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게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
연관된 다발 구성은 군 동형 사상 이 주어진 선형 공간뿐만 아니라 모든 올 공간 에 대해 수행할 수 있다. 한 가지 주요 예는 로 정의된 군 동형 사상를 이용하여 구성된 올을 가진 대문자 A 인접 다발 이다. 올 를 가졌음에도 불구하고, 이 인접 다발은 주다발도 아니고 올다발처럼 자신과 동형이 아니다. 예를 들어 군 가 가환이면 켤레 작용이 자명하고, 도 가 자명하든 그렇지 않든 상관 없이, 위의 자명한 -올다발이 된다. 또 다른 주요 예는 의 리 대수 에 대해, 딸림표현 을 사용하여 구성된 소문자 인접 다발 이다.
선형 다발 또는 주다발의 게이지 변환은 이 다발의 자기 동형 사상이다. 주다발인 경우, 게이지 변환은 사영 연산자 와 가환인 미분 동형 사상 과 오른쪽 군 작용 로 구성된다. 선형 다발인 경우, 게이지 변환은 위와 유사하게 사영 연산자 와 가환인 미분 동형 사상 으로 정의된다.
또는 의 게이지 변환은, 합성 연산에 대해, 일반적으로 로 표시되는 게이지 군을 형성한다. 이 군은 인접 다발의 대역 단면들의 공간 으로, 또는 선형 다발의 경우 로 특징 지을 수 있다. 는 틀다발을 나타낸다.
게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
또한 국소 게이지 변환을 자명화 하는 열린 부분 집합 에 대한 국소 다발 동형으로 정의할 수 있다.. 이는 사상 (선형 다발의 경우 )으로 유일하게 결정 될 수 있다. 여기서 유도된 다발 동형은 다음과 같이 정의된다:
선형 다발에 대해서도 비슷하다.
동일한 열린 부분 집합 에 대해 주다발의 두 국소 자명화가 주어진다는 사실에 유의하라. , 추이 사상은 정확히 국소 게이지 변환 이다.  즉, 국소 게이지 변환은 주다발 또는 선형 다발에 대한 국소 자명화의 변화가다 .
주다발에 대한 접속은 단면 의 수평 개념을 포착하기 위해 인접한 올을 접속하는 방법이다. 추상적인 주다발의 올은 서로와 또는 실제 올 공간 와 자명하게 동일시 되지는 않기 때문에, 그 자체로 어떤 단면이 상수인지 지정하는 표준적 방법은 없다. 국소 자명화의 선택은 하나의 가능한 선택으로 이어진다. 가 집합 에 대해 자명하고, 모든 와 하나의 에 대해 라는 의미에서 이 국소 자명화과 관련하여 일정하다면, 국소 단면은 수평이라고 말할 수 있다. 특히 자명한 주다발 에는 자명한 접속이 주어져 있다.
게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
일반적으로 접속은 모든 점 에 대해 인 접공간의 수평 부분 공간 을 선택하면 정해진다. 모든 지점에서  여기서 는 으로 정의된 수직 선형 다발이다. 이러한 수평 부분 공간은 수평 분포 가 오른쪽 군 작용 에 대해서 불변인 조건을 추가하여 주다발 구조와 호환되도록 한다. 여기서 는 를 오른쪽 곱셈하는 사상을 나타낸다. 단면 를 의 부분 다양체인 접다발 포함하는  안의 상으로 보았을 때 이면 단면 를 수평이라고 한다. 주어진 벡터장 에 대해, 유일한 수평 올림 이 있다. 접속의 곡률은 다음과 같이 정의되는
인접 다발 에 값이 있는 제 2형식으로 주어진다. 여기서 기호 는 단면의 리 괄호이다. 수직 다발은 의 올에 대한 접공간들로 구성되어 있기 때문에 이 올들은 접다발이 인 리 군 와 동형이다. 이 곡률에 대해 유일한 리 대수 값 제 2형식 이 있다. 프로베니우스 적분 가능 정리의 관점에서, 접속의 곡률은 수평 분포가 적분 될 수 없는 정도와 이 수평 부분다양체로 국소적으로 안에 매장되지 않는 정도를 정확하게 측정한다.
게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
수평 부분 공간의 선택은 접속 제 1형식이라고도 불리는 사영 연산자 로 동등하게 표현될 수 있다. 수평 분포 의 경우, 이것은 과 같이 정의된다.  여기서 는 직합 분해 에 대한 접선 벡터의 분해를 나타낸다. 등분산으로 인해 이 사영 제 1형식은 리 대수 값 으로 볼 수 있다.
에 대한 국소 자명화 국소 단면 에 의해 동등하게 제공된다.  접속 제 1형식과 곡률은 이 매끄러운 사상을 따라 당겨질 수 있다. 이것은 의 인접 다발 에서 값을 취하는 국소 접속 제 1형식 을 준다. 카르탕 구조 방정식에 따르면 곡률은 다음과 같은 표현
으로 국소 제 1형식 로 표현될 수 있다. 여기서는, 국소 자명화 에 대해 로 식별되는 리 대수 다발  위에서의 리 괄호를 사용하였다.
이 성립 하도록 하는 국소 게이지 변환 에 대해, 국소적 접속 제 1형식은 다음 식
에 따라 변환된다. 여기서 는 리 군 의 마우러-카르탕 형식을 나타낸다. 이 경우 는 행렬 리 군이고, 더 간단한 표현 을 가진다.
게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
선형 다발에 대한 접속은 위에서 다룬 주다발에 대한 경우와 유사하게 지정될 수 있다. 이는 에레스만 접속으로 알려져 있다. 그러나 선형 다발 접속은 미분 연산자 측면에서 더 잘 설명된다. 선형 다발의 접속은, 모든  및 단면 에 대해 가 성립하는 -선형 미분 연산자
의 특정한 선택이다.
단면 의 벡터장 의 방향 공변 도함수는 다음과 같이 정의된다:
여기서 오른쪽에 과  사이의 자연스러운 쌍을 사용한다. 이는 의 방향 미분으로 생각 할 수 있는 새로운 단면이다. 연산자 는 방향 공변 도함수 연산자이다. 의 곡률은 자기 사상 다발의 값을 가지며
로 정의되는 연산자 에 의해 주어진다. 국소 자명화에서 외미분  는 자명한 접속 역할을 한다(위에서 논의한 주다발 그림에서 자명한 접속에 해당). 즉, 국소 틀 의 경우 다음을 정의한다:
여기서 국소 단면 에 대해 아인슈타인 표기법을 사용했다.
임의의 두 접속 은  값 제 1형식  만큼 차이난다. 이를 확인하려면 두 접속의 차이가 -선형인지 보면 된다:
게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
특히 모든 선형 다발은 접속을 허용하기 때문에(단위 분할 및 국소적 자명한 접속 사용), 선형 다발의 접속들의 집합은 선형 공간 에서 모델링 된 무한 차원 아핀 공간의 구조를 갖는다. 이 공간은 일반적으로 로 표시된다.
이 관찰을 국소적으로 적용하면, 자명화 부분 집합 에 대한 모든 접속은, 에서 인 성질을 가진 일부 국소 접속 제 1형식 만큼 자명한 접속 와 다르다. 이 국소 접속 형식의 관점에서 곡률은 다음과 같이 쓸 수 있다:
여기서 쐐기 곱은 제 1형식 성분에서 발생하고, 자기 사상 성분에서 자기 사상을 구성한다. 이를 주다발 이론으로 다시 연결하려면, 을 확인하라. 여기서 오른쪽에 이제 제 1형식의 쐐기와 자기 사상의 교환자를 수행한다.
선형 다발 의 게이지 변환 에서 접속 는 에 의해 접속 로 변한다. 주다발의 경우와 같이, 국소 게이지 변환 에 대해 같은 표현을 얻는다:
게이지 이론 (수학) 기본 연구 대상
주다발에 대한 접속은 연관된 선형 다발에 대한 접속을 유도한다. 이를 확인하는 한 가지 방법은, 위에서 설명한 국소 접속 형식을 사용하는 것이다. 즉, 주 다발 접속 가 국소 접속 형식 을 가지고 있다. 그리고 는 연관된 선형 다발 을 정의하는 의 표현이다. 그러면, 유도된 국소 접속 1형식은 다음과 같이 정의된다:
여기서 는 에서 유도된 리 대수 준동형사상이고, 이 사상이 선형 다발의 준동형사상을 유도한다는 사실을 사용한다.
유도된 곡률은 다음과 같이 간단히 정의할 수 있다:
위 논의에서, 리 대수 에서 리 괄호가 리 대수 준동형사상 에 의해 의 자기 사상의 교환자로 보내지는 것과 같이, 곡률에 대한 국소적 표현들이 주다발 및 선형 다발과 어떻게 관련되는지 볼 수 있다.
게이지 이론에서 연구의 중심 목표는 선형 다발 또는 주요 다발의 접속 들의 공간이다. 이것은 선형 공간  (또는 ) 위에서 모델링 되는 무한 차원 아핀 공간 이다. 이 성립하는 게이지 변환 가 존재하면, 두 개의 접속 를 게이지 동치라고 한다. 게이지 이론은 접속의 게이지 동치류와 관련이 있다. 따라서 어떤 의미에서 게이지 이론은 몫 공간 의 성질과 관련이 있다. 는 일반적으로 하우스도르프 공간이나 매끄러운 다양체가 아니다.
기저 다양체 의 많은 흥미로운 성질들은 위에서 정의된 주다발 및 선형 다발에 대한 접속의 모듈라이 공간의 기하학 및 위상수학으로 인코딩될 수 있다. 도날드슨 불변량 또는 자이베르그-위튼 불변과 같은 의 불변량들은 에 주어진 접속들의 모듈라이 공간에서 파생된 수치를 계산하여 얻을 수 있다. 이 아이디어의 가장 유명한 적용은 도날드슨 정리이다. 도날드슨 정리는 교차 형식를 연구하기 위해 단일 연결 4차원 다양체 위에서 정의된  주다발의 양-밀스 접속의 모듈라이 공간을 쓴다. 이 업적으로 도날드슨은 필즈상을 수상했다.
게이지 이론 (수학) 표기법
여기에 선형 다발 및 주다발에 대한 접속에 사용되는 다양한 표기법 규칙이 있다.
는 선형 다발이나 주다발에서 정의된 접속을 나타낼 때 가장 일반적으로 사용하는 기호다. 이 기호를 쓰는 이유는, 만약 모든 접속들 중에 한 접속 을 고르면, 다른 모든 접속들은 어떤 제 1형식 에 대해로 적을 수 있고 이 때, 각 에 대해 이 등식이 성립하는 는 유일하기 때문이다. 또 다른 이유는, 선형 다발의 접속의 국소 형식을 기호  나타내기 때문이다. 는 또한 전자기학에서 전자기 포텐셜을 나타내는 기호  때문이다. 어떤 때에는 기호 도 접속 형식을 나타낼 때 쓰인다. 이 경우는 보통 주접속을 다룰 때이고, 이 때 는 보통, 국소적 접속 형식보다는, 주다발의 전공간 위의 대역적 접속 제 1형식 을 뜻한다. 이 규약은 기저 다양체 가 켈러 다양체인 경우 켈러 형식을 나타내는 기호 와 중복되기 때문에, 수학 서술에서는 잘 사용하지 않는다.
게이지 이론 (수학) 표기법
게이지 이론의 수학적 및 물리적 분야는 동일한 대상에 대한 연구를 포함하지만 다른 용어를 사용하여 설명한다. 다음은 이러한 용어가 서로 어떻게 관련되어 있는지 요약한 것이다.
이 사전의 실증으로, 양자전기역학의 라그랑지안 밀도에서 전자-위치 입자장과 전자기장의 상호작용 항을 고려하라:
수학적으로 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:
여기서 는 -주다발 에 대한 접속이다. 는 연관된 스피너 다발의 단면이며, 는 이 연관된 다발 위의 유도된 공변 도함수 의  디랙 연산자이다. 첫 번째 항은 스피너 장(전자-양전자를 나타내는 장)과 게이지 장(전자기 장를 나타냄) 사이의 라그랑지안에서 상호 작용하는 항이다. 두 번째 항은 전자기장 (접속 )의 기본적인 상호작용 하지 않는 성질들을 묘사한다. 형식  항은 물리학에서 최소 결합이라고 하는 것의 한 예이다. 이는, 물질 장 와 게이지 장  사이의 가장 단순한 상호작용이다.
게이지 이론 (수학) 양-밀스 이론
양-밀스 이론은 수학적 게이지 이론에서 발생하는 주요한 이론이다. 이 이론에서는 다음과 같이 정의된 양-밀스 범함수의 임계점인 접속에 대한 연구를 한다:
여기서 는 부피 형식 와 인접 다발 에 대한 -norm인 가 주어진 향을 줄 수 있는 리만 다양체다. 이 범함수는 접속 의 곡률의 -norm의 제곱이다. 따라서 이 범함수의 임계점인 접속은 곡률이 최소인 접속이다.
이러한 임계점들은, 연관된 오일러-라그랑주 방정식에 해당하는 양-밀스 방정식
의 해로 특징 지어진다. 여기서 는  위에서 정의된 의 유도된 공변 외미분이다.   그리고 는 호지 별 연산자이다. 이러한 해를 양-밀스 접속이라고 하며, 기하학적으로 중요하다.
비앙키 항등식에 따라 모든 접속에 대해 이다. 미분 형식에 대한 유추에 의해 조화 형식 는 다음 조건으로 특징 짓는다:
다음과 같은 조건
게이지 이론 (수학) 양-밀스 이론
으로 조화 접속을 정의하면, 양-밀스 접속에 대한 연구는 본질적으로 조화 형식의 연구와 비슷하다. 호지 이론에서, 모든 드람 코호몰로지류 의 유일한 조화 대표원을 얻는다. 코호몰로지류를 게이지 궤도 로 대체 하면, 양-밀스 접속에 대한 연구는 몫 공간에서 각 궤도에 대한 고유한 대표원을 찾는 것으로 볼 수 있다.
4차원에서 호지 별 연산자 는 제 2형식을 제 2형식으로 보내고 이다. 따라서 제 2형식들에 작용하는 호지 별은 고유값 을 갖는다. 향을 줄 수 있는 4차원 리만 다양체에서 정의된 제 2형식은 다음과 같이 각각 호지 스타 연산자의 과  고유 공간에 대응되는 자기 쌍대 및 반 자기 쌍대 제 2형식들의 직합으로 분해된다:
즉, 이면 가 자기 쌍대적이고, 이면 반 자기 쌍대이며, 모든 제 2형식은 처럼 자기 쌍대 및 반 자기 쌍대 부분으로 분해 된다.
4차원 다양체를 기저 다양체로 하는 주다발의 접속 의 곡률이 자기 쌍대 또는 반 자기 쌍대이면, 비앙키 항등식에 의해 이고, 따라서 접속은 자동으로 양-밀스 방정식이 된다. 방정식
게이지 이론 (수학) 양-밀스 이론
은 접속 에 대한 1계 편미분 방정식이다. 따라서, 전체 2계 양-밀스 방정식보다 연구하기 더 간단하다. 방정식 은 자기 쌍대 방정식이라고 하며, 방정식 를 반 자기 쌍대 방정식이라고 한다. 이 방정식들의 해는 각각 자기 쌍대 접속과 반 자기 쌍대 접속이다.
차원 축소 과정을 양-밀스 방정식에 적용하는 것은 새롭고 흥미로운 게이지 이론 방정식을 얻는 한 가지 방식이다. 이 과정은 다양체 (일반적으로 유클리드 공간 )에 대해 양-밀스 방정식을 취하는 것을 포함한다. 그리고 방정식의 해가 병진 또는 다른 대칭 군에서 불변이라는 조건을 추가한다. 이 과정을 통해 양-밀스 방정식은 의 자기 홀극을 설명하는 보고몰니 방정식, 리만 곡면의 힉스 다발을 설명하는 히친의 방정식과 실수 구간들에 대한 남 방정식으로 이어진다. 이 방정식들은 각각 한 방향, 두 방향 및 세 방향으로의 변환 대칭성 조건으로부터 유도된다.
게이지 이론 (수학) 1차원 및 2차원 게이지 이론
여기에서는 기저 다양체 가 낮은 차원 일 때 양-밀스 방정식이 논의된다. 이 설정에서 양-밀스 방정식은, 1차원인 경우에는 제 2형식이 없고 2차원인 경우에는 제 2형식에 대한 호지 별 연산자가 로 작용하기 때문에 아주 단순화된다.
2차원 다양체에서 직접 양-밀스 방정식을 연구할 수 있다. 기저 다양체가 컴팩트 리만 곡면 일 때, 양-밀스 방정식의 이론은 마이클 아티야 와 라울 보트가 연구하였다. 이 경우 복소 선형 다발 에 대한 양-밀스 접속의 모듈라이 공간은 다양하고 풍부하게 해석되며, 이 이론은 더 높은 차원의 방정식을 이해하는 가장 간단한 경우이다. 이 경우 양-밀스 방정식은 에 따라 다른 위상 수학적 상수 에 대해 다음과 같다:
이러한 접속을 사영적으로 평평하다고 하며, 선형 다발이 위상학적으로 자명한 경우(), 정확히 평탄 접속이다.
게이지 이론 (수학) 1차원 및 2차원 게이지 이론
선형 다발의 랭크와 차수가 서로소인 경우, 양-밀스 접속의 모듈라이 공간 은 매끄러우며, 심플렉틱 다양체 구조를 가지고 있다. 아티야와 보트는 양-밀스 접속이 사영적으로 평평하기 때문에 그들의 홀로노미는 곡면의 기본 군의 사영 유니타리 표현을 제공하므로 이 공간은 리만 곡면의 기본 군의 사영 유니타리 표현의 모듈라이 공간인 character variety과 동등한 설명을 갖는다. 나라심한-세샤드리 정리는 와 동형인 안정한 정칙 선형 다발의 모듈라이 공간으로서 이 표현들의 공간에 대한 대안적인 설명을 제공한다. 이 동형사상을 통해 양-밀스 접속의 모듈라이 공간은 아티야 및 보트의 심플렉틱 구조와 상호 작용하여 콤팩트 켈러 다양체를 만드는 복소 구조를 얻는다.
게이지 이론 (수학) 1차원 및 2차원 게이지 이론
사이먼 도널드슨은 양-밀스 접속에서 안정적 정칙 구조로 직접 전달된 나라심한과 세샤드리 정리의 대안적인 증명을 제시했다. 아티야와 보트는 게이지 군 의 작용에 대한 무한 차원 운동량 사상으로서 극단적인 양-밀스 접속과 선형 다발의 안정성 사이의 친밀한 관계를 밝히기 위해 문제의 이 표현을 사용했다. 곡률 맵에서 제공  그 자체. 이 관찰은 나라심한-세샤드리 정리를 기하 불변량 이론의 켐프-네스 정리의 무한 차원 버전으로 운동량 사상(이 경우 양-밀스 접속)의 norm 제곱의 임계점을 해당 대수적 몫(이 경우 안정적인 정칙 선형 다발)의 안정점에 연결한다. 이 아이디어는 게이지 이론과 복소 기하학에 큰 영향을 미쳤다.
워너 남이 도입한 남 방정식은, 세 방향의 병진 불변성을 이용해 4차원에서 반 자기 쌍대성을 1차원으로 차원 축소해서 얻어진다. 구체적으로, 접속 형식이  좌표에 대해 불변이 되도록 조건을 준다. 이 조건에서, 구간  위에서 네 가지 행렬들 에 대한 연립 방정식들 사이에서 남 방정식들은  다음 연립 방정식을 만족한다.
게이지 이론 (수학) 1차원 및 2차원 게이지 이론
남은 이 연립 방정식의 해가 의 자기 홀극을 묘사하는 보고몰니 방정식의 해를 구성하는데 쓰일 수 있음을 보였다. 한편, 나이절 히친은 두 문제의 해가 동치임을 보이므로써, 보고몰니 방정식의 해가 남 방정식의 해를 구성하는데 쓰일 수 있음을 보였다. 도날드슨은 더 나아가, 남 방정식의 해들이 복소 사영 직선 에서 자신으로 가는 차 유리형 사상과 동치임을 보였다. 여기서 는 대응되는 자기 홀극의 전하이다.
남 방정식에 대한 해의 모듈라이 공간은 초켈러 다양체 구조를 가진다.
나이절 히친이 도입한 히친 방정식은 4차원의 자기 쌍대 방정식을 두 방향으로 병진 불변성을 부과하여 2차원으로 차원 축소하여 얻어진다. 이 조건에서 두 개의 추가 접속 형식 성분 들은 단일 복소수 값 자기 사상 으로 결합될 수 있다. 그리고 이런 식으로 표현될 때 방정식은 공형 불변이 되므로 보다는 콤팩트 리만 곡면 위에서 하는 것이 자연스럽다. 히친의 방정식은 인 복소 선형 다발  위의 쌍 에 대해
이라고 서술한다. 여기서 는 의  -성분이다. 히친 방정식의 해를 히친 쌍이라고 한다.
게이지 이론 (수학) 1차원 및 2차원 게이지 이론
콤팩트 리만 곡면의 양-밀스 방정식에 대한 해는 곡면 군의 사영 유니타리 표현에 해당하는 반면, 히친은 히친 방정식에 대한 해가 곡면 군의 사영 복소수 표현에 해당함을 보여주었다. 히친 쌍의 모듈라이 공간은 자연스럽게 켈러 다양체의 구조를 갖는다(다발의 랭크와 차수가 서로소인 경우). 양-밀스 방정식에 대한 아티야와 보트의 관찰의 유사성을 통해 히친은 히친 쌍이 소위 안정적인 힉스 다발에 해당함을 보여주었다. 여기서 힉스 다발은 쌍 이다. 여기서 는 홀로모픽 선형 다발이고 는 리만 곡면 의 표준 선다발 값을 가지는 의 정칙 자기 사상이다. 이는 무한 차원 운동량 사상 구성을 통해 나타나며, 이 힉스 다발의 모듈라이 공간도 히친 쌍에서 오는 것과는 다른 복소 구조를 가지고 있어 힉스 다발의 모듈라이 공간 에서 두 개의 복소 구조로 이어진다. 이들은 결합하여 이 모듈라이 공간을 초켈러 다양체로 만드는 세 번째 요소를 제공한다.
히친의 작업은 나중에 카를로스 심슨에 의해 광범위하게 일반화되었으며 히친의 방정식에 대한 해과 임의의 켈러 다양체에 대한 힉스 다발 사이의 대응 관계는 비가환 호지 정리로 알려져 있다.
게이지 이론 (수학) 3차원 게이지 이론
한 방향으로 병진 불변성을 부과하여 양-밀스 방정식을 3차원으로 차원 축소하면 이  행렬족인 쌍 에 대한 보고몰니 방정식이 생성된다.그 방정식은 다음과 같다:
주다발 이 구조 군 을 가지고 있으며, 보고몰니 방정식에 대한 해는 고전 전자기학에서 자기 홀극을 설명하는 디랙 자기 홀극을 모형화한다. 남과 히친의 연구는 구조 군이 특수 유니타리 군 일 때 자기 홀극 방정식에 대한 해는 남 방정식에 대한 해에 해당함을 보였으며, 도날드슨의 업적에 의해 이것들은 더 나아가 에서 자신으로 가는 차 유리 사상에 대응함이 보여졌다. 여기서 는 자기 홀극의 전하이다. 이 전하는, 안에 있는 구  위에서 다음 쌍 의 적분의  반경 이 무한대로 갈 때 극한 값으로 정의된다:
3차원 천-사이먼스 이론은 천-사이먼스 형식의 적분에 비례하는 작용 범함수를 갖는 미분 위상 수학적 양자장 이론이다.
게이지 이론 (수학) 3차원 게이지 이론
닫힌 3차원 다양체 에서 천-사이먼스 범함수의 오일러-라그랑주 방정식에 대한 고전적 해는 구조 군 를 가진 주다발 의 평탄 접속에 해당한다. 그러나 의 경계가 있으면 상황이 더 복잡해진다. 천–사이먼스 이론은 에드워드 위튼이 매듭 불변량인 존스 다항식을 위에서  천-사이먼스 이론 안의 윌슨 루프의 진공 기대값으로 표현하는 데 사용되었다. 이것은 위상 수학에 대한 새로운 통찰력을 제공하는 게이지 이론 문제의 힘을 확실하게 입증했으며 위상 양자장론의 초기 사례들 중 하나였다.
고전적인 천-사이먼스 이론의 양자화에서 3차원 다양체 안의 곡면 으로 제한된 주 다발에서 유도된 평면 또는 사영적 평탄 접속을 연구한다. 각 곡면에 해당하는 고전적 상태 공간은 정확히 아티야와 보트가 연구한 양-밀스 방정식의 모듈라이 공간이다. 이 공간들의 기하학적 양자화는 나이절 히친과 Axelrod-Della Pietra-위튼에 의해 독립적으로 이루어졌으며, 구조 군이 복소적인 경우 구성 공간은 힉스 다발의 모듈라이 공간이 된다. 이 양자화는 위튼이 하였다.
게이지 이론 (수학) 3차원 게이지 이론
안드레아스 플뢰어는 유한 차원에서 모스 호몰로지와 비슷하게 정의된 3차원 다양체에 대한 호몰로지 유형을 도입했다. 이 호몰로지 이론에서 모스 함수는 구조 군 를 가지는 3차원 다양체 위의 주다발의 접속들의 공간에서 정의된 천–사이먼스 범함수이다. 임계점은 평탄 접속이며, 흐름선은 두 경계 요소의 임계 평탄 접속으로 제한된  위의 양-밀스 순간자로 정의된다. 이는 순간자 플뢰어 호몰로지로 이어진다. 아티야–플뢰어 추측은 순간자 플뢰어 호몰로지가, 의 히가드 분할을 정의하는 곡면 의 평탄 접속의 모듈라이 공간의 라그랑주 교차 플뢰어 호몰로지와 일치한다고 주장한다. 이는 아티야와 보트의 관찰로 인해 심플렉틱이다.
순간자 플뢰어 호몰로지과 비슷하게, 순간자가 자이베르그–위튼 방정식의 해로 대체되는 자이베르그–위튼 플뢰어 호몰로지를 정의할 수 있다. 클리포드 타우베스의 업적에 의해 이것은 매장된 접촉 호몰로지와, 후속적으로 히가드 플뢰어 호몰로지에 대해 동형인 것으로 알려져 있다.
게이지 이론 (수학) 4차원 게이지 이론
게이지 이론은 4차원에서 가장 집중적으로 연구되어 왔다. 입자 물리학의 표준 모형이 4차원 시공간에서 양자장론으로 생각할 수 있기 때문에, 4차원에서 수학적 게이지 이론은 물리학적 게이지 이론과 상당히 겹친다. 4차원 게이지 이론 문제에 대한 연구는 자연스럽게 위상 양자장론으로 이어진다. 위상 양자장론은 배경이 되는 4차원 리만 다양체에 주어진 리만 계량의 변화에 민감하지 않은 물리학적 게이지 이론이므로, 다양체의 미분 위상 수학적 불변량을 정의하는 데 사용할 수 있다.
4차원에서 양-밀스 방정식은 향을 줄 수 있는 4차원 리만 다양체 를 기저 다양체로 하는 주다발 의 접속 에 대한 1차 반자기 쌍대 방정식 으로 단순화 된다. 양-밀스 방정식에 대한 이러한 해는 양-밀스 범함수의 절대 최소값을 나타내며, 더 높은 임계점은 반 자기 쌍대 접속에서 발생하지 않는 해 에 해당한다. 반 자기 쌍대 방정식에 대한 해의 모듈라이 공간 에서 배경 4차원 다양체에 대한 유용한 불변량을 도출할 수 있다.
게이지 이론 (수학) 4차원 게이지 이론
이 이론은 가 단일 연결 공간인 경우에 가장 효과적이다. 예를 들어, 이 경우 도날드슨 정리는 4차원 다양체가 음의 정부호 교차 형식(4차원 다양체)을 갖고 주 다발이 구조 군 을 갖고 천 특성류 을 가진다면, 모듈라이 공간 은 5차원이며  자신과 들 개 분리 합집합 사이에 보충 경계를 제공한다. 방향이 반대로 된 상태에서. 이는 이러한 4차원 다양체의 교차 형식이 대각화 가능함을 의미한다. E8 다양체와 같이 대각화 불가능한 교차 형식를 갖는 단순 연결 위상 4차원 다양체의 예가 있으므로, 도날드슨 정리는 미분 구조를 부여 할 수 없는 4차원 위상 다양체의 존재를 암시한다. 이것은 위상 구조와 매끄러운 구조가 동등한 2차원 또는 3차원 다양체의 경우와 극명한 대조를 이룬다. 3보다 작거나 같은 차원의 모든 위상 다양체는 유일한 미분 구조를 갖는다.
유클리드 공간 이 비가산 무한 가지의 서로 다른 미분 구조들을 허용함을 보여주기 위해 클리포드 타우베스와 도날드슨이 비슷한 방법을 사용했다. 이는 4차원이 아닌 모든 유클리드 공간이 유일한 미분 구조를 가지고 있다는 사실과 극명한 대조를 이룬다.
게이지 이론 (수학) 4차원 게이지 이론
이러한 아이디어의 확장은 도날드슨 이론으로 이어지며, 이는 접속들의 모듈라이 공간에서 매끄러운 4차원 다양체의 추가적 불변량을 구성한다. 이러한 불변량들은 카렌 울렌백, 타우베스 및 도날드슨이 모듈라이 공간의 향을 줄 수 있음과 콤팩트성을 보여주는 해석학적 작업으로 인해 존재하는 기본류에 대해 모듈 공간의 코호몰로지 류를 계산하여 얻는다.
4차원 다양체가 켈러 다양체 또는 대수 곡면이고 주다발이 소멸하는 첫 번째 천 특성류를 가질 때, 반 자기 쌍대 방정식들은 복소 다양체 의 해밀턴 양-밀스 방정식과 동일하다. 도날드슨과 일반적으로 울렌백 및 야우에 의해 대수 곡면에 대해 입증된 코바야시-히친 대응은 HYM 방정식에 대한 해가 안정적인 정칙 선형 다발에 해당한다고 주장한다. 이 작업은 모듈라이 공간과 그 콤팩트화에 대한 대안적인 대수적 설명을 제공했는데, 이는 복소 다양체에 대한 준안정 정칙 선형 다발의 모듈라이 공간이 사영 다형체이고, 따라서 콤팩트하기 때문이다. 이것은 연결의 모듈라이 공간을 콤팩트화 하는 한 가지 방법이 소위 준 해밀턴 양-밀스 접속이라고 하는 준안정 선형 다발에 해당하는 접속을 추가하는 것임을 나타낸다.
게이지 이론 (수학) 4차원 게이지 이론
4차원 공간에서 초대칭을 연구하는 동안, 에드워드 위튼과 나탄 자이베르그는 현재 자이베르그–위튼 방정식이라고 하는 접속 와 스피너 장 에 대한 연립 방정식을 발견했다. 이 경우 4차원 다양체는 디터미넌트 선 다발 과 연관된 스피너 다발 에 대한 스핀C 주다발 를 정의하는 스핀C 구조를 허용해야 한다.  여기서 접속 는 의 접속이고, 스피너 장 는 . 자이베르그–위튼 방정식은 다음과 같다:
자이베르그-위튼 방정식의 해를 자기 홀극이라고 한다. 자이베르그–위튼 방정식에 대한 해의 모듈라이 공간 (여기서  스핀 구조의 선택을 나타낸다.)은 자이베르그-위튼 불변량을 유도하는 데 사용된다. 자이베르그-위튼 방정식은 방정식 자체가 해의 모듈라이 공간에 더 나은 특성을 제공하기 위해 약간 섭동 될 수 있다는 점에서 반 자기 쌍대 방정식보다 이점이 있다. 이를 위해 임의의 자기 쌍대 제 2형식을 첫 번째 방정식에 추가한다. 배경 4차원 다양체에서 계량 의 일반적인 선택과 섭동 제 2형식의 선택에 대해, 해의 모듈라이 공간은 매끄러운 콤팩트 다양체이다. 적당한 조건에서(즉, 다양체 가 단순 유형 일 때), 이 모듈라이 공간은 0차원이다. 즉, 유한한 수의 점들의 집합이다. 이 경우 자이베르그–위튼 불변량은 단순히 모듈라이 공간의 점들의 수이다. 자이베르그-위튼 불변량은 도날드슨 불변량과 동일한 결과를 증명하는 데 사용할 수 있지만 더 일반적으로 적용되는 더 쉬운 증명을 사용하는 경우가 많다.
게이지 이론 (수학) 더 높은 차원의 게이지 이론
특정 종류의 양-밀스 접속은 켈러 다양체 또는 에르미트 다양체에 대해 정의된 경우에도 연구될 수 있다. 에르미트 양-밀스 방정식은 4차원 양-밀스 이론에서 발생하는 반 자기 쌍대 방정식을 모든 차원의 에르미트 복소 다양체에 대한 정칙 선형 다발로 일반화한다. 만약에 가 콤팩트 켈러 다양체 에 대한 정칙 선형 다발이고, 가  위의 에르미트 계량 에 대한 에르미트 접속이면 에르미트 양-밀스 방정식은 다음과 같다:
여기서 는 에 따라 달라지는 위상 수학적 상수이다. 이들은 에르미트 접속  또는 해당 에르미트 계량 와 연관된 천 접속 에 대한 방정식으로 볼 수 있다. 4차원에서 HYM 방정식은 ASD 방정식과 동일하다. 2차원에서 HYM 방정식은 아티야와 보트가 고려한 양-밀스 방정식에 해당한다. 코바야시-히친 대응은 HYM 방정식의 해가 polystable 정칙 선형 다발과 일치한다고 주장한다. 콤팩트 리만 곡면의 경우 도날드슨이 증명한 나라심한과 세샤드리의 정리에 해당한다. 대수 곡면의 경우 이는 도날드슨에 의해 증명되었으며, 일반적으로 카렌 울렌백과 야우싱퉁에 의해 증명되었다.
게이지 이론 (수학) 더 높은 차원의 게이지 이론
4차원 다양체의 불변량을 정의하는 양-밀스 방정식의 해의 효율성은 7차원 G2 다양체와 8차원 스핀(7) 다양체와 같은 예외적인 홀로노미 다양체를 구별하는 데 도움이 될 수 있다는 관심을 불러일으켰다. 또한 6차원 칼라비-야우 다양체들 및 준 켈러 다양체들과 같은 관련 구조들을 구별하는데도 도움이 될 수 있다.
초끈 이론 모델에서 새로운 게이지 이론 문제가 발생한다. 이러한 모델에서 시공간은 4차원의 정규 시공간과 6차원 칼라비-야우 다양체로 구성된 10차원 다양체로 수학적 모델링 된다. 이 이론에서 끈에 작용하는 장은 이러한 고차원 공간의 다발에 존재하며, 이들과 관련된 게이지 이론 문제에 관심이 있다. 예를 들어, 6차원 칼라비-야우 다양체에서 끈의 반경이 0에 접근할 때, 초끈 이론의 자연스러운 장 이론의 극한(소위 큰 부피 극한)은 이 다양체에 대한 에르미트 양-밀스 방정식에 의해 제공된다. 큰 부피 극한에서 벗어나 변형된 에르미트 양-밀스 방정식 거울 대칭은 이러한 방정식에 대한 해가 거울 쌍대 칼라비-야우 다양체의 특수한 라그랑주 부분 다양체에 해당해야 한다고 예측한다.
사데그
사데그, 사데크의 다른 뜻은 다음과 같다.
료리
료리의 다른 뜻은 다음과 같다.
료리는 요리의 문화어이다.
료리촌
료리만
료리역
심건오
심건오(본명: 심윤재, 1989년 9월 1일 ~)는 대한민국의 이종격투기 선수다. 2014년 ROAD FC 019으로 데뷔했다.
비르질리오 레브라토
비르질리오 펠리체 레브라토(이탈리아어: Virgilio Felice Levratto virˈdʒiːljo feˈliːtʃe leˈvratto[*]; 1904년 10월 26일, 리구리아 주 카르카레 ~ 1968년 9월 18일, 리구리아 주 제노바)는 이탈리아의 전 축구 선수이자 감독으로, 현역 시절 스트라이커로 활약했다.
비르질리오 레브라토 클럽 경력
레브라토는 리구리아 주 카르카레 출신이다. 그는 현역 시절에 바도(바도 소속으로 1922년에 초대 코파 이탈리아 우승을 거두었는데, 결승전의 결승골 주인공이었다), 엘라스 베로나, 제노아(148경기에 출전, 84골 득점), 인테르나치오날레(1932년에), 그리고 라치오(1934년에)에서 활약했다. 그는 이후 세리에 C의 사보나를 거쳐 세리에 D의 카베세에서 현역 은퇴했다.
비르질리오 레브라토 국가대표팀 경력
그는 이탈리아 국가대표팀 일원으로 28번의 국가대표팀 경기에 출전해 11골을 기록했다. 그는 1924년과 1928년 하계 올림픽에 참가하여 후자의 대회에서 동메달을 목에 걸었고, 1927-30년 중부 유럽 국제컵 우승을 거두었다.
비르질리오 레브라토 플레이스타일
골냄새를 잘 맡는 공격수로, 레브라토는 공을 차는 힘이 강해 그물찢개(Lo Sfondareti)라는 별명이 붙었다.
비르질리오 레브라토 감독 경력
1950년대에 레브라토는 사보나 메시나, 레체를 지도했고, 1955-56 시즌에는 피오렌티나의 수석 코치로서 풀비오 베르나르디니 감독을 보좌했다.
비르질리오 레브라토 대중 매체에서
1940년, 유명 가수 키타라 사중주(Quartetto Cetra)가 비르질리오 레브라토의 헌정곡 "참된 공격수야!"(Che centrattacco!)를 발표했다.
DLsite
DLsite(디엘사이트)는 일본 기업・주식회사 EISYS(에이시스)가 운영하는 동인(동인지・동인 게임), PC 소프트웨어(PC게임・어덜트 게임), 전자서적 등을 판매하고 있는 다운로드 판매 사이트이다. 「DLsite」는2022년 현재, 전 세계 회원 수 900만 명 이상을 보유하고 있다.
2018년 12월까지의 서비스 명칭은 DLsite.com (디엘사이트 닷컴). 판매 상품에 따라 다양한 부문으로 나누어져 있으며, 디지털 동인 시장에서는 선구 사이트 중 하나로 여겨지고 있다.
DLsite 남성 성인향
동인
성인용 동인 작품(Lilith나 softhouse-seal, Norn 등 「기업 동인」도 포함된다）.
상업용 성인 게임 및 어덜트 애니메이션[7].
성인용 만화・포르노 등 상업 전자서적.
성인용 Android 단말용 게임.
2011년 리뉴얼 진행 시, 2005년에 흡수・합병 되었던 DLfun의 「하나마루넷(花まるネット)」의 후신인「Hanamaru」에서 「Girls Maniax」로 개명. 2018년에 이루어진 사이트 분할 등을 거쳐 「DLsite가루마니」로 개명되었다. 여성향／TL, BL로 판매처가 나누어져 있다.
DLsite 다국어 대응
2022년 시점으로, 일본어 외에도 영어, 간체중문, 번체중문, 한글의 총 4가지 언어의 사이트 표시를 지원하고 있다.
일본어 작품을 다른 언어로 번역한 작품을 판매하고 있으며, DLsite의 주도하에 이루어지는 공식 번역 외에, 원작자가 번역 허가를 낸 만화나 음성 작품에 대하여 팬인 번역자가 번역을 실시하는 「다함께 번역」을 통해 제작된 작품도 판매하고 있다.
DLsite DLsite 니지GAME
게임 플랫폼. 2013년 4월 9일에 「니지요메(にじよめ)」라는 이름으로 오픈하였다. 2015년 5월, PC 버전을 오픈. 2020년 1월 29일에 「DLsite 니지GAME」으로 명칭을 바꾸었다.
PC나 스마트폰 브라우저에서 플레이할 수 있는 게임을 중심으로, 일부 설치형 게임과 Android 대응 스마트폰 앱도 배포하고 있다.
(*)는 18금 요소가 들어간 18금판도 존재한다.
전국의 전날공주 (戦国の戦刃姫)（＊）Wakka
Firefox에서는 이전에는 플레이 가능했지만, Ver.52로 업그레이드 시의 Unity 비지원화에 따라, 그 이전 버전을 포함한 Win10에서의 플레이가 불가능하게 되었다. 또한, Win10 이전 OS에서의 Firefox를 통한 플레이는 일단 가능하지만 진화 화면 등에 오류가 발생하는 등 일부 플레이에 지장이 발생하는 경우가 있다.
DLsite DLsite 니지GAME
우르르 몰려드는 키스 (ばるはらばるきりーず) ※ 에이시스 (EISYS)
2013년에 스마트폰판이 개설된 그 후, 2015년에 PC 브라우저판 (으리으리으리으리한 키리쯔피시, ばるはらばるきりーず　ぴーしー)으로 시작했다. 시스템은 PC판은 스마트폰판과 크게 달라 등장하는 주요 캐릭터에 차이는 없지만, 쌍방에 각각 미등장 캐릭터가 있다.
DLsite DL 채널
커뮤니티 사이트. DLsite가 개설 20주년을 맞이한 2016년 10월에 탄생. DLsite에서 취급하고 있는 작품을 망라한 데이터 베이스와 게시판, 인터넷상의 정보를 기사로 정리하는 기능을 제공하고 있다
DLsite 기타 점포 판매
DLsite에서는 전자 서적 작품(동인지)를 등록 판매하고 있는 크리에이터를 대상으로 연계 스토어 판매 서비스를 제공하고 있다.
또한, 과거에는 아래 다운로드 판매 사이트에서 판매하고 있었다.
DLsite 종료 서비스
2010년 3월 베타판 공개, 4월부터 정식 서비스 개시. 브라우저 상에서 노는 어드벤처 게임을 자작하고 무료 또는 유료(최저 가격 10엔)에서 제공할 수 있었다. 2013년 12월 9일에 서비스를 종료.
2017년 4월 20일 운영 개시. PC게임을 대여할 수 있었다. 2019년 6월 28일 서비스 종료.
2009년 3월 2일 운영 개시. 피처폰에서 만화를 열람 및 게임을 플레이할 수 있었다. 2013년 12월 24일, 서비스 종료.
2010년 9월 9일 운영 개시. 피처폰에서 만화와 소설을 열람할 수 있었다. 2012년 8월 31일, 서비스 종료.
GAME999
2009년 5월 14일, 오픈. 모든 타이틀이 균일가 999엔(세금 포함)인 자매 사이트. 판매하는 타이틀은 월별로 바뀌며, 매월 말, 일시 폐쇄 후 타이틀 교체 작업을 진행하며, 1주일 전후의 기간을 두고 새로 오픈했다. 소프트웨어 구입 시에는 DLsite의 유저 등록이 필수였지만, GAME999에서 구입하는 경우, DLsite 포인트는 사용할 수 없었으며, 포인트 환원도 받을 수 없었다. 2016년 6월 리뉴얼에 따라, DLsite 내 특설 코너로 바뀌었다. 서비스 구조도 변경되었다.
DLsite 종료 서비스
성인용을 포함한 게이용 동인・상업 작품 판매처. 2018년 10월에 폐쇄되었으며, 기존 취급 작품은 DLsite가루마니 BL 판매처로 이동하였다.
문수인
문수인(1992년 4월 1일 ~)은 대한민국의 모델, 배우다. 2014년에 잡지 모델로 데뷔했다.
김황중
김황중(1990년 ~)은 대한민국의 아나운서다.
아리엘 후라도
아리엘 볼리바르 후라도 아그라잘(Ariel Bolívar Jurado Agrazal, 1996년 1월 30일 ~ )은 파나마의 야구 선수이자, KBO 리그 삼성 라이온즈의 투수이다.
아리엘 후라도 미국 프로야구 시절
2018년부터 메이저 리그 로스터에 들며 선발 투수로 나섰다. 텍사스 시절에는 추신수와 함께 활동했고, 뉴욕 메츠 시절에는 기예르모 에레디아와 함께 활동했다.
2021년에 팔꿈치 수술을 받았고, 이후에는 메이저 리그에 올라오지 못했다.
아리엘 후라도 KBO 리그 시절
2023년에 타일러 애플러를 대체할 외국인 투수로 영입되어 2시즌 동안 선발의 한 축을 맡았으나, 2024 시즌 후 히어로즈와 재계약하지 못하며 자유계약 공시됐다.
때마침 코너 시볼드를 대체할 투수를 찾고 있었던 삼성 라이온즈의 오퍼를 받아 2024년 12월 6일 삼성 라이온즈로 이적했다.
삼성 이적 첫 해인 2025년 6월 8일 NC전에서 프로 첫 완봉승 기록 후 7월 26일 KT전에서 두 번째 완봉승을 기록했는데 70번대 이상 투수가 단일시즌 2완봉 이상 기록한 건 2010년 류현진(3완봉)(99번) 이후 15년 만이었다.
2025년에 197 1/3이닝을 소화하며 15승 8패 ERA 2.60으로 삼성 선발의 한축을 맡았다.
최영재 (1982년)
최영재(1982년 1월 12일 ~ )는 대한민국의 방송인, 교수다.
아르슬란무라트 아마노프
아르슬란무라트 아만미라도비치 아마노프(투르크멘어: Arslanmyrat Amanmyradowiç Amanow, 1990년 3월 28일~)는 투르크메니스탄의 전직 축구 선수로 현재 FK 아르카다그의 회장을 맡고 있으며 투르크메니스탄 대표팀 역사상 국제 A매치 최다 출전자이다.
아르슬란무라트 아마노프 어린 시절
아르슬란무라트 아마노프는 마리주의 바이라말리에서 태어났으며, 아시가바트 체육 학교 재학 시절에 축구를 시작하였다.
아르슬란무라트 아마노프 클럽 경력
아마노프는 FC 아시가바트에서 프로 경력을 시작하였으며, 그곳에서 첫 2년 간 활동하였다. 이후 2010년부터 2012년까지는 FC HTTU 소속으로 활동하였다. 또한 2012년에는 카자흐스탄의 클럽인 FC 오크젯페스에서 11경기를 뛰며 1득점을 기록하였다.이후 2013년에 FC HTTU로 복귀했다.
2014년 3월에는 카자흐스탄 프리미어리그의 FC 이르티시 파블로다르와 계약하였다. 그는 이르티시에서 1시즌을 보내고 나서 2014년 12월에 클럽을 떠났다. 그는 이 클럽에서 24 경기에서 1 득점을 기록하였다.
2015년과 2016년에는 우즈베키스탄의 FC AGMK 소속으로 활동하면서 54경기에 출전하여 8득점을 기록하였다. 2017년에는 알틴 아시르 FK에서 활동하였고, 2018년에는 또 다른 우즈베키스탄 클럽 FK 부호로와 계약하였다.
아르슬란무라트 아마노프 클럽 경력
2019년 1월 31일 우즈베키스탄 리그 우승팀인 PFC 로코모티프 타슈켄트와 계약한다고 발표되었다. 2020년 겨울에는 예전에 활동한 적 있는 FC AGMK와 1년 계약을 맺었다.
2021년 1월에는 FC 소그디아나 지자흐와 계약하였다. 7월에는 소그디아나와의 계약이 상호 합의에 의하여 종료되었다. 그는 고국 투르크메니스탄으로 돌아와서 아할 FK에 입단하였다.
아르슬란무라트 아마노프 국가대표팀 경력
2009년부터 투르크메니스탄 대표팀 선수로 활동하기 시작했으며 그 해 10월 베트남과의 친선 경기를 통해 A매치에 처음으로 출전했다. 2010년 2월 2010년 AFC 챌린지컵 준결승전인 타지키스탄과의 경기에서 국가대표 첫 골을 넣었다.
2010년 11월에는 중국 광저우에서 열린 2010년 아시안 게임에 참가했다. 그는 베트남과의 조별 리그 경기에서 2골을 넣으면서 대표팀의 16강 진출에 기여했으나 투르크메니스탄은 16강전에서 태국에게 0-1로 패하면서 대회를 마무리했다.
2018년 12월 2019년 AFC 아시안컵에 참가하는 투르크메니스탄 대표팀 최종 명단에 발탁되었다. 1월 9일 일본과의 아시안컵 조별 리그 첫 경기에서 전반 27분 선제골을 터뜨렸으나 투르크메니스탄 대표팀은 2-3으로 패했다.
아마노프는 현재까지 A매치 54경기에 출전하여 10골을 득점하여 투르크메니스탄 국가대표 선수 중 최다 A매치 출전 기록을 보유하고 있다.
아르슬란무라트 아마노프 통계
통계 자료는 2019년 11월 14일 기준으로 정확함
득점과 결과 테이블에는 투르크메니스탄 국가대표팀의 득점을 먼저 기록하였다.
아르슬란무라트 아마노프 수상
아시가바트
HTTU
로코모티브 타슈켄트
투르크메니스탄
세드리크 소라인도
세드리크 소라인도(프랑스어: Cédric Sorhaindo, 1984년 6월 7일~)는 프랑스의 핸드볼 선수이다. 포지션은 피벗으로 현재 루마니아 핸드볼 리그의 디나모 부쿠레슈티 소속으로 뛰고 있다. 스페인 리가 아소발의 FC 바르셀로나에서 대부분의 선수 경력를 보냈으며, 프랑스 국가대표팀 선수로도 활약하여 2021년 하계 올림픽에서 금메달을 획득했고 세계 선수권 대회 4회, 유럽 선수권 대회 2회 우승을 달성했다.
이노우에 소라
이노우에 소라(いのうえ 空, いのうえ そら, 1972년 4월 19일)는 일본의 만화가, 일러스트레이터다. 와카야마현 출신이다.
OOZ&mates
오오즈 앤 메이츠는 IPX(구 라인프렌즈)가 리테일 비즈니스 중심에서 메타버스·NFT(대체불가토큰) 비즈니스 기반의 ‘디지털 IP 플랫폼’ 기업으로 도약을 선언한 이후 처음으로 선보인 오리지널 캐릭터 IP이다.  9명의 메인 캐릭터를 중심으로 디스코드, 트위터, 인스타그램에 일상 및 NFT 관련 게시물을 업로드하며 지속적으로 세계관을 확징시켜 나가고 있다.
OOZ&mates 소개
OOZ&mates(오오즈 앤 메이츠)는 총 9종의 동물 기반 캐릭터로 - 푼(FOON·여우), 쿨(COOL·고양이), 두크(DOOK·강아지), 루이(ROOY·토끼), 오쿠(OKOO·수달), 무브(MOOV·원숭이), 타우(TAOO·호랑이), 붐(BOOM·새), 수(SOOH·다람쥐) - 으로 구성되어 있다. ‘OOZ(오오즈)’ 네이밍은 동물원을 뜻하는 영단어 ‘ZOO’의 철자를 거꾸로 한 것이며, OOZ&mates의 배경인 디지털 유니버스 ‘우주’와도 발음이 비슷하여 정해졌다. 공식 로고도 이 의미를 반영하고 있다.
OOZ&mates 스토리
디지털 월드 ‘FRENZ’에 살고 있는 9명의 악동 OOZ가 운명의 소울메이트를 찾기 위해 모험을 떠났다가 지구에 불시착하면서 벌어지는 스토리를 갖고 있다.
OOZ&mates 캐릭터
캐릭터 이름은 디스코드와 트위터 계정을 통해 글로벌 팬들의 투표로 완성됐다.
OOZ&mates NFT
솔라나 기반 PFP 프로젝트로써 10월 7일날 매직에덴 런치패드를 통해 첫 민팅이 오픈되었다. 오픈하자마자 오픈씨와 매직에덴에서 판매량 1등을 달성하며 솔드아웃되었다.
비르질리오
비르질리오(이탈리아어: Virgilio)는 다음 사람을 가리킨다.
피오트르 비쇼미르스키
피오트르 비쇼미르스키(폴란드어: Piotr Wyszomirski, 1988년 1월 6일~)는 폴란드의 핸드볼 선수이다. 포지션은 골키퍼로 현재 폴란드 핸드볼 수페를리가의 구르니크 자브제 소속으로 뛰고 있다. 폴란드 국가대표팀 선수로도 활약하여 2015년 세계 선수권 대회에서 3위에 올랐고 2016년 하계 올림픽에 참가했다.
스와보미르 슈말
스와보미르 보그단 슈말(폴란드어: Sławomir Bogdan Szmal, 1978년 10월 2일~)은 폴란드의 핸드볼 선수, 지도자로 포지션은 골키퍼이다. 현역 시절 대부분의 선수 경력을 폴란드 핸드볼 수페를리가에서 보냈으며, 독일 분데스리가의 TuS 네텔슈테트뤼베크와 라인네카어 뢰벤에서 뛰었다. 또한 폴란드 리그에서 뛰는 동안 리그 우승 7회, 폴란드컵 우승 7회를 달성했으며, 2016년에는 EHF 챔피언스리그 우승을 달성했다.
국제 대회에 폴란드 대표팀 선수로 활약하였으며, 1998년부터 2018년까지 298경기에 출전하여 폴란드 대표팀 최다 출전 기록을 보유하고 있다. 또한 2008년과 2016년 하계 올림픽에 참가했고 세계 선수권 대회에서 준우승 1회, 3위 2회 달성하였다. 2009년에는 폴란드 선수로는 최초로 국제 핸드볼 연맹 선정 올해의 선수로 선정되었다.
애덤 데이비스
애덤 리스 데이비스(영어: Adam Rhys Davies, 1992년 7월 17일 ~ )는 웨일스의 축구 선수로 현재 잉글랜드 EFL 챔피언십의 셰필드 유나이티드에서 골키퍼로 활동 중이다.
소바 토마스
벤저민 소바 윌리엄 토마스(영어: Benjamin Sorba William Thomas, 1999년 1월 25일 ~ )는 웨일스의 축구 선수이다. 포지션은 윙어이며, 현재 잉글랜드 EFL 챔피언십의 블랙번 로버스에서 뛰고 있다.
딜런 레빗
딜런 제임스 크리스토퍼 레빗(영어: Dylan James Christopher Levitt, 2000년 11월 17일 ~ )는 웨일스의 축구 선수이다. 포지션은 미드필더이며, 현재 스코티시 프리미어십의 하이버니언에서 뛰고 있다.
카와하라 이즈미
카와하라 이즈미 (川原 泉, かわはら いずみ, 1960년 9월 24일 출생) 은 일본의 여성 만화가이다. 가고시마현 이부스키시 출신으로, 가고시마시에 거주하고 있다. 가고시마 대학 문학부를 졸업했으며, 전공은 일본사이다.
벤 카방고
벤저민 조지 카방고(영어: Benjamin George Cabango, 2000년 5월 30일 ~ )는 웨일스의 축구 선수이다. 포지션은 수비수이며, 현재 잉글랜드 EFL 챔피언십의 스완지 시티 AFC에서 뛰고 있다.
루빈 콜윌
루빈 제임스 콜윌(영어: Rubin James Colwill, 2002년 4월 27일 ~ )은 웨일스의 축구 선수이다. 포지션은 윙어이며, 현재 잉글랜드 EFL 챔피언십의 카디프 시티 FC에서 뛰고 있다.
매슈 스미스
매슈 로버트 스미스(영어: Matthew Robert Smith, 1999년 11월 22일 ~ )는 웨일스의 축구 선수이다. 포지션은 미드필더이며, 현재 스코티시 프리미어십의 세인트 존스톤에서 뛰고 있다.
FK 파르두비체
FK 파르두비체(체코어: Fotbalový klub Pardubice)는 체코의 축구 클럽으로 파르두비체를 연고로 하고 있다.
FK 파르두비체 역사
파르두비체는 2008년에 FK 테슬라 파르두비체, FK 유니오르 파르두비체, MFK 파르두비체의 합병으로 창단되었다.
2010년에는 체코의 4부 리그에서 3부 리그인 보헤미안 리가로 승격하였다. 이어 곧바로 2012년에 2부 리그로 승격하였다. 보헤미아 풋볼 리그는 각 조의 우승팀이 승격하는데 파르두비체는 2011-12 시즌에 조에서 2위를 승격 조건이 안되었지만 우승팀 MFK 흐루딤은 1부 리그의 경기장 요건을 충족하지 못해 승격되지 못하며 대신 파르두비체가 승격하였다. 이후 계속해서 2부 리그에 머물다 2019-20 시즌에 1위를 차지하며 1부 리그로 승격하였다.
아이딘 흐루스티치
아이딘 흐루스티치(보스니아어: Ajdin Hrustic, 1996년 7월 5일 ~ )는 오스트레일리아의 축구 선수이다. 포지션은 공격형 미드필더이며, 현재 네덜란드 에레디비시의 헤라클레스 알멜로에서 뛰고 있다.
카자흐스탄의 교통
카자흐스탄의 영토는 2,700,000 km2에 걸쳐 있다. 인구 밀도는 낮으며, 산업과 농업의 중심지가 서로 멀리 떨어져 있다.
카자흐스탄의 교통 철도
철도는 국토의 57% 이상에 모든 화물과 여객 수송의 68%를 담당한다. 산업 철도를 제외한 일반 운송 서비스에는 15,333km가 있다. 카자흐스탄의 모든 철도 노선은 1,520mm 게이지로 건설되며 그 중 4,000km가 2012년까지 전철화 된다.
Kazakhstan Temir Zholy (KTZ)는 국영 철도회사이다. KTZ는 카자흐스탄의 철도 인프라 개발을 위해 프랑스 기관차 제조업체인 Alstom과 협력하고 있다. Alstom은 600명 이상의 직원과 KTZ 및 카자흐스탄의 자회사와 2개의 합작 투자 회사를 보유하고 있다. 2017년 7월, Alstom은 카자흐스탄에 최초의 기관차 수리 센터를 열었으며, 이는 중앙 아시아와 코카서스 지역의 유일한 수리 센터이다.
카자흐스탄의 교통 철도
카자흐스탄의 철도 시스템은 소련 시대에 설계되었기 때문에 철도 노선은 소비에트 계획의 필요에 따라 소련 내 연방국가 간 국경을 무시하고 설계되었다. 이로 인해 Oral에서 Aktobe까지의 경로가 러시아 영토를 통과하는 것과 같은 이상 현상이 발생한다. 이는 또한 경로가 현대 카자흐스탄의 필요에 맞지 않을 수 있음을 뜻한다.
카자흐스탄의 발전된 철도 시스템은 아시아와 유럽을 연결하는 국제 및 지역 무역을 촉진한다. 2019년 카자흐스탄을 통한 상품 운송은 664,000개의 컨테이너로 23% 증가했다.
카자흐스탄의 교통 도로
카자흐스탄은 96,000km가 넘는 도로망을 보유하고 있으며 대부분 현대화 및 수리가 필요하다. 그러나 Euroroute 네트워크의 가장 동쪽 부분을 포함하는 유럽 경로 E40의 동쪽 종점을 포함하는 것으로 유명하다.
2017년 기준, 3,845,301대의 등록된 자동차와 합계 4,425,770대의 자동 운송 수단이 있다.
카자흐스탄의 고속도로 네트워크는 인구 밀도가 낮기 때문에 다소 낙후되어 있으며 장거리에 더 넓은 도로가 필요하지 않다. 총 490km의 고속도로가 있다. 이중 고속도로 A1이 250km, A2가 158km, A3가 82km를 차지하고 있다.