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그라스만 다양체 정의
실수 다양체로서 실수 또는 복소수 그라스마니안을 정의하는 다른 방법은 전체 랭크의 명시적 방정식으로 정의되는 명시적 직교 사영 집합로 간주하는 것이다( Milnor & Stasheff (1974) harvtxt 오류: 대상 없음: CITEREFMilnorStasheff1974 (도움말) 문제 5-C). 이를 위해 의 스칼라 체가 실수인지 복소수인지에 따라 양의 정부호 실수 또는 에르미트 내적 을 선택한다.  차원 부분공간 는 이제 랭크 인 유일한 직교 사영 을 결정한다. 반대로 모든 랭크  사영 는 해당 상 로 부분 공간을 정의한다. 사영의 경우 랭크는 대각합와 같으므로 그라스마니안을 명시적인 사영 집합으로 정의할 수 있다.특히  또는 로 놓으면 이것은 각각의 행렬 공간  , 에 그라스마니안을 매장하기 위한 완전히 명시적인 방정식을 제공한다. 이것은 그라스마니안을 구의 닫힌 부분 집합으로 정의하므로  이것은 그라스마니안이 콤팩트 하우스도르프임을 확인하는 한 가지 방법이다. 이 구성은 또한 그라스마니안을 거리 공간으로 만든다. 의 부분 공간 에 대해 PW를  에 대한 의 사영이라고 하자. 그러면,여기서 는 연산자 노름을 나타내며 에 대한 거리이다. 사용된 정확한 내적은 중요하지 않다. 왜냐하면 다른 내적은 에 대해 동등한 노름을 제공하고 따라서 동등한 거리을 제공하기 때문이다.
그라스만 다양체 정의
그라스마니안에 기하학적 구조를 부여하는 가장 빠른 방법은 동차 공간으로 표현하는 것이다. 먼저 일반 선형 군 이   차원 부분 공간 에 추이적으로 작용한다. 따라서 만약 가  차원 선형 공간 의 부분공간이고 가 이 작용에서 안정자 집합이면,
가 성립한다. 기본 체가  또는 이고 가 리 군으로 여겨지면 이 구성은 그라스마니안을 매끄러운 다양체로 만든다. 더 일반적으로, 기저 체  위에서, 군 는 대수적 군이며, 이 구성은 그라스마니안이 비특이 대수적 다형체임을 보여준다. 플뤼커 매장의 존재로 인해 그라스마니안이 대수적 다형체로서  완비이다. 특히, 는 의 포물선 부분군이다.
또는  위에 이 구성을 만들기 위해 다른 군을 사용하는 것도 가능하다. 이 일을 끝내려면 -선형공간  에 내적 를 고정한다. 직교 군 는  차원 부분 공간 집합 에 추이적으로 작용한다.   -공간 의 안정자는 이다. 이것은 동차 공간
.
으로서의 설명을 제공한다. 만약 ,로 둔다면 동형 사상
을 얻는다. C 위에서도 마찬가지로 에르미트 내적 을 선택한다. 그리고 유니터리 군 가 추이적으로 작용하고 비슷하게
를 찾는다. 또는 , 에 대해
그라스만 다양체 정의
특히, 이는 그라스마니안이 콤팩트이고 (실수 또는 복소수) 그라스마니안의 (실수 또는 복소수) 차원이  임을 다시 보여준다.
를 의  차원 부분 공간의 그라스마니안이라 하자. 을 실수  행렬의 공간이라 하자. 다음 세 가지 조건이 충족되는 경우에만 로 정의되는 행렬들의 집합 을 고려하자.
를 의 열공간으로 보내는 일대일 대응으로, 과 은 위상 동형이다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면 임의의  위의 스킴 에 대하여, -가군층
을 정의할 수 있다. 그 몫가군층들 가운데, 계수 인 국소 자유 가군층인 것들의 집합을
라고 하자. 이는 함자
를 정의한다. 이 함자는 표현 가능 함자이며, 그 표현은 분리 -스킴 으로 잡을 수 있다. 이를 그라스만 스킴이라고 한다.
표현 가능 함자의 정의에 따라서 표준적인 스킴 동형
이 존재한다.
이며 인 경우, 그라스만 스킴 은 사영 공간 과 같다.
고전적인 경우는 어떤 체 에 대하여 이며 가  위의 선형 공간 에 의하여 주어질 때이다. 즉,

인 경우이다. 이 경우, 그라스만 스킴 의 -점들은  속의 차원 부분  선형 공간들과 일대일 대응한다. 특히,
그라스만 스킴은 함자를 나타내므로 보편 대상 과 함께 제공된다. 는의 대상이다. 따라서 의 몫 가군 는  위의 랭크  국소 자유 가군이다. 몫 준동형 사상은 사영 다발 에서 닫힌 매몰을 유도한다:-스킴의 모든 사상:에 대해, 이 닫힌 몰입은 닫힌 몰입을 유도한다.반대로, 그러한 닫힌 몰입은 에서 랭크 의 국소적 자유 가군으로 가는 -가군의 전사 동형에서 비롯된다. 따라서, 의 원소들은에서 정확히 랭크 의 사영 부분 다발이다. 이 식별에서 는 체 의 스펙트럼이고 는 선형 공간 에 의해 주어지며, 유리점의 집합 는 의  차원 사영 선형 부분공간에 해당하고안의 의 상은 집합이다.
그라스만 다양체 성질
임의의 스킴  위의 준연접층  및 자연수 에 대하여, 그라스만 스킴 의 구조 사상
는 분리 사상이다. 만약 가 추가로 유한 생성 가군층이라면, 이는 사영 사상이다.
임의의 스킴 사상 에 대하여, 스킴의 표준적 동형 사상
이 존재한다. 특히, 임의의 점 에 대하여, 표준적 스킴 사상
를 통하여 동형 사상
이 존재한다. 여기서 는 에서 의 국소 가환환 의 (스스로의 유일한 극대 아이디얼에 대한) 잉여류체이다. 이 동형에서 우변은 (무한 차원일 수 있는) -선형 공간의 그라스만 다양체이므로, 일반적 그라스만 스킴은 고전적 그라스만 다양체들의 족(族)으로 여길 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
여기서 는 쌍대 공간이다.
체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 은 한원소 공간이며, 그 위의 가군층은  위의 선형 공간이다. 또한, 모든 가군층이 준연접층이 된다. (그 가운데 연접층인 것은 유한 차원 선형 공간이다.)
따라서,  위의 (유한 또는 무한 차원) 선형 공간  및 자연수 가 주어졌을 때, 그라스만 다양체
그라스만 다양체 성질
를 정의할 수 있다.
이는  위의 외대수
위의 사영 공간
의 닫힌 부분 스킴이며, 이를 정의하는 매장을 플뤼커 매장(영어: Plücker embedding)이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
여기서 우변은 의 동차 좌표이다.
플뤼커 매장은 다음과 같은 플뤼커 방정식을 만족시킨다. 의 임의의 두 차원 부분 선형 공간
및 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여,
이는 2차 동차 다항식이다. 표수가 0인 경우, 그라스만 다양체는 플뤼커 방정식만으로 완전히 정의된다.
임의의 스킴  위의 준연접층  및 자연수  및 스킴 사상 가 주어졌다고 하자. 또한,  위의 가군층 의 몫
에서 가 계수 국소 자유 가군층이라고 하자. 그렇다면, 연접층의 함자성에 의하여, 외대수 연접층의 사상
이 존재한다.
그라스만 스킴의 정의에 따라, 는 집합 의 원소에 대응한다. 또한, 는 계수 1의 국소 자유 가군층이므로, 어떤 스킴 사상
에 대응한다.
즉, 위 구성은 함수
를 정의한다. 이는 자연 변환
을 이루며, 이는 요네다 보조정리에 따라서 스킴 사상
그라스만 다양체 성질
을 정의한다. 이를 의 플뤼커 사상이라고 한다.:§9.8
만약 가  또는 이며 가 계수 의 연접층(유한 차원 선형 공간)이라면, 그라스만 다양체  및 은 (유한 차원) 매끄러운 다양체를 이루며, 따라서 그 대수적 위상수학을 연구할 수 있다.
의 (정수 계수) 특이 코호몰로지
를 생각하자. 오직 짝수 등급 코호몰로지만이 자명하지 않으며, 따라서 이는 가환환을 이룬다.
위에는 차원 복소수 벡터 다발인 보편 다발 가 존재한다. 그 (총) 천 특성류를
라고 하자. 마찬가지로, 에 임의의 내적 공간 구조를 부여하면, 각 올의 직교 여공간으로 구성되는 차원 복소수 벡터 다발 가 존재하며, 그 (총) 천 특성류를
라고 하자.
정의에 따라, 는 차원의 자명한 복소수 벡터 다발이다. 따라서 그 천 특성류는 0이며, 천 특성류의 함자성으로 인하여
이 된다.
복소수 그라스만 다양체의 코호몰로지 환은
로부터 생성되며, 그 위의 유일한 관계는 인 것이다.
그라스만 다양체 슈베르트 세포
그라스마니안들에 대한 자세한 연구는 슈베르트 세포라는 부분 집합으로의 분해를 사용하며, 이는 열거 기하학에 처음 적용되었다. 에 대한 슈베르트 세포는 보조 기로 정의된다: 인 부분 공간들 를 고른다. 그런 다음 에 대해 최소  차원인 와 교차하는 로 구성된 의 해당 부분 집합을 고려한다. 슈베르트 세포의 조작은 슈베르트 미적분학이다.
다음은 기법의 예이다. 의  차원 부분공간의 그라스마니안의 오일러 특성을 결정하는 문제를 고려하자. 1 차원 부분공간 을 고정하고 을 포함하는 의  차원 부분공간과 그렇지 않은 부분공간으로을 분할하는 것을 고려하자. 전자는 이고 후자는 위의  차원 선형 다발이다. 이것은 재귀 공식을 제공한다. 이 점화식을 풀면 이 짝수이고 이 홀수인 경우에만  이라는 공식을 얻는다. 그렇지 않으면:
그라스만 다양체 슈베르트 세포
복소 그라스마니안 의 모든 점은  공간에서  평면을 정의한다. 그라스마니안 평면 위에 이러한 평면을 올화하면 사영 공간의 동어반복 다발을 일반화하는 선형 다발 에 도달한다. 마찬가지로 이러한 평면의 차원 직교 여공간은 직교 선형 다발 를 산출한다. 그라스마니안들의 적분 코호몰로지는 의 천 특성류에 의해 환으로 생성된다. 특히, 사영 공간의 경우와 같이 모든 적분 코호몰로지가 짝수 차수이다.
이러한 생성자들은 환을 정의하는 일련의 관계를 만족한다. , 의 천 특성류로 구성된 더 큰 생성자 집합에 대해 정의 관계를 쉽게 표현할 수 있다. 그런 다음 관계는 다발들 와 의 직합이 자명한 것이라고만 설명한다. 전체 천 특성류의 함자를 통해 이 관계를 다음과 같이 작성할 수 있다.양자 코호몰로지 환은 The Verlinde Algebra And The Cohomology Of The Grassmannian에서 에드워드 위튼에 의해 계산되었다. 생성원은 고전 코호몰로지 환의 생성원과 동일하지만 top 관계는 다음과 같이 변경된다. 단위로 상태에 해당하는 코호몰로지의 정도를 위반하는  페르미온 제로 모드를 갖는 순간자의 해당 양자장론에서의 존재를 반영한다.
그라스만 다양체 관련된 측도
가  차원 유클리드 공간일 때, 에 대한 균등 측도을 다음과 같은 방식으로 정의할 수 있다. 을 직교 군 에 대한 단위 하르 측도라고 하고 의 원소 W를 고정한다. 그런 다음 집합  에 대해 다음을 정의한다.이 측도는 군  작용에 대해 불변이다. 즉, , . 이므로 이다. 더욱이, 은 거리 공간 위상에 대한 라돈 측도이며 동일한 반지름(이 거리에 대해)의 모든 공이 동일한 측도라는 점에서 균일하다.
그라스만 다양체 예
표수 0에서, 사영 공간이 아닌 가장 간단한 그라스만 다양체 를 생각해 보자. 이 경우, 그라스만 다양체는 차원 사영 공간 속에서, 플뤼커 방정식
을 통해 정의된다. 여기서 는 5차원 사영 공간의 동차 좌표이다.
그라스만 다양체 응용
그라스마니안들의 주요 응용은 콤팩트 다양체의 접속이 있는 다발을 위한 "보편" 매장 공간이다.
Kadomtsev–Petviashvili 방정식의 해는 무한 차원 그라스마니안에서 아벨 군 흐름으로 표현될 수 있다. 타우 함수(적분 가능 계) 측면에서 히로타 쌍선형 형식으로 표현되는 KP 방정식은 플뤼커 관계식과 동일하다. 양의 그라스마니안은 KP 흐름 매개변수의 실제 값에 대해 특이하지 않은 KP 방정식의 솔리톤 해를 표현하는 데 사용할 수 있다.
그라스마니안은 비디오 기반 얼굴 인식 및 모양 인식의 컴퓨터 비전 작업에서 응용을 찾았다. 또한 그랜드 투어로 알려진 데이터 시각화 기술에도 사용된다.
그라스마니안은 아원자 입자의 산란 진폭이 진폭 면체라고 하는 양의 그라스마니안 구조를 통해 계산되도록 한다.
로베르토 히메네스 가고
로베르토 히메네스 가고(스페인어: Roberto Jiménez Gago roˈβerto xiˈmeneθ ˈɣaɣo[*], 1986년 2월 10일, 마드리드 지방 마드리드 ~)는 줄여서 로베르토(Roberto)로 알려진 스페인의 전 프로 축구 선수로, 현역 시절 골키퍼로 활약하였다.
로베르토 히메네스 가고 클럽 경력
아틀레티코 마드리드 유소년팀의 졸업생으로, 마드리드 태생의 로베르토는 주로 B팀에서 활약하였고, 1군에 징계나 부상 선수가 있을 경우에 간간히 차출되는데 그쳤다. 팀이 부상병동이 되자, 그는 1-2로 패한 오사수나 원정 경기에서 1군 데뷔전을 치렀다.
2008년 7월, 로베르토는 전력외로 평가되었고, 같이 라 리가에 소속되어 있는 클럽 레크레아티보로 플로랑 시나마 퐁골의 영입 조항에 따라 매각되었다. 그러나, 아틀레티코는 로베르토의 재영입과 관련된 조항도 붙였다. 2008-09 시즌, 팀이 강등된 해에 그는 코파 델 레이 경기에 몇 차례 출장하는데 그쳤다.
2009년 7월 13일, 로베르토는 아틀레티코가 안달루시아 연고 클럽에 €1,250,000을 지불함에 따라 3년 계약 체결로 친정팀에 복귀하게 되었다. 이는 레오 프랑코와 그레고리 쿠페가 매트리스 제작자들 (Colchoneros) 을 떠남에 따라 성사되었다.
로베르토 히메네스 가고 클럽 경력
주전 선수 세르히오 아셍호가 2009년 FIFA U-20 월드컵 선수단으로 차출됨에 따라, 로베르토는 선발 11인이 되어 9월 19일, 2-5로 패한 바르셀로나전에서 첫 경기를 치렀다. 그는 얼마 지나지 않아 부상당하였고, 이후 아셍호와 자신의 백업인 써드 키퍼 다비드 데 헤아에게 자리를 내주었다. 그에 따라, 2010년 1월말, 그는 강등권에 고전하는 사라고사로 시즌 말까지 임대되었다. 그는 후안 파블로 카리소를 벤치에 앉히고, 아라곤 연고 클럽이 강등권에서 탈출하도록 도왔다.
2010년 6월 25일, 벤피카가 €8.5M의 가격에 로베르토를 영입을 확정 지은 것으로 발표되었다. 첫 경기인 포르투와의 시즌 수페르타사 칸디두 드 올리베이라 경기를 포함해 처음 세경기에서 그는 형편 없는 활약을 펼치며 3패 6실점을 기록하였고, 비토리아 드 세투발과의 프리메이라리가 3라운드 홈경기에서 벤치로 내려앉았으나, 줄리우 세자르가 페널티 박스에서의 반칙으로 20분만에 퇴장당하였고, 그는 줄리우 세자르를 대신해 나가 우구 레알의 페널티킥을 선방해내 3-0 승리에 일조하였다.
2010-11 시즌을 끝으로, 로베르토는 아르투르와 에두아르두의 영입으로 전력 밖으로 밀려났다.
로베르토 히메네스 가고 클럽 경력
2011년 8월 1일, 사라고사는 구단의 모기업의 재정적 도움으로 로베르토를 €8.6M에 영입하게 되었고, 구단의 모기업은 선수의 지분 99%를 가져갔다. 그러나, 나중의 발표에 따르면, 축구 투자 기금이 이적 협상에 관여된 것으로 밝혀졌다.
2기 첫 시즌, 그는 38경기에 모두 출전하여 마지막 라운드에 강등을 피하게 만들었다. 그는 2012-13 시즌에도 주전으로 활약했으나, 구단은 4년만에 2부 리그로 강등되었다.
2013년 7월 26일, 로베르토는 벤피카와의 협상으로 4년 계약을 체결해 아틀레티코 마드리드로 복귀하였고, 이후 즉시 그리스 클럽 올림피아코스로 임대되었다. 이적은 벤피카가 모회사이자 그의 이적에 재정적 도움을 주었던 BE 플랜이 조항의 디폴트에 따라 사라고사와 벤피카가 원할 시 선수의 소유나 재정적 권한을 서로 바꿀 수 있었는데, 후자의 클럽이 아틀레티코 마드리드에 €6M으로 매각하면서 포르투갈 시장 안전 위원회로부터 이의가 제기되었다.
2013년 11월 5일, 로베르토는 친정팀 벤피카와의 2013-14 시즌 UEFA 챔피언스리그에서 맨 오브 더 매치급 활약을 선보이며 피레아스 홈경기에서 1-0 승리를 도왔다. 이듬해 2월, 올림피아코스는 아틀레티코와의 협상을 통해 €6M에 완전 이적하였고, 올림피아코스와의 계약 기간은 4년이 되었다. 공식적인 발표가 나기 전, 이적과 관련된 소식이 파니오니오스와의 경기 도중 카라이스카키스 스타디움 안내 스피커를 통해 나왔다.
로베르토 히메네스 가고 수상
아틀레티코 마드리드
벤피카
올림피아코스
화진초등학교 (울산)
화진초등학교(花津初等學校)는 대한민국 울산광역시 동구 방어동에 있는 초등학교다.
선더버드 (텔레비전 프로그램)
선더버드(영어: Thunderbirds)는 영국의 SF 텔레비전 시리즈이다. 게리 앤더슨과 실비아 앤더슨이 만들고, 'AP 영화(시즌 1) 및 Century 21 Productions(시즌 2)'에서 제작, ITC 엔터테인먼트에서 배급하였다. 1964년에서 1966년 사이에 촬영되었는데, '수퍼마리오네이션'이라 불리는 줄인형과 함께 축척 모형의 특수 효과 장면들을 혼합하는 방법을 사용하였다. 두 차례의 시리즈물과 50분 분량에 32편의 방송분이 촬영되었다. 작품의 제작은 앤더슨의 재정 후원자 루 그레이드가 미국의 텔레비전 네트워크와의 판매 협상에 실패하면서 중단되었다.
남목초등학교
남목초등학교는 대한민국 울산광역시 동구 서부동에 있는 초등학교다.
녹수초등학교
녹수초등학교는 대한민국 울산광역시 동구에 있는 초등학교다.
미포초등학교
미포초등학교는 대한민국 울산광역시 동구에 있는 초등학교다.
버지니아 커먼웰스 대학교
버지니아 커먼웰스 대학교(Virginia Commonwealth University, VCU)는 버지니아주 리치먼드의 제임스강에 위치한 주립대학교이다. 학생들에게 162개의 학사, 석사, 박사학위와 전문학위, 자격증 프로그램을 제공한다. 본 대학교에서 제공되는 프로그램 중 44가지는 버지니아에서 유일한 프로그램으로 간주된다. 남부에서는 유일하게 미국의 주 차원에서 지원해주는 전문적인 아트스쿨이며 VCU의 아트스쿨은 학문적이고 전문적인 환경이 결합된 전문적 커리큘럼이 제공되는 학교로서 미국 내의 소수의 학교 중 하나로 간주된다.
헤르만 그라스만
헤르만 귄터 그라스만(독일어: Hermann Günther Graßmann, 1809년 4월 15일 ~ 1877년 9월 26일)은 독일의 수학자이자 언어학자이다. 인도유럽어족의 연구와 선형대수학에 기여하였다.
헤르만 그라스만 생애
1809년 4월 15일에, 당시 프로이센에 속했던 슈체친에서 태어났다. 아버지 유스투스 귄터 그라스만(독일어: Justus Günter Graßmann)은 목사이자 슈체친 김나지움의 수학·물리학 교사였다. 그라스만은 12명의 자녀 가운데 3번째로 태어났다.
슈체친 김나지움을 다녔고, 1827년에 상경하여 베를린 훔볼트 대학교에서 신학을 공부하였다. 이 밖에 라틴어나 그리스어, 문학, 철학 수업도 수강하였으나, 수학이나 물리학은 공부하지 않았다.
1830년에 슈체친으로 귀향하였다. 이후 수학에 관심을 가져, 수학 교사 자격 시험에 응시하였으나, 낮은 점수를 받아 초등학교 교사밖에 될 수 없었다. 이 동안 그라스만은 아무런 수학 교육 없이 선형대수학을 독자적으로 개발하고 있었다.
1834년에 베를린 상업학교(Gewerbeschule)에서 수학 교사로 일했으며, 이듬해 슈체친으로 돌아와 오토 학교(독일어: Otto-Schule)에서 수학·물리학·국어·라틴어·종교 과목을 가르쳤다. 1835~1839년 동안 그라스만은 교사 자격 시험에 대시 응시하여, 수학·물리학·화학·광물학을 고등학교에서 가르칠 자격을 땄다.
헤르만 그라스만 생애
1840년에 논문 《조수 간만 이론》(독일어: Theorie der Ebbe und Flut)을 출판하였다. 이는 선형대수학의 시초로 여겨지며, 벡터 공간의 개념이 최초로 등장한다. 1844년에는 자신의 이론을 집대성한 논문 《선형 확장 이론: 수학의 새 분야》(독일어: Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)를 출판하였다. 이 이론에서, 그라스만은 임의의 차원에서의 벡터 공간을 추상적으로 취급하였고, 4차원 이상의 공간의 개념이 일관적임을 보였다. 이듬해 1845년에는 《새로운 전기역학》(독일어: Neue Theorie der Elektrodynamik)에서 벡터를 사용하여 전기역학을 다루었다. 그러나 공식적 수학 학력이 없었던 그라스만의 업적은 당시 수학자들에게 외면받았다.
1847년에 프로이센 교육부에 대학 교수 지원서를 보냈으나, 이를 심사했던 에른스트 쿠머는 그라스만의 선형대수학 이론을 이해하지 못하고 낙제시켰다. 1852년에 아버지가 교사로 일했던 슈체친 김나지움에 임용되었다.
헤르만 그라스만 생애
자신의 이론이 무시된 것을 보고, 1862년에 그라스만은 자신의 논문을 더 쉽고 엄밀한 언어로 다시 써 《체계적이고 엄밀하게 해설한 확장 이론》(독일어: Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet)이라는 제목으로 출판하였다. 그러나 이 역시 당시 학계에서 완전히 무시당했다. 그라스만의 출판사는 1864년에 그라스만에게 "귀하의 책 《확장 이론》은 절판된 지 오래입니다. 귀하의 책은 거의 팔리지 않아서, 약 600여 권의 책들은 다 재활용되었고, 남은 몇 권은 팔려, 지금 재고가 한 권 남아 있습니다."라는 편지를 보냈다.
학계의 냉담한 반응에 낙심한 그라스만은 수학에 흥미를 잃고, 대신 언어학을 연구하기 시작하였다. 그라스만은 1863년에 인도유럽어족의 음운 변화에 대한 그라스만 법칙을 발표하였다. 이 업적으로 그라스만은 미국 동양학회(영어: American Oriental Society) 회원으로 선출되었고, 1876년에 튀빙겐 대학교 명예 박사 학위를 수여받았다. 이 밖에도 그라스만은 리그베다의 독일어역을 1876년~1877년 동안 출판하였다.
1877년 9월 26일에 68세의 나이로 슈체친에서 사망하였다.
헤르만 그라스만 저서
Graßmann, Hermann (1844). 《Die Lineale Ausdehnungslehre: ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert》 (독일어). 라이프치히: Verlag von Otto Wigand. 
《선형 확장 이론: 수학의 새 분야. 수학의 타 분야 · 정역학 · 동역학 · 자기학 · 결정학에 대한 응용 및 해설》
Grassmann, Hermann; Möbius, A. F. (1847). 《Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik》 (독일어). 라이프치히: Weidmann’sche Buchhandlung. 
《라이프니츠가 발명한 기하학적 특성에 대한 기하학적 분석》
헤르만 그라스만 저서
Grassmann, Hermann (1876). 《Rig-Veda übersetzt und mit kritischen und erläuternden Anmerkungen versehen. Erster Theil. Die Familien-Bücher des Rig-Veda (zweites bis achtes Buch)》 (독일어). 라이프치히: F. A. Brockhaus.
Grassmann, Hermann (1877). 《Rig-Veda übersetzt und mit kritischen und erläuternden Anmerkungen versehen. Zweiter Theil. Sammelbücher des Rig-Veda (erstes, neuntes, zehntes Buch)》 (독일어). 라이프치히: F. A. Brockhaus. 
《비평·해설 주석이 추가된 리그베다의 번역. 1권: 가족의 서(書) (2〜8장). 2권: 목록의 서(書) (1장·9장·10장)》
전격대작전
전격대작전(영어: The Persuaders!)는 ITC 엔터테인먼트에서 제작, ITV와 ABC 방송국에서 방영된 액션 모험물 시리즈이다. 편당 49분에 총 24편으로 제작되었으며, 로저 무어와 토니 커티스가 주역을 맡았다. 주제곡은 존 배리가 작곡하였다.
전격대작전 대한민국 방영
대한민국에서는 1972년 TBC 동양방송에서 첫 방영 받고 ~1980년 11월 8년 까지 마지막이었고 1982년 9월 MBC 문화방송 방영 바뀌고 이동 받고 ~ 1983년 7월 1년까지 마자막방영이었고 1983년 10월 5일부터 1984년 3월 28일까지 매주 수요일 밤에 KBS 제2 텔레비전에서 방영 바뀌고 이동 받고 맡기게 되고 방송되었다.
벤지
벤지(영어: Benji)는 1974년부터 제작된 벤지 프랜차이즈에 주인공으로 등장하는 개의 이름이다. 벤지는 작고 털이 복슬복슬한 잡종견으로, 사건의 중심에 놓이며 행복한 결말을 유도한다.
영화판의 경우 1974년 첫 영화 《벤지》부터 2004년 일곱 번째 영화 《Benji: Off the Leash!》까지는 전부 조 캠프가 감독·제작하였으며, 2018년에 나온 여덟 번째 영화 《Benji》는 아들 브랜던 캠프가 감독·제작하였다.
벤지 주인공 개
1대 벤지 히긴스는 코커 스패니얼, 미니어처 푸들, 슈나우저의 잡종견으로, 1963년 시트콤 《Petticoat Junction》에 개 역으로 출연하여 널리 알려졌다.
파드 빈 마무드 알사이드
파드 빈 마무드 알사이드(아랍어: سيد فهد بن محمود آل سعيد, 1944년 ~ ) 오만 부총리로 1970년 6월 23일부터 직을 수행 하고 있다.
술탄에게 불상사가 생길시 국정을 안정시키는 임무를 맡고 있다.
할리파 이븐 술만 알할리파
할리파 이븐 술만 알할리파(1935년 11월 24일 ~ 2020년 11월 11일)는 바레인의 정치인이다. 1970년 1월 10일부터 2020년 11월 11일까지 바레인의 총리를 역임했다. 그는 세계에서 가장 오랜 기간 동안 집권한 총리이며 싱가포르의 리콴유가 총리로 집권했던 기간을 돌파했다.
바레인의 현 국왕인 하마드 빈 이사 알할리파의 삼촌이기도 하다. 2002년에 개정된 바레인 헌법에 따르면 국왕은 의회와 함께 장관을 임명 또는 파면시킬 권한을 부여하고 있다. 헌법 개정으로 인해 권력의 일부를 잃었지만 여전히 권력을 유지하고 있다. 아내 알리 알 칼리파와 결혼했으며 3남 1녀의 자식이 있다. 바레인의 마나마 고등학교를 다녔고, 1956부터 1957년까지 교육위원회 회원이었고 1957년부터 1960년까지 회장직을 맡았다. 다음으로는 재정부 이사 (1960-1966), 전기 이사회 회장(1961), 바레인 통화의원회 의장(1965), 국무회의 의장(1970-1973), 최고 국방 위원장(1978) 등을 담당 하였었다.
맘눈 후세인
맘눈 후세인(우르두어: ممنون حسین, 영어: Mamnoon Hussain, 1940년 12월 23일~2021년 7월 14일)은 2013년부터 2018년까지 파키스탄의 제12대 대통령을 지낸 파키스탄의 정치인이자 기업가였다. 그는 1999년 6월, 무함마드 라피크 타라르 대통령에 의해 신드주지사로 처음 임명되었지만 1999년 10월 군사 쿠데타로 인해 그 자리에서 물러났다. 그 후 후세인은 2013년 7월, 파키스탄 무슬림 연맹 나와즈파(PMLN)에 의해 대통령 후보로 지명되었고 간접적인 대통령 선거를 통해 선출되었다. 후세인은 2013년 9월 9일, 파키스탄 대법원장의 선서 후 대통령직을 인계받았다. 후세인은 대통령으로서 저자세를 유지했고 소아마비 퇴치 프로그램에 참여했음에도 불구하고 그의 역할은 국가의 정치에서 거의 보이지 않았다.
맘눈 후세인 어린 시절 및 교육
맘눈 후세인은 1940년 영국령 인도 아그라에서 우스타드 자파르 후세인의 아들로 태어났다. 그의 가족의 조상 직업은 가죽과 신발 무역이었다. 그들은 1949년에 카라치로 이사했다. 홈스쿨링을 받은 후, 후세인은 상업 학위를 위해 공부한 카라치 대학교에 등록했다. 1963년 카라치 대학교를 졸업한 후, 카라치의 경영학 연구소(IBA)에서 석사 과정을 밟고 1965년 MBA 학위를 취득했다.
처음에는 아버지의 사업을 지원하고 강화한 그는 나중에 카라치에 자신의 섬유 회사를 설립했다. 그는 나중에 1970년에 중도 우파인 파키스탄 무슬림 연맹 나와즈파에 가입하여 당의 일꾼으로 일했다. 1997년 카라치 상공회의소 회장으로 선출되어 1999년 5월까지 재직하면서 비즈니스 리더로서 대중적인 명성을 얻었다.
맘눈 후세인 정치 경력
후세인은 1968년 의장이 되고 누룰 아민이 이끄는 파키스탄 무슬림 연맹 나와즈파(PMLN)에 가입하면서 국가 정치에 관심을 갖기 시작했다. 처음에, 1968년 개혁주의 열정을 가진 운동가인 후세인은 파키스탄 무슬림 연맹 카라치 지부의 공동 비서가 되었다. 1993년, 그는 나와즈 샤리프가 이끄는 PMLN에 공식적으로 가입했고 신드주의 PMLN 재무장관으로 임명되었다.
1999년 6월, 그는 신드주지사가 되었지만, 1999년 10월 12일, 군사 쿠데타로 PMLN 정부가 축출되면서 임기가 단축되었다. 민주주의를 위해 헌신한 정치인으로서의 그의 자격은 페르베즈 무샤라프의 군사 정권에 반대하는 목소리를 높인 후 정치범이 되었을 때 확립되었다.
맘눈 후세인 정치 경력
카라치 상공회의소의 전 회장인 아즈하르 하룬은 "그는 1999년까지 정치적 소속이 없었지만, 그의 정중한 담론과 전문적인 능력은 그를 신드주지사로 임명한 나와즈 샤리프에게 깊은 인상을 주었다"라고 말했다.. 그는 나와즈 샤리프에게 충성하는 것으로 묘사되는 비교적 덜 알려진 인물이었고 2013년 7월, 대통령 선거에서 PMLN의 공식 후보로 파키스탄 대통령으로 선출되었다. 후세인은 432표를 얻었고 그의 유일한 경쟁자인 와지후딘 아흐메드는 77표를 얻었다. 그는 2013년 9월 9일 아이완에사드르에서 열린 시상식에서 외국 고위 인사, 언론 인사 및 그의 가까운 친척들과 함께 주류 정치 및 군사 지도부가 참석한 가운데 취임 선서를 했다. 대통령 취임 당시, 그는 파키스탄에서 두 번째로 나이가 많은 대통령이 되었다. 그의 대통령 임기는 2018년 9월 8일에 끝났다. 그는 인도 분할 이후 인도에서 파키스탄으로 이주한 파키스탄의 두 번째 대통령이었다. 그는 민족적인 무하지르인 가문에 속했다.
맘눈 후세인 자기 당에 대한 비판
2017년 10월 19일, USTB에서 연설하는 동안 후세인은 정부가 14조 8천억 PKR을 대출받았지만, 지난 4년 동안 새로운 학교나 병원이 건설되지 않았다고 자신의 당 지도부를 비난했다. 연설이 무시되었고 주류 미디어에서 방송되지 않았다.
레인 애덤스
레인 웨스턴 애덤스(영어: Lane Weston Adams, 1989년 11월 13일 ~ )는 미국 출신의 야구 선수이다,
레인 애덤스 경력
2009년에 있었던 MLB 드래프트에서 13라운드 전체 392위로 캔자스시티 로열스에게 지명되어 7월 9일에 계약한다. 그 후, 루키리그인 애리조나 로열스에서 29경기에 출장하여, 10개의 타점과 14개의 도루, .233의 타율을 기록한다.
2010년에는 전년과 마찬가지로 루키리그에서 41경기에 출장하여, 2개의 홈런과 18개의 타점, 8개의 도루, .282의 타율을 기록한다.
2011년에는 싱글A인 케인 카운티 쿠거스에서 43겨기에 출장하여, 1개의 홈런과 11개의 타점, 7개의 도루, .230의 타율을 기록한다. 7월부터는 루키리그로 가서 뛴다. 루키리그에서는 43경기에 출장하여, 5개의 홈런과 20개의 타점, 9개의 도루, .281의 타율을 기록한다.
2012년에는 싱글A에서 67경기에 출장하여, 5개의 홈런과 44개의 타점, 11개의 도루, .298의 타율을 기록한다. 6월에는 싱글A+인 윌밍턴 블루 락스로 승격된다. 싱글A+에서는 68경기에 출장하여, 6개의 홈런과 25개의 타점, 8개의 도루, .240의 타율을 기록한다.
레인 애덤스 경력
2013년에는 전년과 같은 싱글A+에서 87경기에 출장하여, 7개의 홈런과 39개의 타점, 23개의 도루, .276의 타율을 기록한다. 7월에 더블A인 노스웨스트 아칸사스 내추럴스로 승격된다. 더블A에서는 44경기에 출장하여, 5개의 홈런과 26개의 타점, 15개의 도루, .244의 타율을 기록한다. 오프 시즌인 11월 20일에는 캔자스시티 로열스와 메이저 계약을 맺고, 40인 로스터에 합류한다.
2014년에는 더블A에서 105경기에 출장하여, 11개의 홈런과 36개의 타점, 38개의 도루, .269의 타율을 기록한다. 그 후, 로스터 확장이 된 9월 1일에 메이저 리그로 승격되어, 승격된 날에 있었던 텍사스 레인저스전에서 8회말에 라울 이바네스의 대주자로 나서며, 메이저 리그 데뷔를 이룬다. 그 후에는 대주자로 기용되며, 9월 19일에 있었던 디트로이트 타이거스전에서 메이저 리그 첫타석을 맞이하지만, 좌익수 뜬공으로 물러난다. 시즌에서는 6경기에 출장하여, 3타수 무안타를 기록한다.
김대륙
김대륙(金大陸, 1992년 4월 3일 ~ )은 전 KBO 리그 롯데 자이언츠의 내야수이다.
김대륙 호주 프로야구 시절
2019년에 질롱 코리아에 입단하였다.
김대륙 롯데 자이언츠 복귀
2020년 10월 8일에 방출되었다. 이후 현역에서 은퇴했다.
김대륙 야구선수 은퇴 후
2021년부터 롯데의 티볼 순회코치로 활동한다.
화원초등학교 (경기)
화원초등학교는 대한민국 경기도 화성시에 있는 공립 초등학교이다.
영천초등학교 (경기)
영천초등학교(英川初等學校)는 대한민국 경기도 화성시에 있는 공립 초등학교이다.
한백초등학교
한백초등학교는 대한민국 경기도 화성시에 있는 공립 초등학교이다.
안태경
코치 경력
안태경(安泰敬, 1990년 5월 27일 ~ )은 전 KBO 리그 롯데 자이언츠의 투수이자, 현 세종에서 엘리트선수들 개인레슨을 하고 있다.
안태경 선수 시절
2008년에 텍사스 레인저스에 입단하였다.
2015년에 입단하였다.
렙토케라톱스과
렙토케라톱스과는 아시아와 북아메리카에서 발견된 멸종 한 신각룡류 공룡의 한 과이다. 이들은 프로토케라톱스과 및 케라톱스과와 같은 신각룡류와 가까운 관계이며 비슷하게 생겼지만, 더 원시적이고 전반적으로 더 작다. 렙토케라톱스과 공룡들은 아시아와 북아메리카의 백악기 후기 (생통주절 후기에서 마스트리흐트절 후기) 에서만 발견된다. 렙토케라톱스과일 수 있는 공룡의 자뼈가 호주의 빅토리아에서 발견되어 세렌디파케라톱스라고 명명되었다. 하지만 2010년의 연구에서 이 화석이 조반류의 어떤 과에도 확실히 속한다고 말할 수 없다는 결론이 내려져 의문명으로 취급된다.
렙토케라톱스과는 시대적으로 그리포케라톱스가 발견된 생통주절 후기에서부터 백악기가 끝나는 시점인 마스트리흐트절 후기에 걸쳐 분포한다. 그리포케라톱스는 산톤절에서 최초로 발견된 분명한 렙토케라톱스과 공룡이다. 그리포케라톱스는 캐나다 앨버타에서 발견된 왼쪽 하악골(dentary) 일부로부터 기재되었다. 그리포케라톱스는 가장 오래된 렙토케라톱스과 공룡이며 북아메리카에서 발견된 각룡류 공룡들 중에서 성체를 기준으로 했을 때 아마도 가장 작은 공룡이었을 것이다.
렙토케라톱스과 계통발생
렙토케라톱스과는 원래 프란츠 놉사 폰 펠소-질바스 (Franz Nopcsa von Felső-Szilvás) 가 렙토케라톱스아과 (subfamily Leptoceratopsinae)를 명명했고 모식종은 렙토케라톱스 그라킬리스(Leptoceratops gracilis)였다. 마코비키는 2001년에 이것을 렙토케라톱스 그라킬리스를 비롯하여 트리케라톱스 호리두스보다 렙토케라톱스에 가까운 모든 종을 포함하는 줄기군 기반 분류군으로 정의하였다. 아래의 분지도는 2012년에 마이클 J. 라이언, 데이비드 C. 에반스, 필립 J. 커리, 칼렙 M. 브라운, 그리고 돈 브링크만의 2012년 분석을 따른다.
호르헤 보니파시오
호르헤 루이스 보니파시오(영어: Jorge Luis Bonifacio , 1993년 6월 4일 ~ )는 도미니카 공화국 출신의 야구 선수이다.
호르헤 보니파시오 경력
2009년 12월 9일에 캔자스시티 로열스와 아마추어 FA로 계약한다.
2010년에는 루키리그인 도미니칸 서머 리그 로열스에서 48경기에 출장하여, 1개의 홈런과 28개의 타점, 13개의 도루, .335의 타율을 기록한다. 8월에는 미국으로 건너와서 애리조나 리그 로열스에서 뛴다. 애리조나에서는 21경기에 출장하여, 6개의 타점과 1개의 도루, .211의 타율을 기록한다.
2011년에는 전년과 마찬가지로 루키리그에서 62경기에 출장하여, 7개의 홈런과 30개의 타점, 5개의 도루, .284의 타율을 기록한다.
2012년에는 싱글A인 케인 카운티 쿠거스에서 105경기에 출장하여, 10개의 홈런과 61개의 타점, 6개의 도루, .282의 타율을 기록한다.
호르헤 보니파시오 경력
2013년에는 싱글A+인 윌밍턴 블루 락스에서 54경기에 출장하여 2개의 홈런과 29개의 타점, .296의 타율을 기록한다. 7월 30일에는 더블A인 노스웨스트 아칸사스 내추럴스로 승격되어, 25경기에 출장해서 2개의 홈런과 19개의 타점, 2개의 도루, .301의 타율을 기록한다.
2014년에는 전년과 같은 더블A에서 132경기에 출장하여, 4개의 홈런과 51개의 타점, 8개의 도루, .230의 타율을 기록한다. 오프 시즌인 11월 20일에는 캔자스시티 로열스와 메이저 계약을 맺고, 40인 로스터에 들어간다.
호르헤 보니파시오 생활
형은 시카고 화이트삭스에서 뛰고 있는 유틸리티 플레이어인 에밀리오 보니파시오이다.
탈세계화
탈세계화(脫世界化, 영어: deglobalization, deglobalisation)는 세계화를 벗어나자는 주장이나 현상이다. 세계화의 뜻과 반대로 세계 여러 나라가 정치, 경제, 사회, 문화, 과학 등 다양한 분야에서 타국과 교류하지 않으려는 현상을 보인다. 2008년 9월 15일의 리만 브라더즈 파탄으로 발단하는 금융 위기의 확대에 의해서, 세계적으로 무역이나 자본 이동이 정체하는 현상이다.
탈세계화 탈세계화의 의미
탈세계화 또는 탈지구촌화(Deglobalisation)는 전 세계의 특정 단위 (일반적으로 국가 - 주) 간의 상호 의존성 및 통합을 감소시키는 과정이다. 세부적으로 경제 무역과 국가 간 투자가 감소하며 특히 각국의 재화, 자본, 고용등의 교류 역시 감소한다. 탈세계화는 시간이 지남에 따라 점차 통합되는 세계화와 대조적인 의미로 사용된다.
탈세계화 탈세계화의 등장
탈세계화라는 용어는 경제 활동의 일부로서 등장했다. 특히 1914년과 1970년대 사이에 무역지수가 하락한 많은 선진국에서 나타난 매우 심오한 변화 중 하나이다. 무역지수의 감소는 경제 세계화가 많은 범위에서 심화되고 있음에도 불구하고 그들의 경제는 다른 세계 경제와 통합되지 못하고 있음을 의미한다. 제프리 삭스 미 컬럼비아대학교 교수는 "대공황 시기처럼 세계화의 붕괴가 가능하다"고 말했다.
탈세계화 탈세계화의 등장
세계화와 마찬가지로 경제, 무역, 사회, 기술, 문화 및 정치 차원을 언급 할 수 있지만, 탈세계화 연구에서 수행된 많은 작업은 주로 국제 경제학 분야를 지칭한다. 세계화는 대부분의 사람들에게 일반적이며 표준이었기 때문에 1850-1914 및 1950-2007과 같은 정체 된 국제 상호 작용의 시기조차 종종 보일 때 탈세계화에 대한 흥미로운 비교를 해 볼 수 있다. KOF 스위스 경제 연구소 (KOF Swiss Economic Institute)의 세계화 지수는 2009년 경제 세계화에 대한 분명한 틈새를 보여준다. 닷컴 버블 붕괴와 9.11 사건으로 인해 세계화 속도가 느려졌지만 최근의 경제 위기와 금융 위기는 글로벌화 과정에 대한 심각한 후퇴를 초래했다. 지역으로서의 가장 큰 상향 운동은 남아시아에서 발생했지만 (아주 작은 증가 임에도 불구하고) 라틴 아메리카와 사하라 사막 이남 아프리카는 지역 평균치가 현저히 감소한 반면, 고소득 국가, 특히 OECD 국가들은 현재 위기 이전부터 시작된 침체 경향을 지속하고 있다.
탈세계화 세계화의 측정
세계화와 마찬가지로, 경제적 탈세계화는 다른 방식으로 측정 될 수 있다. 이들은 4가지의 주요 경제 흐름을 중심으로 측정된다
EX) 수출 및 국가 수입 또는 인구의 1 인당 수입 비율
EX) 순 이주율; 인구에 의해 가중 된 내부 및 외부 이동 그리고 GDP의 결과로 나오는 송금액, 국민 소득 또는 인구의 1 인당 비율로 내외부 직접 투자
사례 : 2017년 12월 11일 WTO 각료회의가 개막하며 보호무역주의의 흐름을 보이는 경제상황에 위기를 겪고 있다. 미국이 세계무역의 수호자에서 보호무역주의로 돌아서면서 세계무역시스템이 권력공백 상태에 직면하고 있다는 지적이 제기되었다.
탈세계화 탈세계화 운동의 주요 사례
탈 세계화 운동의 중요한 사례 중 하나는 조지 W. 부시와 버락 오바마 행정부가 미국산 제품을 무역 상품보다 선호하도록 고안된 막대한 경기 부양책의 당사자로 미국 법안 조항을 제정 한 미국에서 발견될 수 있다. 마찬가지로 EU는 농업 부문을 보호하기 위해 새로운 보조금을 부과했다. 이러한 탈세계화의 움직임은 탈 세계화 운동을 통해 선진국이 2007-08년의 금융 위기에 어떻게 대응하는지 보여주는 사례로 볼 수있다.
영국이 유럽 연합을 탈퇴한다는 의미로, 영국의 일부 개인, 정당, 단체가 추진하고 있는 정치적 목표. 2016년 6월 열린 영국 국민투표 개표 결과 72.2%의 투표율에 51.9%의 찬성(17,410,742표), 반대 48.1%(16,141,241표) 기권(26,033표)로 영국의 유럽 연합 탈퇴가 확정되었다.
트럼프는 전력 정화 계획을 배제하는 데 서약하고 170개 이상의 나라들에서 탄소 방출에서 축소를 요구한 파리 기후 동의서에서 빠져나갔다.
탈세계화 탈세계화의 위험
국제 무역의 (성장률) 감소는 장기 성장에 부정적으로 작용할 것이다. 국제적 상호 작용 감소와 성장 감소는 보호주의와 비경제적인 문제 영역을 자극하여 국가 간 협조 감소와 국제사회에서 분쟁 위험 증가가 예상 될 수 있다는 의미에서 문제를 보인다.
탈세계화 탈세계 세계화의 국제 정치 경제학
탈세계화는 정치적 의제 항목이나 새로운 세계 경제 질서에 대한 토론을 구성하는 용어로도 사용되어왔다. 예시로, 월든 벨로(Walden Bello)는 2005년 탈세계화 (Deglobalization)에서도 이 용어를 사용했다.
로렌조 케인
로렌조 레이머 케인(Lorenzo Lamar Cain, 1986년 4월 13일 ~ )은 미국의 프로 야구 선수로 메이저 리그 베이스볼의 밀워키 브루어스를 위하여 중견수를 맡고 있다.  그는 이전에 캔자스시티 로열스를 위하여 활약하였다.  브루어스는 플로리다주 탤러해시 커뮤니티 칼리지로부터 2004년 메이저 리그 베이스볼 드래프트의 17번째 라운드에서 그를 선발하였다.  2010년 케인은 자신의 메이저 리그 데뷔를 하였고, 이어진 시즌에 브루어스는 투수 잭 그레인키를 위하여 3명의 다른 선수들과 함께 그를 로열스로 이적시켰다.
4년 후, 그는 타구 평균 (.301)과 도루 (28)에서 아메리칸 리그 톱 10에 놓였다.  자신의 방어적 재주로 알려진 그는 외야수들을 위한 4회의 "윌슨 올해의 방어적 선수 상"과 3회의 "필딩 바이블 상"을 수상하였다.  더욱 나가서 그는 자신의 방어적인 활약으로 일부에 2014년 아메리칸 리그 챔피언십 시리즈 MVP 상을 수상하였다.
로렌조 케인 어린 시절
조지아주 발도스타에서 태어난 로렌조 케인은 4세 때 아버지를 여의고, 형과 함께 모친에 의하여 길러졌으며 모친은 아직도 플로리다주 매디슨에 있는 인쇄 공장에서 일을 한다.
가장 브로적인 선수들과 달리 케인은 플로리다주의 매디슨 카운티 고등학교에서 자신의 2학년 해까지 야구를 시작하지 않았다.  그렇게 해서 그는 자신이 학교 농구 팀을 위하여 선택되지 않았기 때문이었다고 말하였다.  당시 케인은 야구 글러브를 소유하지 않았다.
로렌조 케인 프로 경력
케인은 탤러해시 커뮤니티 칼리지로부터 2004년 아마추어 드래프트의 17번째 라운드에서 밀워키 브루어스에 의하여 선발되었다.  그는 2005년 자신의 경력을 시작하여 루키 리그의 헬레나 브루어스와 AZL 브루어스를 위하여 활약하였다.  2006년 그는 클래스 A 웨스트버지니아 파워로 승진되어 사우스 애틀랜틱 리그의 미드시즌과 포스트시즌 올스타 팀으로 임명되었다.
2007년 케인은 클래스 A 진출한 브리버드 카운티 매너티스로 승진되었다.  브리버드 카운티에서 2008년 시즌을 시작한 케인은 밀워키 브루어스에 의하여 재소집된 외야수 에르난 이리바렌을 대체하는 데 6월 10일 트리플 A 내슈빌 사운즈로 소집되었다.
로렌조 케인 프로 경력
2010년 7월 16일 투수 더그 데이비스가 장애자 명단에 놓였을 때 케인은 브루어스로 소집되었다.  그는 그날 저녁 대타자로서 애틀랜타 브레이브스를 상대로 자신의 메이저 리그 데뷔를 이루었다.  그는 브레이브스의 좌익수 맷 디아스에 의한 다이빙 캐치의 이류로 자신의 첫 타수에 안타를 빼앗겼다.  이틀 후, 그 같은 시리즈에서 자신의 다음 타수에 그는 자시의 첫 메이저 리그 안타를 얻었다.  그러고나서 경기의 나머지를 위하여 중견수 카를로스 고메스를 대체하여 2개의 1루타와 함께 2 루 2 타로 경기를 끝냈고, 브루어스를 위하여 케인은 43개의 경기에 나오러 갔다.
2010년 12월 18일 그는 잭 그레인키와 유니에스키 베탄코트를 위하여 알시데스 에스코바르, 제러미 제프리스와 제이크 오도리지와 함께 캔자스시티 로열스로 이적되었다.  케인은 2011년의 시작 전에 캔자스시티의 AAA 클럽 오마하 스톰체이서스로 보내졌고, 로열스와 함께 자신의 시초 시즌에 6개의 경기를 활약하였다.  2012년 2월 18일 로열스는 자신들이 2012년 시즌을 위하여 케인을 1년 계약으로 맺었다고 공고하였다.  거래의 재정 조건이 공개되지 않았다.
로렌조 케인 프로 경력
재러드 다이슨이 백업 선수로서 함께 케인은 출발 중견수로서 2013년을 시작하였다.  6월 후순 경에 다이슨은 더많은 출발 경기들을 얻기 시작하였다.  8월 10일 케인은 긴장된 왼쪽 사선과 함께 장애자 명단에 놓였고, 9월 4일 복귀했을 때 시즌에 14개 더의 출발 경기들을 가져 우익수에서 7개와 중견수에서 7개였다.  115개의 경기 (106개는 출발 경기)에서 그는 4개의 홈런, 46개의 타점과 14개의 도루와 함께 .251/.310/.348 점을 쳤다.
2014년 케인은 133개의 경기에서 5개의 홈런 (하나는 구장의 외부로), 4개의 3루타, 29개의 2루타, 28개의 도루, 46개의 타점과 55개의 득점과 함께 .301/.339/.412 점을 치면서 정규 시즌을 끝냈다.  그의 타구 평균과 도루는 둘다 아메리칸 리그에서 8위를 하였다.  그는 1년 전에 가졌던 만큼 많은 내야 안타를 두번이나 차지하였으며 자신이 캔자스시티 커뮤니티 칼리지의 트랙 코치 앨 홉슨과 해낸 업적의 결과러서 이것은 그의 빠른 주루 속도로 향상시키는 것이었다.
로렌조 케인 프로 경력
로열스는 1985년 월드 시리즈를 우승한 이래 처음으로 플레이오프를 이루었다.  아메리칸 리그 디비전 시리즈에서 2개의 경기에서 4개의 멋진 캐치를 나타낸 중견수에서 케인의 방어적 활약은 로열스가 가장 후보로 보인 로스앤젤레스 에인절스 오브 애너하임을 휩쓴 도움을 주면서 널리 인정되었다.
볼티모어 오리올스를 상대로 아메리칸 리그 챔피언십 시리즈의 2번째 경기에서 케인은 4 대 4 동점을 보호하는 데 6번째 이닝에서 중견수로 J. J. 하디의 라이너의 것으로 아직 멋진 장타 도루와 함께 자신의 포스트시즌 하이라이트 릴로 추가하였다.  본루에서 그는 4 루 5 타로 가 한 포스트시즌 경기에서 가망 많은 것으로 조지 브렛의 프랜차이즈 기록을 동점매겼고, 로열스가 2014년 포스트시즌에서 자신들의 6연속 우승인 오리올스에 6 대 4의 승리를 봉하는 도움을 준 9번째 이닝에서 몰아냈다.  케인은 최후적으로 필드에서는 물론 본루에서 자신의 노력들로 아메리칸 리그 챔피언십 시리즈 MVP 상을 수상하는 데 끝났다.  그는 로열스가 오리올스를 휩쓸고 월드 시리즈로 이동하는 도움을 준 .533 타구 평균, 8개의 안타, 5개의 득점과 다수의 멋진 방어 활약들과 끝냈다.
로렌조 케인 프로 경력
그의 방어적 용맹은 샌프란시스코 자이언츠를 상대로 월드 시리즈에서 지속되었으며 첫 경기에서 벽에 캐치를 이루었다.  케인은 로열스를 위하여 3 대 2의 승리를 보호하는 도움을 주는 데 3번째 경기에서 2개 더의 멋진 다이빙 캐치를 이루었다.  로열스가 제거를 향한 결정적인 6번째 경기에서 케인은 7번째 경기를 강요한 로열스의 자이언츠에게 10 대 0의 패배에서 또다른 러닝 캐치를 이룬 동안 하나의 1루타, 2루타와 2개의 볼넷과 3개의 득점에 뛰어들면서 2 루 3 타로 갔다.  하지만 자이언츠가 7번째 경기와 월드 시리즈를 우승하였다.