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센트럴 텍사스 리그
센트럴 텍사스 리그(영어: Central Texas League)는 1914년부터 1917년까지 운영되었던 미국 마이너 리그 베이스볼 리그이다. 센트럴 텍사스는 한 시즌에 여섯 개의 팀이 참가하는 클래스 D 등급의 리그였으며, 참가 구단은 모두 텍사스주 내에 연고지를 두고 있었다. 이 리그는 종종 센트럴 텍사스 트롤리 리그(영어: Central Texas Trolley League)라는 이름으로 불리기도 했으며, 리그가 운영된 4시즌 동안 단 한 번도 시즌 끝까지 진행된 적이 없었다. 이름이 변경된 구단을 제외하고, 리그 소속 구단 중 유일하게 에니스 타이거스만이 모든 시즌에 참여한 팀이었으며, 매 시즌마다 1위를 기록한 팀이 달랐다.
센트럴 텍사스 리그 역사
센트럴 텍사스 리그는 1914년에 텍사스주에 연고지를 두고 있는 여섯 개의 구단이 참가한 클래스 D 등급의 마이너 리그로 출범했다. A.M. 프레이저가 초대 리그 회장을 맡았다. 리그 원년 참가 구단으로는 코르시카나 애슬레틱스, 에니스 타이거스, 힐즈버러, 이탤리, 웍서해치 버펄로스, 웨스트가 있었다. 리그 출범 당시 비공식적으로 센트럴 텍사스 트롤리 리그(Central Texas Trolley League)라는 이름으로 알려지기도 했다.
리그 첫 시즌은 전반기와 후반기가 나뉘어 운영되었다. 1914년 5월 10일에 리그가 시작되었지만, 같은 해 7월 25일에 리그가 조기 중단되면서 후반기 일정이 단축되었다. 정규 시즌이 중단된 이후에도 플레이오프는 진행되었는데, 전반기 리그 우승은 26승 15패를 기록한 웍서해치 버펄로스가 차지했고, 일정이 줄어든 후반기 리그 우승은 웨스트가 차지했다. 두 팀이 만난 플레이오프에서 웍서해치 버펄로스가 3승 2패로 우승을 차지했다.
센트럴 텍사스 리그 역사
1915년에는 리그가 개편되었고, 여섯 개 팀이 참가한 가운데 5월 17일에 시즌이 개막했다. 이해 시즌에 리그에 참가한 구단으로는 코르시카나 에이스, 에니스 타이거스, 코프먼 킹스, 멕시아 개서스, 테럴 컵스, 웍서해치 애슬레틱스가 있었다. 이해 리그 회장은 얼 C. 브라운과 훌렌 P. 로버트슨이 맡았다. 이해 7월 24일을 기점으로 리그 운영이 다시 중단되었으며, 에니스 타이거스가 전반기 리그 우승을 달성했다. 기간이 단축된 후반기 1위는 멕시아 개서스가 차지했다. 이후 플레이오프는 열리지 못했고, 전반기와 후반기를 통틀어 35승 26패를 기록한 에니스 타이거스가 2위 코르시카나 에이스를 3경기 차로 따돌리고 가장 좋은 성적을 거두었다.
센트럴 텍사스 리그 역사
1916년에 재개된 센트럴 텍사스 리그는 그해 4월 28일에 시즌을 시작했다. 이해에는 에니스 타이거스, 말린 말린스, 멕시아 개서스, 템플 거버너스, 테럴 테러스, 웍서해치 애슬레틱스 등 여섯 개 팀이 리그에 참가했다. 1916년에는 얼 C. 브라운과 잭 C. 캐스틀로가 리그 회장을 역임했다. 이해에도 리그가 7월 16일에 중단되었다. 시즌을 통틀어 36승 25패를 기록한 템플 거버너스가 1위를 차지했으며, 35승 26패를 기록하며 1경기 차로 뒤진 에니스 타이거스가 2위를 차지했다.
1917년은 리그가 운영된 마지막 해였다. 이전 시즌의 여섯 개 구단에서 네 팀으로 참가 구단의 수가 축소되었으며, 시즌 진행 도중에 리그가 영구적으로 해체되었다. 이해 5월 21일에 시즌이 시작되었는데, 참가 구단은 에니스 타이거스, 말린 말린스, 멕시아 개서스, 템플 거버너스였다. 얼 C. 스미스가 리그 회장을 맡았다. 이해 6월 1일까지 4승 4패를 기록 중이던 템플 거버너스가 연고지를 옮기면서 코르시카나 애슬레틱스로 팀명을 변경했다. 6월 6일에 시즌이 영구적으로 중단되었으며, 이때까지 8승 6패를 거둔 멕시아 개서스가 리그에서 가장 좋은 성적을 기록 중이었다. 플레이오프 역시 개최되지 못했다.
센트럴 텍사스 리그 시즌 성적 및 기록
7월 25일 시즌 중단플레이오프: 웍서해치 3승 2패, 웨스트 2승 3패
7월 24일 리그 중단
7월 16일 리그 중단
6월 6일 리그 중단
베트남-캄보디아 관계
베트남–캄보디아 관계는 베트남과 캄보디아의 양자 관계를 말한다. 양국은 지난 1,000년 동안 육상 국경을 공유해 왔으며, 프랑스 식민제국의 일부였던 공통된 근대사를 지니고 있다. 두 나라는 모두 동남아시아 국가 연합(ASEAN)의 회원국이다.
베트남-캄보디아 관계 역사
독립 이후, 캄보디아 왕국은 북베트남과 남베트남 양측 모두와 외교 관계를 유지했다. 그러나 베트남 공산주의자들, 즉 남부의 베트콩과 북부의 베트남 인민군(PAVN)은 베트남 전쟁을 수행하기 위해 캄보디아 영토를 기지와 보급 경로로 사용했다. 이는 비엣민이 1954년 제네바 회담에서 캄보디아의 중립을 보장하겠다고 확약했던 것과는 반대되는 행위였다. 남부의 응오딘지엠 정권은 베트콩을 캄보디아 영토 안까지 추격했다. 그보다 앞선 1959년의 방콕 음모에서는, 지엠 정권이 정치인 삼 사리, 손 응옥 타인, 답 추온이 시아누크 정부를 전복하고 우익 성향의 친남베트남 정권으로 대체하려는 음모를 지원했다.  시아누크는 하노이와의 관계를 좋게 유지하려고 시도했고, 자국 내의 인민군 기지를 묵인했지만, 인민군은 1968년부터 크메르루주로 알려진 반정부 반군을 무장시키고 은신처를 제공했다. 1969년에 이르러, 린든 B. 존슨 시기에는 캄보디아의 중립을 존중했음에도 불구하고, 미국은 메뉴 작전에서 북베트남군과 베트콩이 캄보디아 접경 지역을 남베트남 공격의 기지로 사용하고 있다는 이유로 이들을 폭격하기로 결정했다.
베트남-캄보디아 관계 역사
베트남과 캄보디아 사이에는 많은 전쟁이 있었다. 1979년, 베트남-캄보디아 전쟁의 결과로 베트남은 크메르 루주를 전복시키고 캄보디아를 점령했으며, 괴뢰국인 캄푸치아 인민공화국의 수립을 도왔다. 베트남 점령군과 기자들은 툴슬렝 감옥 시설과 같은 크메르 루주의 학대에 대한 증거를 발견했고, 이를 널리 알렸다.
오늘날 캄보디아에서 베트남-캄보디아 전쟁에 대한 견해는 분열되어 있다. 일부는 베트남의 개입이 크메르 루주의 집단학살 정권으로부터 캄보디아를 해방시키는 데 도움이 되었다고 믿는 반면, 다른 일부는 그것을 베트남이 자국의 이익을 위해 캄보디아를 침공하고 점령한 것으로 본다.
2005년, 베트남과 캄보디아는 1985년에 체결된 국경 획정 조약의 보충 조약에 서명하였다. 그러나 캄보디아 정부는 이 조약을 수용할 수 없다고 밝혔다. 그 결과 베트남은 해당 조약을 근거로 여러 차례 캄보디아 영토에 대한 영유권을 주장하였으며, 이로 인해 베트남의 영토 침범 의혹이 제기되었다.
베트남-캄보디아 관계 역사
전 프랑스령 인도차이나 식민 행정부의 한 정부 장관의 발언에 따르면, 캄보디아는 1985년 조약상 캄보디아 영토로 인정된 틀록 트라치와 안롱 츄레이 두 마을을 유지하는 대신, 다른 두 개의 마을을 베트남에 양도해야 할 것이라고 한다. 다만 캄보디아가 포기해야 할 두 마을이 구체적으로 어디인지는 알려지지 않았다.
이 분쟁을 해결하기 위해 2011년 캄보디아 정부는 베트남과의 국경 표식 확정 작업을 신속히 진행하겠다고 발표하였다. 이후 2012년 6월 24일, 베트남과 캄보디아는 양국의 마지막 국경 표식인 제314번 표식 설치를 기념하는 행사를 개최하였다. 행사에는 베트남의 응우옌떤중 정부수상과 캄보디아의 훈 센 총리가 직접 참석하여 새 표식을 공개하고, 양국의 협력과 우호 관계를 재확인하였다.
니라사키정
니라사키정(韮崎町)은 야마나시현 기타코마군에 았던 정이다. 현재의 호쿠토시에 해당한다.
연산자 (물리학)
연산자(영어: Operator)는 물리적 상태의 공간에서 다른 상태의 공간으로 매핑되는 함수이다. 연산자의 유용성에 대한 가장 간단한 예는 대칭 연구이다 (이러한 맥락에서 군 개념을 유용하게 만든다). 이 때문에 연산자는 고전역학에서 유용한 도구이다. 연산자는 양자역학에서 훨씬 더 중요하며, 이론의 공식화에 본질적인 부분을 형성한다. 연산자는 관측가능량(에너지, 운동량 등 측정 가능한 양)을 설명하는 데 중심적인 역할을 한다.
연산자 (물리학) 고전역학의 연산자
고전역학에서 입자(또는 입자 시스템)의 움직임은 라그랑지안  또는 동등하게 해밀토니안 에 의해 완전히 결정된다. 이 함수는 일반화 좌표 q, 일반화 속도  및 그 켤레 운동량의 함수이다.
L 또는 H가 일반화 좌표 q에 독립적이면, 즉 q가 변해도 L과 H가 변하지 않는다는 것은 q가 변해도 입자의 동역학이 여전히 동일하다는 것을 의미하며, 해당 좌표에 켤레인 운동량은 보존된다 (이는 뇌터 정리의 일부이며, 좌표 q에 대한 운동의 불변성은 대칭이다). 고전역학의 연산자는 이러한 대칭과 관련되어 있다.
보다 기술적으로, H가 특정 군 변환 G의 작용 하에서 불변일 때:
.
G의 원소는 물리적 연산자이며, 물리적 상태를 서로 매핑한다.
여기서 는 단위 벡터 와 각도 θ로 정의된 축에 대한 회전변환행렬이다.
연산자 (물리학) 생성 집합
변환이 무한소이면, 연산자 작용은 다음 형식이어야 한다.
여기서 는 항등 연산자이고, 은 작은 값을 가진 매개변수이며, 는 해당 변환에 따라 달라지며 군의 생성 집합이라고 불린다. 다시, 간단한 예로, 1차원 함수에 대한 공간 변환의 생성 집합을 유도할 것이다.
언급했듯이, 이다. 만약 가 무한소라면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
여기서 는 변환군의 생성 집합이며, 이 경우 미분 연산자가 된다. 따라서 변환의 생성 집합은 미분이라고 한다.
연산자 (물리학) 지수 사상
정상적인 상황에서 전체 군은 지수 사상을 통해 생성 집합에서 복구될 수 있다. 변환의 경우 아이디어는 다음과 같이 작동한다.
유한한 값 에 대한 변환은 무한소 변환을 반복적으로 적용하여 얻을 수 있다.
여기서 는 번의 적용을 나타낸다. 만약 이 크면, 각 인자는 무한소로 간주될 수 있다.
그러나 이 극한은 지수로 다시 쓸 수 있다.
이 형식적인 표현의 유효성을 확신하려면, 지수를 멱급수로 전개할 수 있다.
우변은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
이것은 의 테일러 전개이며, 이는 의 원래 값이었다.
물리적 연산자의 수학적 속성은 그 자체로 매우 중요한 주제이다. 자세한 정보는 C* 대수 및 겔판트-나이마르크 정리를 참조하라.
연산자 (물리학) 양자역학의 연산자
양자역학의 수학 공식화 (QM)는 연산자 개념을 기반으로 한다.
양자역학의 물리적 순수 상태는 특수 복소 힐베르트 공간에서 단위 노름 벡터 (확률이 1로 정규화됨)로 표현된다. 이 벡터 공간에서 시간 변화는 진화 연산자의 적용으로 주어진다.
관측가능량, 즉 물리적 실험에서 측정될 수 있는 모든 양은 자기 수반 선형 연산자와 관련되어야 한다. 연산자는 실험 결과로 나타날 수 있는 값이기 때문에 실제 고윳값을 산출해야 한다. 수학적으로 이것은 연산자가 에르미트여야 함을 의미한다. 각 고윳값의 확률은 해당 고윳값과 관련된 부분 공간에 대한 물리적 상태의 투영과 관련된다. 에르미트 연산자에 대한 수학적 세부 정보는 아래를 참조하라.
양자역학의 파동 역학 공식화에서 파동 함수는 공간과 시간에 따라, 또는 동등하게 운동량과 시간에 따라 변하므로(자세한 내용은 위치 및 운동량 공간 참조), 관측가능량은 미분 연산자이다.
행렬 역학 공식화에서 물리적 상태의 노름은 고정되어야 하므로 진화 연산자는 유니타리여야 하며, 연산자는 행렬로 표현될 수 있다. 물리적 상태를 다른 상태로 매핑하는 다른 대칭도 이 제한을 유지해야 한다.
연산자 (물리학) 양자역학의 연산자
파동 함수는 제곱 적분 가능해야 한다. 즉:
그리고 정규화되어야 한다.
고유 상태(및 고유값)의 두 가지 경우는 다음과 같다:
양자 계의 파동 함수를 ψ라고 하고, 어떤 관측가능량 A (위치, 운동량, 에너지, 각운동량 등)에 대한 선형 연산자를 라고 하자. 만약 ψ가 연산자 의 고유 함수라면,
여기서 a는 연산자의 고윳값이며, 관측가능량의 측정값에 해당한다. 즉, 관측가능량 A는 측정값 a를 갖는다.
만약 ψ가 주어진 연산자 의 고유 함수라면, 관측가능량 A에 대한 측정이 상태 ψ에서 이루어지면 확정된 양(고윳값 a)이 관측될 것이다. 반대로, ψ가 의 고유 함수가 아니라면, 에 대한 고윳값을 갖지 않으며, 이 경우 관측가능량은 단일의 확정된 값을 갖지 않는다. 대신, 관측가능량 A의 측정은 특정 확률로 각 고윳값을 산출할 것이다 (의 정규직교 고유 기저에 대한 ψ의 분해와 관련됨).
브라-켓 표기법에서 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
만약 가 관측가능량 A의 고유 벡터 또는 고유 케트라면 이들은 같다.
연산자 (물리학) 양자역학의 연산자
선형성 때문에 벡터는 임의의 차원으로 정의될 수 있으며, 벡터의 각 성분은 함수에 개별적으로 작용한다. 수학적 예시 중 하나는 나블라 연산자이며, 이는 그 자체로 벡터이다 (아래 표에서 운동량 관련 양자 연산자에 유용함).
n차원 공간의 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 ej는 각 성분 연산자 Aj에 해당하는 기저 벡터이다. 각 성분은 해당 고윳값 를 산출할 것이다. 이를 파동 함수 ψ에 작용시키면:
여기서 를 사용했다.
브라-켓 표기법에서:
두 관측가능량 A와 B가 선형 연산자 와 를 가진다면, 교환자는 다음과 같이 정의된다.
교환자 자체는 (복합) 연산자이다. 교환자를 ψ에 작용시키면 다음과 같다.
만약 ψ가 각각 관측가능량 A와 B에 대한 고윳값 a와 b를 가진 고유 함수이고, 연산자들이 교환한다면:
그러면 관측가능량 A와 B는 무한한 정밀도로 동시에 측정될 수 있다. 즉, 불확정성 , 가 동시에 발생한다. 이때 ψ는 A와 B의 동시 고유 함수라고 한다. 이를 설명하자면:
연산자 (물리학) 양자역학의 연산자
이는 A와 B의 측정이 상태의 변화를 일으키지 않음을 보여준다. 즉, 초기 상태와 최종 상태가 동일하다(측정으로 인한 교란 없음). A를 측정하여 값 a를 얻었다고 가정하자. 그런 다음 B를 측정하여 값 b를 얻는다. 다시 A를 측정한다. 여전히 동일한 값 a를 얻는다. 분명히 시스템의 상태('ψ')는 파괴되지 않으므로 A와 B를 무한한 정밀도로 동시에 측정할 수 있다.
만약 연산자들이 교환하지 않는다면:
이들은 임의의 정밀도로 동시에 준비될 수 없으며, 관측가능량 사이에 불확정성 관계가 존재한다.
심지어 ψ가 고유 함수일지라도 위 관계는 성립한다. 주목할 만한 쌍은 위치-운동량 및 에너지-시간 불확정성 관계, 그리고 임의의 두 직교 축(예: Lx와 Ly, 또는 sy와 sz 등)에 대한 각운동량(스핀, 궤도 및 총)이다.
기댓값 (동등하게 평균 또는 평균값)은 영역 R 내 입자에 대한 관측가능량의 평균 측정값이다. 연산자 의 기댓값 은 다음으로부터 계산된다.
이는 연산자의 임의의 함수 F에 대해 일반화될 수 있다.
F의 예로는 ψ에 대한 A의 2중 작용, 즉 연산자를 제곱하거나 두 번 수행하는 것이다.
연산자 (물리학) 양자역학의 연산자
에르미트 연산자의 정의는 다음과 같다.
이로부터 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
에르미트 연산자의 중요한 특성들은 다음과 같다.
연산자는 하나의 기저 벡터를 다른 기저 벡터로 매핑하는 행렬 형태로 쓸 수 있다. 연산자는 선형이므로, 행렬은 기저들 사이의 선형 변환 (또는 전이 행렬)이다. 각 기저 원소 는 다음 표현식에 의해 다른 기저 원소와 연결될 수 있다.
이는 행렬 원소이다.
에르미트 연산자의 또 다른 속성은 서로 다른 고윳값에 해당하는 고유 함수가 직교한다는 것이다. 행렬 형태로 연산자는 측정에 해당하는 실제 고윳값을 찾을 수 있게 한다. 직교성은 양자 계의 상태를 나타내는 적절한 벡터 기저 집합을 허용한다. 연산자의 고윳값은 정방 행렬과 동일한 방식으로 고유 다항식을 풀어 평가한다.
여기서 I는 n × n 단위 행렬이며, 연산자로서 항등 연산자에 해당한다. 이산 기저의 경우:
연속 기저의 경우:
비특이 연산자 는 다음과 같이 정의된 역행렬 을 갖는다.
만약 연산자가 역행렬을 갖지 않는다면, 그것은 특이 연산자이다. 유한 차원 공간에서 연산자는 그 필요충분조건이 0이 아닐 때만 비특이적이다.
연산자 (물리학) 양자역학의 연산자
따라서 특이 연산자의 경우 행렬식은 0이다.
양자 역학에서 사용되는 연산자는 아래 표에 수집되어 있다 (예를 들어 참조). 캡이 있는 굵은 글씨 벡터는 단위 벡터가 아니며, 3차원 벡터 연산자이다. 즉, 세 공간 성분이 함께 고려된다.
파동 함수에서 정보를 추출하는 절차는 다음과 같다. 입자의 운동량 p를 예로 들어보자. 1차원 위치 기저에서 운동량 연산자는 다음과 같다.
이를 ψ에 작용시키면 다음을 얻는다.
만약 ψ가 의 고유 함수라면, 운동량 고윳값 p는 입자의 운동량 값이며, 다음 식을 통해 찾는다.
3차원의 경우 운동량 연산자는 나블라 연산자를 사용하여 다음이 된다.
데카르트 좌표계(표준 데카르트 기저 벡터 ex, ey, ez 사용)에서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
즉:
고윳값을 찾는 과정은 동일하다. 이는 벡터 및 연산자 방정식이므로, ψ가 고유 함수라면 운동량 연산자의 각 성분은 운동량의 해당 성분에 해당하는 고윳값을 가질 것이다. 를 ψ에 작용시키면 다음이 된다.
양자 상태 공간
물리학에서 양자 상태 공간(영어: Quantum state space)은 문자적인 위치가 아닌, 어떤 물리계의 양자 상태를 나타내는 추상적인 공간이다. 이는 고전역학의 위상 공간에 대한 양자적 아날로그이다.
양자 상태 공간 힐베르트 공간에 상대적으로
양자역학에서 상태 공간은 분리 가능한 복소수 힐베르트 공간이다. 이 힐베르트 공간의 차원은 우리가 기술하고자 하는 시스템에 따라 달라진다. 특정 측정에서 나올 수 있는 다양한 상태들은 정규 직교 기저를 형성하며, 따라서 상태 공간의 어떤 상태 벡터도 이러한 기저 벡터들의 선형 결합으로 쓸 수 있다. 여러 차원에 걸쳐 0이 아닌 성분을 갖는 것을 양자 중첩이라고 한다. 양자역학의 형식론에서 이러한 상태 벡터들은 종종 디랙의 간결한 브라-켓 표기법을 사용하여 쓰여진다.:165
양자 상태 공간 예시
슈테른-게를라흐 실험에서 은 원자의 스핀 상태는 두 상태 공간으로 나타낼 수 있다. 스핀은 측정 장치와 정렬되거나(임의로 '위'라고 함) 반대 방향으로 정렬될 수 있다('아래'). 디랙 표기법으로 이 두 상태는 로 쓸 수 있다. 두 스핀 시스템의 공간은  네 가지 상태를 가진다.
스핀 상태는 이산적인 자유도이며, 양자 상태 공간은 연속적인 자유도를 가질 수 있다. 예를 들어, 한 공간 차원에 있는 입자는 에서 까지의 범위에 있는 하나의 자유도를 가진다. 디랙 표기법으로 이 공간의 상태는  또는 로 쓸 수 있다.:302
양자 상태 공간 3차원 공간에 상대적으로
양자역학 초기에도 상태 공간(또는 처음에는 구성이라 불렸던)은 간단한 양자역학적 문제를 이해하는 데 필수적인 것으로 이해되었다. 1929년, 네빌 프랜시스 모트는 "파동이 보통의 3차원 공간에 존재하는 것으로 상상하는 경향이 있는데, 실제로는 다차원 공간의 파동 함수를 다루고 있다"는 점이 간단한 상호 작용 문제의 분석을 더 어렵게 만든다고 밝혔다. 모트(Mott)는 -입자가 안개 상자에서 방출되는 것을 분석한다. 방출 과정은 등방성인데, 양자역학에서는 구형 파동이지만 관찰되는 궤적은 선형이다.
모트(Mott)가 말했듯이, "발산하는 구형 파동이 어떻게 직선 궤적을 만들어낼 수 있는지 상상하기는 다소 어렵다. 우리는 직관적으로 그것이 공간 전체에 걸쳐 무작위로 원자를 이온화해야 한다고 생각한다." 이 문제는 모트 문제로 알려지게 되었다. 모트는 원천과 두 개의 대표적인 원자의 위치 사이의 상관관계를 고려하여 직선 궤적을 도출했는데, 모든 세 위치가 공선일 때에만 연속적인 이온화가 발생함을 보였다.
양자 상태 공간 고전적 위상 공간에 상대적으로
여러 물체에 대한 고전역학은 각 물체의 좌표와 속도의 목록 또는 벡터를 통해 그들의 운동을 설명한다. 물체가 움직임에 따라 벡터의 값은 변하며, 가능한 모든 값의 집합을 위상 공간이라고 부른다.:88 양자역학에서 상태 공간은 비슷하지만, 상태 공간에서는 서로의 스칼라 배수인 두 벡터가 같은 상태를 나타낸다. 또한, 양자 상태의 값 특성은 고전적 값과 다르다. 양자적 경우 값은 통계적으로만 측정될 수 있으며(많은 예시를 반복하여) 따라서 매 순간 잘 정의된 값을 가지지 않는다.:294
툴슬렝 집단학살 박물관
툴슬렝 집단학살 박물관(크메르어: សារមន្ទីរឧក្រិដ្ឋកម្មប្រល័យពូជសាសន៍ទួលស្លែង)은 캄보디아 집단학살을 기록한 박물관이다. 프놈펜에 위치한 이 장소는 원래 중등학교였으나, 1975년부터 1979년 크메르 루주 정권이 붕괴할 때까지 보안 감옥 21(S-21, 크메르어: មន្ទីរស-២១)로 사용되었다. 1976년부터 1979년까지 약 2만 명이 툴슬렝에 수감되었으며, 이곳은 크메르 루주와 산테발 (평화를 지키는 자)로 알려진 비밀 경찰이 세운 150개에서 196개 사이의 고문 및 처형 센터 중 하나였다. 2010년 7월 26일, 캄보디아 특별재판소(ECCC)는 이 감옥의 책임자였던 캉 켁 이우)를 인도에 반한 죄와 1949년 제네바 협약 중대한 위반 혐의로 유죄 판결하였다. 그는 종신형을 복역하던 중 2020년 9월 2일에 사망했다.
툴슬렝 집단학살 박물관 역사
크메르 루주의 관심을 끌 만큼 중요한 숙청 희생자들을 수용하기 위해, 노로돔 시아누크 왕의 왕가 조상을 따서 이름 붙여진 이전 툴스바이프레이 고등학교 건물에 새로운 구금 시설이 계획되었다. 단지의 다섯 채 건물은 1976년 3월이나 4월에 감옥과 심문 센터로 전환되었다. 시내의 다른 건물들은 이미 S-21 감옥으로 사용되고 있었다. 크메르 루주는 이 단지를 "보안 감옥 21" (S-21)로 개명하고 수감자들을 위해 감옥을 적응시키는 공사를 시작했다. 건물들은 전기 철조망으로 둘러싸였고, 교실들은 작은 감방과 고문실로 변환되었으며, 모든 창문은 탈출과 자살을 방지하기 위해 철창과 철조망으로 덮였다.
툴슬렝 집단학살 박물관 역사
1976년부터 1979년까지 약 20,000명이 툴슬렝에 수감되었으며 (정확한 수는 알려지지 않았다), 언제든지 감옥에는 1,000명에서 1,500명 사이의 수감자가 있었다. 그들은 반복적으로 고문을 당했고 가족과 가까운 관련자의 이름을 말하도록 강요받았으며, 그들 또한 체포되고 고문당하며 살해되었다. S-21 초기 몇 달 동안 희생자 대부분은 이전 론 놀 정권 출신으로 군인, 정부 관리, 학자, 의사, 교사, 학생, 공장 노동자, 승려, 기술자 등이 포함되었다. 이후 당 지도부의 편집증은 자신의 내부로 향했고, 전국적인 숙청은 수천 명의 당 활동가와 그 가족을 툴슬렝으로 데려와 살해했다. 체포된 사람들 중에는 호이 툰, 본 벳, 후 님과 같은 최고위 정치인들도 포함되었다. 이들의 공식적인 체포 이유는 간첩 행위였지만, 이들이 크메르 루주 지도자 폴 포트에게는 자신에 대한 쿠데타의 잠재적 지도자로 여겨졌을 수도 있다. 수감자의 가족들은 때때로 대규모로 심문을 받기 위해 불려 나갔고, 이후 초응 에크 학살 센터에서 처형되었다.
1979년에 감옥은 침략한 베트남 군대에 의해 발견되었다. 1979년과 1980년 사이 어느 시점에 캄푸치아 인민공화국 정부에 의해 크메르 루주 정권의 행위를 기념하는 역사 박물관으로 감옥이 재개관되었다.
양자 상태
양자 물리학에서 양자 상태(영어: Quantum state)는 양자 시스템에 대한 지식을 구현하는 수학적 실체이다. 양자역학은 양자 상태의 구성, 진화 및 측정을 지정한다. 그 결과는 상태로 표현되는 시스템에 대한 예측이 된다. 양자 상태에 대한 지식과 시스템의 시간 진화 규칙은 양자 시스템에 대해 알 수 있는 모든 것을 소진한다.
양자 상태는 시스템이나 문제의 종류에 따라 다르게 정의될 수 있다. 두 가지 주요 범주는 다음과 같다.
역사적, 교육적, 응용 중심 문제에서는 일반적으로 파동 함수가 사용된다. 현대 전문 물리학에서는 추상적인 벡터 상태가 사용된다. 두 범주 모두에서 양자 상태는 순수 상태와 혼합 상태, 또는 결맞는 상태와 비결맞는 상태로 나뉜다. 특수한 속성을 가진 범주에는 시간 독립성을 위한 정상 상태와 양자장론의 양자 진공 상태가 포함된다.
양자 상태 고전역학의 상태로부터
물리학의 도구로서 양자 상태는 고전역학의 상태에서 발전했다. 고전 역학적 상태는 각 순간에 잘 정의된 실수 값을 가진 역학 변수 집합으로 구성된다.:3 예를 들어, 대포알의 상태는 위치와 속도로 구성된다. 상태 값은 운동 방정식에 따라 진화하며 따라서 엄격하게 결정된다. 대포의 위치와 발사체의 초기 속도를 알면 중력의 힘을 포함하는 방정식을 사용하여 대포알의 궤적을 정확하게 예측할 수 있다.
마찬가지로 양자 상태는 운동 방정식에 따라 진화하는 동역학 변수 집합으로 구성된다. 그러나 양자 상태에서 파생된 값은 복소수이고, 양자화되어 있으며, 불확정성 관계에 의해 제한되고,:159 시스템의 결과에 대한 확률 분포만을 제공한다. 이러한 제약은 양자 동역학 변수의 본질을 변화시킨다. 예를 들어, 이중슬릿 실험에서 전자의 양자 상태는 검출 영역에 걸쳐 복소수 값으로 구성되며, 제곱하면 검출기에 걸친 전자 개수의 확률 분포만을 예측한다.
양자 상태 양자역학에서의 역할
양자 역학으로 양자 시스템을 설명하는 과정은 시스템의 양자 상태를 정의하는 변수 집합을 식별하는 것으로 시작한다.:204 이 집합에는 양립 가능한 변수와 양립 불가능한 변수가 포함될 것이다. 가환 변수의 완전 집합을 동시에 측정하면 시스템이 고유한 상태로 준비된다. 그 다음 상태는 운동 방정식에 따라 결정론적으로 진화한다. 상태를 나중에 측정하면 양자 역학 연산자가 예측하는 확률 분포에서 샘플이 생성된다.
양자 측정의 근본적으로 통계적 또는 확률적 본질은 고전 역학에서 고전 상태와 비교하여 양자 역학에서 양자 상태의 역할을 변화시킨다. 고전 역학에서는 하나 이상의 물체의 초기 상태를 측정한다. 상태는 운동 방정식에 따라 진화한다. 최종 상태의 측정은 예측과 비교된다. 양자 역학에서는 동일하게 준비된 양자 상태의 앙상블이 운동 방정식에 따라 진화하고, 많은 반복 측정은 예측된 확률 분포와 비교된다.:204
양자 상태 측정
측정, 즉 양자 상태에 대한 거시적 연산은 상태를 걸러낸다.:196 입력 양자 상태가 무엇이든, 반복되는 동일한 측정은 일관된 값을 제공한다. 이러한 이유로 측정은 실험을 위해 양자 상태를 '준비'하여 시스템을 부분적으로 정의된 상태에 놓는다. 후속 측정은 시스템을 더 준비할 수도 있고(이들은 양립 가능한 측정임) 상태를 변경하여 재정의할 수도 있다(이들은 양립 불가능하거나 상보적인 측정이라고 함). 예를 들어,  축을 따라 상태의 운동량을 아무리 많이 측정해도 같은 결과를 얻을 수 있지만, 운동량을 한 번 측정한 후 위치를 측정하면 후속 운동량 측정은 변경된다. 양자 상태는 양립 불가능한 측정에 의해 불가피하게 변경되는 것처럼 보인다. 이것은 불확정성 원리로 알려져 있다.
양자 상태 고유 상태와 순수 상태
측정 후 양자 상태는 해당 측정과 측정된 값에 해당하는 고유 상태에 있다.:202 상태의 다른 측면은 알려지지 않을 수 있다. 측정을 반복해도 상태는 변경되지 않는다. 어떤 경우에는 양립 가능한 측정이 상태를 더욱 정교하게 만들어 모든 측정에 해당하는 고유 상태가 되게 할 수 있다. 완전한 양립 가능한 측정 세트는 순수 상태를 생성한다. 순수하지 않은 상태는 모두 혼합 상태라고 하며 아래에서 더 자세히 논의된다.:204(p. 73)
슈뢰딩거 방정식의 고유 상태 해는 순수 상태로 형성될 수 있다. 실험에서는 순수 상태가 거의 생성되지 않는다. 따라서 해의 통계적 혼합을 실험과 비교해야 한다.:204
양자 상태 표현
동일한 물리적 양자 상태는 표현이라고 불리는 여러 가지 수학적 방식으로 표현될 수 있다. 위치 파동 함수는 양자 역학 입문서에서 흔히 처음 접하는 표현 중 하나이다. 동등한 운동량 파동 함수는 또 다른 파동 함수 기반 표현이다. 표현은 좌표계:244 또는 매개 변수 방정식과 같은 유사한 수학적 장치에 비유될 수 있다. 표현을 선택하면 문제의 일부 측면은 쉬워지지만 다른 측면은 어려워진다.
정식 양자 역학(아래 § 양자 물리학의 형식론 참조)에서는 특정 표현을 피하고 추상적인 '벡터 공간'을 사용하여 이론을 개발한다. 이를 통해 양자 역학의 많은 우아한 개념을 표현하고 고전적 유사성이 없는 경우에도 적용할 수 있다.:244
양자 상태 파동 함수 표현
파동 함수는 양자 상태를 나타내며, 특히 위치나 운동량의 함수인 경우 그렇다. 역사적으로 양자 상태의 정의는 보다 형식적인 방법이 개발되기 전에 파동 함수를 사용했다.:268 파동 함수는 가환 또는 양립 가능한 자유도의 완전 집합에 대한 복소수 값 함수이다. 예를 들어, 한 집합은 전자의  공간 좌표일 수 있다.
양립 가능한 관측 가능량의 완전 집합을 측정하여 시스템을 준비하면 순수 양자 상태가 생성된다. 더 일반적인 불완전한 준비는 혼합 양자 상태를 생성한다. 측정에 해당하는 연산자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 파동 함수 해는 순수 상태로 쉽게 표현될 수 있다. 예상 확률 분포를 계산하려면 실험 준비와 일치하는 통계적 가중치와 결합되어야 한다.:205
양자 상태 파동 함수 표현
양자 역학의 수치적 또는 분석적 해는 순수 상태로 표현될 수 있다. 고유 상태라고 불리는 이러한 해 상태는 양자화된 값, 일반적으로 양자수로 표시된다.
예를 들어, 수소 원자의 에너지 스펙트럼을 다룰 때, 관련 순수 상태는 주양자수 n, 각운동량 양자수 ℓ, 자기양자수 m, 그리고 스핀 z-성분 sz으로 식별된다. 또 다른 예로, 전자의 스핀이 어떤 방향으로든 측정될 때, 예를 들어 슈테른-게를라흐 실험을 통해, 두 가지 가능한 결과(위 또는 아래)가 있다. 여기서 순수 상태는 길이가 1인 2차원 복소수 벡터 로 표현된다. 즉,

여기서 와 는 와 의 절댓값이다.
양자 상태 파동 함수 표현
양자 역학의 공리는 주어진 시간 t에 순수 상태가 분해 가능 복소 힐베르트 공간의 벡터에 해당하며, 각 측정 가능한 물리량(입자의 에너지 또는 운동량 등)은 관측가능량이라고 불리는 수학적 연산자와 연관되어 있다고 명시한다. 이 연산자는 시스템의 상태에 작용하는 선형 함수 역할을 한다. 연산자의 고윳값은 관측 가능량의 가능한 값에 해당한다. 예를 들어, 운동량 연산자의 고윳값 중 하나가 1 kg·m/s인 경우에만 1 kg·m/s의 운동량을 가진 입자를 관측할 수 있다. 고윳값 1 kg·m/s에 해당하는 고유 벡터(물리학자들은 이것을 고유 상태라고 부른다)는 1 kg·m/s의 확실하고 잘 정의된 운동량 값을 가진 양자 상태이며, 양자 불확정성이 없다. 운동량이 측정되면 결과는 1 kg·m/s가 보장된다.
양자 상태 파동 함수 표현
반면에 여러 다른 고유 상태의 중첩으로 기술되는 순수 상태는 일반적으로 주어진 관측 가능량에 대해 양자 불확정성을 가진다. 브라-켓 표기법을 사용하여 고유 상태의 선형 결합은 다음과 같이 표현될 수 있다.:22,171,172

선형 결합에서 특정 상태에 해당하는 계수는 복소수이므로 상태 간의 간섭 효과를 허용한다. 계수는 시간에 따라 달라진다. 양자 상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지는 시간 진화 연산자에 의해 지배된다.
혼합 양자 상태는 순수 상태의 확률적 혼합에 해당한다. 그러나 다른 순수 상태 분포는 동등한(즉, 물리적으로 구별할 수 없는) 혼합 상태를 생성할 수 있다. 양자 상태의 혼합은 다시 양자 상태이다.
양자 상태 파동 함수 표현
밀도 행렬 공식화에서 전자 스핀의 혼합 상태는 에르미트이고 양의 준정부이고 대각합이 1인  행렬의 구조를 가진다. 더 복잡한 경우는 브라-켓 표기법으로 단일항 상태에 의해 주어진다. 단일항 상태는 양자 얽힘을 예시한다.

이는 스핀 1/2를 가진 두 입자의 공동 스핀 상태의 양자 중첩을 포함한다. 단일항 상태는 입자의 스핀이 같은 방향으로 측정될 때 첫 번째 입자의 스핀이 위로 관측되고 두 번째 입자의 스핀이 아래로 관측되거나, 첫 번째 입자의 스핀이 아래로 관측되고 두 번째 입자의 스핀이 위로 관측되는 두 가지 가능성이 동일한 확률로 발생하는 속성을 만족한다.
양자 상태 파동 함수 표현
순수 양자 상태는 복소수에 대한 사영 힐베르트 공간의 광선으로 표현될 수 있지만, 혼합 상태는 밀도 행렬로 표현된다. 밀도 행렬은 힐베르트 공간에 작용하는 양의 준정부 연산자이다.
슈뢰딩거-HJW 정리는 주어진 혼합 상태를 순수 상태의 볼록 조합으로 작성하는 다양한 방법을 분류한다.
양자 시스템에 대해 특정 측정이 수행되기 전에, 이론은 결과에 대한 확률 분포만을 제공하며, 이 분포가 취하는 형태는 양자 상태와 측정을 설명하는 선형 연산자에 의해 완전히 결정된다. 서로 다른 측정에 대한 확률 분포는 불확정성 원리로 예시되는 상충 관계를 보인다. 즉, 한 실험에 대해 가능한 결과의 좁은 분포를 의미하는 상태는 필연적으로 다른 실험에 대해 가능한 결과의 넓은 분포를 의미한다.
양자 상태 파동 함수 표현
상태의 통계적 혼합은 다른 유형의 선형 결합이다. 상태의 통계적 혼합은 독립 시스템의 통계적 앙상블이다. 통계적 혼합은 지식의 정도를 나타내는 반면 양자 역학 내의 불확정성은 근본적이다. 수학적으로 통계적 혼합은 복소 계수를 사용한 결합이 아니라, 서로 다른 상태 의 실수 값, 양의 확률을 사용한 결합이다. 숫자 은 무작위로 선택된 시스템이 상태 에 있을 확률을 나타낸다. 선형 결합의 경우와 달리 각 시스템은 확실한 고유 상태에 있다.
관측 가능량 A의 기댓값 는 관측 가능량의 측정값의 통계적 평균이다. 이 평균과 확률 분포가 물리 이론에 의해 예측된다.
모든 관측 가능량에 대해 동시에 고유 상태인 상태는 없다. 예를 들어, 위치 측정 Q(t)과 운동량 측정 P(t) (동일한 시간 t에)이 모두 정확하게 알려진 상태를 준비할 수 없다. 적어도 그 중 하나는 가능한 값의 범위를 가질 것이다. 이것이 하이젠베르크 불확정성 관계의 내용이다.
또한, 고전역학과 달리 시스템에 대한 측정을 수행하는 것이 일반적으로 시스템의 상태를 변화시키는 것은 피할 수 없다.:4 더 정확하게 말하자면: 관측 가능량 A를 측정한 후 시스템은 A의 고유 상태에 있을 것이다. 따라서 시스템이 이미 그 고유 상태에 있지 않았다면 상태가 바뀌었을 것이다. 이것은 일종의 논리적 일관성을 표현한다. 만약 우리가 동일한 실험에서 A를 두 번 측정하고, 측정이 시간적으로 직접 연속적이라면, 그들은 동일한 결과를 생성할 것이다. 그러나 이것은 다음과 같이 몇 가지 이상한 결과를 초래한다.
두 개의 양립 불가능한 관측량 A와 B를 고려하자. 여기서 A는 B보다 시간적으로 먼저 측정된다.
시스템이 실험 시작 시 B의 고유 상태에 있다고 가정하자. 만약 우리가 B만 측정한다면, 모든 실험 실행은 동일한 결과를 산출할 것이다.
만약 우리가 동일한 실험 실행에서 먼저 A를 측정하고 그 다음에 B를 측정한다면, 첫 번째 측정 후에 시스템은 A의 고유 상태로 전이될 것이고, 우리는 일반적으로 B의 결과가 통계적이라는 것을 알게 될 것이다. 따라서: 양자 역학적 측정은 서로에게 영향을 미치며, 수행되는 순서가 중요하다.
양자 상태의 또 다른 특징은 여러 하위 시스템으로 구성된 물리적 시스템을 고려할 때 관련성을 가진다. 예를 들어, 한 입자가 아닌 두 입자로 구성된 실험이다. 양자 물리학은 고전 이론으로는 설명할 수 없는 두 입자에 대한 측정 간에 특정 통계적 상관 관계를 보이는 얽힌 상태라고 불리는 특정 상태를 허용한다. 자세한 내용은 양자 얽힘을 참조하라. 이러한 얽힌 상태는 양자 이론과 대체 고전(비양자) 모델을 구별할 수 있게 하는 실험적으로 테스트 가능한 속성(벨 부등식)으로 이어진다.
관측가능량이 시간에 따라 달라지는 것으로 취하고, 상태 σ는 실험 시작 시 한 번 고정된다고 볼 수 있다. 이 접근 방식을 하이젠베르크 묘사라고 한다. (이 접근 방식은 위 논의의 후반부에서 시간적으로 변하는 관측가능량 P(t), Q(t)와 함께 사용되었다.) 동등하게, 관측가능량은 고정된 것으로 취하고, 시스템의 상태는 시간에 따라 달라진다고 볼 수 있다. 이것은 슈뢰딩거 묘사로 알려져 있다. (이 접근 방식은 위 논의의 전반부에서 시간적으로 변하는 상태 와 함께 사용되었다.) 개념적으로(그리고 수학적으로) 두 접근 방식은 동등하며, 그 중 하나를 선택하는 것은 관례의 문제이다.
두 관점 모두 양자 이론에서 사용된다. 비상대론적 양자역학은 일반적으로 슈뢰딩거 묘사로 공식화되지만, 상대론적 맥락, 즉 양자장론에서는 하이젠베르크 묘사가 종종 선호된다. 상호작용 묘사와 비교하라.:65
양자 상태 양자 물리학의 형식론
양자 물리학은 일반적으로 다음과 같이 선형대수학의 용어로 공식화된다. 주어진 시스템은 유한 또는 무한 차원 힐베르트 공간과 동일시된다. 순수 상태는 노름 1의 벡터에 해당한다. 따라서 모든 순수 상태의 집합은 힐베르트 공간의 단위구에 해당하는데, 단위구는 노름 1의 모든 벡터 집합으로 정의되기 때문이다.
순수 상태에 스칼라를 곱하는 것은 (상태 자체만 고려한다면) 물리적으로 중요하지 않다. 복소 힐베르트 공간 의 벡터가 어떤 0이 아닌 복소수를 곱하여 다른 벡터에서 얻을 수 있다면, 의 두 벡터는 의 사영 힐베르트 공간 의 동일한 광선에 해당한다고 말한다. 비록 광선이라는 단어가 사용되더라도, 엄밀히 말하면 사영 힐베르트 공간의 점은 힐베르트 공간의 원점을 통과하는 직선에 해당하며, 반직선이나 기하학적 의미의 광선에는 해당하지 않는다.
양자 상태 양자 물리학의 형식론
각운동량은 플랑크 상수와 동일한 차원(M·L2·T−1)을 가지며, 양자 규모에서는 양자 시스템의 이산적인 자유도처럼 행동한다. 대부분의 입자는 고전 역학에서는 전혀 나타나지 않고 디랙의 상대론적 이론 일반화에서 파생된 일종의 고유 각운동량을 가진다. 수학적으로는 스피너로 기술된다. 비상대론적 양자 역학에서는 리 군 SU(2)의 군 표현이 이 추가 자유도를 기술하는 데 사용된다. 주어진 입자에 대해 표현의 선택(따라서 스핀 관측 가능량의 가능한 값의 범위)은 환원된 플랑크 상수 ħ 단위로 정수 (0, 1, 2, ...) 또는 반정수 (1/2, 3/2, 5/2, ...)인 음이 아닌 숫자 S로 지정된다. 스핀 S를 가진 질량 있는 입자의 경우, 스핀 양자수 m은 항상 집합

에 있는 2S + 1개의 가능한 값 중 하나를 취한다.
그 결과, 스핀을 가진 입자의 양자 상태는 C2S+1의 값을 갖는 벡터 값 파동 함수로 기술된다. 동등하게, 그것은 네 개의 변수의 복소수 값 함수로 표현된다. 일반적인 세 개의 연속 변수(공간에서의 위치)에 하나의 이산 양자수 변수(스핀)가 추가된다.
양자 상태 양자 물리학의 형식론
N개의 입자로 구성된 시스템의 양자 상태(각 입자는 스핀을 가질 수 있음)는 입자당 4개의 변수(3개의 공간 좌표와 스핀에 해당)를 가진 복소수 값 함수로 기술된다. 예를 들어,
여기서, 스핀 변수 mν는 다음 집합의 값을 취한다.

여기서 는 ν번째 입자의 스핀이다. 스핀을 나타내지 않는 입자의 경우 이다.
동일한 입자의 취급은 보손(정수 스핀을 가진 입자)과 페르미온(반정수 스핀을 가진 입자)에 대해 매우 다르다. 위 N-입자 함수는 입자 번호에 대해 (보손의 경우) 대칭화되거나 (페르미온의 경우) 반대칭화되어야 한다. 만약 모든 N개의 입자가 동일하지 않고 그 중 일부만 동일하다면, 함수는 각 동일한 변수 그룹에 해당하는 변수에 대해 별도로 (반)대칭화되어야 하며, 이는 해당 통계(보손 또는 페르미온)에 따른다.
전자는 S = 1/2의 페르미온이고, 광자(빛의 양자)는 S = 1의 보손이다 (비록 진공에서는 질량 없는 상태이며 슈뢰딩거 역학으로는 기술될 수 없지만).
대칭화 또는 반대칭화가 필요하지 않은 경우, N-입자 상태 공간은 단순히 1-입자 공간의 텐서곱으로 얻을 수 있으며, 이는 나중에 다시 논의될 것이다.
양자 상태 양자 물리학의 형식론
분해 가능 복소 힐베르트 공간 에 속하는 상태 는 의 정규 직교 기저의 요소들의 선형 결합으로 항상 고유하게 표현될 수 있다.
브라-켓 표기법을 사용하면, 어떤 상태 도 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 의미한다.

여기서 복소 계수 와 기저 요소 가 있다. 이 경우, 정규화 조건은 다음과 같이 변환된다.

물리적 용어로, 는 "기저 상태" , 즉 관측 가능량의 고유 상태의 양자 중첩으로 표현되었다. 특히, 만약 해당 관측 가능량이 정규화된 상태 에서 측정된다면,

는 측정 결과가 일 확률이다.:22
일반적으로 확률에 대한 표현은 항상 양자 상태와 관측되는 동역학 변수(즉, 확률 변수)의 스펙트럼의 일부 사이의 관계를 포함한다.:98:53 예를 들어, 위 상황은 고윳값 가 점 스펙트럼에 속하는 이산적인 경우를 설명한다. 마찬가지로, 파동 함수는 해당 고윳값 (시스템의 에너지)를 가진 해밀토니언 연산자의 고유 함수일 뿐이다.
양자 상태 양자 물리학의 형식론
연속적인 경우의 예는 위치 연산자에 의해 주어진다. 상태 에 있는 시스템의 확률 측도는 다음으로 주어진다.

여기서 는 주어진 위치에서 입자를 찾을 확률 밀도 함수이다. 이 예들은 상태와 관측 가능량 사이의 특성 구분을 강조한다. 즉, 가 에 속하는 순수 상태인 반면, 위치 연산자의 (일반화된) 고유 벡터는 그렇지 않다.
밀접하게 관련되어 있지만, 순수 상태는 양자 불확정성이 없는 관측 가능한 양의 순수 점 스펙트럼에 속하는 속박 상태와 동일하지 않다. 입자는 모든 시간 동안 유한한 공간 영역에 국한되어 있으면 속박 상태에 있다고 말한다. 순수 상태 는 오직 모든 에 대해 콤팩트 집합 가 존재하여

모든 에 대해 성립할 때 속박 상태라고 불린다. 이 적분은 입자가 시간 에 유한한 영역 에서 발견될 확률을 나타낸다. 만약 이 확률이 에 임의로 가깝게 유지된다면 입자는 에 머무른다고 말한다.
예를 들어, 자유 슈뢰딩거 방정식의 정규화 불가능한 해는 파동 묶음을 사용하여 정규화 가능한 함수로 표현될 수 있다. 이 파동 묶음은 수학적으로 관측 가능량을 구성하는 해당 사영 연산자의 순수 점 스펙트럼에 속한다.:48 그러나 이들은 속박 상태가 아니다.
양자 상태 양자 물리학의 형식론
위에서 언급했듯이 양자 상태는 중첩될 수 있다. 만약 와 가 양자 상태에 해당하는 두 개의 켓이라면, 켓

또한 동일한 시스템의 양자 상태이다. 와 는 모두 복소수일 수 있으며, 이들의 상대적 진폭과 상대적 위상은 결과 양자 상태에 영향을 미칠 것이다.
중첩된 상태를 다음을 사용하여 작성하면,

상태의 노름을 다음과 같이 정의한다.

그리고 공통 인수를 추출하면 다음과 같다.

전체 위상 인수는 물리적 효과가 없다.:108 오직 상대 위상만이 중첩의 물리적 본질에 영향을 미친다.
중첩의 한 예는 이중슬릿 실험이며, 여기서 중첩은 양자 간섭을 초래한다. 상대 위상의 중요성에 대한 또 다른 예는 라비 진동으로, 두 상태의 상대 위상은 슈뢰딩거 방정식으로 인해 시간이 지남에 따라 달라진다. 그 결과 중첩은 두 가지 다른 상태 사이에서 앞뒤로 진동하게 된다.
순수 양자 상태는 위에서 설명한 대로 단일 켓 벡터로 기술될 수 있는 상태이다. 혼합 양자 상태는 순수 상태의 통계적 앙상블이다(양자통계역학 참조).(p. 73)
양자 상태 양자 물리학의 형식론
혼합 상태는 양자 역학에서 두 가지 다른 상황에서 발생한다. 첫째, 시스템의 준비가 완전히 알려지지 않았을 때, 따라서 가능한 준비의 통계적 앙상블을 다루어야 할 때. 둘째, 다른 물리적 시스템과 얽혀 있는 물리적 시스템을 기술하고자 할 때, 그 상태는 순수 상태로 기술될 수 없기 때문이다. 첫 번째 경우, 이론적으로 시스템의 전체 역사를 아는 다른 사람이 있을 수 있으며, 따라서 동일한 시스템을 순수 상태로 기술할 수 있다. 이 경우 밀도 행렬은 단순히 양자 상태에 대한 제한된 지식을 나타내는 데 사용된다. 그러나 두 번째 경우, 양자 얽힘의 존재는 이론적으로 하위 시스템에 대한 완전한 지식의 존재를 방지하며, 어떤 사람도 얽힌 쌍의 하위 시스템을 순수 상태로 기술하는 것은 불가능하다.
혼합 상태는 복합 양자 시스템 에 얽힌 상태가 있고,  부분이 관찰자에게 접근할 수 없을 때 순수 상태에서 필연적으로 발생한다.(pp. 121-122)  부분의 상태는 그 다음 에 대한 부분 대각합으로 표현된다.
양자 상태 양자 물리학의 형식론
혼합 상태는 단일 켓 벡터로 기술될 수 없다.(pp. 691-692) 대신, 일반적으로 ρ로 표시되는 관련 밀도 행렬(또는 밀도 연산자)로 기술된다. 밀도 행렬은 혼합 상태와 순수 상태를 모두 동일한 방식으로 기술할 수 있다. 더욱이, 힐베르트 공간 로 기술되는 주어진 양자 시스템의 혼합 양자 상태는 충분히 큰 힐베르트 공간 에 대한 더 큰 이분 시스템 에 있는 순수 양자 상태(정화라고 함)의 부분 대각합으로 항상 표현될 수 있다.
혼합 상태를 나타내는 밀도 행렬은 다음 형식의 연산자로 정의된다.

여기서 ps는 각 순수 상태 에 있는 앙상블의 부분이다. 밀도 행렬은 단일 입자 형식론을 사용하여 유사한 입자들의 행동을 기술하는 한 가지 방법으로, 이러한 입자들이 존재할 수 있는 상태의 확률 분포(또는 앙상블)를 제공하는 것으로 생각할 수 있다.
밀도 행렬이 순수 상태를 설명하는지 혼합 상태를 설명하는지 확인하는 간단한 기준은 ρ2의 대각합이 상태가 순수하면 1과 같고, 상태가 혼합이면 1보다 작다는 것이다. 또 다른 동등한 기준은 폰 노이만 엔트로피가 순수 상태의 경우 0이고 혼합 상태의 경우 양수라는 것이다.
양자 역학에서의 측정 규칙은 밀도 행렬로 표현하기 특히 간단하다. 예를 들어, 관측 가능한 A에 해당하는 측정의 앙상블 평균(기댓값)은 다음과 같다.

여기서 와 는 연산자 A의 고유켓과 고윳값이며, "tr"은 대각합을 나타낸다.(p. 73) 두 가지 유형의 평균이 발생한다는 점을 주목하는 것이 중요하다. 하나( 에 대한 평균)는 양자가 상태 에 있을 때 관측량의 일반적인 기댓값이고, 다른 하나( 에 대한 평균)는 양자가 해당 상태에 있을 확률 ps를 가진 통계적(즉 비간섭성) 평균이다.
양자 상태 수학적 일반화
상태는 벡터 공간의 벡터가 아닌 관측 가능량의 용어로 공식화될 수 있다. 이들은 C* 대수, 또는 때로는 다른 종류의 관측 가능량 대수에서 양수 정규화된 선형 함수이다.
자세한 내용은 C* 대수에서의 상태와 겔판트-나이마르크-세갈 구성을 참조하라.
양자 상태 더 읽어보기
양자 상태의 개념, 특히 위의 양자 물리학의 형식론 섹션의 내용은 대부분의 양자 역학 표준 교과서에서 다루어진다.
개념적 측면과 고전적 상태와의 비교에 대한 논의는 다음을 참조하라.
수학적 측면에 대한 더 자세한 내용은 다음을 참조하라.
혼합 양자 상태의 정화에 대한 논의는 칼텍의 물리학 219 존 프레스킬의 강의 노트 2장을 참조하라.
기하학적 측면에 대한 논의는 다음을 참조하라.
쿼드메디슨
주식회사 쿼드메디슨(영어: QuadMedicine)은 대한민국의 의학 기기 제조업체이다.
피부를 통한 약물전달 기술인 ‘마이크로니들(Microneedle)’ 플랫폼을 보유하고 있으며 직접 의약품을 개발하는 것이 아닌 위탁생산 혹은 기술이전이 주된 사업으로 하고 있다.
쿼드메디슨 기술
S-MAP(Separable Microneedle Array Patch)은 약물이 포함된 미세 바늘 끝이 피부에 삽입되면 자동 분리돼 체내에 흡수되는 마이크로니들이다.
C-MAP(Coated Microneedle Array Patch)은 액상의 백신 또는 약물을 정밀하게 마이크로니들 표면에 코팅, 마이크로니들이 진피층에 도달하면 체액에 의해 약물 코팅이 용해되는 방식의 마이크로니들이다.
P-MAP(Powder-attached Microneedle Array Patch)은 바늘 끝에 고형화된 약물 입자를 붙여 만든 패치 방식의 마이크로니들이다.
양자역학에서의 측정
양자 물리학에서 측정(영어: measurement)은 수치적 결과를 얻기 위해 물리계를 시험하거나 조작하는 것이다. 양자 이론의 근본적인 특징은 예측이 확률적이라는 것이다. 확률을 찾는 절차는 양자 시스템을 수학적으로 설명하는 양자 상태와 그 시스템에 수행될 측정의 수학적 표현을 결합하는 것을 포함한다. 이 계산 공식은 보른 규칙으로 알려져 있다. 예를 들어, 전자와 같은 양자 입자는 공간의 각 지점에 확률 진폭이라는 복소수를 연결하는 양자 상태로 설명될 수 있다. 이 진폭에 보른 규칙을 적용하면 전자를 찾는 실험이 수행될 때 전자가 한 영역 또는 다른 영역에서 발견될 확률을 얻을 수 있다. 이것이 이론이 할 수 있는 최선이다; 전자가 어디에서 발견될지는 확실히 말할 수 없다. 동일한 양자 상태는 전자의 위치 대신 운동량을 측정하는 실험이 수행될 경우 전자가 어떻게 움직일지에 대한 예측을 하는 데도 사용될 수 있다. 불확정성 원리는 양자 상태가 무엇이든 간에 전자의 위치에 대한 예측 범위와 운동량에 대한 예측 범위가 모두 좁을 수 없음을 암시한다. 일부 양자 상태는 위치 측정 결과에 대한 거의 확실한 예측을 의미하지만, 운동량 측정 결과는 매우 예측 불가능하며 그 반대도 마찬가지이다. 또한, 자연이 벨 부등식으로 알려진 통계적 조건을 위반한다는 사실은 양자 측정 결과의 예측 불가능성이 양자 시스템 내의 "국소적 숨은 변수"에 대한 무지로 인해 설명될 수 없음을 나타낸다.
양자역학에서의 측정
양자 시스템을 측정하는 것은 일반적으로 그 시스템을 설명하는 양자 상태를 변화시킨다. 이것은 양자역학의 핵심 특징이며, 수학적으로 복잡하고 개념적으로 미묘하다. 어떤 측정 결과가 발생할 수 있는지, 그리고 양자 상태가 어떻게 변할 수 있는지에 대한 예측을 위한 수학적 도구는 20세기 동안 개발되었으며 선형대수학과 함수해석학을 사용한다. 양자 물리학은 경험적인 성공을 거두었으며 광범위한 적용 가능성을 가지고 있음을 입증했다. 그러나 더욱 철학적 수준에서는 측정 개념의 의미에 대한 논쟁이 계속되고 있다.