대수적 K이론 역사
s -보충 경계 정리에 대한 적절한 문맥은 h -보충 경계의 분류 공간이다. 이 CAT 다양체이면 H CAT ( M )은 에서 h -보충 경계의 다발을 분류하는 공간이다. s -보충 경계 정리는 이 공간의 연결된 구성원소 집합이의 화이트헤드 군이라는 진술로 재해석될 수 있다. 이 공간에는 화이트헤드 군보다 더 많은 정보가 포함되어 있다. 예를 들어, 자명한 보충 경계의 연결된 구성 원소는 의 가능한 원통을 설명하고 특히 다양체와  사이의 호모토피의 유일성을 방해한다. 이러한 질문에 대한 고려를 통해 발트하우젠은 공간에 대한 대수적 이론을 도입했다. 의 대수적 이론은 이 에 대해 수행하는 것과 본질적으로 고차 군에 대해 동일한 역할을 수행하도록 정의되는 공간 이다. 특히, 발트하우젠은 사상 일반화 하고 이의 호모토피 올이 호몰로지 이론이다.
이론을 완전히 발전시키기 위해 발트하우젠은 이론의 토대에서 상당한 발전을 이루었다. 발트하우젠은 발트하우젠 범주를 도입했고 발트하우젠 범주 에 대해 그는 에서 여올화 사슬로 정의된 간단한 범주  (는 세갈을 나타냄)를 도입했다. 이것은 완전열의 아날로그를 불러올 필요로부터 이론의 기초를 해방시켰다.
퀼런은 그의 학생인 케네스 브라운에게 이론이 예를 제공할 스펙트럼 층 이론을 만드는 것이 가능할 것이라고 제안했다. 이론 스펙트럼 층은 다양한 열린 부분 집합 각각에 해당 열린 부분 집합의 이론을 연관시킨다. 브라운은 그의 논문을 위해 그러한 이론을 발전시켰다. 동시에 게르스텐도 같은 생각을 가지고 있었다. 1972년 가을 시애틀 회의에서 그들은 의 층 코호몰로지에서 수렴하는 스펙트럼 열을 함께 발견했다. 전체 공간의 군에 대한 X의 군의 층. 이것은 현재 브라운–게르스텐 스펙트럼 열라고 한다.
군의 층에 대한 게르스텐의 작업에 영향을 받은 스펜서 블로흐는 규칙적인 곡면에서 코호몰로지 군 이 에서 여차원 2인 순환의 저우 군 와 동형이다. 이에 영감을 받아 게르스텐은 분수체 가 있는 정칙 국소 환 에 대해 이 모든 에 대해 에 삽입된다고 추측했다. 곧 퀼런은 이 체를 포함할 때 이것이 사실임을 증명했고 이를 사용하여 모든 에 대해 다음을 증명했다.
이것은 블로흐의 공식으로 알려져 있다. 그 이후로 게르스텐의 추측에 진전이 있었지만 일반적인 경우는 여전히 미해결이다.
리히텐바움은 숫자 체의 제타 함수의 특수 값이 체의 정수 환의 군으로 표현될 수 있다고 추측했다. 이러한 특별한 값은 정수 환의 에탈 코호몰로지와 관련이 있는 것으로 알려져 있다. 따라서 퀼런은 리히텐바움의 추측을 일반화하여 위상 이론에서 아티야-히르체부르흐 스펙트럼 열과 같은 스펙트럼 열의 존재를 예측했다. 퀼런이 제안한 스펙트럼 열은 환 의 에탈 코호몰로지에서 시작하여 의 이론의 l-adic 완성에 접하는 에서 반전할 수 있는 소수 l에서 완료한 후 충분히 높은 각도에서 시작한다. 리히텐바움이 연구한 사례에서 스펙트럼 열은 퇴화하여 리히텐바움의 추측을 산출한다.
소수 l에 국한해야 할 필요성은 브로우더에게 유한 계수가 있는 이론의 변형이 있어야 한다고 제안했다. 그는  선형 공간인 이론 군 를 도입했으며 위상 이론에서 보트 원소의 아날로그를 발견했다. Soule은 이 이론을 사용하여 대수 이론의 원소를 에탈 코호몰로지의 동치류로 가져간 위상 수학 천 특성류의 아날로그인 "에탈 천 특성류"를 구성했다. 대수적 이론과 달리, 에탈 코호몰로지는 계산 가능성이 높으므로 에탈 천 특성류는 이론의 원소 존재를 감지하는 데 효과적인 방법을 제공했다. 윌리엄 G. 드와이어와 에릭 프리드랜더는 에탈 이론이라는 에탈 위상 수학를 위한 이론을 발명했다. 복소수에 대해 정의된 다형체의 경우, 에탈 이론은 위상 이론과 동형이다. 더욱이 에탈 이론은 퀼런이 추측한 것과 비슷한 스펙트럼 열를 인정했다. 토마슨은 1980년경 보트 원소를 뒤집은 후 유한 계수를 갖는 대수 이론이 에탈 이론과 동형이 된다는 것을 증명했다.
1970년대와 1980년대 초반에 걸쳐 단수 다형체에 대한 K 이론은 여전히 충분한 토대가 부족했다. 퀼런의 K- 이론이 올바른 군을 제공한다고 믿었지만 이러한 군이 예상되는 성질을 모두 가지고 있는지는 알려지지 않았다. 이를 위해 대수 이론을 재구성해야 했다. 이것은 토마슨이 그의 죽은 친구 토마스 트로바우에게 공동 공로를 인정한 긴 논문에서 이루어졌다. 그는 꿈에서 그에게 핵심 아이디어를 주었다고 말했다. 토마슨은 발트하우젠의 이론 구성을 그로텐디크의 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 6권에 설명된 교차 이론의 기초와 결합했다. 거기에서 은 대수적 다형체에 대한 다발의 복소수로 설명되었다. 토마슨은 층들의 유도 범주에서 작업하는 경우 다발의 복합체이 다형체의 열린 부분 집합에서 전체 다형체로 확장될 수 있는 경우에 대한 간단한 설명이 있음을 발견했다. 발트하우젠의 이론 구성을 유도 범주에 적용함으로써 토마슨은 대수적 이론이 코호몰로지 이론의 모든 예상 성질을 가짐을 증명할 수 있었다.
1976년에 케이스 데니스는 호흐실트 호몰로지를 기반으로 이론을 계산하는 완전히 새로운 기술을 발견했다. 이것은 이론에서 호흐실트 호몰로지에 이르는 동형사상인 데니스 대각합 사상의 존재를 기반으로 한다. 데니스 대각합 사상은 유한 계수가 있는 이론의 계산에 성공한 것처럼 보였지만 합리적인 계산에는 덜 성공적이었다. 굿윌리는 그의 "함수 계산법"에 동기를 부여받아 이론과 호흐실트 상동론의 중간 이론의 존재를 추측했다. 그는 이 이론을 위상 수학적 호흐실트 호몰로지이라고 불렀는데, 그 이유는 그것의 그라운드 환이 구형 스펙트럼이어야 하기 때문이다(호모토피를 기준으로 연산이 정의되는 환으로 본다). 1980년대 중반에 복스테트는 거의 모든 굿윌리의 추측 성질을 만족시키는 위상학적 호흐실트 호몰로지를 정의했으며, 이는 군의 추가 계산을 가능하게 했다. 데니스 대각합 사상의 복스테트 버전은 스펙트럼  의 변환이었다. 이 변환은 순환 호몰로지와의 관계를 제안하는 THH 에 대한 원형 작용의 고정점을 통해 고려되었다. 노비코프 추측의 대수적 이론적 유추를 증명하는 과정에서 복스테트, 샹 및 메드센은 호흐실트 호몰로지에 대한 순환 호몰로지과 동일한 관계를 갖는 위상적 호흐실트 호몰로지를 갖는 위상 순환 호몰로지를 도입했다. 데니스는 위상 수학적 순환 호몰로지를 통해 위상 수학적 호흐실트 호몰로지에 사상하여 훨씬 더 자세한 계산 도구를 제공한다. 1996년에 둔다스, 굿윌리, 맥카티는 위상 순환 호몰로지이 정확한 의미에서 대수적 이론과 동일한 국소 구조를 갖는다는 것을 증명했다. "계산이 이어진다.