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세습 정치인 정치 왕조와의 차이
현재 중국공산당 중앙위원회 총서기인 시진핑은 태자당이자 제2대 훙얼다이(紅二代)이다. 시진핑의 아버지 시중쉰은 중국 지도부 1세대로 여겨졌으며 부총리를 역임했다. 시진핑의 정치적 부상은 태자당과 훙얼다이 계파의 지지를 받은 것으로 알려졌다. 그러나 예상치 못하게 시진핑은 자신의 새로운 정치 팀에 "평민"을 확대함으로써 이들 계파와 거리를 두는 것으로 보고되었다. 중국 공산당 정치국 25명 중 2세대 훙얼다이 자손은 시진핑과 장유샤 단 두 명뿐이다.
전 중국 총리 리커창은 한때 전 중국공산당 중앙위원회 총서기 후진타오의 가장 잠재력 있는 후계자로 여겨졌다. 그러나 리커창은 뿌리 깊은 정치 가문 배경이 없어 후임이 되지 못했다. 반면 시진핑은 50년 이상 고위 정치 지도자를 지낸 아버지 시중쉰으로부터 물려받은 강력한 정치 네트워크의 지지로 후진타오의 후계자가 되었다.
세습 정치인 정치 왕조와의 차이
중국의 귀족 계급 역사는 마오쩌둥 통치 시절로 거슬러 올라간다. 마오쩌둥의 군대는 남부로부터 많은 지원을 받았는데, 대표적인 예가 남부 장군 예젠잉이었다. 장궈타오의 제4방면군과 마오쩌둥의 제1방면군 사이의 갈등 중 예젠잉은 마오쩌둥에게 장궈타오가 마오쩌둥을 전복시키려 한다고 미리 경고했다. 나중에 장정 동안 예젠잉은 류보청이 한 명도 잃지 않고 장강을 건너도록 지휘하는 것을 도와 마오쩌둥을 지원했다. 마오쩌둥은 중국공산당에 대한 그의 공헌을 높이 평가했다. 그 대가로 마오쩌둥은 문화대혁명 동안 예젠잉을 보호하고 그에게 많은 정치적 권력을 부여했다. 예젠잉은 '나라가 더 시장 지향적인 경제로 나아갈 길을 닦고 여전히 킹메이커 역할을 하는 정치 왕조를 만들었다'고 평가받는다. 예젠잉은 '국가 정책에 영향을 미치고 중국 남부에서 그의 광대한 사업 제국을 보호할' 능력을 가지고 있다고 묘사되었다. 예젠잉의 정치적 영향력은 그의 사망 후에도 계속되었는데, 그의 자녀들이 중국 정치에 큰 영향을 미쳤기 때문이다. 구체적인 예는 그의 자녀들이 '경제 변화를 강력히 옹호하는 인사가 중국공산당 중앙정치국 상무위원회에 합류하는 것을 막으려 시도했는데, 이는 그들의 이익에 부합하지 않았기 때문'이었다.
MALBATT
MALBATT(말레이어: MALBAT)은 말레이시아 대대(영어: Malaysia Battalion, 말레이어: Batalion Malaysia)의 약칭이자 별명으로, 유엔 평화 유지 활동에 참여하는 말레이시아 육군과 말레이시아 경찰을 총칭해서 부르는 말이다. 말레이시아가 수립되기 이전인 1960년, 말라야 연방이 콩고 위기 때 왕립 말레이 연대 소속 군인들을 파견한 것이 그 기원이다. 말레이시아 수립 초기에 MALBATT은 이란-이라크 전쟁, 남아프리카 국경 전쟁 등에 감시단을 파견하면서 유엔 평화유지활동에 기여했고, 1990년대부터는 서사하라, 동티모르, 앙골라, 레바논, 코소보, 필리핀과 같은 분쟁 지역의 유엔 평화유지활동에 적극적으로 참여하고 있다.
MALBATT 역사
1990년대 캄보디아 분쟁 동안, MALBATT은 유엔 캄보디아 선견대(UNAMIC)에 단 두 명의 인원만 배치했다. 이들은 캄보디아 과도정부가 행정기구로 있는 동안 캄보디아의 휴전을 감독하였고, 유엔 캄보디아 과도 통치기구(UNTAC) 소속 2,119명의 MALBATT 병력이 추가로 배치되어 법과 질서를 유지하며 필수 기반 시설을 재건하는 임무를 수행했다. 1991년, MALBATT은 유엔 서사하라 국민투표 임무단(MINURSO)의 일환으로 폴리사리오 전선과 모로코군 간의 휴전 이행을 감시하기 위해 파견되었다. 1992년부터 1993년까지 MALBATT 군인들은 유엔 이라크-쿠웨이트 감시단(UNIKOM)에 배치되었다. 같은 해 1991년부터 1995년까지 MALBATT 병력은 앙골라 내전에서 휴전을 강제하기 위해 제2차 유엔 앙골라 진상조사단(UNAVEM II)에 파견되었다. 1993년부터 4명의 MALBATT 장교가 유엔 군사연락팀(UNMLT)에 파견되었다. 이 팀은 6개월간 캄보디아 정부와 긴밀히 연락하며 국내 안보 문제에 대해 유엔 사무총장에게 보고하고, 1991년 파리 평화 협정과 관련하여 남아있는 군사 문제 처리를 돕기 위해 설립되었다.
MALBATT 역사
말레이시아 왕립 경찰(RMP)을 포함한 3,206명의 MALBATT 병력은 1993년부터 UNOSOM II의 일환으로 소말리아에 배치되었다. 이 부대는 소말리아 내 휴전을 감시하고 유엔 직원 보호 및 인도적 지원 물품 운송 호위 및 보호 임무를 수행했다. MALBATT 병력은 고딕 서펀트 작전에도 참여하여 소말리아 민족 동맹(SNA)과 모가디슈 전투에서 맞붙었고, 헬리콥터가 격추된 후 적군에 갇힌 미군 레인저들을 구출하는 작전에 투입되었다. 이 임무 중 사상자가 발생했음에도 불구하고 MALBATT 팀은 성공적으로 미군 레인저들을 구출했다. 1993년부터 1994년까지 20~24명의 MALBATT 군 장교와 35명의 경찰관이 모잠비크 내전의 결과로 휴전 감시, 무기 해체, 외국군 철수, 사설 및 비정규 무장 단체 해체 등을 포함한 유엔 모잠비크 작전(ONUMOZ)의 유엔 감시단에 배속되었다. 1993년부터 1997년까지 MALBATT은 유엔 라이베리아 감시단(UNOMIL)에 1998년부터 유엔 시에라리온 감시단(UNOMSIL)에 그리고 1999년부터 2005년까지 유엔 시에라리온 임무단(UNAMSIL)에 병력을 파견했다.
MALBATT 역사
같은 해 1993년, 유고슬라비아 전쟁 중 유엔 보호군(UNPROFOR)을 통한 구 유고슬라비아 평화 유지 작전에 말레이시아가 참여했으며, 군인과 경찰을 포함한 4,369명의 병력으로 구성된 3개 MALBATT 대대가 배치되었다. 더불어 데이턴 협정이 1995년에 체결된 후 보스니아 헤르체고비나를 보호하기 위한 북대서양 조약 기구(NATO)의 지시에 따라 IFOR과 보스니아 헤르체고비나 안정화군(SFOR)을 통해 말레이시아 부대 2개가 추가 배치되었다. 말레이시아와 이웃 국가인 인도네시아의 가루다 부대는 이 임무를 위해 유엔군에 군인과 경찰 인력을 모두 파견한 동남아시아 국가였다. MALBATT은 1998년까지 유엔 보스니아 헤르체고비나 임무단(UNMIBH)의 일원이었다. 1994년 5월부터 6월까지 MINURSO 임무에서 차출된 MALBATT 감시단은 B. 마즐란 대령의 지휘 아래 유엔 아오주감시단(UNASOG)에 배치되어 리비아 아랍 자마히리야 당국과 회담하고 국제사법재판소(ICJ)의 리비아-차드 영토 분쟁 사건 결정에 따라 아오주 스트립에서 리비아군의 철수 과정을 감독했다.
MALBATT 역사
MALBATT은 1995년 2월부터 1997년 6월까지 UNAVEM III에 인력을 파견한 국가 중 하나로, 19명의 군 감시관과 20명의 민간 경찰을 파견했다. 추가 병력은 유엔 앙골라 감시단(MONUA)에 파견되었다. 1998년 4월부터 1999년 4월까지 MALBATT 여단장 텡쿠 아리핀 모하메드가 유엔 타지키스탄 감시단(UNMOT)의 군 감시단장을 맡았다. 1999년 동티모르 위기는 동티모르 국제군(INTERFET)과 유엔 동티모르 임무단(UNAMET)에 말레이시아 평화 유지군이 추가로 참여하게 된 계기가 되었으며, 임무 수행을 지원하고 인도적 지원 작전을 빨리 시행하는 것을 목표로 했다. 이어서 군인들은 유엔 동티모르 임시행정부(UNTAET)의 통역사로 배정되었다.
MALBATT 역사
2000년부터 2008년까지 MALBATT은 유엔 에티오피아 에리트레아 임무단 (UNMEE)에 파견되었다. 2002년부터 2005년까지 MALBATT 군경은 유엔 동티모르 지원단 (UNMISET)에 파견되었으며, 2003년부터 2005년까지 이 임무는 중장 카이루딘 맛 유사프가 이끌었다. 2003년 9월부터 MALBATT는 유엔 라이베리아 임무단에 파견되어 제2차 라이베리아 내전의 휴전 및 후속 평화 과정의 이행을 지원했으며, 이 평화 과정에는 전투원들의 무장 해제, 동원 해제, 재통합 및 귀환 (DDRR)을 포함했다. 2004년부터 MALBATT은 모로 분쟁에서 모로 이슬람 해방전선 (MILF)과 필리핀 정부 간의 평화 회담을 주최하였으며, 이후 말레이시아가 이끄는 국제감시단 (IMT)이 결성되었다. 말레이시아 평화유지군은 또한 유럽 연합 (EU)이 이끄는 아체 감시단 (AMM)의 참여국 중 하나로, 인도네시아 정부와 자유 아체 운동 (GAM) 간에 벌어졌던 아체 반란의 평화 협정 이행을 감독했다.
MALBATT 역사
2004년 6월부터 2006년 12월까지 MALBATT는 유엔 부룬디 활동단 (ONUB)에 파견되었다. 2006년 동티모르 위기 이후, MALBATT는 오스트레일리아가 이끄는 애스튜트 작전에 참여하기 위해 유엔 동티모르 통합 임무단 (UNMIT)의 일환으로 파견되었다. 이 파견대는 동티모르가 국가를 재건하려는 노력의 일환으로 다양한 훈련 프로그램을 통해 인적 자원 개발 활동을 지원했다. 2007년부터 말레이시아 정부는 말레이시아군이이 MALBATT를 통해 다른 국가의 평화유지군과 함께 유엔 안전 보장 이사회의 유엔 안전 보장 이사회 결의 제1701호를 이행하는 유엔 레바논 임시군 (UNIFIL)에 참여하는 것을 승인했다. 2024년 5월까지 총 5명의 말레이시아 평화유지군이 임무 중 사망했다. 말바트 군인과 경찰은 2007년부터 2020년까지 UNAMID에도 파견되었다. 2009년에 MALBATT 파견대 소속 장교 14명이 유엔 네팔 임무단 (UNMIN)에 감시자로 참여했다.
2010년 MALBATT은 아프가니스탄 전쟁에서 국제안보지원군에 참여했고, 이 부대는 북대서양 조약 기구 직속 편제로 배치되었다. 이 배치는 보스니아 전쟁 당시 ISOR와 IFOR에 배치되었던 말레이시아 부대와 동일한 배치 방식이었다. MALBATT은 2019년부터 UNMHA에 참여하고 있으며, 2023년부터는 UNISFA에 2명의 장교를 파견했다.
이온 전도도
이온 전도도(iIonic conductivity, λ로 표기)는 고체 물질을 통한 이온의 움직임으로, 고체 이온 공학의 핵심 현상이다. λ로 표기하며 미터당 지멘스 (S/m) 단위로 측정된다. 무기 화합물의 완벽한 결정은 일반적으로 전기 절연체이지만, 이온 전도는 열 활성화를 통한 본질적인 결함이나 다른 원자가 불순물로 도핑을 통해 결함이 도입될 때 발생한다. 이러한 결함은 결정 격자를 통해 통로를 제공함으로써 이온 이동을 가능하게 한다. 고체 전해질로 알려진 고체 이온 전도체는 전고체 전지, 슈퍼커패시터, 연료전지, 박막 마이크로일렉트로닉스 장치와 같은 기술에서 중요한 구성 요소이다. 이온 전도도(σ)는 결정 구조와 결함 화학에 의해 영향을 받는 활성화 에너지 장벽에 따라 아레니우스형 관계를 가진다. 이온 전도는 전류의 한 메커니즘이다.
이온 전도도 결정 고체 내에서
대부분의 고체에서 이온은 주변 원자나 이온에 강하게 둘러싸여 고정된 위치를 단단히 차지한다. 일부 고체에서는 선택된 이온이 고도로 이동하여 이온 전도를 가능하게 한다. 이동성은 온도에 따라 증가한다. 이러한 특성을 나타내는 물질은 전지에 사용된다. 잘 알려진 이온 전도성 고체는 β-알루미나("BASE")로, 산화 알루미늄의 한 형태로 Na+와 같은 이온이 뛰어넘을 수 있는 채널을 가지고 있다. 이 세라믹이 이동성 이온과 복합체를 형성하면 소위 고속 이온 전도체로 작용한다. BASE는 여러 유형의 용융염 화학 전지에서 막으로 사용된다.
이온 전도도 결정 고체 내에서
고체 내 이온 전도는 19세기 초부터 관심의 대상이었다. 마이클 패러데이는 1839년에 전기 분해의 법칙이 플루오린화 납(II) (PbF2) 및 황화은 (Ag2S)과 같은 이온 고체에서도 적용된다는 것을 확립했다. 1921년, 고체 아이오딘화 은 (AgI)은 147 °C 이상의 온도에서 비정상적으로 높은 이온 전도도를 가지는 것으로 밝혀졌다. AgI는 이온 전도도가 ~ 1 –1 cm−1인 상으로 변한다. 이 AgI의 고온 상은 초이온 전도체의 예이다. 이 고체의 무질서한 구조는 Ag+ 이온이 쉽게 움직일 수 있도록 한다. 이온 전도도의 현재 기록 보유자는 관련 물질인 Ag2[HgI4]이다. β-알루미나는 나트륨-황 전지를 개발하는 동안 전기차량용 저장 장치를 찾는 과정에서 포드 모터 컴퍼니에서 개발되었다.
파괴역학
파괴역학(fracture mechanics)은 재료 내 균열 전파를 연구하는 역학 분야이다. 균열에 작용하는 구동력을 계산하기 위해 분석 고체역학 방법을 사용하고, 재료의 파괴 저항 특성을 파악하기 위해 실험 고체역학 방법을 사용한다.
이론적으로, 날카로운 균열 선단 앞의 응력은 무한대가 되므로 균열 주변 상태를 설명하는 데 사용할 수 없다. 파괴역학은 균열에 작용하는 하중을 특성화하는 데 사용되며, 일반적으로 단일 매개변수를 사용하여 균열 선단에서의 완전한 하중 상태를 설명한다. 여러 가지 다른 매개변수가 개발되었다. 균열 선단에서의 소성 구역이 균열 길이에 비해 작을 때, 균열 선단에서의 응력 상태는 재료 내의 탄성력의 결과이며 선형 탄성 파괴역학 (LEFM)이라고 불리며 응력확대계수 를 사용하여 특성화할 수 있다. 균열에 작용하는 하중이 임의적일 수 있지만, 1957년 G. 어윈은 어떤 상태도 세 가지 독립적인 응력확대계수의 조합으로 축소될 수 있음을 발견했다.
파괴역학
균열 선단에서의 소성 구역 크기가 너무 클 때는 J-적분 또는 균열선단개구변위와 같은 매개변수를 사용하여 탄성-소성 파괴역학을 사용할 수 있다.
특성화 매개변수는 균열 선단의 상태를 설명하며, 이는 실험 조건과 연관되어 유사성을 보장할 수 있다. 균열 성장은 매개변수가 일반적으로 특정 임계값을 초과할 때 발생한다. 응력 부식 응력 강도 임계값이 초과되면 부식이 균열을 천천히 성장시킬 수 있다. 유사하게, 작은 결함은 주기적인 하중에 노출될 때 균열 성장을 초래할 수 있다. 피로라고 알려진 이 현상에서, 긴 균열의 경우 성장 속도는 인가된 하중에 의해 균열이 겪는 응력 강도 범위 에 크게 좌우된다는 것이 밝혀졌다. 응력 강도가 재료의 파괴인성을 초과하면 급속 파괴가 발생한다. 균열 성장의 예측은 손상 허용 기계 설계 분야의 핵심이다.
파괴역학 동기
재료 제조, 가공, 기계 가공 및 성형 공정은 완성된 기계 부품에 결함을 유발할 수 있다. 제조 공정에서 발생하는 내부 및 표면 결함은 모든 금속 구조물에서 발견된다. 이러한 결함이 모두 사용 조건에서 불안정한 것은 아니다. 파괴역학은 안전한 (즉, 성장하지 않는) 결함과 균열로 전파되어 결함이 있는 구조물의 파괴를 유발할 수 있는 결함을 발견하기 위한 결함 분석이다. 이러한 내재된 결함에도 불구하고, 손상 허용 분석을 통해 구조물의 안전한 작동을 달성하는 것이 가능하다. 파괴역학은 중요 연구 주제로 채 백 년도 되지 않았으므로 비교적 새로운 분야이다.
파괴역학은 다음 질문에 정량적인 답을 제공하려고 노력해야 한다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
파괴역학은 제1차 세계 대전 중 영국 항공 공학자 A. A. 그리피스에 의해 – 따라서 그리피스 균열이라는 용어가 사용됨 – 취성 재료의 파괴를 설명하기 위해 개발되었다. 그리피스의 연구는 두 가지 모순된 사실에 의해 동기가 부여되었다.
이러한 상충되는 관찰을 조화시키기 위한 이론이 필요했다. 또한 그리피스 자신이 수행한 유리 섬유 실험은 섬유 직경이 감소함에 따라 파괴 응력이 증가한다는 것을 시사했다. 따라서 그리피스 이전에 재료 파괴를 예측하는 데 광범위하게 사용되었던 단축 인장 강도는 시편에 독립적인 재료 특성이 될 수 없었다. 그리피스는 실험에서 관찰된 낮은 파괴 강도와 강도의 크기 의존성이 벌크 재료에 미세한 결함이 존재하기 때문이라고 제안했다.
결함 가설을 검증하기 위해 그리피스는 실험용 유리 시편에 인공 결함을 도입했다. 인공 결함은 시편의 다른 결함보다 훨씬 큰 표면 균열 형태였다. 실험 결과, 결함 길이()의 제곱근과 파괴 응력()의 곱이 거의 일정하다는 것을 보여주었으며, 이는 다음 방정식으로 표현된다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
이 관계를 선형 탄성 이론으로 설명하는 것은 문제가 있다. 선형탄성 이론은 선형 탄성 재료에서 날카로운 결함 선단의 응력(및 변형률)이 무한대라고 예측한다. 이 문제를 피하기 위해 그리피스는 자신이 관찰한 관계를 설명하기 위한 열역학적 접근법을 개발했다.
균열의 성장, 균열 양쪽 표면의 확장은 표면 에너지의 증가를 필요로 한다. 그리피스는 탄성판의 유한 균열에 대한 탄성 문제를 해결하여 균열의 표면 에너지 측면에서 상수 에 대한 표현을 찾았다. 간단히 말해, 접근 방식은 다음과 같았다.
여기서 는 재료의 영률이고 는 재료의 표면 에너지 밀도이다.  및 를 가정하면 그리피스가 예측한 파괴 응력이 유리에 대한 실험 결과와 완벽하게 일치한다.
하중에 수직인 균열이 있는 얇은 직사각형 판의 간단한 경우, 에너지 방출률 는 다음과 같다.
여기서 는 인가된 응력, 는 균열 길이의 절반, 는 영률이며, 이는 평면 변형률의 경우 판 강성 계수 로 나누어야 한다. 변형 에너지 방출률은 물리적으로 균열 성장에 의해 에너지가 흡수되는 속도로 이해할 수 있다.
그러나 다음도 성립한다.
≥ 이면 균열이 전파되기 시작하는 기준이 된다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
균열 전파 전에 심하게 변형된 재료의 경우, 선형 탄성 파괴역학 공식은 더 이상 적용되지 않으며, 연성 재료의 파괴와 같이 균열 선단 근처의 응력 및 변위장을 설명하기 위한 수정된 모델이 필요하다.
그리피스의 연구는 1950년대 초까지 공학계에서 크게 무시되었다. 그 이유는 (a) 실제 구조 재료에서는 파괴를 유발하는 데 필요한 에너지 수준이 해당 표면 에너지보다 몇 배 더 높고, (b) 구조 재료에는 항상 균열 선단 주변에 비탄성 변형이 있어 균열 선단에서 무한 응력을 갖는 선형 탄성 매체의 가정이 매우 비현실적이라는 것이다.
그리피스의 이론은 유리와 같은 취성 재료에 대한 실험 데이터와 훌륭하게 일치한다. 강철과 같은 연성 재료의 경우, 비록  관계가 여전히 성립하지만, 그리피스의 이론이 예측한 표면 에너지(γ)는 일반적으로 비현실적으로 높다. 제2차 세계 대전 중 미국 해군 연구소 (NRL)에서 G. R. 어윈이 이끄는 연구 그룹은 연성 재료의 파괴에 소성이 중요한 역할을 해야 한다는 것을 깨달았다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
연성 재료(그리고 심지어 취성으로 보이는 재료에서도)에서는 균열 선단에 소성 영역이 발생한다. 인가된 하중이 증가하면 소성 영역의 크기가 증가하여 균열이 성장하고 균열 선단 뒤의 탄성 변형된 재료가 하중을 해제한다. 균열 선단 근처의 소성 하중 및 언로딩 주기는 열로서 에너지의 소산을 초래한다. 따라서 취성 재료에 대해 그리피스가 고안한 에너지 균형 관계에 소산 항을 추가해야 한다. 물리적으로 말하면, 취성 재료에 비해 연성 재료에서는 균열 성장을 위해 추가적인 에너지가 필요하다.
어윈의 전략은 에너지를 두 부분으로 나누는 것이었다.
그러면 총 에너지는 다음과 같다.
여기서 는 표면 에너지이고 는 균열 성장 단위 면적당 소성 소산(및 다른 원천으로부터의 소산)이다.
그리피스 에너지 기준의 수정된 버전은 다음과 같이 작성될 수 있다.
유리와 같은 취성 재료의 경우, 표면 에너지 항이 지배적이며 이다. 강철과 같은 연성 재료의 경우, 소성 소산 항이 지배적이며 이다. 유리 전이 온도 근처의 고분자의 경우, 2에서 1000  사이의 중간  값을 갖는다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
어윈과 그의 동료들의 또 다른 중요한 업적은 선형 탄성 고체에서 균열 선단 주변의 점근적 응력 및 변위장 측면에서 파괴에 사용할 수 있는 에너지 양을 계산하는 방법을 찾는 것이었다. 모드 I 하중에서 응력장에 대한 이 점근적 표현은 다음 식에 따라 응력확대계수 와 관련된다.
여기서 는 코시 응력, 은 균열 선단으로부터의 거리, 는 균열 평면에 대한 각도, 는 균열 형상 및 하중 조건에 따라 달라지는 함수이다. 어윈은 를 응력확대계수라고 불렀다. 는 무차원량이므로, 응력확대계수는  단위로 표현될 수 있다.
응력 강도는 변형 에너지 방출률을 대체했으며, 파괴인성이라는 용어가 표면 약화 에너지를 대체했다. 이 두 용어는 그리피스가 사용한 에너지 용어와 간단하게 관련되어 있다.
그리고
여기서 는 모드  응력 강도, 는 파괴 인성, 는 푸아송 비이다.
파괴는 일 때 발생한다. 평면 변형률 변형의 특수한 경우 는 가 되며 재료 특성으로 간주된다. 첨자 는 균열이 전파되도록 재료에 하중을 가하는 여러 가지 방법 때문에 발생한다. 이는 모드  또는 와는 대조적으로 소위 "모드 " 하중을 나타낸다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
에 대한 표현은 응력확대계수 문서에서 논의된 바와 같이 중앙 균열이 있는 무한 판 이외의 형상에 대해서는 달라진다. 따라서 형상을 특성화하기 위해 무차원 보정 계수 를 도입해야 한다. 이 보정 계수는 종종 기하학적 형상 계수라고도 불리며, 경험적으로 결정된 일련의 값을 통해 주어진 균열 또는 노치의 유형 및 형상을 설명한다. 따라서 우리는 다음을 얻는다.
여기서 는 유한 너비 의 판에 두께 관통 균열 길이 가 포함된 경우 균열 길이와 판 너비의 함수이다.
어윈은 균열 주변의 소성 구역 크기가 균열 크기에 비해 작으면 균열 성장에 필요한 에너지가 균열 선단에서의 응력 상태(소성 구역)에 크게 의존하지 않는다는 것을 처음으로 관찰했다. 다시 말해, 순수 탄성 해법을 사용하여 파괴에 사용할 수 있는 에너지 양을 계산할 수 있다.
균열 성장 또는 변형 에너지 방출률에 대한 에너지 방출률은 균열 성장 단위 면적당 탄성 변형 에너지의 변화로 계산될 수 있다. 즉,
여기서 U는 시스템의 탄성 에너지이고 a는 균열 길이이다. 위의 표현을 평가하는 동안 하중 P 또는 변위 u는 일정하다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
어윈은 모드 I 균열(개방 모드)에 대해 변형 에너지 방출률과 응력확대계수가 다음과 같은 관계를 갖는다는 것을 보여주었다.
여기서 E는 영률, ν는 푸아송 비, KI는 모드 I의 응력확대계수이다. 어윈은 또한 선형 탄성체 내 평면 균열의 변형 에너지 방출률이 가장 일반적인 하중 조건에 대해 모드 I, 모드 II(미끄럼 모드), 모드 III(찢김 모드) 응력확대계수 측면에서 표현될 수 있음을 보여주었다.
다음으로 어윈은 취성 파괴 동안 에너지 소산 구역의 크기와 모양이 거의 일정하게 유지된다는 추가 가정을 채택했다. 이 가정은 단위 파괴면을 만드는 데 필요한 에너지가 재료에만 의존하는 상수라는 것을 시사한다. 이 새로운 재료 특성은 파괴인성이라는 이름이 주어졌으며 GIc로 지정되었다. 오늘날에는 평면 변형률 조건에서 발견되는 임계 응력확대계수 KIc가 선형 탄성 파괴역학의 정의 속성으로 받아들여진다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
이론적으로 반지름이 거의 0인 균열 선단에서의 응력은 무한대로 수렴한다. 이는 실제 응용에서는 불가능한 응력 특이점으로 간주된다. 이러한 이유로 파괴역학 분야의 수치 연구에서는 종종 균열을 둥근 끝의 노치로 표현하는 것이 적절하며, 균열 선단 특이점을 대체하는 형상 의존적 응력집중 영역을 사용한다. 실제로는 실제 재료 내 균열 선단에서의 응력 집중은 유한한 값을 가지지만, 시편에 가해지는 공칭 응력보다 더 큰 것으로 밝혀졌다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
그럼에도 불구하고, 그러한 균열이 자발적으로 전파되는 것을 막는 어떤 종류의 메커니즘이나 재료 특성이 있어야 한다. 가정은 균열 선단에서의 소성 변형이 균열 선단을 효과적으로 무디게 한다는 것이다. 이 변형은 주로 해당 방향으로 가해지는 응력(대부분의 경우 일반 데카르트 좌표계의 y-방향), 균열 길이, 시편의 형상에 따라 달라진다. 이 소성 변형 영역이 균열 선단으로부터 얼마나 확장되었는지 추정하기 위해 어윈은 재료의 항복 강도를 균열을 따라 (x 방향) y-방향의 원거리 응력과 동일시하고 유효 반지름을 구했다. 이 관계로부터 균열이 임계 응력확대계수까지 하중을 받는다고 가정하여, 어윈은 균열 선단에서의 이상적인 소성 변형 영역 반지름에 대한 다음 표현을 개발했다.
파괴역학 선형 탄성 파괴역학
이상적인 재료 모델은 이 소성 영역이 균열 선단에 중심을 둔다는 것을 보여주었다. 이 방정식은 균열 선단을 넘어선 소성 변형 영역의 근사 이상 반지름을 제공하며, 이는 많은 구조 과학자들에게 유용하다. 왜냐하면 재료가 응력을 받을 때 어떻게 거동하는지에 대한 좋은 추정치를 제공하기 때문이다. 위 방정식에서 응력확대계수와 재료 인성의 지표인  및 항복 응력 는 재료와 그 특성, 그리고 소성 영역 크기에 대해 많은 것을 보여주기 때문에 중요하다. 예를 들어, 가 높으면 재료가 인성이 높다고 추론할 수 있고, 가 낮으면 재료가 더 연성이라는 것을 알 수 있다. 이 두 매개변수의 비율은 소성 영역의 반지름에 중요하다. 예를 들어, 가 작으면  대 의 제곱 비율이 커져 더 큰 소성 반지름을 초래한다. 이는 재료가 소성 변형할 수 있으므로 인성이 높다는 것을 의미한다. 이 균열 선단을 넘어선 소성 영역 크기 추정치는 균열 존재 시 재료가 어떻게 거동할지를 더 정확하게 분석하는 데 사용될 수 있다.
단일 사건 하중에 대해 위에서 설명한 것과 동일한 과정이 주기 하중에도 적용된다. 주기 하중을 받는 시편에 균열이 존재하면 시편은 균열 선단에서 소성 변형을 일으켜 균열 성장을 지연시킨다. 과부하 또는 이탈이 발생하면 이 모델은 재료가 이전에 경험한 것보다 갑작스러운 응력 증가를 수용하도록 약간 변경된다. 충분히 높은 하중(과부하)에서 균열은 균열을 포함하던 소성 영역 밖으로 성장하여 원래 소성 변형의 주머니를 남긴다. 이제 과부하 응력이 시편을 완전히 파괴할 만큼 충분히 높지 않다고 가정하면, 균열은 새로운 균열 선단 주변에서 추가적인 소성 변형을 겪어 잔류 소성 응력 영역을 확장한다. 이 과정은 새로운 소성 영역이 일반적인 응력 조건에서보다 크기 때문에 재료의 인성을 더욱 높이고 수명을 연장한다. 이를 통해 재료는 더 많은 하중 주기를 겪을 수 있다. 이 아이디어는 과부하 이벤트를 겪는 중앙 균열이 있는 알루미늄의 그래프를 통해 더욱 설명될 수 있다.
그러나 NRL 연구원들에게 문제가 발생했는데, 해군 재료, 예를 들어 선박용 강철은 완벽하게 탄성적이지 않고 균열 선단에서 상당한 소성 변형을 겪기 때문이었다. 어윈의 선형 탄성 파괴역학의 기본 가정 중 하나는 소규모 항복으로, 소성 구역의 크기가 균열 길이에 비해 작다는 조건이다. 그러나 이 가정은 구조용 강철의 특정 유형 파괴에는 상당히 제한적이며, 이러한 강철은 취성 파괴에 취약하여 여러 차례의 치명적인 사고로 이어졌다.
선형-탄성 파괴역학은 구조용 강철에 대한 실용적 사용이 제한적이며 파괴인성 테스트는 비용이 많이 들 수 있다.
파괴역학 탄성-소성 파괴역학
대부분의 공학 재료는 큰 하중을 포함하는 작동 조건에서 일부 비선형 탄성 및 비탄성 거동을 보인다. 이러한 재료에서는 선형 탄성 파괴역학의 가정이 성립하지 않을 수 있다. 즉,
따라서 탄성-소성 재료의 균열 성장을 위한 보다 일반적인 이론이 필요하며, 이는 다음을 설명할 수 있어야 한다.
역사적으로, 탄성-소성 영역에서 파괴 인성 결정을 위한 첫 번째 매개변수는 균열 선단 개구 변위(CTOD) 또는 "균열 정점에서의 개구"였다. 이 매개변수는 높은 인성으로 인해 선형 탄성 파괴역학 모델로는 특성화할 수 없었던 구조용 강철 연구 중에 웰스(Wells)가 결정했다. 그는 파괴가 발생하기 전에 균열의 벽이 벌어지고, 파괴 후 균열 선단이 소성 변형으로 인해 날카로운 상태에서 둥글게 변했다는 것을 주목했다. 또한, 뛰어난 인성을 가진 강철에서 균열 선단의 둥글어짐이 더욱 두드러졌다.
파괴역학 탄성-소성 파괴역학
CTOD에는 여러 가지 대체 정의가 있다. 가장 일반적인 두 가지 정의에서 CTOD는 원래 균열 선단에서의 변위와 90도 교차점이다. 후자의 정의는 라이스(Rice)가 제안했으며, 이러한 유한 요소 모델에서 CTOD를 추론하는 데 일반적으로 사용된다. 균열 선단이 반원으로 무뎌지면 이 두 정의는 동일하다는 점에 유의해야 한다.
대부분의 CTOD 실험실 측정은 3점 굽힘으로 하중이 가해진 가장자리 균열 시편에서 이루어졌다. 초기 실험에서는 균열에 삽입되는 평평한 패들 모양 게이지를 사용했다. 균열이 열리면 패들 게이지가 회전하고 전자 신호가 x-y 플로터로 전송되었다. 그러나 이 방법은 패들 게이지로 균열 선단에 도달하기 어려웠기 때문에 부정확했다. 오늘날에는 균열 입구에서의 변위 V가 측정되며, 시편 절반이 강체이고 힌지 점(균열 선단)을 중심으로 회전한다고 가정하여 CTOD를 추론한다.
파괴역학 탄성-소성 파괴역학
탄성-소성 파괴역학 방향의 초기 시도는 어윈의 균열 확장 저항 곡선, 균열 성장 저항 곡선 또는 R-곡선이었다. 이 곡선은 탄성-소성 재료에서 파괴 저항이 균열 크기 증가에 따라 증가한다는 사실을 인정한다. R-곡선은 균열 크기의 함수로 총 에너지 소산율을 나타내는 그래프이며, 느리고 안정적인 균열 성장 및 불안정한 파괴 과정을 조사하는 데 사용될 수 있다. 그러나 R-곡선은 1970년대 초반까지 응용 분야에서 널리 사용되지 않았다. 주된 이유는 R-곡선이 시편의 형상에 따라 달라지며 균열 구동력을 계산하기 어려울 수 있다는 점으로 보인다.
파괴역학 탄성-소성 파괴역학
1960년대 중반, 제임스 R. 라이스 (당시 브라운 대학교 재직)와 G. P. 체레파노프는 균열 선단 변형이 충분하여 부품이 더 이상 선형-탄성 근사를 따르지 않는 경우를 설명하기 위해 독립적으로 새로운 인성 측정법을 개발했다. 균열 선단 앞의 비선형 탄성 (또는 단조 변형 이론 소성) 변형을 가정하는 라이스의 분석은 J-적분으로 지정된다. 이 분석은 균열 선단에서의 소성 변형이 하중을 받는 부품의 가장자리까지 확장되지 않는 상황으로 제한된다. 또한 재료의 가정된 비선형 탄성 거동이 실제 재료의 하중 반응에 대해 형상과 크기 면에서 합리적인 근사치여야 한다. 탄성-소성 파괴 매개변수는 JIc로 지정되며, 아래 방정식을 사용하여 관습적으로 KIc로 변환된다. 또한 J-적분 접근 방식은 선형-탄성 거동에 대한 그리피스 이론으로 환원된다는 점에 유의해야 한다.
J-적분의 수학적 정의는 다음과 같다.
여기서
는 균열 정점 주위의 임의의 시계 방향 경로,
는 변형 에너지 밀도,
는 견인력 벡터의 성분,
는 변위 벡터의 성분,
는 경로 를 따라 증가하는 길이, 그리고
와 는 응력 및 변형률 텐서이다.
파괴역학 탄성-소성 파괴역학
공학자들은 KIc를 사용하여 파괴 인성을 특성화하는 데 익숙해졌기 때문에 JIc를 KIc로 환원하는 관계가 사용되어 왔다.
여기서 는 평면응력의 경우이고 는 평면변형률의 경우이다.
균열 선단 주변의 상당한 영역이 소성 변형을 겪었을 때, 균열의 추가 확장 가능성과 균열 성장 및 분기 방향을 결정하는 다른 접근 방식이 사용될 수 있다. 수치 계산에 쉽게 통합되는 간단한 기술은 1960년대 초 바렌블라트와 더그데일(Dugdale)이 독립적으로 제안한 개념에 기반한 점착 영역 모델 방법이다. 더그데일-바렌블라트 모델과 그리피스 이론 간의 관계는 1967년 윌리스에 의해 처음 논의되었다. 취성 파괴의 맥락에서 두 접근 방식의 등가성은 1968년 라이스에 의해 제시되었다.
재료가 항복 강도 와 모드 I 파괴 인성 를 가진다고 가정하자. 파괴역학에 따르면, 재료는 응력 에서 파괴된다. 소성 이론에 따르면, 재료는 일 때 항복한다. 이 곡선들은 일 때 교차한다. 이  값은 전이 결함 크기 라고 불리며, 구조물의 재료 특성에 따라 달라진다. 일 때는 파괴가 소성 항복에 의해 지배되고, 일 때는 파괴역학에 의해 지배된다. 공업용 합금의  값은 100 mm이고 세라믹의 경우 0.001 mm이다. 제조 공정이 마이크로미터 단위의 결함을 유발할 수 있다고 가정하면, 세라믹은 파괴로 인해 파괴될 가능성이 더 높은 반면, 공업용 합금은 소성 변형으로 인해 파괴될 것이다.
파괴역학 콘크리트 파괴 분석
콘크리트 파괴 분석은 콘크리트의 균열 전파 및 관련 파괴 모드를 연구하는 파괴역학의 한 부분이다. 콘크리트는 건설에 널리 사용되므로, 파괴 분석 및 보강 모드는 콘크리트 연구의 중요한 부분이며, 다양한 콘크리트는 부분적으로 파괴 특성으로 특징지어진다. 일반적인 파괴에는 인장 강도 하에서 앵커 주변에 형성되는 원뿔 모양 파괴가 포함된다.
바잔트(Bažant, 1983)는 콘크리트와 같이 균질한 특성이 특정 범위에서 무작위로 변하는 재료에 대한 균열대 모델을 제안했다. 그는 또한 일반 콘크리트에서 크기 효과가 임계 응력확대계수에 강한 영향을 미 미친다는 것을 관찰했으며, 다음 관계를 제안했다.
=  / √(1+{/}),
여기서  = 응력확대계수,  = 인장 강도,  = 시편 크기,  = 최대 골재 크기,  = 경험적 상수.
파괴역학 원자 파괴역학
원자 파괴역학(AFM)은 파괴 시 원자 규모에서 재료의 거동과 특성을 연구하는 비교적 새로운 분야이다. 이는 파괴역학의 개념을 원자 시뮬레이션과 통합하여 균열이 어떻게 시작되고 전파되며 재료의 미세구조와 상호 작용하는지 이해한다. 분자 동역학 (MD) 시뮬레이션과 같은 기술을 사용하여 AFM은 균열 형성 및 성장의 기본 메커니즘, 원자 결합의 역할, 재료 결함 및 불순물이 파괴 거동에 미치는 영향에 대한 통찰력을 제공할 수 있다.
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A.N. Gent, W.V. Mars, In: James E. Mark, Burak Erman and Mike Roland, Editor(s), Chapter 10 – Strength of Elastomers, The Science and Technology of Rubber, Fourth edition, Academic Press, Boston, 2013, pp. 473–516, ISBN 9780123945846, 10.1016/B978-0-12-394584-6.00010-8
유한 변형 이론
연속체 역학에서 유한 변형 이론(finite strain theory)은 변형 및 회전이 무한소 변형 이론에 내재된 가정을 무효화할 만큼 충분히 큰 경우를 다룬다. 이 경우 연속체의 변형 전 형상과 변형 후 형상은 상당히 다르므로 둘을 명확하게 구분해야 한다. 이것은 일반적으로 탄성체, 소성 변형 재료 및 기타 유체와 생물학적 연조직의 경우이다.
유한 변형 이론 변형 구배 텐서
변형 구배 텐서는 기준 형상과 현재 형상 모두와 관련된 양이며, 한 점 주변의 움직임을 국소적으로 표현한다.
두 가지 유형의 변형 구배 텐서가 정의될 수 있다.
재료 변형 구배 텐서 는 연속체의 운동을 설명하는 매끄럽고 가역적인 매핑 함수 의 기울기를 나타내는 2차 텐서이다.
특히, 매핑 함수 의 연속성은 변형 중에 균열이나 빈 공간이 열리거나 닫히지 않는다는 것을 의미한다.
재료 변형 구배 텐서는 위치 벡터 를 가진 재료 점에서의 국부 변형, 즉 인접 점에서의 변형을 기준 형상에서 현재 또는 변형된 형상으로 그 점으로부터 방출되는 재료 선 요소를 변환(선형 변환)하여 특징짓는다.
따라서 다음과 같다.
가 매끄러운 역함수를 가진다고 가정하면, 는 역함수 를 가지며, 이것이 공간 변형 구배 텐서이다.
가 가역적이라는 것은 과 동등하며, 이는 재료가 무한히 압축될 수 없다는 개념에 해당한다.
변형 전 형상(그림 2)에서 위치 벡터 를 가진 입자 또는 재료점 를 고려한다. 물체가 변위된 후, 새로운 형상에서 로 표시된 입자의 새로운 위치는 벡터 위치 로 주어진다. 변형 전 및 변형 후 형상의 좌표계는 편의상 겹쳐 놓을 수 있다.
유한 변형 이론 변형 구배 텐서
이제 에 인접한 재료 점 를 고려하며, 위치 벡터는 이다. 변형된 형상에서 이 입자는 위치 벡터 로 주어진 새로운 위치 를 가진다. 변형 전 및 변형 후 형상에서 입자 와 를 연결하는 선분 와 가 매우 작다고 가정하면, 이들을 와 로 표현할 수 있다. 따라서 그림 2에서 다음과 같다.
여기서 는 상대 변위 벡터이며, 변형된 형상에서 의 에 대한 상대 변위를 나타낸다.
무한소 요소 에 대해 변위장의 연속성을 가정하면, 점  주변에서 테일러 급수 전개를 사용하여 고차항을 무시하고 이웃 입자 의 상대 변위 벡터 성분을 근사할 수 있다.

따라서 이전 방정식 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
물체의 시간 의존적 변형을 포함하는 계산은 종종 변형 구배의 시간 미분을 계산해야 한다. 이러한 미분의 기하학적으로 일관된 정의는 미분기하학에 대한 탐구를 필요로 하지만 이 글에서는 이러한 문제를 피한다.
유한 변형 이론 변형 구배 텐서
의 시간 미분은 다음과 같다.

여기서 는 (재료) 속도이다. 오른쪽 항의 미분은 재료 속도 구배를 나타낸다. 미분의 연쇄 법칙을 적용하여 이를 공간 구배로 변환하는 것이 일반적이다. 즉,

여기서 는 공간 속도 구배이고, 는 에서의 공간 (오일러) 속도이다. 공간 속도 구배가 시간에 따라 일정하면, 위 방정식은 정확하게 풀 수 있으며 다음과 같다.

에서 이라고 가정한다. 위 지수를 계산하는 여러 방법이 있다.
연속체 역학에서 자주 사용되는 관련 양은 각각 다음과 같이 정의되는 변형률 텐서와 스핀 텐서이다.

변형률 텐서는 선 요소의 늘어나는 속도를 제공하고, 스핀 텐서는 운동의 회전 또는 소용돌이도 속도를 나타낸다.
유한 변형률을 포함하는 분석에서는 변형 구배의 역함수의 재료 시간 미분이 종종 필요하다 (기준 형상을 고정). 이 미분은 다음과 같다.

위 관계는 의 재료 시간 미분을 취하고 임을 확인하여 검증할 수 있다.
유한 변형 이론 변형 구배 텐서
변형 구배 는 모든 가역적인 2차 텐서와 마찬가지로 극분해 정리를 사용하여 두 개의 2차 텐서(Truesdell과 Noll, 1965)의 곱으로 분해될 수 있다. 즉, 직교 텐서와 양정치 대칭 텐서로, 다음과 같다.  여기서 텐서 은 고유 직교 텐서이며, 즉  및 이고 회전을 나타낸다. 텐서 는 우측 신장 텐서이며, 는 좌측 신장 텐서이다. 우측 및 좌측이라는 용어는 각각 회전 텐서 의 오른쪽에 있고 왼쪽에 있음을 의미한다. 와 는 모두 양정치이며, 즉 모든 0이 아닌 에 대해  및 이고, 2차의 대칭 텐서이며, 즉  및 이다.
이 분해는 변형 전 형상에서의 선 요소 가 변형된 형상에서의 로 변형되는 것, 즉 가 먼저 요소에 를 적용하여 늘리고, 즉 , 그 다음 회전 을 적용하여, 즉 를 얻거나, 또는 이와 동등하게, 먼저 강체 회전 을 적용하고, 즉 , 그 다음 늘리기 를 적용하여, 즉 를 얻을 수 있음을 의미한다 (그림 3 참조).
의 직교성으로 인해

이므로 와 는 동일한 고유값 또는 주 신장률을 가지지만, 각각 다른 고유 벡터 또는 주 방향 와 를 가진다. 주 방향들은 다음과 같이 관련된다.
유한 변형 이론 변형 구배 텐서
가 양의 행렬식을 가진 가역 행렬이므로 고유한 이 극분해는 특이값 분해의 한 결과이다.
변형된 형상에서 면적에 대해 정의된 양을 기준 형상에서의 면적에 대한 양으로 변환하고, 그 반대로 변환하기 위해 다음과 같이 표현되는 낸슨 관계를 사용한다.  여기서 는 변형된 형상에서의 영역 면적이고, 는 기준 형상에서의 동일한 면적이며, 은 현재 형상에서의 면적 요소에 대한 외부 법선이고 은 기준 형상에서의 외부 법선이다. 는 변형 구배이며, 이다.
부피 요소의 변환에 대한 해당 공식은 다음과 같다.
이 공식이 어떻게 유도되는지 알아보기 위해, 기준 및 현재 형상에서의 방향 면적 요소부터 시작한다.

요소의 기준 및 현재 부피는 다음과 같다.

여기서 이다.
따라서,

또는,

따라서,

그러므로 다음을 얻는다.

또는,

Q.E.D.
유한 변형 이론 기본 변형률 텐서
변형률 텐서는 IUPAC에 의해 다음과 같이 정의된다.
"변형 구배 텐서가 회전 텐서 다음에 또는 그 이전에 대칭 텐서로 인수분해될 때 생성되는 대칭 텐서".
순수 회전은 변형 가능한 물체에 어떤 변형률도 유발해서는 안 되므로, 연속체 역학에서는 회전과 무관한 변형 측정값을 사용하는 것이 종종 편리하다. 회전 후 역회전이 아무런 변화도 일으키지 않으므로() 변형 구배 텐서 에 그 전치 행렬을 곱함으로써 회전을 제외할 수 있다.
역학에서는 여러 회전 무관 변형 구배 텐서(또는 줄여서 "변형 텐서")가 사용된다. 고체역학에서 가장 많이 사용되는 것들은 우측 및 좌측 코시-그린 변형 텐서이다.
1839년, 조지 그린은 우측 코시-그린 변형 텐서 또는 그린 변형 텐서(IUPAC은 이 텐서를 코시 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다)로 알려진 변형 텐서를 도입했으며, 다음과 같이 정의된다.
물리적으로, 코시-그린 텐서는 변형으로 인한 거리의 국부적인 변화의 제곱을 제공한다. 즉,
유한 변형 이론 기본 변형률 텐서
의 불변량은 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 자주 사용된다. 가장 일반적으로 사용되는 불변량은 다음과 같다.

여기서 는 변형 구배 의 행렬식이며 는 우측 (기준) 신장 텐서의 고유 벡터 방향을 따라 초기 정렬된 단위 섬유에 대한 신장률이다 (이들은 일반적으로 좌표계의 세 축과 정렬되지 않는다).
IUPAC은 우측 코시-그린 변형 텐서(해당 문서에서는 코시 변형률 텐서라고 함)의 역함수, 즉 를 핑거 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다. 그러나 이 명칭은 응용 역학에서 보편적으로 받아들여지지 않는다.
우측 코시-그린 변형 텐서 공식에서 곱셈 순서를 바꾸면 좌측 코시-그린 변형 텐서가 되며, 다음과 같이 정의된다.
좌측 코시-그린 변형 텐서는 종종 요제프 핑거 (1894)의 이름을 따서 핑거 변형 텐서라고 불린다.
IUPAC은 이 텐서를 그린 변형률 텐서라고 부를 것을 권장한다.
의 불변량 또한 변형 에너지 밀도 함수의 표현식에서 사용된다. 일반적인 불변량은 다음과 같이 정의된다.

여기서 는 변형 구배의 행렬식이다.
압축성 재료의 경우, 약간 다른 불변량 집합이 사용된다.
유한 변형 이론 기본 변형률 텐서
앞서 1828년,오귀스탱 루이 코시는 좌측 코시-그린 변형 텐서 의 역으로 정의되는 변형 텐서를 도입했다. 이 텐서는 또한 IUPAC에 의해 피올라 변형률 텐서로, 유변학 및 유체동역학 문헌에서는 핑거 텐서로 불렸다.
세 개의 구별되는 주 신장률 가 있다면, 와 의 스펙트럼 분해는 다음과 같다.
또한,
다음 사항에 유의하자.

그러므로 스펙트럼 분해의 고유성은 또한 를 의미한다. 좌측 신장()은 공간 신장 텐서라고도 불리며, 우측 신장()은 재료 신장 텐서라고 불린다.
가 에 작용하는 효과는 벡터를 만큼 늘리고 새로운 방향 로 회전시키는 것이다. 즉,

유사하게,
비압축성 재료의 단축 인장
이것은 표본이 1방향으로 의 신장률로 늘려지는 경우이다. 부피가 일정하게 유지되면, 다른 두 방향의 수축은  또는 가 된다. 그러면:
단순 전단
강체 회전
우측 코시-그린 변형 텐서에 대한 신장의 미분은 많은 고체, 특히 초탄성 재료의 응력-변형률 관계를 유도하는 데 사용된다. 이 미분은 다음과 같다.

그리고 다음 관찰에서 비롯된다.
를 변형 전 물체에 정의된 직교 좌표계라고 하고, 를 변형된 물체에 정의된 다른 시스템이라고 하자. 변형 전 물체 내의 곡선 가 를 사용하여 매개변수화되었다고 하자. 변형된 물체 내의 그 이미지는 이다.
곡선의 변형 전 길이는 다음과 같다.

변형 후 길이는 다음과 같다.

우측 코시-그린 변형 텐서는 다음과 같이 정의된다는 점에 유의한다.

따라서,

이는 길이 변화가 에 의해 특징지어진다는 것을 나타낸다.
유한 변형 이론 유한 변형률 텐서
변형률의 개념은 주어진 변위가 강체 변위와 국소적으로 얼마나 다른지를 평가하는 데 사용된다. 큰 변형에 대한 이러한 변형률 중 하나는 라그랑주 유한 변형률 텐서이며, 그린-라그랑주 변형률 텐서 또는 그린-생브낭 변형률 텐서라고도 불리며 다음과 같이 정의된다.
또는 변위 구배 텐서의 함수로

또는
그린-라그랑주 변형률 텐서는 가 와 얼마나 다른지를 측정한다.
변형된 형상에 참조된 (즉, 오일러 설명) 오일러 유한 변형률 텐서 또는 오일러-알만시 유한 변형률 텐서는 다음과 같이 정의된다.
또는 변위 구배의 함수로 다음과 같다.
인도 공과대학교 카라그푸르의 B. R. 세스는 그린과 알만시 변형률 텐서가 보다 일반적인 변형률 측정의 특수한 경우임을 처음으로 보였다. 이 아이디어는 1968년 로드니 힐에 의해 더 확장되었다. 세스-힐 변형률 측정값 (도일-에릭센 텐서라고도 함)은 다음과 같이 표현될 수 있다.
의 다른 값에 대해 다음을 얻는다.
유한 변형 이론 유한 변형률 텐서
이러한 텐서의 2차 근사는 다음과 같다.

여기서 는 무한소 변형률 텐서이다.
텐서에 대한 다른 많은 정의가 허용될 수 있으며, 다음 조건들을 모두 만족해야 한다.
한 예는 다음 텐서 집합이다.

이들은 세스-힐 클래스에 속하지 않지만, 에서 어떤  값에 대해서도 세스-힐 측정값과 동일한 2차 근사를 가진다.
라그랑주 유한 변형률 텐서의 대각선 성분 은 법선 변형률과 관련된다. 예를 들어,
여기서 는  방향의 법선 변형률 또는 공학적 변형률이다.
라그랑주 유한 변형률 텐서의 비대각선 성분 은 전단 변형률과 관련된다. 예를 들어,
여기서 는 원래  및  방향으로 각각 수직이었던 두 선 요소 사이의 각도 변화이다.
특정 상황, 즉 작은 변위와 작은 변위율에서 라그랑주 유한 변형률 텐서의 성분은 무한소 변형률 텐서의 성분으로 근사될 수 있다.
변형 전 형상에서 재료점 의 단위 벡터  방향의 미분 요소 (그림)에 대한 신장률은 다음과 같이 정의된다.
유한 변형 이론 유한 변형률 텐서
여기서 는 미분 요소 의 변형된 크기이다.
마찬가지로, 변형된 형상에서 재료점 의 단위 벡터  방향의 미분 요소 (그림)에 대한 신장률은 다음과 같이 정의된다.
신장률의 제곱은 다음과 같이 정의된다.
다음 사실을 알면,

다음과 같다.

여기서 와 은 단위 벡터이다.
어떤 방향 에서의 법선 변형률 또는 공학적 변형률 은 신장률의 함수로 표현될 수 있다.
따라서 재료점 의  방향에서의 법선 변형률은 신장률의 함수로 다음과 같이 표현될 수 있다.
에 대해 풀면 다음과 같다.
원래 수직이었고 각각 주 방향  및 로 향한 두 선 요소  및  사이의 전단 변형률 또는 각도 변화도 신장률의 함수로 표현될 수 있다. 변형된 선 과  사이의 스칼라곱에서 다음을 얻는다.
여기서 는 변형된 형상에서 선 과  사이의 각도이다. 를 원래 수직이었던 두 선 요소 사이의 전단 변형률 또는 각도 감소로 정의하면 다음과 같다.
따라서,

그러면
또는
유한 변형 이론 적합성 조건
연속체 역학에서 적합성 문제는 물체에 허용되는 단일 값 연속 필드를 결정하는 것을 포함한다. 이러한 허용 조건은 변형 후 물체에 비물리적인 간극이나 겹침이 발생하지 않도록 한다. 대부분의 이러한 조건은 단일 연결된 물체에 적용된다. 다중 연결된 물체의 내부 경계에는 추가 조건이 필요하다.
단일 연결된 물체에 대한 적합한  필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
단일 연결된 물체에 대한 적합한  필드의 존재를 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

이들이 리만-크리스토펠 곡률 텐서의 혼합 성분임을 보일 수 있다. 따라서 -적합성을 위한 필요 조건은 변형의 리만-크리스토펠 곡률이 0이어야 한다는 것이다.
3차원 좌측 코시-그린 변형 텐서에 대한 일반적인 충분 조건은 아미트 아차랴가 유도했다. 2차원  필드에 대한 적합성 조건은 재닛 블루메가 발견했다.
혼합
산업 공정공학에서 혼합(mixing)은 이질적인 물리적 시스템을 더욱 균일하게 만들려는 목적으로 조작하는 단위 조작이다. 흔한 예로는 수영장의 물을 펌핑하여 수온을 균일하게 만들거나, 팬케이크 반죽을 휘저어 덩어리를 없애는 것(탈응집)이 있다.
혼합은 하나 이상의 흐름, 구성 요소 또는 상(phase) 사이에서 열 또는 물질, 또는 둘 다의 전달이 이루어지도록 하기 위해 수행된다. 현대 산업 공정은 거의 항상 어떤 형태의 혼합을 포함한다. 일부 종류의 화학 반응기도 믹서이다.
올바른 장비를 사용하면 고체, 액체 또는 기체를 다른 고체, 액체 또는 기체에 혼합할 수 있다. 바이오 연료 발효기는 최적의 수율을 위해 미생물, 기체 및 액체 배지 혼합을 필요로 할 수 있다. 유기 나이트로화 반응은 농축된 (액체) 질산과 황산을 소수성 유기상과 혼합해야 한다. 제약 정제 생산은 고체 분말의 혼합을 필요로 한다.
혼합의 반대는 분리이다. 분리의 고전적인 예는 브라질 너트 효과이다.
혼합의 수학은 고도로 추상적이며, 혼돈 이론의 일부인 에르고딕 이론의 일부이다.
혼합 혼합 분류
혼합 과정에서 사용되는 조작 및 장비의 종류는 혼합되는 재료의 상태(액체, 반고체 또는 고체)와 처리되는 재료의 혼합성에 따라 달라진다. 이 맥락에서 혼합 행위는 휘젓기 또는 반죽하기 과정과 동의어일 수 있다.
혼합 액체-액체 혼합
액체의 혼합은 공정 공학에서 자주 발생한다. 혼합할 액체의 특성은 사용되는 장비를 결정한다. 단일 상 혼합은 액체 혼입을 유발하기 위해 낮은 전단력, 높은 유량의 믹서를 사용하는 경향이 있는 반면, 다상 혼합은 일반적으로 흐름의 레이놀즈 수에 따라 층류, 난류 또는 전이 흐름 체제에서 한 액체의 방울을 생성하기 위해 높은 전단력, 낮은 유량 믹서를 사용해야 한다. 난류 또는 전이 혼합은 터빈 또는 임펠러로 자주 수행된다. 층류 혼합은 나선형 리본 또는 앵커 믹서로 수행된다.
섞이는 액체 또는 적어도 서로 용해되는 액체의 혼합은 공학 (및 일상 생활)에서 자주 발생한다. 일상적인 예로는 차나 커피에 우유나 크림을 첨가하는 것이 있다. 두 액체 모두 물을 기반으로 하므로 서로 쉽게 용해된다. 첨가되는 액체의 운동량은 두 액체의 점성도가 비교적 낮기 때문에 두 액체를 혼합하기에 충분한 난류를 유발하는 경우가 있다. 필요한 경우 숟가락이나 주걱을 사용하여 혼합 과정을 완료할 수 있다. 벌꿀과 같은 더 점성이 있는 액체에서 혼합하려면 동일한 시간에 동일한 균일성을 달성하기 위해 단위 부피당 더 많은 혼합 일률이 필요하다.