hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
수소형 원자 디랙 방정식의 해
f는 g에 비해 작다 (아주 작은 r을 제외하고는). 이는 k가 양수일 때 첫 번째 항이 지배적이고 α가 γ−k에 비해 크며, k가 음수일 때 두 번째 항이 지배적이고 α가 γ−k에 비해 작기 때문이다. 지배적인 항은 해당 슈뢰딩거 해와 상당히 유사하다는 점에 유의하라 – 라게르 다항식의 위쪽 지수는 약간 작고 (2ℓ+1 대신 2γ+1 또는 2γ−1, 가장 가까운 정수), ρ의 거듭제곱도 마찬가지이다 (ℓ 대신 γ 또는 γ−1, 가장 가까운 정수). 지수 붕괴는 슈뢰딩거 해보다 약간 빠르다.
정규화 인자는 절대값의 제곱의 전 공간 적분 값을 1로 만든다.
k = −n (주어진 n에 대해 가능한 가장 높은 j에 해당, 예: 1S1/2, 2P3/2, 3D5/2...)일 때,  및 은 다음과 같다:
여기서 A는 다음과 같이 축소된다:
인자 Zα 때문에 f(r)이 g(r)에 비해 작다는 점에 유의하라. 또한 이 경우 에너지는 다음과 같이 주어진다:
그리고 반경 붕괴 상수 C는 다음과 같다:
여기에 1S1/2 궤도함수(스핀 업, 정규화되지 않음)가 있다:
수소형 원자 디랙 방정식의 해
γ는 1보다 약간 작으므로, 위 함수는 r의 지수적으로 감소하는 함수와 유사하지만, 아주 작은 r에서는 이론적으로 무한대로 간다. 하지만 의 값은 보다 작은 r 값에서만 10을 초과하며, 이는 Z가 매우 크지 않는 한 매우 작은 숫자(양성자 반지름보다 훨씬 작음)이다.
1S1/2 궤도함수(스핀 다운, 정규화되지 않음)는 다음과 같다:
이들을 혼합하여 스핀이 다른 방향으로 향하는 궤도함수를 얻을 수 있다:
이는 스핀과 각운동량 축이 x 방향을 가리키는 것에 해당한다. "다운" 스핀에 i를 곱하여 "업" 스핀에 더하면 y 방향으로 향하는 궤도함수가 된다.
다른 예로, 2P1/2 궤도함수(스핀 업)는 다음에 비례한다:
( 임을 기억하라. C는 1S 궤도함수의 약 절반이지만, γ는 여전히 동일하다.)
ρ가 α에 비해 작을 때(또는 r이 에 비해 작을 때) "S"형 궤도함수가 지배적이라는 점(비스피너의 세 번째 성분)에 유의하라.
2S1/2 스핀 업 궤도함수의 경우 다음과 같다:
이제 첫 번째 성분은 S-유형이며 ρ = 2 근처의 반경에서 0이 되는 지점이 있는 반면, 아래 두 성분은 P-유형이다.
핵으로부터 무한히 분리된 전자의 에너지보다 낮은 에너지를 갖는 속박 상태 외에도, 핵과 상호작용하는 구속되지 않은 전자에 해당하는 더 높은 에너지에서 디랙 방정식의 해가 존재한다. 이 해들은 정규화될 수 없지만, r이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하는 해를 찾을 수 있다 (이는 일 때, 위에서 언급된 속박 상태의 E 값을 제외하고는 불가능하다). 인 유사한 해들도 존재한다. 이 음의 에너지 해들은 핵이 전자를 끌어당기는 대신 밀어내는 경우에 대해 반대 에너지를 갖는 양의 에너지 해와 유사하지만, 위 두 성분의 해가 아래 두 성분의 해와 자리를 바꾼다는 점이 다르다.
디랙 방정식의 음의 에너지 해는 핵에 의해 가해지는 쿨롱력이 없는 경우에도 존재한다. 디랙은 이러한 상태의 거의 전부가 이미 채워져 있다고 가정할 수 있다고 가설을 세웠다. 이 음의 에너지 상태 중 하나가 채워져 있지 않다면, 이는 양전하를 띤 핵에 의해 반발되는 전자가 있는 것처럼 나타난다. 이는 디랙이 양전하를 띤 전자의 존재를 가설화하도록 촉발시켰고, 그의 예측은 양전자의 발견으로 확인되었다.
수소형 원자 고르돈의 디랙 방정식 해를 넘어서
점 같은 비자성 핵에 의해 생성되는 단순 쿨롱 퍼텐셜을 가진 디랙 방정식은 최종적인 답이 아니었으며, 그 예측은 앞서 언급했듯이 실험 결과와 차이가 있다. 더 정확한 결과에는 램 이동(양자 전기역학에서 발생하는 복사 보정) 및 초미세 구조가 포함된다.
등전자성
등전자성(영어: Isoelectronicity)은 두 개 이상의 분자가 동일한 화학 구조(원자 간의 위치 및 연결성)와 동일한 전자 배열을 가지지만, 구조 내 특정 위치에 있는 원소만 다른 경우에 관찰되는 현상이다. 예를 들어, CO, NO+, N2는 등전자성이지만, CH3COCH3과 CH3N=NCH3는 등전자성이 아니다.
이 정의는 때때로 원자가 등전자성(valence isoelectronicity)이라고 불린다. 정의는 때때로 덜 엄격할 수 있으며, 때로는 총 전자 수와 그에 따른 전체 전자 배열의 동일성을 요구하기도 한다. 더 일반적으로 정의는 더 광범위하며, 비교 대상인 화학종에서 원자 수가 다를 수도 있다.
등전자성
이 개념의 중요성은 쌍 또는 일련의 중요한 관련 화학종을 식별하는 데 있다. 등전자성 화학종은 그 속성에서 유용한 일관성과 예측 가능성을 보일 것으로 예상되므로, 이미 특성이 파악된 화합물과 등전자성인 화합물을 식별하는 것은 가능한 속성 및 반응에 대한 단서를 제공한다. 등전자성 화학종의 원자 전기 음성도와 같은 속성 차이는 반응성에 영향을 미칠 수 있다.
양자역학에서 수소형 원자는 Li2+과 같이 전자가 하나만 있는 이온이다. 이러한 이온은 수소와 등전자성으로 설명될 수 있다.
등전자성 예시
질소 원자(N)와 산소 이온(O+)은 각각 다섯 개의 원자가 전자를 가지므로 등전자성이다. 더 정확하게는 [He] 2s2 2p3의 전자 배열을 가진다.
마찬가지로, 칼륨 양이온(K+), 칼슘 양이온(Ca2+), 스칸듐 양이온(Sc3+)과 염화물 음이온(Cl−), 황화물 음이온(S2−), 인화물 음이온(P3−)은 모두 아르곤 원자(Ar)와 등전자성이다.
CO, CN−, N2, NO+는 각각 두 개의 원자가 삼중 결합으로 연결되어 있고, 전하로 인해 유사한 전자 배열을 가지므로 등전자성이다. (N−는 전자 배열이 O와 동일하므로 CO는 전자적으로 CN−와 동일하다).
등전자성 예시
분자 궤도 함수 다이어그램은 이원자 분자의 등전자성을 가장 잘 보여주며, 등전자성 화학종에서 원자 궤도 혼합이 동일한 궤도 조합을 유도하고 따라서 결합도 동일하게 유도하는 방식을 보여준다.
더 복잡한 분자는 다원자 분자일 수도 있다. 예를 들어, 아미노산인 세린, 시스테인, 셀레노시스테인은 모두 서로 등전자성이다. 이들은 곁사슬의 한 위치에 존재하는 특정 칼코겐에 따라 다르다.
CH3COCH3 (아세톤)과 CH3N2CH3 (아조메테인)는 등전자성이 아니다. 이들은 같은 수의 전자를 가지고 있지만 구조가 같지 않다.
아조메테인
아조메테인(영어: Azomethane)은 화학식 CH3-N=N-CH3을 갖는 유기 화합물이다. 시스-트랜스 이성질체를 나타낸다. 1,2-다이메틸하이드라진 이염화물과 아세트산 나트륨 용액에서 염화 구리(II)의 반응으로 생성될 수 있다. 이 반응은 염화 구리(I)의 아조메테인 착물을 생성하며, 이는 열분해에 의해 자유 아조메테인을 생성할 수 있다. 이것은 실험실에서 메틸 라디칼의 공급원이다.
CH3-N=N-CH3 → 2 CH3· + N2
아조메테인 더 읽어보기
Jianying Zhang, Gangling Chen, Xuedong Gong (September 2021). 《Energetic azo compounds based on 2,2′, 4,4′, 6,6′- hexanitroazobenzene: Structures, detonation performance, and sensitivity》. 《Computational and Theoretical Chemistry》 (영어) 1203. 113344쪽. doi:10.1016/j.comptc.2021.113344. 2022년 10월 23일에 확인함.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
아조메테인 더 읽어보기
Wolfgang W. Schoeller, Guido D. Frey (2016년 11월 7일). 《Oxidative Addition of π-Bonds and σ-Bonds to an Al(I) Center: The Second-Order Carbene Property of the AlNacNac Compound》. 《Inorganic Chemistry》 (영어) 55. 10947–10954쪽. doi:10.1021/acs.inorgchem.6b01488. ISSN 0020-1669. PMID 27739674. 2022년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2022년 10월 23일에 확인함.
스토리지 링
스토리지 링(영어: Storage ring)은 원형 입자 가속기의 한 종류로, 연속적이거나 맥동하는 입자 빔이 일반적으로 수 시간 동안 계속 순환될 수 있도록 한다. 특정 기본 입자의 저장은 저장될 입자의 질량, 운동량, 그리고 일반적으로 전하에 따라 달라진다. 스토리지 링은 주로 전자, 양전자, 또는 양성자를 저장한다.
스토리지 링은 주로 싱크로트론 방사를 방출하는 전자를 저장하는 데 사용된다. 전자 스토리지 링 기반 시설은 50개가 넘으며 화학 및 생물학 분야의 다양한 연구에 활용된다. 스토리지 링은 또한 소콜로프-테르노프 효과를 통해 편광된 고에너지 전자 빔을 생성하는 데 사용될 수 있다. 스토리지 링의 가장 잘 알려진 응용 분야는 입자 가속기 및 입자 충돌기에서 두 개의 역회전하는 저장 입자 빔이 특정 위치에서 충돌하도록 하는 것이다. 결과적으로 발생하는 아원자 상호 작용은 주변 입자 검출기에서 연구된다. 이러한 시설의 예로는 LHC, LEP, PEP-II, KEKB, RHIC, 테바트론, HERA 등이 있다.
스토리지 링
스토리지 링은 싱크로트론의 한 종류이다. 일반적인 싱크로트론은 고주파 가속 공동의 도움으로 입자를 낮은 에너지 상태에서 높은 에너지 상태로 가속하는 데 사용되는 반면, 스토리지 링은 입자를 일정한 에너지로 저장하며 고주파 공동은 싱크로트론 방사 및 기타 과정으로 손실된 에너지를 보충하는 데만 사용된다.
제라드 K. 오닐은 1956년에 저장 링을 충돌기의 구성 요소로 사용할 것을 제안했다. 이 맥락에서 스토리지 링의 주요 이점은 주입 가속기보다 훨씬 낮은 플럭스를 달성하는 주입 가속기에서 높은 빔 플럭스를 축적할 수 있다는 점이다.
스토리지 링 입자 빔 저장을 위한 중요 고려 사항
입자들이 거의 원형 경로로 움직이도록 힘을 가해야 한다. 이는 쌍극자 정전기장 또는 쌍극자 자기장을 사용하여 달성할 수 있지만 대부분의 스토리지 링이 상대론적 전하 입자를 저장하므로 쌍극자 자석에 의해 생성되는 자기장을 사용하는 것이 가장 실용적이다. 그러나 매우 낮은 에너지 입자를 저장하기 위해 정전기 가속기가 만들어졌으며, 사극자장으로 (비전하) 중성자를 저장할 수 있지만, 이는 비교적 드물다.
쌍극자 자석만으로는 약한 초점이라고 불리는 것만을 제공하며 이러한 종류의 자기 요소만으로 구성된 스토리지 링은 입자들이 상대적으로 큰 빔 크기를 갖게 한다. 쌍극자 자석을 적절한 사극자 자석 및 육극자 자석 배열과 겹쳐 놓으면 훨씬 작은 빔 크기를 제공할 수 있는 적합한 강한 초점 시스템을 만들 수 있다. FODO 및 채스먼-그린 격자 구조는 강한 초점 시스템의 간단한 예이지만, 다른 많은 시스템들이 있다.
스토리지 링 입자 빔 저장을 위한 중요 고려 사항
쌍극자 및 사극자 자석은 서로 다른 입자 에너지를 다른 양으로 편향시키는데, 이 속성을 물리 광학과의 유추를 통해 색도라고 부른다. 따라서 실제 저장된 입자 빔에 내재된 에너지 확산은 횡방향 및 종방향 초점의 확산을 초래하며, 다양한 입자 빔 불안정성에 기여한다. 육극자 자석(및 고차 자석)은 이러한 현상을 보정하는 데 사용되지만, 이는 다시 비선형 운동을 야기하며, 이는 저장 링 설계자들이 직면하는 주요 문제 중 하나이다.
입자 묶음은 수백만 킬로미터(수 시간 동안 빛의 속도에 가깝게 움직임을 고려할 때)를 이동하므로 빔 파이프 내에 남아 있는 가스는 수많은 충돌을 야기할 것이다. 이는 묶음의 크기를 증가시키고 에너지 확산을 증가시키는 효과를 가져온다. 따라서 더 나은 진공은 더 나은 빔 역학을 제공한다. 또한, 잔류 가스 또는 묶음 내 다른 입자(투셰크 효과)로부터의 단일 대각 산란 사건은 입자를 가속기 진공 용기 벽에 손실될 만큼 충분히 멀리 튕겨낼 수 있다. 이러한 점진적인 입자 손실을 빔 수명이라고 하며, 이는 스토리지 링에 주기적으로 새로운 입자들을 주입해야 함을 의미한다.
스토리지 링 입자 빔 저장을 위한 중요 고려 사항
저장 링으로의 입자 주입은 스토리지 링의 응용 분야에 따라 여러 가지 방법으로 수행될 수 있다. 가장 간단한 방법은 하나 이상의 펄스형 편향 쌍극자 자석(주입 키커 자석)을 사용하여 들어오는 입자 열을 저장된 빔 경로로 유도하는 것이다. 키커 자석은 저장된 열이 주입 지점으로 돌아오기 전에 꺼지므로 저장된 빔이 생성된다. 이 방법은 때때로 단일 턴 주입이라고 불린다.
다중 턴 주입은 많은 수의 들어오는 입자 열을 축적할 수 있게 하며, 이는 큰 저장 전류가 필요할 때 유용하다. 양성자와 같이 상당한 빔 감쇠가 없는 입자의 경우, 각 주입된 펄스는 저장된 빔의 횡방향 또는 종방향 위상 공간의 특정 지점에 배치되며, 빔 편향 및 저장된 빔의 일관된 진동을 신중하게 배열하여 이전에 주입된 열을 방출하지 않도록 주의한다. 예를 들어 싱크로트론 방사로 인한 전자의 방사 감쇠와 같이 상당한 빔 감쇠가 있는 경우, 주입된 펄스는 위상 공간의 가장자리에 배치된 다음, 추가 펄스를 주입하기 전에 횡방향 위상 공간에서 저장된 빔으로 감쇠되도록 할 수 있다. 싱크로트론 방사로 인한 일반적인 감쇠 시간은 수십 밀리초이며, 이는 초당 여러 펄스를 축적할 수 있게 한다.
스토리지 링 입자 빔 저장을 위한 중요 고려 사항
입자 추출이 필요한 경우(예를 들어 일련의 가속기에서), 주입과 유사하게 단일 턴 추출을 수행할 수 있다. 공명 추출도 사용될 수 있다.
입자들은 매우 많은 턴, 잠재적으로 100억 턴 이상 동안 저장되어야 한다. 이러한 장기 안정성은 도전적이며, 장기 안정성을 이해하고 최적화하기 위해 자석 설계와 추적 코드 및 분석 도구를 결합해야 한다.
전자 스토리지 링의 경우, 방사 감쇠는 전자를 수천 턴 정도의 설계 궤도로 되돌리는 비-해밀턴 역학을 제공하여 안정성 문제를 완화한다. 방출된 광자 에너지의 변동으로 인한 확산과 함께 평형 빔 분포에 도달한다. 이러한 주제에 대한 자세한 내용은를 참조할 수 있다.
선형 미분 방정식
수학에서 선형 미분 방정식(영어: Linear differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수에 대해 선형인 미분방정식으로, 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

여기서 a0(x), ..., an(x)와 b(x)는 선형일 필요가 없는 임의의 미분 가능 함수이고, y′, ..., y(n) 는 변수 x에 대한 미지의 함수 y의 연속적인 도함수이다.
이러한 방정식은 상미분 방정식 (ODE)이다. 선형 미분 방정식은 미지의 함수가 여러 변수에 의존하고 방정식에 나타나는 도함수가 편미분일 경우 선형 편미분 방정식이 될 수도 있다.
선형 미분 방정식 해의 유형
선형 미분 방정식 또는 관련된 동차 방정식이 상수 계수를 갖는 연립 일차 방정식은 '구적법으로 풀이'될 수 있는데, 이는 해가 적분으로 표현될 수 있음을 의미한다. 이는 비상수 계수를 갖는 1차 선형 방정식에도 적용된다. 비상수 계수를 갖는 2차 이상의 방정식은 일반적으로 구적법으로 풀 수 없다. 2차의 경우, 코바치 알고리즘은 적분 형태의 해가 있는지 여부를 결정하고, 있다면 이를 계산할 수 있게 해준다.
다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해는 홀로노믹 함수라고 불린다. 이 함수 클래스는 합, 곱, 미분, 적분에 대해 안정적이며, 지수 함수, 로그, 사인, 코사인, 역삼각 함수, 오차 함수, 베셀 함수, 초기하 함수와 같은 많은 일반적인 함수 및 특수 함수를 포함한다. 정의 미분 방정식과 초기 조건을 통한 표현은 미적분학의 대부분의 연산, 예를 들어 부정적분 계산, 극한, 점근적 전개, 그리고 인증된 오차 한계를 가진 모든 정밀도에서의 수치 평가를 알고리즘적으로 수행할 수 있게 한다.
선형 미분 방정식 기본 용어
(선형) 미분 방정식에 나타나는 가장 높은 미분 차수는 방정식의 차수이다. 미지의 함수와 그 도함수에 의존하지 않는 항 b(x)은 때때로 (대수 방정식에 비유하여) 방정식의 상수항이라고 불리며, 이 항이 상수가 아닌 함수인 경우에도 마찬가지이다. 상수항이 영 함수인 경우, 미분 방정식은 미지의 함수와 그 도함수에 대해 동차다항식이므로 동차라고 한다. 선형 미분 방정식에서 상수항을 영 함수로 대체하여 얻는 방정식은 관련된 동차 방정식이다. 미분 방정식은 관련된 동차 방정식에 상수 함수만 계수로 나타나는 경우 상수 계수를 갖는다고 한다.
미분 방정식의 해는 방정식을 만족하는 함수이다.
동차 선형 미분 방정식의 해는 벡터 공간을 형성한다. 일반적인 경우, 이 벡터 공간은 방정식의 차수와 동일한 유한 차원을 갖는다. 선형 미분 방정식의 모든 해는 특정 해에 관련된 동차 방정식의 해를 더하여 찾을 수 있다.
선형 미분 방정식 선형 미분 연산자
차수 i의 기본 미분 연산자는 임의의 미분 가능 함수를 그 i계 도함수로 매핑하거나, 여러 변수의 경우, 차수 i의 편미분 중 하나로 매핑한다. 이는 일반적으로 다음으로 표기된다.

단변수 함수의 경우, 그리고

n개 변수의 함수의 경우. 기본 미분 연산자는 항등 매핑인 0차 도함수를 포함한다.
선형 미분 연산자 (이 문서에서는 '선형 연산자' 또는 간단히 '연산자'로 약칭)는 미분 가능 함수를 계수로 하는 기본 미분 연산자들의 선형 결합이다. 단변수 함수의 경우, 선형 연산자는 다음과 같은 형태를 갖는다.

여기서 a0(x), ..., an(x)는 미분 가능 함수이고, 음수가 아닌 정수 n은 연산자의 차수이다 (만약 an(x)가 영 함수가 아닌 경우).
L이 선형 미분 연산자라고 하자. 함수 f에 L을 적용하는 것은 보통 Lf 또는 변수를 지정해야 할 경우 Lf(X)로 표기된다 (이는 곱셈과 혼동해서는 안 된다). 선형 미분 연산자는 합을 합으로, 스칼라와의 곱을 동일한 스칼라와의 곱으로 매핑하므로 선형 연산자이다.
선형 미분 방정식 선형 미분 연산자
두 선형 연산자의 합이 선형 연산자이고, 미분 가능 함수에 의한 선형 연산자의 (왼쪽) 곱 또한 선형 연산자이므로, 선형 미분 연산자들은 (고려되는 함수의 성격에 따라) 실수 또는 복소수에 대한 벡터 공간을 형성한다. 이들은 또한 미분 가능 함수의 환에 대한 자유 가군을 형성한다.
연산자 표기법은 미분 방정식을 간결하게 작성할 수 있게 해준다: 만약

가 선형 미분 연산자라면, 방정식

는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
이 표기법에는 몇 가지 변형이 있을 수 있다. 특히, 미분 변수가 y와 방정식의 우항에 명시적으로 나타나거나 나타나지 않을 수 있다 (예: Ly(x) = b(x) 또는 Ly = b).
선형 미분 연산자의 핵은 선형 매핑으로서의 영공간이며, 즉 (동차) 미분 방정식 Ly = 0의 해들의 벡터 공간이다.
n차 상미분 연산자의 경우, 카라테오도리 존재 정리는 매우 완만한 조건 하에서 L의 핵이 n차원의 벡터 공간이며, 방정식 Ly(x) = b(x)의 해는 다음 형태를 갖는다는 것을 의미한다.

여기서 c1, ..., cn은 임의의 수이다. 일반적으로, 카라테오도리 정리의 가설은 구간 I에서 함수 b, a0, ..., an가 I에서 연속이고, I의 모든 x에 대해 |an(x)| > k인 양의 실수 k가 존재할 때 만족된다.
선형 미분 방정식 상수 계수를 갖는 동차 방정식
동차 선형 미분 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는 경우 상수 계수를 갖는다.

여기서 a1, ..., an는 (실수 또는 복소수)이다. 다시 말해, 상수 계수를 갖는 선형 연산자로 정의되는 경우 상수 계수를 갖는다.
상수 계수를 갖는 이러한 미분 방정식의 연구는 레온하르트 오일러로 거슬러 올라가는데, 그는 f(0) = 1인 방정식 f′ = f의 유일한 해인 지수 함수 ex를 도입했다. 따라서 ecx 의 n계 도함수는 cnecx이며, 이는 동차 선형 미분 방정식을 비교적 쉽게 풀 수 있게 해준다.
다음과 같은 동차 선형 미분 방정식이 있다고 하자.

상수 계수(즉, a0, ..., an는 실수 또는 복소수)를 갖는다.
이 방정식의 eαx 형태의 해를 찾는 것은 다음을 만족하는 상수 α를 찾는 것과 동등하다.

eαx (결코 0이 아님)를 인수분해하면 α가 미분 방정식의 특성 다항식의 근이어야 함을 알 수 있다.

이는 특성 방정식의 좌변이다.
선형 미분 방정식 상수 계수를 갖는 동차 방정식
이러한 근들이 모두 서로 다를 때, 방정식의 계수가 실수라 할지라도 반드시 실수는 아닌 n개의 서로 다른 해를 얻는다. 이 해들은 이 해들의 x = 0, ..., n – 1에서의 값들의 반데르몽드 행렬식을 고려함으로써 선형 독립임을 보일 수 있다. 이 해들은 함께 미분 방정식의 해들의 기저를 형성한다(즉, 미분 연산자의 영공간).
특성 다항식이 단순근만 가질 경우, 위에서 제시된 방식은 해 벡터 공간의 완전한 기저를 제공한다. 중근을 가질 경우에는 기저를 형성하기 위해 더 많은 선형 독립 해가 필요하다. 이들은 다음과 같은 형태를 갖는다.

여기서 k는 음이 아닌 정수이고, α는 특성 다항식의 중복도 m의 근이며, k < m이다. 이 함수들이 해임을 증명하기 위해, α가 중복도 m의 특성 다항식의 근이라면, 특성 다항식은 P(t)(t − α)m로 인수분해될 수 있다는 점을 주목할 수 있다. 따라서 방정식의 미분 연산자를 적용하는 것은 먼저 를 m번 적용한 다음, 특성 다항식이 P인 연산자를 적용하는 것과 같다. 지수 이동 정리에 의해,
따라서 를 k + 1번 적용하면 0이 된다.
선형 미분 방정식 상수 계수를 갖는 동차 방정식
대수학의 기본 정리에 의해 다항식의 근의 중복도의 합은 다항식의 차수와 같으므로, 위 해들의 개수는 미분 방정식의 차수와 같고, 이 해들은 해 공간의 기저를 이룬다.
방정식의 계수가 실수인 일반적인 경우, 실수 값 함수로 구성된 해의 기저를 갖는 것이 일반적으로 더 편리하다. 이러한 기저는 a + ib가 특성 다항식의 근이라면, a – ib도 같은 중복도를 갖는 근임을 주목하여 이전 기저에서 얻을 수 있다. 따라서 실 기저는 오일러 공식을 사용하여 와 를 와 로 대체하여 얻는다.
2차 동차 선형 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

그리고 특성 다항식은 다음과 같다.
만약 a와 b가 실수라면, 판별식 D = a2 − 4b에 따라 해는 세 가지 경우가 있다. 세 경우 모두 일반해는 두 개의 임의 상수 c1과 c2에 의존한다.
y(0) = d1과 y′(0) = d2를 만족하는 해 y(x)를 찾으려면, 위 일반해의 0에서의 값과 그 도함수 값을 각각 d1과 d2와 같다고 놓는다. 이는 미지수 c1과 c2에 대한 두 개의 선형 방정식으로 구성된 선형 시스템을 초래한다. 이 시스템을 풀면 소위 코시 문제에 대한 해를 얻는다. 이 문제에서는 DEQ의 해와 그 도함수의 0에서의 값이 지정된다.
선형 미분 방정식 상수 계수를 갖는 비동차 방정식
상수 계수를 갖는 n차 비동차 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 a1, ..., an은 실수 또는 복소수이고, f는 x의 주어진 함수이며, y는 미지의 함수이다 (간단히 하기 위해, 다음에서는 "(x)"를 생략한다).
이러한 방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있다. 가장 좋은 방법은 방정식을 비동차로 만드는 함수 f의 성질에 따라 달라진다. 만약 f가 지수 함수와 사인 함수들의 선형 결합이라면, 지수 반응 공식을 사용할 수 있다. 더 일반적으로, 만약 f가 xneax, xn cos(ax), 그리고 xn sin(ax) 형태의 함수들의 선형 결합이라면 (여기서 n은 음이 아닌 정수이고, a는 상수이다), 미정계수법을 사용할 수 있다. 더욱 일반적인 경우, f가 동차 선형 미분 방정식, 일반적으로 홀로노믹 함수를 만족할 때 소멸자 방법이 적용된다.
가장 일반적인 방법은 상수변화법이며, 여기서 설명한다.
선형 미분 방정식 상수 계수를 갖는 비동차 방정식
관련된 동차 방정식의 일반해는 다음과 같다.

는 다음과 같다.

여기서 (y1, ..., yn)은 해 공간의 기저이고 u1, ..., un은 임의의 상수이다. 상수변화법은 다음과 같은 아이디어에서 이름을 따왔다. u1, ..., un을 상수로 간주하는 대신, y를 비동차 방정식의 해로 만들기 위해 결정되어야 하는 미지의 함수로 간주할 수 있다. 이를 위해 다음 제약 조건을 추가한다.

이는 (곱 규칙과 수학적 귀납법에 의해) 다음을 의미한다.

i = 1, ..., n – 1에 대해, 그리고
원래 방정식에서 y와 그 도함수들을 이 표현식들로 대체하고, y1, ..., yn이 원래의 동차 방정식의 해라는 사실을 이용하면 다음과 같이 얻어진다.
이 방정식과 좌변이 0인 위 방정식들은 u′1, ..., u′n에 대한 n개의 선형 방정식을 형성하며, 이 방정식들의 계수는 알려진 함수들(f, yi 및 그 도함수들)이다. 이 시스템은 선형대수학의 어떤 방법으로든 풀 수 있다. 부정적분을 계산하면 u1, ..., un을 얻고, 그러면 y = u1y1 + ⋯ + unyn을 얻는다.
부정적분이 상수의 덧셈에 따라 정의되므로, 비동차 방정식의 일반해는 임의의 해와 관련된 동차 방정식의 일반해의 합임을 다시 확인할 수 있다.
선형 미분 방정식 변수 계수를 갖는 1차 방정식
y′(x)의 계수로 나누었을 때, 1차 선형 상미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.
만약 방정식이 동차, 즉 g(x) = 0이라면, 다음과 같이 재작성하고 적분할 수 있다.

여기서 k는 임의의 적분상수이고 는 f의 임의의 부정적분이다. 따라서 동차 방정식의 일반해는 다음과 같다.

여기서 c = ek는 임의의 상수이다.
일반적인 비동차 방정식의 경우, 방정식 양변에 동차 방정식 해의 곱셈 역원 e−F을 곱하는 것이 유용하다. 이는 다음을 제공한다.

이므로 곱 규칙을 이용하여 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

따라서 일반해는 다음과 같다.

여기서 c는 적분 상수이고, F는 f의 임의의 부정적분이다 (부정적분을 바꾸는 것은 적분 상수를 바꾸는 것과 같다).
방정식 풀기

관련된 동차 방정식 은 다음을 제공한다.

즉,
원래 방정식을 이 해들 중 하나로 나누면 다음과 같다.

즉,


그리고

초기 조건

에 대해, 특정 해는 다음과 같다.
선형 미분 방정식 선형 미분 방정식계
선형 미분 방정식계는 여러 미지의 함수를 포함하는 여러 선형 미분 방정식으로 구성된다. 일반적으로 미지의 함수 개수가 방정식 개수와 같은 시스템으로 연구가 제한된다.
임의의 선형 상미분 방정식과 그러한 방정식계는 가장 높은 차수 도함수를 제외한 모든 변수에 대해 변수를 추가함으로써 1차 선형 미분 방정식계로 변환될 수 있다. 즉, 방정식에 가 나타나면, 이들을 새로운 미지의 함수 로 대체할 수 있으며, 이들은 와 i = 1, ..., k – 1에 대해 구문 분석 실패 (구문 오류): {\displaystyle y_i'=y_{i+1}
} 방정식을 만족해야 한다.
n개의 미지 함수와 n개의 미분 방정식을 갖는 1차 선형 시스템은 일반적으로 미지 함수의 도함수에 대해 풀 수 있다. 그렇지 않은 경우 이는 미분대수방정식이며, 이는 다른 이론이다. 따라서 여기서 고려하는 시스템은 다음 형태를 갖는다.

여기서 과 는 x의 함수이다. 행렬 표기법으로 이 시스템은 ( "(x)"를 생략하고) 다음과 같이 쓸 수 있다.
선형 미분 방정식 선형 미분 방정식계
풀이 방법은 단일 1차 선형 미분 방정식의 그것과 유사하지만, 행렬 곱셈의 비가환성으로 인한 복잡성이 추가된다.
다음과 같다고 하자.

는 위 행렬 방정식과 관련된 동차 방정식이다.
그 해는 차원 n의 벡터 공간을 형성하며, 따라서 행렬식이 영 함수가 아닌 함수들의 정방 행렬 의 열이다. 만약 n = 1이거나, A가 상수 행렬이거나, 더 일반적으로 A가 그 부정적분 와 교환 가능하다면, U는 B의 지수와 같게 선택할 수 있다. 사실, 이러한 경우에 다음과 같다.

일반적인 경우에는 동차 방정식에 대한 닫힌 형식의 해가 없으므로 수치해석 방법이나 마그누스 전개와 같은 근사 방법을 사용해야 한다.
행렬 U를 알고 있을 때, 비동차 방정식의 일반해는 다음과 같다.

여기서 열 행렬 는 임의의 적분상수이다.
초기 조건이 다음과 같이 주어지면

이 초기 조건을 만족하는 해는 다음과 같다.
선형 미분 방정식 변수 계수를 갖는 고차 방정식
변수 계수를 갖는 1차 선형 상미분 방정식은 구적법으로 풀 수 있는데, 이는 해가 적분으로 표현될 수 있음을 의미한다. 2차 이상에서는 그렇지 않다. 이는 피카르-베시오 이론의 주요 결과이며, 이 이론은 에밀 피카르와 어니스트 베시오가 시작했고, 최근의 발전은 미분 갈루아 이론이라고 불린다.
구적법으로 풀 수 없는 것은 아벨-루피니 정리와 비교될 수 있는데, 이 정리는 5차 이상의 대수 방정식은 일반적으로 근호로 풀 수 없다고 명시한다. 이 유비는 증명 방법에도 확장되며 미분 갈루아 이론이라는 명칭의 동기가 된다.
대수적 경우와 유사하게, 이 이론은 어떤 방정식이 구적법으로 풀 수 있는지 결정하고, 가능하다면 이를 풀 수 있게 해준다. 그러나 두 이론 모두에서 필요한 계산은 가장 강력한 컴퓨터로도 극히 어렵다.
그럼에도 불구하고, 유리 계수를 갖는 2차의 경우는 코바치 알고리즘에 의해 완전히 해결되었다.
코시-오일러 방정식은 변수 계수를 갖는 임의의 차수 방정식의 예시로, 명시적으로 풀 수 있다. 이 방정식들은 다음과 같은 형태이다.

여기서 는 상수 계수이다.
선형 미분 방정식 홀로노믹 함수
홀로노믹 함수는 D-유한 함수라고도 불리며, 다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해인 함수이다.
수학에서 일반적으로 고려되는 대부분의 함수는 홀로노믹 함수이거나 홀로노믹 함수의 몫이다. 사실, 홀로노믹 함수에는 다항식, 대수함수, 로그, 지수 함수, 사인, 코사인, 쌍곡선 사인, 쌍곡선 코사인, 역삼각 함수 및 역쌍곡선 함수, 그리고 베셀 함수 및 초기하 함수와 같은 많은 특수 함수가 포함된다.
홀로노믹 함수는 여러 폐쇄성을 가지며, 특히 홀로노믹 함수의 합, 곱, 미분 및 적분은 홀로노믹이다. 더욱이, 이러한 폐쇄성은 유효하다는 의미에서 입력 홀로노믹 함수의 미분 방정식을 알면 이러한 연산 결과의 미분 방정식을 계산하는 알고리즘이 존재한다.
홀로노믹 함수 개념의 유용성은 Zeilberger의 정리에서 비롯된다.
선형 미분 방정식 홀로노믹 함수
홀로노믹 수열은 다항식 계수를 갖는 점화식에 의해 생성될 수 있는 수열이다. 홀로노믹 함수의 한 점에서의 테일러 급수의 계수는 홀로노믹 수열을 형성한다. 반대로, 멱급수의 계수 수열이 홀로노믹이면, 그 급수는 홀로노믹 함수를 정의한다 (수렴반경이 0이더라도). 두 변환 모두에 대한 효율적인 알고리즘이 존재하며, 즉 미분 방정식에서 점화식을 계산하고 그 반대도 가능하다.
따라서 (컴퓨터에서) 홀로노믹 함수를 정의 미분 방정식과 초기 조건으로 나타내면, 미적분학의 대부분의 연산, 예를 들어 미분, 부정 및 정적분, 테일러 급수의 빠른 계산(계수에 대한 점화식 덕분), 오차의 인증된 경계를 갖는 고정밀도 평가, 극한, 특이점 위치 파악, 무한대 및 특이점 근처에서의 점근적 행동, 항등식 증명 등을 이러한 함수에 대해 자동적으로 수행할 수 있다.
회전 불변성
수학에서 내적 공간에 정의된 함수는 인수에 임의의 회전을 적용해도 값이 변하지 않으면 회전 불변성(영어: Rotational invariance)을 가진다고 한다.
회전 불변성 수학
예를 들어, 함수
는 원점을 중심으로 한 평면의 회전에 대해 불변이다. 왜냐하면 어떤 각 θ를 통해 회전된 좌표계에 대해
항들의 소거 후 함수는 정확히 동일한 형태를 취하기 때문이다.
좌표의 회전은 회전변환행렬을 사용하여 행렬 형태로 표현할 수 있다.
또는 기호적으로 x′ = Rx. 기호적으로, 두 실수 변수의 실수값 함수의 회전 불변성은 다음과 같다.
다시 말해, 회전된 좌표의 함수는 초기 좌표와 정확히 동일한 형태를 취하며, 유일한 차이점은 회전된 좌표가 초기 좌표를 대체한다는 것이다. 세 개 이상의 실수 변수를 가진 실수값 함수의 경우, 이 표현은 적절한 회전 행렬을 사용하여 쉽게 확장된다.
이 개념은 하나 이상의 변수를 가진 벡터 함수 f에도 확장된다.
회전 불변성 수학
위의 모든 경우에서 인자(여기서는 명확성을 위해 "좌표"라고 함)가 회전되는 것이지, 함수 자체가 회전되는 것은 아니다.
실직선 의 부분집합 X에서 자기 자신으로 요소를 매핑하는 함수
의 경우, 회전 불변성은 함수가 X의 요소들의 회전과 교환된다는 것을 의미할 수도 있다. 이는 그러한 함수에 작용하는 연산자에도 적용된다. 예를 들어 2차원 라플라스 연산자는 다음과 같다.
이 연산자는 함수 f에 작용하여 다른 함수 ∇2f를 얻는다. 이 연산자는 회전에 대해 불변이다.
g가 g(p) = f(R(p)) 함수이고 R이 임의의 회전이라면, (∇2g)(p) = (∇2f )(R(p))이다. 즉, 함수를 회전하는 것은 단순히 그 라플라시안을 회전하는 것이다.
회전 불변성 물리학
물리학에서 시스템이 공간에서 어떻게 놓여 있든 상관없이 동일하게 동작한다면, 그 라그랑주 함수는 회전 불변이다. 뇌터 정리에 따르면, 물리 시스템의 작용(라그랑주 함수의 시간에 대한 적분)이 회전에 대해 불변이라면 각운동량이 보존된다.
양자역학에서 회전 불변성은 회전 후에도 새로운 시스템이 여전히 슈뢰딩거 방정식을 따른다는 속성이다. 즉,
모든 회전 R에 대해 성립한다. 회전은 시간에 명시적으로 의존하지 않으므로, 에너지 연산자와 교환한다. 따라서 회전 불변성을 위해서는 [R, H] = 0이 성립해야 한다.
각도 dθ만큼의 미소 회전(이 예에서는 xy-평면에서; 다른 어떤 평면에서도 유사하게 할 수 있음)에 대해 (미소) 회전 연산자는 다음과 같다.
그러면
따라서
다시 말해 각운동량이 보존된다.
자발적 매개 변수 하향 변환
자발적 매개 변수 하향 변환(영어: Spontaneous parametric down-conversion, SPDC, 매개 변수 형광(parametric fluorescence) 또는 매개 변수 산란(parametric scattering)으로도 알려져 있음)은 에너지 보존 및 운동량 보존 법칙에 따라 고에너지 광자(즉, 펌프 광자) 하나를 저에너지 광자 쌍(즉, 신호 및 아이들러 광자)으로 변환하는 비선형 순간 광학 과정이다. 이는 양자광학에서 얽힌 광자 쌍 및 단일 광자를 생성하는 중요한 과정이다.
자발적 매개 변수 하향 변환 설명
광자 빔으로부터 광자 쌍을 생성하는 데 비선형 결정이 사용된다. 에너지와 운동량 보존에 따라, 이 쌍은 원래 광자의 에너지와 운동량과 동일한 결합 에너지와 운동량을 가져야 한다. 분산으로 인해 굴절률이 주파수에 따라 변하기 때문에, 동시에 에너지 및 운동량 보존을 달성할 수 있도록 특정 주파수 삼중체만 위상 정합된다. 위상 정합은 가장 일반적으로 굴절률이 편광에 따라 변하는 복굴절 비선형 재료를 사용하여 달성된다. 그 결과, SPDC의 다른 유형은 입력 광자(펌프)와 두 출력 광자(신호 및 아이들러)의 편광에 따라 분류된다.
SPDC의 변환 효율은 일반적으로 매우 낮으며, 도파관에서 주기적으로 폴링된 리튬 나이오베이트 (PPLN)의 경우 최고 효율은 4x10−6 입사 광자 정도이다. 그러나 쌍의 절반이 언제든지 감지되면 그 파트너가 존재한다는 것을 알 수 있다. Type I 하향 변환기 출력의 축퇴 부분은 짝수 광자 수 항만을 포함하는 압착된 진공이다. Type II 하향 변환기의 비축퇴 출력은 이중 모드 압착 진공이다.
자발적 매개 변수 하향 변환 예시
일반적으로 사용되는 SPDC 장치 설계에서 "펌프" 빔이라고 불리는 강한 레이저 빔이 BBO (바륨 붕산염 또는 리튬 나이오베이트) 결정에 조사된다. 대부분의 광자는 결정을 그대로 통과한다. 그러나 가끔 일부 광자는 Type II 편광 상관 관계를 가진 자발적 하향 변환을 겪으며, 그 결과로 생성된 상관 광자 쌍은 축이 펌프 빔에 대해 대칭적으로 배열된 두 개의 원뿔 측면을 따라 제한된 궤적을 갖는다. 운동량 보존 때문에 두 광자는 항상 펌프 빔에 대해 원뿔 측면에 대칭적으로 위치한다. 특히, 소수의 광자 쌍의 궤적은 두 원뿔 표면이 교차하는 두 선에 동시에 놓일 것이다. 이는 이 두 선에서 나오는 광자 쌍의 편광 얽힘을 초래한다. 광자 쌍은 좌측 광자, 우측 광자의 편광에 해당하는 얽히지 않은 상태 와 의 동일한 가중치 양자 중첩 상태에 있다.:205
다른 결정은 KDP (인산이수소칼륨)이며, 이는 두 광자가 동일한 편광을 갖는 Type I 하향 변환에 주로 사용된다.
효과적인 매개변수 하향 변환 비선형 결정의 몇 가지 특징은 다음과 같다:
자발적 매개 변수 하향 변환 역사
SPDC는 1967년 S. E. 해리스, M. K. 오슈만, 그리고 R. L. 바이어에 의해, 뿐만 아니라 D. 마그데와 H. 마르에 의해 시연되었다. 1980년대 후반 두 독립적인 연구팀인 캐롤 앨리와 시얀화, 그리고 루파만자리 고쉬와 레오나르트 만델에 의해 처음으로 결맞음 관련 실험에 적용되었다. 비간섭성(판 시테르트-제르니케 정리)과 이광자 방출 사이의 파동-입자 이중성이 발견되었다.
자발적 매개 변수 하향 변환 응용
SPDC는 (매우 근사적으로) 단일 광자를 포함하는 광학장을 생성할 수 있게 한다. 2005년 현재, 이는 실험자가 단일 광자 (또한 폭 상태로 알려져 있음)를 생성하는 주요 메커니즘이다. 단일 광자와 광자 쌍은 종종 양자 정보 실험 및 양자 암호와 벨 테스트 실험과 같은 응용 분야에서 사용된다.
SPDC는 높은 공간 상관도를 가진 얽힌 광자 쌍을 생성하는 데 널리 사용된다. 이러한 쌍은 두 개의 광 검출기에서 정보를 결합하는 고스트 이미징에 사용된다. 이 중 하나는 물체를 보지 않는 기존의 다중 픽셀 검출기이고, 다른 하나는 물체를 보는 단일 픽셀(버킷) 검출기이다.
자발적 매개 변수 하향 변환 대안
최근에 관찰된 전기적으로 구동되는 반도체에서의 두 광자 방출 효과는 얽힌 광자 쌍의 더 효율적인 소스의 기반으로 제안되었다. SPDC로 생성된 광자 쌍 외에도, 반도체에서 방출된 쌍의 광자들은 일반적으로 동일하지 않고 다른 에너지를 갖는다. 최근까지 양자 불확정성의 제약 내에서 방출된 광자 쌍은 동일한 위치에서 생성되는 것으로 가정되었다. 그러나 SPDC에서 상관 광자 쌍을 생성하는 새로운 비국소화 메커니즘은 쌍을 구성하는 개별 광자가 공간적으로 분리된 지점에서 방출될 수 있음을 강조했다.
상대론적 파동 방정식
물리학에서, 특히 상대론적 양자역학(RQM)과 입자물리학에서의 응용에서, 상대론적 파동 방정식(영어: Relativistic wave equations)은 높은 에너지와 빛의 속력에 필적하는 속도에서 입자의 행동을 예측한다.
상대론적 파동 방정식 개요
양자장론(QFT)의 맥락에서 상대론적 파동 방정식은 양자장의 역학을 결정한다. 이 방정식의 해들은 보편적으로 ψ 또는 Ψ(그리스어 프시)로 표시되며, RQM의 맥락에서는 '파동 함수'로, QFT의 맥락에서는 '장'으로 지칭된다. 이에 간단히 '파동 방정식' 또는 '장 방정식'으로 불리는데, 이는 이들이 파동 방정식의 수학적 형태를 가지고 있거나 라그랑지언과 장론적 오일러-라그랑주 방정식에서 생성되기 때문이다.
슈뢰딩거 묘사에서 파동 함수 또는 장은 슈뢰딩거 방정식의 해이다.

이는 양자역학의 공리 중 하나이다. 모든 상대론적 파동 방정식은 물리계를 기술하는 해밀토니언 연산자 Ĥ의 다양한 형태를 지정함으로써 구성될 수 있다. 다른 방법으로는, 파인만의 경로 적분 공식화는 해밀토니언 연산자 대신 라그랑지언을 사용한다.
더 일반적으로 말하면, 상대론적 파동 방정식의 현대 형식주의는 로런츠 군 이론이며, 여기에서 입자의 스핀은 로런츠 군의 표현과 상응한다.
상대론적 파동 방정식 역사
분자, 원자, 그리고 원자핵 시스템 및 더 작은 시스템에 적용된 고전역학의 실패는 새로운 역학, 즉 양자역학의 필요성을 야기했다. 수학적 공식화는 드 브로이, 보어, 슈뢰딩거, 파울리, 하이젠베르크 등 여러 학자들에 의해 1920년대 중반에 이루어졌으며, 당시에는 고전역학과 유사했다. 슈뢰딩거 방정식과 하이젠베르크 묘사는 큰 양자수(더 높은 에너지 준위)의 극한에서 그리고 환산 플랑크 상수(작용의 양자) ħ이 0으로 갈 때 고전적인 운동 방정식과 유사하다. 이것이 바로 대응원리이다. 이 시점에서 특수 상대성이론은 양자역학과 완전히 결합되지 않았기 때문에, 슈뢰딩거와 하이젠베르크의 원래 제안된 공식화는 입자가 빛의 속력 근처로 이동하거나 각 유형의 입자 수가 변하는 상황(이것은 실제 입자 상호작용에서 발생한다. 즉, 다양한 형태의 입자 붕괴, 쌍소멸, 물질 생성, 쌍생성 등)에서 사용될 수 없었다.
상대론적 파동 방정식 역사
상대론적 효과를 설명할 수 있는 양자역학 시스템에 대한 설명은 1920년대 후반부터 1940년대 중반까지 많은 이론 물리학자들에 의해 탐구되었다. 상대론적 양자역학, 즉 특수 상대성이론과 양자역학이 함께 적용되는 첫 번째 기반은 흔히 클라인-고든 방정식이라고 불리는 것을 발견한 모든 이들에 의해 발견되었다.
이 방정식은 에너지 연산자와 운동량 연산자를 상대론적 에너지-운동량 관계에 삽입하여 얻어진다.
(1)의 해는 스칼라장이다. 클라인-고든 방정식은 (2)의 이차 방정식적 특성으로 인해 음의 에너지와 확률을 예측하여 바람직하지 않다. 이는 상대론적 이론에서는 피할 수 없는 결과이다. 이 방정식은 처음에 슈뢰딩거가 제안했지만 이러한 이유로 폐기했으며, 몇 달 후에 그의 비상대론적 극한(현재 슈뢰딩거 방정식이라고 불리는 것)이 여전히 중요하다는 것을 깨달았다. 그럼에도 불구하고 (1)는 스핀-0 보손에 적용 가능하다.
상대론적 파동 방정식 역사
슈뢰딩거가 발견한 비상대론적 방정식이나 상대론적 방정식 모두 수소 스펙트럼 계열의 미세 구조를 예측할 수 없었다. 이 신비한 근본 속성은 스핀이었다. 처음으로 2차원 스핀 행렬(파울리 행렬로 더 잘 알려져 있음)은 파울리가 파울리 방정식에 도입했다. 이 방정식은 자기장에 있는 입자에 대한 추가 항을 포함하는 비상대론적 해밀토니언을 가진 슈뢰딩거 방정식이었지만, 이는 현상론적이었다. 바일은 파울리 행렬을 사용하여 질량이 없는 스핀-1/2 페르미온에 대한 상대론적 방정식인 바일 방정식을 발견했다. 이 문제는 1920년대 후반 디랙이 방정식 (2)를 전자에 적용하는 것을 발전시키면서 해결되었다. 그는 다양한 조작을 통해 방정식을 다음과 같은 형태로 인수분해했다.
상대론적 파동 방정식 역사
그리고 이 인수 중 하나가 에너지 및 운동량 연산자를 삽입한 디랙 방정식이다(아래 참조). 이것은 상대론적 파동 방정식에 새로운 4차원 스핀 행렬 α 와 β를 처음으로 도입했으며, 수소의 미세 구조를 설명했다. (3A)의 해는 다중 성분 스피너장이며, 각 성분은 (1)을 만족한다. 스피너 해의 놀라운 결과는 성분의 절반이 입자를 기술하고 나머지 절반이 반입자를 기술한다는 것이다. 이 경우 전자와 양전자이다. 디랙 방정식은 이제 모든 질량 있는 스핀-1/2 페르미온에 적용되는 것으로 알려져 있다. 비상대론적 극한에서는 파울리 방정식이 복구되며, 질량이 없는 경우에는 바일 방정식이 결과로 나타난다.
양자론의 이정표임에도 불구하고, 디랙 방정식은 스핀-1/2 페르미온에만 해당하며, 여전히 음의 에너지 해를 예측하여 당시 논란을 야기했다(특히 모든 물리학자가 음의 에너지 상태의 "디랙의 바다"에 편안함을 느끼지 못했다).
상대론적 파동 방정식 역사
명확한 문제는 디랙 방정식을 모든 스핀을 가진 입자, 즉 페르미온과 보손 모두에게 일반화하고, 같은 방정식에서 이들의 반입자도 포함하며(디랙이 그의 방정식에 도입하고 판데르바르던이 1929년에 스피너 미적분학에서 최근에 발전시킨 스피너 형식론 덕분에 가능했다), 이상적으로는 양의 에너지 해를 포함하는 것이었다.
이는 마요라나가 1932년에 디랙과는 다른 접근 방식으로 도입하고 해결했다. 마요라나는 (3A)의 한 "근"을 고려했다.
여기서 ψ는 무한히 많은 성분을 가진 스피너장이며, 부호의 불확정성을 제거하기 위해 유한한 수의 텐서나 스피너로 환원될 수 없다. 행렬 α와 β는 무한 차원 행렬이며, 무한소 로런츠 변환과 관련이 있다. 그는 3B의 각 성분이 방정식 (2)를 만족해야 한다고 요구하지 않았다. 대신 그는 로런츠 불변 작용을 사용하여 최소 작용 원리와 로런츠 군 이론의 적용을 통해 방정식을 재구성했다.
상대론적 파동 방정식 역사
마요라나는 다양한 차원(5, 6, 16)의 파동 방정식을 포함하여 출판되지 않은 다른 중요한 공헌을 했다. 이들은 나중에 (더 복잡한 방식으로) 드 브로이(1934)와 더핀, 케머, 페티오(1938–1939년경)에 의해 예상되었다(더핀-케머-페티오 대수 참조). 디랙-피어츠-파울리 형식론은 마요라나의 것보다 더 정교했다. 스피너는 20세기 초에 새로운 수학적 도구였지만, 마요라나의 1932년 논문은 완전히 이해하기 어려웠다. 파울리와 위그너가 그것을 이해하는 데 1940년경까지 시간이 걸렸다.
디랙은 1936년에, 피어츠와 파울리는 1939년에 모든 지수에서 대칭인 비가환 스피너 A와 B를 사용하여 정수 n에 대해 스핀 n + 1/2인 질량 입자에 대한 방정식을 만들었다(판데르바르던 표기법에서 점이 찍힌 지수의 의미는 참조).
여기서 p는 공변 스피너 연산자로서의 운동량이다. n = 0일 때, 이 방정식은 결합된 디랙 방정식으로 축소되며, A와 B는 함께 원래의 디랙 스피너로 변환된다. A 또는 B를 제거하면 A와 B 각각이 (1)을 만족함을 보여준다. 바르그만-위그너 연산자를 사용한 디랙-파울리-피어츠 방정식의 직접 유도는 이사예프와 포도이니친에 의해 제시되었다.
1941년에 라리타와 슈윙거는 스핀-3/2 입자에 초점을 맞추어 라리타-슈윙거 방정식을 유도했으며, 이를 생성하기 위한 라그랑지언을 포함했고, 나중에 정수 n에 대한 스핀 n + 1/2에 유사한 방정식을 일반화했다. 1945년에 파울리는 마요라나의 1932년 논문을 바바에게 제안했고, 바바는 마요라나가 1932년에 도입했던 일반적인 아이디어로 돌아갔다. 바바와 루반스키는 (3A)와 (3B)의 질량 항을 파동 함수가 따라야 하는 일련의 조건에 따라 임의의 상수로 대체함으로써 완전히 일반적인 방정식 세트를 제안했다.
마침내 1948년(같은 해에 파인만의 경로 적분 공식화가 만들어졌다), 바르그만과 위그너는 모든 스핀을 가질 수 있는 질량 입자에 대한 일반 방정식을 완전히 대칭적인 유한 성분 스피너와 로렌츠 군 이론을 사용하여(마요라나가 했던 것처럼) 공식화했다. 이것이 바르그만-위그너 방정식이다. 1960년대 초반, 바르그만-위그너 방정식의 재정식화가 H. 요스와 스티븐 와인버그에 의해 이루어졌는데, 이것이 요스-와인버그 방정식이다. 이 시기의 다양한 이론가들은 고스핀 입자를 위한 상대론적 해밀토니언에 대한 추가 연구를 진행했다.
스핀 입자의 상대론적 기술은 양자론에서 어려운 문제였다. 이 문제는 부분적으로만 해결되었기 때문에 여전히 현재 연구 분야이다. 방정식에 상호작용을 포함하는 것은 문제가 많고, (디랙 방정식에서조차) 역설적인 예측이 여전히 존재한다.
상대론적 파동 방정식 선형 방정식
다음 방정식들은 중첩 원리를 만족하는 해를 가지며, 즉 파동 함수는 가법적이다.
여기서는 텐서 지수 표기법과 파인만의 슬래시 기법의 표준 규약이 사용되며, 색인이 있는 양의 공간 성분에는 1, 2, 3의 값을, 시간 성분에는 0의 값을 취하는 그리스어 색인이 포함된다. 파동 함수는 ψ로, ∂μ는 사차원 기울기 연산자의 성분이다.
행렬 방정식에서, 파울리 행렬은 σμ로 표시되며, 여기서 μ = 0, 1, 2, 3이고, σ0는 2 × 2 단위 행렬이다.

다른 행렬은 일반적인 표현을 갖는다. 표현

은 2성분 스피너장에 작용하는 2 × 2 행렬 연산자이다.
디랙 행렬은 γμ으로 표시되며, 여기서 다시 μ = 0, 1, 2, 3이고, 여러 표현 중에서 선택할 수 있다. 행렬 γ0은 반드시 4 × 4 단위 행렬일 필요는 없다. 표현

은 4성분 스피너장에 작용하는 4 × 4 행렬 연산자이다.
"mc"와 같은 항은 해당 차원의 단위 행렬에 스칼라 곱을 하며, 일반적인 크기는 2 × 2 또는 4 × 4이며, 단순화를 위해 관례적으로 쓰지 않는다.
더핀-케머-페티오 방정식은 스핀-0 및 스핀-1 입자에 대한 대체 방정식이다.
상대론적 파동 방정식 상대론적 파동 방정식의 구성
표준 특수 상대성이론(SR) 4-벡터에서 시작:
각 4-벡터는 로런츠 스칼라로 다른 4-벡터와 관련되어 있다.
마지막 방정식은 근본적인 양자 관계이다.
로런츠 스칼라장 에 적용하면, 양자 상대론적 파동 방정식의 가장 기본적인 것인 클라인-고든 방정식을 얻는다.
슈뢰딩거 방정식은 클라인-고든 방정식의 저속도 극한 경우(v ≪ c)이다.
이 관계가 로런츠 스칼라장  대신 사차원 벡터장 에 적용되면, 프로카 방정식(로렌츠 게이지에서)을 얻는다.
정지 질량 항이 0(광속 입자)으로 설정되면, 이는 자유 맥스웰 방정식(로렌츠 게이지에서)을 제공한다.
민코프스키 공간에서 적절한 정시 로렌츠 변환 x → Λx 아래에서, 스핀 j와 스핀 z-성분 σ을 갖는 모든 한 입자 양자 상태 ψjσ는 로렌츠 군의 어떤 표현 D에 따라 국소적으로 변환된다.

여기서 D(Λ)는 어떤 유한 차원 표현, 즉 행렬이다. 여기서 ψ는 허용된 σ 값을 포함하는 열 벡터로 간주된다. 양자수 j와 σ뿐만 아니라 다른 양자수를 나타내는 연속적이거나 이산적인 다른 레이블은 억제된다. σ의 한 값은 표현에 따라 여러 번 나타날 수 있다. j에 대해 여러 가능한 값을 갖는 표현은 아래에서 고려된다.