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화학 주요 개념
과거 화학에서 더 이상 나뉘지 않는 기초적인 요소가 존재한다고 했는데, 이 기초적인 요소를 원자(原子)라 한다. 원자란 물질을 구성하는 기본적인 입자(粒子)로 고대 그리스의 데모크리토스에서부터 그 존재가 주장되었는데, 1803년 존 돌턴에 의해서 원자론(原子論)으로 정리되었다. 20세기 초, 화학자들은 원자를 구성하는 더 작은 입자들, 즉 전자(電子), 양성자(陽性子), 중성자(中性子)가 존재한다는 사실을 발견하였다. 전자는 음전하를 띠고 있고, 양성자는 양전하를 띠고 있으며, 중성자는 전하를 띠지 않고 있다. 원자는 양성자와 중성자로 구성되어 있는 원자핵(原子核)을 가지고 있으며 전자는 이 주변에 원자 궤도(原子軌道)을 이루며 분포되어 있다.
원소(元素)는 일반적인 화학적, 물리학적 방법으로는 분해되지 않는 물질을 의미한다. 원소는 원자핵에 존재하는 양성자 수로 정의되는 원자 번호(原子番號)로 구별된다. 산소(酸素), 황(黃), 주석(朱錫), 철(鐵) 등은 원소이다. 19세기 중엽까지 약 80가지의 원소가 발견되었는데, 이들은 주기율(週期律)에 따라 배열(配列)될 수 있다.
화학 주요 개념
동위원소(同位元素)는 아이소토프 또는 동위체(同位體)라고도 한다. 서로 화학적으로는 거의 구별하지 못하지만 그것을 구성하고 있는 원자(原子)의 질량(質量)이 서로 다른 원소를 동위원소라고 한다. 영어의 isotope는 그리스어인 isos(같은)와 topos(장소)의 합성어(合成語)인데, 질량은 서로 달라도 원소의 주기율표(週期律表)에서 같은 장소에 배열되는 데서 1901년 영국의 화학자 F. 소디가 isotope라는 명칭을 붙였다. 대부분의 원소는 동위 원소를 가진다. 동위 원소는 원자 번호는 같으나, 중성자수가 다른 원소를 뜻한다. 동위 원소는 화학적인 성질(化學的性質)은 동일하나, 원자량의 차이를 이용하여 분리할 수 있다. 자연에서도 발견되는 92개의 원소 중 88개는 동위 원소가 지표면 상에 존재한다. 자연에서 발견되지 않더라도 동위 원소는 핵반응(核反應)을 이용하여 만들어낼 수 있다. 어떤 동위 원소는 방사능을 가지기도 하는데, 이 경우 동위 원소의 원자핵은 불안정하고 방사선(放射線)을 방출하며 자연적으로 붕괴된다.
화학 주요 개념
동중 원소(同重元素)는 원자 질량(原子質量)은 같으나, 양성자수(陽性子數)가 다른 원소를 뜻한다. 동중 원소는 화학적, 물리적 성질이 다르며 40S, 40Cl, 40Ar, 40K, 40Ca등이 있다.
분자(分子)란 원자의 결합체(結合體) 중 독립 입자(獨立粒子)로서 작용하는 단위체(單位體)이다. 일정한 개수의 원자가 특정하게 정렬되어 서로 결합해 분자가 형성된다. 원자가 원소(元素)의 최소단위(最小單位)이듯, 분자(分子)는 화합물(化合物)의 최소단위가 된다. 원자가 결합(結合)될 때 전자의 재배치(再配置)가 일어나는데, 이는 화학에서의 중요한 관심사중 하나이다.
화학 반응은 원자 혹은 분자가 화학적인 변화를 겪는 일을 말한다. 화학 반응은 원자간의 결합이 끊어지는 일과 다시 이어지는 일을 포함한다. 결합이 끊어질 때는 에너지가 흡수되고, 결합이 이어질 때는 에너지가 방출된다. 화학 반응의 간단한 예로는 수소와 산소가 반응하여 물이 되는 것을 들 수 있다. 반응식(反應式)은 다음과 같다.
2 H2 + 2 O → 2 H2O
ΔH = - 572kJ
화학 주요 개념
반응식(反應式)에서 알 수 있듯이, 화학 반응에서는 원자가 새로 생성되거나 나타나는 일이 일어나지 않는다. ΔH는 에너지 또는 엔탈피 변화를 뜻한다. 반응은 발열반응(發熱反應)일 수도 있고, 흡열반응(吸熱反應)일 수도 있다. 발열반응은 주위로 열을 방출(放出)하는 반응으로 엔탈피 변화가 음수(陰數)로 나타난다. 반면에 흡열반응은 주위 열을 흡수하는 반응으로 엔탈피 변화가 양수(陽數)로 나타난다. 위 반응의 경우는 발열반응인데, 이는 계(界)로부터 주위(周圍)로 열이 이동(移動)하였다는 의미이다.
화학 주요 개념
화학 결합(化學結合)을 주된 세 가지 부류로 나누어보면 이온 결합(ion結合), 공유 결합(共有結合) 그리고 금속결합(金屬結合)으로 나눌 수 있다. 이온이란 전하(電荷)를 띤 원자 또는 분자를 뜻한다. 이온 결합은 양전하(陽電荷)와 음전하(陰電荷)의 전기적인 인력(電氣的引力)에 의해서 생성되는 화학 결합이다. 예를 들면 염화 나트륨은 양전하를 띤 나트륨 이온(Na+)과 음전하를 띤 염화 이온(Cl-) 사이의 전기적인 결합으로 이루어진 이온 화합물(化合物)이다. 이러한 물질을 물에 녹이면 이온은 물 분자에 의해 수화되고 이렇게 해서 만들어진 수용액(水溶液)은 전기전도도(電氣傳導度)를 가진다.
공유 결합(共有結合)은 원자 궤도(原子軌道)이 겹쳐진 결과 두 원자가 전자쌍(電子雙)을 공유하게 되어 생성되는 결합을 의미한다. 공유 결합이 형성되는 결합은 발열반응(發熱反應)인데, 이때 방출되는 에너지의 양이 그 결합의 결합 에너지이다. 결합 에너지만큼의 에너지를 그 결합에 가해주면 결합은 끊어질 수 있다.
금속 결합(金屬結合)은 금속 원자에서 전자(電子)들이 떨어져 나와 자유전자(自由電子)를 생성하게 되어 생성되는 결합을 의미한다. 금속의 특성인 연성(延性)과 전성(轉成)이 생성되는 이유이기도 하다.
화합물(化合物)은 구성하고 있는 원자의 종류, 수, 배치에 의해서 그 특성이 결정된다. 자연에서 찾을 수 있거나 인공적으로 합성(合成)할 수 있는 화합물의 수는 엄청나고, 이들 중 대부분은 유기 화합물(有機化合物)이다. 유기 화합물을 이루는 주된 화학 원소(化學元素)인 탄소(炭素)는 다른 화학 원소와는 다르게 매우 긴 사슬 형태로 정렬될 수 있으며, 같은 수많은 이성질체(異性質體)를 형성할 수 있다. 예를 들어, 분자식(分子式) C8H16O는 약 천 개의 서로 다른 화합물을 뜻할 수 있다.
화학 분과
화학은 취급 대상(取扱對象) 및 대상의 취급 방법에 따라서 몇 가지 분과(分科)로 구분될 수 있다. 물질을 분석하는 분석화학(分析化學)은 크게 물질의 존재를 취급하는 정성 분석과 물질의 양을 결정하는 정량 분석으로 나눌 수 있다. 탄소를 포함한 유기 화합물(有機化合物)을 다루는 유기화학(有機化學)과 유기 화합물을 제외한 무기 화합물(無機化合物)을 다루는 무기화학(無機化學)도 있다. 물리학(物理學)과 화학의 경계에는 물리화학(物理化學)이 있고 생물학(生物學)과의 경계에는 생화학(生化學)이 있다. 물리화학에서 특히 분자의 구조와 성질과의 관계를 다루는 부분을 구조화학(構造化學)이라고 부르기도 한다. 제2차 세계 대전(第2次世界大戰) 이후에는 방사성 물질을 다루는 방사화학(放射化學)이 발전하였고 화학 공업을 다루는 공업화학(工業化學)도 있다. 이 외에도 화학의 분과는 매우 다양하다.
화학의 분과는 전통적으로 다음과 같은 5가지로 나눌 수 있으며, 각각의 분과는 더욱 세분화될 수 있다.
화학 분과
무기화학(無機化學)은 유기화학에서 다루지 않는 물질을 다루며 주로 금속이나 준금속(準金屬)이 포함된 물질에 대해서 연구한다. 따라서 무기화학에서는 매우 넓은 범위의 화합물을 다루게 된다. 초기에는 광물(鑛物)의 구성이나 새 원소의 발견이 주요 관심사였고 여기서부터 지구화학(地球化學)이 분기되었다. 주로 전이 금속(轉移金屬) 등을 이용한 촉매(觸媒)나 생물에서 산소 수송(酸素輸送), 광합성(光合成), 질소 고정(窒素固定) 등의 과정에서 중요한 역할을 하는 금속 원자들에 대해 연구하며 이 외에도 세라믹, 복합재료(複合材料), 초전도체(超傳導體)등에 대한 연구를 한다.
화학 분과
물리화학(物理化學)은 화학적 현상(化學的現象)에 대한 해석과 이를 설명하기 위한 물리적 원리들에 대해 다루는 분과이다. 화학반응(化學反應)에 관련된 열역학적 원리와 물질의 물리학적 성질에 대한 설명은 물리화학이 다루는 고전적인 주제이다. 물리화학은 양자화학(量子化學)의 발전에도 큰 기여를 하였다. 분광계(分光計)나 자기 공명(磁氣共鳴), 회절(回折) 기기 등 물리화학에서 사용하는 실험 장비나 실험 방법(實驗裝備)들은 다른 화학의 분과에서도 매우 많이 사용된다. 물리화학이 다루는 대상은 유기 화합물, 무기 화합물, 혼합물(混合物)을 모두 포함한다.
화학 분과
분석화학(分析化學)은 물질의 조성이나 혼합물(混合物)의 구성요소(構成要素)  등을 결정하는 방법에 대해서 연구하는 화학의 분과이다. 혼합물을 이루고 있는 성분의 탐색(探索), 분리(分離), 정량(定量)과 분자를 이루고 있는 원자의 비율을 측정하여 분자식을 결정하는 일 등이 분석화학에서 행해진다. 1950년대의 분석화학의 발전은 많은 질량 분석기를 포함한 분석 기구의 등장을 불러일으켰다. 이 외에도 고해상도(高解像度) 크로마토그래피, 전기화학(電氣化學)에서의 많은 실험방법(實驗方法) 등은 분석화학에 있어서 중요한 분석법이다. 분석화학에 있어서 최종 목표는 더 정확한 측정법(測定法)이나 측정기기(測定機器) 등을 개발하는 것이다. 분석화학의 발전으로 인해 환경오염 물질(環境汚染物質) 등을 피코그램의 수준에서도 감지하는 것이 가능해졌다.
생화학(生化學)에서는 이와 같이 생물체에서 기능하는 물질들을 다룬다.화학의 관점(觀點)에서 다루는 학문이다. 식물(植物)이나 동물(動物)의 세포(細胞)에서 발견되는 물질이나 일어나는 화학 반응들이 주 관심사이다. 생명체(生命體)에서 발견되는 탄수화물(炭水化物), 지방(脂肪), 단백질(蛋白質), 핵산(核酸), 호르몬 등은 유기 화합물이라서 유기화학에서도 다루어지기도 하나, 이들 화합물에 관련된 물질대사(物質代謝) 과정이나 조절 과정에 대한 연구는 생화학의 고유 분야이다. 효소(酵素)와 조효소(助酵素), 그리고 이들의 작용 과정에 대해서도 연구하며, 세포막(細胞膜)을 통과하는 이온과 분자, 신경전달물질(神經傳達物質)과 다른 조절 물질들의 작용에 대해서도 연구한다. 생화학은 내분비학(內分泌學), 유전학(遺傳學), 면역학(免疫學), 바이러스학의 발전에 큰 영향을 끼쳤다.
유기화학(有機化學)은 탄소(炭素)로 이루어진 화합물(化合物)을 연구하는 분과이다. 원래 유기 화합물은 식물이나 동물로부터 추출해낸 화합물을 뜻하였으나 지금은 유기 화합물의 범위가 크게 넓어져 탄소 사슬 또는 탄소 고리를 가진 모든 화합물을 뜻한다. 유기화학의 오랜 관심사는 유기 화합물의 합성 메커니즘이다. 현대에 들어서 핵자기 공명법(核磁氣共鳴法)과 X선 결정학(X線結晶學) 등이 개발되어 유기 화합물 분석에 있어서 매우 중요한 방법으로 자리잡았다. 플라스틱, 합성섬유(合成纖維)등의 고분자물질(高分子物質) 등도 유기화학에서 다루어진다.
체첸 공화국
체첸 공식적으로 체첸 공화국은 러시아의 공화국이다. 동유럽의 북캅카스, 카스피해와 흑해 사이에 위치한다. 이 공화국은 북캅카스 연방관구의 일부를 형성하고 남쪽으로는 조지아와 국경을 접한다. 동쪽, 북쪽, 서쪽으로는 러시아의 다게스탄 공화국, 인구셰티야 공화국, 북오세티야–알라니야 공화국과 국경을 접한다. 북서쪽으로는 스타브로폴 변경주와 국경을 접한다.
1991년 소련 해체 이후 체첸-인구시 ASSR는 인구셰티야 공화국과 체첸 공화국으로 분열되었다. 후자는 이치케리야 체첸 공화국을 선포하고 독립을 선언했지만, 전자는 러시아편을 들었다. 1994년 ~ 1996년 러시아와의 제1차 체첸 전쟁 이후 체첸은 사실상 이치케리아 체첸 공화국으로서 독립을 얻었지만 법률상 러시아의 일부로 남았다. 1999년 ~ 2009년 제2차 체첸 전쟁에서 러시아 연방의 통제가 회복되었고, 체첸 정치는 전 이치케리아 무프티인 아흐마트 카디로프와 나중에는 그의 아들 람잔 카디로프가 주도했다.
체첸 공화국
공화국은 17,500 제곱킬로미터 (6,800 제곱마일)의 지역을 포함한다, 인구 150만명 이상 2021 년 기준. 이곳은 나흐족의 일부인 원주민 체첸과 주로 이슬람 신앙의 본거지이다. 그로즈니는 수도이자 가장 큰 도시이다.
체첸 공화국 언어와 주민
거의 대부분이 체첸인이다. 일부는 러시아인, 인구시인과 기타 북코카서스계 민족도 섞여있다. 체첸에서는 체첸인들의 토착 언어인 체첸어와 러시아어가 모두 사용된다. 체첸어는 캅카스 제어 중 북동 캅카스어족으로 불리는 그룹에 속하는데 인근의 인구시인들이 쓰는 인구시어와 밀접한 관계에 있다.
1989년에 행해진 체첸-인구시 자치공화국의 통계에서는 체첸인이 956,879명, 인구시인이 237,438명으로, 269,000명의 러시아인은 인구의 약 23%로 상당한 수의 소수 민족이 있었다. 그 후 서부가 인구시 공화국으로 분리되었기 때문에 인구시인들의 수가 절반 가까이 감소하고, 내전과 사회불안, 민족 대립으로 거의 대부분의 러시아인은 체첸 공화국에서 떠나며 현재 체첸인이 인구 대다수를 차지하게 된 것이다. 1990년대 기준 체첸 공화국에 남아 있던 러시아인은 약 6만 명이었다.
체첸 공화국은 일반적으로 러시아 연방 중에서도 젊은 층이 가장 많은 인구 구성을 가진다. 1990년대에는 몇몇 지방에서 인구증가가 있었다.
체첸 공화국 종교
16세기에서 19세기를 기점으로 다게스탄 지역을 통해 이슬람교가 전해져, 체첸인들은 절대다수가 수니파 이슬람교를 믿는데 러시아 정교회 신자도 소수 존재한다.
체첸 공화국 역사
크게 체첸인과 인구시인으로 구분되는 바이나흐족은 오래 전부터 캅카스 지역에 거주하던 토착 민족으로, 그 기원에 관해서는 다양한 학설이 있으나 다게스탄의 민족들과 언어가 가깝다는 것 외에 확실히 밝혀진 바가 없다.
중세에 몽골 제국의 침략으로 이들이 속해있던 알라니야 연맹체는 크게 파괴되었으나 일부 부족들은 계속해서 저항하였는데 그 중에 체첸인들이 있었다. 이후 저지대의 일부 부족들은 몽골 제국에 복속하였으나 다른 체첸 부족들은 고지대에서 성과 벽을 쌓고 농성하며 끝까지 침략에 저항하였다. 티무르와 토흐타미시 등 몽골-타타르 세력과의 빈번한 충돌은 15세기까지도 이어졌다. 러시아와의 접촉은 16세기에 시작되었으며 17세기에는 카바르디인과 아바르인의 침략에 대항하였는데 이 시기에 이슬람교로의 대대적인 개종이 이루어졌다.
체첸 공화국 역사
1722년에서 1723년 표트르 1세가 카스피해와 캅카스 지역의 지배권을 확립하기 위해 페르시아와 전쟁을 일으켰고, 이때 캅카스와 다게스탄 지역을 점령하게 되면서 체첸인들과 본격적인 충돌이 시작되었다. 1830년에서 1859년에 이르는 동안, 러시아 제국은 오스만 제국과의 접경지역 안보를 이유로 체첸에 진주했고, 캅카스 전쟁이 일어나 체첸인은 주변 민족들과 함께 이에 맞서싸웠으나 1859년 러시아군에 항복하며 완전히 병합되었다.
체첸 공화국 역사
1917년 러시아의 혼란기에 인근 민족들과 함께 북캅카스 산악공화국을 선포하였으나 1921년 소련에 의해 병합되었고, 이후 체첸인과 인구시인의 자치 정부인 체첸-인구시 자치 소비에트 사회주의 공화국이 수립되었다. 제2차 세계 대전 말기인 1944년 스탈린은 체첸인들이 전쟁 중에 나치군과 협력하여 반란을 꾀했다는 구실을 들어 체첸과 인구셰티야 국민 전체에게 중앙아시아로의 강제이주를 명령했다. 전쟁과 강제이주를 거치며 바이나흐족 인구는 수십만 명이 사망하였다. 스탈린이 사망한지 4년이 지난 1956년에 이르러서야 흐루쇼프의 탈스탈린 정책 하에 이들의 귀환이 허용되었다. 그러나 체첸-인구시 공화국의 영토가 변화하였을 뿐 아니라 이들의 버려진 고향에 러시아인들이 들어와 살면서 민족구성도 상당히 달라졌다.
체첸 공화국 역사
소련 붕괴 이후 체첸인들의 분리주의 운동이 벌어져 조하르 두다예프를 지도자로 하여 이치케리야 체첸 공화국이 수립되었다. 제1차 체첸 전쟁에서 분리주의 반군이 승리하며 사실상 독립을 얻었으나 전쟁의 여파로 치안이 악화되고 심각한 경제난과 난민 문제가 발생하여 사회 혼란이 이어졌으며 여러 군벌 조직이 난립하였다. 대선을 거쳐 아슬란 마스하도프 대통령이 취임하였으나 이러한 내부적 혼란을 잠재우지 못하였다. 1999년 통제를 벗어난 샤밀 바사예프 치하 이슬람주의 군벌이 다게스탄을 침공하고 곧 모스크바 등지에서 일어난 러시아 아파트 폭탄 테러의 사건의 배후로 체첸 세력이 지목되면서 다시 러시아가 체첸을 침공, 제2차 체첸 전쟁이 벌어졌다. 이 때 블라디미르 푸틴 대통령의 강경 대응 명령 하에 러시아군의 엄청난 공세로 체첸 전역은 초토화되었으며, 2000년 그로즈니가 함락되고 반군은 산악 지대로 패퇴하였다.
이치케리야 정부가 무너진 이후에도 반군의 러시아군에 대한 공격과 테러 공격이 계속되었다. 2002년 10월에는 수십 명의 체첸 반군이 모스크바 극장 인질극을 일으켰고, 진압 과정에서 러시아 특수부대가 살포한 독가스 등으로 117명의 민간인이 사망하는 결과를 내었다. 2003년 러시아는 친러 정권을 수립하고 체첸을 안정화시키기 위해 친러파 군벌을 이끌던 아흐마트 카디로프를 정부수반으로 하여 러시아 연방 소속의 체첸 공화국을 수립시켰다.
2004년 9월 분리주의 반군이 북오세티야 베슬란의 한 학교를 점령하고 777명의 아동을 포함한 1100명을 인질로 삼은 채 체첸의 독립 승인과 러시아군 철수를 요구하며 농성을 벌인 베슬란 학교 인질사건이 발생하였다. 이는 3일 동안 이어져 최소 331명의 사망자를 내었으며 그 중 과반수가 어린이였다. 이후 푸틴은 반군에 대한 완전한 소탕을 명령하였고 2005년 아슬란 마스하도프, 2006년 샤밀 바사예프가 암살당하며 점차 반군은 세력이 와해되어 갔다.
2007년부터 아흐마트 카디로프의 아들로서 마찬가지 친러 군벌 출신인 람잔 카디로프가 2대 대통령으로 취임하였다. 카디로프 정부 하의 체첸은 연방으로부터 연 수백억 루블에 달하는 원조금을 받으며 빠른 정치적 안정과 경제 발전을 이루었으나, 한편으로 인권 탄압과 독재정치가 강화되었다.
2009년 러시아 정부는 반테러 작전의 종결을 선포하고 군대를 철수하였다. 이후로도 이슬람 지하드주의 무장단체들에 의한 북캅카스 반란이 발생하였으나 2013년 지도자 도카 우마로프가 사살당하고 2017년 사실상 진압되었다.
맥스웰 방정식
맥스웰 방정식(-方程式, Maxwell's equations)은 전기와 자기의 발생, 전기장과 자기장, 전하 밀도와 전류 밀도의 형성을 나타내는 4개의 편미분 방정식이다. 맥스웰 방정식은 빛 역시 전자기파의 하나임을 보여준다. 각각의 방정식은 가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙으로 불린다. 각각의 방정식을 제임스 클러크 맥스웰이 종합한 이후 맥스웰 방정식으로 불리게 되었다.
전자기역학은 맥스웰 방정식과 로런츠 힘 법칙으로 요약된다. 로랜츠 힘은 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있다.
맥스웰 방정식 개요
맥스웰의 방정식은 네 개의 법칙을 모아 종합하여 구성한 것이다. 맥스웰의 방정식은 빛과 같은 전자기파의 특성을 설명한다. 각 방정식의 수학적 표현은 공식 부분에서 다루기로 하고 우선은 방정식의 의미를 살펴보면 다음과 같다.
가우스 법칙 : 가우스 법칙은 전하에 의해 발생된 전기장의 크기를 설명한다. 따라서 가우스 법칙은 본질적으로 쿨롱 법칙과 같은 의미를 지닌다. 다만, 쿨롱 법칙이 공간에 놓인 두 점전하 사이에서 발생하는 힘을 설명하는데 반해 가우스 법칙은 하나의 전하로부터 발생하는 전기장의 세기가 거리에 따라 반감되는 이유를 설명한다. 실제 회로 이론이나 전자공학에서는 계산이 편리하고 직관적으로 이해 하기 쉬운 가우스 법칙을 일반적으로 사용한다.
가우스 자기 법칙 : 가우스 자기 법칙에 따르면, 폐곡면의 총 자기 선속은 0이다. 즉, 전기와 달리 자기는 홀극이 없고, N극과 S극이 언제나 함께 존재한다. 이러한 자기의 성질 때문에 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같고, 따라서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 같은 크기의 힘의 합계는 언제나 0이다.
맥스웰 방정식 개요
앙페르-맥스웰 회로 법칙 : 앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선에 따라 자기장이 발생한다는 것이다. 맥스웰은 앙페르 회로 법칙을 확장하여 전기장의 강도가 변화하면 자기장이 발생하는 것으로 파악하였고, 축전기를 이용한 실험을 통해 이를 입증하였다. 즉, 축전기 자체는 전류를 이동시키지 못하지만 전계의 변화를 전달한다. 맥스웰은 축전기에서 전계가 변화할 때 자기장이 발생하는 것을 측정하였고 이로써 전선뿐만 아니라 전계의 강도가 변화하는 모든 곳에서 자기장이 발생함을 증명하였다. 전류 변화로 자기장이 발생하는 것을 이용한 도구로는 전자석, 전동기와 같은 것이 있다.
맥스웰 방정식 역사
맥스웰의 방정식에 나타난 각 식은 오랜 시간에 걸쳐 연구된 전기와 자기의 특성을 종합한 것이다. 인류는 고대 시대부터 이미 정전기에 의한 인력과 방전 현상을 알고 있었고 자석의 특징을 이용한 나침반을 만들어 사용해 왔다. 근대에 이르러 전기와 자기에 대한 많은 연구가 진행되었으며 그 결과 쿨롱 법칙, 패러데이 전자기 유도 법칙, 앙페르 회로 법칙과 같은 법칙들이 발견되었다. 맥스웰은 이러한 기존의 연구 성과를 종합하여 전기와 자기가 하나의 상호작용, 즉 전자기력에 의한 것임을 증명하면서 빛역시 전자기파라는 것을 밝혔고, 전자기 복사의 발견을 예언하였다.
앞서 밝힌 바와 같이 두 전하 사이에 인력과 척력이 작용한다는 것은 고대 이후 잘 알려진 사실이었다. 그러나 이렇게 두 전하 사이에 작용하는 힘의 관계와 크기는 측정하기 매우 어려웠는데, 그 까닭은 작용하는 힘의 크기가 매우 작기 때문이었다. 1784년 샤를 드 쿨롱은 비틀림 저울을 이용한 실험장치를 고안하여 대전된 두 전하 사이에 작용하는 힘의 크기를 측정할 수 있었다.
맥스웰 방정식 역사
샤를 드 쿨롱은 금속공과 비틀림 저울을 이용하여 두 점전하 사이에 작용하는 힘을 측정하고, 두 전하 사이에서 작용하는 힘은 두전하 크기의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다는 쿨롱 법칙을 발견하였다.
쿨롱 법칙을 식으로 나타내면 다음과 같다.
F=힘, Ke=쿨롱 상수, q_1 ·  q_2=전하의 크기, r=두 전하 사이의 거리
N m2 C−2
한편, 쿨롱 힘은 전하 사이의 작용뿐만 아니라 자계에도 적용될 수 있다. 두 자극의 세기를 각각 mA, mB라 할 때, 이 두 자극 사이에 작용하는 힘은 다음과 같이 정리된다.
F=힘, m_A ·  m_B=자극의 세기, r=두 전하 사이의 거리
자극의 세기 단위는 웨버(Wb)로 쿨롱은 세기가 같은 두 개의 자극을 1m 떨어뜨려 놓았을 때 작용하는 힘의 세기가 인 경우를 1Wb로 정의했다. 따라서 상수 k의 값은 다음과 같다.
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자극 사이에 작용하는 힘의 크기는 전하 사이에 작용하는 힘의 크기와 같은 방식으로 계산할 수 있으나 둘 사이에는 분명한 차이가 있다. 즉, 전하는 양전하이든 음전하이든 단독으로 존재할 수 있는 데 반해 자극은 홀극으로 존재할 수 없고, N극과 S극이 언제나 쌍으로 존재하여야 한다는 것이다.
맥스웰 방정식 역사
제임스 클러크 맥스웰은 각각 독립적으로 다루어져 오던 전기와 자기의 법칙들을 종합하여 맥스웰 방정식을 수립하였다. 맥스웰은 마이클 패러데이의 "역선"(力線) 개념과 앙드레마리 앙페르의 회로 이론을 근간으로 방정식을 정리하였다.
1861년 맥스웰은 논문 《물리적인 역선에 대해》를 발표하여 모두 4개의 방정식으로 구성된 맥스웰 방정식을 소개하였다. 이 방정식은 1865년 발표된 논문 《전자기장의 역학 이론》과 1873년 출간된 《전기와 자기에 관한 논문집》제2권의 9장에서 다시 소개되었다.
물리학자 리처드 파인먼은 "이 방정식에 비하면 남북전쟁조차 큰 의미없는 지엽적인 사건이라고 할 수 있다"라고 맥스웰 방정식의 중요성을 강조하였다.
1865년 맥스웰 자신에 의해 발표된 맥스웰 방정식의 원래 형태는 8개의 방정식으로 이루어진 것이었다. 그러나, 오늘날에는 1884년 올리버 헤비사이드가 4개의 방정식으로 정리한 형태가 일반적으로 사용된다. 조사이어 윌러드 기브스와 하인리히 루돌프 헤르츠 역시 헤비사이드와 동일한 작업을 한 바 있다. 이 때문에 맥스웰 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식으로 불리기도 한다. 그러나 "맥스웰 방정식"이란 이름이 더 폭넓게 쓰이고 있다.
맥스웰 방정식 역사
1861년 맥스웰은 《물리적인 역선에 대해》에서 앙페르 회로 법칙을 설명하기 위해 방정식들을 열거하였다. 맥스웰은 이 논문에서 앙페르 회로 법칙에 치환 전류를 덧붙였다. 1865년 발표한 《전자기장의 역학 이론》에서는 전자기파 방정식을 기술하면서 빛이 전자기파임을 제시하였다. 맥스웰의 이론은 1887년 하인리히 루돌프 헤르츠의 실험에 의해 증명되었다.
"장"(場)이란 개념은 마이클 패러데이가 도입하였다. 알베르트 아인슈타인은 맥스웰이 장 개념을 도입한 것에 대해 다음과 같이 평가하였다.
맥스웰의 업적은 시공간 법칙의 정확한 형태를 묘사한 것이다. 맥스웰은 전자기장을 두 극에서 퍼져나오는 파동의 형태로 나타내었다. 그리고 이 파동은 빛의 속도로 퍼져나간다! 이러한 것을 실제로 체험할 수 있는 사람은 극히 드물다. …… 맥스웰의 발견을 제대로 이해하는 과학자라면 그의 천재성이 후배 과학자들의 연구에 준 지대한 영향을 강조할 수 밖에 없다.— 《사이언스》, 1940년 5월 24일
맥스웰 방정식 역사
당시 이 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식 또는 멕스웰-헤비사이드 방정식이라고 불렸다. 그러나 아인슈타인은 사이언스에의 기고문에서 이를 "맥스웰 방정식"이라 부르며, 이 방정식들이 이론물리학의 기초라고 설명하였다. 맥스웰은 방정식을 정리하면서 헤비사이드의 전위와 벡터 위치 등 위치 요소를 중요한 개념으로 도입하였다. 1884년 맥스웰은 전자기파의 전달을 중력과 같이 원격에서 상호작용하는 힘이 아닌 전자기장에서 빛의 속도로 전파되는 전위로 파악하였다. 라디오 안테나에 대한 현대의 분석에서도 맥스웰의 백터와 스칼라 위키에 대한 수식만으로 서로 떨어져 있는 안테나 사이에 작용하는 전파의 영향을 모두 설명할 수 있다.
맥스웰 방정식과 관련한 헤비사이드의 업적은 맥스웰이 여러 논문과 책에서 서술한 맥스웰 방정식을 오늘날과 같은 4개의 방정식으로 정리하였다는 것이다.
오늘날 4개의 방정식으로 정리된 맥스웰의 방정식은 1861년 발표된 논문인 《물리적 역선에 대해》에 기반한 것이다. 이 논문에는 전자기장에 대한 다수의 방정식이 실려있다.
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방정식 112번은 멕스웰이 앙페르 회로 법칙을 확장하여 전류와의 거리에 따른 자기력선의 세기를 표현한 것이다. 이 방정식에서 표현된 원격 전류의 개념은 전자기학의 핵심 개념이 되었다. 맥스웰은 1865년 《전자기장의 역학 이론》에서 전자기 파장 방정식을 정립하여 이를 보충하였다. 구스타프 키르히호프는 특히 이 방정식에서 원격 전류의 개념을 제거한 방정식을 수립한 뒤 이를 전신수 방정식이라고 불렀는데, 이 방정식이 전신의 이론적 기반이 되었기 때문이다. 당시에는 전자기 복사가 발견되지 않은 상태였기 때문에 키르히호프는 자신의 방정식이 전선 안에서 일어나는 자기 유도에 국한된다고 생각하였다.
방정식 54번을 올리버 헤비사이드는 "패러데이 법칙"이라 불렀다. 그러나, 패러데이 법칙의 원형이 자기장과 전류의 변화를 모두 반영하는데 비해 54번 방정식은 자기장의 변화에 따른 전류의 변화를 반영하지는 않는다. 맥스웰은 자기장의 변화만을 고려하여 v × B로 표기한 대신, 방정식 77번에서 오늘날 로런츠 힘 법칙으로 알려진 F  = q ( E + v × B ) 을 제시하였다. 맥스웰이 이 방정식을 발표한 때에 헨드릭 로런츠는 아직 어린아이였다.
맥스웰 방정식 역사
1855년 맥스웰은 케임브리지 철학 학회에서 《패러데이의 역선》을 발표하면서 와  벡터의 차이점을 설명하였다. 이 논문은 오늘날에도 패러데이 전자기 유도 법칙에 대한 가장 간결한 모형으로 인정받고 있다. 여기서 맥스웰은 전류에 관한 모든 지식을 미분 방정식으로 나타내었다.
1855년 맥스웰이 제안한 분자 와동의 바다란 개념은 1861년 《물리 역선에 대해》에서 보다 분명하게 소개되었다. 이 논문에서는 자기장이 형성되는 분자 규모의 와동에서 의 밀도에 따라 의 순 와동 운동이 결정된다고 보았다. 맥스웰은 와동의 밀도를 측정하기 위한 값으로 투자율 µ 을 정의하였다. 이 논문에서 밝힌 맥스웰의 개념은 다음과 같다.
이 때 는 전하 밀도이다. 는 축을 이루어 회전하는 자기 전류이고 는 그 주위를 돌게 되는 자기력선의 자기 선속이다. 투자율 µ는 결국 자기장 에 의해 유도되는 자기 선속 의 비가 된다.
맥스웰 방정식 역사
전류 방정식은 전하의 대류 전류가 선형적으로 움직이는 것을 보여준다. 한편, 자기 방정식은 유도 전류의 회전에 의해 발생하는 자기를 나타내는 것으로  벡터의 방향성으로 인해 비선형 방정식이 된다. 따라서 자기 유도 전류는 역선으로 표현된다. 자기력선은 역제곱 법칙에 의해 전류에서 멀어질수록 약해지게 된다.
1864년 맥스웰은 《전자기장의 역학이론》을 출간하였다. 맥스웰은 이 책에서 빛이 전자기파임을 제시하였다. 이 책에서 맥스웰은 8개의 방정식을 전자기장에 대한 일반적인 방정식으로 제시하였다. 이 때문에 훗날 "맥스웰 방정식"이라는 표현이 오늘날의 4개의 방정식을 가리키는 것인지 1864년 제시된 8개의 방정식을 가리키는 것인지를 혼동하기도 한다. 따라서 오늘날의 4개로 구성된 방정식을 분명히 하기 위해 헤비사이드가 정리한 맥스웰 방정식(맥스웰-헤비사이드 방정식)이라는 표현이 사용된다.
현대 벡터 표기를 사용하여 정리한 멕스웰의 8개 방정식은 다음과 같다.
(A) 총 전류의 법칙
(B) 자기장 방정식 (벡터 퍼텐셜의 정의)
(C) 앙페르 회로 법칙
(D) 대류 전하, 유도 전류 및 정전기에 의해 생성된 기전력 (로런츠 힘)
(E) 전기 탄성 방정식
맥스웰 방정식 역사
(F) 옴의 법칙
(G) 가우스 법칙
(H) 연속 방정식 (전하 보존 법칙)
또는
주
는 맥스웰이 자기 강도라고 표현한 자기장이다.
는 전류 밀도로 원격 전류가 갖는 총 전류를 뜻한다.
는 맥스웰이 원격 전류라고 표현한 전기 변위장이다.
는 자유 전하 밀도로 맥스웰은 이를 자유 전하의 양이라고 표현하였다.
는 자기 퍼텐셜로 맥스웰은 이를 각 임펄스로 표현하였다.
는 맥스웰이 기전력이라고 표현한 것으로 오늘날 볼트를 단위로 사용하는 기전력과 달리 전기장을 의미한다.
는 도전율이다. (그 역수는 비저항인데, 오늘날 영어명은 "resistivity"이고, 맥스웰은 이를 "specific resistance"라 불렀다.)
이 책에서 표현된 방정식 D는 로런츠 힘의 효과를 나타낸 것으로 1861년 논문의 방정식 77번을 보다 간략하게 표현한 것이다. 또한, 맥스웰은 1865년 논문에서 전자기파 방정식을 정의하였는데 이 책의 방정식 D를 전자기 유도를 설명하기 위해 사용하였다. 오늘날에는 방정식 D 대신 패러데이 전자기 유도 법칙이 쓰인다. 맥스웰은 전자기파 방정식을 연구하는 과정에서 방정식 D의 를 버렸다.
1873년 맥스웰이 출간한 《전기와 자기에 관한 논문집》에서 방정식은 두 개의 묶음으로 나뉘었다.
첫 번째 묶음
두 번째 묶음
맥스웰 방정식 수식
다음은 국제단위계를 사용하여 수식으로 표현한 맥스웰 방정식이다.
발산정리와 스토크스의 정리를 이용하면 미분형과 적분형 방정식이 같음을 알 수 있다.
아래 표는 각 기호의 뜻과 단위를 나타낸다.
는 발산 연산자(단위: 1 / 미터), 는 회전 연산자(단위: 1 / 미터)이다. 두 번째 방정식은 자기 홀극이 없음을 뜻한다. 전기장과 자기장이 대전된 입자에 미치는 힘은 리엑턴스 힘에 따라 국제단위계에서 다음과 같다.
.
여기서 는 입자의 전하량이고 는 입자의 속도다. (CGS 단위계에서는 자기장을 다르게 정의하므로,  대신 를 쓴다.)
맥스웰 방정식 CGS 단위계
위의 수식은 국제단위계로 표현되었지만, 다른 단위계에서도 맥스웰 방정식은 변하지 않거나, 약간의 상수 변화만이 있을 뿐이다. 물리학과 공학에서 일반적으로 가장 널리 쓰이는 국제단위계 이외에도 특수한 경우 CGS 단위계가 쓰인다.
초월수
초월수(超越數, 영어: transcendental number)는 수학에서 대수학적이지 않은 수, 즉 유리수 계수를 가지는 0이 아닌 유한 차수 다항 방정식의 해가 될 수 없는 수를 의미한다. 가장 잘 알려진 초월수는 π(원주율)과 e(자연로그의 밑)이다.
현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다. 이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다. 그러나 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수적 수들이 가산 집합을 구성하는 반면 실수의 집합, 복소수의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 또한 모든 유리수가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 무리수이다. 그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다. 예를 들어 제곱근 2는 무리수이지만 다항식 x2 − 2 = 0의 근인 만큼 초월수는 아니다. 황금비( 또는 로 표시됨)은 다항식 x2 − x − 1 = 0의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다.
초월수 역사
"초월적"이라는 이름은 라틴어로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 sin x가 x의 대수함수가 아니라는 것을 증명했다. 레온하르트 오일러는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다.
요한 람베르트는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 e(자연로그의 밑)와 π(원주율) 둘 다 초월수라고 추측했고 무리수인 π의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다.
조제프 리우빌은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고 1851년에 리우빌 수와 같은 초월수의 사례를 제시했다.
초월수 역사
n이 k! (k 계승)인 경우에는 소수점 뒤의 n번째 자리가 1이고 그렇지 않은 경우에는 0이다. 즉 n이 숫자 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24등일 경우에만 이 숫자의 n번째 자릿수가 1이다. 조제프 리우빌은 이 숫자가 특정한 무리수인 대수적 수보다 유리수에 의해 보다 가깝게 근사할 수 있는 초월수의 종류에 속한다는 것을 보여주었고 이 종류의 숫자는 그의 이름을 따서 리우빌 수라고 불린다. 리우빌은 모든 리우빌 수가 초월수라는 것을 증명했다.
위의 예인 리우빌 수는 초월수의 존재를 증명하기 위한 목적으로 특별히 구성되었는데, 그렇게 구성되지 않고 자연스럽게 등장하는 수학 상수 중 가장 먼저 초월성이 증명된 것은 1873년의 샤를 에르미트가 증명한 e이다.
1874년에는 게오르크 칸토어가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다. 비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월수들이 있다는 것을 증명하는 구성을 발표했다. 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다.
초월수 역사
1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 π의 초월성에 대한 최초의 증명을 담은 책을 출판했다. 그는 먼저 a가 0이 아닌 대수적 수일 경우 ea가 초월수라는 것을 증명했다. 그렇다면 eiπ = −1은 대수적이므로(오일러의 항등식 참조), iπ는 초월수이어야 한다. 그러나 i가 대수적 수이기 때문에 π는 초월수이어야 한다. 이러한 접근 방식은 카를 바이어슈트라스에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. π의 초월은 원적 문제와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 컴퍼스와 자 작도를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.
1900년에는 다비트 힐베르트가 힐베르트 문제 중 7번 문제를 통해 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다.
"a가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 b가 무리수인 대수적 수라면 반드시 ab은 초월수인가?"
이에 대한 해답은 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리를 통해 제공되었다. 이 연구는 1960년대에 앨런 베이커가 진행한 (대수적 수를 밑으로 하는) 로그에서 선형 형식의 하한에 대한 연구를 통해 다변수의 형태로 확장되었다.
초월수 특성
초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 유리 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다. 그러나 칸토어는 대각선 논법을 통해 실수가 (그리고 복소수 또한) 셀 수 없다는 것을 증명했다. 그리고 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다.
어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 초월실수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실초월수와 대수적 수의 부분집합을 포함한다.
상수가 아닌 일변수 대수적 함수에 초월수를 대입하면 초월수를 얻는다. 예를 들어 π가 초월적이라는 것부터 5π, ⁠π-3/√2⁠, (√π-√3)8, 4√π5+7과 같은 숫자들이 초월수임을 알 수 있다.
초월수 특성
그러나 다변수 대수적 함수는 초월수를 대입했을 때 대수적 수를 값으로 가질 수도 있다. 예를 들어 π와 (1 − π)는 둘 다 초월적이지만 π + (1 − π) = 1은 그렇지 않다. 예를 들어 e + π가 초월적인지는 알 수 없지만, e + π와 eπ 가운데 적어도 하나는 초월수인 것이 알려져 있다. 더 일반적으로 어떤 두 초월수 a와 b에 대해, 적어도 a + b와 ab 가운데 하나는 초월수여야 한다. 그 이유는 다항식 (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab을 고려해보면 알 수 있다. 만약 (a + b)와 ab가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 대수적으로 닫힌 체를 형성하기 때문에 다항식의 근인 a와 b가 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이것은 가정과 모순이다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월수라는 것을 알 수 있다.
초월수 특성
계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다. 모든 리우빌 수는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 무한 연분수 전개에서 부분적인 몫의 상계가 없어야 한다. 대각선 논법을 사용하면 무한 연분수 전개시 부분적인 몫의 상계가 있는 (따라서 리우빌 수도 아니다.) 초월수가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.
e의 명시적인 무한 연분수 전개를 사용하여 e가 리우빌 수가 아니라는 것을 보일 수 있다. (비록 연분수 전개의 부분적인 몫은 상계가 없지만). 쿠르트 말러는 1953년에 π 또한 리우빌 수가 아니라는 것을 증명했다. 상계를 갖는 "간단"한 구조의 모든 비주기 무한 연분수는 초월적이라고 추측된다.(주기적인 연분수와 2차 무리수는 동치이다.)
초월수 초월수로 입증된 수
초월수로 입증된 수:
또한 10을 대수적 수 b > 1로 대체해도 유지된다.
여기서 는 바닥 함수이다.
초월수 초월수일 가능성이 있는 수
초월수 또는 대수적 수로 아직 입증되지 않은 수:
음계
음악 이론에서 음계(音階, Scale)는 일반적으로 음높이 또는 기본 주파수의 순서대로, "하나의 음표와 그 옥타브 사이의 진행을 이루는 연속적인 음표들의 연속"이다.
"스케일(scale)"이라는 단어는 문자 그대로 "사다리"를 의미하는 라틴어 scala에서 유래한다. 따라서 모든 음계는 "단계적인 패턴" 또는 음정이 서로 어떻게 상호 작용하는지에 따라 구별된다.
특히 공통 관습 시대의 맥락에서, 악곡의 대부분 또는 전체 선율과 화음은 단일 음계의 음들을 사용하여 구성되며, 이는 표준 조표가 있는 오선보에 편리하게 표현될 수 있다.
옥타브 등가 원리에 따라, 음계는 일반적으로 하나의 옥타브를 가로지르는 여러 음으로 간주되며 더 높거나 낮은 옥타브는 단순히 같은 패턴을 음높이만 다른 채로 반복한다. 음계는 옥타브 공간을 특정 수의 음도로 나누는 것을 나타낸다. 여기서 음도는 음계의 연속적인 두 음표 사이의 인식 가능한 거리(또는 음정)이다. 그러나 어떤 음계 내에서 음도가 같을 필요는 없으며, 특히 미분음 음악에서 입증되었듯이 주어진 음정 내에 삽입할 수 있는 음표 수에는 제한이 없다.
음계
각 음도의 폭을 측정하여 음계를 분류할 수 있다. 예를 들어, 반음계에서는 각 음도가 반음 음정을 나타내지만, 장음계는 W-W-H-W-W-W-H의 음정 패턴으로 정의된다. 여기서 W는 온음 (두 반음에 걸쳐 있는 음정, 예: C에서 D까지)을 의미하고, H는 반음 (예: C에서 D♭까지)을 의미한다. 음정 패턴에 따라 음계는 오음음계, 온음계, 반음계, 장음계, 단음계 등으로 분류된다.
특정 음계는 그 특성적인 음정 패턴과 첫 번째 음도 (또는 으뜸음)로 알려진 특별한 음표로 정의된다. 음계의 으뜸음은 옥타브의 시작점으로 선택된 음표이며, 따라서 채택된 음정 패턴의 시작점이다. 일반적으로 음계의 이름은 으뜸음과 음정 패턴을 모두 지정한다. 예를 들어, 다장조는 C 으뜸음을 가진 장음계를 나타낸다.
음계 배경
음계는 일반적으로 낮은 음높이에서 높은 음높이 순서로 나열된다. 대부분의 음계는 한 옥타브가 똑같이 반복이된다. 즉, 음표 패턴이 모든 옥타브에서 동일하다 (볼렌-피어스 음계가 그 예외 중 하나이다). 옥타브 반복 음계는 음높이의 단계의 증가(또는 감소) 순서로 정렬된 원형 배열로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 증가하는 다장조 음계는 C–D–E–F–G–A–B–[C]이며, 괄호는 마지막 음표가 첫 번째 음표보다 한 옥타브 높다는 것을 나타낸다. 반대로 감소하는 다장조 음계는 C–B–A–G–F–E–D–[C]이며, 괄호는 음계의 첫 번째 음표보다 한 옥타브 낮다는 것을 나타낸다.
음계의 연속적인 두 음표 사이의 거리를 음도라고 한다.
음계의 음표는 음계의 첫 번째 음도에서부터 단계별로 번호가 매겨진다. 예를 들어, 다장조 음계에서는 첫 번째 음표가 C, 두 번째가 D, 세 번째가 E 등이다. 두 음표는 서로에 대한 관계로도 번호를 매길 수 있다. C와 E는 3도 음정(이 경우 장3도)을 만들고, D와 F도 3도 음정(이 경우 단3도)을 만든다.
음계 배경
하나의 음계는 여러 다른 음높이 수준에서 나타날 수 있다. 예를 들어, 다장조 음계는 C4(가운데 C; 과학적 음높이 표기법 참조)에서 시작하여 C5까지 한 옥타브 상승하거나, C6에서 시작하여 C7까지 한 옥타브 상승할 수 있다.
음계는 포함하는 다양한 음도의 수에 따라 다음과 같이 나눌 수 있다.
또한 양분계와 비양분계(Anhemitonic) 또는 불완전함을 가진 음계 등 여러 구성 음정으로 설명될 수 있다. 많은 음악 이론가는 음계의 구성 음정이 그 음색 또는 조성 특성의 인지적 인식에 큰 역할을 한다는 데 동의한다.
"음계를 구성하는 음표의 수와 음계의 연속적인 음표 사이의 음정의 질은 한 문화권 음악의 특이한 음질을 부여하는 데 도움이 된다." "음높이 거리 또는 음계의 음표들 사이의 음정은 단순히 음표의 수보다 음악의 소리에 대해 더 많은 것을 알려준다."
또한 음계는 회문, 카이랄성, 메시앙의 제한된 전위의 선법처럼 회전 대칭을 가지는 등 다른 종류의 대칭으로도 설명할 수 있다.
음계 배경
음계의 음표는 조합에서 화음의 다른 각 음표와 음정을 형성한다. 5음 음계는 이러한 화성적 음정 중 10개를 가지며, 6음 음계는 15개, 7음 음계는 21개, 8음 음계는 28개를 가진다. 음계는 화음이 아니며, 한 번에 하나 이상의 음표를 들을 수 없을 수도 있지만, 특정 조 음정의 부재, 존재 및 배치는 음계의 소리, 음계 내에서 선율의 자연스러운 움직임, 그리고 음계에서 자연적으로 파생되는 화음 선택에 큰 영향을 미친다.
셋온음을 포함하는 음계는 셋온음계(tritonic)라고 불리지만 (옥타브당 세 음만을 가진 어떤 음계에도 사용되며, 셋온음을 포함하는지 여부와는 관계없이), 셋온음이 없는 음계는 무셋온음계(atritonic)이다. 반음을 포함하는 음계 또는 화음은 헤미토닉이라고 불리며, 반음이 없는 음계는 무반음 음계이다.
음계는 공연 또는 악곡에서 추상화될 수 있다. 또한 종종 선행 작곡적으로 작곡을 안내하거나 제한하는 데 사용된다. 음계에 대한 명시적인 지시는 수세기 동안 작곡 훈련의 일부였다. 클로드 드뷔시의 기쁨의 섬과 같이 하나 이상의 음계가 작곡에 사용될 수 있다. 오른쪽에 있는 첫 번째 음계는 온음 음계이고, 두 번째와 세 번째 음계는 온음계이다. 이 세 가지 음계는 모두 드뷔시 곡의 시작 부분에 사용된다.
음계 서양 음악
서양 고전 음악에서 음계는 일반적으로 7개의 음으로 구성되며 옥타브에서 반복된다. 일반적으로 사용되는 음계(아래 참조)의 음표는 온음과 반음의 온음과 반음 음정으로 분리된다. 화성 단음계는 3개의 반음 단계를 포함한다. 무반음 오음계는 그러한 단계 두 개를 포함하며 반음은 없다.
서양 중세 음악과 르네상스 음악 시대(1100-1600)의 서양 음악은 흰 건반 온음계 C-D-E-F-G-A-B를 사용하는 경향이 있다. 변화표는 드물고 다소 비체계적으로 사용되며, 종종 셋온음을 피하기 위해 사용된다.
공통 관습 시대(1600~1900년)의 음악은 세 가지 유형의 음계를 사용한다.
이 음계는 모든 전위에서 사용된다. 이 시대의 음악은 한 음계에서 다른 음계로 체계적인 변화를 수반하는 전조를 도입한다. 전조는 비교적 관습적인 방식으로 발생한다. 예를 들어, 장조 곡은 일반적으로 "으뜸음" 온음계로 시작하여 위로 5도 위인 "딸림음" 음계로 전조한다.
음계 서양 음악
19세기(어느 정도)에는 더욱, 20세기에는 추가적인 유형의 음계가 탐구되었다.
그 외에도 다양한 음계가 존재하며, 그 중 더 흔한 것들은 다음과 같다.
오음계와 같은 음계는 온음계에 비해 공백이 있는 것으로 간주될 수 있다. 보조 음계는 기본 또는 원래 음계가 아닌 음계이다. 전조 (음악) 및 보조 감화음 음계 문서도 참고하라.
음계 음표 이름
많은 음악에서 음계의 특정 음표는 음계의 중심적이고 가장 안정적인 음표인 으뜸음을 기준으로 선택된다. 서양 조성 음악에서, 간단한 노래나 곡은 일반적으로 으뜸음으로 시작하고 끝난다. 특정 으뜸음의 선택과 관련하여, 음계의 음표는 으뜸음보다 몇 음계 단계 높은지를 기록하는 숫자로 종종 레이블이 지정된다. 예를 들어, 다장조 음계의 음표 (C, D, E, F, G, A, B)는 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}로 레이블이 지정될 수 있으며, 이는 C를 으뜸음으로 선택한 것을 반영한다. 음도라는 표현은 이러한 숫자 레이블을 의미한다. 이러한 레이블링은 "첫 번째" 음표의 선택을 요구한다. 따라서 음도 레이블은 음계 자체에 내재된 것이 아니라 그 선법에 내재된 것이다. 예를 들어, A를 으뜸음으로 선택하면, C장조 음계의 음표를 A=1, B=2, C=3 등으로 붙일 수 있다. 그렇게 하면 우리는 A 단음계라는 새로운 음계를 생성한다. 음표가 다른 나라에서 관습적으로 어떻게 이름 붙여지는지에 대해서는 음표 문서를 참조하라.
음계 음표 이름
칠음음계(7음 음계)의 음계 음정은 으뜸음, 위으뜸음, 가온음, 버금딸림음, 딸림음, 버금가온음, 제 7음이라는 용어를 사용하여 명명할 수도 있다. 만약 제 7음이 으뜸음과 반음 떨어져 있다면, 일반적으로 이끔음이라고 불린다. 그렇지 않으면 이끔음은 올라간 제 7음을 의미한다. 또한 일반적으로 사용되는 것은 (이동 도법) 계명창 명명 규칙으로, 각 음계 음정은 음절로 표시된다. 장음계에서 계명창 음절은 도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도이다.
음계의 음표를 명명할 때, 각 음계 음정에 고유한 문자 이름을 할당하는 것이 관례이다. 예를 들어, 가장조 음계는 A–B–C♯–D–E–F♯–G♯로 쓰는 것이 관례이며, A–B–D♭–D–E–E–G♯로는 쓰지 않는다. 그러나 적어도 영어 명명 체계에서는 7개 이상의 음표를 포함하는 음계에서는 이것이 불가능하다.
음계 음표 이름
또한 음계는 반음계의 12음표 각각을 나타내기 위해 12개의 0 또는 1로 구성된 이진 시스템을 사용하여 식별될 수도 있다. 가장 일반적인 이진 번호 매기기 체계는 낮은 음높이에 더 낮은 숫자 값을 할당한다 (낮은 음높이에 높은 숫자 값을 할당하는 것과 반대로). 따라서 음높이 계급 집합의 단일 음높이 계급 n은 2^n으로 표현된다. 이는 12-TET에서 모든 음높이 계급 집합의 전체 거듭제곱 집합을 0에서 4095까지의 숫자로 매핑한다. 이진 숫자는 오른쪽에서 왼쪽으로 오름차순 음높이로 읽히며, 일부 사람들은 피아노 건반에서처럼 왼쪽에서 오른쪽으로 낮음에서 높음으로 읽는 데 익숙하기 때문에 혼란스러워한다. 이 체계에서 장음계는 101010110101 = 2741이다. 이 이진 표현은 논리 이진 연산자를 사용하여 음정 벡터 및 공통음을 쉽게 계산할 수 있게 한다. 또한 모든 음계는 고유한 번호를 가지므로 모든 가능한 음조 조합에 대한 완벽한 인덱스를 제공한다.
음계는 으뜸음으로부터의 반음으로도 나타낼 수 있다. 예를 들어 0 2 4 5 7 9 11은 다장조 음계(C–D–E–F–G–A–B)와 같은 모든 장음계를 나타내며, 여기서 첫 번째 음도는 명백히 으뜸음으로부터 0반음(따라서 으뜸음과 일치한다), 두 번째 음도는 으뜸음으로부터 2반음, 세 번째 음도는 으뜸음으로부터 4반음 등이다. 다시 말하지만, 이는 음표가 12음 평균율로 조율된 반음계에서 추출된다는 것을 의미한다. 기타와 베이스 기타와 같은 일부 프레티드 현악기에서는 음계가 태블러처로 표기될 수 있는데, 이는 각 음계 음도가 연주되는 프렛 번호와 현을 나타내는 방식이다.