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양자역학의 연표 20세기
1930
디랙은 양전자의 존재를 가설했다.
디랙의 교과서 The Principles of Quantum Mechanics가 출판되었으며, 오늘날까지 사용되는 표준 참고서가 되었다.
에리히 휘켈은 휘켈 분자 궤도 방법을 도입했으며, 이는 궤도 이론을 확장하여 켤레 탄화수소 시스템에서 파이 전자의 궤도 에너지를 결정한다.
프리츠 론돈은 반데르발스 힘이 분자들 사이의 상호 작용하는 변동 결합 쌍극자 모멘트로 인해 발생한다고 설명했다.
파울리는 유명한 편지에서 전자와 양성자 외에 원자에는 "중성자"라고 부르는 매우 가벼운 중성 입자도 포함되어 있다고 제안했다. 그는 이 "중성자"가 베타 붕괴 동안에도 방출되며 아직 관찰되지 않았다고 제안했다. 나중에 이 입자가 실제로는 거의 질량이 없는 중성미자라는 것이 밝혀졌다.
양자역학의 연표 20세기
1931:
존 레너드-존스는 레너드-존스 원자 간 퍼텐셜을 제안했다.
발터 보테와 헤르베르트 베커는 폴로늄에서 방출되는 매우 에너지 높은 알파 입자가 특정 가벼운 원소, 특히 베릴륨, 붕소, 또는 리튬에 떨어지면 비정상적으로 투과력이 강한 복사가 생성된다는 것을 발견했다. 처음에는 이 복사가 감마선으로 생각되었지만, 알려진 감마선보다 훨씬 투과력이 강했고, 실험 결과의 세부 사항을 이 가설로 해석하기가 매우 어려웠다. 일부 과학자들은 다른 기본 입자의 존재 가능성을 가정하기 시작했다.
에리히 휘켈은 4n+2 규칙, 즉 휘켈 규칙을 도입하여 방향족성의 특성을 양자역학적 맥락에서 재정의했는데, 이는 유기 평면 고리 분자가 방향족 특성을 가질지 여부를 예측한다.
에른스트 루스카는 최초의 전자현미경을 만들었다.
어니스트 로런스는 최초의 사이클로트론을 만들고 방사선 연구소를 설립했으며, 이는 나중에 로런스 버클리 국립연구소가 되었다. 1939년에 그는 사이클로트론 연구로 노벨 물리학상을 수상했다.
양자역학의 연표 20세기
1932:
이렌 졸리오퀴리와 프레데리크 졸리오는 알파 입자에 의해 생성된 미지의 복사가 파라핀 또는 기타 수소 함유 화합물에 떨어지면 매우 높은 에너지의 양성자를 방출한다는 것을 보여주었다. 이는 새로운 복사의 감마선 특성과 그 자체로 모순되지 않지만, 데이터의 상세한 정량적 분석은 그러한 가설과 점점 더 양립하기 어려워졌다.
제임스 채드윅은 알파 입자에 의해 생성되는 미지의 복사에 대한 감마선 가설이 유지될 수 없으며, 새로운 입자는 페르미가 가설했던 중성자여야 한다는 것을 보여주는 일련의 실험을 수행했다.
베르너 하이젠베르크는 2전자 문제에 섭동 이론을 적용하여 전자 교환에서 발생하는 공명이 매개 입자를 어떻게 설명할 수 있는지를 보여주었다.
마크 올리펀트: 몇 년 전 어니스트 러더퍼드가 수행한 핵변환 실험을 바탕으로, 가벼운 핵(수소 동위원소)의 융합을 관찰했다. 별에서의 핵융합 주요 주기 단계는 그 후 10년 동안 한스 베테에 의해 연구되었다.
칼 앤더슨은 양전자의 존재를 실험적으로 증명했다.
양자역학의 연표 20세기
1934:
페르미는 중성미자가 생성되는 베타 붕괴 모델을 성공적으로 발표했다.
페르미는 중성자로 우라늄 동위원소를 폭격했을 때의 효과를 연구했다.
N. N. 세묘노프는 전체 정량적 연쇄 화학 반응 이론을 개발했으며, 이는 나중에 가스 혼합물 연소를 이용한 다양한 첨단 기술의 기초가 되었다. 이 아이디어는 핵 반응을 설명하는 데도 사용된다.
이렌 졸리오퀴리와 프레데리크 졸리오-퀴리는 인공 방사능을 발견했으며, 1935년 노벨 화학상을 공동 수상했다.
양자역학의 연표 20세기
1935:
아인슈타인, 보리스 포돌스키, 나탄 로젠은 EPR 역설을 설명했으며, 이는 당시 이론화된 양자역학의 완전성에 의문을 제기했다. 그들은 국소적 실재론이 유효하다고 가정할 때, 한 입자의 양자 상태를 측정하는 것이 그들 사이에 명백한 접촉 없이 다른 입자의 양자 상태에 영향을 미칠 수 있는 방법을 설명하기 위해 숨은 매개변수가 필요하다고 주장했다.
슈뢰딩거는 슈뢰딩거의 고양이 사고 실험을 개발했다. 이는 아원자 입자가 동시에 두 가지 모순되는 양자 상태에 있을 수 있다면, 그가 보기에 코펜하겐 해석의 문제점을 보여주기 위한 것이었다.
유카와 히데키는 파이 중간자의 존재를 예측했으며, 그러한 잠재력은 질량이 있는 스칼라장의 교환에서 발생한다고 주장했다. 이는 파이 중간자의 장에서 발견될 것이다. 유카와의 논문 이전에, 기본 힘의 스칼라장은 질량이 없는 입자를 필요로 한다고 믿었다.
양자역학의 연표 20세기
1936 – 개릿 버코프와 존 폰 노이만은 양자 논리를 도입했다. 이는 고전적인 불 대수가 양자역학의 불확정성 원리와 모순되는 것처럼 보이는 것을 화해시키려는 시도였다. 예를 들어, 양자역학에서 위치와 운동량과 같은 비가환적인 관측가능량의 측정에 적용될 때 말이다. 양자 논리에 대한 현재의 접근법은 비가환 및 비결합적인 다치 논리를 포함한다.
1937 – 헤르만 아르투어 얀과 에드워드 텔러는 군론을 이용하여 비선형 축퇴 분자가 불안정하다는 것을 증명했다. 얀-텔러 정리는 본질적으로 축퇴된 전자 바닥 상태를 가진 비선형 분자는 그 축퇴를 제거하는 기하학적 왜곡을 겪게 되는데, 이는 왜곡이 복합체의 전체 에너지를 낮추기 때문이라고 말한다. 후자의 과정은 얀-텔러 효과라고 불린다. 이 효과는 최근 YBCO 및 기타 고온 초전도체의 초전도 메커니즘과도 관련하여 고려되었다. 얀-텔러 효과의 세부 사항은 아브라함과 블리니(1970)의 기본 교과서에 여러 예시와 EPR 데이터와 함께 제시되어 있다.
양자역학의 연표 20세기
1938 – 오토 한과 그의 조수 프리츠 슈트라스만은 우라늄에 중성자를 충격한 후 바륨 원소를 검출했다는 내용의 원고를 Naturwissenschaften에 보냈다. 한은 이 새로운 현상을 우라늄 핵의 '파열'이라고 불렀다. 동시에 한은 이 결과를 리제 마이트너에게 전달했다. 마이트너와 그녀의 조카 오토 로베르트 프리슈는 이 결과를 핵분열로 정확하게 해석했다. 프리슈는 1939년 1월 13일에 이를 실험적으로 확인했다.
1947 – 조지 로체스터와 클리포드 찰스 버틀러는 우주선 유도 사건의 두 장의 안개 상자 사진을 발표했다. 한 장은 중성 입자가 두 개의 전하를 띤 파이 중간자로 붕괴하는 것처럼 보이는 것을 보여주고, 다른 한 장은 전하를 띤 입자가 전하를 띤 파이 중간자와 어떤 중성 입자로 붕괴하는 것처럼 보이는 것을 보여준다. 이 새로운 입자들의 추정 질량은 매우 대략적이며, 양성자 질량의 약 절반 정도이다. 이 "V-입자"의 더 많은 사례는 천천히 나타났으며, 곧 케이 중간자라는 이름이 붙여졌다.
양자역학의 연표 20세기
1951:
클레멘스 C. J. 루트한과 조지 G. 홀은 루트한-홀 방정식을 도출하여 엄밀한 분자 궤도 방법을 확고한 기반 위에 놓았다.
수소 폭탄의 "아버지"이자 물리학자인 에드워드 텔러와 수학자 스타니스와프 울람은 1951년 3월에 "수력학 렌즈와 방사선 거울"에 대한 기밀 보고서를 공동 작성한 것으로 알려져 있으며, 이는 맨해튼 계획의 다음 단계로 이어졌다.
1951년과 1952년 – 맨해튼 계획에서, 에드워드 텔러와 한스 베테 박사의 연구를 바탕으로 최초의 계획된 핵융합 열핵 반응 실험이 1951년 봄 에니위톡에서 성공적으로 수행되었다. 로스앨러모스 국립 연구소는 1952년 11월에 수소 폭탄 전면 시험일을 제안했으며, 이는 실제로 수행된 것으로 보인다.
펠릭스 블로흐와 에드워드 밀스 퍼셀은 1949년에 보고된 핵자기 공명이라는 양자 현상을 처음 관찰한 공로로 노벨 물리학상을 공동 수상했다. 퍼셀은 자신의 기여를 핵 자기 공명 연구라고 보고하며, 허버트 S. 구토프스키와 같은 동료들의 NMR 기여에 감사를 표했다. 또한 존 해즈브룩 밴블렉과 같은 핵자기 이론 연구자들에게도 감사를 표했다.
양자역학의 연표 21세기
2015 – 최초의 결점 없는 벨 테스트가 세 개의 독립적인 팀에 의해 수행되었다. 델프트 공과대학교의 로널드 한센과 바스 헨센, NIST의 새 우 남과 크리스터 샬름, 그리고 빈 대학교의 안톤 차일링거와 마리사 기우스티나가 이끈 이 실험들은 양자역학의 예측을 정확히 확인하고 자연에 대한 국소-실재론적 설명을 배제했다. 이 실험들은 1970년대 존 클라우저에 의해 시작되고 1980년대 알랭 아스페 등에 의해 크게 발전된 일련의 실험들의 절정이다. 클라우저, 아스페, 차일링거는 그들의 결과로 2022년 노벨 물리학상을 공동 수상했다.
양자 비국소성
이론물리학에서 양자 비국소성(영어: Quantum nonlocality)은 국소적 실재론으로 해석될 수 없는 다중 양자 시스템의 측정 통계를 나타내는 현상이다. 양자 비국소성은 다양한 물리적 가정 하에 실험적으로 검증되었다.
양자 비국소성은 초광속 통신을 허용하지 않으므로, 특수 상대성이론과 객체에 대한 보편적인 속도 한계와 양립한다. 따라서 양자 이론은 특수 상대성이론에 의해 정의된 엄격한 의미에서 국소적이며, 따라서 "양자 비국소성"이라는 용어는 때때로 오명으로 간주된다. 그럼에도 불구하고 양자 이론과 관련된 많은 기초적인 논의를 촉발한다.
양자 비국소성 역사
1935년 EPR 논문에서, 알베르트 아인슈타인, 보리스 포돌스키 및 네이선 로젠은 양자 이론의 직접적인 결과로 "공간적으로 분리되어 있으면서도 완벽하게 상관된 위치와 운동량을 가진 두 입자"를 설명했다. 그들은 양자 파동 함수가 현실의 완전한 설명이라는 생각에 도전하기 위해 고전적인 국소성의 원리를 사용하려고 했지만, 대신 현실의 본질에 대한 논쟁을 촉발했다.
그 후 아인슈타인은 에르빈 슈뢰딩거에게 보낸 편지에서 이러한 아이디어의 변형을 제시했는데, 이것이 여기서 제시된 버전이다. 여기에 사용된 상태와 표기법은 더욱 현대적이며 데이비드 봄의 EPR 해석과 유사하다. 측정 전 두 입자의 양자 상태는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 .
양자 비국소성 역사
여기서 아래첨자 "A"와 "B"는 두 입자를 구분하지만, 이 입자를 앨리스와 밥이라는 두 실험자가 소유하고 있다고 언급하는 것이 더 편리하고 일반적이다. 양자 이론의 규칙은 실험자가 수행하는 측정 결과에 대한 예측을 제공한다. 예를 들어, 앨리스는 측정의 50% 평균에서 자신의 입자가 z 방향으로 스핀업될 것이라고 측정할 것이다. 그러나 교과서적인 양자 역학에 따르면, 앨리스의 측정은 두 입자의 상태를 붕괴시키므로, 앨리스가 기저 에 대해 z 방향으로 스핀을 측정하면 밥의 시스템은  상태 중 하나로 남는다. 마찬가지로, 앨리스가 기저 에 대해 x 방향으로 스핀을 측정하면 밥의 시스템은  상태 중 하나로 남는다. 슈뢰딩거는 이 현상을 "스티어링"이라고 불렀다. 이 스티어링은 그러한 상태 업데이트를 수행하여 신호를 보낼 수 없도록 발생한다. 양자 비국소성은 메시지를 즉시 보내는 데 사용될 수 없으므로 특수 상대성이론의 인과율 문제와 직접적인 충돌이 없다.
양자 비국소성 역사
이 실험에 대한 정통적인 관점에서는 앨리스의 측정, 특히 그녀의 측정 선택이 밥의 상태에 직접적인 영향을 미친다. 그러나 국소성 가설 하에서는 앨리스의 시스템에 대한 행동이 밥의 시스템의 "진정한" 또는 "존재론적" 상태에 영향을 미치지 않는다. 밥의 시스템의 존재론적 상태는 양자 상태  또는  중 하나와 양립해야 한다. 왜냐하면 앨리스는 그러한 상태 중 하나가 그의 시스템의 양자적 설명이 되도록 결론을 내릴 수 있는 측정을 할 수 있기 때문이다. 동시에, 같은 이유로 양자 상태  또는  중 하나와도 양립해야 한다. 그러므로 밥의 시스템의 존재론적 상태는 적어도 두 개의 양자 상태와 양립해야 한다. 따라서 양자 상태는 그의 시스템의 완전한 서술자가 아니다. 아인슈타인, 포돌스키, 로젠은 이러한 국소성 가정 하에서 파동 함수가 양자 시스템의 완전한 설명이 아니기 때문에 이것을 양자 이론의 불완전성에 대한 증거로 보았다. 그들의 논문은 다음과 같이 결론짓는다:
우리는 파동 함수가 물리적 실재의 완전한 설명을 제공하지 않는다는 것을 보여주었지만, 그러한 설명이 존재하는지 여부는 열린 문제로 남겨두었다. 그러나 우리는 그러한 이론이 가능하다고 믿는다.
양자 비국소성 역사
여러 저자들(특히 닐스 보어)이 EPR 논문의 모호한 용어를 비판했지만, 이 사고 실험은 많은 관심을 불러일으켰다. 그들의 "완전한 설명" 개념은 나중에 측정 결과의 통계를 결정하지만 관찰자는 접근할 수 없는 숨은 변수의 제안으로 형식화되었다. 봄 역학은 숨은 변수를 도입하여 양자 역학을 완성하지만, 이 이론은 명시적으로 비국소적이다. 따라서 이 해석은 아인슈타인의 질문에 답을 주지 못했는데, 그 질문은 "국소 작용의 원리"에 따라 국소적 숨은 변수 관점에서 양자 역학의 완전한 설명을 줄 수 있는지 여부였다.
1964년 존 스튜어트 벨은 그러한 국소적 숨은 변수로는 양자 이론이 예측하는 통계적 결과의 전체 범위를 결코 재현할 수 없음을 보여줌으로써 아인슈타인의 질문에 답했다. 벨은 국소적 숨은 변수 가설이 측정 결과의 상관 강도에 제한을 가한다는 것을 보여주었다. 양자 역학이 예측하는 대로 벨 부등식이 실험적으로 위반되면, 현실은 국소적 숨은 변수로 설명될 수 없으며, 양자 비국소적 인과관계의 미스터리는 남는다. 그러나 벨은 봄의 비국소적 숨은 변수 모델은 다르다고 언급한다.
양자 비국소성 역사
이 [매우 비국소적인 구조]는 정확하게 양자 역학적 예측을 재현하는 그러한 모든 이론의 특징이다.
클라우저, 혼, 시모니 및 홀트(CHSH)는 이러한 부등식을 실험적 검증에 더 적합한 방식으로 재구성했다 (CHSH 부등식 참조).
벨이 제안한 시나리오(벨 시나리오)에서 두 실험가, 앨리스와 밥은 서로 다른 연구실에서 실험을 수행한다. 각 실행에서 앨리스(밥)는 자신의 연구실에서 실험  를 수행하여 결과  를 얻는다. 앨리스와 밥이 여러 번 실험을 반복하면, 확률 , 즉 앨리스와 밥이 각각 실험 x,y를 수행했을 때 결과 를 관찰할 확률을 추정할 수 있다. 다음에서는 각 확률 집합 를 로만 나타낸다. 양자 비국소성 속어에서는 를 상자(box)라고 부른다.
양자 비국소성 역사
벨은 각 시스템의 측정 결과를 국소적으로 특징짓는 매개변수 를 도입하여 숨은 변수 개념을 공식화했다. " λ가 단일 변수이든 집합이든... 변수가 이산적이든 연속적이든 상관없다." 그러나 를 앨리스와 밥이 실험 설정을 재부팅할 때 어떤 확률 로 발생하는 국소적 "전략" 또는 "메시지"로 생각하는 것이 더 동등하고 직관적이다. 벨의 국소적 인과관계 가정은 앨리스가 실험 x를 수행하고 밥이 실험 를 수행할 때 각 국소적 전략이 독립적인 결과의 분포를 정의한다고 규정한다.
여기서  ()는 앨리스(밥)가 실험  를 수행하고 그녀(그의) 실험을 설명하는 국소 변수가  () 값을 가질 때 결과  를 얻을 확률을 나타낸다.
가 어떤 집합 에서 값을 취할 수 있다고 가정하자. 만약 의 각 값 쌍이 선택될 확률 를 가진다면 (공유된 무작위성, 즉 가 상관될 수 있음), 이 분포에 대해 평균을 취하여 각 측정 결과의 결합 확률에 대한 공식을 얻을 수 있다.
이러한 분해를 허용하는 상자를 벨 국소(Bell local) 또는 고전적 상자(classical box)라고 한다. 가 각각 취할 수 있는 가능한 값의 수를 고정하면, 각 상자 를  엔트리를 가진 유한 벡터로 나타낼 수 있다. 이 표현에서 모든 고전적 상자들의 집합은 볼록 다포체를 형성한다.
CHSH에 의해 연구된 벨 시나리오에서, 는  내에서 값을 취할 수 있으며, 모든 벨 국소 상자 는 CHSH 부등식을 만족해야 한다.
여기서
위의 고려 사항은 양자 실험을 모델링하는 데 적용된다. 양자 시스템에 대한 국소적 편광 측정을 수행하는 두 당사자를 고려해 보자. 광자의 편광에 대한 측정 결과는 두 값 중 하나를 취할 수 있다(비공식적으로, 광자가 그 방향으로 편광되었는지 아니면 직교 방향으로 편광되었는지). 각 당사자가 두 가지 다른 편광 방향 중에서 선택할 수 있다면, 이 실험은 CHSH 시나리오에 적합하다. CHSH가 언급했듯이,  값이 과 같은 상자 를 생성하는 양자 상태와 편광 방향이 존재한다. 이는 국소적인 존재론적 상태, 국소적인 측정, 그리고 오직 국소적인 작용만을 가진 이론이 양자 이론의 확률론적 예측과 일치할 수 없는 명시적인 방법을 보여주며, 아인슈타인의 가설을 반증한다. 알랭 아스페와 같은 실험가들은 CHSH 부등식뿐만 아니라 벨 부등식의 다른 공식에 대한 양자 위반을 검증하여 국소적 숨은 변수 가설을 무효화하고 현실이 EPR 의미에서 실제로 비국소적임을 확인했다.
양자 비국소성 가능론적 비국소성
벨의 증명은 확률적이다. 즉, 양자 역학이 일부 얽힌 시나리오에 대해 예측하는 정확한 확률이 국소적 숨은 변수 이론에 의해 충족될 수 없음을 보여준다. (줄여서, 여기 그리고 이후에는 "국소 이론"은 "국소적 숨은 변수 이론"을 의미한다) 그러나 양자 역학은 국소 이론에 대한 훨씬 더 강력한 위반, 즉 가능론적 위반을 허용한다. 이는 국소 이론이 얽힌 시나리오에서 어떤 사건이 가능한지 또는 불가능한지에 대해 양자 역학과조차 일치할 수 없다는 것을 의미한다. 이러한 종류의 첫 번째 증명은 1993년 대니얼 그린버거, 마이클 혼, 안톤 차일링거에 의해 이루어졌다. 관련된 상태는 종종 GHZ 상태라고 불린다.
1993년, 뤼시앵 아르디는 GHZ 증명과 마찬가지로 가능성 증명인 양자 비국소성의 논리적 증명을 시연했다. 이 증명은 아래에 정의된 상태 가 몇 가지 시사하는 방식으로 작성될 수 있다는 관찰에서 시작한다.

여기서 위와 같이 이다.
양자 비국소성 가능론적 비국소성
실험은 이 얽힌 상태가 두 실험자 사이에 공유되는 것으로 구성되며, 각 실험자는 기저  또는 에 대해 측정할 수 있다. 그들이 각각 에 대해 측정하면, 그들은 결코  결과를 보지 못한다. 한쪽이 에 대해 측정하고 다른 한쪽이 에 대해 측정하면, 그들은 결코   결과를 보지 못한다. 그러나 때로는 에 대해 측정할 때  결과를 보는데, 이는 이기 때문이다.
이것은 역설로 이어진다. 이라는 결과를 얻었을 때, 만약 실험자 중 한 명이 대신  기저에 대해 측정했다면, 결과는  또는 였을 것이라고 결론 내린다. 왜냐하면 와 는 불가능하기 때문이다. 그러나 그들이 둘 다  기저에 대해 측정했다면, 국소성에 의해 결과는 였어야 하는데, 이것 또한 불가능하다.
양자 비국소성 유한 전파 속도를 가진 비국소 숨은 변수 모델
Bancal et al.의 연구는 유한한 속도(초광속일 수도 있음)로 전파되는 영향이 양자 상관관계를 설명할 수 있는지 여부를 연구한다. 이분 실험의 경우, 신호가 허용되지 않더라도 상관관계는 항상 유한하지만 초광속의 숨겨진 영향으로 설명될 수 있다. 이 시나리오에서는 벨 비국소성을 드러내는 모든 이분 실험은 숨겨진 영향의 전파 속도에 대한 하한만을 제공할 수 있다. 그러나 세 개 이상의 당사자가 참여하는 특정 실험은 신호를 발생시키거나(즉, 영향이 더 이상 숨겨질 수 없음) 양자 상관관계를 설명하는 모든 유한 속도 인과적 영향을 배제한다.
양자 비국소성 더 복잡한 인과 구조에서의 벨 정리의 유추
일반적인 실험에서 측정된 무작위 변수들은 복잡한 방식으로 서로 의존할 수 있다. 인과 추론 분야에서는 이러한 의존성을 베이즈 네트워크로 표현한다. 베이즈 네트워크는 각 노드가 변수를 나타내고, 한 변수에서 다른 변수로의 엣지가 전자가 후자에게 영향을 미치고 그 반대는 아님을 나타내는 유향 비순환 그래프이다. 그림을 참조하라.
표준 이분 벨 실험에서 앨리스(밥)의 설정  ()는 그녀(그의) 국소 변수  ()와 함께 그녀(그의) 국소 결과  ()에 영향을 미친다. 따라서 벨의 정리는 숨겨진 노드 가 하나만 있는 인과 구조 유형에서 양자 및 고전적 예측 간의 분리로 해석될 수 있다. 유사한 분리는 다른 유형의 인과 구조에서도 확립되었다. 이러한 확장된 벨 시나리오에서 고전적 상관관계의 경계를 특성화하는 것은 어렵지만, 이를 달성하기 위한 완전한 실용적 계산 방법이 존재한다.
양자 비국소성 얽힘과 비국소성
양자 비국소성은 때때로 얽힘과 동등하게 이해되지만, 이것은 사실이 아니다. 양자 얽힘은 양자 역학의 형식론 내에서만 정의될 수 있으며, 즉 모델 의존적 속성이다. 이와 대조적으로, 비국소성은 관찰된 통계를 국소적 숨은 변수 모델로 설명하는 것이 불가능함을 의미하므로, 실험을 설명하는 데 사용되는 물리적 모델에 독립적이다.
모든 순수 얽힌 상태에 대해 벨 비국소적 상관관계를 생성하는 측정 선택이 존재한다는 것은 사실이지만, 혼합 상태의 경우는 더 복잡하다. 모든 벨 비국소적 상태는 얽혀 있어야 하지만, 벨 비국소적 상관관계를 생성하지 않는 (혼합된) 얽힌 상태도 존재한다 (그러나, 그러한 상태의 여러 복사본에서 작동하거나, 또는 국소적인 사후 선택을 수행함으로써, 비국소적 효과를 확인할 수 있다). 더욱이 얽힘을 위한 촉매는 존재하지만, 비국소성을 위한 촉매는 없다. 마지막으로, 가장 큰 위반을 제공하는 양자 상태가 결코 최대로 얽힌 상태가 아닌 벨 부등식의 비교적 간단한 예시들이 발견되었는데, 이는 얽힘이 어떤 의미에서는 비국소성에 비례하지도 않음을 보여준다.
양자 비국소성 양자 상관관계
위에서 보듯이, 고전 시스템에서 두 개 이상의 당사자가 실험을 수행하여 얻을 수 있는 통계는 비자명한 방식으로 제약된다. 유사하게, 양자 이론에서 독립적인 관찰자들이 얻을 수 있는 통계도 제한된다. B. 치렐손이 처음으로 양자 상관관계 집합에 대한 비자명한 통계적 한계를 도출했는데, 이는 치렐손의 한계로 알려져 있다.
이전에 자세히 설명된 CHSH 벨 시나리오를 고려해 보되, 이번에는 실험에서 앨리스와 밥이 양자 시스템을 준비하고 측정한다고 가정하자. 이 경우 CHSH 매개변수는 다음으로 제한될 수 있음이 증명될 수 있다.
수학적으로, 상자 가 양자 실현을 허용하는 경우는 힐베르트 공간 쌍 , 정규화된 벡터  및 투영 연산자 가 존재하고 다음과 같을 때이다.
다음에서, 그러한 상자들의 집합을 라고 부를 것이다. 확률 공간에서 볼 때, 고전적 상관관계의 집합과는 달리, 는 다포체가 아니다. 오히려 그것은 직선 경계와 곡선 경계를 모두 포함한다. 또한 는 닫혀 있지 않다. 이는 양자 시스템으로 임의로 잘 근사될 수 있지만, 그 자체로는 양자가 아닌 상자 가 존재한다는 것을 의미한다.
양자 비국소성 양자 상관관계
위의 정의에서 벨 실험을 수행하는 두 당사자의 공간적 분리는 전체 힐베르트 공간 의 다른 인자 에서 해당 연산자 대수가 작용하도록 부과함으로써 모델링되었다. 또는, 이 두 대수가 교환하도록 부과함으로써 공간적 분리를 모델링할 수 있다. 이는 다른 정의로 이어진다.
가 양자장 실현을 허용하는 경우는 힐베르트 공간 , 정규화된 벡터  및 투영 연산자 가 존재하고 다음과 같을 때이다.
그러한 상관관계 의 집합을 라고 하자.
이 새로운 집합은 위에서 정의된 보다 일반적인 와 어떻게 관련될까? 는 닫혀 있음이 증명될 수 있다. 또한 이며, 여기서 는 의 폐포를 나타낸다. 치렐손의 문제는 포함 관계 가 엄격한지, 즉 인지 여부를 결정하는 것으로 구성된다. 이 문제는 무한 차원에서만 나타난다. 의 정의에서 힐베르트 공간 가 유한 차원으로 제한될 때, 해당 집합의 폐포는 와 같다.
2020년 1월, 지, 나타라잔, 비딕, 라이트, 유언은 양자 복잡성 이론에서 를 의미하는 결과를 주장했는데, 이는 치렐손의 문제를 해결하는 것이었다.
치렐손의 문제는 연산자 대수 이론의 유명한 추측인 코네스 임베딩 문제와 동등하다는 것이 증명될 수 있다.
양자 비국소성 양자 상관관계
와 의 차원은 원칙적으로 무한하므로, 주어진 상자 가 양자 실현을 허용하는지 여부를 결정하는 것은 복잡한 문제이다. 실제로, 양자 상자가 비국소 게임에서 완벽한 점수를 얻을 수 있는지 여부를 결정하는 이중 문제는 결정 불가능한 것으로 알려져 있다. 더욱이, 가 의 정밀도로 양자 시스템에 의해 근사될 수 있는지 여부를 결정하는 문제는 NP-완전이다. 양자 상자를 특성화하는 것은 선형 제약 조건 집합 하에서 완전히 양의 반정치 행렬의 원뿔을 특성화하는 것과 동일하다.
작고 고정된 차원 에 대해, 변분법을 사용하여 가 , 인 이분 양자 시스템 에서 실현될 수 있는지 여부를 탐색할 수 있다. 그러나 이 방법은 의 실현 가능성을 증명하는 데만 사용될 수 있으며, 양자 시스템으로는 실현 불가능함을 증명할 수는 없다.
실현 불가능성을 증명하는 가장 잘 알려진 방법은 Navascués–Pironio–Acín (NPA) 계층이다. 이는 다음과 같은 속성을 가진 상관관계 집합의 무한 감소 순열 이다.
양자 비국소성 양자 상관관계
따라서 NPA 계층은 가 아닌 의 계산적 특성을 제공한다. 만약 라면 (지, 나타라잔, 비딕, 라이트, 유언이 주장한 대로), 의 상관관계의 비실현성을 감지하는 새로운 방법이 필요하다. 만약 치렐손의 문제가 긍정적으로 해결되어, 즉 라면, 위 두 가지 방법은 의 실용적인 특성을 제공할 것이다.
위에서 언급된 연구들은 양자 상관관계 집합이 어떤 모습인지 설명하지만, 왜 그런지는 설명하지 않는다. 양자 상관관계는 양자 이후의 물리 이론에서도 피할 수 없는 것인가, 아니면 그 반대로,  외부의 상관관계가 존재할 수 있으며, 그럼에도 불구하고 물리적으로 불가능한 작동 행동을 초래하지 않는가?
양자 비국소성 양자 상관관계
1994년 포페스쿠와 로를리히는 양자 상관관계가 상대론적 인과율만으로 설명될 수 있는지 여부를 탐구했다. 즉, 인 가상의 상자가 정보 전송을 빛의 속도보다 빠르게 할 수 있는 장치를 구축하는 것을 허용하는지 여부이다. 두 당사자 간의 상관관계 수준에서 아인슈타인의 인과율은 앨리스의 측정 선택이 밥의 통계에 영향을 미치지 않아야 하며 그 반대도 마찬가지라는 요구 사항으로 해석된다. 그렇지 않으면 앨리스(밥)는 자신의 측정 설정  를 적절히 선택하여 밥(앨리스)에게 즉시 신호를 보낼 수 있다. 수학적으로, 포페스쿠와 로를리히의 무신호(no-signalling) 조건은 다음과 같다.
확률 공간에 표현될 때 고전적 상자 집합처럼, 무신호 상자 집합은 다포체를 형성한다. 포페스쿠와 로를리히는 무신호 조건을 준수하면서도 치렐손의 한계를 위반하여 양자 물리학에서는 실현 불가능한 상자 를 식별했다. PR-상자라고 불리는 이 상자는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 는  값을 취하며, 는 모듈로 2 합계를 나타낸다. 이 상자의 CHSH 값은 4(치렐손의 한계는 임)임을 확인할 수 있다. 이 상자는 이전에 Rastall과 Khalfin, 치렐손에 의해 확인되었다.
양자 비국소성 양자 상관관계
이러한 불일치를 고려하여 포페스쿠와 로를리히는 양자 상관관계 집합을 도출할 수 있는, 무신호 조건보다 더 강력한 물리적 원리를 식별하는 문제를 제기했다. 몇 가지 제안이 이어졌다.
비국소 계산에 이점 없음 (NANLC). 다음과 같은 시나리오를 고려한다: 함수 가 주어졌을 때, 두 당사자는  비트의 문자열 를 할당받고  비트를 출력하도록 요청받는데, 이는 가 에 대한 좋은 추측이 되도록 한다. NANLC 원리는 비국소 상자가 이 게임을 하는 데 두 당사자에게 어떤 이점도 주어서는 안 된다고 명시한다. 치렐손의 한계를 위반하는 모든 상자는 그러한 이점을 제공할 것임이 증명된다.
양자 비국소성 양자 상관관계
정보 인과율 (IC). 출발점은 한쪽 당사자(앨리스)에게  비트의 무작위 문자열 가 주어지는 이분 통신 시나리오이다. 두 번째 당사자인 밥은 무작위 숫자 를 받는다. 그들의 목표는 밥에게 비트 를 전송하는 것이며, 이를 위해 앨리스는 밥에게  비트를 전송할 수 있다. IC 원리는 앨리스의 비트와 밥의 추측 사이의 상호 정보의 에 대한 합계가 앨리스가 전송한 비트 수 를 초과할 수 없다고 명시한다. 치렐손의 한계를 위반하는 모든 상자는 두 당사자가 IC를 위반하도록 허용할 것임이 증명된다.
거시적 국소성 (ML). 고려되는 설정에서, 두 개의 분리된 당사자는 독립적으로 준비된 많은 수의 상관 입자 쌍에 대해 광범위한 저해상도 측정을 수행한다. ML은 이러한 "거시적" 실험이 국소적 숨은 변수 모델을 허용해야 한다고 명시한다. 치렐손의 한계를 위반할 수 있는 모든 미시적 실험은 거시적 규모로 가져올 때 표준 벨 비국소성을 위반할 것임이 증명된다. 치렐손의 한계 외에도 ML 원리는 모든 두 점 양자 상관 관계의 집합을 완전히 복구한다.
양자 비국소성 양자 상관관계
국소 직교성 (LO). 이 원리는 개의 당사자가 각각 자신의 국소 연구실에서 실험 을 수행하는 다자 벨 시나리오에 적용된다. 그들은 각각 결과 을 얻는다. 벡터 쌍 는 사건이라고 불린다. 두 사건 , 는 이고 인 가 존재하면 국소적으로 직교한다고 말한다. LO 원리는 어떤 다자 상자에 대해서도 쌍으로 국소적으로 직교하는 사건 집합의 확률 합이 1을 초과할 수 없다고 명시한다. 치렐손의 한계를 만큼 위반하는 모든 이분 상자는 LO를 위반함이 증명된다.
이러한 모든 원리는 두 개 이상의 사건이 시공간적으로 분리되어 있는지 여부를 결정할 수 있다는 가정 하에 실험적으로 반증될 수 있다. 이는 이 연구 프로그램을 일반화된 확률 이론을 통한 양자 역학의 공리적 재구성으로부터 분리한다.
위의 연구들은 상관관계의 물리적 집합이 배선에 따라 닫혀 있어야 한다는 암묵적인 가정에 의존한다. 이는 고려되는 집합 내의 여러 상자의 입력과 출력을 결합하여 구축된 모든 유효 상자도 해당 집합에 속해야 함을 의미한다. 배선에 따른 폐쇄성은 CHSH의 최대값에 어떤 제한도 강요하지 않는 것으로 보인다. 그러나 이는 무의미한 원리가 아니다. 오히려에서는 확률 공간에서 많은 간단하고 직관적인 상관관계 집합들이 이를 위반하는 것으로 나타난다.
처음에는 이러한 원리(또는 그 부분 집합) 중 어느 것이 를 정의하는 모든 제약 조건을 도출하기에 충분히 강력한지는 알려지지 않았다. 이러한 상황은 거의 양자 집합 의 구성까지 몇 년 동안 계속되었다. 는 배선에 따라 닫혀 있으며 반정치 계획법을 통해 특성화될 수 있는 상관관계 집합이다. 이 집합은 의 모든 상관관계를 포함하지만, 일부 비양자 상자 도 포함한다. 놀랍게도 거의 양자 집합 내의 모든 상자는 NTCC, NANLC, ML 및 LO 원리와 양립함이 증명되었다. 또한 거의 양자 상자가 IC도 준수한다는 수치적 증거도 있다. 따라서 위의 원리들이 함께 사용되더라도 가장 간단한 벨 시나리오(두 당사자, 두 입력, 두 출력)에서 양자 집합을 단독으로 구별하기에는 불충분한 것으로 보인다.
양자 비국소성 장치 독립 프로토콜
비국소성은 실험에 관련된 준비 및 측정 장치의 내부 작동에 대한 지식에 의존하지 않는 양자 정보 작업을 수행하는 데 활용될 수 있다. 이러한 프로토콜의 보안 또는 신뢰성은 실험적으로 측정된 상관관계 의 강도에만 의존한다. 이러한 프로토콜을 장치 독립적(device-independent)이라고 한다.
최초로 제안된 장치 독립 프로토콜은 장치 독립 양자 키 분배(QKD)였다. 이 원시에서 두 개의 멀리 떨어진 당사자, 앨리스와 밥은 얽힌 양자 상태를 받아서 조사하여 통계 를 얻는다. 상자 가 얼마나 비국소적인지에 따라 앨리스와 밥은 외부 양자 적대자 이브(도청자)가 앨리스와 밥의 출력 값에 대해 얼마나 많은 지식을 가질 수 있는지 추정한다. 이 추정을 통해 그들은 앨리스와 밥이 이브가 아무런 정보도 가지지 않는 완벽하게 상관된 일회용 패드를 공유하는 조화 프로토콜을 고안할 수 있다. 이 일회용 패드는 공용 채널을 통해 비밀 메시지를 전송하는 데 사용될 수 있다. 비록 장치 독립 QKD에 대한 최초 보안 분석은 이브가 특정 유형의 공격을 수행한다는 가정에 의존했지만, 최근에는 모든 이러한 프로토콜이 무조건적으로 안전함이 증명되었다.
양자 비국소성 장치 독립 프로토콜
비국소성은 벨 실험에서 한 당사자의 결과가 외부 적대자에게 부분적으로 알려지지 않았음을 인증하는 데 사용될 수 있다. 부분적으로 무작위적인 시드를 여러 비국소 상자에 공급하고, 출력을 처리한 후, 유사한 무작위성을 가진 더 긴 (잠재적으로 무한한) 문자열 또는 더 짧지만 더 무작위적인 문자열을 얻을 수 있다. 이 마지막 원시는 고전적인 설정에서는 불가능함이 증명될 수 있다.
장치 독립(DI) 무작위성 인증, 확장 및 증폭은 무작위 수를 생성하는 데 사용되는 기본 장치에 대한 잠재적 공격으로부터 안전한 고품질 무작위 수를 생성하는 데 사용되는 기술이다. 이러한 기술은 암호화 프로토콜의 보안을 보장하는 데 고품질 무작위 수가 필수적인 암호학에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.
양자 비국소성 장치 독립 프로토콜
무작위성 인증은 무작위 수 생성기의 출력이 진정으로 무작위적이며 적대자에 의해 조작되지 않았음을 확인하는 프로세스이다. DI 무작위성 인증은 무작위 수를 생성하는 기본 장치에 대한 가정을 하지 않고 이 검증을 수행한다. 대신, 무작위성은 동일한 물리적 프로세스를 사용하여 생성된 서로 다른 장치의 출력 간의 상관관계를 관찰하여 인증된다. 최근 연구는 광자 또는 전자와 같은 얽힌 양자 시스템을 사용하여 DI 무작위성 인증의 실현 가능성을 입증했다. 무작위성 확장은 소량의 초기 무작위 시드를 훨씬 더 큰 무작위 수열로 확장하는 것이다. DI 무작위성 확장에서는 고도로 얽힌 상태로 준비된 양자 시스템의 측정을 사용하여 확장이 이루어진다. 확장의 보안은 양자 역학 법칙에 의해 보장되는데, 이는 적대자가 확장 출력을 예측하는 것을 불가능하게 만든다. 최근 연구는 얽힌 광자 쌍과 벨 부등식을 위반하는 측정 장치를 사용하여 DI 무작위성 확장을 달성할 수 있음을 보여주었다.
양자 비국소성 장치 독립 프로토콜
무작위성 증폭은 소량의 초기 무작위 시드를 암호화 알고리즘을 사용하여 무작위성을 증가시키는 프로세스이다. DI 무작위성 증폭에서는 얽힘 속성과 양자 역학을 사용하여 이 프로세스를 수행한다. 증폭의 보안은 적대자가 알고리즘의 출력을 조작하려는 모든 시도가 필연적으로 감지하고 수정할 수 있는 오류를 발생시킨다는 사실에 의해 보장된다. 최근 연구는 양자 얽힘과 벨 부등식의 위반을 사용하여 DI 무작위성 증폭의 실현 가능성을 입증했다.
DI 무작위성 인증, 확장 및 증폭은 무작위 수를 생성하는 데 사용되는 기본 장치에 대한 잠재적 공격으로부터 안전한 고품질 무작위 수를 생성하는 강력한 기술이다. 이러한 기술은 암호학에서 중요한 응용 분야를 가지고 있으며, 양자 컴퓨팅 기술이 발전함에 따라 점점 더 중요해질 것이다. 또한, 장치의 작동 원리, 환경, 차원, 에너지 등에 대한 일부 가정을 통해 무작위 수를 생성할 수 있는 완화된 접근 방식인 준-DI(semi-DI)가 존재하며, 이는 구현 용이성과 높은 생성 속도라는 이점을 제공한다.
양자 비국소성 장치 독립 프로토콜
때때로 앨리스와 밥이 공유하는 상자 는 유일한 양자 실현만을 허용한다. 이는 를 생성하는 측정 연산자 와 양자 상태 가 존재하며, 의 다른 모든 물리적 실현 는 국소 유니타리 변환을 통해 와 연결된다는 것을 의미한다. 이 현상은 장치 독립 양자 토모그래피의 한 사례로 해석될 수 있으며, 치렐손이 처음 지적했고 Mayers와 Yao가 자기 검증이라고 명명했다. 자기 검증은 체계적인 노이즈에 강하며, 즉 실험적으로 측정된 통계가 에 충분히 가깝다면, 오차 막대까지 기본 상태 및 측정 연산자를 여전히 결정할 수 있다.
양자 상자 의 비국소성 정도는 앨리스와 밥이 접근할 수 있는 국소 시스템의 힐베르트 공간 차원에 대한 하한을 제공할 수도 있다. 이 문제는 낮은 완전히 양의 반정치 행렬의 존재를 결정하는 것과 동일하다. 통계에 기반하여 힐베르트 공간 차원의 하한을 찾는 것은 어려운 작업이며, 현재의 일반적인 방법은 매우 낮은 추정치만을 제공한다. 그러나 5개의 입력과 3개의 출력을 가진 벨 시나리오만으로도 기본 힐베르트 공간 차원에 대한 임의로 높은 하한을 제공하기에 충분하다. 앨리스와 밥 시스템의 국소 차원에 대한 지식을 가정하지만, 관련 준비 및 측정 장치의 수학적 설명에 대해서는 주장하지 않는 양자 통신 프로토콜을 준-장치 독립 프로토콜이라고 한다. 현재 양자 키 분배 및 무작위성 확장을 위한 준-장치 독립 프로토콜이 존재한다.
구조주의 (수리철학)
현대 수리철학에서, 구조주의(構造主義, 영어: structuralism)는 자연수나 실수, 3차원 유클리드 공간 따위를 어떤 ‘구체적인 대상’ 대신 ‘추상적인 구조’로 여겨야 한다는 사조(思潮)다.
자연수들을 구체적인 집합들로 보는 가장 흔한 방법은 0을 공집합으로, 따름수 함수를 로 보는 것이다. 이는 유일한 방법이 아니다. 예를 들어, 0을 마찬가지로 공집합으로 보고, 따름수 함수를 로 볼 수 있다. 구조주의에 따르면, 자연수는 이러한 구체적인 집합과 구분되는 추상적인 개념이며, 그 본질은 자연수를 나타내는 어떤 구체적인 해석이 아닌, 그 구체적인 해석들을 채워 넣는 “자리”에 있다.
실수는 유리수에 대한 데데킨트 절단, 또는 유리수의 코시 열의 (거리가 0으로 수렴하는 관계에 대한) 동치류로 정의할 수 있다. 이러한 구성은 집합론적이며, 유리수 또한 집합으로 여길 수 있으므로, 실수는 적어도 위 두 가지 방법을 통해 집합으로 여길 수 있으며, 위 두 구성은 서로 다르지만 서로 동형이다. 구조주의에 따르면, 실수는 그 구체적 구성과 구분되는, 추상적인 실수 구조의 일부로 여겨져야 한다.
구조주의 (수리철학)
범주적 이론(영어: categorical theory)은 동형 아래 유일한 모형을 갖는 이론이다. 2차 페아노 산술과 2차 실수 이론과 힐베르트 공리계는 각각 자연수와 실수와 3차원 유클리드 공간을 묘사하며, 모두 범주적 이론이다. 이름과 달리 범주론과는 직접적 관련이 없다. 구조주의에 따르면, 범주적 이론이 묘사하는 것은 그 이론의 특정 모형이 아닌, 동형이지만 서로 다른 모형들을 채워 넣을 수 있는 “칸”이다.
파울리 방정식
양자역학에서 파울리 방정식(영어: Pauli equation) 또는 슈뢰딩거-파울리 방정식(영어: Schrödinger–Pauli equation)은 스핀-1/2 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 공식으로, 입자의 스핀과 외부 전자기장의 상호작용을 고려한다. 이는 상대론적이 아닌 디랙 방정식의 한계이며, 입자가 빛의 속력보다 훨씬 느린 속도로 움직여 상대론적 효과를 무시할 수 있는 경우에 사용할 수 있다. 이 방정식은 1927년 볼프강 파울리에 의해 정립되었다. 선형화된 형태로는 레비-르블롱 방정식으로 알려져 있다.
파울리 방정식 방정식
질량 과 전하 를 가진 입자가 자기 벡터 퍼텐셜 와 전위 로 기술되는 전자기장에 있을 때, 파울리 방정식은 다음과 같다:
여기서 는 편의를 위해 벡터로 묶인 파울리 연산자이며, 는 위치 표현에서 운동량 연산자이다. 시스템의 상태  (브라-켓 표기법으로 표기됨)는 두 성분 스피너 파동 함수 또는 열 벡터 (기저 선택 후)로 간주할 수 있다:
.
해밀토니언 연산자는 파울리 연산자 때문에 2 × 2 행렬이다.
이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 파울리 방정식이 나온다. 이 해밀토니언은 전자기장과 상호작용하는 전하를 띤 입자에 대한 고전적인 해밀토니언과 유사하다. 이 고전적인 경우에 대한 자세한 내용은 로런츠 힘을 참조하라. 전자기장이 없는 자유 입자의 운동 에너지 항은 단순히 이며, 여기서 는 운동량이지만, 전자기장이 있는 경우에는 최소 결합 를 포함하며, 여기서 는 운동량이고 는 정준 운동량이다.
파울리 연산자는 파울리 벡터 항등식을 사용하여 운동 에너지 항에서 제거할 수 있다:
벡터와 달리 미분 연산자 는 자신과의 외적이 0이 아님을 유의하라. 이는 스칼라 함수 에 적용된 외적을 고려하면 알 수 있다:
파울리 방정식 방정식
여기서 는 자기장이다.
완전한 파울리 방정식의 경우, 다음을 얻는다
이 방정식은 균일한 자기장을 갖는 란다우 양자화 또는 이상적인 쿨롱형 비균일 자기장의 맥락에서 알려진 몇 가지 해석적 결과만 있다.
자기장이 상수이고 균일한 경우, 대칭 게이지 를 사용하여 를 확장할 수 있다. 여기서 은 위치 연산자이고 A는 이제 연산자이다. 우리는 다음을 얻는다.
여기서 은 입자의 각운동량 연산자이며 자기장 제곱 의 항은 무시했다. 따라서 다음을 얻는다.
여기서 는 입자의 스핀이다. 스핀 앞에 있는 계수 2는 디랙 G-상수로 알려져 있다.  항은  형태이며, 이는 제이만 효과와 같이 자기 모멘트 와 자기장 사이의 일반적인 상호작용이다.
등방성 상수 자기장에 있는 전하 의 전자에서, 전체 각운동량 와 위그너-에카르트 정리를 사용하여 방정식을 더 줄일 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.
여기서 는 보어 마그네톤이고 는 와 관련된 자기양자수이다.  항은 랑데 지 인자로 알려져 있으며, 여기서는 다음과 같이 주어진다.
여기서 은 와 관련된 궤도 양자수이고 는 와 관련된 전체 궤도 양자수이다.
파울리 방정식 디랙 방정식으로부터의 유도
파울리 방정식은 스핀-1/2 입자의 상대론적 양자 운동 방정식인 디랙 방정식의 비상대론적 한계에서 추론할 수 있다.
디랙 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다:
여기서 이고 는 두 성분 스피너이며, 디랙 스피너를 형성한다.
다음 가정을 사용하면:

두 개의 새로운 스피너 를 사용하면 방정식은 다음과 같이 된다.
비상대론적 한계에서 와 운동 및 정전기 에너지는 정지 에너지 에 비해 작으며, 이는 레비-르블롱 방정식으로 이어진다. 따라서
디랙 방정식의 상위 성분에 삽입하면 파울리 방정식(일반형)을 얻는다:
파울리 방정식의 엄밀한 유도는 외부 장에서의 디랙 방정식과  차수까지의 항을 고려한 폴디-워슈이젠 변환을 수행함으로써 얻어진다. 마찬가지로, 파울리 방정식에 대한 고차 보정은 대신  차수까지 확장할 때 스핀-궤도 및 다윈 상호작용 항을 발생시킨다.
파울리 방정식 파울리 결합
파울리 방정식은 g-인자 g=2를 제공하는 최소 결합을 요구하여 유도된다. 대부분의 기본 입자는 2와 다른 비정상적인 g-인자를 갖는다. 상대론적 양자장론 영역에서는 비정상적인 인자를 추가하기 위해 때때로 파울리 결합이라고 불리는 비최소 결합을 정의한다.
여기서 는 사차원 운동량 연산자, 는 전자기 퍼텐셜, 는 이상자기쌍극자모멘트에 비례하고, 는 전자기장 텐서이며, 는 로렌츠 스핀 행렬이자 디랙 행렬 의 교환자이다. 비상대론적 양자역학의 맥락에서, 슈뢰딩거 방정식을 사용하는 대신, 파울리 결합은 임의의 g-인자에 대한 파울리 방정식(또는 제이만 에너지 가정)을 사용하는 것과 동일하다.
바두르 조바바
바두르 알레크산드레스 제 조바바(조지아어: ბაადურ ალექსანდრეს ძე ჯობავა, 1983년 11월 26일~)는 조지아의 체스 선수이다. 체스 그랜드마스터이자 3회 조지아 챔피언 (2003년, 2007년, 2012년)이다. 그는 2004년 FIDE 세계 체스 선수권 대회와 2005년, 2009년, 2011년, 2013년, 2017년 (여기서 얀 네폼냐시를 꺾고 16강에 진출), 그리고 2021년 FIDE 월드컵에 참가했다. 또한 그는 FIDE 그랑프리 2014–15에 참가하여 세르게이 카랴킨을 꺾은 후 타슈켄트 대회에서 12명의 참가자 중 공동 4위를 기록했다. 그는 2004년과 2016년 체스 올림피아드에서 개인 보드 퍼포먼스 금메달을 획득했다.
바두르 조바바 경력
조바바는 2003년 두바이 오픈에서 9점 만점에 7점을 얻어 우승했다.
그는 FIDE 세계 체스 선수권 대회 2004에 참가하여 1라운드에서 루벤 펠가어에게 탈락했다. 2005년 덴마크 스칸데르보르에서 열린 제2회 삼바 컵에서 우승했다. 2006년 조바바는 레일웨이 호텔 컵과 권위 있는 아에로플로트 오픈에서 우승했다.
2008년 그는 바쿠에서 열린 대통령 컵에서 나이젤 쇼트, 바딤 밀로프, 알렉세이 알렉산드로프, 타마즈 겔라슈빌리, 알렉산더 라스틴, 가디르 구세이노프, 파리드 압바소프와 공동 1위-8위를 기록했다. 조바바는 리예카에서 열린 2010년 유럽 개인 선수권 대회에서 은메달을 획득했다. 2011년 8월 그는 마르투니에서 열린 세반 호수 토너먼트에서 흐란트 멜쿠먄과 공동 1-2위를 기록했으며, 타이브레이크에서 우승했다. 2011년 12월, 그는 밀라노에서 열린 제32회 에도아르도 크레스피 트로피에서 8½/9점으로 우승하여 2위인 블라디미르 말라니우크를 2점 차이로 앞섰다. 같은 달 조바바는 바르샤바에서 열린 유럽 래피드 체스 선수권 대회에서 746명의 선수들을 제치고 우승했다.
바두르 조바바 경력
2014년 1월, 조바바는 베이크안제이에서 열린 타타 스틸 챌린저스 토너먼트에서 8½/13점으로 타이브레이크에서 공동 2위와 3위를 기록했다. 다음 달, 그는 민스크에서 열린 데이비드 브론스타인 기념 대회에서 세르게이 페도르추크와 미하일로 올렉시옌코를 타이브레이크로 꺾고 우승했다. 7월에는 이탈리아 베르가모에서 열린 ACP 골든 클래식에서 웨슬리 소에 이어 2위를 차지했다.
2015년 8월, 그는 네덜란드 플리싱언에서 열린 제19회 HZ 체스 토너먼트에서 8/9점 (+7−0=2)으로 단독 1위를 차지했다. 2017년 조바바는 민스크에서 열린 유럽 개인 선수권 대회에서 막심 마틀라코프와 블라디미르 페도세예프와 공동 1위를 기록했으며, 타이브레이크에서 은메달을 획득했다. 2019년 조바바는 아부다비 마스터스에서 8/9점을 기록하고 2904의 퍼포먼스 레이팅으로 단독 1위를 차지했다.
바두르 조바바 경력
조바바는 망누스 칼센을 상대로 (+2−2=3), 세르게이 카랴킨을 상대로 (+2−1=3), 얀 네폼냐시를 상대로 (+1−1=3), 레이니에르 도밍게스를 상대로 (+4−0=1), 테이무어 라자보프를 상대로 (+2−0=2)의 기록을 가지고 있다. 조바바는 2012년 라도슬라프 보이타셰크와의 경기에서 5-3으로 승리했으며, 전체적으로 (+5−1=5)의 기록을 가지고 있다.
조바바는 Chess.com에서 열린 첫 6개의 Titled Tuesday 블리츠 이벤트 중 4개를 우승했으며, "JamesBlunder"라는 사용자 이름으로 20,000명의 팔로워를 보유한 트위치에서 캐주얼 게임과 함께 유사한 토너먼트를 스트리밍한다.
조바바는 2000년부터 체스 올림피아드에서 조지아 국가대표팀으로 뛰었다. 그는 2004년에 8½/10점을 기록하여 개인 금메달을 획득했다. 2010년에는 조지아-노르웨이 경기에서 세계 랭킹 1위인 망누스 칼센을 꺾었다. 2016년에는 리하르트 라포르트, 프란시스코 발레호 폰스 그리고 전 국제 체스 연맹 세계 챔피언인 루슬란 포노마료프와 베셀린 토팔로프를 상대로 승리하며 최고의 1번 보드 퍼포먼스로 개인 금메달을 획득했다. 이때 그의 퍼포먼스 레이팅은 2926으로, 이는 2002년 가리 카스파로프의 2933 퍼포먼스 레이팅 이후 1번 보드에서 가장 높은 기록이다.
바두르 조바바 조바바 런던
조바바는 때때로 조바바 런던 시스템이라고 불리는 오프닝을 대중화시킨 것으로 알려져 있으며, 베셀린 토팔로프와 루슬란 포노마료프를 상대로 성공적으로 사용했다. 이 오프닝은 라포르-조바바 시스템으로도 알려져 있으며, 1.d4, 2.Nc3, 3.Bf4의 수로 특징 지어진다. 이 오프닝은 1882년 제임스 메이슨이 처음 두었다. 그는 현대에 라르센 오프닝을 가장 많이 사용하는 선수 중 한 명이며, 2014년 타타 스틸 챌린저스에서 위 양이를, 2014년 브론스타인 기념 대회에서 다닐 두보프를, 2015년 FIDE 그랑프리에서 섀흐리야르 맴매디아로프를, 2019년 FIDE 그랜드 스위스에서 데이비드 하월을 이 오프닝으로 꺾었다.
바두르 조바바 쉬샹위 논란
2023년 2월 3일, 조바바는 Airthings Masters 플레이인에서 쉬샹위 GM에게 패배한 후 그가 부정행위를 했다고 비난했고, 경기 후 Chess.com 팀원들에게 공개적으로 "이 중국 개**들 다 밴해라  [sic]."라고 욕설을 퍼부었다. 이로 인해 그는 인종차별 혐의로 2023년 남은 기간 동안 모든 Chess.com 상금 이벤트에서 밴당했다.
바두르 조바바 개인사
조바바의 남동생 베글라르는 체스 국제 마스터이다.
바두르 조바바 주목할 만한 경기
바아두르 조바바 대 예브게니 바레예프, 유럽 클럽 컵 2003 1.e4 c6 2.d4 d5 3.Nd2 dxe4 4.Nxe4 Bf5 5.Ng3 Bg6 6.h4 h6 7.Nf3 Nd7 8.h5 Bh7 9.Bd3 Bxd3 10.Qxd3 Ngf6 11.Bd2 e6 12.0-0-0 Be7 13.Qe2 0-0 14.Kb1 c5 15.d5 exd5 16.Bxh6 gxh6 17.Nf5 Re8 18.Nxh6+ Kf8 19.Ng5 Qb6 20.Qf3 Ne5 21.Qg3 Bd6 22.Nf5 Qxb2+ 23.Kxb2 Nc4+ 24.Kb3 Bxg3 25.h6 Na5+ 26.Ka4 b5+ 27.Kxa5 Bc7+ 28.Kxb5 Rab8+ 29.Ka4 Ne4 30.Rxd5 Nc3+ 31.Ka3 Nb5+ 32.Kb2 Nd4+ 33.Kc3 Nb5+ 34.Kd3 1–0