hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
벡터 공간 성질
체  위의 벡터 공간 는 다음 성질들을 만족시킨다.
즉, 체 위에서는 모든 가군이 자유 가군이 된다.
체  위의 벡터 공간 의 집합의 크기는 다음과 같다.
체 에 대한 벡터 공간들과 이들 사이의 선형 변환들은 범주를 이루며, 라고 쓴다. 이는 아벨 범주의 대표적인 예이다. 에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.
모형 이론의 관점에서, 체 에 대한 벡터 공간의 개념은 대수 구조로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.
즉, 만약 가 무한 집합일 경우, 벡터 공간의 언어는 무한 개의 연산을 갖는다. 벡터 공간을 정의하는 공리들은 모두 항등식으로 적을 수 있으므로, 벡터 공간들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. 합동 관계는 부분 벡터 공간과 일대일 대응하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.
벡터 공간 관련 개념
벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 노름 공간 · 바나흐 공간, 각의 개념을 준 내적 공간 · 힐베르트 공간, 위상적 성질을 가진 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 프레셰 공간, 벡터 곱을 준 체 위의 대수 등이 있다.
벡터 공간은 임의의 환 위의 가군의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 자유 가군이라고 한다.
펜로즈 삼각형
펜로즈 삼각형(Penrose triangle 또는 Penrose tribar)은 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.
이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.
이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다.
펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다.
수론적 함수
정수론에서 수론적 함수(數論的函數, 영어: arithmetic/number-theoretic function)는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다.
중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다.
수론적 함수 예시
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다.
1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,
그러므로 c4(1)=4.
물리 상수
물리 상수(物理常數, 영어: physical constant)는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.
물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다.
물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.
대수학의 기본 정리
대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理, 영어: fundamental theorem of algebra)는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.
상수가 아닌 실수 계수 다항식을 복소수체 위에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다.
이름과는 달리 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 발견하지 못했으며, 실수의 완비성 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 추상대수학의 기초가 되는 정리는 아니다.
대수학의 기본 정리 정의
다항식 의 근은 인 를 뜻한다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식
은 근 을 갖는다.
대수학의 기본 정리 역사
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 Cours d'Analyse(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.
대수학의 기본 정리 증명
복소 다항식
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해  라고 가정하자. 그러면 는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여
를 얻고, 라 하면, 양수 에 대해 이면
이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식
이 성립하므로 식 (a)로부터
을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석 함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 는 상수 함수이고, 도 상수 함수이다. 즉 가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.
은 n차 다항식이므로 최대 n개의 근을 갖는다. 따라서 의 근들이 복소평면에서 반지름이 R인 원판 안에 들어오도록 하는 어떤 양의 실수 R을 잡을 수 있다. 이제 r>R인 실수 r에 대해 편각 원리를 적용하면,
이 성립한다. 여기서 c(r)은 반지름이 r인 원의 반시계 방향 경로를 의미하고, N은 의 근의 개수를 의미한다. 한편
이므로
이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 n-1차 다항식이고 분모는 n+1차 다항식이다. 따라서 r이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 N-n이 0에 수렴하므로 N=n이다.
대수학의 기본 정리 증명
복소 다항식
에 대해, 이면
이다. 그러면 인 r에 대해 일 때
이므로 이다.
은  내부에서 n개의 근을 가지므로 루셰 정리에 의해 도 n개의 근을 가진다.
복소수 계수 차 일계수 다항식
이 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 에 대하여, 원 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.
(이 함수는 항상 이므로 잘 정의된다.) 그렇다면, 은 함수
와 호모토픽하다. 은 상수 함수이므로 는 널호모토픽하다. 그러나 로부터 유도되는 기본군 사이의 군 준동형 은 자명하지 않다. 이는 이기 때문인데, 이는 피복 공간 이론을 사용하여 보일 수 있으며 초등적인 증명도 존재한다. 따라서 는 널호모토픽하지 않으며, 이는 모순이다.
대수적 증명은 실수의 다음과 같은 성질들을 사용한다. 따라서, 이 증명은 임의의 실폐체에 대하여 유효하다. 또한, 셋째 성질은 해석적 성질이므로, 이 대수적 증명은 “순수하게 대수적”이지 않다.
이에 따라, 모든 복소수도 제곱근을 갖는다. 복소수 의 제곱근 은 다음과 같이, 음이 아닌 실수의 제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.
대수학의 기본 정리 증명
대수학의 기본 정리는 의 대수적 확대가 스스로밖에 없다는 명제와 동치이다. 임의의 대수적 확대는 어떤 유한 확대들의 합집합이다. 표수 0의 경우, 임의의 유한 확대는 어떤 유한 갈루아 확대의 부분 확대이다. 따라서, 임의의 유한 갈루아 확대 에 대하여, 만약 가 의 부분 확대라면, 임을 보이면 충분하다.
갈루아 군 의 2-쉴로브 부분군 을 고르자. 그렇다면, 는 와  사이의 체이며, 그 차수
는 홀수다. 그런데 실수 계수 홀수차 다항식은 항상 실수인 근을 가지므로, 의 홀수 차수 확대는 스스로밖에 없다. 즉, 이며, 는 2-군이다.
이제, 가 자명군임을 보이면 충분하다. 귀류법을 사용하여, 자명군이 아니라고 가정하자. 는 의 부분군이므로, 2-군이다. 따라서, 지표 2의 부분군 가 존재한다. 그렇다면, 이며, 의 차수는
이다. 그러나 는 제곱근에 대하여 닫혀 있으므로, 2차 확대를 갖지 않으며, 이는 모순이다. 따라서, 는 자명군이며, 이다.
대수학의 기본 정리 따름정리
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다.
모든 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 개의 근을 갖는다.
이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식
에 대해 복소수 이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)
와 같이 쓸 수 있다.
대수학의 기본 정리 실계수 다항식의 표현
실계수 차 다항식의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 개의 근을 갖지 않을 수도 있다.
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
와 같이 (는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.
만일가 실계수 다항식
의 복소수 근이면 즉, 이면 이다.
복소켤레 연산의 성질에 의해
이다.
대수학의 기본정리에 의해  차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.
정규 분포
확률론과 통계학에서 정규 분포(正規 分布, 영어: normal distribution) 또는 가우스 분포(Gauß 分布, 영어: Gaussian distribution)는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.
정규분포는 2개의 매개 변수 평균 와 표준편차 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 을 표준 정규 분포(standard normal distribution)라고 한다.
정규 분포 역사
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.
라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.
정규 분포 성질
위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다.
정규 분포 표준 정규 분포
정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.
z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.
정규 분포 불확실성
에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 값을 불확실성(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 를 90% 불확실성, 는 95% 불확실성, 은 99% 불확실성이다. 특히, 를 50% 불확실성이라고 하며, 확률오차(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.
공각기동대
공각기동대(攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 원작 만화로부터 파생된 포스트사이버펑크 작품군을 가리킨다. 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다.
뫼비우스 반전 공식
수론에서, 뫼비우스 반전 공식(Möbius反轉公式, 영어: Möbius inversion formula)은 수론적 함수의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.
뫼비우스 반전 공식 정의
양의 정수의 집합 을 정의역으로 하고, 가환환 를 공역으로 하는 임의의 두 함수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:32, Theorem 2.9
이를 뫼비우스 반전 공식이라고 한다. 두 등식의 우변의 합은 의 양의 약수 에 대한 합이다. 가환환 의 대표적인 예는 복소수체 이다. 첫째 등식은 을 모든 에 대한 들의 합으로 나타낸다. 둘째 등식은 을 들의 정수 계수 선형 결합으로 나타낸다. 여기에 붙는 계수는 뫼비우스 함수 이며, 이는 정수 을 값으로 한다. (0개 이상의 서로 다른 소수 에 대하여
이며, 소수  및 양의 정수 에 대하여
이다.)
두 공식에서 에 대한 전칭은 필수적이다. 만약 임의의 에서 첫째 등식이 성립한다면 임의의 에서 둘째 등식이 성립하며, 그 역도 성립한다. 그러나 어떤 에서 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 에서 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.
두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 가 곱셈적 함수라면, 그 상  역시 곱셈적 함수이다. 반대로 만약 가 곱셈적이라면, 그 원상  역시 곱셈적이다.
뫼비우스 반전 공식 정의
가환환 가 주어졌을 때, 두 함수 의 디리클레 합성곱
을 정의할 수 있으며, 함수 의 집합 은 점별 덧셈과 디리클레 합성곱에 대하여 가환환을 이룬다.
디리클레 합성곱을 사용하여, 뫼비우스 반전 공식의 첫째 등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 1은 모든 양의 정수를 가환환의 곱셈 항등원 로 보내는 상수 함수를 나타낸다. 마찬가지로, 둘째 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 는 뫼비우스 함수와 유일한 환 준동형 의 합성이며, 여기서는 뫼비우스 함수와 같은 기호로 나타낸다. 뫼비우스 반전 공식에 따르면, 두 등식이 서로 동치이다.
가환환 에서, 1과 는 서로 곱셈 역원이다.
여기서
는 의 곱셈 항등원이다. 이는 뫼비우스 반전 공식을 자명하게 함의한다. (즉, 만약 라면
이며, 만약 라면
이다.)
두 곱셈적 함수의 디리클레 합성곱은 곱셈적 함수이다. 또한, 1과  모두 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 등장하는 두 함수의 곱셈적 함수 여부가 동치임은 이로부터 자명하다.
뫼비우스 반전 공식 연속 정의역
조합론에서 자주 쓰이는 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다. 폐구간 를 정의역으로 하고 아벨 군 을 공역으로 하는 임의의 두 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
여기서 우변의 합은 보다 작거나 같은 모든 양의 정수 에 대한 합이다.
뫼비우스 반전 공식 근접 대수
수론의 뫼비우스 반전 공식은 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수의 집합은 약수 관계에 따라 국소 유한 부분 순서 집합
을 이룬다. 의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식은 수론의 뫼비우스 반전 공식이다.
함수 에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식의 특수한 경우이다. 구체적으로, 국소 유한 부분 순서 집합
의 근접 대수에 대한 뫼비우스 반전 공식과 같다.
뫼비우스 반전 공식 예
대표적인 예는 다음과 같다. (모두 복소수체 를 공역으로 한다.)
뫼비우스 반전 공식 역사
19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.
푸리에 급수
수학에서 푸리에 급수(Fourier級數, Fourier series)는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.
함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.
푸리에 급수 역사
19세기 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.
푸리에 급수 정의
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉,
라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여,
가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 의 푸리에 계수(Fourier coefficient) 을 다음과 같이 정의한다.
그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.
.
만약 가 연속미분가능 () 함수라면 (즉, 의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) 의 푸리에 급수는 모든 에서 로 수렴한다.
가수
가수(歌手, 영어: singer)는 목소리를 이용해서 음악을 만들고 가창하는 사람을 말한다. 고전음악이나 오페라에서 목소리는 악기와 동일한 용법으로 사용되었다.
감마 함수
수학에서 감마 함수(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.
감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.
양의 정수 n에 대하여 이 성립한다.
감마 함수 정의
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.
오일러 적분은 상반평면  인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.
이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.
여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.
만약 감마함수를 자연수 에 대해
을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어
또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.
감마 함수 성질
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 에서 단순극을 가진다. 단순극 에서 유수의 값은 이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 는 전해석 함수이다.
감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.
두 번째 공식은 오일러 반사 공식(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다.
곱의 정리
특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다.
특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.
일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.
감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,
이 공식들은 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.
몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.
가우스 상수
감마 함수 응용
감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.
반지름이 인 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 는 다음과 같다.
여기서 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.
감마 함수 큐-감마 함수
큐-감마 함수(q-gamma function)는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.
구간 예약
큐-포흐하머 기호
아쿠타가와 류노스케
아쿠타가와 류노스케(일본어: 芥川 龍之介 (あくたがわ りゅうのすけ), 1892년 3월 1일~1927년 7월 24일)는 일본의 소설가이다. 호는 징강당주인(澄江堂主人)이며 하이쿠 작가로서의 호는 가키(我鬼)이다. 일본의 《곤자쿠 이야기집》·《우지슈이 이야기》와 같은 전통적인 고전들에서 제재를 취해 「참마죽」, 「덤불 속」, 「지옥변」 등과 같은 단편 소설들을 주로 저술했고 「거미줄(원제: 蜘蛛の糸)」, 「두자춘(杜子春)」 등 어린이를 위한 작품들, 예수를 학대한 유대인이 예수가 세상에 다시 올 때까지 방황한다는 내용의 「방황하는 유대인」을 저술했다.
아쿠타가와 류노스케 생애
1892년(메이지 25년) 3월 1일 도쿄에서 우유 판매업자였던 아버지 니하라 도시조(일본어: 新原敏三 ())와 어머니 후쿠(일본어: フク ()) 사이에서 니하라 류노스케(일본어: 新原龍之介 ())라는 이름으로 태어났다(아쿠타가와라는 성은 원래 그의 어머니쪽 성씨였다). 이때 태어난 시간이 진년(辰年) 진월(辰月) 진일(辰日) 진시(辰時)였기 때문에 '용(龍)' 자를 이름에 넣어 류노스케(龍之介)라 짓게 되었다고 전하나 실제 그가 태어난 1892년 3월 1일은 간지로는 임진년·임인월·임진일에 해당하며 출생 시각에 대해서는 자료가 없기 때문에 확실한 것이 없다. 이름도 호적상으로는 '龍之介'이지만 그가 양자로 들어갔던 아쿠타가와 집안이나 졸업한 학교의 명단 등의 문서에는 '龍之助'로 되어 있다(아쿠타가와 자신은 '龍之助' 표기를 싫어했다).
아쿠타가와 류노스케 생애
원래 류노스케의 위로는 하쓰(はつ)와 히사(ひさ)라는 두 명의 누나가 있었는데, 큰누나였던 하쓰는 류노스케가 태어나기 1년 전에 여섯 살의 나이로 요절했고, 어머니는 그 충격으로 정신장애를 겪어서 류노스케를 양육할 수 없었다. 생후 7개월 된 류노스케는 도쿄시 혼죠구 고이즈미쵸에 있던 외가 아쿠타가와 집안에 맡겨졌고, 백모 후키(フキ)가 양육을 맡았다. 11살 때인 1902년에 어머니가 끝내 사망하자 이듬해에 그는 외삼촌으로 도쿄시의 토목과장을 지내기도 했던 아쿠타가와 미치아키(芥川道章)의 양자가 되어 아쿠타가와 성을 쓰게 된다. 아쿠타가와 집안은 에도 시대에는 사족(士族)으로서 대대로 도쿠가와(德川) 집안을 섬겨 다도와 관련된 업무를 담당하던 스키야호즈(數寄屋坊主) 집안이었고, 예술·연예를 애호하던 에도의 문인적 취미가 집안에 남아 있었다.
아쿠타가와 류노스케 생애
도쿄부립 제3중학교를 졸업할 때는 성적우수자라는 상장을 받기도 했고, 덕분에 제1고등학교는 시험 없이 입학할 수 있었다(1910년부터 일본에서는 중학교 때의 성적 우수자에게는 고등학교 입학시 시험 없이도 입학을 허가하는 제도가 시행되고 있었다). 제1고등학교 제1부 을류(乙類)에 입학한 류노스케의 동기 가운데는 기쿠치 간도 있었다. 2학년으로 오르면서 기숙사로 들어갔는데, 기숙사 생활에 제대로 적응하지는 못했지만 그곳에서 한 방을 쓰던 이가와 쿄(井川恭)와는 평생의 친구가 된다.
고등학교를 졸업하고 1913년 동경제국대학 영문과에 입학하였다(이 당시 도쿄제국대학의 영문학과는 1학년 가운데 합격자가 불과 몇 사람밖에 나오지 않는 어려운 곳으로 유명했다). 대학 재학 중이던 1914년(다이쇼 3년) 2월에 고등학교 동창이던 기쿠치 간·구메 마사오(久米正雄) 등과 함께 동인지 『신사조(新思潮)』(제3차)을 간행하여, 우선 '야나가와 다카노스케(柳川隆之助)'라는 필명으로 아나톨 프랑스의 「바르타자알」, 이에이트의 「봄의 심장」의 일역을 기고한 뒤, 10월에 『신사조』가 폐간될 때까지 그의 초기작 「노년」을 동잡지에 발표하는데, 이것이 그의 작가 활동의 시작이었다.
아쿠타가와 류노스케 생애
1915년 10월, 『데이코쿠 분가쿠』(帝國文學)에 그의 대표작 「라쇼몬」(羅生門)을 본명으로 발표했고, 급우였던 스즈키 미에키치(鈴木三重吉)의 소개로 나쓰메 소세키 문하에 들어간다. 1916년에는 제4차 『신사조』(멤버는 제3차와 거의 같다)을 발간하는데, 그 창간호에 실었던 「코(원제: 鼻)」는 "문단에 유례없는 작가가 될 것"이라는 나쓰메 소세키의 격찬을 받아 문단 진출의 기회를 얻었다. 이 해에 대학을 20인 중 2등의 성적으로 졸업했는데, 이때 그의 졸업 논문은 「윌리엄 모리스 연구」였다. 12월에 해군기관학교 영어 교관을 맡아왔던 아사노 가사부로(浅野和三郎)가 황도대본(皇道大本)이라는 신종교에 입신하기 위해 사직하면서 구로야나기 가이슈(畔柳芥舟)나 이치카와 산키(市河三喜)등의 영문학자의 추천으로(나쓰메 소세키의 조언이 있었다고도 한다) 아쿠타가와는 아사노의 후임으로서 해군기관학교의 촉탁 교관(담당은 영어)으로서 근무하였다. 그 틈틈이 창작에 힘써 이듬해 5월에는 첫 단편집 『라쇼몽』을 간행했다. 그 후로도 단편 작품을 하나씩 발표해, 11월에는 이미 두 번째 단편집 『담배와 악마(원제: 煙草と悪魔)』를 발간하고 있다.
아쿠타가와 류노스케 생애
1916년의 가을, 『미타문학』(三田文学)의 동인으로서 친하게 지내던 고지마 마사지로(小島政二郎)의 알선으로 게이오기주쿠 대학 문학부 취직 제의를 받고 이력서도 제출했지만 실현되지는 않았다. 1917년 3월에, 해군 기관 학교의 교직을 물러나 오사카 마이니치 신문사에 입사(신문에 기고하는 것이 그의 주된 일로 출근 의무는 없다)해 본격적인 창작 활동에 전념한다(덧붙여서 스승의 소세키도 10년 전인 1907년에 똑같이 아사히 신문사에 입사했다). 1916년부터 1917년까지 아쿠타가와는 가마쿠라의 유이가하마(由比ガ浜)에서 하숙생활을 했으며, 1918년부터 1919년까지 오오 정(大町)에 거주했다.
아쿠타가와 류노스케 생애
1919년 3월 12일에 친구 야마모토 기요시(山本喜誉司)의 조카(누나의 딸)이었던 쓰카모토 후미와 결혼하였고, 이듬해 3월 30일에 장남 히로시가 태어났다. 1921년 2월에 요코스카카이(横須賀海) 해군 대학교를 퇴직하고, 기쿠치 간과 함께 오사카 마이니치의 객외(客外) 사원이 되어, 본래 거주하던 가마쿠라에서 도쿄부 기타토시마 군 다키노가와초로 돌아온다. 동년 5월에는 기쿠치와 함께 나가사키를 여행했고, 친구인 화가 곤도 고이치로(近藤浩一路)로부터 극작가 나가미 도쿠타로(永見徳太郎)를 소개받기도 했다.
아쿠타가와 류노스케 생애
또한 이 해에 해외 특파원으로서 중화민국을 방문하였고, 베이징을 방문했을 때는 후스를 만나 그와 검열의 문제에 대해서 토론하기도 했다. 7월에 귀국한 그는 「상해유기(上海遊記)」 등의 기행문을 지었다. 1922년(다이쇼 11년) 11월 8일에는 차남 다카시(多加志)가 태어났다. 그런데 중화민국을 방문한 1921년 이후로 아쿠타가와는 신경쇠약, 장카타르 등의 병을 얻는 등 점차 심신이 쇠약해지기 시작해, 1923년(다이쇼 12년)에는 유가와라마치(湯河原町)로 온천 치료를 떠나기도 했다. 작품수도 줄어들기 시작하여 이른바 '호키모노(保吉もの)' 등의 사소설적 경향의 작품이 나타나게 되는데, 이러한 흐름은 만년작 「톱니바퀴(원제: 歯車)」, 「갓파(河童)」 등으로 이어지게 된다(이 해에 일본을 강타했던 관동 대지진 당시, 조선인 학살의 주동 세력인 자경단의 단원으로 활약했다는 이야기도 있다).
아쿠타가와 류노스케 생애
1925년경에 아쿠타가와는 문화학원 문학부 강사로 취임하였는데, 1926년부터 위궤양에 신경쇠약과 불면증이 다시 심해져 유가와라에서 요양해야 했다. 한편 아내 후미도 남동생 쓰카모토 핫슈(塚本八洲)와 함께 요양을 위해 구게누마(鵠沼)에 있던 친가 소유의 별장으로 이주했다. 2월 22일, 류노스케도 구게누마의 여관 아즈마야(東屋)에 머무르며 그곳으로 처자를 불러온다. 7월 12일에 3남 야스시(也寸志)가 태어났고, 20일에는 아즈마야의 대별장 「이-4호」를 빌려 아내와 새로 태어난 아들 야스시와 살았다(여름방학이 되면서는 히로시나 다카시도 불러왔다). 그 사이에 「집을 빌리고 나서(원제: 家を借りてから)」, 「구게누마 잡기(鵠沼雑記)」, 나아가 「점귀부(點鬼簿)」 등의 작품을 탈고하였고, 또한 구게누마의 개업 의사 후지 다카시(富士山)의 병원에 통원치료를 다녔다. 9월 20일에 류노스케 일가는 「이-4호」의 서쪽에 있던 '시바 씨의 이층 집(柴さんの二階家)'를 연말까지 빌려 옮긴다. 여기서 구게누마를 무대로 한 「유유장(悠々荘)」을 탈고한다. 이는 간토대지진이 있기 전에는 기시다 류세(岸田劉生)가 살았고 지진 후에 재건되어 시인 구니키다 도라오(国木田虎雄)가 빌리고 있던 대별장을 돌아봤을 때의 경험에서 힌트를 얻은 것으로 류노스케 일가가 구게누마에 정착하려는 의도가 있었다고도 생각할 수 있다. 또 이곳에 머무르는 동안 사이토 모키지(斎藤茂吉)나 쓰치야 분메이(土屋文明), 쓰네토 야스시(恒藤恭), 가와바타 야스나리, 기쿠치 간 등이 찾아오기도 했다. 연호가 쇼와로 바뀐 뒤 류노스케는 「이-4호」로 돌아왔다. 조카이자 문예평론가였던 구즈마키 요시토시(葛巻義敏)와 가마쿠라에서 섣달 그믐을 지새고 나서 처자가 가있던 다바타(田端)로 돌아오지만, 구게누마에서 살던 집은 4월까지 빌려두고서 때때로 방문하고 있다.
1927년 1월, 의형 니시카와 유타카(西川豊)가 방화와 보험금 사기 혐의로 철도에 뛰어들어 자살하는 바람에 아쿠타가와는 니시카와가 남긴 빚이나 가족을 떠맡아야 했다. 4월부터 「문예적인, 너무 문예적인(원제: 文芸的な、余りに文芸的な)」이라는 문예평론에서 '이야기의 재미'를 주장하는 다니자키 준이치로에 맞서 '이야기의 재미'가 소설의 질을 결정하지는 않는다고 반론해, 훗날 패전 뒤에 일본에서 벌어질 이야기 비판적인 문단의 메인 스트림을 예견한 일본문학사상 유명한 논쟁을 펼친다. 여기서 아쿠타가와는 「이야기다운 이야기가 없다」 순수한 소설의 명수로서 시가 나오야를 칭찬했다.
1927년 4월 7일, 부인의 동창생으로 아쿠타가와 자신의 비서로 있던 히라마쓰 마쓰코(平松麻素子)와 데이코쿠(帝國) 호텔에서 함께 동반 자살을 약속하였으나 여자가 변심하는 바람에 실패하였다. 7월 24일 새벽, 「속(續) 서방의 사람(원제: 続西方の人)」를 모두 쓴 뒤, 아쿠타가와 류노스케는 사이토 모키지로부터 받아온 치사량의 수면제를 먹고 자살했다. '막연한 불안(ぼんやりとした不安)'이 그가 밝힌 자살 이유였다. 그의 계명(戒名)은 의문원용지개일숭거사(懿文院龍之介日崇居士). 묘소는 지금의 도쿄 도 도시마구(豊島区) 스가모(巣鴨)에 있는 자안사(慈眼寺)이다. 그가 죽은 지 8년 후인 1935년 친구이며 분게이슌주 사주였던 기쿠치 간에 의해 그의 이름을 딴 아쿠타가와 상이 제정되었다. 이 상은 현재 일본의 가장 권위있는 문학상으로 신인 작가의 등용문이다.
아쿠타가와 류노스케 작품의 특징
아쿠타가와의 초기 작품에서는 서양의 문학을 일역한 것도 존재하며(「발타자알」등) 영어과 출신의 특성으로서 번역문학 특유의 논리적으로 정리된 간결하고 공정한 영문학적인 필치가 특징이다. 작가의 생애 경험이 많이 드러나며 화자와 자신을 분리하지 않은 풍의 작품이 많다.
그는 주로 단편소설을 썼으며, 오늘날 아쿠타가와 류노스케의 걸작으로 알려진 작품 또한 대부분 단편소설이다. 그런 반면에 장편은 그렇게 많이 남아있지 않다(미완성 소설로 「사종문邪宗門」이나 「노상」이 있다). 또한 생활과 예술은 서로 반대되는 것이라고 생각하여 자연주의류의 자기 고백에 대해서 알몸뚱이를 사람 앞에 내놓는 것과 같다고 하여 멀리하고 진실한 자기는 허구의 세계에서만 분명히 할 수 있다고 생각했고, 삶과 예술을 분리한다는 이상으로 작품을 집필했다고 한다. 다른 작가보다 표현이나 시점이 생생하다. 말년엔 시가 나오야의 "이야기다운 이야기가 없다"는 심경소설을 긍정하고 스토리성이 있던 자신의 문학을 완전히 부인하였다(그때의 작품이 "신기루"이다).
아쿠타가와 류노스케 작품의 특징
초기와 중기, 후기로 작품의 시기를 나누며, 각 시기에 따라 특성이 두드러진다. 대부분 초기의 작품이 좋은 평가를 얻고 있다. 중기 이후에는 아동용 작품의 집필이 늘어 폭넓은 장르의 작품을 다루었다. 후기, 특히 말년에는 사람의 생사에 대해 다룬 작품이 늘어나, 자살 직전 어떻게 죽음을 마주하며 집필했는지 알 수 있다.
「두자춘」(杜子春)(원래 이야기는 태평광기에 실린 당대의 소설 『두자춘전』) 등 고전을 참조한 것이나 스즈키 미에키치(鈴木三重吉)가 창간한 『붉은 새』에 발표한 것과 같은 동화적인 작품도 많다. 일반적으로는 기독교물이나 헤이안 시대를 무대로 한 왕조물로 분류된다. 또한 고전(설화문학)에서 구상을 얻은 작품이 많은데, 「라쇼몽」(羅生門)이나 「코」(鼻)　등은 《곤자쿠 이야기집》을, 「모모타로」(桃太郎)는 《모모타로》，「지옥변」 등은 《우지슈이 이야기》에서 제재를 얻었다. 또한 아포리즘의 제작이나 한문에도 뛰어났다.
아쿠타가와 류노스케 작품의 특징
좌익, 반군부적인 자기 주장을 펼쳤고 실제로 그런 작품도 다수 발표하고 있는데, 군인의 계급 투쟁을 「유치원생 장난 같다」고 자신의 저서에서 혹평하기도 했지만, 당시에는 군부에서 저작물에 대한 검열을 하는 것이 보통이었고 이 검열 때문에 정정되거나 가필, 삭제를 면치 못한 부분도 많다. 그러한 한편으로 해군에 대해서는 어느 정도 호의를 품은 듯, 육군 유년학교 교관이던 도요시마 요시오(豊島与志雄)에게 「좋은 직장이 있다」며 해군 기관학교로 초정하여 도요시마가 프랑스어 촉탁 교관으로 근무하게도 주선하였다. 우치다 햣켄(内田百間)도 아쿠타가와 류노스케의 추천으로 해군 독일어 촉탁 교관이 되었고, 훗날 우치다는 1934년(쇼와 9년)에 쓴 「죽장기」(竹杖記)에서 아쿠타가와가 자신의 강사직 알선 및 협상에 어느 정도 역할을 맡았던 것을 적고 있다.
작품에서 아마테라스 오미카미를 등장시킬 때는 별명인 "오히루메무치"(大日孁貴)을 이용했는데, 이는 "아마테라스"라는 호칭이 당시 일본 천황가의 조상신이기도 했던 아마테라스를 그대로 글 속에 등장시키는 것이 되어 불경하다는 비판을 받을 수 있었기에, 태양신, 그것도 자연신의 성격을 가진 신으로써 "오히루메무치"를 이용해야 했기 때문이다.
담배를 몹시 좋아해서 하루 180개피씩 피웠다고 하며, 『바다 주변』, 『교토 일기』, 『겐가쿠 산보』에도 시키시마 종목의 담배가 등장한다.
아쿠타가와 류노스케 간토 대지진
간토 대지진 조선인 학살 당시 조선인을 학살한 자경단으로 활동하였다. 그러나 무자비한 학살 첫날 밤 후 그 경험이 너무나도 잔인하고 공포스러워서 자경단 활동을 접었다고 한다.
장국영
장국영(중국어 정체자: 張國榮, 간체자: 张国荣, 병음: Zhāng Guóróng 장궈룽[*], 광둥어: Zoeng Gwok wing 정궉윙, 영어: Leslie Cheung 레슬리 청[*], 1956년 9월 12일~2003년 4월 1일)은 홍콩의 배우이자 가수이다.
영국 북부의 리즈 대학교에서 섬유직물관리학(textile management)을 공부했으나 알콜중독으로 인한 아버지의 건강 악화로 중퇴 후 홍콩으로 돌아왔다. 홍콩으로 귀국한 후 아시아 가요제에 참가하여 〈American Pie〉를 불러 2위로 입상하며 데뷔했다.
장국영
1980년대와 1990년대 홍콩 느와르를 대표하는 배우로 손꼽히며, 아시아권을 넘어 전 세계에서 폭넒은 인기를 얻은 배우였다. 대표작으로는 《영웅본색》, 《패왕별희》, 《아비정전》, 《해피 투게더》, 《천녀유혼》, 《종횡사해》, 《이도공간》 등이 있으며 가수로서도 《영웅본색》의 주제가인 〈당년정〉과 1995년 발매한 싱글 앨범 〈Thousand Dreams of You〉 등의 히트곡을 보유하고 있다. 대한민국에서는 《영웅본색》의 흥행으로 주목받기 시작했으며 주윤발, 성룡, 양조위, 장학우, 유덕화, 매염방, 장만옥 등과 함께 폭발적인 인기를 누렸다. 한국에서의 인기 때문에 장국영은 1977년, 1989년, 1995년, 1998년, 1999년, 2002년 총 6차례 방한하였다.
계속해서 가수와 배우로 활발히 활동하고 있던 장국영은 2003년 4월 1일, 우울증으로 자신이 묵고 있던 홍콩 만다린 오리엔탈 호텔 24층 객실에서 투신하여 향년 46세의 나이로 세상을 떠났다.
장국영 연기 활동
1970년대에 홍콩 RTV (現 ATV/亞洲電視)에 가입하여, 《악어루(鰐魚淚)》, 《완화세검록(浣花洗劍錄)》, 《정인전 (情人箭)》 등에 출연했지만 평가는 전무했다. 그러다가 《영웅본색》, 《패왕별희》 등으로 아시아권을 넘어 세계적으로 이름을 알렸다. 한국에서도 주윤발과 함께 출연한 《영웅본색》이 엄청난 인기를 끌면서 이름을 알리기 시작했다.
장국영 가수 활동
1976년 홍콩 ATV의 Asian Music Contest에서 2등상을 수상. 가수 활동으로 슈퍼스타가 된 후 TV 브라운관으로 시작해서 영화와 가요계를 넘나들어 활동했다. 그러다 1990년 고별콘서트를 끝으로 가수 생활을 은퇴하고 캐나다에서 1년간 이민 후 귀국하여 영화배우 활동에만 전념하였다. 그 후로 영화속 O.S.T.제작 등에 한하여 음악활동을 해오다 1995년 앨범 총애 (寵愛)를 발매함으로 다시 가수로 재개, 2000년까지 중화인민공화국, 일본, 싱가포르, 말레이시아 등 여러 아시아 지역에서 콘서트를 개최했다. 그 후 음악 작업보다는 영화 활동에 전념하고 싶어 정기적인 앨범 활동은 중단하였다.
다음은 그의 앨범목록이다.
장국영 개인사
《타임》지와의 인터뷰에서 양성애자라고 커밍아웃했다. 22세 쯤에 여배우 모순균과 교제했었으며, 1981년 영화 Agency 24를 촬영하면서 만난 여배우 예시배(倪詩蓓)와도 2년 동안 교제한 바 있다
1997년 콘서트에서 남자 애인이자 무명 시절 그의 매니지먼트를 담당했던 당학덕와 함께 나타났으며, 당학덕은 장국영이 사망할 때까지 꾸준히 그를 방문하며 관계를 지속했다. 당학덕은 장국영이 죽은 이후 장국영의 화장한 유골을 직접 인계하였으며 장국영과 단 둘이 살던 집에서 홀로 거주하다가 2011년 초 장국영과 자신이 키우던 개가 죽은 이후 그 집을 매각했다.
홍콩의 성상납 X파일이 터졌을 때 당시 2000년대 초기에 장국영이 알 수 없는 이유로 자살했다. 이때 유명 연예인들이 정치인, 재벌가 등 사회의 돈권력이 많은 유력 인사들에게 몸을 팔았는데 이를 폭로하려고 하다가 정계 일부에서 사람들을 써서 장국영을 타살한 것이 아니냐는 추측이 있었다. 하지만 죽은 자는 말이 없었다.
통계학
통계학(統計學, 영어: statistics)은 산술적 방법을 기초로 하여, 주로 다량의 데이터를 관찰하고 정리 및 분석하는 방법을 연구하는 수학의 한 분야이다. 근대 과학으로서의 통계학은 19세기 중반 벨기에의 케틀레가 독일의 "국상학(國狀學, Staatenkunde, 넓은 의미의 국가학)"과 영국의 "정치 산술(政治算術, Political Arithmetic, 정치 사회에 대한 수량적 연구 방법)"을 자연과학의 "확률 이론"과 결합해 수립한 학문에서 발전하였다.
통계학 개요
통계학은 관찰 및 조사로 얻는 데이터에서 응용 수학의 기법을 이용해 수치상의 성질, 규칙성 또는 불규칙성을 찾아낸다. 통계적 기법은, 실험 계획, 데이터의 요약이나 해석을 실시하는 근거를 제공하는 학문이며, 폭넓은 분야에 응용하여 실생활에 적용한다. 통계학은 실증적인 뿌리를 토대로 실질적 활용에 초점을 맞추기에, 흔히 순수수학과는 다소 구분하여 응용수학의 일종으로 여긴다. 통계학의 방법으로 실제 수치들에 왜곡 해석을 막고 연구를 바탕으로 합리적인 의사결정을 한다.
통계학 개요
통계학은 과학, 산업, 또는 사회 문제에 적용하며 모집단을 연구하는 과정을 우선시한다. 모집단은 "한 나라 안에 사는 모든 사람" 또는 "크리스탈을 구성하는 모든 원자"와 같이 일정한 특성을 지닌 집단이면 어느 것이든 가능하다. 통계학자들은 전체인구(인구조사를 하는 기업)에 대한 데이터를 편집한다. 이것은 정부의 통계관련 법률요약집같은 조직화한 방법으로 수행하기도 한다. 기술통계학은 모집단의 데이터를 요약하는데 사용한다. 도수 및 비율 (경주 등) 범주 형 데이터를 설명하는 측면에서 더 유용할 동안 수치 기술자는 연속적인 데이터 유형 (소득 등)에 대한 평균과 표준 편차를 포함한다. 데이터 분석 방법 엄청난 자료를 연구하는 현대 사회에서 경제지표연구, 마케팅, 여론조사, 농업, 생명과학, 의료의 임상연구 등 다양한 분야에서 응용하는 통계는 단연 우리 사회에서 가장 필요하고 실용적인 학문이라 하겠다.
통계학 개요
수리통계학은 수학 방법을 통계학에 적용한 분야이다. 통계학은 원래 국가에 대한 과학으로 생각했다. 즉, 국가의 땅, 경제, 군력, 인구 등에 관한 사실을 수집하고 분석하는 학문이다. 사용하는 수학적 방법은 해석학, 선형 대수학, 확률분석, 미분 방정식과 측도 이론적 확률이론 등이다.
영어의 '스태티스틱스'(statistics ← 통계학, 통계)는 ‘확률’을 뜻하는 라틴어의 '스타티스티쿠스'(statisticus, 확률) 또는 '스타티스티쿰'(statisticum, 상태), 이탈리아어의 '스타티스타'(statista, 나라, 정치가) 등에서 유래했다고 한다. 특히 ‘국가’라는 의미가 담긴 이탈리아어 statista의 영향을 받아, 국가의 인력, 재력 등 국가적 자료를 비교 검토하는 학문을 의미한다. 근대 통계학은 벨기에 천문학자이자 사회학자이며 근대 통계학을 확립한 인물인 케틀레가 벨기에 브뤼셀에서 통계학자들로 9개 구성 회의를 소집한 시점을 기원으로 한다. 통계를 "수집하고 분류한 숫자 데이터"라는 의미로 사용은 1829년부터이고, 약자로 stats를 처음 기록한 시기는 1961년이다. 또, 통계학자의 의미인 statistician은 1825년부터 사용했다.
통계학 개요
한자 문화권에서 사용하는 '통계'(統計) 단어의 기원은 명확하게 알려진 바는 없다. 일본의 주장에 따르면 막부 말기 메이지 천황 초년에 걸쳐 양학자 야나가와 슌친(柳川春三)이 현재의 의미로 이 단어를 처음 사용했다고 한다. 그가 1869년에 편찬한 책자에서 통계가 현재의 용법으로 사용한 기록이 남아있다. 그 후 1871년에 대장성에 통계사(統計司)와 통계요(統計寮)를 설치하면서 통계라는 단어 사용은 대중화했다.
매우 다양한 분야의 연구에서 주어진 문제에 대하여 적절한 정보를 수집하고 분석하여 해답을 구하는 과정은 아주 중요하다. 이런 방법을 연구하는 과학의 한 분야가 통계학이다. 통계학을 필요로 하는 연구분야는 농업, 생명과학, 환경과학, 산업연구, 품질보증, 시장조사 등 매우 많다. 또한 이러한 연구방식은 기업체와 정부의 의사결정과정에서 현저하게 나타난다. 주어진 문제에 대하여 필요한 자료의 형태, 자료를 수집하는 방법, 문제에 대한 최선의 답을 구하기 위한 분석방법을 결정하는 것이 통계학자의 역할이다.
자료는 어떤 특정한 현상(주제, 사실)을 조사하기 위하여 설계하고 계획한 실험에서 나온다. 이런 종류의 자료, 즉 실험자료는 농업연구와 같은 분야에 흔히 있다. 통계학자들은 이미 나온 실험자료를 분석하는데만 관심이 있지않고, 자원을 효과적으로 사용하고 주어진 문제를 실험으로 해결하기 위하여 처음부터 실험을 계획하는데 관심이 있다.또 다른 형태의 자료를 관측으로부터 얻는다. 조사자들은 연구실 밖으로 나가서 실제로 존재하는 것을 조사한다. 이런 예로는 인구 및 주택센서스와 같은 전수조사, 여론조사, 교통량조사 등등이 있다. 이 경우 조사방법과 설문지 작성은 매우 중요한 문제가 된다.
설문지 조사에 있어서 가장 핵심적인 부분은 설문지 작성 요령이다. 묻고자 하는 질문을 짧고 명확하게 물어야 하고 응답자가 고민을 하지 않고 바로 대답할 수 있도록 구성해야 한다. 설문지는 묻고자 하는 질문이면 무엇이든지 다 물을 수 있는 것이 아니라 문제의 핵심적 내용을 담고 있어야 한다.
통계학 기본 용어
분산(分散, variance)은 관측값에서 평균을 뺀 값 즉 편차(deviation)를 제곱하고, 그것을 모두 더한 후 전체 개수로 나눠서 구한다. 즉, 편차들(deviations)의 제곱합(SS,sum of square)에서 평균값이다. 관측값들에서 평균을 뺀 값인 편차를 모두 더하면 0이 나오는 평균의 속성으로 인해서 편차제곱들을 더하게 된다.
통계학 변인
변인(變因, variable): 변수(變數)라고도 부르며, 연구의 대상이 되고 있는 일련의 개체를 말한다.
실험의 기본적인 형태는 어떤 변인이 다른 어떤 변인에 어떠한 영향을 미치는지를 알아보고자 한다.
통계학 조사와 척도
조사대상을 기준으로하면 대상이 되는 통계 집단의 단위를 하나하나 전부 조사하는 관찰 방법인 전수조사(全數調査)와 모집단의 일부를 표본으로 추출하여 조사한 결과로써 모집단 전체의 성질을 추측하는 통계 조사 방법인 표본조사(標本調査)가 대표적인 조사 방법이다.
이러한 조사를 통해 자료를 수집할 때에는 자료의 양질이 측정수준(測定水準)에 따라 분류된다. 자료의 측정수준은 다음과 같이 분류된다. 측정수준에 따라 통계에 이용해야 할 요약 통계량이나 통계 검정법이 다르게 된다.
분류 자료(分類資料): 수치로 측정이 불가능한 자료이다. 질적 자료라고도 한다.
명목척도(名目尺度, nominal scale)： 단순한 번호로 차례(次例)의 의미는 없다. (예: 전화번호, 등번호, 성별, 혈액형(血液型), 주소 등.)
순서척도(서열척도)(順序尺度, ordinal scale)： 순서가 의미를 가지는 번호. (예: 계급, 순위(順位), 등급(等級) 등.)
통계학 조사와 척도
수량 자료(數量資料): 수치로 측정이 가능한 자료이다. 양적 자료라고도 한다.
구간척도(區間尺度, 등간척도(燈竿尺度), interval scale)： 순서뿐만 아니라 그 간격에도 의미가 있으나, 0에 절대적인 의미는 없다. (예: 온도, 지능지수(知能指數) 등.)
비율척도(比率尺度, ratio scale)： 0을 기준으로 하는 절대적 척도로, 간격뿐만이 아니라 비율에도 의미가 있다. (예: 절대온도(絶對溫度), 금액, 몸무게, 키 등.)
리커트법(Likert法) 또는 리커트 척도(Likert scale)는 1932년 리커트(Likert, R.)가 고안한 태도 측정법이다. 응답자가 동의나 반대의 정도를 나타내도록 질문을 하는 형태이다.
통계학 통계적 방법
조직적인 통계 조사가 이뤄지기 전까지는 질문서를 만들어 선정된 가구에 배포하는 방식을 이용했다. 실험계획은 자료수집전에 미리 어떻게 실험할것인지 계획하여, 원하는 자료를 정확하게 수집하고 기록할 수 있도록 하는 과정이다. 자료 수집의 규모와 대상, 할당 방법을 바르게 결정하고 정당한 자료를 수집할 수 있도록 검토한다. 설문지 작성법 등도 여기에 포함된다.
통계학 통계적 방법
설문지 작성은 실험계획의 일부이기도 하지만, 대개 별개의 실습을 통해 체득하여야 한다. 설문지는 "앙케이트(Enquete)"라고도 하며 통계 자료에 필요한 자료를 수집하기 위해 필요한 질문들을 기록하는 하나의 서식이다. 이를 이용해 설문지 작성자, 응답자들의 객관적인 생각, 각자의 가치와 신념, 태도 등과 같은 여러 정보를 수집할 수 있다. 설문지는 가능한 표준화 되도록 작성해야한다. 필요한 정보를 더욱 포괄적으로 획득하기 위해 설문지는 다섯 가지 요소 응답자에 대한 협조요청, 식별자료, 지시사항, 설문문항, 응답자의 분류를 위한 자료로 구성된다. 설문지는 여러 번 수정, 검토 과정을 거쳐야 의도한 자료의 수집이 가능하다. 설문지를 이용한 통계자료 수집은 비교적 비용이 적게들고 큰 표본에도 쉽게 적용이 가능하다는 장점이 있다. 그러나 다른 자료수집 방법에 비해 무응답률이 높은 편이며 응답에 대한 보충설명의 기회가 주어지지 않는다는 단점이 있다.