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차이나 필립스
차이나 필립스(Chynna Phillips, 1968년 2월 12일 ~ )는 미국의 가수, 배우이다. 미국의 포크 록 그룹 마마스 앤 파파스의 멤버 존 필립스와 미셸 필립스의 딸이다.
매켄지 필립스
매켄지 필립스(Mackenzie Phillips, 1959년 11월 10일 ~ )는 미국의 배우, 가수이다.
카니 윌슨
카니 윌슨(Carnie Wilson, 1968년 4월 29일 ~ )은 미국의 가수, 배우, 사회자이다. 가수 브라이언 윌슨과 메릴린 로벨의 딸이다.
웬디 윌슨
웬디 윌슨(Wendy Wilson, 1969년 10월 16일 ~ )은 미국의 가수이다. 가수 브라이언 윌슨과 메릴린 로벨의 딸이다.
베로니카 로사티
베로니카 로사티(Weronika Rosati, 1984년 1월 9일 ~ )는 폴란드의 배우이다.
마야 보호시에비치
마야 보호시에비치(Maja Bohosiewicz, 1990년 11월 20일 ~ )는 폴란드의 배우이다.
소니아 보호시에비치
소니아 보호시에비치(폴란드어: Sonia Bohosiewicz, 1975년 12월 9일 ~ )는 폴란드의 배우, 가수이다.
도다 (가수)
도다(폴란드어: Doda, 1984년 2월 15일 ~ )는 폴란드의 가수이다.
피사 공화국
피사 공화국(이탈리아어: Repubblica di Pisa)은 10, 11세기 동안 토스카나 지역의 피사를 중심으로 하던 사실상 독립 국가이다. 제노바에게 추월과 대체되기 전까지, 한 세기 간 지중해와 이탈리아 무역을 독점하던 상인들의 상업 중심지로서, 경제적 유력 집단으로 성장하였다. 피사 공화국의 재력은 해양 국가로서 성장을 하게 하였고 11세기에는 이탈리아의 핵심 4개 해양 공화국의 하나가 되면서 정점에 올랐다.
피사 공화국 성장
중세 성기 동안에 피사는 매우 중요한 무역과 선박업의 중심지로 성장하였고 주요한 지중해의 거상들의 상단들과 선박들을 통제했다. 1005년 남부 이탈리아의 레조디칼라브리아 약탈을 통해 영향력을 더욱 넓혔다. 피사는 지중해의 통제권을 두고 사라센인들과 지속적인 분쟁을 겪었다. 제노바와 동맹을 맺고, 피사는 사라센의 지도자 무자히드 알 아미리를 패배시키며, 1016년에 사르데냐를 점령했다. 이 승리는 피사에게 티레니아해의 패권을 가져다주었다. 피사인들이 그후에 사르데냐에서 제노바인들을 내쫓으며, 두 해양 공화국 사이에 새로운 분쟁과 적대 관계가 생겨났다. 1030년과 1035년 사이에 피사는 시칠리아 토후국의 일부 도시들을 공격하는데 성공했고 북아프리카의 카르타고를 정복해냈다. 1051년–1052년에 제독 야코포 치우리니는 코르시카를 정복하며, 제노바인들의 더 많은 분노를 일으켰다. 1063년에 피사는 시칠리아를 정복하기 위해 지난 30년간 전쟁을 하고 있는 시칠리아의 루지에로 1세에게 팔레르모에 대한 공동의 공격 가능성을 갖고 접근하였다. 루지에로는 다른 약속들 때문에 이 제안을 거절했다. 지상의 지원없이 피사의 팔레르모 공격은 실패하고 말았다.
피사 공화국 성장
1060년에 피사는 제노바를 상대로 첫 전투에 돌입하였고 피사의 승리는 제노바가 지중해에 갖고 있던 위치를 합병하는데 도움을 줬다. 1077년에 교황 그레고리오 7세는 피사인들이 제정한 새로운 “바다에서의 법률과 관세들”을 인정하였고, 신성 로마 황제 하인리히 4세는 원로원에서 권고한 그들만의 대표를 선출할 수 있는 권한을 부여해주었다. 이것은 토스카나 변경백국 (명목상 피사의 봉건 군주)이 이미 그들의 권력에서 피사가 배제되었기 때문에 현재의 상황을 단순히 확인해주는 것이였다. 피사는 1088년에 지리다 왕조의 도시 마디아를 약탈을 했다. 4년 뒤 피사와 제노바 함대는 카스티야의 국왕 알폰소 6세가 발렌시아에서 엘 시드를 내쫓는데 도움을 줬다. 1092년에 교황 우르바노 2세는 피사에게 코르시카와 사르데냐에 대한 지배권을 주었고 같은 시기에 피사 주교구는 큰 도시의 대주교구로 승격했다.
피사 공화국 성장
120척의 피사 함대가 제1차 십자군 전쟁에 참여했고 피사인들은 1099년 예루살렘 공성전에 도움이 되었다. 성지로 향하던 중에 피사의 선박들은 몇몇 비잔티움의 영토를 약탈할 기회를 놓치지 않았다. 피사의 십자군들은 미래의 예루살렘 라틴 총대주교가 되는 그들의 대주교 다고베르트가 이끌었다.
피사와 다른 해양 공화국들은 시리아, 레바논, 팔레스타인의 동부 해안 지역에 무역 거점과 식민지들을 세우는데 십자군 전쟁의 이득을 보았다. 특히 피사인들은 안티오키아, 아크레, 야파, 트리폴리, 티레, 라티키아에 식민지를 세웠다. 그들은 또한 예루살렘, 카이사레아에도 영토를 확보하였고, 게다가 카이로, 알렉산드리아에도 작은 식민지 (적은 자치도를 지닌)가 있었던 것은 물론 콘스탄티노폴리스에도 가지고 있었는데, 비잔티움 황제 알렉시오스 1세 콤니노스는 그들에게 특별한 계류소와 무역 특권을 부여해주었다. 이 모든 도시들에서 피사인들은 특혜와 면세권을 받았지만, 공격을 받을 시에 이들의 방어에 기여를 해야만했다. 12세기 콘스탄니폴리스의 동부 지역에 있는 피사 지구의 거주민은 1,000명까지 늘어났다. 해당 세기의 몇 년간 피사는 베네치아 공화국을 능가하는 가장 우세한 대상이자 비잔티움 제국의 동맹이였다.
서부 지중해에선, 교황 그레고리오 7세가 1085년 피사에게 발레아레스 제도에 대한 종주권을 부여해주었지만, 피사 상인들은 1113–15년 발레아레스 원정의 시초자 중 한 명이였을 뿐이였고, 그곳의 타이파를 영구적으로 몰아내는데는 실패했다.
피사 공화국 쇠퇴
피사 공화국의 국제적인 위상은 1284년 제노바에게 멜로리아 해전에서 함대가 괴멸하면서 영원히 상실하게 된다. 이 전투에서 피사의 대부분의 갤리선들이 파괴되었고 많은 선원들이 포로로 잡혔다. 1290년 포르토피사노를 향한 제노바 함대의 공격으로 피사의 독립 국가로서의 위치가 봉해져버렸다. 1323년과 1326년 사이에는 아라곤 연합왕국에 의해 사르데냐에서 축출당했다.
1399년 가브리엘레 마리아 비스콘티의 지배가 끝난 후, 피사는 1402년 피렌체 공화국에게 매각되었고 1406년에 자치권을 상실했다. 1494년 프랑스 샤를 8세의 이탈리아 원정때 피렌체로부터 독립하였다. 1497년에 피렌체의 침략이 있었으나 격퇴에 성공하며 독립을 유지하였다. 16세기 초부터 피렌체가 다시 침공해왔다. 1508년에 베네치아의 세력약화를 목적으로 캉브레 동맹전쟁(1508~16)이 시작되었는데, 아냐델로 전투(1509년 5월)에서 베네치아가 패배하였다. 이 전투의 패배로 베네치아 세력이 약해지자 든든한 지원국을 잃어버린 피사 공화국은 1509년 6월 피렌체에 항복하였고 다시 피렌체의 통치를 받게 되었다.
마야 오스타셰프스카
마야 오스타셰프스카(Maja Ostaszewska, 1972년 9월 3일 ~ )는 폴란드의 배우이다. 폴란드 영화상 여우주연상 2회(2015, 16) 수상자이다.
백조자리 OB2
백조자리 OB2는 무겁고 밝은 항성들로 구성된 OB 성협이다. 이 성협을 이루는 항성들은 무겁고 매우 밝다. 예로 대표적인 밝은 청색변광성 백조자리 OB2#12, 물리적 부피에 있어 최상위권인 백조자리 NML 등이 이 성협의 일원이다. 백조자리 X 영역은 별들이 태어나는 장소인데 이들은 전파로 관측할 때 아주 밝게 빛나며, 백조자리 OB2는 여기에 속해 있다. 지구로부터 백조자리 방향으로 약 4,700 광년 떨어져 있다.
백조자리 OB2는 성단 중에서도 규모가 최상위권이며, 북반부 하늘에서는 가장 거대하다. 과거 여러 논문에서는 OB2를 대마젤란 은하에 있는 성단들과 함께 '젊은 구상성단'으로 분류했다. 그러나 최근 연구에 따르면 OB2는 구상성단처럼 별들이 빽빽하게 뭉쳐 있지는 않고 듬성듬성 퍼져 있다.
백조자리 OB2
전체 질량은 오리온 성운의 10배는 되나, 오리온 성운이 눈에 잘 보이는 것과는 달리 백조자리 OB2는 백조자리 틈으로 불리는 거대한 먼지구름 안에 숨어 있어 별빛 대부분이 차단된다. 따라서 성단의 정확한 물리적 수치를 측정하기 어렵다. 성단 내 O형 항성의 수는 50개에서 100개에 이르며, 성단 전체 질량은 태양 4만 ~ 10만 개와 같다. 질량을 태양 3만 개로 추정한 논문도 있다.
엑스선부터 전파 영역에 걸쳐 연구한 결과 이 성단 내부에서는 항성 및 행성이 대규모로 태어나고 있음이 밝혀졌고 그 과정을 상세히 알게 되었다. 여기에는 찬드라 엑스선 관측선, 스피처 우주 망원경, 허셜우주망원경, 카나리아 대망원경 등 관측도구가 사용되었다.
토리 에이머스
토리 에이머스(Tori Amos, 1963년 8월 22일 ~ )는 미국의 싱어송라이터, 작곡가이다. 메조소프라노 음역대를 가진 전문 음악인이다.
5살 때 전액 장학금을 받으며 피보디 음악원에 입학하여 음악원 창립 사상 최연소로 입학한 인물이 되었다. 하지만 음악원의 성격과 맞지 않는 장르 스타일을 고수하는 이유로 11살 때 퇴학을 당하게 되었다. 1980년대에 음악 그룹 '와이 캔트 토리 리드'(Y Kant Tori Read)의 리드 보컬로 활동했으며, 1990년 초 솔로 아티스트로서 큰 성공을 거두게 되었다. 에이머스의 음악은 성, 페미니즘, 정치, 종교 등 다양한 주제를 망라한다.
타마 브랙스턴
타마 브랙스턴(Tamar Braxton, 1977년 3월 17일 ~ )은 미국의 가수, 배우, 사회자이다.
그녀는 1989년에 토니 브랙스턴을 포함한 더 브랙스턴스라는 그룹으로 데뷔하였다.
티나 아레나
티나 아레나(Tina Arena, AM, 1967년 11월 1일 ~ )는 오스트레일리아의 싱어송라이터, 댄서이다. 정규 3집 앨범 Don't Ask 로 ARIA 뮤직 어워드 올해의 앨범상, 올해의 레코드상, 올해의 노래상, 최우수 여자음악가상을 수상했다.
트레이시 손
트레이시 손(Tracey Thorn, 1962년 9월 26일 ~ )은 잉글랜드의 싱어송라이터이다.
뱅크스 (가수)
뱅크스(Banks, 1988년 6월 15일 ~ )는 미국의 싱어송라이터이다.
도나 에어
도나 공기(Donna Air, 1979년 8월 2일 ~ )는 잉글랜드의 배우이다.
데버러 콕스
데버러 콕스(Deborah Cox, 1974년 7월 13일 ~ )는 캐나다의 싱어송라이터, 배우이다.
찰리 푸스
찰스 오토 "찰리" 푸스 주니어(영어: Charles Otto "Charlie" Puth Jr., 1991년 12월 2일 ~ )는 미국의 싱어송라이터이다. 영화 《분노의 질주: 더 세븐》 마지막 장면 삽입곡인 위즈 칼리파의 "See You Again(폴 워커 추모곡)" 보컬로 이름을 알렸다. 대표적인 히트곡으로는 Attention, One Call Away, We Don't Talk Anymore, Marvin Gaye 등이 있다. 2022년부터 한국에서의 인기가 상승해 Dangerously, Left and Right, That's Hilarious, I don't Think That I Like Her 등의 곡들이 인기를 끌었다.
뱅크스
뱅크스(Banks)는 다음 등을 가리킨다.
일라이자 둘리틀
일라이자 둘리틀(Eliza Doolittle, 1988년 4월 15일 ~ )은 잉글랜드의 싱어송라이터이다.
프레야 스태퍼드
프레야 스태퍼드(Freya Stafford, 1977년 1월 21일 ~ )는 오스트레일리아의 배우이다.
세라 스누크
세라 스누크(Sarah Snook, 1987년 7월 28일 ~ )는 오스트레일리아의 배우이다. 《타임 패러독스》(2014)로 2015년 제4회 AACTA 어워드 여우주연상을 수상했으며, HBO 드라마 《석세션》(2018-23)으로 프라임타임 에미상, 골든 글로브상, 미국 배우 조합상, 크리틱스 초이스 영화상, 새틀라이트상 등을 받았다.
매브 더모디
매브 더모디(Maeve Dermody, 1985년 1월 1일 ~ )는 오스트레일리아의 배우이다.
동내초등학교
동내초등학교는 대한민국 강원특별자치도 춘천시 동내면 신촌리에 있는 공립 초등학교인데 1935년에 첫 개교되었다.
제시카 토비
제시카 토비(Jessica Tovey, 1987년 11월 10일 ~ )는 오스트레일리아의 배우이다.
당림초등학교
당림초등학교는 대한민국 강원특별자치도 춘천시 서면 당림리에 있는 초등학교다.
피파 블랙
피파 블랙(Pippa Black, 1982년 10월 16일 ~ )은 오스트레일리아의 배우이다.
남부초등학교
남부초등학교는 대한민국 강원특별자치도 춘천시 퇴계동에 있는 공립 초등학교이다.
에마 렁
에마 렁(Emma Lung, 1982년 1월 14일 ~ )은 오스트레일리아의 배우이다.
남산초등학교 서천분교
남산초등학교 서천분교는 대한민국 강원특별자치도 춘천시 남산면 백양리에 있는 공립 초등학교다.
내털리 배싱스웨이트
내털리 배싱스웨이트(영어: Natalie Bassingthwaighte, 1975년 9월 1일 ~ )는 오스트레일리아의 싱어송라이터, 배우이다.
새끼손가락 (노래)
〈새끼손가락〉은 2015년 4월 19일에 데뷔 4주년을 맞이해서 발매된 디지털 싱글이다.
조디 루커스
조디 루카스(Jordy Lucas, 1992년 3월 3일 ~ )는 오스트레일리아의 배우이다.
이저벨 코니시
이저벨 코니시(Isabelle Cornish, 1994년 7월 22일 ~ )는 오스트레일리아의 배우, 모델이다. 영화 《트랜스포머: 사라진 시대》(2014)의 테사 역으로 고려되었으나 캐스팅되지 않았다. 마블 코믹스 원작의 드라마 《인휴먼스》의 크리스털 역으로 캐스팅되었다. 배우 애비 코니시의 동생이다.
에스더 앤더슨
에스더 앤더슨(Esther Anderson, 1979년 6월 13일 ~ )은 오스트레일리아의 배우, 모델이다.
리애넌 피시
리애넌 피시(영어: Rhiannon Fish, 1991년 3월 14일 ~ )는 오스트레일리아, 캐나다의 배우이다.
조지아 메이 푸트
조지 메이 푸트(Georgia May Foote, 1991년 2월 11일 ~ )는 잉글랜드의 배우, 모델이다.
설명 (이야기)
서술 설명, 또는 단순히 설명은 이야기 내의 중요한 배경 정보의 삽입이다. 예를 들어, 특히 문학적 맥락에서 설정, 등장 인물의 뒷이야기, 이전의 음모 사건, 역사적 맥락, 설명 등에 대한 정보는 이야기에 내장된 설명문의 형태로 나타난다. 설명은 알렉산더 베인과 존 지넝에 의해 묘사, 의논 및 시점과 함께, 네 가지 수사 방식 (또한 담론의 방식이라고도 한다) 중 하나로 밝혀졌다. 각 수사 방식은 다양한 형태로 존재하고, 각각은 자신의 목적과 관습을 갖는다. 설명하는 방법에는 여러 가지가 있다.
브룩 빈센트
브룩 빈센트(Brooke Vincent, 1992년 6월 4일 ~ )는 잉글랜드의 배우이다.
원시환
환론에서 원시환(原始環, 영어: primitive ring)은 단순 가군으로서 완전히 나타낼 수 있는 환이다. 이러한 환들은 나눗셈환 위의 선형 변환들의 환에 가깝다.
원시환 정의
환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 원시환(영어: left primitive ring)이라고 한다.
오른쪽 원시환(영어: right primitive ring)은 왼쪽 원시환의 반대환이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다.
원시환 성질
가환환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.:173, Proposition 11.8
왼쪽 아르틴 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
왼쪽·오른쪽 원시환은 반원시환(영어: semiprimitive ring)이며 소환(영어: prime ring)이다. 모든 단순환은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.:173
원시환 분류
가 왼쪽 원시환이라고 하고, 이 의 충실한 왼쪽 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 은 나눗셈환이다. 또한, 은 자연스럽게 의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
또한, 이 충실한 가군이므로 이 환 준동형은 (정의에 따라) 단사 함수이다. 즉, 를 의 부분환으로 여길 수 있으며, 의 작용을 로 제약시키면, 의 원래 작용과 같다.
이제, 에 이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합
에 곱위상을 부여하고,
에 부분 공간 위상을 부여하자.
제이컵슨 조밀성 정리(영어: Jacobson density theorem)에 따르면, 는 의 조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.
원시환 예
자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.:172, Definition 11.2
표수가 0인 체 에 대한 바일 대수 는 원시환이다.
왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.
호암벚꽃축제 역사와 개요
용인 에버 벚꽃 문화제는 '용인시민과 함께 하는 봄나들이'를 주제로 가실벚꽃길과 호암미술관 앞, 에버랜드 일원에서 거리 공연과 체험 이벤트 등을 열었다. 용인시와 삼성에버랜드(주)가 공동 주최.주관하며, 제3군 사령부 군악대․의장대가 함께한다. 2013년 4월 17일부터 21일까지 5일간 에버랜드, 제3군 사령부와 함께 시민들이 용인8경 가실벚꽃길의 아름다움을 즐길 수 있게 '제1회 용인 에버 벚꽃 문화제'를 개최하였다. 용인8경에 해당하는 가실벚꽃길을 널리 알리는 시민과 함께하는 문화제를 통해 용인시의 시정이념인‘함께하는 행복한 용인’을 구현하는 행사이다. 이후 2014년에 제2회 용인에버벚꽃축제를 공동 개최하여 용인시와 에버랜드 처인구 포곡읍 가실리 호암미술관 일대에서 열려고 하였지만, 세월호 여객선 침몰사고로와 관련, 4월 18부터 20일까지 예정되었던 벚꽃축제를 긴급 취소하였다.
호암벚꽃축제 역사와 개요
2015년에 제 2회 진행되는 축제는 '용인시민과 함께 하는 봄나들이'라는 같은 주제로 4월 17일부터 19일까지 3일간 에버랜드 서문 플라자와 호암호수 주변 산책로에서 진행된다. 제일모직과 용인시가 공동으로 개최하는 용인에버 벚꽃 축제이다. 벚꽃 축제장인 호암호수 맞은편 산에는 왕벚, 산벚 등 1만 그루의 벚나무, 목련, 영산홍, 개나리, 진달래, 철쭉 등 다른 봄꽃들과 어우러져 있다. 또한 수령 50년 이상의 왕벚나무 사이 호수 주변 산책로에 벚꽃들이 휘날리며 영동고속도로 마성IC∼에버랜드 정문(2.2km) '벚꽃 가로수 길'은 벚꽃을 즐기는 드라이브 코스로 유명하다.
우나 힐리
우나 힐리(Una Healy, 1981년 10월 10일 ~ )는 아일랜드의 싱어송라이터이다. 유로비전 송 콘테스트 2006 아일랜드 대표 참가자이며, 브라이언 케네디와 함께 "Every Song Is a Cry for Love"를 불러 최종 3위를 했다. 영국의 걸 그룹 더 새터데이스의 멤버에 합류해 영국에서도 큰 인기를 얻었다.
로셸 흄즈
로셸 흄즈(Rochelle Humes, 1989년 3월 21일 ~ )는 잉글랜드의 가수, 배우, 사회자이다.
혼합 모델
혼합 모델(Mixture model)은 통계학에서 전체 집단안의 하위 집단의 존재를 나타내기 위한 확률 모델이다. 좀 더 형식적으로는 전체 집단의 확률 분포를 나타내는 혼합 분포(Mixture distribution)에 해당한다. 그러나 "혼합 분포"와 관련된 문제들은 하위 집단들로부터 전체 집단의 특징들을 얻는 것에 관련된 반면, "혼합 모델"들은 관찰된 집단이 주어졌을 때 하위 집단들의 특징들에 대해 통계적 추론을 하기 위해 쓰인다.
혼합 모델의 좀더 구체적인 사용 용도로는, 만약 관찰된 변수와 잠재 변수의 결합 분포를 정의한다면, 관찰된 변수들의 분포는 모든 잠재 변수에 대해 주변화(marginalize)함으로써 구할 수 있다. 이렇게 함으로써 관찰된 변수의 복잡한 분포를 잠재변수를 사용하여 더 단순하게 표현할 수 있다. 혼합 모델은 이러한 잠재변수를 가정하여 복잡한 분포를 추정하는데 사용된다. 또, 혼합 모델은 데이터를 군집화(clustering)하는 데 쓰일 수 있다.
혼합 모델
잠재 변수를 포함하는 모델의 최대 우도 추정(Maximum likelihood estimation)을 위해서는 기대값 최대화(expectation-maximization) 알고리즘이 사용된다.
가우스 혼합 모델은 데이터마이닝, 패턴 인식, 머신 러닝, 통계분석 등에 광범위하게 쓰인다. 이 때 모델의 파라미터들은 EM 알고리즘을 통해 구한다.
혼합 모델 혼합 모델의 배경
관측된 자료가 특징 벡터 x 와 관측 값이 속해있는 클래스 ω 로 이루어진 변수 쌍 {x, ω}으로 구성될 경우의 학습은 특징벡터와 정확한 답이 주어졌기 때문에 교사/감독/지도(supervised: 교사와 함께 훈련한/교사가 지도한) 학습이라고 한다.
클래스 라벨 ω 가 주어지지 않고 특징 벡터 x={x1, x2,...,xN } 만으로 이루어진 데이터 집합이 주어질 경우의 학습은 정확한 답은 제공 받지 못하므로 비교사/무감독/비지도 (unsupervised: 교사 없이 훈련한) 학습이라고 한다.
이 방법은 여러 개의 모수적 확률밀도함수(주로 가우스)를 혼합하여 주어진 확률밀도함수를 모델링하는 방법으로 아래 식과 같이 모델링 되며, 모델 파라미터를 찾는 것이 목적이다. 이 방법을 “모수적 혼합 모델(parametric mixture models)”이라고 한다.
이 방법은 주어진 데이터에 대한 어떠한 가정도 하지 않고 정해진 수의 클러스터들로 데이터를 나누는 방법으로 군집화 (클러스터링)라고 한다. 이 방법은 파라미터 최우추정(MLE)과 밀접하게 관련되어 있다.
혼합 모델 혼합 모델의 배경
클러스터링을 통해 데이터들을 클래스로 분류를 하게 되면 오차가 발생하게 된다. 클래스의 중심이 되는 값(클래스 내에 가장 밀도가 높은 지점)과 그 클래스로 분류된 데이터간의 차가 최소가 되도록 하는 것이 최적화 과정이다.
이 때 특징 벡터 x의 개수(N)는 항상 클래스의 개수(K)보다 훨씬 많고 서로 관계는 대부분 비선형이므로 직접적으로 최적의 값을 찾는 것은 불가능하다. 따라서 반복적인 최적화 과정을 통해 오차를 최소화 할 수 있다.
1) 최적의 클래스(확률분포모델) 개수는 몇 개 인가?(K의 개수 결정)
2) 주어진 데이터에서 가장 근접한 클래스(확률분포모델)는 무엇인가?(클러스터링 과정)
3) 오차가 가장 최소가 되는 클래스(확률분포모델)는 무엇인가?(클래스 특징을 변화)
위의 3가지 문제를 고려하여 클래스 구성과 최적화 과정을 EM알고리즘을 통하여 진행한다.
혼합 모델 혼합 모델의 구조
일반적인 유한 차원의 혼합 모델은 다음의 구성요소로 이루어진 계층적 베이즈 모델이다. :
K 개의 파라미터 집합, 각각은 대응되는 혼합 구성요소의 파라미터를 나타낸다. 예를 들어, 1차원 가우스 분포의 혼합에 따라 분포된 관측 결과들은 각 구성요소마다 평균과 분산값이 있다. 또, V차원 다항 분포의 혼합에 따르는 관측(예를 들어, 각 관측결과가 V개의 단어집합에 속하는 단어일 경우)은 V개의 확률 값을 가지는 벡터를 가진다. (전체적인 확률 값의 합은 1이 되어야 한다.)
추가적으로, 베이지안 세팅에서는 혼합 가중치와 파라미터들 자체가 확률 변수이며, 그러한 변수들에 대한 사전확률이 정의되어야 한다. 그런 경우에 가중치들은 보통 디리클레 분포로부터 뽑은 K차원의 랜덤 벡터라고 간주한다. (디리클레 분포는 다항 분포의 conjugate prior이다.)
따라서 파라미터들은 해당하는 conjugate prior에 따라 분포 될 것이다.
수학적으로, 기본적인 파라미터 혼합 모델은 다음과 같이 나타낼 수 있다 :
혼합 모델 혼합 모델의 구조
베이지안 세팅에서, 모든 파라미터들은 확률 변수와 다음과 같이 연관되어 있다. :
위와 같은 정의에서 F와 H는 각각 관찰과 파라미터에 대한 임의의 분포를 묘사하기 위해 사용된다. 보통 H는 F의 conjugate prior이다.
F분포의 가장 흔한 선택 두가지로는 가우스 분포(실수값을 가지는 관측) 그리고 다항 분포(이산적인 값을 가지는 관측)가 있다. 혼합 구성요소로 가능한 다른 일반적인 분포들로는 다음과 같은 것들이 있다. :
대표적인 비(非)베이지안 혼합모델은 다음과 같다.
베이지안 버전의 가우스 혼합 모델은 다음과 같다.
베이지안 가우스 혼합 모델은 흔히 미지의 파라미터 벡터에 적용될 수 있도록 확장되거나, 다변량 정규 분포로 확장된다. 다변량 분포에서(즉 N 개의 확률 변수를 모델링할 때,  ), 파라미터 벡터를 모델링할 때, 다음과 같이 가우스 혼합 모델 사전 분포를 사용하여 추정 할 수 있다.
혼합 모델 혼합 모델의 구조
벡터의 ith 요소는 가중치 , 평균  그리고 공분산 을 갖는다. .
이러한 사전 확률을 베이지안 추론에 통합하기 위해서, 사전 확률은 조건부  데이터 의 알려진 분포 와 곱해져야 한다. 이러한 공식하에서 posterior 확률 역시 다음과 같은 형태의 가우스 혼합 모델이다.
새로운 파라미터들은  and  EM 알고리즘을 이용해서 업데이트된다.
 EM 기반의 파라미터 업데이트 방식들을 사용하는 방법은 이미 잘알려져있지만, 이러한 파라미터들의 초기 추정치를 알아내는 것은 현재에도 활발하게 연구되고 있다. 이러한 공식화는 complete posterior 분포의 closed-form 해를 구할 수 있게 한다. 확률 변수의 추정치들은 여러개의 posterior 분포의 최댓값이나 평균 등의 추정자들 중 하나로 구할 수 있다.
대표적인 다항 분포의 비(非)베이지안 혼합 모델 관측은 다음과 같다.
확률 변수들은 다음과 같다.:
대표적인 다항 분포의 베이지안 혼합 모델 관측은 다음과 같다.
확률 변수들은 다음과 같다.:
혼합 모델 식별성(Identifiability)
잠재 변수 모델(Latent variable model)에 대한 p(θ|D)를 계산할 때 생기는 문제는 사후확률이 다수의 봉우리를 포함한(multi-modal) 형태로 표현될 수도 있다는 것이다.
그 예로 가우스 혼합 모델을 고려해보자. 만약 값(각 가우스 분포의 비중)을 모두 알고 있다면, 매개변수 D를 이용하여 단봉형의 사후확률을 얻을 수 있다.

그 결과, 전역적인 최적의 최대 사후확률 추정(MAP)을 쉽게 구할 수 있다.
만약 값을 모른다면, 값을 채워 넣는 방법에 따라 다른 단봉형의 우도를 얻게 된다. 그래서  변수를 통합하여 식에서 제거한다면, p(θ|D)에 대해서 다수의 봉우리를 포함한 형태의 사후확률이 얻어진다. 이러한 형태는 군집들의 서로 다른 라벨링(labeling) 때문에 발생한다.
혼합 모델 식별성(Identifiability)
단적인 예로, K=2인 2차원 가우스 혼합 모델의 데이터(=0.5, =-10, =10)에 대해서 우도 함수 p(D|,)는 두 개의 피크를 포함하고 있다. 하나는 =-10, =10인 피크이고, 다른 하나는 =10, =-10인 피크이다. 이 때 유일한 최대 우도 추정(MLE)이 존재하지 않기 때문에, 매개변수는 "식별 가능하지 않다"고 한다. 그러므로 사전확률이 특정 라벨링에 영향을 주지 않는다면, 유일한 최대 사후확률 추정(MAP)도 존재하지 않는다. 이는 사후확률이 다수의 봉우리를 포함한 형태라는 것과 같은 의미이다.
혼합 모델 매개 변수 추정과 시스템 확인
혼합 모델의 확률의 생각은 공통적으로 사라진 정보 문제에서부터 온다. 이때 사라진 정보는 샘플 데이터들이 어떠한 확률분포모델에 속해있는지에 대한 정보이다. 이를 이해하는 한 가지 방법은 데이터 좌표가 우리가 적용하고자 하는 모델의 분포 중에 하나의 모델에 적합하게 위치한다는 것을 가정하는 것이다. 이 추정에서 할 일은 우리가 선택한 모델의 함수에 맞는 적절한 매개변수를 고안하는 것이다. 데이터 좌표에 대한 연결은 각각의 개별 모델의 분포의 연관성으로 표현 된다.
혼합의 분해에 대한 문제의 다양한 접근이 제시되었다. 대부분 expectation maximization (EM) 또는 maximum a posteriori estimation (MAP) 와 같은 maximum likelihood 방식에 초점을 많이 맞추고 있다. 일반적으로 이러한 방법은 매개변수 추정의 문제와 시스템 정체확인으로 분리하여 고려된다. 즉 다시 말하면, 샘플 데이터들이 어떠한 확률분포모델에 속하는지 결정을 하는 과정과 확률분포모델의 매개변수를 새롭게 업데이트 하는 과정의 반복으로 문제를 해결한다.
혼합 모델 매개 변수 추정과 시스템 확인
EM 알고리즘은 1958년에 Hartley에 의해서 처음 제안되었고 1977년에 Dempster에 의해서 체계화되어 된 군집 알고리즘이다. EM 알고리즘은 K-Means 알고리즘과 마찬가지로 초기 모델을 생성한 후 반복 정제과정을 통하여 모델을 최적화된 모델을 생성해간다. EM 알고리즘은 반복 정제 과정을 통하여 각 객체들이 혼합 모델(Mixture Model)에 속할 가능성(Probability)을 조정하여 최적의 모델을 생성해 간다. K-Means 알고리즘에서는 유클리디언(Euclidean) 거리 함수를 사용하는 반면에 EM 알고리즘은 log-likelihood 함수를 사용하여 모델의 적합성을 평가한다. 즉, K-Means가 거리 기반 군집 방법인 것에 비하여 EM은 확률 기반 군집(Probability-based clustering)이라고 한다.
혼합 모델 매개 변수 추정과 시스템 확인
EM 알고리즘은 Finite Mixture Model 통계 개념에 기반하고 있다. Mixture 하는 것은 여러 개의 확률 분포를 혼합된 것을 의미한다. 군집의 개수가 k라고 하면 k개의 확률 분포를 갖는 것을 의미한다. EM 알고리즘에서는 각 레코드들은 여러 개의 확률 분포 모델(군집)에 속하는 가중치를 가지고 배정된다.
EM 알고리즘은 최적해로 수렴한다는 것이 증명되어 있다. 루프를 돌 때마다 우도가 결코 줄어들지 않기 때문이다. 하지만 EM은 초기 해에 따라 최종 해가 달라지는 욕심 알고리즘(Greedy algorithm)이고, 전역 최적 해(Global optimal solution)이 아닌 지역 최적 해(Local optimal solution)로 수렴할 수도 있다.
K-mean 알고리즘은 임의의 데이터 셋을 클러스터링 할 때 쓰이는 알고리즘으로, 가우스 혼합 모델의 EM 알고리즘과 비슷하다. K-means 알고리즘의 경우, 각 데이터 포인트에 클러스터를 정확히 1가지 지정하는데에 반해(hard assignment), EM알고리즘은 여러개의 클러스터에 대해 사후 확률에 비례하도록 지정한다(soft assignment). 실제로 가우스의 혼합 EM 알고리즘으로부터 K-means 알고리즘을 다음과 같이 유도할 수 있다.
혼합 모델 혼합 모델의 응용
지금부터의 가우스 혼합 모델의 매개변수를 찾아내는 과정은 "패턴인식,교보문고,2008,오일석"의 내용을 바탕으로 작성되었다.
샘플의 집합이 으로 주어진다면, 주어진 X를 바탕으로 추정해야 할 매개변수는 다음과 같다.
가우시언의 개수 
k 번째 가우시언의 매개 변수 
k 번째 가우시언의 가중치 
최적화 대상이 되는 함수는 개의 가우시언 분포의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

사용해야 하는 가우시언의 개수는 사용자가 미리 정해준다고 가정하면 나머지 매개변수를 추정하면 된다.(실제로 몇 개의 가우시언을 사용해야할지 자동으로 결정할 수는 있다.)
추정할 매개변수 
이들을 이용하여 다음과 같이 최대 우도 추정 문제로 발전시킬 수 있다.


따라서 관찰된 X에 대해 이것을 발생시켰을 가능성이 가장 큰 매개 변수 집합 를 찾아 그것을 해로 취하는 것이 최종 문제이다.
혼합 모델 혼합 모델의 응용
이 최적화 문제는 두 가지 단계가 필요하다. 먼저 샘플이 어느 가우시언에 속하는 지를 추정하는 단계가 기대화(Expectation) 단계이다. 이 때 가우시언에 속하는 정도를 확률로 표현하는 연성 소속을 사용한다. E 단계를 마친 뒤 매개 변수 집합 를 추정하는 단계가 최대화(Maximization) 단계이다. 에는 두 가지 매개 변수가 있는데, 하나는 개의 와 이고, 다른 하나는 혼합 계수 벡터 이다. 따라서 와 를 먼저 계산한 후 를 계산한다.
E 단계를 위해 필요한 가우시언에 속하는 정도에 대한 값의 식은 다음과 같다.(자세한 과정은 EM 알고리즘 참고)
, 샘플 가 관찰되었을 때 그것이 j번째 가우시언에서 발생했을 확률(사후확률)
M 단계를 위해 필요한 매개 변수 값들의 식은 다음과 같다.(자세한 과정은 EM 알고리즘 참고)
, 


이들 E와 M단계를 번갈아 가며 반복하다가 수렴 조건이 만족되면 멈춘다.
혼합 모델 혼합 모델의 응용
먼저 N개의 다른 주택의 가격을 관찰했다고 가정하자. 다른 거주 지역에 있는 다양한 종류의 주택 가격은 상당히 다를 것이다. 그러나 특정 거주 지역에 있는 특별한 종류의 주택의 가격은 평균 가격 주변에 가깝게 형성되어 있는 경향이 있을 것이다. 이러한 주택 가격은 K개의 서로 다른 성분으로 이루어진 혼합 모델로 정확하게 묘사할 수 있다. 각 성분은 주택의 종류나 거주 지역의 특정 조합을 나타내고, 미지의 평균과 분산 값을 가지는 정규 분포를 따른다고 가정한다. 이 모델을 관찰된 가격에 EM 알고리즘을 이용하여 적용시킨다면, 주택의 종류나 거주 지역에 따른 가격을 분류할 수 있을 것이고, 주택의 종류나 거주 지역에 따른 가격의 분포도 알 수 있을 것이다. (가격이나 수입과 같은 값은 항상 양수이고, 기하급수적으로 증가하는 경향이 있어서, 실제로 대수-정규 분포(Log-normal distribution)가 정규 분포보다 더 좋은 모델이 될 수 있다.)
혼합 모델 혼합 모델의 응용
영상 처리나 컴퓨터 비전에서 전통적인 영상 분할(image Segmentation) 모델은 하나의 픽셀을 오직 하나의 패턴에만 할당시켰다. 그런데 퍼지 영상 분할에서는 어느 패턴도 단일 픽셀에 대한 소유권을 가질 수 있다. 만약 패턴들이 가우스 분포라면, 퍼지 영상 분할은 가우스 혼합 모델 분포를 따르게 된다. 이 모델이 다른 분석적이고 기하학적인 기법(가령, 산만한 경계에서의 상전이)과 결합한다면, 공간적으로 정규화 된 혼합 모델로서 더 현실적이고 계산적으로 효율적인 분할 방법이 될 수 있다.
혼합 모델 혼합 모델의 응용
문서가 N개의 서로 다른 단어와 전체 크기가 V인 어휘로 구성되어 있고, 각 단어는 K개의 주제 중 하나에 해당한다고 가정하자. 이러한 단어들의 분포는 K개의 서로 다른 V차원 범주형 분포(Categorical distribution)의 혼합 모델로 표현될 수 있다. 이런 종류의 모델은 주로 토픽 모델(Topic model)이라고 한다. 그런데 많은 수의 매개변수 때문에, EM 알고리즘을 이 모델에 적용하면 원하는 결과를 얻는 데에 실패하는 경우가 많다. 그래서 좋은 결과를 얻기 위해 몇 가지 추가 가정이 필요하다. 전형적으로 두 종류의 추가 가정이 모델에 추가된다.
사전 분포(Prior distribution)는 아주 작은 수의 단어만 0이 아닌 확률을 가지고 있는 스파스 분포(Sparse distribution)를 만들기 위해 토픽 분포를 묘사하는 매개변수를 사용한다. 이를 위해 디리클레 분포(Dirichlet distribution)를 Concentration parameter를 1보다 상당히 작게 설정하여 적용한다.
혼합 모델 혼합 모델의 응용
자연적 집단화(natural clustering)를 이용하기 위해, 몇몇 종류의 추가 조건은 단어들의 토픽 유사성(identities)을 사용한다.
손으로 쓴 0과 9 사이의 숫자를 스캔한 N*N 크기의 흑백 이미지가 있는데, 어느 숫자가 쓰였는지는 모른다고 가정하자. 여기서 K=10인 서로 다른 성분으로 되어 있는 혼합 모델을 만들 수 있다. 각 성분은 크기가 인 베르누이 분포(픽셀 당 하나)의 벡터로 되어 있다. 이 모델은 EM 알고리즘을 분류되지 않은 세트의 손으로 쓴 숫자에 적용시켜 훈련될 수 있고, 쓰인 숫자에 따라 이미지를 효과적으로 분류할 수 있다. 이와 같은 모델을 분류뿐만 아니라 다른 이미지의 숫자를 인식하는 데에 사용할 수 있다. 이는 모델에서 새로운 이미지에 대한 각 숫자의 확률을 계산하여 가장 높은 확률을 나타내는 숫자를 결과 값으로 나타내면 된다.
이 혼합모델을 풀기 위해서 EM 알고리즘의 각 단계(E단계, M단계)를 위한 식을 구해야 하고, 이 혼합모델에 대한 최대 우도 추정을 구해야한다.
완전한 데이터 로그 우도(Complete data log likelihood) 를 구하는 과정은 다음과 같다.


위 값을 최대화하는 값을 업데이트하는 과정이 기댓값(Expectation) 과정이다.

E 단계에서 구한 을 이용하여 모델 매개변수를 업데이트하는 과정이 최대화(Maximization) 과정이다.
위의 금융에 적용한 예시는 혼합 모델의 직접적인 응용 중 하나이다. 왜냐하면 근본적인 메커니즘을 가정하여 각각의 관찰된 정보가 서로 다른 구성성분이나 범주 중 하나에 반드시 속하도록 하였기 때문이다. 그러나 이러한 근본적인 메커니즘은 관찰될 수도 있고, 관찰되지 않을 수도 있다. 이러한 형태의 혼합 모델에서 각각의 구성 성분은 하나의 확률 밀도 함수에 의해 나타날 수 있다. 그리고 각 구성 성분의 계수는 관찰된 정보가 이 성분으로부터 올 확률에 해당한다.
혼합 모델의 간접적인 응용에서는 위의 메커니즘처럼 가정할 수 없다. 혼합 모델이 단순히 수학적으로 다루기 쉽도록 사용되는 것이다. 예를 들어, 서로 다른 2개의 정규 분포의 혼합 모델은 표준 범주형 분포(Standard parametric distribution)에 의해 모델링되지 않은 2개의 모드의 분포를 나타낸다. 또 다른 예로 혼합 모델을 사용하여, 기본적인 가우스 분포보다 더 평평한 꼬리 부분(tail)을 만들어서 극단적인 사건에 대해 더 잘 모델링되도록 하는 것이다.
네오플란
네오플란(영어: NEOPLAN, 독일어: NEOPLAN Bus GmbH)은 독일의 자동차 메이커이다.
네오플란은 버스를 전문적으로 생산하는 기업으로 MAN SE의 자회사에 해당된다.
네오플란 역사
1935년 독일 바덴뷔르템베르크주 슈투트가르트에서 고트로브 아우게르 유한회사(독일어: Gottlob Auwärter GmbH)로 설립했다. 당시 고급 장거리 버스를 업체로 유명세를 얻었지만 제2차 세계 대전이 발발하면서 기술 인력 대부분이 징집되었고 소수의 인원만 남게 되면서 군용 차량 제작을 했으나, 제2차 세계 대전이 끝난 다음에 다시 성장하게 되었다.
1953년에 최초로 모노코크 바디 공정을 도입하면서 네오플란 브랜드를 런칭했다. 1957년에 세계 최초로 에어 서스펜션과 독립현가장치를 버스에 탑재하면서 혁신을 불러왔다. 1961년에 세계 최초로 현대적인 디자인의 버스를 출시 했는데 이것이 바로 함부르크 유형(독일어: Typ Hamburg)이다. 기존 차량의 경우 둥근 디자인이 주류였지만, 앞뒤 창문과 차체 디자인으로 공간 활용도를 개선했고 훗날 버스에서 적용된 천장 루버식 공조장치를 탑재한 것이 특징이다. 1964년에 경량형 차대에 저상 구조의 장거리 2층 버스 모델인 스카이라이너가 출시되었다.
네오플란 역사
1971년에 최초로 HD급 차량인 시티라이너를 출시했고 1973년에 함부르크 유형 후속인 제트라이너를, 1975년에 전장 18m, 2층 굴절버스인 점보크루저 모델이 출시되었다. 1976년에 세계 최초의 저상버스 모델인 N 814 모델이 출시되었고, 1979년에 시티라이너와 동일한 등급인 스페이스라이너를 출시했다. 1982년에 독일 대중교통 협회(독일어: Verband Öffentlicher Verkehrsbetriebe)에서 정의한 2세대 도시형버스 표준 규격을 최초로 적용한 N 416 모델이 출시되었다. 1987년에 저상버스 모델인 N 814 모델의 후속 모델인 N 421 모델이 출시되었다.
1993년에 전장 15m의 85인승 4축 2층 버스인 메가라이너를 출시했고 1996년에 최고급 모델인 스타라이너가 출시되었다. 2001년 MAN SE에 인수되면서 자회사가 되었고 도시형버스 라인업은 더 이상 생산하지 않게 되었다.
선더볼트 작전
선더볼트 작전(영어: Operation Thunderbolt)은 1951년 중국인민지원군 및 조선인민군의 대공세에 맞서 울프하운드 작전 이후 매슈 리지웨이 장군이 실행한 유엔군의 반격 작전이다. 중화인민공화국에서는 이 전투를 한강 남안방어전(중국어: 漢江南岸防禦戰)이라고 부른다.
경기도 남부 및 서울 남부 일대에서 반격을 가한 유엔군은 이후 서울 수복을 준비하는 데 수월함을 겪었다. 당시 대통령이었던 해리 트루먼은 중공군의 반격 작전에 의해 대한민국을 포기하라 지시했지만 울프하운드 작전에서 성공을 거둔 리지웨이 장군은 미 참모총장 콜린스를 설득해 이 작전을 개시했다. 용인을 빠르게 수복한 유엔군은 1951년 2월 20일, 관악산을 점령하였다. 이 작전으로 유엔군은 땅에 떨어진 사기를 되찾게 되었으며, 이후 중국군의 인해전술의 한계점이 무엇인지 유엔군은 파악하게 된다.
선더볼트 작전 배경
1951년 1월 중순, 울프하운드 작전에서 유엔군은 중공군 정찰이라는 임무를 성공적으로 완수하고 중공군의 남하를 저지했다. 이 작전에서 중공군은 유엔군의 화력에 밀려 뼈아픈 타격을 입고 철수했다. 이 결과 중공군의 인해전술은 37도선에서 중지되었다. 유엔군은 평택-삼척을 잇는 무명의 방어선에서 중공군의 공격을 대비하는 한편, 서울 수복을 위한 반격 작전을 계획하고 있었다. 이 무렵, 미국의 트루먼 대통령은 유엔군이 중공군에 의해 압도적으로 밀려 패배하자 한국을 포기하라 지시하고 이를 한국에 주둔한 장교들에게 알려주기 위해 미국 참모총장 조세프 콜린스를 파견한다. 그러나 리지웨이는 콜린스를 설득해 중공군을 공격하기를 대통령이 허가해주었으면 좋겠다고 말했고, 그 대화 중 이런 명언이 나오기도 했다.
선더볼트 작전 배경
이 말은 유엔군이 중공군에 대한 반격을 어떻게 진행할 지 보여줄 것이라 할 수 있는데, 바로 인해전술에 대항해 화해전술(火海戰術)로 싸우겠다는 것을 의미했다. 유엔군은 작전 준비를 위해 미군의 제3보병사단, 제24보병사단, 제25보병사단을 중심으로 터키 여단과 대한민국의 제1보병사단, 제6보병사단을 작전에 배치하기로 결정했다. 또한 영연방군 제27여단과 제29여단도 참가시키기로 결정했다. 울프하운드 작전을 통해 공산 세력의 전력을 파악한 유엔군은 1951년 1월 25일 선더볼트 작전을 개시한다.
선더볼트 작전 전투
1951년 1월 초 충청도를 지켜낸 유엔군은 본격적으로 반격전을 시작한다. 서부 전선의 경기도 및 서울을 탈환하기 위해 유엔군은 이 지역 탈환 작전에 미 제1군단 및 미 제3사단, 영연방군 제27보병여단, 튀르키예 여단을 투입하고 이들을 제1제대로 명명했다. 한국군 제1사단은 예비대로 부속되었다. 미 제9군단은 미 제1기병사단과 영 연방군 제27여단, 미 제24사단으로 구성되었다. 한국군 제6사단이 예비대로 부속되었다. 경기도 지방에서의 작전 목표는 간단했다. 적군의 주저항선까지 이들을 밀어붙이는 것이 목표였다. 이들은 중국군을 확실히 섬멸하기 위해 화해전술 및 자성전술을 택하여 중국군의 반격도 허용하지 않을 것을 다짐했다. 물론 중국군은 유엔군의 반격을 예상조차 하지 못했고, 오히려 자국 군대의 문제로 고민하였다. 지나치게 빠르게 남하한 탓에 식량과 탄약이 고갈된 것이다. 이 상황에서 유엔군은 대규모 반격전을 준비했다.
선더볼트 작전 전투
1951년 1월 25일, 경기도에서 수원- 이천 방어선을 돌파하며 작전이 시작되었다. 펑더화이는 기습 공격에 당황하여 일단 부대를 재편성하라 지시했지만 중공군은 유엔군의 틈을 주지 않는 공격에 붕괴되고 있었다. 1월 27일 수리산에서 첫 전투가 벌어졌다. 이 과정에서 튀르키예군과 미군이 연합 작전을 계획한다. 수리산 부근인 반월, 대야미, 군포장 등지에서 중국군 제50군의 강력한 저항이 있었지만, 당시 이 지역을 맡은 윌리엄 킨은 1월 31일 공격을 개시한다. 이들은 2월 6일까지 수리산의 440고지를 두고 중국군과 치열한 접전을 벌였다. 튀르키예군은 거의 궤멸당했으며, 미군도 수리산 방어선을 지키다가 엄청난 피해를 입었다. 그러나 중국군도 기세가 꺾여 2월 6일에 수리산을 포기한다. 수리산을 유엔군이 점령하면서 작전의 양상은 유엔군에 유리하게 돌아가게 된다. 이 무렵 모락산에서도 전투가 발발하는데, 한국군이 중국군의 반격을 격퇴하고 미 공군의 지원 하에 모락산을 차지하면서 서울로 가는 길을 이들은 확보하는데 성공한다. 중국군은 모락산에서 큰 피해를 입고 한강 남쪽의 주요 고지에서 재정비를 한다.
선더볼트 작전 전투
한편 용인 김량장리와 태화산 초하리 남산에서도 중국군과 유엔군의 혈전이 벌어졌다. 용인 김량장리의 경우 중국군의 강력한 방어작전에 유엔군의 진격이 저지되자 미 제24사단 소속의 튀르키예 여단이 착검돌격을 개시해 중국군 474명을 사살한 일도 벌어졌다. 초하리 남산 전투에서는 유엔군과 중국군 간에 치열한 진지 쟁탈전이 벌어졌다. 중국군은 육탄전과 백병전을 벌이며 적에게 저항했지만 큰 피해를 입고 물러난다. 하지만 이 과정에서 영 연방군과 미군도 엄청난 피해를 입었다. 위급한 상황 속에서 중국군은 한강 남쪽에서 반격 작전을 계획하는 한편, 서울 및 한강을 사수하겠다는 신념을 버리지 않고 있었다.
선더볼트 작전 전투
강원도에서의 작전은 주로 보조적인 전투가 대부분이었지만, 중국군의 막강한 저항으로 서부전선과 비교할 수도 없을만큼의 전투가 벌어졌다. 펑더화이는 2월 8일 중국군에게 지평리를 공격하라 지시했지만, 마음을 바꿔 상대적으로 전투력이 약한 한국군을 공격하라 지시했다. 1951년 2월 11일, 중국군의 횡성 전투가 시작되었다. 당시 유엔군은 횡성, 동해, 평창, 여주까지 진격한 상황이었다. 이들은 지평리와 횡성 일대에 견고한 진지를 쌓고 중국군의 반격에 준비했다. 중국군은 횡성에서의 반격을 통해 유엔군으로부터의 압박을 완화시키고 유엔군 전초부대 대부분을 섬멸시키는 전공을 올렸다. 이들은 유엔군으로부터 빼앗긴 땅 대부분을 다시 확보했다. 유엔군 대다수는 횡성 전투로 인해 철수를 시작하고 전열을 재정비했다.
선더볼트 작전 전투
모든 유엔군이 철수를 시작했지만, 지평리의 유엔군은 오히려 철수 거부 및 진지 방어라는 명령을 리지웨이로부터 하달받았다. 일단 그는 선더볼트 작전의 보조 작전 지역이었던 강원도에서의 패배가 이 작전 자체에 영향을 주지 않는다고 보았다. 또한, 반격전을 감행했더라도, 1·4 후퇴 당시의 37도선까지 중국군이 내려오지 못한 것은 중국군 내에서도 문제가 있었기 때문이라고 그는 판단했다. 이미 1월 28일에 마오쩌둥은 펑더화이에게 36도선에 위치한 안동과 대전, 공주를 점령하라 지시했지만, 유엔군의 반격작전으로 이는 거의 실현되기 어려운 상태였다. 이러한 상황에서 중국군은 강원도에서의 전반적인 반격을 개시하기 위해 충청도의 제천을 점령하는 것을 우선 목표로 하고 영주과 안동으로의 진격을 검토하였다. 이를 위해 중국군은 제천으로 이어지는 원주의 문막리와 양평의 지평리를 점령해야 했다.
횡성 전투로 자신감을 얻은 중국군은 유엔군의 전초 기지인 지평리도 손쉽게 점령할 수 있을 거라고 보고 있었다. 이들은 지평리에 대공세를 감행할 준비를 마쳤지만 유엔군 또한 넉넉한 포탄을 준비하고 통신 연락 체계를 재점검했으며, 프랑스군과 미군 사이의 협조 체계도 재검토했다. 2월 13일 밤이 되자 화력이 부족했던 중국군은 육탄전을 벌이며 지평리로 공격을 개시했다. 중국군 대부분이 지평리에는 병력이 그다지 많지 않을 것이라 생각했다. 또한 일부 지휘관들은 지평리가 아닌 다른 지역을 지평리로 착각하고 점령한 경우도 있었다. 343연대장이었던 왕푸즈는 지평리 외곽의 산인 마산을 점령했고, 377연대장이었던 장즈차오는 지평리가 아닌 전곡을 점령한 후 지평리를 점령했다고 상부에 보고했다. 이렇듯 혼란스러운 상황에서 유엔군은 지평리 근처에 주둔한 중국군에게 공습을 감행하여 적군에 큰 타격을 입힌 뒤 지평리 일대로 물러났다. 악조건임에도 불구하고 2월 14일 새벽부터 낮까지 중국군은 지평리 진지에 맹공을 가했다. 양측 모두 엄청난 피해를 입은 채 혈전을 벌였고, 유엔군은 공습과 폭격으로 중국군의 진격을 저지하려고 노력했다. 약 2일간의 격전 끝에 미군 전차분대가 지평리에서 지원 사격을 하고 중국군 사령부가 하급 지휘관들의 요청에 따라 공격을 중지하면서 끝이 났다. 2월 16일 지평리에서 중국군이 철수한 이후 580고지의 중국군은 유엔군을 맞아 힙겹게 싸웠지만 이들 또한 화력의 열세로 후퇴했다.
선더볼트 작전 결과
2월 20일 서울의 관문 중 하나라 할 수 있는 관악산이 유엔군의 손에 떨어지면서 유엔군은 서울 수복을 위한 작전을 개시할 준비를 마친다. 결정적으로 수원-이천 선에서 관악산-지평리 선으로 북상한 것은 유엔군의 공세가 성공적이었음을 보여준다. 유엔군의 희생이 엄청났지만 중국군의 희생도 엄청났기 때문에 펑더화이는 베이징으로 가서 중국 정부의 고위 관료들을 만나보며 마오쩌둥이 지시한 4차 전역에 대해 검토한다. 하지만 이 작전이 유엔군의 승리로 끝날 수 있었던 데에는 무엇보다도 매슈 리지웨이 장군의 탁월한 전술 감각 때문이었다. 그는 이 작전을 참가하기 이전부터 중국군의 보급 최대 상한선이 8일임을 깨닫고 있었다. 1·4 후퇴 때도, 운산-영변 전투 때도, 청천강 전투 때도 중국군의 전투 기간은 8일이었고 그 때 전투 때마다 리지웨이는 중국군과의 전투에 참여했다. 리지웨이는 이러한 경험을 살려 중국군에게 뼈아픈 타격을 입힐 수 있었다. 또한 월턴 워커가 의정부에서 교통사고를 당하여 사망한 후 뒤를 이은 리지웨이는 한국에 주둔한 미군 장교들과 제2차 세계 대전 때부터 친했기 때문에 이들 사이에서 마찰을 빚지는 않았다. 이러한 리지웨이의 배경을 바탕으로 한 유엔군의 과감한 진격과 화해전술은 유엔군에게 승리를 가져다 주었다고 평가할 수 있다.
소환 (환론)
환론에서 소환(素環, 영어: prime ring)은 아이디얼이 곱셈에 대하여 영인자를 갖지 않는 환이다. 정역의 개념의 비가환 일반화의 하나이다.
소환 (환론) 정의
임의의 환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 소환이라고 한다.
소환 (환론) 성질
다음 함의 관계가 성립한다.:153
가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
소환 의 중심 는 정역이다. 따라서, 소환의 표수는 0이거나 소수이다.:168, Exercise 10.0