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베티 수
베티 수(영어: Betti number)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 며, 0이거나, 양의 정수이거나, 이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 부터 에 대하여 이다.
베티 수 정의
위상 공간 , 음이 아닌 정수 , 체 가 주어지면, 번째 베티 수 는 번째 특이 호몰로지 공간 의 (에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
일반적으로, 가 주어지지 않았을 때에는  (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 의 계수와 같다. 의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 가 주어지지 않으면 암묵적으로 이다.
콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한  이상으로는 에 대하여 이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(영어: Poincaré polynomial)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 는 다음을 만족한다.
무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수(영어: Poincaré series)를 정의할 수 있다.
베티 수 성질
거칠게 말해서, 일 때 베티 수 는 차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 의 베티 수는 일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.
유한한 CW 복합체 의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.
임의의 체 에 대하여,
여기서 는 오일러 지표이다.
임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 와 에 대하여 그 곱공간 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.
마찬가지로,와 의 분리합집합 의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.
닫힌 n차원 가향 다양체 의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.
이는 푸앵카레 쌍대성 으로부터 유도할 수 있다.
베티 수 예
차원 초구 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
차원 원환면 의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.
차원 실수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
무한 차원 실수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
차원 복소수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
무한 차원 복소수 사영 공간 의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
종수 의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
콤팩트 단일 연결 단순 리 군 의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.
여기서 는 원시 지수(영어: primitive exponent)라고 하며, 다음과 같다.
베티 수 역사
앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.
논산시의 행정 구역
논산시의 행정 구역은 2읍 11면 2행정동(11법정동)으로 구성되어 있다. 논산시의 면적은 총 554.85km2이며, 인구는 2010년 12월 31일을 기준으로 53,704세대 130,311명에 이른다.
논산시의 행정 구역 역사
논산은 일제 강점기에 연산군, 은진군, 노성군의 소사면을 제외한 지역, 그리고 석성군, 공주군, 진잠군 등의 일부지역을 병합하여 설치되었다. 연산군은 본래 백제의 황등야산군이었는데 조선 태조 23년에 연산현이 되었다. 은진군은 본래 덕은현과 시진현을 합쳐서 생겨났다. 노성군은 백제의 열야산현인데, 신라 경덕왕 때 니산현으로 고쳤다가 조선 정조 초에 노성이라고 칭하였다.
15면 - 상월면, 노성면, 광석면, 성동면, 연산면, 부적면, 양촌면, 두마면, 벌곡면, 가야곡면, 구자곡면, 대조곡면, 채운면, 논산면, 강경면
호지 이론
수학에서 윌리엄 밸런스 더글러스 호지의 이름을 따서 명명된 호지 이론(Hodge理論, 영어: Hodge theory)은 리만 다양체의 라플라스 연산자의 코호몰로지를 다루는 이론이다. 또한 편미분 방정식을 사용하여 매끄러운 다양체 의 코호몰로지 군을 연구하는 방법이다. 이 이론의 배경이 되는 주요한 관찰은 에 대한 리만 계량이 주어지면 모든 코호몰로지류가 계량의 라플라스 연산자 아래에서 사라지는 미분 형식인 표준 대표원을 갖는다는 것이다. 이러한 형식을 조화 형식이라고 한다.
이 이론은 대수 기하학을 연구하기 위해 1930년대에 호지에 의해 개발되었으며, 드 람 코호몰로지에 관한 조르주 드 람의 작업을 기반으로 한다. 리만 다양체 와 켈러 다양체의 두 가지 설정에서 주요 응용이 있다. 호지의 주요 동기인 복소 사영 다형체에 대한 연구는 후자의 경우에 포함된다. 호지 이론은 특히 대수적 순환 연구와의 연결을 통해 대수 기하학에서 중요한 이론이 되었다.
호지 이론은 본질적으로 실수 및 복소수에 의존하지만 정수론의 질문에 적용될 수 있다. 산술적 상황에서 p-진 호지 이론은 고전적인 호지 이론의 대체 증명 또는 비슷한 결과를 제공했다.
호지 이론 리만다양체의 호지 이론
매끄러운 n차원 콤팩트 가향 리만 다양체 를 생각하자. 이 위에 차 미분 형식의 층 을 정의할 수 있다. 이 경우 미분 형식 층은 드람 복합체
를 이룬다. 여기서 는 외미분이다. 이 복합체로 정의한 코호몰로지는 드람 코호몰로지 이다.
이제 (외)미분의 (형식적인) 딸림연산자(adjoint)를 생각하자. 즉 다음을 만족하는 연산자 를 생각하자. 임의의 , 에 대하여,
(여기서 는 차 미분 형식의 내적으로, 리만 계량으로부터 정의한다.) 이러한 연산자 를 찾을 수 있으며, 공미분(codifferential)이라고 부른다. 이는 다음과 같다.
여기서 은 호지 별연산자(영어: Hodge star operator)라 불리는 연산자로, 형식을 레비치비타 기호와 축약시키는 연산이다.
이제 라플라스 연산자 를 다음과 같이 정의한다.
라플라스 연산자의 값이 0인 형식을 조화 형식(調和形式, 영어: harmonic form)이라 부른다. 즉 이면 는 조화 형식이다. 모든 조화 형식은 미분과 공미분에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉 이면 이며 이다.
호지 이론 리만다양체의 호지 이론
임의의 차 미분 형식 는 다음과 같이 유일하게 분해할 수 있다.
여기서 는 조화 형식이다. 즉, 임의의 미분 형식을 조화 성분과 닫힌 성분, 공닫힌(coclosed) 성분으로 유일하게 분해할 수 있다. 이를 호지 분해(Hodge decomposition)이라고 한다.
만약 가 닫힌 형식이라면 () 공닫힌 성분은 항상 0이다. 즉
이다. 여기서 조화 성분만을 취하면, 차 조화 형식의 벡터 공간 과 차 드람 코호몰로지 과의 동형사상을 얻는다. 즉,
이다. 이를 호지 정리(영어: Hodge's theorem)라고 하고, 호지가 최초로 증명하였다. 다시 말하면, 임의의 코호몰로지 동치류 에서 유일한 조화 형식인 대표 를 찾을 수 있다.
호지 이론 리만다양체의 호지 이론
아티야와 보트는 타원 복합체를 드 람 복합체의 일반화로 정의했다. 호지 정리는 다음과 같이 이 설정으로 확장된다. 를 부피 형식 가 있는 닫힌 매끄러운 다양체 에 계량이 장착된 선형 다발이라 하자.
는 이러한 선형 다발의  단면에 작용하는 선형 미분 연산자이며 유도된 열
타원 복합체이다. 직합
을 도입한다. 그리고 을 의 adjoint로 둔다. 타원 연산자  를 정의한다. 드 람의 경우에서와 같이 이것은 조화 단면의 선형 공간을 산출한다.
가 직교 사영이고 를 에 대한 그린 연산자라고 하자. 호지 정리는 다음을 주장한다.
이 상황에는 드 람 복합체에 대한 위의 설명을 일반화하는 호지 분해도 있다.
호지 이론 복소다양체의 호지 이론
n차원 복소다양체 과 그 위에 정의된 (1,1)-형식 (에르미트 형식) 를 생각하자. 이 형식이 를 만족한다고 가정하자. 이 경우, 는 에르미트 다양체로 불리며, 복소다양체에서 리만 구조와 유사한 개념이다. 이 경우, 돌보 연산자(Dolbeault operator) , 을 생각하자. 에르미트 형식을 써서 내적
를 정의한다. 이 내적을 써서 딸림연산자 와 를 정의할 수 있다. 이를 써서 라플라스 연산자
를 정의한다. 라플라스 연산자가 0인 형식을 마찬가지로 조화 형식으로 일컫는다.
이들도 마찬가지로
임을 보일 수 있다. 이 경우에도 마찬가지로 호지 정리가 성립한다. 즉 에 대한 조화 형식의 벡터 공간은 돌보 코호몰로지 공간 과 동형이다.
이 밖에도, 에르미트 다양체는 리만 다양체를 이루므로, 실수다양체의 경우와 같이 를 기반으로 라플라스 연산자
를 정의할 수 있다. 즉 에르미트 공간에는 , ,  세 개의 라플라스 연산자와 그에 관련된 호지 코호몰로지가 존재한다.
만약 에르미트 형식이 닫혀 있다면 () 는 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우 라플라스 연산자 사이에 다음 관계가 성립한다.
따라서 어느 라플라스 연산자를 쓰는지에 상관없이 같은 코호몰로지를 얻는다.
호지 이론 복소 사영 다양체에 대한 호지 이론
를 매끄러운 복소 사영 다양체라고 하자. 즉, 는 일부 복소 사영 공간 의 닫힌 복소 부분 다양체이다. 저우의 정리에 따르면 복소 사영 다양체는 자동으로 대수적이다. 즉, 에서 동차 다항식의 영점 집합으로 정의된다. 의 표준 리만 계량은 복소 구조와 강력한 호환성이 있는 의 리만 계량을 유도하여 를 켈러 다양체로 만든다.
복소 다양체 및 자연수 에 대해 (복소 계수 포함)의 모든  제 형식은 인 -형식의 합으로 유일하게 작성될 수 있다. 각 항은
는  함수이고 는 정칙 함수이다. 켈러 다양체에서 조화 형식의  성분은 다시 조화 형식이다. 따라서 임의의 콤팩트 켈러 다양체 에 대해 호지 정리는 복소 선형 공간들의 직합으로서 복소 계수를 사용하여 의 코호몰로지 분해를 제공한다.
이 분해는 켈러 계량의 선택과 무관하다(그러나 일반적인 콤팩트 복소 다양체에 대한 비슷한 분해는 없다). 다른 한편으로, 호지 분해는 진정으로 복소 다양체로서 의 구조에 의존하는 반면, 군 은 의 기저 위상 공간에만 의존한다.
이러한 조화 대표원의 쐐기 곱을 취하는 것은 코호몰로지의 합곱에 해당하므로 복소수 계수가 있는 합곱은 호지 분해와 호환된다.
호지 이론 복소 사영 다양체에 대한 호지 이론
호지 분해의 조각 는 연접층 코호몰로지 군으로 식별할 수 있으며, 이는 복소 다양체로서 에만 의존한다(켈러 계량의 선택에 의존하지 않음):
여기서 는 에서 정칙 제 형식의 층을 나타낸다. 예를 들어, 는  상의 정칙 제 형식의 공간이다. (만약 가 사영이면, 세르의 GAGA 정리는 모든 에 대한 정칙 -형식이 사실 대수적임을 의미한다. )
한편, 적분은 의 호몰로지류 와 의 교곱으로 나타내어진다. 푸앵카레 쌍대성에 의해 의 호몰로지류는 우리가 라고 부르는 코호몰로지류에 대해 쌍대적이며 교곱은 와 의 합곱을 취하고 의 기본류와 교집합하여 계산할 수 있다
는 코호몰로지류이므로 호지 분해가 있다. 위에서 수행한 계산에 따라 이 클래스를  유형의 클래스로 합집합을 취하면, 0을 얻는다. 이므로,  .
호지 수 는 복소수 선형 공간 의 차원을 의미한다 이들은 매끄러운 복소 사영 다형체의 중요한 불변량이다. 그들은 의 복소 구조가 연속적으로 변할 때 변하지 않지만 일반적으로 위상 불변량은 아니다. 호지 수의 성질 중에는 호지 대칭  (왜냐하면 는 의 켤레 복소수이기 때문에) 및 ( 세르 쌍대성에 의해)가 있다.
호지 이론 복소 사영 다양체에 대한 호지 이론
매끄러운 복소 사영 다형체(또는 콤팩트 켈러 다양체)의 호지 수는 호지 다이아몬드에 나열될 수 있다(복소 2차원의 경우에 표시됨).틀:Hodge diamond예를 들어, 종수 인 모든 매끄러운 사영 곡선에는 호지 다이아몬드가 있다.틀:Hodge diamond또 다른 예로 모든 K3 곡면에는 호지 다이아몬드가 있다.틀:Hodge diamond의 베티 수는 주어진 행에 있는 호지 수의 합이다. 호지 이론의 기본 적용은 호지 대칭에 의해 매끄러운 복소 사영 다형체(또는 콤팩트 켈러 다양체)의 홀수 베티 수 이 짝수라는 것이다. 이것은 에 대해 동형이므로  갖는 호프 곡면의 예에서 볼 수 있듯이 일반적으로 콤팩트 복소 다양체에 대해서는 사실이 아니다.
"켈러 패키지"는 호지 이론을 기반으로 하는 매끄러운 복소 사영 다형체(또는 콤팩트 켈러 다양체)의 코호몰로지에 대한 강력한 제한들의 집합이다. 결과에는 렙셰츠 초평면 정리, 강한 렙셰츠 정리 및 호지-리만 쌍선형 관계가 포함된다. 이러한 결과의 대부분은  켈러 항등식 및 -정리를 포함하는 호지 이론을 통해 콤팩트 켈러 다양체들에 대해 증명된 근본적인 성질들로부터 나온다.
호지 이론 및 비-아벨 호지 이론과 같은 확장은 또한 콤팩트 켈러 다양체의 가능한 기본 군에 대한 강력한 제한을 제공한다.
호지 이론 대수 순환과 호지 추측
를 매끄러운 복소 사영 다형체라고 하자. 여차원 인 의 복소 부분 다형체 는 코호몰로지 군 의 원소를 정의한다. 또한 결과 클래스에는 특별한 성질이 있다. 복소 코호몰로지 에서 상은 호지 분해의 중간 부 분에 있다. 호지 추측은 이 성질의 역을 추측한다. 복소 코호몰로지의 상이 부분 공간 에 있는 의 모든 원소들은 의 복소 부분 다형체 류의 -선형 결합인 양의 정수 배수를 가져야 한다. (이러한 선형 결합을 에서 대수적 순환이라고 한다.)
중요한 점은 호지 분해가 일반적으로 적분(또는 유리) 계수를 갖는 코호몰로지의 분해에서 나오지 않는 복소수 계수로 코호몰로지를 분해한다는 것이다. 그 결과 교집합
는 전체 군 보다 훨씬 작을 수 있다. 호지 수 가 크다. 요컨대, 호지 추측은 의 복소 부분 다형체의 가능한 "모양"(코호몰로지에 의해 설명됨)이 의 호지 구조 (복소 코호몰로지의 호지 분해와 적분 코호몰로지의 조합)에 의해 결정된다고 예측한다.
호지 이론 대수 순환과 호지 추측
렙셰츠(1,1)-정리는 호지 추측이 에 대해 참이라고 말한다(적분적으로도, 즉 문장에서 양의 정수 배수가 필요하지 않음).
다형체 의 호지 구조는 의 호몰로지류에 대한 의 대수 미분 형식의 적분을 설명한다. 이런 의미에서 호지 이론은 미적분의 기본 문제와 관련이 있다. 일반적으로 대수 함수의 적분에 대한 "공식"이 없다. 특히 주기로 알려진 대수 함수의 정적분은 초월수가 될 수 있다. 호지 추측의 어려움은 일반적으로 그러한 적분에 대한 이해 부족을 반영한다.
예: 매끄러운 복소 사영 K3 곡면 의 경우 군 는 와 동형이고 은 과 동형이다. 교차점은 1에서 20 사이의 랭크를 가질 수 있다. 이 랭크를 의 피카르 수라고 한다. 모든 사영 K3 곡면의 모듈라이 공간은 가산 성분들의 집합을 가지며 각각의 복소수 차원은 19이다. 피카드 수 를 갖는 K3 곡면의 부분 공간은 차원이 이다. (따라서 대부분의 사영 K3 곡면에 대해  와 의 교집합은 와 동형이지만 "특별한" K3 곡면의 경우 교집합이 더 클 수 있다.)
호지 이론 대수 순환과 호지 추측
이 예는 복소 대수 기하학에서 호지 이론이 수행하는 여러 가지 다른 역할을 제안한다. 첫째, 호지 이론은 위상 공간이 매끄러운 복소 사영 다형체의 구조를 가질 수 있는 제한을 제공한다. 둘째, 호지 이론은 주어진 위상 유형을 가진 매끄러운 복소 사영 다형체의 계수 공간에 대한 정보를 제공한다. 가장 좋은 경우는 토렐리 정리가 유지되는 경우이다. 즉, 다형체가 호지 구조에 의해 결정된다는 의미이다. 마지막으로 호지 이론은 주어진 다형체에 대한 대수적 순환의 저우 군에 대한 정보를 제공한다. 호지 추측은 저우 군에서 일반 코호몰로지로 가는 순환 사상 상에 관한 것이지만 호지 이론은 예를 들어 호지 구조에서 구축된 중간 야코비안을 사용하여 순환 사상의 핵심에 대한 정보도 제공한다.
호지 이론 일반화
피에르 들리뉴가 발표한 혼합 호지 이론은 호지 이론을 반드시 매끄럽거나 콤팩트하지는 않은 모든 복소 대수 다형체로 확장한다. 즉, 모든 복소 대수 다형체의 코호몰로지는 보다 일반적인 분해 유형인 혼합 호지 구조를 가진다.
특이 다형체에 대한 호지 이론의 다른 일반화는 교차 호몰로지에 의해 제공된다. 즉, 사이토 모리히코는 모든 복소 사영 다형체(반드시 매끄럽지는 않음)의 교차 호몰로지이 매끄러운 경우와 마찬가지로 순수한 호지 구조를 가짐을 보여주었다. 실제로 전체 켈러 패키지는 교차 호몰로지으로 확장된다.
복소 기하학의 기본적인 측면은 비동형 복소 다양체(실 다양체로서 모두 미분동형사상임)의 연속적인 계열이 있다는 것이다. 호지 구조 변형에 대한 필립 그리피스의 개념은 가 변할 때 매끄럽고 복소 사영 다형체 의 호지 구조가 어떻게 변하는지 설명한다. 기하학적 용어로 이것은 다형체 족과 관련된 주기 사상을 연구하는 것과 같다. 사이토의 호지 가군 이론은 일반화이다. 대략적으로 말하면, 다형체 의 혼합 호지 가군은 매끄럽거나 콤팩트할 필요가 없는 다형체 족에서 발생하는 것과 같이 에 대한 혼합 호지 구조의 층이다.
호지 이론 역사
윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 1930년대에 도입하였고, 1941년 《조화 적분의 이론과 응용》에 집대성하였다. (여기서 "조화 적분"은 조화 형식을 호지가 불렀던 이름이다.)
대수적 위상수학 분야는 1920년대에 아직 초기 단계였다. 아직 코호몰로지라는 개념을 발전시키지 못했고, 미분 형식와 위상 사이의 상호 작용에 대한 이해가 부족했다. 1928년에 엘리 카르탕은 Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos라는 제목의 메모를 발표했는데, 여기에서 미분 형식와 위상이 연결되어야 한다고 제안했지만 증명하지는 못했다. 당시 학생이었던 조르주 드 람은 그것을 읽자마자 즉시 영감을 받았다. 1931년 논문에서 그는 현재 드 람 정리라고 불리는 놀라운 결과를 증명했다. 스토크스 정리에 의해, 특이 사슬을 따라 미분 형식의 적분은 임의의 콤팩트한 매끄러운 다양체 에 대해 쌍선형 짝을 유도한다.
호지 이론 역사
원래 언급된 바와 같이 드 람의 정리는 이것이 완벽한 쌍이므로 왼쪽에 있는 각 항이 서로의 선형 공간 쌍대라고 주장한다. 현대 수학에서 드 람의 정리는 실수 계수 특이 코호몰로지가 드 람 코호몰로지와 동형이라는 진술로 더 자주 표현된다.
드 람의 원래 진술은 푸앵카레 쌍대성의 결과이다.
이와는 별도로 솔로몬 렙셰츠의 1927년 논문은 리만의 정리를 다시 증명하기 위해 위상수학적 방법을 사용했다. 현대 수학에서  과 가 대수 곡선 의 정칙 미분이면 가 복소수 차원이 하나만 있기 때문에 쐐기 곱은 반드시 이다. 결과적으로 그들의 코호몰로지류의 합곱은 이며 명시적으로 만들면 렙셰츠는 리만 관계의 새로운 증명을 제공했다. 또한, 가 이 아닌 정칙 미분이면 는 렙셰츠가 리만의 부등식을 재유도할 수 있었던 양의 부피 형식이다. 1929년 호지는 렙셰츠의 논문을 알게 되었다. 그는 즉시 비슷한 원리가 대수 곡면에 적용되는 것을 관찰했다. 보다 정확하게는, 가 대수 곡면에서 이 아닌 정칙적 형식이라면, 는 양수이므로 와 의 합곱은 이 아니어야 한다. 따라서  자체는 이 아닌 코호몰로지류를 나타내야 하므로 주기가 모두 일 수는 없다. 이것은 세베리의 질문을 해결했다.
호지 이론 역사
호지는 이러한 기술이 더 높은 차원의 다형체에도 적용되어야 한다고 느꼈다. 그의 동료인 피터 프레져는 드 람의 논문을 그에게 추천했다. 드 람의 논문을 읽으면서 호지는 리만 곡면의 정칙 1형의 실수 부분과 허수 부분이 어떤 의미에서 서로 쌍대적이라는 것을 깨달았다. 그는 더 높은 차원에서 비슷한 쌍대성이 있어야 한다고 의심했다. 이 쌍대성은 이제 호지 별 연산자 로 알려져 있다. 그는 또한 각 코호몰로지류가 외미분 연산자 아래에서 그것과 그것의 쌍대가 사라지는 성질을 가진 유일한 대표를 가져야 한다고 추측했다. 이들은 이제 조화 형식이라고 부른다. 호지는 1930년대의 대부분을 이 문제에 바쳤다. 증명에 대한 그의 초기 출판 시도는 1933년에 나타났지만 그는 그것이 "극단적으로 조잡하다"고 생각했다. 그 시대의 가장 뛰어난 수학자 중 한 명인 헤르만 바일은 호지의 증명이 올바른지 여부를 결정할 수 없다는 것을 알게 되었다. 1936년에 호지는 새로운 증명을 발표했다. 호지는 새로운 증명이 훨씬 우수하다고 생각했지만 Bohnenblust는 심각한 결함을 발견했다. 독립적으로 헤르만 바일과 고다이라 구니히코는 오류를 수정하기 위해 호지의 증명을 수정했다. 이것은 호지가 추구하는 조화 형식과 코호몰로지류 사이의 동형사상을 확립했다.
호지 이론 역사
돌이켜 보면 존재 정리의 기술적 어려움은 실제로 중요한 새로운 아이디어를 필요로 하지 않고 단지 고전적 방법의 신중한 확장을 필요로 한다는 것이 분명하다. 호지의 주요 공헌이었던 진정한 참신함은 조화 적분의 개념과 대수 기하학과의 관련성에 있었다. 기술에 대한 개념의 승리는 호지의 위대한 전임자 베른하르트 리만의 작업에서 비슷한 일화를 연상시킨다. — 마이클 아티야, 윌리엄 더글러스 호지, 1903년 6월 17일 – 1975년 7월 7일, 왕립 학회 회원 전기 회고록, vol. 22, 1976, pp. 169–192.
호지 이론 각주
Bidal, Pierre; Georges de Rham (1946). “Les formes différentielles harmoniques” (프랑스어). 《Commentarii Mathematici Helvetici》 19: 1–49. doi:10.5169/seals-17331. ISSN 0010-2571. Zbl 0063.00378.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008). “Undergraduate lecture notes in De Rham–Hodge theory” (영어). arXiv:0807.4991. Bibcode:2008arXiv0807.4991I.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
복소수 미분 형식
미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.
복소수 미분 형식 정의
차원의 복소다양체 을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 는 복소구조 , 의 고윳값 에 따른 고유 공간
으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 은 항상 정칙 벡터 다발이지만, 은 일반적으로 그렇지 않다.
이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발
을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발
을 취할 수 있다. (만약 이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 차 복소수 미분 형식이라고 한다.
은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. 의 정칙 단면을 차 정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다.
보다 일반적으로, 복소다양체  위의 정칙 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 값의 복소수 미분 형식(영어: -valued complex differential form)을 의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, 값의 차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 의 정칙 단면이다.
복소수 미분 형식 정의
국소적으로, 의 임의의 점의 근방 에 복소수 좌표  ()를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로
꼴의 형식을 취한다. 여기서 가  개, 가 개 있으면 이를 -형식으로 부른다.
국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 는 정칙 함수다. 즉, 차 정칙 미분 형식은
을 만족하는 차 복소수 미분 형식 이다.
복소수 미분 형식 성질
복소다양체 은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우
이므로,
이 된다.
이 경우, 외미분
은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상
임을 보일 수 있다. 즉,
로 정의하면,
이다. 이 두 미분 연산자 과 을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다.
국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 -형식 의 경우,
그 돌보 연산자는 다음과 같다.
여기서 , 는 다중지표다.
복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
따라서  또는 로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, 로 정의되는 것은 의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 로 정의되는 것은 의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.
복소수 미분 형식 성질
즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.
그 코호몰로지는 다음과 같이 -형식의 동치류 공간이다.
이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 는 다음과 같다.
호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다.
호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.
차원 복소다양체는 총 개의 호지 수
를 가진다. 이 가운데 은 의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성
에 의하여
가 성립한다.
만약 이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상
가 성립한다.
돌보 복합체
는 섬세층으로 구성되며, 차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.
복소수 미분 형식 성질
이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약 일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.
이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.
보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체
는 의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 의 층 코호몰로지와 일치한다. (인 경우는 정칙 벡터 다발 의 층 코호몰로지이므로, 인 경우로 귀결된다.) 예를 들어
는 인  값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.
복소수 미분 형식 예
리만 구  위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.
여기서 는 차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 은 표준 선다발과 같으며, 이는 이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 이며, 리만 구는 인 경우이다.)
리만-로흐 정리에 의하여,
이다. 즉,
마찬가지로,
이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.
물론,  위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.
부속물매수청구권
부속물매수청구권(附屬物買受請求權)이란 타인의 부동산의 용익권자가 사용·수익의 편의를 위하여 그 부동산에 부속시킨 물건의 매수를 청구할 수 있는 권리를 뜻한다. 임대인이 건물의 인도와 함께 임차인이 설치한 부속물의 철거를 청구하는 경우에 임차인이 부속물매수청구권을 주장하는 것은 임대인의 부속물철거청구에 대하여는 철거청구권의 소멸사유, 건물인도청구에 대하여는 부속물매수대금의 지급과의 동시이행이라는 인도청구권의 행사저지사유로 기능하는 항변이 된다.
부속물매수청구권 조문
민법 제646조(임차인의 부속물매수청구권) ①건물 기타 공작물의 임차인이 그 사용의 편익을 위하여 임대인의 동의를 얻어 이에 부속한 물건이 있는 때에는 임대차의 종료시에 임대인에 대하여 그 부속물의 매수를 청구할 수 있다.②임대인으로부터 매수한 부속물에 대하여도 전항과 같다.
민법 제647조(전차인의 부속물매수청구권)①건물 기타 공작물의 임차인이 적법하게 전대한 경우에 전차인이 그 사용의 편익을 위하여 임대인의 동의를 얻어 이에 부속한 물건이 있는 때에는 전대차의 종료시에 임대인에 대하여 그 부속물의 매수를 청구할 수 있다.②임대인으로부터 매수하였거나 그 동의를 얻어 임차인으로부터 매수한 부속물에 대하여도 전항과 같다.
부속물매수청구권 판례
당해 건물의 객관적인 사용목적은 그 건물 자체의 구조와 임대차계약 당시 당사자 사이에 합의된 사용목적, 기타 건물의 위치, 주위환경 등 제반 사정을 참작하여 정해지는 것이다(대법원 1993.10.8. 선고 93다25738 판결 참조). 이 같은 임차인의 부속물매수청구권은 임차인이 임차물에 투하한 자본의 회수를 쉽게 하고 또한 임차물과 부속물의 경제적 가치를 유지하기 위한 것인데 만약 임대차계약이 임차인의 채무불이행으로 인하여 해지된 경우에는 부속물매수청구권을 행사할 수 없다(대법원 1990.1.23. 선고 88다카7245,88다카7252 판결 참조).
임차인이 독서실 경영을 위해 실질적인 임대관리인의 동의를 얻어 난방용 기름보일러, 옥상 온수 보일러, 모터펌프를 설치한 후 임대차 기간 만료일 현재 남아있다면 이들 시설은 건물의 객관적 편익이나 가치를 증대시킨 건물과는 독립된 물건이므로 부속물 매수청구의 대상이 된다(서울고등법원 1995.8.31. 선고 95나2366 판결 참조).
부속물매수청구권 판례
상가임차인이 삼계탕집 경영을 위해 보일러, 온돌방, 방문틀, 주방내부, 합판을 이용한 점포장식, 가스, 실내전등, 계단전기 등을 설치한 경우 이들은 건물의 구성부분으로 되었거나 임차인의 삼계탕집 경영이라는 특수한 목적에 사용하기 위한 것이므로 매수대상이 되는 부속물에 해당되지 않는다(부산고등법원 1993.4.30. 선고 92나17129 판결 참조).
부속물매수청구권 판례
임차인이 부속시킨 물건 중 이 사건 건물부분의 일반적 용도에 의한 사용의 편익에 제공된 물건뿐만 아니라 식당경영에 편익을 부여하는 물건도 위 건물부분의 객관적인 편익을 부여하는 물건으로 보는 것이 상당하다고 할 것이므로 이러한 기준에 따르면 위 시설들 중 위 제①, ②, ③의 설비만이 위 건물의 객관적 가치를 증가시키는 독립성 있는 물건으로서 부속물매수청구권의 대상에 해당된다고 할 것이고, 위 제④의 각 설비는 모두 이 사건 임차목적물에 부속된 물건이라고 볼 수 없으므로 부속물매수청구의 대상이 될 수 없다. 한편 채권적 전세에 관하여는 민법의 임대차에 관한 규정이 유추 적용되고, 임차인의 부속물매수청구권을 규정한 민법 제646조는 임차인의 보호를 위한 편면적 강행규정이므로 임대인과 임차인간에 채권적 전세계약 및 전세권설정계약에서 계약종료시에 임차인은 목적물을 현상대로 임대인에게 인도하되 임차인의 비용으로 원상복구하기로 약정하여 부속물매수청구권 행사를 못하게 하는 것은 임차인에게 불리한 약정으로 무효라고 할 것이다(부산고등법원 1989.5.19. 선고 88나4751 판결 참조).
임대차계약시에 건물임차인들이 증개축한 시설물과 부대시설을 포기하고 임대차 종료시의 현상대로 임대인의 소유에 귀속하기로 하는 대가로 임대차 계약의 보증금 및 월차임을 파격적으로 저렴하게 하고, 그 임대기간도 장기간으로 약정하는 한편 임대인은 임대차 계약의 종료 즉시 임대건물을 철거하고 그 부지에 건물을 신축할 계획을 갖고 있으며 임차인도 임대차계약 당시부터 그와 같은 사정을 알고 있었다면 임대차계약시 임차인이 부속할 시설의 소유권을 임대인에게 귀속하기로 한 특약은 단지 부속물 매수청구권을 배제하기로 하거나 또는 부속물을 대가없이 임대인의 소유에 속하게 하는 약정들과는 달라서 임차인에게 불리한 약정이라고 할 수 없다(대법원 1982.1.19. 선고 81다1001 판결 참조).
임차인들이 임대차계약을 체결할 당시 임차보증금 등 다른 사항들을 함께 정하면서, 임차인에게 칸막이, 조명, 전화 등의 시설추가 및 변경권을 제한적으로나마 인정하는 조건하에 기간만료시의 원상회복을 전제로 부속물매수청구권을 포기하기로 약정한 것이 반드시 임차인에게 일방적으로 불리한 것이라고 단정할 수 없다
테르메스
테르메스(우즈베크어: Termiz, Термиз 테르미즈, 러시아어: Термез)는 우즈베키스탄 남부에 있는 도시로, 수르한다리야 주의 주도이며 인구는 140,404명(2005년 기준)이다. 아프가니스탄과 국경을 접한다. 도시 이름은 그리스어로 "더운 곳"을 뜻하는데 이는 알렉산더 대왕이 이 곳을 정복하면서 붙여진 이름이다.
테르메스 역사
박트리아 시대부터 사람이 살기 시작했던 것으로 추정된다. 쿠샨 왕조 때에는 불교의 중심지가 되었지만 7세기 이후부터 아랍 세력이 중앙아시아로 진출하면서 이슬람교의 중심지가 된다. 티무르 시대에 번영을 이룩했지만 17세기 때에 파괴되고 만다. 1897년 러시아 제국이 이 곳에 요새를 건설했고 소련의 아프가니스탄 침공에서는 소련군의 군사적 요충지였다.
지자흐
지자흐(우즈베크어: Jizzax, Жиззах, 러시아어: Джизак 지자크[*])는 우즈베키스탄의 도시로, 지자흐 주의 주도이며 높이는 해발 378m, 인구는 138,400명(2004년 기준)이다. 실크로드가 지나가는 거점 지역이었으며 페르가나 분지와 사마르칸트를 연결하는 도로가 지나간다. 도시 이름은 소그드어로 "작은 항구"를 뜻한다.
볼 (그릇)
볼(영어: bowl)은 서양 요리 등에 쓰이는 안이 깊은 형태의 사발과 같은 종류의 그릇이다. 한국의 사발과 쓰임새가 같으며, 모양도 비슷하다. 볼은 특히 조리할 때 재료를 섞거나 개는 데 쓴다. 밥, 국수나 물, 음료수 등 음식을 담을 수 있는 그릇의 한 종류로 위는 넓고 아래는 좁다. 보통 사기 그릇으로 된 경우가 많으나, 스테인리스, 나무, 플라스틱 등으로 만들어진 경우도 있다.
유럽의 프랑스와 그 주변 지역에서는 식당과 가정에서 흔히 커피나 홍차, 핫초콜렛 등도 담아서 두 손으로 들고 마신다.
접시 보다는 물 등 액체로 된 음식을 담기에 좋아 수천 년 동안 쓰였으며, 중국, 고대 그리스, 미합중국의 원주민 문화에서도 발견된다.
카티프
카티프(아랍어: القطيف)는 사우디아라비아 동부주의 도시로, 담맘 북쪽과 페르시아만 서안에 위치하며 인구는 474,573명(2004년 기준)이다. 사우디아라비아의 농업과 어업의 중심지이며 농민과 어민, 석유 산업 종사자가 주민의 대다수를 차지한다. 시내에는 뛰어난 교육 시설과 의료 시설이 많으며 주로 학교와 보건소, 병원이 들어서 있다.석유와 가스 산업 센터와 거기 어디에 사우디 아라비아에서 가장 큰 석유 필드 Qatif 분야
오천년 BC 지역의 역사로 인하여
하사카
하사카(아랍어: الحسكة, 쿠르드어: Hesîçe)는 시리아 북동부에 위치한 도시로, 하사카 주의 주도이며 인구는 81,809명(2007년 기준)이다. 시 중심부에는 하부르강이 흐른다.
카미실리
카미실리(아랍어: القامشلي, Al Qāmišlī, 쿠르드어: Qamişlo, 시리아어: ܒܝܬ ܙܠܝܢ , Beth-Zalin, 튀르키예어: Kamışlı)는 시리아 북동부에 위치한 하사카주의 도시로, 터키와 국경을 접하며 이라크 국경과 가깝다. 1926년 이 곳을 경유하는 타르투스 철도가 개통되었다. 카미 실리는 민족적으로 뒤섞인 도시로서, 아랍인, 아시리아인, 쿠르드인, 아르메니아인이 거주한다. 시리아 내전 전, 18만 인구 가운데 4만 명이 기독교인이었고, 그 중 2만 5천 명이 시리아 정교회 신자였다.
시리아 내전이 발발하자 2013년 로자바 혁명이 일어났고, 그 결과 북부시리아 민주연방체제의 사실상 수도이자 자지라 칸톤의 주도(州都)가 되었다. 그러나 일부 지역은 시리아 정부가 통제하고 있다.
존 루빈스타인 (기업인)
존 루빈스타인(Jon Rubinstein, 1956년 4월 12일 ~ )은 미국의 컴퓨터 엔지니어이자 기업인이다. 1997년부터 2006년까지 애플에서 아이맥 및 아이팟 개발을 주도하여 '아이팟의 아버지'로 통한다. 2007년 팜의 CEO로 영입되었고, 2009년 HP에 인수되면서 수석부사장을 맡고 있다.
암본
암본(인도네시아어: Kota Ambon)는 인도네시아 암본섬에 위치한 도시로, 말루쿠 주의 주도이며 인구는 368,987명(2014년 기준)이다.
암본섬
암본섬(인도네시아어: Pulau Ambon)은 인도네시아 말루쿠 제도에 속한 섬 가운데 하나이다. 반다해 북안에 위치하며 행정 구역상으로는 말루쿠 주에 속한다. 면적은 약 775km2, 최고점은 해발 1,225m이며 가장 큰 도시는 말루쿠 주의 주도이기도 한 암본이다.
암본섬 지리
스람섬의 남서쪽 방면에 위치한 비교적 작은 섬이다. 반다해 북부에 머물러 있으며 그곳을 아우르는 일련의 화산섬 중 하나다. 길이는 51km이며, 해안선이 중간에 안쪽으로 푹 파고든 모습이라 마치 두 개의 섬으로 나뉜 것처럼 보인다. 두 부분 중 남동부는 레이티모르 반도라 부르고, 북부는 히토에 반도라 부르며 서로 좁은 땅으로 연결되어 있다. 파고든 부분의 만은 20km에 달한다. 북쪽 해안가에는 공항이, 남쪽 해안가에는 암본 시가 자리해 있는데 암본 시는 레이티모르 반도의 북서쪽 중앙에 자리한 채 반도의 대부분을 차지하고 있으며 히토에 반도와 접한다. 또 이곳에 암보이나 만이라는 피난항이 있다.
암본섬의 최고봉으로는 해발 1,100m의 와와니 산과 1,225m의 살라후투 산이 있는데 이곳에는 온천과 유기공이 많다. 섬 내에는 화산이 많지만 레아세 제도와 접해 있는 산은 모두 사화산이다. 지질의 경우 화강암과 사문암이 주된 암석이나 암보니아 만 해안가 지대는 백악질로서 종유석 동굴이 형성되어 있다.
암본섬 지리
암본섬의 야생지역은 열대우림으로서, 주변의 스람섬과 더불어 스람 열대우림 생태지역으로 묶인다. 여기서 더 나아가 말루쿠섬 일부 지역까지 합하면 왈라세아 지역이 되는데, 아시아와 오세아니아 대륙의 심해로 분리되어 단 한번도 대륙과 육지로 연결된 적이 없는 지역이다. 이처럼 입지가 워낙 고립된 탓에 토착 포유류는 흔치 않은 편이며 조류가 더 많다. 반면 곤충류는 그 종류가 매우 다양하며 특히 나비목종이 많이 보인다. 조개 역시 상당한 숫자로 이곳에서 나는 조개를 별갑 (鼈甲) 재료로 수출하기도 한다.
암본섬의 평균기온은 27 °C이다. 드물겐 22 °C까지 떨어지기도 한다. 동쪽 계절풍이 불어온 직후에는 특히 폭우가 쏟아지기도 하며 태풍도 잦다. 우기는 10월부터 4월까지인데 이때 서쪽 계절풍이 불어온다.
암본섬 인구
행정구역상으로 등록된 암본섬의 인구는 북쪽의 작은 섬까지 통틀어 441,000명 (2010년)에 달한다.
암본섬에 사는 사람들은 말레이족과 파푸아족이 섞인 민족이다. 대부분 기독교나 이슬람교를 믿는다. 암본섬의 제1언어는 암본말레이어로, '암본어'라 칭하기도 한다. 암본어는 말루쿠 중부의 통상어로 자리잡았으며, 말루쿠 전역의 제2언어로 사용되고 있다. 옛날에는 포르투기스어라고 해서 무역과정에서 쓰이는 일종의 크리올 언어도 있었으나 절멸했다. 암본 시에서는 인도네시아어가 동시에 쓰이는 경우가 많다.
암본섬의 기독교도와 무슬림 사이에는 종교분쟁이 벌여져 왔으며, 암본섬의 토착민들과 술라웨시섬에서 건너온 부톤족, 부기인, 마카사르족과의 마찰도 있는 편이다.
HP 오토노미
HP 오토노미(HP Autonomy, 이전 명칭: Autonomy Corporation)은 영국의 소프트웨어 기업이다. 본사는 영국 케임브리지와 미국 샌프란시스코에 있다. 기업용 검색엔진 및 지식관리 프로그램을 만든다. 2017년 마이크로포커스에 인수되었다.
쿠팡 (도시)
쿠팡(인도네시아어: Kota Kupang)은 인도네시아 티모르섬 서부(서티모르)에 위치한 도시로, 누사틍가라티무르 주의 주도이며 면적은 180.27km2, 인구는 450,000명(2010년 기준)이다.
네덜란드와 포르투갈의 식민 통치 시대 때 중요한 항구 도시로 여겨졌으며 20세기 초반에는 유럽과 오스트레일리아 사이를 운행하는 비행기의 급유 지점으로 여겨졌다. 동티모르 분쟁 때 인도네시아 군대의 요충지로 여겨져 군사 시설이 많이 주둔했다.
MediaFire
미디어파이어(MediaFire)는 파일 공유 서비스를 제공하는 웹사이트로, 2006년 처음으로 서비스를 시작하였다. 언어는 영어만을 지원한다. 비회원 및 무료 회원은 파일 하나 당 200MB이내로 총 업로드 용량에는 제한없이 업로드할 수 있으며, 유료 회원은 파일 하나 당 10GB이내로 총 업로드 용량에 제한없이 업로드가 가능하다. 파일을 업로드하면 각 파일에 대한 URL을 받으며, 이 URL로 접속하면 파일을 받을 수 있다. 업로드된 파일은 업로드한 사람이 자신의 계정에 60일마다 들어오면 파일은 계속 보관되며, 30일동안 다운받지 않으면 그 파일은 삭제된다. 미디어파이어는 업로드된 파일을 지우기 전에 업로드한 사람에게 3번 이상의 이메일을 보낸다.
MediaFire 파일 공유
미디어파이어는 자체 웹 기반 파일 뷰어를 통해 다양한 파일 포맷을 지원한다:
리비아군
리비아군은 리비아의 군대를 말한다. 현재 제2차 내전에서 통합정부가 출범하면서 트리폴리의 국가협정정부가 국제적인 승인을 얻고 있으므로 트리폴리 정부군을 위주로 설명한다.
리비아군 리비아 왕국군
1951년 리비아가 독립하면서 군대가 생겼다.
리비아군 카다피 시대
카다피 시대의 리비아군은 1977년에 이집트와 국경전쟁을 벌이기도 했다.
리비아군 과도 기간
여러 시민군이 있었다. 2011년 리비아 국민군이 조직되었다.
리비아군 내전기
토브루크 정부는 토브루크 정부를 지지하는 리비아 국민군과 여러 민병을 통합하여 리비아 국민군이라는 명칭으로 육군을 재조직하여 통일된 지휘체계를 갖추고 칼리파 하프타르가 수장이 되었다.
내전에 따라, 리비아의 해군과 해안경비대는 두 정부를 따라 분할되었는데 트리폴리 정부가 대부분을 가져갔다.
트리폴리 정부를 지지하는 육군들은, 리비아 방위군같이 1차 내전 때 출범한 민병등의 다양한 단위로 되어 있었다.
통합 트리폴리 정부인 국가협정정부가 출범하면서 통합 정부가 국제적 승인을 받게 되었고, 석유시설수비대 등의 군사조직이 하프타르와 동맹을 깨고 국가협정정부의 리비아 육군에 참여하였다. 트리폴리 정부는 트리폴리 방위군을 조직하는 등 다양한 부대로 리비아 육군을 구성하였다.
그러나 트리폴리 정부군의 군사는 통일성이 부족하여, 리비아 국민군에 계속 영토를 잃고 있는 상황이다.
고대면 개요
고대면은 1914년 상대면과 하대면, 고산면 및 당진읍 우두리 일부, 정미면 천의리, 석문면 영길동 등을 편입하여 당진군 고대면으로 통합한 곳이다.
1914년의 행정구역과 현재의 행정구역 비교
리비아 해군
리비아 해군(아랍어: القوات البحرية الليبية Al-Quwwāt al-Bahriyya al-Lībiyya[*], 이탈리아어: Marina Militare Libica)은 1962년 11월에 창설된 리비아의 군사 기관이다. 리비아와 리비아 과도국가위원회의 해상 방위를 책임지고 있다. 초창기 명칭은 왕립 리비아 해군(이탈리아어: Real Marina Libica)이었고, 첫 번째 전함은 1966년에 진수되었다. 지금의 명칭은 1969년에 무아마르 카다피가 국왕 이드리스 1세를 폐위시키고 나서 바꾼 것이다.
리비아 내전 동안, 리비아 해군은 5월 20일 전날 밤에 8척의 함선이 파괴당한 것을 포함한, 군력의 일부가 NATO에 의해 파괴당했다.
페잔
페잔(아랍어: فزان, Fezzan)은 리비아 남서부에 위치한 역사적인 지역으로, 중심 도시는 세바이며 서쪽으로는 알제리, 남쪽으로는 니제르, 차드와 접한다.
기원전 5세기 무렵부터 5세기 무렵까지 가라만테스인의 지배를 받았으며 카르타고와 로마 제국, 사헬(서아프리카와 중앙아프리카) 사이에서 벌인 사하라 무역의 경로가 되었고 오아시스에는 도시 국가가 발전했다. 로마 제국의 멸망과 기후 변화로 인한 사막화로 인해 중세 시대 페잔의 이미지는 쇠퇴했다. 13세기부터 14세기까지 카넴 제국의 지배를 받았고 나중에는 오스만 제국의 지배를 받게 된다.
페잔
1911년 이탈리아-투르크 전쟁 때 리비아가 이탈리아에 점령되면서 식민지가 되었지만 베르베르인과 아랍인의 지지를 받은 사누시와 이탈리아의 싸움은 계속되었고 1923년 이탈리아 본토에서 파시스트당이 정권을 장악할 때까지 이탈리아는 리비아의 지배 능력을 확립할 수 없었다.
제2차 세계 대전 이전까지 투아레그족은 이탈리아에 복속되어 있었으며 북아프리카 전역에서 이탈리아군과 함께 싸웠다. 1943년 1월 16일 자유 프랑스 군대가 무르주크를 점령하면서 프랑스의 지배를 받기도 했지만 1951년 프랑스군이 철수하였고 리비아 왕국에 편입된다.
태국 정부 관보
《태국 정부 관보》(태국어: ราชกิจจานุเบกษา 라차낏짜누벡사[*], 泰國 政府 官報)는 태국 정부에서 발행하는 공적 목적의 잡지이다. 태국 정부가 입법한 법은 일반적으로 태국 정부 관보에 실려 출판된 후부터 효력을 갖는다. 관보에는 정부의 일반 공표문, 왕실 명령, 입법 공고, 장관급 규정, 왕실의 방문 소식, 왕실 의식, 종교 소식, 왕실 훈장 등의 수여 소식 등이 담긴다.
태국 정부 관보 역사
《태국 정부 관보》는 시암의 라마 4세가 국가에 관한 공적인 정보를 전달하기 위한 목적으로 1858년(B.E. 2401) 3월 15일 처음으로 발간하였다. 태국에서 근대적인 공적 출판의 역사는 라마 3세 시대까지 거슬러올라가는데, 라마 3세는 당시 도입된 유럽식 인쇄술로 '아편 흡연 및 판매 금지령'을 1839년(B.E. 2382) 9천 부 인쇄하여 반포하였다. 그러나 19세기 중반까지 인쇄술은 아직 보편화되지 않았고, 태국에서 중앙 정부가 칙령을 내릴 때는 많은 부분 필경사들의 수작업에 의존하였다. 라마 4세는 이러한 체제에서 발생하는 폐단을 줄이기 위하여 방콕 왕궁 내 인쇄소를 설치하고 공적인 목적의 문서 인쇄를 담당하게 하였고, 《태국 정부 관보》도 이 무렵부터 발간되었던 것이다.
태국 정부 관보 역사
라마 4세 시대에는 《태국 정부 관보》에 실리는 발표는 대부분 라마 4세 본인의 것이었다. 라마 5세 시대 초기에도 이러한 체제는 지속되었다. 심지어 왕이 다른 용무로 이 잡지의 편집을 맡지 못하게 되자 18개월 간 발간이 중단되었던 적도 있었는데, 그때의 발표는 관보에 실리지 못하고 개별적으로 인쇄되어 반포되었다. 1874년(B.E. 2417) 라마 5세는 다시 관보의 발간을 시작하여 이때 발간한 관보를 '1호'로 삼고 이때부터 매주 발행하기 시작하였다. 그러나 1879년(B.E. 2422)부터 다시 발간이 끊겼다 1884년(B.E. 2427) 발간을 재개(1882년(B.E. 2425) 짜끄리 왕조 100주년 행사 때 특별 관보가 발행되기는 했으나 일회성이었다)하여, 이후에는 장기 중단 없이 계속해서 정기적으로 발행되고 있다. 1889년(B.E. 2432)에는 관보가 서구식 기준(모범적인 예로 《런던 가제트》)에 가깝게 개편되었다.
당진시의 행정 구역
당진시의 행정 구역은 2읍, 9면, 3행정동으로 구성되어 있다. 당진시의 면적은 705.40km2이며, 인구는 2019년 기준으로 76,162 세대, 172,943명이다.
1936년 하계 올림픽 육상 남자 마라톤
1936년 하계 올림픽 육상 남자 마라톤은 독일 베를린에서 진행된 1936년 하계 올림픽 육상의 세부 종목이다. 8월 9일에 경기가 진행되었고, 27개국에서 선수 56명이 참가하였다.
라인 네카어 아레나
라인 네카어 아레나(Rhein-Neckar Arena)는 독일 진스하임에 위치한 다목적 경기장으로 현재 프리제로 아레나로 부르고 있다. 주로 축구 경기로 쓰이며, TSG 1899 호펜하임의 홈구장이다. 이 경기장은 30,150명을 수용할 수 있다. 이 경기장은 호펜하임의 옛 홈구장인, 디트마어 호프 슈타디온 (Dietmar-Hopp-Stadion)을 대체한다.
이 경기장은 36,000명이 상주하는 마을에 위치하지만, 라인 네카 도시권에서 가장 큰 경기장이다.
첫 경기는 2009년 1월 31일에 있었고 FC 에네르기 콧부스와의 홈경기로, 호펜하임은 2-0으로 승리하였다. 이 경기장은 2011년 FIFA 여자 월드컵의 경기장으로도 쓰였다.
드라이잠슈타디온
드라이잠슈타디온 (Dreisamstadion)은 독일 프라이부르크에 위치한 다목적 시립 경기장이다. 현재, 주로 축구 경기를 위해 사용되며, SC 프라이부르크의 홈구장이었다. 이 경기장은 24,000명을 수용할 수 있으며, 1953년에 개장하였다. 드라이잠슈타디온이란 이름은 경기장 근처의 드라이잠이라 불리는 강의 이름을 붙였다.
2014년 9월 25일, 슈바르츠발트 관광 협회와 다른 7개의 사업 파트너들은 구장의 상표권 계약을 발표하였다. 이에 따라 구장명도 슈바르츠발트 슈타디온으로 변경하기로 결정했으며 구장명 변경은 10월 7일에 프라이부르크 시의회에서 최종 승인되었다.
2012년, 경기장을 현대화하려는 계획이 수익성이 없다는 의견에 따라 2015년 2월에 경기장 신축 찬•반 여부와 건설 장소에 관한 주민투표가 열렸다. 프라이부르크 시민들의 투표에 따라 2018년 11월부터 34,700석의 SC-슈타디온을 프라이부르크 공항 근처인 브륄의 볼프스빈켈에 새로 건설하게 되었다. SC 프라이부르크는 2021–22 시즌부터 새로운 경기장으로 옮길 예정이다. 또한 기존의 경기장은 프라이부르크의 2군팀과 여자팀의 홈구장으로 사용될 예정이다.