hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
톰슨 산란 예시
우주 마이크로파 배경은 톰슨 산란에 기인하는 작은 선형 편광 성분을 포함한다. 이 편광 성분은 소위 E-모드를 매핑하며, 2002년 DASI에 의해 처음으로 감지되었다.
태양의 K-코로나(K-corona)는 태양 코로나 전자로부터 태양 복사선이 톰슨 산란된 결과이다. ESA와 NASA의 SOHO 임무와 NASA의 STEREO 임무는 세 개의 별도 위성에서 이 K-코로나를 측정하여 태양 주변의 전자 밀도의 3차원 이미지를 생성한다.
토카막, 관성 봉입 핵융합 표적의 코로나 및 기타 실험적 핵융합 발전 장치에서, 플라스마의 전자 온도와 밀도는 고강도 레이저 빔의 톰슨 산란 효과를 감지하여 높은 정확도로 측정할 수 있다. 스텔라레이터 Wendelstein 7-X의 업그레이드된 톰슨 산란 시스템은 Nd:YAG 레이저를 사용하여 여러 펄스를 빠르게 연속적으로 방출한다. 각 버스트(burst) 내의 간격은 2ms에서 33.3ms까지 다양하며, 최대 12회 연속 측정을 허용한다. 플라스마 이벤트와의 동기화는 과도 플라스마 이벤트의 실시간 분석을 용이하게 하는 새로 추가된 트리거 시스템에 의해 가능하다.
톰슨 산란 예시
광자 에너지가 전자 정지 질량보다 훨씬 작은 수냐에프-젤도비치 효과에서, 역콤프턴 산란은 전자의 정지 프레임에서 톰슨 산란으로 근사될 수 있다.
엑스선결정학 모델은 톰슨 산란을 기반으로 한다.
톰슨 산란 더 읽어보기
Johnson, W. R.; Nilsen, J.; Cheng, K. T. (2012년 9월 26일). 《Thomson scattering in the average-atom approximation》. 《Physical Review E》 86. 036410쪽. arXiv:1207.0178. Bibcode:2012PhRvE..86c6410J. doi:10.1103/PhysRevE.86.036410. PMID 23031036.
심층 비탄성 산란
입자물리학에서 심층 비탄성 산란(영어: Deep inelastic scattering)은 전자, 뮤온, 중성미자를 사용하여 하드론(특히 양성자와 중성자 같은 중입자) 내부를 탐색하는 데 사용되는 과정의 이름이다. 이 방법은 1960년대와 1970년대에 처음 시도되었으며, 당시에는 많은 이들이 순전히 수학적인 현상으로 간주했던 쿼크의 실재에 대한 첫 번째 설득력 있는 증거를 제공했다. 이는 러더퍼드 산란을 훨씬 더 높은 에너지의 산란 입자와 그에 따라 훨씬 더 미세한 원자핵 구성 요소의 해상도로 확장한 것이다.
헨리 웨이 켄들, 제롬 아이작 프리드먼 그리고 리처드 E. 테일러는 "양성자 및 구속된 중성자에 대한 전자의 심층 비탄성 산란에 대한 선구적인 연구로, 입자 물리학의 쿼크 모델 개발에 본질적으로 중요했다"는 공로로 1990년 노벨상을 공동 수상했다.
심층 비탄성 산란 설명
용어의 각 부분을 설명하자면, "산란"은 렙톤(전자, 뮤온 등)이 하드론에서 벗어나는 것을 의미한다. 굴절 각도를 측정하면 과정의 본질에 대한 정보를 얻을 수 있다. "비탄성"은 목표물이 일부 운동 에너지를 흡수한다는 것을 의미한다. 사실, 사용된 렙톤의 매우 높은 에너지에서는 목표물이 "산산조각" 나면서 많은 새로운 입자를 방출한다. 이 입자들은 하드론이며, 극도로 단순화하자면, 이 과정은 목표물의 구성 쿼크가 목표 하드론에서 "튕겨져 나가는" 것으로 해석되며, 쿼크 갇힘으로 인해 쿼크는 실제로 관찰되지 않고 대신 강입자화에 의해 관찰 가능한 입자를 생성한다. "심층"은 렙톤의 높은 에너지를 나타내며, 이는 매우 짧은 파장을 제공하여 목표 하드론의 크기에 비해 작은 거리를 탐색할 수 있는 능력을 부여하므로 하드론 "깊숙이" 탐색할 수 있다. 또한, 섭동 근사에서 이는 렙톤에서 방출되어 목표 하드론에 흡수되어 구성 쿼크 중 하나에 에너지를 전달하는 고에너지 가상 광자이다. 이는 옆 그림과 같다.
심층 비탄성 산란 설명
포브와 로지나는 핵자의 쿼크 하부 구조가 알려지지 않았을 때 "핵자에 대한 심층 비탄성 산란"이라는 용어가 만들어졌다고 지적했다. 그들은 "준탄성 렙톤-쿼크 산란"이라는 용어를 선호한다.
심층 비탄성 산란 역사
물리학의 표준 모형, 특히 1960년대 머리 겔만의 연구는 이전에 입자물리학에서 분리되어 있던 많은 개념들을 비교적 간단한 하나의 체계로 통합하는 데 성공했다. 본질적으로 세 가지 유형의 입자가 있었다.
렙톤은 1897년 조지프 존 톰슨이 전류가 전자의 흐름임을 보여주면서부터 감지되었다. 일부 보손은 일상적으로 감지되고 있었지만, 약전자기력의 W+, W−, Z0 입자는 1980년대 초에만 명확하게 확인되었고, 글루온은 거의 같은 시기에 함부르크의 DESY에서 확실히 밝혀졌다. 그러나 쿼크는 여전히 파악하기 어려웠다.
러더퍼드의 20세기 초 획기적인 실험에 기반하여 쿼크를 감지하기 위한 아이디어들이 구상되었다. 러더퍼드는 알파 입자를 금 원자에 발사하여 원자 중심에 작고, 무거우며, 전하를 띤 핵이 있음을 증명했다. 대부분은 거의 또는 전혀 편향되지 않고 통과했지만, 일부는 큰 각도로 편향되거나 완전히 되돌아왔다. 이는 원자가 내부 구조와 많은 빈 공간을 가지고 있음을 시사했다.
심층 비탄성 산란 역사
중입자 내부를 탐색하기 위해서는 작고, 관통력이 있으며, 쉽게 생성되는 입자를 사용해야 했다. 전자는 풍부하고 전기 전하로 인해 고에너지로 쉽게 가속될 수 있으므로 이 역할에 이상적이었다. 1968년 스탠퍼드 선형 가속기 센터(SLAC)에서 전자들이 원자핵의 양성자와 중성자에 발사되었다. 나중에 뮤온과 중성미자로 추가 실험이 수행되었지만, 동일한 원리가 적용된다.
충돌은 일부 운동 에너지를 흡수하므로 비탄성이다. 이는 운동 에너지 손실이 없는 탄성인 러더퍼드 산란과는 대조적이다. 전자는 핵에서 튀어나오고, 그 궤적과 속도를 감지할 수 있다. 결과 분석을 통해 하드론이 실제로 내부 구조를 가지고 있다는 결론에 도달했다. 이 실험은 쿼크의 물리적 실재를 확인했을 뿐만 아니라 표준 모형이 입자 물리학자들이 추구해야 할 올바른 연구 방향임을 다시 한번 증명했기 때문에 중요했다.
심층 비탄성 산란 추가 문헌
Povh, Bogdan; Rosina, Mitja (2017). 〈2.1 Electron-Quark Scattering, 2.4 Neutrino-Quark Scattering〉. 《Scattering and Structures: Essentials and Analogies in Quantum Physics》. ISBN 978-3-66254513-3.
R-행렬
R-행렬(영어: R-matrix)이라는 용어는 연구 분야에 따라 여러 가지 의미를 지닌다. 원래의 사용법은 핵반응을 수학적으로 설명하는 것이다. 특히 핵반응의 일반적인 문제는 산란 또는 충돌 행렬 요소의 값(원칙적으로 측정에서 얻을 수 있음)을 핵 구조의 (느린) 역학과 연관시키는 것이다. R-행렬 형식주의는 핵과 외부 세계의 상호작용 효과를 설명한다. 핵의 내부는 지정되지 않고, 즉 "블랙 박스"로 간주된다. 이론의 원래 공식화는 핵 과학자 위그너, 아이젠버드, 브라이트, 블랫, 바이스코프 및 기타 학자들로부터 나왔다. 관련 이론으로는 U-행렬, S-행렬, M-행렬 또는 T-행렬이 있다.
R-행렬 기타 의미 및 사용
R-행렬이라는 용어는 양-백스터 방정식과 관련하여 사용되며, 이는 1964년 J. B. 맥과이어와 1967년 C. N. 양의 저작에서 통계역학 분야에 처음 도입되었고, 1966년 A. A. 유시스의 저작에서 대칭군의 군환 에 도입되었다. 고전적인 R-행렬은 고전 양-백스터 방정식의 정의에서 발생한다.
준삼각 홉프 대수에서 R-행렬은 양-백스터 방정식의 해이다.
광학 과학에서 회절 격자의 수치 모델링은 R-행렬 전파 알고리즘을 사용하여 수행될 수 있다.
R-행렬 양자역학의 R-행렬 방법
양자역학의 계산 방법 중 산란을 연구하는 R-행렬이라는 방법이 있다. 원래의 R-행렬 이론을 기반으로, 원자에 의한 전자, 양전자 및 광자 산란을 위한 방법이 개발되었다. 이 접근법은 나중에 분자에 의한 전자, 양전자 및 광자 산란에 적용되었다.
R-행렬 기타 응용
R-행렬 방법은 UKRmol 및 UKRmol+ 코드 스위트에서 사용된다. 사용자 친화적인 소프트웨어  Quantemol Electron Collisions (Quantemol-EC) 및 그 전신인 Quantemol-N은 UKRmol/UKRmol+를 기반으로 하며 전자 구성 계산을 위해 MOLPRO 패키지를 사용한다.
보른 근사
일반적으로 산란 이론 특히 양자역학에서 보른 근사(영어: Born approximation)는 산란체의 각 지점에서 전체 장 대신 입사장을 구동장으로 취하는 것이다. 보른 근사는 양자 이론 개발 초기인 1926년에 이 근사를 제안한 막스 보른의 이름을 따서 명명되었다.
이것은 확장된 물체에 의한 산란에 적용되는 섭동 이론 방법이다. 산란된 장이 산란체에 대한 입사장에 비해 작을 경우 정확하다.
예를 들어, 가벼운 스티로폼 기둥에 의한 전파의 산란은 플라스틱의 각 부분이 기둥이 없을 때 해당 지점에 존재했을 동일한 전기장에 의해 분극된다고 가정하고, 그 분극 분포에 대한 방사선 적분으로 산란을 계산하여 근사화할 수 있다.
보른 근사 근사 산란 진폭
포텐셜 V로부터의 산란에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식에 기반한 물리 모델에서 시작하여 산란 진폭, f는 완전한 산란 파동 함수 를 알아야 한다.:325

보른 근사에서 초기 및 최종 파동 함수는 평면파로 근사화된다.

이것은 수학적으로 산란 포텐셜의 푸리에 변환에 해당하며 에서 로 변환된다.:325

구대칭 포텐셜의 경우 각도 적분이 수행될 수 있으며 산란 진폭은 입력 및 출력 방향 사이의 극각 에만 의존한다.:325

여기서 이고 이다.
보른 근사 리프먼-슈윙거 방정식의 경우
운동량 p와 외향(+) 또는 내향(−) 경계 조건을 갖는 산란 상태 에 대한 리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같다.
여기서 는 자유 입자 그린 함수이고, 은 양의 무한소 양이며, 는 상호작용 포텐셜이다. 는 때때로 입사장이라고 불리는 해당 자유 산란 해이다. 우변의 인자 는 때때로 구동장이라고 불린다.
보른 근사는 다음과 같이 설정한다.:324

보른 근사 내에서 위 방정식은 다음과 같이 표현된다.
우변이 더 이상 알 수 없는 상태 에 의존하지 않으므로 해결하기가 훨씬 쉽다.
얻어진 해는 보른 급수로 알려진 섭동 급수의 시작점이다.:324
좌표 공간에서 질량 을 가진 입자에 대한 바깥으로 나가는 자유 그린 함수를 사용하면 다음과 같다.
위의 리프먼-슈윙거 방정식에 대한 보른 근사로부터 산란 진폭의 보른 근사를 추출할 수 있다.
여기서 는 입사 파동 벡터 와 산란 파동 벡터  사이의 각도이고, 는 전달된 운동량이다. 보른 산란 진폭은 포텐셜의 푸리에 변환에 비례한다.:324
중심 대칭 포텐셜 에서 산란 진폭은 다음과 같다.
여기서 이다. 중심 대칭 장에 대한 보른 근사에서 산란 진폭 및 그에 따른 단면적 는 운동량 와 산란 진폭 에만 의 조합을 통해서만 의존한다.
보른 근사 응용
보른 근사는 여러 다른 물리적 맥락에서 사용된다.
중성자 산란에서 1차 보른 근사는 중성자 가이드 내에서의 내부 전반사 또는 입사각이 작은 소각 산란과 같은 중성자 광학 현상을 제외하고는 거의 항상 적절하다. 1차 보른 근사를 사용하여 산란 포텐셜 에 대한 산란 진폭이 산란 포텐셜의 푸리에 변환과 동일하다는 것이 밝혀졌다. 이 개념을 사용하여 단층 그래핀에서 푸리에 광학의 전자적 아날로그가 이론적으로 연구되었다. 보른 근사는 또한 이층 그래핀의 전도도를 계산하고 선형탄성 매질에서 장파 길이 파동의 전파를 근사화하는 데 사용되었다.
동일한 아이디어가 지구를 통한 지진파의 움직임을 연구하는 데도 적용되었다.
보른 근사 왜곡파 보른 근사
보른 근사는 입사파 가 평면파일 때 가장 간단하다. 즉, 산란체는 자유 공간 또는 균일 매질에 대한 섭동으로 취급된다.
왜곡파 보른 근사(DWBA)에서 입사파는 문제 의 일부 에 대한 해 이며, 이 부분은 분석적 또는 수치적 방법으로 처리된다. 관심 있는 상호작용 는 다른 방법으로 해결할 수 있는 시스템 에 대한 섭동 로 취급된다. 핵 반응의 경우 수치 광학 모델 파동이 사용된다. 전하를 띤 입자에 의한 전하를 띤 입자의 산란의 경우 쿨롱 산란에 대한 분석 해가 사용된다. 이것은 비보른 예비 방정식을 제공한다.
그리고 보른 근사는 다음과 같다.
다른 응용 분야로는 제동 복사 및 광전 효과가 있다. 전하를 띤 입자에 의한 직접 핵 반응의 경우 이 절차는 두 번 사용된다. 보른 근사를 사용하지 않는 유사한 방법도 있다. 응집 물질 연구에서는 DWBA가 입사각이 작은 소각 산란을 분석하는 데 사용된다.
로마교
로마교 또는 로마니즘(Romanism)은 로마 가톨릭교에 대한 비판적 명칭으로, 구미권의 반가톨릭주의적 맥락에서 주로 사용된 용어이다.
보른 급수
보른 급수(영어: Born series)는 양자 산란 이론에서 상호작용 퍼텐셜 의 거듭제곱으로 다양한 산란량을 전개한 것이다(더 정확히는 의 거듭제곱인데, 여기서 는 자유 입자 그린 연산자이다). 이는 보른 급수의 1차 항인 보른 근사와 밀접한 관련이 있다. 이 급수는 로 치환하여 결합 상수를 도입하는 멱급수로 형식적으로 이해할 수 있다. 보른 급수의 수렴 속도와 수렴 반경은 연산자 의 고유값과 관련이 있다. 일반적으로 보른 급수의 처음 몇 항은 "약한" 상호작용 와 큰 충돌 에너지에 대해 전개된 양에 대한 좋은 근사치이다.
보른 급수 산란 상태에 대한 보른 급수
산란 상태에 대한 보른 급수는 다음과 같다.
이는 리프먼-슈윙거 방정식을 반복하여 유도할 수 있다.
자유 입자에 대한 그린 연산자 는 지연 , 전진  또는 정상파 산란 상태 에 대해 지연/전진 또는 정상파 연산자일 수 있다.
첫 번째 반복은 리프먼-슈윙거 방정식의 우변에 전체 산란 해 를 자유 입자 파동 함수 로 대체하여 얻으며, 이는 첫 번째 보른 근사를 제공한다. 두 번째 반복은 우변에 첫 번째 보른 근사를 대입하며, 그 결과는 두 번째 보른 근사라고 불린다. 일반적으로 n번째 보른 근사는 급수의 n개 항을 고려한다. 두 번째 보른 근사는 첫 번째 보른 근사가 사라질 때 가끔 사용되지만, 더 높은 항은 거의 사용되지 않는다. 보른 급수는 연산자 와 같은 공비를 가진 등비급수로 형식적으로 합산될 수 있으며, 리프먼-슈윙거 방정식의 형식적인 해를 제공한다.
보른 급수 T-행렬에 대한 보른 급수
보른 급수는 T-행렬과 같이 산란 진폭과 밀접한 관련이 있는 다른 산란량에 대해서도 쓸 수 있다.
T-행렬에 대한 리프먼-슈윙거 방정식을 반복하면 다음을 얻는다.
T-행렬의 경우 는 지연 그린 연산자 만을 나타낸다. 정상파 그린 연산자는 대신 K-행렬을 제공할 것이다.
보른 급수 전체 그린 연산자에 대한 보른 급수
그린 연산자에 대한 리프먼-슈윙거 방정식은 분해자 항등식이라고 불린다.
이를 반복하여 풀면 전체 그린 연산자 에 대한 보른 급수가 나온다.
다이슨 급수
산란 이론의 일부인 수리물리학에서 프리먼 다이슨이 공식화한 다이슨 급수(영어: Dyson series)는 상호작용 묘사에서 시간 변화 연산자의 섭동 전개이다. 각 항은 파인만 도형의 합으로 나타낼 수 있다.
이 급수는 점근적으로 발산하지만, 양자 전기역학(QED)에서는 2차에서 실험 자료와의 차이가 10−10 정도이다. 이 근접한 일치는 QED의 결합 상수(또는 미세 구조 상수)가 1보다 훨씬 작기 때문에 유지된다.
다이슨 급수 다이슨 연산자
상호작용 묘사에서 해밀토니언 H는 자유 부분 H0과 상호작용 부분 VS(t)으로 H = H0 + VS(t)와 같이 나눌 수 있다.
상호작용 묘사에서의 퍼텐셜은 다음과 같다.
여기서 는 시간에 독립적이고 는 슈뢰딩거 묘사의 시간 의존적인 상호작용 부분이다.
아래 첨자를 피하기 위해, 다음부터 는 를 나타낸다.
상호작용 묘사에서 진화 연산자  U는 다음 방정식으로 정의된다.
이것은 때때로 다이슨 연산자라고 불린다.
진화 연산자는 시간 매개변수에 대해 유니터리 군을 형성한다. 그것은 다음의 군 속성을 가진다.
이것들로부터 전파자의 시간 진화 방정식을 유도할 수 있다.
상호작용 묘사에서 해밀토니언은 상호작용 퍼텐셜 와 같으므로 방정식은 상호작용 묘사에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
주의: 이 시간 진화 방정식은 도모나가-슈윙거 방정식과 혼동해서는 안 된다.
형식적인 해는 다음과 같다.
이것은 궁극적으로 볼테라 적분의 한 유형이다.
다이슨 급수 다이슨 급수의 유도
위 볼테라 방정식의 반복 해는 다음 노이만 급수로 이어진다.
여기서 이며, 따라서 장은 시간 정렬되어 있다.  연산자(시간 정렬 연산자)를 도입하고 다음과 같이 정의하는 것이 유용하다.
적분 한계는 단순화될 수 있다. 일반적으로 대칭 함수 가 주어졌을 때 다음 적분들을 정의할 수 있다.
그리고
두 번째 적분의 적분 영역은 으로 정의되는 개의 부분 영역으로 나눌 수 있다. 의 대칭성 때문에 각 부분 영역에서의 적분은 동일하며 정의에 따라 과 같다. 따라서 다음이 성립한다.
이것을 이전 항등식에 적용하면 다음을 얻는다.
모든 항을 합하면 다이슨 급수가 얻어진다. 이것은 위의 노이만 급수의 단순화된 버전으로 시간 순서 곱을 포함하며, 경로 정렬 지수이다.
이 결과는 다이슨 공식이라고도 불린다. 이 공식으로부터 군 법칙들을 유도할 수 있다.
다이슨 급수 상태 벡터에 대한 적용
시간 에서의 상태 벡터는 일 때 시간 에서의 상태 벡터로 다음과 같이 표현할 수 있다.
슈뢰딩거 묘사에서 에서의 초기 상태와 에서의 최종 상태의 내적은 일 때 다음과 같다.
하이젠베르크 묘사에서 이를 작성하고, 입사 및 출사 상태를 무한대로 취함으로써 S-행렬을 얻을 수 있다.
시간 정렬이 스칼라 곱에서 뒤집혔다는 점에 유의한다.
노이만 급수
노이만 급수(영어: Neumann series)는 수학 급수로, 연산자 의 k번 반복 적용을 합한 것이다. 이는 생성자 형태를 가진다.
여기서 는 의 k번 반복 적용이며, 는 항등 연산자 이고 에 대해 이다. 이것은 실수 또는 복소수의 등비급수를 연산자의 등비급수로 일반화한 특수한 경우이다. 급수의 일반화된 초기항은 항등 연산자 이고, 급수의 일반화된 공비는 연산자 이다.
이 급수는 카를 노이만이라는 수학자의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 1877년에 퍼텐셜 이론의 맥락에서 이 급수를 사용했다. 노이만 급수는 함수해석학에서 사용된다. 이는 유계 연산자의 스펙트럼을 연구하는 레졸벤트 형식과 밀접하게 연결되어 있으며, 함수에 왼쪽에서 적용될 경우 프레드홀름 적분 방정식을 형식적으로 푸는 리우빌-노이만 급수를 형성한다.
노이만 급수 속성
가 노름 공간 의 유계 선형 연산자라고 가정하자. 노이만 급수가 작용소 노름에서 수렴하면, 는 가역이며 그 역행렬은 다음과 같다.
,
여기서 는 의 항등 연산자이다. 이유를 알아보기 위해 부분합을 고려하자.
.
그러면 다음을 얻는다.
연산자에 대한 이 결과는 에서의 등비급수와 유사하다.
수렴이 보장되는 한 가지 경우는 가 바나흐 공간이고 연산자 노름에서 인 경우이며, 또 다른 호환 가능한 경우는 가 수렴하는 경우이다. 그러나 이 급수가 수렴하는 더 약한 조건을 제공하는 결과도 있다.
노이만 급수 예시
가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
노이만 급수 가 이 무한대로 갈 때 로 수렴하려면, 의 행렬 노름이 1보다 작아야 한다. 이 노름은 다음과 같다.
이는 노이만 급수가 수렴함을 확인시켜준다.
노이만 급수 근사 행렬 역산
절단된 노이만 급수는 근사 행렬 역산에 사용될 수 있다. 가역 행렬 의 역행렬을 근사하기 위해 다음을 고려하자.
에 대해. 그러면, 에 대한 적절한 노름 조건이 만족되면 라는 노이만 급수 항등식을 사용하여 를 얻는다. 이러한 항들은 노름 조건이 주어졌을 때 가 증가함에 따라 작아지므로, 급수를 유한한 에서 절단하면 역행렬에 대한 실용적인 근사치를 얻을 수 있다.
노이만 급수 가역 연산자의 집합은 열려있다
두 바나흐 공간 와  사이의 가역 연산자 집합이 연산자 노름에 의해 유도된 위상에서 열려있다는 것은 하나의 따름정리이다. 실제로 가 가역 연산자이고 가 또 다른 연산자라고 하자.
만약 이면,  또한 가역이다.
이므로, 노이만 급수 는 수렴한다. 그러므로 다음을 얻는다.
노름을 취하면 다음을 얻는다.
의 노름은 다음으로 경계될 수 있다.
노이만 급수 응용
노이만 급수는 대규모 다중 사용자 multiple-input multiple-output (MIMO) 무선 시스템에서 선형 데이터 검출에 사용되어 왔다. 절단된 노이만 급수를 사용하면 명시적인 행렬 역산을 계산할 필요가 없어 선형 데이터 검출의 복잡성을 세제곱에서 제곱으로 줄일 수 있다.
또 다른 응용은 전송 함수에 대한 닫힌 형식 표현을 도출하기 위해 노이만 급수를 활용하는 전파 그래프 이론이다.
프레드홀름 적분 방정식
수학에서 프레드홀름 적분 방정식(영어: Fredholm integral equation)은 프레드홀름 이론, 즉 프레드홀름 핵과 프레드홀름 작용소 연구의 기반이 되는 해를 제공하는 적분 방정식이다. 이 적분 방정식은 에리크 이바르 프레드홀름이 연구했다. 이러한 방정식을 풀기 위한 유용한 방법인 아도미안 분해법은 조지 아도미안에 의해 개발되었다.
프레드홀름 적분 방정식 1종 방정식
프레드홀름 방정식은 핵 함수(아래 정의됨)를 포함하는 항이 적분 한계를 상수로 갖는 적분 방정식이다. 이와 밀접하게 관련된 형태는 변수 적분 한계를 갖는 볼테라 적분 방정식이다.
1종 비동차 방정식 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 작성된다.
여기서 연속적인 핵 함수 와 함수 가 주어졌을 때, 함수 를 찾는 것이 문제이다.
이러한 유형의 방정식에서 중요한 경우는 핵이 인수 차이만의 함수, 즉 이고 적분 한계가 ±∞일 때이며, 이 경우 방정식의 우변은 함수 와 의 합성곱으로 다시 작성될 수 있으므로 형식적으로 해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 와 는 각각 직접 및 역 푸리에 변환이다. 이 경우는 일반적으로 프레드홀름 적분 방정식의 범주에 포함되지 않는다. 프레드홀름 적분 방정식은 일반적으로 적분 작용소가 콤팩트 작용소를 정의할 때 사용되는 이름이다 (비콤팩트 군에서의 합성곱 작용소는 비콤팩트이다. 왜냐하면 일반적으로 와의 합성곱 작용소의 스펙트럼은 의 범위를 포함하며, 이는 일반적으로 셀 수 없는 집합인 반면, 콤팩트 작용소는 이산적인 셀 수 있는 스펙트럼을 갖기 때문이다).
프레드홀름 적분 방정식 2종 방정식
2종 비동차 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 주어진다.
핵 와 함수 가 주어졌을 때, 일반적으로 함수 를 찾는 것이 문제이다.
이를 해결하는 표준적인 접근 방식은 반복을 사용하여 레졸벤트 형식을 이용하는 것이며, 계열로 작성된 해는 리우빌-노이만 급수로 알려져 있다.
프레드홀름 적분 방정식 일반 이론
프레드홀름 방정식의 기본이 되는 일반 이론은 프레드홀름 이론으로 알려져 있다. 주요 결과 중 하나는 핵 K가 콤팩트 작용소를 생성한다는 것이다. 콤팩트성은 동등 연속 함수족을, 더 구체적으로는 아르첼라-아스콜리 정리를 사용하여 보일 수 있다. 작용소로서, 0으로 수렴하는 고유값의 이산 스펙트럼으로 이해될 수 있는 스펙트럼 이론을 갖는다.
프레드홀름 적분 방정식 응용
프레드홀름 방정식은 신호 처리 이론, 예를 들어 데이비드 슬레피언에 의해 대중화된 유명한 스펙트럼 집중 문제에서 자연스럽게 발생한다. 관련된 작용소는 선형 필터와 동일하다. 또한 선형 정방향 모델링 및 역문제에서도 흔히 발생한다. 물리학에서는 이러한 적분 방정식의 해를 통해 실험 스펙트럼을 다양한 기본 분포와 관련시킬 수 있다. 예를 들어, 고분자 용융물 내 고분자의 질량 분포, 또는 시스템 내 이완 시간 분포 등이 있다. 또한 프레드홀름 적분 방정식은 유한 크기의 탄성 경계면 근처의 유체 역학적 상호작용과 관련된 유체역학 문제에서도 발생한다.
프레드홀름 방정식의 특정 응용 분야는 컴퓨터 그래픽에서 사진처럼 사실적인 이미지를 생성하는 것인데, 여기서 프레드홀름 방정식은 가상 광원에서 이미지 평면으로의 빛 전달을 모델링하는 데 사용된다. 이 맥락에서 프레드홀름 방정식은 종종 렌더링 방정식이라고 불린다.
프레드홀름 적분 방정식 추가 자료
Simons, F. J.; Wieczorek, M. A.; Dahlen, F. A. (2006). 《Spatiospectral concentration on a sphere》. 《SIAM Review》 48. 504–536쪽. arXiv:math/0408424. Bibcode:2006SIAMR..48..504S. doi:10.1137/S0036144504445765.
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 〈Section 19.1. Fredholm Equations of the Second Kind〉. 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. 2011년 8월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2011년 8월 17일에 확인함.
볼테라 적분 방정식
수학에서 볼테라 적분 방정식(영어: Volterra integral equation)은 특수한 종류의 적분 방정식이다. 이들은 제1종과 제2종으로 나뉜다.
제1종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다.
여기서 는 주어진 함수이고 는 결정되어야 한다. 제2종 선형 볼테라 방정식은 다음과 같다.
연산자 이론과 프레드홀름 이론에서 해당 연산자들은 볼테라 연산자라고 불린다. 이러한 방정식을 푸는 유용한 방법인 아도미안 분해 방법는 조지 아도미안에 의해 개발되었다.
선형 볼테라 적분 방정식은 다음의 경우에 합성곱 방정식이다.
적분 안의 함수 는 핵이라고 불린다. 이러한 방정식은 라플라스 변환 기법을 사용하여 분석하고 풀 수 있다.
볼테라 적분 방정식
인  형태의 약하게 특이한 핵의 경우, 제1종 볼테라 적분 방정식은 편리하게 고전적인 아벨 적분 방정식으로 변환될 수 있다.
볼테라 적분 방정식은 비토 볼테라에 의해 소개되었고, 그 후 트라이안 랄레스쿠가 에밀 피카르의 지도 아래 쓴 1908년 논문 "Sur les équations de Volterra"에서 연구되었다. 1911년 랄레스쿠는 적분 방정식에 대한 최초의 책을 썼다.
볼테라 적분 방정식은 인구통계학에서 로트카의 적분 방정식으로, 점탄성 재료의 연구에서, 보험계리학에서 갱신 방정식을 통해, 그리고 유체역학에서 유한 크기 경계 근처의 유동 거동을 설명하는 데 적용된다.
볼테라 적분 방정식 제1종 볼테라 방정식을 제2종으로 변환
제1종 선형 볼테라 방정식은 이라고 가정하면 항상 제2종 선형 볼테라 방정식으로 환원될 수 있다. 제1종 볼테라 방정식을 미분하면 다음과 같다.

로 나누면 다음과 같다.

 및 를 정의하면 제1종 방정식이 제2종 선형 볼테라 방정식으로의 변환이 완료된다.
볼테라 적분 방정식 사다리꼴 공식을 이용한 수치 해법
제2종 선형 볼테라 방정식의 수치 해를 계산하는 표준적인 방법은 사다리꼴 공식인데, 이는 등간격 부분 구간 에 대해 다음과 같이 주어진다.

부분 구간의 간격이 같다고 가정하면, 볼테라 방정식의 적분 부분은 다음과 같이 근사할 수 있다.

, , 그리고 로 정의하면, 다음과 같은 선형 방정식 시스템을 얻는다.

이는 행렬 방정식:

와 동일하다. 잘 동작하는 핵에 대해 사다리꼴 공식은 잘 작동하는 경향이 있다.
볼테라 적분 방정식 응용: 파산 이론
볼테라 적분 방정식이 나타나는 한 분야는 보험계리학의 지급불능 위험에 대한 연구인 파산 이론이다. 목표는 초기 잉여금 와 파산 시간 인 파산 확률 를 정량화하는 것이다. 파산 이론의 고전적 모델에서 순현금 포지션 는 초기 잉여금, 율로 얻은 보험료 수입, 그리고 나가는 청구액 의 함수이다.

여기서 는 강도 를 가진 청구 수에 대한 푸아송 과정이다. 이러한 상황에서 파산 확률은 다음과 같은 볼테라 적분 방정식으로 표현될 수 있다.

여기서 는 청구 분포의 생존 함수이다.
볼테라 적분 방정식 확률 볼테라 방정식
과정 가 확률 볼테라 방정식의 해라고 말할 수 있다.

만약 다음과 같으면:
여기서 가 일반적인 조건을 가진 확률 공간의 여과에 적합하다고 가정한다. 이 프레임워크를 사용하는 한 모델은 예를 들어 러프 베르곰 모델이다.
볼테라 적분 방정식 더 읽어보기
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 〈Section 19.2. Volterra Equations〉. 《Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing》 3판. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
볼테라 연산자
수학의 함수해석학 및 연산자 이론 분야에서 비토 볼테라의 이름을 딴 볼테라 연산자(영어: Volterra operator)는 구간 [0,1]에서 복소수 값을 갖는 제곱 적분 가능 함수의 공간 L2[0,1]에 대한 유계 선형 연산자이다. 연속 함수의 부분 공간 C[0,1]에서 부정적분을 나타낸다. 볼테라 적분 방정식에 해당하는 연산자이다.
볼테라 연산자 정의
볼테라 연산자 V는 함수 f ∈ L2[0,1] 및 값 t ∈ [0,1]에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.
볼테라 연산자 속성
마찬가지로, 는 커널 를 갖는다. 이들은 를 통해 유니터리 동치이므로 둘 다 동일한 스펙트럼을 갖는다.
여기서 이다.
Wplace
Wplace는 브라질의 개발자 무릴로 마츠바라가 개발해 2025년 7월 21일에 출시된 협동 픽셀 아트 웹사이트로, 사용자는 세계 지도에 있는 픽셀의 색깔을 변경하여 캔버스를 편집할 수 있다. 해당 아이디어는 레딧에서 주최된 협업 프로젝트인 r/place를 차용했다.
Wplace 개요
사용자는 캔버스에서 4조 개의 사각형 픽셀 중 어떤 것이든 변경하여 세계 지도를 실시간으로 편집할 수 있다. 사용자는 처음엔 62개의 픽셀을 배치할 수 있으며, 더 많이 그릴수록 최대 픽셀 용량이 확장된다. 소모된 픽셀은 30초마다 1개씩 회복된다. 가장 많은 픽셀을 배치한 국가와 지역을 보여주는 순위 표도 존재한다. 8월 7일 기준으로 1위 국가는 5억 개 이상의 픽셀을 배치한 브라질이다 이러한 규칙으로 인해 사용자 간의 빈번한 분쟁이 발생한다. 사용자들은 자신의 그림을 완성하려고 노력하고 때로는 기존 그림이나 근처 그림을 파괴하기도 한다.
사용자는 레벨을 올리고 픽셀을 배치할 때마다 '물방울(droplets)'을 얻는다. 물방울은 픽셀 용량을 늘리거나, 현재 픽셀을 추가로 얻거나, 프로필 사진을 변경하거나, 선택한 국가의 깃발을 프로필에 추가하는 데 사용할 수 있다. 이는 작품을 만드는 데 도움이 되는데, 사용자가 구매한 깃발과 일치하는 국가에 픽셀을 배치하면 픽셀의 10%를 돌려 받는다.
Wplace 개요
Wplace는 4일 만에 100만 명 이상의 사용자를 모았다. 틱톡, 레딧, 트위터와 같은 플랫폼이나 특히 독일과 브라질과 같은 국가의 주민들 사이에서 인기를 얻었다. 동시 사용자 수가 매우 많기 때문에 순위표를 볼 수 없거나 새로운 사용자의 등록이 불가능한 등의 많은 기술적 문제가 발생했다. 하지만 기존 사용자들은 여전히 캔버스를 편집할 수 있었다.
Wplace 반응
사용자들은 유명한 비디오 게임, 일본의 애니메이션, 만화, 밈 및 사이버 문화의 요소를 활발하게 그린다. 《원신》, 《할로 나이트》, 《붕괴: 스타레일》, 《별의 커비》, 《마리오》, 《오버워치》, 《페르소나》, 《소닉 더 헤지혹》, 《스타듀 밸리》, 《동방 프로젝트》, 《언더테일》, 《델타룬》, 《포켓몬스터》와 같은 비디오 게임 프랜차이즈의 요소들이 자주 등장한다. 가장 많이 등장하는 프랜차이즈 중 하나는 델타룬으로, 일부 자료에서는 델타룬에 관한 많은 작품의 수 때문에 델타룬이 사이트를 장악했다고 언급했다.
Wplace는 팬들이 기업의 사무실 위치에 예술 작품을 만드는 것과 같이 기업과 소통하려는 시도로도 활용되었다. 《드래곤 에이지》 시리즈의 팬들은 Wplace를 통해 개발사인 바이오웨어가 게임의 리마스터 버전을 만들지 못하게 한 것에 대해 항의했다.
트랜스젠더를 지지하는 예술 작품이 특히 영국 내 주요 지역에서 그려졌다. 사용자들은 J. K. 롤링의 트랜스젠더 커뮤니티에 대한 이전 발언 때문에 그녀의 집 근처에 트랜스젠더 깃발을 그리기도 했다. 지도에 트랜스젠더 깃발이 많이 등장하자 인터넷 커뮤니티에서는 이들의 확산에 대한 밈을 만들기 시작했다.
Wplace 반응
Wplace 출시 이후 가자 지구 및 그 주변 캔버스에는  이스라엘-하마스 전쟁에 대한 항의의 표시로 팔레스타인의 국기, 평화주의 슬로건, 여러 하트 모양의 예술 작품 등 수많은 작품이 그려졌다. 북아메리카에서는 사용자들이 플로리다주의 앨리게이터 앨커트래즈에 반대하고 멕시코 할리스코주에 위치한 할리스코 절멸수용소 현장에 추모 예술 작품을 그렸다. 남아메리카에서는 콜롬비아와 페루의 다양한 사용자들이 산타 로사섬의 논란에 대한 각자의 국가의 주장을 지지하는 행동주의를 실천했다.
A Matter of Time
《A Matter of Time》은 아이슬란드의 싱어송라이터 레이베이의 세 번째 정규 앨범이다. 2025년 8월 22일 빈골프 레코딩스와 AWAL을 통해 발매되었으며, 발매에 앞서 4개의 싱글이 발매되었다. 〈Silver Lining〉은 2025년 4월 3일에, 음반 발표일인 2025년 5월 15일에는 〈Tough Luck〉이, 2025년 6월 25일에는 〈Lover Girl〉이, 2025년 8월 7일에는 〈Snow White〉가 발매되었다.
이 음반은 초기 재즈 보존에 중점을 두던 것에서 벗어나, 더욱 취약하고 감정적으로 표현적인 면을 탐구하는 변화를 나타낸다. 레이베이는 오랜 프로듀서 스펜서 스튜어트와 아론 데스너와 협력하여 감정적 깊이와 더 넓은 음악적 영향을 균형 잡힌 사운드를 개발했다. 주제적으로 이 음반은 우정의 이별, 사랑에 대한 불안, 개인적인 성찰과 같은 주제를 다룬다. 레이베이는 이 프로젝트를 자신에게 내재된 더 복잡하고 불완전한 측면을 탐구할 기회라고 설명했다.
A Matter of Time 배경 및 콘셉트
레이베이는 정규 2집 《Bewitched》 (2023)와 그 확장판인 《Bewitched: The Goddess Edition》을 2024년에 발매했다. 두 음반 모두 비평가들과 상업적으로 호평을 받았으며, 재즈, 클래식, 팝 감각을 독특하게 혼합한 레이베이의 스타일을 더욱 확고히 했다. 음반 발매 이후, 다음 프로젝트에 대한 기대가 커졌다. 2025년 5월 15일, 레이베이는 정규 3집 《A Matter of Time》을 2025년 8월 22일에 발매할 예정이라고 발표했다. 같은 해 초, 레이베이는 2025년 로스앤젤레스에서 열린 《타임》의 '올해의 여성 갈라'에서 공연자로 선정되었다. 이 행사는 평등과 정의를 옹호하는 전 세계 여성들을 기리는 행사였다. 두 번의 올림픽에 출전하여 금메달을 딴 조던 차일스의 소개로 레이베이는 회복력, 희망, 용기라는 주제를 기념하는 공연으로 저녁을 마무리했다. 또한 레이베이는 연례 골드 하우스 갈라에서 수상했다. 기성 스타들과 떠오르는 스타들과 함께 무대에 선 레이베이는 빌보드 골드 뮤직 상을 수상하고 레이베이의 싱글 〈Silver Lining〉의 어쿠스틱 세트를 연주했다. 행사에 대해 레이베이는 《Bewitched》로 그래미상을 수상한 후 동료들로부터 독특한 지지와 축하를 받았다고 밝혔다.
A Matter of Time 배경 및 콘셉트
이전 음반인 《Everything I Know About Love》와 《Bewitched》에서 레이베이는 주로 레이베이가 "바이블"이라고 부르는 그레이트 아메리칸 송북의 영향을 받은 오리지널 연애 발라드에 중점을 두었다. 뉴욕에서 세 번째 음반을 녹음하는 동안 이 전환을 회상하며 레이베이는 "아무도 나보다 먼저 그 길을 걷지 않았다는 것이 그렇게 무서운 일이라고 생각했었다. 하지만 이제 나는 다음에 어떤 발걸음을 내딛고 어떤 가지를 옆으로 치워야 할지 결정하는 사람이 바로 나 자신일 때, 당신이 좋은 것을 손에 쥐고 있다는 것을 깨닫는다"고 말했다.
"나에게 모든 새 음반은 쓸 이야기의 빈 책이에요. [...] 나는 끊임없이 클래식과 재즈, 그것들을 어떻게 제대로 보존하고 존경을 표할지에 대해 생각해요. 이 음반에서는 그저 내 마음이 방황하도록 내버려 두고 싶었죠. [...]
사람들은 예쁜 소녀 같은 옷, 환상적인 이야기, 낭만적인 음악이라는 겉모습을 기대합니다. 이번에는 내 자신에게 가장 결함 있는 부분을 어떻게 끌어내어 거울에 직접 비춰볼 수 있을지에 관심이 있었었습니다."
A Matter of Time 배경 및 콘셉트
《A Matter of Time》을 통해 레이베이는 이전 작업에서 강조했던 재즈 음악 유산 보존에서 벗어나, 자신의 더욱 취약하고 인간적인 면을 드러내는 데 초점을 맞춘다. 이러한 변화를 실현하기 위해 레이베이는 오랜 협력자 스펜서 스튜어트와 감정적 깊이를 탐구하는 아티스트들과의 작업으로 알려진 아론 데스너 두 공동 프로듀서와 함께 작업했다. 《피플》과의 인터뷰에서 레이베이는 이 음반을 더욱 외향적이고 감정적으로 날것의 음반으로 묘사하며, 친구 관계의 이별, 사랑에 대한 두려움, 자기 대면과 같은 주제를 탐구한다고 말했다.
A Matter of Time 구성
《A Matter of Time》은 《엘르》 잡지에 의해 "자신을 드러내는 젊은 여성"에 대한 콘셉트 음반으로 묘사되었으며, 레이베이가 레이베이의 시그니처 로맨틱 미학 이면에 있는 "더 지저분한 면"을 탐구하고 있다. 인터뷰에서 레이베이는 "함께 노래할 가치가 있는" 음악을 만들고 싶다는 소망을 표현하며, 고전 음악을 나이 든 청중에게 연주하던 경험에서 어린 팬들이 레이베이의 가사를 따라 부르는 공연장에서 헤드라인을 장식하는 경험으로 성장하는 과정을 반영했다. 레이베이는 이 음반이 "더 많은 악기"를 특징으로 하며, 현재 라이브 공연의 규모에 맞춰 "더 크게" 느껴지고, 레이베이가 만든 음반 중 "가장 자신감 있고" "가장 야심 찬" 음반이라고 설명하면서도 "가장 나다운" 음반이라고 말했다.
이 음반의 리드 싱글 〈Silver Lining〉은 "네가 지옥에 가면 나도 너와 함께 갈 거야"라는 가사를 통해 레이베이가 감정적 강렬함을 받아들이려는 의지를 강조하며, 음반의 낭만적이고 감정적으로 직접적인 접근 방식을 보여준다. 《NME》에 의해 불타오르듯 감정적으로 충만한 트랙으로 묘사된 〈Tough Luck〉은 실패한 관계의 여파를 탐구한다.
A Matter of Time 발매 및 홍보
레이베이는 2025년 5월 15일 정규 3집 《A Matter of Time》을 발표하며, 2025년 8월 22일 빈골프 레코딩스와 AWAL을 통해 발매될 예정임을 확인했다. 이 발표는 레이베이의 공식 소셜 미디어 플랫폼을 통해 공유되었으며, 레이베이는 음반 커버 아트워크와 발매 날짜를 공개했다. 전날 공유된 게시물에서 레이베이는 이 음반을 삶과 사랑을 통해 시간이 흐르면서 경험하는 "아름다운 것부터 추한 것까지" 모든 감정을 탐구하는 개인적인 일기가 노래로 바뀐 것이라고 설명했다.
A Matter of Time 발매 및 홍보
발표에 앞서 레이베이는 두 개의 싱글을 발매했는데, 2025년 4월 3일에 〈Silver Lining〉을, 2025년 5월 15일에는 〈Tough Luck〉을 발매했다. 뮤직비디오와 함께 공개된 〈Silver Lining〉은 레이베이에 의해 사랑에 직면하여 진정한 자아를 해방시키는 것에 대한 사랑 노래로, "내면의 어린아이가 나오고 욕망으로 용기를 얻는" 상태를 묘사했다. 후자는 공식 발매 이전에 라이브 공연에서 미리 공개되었으며, 유해한 관계를 끊는 사람의 관점을 반영하는 가사를 담고 있었다. 2025년 6월 25일, 레이베이는 음반의 세 번째 싱글 〈Lover Girl〉을 발매했다. 〈Snow White〉는 2025년 8월 7일에 음반의 네 번째 싱글로 발매되었다.
레이베이는 2025년 내내 북미와 남미에서 여러 콘서트와 페스티벌에 출연할 예정이다. 이러한 출연에는 여러 교향악단과의 협연이 포함된다. 레이베이는 2025년 5월 27일 멕시코시티에서 공연한 후 5월 31일 상파울루의 팝로드 페스티벌에 출연할 예정이다. 7월 말과 8월 초, 레이베이는 버지니아 심포니 오케스트라와 함께 7월 30일과 31일 버지니아 예술 축제의 노퍽 (버지니아주)에서 두 차례 공연을 펼친다. 그런 다음 8월 2일과 3일 뉴욕주 채터쿼에서 채터쿼 심포니 오케스트라와 함께 출연한다. 추가 오케스트라 콘서트로는 8월 7일 카이어호가폴스의 블로썸 뮤직 센터에서 클리블랜드 오케스트라와, 8월 9일 새러토가 공연 예술 센터에서 필라델피아 오케스트라와 공연한다. 페스티벌과 오케스트라 콘서트가 끝난 후, 레이베이는 A Matter of Time 투어를 떠날 예정이다.
A Matter of Time 평가
리뷰 집계 사이트인 메타크리틱에 따르면, 《A Matter of Time》은 10개의 평론가 평가를 바탕으로 가중 평균 100점 만점에 85점을 기록하여 "보편적 찬사"를 받았다.
팝매터스는 《A Matter of Time》을 "매력적"이라고 묘사하며, 레이베이가 자신의 매력을 낮출 때도 그 매력이 드러난다고 언급했다.
바바라 레너드
바바라 레너드(Barbara Leonard)라는 이름을 가진 사람은 다음이 있다.
곱 적분
곱 적분(영어: Product integral)은 미적분학의 일반적인 합 기반 적분에 대한 곱 기반 대응물이다. 곱 적분은 1887년 수학자 비토 볼테라가 선형 미분 방정식 시스템을 해결하기 위해 개발했다.
곱 적분 비공식적 개요
함수 의 고전적인 리만 적분은 다음 관계로 정의될 수 있다.
여기서 극한은 구간 의 모든 구간의 분할에 대해 취해지며, 이들의 노름은 0에 접근한다. 곱 적분은 비슷하지만 합의 극한 대신 곱의 극한을 취한다. 이는 "이산수학적" 곱의 "연속" 버전으로 생각될 수 있다. 다음과 같이 정의된다.
의 경우, 곱 적분은 르베그 적분의 경우, 즉 고전 미적분학으로 정확히 환원된다. 따라서 흥미로운 경우는 가 유한 차원 행렬장과 같은 가환대수학이거나 가 비가환대수인 함수 에 대해 발생한다. 이 두 경우, 가환 경우와 비가환 경우에 대한 이론은 공통점이 거의 없다. 비가환 경우는 훨씬 더 복잡하다. 적분을 잘 정의하기 위해서는 적절한 경로 정렬이 필요하다.
곱 적분 비공식적 개요
가환 경우의 경우, 문헌에는 Type-I, Type-II 또는 기하학적, Type-III 또는 이중기하학적이라고 불리는 세 가지 명확한 정의가 일반적이다. 이러한 적분은 역학(카플란-마이어 생존분석) 및 확률적 개체군 역학에서 사용되었다. 기하학적 적분은 기하학적 미분과 함께 이미지 분석 및 성장/감쇠 현상(예: 경제성장, 박테리아 성장, 방사성 붕괴) 연구에 유용하다. 이중기하학적 적분은 이중기하학적 미분과 함께 프랙탈의 일부 응용 프로그램, 및 경제학의 함수의 탄력성 이론에서 유용하다.
비가환 경우는 일반적으로 양자역학과 양자장론에서 발생한다. 피적분 함수는 일반적으로 일부 비가환대수에 속하는 연산자이다. 이 경우, 적분할 때 경로 정렬을 설정하는 데 주의해야 한다. 일반적인 결과는 정렬된 지수이다. 마그누스 전개는 볼테라 적분을 계산하는 한 가지 기술을 제공한다. 예로는 다이슨 전개, 연산자 곱 전개 및 게이지 장에 대한 곱 적분인 윌슨 선에서 발생하는 적분이 있다. 윌슨 고리는 윌슨 선의 트레이스이다. 곱 적분은 제어이론에서도 발생하며, 선형계에서 마스터 방정식 유형으로 작성된 상태 전이를 설명하는 페아노-베이커 급수로 나타난다.
곱 적분 일반(비가환) 경우
볼테라 곱 적분은 행렬값 함수 또는 바나흐 대수의 값을 갖는 함수에 적용될 때 가장 유용하다. 비가환 필드에 속하는 스칼라, 행렬 및 연산자, 즉 교환하지 않는 수학적 개체에 적용될 때, 볼테라 적분은 두 가지 정의로 나뉜다.
왼쪽 곱 적분은 다음과 같다.
이러한 왼쪽 곱(즉, 왼쪽에서 적용되는 일반 곱) 표기법으로
오른쪽 곱 적분
이러한 오른쪽 곱(즉, 오른쪽에서 적용되는) 표기법으로
여기서 은 항등 행렬이고 D는 리만 의미에서 구간 [a,b]의 분할, 즉 극한은 분할에서 최대 구간에 대한 것이다. 이 경우 시간 순서가 정의에서 어떻게 명확해지는지 주목하라.
마그누스 전개는 곱 적분을 계산하는 기술을 제공한다. 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식의 연속 시간 버전을 정의한다.
곱 적분은 1-매개변수 연속군을 정의하는 일련의 속성을 만족한다. 이들은 응용 프로그램을 보여주는 두 기사, 즉 다이슨 급수와 페아노-베이커 급수에 명시되어 있다.
곱 적분 가환 경우
가환 경우는 훨씬 간단하며, 결과적으로 다양한 표기법과 정의가 나타났다. 문헌에는 세 가지 고유한 스타일이 인기가 있다. 이 하위 섹션은 비토 볼테라 등이 선호하는 적분  (일반적으로 곱셈 기호 또는 문자 P로 수정됨) 대신 곱 적분을 위해 곱셈  표기법을 채택한다. 분야에 질서를 부여하기 위해 유형의 임의 분류가 채택되었다.
적분될 함수가 실수값을 가질 때, 이론은 정확히 르베그 적분 이론으로 환원된다.
Type I 곱 적분은 비토 볼테라의 원래 정의에 해당한다. 스칼라 함수 에 대해 다음 관계가 존재한다.
이를 기하학적 적분이라고 한다. 로그는 f가 실수 또는 복소수 값을 취하거나 f가 교환하는 트레이스-클래스 연산자의 가환 필드 값을 취할 때 잘 정의된다. 이 곱 적분의 정의는 이산수학적 곱 범함수  (여기서 )의 연속 아날로그이며, (정규/표준/가법) 적분  (여기서 )의 곱셈 아날로그이다.
곱 적분 가환 경우
이는 확률론에서 매우 유용한데, 여기서 로그 가능도(즉, 독립 확률 변수들의 곱 적분의 로그)는 이들(무한히 많은) 확률 변수들의 로그의 적분과 같다.
Type III 곱 적분은 이중기하학적 적분이라고 불린다.
가환 경우의 경우, 다음 결과는 Type II 곱 적분(기하학적 적분)에 대해 성립한다.
기하학적 적분(위의 Type II)은 기하학적 미적분학에서 중심적인 역할을 한다. 이는 곱셈적 미적분학이다. 기하학적 적분의 역수, 즉 로 표기되는 기하학적 미분은 다음 관계를 사용하여 정의된다.
따라서 다음을 결론 내릴 수 있다.
기본 정리
곱 규칙
몫 규칙
큰 수의 법칙
여기서 X는 확률 분포 F(x)를 갖는 확률 변수이다.
표준 큰 수의 법칙과 비교하라.
곱 적분 가환 경우: 르베그 유형 곱 적분
피적분 함수가 실수 값을 가질 때, 단순 함수를 사용하여 곱 적분을 쉽게 다룰 수 있다. 르베그 버전의 (고전) 적분의 경우와 마찬가지로, 단순 함수의 곱 적분으로 근사하여 곱 적분을 계산할 수 있다. Type II 기하학적 적분은 정확히 고전 르베그 적분의 경우로 환원된다.
단순 함수는 계단 함수를 일반화하므로, 여기서는 계단 함수인 단순 함수의 특수한 경우만 고려할 것이다. 이는 르베그 정의를 리만 정의와 비교하기 쉽게 할 것이다.
태그가 지정된 분할을 갖는 계단 함수 가 주어졌을 때
Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 한 근사는 다음과 같다.
(Type I) 곱 적분은 1931년 루트비히 슐레징거의 논문에서 대략적으로 이러한 곱의 극한으로 정의되었다.
Type I 곱 적분의 "리만 정의"의 또 다른 근사는 다음과 같이 정의된다.
곱 적분 가환 경우: 르베그 유형 곱 적분
가 상수 함수일 때, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사와 같다. 일반적으로 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 한 분할에 의존하지 않는 반면, 첫 번째 유형의 근사값은 분할이 계단 함수를 정의하는 분할의 세분인 경우에도 분할의 세밀함에 의존한다는 점을 주목하라.
어떤 곱 적분 가능 함수 에 대해서든, 첫 번째 유형의 근사의 극한은 두 번째 유형의 근사의 극한과 같음이 밝혀졌다. 계단 함수의 경우, 두 번째 유형의 근사값은 "충분히 세밀한" 분할에 대해 분할의 세밀함에 의존하지 않으므로, 계단 함수의 "르베그 (Type I) 곱 적분"을 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.
여기서 는 계단 함수 에 해당하는 태그가 지정된 분할이다. (대조적으로, 해당 양은 첫 번째 유형의 근사를 사용하여 모호하게 정의되지 않을 것이다.)
이것은 임의의 측도 공간으로 쉽게 일반화된다. 가 측도 를 갖는 측도 공간이고, 인 곱 적분 가능 단순 함수(즉, 일부 서로소 가측 집합 에 대한 지시 함수의 원뿔 조합)에 대해, 그 Type I 곱 적분은 다음과 같이 정의된다.
곱 적분 가환 경우: 르베그 유형 곱 적분
는 의 임의의 지점에서 의 값이므로. 특수한 경우 , 가 르베그 측도, 그리고 모든 가측 집합 가 구간일 때, 이것이 해당 특수한 경우에 주어진 정의와 같음을 확인할 수 있다. (고전) 르베그 적분 이론과 유사하게, 임의의 곱 적분 가능 함수 의 Type I 곱 적분은 곱 적분 가능 단순 함수의 볼테라 곱 적분의 증가하는 수열의 극한으로 작성될 수 있다.
위 정의의 양변에 로그를 취하면, 어떤 곱 적분 가능 단순 함수 에 대해 다음을 얻는다.
여기서 단순 함수에 대한 적분의 정의를 사용했다. 또한, 와 같은 연속 함수는 극한과 교환될 수 있고, 곱 적분 가능 함수 의 곱 적분은 단순 함수의 곱 적분의 극한과 같으므로, 다음 관계가
어떤 곱 적분 가능 에 대해서도 일반적으로 성립한다. 이는 위에서 언급된 속성을 분명히 일반화한다.
Type I 적분은 집합 함수로서 곱셈적이며, 이는 위 속성을 사용하여 보여줄 수 있다. 더 구체적으로, 곱 적분 가능 함수 가 주어졌을 때, 모든 가측 집합 에 대해 정의하여 집합 함수 를 정의할 수 있다.
여기서 는 의 지시 함수를 나타낸다. 그러면 임의의 두 서로소 가측 집합 에 대해 다음이 성립한다.