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소해면상뇌병증 특정위험부위
특정위험부위(SRM)는 섭취할 경우 변형프리온단백질(PrPSc)에 의해 병을 일으킬 위험이 높다고 여겨지는 부위로, 그 기준은 나라에 따라 다르다. 미국에서는 두개골, 뇌, 3차신경절, 눈, 등골뼈, 척수, 등근신경절과, 편도선, 말초 회장(소장의 일부)이 포함되며, 일본에서는 척수, 배근신경절을 포함한 척추, 혀와 뺨 부위를 제외한 두부(구체적으로는 눈, 뇌, 편도 등), 회장원위부(소장 끝부분)가 특정위험부위로 지정된다. 이들 부위는 식용이 되는 경우가 적지만, 화장품 등에서 원재료로서 사용되는 경우가 있다.
소뼈를 사용한 스프(국물)에는 척수가 녹아 나온다. 소해면상뇌증의 감염실험에 쓰인 소의 골수에는 감염성이 검출되는 경우가 있으나, 가축으로서 사육되어 광우병에 감염된 소의 골수로부터는 감염성이 검출되지 않았다.(골수는 특정위험부위가 아니다.)
소해면상뇌병증 영국에서의 대량 발병
1984년, 최초로 광우병으로 의심되는 133마리의 소가 발견되었다. 이 소가 죽은 후인 1985년에 소의 뇌에서 BSE를 발견하였고, 영국정부는 1986년 11월에 광우병의 심각성을 인정하였다. 이후 184,500 마리의 소가 광우병으로 죽었다.
영국에서 소해면상뇌증의 대량 발병 사태가 일어난 후 2004년까지 157명의 인간이 동일한 신경 계통의 증상을 보이는 변종 크로이츠펠트-야코프병(vCJD)에 걸려 사망하였다. 157건 중에서 148건이 영국에서 발생하였고 6건이 프랑스, 그리고 한 건이 이탈리아에서 발생했다. 아일랜드, 캐나다, 미국에서 발생한 변종 크로이츠펠트-야코프병은 모두 영국에 한 때 살았거나 방문한 적이 있는 사람들에게서 발생했다.
소해면상뇌병증 영국에서의 대량 발병
특히 영국에서 소해면뇌상증이 발병하게 된 결정적인 원인이 영국의 축산 관련 과학자들이 소에게 양고기로 만든 사료를 먹였기 때문이라는 설이 유력하다. 양은 양의 프리온 질병인 스크래피에 내성이 강하기 때문에 소해면뇌상증에 걸린 양은 완전히 멀쩡한 양과 모든 면에서 구분이 어려웠기 때문에 어떤 양이 스크래피에 감염되었는지 알 수가 없다. 그러나 이 사실을 인지하지 못한 영국인들은 스크래피에 감염된 양의 고기로 만든 사료를 소에게 먹임으로서 소해면뇌상증을 발병시켰다고 추정되고 있다.
소해면상뇌병증 국가별 소해면상뇌증 발병 통계
오른쪽 표는 국가별로 보고된 소해면상뇌증(2007년 12월 7일까지)과 변종 크로이츠펠트-야코프병의 발생건수를 요약한 것이다. 소해면상뇌증은 소에게 발생하는 질병이고 변종 크로이츠펠트-야코프병은 인간에게 발생하는 질병이다.
소해면상뇌증 감염 여부를 확인하기 위한 검사 방법에 대한 규정이 나라마다 다르기 때문에 검사 방법은 그 규정만큼 다양하다. 예를 들어, 유럽연합에서는 소해면상뇌증 감염 검사를 받는 소들은 연령이 30개월 이상이지만 대부분의 소들은 그 이전에 도축된다. 반대로 일본에서는 도축할 때 모든 소들에 대하여 소해면상뇌증 감염 여부를 검사한다. 또한 변형된 프리온이 혈액이나 소변 속에 극히 미량 존재하고 달리 프리온의 존재 여부를 확인할 방법이 없기 때문에 소해면상뇌증 감염 여부를 확인하기는 힘들다. 새로운 검사 방법은 좀 더 빠르고 정밀하고 값이 싸 더 다양한 정보를 얻을 수 있는 결과를 제공해 줄 것으로 기대하지만 현재로서는 해부시에 조직 검사를 하는 것이 유일하게 신뢰할 수 있는 방법이다.
소해면상뇌병증 국가별 소해면상뇌증 발병 통계
소해면상뇌증은 전 세계에서 영국이 가장 심하며 전 세계의 소해면뇌상증의 무려 96%에 달할 정도로 발병율이 높다.
오스트레일리아와 뉴질랜드에서는 소해면상뇌증 발병 보고가 없었다는 점은 주목할 만한데 오스트레일리아와 뉴질랜드에서는 대부분 소들을 초원에 방목해 키우기 때문이다. 호주에서 소들이 풀 이외의 다른 먹이를 먹는 경우는 도축되기 직전을 제외하고는 거의 없다.
이외에 중국과 러시아, 아프리카 대륙의 대부분에서도 소해면상뇌증 발병 소가 나오지 않았다.
말라기서
말라기(공동번역, 개신교), 말라키서(가톨릭)(히브리어: מַלְאָכִי)는 구약성경의 소예언서 중 마지막 책이다. 전통적으로 예언자 말라기의 저술로 인정한다. 타나크 판본에는 3장으로, 불가타 등의 판본에는 4장으로 구성된다.
말라기서 명칭
이 책의 이름은 한국 개역한글판과 공동번역성서에서는 말라기라는 이름으로 불려왔으며, 2005년 발간된 천주교 성경에서는 책 이름을 말라키서(書)라고 했다.
말라기서 저자
말라키는 히브리어로 '나의 사자(messanger)' 또는 '나의 천사(angel)'라는 뜻을 가지고 있어, 이 책의 저자를 지칭하는 이름인 '말라키'가 실제 이름이 아니라는 비평도 있다. 구약성경의 순서나 역사적인 순서로 볼 때, 마지막 예언자라고 할 수 있다.
말라기서 내용
말라키 예언서의 내용은, 다음과 같이 구성되어 있다.
1장 1-43절에 적힌 6회에 걸친 말라키의 예언, 혹은 신의 선포에 따라 모두 여섯 부분으로 나눌 수 있다.
말라기서 주제
말라키는 하깨서나 즈가리야서 1-8장처럼 포로 이후 시대 예언의 변화된 사고를 가지게 된다. 말라키는 포로기 이후 시대와 관련이 있다. 말라키 2:11-13은 이 시대를 추정하게 한다. 원래 말라키는 느헤미야와 에즈라 이전으로 소급된다. 말라키를 후기의 것으로 주장할 만한 충분한 증거가 없다. 말라키에 반영된 사상이나 예루살렘의 삶은 주전 500년경의 삶을 반영하고 있다. 포로기 이후 하깨와 즈카르야 중간시대의 모습과 에즈라-느헤미야 시대의 모습을 모두 볼 수 있다. 말라키서에는 하느님의 메시지가 모두 요약되어 있다
윤내현
윤내현(尹乃鉉, 1939년 6월 11일 ~ 2025년 6월 29일)은 대한민국 역사학자이다. 본관은 해남이며, 전라남도 해남군 출생이다.
윤내현 생애
단국대학교 문리과대학 사학과에서 학사과정을 거쳐 동대학원 석·박사과정을 마치고 하버드대학교 대학원 동아시아역사언어학과에서 수학하였다. 단국대학교 문과대학 사학과 교수, 부총장, 대학원장 등을 역임했다.
문화관광부 문화재위원과 단군학회 회장을 맡으면서 남북역사학자 공동학술회의 남측단장으로 북한에 다녀오기도 했고, 한국고대사 연구와 남북역사학자 학술 교류 및 공동 연구를 진행하고 있다. 2005년 12월 1일부터 2009년 8월 31일까지의 단국대학교 동양학연구원 원장, 고조선학회 회장 등을 역임했다.
윤내현 비판과 반론
윤내현의 고조선 관련 연구 및 그의 대표적인 저서 《고조선 연구》는 북한의 역사학자 리지린의 《고조선 연구》(1963)를 표절했다는 비판을 받았다. 이형구의 증언에 따르면 84년 당시 학술세미나에서 윤내현은 리지린의 《고조선 연구》와 유사하다는 지적이 있자, 자신이 리지린의 《고조선 연구》등 북한 자료를 미국의 대학도서관에서 입수했음을 시인하면서도, 85년 11월 "주를 달면 자신의 학설이 무너진다"는 말을 남기고 이미 지급된 연구비를 반납하고 자신의 글을 거두어 갔다.  한편 윤내현은 《한국고대사신론》에서 "필자는 민족사학자들의 견해를 수용 · 보완한 북한 학자들의 연구 업적과 그들이 발굴한 자료도 활용하게 될 것이지만 그것을 일일이 주기하지 않을 것이며 대표적인 문헌 몇 권만을 소개하는데 그칠 것이다. 이 점은 분단시대에 있어서 한국 역사학계가 겪고 있는 고통이므로 독자들의 이해 있기를 바란다."라고 언급했던 일이 있는데, 이에 대해서 이형구는 "민족사학자들의 견해를 수용·보완한 북한 학자의 연구 업적과 발굴 자료를 많이 활용하면서도 이에 대한 설명은 전혀 찾아 볼 수 없다. 그러나 민족사학자들은 약간의 견해를 피력했을 뿐이지 리지린과 같은 본격적인 연구는 없었다. 또 분단시대의 한국 역사학계가 겪고 있는 고통 때문에 주기를 일일이 달지 않겠다는 것인데, 그렇다면 왜 다른 학자들은 북한의 학술 성과를 주기로 소개한단 말인가? 그리고 역사학계만이 마치 그런 고통을 겪고 있는 것처럼 표현하여 일반 독자들의 눈을 가리고 있다. 분단상황은 민족 모두의 고통이지 역사학계만 안고 있는 고통이 아니다. 북한의 자료가 제대로 입수되지 못하고 또 입수하기 어려운 상황이 고통이라고 할 수는 있어도, 입수하고 검토하여 활용한 자료를 유독 밝히지 않고 넘어가겠다는 것은 분단상황의 고통과는 근본적으로 다른 것이다. 자신의 주장에 영향을 주고 참고로 삼은 타인의 연구 업적을 밝힐 용기가 없으면 글을 발표하지 않는 것이 바른 태도이다."라고 비판하였다.
윤내현 비판과 반론
이런 비판에 대해 윤내현은 이러한 조치가 학자의 양심을 저해한 행위가 아니며 자신의 연구 결과에 따른 것이라 주장했으며 “나의 주장은 신채호·정인보·장도빈 등의 ‘민족사학자’들이 주장해왔던 기존 학설과 궤를 같이하고 있을 뿐 표절과는 거리가 먼 주장”이라고 입장을 표명했다. 연구비와 관련된 비판에 대해서도 일체 외부기관으로부터 연구비를 받은 사실이 없다고 주장했다.
윤내현 비판과 반론
한편 북한 학설을 인용했다는 이유로 용공학자로 비방당하고 정보기관의 조사를 받았다고 하며, 반대로 독재정권에 발맞추어 도움을 준 것이라는 소문도 들었다고 한다. 또한 이러한 비판으로 인해 당시 재직하던 단국대학교에서 쫓아내라는 투서가 들어오기도 했으나 총장의 만류로 사직하지 않았다고 한다.
우메즈 카즈오
우메즈 카즈오(楳図一雄 (うめず かずお), 1936년 9월 3일~2024년 10월 28일)는 일본의 남성 만화가로 와카야마현 태생이다. 호러, SF,개그,소년소녀물등 다양한 장르의 작품을 발표했으나, 가장 대표적인 작품은 호러만화로 일본 호러만화의 일인자 또는 대부로 불린다. 또한 많은 만화가들이 그의 작품에게서 영향을 받았다.
우메즈 카즈오 작품 활동
6살때 아버지 본적지인 나라현 고조시로 옮겨가 27살때 도쿄로 이주하기 전까지 그곳에서 지냈다. 초등학교 5학년 때 테즈카 오사무의 모험 만화 《신보물섬(新宝島)》을 읽고 만화가가 되기로 결심했다고 한다. 초기 스케치는 데츠카 작품을 모방했으나, 프로가 되기로 결심한 중학교 때 하츠야마 시게루, 다케이 다케오등 동화작가들의 작풍으로 스타일을 변경하여 고베, 아오모리 등의 동인지 동아리에서 열성적으로 활동하였다.
1955년 6월에 〈숲의 형제(森の兄妹)〉, 9월에 〈별세계(別世界)〉 등을 발표하며 프로 데뷔하였고, 1963년 도쿄로 상경한 뒤 이케부쿠로, 메지로, 다카다노바바, 기치조지(현재) 등지에 살았다. 자동차를 매우 싫어하여 전철을 이용하거나 그냥 걷는다고 한다. 1966년에 《고양이눈 소녀(ねこ目の少女)》, 《뱀소녀(へび少女)》 등이 많은 인기를 얻으면서 일본전역에 공포만화가로서의 명성을 떨쳤다. 1971년 주요 작품 활동을 쇼가쿠칸(小学館)으로 옮기면서 《표류교실(漂流教室)》, 《나는 신고(わたしは真悟)》등 그의 대표작들을 쇼가쿠칸 잡지에 연재하였다.
우메즈 카즈오 작품 활동
1995년에 완결된 《14세(14歳)》이후 더 이상의 작품활동은 없다. 장기간의 활동으로 인한 지병악화와 쇼가쿠칸 편집자와의 트러블이 원인이라고 한다. 대신 TV, 잡지 등에서 탤런트로서 활발히 활동하고 있으며, 밝고 서비스 정신 넘치는 캐릭터가 인기를 끌어 젊은 여성층을 포함하여 많은 팬을 확보하고 있다.
우메즈 카즈오 영향
절정기에는 치밀한 배경 및 인물묘사가 매우 뛰어났으며 특히 미소녀 작화에는 타의 추종을 불허하는 솜씨로 평가받았다.  1960년대말을 정점으로 이후 화풍이 변하여 한계를 느끼고 절필을 선언하였으나, 그의 신작을 보고 싶어하는 팬은 아직도 많다.  많은 작품속에서 성인이 매우 크게 묘사되어 어린이의 시점에서 관찰한 세계관이 엿보인다.  연예인 및 유명인 팬이 많아서, 추리작가인 아야츠지 유키토 같은 경우는 그를 신으로 부르며, 《나는 신고》를 1화부터 울면서 읽었다고 말할 정도이다.  만화가 야마자키 도오루, 나카가와 쇼코등은 작풍에 많은 영향을 받았으며 공공연히 존경의 뜻을 나타내고 있고, 공동작품을 내기도 하였다. 의사 겸 탤런트 니시카와 아야코, 싱어송 라이터 시바타 준 등도 열렬한 팬이다.  우메즈 본인은 미야자키 하야오의 열렬한 팬으로 자신의 작품이 미야자키 감독에 의해 영상화되기를 바란다는 의견을 피력하기도 하였으나 실현되지않았다. 자신의 만화 캐릭터외에 가장 좋아하는 만화 캐릭터는 《바람계곡의 나우시카》의 주인공 나우시카라고 한다.
대흑점
대흑점(大黑點, Great Dark Spot) 또는 대암점(大暗點)은 해왕성의 대기 중 주위에 비해 눈에 띄게 어두운 부분을 가리킨다. 목성의 대적점처럼 대흑점 역시 고기압성 폭풍이다. 다만 대흑점의 내부는 상대적으로 구름이 적고, 수백 년은 지속돼 온 것으로 추정되는 대적점과는 달리 수명이 짧아서 생겨나서 흩어지기까지 고작 수년밖에 지속되지 못한다. 보이저 2호와 이후 허블 우주망원경이 수집한 정보에 따르면 해왕성은 생애의 절반이 넘는 기간 동안 표면에 대흑점이 존재해 온 것으로 보인다.
대흑점 특징
대흑점은 보이저 2호가 1989년 해왕성을 스윙바이할 때 처음 발견되었으며 스윙바이 중 많은 사진이 촬영되었다. 이 최초로 발견된 대흑점은 GDS-89로도 표기하며(Great Dark Spot-1989) 그 위치(남반구)나 규모 등에서 목성에 있는 대적점과 흡사했다. 어두운 색에 타원형이었던 GDS-89는 그 크기가 13,000 × 6,600 km로 지구와 거의 비슷했으며 목성의 대적점과 모양이 전체적으로 흡사했다. 이 폭풍의 가장자리에서 바람은 시간당 2,100 km 속도로 불고 있었으며 이 속도는 태양계에서 가장 빠른 기록이었다. 대흑점은 지구상의 오존구멍처럼 해왕성의 메테인 구름 꼭대기에 구멍이 생긴 부분이 아닐까 추정되고 있다. 이 점은 관측할 때마다 크기와 모양이 다양하게 변했으며 반시계 방향으로 회전하고 있었던 것으로 보인다.
대흑점 특징
이 대흑점은 대류권계면 층 혹은 바로 아래에 커다랗고 흰 구름들을 만들어냈는데 이 구름들은 지구상 고고도에 떠 있는 권운과 비슷하다. 그러나 얼음 결정으로 이루어진 지구상 구름과는 달리 해왕성의 권운은 메테인의 얼음 결정으로 이루어져 있다. 또한 지구의 권운이 보통 나타났다가 사라지기까지 수 시간밖에 걸리지 않는 것에 비해 GDS-89 옆 구름들은 행성이 두 바퀴 돈 이후(약 36시간 경과)에도 여전히 살아있었다.
해왕성의 흑점들은 보다 밝은 구름 상층부에서보다는 낮은 고도의 대류권에서 생겨나는 것으로 보인다. 흑점들은 수 개월은 유지될 수 있을 정도로 안정적이기 때문에 소용돌이 구조를 하고 있을 것으로 추정된다.
대흑점 소멸
1994년 허블 우주망원경이 해왕성 표면을 다시 찍었을 때 GDS-89는 완전히 사라졌으며 천문학자들은 이 흑점이 다른 것에 덮여서 아래로 숨었거나 아예 소멸한 것이리라고 생각했다. 대흑점 옆 구름들이 여전히 남아 있었던 것으로 보아 종전 흑점들 중 일부는 검은 반점처럼 보이지 않는 대신 사이클론 형태로 계속 살아남을 수 있는 것으로 보인다. 흑점들은 행성의 적도로 가까이 이동하면서, 혹은 미지의 메커니즘을 통해 소멸하는 것으로 보인다.
2016년 GDS-89와 거의 똑같은 흑점이 이번에는 해왕성의 북반구에 생겼다. 북쪽 대흑점(Nothern Great Dark Spot, NGDS)으로 불리는 이 새로운 점은 수년이 지나도록 사라지지 않았다. 허블 우주망원경 관측에 제약이 걸렸기 때문에 이 새로운 흑점이 아직 살아있는지 여부는 확실하지 않다.
캉쿤
칸쿤(스페인어: Cancún)은 멕시코 남동부에 있는 해안 도시로서 인구는 2005년 기준으로 526,701명이다. 행정 구역상으로는 킨타나로오주에 속한다.
캉쿤 관광
매년 칸쿤을 찾는 관광객 수는 400만명에 달하며 매일 190대의 비행기가 칸쿤 국제공항에 착륙한다. 약 140개의 호텔과 약 380개의 식당이 있다.
칸쿤에는 정글이 있으며 악어도 서식하고 있다.
칸쿤의 바다에서는 스노클링, 서핑, 제트 스키 등 많은 해양 스포츠를 할 수 있다.
캉쿤 허리케인 윌마
2005년 10월 21일에 허리케인이 덮친 뒤로 모래사장이 많이 없어졌지만, 다른 나라의 도움으로 현재는 도리어 모래사장이 2배로 커졌다.
캉쿤 마야
칸쿤에는 유적지가 많으며 마야 문명 시대에 지어진 피라미드도 볼 수 있다.
백제어
백제어(百濟語)는 백제에서 쓰인 언어를 지칭하며 고구려어와 마한의 영향을 받았다.
그러나 자료가 부족해서 비교언어학과 한자음 재구만으로 인명, 지명, 관직, 연호등에 전해지는 백제어를 추출하고 있다.
4세기 이후의 기록에는 고구려는 백제와 언어가 같다는 기록이 있어 고구려어와 비교된다. 일부 학계에 의하면 백제어는 부여어 계통의 상층언어와 삼한어라는 기층언어가 존재하는 양층 언어 국가였다고 주장하나 그 증거는 부족하여 널리 받아들여지지 않으며 삼한어와 같았다는 주장도 있다. 삼국사기 지리지에 고구려 지명과 6~7세기 백제 지명에서는 한국어 계통 숫자와 일본어 계통 숫자가 둘 다 확인된다.
신라어
신라어(新羅語)는 삼국시대와 남북국시대의 국가인 신라에서 사용된 고대 한국어의 방언이다.
신라어 연구
신라어 및 백제어가 고구려의 언어와 구별되는 언어였다는 주장은 구스타브 욘 람스테트와 고노 로쿠로(河野六郎)가 제시한 계통도에 이기문이 1967년 논문에서 발전시킨 내용을 기반으로 한다.
신라어 기반 가설에서는 고구려의 언어를 백제나 신라와 다른 계통에 속한 이질적인 언어로 구분하나, 각 세력이 사용했던 언어는 음운 체계와 문법 구조가 일치한다. 고구려어와 고려어 역시 어휘적 측면에서 유사하며 문법 구조가 일치한다.
현대 한국어가 신라어에서 기반한다는 가설은 고구려어의 이질어설과 함께 제시된다. 신라어가 한(韓)계에 속한 언어이고, 고구려어는 부여계 언어이므로 이들은 같은 언어 내에서의 방언적 차이가 아닌 언어적으로 완전히 이질적이라는 것이 고구려어의 이질어설과 함께 제시되는 논거이다. 박종덕은 이를 이기문 등의 연구자가 고노 로쿠로의 주장을 따른 것으로 여겼는데, 그 내용으로 다음을 들었다.
王姓夫余氏號於羅瑕民呼為鞬吉支夏言並王也妻號於陸夏言妃也왕의 성은 부여씨이며 於羅瑕라고 불렀고, 민간에서는 鞬吉支라고 불렀다. 이는 하나라 말로 왕이라는 뜻이다. 그 처는 於陸이라 불렀는데 이는 하나라 말로 왕비이다.
신라어 연구
《주서》 이역전 백제의 조의 기재는 명백히 지배자와 피지배자와의 사이에 언어적 상위가 있었다는 것을 보여주는 것이다. 즉 지배자의 언어는 부여계에 속하는 언어이며 피지배자의 언어는 한어(韓語)였다고 생각된다.— 《朝鮮方言學試攷》 京城:京都書店, 261p.
하지만 주서 백제의 조 어느 부분에도 지배자의 언어와 피지배자의 언어에 대한 언급이 없는데, 고노 로쿠로가 이들 언어가 달랐다는 생각을 전제로 하고 해당 문헌을 풀이했기 때문이라고 보았다. 부여계 언어와 한계의 언어가 상이함을 보여 주는 근거라고 가정해도, 이를 계통을 달리하는 언어적 차이라고 단정지을 순 없다는 점은 김방한이 1980년 한국어계통연구서설을 통해 지적하였다.
한편, 해당 자료가 고구려, 백제, 신라의 언어가 이질적인 언어가 아님을 설명한다고 보고 이숭녕, 류렬, 김병제 등은 삼국의 언어가 의사소통에 장애가 없는 언어라는 주장을 지지했다.
정규 부분군
군론에서 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.
정규 부분군 정의
군 의 부분군 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을 의 정규 부분군이라고 한다.
이 의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.
정규 부분군 성질
군 의 부분군 이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.
군 의  정규 부분군 가 주어졌다면, 몫군 에서 의 외부자기동형군 로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.
이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.
여기서 준동형 은 이며, 은 이다.
특히, 이 아벨 정규 부분군일 경우, 이 자명군이며 이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.
정규 부분군 예
유클리드 군 은 평행 이동의 군 을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군 은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.
정규 부분군 역사
정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.
위상동형사상
위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, 영어: homeomorphism)은 위상수학적 성질을 양향적으로 보존하는 두 위상 공간 사이의 함수다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 존재할 경우, 이 둘은 서로 위상동형(位相同型, 영어: homeomorphic)이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다. 간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다.
위상동형사상 정의
위상 공간 와 가 주어져 있다고 하고, 를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 가 다음의 세 조건을 만족하면, 를 위상동형사상이라 한다.
만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면 두 위상 공간이 서로 위상동형(영어: homeomorphic)이라고 한다.
위상동형사상 예
로 정의된 함수 는 전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (는 콤팩트 공간이지만 는 콤팩트 공간이 아니다.)
데데킨트 정역
가환대수학에서 데데킨트 정역(Dedekind整域, 영어: Dedekind domain) 또는 데데킨트 환(Dedekind環, 영어: Dedekind ring)은 아이디얼이 소아이디얼들의 곱으로 분해되는 정역이다. 이 때 분해는 추가 조건 없이도 유일하게 결정된다.
데데킨트 정역 정의
가 정역이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 데데킨트 정역이라고 한다.
인 유한 중복집합 가 존재하며, 또한 이러한 중복집합은 유일하다.
마지막 조건은 대수기하학적으로 비특이 아핀 대수 곡선을 일반화한 것으로 볼 수 있다.
정역 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 프뤼퍼 정역(영어: Prüfer domain)이라고 한다.
데데킨트 정역 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
또한, 모든 데데킨트 정역은 뇌터 가환환이다.
가 데데킨트 정역이고, 가 그 분수체이며, 가 그 유한 차원 확대라 하자. 크룰-아키즈키 정리에 따르면, 의  안에서의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이다.:45, Proposition 8.1
아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
데데킨트 정역에서는 분수 아이디얼에 대해서도 유일 인수 분해가 성립한다. 즉, 임의의 분수 아이디얼은 R의 소 아이디얼들과 그 역 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.
데데킨트 정역 성질
데데킨트 정역에서 모든 0이 아닌 아이디얼은 유일한 소인수 분해를 가지므로, 아이디얼의 포함 관계는 아이디얼의 인자 관계와 일치한다. 즉, 임의의 두 아이디얼 에 대하여, 만약 이라면 다음이 성립한다.
임의의 가환환에서 아이디얼의 인자 관계는 포함 관계를 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
특히, 체가 아닌 데데킨트 정역에서, 0이 아닌 모든 소 아이디얼의 개념은 극대 아이디얼의 개념과 일치한다. 이는 소 아이디얼은 인자 관계에 대한 극대 원소인데, 반대로 극대 아이디얼은 포함 관계에 대한 극대 원소이기 때문이다. 이는 크룰 차원이 1이라는 것과 같다. (체에서는 물론 (0)이 소 아이디얼이자 극대 아이디얼이다.)
데데킨트 정역 역사
대수적 수체의 대수적 정수환에서는 일반적으로 산술의 기본정리가 성립하지 않는다. 즉, 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이 사실은 1844년에 에른스트 쿠머가 특정 원분체에 대하여 발견하였다. 1847년에 에른스트 쿠머는 대신 대수적 정수환의 오늘날 우리가 "아이디얼"이라고 부르는 대상에 대해서는 유일 인수 분해가 성립함을 보였다. 정수환 는 주 아이디얼 정역이므로, 자연수 과 이에 대응하는 주 아이디얼 의 구분이 없다. 그러나 일반적인 대수적 정수환 에서는 주 아이디얼이 아닌 아이디얼이 존재하며, 따라서 기존의 수(=주 아이디얼)로 구성되었던 수 체계에 모든 아이디얼들을 추가하면 다시 유일 소인수 분해가 성립한다. 이러한 관점에서 쿠머는 이러한 대상들을 수의 일반화로 간주하였고, 독일어: Idealzahl 이데알찰[*]이라고 이름붙였다. 이는 독일어: ideal 이데알[*](이상적인) + 독일어: Zahl 찰[*](수)의 합성어이다. 오늘날 사용되는 분수 아이디얼의 개념도 이와 같이 아이디얼을 수의 일반화로 간주한 관점에서 유래하였다.
데데킨트 정역 역사
이후 리하르트 데데킨트는 쿠머의 "이데알찰"을 사실 대수적 정수환의 어떤 부분 집합으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다. 이는 오늘날의 관점과 같다. 이 때문에 데데킨트는 쿠머의 "이데일찰"을, "찰"(수)을 제거한 독일어: Ideal 이데알[*]로 불렀다.
훗날 대수적 정수환의 개념이 일반적인 추상적 (가환)환으로 일반화되면서, 모든 가환환, 심지어 모든 정역에서도 아이디얼들의 유일 소인수 분해가 성립하지 않을 수 있다는 것이 밝혀졌다. 이에 따라, 쿠머와 데데킨트가 대수적 정수환에서 증명한 바와 같이, 아이디얼의 유일 소인수 분해가 존재하는 정역은 데데킨트 정역이라고 불리게 되었다.
시 다이아몬드
시 다이아몬드(M/S Sea Diamond)는 크루즈선의 하나이다. 2007년 4월 6일 그리스에서 침몰했다.
시 다이아몬드 배
1537명이 탈 수 있다. 이 배에는 수영장, 바, 식당 등 많은 시설이 있다. 이 배는 크루즈 배다.
시 다이아몬드 침몰
2007년 4월 6일에 그리스에서 침몰했다. 1,195명이 배에서 구조되었다. 4명이 실종 되었는데, 실종된 사람은 프랑스 사람이었다.
국소화 (환론)
환론에서 국소화(局所化, 영어: localization)는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(영어: Ore condition)이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.
국소화 (환론) 가환환의 국소화
가 가환환이고, 가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, 의 에 대한 국소화 는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환  및 환 준동형 으로 구성된다.
국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.
위 보편 성질은 가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 가 곱셈 모노이드가 아니고, 가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 가 된다.
위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.
위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 , 이고 인 가 있다면
으로 정의한다. 그렇다면 로 놓자. 이는 대략 를 와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 를 로 쓰자.
위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.
.
또한, 로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
.
이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.
국소화 (환론) 비가환환의 국소화
가환환이 아닐 수 있는 임의의 환  및 부분 모노이드 에 대하여, 국소화 를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,:289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.
이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 -가역화 환(普遍-可逆化環, 영어: universal -inverting ring)이라고 불리기도 한다.
비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자  속의, 를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자
를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 를 가지며, 따라서 는 표현 가능 함자이다. 즉,
로 생각할 수 있으며, 는 국소화 를 이룬다.
만약 가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)
국소화 (환론) 비가환환의 국소화
비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.:Proposition (4.9.2) 환 의 표시
를 고르자. 즉, 생성원 와 관계 로 나타내자. 그렇다면, 각 에 대하여 생성원 를 추가하고, 또 관계
를 추가하자. 그렇다면
는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.
이 구성에서, 의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
비가환환 의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 와 부분 모노이드 가 오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.
구체적으로, 와 부분 모노이드 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.
마찬가지로, 와 부분 모노이드 가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.
국소화 (환론) 비가환환의 국소화
가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합  위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.
그렇다면 는 집합으로서 몫집합 이다. 의 동치류를 로 표기하자.  위의 곱셈은 다음과 같다.
여기서 인 는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
""
로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로,  위의 덧셈은 다음과 같다.
여기서 인 는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
""
로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는
""
로 생각할 수 있다.
마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 를 구성할 수 있다.
이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.:Corollary (4.10.11)
가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.
국소화 (환론) 가군의 국소화
환 의 곱셈에 대한 부분 모노이드  및  위의 왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 에서의 국소화 은  위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.
또한, 표준적인 -왼쪽 가군 사상 가 존재한다.
이는 함자
를 정의하며, 환 준동형 에 의한 망각 함자
의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 -왼쪽 가군의 준동형 에 대하여, 만약 임의의 에 대하여 이 전단사 함수라면, 인 -왼쪽 가군 준동형 이 존재한다.
가 가환환일 때, 가군의 국소화 는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.
위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.
은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. 의 동치류를 로 표기하자. 그렇다면,  위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.
국소화 (환론) 성질
가환환  및 곱셈 모노이드 에 대하여, 국소화 의 소 아이디얼들은 의 소 아이디얼 가운데 와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.
여기서  는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.
특히, 의 소 아이디얼 에 대하여, 는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 에 대응한다.
가환환  및 곱셈 모노이드 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.
뇌터 가환환  위의 단사 가군  및 임의의 원소 에 대하여, 는 전사 함수이다.:214, Lemma III.3.3
환  및 곱셈 모노이드 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.:300, Theorem (4.10.6)
또한, 이러한 조건을 만족시키는 는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.:302, Corollary (4.10.11)
마찬가지로, 환  및 곱셈 모노이드 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
특히, 만약 가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.
국소화 (환론) 예
(비가환일 수 있는) 환  및 곱셈 모노이드 가 주어졌다고 하자.
(곱셈 항등원을 갖는) 환 에 대하여,
가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, 가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 를 의 전분수환 라고 한다.
특히, 만약 가 (가환) 정역이라면 이며, 는 체를 이룬다. 이 경우, 는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 은 다음과 같이 의 일부분을 이룬다.
이에 따라 는 항상 분수체 의 부분환을 이룬다.
정수환 의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼  또는 영 아이디얼 이다.
정수환 를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.
즉, 분모가 의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, 는 이산 값매김환이며, 는 체이다.
국소화 (환론) 예
정수환의 를 원소 에서 국소화하면 다음과 같다.
(자명환)
즉, 분모가 의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)
정수환의 몫환 을 생각해 보자. 이 소수의 거듭제곱이라면 이거나 이다. 만약 이고, 와 가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 이다. 그렇다면 이 가능한데, 이 경우 이다.
체  및 정수 에 대하여, 행렬환 을 생각하자. 가 에서 성분 을 가지며, 나머지 성분이 모두 인 행렬이라고 하자. 그렇다면, 일 때, 국소화 는 자명환이다.:289–290, Example (4.9.3)
국소화 (환론) 응용
대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.:xvi
원소 가 주어진 경우, 는 에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 에 국한한 것이다.
예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 의 경우 는 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간  위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, 으로 국한된 것을 알 수 있다.
국소화 (환론) 역사
1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.:299:57
에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.:300)
임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)가 도입하였다.:57
국소화 (환론) 각주
Ranicki, Andrew, 편집. (2006년 2월). 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 330. 220–313쪽. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605. 
Škoda, Zoran (2006년 2월). 〈Noncommutative localization in noncommutative geometry〉.   Ranicki, Andrew. 《Noncommutative localization in algebra and topology》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 330. 220–313쪽. arXiv:math/0403276. doi:10.1017/CBO9780511526381.015. ISBN 9780521681605.
소 아이디얼
환론에서 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.
소 아이디얼 정의
환 의 양쪽 진 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.
여기서 환 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면 m계(m系, 영어: m-system)라고 한다.
물론, 모든 곱셈 모노이드는 m계를 이룬다.
환 의 양쪽 진 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, 영어: completely prime ideal)이라고 한다.
소환 의 원소 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 소원(素元, 영어: prime element)이라고 한다.:§4.2
소 아이디얼 정의
마찬가지로, 소환 의 원소 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면 완전 소원(完全素元, 영어: completely prime element)이라고 한다.:§4.2
물론 인 것은 가환환에서 자동적으로 성립한다.
(가환) 정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,:284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.:284
소 아이디얼 성질
일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아이디얼 ⊇ 소 아이디얼 ⊇ 완전 소 아이디얼 ∪ 극대 아이디얼
그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.
임의의 환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
임의의 환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)
자명환이 아닌 환은 초른 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.
두 환 ,  사이의 환 준동형  및 의 완전 소 아이디얼 에 대하여, 그 원상 는 의 완전 소 아이디얼이다. (그러나 이는 소 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.) 따라서, 의 완전 소 아이디얼들의 집합을 라고 한다면, 이는 함자
를 정의한다.
소 아이디얼 성질
가환환의 경우, 완전 소 아이디얼과 소 아이디얼의 개념이 일치한다. 이 경우, 사실 가환환 의 소 아이디얼의 집합 은 위상 공간 및 스킴의 구조를 부여할 수 있어 스킴의 범주 로 가는 함자
를 정의한다.
환 의 양쪽 아이디얼들의 집합 가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, 오카 족([岡]族, 영어: Oka family)이라고 한다.:Definition 2.1:Definition 2.1
소 아이디얼 원리(영어: prime ideal principle)에 따르면,:Theorem 3.4:2.4 가 환 의 오카 족이라고 할 때, 의 여집합 의 극대 원소는 소 아이디얼이다. (여기서 는 의 모든 양쪽 아이디얼들의 집합이다.)
특히, 다음과 같은 아이디얼 족은 오카 족이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
소 아이디얼 회피 정리(素ideal回避定理, 영어: prime avoidance)에 따르면, 다음이 성립한다.
즉, 가 각 아이디얼들을 회피한다면, 모든 아이디얼들을 동시에 회피한다.
증명:
에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 인 경우는 자명하다. 일 때, 귀납 가정에 의하여 각 에 대하여
를 고를 수 있다. 그렇다면
소 아이디얼 성질
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 = 완전 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼
가환환 의 진 아이디얼 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
가환환 의 소 아이디얼 의 여집합 가 모노이드를 이루므로, 에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 는 국소환을 이룬다.
가환환의 준동형  및 의 소 아이디얼 에 대하여, 는 의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)
가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.
가환환 의 소 아이디얼 의 높이 는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.
특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(極小素ideal, 영어: minimal prime ideal)이라고 한다.
예를 들어,
소 아이디얼 예
정수환 의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 는 의 배수들로 구성된 아이디얼 와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 가 두 정수의 곱 를 나누면 는 나  둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, 이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.
소 아이디얼 역사
역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.
비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.
소 아이디얼 각주
Wiegand, Roger; Wiegand, Sylvia (2010). 〈Prime ideals in Noetherian rings: a survey〉 (PDF) (영어).  Albu, Toma; Birkenmeier, Gary F.; Erdoğan, Ali; Tercan, Adnan. 《Ring and module theory》. Trends in Mathematics. Springer-Verlag. 175–193쪽. doi:10.1007/978-3-0346-0007-1_13. ISBN 978-3-0346-0006-4. 2017년 9월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 23일에 확인함.
정역
가환대수학에서 정역(整域, 영어: integral domain)은 0이 아닌 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.
정역 정의
임의의 환 의 원소 에 대하여, 가 단사 함수일 경우 를 정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다.
(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.
스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다.
정역 성질
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역  ⊋ 유클리드 정역  ⊋ 체
정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 은 단사 함수이다.
정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.
가환환  및 아이디얼 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.
가환환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:82, Example II.3.0.1:65
웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.
정역 예
정수환 은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환 은 (데데킨트) 정역이다.
정수환의 몫환 의 경우, 이지만 이므로 정역이 아니다.
모든 대수다양체는 정역 스킴이다.
정역 각주
Lang, Serge (2002). 《Algebra》 3판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 211. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
유가와라역
유가와라역(일본어: 湯河原駅, ゆがわらえき)은 일본 가나가와현 아시가라시모군 유가와라정에 있는 동일본 여객철도의 철도역이다. 유가와라 온천에서 가장 가까운 역이며, 특급 오도리코 전 열차 ·  슈퍼 뷰 오도리코 일부 열차가 정차한다.
유가와라역 역 구조
섬식 승강장 1면 2선 형태의 지상역이다.
MC 스나이퍼
MC 스나이퍼(MC Sniper, 본명: 김정유, 1979년 2월 8일 ~ )는 대한민국의 래퍼이다.
MC 스나이퍼 생애
MC 스나이퍼는 충청북도 제천 출생으로, 레코드점을 운영했던 어머니 덕분에 중학생때부터 음악에 관심을 가지게 되었고, 그러던 중 "삼핑캠프"라는 일본 힙합 공연 동영상을 보면서 힙합에 빠져들게 되었다. 1998년, 그는 클럽 마스터플랜의 무대를 통해 첫 공연을 하였으며, 돕보이즈 패거리의 멤버로 들어갔으나 얼마 지나지 않아 독자적인 노선을 걷기로 하면서 탈퇴, 자신의 크루 스나이퍼 대군단 (또는 Sniper'z)를 조직하였다. Skul1 (당시 스토니 스컹크)과의 친분은 이때 처음 만들어졌다. 스나이퍼 대군단은 2000년 경까지 활동하였으며, 이후 멤버의 재편성을 거쳐 Buddha Baby로 거듭났다.
MC 스나이퍼 생애
〈힙합에 이 한 몸 바치리〉, 〈기생일기〉 등의 곡으로 활동하던 그가 처음으로 앨범에 참여한 것은 《喜入合(희입합)》으로, 여기에서 그는 민중 가요인 노찾사의 〈솔아 솔아 푸르른 솔아〉를 샘플링한 곡 〈솔아 솔아 푸르른 솔아〉를 실었다. 이러한 사회적 주제와 시적인 비유로 가득한 가사를 만들던 그에게는 "힙합의 음유시인", "민족 MC" 등의 별명이 점차 붙게 되었다. 이를 통해 언더그라운드에서 적지 않은 인기를 얻은 그는, 여세를 몰아 포니캐년 코리아와 계약하고 2002년 메인스트림 진출 앨범을 내게 되었다.
2002년 5월 발표된 그의 첫 앨범의 타이틀곡은 이미 언더그라운드에서 활동했던 곡 〈솔아 솔아 푸르른 솔아〉였으나, 그의 인기는 후속곡 BK Love에서 더욱 크게 늘어났다. 그 해 12월 발표된 스페셜 앨범에는 이때까지 대외적으로 많은 활동을 보이지 않았던 Buddha Baby 멤버들의 곡이 실려 어느 정도 그들을 대중에게 소개하는 역할이 되었다. 그는 여기서 또 쉴틈 없이 작업하여, 2003년 5월 2집을 발표하였다.
MC 스나이퍼 생애
그런데 2집이 발표되기 직전인 4월, Deegie의 새 앨범에 MC 스나이퍼 디스곡 〈난 니가 정말 싫어〉가 수록되어 발표되면서 큰 파장이 일어났다. Deegie는 1차적인 디스 이유를 MC 스나이퍼의 언행일치 안 되는 태도라고 얘기하였으며, Deegie의 팬들은 물론 이에 동조하는 사람들이 생겨났고, 여기에 기존의 안티팬들이 합세하면서 MC 스나이퍼의 안티팬 수는 크게 늘어났다. 그 때문인지, 2집은 매니아들 사이에서 비평적으로 좋은 평을 많이 받지는 못하였다.
MC 스나이퍼 생애
2004년 들어 그는 존경하는 뮤지션이라 밝힌 류이치 사카모토 와의 합작 Undercooled를 발표하였으며, 3월에는 3집을 발표하고, 6월에 들어 군입대를 위한 고별 무대를 가졌다. 한달 후 그는 공익근무요원으로 병역의무를 시작하였고, TV 출연은 중단되었지만 그래도 비공식적인 활동은 이어나갔는데, 그 중 대표적인 것 중 하나로 D.O. 앨범 참여가 있었다. 더불어 자신의 레이블 Sniper Sound의 설립에 이어 배치기를 시작으로 Buddha Baby 소속 가수들이 데뷔할 수 있도록 앨범 프로듀싱 등의 도움을 주었다. 복무 생활 말기에는 배치기의 〈마이동풍〉 뮤직비디오 감독을 맡아 처음으로 뮤직비디오 감독 경력을 쌓기도 하였다.