예: 큐비트, 양자 레지스터 또는 큐트리트 및 큐디트)의 경우 정규 직교 기저 벡터 공간 벡터는  또는 이진법 표기법을 사용한다.
양자 논리 게이트 역사
양자 게이트의 현재 표기법은 1986년 리처드 파인만이 도입한 표기법을 기반으로 Adriano Barenco, 찰스 H. 베넷, 리처드 클리브, 데이비드 P. 디빈첸조, 노먼 마르골루스, 피터 쇼어, Tycho Sleator, 존 A. 스몰린, Harald Weinfurter를 포함한 양자정보과학의 많은 창시자들에 의해 개발되었다.
양자 논리 게이트 표현
양자 논리 게이트는 유니터리 행렬로 표현된다.  큐비트(양자 레지스터)에서 작동하는 게이트는  유니터리 행렬로 표현되며, 행렬 곱셈의 군 연산을 가진 모든 게이트들의 집합은 유니터리 군 U(2n)이다. 게이트가 작동하는 양자 상태는  복소수 차원의 단위 벡터이며, 복소 유클리드 노름(2-노름)을 갖는다.:66 기저 벡터(때때로 고유 상태라고도 함)는 큐비트의 상태가 측정될 경우 가능한 결과이며, 양자 상태는 이러한 결과들의 선형 결합이다. 가장 일반적인 양자 게이트는 일반적인 고전 논리 게이트가 하나 또는 두 개의 비트에서 작동하는 것과 마찬가지로 하나 또는 두 개의 큐비트의 벡터 공간에서 작동한다.
양자 논리 게이트는 연속 대칭군에 속하지만, 실제 컴퓨터 하드웨어는 부정확하므로 정밀도가 제한적이다. 게이트 적용은 일반적으로 오류를 발생시키고, 양자 상태의 충실도는 시간이 지남에 따라 감소한다. 양자 오류 정정을 사용하면 사용 가능한 게이트가 유한 집합으로 더욱 제한된다. 이 문서의 뒷부분에서는 이상적인 양자 게이트의 속성에 초점을 맞추므로 이를 무시한다.
양자 상태는 일반적으로 브라-켓 표기법으로 알려진 표기법에서 "켓"으로 표현된다.
양자 논리 게이트 표현
단일 큐비트의 벡터 표현은 다음과 같다.
여기서  및 은 큐비트의 복소 확률 진폭이다. 이 값들은 큐비트의 상태를 측정할 때 0 또는 1을 측정할 확률을 결정한다. 자세한 내용은 아래 측정을 참조한다.
값 0은 켓 으로 표현되며, 값 1은 켓 로 표현된다.
텐서곱(또는 크로네커 곱)은 양자 상태를 결합하는 데 사용된다. 큐비트 레지스터의 결합된 상태는 구성 큐비트의 텐서곱이다. 텐서곱은 기호 로 표시된다.
두 큐비트의 벡터 표현은 다음과 같다.
특정 양자 상태에 대한 게이트의 작용은 게이트를 나타내는 행렬 에 의해 상태를 나타내는 벡터 를 곱하여 찾는다. 결과는 새로운 양자 상태 이다.
슈뢰딩거 방정식은 관측되지 않는 양자 시스템이 시간이 지남에 따라 어떻게 전개되는지를 설명하며, 이다. 시스템이 안정적인 환경에 있어 일정한 해밀토니언을 가질 때, 이 방정식의 해는 이다. 시간 가 항상 동일한 경우 단순화를 위해 생략할 수 있으며, 양자 상태가 전개하는 방식은 위 섹션과 마찬가지로 로 설명할 수 있다.
즉, 양자 게이트는 관측되지 않는 양자 시스템이 특정 시간 동안 어떻게 전개되는지를 나타내거나, 동등하게, 게이트는 특정 시간 동안 양자 상태에서 작동하는 유니터리 시간 변화 연산자 이다.
양자 논리 게이트 주목할 만한 예시
셀 수 없이 무한한 수의 게이트가 존재한다. 그 중 일부는 다양한 저자에 의해 이름이 붙여졌다. 다음은 문헌에서 가장 자주 사용되는 몇 가지이다.
항등 게이트는 일반적으로 I로 쓰여지는 단위 행렬이며, 단일 큐비트에 대해 다음과 같이 정의된다.
여기서 I는 기저 독립적이며 양자 상태를 수정하지 않는다. 항등 게이트는 다양한 게이트 연산의 결과를 수학적으로 설명하거나 다중 큐비트 회로를 논의할 때 가장 유용하다.
파울리 게이트 는 세 개의 파울리 행렬 이며 단일 큐비트에서 작동한다. 파울리 X, Y, Z는 각각 블로흐 구면의 x, y, z 축 주위를  라디안만큼 회전하는 것과 같다.
파울리-X 게이트는 블로흐 구면에서 z축을 구분하는 표준 기저 , 에 대해 고전 컴퓨터의 NOT 게이트와 동등한 양자 게이트이다. 이는 를 로, 를 로 매핑하기 때문에 비트-플립이라고도 한다. 유사하게, 파울리-Y는 를 로, 를 로 매핑한다. 파울리 Z는 기저 상태 를 변경하지 않고 를 로 매핑한다. 이러한 특성 때문에 파울리 Z는 위상-플립이라고도 한다.
이러한 행렬들은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
양자 논리 게이트 주목할 만한 예시
파울리 행렬은 거듭 행렬이며, 이는 파울리 행렬의 제곱이 단위 행렬임을 의미한다.
파울리 행렬은 또한 반교환한다. 예를 들어 이다.
파울리 행렬 의 행렬 지수 함수는 종종 로 쓰여지는 회전 연산자이다.
제어 게이트는 2개 이상의 큐비트에서 작동하며, 하나 이상의 큐비트가 특정 연산에 대한 제어 역할을 한다. 예를 들어, 제어 NOT 게이트(또는 CNOT 또는 CX)는 2개의 큐비트에서 작동하며, 첫 번째 큐비트가 일 때만 두 번째 큐비트에 NOT 연산을 수행하고, 그렇지 않으면 변경하지 않는다. 기저 , , , 에 대해 에르미트 유니터리 행렬로 표현된다.
CNOT(또는 제어 파울리-X) 게이트는 기저 상태 를 매핑하는 게이트로 설명할 수 있으며, 여기서 는 배타적 논리합이다.
CNOT는 파울리 기저로 다음과 같이 표현할 수 있다.
헤르미트 유니터리 연산자로서 CNOT는 다음 속성을 가지며,  이고 이다. 그리고 이는 거듭 행렬이다.
더 일반적으로, U가 행렬 표현이 다음과 같은 단일 큐비트에서 작동하는 게이트인 경우
제어-U 게이트는 두 큐비트에서 작동하는 게이트이며, 첫 번째 큐비트가 제어 역할을 한다. 이 게이트는 기저 상태를 다음과 같이 매핑한다.
양자 논리 게이트 주목할 만한 예시
제어 U를 나타내는 행렬은 다음과 같다.
U가 파울리 연산자 X, Y, Z 중 하나인 경우, 각각 "제어-X", "제어-Y" 또는 "제어-Z"라는 용어가 사용되기도 한다. 때로는 이를 CX, CY 및 CZ로 줄여서 부르기도 한다.
일반적으로, 단일 큐비트 유니터리 게이트는 로 표현될 수 있으며, 여기서 H는 에르미트 행렬이고, 그러면 제어 U는 이다.
제어는 임의의 수의 큐비트를 가진 게이트로 확장될 수 있으며 프로그래밍 언어의 함수로도 확장될 수 있다. 함수는 중첩 상태에 따라 조건화될 수 있다.
게이트는 고전 논리에 의해서도 제어될 수 있다. 양자 컴퓨터는 고전 컴퓨터에 의해 제어되며, 어떤 큐비트에 어떤 게이트를 실행할지에 대한 지시를 고전 컴퓨터로부터 받는 코프로세서처럼 작동한다. 고전적 제어는 양자 컴퓨터에 대한 명령어 시퀀스에 게이트를 포함하거나 생략하는 것을 의미한다.
양자 논리 게이트 주목할 만한 예시
위상 편이는 기저 상태를  및 로 매핑하는 단일 큐비트 게이트 패밀리이다. 이 게이트를 적용한 후에도  또는 을 측정할 확률은 변하지 않지만, 양자 상태의 위상을 변경한다. 이는 블로흐 구면에서 수평 원(일정한 위도의 선)을 그리거나 z축을  라디안만큼 회전하는 것과 동일하다. 위상 편이 게이트는 다음 행렬로 표현된다.
여기서 는 2π의 주기를 갖는 위상 편이이다. 몇 가지 일반적인 예로는 인 T 게이트(역사적으로는  게이트로 알려져 있음), 인 위상 게이트(S 게이트라고도 하며, S는 SWAP 게이트에도 사용되지만) 및 인 파울리-Z 게이트가 있다.
위상 편이 게이트는 다음과 같이 서로 관련되어 있다.
위상 게이트 는 (모든 인 경우를 제외하고는) 헤르미트가 아니다. 이 게이트들은 그들의 헤르미트 켤레와 다르다: . 두 헤르미트 수반 (또는 켤레 전치) 게이트 와 는 때때로 명령어 세트에 포함된다.
양자 논리 게이트 주목할 만한 예시
자크 아다마르(fr)와 조세프 월시의 이름을 딴 아다마르 또는 월시-아다마르 게이트는 단일 큐비트에서 작동한다. 이 게이트는 기저 상태를  및 로 매핑한다(계산 기저 상태가 주어지면 동일한 중첩 상태를 생성한다). 두 상태 와 는 각각 와 로 쓰이기도 한다. 아다마르 게이트는 블로흐 구면에서  축을 중심으로 만큼 회전하며, 따라서 거듭 행렬이다. 이 게이트는 아다마르 행렬로 표현된다.
만약 헤르미트(따라서 ) 아다마르 게이트가 기저 변환을 수행하는 데 사용되면, 와 를 뒤집는다. 예를 들어,  및 이다.
스왑 게이트는 두 큐비트를 교환한다. 기저 , , , 에 대해 다음 행렬로 표현된다.
스왑 게이트는 다음과 같이 합계 형태로 분해할 수 있다.
톰마소 토폴리의 이름을 따서 명명된 토폴리 게이트는 CCNOT 게이트 또는 도이치 게이트 라고도 불리며, 고전적 계산에 대해 범용적이지만 양자 계산에 대해서는 그렇지 않은 3비트 게이트이다. 양자 토폴리 게이트는 3개의 큐비트에 대해 정의된 동일한 게이트이다. 입력 큐비트가  및 인 경우로 제한한다면, 처음 두 비트가  상태일 때만 세 번째 비트에 파울리-X(또는 NOT)를 적용하고, 그렇지 않으면 아무것도 하지 않는다. 이는 CC-U(제어-제어 유니터리) 게이트의 예이다. 고전적 게이트의 양자 아날로그이므로, 진리표에 의해 완전히 지정된다. 토폴리 게이트는 단일 큐비트 아다마르 게이트와 결합될 때 범용적이다.
토폴리 게이트는 AND () 및 XOR () 연산과 관련이 있다. 계산 기저의 상태에서  매핑을 수행하기 때문이다.
토폴리 게이트는 파울리 행렬을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
양자 논리 게이트 범용 양자 게이트
범용 양자 게이트 집합은 양자 컴퓨터에서 가능한 모든 연산을 줄일 수 있는 게이트 집합, 즉 유한 집합의 게이트 유한 시퀀스로 다른 모든 유니터리 연산을 표현할 수 있는 게이트 집합이다. 기술적으로, 가능한 양자 게이트의 수는 셀 수 없이 많고, 유한 집합의 유한 시퀀스 수는 셀 수 있기 때문에, 셀 수 없는 게이트 집합 없이는 불가능하다. 이 문제를 해결하기 위해, 우리는 모든 양자 연산이 이 유한 집합의 게이트 시퀀스로 근사될 수 있도록만 요구한다. 또한, 일정한 수의 큐비트에 대한 유니터리 변환의 경우, 솔로바이-키타예프 정리는 이를 효율적으로 수행할 수 있음을 보장한다. 양자 게이트 집합이 범용적인지 여부를 확인하는 것은 군론 방법을 사용하거나 (근사) 양자 t-설계와의 관계를 통해 수행할 수 있다.
일부 범용 양자 게이트 집합은 다음과 같다.
범용 양자 게이트의 단일 게이트 집합은 물리학자 데이비드 도이치의 이름을 딴 매개변수화된 3큐비트 도이치 게이트 를 사용하여 공식화할 수도 있다. 이는 CC-U, 즉 제어-제어-유니터리 게이트의 일반적인 경우이며, 다음과 같이 정의된다.
양자 논리 게이트 범용 양자 게이트
불행히도, 작동하는 도이치 게이트는 프로토콜의 부족으로 인해 도달하기 어려웠다. 중성 원자의 쌍극자-쌍극자 상호 작용을 통해 도이치 게이트를 구현하려는 몇 가지 제안이 있다.
가역 고전 컴퓨팅을 위한 범용 논리 게이트인 토폴리 게이트는 도이치 게이트 로 환원될 수 있으며, 따라서 모든 가역 고전 논리 연산이 범용 양자 컴퓨터에서 수행될 수 있음을 보여준다.
또한 범용성에 충분한 단일 2큐비트 게이트도 존재한다. 1996년 Adriano Barenco는 도이치 게이트가 단일 2큐비트 게이트(바렌코 게이트)만을 사용하여 분해될 수 있음을 보여주었지만, 이는 실험적으로 구현하기 어렵다. 이 기능은 양자 회로에만 독점적인 것으로, 가역적이면서도 범용적인 고전적인 2비트 게이트는 없다. 범용 2큐비트 게이트는 빠르고 저전력 마이크로프로세서에서 고전적인 가역 회로를 개선하는 데 구현될 수 있다.
양자 논리 게이트 회로 구성
A와 B 두 게이트가 모두  큐비트에서 작동한다고 가정해 보자. B가 직렬 회로에서 A 뒤에 놓이면, 두 게이트의 효과는 단일 게이트 C로 설명될 수 있다.
여기서 는 행렬 곱셈이다. 결과 게이트 C는 A와 B와 동일한 차원을 갖는다. 게이트가 회로도에 나타나는 순서는 함께 곱할 때 역전된다.
예를 들어, 단일 큐비트에서 작동하는 파울리 X 게이트를 파울리 Y 게이트 뒤에 놓는 것은 단일 결합 게이트 C로 설명할 수 있다.
곱셈 기호 ()는 종종 생략된다.
유니터리 행렬의 모든 실수 지수도 유니터리 행렬이며, 모든 양자 게이트는 유니터리 행렬이다.
양의 정수 지수는 직렬 연결된 게이트의 시퀀스와 동일하며 (예: ), 실수 지수는 직렬 회로의 일반화이다. 예를 들어, 와 는 모두 유효한 양자 게이트이다.
어떤 유니터리 행렬 에 대해서도 이다. 단위 행렬 ()은 NOP처럼 동작하며 양자 회로에서 빈 와이어로 표현되거나 아예 표시되지 않을 수 있다.
모든 게이트는 유니터리 행렬이므로 이고 이다. 여기서 는 켤레 전치를 나타낸다. 이는 헤르미트 수반이라고도 불린다.
양자 논리 게이트 회로 구성
이는 게이트의 음수 지수가 양수 지수화된 게이트의 유니터리 역변환임을 의미한다: . 예를 들어, 위상 편이 게이트의 일부 음수 지수는 이고 이다.
에르미트 행렬 의 경우, 유니터리성 때문에 이므로 모든 헤르미트 게이트에 대해 이다. 이는 거듭 행렬이다. 헤르미트 게이트의 예로는 파울리 게이트, 아다마르, CNOT, SWAP 및 토폴리가 있다. 각 헤르미트 유니터리 행렬 는 특정 속성을 가지는데, 이고 이다.
게이트의 지수는 시간 전개 연산자가 양자 상태에 적용되는 시간의 지속 시간의 배수이다. 예를 들어, 스핀 큐비트 양자 컴퓨터에서  게이트는 전체 교환 상호 작용 시간의 절반 동안 두 스핀 전자에 대한 교환 상호 작용을 통해 구현될 수 있다.
두 양자 게이트의 텐서곱(또는 크로네커 곱)은 두 게이트가 병렬로 연결된 것과 동일한 게이트이다.
그림에서와 같이 파울리-Y 게이트를 파울리-X 게이트와 병렬로 결합하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
파울리-X와 파울리-Y 게이트는 모두 단일 큐비트에서 작동한다. 결과 게이트 는 두 큐비트에서 작동한다.
양자 논리 게이트 회로 구성
때때로 텐서곱 기호는 생략되고, 대신 연산자에 인덱스가 사용된다.
게이트 는 2개의 큐비트에 병렬로 적용되는 아다마르 게이트 ()이다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 "두 큐비트 병렬 아다마르 게이트"는 예를 들어 두 큐비트 영 벡터 ()에 적용될 때, 네 가지 가능한 결과 중 어느 하나에서 관측될 동일한 확률을 갖는 양자 상태를 생성한다; , , , 및 . 이 연산을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 각 측정 가능한 상태의 진폭은 1⁄2이다. 모든 상태를 관측할 확률은 측정 가능한 상태 진폭의 절댓값의 제곱이며, 위 예시에서는 개별 네 가지 경우 중 어느 하나를 관측할 확률이 4분의 1임을 의미한다. 자세한 내용은 측정을 참조한다.
는 두 큐비트에 대한 아다마르 변환을 수행한다. 유사하게 게이트 는  큐비트의 양자 레지스터에 대한 아다마르 변환을 수행한다.
모든 큐비트가 로 초기화된 개의 큐비트 레지스터에 적용될 때, 아다마르 변환은 양자 레지스터를 개의 가능한 상태 중 어느 하나로 측정될 동일한 확률을 가진 중첩 상태로 만든다.
양자 논리 게이트 회로 구성
이 상태는 균일한 중첩 상태이며, 예를 들어 진폭 증폭 및 위상 추정과 같은 일부 탐색 알고리즘의 첫 번째 단계로 생성된다.
이 상태를 측정하면 에서  사이의 난수가 생성된다. 숫자가 얼마나 무작위적인지는 논리 게이트의 양자 충실도에 달려 있다. 측정되지 않으면, 가능한 각 상태에 대해 동일한 확률 진폭 을 가진 양자 상태이다.
아다마르 변환은  큐비트 레지스터 에 작용하며, 는 다음과 같다.
두 개 이상의 큐비트를 단일 양자 상태로 간주할 경우, 이 결합된 상태는 구성 큐비트의 텐서곱과 같다. 구성 하위 시스템의 텐서곱으로 표현될 수 있는 모든 상태를 분리 가능한 상태라고 한다. 반면에 얽힌 상태는 텐서 분해될 수 없는 상태, 즉 얽힌 상태는 구성 큐비트 상태의 텐서곱으로 표현될 수 없는 상태이다. 얽힌 상태를 구성하는 큐비트에 게이트를 적용할 때는 특별한 주의를 기울여야 한다.
양자 논리 게이트 회로 구성
N개의 얽힌 큐비트 집합이 있고, 그 집합에서 M < N개의 큐비트에 양자 게이트를 적용하려면, 게이트를 N개의 큐비트를 취하도록 확장해야 한다. 이 적용은 게이트를 단위 행렬과 결합하여 텐서곱이 N개의 큐비트에서 작동하는 게이트가 되도록 함으로써 수행할 수 있다. 단위 행렬 ()은 모든 상태를 자기 자신으로 매핑하는 게이트(즉, 아무것도 하지 않는)의 표현이다. 회로도에서 항등 게이트 또는 행렬은 종종 단순히 빈 와이어로 나타난다.
예를 들어, 아다마르 게이트 ()는 단일 큐비트에서 작동하지만, 얽힌 벨 상태 를 구성하는 두 큐비트 중 첫 번째 큐비트에 이를 입력하면 그 연산을 쉽게 쓸 수 없다. 두 큐비트에 걸쳐 있는 양자 상태에 작동할 수 있도록 아다마르 게이트 를 항등 게이트 로 확장해야 한다.
게이트 는 이제 얽힌 상태이든 아니든 어떤 두 큐비트 상태에도 적용될 수 있다. 게이트 는 두 번째 큐비트를 건드리지 않고 첫 번째 큐비트에 아다마르 변환을 적용한다. 이 예시의 벨 상태에 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
양자 논리 게이트 회로 구성
고전적인 기계를 사용할 경우, 두  행렬을 곱하는 시간 복잡도는 최소 이다.  큐비트에서 작동하는 게이트의 크기가 이므로, 일반적인 얽힌 상태에서 작동하는 양자 회로의 한 단계를 (게이트를 곱하여) 시뮬레이션하는 시간은 이다. 이러한 이유로 고전 컴퓨터를 사용하여 큰 얽힌 양자 시스템을 시뮬레이션하는 것은 다루기 어렵다고 여겨진다. 그러나 클리포드 게이트와 같은 게이트의 부분 집합 또는 고전적인 불 함수만 구현하는 회로의 사소한 경우(예: X, CNOT, 토폴리의 조합)는 고전 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있다.
개의 큐비트를 가진 양자 레지스터의 상태 벡터는 개의 복소수 엔트리이다. 부동소수점 값의 목록으로 확률 진폭을 저장하는 것은 큰 에 대해 실용적이지 않다.
모든 양자 논리 게이트는 가역적이므로, 여러 게이트의 어떤 조합도 가역적이다. 유니터리 행렬의 모든 곱셈과 텐서곱(즉, 직렬 및 병렬 조합) 또한 유니터리 행렬이다. 이는 게이트만 포함하는 모든 알고리즘과 함수에 대한 역변환을 구성할 수 있음을 의미한다.
초기화, 측정, I/O 및 자발적인 양자 결어긋남은 양자 컴퓨터에서 부작용이다. 그러나 게이트는 순수 함수이며 전단사이다.
양자 논리 게이트 회로 구성
만약 가 유니터리 행렬이라면, 이고 이다. 대거()는 켤레 전치를 나타낸다. 이는 헤르미트 수반이라고도 불린다.
함수 가 개의 게이트 곱인 경우,  함수 의 유니터리 역변환은 다음과 같이 구성될 수 있다.
이므로, 반복 적용 후 다음과 같다.
유사하게, 함수 가 두 게이트 와 로 병렬로 구성되어 있다면, 이고 이다.
자신의 유니터리 역변환인 게이트는 헤르미트 또는 자기 수반 작용소라고 불린다. 아다마르(H) 및 파울리 게이트(I, X, Y, Z)와 같은 일부 기본 게이트는 헤르미트 연산자이지만, 위상 편이(S, T, P, CPhase) 게이트와 같은 다른 게이트는 일반적으로 그렇지 않다.
예를 들어, 덧셈을 위한 알고리즘은 "역으로 실행"될 때 그 유니터리 역변환으로서 뺄셈에 사용될 수 있다. 역 양자 푸리에 변환은 유니터리 역변환이다. 유니터리 역변환은 재계산에도 사용될 수 있다. 마이크로소프트의 Q#, Bernhard Ömer의 QCL,:61 및 IBM의 Qiskit과 같은 양자 컴퓨터용 프로그래밍 언어에는 함수 역변환이 프로그래밍 개념으로 포함되어 있다.
양자 논리 게이트 측정
측정(때로는 관측이라고도 함)은 비가역적이며 따라서 양자 게이트가 아니다. 측정된 양자 상태를 단일 값에 할당하기 때문이다. 측정은 양자 상태를 취하여 벡터 길이의 제곱(노름의 2-노름에서:66)과 동일한 확률로 해당 기저 벡터 중 하나로 투영한다. 이는 보른 규칙으로 알려져 있으며 확률적으로 양자 상태를 측정된 상태를 나타내는 기저 벡터와 동일하게 설정하므로 추계학적 비가역 연산으로 나타난다. 측정 순간에 상태는 측정된 확정적인 단일 값으로 "붕괴"된다고 한다. 측정 시 양자 상태가 왜, 어떻게, 심지어는 붕괴하는지는 측정 문제라고 불린다.
확률 진폭 를 가진 값을 측정할 확률은 이며, 여기서 는 모듈러스이다.
양자 상태가 벡터 로 표현되는 단일 큐비트를 측정하면 확률 로 이, 확률 로 이 나타난다.
예를 들어, 양자 상태가 인 큐비트를 측정하면  또는  중 하나가 동일한 확률로 나타난다.
양자 논리 게이트 측정
n개의 큐비트에 걸쳐 있는 양자 상태 는  복소수 차원의 벡터로 쓸 수 있다. . 이는 n개의 큐비트의 텐서곱이 차원 벡터이기 때문이다. 이 방식으로, n개의 큐비트를 가진 양자 레지스터는 개의 서로 다른 상태로 측정될 수 있으며, 이는 n개의 고전적인 비트 레지스터가 개의 서로 다른 상태를 가질 수 있는 것과 유사하다. 고전 컴퓨터의 비트와 달리, 양자 상태는 여러 측정 가능한 값에서 동시에 0이 아닌 확률 진폭을 가질 수 있다. 이를 중첩이라고 한다.
모든 결과에 대한 모든 확률의 합은 항상 1과 같아야 한다. 다른 말로 하면, 로 일반화된 피타고라스 정리는 n개의 큐비트를 가진 모든 양자 상태 가 를 만족해야 한다는 것을 의미하며, 여기서 는 측정 가능한 상태 의 확률 진폭이다. 이에 대한 기하학적 해석은 n개의 큐비트를 가진 양자 상태 의 가능한 상태 공간은 의 단위구 표면이며, 이에 적용되는 유니터리 변환(즉, 양자 논리 게이트)은 구면에서의 회전이다. 게이트가 수행하는 회전은 U(2n) 대칭군을 형성한다. 측정은 이 복소수 구면의 표면의 점들을 공간을 확장하는 (그리고 결과를 라벨링하는) 기저 벡터로 확률적으로 투영하는 것이다.
양자 논리 게이트 측정
대부분의 경우 공간은 특정 차원 복소 공간보다는 힐베르트 공간 로 표현된다. 차원의 수(기저 벡터에 의해 정의되며, 따라서 측정 가능한 결과의 수도 정의됨)는 종종 피연산자에 의해 암시되며, 예를 들어 문제를 해결하는 데 필요한 상태 공간이다. 그로버 알고리즘에서 그로버는 이 일반적인 기저 벡터 집합을 "데이터베이스"라고 명명했다.
양자 상태를 측정할 기저 벡터의 선택은 측정 결과에 영향을 미칠 것이다. 자세한 내용은 기저 변환 및 폰 노이만 엔트로피를 참조한다. 이 문서에서는 항상 계산 기저를 사용하는데, 이는 n-큐비트 양자 레지스터의 개 기저 벡터를  또는 이진 표현 으로 라벨링했음을 의미한다.
양자역학에서 기저 벡터는 정규 직교 기저를 구성한다.
대안적인 측정 기저 사용의 예는 BB84 암호에서 찾을 수 있다.
두 양자 상태(즉, 큐비트 또는 양자 레지스터)가 얽혀 있는 경우(결합된 상태가 텐서곱으로 표현될 수 없음을 의미함), 한 레지스터의 측정은 다른 레지스터의 상태를 부분적으로 또는 전체적으로 붕괴시킴으로써 그 상태에 영향을 미치거나 드러낸다. 이 효과는 계산에 사용될 수 있으며, 많은 알고리즘에서 활용된다.
양자 논리 게이트 측정
아다마르-CNOT 조합은 영 상태에 다음과 같이 작용한다.
이 결과 상태는 벨 상태 이다. 이 상태는 두 큐비트의 텐서곱으로 설명될 수 없다. 다음 방정식에 대한 해는 없다.
왜냐하면 예를 들어 w는 xw와 yw의 경우에 모두 0이 아니어야 하고 0이어야 하기 때문이다.
양자 상태는 두 큐비트에 걸쳐 있다. 이를 얽힘이라고 한다. 이 벨 상태를 구성하는 두 큐비트 중 하나를 측정하면 다른 큐비트가 논리적으로 동일한 값을 가져야 하며, 둘 다 동일해야 한다. 즉,  상태로 발견되거나  상태로 발견될 것이다. 예를 들어, 한 큐비트가 로 측정되면, 다른 큐비트도 이어야 한다. 왜냐하면 그들의 결합된 상태가 이 되었기 때문이다. 한 큐비트의 측정은 두 큐비트에 걸쳐 있는 전체 양자 상태를 붕괴시킨다.
그린버거-혼-자일링거 상태는 세 개 이상의 큐비트에 걸쳐 있는 유사한 얽힌 양자 상태이다.
양자 논리 게이트 측정
이러한 종류의 값 할당은 어떤 거리에서도 즉시 발생하며, 2018년 현재 QUESS에 의해 최대 1200km 거리에서도 실험적으로 확인되었다. 이 현상이 빛의 속도로 큐비트 사이의 거리를 통과하는 데 걸리는 시간과 반대로 즉시 일어나는 것처럼 보이는 것을 EPR 역설이라고 하며, 이를 해결하는 방법은 물리학의 미해결 문제이다. 원래는 국소적 실재론이라는 가정을 포기함으로써 해결되었지만, 다른 해석들도 나타났다. 자세한 내용은 벨 테스트 실험을 참조한다. 비통신 정리는 이 현상이 고전 정보의 초광속 통신에 사용될 수 없음을 증명한다.
모두 로 초기화된 n개의 큐비트를 가진 양자 레지스터 A를 가져와 병렬 아다마르 게이트 를 통과시킨다. 그러면 레지스터 A는  상태가 되며, 측정 시 부터 까지의 개 가능한 상태 중 어느 하나로 나타날 동일한 확률을 갖는다. 두 번째 레지스터 B도 n개의 큐비트를 으로 초기화하고, 레지스터 A의 큐비트와 쌍으로 CNOT를 수행하여 각 p에 대해 큐비트 와 가 상태 를 형성하도록 한다.