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조지아 민족군단 역사
조지아 군단은 압하지야-조지아 분쟁, 제1차 체첸 전쟁 및 러시아-조지아 전쟁의 참전 용사인 마무카 마물라슈빌리가 설립했다. 그는 나중에 "군단을 만들려는 생각은 러시아 침략에 맞서 함께 봉사하기 위해 여러 국적의 사람들을 모으는 것이었고, 우리는 그것을 해냈다"고 언급했다. 조지아 자원봉사자들은 자주 러시아에 맞서는 우크라이나와 조지아의 공통된 대의를 언급했으며, 우크라이나에서 러시아 침략에 맞서 싸우는 것이 조지아의 이익에도 부합하는 애국적인 행위라고 주장했다.
조지아 군단은 돈바스 전쟁이 시작된 2014년경에 결성되었으며, 처음에는 6명의 조지아인만 있었고 그해 말까지 약 20명으로 늘어났다. 2014년 12월 중순에 이 그룹은 당시 조지아 유럽 통합 장관이었던 기오르기 바라미제의 방문을 받았다. 2015년 1월, 이 부대는 조지아 육군 참전 용사인 타마즈 수히아슈빌리라는 첫 사상자를 냈다. 당시 우크라이나에 기반을 둔 전 조지아 대통령 미헤일 사카슈빌리와 그의 통일국민운동 당의 동료들은 우크라이나 측에 조지아인 개인의 참여를 어느 정도 장려했다.
조지아 민족군단 역사
2월 5일, 키이우 총대주교청 우크라이나 정교회의 수장인 필라렛 총대주교는 29명의 조지아 전투원에게 "우크라이나에 대한 사랑과 희생"에 대한 메달을 수여하며 조지아인들의 봉사에 감사를 표했다.
2월 11일 민스크 협정 II 이후, 부대의 미래는 잠시 불확실했다. 10월에 우크라이나 의회는 외국인 및 무국적자가 계약직으로 우크라이나 육군에 고용될 수 있도록 허용하는 법안을 통과시켰고, 이 법안은 11월 5일에 법으로 서명되었다.
2016년 2월, 조지아 군단은 공식적으로 우크라이나군 제25기계화보병대대 "키이우 루스"에 통합되었다.
이 부대는 제54기계화여단의 전반적인 지휘 아래 우크라이나 동부에서 싸웠다. 2017년 12월, 군단은 2017년 12월 16일 스비틀로다르스크 근처에서 수행된 값비싼 작전 이후 여단 지휘부의 "무능함"을 이유로 여단에서 철수했다. 제54기계화여단은 그들의 부대 내에 "조지아 군단"이 존재한 적이 없다고 부인했다.
조지아 민족군단 역사
2018년 1월, 군단 사령관 마물라슈빌리는 부대가 우크라이나 대의에 전념하고 있으며 다른 여단으로 이동했다고 말하며, 이 결정이 미헤일 사카슈빌리와 우크라이나 대통령 페트로 포로셴코 간의 정치적 갈등과는 무관하다고 덧붙였다.
2022년 2월, 러시아의 우크라이나 침공 직전에 조지아 군단은 새로 모집된 우크라이나 민간인 훈련에 참여했다. 이 부대는 침공 첫날부터 전투에 참가했으며, 호스토멜 공항 전투와 호스토멜 전투에서 싸웠다.
2022년 3월 초, 조지아 군단은 300명 이상의 새로운 모집병들이 입대를 시도했다고 보고되었다. 군단의 정책에 따라 경험이 풍부한 전투원이나 참전 용사만 입대할 수 있다. 이러한 요건을 충족하지 못한 사람들은 거부되었다. 극단주의적 견해를 가진 사람들도 부대에 환영받지 못한다. 이후 군단은 동부 우크라이나 공세를 막는 데 도움을 주기 위해 재배치되었다.
2024년 2월 현재, 러시아의 우크라이나 침공으로 조지아 군단 소속 자원봉사자 44명이 사망한 것으로 보고되었다. 여기에는 다음이 포함된다.
조지아 민족군단 논란
2022년 3월 30일, 부차에서 몇 킬로미터 떨어진 드미트리우카 지역에서 발생한 러시아 공수부대 BMD-2 장갑차 매복 사건 이후의 영상이 공개되었다. 같은 사건의 다른 영상은 포로로 잡혀 부상당한 러시아 군인 중 한 명이 미상의 우크라이나군에 의해 총살당하는 장면을 보여준다.
드미트로 쿨레바 우크라이나 외무장관은 이 영상이 "확실히 조사될 것"이라고 말했다. 마무카 마물라슈빌리는 영상 속 조지아인이 군단 소속이 아니라고 부인했다.
반체제 러시아 사업가 미하일 호도르콥스키의 유튜브 채널에 게시된 인터뷰에서 조지아 군단 사령관 마무카 마물라슈빌리는 러시아 포로 처우에 대해 "때때로 우리는 그들의 손과 발을 묶는다. 조지아 군단에 관해 말하자면, 우리는 절대 러시아 포로를 잡지 않을 것"이라고 말했다. 마물라슈빌리는 러시아 군인에게 불가침 명령을 내린 정당화가 부차 학살에 대한 대응이라고 말했다.
조지아 민족군단 논란
2023년 9월 18일, 조지아 국가안보국 (SSG)은 조지아 군단과 마물라슈빌리가 우크라이나 정보기관과 공모하여 집권당 조지아의 꿈-민주 조지아에 대항하는 쿠데타를 계획하여 체포된 미헤일 사카슈빌리 전 대통령을 복권시키려 했다고 비난했다. 마물라슈빌리는 쿠데타 주장이 근거 없다고 반박하며 조지아의 꿈 당이 "크렘린궁으로부터 지시를 받고 있다"고 비난했다.
2025년 1월 31일, 로베르트 피초 슬로바키아 총리는 슬로바키아 정보국과 함께 조지아 군단이 국내에서 쿠데타를 목표로 하는 반정부 시위를 조직했다고 비난했다. 기자회견에서 피초는 시위 조직 단체 미어 우크라이네(우크라이나에 평화를) 활동가 루시아 슈타셀로바와 야당 지도자 미할 시메치카의 아버지인 온라인 뉴스 논평가 마틴 M. 시메치카와 마물라슈빌리의 사진을 보여주었다. 슬로바키아는 나중에 마무카 마물라슈빌리 사령관과 러시아의 자유 군단의 다른 10명의 단원들의 슬로바키아 입국을 금지했다.
조지아 민족군단 외국인 전투원
조지아 군단은 약 500명의 조지아인과 비슷한 수의 다양한 다른 국적의 사람들로 구성되어 있다.
다음 국가들의 국적자들이 조지아 군단의 구성원이라고 보고되었다.
조지아 민족군단 활동
군단은 적진 후방에서 사보타주, 매복, 정찰 활동을 수행하며 여러 주요 전투에 참여했다. 또한 우크라이나 민간인, 경찰관, 군인 및 외국인 자원봉사자를 훈련시키고 지시한다.
모눈종이
모눈종이(영어: Graph paper, coordinate paper, grid paper, squared paper)는 가는 선으로 정규 격자를 이루도록 인쇄된 종이이다. 낱장으로 사용하거나 공책 또는 그래프 책에 묶인 형태로 구할 수 있다.
모눈종이는 일반적으로 수학 및 공학 교육 환경, 연습장 및 연구노트에서 발견된다. 그리고 수학 기호, 함수나 실험 데이터, 또는 곡선을 그리는 데 사용된다.
모눈종이 역사
메트로폴리탄 미술관이 소유한 약 1596년경 작성된 책은 각 페이지에 목판 인쇄로 인쇄된 격자가 있다. 소유자는 이 격자를 사용하여 흑백 및 컬러로 일종의 픽셀아트를 만들었다.
일반적으로 영국 출신의 닥터 벅스턴(Dr. Buxton)이 최초로 모눈종이(coordinate paper)를 상업적으로 출판했다고 본다. 그는 1794년에 직사각형 좌표 격자가 인쇄된 종이에 특허를 받았다. 한 세기 후, 시카고 대학교의 저명한 수학자 E. H. 무어(E. H. Moore)는 고등학생과 대학생들이 '눈금선'이 있는 종이나 연습장을 사용할 것을 권장했다. H. S. 홀(H. S. Hall)과 S. R. 나이트(S. R. Knight)의 1906년판 《초급 대수학》(Algebra for Beginners)에는 "눈금 용지는 좋은 품질이어야 하며 인치 및 10분의 1인치 단위로 정확하게 선이 그어져 있어야 한다. 경험상으로 '밀리미터' 용지처럼 더 작은 단위는 초보자의 손에는 사실상 가치가 없다"는 단호한 언급이 포함되어 있다.
모눈종이 역사
영문 표기에 대해서, '그래프 용지(graph paper)'라는 용어는 미국에서 빠르게 퍼지지 않았다. H. S. 홀과 F. H. 스티븐스(F. H. Stevens)의 1919년작 《학교 산수》(A School Arithmetic)에는 '격자 용지(squared paper)'를 사용한 그래프에 대한 장이 있었다. W. A. 윌슨(W. A. Wilson)과 J. A. 트레이시(J. A. Tracey)의 1937년작 《해석 기하학》(Analytic Geometry)에서는 '좌표 용지(coordinate paper)'라는 문구를 사용했다. '격자 용지(squared paper)'라는 용어는 영국에서 더 오래 사용되었는데, 예를 들어 W. M. 베이커(W. M. Baker)와 A. A. 본(A. A. Bourne)이 런던에서 출판한 2023년판 《공립 학교 산수》(Public School Arithmetic)에서 사용되었다.
모눈종이 형식
쿼드 용지(Quad paper) 또는 쿼드릴 용지(quadrille paper)라고도 불리는데, 이는 큰 사각형이란 뜻의 프랑스어 'quadrillé'에서 유래했다. 연한 파란색이나 회색으로 인쇄된 격자가 종이 가장자리까지 있는 일반적인 형태의 모눈종이다. 미국과 캐나다에서는 크게 세부적이지 않은 작업을 위해 인치 당 2칸, 4칸 또는 5칸이 있는 경우가 많다. 유럽에서는 보통 5 밀리미터 x 5 밀리미터 칸이 수학 연습장과 연구노트에 사용된다.
공학 용지 또는 공학 도면은 전통적으로 연한 녹색 또는 황갈색의 반투명 종이에 인쇄되고, 인치 당 4, 5 또는 10칸이 있을 수 있다. 격자선은 각 페이지 뒷면에 인쇄되어 앞면에 희미하게 비친다. 각 페이지에는 인쇄되지 않은 여백이 있다. 복사하거나 스캔할 때 격자선은 일반적으로 결과물에 나타나지 않아 결과물이 깔끔하고 정돈된 모습으로 보인다. 미국과 캐나다에서는 일부 공학 교수들은 학생들이 숙제를 공학 용지에 작성하도록 한다.
모눈종이 형식
등측 투영 용지 또는 3D 모눈종이는 작은 삼각형으로 이루어진 60° 격자로 된 세 줄의 안내선을 사용하는 삼각형 모눈종이이다. 삼각형은 여섯 개씩 묶여 육각형을 이룬다. 이름에서 알 수 있듯이 등축 투영도 또는 3차원처럼 보이도록 그리는 데 사용된다. 다른 기능 외에도 삼각 자수 디자인에 사용될 수 있다. 각도를 정확하게 그리는 데 사용할 수 있다.
일반적으로 격자를 표시하는 그래프는 사각형을 데카르트 좌표계에 측정값을 표시하는 데 사용할 수 있기 때문에 데카르트 그래프라고도 불린다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터(Citizen Sleeper 2: Starward Vector)는 점프 오버 더 에이지가 개발하고 펠로우 트래블러가 배급한 2025년 롤플레잉 비디오 게임이다. 시티즌 슬리퍼 (2022)의 후속작으로, 2025년 1월 31일 윈도우 PC, macOS, 닌텐도 스위치, 플레이스테이션 5, 엑스박스 시리즈 X/S로 출시되었다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 줄거리
전작의 사건을 이어가는 이 후속작은 헬리온 시스템의 소행성대인 스타워드 벡터를 배경으로 하며, 이곳은 기업이 장악하여 "슬리퍼"라고 불리는 인간 안드로이드를 노동력으로 사용한다. 한 슬리퍼가 기업 창조주의 손아귀에서 깨어나 탈출하지만, 범죄 조직에게 붙잡혀 통제된다. 심하게 손상된 몸과 기억을 잃은 채 프로그램을 다시 쓰는 필사적인 시도 끝에, 슬리퍼는 탈출하여 자유롭게 살 수 있는 미래를 만들기 위해 운에 의존해야 한다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 게임플레이
시티즌 슬리퍼 2에서 플레이어는 로봇 몸체 안에 디지털화된 인간의 정신이 담긴 "슬리퍼"를 조종한다. 한 장소에서 진행되었던 전작과 달리, 스타워드 벡터는 스타워드 벨트라고 알려진 소행성대를 배경으로 하며, 플레이어는 여러 허브 지역을 탐험할 수 있다. 슬리퍼는 우주선을 지휘하고, 임무와 계약을 완료하며, 승무원을 모집할 수 있다. 플레이어가 진행함에 따라 게임의 전체적인 내러티브를 변화시키는 다양한 결정을 내려야 한다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 게임플레이
전작과 마찬가지로, 플레이어는 게임 내 하루, 즉 "사이클"마다 여러 개의 주사위를 굴린다. 이 주사위는 다양한 작업과 다른 캐릭터와의 상호 작용에 사용되며, 일반적으로 숫자가 높을수록 더 좋은 결과가 나온다. 승무원도 각자의 주사위를 가지며, 추가적인 부스트를 제공할 수 있는 "푸시" 능력이 있지만, 이렇게 하면 승무원이 스트레스를 쌓게 된다. 스트레스가 높으면 플레이어의 주사위가 손상된다. 주사위가 세 번 손상되면 수리될 때까지 더 이상 사용할 수 없다. 플레이어의 스트레스 레벨이 가득 차면 "글리치 주사위"를 얻을 수 있는데, 이는 80%의 확률로 부정적인 결과를, 20%의 확률로 주어진 상황에서 가장 좋은 결과를 가져온다. 플레이어는 슬리퍼를 위해 오퍼레이터, 익스트랙터, 기계공의 세 가지 클래스 중에서 선택할 수 있다. 오퍼레이터는 컴퓨터, 시스템 해킹, 전략적 결정에 능숙하지만 스트레스에 가장 취약하다. 익스트랙터는 스트레스에 대한 내성이 높지만 직관력이 부족하여 의사 결정이 더 어렵다. 기계공은 수리 및 개조에 특화되어 있지만 승무원과의 의사소통 능력이 부족하다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 개발
단독 개발자 가레스 데미안 마틴이 게임의 감독으로 돌아왔고, 기욤 싱글린과 아모스 로디도 각각 게임의 캐릭터 아트 디자이너와 작곡가로 돌아왔다. 마틴에 따르면, 그들은 후속작에서 TTRPG에서 흔히 볼 수 있는 더 많은 메커니즘을 도입하고 싶었고, 어둠 속의 칼날, 모더쉽, 하트: 지하 도시를 영감의 원천으로 언급했다. 또한 첫 번째 게임보다 기계적으로 더 복잡했는데, 마틴은 일부 플레이어가 첫 번째 게임을 롤플레잉 게임이 아닌 비주얼 노벨로 분류하는 것에 좌절했다. 마틴은 시티즌 슬리퍼 출시 직후 후속작을 만들지 않았지만, 원작 게임의 성공으로 인해 다운로드 가능 콘텐츠 팩을 만들게 되었다. 1년간의 실험 끝에 그들은 독특한 틀을 가진 새로운 시리즈 게임이 필요하다고 느꼈다. 따라서 스타워드 벡터는 처음부터 전작과 "다르게 설계"되었다. 마틴은 시티즌 슬리퍼의 후속작을 제드 길라맥에게 헌정했다. 그는 게임 광고 트레일러에서 시티즌 슬리퍼 2의 캐릭터 세라핀의 목소리를 맡았던 성우로, 두 번째 트레일러를 녹음한 후 안타깝게 사망했다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 개발
계약은 세계 설정을 위해 설계되었으며, 파이어플라이, 카우보이 비밥, 파스케이프와 같은 "TV 쇼의 사이드 에피소드"에서 영감을 받았다. 내러티브는 주로 "배에 탄 오합지졸 그룹"에 초점을 맞췄는데, "사람들이 반드시 서로의 가장 친한 친구는 아니며 그들 사이에 긴장이 있다"는 점을 강조했다. 이 게임은 플레이어 캐릭터와 함께 임무를 완수할 수 있는 승무원을 도입했지만, 일부 승무원은 영구적인 동료가 아니라 짧은 기간 동안만 플레이어와 함께한다. 매스 이펙트 2는 마틴에 의해 게임의 "반대 참조"로 묘사되었는데, 스타워드 벡터의 내러티브는 도덕적으로 모호한 윤리적 선택에 더 초점을 맞추었고, 플레이어 캐릭터를 선택받은 자의 전형으로 배치하지 않았다. 게임의 주요 테마는 "위기"였으며, 플레이어는 다양한 도전을 헤쳐나가야 했다. 플레이어 캐릭터는 시스템 전체의 기업 전쟁에 휘말려 있으며, 오작동하는 몸은 무너져간다. 마틴은 게임의 스토리를 만드는 동안 코로나19 범유행과 2022년 러시아의 우크라이나 침공과 같은 실제 사건과 자신의 의학적 어려움에 영향을 받았다. 게임의 스트레스 시스템은 마틴이 테이블톱 게임의 "운을 시험하는" 시스템을 기반으로 포함한 메커니즘이었다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 개발
스타워드 벡터는 2023년 6월에 발표되었다. 마틴은 첫 번째 게임과 후속작 사이의 간극을 메우기 위해 "헬리온 디스패치"라는 월간 텍스트 로그를 발표했다. 이 게임은 시리즈의 마지막 비디오 게임으로 구상되었지만, 마틴은 미래에 시티즌 슬리퍼 세계관을 배경으로 한 완전한 TTRPG를 출시할 계획이었다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 평가
이 게임은 출시 후 리뷰 애그리게이터 메타크리틱에 따라 "대체적으로 호의적인" 평가를 받았다.
시티즌 슬리퍼 2: 스타워드 벡터 평가
유로게이머의 로버트 퍼체스는 스타워드 벡터가 "롤플레잉 게임 공식을 모든 면에서 개선했다"고 평했다. 그는 새롭게 도입된 메커니즘이 경험을 긴장감 있게 만들고 플레이어를 위태로운 상황에 자주 빠뜨리는 점을 칭찬했다. 더 버지의 제이 피터스는 이 게임이 지속적인 위협 때문에 불안감을 유발할 수 있으며, "긴장감이 게임을 매력적으로 만든다"고 덧붙였다. 플레이어는 종종 여러 나쁜 선택지 중에서 최선을 골라야 하기 때문이다. GamesRadar+의 롤린 비숍은 이 게임이 "대체로 현대 테이블톱 내러티브 디자인에 뿌리를 두고 있다"고 썼지만, 많은 결과가 이미 게임에 의해 미리 정해져 있어 플레이어가 즉흥적으로 대처할 기회가 부족하다고 느꼈다. PC 게이머의 하비 랜들은 이 게임을 전작에 비해 더 큰 범위의 야심찬 후속작이라고 묘사했지만, 게임의 일부 메커니즘이 게임의 내러티브 구조와 잘 어울리지 않는다고 느꼈다. IGN의 재럿 그린은 개선된 생존 시스템 덕분에 첫 번째 게임보다 경험이 더 매력적이라고 느꼈지만, TTRPG와 유사한 디자인 때문에 게임이 "느리고 반복적이며 텍스트 벽으로 가득 찰 수 있다"고 지적했다.
퍼체스는 또한 글쓰기와 게임 속 캐릭터들을 극찬하며, 원작에서 사람들이 찾았던 "마음을 울리는 순간"이 후속작에서도 그대로 유지되었다고 덧붙였다. VG247의 레이첼 와츠 또한 스토리를 좋아했으며, 플레이어의 선택과 상관없이 "항상 뭔가 놀라운 일이 일어날 것이라고 믿을 수 있다"고 덧붙였다. 그럼에도 불구하고 그녀는 게임 속 사건들이 "가슴 아픈 인간 드라마"와 일상적인 어려움을 겪는 현실적인 캐릭터들에 의해 뒷받침된다고 썼다. 랜들은 이 게임이 "매력적인 캐릭터, 가슴을 찌르는 탁월한 반전, 그리고 매혹적인 세계 설정"으로 가득 차 있다고 덧붙였다. 그는 캐릭터들의 "복잡한 동기와 완벽한 성격 묘사"를 칭찬했지만, 임무 중에 그들이 종종 "고기 방패와 주사위 판매상"으로 전락하며, 플레이어 캐릭터와 동료들 사이에 "진정한 마찰"이 부족하다는 점에 실망했다. 그린은 또한 게임의 글쓰기를 칭찬하며, "철학적이고 실존적인 갈등의 밀도 높은 거미줄을 만드는 데 탁월하다"고 덧붙였지만, 게임 속 일부 캐릭터들이 영감을 주지 못한다고 생각했다.
삼원도
삼원도(영어: Ternary plot) 또는 삼원 그래프(ternary graph), 삼각형 그래프(triangle plot), 단순 그래프(simplex plot) 또는 깁스 삼각형(Gibbs triangle)은 세 변수가 상수로 합산되는 중심좌표계 그래프이다. 이 그래프는 세 변수의 비율을 정삼각형 내의 위치로 시각적으로 나타낸다. 물리화학, 암석학, 광물학, 금속공학 및 기타 물리 과학에서 세 가지 종으로 구성된 시스템의 조성을 보여주는 데 사용된다. 삼원도는 3차원 경우의 조성 데이터를 분석하는 도구이다.
집단유전학에서는 유전자형 빈도의 삼각형 그래프를 드 피네티 다이어그램이라고 한다. 게임 이론과 볼록 최적화에서는 종종 단순 그래프라고 불린다.
삼원도
삼원도에서 세 변수 a, b, c의 값은 어떤 상수 K로 합산되어야 한다. 일반적으로 이 상수는 1.0 또는 100%로 표시된다. 그래프로 그려지는 모든 물질에 대해 a + b + c = K이므로, 어떤 한 변수는 다른 변수들과 독립적이지 않으며, 그래프에서 샘플의 점을 찾기 위해서는 두 변수만 알아도 된다. 예를 들어, c는 K − a − b와 같아야 한다. 세 가지 숫자 값은 독립적으로 변할 수 없으므로(즉, 자유도가 두 개뿐이므로), 세 변수의 모든 조합을 단 두 차원으로 그래프화할 수 있다.
화학 조성을 묘사하기 위해 삼원도를 사용하는 장점은 세 변수를 2차원 그래프에 편리하게 나타낼 수 있다는 것이다. 삼원도는 또한 다른 상이 존재하는 조성 영역을 그래프에 윤곽을 그려 상평형 그림을 만드는 데 사용될 수도 있다.
삼원도상의 한 점의 값은 (상수까지) 해당 삼선형 좌표 또는 중심좌표계와 일치한다.
삼원도 삼원도 값 읽기
도표 상의 점의 값을 결정하는 데 사용될 수 있는 세 가지 등가 방법이 있다:
평행선 또는 격자 방법. 첫 번째 방법은 삼각형 변과 평행한 선으로 구성된 도표 격자를 사용하는 것이다. 삼각형 변에 평행한 선은 해당 변의 반대편 꼭짓점에 위치한 구성 요소에서 일정한 점의 궤적이다. 각 구성 요소는 삼각형의 한 모서리에서는 100%이고, 반대편 변에서는 0%이며, 이 모서리에서 거리가 증가함에 따라(반대편 변에 수직으로) 선형적으로 감소한다. 0선과 모서리 사이에 일정한 간격으로 평행선을 그림으로써 쉽게 추정할 수 있는 미세한 구획을 설정할 수 있다.
평행선(격자선)을 따라 이동하면 두 값의 합이 보존되고, 수직선을 따라 이동하면 두 값이 같은 양만큼 증가(또는 감소)하며, 각각 세 번째 값의 감소(증가)의 절반이 된다. 모서리를 통과하는 선을 따라 이동하면 다른 두 값의 비율이 보존된다.
삼원도 데카르트 좌표에서 도출
데카르트 좌표에서 삼원도 도출
그림 (1)은 축이 각각 a, b, c인 3차원 데카르트 공간에서 점 P(a,b,c)의 경사 투영을 보여준다.
a + b + c = K (양의 상수)인 경우, P는 A(K,0,0), B(0,K,0), C(0,0,K)를 포함하는 평면으로 제한된다. 만약 a, b, c가 각각 음수가 될 수 없다면, P는 (2)에서처럼 A, B, C에 의해 경계 지어진 삼각형으로 제한된다.
(3)에서는 축이 회전되어 등축 보기를 제공한다. 삼각형은 정면에서 볼 때 정삼각형으로 나타난다.
(4)에서는 P에서 선 BC, AC, AB까지의 거리를 각각 a′, b′, c′로 나타낸다.
벡터 형식으로 된 임의의 선 l = s + t n̂ (n̂는 단위 벡터)과 점 p에 대해, p에서 l까지의 수직 거리는
이 경우, 점 P는 다음과 같다.
선 BC는 다음과 같다.
수직 거리 공식을 사용하면,
K = a + b + c를 대입하면,
선 AC 및 AB에 대한 유사한 계산은 다음을 제공한다.
이는 해당 선으로부터의 점의 거리가 원래 값 a, b, c에 선형적으로 비례함을 보여준다.
삼원도 삼원도 그리기
데카르트 좌표는 삼각형에 점을 그리는 데 유용하다. a = 100%가 (x,y) = (0,0)에 위치하고 b = 100%가 (1,0)에 위치하는 정삼각형 삼원도를 고려해 보자. 그러면 c = 100%는 이고, 삼중 (a,b,c)는 다음과 같다.
삼원도 예시
이 예는 가상의 세 가지 토양 샘플에 대해 어떻게 작동하는지 보여준다.
마무카 마무라슈빌리
마무카 "우샹기" 마물라슈빌리(틀:Lang-ka; 우크라이나어: Мамука Мамулашвілі; 1978년 4월 22일 출생)는 현재 우크라이나에서 조지아 민족군단을 지휘하는 조지아인 군 지휘관이다.
마무카 마무라슈빌리 생애
마무카 마물라슈빌리는 1978년 4월 22일, 당시 소련의 그루지야 소비에트 사회주의 공화국의 수도인 트빌리시에서 태어났다. 그의 아버지인 주랍 마물라슈빌리는 1992–1993년 압하지야 전쟁 당시 군 사령관이었다. 그의 누이인 노나 마물라슈빌리는 정치인이자 조지아 의회 의원이다. 그는 전 조지아 대통령인 미헤일 사카슈빌리의 통일국민운동 당원이다.
마물라슈빌리는 14세에 조지아 군 장교였던 아버지와 함께 1992년 압하지야 전쟁 (1992–1993)에서 조지아를 위해 싸웠다. 마물라슈빌리는 나중에 "저의 첫 전쟁은 1990년대 압하지야에서 일어났습니다"라고 회상했다. 전쟁 중 그는 압하지야 무장군에 붙잡혀 3개월 동안 억류되었다가 풀려났다.
마물라슈빌리는 제1차 체첸 전쟁 (1994–1996)에서 러시아 연방군에 맞서 외국인 의용군으로 싸웠다.
제1차 체첸 전쟁 후, 마물라슈빌리는 교육을 마치기 위해 파리로 여행했다. 그는 조지아로 돌아와 조지아 대통령 미헤일 사카슈빌리의 선임 군사 고문으로 일했다.
마물라슈빌리는 2008년 러시아‒조지아 전쟁에서 조지아를 위해 싸웠다.
마물라슈빌리는 2013년 유로마이단을 지원하기 위해 우크라이나로 이주했다.
마무카 마무라슈빌리 생애
2014년, 마물라슈빌리는 우크라이나 조지아 군단의 창립 멤버 중 한 명이었고 현재 2022년 러시아 침공에 맞서 이를 이끌고 있다. 그는 호스토멜 공항 전투에 참전했다.
마물라슈빌리는 우크라이나 상공에 비행금지구역이 설치되어야 한다고 지지하며, 이는 러시아의 공습을 막기 위해 필요하다고 말한다.
그의 지휘 하에 러시아의 우크라이나 침공에서 포로의 대우와 관련하여 전쟁 범죄 혐의가 제기되었고, 이는 마무카에 의해 확인되는 듯했으나 나중에 사령관이 부인했다. 반체제 러시아 사업가 미하일 호도르콥스키의 유튜브 채널에 실린 인터뷰에서 그는 러시아 포로 대우에 대해 다음과 같이 말했다: "때때로 우리는 그들의 손발을 묶습니다. 저는 조지아 군단을 대변하여 말합니다. 우리는 결코 러시아 포로를 잡지 않을 것입니다." 마물라슈빌리는 러시아 군인에 대한 자비 없는 전투를 부차 학살에 대한 대응으로 정당화했다.
2024년 6월 13일, 마물라슈빌리는 세 번째로 독살당했다고 보고했다.
2023년 9월 현재, 러시아에서는 마물라슈빌리에 대해 용병 모집, 민족 증오 선동 등 8건의 형사 사건이 시작되었다. 마물라슈빌리는 러시아가 자신에게 현상금을 걸었다고 주장했다.
마무카 마무라슈빌리 생애
2023년 9월 18일, 조지아 국가안보국 (SSG)은 사카슈빌리와 그의 추종자들이 대규모 반정부 시위를 조직하여 조지아 정부에 대한 쿠데타를 계획했다고 우크라이나 정부 및 우크라이나 내 조지아 의용군과 공모했다고 비난했다. 마물라슈빌리는 이러한 전개가 크렘린궁에 의해 조작된 것으로 보이며, "근거 없는" 비난은 조지아의 집권당이 크렘린궁의 지원을 받고 있음을 보여준다고 답변했다. 키이우는 사카슈빌리가 조지아 당국의 보호 아래 안전하지 않다고 주장하며 그를 중립국의 병원으로 이송할 것을 요구했다.
2025년 1월 31일, 슬로바키아의 총리 로베르트 피초는 슬로바키아 정보원과 함께 조지아 군단이 국내에서 쿠데타를 목표로 하는 반정부 시위를 조직했다고 비난했다. 기자 회견에서 피초는 마물라슈빌리가 시위 조직 단체 '미에르 우크라이네'(우크라이나에 평화를)의 활동가 루치아 슈타셀로바 및 온라인 뉴스 논평가 마르틴 M. 시메츠카(야당 지도자 미할 시메츠카의 아버지)와 함께 찍은 사진들을 공개했다. 이러한 비난으로 인해 마물라슈빌리와 다른 9명은 슬로바키아 영토 입국이 금지되었다.
P. K. 마하난디아
프라듀므나 쿠마르 마하나디아(1949년 출생)는 1977년 중고 자전거를 타고 인도 뉴델리에서 스웨덴 보로스로 여행하여 스웨덴인 아내 샬럿 폰 셰드빈과 재회한 것으로 유명한 인도 출신의 스웨덴 예술가이다.
P. K. 마하난디아 어린 시절과 교육
마하나디아는 1949년 앙굴구 아트말리크 하위 지역 칸다파다 마을의 오리야족 직조공 가문에서 태어났다. 그의 아버지는 아트말리크의 우체국장이었으며 (주중에는 그곳에서 살고 주말에는 자전거로 집에 통근했다) 가족은 나중에 아트말리크로 이사했다.
그의 아버지는 파노 카스트의 일원이었기 때문에, 어렸을 때 그는 달리트였고 어머니는 콘드 부족의 일원이었기 때문에 종종 상위 카스트 인도인들로부터 차별을 받았다. 콘드족은 인도의 카스트 제도에 포함되지 않았으므로 카스트가 없는 것으로 간주되었다.
마하나디아는 아트말리크의 마헨드라 고등학교에 다녔고 나중에 비슈바 바라티 대학교에 입학하여 미술을 공부했다. 미술 학교에 입학했음에도 불구하고 학비를 낼 수 없게 되어 집으로 돌아와야 했다. 그는 나중에 칼리코테의 정부 예술 공예 대학에 입학했고 1971년에 델리 예술대학교로 옮겼다.
P. K. 마하난디아 초상화와 폰 셰드빈과의 만남
델리 예술 대학에서 공부하는 동안 그는 인디라 간디의 초상화를 그림으로써 초상화 분야에서 명성을 얻었다. 그는 코넛 플레이스의 분수대 아래에 앉아 초상화를 그릴 수 있도록 당국으로부터 허가를 받았다. 그곳에서 그는 1975년 12월 17일에 샬럿 폰 셰드빈을 만났다. 그녀는 런던에서 유학 중이었고, 마하나디아를 방문하여 초상화를 그리기 위해 밴을 타고 22일 동안 인도로 운전해 왔다. 그 초상화는 그들이 서로 사랑에 빠져 결혼하게 되면서 그들의 삶을 바꾸어 놓았다. 폰 셰드빈은 스웨덴으로 돌아가야 했고 마하나디아에게 자신과 함께 갈 것을 요청했지만, 그는 언젠가 혼자 갈 것이라고 결정했다.
그녀가 떠난 후, 둘은 편지로 계속 연락했다.
마하나디아는 불행히도 비행기 표를 살 돈이 충분하지 않았다. 그는 모든 것을 팔기로 결정하고 자전거를 사서 1977년 1월 22일 자전거 여행을 시작했다. 그는 매일 약 44 킬로미터 (27 mi)를 자전거로 이동하며 도중에 만난 사람들의 초상화를 그려 돈, 음식, 잠자리를 제공받으며 생계를 유지했다. 그의 여행은 아프가니스탄, 이란을 거쳐 마침내 터키를 통과하여 5월 28일 유럽에 도착했고, 그 후 기차로 예테보리로 향했다.
P. K. 마하난디아 초상화와 폰 셰드빈과의 만남
그는 긴 자전거 여행 중에 "왜 사람들이 유럽까지 자전거로 가는 것이 대단한 일이라고 생각하는지" 이해할 수 없다는 감정을 표현했다.
"나는 해야 할 일을 했다. 돈은 없었지만 그녀를 만나야 했다. 사랑을 위해 자전거를 탔지만 자전거 타는 것을 좋아한 적은 없다. 간단하다."
마하나디아와 셰드빈 사이에는 현재 성인이 된 두 자녀 시다르트와 에멜리가 있다.
P. K. 마하난디아 인정
마하나디아는 스웨덴에서 예술가로서 잘 알려져 있으며 스웨덴 정부의 예술 및 문화 고문으로 일한다. 그의 그림은 세계 주요 도시에서 전시되었고 유니세프 연하장에 실렸다. 2012년 1월 4일, 그는 부바네스와르, 오디샤주의 우트칼 문화 대학교 (UUC)에서 명예 박사 학위를 수여받았다. 그는 또한 오디샤주 정부에 의해 스웨덴 주재 오디야 문화 대사로 지정되었다.
2010년, 인도 영화 제작자 산제이 릴라 반살리는 마하나디아와 폰 셰드빈의 사랑 이야기를 영화로 만들 계획이었다.
중심좌표계
기하학에서 무게중심 좌표계(영어: Barycentric coordinate system)는 점의 위치를 단순체(평면의 점에 대한 삼각형, 3차원 공간의 점에 대한 사면체 등)를 기준으로 지정하는 좌표계이다. 점의 무게중심 좌표(영어: barycentric coordinates)는 단순체의 꼭짓점에 놓인 질량으로 해석될 수 있으며, 이 질량의 질량 중심 (또는 무게중심)이 해당 점이 된다. 이 질량은 0이거나 음수일 수 있다. 점이 단순체 내부에 있을 때에만 모두 양수이다.
모든 점은 무게중심 좌표를 가지며, 그 합은 결코 0이 아니다. 두 튜플의 무게중심 좌표는 비례할 때에만 동일한 점을 지정한다. 즉, 한 튜플의 요소를 동일한 0이 아닌 숫자로 곱하여 다른 튜플을 얻을 수 있을 때이다. 따라서 무게중심 좌표는 0이 아닌 상수로 곱한 것까지 정의되거나, 합이 1이 되도록 정규화된다.
중심좌표계
무게중심 좌표는 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입했다. 이는 특수한 동차좌표이다. 무게중심 좌표는 데카르트 좌표와 밀접하게 관련되어 있으며, 더 일반적으로는 아핀 좌표와 관련이 있다. (틀:교차참조).
무게중심 좌표는 체바 정리, 루스의 정리, 메넬라오스 정리와 같이 삼각형의 각도에 의존하지 않는 속성을 연구하는 삼각형 기하학에서 특히 유용하다. 컴퓨터 지원 설계에서는 특정 종류의 베지에 곡면을 정의하는 데 유용하다.
중심좌표계 정의
유클리드 공간, 평면 또는 아핀 공간 에 있는 n + 1개의 점 이 아핀 독립이라고 하자. 이는 모든 점을 포함하는 n − 1 차원의 부분 아핀 공간이 없음을 의미한다. 또는 동등하게, 점들이 단순체를 정의한다는 의미이다. 임의의 점 에 대해, 모두 0은 아닌 스칼라 가 존재하여

임의의 점 O에 대해 성립한다. (일반적으로  표기법은 점 A를 점 B로 매핑하는 평행 이동 벡터 또는 자유 벡터를 나타낸다.)
이 방정식을 만족하는 (n + 1)튜플 의 요소들을 에 대한 P의 무게중심 좌표라고 한다. 튜플 표기법에 콜론을 사용한 것은 무게중심 좌표가 일종의 동차좌표임을 의미하며, 즉 모든 좌표에 동일한 0이 아닌 상수를 곱해도 점은 변하지 않는다. 또한, 보조 점 O, 즉 원점이 변경되어도 무게중심 좌표는 변하지 않는다.
점의 무게중심 좌표는 스케일링에 따라 유일하다. 즉, 두 튜플 과 은 모든 i에 대해 를 만족하는 0이 아닌 스칼라 가 있을 때에만 같은 점의 무게중심 좌표이다.
중심좌표계 정의
어떤 맥락에서는 점의 무게중심 좌표를 고유하게 제약하는 것이 유용하다. 이는 일반적으로 다음 조건을 부과하여 달성된다.

또는 동등하게 모든 를 모든 의 합으로 나누는 방식으로. 이러한 특정 무게중심 좌표는 정규화된 또는 절대 무게중심 좌표라고 불린다. 때로는 이 용어가 약간 다른 개념을 가리키기는 하지만, 아핀 좌표라고도 불린다.
때로는 정규화된 무게중심 좌표를 무게중심 좌표라고 부르기도 한다. 이 경우 위에서 정의된 좌표는 동차 무게중심 좌표라고 불린다.
위의 표기법을 사용하면, Ai의 동차 무게중심 좌표는 해당 인덱스 i의 좌표를 제외하고 모두 0이다. 실수에서 작업할 때 (위의 정의는 임의의 체에 대한 아핀 공간에도 사용된다), 모든 정규화된 무게중심 좌표가 음이 아닌 점들은 의 볼록 폐포를 형성하며, 이는 이 점들을 꼭짓점으로 하는 단순체이다.
위의 표기법에서,

을 만족하는 튜플 은 어떤 점도 정의하지 않지만, 벡터

는 원점 O와 독립적이다. 이 벡터의 방향은 모든 에 동일한 스칼라를 곱해도 변하지 않으므로, 동차 튜플 은 직선의 방향, 즉 무한원점을 정의한다. 자세한 내용은 아래를 참조하라.
중심좌표계 데카르트 좌표 또는 아핀 좌표와의 관계
무게중심 좌표는 데카르트 좌표와 그리고 더 일반적으로는 아핀 좌표와 밀접하게 관련되어 있다. n 차원의 공간에서, 이 좌표계들은 원점 O에 대해 정의되며, 원점의 좌표는 0이고, n개의 점 에 대해 정의되며, 이 점들의 좌표는 해당 인덱스 i의 좌표가 1인 것을 제외하고는 모두 0이다.
점은 그러한 좌표계에 대해

의 좌표를 갖는다는 것은, 점 에 대한 점의 정규화된 무게중심 좌표가

임을 의미한다.
무게중심 좌표계의 주요 장점은 n + 1개의 정의 점에 대해 대칭적이라는 것이다. 따라서 이 좌표계는 n + 1개의 점에 대해 대칭적인 속성을 연구하는 데 자주 유용하다. 반면에, 거리와 각도는 일반적인 무게중심 좌표계에서는 표현하기 어렵고, 이들이 관련될 때는 일반적으로 데카르트 좌표계를 사용하는 것이 더 간단하다.
중심좌표계 사영 좌표와의 관계
동차 무게중심 좌표는 일부 사영 좌표와도 밀접하게 관련되어 있다. 그러나 이 관계는 아핀 좌표의 경우보다 더 미묘하며, 명확히 이해하려면 아핀 공간의 사영 완비에 대한 좌표 없는 정의와 사영 프레임의 정의가 필요하다.
n 차원의 아핀 공간의 사영 완비는 초평면의 여집합으로 아핀 공간을 포함하는 같은 차원의 사영 공간이다. 사영 완비는 동형 사상까지 유일하다. 이 초평면은 무한원 평면이라고 불리며, 그 점들은 아핀 공간의 무한원점이다.
n 차원의 사영 공간이 주어졌을 때, 사영 프레임은 같은 초평면에 포함되지 않는 n + 2개의 점으로 구성된 순서 집합이다. 사영 프레임은 사영 좌표계를 정의하며, 프레임의 (n + 2)번째 점의 좌표는 모두 같고, 그 외에는 i번째 점의 모든 좌표는 0이며, i번째 좌표만 0이 아니다.
아핀 좌표계에서 사영 완비를 구성할 때, 일반적으로 좌표축의 무한원 평면과의 교점, 아핀 공간의 원점, 그리고 모든 아핀 좌표가 1인 점으로 구성된 사영 프레임을 기준으로 정의한다. 이는 무한원점의 마지막 좌표가 0이고, 아핀 공간의 점의 사영 좌표는 (n + 1)번째 좌표로 1을 추가하여 아핀 좌표를 완성함으로써 얻어진다는 것을 의미한다.
중심좌표계 사영 좌표와의 관계
아핀 공간에 무게중심 좌표계를 정의하는 n + 1개의 점이 있을 때, 이는 선택하기 편리한 사영 완비의 또 다른 사영 프레임이다. 이 프레임은 이 점들과 이 점들의 무게중심으로 구성되며, 무게중심은 모든 무게중심 좌표가 같은 점이다. 이 경우, 아핀 공간의 한 점의 동차 무게중심 좌표는 이 점의 사영 좌표와 같다. 점이 무한원점에 있을 필요충분조건은 그 좌표의 합이 0이라는 것이다. 이 점은 #정의의 끝 부분에서 정의된 벡터의 방향에 있다.
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
삼각형의 맥락에서, 무게중심 좌표는 면적 좌표라고도 알려져 있다. P의 삼각형 ABC에 대한 좌표는 PBC, PCA, PAB의 (부호 있는) 면적과 기준 삼각형 ABC의 면적 비율과 같기 때문이다. 면적 좌표와 삼선형 좌표는 기하학에서 비슷한 목적으로 사용된다.
무게중심 좌표 또는 면적 좌표는 삼각형 하위 도메인을 포함하는 공학 응용 분야에서 매우 유용하다. 이들은 분석 적분을 더 쉽게 계산할 수 있게 해주며, 가우스 구적법 표는 종종 면적 좌표로 표시된다.
x,y 평면 에 꼭짓점 , , 를 가진 삼각형 를 생각해보자. 의 점들은 벡터로 간주될 수 있으므로, 이들을 더하거나 빼고 스칼라를 곱하는 것이 가능하다.
각 삼각형 는 부호 있는 면적 또는 sarea를 가지며, 이는 면적에 양수 또는 음수 부호를 붙인 것이다.
에서 로, 에서 로, 다시 로 돌아오는 경로가 삼각형을 시계 반대 방향으로 돌면 부호는 양수이다. 시계 방향으로 돌면 부호는 음수이다.
평면의 한 점을 라고 하고, 삼각형 에 대한 정규화된 무게중심 좌표를 라고 하면,
이고
정규화된 무게중심 좌표 는 부호 있는 삼각형 면적의 비율을 나타내기 때문에 면적 좌표라고도 불린다.
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
이러한 비율 공식은 삼각형이 평행사변형의 절반이며, 평행사변형의 면적은 행렬식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있다는 사실에 기반하여 증명할 수 있다.
구체적으로,
는 평행사변형이다. 왜냐하면 변위 벡터 와  쌍으로 표현되는 반대편 변들이 평행하고 합동이기 때문이다.
삼각형 는 평행사변형 의 절반이므로, 부호 있는 면적의 두 배는 평행사변형의 부호 있는 면적과 같으며, 이는 변위 벡터 와 를 열로 하는  행렬식 으로 주어진다.
행렬식을 확장하여 교대 및 다중 선형 속성을 사용하면,
이므로
마찬가지로,
이러한 부호 있는 면적의 비율을 얻기 위해, 두 번째 공식에서 를 무게중심 좌표로 표현하면 다음과 같다.
무게중심 좌표는 로 정규화되어 있으므로 이다. 이를 이전 줄에 대입하면
따라서
유사한 계산으로 다른 두 공식도 증명된다.
의 삼선형 좌표 는 각각 BC, AC, AB 선에 대한 로부터의 부호 있는 거리이다. 의 부호는 와 가 BC의 같은 쪽에 있으면 양수이고, 그렇지 않으면 음수이다. 와 의 부호는 유사하게 할당된다.
그러면
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
여기서 sarea는 위에서와 같이 부호 있는 면적을 나타낸다. 삼각형 ABC가 양의 방향으로 향하면 세 부호 모두 양수이고, 그렇지 않으면 음수이다. 삼선형 좌표와 무게중심 좌표 사이의 관계는 이 공식들을 무게중심 좌표를 면적 비율로 표현하는 위 공식에 대입하여 얻어진다.
무게중심 좌표와 다른 좌표계 사이를 오가면 일부 문제를 훨씬 쉽게 해결할 수 있다.
삼각형 평면의 점 이 주어지면, 데카르트 좌표 로부터 무게중심 좌표 , , 를 얻거나 그 반대로도 얻을 수 있다.
점 의 데카르트 좌표를 삼각형 꼭짓점 , ,  (여기서 )의 데카르트 성분으로, 그리고 의 무게중심 좌표로 다음과 같이 쓸 수 있다.
즉, 어떤 점의 데카르트 좌표는 삼각형 꼭짓점의 데카르트 좌표를 가중 평균한 것으로, 가중치는 점의 무게중심 좌표이며 그 합은 1이다.
데카르트 좌표에서 무게중심 좌표로의 역변환을 찾기 위해, 먼저 를 위 식에 대입하면 다음과 같다.
재배열하면 다음과 같다.
이 선형 변환은 다음과 같이 더 간결하게 쓸 수 있다.
여기서 는 처음 두 무게중심 좌표의 벡터이고, 은 유클리드 벡터의 데카르트 좌표이고, 는 다음과 같이 주어진 행렬이다.
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
이제 행렬 는 가역이다. 왜냐하면 과 은 선형 독립이기 때문이다 (그렇지 않다면 , , 은 공선점이 되어 삼각형을 형성하지 않을 것이다). 따라서 위 방정식을 다음과 같이 재배열할 수 있다.
따라서 무게중심 좌표를 찾는 것은 의 2×2 역행렬을 찾는 쉬운 문제로 귀결되었다.
명시적으로, 점 의 무게중심 좌표를 그 데카르트 좌표 (x, y)와 삼각형 꼭짓점의 데카르트 좌표로 표현하는 공식은 다음과 같다.
마지막 줄의 식을 이해할 때, 라는 항등식에 유의하라.
데카르트 좌표를 무게중심 좌표로 변환하는 또 다른 방법은 이 관계를 행렬 형식으로 쓰는 것이다. 여기서 이고  즉고유한 정규화된 해를 얻기 위해서는  조건을 추가해야 한다. 따라서 무게중심 좌표는 선형 시스템의 해이다.이는 다음과 같다.여기서 는 삼각형의 부호 있는 면적의 두 배이다. 무게중심 좌표의 면적 해석은 이 선형 시스템에 크라메르 법칙을 적용하여 얻을 수 있다.
삼선형 좌표 x : y : z를 가진 점은 삼각형의 변 길이인 a, b, c에 대해 ax : by : cz의 무게중심 좌표를 갖는다. 반대로, 무게중심 를 가진 점은 의 삼선형 좌표를 갖는다.
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
세 변 a, b, c는 각각 다음과 같은 방정식을 갖는다.
삼각형의 오일러 직선 방정식은 다음과 같다.
이전에 주어진 무게중심 좌표와 삼선형 좌표 간의 변환을 사용하여, 삼선형 좌표#공식에 주어진 다양한 다른 방정식들을 무게중심 좌표로 다시 쓸 수 있다.
두 정규화된 점 와 의 변위 벡터는 다음과 같다.
P와 Q 사이의 거리 d 또는 변위 벡터 의 길이는 다음과 같다.
여기서 a, b, c는 삼각형의 변 길이이다. 마지막 두 표현의 동등성은 에서 비롯되는데, 이는 다음과 같이 성립하기 때문이다.
점의 무게중심 좌표는 세 삼각형 꼭짓점까지의 거리 di를 기반으로 다음 방정식을 풀어 계산할 수 있다.
무게중심 좌표는 주로 삼각형 내부의 점을 다루는 데 사용되지만, 삼각형 외부의 점을 설명하는 데도 사용할 수 있다. 점이 삼각형 내부에 있지 않더라도 위 공식을 사용하여 무게중심 좌표를 계산할 수 있다. 그러나 점이 삼각형 외부에 있으므로, 적어도 하나의 좌표는 이라는 원래 가정을 위반하게 된다. 사실, 데카르트 좌표로 주어진 모든 점에 대해 이 사실을 사용하여 점이 삼각형에 대해 어디에 있는지 결정할 수 있다.
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
점이 삼각형 내부에 있으면 모든 무게중심 좌표는 열린 구간 에 속한다. 점이 삼각형의 변 위에 있지만 꼭짓점에 있지 않으면 면적 좌표  중 하나(반대쪽 꼭짓점과 관련된 것)는 0이고, 다른 두 개는 열린 구간 에 속한다. 점이 꼭짓점에 있으면 해당 꼭짓점과 관련된 좌표는 1이고 다른 좌표는 0이다. 마지막으로 점이 삼각형 외부에 있으면 적어도 하나의 좌표가 음수이다.
요약하자면,
점 은 일 때에만 삼각형 내부에 있다.
은 이고 일 때 삼각형의 변 또는 모서리에 있다.
그렇지 않으면 은 삼각형 외부에 있다.
특히, 점이 선의 멀리 있는 쪽에 있으면 삼각형 내의 해당 점의 무게중심 좌표 중 선 위에 있지 않은 좌표는 음수 값을 가질 것이다.
이 알려진 양이지만, 으로 정의된 삼각형 내부의 f 값은 알 수 없을 때, 선형 보간법을 사용하여 근사할 수 있다. 무게중심 좌표는 이 보간을 계산하는 편리한 방법을 제공한다. 이 무게중심 좌표 , , 를 갖는 삼각형 내부의 점이라면,
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
일반적으로, 비정형 격자 또는 폴리곤 메시가 주어졌을 때, 함수 값이 메쉬의 모든 꼭짓점에서 알려져 있는 한, 이 종류의 기술을 사용하여 f의 모든 점에서의 값을 근사할 수 있다. 이 경우, 우리는 공간의 다른 부분에 해당하는 많은 삼각형을 가지고 있다. 점 에서 함수 f를 보간하려면, 먼저 을 포함하는 삼각형을 찾아야 한다. 이를 위해, 은 각 삼각형의 무게중심 좌표로 변환된다. 좌표가 을 만족하는 삼각형이 발견되면, 점은 해당 삼각형 또는 그 경계에 놓인다 (이전 섹션에서 설명됨). 그런 다음 의 값은 위에서 설명한 대로 보간될 수 있다.
이러한 방법은 유한요소법(FEM)과 같은 많은 응용 분야를 가지고 있다.
삼각형 영역에 대한 함수의 적분은 데카르트 좌표계에서 계산하기 번거로울 수 있다. 일반적으로 삼각형을 두 부분으로 나누어야 하며, 이는 큰 복잡성을 초래한다. 대신, 임의의 두 무게중심 좌표, 예를 들어 로 변수 변환을 하는 것이 더 쉬운 경우가 많다. 이 변수 변환 하에서,
중심좌표계 삼각형에 대한 무게중심 좌표
여기서 A는 삼각형의 면적이다. 이 결과는 무게중심 좌표계의 직사각형이 데카르트 좌표계의 사변형에 해당하고, 해당 좌표계에서 해당 도형의 면적 비율이 로 주어진다는 사실에서 비롯된다. 유사하게, 사면체에 대한 적분의 경우, 적분을 두세 개의 별개의 부분으로 나누는 대신, 다음과 같은 변수 변환 하에서 3D 사면체 좌표로 전환할 수 있다.
여기서 V는 사면체의 부피이다.
삼각형 에 대해 정의된 동차 무게중심 좌표계에서, 의 특별한 점들에 대한 다음 진술들이 성립한다.
세 꼭짓점 A, B, C의 좌표는 다음과 같다.
무게중심의 좌표는 이다.
a, b, c가 각각 변 길이 , , 이고, , , 가 각각 각 측정 , , 이며, s가 의 반둘레라면, 의 특수점에 대한 다음 진술이 추가로 성립한다.
외심의 좌표는 다음과 같다.
수심의 좌표는 다음과 같다.
내심의 좌표는 이다.
방심의 좌표는 다음과 같다.
구점원 중심의 좌표는 다음과 같다.
게르곤 점의 좌표는 이다.
나겔 점의 좌표는 이다.
대칭중심의 좌표는 이다.
중심좌표계 사면체에 대한 무게중심 좌표
무게중심 좌표는 3차원으로 쉽게 확장될 수 있다. 3D 단순체는 4개의 삼각형 면과 4개의 꼭짓점을 가진 다면체인 사면체이다. 다시 말해, 네 개의 무게중심 좌표는 첫 번째 꼭짓점 이 무게중심 좌표 에 매핑되고,  등으로 정의된다.
이것은 다시 선형 변환이며, 삼각형에 대한 위의 절차를 확장하여 사면체에 대한 점 의 무게중심 좌표를 찾을 수 있다.
여기서 는 이제 3x3 행렬이다.
그리고 에 해당하는 데카르트 좌표는 다음과 같다.다시 한번, 무게중심 좌표를 찾는 문제는 3x3 행렬의 역행렬을 구하는 문제로 귀결되었다.
3D 무게중심 좌표는 점이 사면체 부피 내부에 있는지 여부를 결정하고, 2D 절차와 유사한 방식으로 사면체 메시 내에서 함수를 보간하는 데 사용될 수 있다. 사면체 메시는 무게중심 좌표를 사용하면 3D 보간을 크게 단순화할 수 있으므로 유한요소해석에서 자주 사용된다.
중심좌표계 일반화된 무게중심 좌표
점 의 무게중심 좌표 는 단순체 대신 유한 개의 k점 에 대해 정의되며 이를 일반화된 무게중심 좌표라고 한다. 이 경우에도 방정식
가 성립해야 한다. 일반적으로 인 정규화된 좌표를 사용한다. 단순체의 경우와 마찬가지로, 음수가 아닌 정규화된 일반화된 좌표()를 가진 점들은 x1, ..., xn의 볼록 폐포를 형성한다. 완전한 단순체보다 많은 점이 있는 경우() 점의 일반화된 무게중심 좌표는 유일하지 않은데, 이는 정의 선형 시스템(여기서 n=2)가 과소결정이기 때문이다. 가장 간단한 예는 평면의 사각형이다. 고유한 무게중심 좌표를 정의하기 위해 다양한 종류의 추가적인 제약 조건이 사용될 수 있다.
더 추상적으로, 일반화된 무게중심 좌표는 차원에 상관없이 n개의 꼭짓점을 가진 볼록 다포체를 n개의 꼭짓점을 가진 표준 -단순체의 이미지로 표현한다. 이 맵은 전사적이다.  이 맵은 다포체가 단순체일 때에만 일대일이며, 이 경우 이 맵은 동형 사상이다. 이는 P가 단순체가 아닐 때 점이 고유한 일반화된 무게중심 좌표를 갖지 않는 것에 해당한다.
중심좌표계 일반화된 무게중심 좌표
일반화된 무게중심 좌표의 쌍대는 슬랙 변수인데, 이는 점이 선형 제약 조건을 얼마나 만족하는지 측정하고, f-직교 공간으로의 매장 을 제공한다. 여기서 f는 면의 수(꼭짓점의 쌍대)이다. 이 맵은 일대일(슬랙 변수는 고유하게 결정됨)이지만 전사적이지는 않다(모든 조합이 실현될 수는 없다).
표준 -단순체와 f-정축을 다포체에 매핑하거나 다포체가 매핑되는 표준 객체로 사용하는 것은 벡터 공간의 표준 객체로 표준 벡터 공간 을 사용하는 것과 대조된다. 또한, 아핀 공간의 표준 객체로 표준 아핀 초평면 을 사용한다. 각 경우에 선형 기저 또는 아핀 기저를 선택하면 동형 사상을 제공하여 모든 벡터 공간과 아핀 공간을 이러한 표준 공간으로 생각할 수 있도록 한다. 이는 전사 또는 일대일 맵(모든 다포체가 단순체는 아님)을 통해서가 아니다. 또한, n-정축은 원뿔에 매핑되는 표준 객체이다.
일반화된 무게중심 좌표는 컴퓨터 그래픽스 특히 기하학적 모델링에서 응용된다. 종종 3차원 모델은 해당 다면체에 대한 일반화된 무게중심 좌표가 기하학적 의미를 갖도록 다면체로 근사될 수 있다. 이런 방식으로 이러한 의미 있는 좌표를 사용하여 모델 처리를 단순화할 수 있다. 무게중심 좌표는 지구물리학에서도 사용된다.
리틀이털리 (시카고)
리틀이털리(Little Italy)는 때때로 유니버시티 빌리지와 하나의 지역으로 합쳐지기도 하며, 시카고의 니어 웨스트 사이드에 위치한다. 현재 리틀이털리의 경계는 서쪽으로 애슐랜드 애비뉴, 동쪽으로 90/94번 주간고속도로, 북쪽으로 아이젠하워 고속도로, 남쪽으로 루스벨트 가이다. 이곳은 일리노이 대학교 시카고 캠퍼스 동쪽인 일리노이 의료 지구와 일리노이 대학교 시카고 캠퍼스 서쪽 사이에 위치한다. 이 공동체는 한때 주로 이탈리아 이민자들로 이루어졌지만, 이민, 도시 재개발, 젠트리피케이션, 그리고 일리노이 대학교 시카고(UIC)의 상주 학생 및 교수 인구 증가의 결과로 현재는 다양한 민족 및 사회경제적 배경을 가진 사람들로 구성되어 있다. 이곳의 이탈리아계 미국인 유산은 한때 테일러 스트리트에 늘어서 있던 이탈리아계 미국인 레스토랑에서 주로 찾아볼 수 있다. 이 지역에는 국립 이탈리아계 미국인 스포츠 명예의 전당과 유서 깊은 로마 가톨릭교회인 아워 레이디 오브 폼페이, 노트르담 드 시카고, 홀리 패밀리 교회가 있다.
리틀이털리 (시카고)
이 지역의 최근 역사는 1950년대 고속도로 건설, 1960년대 UIC 개발, 1990년대와 2000년대 공영 주택 철거, 2000년대 맥스웰 스트리트 재개발로 시작된 도시 재개발의 물결을 겪었다. 이러한 변화와 함께 이 지역의 주택 가격도 상승했다.