hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
4배정밀도 부동소수점수 구현
비-IEEE 확장 정밀도(128비트 저장 공간, 1비트 부호, 7비트 지수, 112비트 분수, 8비트 미사용)는 IBM 시스템/370 시리즈(1970년대–1980년대)에 추가되었으며, 1960년대 일부 System/360 모델(System/360-85, -195 및 기타 특수 요청 또는 OS 소프트웨어로 시뮬레이션)에서 사용 가능했다.
지멘스 7.700 및 7.500 시리즈 메인프레임 및 그 후속 제품은 IBM System/360 및 System/370과 동일한 부동소수점 형식 및 명령어를 지원한다.
VAX 프로세서는 비-IEEE 4배정밀도 부동소수점을 "H 부동소수점" 형식으로 구현했다. 이는 1비트 부호, 15비트 지수, 112비트 분수 부분을 가졌지만, 메모리 레이아웃은 IEEE 4배정밀도와 상당히 달랐고 지수 바이어스도 달랐다. 가장 초기의 VAX 프로세서 중 일부만이 H 부동소수점 명령어를 하드웨어로 구현했고, 다른 모든 프로세서는 소프트웨어로 H 부동소수점을 에뮬레이션했다.
NEC 벡터 엔진 아키텍처는 128비트 이진 IEEE 754 4배정밀도 숫자의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 비교를 지원한다. 인접한 두 64비트 레지스터가 사용된다. 벡터 레지스터에서는 4배정밀도 산술이 지원되지 않는다.
RISC-V 아키텍처는 128비트 이진 IEEE 754-2008 부동소수점 산술을 위한 "Q"(쿼드 정밀도) 확장을 지정한다. "L" 확장(아직 인증되지 않음)은 64비트 및 128비트 십진 부동소수점을 지정한다.
4배정밀도(128비트) 하드웨어 구현은 단일 명령, 다중 데이터 명령(예: 스트리밍 SIMD 확장 또는 AltiVec)을 구현하는 "128비트 FPU"와 혼동해서는 안 된다. 이는 4개의 32비트 단정밀도 또는 2개의 64비트 배정밀도 값으로 구성된 128비트 벡터를 동시에 연산하는 것을 의미한다.
손가락 이진법
손가락 이진법 또는 핑거 바이너리(finger binary)는 한 손 또는 양손의 손가락을 사용하여 이진수를 세고 표시하는 시스템이다. 각 손가락은 하나의 이진 숫자 또는 비트를 나타낸다. 이를 통해 한 손으로 0부터 31까지, 양손으로는 1023까지 셀 수 있다. 즉, 각각 25−1 또는 210−1까지 가능하다.
최신 컴퓨터는 일반적으로 값을 8-비트 바이트의 정수 형태로 저장하므로, 양손 손가락은 함께 1¼바이트의 저장 공간에 해당한다. 이는 열 손가락으로 10까지 세는 경우의 절반 미만에 비하면 대조적이다.
손가락 이진법 방식
이진수 체계에서 각 숫자 자리는 두 가지 가능한 상태(0 또는 1)를 가지며, 각 연속적인 숫자는 증가하는 2의 거듭제곱을 나타낸다.
참고: 다음은 손가락에 값 1, 2, 4, 8, 16 등을 할당하는 여러 가능한 방식 중 하나이며, 반드시 최선은 아니다. (아래 그림 참조): 가장 오른쪽 숫자는 2의 0제곱을 나타낸다(즉, "1의 자리"이다). 그 왼쪽의 숫자는 2의 1제곱("2의 자리")을 나타내고, 그 왼쪽의 다음 숫자는 2의 2제곱("4의 자리")을 나타내는 식이다. (십진법은 본질적으로 동일하며, 10의 거듭제곱("1의 자리", "10의 자리", "100의 자리" 등)을 사용한다.)
신체적 손가락을 사용하여 숫자를 나타낼 수 있는데, 손가락을 올리면 이진 숫자의 "1" 상태를 나타내고 손가락을 내리면 "0" 상태를 나타낸다. 각 연속적인 손가락은 2의 더 높은 거듭제곱을 나타낸다.
수를 세는 사람을 향해 손바닥을 펼쳤을 때, 오른손만 사용하는 경우의 값은 다음과 같다:
왼손만 사용하는 경우:
손가락 이진법 방식
양손을 사용하는 경우:
그리고, 번갈아 가며, 수를 세는 사람의 반대 방향으로 손바닥을 펼쳤을 때:
각각의 올린 손가락 값들을 모두 더하여 총 숫자를 구한다. 한 손 버전에서는 모든 손가락을 올리면 31 (16 + 8 + 4 + 2 + 1)이 되고, 모든 손가락을 내리면 (주먹) 0이 된다. 양손 시스템에서는 모든 손가락을 올리면 1,023 (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1)이 되고, 두 주먹 (손가락을 올리지 않음)은 0을 나타낸다.
각 손이 0에서 31 사이의 독립적인 숫자를 나타내게 할 수도 있다. 이는 월과 일, X-Y 좌표, 또는 탁구나 야구와 같은 스포츠 점수 등 다양한 유형의 짝을 이루는 숫자를 나타내는 데 사용될 수 있다. 시간을 시와 분으로 나타내는 것은 10개의 손가락을 사용하여 가능하며, 시는 4개의 손가락(0-23)을 사용하고 분은 6개의 손가락(0-59)을 사용한다.
오른손과 함께 사용하는 경우.
손가락 이진법 음수 및 비정수
분수와 음수가 이진수로 표현될 수 있는 것처럼, 손가락 이진수로도 표현될 수 있다.
음수를 나타내는 것은 매우 간단하며, 가장 왼쪽 손가락을 부호 비트로 사용한다: 올리면 부호와 크기 시스템에서 음수를 의미한다. 양손을 사용하여 −511부터 +511까지 나타낼 수 있다. 이 시스템에서는 양의 0과 음의 0이 모두 표현될 수 있다.
손바닥을 위로/아래로 향하게 하거나 손가락을 위로/아래로 향하게 하는 것이 양수/음수를 나타내는 규칙이 정해진다면, 양수와 음수 모두에서 210 −1을 유지할 수 있다(양의 0과 음의 0이 여전히 표현되는 상황에서 −1,023부터 +1023까지).
각 손가락이 2의 분수 거듭제곱()을 나타내도록 하여 분수를 이진 형식으로 내장하여 저장할 수 있다. (이를 2진 분수라고 한다.)
왼손만 사용하는 경우:
양손을 사용하는 경우:
총계는 일반적인 (분수가 아닌) 손가락 이진법과 동일한 방식으로 모든 값을 더한 다음, 사용 중인 가장 큰 분수 거듭제곱(한 손 분수 이진법의 경우 32, 양손의 경우 1024)으로 나누고 필요에 따라 분수를 간단히 하여 계산한다.
손가락 이진법 음수 및 비정수
예를 들어, 왼손 엄지와 검지 손가락을 올리고 오른손은 손가락을 올리지 않으면 (512 + 256)/1024 = 768/1024 = 3/4가 된다. 한 손만 사용하는 경우(왼손 또는 오른손)에도 (16 + 8)/32 = 24/32 = 3/4가 된다.
간단화 과정은 비트 시프트 연산을 수행함으로써 크게 단순화될 수 있다. 가장 오른쪽에 있는 올린 손가락의 오른쪽에 있는 모든 숫자(즉, 모든 후행 0)는 버려지고, 가장 오른쪽에 있는 올린 손가락은 1의 자리로 취급된다. 숫자들은 이제 시프트된 값을 사용하여 함께 더해져 분자를 결정하고, 가장 오른쪽에 있는 손가락의 원래 값이 분모를 결정하는 데 사용된다.
예를 들어, 왼손의 엄지와 검지만이 올린 숫자인 경우, 가장 오른쪽에 있는 올린 손가락(검지)은 "1"이 된다. 그 바로 왼쪽에 있는 엄지는 이제 2의 자리이다. 이 둘을 합하면 3이 된다. 검지의 원래 값(1/4)이 분모를 결정한다. 결과는 3/4이다.
손가락 이진법 음수 및 비정수
결합된 정수와 분수 값(즉, 유리수)은 두 손가락 사이에 소수점을 설정함으로써 표현될 수 있다(예를 들어, 왼쪽 새끼손가락과 오른쪽 새끼손가락 사이). 소수점 왼쪽에 있는 모든 숫자는 정수이고, 오른쪽에 있는 숫자는 분수이다.
위에서 설명한 2진 분수는 십진수를 기반으로 하는 사회에서는 사용이 제한적이다. 1/3과 같은 간단한 비이진 분수는 341/1024(0.3330078125)로 근사될 수 있지만, 2진 분수와 십진 (0.333) 또는 상용 (1/3) 형식 간의 변환은 복잡하다.
대신, 십진 또는 상용 분수는 손가락 이진법으로 본래적으로 표현될 수 있다. 십진 분수는 일반적인 정수 이진법을 사용하여 결과를 10, 100, 1000 또는 다른 10의 거듭제곱으로 나눔으로써 표현될 수 있다. 0에서 102.3, 10.23, 1.023 등 사이의 숫자는 0.1, 0.01, 0.001 등의 증분으로 이런 방식으로 표현될 수 있다.
상용 분수는 한 손으로 분자를, 다른 손으로 분모를 나타냄으로써 표현될 수 있다. 이 방식으로는 1/31에서 31/1까지 (그리고 0도 포함) 다양한 범위의 유리수를 나타낼 수 있다.
손가락 이진법 손가락 삼진법
이론적으로는 손가락의 다른 위치를 사용하여 두 가지 이상의 상태(0과 1)를 나타내는 것이 가능하다. 예를 들어, 삼진법 (기수 3)은 완전히 올린 손가락이 2를, 완전히 내린 손가락이 0을, 그리고 "구부린" (절반 내린) 손가락이 1을 나타내도록 하여 사용할 수 있다. 이렇게 하면 한 손으로 242 (35−1)까지, 양손으로는 59,048 (310−1)까지 셀 수 있다. 그러나 실제로는 많은 사람들이 두 가지 이상의 뚜렷한 위치에서 모든 손가락을 독립적으로 (특히 가운뎃손가락과 약손가락을) 잡기 어렵다고 느낄 것이다.
천안중앙시장
천안중앙시장은 충청남도 천안시에 위치한 전통시장이다. 교통의 변화가 일어나던 20세기에도 물류의 중심 수단으로 부상한 철도가 부설되면서 지리적인 이점은 유지되었다. 1905년 경부선, 1922년 장항선 등 철도가 지나면서 천안 시내에는 상점가가 형성되었고, 여러 곳에 시장이 개설되었다. 아우내장터라고 불리는 병천시장에서는 유관순 열사의 만세운동이 일어나기도 했다. 일제강점기인 1930년대 후반 천안 지역에는 모두 5개의 시장이 개설되어 있었다.
천안중앙시장 연혁
천안중앙시장은 1905년 경부선, 1922년 장항선 등 철도가 지나면서 천안 시내에는 상점가가 형성되었고, 여러 곳에 시장이 개설되었다. 아우내장터라고 불리는 병천시장에서는 유관순 열사의 만세운동이 일어나기도 했다. 일제강점기인 1930년대 후반 천안 지역에는 모두 5개의 시장이 개설되어 있었다. 1950년대 천안 시내의 중심지인 사직로와 천안역 주변에 노점 형태의 시장이 형성되었다.
천안 시내는 한국전쟁 때 크게 파괴되었다. 전쟁을 복구하는 과정에서 천안의 중심인 사직로를 중심으로 시가지 도로변에 노점이 형성되었다. 1951년에 60여 개의 장옥이 형성되었고 차츰 늘어나서 노점과 장옥을 합쳐서 250여 개에 이를 정도로 성황을 이루었다. 전쟁이 끝나고 사회가 안정기에 접어들고 경제가 발전하자 인구가 증가하고 거래가 활발해지면서 노점이 난립해 있던 사직로에 시장의 모습이 형성되기 시작했다. 1960년대에 사직로의 시장은 장날이 되면 천안의 주민들뿐만 아니라 100리 이내에 있는 많은 사람들이 장을 찾아서 교통이 마비될 정도로 혼잡스러웠다.
천안중앙시장 연혁
1970년대에 들어서 경부고속도로가 개통되고, 다른 도로들이 신설 또는 정비되면서 천안은 오히려 서울이나 대전의 상권에 잠식되기 시작했다. 그 때문에 1960년대보다 상권이 줄어들었다. 그 대신에 사직로에 형성되었던 노점과 장옥을 중심으로 한 정기시장이 중앙시장과 천일시장, 자유시장, 영성청과도매시장 등 4개의 상설시장으로 대체되면서 천안에 거주하는 주민들을 위한 생활밀착형 시장으로 변화했다. 2011년에는 남산중앙시장 일대가 천안시에 의해 전통 상업 보존 구역으로 지정되었다. 이에 따라 이 지역 내에 대형마트나 기업형 슈퍼마켓 등의 난립을 막아 남산중앙시장의 상권이 보호되고 있다.
사문서부정행사죄
사문서부정행사죄(私文書不正行使罪)는 타인의 권리·의무 또는 사실증명에 관한 문서(사문서)나 도화를 부정하게 행사함으로써 성립하는 대한민국의 범죄이다.
사문서부정행사죄 부정행사의 의미
부정행사란 사용할 권한이 없는 사람이 문서 명의자인 것처럼 행세하여 사용하는 것, 또는 권한이 있더라도 문서의 본래 목적이 아닌 다른 용도로 사용하는 것을 뜻한다.
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
수학에서 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯은 항이 연속적인 2의 거듭제곱인 무한급수이다. 등비급수로서 첫 항은 1이고 공비는 2이다. 실수의 급수로서 무한대로 발산하므로, 일반적인 의미에서는 합이 없다. 그러나 이를 조작하여 수학적으로 흥미로운 여러 결과를 도출할 수 있다. 예를 들어, 많은 합산 방법이 발산급수에도 수치 값을 할당하는 데 사용된다. 특히 이 급수의 라마누잔 합은 -1이며, 이는 2-진수 거리를 사용한 급수의 극한이다.
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 합산
의 첫 개 항의 부분합은 다음과 같다.

이 부분합들의 수열 이 무한대로 발산하므로, 급수도 마찬가지로 발산한다. 따라서 세자로 합과 아벨 합을 포함한 모든 완전 정규 합산 방법은 합을 무한대로 산출한다. 반면에, 을 유한 값인 -1로 합산하는 최소한 하나의 일반적으로 유용한 방법이 있다. 관련 멱급수

는 0 주변의 수렴 반지름이 오직 이므로 에서 수렴하지 않는다. 그럼에도 불구하고, 이렇게 정의된 함수 는 점 이 제거된 복소평면으로의 유일한 해석적 연속을 가지며, 동일한 규칙 으로 주어진다. 이므로, 원래 급수 는 (E) 합산으로 -1이 된다고 말하며, -1은 급수의 (E) 합이다. (이 표기는 레온하르트 오일러의 발산급수에 대한 접근 방식을 참조하여 G. H. 하디가 사용했다.)
거의 동일한 접근 방식(오일러 자신이 사용한 방식)은 모든 계수가 1인 멱급수를 고려하는 것이다. 즉,

에 를 대입하는 것이다. 이 두 급수는 라는 치환으로 관련되어 있다.
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 합산
(E) 합산이 에 유한 값을 할당한다는 사실은 일반적인 방법이 완전히 정규적이지 않음을 보여준다. 반면에, 합산 방법으로서 안정성과 선형성을 포함하여 몇 가지 다른 바람직한 특성을 가지고 있다. 이 두 가지 후자의 공리는 실제로 합을 -1로 강제하는데, 다음 조작을 유효하게 만들기 때문이다.
유용한 의미에서, 는 방정식 의 근이다. (예를 들어, 는 리만 구에서 뫼비우스 변환 의 두 고정점 중 하나이다.) 어떤 합산 방법이 에 대해 일반적인 숫자(즉, 가 아닌)를 반환하는 것으로 알려져 있다면, 쉽게 결정된다. 이 경우 를 방정식의 양변에서 빼면 가 되므로 이다.
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 합산
위의 조작은 충분히 강력한 합산 절차의 맥락 밖에서 -1을 생성하도록 요청될 수 있다. 가장 잘 알려져 있고 직관적인 합 개념(기본적인 수렴 개념 포함)에 대해, 양항 급수가 음의 값을 가질 수 있다는 것은 부조리하다. 유사한 현상이 발산 등비급수 (그란디 급수)에서도 발생하는데, 여기서 정수의 급수가 정수가 아닌 합 을 가지는 것처럼 보인다. 이러한 예는 과 같은 순환 소수, 특히 와 같은 급수에 유사한 주장을 적용할 때 발생할 수 있는 잠재적 위험을 보여준다. 이러한 주장은 이러한 수렴급수에 대해 궁극적으로 정당화되며,  및 임을 의미하지만, 그 배경이 되는 증명은 끝없는 합의 해석에 대한 신중한 사고를 요구한다.
이 급수를 실수와는 다른 수 체계, 즉 2-진수에서 수렴하는 것으로 볼 수도 있다. 2-진수의 급수로서 이 급수는 위에서 해석적 연속으로 유도된 것과 동일한 합인 -1로 수렴한다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
항이 양의 정수인 무한급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯는 발산 급수이다. 이 급수의 n번째 부분합은 삼각수이다.
이는 n이 무한으로 갈수록 무한히 증가한다. 부분합의 수열이 유한한 극한으로 수렴하지 않으므로, 급수는 합을 갖지 않는다.
이 급수는 처음 보기에 아무런 의미 있는 값도 가지지 않는 것처럼 보이지만, 조작을 통해 여러 가지 수학적 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 많은 합 방법이 수학에서 발산 급수에도 수치적 값을 할당하는 데 사용된다. 특히, 제타 함수 조절과 라마누잔 합의 방법은 이 급수에 ⁠−+1/12⁠의 값을 할당하며, 이는 유명한 공식으로 표현된다.
여기서 좌변은 언급된 합 방법 중 하나를 사용하여 얻은 값으로 해석되어야 하며, 일반적인 의미의 무한급수의 합으로 해석되어서는 안 된다. 이 방법들은 복소해석학, 양자장론, 끈 이론과 같은 다른 분야에도 적용된다.
문샤인 이론에 대한 단행본에서 앨버타 대학교의 수학자 테리 개넌은 이 방정식을 "과학에서 가장 놀라운 공식 중 하나"라고 부른다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 부분합
급수 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯의 부분합은 1, 3, 6, 10, 15 등이다. n번째 부분합은 간단한 공식으로 주어진다.
이 방정식은 기원전 6세기 초 피타고라스 학파에게도 알려져 있었다. 이 형태의 숫자들은 정삼각형으로 배열될 수 있기 때문에 삼각수라고 불린다.
무한 삼각수 수열은 +∞로 발산하므로, 정의에 따라 무한급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯도 +∞로 발산한다. 이 발산은 급수 형태의 간단한 결과이다. 즉, 항들이 0으로 수렴하지 않으므로 항 판정법에 의해 급수는 발산한다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
고전적인 발산 급수 중에서 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯는 유한한 값으로 조작하기 비교적 어렵다. 많은 합 방법이 발산 급수에 수치적 값을 할당하는 데 사용되며, 일부는 다른 것보다 더 강력하다. 예를 들어, 체사로 합은 그란디 급수, 즉 완만하게 발산하는 급수 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯를 ⁠1/2⁠로 합하는 잘 알려진 방법이다. 아벨 합은 그란디 급수를 ⁠1/2⁠로 합할 뿐만 아니라, 더 까다로운 급수 1−2+3−4+…를 ⁠1/4⁠로 합하는 더 강력한 방법이다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
위의 급수와 달리 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯는 체사로 합 가능하지도, 아벨 합 가능하지도 않다. 이러한 방법들은 진동하는 발산 급수에는 작용하지만, +∞로 발산하는 급수에는 유한한 답을 내놓을 수 없다. 발산 급수의 합에 대한 더 기본적인 정의 대부분은 안정적이고 선형적이며, 안정적이면서 선형적인 어떤 방법도 1 + 2 + 3 + ⋯를 유한한 값으로 합할 수 없다 오류: no text specified (help).. 제타 함수 조절 또는 라마누잔 합과 같은 더 고급 방법이 필요하다. 또한 이러한 방법들과 관련된 몇 가지 대략적인 휴리스틱스를 사용하여 ⁠−+1/12⁠의 값을 주장할 수도 있다.
스리니바사 라마누잔은 첫 번째 공책의 8장에서 "1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠−+1/12⁠"에 대한 두 가지 유도를 제시했다. 더 간단하고 덜 엄격한 유도는 다음과 같이 두 단계로 진행된다.
첫 번째 핵심 통찰은 양수 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯가 교대급수 1−2+3−4+…와 매우 유사하다는 것이다. 후자의 급수 역시 발산하지만, 다루기가 훨씬 쉽다. 18세기 이래로 탐구되어 온 이 급수에 값을 할당하는 여러 고전적인 방법들이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯를 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯로 변환하기 위해, 두 번째 항에서 4를 빼고, 네 번째 항에서 8을 빼고, 여섯 번째 항에서 12를 빼는 식으로 진행한다. 빼야 할 총량은 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯이며, 이는 원래 급수의 4배이다. 이러한 관계는 대수학을 사용하여 표현할 수 있다. 이 급수의 "합"이 무엇이든 간에, 이를 c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯라고 하자. 그런 다음 이 방정식에 4를 곱하고 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 뺀다.
두 번째 핵심 통찰은 교대급수 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯가 x를 1로 설정했을 때 함수 ⁠1/(1 + x)2⁠의 형식적 멱급수 전개 (0 지점의 x에 대해)라는 것이다. 이는 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + ⋯로 표현된다. 따라서 라마누잔은 다음과 같이 썼다.
양변을 −3으로 나누면 c = ⁠−+1/12⁠를 얻는다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
일반적으로 무한급수를 유한합처럼 조작하는 것은 옳지 않다. 예를 들어, 발산 급수에 임의의 위치에 0을 삽입하면 다른 방법들과 일관되지 않을 뿐만 아니라 자체적으로 일관되지 않는 결과를 얻을 수 있다. 특히, 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ 단계는 덧셈 항등원 법칙만으로는 정당화되지 않는다. 극단적인 예로, 급수 맨 앞에 0을 하나 추가하면 다른 결과를 얻을 수 있다.
이러한 상황을 해결하고 0이 삽입될 수 있는 위치를 제한하는 한 가지 방법은 어떤 함수에 대한 의존성을 부여하여 급수의 각 항을 추적하는 것이다. 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯에서 각 항 n은 단지 숫자이다. 항 n을 복소 변수 s에 의존하는 함수 n−s로 승격시키면, 같은 항끼리만 더해지도록 할 수 있다. 그 결과로 얻는 급수는 더 엄격한 방식으로 조작될 수 있으며, 변수 s는 나중에 −1로 설정될 수 있다. 이 전략의 구현을 제타 함수 조절이라고 한다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
제타 함수 조절에서 급수 는 급수 로 대체된다. 후자의 급수는 디리클레 급수의 예이다. s의 실수 부분이 1보다 클 때, 디리클레 급수는 수렴하고 그 합은 리만 제타 함수 ζ(s)이다. 반면에, s의 실수 부분이 1보다 작거나 같을 때 디리클레 급수는 발산하므로, 특히 s = −1로 설정하여 얻는 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯는 수렴하지 않는다. 리만 제타 함수를 도입하는 이점은 해석적 연속을 통해 s의 다른 값에 대해서도 정의될 수 있다는 것이다. 그러면 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯의 제타-정규화된 합을 ζ(−1)로 정의할 수 있다.
이 시점부터 ζ(−1) = ⁠−+1/12⁠임을 증명하는 몇 가지 방법이 있다. 오일러의 추론 방식에 따른 한 가지 방법은 리만 제타 함수와 디리클레 에타 함수 η(s) 사이의 관계를 사용한다. 에타 함수는 교대 디리클레 급수로 정의되므로, 이 방법은 앞선 휴리스틱스와 유사하다. 두 디리클레 급수가 모두 수렴하는 경우, 다음과 같은 항등식을 갖는다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
항등식 는 두 함수가 해석적 연속으로 확장되어 위의 급수가 발산하는 s의 값들을 포함할 때에도 계속 유효하다. s = −1을 대입하면 −3ζ(−1) = η(−1)를 얻는다. 이제 η(−1)을 계산하는 것은 더 쉬운 작업인데, 에타 함수는 정의하는 급수의 아벨 합과 같기 때문이다. 이는 일방 극한이다.
양변을 −3으로 나누면 ζ(−1) = ⁠−+1/12⁠를 얻는다.
절단 함수를 사용한 조절 방법은 급수를 "평활화"하여 ⁠−+1/12⁠를 얻을 수 있다. 평활화는 복소해석학에 의존하는 제타 함수 조절과 오일러-매클로린 공식으로 가는 지름길을 사용하는 라마누잔 합 사이의 개념적 다리이다. 대신 이 방법은 실해석학의 방법을 사용하여 급수의 보존적인 변환에 직접 작용한다.
아이디어는 잘 정의되지 않은 이산 급수 를 평활화된 버전으로 대체하는 것이다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
여기서 f는 적절한 속성을 가진 절단 함수이다. 절단 함수는 f(0) = 1로 정규화되어야 한다. 이는 미분 방정식에서 사용되는 정규화와는 다르다. 절단 함수는 급수의 불규칙성을 평활화할 만큼 충분히 유계된 미분 계수를 가져야 하며, 급수가 증가하는 것보다 빠르게 0으로 감소해야 한다. 편의상, f가 매끄럽고, 유계이며, 콤팩트하게 지지된다고 요구할 수 있다. 그러면 이 평활화된 합이 ⁠−+1/12⁠ + CN2에 점근한다는 것을 증명할 수 있으며, 여기서 C는 f에 의존하는 상수이다. 점근 전개의 상수항은 f에 의존하지 않는다. 즉, 해석적 연속에 의해 주어지는 값과 반드시 동일하다. ⁠−+1/12⁠.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯의 라마누잔 합 또한 ⁠−+1/12⁠이다. 라마누잔은 1913년 2월 27일 고드프리 해럴드 하디에게 보낸 두 번째 편지에서 다음과 같이 썼다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 합 가능성
친애하는 선생님, 1913년 2월 8일자 귀하의 편지를 읽고 매우 기뻤습니다. 저는 런던의 한 수학 교수가 브롬위치의 무한급수를 신중하게 공부하고 발산 급수의 함정에 빠지지 말라고 요청한 것과 유사한 답장을 기대하고 있었습니다. ... 저는 그에게 다음과 같은 무한한 항의 급수의 합이: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠−+1/12⁠ 제 이론에 따르면 그렇다고 말했습니다. 만약 제가 이 말을 한다면 당신은 즉시 저를 정신병원으로 보낼 것입니다. 저는 이 말을 단순히 제가 단 한 통의 편지로 제가 나아가는 방법을 제시한다면 당신이 제 증명 방법을 따르지 못할 것이라는 점을 확신시키기 위해 자세히 설명합니다.
라마누잔 합은 급수의 부분합에 대한 오일러-매클로린 공식에서 상수항을 분리하는 방법이다. 함수 f에 대해 급수 의 고전적인 라마누잔 합은 다음과 같이 정의된다.
여기서 f(2k−1)는 f의 (2k − 1)번째 미분 계수이고 B2k는 (2k)번째 베르누이 수이다. 즉, B2 = ⁠1/6⁠, B4 = ⁠−+1/30⁠ 등이다. f(x) = x로 설정하면 f의 첫 번째 미분 계수는 1이고 다른 모든 항은 사라지므로
불일치를 피하기 위해 라마누잔 합의 현대 이론은 f가 오일러-매클로린 공식의 나머지 항들이 0으로 수렴할 만큼 f의 고차 도함수가 충분히 빨리 감소한다는 의미에서 "정칙적"이어야 한다고 요구한다. 라마누잔은 이 속성을 암묵적으로 가정했다. 정칙성 요구 사항은 0 + 2 + 0 + 4 + ⋯와 같이 이격된 급수에 라마누잔 합을 사용하는 것을 방지하는데, 이는 정칙 함수가 그러한 값을 가질 수 없기 때문이다. 대신 그러한 급수는 제타 함수 조절에 의해 해석되어야 한다. 이러한 이유로 하디는 알려진 급수의 라마누잔 합을 관련 급수의 합을 찾는 데 적용할 때 "매우 주의"할 것을 권고한다.
선형적이고 안정적인 합 방법은 급수 1 + 2 + 3 + ⋯를 어떤 유한한 값으로도 합할 수 없다. (안정적이라는 것은 급수 맨 앞에 항을 추가하면 합이 추가된 항의 값만큼 증가한다는 의미이다.) 이는 다음과 같이 알 수 있다. 만약
이라면 양변에 0을 더하면 안정성에 의해
이 된다. 선형성에 의해, 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에서 뺄 수 있다 (두 번째 줄의 각 구성 요소를 첫 번째 줄의 해당 열에서 빼는 방식). 그러면
양변에 다시 0을 더하면
이 되고, 마지막 두 급수를 빼면
이 되어 안정성에 모순된다.
따라서 급수 1 + 2 + 3 + ⋯에 유한한 값을 부여하는 모든 방법은 안정적이지 않거나 선형적이지 않다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 물리학
보손 끈 이론에서는 끈의 가능한 에너지 준위, 특히 최저 에너지 준위를 계산하려고 시도한다. 비공식적으로 말하면, 끈의 각 고조파는 각 횡 방향에 대해 하나씩, 총 D − 2개의 독립적인 양자 조화 진동자들의 모음으로 볼 수 있으며, 여기서 D는 시공간의 차원이다. 만약 기본 진동 주파수가 ω라면, n번째 고조파에 기여하는 진동자의 에너지는 nħω/2이다. 따라서 발산 급수를 사용하면 모든 고조파의 합은 −ħω(D − 2)/24가 된다. 궁극적으로 이 사실과 고다르-손 정리가 결합되어 보손 끈 이론이 26차원 이외의 차원에서는 일관적이지 않게 되는 이유가 된다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯의 조절은 1차원 스칼라장에 대한 카시미르 힘을 계산하는 데에도 관련이 있다. 지수 절단 함수는 급수를 평활화하기에 충분하며, 이는 임의로 높은 에너지 모드가 전도성 판에 의해 차단되지 않는다는 사실을 나타낸다. 문제의 공간 대칭성은 전개의 이차 항을 상쇄하는 역할을 한다. 남은 것은 상수항 −1/12뿐이며, 이 결과의 음수 부호는 카시미르 힘이 인력이라는 사실을 반영한다.
유사한 계산이 3차원에서도 수행되며, 리만 제타 함수 대신 에프슈타인 제타 함수를 사용한다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 역사
레온하르트 오일러가 이 급수를 ⁠−+1/12⁠로 합했는지는 불분명하다. 모리스 클라인에 따르면, 오일러의 발산 급수에 대한 초기 연구는 함수 전개에 의존했으며, 이를 통해 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ∞라고 결론지었다. 레이먼드 아이유브에 따르면, 발산하는 제타 급수가 아벨-합 가능하지 않다는 사실 때문에 오일러는 에타 함수만큼 제타 함수를 자유롭게 사용할 수 없었으며, 이 급수에 "의미를 부여할 수 없었다"고 한다. 다른 저자들은 오일러에게 이 합의 공로를 돌리며, 오일러가 제타 함수와 에타 함수 사이의 관계를 음의 정수로 확장했을 것이라고 제안한다. 주요 문헌에서 급수 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯는 오일러의 1760년 저작 De seriebus divergentibus에서 발산하는 등비급수 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯와 함께 언급된다. 오일러는 이 유형의 급수가 유한하고 음수인 합을 가진다고 암시하며, 등비급수에 대해 이것이 무엇을 의미하는지 설명하지만, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯에 대해서는 다시 논하지 않는다. 같은 저작에서 오일러는 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯의 합이 무한하다고 썼다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 대중 매체에서
데이비드 리빗의 2007년 소설 디 인디언 클러크에는 하디와 존 이든저 리틀우드가 이 급수의 의미를 논하는 장면이 포함되어 있다. 그들은 라마누잔이 ζ(−1)을 재발견했다고 결론짓고, 그의 두 번째 편지에 있는 "정신병원"이라는 구절을 라마누잔이 그들과 장난치는 신호로 받아들인다.
사이먼 맥버니의 2007년 연극 어 디서피어링 넘버는 도입부에서 이 급수에 초점을 맞춘다. 주인공 루스는 강의실로 걸어 들어가 발산 급수의 개념을 소개한 다음, "정말 스릴 넘치는 것을 보여주겠다"고 선언하며 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠−+1/12⁠를 제시한다. 루스가 제타 함수의 함수 방정식 유도에 착수하는 동안, 다른 배우가 관객에게 자신들이 배우임을 인정하며 "하지만 수학은 진짜입니다. 무섭지만, 진짜입니다"라고 말한다.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 대중 매체에서
2014년 1월, 넘버파일은 이 급수에 대한 유튜브 영상을 제작했으며, 첫 한 달 동안 150만 조회수를 기록했다. 8분짜리 영상은 노팅엄 대학교의 물리학자 토니 파딜라가 해설한다. 파딜라는 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯와 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯로 시작하여 후자를 라마누잔의 주장과 유사한 항별 뺄셈을 사용하여 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯와 연결한다. 넘버파일은 또한 노팅엄 물리학자 에드먼드 코플랜드가 출연하여 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = ⁠1/4⁠가 아벨 합으로, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠−+1/12⁠가 ζ(−1)로 어떻게 되는지 더 자세히 설명하는 21분짜리 버전의 영상을 공개했다. 첫 번째 영상의 엄밀성 부족에 대한 불만을 접수한 후, 파딜라는 자신의 웹페이지에 영상의 조작을 해당 디리클레 급수의 해석적 연속 사이의 항등식과 관련시키는 설명을 작성했다.
뉴욕 타임스의 넘버파일 영상 보도에서 수학자 에드워드 프렌켈은 다음과 같이 논평했다. "이 계산은 수학에서 가장 잘 지켜진 비밀 중 하나입니다. 외부 사람들은 아무도 이것을 모릅니다."
스미스소니언 매거진의 이 주제에 대한 보도는 넘버파일 영상이 오해의 소지가 있다고 설명하며, 합을 ⁠−+1/12⁠로 해석하는 것이 해석적 연속 기술에서 "같다"는 것이 "관련되어 있다"는 의미를 가지는 특수한 의미의 등호에 의존한다고 지적한다. 넘버파일 영상은 2018년 독일 수학자 부르카르트 폴스터의 Mathologer 유튜브 채널에서도 비슷한 이유로 비판받았으며, 그의 영상은 2023년까지 270만 조회수를 기록했다.
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
수학에서 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯는 , , 또는 단순히 로도 쓰이며, 발산 급수이다. 그럼에도 불구하고, 특히 물리학에서는 이 값이 인 것으로 간주되기도 한다. 이 값은 제타 함수 조절을 포함하여 발산 급수에서 값을 얻는 특정 수학적 방법을 통해 정당화될 수 있다.
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 발산 급수로서
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯는 부분합의 수열이 실수에서 극한으로 수렴하지 않는다는 의미의 발산 급수이다.
수열 1n은 공비 1을 갖는 등비급수로 생각할 수 있다. 공비가 −1인 그란디 급수와 공비가 2인 급수 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯를 포함한 다른 발산 등비급수의 경우, 밑이 1이고 공비가 인 등비급수의 합에 대한 일반 해를 사용하여 를 얻을 수 있지만, 이 합산 방법은 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯에는 적용되지 않으며, 0으로 나누기를 발생시킨다.
그란디 급수와 함께, 이것은 유리수 공비를 가지며 실수 및 모든 P진수 시스템에서 발산하는 두 가지 등비급수 중 하나이다.
확장된 실수의 맥락에서
부분합의 수열이 단조적으로 무한히 증가하기 때문이다.
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 제타 함수 조절
이론물리학 응용에서 n0의 합이 나타날 때, 이는 때때로 제타 함수 조절에 의해 리만 제타 함수의 s = 0에서의 값으로 해석될 수 있다.
위에 제시된 두 공식은 0에서는 유효하지 않지만, 해석적 연속은 다음과 같다.
이를 사용하여 (Γ(1) = 1임을 감안할 때) 다음을 얻는다.
여기서 ζ(s)의 s = 1에서의 멱급수 확장은 ζ(s)가 그곳에서 유수 1의 단순 극점을 가지기 때문에 성립한다. 이러한 의미에서 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ζ(0) = −⁠1/2⁠이다.
에밀리오 엘리살데는 이 급수의 제타 함수 조절이 물리학에서 중요함을 시사하며, 이 급수에 대한 다른 사람들의 의견을 다음과 같이 제시한다.
1년도 채 되지 않는 짧은 기간 동안, 두 저명한 물리학자인 A. 슬라브노프와 F. 인두라인은 바르셀로나에서 서로 다른 주제에 대해 강연을 했다. 두 발표 모두에서 어느 시점에 발표자가 청중에게 다음과 같은 말로 연설한 것이 인상적이었다: '모두가 알다시피, 1 + 1 + 1 + ⋯ = −⁠1/2⁠.' 아마도 다음과 같은 의미였을 것이다: 이 사실을 모른다면 계속 들을 필요가 없다.
그란디 급수
수학에서 무한급수 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯는 다음과 같이도 표기된다.
이것은 1703년 이 급수에 대한 기억에 남을 만한 연구를 한 이탈리아의 수학자, 철학자, 사제 귀도 그란디의 이름을 따서 때때로 그란디 급수(Grandi's series)라고 불린다. 이 급수는 발산 급수이며, 이는 급수의 부분합 수열이 수렴하지 않는다는 것을 의미한다.
그러나 이 급수는 발산하지만, 수학적으로 흥미로운 여러 결과를 도출하도록 조작될 수 있다. 예를 들어, 많은 합 방법이 수학에서 발산 급수에도 수치 값을 할당하는 데 사용된다. 예를 들어, 이 급수의 체사로 합과 라마누잔 합은 모두 ⁠1/2⁠이다.
그란디 급수 비엄격한 방법
급수
의 합을 찾는 한 가지 명확한 방법은 이 급수를 망원급수처럼 취급하여 그 자리에서 뺄셈을 수행하는 것이다.
반면에, 비슷한 괄호 묶음 절차는 겉으로는 모순되는 결과로 이어진다.
따라서 그란디 급수에 괄호를 다른 방식으로 적용함으로써 "값"으로 0 또는 1을 얻을 수 있다. 이는 조건부 수렴의 일반적인 문제와 밀접하게 관련되어 있으며, 아일렌베르크-마주르 사기라고 불리는 이 아이디어의 변형은 때때로 매듭 이론과 대수학에서 사용된다. 이 두 "값"의 평균을 취함으로써 급수가 ⁠1/2⁠로 수렴한다고 정당화할 수 있다.
그란디 급수를 발산 등비급수로 취급하고 수렴 등비급수를 평가하는 것과 동일한 대수적 방법을 사용하여 세 번째 값을 얻는다.
결과적으로 가 된다. 동일한 결론은 를 계산하여 ( 에서), 그 결과를 에서 빼고 을 푸는 것으로부터도 나온다.
그란디 급수 비엄격한 방법
위의 조작은 급수의 합이 엄밀히 무엇을 의미하는지, 그리고 이 대수적 방법들이 발산 등비급수에 어떻게 적용될 수 있는지를 고려하지 않는다. 그럼에도 불구하고, 급수에 임의로 괄호를 묶을 수 있고, 급수로 연산을 수행할 수 있는 것이 중요하기 때문에, 두 가지 결론에 도달할 수 있다.
사실 이 두 진술은 19세기에 등장한 잘 정의된 수학적 개념만을 사용하여 정확하고 형식적으로 증명될 수 있다. 17세기 후반 유럽에서 미적분학이 도입된 이후, 그리고 현대 엄밀성이 도래하기 전, 이 답변들 사이의 긴장은 수학자들 사이의 "끝없는" 그리고 "격렬한" 논쟁으로 특징지어지는 것을 부채질했다.
그란디 급수 등비급수와의 관계
구간 에 있는 임의의 숫자 에 대해, 등비급수의 무한합은 다음과 같이 평가될 수 있다.
임의의 에 대해 다음을 얻는다.
따라서 급수 평가의 극한 은 다음과 같다.
그러나 앞서 언급했듯이, 극한을 바꿈으로써 얻어지는 급수,
는 발산한다.
복소해석학의 용어로, ⁠1/2⁠는 복소수 단위 원판인 |z| < 1에서만 정의되는 급수 의 해석적 연속에서 z = −1의 값으로 볼 수 있다.
그란디 급수 발산
현대 수학에서 무한급수의 합은 존재한다면 그 부분합 수열의 수열의 극한으로 정의된다. 그란디 급수의 부분합 수열은 1, 0, 1, 0, ...이며, 이는 어떤 숫자에도 분명히 수렴하지 않는다 (비록 0과 1에 두 개의 집적점을 가지고 있기는 하지만). 따라서 그란디 급수는 발산 급수이다.
급수가 절대 수렴하지 않는 한, 개별 항을 재배열하는 등 겉보기에 무해해 보이는 많은 연산이 급수에서 유효하지 않다는 것을 보일 수 있다. 그렇지 않으면 이러한 연산은 합산 결과를 변경할 수 있다. 더욱이 그란디 급수의 항은 재배열되어 집적점을 0 또는 1뿐만 아니라 두 개 이상의 연속적인 정수 간격에 가질 수 있다. 예를 들어, 급수
(여기서 처음 다섯 개의 +1 항 이후에 항들은 +1과 −1 항의 쌍으로 교대하며 – +1과 −1의 무한성은 힐베르트 호텔의 역설에 의해 유한한 수의 1 또는 −1을 앞에 붙일 수 있게 한다)는 그란디 급수의 순열이며, 재배열된 급수의 각 값은 원래 급수에서 최대 네 칸 떨어져 있는 값에 해당한다. 이 급수의 집적점은 3, 4, 5이다.
그란디 급수 교육
1987년경, 안나 시에르핀스카는 바르샤바의 한 고등학교에서 17세 미적분학 전 학생들에게 그란디 급수를 소개했다. 그녀는 수학과 물리를 공부하는 동료 학생들보다 수학적 경험이 적을 것이라는 예상으로 인문학 학생들에게 초점을 맞췄고, 따라서 그들이 보이는 인식론적 장애물은 고등학생들에게 여전히 존재할 수 있는 장애물들을 더 잘 대표할 것이라고 보았다.
시에르핀스카는 처음에 학생들이 그란디 급수에 값을 할당하는 것을 주저할 것이라고 예상했으며, 그 시점에서 등비급수 공식의 결과로 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠라고 주장함으로써 그들을 놀라게 할 수 있다고 생각했다. 이상적으로는 추론의 오류를 찾고 다양한 공비에 대한 공식을 조사함으로써 학생들이 "두 가지 종류의 급수가 있다는 것을 깨닫고 수렴에 대한 암묵적인 개념이 생겨날 것"이었다. 그러나 학생들은 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ 또는 심지어 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1이라는 말을 들어도 전혀 놀라지 않았다. 시에르핀스카는 사전에 학생들의 반응이 라이프니츠와 그란디가 ⁠1/2⁠를 그럴듯한 결과로 생각했던 것을 감안하면 그리 놀랍지 않다고 언급했다.
그란디 급수 교육
"하지만 사후적으로는 학생들의 이러한 충격 부족에 대한 설명이 다소 다를 수 있다. 그들은 부조리를 침착하게 받아들였다. 왜냐하면 '수학은 완전히 추상적이고 현실과 거리가 멀다'고 생각했고, '이러한 수학적 변환으로 온갖 말도 안 되는 것을 증명할 수 있다'고 한 소년이 나중에 말했기 때문이다."
학생들은 결국 수렴 문제에 면역이 아니었다. 시에르핀스카는 다음 날 십진수 전개와 연결함으로써 그들을 문제에 참여시키는 데 성공했다. 0.999... = 1이 학생들을 놀라게 하자마자, 그녀의 나머지 자료는 "그들의 귀를 스쳐 지나갔다".
2000년경 이탈리아 트레비소에서 수행된 또 다른 연구에서, 과학 고등학교(Liceo Scientifico) 3학년 및 4학년 학생들(16세에서 18세 사이)에게 다음을 묻는 카드가 주어졌다.
"1703년에 수학자 귀도 그란디는 덧셈: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (덧셈 항은 무한히 많으며 항상 +1과 –1이다)을 연구했습니다. 이에 대해 어떻게 생각하십니까?"
그란디 급수 교육
학생들은 무한 집합의 개념을 배웠지만, 무한급수에 대한 사전 경험은 없었다. 그들은 책이나 계산기 없이 10분 동안 시간을 받았다. 88개의 응답은 다음과 같이 분류되었다.
(26) 결과는 0이다
(18) 결과는 0 또는 1이 될 수 있다
(5) 결과는 존재하지 않는다
(4) 결과는 ⁠1/2⁠이다
(3) 결과는 1이다
(2) 결과는 무한대이다
(30) 무응답
연구원인 조르조 바니는 학생들 중 몇 명을 인터뷰하여 그들의 추론을 파악했다. 그들 중 16명은 그란디와 리카티와 유사한 논리를 사용하여 0이라는 답을 정당화했다. 다른 학생들은 ⁠1/2⁠를 0과 1의 평균으로 정당화했다. 바니는 그들의 추론이 라이프니츠와 유사하지만, 18세기 수학에 매우 중요했던 확률적 기반이 부족하다고 지적한다. 그는 응답이 역사적 발전과 개인적 발전 사이의 연관성과 일치한다고 결론짓지만, 문화적 맥락은 다르다.
조엘 레만은 다른 합 개념들을 구별하는 과정을 개념적 균열 위에 다리를 놓는 것으로 묘사한다. 이 균열은 18세기 수학을 괴롭혔던 발산에 대한 혼란이다.
그란디 급수 교육
"급수는 일반적으로 역사 없이 그리고 응용과 분리되어 제시되기 때문에, 학생들은 '이것들은 무엇인가?'뿐만 아니라 '왜 이것을 하는가?'라고 궁금해해야 한다. 수렴성을 결정하는 데만 몰두하고 합은 결정하지 않는 것은 전체 과정을 많은 학생들과 강사들에게 인위적이고 무의미하게 보이게 한다."
그 결과, 많은 학생들이 오일러와 유사한 태도를 보인다.
"...자연적으로 발생하는 문제(즉, 자연에서 오는 문제)는 해결책이 있으므로, 결국 모든 것이 잘 될 것이라는 가정은 존재 증명의 필요 없이 실험적으로 정당화된다. 모든 것이 괜찮다고 가정하고, 도출된 해결책이 효과가 있다면, 아마도 당신이 옳았거나 적어도 충분히 옳았을 것이다. ... 그렇다면 숙제 문제에서만 나타나는 세부 사항에 왜 신경 써야 하는가?"
레만은 오일러의 그란디 급수 취급에 대해 장-샤를 칼레가 제기했던 동일한 예시로 이러한 반론에 대응할 것을 권고한다. 오일러는 합을 등비급수 의 x = 1에서의 평가로 보았고, 합은 ⁠1/2⁠가 되었다. 그러나 칼레는 그란디 급수를 다른 급수인 의 x = 1에서의 평가로 볼 수도 있다고 지적하며, 합은 ⁠2/3⁠이 된다. 레만은 직관적인 평가에서 이러한 상충되는 결과를 보는 것이 엄밀한 정의와 세부 사항에 대한 주의의 필요성을 동기 부여할 수 있다고 주장한다.
그란디 급수 관련 문제
급수 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... (무한대까지)도 발산하지만, 일부 방법은 이를 ⁠1/4⁠로 합산하는 데 사용될 수 있다. 이는 대부분의 합산 방법이 그란디 급수에 할당하는 값의 제곱이며, 이는 두 개의 그란디 급수의 코시 곱으로 볼 수 있기 때문에 합리적이다.
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
수학에서 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯은 부호가 교대하는 2의 거듭제곱을 항으로 하는 무한급수이다. 등비급수로서 첫 항이 1이고 공비가 -2이다.
실수 급수로서, 이는 발산한다. 따라서 통상적인 의미에서는 합이 없다. P진 해석학에서 이 급수는 ∞ 이외의 다른 값, 즉 2-진수를 사용하여 급수의 극한인 ⁠1/3⁠과 관련이 있다.
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 역사적 논증
고트프리트 라이프니츠는 이미 1673년에 발산하는 교대급수 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯를 고려했다. 그는 왼쪽이나 오른쪽에서 빼면 양의 무한대 또는 음의 무한대를 생성할 수 있으므로 두 답 모두 틀렸고 전체는 유한해야 한다고 주장했다.
이제 일반적으로 자연은 두 가지 중 어느 것도 허용되지 않는 경우, 또는 두 가지 중 어느 것이 허용되는지 결정할 수 없는 경우에 중간을 선택하며, 전체는 유한한 양과 같다.
라이프니츠는 이 급수가 합을 갖는다고 단언하지는 않았지만, 메르카토르의 방법에 따라 ⁠1/3⁠과 관련이 있다고 추론했다. 급수가 실제로 합으로서 더해지지 않고도 어떤 유한한 양과 같을 수 있다는 태도는 18세기에는 흔한 일이었지만, 현대 수학에서는 구별하지 않는다.
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 역사적 논증
크리스티안 볼프는 1712년 중반에 라이프니츠의 그란디 급수 처리법을 읽은 후, 그 해결책에 매우 만족하여 산술 평균 방법을 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯와 같은 더 많은 발산 급수로 확장하려고 했다. 간단히 말해, 이 급수의 부분합을 마지막 바로 전 항의 함수로 표현하면 ⁠4m + 1/3⁠ 또는 ⁠−4n + 1/3⁠을 얻는다. 이 값들의 평균은 ⁠2m − 2n + 1/3⁠이며, 무한대에서 m = n이라고 가정하면 급수의 값으로 ⁠1/3⁠을 얻는다. 라이프니츠의 직관은 그의 해결책이 이 정도까지 무리하게 확장되는 것을 막았고, 그는 볼프의 아이디어가 흥미롭지만 여러 이유로 유효하지 않다고 답장했다. 이웃하는 부분합의 산술 평균은 어떤 특정 값으로 수렴하지 않으며, 모든 유한한 경우에 n = m이 아니라 n = 2m이다. 일반적으로 합산 가능한 급수의 항은 0으로 감소해야 한다. 심지어 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯도 그러한 급수의 극한으로 표현될 수 있다. 라이프니츠는 볼프에게 "과학과 자신에게 합당한 것을 생산할 수 있도록" 다시 고려해 보라고 조언한다.
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 현대적 방법
정칙성, 선형성, 안정성 속성을 가진 모든 합계 방법은 등비급수를 합산한다.
이 경우 a = 1이고 r = −2이므로 합은 ⁠1/3⁠이다.
레온하르트 오일러는 1755년 그의 저서 《Institutiones》에서 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯의 오늘날 오일러 변환이라고 불리는 것을 효과적으로 취하여 수렴하는 급수 ⁠1/2⁠ − ⁠1/4⁠ + ⁠1/8⁠ − ⁠1/16⁠ + ⋯에 도달했다. 후자가 ⁠1/3⁠으로 합산되므로 오일러는 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⁠1/3⁠이라고 결론지었다. 그의 무한급수에 대한 아이디어는 현대적인 접근 방식과 정확히 일치하지 않는다. 오늘날에는 1 − 2 + 4 − 8 + ...가 오일러 합 가능하며 그 오일러 합은 ⁠1/3⁠이라고 말한다.
오일러 변환은 양의 항으로 이루어진 수열로 시작한다.
a0 = 1,
a1 = 2,
a2 = 4,
a3 = 8,...
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 현대적 방법
그 다음 전방 차분 수열은 다음과 같다.
Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1,
Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2,
Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4,
Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,...
이는 바로 같은 수열이다. 따라서 반복된 전방 차분 수열은 모두 모든 n에 대해 Δna0 = 1로 시작한다. 오일러 변환은 다음 급수이다.
이것은 통상적인 공식에 의해 합이 ⁠1/3⁠인 수렴하는 등비급수이다.
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯의 보렐 합도 ⁠1/3⁠이다. 에밀 보렐이 1896년에 보렐 합의 극한 공식을 도입했을 때, 이것은 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯에 이어 그의 첫 번째 예시 중 하나였다.
2-진수에서 와 관련된 부분합의 수열은
2의 보수를 사용하여 2진법으로 표현하면 다음과 같다.
이 수열의 극한은 2-진수에서 이다. 따라서 이다.
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
수학에서,
는 오일러가 처음 다룬 발산 급수로, 자연수의 계승에 교대 부호를 붙여 합한 것이다. 발산함에도 불구하고, 보렐 합을 통해 약 0.596347의 값을 할당할 수 있다.
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 오일러와 보렐 합
이 급수는 오일러가 처음 다루었으며, 그는 수렴성 판정법을 적용하여 급수에 유한한 값을 할당했다. 이 급수는 교대로 더하거나 빼는 계승의 합이다. 이 발산 급수에 값을 할당하는 한 가지 방법은 보렐 합을 사용하는 것인데, 이때 형식적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
합과 적분을 서로 교환하면 (양쪽 모두 수렴하지 않는다는 점을 무시하고), 다음을 얻는다.
대괄호 안의 합은 일 때 수렴하며, 그 값은 와 같다. 의 모든 양의 실수 에 대한 해석적 연속은 합을 위한 수렴 적분으로 이어진다.
여기서 E1(z)는 지수 적분 함수이다. 이것은 정의에 따라 급수의 보렐 합이며, 곰페르츠 상수와 같다.
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 미분 방정식과의 연관성
다음 연립 미분 방정식을 고려하자.
여기서 점은 t에 대한 미분을 나타낸다.
t → ∞일 때 (x,y) = (0,0)에서 안정적인 평형을 갖는 해는 y(t) = ⁠1/t⁠이며, 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 형식적인 급수 해를 얻는다.
x(1)은 정확히 오일러 급수이다.
다른 한편으로, 미분 방정식 시스템은 해를 갖는다.
연속적인 부분 적분을 통해, 형식적인 멱급수는 x(t)에 대한 이 표현의 점근 전개로 복구된다. 오일러는 (대략) 형식적인 급수와 적분이 모두 미분 방정식의 동일한 해를 나타내므로, 에서 서로 같아야 한다고 주장하며 다음을 제공한다.
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 더 읽어보기
Kozlov, V. V. (2007), “Euler and mathematical methods in mechanics” (PDF), 《Russian Mathematical Surveys》 62 (4): 639–661, Bibcode:2007RuMaS..62..639K, doi:10.1070/rm2007v062n04abeh004427, S2CID 250892576