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배위 공간 (고전역학) 예시
3차원 공간에서 강체의 기준점 위치와 강체에 부착된 좌표계의 방향을 정의하는 좌표 집합은 그 배위 공간을 형성하며, 종종 로 표기된다. 여기서 는 강체에 부착된 프레임의 원점 좌표를 나타내고, 는 지상 프레임에 대한 이 프레임의 방향을 정의하는 회전 행렬을 나타낸다. 강체의 배위는 세 개의  매개변수와 세 개의  매개변수로 정의되며, 여섯 개의 자유도를 가진다고 한다.
이 경우 배위 공간 는 6차원이며, 는 단순히 그 공간의 한 점이다. 해당 배위 공간에서 의 "위치"는 일반화 좌표를 사용하여 설명된다. 따라서 세 개의 좌표는 강체의 질량 중심 위치를 설명할 수 있고, 세 개의 다른 좌표는 그 방향을 설명하는 오일러 각이 될 수 있다. 좌표에 대한 표준적인 선택은 없으며, 질량 중심 대신 강체의 일부 끝점이나 끝점을 선택할 수도 있고, 오일러 각 대신 사원수를 사용할 수도 있다. 그러나 매개변수화는 시스템의 역학적 특성을 변경하지 않는다. 모든 다른 매개변수화는 궁극적으로 동일한 (6차원) 다양체, 즉 가능한 위치 및 방향의 동일한 집합을 설명한다.
배위 공간 (고전역학) 예시
일부 매개변수화는 다른 것보다 다루기 쉽고, 좌표 없는 방식으로 작업하여 많은 중요한 진술을 할 수 있다. 좌표 없는 진술의 예로는 접공간 가 점 의 속도에 해당하고, 공변접공간 가 운동량에 해당한다는 것이다. (속도와 운동량은 연결될 수 있다. 가장 일반적이고 추상적인 경우, 이는 따름 1차 형식이라는 다소 추상적인 개념으로 이루어진다.)
수많은 강체 연결부로 구성된 로봇 팔의 경우, 배위 공간은 각 연결부의 위치(위 섹션에서와 같이 강체로 간주됨)로 구성되며, 연결부들이 서로 어떻게 부착되어 있는지와 허용되는 동작 범위에 대한 제약을 받는다. 따라서 개의 연결부가 있을 때, 다음과 같은 전체 공간을 고려할 수 있다.

그러나 모든 다양한 부착물과 제약은 이 공간의 모든 점에 도달할 수 없음을 의미한다. 따라서 배위 공간 는 필연적으로 개의 강체 배위 공간의 부분 공간이다.
배위 공간 (고전역학) 예시
그러나 로봇공학에서 "배위 공간"이라는 용어는 로봇의 말단 효과기가 도달할 수 있는 위치 집합이라는 더 축소된 부분집합을 가리킬 수도 있다. 하지만 이 정의는 홀로노미로 설명되는 복잡성을 초래한다. 즉, 특정 말단 효과기 위치를 얻기 위해 로봇 팔을 배열하는 여러 가지 방법이 있을 수 있으며, 말단 효과기를 고정한 채로 로봇 팔을 움직이는 것도 가능하다. 따라서 운동학에 적합한 팔의 완전한 설명은 일부만으로는 안 되고 모든 관절 위치와 각도를 명시해야 한다.
로봇의 관절 매개변수는 배위를 정의하는 일반화 좌표로 사용된다. 관절 매개변수 값의 집합을 관절 공간이라고 한다. 로봇의 정기구학 및 역기구학 방정식은 배위와 말단 효과기 위치 사이, 또는 관절 공간과 배위 공간 사이의 사상을 정의한다. 로봇 운동 계획은 이 매핑을 사용하여 말단 효과기의 배위 공간에서 달성 가능한 경로를 제공하는 관절 공간의 경로를 찾는다.
배위 공간 (고전역학) 공식 정의
고전역학에서 시스템의 배위는 시스템을 구성하는 모든 점 입자의 위치를 의미한다.
배위 공간 (고전역학) 위상 공간
배위 공간은 역학계를 완전히 설명하기에 불충분하다. 속도를 고려하지 못하기 때문이다. 시스템에 사용할 수 있는 속도 집합은 시스템의 배위 다양체에 접하는 평면을 정의한다. 점 에서 해당 접평면은 로 표시된다. 운동량 벡터는 공변접 벡터로 알려진 접평면의 선형 범함수이다. 점 의 경우 해당 공변접 평면은 로 표시된다. 역학계의 위치와 운동량 집합은 배위 다양체 의 공변접다발 를 형성한다. 이 더 큰 다양체를 시스템의 위상 공간이라고 한다.
배위 공간 (고전역학) 양자 상태 공간
양자역학에서는 배위 공간이 사용될 수 있지만(예: 모트 문제 참조), 고전역학의 위상 공간 확장은 사용할 수 없다. 대신, 양자 상태 공간이라는 유사한 개념에서는 다소 다른 형식주의와 표기법 집합이 사용된다. "점 입자"의 아날로그는 블로흐 구면으로도 알려진 복소 사영선인 의 단일 점이 된다. 양자역학적 파동 함수가 복소 위상을 가지기 때문에 복소수이며, 파동 함수가 단위 확률로 정규화되기 때문에 사영적이다. 즉, 파동 함수 가 주어졌을 때 총 확률 로 자유롭게 정규화하여 사영적으로 만들 수 있다.
기하학적 변환
수학에서 기하학적 변환(geometric transformation)은 거리를 보존하거나, 각도를 보존하거나, 비율(축척)을 보존하는 등 현저한 기하학적 근거를 가지고 있는 집합 자체(또는 다른 유사한 집합)의 모든 전단사 함수를 말한다. 더 구체적으로, 정의역과 치역이 점의 집합(대부분 실수 좌표 공간  또는 )인 함수이며, 그 함수는 역함수가 존재하도록 전단사 함수이다. 기하학 연구는 변환기하학에서와 같이 이러한 변환 연구를 통해 접근할 수 있다.
기하학적 변환 분류
기하학적 변환은 피연산자 집합의 차원에 따라 분류할 수 있다(따라서 평면 변환과 공간 변환을 구분한다). 또한 보존하는 속성에 따라 분류할 수도 있다.
이러한 각 클래스는 이전 클래스를 포함한다.
같은 유형의 변환은 다른 변환 군의 부분 군이 될 수 있는 군을 형성한다.
기하학적 변환 반대 군 작용
많은 기하학적 변환은 선형대수로 표현된다. 전단사 선형 변환은 일반선형군의 요소이다. 선형 변환 A는 비특이적이다. 행 벡터 v의 경우, 행렬곱 vA는 또 다른 행 벡터 w = vA를 생성한다.
행 벡터 v의 전치는 열 벡터 vT이고, 위 등식의 전치는  이다. 여기서 AT는 열 벡터에 대한 왼쪽 작용을 제공한다.
변환 기하학에는 합성 AB가 있다. 행 벡터 v에서 시작하여 합성 변환의 오른쪽 작용은 w = vAB이다. 전치 후,
따라서 AB에 대한 관련 왼쪽 군의 작용은  이다. 반대군 연구에서는 이러한 반대가 동일한 유일한 군이 교환군이기 때문에 반대 군 작용을 구별한다.
기하학적 변환 더 읽어보기
Dienes, Z. P.]; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
등방성 이차 형식
수학에서 체 F에 대한 이차 형식은 형식이 0으로 평가되는 0이 아닌 벡터가 있는 경우 등방성(isotropic)이라고 한다. 그렇지 않으면 정부호 이차 형식이다. 더 명시적으로, q가 F 위의 벡터 공간 V에 대한 이차 형식인 경우, V의 0이 아닌 벡터 v는 q(v) = 0이면 등방성이라고 한다. 이차 형식은 0이 아닌 등방성 벡터(또는 영벡터)가 존재할 때만 등방성이다.
(V, q)가 이차 공간이고 W가 V의 부분 공간이라고 가정하자. 그러면 W는 그 안에 등방성 벡터가 있으면 V의 등방성 부분 공간, 그 안에 있는 모든 벡터가 등방성이면 완전 등방성 부분 공간, 그리고 (0이 아닌) 등방성 벡터를 포함하지 않으면 정부호 부분 공간이라고 한다. 이차 공간의 등방성 지수는 완전 등방성 부분 공간의 최대 차원이다.
실수 위에서, 더 일반적으로 F가 실폐체인 경우 (따라서 부호가 정의됨), 이차 형식이 비퇴화이고 부호 (a, b)를 가지면 그 등방성 지수는 a와 b의 최소값이다. 실수 위에서 등방성 형식의 중요한 예는 유사 유클리드 공간에서 발생한다.
등방성 이차 형식 쌍곡 평면
2가 아닌 표수의 체 F와 V = F2라고 하자. V의 일반 원소 (x, y)를 고려하면, 이차 형식 q = xy와 r = x2 − y2는 q를 r처럼 보이게 하고 그 반대로도 만드는 V에 대한 선형 변환이 존재하기 때문에 동등하다. 명백히, (V, q)와 (V, r)은 등방성이다. 이 예시는 이차 형식 이론에서 쌍곡 평면이라고 불린다. 일반적인 예시로는 F = 실수인 경우가 있는데, 이 경우 {x ∈ V : q(x) = nonzero constant}와 {x ∈ V : r(x) = nonzero constant}는 쌍곡선이다. 특히, {x ∈ V : r(x) = 1}은 단위 쌍곡선이다. Milnor와 Husemoller:9는 r의 이변수 다항식 항의 부호가 나타나기 때문에 쌍곡 평면에 대해 ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ 표기법을 사용했다.
등방성 이차 형식 쌍곡 평면
아핀 쌍곡 평면은 에밀 아르틴이 {M, N} 을 기저로 가지고 M2 = N2 = 0, NM = 1을 만족하는 이차 공간으로 설명했는데, 여기서 곱은 이차 형식을 나타낸다.
편극 항등식을 통해 이차 형식은 대칭 쌍선형 형식 B(u, v) = ⁠1/4⁠(q(u + v) − q(u − v))와 관련된다.
두 벡터 u와 v는 B(u, v) = 0일 때 직교한다. 쌍곡 평면의 경우, 이러한 u와 v는 쌍곡선-직교한다.
등방성 이차 형식 분리 이차 공간
이차 형식을 가진 공간은 자체 직교 여공간과 같은 부분 공간이 존재하면 분리(또는 대사적)이다. 이는 등방성 지수가 차원의 절반과 같다는 것과 동등하다.:57 쌍곡 평면이 그 예시이며, 2가 아닌 표수의 체 위에서는 모든 분리 공간은 쌍곡 평면의 직합이다.:12,3
등방성 이차 형식 이차 형식 분류와의 관계
이차 형식 분류의 관점에서 볼 때, 정부호 이차 형식을 가진 공간은 임의 차원의 이차 공간을 위한 기본 구성 요소이다. 일반적인 체 F에 대해 정부호 이차 형식의 분류는 간단하지 않은 문제이다. 반대로 등방성 형식은 일반적으로 다루기가 훨씬 쉽다. 비트 분해 정리에 따르면, 체 위의 모든 내적 공간은 분리 공간과 정부호 이차 형식을 가진 공간의 직교 직합이다.:56
등방성 이차 형식 각주
Serre, Jean-Pierre (2000) [1973]. 《A Course in Arithmetic》 reprint of 3판. Graduate Texts in Mathematics: Classics in mathematics 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 1034.11003.
말레이시아 외교부
말레이시아 외교부(말레이어: Kementerian Luar Negeri)는 말레이시아의 대외 관계를 담당하는 말레이시아 내각의 지휘를 받는 말레이시아 정부의 정부 부처이다. 동남아시아라는 양자주의 및 지역 차원에서 말레이시아의 국가 이익을 수호하고, 동남아시아 국가 연합, 유엔 등 다자주의 차원에서 말레이시아의 역할을 수행한다.
말레이시아 외교부 조직
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외교대외관계연구소장
동남아시아 대테러 지역센터장
화학 무기 금지 조약 위원장
재외공관장(112개 공관)
기하군론
기하군론(geometric group theory)은 수학의 한 분야로, 유한생성군의 대수적 속성과 이 군들이 비자명하게 작용할 수 있는 공간의 위상적 및 기하학적 속성 간의 연관성을 탐구하여 그러한 군을 연구하는 데 전념한다. (즉, 문제의 군들이 어떤 공간의 기하학적 대칭이나 연속 변환으로 구현될 때).
기하군론의 또 다른 중요한 아이디어는 유한생성군 자체를 기하학적 객체로 간주하는 것이다. 이는 일반적으로 군의 케일리 그래프를 연구함으로써 이루어지는데, 케일리 그래프는 그래프 구조 외에도 소위 단어 거리에 의해 부여된 거리 공간의 구조를 갖는다.
기하군론은 독자적인 분야로서 비교적 새로운 학문이며, 1980년대 후반에서 1990년대 초반에 명확하게 식별 가능한 수학의 한 분야가 되었다. 기하군론은 저차원 위상수학, 쌍곡기하학, 대수적 위상수학, 계산 군론 및 미분기하학과 밀접하게 상호작용한다. 또한 복잡도 이론, 수리논리학, 리 군 및 그 이산 부분군 연구, 동역학계, 확률론, K이론 및 기타 수학 분야와도 상당한 연관성이 있다.
기하군론
피에르 드 라 하르프는 그의 저서 "Topics in Geometric Group Theory" 서문에서 다음과 같이 썼다. "나의 개인적인 신념 중 하나는 대칭과 군에 대한 매혹이 삶의 한계를 극복하는 한 가지 방법이라는 것이다. 우리는 우리가 볼 수 있는 것 이상을 인식하게 해주는 대칭을 인식하는 것을 좋아한다. 이러한 의미에서 기하군론의 연구는 문화의 일부이며, 조르주 드 람이 수학을 가르치고, 스테판 말라르메의 시를 낭송하거나, 친구에게 인사하는 등 여러 경우에 실천했던 몇 가지를 떠올리게 한다.":3
기하군론 역사
기하군론은 주로 군 표시를 분석하여 이산 군의 속성을 연구했던 조합 군론에서 발전했다. 군 표시는 군을 자유군의 몫군으로 설명한다. 이 분야는 1880년대 초반 펠릭스 클라인의 제자인 발터 폰 딕에 의해 처음으로 체계적으로 연구되었으며, 초기 형태는 1856년 윌리엄 로언 해밀턴의 20면체 계산에서 발견되는데, 그는 십이면체의 모서리 그래프를 통해 20면체 대칭군을 연구했다. 현재 조합 군론은 대부분 기하군론에 포함되어 있다. 또한 "기하군론"이라는 용어는 종종 전통적인 조합 군론의 범위를 벗어나는 확률론적, 측도론적, 산술적, 해석적 및 기타 접근 방식을 사용하여 이산 군을 연구하는 것을 포함하게 되었다.
기하군론 역사
20세기 전반에 걸쳐 막스 덴, 야코프 닐센, 쿠르트 라이데마이스터와 오토 슈라이어, 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드, 에흐베르튀스 판 캄펀 등의 선구적인 연구는 이산 군 연구에 일부 위상학적 및 기하학적 아이디어를 도입했다. 기하군론의 다른 선구자로는 작은 소거 이론과 배스-세르 이론이 있다. 작은 소거 이론은 1960년대 마르틴 그린들링거에 의해 도입되었으며 로저 린든과 폴 슈프에 의해 더욱 발전되었다. 이 이론은 조합론적 곡률 조건을 통해 유한 군 표시에 해당하는 판 캄펀 다이어그램을 연구하고, 이러한 분석을 통해 군의 대수적 및 알고리즘적 속성을 도출한다. 1977년 세르의 저서에서 소개된 배스-세르 이론은 단체 나무에 대한 군 작용을 연구하여 군에 대한 구조적 대수 정보를 도출한다.
기하군론의 외부 선구자로는 리 군의 격자 연구, 특히 모스토우 경직성 정리, 클라인 부분군 연구, 그리고 1970년대와 1980년대 초반 윌리엄 서스턴의 기하화 프로그램에 의해 촉발된 저차원 위상수학 및 쌍곡 기하학의 발전이 있다.
기하군론 역사
기하군론이 독자적인 수학 분야로 부상한 시기는 보통 1980년대 후반에서 1990년대 초반으로 거슬러 올라간다. 이는 유한생성군이 큰 규모에서 음의 곡률을 갖는다는 아이디어를 포착하는 쌍곡군 (단어-쌍곡군, 그로모프-쌍곡군 또는 음의 곡률 군으로도 알려짐) 개념을 도입한 미하일 그로모프의 1987년 논문 "Hyperbolic groups"에 의해 촉발되었으며, 그 후 준등거리사상까지의 이산 군 이해에 대한 그로모프의 프로그램을 제시한 그의 후속 논문 "Asymptotic Invariants of Infinite Groups"에 의해 더욱 촉진되었다. 그로모프의 연구는 이산 군 연구에 혁신적인 영향을 미쳤고 그 직후 "기하군론"이라는 용어가 등장하기 시작했다 (예:  참조).
기하군론 현대적 주제 및 발전
1990년대와 2000년대 기하군론의 주목할 만한 주제 및 발전은 다음과 같다.
이 분야에서 특히 영향력 있는 광범위한 주제는 유한생성군을 대규모 기하학에 따라 분류하는 그로모프의 프로그램이다. 공식적으로 이것은 단어 거리를 갖는 유한생성군을 준등거리사상까지 분류하는 것을 의미한다. 이 프로그램에는 다음이 포함된다.
준등거리사상 불변 속성 연구. 유한생성군의 그러한 속성 예시로는 다음이 있다. 유한생성군의 성장률; 유한제시군의 아이소페리메트릭 함수 또는 데흔 함수; 군의 끝 개수; 군의 쌍곡성; 쌍곡군의 그로모프 경계의 위상동형사상 유형; 유한생성군의 극한원뿔 (예:  참조); 유한생성군의 종순성; 사실상 아벨 군 (즉, 유한 지표의 아벨 부분군을 가짐); 사실상 멱영군; 사실상 자유군; 유한 제시 가능성; 단어 문제가 가해군인 유한 제시 가능군; 등.
준등거리사상 불변량을 사용하여 군에 대한 대수적 결과를 증명하는 정리. 예를 들어: 그로모프 다항식 성장 정리; 스탈링 끝 정리; 모스토우 경직성 정리.
기하군론 현대적 주제 및 발전
준등거리 경직성 정리. 이 정리에서는 주어진 군 또는 거리 공간과 준등거리인 모든 군을 대수적으로 분류한다. 이 방향은 리처드 슈워츠의 랭크 1 격자의 준등거리 경직성에 대한 연구와 벤슨 파브 및 리 모셔의 바움슬라그-솔리터 군의 준등거리 경직성에 대한 연구에 의해 시작되었다.
단어-쌍곡군 및 상대적으로 쌍곡군 이론. 여기서 특히 중요한 발전은 1990년대 즈릴 셀라의 연구로, 단어-쌍곡군의 동형 문제를 해결했다. 상대적으로 쌍곡군이라는 개념은 1987년 그로모프에 의해 처음 도입되었고 1990년대 파브와 브라이언 보우디치에 의해 정제되었다. 상대적으로 쌍곡군 연구는 2000년대에 두드러지게 부상했다.
"무작위" 군론적 객체 (군, 군 원소, 부분군 등)의 대수적 속성을 연구하기 위한 확률론적 방법 도입. 여기에서 특히 중요한 발전은 그로모프의 연구로, 확률론적 방법을 사용하여 힐베르트 공간에 균일하게 임베딩될 수 없는 유한생성군의 존재를 증명했다. 다른 주목할 만한 발전으로는 군론적 및 기타 수학적 알고리즘의 일반적 경우 복잡도 개념 및 일반군에 대한 대수적 경직성 결과 도입 및 연구가 포함된다.
기하군론 예시
다음 예시들은 기하군론에서 자주 연구된다.
기하군론 각주
이 텍스트들은 기하군론 및 관련 주제를 다룬다.
Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). 《Metric spaces of non-positive curvature》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 319. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). 《Géométrie et théorie des groupes : les groupes hyperboliques de Gromov》. Lecture Notes in Mathematics 1441. Springer-Verlag. ISBN 3-540-52977-2. MR 1075994.
기하군론 각주
Gromov, Mikhael (1993). 〈Asymptotic invariants of infinite groups〉.   Niblo, G.A.; Roller, M.A. (편집). 《Geometric Group Theory: Proceedings of the Symposium held in Sussex 1991》. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press. 1–295쪽. ISBN 978-0-521-44680-8.
구 채우기
기하학에서 구 채우기(sphere packing)는 담는 공간 안에 겹치지 않는 구를 배열하는 것이다. 고려되는 구는 일반적으로 모두 동일한 크기이며, 공간은 일반적으로 3-차원 유클리드 공간이다. 그러나 구 채우기 문제는 크기가 다른 구, 다른 차원의 공간(2차원에서는 원 채우기 문제 또는 고차원에서는 초구 채우기 문제) 또는 쌍곡공간과 같은 비유클리드 공간을 고려하도록 일반화될 수 있다.
전형적인 구 채우기 문제는 구가 가능한 한 많은 공간을 채우는 배열을 찾는 것이다. 구가 채운 공간의 비율을 배열의 채우기 밀도라고 한다. 무한 공간에서 채우기의 국소 밀도는 측정되는 부피에 따라 달라질 수 있으므로, 문제는 일반적으로 충분히 큰 부피에 걸쳐 측정된 평균 또는 점근적 밀도를 최대화하는 것이다.
3차원에서 동일한 구의 가장 조밀한 채우기는 부피의 약 74%를 사용한다. 동일한 구의 무작위 채우기는 일반적으로 약 63.5%의 밀도를 갖는다.
구 채우기 분류 및 용어
격자 배열(일반적으로 정규 배열이라고 함)은 격자의 점들이 매우 대칭적인 패턴을 형성하여 n-차원 유클리드 공간에서 n개의 벡터만으로 정의될 수 있는 배열이다. 격자 배열은 주기적이며, 격자를 번역(이동)하여 한 점이 다른 점이 있던 자리에 놓일 때 배열이 이전과 동일하다는 속성을 갖는다. 점들이 격자를 형성하지 않는 배열도 주기적일 수 있지만, 비주기적일 수도 있으며, 이는 무작위 배열을 포함한다. 격자 채우기는 대칭 정도가 높기 때문에 격자가 아닌 채우기보다 분류하기가 더 쉽다. 주기적인 격자는 잘 정의된 밀도를 갖는다.
구 채우기 정규 채우기
3차원 유클리드 공간에서 동일한 구의 가장 조밀한 채우기는 조밀 채우기 구조라고 불리는 구조군에 의해 달성된다. 이러한 구조를 생성하는 한 가지 방법은 다음과 같다. 평면 위에 구가 조밀하게 배열된 것을 고려한다. 이를 A라고 부른다. 세 개의 이웃한 구에 대해, 네 번째 구를 세 개의 아래쪽 구 사이의 빈 공간에 위에 놓을 수 있다. 만약 첫 번째 평면 위의 두 번째 평면에서 구멍의 절반에 대해 이 작업을 수행하면, 새로운 조밀층이 생성된다. 이 작업을 수행하는 데는 B와 C라는 두 가지 가능한 선택이 있다. B를 선택했다고 가정하자. 그러면 B의 빈 공간의 절반은 A의 구의 중심 위에 놓이고, 나머지 절반은 B에 사용되지 않은 A의 빈 공간 위에 놓인다. 따라서 세 번째 층의 구는 첫 번째 층의 구 바로 위에 놓이거나, 두 번째 층이 차지하지 않은 첫 번째 층의 구멍 위에 놓일 수 있으며, 이는 각각 A형 층 또는 C형 층을 생성한다. A, B, C형 층을 결합하면 다양한 조밀 채우기 구조가 생성된다.
구 채우기 정규 채우기
조밀 채우기 군 내의 두 가지 간단한 배열은 정규 배열에 해당한다. 하나는 입방 조밀 채우기(또는 면심 입방, "FCC", 이는 격자이다)라고 불리며, 층은 ABCABC... 순서로 번갈아 나타난다. 다른 하나는 육방 조밀 채우기("HCP", 이는 정규 배열이지만 격자는 아니다)라고 불리며, 층은 ABAB... 순서로 번갈아 나타난다. 그러나 많은 층 쌓기 순서가 가능하며(ABAC, ABCBA, ABCBAC 등), 여전히 조밀 채우기 구조를 생성한다. 이 모든 배열에서 각 구는 12개의 이웃한 구와 접촉하며, 평균 밀도는 다음과 같다.
구 채우기 정규 채우기
1611년에 요하네스 케플러는 이것이 정규 및 불규칙 배열 모두에서 가능한 최대 밀도라고 추측했는데, 이는 케플러의 추측으로 알려졌다. 카를 프리드리히 가우스는 1831년에 이러한 채우기가 가능한 모든 격자 채우기 중에서 가장 높은 밀도를 갖는다는 것을 증명했다. 1998년에 토머스 캘리스터 헤일스는 1953년 라슬로 페제시 토트가 제안한 접근 방식을 따라 케플러의 추측에 대한 증명을 발표했다. 헤일스의 증명은 복잡한 컴퓨터 계산을 사용하여 많은 개별 사례를 확인하는 철저한 증명이다. 심사위원들은 헤일스의 증명의 정확성에 대해 "99% 확신한다"고 말했다. 2014년 8월 10일, 헤일스는 자동화된 증명 검증을 사용한 형식적인 증명을 완료했다고 발표하며 모든 의심을 없앴다.
물리 시스템에서 종종 발견되는 다른 격자 채우기가 있다. 여기에는 밀도 π/6 ≈ 0.5236인 입방 격자, 밀도 π/√27 ≈ 0.6046인 육방 배열, 밀도 π√3/16 ≈ 0.3401인 사면체 배열이 포함된다.
모든 구가 이웃에 의해 한 위치에 고정되는 채우기를 강체 또는 잼이라고 한다. 가장 낮은 밀도를 가진 것으로 알려진 엄격하게 잼된(유한 시스템에서도 기계적으로 안정적인) 정규 구 채우기는 밀도가 π√2/9 ≈ 0.49365에 불과한 희석된("터널링된") FCC 결정이다. 가장 느슨한 것으로 알려진 정규 잼된 채우기는 약 0.555의 밀도를 갖는다.
구 채우기 불규칙 채우기
구들을 조밀하게 채우려고 하면 항상 세 개의 채워진 구 사이의 빈 공간에 다음 구를 놓으려는 유혹을 받는다. 이 방식으로 다섯 개의 구를 조립하면 위에서 설명한 정규 채우기 배열 중 하나와 일치할 것이다. 그러나 이 방식으로 여섯 번째 구를 놓으면 구조가 어떤 정규 배열과도 일치하지 않게 된다. 이로 인해 압축에 대해 안정적인 무작위 조밀 채우기가 가능해진다. 무작위 느슨한 채우기를 진동시키면 구형 입자가 정규 채우기로 배열될 수 있으며, 이 과정을 알갱이 결정화라고 한다. 이러한 과정은 구형 알갱이를 담는 용기의 기하학적 구조에 따라 달라진다.
구들이 용기에 무작위로 추가된 다음 압축되면, 더 이상 압축될 수 없을 때 일반적으로 "불규칙" 또는 "잼된" 채우기 구성으로 알려진 것을 형성한다. 이 불규칙 채우기는 일반적으로 약 64%의 밀도를 갖는다. 최근 연구는 분석적으로 63.4%의 밀도 한계를 초과할 수 없다고 예측한다. 이 상황은 1차원 또는 2차원 구(즉, 선분 또는 원) 컬렉션을 압축하면 정규 채우기가 생성되는 1차원 또는 2차원의 경우와는 다르다.
구 채우기 초구 채우기
구 채우기 문제는 임의의 차원에서의 공 채우기 문제 중 3차원 버전이다. 2차원에서는 동등한 문제가 평면에서의 원 채우기이다. 1차원에서는 선분을 선형 우주에 채우는 것이다.
3차원보다 높은 차원에서 초구의 가장 조밀한 격자 채우기는 8차원과 24차원에서 알려져 있다. 불규칙 초구 채우기에 대해서는 거의 알려진 바가 없으며, 일부 차원에서는 가장 조밀한 채우기가 불규칙할 수도 있다. 이 추측에 대한 몇 가지 지지는 특정 차원(예: 10차원)에서 가장 조밀한 것으로 알려진 불규칙 채우기가 가장 조밀한 것으로 알려진 정규 채우기보다 더 조밀하다는 사실에서 비롯된다.
구 채우기 초구 채우기
2016년, 마리나 뱌조우스카는 포장 밀도가 인 E8 격자가 8차원 공간에서 최적의 포장(규칙성에 관계없이)을 제공한다는 증명을 발표했다. 곧이어 그녀와 공동 연구자 그룹은 밀도가 인 리치 격자가 24차원에서 최적이라는 유사한 증명을 발표했다. 이 결과는 이 두 격자가 최적에 매우 가깝다는 것을 보여주는 이전 방법을 바탕으로 개선한 것이다.
새로운 증명은 신중하게 선택된 모듈러 함수의 라플라스 변환을 사용하여 회전대칭 함수 f를 구성하는 것을 포함하며, 이때 f와 그 푸리에 변환 f̂ 둘 다 원점에서 1이고, 최적 격자의 다른 모든 점에서 0이며, f는 채우기의 중심 구 바깥에서 음수이고 f̂는 양수이다. 그런 다음 f의 푸아송 합 공식을 사용하여 최적 격자의 밀도를 다른 채우기와 비교한다. 증명이 공식적으로 심사되고 발표되기 전에, 수학자 피터 사르낙은 이 증명을 "놀랍도록 간단하다"고 부르며 "논문을 읽기 시작하면 이것이 옳다는 것을 알게 된다"고 썼다.
고차원에서 다른 연구 방향은 가장 조밀한 채우기의 밀도에 대한 점근적 경계를 찾는 것이다. 큰 n에 대해, n차원에서 가장 조밀한 격자는 cn ⋅ 2−n (일부 상수 c에 대해)와 2−(0.599+o(1))n 사이의 밀도 를 갖는 것으로 알려져 있다. 추측적 경계는 그 사이에 놓인다. 2023년 프리프린트에서 마르셀로 캄포스, 매튜 젠센, 마커스 미셸렌, 줄리안 사하스라부드헤는 최대 밀도의 하한을 로 개선했다고 발표했다. 그들의 기술 중에는 뢰들 니블을 사용한다. 2025년 4월 프리프린트에서 보아즈 클라르타그는 로 상당한 추가 개선을 발표했다. 클라르타그는 그의 작업을 C.A. 로저스의 무작위 격자 인수의 확률적 진화적 적응으로 본다.
구 채우기 크기가 다른 구 채우기
화학 및 물리 과학의 많은 문제는 하나 이상의 크기의 구를 사용할 수 있는 채우기 문제와 관련될 수 있다. 여기서는 구를 조밀하게 채워진 동일한 구 영역으로 분리할지, 아니면 여러 크기의 구를 화합물 또는 틈새형 채우기로 결합할지 선택해야 한다. 여러 크기의 구(또는 분포)를 사용할 수 있는 경우 문제는 빠르게 해결하기 어려워지지만, 이진 단단한 구(두 가지 크기)에 대한 일부 연구는 가능하다.
두 번째 구가 첫 번째 구보다 훨씬 작을 때, 큰 구를 조밀하게 채우고, 작은 구를 팔면체 및 사면체 틈새에 배열하는 것이 가능하다. 이 틈새 채우기의 밀도는 반지름 비율에 매우 민감하게 의존하지만, 극단적인 크기 비율의 한계에서 작은 구는 큰 구가 공간을 채운 것과 동일한 밀도로 틈새를 채울 수 있다. 큰 구가 조밀하게 채워진 배열에 있지 않더라도, 큰 구 반지름의 최대 0.29099까지의 작은 구를 항상 삽입할 수 있다.
구 채우기 크기가 다른 구 채우기
작은 구의 반지름이 큰 구 반지름의 0.41421보다 클 때, 더 이상 조밀 채우기 구조의 팔면체 구멍에도 들어갈 수 없다. 따라서 이 지점을 넘어서면 호스트 구조가 틈새를 수용하기 위해 확장되거나(이는 전체 밀도를 손상시킨다) 더 복잡한 결정성 화합물 구조로 재배열되어야 한다. 반지름 비율이 0.659786까지 조밀 채우기 밀도를 초과하는 구조가 알려져 있다.
이러한 이진 채우기에서 얻을 수 있는 밀도의 상한도 얻어졌다.
이온 결정과 같은 많은 화학적 상황에서 화학량론은 구성 이온의 전하에 의해 제한된다. 채우기에 대한 이 추가 제약은 상호 작용하는 전하의 쿨롱 에너지를 최소화해야 하는 필요성과 함께 다양한 최적 채우기 배열을 이끈다.
반지름이 임의로 주어졌을 때 엄격하게 잼된 구 채우기의 밀도 상한은 1이다. 이러한 구 채우기의 한 예는 아폴로니안 구 채우기이다. 이러한 구 채우기의 하한은 0이다. 한 예는 디오니소스 구 채우기이다.
구 채우기 쌍곡 공간
원과 구의 개념은 쌍곡공간으로 확장될 수 있지만, 가장 조밀한 채우기를 찾는 것은 훨씬 더 어려워진다. 쌍곡 공간에서는 한 구를 둘러쌀 수 있는 구의 수에 제한이 없다(예를 들어, 포드 원은 각 원이 무한한 수의 다른 원으로 둘러싸인 동일한 쌍곡 원의 배열로 생각할 수 있다). 평균 밀도의 개념 또한 정확하게 정의하기 훨씬 더 어려워진다. 어떤 쌍곡 공간에서든 가장 조밀한 채우기는 거의 항상 불규칙하다.
이러한 어려움에도 불구하고 K. 뵈뢰츠키는 n ≥ 2인 쌍곡 n-공간의 구 채우기 밀도에 대한 일반적인 상한을 제시한다. 3차원에서 뵈뢰츠키 상한은 약 85.327613%이며, 슐레플리 기호 틀:Brace을 가진 6차 정사면체 벌집의 호로구 채우기에 의해 실현된다. 이 구성 외에도 쌍곡 3차원에서 밀도 상한을 실현하는 최소 3가지 다른 호로구 채우기가 존재하는 것으로 알려져 있다.
구 채우기 접촉하는 쌍, 삼중쌍, 사중쌍
단위 공의 임의의 유한 채우기의 접촉 그래프는 꼭짓점이 채우기 요소에 해당하고 해당 두 채우기 요소가 서로 접촉하면 두 꼭짓점이 에지로 연결되는 그래프이다. 접촉 그래프의 에지 집합의 카디널리티는 접촉하는 쌍의 수를 제공하고, 접촉 그래프의 3-사이클 수는 접촉하는 삼중쌍의 수를 제공하며, 접촉 그래프의 사면체 수는 접촉하는 사중쌍의 수를 제공한다 (일반적으로 n차원 구 채우기와 관련된 접촉 그래프의 경우 접촉 그래프의 n-단순체 집합의 카디널리티는 구 채우기에서 접촉하는 (n + 1)-튜플의 수를 제공한다). 3차원 유클리드 공간의 경우, 카롤리 베즈덱과 캘거리 대학교의 새뮤얼 리드가 접촉하는 쌍, 삼중쌍, 사중쌍의 수에 대한 비자명 상한을 증명했다.
n개의 동일한 구 사이의 접촉점 수를 최대화하는 배열을 찾는 문제는 "끈적이는 구 문제"로 알려져 있다. 최대값은 n ≤ 11에 대해 알려져 있으며, 더 큰 n에 대해서는 추측 값만 알려져 있다.
구 채우기 다른 공간
하이퍼큐브의 모서리에 구를 채우는 것(해밍 거리로 정의된 해밍 볼을 사용하는 경우)은 오류 수정 코드를 설계하는 것과 일치한다. 구의 반지름이 t이면 구의 중심은 (2t + 1)-오류 수정 코드의 코드워드가 된다. 격자 채우기는 선형 코드에 해당한다. 유클리드 구 채우기와 오류 수정 코드 사이에는 다른 더 미묘한 관계가 있다. 예를 들어, 이진 골레 부호는 24차원 리치 격자와 밀접하게 관련되어 있다.
이러한 연결에 대한 자세한 내용은 콘웨이와 슬론의 책 『구 채우기, 격자 및 그룹』을 참조하라.
저차원 위상수학
수학에서 저차원 위상수학(low-dimensional topology)은 4개 이하의 차원을 가진 다양체 또는 더 일반적으로 위상 공간을 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 대표적인 주제는 3차원 다양체 및 4차원 다양체 이론, 매듭 이론, 꼬임군 (위상수학)이다. 이는 기하학적 위상수학의 일부로 간주될 수 있다. 또한 1차원 위상 공간 연구를 지칭하는 데 사용될 수도 있지만, 이는 일반적으로 연속체 이론의 일부로 간주된다.
저차원 위상수학 역사
1960년대부터 시작된 여러 발전은 위상수학에서 낮은 차원을 강조하는 효과를 가져왔다. 1961년 스티븐 스메일이 5차원 이상에서 푸앵카레 추측을 해결하면서 3차원과 4차원이 가장 어려운 차원으로 보였다. 실제로 이 차원들은 새로운 방법을 필요로 했고, 더 높은 차원의 자유는 수술 이론에서 사용 가능한 계산 방법으로 문제를 줄일 수 있다는 것을 의미했다. 1970년대 후반에 서스턴이 제시한 기하화 추측은 낮은 차원에서 기하학과 위상수학이 밀접하게 얽혀 있음을 시사하는 틀을 제공했으며, 하켄 다양체에 대한 서스턴의 기하화 증명은 이전에 약하게 연결된 수학 분야의 다양한 도구를 활용했다. 1980년대 초반 본 존스의 존스 다항식 발견은 매듭 이론을 새로운 방향으로 이끌었을 뿐만 아니라 저차원 위상수학과 수리물리학 사이의 여전히 신비로운 연결을 낳았다. 2002년 그리고리 페렐만은 기하학적 해석학 분야에 속하는 리처드 S. 해밀턴의 리치 흐름을 사용하여 3차원 푸앵카레 추측 증명을 발표했다.
전반적으로 이러한 발전은 해당 분야를 나머지 수학과 더 잘 통합하는 결과를 가져왔다.
저차원 위상수학 2차원
곡면은 2차원, 위상다양체이다. 가장 친숙한 예시는 일반적인 3차원 유클리드 공간 R3에서 고체 물체의 경계로 나타나는 것들이다. 예를 들어, 공의 표면이다. 반면에 클라인 병과 같은 곡면은 특이점이나 자기 교차를 도입하지 않고는 3차원 유클리드 공간에 매장될 수 없다.
닫힌 곡면의 분류 정리는 모든 연결된 닫힌 곡면이 다음 세 가지 유형 중 하나와 위상동형임을 말한다.
처음 두 유형의 곡면은 방향화 가능하다. 구를 0개의 원환면의 연결합으로 간주하여 두 유형을 결합하는 것이 편리하다. 관련된 원환면의 수 g를 곡면의 종수라고 한다. 구와 원환면의 오일러 지표는 각각 2와 0이며, 일반적으로 g개의 원환면의 연결합의 오일러 지표는 2 − 2g이다.
세 번째 유형의 곡면은 비방향화 가능이다. 실 사영 평면의 오일러 지표는 1이며, 일반적으로 k개의 연결합의 오일러 지표는 2 − k이다.
저차원 위상수학 2차원
수학에서 (실) 위상 곡면 X의 타이히뮐러 공간 TX는 항등 위상동형사상에 동위인 위상동형사상의 작용을 제외하고 X의 복소 구조를 매개변수화하는 공간이다. TX의 각 점은 X에서 X로의 위상동형사상의 동위류인 '표시'를 가진 '표시된' 리만 곡면의 동형류로 간주될 수 있다.
타이히뮐러 공간은 (리만) 모듈러스 공간의 보편 덮개 오비폴드이다.
타이히뮐러 공간은 정준 복소 다양체 구조와 풍부한 자연 메트릭을 가지고 있다. 타이히뮐러 공간의 기본 위상 공간은 Fricke에 의해 연구되었으며, 그 위에 있는 타이히뮐러 메트릭은 Oswald Teichmüller (1940)에 의해 도입되었다.
수학에서 균일화 정리는 모든 단일 연결 리만 곡면이 세 가지 영역 중 하나, 즉 열린 단위 원판, 복소평면 또는 리만 구와 등각 동치임을 말한다. 특히, 상수 곡률의 리만 계량을 허용한다. 이는 리만 곡면을 그 보편 덮개에 따라 타원형(양수 곡률 - 오히려 상수 양수 곡률 계량을 허용), 포물선형(평평), 쌍곡선형(음수 곡률)으로 분류한다.
균일화 정리는 평면의 적절한 단일 연결 열린집합에서 임의의 단일 연결 리만 곡면으로의 리만 사상 정리의 일반화이다.
저차원 위상수학 3차원
위상 공간 (수학) X는 X의 모든 점이 근방이 유클리드 3차원 공간과 위상동형인 경우 3차원 다양체이다.
위상적, 조각별 선형 다양체, 매끄러운 범주는 3차원에서 모두 동등하므로, 위상 3차원 다양체나 매끄러운 3차원 다양체와 같은 것을 다루는지 여부에 큰 차이가 없다.
3차원에서의 현상은 다른 차원에서의 현상과 현저하게 다를 수 있으므로, 3차원보다 큰 차원으로 일반화되지 않는 매우 전문화된 기법이 널리 퍼져 있다. 이 특별한 역할은 매듭 이론, 기하학적 군론, 쌍곡기하학, 수론, 타이히뮐러 이론, 위상 양자장론, 게이지 이론, 플뢰어 호몰로지, 편미분 방정식과 같은 다양한 다른 분야와의 밀접한 연결을 발견하게 했다. 3차원 다양체 이론은 저차원 위상수학 또는 기하학적 위상수학의 일부로 간주된다.
저차원 위상수학 3차원
매듭 이론은 수학적 매듭에 대한 연구이다. 신발 끈과 밧줄에서 일상생활에 나타나는 매듭에서 영감을 받았지만, 수학자의 매듭은 끝이 연결되어 풀 수 없다는 점에서 다르다. 수학적 언어로, 매듭은 3차원 유클리드 공간 R3에 원을 매장하는 것이다(위상수학을 사용하기 때문에 원은 고전적인 기하학적 개념에 얽매이지 않고 모든 위상동형사상에 묶여 있다). 두 수학적 매듭은 R3 자체의 변형(주변 동위라고 알려짐)을 통해 하나를 다른 것으로 변형할 수 있으면 동등하다. 이러한 변형은 끈을 자르거나 끈을 통과시키지 않는 매듭 끈의 조작에 해당한다.
매듭 여집합은 자주 연구되는 3차원 다양체이다. 정규 매듭 K의 매듭 여집합은 매듭을 둘러싼 3차원 공간이다. 이를 정확하게 만들기 위해 K가 3차원 다양체 M(대부분 M은 3차원 초구임)의 매듭이라고 가정한다. N을 K의 관상 주변이라고 하자. 따라서 N은 솔리드 토러스이다. 매듭 여집합은 N의 여집합이다.
저차원 위상수학 3차원
관련 주제는 꼬임 이론이다. 꼬임 이론은 일상적인 꼬임 개념과 일부 일반화를 연구하는 추상적인 기하학적 이론이다. 아이디어는 꼬임이 군으로 조직될 수 있다는 것이다. 여기서 군 연산은 '일련의 끈에 첫 번째 꼬임을 수행한 다음 뒤틀린 끈에 두 번째 꼬임을 수행하는 것'이다. 이러한 군은 Emil Artin (1947)가 보여주듯이 명시적 표시로 설명될 수 있다. 이러한 맥락의 기본적인 처리에 대해서는 꼬임군 (위상수학) 문서를 참조하라. 꼬임군은 또한 더 깊은 수학적 해석을 가질 수 있다. 즉, 특정 짜임새 공간의 기본군으로서이다.
쌍곡 3차원 다양체는 상수 단면 곡률 -1의 완비 리만 계량이 장착된 3차원 다양체이다. 다시 말해, 3차원 쌍곡공간을 쌍곡 등거리 변환의 부분군이 자유롭고 적절하게 불연속적으로 작용하는 몫공간이다. 클라인 모델도 참조하라.
저차원 위상수학 3차원
그것의 굵은 부분-얇은 부분 분해는 닫힌 측지선의 관형 근방과/또는 유클리드 곡면과 닫힌 반직선의 곱인 끝부분으로 구성된 얇은 부분을 가지고 있다. 다양체는 굵은 부분이 콤팩트한 경우에만 유한한 부피를 가진다. 이 경우, 끝부분은 원환면과 닫힌 반직선의 곱의 형태이며 뾰족점이라고 불린다. 매듭 여집합은 가장 일반적으로 연구되는 뾰족점 다양체이다.
서스턴의 기하화 추측은 특정 3차원 위상 공간 (수학)이 각각 자신과 관련된 고유한 기하학적 구조를 가지고 있다고 말한다. 이것은 모든 단일 연결 곡면에 세 가지 기하학 중 하나(유클리드, 구면, 또는 쌍곡)를 부여할 수 있다고 말하는 2차원 곡면에 대한 균일화 정리의 아날로그이다.
3차원에서는 전체 위상 공간에 단일 기하학을 할당하는 것이 항상 가능한 것은 아니다. 대신 기하화 추측은 모든 닫힌 3차원 다양체가 8가지 유형의 기하학적 구조 중 하나를 갖는 조각들로 정준적으로 분해될 수 있다고 말한다. 이 추측은 William Thurston (1982)에 의해 제안되었으며, 푸앵카레 추측과 서스턴의 타원화 추측과 같은 몇 가지 다른 추측들을 함의한다.
저차원 위상수학 4차원
4차원 다양체는 4차원 위상다양체이다. 매끄러운 4차원 다양체는 매끄러운 구조를 가진 4차원 다양체이다. 4차원에서는 저차원과 현저하게 대조적으로 위상 다양체와 매끄러운 다양체가 상당히 다르다. 매끄러운 구조를 허용하지 않는 일부 위상 4차원 다양체가 존재하며, 매끄러운 구조가 존재하더라도 유일하지 않을 수 있다(즉, 위상동형이지만 미분동형이 아닌 매끄러운 4차원 다양체가 존재한다).
4차원 다양체는 일반 상대론에서 시공간이 유사 리만 4차원 다양체로 모델링되기 때문에 물리학에서 중요하다.
별난 R4은 유클리드 공간 R4와는 위상동형이지만 미분동형이 아닌 미분 다양체이다. 첫 번째 예시는 마이클 프리드먼이 1980년대 초에 프리드먼의 위상 4차원 다양체에 대한 정리와 사이먼 도널드슨의 매끄러운 4차원 다양체에 대한 정리의 대조를 사용하여 발견했다. 클리포드 타우브스가 처음 보여주듯이, R4에는 연속체의 농도만큼 서로 미분동형이 아닌 미분가능 구조들이 존재한다.
저차원 위상수학 4차원
이 구성 이전에 구 위에 서로 미분동형이 아닌 매끄러운 구조들, 즉 이국적 초구 모노이드가 이미 존재한다는 것은 알려져 있었지만, 4차원 초구의 특정 경우에 대한 그러한 구조의 존재 여부는 여전히 미해결 문제로 남아 있다. 4를 제외한 모든 양의 정수 n에 대해 Rn에는 별난 매끄러운 구조가 없다. 다시 말해, n ≠ 4이면 Rn과 위상동형인 모든 매끄러운 다양체는 Rn과 미분동형이다.
다양체에 대한 여러 기본적인 정리는 3차원 이하의 저차원 방법으로, 그리고 5차원 이상의 완전히 다른 고차원 방법으로 증명될 수 있지만, 4차원에서는 거짓이다. 몇 가지 예는 다음과 같다.
4를 제외한 다른 차원에서는 커비-지벤만 불변량이 PL 구조의 존재에 대한 장애물을 제공한다. 즉, 콤팩트 위상 다양체는 H4(M,Z/2Z)에서 커비-지벤만 불변량이 사라질 때만 PL 구조를 가진다. 3차원 이하에서는 모든 위상 다양체가 본질적으로 유일한 PL 구조를 허용한다. 4차원에서는 커비-지벤만 불변량이 사라지지만 PL 구조가 없는 많은 예가 있다.
저차원 위상수학 저차원 위상수학을 구별하는 몇 가지 전형적인 정리
고차원 다양체를 연구하는 데 사용되는 가장 기본적인 도구 중 많은 것이 저차원 다양체에는 적용되지 않는다는 것을 효과적으로 진술하는 몇 가지 정리가 있다. 예를 들면 다음과 같다.
스틴로드의 정리는 방향화 가능한 3차원 다양체는 자명한 접다발을 가진다고 말한다. 다르게 말하면, 3차원 다양체의 유일한 특성류는 방향화에 대한 장애물이다.
모든 닫힌 3차원 다양체는 4차원 다양체의 경계이다. 이 정리는 여러 사람에 의해 독립적으로 제시되었다. 이는 3차원 다양체의 히거 분해를 통한 덴-리코리시 정리에서 비롯된다. 또한 르네 톰의 닫힌 다양체의 코보디즘 환 계산에서도 비롯된다.
R4에 별난 매끄러운 구조가 존재한다. 이는 원래 사이먼 도널드슨과 앤드루 캐슨의 연구를 바탕으로 마이클 프리드먼에 의해 관찰되었다. 이후 프리드먼, 로버트 곰프, 클리포드 타우브스 및 로렌스 테일러에 의해 R4에 서로 미분동형이 아닌 매끄러운 구조의 연속체가 존재함을 보여주기 위해 정교화되었다. 한편, Rn은 n ≠ 4일 경우 미분동형에 대해 정확히 하나의 매끄러운 구조를 갖는 것으로 알려져 있다.
볼록 해석학
볼록 해석학(convex analysis)은 수학의 한 분야로, 볼록 함수와 볼록 집합의 속성을 연구하는 학문이며, 종종 최적화 이론의 하위 영역인 볼록 최소화에 응용된다.
볼록 해석학 볼록 집합
일부 벡터 공간 의 부분집합 는 다음 동등한 조건 중 하나를 만족하면 볼록이다.
전체적으로, 는 벡터 공간의 볼록 부분집합인 정의역 를 가지는 확장된 실수 의 값을 가지는 사상이다.
사상 는 다음이 성립하면 볼록 함수이다.
이는 인 임의의 실수와 인 임의의 에 대해 성립한다. 만약 정의 부등식 (Convexity ≤)이 엄격한 부등식으로 대체되어도 에 대해 이가 여전히 참이면
는 엄격하게 볼록하다고 한다.
볼록 함수는 볼록 집합과 관련이 있다. 특히, 함수 는 그 후그래프가
볼록 집합인 경우에만 볼록이다. 확장된 실수값 함수의 후그래프는 실해석학에서 실수값 함수의 그래프가 하는 역할과 유사한 역할을 볼록 해석학에서 한다. 특히, 확장된 실수값 함수의 후그래프는 추측을 공식화하거나 증명하는 데 도움이 될 수 있는 기하학적 직관을 제공한다.
볼록 해석학 볼록 집합
함수 의 정의역은 로 표시되는 반면, 그 유효 정의역은 집합이다.
함수 는 이고 모든 에 대해 인 경우 유효하다고 한다. 다르게 말하면, 이는 의 정의역에 인 가 존재하고, 가 결코 와 같지 않음을 의미한다. 즉, 함수가 유효하다는 것은 정의역이 비어 있지 않고,  값을 취하지 않으며, 와 항등적으로 같지 않다는 것이다. 만약 가 유효 볼록 함수라면, 인 어떤 벡터와 인 어떤 실수가 존재하여
모든 에 대해
여기서 는 이들 벡터의 스칼라곱을 나타낸다.
볼록 해석학 볼록 켤레
확장된 실수값을 가지는 함수 (반드시 볼록일 필요는 없음)의 볼록 켤레는 의 (연속) 쌍대 공간 에서 로 가는 함수 이며,
여기서 괄호 는 정준 쌍대성 를 나타낸다.
만약 가  위의 -값 함수의 집합을 나타낸다면, 로 정의되는 사상 는 르장드르-펜첼 변환이라고 불린다.
만약 이고 이면 준미분 집합은
예를 들어, 가 의 노름인 중요한 특수 경우에, 이면 이 정의는 다음으로 축소된다는 것을 보일 수 있다.
그리고
모든 와 에 대해,  이는 펜첼-영 부등식이라고 불린다. 이 부등식은 인 경우에만 등식 (즉, )이 된다. 이런 방식으로 준미분 집합 는 볼록 켤레 와 직접적으로 관련되어 있다.
함수 의 이중 켤레는 일반적으로 로 표기되며, 켤레 함수의 켤레이다. 즉, 모든 에 대해 이다. 이중 켤레는 강한 또는 약한 쌍대성이 언제 성립하는지 (섭동 함수를 통해) 보여주는 데 유용하다.
모든 에 대해 부등식 는 펜첼-영 부등식에서 비롯된다. 유효 함수의 경우, 펜첼-모로 정리에 따라 가 볼록이고 하반연속일 필요충분조건으로 가 성립한다.
볼록 해석학 볼록 최소화
볼록 최소화 (원시) 문제는 볼록 함수 와 볼록 부분집합 가 주어졌을 때 다음 형태의 문제를 찾는 것이다.
를 찾아라.
최적화 이론에서 쌍대성 원리는 최적화 문제를 원시 문제 또는 쌍대 문제라는 두 가지 관점에서 볼 수 있다고 말한다.
일반적으로 두 쌍대 짝 분리된 국소 볼록 공간 와 가 주어졌다고 하자. 그러면 함수 가 주어졌을 때, 원시 문제를 를 찾아 다음을 만족하는 문제로 정의할 수 있다.
제약 조건이 있다면, 이는 로 설정하여 함수 에 포함시킬 수 있으며, 여기서 는 지시 함수이다. 그리고 가 되는 섭동 함수 를 정의한다.
선택된 섭동 함수에 대한 쌍대 문제는 다음으로 주어진다.
여기서 는 의 두 변수에 대한 볼록 켤레이다.
쌍대성 간격은 다음 부등식의 우변과 좌변의 차이이다.
이 원리는 약한 쌍대성과 동일하다. 만약 두 변이 서로 같다면, 이 문제는 강한 쌍대성을 만족한다고 한다.
강한 쌍대성이 성립하기 위한 많은 조건들이 있다. 예를 들면:
부등식 제약 조건이 있는 볼록 최소화 문제의 경우,
제약 조건  ().
라그랑주 쌍대 문제는 다음과 같다.
제약 조건  ().
여기서 목적 함수 는 다음과 같이 정의되는 라그랑주 쌍대 함수이다.
볼록 해석학 각주
Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (2009년 6월 26일). 《Variational Analysis》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
Singer, Ivan (1997). 《Abstract convex analysis》. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. xxii+491쪽. ISBN 0-471-16015-6. MR 1461544.
격자 (기하학)
기하학과 군론에서, 실수 좌표 공간 의 격자(lattice)는 다음과 같은 속성을 가진 공간에 있는 무한한 점 집합이다.
격자의 가장 간단한 예 중 하나는 정사각형 격자이며, 평면에서 두 좌표가 모두 정수인 모든 점 와 그 고차원 아날로그인 정수 격자 으로 구성된다.
덧셈과 뺄셈에 대한 닫힘은 격자가 공간 내 점들의 가법군의 부분군이어야 함을 의미한다. 최소 및 최대 거리 요구사항은 격자가 델론 집합(Delone set)이라는 말로 요약될 수 있다.
더 추상적으로, 격자는 벡터 공간 을 선형 생성하는 차원 의 자유 아벨 군으로 설명될 수 있다. 의 어떤 기저에 대해서든, 기저 벡터의 정수 계수를 가진 모든 선형 결합의 부분군은 격자를 형성하며, 모든 격자는 이러한 방식으로 기저로부터 형성될 수 있다. 격자는 원시세포에 의한 공간의 정규 테셀레이션으로 볼 수 있다.