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심리적 유연성
심리적 유연성(psychological flexibility) 혹은 유연성(flexibility)은 사람이 환경 변화를 다룰 수 있고 새롭고 창조적인 방식으로 문제와 과업을 생각할 수 있는 정도를 설명하는 성격 특질(personality trait)이다. 이 특질은 스트레스 유발자나 기대하지 않은 사건이 발생할 때 작동하며, 사람에게 입장이나 시야, 노력의 투입 여하(commitment)를 바꿔야 한다고 요구한다.
유연성은 상황이 요구하는 것들에 적응하고, 삶이 요구하는 것들의 균형을 잘 잡아주며, 행동으로 전념하는 능력을 말한다.
유연한 성격은 인지적 유연성(cognitive flexibility)과 헷갈려서는 안된다. 인지적 유연성은 두 가지 개념 사이를 오고 가는 능력이자 복합적인 개념들을 동시에 떠올리는 능력늘 말한다. 인지적 유연성 연구자들은 한 사람의 과업들 사이에서 사고와 주의를 오고 가는 능력으로 묘사한다.
심리적 유연성 측정/평가
심리적 유연성 정의에는 다양한 측면이 있기 때문에 측정하기는 어렵다. 측정을 시도하는 여러 설문이 있다.
수용 및 행동 설문(The Acceptance and Action Questionnaire, AAQ)은 경험적 회피(experiential avoidance) 측정을 위해 설계되었다. 이 테스트는 회피 수준이 높을 수록 전반적인 정신병, 우울, 불안, 공포 수준도 높고, 삶릐 질은 더 낮아진다고 밝혔다.
또한 AAQ는 회피 대처(avoidant coping)와 자기기만 긍정성(self-deceptive positivity)을 측정한디. 이후 AAQ는 실제로 경험적 회피가 아니라 심리적 유연성을 측정하였다는 것이 결정되었다. AAQ-II가 나왔을 때까지 사용되었다.
심리적 유연성 측정/평가
AAQ-II는 척도 간결성, 항목 문구, 측정에서 획득되는 불충분한 알파(alpha) 수준을 일으키는 항목 선택 절차 등의 AAQ의 결점을 향상시키기 위히여 개발되었다. AAQ-II 점수는 정신 건강과 직무 부재율 등의 많은 결과를 예측한다. 또한 원 AAQ테 비하여 AAQ-II는 보다 많은 정신측정학적으로 일관되었다.
유연성의 연구실 측정은 얼마나 사람이 실제 삶에서 유연한지에 관한 것이 일관된다. 주로 일관되지 않은 결과로 인하여, AAQ 가치는 다시 의문이 제기되어 왔다. 연구들에서는 AAQ의 두 버전은 경험적 회피보다는 신경증/부적정서와 같은 것을 측정하는 것처럼 보였다.
심리적 유연성 삶에의 영향
연구는 부모의 양육에 있어서의 심리적 유연성은 부모의 고통과 아이의 고통 사이의 관계에 영향을 줄 수 있다는 것을 보여준다. 부모가 심리적으로 유연하지 못하면 이들은 가족에 더 많은 스트레스를 야기한다.
비슷한 한 연구에서는 6년 이상 학생들(7학년-12학년) 간의 양육 유형 인지와 심리적 유연성과의 장기적 관계를 살펴보았다. 심리적 유연성은 나이와 함께 줄어들었다. 아동이 성장하면서 자기 사고와 습관에 더욱 설정되고 이를 통해 환경 때문에 자신을 바꾸는 경향은 더 줄어들었다. 또한 연구 결과는 권위적인 부모 양육 유형 아동의 심리적 유연성을 낮추는 것으로 보였다. 아동을 과잉통데하는 부모는 아이가 스트레스 유발자를 잘 다루는 법을 제한하는 경향이 크다. 또한 심리적 유연성이 보다 큰 9학년 아동은 권위주의자가 되는 경향(authoritarian)은 더 줄어들었으면서도 이후에 권위를 갖춘 신뢰할 수 있는(authoritative) 양육 유형을 보일 가능성은 더 커졌다.
심리적 유연성 삶에의 영향
권위를 갖춘 신뢰할 수 있는 양육 유형(authoritative parenting style)은 아동의 심리적 유연성과 관련 있는 것으로 보인다. 이러한 부모는 다른 양육 유형의 부모보다도 따뜻하고 공정하며 격려하는 경향이 더 큰데, 이는 이런 부모 밑에서 자란 아동의 심리적 유연성이 더 큰 이유이기도 하다. 이런 아동은 독립적이고 지지를 받도록 격려를 받으며, 그리하여 예측된 대로 가지 않는 상황에 아동이 적응할 수 있는 능력을 갖추게 된다.
심리적 유연성 삶에의 영향
심리적 유연성은 정신 건강을 향상시킨다. 매개변수(mediating variable)는 사람들이 자신의 일을 더 잘 통제할 수록 심리적 유연성이 더 커진다는 작업 제어(job control)이다. 이는 노동자나 피고용자가 자신이 할 수 있는 일에 대한 금기나 제한이 덜하며 문제 해결에 대한 권한을 더 많이 부여받았다고 느끼는데서 유래하는 경향이 있다. 심리적 유연성과 업무 통제에 관한 한 종적 연구에서는 이러한 변수가 노동자의 정신 건강, 업무 성과(job performance), 새로운 소프트웨어 학습 능력을 추측할 수 있게 한다. 연구는 직장에서의 심리적 유연성의 힘을 보여준다. 즉 심리적 유연성을 갖춘 노동자는 정신 건강과 업무 성과가 더 뛰어난 것이다. 노동자가 업무 통제를 더 잘 갖추게 하는 것은 노동자의 심리적 유연성을 증대함으로써 노동생산성을 증대시킬 수 있다. 리더십 연구에서 유연성은 "다른 여러 집단과 잘 어울리며 많은 조직의 요구에 적응할 줄 아는 능력(the ability to get along with different groups and adapt to the demands of many organizations)"으로 정의하며, 스킬을 획득하고 한 무리에서 다음 무리로 옮겨갈 줄 아는 능력을 말하는 '이식가능성(portability)'의 한 측면이다.
심리적 유연성 삶에의 영향
대처할 수 있고 유연할 줄 아는 능력은 심리 건강과 양적 상관성을 갖는다. 유연성은 우울, 불안, 스트레스를 줄인다. 한 실험에서는 암검진 남성들의 감정 확인 및 설명의 어려움(difficulty identifying and describing feelings, DIDF)과 심리적 유연성의 관계를 분석하였다. 그 결과 DIDF와 심리적 유연성은 정신 건강 예측 지표로서 신뢰할 수 있다. 심리적 유연성을 통하여 실험 참가자들은 유쾌한 감정과 불쾌한 감정의 미묘함을 더 잘 이해하였다. 이러한 이해를 통하여 참가자들은 자신의 감정 확인 및 설명을 더 잘하렸소 정신 건강이 고양되었다.
2년에 걸쳐 이뤄진 한 종적 연구에서는 심리적 유연성은 장기적 감정 조정 능력을 돕는다고 밝혀졌다. 자신의 람정 표현을 높이거나 억제하는 능력이 더 뛰어난 사람들은 시간이 지나면서 스트레스를 덜 받는 경향이 있다. 또한 심리적 유연성이 클수록 지구력도 더 크고 고통에 대한 인내심도 더 크며, 신체적 고통을 겪을 때 원래의 기본 수준으로 회복하는 것도 더 빠르다.
심리적 유연성 증진 방법
심리적 유연성은 다양한 심리치료 등을 통하여 트레이닝을 통하여 향상시킬 수 있다.
The main goal of 수용전념치료(acceptance and commitment therapy, ACT)의 주요 목적은 심리적 유연성의 증대이다. 피할 수 없는 사건을 수용하고 목적으로 향하는 행동이 무엇인지를 파악하며 생각을 수용하거나 무시하는 것이 아니라 인지하게 하는데 도움을 준다. 수용전념치료에 관한 한 연구에서 심리적 유연성을 통하여 심리적 고통이 강력하게 경감하는 것을 볼 수 있었다. 수용전념치료 개입에서의 핵심 과정은 다음 6개이다. 수용(acceptance), 인지적 해리(cognitive defusion), 맥락으로서의 자기(self as context), 현재에 머무르기(being present), 가치(values), 몰입 행동(committed action)
수용
사람들이 자기 감정을 제거하려 하는 것이 아니라 포용하는 것을 가르친다. 예를 들어, 분노를 느끼고 분노에 주목하며, 분노를 제거하기 위하여 분노를 폭발시키는 것이 아니라, 자신이 분노하고 있다는 것을 수용한다.
심리적 유연성 증진 방법
인지적 해리
부정적인 생각을 믿을 수 있는 가능성을 줄이고 원하는대로 행동하는데 필요한 유연성을 늘리기 위하여, 생각을 액면 그대로 사실로 받아들이지 말 것을 가르친다. 예를 들어, "난 최악이야(I am the worst.)"라고 생각하고, 생각에 대하여 그것이 무엇을 의미하는지 주목하는 것이다. 말로 설명하자면, "나는 내가 최악이라는 생각을 갖고 있다(I am having the thought that I am the worst.)"고 스스로에게 말하는 것이다. 이는 자신이 뛰어난 부분에 대하여 생각함으로써 생각에 맞서는 인지치료(cognitive therapy) 접근법과는 반대된다.
맥락으로서의 자기
자신의 경험에 고착하는 것이 아니라 그것을 알아차리게 한다. 특정한 생각이나 내용을 버리게 하는데 도움을 준다.
현재에 머무르기
순간에 집중하고 알아차리는 것을 통하여 직접 세상을 경험하는 것을 가르친다. 예를 들어, 명상(meditation)과 마음챙김(mindfulness)이 있다.
심리적 유연성 증진 방법
가치
자신이 선택한 자질(quality)을 증대하기 위한 행동을 취하는 법을 가르친다. 예를 들어, 어렸을 적 아버지가 자신을 양육하는 것에 있어 고통스러운 기억을 가지고 있는 이가 그 기억을 완화함으로써(행동) 아빠가 되려는 것에 대한 개선책을 계속하기로 선택(선택한 자질)한 이가 있다. 목적은 고통을 북돋는 것이 아니라 좋은 아빠 되기처럼 가치있는 선택을 위하여 고통을 다루게 하려는 것이다.
몰입 행동
선택한 자질을 증대하기 위하여 행동의 변화를 만들도록 가르친다. 몰입 행동은 단•중•장기적 목적을 방해할 심리적 장벽을 알아차리고, 목적 달성을 위하여 장벽을 뚫고 나가는 것이다.
주뭄바이 대한민국 총영사관
주뭄바이 대한민국 총영사관(영어: Consulate General of the Republic of Korea in Mumbai, 힌디어: मुंबई में कोरिया गणराज्य के महावाणिज्य दूतावास)은 인도 뭄바이에 위치한 대한민국 외교부 소속 총영사관이다. 이 공관은 인도 마하라슈트라주, 구자라트주, 고아주, 마디아프라데시주, 텔랑가나주, 다만 디우, 다드라 나가르하벨리를 관할한다.
레너드-존스 퍼텐셜
계산화학, 분자물리학 및 물리화학에서 레너드-존스 퍼텐셜(영어: Lennard-Jones potential, LJ 퍼텐셜(영어: LJ potential) 또는 12-6 퍼텐셜(영어: 12-6 potential)이라고도 하며, 존 레너드-존스의 이름을 따서 명명됨)은 분자간 쌍 퍼텐셜이다. 모든 분자간 퍼텐셜 중에서 레너드-존스 퍼텐셜은 아마도 가장 광범위하게 연구된 퍼텐셜일 것이다. 이것은 단순하면서도 실제적인 분자간 상호작용의 원형 모델로 간주된다. 레너드-존스 퍼텐셜은 더 복잡한 물질에 대한 분자 모델(일명 힘장)에서 구성 요소로 자주 사용된다. 이상적인 "레너드-존스 물질"에 대한 많은 연구는 퍼텐셜을 사용하여 물질의 물리적 본성을 이해한다.
레너드-존스 퍼텐셜 개요
레너드-존스 퍼텐셜은 단순한 원자 및 분자 간의 상호작용의 본질적인 특징을 여전히 설명하는 간단한 모델이다. 즉, 그림에서 볼 수 있듯이 두 상호작용하는 입자는 매우 가까운 거리에서 서로 반발하고, 중간 거리에서 서로 끌어당기며, 무한한 거리에서는 결국 상호작용을 멈춘다. 레너드-존스 퍼텐셜은 쌍 퍼텐셜이며, 즉, 삼체 또는 다체 상호작용은 퍼텐셜에 포함되지 않는다.
일반적인 레너드-존스 퍼텐셜은 반발 퍼텐셜 과 인력 퍼텐셜 을 경험적으로 결정된 계수 과 을 사용하여 결합한다.

레너드-존스는 1931년 논문에서
을 사용하여 런던 분산력과 일치시키고 를 실험 데이터와 일치시켜 사용할 것을 제안했다.  및 로 설정하면 널리 사용되는 레너드-존스 12-6 퍼텐셜이 얻어진다.

여기서 r은 상호작용하는 두 입자 사이의 거리이고, ε는 퍼텐셜 우물의 깊이이며, σ는 입자-입자 퍼텐셜 에너지 V가 0이 되는 거리이다. 레너드-존스 12-6 퍼텐셜은  거리에서 최소값을 가지며, 이때 퍼텐셜 에너지는  값을 갖는다.
레너드-존스 퍼텐셜 개요
레너드-존스 퍼텐셜은 일반적으로 물질 (특히 연성물질) 이론 개발뿐만 아니라 계산 방법 및 알고리즘 개발 및 테스트를 위한 표준 선택이다.
과거에는 구형 대칭 입자 간의 단순한 연성 반발 및 인력 상호작용, 즉 그림에 표시된 일반적인 모양을 모델링하기 위해 수많은 분자간 퍼텐셜이 제안되었다. 다른 퍼텐셜의 예로는 모스 퍼텐셜, 미에 퍼텐셜, 버킹엄 퍼텐셜 및 탕-토니에스 퍼텐셜이 있다. 이러한 일부는 실제 유체를 모델링하는 데 더 적합할 수 있지만, 레너드-존스 퍼텐셜의 단순성, 그리고 실제 유체 거동을 정확하게 포착하는 놀라운 능력 때문에 역사적으로 가장 일반적인 중요성을 갖는 쌍 퍼텐셜이 되었다.
레너드-존스 퍼텐셜 역사
1924년, 레너드-존스가 케임브리지 대학교에서 박사 학위를 받은 해에 그는 궁극적으로 그의 이름을 따서 명명될 쌍 퍼텐셜에 대한 일련의 획기적인 논문을 발표했다. 이 논문들에서 그는 퍼텐셜의 매개변수를 조정한 다음 그 결과를 기체 점성도 모델에 사용하여 실험과 일치하는 값 세트를 찾았다. 그의 초기 결과는 반발 와 인력 을 제시했다.
레너드-존스 이전에 1903년으로 거슬러 올라가면, 구스타프 미에는 유효장 이론을 연구했다. 에두아르트 그뤼나이젠은 고체에 대한 미에의 연구를 기반으로  및 이 고체에 필요함을 보여주었다. 이 작업의 결과로 레너드-존스 퍼텐셜은 고체물리학에서 때때로 미에-그뤼나이젠 퍼텐셜이라고 불린다.
1930년 양자역학의 발견 이후, 프리츠 론돈은 이론적으로 장거리 인력이 을 가져야 한다고 예측했다. 1931년 레너드-존스는 이 형태의 퍼텐셜을 사용하여 유체의 많은 특성을 설명함으로써 많은 후속 연구의 토대를 마련했다.
레너드-존스 퍼텐셜 무차원 (환산 단위)
무차원 환산 단위는 레너드-존스 퍼텐셜 매개변수를 기반으로 정의될 수 있으며, 이는 분자 시뮬레이션에 편리하다. 수치적 관점에서 이 단위 시스템의 장점은 단위에 더 가까운 값을 계산하고, 단순화된 방정식을 사용하며, 결과를 쉽게 스케일링할 수 있다는 점을 포함한다. 이 환산 단위 시스템은 레너드-존스 퍼텐셜의 크기 매개변수 와 에너지 매개변수 , 그리고 입자 질량 의 지정을 요구한다. 모든 물리적 속성은 해당 차원을 고려하여 간단하게 변환될 수 있으며, 표를 참조하라. 환산 단위는 종종 약어로 표시되며 별표로 표시된다.
일반적으로 환산 단위는 길이 매개변수와 에너지 매개변수로 구성된 다른 분자 상호작용 퍼텐셜에도 적용될 수 있다.
레너드-존스 퍼텐셜 장거리 상호작용
레너드-존스 퍼텐셜은 식 (1)과 상단 그림에서 볼 수 있듯이 무한한 범위를 가진다. 이러한 점을 고려할 때에만 '진정한' 완전한 레너드-존스 퍼텐셜이 검토된다. 분자 시뮬레이션을 사용하여 레너드-존스 퍼텐셜에 의해 상호작용하는 입자 앙상블의 관측가능량을 평가하기 위해, 상호작용은 특정 거리까지만 명시적으로 평가될 수 있다. 이는 단순히 입자 수가 항상 유한하기 때문이다. 시뮬레이션에 적용되는 최대 거리는 일반적으로 '차단(cut-off)' 반경 이라고 한다 (레너드-존스 퍼텐셜이 반경 대칭이기 때문). '진정한' 완전한 레너드-존스(LJ) 퍼텐셜의 열역학적 속성 (거시적 또는 미시적)을 얻으려면 차단 반경을 넘는 퍼텐셜의 기여를 고려해야 한다.
레너드-존스 퍼텐셜 장거리 상호작용
시뮬레이션에서 장거리 상호작용의 영향을 설명하고 '완전한' 퍼텐셜의 충분히 좋은 근사를 유지하기 위해 다양한 보정 체계가 개발되었다. 이들은 유체의 구조에 대한 단순화된 가정에 기반을 둔다. 균일한 유체의 평형 연구와 같은 단순한 경우, 단순한 보정 항은 우수한 결과를 제공한다. 다른 경우, 예를 들어 다른 상을 가진 불균일 시스템 연구에서는 장거리 상호작용을 고려하는 것이 더 번거롭다. 이러한 보정은 일반적으로 '장거리 보정'이라고 불린다. 대부분의 속성에 대해 단순한 분석 표현이 알려져 있고 잘 확립되어 있다. 주어진 관측 가능량 에 대해 '보정된' 시뮬레이션 결과 는 실제로 샘플링된 값 와 장거리 보정 값 에서 간단히 계산된다. 예를 들어, 내부 에너지 이다. 진정으로 무한한 차단 거리 (열역학적 극한)에서의 레너드-존스 퍼텐셜의 가상적인 참 값 는 일반적으로 추정만 할 수 있다.
또한 장거리 보정 방식의 품질은 차단 반경에 따라 달라진다. 보정 방식에 대한 가정은 일반적으로 (매우) 짧은 차단 반경에서는 정당화되지 않는다. 이는 오른쪽 그림의 예시에 나와 있다. 주어진 차단 거리에서 보정 방식의 나머지 오차가 충분히 작으면 장거리 보정 방식이 수렴되었다고 한다 (그림 참조).
레너드-존스 퍼텐셜 확장 및 수정
레너드-존스 퍼텐셜은 분자간 퍼텐셜의 원형으로서, 보다 정교하거나 일반화된 분자간 퍼텐셜 개발의 출발점으로 여러 번 사용되었다. 레너드-존스 퍼텐셜의 다양한 확장 및 수정이 문헌에서 제안되었으며, 더 광범위한 목록은 '원자간 퍼텐셜' 문서에 나와 있다. 다음 목록은 레너드-존스 퍼텐셜과 직접적으로 관련되어 역사적 중요성과 현재 연구에 여전히 관련 있는 몇 가지 예시 퍼텐셜만을 언급한다.
미에 퍼텐셜: 미에 퍼텐셜은 레너드-존스 퍼텐셜의 일반화된 버전이다. 즉, 지수 12와 6이 매개변수 와 로 도입된다. 특히 압축률 및 음속과 같은 열역학적 미분 속성은 분자간 퍼텐셜의 반발 부분 기울기에 매우 민감한 것으로 알려져 있어 미에 퍼텐셜을 통해 더 정교하게 모델링할 수 있다. 미에 퍼텐셜의 최초 명시적 공식화는 에두아르트 그뤼나이젠에게 귀속된다. 따라서 미에 퍼텐셜은 실제로 레너드-존스 퍼텐셜보다 먼저 제안되었다. 미에 퍼텐셜은 구스타프 미에의 이름을 따서 명명되었다.
레너드-존스 퍼텐셜 확장 및 수정
이중 중심 레너드-존스 퍼텐셜: 이중 중심 레너드-존스 퍼텐셜은 동일한 두 개의 레너드-존스 상호작용 사이트(, ,  동일)가 강체로 결합된 것으로 구성된다. 이는 종종 2CLJ로 약칭된다. 일반적으로 신장(레너드-존스 사이트 간 거리)은 크기 매개변수 보다 훨씬 작다. 따라서 두 상호작용 사이트는 상당히 융합되어 있다.
레너드-존스 절단 및 스플라인 퍼텐셜: 레너드-존스 절단 및 스플라인 퍼텐셜은 거의 사용되지 않지만 유용한 퍼텐셜이다. 더 인기 있는 LJTS 퍼텐셜과 유사하게, 특정 '끝' 거리 에서 단단히 절단되며 그 이상에서는 장거리 상호작용이 고려되지 않는다. 잠재력이 연속되도록 시프트된 LJTS 퍼텐셜과 달리, 레너드-존스 절단 및 스플라인 퍼텐셜은 임의적이지만 유리한 스플라인 함수를 사용하여 연속적으로 만들어진다.
레너드-존스 퍼텐셜 확장 및 수정
레너드-존스 절단 및 이동(LJTS) 퍼텐셜은 '완전한' 레너드-존스 퍼텐셜(식 (1) 참조)의 자주 사용되는 대안이다. '완전한' 레너드-존스 퍼텐셜과 '절단 및 이동된' 레너드-존스 퍼텐셜은 엄격하게 구분되어야 한다. 이들은 단순히 다른 분자간 퍼텐셜이며 다른 열역학적 특성을 산출한다. 레너드-존스 절단 및 이동 퍼텐셜은 다음과 같이 정의된다.

다음과 같다.
따라서 LJTS 퍼텐셜은 에서 절단되고 해당 에너지 값 만큼 이동된다. 후자는 에서 퍼텐셜의 불연속적인 점프를 방지하기 위해 적용된다. LJTS 퍼텐셜의 경우 를 넘는 장거리 상호작용은 명시적으로든 암시적으로든 필요하지 않다. 레너드-존스 절단 및 이동 퍼텐셜의 가장 일반적으로 사용되는 버전은 인 경우이다. 그럼에도 불구하고, 문헌에서는 다양한  값이 사용되었다. 주어진 절단 반경 를 가진 각 LJTS 퍼텐셜은 그 자체로 퍼텐셜이자 물질로 간주되어야 한다.
레너드-존스 퍼텐셜 확장 및 수정
LJTS 퍼텐셜은 '완전한' 레너드-존스 퍼텐셜보다 계산 비용이 훨씬 저렴하지만, 여전히 물질의 본질적인 물리적 특징(임계점 및 삼중점의 존재, 연성 반발 및 인력 상호작용, 상 평형 등)을 포함한다. 따라서 LJTS 퍼텐셜은 새로운 알고리즘, 시뮬레이션 방법 및 새로운 물리 이론을 테스트하는 데 사용된다.
흥미롭게도 균일 시스템의 경우 주어진 거리에서 LJ 및 LJTS 퍼텐셜로부터 계산된 분자간 힘은 동일하지만(가 동일하므로), 퍼텐셜 에너지와 압력은 이동에 의해 영향을 받는다. 또한 LJTS 물질의 특성은 선택된 시뮬레이션 알고리즘, 즉 MD 또는 MC 샘플링에 의해 추가로 영향을 받을 수 있다 (이는 '완전한' 레너드-존스 퍼텐셜의 경우에는 일반적으로 해당되지 않는다).
인 LJTS 퍼텐셜의 경우, 퍼텐셜 에너지 변화는 퍼텐셜 우물에서의 분산 에너지의 약 1/60이다: . 오른쪽 그림은 '완전한' 레너드-존스 퍼텐셜과 '레너드-존스 절단 및 이동' 퍼텐셜의 기액 평형 비교를 보여준다. '완전한' 레너드-존스 퍼텐셜 결과는 LJTS 퍼텐셜 결과에 비해 훨씬 높은 임계 온도와 압력을 나타내지만, 임계 밀도는 매우 유사하다. 증기압과 증발 엔탈피는 포화 밀도보다 장거리 상호작용에 더 강하게 영향을 받는다. 이는 퍼텐셜이 주로 절단 및 이동에 의해 에너지적으로 조작되기 때문이다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 퍼텐셜은 계산화학 및 연성물질 물리학에서 근본적으로 중요할 뿐만 아니라 실제 물질의 모델링에도 중요하다. 레너드-존스 퍼텐셜은 물질의 거동에 대한 근본적인 연구와 원자 현상 해명에 사용된다. 또한 우리 우주의 고전적인 3차원 공간 방향 대신 2차원 또는 4차원 물질의 열역학적 특성 연구와 같은 다소 특수한 용도에도 자주 사용된다.
레너드-존스 퍼텐셜의 주요 응용 분야는 두 가지이다. (i) 가상의 레너드-존스 물질 연구 및 (ii) 실제 물질 모델에서 상호작용 모델링. 이 두 가지 응용 분야는 다음에서 논의된다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 물질 또는 "레너드-존스륨"은 레너드-존스 퍼텐셜을 통해서만 상호작용하는 원자나 분자로부터 생성될 이상화된 물질에 부여된 이름이다.
통계역학과 컴퓨터 시뮬레이션은 레너드-존스 퍼텐셜을 연구하고 '레너드-존스 물질'의 열역학적 특성을 얻는 데 사용될 수 있다. 레너드-존스 물질은 종종 '레너드-존스륨'이라고 불리며, 이는 (가상의) 화학 원소로 간주됨을 시사한다. 게다가, 그 에너지와 길이 매개변수는 많은 다른 실제 물질에 맞게 조정될 수 있다. 레너드-존스 퍼텐셜과 그에 따른 레너드-존스 물질은 단순하지만 현실적인 모델이며, 이는 임계점과 삼중점, 응축 및 결빙의 존재와 같은 본질적인 물리적 원리를 정확하게 포착한다. 부분적으로는 수학적 단순성 때문에, 레너드-존스 퍼텐셜은 컴퓨터 시뮬레이션 초창기부터 물질 연구에 광범위하게 사용되어 왔다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 물질, 즉 레너드-존스 퍼텐셜과 상호작용하는 입자의 열물리적 특성은 통계역학을 사용하여 얻을 수 있다. 일부 특성은 해석적으로, 즉 기계 정밀도로 계산할 수 있지만, 대부분의 특성은 분자 시뮬레이션을 통해서만 얻을 수 있다. 후자는 일반적으로 통계적 및 체계적 불확실성에 중첩된다. 예를 들어 비리얼 계수는 대수 표현을 사용하여 레너드-존스 퍼텐셜에서 직접 계산할 수 있으며 보고된 데이터는 따라서 불확실성이 없다. 주어진 온도 및 밀도에서의 압력과 같은 분자 시뮬레이션 결과는 통계적 및 체계적 불확실성을 모두 가진다. 레너드-존스 퍼텐셜의 분자 시뮬레이션은 일반적으로 분자 동역학 (MD) 시뮬레이션 또는 몬테카를로 (MC) 시뮬레이션을 사용하여 수행할 수 있다. MC 시뮬레이션의 경우 레너드-존스 퍼텐셜 가 직접 사용되지만, MD 시뮬레이션은 항상 퍼텐셜의 미분, 즉 힘 을 기반으로 한다. 장거리 상호작용 처리의 차이와 이러한 차이는 계산된 열역학적 특성에 영향을 미칠 수 있다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스륨은 단순하면서도 현실적인 분자간 상호작용 모델링의 원형이기 때문에, 문헌에는 수많은 열역학적 특성이 연구되고 보고되었다. 레너드-존스 퍼텐셜에 대한 컴퓨터 실험 데이터는 현재 고전 역학 계산 화학에서 가장 정확하게 알려진 데이터로 간주된다. 따라서 이러한 데이터는 새로운 알고리즘과 이론을 검증하고 테스트하는 벤치마크로도 주로 사용된다. 레너드-존스 퍼텐셜은 분자 시뮬레이션 초창기부터 꾸준히 사용되어 왔다. 레너드-존스 퍼텐셜에 대한 컴퓨터 실험의 첫 번째 결과는 1953년에 빠른 컴퓨팅 머신에서 분자 시뮬레이션을 수행할 수 있게 된 후 로젠블루스(Rosenbluth)와 로젠블루스(Rosenbluth)와 우드(Wood)와 파커(Parker)가 보고했다. 그 이후로 많은 연구에서 레너드-존스 물질의 데이터를 보고했으며, 약 50,000개의 데이터 포인트가 공개적으로 이용 가능하다. 레너드-존스 물질의 열역학적 특성에 대한 현재 연구 상태는 슈테판(Stephan) 외가 요약했다. (이는 수송 및 혼합물 특성을 다루지 않았다). 미국 국립표준기술연구소 (NIST)는 분자 동역학 및 몬테카를로 코드의 예시와 그로부터 얻은 결과를 제공한다. 레너드-존스 유체의 수송 특성 데이터는 벨(Bell) 외와 라우텐슐레거(Lautenschaeger)와 하세(Hasse)에 의해 수집되었다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
오른쪽 그림은 레너드-존스 유체의 상평형 그림을 보여준다. 레너드-존스 퍼텐셜의 상평형은 여러 번 연구되었으며, 그에 따라 오늘날 높은 정밀도로 알려져 있다. 이 그림은 컴퓨터 실험 결과에서 도출된 상관관계를 보여준다 (따라서 데이터 포인트 대신 선이 표시되어 있다).
레너드-존스 입자의 평균 분자간 상호작용은 열역학적 상태, 즉 온도와 압력 (또는 밀도)에 크게 의존한다. 고체 상태에서는 특히 저온에서 레너드-존스 인력이 지배적인 역할을 한다. 액체 상태에서는 고체 상태와 비교하여 정돈된 구조가 존재하지 않는다. 입자당 평균 퍼텐셜 에너지는 음의 값이다. 기체 상태에서는 레너드-존스 퍼텐셜의 인력 상호작용이 미미한 역할을 한다. 왜냐하면 입자들이 멀리 떨어져 있기 때문이다. 기체 상태의 내부 에너지 대부분은 운동 에너지로 저장된다. 초임계 상태에서는 레너드-존스 인력이 미미한 역할을 한다. 온도가 증가함에 따라 입자의 평균 운동 에너지가 증가하고 레너드-존스 퍼텐셜 우물의 에너지를 초과한다. 따라서 입자들은 주로 퍼텐셜의 연성 반발 상호작용을 통해 상호작용하며, 입자당 평균 퍼텐셜 에너지는 그에 따라 양의 값이다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
전반적으로 레너드-존스 퍼텐셜이 연구된 오랜 기간과 문헌에 보고된 열역학적 특성 데이터, 그리고 (현대적 기준으로는) 정확한 시뮬레이션에 불충분했던 계산 자원 때문에 상당량의 데이터가 신뢰할 수 없는 것으로 알려져 있다. 그럼에도 불구하고 많은 연구에서 이러한 데이터가 참고 자료로 사용된다. 데이터 저장소 및 데이터 평가의 부족은 레너드-존스 퍼텐셜 연구의 오랜 분야에서 미래 작업에 중요한 요소이다.
레너드-존스 퍼텐셜의 가장 중요한 특징적인 점은 임계점과 기액고 삼중점이다. 이들은 문헌에서 여러 번 연구되었고 참고문헌에 정리되었다. 임계점은 다음과 같이 위치한 것으로 평가되었다.
주어진 불확실성은 가장 신뢰할 수 있는 기액 평형 데이터 세트에서 도출된 임계 매개변수의 표준 편차로부터 계산되었다. 이러한 불확실성은 유체의 임계점을 분자 시뮬레이션 결과로부터 얻을 수 있는 정확도의 하한으로 가정할 수 있다.
삼중점은 현재 다음과 같이 위치한 것으로 가정된다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
불확실성은 다른 저자들의 데이터의 산포를 나타낸다. 레너드-존스 물질의 임계점은 삼중점보다 훨씬 더 자주 연구되었다. 임계점과 기액고 삼중점 모두에 대해 여러 연구에서 위에서 언급된 범위 밖의 결과가 보고되었다. 위에 언급된 데이터는 현재 정확하고 신뢰할 수 있는 것으로 가정되는 데이터이다. 그럼에도 불구하고 임계 온도와 삼중점 온도의 결정성은 여전히 불만족스럽다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
명백히, 상공존 곡선(그림 참조)은 레너드-존스 퍼텐셜을 특징짓는 데 근본적으로 중요하다. 또한 브라운의 특성 곡선은 레너드-존스 퍼텐셜의 본질적인 특징을 설명하는 그림을 제공한다. 브라운의 특성 곡선은 물질의 특정 열역학적 특성이 이상기체의 특성과 일치하는 곡선으로 정의된다. 실제 유체의 경우, 와 그 미분값은 깁스 상률의 결과로 특정 ,  조합에서만 이상 기체의 값과 일치할 수 있다. 결과적으로 생성되는 점들이 집합적으로 특성 곡선을 구성한다. 네 가지 주요 특성 곡선이 정의된다. 0차 곡선(제논 곡선)과 세 가지 1차 곡선(아마가트, 보일, 샤를 곡선)이다. 특성 곡선은 전체적으로 음수 또는 0의 곡률을 가져야 하고 이중 로그 압력-온도 도표에서 단일 최대값을 가져야 한다. 또한 브라운의 특성 곡선과 비리얼 계수는 이상 기체의 극한에서 직접 연결되므로 에서 정확히 알려져 있다. 레너드-존스 퍼텐셜에 대한 컴퓨터 시뮬레이션 결과와 상태 방정식 결과 모두 문헌에 보고되었다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
제논 곡선 Z 상의 점들은 압축인자가 1, 즉 을 가진다. 제논 곡선은 보일의 온도 에서 시작하여 임계점을 둘러싸고, 저온 극한에서 기울기가 1이다. 보일 곡선 B 상의 점들은 을 가진다. 보일 곡선은 보일 온도에서 제논 곡선과 함께 시작하여 임계점을 희미하게 둘러싸고 증기압 곡선에서 끝난다. 샤를 곡선(일명 줄-톰슨 반전 곡선) 상의 점들은 을 가지며, 더 중요하게는 을 가진다. 즉, 등엔탈피 스로틀링 시 온도 변화가 없다. 이 곡선은 이상 기체 극한에서 에서 시작하여 제논 곡선을 가로지르고 증기압 곡선에서 끝난다. 아마가트 곡선 A 상의 점들은 을 가진다. 이 곡선 또한 이상 기체 극한에서 에서 시작하여 임계점과 다른 세 가지 특성 곡선을 둘러싸고 고체상 영역으로 들어간다. 레너드-존스 퍼텐셜의 특성 곡선에 대한 포괄적인 논의는 슈테판(Stephan)과 데이테르스(Deiters)에 의해 제공된다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 유체의 특성은 연성물질 물리학 및 관련 분야에서 레너드-존스 퍼텐셜의 탁월한 중요성으로 인해 문헌에서 광범위하게 연구되었다. 현재까지 기액 평형에 대한 컴퓨터 실험 데이터셋이 약 50개 출판되었다. 또한, 수년 동안 균일 유체 상태에서 35,000개 이상의 데이터 포인트가 출판되었으며, 최근에는 오픈 액세스 데이터베이스에서 이상치를 식별하기 위해 수집 및 평가되었다.
레너드-존스 물질의 기액 평형은 현재 증기압에 대해 , 포화 액체 밀도에 대해 , 포화 증기 밀도에 대해 , 증발 엔탈피에 대해 , 표면 장력에 대해 의 정밀도, 즉 열역학적으로 일관된 데이터 간의 상호 일치도로 알려져 있다. 이 현상 유지(status quo)는 단일 데이터 세트에 대해 일반적으로 보고되는 통계적 불확실성이 위의 값보다 훨씬 낮다는 사실(훨씬 더 복잡한 분자 힘장의 경우에도)을 고려할 때 만족스럽다고 볼 수 없다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
상 평형 특성과 임의 밀도에서의 균일 상태 특성은 일반적으로 분자 시뮬레이션을 통해서만 얻을 수 있는 반면, 비리얼 계수는 레너드-존스 퍼텐셜에서 직접 계산할 수 있다. 제2 및 제3 비리얼 계수에 대한 수치 데이터는 넓은 온도 범위에서 사용할 수 있다. 고차 비리얼 계수(16차까지)의 경우, 비리얼 계수 수가 증가함에 따라 사용 가능한 데이터 포인트 수가 감소한다. 또한 레너드-존스 유체의 수송 특성(점성, 열 전도성, 자기 확산 계수)도 연구되었지만, 데이터베이스는  또는 내부 에너지 데이터와 같은 균일 평형 특성보다 밀도가 훨씬 낮다. 또한 레너드-존스 유체를 설명하기 위해 많은 수의 분석 모델(상태 방정식)이 개발되었다(자세한 내용은 아래 참조).
레너드-존스 고체에 대한 데이터베이스와 지식은 유체 상보다 현저히 부족하다. 고체상에서의 상호작용은 쌍별 가법으로 근사되어서는 안 된다는 사실이 일찍이 인식되었다. 특히 금속의 경우 더욱 그렇다.
그럼에도 불구하고, 레너드-존스 퍼텐셜은 그 단순성과 계산 효율성 때문에 고체물리학에서 사용된다. 따라서 고체상과 고체-유체 상평형의 기본 특성은 여러 번 연구되었다. 예를 들어, 참조 참조.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 물질은 온도와 압력에 따라 fcc (면심 입방), hcp (육방 밀집) 및 기타 밀집 다형 격자를 형성한다 (위의 상평형 그림 참조). 저온에서 중간 압력까지는 hcp 격자가 에너지적으로 유리하며 따라서 평형 구조이다. fcc 격자 구조는 고온과 고압 모두에서 에너지적으로 유리하며 따라서 더 넓은 상태 범위에서 전반적으로 평형 구조이다. fcc와 hcp 상 사이의 공존선은 에서 약 에서 시작하여 약 에서 온도 최대치를 지나 약 에서 증기-고체 상 경계에서 끝나며, 이로써 삼중점을 형성한다. 따라서 fcc 고체상만이 액체 및 초임계상과 상평형을 나타낸다 (위의 상평형 그림 참조).
두 고체상(fcc와 hcp)과 기체상의 삼중점은 다음과 같이 보고되었다.
문헌에는 다른, 상당히 다른 값들도 보고되었다. 따라서 fcc-hcp-증기 삼중점에 대한 데이터베이스는 미래에 더욱 확고해져야 한다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 입자의 혼합물은 주로 용액 이론 및 방법 개발의 원형으로 사용되지만, 일반적으로 용액의 특성을 연구하는 데도 사용된다. 이는 롱게-히긴스와 릴랜드(Leland) 및 로울린슨(Rowlinson) 등 동료들의 적합 용액 이론에 대한 근본적인 연구로 거슬러 올라간다. 이들은 오늘날 대부분의 혼합물 이론의 기초가 된다.
두 개 이상의 레너드-존스 구성요소로 구성된 혼합물은 한 구성요소의 퍼텐셜 상호작용 매개변수( 또는 )를 다른 구성요소에 비해 변경하여 설정한다. 이진 혼합물의 경우, 이는 1-1, 2-2, 1-2 상호작용의 세 가지 유형의 쌍 상호작용을 생성하며, 이들 모두 레너드-존스 퍼텐셜로 모델링된다. 교차 상호작용 1-2의 경우, ,  및 , 로부터 매개변수  또는 를 지정하기 위한 추가 가정이 필요하다. 이러한 이른바 조합 규칙에는 다양한 선택(모두 다소 경험적이며 물리적 논리에 엄격하게 기반을 두지 않음)이 사용될 수 있다. 가장 널리 사용되는 조합 규칙은 로런츠와 베르텔로트(Berthelot)의 규칙이다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
매개변수 는 혼합물에 대한 추가적인 상태 독립적 상호작용 매개변수이다. 매개변수 는 일반적으로 1로 설정되는데, 산술 평균이 교차 상호작용 크기 매개변수에 대해 물리적으로 타당하다고 간주될 수 있기 때문이다. 반면 매개변수 는 종종 기하 평균을 조정하여 모델 혼합물의 상 거동을 재현하는 데 사용된다. 상태 방정식과 같은 해석 모델의 경우, 편차 매개변수는 일반적으로 로 표기된다. 이면 교차 상호작용 분산 에너지가 증가하고 이에 따라 이종 입자 간의 인력이 강화되며, 이면 이종 입자 간의 인력이 감소한다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
레너드-존스 혼합물의 경우 유체 및 고체 상평형, 즉 기액, 액액, 기체-기체, 고체-증기, 고액 및 고체-고체 평형을 연구할 수 있다. 이에 따라 다양한 유형의 삼중점 (삼상 평형) 및 임계점뿐만 아니라 다양한 공융계 및 공비점이 존재할 수 있다. 유체 영역의 이진 레너드-존스 혼합물(액체 및 기체상의 다양한 유형의 평형)는 고체상을 포함하는 상평형보다 더 포괄적으로 연구되었다. 문헌에는 다양한 레너드-존스 혼합물이 연구되었다. 현재까지 표준이 확립된 것은 없다. 일반적으로 이진 상호작용 매개변수와 두 구성요소 매개변수는 주어진 작업에 편리한 특성을 가진 혼합물을 얻도록 선택된다. 그러나 이로 인해 비교가 어려워지는 경우가 많다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
유체상 거동의 경우, 혼합물은 일 때 거의 이상적인 거동(라울의 법칙의 의미에서)을 나타낸다. 일 때는 인력 상호작용이 우세하여 혼합물은 고비점 공비혼합물을 형성하는 경향이 있다. 즉, 기액 평형을 안정화하기 위해 순수 구성요소의 증기압보다 낮은 압력이 필요하다. 일 때는 반발 상호작용이 우세하여 혼합물은 저비점 공비혼합물을 형성하는 경향이 있다. 이는 평균 분산력이 감소하기 때문에 기액 평형을 안정화하기 위해 순수 구성요소의 증기압보다 높은 압력이 필요하다. 특히 낮은  값은 액액 혼화성 간격을 유발할 수도 있다. 또한 캐롤 홀 등 동료 연구자들이 문헌에서 고체상을 포함하는 다양한 유형의 상평형을 연구했다. 또한 고체상 경계가 유체상 평형을 방해하는 경우도 있다. 그러나 고체상을 포함하는 상평형에 대한 출판 데이터는 희소하다.
레너드-존스 퍼텐셜 응용
최초의 컴퓨터 시뮬레이션으로 특성화 및 평가가 가능해진 이후로, 레너드-존스 퍼텐셜/물질에 대한 수많은 상태 방정식 (EOS)이 제안되었다. 레너드-존스 퍼텐셜의 근본적인 중요성 때문에 현재 사용 가능한 대부분의 분자 기반 EOS는 레너드-존스 유체를 중심으로 구축되어 있다. 이들은 스테판(Stephan) 외에 의해 포괄적으로 검토되었다.
레너드-존스 유체에 대한 상태 방정식은 연성물질 물리학 및 물리화학에서 특히 중요하며, 중합체 및 결합 유체와 같은 복합 유체에 대한 EOS 개발의 출발점으로 사용된다. 이러한 모델의 단량체 단위는 일반적으로 레너드-존스 EOS에서 직접 구성 요소로 채택된다. 예를 들어, PHC EOS, BACKONE EOS, 및 SAFT 유형 EOS.
30개 이상의 레너드-존스 EOS가 문헌에 제안되었다. 이러한 EOS에 대한 포괄적인 평가는 여러 EOS가 레너드-존스 퍼텐셜을 양호하고 유사한 정확도로 설명하지만, 그 중 어느 것도 탁월하지는 않다는 것을 보여주었다. 이들 EOS 중 세 가지는 일부 유체 영역에서 허용할 수 없는 비물리적 거동, 예를 들어 다중 반데르발스 루프를 보이지만, 그렇지 않으면 합리적으로 정확하다. 콜라파(Kolafa)와 네즈베다(Nezbeda)의 레너드-존스 EOS만이 레너드-존스 유체의 대부분의 열역학적 특성에 대해 견고하고 정확한 것으로 밝혀졌다. 또한 존슨(Johnson) 외의 레너드-존스 EOS는 콜라파와 네즈베다 EOS보다 거의 모든 사용 가능한 참조 데이터에 대해 덜 정확한 것으로 밝혀졌다.
레너드-존스 퍼텐셜은 실제 물질의 분자 모델링에 광범위하게 사용된다. 레너드-존스 퍼텐셜을 분자 모델링에 사용할 수 있는 두 가지 주요 방법이 있다. (1) 실제 물질 원자 또는 분자를 레너드-존스 퍼텐셜로 직접 모델링하는 것으로, 비활성 기체 및 메테인과 같이 분산적으로 상호작용하는 구형 입자에 대해 매우 좋은 결과를 제공한다. 메테인의 경우, 분자는 구형 대칭으로 가정하고 수소 원자는 탄소 원자와 공통 단위로 융합된다. 이러한 단순화는 일반적으로 더 복잡한 분자에도 적용될 수 있지만, 대개 좋지 않은 결과를 제공한다. (2) 실제 물질 분자를 여러 레너드-존스 상호작용 사이트로 구성하는 것으로, 이는 강체 결합 또는 유연한 추가 퍼텐셜(그리고 결국 부분 전하와 같은 다른 퍼텐셜 유형으로도 구성될 수 있음)로 연결될 수 있다. 분자 모델(종종 '힘장'이라고도 함)은 알케인과 같은 거의 모든 분자 및 이온 입자에 대해 이 체계를 사용하여 구성될 수 있다.
위에서 설명한 첫 번째 접근 방식을 사용할 때, 분자 모델은 레너드-존스 퍼텐셜의 두 매개변수 와 만을 사용하여 적합시킬 수 있다. 예를 들어, 아르곤의 경우 와 를 사용할 수 있다. 모델 매개변수 ε와 σ를 실제 물질 특성에 맞게 조정하면 레너드-존스 퍼텐셜을 사용하여 단순 물질(예: 비활성 기체)을 높은 정확도로 설명할 수 있다. 분명히 이 접근 방식은 구형 및 단순 분산 상호작용 분자 및 원자에 대한 좋은 근사치일 뿐이다. 레너드-존스 퍼텐셜을 직접 사용하는 것은 레너드-존스 퍼텐셜 및 물질에 대한 시뮬레이션 결과와 이론을 직접 사용할 수 있다는 큰 장점이 있다. 따라서 레너드-존스 퍼텐셜에 대한 사용 가능한 결과는 적절한 와 를 사용하여 직접 스케일링할 수 있다(환산 단위 참조). 레너드-존스 퍼텐셜 매개변수 와 는 일반적으로 원하는 실제 물질 특성에 맞게 조정할 수 있다. 연성 물질 물리학에서는 일반적으로 기액상 평형 또는 임계점에 대한 실험 데이터가 매개변수화에 사용되며, 고체물리학에서는 압축률, 열용량 또는 격자 상수가 사용된다.
레너드-존스 퍼텐셜을 길고 복잡한 분자의 구성 요소로 사용하는 두 번째 접근 방식은 훨씬 더 정교하다. 분자 모델은 시뮬레이션 결과가 해당 특정 모델에만 적용될 수 있도록 맞춤 제작된다. 분자 힘장에 대한 이러한 개발 접근 방식은 오늘날 주로 연성물질 물리학 및 화학공학, 화학, 계산 생물학 등 관련 분야에서 수행된다. 힘장의 상당수는 레너드-존스 퍼텐셜을 기반으로 한다. 예를 들어, TraPPE 힘장, OPLS 힘장, 그리고 MolMod 힘장 (분자 힘장에 대한 개요는 이 글의 범위를 벗어난다). 고체 상태 재료의 최첨단 모델링에는 더 정교한 다체 퍼텐셜(예: EAM 퍼텐셜)이 사용된다.
레너드-존스 퍼텐셜은 많은 응용 분야에서 분자간 상호작용을 잘 근사화한다. 즉, 레너드-존스 퍼텐셜을 사용하여 계산된 거시적 특성은 한편으로는 아르곤과 같은 단순 물질에 대한 실험 데이터와 잘 일치하며, 다른 한편으로는 퍼텐셜 함수 는 양자화학 결과와 상당히 일치한다. 레너드-존스 퍼텐셜은 유체 상에서의 분자 상호작용을 잘 설명하지만, 고체 상에서의 분자 상호작용은 대략적으로만 잘 설명한다. 이는 주로 다체 상호작용이 고체 상에서 중요한 역할을 하지만, 레너드-존스 퍼텐셜에는 포함되지 않기 때문이다. 따라서 레너드-존스 퍼텐셜은 연성물질 물리학 및 관련 분야에서 광범위하게 사용되는 반면, 고체물리학에서는 덜 자주 사용된다. 그 단순성 때문에 레너드-존스 퍼텐셜은 기체 및 단순 유체의 특성을 설명하고 분자 모델에서 분산 및 반발 상호작용을 모델링하는 데 자주 사용된다. 특히 비활성 기체 원자 및 메테인에 대해 정확하다. 또한 중성 원자 및 분자에 대한 장거리 및 단거리 분자 상호작용에 대한 좋은 근사치이다. 따라서 레너드-존스 퍼텐셜은 알케인 또는 물과 같은 복잡한 분자의 분자 모델의 구성 요소로 매우 자주 사용된다. 레너드-존스 퍼텐셜은 고체-유체 계면에서의 흡착 상호작용, 즉 물리흡착 또는 화학흡착을 모델링하는 데도 사용될 수 있다.
레너드-존스 퍼텐셜의 주요 한계는 퍼텐셜이 쌍 퍼텐셜이라는 점 (다체 상호작용을 다루지 않음)과 반발에  지수 항이 사용된다는 점이라는 것이 잘 알려져 있다. 양자화학 결과는 12보다 높은 지수, 즉 더 가파른 퍼텐셜이 사용되어야 함을 시사한다. 또한 레너드-존스 퍼텐셜은 유연성이 제한되어 있다. 즉, 실제 물질을 설명하기 위한 적합에는 두 가지 모델 매개변수 와 만 사용할 수 있다.
버킹엄 퍼텐셜
이론화학에서 버킹엄 퍼텐셜(영어: Buckingham potential)은 리처드 버킹엄이 제안한 공식으로, 직접 결합되지 않은 두 원자의 상호작용에 대한 파울리 배타 원리와 반데르발스 에너지 를 원자 간 거리 의 함수로 나타낸다. 이는 다양한 원자간 퍼텐셜의 한 종류이다.
여기서 , , 는 상수이다. 오른쪽 항의 두 항은 각각 에 대한 첫 번째 미분이 음수와 양수이므로, 반발력과 인력을 구성한다.
버킹엄은 기체 헬륨, 네온, 아르곤의 상태 방정식에 대한 이론적 연구에서 레너드-존스 퍼텐셜을 단순화하여 이를 제안했다.
버킹엄의 원 논문과 옌센의 저서 2.2.5절 등에서 설명하듯이, 반발력은 닫힌 전자 껍질의 상호침투로 인해 발생한다. "따라서 (퍼텐셜의) 반발 부분을 지수 함수로 선택하는 것이 정당하다." 버킹엄 퍼텐셜은 분자동역학 시뮬레이션에서 광범위하게 사용되어 왔다.
지수 항은 →으로 갈 때 상수로 수렴하지만,  항은 발산하므로, 이 작아질수록 버킹엄 퍼텐셜은 인력이 된다. 이는 매우 짧은 원자 간 거리를 가진 구조를 다룰 때 문제가 될 수 있는데, 특정 임계값을 넘는 핵은 거리 0에서 서로 강하게 (그리고 비물리적으로) 결합될 수 있기 때문이다.
버킹엄 퍼텐셜 수정된 버킹엄 (Exp-Six) 퍼텐셜
수정된 버킹엄 퍼텐셜은 "exp-six" 퍼텐셜이라고도 불리며, 채프먼과 코울링 충돌 이론에 기반하여 기체의 원자 간 힘을 계산하는 데 사용된다. 이 퍼텐셜의 형태는 다음과 같다.
여기서 는 원자 i와 원자 j 사이의 원자 간 퍼텐셜, 는 최소 퍼텐셜 에너지, 는 반발 에너지 기울기의 척도로  비율이며, 는 가 0이 되는  값이고, 은 최소 원자 간 퍼텐셜 에 도달할 수 있는  값이다. 이 퍼텐셜 함수는 일 때만 유효하며, 으로 갈 때 퍼텐셜은 로 감소한다. 이는 퍼텐셜이 최대화되는  값인 를 식별하여 수정된다. 일 때, 퍼텐셜은 무한대로 설정된다.
버킹엄 퍼텐셜 쿨롱-버킹엄 퍼텐셜
쿨롱-버킹엄 퍼텐셜은 세라믹 재료와 같은 이온 시스템에 적용하기 위해 버킹엄 퍼텐셜을 확장한 것이다. 상호작용 공식은 다음과 같다.
여기서 A, B, C는 적절한 상수이고, 추가 항은 정전기 퍼텐셜 에너지이다.
위 방정식은 다음 대체 형태로 쓸 수 있다.
여기서 는 최소 에너지 거리, 는 자유 무차원 매개변수, 는 최소 에너지의 깊이이다.
버킹엄 퍼텐셜 비스트 크라머 반 산텐 (BKS) 퍼텐셜
BKS 퍼텐셜은 실리카 유리 원자 간의 원자간 퍼텐셜을 시뮬레이션하는 데 사용될 수 있는 힘장이다. BKS 퍼텐셜은 실험 데이터에만 의존하기보다는, 작은 실리카 클러스터에 대한 제1원리 계산을 결합하여 가장 가까운 이웃 간의 정확한 상호작용을 설명함으로써 정확한 힘장의 기능을 수행한다. 실험 데이터는 가장 가까운 이웃을 넘어선 더 큰 규모의 힘 정보를 맞추는 데 적용된다. 미시 규모 및 거시 규모 정보를 결합함으로써 BKS 퍼텐셜의 적용 가능성은 실리카 다형체와 알루미늄 인산염, 탄소, 규소와 같이 동일한 클러스터 구조를 가진 다른 사면체 네트워크 산화물 시스템 모두로 확장되었다.
버킹엄 퍼텐셜 비스트 크라머 반 산텐 (BKS) 퍼텐셜
이 원자간 퍼텐셜의 형태는 일반적인 버킹엄 형태에 쿨롱 힘 항이 추가된 것이다. BKS 퍼텐셜 공식은 다음과 같이 표현된다.
여기서 는 원자 i와 원자 j 사이의 원자간 퍼텐셜이고, 과 는 전하량, 는 원자 간 거리이며, , 및 는 원자 종류에 따른 상수 매개변수이다.
일반적인 원자에 대한 BKS 퍼텐셜 매개변수는 다음과 같다.
BKS 퍼텐셜의 업데이트된 버전은 원자 중첩을 방지하기 위한 새로운 반발 항을 도입했다. 수정된 퍼텐셜은 다음과 같다.
여기서 상수 매개변수 는 실리카 유리에 대해 다음과 같은 값으로 선택되었다.
미에 퍼텐셜
미에 퍼텐셜(영어: Mie potential)은 원자 수준의 입자 간 상호작용을 설명하는 쌍 퍼텐셜이다. 주로 분자 간 상호작용을 설명하는 데 사용되지만, 때로는 분자 내 상호작용, 즉 결합을 모델링하는 데도 사용된다.
미에 퍼텐셜은 독일 물리학자 구스타프 미에의 이름을 따서 명명되었지만, 분자간 퍼텐셜의 역사는 더 복잡하다. 미에 퍼텐셜은 아마도 가장 널리 사용되는 쌍 퍼텐셜인 레너드-존스 퍼텐셜의 일반화된 경우이다.
미에 퍼텐셜 은 두 입자 사이의 거리 의 함수이며 다음과 같이 작성된다.
여기서
이다.
레너드-존스 퍼텐셜은 식 (1)에서 와 인 특수한 경우에 해당한다.
식 (1)에서 는 분산 에너지이고, 는 이 되는 거리를 나타내며, 이는 때때로 "충돌 반경"이라고 불린다. 매개변수 는 일반적으로 충돌에 관련된 입자의 크기를 나타낸다. 매개변수 과 은 퍼텐셜의 형태를 특징짓는다. 은 반발의 특성을 설명하고 은 인력의 특성을 설명한다.
미에 퍼텐셜
인력 지수 은 런던 분산력에 의해 물리적으로 정당화되지만, 반발 지수의 특정 값에 대한 정당성은 알려져 있지 않다. 반발 기울기 매개변수 은 압축률과 음속과 같은 열역학적 미분 특성 모델링에 상당한 영향을 미친다. 따라서 미에 퍼텐셜은 더 단순한 레너드-존스 퍼텐셜보다 더 유연한 분자간 퍼텐셜이다.
미에 퍼텐셜은 오늘날 분자 모델링의 많은 힘장에서 사용된다. 일반적으로 인력 지수는 으로 선택되는 반면, 반발 지수는 모델 피팅 중에 조정 가능한 매개변수로 사용된다.
미에 퍼텐셜 미에 물질의 열물리적 특성
레너드-존스 퍼텐셜에 의해 상호작용하는 입자로 정의되는 이론적인 물질인 레너드-존스 퍼텐셜의 경우와 같이, 주어진 미에 퍼텐셜에 의해 상호작용하는 단일 위치 구형 입자로 정의되는 미에 물질의 물질 분류가 존재한다. 무한한 수의 미에 퍼텐셜이 존재하기 때문에(다른 n, m 매개변수를 사용), 고유하게 정의되는 레너드-존스 물질과 달리 동일한 수의 미에 물질이 존재한다. 분자 모델링의 실제 응용 분야에서 미에 물질은 주로 비활성 기체와 같은 작은 분자 모델링과 더 큰 분자 또는 분자 집합까지도 그 구조가 단순화되고 단일 미에 입자로 설명되는 거친 입자 모델링에 주로 관련된다. 그러나 긴 사슬 알케인과 같은 더 복잡한 분자는 미에 입자의 균일한 사슬로 성공적으로 모델링되었다. 이처럼 미에 퍼텐셜은 "자유" 미에 입자에 의해 행동이 정확하게 포착되는 시스템보다 훨씬 더 복잡한 시스템을 모델링하는 데 유용하다.
미에 퍼텐셜 미에 물질의 열물리적 특성
미에 유체와 미에 입자로 구성된 사슬 분자의 열물리적 특성은 최근 몇 년 동안 수많은 논문의 주제가 되어왔다. 조사된 특성에는 비리얼 계수 및 계면, 기액 평형, 및 이동현상 특성이 포함된다. 이러한 연구를 기반으로 상호작용 퍼텐셜의 형태(n과 m으로 설명됨)와 열물리적 특성 간의 관계가 밝혀졌다.
또한, 미에 물질 및 미에 입자로 형성된 사슬 분자의 열물리적 특성을 설명하기 위한 많은 이론적(분석적) 모델이 개발되었는데, 여기에는 여러 열역학적 상태 방정식 및 이동현상 특성 모델이 있다.
다른 () 조합으로 유사한 상 거동을 나타낼 수 있으며, 이 퇴화는 다음 매개변수에 의해 포착된다는 것이 관찰되었다.
,
여기서 지수는 다르지만 동일한  매개변수를 갖는 유체는 동일한 상 거동을 보일 것이다.
미에 퍼텐셜 분자 모델링에 사용되는 미에 퍼텐셜
유연성 덕분에 미에 퍼텐셜은 힘장에서 실제 유체를 모델링하는 데 널리 사용된다. 오늘날 많은 분자 모델에서 상호작용 퍼텐셜로 사용된다. 포토프(Potoff)와 공동 연구자들이 개발한 것과 같이 여러 (신뢰할 수 있는) 결합 원자 전달성 힘장이 미에 퍼텐셜을 기반으로 한다. 미에 퍼텐셜은 거친 입자 모델링에도 사용되었다. 결합 원자 힘장과 전달성 힘장 모두에 대한 미에 힘장 모델을 구축하기 위한 전자 도구가 있다. 미에 퍼텐셜은 또한 작은 구형 분자를 모델링하는 데 사용되었다(즉, 직접적으로 미에 물질 — 위 참조). 아래 표는 몇 가지 예를 제공한다. 여기서는 분자 모델이 미에 퍼텐셜 자체의 매개변수만을 갖는다.