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서재필 기타 일화
당초 이규완은 서재필의 제의를 진심으로 받아들였다 한다. '그의 말을 듣고 칼을 보니 애국심과 의기가 쭉 내비쳤다. 그만 달려들어 그 칼을 빼서 들고 당장 일어나면서 "여보, 그까짓 것 내가 하겠소. 오늘날 국가의 중대한 일은 사람 둘만 죽이면 된다고 하니, 내가 그까짓 것을 못하겠소. 내 당장에 가서 민영익이 목을 베고, 이 이규완이도 그자리에서 죽을 테니 걱정 마시오."하면서 칼을 끌고 대청을 뛰어나갔다. 그러자 그는 황황해서 쫓아 나오며 "여보, 잠깐 들어오구려. 남의 말이나 똑똑히 듣고 가구려"하며 한사코 방으로 다시 끌고 들어가더니 내 두 손목을 꼭 붙잡고 하는 말이 "여보, 장군님. 용서하시오. 대단히 죄송한 말이지만 사실은 장군님의 담용을 시험해 보느라 그리 하였으니 용서하시오."하기에 "예, 여보, 다시는 그런 장난 마시오."하고 말을 마치고 칼을 도로 주었다.'한다. 이규완은 김옥균이 자신을 시험한 것으로 눈치챘다. '이튿날 김옥균의 집에 갔더니 김이 버선발로 쫓아나와 나를 맞이하면서 "이 장군님, 이 장군님"을 계속 부른다. 가만히 눈치를 보니 어젯밤 서재필의 연극은 김이 시킨 것이 분명하였다.' 한다.
서재필 기타 일화
아버지 서광하의 묘소는 충청남도 은진에, 어머니 성주이씨의 묘소는 논산군 연무읍 죽평리(현재의 연무대 자리)에 안장되었다가 후에 육군 제2훈련소가 입주하면서 그 근처로 이장되었다. 배우자 광산김씨의 시신 역시 수습되어 논산군 연무읍 죽평리 훈련소 자리 뒤편 야산에 안장되었다. 그러나 동생 서재창의 시신과 굶어죽은 어린 아들, 그리고 서모가 낳은 이복 동생들의 시신은 수습되지 못했고 묘소도 없다. 뒤늦게 살아남은 맏형 서재춘의 아들들과 동생 서재우의 아들이 서광하 내외의 묘소를 돌보았다. 그러나 이 일로 큰 상처를 받은 서재필은 귀국해서도 부모의 묘소나 전처의 묘소에 한번도 찾아가지 않았다고 한다.
나중에 서재필은 스스로 갑신정변을 회고하면서 갑신정변이 실패할 수밖에 없었던 두 가지 이유를 지적하였는데, 첫 번째는 개화파들이 일반 민중의 지지를 받지 못했다는 점이고, 두 번째는 외세, 특히 일본을 너무 쉽게 믿고 의존하였다는 점이다. 이후 이 두 가지 각성은 깊이 각인되었다.
낮선 이국 생활에 향수병과 조선에 대한 그리움을 견디지 못한 서재필은 이런 저런 편지를 써서 보성군 문덕면의 외가로 보냈다. 그러나 그의 외가에서는 서재필이 편지를 보낼 때마다 찢어버리거나 불에 태워버렸다. 해방 직후까지도 가내마을에서는 서재필이 편지를 보내면, 보낸 편지들을 찢어버리거나 불에 태웠다. 1947년 귀국한 서재필이 보성군 가내마을로 내려가 외종손 이용순을 불러 "내가 놀던 정자나무며 연못은 그대로 있느냐"하고 물으니 이용순은 "서 박사님 편지가 올때마다 역적으로 몰릴까봐 가내마을에서는 편지를 태워버리곤 하였다"고 답하였다. 서재필은 고생들 했다면서 말을 잇지 못했다 한다.
국적 취득을 기준으로 한국인 최초의 미국 이민자(최초의 한국계 미국인)이며, 미국 최초의 한국계 미국인 의사다.
서재필 가족관계
형 서재춘의 손자 서태원(전 감신대 교수)은 6·25 전쟁 때 조선민주주의인민공화국으로 납북되어 갔고
 6.25 전쟁 이후의 생존 자손으로는 종손자인 이화여자대학교 교수 서희원, 서태원의 아들이며 서재필의 종증손자인 미국 로스앤젤레스에서 변호사로 있는 서동성 등이 있었다. 서동성은 변호사업 외에 이민100주년남가주기념사업회 공동회장과 서재필기념사업을 하고 있다.
종손 서명원은 생부를 잃고 백부의 손에 자랐다 하며, 후일 이화여자대학교 교수를 역임했다. 서재필이 귀국할 무렵에 살아남은 일족은 형 서재춘의 후손인 서찬석, 서태원, 서명원, 동생 서재우의 아들 서호석 등이 있었다. 그밖에 신분을 숨기고 살던 여동생 서기석의 후손들도 존재하였다. 1983년 당시 종손 서희원의 증언에 의하면 서재필의 친족이 50여 명 정도가 미국에 살고 있다고 증언하였다.
그밖에 그의 넷째 이모의 아들 이승학은 해방 후 감사원장과 총리 서리를 지낸 법관 이한기의 증조부였다.
서재필 가족관계
생모: 성주 이씨(星州李氏, 1830년 ~ 1884년 12월 19일(음 11월 2일))
친누나: 서씨, 갑신정변 이전에 이미 결혼하였으므로 연좌제를 면할 수 있었다.
매형: 정해은(鄭海殷, 본관은 연일).
친형: 서재춘(徐載春, 1859년 3월 4일 ~ 1888년 9월 5일, 음독자살)
형수: 은진송씨(1860년 ~ 1916년 2월 14일)
친동생: 서재창(徐載昌, 1866년 ~ 1884년 12월 13일, 조선의 군인, 참형되었다.), 일설에는 그가 1865년생이라는 설도 있다.
제수: 조씨(趙氏)
친동생: 서재우(徐載雨, 1868년 9월 5일 ~ 1929년 1월 24일, 정3품 통정대부 면천군수)
제수: 안동권씨
여동생: 서기석
매제: 이씨
서재필 가족관계
처: 뮤리엘 메리 암스트롱(Muriel Mary Armstrong, 다른 이름은 뮤리엘 조세피네 암스트롱(Muriel Josephine Armstrong), 1871년 ~ 1944년 8월), 2녀, 조지 뷰캐넌 암스트롱(George Buchanan Armstrong, 1822년 10월 27일 - 1871년 5월 5일) - 미국 육군 대령 퇴역, 철도국장 역임
딸: 스테페니 제이슨 보이드(Stephanie Jaisohn Boyd, 1896년 ~ 1991년 4월 5일)
사위: 파울 보이드(Paul C. Boyd, ? - ?), 스테페니 제이슨의 남편
외손자: 보이드(1923년 - ?)
사위: 하디칸(1895년? - 1982년), 미국인, 스테페니 제이슨의 남편
외손자: 필립 하디칸(Philip Hedican, 1917년 - 1993년 3월)
딸: 뮤리엘 제이슨(Muriel Jaisohn, 1898년 - 1987년 6월 16일), 화가, 독신으로 살면서 아버지를 곁에서 도왔다.
장석
장석(長石, feldspar)은 알루미늄을 포함하는 규산염 광물의 한 종류로 지각의 51%를 차지할 만큼 흔하고 중요한 조암광물이다. 규산염 광물의 분류에 따르면 장석은 석영과 함께 망상 이산화규소 구조를 가지고 있다. 장석은 심성암과 화산암에서 모두 발견되며 변성암과 퇴적암에서도 나타난다. 완전히 사장석으로만 구성된 암석을 회장석(anorthite)라고 한다.
장석은 굉장히 광범위한 광물을 한번에 일컫는 말이기 때문에 그 물리적 특성 역시 다양하다. 대체로 색은 흰색인 경우가 많지만 정장석 중에는 분홍색을 나타내는 경우도 흔하다. 모스 경도는 6-6.5이고 비중은 2.5-2.7 g/cm 3이다.
장석 종류
장석은 알루미늄 외에 함유하고 있는 원소에 따라서 크게 세 갈래로 나눈다.
사장석은 소듐-알루미늄 규산염과 칼슘-알루미늄 규산염의 고용체이다. 삼사정계에 속한다. 사장석은 소듐-알루미늄 규산염의 함량이 적어지는 순서에 따라
조장석(알바이트 en:albite) 90%이상
올리고클래이스 en:oligoclase 70-90%
안데신 en:andesine 50-70%
래브라도라이트 en:labradorite 30-50%
바이토우나이트 en:bytownite 10-30%
회장석(아노사이트 en:anorthite) 10%이하.
으로 구분한다. 산성암에서는 소듐성분이 많고 염기성암에서는 칼슘성분이 우세하다.
장석 종류
한편 순수하게 성분으로만 장석을 보게 되면 KAlSi3O8(Ks), NaAlSi3O8(Ab), CaAl2Si2O8(An)의 세 단종을 구별할 수 있다. 성분에 따라서는 포타슘성분이 함유된 장석을 알칼리 장석이라고 하여 정장석과 미사장석이 포함되고, 나머지는 먼저 번의 분류와 마찬가지로 사장석이라고 부른다. 사장석 계열에서 소듐과 칼슘사이에는 연속적인 고용체가 형성되는 데 반하여 포타슘은 거의 고용체를 형성하지 않는다. 정장석 중에서 일부 소듐을 함유하고 있는 것을 새니딘en:sanidine이라고 한다.
알칼리 장석(alkali feldspar) 그룹. 칼륨이 풍부한 장석은 칼리장석(K-feldspar)이라 하며 정장석, 미사장석이 포함된다. 화산암 중의 장석과 같이 고온에서 형성된 경우는 사니딘, 아노석 레이스가 되고, 심성암이나 변성암 중의 장석과 같이 중온~저온에서 형성된 경우는 정장석, 미사장석이 된다.
매끄러운 다양체
미분기하학에서 매끄러운 다양체(영어: smooth manifold) 또는 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.
매끄러운 다양체 정의
자연수 에 대하여, 차원 다양체  위의 좌표근방계(座標近傍系, 영어: atlas) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
매끄러운 다양체 는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.
만약 추이 사상에 대한 조건을 로 약화시킨다면, 이를  다양체라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시킨다면, 이를 해석 다양체(解析多樣體, 영어: analytic manifold)라고 한다.
매끄러운 다양체 정의
같은 다양체  위의 두 좌표근방계 , 에 대하여, 만약 이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 호환된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한,  위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 극대 좌표근방계(座標近傍系, 영어: maximal atlas)라고 한다. 임의의 좌표근방계 에 대하여 인 극대 좌표근방계 이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 매끄러움 구조(영어: smooth structure)라고 하기도 한다.
두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.
두  다양체 사이의  함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는 라고 쓴다. 이 범주에서의 동형을 미분동형이라고 한다.
매끄러운 다양체 성질
에 대하여,  다양체의 범주는 매끄러운 다양체의 범주와 동치이다. 다양체  위의 임의의  좌표근방계 에 대하여, 이와 -호환되는 유일한 (매끄러운) 극대 좌표근방계 가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 해슬러 휘트니가 증명하였다. 따라서,  다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.
매끄러운 다양체의 범주 는 유한 곱을 가지며, 다양체의 범주로의 망각 함자 는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체 와 의 곱 는 다음과 같다.
은 차원 매끄러운 다양체이다.
그러나 두 매끄러운 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.
3차원 이하의 차원의 다양체는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.
매끄러운 다양체 분류
3차원 이하에서, 모든 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 갖는다. 따라서, 3차원 이하의 매끄러운 다양체의 분류는 다양체의 분류와 같다.
4차원의 경우, 콤팩트 다양체들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 매끄러움 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 매끄러운 다양체들은 수술 이론을 사용하여 분류된다.
매끄러운 다양체 예
유클리드 공간 의 열린 집합 에, 하나의 포함 함수로만 구성된 다음과 같은 좌표근방계를 부여하자.
이는 좌표근방계를 이루며, 이를 부여하면 은 차원 매끄러운 다양체를 이룬다.
초구 나 원환면  등 역시 매끄러운 다양체의 예이다.
미분 다양체
수학에서 미분 다양체(differentiable manifold, differential manifold)는 미적분학을 적용할 수 있을 만큼 국소적으로 벡터 공간과 충분히 유사한 유형의 다양체이다. 모든 다양체는 도표 모음(아틀라스)으로 설명될 수 있다. 그런 다음 각 도표는 일반적인 미적분 규칙이 적용되는 벡터 공간 내에 있으므로 개별 도표 내에서 작업하는 동안 미적분학의 아이디어를 적용할 수 있다. 도표가 적절하게 호환된다면(즉, 한 도표에서 다른 도표로의 전환이 미분 가능하다면) 한 도표에서 수행된 계산은 다른 미분 가능 도표에서도 유효하다.
미분 다양체
형식적으로, 미분 다양체는 전역적으로 정의된 미분 구조를 갖는 위상 다양체이다. 모든 위상 다양체는 아틀라스의 위상동형사상과 벡터 공간의 표준 미분 구조를 사용하여 국소적으로 미분 구조를 부여할 수 있다. 위상동형사상에 의해 유도된 국소 좌표계에 전역 미분 구조를 유도하려면 아틀라스에서 도표 교차점에서의 합성은 해당 벡터 공간의 미분 가능 함수여야 한다. 즉, 도표의 정의역이 겹치는 부분에서는 각 도표에 의해 정의된 좌표가 아틀라스의 모든 도표에 의해 정의된 좌표에 대해 미분 가능해야 한다. 다양한 도표에 의해 정의된 좌표를 서로 관련시키는 사상을 변환 사상이라고 한다.
추상 공간에 이러한 국소 미분 구조를 정의할 수 있는 능력은 전역 좌표계가 없는 공간으로 미분 가능성의 정의를 확장할 수 있게 한다. 국소 미분 구조를 통해 전역적으로 미분 가능한 접공간, 미분 가능한 함수, 미분 가능한 텐서장 및 벡터장을 정의할 수 있다.
미분 다양체는 물리학에서 매우 중요하다. 특수한 종류의 미분 다양체는 고전역학, 일반 상대성이론, 양-밀스 이론과 같은 물리 이론의 기초를 형성한다. 미분 다양체에 대한 미적분학을 개발하는 것이 가능하다. 이는 외미분학과 같은 수학적 도구로 이어진다. 미분 다양체에 대한 미적분학 연구는 미분기하학으로 알려져 있다.
다양체의 "미분 가능성"은 연속 미분 가능, k번 미분 가능, 매끄러운 (그 자체로 여러 의미를 가짐), 해석적 등 여러 의미로 정의되어 왔다.
미분 다양체 역사
미분기하학이 독립적인 학문으로 등장한 것은 일반적으로 카를 프리드리히 가우스와 베른하르트 리만의 공으로 여겨진다. 리만은 괴팅겐 교수진 앞에서 그의 유명한 하빌리타치온 강연에서 다양체를 처음으로 설명했다. 그는 주어진 물체를 새로운 방향으로 변형하는 직관적인 과정을 통해 다양체 개념을 제시했으며, 후속의 형식적 발전에 좌표계와 도표의 역할에 대해 선견지명 있게 설명했다.
n차원 다양체 개념을 구성하고, 그 진정한 특성이 그 안에서 위치를 n개의 크기 결정으로 축소할 수 있다는 속성으로 구성된다는 것을 발견했으며, ... – B. Riemann
제임스 클러크 맥스웰과 같은 물리학자들, 그리고 수학자 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타의 연구는 텐서 해석학과 공변성 개념의 발전을 이끌었고, 이는 고유한 기하학적 속성을 좌표 변환에 대해 불변인 것으로 식별한다. 이러한 아이디어는 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성이론과 그 기초가 되는 등가원리에서 중요한 응용을 찾았다. 2차원 다양체의 현대적 정의는 헤르만 바일이 1913년 저서 《리만 곡면》에서 제시했다. 아틀라스를 통한 다양체의 널리 받아들여지는 일반적인 정의는 해슬러 휘트니 덕분이다.
미분 다양체 정의
M을 위상 공간이라 하자. M의 도표 (U, φ)는 M의 열린 부분집합 U와 U에서 일부 유클리드 공간 Rn의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상 φ로 구성된다. 다소 비형식적으로, 도표 φ : U → Rn는 φ의 상이 Rn의 열린 부분집합이고 φ가 그 상으로 가는 위상동형사상임을 의미한다. 일부 저자들의 용어 사용에서는 이것이 φ : U → Rn 자체가 위상동형사상임을 의미할 수도 있다.
도표의 존재는 M에서 미분학을 수행할 가능성을 시사한다. 예를 들어, 함수 u : M → R와 M의 도표 (U, φ)가 주어지면, 합성 u ∘ φ−1를 고려할 수 있다. 이는 정의역이 유클리드 공간의 열린 부분집합인 실수 값 함수이다. 따라서 미분 가능하면 편미분을 고려할 수 있다.
미분 다양체 정의
이 상황은 다음과 같은 이유로 완전히 만족스럽지는 않다. M에 대한 두 번째 도표 (V, ψ)를 고려하고, U와 V가 공통점을 일부 포함한다고 가정하자. 두 해당 함수 u ∘ φ−1와 u ∘ ψ−1는 서로 재매개변수화될 수 있다는 점에서 연결되어 있다.

오른쪽 항의 자연스러운 정의역은 φ(U ∩ V)이다. φ와 ψ가 위상동형사상이기 때문에 ψ ∘ φ−1는 φ(U ∩ V)에서 ψ(U ∩ V)로 가는 위상동형사상이다. 결과적으로 이는 단지 이연속 함수이므로, 두 함수 u ∘ φ−1와 u ∘ ψ−1가 모두 미분 가능하더라도 그 미분 속성은 서로 강하게 연결되지 않을 것이다. 왜냐하면 ψ ∘ φ−1가 연쇄 법칙을 오른쪽 항에 적용하여 왼쪽 항의 편미분을 계산할 수 있을 만큼 충분히 미분 가능하다고 보장할 수 없기 때문이다. 함수 c : R → M를 대신 고려하는 경우에도 같은 문제가 발생한다. 다음 재매개변수화 공식으로 이어진다.

이 시점에서 이전과 동일한 관찰을 할 수 있다.
미분 다양체 정의
이 문제는 변환 사상 ψ ∘ φ−1이 모두 미분 가능한 M의 도표 "미분 가능 아틀라스"를 도입하여 해결된다. 이렇게 하면 상황이 매우 깔끔해진다. u ∘ φ−1이 미분 가능하면 위에서 나열된 첫 번째 재매개변수화 공식 때문에 u ∘ ψ−1도 영역 ψ(U ∩ V)에서 미분 가능하며 그 반대도 마찬가지이다. 또한 이 두 사상의 도함수는 연쇄 법칙으로 서로 연결된다. 주어진 아틀라스에 상대적으로, 이는 정의역 또는 공역이 M인 미분 가능한 사상의 개념과 그러한 사상의 도함수 개념을 용이하게 한다.
형식적으로 "미분 가능"이라는 단어는 다소 모호하다. 왜냐하면 저자마다 다른 의미로 받아들이기 때문이다. 때로는 1계 도함수의 존재를 의미하고, 때로는 연속 1계 도함수의 존재를 의미하며, 때로는 무한히 많은 도함수의 존재를 의미한다. 다음은 "미분 가능 아틀라스"의 다양한 (모호하지 않은) 의미에 대한 공식적인 정의를 제공한다. 일반적으로 "미분 가능"은 k ≥ 1인 경우 이러한 모든 가능성을 포함하는 포괄적인 용어로 사용된다.
미분 다양체 정의
모든 실해석적 사상은 매끄럽고, 모든 매끄러운 사상은 임의의 k에 대해 Ck이므로, 모든 해석적 아틀라스는 매끄러운 아틀라스로 볼 수 있으며, 모든 매끄러운 아틀라스는 Ck 아틀라스로 볼 수 있다. 이 연쇄는 정칙 아틀라스를 포함하도록 확장될 수 있으며, Cn의 열린 부분집합 사이의 모든 정칙 사상은 R2n의 열린 부분집합 사이의 실해석적 사상으로 볼 수 있다는 이해를 전제로 한다.
위상 공간에 주어진 미분 가능 아틀라스가 있을 때, 도표가 아틀라스에 포함될 경우 미분 가능 아틀라스를 생성하면 그 도표는 아틀라스와 미분 가능하게 호환되거나 주어진 아틀라스에 대해 미분 가능하다고 말한다. 미분 가능 아틀라스는 주어진 아틀라스와 미분 가능하게 호환되는 모든 도표로 구성된 극대 미분 가능 아틀라스를 결정한다. 극대 아틀라스는 항상 매우 크다. 예를 들어, 극대 아틀라스의 모든 도표에 대해 그 정의역의 임의의 열린 부분집합에 대한 제한도 극대 아틀라스에 포함된다. 극대 매끄러운 아틀라스는 매끄러운 구조라고도 알려져 있으며, 극대 정칙 아틀라스는 복소 구조라고도 알려져 있다.
미분 다양체 정의
극대 아틀라스를 직접 사용하지 않는 대안적이지만 동등한 정의는 미분 가능 아틀라스의 동치류를 고려하는 것이다. 이 정의에서는 한 아틀라스의 모든 도표가 다른 아틀라스와 미분 가능하게 호환될 경우 두 미분 가능 아틀라스는 동등하다고 간주된다. 비형식적으로, 이는 매끄러운 다양체를 다룰 때, 몇 개의 도표로만 구성된 단일 미분 가능 아틀라스로 작업할 수 있으며, 암묵적으로 다른 많은 도표와 미분 가능 아틀라스도 똑같이 유효하다고 이해한다는 것을 의미한다.
영역 불변성 정리에 따르면 미분 가능 아틀라스를 갖는 위상 공간의 각 연결 성분은 잘 정의된 차원 n을 갖는다. 이는 정칙 아틀라스의 경우 약간의 모호함을 유발한다. 왜냐하면 해당 차원은 해석적, 매끄러운 또는 Ck 아틀라스로 간주될 때의 차원 값의 절반이 될 것이기 때문이다. 이러한 이유로 정칙 아틀라스를 갖는 위상 공간의 "실수" 및 "복소수" 차원을 별도로 언급한다.
미분 다양체 정의
미분 다양체는 M에 대한 극대 미분 가능 아틀라스와 함께 하우스도르프 및 제2 가산 공간인 위상 공간이다. 기본적인 이론의 대부분은 하우스도르프 및 제2 가산 조건 없이도 개발될 수 있지만, 고급 이론의 대부분에는 필수적이다. 이들은 본질적으로 범프 함수와 단위 분할의 일반적인 존재와 동등하며, 둘 다 널리 사용된다.
C0 다양체의 개념은 위상 다양체와 동일하다. 그러나 주목할 만한 구별이 필요하다. 위상 공간이 주어졌을 때, 그것이 위상 다양체인지 아닌지를 묻는 것은 의미가 있다. 대조적으로, 주어진 위상 공간이 (예를 들어) 매끄러운 다양체인지 아닌지를 묻는 것은 의미가 없다. 왜냐하면 매끄러운 다양체의 개념은 추가적인 구조인 매끄러운 아틀라스의 지정을 요구하기 때문이다. 그러나 특정 위상 공간에 매끄러운 다양체의 구조를 부여할 수 없다고 말하는 것은 의미가 있을 수 있다. 이러한 불균형이 존재하지 않도록 정의를 재구성하는 것이 가능하다. 이 설정에서 매끄러운 아틀라스의 자연스러운 유사체를 사용하여 M에 위상 공간의 구조를 정의하면서 집합 M (위상 공간 M 대신)으로 시작할 수 있다.
위의 정의들을 역공학하여 다양체 구성에 대한 관점을 얻을 수 있다. 아이디어는 도표의 이미지와 변환 사상에서 시작하여 이 데이터만으로 다양체를 구성하는 것이다. 위 논의에서와 같이 "매끄러운" 맥락을 사용하지만 다른 설정에서도 모든 것이 잘 작동한다.
색인 집합 가 주어졌을 때, 를 의 열린 부분집합들의 모음으로 하고, 각 에 대해 를 의 열린 (비어 있을 수도 있는) 부분집합으로 하고, 를 매끄러운 사상이라 하자. 가 항등 사상이고, 가 항등 사상이며, 가 항등 사상이라고 가정하자. 그런 다음, disjoint union 에 대해 가 와 동등하다고 선언하여 동치 관계를 정의한다. 몇 가지 기술적인 작업을 통해, 동치류 집합에 자연스럽게 위상 구조를 부여할 수 있으며, 이 과정에서 사용된 도표들이 매끄러운 아틀라스를 형성한다는 것을 보일 수 있다. 해석적 구조(부분집합)의 이어 붙이기에 대해서는 해석적 다양체를 참조하라.
미분 다양체 미분 가능 함수
n차원 미분 다양체 M 위의 실함수 f는 점 p ∈ M 주위에 정의된 모든 좌표 도표에서 미분 가능할 때 p에서 미분 가능하다고 한다. 더 정확히 말하면, p를 포함하는 M의 열린 집합 U와 도표를 정의하는 사상 이 있는 미분 가능 도표 가 있을 때, f는 에서

이 미분 가능할 때, 즉 가 의 부분집합으로 간주되는 열린 집합 에서 로 가는 미분 가능 함수일 때 p에서 미분 가능하다. 일반적으로 많은 도표가 존재하지만, 미분 가능성의 정의는 p에서의 도표 선택에 의존하지 않는다. 한 도표와 다른 도표 사이의 변환 함수에 적용되는 연쇄 법칙에 따르면, f가 p의 특정 도표에서 미분 가능하면 p의 모든 도표에서 미분 가능하다. Ck 함수, 매끄러운 함수, 해석 함수를 정의하는 데도 유사한 고려 사항이 적용된다.
미분 다양체에서 함수의 미분을 정의하는 다양한 방법이 있는데, 그 중 가장 기본적인 것은 방향도함수이다. 방향도함수의 정의는 다양체가 아핀 공간과 같이 벡터를 정의할 적절한 아핀 구조가 부족하다는 사실 때문에 복잡해진다. 따라서 방향도함수는 벡터 대신 다양체 내의 곡선을 살펴본다.
미분 다양체 미분 가능 함수
n차원 미분 다양체 M 위의 실함수 f가 주어졌을 때, M의 점 p에서의 f의 방향도함수는 다음과 같이 정의된다. γ(0) = p인 M의 곡선 γ(t)가 있다고 가정하자. 이 곡선은 모든 도표와의 합성이 Rn의 미분 가능 곡선이라는 의미에서 미분 가능하다. 그러면 γ를 따른 p에서의 f의 방향도함수는 다음과 같다.
γ1과 γ2가 γ1(0) = γ2(0) = p인 두 곡선이고, 모든 좌표 도표 에서
이라면, 연쇄 법칙에 의해 f는 γ1을 따르는 p에서의 방향도함수와 γ2를 따르는 p에서의 방향도함수가 같다. 이는 방향도함수가 p에서의 곡선의 접벡터에만 의존한다는 것을 의미한다. 따라서 미분 다양체의 경우에 적응된 방향 미분의 보다 추상적인 정의는 궁극적으로 아핀 공간에서 방향 미분의 직관적인 특징을 포착한다.
p ∈ M에서의 접벡터는 γ(0) = p인 미분 가능 곡선 γ의 동치류로, 곡선 사이의 1차 접촉의 동치 관계를 법으로 한다. 따라서
모든 좌표 도표 에서. 따라서 동치류는 p에서 주어진 속도 벡터를 갖는 p를 통과하는 곡선이다. p에서의 모든 접벡터의 모음은 벡터 공간을 형성한다. 이를 TpM으로 표시되는 M의 p에서의 접공간이라고 한다.
미분 다양체 미분 가능 함수
X가 p에서의 접벡터이고 f가 p 근처에 정의된 미분 가능 함수라면, X를 정의하는 동치류의 모든 곡선을 따라 f를 미분하는 것은 X를 따라 잘 정의된 방향도함수를 제공한다.

다시 한 번, 연쇄 법칙은 동일한 1차 접촉을 갖는 모든 곡선이 동일한 방향도함수를 생성하므로 이것이 동치류에서 γ를 선택하는 자유도와 독립적임을 입증한다.
함수 f가 고정되어 있으면, 사상

는 접공간에 대한 선형 범함수이다. 이 선형 범함수는 종종 df(p)로 표시되며 f의 p에서의 미분이라고 불린다.
을 매끄러운 아틀라스 를 가진 위상 -다양체라 하자. 이 주어졌을 때 를 로 나타내자. "에서의 접벡터"는 사상  여기서 로 나타내며, 다음을 만족한다.

모든 에 대해. 에서의 접벡터들의 모음을 으로 나타내자. 매끄러운 함수 가 주어졌을 때, 접벡터 를 다음 숫자로 보내는 사상 을 정의한다.

이는 연쇄 법칙과 접벡터 정의에 있는 제약 조건 때문에 의 선택에 의존하지 않는다.
미분 다양체 미분 가능 함수
이 자연스럽게 -차원 실수 벡터 공간의 구조를 가지고 있으며, 이 구조에서 가 선형 사상임을 확인할 수 있다. 핵심 관찰은 접벡터의 정의에 나타나는 제약 조건 때문에 의 단일 요소 에 대한 의 값이 자동으로 모든 에 대해 를 결정한다는 것이다.
위의 형식적 정의는 교과서에 자주 나타나는 보다 비형식적인 표기법, 특히
및
와 정확히 일치한다. 형식적 정의의 아이디어가 이해되면, 이 간략한 표기법은 대부분의 목적에서 작업하기 훨씬 쉽다.
미분 다양체 위의 미분 가능 함수 층의 위상적 특징 중 하나는 단위 분할을 허용한다는 것이다. 이는 다양체 위의 미분 구조를 일반적으로 단위 분할을 가지지 않는 더 강한 구조(해석적 및 정칙 구조와 같은)와 구별한다.
M이 Ck 클래스의 다양체이고 0 ≤ k ≤ ∞라고 가정하자. {Uα}를 M의 열린 덮개라고 하자. 그러면 덮개 {Uα}에 종속하는 단위 분할은 다음 조건을 만족하는 M 위의 실수 값 Ck 함수 φi의 모음이다.
(이 마지막 조건은 φi의 지지집합이 국소적으로 유한하기 때문에 각 점에서 실제로는 유한합이다.)
미분 다양체 미분 가능 함수
모든 Ck 다양체 M의 열린 덮개는 Ck 단위 분할을 갖는다. 이는 Rn 위의 Ck 함수의 위상에서 특정 구성이 미분 다양체의 범주로 전이될 수 있도록 한다. 특히, 특정 좌표 아틀라스에 종속하는 단위 분할을 선택하고 Rn의 각 도표에서 적분을 수행하여 적분을 논의할 수 있다. 따라서 단위 분할은 다른 종류의 함수 공간을 고려할 수 있도록 한다. 예를 들어 Lp 공간, 소볼레프 공간, 그리고 적분을 필요로 하는 다른 종류의 공간들이다.
M과 N이 각각 m차원과 n차원의 두 미분 다양체이고, f가 M에서 N으로 가는 함수라고 가정하자. 미분 다양체는 위상 공간이므로 f가 연속이라는 것이 무엇을 의미하는지 안다. 그러나 k ≥ 1에 대해 "f가 Ck(M, N)이다"는 무엇을 의미하는가? f가 유클리드 공간 사이의 함수일 때 그것이 무엇을 의미하는지 알고 있으므로, f를 M의 도표와 N의 도표와 합성하여 유클리드 공간에서 M으로, N으로, 다시 유클리드 공간으로 가는 사상을 얻으면 그 사상이 Ck(Rm, Rn)이라는 것이 무엇을 의미하는지 안다. "f가 Ck(M, N)이다"는 f와 도표의 모든 그러한 합성이 Ck(Rm, Rn)임을 의미하는 것으로 정의한다. 다시 한번, 연쇄 법칙은 미분 가능성 개념이 M과 N의 아틀라스 중 어떤 도표를 선택하는지에 의존하지 않는다는 것을 보장한다. 그러나 미분 자체를 정의하는 것은 더 미묘하다. M 또는 N이 이미 유클리드 공간이라면, 이를 유클리드 공간으로 사상하기 위해 도표가 필요하지 않다.
미분 다양체 다발
점의 접공간은 그 점에서 가능한 방향도함수로 구성되며, 다양체와 동일한 차원 n을 갖는다. 점에 국소적인 (비특이) 좌표 xk의 집합에 대해, 좌표 도함수 는 접공간의 홀로노믹 기저를 정의한다. 모든 점에서의 접공간들의 모음은 차원이 2n인 다양체인 접다발로 구성될 수 있다. 접다발은 접벡터가 놓이는 곳이며, 그 자체로 미분 다양체이다. 라그랑주는 접다발 위의 함수이다. 접다발은 또한 R(실직선)에서 M으로 가는 1-제트들의 다발로 정의할 수도 있다.
M의 아틀라스에 있는 도표 중 하나인 Uα에 기반한 Uα × Rn 도표로 구성된 접다발용 아틀라스를 구성할 수 있다. 이 새로운 도표 각각은 도표 Uα의 접다발이다. 이 아틀라스의 변환 사상은 원래 다양체의 변환 사상에서 정의되며, 원래 미분 가능성 클래스를 유지한다.
벡터 공간의 쌍대 공간은 벡터 공간에 대한 실수 값 선형 함수의 집합이다. 점에서의 공변접공간은 그 점에서의 접공간의 쌍대이며, 요소들을 공변접벡터라고 부른다. 공변접다발은 모든 공변접벡터와 자연스러운 미분 다양체 구조의 모음이다.
미분 다양체 다발
접다발과 마찬가지로 공변접다발도 미분 다양체이다. 해밀턴은 공변접다발 위의 스칼라이다. 공변접다발의 전체 공간은 심플렉틱 다양체의 구조를 갖는다. 공변접벡터는 때때로 공변벡터라고 불린다. 공변접다발은 M에서 R로 가는 함수의 1-제트의 다발로 정의할 수도 있다.
공변접공간의 요소들은 무한소 변위로 생각할 수 있다. f가 미분 가능한 함수라면 각 점 p에서 접벡터 Xp를 Xp와 관련된 f의 미분으로 보내는 공변접벡터 dfp를 정의할 수 있다. 그러나 모든 공변벡터장은 이런 식으로 표현될 수 있는 것은 아니다. 표현될 수 있는 것들은 완전 미분이라고 불린다. 주어진 국소 좌표 xk에 대해 미분 dxkp는 p에서의 공변접공간의 기저를 형성한다.
텐서다발은 접다발과 공변접다발의 모든 텐서곱의 직합이다. 다발의 각 원소는 텐서장으로, 벡터장이나 다른 텐서장에 대한 다중선형 연산자로 작용할 수 있다.
미분 다양체 다발
텐서다발은 전통적인 의미에서 미분 다양체가 아니다. 왜냐하면 무한 차원이기 때문이다. 그러나 스칼라 함수의 환에 대한 대수이다. 각 텐서는 랭크로 특징지어지며, 이는 그것이 가지는 접촉 및 공변접촉 인자의 수를 나타낸다. 때때로 이 랭크들은 각각 접촉 및 공변접촉 랭크를 의미하는 공변 및 반변 랭크라고 불린다.
틀(또는 더 정확히 말하면 접틀)은 특정 접공간의 순서화된 기저이다. 마찬가지로 접틀은 Rn에서 이 접공간으로의 선형 동형사상이다. 움직이는 접틀은 정의역의 모든 점에서 기저를 제공하는 벡터장들의 순서화된 목록이다. 또한 움직이는 틀을 M 위의 모든 틀들의 집합으로 구성된 GL(n, R) 주다발인 틀다발 F(M)의 단면으로 간주할 수 있다. 틀다발은 M 위의 텐서장을 F(M) 위의 등변 벡터 값 함수로 간주할 수 있기 때문에 유용하다.
미분 다양체 다발
충분히 매끄러운 다양체에서는 다양한 종류의 제트 다발도 고려할 수 있다. 다양체의 (1차) 접다발은 1차 접촉의 동치 관계를 법으로 하는 다양체 내의 곡선들의 모음이다. 유사하게, k차 접다발은 k차 접촉 관계를 법으로 하는 곡선들의 모음이다. 마찬가지로, 공변접다발은 다양체 위의 함수의 1-제트들의 다발이다. k-제트 다발은 이들의 k-제트들의 다발이다. 이러한 제트 다발의 일반적인 아이디어와 다른 예들은 다양체 위의 미분 연산자 연구에서 중요한 역할을 한다.
틀의 개념은 더 높은 차수의 제트의 경우로도 일반화된다. k차 틀을 Rn에서 M으로의 미분동형사상의 k-제트라고 정의한다. 모든 k차 틀들의 모음 Fk(M)은 M 위의 주 Gk 다발인데, 여기서 Gk는 k-제트들의 군이다. 즉, 원점을 고정시키는 Rn의 미분동형사상들의 k-제트로 이루어진 군이다. GL(n, R)은 자연스럽게 G1과 동형이고, 모든 Gk (k ≥ 2)의 부분군이라는 점에 유의하라. 특히, F2(M)의 단면은 M 위의 접속의 틀 성분을 제공한다. 따라서 몫다발 F2(M) / GL(n, R)은 M 위의 대칭 선형 접속들의 다발이다.
미분 다양체 다양체 위의 미적분학
다변수 미적분학의 많은 기술은 준용하여 미분 다양체에도 적용된다. 예를 들어, 다양체의 접벡터를 따라 미분 가능 함수의 방향도함수를 정의할 수 있으며, 이는 함수의 전미분을 일반화하는 수단인 미분으로 이어진다. 미적분학의 관점에서 다양체 위의 함수의 미분은 유클리드 공간에 정의된 함수의 일반적인 미분과 적어도 국소적으로 거의 동일하게 작동한다. 예를 들어, 이러한 함수에 대한 음함수 및 역함수 정리의 버전이 있다.
그러나 벡터장(및 일반적으로 텐서장)의 미적분학에는 중요한 차이점이 있다. 간단히 말해서, 벡터장의 방향도함수는 잘 정의되지 않거나, 적어도 간단한 방식으로 정의되지 않는다. 벡터장(또는 텐서장)의 미분에는 여러 일반화가 존재하며, 유클리드 공간에서 미분의 특정 형식적 특징을 포착한다. 이들 중 주요한 것은 다음과 같다.
적분 미적분학의 아이디어도 미분 다양체로 확장된다. 이러한 아이디어는 외미분학과 미분 형식의 언어로 자연스럽게 표현된다. 여러 변수의 적분 미적분학의 기본 정리, 즉 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리는 외미분과 부분 다양체에 대한 적분을 관련시키는 정리(역시 스토크스 정리라고 불림)로 일반화된다.
미분 다양체 다양체 위의 미적분학
두 다양체 사이의 미분 가능한 함수는 부분 다양체 및 기타 관련 개념에 대한 적절한 개념을 공식화하는 데 필요하다. 차원 m의 미분 다양체 M에서 차원 n의 다른 미분 다양체 N으로 가는 미분 가능한 함수가 f : M → N일 때, f의 미분은 사상 df : TM → TN이다. 이는 Tf로도 표시되며 접 사상이라고 불린다. M의 각 점에서 이것은 한 접공간에서 다른 접공간으로의 선형 변환이다.

p에서의 f의 계수는 이 선형 변환의 계수이다.
일반적으로 함수의 계수는 점별 속성이다. 그러나 함수가 최대 계수를 가지면 계수는 점의 근방에서 일정하게 유지된다. 미분 가능한 함수는 사드의 정리에 의해 주어진 정확한 의미에서 "일반적으로" 최대 계수를 갖는다. 점에서 최대 계수를 갖는 함수를 몰입과 침몰이라고 부른다.
만약 m ≤ n이고 f : M → N가 p ∈ M에서 계수 m을 가지면, f는 p에서 몰입이라고 불린다. f가 M의 모든 점에서 몰입이고 그 이미지로의 위상동형사상이면, f는 매장 (수학)이다. 매장은 M이 N의 부분 다양체라는 개념을 형식화한다. 일반적으로, 매장은 자기 교차 및 다른 종류의 비국소적 위상 불규칙성이 없는 몰입이다.
미분 다양체 다양체 위의 미적분학
만약 m ≥ n이고 f : M → N가 p ∈ M에서 계수 n을 가지면, f는 p에서 침몰이라고 불린다. 음함수 정리는 f가 p에서 침몰이면 M은 p 근처에서 N과 Rm−n의 곱으로 국소적으로 나타낼 수 있다고 말한다. 형식적으로, N의 f(p) 근방에 좌표 (y1, ..., yn)가 존재하고, M의 p 근방에 정의된 m − n개의 함수 x1, ..., xm−n이 존재하여 이 p 근방에서 M의 국소 좌표계가 된다. 침몰은 올뭉치 및 올다발 이론의 기초를 이룬다.
소푸스 리의 이름을 딴 리 미분은 다양체 M 위의 텐서장 대수에 대한 미분이다. M 위의 모든 리 미분의 벡터 공간은 다음으로 정의되는 리 괄호에 대해 무한 차원 리 대수를 형성한다.
리 미분은 M 위의 흐름(능동 미분동형사상)의 무한소 생성원으로서 벡터장으로 표현된다. 반대로 보면, M의 미분동형사상 군은 리 군 이론과 직접적으로 유사하게 리 미분들의 연관된 리 대수 구조를 갖는다.
미분 다양체 다양체 위의 미적분학
외미분학은 기울기, 발산 및 회전 연산자를 일반화할 수 있다.
미분 형식 다발은 각 점에서 그 점의 접공간에 대한 모든 전체 반대칭 다중선형 사상으로 구성된다. 이는 다양체의 차원과 같거나 작은 각 n에 대해 n-형식으로 자연스럽게 나뉘어진다. n-형식은 n-변수 형식이며, n차 형식이라고도 불린다. 1-형식은 공변접벡터이고, 0-형식은 단순히 스칼라 함수이다. 일반적으로 n-형식은 공변접 랭크 n과 접 랭크 0을 갖는 텐서이다. 그러나 모든 그러한 텐서가 형식인 것은 아니다. 형식은 반대칭이어야 하기 때문이다.
외미분은 매끄러운 다양체  위의 모든 매끄러운 미분 형식의 등급 벡터 공간에 대한 선형 연산자이다. 보통 로 표기한다. 더 정확히 말하면, 일 때, 에 대해 연산자 는  위의 -형식들의 공간 을 -형식들의 공간 으로 사상한다 (일 경우  위의 0이 아닌 -형식은 없으므로 사상 는 -형식에서 항등적으로 0이다).
미분 다양체 다양체 위의 미적분학
예를 들어, 매끄러운 함수 의 외미분은 국소 좌표 과 연관된 국소 공변 기저 에서 다음 공식으로 주어진다.
외미분은 형식의 쐐기곱에 대한 곱 규칙과 유사하게 다음 항등식을 만족한다.
외미분은 또한 항등식 을 만족한다. 즉, 가 -형식이라면 -형식 는 항등적으로 0이다. 을 만족하는 형식 는 닫힌 형식이라고 불리며, 다른 형식 에 대해 를 만족하는 형식 는 완전 형식이라고 불린다. 항등식 의 또 다른 표현은 완전 형식이 닫힌 형식이라는 것이다. 이는 다양체 의 드람 코호몰로지를 정의할 수 있게 한다. 여기서 차 코호몰로지 군은  위의 닫힌 형식의 몫군을 완전 형식으로 나눈 것이다.
미분 다양체 미분 다양체의 위상
이 위상 -다양체라고 가정하자.
어떤 매끄러운 아틀라스 가 주어졌을 때, 주어진 아틀라스와 다른 매끄러운 다양체 구조를 정의하는 매끄러운 아틀라스를 쉽게 찾을 수 있다. 예를 들어, 주어진 아틀라스에 대해 매끄럽지 않은 위상동형사상 를 고려할 수 있다. 예를 들어, 국소적으로 매끄럽지 않은 범프를 사용하여 항등 사상을 수정할 수 있다. 그러면 새로운 아틀라스 를 고려할 수 있으며, 이는 매끄러운 아틀라스로 쉽게 확인된다. 그러나 새로운 아틀라스의 도표는 이전 아틀라스의 도표와 매끄럽게 호환되지 않는다. 왜냐하면 이렇게 하려면 와 가 모든 와 에 대해 매끄러워야 하며, 이러한 조건은 와  모두가 매끄럽다는 정의와 정확히 일치하여 가 선택된 방식과 모순되기 때문이다.
이러한 관찰을 동기로 삼아,  위의 매끄러운 아틀라스 집합에 대한 동치 관계를 정의할 수 있다. 매끄러운 아틀라스 와 는 다음과 같은 경우 동등하다고 선언된다.
1. 가 와 매끄럽게 호환되는 위상동형사상 이 존재한다.
2. 가 와 매끄럽게 호환된다.
미분 다양체 미분 다양체의 위상
좀 더 간단히 말하면, 두 매끄러운 아틀라스는 하나의 매끄러운 아틀라스를 정의역으로, 다른 매끄러운 아틀라스를 공역으로 하는 미분동형사상 이 존재할 경우 동등하다고 말할 수 있다.
이 동치 관계는 매끄러운 다양체 구조를 정의하는 동치 관계를 정교화한 것인데, 매끄럽게 호환되는 모든 두 아틀라스는 현재 의미에서도 호환되기 때문이다. 여기서 를 항등 사상으로 취할 수 있다.
의 차원이 1, 2, 3이면 에는 매끄러운 구조가 존재하며, 모든 서로 다른 매끄러운 구조는 위에서 주어진 의미에서 동등하다. 더 높은 차원에서는 상황이 더 복잡하지만, 완전히 이해되지는 않았다.
일부 위상 다양체는 매끄러운 구조를 허용하지 않는다. 이는 케르베르Kervaire (1960)가 10차원 예시로 처음 보여주었다. 마이클 프리드먼의 결과와 결합된 사이먼 도널드슨의 미분기하학의 편미분 방정식의 주요 응용은 많은 단일 연결 콤팩트 위상 4-다양체가 매끄러운 구조를 허용하지 않는다는 것을 보여준다. 잘 알려진 특정 예시는 E8 다양체이다.
모든 1차원 연결 매끄러운 다양체는  또는 에 표준 매끄러운 구조를 부여한 것과 미분동형사상이다.
미분 다양체 미분 다양체의 위상
매끄러운 2차원 다양체의 분류에 대해서는 곡면을 참조하라. 특정 결과는 모든 2차원 연결 콤팩트 매끄러운 다양체는 다음 중 하나와 미분동형사상이라는 것이다.  또는  또는  매끄러운 구조 대신 복소 미분 가능 구조를 고려하면 상황은 더 복잡해진다.
3차원에서의 상황은 훨씬 더 복잡하며, 알려진 결과는 더 간접적이다. 편미분 방정식 방법을 통해 2002년에 증명된 놀라운 결과는 서스턴의 기하화 추측으로, 대략적으로 모든 콤팩트 매끄러운 3차원 다양체는 여러 부분으로 나눌 수 있으며, 각 부분은 많은 대칭을 갖는 리만 계량을 허용한다는 것이다. 또한 모스토 강성 정리와 쌍곡군에 대한 동형 사상 문제에 대한 Sela의 알고리즘과 같이 기하화 가능한 3차원 다양체에 대한 다양한 "인식 결과"도 있다.
미분 다양체 미분 다양체의 위상
n이 3보다 큰 n-다양체의 분류는 호모토피 동치까지도 불가능한 것으로 알려져 있다. 유한하게 표시된 모든 군에 대해 그 군을 기본군으로 갖는 닫힌 4-다양체를 구성할 수 있다. 유한하게 표시된 군에 대한 동형 사상 문제를 결정하는 알고리즘이 없기 때문에, 두 4-다양체가 동일한 기본군을 갖는지 여부를 결정하는 알고리즘도 없다. 이전에 설명된 구성은 군이 동형인 경우에만 위상동형인 4-다양체의 클래스를 생성하므로, 4-다양체에 대한 위상동형 문제는 결정 불가능하다. 또한, 자명군을 인식하는 것조차 결정 불가능하므로, 다양체가 자명한 기본군을 갖는지, 즉 단일 연결인지 여부를 일반적으로 결정하는 것조차 불가능하다.
단일 연결 4차원 다양체는 프리드먼이 교차 형식과 커비-지벤만 불변량을 사용하여 위상동형까지 분류되었다. 별난 R4의 매끄러운 구조가 보여주듯이 매끄러운 4차원 다양체 이론은 훨씬 더 복잡한 것으로 알려져 있다.
그러나 차원 ≥ 5인 단일 연결 매끄러운 다양체의 경우 상황은 더 다루기 쉬워진다. 여기서 h-코보디즘 정리를 사용하여 분류를 호모토피 동치까지의 분류로 줄일 수 있고, 수술 이론을 적용할 수 있다. 이는 데니스 바든(Dennis Barden)에 의해 단일 연결 5차원 다양체의 명시적인 분류를 제공하기 위해 수행되었다.
미분 다양체 매끄러운 다양체의 구조
리만 다양체는 매끄러운 다양체와 각 개별 접공간 위의 양의 정부호 내적으로 구성된다. 이러한 내적의 모음을 리만 계량이라고 하며, 자연스럽게 대칭 2-텐서장이다. 이 "계량"은 각 에 대해 자연스러운 벡터 공간 동형 을 식별한다. 리만 다양체에서는 길이, 부피, 각도 개념을 정의할 수 있다. 모든 매끄러운 다양체는 여러 다른 리만 계량을 부여할 수 있다.
준 리만 다양체 (또는 반 리만 다양체)는 내적이 부정 부호수를 가질 수 있도록 허용하는 리만 다양체 개념의 일반화이며, 양의 정부호가 아니다. 여전히 비특이여야 한다. 모든 매끄러운 준 리만 및 리만 다양체는 리만 곡률 텐서와 같은 여러 연관된 텐서장을 정의한다. 로렌츠 다양체는 부호수 의 준 리만 다양체이다. 인 경우는 일반 상대성이론에서 기본적이다. 모든 매끄러운 다양체가 비리만 준 리만 구조를 가질 수 있는 것은 아니다. 그렇게 하는 데는 위상적 제한이 있다.
핀슬러 다양체는 리만 다양체의 또 다른 일반화로, 내적이 벡터 노름으로 대체된다. 따라서 길이는 정의할 수 있지만 각도는 정의할 수 없다.
미분 다양체 매끄러운 다양체의 구조
심플렉틱 다양체는 닫힌, 비특이 2-형식이 갖춰진 다양체이다. 이 조건은 심플렉틱 다양체가 짝수 차원이어야 함을 강제한다. 이는 비대칭  행렬이 모두 행렬식이 0이기 때문이다. 두 가지 기본적인 예시가 있다.
리 군은 C∞ 다양체 와  위의 군 구조가 결합되어 곱셈 및 역원 사상  및 가 다양체 사상으로서 매끄러운 것을 말한다. 이러한 대상은 (연속적인) 대칭을 설명할 때 자연스럽게 나타나며, 매끄러운 다양체의 중요한 예시 소스를 형성한다.
그러나 많은 친숙한 매끄러운 다양체는 리 군 구조를 부여할 수 없다. 리 군 와 임의의 가 주어졌을 때, 항등원 를 로 보내는 사상 를 고려할 수 있고, 미분 를 고려함으로써 리 군의 임의의 두 접공간 사이에 자연스러운 식별을 제공하기 때문이다. 특히, 의 임의의 0이 아닌 벡터를 고려함으로써, 이러한 식별을 사용하여  위에 매끄러운 비소멸 벡터장을 부여할 수 있다. 이는 예를 들어, 짝수 차원 구가 리 군 구조를 지원할 수 없다는 것을 보여준다. 같은 논증은 더 일반적으로 모든 리 군이 평행화 가능해야 함을 보여준다.
미분 다양체 대안적 정의
유사군의 개념은 다양한 구조를 다양체에 균일한 방식으로 정의할 수 있도록 아틀라스의 유연한 일반화를 제공한다. 유사군은 위상 공간 S와 S의 열린 부분 집합에서 S의 다른 열린 부분 집합으로 가는 위상동형사상의 모음 Γ으로 구성되며 다음을 만족한다.
이 마지막 세 가지 조건은 군의 정의와 유사하다. 그러나 함수가 S에 전역적으로 정의되어 있지 않으므로 Γ가 군일 필요는 없다는 점에 유의하라. 예를 들어, Rn 위의 모든 국소 Ck 미분동형사상의 모음은 유사군을 형성한다. Cn의 열린 집합 사이의 모든 쌍정칙 사상은 유사군을 형성한다. 더 많은 예시로는 Rn의 방향 보존 사상, 심플렉틱 동형 사상, 뫼비우스 변환, 아핀 변환 등이 있다. 따라서 다양한 함수 클래스가 유사군을 결정한다.
Ui ⊂ M에서 위상 공간 S의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상 φi의 아틀라스 (Ui, φi)는 변환 함수 φj ∘ φi−1 : φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj)가 모두 Γ에 속할 때 유사군 Γ와 호환된다고 한다.
미분 다양체 대안적 정의
미분 다양체는 Rn 위의 Ck 함수들의 유사군과 호환되는 아틀라스이다. 복소 다양체는 Cn의 열린 집합 위의 쌍정칙 함수들과 호환되는 아틀라스이다. 기타 등등. 따라서 유사군은 미분기하학과 위상수학에서 중요한 다양한 다양체 구조를 설명하는 단일 프레임워크를 제공한다.
때로는 다양체에 Ck-구조를 부여하기 위해 다른 접근 방식을 사용하는 것이 유용할 수 있다. 여기서 k = 1, 2, ..., ∞, 또는 실수 해석적 다양체의 경우 ω이다. 좌표 도표를 고려하는 대신 다양체 자체에 정의된 함수로 시작할 수 있다. M의 구조 층, Ck로 표시되는 이 층은 각 열린 집합 U ⊂ M에 대해 연속 함수 U → R의 대수 Ck(U)를 정의하는 일종의 함자이다. 구조 층 Ck는 어떤 p ∈ M에 대해 p의 근방 U와 U에서 Rn의 열린 집합으로 가는 위상동형사상인 n개의 함수 x1, ..., xn ∈ Ck(U)가 존재하며, Ck|U가 Rn 위의 k번 연속 미분 가능한 함수 층의 당김일 때 M에 차원 n의 Ck 다양체 구조를 부여한다고 말한다.
미분 다양체 대안적 정의
특히, 이 후자의 조건은 V가 있는 Ck(V)의 모든 함수 h가 h(x) = H(x1(x), ..., xn(x))로 고유하게 쓸 수 있다는 것을 의미한다. 여기서 H는 f(V) (Rn의 열린 집합) 위의 k번 미분 가능한 함수이다. 따라서 층 이론적 관점은 미분 다양체의 함수가 국소 좌표에서 Rn 위의 미분 가능한 함수로 표현될 수 있으며, 더 나아가 이는 다양체의 미분 구조를 특징짓기에 충분하다는 것이다.
미분 다양체를 정의하는 유사하지만 더 기술적인 접근 방식은 환 달린 공간 개념을 사용하는 것이다. 이 접근 방식은 대수기하학의 스킴 이론에 강하게 영향을 받았지만, 미분 가능한 함수의 싹의 국소환을 사용한다. 특히 복소 다양체의 맥락에서 인기가 많다.
Rn 위에 있는 기본 구조 층을 설명하는 것으로 시작한다. U가 Rn의 열린 집합이면
O(U) = Ck(U, R)
미분 다양체 대안적 정의
은 U 위의 모든 실수 값 k번 연속 미분 가능 함수로 구성된다. U가 변함에 따라 이는 Rn 위의 환 층을 결정한다. p ∈ Rn에 대한 줄기 Op는 p 근처의 함수 싹으로 구성되며, R에 대한 대수이다. 특히, 이것은 p에서 0이 되는 함수로 구성된 고유한 극대 아이디얼을 갖는 국소환이다. 쌍 (Rn, O)는 국소환 달린 공간의 예이다. 즉, 각각의 줄기가 국소환인 층이 갖춰진 위상 공간이다.
미분 다양체(Ck 클래스)는 제2 가산 공간인 하우스도르프 공간 M과 M 위에 정의된 국소 R-대수 층 OM으로 구성된 쌍 (M, OM)을 말하며, 국소환 달린 공간 (M, OM)은 국소적으로 (Rn, O)와 동형이다. 이런 식으로 미분 다양체는 Rn을 모델로 하는 스킴으로 생각할 수 있다. 이는 각 점 p ∈ M에 대해 p의 근방 U와 한 쌍의 함수 (f, f#)가 존재함을 의미한다. 여기서
f#f(p) : Of(p) → OM,p.
미분 다양체 대안적 정의
이 추상적인 틀 안에서 미분 다양체를 연구하는 데는 여러 가지 중요한 동기가 있다. 첫째, 모델 공간이 Rn일 필요가 없다는 선험적인 이유는 없다. 예를 들어 (특히 대수기하학에서), 복소수 Cn에 정칙 함수 층을 갖춘 공간(따라서 복소 해석 기하학의 관심 공간에 도달함)이나 다항식 층을 갖춘 공간(따라서 복소 대수 기하학의 관심 공간에 도달함)으로 취할 수 있다. 더 넓은 의미에서 이 개념은 적절한 스킴 개념에 맞게 조정될 수 있다(토포스 이론 참조). 둘째, 좌표는 더 이상 구성에 명시적으로 필요하지 않다. 좌표계의 아날로그는 쌍 (f, f#)이지만, 이는 논의의 중심(도표 및 아틀라스의 경우와 같이)이 아니라 국소 동형사상의 아이디어를 단순히 정량화할 뿐이다. 셋째, 층 OM은 명백히 함수 층이 전혀 아니다. 오히려 구성의 결과(국소환을 극대 이데알로 나눈 몫을 통해)로 함수 층으로 나타난다. 따라서 이는 구조의 더 원시적인 정의이다(합성 미분 기하학 참조).
이 접근 방식의 마지막 장점은 미분기하학과 위상수학 연구의 많은 기본 대상에 대한 자연스러운 직접적인 설명을 허용한다는 것이다.