hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
암호학사 현대 암호학
비대칭 키 알고리즘의 두 사용자가 안전하지 않은 채널을 통해 안전하게 통신하려면, 각 사용자는 자신의 공개 및 개인 키와 다른 사용자의 공개 키를 알아야 한다. 다음 기본 시나리오를 살펴보자. 앨리스와 밥은 각각 여러 다른 사용자와 몇 년 동안 사용해 온 키 쌍을 가지고 있다. 메시지 시작 시, 그들은 안전하지 않은 회선을 통해 암호화되지 않은 공개 키를 교환한다. 앨리스는 자신의 개인 키를 사용하여 메시지를 암호화한 다음, 그 결과를 밥의 공개 키를 사용하여 다시 암호화한다. 이중 암호화된 메시지는 앨리스에서 밥으로 전선을 통해 디지털 데이터로 전송된다. 밥은 비트 스트림을 수신하고 자신의 개인 키를 사용하여 해독한 다음, 앨리스의 공개 키를 사용하여 해당 비트 스트림을 해독한다. 최종 결과가 메시지로 인식될 수 있다면, 밥은 메시지가 앨리스의 개인 키를 아는 사람(앨리스가 자신의 개인 키를 신중하게 관리했다면 아마도 실제로 앨리스)으로부터 왔으며, 채널을 도청하는 누구든지 메시지를 이해하려면 밥의 개인 키가 필요하다는 것을 확신할 수 있다.
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비대칭 알고리즘은 실행하는 데는 상대적으로 적은 계산 능력만 필요하지만, 역연산이 가능하다 하더라도 막대한 양의 계산 능력이 필요한 일방향 함수라는 수학적 문제에 그 효과를 의존한다. 일방향 함수의 고전적인 예는 매우 큰 소수의 곱셈이다. 두 개의 큰 소수를 곱하는 것은 매우 빠르지만, 두 큰 소수의 곱의 인수를 찾는 것은 매우 어렵다. 일방향 함수의 수학적 특성 때문에 대부분의 가능한 키는 암호화 키로 나쁜 선택이다. 주어진 길이의 가능한 키 중 극히 일부만이 적합하며, 따라서 비대칭 알고리즘은 상대적으로 짧은 대칭 키가 제공하는 것과 동일한 보안 수준에 도달하기 위해 매우 긴 키를 필요로 한다. 키 쌍을 생성하고 암호화/해독 작업을 수행해야 하므로 비대칭 알고리즘은 대부분의 대칭 알고리즘에 비해 계산 비용이 많이 든다. 대칭 알고리즘은 종종 (무작위이거나 최소한 예측 불가능한) 모든 비트 시퀀스를 키로 사용할 수 있으므로, 단기 사용을 위한 일회용 세션 키를 빠르게 생성할 수 있다. 따라서 긴 비대칭 키를 사용하여 일회용으로 훨씬 짧지만 (동일하게 강력한) 대칭 키를 교환하는 것이 일반적인 관행이다. 더 느린 비대칭 알고리즘은 대칭 세션 키를 안전하게 전송하고, 더 빠른 대칭 알고리즘은 메시지의 나머지 부분을 처리한다.
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비대칭 키 암호화, 디피-헬먼 키 교환, 그리고 가장 잘 알려진 공개 키/개인 키 알고리즘 (즉, 1977년 로널드 리베스트, 아디 샤미르, 레너드 애들먼이 발명한 RSA 알고리즘이라고 보통 불리는 것)은 모두 1976년 디피와 헬먼의 공개 발표 이전에 영국 정보 기관에서 독립적으로 개발된 것으로 보인다. GCHQ는 디피와 헬먼의 논문이 발표되기 전에 자신들이 공개 키 암호화를 개발했다고 주장하는 문서를 공개했다. 1960년대와 1970년대에 GCHQ에서 작성된 다양한 기밀 논문들은 결국 RSA 암호화와 디피-헬먼 키 교환과 본질적으로 동일한 체계를 1973년과 1974년에 이끌어냈다. 이들 중 일부는 현재 공개되었으며, 발명가들 (제임스 H. 엘리스, 클리포드 콕스, 맬컴 윌리엄슨)은 (일부) 그들의 작업을 공개했다.
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해싱은 암호학에서 일반적인 알고리즘을 사용하여 정보를 빠르게 인코딩하는 데 사용되는 일반적인 기술이다. 일반적으로 알고리즘이 텍스트 문자열에 적용되고, 결과 문자열이 "해시 값"이 된다. 이는 메시지의 "디지털 지문"을 생성하며, 특정 해시 값은 특정 메시지를 식별하는 데 사용된다. 알고리즘의 출력은 "메시지 다이제스트" 또는 "체크섬"이라고도 불린다. 해싱은 전송 중 정보가 변경되었는지 여부를 확인하는 데 유용하다. 수신 시 해시 값이 전송 시와 다르면 메시지가 변경되었다는 증거가 된다. 알고리즘이 해시될 데이터에 적용되면 해시 함수는 고정 길이 출력을 생성한다. 본질적으로 해시 함수를 통과하는 모든 것은 동일한 해시 함수를 통과하는 다른 모든 것과 동일한 길이의 출력으로 해결되어야 한다. 해싱이 암호화와 동일하지 않다는 점에 유의하는 것이 중요하다. 해싱은 데이터를 압축된 메시지 다이제스트로 변환하는 데 사용되는 단방향 작업이다. 또한 메시지의 무결성은 해싱으로 측정할 수 있다. 반대로 암호화는 평문을 암호문으로 변환한 다음 그 반대로 변환하는 데 사용되는 양방향 작업이다. 암호화에서는 메시지의 기밀성이 보장된다.
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해시 함수는 디지털 서명을 확인하는 데 사용될 수 있으므로, 인터넷을 통해 문서를 서명할 때 서명이 특정 개인에게 적용된다. 손글씨 서명과 마찬가지로 이러한 서명은 정확한 해시 코드를 사람에게 할당하여 확인된다. 또한 해싱은 컴퓨터 시스템의 암호에 적용된다. 암호에 대한 해싱은 유닉스 운영 체제에서 시작되었다. 시스템의 사용자는 먼저 암호를 생성한다. 해당 암호는 알고리즘 또는 키를 사용하여 해시된 다음 암호 파일에 저장된다. 이는 오늘날에도 여전히 두드러지게 나타나며, 암호를 요구하는 웹 애플리케이션은 종종 사용자의 암호를 해시하여 데이터베이스에 저장한다.
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1970년대의 공개적 발전은 정부 기관이 보유했던 고품질 암호학에 대한 거의 독점을 깨뜨렸다 (당시 미국 정책 논란에 대한 저널리즘적 설명은 S. 레비의 Crypto 참조). 역사상 처음으로 정부 기관 외부의 사람들이 누구도 (정부 포함) 쉽게 해독할 수 없는 암호학에 접근할 수 있게 되었다. 상당한 논란과 갈등이 공적으로나 사적으로 거의 즉시 시작되었으며, 때로는 암호 전쟁이라고 불린다. 이들은 아직 가라앉지 않았다. 예를 들어, 많은 국가에서 암호화 수출은 제한을 받는다. 1996년까지 미국에서 40비트보다 긴 키 (지식 있는 공격자에 대해 매우 안전하기에는 너무 짧음)를 사용하는 암호화 수출은 엄격하게 제한되었다. 2004년에 루이스 프리 전 FBI 국장은 9/11 위원회에서 증언하면서 암호화의 공개적 사용에 대한 새로운 법률을 요구했다.
강력한 암호화를 대중적으로 사용하는 것을 지지하는 가장 중요한 인물 중 한 명은 필 짐머만이었다. 그는 매우 고품질의 PGP (Pretty Good Privacy)를 작성한 다음 1991년에 출시했다. 그는 미국 정부가 미국 내에서 개발된 모든 암호화 제품에 백도어를 포함하도록 요구하는 법안을 고려 중이라는 위협을 느꼈을 때 PGP의 프리웨어 버전을 배포했다. 그의 시스템은 그가 미국에서 출시한 직후 전 세계적으로 출시되었으며, 이는 미국 법무부 (DOJ)에 의해 수출 제한 위반 혐의로 그에 대한 오랜 형사 조사가 시작되었다. DOJ는 결국 짐머만에 대한 소송을 취하했고, PGP의 프리웨어 배포는 전 세계적으로 계속되고 있다. PGP는 결국 공개 인터넷 표준 (RFC 2440 또는 OpenPGP)이 되었다.
AES 및 고품질 비대칭 암호와 같은 현대 암호는 널리 해독 불가능하다고 여겨지지만, 미흡한 설계 및 구현이 여전히 채택되는 경우가 있으며, 최근 몇 년 동안 배포된 암호 시스템에 대한 중요한 암호 해독 공격이 있었다. 해독된 암호 설계의 주목할 만한 예로는 최초의 와이파이 암호화 방식인 WEP, DVD 사용을 암호화하고 제어하는 데 사용되는 콘텐트 스크램블 시스템, GSM 휴대폰에 사용되는 A5/1 및 A5/2 암호, 그리고 NXP 반도체 (필립스 일렉트로닉스에서 분사된 부서)의 널리 배포된 MIFARE Classic 스마트카드에 사용되는 CRYPTO1 암호가 있다. 이들은 모두 대칭 암호이다. 현재까지 공개 키 암호학의 근간이 되는 수학적 아이디어 중 어느 것도 '해독 불가능'하다고 증명된 바가 없으므로, 미래의 수학적 분석 발전으로 인해 이에 의존하는 시스템이 안전하지 않게 될 수도 있다. 그러한 돌파구를 예상하는 정보통 전문가들은 거의 없지만, 코드를 해독하는 데 필요한 컴퓨팅 능력 증가가 저렴하고 더 쉽게 이용 가능해짐에 따라 보안을 위한 권장 키 크기는 계속 증가하고 있다. 충분한 용량으로 구축된다면 양자 컴퓨터는 기존 공개 키 알고리즘을 해독할 수 있으며, 양자 후 암호를 개발하고 표준화하기 위한 노력이 진행 중이다.
전통적인 의미의 암호화를 해독하지 않고도 컴퓨터 시스템이 구현되는 방식(예: 캐시 메모리 사용, 타이밍 정보, 전력 소비, 전자기 누출 또는 심지어 방출되는 소리)에서 얻은 정보를 악용하는 부채널 공격이 시도될 수 있다. 이러한 공격을 더 어렵게 만드는 새로운 암호화 알고리즘이 개발되고 있다.
노르웨이의 대학
노르웨이의 고등 교육은 노르웨이의 대학, 전문대학 및 기타 인가된 고등 교육 기관에서 제공하는 교육을 말한다. 노르웨이의 고등 교육 시스템은 공공 재원에 크게 의존하며, 높은 수준의 접근성과 평등을 지향한다. 시스템은 볼로냐 프로세스를 따라 유럽 표준 학위 구조를 채택하고 있다.
노르웨이의 대학 개요
노르웨이의 고등 교육은 노르웨이 교육연구부가 총괄하며, 모든 공립 및 사립 기관은 교육 품질 보증 기관인 NOKUT(Nasjonalt organ for kvalitet i utdanningen)의 인증을 받아야 한다. 2024년 기준 약 314,277명의 학생이 고등 교육 과정에 등록되어 있다.
노르웨이의 고등 교육 기관은 크게 세 가지 유형으로 나뉜다. 첫째는 대학으로, 오슬로 대학교, 베르겐 대학교 등 10개의 주요 대학이 여기에 속한다. 이 기관들은 광범위한 학문 분야에서 학사, 석사, 박사 학위 과정을 제공하며 이론 및 기초 연구에 중점을 둔다. 둘째는 전문대학이며, 간호, 교육, 공학 등 특정 직업군에 초점을 맞춘 실무 중심 교육을 제공한다. 일부 대형 전문대학(예: 오슬로 메트로폴리탄 대학교)은 대학으로 승격되었다. 마지막으로 특수 전문 대학은 노르웨이 경제 경영 대학처럼 특정 분야에서 대학 수준의 연구와 교육을 제공하는 특수 기관을 말한다.
노르웨이의 대학 학위 구조
노르웨이는 2003년 교육 품질 개혁을 통해 볼로냐 프로세스를 도입하여 유럽 표준 학위 시스템을 따른다.
기본 학제는 3년 과정의 학사 (180 ECTS 학점), 2년 과정의 석사 (120 ECTS 학점), 그리고 3년 과정의 박사로 구성된다. 석사 과정 중 일부 공학이나 법학 등은 5년 통합 과정으로 제공되기도 하며, 박사 과정은 지도 하에 독립적인 연구와 논문을 완성해야 한다. 다만 의학, 심리학 등 일부 전문 분야는 볼로냐 체계와 별도로 5~6년 과정의 통합 전문 학위를 유지하고 있다.
노르웨이의 대학 입학
노르웨이의 학부 과정에 입학하기 위해서는 상위 중등 교육을 이수하고 일반 대학 입학 자격을 취득해야 한다.
일부 전공, 특히 공학, 과학, 의학 계열은 Realfag(자연과학/수학) 관련 특정 과목 이수를 추가로 요구한다.
노르웨이의 거의 모든 공립 및 일부 사립 기관의 학부 과정 입학은 Samordna opptak(노르웨이 대학 및 칼리지 입학 서비스)이라는 중앙 집중식 공동 지원 시스템을 통해 이루어진다.
지원자의 고등학교 성적을 기반으로 점수를 환산하며, 추가적으로 연령 점수, 특정 과목 이수 보너스 점수, 군 복무나 민간 복무 이수 점수 등을 합산하여 최종 입학 점수를 산출한다. 지원자는 이 점수 순서대로 합격 여부가 결정된다.
노르웨이의 대학 입학 경쟁은 전반적으로 대한민국과 같은 국가에 비해 극심한 수준은 아니나, 인기 있는 전공의 경우 매우 치열하다.
노르웨이의 대학 입학
2025년 입학 통계에 따르면, Samordna opptak을 통해 약 142,004명이 지원했으며, 이 중 64,542개의 학습 장소가 제공되었다. 이는 제공되는 정원 대비 약 2.2:1의 전체 지원 경쟁률을 나타낸다. 2025년 기준 가장 많은 1지망 지원자가 몰린 상위 학문 분야는 보건 및 의료(35,245명), 경제 및 행정(26,108명), 사회 과학(16,619명) 순이었다.
이 2.2:1의 전체 평균 경쟁률은 대한민국의 2025학년도 4년제 대학 수시 평균 경쟁률 6.99:1 또는 정시 평균 경쟁률(비수도권 포함 약 4.7:1)과 비교할 때 상대적으로 상당히 낮은 수치이다. 다른 여러 국가와 비교했을 때, 노르웨이의 평균 입학 경쟁률은 미국 4년제 대학의 평균 합격률(약 60~70%, 경쟁률 환산 시 약 1.5:1 ~ 1.7:1)보다는 다소 높으나, 극심한 입시 경쟁을 겪는 대한민국에 비해서는 전반적인 진입 장벽이 낮은 편이다. 즉, 노르웨이의 대학 입학은 전반적으로 '평균적인' 경쟁률을 보인다고 평가할 수 있다.
노르웨이의 대학 입학
다만, 이는 모든 전공과 대학을 포함한 국가 전체의 평균치이다. 오슬로 대학교의 법학, 의학, 심리학이나 노르웨이 경제 경영 대학 등 최상위권 인기 프로그램의 경우, 입학 커트라인이 매우 높아 대한민국의 최상위권 대학 및 의치한 계열에 버금가는 극히 치열한 경쟁을 통과해야 한다.
경쟁률과는 별개로, 실제 인구 대비 대학 진학률의 경우, 노르웨이 통계청의 가장 최신 데이터(2024년 기준)에 따르면 19세에서 24세 사이 연령층 인구 중 고등 교육 과정에 등록한 학생의 비율은 37.2%이다. 이는 2023년의 36.7%에서 소폭 상승한 수치이다.
유럽 연합과 유럽 경제 지역 출신 학생들은 노르웨이 학생들과 동일한 조건으로 Samordna opptak을 통해 지원할 수 있다. 그 외 국가(비 EU/EEA) 학생들은 일반적으로 각 대학의 국제 입학처를 통해 직접 지원해야 한다. 이 경우, 출신 국가의 고등 교육 입학 자격과 함께 영어 공인 성적(TOEFL 또는 IELTS)을 제출해야 한다. 노르웨이어로 진행되는 과정에 지원할 경우, 노르웨이어 능력 시험(Bergenstesten 또는 Trinn 3) 통과가 요구된다.
노르웨이의 대학 학비 및 재정
노르웨이의 공립 대학은 역사적으로 노르웨이 시민권자 및 유럽 연합 및 유럽 경제 지역 출신 학생들에게 학비가 무료였다. 그러나 2023년 가을 학기부터 노르웨이 정부는 EU/EEA 이외 국가 출신 신입 유학생(예: 대한민국, 일본, 미국, 영국 등)에게 학비를 부과하는 정책을 도입했다. 학비는 학교와 전공에 따라 다르며, 연간 약 130,000 NOK에서 400,000 NOK(약 1,700만원 ~ 5,200만원) 이상에 이른다. 박사 과정은 유학생에게도 여전히 학비가 면제되며, 대부분 급여를 받는 연구원으로 채용된다. 모든 학생(국적 불문)은 학기마다 약 500~900 NOK(약 6~12만원) 정도의 소액의 학기 등록비를 납부해야 한다. 이는 학생 복지 기구 운영에 사용된다.
노르웨이의 대학 학비 및 재정
학비가 없던 시절에도 노르웨이의 높은 생활비는 학생들에게 큰 부담이었다. 노르웨이 국가 교육 기금은 노르웨이 학생들에게 생활비를 충당할 수 있도록 학자금 대출과 일부 보조금을 제공하는 핵심적인 시스템이다. 이 대출금의 일부(약 40%)는 정해진 기간 내에 학위를 취득할 경우 보조금(장학금)으로 전환되어 상환이 면제된다. EU/EEA 학생들도 특정 조건 하에 이 기금의 혜택을 받을 수 있으나, 비 EU/EEA 학생은 대부분 해당되지 않는다.
노르웨이의 대학 학생 생활 및 복지
노르웨이 대학 생활의 중심에는 학생 복지 기구가 있다. 학생들은 학기 등록비를 납부함으로써 이 기구의 회원 자격을 얻는다. 주요 도시의 복지 기구(예: SiO(오슬로), Sammen(베르겐), SiT(트론헤임))는 학생 기숙사, 교내 식당, 학생 보건소(정신 건강 상담 포함), 학생 스포츠 센터, 유치원 등 다양한 서비스를 저렴하게 제공한다.
하티 (위성)
하티(토성 XLIII)는 토성의 불규칙 위성으로 2004년 12월 12일부터 2005년 3월 11일까지의 관측 결과를 바탕으로 2005년 5 월 4일 스콧 S. 셰퍼드, 데이비드 C. 주잇, 얀 클레이나, 브라이언 G. 마스든 이 이 위성을 발견했다고 발표되었다. 하티는 지름이 약 5km이고, 황도에 대해 164°의 경사각을 가지고 1040일 동안 토성을 평균 19,709,300km 떨어진 거리에서 공전한다. 역행 방향으로 공전하고 이심률은 0.375로 문딜파리와 다소 유사한 궤도를 지니고 있다. 2013년 3월 카시니 탐사선은 하티의 자전 주기를 약 5.45±0.04시간이라 추측했으며 이는 모든 위성 중 가장 빠른 자전 속도이다.
이 이름은 2007년 4월에 북유럽 신화에 나오는 거대한 늑대 하티의 이름을 따서 지어졌다.
공유 비밀
암호학에서 공유 비밀, 공유 시크릿, 셰어드 시크릿(shared secret)은 보안 통신에 관련된 당사자들만 아는 데이터 조각이다. 이는 일반적으로 대칭 키 암호의 키를 의미한다. 공유 비밀은 PIN 코드, 비밀번호, 비밀구절, 큰 숫자 또는 무작위로 선택된 바이트 배열일 수 있다.
공유 비밀은 통신 당사자 간에 미리 공유되거나(이 경우 사전 공유 키라고도 함) 통신 세션 시작 시 디피-헬먼과 같은 공개 키 암호 방식이나 커버로스와 같은 대칭 키 암호를 사용하는 키 합의 프로토콜을 사용하여 생성된다.
공유 비밀은 챌린지-응답 인증과 같은 방법을 사용하여 인증(예: 원격 시스템에 로그인할 때)에 사용되거나, 메시지의 암호화 및 MAC에 사용될 하나 이상의 키를 생성하기 위해 키 유도 함수에 입력될 수 있다.
고유한 세션 및 메시지 키를 만들기 위해 공유 비밀은 일반적으로 초기화 벡터(IV)와 결합된다. 이의 예시로 파생된 트랜잭션당 고유 키(derived unique key per transaction) 방식이 있다.
또한 웹 API에서 인증 수단으로도 자주 사용된다.
텐서 축약
다중선형대수학에서 텐서 축약(영어: Tensor contraction)은 벡터 공간과 그 쌍대 공간의 정준 쌍에서 발생하는 텐서에 대한 연산이다. 성분으로는, 식에서 서로 묶인 한 쌍의 더미 인덱스에 아인슈타인 합 규약을 적용하여 발생하는 텐서의 스칼라 성분들의 곱의 합으로 표현된다. 단일 혼합 텐서의 축약은 텐서의 문자 인덱스 쌍(하나는 아래 첨자, 다른 하나는 위 첨자)이 서로 같게 설정되고 합산될 때 발생한다. 아인슈타인 표기법에서는 이 합산이 표기법에 내장되어 있다. 그 결과는 차수가 2만큼 줄어든 또 다른 텐서이다.
텐서 축약은 대각합의 일반화로 볼 수 있다.
텐서 축약 추상적 공식화
V를 체 k에 대한 벡터 공간이라고 하자. 축약 연산의 핵심이자 가장 간단한 경우는 V와 그 쌍대 벡터 공간 V∗의 정준 쌍이다. 이 쌍은 이 두 공간의 텐서곱에서 체 k로의 선형 변환이다.
다음 쌍선형 형식에 해당한다.
여기서 f는 V∗에 있고 v는 V에 있다. 사상 C는 유형 (1, 1) 텐서에 대한 축약 연산을 정의하며, 이는 의 원소이다. 결과는 스칼라 (k의 원소)라는 점에 유의한다. 유한 차원에서 와 V에서 V로의 선형 변환 공간 사이의 자연 동형을 사용하면 대각합의 기저 없는 정의를 얻는다.
일반적으로 유형 (m, n)의 텐서 (m ≥ 1 및 n ≥ 1일 때)는 다음 벡터 공간의 원소이다.
(여기서 m개의 V 인자와 n개의 V∗ 인자가 있다). k번째 V 인자와 l번째 V∗ 인자에 정준 쌍을 적용하고 다른 모든 인자에는 항등원을 사용하여 유형 (m − 1, n − 1)의 텐서를 생성하는 선형 변환인 (k, l) 축약 연산을 정의한다. (1, 1)의 경우에 비유하여 일반적인 축약 연산을 때때로 대각합이라고 부른다.
텐서 축약 인덱스 표기법의 축약
텐서 지표 표기법에서 벡터와 쌍대 벡터의 기본 축약은 다음과 같이 표기된다.
이는 명시적인 좌표 합산에 대한 약어이다.
(여기서 vi는 특정 기저에서 v의 성분이고 fi는 해당하는 쌍대 기저에서 f의 성분이다).
일반적인 혼합 다이애딕 텐서는  형태의 분해 가능한 텐서들의 선형 결합이므로, 다이애딕 경우에 대한 명시적 공식은 다음과 같다.
가 혼합 다이애딕 텐서라고 하자. 그러면 그 축약은 다음과 같다.
.
일반적인 축약은 하나의 공변 인덱스와 하나의 반변 인덱스에 같은 문자를 붙여서 표기하며, 아인슈타인 합 규약에 의해 해당 인덱스에 대한 합산이 암시된다. 결과로 얻는 축약된 텐서는 원래 텐서의 나머지 인덱스를 상속한다. 예를 들어, (2,2)형 텐서 T를 두 번째 및 세 번째 인덱스에 대해 축약하여 (1,1)형의 새로운 텐서 U를 생성하는 것은 다음과 같이 쓰인다.
이와 대조적으로,
가 비혼합 다이애딕 텐서라고 하자. 이 텐서는 축약되지 않는다. 만약 그 기저 벡터들이 점찍혀 있다면, 결과는 반변 계량 텐서가 된다.
,
그 계수는 2이다.
텐서 축약 계량 축약
이전 예에서처럼, 공변 인덱스이거나 반변 인덱스인 한 쌍의 인덱스에 대한 축약은 일반적으로 불가능하다. 그러나 내적 (일명 계량) g가 존재하면 이러한 축약이 가능하다. 필요한 경우 계량을 사용하여 인덱스 중 하나를 올리거나 내린 다음 일반적인 축약 연산을 사용한다. 이 결합된 연산을 계량 축약이라고 한다.
텐서 축약 텐서장에 대한 응용
축약은 종종 공간(예: 유클리드 공간, 다양체, 스킴)에 대한 텐서장에 적용된다. 축약은 순전히 대수적인 연산이므로 텐서장에 점별로 적용될 수 있다. 예를 들어 T가 유클리드 공간의 (1,1) 텐서장인 경우, 어떤 좌표에서도 한 점 x에서의 축약(스칼라장) U는 다음과 같이 주어진다.
여기서 x의 역할은 복잡하지 않으므로 종종 생략되며, 텐서장에 대한 표기법은 순전히 대수적인 텐서에 대한 표기법과 동일해진다.
리만 다양체 위에서는 계량(내적들의 장)이 사용 가능하며, 계량 및 비계량 축약은 이론에 매우 중요하다. 예를 들어, 리치 곡률 텐서는 리만 곡률 텐서의 비계량 축약이며, 스칼라 곡률은 리치 텐서의 유일한 계량 축약이다.
다양체의 적절한 함수 환에 대한 가군 또는 구조층에 대한 가군 층의 맥락에서도 텐서장의 축약을 볼 수 있다. 이 글의 끝에 있는 논의를 참조하라.
텐서 축약 텐서장에 대한 응용
텐서장의 축약의 응용으로, V를 리만 다양체 (예: 유클리드 공간) 위의 벡터장이라고 하자. 를 V의 공변미분이라고 하자 (일부 좌표 선택에서). 유클리드 공간의 카르테시안 좌표의 경우, 다음과 같이 쓸 수 있다.
그러면 인덱스 β를 α로 변경하면 인덱스 쌍이 서로 묶이게 되어 미분 자체가 축약되어 다음 합을 얻는다.
이는 발산 div V이다. 그러면
은 V에 대한 연속 방정식이다.
일반적으로, 다음과 같이 고계 텐서장에 대한 다양한 발산 연산을 정의할 수 있다. T가 적어도 하나의 반변 인덱스를 갖는 텐서장인 경우, 공변미분을 취하고 선택된 반변 인덱스와 미분에 해당하는 새로운 공변 인덱스를 축약하면 T보다 계수가 하나 낮은 새로운 텐서가 생성된다.
텐서 축약 한 쌍의 텐서의 축약
핵심 축약 연산(벡터와 쌍대 벡터)을 약간 다른 방식으로 일반화할 수 있는데, T와 U라는 한 쌍의 텐서를 고려하는 것이다. 텐서곱 는 새로운 텐서이며, 적어도 하나의 공변 인덱스와 하나의 반변 인덱스를 갖는 경우 축약될 수 있다. T가 벡터이고 U가 쌍대 벡터인 경우는 이 글에서 처음 소개된 핵심 연산과 정확히 같다.
텐서 인덱스 표기법에서 두 텐서를 서로 축약하려면, 동일한 항의 인자로 나란히 놓는다. 이는 텐서곱을 구현하여 복합 텐서를 생성한다. 이 복합 텐서에서 두 인덱스를 축약하는 것은 두 텐서의 원하는 축약을 구현한다.
예를 들어, 행렬은 첫 번째 인덱스가 반변이고 두 번째 인덱스가 공변인 (1,1) 유형의 텐서로 나타낼 수 있다. 를 한 행렬의 성분이라고 하고, 를 두 번째 행렬의 성분이라고 하자. 그러면 이들의 곱은 다음과 같은 축약으로 주어진다. 이는 한 쌍의 텐서의 축약의 예시이다.
.
또한, 미분 형식과 벡터의 내부곱은 두 텐서를 서로 축약하는 특별한 경우이다.
텐서 축약 더 일반적인 대수적 맥락
R을 가환환이라고 하고 M을 R에 대한 유한 자유 가군이라고 하자. 그러면 축약은 체에 대한 벡터 공간의 경우와 정확히 동일한 방식으로 M의 전체 (혼합) 텐서 대수에서 작동한다. (핵심은 정준 쌍이 이 경우에도 완전하다는 사실이다.)
더 일반적으로, OX를 위상 공간 X에 대한 가환환 층이라고 하자. 예를 들어, OX는 복소다양체, 해석 공간, 또는 스킴의 구조층일 수 있다. M을 유한 계수의 OX에 대한 국소 자유 가군 층이라고 하자. 그러면 M의 쌍대는 여전히 잘 동작하며 이 맥락에서 축약 연산은 의미가 있다.
난징사진관
난징사진관(南京照相馆, Dead To Rights)는 2025년 개봉한 중국의 드라마 영화이다. 난징 대학살을 배경으로 하였다.
추적 다이어그램
수학에서 추적 다이어그램(영어: Trace diagram)은 선형 및 다중선형대수학에서 계산을 수행하는 그래픽 수단이다. 일부 변이 행렬로 레이블이 지정된 (약간 수정된) 그래프로 나타낼 수 있다. 가장 간단한 추적 다이어그램은 행렬의 대각합과 행렬식을 나타낸다. 크라메르 공식 및 케일리-해밀턴 정리와 같은 선형 대수학의 여러 결과는 간단한 다이어그램 증명을 가진다. 이들은 펜로즈 그래프 표기법과 밀접하게 관련되어 있다.
추적 다이어그램 형식적 정의
V를 체 F (n≥2)에 대한 벡터 공간의 차원 n인 벡터 공간이라고 하고, Hom(V,V)를 V에 대한 선형 변환이라고 하자.  n-추적 다이어그램은 그래프 이며, 여기서 집합 Vi (i = 1, 2, n)는 차수 i의 꼭짓점으로 구성되고 다음 추가 구조를 가진다:
n = 2인 경우 V2와 Vn은 별개의 집합으로 간주되어야 한다. 프레임 추적 다이어그램(영어: framed trace diagram)은 차수-1 꼭짓점 V1을 입력과 출력이라고 불리는 두 개의 서로 다른 정렬된 컬렉션으로 분할한 추적 다이어그램이다.
추적 다이어그램의 기본이 되는 "그래프"는 그래프의 표준 정의에 항상 포함되지 않는 다음과 같은 특별한 기능을 가질 수 있다:
모든 프레임 추적 다이어그램은 벡터 공간 V의 텐서 거듭제곱 사이의 다중선형 함수에 해당한다. 차수-1 꼭짓점은 함수의 입력 및 출력에 해당하며, 차수-n 꼭짓점은 일반화된 레비치비타 기호 (이는 행렬식과 관련된 반대칭 텐서이다)에 해당한다. 다이어그램에 출력 선이 없으면, 해당 함수는 텐서 곱을 스칼라로 매핑한다. 차수-1 꼭짓점이 없으면, 다이어그램은 닫힌 것으로 간주되며 해당 함수는 스칼라와 동일시될 수 있다.
추적 다이어그램 형식적 정의
정의에 따라 추적 다이어그램의 함수는 부호화된 그래프 색칠을 사용하여 계산된다. n개의 라벨로 그래프 변을 색칠하는 각 경우에 대해, 동일한 꼭짓점에 인접한 두 변이 동일한 라벨을 가지지 않도록 꼭짓점의 라벨과 행렬 라벨에 인접한 라벨을 기반으로 가중치가 할당된다. 이러한 가중치는 다이어그램 함수의 계수가 된다.
실제로 추적 다이어그램의 함수는 일반적으로 다이어그램을 함수가 알려진 더 작은 조각으로 분해하여 계산된다. 전체 함수는 개별 함수를 재구성하여 계산할 수 있다.
추적 다이어그램 예시
몇몇 벡터 항등식은 추적 다이어그램을 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. 이 섹션에서는 3-추적 다이어그램을 다룬다. 다이어그램을 함수로 변환할 때, 차수-3 꼭짓점의 섬모 위치가 결과 함수에 영향을 미치지 않음이 보여질 수 있으므로 생략할 수 있다.
3차원 벡터의 벡터곱과 스칼라곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이 그림에서 함수의 입력은 다이어그램 하단의 노란색 상자에 있는 벡터로 표시된다. 벡터곱 다이어그램에는 다이어그램 상단의 자유 선으로 표시되는 출력 벡터가 있다. 스칼라곱 다이어그램에는 출력 벡터가 없으므로 출력은 스칼라이다.
첫 번째 예로, 스칼라 삼중곱 항등식을 살펴보자.
이를 다이어그램으로 증명하려면, 다음 그림들이 모두 동일한 3-추적 다이어그램의 다른 표현임을 주목하자 (위 정의에 따라).
위의 벡터곱 및 스칼라곱 다이어그램을 결합하면, 가장 왼쪽 세 다이어그램을 위 항등식의 가장 왼쪽 세 스칼라 삼중곱으로 정확하게 읽을 수 있다. 또한 가장 오른쪽 다이어그램이 det[u v w]를 나타낸다는 것을 보여줄 수 있다. 스칼라 삼중곱 항등식은 각각 동일한 다이어그램 함수의 다른 표현이기 때문에 성립한다.
추적 다이어그램 예시
두 번째 예로, 다음을 보여줄 수 있다.
(여기서 등호는 기본 다중선형 함수에 대해 항등식이 성립함을 나타낸다). 이러한 종류의 항등식은 다이어그램을 "구부리거나" 더 많은 다이어그램을 부착해도 변경되지 않음을 보여줄 수 있다. 단, 변경 사항이 항등식의 모든 다이어그램에 일관되게 적용되어야 한다. 따라서 다이어그램의 상단을 아래로 구부리고 각 자유 변에 벡터를 부착하여 다음을 얻을 수 있다.
이는 다음을 의미한다.
이는 네 개의 3차원 벡터를 연결하는 잘 알려진 항등식이다.
단일 행렬 레이블을 갖는 가장 간단한 닫힌 다이어그램은 특성 다항식의 계수에 해당하며, 행렬의 차원에만 의존하는 스칼라 인자를 제외한다. 이 다이어그램의 한 표현은 아래에 나와 있으며, 여기서 는 기본 벡터 공간의 차원 n에만 의존하는 스칼라 인자를 제외한 등호를 나타내는 데 사용된다.
추적 다이어그램 속성
G를 n×n 행렬의 군이라고 하자. 닫힌 추적 다이어그램이 k개의 다른 행렬로 레이블이 지정되면, 에서 다중선형 함수의 대수로의 함수로 해석될 수 있다. 이 함수는 동시 켤레에 대해 불변이다. 즉, 에 해당하는 함수는 임의의 가역적인 에 대해 에 해당하는 함수와 동일하다.
추적 다이어그램 확장 및 응용
추적 다이어그램은 정의를 약간 변경하여 특정 리 군에 대해 특수화될 수 있다. 이 맥락에서, 때때로 버드트랙, 텐서 다이어그램 또는 펜로즈 그래프 표기법이라고 불린다.
추적 다이어그램은 주로 물리학자들에 의해 리 군을 연구하는 도구로 사용되어 왔다. 가장 일반적인 응용은 표현론을 사용하여 추적 다이어그램에서 스핀 네트워크를 구성하는 것이다. 수학에서는 특성 다양체를 연구하는 데 사용되었다.
어니언 라우팅
어니언 라우팅(onion routing) 또는 양파 라우팅은 컴퓨터 망을 통해 익명 통신을 위한 기술이다. 양파 네트워크에서는 메시지가 양파의 껍질처럼 여러 겹의 암호화로 캡슐화된다. 암호화된 데이터는 "양파 라우터"라고 불리는 일련의 네트워크 노드를 통해 전송되며, 각 노드는 하나의 층을 "벗겨내어" 데이터의 다음 목적지를 드러낸다. 마지막 층이 해독되면 메시지는 목적지에 도달한다. 각 중간 노드는 바로 이전 및 다음 노드의 위치만 알기 때문에 발신자는 익명으로 유지된다. 어니언 라우팅은 높은 수준의 보안과 익명성을 제공하지만, 타이밍 분석과 같은 기술의 익명성을 깨는 방법도 존재한다.
어니언 라우팅 역사
어니언 라우팅은 1990년대 중반 미국 해군연구소에서 [[폴 시버스], 마이클 G. 리드, 데이비드 골드슐라그]] 등의 연구원들이 개발하여 미국의 정보 통신을 온라인으로 보호하기 위해 사용되었다. 이후 방위고등연구계획국(DARPA)에 의해 개선되었고 1998년 해군에 의해 특허를 받았다.
이 방법은 같은 해 IEEE Journal on Selected Areas in Communications에 논문을 발표하며 같은 연구원들에 의해 공개되었다. 이 논문은 사용자를 네트워크와 도청 및 트래픽 분석 공격을 수행하는 외부 관찰자로부터 보호하기 위한 이 방법의 사용을 설명했다. 이 연구의 가장 중요한 부분은 가상사설망, 웹 브라우징, 전자우편, 원격 로그인 및 전자 화폐와 같은 기존 전자 서비스에 대한 어니언 라우팅의 구성 및 적용이다.
어니언 라우팅 역사
기존 어니언 라우팅 기술을 기반으로 컴퓨터 과학자 로저 딩글딘과 닉 매튜슨은 2002년 폴 시버스와 합류하여 어니언 라우팅의 가장 크고 잘 알려진 구현인 당시 토르 프로젝트라고 불렸던 토르 프로젝트를 개발했다.
해군연구소가 토르의 코드를 자유 라이선스로 공개한 후, 딩글딘, 매튜슨 및 다섯 명은 2006년 전자 프런티어 재단과 기타 여러 조직의 재정 후원을 받아 비영리 단체인 토르 프로젝트를 설립했다.
어니언 라우팅 데이터
비유적으로 양파는 메시지를 여러 겹의 암호화로 "포장"하여 목적지에 도착하기 전에 해당 겹의 수만큼 중간 컴퓨터에 의해 해독("껍질 벗기기" 또는 "포장 풀기")되도록 형성된 데이터 구조이다. 원본 메시지는 한 노드에서 다음 노드로 전송되는 동안 숨겨져 있으며, 어떤 중간 노드도 데이터의 출처와 최종 목적지를 모두 알지 못하므로 발신자는 익명으로 유지될 수 있다.
양파를 생성하고 전송하기 위해 발신자는 "디렉토리 노드"에서 제공하는 목록에서 일련의 노드를 선택한다. 선택된 노드는 메시지가 전송될 "체인" 또는 "회로"라고 불리는 경로로 배열된다. 발신자의 익명성을 유지하기 위해 회로의 어떤 노드도 그 앞의 노드가 발신자인지 또는 자신과 같은 다른 중간 노드인지를 알 수 없다. 마찬가지로, 회로의 어떤 노드도 회로에 다른 노드가 몇 개 있는지 알 수 없으며, "종료 노드"인 마지막 노드만이 체인 내 자신의 위치를 결정할 수 있다.
어니언 라우팅 데이터
비대칭 키 암호화를 사용하여 발신자는 디렉토리 노드에서 공개 키를 얻어 첫 번째 ("진입") 노드에 암호화된 메시지를 보내 연결과 공유 비밀 ("세션 키")을 설정한다. 진입 노드에 설정된 암호화된 링크를 사용하여 발신자는 첫 번째 노드를 통해 체인의 두 번째 노드에 메시지를 릴레이할 수 있으며, 이 메시지는 두 번째 노드만 해독할 수 있고 첫 번째 노드는 해독할 수 없다. 두 번째 노드가 메시지를 받으면 첫 번째 노드와 연결을 설정한다. 이는 발신자로부터 암호화된 링크를 확장하지만, 두 번째 노드는 첫 번째 노드가 발신자인지 아니면 단지 회로의 다른 노드인지를 결정할 수 없다. 발신자는 첫 번째 및 두 번째 노드를 통해 세 번째 노드에 메시지를 보낼 수 있으며, 이 메시지는 세 번째 노드만 해독할 수 있도록 암호화되어 있다. 세 번째 노드도 두 번째 노드와 마찬가지로 발신자와 연결되지만 두 번째 노드와만 연결된다. 이 과정은 더 큰 체인을 구축하기 위해 반복될 수 있지만, 성능을 유지하기 위해 일반적으로 제한된다.
어니언 라우팅 데이터
체인이 완성되면 발신자는 인터넷을 통해 익명으로 데이터를 보낼 수 있다. 데이터의 최종 수신자가 데이터를 다시 보낼 때, 중간 노드는 발신자로의 동일한 링크를 유지하며 데이터는 다시 계층화되지만, 이번에는 마지막 노드가 첫 번째 암호화 계층을 추가하고 첫 번째 노드가 마지막 암호화 계층을 추가한 후 예를 들어 웹 페이지와 같은 데이터를 발신자에게 보내며, 발신자는 모든 계층을 해독할 수 있다.
어니언 라우팅 취약점
일반적인 인터넷 연결이 익명으로 간주되지 않는 이유 중 하나는 인터넷 서비스 제공자가 컴퓨터 간의 연결을 추적하고 기록할 수 있기 때문이다. 예를 들어, 어떤 사람이 특정 웹사이트에 접속할 때 데이터 자체는 HTTPS와 같은 연결을 통해 보안될 수 있어 사용자의 비밀번호, 전자우편 또는 기타 내용이 외부 당사자에게 보이지 않을 수 있지만, 연결 자체, 발생 시간 및 전송된 데이터 양에 대한 기록은 여전히 존재한다. 어니언 라우팅은 두 컴퓨터 사이에 경로를 생성하고 숨겨서 사람과 웹사이트 사이에 직접적인 식별 가능한 연결이 없도록 하지만, 컴퓨터 간의 연결 기록은 여전히 존재한다. 트래픽 분석은 잠재적인 발신자가 만든 연결 기록을 검색하여 타이밍 및 데이터 전송을 잠재적인 수신자에게 만들어진 연결과 일치시키려고 시도한다. 공격자가 경로의 양쪽 끝을 손상시켰다면, 발신자가 특정 목적지로 동일한 크기의 데이터를 전송한 다른 알려지지 않은 컴퓨터 이전에 지정된 시간만큼 알려지지 않은 컴퓨터에 데이터를 전송한 것으로 보일 수 있다. 트래픽 분석을 촉진할 수 있는 요인으로는 노드 고장 또는 네트워크 이탈, 그리고 체인이 주기적으로 재구축될 때 손상된 노드가 세션을 추적하는 것 등이 있다.
어니언 라우팅 취약점
갈릭 라우팅은 여러 메시지를 함께 암호화하는 I2P 네트워크와 관련된 어니언 라우팅의 변형으로, 데이터 전송 속도를 높이고 공격자가 트래픽 분석을 수행하는 것을 더 어렵게 만든다.
전송되는 메시지는 여러 겹의 암호화 내에 전송되지만, 체인의 마지막 노드로서 종료 노드의 임무는 마지막 겹을 해독하여 메시지를 수신자에게 전달하는 것이다. 따라서 손상된 종료 노드는 전송되는 원본 데이터를 획득할 수 있으며, 여기에는 비밀번호, 비공개 메시지, 은행 계좌 번호 및 기타 개인 정보가 포함될 수 있다. 스웨덴 연구원 댄 에게르스타드는 이러한 공격을 사용하여 외국 대사관과 관련된 100개 이상의 이메일 계정 비밀번호를 수집했다.
어니언 라우팅 취약점
종료 노드 취약점은 보안되지 않은 무선 네트워크의 취약점과 유사하다. 무선 네트워크에서 사용자가 전송하는 데이터는 다른 사용자나 라우터 운영자에 의해 가로채질 수 있다. 두 가지 문제 모두 SSL/TLS 또는 보안 HTTP(S-HTTP)와 같은 안전한 종단 간 연결을 사용하여 해결된다. 발신자와 수신자 사이에 단대단 암호화가 있고, 발신자가 종료 노드가 제공하는 위조 SSL 인증서를 신뢰하도록 유인되지 않는다면, 마지막 중간자조차도 원본 메시지를 볼 수 없다.
암호 프로토콜
암호 프로토콜(cryptographic protocol)은 보안 관련 기능을 수행하고 암호학적 방법을 적용하는 추상적이거나 구체적인 프로토콜이며, 종종 암호 프리미티브의 시퀀스로 이루어진다. 프로토콜은 알고리즘이 어떻게 사용되어야 하는지 설명하고 데이터 구조 및 표현에 대한 세부 정보를 포함하여 여러 상호 운용 가능한 프로그램 버전을 구현하는 데 사용될 수 있다.
암호 프로토콜은 보안 응용 프로그램 수준 데이터 전송에 널리 사용된다. 암호 프로토콜은 일반적으로 다음 측면 중 적어도 일부를 포함한다.
예를 들어, 전송 계층 보안(TLS)은 웹(HTTPS) 연결을 보호하는 데 사용되는 암호 프로토콜이다. X.509 시스템을 기반으로 하는 개체 인증 메커니즘, 공개 키 암호화를 사용하여 대칭 키 암호 키가 형성되는 키 설정 단계, 그리고 응용 프로그램 수준 데이터 전송 기능을 가지고 있다. 이 세 가지 측면은 중요한 상호 연결을 가진다. 표준 TLS는 부인봉쇄를 지원하지 않는다.
암호 프로토콜
다른 유형의 암호 프로토콜도 있으며, 용어 자체도 다양한 의미를 가진다. 암호 응용 프로그램 프로토콜은 종종 하나 이상의 기본 키 합의 방법을 사용하며, 이들 역시 때때로 "암호 프로토콜"이라고 불린다. 예를 들어, TLS는 디피-헬먼 키 교환으로 알려진 것을 사용하는데, 이는 TLS 자체의 일부일 뿐이지만, 디피-헬먼은 다른 응용 프로그램에서는 그 자체로 완전한 암호 프로토콜로 간주될 수 있다.
암호 프로토콜 고급 암호 프로토콜
다양한 암호 프로토콜은 데이터 기밀성, 무결성, 인증이라는 전통적인 목표를 넘어 컴퓨터 매개 협업의 다양한 다른 원하는 특성을 보호한다. 은닉 서명은 디지털 현금 및 디지털 자격 증명에 사용되어 개인의 신원이나 거래 당사자의 신원을 노출하지 않고 개인이 속성이나 권리를 가지고 있음을 증명할 수 있다. 보안 디지털 타임스탬프는 데이터(비밀이라 할지라도)가 특정 시간에 존재했음을 증명하는 데 사용될 수 있다. 다자간 보안 컴퓨팅은 비밀 데이터(예: 비공개 입찰)를 기반으로 답변(예: 경매에서 최고 입찰 결정)을 계산하는 데 사용될 수 있으므로 프로토콜이 완료되면 참가자는 자신의 입력과 답변만 알게 된다. 종단 간 감사 가능 투표 시스템은 전자 투표를 수행하기 위한 바람직한 개인 정보 보호 및 감사 가능성 속성 세트를 제공한다. 부인 불가능 서명은 서명자가 위조를 증명하고 서명을 확인할 수 있는 사람을 제한하는 대화형 프로토콜을 포함한다. 부인 가능한 암호화는 공격자가 일반 텍스트 메시지의 존재를 수학적으로 증명하는 것을 불가능하게 함으로써 표준 암호화를 강화한다. 디지털 믹스는 추적하기 어려운 통신을 생성한다.
암호 프로토콜 형식 검증
암호 프로토콜은 추상적인 수준에서 때때로 형식 검증될 수 있다. 그렇게 할 때, 위협을 식별하기 위해 프로토콜이 작동하는 환경을 공식화할 필요가 있다. 이는 종종 돌레프-야오 모델을 통해 이루어진다.
보안 프로토콜의 형식 추론에 사용되는 논리, 개념 및 계산법:
보안 프로토콜의 형식 검증에 사용되는 연구 프로젝트 및 도구:
Automated Validation of Internet Security Protocols and Applications (AVISPA) 및 후속 프로젝트 AVANTSSAR.
Constraint Logic-based Attack Searcher (CL-AtSe)
Open-Source Fixed-Point Model-Checker (OFMC)
SAT-based Model-Checker (SATMC)
프로토콜을 형식적으로 검증하기 위해 종종 앨리스와 밥 표기법을 사용하여 추상화하고 모델링한다. 간단한 예시는 다음과 같다.
이는 앨리스 가 공유 키 로 암호화된 메시지 로 구성된 메시지를 밥 에게 보내려 함을 나타낸다.
암호 프로토콜 추가 자료
Ermoshina, Ksenia; Musiani, Francesca; Halpin, Harry (September 2016). 〈End-to-End Encrypted Messaging Protocols: An Overview〉 (PDF).   Bagnoli, Franco 외 (편집). 《Internet Science》. INSCI 2016. Florence, Italy: Springer. 244–254쪽. doi:10.1007/978-3-319-45982-0_22. ISBN 978-3-319-45982-0.
비밀 공유
비밀 공유(secret sharing) 또는 비밀 분할(secret splitting)은 그룹 구성원들 사이에 비밀을 분산시키는 방법을 의미한다. 개별 구성원은 비밀에 대한 어떠한 이해할 수 있는 정보도 보유하지 않지만, 충분한 수의 구성원들이 자신들의 '지분'을 결합할 때 비밀이 재구성될 수 있다. 안전하지 않은 비밀 공유는 공격자가 각 지분으로 더 많은 정보를 얻을 수 있도록 허용하지만, 안전한 비밀 공유는 '전부 아니면 전무'(여기서 '전부'는 필요한 지분 수를 의미)이다.
한 가지 유형의 비밀 공유 체계에는 한 명의 딜러와 n명의 플레이어가 있다. 딜러는 플레이어들에게 비밀의 지분을 제공하지만, 특정 조건이 충족될 때만 플레이어들은 자신들의 지분으로부터 비밀을 재구성할 수 있다. 딜러는 t개(임계값) 이상의 플레이어 그룹이 함께 비밀을 재구성할 수 있도록 각 플레이어에게 지분을 제공하지만, t개 미만의 플레이어 그룹은 재구성할 수 없다. 이러한 시스템을 (t, n)-임계값 체계(때로는 (n, t)-임계값 체계로 표기되기도 함)라고 한다.
비밀 공유는 아디 샤미르와 조지 블레이클리에 의해 1979년에 각각 독립적으로 발명되었다.
비밀 공유 중요성
비밀 공유 체계는 매우 민감하고 중요한 정보를 저장하는 데 이상적이다. 예시로는 암호화 키, 미사일 발사 코드, 숫자계좌 등이 있다. 이러한 정보들은 노출될 경우 치명적일 수 있으므로 매우 기밀하게 유지되어야 하지만, 또한 손실되지 않도록 하는 것도 중요하다. 기존의 암호화 방법은 높은 수준의 기밀성과 신뢰성을 동시에 달성하는 데 적합하지 않다. 이는 암호화 키를 저장할 때 최대의 기밀성을 위해 키의 단일 사본을 한 곳에 보관할 것인지, 아니면 더 큰 신뢰성을 위해 여러 사본을 다른 위치에 보관할 것인지 선택해야 하기 때문이다. 여러 사본을 저장하여 키의 신뢰성을 높이는 것은 추가적인 공격 벡터를 생성하여 기밀성을 낮춘다. 즉, 사본이 잘못된 사람의 손에 들어갈 기회가 더 많아지는 것이다. 비밀 공유 체계는 이 문제를 해결하며, 임의로 높은 수준의 기밀성과 신뢰성을 달성할 수 있도록 한다.
비밀 공유 중요성
비밀 공유는 또한 비밀의 배포자가 그룹을 '집합적으로' 신뢰할 수 있도록 한다. 전통적으로 비밀을 보관을 위해 그룹에 맡기는 것은 배포자가 그룹의 모든 구성원을 완전히 신뢰해야 할 것을 요구한다. 비밀 공유 체계는 모든 구성원을 항상 신뢰할 수 없더라도 배포자가 비밀을 그룹에 안전하게 저장할 수 있도록 한다. 배신자의 수가 비밀을 재구성하는 데 필요한 임계값보다 많지 않는 한 비밀은 안전하다.
비밀 공유 체계는 클라우드 컴퓨팅 환경에서 중요하다. 따라서 키는 임계값 비밀 공유 메커니즘을 통해 여러 서버에 분산될 수 있다. 키는 필요할 때 재구성된다.
비밀 공유는 또한 센서 네트워크에서도 제안되었다. 센서 네트워크에서는 링크가 도청될 가능성이 있으므로, 데이터를 지분으로 보내 도청자의 작업을 어렵게 만든다. 이러한 환경에서의 보안은 지분 구성 방식을 지속적으로 변경하여 더욱 강화될 수 있다.
비밀 공유 "보안" 대 "비보안" 비밀 공유
보안 비밀 공유 체계는 t개 미만의 지분을 가진 사람이 0개의 지분을 가진 사람보다 비밀에 대해 더 많은 정보를 얻지 못하도록 지분을 분배한다.
예를 들어, 비밀 문구 "password"를 "pa––––––", "––ss––––", "––––wo––", "––––––rd"로 나누는 비밀 공유 체계를 고려해 보자. 0개의 지분을 가진 사람은 암호가 여덟 글자로 구성되어 있다는 것만 알며, 따라서 268 = 2080억 가지 가능한 조합 중에서 암호를 추측해야 한다. 그러나 한 개의 지분을 가진 사람은 266 = 3억 8백만 가지 조합 중에서 여섯 글자만 추측하면 되며, 더 많은 사람들이 공모할수록 이러한 방식이 이어진다. 결과적으로 이 시스템은 "보안" 비밀 공유 체계가 아니다. 왜냐하면 t개 미만의 비밀 지분을 가진 플레이어가 필요한 모든 지분을 먼저 얻지 않고도 내부 비밀을 얻는 문제를 줄일 수 있기 때문이다.
비밀 공유 "보안" 대 "비보안" 비밀 공유
대조적으로, X가 공유될 비밀이고 Pi가 공개 비대칭 암호화 키이며 Qi가 해당 개인 키인 비밀 공유 체계를 고려해 보자. 각 플레이어 J에게는 {P1(P2(...(PN(X)))), Qj}가 제공된다. 이 체계에서 개인 키 1을 가진 플레이어는 가장 바깥쪽 암호화 계층을 제거할 수 있고, 키 1과 2를 가진 플레이어는 첫 번째와 두 번째 계층을 제거할 수 있으며, 이러한 방식이 이어진다. N개 미만의 키를 가진 플레이어는 해당 개인 키가 없는 공개 키 암호화된 덩어리를 먼저 해독하지 않고는 비밀 X에 완전히 도달할 수 없다. 이는 현재 계산적으로 불가능하다고 여겨지는 문제이다. 또한 N개의 모든 개인 키를 가진 사용자는 모든 외부 계층을 해독하여 비밀 X를 얻을 수 있으므로 이 시스템은 보안 비밀 배포 시스템임을 알 수 있다.
비밀 공유 한계
일부 비밀 공유 체계는 정보 이론적으로 안전하다고 하며 그렇게 증명될 수 있는 반면, 다른 체계는 무조건적인 보안을 포기하고 효율성을 개선하는 대신 다른 일반적인 암호화 기본 요소만큼 안전하다고 간주될 만큼의 보안을 유지한다. 예를 들어, 각 지분이 현재 가능한 어떤 적도 저지하기에 충분하다고 간주되므로 비밀을 각각 128비트의 엔트로피를 가진 지분으로 보호할 수 있으며, 평균 크기 2127의 무차별 대입 공격이 필요하다.
모든 무조건적으로 안전한 비밀 공유 체계에 공통적으로 다음과 같은 한계가 있다:
비밀의 각 지분은 비밀 자체보다 최소한 커야 한다. 이 결과는 정보 이론에 기반하지만, 직관적으로 이해할 수 있다. t − 1개의 지분이 주어졌을 때, 비밀에 대한 어떠한 정보도 결정될 수 없다. 따라서 마지막 지분은 비밀 자체만큼의 정보를 포함해야 한다. 이 한계에 대한 해결책으로 비밀을 공유하기 전에 먼저 압축하는 경우가 있지만, 많은 비밀(예: 키)은 고품질 무작위 데이터처럼 보여 압축하기 어렵기 때문에 종종 불가능하다.
비밀 공유 사소한 비밀 공유
참고: n은 '플레이어'의 총 수이며, 그들 사이에 지분이 분배되고, t는 비밀을 공개하는 데 필요한 최소 플레이어 수이다.
t = 1 비밀 공유는 사소하다. 비밀은 단순히 모든 n명의 참가자에게 분배될 수 있다.
모든 지분이 비밀을 복구하는 데 필요한 경우 t = n인 여러 (t, n) 비밀 공유 체계가 있다:
비밀을 임의 길이의 이진수 s로 인코딩한다. 각 플레이어 i(총 플레이어 수보다 하나 적음)에 대해 s와 동일한 길이의 무작위 이진수 pi를 제공한다. 지분이 없는 플레이어에게는 pn = s ⊕ p1 ⊕ p2 ⊕ ... ⊕ pn−1로 계산된 지분을 제공한다. 여기서 ⊕는 비트 배타적 논리합을 나타낸다. 비밀은 모든 플레이어의 숫자(pi, 1 ≤ i ≤ n)의 비트 단위 배타적 논리합이다.
비밀 공유 사소한 비밀 공유
대신, (1)은 모든 군에서 이진 연산을 사용하여 수행될 수 있다. 예를 들어, 232를 법으로 하는 덧셈을 가진 정수들의 순환군을 취하는데, 이는 이진 오버플로를 버린 채 정의된 덧셈을 가진 32비트 정수에 해당한다. 비밀 s는 M개의 32비트 정수 벡터로 분할될 수 있으며, 이를 vsecret라고 부른다. 그러면 (n − 1)명의 플레이어 각각은 균일 확률 분포에서 독립적으로 추출된 M개의 32비트 정수 벡터를 받으며, 플레이어 i는 vi를 받는다. 나머지 플레이어는 vn = vsecret − v1 − v2 − ... − vn−1를 받는다. 비밀 벡터는 모든 플레이어의 벡터를 합하여 복구될 수 있다.
어려움은 여전히 안전하면서도 모든 n개의 지분을 요구하지 않는 체계를 만드는 데 있다.
비밀 공유 사소한 비밀 공유
공간 효율성이 문제가 되지 않을 때, 사소한 t = n 체계는 단순히 각 부분집합에 대해 체계를 적용함으로써 플레이어의 원하는 부분집합에 비밀을 공개하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 앨리스, 밥, 캐럴 세 명의 플레이어 중 두 명에게 비밀 s를 공개하려면, s에 대해 세 가지() 다른 t = n = 2 비밀 지분을 생성하여 앨리스와 밥, 앨리스와 캐럴, 밥과 캐럴에게 세 가지 두 지분 세트를 제공한다.
예를 들어, 회사의 이사회가 비밀 공식을 보호하고 싶다고 상상해 보자. 회사 사장은 필요할 때 공식을 열람할 수 있어야 하지만, 비상시에는 12명의 이사회 구성원 중 3명이라도 함께 비밀 공식을 해제할 수 있어야 한다. 이를 달성하는 한 가지 방법은 t = 3이고 n = 15인 비밀 공유 체계를 사용하는 것으로, 사장에게 3개의 지분을 주고 각 이사회 구성원에게 1개의 지분을 준다.