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울람 나선 하디-리틀우드의 추측 F
추측 F는 a, b, c가 정수이고 a가 양수인 ax2 + bx + c 형태의 다항식에 관한 것이다. 계수가 1보다 큰 공통 인수를 포함하거나 완전제곱인 판별식 Δ = b2 − 4ac를 가지면, 다항식은 인수분해되어 x가 0, 1, 2, ... 값을 취할 때 합성수를 생성한다 (인수 중 하나가 1과 같은 x의 한두 값은 제외). 더욱이, a + b와 c가 모두 짝수이면, 다항식은 짝수 값만 생성하므로, 2를 제외하고는 합성수이다. 하디와 리틀우드는 이러한 상황을 제외하고는 ax2 + bx + c가 x가 0, 1, 2, ... 값을 취할 때 무한히 자주 소수 값을 취한다고 주장한다. 이 진술은 이전 부냐콥스키 추측의 특별한 경우이며 여전히 미해결로 남아 있다. 하디와 리틀우드는 또한 점근적으로, ax2 + bx + c 형태의 소수 중 n보다 작은 P(n)의 개수는 다음과 같이 주어진다고 주장한다.
울람 나선 하디-리틀우드의 추측 F
여기서 A는 a, b, c에 의존하지만 n에는 의존하지 않는다. 소수 정리에 의해, A를 1로 설정한 이 공식은 ax2 + bx + c 형태의 숫자 집합과 같은 밀도를 가진 임의의 숫자 집합에서 예상되는 n 미만의 소수의 점근적 개수이다. 그러나 A는 1보다 크거나 작은 값을 취할 수 있으므로, 추측에 따르면 일부 다항식은 특히 소수가 많고, 다른 다항식은 특히 소수가 적을 것이다. 이례적으로 소수가 많은 다항식은 울람 나선에 눈에 보이는 선을 형성하는 4x2 − 2x + 41이다. 이 다항식의 상수 A는 약 6.6으로, 추측에 따르면 이 다항식이 생성하는 숫자는 비슷한 크기의 무작위 숫자보다 소수일 확률이 거의 7배 높다는 것을 의미한다. 이 특정 다항식은 x를 2x로 대체하거나, 동등하게 x를 짝수로 제한함으로써 오일러의 소수 생성 다항식 x2 − x + 41과 관련되어 있다. 상수 A는 모든 소수에 대한 곱으로 주어진다.
,
여기서 는 이차 다항식 모듈로 p의 영점 개수이며, 따라서 0, 1, 2 중 하나의 값을 취한다. 하디와 리틀우드는 곱을 세 가지 인수로 나눈다.
울람 나선 하디-리틀우드의 추측 F
.
여기서 소수 2에 해당하는 인자 ε은 a + b가 홀수이면 1이고, a + b가 짝수이면 2이다. 첫 번째 곱 인덱스 p는 a와 b를 모두 나누는 유한한 홀수 소수들을 따라간다. 이 소수들에 대해 인데, p가 c를 나눌 수 없기 때문이다. 두 번째 곱 인덱스 는 a를 나누지 않는 무한히 많은 홀수 소수들을 따라간다. 이 소수들에 대해 는 판별식이 모듈로 p에서 0인지, 0이 아닌 제곱수인지, 아니면 제곱수가 아닌지에 따라 1, 2, 0과 같다. 이것은 르장드르 기호 를 사용하여 설명된다. 소수 p가 a를 나누지만 b를 나누지 않을 때, 모듈로 p에는 하나의 근이 있다. 결과적으로, 그러한 소수들은 곱에 기여하지 않는다.
현재까지 알려진 가장 높은 값인 A ≈ 11.3을 가진 이차 다항식이 Jacobson과 Williams에 의해 발견되었다.
울람 나선 변형
클라우버의 1932년 논문은 n번째 행이 (n  −  1)2 + 1부터 n2까지의 숫자를 포함하는 삼각형을 설명한다. 울람 나선에서와 같이, 이차 다항식은 직선에 놓이는 숫자를 생성한다. 수직선은 k2 − k + M 형태의 숫자에 해당한다. 소수 밀도가 높은 수직선과 대각선이 그림에서 분명히 보인다.
로버트 삭스는 1994년에 울람 나선의 변형을 고안했다. 삭스 나선에서는 음이 아닌 정수가 울람이 사용한 정사각형 나선 대신 아르키메데스 와선에 그려지며, 각 완전 회전마다 하나의 정사각수가 나타나도록 간격을 둔다. (울람 나선에서는 각 회전마다 두 개의 제곱수가 나타난다.) 오일러의 소수 생성 다항식인 x2 − x + 41은 이제 x가 0, 1, 2, ... 값을 취할 때 단일 곡선으로 나타난다. 이 곡선은 그림의 왼쪽 절반에서 수평선에 점근적으로 접근한다. (울람 나선에서 오일러의 다항식은 두 개의 대각선을 형성하는데, 하나는 시퀀스에서 x의 짝수 값에 해당하는 그림의 위쪽 절반에, 다른 하나는 시퀀스에서 x의 홀수 값에 해당하는 그림의 아래쪽 절반에 있다.)
울람 나선 변형
합성수도 울람 나선에 포함될 때 추가적인 구조가 나타날 수 있다. 숫자 1은 자신이라는 단 하나의 인수를 갖는다. 각 소수는 자신과 1이라는 두 인수를 갖는다. 합성수는 적어도 세 개 이상의 다른 인수로 나누어 떨어진다. 정수를 나타내는 점의 크기를 인수의 개수로 나타내고 소수를 빨간색으로, 합성수를 파란색으로 칠하면 그림과 같은 결과가 나온다.
평면의 다른 테셀레이션을 따르는 나선도 소수가 풍부한 선을 생성한다. 예를 들어 육각형 나선이 있다.
콜린 치엔
콜린 V. 치엔(Colleen V. Chien)은 미국의 법학자이자 캘리포니아 대학교 버클리 로스쿨 교수로서 지식재산권과 특허 정책, 데이터 기반 형사사법 연구, 법률 실무의 인공지능 활용을 주제로 연구한다. 2013년부터 2015년까지 백악관 과학기술정책실(OSTP)에서 지식재산·혁신 분야 수석보좌관으로 근무하며 개방데이터, 교육 기술, 녹색기술 이전 등 연방 정책을 기획·집행하였다. 2020년에는 조 바이든 대통령직 인수위 상무부 검토팀에 참여하였고, 2021년 상무부 법률고문실 선임고문을 맡았다.
콜린 치엔 초기 생애와 교육
치엔은 코네티컷주 하트퍼드에서 태어났으며 스탠퍼드 대학교에서 공학 학사와 과학·기술·사회 학사를 1996년에, 버클리 로스쿨에서 JD를 2002년에 취득하였다. 1997년 필리핀 탐사저널리즘센터(Philippine Center for Investigative Journalism)에서 풀브라이트 장학생으로 탐사기자 활동을 하였다. 학부 및 로스쿨 재학 시기부터 과학기술과 법의 접점을 연구 주제로 삼았다.
콜린 치엔 연구와 학문적 관점
치엔의 연구는 하이테크 산업의 특허 생태, 비실시 주체의 소송 전략, 특허 품질, 공익 고려, 그리고 제도 실험의 법적 타당성과 효과측정을 중심으로 전개된다. 2010년 논문에서 PAE(특허권 행사 주체)라는 용어를 사용하며 분석틀을 제시했고, 2012년에는 ITC 구제와 공익의 조화를 공동연구로 제시하였다.
콜린 치엔 특허정책과 산업 생태
치엔은 하이테크 기업의 "무기 경쟁"과 특허 거래 "시장" 패러다임이 공존하는 복합 생태를 제시하고, 정책·사법적 수단이 공익과 혁신을 함께 증진하도록 설계되어야 함을 주장한다. 또한 정책파일럿의 합법성과 실효성을 강조하며 특허품질 제고를 위한 실험·평가를 제안하였다.
콜린 치엔 스타트업과 특허권 행사
치엔은 스타트업과 벤처생태계에 대한 특허권 행사(특히 PAE)의 영향을 실증적으로 조사하였다.
콜린 치엔 행정 참여와 개방정부
OSTP 근무 동안 치엔은 '오픈 데이터 라이선싱 잼' 공동개최, 교육 성과 기반 투자와 기술 활용, 녹색기술 이전 촉진, 미·중 혁신대화 등 과제를 수행하였다. 또한 2012년 FTC·DOJ PAE 워크숍에서 도입 강연을 맡아 정책 논의의 기초 자료를 제공하였다.
콜린 치엔 데이터 기반 형사사법 연구와 Paper Prisons
치엔은 형사기록 말소·시민권 회복 등 '두 번째 기회' 정책의 적용 격차를 'Second Chance Gap'으로 개념화하고, Paper Prisons Initiative를 설립해 주·연방 단위의 격차를 계량·시각화하였다.
콜린 치엔 인공지능과 법조 실무
치엔이 이끈 버클리 로스쿨 연구는 법률구조 분야에서 생성형 AI가 생산성과 접근성을 높일 잠재력을 보이되, 정확성·개인정보 등 거버넌스 요건이 병행되어야 함을 보였다. 2025년에는 법률사무 적용에서 회수 가능한 근거(RAG)와 인적 검증의 결합이 중요하다는 정책적 제언을 제시하였다.
콜린 치엔 논문
콜린 V. 치엔, "무기 경쟁에서 시장으로: 새로운 복합 특허 생태계와 그 함의 (From Arms Race to Marketplace: The New Complex Patent Ecosystem and Its Implications for the Patent System)", Hastings Law Journal 62 (2010), doi:10.2139/ssrn.1703557.
이 논문은 하이테크 산업의 특허 생태를 '무기 경쟁'과 '시장'이라는 두 틀로 분석한다. 데이터와 사례를 통해 특허 거래 시장이 소송과 혁신에 미치는 경로를 제시한다. 정책·사법적 대응의 균형과 공익을 강조한다. 기업의 전략 변화가 소송 구조를 어떻게 만들었는지 설명한다. 제도 설계에 실증 근거가 필요함을 제시한다.
스타트업 대상 설문과 소송 자료를 결합해 비실시 주체의 요구가 비용·투자에 미치는 영향을 설명한다. 응답 기업이 겪는 대응 비용과 경영 불확실성을 수치로 제시한다. 일부 산업에서 특허의 긍정적 역할도 병존함을 밝혔다. 정책 대안으로 소송남용 억제와 정보 공개를 제안한다. 조사 한계를 명시하고 추가 연구 과제를 제시한다.
콜린 치엔 논문
정책 파일럿의 법적 근거와 행정상 구현 가능성을 검토한다. 무작위배정 등 실험설계를 행정에 접목하는 방안을 제시한다. 특허품질 제고를 위한 측정지표를 논의한다. 비용·편익과 위험 분담을 비교한다. 규범적·실천적 지침을 함께 제시한다.
6만 건 규모의 배경조사 데이터를 활용해 기록 말소 가능 인구와 실제 말소 간 격차를 추정한다. 'Second Chance Gap'을 개념화하고 측정 지표를 제안한다. 정책·행정 상의 병목과 비용 장벽을 분석한다. 주별 법제 차이와 영향 요인을 비교한다. 자동화·디지털화의 개선 가능성을 논한다.
이차 방정식의 근의 공식
초등대수학에서 이차 방정식의 근의 공식(Quadratic formula)은 이차 방정식의 해를 나타내는 닫힌 형식 표현이다. 완전제곱식 만들기와 같은 다른 이차 방정식 해결 방법들도 동일한 해를 도출한다.
미지수 와 계수 , , 가 알려진 실수 또는 복소수이며 인 일반적인 이차 방정식 이 주어질 때, 이 방정식을 만족하는 근 또는 영점이라고 불리는  값은 다음 이차 방정식의 근의 공식을 사용하여 찾을 수 있다.
여기서 플러스마이너스 기호 ""는 방정식이 두 개의 근을 가짐을 나타낸다. 따로 쓰면 다음과 같다.
양 는 이차 방정식의 판별식으로 알려져 있다. 계수 , , 가 실수일 때, 이면 방정식은 서로 다른 두 실근을 가지며; 이면 방정식은 하나의 중근을 가지며; 이면 방정식은 실근을 가지지 않고 서로 켤레 복소수인 두 개의 서로 다른 복소근을 가진다.
기하학적으로, 근은 이차 함수 , 즉 포물선의 그래프가 -축과 교차하는  값을 나타낸다. 즉, 그래프의 -절편이다. 이차 방정식의 근의 공식은 포물선의 대칭축을 식별하는 데도 사용될 수 있다.
이차 방정식의 근의 공식 완전제곱식 만들기를 이용한 유도
이차 방정식의 근의 공식을 유도하는 표준적인 방법은 일반적인 이차 방정식 에 완전제곱식 만들기 방법을 적용하는 것이다. 아이디어는 방정식을 계수로 표현된 일부 식 와 에 대해  형태로 변형하고, 양변에 제곱근을 취한 다음, 를 분리하는 것이다.
먼저, 가 0이 아니므로 방정식의 양변을 이차 계수 로 나눈다. 그런 다음, 상수항 를 빼서 우변으로 분리한다.
이제 좌변은  형태이므로, 상수 를 더하여 완전제곱식 ​를 만들 수 있다. 이 예에서는 양변에 를 더하여 좌변을 인수분해한다(그림 참조).
이제 좌변이 완전제곱식이므로 양변에 쉽게 제곱근을 취할 수 있다.
마지막으로, 양변에서 를 빼서 를 분리하면 이차 방정식의 근의 공식이 나온다.
이차 방정식의 근의 공식 동등한 공식
이차 방정식의 근의 공식은 다양한 대체 표현식을 사용하여 동등하게 작성될 수 있다. 예를 들어
이것은 이차 방정식을 먼저 로 나누어 를 얻은 다음, 새로운 계수들을 표준 이차 방정식의 근의 공식에 대입하여 유도할 수 있다. 이 변형은 중간에 계산된 양 를 재사용할 수 있게 하여 관련된 산술 계산을 약간 줄일 수 있다.
줄리오 파냐노가 처음 언급한 잘 알려지지 않은 이차 공식은 분모에 제곱근이 있는 방정식을 통해 동일한 근을 설명한다 (이라고 가정).
여기서 마이너스-플러스 기호 ""는 표준 이차 방정식의 근의 공식과 같은 순서로 이차 방정식의 두 근이 다음과 같음을 나타낸다.
이 변형은 농담 삼아 "시타르다우크(citardauq)" 공식("quadratic"을 거꾸로 쓴 것)이라고 불린다.
이차 방정식의 근의 공식 동등한 공식
가  또는 와 반대 부호를 가질 때, 뺄셈은 파국적 상쇄를 일으켜 수치 계산에서 정확도가 떨어질 수 있다. 의 부호에 따라 분자에 제곱근이 있는 이차 공식과 분모에 제곱근이 있는 이차 공식 중 하나를 선택하면 이 문제를 피할 수 있다. 아래 § Numerical calculation을 참조하라.
이 이차 방정식의 근의 공식 버전은 일반 함수의 근을 찾는 뮐러 방법에서 사용된다. 이는 비에트 정리 중 하나인 항등식 에서 표준 공식으로부터 유도될 수 있다. 또는, 방정식 의 각 변을 으로 나누어 을 얻은 다음, 표준 공식을 적용하여 두 근 을 찾고, 그 역수를 취하여 원래 방정식의 근 를 찾을 수 있다.
이차 방정식의 근의 공식 다른 유도
이차 방정식을 풀기 위한 어떤 일반적인 방법이나 알고리즘이라도 기호 계수를 가진 방정식에 적용하여 이차 방정식의 근의 공식과 동등한 어떤 닫힌 형식 표현을 유도하는 데 사용될 수 있다. 대안적인 방법들은 때로는 완전제곱식 만들기보다 간단하며, 수학의 다른 분야에 대한 흥미로운 통찰력을 제공할 수도 있다.
을 분리하기 위해 로 나누는 대신, 를 곱하여 를 만들면 분수 없이 완전제곱식을 만들 수 있어 약간 더 간단할 수 있다. 이 경우 유도 단계는 다음과 같다.
이 방법을 기호 계수를 가진 일반적인 이차 방정식에 적용하면 이차 방정식의 근의 공식이 나온다.
완전제곱식을 만드는 이 방법은 고대부터 전해져 왔으며, 8세기에서 9세기 인도의 수학자 슈리다라에게 알려져 있었다. 완전제곱식을 만드는 현대 표준 방법과 비교하여, 이 대체 방법은 마지막 단계까지 분수를 피할 수 있으므로 3단계 이후에 우변에서 공통 분모를 얻기 위한 재배열이 필요하지 않다.
또 다른 유도는 변수 변환을 사용하여 일차항을 제거한다. 그러면 방정식은 새로운 변수 와 일부 상수 표현 의 관점에서  형태를 취하며, 그 근은 이다.
이차 방정식의 근의 공식 다른 유도
를 에 대입하고, 곱을 전개하고 동류항을 결합한 다음, 에 대해 풀면 다음과 같다.
마지막으로, 양변에 제곱근을 취하고 결과적인 에 대한 표현을 다시 에 대입하면 친숙한 이차 방정식의 근의 공식이 나타난다.
다음 방법은 많은 역사적 수학자들이 사용했다.
이차 방정식 의 근을 와 라고 하자. 유도는 (어떤 두 복소수에 대해서도 유효한) 차이의 제곱에 대한 항등식에서 시작하며, 양변에 제곱근을 취할 수 있다.
계수 이므로, 이차 방정식을 로 나누어 동일한 근을 가진 일계수 다항식을 얻을 수 있다. 즉,
이는 합 과 곱 을 의미한다. 따라서 항등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
그러므로,
와 의 각 두 가지 가능성은 순서가 반대인 두 개의 동일한 근이므로, 이를 표준 이차 방정식으로 결합할 수 있다.
이차 방정식의 근의 공식을 유도하는 또 다른 방법은 갈루아 이론의 초기 부분인 라그랑주 분해식 방법을 이용하는 것이다.
이 방법은 삼차 방정식과 사차 방정식의 근을 제공하도록 일반화될 수 있으며, 갈루아 이론으로 이어진다. 갈루아 이론은 근의 대칭군인 갈루아 군의 관점에서 모든 차수의 대수 방정식을 이해하고 풀 수 있게 한다.
이차 방정식의 근의 공식 다른 유도
이 접근 방식은 원래 방정식을 대수적으로 재배열하기보다는 근 자체에 초점을 맞춘다. 일계수 이차 다항식 가 주어졌을 때, 와 가 두 근이라고 가정하자. 그러면 다항식은 다음과 같이 인수분해된다.
이는 와 를 의미한다.
곱셈과 덧셈은 모두 교환적이므로, 근 와 를 교환해도 계수 와 는 변하지 않는다. 와 는 와 에 대한 대칭 다항식이라고 말할 수 있다. 특히, 이들은 기본 대칭 다항식이며 – 와 에 대한 모든 대칭 다항식은 와 로 표현될 수 있다.
다항식을 분석하고 해결하기 위한 갈루아 이론 접근 방식은 다항식의 계수가 근의 대칭 함수로 주어졌을 때, 대칭성을 "깨뜨려서" 근을 복구할 수 있는지 묻는 것이다. 이 접근 방식을 사용하면 n차 다항식을 푸는 것은 n개의 항을 재배열하는(순열) 방식과 관련이 있으며, 이를 n개 문자에 대한 대칭군이라고 하며 으로 표시한다. 이차 다항식의 경우, 두 근을 재배열하는 유일한 방법은 그대로 두거나 바꾸는 것이므로, 이차 다항식을 푸는 것은 간단하다.
근 와 를 찾기 위해, 그들의 합과 차이를 고려한다.
이들은 다항식의 라그랑주 분해식이라고 불리며, 이로부터 근은 다음과 같이 복구될 수 있다.
이차 방정식의 근의 공식 다른 유도
는 와 에 대한 대칭 함수이므로, 위에서 설명한 대로 와 로 표현될 수 있다. 특히, 이다. 그러나 는 대칭이 아니다. 왜냐하면 와 를 교환하면 가산 역원 가 나오기 때문이다. 따라서 는 대칭 다항식으로 표현될 수 없다. 그러나 그 제곱 은 근에 대해 대칭이며, 와 로 표현될 수 있다. 특히 ​​이므로, 이는 를 의미한다. 양의 근을 취하면 대칭성이 "깨져서" 다음과 같은 결과가 나온다.
여기서 근 와 는 다음과 같이 복구된다.
이는 일계수 다항식에 대한 이차 방정식의 근의 공식이다.
, 를 대입하면 임의의 이차 다항식에 대한 일반적인 표현식이 나온다. 분해식은 다음과 같이 인식될 수 있다.
각각 일계수 다항식의 꼭짓점과 판별식이다.
유사하지만 더 복잡한 방법이 삼차 방정식에도 적용된다. 삼차 방정식은 세 개의 분해식과 와 를 연결하는 이차 방정식("분해 다항식")을 가지며, 이는 이차 방정식을 통해 풀 수 있다. 마찬가지로 사차 방정식 (4차)의 경우 분해 다항식이 삼차 방정식이 되고, 이를 다시 풀 수 있다. 오차 방정식에 동일한 방법을 적용하면 24차 다항식이 나오는데, 이는 문제를 단순화하지 않으며, 사실 오차 방정식의 해는 일반적으로 근호만을 사용하여 표현할 수 없다.
이차 방정식의 근의 공식 수치 계산
이차 방정식의 근의 공식은 실수의 이상적인 산술을 사용하여 수행될 때 정확히 옳지만, 부동소수점 이진 산술과 같이 근사적인 산술을 사용할 경우(예: 고정된 자릿수로 손으로 계산하거나 컴퓨터에서 사용 가능한 부동소수점 이진 산술), 구현에 큰 주의를 기울이지 않으면 수 표현의 한계로 인해 상당히 부정확한 결과가 발생할 수 있다. 구체적인 어려움으로는 일 때 합 를 계산할 때 파국적 상쇄가 발생할 수 있다는 점, 일 때 판별식  자체를 계산할 때 파국적 계산이 발생할 수 있다는 점, , , 가 0 또는 무한대로 표현될 때 공식이 퇴화할 수 있다는 점, 그리고 근이 정확하게 표현될 수 있는 경우에도 매우 크거나 작은 수를 곱하거나 나눌 때 오버플로 또는 언더플로가 발생할 수 있다는 점이 있다.
이차 방정식의 근의 공식 수치 계산
파국적 상쇄는 대략적으로 같은 두 숫자를 뺄 때 발생한다. 각 숫자가 독립적으로 특정 자릿수의 정밀도로 표현될 수 있지만, 각 숫자의 동일한 선행 자릿수가 상쇄되어 상대 정밀도가 낮은 차이가 발생한다. 일 때, 를 평가하면 파국적 상쇄가 발생하며, 일 때 를 평가할 때도 마찬가지이다. 표준 이차 방정식의 근의 공식을 사용할 때, 두 근 중 하나를 계산하는 것은 항상 덧셈을 포함하여 중간 계산의 작동 정밀도를 유지하는 반면, 다른 근을 계산하는 것은 뺄셈을 포함하여 이를 손상시킨다. 따라서 표준 이차 방정식의 근의 공식을 순진하게 따르면 예상보다 낮은 상대 정밀도로 하나의 결과가 나오는 경우가 많다. 불행히도, 초급 대수학 교과서에서는 이 문제를 다루지 않는 경우가 많은데, 이는 학생들이 초급 화학과 같은 다른 학교 과목에서 부정확한 결과를 얻게 하기 때문이다.
예를 들어, 주머니 계산기를 사용하여 방정식 을 풀려고 할 때, 이차 공식 의 결과는 대략 다음과 같이 계산될 수 있다.
계산기가 각 단계에서 10자리의 정밀도를 사용했음에도 불구하고, 대략적으로 같은 두 숫자의 차이를 계산한 결과 에 대해 단 4개의 정확한 자릿수만 얻어졌다.
이차 방정식의 근의 공식 수치 계산
정확한 결과를 얻는 한 가지 방법은 항등식 를 사용하는 것이다. 이 예에서 는 ​로 계산될 수 있으며, 이는 10자리에 대해 완전히 정확하다. 또 다른 거의 동등한 접근 방식은 분모에 제곱근이 있는 이차 방정식의 근의 공식 버전을 사용하여 근 중 하나를 계산하는 것이다(위의 § Square root in the denominator 참조).
이차 방정식을 푸는 실제 컴퓨터 구현에서는 일반적으로 의 부호에 따라 각 근에 사용할 공식을 선택한다.
이러한 방법들은  또는 를 계산할 때 부동소수점 지수의 가능한 오버플로 또는 언더플로를 방지하지 못하며, 이는 수치적으로 표현 가능한 근이 정확하게 계산되지 못하게 할 수 있다. 더 견고하지만 계산 비용이 많이 드는 전략은 대입 로 시작하여 이차 방정식을 다음으로 변환하는 것이다.
여기서 은 부호함수이다. 라고 하면, 이 방정식은  형태를 가지며, 한 해는 이고 다른 해는 이다. 원래 방정식의 근은 와 이다.
추가적인 복잡성을 통해 제곱근의 비용과 추가적인 반올림은 지수 오버플로를 여전히 피하면서 제곱근을 2의 거듭제곱으로 근사함으로써 피할 수 있다.
이차 방정식의 근의 공식 역사적 발전
이차 방정식을 풀기 위한 가장 초기 방법은 기하학적인 것이었다. 바빌로니아 설형문자판에는 이차 방정식으로 환원될 수 있는 문제들이 포함되어 있다. 이집트 중왕국 (기원전 2050년 ~ 기원전 1650년)으로 거슬러 올라가는 이집트 베를린 파피루스에는 두 항 이차 방정식의 해가 포함되어 있다.
그리스 수학자 에우클레이데스 (기원전 300년경)는 그의 영향력 있는 수학 논문인 에우클레이데스의 원론 제2권에서 기하학적 방법을 사용하여 이차 방정식을 풀었다. 기원전 200년경 중국의 구장산술에 이차 방정식에 대한 규칙이 나타난다. 그리스 수학자 디오판토스 (기원후 250년경)는 그의 저서 아리스메티카에서 에우클레이데스의 기하적 대수학보다 더 대수학적으로 인식할 수 있는 방법으로 이차 방정식을 풀었다. 그의 해는 두 근이 모두 양수일 때도 하나의 근만을 제시한다.
이차 방정식의 근의 공식 역사적 발전
인도의 수학자 브라마굽타는 그의 논문 브라마스푸타싯단타 (기원후 628년경)에 이차 방정식의 한 근을 찾는 일반적인 방법을 포함시켰는데, 당시의 방식으로 글로 쓰여져 있었다. 이차 방정식 에 대한 그의 해는 다음과 같았다: "제곱 [계수]의 네 배로 곱한 절대수에 중간항 [계수]의 제곱을 더한다; 같은 것의 제곱근에서 중간항 [계수]을 뺀 다음 제곱 [계수]의 두 배로 나눈 것이 그 값이다."
현대 표기법으로 이는 로 쓸 수 있다. 인도의 수학자 슈리다라 (8~9세기)는 바스카라 2세가 인용한 현재는 없어진 대수학 저서에서 이차 방정식을 푸는 유사한 알고리즘을 제시했다. 현대의 이차 방정식의 근의 공식은 인도에서는 스리다라차리야의 공식(Sridharacharya's formula), 브라질에서는 바스카라의 공식(Bhaskara's formula)이라고 불리기도 한다.
9세기 페르시아 수학자 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미는 이차 방정식을 대수적으로 풀었다. 모든 경우를 다루는 이차 방정식의 근의 공식은 시몬 스테빈이 1594년에 처음 얻었다. 1637년에 르네 데카르트는 오늘날 우리가 아는 형태의 이차 방정식의 근의 공식의 특수 사례를 담은 라 지오메트리를 출판했다.
이차 방정식의 근의 공식 기하학적 의미
좌표 기하학적으로, 축에 정렬된 포물선은 이차 다항식 의 그래프인 곡선이며, 여기서 , , 는 인 실수 값 상수 계수이다.
기하학적으로 이차 방정식의 근의 공식은 포물선이 -축과 교차하는 그래프 상의 점 을 정의한다. 또한, 두 항으로 분리될 수 있다.
첫 번째 항은 대칭축인 선 를 설명한다. 두 번째 항인 는 근이 대칭축에서 떨어진 거리를 제공한다.
포물선의 꼭짓점이 -축 위에 있으면, 해당하는 방정식은 대칭선에 하나의 중근을 가지며, 이 거리 항은 0이 된다. 대수적으로는 판별식 이다.
판별식이 양수이면 꼭짓점은 -축 위에 없지만 포물선은 -축 방향으로 열려 두 번 교차하므로 해당하는 방정식은 두 개의 실근을 가진다. 판별식이 음수이면 포물선은 반대 방향으로 열려 -축과 전혀 교차하지 않으며, 방정식은 실근을 가지지 않는다. 이 경우 두 개의 복소수 근은 서로의 켤레 복소수이며, 그 실수는 대칭축의  값이다.
이차 방정식의 근의 공식 차원 분석
상수 , , 또는 가 무차원이 아니면, 와 의 양은 같은 단위를 가져야 한다. 왜냐하면 항 와 의 단위가 일치하기 때문이다. 같은 논리로, 계수 는 의 단위와 관계없이 와 같은 단위를 가져야 한다. 이는 물리량의 이차 표현이 올바르게 설정되었는지 확인하는 강력한 도구가 될 수 있다.
산드라 바흐터
산드라 바흐터(Sandra Wachter)는 오스트리아 출신의 법학자이자 옥스퍼드 대학교 옥스퍼드 인터넷 연구소에서 '기술과 규제' 교수로 활동하며, 하소 플라트너 연구소(Hasso Plattner Institute)의 훔볼트(인공지능) 교수로도 재직하는 인공지능·데이터 윤리·알고리즘 규제 전문가이다. 그녀는 '합리적 추론권'과 '반사실적 설명'을 통해 자동화된 의사결정의 설명가능성과 책임성을 높이는 규범·절차를 제시한 연구로 알려져 있다.
산드라 바흐터 생애
바흐터는 오스트리아에서 성장하여 빈 대학교에서 법학을 공부하였고, 2009년 LL.M.을 마친 뒤 오스트리아 보건부 법률자문으로 근무하였다. 이후 기술·지식재산·민주주의를 주제로 박사학위를 취득하고 영국으로 건너가 앨런 튜링 연구소 연구 펠로를 거쳐 옥스퍼드 인터넷 연구소에 합류하였다. 2024년 알렉산더 폰 훔볼트 재단의 인공지능 분야 훔볼트 교수로 선정되었고, 2025년 베를린에서 공식 시상식이 열렸다.
산드라 바흐터 학문적 관점과 연구 방법
바흐터의 연구는 데이터 보호, 설명가능한 AI, 프로파일링과 추론, 차별금지와 공정성 측정 등 규범·법학·기술을 결합한 문제에 초점을 둔다. 그는 일반 데이터 보호 규정(GDPR)의 문언과 실제 적용 사이의 간극을 분석하여, '설명권'의 법적 지위와 한계를 엄밀히 해석하고 실무적 대안을 제시하였다.
산드라 바흐터 '합리적 추론권' 제안
바흐터와 브렌트 미텔슈타트는 개인에 대한 데이터 기반 '추론' 자체를 통제·다툴 수 있어야 한다는 '합리적 추론권'을 제안하여, 데이터 평가 단계의 권리 보강을 주장하였다. 이 구상은 기업의 마케팅·신용평가·채용 알고리즘이 생성한 특성 추정·행동 예측 등에 대해 당사자가 설명과 시정을 요구할 수 있도록 법정책의 초점을 '입력'에서 '평가'로 이동시키는 틀을 제공한다.
산드라 바흐터 반사실적 설명과 설명가능성
바흐터·미텔슈타트·러셀은 '반사실적 설명'을 제시하여 "무엇이 달랐다면 결과가 달라졌는가"를 알려줌으로써 상업상 비밀을 노출하지 않고도 의미있는 설명을 제공할 수 있음을 보였다. 해당 접근은 구글의 'What-If Tool'(TensorBoard) 등에서 대화형 점검 기능과 함께 구현되어 모델 판별 경계와 변수 민감도를 직관적으로 탐색할 수 있게 하였다. 과학저널 '사이언스'의 질의응답에서도 그는 "설명요구가 영업비밀을 침해하지 않도록 반사실적 정보로 균형을 잡을 수 있다"고 논증하였다.
산드라 바흐터 알고리즘 공정성과 CDD
바흐터·미텔슈타트·러셀은 유럽 차별금지법이 요구하는 '맥락의존적' 판단과 통계적 공정성 지표 간 괴리를 지적하고, '조건부 인구집단 격차'(CDD)를 표준 입증틀로 제안하였다. 이 제안은 튜링연구소 연차보고·아마존 사이언스 등의 기술 문서에서 바이어스 측정의 실무 기준으로 인용되었다.
산드라 바흐터 데이터 보호와 규제 관점
그는 GDPR의 통지·접근 중심 설계가 데이터 '평가' 단계의 통제에는 미흡하다고 지적하고, 평가 단계의 설명·이의제기 수단을 법·정책으로 보완할 것을 제시하였다. 또한 플랫폼 규제·프로파일링·감정·안면인식의 위험과 한계를 연결해 설명가능성·감사가능성을 제도화할 필요성을 강조하였다.
산드라 바흐터 정책 자문 및 제도 참여
바흐터는 정부·기업·국제기구 자문에 참여했고, EU '자율주행 윤리 가이드라인' 전문가 그룹(EC High-Level Expert Group on Ethics of Connected and Automated Vehicles) 구성원으로 활동했다.
산드라 바흐터 주요 논문
산드라 바흐터; 브렌트 미텔슈타트; 루치아노 플로리디 (2017), 「자동화된 의사결정의 '설명권'은 GDPR에 존재하지 않는다 / Why a Right to Explanation of Automated Decision-Making Does Not Exist in the GDPR」, International Data Privacy Law 7(2): 76–99, doi:10.1093/idpl/ipx005.: 이 논문은 GDPR 조항을 원문·체계해석으로 검토해 일반적 '설명권'이 법전에 명시되지 않았음을 보인다. 대신 정보주체의 '접근권'과 '알 권리'가 제공하는 의미있는 정보가 실무 기준임을 제시한다. 영업비밀과 기술적 한계를 고려한 설명가능성의 범위를 재설계할 필요가 있음을 설명한다. 자동결정 조항(제22조)의 구조적 모호성과 그 보호범위를 사례로 분석한다. 결과적으로 설명가능성은 절차·감사·구제의 결합으로 달성되어야 함을 주장한다.
산드라 바흐터 주요 논문
산드라 바흐터; 브렌트 미텔슈타트; 크리스 러셀 (2018), 「블랙박스를 열지 않고 제공하는 반사실적 설명 / Counterfactual Explanations Without Opening the Black Box」, Harvard Journal of Law & Technology 31(2): 841–887, doi:10.2139/ssrn.3063289.: 이 논문은 "만약 X가 Y였다면 결과는 달랐다"는 형식의 반사실을 사용해 개인에게 이해가능한 설명을 제공하는 절차를 제시한다. 모델 내부 구조 공개 없이도 책임성과 시정을 가능하게 하는 점을 수학적·법적 근거로 제시한다. 대출·채용 등 고위험 도메인에 즉시 적용 가능한 지침을 제공한다. GDPR과의 합치성, 권리구제의 연결방식을 검토한다. 복잡한 모델에서도 지역적 민감도 기반 반사실 도출이 가능함을 보인다.
산드라 바흐터 주요 논문
산드라 바흐터; 브렌트 미텔슈타트 (2019), 「합리적 추론권: 빅데이터와 AI 시대의 데이터보호법 재구상 / A Right to Reasonable Inferences: Re-Thinking Data Protection Law in the Age of Big Data and AI」, Columbia Business Law Review 2019(2): 494–620, doi:10.7916/d8-g10s-ka92.: 이 논문은 데이터 '입력'이 아니라 '평가·추론' 단계에서의 권리 공백을 지적한다. 개인이 자신에 대한 예측·추정에 대해 설명·시정을 요구할 수 있는 권리틀을 설계한다. 광고·신용·보험 등 추론경제에서의 위험과 책무를 체계적으로 분류한다. 법적 근거와 정책수단(감사, 영향평가, 금지·허용기준)을 제안한다. 실제 규제설계 시 균형을 위한 비례성 원칙을 강조한다.
산드라 바흐터 주요 논문
산드라 바흐터 (2020), 「친화성 프로파일링과 연상에 의한 차별 / Affinity Profiling and Discrimination by Association in Online Behavioural Advertising」, Berkeley Technology Law Journal 35(2): 369–430, doi:10.15779/Z38JS9H82M.: 이 논문은 관심사 유사성 기반 타기팅이 민감정보 추론과 집단연상을 통해 차별을 야기할 수 있음을 분석한다. 개인정보·차별금지·소비자보호의 교차영역에서 규범 충돌을 정리한다. 입증 부담을 낮추는 절차와 사업자의 주의의무를 제안한다. 플랫폼 광고 인프라의 구조적 위험을 데이터 흐름 단위로 설명한다. 정책적 처방으로 투명성·감사·금지행위 목록화를 제시한다.
산드라 바흐터; 브렌트 미텔슈타트; 크리스 러셀 (2021), 「왜 공정성은 자동화될 수 없는가 / Why Fairness Cannot Be Automated: Bridging the Gap Between EU Non-Discrimination Law and AI」, Computer Law & Security Review 41: 105567, doi:10.1016/j.clsr.2020.105567.: 이 논문은 법원이 요구하는 증거·맥락과 통계적 공정성 지표 사이의 불일치를 지적한다. 그 결과 자동화된 공정성 테스트만으로는 합법성 판단에 충분치 않음을 보인다. CDD라는 기준선을 제안해 사건평가의 절차적 정합성을 확보한다. 의료·고용 등 도메인별 적용 지침을 제공한다. 정책 입안·감독·표준화의 역할분담을 제안한다.
파이트-톰프슨 정리
수학에서 파이트-톰프슨 정리(Feit–Thompson theorem) 또는 홀수 차수 정리(odd order theorem)는 홀수 차수의 모든 유한 군이 가해군이라는 것을 나타낸다. 이 정리는 1960년대 초 월터 파이트와 존 그리그스 톰프슨이 증명했다.
파이트-톰프슨 정리 역사
20세기 초, 윌리엄 번사이드는 모든 비가환 유한 단순군이 짝수 차수를 가진다고 추측했다. 리하르트 브라우어는 브라우어-파울러 정리가 주어진 대합의 중심화 부분군을 가진 유한 단순군이 유한한 수임을 보여주기 때문에 단순군의 대합의 중심화 부분군을 유한 단순군 분류의 기초로 사용할 것을 제안했다. 홀수 차수의 군은 대합을 가지지 않으므로, 브라우어의 프로그램을 수행하기 위해서는 비순환 유한 단순군이 결코 홀수 차수를 가지지 않는다는 것을 먼저 보여줄 필요가 있다. 이것은 홀수 차수 군이 가해군임을 보여주는 것과 동등하며, 이는 파이트와 톰프슨이 증명한 내용이다.
번사이드 추측에 대한 공격은 스즈키 미치오가 시작했는데, 그는 CA 군을 연구했다. 이들은 모든 비자명 원소의 Centralizer가 Abelian인 군이다. 그는 선구적인 논문에서 홀수 차수의 모든 CA 군이 가해군임을 보여주었다. (그는 나중에 모든 단순 CA 군을 분류했고, 더 일반적으로는 모든 대합의 중심화 부분군이 정규 2-실로우 부분군을 가지는 모든 단순군을 분류했으며, 그 과정에서 간과되었던 리 군의 형태의 단순군족(현재는 스즈키 군이라고 불린다)을 발견했다.)
파이트-톰프슨 정리 역사
파이트, 톰프슨, 마셜 홀 (수학자)는 스즈키의 작업을 CN 군으로 확장했다. 이들은 모든 비자명 원소의 Centralizer가 Nilpotent인 군이다. 그들은 홀수 차수의 모든 CN 군이 가해군임을 보여주었다. 그들의 증명은 스즈키의 증명과 유사하다. 이 증명은 당시 군론 증명으로서는 매우 길다고 여겨졌던 약 17페이지 분량이었다.
파이트-톰프슨 정리는 이 과정의 다음 단계로 볼 수 있다. 그들은 모든 고유 부분군이 가해군인 홀수 차수의 비순환 단순군이 없음을 보여준다. 이것은 홀수 차수의 모든 유한군이 가해군임을 증명하는데, 최소 반례는 모든 고유 부분군이 가해군인 단순군이어야 하기 때문이다. 비록 증명은 CA 정리 및 CN 정리와 동일한 일반적인 개요를 따르지만, 세부 사항은 훨씬 더 복잡하다. 최종 논문은 255페이지 길이었고 퍼시픽 수학 저널 13권 3호를 완전히 채웠다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 중요성
파이트-톰프슨 정리는 모든 비아벨 단순군이 대합을 가지기 때문에 대합의 중심화 부분군을 이용한 유한 단순군의 분류가 가능할 수 있음을 보여주었다. 그들이 증명에서 도입한 많은 기법들, 특히 국소 분석의 개념은 분류에 사용되는 도구로 더욱 발전되었다. 아마도 증명의 가장 혁명적인 측면은 그 길이였을 것이다. 파이트-톰프슨 논문 이전에는 군론에서 몇 페이지를 넘는 논증은 거의 없었으며 대부분 하루 만에 읽을 수 있었다. 군 이론가들이 그러한 긴 논증이 효과를 볼 수 있다는 것을 깨닫자, 수백 페이지에 달하는 일련의 논문들이 등장하기 시작했다. 이들 중 일부는 파이트-톰프슨 논문마저도 왜소하게 만들었다. 마이클 애슈바허와 스티븐 D. 스미스의 준가소 군에 대한 논문은 1,221페이지 길이었다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개정
많은 수학자들이 원래의 파이트-톰프슨 증명의 일부를 단순화했다. 그러나 이 모든 개선점들은 어떤 의미에서는 국소적이다. 논증의 전체 구조는 여전히 동일하지만, 논증의 일부 세부 사항들이 단순화되었다.
단순화된 증명은 두 권의 책으로 출판되었다. Bender & Glauberman (1994)는 군 표현의 지표를 제외한 모든 것을 다루고, Peterfalvi (2000)는 군 표현의 지표를 다룬다. 이 개정된 증명은 여전히 매우 어렵고, 원래 증명보다 길지만, 더 여유로운 문체로 작성되었다.
조르주 공티에와 마이크로소프트 리서치 및 Inria의 동료 연구원들은 2012년 9월에 Coq 증명 보조기로 검증된 완전히 형식적인 증명을 발표했다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
파이트-톰프슨 정리를 직접 설명하는 대신, 스즈키의 CA 정리를 설명하고 CN 정리와 홀수 차수 정리에 필요한 일부 확장에 대해 언급하는 것이 더 쉽다. 증명은 세 단계로 나눌 수 있다. G를 CA 조건을 만족하는 비아벨 (최소) 홀수 차수 단순군이라고 하자.
CA의 경우 "a는 b와 가환한다"는 관계가 비항등 원소에 대한 동치 관계이므로 이 단계는 쉽다. 따라서 원소들은 동치류로 나뉘며, 각 동치류는 최대 아벨 부분군의 비항등 원소 집합이다. 이들 최대 아벨 부분군의 정규화 부분군은 정확히 G의 최대 고유 부분군으로 판명된다. 이들 정규화 부분군은 프로베니우스 군이며, 그 군 표현의 지표 이론은 비교적 명확하며 지표 유도를 포함하는 조작에 적합하다. 또한 |G|의 소인수 집합은 |G|의 최대 아벨 부분군의 서로 다른 켤레류의 차수를 나누는 소수에 따라 분할된다. G의 최대 부분군(켤레까지)에 해당하는 특정 쉴로브 기저의 켤레류에 따라 |G|의 소인수를 분할하는 이러한 패턴은 파이트-홀-톰프슨 CN 정리의 증명과 파이트-톰프슨 홀수 차수 정리의 증명에서 모두 반복된다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
각 최대 부분군 M은 정규화 부분군이 M에 포함되는 특정 멱영 쉴로브 기저 Mσ를 가지며, 그 차수는 σ(M) 집합을 형성하는 특정 소수로 나누어진다. 두 최대 부분군은 σ(M) 집합이 같을 경우에만 켤레이고, 켤레가 아니면 σ(M) 집합은 서로소이다. G의 차수를 나누는 모든 소수는 어떤 σ(M) 집합에 나타난다. 따라서 G의 차수를 나누는 소수는 최대 부분군의 켤레류에 해당하는 동치류로 분할된다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
CN-경우의 증명은 CA-경우보다 이미 상당히 더 어렵다. 주요 추가 문제는 두 개의 다른 실로우 부분군이 항등원에서만 교차함을 증명하는 것이다. 홀수 차수 정리 증명의 이 부분은 100페이지가 넘는 저널 페이지를 차지한다. 핵심 단계는 톰프슨 유일성 정리의 증명으로, 정규 랭크가 3 이상인 아벨 부분군은 유일한 최대 부분군에 포함된다는 것을 나타내며, 이는 실로우 p-부분군이 정규 랭크가 최대 2인 소수 p에 대해 별도로 고려해야 함을 의미한다. 벤더는 나중에 벤더의 방법을 사용하여 유일성 정리 증명을 단순화했다. CN-경우에서 결과 최대 부분군 M이 여전히 프로베니우스 군인 반면, 홀수 차수 정리 증명에 나타나는 최대 부분군들은 더 이상 이러한 구조를 가질 필요가 없으며, 그 구조와 상호작용 분석은 유형 I, II, III, IV, V라고 불리는 5가지 가능한 유형의 최대 부분군을 생성한다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
유형 I 부분군은 "프로베니우스 유형"으로, 프로베니우스 군의 약간 일반화된 형태이며, 사실 증명의 후반부에는 프로베니우스 군임이 밝혀진다. 이들은 MF⋊U 구조를 가지는데, 여기서 MF는 가장 큰 정규 멱영 쉴로브 부분군이고, U는 동일한 지수를 가진 부분군 U0를 가지며 MF⋊U0는 커널 MF를 가진 프로베니우스 군이다. 유형 II, III, IV, V는 모두 3단계 군으로 MF⋊U⋊W1 구조를 가지며, 여기서 MF⋊U는 M의 유도 부분군이다. 유형 II, III, IV, V로의 세분화는 다음과 같이 부분군 U의 구조와 임베딩에 따라 달라진다.
최대 부분군의 두 클래스를 제외하고는 모두 유형 I이지만, 유형 II의 최대 부분군 클래스 하나와 유형 II, III, IV 또는 V의 최대 부분군 클래스 하나가 추가로 있을 수 있다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
CA 군 G의 최대 아벨 부분군 A의 정규화 부분군 H의 기약 지표 X가 커널에 A를 포함하지 않을 경우, X를 G의 지표 Y로 유도할 수 있으며, Y는 반드시 기약 지표일 필요는 없다. G의 알려진 구조 때문에 G의 항등 원소를 제외한 모든 원소에 대한 Y의 지표 값을 쉽게 찾을 수 있다. 이는 X1과 X2가 H의 두 기약 지표이고 Y1과 Y2가 해당하는 유도 지표일 때, Y1 - Y2가 완전히 결정되며, 그 노름을 계산하면 G의 두 기약 지표의 차이임을 보여준다 (이들은 때때로 H에 대한 G의 예외 지표로 알려져 있다). 계산 인수는 G의 모든 비자명 기약 지표가 G의 어떤 최대 아벨 부분군의 정규화 부분군과 관련된 예외 지표로 정확히 한 번 나타남을 보여준다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
유사한 논증(하지만 아벨 쉴로브 기저를 멱영 쉴로브 기저로 대체)은 CN 정리의 증명에서 작동한다. 그러나 홀수 차수 정리의 증명에서 부분군의 지표로부터 G의 지표를 구성하는 논증은 훨씬 더 섬세하며, 최대 부분군이 더 복잡한 구조를 가지고 덜 명확하게 임베딩되어 있기 때문에 지표 유도 대신 지표 환 사이의 데이드 등거리 사상을 사용한다. 예외 지표 이론은 데이드 등거리 사상을 확장하기 위해 일관된 지표 집합 이론으로 대체된다. 대략적으로 말하면, 이 이론은 관련 군들이 특정 정확한 구조를 가지지 않는 한 데이드 등거리 사상이 확장될 수 있다고 말한다.
2단계에 따르면, CA 군 G의 지표표에 대한 완전하고 정확한 설명이 있다. 이를 바탕으로 G가 홀수 차수를 가진다는 사실을 이용하여 |G|를 추정하고 G가 단순군이라는 가정과 모순을 도출하기에 충분한 정보가 얻어진다. 이 논증의 부분은 CN-군 경우와 유사하게 작동한다.
파이트-톰프슨 정리 증명의 개요
그러나 파이트-톰프슨 정리의 증명에서는 이 단계가 (늘 그렇듯이) 훨씬 더 복잡하다. 지표 이론은 1단계 후에 남은 가능한 구성 중 일부만을 제거한다. 먼저 유형 I의 최대 부분군이 모두 프로베니우스 군임을 보여준다. 만약 모든 최대 부분군이 유형 I이라면 CN 경우와 유사한 논증은 군 G가 홀수 차수 최소 단순군일 수 없음을 보여주므로, 유형 II, III, IV 또는 V의 최대 부분군 클래스가 정확히 두 개 존재한다. 증명의 나머지 대부분은 이제 이러한 두 유형의 최대 부분군 S와 T 그리고 그들 사이의 관계에 초점을 맞춘다. 더 많은 지표 이론적 논증은 그들이 유형 IV 또는 V일 수 없음을 보여준다. 두 부분군은 정확한 구조를 가지는데, 부분군 S는 pq×q×(pq–1)/(p–1) 차수를 가지며, 차수 pq의 유한체의 기본 집합의 모든 자기동형사상 x→axσ+b로 구성되는데, 여기서 a는 노름 1을 가지고 σ는 유한체의 자기동형사상이며, p와 q는 서로 다른 소수이다. 최대 부분군 T는 p와 q가 역전된 유사한 구조를 가진다. 부분군 S와 T는 밀접하게 연결되어 있다. p>q라고 가정하면, S의 차수 (pq–1)/(p–1)인 순환 부분군이 T의 차수 (qp–1)/(q–1)인 순환 부분군의 부분군과 켤레임을 보여줄 수 있다. (특히, 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자를 나누므로, 만약 파이트-톰프슨 추측이 참이라면, 이러한 일이 일어날 수 없다고 주장할 것이며, 이는 이 시점에서 증명을 마무리하는 데 사용될 수 있다. 그러나 이 추측은 아직 증명되지 않았다.)
군 G에 지표 이론을 적용한 결론은 G가 다음과 같은 구조를 가진다는 것이다. p>q인 소수가 존재하며 (pq–1)/(p–1)은 p–1과 서로소이고, G는 반직접곱 PU로 주어지는 부분군을 가지는데, P는 차수 pq의 유한체의 덧셈군이고 U는 노름 1을 가진 원소들이다. 더욱이 G는 p와 서로소인 차수를 가진 아벨 부분군 Q를 포함하며, P0가 Q를 정규화하고 (P0)y가 U를 정규화하는 원소 y를 포함한다. 여기서 P0는 차수 p의 유한체의 덧셈군이다. (p=2일 경우, 유사한 구성이 SL2(2q) 군에서 발생하며, PU는 상삼각 행렬의 보렐 부분군이고 Q는 에 의해 생성된 차수 3의 부분군이다.) 이 마지막 경우를 제거하기 위해 톰프슨은 생성원과 관계를 사용하여 매우 복잡한 조작을 사용했으며, 이는 나중에 Peterfalvi (1984)에 의해 단순화되었다. 증명은 차수 pq의 유한체에서 a와 2-a 모두 노름 1을 가지는 원소 a의 집합을 검토한다. 먼저 이 집합이 1 외에 적어도 하나의 원소를 가진다는 것을 확인한다. 그런 다음 군 G에서 생성원과 관계를 사용하는 다소 어려운 논증은 이 집합이 역수를 취하는 연산에 대해 닫혀 있음을 보여준다. 만약 a가 집합에 있고 1이 아니면, 다항식 N((1–a)x+1)–1은 q차수이고 Fp의 원소 x에 의해 주어진 적어도 p개의 서로 다른 근을 가지는데, 이는 x→1/(2–x)가 이 집합을 자신에게 매핑한다는 사실을 사용하여, p≤q이므로 p>q라는 가정과 모순된다.
파이트-톰프슨 정리 홀수성의 사용
군 G의 차수가 홀수라는 사실은 증명의 여러 곳에서 다음과 같이 사용된다. (Thompson 1963)
파이트-톰프슨 정리 각주
Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004), 《The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups》, Mathematical Surveys and Monographs 111, Providence, R.I.: 미국 수학회, ISBN 978-0-8218-3410-7, MR 2097623
Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004b), 《The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups.》, Mathematical Surveys and Monographs 112, Providence, R.I.: 미국 수학회, ISBN 978-0-8218-3411-4, MR 2097624
파이트-톰프슨 정리 각주
Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), 《Local analysis for the odd order theorem》, London Mathematical Society Lecture Note Series 188, 케임브리지 대학교 출판부, ISBN 978-0-521-45716-3, MR 1311244
Brauer, R. (1957), 〈On the structure of groups of finite order〉, 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1》, Erven P. Noordhoff N.V., Groningen, 209–217쪽, MR 0095203, 2011년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2010년 11월 14일에 확인함
파이트-톰프슨 정리 각주
Feit, Walter; Thompson, John G.; Hall, Marshall Jr. (1960), “Finite groups in which the centralizer of any non-identity element is nilpotent”, 《Math. Z.》 74: 1–17, doi:10.1007/BF01180468, MR 0114856, S2CID 120550114
Feit, Walter; Thompson, John G. (1962), “A solvability criterion for finite groups and some consequences”, 《Proc. Natl. Acad. Sci.》 48 (6): 968–970, Bibcode:1962PNAS...48..968F, doi:10.1073/pnas.48.6.968, JSTOR 71265, MR 0143802, PMC 220889, PMID 16590960
파이트-톰프슨 정리 각주
Feit, Walter; Thompson, John G. (1963), “Solvability of groups of odd order”, 《Pacific Journal of Mathematics》 13: 775–1029, doi:10.2140/pjm.1963.13.775, ISSN 0030-8730, MR 0166261
Peterfalvi, Thomas (1984), “Simplification du chapitre VI de l'article de Feit et Thompson sur les groupes d'ordre impair”, 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I》 299 (12): 531–534, ISSN 0249-6291, MR 770439