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상고음 중간음
절운의 초성과 운미의 조합은 다음과 같은 표에서와 같이 상고한어 중간음 *-r-와 상고한어의 A형/B형 구별의 대응음을 결합하여 설명할 수 있다.
여기서 *P, *T, *TS, *K, *Q는 상고한어의 자음군을 나타낸다.
청나라 문헌학자 전대흔은 후한 시대 저자들이 제시한 음운 주석을 연구하여, 당시 중고 한어의 치음 및 권설 파열음 계열이 구별되지 않았다는 사실을 이미 발견했다.
모든 학자들이 A형과 B형 음절 간의 차이가 어떤 종류의 실제 상고한어 음운론적 구별을 반영한다는 점에는 동의하지만, 그 음성적 형태에 대해서는 합의가 없다.
전통적인 접근 방식은 중고 한어 구개음 중간음 -j-를 상고한어 중간음 *-j-로 투영하는 것이었지만, 많은 최근 저자들은 중고 한어 중간음의 유무가 상고한어에서는 다른 것을 반영한다고 주장한다.
증거로는 A형 음절이 그러한 중간음이 없는 외국어를 음역하는 데 사용되었다는 점, 티베트-버마어 동근어 및 현대 민어 방언에서 중간음이 없다는 점, 그리고 음성 계열에서 중간음이 무시된다는 점 등이 있다.
이 구별은 다음과 같이 다양하게 설명되었다.
상고음 중간음
주모음의 길이 구별. 풀리블랭크는 처음에 B형 음절이 더 긴 모음을 가졌다고 제안했다. 이후 다른 중국티베트어족 언어의 동근어를 인용하며, 스타로스틴과 정장상팡은 독자적으로 A형에 대해 장모음을, B형에 대해 단모음을 제안했다. 후자의 제안은 일부 후한 시대 주석에서 A형과 B형 음절을 각각 huǎnqì 緩氣 '느린 숨'과 jíqì 急氣 '빠른 숨'으로 묘사한 것을 설명할 수 있다.
초성 자음의 인두음화. 노먼은 절운 음절의 절반 이상을 차지하는 B형 음절(그의 C형)이 사실 상고한어에서는 무표였다고 제안했다. 대신 그는 나머지 음절이 권설음화(*-r- 중간음) 또는 인두음화로 표시되었으며, 이 둘 중 하나가 중고 한어에서 구개음화를 방지했다고 제안했다. 백스터와 로랑 사가르는 이 제안의 변형을 채택하여 모든 A형 음절에서 인두음화된 초성을 재구성했다.
상고음 모음
운율이 맞는 음절이 같은 주모음을 가졌다고 가정하면서, 리팡구이는 네 가지 모음 *i, *u, *ə, *a로 구성된 체계를 제안했다.
그는 또한 *ə 또는 *a로 재구성된 운율군에 속했지만 중고 한어에서 구별되는 음절을 설명하기 위해 세 가지 이중모음 *iə, *ia, *ua를 포함했다.
1980년대 후반, 정장상팡, 세르게이 스타로스틴, 윌리엄 백스터(니콜라스 보드맨에 따름)는 독립적으로 이 운율군을 분할해야 한다고 주장하며, 31개의 전통적인 운율군을 50개 이상의 군으로 세분화하여 6개 모음 체계에 상응시켰다.
백스터는 시경의 운율에 대한 통계 분석으로 이 가설을 뒷받침했지만, 종성 *-p, *-m, *-kʷ가 있는 운율이 너무 적어 통계적으로 유의미한 결과를 도출하지 못했다.
상고음 모음
다음 표는 이러한 분석을 설명하며, 31개 전통 운율군의 이름과 중고 한어 반영, 그리고 리와 백스터 체계에서의 가정된 상고한어 모음을 나열한다.
전통적인 분석에 따라 운율군은 중고 한어의 해당 종성 유형에 따라 세 개의 병렬 세트로 구성된다.
단순화를 위해, 제II개합과 제III개합의 복잡한 모음 체계는 상고한어 중간음 *-r-과 *-j-의 영향을 반영하는 것으로 믿어지므로, 제I개합과 제IV개합의 중고 한어 운미만 나열되어 있다.
상고음 성조와 종성 자음
종성 자음과 성조의 관계, 그리고 실제로 상고한어에 후대 시기의 특징적인 성조가 없었는지 여부에 대해 많은 논란이 있었다. 이는 명나라 학자 진제 (명)가 처음 제안한 것이다.
중고 한어의 사성은 서기 500년경 심약에 의해 처음 기술되었다.
이들은 '평성'(平 píng), '상성'(上 shǎng), '거성'(去 qù), 그리고 '입성'(入 rù)이었으며, 마지막 범주는 파열음(-p, -t, -k)으로 끝나는 음절로 구성되었다.
시경의 운율은 일반적으로 이러한 성조 범주를 따르지만, 현재는 다른 성조로 발음되는 글자들이 노래에서 함께 운율을 맞추는 많은 경우가 있으며, 주로 거성과 입성 사이에서 발생한다.
이것은 단옥재가 상고한어에 거성이 없었다고 제안하게 만들었다.
왕념손(1744–1832)과 강유고(d.1851)는 당시 언어에 중고 한어와 같은 성조가 있었지만, 일부 단어가 나중에 성조를 옮겼다고 결론 내렸으며, 이는 중국 언어학자들 사이에서 여전히 널리 받아들여지는 견해이다.
상고음 성조와 종성 자음
칼그렌은 또한 거성과 입성의 단어들이 각 글자 내에서 음성 요소를 공유하는 많은 사례를 지적했다. 예를 들어,
그는 이러한 쌍에서 거성 단어들이 상고한어에서 유성 파열음(*-d 또는 *-ɡ)으로 끝났을 것이라고 제안했다.
운율군을 분할하기를 꺼렸던 동통허와 리팡구이는 이러한 최종 유성 파열음을 전체 운율군으로 확장했다.
유일한 예외는 가요 및 제사 그룹(리의 *-ar 및 *-ad)이었는데, 여기서 전통적인 분석은 이미 입성 접촉을 가진 음절을 구별하고 있었다.
결과적으로 개음절의 부족은 언어유형론적 근거에서 비판을 받았다.
왕리는 입성과의 연결이 있는 단어들을 해당 입성군으로 재배치하는 것을 선호했는데, 이는 장모음 뒤에 최종 파열음이 소실되었다고 제안하는 것이다.
상고음 성조와 종성 자음
다른 관점은 오드리쿠르가 베트남어의 성조가 초기 종성 자음에서 유래했다는 것을 보여준 데서 찾을 수 있다. 베트남어의 성조는 중고 한어의 성조와 매우 유사한 구조를 가지고 있다.
베트남어의 상성 및 거성 대응음은 각각 최종 성문 파열음과 *-s에서 유래했으며, 후자는 성문 마찰음 *-h로 발전했다.
이러한 성문 후속 종성들은 각각 상승 및 하강 음조 윤곽을 조건화했으며, 후속 종성이 소실되었을 때 구별적이게 되었다.
오드리쿠르는 또한 중국어 거성이 상고한어 파생 접미사 *-s를 반영한다고 제안했다.
파열음 종성과의 연결은 *-ts 또는 *-ks로 끝나는 음절로 설명될 수 있으며, 파열음은 나중에 사라져 개음절과의 운율을 허용했다.
해당하는 순음 종성이 없는 것은 *-ps가 *-ts로 일찍 동화되었기 때문일 수 있다.
풀리블랭크는 거성 음절이 -s로 끝나는 외국어를 중국어로 음역하는 데 사용된 여러 예를 들어 이 이론을 지지했다.
상고음 성조와 종성 자음
풀리블랭크는 오드리쿠르의 제안을 논리적 결론으로 이끌어, 중국어 상성도 최종 성문 파열음에서 유래했다고 제안했다.
메이쭈린은 산스크리트어 단어의 초기 음역 증거로 이 이론을 지지했으며, 일부 현대 중국어 방언(예: 온주어 및 일부 민어 방언)에서 상성 단어가 성문 파열음으로 끝난다는 점을 지적했다.
또한 시경에서 상성 단어와 운율이 맞는 입성 단어 대부분은 -k로 끝난다.
종합적으로, 이러한 가설들은 다음과 같은 상고한어 음절 종성 집합으로 이어진다.
백스터는 또한 구강 파열음 종성 뒤에 성문 파열음이 발생할 가능성에 대해서도 추측했다.
증거는 제한적이며, 주로 상성 음절과 -k 종성 간의 접촉으로 구성되는데, 이는 음성적 유사성으로도 설명될 수 있다.
음성 계열과 운율에서 중고 한어 -j가 -n과 교차하는 것을 설명하기 위해 세르게이 스타로스틴은 그러한 경우 중고 한어 -n이 상고한어 *-r에서 유래했다고 제안했다.
다른 학자들은 그러한 접촉이 방언 혼합 때문이라고 주장하며, *-n이 후한 시대에는 동부 방언에서 사라졌다는 증거를 인용한다.
백스터와 로랑 사가르는 *-r에 대한 음역 증거를 인용하며, 이것이 서부 상고한어 방언에서는 *-n으로, 동부 방언에서는 *-j로 변화했다고 주장한다.
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린위팅 (2001년)
린위팅(중국어 정체자: 林羽葶, 병음: Lín Yûtíng, 한자음: 임우정, 2001년 8월 1일 ~ )은 대만의 배우이다.
신위시 (배우)
신위시(중국어 간체자: 辛雨锡, 병음: Xīn Yûxí, 한자음: 신우석, 1991년 8월 1일 ~ )은 중국의 배우이다.
홀슈타인-헤링 방법
홀슈타인-헤링 방법(영어: Holstein–Herring method) 또는 표면 적분 방법(영어: surface integral method) 또는 스미르노프의 방법(영어: Smirnov's method)은 분자계에서 점근적으로 퇴화된 에너지 상태의 교환 에너지 분할을 얻는 효과적인 방법이다. 교환 에너지는 큰 핵간 시스템에서 파악하기 어렵지만, 분자 결합 및 자성의 이론에서 매우 중요하다. 이 분할은 동일한 핵의 교환에 대한 대칭성(파울리 배타 원리)에서 비롯된다. 1950-1960년대에 시어도어 홀슈타인, 코니어스 헤링 및 보리스 M. 스미르노프가 개척한 기본 아이디어이다.
홀슈타인-헤링 방법 이론
이 방법은 수소 분자 이온 또는 더 일반적으로 원자-이온 시스템 또는 하나-활성 전자 시스템에 대해 다음과 같이 설명될 수 있다. 우리는 공간 반전에서 거동에 대해 짝함수 또는 홀함수로 표현되는 상태를 고려한다. 이는 독일어 gerade와 ungerade에서 유래한 접미사 g와 u로 표시되며, 이원자 분자의 전자 상태 지정에 표준적으로 사용되는 반면, 원자 상태에서는 짝함수와 홀함수라는 용어가 사용된다.
전자 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 E는 주어진 양자역학적 상태(고유상태)의 (전자) 에너지이며, 전자 상태 함수 는 전자의 공간 좌표에 따라 달라지고 는 전자-핵 쿨롱 퍼텐셜 에너지 함수이다. 수소 분자 이온의 경우 다음과 같다.
모든 gerade(또는 짝함수) 상태에 대해 전자 슈뢰딩거 파동 방정식은 원자 단위계 ()로 다음과 같이 쓸 수 있다.
모든 ungerade(또는 홀함수) 상태에 대해 해당 파동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
홀슈타인-헤링 방법 이론
간단히 하기 위해 실수 함수를 가정한다(결과는 복소수 사례로 일반화될 수 있지만). 그런 다음 gerade 파동 방정식에 를 왼쪽에 곱하고 ungerade 파동 방정식에 를 왼쪽에 곱하여 빼면 다음을 얻는다.
여기서 는 교환 에너지 분할이다. 다음으로, 일반성을 잃지 않고 핵에 위치한 직교 단일 입자 함수 와 를 정의하고 다음과 같이 쓴다.
이는 양자 화학에서 사용되는 LCAO (원자 궤도 함수 선형 결합) 방법과 유사하지만, 함수 와 는 일반적으로 편향되어 있다(즉, 핵 중심에 대한 순수 각 운동량 고유 함수가 아님). 아래를 참조하라. 그러나  극한에서 이 국소화된 함수 는 잘 알려진 원자(수소) 프사이 함수 로 붕괴된다는 점에 유의하라. 우리는 두 핵의 정중앙에 위치한 중간 평면을 으로 표시하고(수소 분자 이온에 대한 다이어그램에서 자세한 내용을 참조하라), 는 이 평면의 단위 법선 벡터(데카르트  방향과 평행)를 나타내므로 전체  공간은 왼쪽()과 오른쪽() 절반으로 나뉜다. 대칭성을 고려하면:
홀슈타인-헤링 방법 이론
이것은 다음을 의미한다.
또한 이러한 국소화된 함수는 정규화되어 다음과 같이 이어진다.
그리고 그 반대도 마찬가지이다. 위 식을 중간 평면 왼쪽에 있는 전체 공간에 대해 적분하면 다음을 얻는다.
그리고
위의 발산 정리의 변형으로부터 최종적으로 다음을 얻는다.
여기서 는 중간 평면의 미분 표면 요소이다. 이것이 홀슈타인-헤링 공식이다. 후자로부터 코니어스 헤링은 수소 분자 이온의 두 최저 상태, 즉 첫 번째 들뜬 상태 와 바닥 상태  (분자 표기법으로 표현—에너지 곡선 그래프 참조) 사이의 에너지 차이에 대한 점근적 전개의 선두항이 다음과 같음을 처음으로 보였다.
이전의 원자 궤도 함수의 LCAO에 기반한 계산은 잘못해서  대신 의 선행 계수를 주었다. 수소 분자 이온의 경우, 고유 에너지는 람베르트 W 함수의 일반화로 수학적으로 표현될 수 있지만, 이러한 점근 공식은 장거리에서 더 유용하며 홀슈타인-헤링 방법은 이 특정 분자보다 훨씬 더 넓은 응용 범위를 가진다.
홀슈타인-헤링 방법 응용
홀슈타인-헤링 공식은 1990년경 쾅틴 탕, 얀 페터 퇴니에스 및 C. L. 유가 가 편광된 파동 함수, 즉 특정 핵에 국소화되어 있지만 다른 핵 중심에 의해 섭동된 원자 파동 함수이며, 결과적으로 짝함수 또는 홀함수 대칭성이 명확하지 않더라도 위의 홀슈타인-헤링 공식을 사용하여 교환 에너지에 대한 올바른 점근적 급수 전개를 생성할 수 있음을 입증할 때까지 응용이 제한적이었다. 이러한 방식으로, 두 중심의 공식을 효과적인 한 중심의 공식으로 성공적으로 재구성하였다. 이후, 이는 하나의 활성 전자 시스템에 성공적으로 적용되었다. 나중에 스콧 외(Scott et al.)는 편광된 파동 함수의 진정한 수렴과 관련된 미묘하지만 중요한 문제들을 해결하면서 그들의 결과를 설명하고 명확히 했다.
그 결과는 점근적 교환 에너지 분할을 어떤 차수까지든 해결하는 것이 가능했다는 것을 의미했다. 홀슈타인-헤링 방법은 두 개의 활성 전자를 가진 경우, 즉 의 두 최저 이산 상태에 대한 수소 분자와 또한 일반적인 원자-원자 시스템에도 확장되었다.
홀슈타인-헤링 방법 물리적 해석
홀슈타인-헤링 공식은 전자가 두 핵 사이에서 "양자 터널링"을 겪으며, 중간 평면을 통과하는 흐름이 교환 에너지를 분리할 수 있게 하는 전류를 생성하는 것으로 물리적으로 해석될 수 있다. 따라서 에너지는 두 핵 중심 사이에 공유, 즉 교환된다. 터널링 효과와 관련하여 시드니 콜먼의 Aspects of Symmetry (1985)에서 보완적인 해석은 경로 적분 공식화 내의 고전적 경로 근처와 주변을 이동하는 "순간자"를 포함한다. 홀슈타인-헤링 공식의 분모에 있는 부피 적분은 에서 부가적이라는 점에 유의하라. 결과적으로 이 분모는 충분히 큰 핵간 거리 에 대해 거의 1이며, 분자의 표면 적분만 고려하면 된다.
권병식
권병식(權丙植, 1934년 7월 29일 ~ )은 대한민국의 전직 군인이다.
권병식 생애
1934년 7월 29일 경상북도 영일군(현 포항시)에서 태어났다.
1955년 경북고등학교를 졸업하였는데 1959년 육군사관학교를 15기로 졸업했다. 1965년에는 군 위탁교육으로 연세대학교 경영학과를 졸업하고, 1966년 8월 연세대학교 대학원에서 경영학 석사 학위를 취득했다.
1981년 육군본부 인사관리처장, 1982년 수도경비사령부 참모장, 1983년 제26보병사단장, 1985년 육군3사관학교장, 1986년부터 1987년까지 수도방위사령관, 1987년 육군참모차장, 1988년 육군교육사령관 등을 역임하고 합동참모본부장을 끝으로 1990년 대한민국 육군 중장으로 예편했다.
예편 후에는 1991년 한국도로공사 사장을 지냈다.
1906년 에콰도르-콜롬비아 지진
1906년 에콰도르-콜롬비아 지진은 1906년 1월 31일 수요일 UTC+5 기준 10시 36분 10초에 에콰도르 해안 에스메랄다스 인근에서 발생한 지진이다. 이 지진은 모멘트 규모 M8.8이며, 파괴적인 지진해일을 일으켜 콜롬비아 해안에서 최소 500명의 사망자가 발생했다. 1900년 이후 발생한 지진 중 2010년 칠레 지진과 함께 6번째로 규모가 큰 지진으로 기록되었다.
1906년 에콰도르-콜롬비아 지진 지질학적 환경
이 지진은 이전에 나스카판의 동북쪽 부분으로 여겨졌던 말펠로판과 북안데스판의 경계를 따라 발생했다. 이번 지진은 코이바판, 말펠로판, 나스카판이 북안데스판과 남아메리카판 아래로 섭입하면서 발생하는 충상단층 운동의 결과로 추정된다. 에콰도르와 콜롬비아의 해안 지역은 이 말펠로-북안데스판 경계에서 발생하는 강한 해구형 지진이 여러차례 발생한 역사를 가지고 있다.
1906년 에콰도르-콜롬비아 지진 피해
지진해일로 인한 가장 큰 피해는 에콰도르 리오베르데현과 콜롬비아 미카이 사이 해안에서 발생했다. 지진해일로 인한 사망자 수는 500명에서 1,500명 사이로 추정된다.
1906년 에콰도르-콜롬비아 지진 특성
이 지진의 단층 파열 구간은 길이 500~600 km에 달했으며, 1942년(Mw7.9), 1958년(Mw 7.7), 1979년(Mw 8.2) 지진의 파열 구간을 모두 포함한다. 최근 세 지진 간의 중첩이 없다는 것은 판 경계를 따라 단층 파열 전파에 약한 장벽이 존재했음을 시사한다. 이 세 지진이 전반적으로 같은 판 경계 영역을 파열시켰음에도 불구하고, 이들은 1906년 지진 에너지의 극히 일부만을 방출했다.
콜롬비아 투마코에서 기록된 최대 쓰나미 높이는 5 m이다. 하와이 힐로에서는 이 사건으로 인해 1.8 m 높이의 쓰나미가 기록되었다. 이 쓰나미는 코스타리카, 파나마, 멕시코, 캘리포니아주, 일본에서도 관측되었다. 일본에서는 와카야마현 구시모토정에서 최대 48 cm 높이의 쓰나미를 관측했다.
1906년 에콰도르-콜롬비아 지진 미래의 지진 위험
1979년에 끝난 세 차례의 지진이 1906년 지진만큼 많은 에너지를 방출하지 않았기 때문에 1906년과 유사한 규모의 지진이 가까운 미래에 발생할 가능성이 있다고 제안되었다. 그러나 이후 세 지진과 관련된 미끄러짐 양에 대한 분석은 이들이 1906년 이후 판 경계를 가로질러 축적된 변위의 대부분을 방출했음을 시사한다. 2016년 4월 16일, 같은 지역에서 규모 7.8의 지진이 발생했다.
장쯔무
장쯔무(중국어 간체자: 张籽沐, 병음: Zhāng Zîmù, 한자음: 장자목, Annabel Zhang, 2008년 1월 6일 ~ )는 중국의 어린이 배우이자 모델이다.
뉴턴 퍼텐셜
수학에서 뉴턴 퍼텐셜(영어: Newtonian potential, 또는 Newton potential)은 벡터 미적분학에서 라플라시안의 음수 연산자에 대한 역으로 작용하는 연산자로, 무한대에서 충분히 부드럽고 빠르게 감소하는 함수에 대해 작용한다. 따라서 이는 퍼텐셜 이론에서 연구되는 기본적인 대상이다. 일반적인 특성상, 이는 원점에서 수학적 특이점을 가지는 함수, 즉 라플라스 방정식의 기본 해인 뉴턴 커널 와의 합성곱에 의해 정의되는 특이 적분 연산자이다. 이는 처음으로 이를 발견하고 세 변수의 특수한 경우에서 조화 함수임을 증명한 아이작 뉴턴의 이름을 따서 명명되었으며, 이 경우 만유인력의 법칙에서 기본적인 중력 퍼텐셜로 사용되었다. 현대 퍼텐셜 이론에서는 뉴턴 퍼텐셜을 정전기 퍼텐셜로 간주한다.
콤팩트 지지를 가지는 적분 가능 함수 의 뉴턴 퍼텐셜은 합성곱으로 정의된다.

여기서  차원의 뉴턴 커널 는 다음과 같이 정의된다.
여기서 ωd는 단위 d-공의 부피이다 (때로는 부호 규약이 다를 수 있다; (Evans 1998)와 (Gilbarg & Trudinger 1983) 비교). 예를 들어, 의 경우 이다.
뉴턴 퍼텐셜
f의 뉴턴 퍼텐셜 w는 푸아송 방정식의 해이다.

이는 함수의 뉴턴 퍼텐셜을 취하는 연산이 라플라스 연산자에 대한 부분 역연산이라는 것을 의미한다. 오토 횔더가 보여주듯이 f가 유계이고 국소적으로 횔더 연속이면 w는 고전적인 해, 즉 이계 미분 가능할 것이다. 연속성만으로도 충분한지는 미해결 문제였다. 이것은 w가 이계 미분 가능하지 않은 연속 f의 예시를 제시한 헨리크 페트리니에 의해 잘못된 것으로 밝혀졌다.
해는 유일하지 않은데, w에 어떤 조화 함수를 더해도 방정식에 영향을 미치지 않기 때문이다. 이 사실은 적절하게 정규화된 영역에서, 그리고 적절하게 잘 동작하는 함수 f에 대해 푸아송 방정식의 디리클레 문제에 대한 해의 존재성과 유일성을 증명하는 데 사용될 수 있다: 먼저 뉴턴 퍼텐셜을 적용하여 해를 얻은 다음, 조화 함수를 추가하여 올바른 경계 데이터를 얻도록 조정한다.
뉴턴 퍼텐셜은 더 넓게는 μ가 콤팩트 지지를 가지는 라돈 측도일 때 다음과 같은 합성곱으로 정의된다.

이는 분포의 의미에서 푸아송 방정식

를 만족한다. 더욱이, 측도가 양측도일 때, 뉴턴 퍼텐셜은 Rd에서 준조화 함수이다.
뉴턴 퍼텐셜
f가 콤팩트 지지를 가지는 연속 함수 (또는 더 일반적으로 유한 측도)이며 회전 대칭성을 가지는 경우, f와 Γ의 합성곱은 f의 지지 바깥의 x에 대해 다음을 만족한다.
d = 3 차원에서는 이는 구형 대칭 질량 분포 바깥의 작은 질량의 퍼텐셜 에너지가 큰 물체의 모든 질량이 그 중심에 집중된 것과 같다는 뉴턴의 정리로 귀결된다.
측도 μ가 Rd를 두 영역 D+와 D−로 나누는 충분히 매끄러운 초곡면 S(횬덜 클래스 C1,α의 리아푸노프 곡면) 상의 질량 분포와 관련될 때, μ의 뉴턴 퍼텐셜을 단일층 퍼텐셜이라고 한다. 단일층 퍼텐셜은 연속이며 S를 제외한 곳에서 라플라스 방정식의 해이다. 이는 닫힌 표면의 전하 분포와 관련된 정전기 퍼텐셜의 맥락에서 정전기학 연구에 자연스럽게 나타난다. dμ = f dH가 S상의 연속 함수와 (d - 1)차원 하우스도르프 측도의 곱이라면, S의 점 y에서 법선 미분은 층을 가로지를 때 f(y)만큼 불연속적으로 점프한다. 또한, w의 법선 미분은 S에서 잘 정의된 연속 함수이다. 이는 단일층을 라플라스 방정식의 노이만 문제 연구에 특히 적합하게 만든다.
저우잉쥔
저우잉쥔(중국어 간체자: 周英俊, 병음: Zhōu Yīngjùn, 한자음: 주영준, 1993년 8월 1일 ~ )은 중국의 배우, 가수, 진행자이다.
공변미분
수학에서 공변 미분(영어: Covariant derivative)은 다양체의 접벡터를 따라 미분을 지정하는 방법이다. 다른 한편으로, 공변 미분은 틀다발에 대한 주접속으로 주어진 접근 방식과 대조적으로, 미분 연산자를 통해 다양체에 접속을 도입하고 작업하는 방법이다. 더 높은 차원의 유클리드 공간에 등거리적으로 포함된 다양체의 특별한 경우, 공변 미분은 유클리드 방향도함수의 직교 투영을 다양체의 접공간으로 볼 수 있다. 이 경우 유클리드 미분은 외부 법선 성분(포함에 따라 달라짐)과 내부 공변 미분 성분이라는 두 부분으로 나뉜다.
이름은 물리학에서 좌표 변환의 중요성에 의해 동기 부여된다. 공변 미분은 일반 좌표 변환 하에서 공변적으로 변환하며, 즉 변환의 야코비 행렬을 통해 선형적으로 변환한다.
이 글은 벡터장의 벡터장에 대한 공변 미분에 대한 소개를 좌표 독립적인 언어와 국소 좌표계 및 전통적인 지표 표기법을 사용하여 제시한다. 텐서장의 공변 미분은 동일한 개념의 확장으로 제시된다. 공변 미분은 벡터 다발 위의 접속 개념으로 직접적으로 일반화되며, 이는 코쥘 접속(영어: Koszul connection)으로도 알려져 있다.
공변미분 역사
역사적으로 20세기 초에 공변 미분은 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타에 의해 리만 기하학 및 준 리만 기하학 이론에서 도입되었다. 리치와 레비치비타는 (엘빈 브루노 크리스토펠의 아이디어를 따라) 크리스토펠 기호가 곡률을 정의하는 데 사용될 수 있을 뿐만 아니라 다양체 위의 벡터장의 고전적인 미분을 일반화하는 미분 개념을 제공할 수 있음을 관찰했다. 이 새로운 미분(바로 레비치비타 접속)은 기하학의 대상이 특정 좌표계에서의 설명과 무관해야 한다는 리만의 요구 사항을 충족한다는 의미에서 공변적이었다.
곧 다른 수학자들, 특히 헤르만 바일, 얀 아르놀두스 스하우턴, 그리고 엘리 카르탕은 공변 미분이 계량이 없는 추상적으로 정의될 수 있음을 주목했다. 중요한 특징은 계량에 대한 특정 의존성이 아니라, 크리스토펠 기호가 특정 정확한 2차 변환 법칙을 충족한다는 것이었다. 이 변환 법칙은 공변적인 방식으로 미분을 정의하는 출발점이 될 수 있었다. 따라서 공변 미분 이론은 엄격히 리만적인 맥락에서 벗어나 더 넓은 범위의 가능한 기하학을 포함하게 되었다.
공변미분 역사
1940년대에 미분기하학 실무자들은 기하학자들이 관심을 가졌던 고전적인 다발과는 대조적으로, 다양체의 텐서 해석의 일부가 아닌 일반 벡터 다발에서 다른 공변 미분 개념을 도입하기 시작했다. 대체로 이러한 일반화된 공변 미분은 접속 개념의 일부 버전에 의해 임시적으로 지정되어야 했다. 1950년, 장루이 코쥘은 오늘날 코쥘 접속 또는 벡터 다발의 접속으로 알려진 것을 통해 벡터 다발에서의 이러한 새로운 공변 미분 아이디어를 통합했다. 리 대수 코호몰로지의 아이디어를 사용하여 코쥘은 공변 미분의 많은 해석적 특징을 대수적인 것으로 성공적으로 전환했다. 특히 코쥘 접속은 미분 기하학에서 크리스토펠 기호 (및 기타 유사한 비텐서적 대상)의 어색한 조작의 필요성을 제거했다. 따라서 그들은 1950년 이후 주제에 대한 많은 처리에서 고전적인 공변 미분 개념을 빠르게 대체했다.
공변미분 동기
공변 미분은 벡터 미적분학의 방향도함수의 일반화이다. 방향도함수와 마찬가지로 공변 미분은 다음을 입력으로 받는 규칙 이다: (1) 점 P에서 정의된 벡터 u, 그리고 (2) 점 P의 근방에서 정의된 벡터장 v. 출력은 역시 점 P에서의 벡터 이다. 일반적인 방향도함수와의 주된 차이점은 가 어떤 정확한 의미에서 좌표계에서 표현되는 방식과 무관해야 한다는 것이다.
벡터는 기저에 따라 숫자의 목록으로 설명될 수 있지만, 기하학적 대상으로서 벡터는 어떻게 설명되든 관계없이 그 정체성을 유지한다. 한 기저에 대해 성분으로 작성된 기하학적 벡터의 경우, 기저가 변경될 때 성분은 기저 변환 공식에 따라 변환하며, 좌표는 공변 변환을 겪는다. 공변 미분은 좌표가 변경될 때 기저와 같은 방식으로 공변 변환에 의해 변환해야 한다(따라서 이름이 붙었다).
공변미분 동기
유클리드 공간의 경우, 벡터장의 방향도함수는 일반적으로 두 인접한 점의 두 벡터 간의 차이로 정의된다. 이러한 시스템에서는 한 벡터를 다른 벡터의 원점으로 평행 이동시키고, 평행하게 유지한 다음, 동일한 벡터 공간 내에서 그 차이를 취한다. 데카르트 (고정된 정규 직교 기저) 좌표계에서는 "평행하게 유지하는 것"은 성분을 일정하게 유지하는 것과 같다. 유클리드 공간에서의 이러한 일반적인 방향도함수는 공변 미분의 첫 번째 예이다.
다음으로 좌표계의 변화를 고려해야 한다. 예를 들어, 유클리드 평면이 극좌표로 설명되는 경우 "평행하게 유지하는 것"은 좌표 그리드 자체가 "회전"하기 때문에 평행 이동 하에서 극좌표 성분을 일정하게 유지하는 것과 같지 않다. 따라서 극좌표로 작성된 동일한 공변 미분은 좌표 그리드 자체가 어떻게 회전하는지, 또는 더 일반적인 좌표에서 그리드가 어떻게 확장, 수축, 뒤틀림, 얽힘 등을 설명하는 추가 항을 포함한다.
공변미분 동기
유클리드 평면에서 곡선 γ(t)를 따라 움직이는 입자의 예를 고려해 보자. 극좌표에서 γ는 방사형 및 각도 좌표를 사용하여 γ(t) = (r(t), θ(t))로 쓸 수 있다. 특정 시간 t에서의 벡터 (예를 들어, 입자의 일정한 가속도)는 로 표현되며, 여기서 와 는 극좌표에 대한 단위 접벡터로, 벡터를 방사형 및 접선 성분으로 분해하는 기저 역할을 한다. 약간 더 늦은 시간에는 극좌표의 새로운 기저는 첫 번째 집합에 대해 약간 회전한 것으로 나타난다. 기저 벡터의 공변 미분(크리스토펠 기호)은 이러한 변화를 표현하는 역할을 한다.
지구 표면(구로 간주)과 같은 곡면 공간에서는 다른 점들 사이의 접벡터 평행 이동이 잘 정의되지 않으며, 그 유사체인 평행 운송은 벡터가 평행 이동되는 경로에 따라 달라진다. 적도 상의 점 Q에 있는 지구본 위의 벡터가 북쪽을 향한다고 가정하자. 벡터를 (평행하게 유지하면서) 먼저 적도를 따라 점 P로 운송한 다음, 자오선을 따라 N극으로 끌고 간 다음, 마지막으로 다른 자오선을 따라 Q로 다시 운송한다고 가정하자. 그러면 닫힌 회로를 따라 평행 운송된 벡터가 동일한 벡터로 돌아오지 않고 다른 방향을 가지고 있음을 알 수 있다. 이것은 유클리드 공간에서는 발생하지 않으며 지구 표면의 곡률로 인해 발생한다. 동일한 효과는 벡터를 무한히 작은 닫힌 표면을 따라 두 방향으로 끌고 간 다음 다시 끌고 갈 때 발생한다. 벡터의 이러한 무한소 변화는 곡률의 척도이며, 공변 미분으로 정의할 수 있다.
공변미분 유클리드 공간에 대한 내장을 사용한 비공식적 정의
d-차원 리만 다양체 M의 열린 부분집합 U가 유클리드 공간 에 두 번 연속 미분 가능한 (C2) 사상 을 통해 내장되어 에서의 접공간이 벡터에 의해 스팬된다고 가정하자.

그리고 의 스칼라 곱 은 M의 계량과 호환된다:
(다양체 계량은 항상 비정규로 가정되므로, 호환성 조건은 편도함수 접벡터의 선형 독립성을 의미한다.)
접벡터장 ,에 대해
마지막 항은 M에 접하지 않지만, 크리스토펠 기호를 선형 인자로 사용하여 접공간 기저 벡터의 선형 결합으로 표현할 수 있으며, 여기에 접공간에 직교하는 벡터가 추가된다.
레비치비타 접속의 경우, 공변 미분 , 또는 ,로도 표기되는 것은 일반적인 미분을 접공간으로 직교 투영한 것으로 정의된다:
여기서 레비치비타 접속에 대한 크리스토펠 기호와 계량 사이의 관계를 계산적으로 편리하게 얻을 수 있다. 이를 위해 먼저 이전 방정식의 벡터 이 접공간에 직교하므로 다음이 성립한다.
그러면 좌표 에 대한 계량  성분의 편미분은 다음과 같으므로,
어떤 세 개의  지표 쌍도 방정식 시스템을 생성한다.

(여기서 스칼라 곱의 대칭성과 편미분 순서의 교환이 사용되었다.)
공변미분 유클리드 공간에 대한 내장을 사용한 비공식적 정의
처음 두 방정식을 더하고 세 번째 방정식을 빼면 다음을 얻는다.
따라서 레비치비타 접속의 크리스토펠 기호는 계량과 다음과 같이 관련된다.
만약 g가 비특이적이라면 는 다음과 같이 직접 구할 수 있다.
위에서 설명한 내용을 가장 잘 보여주는 매우 간단한 예로, 평평한 종이에 원을 그린다. 일정한 속도로 원을 따라 움직여라. 속도의 미분인 가속도 벡터는 항상 안쪽으로 향한다. 이 종이를 원통으로 말아라. 이제 (유클리드) 속도 미분은 당신이 지점이나 춘분점에 가까운지에 따라 때로는 원통의 축을 향해 안쪽으로 향하는 성분을 갖는다. (원통의 축과 평행하게 움직이는 원의 지점에서는 안쪽 가속도가 없다. 반대로, 속도가 원통의 굽힘을 따라가는 지점(원 1/4 지점 후)에서는 안쪽 가속도가 최대이다.) 이것이 (유클리드) 법선 성분이다. 공변 미분 성분은 원통 표면에 평행한 성분이며, 종이를 원통으로 말기 전과 동일하다.
공변미분 공식적인 정의
공변 미분은 접다발 및 다른 텐서 다발에 대한 접속이다. 이는 함수의 일반적인 미분과 유사하게 벡터장을 미분한다. 이 정의는 벡터장의 이중(즉, 공변 벡터장) 및 임의의 텐서장에 대한 미분으로 확장되며, 텐서 곱 및 대각합 연산(텐서 수축)과의 호환성을 보장하는 고유한 방식이다.
다양체 M의 점 , 다양체 위의 실수 함수 , 그리고 접벡터 가 주어졌을 때, p에서 v를 따른 f의 공변 미분은 p에서의 스칼라 로 표시되며, f의 인수가 무한소 변위 벡터 v에 의해 변경될 때 f 값의 주요 부분을 나타낸다. (이것은 벡터 v에 대해 평가된 f의 미분이다.) 공식적으로,  및 를 만족하는 미분 가능한 곡선 이 있으며, p에서의 f의 공변 미분은 다음과 같이 정의된다.
이 M의 벡터장일 때, 공변 미분 는 f와 v의 공통 영역의 각 점 p에 스칼라 를 할당하는 함수이다.
스칼라 함수 f와 벡터장 v의 경우, 공변 미분 는 리 미분 와 외미분 와 일치한다.
공변미분 공식적인 정의
다양체 M의 점 p, p 근방에 정의된 벡터장 , 그리고 접벡터 가 주어졌을 때, p에서 v를 따른 u의 공변 미분은 p에서의 접벡터이며 로 표기되며, 다음 속성들이 성립한다 (p에서의 임의의 접벡터 v, x, y, p 근방에 정의된 벡터장 u, w, p에서의 스칼라 값 g와 h, 그리고 p 근방에 정의된 스칼라 함수 f에 대해):
는 u의 p에서의 값뿐만 아니라 p의 근방에서의 u 값에도 의존한다는 점에 유의하라. 이는 마지막 속성인 곱 규칙이 f의 방향 도함수(벡터 v에 의한)를 포함하기 때문이다.
만약 u와 v 모두 공통 영역에 정의된 벡터장이라면, 는 영역의 각 점 p에서의 값이 접벡터 인 벡터장을 나타낸다.
점 p의 근방에 정의된 공변 벡터 (또는 1-형식) 장이 주어졌을 때, 그 공변 미분 는 결과 연산이 텐서 수축 및 곱 규칙과 호환되도록 정의된다. 즉, 는 p에서의 유일한 1-형식으로 정의되며, 이는 p의 근방에 있는 모든 벡터장 u에 대해 다음 항등식을 만족한다.
공변미분 공식적인 정의
벡터장 v를 따른 공변 벡터장의 공변 미분은 다시 공변 벡터장이다.
벡터장과 공변 벡터장에 대해 공변 미분이 정의되면, 점 p의 근방에 있는 모든 텐서장 쌍 와 에 대해 다음 항등식을 부과함으로써 임의의 텐서장에 대해 정의할 수 있다.

그리고 동일한 원자가의 와 에 대해

벡터장 v를 따른 텐서장의 공변 미분은 다시 동일한 유형의 텐서장이다.
명시적으로, T가 (p, q) 유형의 텐서장이라고 하자. T를 매끄러운 단면 α틀:Isup, α2, ..., αq인 공변접다발 T틀:IsupM과 접다발 TM의 단면 X1, X2, ..., Xp의 미분 가능한 다중선형 사상으로 간주하며, T(α틀:Isup, α2, ..., X1, X2, ...)를 R로 쓴다. Y를 따른 T의 공변 미분은 다음 공식으로 주어진다.
공변미분 좌표 설명
좌표 함수 가 주어졌을 때, 모든 접벡터는 기저 에서 그 성분으로 설명될 수 있다.
기저 벡터를 따른 기저 벡터의 공변 미분은 다시 벡터이므로 선형 조합 로 표현될 수 있다.
공변 미분을 지정하기 위해서는 각 기저 벡터장 의 를 따른 공변 미분을 지정하는 것으로 충분하다.
계수 는 국소 좌표계에 대한 접속의 성분이다. 리만 및 준리만 다양체 이론에서 국소 좌표계에 대한 레비치비타 접속의 성분은 크리스토펠 기호라고 불린다.
정의의 규칙을 사용하여 일반 벡터장 와 에 대해 다음을 얻는다.
따라서
이 공식의 첫 번째 항은 공변 미분에 대한 좌표계의 "비틀림"을 담당하며, 두 번째 항은 벡터장 u의 성분 변화를 담당한다. 특히
즉: 공변 미분은 좌표가 어떻게 변하는지 알려주는 수정 항이 있는 좌표를 따른 일반적인 미분이다.
공변미분 좌표 설명
공변 벡터에 대해서도 유사하게 다음이 성립한다.
여기서 이다.
를 따른 유형 (r, s) 텐서장의 공변 미분은 다음 표현식으로 주어진다.
다시 말해: 텐서의 편미분을 취하고 다음을 더한다: 모든 위쪽 지표 에 대해 를, 모든 아래쪽 지표 에 대해 를 더한다.
텐서 대신 (가중치 +1의) 텐서 밀도를 미분하려고 한다면, 다음 항도 추가한다.

만약 가중치 W의 텐서 밀도라면, 그 항에 W를 곱한다.
예를 들어, 는 스칼라 밀도(가중치 +1)이므로 다음을 얻는다:
여기서 세미콜론 ";"은 공변 미분을 나타내고, 쉼표 ","는 편미분을 나타낸다. 덧붙여 말하면, 이 특정 표현식은 0과 같다. 왜냐하면 계량만으로 이루어진 함수의 공변 미분은 항상 0이기 때문이다.
공변미분 표기법
물리학 교과서에서는 공변 미분이 종종 이 방정식에서 그 성분으로만 언급된다.
때때로 쌍반점으로 공변 미분을 나타내고, 일반 편미분은 쉼표로 나타내는 표기법이 사용된다. 이 표기법에서는 다음과 같이 작성한다.

세미콜론 뒤에 두 개 이상의 지표가 나타나는 경우, 모든 지표는 공변 미분으로 이해되어야 한다.
일부 오래된 문헌(특히 아들러, 바진 & 쉬퍼, 일반 상대론 입문)에서는 공변 미분을 이중 파이프로, 편미분을 단일 파이프로 나타낸다.
공변미분 필드 유형별 공변 미분
스칼라장 의 경우, 공변 미분은 단순히 편미분이다.
반변 벡터장 의 경우:
공변 벡터장 의 경우:
유형 (2,0) 텐서장 의 경우:
유형 (0,2) 텐서장 의 경우:
유형 (1,1) 텐서장 의 경우:
위 표기법은 다음 의미로 사용된다.
공변미분 속성
일반적으로 공변 미분은 교환되지 않는다. 예를 들어, 벡터장 의 공변 미분은 다르다. 리만 곡률 텐서 는 다음을 만족하도록 정의된다:
또는 동등하게
(2,0)-텐서장의 공변 미분은 다음을 만족한다:
후자는 로 가정함으로써 (일반성을 잃지 않고) 증명될 수 있다.
공변미분 곡선을 따른 미분
텐서장 T의 공변 미분 가 점 p에서 벡터장 X의 값에만 의존하므로, 다양체 내의 매끄러운 곡선 를 따른 공변 미분을 정의할 수 있다.

이 정의가 의미를 가지려면 텐서장 T는 곡선 에서만 정의되면 된다는 점에 유의하라.
특히, 는 곡선  자체를 따른 벡터장이다. 만약 가 사라지면 그 곡선을 공변 미분의 측지선이라고 한다. 만약 공변 미분이 양의 정부호 계량의 레비치비타 접속이라면, 접속의 측지선은 정확히 곡선의 길이로 매개변수화된 계량의 측지선이다.
곡선을 따른 미분은 또한 곡선을 따른 평행 운송을 정의하는 데 사용된다.
때로는 곡선을 따른 공변 미분을 절대 미분 또는 내재 미분이라고 부른다.
공변미분 리 미분과의 관계
공변 미분은 인접한 접공간의 벡터를 비교할 수 있도록 하는 추가적인 기하학적 구조를 다양체에 도입한다. 왜냐하면 표준적인 좌표계가 없기 때문에 다른 접공간의 벡터를 비교하는 표준적인 방법이 없기 때문이다.
그러나 방향 미분의 또 다른 일반화가 있는데, 이는 표준적이다. 바로 리 미분이다. 이는 한 벡터장의 흐름을 따라 다른 벡터장의 변화를 평가한다. 따라서 단일 지점에서가 아니라 이웃에서 두 벡터장을 모두 알아야 한다. 반면에 공변 미분은 주어진 방향에서 벡터에 대한 자체 변화를 도입하며, 이는 지점 이웃의 벡터장이 아니라 단일 지점에서의 벡터 방향에만 의존한다. 다시 말해, 공변 미분은 방향 인수에 대해 선형적(C틀:Isup(M)에 대해)인 반면, 리 미분은 어느 인수에서도 선형적이지 않다.
비대칭화된 공변 미분 ∇uv − ∇vu와 리 미분 Luv는 접속의 비틀림만큼 다르며, 따라서 접속이 비틀림이 없으면 그 비대칭화는 리 미분이다.
시소 메커니즘
입자물리학의 대통일 이론에서, 특히 중성미자 질량 및 중성미자 진동 이론에서, 시소 메커니즘(영어: Seesaw mechanism)은 관측된 중성미자 질량(약 전자볼트 단위)이 수백만 배 더 무거운 쿼크 및 대전 렙톤의 질량과 비교하여 상대적인 크기를 이해하는 데 사용되는 일반적인 모델이다. 시소 메커니즘이라는 이름은 1981년 도쿄 회의에서 야나기다 쓰토무가 붙였다.
각각 표준 모형을 확장하는 여러 유형의 모델이 있다. 가장 간단한 버전인 "유형 1"은 전기·약 작용에 불활성인 두 개 이상의 추가적인 오른손잡이 중성미자 필드를 가정하여 표준 모형을 확장한다. 그리고 매우 큰 질량 척도의 존재를 가정한다. 이는 질량 척도를 가정된 대통일 척도와 동일시할 수 있게 한다.
시소 메커니즘 유형 1 시소
이 모델은 알려진 세 가지 중성미자 맛깔 각각에 대해 가벼운 중성미자와, 아직 관측되지 않은 각 맛깔에 해당하는 매우 무거운 중성미자를 생성한다.
시소 메커니즘의 간단한 수학적 원리는 다음과 같은 형태의 2×2 행렬에 대한 속성이다.
이는 두 개의 고유값을 갖는다.
그리고
와 의 기하 평균은 과 같다. 이는 행렬식 이기 때문이다.
따라서 한 고유값이 올라가면 다른 고유값은 내려가고 그 반대도 마찬가지이다. 이것이 이 메커니즘의 "시소"라는 이름이 붙은 이유이다.
이 모델을 중성미자에 적용할 때, 는 보다 훨씬 크다고 가정한다.
그러면 더 큰 고유값인 는 대략 와 같고, 더 작은 고유값은 대략적으로 다음과 같다.
시소 메커니즘 유형 1 시소
이 메커니즘은 중성미자 질량이 왜 그렇게 작은지 설명하는 데 도움이 된다.
행렬 A는 본질적으로 중성미자를 위한 질량 행렬이다. 마요라나 질량 성분 는 GUT 척도와 비슷하며 렙톤 수 보존을 위반한다. 반면 디랙 질량 성분 은 훨씬 작은 전기·약 작용 척도, 즉 아래에서 VEV 또는 진공 기댓값이라고 불리는 것의 크기이다. 더 작은 고유값 는 약 1 eV와 비슷한 매우 작은 중성미자 질량을 유도하는데, 이는 실험과 정성적으로 일치하며 때로는 대통일 이론의 틀에 대한 지지 증거로 간주된다.
시소 메커니즘 배경
2×2 행렬 A는 표준 모형의 게이지 불변성에 의해 허용되는 가장 일반적인 질량 행렬과 렙톤 및 중성미자 장의 해당 전하를 고려함으로써 표준 모형 내에서 자연스럽게 발생한다.
바일 스피너의 중성미자 부분을  즉 왼손잡이 렙톤 약한 아이소스핀 이중항의 일부라고 부르자. 다른 부분은 왼손잡이 대전 렙톤 이다.
이는 중성미자 질량이 생략된 최소 표준 모형에 존재하며, 는 약한 아이소스핀에 대해 단일항인 가설적인 오른손잡이 중성미자 바일 스피너라고 하자. 즉, 비활성 중성미자와 같이 약하게 상호작용하지 않는 중성미자이다.
이제 로런츠 공변 질량 항을 형성하는 세 가지 방법이 있으며, 각각 다음을 제공한다.
및 그 켤레 복소수를 이차 형식으로 쓸 수 있다.
오른손잡이 중성미자 스피너는 모든 표준 모형 게이지 대칭에 대해 비전하를 띠므로, B는 원칙적으로 어떤 임의의 값도 취할 수 있는 자유 매개변수이다.
시소 메커니즘 배경
매개변수 M은 전기·약 게이지 대칭에 의해 금지되며, 대전 렙톤의 디랙 질량처럼 힉스 메커니즘에 의해 대칭이 자발적으로 깨진 후에만 나타날 수 있다. 특히, χ ∈ L이 힉스 장 H처럼 약한 아이소스핀 ⁠1/2⁠을 가지고 있고, 가 약한 아이소스핀 0을 가지고 있으므로, 질량 매개변수 M은 기존의 표준 모형 방식에 따라 힉스 장과의 유카와 상호작용으로부터 생성될 수 있다.
이는 M이 표준 모형 힉스 장의 진공 기댓값의 크기와 자연스럽게 일치함을 의미한다.
진공 기댓값(VEV)
만약 무차원 유카와 결합이  정도의 크기라면 말이다. 이는 일관성 있게 더 작게 선택될 수 있지만, 극단적인 값 은 모델을 비섭동적으로 만들 수 있다.
반면에 매개변수 는 금지되는데, 이 이중항 성분을 사용하여 약한 초전하 및 아이소스핀 하에서 재규격화 가능 단일항을 형성할 수 없기 때문이다. 오직 비재규격화 가능한 차원 5 항만 허용된다. 이것이 "유형 1" 시소 메커니즘 내에서 질량 행렬 의 스케일 패턴과 계층의 기원이다.
B의 큰 크기는 대통일 이론의 맥락에서 설명될 수 있다. 이러한 모델에서는 확장된 게이지 대칭이 존재할 수 있으며, 이는 초기에는 깨지지 않은 상에서 을 강제하지만, 자발 대칭 깨짐 척도 근처에서 큰 비영(non-vanishing) 값 를 생성한다. 따라서 인 질량이 주어지면 이 된다. 따라서 거대한 스케일이 고유벡터 에 대해 극히 작은 중성미자 질량을 유도한 것이다.
자동차 도난
자동차 도난 또는 차량 절도 (미국에서는 그랜드 테프트 오토라고도 함)는 자동차를 훔치거나 훔치려는 범죄 행위이다.
2020년에는 미국에서 810,400대의 차량이 도난당했다고 보고되었으며, 이는 2019년의 724,872대보다 증가한 수치이다. 2020년 자동차 도난으로 인한 재산 손실은 74억 달러로 추정된다. 유럽 연합 (EU)에서는 2019년에 505,100건의 자동차 도난이 발생했으며, 이는 2008년에 비해 43% 감소한 수치이다.
자동차 도난 방법
범죄자들이 자동차를 훔치는 데 사용하는 몇 가지 방법:
열쇠 없이 방치된 차량 절도: 파괴적인 침입에 이어 무단 시동 또는 차량 시동을 위한 기타 조작 방법, 또는 견인을 통해 주차된 차량을 제거하는 행위. 런던 경찰은 연간 2만 건의 자동차 절도 중 50%가 온라인에서 구할 수 있는 첨단 OBD (온보드 진단 포트) 키 복제 키트와 이모빌라이저 시뮬레이터를 통해 이루어진다고 밝혔다.
카재킹: 차량 소유자 또는 운전자에게 폭력 또는 폭력 위협을 가하여 차량을 탈취하는 행위. 대부분의 지역에서 이는 가장 심각한 형태의 차량 절도이다. 왜냐하면 폭행죄도 발생하고 차량을 탈취하는 방법이 본질적으로 강도, 즉 더 심각한 형태의 절도이기 때문이다. 일부 카재킹에서는 도둑이 운전하는 동안 운전자와 승객이 차량에서 강제로 쫓겨난다. 다른 사건에서는 운전자 및 승객이 차량에 볼모로 잡힌다. 또 다른 경우에는, 덜 흔하지만, 가해자가 합법적인 운전자에게 승객으로 탑승하여 가해자의 요구에 따라 운전하도록 강요한다.