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등분산성과 이분산성
통계학에서 확률 변수의 수열은 모든 확률 변수가 동일한 유한 분산을 가질 때 등분산성(homoscedasticity, /ˌhoʊmoʊskəˈdæstɪk/)을 띠며, 이는 분산의 동질성(homogeneity of variance)으로도 알려져 있다. 상보적인 개념은 이분산성(heteroscedasticity)이라고 불리며, 이는 분산의 이질성(heterogeneity of variance)으로도 알려져 있다. "Skedasticity"는 "분산시키다"를 의미하는 고대 그리스어 "skedánnymi"에서 유래한다.
변수가 실제로는 이분산성을 띠는데도 등분산성을 띤다고 가정하면 편향되지 않은 그러나 비효율적인 점 추정과 표준 오차의 편향된 추정으로 이어지며, 피어슨 계수로 측정된 적합도를 과대평가할 수 있다.
등분산성과 이분산성
이분산성의 존재는 회귀 분석 및 분산 분석에서 주요 관심사인데, 이는 모델링 오차가 모두 동일한 분산을 가진다고 가정하는 통계적 유의성 검정을 무효화하기 때문이다. 정규방정식 (OLS) 추정량은 이분산성이 존재하더라도 편향되지 않지만, 비효율적이며 등분산성 가정에 기반한 추론은 오해를 불러일으킨다. 그런 경우, 과거에는 일반화 최소 제곱법 (GLS)이 자주 사용되었다. 오늘날 계량경제학에서 표준 관행은 GLS를 사용하는 대신 이분산성-일치 표준 오차를 포함하는 것인데, 이는 실제 분산 함수를 알 수 없는 경우 GLS가 작은 표본에서 강한 편향을 보일 수 있기 때문이다.
이분산성은 오차의 두 번째 모멘트의 기댓값에 관련되므로, 그 존재는 두 번째 차수의 오류 지정으로 언급된다.
계량경제학자 로버트 엥글은 이분산성이 존재하는 회귀 분석에 대한 연구로 2003년 노벨 경제학상을 수상했으며, 이는 ARCH 모형 (ARCH) 모델링 기법의 정식화로 이어졌다.
등분산성과 이분산성 정의
선형 회귀 방정식 를 고려하자. 여기서 종속 확률 변수 는 평균이 0인 무작위 교란항 에 계수 를 곱한 결정론적 변수 와 같다. 교란항의 분산 가 상수 이면 교란항은 등분산성을 띠며, 그렇지 않으면 이분산성을 띤다. 특히, 의 분산이  또는 의 값에 따라 달라지면 교란항은 이분산성을 띤다. 이분산성을 띠는 한 가지 방법은  (분산 함수의 예)인 경우이며, 따라서 분산은  값에 비례한다.
더 일반적으로, 에 걸친 교란항 의 공분산 행렬의 비정상 대각선이 있다면, 교란항은 이분산성을 띤다. 아래 행렬들은 시간에 걸쳐 세 가지 관측치만 있을 때의 공분산이다. 행렬 A의 교란항은 등분산성을 띠며, 이는 OLS가 최적 선형 불편 추정량인 간단한 경우이다. 행렬 B와 C의 교란항은 이분산성을 띤다. 행렬 B에서 분산은 시간이 지남에 따라 꾸준히 증가하며, 행렬 C에서 분산은  값에 따라 달라진다. 행렬 D의 교란항은 등분산성을 띠는데, 이는 대각선 분산이 상수이며, 비대각선 공분산이 0이 아니더라도 다른 이유, 즉 계열 상관 때문에 정규방정식은 비효율적이다.
등분산성과 이분산성 예시
이분산성은 관측치의 크기 사이에 큰 차이가 있을 때 자주 발생한다.
이분산성의 고전적인 예는 소득과 식사 비용 간의 관계이다. 부유한 사람은 때로는 값싼 음식을 먹고 때로는 비싼 음식을 먹을 수 있다. 가난한 사람은 거의 항상 값싼 음식을 먹을 것이다. 따라서 소득이 높은 사람들은 식비 지출에서 더 큰 변동성을 보인다.
로켓 발사 시, 관찰자는 로켓이 이동한 거리를 초당 한 번 측정한다. 처음 몇 초 동안 측정값은 센티미터 단위로 정확할 수 있다. 5분 후, 측정값의 정확도는 증가된 거리, 대기 왜곡 및 다양한 다른 요인으로 인해 100m까지만 좋을 수 있다. 따라서 거리 측정값은 이분산성을 보일 수 있다.
등분산성과 이분산성 결과
고전적인 선형 회귀 모형의 가정 중 하나는 이분산성이 없다는 것이다. 이 가정을 위반하면 가우스-마르코프 정리가 적용되지 않으므로, OLS 추정량이 최적 선형 불편 추정량(BLUE)이 아니며 그 분산이 다른 모든 불편 추정량 중에서 가장 낮지 않다는 의미가 된다.
이분산성은 정규방정식 계수 추정값을 편향되게 만들지는 않지만, 계수의 분산 (따라서 표준 오차)에 대한 정규방정식 추정값을 편향되게 만들 수 있으며, 이는 실제 모집단 분산보다 높거나 낮을 수 있다. 따라서 이분산성 데이터를 사용한 회귀 분석은 예측 변수와 결과 간의 관계에 대한 불편 추정값을 여전히 제공하지만, 데이터 분석에서 얻은 표준 오차 및 추론은 의심스럽다. 편향된 표준 오차는 편향된 추론으로 이어지므로 가설 검정 결과가 잘못될 수 있다. 예를 들어, 이분산성 데이터 집합에서 OLS를 수행하여 편향된 표준 오차 추정값을 얻으면, 연구자는 주어진 유의성 수준에서 귀무 가설을 기각하지 못할 수 있으며, 실제로는 그 귀무 가설이 실제 모집단(즉, 2종 오류를 범함)을 특징짓지 않는 경우이다.
등분산성과 이분산성 결과
특정 가정 하에서, OLS 추정량은 적절히 정규화되고 중심화될 때 정규 점근 분포를 가진다 (데이터가 정규 분포에서 오지 않는 경우에도). 이 결과는 가설 검정을 수행할 때 정규 분포 또는 카이제곱 분포 (검정통계량이 계산되는 방식에 따라 다름)를 사용하는 것을 정당화하는 데 사용된다. 이는 이분산성 하에서도 유효하다. 더 정확하게는, 이분산성이 존재하는 OLS 추정량은 적절히 정규화되고 중심화될 때 점근적으로 정규 분포를 따르며, 등분산성 경우와는 다른 분산-공분산 행렬을 가진다. 1980년에 화이트는 OLS 추정량의 점근 분포의 분산-공분산 행렬에 대한 일치 추정량을 제안했다. 이는 OLS 추정량과 화이트의 분산-공분산 추정량을 사용하여 이분산성 하에서 가설 검정을 사용하는 것을 유효화한다.
이분산성은 분산 분석 문제에서 발생하는 주요 실제 문제이기도 하다.
F 검정은 일부 상황에서 여전히 사용될 수 있다.
등분산성과 이분산성 결과
그러나 계량경제학을 전공하는 학생들은 이분산성에 과민 반응해서는 안 된다는 말이 있다. 한 저자는 "오차 분산의 불균등은 문제가 심각할 때에만 수정할 가치가 있다"라고 썼다. 또한, 또 다른 경고는 "이분산성은 결코 다른 좋은 모형을 버릴 이유가 되지 않는다"라는 형태로 주어졌다. 오차항의 조건부 두 번째 모멘트를 지정하지 않고도 추론을 가능하게 하는 이분산성-일치 표준 오차의 등장으로, 조건부 등분산성 검정은 과거만큼 중요하지 않다.
그러나 모든 비선형 모형(예: 로짓 및 프로빗 모형)의 경우 이분산성은 더 심각한 결과를 초래한다. 모수의 최대 가능도 추정값(MLE)은 일반적으로 편향될 뿐만 아니라 비일관적이다(가능도 함수가 이분산성의 정확한 형태를 올바르게 고려하도록 수정되거나 분포가 선형 지수족의 구성원이고 조건부 기댓값 함수가 올바르게 지정된 경우가 아니면). 하지만 이항 선택 모형(로짓 또는 프로빗)의 맥락에서 이분산성은 오지정된 MLE(즉, 이분산성을 무시한 모형)의 점근 평균에 대한 긍정적인 스케일링 효과만을 초래한다. 결과적으로 오지정된 MLE를 기반으로 한 예측은 여전히 정확할 것이다. 또한 오지정된 프로빗 및 로짓 MLE는 점근적으로 정규 분포를 따르므로 일반적인 유의성 검정(적절한 분산-공분산 행렬 포함)을 수행할 수 있다. 그러나 일반적인 가설 검정과 관련하여 그린이 지적했듯이 "그렇지 않으면 일관성이 없는 추정량에 대해 단순히 강건한 공분산 행렬을 계산하는 것만으로는 구제되지 않는다. 결과적으로 이 설정에서 강건한 공분산 행렬의 가치는 불분명하다."
등분산성과 이분산성 수정
이분산성에 대한 몇 가지 일반적인 수정 방법이 있다. 다음과 같다.
이분산성-일치 표준 오차 (HCSE)는 여전히 편향되어 있지만 OLS 추정값을 개선한다. HCSE는 이분산성이 있는 회귀 모형에서 표준 오차의 일치 추정량이다. 이 방법은 계수의 값을 변경하지 않고 이분산성을 수정한다. 이분산성이 존재할 경우 이를 수정하므로 일반 OLS보다 우수할 수 있지만, 데이터가 등분산적일 경우 표준 오차는 OLS로 추정된 기존 표준 오차와 동일하다. 이분산성-일치 표준 오차 계산을 위한 화이트 방법의 여러 수정안이 우수한 유한 표본 속성을 가진 수정안으로 제안되었다.
등분산성과 이분산성 검정
잔차는 브로이시-페이건 검정을 사용하여 등분산성 여부를 검정할 수 있다. 이 검정은 독립 변수에 대한 제곱 잔차의 보조 회귀를 수행한다. 이 보조 회귀에서 설명된 제곱합이 유지되고, 2로 나눈 다음, 독립 변수의 수와 동일한 자유도를 가진 카이제곱 분포에 대한 검정 통계량이 된다. 이 카이제곱 검정의 귀무 가설은 등분산성이고, 대립 가설은 이분산성을 나타낸다. 브로이시-페이건 검정은 정규성 이탈 또는 작은 표본 크기에 민감하기 때문에, 코엔커-바셋 또는 '일반화된 브로이시-페이건' 검정이 대신 흔히 사용된다. 보조 회귀에서 R-제곱 값이 유지되고, 표본 크기로 곱한 다음, 카이제곱 분포에 대한 검정 통계량이 된다 (동일한 자유도 사용). 코엔커-바셋 검정에는 필요하지 않지만, 브로이시-페이건 검정에서는 제곱 잔차를 잔차 제곱합을 표본 크기로 나눈 값으로도 나누어야 한다. 그룹별 이분산성 검정은 골드펠드-콴트 검정으로 수행할 수 있다.
등분산성과 이분산성 검정
이분산성-일치 표준 오차의 표준 사용과 사전 검정 문제로 인해, 오늘날 계량경제학자들은 조건부 이분산성 검정을 거의 사용하지 않는다.
그룹 간 이분산성 검정은 형식적으로 회귀 모델 내 검정의 특수한 경우로 간주될 수 있지만, 일부 검정은 이 경우에 특정한 구조를 가지고 있다.
회귀에서의 검정
그룹화된 데이터에 대한 검정
등분산성과 이분산성 일반화
두 개 이상의 정규 분포, 는 공분산 행렬에서 동일한 대각선을 공유하고  비대각선 항목이 0이면 등분산성 및 자기상관이 없다. 등분산성 분포는 통계적 패턴 인식 및 기계 학습 알고리즘을 도출하는 데 특히 유용하다. 등분산성을 가정하는 알고리즘의 인기 있는 예로는 피셔의 선형 판별 분석이 있다.
등분산성 개념은 구형 분포에도 적용될 수 있다.
등분산성 및 이분산성 연구는 스칼라 관측치의 분산 대신 벡터 관측치의 공분산을 다루는 다변량 사례로 일반화되었다. 이 중 한 가지 버전은 공분산 행렬을 다변량 산포 측정값으로 사용하는 것이다. 여러 저자들이 회귀 및 그룹화된 데이터 상황 모두에서 이 맥락의 검정들을 고려했다. 그룹화된 데이터 간의 이분산성에 대한 바틀렛 검정은 단변량 사례에서 가장 흔히 사용되었지만, 다변량 사례로도 확장되었다. 그러나 다루기 쉬운 해법은 두 그룹에 대해서만 존재한다. 두 개 이상의 그룹에 대한 근사치는 존재하며, 둘 다 박스의 M 검정이라고 불린다.
등분산성과 이분산성 추가 자료
대부분의 통계 교과서에는 등분산성 및 이분산성에 대한 내용이 포함되어 있다. 몇 가지 예는 다음과 같다.
홍범석
홍범석(1986년생)은 대한민국의 전 특수전사령부 군인, 전 소방공무원, 피트니스 콘텐츠 크리에이터이자 하이록스 선수이다. 2018년 충주 세계소방관경기대회 최강소방관(TFA)에서 우승했고, 2020년 경기도 소방기술경연대회에서 ‘몸짱소방관’ 1위를 차지했다. 예능·리얼리티 프로그램으로는 SBS 《더 솔져스》(2021~2022), KBS2 《생존게임 코드 레드》(2023), tvN STORY·ENA 《씨름의 제왕》(2022), 넷플릭스 《피지컬: 100》 시즌 1·2(2023~2024), 채널A·ENA 《강철부대3》(2023) 등에 출연했으며, 《피지컬: 100》 시즌 2에서는 준우승했다. 특히 2023년 《강철부대3》에서는 707팀 일원으로 결승까지 진출하여 준우승을 기록했다. 이후 하이록스(HYROX) 대회에 꾸준히 참가하며 혼성 릴레이 아시아 챔피언 등 성적을 내고, 2024년 홍콩 오픈 아시안 챔피언십 등 역내 대회에도 출전했다. 군 전역 후에는 경기도 용인소방서 구조대원으로 근무하다가 2022년에 퇴직했으며, 현재는 기능성·하이록스 특화 체육시설 ‘NED GYM’를 운영한다.
홍범석 약력
광주광역시에서 태어나 군 복무와 소방 경력을 거쳐 예능·스포츠 분야로 활동을 확장했다. 배우자는 정다영이며, 두 아들이 있다.
홍범석 경영 및 리더십
2022년 소방 공직을 떠난 뒤, 기능성·하이브리드 트레이닝 콘셉트의 ‘NED GYM(No Easy Day)’을 설립·운영하였다. 2025년에는 서울 청담점 오픈이 보도되었다. 운동 대중화와 기록 추구를 병행하며, 유튜브 채널을 통해 훈련법·하이록스 전략·안전 인식을 전파하고 있다.
홍범석 개인사
군·소방 경력을 거쳐 2022년 퇴직 후 가족과 용인에 거주한다. 배우자는 정다영이며, 두 아들과 함께 생활한다.
그랜저 인과성
그랜저 인과성 검정(Granger causality test)은 1969년에 처음 제안된 한 시계열이 다른 시계열을 예측하는 데 유용한지 여부를 결정하기 위한 통계적 가설 검정이다. 일반적으로 회귀 분석은 "단순한" 상관 분석을 반영하지만, 클라이브 그레인저는 다른 시계열의 이전 값을 사용하여 시계열의 미래 값을 예측하는 능력을 측정함으로써 경제학에서의 인과관계를 검정할 수 있다고 주장했다. "진정한 인과관계" 문제는 깊이 철학적이며, 한 사건이 다른 사건에 선행하는 것이 인과관계의 증명으로 사용될 수 있다는 이 뒤에 따라서 이 때문에 오류 때문에 계량경제학자들은 그랜저 검정이 "예측적 인과관계"만을 발견한다고 주장한다. "인과관계"라는 용어 자체를 사용하는 것은 오해의 소지가 있는데, 그랜저 인과관계는 "선행"으로 더 잘 설명되거나, 그랜저 자신이 1977년에 나중에 주장했듯이 "시간적으로 관련되어 있다"고 설명된다. X가 Y를 유발하는지 여부를 검정하기보다는 그랜저 인과성 검정은 X가 Y를 예측하는지 여부를 검정한다.
그랜저 인과성
시계열 X가 Y의 그랜저 원인이라고 말하는 것은, 일반적으로 X의 지연 값 (Y의 지연 값도 포함)에 대한 일련의 T-검정 및 F-테스트를 통해, 이 X 값들이 Y의 미래 값에 대해 통계적으로 유의미한 정보를 제공한다는 것을 보여줄 수 있을 때이다.
그랜저는 또한 경제학 이외의 분야에서 "그랜저 인과성" 검정을 사용한 일부 연구가 "우스꽝스러운" 결론에 도달했다고 강조했다. 그는 노벨 강연에서 "물론 많은 우스꽝스러운 논문들이 나왔다"고 말했다. 그러나 계산상의 단순성 때문에 시계열 인과성 분석에서 여전히 인기 있는 방법으로 남아 있다. 그랜저 인과성의 원래 정의는 교락하는 잠재적 효과를 설명하지 못하며, 즉각적이고 비선형적인 인과 관계를 포착하지 못한다. 이러한 문제를 해결하기 위한 여러 확장이 제안되었다.
그랜저 인과성 직관
시간이 지남에 따라 진화하는 변수 X가 다른 진화 변수 Y를 그랜저 원인한다고 말하는 것은, Y 자체의 과거 값과 X의 과거 값을 기반으로 한 Y 값의 예측이 Y 자체의 과거 값만을 기반으로 한 Y 예측보다 더 나을 때이다.
그랜저 인과성 기본 원리
그랜저는 두 가지 원리에 기반하여 인과 관계를 정의했다:
인과관계에 대한 이 두 가지 가정을 바탕으로 그랜저는 가 에 미치는 인과 효과를 식별하기 위해 다음 가설을 검정할 것을 제안했다.
여기서 는 확률을 나타내고, 는 임의의 비어 있지 않은 집합이며, 와 는 각각 시간  기준으로 전체 우주에서 이용 가능한 정보와 가 제외된 수정된 우주에서 이용 가능한 정보를 나타낸다. 위 가설이 받아들여지면, 가 의 그랜저 원인이라고 말한다.
그랜저 인과성 방법
정상 과정인 시계열의 경우, 두 개 이상의 변수 수준 값을 사용하여 검정이 수행된다. 변수가 비정상 과정인 경우, 첫 번째 (또는 더 높은) 차분을 사용하여 검정을 수행한다. 포함할 시차의 수는 일반적으로 아카이케 정보 기준 또는 베이시안 정보 기준과 같은 정보 기준을 사용하여 선택한다. 변수 중 하나의 특정 지연 값은 (1) t-검정에 따라 유의미하고, (2) 해당 값과 변수의 다른 지연 값들이 F-검정 (귀무가설은 x의 값들이 공동으로 설명력을 추가하지 않는다는 것)에 따라 모델에 설명력을 공동으로 추가하는 경우 회귀에 유지된다. 그런 다음 그랜저 인과성이 없다는 귀무 가설은 설명 변수의 어떤 지연 값도 회귀에 유지되지 않는 경우에만 기각되지 않는다.
실제로는 두 변수 중 어느 것도 다른 변수의 그랜저 원인이 아니거나, 두 변수 각각이 다른 변수의 그랜저 원인인 것으로 밝혀질 수 있다.
그랜저 인과성 방법
y와 x가 정상 시계열이라고 하자. x가 y의 그랜저 원인이 아니라는 귀무 가설을 검정하기 위해, 먼저 y의 단변량 자기회귀모형에 포함할 y의 적절한 지연 값을 찾는다.
다음으로, 자기회귀에 x의 지연 값을 포함하여 확장한다.
이 회귀에서 t-통계량에 따라 개별적으로 유의미한 x의 모든 지연 값은, F-검정 (귀무 가설은 x 값들이 공동으로 설명력을 추가하지 않는다는 것)에 따라 회귀에 설명력을 공동으로 추가하는 경우에만 유지된다. 위 확장 회귀의 표기법에서 p는 x의 지연 값이 유의미한 가장 짧은 지연 길이이고, q는 가장 긴 지연 길이이다.
x가 y의 그랜저 원인이 아니라는 귀무 가설은 x의 어떤 지연 값도 회귀에 유지되지 않는 경우에만 기각되지 않는다.
다변량 그랜저 인과성 분석은 일반적으로 벡터자기회귀모형 (VAR)을 시계열에 맞춰 수행된다. 특히, 에 대해 가 차원 다변량 시계열이라고 하자. 그랜저 인과성은  시간 지연을 갖는 VAR 모델을 다음과 같이 맞춰 수행된다.
그랜저 인과성 방법
여기서 는 백색 가우시안 랜덤 벡터이고, 는 각 에 대한 행렬이다. 시계열 는 에 대해 의 요소 중 적어도 하나가 0보다 유의미하게 크면 (절대값으로) 다른 시계열 의 그랜저 원인이라고 한다.
위의 선형 방법은 평균에서의 그랜저 인과성을 검정하는 데 적합하다. 그러나 이들은 분산과 같은 고차 모멘트에서의 그랜저 인과성을 감지할 수 없다. 그랜저 인과성에 대한 비모수 검정은 이 문제를 해결하기 위해 고안되었다. 이러한 검정에서의 그랜저 인과성 정의는 일반적이며 선형 자기회귀 모형과 같은 모델링 가정을 포함하지 않는다. 그랜저 인과성에 대한 비모수 검정은 고차 모멘트 및 비선형성을 포함하는 더 나은 모수 모델을 구축하기 위한 진단 도구로 사용될 수 있다.
그랜저 인과성 한계
이름에서 알 수 있듯이, 그랜저 인과성은 반드시 진정한 인과성은 아니다. 만약 X와 Y 둘 다 다른 지연을 가진 공통의 세 번째 과정에 의해 움직인다면, 그랜저 인과성의 대립 가설을 기각하지 못할 수도 있다. 그러나 변수 중 하나를 조작해도 다른 변수는 변하지 않을 것이다. 사실, 그랜저 인과성 검정은 변수 쌍을 다루도록 설계되었으며, 실제 관계가 세 개 이상의 변수를 포함할 때 오해의 소지가 있는 결과를 초래할 수 있다. 하지만, 인과성에 대한 확률적 관점을 고려할 때, 특히 라이헨바흐의 확률적 인과성에 대한 "차단(screening off)" 개념을 고려할 때, 그랜저 인과성은 그러한 의미에서 진정한 인과성으로 간주될 수 있다고 주장되어 왔다.
오해의 소지가 있는 검정 결과의 다른 가능한 원인은 다음과 같다: (1) 충분히 자주 또는 너무 자주 샘플링하지 않는 경우, (2) 비선형 인과 관계, (3) 시계열 비정상성 및 비선형성, (4) 합리적 기대의 존재. 더 많은 변수를 포함하는 유사한 검정은 벡터자기회귀모형을 사용하여 적용될 수 있다.
그랜저 인과성 한계
그랜저 인과성 검정의 유효성은 학술 문헌에서 의문을 제기받아왔는데, "어떤 가능한 인과성 정의의 가장 기본적인 요구 사항조차 그랜저 인과성 검정에 의해 충족되지 않는다... 인과성 정의는 과거로부터 미래를 예측하는 것을 언급해야 한다... 우리는 그랜저가 미래로부터 과거를 '예측'하는 것도 허용한다는 것을 발견한다"고 주장하는 논문에서였다.
그랜저 인과성 확장
오차항이 정규 분포를 따른다는 가정에서 벗어나는 것에 민감하지 않은 그랜저 인과성 방법이 개발되었다. 이 방법은 많은 금융 변수가 비정규 분포를 따르기 때문에 금융 경제학에서 특히 유용하다. 최근에는 양의 변화와 음의 변화의 인과적 영향을 분리하기 위해 문헌에서 비대칭 인과성 검정이 제안되었다. 그랜저 (비)인과성 검정의 패널 데이터에 대한 확장도 가능하다. GARCH (일반화 자기회귀 조건부 이분산성) 유형의 정수 값 시계열 모델을 기반으로 한 수정된 그랜저 인과성 검정은 여러 분야에서 사용 가능하다.
그랜저 인과성 확장
그랜저 인과성을 동적이고 시변적인 특성을 포함하도록 확장하면 시계열 데이터에서 인과 관계가 시간에 따라 어떻게 진화하는지에 대한 더 미묘한 이해를 가능하게 한다. 이 방법론은 전통적인 그랜저 인과성 검정의 한계를 극복하고 다른 기간에 걸쳐 인과 관계의 변화를 이해하기 위해 Forward Expanding (FE), Rolling (RO), Recursive Evolving (RE) 창과 같은 재귀적 기술을 사용한다. 이 방법론의 핵심 측면은 Stata의 'tvgc' 명령어이다. 이더리움의 거래 수수료 및 경제 하위 시스템과 관련된 데이터와 같은 실증적 적용은 시간 경과에 따른 경제 관계의 동적 특성을 강조한다.
그랜저 인과성 신경과학에서
신경 기능에 대한 오랜 믿음은 뇌의 다른 영역이 특정 작업에 특화되어 있다는 것이었다. 즉, 특정 영역에 국소적인 구조적 연결성이 그 부분의 기능을 어떻게든 지시한다는 것이다. 여러 해 동안 수행된 연구를 모아, 뇌의 정보 흐름을 설명하기 위한 다른 네트워크 중심적 접근 방식으로 전환이 있어 왔다. 기능 설명은 뇌의 다른 수준과 다른 위치에 존재하는 네트워크 개념을 포함하기 시작했다. 이러한 네트워크의 동작은 시간이 지남에 따라 진화하는 비결정론적 과정으로 설명될 수 있다. 즉, 동일한 입력 자극이 주어졌을 때 네트워크에서 동일한 출력을 얻을 수 없을 수도 있다는 것이다. 이러한 네트워크의 역학은 확률에 의해 지배되므로, 뇌의 다른 영역 간의 이러한 종류의 역학을 포착할 수 있도록 확률 과정으로 취급한다.
그랜저 인과성 신경과학에서
과거에는 뉴런과 주변 앙상블의 발화 활동으로부터 정보 흐름의 어떤 척도를 얻는 다양한 방법이 탐구되었지만, 이들은 도출할 수 있는 결론의 종류에 한계가 있으며 정보의 방향 흐름, 그 효과 크기, 그리고 시간이 지남에 따라 어떻게 변할 수 있는지에 대한 통찰력을 거의 제공하지 못한다. 최근 그랜저 인과성은 이러한 문제 중 일부를 해결하기 위해 적용되었다. 간단히 말해, 뉴런의 미래를 가장 잘 예측하는 방법을 전체 앙상블을 사용하거나 특정 대상 뉴런을 제외한 전체 앙상블을 사용하여 조사한다. 대상 뉴런을 제외함으로써 예측이 더 나빠진다면, 현재 뉴런과 "g-인과" 관계를 가진다고 말한다.
이전의 그랜저 인과성 방법은 연속 값 데이터에만 작동할 수 있었기 때문에 신경 스파이크 트레인 기록 분석에는 데이터의 확률적 속성을 궁극적으로 변경하고, 그로부터 도출할 수 있는 결론의 유효성을 간접적으로 변경하는 변환이 필요했다. 그러나 2011년에는 신경 스파이크 트레인을 포함한 모든 양상에 직접 작동할 수 있는 새로운 범용 그랜저 인과성 프레임워크가 제안되었다.
그랜저 인과성 신경과학에서
신경 스파이크 트레인 데이터는 점 과정으로 모델링할 수 있다. 시간 점 과정은 연속 시간에 발생하는 이진 이벤트의 확률적 시계열이다. 각 시점에서 두 가지 값만 취할 수 있으며, 이벤트가 실제로 발생했는지 여부를 나타낸다. 이러한 이진 값 정보 표현은 신경 세포 집단의 활동에 적합하다. 왜냐하면 단일 뉴런의 활동 전위는 전형적인 파형을 가지기 때문이다. 이런 방식으로, 뉴런에서 출력되는 실제 정보를 전달하는 것은 "스파이크"의 발생과 연속적인 스파이크 사이의 시간이다. 이 접근 방식을 사용하면 신경망의 정보 흐름을 관찰 기간 동안 각 뉴런의 스파이크 시간으로만 추상화할 수 있다. 점 과정은 스파이크 자체의 타이밍, 스파이크 사이의 대기 시간, 카운팅 프로세스를 사용하거나, 각 창에서 하나의 이벤트만 발생할 가능성이 있도록 시간이 충분히 이산화된 경우(즉, 하나의 시간 빈에 하나의 이벤트만 포함될 수 있음) 이진과 매우 유사한 1과 0의 집합으로 표현될 수 있다.
그랜저 인과성 신경과학에서
가장 단순한 신경 발화 모델 중 하나는 포아송 과정이다. 그러나 이는 메모리리스라는 한계가 있다. 현재 발화 확률을 계산할 때 어떤 발화 이력도 고려하지 않는다. 그러나 뉴런은 상대적 및 절대적 불응기를 통해 근본적인 (생물물리학적) 이력 의존성을 나타낸다. 이를 해결하기 위해, 뉴런 발화 확률을 자체 이력에 조건부로 나타내기 위해 조건부 강도 함수가 사용된다. 조건부 강도 함수는 즉각적인 발화 확률을 표현하며 점 과정에 대한 완전한 확률 모델을 암묵적으로 정의한다. 이는 단위 시간당 확률을 정의한다. 따라서 이 단위 시간이 하나의 스파이크만 해당 시간 창에서 발생할 수 있도록 충분히 작게 취해지면, 조건부 강도 함수는 특정 뉴런이 특정 시간에 발화할 확률을 완전히 지정한다.
그랜저 인과성 컴퓨팅에서
그랜저 인과성을 측정하기 위한 소프트웨어 패키지가 파이썬 및 R로 개발되었다.
그랜저 인과성 추가 자료
Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). 〈Causality in Economics: The Granger Causality Test〉 Fif international판. 《Basic Econometrics》. New York: McGraw-Hill. 652–658쪽. ISBN 978-007-127625-2.
디키-풀러 검정
통계학에서 디키-풀러 검정(Dickey–Fuller test)은 (AR) 시계열 모델에 단위근이 존재한다는 귀무 가설을 검정한다. 대립 가설은 사용되는 검정 버전에 따라 다르지만, 일반적으로 정상성 또는 추세 정상성이다. 이 검정은 1979년에 이를 개발한 통계학자 데이비드 디키와 웨인 풀러의 이름을 따서 명명되었다.
디키-풀러 검정 설명
간단한 AR 모델은 다음과 같다:
여기서 는 관심 변수, 는 시간 지수, 는 계수, 는 오차 항(백색 잡음으로 가정됨)이다. 단위근은 일 때 존재한다. 이 경우 모델은 비정상적이다.
회귀 모델은 다음과 같이 쓸 수 있다:
여기서 는 1차 차분 연산자이고 이다. 이 모델은 추정할 수 있으며, 단위근을 검정하는 것은 을 검정하는 것과 동일하다. 검정이 원시 데이터가 아닌 잔차 항에 대해 수행되므로, 표준 t-분포를 사용하여 임계값을 제공할 수는 없다. 따라서 이 통계량 는 디키-풀러 표로 알려진 특정 확률 분포를 갖는다.
검정에는 세 가지 주요 버전이 있다:
1. 단위근 검정:
2. 상수항이 있는 단위근 검정:
3. 상수항과 결정론적 시간 추세가 있는 단위근 검정:
각 검정 버전은 표본의 크기에 따라 고유한 임계값을 갖는다. 각 경우에 귀무 가설은 단위근, 즉 이 존재한다는 것이다. 이 검정은 진정한 단위근 과정()과 거의 단위근 과정(가 0에 가까움)을 구별하지 못하는 경우가 많아 통계적 검정력이 낮다. 이를 "근접 관측치 등가" 문제라고 한다.
디키-풀러 검정 설명
이 검정의 직관적 의미는 다음과 같다. 시계열 가 정상적 (또는 추세 정상적)이라면, 상수(또는 결정론적 추세) 평균으로 돌아가려는 경향이 있다. 따라서 큰 값 다음에는 작은 값(음의 변화)이 오고, 작은 값 다음에는 큰 값(양의 변화)이 오는 경향이 있다. 따라서 시계열의 수준은 다음 기간의 변화에 대한 중요한 예측 변수가 될 것이며 음의 계수를 가질 것이다. 반면에 시계열이 통합되어 있다면, 양의 변화와 음의 변화는 시계열의 현재 수준에 의존하지 않는 확률로 발생할 것이다. 무작위 행보에서는 현재 위치가 다음 이동 방향에 영향을 미치지 않는다.
다음과 같은 점에 주목할 필요가 있다.
는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
에서 오는 결정론적 추세와 에서 오는 확률적 절편항으로 인해 확률적 추세(stochastic trend)라고 불리는 결과가 나타난다.
시계열의 모든 구조적 효과(자기상관)를 제거한 다음 동일한 절차를 사용하여 검정하는 확장 디키-풀러 검정(ADF)이라는 디키-풀러(DF) 검정의 확장 버전도 있다.
디키-풀러 검정 절편 및 결정론적 시간 추세 항 포함 여부에 대한 불확실성 처리
세 가지 주요 검정 버전 중 어떤 것을 사용해야 하는가는 사소한 문제가 아니다. 이 결정은 단위근 검정의 크기(단위근이 있을 때 귀무 가설을 기각할 확률)와 단위근 검정의 검정력(단위근이 없을 때 귀무 가설을 기각할 확률)에 중요하다. 절편 또는 결정론적 시간 추세 항을 부적절하게 제외하면 δ에 대한 계수 추정치에 편향이 발생하여 단위근 검정의 실제 크기가 보고된 것과 일치하지 않게 된다.  항을 추정하면서 시간 추세 항이 부적절하게 제외되면, 표류 무작위 행보 모델을 통해 추세가 포착될 수 있으므로 단위근 검정의 검정력이 상당히 감소할 수 있다. 반면에 절편 또는 시간 추세 항을 부적절하게 포함하면 단위근 검정의 검정력이 감소하며, 때로는 그 감소가 상당할 수 있다.
디키-풀러 검정 절편 및 결정론적 시간 추세 항 포함 여부에 대한 불확실성 처리
절편 및 결정론적 시간 추세가 포함되어야 하는지에 대한 사전 지식을 사용하는 것이 물론 이상적이지만 항상 가능한 것은 아니다. 이러한 사전 지식이 없을 때, 예를 들어 돌라도, 젠킨슨, 소스빌라-리베로(1990)에 의해 제안된 다양한 검정 전략(일련의 순서 검정) 및 엔더스(2004)에 의해 제안된 전략들이 있으며, 종종 자기상관을 제거하기 위한 ADF 확장이 포함된다. 엘더와 케네디(2001)는 다른 검정 전략에서 발생할 수 있는 단위근에 대한 이중 및 삼중 검정을 피하는 간단한 검정 전략을 제시하고, y의 장기 성장(또는 축소) 존재 여부에 대한 사전 지식을 사용하는 방법을 논의한다. 해커와 하테미-J(2010)는 이러한 문제에 대한 컴퓨터 시뮬레이션 결과를 제공하며, 엔더스(2004)와 엘더 및 케네디(2001)의 단위근 검정 전략을 포함하는 시뮬레이션도 다룬다. 해커(2010)는 정보 기준(슈바르츠 정보 기준과 같은)을 사용하는 것이 디키-풀러 프레임워크 내에서 단위근 및 추세 상태를 결정하는 데 유용할 수 있음을 나타내는 시뮬레이션 결과를 제시한다.
권영각 (소방공무원)
권영각은 대한민국의 소방공무원이자 노동운동가로, 전국공무원노동조합 소방본부 제3기 본부장을 맡고 있다. 1996년 임용 이후 일선 구조·구급 현장 경험을 바탕으로 소방 안전 재원 법제화와 노동시간·정신건강·지휘체계 개선 등 구조적 개혁 의제를 주도하고 있다.
권영각 (소방공무원) 생애
권영각은 1996년 1월 지방소방사로 임용되어 강원 지역에서 구조·구급 업무를 수행했다. 2021년 양양소방서 재직 시 베테랑소방관으로 선정되었고, 같은 해 전국공무원노동조합 소방본부 강원지부가 출범하면서 초대 지부장을 맡았다. 2024년에는 전공노 소방본부 제3기 본부장으로서 전국 단위 현안 대응을 주도했다.
권영각 (소방공무원) 주요 활동
권영각은 병원 수용 거부로 인한 이송 지연 문제를 구조적 위험으로 규정하고, 소방-의료 간 실시간 연계와 병원평가의 수용률 반영, 구급대원 권한·책임 정비를 촉구했다. 2025년 11월 국회 앞 기자회견에서도 응급의료체계 전면 개선을 요구했다.
2024년 12월 「지방교부세법」 개정으로 소방안전교부세 배분비율이 법률에 명시되자, 그는 안정적 재원을 기반으로 장비 현대화·노후시설 개선과 함께 인력 확충·노동시간 단축·정신건강 체계 강화 등 후속 과제를 제시했다.
소방직의 하위직 과밀·근속승진 배제 문제를 지적하며, 일반직과의 정원 구조 격차 해소와 근속승진 단축의 소방 포함을 요구했다.
권영각은 주 72시간에 이르는 장시간 노동을 구조적 위험으로 보며, 4교대 전면 시행과 인력 충원을 주장했다.
그는 “최근 10년간 자살한 소방관 134명” 상황을 언급하며 공무상 질병 인정과 권역별 치유 인프라 구축을 요구했다.
소방청장·차장 동시 직위해제로 인한 공백 사태를 “국민 안전 위기”로 규정하고, 현장 전문성을 반영한 신속한 인사 조치를 촉구했다.
권영각 (소방공무원) 정책·입장
권영각은 소방을 “국가 핵심 인프라”로 규정하며 10만 소방 인력 체계와 전국 균등 서비스 제공을 위한 재원·인력·훈련 체계의 동시 구축을 주장한다.
박단비
박단비(1990년 11월 23일 – 2019년 10월 31일)는 대한민국의 소방공무원으로, 중앙119구조본부 항공 구급대원으로 복무하다가 2019년 10월 31일 독도 인근 해상에서 환자 이송 임무 중 헬리콥터 추락으로 순직하였다.
박단비 생애
충청남도 홍성군에서 태어났으며 가천대학교 메디컬캠퍼스 응급구조학과에서 학사 학위를 받았다. 졸업 후 인천 가천대학교 길병원 응급의료센터에서 응급구조사로 2년 재직했다.
박단비 전문성과 임무
항공 구급 임무를 위해 체력·수영·생환 등 특수 훈련을 이수하고 야간·해상 환경에서의 환자 이송에 참여하였다.
박단비 사고와 순직
2019년 10월 31일 밤, 경북소방본부의 요청으로 독도에서 손가락 절단 응급환자를 이송하기 위해 착륙·탑승 후 이륙하였다. 이륙 후 약 23시 26분경 독도 동도 인근 약 600m 해상에서 추락해 순직하였다. 임무에 투입된 기체는 중앙119구조본부 소속 EC225(H225) HL9619였다.
박단비 조사와 원인
국토교통부 항공·철도사고조사위원회는 2023년 11월 6일 최종 조사결과를 발표해, 야간 해상 ‘블랙홀’ 환경에서의 공간정위상실(비행 착각)을 주요 원인으로 특정하였다. 또한 이륙 전 브리핑·임무 분담, 경보 대응 등 운항관리 절차의 보완 필요를 제시하였다. 이를 설명한 해외 안전전문 매체 분석 역시 이륙 약 14초 뒤 해상 충돌과 공간정위상실의 전형적 양상을 지적한다.
박단비 예우와 추모
2019년 12월 10일 소방청장(葬) 합동영결식이 대구 계명대학교 체육관에서 거행되었고, 유해는 같은 날 국립대전현충원에 안장되었다. 1계급 특진이 함께 추서되었다. 이후 소방청 순직추모관에 등재되어 정례 추모식 등으로 기억되고 있다.
박단비 평가와 영향
최종 조사로 제시된 원인·권고는 야간 해상 운항의 인적요인 리스크를 체계화해 브리핑 절차, 임무 분담, 경보 대응 표준의 정비 필요성을 명확히 하였다. 또한 참사 희생 대원들은 단체 표창과 기념 사업 등을 통해 공적으로 기려졌다.
륭-박스 검정
륭-박스 검정(Ljung–Box test, 그레타 M. 륭과 조지 박스의 이름을 따서 명명됨)은 시계열의 자기상관 그룹 중 일부가 0과 다른지 여부를 확인하는 통계 검정의 한 유형이다. 각기 다른 지연에서 무작위성을 검정하는 대신, 여러 지연을 기반으로 "전반적인" 무작위성을 검정하므로 포트만토 검정이다.
이 검정은 때때로 륭-박스 Q 검정으로 알려져 있으며, 박스-피어스 검정(이는 조지 박스와 데이비드 A. 피어스의 이름을 따서 명명됨)과 밀접하게 관련되어 있다. 사실, 륭-박스 검정 통계량은 박스-피어스 통계량의 사용을 이끌었고 그 통계량이 이름을 얻게 된 논문에서 명시적으로 설명되었다. 박스-피어스 검정 통계량은 륭-박스 통계량의 단순화된 버전이며, 후속 시뮬레이션 연구에서 성능이 좋지 않은 것으로 나타났다.
륭-박스 검정은 계량경제학 및 시계열 분석의 다른 응용 분야에서 널리 적용된다. 유사한 평가는 브로이쉬-고드프리 검정 및 더빈-왓슨 검정으로도 수행할 수 있다.
륭-박스 검정 공식 정의
륭-박스 검정은 다음과 같이 정의할 수 있다.
: 데이터는 상관 관계가 없다 (즉, 표본이 추출된 모집단에서 상관 관계가 0이므로 데이터에서 관찰된 모든 상관 관계는 샘플링 과정의 무작위성으로 인한 것이다).
: 데이터는 시계열 상관 관계를 나타낸다.
검정 통계량은 다음과 같다.
여기서 n은 표본 크기이고, 는 지연 k에서의 표본 자기상관이며, h는 검정되는 지연의 수이다.  하에서 통계량 Q는 점근적으로 를 따른다. 유의 수준 α에 대해 무작위성 가설을 기각하는 임계 영역은 다음과 같다.
여기서 는 h 자유도를 갖는 카이제곱 분포의 (1 − α)-백분위수이다.
륭-박스 검정은 자기회귀누적이동평균 (ARIMA) 모델링에서 일반적으로 사용된다. 이는 원래 시계열이 아닌 적합된 ARIMA 모델의 잔차에 적용되며, 이러한 응용에서 실제로 검정되는 가설은 ARIMA 모델의 잔차에 자기상관이 없다는 것이다. 추정된 ARIMA 모델의 잔차를 검정할 때, 모수 추정을 반영하기 위해 자유도를 조정해야 한다. 예를 들어, ARIMA(p,0,q) 모델의 경우 자유도는 로 설정해야 한다.
륭-박스 검정 박스-피어스 검정
박스-피어스 검정은 위에 설명된 표기법에서 다음의 검정 통계량을 사용한다.
그리고 위에서 정의된 것과 동일한 임계 영역을 사용한다.
시뮬레이션 연구에 따르면 륭-박스 통계량의 분포는 소규모 표본을 포함한 모든 표본 크기에서 박스-피어스 통계량의 분포보다  분포에 더 가깝다.
더빈-왓슨 통계량
통계학에서 더빈-왓슨 통계량(Durbin–Watson statistic)은 회귀 분석의 잔차(예측 오차)에서 지연 1의 자기상관 존재 여부를 감지하는 데 사용되는 검정통계량이다. 제임스 더빈과 제프리 왓슨의 이름을 따서 명명되었다. 이 비율의 작은 표본 분포는 존 폰 노이만이 도출했다(von Neumann, 1941). 더빈과 왓슨(1950, 1951)은 이 통계량을 정규방정식 회귀 잔차에 적용하여, 오차가 1차 자기회귀모형을 따르는 대안에 대해 오차가 계열적으로 비상관적이라는 귀무 가설에 대한 경계 검정을 개발했다. 이 검정통계량의 분포는 추정된 회귀 계수와 오차의 분산에 의존하지 않는다는 점에 유의해야 한다.
유사한 평가는 브로이쉬-고드프리 검정 및 룽-박스 검정으로도 수행할 수 있다.
더빈-왓슨 통계량 더빈-왓슨 통계량 계산 및 해석
만약 가 로 주어진 잔차라면, 더빈-왓슨 검정통계량은 다음과 같다.
여기서 는 관측치 수이다. 가 클 때, 는 대략 와 같으며, 여기서 는 지연 1에서 잔차의 표본 자기상관이다. 따라서 는 자기상관이 없음을 나타낸다. 의 값은 항상 과  사이에 있다. 더빈-왓슨 통계량이 2보다 상당히 작으면 양의 계열 상관에 대한 증거가 있다. 대략적인 경험 법칙으로, 더빈-왓슨이 1.0보다 작으면 경고의 원인이 될 수 있다. 의 작은 값은 연속적인 오차 항이 양의 상관 관계를 가짐을 나타낸다. 만약 이면 연속적인 오차 항은 음의 상관 관계를 가진다. 회귀에서 이는 통계적 유의성 수준의 과소평가를 의미할 수 있다.
유의수준 에서 양의 자기상관을 검정하기 위해, 검정통계량 는 하한 및 상한 임계값( 및 )과 비교된다.
만약 이면 오차 항이 양의 자기상관을 가진다는 통계적 증거가 있다.
만약 이면 오차 항이 양의 자기상관을 가진다는 통계적 증거가 없다.
만약 이면 검정은 결론이 나지 않는다.
더빈-왓슨 통계량 더빈-왓슨 통계량 계산 및 해석
양의 계열 상관은 한 관측치에 대한 양의 오차가 다른 관측치에 대한 양의 오차 가능성을 증가시키는 계열 상관이다.
유의수준 에서 음의 자기상관을 검정하기 위해, 검정통계량 는 하한 및 상한 임계값( 및 )과 비교된다.
만약 이면 오차 항이 음의 자기상관을 가진다는 통계적 증거가 있다.
만약 이면 오차 항이 음의 자기상관을 가진다는 통계적 증거가 없다.
만약 이면 검정은 결론이 나지 않는다.
음의 계열 상관은 한 관측치에 대한 양의 오차가 다른 관측치에 대한 음의 오차 가능성을 증가시키고, 한 관측치에 대한 음의 오차가 다른 관측치에 대한 양의 오차 가능성을 증가시킨다는 것을 의미한다.
임계값 와 는 유의수준()과 회귀 방정식의 자유도 (통계학)에 따라 달라진다. 이들의 도출은 복잡하며, 통계학자들은 일반적으로 통계 서적의 부록에서 이들을 얻는다.
회귀의 디자인 매트릭스 가 알려진 경우, 계열 상관이 없다는 귀무 가설 하에서  분포의 정확한 임계값을 계산할 수 있다. 귀무 가설 하에서 는 다음과 같이 분포된다.
더빈-왓슨 통계량 더빈-왓슨 통계량 계산 및 해석
여기서 은 관측치 수이고 는 회귀 변수의 수이며, 는 독립적인 표준 정규 분포 확률 변수이고, 는 
의 0이 아닌 고유값이다. 여기서 는 잔차를  통계량으로 변환하는 행렬, 즉 이다. 이 분포의 백분위수를 찾는 여러 계산 알고리즘이 제공된다.
계열 상관은 추정된 회귀 계수의 일관성에 영향을 미치지 않지만, 유효한 통계 검정을 수행하는 능력에는 영향을 미친다. 첫째, 양의 계열 상관 하에서는 회귀의 전반적인 유의성을 검정하는 F-통계량이 부풀려질 수 있는데, 이는 평균 제곱 오차(MSE)가 모집단 오차 분산을 과소평가하는 경향이 있기 때문이다. 둘째, 양의 계열 상관은 일반적으로 회귀 계수에 대한 정규방정식 (OLS) 표준 오차가 실제 표준 오차를 과소평가하도록 한다. 결과적으로, 회귀에 양의 계열 상관이 존재하면 표준 선형 회귀 분석은 회귀 계수에 대해 인위적으로 작은 표준 오차를 계산하게 된다. 이러한 작은 표준 오차는 추정된 t-통계량을 부풀려, 실제로는 유의하지 않은 곳에서도 유의성을 암시하게 된다. 부풀려진 t-통계량은 결과적으로 표준 오차가 올바르게 추정되었을 때보다 회귀 모형의 매개변수의 모집단 값에 대한 귀무 가설을 잘못 기각하게 만들 수 있다.
더빈-왓슨 통계량 더빈-왓슨 통계량 계산 및 해석
더빈-왓슨 통계량이 잔차의 계열 상관 존재를 나타내면, 코크런-오르컷 추정을 사용하여 이를 보정할 수 있다.
더빈-왓슨 통계량은 많은 회귀 분석 프로그램에서 표시되지만, 특정 상황에서는 적용할 수 없다. 예를 들어, 설명 변수에 지연된 종속 변수가 포함된 경우 이 검정을 사용하는 것은 부적절하다. 이 경우 더빈의 h-검정(아래 참조) 또는 대규모 표본에서 유효한 가능도 비율 검정을 사용해야 한다.
더빈-왓슨 통계량 더빈 h-통계량
더빈-왓슨 통계량은 자기회귀 이동 평균 모형에 대해 편향되어 자기상관이 과소평가된다. 그러나 대규모 표본의 경우 편향되지 않은 정규 분포된 h-통계량을 쉽게 계산할 수 있다.
더빈-왓슨 통계량 d와 지연된 종속 변수의 회귀 계수의 추정된 분산
을 사용하며, 단 조건은
더빈-왓슨 통계량 통계 패키지 구현
Stata: 시계열 데이터에서 regress 다음에 오는 estat dwatson 명령. ARCH 모형 (시변 변동성 검정), 브로이쉬-고드프리 검정, 그리고 자기상관에 대한 더빈의 대체 검정 또한 사용할 수 있다. 모든 검정 (-dwatson- 제외)은 고차 자기상관을 개별적으로 검정한다. 브로이쉬-고드프리 검정과 더빈의 대체 검정은 엄격하게 외생적이지 않은 회귀 변수도 허용한다.
교차상관
신호 처리에서 교차상관(cross-correlation) 또는 상호 상관 관계는 다른 하나에 대한 하나의 변위 함수로서 두 계열의 유사도 척도이다. 이것은 슬라이딩 스칼라곱 또는 슬라이딩 내적으로도 알려져 있다. 일반적으로 더 짧고 알려진 특징을 찾기 위해 긴 신호를 검색하는 데 사용된다. 패턴 인식, 단일 입자 분석, 전자 토모그래피, 평균화, 암호 해독 및 신경생리학에 응용된다. 교차상관은 두 함수의 합성곱과 본질적으로 유사하다. 신호 자체와의 교차상관인 자기상관에서는 항상 지연이 0일 때 피크가 있으며, 그 크기는 신호 에너지이다.
확률 및 통계학에서 교차상관이라는 용어는 두 확률 벡터 와 의 항목들 사이의 상관을 나타내며, 확률 벡터 의 상관은  자체의 항목들 사이의 상관, 즉 의 상관 행렬을 형성하는 상관을 나타낸다. 만약 와  각각이 시계열에서 반복적으로 실현되는 스칼라 확률 변수라면, 의 다양한 시간적 인스턴스의 상관은 의 자기상관으로 알려져 있으며, 시간 경과에 따른 와 의 교차상관은 시간적 교차상관이다. 확률 및 통계학에서 상관의 정의는 항상 표준화 요소를 포함하여 상관이 −1과 +1 사이의 값을 갖도록 한다.
교차상관
만약 와 가 각각 독립 확률 변수이며 확률 밀도 함수가 와 라면, 차이 의 확률 밀도는 형식적으로 (신호 처리 의미에서) 교차상관 로 주어진다. 그러나 이 용어는 확률 및 통계학에서는 사용되지 않는다. 대조적으로, 합성곱  ( 와 의 교차상관과 동일)는 합 의 확률 밀도 함수를 제공한다.
교차상관 확정적 신호의 교차상관
연속 함수 와 의 경우, 교차상관은 다음과 같이 정의된다:이는 다음과 동등하다:여기서 는 의 켤레 복소수를 나타내고, 는 변위 또는 지연이라고 불린다.
특정 에서 최대 교차상관을 갖는 고도로 상관된 와 의 경우, 에서의 의 특징은 에서 에서 나중에 발생하므로 는 보다 만큼 뒤처진다고 설명할 수 있다.
만약 와 가 모두 주기 를 갖는 연속 주기 함수라면, 에서 까지의 적분은 길이 의 임의의 구간 에 대한 적분으로 대체된다:이는 다음과 동등하다:유사하게, 이산 함수의 경우 교차상관은 다음과 같이 정의된다:이는 다음과 동등하다:유한 이산 함수 의 경우, (원형) 교차상관은 다음과 같이 정의된다:이는 다음과 동등하다:유한 이산 함수 , 의 경우, 커널 교차상관은 다음과 같이 정의된다:여기서 는 커널 함수 의 벡터이고 는 아핀 변환이다.
특히, 는 원형 변환, 회전 변환 또는 스케일 변환 등이 될 수 있다. 커널 교차상관은 선형 공간에서 커널 공간으로 교차상관을 확장한다. 교차상관은 변환에 대해 동등하다. 커널 교차상관은 변환, 회전 및 스케일 등을 포함한 모든 아핀 변환에 대해 동등하다.
교차상관 확정적 신호의 교차상관
예를 들어, x축을 따라 알 수 없는 이동만큼만 다른 두 개의 실수 값 함수 와 를 고려해 보자. 교차상관을 사용하여 를 와 동일하게 만들기 위해 x축을 따라 얼마나 이동해야 하는지 찾을 수 있다. 이 공식은 기본적으로  함수를 x축을 따라 미끄러뜨리면서 각 위치에서 그 곱의 적분을 계산한다. 함수가 일치할 때, 의 값은 최대화된다. 이는 피크(양의 영역)가 정렬될 때 적분에 크게 기여하기 때문이다. 유사하게, 골(음의 영역)이 정렬될 때도 두 음수의 곱이 양수이기 때문에 적분에 양의 기여를 한다.
복소수 값 함수 와 의 경우, 의 켤레 복소수를 취하면 허수 부분을 갖는 정렬된 피크(또는 정렬된 골)가 적분에 양수로 기여하도록 보장한다.
계량경제학에서는 지연된 교차상관을 때때로 교차자기상관이라고 부른다.:p. 74
교차상관 확률 벡터의 교차상관
기댓값과 분산이 존재하는 확률 변수를 각각 포함하는 확률 벡터 와 에 대해, 와 의 교차상관 행렬은 다음과 같이 정의된다.:p.337그리고 차원은 이다. 구성 요소별로 작성하면:확률 벡터 와 는 동일한 차원을 가질 필요는 없으며, 어느 쪽이든 스칼라 값일 수 있다.
여기서 는 기댓값 연산자이다.
예를 들어, 만약 와 가 확률 벡터라면, 는  행렬이며, -번째 항목은 이다.
기댓값과 분산이 존재하는 확률 변수를 각각 포함하는 복소 확률 벡터 와 의 경우, 와 의 교차상관 행렬은 다음과 같이 정의된다.여기서 는 에르미트 전치를 나타낸다.
교차상관 확률 과정의 교차상관
시계열 분석 및 통계학에서 한 쌍의 확률 과정의 교차상관은 두 시간의 함수로서 서로 다른 시간에서의 과정 값들 간의 상관이다. 를 한 쌍의 확률 과정이라고 하고, 를 임의의 시간 지점이라고 하자 ( 는 이산 시간 과정의 경우 정수일 수 있고, 연속 시간 과정의 경우 실수일 수 있다). 그러면 는 시간 에 주어진 과정 실행에 의해 생성된 값(또는 관측값)이다.
각 에 대해 과정의 평균이 와 이고 분산이 와 라고 가정하자. 그러면 시간 과  사이의 교차상관 정의는 다음과 같다.:p.392여기서 는 기댓값 연산자이다. 이 표현은 정의되지 않을 수도 있음에 유의하라.
곱셈 전에 평균을 빼면 시간 과  사이의 교차공분산이 생성된다.:p.392평균이나 분산이 존재하지 않을 수 있으므로, 이 표현이 모든 시계열 또는 과정에 대해 잘 정의되지 않는다는 점에 유의하라.
가 결합 광의 정상인 한 쌍의 확률 과정을 나타낸다고 하자. 그러면 교차공분산 함수와 교차상관 함수는 다음과 같다.
교차상관 확률 과정의 교차상관
또는 동등하게
또는 동등하게 여기서 와 는 과정 의 평균과 표준 편차이며, 정상성으로 인해 시간이 지나도 일정하다. 도 마찬가지이다. 는 기댓값을 나타낸다. 교차공분산과 교차상관이 에 독립적이라는 것은 가 결합 광의 정상이라는 요구 사항에서 전달되는 추가 정보(개별적으로 광의 정상이라는 것을 넘어)이다.
결합 광의 정상 확률 과정 쌍의 교차상관은 한 과정에서 측정된 샘플과 다른 과정에서 측정된 샘플(및 그 시간 이동)의 곱을 평균하여 추정할 수 있다. 평균에 포함된 샘플은 신호의 모든 샘플의 임의의 부분 집합이 될 수 있다 (예: 유한 시간 창 내의 샘플 또는 신호 중 하나의 서브 샘플링). 많은 수의 샘플의 경우, 평균은 참 교차상관으로 수렴한다.
일부 분야(예: 통계 및 시계열 분석)에서는 교차상관 함수를 정규화하여 시간 의존적인 피어슨 상관 계수를 얻는 것이 일반적이다. 그러나 다른 분야(예: 공학)에서는 일반적으로 정규화가 생략되고 "교차상관"과 "교차공분산" 용어가 상호 교환적으로 사용된다.
교차상관 확률 과정의 교차상관
확률 과정의 정규화된 교차상관 정의는 다음과 같다.만약 함수 가 잘 정의된다면, 그 값은  범위 내에 있어야 하며, 1은 완벽한 상관을 나타내고 −1은 완벽한 역상관을 나타낸다.
결합 광의 정상 확률 과정의 경우, 정의는 다음과 같다.정규화는 자기상관의 해석이 상관으로서 통계적 의존성의 강도에 대한 척도 없는 측정을 제공하기 때문에 중요하며, 정규화가 추정된 자기상관의 통계적 속성에 영향을 미치기 때문에 중요하다.
결합 광의 정상 확률 과정의 경우, 교차상관 함수는 다음 대칭 속성을 갖는다.:p.173결합 WSS 과정의 경우: