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피시디아의 안티오키아 멘 아스카이노스 성소
안티오키아 동쪽의 인접한 언덕, 높이 약 1600m(안티오키아에서 직선 거리로 3.5km, 실제 거리는 6km)에는 아나톨리아의 신비로운 신들 중 하나인 멘 아스카이노스에게 헌정된 성소가 있다. 이 언덕은 게멘 코루수(게멘의 숲) 또는 카라쿠유(동로마 제국 시대 교회의 마른 샘 옆에 있는 검은 우물 때문에)로 알려져 있다. 오늘날에도 이 언덕은 안티오키아의 아버지 신(파트리오스 테오스)의 신성한 나무인 소나무로 인해 매력적으로 남아있다. 이 성소는 남동쪽의 베이셰히르 호수, 남서쪽의 에이르디르 호수, 그리고 400m 아래의 안티오키아 영토를 볼 수 있는 높은 언덕에 세워졌다.
피시디아의 안티오키아 멘 아스카이노스 성소
20세기 초, 안티오키아의 발견자는 스트라본의 지리학에 언급된 성소에 대해 궁금해했고, 램지 팀은 성소로 이어지는 양쪽에 봉헌 비석이 있는 성스러운 행렬 도로를 발견했다. 그리고 연구자들은 그곳에서 테메노스 안에 있는 사원, 또 다른 작은 사원, 경기장, 안드론, 의례실, 비잔틴 교회 및 집 모양의 미확인 건물을 만났다. 비문들은 기원전 4세기에서 서기 4세기 사이에 오랜 기간 동안 성소에서 지역 신앙의 강력한 컬트가 지배했음을 나타낸다. 이들 중 다수는 매우 독특한 달의 표식과 함께 신전 벽에 직접 새겨져 있다.
램지와 하디는 멘 신전을 "대제단"으로 식별했는데, 아마도 페르가몬 제단과의 유사성 때문일 것이다. 이듬해 그들은 그 건물을 인식하고 "특이한 모양의 작은 신전"이라고 식별했다.
특히 안티오키아를 향한 남쪽-남서쪽 테메노스 벽에서는 멘에게 도움, 건강, 보호를 간청하고, 죄, 꿈, 용서를 빌고 감사를 표하는 등 파트리오스 테오스와의 삶을 나눈 봉헌 비석에 새겨진 많은 비문이 발견되었다.
이 신전은 11x6개의 기둥을 가진 페리프테랄 이오니아 양식 신전이다. 크기는 포디엄 기단에서 31x17.4, 포디엄에서 25x12.5이다. 포디엄의 남서쪽-북서쪽에는 10개의 계단이 있고, 남동쪽-북동쪽에는 6개의 계단이 있다.
유적지와 다른 건물들은 상태가 좋지 않다. 조사는 이루어졌지만, 유적지는 아직 발굴되지 않았다. 기독교의 성장과 함께 아나톨리아의 지역 다신교 종교 유적지와 황제 숭배와 같은 수입 컬트 유적지는 4세기에 체계적으로 훼손되었다. 이것이 오늘날에도 건물의 평면 사양을 명확하게 볼 수 없는 이유이다.
피시디아의 안티오키아 얄바치 박물관
이 지역에서의 지속적인 연구는 얄바치를 피시디아 지역에 대한 관심의 중심으로 만들고 있다. 지난 세기 초부터 연구와 발굴은 박물관의 필요성으로 이어졌다. 일부 초기 발견물은 콘야 박물관으로 갔다. 미국 발굴에서 발견된 유물들은 처음에는 고등학교에 보관되었지만, 원주민들이 많은 다양한 물건들을 가져오기 시작하면서 얄바치에 박물관을 건립해야 할 필요성이 생겼다. 1947년에는 발굴조차도 이 급증하는 물건들 때문에 저장고를 짓기 위해 중단되었다.
한동안 유물들은 얄바치 공공 도서관에 전시되었지만 필요는 계속되었고, 현재 건물은 1963년에 착공되어 1966년에 완공되었다.
박물관은 선사시대관, 고전관, 민족지관으로 구성되어 있으며 중앙에는 정원이 있고, 월요일을 제외하고 매일 08:30부터 17:30까지 개관한다.
입구 바로 왼쪽에 화석 유물이 전시되어 있는데, 이들은 얄바치에서 17km 떨어진 작은 마을 토크마지크에서 발견되었다. 이 유물들은 7백만에서 8백만 년 전의 후기 마이오세 시대에 속하는 여러 포유류의 잔해이다.
피시디아의 안티오키아 얄바치 박물관
연속된 창문에는 얄바치 지역의 17개 선사 시대 정착지 언덕 주변을 탐사한 마을 주민과 측량사들이 발견한 초기 청동기 시대 유물들이 전시되어 있다. 이 유물들, 즉 구운 점토 컵과 항아리, 여러 돌 유물, 도끼, 저울추, 인장, 조각상 등은 레이크 디스트릭트의 특징적인 양식을 반영한다.
이 홀은 박물관의 중앙 부분에 있으며, 대부분 안티오키아 발굴에서 발견된 유물들을 소장하고 있다. 전시된 유물들은 조각상, 조각상 파편, 초상화, 그리고 부조들로, 모두 아나톨리아의 정서와 융합된 고대 로마 식민지의 문화를 반영한다.
항아리, 보석, 향수병, 테라코타와 청동 조각상, 대리암 소조상, 멘 성소에서 온 봉헌 비석, 그리고 초기 십자가의 예시와 같은 일상용품들이 풍부하고 집중적인 컬렉션을 형성하며 전시되어 있다.
피시디아의 안티오키아 얄바치 박물관
12세기부터 얄바치에 정착한 튀르키예 문화의 아름다운 예시들이 이 갤러리에 전시되어 있다. 특히 인상적인 것은 조각된 나무 굴뚝, 천장, 문, 옷장이다. 다른 진열장에는 옷, 장신구, 무기, 메달과 같은 일상용품들이 전시되어 있다.
이곳에는 안티오키아 유적지에서 나온 건축 유물과 얄바치 및 그 주변에서 발견된 많은 돌들이 전시되어 있다.
박물관의 발전은 연구를 통해 계속되고 있다. 현재 보관 중인 유물들을 전시하기 위한 더 큰 박물관의 필요성이 있다. 동전, 필사본, 무기, 부조, 조각상 파편들은 여전히 새로운 갤러리에 전시되기를 기다리고 있다.
피시디아의 안티오키아 주변 마을
얄바치 주변의 마을들은 피시디아 안티오키아 고대 도시의 혈통을 가졌을 것으로 추정된다. 미첼 램지라는 영국인 탐험가는 이 지역의 고대 이오니아 정착민 노동자 계층과 얄바치 근처의 마나르가 마을을 연결했다. 그는 이 마을의 이름이 고대 아나톨리아 그리스어로 'man-arga' 또는 '노동자 사람들'을 의미한다고 추정했다. 그들의 신은 모든 숙련된 기술과 노동 절약 장치의 신인 헤파이스토스였다. 이 마을은 데데참으로 이름이 변경되었다. 램지는 농부와 사제였던 게레온테스와 아이기코레이스라는 두 부족의 정착민들에 대해 언급한다.
또한 마나르가 마을 근처에는 게레미/게레게미와 외쿠에네스라는 두 마을이 더 있다. 이 마을들은 서로 1km 거리에 있으며, 그 이름들은 게레온테스(농부들)와 아이기코레이스(사제들)와 놀랍도록 유사하다. 언덕 위에 위치한 외쿠에네스 마을에는 얄바치로 이어지는 오래된 모래길이 있는데, 이는 고대에 피시디아 안티오키아 고대 도시로 가기 위해 사용되었을 수 있다. 마나르가 마을의 중심부는 매우 높은 언덕이며, 근처에서 고대 인간 뼈가 발견되었다.
피시디아의 안티오키아 주변 마을
램지는 네 번째 이오니아 정착 부족인 호플리테스(군인)에 대해 언급하며, 피시디아의 안티오키아는 비그리스 원주민의 침략을 막기 위한 주둔 도시였다고 말한다. 피시디아를 안티오키아에서 방어한 군인들이 실제로 도시나 그 인근에 살았을 가능성이 높다.
마나르가 마을 남동쪽 끝에서 최근 작은 터널이 발견되었고, 연구자들은 이 터널이 에이르디르 호수에서 직접 시작되는 수로라고 결론지었다. 이것은 오리그마 암피스토몬으로 알려진 특징적인 고대 그리스 수로 터널이다. 에이르디르 호수에서 인근 여러 마을로 이어지는 여러 수로 터널이 있다. 이는 마나르가 마을이 실제로 고대 마을임을 확인시켜 준다.
움직이는 자석과 도체 문제
움직이는 자석과 도체 문제(영어: Moving magnet and conductor problem)는 고전 전자기학과 특수 상대성이론의 교차점에 관한 19세기에서 유래한 유명한 사고 실험이다. 이 문제에서 자석에 대해 일정한 속도 v로 움직이는 전기 전도체 내의 전류는 자석의 관성 좌표계와 도체의 관성 좌표계에서 계산된다. 실험에서 관측 가능한 양인 전류는 "오직 상대 운동만이 관측 가능하며, 절대적인 정지 기준은 없다"고 명시하는 상대성 원리에 따라 두 경우 모두 동일하다. 그러나 맥스웰 방정식에 따르면, 도체 내의 전하들은 자석 좌표계에서는 자기력(magnetic force)을, 도체 좌표계에서는 전기력(electric force)을 경험한다. 동일한 현상이 관찰자의 좌표계에 따라 두 가지 다른 설명으로 나타나는 것처럼 보인다.
이 문제는 피조 실험, 광행차, 그리고 더 간접적으로 마이컬슨-몰리 실험과 같은 부정적인 에테르 표류 실험과 함께 알베르트 아인슈타인의 상대성 이론 발전의 기초를 형성했다.
움직이는 자석과 도체 문제 서론
아인슈타인이 상대성이론을 세상에 소개한 1905년 논문은 자석/도체 문제에 대한 설명으로 시작한다.
움직이는 물체에 적용될 때, 현재 일반적으로 이해되는 맥스웰의 전자기학은 현상에 본질적이지 않은 비대칭을 초래하는 것으로 알려져 있다. 예를 들어, 자석과 도체의 상호 전자기 작용을 생각해보자. 여기서 관측 가능한 현상은 도체와 자석의 상대 운동에만 의존하지만, 일반적인 견해는 두 물체 중 하나가 움직이는 두 가지 경우를 날카롭게 구분한다. 자석이 움직이고 도체가 정지해 있다면, 자석 주변에 특정한 에너지를 가진 전기장이 발생하여 도체의 일부가 위치한 곳에 전류를 생성한다. 그러나 자석이 정지해 있고 도체가 움직인다면, 자석 주변에는 전기장이 발생하지 않는다. 하지만 도체에서는 자체적으로는 상응하는 에너지가 없는 기전력이 발생하는데, 이는 논의된 두 경우에서 상대 운동이 동일하다고 가정할 때, 전자의 경우 전기력에 의해 생성된 것과 동일한 경로와 강도의 전류를 생성한다.
 — A. Einstein, 움직이는 물체의 전기역학에 대하여 (1905)
움직이는 자석과 도체 문제 서론
다른 틀에서의 설명에 대한 가장 중요한 요구 사항은 일관성이다. 뉴턴 역학은 전하를 구동하고 전류를 발생시키는 힘에 대해 하나의 변환(소위 갈릴레이 불변성)을 예측하는 반면, 맥스웰 방정식으로 표현되는 전자기학은 이러한 힘을 발생시키는 장이 다르게 변환된다고 예측하기 때문에(즉, 로런츠 불변성에 따라), 일관성은 문제가 된다. 마이컬슨-몰리 실험으로 절정에 달한 광행차 관측은 로런츠 불변성의 유효성을 확립했으며, 특수 상대성이론의 발전은 뉴턴 역학과의 결과적인 불일치를 해결했다. 특수 상대성이론은 움직이는 기준계에서의 힘 변환을 로런츠 불변성과 일관되도록 수정했다. 이러한 변환의 세부 사항은 아래에서 논의된다.
움직이는 자석과 도체 문제 서론
일관성 외에도 설명들을 통합하여 틀에 독립적으로 보이게 하는 것이 바람직하다. 틀에 독립적인 설명에 대한 단서는 한 기준계의 자기장이 다른 기준계에서는 전기장이 된다는 관찰이다. 마찬가지로 전기장의 솔레노이드 벡터장 부분(전하에 의해 발생하지 않는 부분)은 다른 틀에서 자기장이 된다. 즉, 솔레노이드 전기장과 자기장은 같은 것의 다른 측면이다. 이는 다른 설명의 역설이 단지 의미론적일 수 있음을 의미한다. B와 E 대신 스칼라 및 벡터 전위 φ와 A를 사용하는 설명은 의미론적 함정을 피한다. 로런츠 불변 사차원 벡터 Aα = (φ / c, A)는 E와 B를 대체하고 틀에 독립적인 설명을 제공한다(비록 E–B–설명보다 덜 직관적이지만). 설명의 또 다른 통합은 나중에 설명될 전자기장 텐서를 물리적 실체로 생각하는 것이다. 이 텐서는 E와 B 필드를 구성 요소로 포함하며 모든 기준계에서 동일한 형태를 갖는다.
움직이는 자석과 도체 문제 배경
전자기장은 직접 관측할 수 없다. 고전 전자기장의 존재는 전하를 띤 입자의 운동에서 추론할 수 있으며, 이들의 궤적은 관측 가능하다. 전자기장은 고전 전하를 띤 입자의 관측된 운동을 실제로 설명한다.
물리학의 강력한 요구사항은 입자 운동을 관측하는 모든 관측자가 입자의 궤적에 동의해야 한다는 것이다. 예를 들어, 한 관측자가 입자가 표적의 중심과 충돌한다고 기록하면, 모든 관측자도 같은 결론에 도달해야 한다. 이 요구사항은 전자기장의 본질과 한 기준계에서 다른 기준계로의 변환 방식에 제약을 가한다. 또한 장이 전하를 띤 입자의 가속도, 그리고 따라서 궤적에 영향을 미치는 방식에도 제약을 가한다.
움직이는 자석과 도체 문제 배경
아마도 가장 간단한 예이자 특수 상대성이론을 소개한 알베르트 아인슈타인의 1905년 논문에서 언급된 것은 자석의 장에서 움직이는 도체의 문제이다. 자석의 기준계에서 도체는 자기력을 경험한다. 자석에 대해 움직이는 도체의 기준계에서 도체는 전기장으로 인한 힘을 경험한다. 자석 기준계의 자기장과 도체 기준계의 전기장은 도체에서 일관된 결과를 생성해야 한다. 아인슈타인이 1905년 당시, 맥스웰 방정식으로 표현된 장 방정식은 적절히 일관성이 있었다. 그러나 입자 궤적의 일관성을 제공하기 위해 뉴턴 운동 법칙이 수정되어야 했다.
움직이는 자석과 도체 문제 갈릴레이 변환을 가정한 장의 변환
자석 좌표계와 도체 좌표계가 갈릴레이 변환으로 관련되어 있다고 가정하면, 두 좌표계에서 장과 힘을 계산하는 것은 간단하다. 이것은 유도 전류가 두 좌표계에서 실제로 동일하다는 것을 보여줄 것이다. 부수적으로, 이 논증은 한 좌표계의 전기장과 자기장을 다른 좌표계의 장으로 표현하는 일반적인 공식을 산출할 것이다.
실제로 좌표계는 갈릴레이 변환이 아니라 로런츠 변환으로 관련되어 있다. 그럼에도 불구하고, 빛의 속력보다 훨씬 느린 속도에서는 갈릴레이 변환이 매우 좋은 근사치가 될 것이다.
프라임이 붙지 않은 양은 자석의 정지 좌표계에 해당하며, 프라임이 붙은 양은 도체의 정지 좌표계에 해당한다. v를 자석 좌표계에서 본 도체의 속도라고 하자.
자석의 정지 좌표계에서 자기장은 자석의 구조와 모양에 따라 결정되는 고정된 장 B(r)이다. 전기장은 0이다.
일반적으로 도체 내의 전하 q에 가해지는 전기장과 자기장에 의한 힘은 (SI 단위):

여기서 는 입자의 전하이고, 는 입자 속도이며 F는 로런츠 힘이다. 그러나 여기서는 전기장이 0이므로 입자에 가해지는 힘은
움직이는 자석과 도체 문제 갈릴레이 변환을 가정한 장의 변환
도체 좌표계에는 시간에 따라 변하는 자기장 B′가 있으며, 이는 자석 좌표계의 자기장 B와 다음과 같이 관련되어 있다.
 여기서
이 좌표계에는 전기장이 존재하며, 그 회전은 맥스웰-패러데이 방정식에 의해 주어진다.
이는 다음을 산출한다.
이것을 설명하자면: 만약 도체가 z-축을 따라 일정한 속도 로 기울기 를 가진 B-장 안에서 움직인다면, 도체 좌표계에서는 다음과 같이 된다.  이 방정식은 다음 식과 일치함을 알 수 있다.  이 표현에서 와 를 구하여 첫 번째 표현에 대입하고 다음을 사용하면 된다.  아주 작은 기울기 의 극한에서도 이 관계는 유효하며, 따라서 도체 좌표계에서 자기장이 시간에 따라 변하지 않더라도 로런츠 힘 방정식은 유효하다. 상대론적 속도에서는 보정 계수가 필요하며, 아래와 고전 전자기학과 특수 상대성이론 및 로런츠 변환을 참조하라.
도체 내의 전하 q는 도체 좌표계에서 정지해 있을 것이다. 따라서 로런츠 힘의 자기력 항은 영향을 미치지 않으며, 전하에 가해지는 힘은 다음과 같다.
움직이는 자석과 도체 문제 갈릴레이 변환을 가정한 장의 변환
이것은 두 좌표계에서 힘이 동일하다는 것을 보여주며(예상되는 대로), 따라서 유도 전류와 같은 이 힘의 관측 가능한 결과도 두 좌표계에서 동일할 것이다. 이것은 도체 좌표계에서는 힘이 전기력으로 보이지만 자석 좌표계에서는 자기력으로 보인다는 사실에도 불구하고 그렇다.
자석의 좌표계에 전기장도 포함되어 있다면 비슷한 종류의 논증을 할 수 있다. (앙페르-맥스웰 방정식도 작용하며, 도체 좌표계에서 이 움직이는 전기장이 자기장에 어떻게 기여하는지 설명한다.) 결과적으로 일반적으로 다음과 같다.

여기서 c는 자유 공간에서의 빛의 속력이다.
이러한 변환 규칙을 완전한 맥스웰 방정식에 대입하면, 맥스웰 방정식이 한 좌표계에서 참이면 다른 좌표계에서도 거의 참이지만, v/c를 제곱하거나 그 이상으로 올린 양에 비례하는 잘못된 항을 포함한다는 것을 알 수 있다. 따라서 이것들은 정확한 변환 규칙이 아니라 낮은 속도에서의 좋은 근사치이다. 빛의 속력에 가까운 큰 속도에서는 갈릴레이 변환을 로런츠 변환으로 대체해야 하며, 아래에 주어진 표현에 따라 장 변환 방정식도 변경해야 한다.
움직이는 자석과 도체 문제 맥스웰 방정식이 예측하는 장의 변환
속도 v로 움직이는 좌표계에서, 정지한 자석 좌표계에 E-장이 없을 때 움직이는 좌표계의 E-장은 맥스웰 방정식에 따라 다음과 같이 변환된다.

여기서

는 로런츠 인자라고 불리며 c는 자유 공간에서의 빛의 속력이다. 이 결과는 모든 관성 좌표계의 관찰자가 맥스웰 방정식에 대해 동일한 형태에 도달해야 한다는 요구 사항의 결과이다. 특히, 모든 관찰자는 동일한 빛의 속력 c를 봐야 한다. 이 요구 사항은 공간과 시간에 대한 로런츠 변환으로 이어진다. 로런츠 변환을 가정하면, 맥스웰 방정식의 불변성은 이 예에서 장의 위 변환으로 이어진다.
결과적으로 전하에 가해지는 힘은 다음과 같다.
이 표현은 비상대론적 뉴턴 운동 법칙에서 얻은 표현과  인자만큼 다르다. 특수 상대성이론은 공간과 시간을 변경하여 힘과 장이 일관성 있게 변환되도록 한다.
움직이는 자석과 도체 문제 맥스웰 방정식과의 일관성을 위한 역학 수정
로런츠 힘은 장이 다르지만 두 좌표계에서 동일한 형태를 갖는다. 즉:
그림 1을 참조하라. 단순화를 위해 자기장이 z-방향을 가리키고 x-위치에 따라 변하며, 도체가 속도 v로 양의 x-방향으로 이동한다고 가정하자. 결과적으로, 도체가 움직이는 자석 좌표계에서 로런츠 힘은 속도와 B-장에 모두 수직인 음의 y-방향을 가리킨다. 여기서 B-장에 의해서만 발생하는 전하에 가해지는 힘은 다음과 같다.

반면 자석이 움직이는 도체 좌표계에서는 힘 역시 음의 y-방향을 가리키며, 이제는 E-장에 의해서만 발생하며 값은 다음과 같다.
두 힘은 로런츠 인자 γ만큼 다르다. 그러나 이 차이는 다음에서 논의될, 좌표계 간의 시공간 변화로 인해 상대론적 이론에서 예상되는 바이다.
움직이는 자석과 도체 문제 맥스웰 방정식과의 일관성을 위한 역학 수정
상대론은 맥스웰 방정식의 불변성에서 제시된 시공간의 로런츠 변환을 역학에도 적용한다(뉴턴 운동 법칙의 수정). 이 예에서 로런츠 변환은 x-방향에만 영향을 미친다(두 좌표계의 상대 운동은 x-방향을 따른다). 시간과 공간을 연결하는 관계는 다음과 같다(프라임은 움직이는 도체 좌표계를 나타낸다).
이러한 변환은 힘의 y-성분 변화를 초래한다.
즉, 로런츠 불변성 내에서는 갈릴레이 불변성과는 달리 힘이 모든 기준계에서 동일하지 않다. 그러나 로런츠 힘 법칙에 기반한 이전 분석에 따르면:

이는 완전히 일치한다. 따라서 전하에 가해지는 힘은 두 기준계에서 동일하지 않지만, 상대론에 따라 예상되는 방식으로 변환된다.
알렉산드리아 트로아스
알렉산드리아 트로아스(트로아스의 알렉산드리아; 그리스어: Αλεξάνδρεια Τρωάς; 튀르키예어: Eski Stambul, "옛 이스탄불") 혹은 드로아(신약성경 개역개정판)는 에게해에 위치한 고대 그리스 도시의 유적지로, 튀르키예 서해안 북쪽 끝 부근에 있으며 역사적으로 트로아스로 알려진 지역에 있다. 현대의 보즈자아다섬인 테네도스섬의 약간 남쪽에 위치한다. 이곳은 차나칼레주 에지네구의 현대적인 마을인 달랸의 남동쪽에 자리 잡고 있다. 이 유적지는 약 400 헥타르 (990 ac)에 걸쳐 펼쳐져 있으며, 오늘날 남아있는 몇 안 되는 건축물로는 폐허가 된 목욕탕, 오데온, 극장, 김나시온 단지 그리고 최근 발굴된 경기장이 있다. 옛 성벽의 흔적은 여전히 찾아볼 수 있다.
알렉산드리아 트로아스 역사
스트라본에 따르면, 이 지역은 처음에는 시기아(Sigia, Σιγία)라고 불렸다. 기원전 306년경 안티고노스는 시기아에 다섯 개의 다른 마을 사람들을 정착시키며 도시를 확장하여 안티고니아 트로아스(Antigonia Troas)로 재건했다. 이 중에는 한때 영향력 있던 도시인 네안드레이아도 포함되어 있었다. 이 도시는 기원전 301년 리시마코스에 의해 마케도니아의 알렉산드로스 대왕을 기리기 위해 알렉산드리아 트로아스(Alexandria Troas)로 이름이 바뀔 때까지는 그 이름을 얻지 못했다(플리니우스는 단지 이름이 안티고니아에서 알렉산드리아로 바뀌었다고만 언급한다). 이 도시는 4~5세기 포이팅거 지도에 명시된 대로 알렉산드리아 트로아스라고 계속 불렸다. 북서 아시아 미노르의 주요 항구로서, 이 지역은 로마 시대에 크게 번성하여 기원전 188년 일찍이 "자유롭고 자치적인 도시"가 되었으며, 현존하는 유적들은 그 과거의 중요성을 충분히 증명한다. 전성기에는 도시 인구가 약 10만 명에 달했을 수도 있다. 스트라본은 아우구스투스 통치기에 이곳에 로마 식민지가 세워졌으며, 콜로니아 알렉산드리아 아우구스타 트로아스(Colonia Alexandria Augusta Troas)라고 불렸다고 언급한다(이 시기에는 단순히 트로아스라고 불렸다). 아우구스투스, 하드리아누스 그리고 부유한 문법학자 헤로데스 아티쿠스는 이곳을 아름답게 꾸미는 데 크게 기여했다. 오늘날까지 보존된 수로는 헤로데스 아티쿠스의 작품이다. 율리우스 카이사르와 콘스탄티누스는 트로아스를 로마 제국의 수도로 고려했다.
알렉산드리아 트로아스 역사
로마 시대에는 아나톨리아와 유럽을 오가는 중요한 항구였다. 사도행전의 기록에 따르면, 타르수스의 바울로는 알렉산드리아 트로아스에서 처음으로 유럽으로 항해했으며 유럽에서 이곳으로 돌아왔다(이곳에서 유디코를 살려낸 사건이 발생했다). 안티오키아의 이그나티오스도 로마에서 순교하기 전에 이 도시에서 잠시 머물렀다.
이후 몇몇 주교들이 알려져 있다: 325년의 마리누스; 344년의 니코니우스; 5세기 초의 실바누스; 451년의 피오니우스; 787년의 레오; 9세기에 이그나티오스 총대주교의 친구이자 미카엘의 반대자였던 페트로. 10세기에는 트로아스가 키지코스의 보좌 주교구로 주어지며 유명한 트로이와 구별된다(하인리히 겔저, Ungedruckte ... Texte der Notitiae episcopatuum, 552; 게오르기우스 키프리우스의 로마 세계 기술, 64); 도시가 언제 파괴되고 교구가 사라졌는지는 알려지지 않았다. 주교직은 1971년 이후 공석인 로마 가톨릭교회의 명목상 주교좌로 트로아스라는 이름으로 남아있다.
알렉산드리아 트로아스 역사
트로아스는 또한 세계 총대주교청 산하 동방 정교회의 명목상 주교좌이다. 트로아스의 주교 사바스(젬빌라스)는 2002년부터 2011년까지 고위 성직자로 봉사했으며, 이후 미국 그리스 정교회 관구 대교구의 메트로폴리탄 사바스 (젬빌라스) 피츠버그가 되었다.
카라시드 투르크멘족은 14세기에 트로아스 지역에 정착했다. 그들의 베이국은 1336년 오스만 제국에 정복되었다. 알렉산드리아 트로아스 유적은 튀르크인들 사이에서 "옛 도시"를 뜻하는 에스키 스탐불(Eski Stambul)로 알려지게 되었다. 이 유적지의 돌들은 건축 재료로 많이 약탈당했다(예를 들어 메흐메트 4세는 자신의 예니 발리데 모스크를 장식하기 위해 기둥들을 가져갔다). 18세기 중반에는 이 유적지가 "산적들이 숨어 지내는 장소"로 이용되었다.
알렉산드리아 트로아스 역사
1911년까지 이 유적지는 발로니아참나무로 뒤덮여 심하게 약탈당했지만, 옛 성벽의 윤곽은 여전히 추적할 수 있었고 여러 곳에서는 상당히 잘 보존되어 있었다.
성벽은 둘레가 약 10킬로미터였고, 일정한 간격으로 탑으로 요새화되어 있었다.
이 지역 내에서 고대 목욕탕과 김나시온 단지의 유적을 찾을 수 있다. 이 건물은 현지에서 발 사라예(Bal Saray, 꿀 궁전)로 알려져 있으며, 원래 135년에 헤로데스 아티쿠스가 기증했다. 트라야누스는 여전히 흔적을 찾을 수 있는 수로를 건설했다.
항구에는 두 개의 큰 분지가 있었는데, 현재는 모래로 거의 막혀 있다.
이곳은 21세기 초 독일 고고학자들이 발굴 및 조사를 진행하는 대상이다.
그들의 발굴을 통해 기원전 100년경으로 추정되는 큰 경기장의 유적이 발견되었다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론
특수 상대성이론은 고전 전자기학의 현대 이론에서 중요한 역할을 한다. 이 이론은 전기장과 자기장을 포함한 전자기 물체가 하나의 관성계에서 다른 관성계로 로런츠 변환될 때 어떻게 변화하는지에 대한 공식을 제공한다. 이는 전기와 자기 사이의 관계를 명확히 하며, 관성계에 따라 관찰이 전기적 법칙을 따르는지 자기적 법칙을 따르는지 결정된다는 것을 보여준다. 또한 전자기학 법칙에 대한 간결하고 편리한 표기법, 즉 "명시적으로 공변하는" 텐서 형태를 제시한다.
1865년에 완전한 형태로 처음 제시된 맥스웰 방정식은 특수 상대성이론과 호환되는 것으로 밝혀졌다. 더욱이, 두 명의 다른 관찰자가 다른 물리적 현상으로 인해 동일한 효과를 관찰하는 명백한 우연의 일치는 특수 상대성이론에 의해 전혀 우연이 아님이 밝혀졌다. 실제로 아인슈타인의 1905년 특수 상대성이론에 대한 첫 논문인 "움직이는 물체의 전기역학에 관하여"의 절반은 맥스웰 방정식을 변환하는 방법을 설명한다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 관성계 간 장의 변환
이 방정식은 두 관성계를 고려한다. 프라임된 프레임은 프라임되지 않은 프레임에 대해 속도 v로 움직인다. 프라임된 프레임에서 정의된 장은 프라임으로 표시되며, 프라임되지 않은 프레임에서 정의된 장은 프라임이 없다. 속도 v에 평행한 장 성분은 E∥ 및 B∥로 표시되는 반면, v에 수직한 장 성분은 E⟂ 및 B⟂로 표시된다. 상대 속도 v로 움직이는 이 두 프레임에서 E장과 B장은 다음과 같이 관련된다.
여기서
는 로런츠 인자라고 불리며 c는 자유 공간에서의 빛의 속력이다. 로런츠 인자 (γ)는 두 계 모두에서 동일하다. 역변환은 v → −v 대체만 제외하면 동일하다.
동등한 대체 표현은 다음과 같다.
여기서 는 속도 단위 벡터이다. 이전 표기법을 사용하면 와 가 된다.
성분별로, x축을 따라 상대 운동하는 경우 v = (v, 0, 0)는 다음과 같다.
한 프레임에서 장 중 하나가 0이라고 해서 다른 모든 프레임에서 0이라는 의미는 아니다. 예를 들어, 프라임되지 않은 전기장을 프라임된 전기장으로 변환할 때 0으로 만들 수 있다. 이 경우, 자기장의 방향에 따라 프라임된 시스템에서는 전기장이 없는 경우에도 전기장을 볼 수 있다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 관성계 간 장의 변환
이는 두 프레임에서 완전히 다른 일련의 사건이 보이는 것이 아니라, 동일한 사건의 연속이 두 가지 다른 방식으로 설명된다는 것을 의미한다 (아래 § 움직이는 자석과 도체 문제 참조).
전하 q를 가진 입자가 S 프레임에 대해 속도 u로 움직이면, S 프레임에서의 로런츠 힘은 다음과 같다.
S′ 프레임에서의 로런츠 힘은 다음과 같다.
특정 경우 u = 0에 대한 로런츠 힘의 변환 유도는 여기에 나와 있다. 더 일반적인 유도는 여기에서 볼 수 있다.
이러한 형태의 변환은 전자기장 텐서(아래 정의)를 도입하여 더욱 간결하게 만들 수 있는데, 이는 공변 텐서이다.
전기 변위 D 및 자기장 세기 H의 경우, 구성 관계 및 c2에 대한 결과를 사용하여:
결과는 다음과 같다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 관성계 간 장의 변환
E 및 B와 유사하게, D 및 H는 전자기 변위 텐서를 형성한다.
EM 장의 대안적이고 더 간단한 변환은 전자기 퍼텐셜 – 전위 φ 및 자기 퍼텐셜 A –를 사용한다.
여기서 A∥는 프레임 v 사이의 상대 속도 방향에 평행한 A의 성분이고, A⟂는 수직 성분이다. 이들은 다른 로런츠 변환(시간-위치 및 에너지-운동량과 같은)의 특징적인 형태와 명확하게 유사하며, 위의 E 및 B의 변환은 약간 더 복잡하다. 성분들은 다음과 같이 함께 모을 수 있다.
전하 밀도 ρ와 전류 밀도 J도 유사하게,
성분들을 함께 모으면:
속도 v ≪ c의 경우, 상대론적 인자 γ ≈ 1이며, 이는 다음을 산출한다.
따라서 맥스웰 방정식에서 공간 좌표와 시간 좌표를 구별할 필요가 없다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 전기와 자기 사이의 관계
선택된 기준 프레임은 전자기 현상이 전기적 효과인지 자기적 효과인지 또는 둘의 조합으로 간주되는지를 결정한다. 저자들은 특수 상대성이론과 전하 불변성을 고려할 때 정전기학에서 자기를 유도한다. 파인만의 물리학 강의 (2권, 13-6장)는 이 방법을 사용하여 전류가 흐르는 전선 옆에서 평행 운동하는 전하에 대한 자기력을 유도한다. 하스켈과 란다우도 참조.
전하가 전류가 흐르는 전선에 수직으로 움직이는 경우, 자기력을 유도하는 데 정전기학을 사용할 수 없다. 이 경우, 전선 내 전하의 움직임으로 인한 전기장의 상대론적 압축을 고려하여 유도할 수 있다.
위의 변환 규칙은 한 프레임의 전기장이 다른 프레임의 자기장에 기여하고, 그 반대도 마찬가지임을 보여준다. 이는 전기장과 자기장이 전자기장이라고 불리는 단일 개체의 두 가지 상호 관련된 측면이라고 설명되는 경우가 많다. 실제로 전체 전자기장은 아래와 같이 전자기장 텐서라고 불리는 단일 2차 텐서로 표현될 수 있다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 전기와 자기 사이의 관계
서로 다른 기준 프레임에서 전기 및 자기 현상이 혼합되는 유명한 예는 아인슈타인이 1905년 특수 상대성이론 논문에서 언급한 "움직이는 자석과 도체 문제"이다.
도체가 정지된 자석의 장을 통해 일정한 속도로 움직이면, 도체 내 전자에 대한 자기력으로 인해 와전류가 생성된다. 반면에 도체의 정지 프레임에서는 자석이 움직이고 도체는 정지한다. 고전 전자기 이론은 정확히 동일한 미세 와전류가 생성될 것이라고 예측하지만, 이들은 전기력으로 인해 발생할 것이다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 진공에서의 공변 형식화
고전 전자기학의 법칙과 수학적 대상은 명시적으로 공변하는 형태로 작성될 수 있다. 여기서는 진공 (또는 유전율과 같은 물질의 거시적 설명이 아닌 미시적 맥스웰 방정식에 대해서만)에서 SI 단위를 사용한다.
이 절에서는 아인슈타인 표기법과 아인슈타인 합 규약을 사용한다. 텐서 지수 표기법의 요약은 리치 미적분학을 참조하고, 위첨자 및 아래첨자 지수의 정의와 그 사이를 전환하는 방법은 raising and lowering indices를 참조한다. 민코프스키 계량 텐서 η는 여기에서 계량 부호수 (+ − − −)를 갖는다.
위의 상대론적 변환은 전기장과 자기장이 6개의 성분을 가진 수학적 객체, 즉 반대칭 2차 텐서, 또는 쌍벡터로 서로 결합되어 있음을 시사한다. 이것은 보통 Fμν로 쓰이는 전자기장 텐서라고 불린다. 행렬 형식으로:
여기서 c는 빛의 속력이다. 자연단위계에서는 c = 1이다.
전기장과 자기장을 반대칭 텐서로 병합하는 또 다른 방법은 E/c → B 및 B → −E/c로 대체하여 그 Hodge dual Gμν를 얻는 것이다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 진공에서의 공변 형식화
특수 상대성이론의 맥락에서, 이들 모두는 다음의 로런츠 변환에 따라 변환된다.
,
여기서 Λα′ν는 한 기준계에서 다른 기준계로의 변경을 위한 로런츠 변환 텐서이다. 동일한 텐서가 합계에 두 번 사용된다.
전하와 전류 밀도, 즉 장의 원천들도 사차원 벡터로 결합된다.
이는 사차원 전류라고 불린다.
이러한 텐서를 사용하면 맥스웰 방정식은 다음과 같이 간소화된다.
여기서 편미분은 다양한 방식으로 쓸 수 있으며, 4-기울기를 참조한다. 위에 나열된 첫 번째 방정식은 가우스 법칙(β = 0의 경우)과 앙페르-맥스웰 법칙(β = 1, 2, 3의 경우) 모두에 해당한다. 두 번째 방정식은 나머지 두 방정식인 가우스 자기 법칙(β = 0의 경우)과 패러데이 법칙(β = 1, 2, 3의 경우)에 해당한다.
이러한 텐서 방정식은 명시적으로 공변하는 방정식으로, 지수 위치에 따라 공변임을 알 수 있다. 이 짧은 형식의 맥스웰 방정식은 일부 물리학자들이 공유하는 아이디어, 즉 물리학 법칙이 텐서를 사용하여 작성될 때 더 간단한 형태를 취한다는 것을 보여준다.
고전 전자기학과 특수 상대성이론 진공에서의 공변 형식화
Fαβ의 지수를 낮춰 Fαβ를 얻으면:
두 번째 방정식은 Fαβ를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 εδαβγ는 반변 레비치비타 기호이다. 이 방정식에서 지수의 순환 치환에 주목한다: 각 항에서 다음 항으로 α → β → γ → α이다.
또 다른 공변 전자기 객체는 포인팅 벡터, 맥스웰 변형력 텐서, 전자기 에너지 밀도를 포함하는 공변 2차 텐서인 전자기 스트레스-에너지 텐서이다.
EM 장 텐서는 다음과 같이 쓸 수도 있다.
여기서
는 사차원 퍼텐셜이고
는 사차원 위치이다.
로렌츠 게이지에서 4-퍼텐셜을 사용하면, 단일 방정식(아르놀트 조머펠트가 베른하르트 리만의 방정식에서 일반화하여 리만-조머펠트 방정식 또는 맥스웰 방정식의 공변 형태로 알려져 있음)에서 대안적인 명시적으로 공변하는 공식을 찾을 수 있다.
여기서 는 달랑베르 연산자 또는 4차 라플라시안이다.
애니 : 널 사랑해
《애니 : 널 사랑해》(爱你)는 2025년 방송되었던 중국의 웹 드라마이다.
오일러-하이젠베르크 라그랑지언
물리학에서 오일러-하이젠베르크 라그랑지언(영어: Euler–Heisenberg Lagrangian)은 진공에서의 전자기장의 비선형 역학을 기술하며, 결과적으로 비선형 전기역학의 한 예시이다. 이는 베르너 하이젠베르크와 한스 하인리히 오일러에 의해 1936년에 처음으로 얻어졌다. 진공을 매질로 취급함으로써, 이는 양자 전기역학(QED) 빛 상호작용 과정의 비율을 예측한다.
오일러-하이젠베르크 라그랑지언 물리학
이것은 한 루프까지의 진공 편극을 고려하며, 역전자 질량에 비해 천천히 변하는 전자기장에 유효하다.
여기서 m은 전자 질량이고, e는 전자 전하이다.  이고,  이다.
약한 장 한계에서, 이는 다음과 같이 된다.
이는 QED에서의 광자-광자 산란을 기술한다. 로버트 카플러스와 모리스 노이만은 전체 진폭을 계산했는데, 이는 매우 작다.
오일러-하이젠베르크 라그랑지언 실험
감마선의 델브뤼크 산란은 1953년 로버트 윌슨에 의해 관측되었다. 강한 자기장에서의 광자 분할은 2002년에 측정되었다.
빛-빛 산란은 LHC에서 충돌하는 하드론의 강한 전자기장을 사용하여 연구될 수 있으며, 2019년 ATLAS 공동 연구단에 의해 관측이 보고되었다.
PVLAS는 자기장을 통과하는 레이저 빔의 진공 편극을 조사하여 액시온 암흑 물질의 효과를 감지하려고 한다. 아직 신호는 발견되지 않았으며 계속 탐색 중이다. CERN의 OSQAR 또한 진공 복굴절을 연구하고 있다.
2016년 이탈리아, 폴란드, 영국의 천문학자 팀은 중성자별(펄사 RX J1856.5-3754)에서 방출되는 빛의 관측을 보고했다. 이 별은 매우 강한 자기장(1013 G)으로 둘러싸여 있으며, 오일러-하이젠베르크 라그랑지언으로 기술되는 진공 편극으로 인해 복굴절이 예상된다. 약 16%의 편광도가 측정되었으며, 이는 "QED에 의해 예측된 진공 복굴절의 존재를 뒷받침하기에 충분히 크다"고 주장되었다. 판 등의 연구자들은 별 모델의 낮은 정확도와 중성자 자기화 축의 방향 때문에 결과가 불확실하다고 지적했다.
오일러-하이젠베르크 라그랑지언 실험
2021년 7월, 상대론적 중이온 충돌기의 STAR 실험에서 진공 복굴절의 첫 관측이 보고되었으며, 브라이트-휠러 과정도 연구되었지만 증거만 보고되었다.
2022년 5월, IXPE의 첫 연구에서 4U 0142+61에서의 진공 복굴절 가능성이 시사되었다.
윌링 퍼텐셜
양자 전기역학에서 윌링 퍼텐셜(영어: Uehling potential)은 고전적인 쿨롱 퍼텐셜 외에 전기적 진공 편극을 담당하는 추가 항을 포함하는 두 전하 사이의 상호작용 퍼텐셜을 나타낸다. 이 퍼텐셜은 1935년 에드윈 알브레히트 윌링에 의해 발견되었다.
윌링 보정은 점입자의 전자기장이 거리에 따라 즉각적으로 작용하는 것이 아니라 교환 입자, 즉 광자를 통해 발생하는 상호 작용임을 고려한다. 양자장론에서 에너지와 시간 사이의 불확정성 원리로 인해 단일 광자는 일시적으로 가상 입자-반입자 쌍을 형성하여 점 전하에 영향을 미칠 수 있다. 이러한 효과를 진공 편극이라고 하는데, 이는 진공을 분극성 매질처럼 보이게 하기 때문이다. 현재까지 가장 지배적인 기여는 가장 가벼운 전하 기본 입자인 전자에서 비롯된다. 윌링의 보정은 일상적인 실무에서는 무시할 수 있지만, 수소형 원자의 스펙트럼 선을 고정밀도로 계산할 수 있게 해준다.
윌링 퍼텐셜 정의
윌링 퍼텐셜은 (단위  및 로) 다음과 같이 주어진다.
여기서 이 퍼텐셜이 고전적인 쿨롱 퍼텐셜의 정밀화임을 알 수 있다. 여기서 는 전자 질량이고 는 장거리에서 측정된 기본 전하이다.
만약 이면, 이 퍼텐셜은 다음으로 단순화된다.
반면에 이면 다음과 같다.
여기서 는 오일러-마스케로니 상수 (0.57721...)이다.
최근에  표현식의 위 적분이 제2종 변형 베셀 함수 와 그 연속 적분을 사용하여 닫힌 형태로 평가될 수 있음이 입증되었다.
윌링 퍼텐셜 원자 스펙트럼에 미치는 영향
윌링 퍼텐셜이 핵에 가까운 짧은 거리에서만 상당한 기여를 하기 때문에 주로 s 오비탈의 에너지에 영향을 미친다. 양자 역학적 섭동 이론을 사용하여 원자 스펙트럼에서 이러한 영향을 계산할 수 있다. 수소 원자의 축퇴된 에너지 준위 에 대한 양자 전기역학적 보정은 다음으로 주어진다.
의 선행 차수까지이다. 여기서 는 전자볼트를 나타낸다.
s 오비탈의 파동 함수는 원점에서 사라지지 않으므로 윌링 퍼텐셜에 의해 제공되는 보정은  차수(여기서 는 미세 구조 상수이다)이며, 방위 양자수가 높을수록 오비탈에 덜 중요해진다. 스펙트럼에서 이 에너지 분할은 디랙 방정식에 의해 제공되는 미세 구조 보정보다 약 10배 작으며, 이 분할은 램 이동(윌링 퍼텐셜 및 양자 전기역학의 추가 고차 보정 포함)으로 알려져 있다.
윌링 효과는 뮤온 수소에서도 중요하며, 에너지 변화의 대부분은 진공 편극으로 인한 것이다. 뮤온의 질량과 함께 스케일되는 미세 구조에 의한 분할과 같은 다른 변수와 달리, 즉  계수로, 가벼운 전자 질량은 윌링 퍼텐셜에 대한 결정적인 크기 척도 역할을 계속한다. 에너지 보정은 의 차수이다.
윌링 퍼텐셜 더 읽어보기
QED의 진공 편극에 대한 추가 정보, Peskin, M.E.; Schroeder, D.V. (2018) [1995]. 〈§7.5 Renormalization of the Electric Charge〉. 《An Introduction to Quantum Field Theory》. CRC Press. 244–256쪽. ISBN 978-0-429-98318-4.
수소형 원자
수소형 원자(영어: Hydrogen-like atom또는 수소성 원자(hydrogenic atom))는 단일 원자가 전자를 가진 모든 원자 또는 이온이다. 이 원자들은 수소와 등전자성이다. 수소형 원자의 예로는 수소 자체, Rb 및 Cs과 같은 모든 알칼리 금속, Ca+ 및 Sr+과 같은 단일 이온화된 알칼리 토금속, 그리고 He+, Li2+, Be3+과 같은 다른 이온 및 위의 어떤 동위 원소도 포함되지만 이에 국한되지 않는다. 수소형 원자는 원자핵과 핵심부 전자로 구성된 양전하를 띤 핵과 단일 원자가 전자를 포함한다. 헬륨은 우주에서 흔하기 때문에 단일 이온화된 헬륨의 분광학은 예를 들어 DO 백색왜성의 EUV 천문학에서 중요하다.
수소형 원자
수소 원자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식과 상대론적 디랙 방정식은 두 입자 물리계의 단순성 때문에 분석적으로 풀 수 있다. 단일 전자 파동 함수 해는 수소형 원자 궤도함수라고 불린다. 수소형 원자는 해당 궤도함수가 수소 원자 궤도함수와 유사성을 갖기 때문에 중요하다.
뮤오늄(반뮤온 주위를 도는 전자), 포지트로늄(전자와 양전자), 특정 별난 원자(다른 입자로 형성됨) 또는 리드버그 원자(하나의 전자가 너무 높은 에너지 상태에 있어 나머지 원자를 효과적으로 점전하로 보는 경우)와 같은 다른 계도 "수소형 원자"라고 불릴 수 있다.
수소형 원자 슈뢰딩거 해
비상대론적인 슈뢰딩거 방정식의 해에서, 수소형 원자 궤도함수는 단일 전자 각운동량 연산자 L과 그 z 성분 Lz의 고유함수이다. 수소형 원자 궤도함수는 주양자수 n, 방위 양자수 l, 자기양자수 m의 값에 의해 고유하게 식별된다. 에너지 고유값은 l 또는 m에 의존하지 않고 오직 n에만 의존한다. 여기에 스핀 양자수 ms = ±1⁄2의 이중 값이 추가되어 쌓음 원리의 기반을 마련한다. 이 원리는 다중 전자 원자의 전자 배열에서 네 가지 양자수의 허용 값을 제한한다. 수소형 원자에서는 고정된 n과 l, m과 s가 특정 값 사이에서 변하는 모든 퇴화 궤도함수(아래 참조)가 원자 껍질을 형성한다.
수소형 원자 슈뢰딩거 해
전자 간의 쿨롱 상호작용으로 인한 계산상의 어려움 때문에, 둘 이상의 전자를 가진 원자 또는 이온의 슈뢰딩거 방정식은 분석적으로 풀리지 않았다. 양자 역학 계산에서 (근사적인) 파동 함수 또는 기타 특성을 얻기 위해서는 수치적 방법을 적용해야 한다. 해밀토니언의 구형 대칭성 때문에, 원자의 총 각운동량 J는 보존량이다. 많은 수치적 절차는 단일 전자 연산자 L 및 Lz의 고유함수인 원자 궤도함수의 곱으로부터 시작한다. 이 원자 궤도함수의 반경 부분은 때로는 수치 테이블이거나 때로는 슬레이터 궤도함수이다. 각운동량 결합에 의해 J2 (그리고 아마도 S2)의 다전자 고유함수가 구성된다.
양자화학 계산에서 수소형 원자 궤도함수는 완전하지 않기 때문에 확장 기저로 사용될 수 없다. 완전한 집합을 얻기 위해서는 (즉, 단일 전자 힐베르트 공간의 모든 것을 포함하기 위해서는) 비제곱 적분 가능한 연속체 (E > 0) 상태를 포함해야 한다.
가장 간단한 모델에서, 수소형 원자/이온의 원자 궤도함수는 구형 대칭 퍼텐셜에서의 슈뢰딩거 방정식에 대한 해이다. 이 경우, 퍼텐셜 항은 쿨롱 법칙에 의해 주어진 퍼텐셜이다:

여기서
수소형 원자 슈뢰딩거 해
파동 함수를 함수의 곱으로 작성하면:

(구면 좌표에서), 여기서 은 구면 조화 함수이며, 다음 슈뢰딩거 방정식을 얻는다:

여기서 는 대략 전자의 질량이며 (더 정확하게는 전자와 핵으로 구성된 시스템의 환산 질량이다), 는 환산 플랑크 상수이다.
l의 다른 값은 다른 각운동량을 가진 해를 제공하며, 여기서 l (음이 아닌 정수)은 궤도 각운동량의 양자수이다. 자기양자수 m (을 만족)은 z축 상의 궤도 각운동량의 (양자화된) 투영이다. 이 방정식의 해를 도출하는 단계는 여기를 참조하라.
l과 m 외에, R에 가해진 경계 조건으로부터 세 번째 정수 n > 0이 나타난다. 위 방정식을 푸는 함수 R과 Y는 이러한 정수값에 의존하며, 이 정수들을 양자수라고 부른다. 파동 함수에 의존하는 양자수 값을 아래첨자로 쓰는 것이 일반적이다. 정규화된 파동 함수의 최종 표현은 다음과 같다:


여기서:
각 파동 함수로 인한 반전성은 이다.
양자수 ,  및 은 정수이며 다음 값을 가질 수 있다:
이러한 양자수들의 군 이론적 해석은 이 문서를 참조하라. 특히, 이 문서는 과 이 성립하는 군 이론적 이유를 제시한다.
수소형 원자 슈뢰딩거 해
각 원자 궤도함수는 각운동량 L과 관련되어 있다. 이것은 벡터 연산자이며, 그 제곱 L2 ≡ Lx2 + Ly2 + Lz2의 고유값은 다음과 같이 주어진다:
이 벡터를 임의의 방향으로 투영하는 것은 양자화된다. 임의의 방향을 z라고 하면, 양자화는 다음과 같이 주어진다:

여기서 m은 위에서 설명한 대로 제한된다. L2과 Lz가 교환하고 공통 고유 상태를 가지는 것은 하이젠베르크의 불확정성 원리와 일치한다. Lx와 Ly는 Lz와 교환하지 않으므로, 세 성분 모두의 고유 상태인 상태를 동시에 찾는 것은 불가능하다. 따라서 x와 y 성분의 값은 명확하지 않지만, 유한한 폭을 가진 확률 함수에 의해 주어진다. x와 y 성분이 잘 결정되지 않는다는 사실은 각운동량 벡터의 방향도 잘 결정되지 않는다는 것을 의미하지만, z축을 따른 성분은 명확하다.
이러한 관계는 전자의 총 각운동량을 제공하지 않는다. 이를 위해서는 전자 스핀이 포함되어야 한다.
이러한 각운동량의 양자화는 1913년에 닐스 보어가 파동 함수에 대한 지식 없이 제안한 것(보어 모형 참조)과 밀접하게 유사하다.
실제 원자에서 움직이는 전자의 스핀은 핵의 전기장과 상대론적 효과를 통해 상호작용할 수 있는데 이 현상을 스핀-궤도 상호작용이라고 한다. 이 결합을 고려하면, 스핀과 궤도 각운동량은 더 이상 보존되지 않으며, 이는 전자가 세차 운동하는 것으로 설명될 수 있다. 따라서 양자수 l, m, 그리고 스핀의 투영 ms는 스핀을 포함한 총 각운동량 j와 mj, 그리고 반전성의 양자수로 대체되어야 한다.
결합을 포함하는 해는 디랙 방정식에 대한 다음 섹션을 참조하라.
수소형 원자 디랙 방정식의 해
1928년 영국에서 폴 디랙은 특수 상대성이론과 완벽하게 호환되는 방정식을 발견했다. 이 방정식은 같은 해에 독일의 발터 고르돈이 수소형 원자에 대해 (점전하 주변의 단순 쿨롱 퍼텐셜을 가정하여) 풀었다. 슈뢰딩거 방정식에서와 같이 단일 (혹은 복소수) 함수 대신, 4개의 복소수 함수로 구성된 비스피너를 찾아야 한다. 첫 번째와 두 번째 함수(또는 스피너의 구성 요소)는 (일반적인 기저에서) 스핀 "위" 및 스핀 "아래" 상태에 해당하며, 세 번째와 네 번째 구성 요소도 마찬가지이다.
"스핀 위" 및 "스핀 아래"라는 용어는 선택된 방향, 일반적으로 z 방향에 대한 상대적인 것이다. 전자는 스핀 위와 스핀 아래의 중첩 상태일 수 있으며, 이는 스핀 축이 다른 방향을 가리키는 것에 해당한다. 스핀 상태는 위치에 따라 달라질 수 있다.
핵 근처의 전자는 반드시 세 번째 및 네 번째 구성 요소에 대해 0이 아닌 진폭을 갖는다. 핵에서 멀리 떨어져서는 이들이 작을 수 있지만, 핵 근처에서는 커진다.
수소형 원자 디랙 방정식의 해
해밀토니언의 고유함수는 명확한 에너지를 갖는 함수(따라서 위상 변화를 제외하고는 진화하지 않음)를 의미하며, 이 에너지들은 (슈뢰딩거 방정식에서처럼) 양자수 n뿐만 아니라 n과 총 각운동량 양자수 j에 의해 특징지어진다. 양자수 j는 세 각운동량 제곱의 합이 j(j+1) (ħ2배)이 되도록 결정한다. 이 각운동량은 궤도 각운동량(ψ의 각도 의존성과 관련됨)과 스핀 각운동량(스핀 상태와 관련됨)을 모두 포함한다. 동일한 주양자수 n을 갖는 상태의 에너지 분할이 j의 차이로 인해 발생하는 현상을 미세 구조라고 한다. 총 각운동량 양자수 j는 1/2부터 n−1/2까지의 범위를 갖는다.
주어진 상태에 대한 궤도함수는 두 개의 반경 함수와 두 개의 각도 함수를 사용하여 작성할 수 있다. 반경 함수는 주양자수 n과 정수 k에 모두 의존하며, k는 다음과 같이 정의된다:
수소형 원자 디랙 방정식의 해
여기서 ℓ은 0부터 n−1까지의 범위를 갖는 방위 양자수이다. 각도 함수는 k와 −j부터 j까지 1단계씩 변하는 양자수 m에 의존한다. 상태는 ℓ이 0, 1, 2, 3 등과 같은 상태를 나타내는 문자 S, P, D, F 등으로 표시되며(방위 양자수 참조), 아래첨자로 j를 나타낸다. 예를 들어, n=4에 대한 상태는 다음 표에 주어져 있다 (이들은 n이 앞에 붙고, 예를 들어 4S1/2):
이들은 추가적으로 아래첨자로 m을 붙여 표시할 수 있다. 주양자수 n을 가진 2n2개의 상태가 있으며, 가장 높은 j(j=n−1/2)를 제외한 허용된 j값에 대해서는 4j+2개가 있고, 가장 높은 j에는 2j+1개만 있다. 주어진 n과 j 값을 가진 궤도함수들은 디랙 방정식에 따라 동일한 에너지를 가지므로, 해당 에너지를 가진 함수의 공간에 대한 기저를 형성한다.
n과 |k| (j+1/2와 같음)의 함수로서의 에너지는 다음과 같다:
수소형 원자 디랙 방정식의 해
(에너지는 물론 사용된 기준점에 따라 달라진다.) 만약 Z가 137보다 클 수 있다면(알려진 어떤 원소보다 높다면), S1/2 및 P1/2 궤도함수에 대해 제곱근 안에 음수 값이 나오며, 이는 이들이 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거 해는 두 번째 식의 내부 괄호를 1로 대체하는 것에 해당한다. 슈뢰딩거 해로부터 계산된 가장 낮은 두 수소 상태 간의 에너지 차이의 정확도는 약 9 Ppm (약 10 eV 중 90 μeV 너무 낮음)인 반면, 동일한 에너지 차이에 대한 디랙 방정식의 정확도는 약 3 ppm (너무 높음)이다. 슈뢰딩거 해는 항상 디랙 방정식보다 약간 더 높은 에너지에 상태를 놓는다. 디랙 방정식은 일부 수소 준위를 상당히 정확하게 제공하지만(예를 들어 4P1/2 상태는 약 2×10−10 eV 너무 높은 에너지로 주어짐), 다른 일부는 덜 정확하다(예를 들어 2S1/2 준위는 약 4×10−6 eV 너무 낮음). 슈뢰딩거 해 대신 디랙 방정식을 사용하여 에너지에 대한 수정은 α2 차수이며, 이러한 이유로 α는 미세 구조 상수라고 불린다.
일반적인 경우, 양자수 n, k, m에 대한 디랙 방정식의 해는 다음과 같다:
수소형 원자 디랙 방정식의 해
여기서 Ω는 오른쪽에 보이는 두 구면 조화 함수 열이다. 는 구면 조화 함수를 의미한다:
여기서 는 연관 르장드르 다항식이다. (Ω의 정의는 와 같이 존재하지 않는 구면 조화 함수를 포함할 수 있지만, 그 계수는 0이 될 것이다.)
다음은 이러한 각 함수들의 일부 동작이다. 표현을 단순화하기 위해 정규화 인자는 생략되었다.
이로부터 S1/2 궤도함수(k = −1)에서 Ψ의 위 두 성분은 슈뢰딩거 S 궤도함수처럼 궤도 각운동량이 0이지만, 아래 두 성분은 슈뢰딩거 P 궤도함수와 같은 궤도함수임을 알 수 있다. P1/2 해(k = 1)에서는 상황이 역전된다. 두 경우 모두, 각 성분의 스핀은 z축 주위의 궤도 각운동량을 보상하여 z축 주위의 총 각운동량에 대한 올바른 값을 제공한다.
두 Ω 스피너는 다음 관계를 따른다:
함수 와 를 쓰기 위해 스케일된 반지름 ρ를 정의하자:
단,
여기서 E는 위에 주어진 에너지()이다. 또한 γ를 다음과 같이 정의한다:
는 차수  및 의 두 일반화 라게르 다항식을 기반으로 한다:
여기서 A는 감마 함수를 포함하는 정규화 상수이다: