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종합기하학 역사
유클리드 기하학에 대한 면밀한 공리적 연구는 람베르트 사각형과 사케리 사각형의 구성으로 이어졌다. 이러한 구조는 에우클레이데스의 평행 공리가 부정되는 비유클리드 기하학 분야를 도입했다. 가우스, 보여이, 로바쳅스키는 독립적으로 쌍곡기하학을 구성했는데, 여기서는 평행선이 분리에 따라 달라지는 평행각을 가진다. 이 연구는 뫼비우스 변환에 의해 운동이 주어지는 푸앵카레 원판 모델을 통해 널리 접근 가능해졌다. 유사하게, 가우스의 학생인 리만은 리만 기하학을 구성했는데, 그 중 타원기하학이 특정 경우이다.
또 다른 예는 루트비히 임마누엘 마그누스가 발전시킨 반전기하학인데, 이는 정신적으로 종합적이라고 볼 수 있다. 밀접하게 관련된 역수 연산은 평면의 분석을 표현한다.
카를 폰 슈타우트는 덧셈과 곱셈의 교환법칙과 결합법칙과 같은 대수적 공리가 실제로는 기하 구성에서 선의 발생의 결과임을 보여주었다. 다비트 힐베르트는 데자르그 정리가 특별한 역할을 한다는 것을 보여주었다. 추가적인 연구는 루트 무팡과 그녀의 학생들에 의해 수행되었다. 이 개념들은 발생 기하학의 동기 중 하나였다.
종합기하학 역사
평행선을 기본으로 취할 때, 종합은 아핀 기하학을 생성한다. 유클리드 기하학은 아핀 기하학이자 거리 기하학이지만, 일반적으로 아핀 공간에는 거리가 없을 수 있다. 따라서 추가된 유연성은 아핀 기하학의 역사에서 논의된 바와 같이 시공간 연구에 아핀 기하학을 적합하게 만든다.
1955년 허버트 부제만과 폴 J. 켈리는 종합기하학에 대한 향수를 표현했다.
비록 마지못해서지만, 기하학자들은 종합기하학의 아름다움이 새로운 세대에게 매력을 잃었다는 것을 인정해야 한다. 그 이유는 분명하다. 얼마 전까지만 해도 종합기하학은 추론이 공리에서 엄격하게 진행되는 유일한 분야였지만, 많은 수학적으로 관심 있는 사람들에게는 매우 근본적인 이 매력은 이제 다른 많은 분야에서 제공된다.
예를 들어, 대학 연구에는 이제 선형대수학, 위상수학, 그래프 이론이 포함되며, 이들 과목은 기본 원리에서 개발되고 명제는 초등 증명을 통해 도출된다. 종합기하학을 해석기하학으로 대체하려는 기대는 기하학적 내용의 손실로 이어진다.
오늘날의 기하학 학생들은 에우클레이데스의 공리 외에 다른 공리들을 사용할 수 있다. 힐베르트 공리계와 타르스키 공리계를 참조하라.
에른스트 쾨터는 1901년에 "몽주부터 슈타우트(1847)까지의 종합기하학의 발전"에 대한 (독일어) 보고서를 발표했다.
종합기하학 종합기하학을 이용한 증명
기하학적 정리의 종합적 증명은 보조선과 같은 보조 구성과 변 또는 각의 동일성, 삼각형의 닮음 및 합동과 같은 개념을 사용한다. 이러한 증명의 예는 나비 정리, 각의 이등분선 정리, 아폴로니우스 정리, 영국 국기 정리, 체바 정리, 등접원 정리, 기하 평균 정리, 헤론 공식, 이등변삼각형 정리, 코사인 법칙 및 Category:평면기하학의 정리에 연결된 다른 문서들에서 찾을 수 있다.
종합기하학 계산 종합기하학
계산기하학과 연관되어, 예를 들어 매트로이드 이론과 밀접한 관련이 있는 계산 종합기하학이 설립되었다. 합성 미분 기하학은 토포스 이론을 미분다양체 이론의 기초에 적용한 것이다.
박수훈
박수훈(1988년 4월 22일~2024년 2월 1일)은 대한민국의 소방공무원이다. 경상북도 문경소방서 119구조구급센터 구조대원으로 근무했고, 2024년 1월 31일 저녁 경상북도 문경시 신기산업단지의 육가공 공장 화재 현장에서 인명 수색 중 고립되어 다음날 순직하였다. 정부는 1계급 특진과 함께 옥조근정훈장을 추서했고, 2월 3일 국립대전현충원에 안장되었다.
박수훈 개요
박수훈은 2022년 2월 3일자로 소방사로 최초 임용되어 문경소방서 119구조구급센터에서 구조임무를 수행했다. 특전사 부사관(중사) 출신으로 체력과 위기 대응 능력을 바탕으로 근무했으며, 재직 약 2년 동안 400여 차례의 화재·구급 현장에 출동해 임무를 수행했다.
박수훈 생애
박수훈은 1988년 4월 22일 대구광역시에서 태어났다. 경상북도 상주를 고향으로 두었다.
그는 육군 특수전사령부에서 중사로 복무했다. 전역 후 태권도 지도자로 활동하며 재능기부를 이어갔고, 양식조리기능사 자격을 취득했다.
2021년 8월 소방공무원 시험에 최종 합격한 뒤 2022년 2월 3일 구조 분야에 임용되어 문경소방서 119구조구급센터에서 근무를 시작했다.
박수훈 순직
2024년 1월 31일 19시 47분경 경상북도 문경시 신기산업단지의 4층 규모 육가공 공장에서 화재가 발생하였다. 박수훈은 동료 구조대원 김수광과 함께 공장 내부에서 인명 수색을 실시하던 중 급격한 연소 확대와 구조물 붕괴로 고립되었고, 2024년 2월 1일 새벽 3층 내부에서 순직한 채 발견되었다. 사건 직후 소방청과 경북소방본부는 애도 기간을 설정하고 분향소를 운영했다.
박수훈 장례와 추모
영결식은 2024년 2월 3일 경상북도청장(葬)으로 경북도청 동락관에서 엄수되었으며, 이철우 경상북도지사가 1계급 특진을, 남화영 소방청장이 옥조근정훈장을 각각 추서했다. 같은 날 유해는 국립대전현충원에 안장되었다. 국가보훈부는 추모의 뜻을 표하며 본부와 지방보훈관서, 국립묘지 등에 조기를 게양했다. 2024년 10월 26일 소방청 주관 국립대전현충원 순직 소방공무원 추모식에서 고인의 넋을 기리는 공식 추모가 거행되었다.
박수훈 평가
현장 중심의 투입과 강한 책임감으로 동료들 사이에서 “나는 소방과 결혼했다”라는 말을 즐겨 하던 인물로 회고된다. 특전사 복무를 통해 체득한 체력과 기동력은 구조 임무 수행에 강점으로 평가되었다. 순직 이후 현장 인력과 안전대책에 관한 사회적 논의가 이어졌다.
박수훈 개인사
미혼이었으며, 지역 사회에서 태권도 지도자로 활동하며 청소년의 체력훈련과 진로 상담을 도왔다.
원넓이
기하학에서 반지름 r인 원으로 둘러싸인 넓이는 πr2이다. 여기서 그리스 문자 π는 모든 원의 원둘레와 지름의 상수 비율을 나타내며, 대략 3.14159와 같다.
아르키메데스로부터 시작된 이 공식을 유도하는 한 가지 방법은 원을 변의 수가 증가하는 정다각형 수열의 극한으로 보는 것이다. 정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 중심에서 변까지의 거리를 곱한 것이며, 이 수열이 원에 가까워지기 때문에 넓이가 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것, 즉 A = ⁠1/2⁠ × 2πr × r이라는 해당 공식은 원에 대해서도 성립한다.
원넓이 용어
비공식적인 맥락에서는 종종 원의 넓이로 불리지만, 엄밀히 말하면 원판이라는 용어는 원의 내부 영역을 지칭하며, 원 (기하학)은 곡선이며 그 자체로는 넓이를 포함하지 않는 경계만을 위해 사용된다. 따라서 원판의 넓이는 원에 의해 둘러싸인 넓이에 대한 더 정확한 표현이다.
원넓이 역사
현대 수학은 적분법 또는 그보다 더 정교한 실해석학의 방법을 사용하여 넓이를 구할 수 있다. 그러나 원판의 넓이는 고대 그리스인들에 의해 연구되었다. 기원전 5세기 에우독소스는 원판의 넓이가 반지름의 제곱에 비례한다는 것을 발견했다. 아르키메데스는 그의 책 《원 측정》에서 유클리드 기하학의 도구를 사용하여 원 안의 넓이가 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형의 넓이와 같음을 보였다. 원둘레는 2πr이고, 삼각형의 넓이는 밑변의 절반에 높이를 곱한 것이므로, 원판의 넓이는 π r2이다. 아르키메데스 이전에 키오스의 히포크라테스는 히포크라테스의 초승달의 구적법의 일환으로 원판의 넓이가 지름의 제곱에 비례한다는 것을 처음으로 보였지만, 비례 상수는 밝히지 않았다.
원넓이 역사적 논증
다양한 수학적 엄밀성으로  공식을 확립하기 위해 역사적으로 다양한 논증이 제시되었다. 이들 중 가장 유명한 것은 아르키메데스의 소진법으로, 극한이라는 수학적 개념의 초기 사용 중 하나이며, 실수 시스템의 표준 해석적 처리의 일부로 남아 있는 아르키메데스 성질의 기원이기도 하다. 아르키메데스의 원래 증명은 현대적 기준으로는 엄밀하지 않다. 이는 원호의 길이와 현 및 접선 길이를 비교하고, 넓이에 대한 유사한 진술을 기하학적으로 명확하다고 가정하기 때문이다.
정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 변심거리를 곱한 것이다. 정다각형의 변의 수가 증가함에 따라 다각형은 원에 가까워지고 변심거리는 반지름에 가까워진다. 이는 원판의 넓이가 경계 원의 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것임을 시사한다.
아르키메데스의 《원 측정》(기원전 260년경) 논증에 따라, 원으로 둘러싸인 넓이를 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형과 비교한다. 원의 넓이가 삼각형의 넓이와 같지 않다면, 그것은 더 크거나 작아야 한다. 우리는 각각을 모순으로 제거하여 같음만이 유일한 가능성으로 남겨둔다. 우리는 정다각형을 같은 방식으로 사용한다.
원넓이 역사적 논증
원이 둘러싸는 넓이 C가 삼각형의 넓이 T = cr/2보다 크다고 가정하자. 초과량을 E라고 하자. 원 안에 정사각형을 내접시켜 네 모서리가 원 위에 놓이도록 한다. 정사각형과 원 사이에는 네 개의 조각이 있다. 이 간격의 총 넓이 G4가 E보다 크다면, 각 호를 절반으로 나눈다. 이렇게 하면 내접된 정사각형이 내접된 팔각형이 되고, 더 작은 총 간격 G8을 가진 여덟 개의 조각이 생긴다. 총 간격 넓이 Gn이 E보다 작아질 때까지 분할을 계속한다. 이제 내접된 다각형의 넓이 Pn = C − Gn은 삼각형의 넓이보다 커야 한다.
그러나 이는 다음과 같이 모순을 강요한다. 중심에서 다각형 변의 중간점으로 수직선을 그리면 그 길이 h는 원 반지름보다 작다. 또한 다각형의 각 변의 길이를 s라고 하자. 그러면 변들의 합은 ns인데, 이는 원둘레보다 작다. 다각형 넓이는 높이 h와 밑변 s를 가진 n개의 동일한 삼각형으로 구성되므로 nhs/2와 같다. 그러나 h < r이고 ns < c이므로 다각형 넓이는 삼각형 넓이 cr/2보다 작아야 하며, 이는 모순이다. 그러므로 C가 T보다 클 수 있다는 우리의 가정은 틀려야 한다.
원넓이 역사적 논증
원이 둘러싸는 넓이가 삼각형의 넓이 T보다 작다고 가정하자. 부족량을 D라고 하자. 각 변의 중간점이 원 위에 놓이도록 정사각형을 외접시킨다. 정사각형과 원 사이의 총 넓이 간격 G4가 D보다 크다면, 원 접선으로 모서리를 잘라 외접된 팔각형을 만들고, 간격 넓이가 D보다 작아질 때까지 자르기를 계속한다. 다각형의 넓이 Pn은 T보다 작아야 한다.
이 또한 모순을 강요한다. 왜냐하면, 각 다각형 변의 중간점에 대한 수직선은 길이 r인 반지름이기 때문이다. 그리고 총 변의 길이가 원둘레보다 크기 때문에, 다각형은 총 넓이가 T보다 큰 n개의 동일한 삼각형으로 구성된다. 다시 모순이 발생하므로 C가 T보다 작을 수 있다는 우리의 가정 또한 틀려야 한다.
그러므로 원이 둘러싸는 넓이는 삼각형의 넓이와 정확히 같아야 한다. 이것으로 증명이 완료된다.
원넓이 역사적 논증
사토 모슌 (Smith & Mikami 1914, pp. 130–132), 니콜라우스 쿠자누스, 그리고 레오나르도 다 빈치 (Beckmann 1976, p. 19)에 따라, 우리는 내접된 정다각형을 다른 방식으로 사용할 수 있다. 육각형을 내접시킨다고 가정해보자. 육각형을 중심에서부터 잘라 여섯 개의 삼각형으로 나눈다. 마주보는 두 삼각형은 두 개의 공통 지름에 접하며, 한 지름을 따라 밀어 반지름 방향의 변들이 인접하도록 한다. 이제 이들은 평행사변형을 형성하는데, 육각형 변이 두 개의 마주보는 변을 이루고, 그 중 하나는 밑변 s이다. 두 반지름 방향 변은 기울어진 변을 형성하고, 높이 h는 변심거리와 같다 (아르키메데스 증명과 같이). 사실, 모든 삼각형을 연속적인 쌍으로 서로 옆에 놓음으로써 하나의 큰 평행사변형으로 조립할 수도 있다. 변의 수를 여덟 개 등으로 늘려도 마찬가지이다. 2n개의 변을 가진 다각형의 경우, 평행사변형은 길이 ns의 밑변과 높이 h를 가질 것이다. 변의 수가 증가함에 따라 평행사변형 밑변의 길이는 원둘레의 절반에 가까워지고, 높이는 원 반지름에 가까워진다. 극한에서 평행사변형은 폭 πr, 높이 r인 직사각형이 된다.
원넓이 현대적 증명
상수 π에는 다양한 동등한 정의가 있다. 미적분학 이전 기하학의 전통적인 정의는 원의 원둘레와 지름의 비율이다.
그러나 원의 원둘레는 원시적인 해석적 개념이 아니기 때문에, 이 정의는 현대의 엄밀한 취급에는 적합하지 않다. 표준적인 현대적 정의는 π가 코사인 함수의 최소 양의 근의 두 배와 같거나, 동등하게 사인 (또는 코사인) 함수의 반주기와 같다는 것이다. 코사인 함수는 멱급수 또는 특정 미분방정식의 해로 정의될 수 있다. 이는 π의 정의에서 원에 대한 모든 언급을 피하므로, π와 원의 원둘레 및 넓이의 관계에 대한 진술은 실제로 정의가 아니라 "넓이" 및 "원둘레"와 같은 개념의 해석적 정의에서 파생되는 정리이다.
원의 원둘레가 다음 적분을 통해 길이 재기 가능한 곡선으로 측정된다는 데 동의하면 해석적 정의는 동등한 것으로 보인다.
오른쪽에 나타나는 적분은 사인 함수의 반주기인 π와 같은 값을 갖는 아벨 적분이다. 따라서 는 정리로서 참으로 보인다.
원넓이 현대적 증명
이어지는 몇 가지 논증은  공식을 재현하기 위해 초등 미적분학의 개념만을 사용하지만, 많은 경우 이를 실제 증명으로 간주하려면 삼각 함수와 기본 상수 π를 기하학과의 관계와 완전히 독립적인 방식으로 개발할 수 있다는 사실에 암묵적으로 의존한다. 우리는 이들 각 증명을 모든 삼각법과 완전히 독립적으로 만드는 방법을 적절히 표시했지만, 어떤 경우에는 초등 미적분학에서 제공하는 것보다 더 정교한 수학적 아이디어가 필요하다.
미적분학을 사용하여 원판을 양파의 껍질처럼 얇은 동심원으로 분할하여 넓이를 점진적으로 합산할 수 있다. 이것은 2차원에서 원통셸 방법이다. 반지름 t인 "양파"의 무한히 얇은 고리의 경우, 누적된 넓이는 2πt dt이다. 이는 고리의 원둘레 길이와 무한소 너비(이 고리는 너비=2πt, 높이=dt인 직사각형으로 근사할 수 있다)를 곱한 것이다. 이것은 반지름 r인 원판에 대한 기본적인 적분을 제공한다.
이는 극좌표에서의 다변수 치환 규칙에 의해 엄밀하게 정당화된다. 즉, 넓이는 원판 자체에 대한 상수 함수 1의 중적분에 의해 주어진다. D가 원판을 나타내면, 중적분은 극좌표계에서 다음과 같이 계산될 수 있다.
원넓이 현대적 증명
이는 위에서 얻은 것과 동일한 결과이다.
삼각법의 특별한 좌표에 의존하지 않는 동등하고 엄밀한 정당화는 코넓이 공식을 사용한다. 함수 를 로 정의한다. ρ는 거의 어디서나 기울기가 단위 벡터 인 립시츠 함수이다. D를 에서 인 원판이라고 하자. 임을 보일 것인데, 여기서 는 의 2차원 르베그 측도이다. 우리는 원 의 1차원 하우스도르프 측도가 반지름 r인 원의 원둘레인 이라고 가정할 것이다. (이것은 원둘레의 정의로 볼 수 있다.) 그러면 코넓이 공식에 의해,
위에서 설명한 양파 증명과 유사하게, 원판의 넓이 공식을 얻기 위해 미적분학을 다른 방식으로 활용할 수 있다. 동심원을 직선 띠로 펼친다고 생각해보자. 이렇게 하면 높이가 r이고 밑변이 2πr (양파의 바깥쪽 조각)인 직각삼각형이 형성된다.
이 삼각형의 넓이를 찾으면 원판의 넓이를 얻을 수 있다.
이 삼각형의 대변 각과 인접 각은 각각 9.0430611...도, 80.956939...도이며, 라디안으로는 0.1578311...  A233527, 1.4129651... A233528이다.
원넓이 현대적 증명
명시적으로, 우리는 원을 무한히 많은 삼각형으로 나누는데, 각 삼각형은 원의 반지름과 같은 높이와 무한히 작은 밑변을 가진다. 이들 각 삼각형의 넓이는 와 같다. 이들 삼각형의 넓이를 모두 합하면 (적분하면) 원의 넓이 공식을 얻을 수 있다.
이 또한 원판에 대한 상수 함수 1의 중적분을 통해 정당화될 수 있으며, 위의 반복 적분에서 적분 순서 변경을 뒤집고 변수 변환을 사용하여 다음을 얻는다.
로 치환하면 적분은 다음과 같이 변환된다.
이는 위의 결과와 동일하다.
삼각형 증명은 삼각법과 상수 π에 대한 모든 언급을 피하는 방식으로 플럭스-발산 형태의 그린 정리의 적용으로 재구성될 수 있다(즉, 발산 정리의 2차원 버전). 평면에서 벡터장 를 고려한다. 따라서 r의 발산 (벡터)은 2와 같고, 그러므로 원판 D의 넓이는 다음과 같다.
그린 정리에 의해, 이것은 D를 경계 짓는 원을 가로지르는 r의 바깥쪽 플럭스와 같다.
여기서 n은 단위 법선 벡터이고 ds는 호 길이 측도이다. 원점을 중심으로 하는 반지름 R인 원의 경우 이고 이므로 위의 등식은 다음과 같다.
원넓이 현대적 증명
전체 원 에 대한 ds의 적분은 단순히 호 길이, 즉 원둘레와 같으므로, 이는 원으로 둘러싸인 넓이 A가 원의 원둘레의 배와 같음을 보여준다.
삼각형을 사용하는 또 다른 증명은 원으로 둘러싸인 넓이를 무한히 많은 삼각형(즉, 각 삼각형은 원의 중심에서 d𝜃의 각도를 가짐)으로 구성된 것으로 간주하며, 각 삼각형의 넓이는 ⁠1/2⁠ · r2 · d𝜃와 같다 (삼각형 넓이 공식에서 파생: ⁠1/2⁠ · a · b · sin𝜃 = ⁠1/2⁠ · r · r · sin(d𝜃) = ⁠1/2⁠ · r2 · d𝜃). 작은 각도 근사로 인해 sin(d𝜃) ≈ d𝜃임을 주목하라. 삼각형들의 넓이를 합함으로써 원의 넓이 공식을 찾을 수 있다.
반지름 r인 반원의 넓이는 적분 로 계산할 수 있다.
삼각 치환을 통해 를 대입하면 가 된다.
마지막 단계는 삼각함수 항등식 가 치환 적분을 사용하여 와 가 구간 에서 동일한 적분 값을 가짐을 의미하기 때문이다. 그러나 다른 한편으로, 이므로, 두 적분의 합은 해당 구간의 길이인 이다. 결과적으로, 의 적분은 해당 구간 길이의 절반인 와 같다.
따라서 반지름 r인 원의 넓이, 즉 반원 넓이의 두 배는 와 같다.
이 특정 증명은 삼각 치환에 포함된 사인 및 코사인 함수가 원과 관련하여 정의된 것으로 간주된다면 질문의 전제를 가정하는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 앞서 언급했듯이, 사인, 코사인, 그리고 π를 삼각법과 완전히 독립적인 방식으로 정의하는 것이 가능하며, 이 경우 증명은 변수 변환 공식과 푸비니 정리에 의해 유효하며, 사인과 코사인의 기본 속성(원과의 관계에 대한 어떤 가정도 없이 증명될 수 있음)을 가정한다.
원넓이 등주부등식
원은 최대 넓이를 둘러싸는 최소 둘레의 닫힌 곡선이다. 이는 등주부등식으로 알려져 있으며, 유클리드 평면에서 조르당 곡선 정리에 따라 길이 재기 가능한 조르당 곡선이 둘레 C와 넓이 A를 둘러싸면 다음이 성립한다.
더욱이, 이 부등식에서 등호는 곡선이 원일 때만 성립하며, 이 경우  및 이다.
원넓이 빠른 근사
아르키메데스가 넓이를 수치적으로 근사하는 데 사용한 계산은 고된 작업이었고, 그는 96변 다각형에서 멈췄다. 더 빠른 방법은 빌레브로트 스넬 (Cyclometricus, 1621)의 아이디어를 사용하며, 크리스티안 하위헌스 (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654)에 의해 더욱 발전되었다. 이는 Gerretsen & Verdenduin (1983, pp. 243–250)에 기술되어 있다.
원이 주어졌을 때, 내접하는 정n각형의 둘레를 un이라 하고, 외접하는 정n각형의 둘레를 Un이라 하자. 그러면 un과 Un은 n이 증가할수록 점점 더 정밀해지는 원둘레의 하한과 상한이 되며, 그 평균 (un + Un)/2는 원둘레에 대한 특히 좋은 근사치이다. 큰 n에 대해 un과 Un을 계산하기 위해 아르키메데스는 다음 배가 공식을 유도했다.
(기하 평균), 및
(조화 평균).
육각형에서 시작하여 아르키메데스는 n을 네 번 두 배로 늘려 96각형을 얻었고, 이를 통해 원둘레에 대한 좋은 근사치를 얻었다.
원넓이 빠른 근사
현대 표기법으로 그의 계산(및 더 나아가)을 다음과 같이 재현할 수 있다.
단위 원의 경우, 내접 육각형은 u6 = 6을 가지며, 외접 육각형은 U6 = 4√3을 가진다.
7번 두 배로 늘리면 다음이 생성된다.
(여기서 ⁠un + Un/2⁠는 단위 원의 원둘레인 2π에 근접하므로, ⁠un + Un/4⁠는 π에 근접한다.)
표의 마지막 항목에는 최적 유리수 근사 중 하나인 355⁄113이 있다.
즉, 분모가 113까지인 유리수 중 더 나은 근사치는 없다.
숫자 355⁄113은 중국 수학자 조충지에게 귀속되는 π의 훌륭한 근사치이기도 하다. 그는 이를 밀률이라 불렀다. 이 근사치는 분모가 16,604보다 작은 다른 어떤 유리수보다 낫다.
스넬은 아르키메데스보다 더 엄밀한 상한을 제안했고(하위헌스가 증명했다):
n = 48일 때 이는 아르키메데스의 n = 768 방법보다 더 좋은 근사치(약 3.14159292)를 제공한다.
원넓이 빠른 근사
내접하는 정n각형의 한 변의 길이를 sn이라 하고, 원과 점 A, B에서 접한다고 하자. A에 마주보는 원 위의 점을 A'라 하면 A'A는 지름이 되고, A'AB는 지름에 내접하는 삼각형이 된다. 탈레스의 정리에 의해 이 삼각형은 B에서 직각을 갖는 직각삼각형이다. A'B의 길이를 cn이라 하자. 이는 sn의 보각이라 불린다. 따라서 cn2+sn2 = (2r)2이다. C가 A부터 B까지의 호를 이등분하고, C'가 원 위의 C에 마주보는 점이라고 하자. 그러면 CA의 길이는 s2n, C'A의 길이는 c2n이며, C'CA 자체는 지름 C'C에 대한 직각삼각형이다. C가 A부터 B까지의 호를 이등분하므로 C'C는 A부터 B까지의 현을 수직으로 이등분하며, 그 점을 P라고 하자. 따라서 삼각형 C'AP는 직각삼각형이며, C'에서 각을 공유하므로 C'CA와 닮음이다. 따라서 세 개의 대응변은 같은 비례를 이룬다. 특히, C'A : C'C = C'P : C'A 및 AP : C'A = CA : C'C가 성립한다. 원의 중심 O는 A'A를 이등분하므로, 삼각형 OAP는 A'AB와 닮음이며, OP는 A'B 길이의 절반이다. 변의 길이에 관해 이는 다음을 제공한다.
원넓이 빠른 근사
첫 번째 방정식에서 C'P는 C'O+OP이며, 길이는 r + ⁠1/2⁠cn이고, C'C는 지름 2r이다. 단위 원의 경우 우리는 뤼돌프 판 쾰런의 유명한 배가 방정식을 얻는다.
이제 정n각형을 외접시키고, 변 A"B"가 AB와 평행하도록 하면, OAB와 OA"B"는 닮은 삼각형이며, A"B" : AB = OC : OP이다. 외접하는 변을 Sn이라 하면, Sn : sn = 1 : 1⁄2cn이다. (우리는 다시 OP가 A'B 길이의 절반임을 사용했다.) 따라서 다음을 얻는다.
내접 둘레를 un = nsn, 외접 둘레를 Un = nSn이라 하자. 그러면 방정식을 결합하여 다음을 얻는다.
그래서
이는 기하 평균 방정식을 제공한다.
또한 다음을 유추할 수 있다.
또는
이는 조화 평균 방정식을 제공한다.
원넓이 다트 근사법
넓이를 찾는 더 효율적인 방법을 사용할 수 없을 때, "다트 던지기"에 의존할 수 있다. 이 몬테카를로 방법은 원이 놓여 있는 정사각형 표면에 무작위 샘플을 균일하게 뿌리면 원을 맞히는 샘플의 비율이 원 넓이 대 정사각형 넓이 비율에 근사한다는 사실을 이용한다. 이는 원판(또는 어떤 모양)의 넓이를 계산하는 최후의 수단으로 간주되어야 한다. 유용한 정확도를 얻으려면 엄청난 수의 샘플이 필요하기 때문이다. 10−n의 정확도를 갖는 추정에는 약 100n개의 무작위 샘플이 필요하다 (Thijssen 2006, p. 273).
원넓이 유한 재배열
우리는 원판을 무한히 많은 조각으로 나누어 이 조각들을 직사각형으로 재조립할 수 있음을 보았다. 상대적으로 최근에 (Laczkovich 1990)에 의해 발견된 놀라운 사실은 원판을 크지만 유한한 수의 조각으로 해부한 다음, 그 조각들을 같은 넓이의 정사각형으로 재조립할 수 있다는 것이다. 이것을 타르스키의 원 정방형 문제라고 한다. 라츠코비치 증명의 특성은 그러한 분할(실제로 많은 분할)의 존재를 증명하지만, 특정 분할을 제시하지는 않는다.
원넓이 비유클리드 원
원은 비유클리드 기하학, 특히 쌍곡 및 타원 평면에서 정의될 수 있다.
예를 들어, 단위구 은 2차원 타원 평면의 모델이다. 이는 측지선 길이를 측정함으로써 발생하는 내재된 거리를 가진다. 측지선 원은 측지선 좌표계의 평행선이다.
더 정확하게는, 정점에 놓이는 점 을 고정하자. 그 정점에 관련된 측지 극좌표계 가 있는데, , 이며, z는 점 이다. 이 좌표계에서 z에서 좌표가 인 의 다른 점 까지의 측지선 거리는 x에서의  값이다. 구면 원은 정점 z에서 측지선 거리 R에 있는 점들의 집합이다. 동등하게, 로의 고정된 임베딩을 사용하여, z를 중심으로 하는 반지름 의 구면 원은 에서 를 만족하는 x의 집합이다.
우리는 구면 원 내에 둘러싸인 구면 원판의 넓이도 측정할 수 있는데, 구면의 내재된 표면 넓이 측도를 사용한다. 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
더 일반적으로, 구 의 곡률 반지름이 이면, 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
로피탈의 정리의 적용으로, 이것이 평면 극한 에서 유클리드 넓이 로 수렴한다는 것을 관찰할 수 있다.
원넓이 비유클리드 원
쌍곡선의 경우는 유사하며, (상수 곡률 ) 쌍곡 평면에서 내재된 반지름 R인 원판의 넓이는 다음으로 주어진다.
여기서 cosh는 쌍곡 코사인이다. 더 일반적으로, 상수 곡률  쌍곡 평면의 경우 답은 다음과 같다.
이러한 항등식은 기하학에서 비교 부등식에 중요하다. 예를 들어, 평평한 공간에서 반지름 R인 원으로 둘러싸인 넓이는 항상 구면 원의 넓이보다 크고 쌍곡선 원의 넓이보다 작다. 단, 세 원 모두 동일한 (내재된) 반지름을 가질 경우이다. 즉,
모든 에 대해. 직관적으로, 구는 그 자체로 구부러지는 경향이 있어 평면의 원보다 작은 넓이의 원을 생성하고, 쌍곡 평면은 공간에 잠겼을 때 추가 넓이를 생성하는 테두리를 발전시키기 때문이다. 일반적으로 고정된 반지름 R의 원의 넓이는 곡률의 엄격한 감소 함수이다.
모든 경우에, 가 곡률(상수, 양수 또는 음수)이면, 넓이 A와 둘레 L을 갖는 도메인에 대한 등주부등식은
여기서 등호는 원에 대해서만 성립한다.
원넓이 일반화
원판을 늘려 타원을 만들 수 있다. 이 늘림은 평면의 선형 변환이므로, 넓이를 변경하지만 넓이의 비율을 보존하는 왜곡 인자를 가진다. 이 관찰은 단위 원의 넓이로부터 임의의 타원의 넓이를 계산하는 데 사용될 수 있다.
한 변의 길이가 2인 정사각형에 외접하는 단위 원을 고려하자. 변환은 원을 타원의 장축과 단축으로 수평 및 수직 지름을 늘리거나 줄여 타원으로 보낸다. 정사각형은 타원을 외접하는 직사각형으로 보내진다. 원과 정사각형의 넓이 비율은 π/4이며, 이는 타원과 직사각형의 비율도 π/4임을 의미한다. 타원의 장축과 단축의 길이가 각각 a와 b라고 가정하자. 직사각형의 넓이가 ab이므로, 타원의 넓이는 πab/4이다.
더 높은 차원에서 유사한 측정을 고려할 수도 있다. 예를 들어, 구 안의 부피를 찾고 싶을 수 있다. 표면 넓이 공식이 있을 때, 원판에 사용했던 것과 동일한 종류의 "양파" 접근법을 사용할 수 있다.
서정용 (소방공무원)
서정용(1974년 11월 20일 ~ 2019년 10월 31일)은 대한민국의 소방청 중앙119구조본부 항공대에서 근무한 소방공무원이며, 항공정비검사관(전문경력관 가군)으로 활동하다 2019년 10월 31일 독도 동도 헬리포트에서 환자 이송 임무 중 이륙 직후 해상으로 추락한 HL9619 헬기 사고로 순직하였다.
서정용 (소방공무원) 생애
서정용은 1974년 11월 20일 충청북도 보은군에서 태어났다.
2015년 5월 22일 경력경쟁채용으로 소방청 중앙119구조본부에 전문경력관(가군) 항공정비검사관으로 임용되었다. 그는 항공대 정비·검사 업무 전반을 맡아 안전성과 가용성을 유지·향상시키는 역할을 담당하였다.
서정용 (소방공무원) 사고와 사망
2019년 10월 31일 밤, 경북소방본부로부터 어선 작업 중 손가락 절단상을 입은 응급환자 이송 요청을 받아 중앙119구조본부 영남1호(등록번호 HL9619) 헬기가 독도 동도 헬리포트에서 이륙하였고, 이륙 직후 인근 해상으로 추락하였다. 탑승자 7명 전원이 사망하였다. 항공·철도사고조사위원회 최종보고(2023년 발표)에 따르면, 야간 바다 위 블랙홀 환경에서 공간지각 상실 등 인적요인이 결합되어 이륙 직후 하강해 수면과 충돌하였다. 사고기는 에어버스 H225(EC225)로, 사고 직전 대정비를 받았던 사실이 확인되었다. 조사 요약에 따르면 이륙 후 약 14초 만에 헬리포트에서 약 486m 떨어진 해상과 충돌했고, 충격은 비생존 수준(약 54.54G)으로 평가되었다.
서정용 (소방공무원) 사후
2019년 12월 10일 대구 계명대학교 성서캠퍼스 실내체육관에서 소방청장(葬)으로 합동영결식이 거행되었고, 이후 국립대전현충원에 안장되었다. 같은 날 국가유공 포상에서 김종필·서정용·이종후에게 녹조근정훈장이, 배혁·박단비에게 옥조근정훈장이 각각 추서되었다.
서정용 (소방공무원) 평가
소방청은 그가 “팀보다 나은 개인은 없다”는 신념으로 항공정비검사관의 책무를 성실히 수행하며 중앙119구조본부 소방헬기 안전을 책임져 왔다고 평가하였다.
소진법
소진법(method of exhaustion, 라틴어: methodus exhaustionis)은 도형의 넓이를 구하는 방법으로, 도형 안에 다각형 수열을 (하나씩) 내접시켜 그 넓이가 포함된 도형의 넓이로 수렴하도록 하는 방법이다. 만약 이 수열이 올바르게 구성된다면, n번째 다각형과 포함된 도형 사이의 넓이 차이는 n이 커짐에 따라 임의로 작아질 것이다. 이 차이가 임의로 작아짐에 따라, 도형 넓이의 가능한 값들은 수열의 구성원들에 의해 연속적으로 설정되는 하한 넓이들에 의해 체계적으로 "소진"된다.
소진법은 일반적으로 귀류법의 한 형태인 Reductio ad absurdum을 필요로 했다. 이는 먼저 한 영역의 넓이를 두 번째 영역의 넓이와 비교하여 해당 영역의 넓이를 찾아내는 것으로, 두 번째 영역은 "소진"되어 실제 넓이에 임의로 가까워지게 된다. 증명은 실제 넓이가 두 번째 영역보다 크다고 가정하여 그 주장이 틀렸음을 증명하고, 두 번째 영역보다 작다고 가정하여 그 주장 또한 틀렸음을 증명하는 과정을 포함한다.
소진법 역사
이 아이디어는 기원전 5세기 후반에 안티폰에게서 시작되었지만, 그가 이 아이디어를 얼마나 잘 이해했는지는 완전히 명확하지 않다. 이 이론은 몇십 년 후 에우독소스에 의해 엄밀해졌고, 그는 이를 사용하여 넓이와 부피를 계산했다. 이후 3세기 AD에 유휘에 의해 중국의 산학에서 다시 발명되어 원의 넓이를 찾는 데 사용되었다. 이 용어의 첫 사용은 1647년 생뱅상 그레고리의 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서였다.
소진법은 미적분학 방법의 전신으로 여겨진다. 17세기부터 19세기에 걸쳐 해석기하학과 엄밀한 적분학이 발전하면서 소진법은 더 이상 문제를 해결하는 데 명시적으로 사용되지 않게 되었다. 중요한 대안적 접근법은 카발리에리의 원리였으며, 이는 또한 불가분량의 방법이라고 불렸고 결국 로베르발, 에반젤리스타 토리첼리, 존 월리스, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등의 무한소 미적분학으로 발전했다.
소진법 역사
에우클레이데스는 그의 에우클레이데스의 원론 제12권에서 다음 6가지 명제를 증명하기 위해 소진법을 사용했다.
명제 2: 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.
명제 5: 높이가 같은 두 사면체의 부피는 그 삼각형 밑면의 넓이에 비례한다.
명제 10: 원뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.
명제 11: 높이가 같은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례한다.
명제 12: 다른 원뿔 (또는 원기둥)과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면 지름의 비율의 세제곱에 비례한다.
명제 18: 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례한다.
아르키메데스는 소진법을 사용하여 원 안에 변의 수가 증가하고 그에 따라 넓이도 증가하는 다각형 수열을 채워넣음으로써 원 안의 넓이를 계산했다. 이 다각형의 넓이를 원 반지름의 제곱으로 나눈 몫은 다각형 변의 수가 커질수록 π에 임의로 가까워질 수 있으며, 이는 반지름이 r인 원 안의 넓이가 πr2임을 증명한다. 여기서 π는 원주와 지름의 비율(C/d)로 정의된다.
소진법 역사
그는 또한 내접 및 외접하는 96변 정다각형의 둘레와 원의 둘레를 비교하여 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70 (범위 1/497)의 경계를 제시했다.
그가 소진법으로 얻은 다른 결과는 다음과 같다:
갈릴레오 갈릴레이는 소진법을 사용하여 절단된 원뿔의 질량 중심을 찾았다.
현대 미적분학의 발전 직전에 크리스토퍼 렌은 소진법을 사용하여 사이클로이드의 정확한 호의 길이를 발견했다.
소진법 예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다
아르키메데스는 로 주어지는 나선 의 한 바퀴 넓이를 계산하여 를 찾았는데, 이는 이를 둘러싼 원의 넓이 의 3분의 1이다.
증명의 개요를 위해, 를 보여주고자 한다고 가정하자. 귀류법으로, 라고 가정하자. 구간 를 개의 동일한 조각 으로 나누고, 각 하위 구간에 대해 나선을 둘러싸는 가장 작고 가장 큰 원형 부채꼴을 찾는다. 두 번째 이미지를 참조하여 명확히 한다. 를 나선 내부에 있는 부채꼴들의 집합으로, 를 외부에 있는 부채꼴들의 집합으로 두자. 그러면 는 나선 넓이의 과소추정치이고, 는 과대추정치이다. 아르키메데스는 이 충분히 클 때, 임의의 에 대해 임을 보일 수 있었다.
이제 라고 정의하자. 그러면 가정에 의해 이고, 따라서 나선이 를 둘러싸므로 이다. 그러나 의 넓이는 명시적으로 계산할 수 있는데, 이는 개의 외부 원형 부채꼴 넓이의 합과 같으며, 각각의 넓이는  ()이다. 즉,
소진법 예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다
아르키메데스도 발견했던 제곱의 합 공식을 사용한다.
따라서 부등식으로 돌아가면 다음과 같다.
원의 반지름이 였으므로, 원의 넓이는 이다. 이를 위의 부등식에 와 함께 대입하면 다음과 같다.
이는 다음과 같이 더 줄어든다.
그러나 이는 모든 양의 에 대해 거짓인데, 왼쪽 항의 첫 번째 항은 보다 크고 두 번째 항은 보다 크므로 그 곱은 보다 크기 때문에 모순에 도달했기 때문이다.
라는 증명은 전적으로 동일하다.틀:Huh? 나선 넓이가 원 넓이의 3분의 1보다 작지도 크지도 않으므로, 아르키메데스는 그 둘이 같다고 결론지었다.
소진법 예시 2: 원들은 지름의 제곱에 비례한다
이라는 이 진술은 에우독소스에게 귀속되지만, 그의 설명은 남아 있지 않다. 이는 에우클레이데스 원론 제12권 명제 2에서 재현된다.
증명의 개요를 위해, 귀류법으로 라고 가정하자.
를 각각 에 내접하는 변 정다각형이라고 하자.
로 정의하자. 그러면 에우클레이데스 원론 제10권 명제 1에 의해, 일 때마다 이 되는 을 찾을 수 있다. 따라서 의 정의를 사용하여 를 얻는다.
그러나 두 정볼록다각형(원이 아닌)에 대해서는 임을 쉽게 보일 수 있다. 단, 이 고정되어야 한다.
이것을 이전 진술에 대입하면 다음과 같다.
그러나 이므로 이는 모순이다. 다음 단계는  또한 거짓임을 증명하는 것이다. 그러나 의 표시는 완전히 임의적이었으므로, 재표시함으로써 이 경우도 추가 증명 없이 따른다. 따라서 우리는 임을 알 수 있다.
소진법 분석
리만 합과 소진법을 사용하여 넓이를 계산하는 것은 두 방법 모두 일련의 다각형을 사용하여 해당 넓이를 근사하는 방식으로 시작한다는 점에서 유사하다. 그러나 리만 합에서는 근사 다각형 넓이의 극한을 로 간주한다. 반대로 소진법에서는 극한을 피하고 대신 이중 귀류법을 사용한다. 따라서 소진법은 무한에 대한 엄밀한 처리가 필요 없이 복잡한 넓이를 계산할 수 있게 한다.
회전면
회전면(surface of revolution)은 유클리드 공간에서 곡선 (생성선)을 회전축 (일반적으로 끝점을 제외하고는 생성선과 교차하지 않음)을 중심으로 한 바퀴 회전시켜 생성되는 곡면이다.
이 회전으로 생성된 곡면으로 둘러싸인 부피는 회전체이다.
직선으로 생성된 회전면의 예로는 직선이 축에 평행한지 여부에 따라 원기둥 및 원추표면이 있다. 지름 주위로 회전하는 원은 대원이 되는 구를 생성하고, 원의 내부와 교차하지 않는 축 주위로 원이 회전하면 자체적으로 교차하지 않는 원환면 (환형 원환면)을 생성한다.
회전면 속성
축을 통과하는 평면에 의해 생성된 회전면의 단면을 자오선 단면이라고 한다. 모든 자오선 단면은 그 단면과 축에 의해 결정되는 평면의 생성선으로 간주될 수 있다.
축에 수직인 평면에 의해 생성된 회전면의 단면은 원이다.
쌍곡면 (한 장 또는 두 장)과 타원 포물면의 일부 특수한 경우는 회전면이다. 이들은 축에 수직인 모든 단면이 원형인 2차 곡면으로 식별될 수 있다.
회전면 넓이 공식
곡선이 매개변수 함수 x(t), y(t)로 설명되고, t가 어떤 구간 [a,b]에 걸쳐 있으며, 회전축이 y-축인 경우, 겉넓이 Ay는 다음 적분으로 주어진다.

이때 x(t)는 끝점 a와 b 사이에서 음수가 아니다. 이 공식은 파푸스의 중심 정리의 미적분학적 등가물이다. 다음 양

은 피타고라스 정리에서 유래하며, 곡선의 길이 공식에서처럼 곡선 호의 작은 부분이다. 양 2πx(t)는 파푸스의 정리에 따라 이 작은 부분 (의 무게중심)의 경로이다.
마찬가지로, 회전축이 x-축이고 y(t)가 음수가 아닌 경우, 넓이는 다음으로 주어진다.
연속 곡선이 함수 y = f(x), a ≤ x ≤ b로 설명되면, 적분은 다음과 같다.

x-축을 중심으로 회전하는 경우, 그리고

y-축을 중심으로 회전하는 경우 (a ≥ 0일 때). 이 공식들은 위 공식에서 파생된다.
이것은 다변수 적분에서도 유도할 수 있다. 평면 곡선이 로 주어지면, x-축을 중심으로 회전할 때 해당하는 회전면은 인 로 주어진 데카르트 좌표를 갖는다. 그러면 표면적은 면적분으로 주어진다.
회전면 넓이 공식
편미분을 계산하면


이고, 벡터곱을 계산하면

여기서 삼각 함수 항등식 이 사용되었다. 이 벡터곱으로 다음을 얻는다.

여기서 같은 삼각 함수 항등식이 다시 사용되었다. y-축을 중심으로 회전하여 얻은 표면의 유도도 비슷하다.
예를 들어, 단위 반경의 구면은 t가 [0,π] 범위에 있을 때 곡선 y(t) = sin(t), x(t) = cos(t)에 의해 생성된다. 따라서 넓이는 다음과 같다.
반경 r의 구형 곡선, y(x) = √r2 − x2가 x-축 주위로 회전하는 경우
최소 회전면은 주어진 두 점 사이의 곡선 중 표면적을 최소화하는 곡선의 회전면이다. 변분법의 기본 문제는 이 최소 회전면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것이다.
회전면인 동시에 최소 곡면인 최소 회전면은 평면과 현수면의 두 가지뿐이다.
회전면 좌표 표현
로 설명되는 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 생성된 회전면은 으로 가장 간단하게 설명될 수 있다. 이는 와 에 대한 매개변수화로 를 생성한다. 만약 대신 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킨다면, 곡선은 로 설명되며, 매개변수 와 에 대해 라는 표현을 생성한다.
x와 y가 매개변수 로 정의되면, 우리는 와 에 대한 매개변수화를 얻는다. 만약 와 가 의 함수라면, 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 로 설명되고, y-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 로 설명된다.
회전면 측지선
자오선은 항상 회전면의 측지선이다. 다른 측지선은 클레로 관계식의 지배를 받는다.
회전면 원환체
회전축이 표면과 교차하지 않는 구멍이 있는 회전면을 원환체라고 한다. 예를 들어, 직사각형을 한 변과 평행한 축을 중심으로 회전시키면 속이 빈 사각형 단면의 고리가 생성된다. 회전하는 도형이 원이면 그 물체를 원환면이라고 한다.
평면 곡선
수학에서 평면 곡선(plane curve)은 평면에 있는 곡선으로, 유클리드 평면, 아핀 평면 또는 사영 평면일 수 있다. 가장 자주 연구되는 경우는 매끄러운 평면 곡선(조각별 매끄러운 평면 곡선 포함)과 대수 평면 곡선이다.
평면 곡선에는 조르당 곡선(평면의 영역을 둘러싸지만 매끄러울 필요는 없는 곡선)과 연속 함수 그래프도 포함된다.
평면 곡선 상징적 표현
평면 곡선은 특정 함수 f에 대한  형태의 음함수에 의해 데카르트 좌표로 표현될 수 있다. 이 방정식이 y 또는 x에 대해 명시적으로 풀릴 수 있다면(즉, 특정 함수 g 또는 h에 대해  또는 로 다시 작성될 수 있다면), 이는 표현의 대안적이고 명시적인 형태를 제공한다. 평면 곡선은 또한 특정 함수 와 에 대해  형태의 매개변수 방정식에 의해 데카르트 좌표로 표현될 수 있다.
평면 곡선은 때때로 원점으로부터의 각도와 거리로 각 점의 위치를 표현하는 극좌표계와 같은 대체 좌표계로도 표현될 수 있다.
평면 곡선 매끄러운 평면 곡선
매끄러운 평면 곡선은 실수 유클리드 평면 에 있는 곡선이며 1차원 매끄러운 다양체이다. 이는 매끄러운 평면 곡선이 "국부적으로 직선처럼 보이는" 평면 곡선임을 의미하며, 모든 점 근처에서 매끄러운 함수에 의해 직선에 매핑될 수 있다.
동등하게, 매끄러운 평면 곡선은 이라는 방정식으로 국부적으로 주어질 수 있으며, 여기서 는 매끄러운 함수이고, 편미분 와 는 곡선의 한 점에서 동시에 0이 아니다.
평면 곡선 대수 평면 곡선
대수 평면 곡선은 하나의 다항 방정식  (또는 , 여기서 F는 사영의 경우 동차다항식임)으로 주어지는 아핀 평면 또는 사영 평면의 곡선이다.
대수 곡선은 18세기 이래로 광범위하게 연구되어 왔다.
모든 대수 평면 곡선은 정의 방정식의 차수와 같은 차수를 가지며, 이는 대수적으로 닫힌 체의 경우 일반 위치에 있는 직선과 곡선의 교점 수와 같다. 예를 들어, 방정식 로 주어지는 원은 차수가 2이다.
차수 2의 비특이 평면 대수 곡선은 원뿔 곡선이라고 불리며, 이들의 사영 완비화는 모두 원 의 사영 완비화(즉, 방정식 의 사영 곡선)와 동형이다. 차수 3의 평면 곡선은 3차 평면 곡선이라고 불리며, 비특이인 경우 타원곡선이라고 불린다. 차수 4의 곡선은 4차 평면 곡선이라고 불린다.
평면 곡선 예시
수많은 평면 곡선의 예시는 곡선 갤러리에 나와 있으며 곡선 목록에 나열되어 있다. 차수 1 또는 2의 대수 곡선은 여기에 나와 있다(차수 3 미만의 대수 곡선은 항상 평면에 포함된다).
입체기하학
입체기하학(solid geometry), 공간기하학 또는 입체측정학(stereometry)은 3차원 유클리드 공간(3D 공간)의 기하학이다.
입체 도형은 2차원 닫힌 곡면으로 둘러싸인 3D 공간의 영역이다. 예를 들어, 공은 구와 그 내부로 구성된다.
입체기하학은 각뿔, 각기둥, 정육면체 (및 기타 다면체), 원기둥, 원뿔 (절두체 포함) 및 기타 회전체를 포함한 다양한 입체 도형의 부피 측정을 다룬다.
입체기하학 역사
피타고라스 학파는 정다면체를 다루었지만, 각뿔, 각기둥, 원뿔, 원기둥은 플라톤주의 시대에 와서야 연구되었다. 에우독소스는 각뿔과 원뿔이 같은 밑면과 같은 높이를 가진 각기둥과 원기둥 부피의 3분의 1임을 증명하여 이들의 측정을 확립했다. 그는 또한 구 (기하학)에 둘러싸인 부피가 반지름의 세제곱에 비례한다는 증명의 발견자일 가능성이 높다.
입체기하학 주제
입체기하학과 입체 측정학의 기본 주제는 다음과 같다.
고급 주제는 다음과 같다.
입체기하학 입체 도형 목록
구가 공의 표면인 반면, 다른 입체 도형의 경우 이 용어가 도형의 표면을 의미하는지 또는 그 안에 둘러싸인 부피를 의미하는지 불분명할 때가 있다. 특히 원기둥의 경우 그렇다.
입체기하학 기법
입체기하학에서는 다양한 기법과 도구가 사용된다. 그 중에서도 해석기하학과 기하 벡터 기법은 연립 일차 방정식과 행렬 대수를 체계적으로 사용할 수 있게 하여 고차원에서 중요한 역할을 한다.
입체기하학 응용
입체기하학 및 입체 측정학의 주요 응용 분야는 3차원 컴퓨터 그래픽스이다.
김수영 (소방학자)
김수영은 대한민국의 소방공무원이자 연구관이다. 중앙소방학교 소방과학연구실에서 실용화 연구와 화재조사 기반 연구를 수행했고, 국립소방연구원 대응기술연구실에서는 대응기술연구 총괄을 맡아 드론·3D스캐너 매핑, 리빙랩 기반 R&D 실용화, 대원 심신안정(VR), 자동차 화재 질식소화덮개 등 현장 적용 연구를 이끌었다.
김수영 (소방학자) 생애와 활동
대한민국 소방조직의 연구·교육 축인 중앙소방학교 소방과학연구실에서 감식·감정, 위험물·전기 원인 규명, 재현실험 등의 업무를 수행하며 학회 활동을 이어 왔다. 국립소방연구원 출범 이후에는 대응기술연구실 소속 연구관으로서 현장 실용화 연구를 총괄하며, 리빙랩과 드론·3D스캔 등 신기술을 활용한 재난현장 매핑, 심신안정·VR 프로그램의 효과검증, 차량화재 대응 신기술의 실규모 검증을 수행하였다.
김수영 (소방학자) 연구 분야와 기여
화재조사(감식)·위험물/전기 원인 규명
밀폐공간 화재 위험성, 유류증거물 정성 분석 등 감식 기반을 축적하며 학술지·학회에서 결과를 발표했다.
드론·3D 스캐너 기반 재난현장 매핑
드론과 3D스캐너로 현장 데이터를 수집·분석해 화재 원인 규명과 재현실험의 기초자료를 체계화하는 절차를 제시했다.
리빙랩 기반 R&D 실용화
사용자(일선 대원) 참여형 리빙랩 프레임을 소방장비 R&D에 도입해 현장 적합성·활용성을 높이는 정책·연구 논의를 주도했다.
대원 심신안정(VR)·차량화재 대응 기술
이동식 심신안정실을 활용해 VR 콘텐츠의 스트레스 저감 효과를 정성·정량으로 검토했고, 실규모 차량화재 시험으로 질식소화덮개 적용시간·재발화 양상·현장 적용조건을 도출했다.
김수영 (소방학자) 주요 논문
박태희; 이지향; 김수영 (2020). “소방공무원 심신안정을 위한 가상현실 콘텐츠 적합성 평가 (Assessing the Suitability of Virtual Reality Content for Stress Reduction among Firefighters)”. Fire Science and Engineering 34(6): 154–162. doi:10.7731/KIFSE.46534fdb.
이 논문은 소방대원의 스트레스 저감을 위해 VR 콘텐츠를 적용했을 때의 효과를 정성·정량으로 분석한다. 이동식 심신안정실 환경에서 124명을 대상으로 전후 비교를 실시한다. 뇌파와 맥파 등 생체신호와 설문을 함께 사용해 변화를 평가한다. 정성분석에서는 긍정적 경향이 관찰되었으나 정량분석에서는 유의성이 제한적이었다. 결과는 향후 프로그램 개선과 운영지침 보완의 근거를 제공한다.
김수영 (소방학자) 주요 논문
권진석; 김황진; 이수호; 김수영 외 (2021). “자동차화재 시 질식소화덮개 적용방안에 관한 실험적 연구 (Application of Car Fire Blankets to Car Fires)”. Fire Science and Engineering 35(1): 143–149. doi:10.7731/KIFSE.2513d05f.
동일 차종 차량을 대상으로 점화 후 최성기에 질식소화덮개를 10·20·30분 적용해 소화 가능성을 검증한다. 일부 재발화가 있었으나 잔화정리로 완전 진화가 가능함을 보인다. 도로·주차장 등 현장 여건에서 펌프차 도착 전 대응수단으로서의 유용성을 제시한다. 적용시간·재발화 관리 등 운용상 고려사항을 구체화한다. 결과는 현장 활용 가이드와 장비 운용 지침 마련의 기초가 된다.
김수영 (소방학자) 평가와 의미
중앙소방학교에서의 감식·감정 역량 축적(ISO 인증 체계)과 국립소방연구원에서의 실용화 연구 총괄이 맞물리며, ‘현장문제 정의→데이터화→실규모 검증→지침·교육’으로 이어지는 연구-현장 연계 모델을 보여준다.
배위 공간 (고전역학)
고전역학에서 시스템의 배위를 정의하는 매개변수를 일반화 좌표라고 하며, 이러한 좌표로 정의된 공간을 물리계의 배위 공간(configuration space)이라고 한다. 종종 이러한 매개변수는 수학적 제약을 만족하여 시스템의 실제 배위 집합이 일반화 좌표 공간의 다양체를 이룬다. 이 다양체를 시스템의 배위 다양체라고 한다. 이는 "무제한적인" 배위 공간의 개념, 즉 서로 다른 점 입자가 같은 위치를 차지할 수 있는 개념에 주목한다. 수학, 특히 위상수학에서는 "충돌하는" 입자를 나타내는 대각선이 제거된 "제한된" 배위 공간의 개념이 주로 사용된다.
배위 공간 (고전역학) 예시
일반적인 유클리드 3차원 공간에서 움직이는 단일 입자의 위치는 벡터 로 정의되므로, 그 배위 공간은 이다. 배위 공간의 점에 대해 기호 를 사용하는 것이 관례이며, 이는 해밀턴 역학 및 라그랑주 역학 모두에서 사용되는 관례이다. 기호 는 운동량을 나타내는 데 사용된다. 기호 는 속도를 의미한다.
입자는 특정 다양체 위에서 움직이도록 제약될 수 있다. 예를 들어, 입자가 원점을 중심으로 자유롭게 흔들릴 수 있는 강체 연결부에 부착되어 있다면, 사실상 구 위에서 움직이도록 제약된다. 그 배위 공간은 구  위의 점을 정의하는  내 좌표의 부분집합이다. 이 경우 다양체 는 구, 즉 라고 말한다.
연결되지 않고 상호작용하지 않는 n개의 점 입자의 경우, 배위 공간은 이다. 그러나 일반적으로 입자가 상호작용하는 경우에 관심이 있다. 예를 들어, 기어, 도르래, 구르는 공 등의 일부 조립체에서 특정 위치에 있으며 종종 미끄러지지 않고 움직이도록 제약된다. 이 경우 배위 공간은  전체가 아니라 점들이 취할 수 있는 허용 가능한 위치의 부분 공간(부분 다양체)이다.