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비티 수열
수학에서 비티 수열(Beatty sequence) 또는 동차 비티 수열(homogeneous Beatty sequence)은 1보다 큰 무리수의 양의 배수의 바닥 함수를 취하여 얻어지는 정수의 수열이다. 비티 수열은 1926년에 이 수열에 대해 저술한 새뮤얼 비티의 이름을 따서 명명되었다.
레일리 경의 이름을 딴 레일리 정리는 비티 수열에 속하지 않는 양의 정수로 구성된 비티 수열의 여집합이 다른 무리수에 의해 생성되는 비티 수열 자체임을 명시한다.
비티 수열은 슈투름 단어를 생성하는 데도 사용될 수 있다.
비티 수열 정의
1보다 큰 모든 무리수 은 다음 비티 수열을 생성한다.

두 무리수 과 은 자연스럽게  방정식을 만족한다.
이들이 생성하는 두 비티 수열 과 는 상호 보완적인 비티 수열 쌍을 이룬다. 여기서 "상호 보완적"이란 모든 양의 정수가 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다는 의미이다.
비티 수열 예시
이 황금비 일 때, 의 정수 배수 수열은 대략 다음과 같은 값을 갖는다.
이 숫자들을 정수로 내림하면 다음 수열 이 얻어지며, 이는 하위 위토프 수열로 알려져 있다.
이 경우, 상호 보완적인 비티 수열은 다음으로부터 생성된다.

그 정수 배수는 대략 다음과 같은 값을 갖는다.
이 값들을 정수로 내림하면  상위 위토프 수열이 생성된다.
모든 양의 정수는 이 두 수열 중 정확히 하나에 속한다. 이 수열들은 위토프의 게임에 대한 최적 전략을 정의하며, 위토프 배열의 정의에 사용된다.
또 다른 예로, 제곱근 2에 대해  이고 이다. 이 경우 수열은 다음과 같다.
및  의 경우 수열은 다음과 같다.
첫 번째 수열의 어떤 숫자도 두 번째 수열에는 없고 그 반대도 마찬가지다.
비티 수열 역사
비티 수열은 1926년 새뮤얼 비티가 The American Mathematical Monthly에 제기한 문제에서 이름을 얻었다. 하지만 그보다 훨씬 이전인 1894년, 레일리 경이 그의 저서 "소리의 이론" 2판에서 이러한 수열을 간략하게 언급했다.
비티 수열 레일리 정리
레일리 정리(또는 비티 정리)는 무리수 이 주어지면, 양의 정수 집합을 분할하는 이 존재하여 비티 수열 과 가 모든 양의 정수가 두 수열 중 정확히 하나에 속하게 됨을 명시한다.
이 주어졌을 때, 라고 하자. 우리는 모든 양의 정수가 두 수열 과  중 하나에만 속함을 보여야 한다. 우리는 양의 정수 j와 k에 대해 모든 분수 과 가 비내림차순으로 함께 나열될 때 차지하는 순서 위치를 고려하여 이를 수행할 것이다.
두 숫자 중 어떤 두 개도 같은 위치를 차지할 수 없음을 (단일 숫자로서) 확인하기 위해, 어떤 j와 k에 대해 라고 가정하자. 그러면  = 는 유리수가 되지만, 은 유리수가 아니다. 따라서 어떤 두 숫자도 같은 위치를 차지하지 않는다.
어떤 에 대해, 인 양의 정수 가 개 있고, 인 양의 정수 가 개 있으므로, 목록에서 의 위치는 이다.  방정식은 다음을 의미한다.
마찬가지로, 목록에서 의 위치는 이다.
결론: 모든 양의 정수(즉, 목록의 모든 위치)는  또는 의 형태이지만, 둘 다는 아니다. 역 진술도 참이다: p와 q가 모든 양의 정수가 위 목록에 정확히 한 번 나타나도록 하는 두 실수라면, p와 q는 무리수이고 그 역수의 합은 1이다.
비티 수열 레일리 정리
충돌: 정리와 반대로, j > 0과 k, m과 같은 정수가 있다고 가정하자.

이는 다음 부등식과 동등하다.
0이 아닌 j에 대해, r과 s의 무리성은 등식과 양립할 수 없으므로,

이는 다음으로 이어진다.
이들을 모두 더하고 가설을 사용하면 다음을 얻는다.

이는 불가능하다 (두 인접한 정수 사이에 정수가 있을 수 없다). 따라서 가설은 거짓이어야 한다.
비충돌: 정리와 반대로, j > 0과 k, m과 같은 정수가 있다고 가정하자.
j + 1이 0이 아니고 r과 s는 무리수이므로, 등식은 제외할 수 있으므로,
그러면 다음을 얻는다.
해당하는 부등식을 더하면 다음을 얻는다.
이 또한 불가능하다. 따라서 가설은 거짓이다.
비티 수열 특성
숫자 이 비티 수열 에 속하는 것은 다음 조건이 성립할 때만이다.

여기서 는 의 소수 부분을 나타낸다. 즉, 이다.
증명:
더 나아가, 이다.
증명:
무리수 과 관련된 비티 수열의 첫 번째 차분

는 알파벳 에 대한 특성 슈투름 단어이다.
비티 수열 일반화
약간 수정하면 레일리 정리는 양의 실수(반드시 무리수일 필요는 없음)와 음의 정수로도 일반화될 수 있다. 양의 실수 과 가 을 만족하면, 수열 과 은 정수의 분할을 이룬다. 예를 들어, 피아노 건반의 흰색 건반과 검은색 건반은 과 에 대한 그러한 수열로 분포된다.
람베크–모저 정리는 레일리 정리를 일반화하며 정수 함수와 그 역함수로부터 정의된 더 일반적인 수열 쌍이 정수를 분할하는 동일한 특성을 가짐을 보여준다.
우스펜스키 정리는 이 에 모든 양의 정수가 정확히 한 번씩 포함되는 양의 실수라면 임을 명시한다. 즉, 세 개 이상의 비티 수열에 대한 레일리 정리와 동등한 것은 없다.
비티 수열 더 읽을거리
Stolarsky, Kenneth (1976). 《Beatty sequences, continued fractions, and certain shift operators》. 《Canadian Mathematical Bulletin》 19. 473–482쪽. doi:10.4153/CMB-1976-071-6. MR 0444558.  많은 참고 자료를 포함한다.
웨더번-아르틴 정리
대수학에서 웨더번-아르틴 정리(Wedderburn–Artin theorem)는 반단순환과 반단순 대수의 분류 정리이다. 이 정리는 (아르틴) 반단순환 R은 나눗셈환 Di에 대한 유한개의 ni-by-ni 행렬환의 곱과 동형임을 나타내며, 여기서 정수 ni와 나눗셈환 Di는 인덱스 i의 순열을 제외하고 유일하게 결정된다. 특히, 모든 단순환 좌 또는 우 아르틴 환은 나눗셈환 D에 대한 n-by-n 행렬환과 동형이며, 여기서 n과 D는 모두 유일하게 결정된다.
웨더번-아르틴 정리 정리
R을 (아르틴) 반단순환이라고 하자. 그러면 웨더번-아르틴 정리는 R이 나눗셈환 Di에 대한 유한개의 ni-by-ni 행렬환 의 곱과 동형임을 나타내며, 여기서 정수 ni와 나눗셈환 Di는 인덱스 i의 순열을 제외하고 유일하게 결정된다.
체 k에 대한 대수를 위한 웨더번-아르틴 정리 버전도 있다. R이 유한 차원 반단순 k-대수라면, 위의 진술에서 각 Di는 k에 대한 유한 차원 나눗셈 대수이다. 각 Di의 중심이 k일 필요는 없으며, k의 유한 확대일 수 있다.
R이 나눗셈환 E에 대한 유한 차원 단순 대수인 경우, D가 E에 포함될 필요는 없다는 점에 유의한다. 예를 들어, 복소수에 대한 행렬환은 실수에 대한 유한 차원 단순 대수이다.
웨더번-아르틴 정리 증명
웨더번-아르틴 정리에는 다양한 증명이 있다. 일반적인 현대적 접근 방식은 다음과 같다.
환 이 반단순환이라고 가정하자. 그러면 오른쪽 -가군 은 유한개의 단순 가군의 직합(이는 의 최소 오른쪽 아이디얼과 동일하다)과 동형이다. 이 직합을 다음과 같이 쓰자.
여기서 는 서로 동형이 아닌 단순 오른쪽 -가군이며, i번째는 중복도 로 나타난다. 이는 자기 사상환의 동형을 제공한다.
그리고 우리는 를 행렬환과 동일시할 수 있다.
여기서 의 자기 사상환 는 가 단순하므로 슈어 보조정리에 의해 나눗셈환이다. 이므로 다음과 같이 결론을 내린다.
여기서 우리는 오른쪽 가군을 사용했는데, 이는 이기 때문이다. 만약 왼쪽 가군을 사용했다면 은 의 반대환과 동형이었겠지만, 증명은 여전히 통과되었을 것이다. 더 넓은 맥락에서 이 증명을 보려면 가군의 분해를 참조하라. 중요한 특수 사례의 증명은 단순 아르틴 환을 참조하라.
웨더번-아르틴 정리 결과
체에 대한 유한 차원 대수는 아르틴이므로, 웨더번-아르틴 정리는 체에 대한 모든 유한 차원 단순 대수가 에 대한 유한 차원 나눗셈 대수 D에 대한 n-by-n 행렬환과 동형임을 의미하며, 여기서 n과 D는 모두 유일하게 결정된다. 이는 조지프 웨더번이 보였다. 에밀 아르틴은 나중에 이 결과를 단순 좌 또는 우 아르틴 환의 경우로 일반화했다.
대수적으로 닫힌 체에 대한 유일한 유한 차원 나눗셈 대수는 체 자체이므로, 웨더번-아르틴 정리는 이 경우에 강력한 결과를 가져온다. R을 대수적으로 닫힌 체 에 대한 유한 차원 대수인 반단순환이라고 하자. 그러면 R은 유한 곱 이며, 여기서 는 양의 정수이고 는 에 대한  행렬의 대수이다.
또한, 웨더번-아르틴 정리는 체 에 대한 유한 차원 중심 단순 대수를 분류하는 문제를 에 대한 유한 차원 중심 나눗셈 대수, 즉 중심이 인 에 대한 나눗셈 대수를 분류하는 문제로 축소시킨다. 이는 에 대한 모든 유한 차원 중심 단순 대수가 행렬 대수 와 동형임을 의미한다.
여기서 는 에 대한 유한 차원 중심 나눗셈 대수이다.
보어-몰레루프 정리
수학적 해석학에서 보어-몰레루프 정리(Bohr–Mollerup theorem)는 덴마크 수학자 하랄 보어와 요하네스 몰레루프가 증명한 정리이다. 이 정리는 x > 0에 대해 정의된 감마 함수를 다음과 같이 특성한다.
구간 x > 0에서 다음 세 가지 속성을 동시에 갖는 유일한 양의 함수  f 이다.
이 정리의 설명은 아르틴의 저서 "감마 함수"에 있으며, 이는 아르틴 저작물 모음집으로 AMS에서 재출판되었다.
이 정리는 이미 증명되었다고 보어와 몰레루프가 생각했기 때문에 복소해석학 교과서에 처음 출판되었다.
이 정리는 다양한 함수(어떤 차수의 볼록성 또는 오목성을 갖는 함수)에 대한 광범위한 일반화를 허용한다.
보어-몰레루프 정리 정리
보어-몰레루프 정리.     Γ(x)는 log( f (x))가 볼록하고  f (1) = 1인  f (x + 1) = x f (x)를 만족하는 유일한 함수이다.
보어-몰레루프 정리 증명
Γ(x)가 위에서 설정된 가정된 속성들, 즉 Γ(x + 1) = xΓ(x)와 log(Γ(x))가 볼록하고 Γ(1) = 1을 갖는 함수라고 하자. Γ(x + 1) = xΓ(x)로부터 다음을 설정할 수 있다.
Γ(1) = 1이라는 조건은 Γ(x + 1) = xΓ(x) 속성이 정수의 계승을 복제하게 만들므로, n ∈ N이고 Γ(x)가 존재한다면 Γ(n) = (n − 1)!이라고 결론 내릴 수 있다. Γ(x + n)에 대한 우리의 관계 때문에, 만약 0 < x ≤ 1에 대해 Γ(x)를 완전히 이해할 수 있다면, 우리는 x의 모든 값에 대해 Γ(x)를 이해하는 것이다.
x1, x2에 대해, 점 (x1, log(Γ (x1)))과 (x2, log(Γ (x2)))를 연결하는 선분의 기울기 S(x1, x2)는 log(Γ(x))가 볼록하다고 가정했으므로 x1 < x2인 각 인수에 대해 단조롭게 증가한다. 따라서 다음을 안다.
보어-몰레루프 정리 증명
로그의 여러 속성을 사용하여 단순화한 다음 (지수 함수가 단조롭게 증가하므로 부등식을 유지한다) 지수화하면 다음을 얻는다.
이전 작업에서 이것은 다음과 같이 확장된다.
따라서
마지막 줄은 강력한 진술이다. 특히, 이는 n의 모든 값에 대해 참이다. 즉, n의 어떤 선택에 대해서도 Γ(x)는 우변보다 크지 않으며, 마찬가지로 n의 다른 어떤 선택에 대해서도 Γ(x)는 좌변보다 작지 않다. 각 단일 부등식은 독립적으로 존재하며 독립적인 진술로 해석될 수 있다. 이 사실 때문에, 우리는 RHS와 LHS에 대해 서로 다른 n 값을 자유롭게 선택할 수 있다. 특히, RHS에 n을 유지하고 LHS에 n + 1을 선택하면 다음을 얻는다.
이 마지막 줄에서 함수가 두 표현식 사이에 끼워져 있다는 것이 분명하며, 이는 극한의 존재나 수렴과 같은 다양한 것들을 증명하는 일반적인 분석 기법이다. n → ∞이라고 하자.
이므로 마지막 부등식의 왼쪽은 극한에서 오른쪽과 같아지며,
보어-몰레루프 정리 증명
는 그 사이에 끼워져 있다. 이것은 다음을 의미할 수밖에 없다.
이 증명에서 이것은 다음을 의미한다.
는 Γ(x)에 속하는 세 가지 특정 속성을 갖는다. 또한, 증명은 특성 속성이 참일 경우 유효해야 하는 Γ(x)에 대한 특정 표현을 제공한다. 따라서, 에서 Γ(x)에 할당된 모든 속성을 갖는 다른 함수는 없다.
남아있는 느슨한 끝은 다음인 모든 x에 대해 Γ(x)가 의미가 있다는 것을 증명하는 질문이다.
가 존재한다. 문제는 우리의 첫 번째 이중 부등식
가 0 < x ≤ 1이라는 제약으로 구성되었다는 것이다. 예를 들어, x > 1이라면 S가 단조롭게 증가한다는 사실은 S(n + 1, n) < S(n + x, n)을 만들 것이고, 이는 전체 증명이 구성된 부등식과 모순된다. 그러나,
이는 극한이 정의된 모든 x 값으로 Γ(x)를 부트스트랩하는 방법을 보여준다.
이계 도함수의 대칭성
수학에서 이계 도함수의 대칭성(symmetry of second derivatives) 또는 혼합 편도함수의 등식(equality of mixed partials)은 다변수 함수의 편미분 순서를 바꾸어도
일부 연속성 조건이 충족되면 결과가 변경되지 않는다는 사실이다(아래 참조). 즉, 이계 편도함수는 다음 항등식을 만족한다.
다른 말로 하면, 헤세 행렬로 알려진 이계 편도함수 행렬은 대칭행렬이다.
대칭성이 성립하기 위한 충분 조건은 슈바르츠 정리(클레로 정리 또는 영 정리라고도 함)에 의해 주어진다.
편미분 방정식의 맥락에서는 슈바르츠 적분 가능성 조건이라고 부른다.
이계 도함수의 대칭성 대칭성의 형식적 표현
기호로 대칭성은 다음과 같이 표현될 수 있다.
다른 표기법은 다음과 같다.
xi에 대한 편도함수를 취하는 미분 연산자 Di의 합성으로 표현하면 다음과 같다.
.
이 관계로부터 Di로 생성되는 환의 상수 계수 미분 연산자가 가환이라는 결론이 나온다. 그러나 이것은 충분히 미분 가능한 함수의 정의역에 대한 연산자로서만 사실이다. 단항식에 적용되는 대칭성을 확인하는 것은 쉽다. 따라서 xi에서 다항식을 정의역으로 취할 수 있다. 실제로 매끄러운 함수는 또 다른 유효한 정의역이다.
이계 도함수의 대칭성 역사
특정 조건에서 혼합 편도함수의 등식에 대한 결과는 오랜 역사를 가지고 있다. 실패한 제안된 증명 목록은 1740년에 발표된 오일러의 증명으로 시작되었지만, 이미 1721년에 베르누이는 형식적인 정당화 없이 이 결과를 암묵적으로 가정했다. 클레로 또한 1740년에 제안된 증명을 발표했으며, 18세기 말까지 다른 시도는 없었다. 그 이후 70년 동안 여러 불완전한 증명이 제안되었다. 라그랑주의 증명(1797)은 코시에 의해 개선되었지만(1823), 편도함수 와 의 존재와 연속성을 가정했다. P. 블랑셰(1841), 뒤아멜(1856), 스튀름(1857), 슐뢰밀히(1862), 베르트랑(1864)도 다른 시도를 했다. 마침내 1867년 린델뢰프는 이전의 모든 결함 있는 증명을 체계적으로 분석하여 혼합 도함수가 같지 않은 특정 반례를 제시할 수 있었다.
이계 도함수의 대칭성 역사
그로부터 6년 후, 슈바르츠는 최초의 엄밀한 증명을 성공적으로 제시했다. 디니는 나중에 슈바르츠의 조건보다 더 일반적인 조건을 찾아 기여했다. 결국 1883년 조르당에 의해 대부분의 교과서에서 여전히 발견되는 깨끗하고 더 일반적인 버전이 발견되었다. 이전 증명의 작은 변형은 로랑(1885), 페아노(1889 및 1893), J. 에드워즈(1892), P. 하그(1893), J. K. 휘트모어(1898), 비반티(1899), 피어폰트(1905)에 의해 발표되었다. 1907-1909년에 E. W. 홉슨과 W. H. 영이 슈바르츠와 디니의 조건보다 더 약한 조건으로 증명을 찾아 추가적인 진전이 있었다. 1918년 카라테오도리는 르베그 적분을 기반으로 하는 다른 증명을 제시했다.
이계 도함수의 대칭성 슈바르츠 정리
수학적 해석에서 슈바르츠 정리 (또는 혼합 편도함수의 등식에 대한 클레로 정리)는 알렉시 클로드 클레로와 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 따서 명명되었으며, 집합 에서 정의된 함수 에 대해 이 의 근방이 에 포함되고 가 의 그 근방에서 연속 이계 편미분을 가지면, 의 모든 i와 j에 대해 다음이 성립한다.
이 함수의 편도함수는 해당 지점에서 교환된다.
이계 편도함수가 점 에서만 미분 가능해야 하는 이 정리의 버전이 존재한다.
이 정리(일반적으로 , , 인 경우)를 증명하는 한 가지 쉬운 방법은 의 기울기에 그린 정리를 적용하는 것이다.
평면의 열린 부분집합에 대한 함수의 초등 증명은 다음과 같다(간단한 환원을 통해 슈바르츠 정리의 일반적인 경우는 쉽게 평면의 경우로 환원된다). 점 를 포함하는 열린 직사각형 에서 미분 가능 함수 가 있다고 하자. 그리고 가  위에서 연속인 와 를 가진다고 가정하자.
이 함수들은 에 대해 정의된다. 여기서 이고 는 에 포함된다.
평균값 정리에 의해, 고정된 h와 k가 0이 아닐 때, 는 열린 구간 에서 다음을 만족한다.
이계 도함수의 대칭성 슈바르츠 정리
이므로, 아래 첫 번째 등식은 로 나눌 수 있다.
마지막 등식에서 를 0으로 보내면 와 에 대한 연속성 가정에 따라 다음이 성립한다.
이 설명은 버킬, 아포스톨, 루딘 등 많은 교과서에서 찾아볼 수 있는 간단한 고전적인 방법이다.
위의 유도는 기초적이지만, 이 접근 방식은 더 개념적인 관점에서 볼 수도 있어 결과가 더욱 분명해진다. 실제로 차분 연산자 는 교환 가능하고 는 가 0으로 갈 때 로 수렴하며, 2차 연산자에 대해서도 유사한 설명이 있다. 여기서 평면의 벡터 와 방향 벡터  또는 인 에 대해 차분 연산자는 다음과 같이 정의된다.
열린 구간 에서 인  함수 에 대한 미적분학의 기본 정리에 의해
따라서
.
이것은 평균값 정리의 일반화된 버전이다. 실수 값 함수의 극대 또는 극소에 대한 초등 논의는 가 에서 연속이고 에서 미분 가능하면 에 다음을 만족하는 점 가 존재한다는 것을 의미한다.
유한 차원 유클리드 공간 를 갖는 벡터 값 함수에서는 위 등식의 아날로그가 존재하지 않으며, 실제로 실패한다. 그러나 이므로 위 부등식은 유용한 대체물이다. 또한 의 이중 공간을 이중 노름과 짝지으면 다음 부등식이 나온다.
이계 도함수의 대칭성 슈바르츠 정리
.
이러한 평균값 정리의 버전은 루딘, 회르만데르 등에서 논의된다.
평면의 열린집합에서  함수 에 대해  및 를 정의한다. 또한 에 대해 다음을 설정한다.
.
그러면 열린집합의 에 대해 일반화된 평균값 정리를 두 번 적용할 수 있다.
따라서 는 가 0으로 갈 때 로 수렴한다. 같은 논증은 가 로 수렴한다는 것을 보여준다. 따라서 차분 연산자는 교환하므로, 주장된 대로 편미분 연산자 과 도 교환한다.
비고. 고전적인 평균값 정리의 두 가지 응용에 의해,
에 있는 일부 와 에 대해. 따라서 첫 번째 초등 증명은 차분 연산자를 사용하여 재해석될 수 있다. 반대로, 두 번째 증명에서 일반화된 평균값 정리 대신 고전적인 평균값 정리를 사용할 수 있다.
이계 도함수의 대칭성 반복 적분을 이용한 클레로 정리 증명
콤팩트 직사각형 [a,b] × [c,d]에서 연속 함수 F의 반복 리만 적분 속성은 쉽게 확립된다. F의 균등 연속성은 함수 와 가 연속임을 즉시 의미한다. 다음이 성립한다.
;
더욱이, F가 양수이면 반복 적분도 양수임이 즉시 분명하다. 위의 등식은 측도론을 포함하지 않는 푸비니 정리의 간단한 경우이다. Titchmarsh (1939)는 직사각형을 더 작은 직사각형으로 세분하는 것에 해당하는 리만 근사 합을 사용하여 이를 직접적으로 증명한다.
클레로 정리를 증명하기 위해, 열린집합 U에서 미분 가능 함수 f가 주어지고, 혼합 이계 편도함수 fyx와 fxy가 존재하고 연속이라고 가정하자. 미적분학의 기본 정리를 두 번 사용하면,
이계 도함수의 대칭성 반복 적분을 이용한 클레로 정리 증명
마찬가지로,
따라서 두 반복 적분은 같다. 다른 한편으로, fxy(x,y)가 연속이므로, 두 번째 반복 적분은 먼저 x에 대해 적분한 다음 y에 대해 적분하여 수행할 수 있다. 그러나 이 경우 [a,b] × [c,d]에서 fyx − fxy의 반복 적분은 사라져야 한다. 그러나 연속 함수 F의 반복 적분이 모든 직사각형에 대해 사라지면 F는 항등적으로 0이어야 한다. 그렇지 않으면 F 또는 −F가 어떤 점에서 엄격하게 양수이고 따라서 연속성에 의해 직사각형 위에서도 양수여야 하는데, 이는 불가능하다. 따라서 fyx − fxy는 항등적으로 0이어야 하므로, 어디에서나 fyx = fxy가 성립한다.
이계 도함수의 대칭성 이계 미분 가능성의 충분 조건
두 번째 편도함수의 연속성(이것은 후자에 의해 암시된다)보다 대칭성을 보장하기에 충분한 약한 조건은 모든 편도함수 자체가 미분 가능하다는 것이다. 치환된 혼합 편도함수의 존재가 주장되는 정리의 또 다른 강화는 1890년 마테시스에 대한 짧은 노트에서 페아노가 제공했다.
만약 이 열린집합 에 정의되고, 와 가 의 모든 곳에서 존재하며, 가 에서 연속이고, 가 의 근방에서 존재한다면, 는 에서 존재하고 이다.
이계 도함수의 대칭성 분포 이론 공식화
분포론 (일반화된 함수)은 대칭성과 관련된 해석적 문제를 해결한다. 적분 가능 함수의 도함수는 항상 분포로 정의될 수 있으며, 혼합 편도함수의 대칭성은 항상 분포의 등식으로 성립한다. 분포의 미분을 정의하기 위해 형식적인 부분 적분을 사용하면 대칭성 문제는 시험 함수로 돌아간다. 시험 함수는 매끄럽고 이 대칭성을 확실히 만족한다. 더 자세히 말하면 (여기서 f는 시험 함수에 대한 연산자로 작성된 분포이고 φ는 시험 함수),
함수의 푸리에 변환을 정의하는 또 다른 접근 방식은 이러한 변환에서 편미분이 훨씬 더 분명하게 교환하는 곱셈 연산자가 된다는 점에 주목하는 것이다.
이계 도함수의 대칭성 연속성 요구 사항
클레로 정리가 만족되지 않으면(이계 편도함수가 연속이 아님) 함수가 미분 가능한 편도함수를 갖지 못하여 대칭성이 깨질 수 있다.
비대칭의 예는 (페아노에 의한) 다음 함수이다.
이것은 극좌표 형식 로 시각화될 수 있다. 이 함수는 모든 곳에서 연속이지만, (0, 0)에서의 도함수는 대수적으로 계산할 수 없다. 오히려 차분 몫의 극한을 보면 임을 알 수 있다. 따라서 그래프 는 (0, 0)에서 수평 접평면을 가지며, 편도함수 는 존재하고 모든 곳에서 연속이다. 그러나 이계 편도함수는 (0, 0)에서 연속이 아니며 대칭성이 실패한다. 사실, x축을 따라 y-도함수는 이므로 다음과 같다.
반대로 y축을 따라 x-도함수는 이므로 이다. 즉, 혼합 편도함수가 존재함에도 불구하고 (0, 0)에서 이고, 다른 모든 점에서는 대칭성이 성립한다.
위의 함수를 극좌표로 나타내면 다음과 같다.
이는 원점을 포함하는 임의로 작은 루프를 한 번 돌 때 함수가 네 번 진동함을 보여준다. 따라서 직관적으로, (0, 0)에서의 함수의 국소적 행동은 이차 형식으로 설명될 수 없으며, 따라서 헤세 행렬은 대칭적이지 않다.
이계 도함수의 대칭성 연속성 요구 사항
일반적으로 극한 연산의 교환은 반드시 교환할 필요는 없다. (0, 0) 근처의 두 변수와 다음 식에 대한 두 가지 극한 과정이 주어졌을 때
이는 h → 0을 먼저 하고 k → 0을 먼저 하는 것에 해당한다. 1차 항을 보면 어떤 것을 먼저 적용하는지가 중요할 수 있다. 이는 이계 도함수가 비대칭적인 병적인 예시의 구성으로 이어진다. 이런 종류의 예시는 함수의 점별 값이 중요한 실해석학 이론에 속한다. 분포로 볼 때 이계 편도함수의 값은 르베그 측도가 0인 한 임의의 점 집합에서 변경될 수 있다. 예시에서 헤세 행렬은 (0, 0)을 제외한 모든 곳에서 대칭이므로, 슈바르츠 분포로 본 헤세 행렬이 대칭이라는 사실과 모순되지 않는다.
이계 도함수의 대칭성 리 이론에서
1차 미분 연산자 Di를 유클리드 공간의 무한소 연산자로 간주한다. 즉, Di는 xi축에 평행한 평행 이동의 1-매개변수군을 생성한다. 이 군들은 서로 교환하므로 무한소 생성자도 교환한다. 리 괄호
[Di, Dj] = 0
는 이 속성을 반영한다. 다시 말해, 한 좌표에 대한 다른 좌표의 리 미분은 0이다.
이계 도함수의 대칭성 미분 형식에 대한 적용
클레로-슈바르츠 정리는 모든  (또는 적어도 두 번 미분 가능한) 미분 형식 에 대해 두 번째 외미분이 소멸한다는 것을 증명하는 데 필요한 핵심 사실이다: . 이는 모든 미분 가능한 완전 미분 형식 (즉, 어떤 형식 에 대해 인 형식 )이 닫힌 형식임을 의미한다 (즉, ), 왜냐하면 이기 때문이다.
18세기 중반, 미분 형식 이론은 평면에서의 1차 형식, 즉 의 가장 간단한 경우에서 처음 연구되었다. 여기서 와 는 평면에서의 함수이다. 1차 형식과 함수의 미분에 대한 연구는 클레로의 1739년과 1740년 논문에서 시작되었다. 그 단계에서 그의 연구는 상미분 방정식을 해결하는 방법으로 해석되었다. 클레로는 형식적으로 열린 직사각형에서 1차 형식 가 닫힌 형식, 즉 이라는 것을 보였다. 이는 가 디스크에서 어떤 함수 에 대해 의 형태를 가질 때만 성립한다. 에 대한 해는 코시의 적분 공식으로 쓸 수 있다.
반면 인 경우, 닫힌 속성 은 항등식 이다. (현대 언어로는 이것이 푸앵카레 보조정리의 한 버전이다.)
이계 도함수의 대칭성 각주
Aksoy, A.; Martelli, M. (2002), “Mixed Partial Derivatives and Fubini's Theorem”, 《College Mathematics Journal of MAA》 33 (2): 126–130, doi:10.1080/07468342.2002.11921930, S2CID 124561972
이계 도함수의 대칭성 각주
Euler, Leonhard (1740). 《De infinitis curvis eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis eiusdem generis》 [On infinite(ly many) curves of the same type, that is, a method of finding equations for infinite(ly many) curves of the same type] (라틴어). 《Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae》 7. 174–189, 180–183쪽  – The Euler Archive, maintained by the University of the Pacific 경유.
이계 도함수의 대칭성 각주
Gilkey, Peter; Park, JeongHyeong; Vázquez-Lorenzo, Ramón (2015), 《Aspects of differential geometry I》, Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics 15, Morgan & Claypool, ISBN 9781627056632
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Nachbin, Leopoldo (1965), 《Elements of approximation theory》, Notas de Matemática 33, Rio de Janeiro: Fascículo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
갈루아 이론의 기본 정리
수학에서 갈루아 이론의 기본 정리(Fundamental theorem of Galois theory)는 특정 유형의 체의 확대의 구조를 군과 관련하여 설명하는 결과이다. 이 정리는 에바리스트 갈루아가 갈루아 이론을 개발하면서 증명했다.
가장 기본적인 형태로, 이 정리는 유한 확대이며 갈루아 확대인 체의 확대 가 주어졌을 때, 중간 필드와 갈루아 군의 부분군 사이에 일대일 대응이 존재한다고 주장한다. (중간 필드는 를 만족하는 체 이며, 의 부분 확대라고도 불린다.)
갈루아 이론의 기본 정리 대응의 명시적 설명
유한 확대의 경우, 대응은 다음과 같이 명시적으로 설명할 수 있다.
기본 정리는 가 갈루아 확대일 때 (그리고 그 경우에만) 이 대응이 일대일 대응이라고 말한다.
예를 들어, 가장 상위 필드 는 의 자명군에 대응하고, 기본 필드 는 전체 군 에 대응한다.
표기는 갈루아 확대에만 사용된다. 만약 가 갈루아라면, 이다. 만약 가 갈루아가 아니라면, "대응"은 에서 로의 단사 함수 (하지만 전사 함수는 아님)만 제공하며, 역방향으로는 전사 함수 (하지만 단사 함수는 아님)를 제공한다. 특히, 가 갈루아가 아니라면, 는 의 어떤 부분군의 고정체도 아니다.
갈루아 이론의 기본 정리 대응의 속성
이 대응은 다음과 같은 유용한 속성을 가지고 있다.
갈루아 이론의 기본 정리 예시 1
필드
을 고려하자. K는 기본 필드 에 √2와 √3을 첨가하여 구성되었으므로, K의 각 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다:
갈루아 군 는 a를 고정하는 K의 자기 동형 사상들로 구성된다. 이러한 자기 동형 사상들은 모든 기약 다항식의 근을 순열하므로, √2를 √2 또는 –√2로 보내고, √3을 √3 또는 –√3로 보내야 한다. f가 √2와 –√2를 교환한다고 가정하면,
이고, g가 √3와 –√3을 교환하면,
이들은 K의 덧셈과 곱셈을 존중하는 자기 동형 사상임이 분명하다. 각 원소를 고정하는 항등 자기 동형 사상 e도 있으며, f와 g의 합성으로 두 근호의 부호를 모두 바꾸는 자기 동형 사상이 있다:
갈루아 군의 위수는 체의 확대 차수와 같으므로, 이므로 더 이상의 자기 동형 사상은 있을 수 없다:
이것은 클라인 4원군과 동형이다. 이 군의 5개 부분군은 기본 필드 와 확대 K 사이의 중간 필드에 대응한다.
갈루아 이론의 기본 정리 예시 2
다음은 갈루아 군이 아벨 군이 아닌 가장 간단한 경우이다.
상의 기약 다항식 의 분해체 K를 고려하자. 즉, 이며, 여기서 θ는 2의 세제곱근이고, ω는 1의 세제곱근 (그러나 1 자체는 아님)이다. K를 복소수 안에서 고려하면, 는 2의 실수 세제곱근이고, 로 취할 수 있다. ω의 최소 다항식은 이므로, 확대 의 차수는 다음과 같다:

이전 예시와 같이 -기저 를 가진다. 따라서 갈루아 군 는 6개의 원소를 가지며, 의 세 근의 모든 순열에 의해 결정된다:
그러한 순열은 3! = 6개만 존재하므로, G는 세 객체의 모든 순열의 대칭군 (군론)과 동형이어야 한다. 이 군은 다음으로 정의되는 두 자기 동형 사상 f와 g에 의해 생성될 수 있다:
그리고 이며, 관계 을 따른다. 의 순열로서의 효과는 (순환 표기법으로): 이다. 또한, g는 복소수 켤레 매핑으로 간주될 수 있다.
갈루아 이론의 기본 정리 예시 2
G의 부분군과 해당하는 부분 필드는 다음과 같다:
위수 3의 유일한 부분군 는 차수 2의 부분 필드 에 대응한다. 이는 이 부분군의 G에서의 부분군의 지표가 2이기 때문이다. 즉, . 또한, 이 부분군은 정규 부분군이므로, 이 부분 필드는 에 대한 정규 확대이며, 의 분해체이다. 기본 필드에 대한 그 갈루아 군은 몫군 이며, 여기서 [g]는 H를 법으로 하는 g의 잉여류를 나타낸다. 즉, 유일한 비자명 자기 동형 사상은 복소수 켤레 g이다.
위수 2의 부분군이 세 개 있다: , . 이들은 각각 부분 필드 에 대응한다. 이 부분 필드들은 G에서 부분군의 지표가 3이므로 에 대한 차수가 3이다. 이 부분군들은 G에서 정규가 아니므로, 이 부분 필드들은 에 대한 갈루아 또는 정규가 아니다. 사실, 각 부분 필드는 근  중 단 하나만 포함하므로, 비자명 자기 동형 사상이 없다.
갈루아 이론의 기본 정리 예시 3
λ에 대한 유리 함수 체를 라고 하고, 다음 자기 동형 군을 고려하자:
여기서 자기 동형 사상 를 그 값 로 나타내며, 이다. 이 군은 와 동형이다 (여섯 개의 비조화비 참조).
를 의 고정체라고 하자. 그러면 이다.
가 의 부분군이면, 다항식
의 계수들이 의 고정체를 생성한다. 갈루아 대응은 의 모든 부분 필드가 이런 식으로 구성될 수 있음을 의미한다. 예를 들어, 일 때 고정체는 이고, 일 때 고정체는 이다. 의 고정체는 기본 필드 이며, 여기서 j는 모듈러 람다 함수로 표현된 j-불변량이다:
유사한 예시는 정다면체의 대칭군 각각에 대해 구성될 수 있는데, 이들은 사영 직선 과 따라서 에 대한 충실한 작용을 가지기 때문이다.
갈루아 이론의 기본 정리 예시 4
여기서 우리는 갈루아 확대가 아닌 유한 확대 의 예를 제공하며, 이를 통해 가 갈루아 확대가 아닐 때 갈루아 이론(의 기본 정리)이 더 이상 작동하지 않음을 보여준다.
이고 라고 하자. 그러면 는 유한 확대이지만, 에 대한 분해체는 아니다 ( 의 최소 다항식이 에 포함되지 않는 두 개의 복소근을 가지기 때문이다). 임의의 는 에 의해 완전히 결정되며, 이므로, 는 자명군이다. 특히, 이다. 이는 가 갈루아 확대가 아님을 보여준다.
이제, 는 자신만을 유일한 부분군으로 가진다. 를 포함하는 유일한 중간 필드는 이다. 따라서 갈루아 대응은 실패한다.
갈루아 이론의 기본 정리 응용
이 정리는 E/F의 중간 필드를 군론의 관점에서 분류한다. 이 중간 필드와 부분군 사이의 변환은 일반 오차 방정식이 근으로 풀 수 없음을 보여주는 핵심이다 (아벨-루피니 정리 참조). 먼저 근호 확대 (F의 어떤 원소의 n제곱근인 α를 포함하는 F(α) 형태의 확대)의 갈루아 군을 결정한 다음, 기본 정리를 사용하여 가해 확대가 가해군에 대응함을 보여준다.
쿠머 이론 및 유체론과 같은 이론들은 기본 정리에 기반을 두고 있다.
갈루아 이론의 기본 정리 무한 경우
무한 대수적 확대가 주어졌을 때, 그것이 정규적이고 분해 가능하면 여전히 갈루아 확대라고 정의할 수 있다. 무한 경우에 직면하는 문제는, 일반적으로 부분군이 너무 많기 때문에 기본 정리의 전단사가 성립하지 않는다는 것이다. 보다 정확하게 말하면, 모든 부분군을 취하면 일반적으로 동일한 중간 필드를 고정하는 두 개의 다른 부분군을 찾을 수 있다. 따라서 우리는 갈루아 군에 위상을 도입하여 이를 수정한다.
를 갈루아 확대 (무한할 수도 있음)라고 하고, 를 확대의 갈루아 군이라고 하자. 를 모든 유한 중간 갈루아 확대의 갈루아 군 집합이라고 하자. 모든 에 대해 를 로 정의할 수 있음에 유의하라. 그런 다음 에 크룰 위상을 정의하는데, 이는 모든 에 대해 매핑 가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상이다. 여기서 각 에는 이산 위상을 부여한다.. 다르게 말하면 는 위상군의 사영 극한이다 (여기서 각 에는 다시 이산 위상을 부여한다). 이것은 를 사유한군으로 만든다 (사실 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 예를 들어 참조). 가 유한일 때 크룰 위상은 이산 위상이라는 점에 유의하라.
갈루아 이론의 기본 정리 무한 경우
이제 갈루아 군에 위상을 정의했으므로 무한 갈루아 확대에 대한 기본 정리를 다시 기술할 수 있다.
를 의 모든 중간 필드 확대 집합이라고 하고, 를 크룰 위상이 부여된 의 모든 닫힌 부분군 집합이라고 하자. 그러면 다음 매핑에 의해 와  사이에 전단사 함수가 존재한다:
로 정의되고 다음 매핑에 의해
로 정의된다. 확인해야 할 중요한 점은 가 잘 정의된 매핑이라는 것이다. 즉, 이 모든 중간 필드 에 대해 의 닫힌 부분군이라는 것이다. 이는 Ribes–Zalesskii, 정리 2.11.3에서 증명되었다.
햄 샌드위치 정리
수학의 측도론에서, 모든 양의 정수 n에 대해 햄 샌드위치 정리(ham sandwich theorem)는 n-차원 유클리드 공간에 있는 n개의 가측 "객체"가 주어졌을 때, 하나의 (n − 1)-차원 초평면으로 각각의 객체를 절반(해당 측도, 예를 들어 부피에 따라)으로 나눌 수 있다고 말한다. 이 객체들이 겹쳐 있어도 이것은 가능하다.
이 정리는 후고 스테인하우스에 의해 제안되었고 스테판 바나흐에 의해 증명되었으며 (명시적으로 3차원인 경우에, n-차원인 경우는 언급하지 않았다), 수년 후 아서 H. 스톤과 존 투키의 이름을 따서 스톤-투키 정리라고도 불렸다.
햄 샌드위치 정리 이름
햄 샌드위치 정리는 n = 3일 때 세 개의 이등분될 객체가 햄 샌드위치의 재료일 경우에서 이름이 유래했다. 이 세 가지 재료가 빵 두 조각과 햄 한 조각인지 (Peters 1981), 빵과 치즈와 햄인지 (Cairns 1963), 아니면 빵과 버터와 햄인지 (Dubins & Spanier 1961)에 대해서는 출처마다 다르다. 2차원에서 이 정리는 두 개의 객체가 선에 의해 이등분되는 평평한 성질을 나타내기 위해 팬케이크 정리로 알려져 있다 (Cairns 1963).
햄 샌드위치 정리 역사
Beyer & Zardecki (2004)에 따르면, 햄 샌드위치 정리에 대한 가장 초기의 알려진 논문은, 특히 평면으로 세 개의 입체를 이등분하는 n = 3의 경우에 대해, 1938년 폴란드 수학 저널의 한 노트이다 (Editors 1938). 바이어와 자르데키의 논문은 이 노트의 번역을 포함하고 있으며, 문제의 제기를 후고 스테인하우스에게, 문제 해결을 스테판 바나흐에게 돌리는데, 이는 보르수크-울람 정리로의 환원을 통해 이루어졌다. 이 노트는 문제를 두 가지 방식으로 제기한다: 첫째, 공식적으로 "임의로 위치한 세 개의 입체를 적절한 평면을 사용하여 항상 이등분할 수 있는가?" 그리고 둘째, 비공식적으로 "고기 자르는 기계 아래에 햄 조각을 놓아 고기, 뼈, 지방이 절반으로 잘리도록 할 수 있는가?" 이 노트는 이어서 정리의 증명을 제시한다.
햄 샌드위치 정리 역사
더 현대적인 참고 자료는 Stone & Tukey (1942)인데, 이는 "스톤-투키 정리"라는 이름의 근거가 된다. 이 논문은 측도를 포함하는 더 일반적인 설정에서 정리의 n-차원 버전을 증명한다. 이 논문은 심사위원의 정보를 바탕으로 n = 3의 경우를 스타니스와프 울람에게 귀속시키지만, Beyer & Zardecki (2004)는 위에서 언급된 노트를 고려할 때 이것이 부정확하다고 주장한다. 비록 "울람이 보르수크-울람 정리를 제안하는 데 근본적인 기여를 했지만" 말이다.
햄 샌드위치 정리 2차원 변형: 회전하는 칼을 이용한 증명
정리의 2차원 변형 (팬케이크 정리라고도 알려짐)은 케이크 공평하게 자르기 문헌에 나타나는 논증(예: Robertson–Webb rotating-knife procedure)으로 증명될 수 있다.
각도 에 대해, 각도 를 가진 직선("칼")은 팬케이크 #1을 이등분할 수 있다. 이를 확인하려면, 각도 를 가진 직선을 에서 까지 그 법선을 따라 이동시킨다. 직선으로 덮인 팬케이크 #1의 비율은 0에서 1로 연속적으로 변하므로, 중간값 정리에 의해 어느 지점에서는 1/2이 되어야 한다. 우리 선의 전체 번역 범위가 1/2의 비율을 산출할 수 있으며; 이 경우, 그러한 모든 번역 중 가운데 것을 선택하는 것이 표준적인 선택이다.
햄 샌드위치 정리 2차원 변형: 회전하는 칼을 이용한 증명
칼이 0도 각도에 있을 때, 팬케이크 #2도 자르지만 조각들은 아마도 같지 않을 것이다 (운 좋게 조각들이 같으면, 끝난 것이다). 칼의 '양의' 쪽을 팬케이크 #2의 비율이 더 큰 쪽으로 정의한다. 이제 칼을 돌리고 위에서 설명한 대로 이동시킨다. 각도가 일 때, 를 칼의 양의 쪽에 있는 팬케이크 #2의 비율로 정의한다. 처음에는 이다. 각도의 작은 변화가 칼의 위치에 작은 변화를 가져오므로, 함수 는 연속이다.
칼이 180도 각도에 있을 때, 칼은 거꾸로 되어 있으므로 이다. 중간값 정리에 의해, 인 각도가 반드시 존재해야 한다. 그 각도로 자르면 두 팬케이크가 동시에 이등분된다.
햄 샌드위치 정리 n차원 변형: 보르수크-울람 정리를 이용한 증명
햄 샌드위치 정리는 보르수크-울람 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다. 이 증명은 1938년 스타인하우스 등이 스테판 바나흐에게 귀속시킨 n = 3의 경우에 대해 설명한 증명을 따른다. 동변량 위상수학 분야에서 이 증명은 구성 공간/테스트 맵 패러다임에 속할 것이다.
햄 샌드위치 정리 n차원 변형: 보르수크-울람 정리를 이용한 증명
동시에 이등분하려는 의 n개의 콤팩트 (또는 더 일반적으로 유계 및 르베그 가측) 부분집합을 A1, A2, ..., An이라고 하자. 는 의 단위 (n − 1)-초구라고 하자. 구 S의 각 점 v에 대해, 법선 벡터 v를 갖는 아핀 초평면의 선형 연속체 를 정의할 수 있다:  (). 각 에 대해, 공간 를 의 "양의 측면"이라고 부르며, 이는 벡터 v가 가리키는 측면이다. 중간값 정리에 의해, 그러한 초평면의 모든 계열은 유계 집합 An을 이등분하는 적어도 하나의 초평면을 포함한다. 한 극단적인 이동에서는 An의 부피가 양의 측면에 전혀 없고, 다른 극단적인 이동에서는 An의 모든 부피가 양의 측면에 있으므로, 그 사이에는 의 가능한 값들의 닫힌 구간 Iv이 존재해야 하며, 이 구간에 대해 는 An의 부피를 이등분한다. 만약 An의 부피가 0이라면, 모든 에 대해 을 선택한다. 그렇지 않으면, 구간 Iv은 콤팩트하고, 각 에 대해 를 그 중점으로 정규적으로 선택할 수 있다. 따라서 우리는 구 S의 각 점 v에 대해 초평면 가 An을 이등분하도록 하는 연속 함수 를 얻는다. 또한, 모든 에 대해 이고 따라서 임을 주목한다.
이제 함수 을 다음과 같이 정의한다:
.
이 함수 f는 연속이다 (지배 수렴 정리로 증명될 수 있다). 보르수크-울람 정리에 의해, 구 S에는 인 대척점 와 가 존재한다. 대척점은 초평면 와 에 해당하며, 이들은 양의 측면이 반대라는 점을 제외하고는 같다. 따라서, 는 에 대해 Ai의 부피가 의 양의 측면과 음의 측면에서 동일하다는 것을 의미한다. 그러므로 는 A1, ..., An의 부피를 동시에 이등분하는 원하는 햄 샌드위치 절단이다.
햄 샌드위치 정리 측도론적 버전
측도론에서, Stone & Tukey (1942)는 햄 샌드위치 정리의 두 가지 더 일반적인 형태를 증명했다. 두 버전 모두 공통 집합 X의 n개의 부분집합 X1, X2, ..., Xn을 이등분하는 것에 관한 것이며, 여기서 X는 카라테오도리 외측도를 가지며 각 Xi는 유한한 외측도를 가진다.
그들의 첫 번째 일반적인 공식화는 다음과 같다: 임의의 연속 실함수 에 대해, n-초구 Sn의 점 p와 실수 s0가 존재하여 표면 f(p,x) = s0가 X를 f(p,x) < s0와 f(p,x) > s0로 동일한 측도를 가지도록 나누고 동시에 X1, X2, ..., Xn의 외측도를 이등분한다. 증명은 다시 보르수크-울람 정리로의 환원이다. 이 정리는 f(s,x) = s1x1 + ... + snxn을 설정함으로써 표준 햄 샌드위치 정리를 일반화한다.
햄 샌드위치 정리 측도론적 버전
그들의 두 번째 공식화는 다음과 같다: X에 대한 n + 1개의 가측 함수 f0, f1, ..., fn가 양의 측도를 갖는 모든 부분집합에 대해 선형 독립이라면, 선형 결합 f = a0f0 + a1f1 + ... + anfn이 존재하여 표면 f(x) = 0이 X를 f(x) < 0와 f(x) > 0으로 나누면서 동시에 X1, X2, ..., Xn의 외측도를 이등분한다. 이 정리는 f0(x) = 1과 i > 0에 대해 fi(x)를 x의 i-번째 좌표로 설정함으로써 표준 햄 샌드위치 정리를 일반화한다.
햄 샌드위치 정리 이산 기하 및 계산 기하 버전
이산기하학에서 햄 샌드위치 정리는 일반적으로 나누어지는 각 집합이 점들의 유한 집합인 특수한 경우를 의미한다. 여기서 관련 측도는 셈측도이며, 이는 단순히 초평면의 양쪽에 있는 점의 수를 센다. 2차원에서 이 정리는 다음과 같이 표현될 수 있다:
평면에서 "빨간색" 또는 "파란색"으로 색칠된 유한한 점들의 집합에 대해, 빨간색 점들을 동시에 이등분하고 파란색 점들을 동시에 이등분하는 선이 존재한다. 즉, 선의 양쪽에 있는 빨간색 점의 수는 동일하고 파란색 점의 수도 동일하다.
햄 샌드위치 정리 이산 기하 및 계산 기하 버전
점이 선 위에 놓이는 예외적인 경우가 있다. 이 상황에서는 각 점을 선의 한쪽, 다른 쪽 또는 어느 쪽에도 없는 것으로 간주한다 (점마다 다를 수 있음). 즉, "이등분"은 실제로 각 측면에 전체 점 수의 절반 미만이 포함된다는 의미이다. 이 예외적인 경우는 정리의 성립을 위해 실제로 필요하며, 물론 빨간색 점이나 파란색 점의 수가 홀수일 때뿐만 아니라, 점의 수가 짝수일 때도 특정 구성에서 필요하다. 예를 들어 모든 점이 같은 선 위에 있고 두 색깔이 서로 분리되어 있을 때 (즉, 선을 따라 색깔이 교차하지 않을 때) 그렇다. 각 측면의 점의 수가 서로 일치할 수 없는 상황은 이전 구성에서 선 밖에 추가 점을 추가함으로써 발생한다.
햄 샌드위치 정리 이산 기하 및 계산 기하 버전
계산기하학에서 이 햄 샌드위치 정리는 계산 문제인 햄 샌드위치 문제로 이어진다. 2차원에서 이 문제는 다음과 같다: 평면에서 각각 "빨간색" 또는 "파란색"으로 색칠된 n개의 유한한 점 집합이 주어졌을 때, 이들을 위한 햄 샌드위치 절단을 찾는 것이다. 먼저, Megiddo (1985)는 특별한 분리된 경우에 대한 알고리즘을 설명했다. 여기서 모든 빨간색 점은 어떤 선의 한쪽에 있고 모든 파란색 점은 다른 쪽에 있는데, 이러한 상황에서는 유일한 햄 샌드위치 절단이 존재하며, 메기도는 이를 선형 시간 내에 찾을 수 있었다. 나중에, Edelsbrunner & Waupotitsch (1986)는 일반적인 2차원 경우에 대한 알고리즘을 제시했다. 그들의 알고리즘의 실행 시간은 O(n log n)이며, 여기서 기호 O는 점근 표기법의 사용을 나타낸다. 마지막으로, Lo & Steiger (1990)는 최적의 O(n) 시간 알고리즘을 발견했다. 이 알고리즘은 Lo, Matoušek & Steiger (1994)에 의해 더 높은 차원으로 확장되었으며, 여기서 실행 시간은 이다. d-차원 공간에서 일반 위치에 있는 d개의 점 집합이 주어졌을 때, 이 알고리즘은 각 집합의 점들이 반공간 모두에 같은 수를 갖는 (d−1)-차원 초평면, 즉 주어진 점들에 대한 햄 샌드위치 절단을 계산한다. 만약 d가 입력의 일부라면, 다항 시간 알고리즘이 존재할 것으로 예상되지 않는다. 왜냐하면 점들이 모멘트 곡선 위에 있다면, 문제는 목걸이 분할 문제와 동등해지며, 이는 PPA-완전이다.
서로 다른 두 개의 볼록 다각형의 면적을 이등분하는 선형 시간 알고리즘은
Stojmenovíc (1991)에 의해 설명된다.
햄 샌드위치 정리 대수곡면으로의 일반화
원래의 정리는 최대 n개의 모음에 대해 작동하는데, 여기서 n은 차원의 수이다. 더 많은 수의 모음을 더 높은 차원으로 가지 않고 이등분하려면, 초평면 대신 k차 대수곡면을 사용할 수 있다. 즉, k차 다항 함수로 정의된 (n−1)차원 곡면을 사용하는 것이다.
n차원 공간에 개의 측도가 주어졌을 때, 이들 모두를 이등분하는 k차 대수곡면이 존재한다. (Smith & Wormald (1998)).
이 일반화는 n차원 평면을 차원 평면으로 매핑한 다음, 원래의 정리를 적용하여 증명된다. 예를 들어, n = 2이고 k = 2일 때, 2차원 평면은 다음을 통해 5차원 평면으로 매핑된다:
(x, y) → (x, y, x2, y2, xy).
햄 샌드위치 정리 각주
Beyer, W. A.; Zardecki, Andrew (2004), “The early history of the ham sandwich theorem”, 《American Mathematical Monthly》 111 (1): 58–61, doi:10.2307/4145019, JSTOR 4145019, ProQuest 203746537  |id=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말).
Edelsbrunner, Herbert; Waupotitsch, R. (1986), “Computing a ham sandwich cut in two dimensions”, 《Journal of Symbolic Computation》 2 (2): 171–178, doi:10.1016/S0747-7171(86)80020-7 .