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기계 필터
기계 필터(영어: Mechanical filter)는 일반적으로 무선 주파수에서 전자 필터 대신 사용되는 신호 처리 필터이다. 그 목적은 일반 전자 필터와 동일하다. 즉, 특정 범위의 신호 주파수는 통과시키고 다른 주파수는 차단하는 것이다. 필터는 전기 신호의 아날로그인 기계적 진동에 작용한다. 필터의 입력과 출력에서 트랜스듀서는 전기 신호를 기계적 진동으로 변환한 다음 다시 전기 신호로 변환한다.
기계 필터의 구성 요소는 모두 전기 회로에서 발견되는 다양한 요소와 직접적으로 유사하다. 기계적 요소는 해당 전기적 요소와 동일한 수학적 함수를 따른다. 이를 통해 전기 회로망 분석 및 필터 설계 방법을 기계 필터에 적용할 수 있다. 전기 이론은 유용한 필터 주파수 응답을 생성하는 많은 수학적 형태 라이브러리를 개발했으며, 기계 필터 설계자는 이를 직접 활용할 수 있다. 전기적 대응물과 동일한 응답을 가진 필터를 생성하려면 기계적 구성 요소를 적절한 값으로 설정하기만 하면 된다.
기계 필터
강철 합금과 철–니켈 합금은 기계 필터 구성 요소에 일반적으로 사용되는 재료이며, 니켈은 때때로 입력 및 출력 커플링에 사용된다. 이러한 재료로 만들어진 필터의 공진기는 최종 조립 전에 공진 주파수를 정밀하게 조정하기 위해 기계 가공해야 한다.
이 문서에서 기계 필터의 의미는 전기기계적 역할로 사용되는 필터를 의미하지만, 기계적 설계를 사용하여 기계적 진동이나 음파(본질적으로 기계적이기도 함)를 직접 필터링할 수 있다. 예를 들어, 스피커 캐비닛 설계에서 오디오 주파수 응답의 필터링은 기계적 구성 요소로 달성할 수 있다. 전기 응용 분야에서는 전기적 대응물에 해당하는 기계적 구성 요소 외에도 기계적 영역과 전기적 영역 간을 변환하는 트랜스듀서가 필요하다. 이 문서에서는 다양한 형태와 토폴로지의 기계 필터 구성 요소의 대표적인 선택을 제시한다.
기계 필터
기계 필터 이론은 1920년대에 축음기의 기계적 부품을 개선하는 데 처음 적용되었다. 1950년대에는 기계 필터가 무선 송신기 및 고급 수신기에 사용되는 독립형 구성 요소로 제조되었다. 기계 공진기가 달성할 수 있는 높은 "품질 계수", Q는 전적으로 전기적인 LC 회로보다 훨씬 높아서 뛰어난 선택도를 가진 기계 필터를 만들 수 있었다. 무선 수신기에서 중요한 좋은 선택도는 이러한 필터를 매우 매력적으로 만들었다. 현대 연구자들은 전자 집적 회로에 해당하는 기계 장치인 마이크로전자기계 필터에 대해 연구하고 있다.
기계 필터 요소
수동 선형 전기 회로망의 요소는 각각 유도계수, 엘라스턴스(역 전기 용량) 및 전기저항의 속성을 갖는 유도자, 축전기 및 저항기로 구성된다. 이러한 속성의 기계적 대응물은 각각 질량, 뻣뻣함 및 감쇠이다. 대부분의 전자 필터 설계에서는 필터 본체에 유도자 및 축전기 요소만 사용된다(필터는 입력 및 출력에 저항기로 종단될 수 있지만). 저항은 이상적인 구성 요소로 구성된 이론적 필터에는 존재하지 않으며, 실제 설계에서는 원치 않는 기생 요소로만 발생한다. 마찬가지로, 기계 필터는 이상적으로 질량 및 뻣뻣함 속성을 가진 구성 요소로만 구성되지만, 실제로는 일부 감쇠도 존재한다.
이러한 유형의 분석에서 전압과 전류의 기계적 대응물은 각각 힘(F)과 속도(v)이며 신호 파형을 나타낸다. 이를 통해 상상의 각진동수 jω로 기계 임피던스를 정의할 수 있으며, 이는 전기적 유사성을 완전히 따른다.
기계 필터 요소
표에 제시된 체계는 임피던스 유추로 알려져 있다. 이 유추를 사용하여 생성된 회로도는 전기 회로에 의해 보이는 기계 시스템의 전기 임피던스와 일치하여 전기 공학적 관점에서 직관적이다. 이동도 유추도 있다.
이동도 유추에서는 힘이 전류에 해당하고 속도가 전압에 해당한다. 이것은 동일하게 유효한 결과를 가지지만 위에서 나열된 전기적 대응물의 역수를 사용해야 한다. 따라서  M → C ,  S → ⁠1/L⁠ ,  D → G  여기서 G는 전도율이다(리액턴스가 없는 경우 전기저항의 역수). 이 체계에 의해 생성된 등가 회로는 유사하지만, 직렬 요소가 병렬로, 축전기가 유도자로 변환되는 쌍대 임피던스 형태이다. 이동도 유추를 사용하는 회로도는 회로의 기계적 배열과 더 밀접하게 일치하여 기계 공학적 관점에서 더 직관적이다. 이러한 유추는 전자기계 시스템에 대한 응용 외에도 음향 분석을 돕는 데 널리 사용된다.
기계 필터 요소
모든 기계 부품은 필연적으로 질량과 뻣뻣함을 모두 갖는다. 이는 전기적 용어로 LC 회로, 즉 유도자와 축전기로 구성된 회로로 변환되므로 기계 부품은 공진기이며 종종 그렇게 사용된다. 원치 않는 속성을 최소화(그러나 완전히 제거할 수는 없음)하여 기계적 구현에서 유도자와 축전기를 개별 집중 상수 요소로 나타내는 것은 여전히 가능하다. 축전기는 얇고 긴 막대로 만들 수 있는데, 즉 질량은 최소화되고 순응도는 최대화된다. 반면에 유도자는 조각의 순응도에 비해 질량을 최대화하는 짧고 넓은 조각으로 만들 수 있다.
기계 부품은 기계적 진동을 위한 전송선로 역할을 한다. 파장이 부품에 비해 짧으면 위에서 설명한 집중 상수 모델이 더 이상 적절하지 않으며 분포 정수 모델을 대신 사용해야 한다. 기계적 분포 요소는 전기적 분포 요소와 완전히 유사하며 기계 필터 설계자는 전기적 분포 상수 필터 설계 방법을 사용할 수 있다.
기계 필터 역사
기계 필터 설계는 전기 필터 이론에서 발견된 내용을 역학에 적용하여 개발되었다. 그러나 음향 필터링의 매우 초기 사례(1870년대)는 "고조파 전신"이었는데, 이는 전기 공진이 잘 이해되지 않았지만 기계 공진(특히 음향 공진)은 엔지니어들에게 매우 익숙했기 때문에 발생했다. 이러한 상황은 오래 지속되지 않았다. 전기 공진은 그 이전부터 과학에 알려져 있었고, 엔지니어들이 곧 전적으로 전기적인 필터 설계를 만들기 시작했다. 그러나 당시 고조파 전신은 어느 정도 중요했다. 이 아이디어는 오늘날 주파수 분할 다중화라고 불리는 방식으로 여러 전신 신호를 하나의 전신 선에 결합하여 선 설치 비용을 엄청나게 절감하는 것이었다. 각 통신사의 전건은 진동하는 전자기 갈대를 활성화하여 이 진동을 전기 신호로 변환했다. 수신 통신사에서의 필터링은 정확히 동일한 주파수로 튜닝된 유사한 갈대에 의해 달성되었으며, 이는 동일한 튜닝을 가진 통신사의 전송에서만 진동하고 소리를 생성했다.
고조파 전신의 버전은 일라이셔 그레이, 알렉산더 그레이엄 벨, 에르네스트 메르카디에르 등에 의해 개발되었다. 전기 영역으로의 사운드 트랜스듀서로서의 능력은 전화기 발명에 영감을 주었다.
기계 필터 역사
전기 회로망 분석의 기초가 확립되기 시작하자 복소 임피던스 및 필터 설계 이론의 개념이 유추에 의해 역학으로 이전되는 데는 오랜 시간이 걸리지 않았다. 복소 임피던스를 도입하는 데에도 기여한 아서 E. 케널리와 아서 고든 웹스터는 1920년에 임피던스 개념을 기계 시스템으로 확장한 최초의 인물이었다. 기계적 어드미턴스 및 관련 이동성 유추는 훨씬 나중에 나왔고 1932년에 파이어스톤에 의해 이루어졌다.
단순히 기계적 유추를 개발하는 것만으로는 충분하지 않았다. 이것은 전적으로 기계적 영역에 있는 문제에 적용될 수 있었지만, 전기적 응용을 위한 기계 필터의 경우 트랜스듀서도 유추에 포함시켜야 한다. 앙리 푸앵카레 (1907)는 전기 변수(전압 및 전류)와 기계 변수(힘 및 속도)를 연결하는 한 쌍의 선형대수학 방정식으로 트랜스듀서를 처음으로 설명했다. 이 방정식은 전기 이론의 z-파라미터와 매우 유사한 방식으로 행렬 관계로 표현할 수 있다.
여기서 V와 I는 트랜스듀서의 전기적 측면에서의 전압과 전류를 각각 나타낸다.
기계 필터 역사
웨겔(Wegel)은 1921년에 이러한 방정식을 전기 임피던스뿐만 아니라 기계 임피던스로 표현한 최초의 인물이었다. 요소 는 개방 회로 기계 임피던스, 즉 전기적 측면에 전류가 흐르지 않을 때 트랜스듀서의 기계적 측면이 나타내는 임피던스이다. 반대로 요소 는 고정된 전기 임피던스, 즉 기계적 측면이 고정되어 움직이지 않을 때(속도가 0) 전기적 측면에 나타나는 임피던스이다. 나머지 두 요소인 와 는 각각 트랜스듀서의 정방향 및 역방향 전달 함수를 설명한다. 이러한 아이디어가 확립되자 엔지니어들은 전기 이론을 기계적 영역으로 확장하고 전자기계 시스템을 통합된 전체로 분석할 수 있었다.
기계 필터 역사
이러한 새로운 이론적 도구의 초기 응용 분야는 축음기 음향 재생이었다. 초기 축음기 설계에서 반복되는 문제점은 픽업 및 음향 전송 메커니즘의 기계적 공진으로 인해 주파수 응답에 과도하게 큰 피크와 계곡이 발생하여 음질이 저하되는 것이었다. 1923년 웨스턴 일렉트릭 회사의 해리슨은 기계적 설계가 전적으로 전기 회로로 표현되는 축음기 특허를 출원했다. 축음기의 혼은 전송선로로 표현되며, 회로의 나머지 부분에 대한 저항성 부하이며, 픽업 바늘부터 혼까지의 모든 기계적 및 음향 부품은 임피던스 유추에 따라 집중 소자로 변환된다. 도달된 회로는 병렬 축전기로 결합된 직렬 공진 회로의 사다리 토폴로지이다. 이는 대역통과 필터 회로로 볼 수 있다. 해리슨은 이 필터의 구성 요소 값을 원하는 오디오 통과대역(이 경우 100 Hz ~ 6 kHz)에 해당하는 특정 통과대역과 평탄한 응답을 갖도록 설계했다. 이러한 전기 요소 값을 다시 기계적 양으로 변환하면 질량 및 뻣뻣함 측면에서 기계적 구성 요소에 대한 사양을 제공하며, 이는 다시 제조를 위한 물리적 치수로 변환될 수 있다. 결과적으로 축음기는 통과대역에서 평탄한 주파수 응답을 가지며 이전에 경험했던 공진이 없다. 그 직후 해리슨은 동일한 방법론을 사용하여 전화 송수신 트랜스듀서에 대한 또 다른 특허를 출원했다.
기계 필터 역사
해리슨은 당시 가장 진보된 필터 이론인 조지 애슐리 캠벨의 이미지 필터 이론을 사용했다. 이 이론에서 필터 설계는 본질적으로 임피던스 매칭 문제로 간주된다. 1929년 벨 연구소의 에드워드 로리 노턴은 이 문제에 더 발전된 필터 이론을 적용했다. 노턴은 동일한 일반적인 접근 방식을 따랐지만 나중에 시드니 달링턴에게 자신이 설계한 필터가 "최대 평탄"하다고 설명했다. 노턴의 기계적 설계는 전자 최대 평탄 필터를 처음으로 설명한 것으로 일반적으로 알려진 스티븐 버터워스의 논문보다 앞선다. 노턴이 자신의 필터에 대해 제시한 방정식은 단일 종단 버터워스 필터, 즉 임피던스가 없는 이상적인 전압원에 의해 구동되는 필터에 해당하며, 텍스트에 일반적으로 주어지는 형태는 양쪽 끝에 저항이 있는 이중 종단 필터용이므로 설계를 제대로 인식하기 어렵다. 노턴의 필터 설계의 또 다른 특이한 특징은 다이어프램의 뻣뻣함을 나타내는 직렬 축전기에서 비롯된다. 이것은 노턴의 표현에서 유일한 직렬 축전기이며, 이것이 없으면 필터는 저역 통과 프로토타입으로 분석될 수 있다. 노턴은 등가 회로에 변압기를 도입하는 대가로 축전기를 필터 본체에서 입력으로 이동시킨다(노턴의 그림 4). 노턴은 이를 달성하기 위해 "L 뒤집기" 임피던스 변환을 사용했다.
기계 필터 역사
이 시기의 주제에 대한 결정적인 설명은 Maxfield와 Harrison의 1926년 논문이다. 그들은 기계적 대역 통과 필터가 사운드 재생 시스템에 어떻게 적용될 수 있는지 설명할 뿐만 아니라 동일한 원리를 녹음 시스템에도 적용하고 훨씬 개선된 디스크 커팅 헤드를 설명한다.
중간 주파수(IF) 응용 분야를 위한 현대 기계 필터는 1946년 제니스 일렉트로닉스의 로버트 애들러가 455 kHz 필터를 제작하면서 처음 연구되었다. 이 아이디어는 콜린스 라디오 회사에 의해 채택되었고, 콜린스 라디오 회사는 1950년대부터 기계 필터의 첫 대량 생산을 시작했다. 이 필터는 원래 고품질 필터를 사용하는 것이 상업적으로 유리한 전화 주파수 분할 다중화 응용 분야를 위해 설계되었다. 전환 대역의 정밀도와 가파른 정도는 가드 밴드의 폭을 줄여주며, 이는 동일한 케이블에 더 많은 전화 채널을 압축할 수 있게 한다. 이와 동일한 특징은 무선 송신기에서도 비슷한 이유로 유용하다. 기계 필터는 곧 콜린스가 제조한 고급 무선 장비(군용, 해양, 아마추어 무선 등)의 VHF/UHF 무선 IF 단계에서도 인기를 얻었다. 무선 응용 분야에서 선호된 이유는 동등한 LC 필터보다 훨씬 높은 Q 인자를 달성할 수 있었기 때문이다. 높은 Q는 수신기에서 인접한 무선 채널을 구별하는 데 중요한 높은 선택도를 가진 필터를 설계할 수 있게 한다. 또한 LC 필터와 모놀리식 수정 필터보다 안정성 면에서 이점이 있었다. 무선 응용 분야에서 가장 인기 있는 설계는 무선 IF가 일반적으로 100~500 kHz 대역에 있기 때문에 비틀림 공진기였다.
기계 필터 트랜스듀서
기계 필터에는 자왜 및 압전 트랜스듀서가 모두 사용된다. 압전 재료는 필터의 공진기 중 하나로도 사용될 수 있어 구성 요소 수를 줄이고 공간을 절약할 수 있으므로 최근 설계에서 압전 트랜스듀서가 선호된다. 또한 자왜형 트랜스듀서가 외부 자기장에 취약한 문제를 피할 수 있다.
자왜 재료는 자기장이 가해지면 모양이 변하는 재료이다. 반대로, 변형되면 자기장을 생성한다. 자왜 트랜스듀서는 자왜 재료 주위에 도체 코일이 필요하다. 코일은 트랜스듀서에 자기장을 유도하여 움직이게 하거나, 필터 출력에서 트랜스듀서의 움직임으로부터 유도 전류를 포착한다. 또한 자왜 재료를 작동 범위로 바이어스하기 위해 작은 자석이 필요하다. 신호에 d.c. 전류를 중첩하여 바이어싱을 전자적으로 처리할 수 있다면 자석을 없앨 수 있지만, 이 접근 방식은 필터 설계의 일반성을 떨어뜨릴 것이다.
기계 필터 트랜스듀서
트랜스듀서에 사용되는 일반적인 자왜 재료는 페라이트 또는 압축된 분말 철이다. 기계 필터 설계에서는 종종 강철 또는 니켈-철 와이어로 공진기를 연결하지만, 일부 설계, 특히 구형 설계에서는 입력 및 출력 로드에 니켈 와이어를 사용할 수 있다. 이는 니켈이 약간 자왜성이 있기 때문에 트랜스듀서 코일을 니켈 연결 와이어에 직접 감을 수 있기 때문이다. 그러나 자왜성이 강하지 않아 전기 회로와의 연결이 약하다. 이 방식은 또한 와전류라는 단점을 가지고 있는데, 이 문제는 니켈 대신 페라이트를 사용하면 피할 수 있다.
트랜스듀서의 코일은 필터의 전기적 측면에 약간의 유도계수를 추가한다. 코일에 병렬로 축전기를 추가하여 추가 공진기가 형성되도록 하는 것이 일반적인 관행이며, 이는 필터 설계에 통합될 수 있다. 이것이 추가 기계 공진기만큼 성능을 향상시키지는 않겠지만, 약간의 이점이 있으며 코일은 어쨌든 거기에 있어야 한다.
기계 필터 트랜스듀서
압전 재료는 전기장이 가해지면 모양이 변하는 재료이다. 반대로, 변형되면 전기장을 생성한다. 압전 트랜스듀서는 본질적으로 압전 재료에 전극을 도금하는 것만으로 만들어진다. 티탄산 바륨과 같이 트랜스듀서에 사용된 초기 압전 재료는 온도 안정성이 좋지 않았다. 이로 인해 트랜스듀서는 공진기 중 하나로 기능할 수 없었으며, 별도의 구성 요소여야 했다. 이 문제는 공진기로 사용하기에 충분히 안정적인 티탄산 지르콘산 납(PZT로 약칭)이 도입되면서 해결되었다. 또 다른 일반적인 압전 재료는 석영으로, 기계 필터에도 사용되었다. 그러나 PZT와 같은 세라믹 재료는 더 큰 전기기계적 결합 계수 때문에 선호된다.
한 종류의 압전 트랜스듀서는 초기 소나 연구에서 폴 랑주뱅이 사용한 트랜스듀서의 이름을 따서 명명된 랑주뱅형이다. 이것은 종 방향 진동 모드에 적합하다. 움직임이 기계적으로 종 방향 움직임으로 변환될 수 있다면 다른 진동 모드를 가진 공진기에도 사용될 수 있다. 트랜스듀서는 압전 재료 층이 커플링 로드 또는 공진기 내부에 가로로 끼워져 있다.
또 다른 종류의 압전 트랜스듀서는 압전 재료가 종 방향으로, 보통 공진기 자체 내부에 끼워져 있다. 이 종류는 비틀림 진동 모드에 적합하며 비틀림 트랜스듀서라고 불린다.
박막 제조 방법을 사용하여 소형화된 압전 공진기는 박막 벌크 음향 공진기(FBAR)라고 불린다.
기계 필터 공진기
기계 공진기로는 매우 높은 Q를 달성할 수 있다. 기계 공진기는 일반적으로 10,000 정도의 Q를 가지며, 특정 니켈-철 합금을 사용하는 비틀림 공진기에서는 25,000을 달성할 수 있다. 이는 유도 코일의 저항에 의해 Q가 제한되는 LC 회로로는 달성하기 어려운 매우 높은 수치이다.
1940년대와 1950년대의 초기 설계는 강철을 공진기 재료로 사용하기 시작했다. 이것은 주로 가격보다는 기계 필터의 주요 매력인 Q를 최대화하기 위해 니켈-철 합금으로 바뀌었다. 기계 필터 공진기에 사용된 일부 금속과 그 Q는 표에 나와 있다.
압전 결정은 기계 필터 설계에서도 때때로 사용된다. 이는 입력 및 출력용 트랜스듀서 역할도 하는 공진기에 특히 해당한다.
기계 필터 공진기
기계 필터가 LC 전기 필터에 비해 가지는 한 가지 장점은 매우 안정적으로 만들 수 있다는 것이다. 공진 주파수는 작동 온도 범위(−25 ~ 85 °C)에서 지정된 값에서 1.5 Ppb만 변동하고, 시간 경과에 따른 평균 드리프트는 하루에 4 ppb만큼 낮을 수 있을 정도로 안정적으로 만들 수 있다. 이러한 온도에 대한 안정성 또한 니켈-철을 공진기 재료로 사용하는 이유이다. 공진 주파수(및 주파수 함수의 다른 특징)의 온도 변화는 재료의 뻣뻣함 측정치인 영률의 변화와 직접적으로 관련된다. 따라서 영률의 온도 계수가 작은 재료를 찾는다. 일반적으로 영률은 음의 온도 계수를 가지지만(온도가 증가하면 재료가 덜 뻣뻣해짐) 합금에 특정 다른 원소를 소량 추가하면 온도에 따라 음수에서 0을 거쳐 양수로 부호가 변하는 온도 계수를 가진 재료를 생성할 수 있다. 이러한 재료는 특정 온도 주변에서 공진 주파수에 대한 0의 온도 계수를 가질 것이다. 합금의 열처리를 통해 0 온도 계수 지점을 원하는 위치로 조정할 수 있다.
기계 필터 공진기
기계 부품은 일반적으로 여러 가지 다른 진동 모드로 진동할 수 있지만, 설계는 특정 진동 모드를 기반으로 하며 설계자는 공진을 이 모드로 제한하려고 노력할 것이다. 직선적인 종방향 모드뿐만 아니라 굽힘 모드, 비틀림 모드, 반경 방향 모드 및 드럼 헤드 모드도 사용된다.
모드는 진동의 반파장 수에 따라 번호가 매겨진다. 일부 모드는 두 가지 이상의 방향으로 진동(예: 두 가지 방향으로 진동하는 드럼 헤드 모드)하며, 결과적으로 모드 번호는 두 개 이상의 숫자로 구성된다. 진동이 상위 모드 중 하나일 때 공진기에는 움직임이 없는 여러 개의 노드가 존재한다. 일부 유형의 공진기의 경우 이는 구조적 지지를 위한 기계적 부착물을 만들 편리한 장소를 제공할 수 있다. 노드에 부착된 와이어는 공진기의 진동이나 전체 필터 응답에 영향을 미치지 않는다. 그림 5에는 노드에 부착된 와이어로 가능한 일부 앵커 포인트가 표시되어 있다.
기계 필터 회로 설계
기계 필터를 구성하는 데 사용될 수 있는 공진기와 트랜스듀서의 조합은 매우 다양하다. 그중 일부는 다이어그램에 나와 있다. 그림 6은 디스크 굽힘 공진기와 자왜 트랜스듀서를 사용하는 필터를 보여준다. 트랜스듀서는 첫 번째 공진기의 중심을 구동하여 진동하게 한다. 구동 신호가 공진에 있거나 가까울 때 디스크 가장자리는 중심과 역상으로 움직이며, 신호는 연결 막대를 통해 다음 공진기로 전달된다. 구동 신호가 공진에 가깝지 않을 때 가장자리에는 거의 움직임이 없으며, 필터는 신호를 거부(통과시키지 않음)한다. 그림 7은 연결 막대로 체인으로 연결된 종방향 공진기를 포함하는 유사한 아이디어를 보여준다. 이 다이어그램에서 필터는 압전 트랜스듀서에 의해 구동된다. 자왜 트랜스듀서를 사용해도 마찬가지로 작동할 수 있다. 그림 8은 비틀림 공진기를 사용하는 필터를 보여준다. 이 다이어그램에서 입력은 비틀림 압전 트랜스듀서를 가지고 있고 출력은 자왜 트랜스듀서를 가지고 있다. 실제 설계에서는 입력과 출력이 일반적으로 동일한 유형의 트랜스듀서를 가지므로 이는 매우 드물 것이다. 자왜 트랜스듀서는 여기에서 종방향 진동이 비틀림 진동으로 또는 그 반대로 어떻게 변환될 수 있는지 보여주기 위해서만 표시되어 있다. 그림 9는 드럼 헤드 모드 공진기를 사용하는 필터를 보여준다. 디스크의 가장자리는 필터 케이싱에 고정되어 있으므로(다이어그램에 표시되지 않음) 디스크의 진동은 드럼 멤브레인과 동일한 모드이다. 콜린스는 이 유형의 필터를 디스크 와이어 필터라고 부른다.
기계 필터 회로 설계
다양한 유형의 공진기는 모두 다른 주파수 대역에 특히 적합하다. 전반적으로, 모든 종류의 집중 소자를 가진 기계 필터는 약 5에서 700 kHz까지의 주파수를 커버할 수 있지만, 몇 킬로헤르츠(kHz)만큼 낮은 기계 필터는 드물다. 이 범위의 하단, 100 kHz 미만은 막대 굽힘 공진기로 가장 잘 커버된다. 상단은 비틀림 공진기로 더 잘 커버된다. 드럼 헤드 디스크 공진기는 중간에 위치하며, 약 100에서 300 kHz 범위를 커버한다.
기계 필터 회로 설계
모든 기계 필터의 주파수 응답 동작은 위에서 설명한 임피던스 유추를 사용하여 등가 전기 회로로 표현할 수 있다. 이의 예가 그림 8b에 나와 있으며, 이는 그림 8a의 기계 필터의 등가 회로이다. 자왜 트랜스듀서의 유도계수와 같은 전기적 측면의 요소는 생략되었지만, 완전한 설계에서는 고려될 것이다. 회로도상의 직렬 공진 회로는 비틀림 공진기를 나타내고, 병렬 축전기는 커플링 와이어를 나타낸다. 전기 등가 회로의 구성 요소 값은 기계 구성 요소의 치수를 수정함으로써 어느 정도 마음대로 조정할 수 있다. 이러한 방식으로 전기 분석 및 필터 설계의 모든 이론적 도구를 기계 설계에 적용할 수 있다. 전기 이론에서 실현 가능한 모든 필터는 원칙적으로 기계 필터로도 실현될 수 있다. 특히, 버터워스 필터와 체비쇼프 필터의 이상적인 필터 응답에 대한 인기 있는 유한 요소 근사화는 모두 쉽게 실현될 수 있다. 전기적 대응물과 마찬가지로 더 많은 요소가 사용될수록 근사화는 이상에 더 가까워지지만, 실제적인 이유로 공진기의 수는 일반적으로 8개를 초과하지 않는다.
기계 필터 회로 설계
메가헤르츠(MHz) 정도의 주파수는 기계 필터의 일반적인 범위를 벗어난다. 구성 요소가 매우 작아지거나, 또는 구성 요소가 신호 파장에 비해 커진다. 위에서 설명한 집중 상수 모델이 무너지기 시작하고 구성 요소는 분포 요소로 간주되어야 한다. 집중 상수에서 분포 요소 모델링으로의 전환이 일어나는 주파수는 전기적 대응물보다 기계 필터에서 훨씬 낮다. 이는 기계적 진동이 구성 요소가 구성된 재료의 음속으로 이동하기 때문이다. 고체 구성 요소의 경우 이는 공기 중 음속(343 m/s)의 여러 배(니켈-철의 경우 15배)이지만, 전자기파 속도(진공에서 약 3.00×108 m/s)보다는 훨씬 느리다. 결과적으로, 동일한 주파수에서 기계적 파장은 전기적 파장보다 훨씬 짧다. 이러한 효과를 활용하여 구성 요소를 분포 요소로 의도적으로 설계할 수 있으며, 전기 분포 상수 필터에 사용되는 구성 요소 및 방법을 적용할 수 있다. 스터브 및 임피던스 변환기의 등가물은 모두 달성 가능하다. 집중 요소와 분포 요소의 혼합을 사용하는 설계는 반집중(semi-lumped)이라고 한다.
기계 필터 회로 설계
그러한 설계의 예는 그림 10a에 나와 있다. 공진기는 그림 6에 표시된 것과 유사한 디스크 굽힘 공진기이지만, 이들은 가장자리에서 에너지를 공급받아 중심에 노드를 가진 기본 굽힘 모드로 진동하는 반면, 그림 6 설계는 중심에서 에너지를 공급받아 공진 시 두 번째 굽힘 모드로 진동한다. 공진기는 커플링 와이어에 대해 직각으로 피벗을 통해 필터 하우징에 기계적으로 부착된다. 피벗은 공진기의 자유로운 회전을 보장하고 손실을 최소화하기 위한 것이다. 공진기는 집중 요소로 취급되지만, 커플링 와이어는 정확히 반파장 (⁠λ/2⁠) 길이로 만들어져 전기 등가 회로에서 ⁠λ/2⁠ 개방 회로 스터브와 동일하다. 협대역 필터의 경우 이러한 종류의 스터브는 그림 10b에 표시된 병렬 션트 튜닝 회로의 근사 등가 회로를 가진다. 결과적으로, 이 설계에서는 연결 와이어가 회로에 추가 공진기를 추가하는 데 사용되고 있으며, 집중 공진기와 짧은 커플링만 있는 것보다 더 나은 응답을 가질 것이다. 훨씬 더 높은 주파수의 경우 아래에서 설명하는 마이크로전자기계 방법을 사용할 수 있다.
기계 필터 회로 설계
브리징 와이어는 인접하지 않은 공진기를 서로 연결하는 막대이다. 이 막대는 감쇠 극점을 저지대역에 생성하는 데 사용될 수 있다. 이는 저지대역 제거를 증가시키는 이점을 제공한다. 극점이 통과대역 가장자리 근처에 배치될 때, 이는 또한 롤오프를 증가시키고 전환 대역을 좁히는 이점을 제공한다. 그림 11은 필터 주파수 응답에 대한 이러한 효과 중 일부의 전형적인 영향을 보여준다. 단일 공진기를 가로지르는 브리징(그림 11b)은 고주파 저지대역에 감쇠 극점을 생성할 수 있다. 두 개의 공진기를 가로지르는 브리징(그림 11c)은 고주파 및 저주파 저지대역 모두에 감쇠 극점을 생성할 수 있다. 여러 브릿지를 사용하면(그림 11d) 여러 개의 감쇠 극점이 발생한다. 이러한 방식으로 저지대역의 감쇠를 넓은 주파수 범위에서 깊게 할 수 있다.
인접하지 않은 공진기 간의 결합 방법은 기계 필터에만 국한되지 않는다. 다른 필터 형식에도 적용될 수 있으며, 이 클래스의 일반적인 용어는 교차 결합 필터이다. 예를 들어, 공동 공진기 사이에 채널을 만들거나, 이산 구성 요소 필터에 상호 유도를 사용하거나, 활성 아날로그 필터 또는 디지털 필터에 피드백 경로를 사용할 수 있다. 이 방법은 기계 필터 분야에서 처음 발견된 것도 아니다. 가장 초기의 설명은 마이크로파 공동 공진기를 사용하는 필터에 대한 1948년 특허에 나와 있다. 그러나 기계 필터 설계자들은 이러한 종류의 실용적인 필터를 개발한 최초의 사람들(1960년대)이었고, 이 방법은 기계 필터의 특별한 특징이 되었다.
기계 필터 마이크로전자기계 필터
기계 필터링에 새롭게 등장하는 기술은 미세전자기계 시스템(MEMS)이다. MEMS는 구성 요소 크기가 마이크로미터(μm) 단위로 측정되는 매우 작은 마이크로머신이지만, 나노머신만큼 작지는 않다. 이 필터는 기존 기계 필터로 달성할 수 있는 것보다 훨씬 높은 주파수에서 작동하도록 설계될 수 있다. 이 시스템은 주로 규소(Si), 질화 규소(Si3N4) 또는 중합체로 제작된다. 무선주파수 필터링(및 MEMS 응용 분야 전반)에 일반적으로 사용되는 구성 요소는 외팔보 공진기이다. 외팔보는 반도체 산업에서 사용되는 방법과 거의 동일한 방법으로 제조되는 간단한 기계적 구성 요소이다. 마스킹, 포토리소그래피 및 식각을 거쳐 외팔보를 기판에서 분리하기 위한 최종 언더커팅 식각이 이루어진다. 이 기술은 외팔보를 단일 기판에 대량으로 생산할 수 있다는 점에서 큰 가능성을 가지고 있다. 현재 단일 실리콘 칩에 많은 수의 트랜지스터가 포함되어 있는 것과 매우 유사하다.
기계 필터 마이크로전자기계 필터
그림 12에 표시된 공진기는 길이가 약 120 μm이다. 외팔보 바랙터를 공진기 요소로 사용하여 30 GHz의 작동 주파수를 가진 실험적인 완전 필터가 제작되었다. 이 필터의 크기는 약 4×3.5 mm이다. 외팔보 공진기는 일반적으로 200 MHz 미만의 주파수에서 적용되지만, 마이크로 가공된 공동과 같은 다른 구조는 마이크로파 대역에서 사용될 수 있다. 이 기술을 통해 매우 높은 Q 공진기를 만들 수 있다. 8 MHz에서 80,000을 초과하는 Q를 가진 굽힘 모드 공진기가 보고되었다.
기계 필터 조정
기계 필터가 사용되는 정밀 응용 분야에서는 공진기가 지정된 공진 주파수에 정확하게 조정되어야 한다. 이를 트리밍이라고 하며, 일반적으로 기계 가공 공정이 필요하다. 대부분의 필터 설계에서는 공진기를 완전한 필터로 조립한 후에는 이러한 작업을 수행하기 어렵기 때문에 공진기는 조립 전에 트리밍된다. 트리밍은 최소 두 단계(조정 및 미세 조정)로 수행되며, 각 단계는 공진 주파수를 지정된 값에 더 가깝게 만든다. 대부분의 트리밍 방법은 공진기에서 재료를 제거하여 공진 주파수를 높이는 것을 포함한다. 따라서 거친 트리밍 단계의 목표 주파수는 최종 주파수보다 낮게 설정되어야 한다. 그렇지 않으면 공정의 허용 오차로 인해 다음 미세 트리밍 단계에서 조정할 수 없는 더 높은 주파수가 발생할 수 있다.
기계 필터 조정
트리밍의 가장 거친 방법은 공진기의 주 공진 표면을 연삭하는 것이다. 이 공정의 정확도는 약 ±800 Ppm이다. 주 표면 대신 공진기의 가장자리를 연삭하면 더 나은 제어를 달성할 수 있다. 이는 덜 극적인 효과를 가지며 결과적으로 더 나은 정확도를 제공한다. 미세 트리밍에 사용될 수 있는 공정은 정확도가 증가하는 순서로 샌드블라스팅, 드릴링 및 레이저 절삭이다. 레이저 트리밍은 ±40 ppm의 정확도를 달성할 수 있다.
기계가 아닌 수동 트리밍은 일부 초기 생산 구성 요소에 사용되었지만, 지금은 일반적으로 제품 개발 중에만 접하게 된다. 사용 가능한 방법으로는 샌딩과 줄질이 있다. 공진기에 수동으로 재료를 추가하여 공진 주파수를 줄이는 것도 가능하다. 한 가지 방법은 땜납을 추가하는 것이지만, 땜납이 공진기의 높은 Q를 감소시키는 경향이 있으므로 생산 용도에는 적합하지 않다.
MEMS 필터의 경우 장치 구조의 통합된 특성 때문에 필터 외부에서 공진기를 트리밍하는 것이 불가능하다. 그러나 많은 MEMS 응용 분야에서 트리밍은 여전히 필수 요구 사항이다. 레이저 절삭은 이를 위해 사용될 수 있지만, 재료 제거 외에 재료 증착 방법도 사용할 수 있다. 이러한 방법에는 레이저 또는 이온 빔 유도 증착이 포함된다.
기계 필터 추가 읽을거리
Johnson, R.A.; Börner, M.; Konno, M. (July 1971). 《Mechanical filters – a review of progress》. 《IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics》 18. 155–170쪽. doi:10.1109/T-SU.1971.29611. S2CID 51650830.
류도형
류도형은 대한민국의 육상유망주로 현재 나이는 만 11새 입니다. 충주시에 위치한 탄금초등학교에 다니고 있다. 주요 전국/도 대회에서 단거리 달리기가 주종목으로, 좋은 성적을 거두고 있습니다.
류도형 주요 대회 출전
전국소년채육대회에는 꾸준히 참여중이며, 준수한 성적을 거두고 있습니다.
2025년 9월 충북 보은종합운동장에서 열린 제6회 전국 초·중·고등학교 학년별 육상경기대회에서 남자 초등 5학년부 100m와 200m에서 금매달을 차지했다. 100m는 대회신기록인 12.24에 기록으로 금을 차지했다. 미래 한국의 육상 유망주인 이유 중 하나이다.
http://www.nbnnews.co.kr/news/articleView.html?idxno=980437
(위)제6회 전국 초·중·고등학교 학년별 육상경기대회 관련 기사
로런츠 변환 유도
맥스웰 방정식부터 아인슈타인의 특수 상대성이론의 공준에 이르기까지 다양한 물리적 원리를 사용하고, 초등대수학 및 쌍곡선 함수에서 선형대수학 및 군론에 이르기까지 다양한 수학적 도구를 사용하여 로런츠 변환을 유도하는 방법은 여러 가지가 있다.
이 문서는 특수 상대성이론의 맥락에서 따라하기 쉬운 방법 몇 가지를 제시한다. 표준 구성에서 로런츠 부스트의 가장 간단한 경우, 즉 서로 빛의 속력보다 작은 일정한 (균일한) 상대 속도로 움직이는 두 개의 관성 기준틀에 대해 데카르트 좌표계를 사용하여 x축과 x'축이 공선점이 되도록 한다.
로런츠 변환 유도 로런츠 변환
현대물리학의 근본 분야인 일반 상대성이론과 그 광범위한 하위 집합인 특수 상대성이론, 그리고 상대론적 양자역학과 상대론적 양자장론에서 로런츠 변환은 물리량을 포함하는 모든 사차원 벡터와 텐서가 한 기준틀에서 다른 기준틀로 변환되는 변환 규칙이다.
이러한 사차원 벡터의 주요 예는 사차원 위치와 입자의 사차원 운동량이며, 장의 경우 전자기장 텐서와 에너지-운동량 텐서가 있다. 이러한 객체들이 로런츠 변환에 따라 변환된다는 사실은 수학적으로 이들을 벡터 및 텐서로 정의하는 것이다. 정의는 텐서를 참조하라.
로런츠 변환 유도 로런츠 변환
어떤 기준틀에서 사차원 벡터 또는 텐서의 성분들이 주어졌을 때, "변환 규칙"을 통해 원래 기준틀에 대해 부스트되거나 가속된 다른 기준틀에서 동일한 사차원 벡터 또는 텐서의 변경된 성분들을 결정할 수 있다. "부스트"는 평행 이동과 혼동되어서는 안 되며, 오히려 기준틀 사이의 상대 속도로 특징지어진다. 변환 규칙 자체는 기준틀의 상대 운동에 따라 달라진다. 두 관성 기준틀의 가장 간단한 경우, 기준틀 사이의 상대 속도가 변환 규칙에 포함된다. 회전 기준틀 또는 일반적인 비관성 기준틀의 경우, 상대 속도(크기와 방향), 회전축 및 회전 각도를 포함하여 더 많은 매개변수가 필요하다.
로런츠 변환 유도 역사적 배경
일반적인 처리(예: 알베르트 아인슈타인의 원본 작업)는 빛의 속력 불변성에 기반을 둔다. 그러나 이것이 반드시 출발점일 필요는 없다. 실제로 (예를 들어, 란다우와 립시츠의 이론 물리학 강좌 2권에 설명되어 있듯이), 실제로 중요한 것은 상호작용의 국소성의 원리이다. 한 입자가 다른 입자에 미치는 영향이 즉시 전달될 수 없다고 가정한다. 따라서 불변해야 하는 이론적인 최대 정보 전달 속도가 존재하며, 이 속도는 진공에서의 빛의 속력과 일치하는 것으로 밝혀졌다. 뉴턴 자신도 원격 작용의 아이디어를 철학적으로 "불합리"하다고 불렀으며, 중력은 특정 법칙에 따라 어떤 매개체에 의해 전달되어야 한다고 주장했다.
로런츠 변환 유도 역사적 배경
1887년 마이컬슨과 몰리는 마이컬슨-몰리 실험에서 간섭계와 반은 거울을 사용하여 에테르 흐름을 감지할 만큼 정확한 실험을 설계했다. 거울 시스템은 빛을 간섭계로 다시 반사했다. 만약 에테르 흐름이 있었다면, 그것은 위상 변화와 검출될 간섭의 변화를 일으켰을 것이다. 그러나 위상 변화는 전혀 발견되지 않았다. 마이컬슨-몰리 실험의 부정적인 결과는 에테르(또는 그 흐름)의 개념을 약화시켰다. 파동 활동이 전파될 수 있는 탐지 가능한 매질 없이 빛이 파동처럼 행동하는 이유에 대한 혼란이 뒤따랐다.
1964년 논문에서, 에릭 크리스토퍼 지만(Erik Christopher Zeeman)은 인과성 보존 속성, 즉 빛의 속력 불변성보다 수학적으로 약한 조건이 좌표 변환이 로런츠 변환임을 보장하기에 충분하다는 것을 보여주었다. 노먼 골드스타인(Norman Goldstein)의 논문은 인과성 대신 관성(시간꼴 선의 보존)을 사용하여 유사한 결과를 보여준다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
아인슈타인은 두 가지 기본 공준에 기반하여 특수 상대성이론을 세웠다. 첫째, 모든 물리 법칙은 상대적인 운동 상태에 관계없이 모든 관성 기준틀에서 동일하다. 둘째, 자유 공간에서의 빛의 속력은 각 기준틀의 상대 속도에 관계없이 모든 관성 기준틀에서 동일하다. 로런츠 변환은 근본적으로 이 두 번째 공준의 직접적인 결과이다.
특수 상대성이론의 두 번째 공준인 기준틀에 독립적인 빛의 속력 불변성을 가정하고, 서로 일정한 속도로 움직이는, 즉 관성계들로 이루어진 기준계들을 고려한다. 각 기준계는 점, 즉 시공간 사건에 레이블을 지정하는 자체적인 데카르트 좌표계를 갖는다. 빛의 속력 불변성을 수학적 형태로 표현하기 위해, 각 기준틀에서 기록될 시공간의 두 사건을 고정한다. 첫 번째 사건은 빛 신호의 방출이고, 두 번째 사건은 그것이 흡수되는 것이라고 하자.
집합 내에서 임의의 기준틀을 선택한다. 이 좌표계에서 첫 번째 사건에는  좌표가, 두 번째 사건에는  좌표가 할당될 것이다. 방출과 흡수 사이의 공간 거리는 이지만, 이것은 신호가 이동한 거리 와도 같다. 따라서 다음 방정식을 설정할 수 있다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
다른 모든 좌표계는 자체 좌표로 동일한 방정식을 기록할 것이다. 이것은 빛의 속력 불변성의 즉각적인 수학적 결과이다. 왼쪽의 양은 시공간 간격이라고 불린다. 빛 신호로 분리된 사건의 경우, 이 간격은 모든 기준틀에서 동일하며(0), 따라서 불변량이라고 불린다.
로런츠 변환이 자연에 의해 실현되는 물리적 의미를 가지려면, 간격이 빛 신호로 분리된 사건뿐만 아니라 모든 두 사건에 대해 불변량이라는 것이 중요하다. 이를 확립하기 위해, 무한소 간격을 고려한다.
이는 시스템 에서 기록된다. 는 동일한 두 무한소 분리된 사건에 간격 를 할당하는 다른 시스템이라고 하자. 만약 이면, 간격은 다른 시스템에서도 0이 될 것이므로(두 번째 공준), 와 는 같은 차수의 무한소이므로 서로 비례해야 한다.
는 무엇에 의존할 수 있는가? 이는 시공간에서 두 사건의 위치에 의존할 수 없는데, 이는 가정된 시공간의 균질성을 위반하기 때문이다. 와  사이의 상대 속도 에 의존할 수는 있지만, 방향에는 의존할 수 없고 속도에만 의존해야 하는데, 후자는 공간의 등방성을 위반하기 때문이다.
이제 시스템 과 를 가져온다.

이로부터 다음이 성립한다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
이제, 우변에서 가 과  모두에 의존하고, 벡터 과  사이의 각도에도 의존한다는 것을 관찰한다. 그러나 좌변은 이 각도에 의존하지 않는다는 것도 관찰한다. 따라서 이 방정식이 참이 되기 위한 유일한 방법은 함수 가 상수여야 한다는 것이다. 더 나아가, 동일한 방정식에 의해 이 상수는 1이다. 따라서,

모든 시스템 에 대해. 이것은 모든 무한소 간격에 대해 성립하므로, 모든 간격에 대해 성립한다.
로런츠 변환의 대부분의 유도 과정은 (모두는 아닐지라도) 이를 당연하게 여긴다. 이러한 유도 과정에서는 빛의 속력 불변성(빛과 같은 분리된 사건의 불변성)만을 사용한다. 이 결과는 로런츠 변환이 올바른 변환임을 보장한다.
정리:
은 정수이고, 이며, 는 실수 위에 정의된 벡터 공간으로 차원이 라고 하자. 는  위의 부정 내적이며 부호수 유형은 라고 하자. 는  위의 대칭 쌍선형 형식이며, 의 관련 이차 형식의 영집합이 의 영집합에 포함된다고 하자 (즉, 모든 에 대해 이면 이라고 가정하자). 그러면 인 상수 가 존재하여 를 만족한다. 또한, 이고 도 부호수 유형이 라고 가정하면, 이다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
위 절에서 와 관련된 "무한소"라는 용어는 실제로는 (점마다) 4차원 실수 벡터 공간(즉, 시공간 매니폴드의 한 점에서의 접공간)에 대한 이차 형식을 의미한다. 위 주장은 란다우와 립시츠의 문헌에서 거의 그대로 복사되었는데, 거기서는 와 의 비례 관계가 수학적으로 정확하게 공식화되거나 증명되지 않고 '명백한' 사실로만 언급되어 있다. 이는 정당화가 필요한 명백하지 않은 수학적 사실이며, 다행히 증명은 비교적 간단하고 기본적인 대수적 관찰과 조작으로 이루어진다.
만약 인 특수한 경우를 고려하면, 4차원에서 로런츠 부호수 상황을 다루게 되는데, 이것이 상대성이론의 기반이 된다 (또는 전체 마이너스 부호를 가진 반대 규약을 채택할 수도 있지만, 이는 정리의 진실성에 영향을 미치지 않는다). 또한, 이 경우 와  모두 동일한 영집합을 가진 이차 형식을 가진다고 가정하면 (물리학 용어로는 와 가 동일한 광원추를 생성한다고 말한다), 이 정리는 인 상수 가 존재하여 를 만족한다는 것을 알려준다. 표기법의 일부 차이를 제외하면, 이것은 위 절에서 사용된 것과 정확히 일치한다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
편의를 위해, 이 증명에서는 그리스 지수(예: )는 를 나타내고, 라틴 지수(예: )는 를 나타내기로 한다. 또한, 전반적으로 아인슈타인 합 규약을 사용할 것이다.
가 행렬 표현 을 갖는 의 기저 를 고정하자. 또한, 각각 단위 유클리드 노름을 갖는 과 에 대해 벡터 를 고려하자. 그러면 쌍선형성에 의해 이므로, 우리의 가정에 의해 도 성립한다. 의 쌍선형성과 대칭성을 사용하면, 이는 다음 등가이다.
이것이 단위 노름을 갖는 모든 에 대해 참이므로, 를 로 대체하면 다음을 얻는다.

이제 이 두 방정식을 빼고 4로 나누면 단위 노름을 갖는 모든 에 대해 다음을 얻는다.

따라서 와  (즉, 지정된 지수에 1이고 다른 곳에는 0인 벡터)를 선택하면 임을 알 수 있다. 이 결과로 우리의 첫 번째 방정식은 다음으로 단순화된다.

이것은 단위 노름을 갖는 모든 과 에 대해 다시 참이다. 결과적으로 모든 비대각항은 사라진다. 더 자세히 말하면, 가 서로 다른 지수라고 가정하자. 를 고려하자. 그러면 방정식의 우변이 에 의존하지 않으므로, 이고 따라서 임을 알 수 있다. 거의 동일한 논증으로 가 서로 다른 지수이면 임을 추론할 수 있다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
마지막으로, 가 을 거쳐가고, 가 를 거쳐가도록 연속적으로 두면 다음을 알 수 있다.
,
가 행렬 표현 을 갖는 의 기저 를 고정하자. 핵심은 벡터 공간 가 부분 공간  (처음 개의 기저 벡터의 스팬)와  (나머지 개의 기저 벡터의 스팬)로 분해될 수 있다는 것이다. 이 때 의 각 벡터는 와 에 대해 로 유일하게 작성될 수 있으며, 또한 , 이고 이다. 따라서 (쌍선형성에 의해)
오른쪽의 첫 번째 항은 음이 아니고 두 번째 항은 음이 아니므로, 모든 
와 에 대해, 이 되는 스칼라 를 찾을 수 있다.
이제부터는 항상 
와 를 고려한다. 쌍선형성에 의해
만약 이면, 도 성립하며, 에 대해서도 마찬가지이다 (왜냐하면 의 영집합이 의 영집합에 포함되기 때문). 이 경우, 위 두 식을 빼고 (4로 나누면) 다음을 얻는다.
위와 같이, 모든 
와 에 대해, 이 되는 스칼라 가 존재하므로, 이고, 이는 쌍선형성에 의해 을 의미한다.
로런츠 변환 유도 물리적 원리
이제 를 만족하는 0이 아닌 를 고려한다. 우리는 를 만족하는 를 찾을 수 있다. 위 표현에 따라,

마찬가지로, 에 대해, 이면, 도 성립함을 보일 수 있다. 따라서 의 모든 벡터에 대해 성립한다.This is not obvious at all. What is shown here is if the points are either positive or negative subspace, then the equality assumption for h implies that of g; however, if x and y are general points, the assumption states only the equality of the sum of two terms: the positive term and negative term. This does imply neither the equalities between positive terms nor negative terms.
에 대해, 만약 ,  (어떤 에 대해)이라면, 우리는 (필요하다면 하나를 스케일링하여) 라고 가정할 수 있으며, 이는 위에서 말했듯이 를 의미한다. 따라서 .
실베스터 관성법칙에 의해, 가 행렬 표현 을 갖는 의 기저 를 고정할 수 있다. 요점은 벡터 공간 가 부분 공간 (처음 개의 기저 벡터의 스팬)과 (나머지 개의 기저 벡터의 스팬)로 분해될 수 있다는 것이다. 이 때 의 각 벡터는 와 에 대해 로 유일하게 작성될 수 있으며, 또한 , 이고 이다. 이제부터는 를 로 쓸 것이다.
보조정리: 임의의 와 에 대해 다음을 만족하는 상수 가 존재한다.
(a)
(b) , 여기서
를 고정하고 를 변화시키면, 이 비율이 에 의존하지 않음을 알 수 있다. 마찬가지로, 에도 의존하지 않는다.
이 비율을 라고 부른다. 이제 에 대해,
모든 에 대해, 우리는 다음을 갖는다.
로런츠 변환 유도 표준 구성
불변 간격은 시공간의 비음정치 거리 함수로 볼 수 있다. 찾고 있는 변환은 이 거리를 불변으로 유지해야 한다. 기준틀의 좌표계가 직교 좌표계라는 점 때문에, 유클리드 경우와 마찬가지로 가능한 변환은 평행 이동과 회전으로 구성되며, 여기서 '회전'이라는 용어에 약간 더 넓은 의미가 허용되어야 한다고 결론 내린다.
간격은 평행 이동에 대해 매우 자명하게 불변이다. 회전의 경우, 네 개의 좌표가 있다. 따라서 여섯 개의 회전 평면이 있다. 이 중 세 개는 공간 평면에서의 회전이다. 간격은 일반적인 회전에 대해서도 불변이다.
나머지 세 좌표 평면에서 간격을 불변으로 유지하는 "회전"을 찾는 것이 남아있다. 또는, 움직이는 기준틀에 해당하는 좌표와 일치하도록 좌표를 할당하는 방법을 찾는 것이다.
일반적인 문제는 다음을 만족하는 변환을 찾는 것이다.
로런츠 변환 유도 표준 구성
일반적인 문제를 해결하기 위해, 평행 이동과 일반적인 회전의 간격 불변성에 대한 지식을 사용하여, 일반성을 잃지 않고, 기준틀 F와 F′가 좌표축이 모두 t = t′ = 0에서 만나고, x축과 x′축이 영구적으로 정렬되며, 시스템 F′가 양의 x-축을 따라 속도 V를 갖도록 정렬되었다고 가정할 수 있다. 이를 표준 구성이라고 부른다. 이는 일반적인 문제를 다음을 만족하는 변환을 찾는 것으로 줄인다.
표준 구성은 아래 대부분의 예에서 사용된다. 더 간단한 문제의 선형 해
는 좌표 차이가 동일하게 변환되므로 더 일반적인 문제를 해결한다. 문헌에서는 이 더 간단한 문제가 고려될 때 선형성이 종종 가정되거나 어떤 식으로든 논의된다. 만약 더 간단한 문제의 해가 선형이 아니라면, 제곱을 전개할 때 나타나는 교차항 때문에 원래 문제를 해결하지 못한다.
로런츠 변환 유도 해
언급했듯이, 일반적인 문제는 시공간에서의 평행 이동에 의해 해결된다. 이들은 제시된 더 간단한 문제의 해로 나타나지 않지만, 부스트는 나타난다(때로는 받음각에 따라 회전도). 빛과 같은 분리된 사건에 대한 간격의 불변성만을 주장한다면 더 많은 해가 존재한다. 이들은 비선형 등각("각도 보존") 변환이다. 다음이 성립한다.
물리학의 일부 방정식은 등각 불변이지만(예: 소스가 없는 공간에서의 맥스웰 방정식), 전부는 아니다. 현재 시공간에서의 등각 변환의 관련성은 알려져 있지 않지만, 2차원에서의 등각군은 등각 장론과 통계역학에서 매우 중요하다. 따라서 특수 상대성이론의 공준에 의해 푸앵카레 군이 특별히 선택된다. 갈릴레이 상대성이론의 갈릴레이 군과 구별되는 것은 (빛의 속력보다 빠른 속도를 허용할 수 있는 단순한 벡터 합과는 다른 속도 덧셈 공식을 갖는) 로런츠 부스트의 존재 때문이다. 공간 회전, 공간 및 시간 반전, 평행 이동은 두 군 모두에 존재하며 두 이론 모두에서 동일한 결과를 갖는다(운동량, 에너지, 각운동량 보존 법칙). 모든 받아들여진 이론이 반전에 대한 대칭을 존중하는 것은 아니다.
로런츠 변환 유도 시공간의 기하학 이용
이 세 가지 쌍곡선 함수 공식 (H1–H3)은 아래에서 참조된다:
{{#표준 구성|표준 구성}}에서 x-방향으로의 부스트에 대해, 프라임 좌표가 움직이는 시스템을 참조하는 문제는 더 간단한 방정식의 선형 해를 찾는 것으로 해결된다.
가장 일반적인 해는 (H1)을 사용하여 직접 대입하여 확인할 수 있듯이 다음과 같다.
물리적 설정에서 Ψ의 역할을 찾기 위해 F′의 원점, 즉 x′ = 0, x = vt의 진행을 기록한다. 방정식은 다음과 같이 된다 (먼저 x′ = 0을 사용하여).
이제 나눈다:
여기서 첫 번째 단계에서 x = vt가 사용되었고, 두 번째 단계에서 (H2)와 (H3)이 사용되었다. 이를 (1)에 다시 대입하면 다음을 얻는다.
또는, 일반적인 약어를 사용하여,
이 계산은 쌍곡선 회전 섹션에서 더 자세히 반복된다.
로런츠 변환은 특수 상대성이론의 공준과 쌍곡선 항등식을 간단히 적용하여 유도할 수도 있다.
상대론 공준
원점에 중심을 둔 빛 펄스의 구형 파면 방정식을 시작으로:
로런츠 변환 유도 시공간의 기하학 이용
특수 상대성이론의 공준 때문에 두 기준틀에서 동일한 형태를 취한다. 다음으로, 위에 있는 표준 구성에서 각 기준틀의 x축을 따라 상대 운동을 고려하면 y = y′, z = z′이므로 다음으로 단순화된다.
선형성
이제 변환이 다음 선형 형식을 취한다고 가정하자:
여기서 A, B, C, D를 찾아야 한다. 만약 이들이 비선형적이라면, 한 기준틀에서는 속도가 일정하더라도 다른 기준틀에서는 겉보기힘(따라서 가속도)이 발생할 것이므로 모든 관찰자에게 동일한 형태를 취하지 않을 것이며, 이는 관성 기준틀 변환과 일치하지 않는다.
이전 결과에 대입하면:
그리고 x2, t2, xt의 계수들을 비교하면:
쌍곡선 회전
이 방정식들은 쌍곡선 항등식 을 시사한다.
신속도 매개변수 ϕ를 쌍곡선각으로 도입하면 일관된 식별이 가능하다.
여기서 제곱근 이후의 부호는 x'와 t'가 각각 x와 t가 증가할 때 증가하도록 선택된다. 쌍곡선 변환은 다음을 위해 해결되었다.
만약 부호가 다르게 선택되었다면 위치와 시간 좌표는 −x 및 −t로 대체되어야 하여 x와 t가 감소하지 않고 증가하도록 해야 한다.
로런츠 변환 유도 시공간의 기하학 이용
ϕ가 상대 속도와 어떻게 관련되는지 찾기 위해, 표준 구성에서 프라임 기준틀의 원점 x′ = 0은 프라임 없는 기준틀에서 x = vt로 측정된다(또는 그와 동등하고 반대 방향으로; 프라임 없는 기준틀의 원점은 x = 0이고 프라임 기준틀에서는 x′ = −vt이다):
그리고 쌍곡선 항등식 는 β, γ, 그리고 ϕ 사이의 관계를 이끌어낸다.
1960년대와 1970년대에 알렉산드로프(A. D. Alexandrov)의 연구로 절정에 달한 일련의 결과들은 로런츠 변환이 빛의 속도 불변성보다 훨씬 더 근본적이고 정성적인 시공간 특성으로부터 유도될 수 있음을 보여주었다.