로지스틱 사상 움직임, 매개변수 a에 의한 변화
분기 구조의 자기유사 층계는 창의 안에서도 존재한다. 창의 안의 주기배가 캐스케이드는 2k주기 분기의 캐스케이드와 같은 루트를 탄다. 결국, 창의 안에서 무한 번의 주기배가 분기가 일어나고, 이를 통과하면 움직임은 다시 혼돈으로 된다. 예를 들면 주기 3의 창에서는 a3∞ ≈ 3.8495에서 안정적인 주기 궤도의 캐스케이드가 끝난다. a3∞ ≈ 3.8495를 통과하면 움직임은 3의 배수의 띠 혼돈으로 된다. a가 a3∞에서 증가함에 따라 이 띠 혼돈도 2개씩 융합하고, 창이 끝나는 마지막에는 띠의 수는 세 개로 된다. 이러한 창의 안에 있는 띠의 안에서도 무수히 많은 창이 또 더욱이 존재한다. 결국, 창의 안에서는  1 ≤ a ≤ 4의 궤도 다이어그램 전체의 축소판이 포함돼있는 형태로 되고, 창의 안에서도 분기의 자기유사 층계 구조가 존재한다.
창이 끝나면 광범위의 혼돈으로 돌아온다. 주기 3의 창이면 a ≈ 3.857에서 마지막 3띠 혼돈이 큰 범위의 1띠 혼돈으로 변해 창이 끝난다. 그러나 이 변화는 비연속적으로, 3띠의 혼돈 끌개는 돌연 크기를 변화시키고, 1띠로 변한다. 이와 같이 끌개의 크기가 비연속적으로 변하는 현상은 고비현상(crisis)라고 불린다. 창이 끝나 일어나는 종류의 고비현상은 특히 내부고비현상(interior crisis)라고도 불린다. 창이 끝나 고비현상이 일어날 때, 안정적인 주기 궤도가 궤도 다이어그램에서는 보이지 않는 불안정 주기점과 접촉한다. 이에 따라 주기 궤도가 빠져나올 수 있는 출구가 생기고, 내부고비현상이 발생한다. 내부고비현상 직후에는 어느 시간대에서는 광역 혼돈으로 움직이나, 또 어느 시간대에서는 본래의 띠 혼돈적 움직임도 일으키고, 창의 시작과 같은 일종의 간헐성이 나타난다.
매개변수가 a = 4에 이르면 움직임은 닫힌구간 [0, 1] 전역을 돌아다니는 혼돈으로 된다. 이때, 랴푸노프 지수 λ는 최대로 되고, 가장 혼돈이 강한 상태라고 할 수 있다. a = 4의 로지스틱 사상의 λ는 정확한 값을 구할 수 있고, 그 값은 λ = log 2다. 혼돈의 엄밀한 수학적 정의는 아직 통일돼있지 않으나, 잘 알려져 있는 혼돈의 정의의 하나에 대해 a = 4의 로지스틱 사상은 닫힌구간 [0, 1] 위에서 혼돈적임이 증명 가능하다.
점의 밀도는 불변 측도 ρ (x)도 a = 4의 경우는 다음과 같은 정확한 함수로 얻을 수 있다.
여기서 ρ (x)는 사상을 반복했을 때의 점 xn의 모든 점 수에 대해 점 xn이 미소 구간 [x, x+dx]에 들어가는 점의 수의 비율이 ρ (x)dx로 주어진다는 의미를 가진다. a = 4의 로지스틱 사상의 빈도 분포는 닫힌구간 [0, 1]의 양쪽 사이드 부근에서 밀도가 높고, x = 0.5에서 가장 밀도가 낮은 형태를 하고 있다.
a = 4의 경우, 혼돈 궤도와는 달리 모든 주기의 주기 궤도도 존재한다. 자연수 n에 대해 fa=4n(x)의 그래프는 2n−1개의 극대와 2n−1 − 1개의 극소가 존재하는 곡선으로 되고, 게다가 이 모든 극대와 극소는 0과 1에 접하는 상태로 된다. 따라서 대각선과 그래프의 교점의 수는 2n개 있고, f n(x)의 고정점은 2n개 존재한다. 이 2n개의 고정점에는 n주기점도 반드시 포함되므로 fa=4 n(x)에서는 임의의 n주기 궤도가 존재한다. 이와 같이 a = 4의 경우 닫힌구간 [0, 1] 위에서는 주기점이 무한히 존재하나, 이들 주기점은 모두 불안정하다. 또, 닫힌구간 [0, 1]이라는 비가산 무한의 집합에 대해 이들 주기점의 수는 가산 무한이고, 거의 모든 초기 조건에서 시작되는 궤도는 주기 궤도로는 되지 않고 비주기 궤도로 된다.
혼돈의 중요성의 하나로 결정론적 성질과 확률론적 성질의 이중성이 있다. 역학계는 결정론적인 과정이지만, 변수가 취하는 범위를 적당히 조망화(coarse graining)하면 확률적인 과정과 구별이 가능하게 된다. a = 4의 로지스틱 사상의 경우면 모든 동전 던지기의 결과를 로지스틱 사상의 궤도로 기술 가능하다. 이를 상술하면 다음과 같다.
⁠1/2⁠의 확률로 앞뒤가 나오는 동전 던지기를 가정하고, 몇 번이고 동전 던지기를 계속한다. 앞면이 나올 때를 0, 뒷면이 나올 때를 1이라 하면 앞, 뒤, 앞, 앞, 뒤hellip;라는 결과는 01001…과 같이 기호열로 된다. 한편, 로지스틱 사상의 궤도 x0, x1, x2,…에 대해서 x = 0.5 이하의 것은 0으로, x = 0.5을 넘는 것은 1로 변환해 궤도를 0과 1에서 생기는 기호열로 치환한다. 예를 들어 초기 조건 x0 = 0.2으로 하면 x1 = 0.64, x2 = 0.9216, x3 = 0.28901, …로 되므로 궤도는 0110…이라는 기호열로 된다. 전자의 동전 던지기에 의한 기호열을 SC라 하고, 후자의 로지스틱 사상에 의한 기호열을 SL로 한다. 기호열 SC에서는 랜덤한 동전 던지기에서 기호를 정한 것으로 모든 패턴의 수열이 생겨날 수 있다. 따라서 로지스틱 사상에 의한 기호열 SL이 어떤 것이라 해도 SC의 안에 동일한 것이 존재한다. 그리고 이 역이 성립한다. 즉, 어떠한 SC의 기호열이어도, 초기 조건을 적절히 고르기만 하면 로지스틱 사상의 궤도 SL에 의해 실현 가능하다. 즉, 임의의 SC에 대해 SC = SL로 되는 x0이 닫힌구간 [0, 1] 안에 그저 한 점 존재한다.
매개변수 a가 4를 넘으면 로지스틱 사상의 그래프의 꼭짓점 a/4는 1을 넘는다. 그래프가 1을 돌파한 범위에서 궤도는 닫힌구간 [0, 1]을 바져나오게 된다. 그 결과, 닫힌구간 [0, 1]의 거의 모든 점에서 출발하는 궤도는 어느 시점에서 닫힌구간 [0, 1]을 빠져나오고, 최종적으로 마이너스 무한대로 발산한다.
이 a = 4에서 일어나는 분기도 고비현상의 일종으로, 특히 경계 고비현상 혹은 경계 분기점(boundary crisis)이라고 불린다. 이 경우의 경계 고비현상에서는 닫힌구간 [0, 1]에 있던 끌개가 불안정화·붕괴하고, 게다가 바깥쪽에 끌개도 존재하지 않기에 궤도가 무한히 멀리 발산한다.
한편, a > 4의 조건 하에서도 닫힌구간 [0, 1]의 안에 계속 머무르는 궤도가 있다. 알기 쉬운 예시는 닫힌구간 [0, 1] 안의 고정점이나 주기점으로, 이들은 닫힌구간 [0, 1]의 안에서 계속 머무른다. 그러나 닫힌구간 [0, 1]의 안에서 계속 머무르는 궤도에는 고정점이나 주기점 이외의 궤도도 존재한다.
f (x) > 1을 만족하는 x의 구간을 A0으로 한다. 위와 같이 변수 xn이 A0으로 일단 들어가면 마이너스 무한대로 발산한다. 사상을 1회 적용하면 A0으로 대응하는 x도 닫힌구간 [0, 1]의 안에 존재한다. 이 x의 구간은 두 개로 나뉘고 이들을 묶어서 A1로 한다. 비슷하게 사상을 1회 적용하면 A1으로 대응하는 구간도 네 개 존재하고, 이들을 A2로 한다. 이하도 같게 n회 반복으로 A0에 이르는 구간 An이 2n개 존재한다. 따라서 다음과 같이 닫힌구간 [0, 1]에서 An을 무한 번 제거한 구간 Λ가 I의 안에 계속 머무르는 궤도의 모임이다.
닫힌구간 [0, 1]에서 An을 제거하는 작업은 상술한 칸토어 집합의 구성 과정과 비슷하고, 실제로 Λ는 칸토어 집합(닫힌 완전 분리로 닫힌구간 [0, 1]의 완전 부분집합)의 형태로 닫힌구간 [0, 1]의 안에 존재한다. 그리고 더욱이 Λ 위에 로지스틱 사상 fa>4는 혼돈적이다.
로지스틱 사상은 생태학 상의 모델로 연구된 경위도 있고, 매개변수 a가 음수일 경우에 대해 논의된 수는 적다. a를 0부터 감소시키면 −1 < a < 0에서는 xf = 0의 안정적인 고정점에 점근하지만, a = −1을 넘은 때부터 2주기점으로 분기하고, 양수일 때와 같이 주기배가 분기를 거쳐 혼돈에 이른다. 최종적으로는 a = −2를 밑돌고 플러스 무한대로 발산하게 된다.
매개변수 a가 특정 로지스틱 사상에 대해서는 시각 n과 초기 조건 x0을 양으로 포함하는 엄밀해가 이하와 같이 얻을 수 있다.
a = 4의 경우
a = 2의 경우
a = −2의 경우
이상 세 개의 엄밀해를 고찰하면 어느 해도
라는 형태로 된다. 여기서 f는 어떤 적절한 함수, f −1은 그 역함수를 의미한다. a = 4에서는 f (x) = cos x, a = 2에서는 f (x) = e x, a = −2에서는 f (x) = 2 cos (⁠1/3⁠(π − √3 x))이다. 단, 임의의 a에 대해서 일반적으로 로지스틱 사상의 엄밀해를 나타내는 것이 가능한 수학적으로 표준적인 함수의 f는 존재하지 않는다.