hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
랑주뱅 방정식 원형으로서의 브라운 운동
랑주뱅 방정식의 원본은 유체 분자와의 충돌로 인해 유체 내 입자가 겉보기에는 무작위로 움직이는 현상인 브라운 운동을 설명한다.
여기서 는 입자의 속도, 는 감쇠 계수, 은 질량이다. 입자에 작용하는 힘은 입자 속도에 비례하는 점성력(스토크스의 법칙)과 유체 분자와의 충돌 효과를 나타내는 노이즈 항 의 합으로 나타낼 수 있다. 힘 은 상관 함수가 있는 가우스 확률 분포를 따른다.

여기서 는 볼츠만 상수, 는 온도이며 는 벡터 의 i번째 성분이다. 시간 상관의 -함수 형태는 시간 에서의 힘이 다른 시간에서의 힘과 상관 관계가 없음을 의미한다. 이는 근사치이다. 실제 무작위 힘은 분자의 충돌 시간에 해당하는 0이 아닌 상관 시간을 갖는다. 그러나 랑주뱅 방정식은 훨씬 긴 시간 규모에서 "거시적" 입자의 움직임을 설명하는 데 사용되며, 이 한계에서 -상관 및 랑주뱅 방정식은 사실상 정확하다.
랑주뱅 방정식의 또 다른 공통적인 특징은 무작위 힘의 상관 함수에 감쇠 계수 가 나타나는 것인데, 이는 평형 시스템에서 아인슈타인 관계의 표현이다.
랑주뱅 방정식 수학적 측면
엄밀히 -상관된 요동하는 힘 는 일반적인 수학적 의미에서 함수가 아니며, 이 한계에서는 미분 조차 정의되지 않는다. 이 문제는 랑주뱅 방정식이 적분 형태로 쓰여질 때 사라진다.
그러므로, 미분 형태는 시간 적분형의 약자에 불과하다. 이러한 유형의 방정식에 대한 일반적인 수학 용어는 "확률미분방정식"이다.
또 다른 수학적 모호성은 곱셈 노이즈를 포함하는 랑주뱅 방정식에서 발생한다. 이는 종속 변수의 비상수 함수로 곱해지는 노이즈 항, 예를 들어 를 나타낸다. 곱셈 노이즈가 시스템에 내재되어 있다면, 그 정의는 모호하다. 왜냐하면 스트라토노비치- 또는 이토 스킴에 따라 해석하는 것이 모두 유효하기 때문이다(이토 적분 참조). 그럼에도 불구하고, 물리적 관측량은 해석과 무관하다. 단, 후자가 방정식을 조작할 때 일관되게 적용된다는 전제하에 그렇다. 이는 해석 스킴에 따라 미적분의 기호 규칙이 다르기 때문에 필요하다. 노이즈가 시스템 외부적이라면, 적절한 해석은 스트라토노비치 해석이다.
랑주뱅 방정식 일반적인 랑주뱅 방정식
고전 역학에서 일반적인 랑주뱅 방정식에 대한 형식적인 유도가 있다. 이 일반적인 방정식은 임계 현상 이론 및 다른 비평형 통계역학 분야에서 중심적인 역할을 한다. 위에 언급된 브라운 운동 방정식은 특수한 경우이다.
유도에서 필수적인 단계는 자유도를 느린 범주와 빠른 범주로 나누는 것이다. 예를 들어, 액체에서 국부 열역학적 평형은 몇 번의 충돌 시간 내에 도달하지만, 질량 및 에너지와 같은 보존량의 밀도가 평형에 도달하는 데는 훨씬 더 오랜 시간이 걸린다. 따라서 보존량의 밀도, 특히 그 긴 파장 성분은 느린 변수 후보이다. 이러한 분할은 츠방칙 사영 연산자로 형식적으로 표현될 수 있다. 그럼에도 불구하고, 이 유도는 엄밀한 증명이 부족하고 대신 물리 시스템의 그럴듯한 근사치로만 정당화되는 가정에 의존하기 때문에 수리물리학적 관점에서는 완전히 엄밀하지는 않다.
랑주뱅 방정식 일반적인 랑주뱅 방정식
를 느린 변수라 하자. 일반 랑주뱅 방정식은 다음과 같다.
요동하는 힘 는 상관 함수를 가진 가우스 확률 분포를 따른다.
이것은 감쇠 계수 에 대한 온사거 역관계 를 의미한다. 에 대한 의 의존성 는 대부분의 경우 무시할 수 있다. 기호 는 시스템의 해밀턴을 나타내며, 여기서 는 변수 의 평형 확률 분포이다. 마지막으로, 는 느린 변수 와 의 푸아송 괄호를 느린 변수 공간으로 투영한 것이다.
브라운 운동의 경우 ,  또는 이고 이다. 에 대한 운동 방정식 은 정확하다. 즉, 요동하는 힘 와 감쇠 계수 가 없다.
랑주뱅 방정식 예시
위에서 논의한 전형적인 브라운 입자와 저항기에서 열적 요동에 의해 생성되는 전기 전압인 존슨 잡음 사이에는 밀접한 유사성이 있다. 오른쪽 다이어그램은 저항 R과 용량 C로 구성된 전기 회로를 보여준다. 느린 변수는 저항기 양단 전압 U이다. 해밀턴은 로 읽히고, 랑주뱅 방정식은 다음과 같다.
이 방정식을 사용하여 상관 함수를 결정할 수 있다.

여기서 용량 C가 무시할 수 있을 만큼 작아지면 백색 잡음(존슨 잡음)이 된다.
2차 질서 매개변수 의 동역학은 임계점 근처에서 느려지고 랑주뱅 방정식으로 설명될 수 있다. 가장 간단한 경우는 비보존 스칼라 질서 매개변수를 갖는 "모델 A" 보편성 부류로, 예를 들어 축방향 강자성체에서 실현된다.

다른 보편성 클래스(명칭은 "모델 A",..., "모델 J"이다)는 확산하는 질서 매개변수, 여러 성분을 가진 질서 매개변수, 다른 임계 변수 및 푸아송 괄호로부터의 기여를 포함한다.
랑주뱅 방정식 예시
유체 속의 입자는 퍼텐셜 에너지 함수, 감쇠력, 그리고 변동-소산 정리에 의해 주어지는 열적 요동을 포함하는 랑주뱅 방정식으로 설명된다. 퍼텐셜이 이차이면 등에너지 곡선은 그림과 같이 타원이다. 만약 소산이 있지만 열 잡음이 없다면, 입자는 환경에 에너지를 지속적으로 잃고, 시간 의존적인 위상 그림(속도 대 위치)은 0 속도에 대한 안쪽 나선을 따른다. 대조적으로, 열적 요동은 입자에 지속적으로 에너지를 추가하여 정확히 0 속도에 도달하는 것을 방지한다. 오히려 확률적 진동자의 초기 앙상블은 속도와 위치가 맥스웰-볼츠만 분포에 따라 분포되는 정상 상태에 접근한다. 아래 그림(그림 2)에서 조화 퍼텐셜()에서의 오랜 시간 속도 분포(파란색)와 위치 분포(주황색)가 볼츠만 확률(속도-녹색, 위치-빨간색)과 함께 그려져 있다. 특히, 나중 시간 행동은 열 평형을 나타낸다.
랑주뱅 방정식 예시
다음과 같이 운동 방정식이 기술되는 질량 인 자유 입자를 고려하자.

여기서 는 입자 속도, 는 입자 이동도, 는 입자 충돌의 특성 시간 규모  이상에서 시간 평균이 사라지는 빠르게 요동하는 힘, 즉 이다. 운동 방정식의 일반 해는 다음과 같다.

여기서 는 노이즈 항의 상관 시간이다. 또한 입자 속도 의 자기상관 함수는 다음과 같이 주어진다는 것을 보일 수 있다.

여기서 우리는 와  변수가 시간 간격 에 대해 비상관화되는 특성을 사용했다. 또한, 의 값은 에너지 등분배법칙을 따르도록 과 같도록 설정된다. 만약 시스템이 이미 으로 열 평형 상태에 있다면, 은 모든 에 대해 성립하며, 이는 시스템이 항상 평형 상태를 유지함을 의미한다.
브라운 입자의 속도 는 적분하여 그 궤적 를 얻을 수 있다. 만약 입자가 초기에는 원점에 확률 1로 위치해 있다면, 결과는 다음과 같다.
따라서, 평균 변위 는 시스템이 이완될 때 에 점근적으로 접근한다. 평균 제곱 변위는 비슷하게 결정될 수 있다.
랑주뱅 방정식 예시
이 표현은 를 의미하는데, 이는 이완 시간 보다 훨씬 짧은 시간 척도에서 브라운 입자의 운동이 (대략적으로) 시간 역전 불변이라는 것을 나타낸다. 반면에 는 비가역적, 소산적 과정을 나타낸다.
외부 포텐셜이 보존적이고 노이즈 항이 열 평형 상태의 저장소에서 파생된 경우, 랑주뱅 방정식의 장시간 해는 열 평형 상태의 입자에 대한 확률 분포 함수인 볼츠만 분포로 귀결되어야 한다. 과다 감쇠 동역학의 특수한 경우, 입자의 관성은 감쇠력에 비해 무시할 수 있으며, 궤적 는 과다 감쇠 랑주뱅 방정식으로 설명된다.

여기서 는 감쇠 상수이다.  항은 백색 잡음으로, (형식적으로는 위너 확률 과정)로 특징지어진다. 이 방정식을 푸는 한 가지 방법은 테스트 함수 를 도입하고 그 평균을 계산하는 것이다. 의 평균은 유한한 에 대해 시간에 독립적이어야 하므로 다음과 같은 결과가 나온다.
이토 드리프트-확산 과정 에 대한 이토의 보조정리는 두 번 미분 가능한 함수 f(t, x)의 미분이 다음과 같이 주어진다고 말한다.
계산에 이를 적용하면 다음과 같다.
이 평균은 확률 밀도 함수 를 사용하여 쓸 수 있다.

여기서 두 번째 항은 부분 적분되었다(따라서 음수 부호). 이것은 임의의 함수 에 대해 참이므로, 다음이 성립한다.

따라서 볼츠만 분포가 복구된다.
랑주뱅 방정식 등가 기법
일부 상황에서는 특정 잡음 실현에 대한 해가 아닌 랑주뱅 방정식의 잡음 평균 행동에 주로 관심이 있다. 이 섹션에서는 랑주뱅 방정식에 내재된 확률 미적분과 다르지만 동등한 평균 행동을 얻는 기법을 설명한다.
포커르-플랑크 방정식은 확률 변수 의 시간에 따른 확률 밀도 에 대한 결정론적 방정식이다. 이 문서에 설명된 일반 랑주뱅 방정식에 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.

평형 분포 는 정상 상태 해이다.
과감쇠 브라운 입자에 대한 포커르-플랑크 방정식은 클라인-크라머르스 방정식이라고 불린다. 랑주뱅 방정식이 다음과 같이 쓰여진다면

여기서 는 운동량이다. 그러면 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.

여기서 와 는 각각 r과 p에 대한 경사 연산자이고, 는 p에 대한 라플라시안이다.
차원 자유 공간에서 의 에 해당하며, 이 방정식은 푸리에 변환을 사용하여 풀 수 있다. 입자가 에 위치 와 운동량 로 초기화되었다면, 즉 초기 조건 에 해당한다면, 해는 다음과 같다.

여기서

세 공간 차원에서는 평균 제곱 변위가 다음과 같다.
랑주뱅 방정식 등가 기법
랑주뱅 방정식에 해당하는 경로 적분은 해당하는 포커르-플랑크 방정식에서 얻거나, 요동하는 힘 의 가우스 확률 분포 를 느린 변수의 확률 분포로 변환하여 얻을 수 있다. 도식적으로는 이다.
랑주뱅 방정식이 자연적인(인과적인) 방식으로 이산화될 때 함수 판별식 및 관련 수학적 미묘함은 사라진다. 즉, 는 에 의존하지만 에는 의존하지 않는다. 보조 응답 변수 를 도입하는 것이 편리하다는 것이 밝혀졌다. 일반적인 랑주뱅 방정식에 해당하는 경로 적분은 다음과 같다.

여기서 은 정규화 계수이고

경로 적분 공식화는 양자장론과 같은 도구, 즉 섭동 및 재규격화군 방법의 사용을 허용한다. 이 공식화는 일반적으로 개발자의 이름을 따서 마틴-시지아-로즈 형식주의 또는 얀센-드 도미니시스 형식주의라고 불린다. 이 표현에 대한 수학적 형식주의는 위너 공간에서 개발될 수 있다.
랑주뱅 방정식 더 읽어보기
W. T. Coffey (더블린 트리니티 칼리지, 아일랜드)와 Yu P. Kalmykov (페르피냥 대학교, 프랑스), The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Third edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics – Vol 27.
L.C.G. Rogers and D. Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, reprint of 2nd (1994) edition, 2000.
중성자 수송
중성자 수송(영어: Neutron transport, 중성자학으로도 알려짐)은 중성자의 운동과 물질과의 상호작용을 연구하는 학문이다. 핵 과학자와 핵공학자는 종종 중성자가 장치 내에서 어디에 있는지, 어느 방향으로 이동하는지, 얼마나 빠르게 움직이는지를 알아야 한다. 이는 일반적으로 원자로 노심과 실험 또는 산업용 중성자 입자 빔의 거동을 결정하는 데 사용된다. 중성자 수송은 복사전달의 일종이다.
중성자 수송 배경
중성자 수송은 1800년대 기체 운동론을 연구하는 데 사용되었던 볼츠만 운송 방정식에 뿌리를 두고 있다. 1940년대 연쇄 반응 원자로가 발명되기 전까지는 대규모 개발이 이루어지지 않았다. 중성자 분포에 대한 면밀한 조사가 이루어지면서 간단한 기하학적 구조에서 우아한 근사치와 해석적 해법이 발견되었다. 그러나 컴퓨팅 성능이 증가함에 따라 중성자 수송에 대한 수치적 접근 방식이 보편화되었다. 오늘날 대규모 병렬 컴퓨터를 사용하여 중성자 수송은 전 세계 학계 및 연구 기관에서 여전히 매우 활발하게 개발되고 있다. 시간과 공간의 3차원에 따라 달라지고 에너지 변수가 여러 자릿수(meV의 일부에서 여러 MeV까지)에 걸쳐 있기 때문에 여전히 계산적으로 어려운 문제로 남아 있다. 현대적인 해법은 이산좌표법 또는 몬테카를로 방법을 사용하거나 둘의 하이브리드를 사용한다.
중성자 수송 중성자 수송 방정식
중성자 수송 방정식은 중성자를 보존하는 균형 방정식이다. 각 항은 중성자의 이득 또는 손실을 나타내며, 균형은 본질적으로 중성자 이득이 중성자 손실과 같다고 주장했다. 다음은 그 공식이다.
여기서:
수송 방정식은 위상 공간(시간 t, 에너지 E, 위치  이동 방향 )의 주어진 부분에 적용될 수 있다. 첫 번째 항은 시스템 내 중성자의 시간 변화율을 나타낸다. 두 번째 항은 관심 공간 부피로 또는 부피 밖으로 중성자의 이동을 나타낸다. 세 번째 항은 해당 위상 공간에서 충돌하는 모든 중성자를 설명한다. 우변의 첫 번째 항은 핵분열로 인한 이 위상 공간에서의 중성자 생산이며, 우변의 두 번째 항은 지발 중성자 전구체(즉, 중성자 붕괴를 겪는 불안정한 핵)로 인한 이 위상 공간에서의 중성자 생산이다. 우변의 세 번째 항은 내부 산란이며, 이는 다른 곳에서의 산란 상호작용의 결과로 이 위상 공간 영역으로 들어가는 중성자이다. 우변의 네 번째 항은 일반적인 소스이다. 이 방정식은 일반적으로 를 찾기 위해 해결되는데, 이는 차폐 및 선량 측정 연구에서 주요 관심사인 반응 속도를 계산할 수 있기 때문이다.
중성자 수송 중성자 수송 계산 유형
해결되는 문제 유형에 따라 여러 가지 기본 중성자 수송 문제가 존재한다.
고정 소스 계산은 매질에 알려진 중성자 소스를 부과하고 문제 전반에 걸쳐 결과 중성자 분포를 결정하는 것을 포함한다. 이 유형의 문제는 차폐 계산에 특히 유용하며, 설계자는 최소한의 차폐 재료를 사용하여 차폐 외부의 중성자 선량을 최소화하려고 한다. 예를 들어, 사용후 핵연료 용기는 운반하는 트럭 운전자를 안전하게 보호하기 위해 필요한 콘크리트 및 강철의 양을 결정하기 위한 차폐 계산이 필요하다.
핵분열은 핵이 (일반적으로 두 개의) 더 작은 원자로 분리되는 과정이다. 핵분열이 발생하면 시스템의 점근적 거동을 아는 것이 종종 관심사이다. 원자로가 자체적으로 지속되고 시간에 독립적인 연쇄 반응을 일으키면 "임계"라고 불린다. 시스템이 평형 상태가 아니면 점근적 중성자 분포 또는 기본 모드가 시간이 지남에 따라 기하급수적으로 증가하거나 감소한다.
중성자 수송 중성자 수송 계산 유형
임계 계산은 임계 원자로와 같이 정상 상태 증식 매질(증식 매질은 핵분열을 겪을 수 있음)을 분석하는 데 사용된다. 손실 항(흡수, 외부 산란, 누설)과 소스 항(내부 산란 및 핵분열)은 중성자속에 비례하며, 소스가 중성자속과 독립적인 고정 소스 문제와 대조된다. 이러한 계산에서 시간 불변의 가정은 중성자 생성이 중성자 손실과 정확히 같아야 함을 요구한다.
이러한 임계는 기하학적 구조의 매우 미세한 조작(일반적으로 원자로의 제어봉을 통해)으로만 달성될 수 있으므로, 모델링된 기하학적 구조가 진정으로 임계일 가능성은 낮다. 모델 설정 방식에 유연성을 허용하기 위해 이러한 문제는 하나의 매개변수가 임계에 도달할 때까지 인위적으로 수정되는 고유값 문제로 공식화된다. 가장 일반적인 공식은 시간 흡수 및 증식 고유값으로, 알파 및 k 고유값이라고도 한다. 알파 및 k는 조정 가능한 양이다.
K-고유값 문제는 원자로 분석에서 가장 일반적이다. 핵분열당 생성되는 중성자 수는 지배적인 고유값에 의해 곱셈적으로 수정된다. 이 고유값의 결과 값은 증식 매질에서 중성자 밀도의 시간 의존성을 반영한다.
원자로의 경우, 중성자속과 출력 밀도는 비례하므로 원자로 시동 시 keff > 1이고, 원자로 작동 시 keff = 1이며, 원자로 정지 시 keff < 1이다.
중성자 수송 계산 방법
고정 소스 및 임계 계산은 모두 결정론적 방법 또는 확률적 방법을 사용하여 해결할 수 있다. 결정론적 방법에서는 수송 방정식(또는 확산 이론과 같은 그 근사치)이 미분 방정식으로 해결된다. 몬테카를로 방법과 같은 확률적 방법에서는 개별 입자 이력이 추적되고 측정된 상호작용 확률에 의해 지시되는 무작위 보행에서 평균화된다. 결정론적 방법은 일반적으로 다중 그룹 접근 방식을 포함하는 반면, 몬테카를로는 다중 그룹 및 연속 에너지 단면적 라이브러리와 함께 작동할 수 있다. 다중 그룹 계산은 그룹 상수가 중성자 수송 계산의 결과로 결정되는 중성자속-에너지 프로파일을 사용하여 계산되기 때문에 일반적으로 반복적이다.
컴퓨터에서 대수 방정식을 사용하여 수송 방정식을 수치적으로 해결하려면 공간, 각도, 에너지 및 시간 변수를 이산화해야 한다.
위너-호프 방법
위너-호프 방법(영어: Wiener–Hopf method)은 응용수학에서 널리 사용되는 수학적 기법이다. 이 방법은 원래 노버트 위너와 에버하르트 호프에 의해 적분 방정식 시스템을 푸는 방법으로 개발되었지만, 동일한 경계에서 혼합된 경계 조건을 가진 2차원 편미분 방정식을 푸는 데 더 널리 사용되고 있다. 일반적으로 이 방법은 변환된 함수의 복소해석학적 속성을 활용하여 작동한다. 일반적으로 표준 푸리에 변환이 사용되지만, 멜린 변환과 같은 다른 변환을 사용하는 예도 있다.
위너-호프 방법
일반적으로 지배 방정식과 경계 조건이 변환되고, 이 변환들은 한 쌍의 복소 함수(일반적으로 '+' 및 '−' 첨자로 표시됨)를 정의하는 데 사용된다. 이 함수들은 각각 복소평면의 위쪽 및 아래쪽 절반에서 해석 함수이며, 이 영역에서 다항식보다 빠르게 성장하지 않는다. 이 두 함수는 또한 복소평면의 일부 영역, 일반적으로 실직선을 포함하는 얇은 띠에서 일치할 것이다. 해석적 연속은 이 두 함수가 전체 복소평면에서 하나의 함수 해석을 정의함을 보장하며, 리우빌 정리는 이 함수가 알려지지 않은 다항식임을 의미하며, 이는 종종 0이거나 상수이다. 경계의 가장자리와 모서리에서의 조건 분석을 통해 이 다항식의 차수를 결정할 수 있다.
위너-호프 방법 위너-호프 분해
위너-호프 방법에서 나타나는 기본 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.
여기서 , , 는 알려진 정칙 함수이고, 함수 , 는 미지수이며, 이 방정식은 복소평면  평면의 띠 에서 성립한다. , 를 찾는 것을 위너-호프 문제라고 한다.
많은 위너-호프 문제에서 핵심 단계는 임의의 함수 를 위에서 설명한 원하는 속성을 가진 두 함수 로 분해하는 것이다. 일반적으로 이는 다음과 같이 작성하여 수행할 수 있다.
그리고
여기서 과  윤곽선은 실선에 평행하지만, 각각 점  위와 아래를 통과한다.
유사하게, 임의의 스칼라 함수는 먼저 로그를 취한 다음 합 분해를 수행하여 +/− 함수의 곱, 즉 로 분해될 수 있다. 행렬 함수의 곱 분해(탄성파와 같은 결합된 다중 모드 시스템에서 발생)는 로그가 잘 정의되지 않고 어떤 분해도 비가환적일 것으로 예상될 수 있으므로 훨씬 더 문제가 된다. 교환 가능한 분해의 작은 하위 클래스는 크랍코프에 의해 얻어졌으며, 다양한 근사 방법도 개발되었다.
위너-호프 방법 예시
다음 선형 편미분 방정식을 고려하자.
여기서 는 x와 y에 대한 미분을 포함하는 선형 연산자이며, 주어진 함수 g(x)에 대해 y = 0에서의 혼합 조건이 적용된다.
그리고 무한대에서 감소한다. 즉, 일 때 f → 0이다.
x에 대한 푸리에 변환을 수행하면 다음 상미분 방정식이 된다.
여기서 는 y 미분만을 포함하는 선형 연산자이고, P(k,y)는 y와 k의 알려진 함수이며,
무한대에서 필요한 감쇠를 만족하는 이 상미분 방정식의 특정 해가  F(k,y)로 표시된다면, 일반 해는 다음과 같이 작성될 수 있다.
여기서 C(k)는 y=0에서의 경계 조건에 의해 결정될 미지 함수이다.
핵심 아이디어는 를 각각 복소평면의 하반부와 상반부에서 해석적인 두 개의 분리된 함수 와 로 분리하는 것이다.
경계 조건은 다음과 같이 주어진다.
그리고 에 대해 미분하면,
위너-호프 방법 예시
를 소거하면 다음이 나온다.
여기서
이제 는 각각 상반부와 하반부 평면에서 해석적인 함수 와 의 곱으로 분해될 수 있다.
정확히 말하면,  여기서
(이는 때때로 일 때 가 로 수렴하도록 를 스케일링하는 것을 포함한다.) 또한 를 각각 하반부와 상반부 평면에서 해석적인 두 함수 와 의 합으로 분해한다. 즉,
이것은 를 인수분해하는 것과 같은 방식으로 수행할 수 있다.
결과적으로,
이제 위 방정식의 좌변은 하반부 평면에서 해석적이고, 우변은 상반부 평면에서 해석적이므로, 해석적 연속은 각각의 반평면에서 좌변 또는 우변과 일치하는 전체 함수의 존재를 보장한다. 더 나아가, 위 방정식의 양변의 함수가 큰 k에서 감소하는 것으로 나타날 수 있으므로, 리우빌 정리를 적용하면 이 전체 함수가 항등적으로 0임을 알 수 있다. 따라서
그리고
안토니우스 펠릭스
안토니우스 펠릭스(Antonius Felix, 고대 그리스어: ὁ Φῆλιξ, 서기 10년경 ~ ?) 혹은 벨릭스(개역개정판)는 52년부터 60년까지 유대아 속주의 네 번째 프로쿠라토르로, 벤티디우스 쿠마누스의 후임이었다. 그는 신약성경의 사도행전 23장과 24장에 나오는데, 여기서 사도 바울로가 재판을 받기 위해 그에게로 끌려온다. 본명은 티베리우스 클라우디우스 안토니우스 펠릭스로 추정된다.
안토니우스 펠릭스 생애
펠릭스는 황제 클라우디우스 통치 기간 동안 재무부 장관을 지낸 그리스 해방 노예 마르쿠스 안토니우스 팔라스의 남동생이었다. 타키투스에 따르면, 팔라스와 펠릭스는 아르카디아의 그리스 왕가 후손이었다.
안토니우스 펠릭스 유대아 총독
펠릭스는 형의 청원으로 총독이 되었다. 펠릭스의 잔인함과 뇌물 수수에 대한 그의 쉬운 접근(참조 사도행전 24:26)은 유대아에서 범죄를 크게 증가시켰다. 그의 통치 기간은 내부 불화와 소요로 특징 지어졌으며, 그는 이를 가혹하게 진압했다.
58년에 펠릭스는 대제사장 요나단이 취임한 직후 그를 암살하기 위해 암살자를 고용했다. 요나단은 종종 펠릭스의 유대인 통치를 비판했으며, 펠릭스가 잘하지 못하면 카이사르에게 보고하겠다고 위협했다. 펠릭스는 요나단의 가장 신뢰하는 친구이자 예루살렘 시민인 도라스에게 거액을 주겠다고 약속하며 요나단을 죽일 강도들을 고용하도록 설득했다. 도라스는 몇몇 고용된 남자들이 옷 속에 단검을 숨긴 채 예루살렘 성전에서 예배자들과 섞이도록 주선했다. 이 암살자들은 유대인 축제 기간 동안 요나단을 살해했고 결코 잡히지 않았다.
안토니우스 펠릭스 유대아 총독
사도 바울로는 예루살렘에서 체포되어 생명을 노린 음모에서 구출되었고, 클라우디우스 리시아스는 그를 카에사레아 마리티마로 옮겼으며, 그곳에서 펠릭스 앞에서 재판을 받았다. 펠릭스와 그의 아내 드루실라는 바울의 강론을 듣고 그와 대화하기 위해 그를 불렀다. 그러나 펠릭스의 실제 욕구는 바울로부터 뇌물을 받는 것이었지만, 바울은 이를 거부했다 (Acts 24:24–26). 펠릭스는 바울을 2년 동안 감금한 후 총독 자리에서 물러났지만, 유대인들에게 호의를 베풀기 위해 그를 계속 감옥에 가두었다 (사도행전 24:27).
로마로 돌아온 펠릭스는 카에사레아의 유대인과 시리아인 간의 분쟁을 구실 삼아 주민들을 학살하고 약탈했다는 비난을 받았지만, 황제 네로에게 큰 영향력을 행사하던 그의 형 팔라스의 중재로 처벌을 면했다.
포르키우스 페스투스가 그의 뒤를 이어 유대아의 총독이 되었다.
안토니우스 펠릭스 결혼과 가족
펠릭스는 세 번 결혼했다. 첫 번째 아내는 마우레타니아의 드루실라 (프톨레마이오스의 딸)로, 아마도 마우레타니아의 프톨레마이오스와 율리아 우라니아의 딸이었을 것이다. 펠릭스의 두 번째 아내는 헤로데 아그리파 1세와 키프로스의 딸인 유대인 드루실라였다. 유대아의 드루실라는 펠릭스와 결혼하기 위해 엠마사의 왕 가이우스 율리우스 아지주스와 이혼했다. 이 부부는 서기 79년 8월 24일 베수비오산의 분출로 폼페이와 헤르쿨라네움 주민들과 함께 사망한 아들 마르쿠스 안토니우스 아그리파를 두었다. 이집트의 왕실 무덤에서 발견된 낙서에서 이름이 발견된 안토니아 아그리피나(Antonia Agrippina)는 아그리파의 손녀였을 수도 있다. 그의 세 번째 아내의 이름은 기록되어 있지 않다. 루키우스 안네이우스 도미티우스 프로쿨루스(Lucius Anneius Domitius Proculus)라는 남자는 한 비문에서 펠릭스의 증손자로 묘사되어 있으며, 그의 할머니는 안토니아 클레멘티아나(Antonia Clementiana)로 명명되어 있는데, 이는 아마도 펠릭스의 딸일 것이다. 또 다른 비문에는 티베리우스 클라우디우스(성씨 불명)라는 인물이 티투스 무키우스 클레멘스와 어떤 식으로든 연관되어 있었다고 명시되어 있다.
안토니우스 펠릭스 결혼과 가족
마르쿠스 안토니우스 프론토 살비아누스(재무관)와 그의 아들 마르쿠스 안토니우스 펠릭스 마그누스(225년 대제사장)도 후손일 가능성이 있다.
자유 입자
물리학에서 자유 입자(영어: Free particle)는 어떤 의미에서 외부 힘에 묶여 있지 않거나, 동등하게 위치 에너지가 변하는 영역에 있지 않은 입자이다. 고전물리학에서는 이는 입자가 "장(field)이 없는" 공간에 존재함을 의미한다. 양자역학에서는 이는 입자가 균일한 전위 영역에 있음을 의미하며, 이 전위는 관심 영역에서 일반적으로 0으로 설정된다. 이는 전위를 공간의 어떤 지점에서든 임의로 0으로 설정할 수 있기 때문이다.
자유 입자 고전 자유 입자
고전 자유 입자는 고정된 속도 v로 특징지어진다. 질량 m인 입자의 운동량은 로 주어지며, 운동 에너지(총 에너지와 같음)는 이다.
자유 입자 양자 자유 입자
비상대론적 양자역학에서 질량 을 가진 자유 입자는 자유 슈뢰딩거 방정식으로 기술된다:
여기서 ψ는 위치 r 및 시간 t에서의 입자의 파동함수이다. 운동량 p 또는 파수 벡터 k, 각진동수 ω 또는 에너지 E를 가진 입자의 해는 복소수 평면파로 주어진다:
진폭 A를 가지며 질량에 따라 두 가지 다른 규칙을 따른다:
고유값 스펙트럼은 무한히 퇴화되어 있는데, 각 고유값 E>0에 대해 의 다른 방향에 해당하는 무한한 수의 고유함수가 존재하기 때문이다.
드 브로이 관계식: , 가 적용된다. 위치 에너지는 (0으로) 설정되어 있으므로, 총 에너지 E는 운동 에너지와 같으며, 이는 고전 물리학과 동일한 형태를 갖는다:
자유 입자든 구속된 입자든 모든 양자 입자에 대해 하이젠베르크 불확정성 원리 가 적용된다. 평면파가 확정된 운동량(확정된 에너지)을 가지므로, 입자의 위치를 찾을 확률은 공간 전체에 걸쳐 균일하고 무시할 만하다는 것이 분명하다. 다시 말해, 파동 함수는 유클리드 공간에서 정규화할 수 없으며, 이러한 정상 상태는 물리적으로 실현 가능한 상태에 해당할 수 없다.
자유 입자 양자 자유 입자
파동 함수의 정규화 조건은 파동 함수가 양자 상태 공간에 속한다면

그렇다면 확률 밀도 함수의 적분은
여기서 *는 켤레 복소수를 나타내며, 전체 공간에 대한 적분은 입자를 전체 공간에서 찾을 확률이며, 입자가 존재한다면 1이 되어야 한다:

평면파 해로 주어지는 자유 입자의 상태는 정규화할 수 없다.

고정된 시간 에 대해. 그러나 확률파동을 사용하면 상태를 정규화할 수 있는 함수로 표현할 수 있다.
푸리에 역변환 정리를 사용하여 자유 입자 파동 함수는 운동량 고유 함수의 중첩, 즉 확률파동으로 표현될 수 있다:

여기서

그리고 는 "충분히 좋은" 초기 파동 함수 의 푸리에 변환이다.
복소 평면파에 대한 운동량 p의 기댓값은
그리고 일반적인 확률파동에 대한 기댓값은
에너지 E의 기댓값은
위상속도는 평면파 해가 전파되는 속도로 정의된다.
는 운동량 를 가진 고전 입자의 속도가 아니라, 고전 속도의 절반이다.
자유 입자 양자 자유 입자
한편, 초기 파동 함수 가 푸리에 변환 이 특정 파수 벡터  근처에 집중된 확률파동이라고 가정해 보자. 그러면 평면파의 군속도는 다음과 같이 정의된다.
이는 입자의 고전적 속도 공식과 일치한다. 군속도는 전체 확률파동이 전파되는 (근사적인) 속도인 반면, 위상속도는 확률파동 내 개별 봉우리가 움직이는 속도이다. 그림은 이 현상을 설명하며, 확률파동 내의 개별 봉우리가 전체 확률파동 속도의 절반으로 전파되는 것을 보여준다.
군속도의 개념은 특정  값 근처에서 분산 관계 에 대한 선형 근사를 기반으로 한다. 이 근사에서 확률파동의 진폭은 모양을 바꾸지 않고 군속도와 같은 속도로 움직인다. 이 결과는 자유 양자 입자의 진화에서 특정 흥미로운 측면을 포착하지 못하는 근사치이다. 특히, 위치의 불확정성에 의해 측정되는 확률파동의 폭은 오랜 시간 동안 시간에 선형적으로 증가한다. 이 현상을 자유 입자에 대한 확률파동의 퍼짐이라고 한다.
자유 입자 양자 자유 입자
특히, 시간의 함수로서 불확정성 에 대한 정확한 공식을 계산하는 것은 어렵지 않다. 여기서 는 위치 연산자이다. 단순화를 위해 1차원 공간에서 작업하면 다음과 같다.

여기서 는 시간 0의 파동 함수이다. 우변의 두 번째 항 괄호 안의 표현은 와 의 양자 공분산이다.
따라서 양의 큰 시간 동안 의 불확정성은 선형적으로 증가하며, 의 계수는 과 같다. 초기 파동 함수 의 운동량이 고도로 국소화되어 있다면, 확률파동은 천천히 퍼지고 군속도 근사는 오랜 시간 동안 잘 유지될 것이다. 직관적으로 이 결과는 초기 파동 함수가 매우 명확하게 정의된 운동량을 가지고 있다면, 입자는 명확하게 정의된 속도를 가지며 오랜 시간 동안 이 속도로 (좋은 근사치로) 전파될 것이라는 것을 의미한다.
자유 입자 상대론적 양자 자유 입자
상대론적 입자를 기술하는 여러 방정식이 있다: 상대론적 파동 방정식을 참조하라.
자유 입자 각주
Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin (2015). 〈Mathematical Methods in Physics〉. 《Progress in Mathematical Physics》. Cham: Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-14045-2. ISBN 978-3-319-14044-5. ISSN 1544-9998.
델타 퍼텐셜
양자역학에서 델타 퍼텐셜(영어: Delta potential)은 디랙 델타 함수로 수학적으로 기술되는 퍼텐셜 우물이다. 디랙 델타 함수는 일반화 함수이다. 질적으로, 이는 한 지점을 제외한 모든 곳에서 0이고, 그 한 지점에서 무한한 값을 가지는 퍼텐셜에 해당한다. 이것은 입자가 두 공간 영역 사이의 장벽을 두고 자유롭게 움직이는 상황을 시뮬레이션하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 전자는 전도성 물질 내에서 거의 자유롭게 움직일 수 있지만, 두 전도성 표면이 가까이 놓이면 그들 사이의 경계면은 델타 퍼텐셜로 근사할 수 있는 전자 장벽 역할을 한다.
델타 퍼텐셜 우물은 유한 퍼텐셜 우물의 극한 사례이며, 이는 우물의 너비와 퍼텐셜의 곱을 일정하게 유지하면서 우물의 너비를 줄이고 퍼텐셜을 증가시킬 때 얻어진다.
이 문서는 단순화를 위해 1차원 퍼텐셜 우물만 다루지만, 분석은 더 많은 차원으로 확장될 수 있다.
델타 퍼텐셜 단일 델타 퍼텐셜
1차원에서 퍼텐셜 V(x)에 있는 입자의 파동 함수 ψ(x)에 대한 시간 독립 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

여기서 ħ는 축소된 플랑크 상수이고, E는 입자의 에너지이다.
델타 퍼텐셜은 다음과 같은 퍼텐셜이다.

여기서 δ(x)는 디랙 델타 함수이다.
λ가 음수이면 델타 퍼텐셜 우물이라고 불리고, λ가 양수이면 델타 퍼텐셜 장벽이라고 불린다. 단순화를 위해 델타는 원점에서 발생하는 것으로 정의되었다. 델타 함수의 인수를 이동해도 다음 결과는 변경되지 않는다.
출처:
퍼텐셜은 공간을 두 부분(x < 0과 x > 0)으로 나눈다. 이 각 부분에서 퍼텐셜은 0이며, 슈뢰딩거 방정식은 다음으로 줄어든다.

이는 상수 계수를 가진 선형 미분 방정식이며, 해는 eikx와 e−ikx의 선형 결합이다. 여기서 파수 k는 에너지와 다음과 같은 관계를 가진다.
일반적으로 원점에 델타 퍼텐셜이 존재하기 때문에 해의 계수가 두 반공간에서 같을 필요는 없다.

여기서 양의 에너지(실수 k)의 경우, eikx는 오른쪽으로 진행하는 파동을 나타내고, e−ikx는 왼쪽으로 진행하는 파동을 나타낸다.
델타 퍼텐셜 단일 델타 퍼텐셜
파동 함수가 원점에서 연속적임을 부과함으로써 계수들 간의 관계를 얻는다.
두 번째 관계는 파동 함수의 미분을 연구함으로써 찾을 수 있다. 일반적으로 원점에서 미분 가능성을 부과할 수도 있지만, 델타 퍼텐셜 때문에 불가능하다. 그러나 슈뢰딩거 방정식을 x = 0 근처의 구간 에서 적분하면 다음과 같다.
극한에서 이 방정식의 우변은 사라지고, 좌변은 다음과 같이 된다.

왜냐하면

이 표현에 ψ의 정의를 대입하면 다음과 같다.
따라서 경계 조건은 계수에 다음 제한을 준다.
어떤 1차원 인력 퍼텐셜에서도 묶인 상태가 존재한다. 그 에너지를 찾기 위해, E < 0일 때, k = i√2m|E|/ħ = iκ가 허수이며, 위 계산에서 양의 에너지에 대해 진동하던 파동 함수는 이제 x에 대한 지수적으로 증가하거나 감소하는 함수임을 주목한다. 무한대에서 파동 함수가 발산하지 않도록 요구하면 항의 절반이 제거된다. Ar = Bl = 0. 그러면 파동 함수는 다음과 같다.
경계 조건과 정규화 조건으로부터 다음이 성립한다.

여기서 λ는 음수여야 한다. 즉, 묶인 상태는 우물에 대해서만 존재하고 장벽에 대해서는 존재하지 않는다. 이 파동 함수의 푸리에 변환은 로렌츠 함수이다.
델타 퍼텐셜 단일 델타 퍼텐셜
묶인 상태의 에너지는 다음과 같다.
양의 에너지에서, 입자는 반공간(x < 0 또는 x > 0) 어느 쪽이든 자유롭게 움직일 수 있다. 델타 함수 퍼텐셜에서 산란될 수 있다.
양자적 상황은 다음과 같이 연구될 수 있다. 입자가 왼쪽((Ar))에서 장벽에 입사한다. 입자는 반사((Al))되거나 투과((Br))될 수 있다.
왼쪽으로부터의 입사에 대한 반사 및 투과 진폭을 찾기 위해, 위 방정식에 Ar = 1 (입사 입자), Al = r (반사), Bl = 0 (오른쪽에서 입사하는 입자 없음), Br = t (투과)를 대입하고, t에 대한 방정식이 없더라도 r과 t에 대해 푼다.
결과는 다음과 같다.
모델의 거울 대칭성 때문에 오른쪽으로부터의 입사에 대한 진폭은 왼쪽으로부터의 입사에 대한 진폭과 동일하다. 결과는 입자가 반사될 비영 확률이 존재한다는 것이다.

이는 λ의 부호에 의존하지 않는다. 즉, 장벽은 우물과 동일한 확률로 입자를 반사시킨다. 이것은 고전역학과는 상당한 차이이다. 고전역학에서는 장벽에 대한 반사 확률은 1이고(입자는 단순히 튕겨 나간다), 우물에 대한 반사 확률은 0이다(입자는 우물을 방해받지 않고 통과한다).
델타 퍼텐셜 단일 델타 퍼텐셜
투과 확률은 다음과 같다.
위에서 제시된 계산은 처음에는 비현실적이고 거의 쓸모없어 보일 수 있다. 그러나 이는 다양한 실제 시스템에 적합한 모델임이 입증되었다.
그러한 한 가지 예는 두 전도성 물질 사이의 경계면에 관한 것이다. 물질의 내부에서 전자의 움직임은 준자유이며, 위 해밀토니언의 운동 에너지 항에서 유효 질량 m으로 기술될 수 있다. 종종 이러한 물질의 표면은 산화층으로 덮여 있거나 다른 이유로 이상적이지 않다. 이 얇고 비전도성 층은 위와 같이 국부적인 델타 함수 퍼텐셜로 모델링될 수 있다. 그러면 전자는 한 물질에서 다른 물질로 터널링하여 전류를 발생시킬 수 있다.
주사 터널링 현미경 (STM)의 작동은 이 터널링 효과에 의존한다. 이 경우, 장벽은 STM 팁과 아래에 있는 물체 사이의 공기 때문이다. 장벽의 강도는 두 물체 사이의 거리에 비례하며, 거리가 멀수록 강해진다. 이 상황에 대한 더 일반적인 모델은 유한 퍼텐셜 장벽 (양자역학)을 참조하라. 델타 함수 퍼텐셜 장벽은 매우 높고 좁은 장벽에 대해 거기서 고려된 모델의 극한 사례이다.
델타 퍼텐셜 단일 델타 퍼텐셜
위 모델은 1차원인 반면, 우리 주변의 공간은 3차원이다. 따라서 실제로는 3차원에서 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 한다. 그러나 많은 시스템은 한 좌표 방향으로만 변하고 다른 방향으로는 병진 불변이다. 그러면 슈뢰딩거 방정식은  형태의 파동 함수에 대한 가설 풀이를 통해 여기에서 고려된 경우로 환원될 수 있다.
또는 델타 함수를 일부 영역 D의 표면에 존재하도록 일반화할 수도 있다(지시 함수의 라플라시안 참조).
델타 함수 모델은 사실 더들리 허슈바크 그룹이 개발한 차원 스케일링 방법을 따른 수소 원자의 1차원 버전이다.
델타 함수 모델은 다음 섹션에서 보여지는 것처럼 수소 분자 이온의 1차원 버전을 나타내는 이중 우물 디랙 델타 함수 모델과 함께 특히 유용해진다.
델타 퍼텐셜 이중 델타 퍼텐셜
이중 우물 디랙 델타 함수는 해당 슈뢰딩거 방정식을 통해 이원자 수소 분자를 모델링한다.

여기서 퍼텐셜은 이제 다음과 같다.

여기서 는 디랙 델타 함수 (음수) 피크가 x = ±R/2에 위치하는 "핵간" 거리이다(다이어그램에서 갈색으로 표시됨). 이 모델과 3차원 분자 대응물과의 관계를 염두에 두고, 원자 단위계를 사용하고 로 설정한다. 여기서 은 형식적으로 조절 가능한 매개변수이다. 단일 우물 사례에서, 해에 대한 "가설 풀이"가 다음과 같음을 추론할 수 있다.

디랙 델타 함수 피크에서 파동 함수를 일치시키면 다음과 같은 행렬식이 나온다.

따라서 는 다음 유사 이차 방정식에 의해 결정됨을 알 수 있다.

이것은 두 개의 해 를 가진다. 전하가 같은 경우(대칭 동핵 경우), λ = 1이고, 유사 이차 방정식은 다음으로 줄어든다.
델타 퍼텐셜 이중 델타 퍼텐셜
"+" 경우는 중간점에 대해 대칭적인 파동 함수에 해당하며(다이어그램에서 빨간색으로 표시됨), A = B이고, gerade라고 불린다. 이에 상응하여, "−" 경우는 중간점에 대해 반대칭적인 파동 함수이며, A = −B이고, ungerade라고 불린다(다이어그램에서 녹색으로 표시됨). 이들은 3차원 의 두 가지 가장 낮은 이산 에너지 상태를 근사하며, 그 분석에 유용하다. 대칭 전하 경우에 대한 에너지 고유값의 해석적 해는 다음과 같다.

여기서 W는 표준 람베르트 W 함수이다. 가장 낮은 에너지는 대칭 해 에 해당한다. 전하가 같지 않은 경우, 그리고 사실 3차원 분자 문제의 경우, 해는 람베르트 W 함수의 일반화에 의해 주어진다(일반화 참조).
가장 흥미로운 경우 중 하나는 qR ≤ 1일 때이며, 이는 을 초래한다. 따라서 E = 0을 가진 비자명한 묶인 상태 해가 존재한다. 이러한 특정 매개변수에 대해 많은 흥미로운 속성이 발생하며, 그 중 하나는 투과계수가 제로 에너지에서 1이 되는 특이한 효과이다.
스칼라 퍼텐셜
수리물리학에서 스칼라 퍼텐셜(영어: Scalar potential)은 두 다른 위치에 있는 물체의 위치 에너지의 차이가 물체가 한 위치에서 다른 위치로 이동하는 경로에 의존하지 않고 오직 위치에만 의존하는 상황을 설명한다. 이는 3차원 공간의 스칼라장으로, 방향이 없는 값(스칼라)이며 그 위치에만 의존한다. 익숙한 예로는 중력에 의한 위치 에너지가 있다.
스칼라 퍼텐셜은 벡터 미적분학 및 물리학에서 기본적인 개념이다(벡터 퍼텐셜과 혼동할 위험이 없는 경우 형용사 '스칼라'는 종종 생략된다). 스칼라 퍼텐셜은 스칼라장의 한 예이다. 벡터장 F가 주어졌을 때, 스칼라 퍼텐셜 P는 다음과 같이 정의된다:
여기서 ∇P는 P의 기울기이고 방정식의 두 번째 부분은 데카르트 좌표 x, y, z 함수의 기울기의 마이너스 값이다. 어떤 경우에 수학자들은 퍼텐셜을 정의하기 위해 기울기 앞에 양의 부호를 사용할 수 있다. 기울기에 따른 P의 이러한 정의 때문에, 어떤 지점에서 F의 방향은 그 지점에서 P의 가장 가파른 감소 방향이며, 그 크기는 단위 길이당 감소율이다.
스칼라 퍼텐셜
F가 스칼라 퍼텐셜만으로 설명되려면 다음 동등한 진술 중 하나가 참이어야 한다.
이 조건들 중 첫 번째는 기울기의 기본 정리를 나타내며 미분 가능한 일가 스칼라장 P의 기울기인 모든 벡터장에 대해 참이다. 두 번째 조건은 F가 스칼라 함수의 기울기로 표현될 수 있도록 하기 위한 F의 요구 사항이다. 세 번째 조건은 회전의 기본 정리를 사용하여 F의 회전을 통해 두 번째 조건을 다시 표현한다. 이 조건을 만족하는 벡터장 F는 비회전적 (보존적)이라고 한다.
스칼라 퍼텐셜
스칼라 퍼텐셜은 물리학 및 공학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 중력 퍼텐셜은 단위 질량당 중력 또는 등가적으로 위치 함수로서 장에 의한 가속도와 관련된 스칼라 퍼텐셜이다. 중력 퍼텐셜은 단위 질량당 중력 퍼텐셜 에너지이다. 정전기학에서 전위는 전기장, 즉 단위 전하당 정전기력과 관련된 스칼라 퍼텐셜이다. 이 경우 전위는 단위 전하당 정전기 퍼텐셜 에너지이다. 유체동역학에서 비회전 층류장은 라플라시안장인 특수한 경우에만 스칼라 퍼텐셜을 갖는다. 핵력의 특정 측면은 유카와 퍼텐셜로 설명될 수 있다. 퍼텐셜은 라그랑주 및 해밀턴 고전역학 공식에서 중요한 역할을 한다. 또한 스칼라 퍼텐셜은 양자역학의 기본 양이다.
모든 벡터장이 스칼라 퍼텐셜을 갖는 것은 아니다. 스칼라 퍼텐셜을 갖는 벡터장은 보존적이라고 불리며, 물리학에서 보존력의 개념에 해당한다. 비보존력의 예로는 마찰력, 자기력, 그리고 유체 역학에서 솔레노이드장 속도장이 있다. 그러나 헬름홀츠 분해 정리에 따라 모든 벡터장은 스칼라 퍼텐셜과 해당 벡터 퍼텐셜로 설명될 수 있다. 전자기학에서 전자기 스칼라 및 벡터 퍼텐셜은 함께 전자기 퍼텐셜로 알려져 있다.
스칼라 퍼텐셜 적분 가능 조건
만약 F가 보존벡터장이고 (비회전성, 회전-자유, 또는 퍼텐셜이라고도 함), 그 성분들이 연속적인 편미분을 가진다면, 기준점 r0에 대한 F의 퍼텐셜은 선적분으로 다음과 같이 정의된다:
여기서 C는 r0에서 r까지의 매개화된 경로이며,
선적분이 경로 C에 오직 그 종점 r0와 r을 통해서만 의존한다는 사실은 본질적으로 보존 벡터장의 경로 독립성 속성이다. 선적분의 기본정리는 만약 V가 이 방식으로 정의된다면, F = –∇V가 되어 V가 보존 벡터장 F의 스칼라 퍼텐셜임을 의미한다. 스칼라 퍼텐셜은 벡터장만으로 결정되지 않는다: 실제로 함수에 상수를 더해도 함수의 기울기에는 영향을 미치지 않는다. 만약 V가 선적분으로 정의된다면, V의 모호성은 기준점 r0의 선택에 따른 자유를 반영한다.
스칼라 퍼텐셜 중력 퍼텐셜 에너지로서의 고도
한 가지 예는 지구 표면 근처의 (거의) 균일한 중력장이다. 이것은 다음과 같은 퍼텐셜 에너지를 가진다.

여기서 U는 중력 퍼텐셜 에너지이고, h는 표면으로부터의 높이이다. 이것은 등고선 지도에서 중력 퍼텐셜 에너지가 고도에 비례한다는 것을 의미한다. 등고선 지도에서 고도의 2차원 음의 기울기는 2차원 벡터장이며, 그 벡터는 항상 등고선에 수직이고 중력 방향에도 수직이다. 그러나 등고선 지도로 표현된 언덕 지역에서는 U의 3차원 음의 기울기는 항상 중력 방향인 F로 곧장 아래를 가리킨다. 그러나 언덕을 굴러 내려가는 공은 언덕 표면의 수직항력 때문에 직접 아래로 움직일 수 없는데, 이 수직항력은 언덕 표면에 수직인 중력 성분을 상쇄한다. 공을 움직이게 하는 데 남아 있는 중력 성분은 표면에 평행하다.
스칼라 퍼텐셜 중력 퍼텐셜 에너지로서의 고도
여기서 θ는 경사 각도이며, 중력에 수직인 FS의 성분은 다음과 같다.
지면에 평행한 이 힘 FP는 θ가 45도일 때 가장 크다.
등고선 지도에서 등고선 사이의 균일한 고도 간격을 Δh라고 하고, 두 등고선 사이의 거리를 Δx라고 하자. 그러면
따라서
그러나 등고선 지도에서 기울기는 Δx에 반비례하며, 이는 힘 FP와 유사하지 않다. 등고선 지도에서의 고도는 정확히 2차원 퍼텐셜장이 아니다. 힘의 크기는 다르지만, 등고선 지도뿐만 아니라 등고선 지도로 표현된 지구 표면의 언덕 지역에서도 힘의 방향은 동일하다.
스칼라 퍼텐셜 부력 퍼텐셜로서의 압력
유체역학에서 평형 상태에 있는 유체는 균일한 중력장이 존재할 경우 중력을 상쇄하는 균일한 부력에 의해 스며든다. 이는 유체가 평형을 유지하는 방식이다. 이 부력은 압력의 음의 기울기이다.
부력은 중력과 반대 방향인 위쪽을 향하므로, 유체 내 압력은 아래쪽으로 갈수록 증가한다. 정지한 수중의 압력은 수면 아래 깊이에 비례하여 증가한다. 일정한 압력의 표면은 수면에 평행한 평면이며, 이는 영압력 평면으로 특징지을 수 있다.
액체에 수직 소용돌이(회전축이 표면에 수직인)가 있다면, 소용돌이는 압력장에 함몰을 일으킨다. 소용돌이 내부의 액체 표면은 아래로 당겨지며, 동일한 압력의 모든 표면도 액체 표면에 평행하게 유지된다. 이 효과는 소용돌이 내부에서 가장 강하며, 소용돌이 축으로부터의 거리가 멀어질수록 급격히 감소한다.
유체에 잠겨 유체로 둘러싸인 고체 물체에 대한 유체로 인한 부력은 물체 표면을 따라 음의 압력 기울기를 적분하여 얻을 수 있다.
스칼라 퍼텐셜 유클리드 공간에서의 스칼라 퍼텐셜
3차원 유클리드 공간 에서 비회전 벡터장 E의 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같다.
여기서 dV(r')는 r'에 대한 미소 부피 요소이다. 그러면
이 식은 E가 연속이고 무한대에서 점근적으로 0으로 소멸하며 1/r보다 빠르게 감소할 때, 그리고 E의 발산 또한 무한대에서 1/r 2보다 빠르게 감소하며 소멸할 때 성립한다.
다른 방법으로 표현하면,
를 뉴턴 퍼텐셜이라고 하자. 이는 라플라스 방정식의 기본해이며, Γ의 라플라시안은 디랙 델타 함수의 음의 값과 같다.
그러면 스칼라 퍼텐셜은 E와 Γ의 합성곱의 발산이다.
실제로, 비회전 벡터장과 회전 불변 퍼텐셜의 합성곱 또한 비회전이다. 비회전 벡터장 G에 대해 다음이 성립함을 보일 수 있다.
따라서
필요한 대로.
더 일반적으로, 다음 공식
은 n-차원 유클리드 공간(n > 2)에서 다음으로 주어지는 뉴턴 퍼텐셜과 함께 성립한다.
여기서 ωn는 단위 n-구의 부피이다. 증명은 동일하다. 또는 부분 적분 (또는 더 엄밀하게는 합성곱의 속성)을 사용하면
오카다 유키
오카다 유키(일본어: おかだ ゆうき)는 다음 사람을 가리킨다.
오카다 유키 (1996년)
오카다 유키(일본어: 岡田 優希 (おかだ ゆうき), 1996년 5월 13일~)는 일본의 축구 선수이다.
오카다 유키 (1996년) 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 FC 마치다 젤비아에 입단했다. 2021년까지 83경기에 출전하여, 4득점을 넣었다. 2022년부터 2023년까지 J3리그의 테게바자로 미야자키와 기라반츠 기타큐슈에서 뛰었다. 2024년 나라 클럽로 이적했다.
요시무라 유즈루
요시무라 유즈루(일본어: 吉村 弦 (よしむら ゆづる), 1996년 5월 21일~)는 일본의 축구 선수이다.
요시무라 유즈루 구단 경력
그는 2019년 J3리그의 AC 나가노 파르세이루에 입단했다. 2021년까지 64경기에 출전하여, 5득점을 넣었다. 2022년부터 2023년까지 J2리그의 블라우블리츠 아키타에서 뛰었다. 2024년 J3리그의 나라 클럽로 이적했다.
항공교통관제근무사령부
항공교통근무사령부(Air Traffic Services Command (ATSCOM))은 미국 육군 전력사령부 산하의 포트 루커에 본부를 둔 미국 육군의 군사 항공 교통 관제 기능 사령부이다. 산하 부대로 제164전구비행장작전단를 두고 있다.
항공교통관제근무사령부 역사
1956년에 대륙육군사령부에서 항공교통관제조직의 컨셉을 설계하고 조직하여 편성된 육군항공작전분견대에 기원을 두고 있다. 베트남 전쟁에서 항공관제사에 의한 소규모 근접항공지원을 실시되었다.
1986년, 새로 설립된 항공분과로 옮겨졌고, 함께 애리조나주 포트 후아추카에서 앨라배마주 포트 러커로 건너갔다. 1995년에 별도로 사령부를 설치할 계획을 세웠다.
2003년, 항공관제근무사령부가 설립되었다.
항공교통관제근무사령부 본부 구조
S-2 Security Division
훈련 Division
훈련 & 즉응 Oversight (TRO)
ATS 중대  CTE
AOB CTE
전술 체계 Division
Web 6R
미래 Division
ATC Technical Bulletins
평시 비행장 관리 Airfield Management
OIL Reports
ATS Readiness 포럼
고정기지체계s Division
교신
감시
정밀
비정밀
자동화
Roadmap
Quality Assurance Division
Services
감사 Trends
SDAP Letter of Instruction
Flight Inspection Request
오시로 게이
오시로 게이(일본어: 大城 蛍 (おおしろ けい), 2000년 9월 16일~)는 일본의 축구 선수이다.
오시로 게이 구단 경력
그는 2019년 J1리그의 우라와 레즈에 입단했다. 2020년부터 2021년까지 J3리그의 가이나레 돗토리와 YSCC 요코하마에서 뛰었다. 2022년 에히메 FC로 이적했다. 2023년까지 35경기에 출전. 2024년 가이나레 돗토리로 이적했다.
다나카 유야
다나카 유야(일본어: 田中 悠也 (たかな ゆうや), 2000년 5월 10일~)는 일본의 축구 선수이다.
다나카 유야 구단 경력
그는 2019년 J3리그의 기라반츠 기타큐슈에 입단했다. 2019년 J3리그 우승으로 J2리그로 승격했다. 2021년후 J3리그에 강등했다.
에가와 겐키
에가와 겐키(일본어: 江川 慶城 (えがわ げんき), 2000년 4월 2일~)는 일본의 축구 선수이다.
에가와 겐키 구단 경력
그는 2019년 J2리그의 교토 상가 FC에 입단했다. 2021년 일본 풋볼 리그의 이와키 FC로 이적했다. 2021년 일본 풋볼 리그 우승으로 J3리그로 승격했다. 2022년 J3리그 우승으로 J2리그로 승격했다. 2023년까지 46경기에 출전하여, 1득점을 넣었다. 2024년 J3리그의 FC 오사카로 이적했다. 2024년 7월 테게바자로 미야자키로 이적했다.
요시나가 쇼이
요시나가 쇼이(일본어: 吉永 昇偉 (よしなが しょうい), 2000년 4월 8일~)는 일본의 축구 선수이다.