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시공간 역사
또한, 아인슈타인은 1905년에 일반적 질량-에너지 등가을 도입함으로써 전자기 질량(electromagnetic mass)-에너지 관계의 이전 시도들을 대체했으며, 이것은 관성 질량과 중력 질량의 등가를 선언한 1907년에의 등가원리의 후속의 공식화에 수단이 되었는데, 이것은 관성 질량과 중력 질량의 등가를 선언한다. 질량-에너지 등가성을 이용하여, 아인슈타인은, 추가로, 한 물체의 중력적 질량이 그 에너지 함량에 비례한다는 것을 보여주었는데, 이것은 일반 상대성이론을 발전시킨 초기 결과들 중 하나였다. 그는 처음에 시공간에 대해 기하학적으로 생각하지 않았던 것으로 보이지만,:219 일반 상대성이론을 더 발전시키면서 아인슈터인은 시공간 형식주의를 완전히 통합했다.
아인슈타인이 1905년에 출판했을 때, 그의 또 다른 경쟁자인 그의 전 수학 교수인 헤르만 민코프스키도 역시 특수 상대성이론의 기본 요소들의  대부분에 도달했다. 막스 보른은 민코프스키의 학생/협력자가 되기 위해 민코프스키와 함께 했던 회의에 대해 자세히 말했다:
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나는 쾰른에 가서, 민코프스키를 만났고 또한 1908년 9월 2일에 행해진 그의 유명한 강의 '공간과 시간'을 들었다. [...] 그는 나중에 나에게 아인슈타인이 서로 상대적으로 움직이는 관찰자들의 다른 국소 시간들의 동등성이 표명된 그의 논문을 발표했을 때 그것은 그에게 커다란 충격을 받았다고 말했다; 왜냐하면 그는 독립적으로 동일한 결론에 도달했지만 그러나 그는 먼저 그 모든 훌류함 속에서 수학적 구조를 해결하기를 원했기 때문에 그것들을 출판하지 않았기  때문이다. 그는 결코 우선권 주장을 하지 않았으며 또한 항상 아인슈타인에게 그 위대한 발견에 대한 전적인 몫을 주었다.
민코프스키는 마이컬슨의 파괴적 실험 이후 최소한 1905년 여름 이후 전기역학의 상태에 관심을 가졌는데. 이때 민코프스키와 다비드 힐베르트는 로런츠, 푸앵카레 등의 논문들을 연구하기 위해 당대의 저명한 물리학자들이 참석한 한 고급 세미나를 이끌었다. 민코프스키는 아인슈타인의 작업을 로런츠 작업의 연장선으로 생각했으며, 또한 푸앵카레에 의한 가장 직접적인 영향을 받았다.
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1907년 11월 5일(사망하기 1년 조금 전), 민코프스키는 상대성 원리(Das Relativitätsprinzip)라는 제목으로 괴팅겐 수학 학회에 강의에서 시공간의 기하학적 모형을 소개했다. 9월 21일 1908년, 민코프스키는 그의 유명한 강연인 공간과 시간(Raum und Zeit)을 독일 과학자 및 물리학자 협회에서 발표했다. 공간과 시간의 서두는 "이제부터, 공간 단독으로, 그리고 시간 단독으로는 단지 그림자에 불과할 것이며, 또한 이 둘의 어떤 결합만이 독립성을 보존할 것이다"라는 민코프스키의 유명한 언급을 포함한다. 공간과 시간은 시공간 도표(그림 1-4)의 첫 번째 공개 발표를 포함했으며, 또한 불변적 간격의 개념(아래에서 논의됨)을 포함하여, 빛의 속도가 유한하다는 경험적 관찰과 더불어, 특수 상대성이론 전체의 도출 허용한다.
시공간 개념과 로런츠 그룹은  구, 쌍곡기하학 또는 등각 기하학(conformal geometry) 및 19세기에 이미 개발된 특정 유형의 변환 그룹들과 밀접하게 연결되어 있으며, 여기에서는 시공간 간격과 유사한 불변 간격이 사용된다.:41–42; 39–42:22:3.2.3
아인슈타인은, 그로서는, 처음에는 특수 상대성이론에 대한 민코프스키의  기하학적 해석을 불팔요한 박학함(überflüssige Gelehrsamkeit)으로 간주하며 무시하였다. 그렇지만, 1907년에 시작된 일반 상대성이론에 대한 탐구를 완성하기 위해서는, 상대성이론에 대한 민코프스키 시공간이 주는 기하학적 관점이 불가결함이 입증되었고, 그리고 1916년에, 아인슈타인은 일반 상대성이론으로의 전환을 크게 촉진한 민코프스키에게 대한 자신의 빚을 완전히 인정했다.:151–152 일반 상대성이론의 곡선 시공간과 같은 다른 유형들의 시공간이 있기 때문에, 특수 상대성이론의 시공간은 오늘날 민코프스키 시공간으로 알려져 있다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
3차원에서, 두 점들 간의 거리 는
피타고라스 정리를 사용하여 정의될 수 있다:
두 명의 보는 사람들이 서로 다른 좌표계들을 사용하여 두 점들의 x, y 및 z 위치를 측정할 수 있지만, 점들 사이의 거리는 둘 다 동일하며(같은 단위를 사용하여 측정한다고 가정하면). 그 거리는 "불변이다".
특수 상대성이론에서는, 그렇지만, 만일 관찰자 중 한 명이 움직이고 있을 때 두 명의 다른 관찰자가 측정하면, 특수 상대성이론때문에, 두 점 사이의 거리는 더 이상 동일하지 않다. 두 지점이 공에서 뿐만 아니라 시간에서도 분리되어 있다면 상황은 더욱 복잡해진다. 예를 들어, 만일 한 관찰자가 같은 장소에서 두 개의 이벤트가 발생하지만, 다른 시간에 발생하는 것을 본다면, 첫 번째 관찰자와 관련하여 이동하는 사람은 (자신의 관점에서) 두 사건들이 고정되어 있고, 그 사건의 위치가 멀어지거나 가까워지고 있기 때문에, 두 사건들이 다른 장소에서 발생하는 것으로 볼 수 있다. 따라서, 두 사건들 간의 유효한 "거리"를 측정하려면 어떤 다른 측정을 사용되어야만 한다.:48-50,100-102
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
사차원 시공간에서, 거리에 대한 유사물은 간격이다. 시간은 한 네 번째 차원으로 들어오지만, 그것은 공간 차원들과는 다르게 취급된다. 민코프스키 공간은 그래서 4차원과 중요한 사항들에서 다르다. 공간과 시간을 시공간으로 통합하는 근본적인 이유는 공간과 시간이 별도로 불변하지 않기 때문이니, 말하자면, 적절한 조건에서는, 서로 다른 관찰자들은 두 사건 사이의 시간의 길이(시간 팽창으로 인해) 또는 두 사건들 사이의 거리(특수 상대성이론때문에)에 대해서 동의하지 않을 것이다. 그러나 특수 상대성이론은 공간과 시간의 거리를 결합하는 시공간 간격이라고 부르는 한 새로운 불변량을 제공한다. 어떤 두 사건들 사이의 시간과 거리를 측정하는 모든 관찰자들은 결국 동일한 시공간 간격을 계산하게 될 것이다. 한 관찰자가 와 공간적 거리 에 의해 시간적으로 분리된 두 사건을 측정한다고 가정하라. 그러면 공간에서 거리 와 -좌표에서 에 의해서 로 분리된 두 사건 사이의 시공간 간격 은::26-28
혹은 삼차원 공간 차원의 경우에는,
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
상수 인 빛의 속도는 시간 단위(초와 같은)를 공간 단위(미터와 같은)로 변환한다. 간격의 제곱 은 사건가 진행되는 두 개의 분리된 객체들이 있거나 혹은 공간에 있는 단일 객체가 사건들 사이에서 관성적으로 움직이기 때문에 시간적으로 분리되어 있고 공간적으로 분리되어 있는 사건들 A와 B 사이의 분리의 측정값이다. 그 분리 간격은 사건 B와 사건 A를 분리하는 공간 거리를 제곱하고 또한 동일한 시간 간격 에서 광 신호가 이동한 공간 거리의 제곱에서 빼서 도출된다. 만일 사건 분리가 한 광 신호로 인한 것이라면, 이 차이는 사라지고 또한 .
고려된 사건이 서로 극도로 가까울 때, 우리는 쓰기를
다른 한 관성계에서, 말하자면 좌표 로 시공간 간격 는 위과 같은 형식으로 써질 수 있다. 위에. 빛의 속도의 일정성 때문에, 모든 관성계의 빛 사건들은 영 간격인 에 속한다. 인 다른 극소 사건의 경우에는, 임을 증명할 수 있으며, 이는 다시 적분에 의해 로 이어진다.:2 모든 중간 좌표계 사이의 모든 사건 간격의 불변성은 특수 상대성이론의 기본적인 결과들 중 하나이다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
간결성을 위해, 다음 논의의 대부분을 포함하여, 델타들 없이 표현된 간격 표현식을 자주 볼 수 있지만, 일반적으로 는  등을 의미한다는 것이 이해되어야 한다. 우리는 항상 두 사건에 속하는 공간적 또는 시간적 좌표 값들의 차이,'에 대해 관심을 갖고 있으며, 또한 선호되는 원점이 없기 때문에, 단일 좌표 값들은 본질적인 의미를 갖지 않는다.
그 방정식은 와  항들 사이에 마이너스 기호가 있다는 점을 제외하고는 피타고라스 정리와 유사하다. 시공간 간격은 자체가 아니라 수량 이다. 그 이유는 유클리드 기하학의 거리와 달리 민코프스키 시공간의 간격들이 음수일 수 있기 때문이다. 물리학자들은, 음수의 제곱근을 다루기보다, 관습적으로  가 어떤 것의 제곱이 아니라 그 자체로 한 별개의 기호로 간주한다.:217
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
일반적으로 은 어떤 실수의 값을 가정할 수 있다. 만일 이 양수이면, 그 시공간 간격을 시간꼴로서 참조된다. 어떤 무거운 물체가 가로지르는 공간 거리는 같은 시간 간격 동안 빛이 이동한 거리보다 항상 작기 때문에, 실제 간격은 항상 시간성이다. 만일 가 음수이면 시공간 간격을 공간꼴이라고 말하며, 여기서 시공간 간격은 허수이다. 일 때 시공간 간격은 영과 같다. 다시 말해서, 세계선에서 빛의 속도로 움직이는 두 사건 사이의 시공간 간격은 영이다. 이러한 간격을 빛꼴 또는 널이라고 한다. 먼 별에서 우리 눈에 들어오는 광자는 (우리의 관점에서) 통과하는 데 몇 년이 걸렸음에도 불구하고 나이가 들지 않을 것이다.:48-50
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
시공간 다이어그램은 일반적으로 한 단일 공간과 한 단일 시간 좌표만으로 그려진다. 그림 2-1은 동일한 사건에서 발생하고 반대 방향으로 진행하는 두 광자들인 A와 B의 세계선들(즉, 시공간의 경로들)을 나타내는 한 시공간 다이아그램을 나타낸다. 또한, C는 광속보다 느린 물체의 세계선을 도해한다. 수직 시간 좌표는 수평 공간 좌표와 동일한 단위(미터)를 갖도록 에 의해 스케일링된다. 광자들은 빛의 속도로 이동하기 때문에, 그것들의 세계선의 기울기는 ±1이다.:23-25 다시 말해서, 광자가 왼쪽이나 오른쪽으로 이동하는 각 미터는 대략 3.3나노초의 시간를 필요로 한다.
상대성 이론에서 사용되는 두 가지 기호 규칙들이 있다:
그리고
이러한 기호 규칙은 계량 부호수 (+−−−) 및 (−+++)와 연관된다. 한 약간의 변형은 시간 좌표를 처음보다 마지막에 배치하는 것이다. 두 규칙들은 둘 다 연구 분야에서 널리 사용된다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
서로 다른 관성 좌표계들에서 관찰자들이 측정한 시공간 좌표가 서로 어떻게 비교되는지에 대한 통찰력을 얻으려면 한 표준 구성의 프레임로 한 단순화된 설정으로 작업하는 것이 좋다. 조심스럽게, 이것은 도달된 결론들에서 일반성을 잃지 않고 수학의 단순화를 허용한다. 그림 2-2에서는, 두 개의 관성 좌표계들(즉, 기존의 3차원 좌표계들)이 상대적인 움직임으로 표시된다. 프레임 S는 어떤 첫 번째 관찰자 O에 속하고 프레임 S'("S 프라임"으로 발음)는 어떤 두 번째 관찰자 O'에 속한다.
그림 2-3a는 그림 2-2를 한 다른 방향으로 다시 그린다. 그림 2-3b는 관찰자 O의 관점에서 본 시공간 다이어그램을 도해한다. S와 S'는 표준 구성에 있으므로, 프레임 S에서 시간 t = 0, 프레임 S'에서 t′ = 0에서 원점이 일치한다. ct′ 축은 x′ = 0인 프레임 S′계의 사건들을 관통한다. 그러나 x′ = 영이 아닌 점들은 프레임 S의 x 방향으로 속도 v로 이동하므로, ct와 일치하지 않는다. 0이 아닌 다른 시간에 축. 따라서 ct′축은 ct 축에 대해 다음과 같은 각도 θ만큼 기울어진다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
x′축도 x축에 대해 기울어져 있다. 이 기울기의 각도를 결정하기 위해 우리는 한 광 펄스의 세계선의 기울기가 항상 ±1임을 기억한다. 그림 2-3c는 관찰자 O′의 관점에서 본 시공간도를 나타낸다. 사건 P는 x′ = 0, ct′ = -a에서 한 광 펄스의 방출을 나타냉다. 펄스는 광원(사건 Q)에서 거리 a에 위치한 거울에서 반사되고, 또한 x′ = 0, ct′ = a(사건 R)에서 광원으로 돌아간다.
동일한 사건들 P, Q, R은 관찰자 O의 프레임에서 그림 2-3b에 표시된다. 광 경로들은 기울기 = 1 및 -1을 가지므로, △PQR은 45도에서 PQ 및 QR이 모두 x축 및 ct축에 대해 45도인 직각 삼각형을 형성한다. OP = OQ = OR이므로, x′와 x사이의 각도는 θ이여야만 한다.:113-118
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
정지 프레임은 직각으로 만나는 공간 및 시간 축들을 가지고 있는 반면, 움직이는 프레임은 한 예각으로 만나는 축들로 그려잔다. 그 프레임들은 실제로 동일하다. 비대칭은 시공간 좌표가 데카르트 좌표계에 매핑될 수 있는 방법의 불가피한 왜곡들로 인한 것이며, 또한 지구의 극 근처의 육지 덩어리의 상대적 크기(그린란드 및 남극 대륙)가 적도 근처의 육지 덩어리에 비해 매우 과장되어 있는 메르카토르 도법 방식보다 보다 더 이상하다고 여겨서는 안된다.
그림 2-4에서, 사건 O는 시공간 도표의 원점에 있으며, 또한 두 개의 대각선들은 원점 사건에 대해 시공간 간격이 영인 모든 사건을 나타낸다. 이 두 선들은 사건 O의 광추이라고 불리는 것을 형성하는데, 이는 두 번째 공간 차원(그림 2-5)을 추가하면 O에서 정점들을 만나는 두 개의 원뿔들의 모양을 만들기 때문이다. 한 원뿔은 미래(t>0) 로 확장되고, 다른 원뿔은 과거(t<0) 로 확장된다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
한 (이중) 광추는 시공간을 그 정점에 대해서 분리된 영역들로 나눈다. 미래 광추의 내부는 광속으로 공간적 거리를 가로지르는 데 필요한 것보다 더 많은 시간(시간적 거리)만큼 정점에서 분리된 모든 사건들로 구성된다; 이 사건들은 사건 O의 시간꼴 미래를 구성한다. 마찬가지로 시간꼴 과거는 과거 광추의 내부 사건을 포함한다. 그래서 시간꼴 간격 Δct는 Δx보다 커서 시간과 같은 간격들을 양수로 만든다. 광추의 외부 영역은 주어진 시간에 광속으로 건너갈 수 있는 것보다 더 많은 공간만큼 사건 O에서 분리된 사건으로 구성된다. 이러한 사건들은 그림 2-4에서 "다른 곳"으로 표시된 사건 O의 소위 공간꼴 영역으로 구성된다. 광추 자체의 사건은 O에서 빛꼴(또는 널 분리된)이라고 말한다. 시공간 간격의 불변성 때문에, 모든 관찰자들은 주어진 사건에 동일한 광추를 할당할 것이고, 또한 따라서 이러한 시공간의 분할에 동의할 것이다.:220
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
광추는 인과관계의 개념 내에서 필수적인 역할을 한다. 광속보다 빠르지 않은 신호는 O의 위치와 시간에서 D의 위치와 시간으로 이동할 수 있다(그림 2-4). 따라서 사건 O가 사건 D에 한 인과적 영향을 미칠 수 있다. 미래의 광추는 O에 의해 인과적으로 영향을 받을 수 있는 모든 사건들을 포함한다. 마찬가지로, 광속보다 빠르지 않은 신호는 A의 위치와 시간으로부터 O의 위치와 시간으로 이동한다. 과거의 광추에는 O에 인과적 영향을 미칠 수 있는 모든 사건들을 포함한다. 대조적으로, 신호가 빛의 속도보다 빠르게 이동할 수 없다고 가정하면, 사건, 공간꼴 영역(다른 곳)에서 어떤 사건 즉, 예를 들어 B 또는 C는, 사건 O에 영향을 줄 수 없으며, 또는 이러한 신호를 사용하는 사건 O에 의해 영향을 받을 수도 없다. 이 가정 하에서 사건 O와 광추의 공간꼴 영역의 사건 사이의 어떤 인과 관계도 배제된다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
모든 관찰자들은 어떤 주어진 사건에 대해서, 주어진 사건의 미래 광추내의 한 사건이 주어진 사건 후에 발생한다는 데 동의한다. 마찬가지로, 어떤 주어진 사건에 대해서, 주어진 사건의 과거 광추 내의 한 사건은 주어진 사건보다 전에 발생한다. 시간꼴-분리된 사건들에 대해 관찰된 전후 관계는 관찰자의 기준틀, 즉 관찰자가 어떻게 움직여도 상관없다. 공간꼴-분리된 사건의 경우는 상황이 상당히 다르다. 그림 2-4는 v = 0에서 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 그린 것이다. 이 기준 프레임로부터, 사건 C는 사건 O 후에 발생하는 것으로 관찰되고, 또한 사건 B는 사건 O 전에 발생하는 것으로 관찰된다. 다른 기준 프레임에서 이러한 비인과적인 사건들의 순서는 역전될 수 있다. 특히, 만일 한 특정 기준 프레임에서 두 개의 사건이 동시에 발생하는 경우 필연적으로 공간꼴 간격에 의하여 분리되므로 비인과적으로 관련된다는 점을 주목한다. 동시성이 절대적이지 않고, 관찰자의 기준 프레임에 의존한다는 관찰은 동시성의 상대성이라고 불린다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
그림 2-6은 동시성의 상대성 분석에서 시공간의 다이어그램을 사용하는 것을 보여준다. 시공간에서의 사건들은 불변하지만, 좌표계들은 그림 2-3에 대해 위에서 설명한 대로 변환한다. 세 가지 사건들 (A, B, C)는 v = 0으로 움직이는 관찰자의 기준 프레임에서 동시에 발생한다. v = 0.3c로 움직이는 관찰자의 기준계로부터 사건들은 C, B, A 순서로 발생하는 것으로 보인다. v = −0.5c로 움직이는 관찰자의 기준계로부터 사건들은 A, B, C의 순서로 발생하는 것으로 보인다. 흰색 선은 관찰자의 과거에서 현재 시점으로 이동하는 한 동시성의 평면을 나타낸다. 관찰자의 미래, 거기에 있는 사건을 강조 표시한다. 회색 영역은 관찰자의 광추이고, 이것은 불변함을 유지한다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
만일 측정되는 사건들이 관찰자에게 동시적에 발생했다면 한 공간꼴 시공간 간격은  한 관찰자가 측정하려는 것과 동일한 거리를 제공한다. 공간꼴 시공간 간격은 따라서
고유 거리, 즉 실제 거리 = 의 측정값을 제공한다. 마찬가지로, 시간꼴 시공간 간격은 주어진 세계선을 따라 움직이는 한 시계의 누적 똑딱거림에 의해서 표시되는 것과 동일한 시간 측정값을 제공한다. 한 시간꼴 시공간 간격은 따라서 고유 시간 = 의 한 측정값을 제공한다.:220–221
유클리드 공간(공간 차원만 있음)에서 일부 점에서 등거리(유클리드 계량 사용)의 점 집합은 원(2차원) 또는 구(3차원)를 형성한다. (1+1)차원의 민코프스키 시공간(하나의 시간적 차원과 하나의 공간적 차원을 가짐)에서 원점에서 일정한 시공간 간격(민코프스키 계량 사용)에 있는 점은 두 방정식으로 주어진 곡선을 형성한다
이것은 어떤 양의 실수 상수 와 함께 한다. 이 방정식들은x-ct 시공간 도표에서 쌍곡선들의 두 모임들을 설명하는데, 이것들은 불변 쌍곡선들이라 불린다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
그림 2-7a에서, 각 자홍색 쌍곡선들은 원점으로부터 일부의 고정된 공간꼴 분리가 있는 모든 사건들을 연결하고, 반면에 녹색 쌍곡선들은 동일한 시간꼴 분리의 사건들을 연결한다.
x축을 가로지르는 자홍색 쌍곡선은 시간꼴 곡선들이고, 이러한 쌍곡선들은 시공간의 (지속적으로 가속하는) 입자들이 통과할 수 있는 실제 경로들을 나타낸다: 하나의 쌍곡선에 있는 어떤 두 사건들 사이에는 인과관계가 가능한데, 이는 모든 할선들에 대한 기울기-필요한 속도를 나타내는-의 역수가 c보다 작기 때문이다. 반면에, ct축을 가로지르는 녹색 쌍곡선은 이 쌍곡선을 따라 있는 모든 간격이 공간꼴 간격이기 때문에 공간꼴 곡선이다: 이 쌍곡선들 중 하나에 있는 두 점들 사이에는 아무런 인과관계가 가능하지 않다, 왜냐하면 모든 할선들이 c보다 큰 속도들을 나타내기 때문이다.
그림 2-7b는 (1+2)차원적 민코프스키 시공간(1개의 시간적 차원과 2개의 공간적 차원)에서 해당 쌍곡면들의 상황을 반영한다. 원점으로부터 공간꼴 간격들에 의한 변위된 불변 쌍곡선들은 한 장의 쌍곡면을 생성하고, 반면에 원점으로부터 시간꼴 간격만큼 변위된 불변 쌍곡선들은 두 장의 쌍곡면을 생성한다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
원점에 대해 영의 시공간 간격을 형성하는 사건들에 의해 확립된 공간꼴 쌍곡면과 시간꼴 쌍곡면 사이의 (1+2)차원 경계는, 쌍곡면을 광추로 퇴화시켜 구성된다. (1+1)차원에서 쌍곡선들은 그림 2-7a에 표시된 두 개의 회색 45°선들로 퇴화된다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
그림 2-8은 5미터(약 1.67 × 10-8초)의 고유 시간에 원점으로부터 도달할 수 있는 모든 사건들에 대한 불변 쌍곡선을 도해한다. 다른 세계 선들은 다른 속도들로 움직이는 시계들을 나타낸다. 관찰자에 대해 정지해 있는 시계는 수직인 한 세계선을 가지며, 관찰자에 의해 측정된 경과 시간은 고유 시간과 동일하다. 0.3c로 이동하는 한 시계의 경우에는 관찰자에 의해 측정된 경과 시간은 5.24미터(1.75 × 10-8s)이고, 반면에 0.7c로 이동하는 시계의 경우 관찰자에 의해 측정된 경과 시간은 7.00미터(2.34 × 10-8초)이다. 이것은 시간 팽창으로 알려진 현상을 도해한다. 더 빨리 이동하는 시계들은 동일한 양의 고유 시간을 똑딱거리는 데 (그 관찰자 프레임에서) 더 오래 걸리며, 또한 시간 팽창이 없는 경우보다 그 고유 시간 내에서 x축을 따라 더 멀리 이동한다.:220–221 다른 관성 기준계에서 두 관찰자들이 시간 팽창을 측정하는 것은 상호적이다. 만일 관찰자 O가 자신의 프레임에서 관찰자 O'의 시계가 느리게 실행되는 것으로 측정하면, 관찰자 O'도 차례로 관찰자 O의 시계가 느리게 실행되는 것으로 측정할 것이다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
길이 수축(length contraction)은, 시간 팽창과 마찬가지로, 동시성의 상대성이론의 한 표명이다. 길이를 측정하려면 한 사람의 기준계에서 동시에 발생하는 두 사건들 사이의 시공간 간격을 측정해야 한다. 그러나 한 기준계에서 동시적인 사건들은, 일반적으로, 다른 기준계들에서는 동시적이지 않다.
그림 2-9는 x축을 따라 0.5c로 이동하는 1m 막대의 운동을 보여준다. 파란색 밴드의 가장자리는 막대의 두 끝점에 대한 세계선을 나타낸다. 불변 쌍곡선은 1m의 공간 간격으로 원점에서 분리된 사건을 나타다. t′ = 0 일 때 측정된 끝점 O와 B는 S′프레임에서 동시 사건이다. 그러나 S프레임의 관찰자에게 사건 O와 B는 동시적이지 않다. 길이를 측정하기 위해서, S프레임의 관찰자는 그 세계선들을 따라 x 축에 투영된 막대의 끝점을 측정한다. x축에 투영된 막대의 세계 쉬트의 투영은 단축된 길이 OC를 산출한다.:125
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
(도해되지 않은) A를 지나는 수직선을 그려서 x′축 과 교차하면, 관찰자 O의 관점에서 OB가 축소되더라도, 관찰자 O′의 관점에서 OA도 마찬가지로 축소됨을 알 수 있다. 각 관찰자가 상대방들의 시계들이 느리게 움직이는 것으로 측정하는 것과 같은 방식으로, 각 관찰자는 상대방 들의 눈금자들이 수축된 것으로 측정한다.
상호 길이 수축과 관련하여, 그림 2-9는 프라임된 그리고 비프라임된 프레임들은 한 쌍곡선 각도(hyperbolic angle)(유클리드 기하학의 일반 각도와 유사한)에 의해 상호 회전되는 것을 도해한다.  이 회전으로 인해, 비프라임된 x 축에의 한 프라임된 미터-막대의 투영은 축소되며, 반면에 프라임된 x′-축에의 한 비프라임된 미터-막대의 투영도 마찬가지로 축소된다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
상호 시간 팽창과 길이 수축은 초보자를 본질적으로 자기모순적인 개념들로 인식시키는 경향이 있다. 만일 프레임 S의 한 관찰자가 프레임 S'에서 정지한 시계를 자신의 것보다 느리게 가는 것으로 측정하는 반면에, S'가 S에서 속도 v로 움직이면, 상대성 원리는 프레임 S'에서 -v로 움직이는 프레임 S의 한 관찰자도 마찬가지로 프레임 S계의 시계가 그녀의 것보다 느리게 가는 것을 측정한다. 어떻게 두 시계들이 다른 시계보다 들 다 느리게 갈 수 있는지는 "특수 상대성이론을 이해하는 핵심으로 가는" 한 중요한 질문이다.:198
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
이 명백한 모순은 필요한 관련 측정들의 다른 설정들을 올바르게 고려하지 않은 데서 비롯된다. 이러한 설정들은 유일한 명백한 모순에 대한 한 일관된 설명을 허용한다. 그것은 두 개의 동일한 시계들의 추상적인 똑딱거림에 관한 것이 아니라, 한 움직이는 시계의 두 똑딱임의 시간적 거리를 한 프레임에서 측정하는 방법에 관한 것이다. 각각의 프레임에서 움직이는 시계의 똑딱거림 사이의 지속 시간을 상호 관찰함에 있어서, 다른 시계들의 세트들이 관련되어야만 한다. 프레임 S에서 움직이는 시계 W'(S'에서는 정지)의 똑딱거림 지속 시간을 측정하기 위해서는, 공간 거리 d를 가진 S의 두 개의 임의의 고정된 지점들에서 정지한 두 개의 추가 동기화된 시계 W1 및 W2를 사용한다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
두 개의 사건들은 "두 개의 시계가 동시에 한 장소에 있다"는 조건에 의해서 정의할 수 있으니, 즉, 이 때에는 W'가 각 W1 및 W2를 통과한다. 두 사건들 모두에 대해 배치된 시계들의 두 판독값들이 기록된다. W1과 W2의 두 판독값들의 차이는 S에서 두 사건들의 시간적 거리이고 그것들의 공간적 거리는 d이다. W'의 두 판독값의 차이는 S'의 두 사건들의 시간적 거리이다. S'에서는 이러한 사건들이 시간적으로만 분리되어 있으며, S'에서는 같은 장소에서 발생한다. 이 두 사건들에 걸쳐 있는 시공간 간격의 불변성과 S의 영이 아닌 공간 분리로 인해 S'에서의 시간적 거리는 S에서의 시간적 거리보다 작아야 한다. 움직이는 시계 W'의 판독값은 느리게 가는 시계 W'에 속한다.
반대로, 프레임 S'에서 어떤 움직이는 시계 W의 두 사건의 시간적 거리를 판단하려면(S에서는 정지된) S'에서 정지한 두 개의 시계들이 필요하다.
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
이 비교에서 시계 W는 속도 -v로 움직인다. "한 장소에서 동시에 두 개의 시계들"로 정의된 사건들에 대한 네개의 판독값들을 다시 기록하면 두 사건들의 유사한 시간적 거리들이 생성되는데, 이것들은 이제 S'에서 시간적 및 공간적으로 분리되고 또한 시간적으로만 분리되지만 S에 배치된다. 시공간 간격을 불변으로 유지하려면, S'에서의 사건들의 공간적으로 분리 때문에 S에서의 시간적 거리는 S'에서 보다 작아야 한다: 이제 시계 W는 느리게 가는 것으로 관찰된다.
각각 S 또는 S'에 "움직이는 시계 한 개" 및 "정지한 시계 두 개"가 있는 두 가지 판단에 필요한 기록들은 각각 세 개의 시계들이 있는 두 개의 다른 세트들을 포함한다. 측정들과 관련된 다양한 시계 세트들이 있기 때문에, 만일 한 관찰자가 움직이는 시계를 느리게 측정하면, 다른 관찰자는 자신의 시계를 빠르게 측정하도록 하는 그 측정이 상호적으로 "일관성"이 있어야 할 내재적인 필요는 없다.:198-199
시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
그림 2-10은 민코프스키 다이어그램듷과 함께하는 상호 시간 팽창에 대한 이전 논의를 도해한다. 위쪽 그림은 비프라임된 직사각형 축들과 함께 하는 프레임 S와 또한 "v > 0으로 움직이는" 프레임 S'가 오른쪽으로 기울어진 비스듬한 프라임된 축들로부터 보여진 측정값들을 반영한다; 아래쪽 그림은 프라임된 직교 좌표와 함께 하는 "정지 상태"인 프레임 S'와 또한 왼쪽으로 기울어진 비스듬한 비프라임된 축과 함께 하는 "-v < 0으로 움직이는" 프레임 S를 보여준다.
공간 축(x, x′)에 평행하게 그려진 각 선은 동시성의 선을 나타낸다. 이러한 라인의 모든 사건들은 동일한 시간 값(ct, ct′)을 갖는다. 마찬가지로, 시간축(ct, ct′)에 평행하게 그려진 각 선은 동일한 공간 좌표 값들(x, x′)의 선을 나타낸다.
시공간 시공간의 기초 수학
한 기본 목표는 상대 운동에서 관찰자가 수행한 측정을 비교할 수 있도록 하는 것이다. 만일 프레임 S에 사건의 시간 및 공간 좌표를 측정한 관찰자 O가 있다면, 이 사건에 3개의 데카르트 좌표와 동기화된 시계 (x, y, z, t)의 격자에서 측정된 시간을 할당한다(그림 1-1 참조). 다른 프레임 S'의 두 번째 관찰자 O'는 좌표계와 동기화된 시계 격자 (x′, y′, z′, t′)에서 동일한 사건을 측정한다. 관성 프레임에서는 어느 관찰자도 가속되지 않으며 간단한 방정식 세트를 통해 좌표 (x, y, z, t)를 (x′, y′, z′, t′)에 연관시킬 수 있다. 평행한 (x, y, z) 좌표와 정렬되고 t′ = 0일 때 t = 0인 경우를 의미하는 두 좌표계가 표준 구성에 있으면, 좌표 변환은 다음과 같다.
시공간 시공간의 기초 수학
그림 3-1은 뉴턴의 이론에서는, 시간은 보편적이지만, 빛의 속도는 그렇지 않다는 것을 보여준다.:36-37 다음과 같은 사고 실험을 고려하라: 빨간색 화살표는 플랫폼을 기준으로 0.4c로 이동하는 열차를 나타낸다. 열차 안에서 승객이 열차의 계 안에서 0.4c의 속도로 총알을 쏜다. 파란색 화살표는 기차 선로에 서 있는 사람이 0.8c로 이동하는 것으로 탄환을 측정한다는 것을 보여준다. 이것은 우리의 순진한 기대와 일치한다.
보다 일반적으로, 프레임 S'가 프레임 S에 대해 속도 v로 움직이고 있다고 가정하면, 프레임 S' 내에서 관찰자 O'는 속도 u′로 움직이는 물체를 측정한다. x = ut, x′ = x − vt, t = t′이므로 프레임 S에 대한 속도 u는 다음과 같이 쓸 수 있다. x′ = ut − vt = (u − v)t = (u − v)t′. 이것은 u′ = x′/t′로 이어지며 궁극적으로
또는
이것은 상식적인 속도들의 덧셈에 대한 갈릴레이 법칙이다.
속도들의 구성은 상대론적 시공간에서 상당히 다르다. 방정식의 복잡성을 조금 줄이기 위해 빛에 대한 물체의 속도 비율에 대한 다음의 일반적 축약법을 도입하여,
시공간 시공간의 기초 수학
그림 3-2a는 v/c = β = s/a로 주어진 어떤 속도로 전진하는 한 빨간색 기차를 보여준다. 기차의 프라임된 프레임에서 한 승객은 u′/c = β′ = n/m로 주어진 어떤 속도로 총알을 쏘는데. 여기서 그 거리는 검은색 x축에 평행하지 않고 빨간색 x′축에 평행한 한 선을 따라 측정된다. 파란색 화살표로 표시된 플랫폼에 대한 총알의 합성 속도 u는 얼마일까? 그림 3-2b 참조하면:
위에 제시된 속도들의 덧셈을 위한 상대론적 공식은 몇 가지 중요한 특징들을 보여준다:
시간 팽창과 길이 수축에 대한 정량적 표현을 얻는 것은 간단하다. 그림 3-3은 두개의 이전 애니메이션들에서 가져온 개별적 프레임들을 포함하는 한 합성 이미지이며, 이 섹션의 목적을 위해 단순화되고 레이블이 다시 지정되었다.
방정식들의 복잡성을 약간 줄이기 위해서, ct에 대한 다양한 축약 표기법이 있다.
그리고 는 일반적이다.
또한 관례 의 매우 자주 사용됨을 본다.
시공간 시공간의 기초 수학
그림 3-3a에서 선분들 'OA'와 'OK'는 동일한 시공간 간격들을 나타낸다. 시간 팽창은 OB/OK 비율로써 표시된다. 불변 쌍곡선의 방정식은 w = √x2 + k2를 가지며 여기서 k = OK 이고, 움직이는 입자의 세계선을 나타내는 빨간색 선은 방정식 w = x/β = xc/v를 가진다. 약간의 대수적 조작은 을 산출한다.
제곱근 기호를 포함하는 표현은 상대성 이론에서 매우 자주 등장하며, 또한 그 표현 위에 하나를 로런츠 인자라고 불리며 그리스 문자 감마 로 표시된다:
만일 v가 c보다 크거나 같으면, 에 대한 표현은 물리적으로 의미가 없어졔서, c가 자연에서 가능한 최대 속도임을 의미한다. 영보다 큰 모든 v의 경우, 로런츠 인자는 1보다 크지만, 곡선의 모양은 저속에서는 로런츠 인자가 1에 극도로 가깝다.
시공간 시공간의 기초 수학
그림 3-3b에서 선분 'OA'와 'OK'는 동일한 시공간을 나타낸다. 길이 수축은 OB/OK 비율로 표시된다. 불변 쌍곡선은 방정식 x = √w2 + k2를 갖으며, 여기서 k = OK, 그리고 움직이는 막대 끝점의 세계선을 나타내는 파란색 띠의 가장자리는 기울기 1/β = c/v를 갖는다. 사건 A는 좌표 (x, w) = (γk, γβk)를 갖즌다. A와 B를 지나는 접선은 방정식 w = (x − OB)/β를 가지므로, 우리는 γβk = (γk − OB)/β 및 다음을 갖는다.
갈릴레이 변환들과 그에 따른 속도들의 덧셈의 상식적인 법칙은 비행기, 자동차 및 공으로 구성된 일반적인 저속 세계에서 잘 작동한다. 그러나 1800년대 중반부터, 민감한 과학 기기가 일반적인 속도 법칙과 맞지 않는 이상 현상들을 발견하기 시작했다.
로런츠 변환들은 특수 상대성이론에서 사건의 좌표를 한 계에서 다른 계으로 변환하는 데 사용된다.
로런츠 인자는 로런츠 변환에 나타난다.
역 로런츠 변환은:
v ≪ c이고 그리고 x가 충분히 작을 때, v2/c2와 vx/c2 항이 영에  접근하고, 그러면 로런츠 변환들은 갈릴레이 변환들에 근사치이다.
시공간 시공간의 기초 수학
등은 대부분 종종 실제로는   등을 의미한다. 로런츠 변환은 간결함을 위해 델타들 없이 작성되지만, x는 Δx 등을 의미한다. 우리는, 일반적으로, 항상 사건 간의 공간과 시간 '차이'에 관심을 갖는다.
한 집합의 변환들을 일반 로런츠 변환들이라고 부르고 다른 하나는 역변환들이라고 부르는 것은 프레임들 간에 본질적인 차이가 없기 때문에 오해의 소지가 있다. 다른 저자들은 하나 또는 다른 변환들의 세트를 "역" 집합라고 부른다. S 프레임은 S'에 대해서만 앞으로 또는 뒤로 이동할 수 있기 때문에 순방향 및 역변환은 서로 자명한 관련이 있다. 따라서 방정식들을 뒤집는 것은 단순히 프라임된 변수들과 비프라임돤 변수들을 전환하고 v를 -v로 바꾸는 것을 수반한다.:71–79.
시공간 시공간의 기초 수학
예: 테렌스와 스텔라는 한 지구에서-화성까지 우주 경주를 하고 있다. 테렌스는 그 출발선에 있는 한 심판원이고 스텔라는 한 참가자이다. t = t′ = 0 시간에 스텔라의 우주선은 순간적으로 0.5 c의 속도로 가속된다. 지구에서 화성까지의 거리는 300광초(약 90.0×106 km)이다. 테렌스는 t = 600.00 s에 결승선 시계를 통과하는 스텔라를 관찰한다. 그러나 스텔라는 우주선 크로노미터(정밀 시계)의 시간이 임을 관찰한다. 그녀가 결승선을 통과할 때 출발선과 결승선 사이의 거리를, 자신의 프레임에서 측정했을 때, 259.81광초(약 77.9×106 km)로 계산한다.
시공간 시공간의 기초 수학
1905년 아인슈타인의 독창적인 작업 이후로 수십 가지의 로런츠 변환의 유도(derivations of the Lorentz transformations)들이 있었으며, 각각은 특정한 초점을 가지고 있다. 아인슈타인의 유도는 빛의 속도의 불변성을 기반으로 했지만, 출발점으로 작용할 수 있는 다른 물리적 원리들이 있다. 궁극적으로, 이러한 대안적 출발점들은 밑에 있는 국소성의 원리의 다른 표현으로 간주될 수 있으며, 이것은 하나의 입자가 다른 입자에 미치는 영향이 순간적으로 전달될 수 없다는 것을 진술한다.
여기에 제공되고 또한 그림 3-5에 설명된 유도는 바이스Bais가 제시한 것을 기반으로 하며:64–66 또한 속도들의 상대론적 구성, 시간 팽창 및 길이 수축 섹션들로부터의 이전 결과들을 사용한다. 사건 P는 검은색 "정지 시스템"의 좌표 (w, x)와 속도 매개변수 β = v/c로 움직이는 빨간색 프레임의 좌표 (w′, x′)를 가진디. w′ 및 x′를 w 및 x(또는 그 반대로)로 결정하려면 먼저 '역' 로런츠 변환을 유도한는 것ㄹ이 더 쉽다..
시공간 시공간의 기초 수학
가로 방향으로는 길이 확장/수축이 있을 수 없으며, y′는 y와 같아야 하고 또한 z′는 z와 같아야 한다. 그렇지 않으면 빠르게 움직이는 1m 공이 1m 원형 구멍을 통과할 수 있는지는 관찰자에 따라 다르다. 상대성 이론의 첫 번째 가정은 모든 관성 프레임들은 동일하며 가로 확장/수축은 이 법칙을 위반한다는 것이다.:27–28
위의 방정식은 역 로런츠 변환의 t와 x 방정식들에 대한 대안적 표현들이며, w를 ct, w′를 ct′, β를 v/c로 대입함으로써 알 수 있다. 역 변환으로부터, t′와 x′에 대해 풀면 순방향 변환 방정식들이 유도될 수 있다.
시공간 시공간의 기초 수학
로런츠 변환에는 선형성이라는 수학적 속성이 있는데, 이는 x′와 t′는 x와 t의 선형 결합으로 얻어지며, 더 높은 거듭제곱이 포함되지 않기 때문이다. 변환의 선형성은 유도에서 암묵적으로 가정된 시공간의 기본 속성, 즉 관성 기준 프레임의 속성이 위치 및 시간에 독립적이라는 것을 반영한다. 중력이 없으면, 시공간은 어디에서나 동일하게 보인다.:67 모든 관성 관찰자는 가속 운동과 비가속 운동을 구성하는 것에 동의할 것이다.:72–73 한 관찰자는 자신의 공간 및 공간 측정을 사용할 수 있지만, 그러나 절대적인 것은 아무것도 없다. 다른 관찰자의 규약도 마찬가지이다.:190
선형성의 결과는 만일 두 개의 로런츠 변환이 순차적으로 적용되면, 그 결과도 한 로런츠 변환이 된다는 것이다.
시공간 시공간의 기초 수학
예: 테렌스는 0.500c에서 스텔라가 자신에게서 멀어지는 것을 관찰하고, 또한 β = 0.500인 로런츠 변환을 사용하여 스텔라의 측정을 자신의 측정과 관련시킬 수 있다. 그녀의 프레임에서, 스텔라는 0.250c에서 그녀에게서 멀어지는 우르슬라를 관찰하고 β = 0.250인 로런츠 변환을 사용하여 우르술라의 측정값을 자신의 측정값과 연결할 수 있다. 변환들의 선형성과 속도들의 상대론적 구성 때문에 테렌스는 β = 0.666인 로런츠 변환을 사용하여 우르술라의 측정값을 자신의 측정값과 연결할 수 있다.
도플러 효과는 상대적 운동에서 수신기와 소스에 대한 파동의 주파수 또는 파장 변화이다. 간단히는, 여기에서 두 가지 기본 시나리오를 고려한다: (1) 소스 및 수신기의 동작이 이들을 연결하는 선을 정확히 따르고(종방향 도플러 효과), 또한 (2) 동작이 해당 선에 직각이다(횡방향 도플러 효과(transverse Doppler effect)). 우리는 그들이 중간 각도를 따라 움직이는 시나리오는 무시한다.
시공간 시공간의 기초 수학
고전적인 도플러 분석은 음파 또는 물결과 같은 한 매질에서 전파되고 서로를 향해 또는 멀어지는 소스와 수신기 사이에서 전송되는 파동을 다루며, 또한. 이러한 파동의 분석은 소스, 수신기 또는 둘 모두가 매질에 대해 상대적으로 움직이는지 여부에 따라 달라진다. 수신기가 매질에 대해 정지하고 소스가 βs의 속도 매개변수로서 vs의 속도로 수신기에서 직접 멀어지는 시나리오가 주어지면 파장이 증가하고 관찰된 주파수 f는 다음에 의해 주어진다.
반면에, 소스가 고정되어 있고 수신기가 속도 매개변수 βr에 대해 vr의 속도로 소스에서 직접 멀어지는 시나리오가 주어지면 파장은 변경되지 않지만 에 대한 상대적인 파동의 전송 속도는 수신기가 감소하고 관찰된 주파수 f는 다음에 의해 주어진다.
시공간 시공간의 기초 수학
빛은 소리나 물의 잔물결과 달리 매질을 통해 전파되지 않으며, 수신기에서 멀어지는 소스와 소스에서 멀어지는 수신기의 구분이 없다. 그림 3-6은 속도 매개변수 β를 사용하여 수신기에서 소스를 분리하는 상대론적 시공간 다이어그램을 보여준다. 따라서 시간 w에서 소스와 수신기 사이의 간격은 βw이다. 시간 팽창 때문에 . 녹색 광선의 기울기는 -1이므로 . 따라서 상대론적 도플러 효과(relativistic Doppler effect)는:58–59
교차하지 않는 선을 따라 균일한 관성 운동으로 서로 접근하는 소스와 수신기가 서로 가장 가깝게 접근하고 있다고 가정한다. 고전적 분석은 수신기가 도플러 이동을 감지하지 못하는 것으로 예측된다. 분석의 미묘함 때문에 그 기대가 반드시 사실은 아니다. 그럼에도 불구하고, 적절하게 정의되면 횡방향 도플러 이동은 고전적 유사성이 없는 상대론적 효과이다. 미묘함은 다음과 같다.:541–543
횡방향 도플러 이동에 대한 논의에는 일반적으로 두 가지 다른 시나리오들이 검토된다:
시공간 시공간의 기초 수학
시나리오 (a)에서 가장 가까운 접근 지점은 프레임에 독립적이며 시간에 대한 거리의 변화가 없는 순간을 나타내고(즉, dr/dt = 0 여기서 r은 수신기와 소스 사이의 거리) 따라서 종방향 도플러 효과는 없다. 소스는 수신기가 주파수 f′의 빛에 의해 조명되는 것으로 관찰하지만 수신기는 시간-팽창된 시계를 갖는 것으로 관찰한다. 따라서 프레임 S에서, 수신기는 주파수의 청색편이 광에 의해서 조명된다.
시나리오 (b)에서 그림은 광원이 이동했음에도 불구하고 광원이 수신기에 가장 가까웠을 때의 빛에 의해 수신기가 조명되는 것을 보여준다. 소스의 시계는 프레임 S에서 측정된 시간 확장되고 이 지점에서 dr/dt가 0과 같기 때문에 가장 가까운 지점에서 방출되는 소스의 빛은 주파수에 따라 적색편이된다.
시공간 시공간의 기초 수학
시나리오 (c)와 (d)는 간단한 시간 팽창 논의들에 의해서 분석할 수 있다. (c)에서는, 수신기는 광원의 빛이 한 γ의 계수로 청색편이되고, 또한 (d)에서, 그 빛은 적색편이된다. 유일한 겉으로의 복잡성은 궤도를 도는 물체가 가속 운동을 한다는 것이다. 그렇지만, 만일 관성 관찰자가 가속하는 시계를 본다면, 시간 팽창을 계산할 때는 시계의 순간 속도만 중요하다. (그러나 그 반대는 사실이 아니다.):541–543  횡방향 도플러 이동에 대한 대부분의 보고서들은 그 효과를 한 적색편이로 언급하고 또한 시나리오 (b) 또는 (d)의 관점에서 그 효과를 분석한다.
고전 역학에서 입자의 운동 상태는 질량과 속도에 의해 특징지어진다. 입자의 질량과 속도의 곱인 선형 운동량은 속도와 같은 방향을 갖는 벡터 양이다: p  = mv. 이는 '보존된' 양으로, 닫힌계는 외부 힘의 영향을 받지 않으면 전체 선형 운동량이 변경될 수 없음을 의미한다.
시공간 시공간의 기초 수학
상대론적 역학에서는, 운동량 벡터는 4차원으로 확장된다. 운동량 벡터에 추가된 시간 구성요소는 시공간 운동량 벡터가 시공간 위치 벡터 처럼 변환되도록 한다. 시공간 운동량의 속성을 탐구할 때 우리는 그림 3-8a에서 입자가 정지 상태에서 어떻게 보이는지 조사하는 것으로 시작한다. 정지 프레임에서 운동량의 공간적 성분은 영, 즉 p = 0 이지만 시간 성분은 mc와 같다.
우리는 로런츠 변환을 사용함으로써 이동하는 프레임에서 이 벡터의 변환된 구성 요소를 얻거나 또는 우리가  및 임을 알기 때문에 그림에서 직접 읽을 수 있으니, 이는 빨간색 축들이 감마에 의해 재조정되기 때문이다. 그림 3-8b는 이동하는 프레임에 나타나는 상황을 보여준다. 이동하는 프레임의 속도가 c 에 가까워짐에 따라 4-운동량의 공간 및 시간 구성 요소가 무한대로 이동하는 것이 명백하다.:84–87
우리는 사차원 운동량에 대한 표현을 얻기 위해 이 정보를 곧 사용할 것이다.
시공간 시공간의 기초 수학
빛 입자 또는 광자는 일반적으로 광속으로 알려진 상수인 c의 속도로 이동한다. 이 진술은 헌 동어반복이 아니다. 왜냐하면 많은 현대의 상대성 이론 공식은 일정한 광속을 가정으로 시작하지 않기 때문이다. 광자는 따라서  빛꼴 세계선을 따라 전파되며, 또한 적절한 단위들로, 모든 관찰자에게 동일한 공간 및 시간 구성 요소를 갖는다.
전자기학의 맥스웰 방정식의 결과는 빛이 에너지와 운동량을 전달하며, 또한 그 비율은 한 상수라는 것이다: . 를 재배열하면, 광자의 경우, 공간 및 시간 성분들이 동일하므로, E/c는 따라서 시공간 운동량 벡터의 시간 성분과 동일해야 한다.
광자는 빛의 속도로 이동하지만 유한한 운동량과 에너지를 가지고 있다. 그러기 위해서는, γmc의 질량 항은 영이어야 하며, 이는 광자들이 무질량 입자(massless particle)들임을 의미한다. 무한대 곱하기 영은 잘 정의되지 않은 양이지만, 그러나 E/c는 잘 정의되어 있다.
시공간 시공간의 기초 수학
이 분석에 따르면, 만일 정지 프레임에서 광자의 에너지가 E와 같으면, 그것은 한 이동하는 프레임에서 와 같다. 이 결과는 그림 3-9를 확인하거나 로런츠 변환을 적용하여 도출할 수 있으며, 이전에 제공된 도플러 효과 분석과 일치한다.:88
상대론적 운동량 벡터의 다양한 구성 요소들 간의 상호 관계들의 고려는 아인슈타인이 몇 가지 유명한 결론들을 내리도록 이끌었다.
저속 제한에서 β = v/c가 영에 접근하면, γ가 1에 접근하므로, 상대론적 운동량의 공간적 성분 는 운동량에 대한 고전적인 용어인 mv에 접근한다. 이러한 관점에서 볼 때 γm은 m의 상대주의적 일반화로 해석될 수 있다. 아인슈타인은 공식 에 따라 물체의 상대론적 질량(relativistic mass)이 속도에 따라 증가한다고 제안했다.
질량과 에너지 사이의 관계를 보는 또 다른 방법은 저속에서 γmc2 의 급수 전개를 고려하는 것이다:
두 번째 항은 입자의 운동 에너지에 대한 표현일 뿐이다. 질량은 실제로 에너지의 또 다른 형태인 것으로 보인다.:90–92:129–130,180
시공간 시공간의 기초 수학
아인슈타인이 1905년에 도입한 상대론적 질량의 개념인 mrel은 전 세계의 입자 가속기에서(또는 실제로 고속 입자에 의존하는 모든 기기에서 충분히 검증되었지만, 전자현미경, 구식 컬러 텔레비전 세트 등), 그럼에도 불구하고 다른 이론적 발전을 위한 기초 역할을 한 개념이 아니라는 점에서 물리학에서 유익한 개념으로 입증되지 않았다. 예를 들어, 상대론적 질량은 일반 상대성이론에서 아무런 역할도 하지 않는다.
이러한 이유로 대부분의 물리학자들은 교육학적 문제와 마찬가지로 현재 질량과 에너지의 관계를 언급할 때 다른 용어를 선호한다. "상대론적 질량"은 더 이상 사용되지 않는 용어이다. "질량"이라는 용어는 그 자체로 정지 질량 또는 불변 질량을 나타내며, 또한 상대론적 운동량 벡터의 불변 길이와 같다. 공식으로 표현하면,
이 공식은 질량이 없는 입자와 질량이 있는 모든 입자에 적용된다. mrest가 영인 광자의 경우에는, 를 산출한다.:90–92
시공간 기본을 넘어서
이 섹션의 주제들은 이전 섹션의 주제들보다 기술적 난이도가 훨씬 높으며 휘어진 시공간의 입문의 이해에 필수적이지는 않다.
로런츠 변환은 한 기준 프레임의 사건 좌표를 다른 프레임의 좌표와 연결한다. 속도의 상대론적 구성은 두 속도를 더하는 데 사용된다. 후자의 계산을 수행하는 공식은 비선형이므로 해당 갈릴레이 공식보다 더 복잡하다.
이 비선형성은 우리가 선택한 매개변수의 인공물이다.:47–59 우리는 이전에 x–ct 시공간 다이어그램에서, 원점에서 일정한 시공간 간격에 있는 점들이 불변 쌍곡선을 형성한는 것에 주목했다. 우리는 또한 표준 구성에서 두 시공간 기준 프레임들의 좌표계가 서로에 대해 쌍곡선으로 회전한다는 것도 주목했다.
시공간 기본을 넘어서
이러한 관계를 표현하기 위한 자연 함수는 삼각함수의 쌍곡선 유사 함수(hyperbolic analogs)이다. 그림 4-1a는 sin(a) 및 cos(a)가 있는 단위원을 보여준다. 이 다이어그램과 기본 삼각법의 익숙한 단위 원 사이의 유일한 차이점은 다음과 같다. a는 광선과 x-axis 사이의 각도가 아니라 x-축. (숫자적으로, 단위 원에 대한 각도와 2 × 면적 측정은 동일하다.) 그림 4-1b는 sinh(a)  및 cosh(a)가 있는 단위 쌍곡선(unit hyperbola)을 보여준다. 여기서 a는 마찬가지로 두 배의 착색된 영역으로 해석된다. 그림 4-2는 sinh, cosh, tanh 함수의 플롯을 보여준다.
단위원의 경우, 광선의 기울기는 다음으로 주어진다
데카르트 평면에서, 점 (x, y)의 각도 θ만큼 회전은 점 (x′, y′)에서 다음으로 주어진다
시공간 다이어그램에서 속도 매개변수 는 기울기의 유사체이다. 신속도  φ는 다음으로 주어진다:96–99
여기서
시공간 기본을 넘어서
위에서 정의한 신속도는 특수 상대성이론에서 많은 표현이 그 관점에서 표현될 때 상당히 더 단순한 형태를 취하기 때문에 매우 유용하다. 예를 들어, 신속도는 공선 속도-가산식에서 단순히 가산된다;:47–59
혹은 다르게 말하면,
로런츠 변환은 신속도의 관점에서 표현될 때 한 간단한 형태를 취한다. γ 계수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
공간 좌표축의 회전 없이 균일한 속도로 상대 운동을 설명하는 변환을 부스트라고 불린다.
γ 및 γβ를 이전에 제시된 변환에 대입하고 행렬 형식으로 다시 작성하면 x 방향의 로런츠 부스트는 다음과 같이 쓸 수 있다
그리고 x방향의 역로렌츠 부스트는 다음과 같이 쓸 수 있다
즉, 로렌츠 부스트는 민코프스키 시공간에서 쌍곡선 회전(hyperbolic rotation)을 나타낸다.:96–99
쌍곡선 함수들을 사용하는 이점은 테일러Taylor와 휠러Wheeler의 고전적인 교과서들와 같은 일부 책들에서 매우 초기 단계에서 그것들의 사용을 소개한다는 것이다.
시공간 기본을 넘어서
사차원 벡터는 위에서 에너지-운동량 4-벡터의 맥락에서 언급되었지만, 크게 강조하지는 않았다. 사실, 특수 상대성이론의 기본 유도들의 어느 것도 그것들을 필요로 하지 않는다. 그러나 일단 이해되면, 4-벡터, 더 일반적으로 텐서는 특수 상대성이론에 대한 수학과 개념적 이해를 크게 단순화한다. 이러한 객체로 독점적으로 작업하면 명백하게 상대론적으로 불변인 공식들을 도출하며, 이는 자명하지 않지 문맥들에서는 상당한 이점이 된다. 예를 들어, 일반적인 형태의 맥스웰 방정식의 상대론적 불변성을 입증하는 것은 자명한 일은 아니고, 전자기장 텐서 공식을 사용한 일상적인 계산(실제로는 관찰에 불과함)일 뿐이다. 반면 일반 상대성이론은 처음부터 물리적으로 관련된 개체를 나타내는 4-벡터, 보다 일반적으로는 텐서에 크게 의존한다. 특정 좌표에 의존하지 않는 방정식을 통해 이들을 연관시키려면 특수 상대성이론에서와 같이 평평한 시공간이 아니라 휘어진 시공간 내에서도 이러한 4-벡터를 연결할 수 있는 텐서가 필요하다. 텐서에 대한 연구는 시공간에 대한 기본적 논의만 제공하는 이 글의 범위를 벗어난다.