hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
이온 반지름 결정
란데는 LiI와 같이 음이온과 양이온의 크기 차이가 큰 결정을 고려하여 이온 반지름을 추정했다. 리튬 이온은 아이오딘화 이온보다 훨씬 작아서 리튬은 결정 격자 내의 구멍에 맞고, 아이오딘화 이온이 서로 닿게 된다. 즉, 결정 내 두 이웃하는 아이오딘화 이온 사이의 거리는 아이오딘화 이온 반지름의 두 배로 가정되었으며, 이는 214 pm으로 추론되었다. 이 값은 다른 반지름을 결정하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, RbI의 이온 간 거리는 356 pm이므로 Rb+의 이온 반지름은 142 pm이다. 이러한 방식으로 8개 이온의 반지름 값이 결정되었다.
바사스티어나는 굴절률 측정으로 결정된 전기 편극성으로부터 이온의 상대적 부피를 고려하여 이온 반지름을 추정했다. 이 결과는 골트슈미트에 의해 확장되었다. 바사스티어와 골트슈미트 모두 O2− 이온에 대해 132 pm의 값을 사용했다.
이온 반지름 결정
폴링은 유효 핵전하를 사용하여 이온 간의 거리를 음이온 및 양이온 반지름으로 비례시켰다. 그의 데이터는 O2− 이온에 대해 140 pm의 반지름을 제공한다.
결정학적 데이터에 대한 주요 검토는 섀넌에 의해 수정된 이온 반지름 표의 발행으로 이어졌다. 섀넌은 다른 배위수와 이온의 고스핀 및 저스핀 상태에 대해 다른 반지름을 제공한다. 폴링의 반지름과 일치시키기 위해 섀넌은 rion(O2−) = 140 pm 값을 사용했다. 이 값을 사용하는 데이터는 "유효" 이온 반지름이라고 불린다. 그러나 섀넌은 rion(O2−) = 126 pm을 기반으로 하는 데이터도 포함한다. 이 값을 사용하는 데이터는 "결정" 이온 반지름이라고 불린다. 섀넌은 "결정 반지름이 고체 내 이온의 물리적 크기에 더 가깝다고 느껴진다"고 진술한다. 두 가지 데이터 세트는 아래 두 표에 나열되어 있다.
이온 반지름 연성 구 모델
많은 화합물의 경우, 이온을 단단한 구로 모델링하는 것은 결정에서 측정할 수 있는 정확도로 이온 사이의 거리 를 재현하지 못한다. 계산된 정확도를 향상시키는 한 가지 접근 방식은 이온을 결정에서 중첩되는 "연성 구"로 모델링하는 것이다. 이온이 중첩되므로 결정에서 이온의 간격은 연성 구 반지름의 합보다 작을 것이다.
연성 구 이온 반지름 과 , 그리고  사이의 관계는 다음 식으로 주어진다.
,
여기서 는 결정 구조 유형에 따라 달라지는 지수이다. 경성 구 모델에서 는 1이 되므로 가 된다.
연성 구 모델에서 는 1에서 2 사이의 값을 가진다.
예를 들어, 염화 나트륨 구조를 가진 1족 할로젠화물 결정의 경우 1.6667 값은 실험과 잘 일치한다.
일부 연성 구 이온 반지름은 표에 있다.
이러한 반지름은 위에 제시된 결정 반지름(Li+, 90 pm; Cl−, 167 pm)보다 크다. 이 반지름으로 계산된 이온 간 간격은 실험값과 놀라울 정도로 잘 일치한다. 일부 데이터는 표에 나와 있다. 흥미롭게도 를 포함하는 방정식에 대한 이론적 정당화는 아직 제시되지 않았다.
이온 반지름 비구형 이온
이온 반지름의 개념은 이온이 구형이라는 가정에 기초한다. 그러나 군론적 관점에서 이 가정은 암염의 Na와 Cl 또는 섬아연석의 Zn과 S와 같이 높은 대칭성을 가진 결정 격자 자리에 위치하는 이온에 대해서만 정당화된다. NaCl 및 ZnS에서 정육면체 군 Oh와 Td인 해당 격자 자리의 점 대칭군을 고려할 때 명확한 구분이 가능하다. 낮은 대칭성 자리에 있는 이온의 경우 구형 형태에서 전자 밀도의 상당한 편차가 발생할 수 있다. 이는 특히 극성 대칭의 격자 자리에 있는 이온의 경우에 해당하며, 이들은 결정점군 C1, C1h, Cn 또는 Cnv, n = 2, 3, 4 또는 6이다. 최근 황철석 유형 화합물에 대한 결합 기하학에 대한 철저한 분석이 수행되었는데, 여기서 일가 칼코겐 이온은 C3 격자 자리에 위치한다. 칼코겐 이온은 대칭 축을 따라 그리고 수직으로 다른 반지름을 가진 타원면 전하 분포로 모델링되어야 함이 밝혀졌다.
아론 님조비치
아론 이사예비치 님조비치(라트비아어: Ārons Nimcovičs; 러시아어: Аро́н Иса́евич Нимцо́вич, Aron Isayevich Nimtsovich; 1886년 11월 7일~1935년 3월 16일)는 라트비아 태생의 덴마크 체스 선수이자 작가였다. 1920년대 후반, 님조비치는 세계 최고의 체스 선수 중 한 명이었다. 그는 초근대주의자들 중 가장 중요한 인물이었으며, 체스 이론에 대한 매우 영향력 있는 책인 나의 시스템(1925~1927)을 썼다. 님조비치의 기념비적인 작품인 체스 프락시스는 원래 1929년 독일어로 출판되었으며, 십대 시절의 미래 세계 챔피언 티그란 페트로샨이 구입하여 체스 선수로서 그의 발전에 큰 영향을 미쳤다.
아론 님조비치 삶
당시 러시아 제국의 일부였던 리가에서 태어난 유대인 이디시어 사용자 님조비치는 부유한 가정에서 자랐으며, 목재 상인이었던 그의 아버지 샤야 아브라모비치 님조비치(핀스크 1860년~1918년)로부터 체스를 배웠다. 라비노비치 가문 출신의 어머니 에스피르 노후모브나 님조비치(폴라츠크 1865년~1937년), 여동생 칠리야-크레나 페브즈너, 형제 야코프, 오세이, 베노와 함께 그는 다우가프필스에 1897년까지 살았다. 1904년, 그는 철학을 공부하기 위해 베를린으로 갔지만, 곧 학업을 중단하고 같은 해 전문 체스 선수로서의 경력을 시작했다. 그는 1906년 뮌헨에서 열린 첫 국제 토너먼트에서 우승했다. 그 후, 그는 1913/14년 상트페테르부르크에서 알렉산드르 알레힌과 공동 1위 (제8회 전러시아 마스터 토너먼트)를 차지했다.
아론 님조비치 삶
1917년 러시아 혁명 동안 님조비치는 발트 지방 전쟁 지역에 있었다. 그는 머리에 파리가 있다고 주장하며 정신 이상을 가장하여 군대 징집을 피했다. 그는 그 후 베를린으로 탈출했으며, 반유대주의 박해를 피하기 위해 자신의 이름을 아놀드라고 말했다.
님조비치는 결국 1922년 코펜하겐으로 이주하여 평생을 작은 방 하나에서 살았다. 코펜하겐에서 그는 1924년과 1934년에 노르딕 챔피언십에서 두 번 우승했다. 그는 덴마크 시민권을 얻었고 1935년 사망할 때까지 덴마크에서 살았다.
아론 님조비치 체스 경력
님조비치 경력의 절정은 1920년대 후반과 1930년대 초반이었다. 체스메트릭스는 그를 1927년부터 1931년까지 알렉산드르 알레힌과 호세 카파블랑카에 이어 세계 3위 선수로 평가한다. 그의 가장 주목할 만한 성공은 코펜하겐 1923년, 마리엔바드 1925년, 드레스덴 1926년, 하노버 1926년, 1929년 칼스바드 체스 토너먼트에서 1위를 차지하고, 1930년 산레모 체스 토너먼트에서 알레힌에 이어 2위를 차지한 것이다. 님조비치는 매치 플레이에는 능숙하지 못했지만, 그의 최고 매치 성공은 알레힌과의 무승부였다. 하지만 그 매치는 단 두 게임으로 구성되었고, 알레힌이 세계 챔피언이 되기 13년 전인 1914년에 열렸다.
아론 님조비치 체스 경력
님조비치는 카파블랑카를 한 번도 이기지 못했지만 (+0−5=6), 알레힌에게는 더 나은 성적을 거두었다 (+3−9=9). 그는 1914년 상트페테르부르크에서 열린 짧은 매치에서 흑으로 알레힌을 이기기도 했다. 님조비치의 가장 유명한 게임 중 하나는 1923년 코펜하겐에서 재미슈를 상대로 한 유명한 불멸의 촉박 게임이다. 이 주제에 대한 또 다른 게임은 1926년 드레스덴에서 폴 요너를 상대로 한 승리이다. 컨디션이 좋을 때, 님조비치는 흑으로 매우 위험했으며, 상위 선수들을 상대로 많은 멋진 승리를 거두었다.
아론 님조비치 유산
님조비치는 체스 역사상 가장 중요한 선수이자 작가 중 한 명으로 평가받는다. 그의 저작들은 사벨리 타르타코버, 밀란 비드마르, 리하르트 레티, 아키바 루빈스타인, 미하일 보트빈니크, 벤트 라르센, 빅토르 코르치노이 및 티그란 페트로샨을 포함한 수많은 다른 선수들에게 영향을 미쳤으며, 그의 영향은 오늘날에도 여전히 느껴진다.
아론 님조비치 유산
그는 체스 전략에 관한 세 권의 책을 썼다. 1925년의 Mein System (나의 시스템), 1929년의 Die Praxis meines Systems (나의 시스템의 실천,일반적으로 체스 프락시스로 알려져 있다), 그리고 1925년의 Die Blockade (봉쇄). 비록 이 책의 많은 내용은 Mein System에서 이미 제시된 내용을 재탕한 것으로 일반적으로 여겨지지만. Mein System은 역대 가장 영향력 있는 체스 책 중 하나로 평가된다. 이 글은 님조비치의 가장 중요한 아이디어를 담고 있으며, 그의 두 번째로 영향력 있는 저서인 체스 프락시스는 이 아이디어들을 더 자세히 설명하고 새로운 내용을 추가한다. 이 책은 님조비치 자신의 게임들을 모아 놓은 흥미로운 컬렉션으로, 그의 특유의 과장되고 해학적인 해설이 담겨 있어 교훈적이면서도 재미있다는 점에서 매우 가치 있습니다.
아론 님조비치 유산
님조비치의 체스 이론은 처음 제시되었을 때, 당시 지배적인 이론가인 지그베르트 타라시와 그의 제자들이 천명한 널리 퍼진 정통 사상에 정면으로 맞섰다. 타라시의 엄격한 일반화는 빌헬름 슈타이니츠의 이전 작업에 기반을 두었으며, 의심하는 사람들의 의견을 일축하는 타라시의 날카로운 언변으로 지지되었다. 당시 최고의 선수들, 예를 들어 알레힌, 에마누엘 라스커, 카파블랑카는 중앙을 폰으로 제어해야 하고, 발전은 이 제어를 지지해야 하며, 룩은 항상 열린 파일에 속하고, 윙 오프닝은 불합리하다는 대중적으로 이해되는 타라시의 체스 철학의 핵심 아이디어에 대한 맹목적인 고수로 인해 그들의 플레이가 방해받도록 두지 않았지만, 초보자들은 이러한 일반화를 불변의 원칙으로 생각하도록 가르쳐졌다.
아론 님조비치 유산
님조비치는 상대방의 계획 실현을 방지함으로써 자신의 목표를 달성하는 것을 목표로 하는 방어 플레이에 대한 추가적인 일반 개념을 천명함으로써 체스 전략에 대한 이전의 많은 단순한 가정들을 보완했다. 그의 "시스템"에서 주목할 만한 개념으로는 공격받는 기물과 폰의 과보호, 폰 대신 기물로 중앙을 제어하는 것, 상대 기물 (특히 패스드 폰)의 봉쇄 및 예방 등이 있었다. 1926년 폴 요너와의 앞서 언급된 게임 (아래 주목할 만한 게임에 나열됨)은 '먼저 억제하고, 그 다음 봉쇄하고, 마지막으로 파괴한다'는 님조비치의 개념의 훌륭한 예이다. 그는 흑퀸을 시작 지점에서 h7으로 움직여 f6의 나이트와 h-폰과 함께 킹사이드 봉쇄의 일부를 형성하여 백의 공격 위협을 막는다. 그는 또한 비숍의 피앙케토 전개의 선구적인 주창자였다. 아마도 가장 중요하게, 그는 다양한 복잡한 체스 전략에 대해 여전히 사용되는 용어를 공식화했다. 다른 사람들도 이러한 아이디어를 실제로 사용했지만, 그는 이를 광범위한 분류학적 관찰과 함께 주제의 어휘로 체계적으로 제시한 최초의 인물이었다.
아론 님조비치 유산
레이먼드 킨은 님조비치가 "25년 이상 동안 세계 최고의 그랜드마스터 중 한 명이었고, 그 기간의 일부 동안 그는 세계 챔피언십의 명백한 도전자였다. ... [그는 또한] 슈타이니츠에 이어 두 번째로 위대하고 심오한 체스 사상가였으며, 그의 저서 – Die Blockade, 나의 시스템, 체스 프락시스 –는 그를 현대 체스의 아버지 중 한 명으로 명성을 확립했다."라고 썼다. 그랜드마스터 로버트 번은 그를 "아마도 게임 역사상 가장 뛰어난 이론가이자 교사"라고 불렀다. 그랜드마스터 얀 하인 도너는 님조비치를 "자신이 인정받지 못하고 그 이유가 악의 때문이라고 망상에 시달렸던 사람이다. 그가 빛을 발하게 된 것은 나중에 알게 된 대로 약간의 칭찬만 있으면 되었다. 그의 편집증은 그가 회사에서 식사할 때 가장 분명하게 드러났다. 그는 항상 자신에게 다른 사람들보다 훨씬 적은 양이 제공된다고 생각했다. 그는 실제 양에는 신경 쓰지 않고 상상 속의 모욕에만 신경 썼다. 나는 한번 그와 내가 실제로 다른 사람이 원하는 것을 주문하고, 음식이 제공되면 접시를 바꾸자고 제안했다. 우리가 그렇게 한 후, 그는 여전히 자신이 더 적은 양을 받았다고 생각하며 믿을 수 없다는 듯 고개를 저었다."라고 말했다.
많은 체스 오프닝과 변형들이 님조비치의 이름을 따서 명명되었는데, 가장 유명한 것은 님조-인도 디펜스 (1.d4 Nf6 2.c4 e6 3.Nc3 Bb4)와 덜 자주 사용되는 님조비치 디펜스 (1.e4 Nc6)이다. 님조비치 전기 작가인 그랜드마스터 레이먼드 킨과 다른 이들은 1.Nf3에 이어 2.b3을 님조비치-라르센 공격이라고 불렀다. 킨은 그 제목으로 오프닝에 관한 책을 썼다. 이 오프닝들은 모두 폰 대신 기물로 중앙을 제어하려는 님조비치의 아이디어를 잘 보여준다. 그는 또한 프렌치 디펜스의 두 가지 중요한 시스템 개발에 핵심적인 역할을 했다. 위나워르 변형 (일부 지역에서는 님조비치 변형이라고도 불리며, 1.e4 e6 2.d4 d5 3.Nc3 Bb4)과 어드밴스 변형 (1.e4 e6 2.d4 d5 3.e5)이다. 그는 또한 시실리안 디펜스의 두 가지 도발적인 변형을 개척했다: 님조비치 변형, 1.e4 c5 2.Nf3 Nf6, 이는 3.e5 Nd5를 유도하며 (알레힌 디펜스와 유사) 1.e4 c5 2.Nf3 Nc6 3.d4 cxd4 4.Nxd4 d5?! (후자는 오늘날 의심스러운 것으로 간주됨). 국제 마스터 존 L. 왓슨은 그의 책 Mastering the Chess Openings, Volume 3의 11장에서 1.c4 Nf6 2.Nc3 e6 3.Nf3 Bb4 라인을 "님조-잉글리시"라고 불렀다.
아론 님조비치 개성
님조비치에 관한 재미있는 일화가 많이 있는데, 그 중 일부는 다른 것보다 덜 흥미롭다. 한스 크모흐와 프레드 라인펠트가 1950년 2월호 체스 리뷰 55페이지에 기고한 "비정상적인 항복"이라는 기사에는 "...님조비치가 베를린 토너먼트에서 재미슈에게 패배하여 1등을 놓쳤을 때, 그가 패배할 것이 분명해지자 님조비치는 테이블 위에 서서 'Gegen diesen Idioten muss ich verlieren!' ('나는 이 바보에게 져야만 해!')라고 외쳤던 사례"가 언급되어 있다.
님조비치는 상대방의 흡연에 짜증을 냈다. 인기 있지만 아마도 꾸며낸 이야기일 것이다. 한 번은 상대방이 불이 붙지 않은 시가를 테이블 위에 놓자, 그는 토너먼트 심판에게 "그는 담배를 피우겠다고 위협하고 있습니다. 노련한 선수라면 위협이 실행보다 강하다는 것을 아실 겁니다."라고 불평했다.
님조비치는 타라시와 '적절한' 체스가 무엇인지에 대해 길고 다소 격렬한 교리적 갈등을 겪었다.
아론 님조비치 개성
님조비치의 허영심과 과보호에 대한 그의 아이디어에 대한 믿음은 한스 크모흐가 1928년 2월 비너 샤흐차이퉁에 그에 대한 패러디를 쓰게 만들었다. 이것은 가상의 선수 "시스템손"과의 모의 게임으로 구성되었으며, 님조비치 자신이 플레이하고 주석을 달았다고 한다. 이 주석은 과보호의 아이디어를 즐겁게 과장하고, 경이로운 아이디어의 진정한 천재성을 주장한다. 크모흐는 사실 님조비치를 크게 존경했으며, 님조비치는 그 노력을 즐거워했다.
크모흐는 또한 님조비치와 함께했던 9년간에 대한 기사를 썼다:
님조비치는 자신이 인정받지 못하고 그 이유가 악의 때문이라는 망상에 시달렸다. 나중에 알게 된 대로, 그를 꽃피우게 하는 데 필요한 것은 약간의 칭찬뿐이었다. 그의 편집증은 그가 사람들과 식사할 때 가장 분명하게 나타났다. 그는 항상 자신에게 다른 사람들보다 훨씬 적은 양이 제공된다고 생각했다. 그는 실제 양에는 신경 쓰지 않고 상상 속의 모욕에만 신경 썼다. 나는 한번 그와 내가 실제로 다른 사람이 원하는 것을 주문하고, 음식이 제공되면 접시를 바꾸자고 제안했다. 우리가 그렇게 한 후, 그는 여전히 자신이 더 적은 양을 받았다고 생각하며 믿을 수 없다는 듯 고개를 저었다.
님조비치의 동료인 타르타코버는 그에 대해 "그는 우리 모두를 미치게 만들려고 미친 척한다"고 말했다.
아론 님조비치 죽음
오랫동안 심장병으로 고생했지만, 그의 이른 죽음은 예상치 못한 일이었다. 1934년 말 갑자기 병이 들어 3개월 동안 침대에 누워 있다가 폐렴으로 사망했다. 그는 코펜하겐의 비스페비에르 묘지에 묻혀 있다.
스토크스 반지름
용질의 스토크스 반지름(영어: Stokes radius) 또는 스토크스-아인슈타인 반지름(영어: Stokes–Einstein radius)은 해당 용질과 같은 속도로 확산하는 경질 구의 반지름이다. 조지 가브리엘 스토크스의 이름을 따서 명명되었으며, 크기뿐만 아니라 용매 효과도 고려하여 용질 이동도와 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어, 강한 수화를 가진 작은 이온은 약한 수화를 가진 큰 이온보다 스토크스 반지름이 더 클 수 있다. 이는 작은 이온이 용액을 통해 움직일 때 더 많은 수분 분자를 끌고 가기 때문이다.
스토크스 반지름은 때때로 용액 내 유효 수화 반지름(영어: effective hydrated radius in solution)과 동의어로 사용된다. 유체역학적 반지름, RH는 중합체 또는 기타 고분자의 스토크스 반지름을 나타낼 수 있다.
스토크스 반지름 구형의 경우
스토크스 법칙에 따르면, 점성 액체를 통해 이동하는 완전한 구는 마찰 계수 에 비례하는 항력을 느낀다.
여기서 는 액체의 점성도, 는 구의 표류 속도, 는 그 반지름이다. 이온 이동도 는 표류 속도에 직접 비례하므로 마찰 계수에 반비례한다.
여기서 는 정수배의 전자 전하로 이온 전하를 나타낸다.
1905년, 알베르트 아인슈타인은 이온의 확산 계수 가 이동도 상수에 비례한다는 것을 발견했다.
여기서 는 볼츠만 상수이고 는 전하이다. 이것은 아인슈타인 관계식 (운동학 이론)으로 알려져 있다. 스토크스 법칙에서 완전한 구의 마찰 계수를 대입하면 다음과 같다.
이것은 반지름 에 대해 풀면 다음과 같이 재배열할 수 있다.
비구형 시스템에서 마찰 계수는 고려 중인 종의 크기와 모양에 의해 결정된다.
스토크스 반지름 연구 응용
스토크스 반지름은 종종 겔-투과 또는 겔-여과 크로마토그래피에 의해 실험적으로 결정된다. 이들은 효소-기질 상호작용 및 막 확산과 같은 과정의 크기 의존성 때문에 생물학적 종을 특성화하는 데 유용하다. 침전물, 토양 및 에어로졸 입자의 스토크스 반지름은 생태 측정 및 모델에서 고려된다. 이들은 또한 고분자 및 기타 거대분자 시스템 연구에서 중요한 역할을 한다.
방사형 분포 함수
통계역학에서, 방사형 분포 함수(영어: Radial distribution function 또는 쌍 상관 함수(영어: pair correlation function)) 는 입자 시스템(원자, 분자, 콜로이드 등)에서 기준 입자로부터의 거리에 따라 밀도가 어떻게 변하는지를 설명한다.
주어진 입자가 원점 O에 있다고 가정하고, 가 입자의 평균 수밀도인 경우, O로부터 거리 에서의 국부적인 시간 평균 밀도는 이다. 이 단순화된 정의는 균일하고 등방성인 시스템에 적용된다. 더 일반적인 경우는 아래에서 고려될 것이다.
가장 간단한 용어로, 이는 주어진 기준 입자로부터 만큼 떨어진 거리에 입자가 존재할 확률을 이상 기체에 대한 확률과 비교하여 측정한 것이다. 일반적인 알고리즘은 입자로부터 과  거리 내에 있는 입자의 수를 결정하는 것을 포함한다. 이 일반적인 개념은 오른쪽에 묘사되어 있으며, 여기서 빨간색 입자는 기준 입자이고, 파란색 입자는 중심이 주황색 점선으로 표시된 원형 껍질 내에 있는 입자이다.
방사형 분포 함수
방사형 분포 함수는 일반적으로 모든 입자 쌍 사이의 거리를 계산하고 히스토그램으로 분류하여 결정된다. 그런 다음 히스토그램은 입자 히스토그램이 완전히 상관되지 않는 이상 기체에 대해 정규화된다. 3차원의 경우, 이 정규화는 시스템의 수밀도 에 구형 껍질의 부피를 곱한 것으로, 기호로 로 표현할 수 있다.
주어진 위치 에너지 함수에 대해, 방사형 분포 함수는 몬테카를로 방법과 같은 컴퓨터 시뮬레이션 방법을 통해 계산하거나, 퍼커스-예빅 근사법 또는 초망상사슬 이론과 같은 근사 폐쇄 관계를 사용하여 오르슈타인-체르니케 방정식을 통해 계산할 수 있다. 또한 방사선 산란 기술이나 전통적 또는 공초점 현미경을 통한 충분히 큰(마이크로미터 크기의) 입자의 직접 시각화를 통해 실험적으로도 결정할 수 있다.
방사형 분포 함수는 커크우드-버프 용액 이론을 사용하여 미시적 세부 사항을 거시적 속성과 연결할 수 있기 때문에 근본적으로 중요하다. 또한, 커크우드-버프 이론의 역을 통해 거시적 속성으로부터 방사형 분포 함수의 미시적 세부 사항을 얻을 수 있다. 방사형 분포 함수는 오르슈타인-체르니케 방정식 또는 구조 최적화 퍼텐셜 정제를 사용하여 퍼텐셜 에너지 함수를 예측하도록 역변환될 수도 있다.
방사형 분포 함수 정의
부피 에 개의 입자(평균 개수밀도  및 온도 에서 (또한 로 정의하자; 는 볼츠만 상수이다)로 구성된 시스템을 고려하자. 입자 좌표는 이며, 이다. 입자 간 상호작용으로 인한 위치 에너지는 이며 외부 인가장 필드의 경우는 고려하지 않는다.
적절한 앙상블 평균은 바른틀 앙상블 에서 취해지며, 는 입자 위치의 모든 가능한 조합에 대해 취해진 배열 적분이다. 입자 1이 에, 입자 2가 에, 등등으로 발견될 기본 배열의 확률은 다음으로 주어진다.
총 입자 수가 매우 많기 때문에  그 자체로는 그다지 유용하지 않다. 그러나 개의 입자 위치만 에 고정되고 나머지 개의 입자에는 제약이 없는 축소된 배열의 확률을 얻을 수도 있다. 이를 위해 (1)을 나머지 좌표 에 대해 적분해야 한다.
.
입자들이 상호작용하지 않아 각 입자의 위치 에너지가 다른 어떤 입자에도 의존하지 않는 경우 라면 분배 함수는 인수분해되고 기본 배열의 확률은 독립적인 인수를 가진 단일 입자 확률의 곱으로 분해된다.
방사형 분포 함수 정의
상호작용하지 않는 입자의 경우 확률이 인수에 대해 대칭임을 주목하라. 이는 일반적으로 사실이 아니며, 의 인수 슬롯을 위치가 차지하는 순서는 중요하다. 주어진 위치 집합에 대해 개의 입자가 이 위치들을 차지할 수 있는 방법은 이다. 이 위치들이 차지될 확률은 각 위치에 입자가 있는 모든 배열을 합산하여 찾을 수 있다. 이는 개 객체에 대한 대칭군 (군론) 의 모든 순열 을 취하여 로 쓸 수 있다. 더 적은 위치의 경우, 불필요한 인수에 대해 적분하고 과다 계산을 방지하기 위한 보정 계수를 포함한다.
이 양을 n-입자 밀도 함수라고 한다. 구별 불가능한 입자의 경우, 모든 입자 위치를 로 순열할 수 있으며, 기본 배열의 확률 은 변하지 않으므로 n-입자 밀도 함수는 다음으로 줄어든다.
n-입자 밀도를 적분하면 총 개의 입자 중 개의 위치에 순차적으로 입자를 배치하는 방법의 수를 세는 순열 인수 가 주어진다. 이제 이 함수를 의 다른 값에 대해 어떻게 해석하는지 살펴보자.
방사형 분포 함수 정의
인 경우, 1-입자 밀도를 갖는다. 결정의 경우, 이는 격자 위치에서 날카로운 최대값을 갖는 주기 함수이다. 비상호작용 기체의 경우, 이는 위치 에 독립적이며 시스템의 전체 수밀도 와 같다. 이를 확인하려면 먼저 기체가 차지하는 부피 내에서는 이고 다른 모든 곳에서는 0임을 주목한다. 이 경우의 분배 함수는
정의에서 원하는 결과가 나온다.
사실, 이 특별한 경우 모든 n-입자 밀도는 좌표와 독립적이며 명시적으로 계산할 수 있다.
일 때, 비상호작용 n-입자 밀도는 대략 이다. 이를 바탕으로, n-점 상관 함수 은 비상호작용 기여도를 분리하여 정의된다.
명시적으로 이 정의는 다음과 같다.
여기서 n-점 상관 함수는 무차원임을 알 수 있다.
방사형 분포 함수 g(r) 관련 관계
2차 상관 함수 는 특별히 중요한데, 이는 시스템의 구조 인자와 직접적으로 관련되어 있으며 (푸리에 변환을 통해) 따라서 엑스선 회절 또는 중성자 회절을 사용하여 실험적으로 결정할 수 있기 때문이다.
시스템이 구형 대칭 입자로 구성된 경우, 는 그들 사이의 상대 거리 에만 의존한다. 아래첨자와 위첨자는 생략할 것이다: . 입자 0을 좌표의 원점에 고정된 것으로 취하면, 은 (나머지 개 중에서) 위치  주변의 부피 에서 발견될 입자의 평균 수이다.
이러한 입자를 형식적으로 세고 앙상블 평균 을 취하여 다음 표현을 통해 평균을 구할 수 있다. :
여기서 두 번째 등식은 입자 의 동등성을 요구한다. 위 공식은 와 로 정의되는 정적 구조 인자 를 관련시키는 데 유용하다. 왜냐하면 다음이 성립하기 때문이다.
따라서:
, 위에서 언급한 푸리에 관계를 증명한다.
이 방정식은 분포의 의미에서만 유효하다. 왜냐하면 는 정규화되지 않았기 때문이다. 이므로, 는 부피 에 따라 발산하며, 이는 구조 인자에서 원점에 디락 피크를 유발한다. 이 기여는 실험적으로 접근할 수 없으므로 위 방정식에서 이를 빼고 구조 인자를 정규 함수로 재정의할 수 있다.
.
방사형 분포 함수 g(r) 관련 관계
마지막으로, 로 이름을 변경하고, 시스템이 액체인 경우 등방성을 적용할 수 있다.
(6)을 으로 평가하고 등온 압축률 와 원점에서의 구조 인자 사이의 관계를 사용하면 압축률 방정식이 도출된다.
방사형 분포 함수가 두 입자 평균 힘의 퍼텐셜 과 다음 관계를 가짐을 보일 수 있다.
희석 한계에서, 평균 힘의 퍼텐셜은 평형점 배열이 주어진 을 가질 때의 정확한 쌍 퍼텐셜이다.
입자들이 동일한 쌍별 퍼텐셜을 통해 상호작용하는 경우: , 입자당 평균 내부 에너지는 다음과 같다.:Section 2.5
비리얼 방정식을 전개하면 압력 상태 방정식이 나온다.
방사형 분포 함수는 퍼텐셜 에너지 및 압력과 같은 몇 가지 주요 열역학적 특성을 계산할 수 있기 때문에 중요한 측정값이다.
입자가 쌍별 퍼텐셜을 통해 상호작용하는 3차원 시스템의 경우, 시스템의 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 계산할 수 있다.
여기서 N은 시스템의 입자 수, 는 수밀도, 는 쌍 퍼텐셜이다.
시스템의 압력은 2차 비리얼 계수를 와 관련시켜 계산할 수도 있다. 압력은 다음과 같이 계산할 수 있다.
.
퍼텐셜 에너지와 압력의 결과는  계산에 포함된 평균화로 인해 이러한 속성을 직접 계산하는 것만큼 정확하지 않을 수 있음을 주목하라.
방사형 분포 함수 근사
희박한 시스템(예: 기체)의 경우, 이 설명하는 입자 위치의 상관 관계는 기준 입자에 의해 발생하는 퍼텐셜 에만 기인하며, 간접적인 효과는 무시한다. 첫 번째 근사에서는 볼츠만 분포 법칙에 의해 간단히 주어진다.
만약 이 모든 에 대해 0이라면, 즉 입자들이 서로 아무런 영향을 미치지 않는다면, 모든 에 대해 이 되고 평균 국부 밀도는 평균 밀도 와 같아질 것이다. O에 입자가 존재해도 그 주변의 입자 분포에 영향을 미치지 않으며 기체는 이상적일 것이다. 이 유의미한 거리 에서는 평균 국부 밀도가 평균 밀도 와 달라지며, 이는 의 부호에 따라 달라진다(음의 상호작용 에너지는 더 높고 양의 은 더 낮다).
기체의 밀도가 증가함에 따라 저밀도 한계는 점점 덜 정확해진다. 왜냐하면 에 위치한 입자는 O의 입자와의 상호작용뿐만 아니라 다른 이웃과의 상호작용도 겪으며, 이웃 자체도 기준 입자의 영향을 받기 때문이다. 이 매개된 상호작용은 밀도에 따라 증가한다. 왜냐하면 상호작용할 이웃이 더 많기 때문이다. 의 밀도 전개를 쓰는 것은 물리적으로 합리적이며, 이는 비리얼 방정식과 유사하다.
방사형 분포 함수 근사
이 유사성은 우연이 아니다. 실제로, (12)를 위 열역학적 매개변수 관계(식 7, 9, 10)에 대입하면 해당 비리얼 전개가 얻어진다. 보조 함수 는 공동 분포 함수로 알려져 있다.:Table 4.1 고정된 밀도와 고정된 양의 온도에서 고전 유체의 경우, 평형 상태에서 주어진 을 생성하는 유효 쌍 퍼텐셜은 만약 존재한다면 가산 상수에 대해 유일함이 입증되었다.
최근 몇 년 동안, 격자나 네트워크와 같은 공간적으로 이산적인 데이터에 대한 쌍 상관 함수를 개발하는 데 일부 관심이 주어졌다.
방사형 분포 함수 실험
중성자 산란 또는 엑스선 산란 데이터를 사용하여 을 간접적으로 (구조 인자 와의 관계를 통해) 결정할 수 있다. 이 기술은 매우 짧은 길이 스케일(원자 수준까지)에서도 사용할 수 있지만, 상당한 공간 및 시간 평균(각각 샘플 크기와 획득 시간에 걸쳐)을 포함한다. 이러한 방식으로, 방사형 분포 함수는 액체 금속부터 전하 콜로이드에 이르는 다양한 시스템에 대해 결정되었다. 실험적인 에서 로 가는 것은 간단하지 않으며, 분석이 상당히 복잡할 수 있다.
은 전통적 또는 공초점 현미경에서 입자 위치를 추출하여 직접 계산할 수도 있다. 이 기술은 광학 감지에 충분히 큰 입자(마이크로미터 범위)로 제한되지만, 시간 분해능을 가지고 있어 통계 정보 외에도 동적 매개변수(예: 확산 상수)에 접근할 수 있게 하며, 공간 분해능(개별 입자 수준까지)도 제공하여 콜로이드 결정, 유리, 겔, 그리고 유체역학적 상호작용에서 국부 구조의 형태와 역학을 밝힐 수 있다.
2D 분자 기체의 경우 주사 터널링 현미경을 통해 완전한 (거리 의존적 및 각도 의존적) 쌍 상관 함수의 직접적인 시각화가 이루어졌다.
방사형 분포 함수 고차 상관 함수
방사형 분포 함수만으로는 구조 정보를 특성화하기에 불충분하다는 점이 지적되었다. 서로 다른 점 과정은 동일하거나 실질적으로 구별할 수 없는 방사형 분포 함수를 가질 수 있는데, 이를 퇴화 문제(degeneracy problem)라고 한다. 이러한 경우, 구조를 더 자세히 설명하기 위해 고차 상관 함수가 필요하다.
인 고차 분포 함수 는 시스템의 열역학에 덜 중요하며, 동시에 기존의 산란 기술로는 접근할 수 없기 때문에 덜 연구되었다. 그러나 코히어런트 엑스선 산란을 통해 측정할 수 있으며, 무질서한 시스템의 국부 대칭을 밝힐 수 있다는 점에서 흥미롭다.
사무엘레 리치
사무엘레 리치(이탈리아어: Samuele Ricci, 2001년 8월 21일 ~ )는 이탈리아의 축구 선수이다. 그의 포지션은 수비형 미드필더로, 현재 세리에 A의 AC 밀란에서 활약하고 있다.
사무엘레 리치 클럽 경력
리치는 엠폴리 유소년 팀에서 경력을 시작했으며 2018-19 시즌부터 U-19 팀에서 뛰기 시작했다. 2019년 4월, 그는 처음으로 성인팀에 소집되었지만 데뷔전을 갖지 못한 채 벤치에서 경기를 지켜봤다. 2019년 9월 21일, 리치는 1-0으로 이긴 치타델라와의 세리에 B 경기에서 레오 스툴라치와 교체 투입되어 18세의 나이로 엠폴리에서 프로 데뷔전을 치렀다. 다음 시즌, 알레시오 디오니시 감독은 주로 그를 메짤라로 기용했다. 2021년 1월 18일, 리치는 5-0으로 이긴 살레르니타나와의 경기에서 프로 데뷔골을 기록했다. 엠폴리는 리그에서 1위를 차지하며 시즌을 마무리하고 세리에 A로 승격했고, 리치는 시즌 최고의 선수로 선정되어 만리오 스코피뇨 상을 수상했다.
2022년 1월 30일, 리치는 특정 조건 충족 시 발동될 완전 영입 옵션과 함께 토리노로 임대 이적했다. 2023년 1월 28일, 그는 2-2로 비긴 전 소속팀 엠폴리와의 원정 경기에서 토리노 소속으로 데뷔골을 기록했다.
사무엘레 리치 클럽 경력
2025년 7월 3일, 리치는 토리노에서 AC 밀란으로 이적을 완료했으며, 언론 보도에 따르면 기본 이적료는 €23m에 추가로 €1.5m의 보너스가 포함되었다. 그는 2029년 6월 30일까지 계약을 체결했으며, 구단 옵션에 따라 2030년 6월 30일까지 연장될 수 있다. 등번호는 4번을 선택했다. 실제 이적이 이루어지기 전부터, 그는 이미 2020년 4월 성인팀 데뷔 시즌 때부터 밀란 이적과 연결되어 있었으며, 구단의 수차례 영입 제안은 엠폴리와 토리노 모두에게 거절당했다.
사무엘레 리치 국가대표팀 경력
2017년 12월, 리치는 프랑스와의 친선 경기를 앞두고 이탈리아 U-17 대표팀에 처음 소집되었다.
2022년 6월 1일, 리치는 아르헨티나와의 2022년 피날리시마 경기와, 2022년 6월 4일부터 14일까지 열린 2022-23년 UEFA 네이션스리그 조별 리그 독일 (2회), 헝가리, 잉글랜드와의 경기를 앞두고 이탈리아 성인 대표팀에 선발되었다. 6월 4일, 그는 해당 대회에서 독일을 상대로 성인 대표팀 데뷔전을 치렀다.
사무엘레 리치 플레이스타일
리치는 오른발잡이 선수로, 주로 수비 라인 앞쪽에서 플레이메이커로 기용되거나 박스 투 박스 미드필더, 즉 그의 모국 이탈리아에서 메짤라로 알려진 역할을 수행한다. 뛰어난 개인 기술과 위치 선정 능력을 갖춘 그는 이탈리아 축구에서 가장 중요한 신예 중 한 명으로 꼽힌다. 그의 롤모델은 안드레아 피를로이다.
사무엘레 리치 사생활
2020년 9월 9일, 리치는 코로나19 양성 판정을 받았다.
마르크 백국
마르크 백국(독일어: Grafschaft Mark, 구어체로 Die Mark, 프랑스어: Comté de La Marck)은 신성 로마 제국의 라인강 하류-베스트팔렌 관구에 속한 백국이자 제국주체 (Reichsstände)였다. 오늘날 독일의 리페강 남쪽 루르강 양안, 볼메강과 렌네강을 따라 위치했다.
마르크 백작은 신성 로마 제국에서 가장 강력하고 영향력도 큰 베스트팔렌 지역의 영주였다. 마르크라는 이름은 작은 마을 '마르크'와 1190년~1202년경에 지어진 마르크성에서 유래했다. 이 둘은 오늘날 독일 함 (Hamm) 시에 편입되어 있는데, 함 역시 1226년 초대 백작 아돌프 드 라 마르크가 설립하였다. 초대 백작의 조상들은 옛 작위인 알테나 (Altena)나 베르크알테나 (Berg-Altena)의 백작을 칭했다.
마르크 백국
마르크 백국의 이름은 오늘날 독일 노르트라인베스트팔렌주의 루르 남부에 위치한 메르키셔구(Märkischer Kreis)의 명칭으로 이어지고 있다. 메르키셔구는 1975년 옛 알테나와 주변 지역을 통합하며 출범한 행정구역으로, 마르크 백국의 영토에서 남쪽 부분을 차지하고 있다. 나머지 영토를 지금의 행정구역으로 따지면 보훔, 도르트문트, 하겐, 함, 우나구, 조스트, 엔네페탈구 등에 속한다.
마르크 백국 지리
마르크 백국은 라인강 하류-베스트팔렌 관구에 속한 영토로서 레클링하우젠 주교령, 도르트문트 백국, 뮌스터 주교후국, 림부르크 백국, 베르덴 수도원령, 에센 수도원령과 접해 있었다. 영토의 총면적은 약 3,000 km2에 달했으며, 리페강~아거강 사이의 남북으로 뻗은 영토와 겔젠키르헨~바트자센도르프 사이의 동서로 약 75 km 길이에 걸친 영토가 합쳐진 모습이었다.
동서 방향으로 지나는 루르강은 마르크 백국을 두 지역으로 양분하였는데, 북쪽의 비옥한 저지대는 헬베크뵈르데 (Hellweg Börde), 남쪽의 구릉지는 자우어란트 (Sauerland)라고 불렀다. 남북 방향으로는 렌네강이 백국의 남부를 가로질렀다. 렌네강 하류지역에는 림부르크-호헨림부르크 백작령 (1243년~1808년)이 있었으며 베르크 공국의 봉토였다.
마르크 백국의 수도, 즉 백국을 다스리는 라 마르크 가문이 머물렀던 곳은 원래 자우어란트 지역의 알테나성 (Altena Burg)였으나, 1220년대에 함 근처의 마르크성으로 거점을 옮겼다.
마르크 백국 역사
원래 알테나의 베르크 백작가의 방계 가문이 다스리던 봉토로서 1160년 베르크알테나 (Berg-Altena)라는 지명으로 기록에서 처음 등장한다. 1198년경 베르크알테나 백작 프리드리히 1세는 에델헤렌 폰 뤼덴베르크의 영토에 있던 공유지인 마르크오버호프 (Mark Oberhof)를 사들였다. 당시 에델헤렌은 쾰른 대주교 필리프 폰 하인스베르크의 봉신이었다. 프리드리히 1세는 이곳에 마르크성(Burg Mark)를 세운 뒤 '마르크 백작'의 거처로 정했다. 1226년에는 프리드리히 1세의 아들 아돌프 1세 폰 마르크가 성 인근에 함 시를 건설하였고, 머지않아 백국 내 최대 도심지로 떠오르며 백작가문이 머무는 도시가 되었다.
마르크 백국 역사
1288년 마르크 백작 에버하르트 2세는 주군 관계에 있던, 쾰른 대주교 겸 명목상 베스트팔렌 공작 지크프리트 폰 베스터부르크에 맞서 브라반트 공작 장 1세, 베르크 백작 아돌프 5세와 동맹을 이루어 싸웠다. 이어진 보링겐 전투에서 동맹군이 승리하면서 마르크 백국은 베스트팔렌 남부에서 우위를 차지하고 쾰른 대주교령에서 독립하게 되었다. 마르크 백국의 영토는 오랫동안 루르강과 리페강 사이의 땅에 국한되었는데 이를 '니더마르크' (Nieder Mark)라 하였다. 그러다 14세기에 이르러 뮌스터 주교후국과의 전쟁을 통해 북부의 새 영토, 즉 오버마르크 (Ober Mark)를 획득할 수 있었다.
1332년 아돌프 2세 폰 마르크 백작은 클레베 백작 디트리히 8세 폰 클레베의 딸 마르가레테와 결혼했다. 아돌프의 어린 아들 아돌프 3세 폰 데어 마르크는 디트리히의 형제인 요한 1세 폰 마르크 백작이 사망하자 1368년에 라인강 서쪽 강변에 위치한 클레베 백국을 획득했다. 1391년 아돌프 3세는 또한 형 엥겔베르트 3세 폰 마르크로부터 마르크를 승계받아 1394년 두 백국을 '클레베마르크 백국'으로 통일하게 되었다.
마르크 백국 역사
1509년 클레베마르크의 작위 계승자인 요한 3세는 율리히-베르크 공작 빌헬름 4세의 딸 마리아 폰 율리히베르크와 결혼했다. 1511년 요한 3세는 장인으로부터 율리히베르크 공작위를 물려받고, 1521년에는 아버지로부터 클레베마르크의 공작위를 물려받았다. 이로써 요한 3세는 율리히클레베베르크 연합공국의 초대 통치자가 되었으며, 교회령을 제외하면 현 독일 노르트라인베스트팔렌주의 거의 모든 지역을 동군연합의 형태로 통일하게 되었다. 율리히클레베베르크 왕조는 약 80년을 이어가다가 마지막 공작 요한 빌헬름이 1609년에 사망하면서 끝이 났다. 율리히 계승 전쟁 이후 1614년 크산텐 조약이 체결되면서 마르크의 봉토는 클레베, 라펜스베르크와 함께 브란덴부르크 선제후 요한 지기스문트의 소유로 넘어갔다. 이후 1701년 프로이센 왕국의 일부가 되었다.
1807년 틸지트 조약 체결로 마르크는 프로이센에서 프랑스의 관할로 넘어갔다. 1808년 나폴레옹 1세는 베르크를 대공국으로 격상시키며 마르크의 영토를 편입시켰고, 베르크 대공국은 나폴레옹기 프랑스 행정구역 체계에 따라 4개의 데파르트망 (주)으로 나뉘게 되었다. 결과적으로 마르크는 프랑스의 루르주 (Ruhr)에 속하였으며, 1813년 나폴레옹의 몰락과 함께 프로이센으로 반환되었다.
1815년 4월 30일 프로이센의 행정 개혁으로 마르크는 베스트팔렌주 아른스베르크현 (Regierungsbezirk Arnsberg)에 편입되었다. 프로이센의 호엔촐레른가 군주에게는 '프로이센 마르크 백국'의 백작이라는 칭호를 겸하였으나 1918년에 폐지되었다. '마르크 백국'은 더 이상 공식적인 지명은 아니게 되었지만, 비공식적으로는 노르트라인베스트팔렌주의 해당 지역을 지칭하는 데 사용되기도 한다.
마르크 백국 역대 통치자
마르크 백국을 다스리던 라 마르크가는 베르크 공작가의 분가이다. 베르크 공작가의 다른 가계 가운데 살아남은 가문은 아이젠베르크가, 림부르크슈티룸 백작가가 되었다.
1807년 틸지트 조약에 따라 프랑스로 넘어갔고, 베르크 대공국에 편입되었다.
마르크 백국의 문장은 '황금색 바탕에 띠가 체크무늬로 적색과 은색 3줄'이었다. 이 문장은 1226년부터 함의 시장(市章)으로 사용되어 왔다. 일대 지역의 다른 도시들도 마르크 백국과 창설자를 상징하는 요소로 빨간색과 흰색 체크무늬 띠를 문장에 포함하고 있다.
마르크 백국 추가 자료
Margret Westerburg-Frisch (Hrsg.): Die ältesten Lehnbücher der Grafen von der Mark (1392 und 1393). Veröffentlichungen der Historischen Kommission Westfalens, Bd. 28: Westfälische Lehnbücher, Bd. 1, Münster in Westfalen 1967.
Oliver Becher: Herrschaft und autonome Konfessionalisierung. Politik, Religion und Modernisierung in der frühneuzeitlichen Grafschaft Mark. Klartext-Verlag, Essen 2006, ISBN 3-89861-512-X.
마르크 백국 추가 자료
Stephanie Marra: Grafen von der Mark, Herzöge von Kleve-Mark und Jülich-Kleve (Hof). In: Werner Paravicini (Hrsg.): Fürstliche Höfe und Residenzen im spätmittelalterlichen Reich, Bd. 3, Thorbecke, Ostfildern 2007, ISBN 3-7995-4522-0. online Text
Fool for the City
《Fool for the City》는 영국의 록 밴드 포거트의 다섯 번째 스튜디오 음반으로, 1975년 9월 15일에 발매되었다. 밴드의 대표곡 〈Slow Ride〉와 타이틀곡이 수록되어 있으며, 밴드 최초로 플래티넘을 기록한 음반이었다. 또한 원년 베이시스트 토니 스티븐스가 탈퇴한 후 녹음된 첫 음반이기도 하다. 프로듀서 닉 제임슨은 이 음반에서 베이스와 키보드를 연주했으며, 데이브 페버렛과 함께 마지막 곡 〈Take It or Leave It〉을 공동 작곡했다. 음반 뒷면 커버 사진에도 등장한 제임슨은 이 음반 홍보 투어에는 참여하지 않은 것으로 알려져 있다. 음반 발매 직후 새로운 베이시스트 크레이그 매그리거가 영입되었지만, 제임슨은 이후 수십 년 동안 간헐적으로 밴드와 함께 제작과 녹음을 이어갔다.
LP는 두 가지 다른 카탈로그 번호로 발매되었다. 최초 발매본은 BR 6959였으며, 1978년에 BRK 6980으로 재발매되었다. 1978년부터 1984년까지 발매된 모든 음반은 이 카탈로그 번호를 사용하였다.
Fool for the City 커버 아트
커버 아트에는 드러머 로저 얼이 뉴욕 맨해튼 이스트빌리지의 이스트 11번가 229번지 (2번가와 3번가 사이) 근처, 포거트의 미국 사무실 주소 인근의 맨홀에 비누 상자에 앉아 낚싯대를 드리우고 있는 모습이 담겨 있다. 뒷면 커버에는 얼의 기묘한 행동을 의심스럽게 바라보는 행인들과, 그가 무엇을 하고 있는지 묻거나 말리려는 밴드의 다른 멤버들이 등장한다. 2014년 인터뷰에서 얼은 이 사진이 어떻게 촬영되었는지 설명했다.
묵시적 용매화
묵시적 용매화(영어: Implicit solvation, 때로는 연속체 용매화(영어: continuum solvation)라고도 불림)는 개별 "명시적" 용매 분자 대신 용매를 연속체 매체로 표현하는 방법이며, 주로 분자동역학 시뮬레이션 및 기타 분자역학 응용 분야에서 사용된다. 이 방법은 단백질, DNA, RNA, 다당류의 접힘 또는 입체구조적 전이와 같은 구조적 및 화학적 과정에서 용질-용매 상호작용의 자유 에너지를 추정하거나, 생체 고분자와 리간드의 결합, 약물의 생체막을 통한 수송 등에서 자주 적용된다.
묵시적 용매화 모델은 액체에서 정당화되며, 많은 고도로 역동적인 용매 분자들의 평균화된 거동을 근사하기 위해 평균 힘 퍼텐셜을 적용할 수 있다. 그러나 생체막이나 단백질의 계면 및 내부는 특정 용해 또는 유전체 특성을 가진 매체로 간주될 수도 있다. 이러한 매체는 그 특성이 지질 이중층의 "극성 프로파일"과 같은 다양한 분석 함수로 설명될 수 있기 때문에 반드시 균일하지는 않다.
묵시적 용매화
묵시적 용매 방법에는 두 가지 기본 유형이 있다. 역사적으로 먼저 개발된 접근 가능한 표면적(ASA) 기반 모델과 최근의 연속체 정전기학 모델이 있지만, 다양한 방법의 수정 및 조합도 가능하다. 접근 가능한 표면적(ASA) 방법은 전달 깁스 자유 에너지와 용질 분자의 겉넓이 사이의 실험적 선형 관계에 기반한다. 이 방법은 자유 에너지의 엔탈피 구성 요소만 포함하는 분자역학 또는 정전기학 방법과 달리 용해의 자유 에너지를 직접 다룬다. 용매의 연속체 표현은 또한 계산 속도를 크게 향상시키고 용매 입체 구조의 불완전한 샘플링으로 인해 발생하는 통계적 평균화 오류를 줄여준다. 따라서 묵시적 용매와 명시적 용매로 얻은 에너지 지형은 다르다. 묵시적 용매 모델은 생체 분자 시뮬레이션에 유용하지만 이는 매개변수화 및 이온화 효과 처리와 관련된 특정 한계와 문제를 가진 근사 방법이다.
묵시적 용매화 접근 가능한 표면적 기반 방법
가장 간단한 ASA 기반 방법에서 용질 분자의 용해 자유 에너지는 다음과 같이 주어진다.
여기서 는 원자 i의 접근 가능한 표면적이고,
는 원자 i의 용해 매개변수, 즉 특정 원자 i의 단위 면적당 용해 자유 에너지에 대한 기여이다. 다른 유형의 원자들(탄소(C), 질소(N), 산소(O), 황(S) 등)에 필요한 용해 매개변수는 일반적으로 일련의 유기 화합물에 대해 계산된 실험적 전달 자유 에너지의 최소제곱법 적합으로 결정된다. 실험적 에너지는 표준 몰 농도의 용질을 사용하여 다른 용액이나 매체 간의 이 화합물들의 분배 계수로부터 결정된다.
묵시적 용매화 접근 가능한 표면적 기반 방법
특히 용해 에너지는 용질 분자를 용매에서 진공(기체상)으로 옮기는 데 필요한 자유 에너지이다. 이 에너지는 분자역학에서 계산된 진공에서의 분자 내 에너지를 보완할 수 있다. 따라서 필요한 원자 용해 매개변수는 처음에는 물-기체 분할 데이터에서 파생되었다. 그러나 단백질과 지질 이중층의 유전체 특성은 진공보다 비극성 용매의 특성과 훨씬 더 유사하다. 따라서 새로운 매개변수는 옥탄올-물 분배 계수 또는 다른 유사한 데이터에서 파생되었다. 이러한 매개변수는 실제로 두 응축된 매체 간의 전달 에너지 또는 두 용해 에너지의 차이를 설명한다.
묵시적 용매화 푸아송-볼츠만
푸아송-볼츠만 방정식(PB)은 이온을 포함하는 용매 내 용질의 정전기적 환경을 설명한다. 이는 cgs 단위로 다음과 같이 쓸 수 있다.
또는 (mks 단위로):
여기서 은 위치 의존 유전율을 나타내고, 은 정전기적 퍼텐셜을 나타내며, 은 용질의 전하 밀도를 나타내고, 은 용질로부터 무한대 거리에서의 이온 i의 농도를 나타내며, 는 이온의 원자가, q는 양성자의 전하, k는 볼츠만 상수, T는 온도, 그리고 은 용액 내 이온에 대한 위치 r의 위치 의존 접근성 계수(종종 균일하게 1로 설정됨)이다. 퍼텐셜이 크지 않은 경우, 방정식을 선형화하여 더 효율적으로 풀 수 있다.
이 방정식은 견고한 이론적 정당성을 가지고 있지만, 근사 없이 계산하려면 계산 비용이 많이 든다. 다양한 일반성과 효율성을 가진 여러 수치 푸아송-볼츠만 방정식 해결기가 개발되었다. 특수 컴퓨터 하드웨어 플랫폼을 사용한 응용 프로그램도 포함된다. 그러나 PB 해결기의 성능은 아직 더 일반적으로 사용되는 일반화된 보른 근사와 같지 않다.
묵시적 용매화 일반화된 보른 모델
일반화된 보른(GB) 모델은 정확한 (선형화된) 푸아송-볼츠만 방정식의 근사치이다. 이 모델은 용질을 내부 유전율이 외부 용매와 다른 구들의 집합으로 모델링하는 것을 기반으로 한다. 이 모델은 다음 함수 형태를 가진다.
여기서
그리고
여기서 는 자유 공간의 유전율, 은 모델링되는 용매의 유전 상수, 는 입자 i의 정전하, 는 입자 i와 j 사이의 거리, 그리고 는 유효 보른 반지름이라고 불리는 (길이 차원을 가진) 양이다. 원자의 유효 보른 반지름은 용질 내부에 원자가 얼마나 깊이 박혀 있는지를 나타낸다. 질적으로는 원자에서 분자 표면까지의 거리로 생각할 수 있다. 유효 보른 반지름의 정확한 추정은 GB 모델에 매우 중요하다.
묵시적 용매화 일반화된 보른 모델
소수성 용매 접근 가능 표면적 (SA) 항으로 확장된 일반화된 보른(GB) 모델은 GBSA이다. 이는 가장 일반적으로 사용되는 묵시적 용매 모델 조합 중 하나이다. 이 모델을 분자역학 맥락에서 사용하는 것을 MM/GBSA라고 한다. 이 공식은 잘 정의된 삼차 구조를 가진 짧은 펩타이드의 원형 상태를 성공적으로 식별하는 것으로 나타났지만, 다른 연구에서 GBSA 모델에 의해 생성된 입체 구조 앙상블은 명시적 용매에 의해 생성된 것과 크게 다르며 단백질의 원형 상태를 식별하지 못한다. 특히 염다리는 과도하게 안정화되며 이는 불충분한 정전기적 차폐 때문일 수 있고, 원형보다 높은 알파 나선 개체수가 관찰되었다. GB 모델의 변형은 막의 정전기적 환경을 근사하기 위해 개발했는데 이는 내재성 막 단백질의 막관통 나선을 접는 데 일부 성공을 거두었다.
묵시적 용매화 임시 고속 용매화 모델
다른 가능성은 용해 자유 에너지를 추정하기 위해 임시적인 빠른 전략을 사용하는 것이다. 1세대 빠른 묵시적 용매는 원자당 용매 접근 가능 표면적 계산을 기반으로 한다. 각 원자 유형 그룹에 대해 다른 매개변수가 용해에 대한 기여도를 조정한다("ASA 기반 모델" 위에서 설명).
또 다른 전략은 CHARMM19 힘장에 구현되어 있으며 EEF1이라고 불린다. EEF1은 가우시안 형태의 용매 배제에 기반한다. 용해 자유 에너지는 다음과 같다.
i의 기준 용해 자유 에너지는 그룹 i가 본질적으로 완전히 용매에 노출된 적절하게 선택된 작은 분자에 해당한다. 적분은 그룹 j의 부피 Vj에 대한 것이며, 합은 i 주변의 모든 그룹 j에 대한 것이다. EEF1은 추가적으로 거리 의존적(비상수) 유전율을 사용하며, 단백질의 이온성 측쇄는 단순히 중화된다. 이는 진공 시뮬레이션보다 50%만 느리다. 이 모델은 나중에 소수성 효과가 추가되어 Charmm19/SASA라고 불리게 되었다.
묵시적 용매화 하이브리드 묵시적-명시적 용매화 모델
용질 주위에 물 분자 층 또는 구를 포함시키고 벌크를 묵시적 용매로 모델링하는 것이 가능하다. 이러한 접근 방식은 M. J. Frisch와 동료들 및 다른 저자들에 의해 제안되었다. 예를 들어, Ref.에서는 벌크 용매를 일반화된 보른 접근 방식과 쿨롱 쌍별 입자 상호작용에 사용되는 다중 격자 방법으로 모델링한다. 이는 정전기 계산의 입자 메쉬 에발트 합 (PME) 방법이 있는 완전 명시적 용매 시뮬레이션보다 빠르다고 보고되었다. 용매화에 대한 정보를 접근하고 획득할 수 있는 다양한 하이브리드 방법이 있다.