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엔트로피 응용
열역학적 엔트로피는 화학열역학의 중심으로, 변화를 정량화하고 또한 반응의 결과를 예측할 수 있게 해준다. 열역학 제2법칙는 고립계 - 연구 중인 하위 시스템과 그 주변 환경의 조합 - 의 엔트로피는 모든 자발적인 화학 및 물리적 과정에서 증가한다고 진술한다. 클라우지우스 방정식(Clausius equation)은 엔트로피 변화의 측정을 도입하여 시스템 간의 열 전달-항상 더 뜨거운 물체에서 더 차가운 물체로 자발적으로-과  같은 단순한 변화의 방향을 기술하고 그 크기를 정량화한다.
열역학적 엔트로피는 시스템의 크기나 범위에 따라 확장되는 크기 성질 속성이며. 이는 시스템의 크기나 범위와 더불어 규모화 한다는 것을 의미한다. 많은 과정에서 엔트로피를 연구하는 시스템 유형의 특정 엔트로피 특성을 크기와 무관한 세기 성질로 지정하는 것이 유용하다. 특정 엔트로피는 질량 단위, 일반적으로 킬로그램(단위: J⋅kg-1⋅K-1)을 기준으로 표현될 수 있다. 대안적으로는, 화학에서, 물질의 한 몰을 가리키기도 하며, 이 경우 몰 엔트로피 (단위: J⋅mol-1⋅K-1)라고 불린다.
엔트로피 응용
따라서 약 0 K에 있는 한 몰의 물질이 주변 환경에 의해 298 K까지 따뜻해지면, 의 증분 값의 합은 각 원소 또는 화합물의 표준 몰 엔트로피를 구성하며, 298 K에서 물질이 저장한 에너지의 양을 나타내는 지표이다. 엔트로피 변화는 또한 물질의 혼합을 최종 혼합물내의 상대적 양의 합으로 측정한다.
엔트로피는 복잡한 화학 반응의 범위와 방향을 예측하는 데에도 마찬가지로 필수적이다. 이러한 응용 분야에서는 시스템과 그 주변 환경을 모두 포함하는 식에는 는 통합되야 한다:
추가 단계를 거치면 이 표현은 일정한 압력과 온도  에서 시스템 내 반응물과 생성물에 대한 깁스 자유 에너지 변화 방정식:
여기서 는 엔탈피 변화이고 는 엔트로피 변화이다.
엔트로피 응용
2011년 《사이언스》의 한 연구는 2007년에 이용 가능한 가장 효과적인 압축 알고리즘을 기반으로 최적으로 압축된 정보를 저장하고 통신할 수 있는 세계의 기술적 용량을 추정하여, 따라서 기술적으로 이용 가능한 소스의 엔트로피를 추정했다. 저자의 인류의 정보 저장 기술적 용량의 추정은 1986년에는 2.6 (엔트로피적으로 압축된) 엑사바이트에서 2007년에는 295 (엔트로피적으로 압축된) 엑사바이트로 증가했다. 단방향 방송 네트워크를 통해 정보를 수신할 수 있는 세계의 기술적 용량은 1986년에는 (엔트로피적으로 압축된) 정보의 432 엑사바이트였으며, 2007년에는 1.9 제타바이트로 되였다. 양방향 통신 네트워크를 통해 정보를 교환할 수 있는 세계의 효과적인 용량은 1986년에 (엔트로피적으로 압축된) 정보의 281 페타바이트에서, 2007년에는 65 (엔트로피적으로 압축된) 엑사바이트로 증가했다.
엔트로피 응용
화학공학에서 열역학의 원리는 "열린 시스템(open system)", 즉,  열, 일(work) 및 질량이 시스템 경계를 가로질러 흐르는 경우에 공통적으로 적용된다. 일반적으로 시스템 경계를 가로질러 흐르는 열의 흐름 , 축 일(shaft work) 의 흐름 및 압력-부피 일 은 그 시스템의 엔트로피 변화를 일으킨다. 열 전달은 엔트로피 전달 를 수반하며, 여기서 는 열 흐름 지점에서 시스템의 절대 열역학 온도이다. 만일 시스템 경계를 가로지르는 질량 흐름이 있는 경우, 이는 또한 시스템의 총 엔트로피에도 영향을 미친다. 이 설명은, 열과 일의 관점에서, 일과 열 전달이 시스템에서 물질의 출입 경로로부터 물리적으로 구별되는 경로에 의한 경우에만 유효하다.
엔트로피 응용
일반화된 엔트로피 균형 방정식을 도출하기 위해, 우리는 에너지와 같이 보존될 수도 있고 엔트로피와 같이 보존되지 않을 수도 있는 양인 열역학계에서 크기 양 의 변화에 대한 일반 균형 방정식으로 시작한다. 기본 일반 균형 표현은 , 즉 시스템 내에서 의 변화 속도는 시스템 경계에서 시스템에 들어오는 속도에서 가 시스템 경계를 넘어 시스템을 떠나는 속도를 빼고 시스템 내에서 생성되는 속도를 더한 값이다. 열과 일이 물질 전달 경로와 별도로 경로를 통해 전달되는 개방형 열역학계의 경우, 이 일반 균형 방정식을 사용하여 크기 양 엔트로피 의 시간 에 따른 변화 속도에 대해서, 엔트로피 균형 방정식은 다음과 같다:
여기서  는 단위 질량  당 엔트로피와 더불어 시스템 속으로와 밖으로 흐르는 질량 으로 인한 엔트로피 순 흐름 속도이며, 는 시스템 경계를 가로지르는 열의 흐름으로 인한 엔트로피 흐름 속도이며,  는 시스템 내에서 엔트로피 생성(entropy productuion)의 속도로, 예를 들어 화학 반응, 상전이, 내부 열 전달 또는 점성 같은 마찰 효과 등이 있다.
여러 열 흐름이 있을 경우에는, 용어 는 로 대체된다. 여기서 는 열 흐름이 시스템으로 들어오는 것을 의미하며, -번째 포트의 온도는 -번째 포트의 온도를 의미한다.
"entropy 균형"이라는 명명법은 오해의 소지가 있으며 엔트로피가 보존된 양이 아니기 때문에 종종 부적절한 것으로 간주된다. 다른 말로, 라는 용어는 결코 알려진 양이 아니라 위의 표현에 기반하여 항상 유도된 양이다. 그러므로, 제2법칙의 개방형 시스템 버전은 가역 과정의 경우 영, 비가역 과정의 경우 양의 값을 갖는 다음과 같이 지정하므로:  "엔트로피 생성 방정식"으로 더 적절하게 기술될 수 있다.
엔트로피 간단한 과정에 대한 엔트로피 변화 공식
일정한 구성을 가진 시스템에서 특정 단순 변환의 경우, 엔트로피 변화는 간단한 공식으로 주어진다.
초기 부피 와 압력 에서 최종 부피 와 압력 로의 이상 기체의 팽창(또는 압축)에 대해서, 엔트로피의 변화는 다음과 같이 주어진다:  여기서 은 기체의 양이다 (몰로). 그리고 은 이상 기체 상수이다. 이 방정식들은, 이상 기체의 온도, 내부 에너지 및 엔탈피가 일정하게 유지되는, 유한 진공으로의 팽창이나 줄-톰슨 효과에도 적용된다.
초기 온도 에서 최종 온도 로 일정한 압력으로 모든 시스템(기체, 액체 또는 고체)을 순수하게 가열하거나 냉각하는 경우, 엔트로피 변화는 다음과 같다:
일정 압력 몰 열용량 (또는 비열)  가 일정하고 이 온도 구간에서 상전이가 발생하지 않는 경우이다.
유사하게 일정한 부피에서, 엔트로피 변화는 다음과 같다:  여기서 일정한 부피의 몰 열용량 는 일정하고 상변화가 없다.
절대 영도에 가까운 저온에서는 고체의 열용량이 거의 영으로 빠르게 감소하기 때문에 일정한 열용량에 대한 가정은 적용되지 않는다.
엔트로피 간단한 과정에 대한 엔트로피 변화 공식
엔트로피는 상태 함수이므로, 온도와 부피가 모두 변하는 모든 과정의 엔트로피 변화는 두 단계-일정한 부피에서 가열하고 또한 일정한 온도에서 팽창하는-로 나뉘는 한 경로로서 동일하다. 이상 기체의 경우, 총 엔트로피 변화는 다음과 같다::
 유사하게 만일 이상 기체의 온도와 압력이 모두 변한다면:
가역적인 상전이는 일정한 온도와 압력에서 발생한다. 가역적인 열은 전이에 대한 엔탈피 변화이며, 엔트로피 변화는 엔탈피 변화를 열역학적 온도로 나눈 값이다. 녹는 점  에서 고체에서 액체로의 융합(즉, 융해)의 경우, 융합의 엔트로피(entropy of fusion)는 다음과 같다: 
유사하게, 끓는 점 에서 액체에서 기체로의 기화를 위한 기화 엔트로피(entropy of vaporization)는 다음과 같다:
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
열역학과 물리학의 근본적인 측면으로서, 클라우지우스와 볼츠만을 넘어서는 몇 가지 다른 엔트로피로의 접근 방식들이 유효하다.
다음은 교과서 콜렉션으로부터 엔트로피에 대한 추가적 정의들의 목록이다:
볼츠만의 구성 입자들 측면에서의 분석에서는, 엔트로피는 열역학적 평형 내의 한 시스템의 가능한 미시적 상태들(또는 미시상태들)의 수의 측정이다.
엔트로피는 종종 열역학계에서 질서나 무질서, 또는 혼돈의 양과 느슨하게 연관된다. 전통적인 정성적 설명은 엔트로피가 시스템의 상태 변화를 의미하며, 한 상태나 형태에서 다른 형태로의 동적 에너지 변환에서 "분자 무질서"와 낭비되는 에너지의 양의 측정이라는 것이다. 이 방향에서, 최근 몇 명의 저자들은 원자 및 분자 앙상블에서 무질서와 질서를 설명하고 측정하기 위해 정확한 엔트로피 공식을 도출했다. 더 간단한 엔트로피 질서/질서 공식 중 하나는 열역학과 정보 이론의 결합을 바탕으로, 1984년에 열역학 물리학자 피터 랜즈버그Peter Landsberg가 도출한 것이다. 그는 시스템에서 제약 조건이 작동할 때, 금지된 상태와 달리, 하나 이상의 가능하거나 허용된 상태로 들어가는 것이 방지된다고 주장한다::69
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
여기서 는 시스템의 "무질서" 용량으로, 허용된 앙상블에 포함된 부분의 엔트로피이다. 는 시스템의 "정보" 용량으로, 이는 섀넌의 채널 용량과 유사한 표현이다. 또한, 는 시스템의 "질서" 용량이다.
엔트로피의 개념은 특정 온도에서의 에너지 분산의 측정으로 질적으로 기술될 수 있다. 고전 열역학 역사 초기부터 유사한 용어가 사용되어 왔으며, 통계 열역학과 양자 이론의 발전과 더불어, 엔트로피 변화는 시스템의 각 구성 요소의 총 에너지가 특정 양자화된 에너지 준위에 걸쳐 혼합되거나 "확산"되는 용어로 기술되었다.
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
무질서와 혼돈이라는 용어의 모호성은 일반적으로 평형에 직접적으로 반대되는 의미를 가지며, 이는 광범위한 혼란을 초래하고 대부분의 학생들에게 엔트로피에 대한 이해를 방해한다. 열역학 제2법칙이 보여주듯이, 고립계에서는 서로 다른 온도의 내부 부분들이 하나의 균일한 온도로 조정되어 평형을 생성하는 경향이 있다. 근래에 개발된 교육적 접근법은 모호한 용어를 피하고 이러한 에너지의 확산을 분산으로 설명하며, 이는 열역학 제1법칙에 따라 총 에너지가 일정하게 유지되더라도 일에 필요한 미분을 잃도록 이끈다 (다음 섹션에서의 논의와 비교). 물리화학자 피터 앳킨스Peter Atkins는 그의 교과서 《물리적 화학 (Physical Chemistry)》에서 "자발적 변화는 항상 에너지나 물질 그리고 종종 둘 다의 분산애 동반된다 "라는 진술로 엔트로피를 소개한다.
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
(열적 맥락에서) 낮은 엔트로피를 에너지의 특정 양의 효과성 이나 유용성 의 척도로 간주할 수 있다. 더 높은 온도(즉, 낮은 엔트로피로)에서 공급되는 에너지는 더 낮은 온도에서 이용할 수 있는 동일한 양의 에너지보다 더 유용한 경향이 있다. 뜨거운 유체의 꾸러미와 차가운 유체의 꾸러미를 혼합하면 중간 온도의 꾸러미가 생성되며, 여기서 엔트로피의 전반적인 증가는 대체할 수 없는 "손실" 을 나타낸다.
우주의 엔트로피가 꾸준히 증가함에 따라 총 에너지의 유용성이 적어지고 있다. 결국, 이것은 우주의 열죽음으로 이어진다고 이론화되고 있다.
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
평형 상태 간의 단열적 접근성(Adiabatic accessibility)의 관계에 전적으로 기반한 엔트로피의 정의는   E. H. 리브Lieb와 야콥 잉바슨Jakob Yngvason에 의해서 1999년에 제시되었다. 이 접근 방식에는 1909년부터의 콘스탄티노스 카라테오도리의 선구적 연구와 R. 자일스Giles에 의한 모노그래프를 포함한 여러 가지 선행 연구들 있다. 리브와 잉바슨의 설정에서는, 고려 중인 물질의 단위량에 대해, 두 가지 참조 상태 와 를 선택하여 후자가 전자로부터 단열적으로 접근할 수 있도록 하지만 반대로 할 수는 없도록 선택함으로써 시작한다.  참조 상태의 엔트로피를 각각 0과 1로 정의하면, 상태 의 엔트로피는 가 상태 의 양 와 상태 의 보완 양 로 구성된 합성 상태에서 단열적으로 접근 가능한 가장 큰 수 로 정의된다. 이 설정 내에서 간단하지만 중요한 결과는 엔트로피가 단위 선택과 각 화학 원소의 가산적 상수를 제외하고는 다음과 같은 속성에 의해 고유하게 결정된다는 것이다: 그것은 단열 접근성의 관계에 대해 단조적이며, 복합 시스템에 대해서 가산적이며, 또한 척도화 아래에서 (성질이) 크기적이다.
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
양자통계역학에서 엔트로피의 개념은 존 폰 노이만에 의해 개발되었으며 일반적으로 '폰 노이만 엔트로피(Von Neumann entropy)'라고 불린다: 
여기서 는 밀도 행렬, 는 대각합류 작용소이고, 는 볼츠만 상수이다.
이것은 대응원리를 유지하는데, 고전적 극한(classical limit)에서 기저 상태들 사이의 위상이 순전히 무작위일 때, 이 표현은 고전적 확률을 가진 상태에 대한 엔트로피의 친숙한 고전적 정의 :  와 동일하기 때문이다. 즉, 이러한 기저에서 밀도 행렬은 대각선이다.
폰 노이만은 《수학적 양자 역학의 기초(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)》라는 연구를 통해 양자역학에 대한 엄격한 수학적 틀을 확립했다. 그는 이 연구에서 파동 함수 붕괴라는 일반적인 개념을 비가역적 과정(소위 폰 노이만 또는 투영 측정(projective measurement))으로 기술하는 측정 이론을 제공했다. 이 개념을 사용하여, 그는 밀도 행렬과 연계해서 엔트로피의 고전적 개념을 양자 영역으로 확장했다.
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
블랙홀은 고전적으로 털없음 정리에 의하여 미시상태가 없다. 그러나 반고전으로 마치 어떤 유한한 엔트로피를 가진 것처럼 행동한다. 이 엔트로피는: 
여기서 는 블랙홀의 사건 지평선의 넓이이다. 이를 베켄슈타인-호킹 엔트로피라고 부른다. 이는 야코브 베켄슈타인이 가설을 세웠고, 스티븐 호킹이 반고전적으로 유도하였다. 또한, 특수한 경우 끈 이론이나 루프 양자 중력 등으로 미시적으로 유도할 수도 있다. 블랙홀을 포함하는 계의 경우, 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 무시하고 계산하면 일반적으로 열역학 제2법칙이 성립하지 않고, 이를 포함하여 계산하여야만 성립한다.
나는 "정보"라고 부를까 생각했지만, 단어가 지나치게 많이 사용되어 "불확실성"라고 부르기로 결정했다. [...] 폰 노이만은 저에게 "엔트로피라고 불러야 하는 이유는 두 가지이다. 애초에 당신의 불확정성 함수는 통계역학에서 그 이름으로 사용되었기 때문에, 이미 이름을 가지고 있다. 두 번째로, 더 중요한 것은 아무도 엔트로피가 실제로 무엇인지 모르기 때문에 논쟁에서 항상 유리하다는 것이다.
엔트로피 엔트로피를 이해하는 접근 방식
정보 이론의 용어로 볼 때, 엔트로피 상태 함수는 시스템의 미시상태를 완전히 명기하는 데 필요한 정보의 양입니다. 엔트로피는 수신 전에 누락된 정보의 양의 측정(척도)이다. 흔히 섀넌 엔트로피 라고 불리는 그것은 1948년에 클로드 섀넌에 의해 전송된 메시지의 정보 크기를 연구하기 위해 처음 고안되었다. 정보 엔트로피의 정의는 이산 확률 집합  로 표현되며, 이는 다음과 같다: 
여기서 로그의 밑은 단위를 결정한다 (예를 들어, 이진 로그는 비트에 해당한다).
전송된 메시지의 경우, 이러한 확률은 특정 메시지가 실제로 전송될 확률이며, 또한 메시지 시스템의 엔트로피는 메시지의 평균 정보 크기의 측정(척도)이다. 동등한 확률(즉, 각 메시지는 동등하게 확률적임)의 양을 결정하는 데 필요한 경우, 섀넌 엔트로피(비트에서)는 바로 메시지의 내용을 결정하는 데 필요한 이진 질문의 수이다.
대부분의 연구자들은 정보 엔트로피와 열역학적 엔트로피를 동일한 개념과 직접적으로 연결된 것으로 간주하며, 반면에 다른 연구자들은 이들이 서로 다르다고 주장한다. 두 표현은 수학적으로 유사하다. 만약 가 주어진 거시상태를 생성할 수 있는 미시상태의 수이고, 각 미시상태가 동일한 "아 프리오리" 확률을 가진다면, 그 확률은 이다. 섀넌 엔트로피(내트에서)는 다음과 같다: 
그리고 만일 엔트로피가 내트 당  단위로 측정된다면, 엔트로피는 다음과 같이 주어진다:  이것은 볼츠만의 엔트로피 공식(Boltzmann's entropy formula)이며, 여기서 는 볼츠만 상수로, 이는 내트당 열역학적 엔트로피로 해석될 수 있다. 일부 저자들은 정보 이론의  함수에 대해 엔트로피라는 단어를 버리고 섀넌의 다른 용어인 "불확실성"을 대신에 사용할 것을 주장한다.
물질의 엔트로피는 간접적인 방법이기는 하지만 측정할 수 있다. 엔트로피-측정법(entropymetry)으로 알려진 이 측정은 입자의 수가 일정한 이고 부피가 일정한 인 닫힌 시스템에서 수행되며, 에너지 교환을 열로 제한하면서 엔트로피의 관점에서 온도의 정의를 사용한다. :
결과적 관게식은 작은 에너지의 양  가 어떤 온도 에서 시스템에 도입했을 때 어떻게 엔트로피가 변화하는가 를 기술한다.
그 측정 과정은 다음과 같다. 먼저, 물질의 샘플을 가능한 한 절대 영도에 가깝게 냉각한다. 이러한 온도에서는 온도의 정의로 인해 엔트로피가 영에 가까워진다. 그런 다음 소량의 열이 샘플에 유입되고 온도가 원하는 값(보통 25°C)에 도달할 때까지 온도 변화가 기록된다. 얻은 데이터를 통해 사용자는 위의 방정식을 적분하여 최종 온도에서 물질의 엔트로피 절대값을 얻을 수 있다. 이 엔트로피 값을 열량측정 엔트로피(calorimetric entropy)라고 불린다.
엔트로피 학제 간 응용
엔트로피의 개념은 원래 열역학적 개념이었지만, 그것은 정보 이론, 심리역학(psychodynamics), 열경제학(Thermoeconomics)/생태경제학 및 진화학 등을 포함하는 다른 학문 분야에서도 적용되어 왔디.
엔트로피는 물리 과학에서 시간의 화살이라고도 불리는 특정 진행 방향을 암시하는 것처럼 보이는 유일한 양이다. 시간이 지남에 따라 열역학 제2법칙에 따르면 고립계의 엔트로피는 큰 시스템에서는 상당한 기간 동안 절대 감소하지 않는다. 따라서, 이러한 관점에서 엔트로피 측정은 이러한 조건에서는 시계로서 생각된다. 19세기 이후 많은 철학자들은 새로운 형이상학적 및 윤리적 시스템을 개발하기 위해 엔트로피 개념을 사용해 왔다. 이 연구의 예는 프리드리히 니체와 필립 마인랜더, 클로드 레비스트로스, 이사벨 스텐저스Isabelle Stengers, 섀넌 무셋Shannon Mussett, 그리고 드류 M. 달튼Drew M .Dalton의 사상에서 찾을 수 있다.
치아바조Chiavazzo 등은 동굴 거미들이 알을 낳는 장소를 엔트로피 최소화를 통해 설명될 수 있다고 제안했다.
엔트로피 학제 간 응용
엔트로피는 DNA의 염기쌍 서열의 분석에 유용한 것으로 입증되어 왔다. 많은 엔트로피-기반 측정이 유전체의 다른 구조적 영역들을 구분하고, DNA의 코딩 영역과 비코딩 영역을 구분하며, 또한 서로 다른 종들 간의 진화적 거리를 결정함으로써 진화 트리의 재생에도 적용될 수 있음을 보여주었다.
유한한 우주가 고립된 시스템이라고 가정하면, 열역학 제2법칙은 그 총 엔트로피는 지속적으로 증가한다고 진술한다. 19세기부터, 우주는 열 에너지의 균질한 분포로 이어져 어떤 소스로부터 더 이상 일을 추출할 수 없어져 모든 에너지가 끝나 버려서 열죽음이 될 운명이라고 추측되어 왔다.
엔트로피 학제 간 응용
만일 우주가 일반적으로 엔트로피가 증가하는 것으로 간주될 수 있다면, - 로저 펜로즈가 지적한 바와 같이 - 중력이 분산된 물질들을 별들 속에 축적하고 결국 블랙홀로 붕괴하도록 하기 때문에, 중력은 그 (엔트로피) 증가에 중요한 역할을 한다. 블랙홀의 엔트로피는 블랙홀의 사건 지평선의 표면적에 비례한다. 야코브 베켄슈타인과 스티븐 호킹은 블랙홀이 모든 동일한 크기의 물체 중 최대 가능한 엔트로피를 가진다는 것을 보여주었다. 이것은, 블랙홀이 완전히 효과적인 물질과 에너지 트랩이라면. 모든 엔트로피-증식 과정의 끝점이 될 가능성이 높게 만들었다. 그렇지만, 블랙홀에서 에너지가 빠져나가는 것은 양자 활동(호킹 복사 참조)으로 인해 가능할 수 있다.
엔트로피 학제 간 응용
우주론에서 엔트로피의 역할은 루트비히 볼츠만 때부터 논란의 여지가 있는 주제로 남아 있다. 최근 연구는 열죽음 가설과 일반적인 우주에 대한 모든 간단한 열역학 모델의 적용 가능성에 대해 의문을 제기한다. 팽창하는 우주의 모델에서는 엔트로피가 증가하지만, 최대 가능한 엔트로피는 훨씬 더 빠르게 증가하여 우주를 시간과 더불어 열죽음으로부터 더 멀어지고, 더 가까워지지 않개 한다. 이것은 그 시스템을 가정된 열죽음 평형으로부터 더 멀리 밀어내는 "엔트로피 갭"을 초래한다. 진공의 에너지 밀도와 거시적 양자 효과와 같은 다른 복잡한 요인들은 열역학 모델과 조화를 이루기 어렵기 때문에, 모든 거대-규모 열역학에 대한 예측을 극히 어렵게 만든다.
현재 이론들은 엔트로피 갭이 원래 우주의 초기의 급격한 지수함수적 팽창에 의해 열렸을 것으로 제안한다.
루마니아계 미국인 경제학자 니콜라스 조르주스쿠-로겐Nicholas Georgescu-Roegen은 경제학의 선구자이자 생태경제학의 패러다임 창시자로, 그의 저서《엔트로피 법칙과 경제 과정》에서 엔트로피 개념을 광범위하게 사용했다. 조르주스쿠-로겐의 연구로 인해서 열역학 법칙은 생태경제학 학파의 필수적인 부분(integral part of the ecological economics school)을 형성한다.:204f:29–35 그의 연구는 실수로 인해 다소 흠집이 났지만, 조르주스쿠-로겐의 경제학에 관한 전체 장은 열역학의 역사적 발전에 관한 한 초등 물리학 교과서에 승인되어 포함되어 왔다.:95–112
경제학에서, 조르주스쿠-로겐의 연구는 '엔트로피 비관론'이라는 용어를 만들어냈다.:116 1990년대부터, 주요 생태경제학자이자 정상 상태 이론가(steady-state theorist)인 허먼 데일리는 - 조르주스쿠-로겐의 제자 - 경제학계에서 엔트로피 비관론 입장을 지지하는 가장 영향력 있는 인물이었다.:545f
라플라스 방정식
라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다.
라플라스 방정식 정의
차원 리만 다양체에서 가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
.
3차원 유클리드 공간에서는
이므로,
이 된다.
우변을 주어진 함수 로 바꾼 경우
는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.
우변을 다음과 같이 바꾸면
헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 인 경우다.
코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)
라플라스 방정식 경계 조건
라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.
라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수  자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.
라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
라플라스 방정식 2차원 라플라스 방정식
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수
의 형태로 나타난다.
는 격하게 (mesh size)
푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.
복소 범위의 해석적 함수 의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.
이고
라 하자. 가 해석적이려면
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
이다. 따라서 는 라플라스 방정식을 만족한다. 도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.
극좌표계 에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
.
따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
.
이는 함수 의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는
으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.
라플라스 방정식 3차원 라플라스 방정식
3차원 공간에서, 구면좌표계 에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
.
여기서 는 구면 조화 함수이고, 와 은 임의의 계수다. 물론, 가 원점에서 연속적이려면 이다.
적분표
적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표(lists of integrals)는 유용하게 사용된다.
아래의 식들에서 C는 적분 상수이다.
적분표 적분표
아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.
적분표 정적분
어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.
삼각 함수
수학에서 삼각 함수(三角函數, 영어: trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는 직각삼각형의 각을 직각삼각형의 변들의 길이의 비에 대응시키는 함수이다. 삼각 함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.
삼각 함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은
라고 한다. 이들의 역수는 각각
라고 한다.
삼각 함수는 항법학과 측지학 등에서 널리 응용된다.
삼각 함수 정의
각 가 직각인 삼각형 에서, 각 , , 의 마주보는 변의 길이를 , , 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.
또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
이 정의는 임의의 예각에 대하여 유효하다.
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 에 대해, 축과 점과 원점을 잇는 직선 사이의 각을  라고 하면, 다음과 같이 정의한다.
또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.
이 정의는 임의의 실수에 대하여 유효하며, 예각의 경우 위 정의와 호환된다.
임의의 복소수 에 대하여, 그 사인과 코사인은 복소수 지수 함수를 사용하여 다음과 같이 정의한다.:43–44
만약 가 실수일 때, 이는 오일러 공식
에서 두 삼각 함수를 꺼낸 것과 같다. (물론, 이는 복소수에 대해서도 성립하지만, 오일러 공식은 보통 실수에 대한 항등식을 뜻한다.)
나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.
삼각 함수 성질
사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여,
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여,
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 에서 본질적 특이점을 갖는다.
탄젠트는 실수선의  ()에서 정의되지 않는다.
사인 · 탄젠트 · 코시컨트는 홀함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여,
코사인 · 코탄젠트 · 시컨트는 짝함수이다. 즉, 임의의 복소수 에 대하여,
특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.
(라디안)
각 사분면에 따른 삼각 함수의 부호는 다음과 같다.
삼각 함수 사이에는 더 많은 항등식이 존재한다. 예를 들어, 피타고라스 정리에 따라, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (이는 간혹 피타고라스 항등식으로 불린다.)
또한, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (이는 간혹 삼각 함수의 덧셈 정리로 불린다.)
이에 대한 증명은 여러 가지가 있다.
특히, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (이는 간혹 배각 공식으로 불린다.)
삼각 함수 응용
사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변 a, b, c에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.
마찬가지로,
도 성립한다. 여기서 R은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.
코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.
코사인 제 1 법칙에 따르면,
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.
코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
와 같이 나타낼 수 있다.
코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.
탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 a, b에 다음과 같은 식을 만족시킨다.
삼각 함수 역사
기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.
현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.
삼각 함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.
삼각 함수 어원
영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(jayb)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā, 베다 jiyā́)를 음차한 것이다.
‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.
코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.
삼각 함수 어원
한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.
르장드르 다항식
르장드르 다항식(Legendre polynomial) 는 르장드르 미분 방정식(Legendre differential equation)이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.
스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,
이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.
르장드르 다항식 르장드르 다항식
구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.
인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.
르장드르 다항식 성질
르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.
르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1]에서  내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
.
여기서 은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.
여기서 고윳값 이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)
르장드르 다항식 르장드르 다항식의 계산 및 표현
르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.
로드리게스 공식(Rodrigues’ formula)은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.
르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.
.
르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.
여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.
로봇
로봇(문화어: 로보트, 영어: robot)은 다양한 작업을 자동으로 수행하도록 프로그래밍된 기계장치다. 프로그램으로 작동하고(programmable), 사람이 직접 수행할 수 없는 어렵고 복잡하며 위험한 일련의 작업들(complex series of actions)을 사람 대신 실행하는 기계적 장치다. 자동차 생산 라인 등 제조공장에서 조립, 용접, 핸들링(handling) 등을 수행하는 자동화된 로봇을 산업용 로봇이라 하고, 환경을 인식해 스스로 판단하는 기능을 가진 로봇을 '지능형 로봇'이라 부른다. 학교 등의 급식실에서 사람 대신 조리 업무를 수행하는 푸드테크 로봇(급식로봇)도 있다. 사람과 닮은 모습을 한 로봇을 '안드로이드'라 부른다. 다른 뜻은 형태가 있으며, 자신이 생각할 수 있는 능력을 가진 기계라고도 한다. 인공의 동력을 사용하는 로봇은 사람 대신 또는 사람과 함께 일을 한다. 통상 로봇은 제작자가 계획한 일을 하도록 설계된다. '로봇'이란 용어는 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Karel Čapek)가 1920년에 발표한 희곡 "R.U.R"에 쓴 것이 퍼져 일반적으로 사용되게 되었다. 또한 로봇의 어원은 체코어로 "노동", "노예", "힘들고 단조로운 일"을 의미하는 robota이다.
로봇
우리가 아는 장난감 로봇은 사실 로봇이 아니라 장난감이다. 기계적(mechanical)이고 인간과 상호작용(interactive)을 하기도 하지만 실용적인 목적보다 엔터테인먼트용으로 쓰이고 수동으로 움직이기 때문이다.
로봇 어원 및 정의
Robot이라는 말은 1920년 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Karel Čapek)의 희곡 R.U.R.(Rosuum' s Universal Robots)에서 처음 사용되었다. 로봇의 어원은 체코어의 노동을 의미하는 단어 'robota'라고 알려져 있다. 차페크는 R.U.R.에서 모든 작업능력이 인간과 동등하거나 그 이상이면서 인간적 “감정”이나 “혼”을 가지고 있지 않은 로봇이라고 불리는 인조인간을 등장시키고 있다. 로봇은 언젠가 쇠조각으로 변하여 반항하는 정신을 발달시킴으로써 자신들의 창조주인 인간을 전부 죽여 버린다고 하는 비극을 인상적으로 나타내고 있다.
로보틱스(Robotics)라는 말은 로봇의 활용과 로봇 공학을 의미한다. 이 말은 미국 과학자이면서 작가인 아이작 아시모프(Issac Asimov)가 1942년에 발간한 단편 런어라운드(Runaround)에서 최초로 등장하였다.
명사로서 로봇(robot)은 다음의 의미를 지닌다.
일할 수 있는 능력은 있어도 생각할 수 있는 능력이 없는 인간을 닮은 것.
로봇 로봇의 3원칙
아이작 아시모프가 1950년 발간한 소설인 'I'Robot'에서 제안된 로봇의 행동에 관한 3가지 원칙이다.
군사용 로봇이 공격의 기능을 갖출 경우, 첫 번째 원칙에 위배되게 된다. 하지만 3원칙만 듣게되면 만약 예시로 로봇에게 지구에 있는 나무를 다 없애주라고 할 때 나무를 없애는 것이기 때문에 실행을 할 수가 있어 인간에게 위험할 수 있다. 그래서 몇몇 사람들은 이를 바꾸려고 한다.
로봇 로봇의 이용
그동안 인간이 해 오던 많은 일들을 지금은 로봇이 대신하고 있다. 산업 현장에는 단조로운 반복 작업이나 따분한 작업, 불쾌한 작업들이 많은데, 이와 같은 작업은 특히 로봇에게 맡기기에 적합하다. 조립 공장에서 리벳 박는 일, 용접, 자동차 차체를 칠하는 일 등은 그 좋은 예이다. 이런 종류의 작업은 로봇 쪽이 인간보다 더 잘 해낼 수 있다. 왜냐하면 로봇은 언제나 일정한 수준의 정밀도와 정확도로 작업을 계속할 수 있으며, 결코 지칠 줄 모르기 때문이다. 따라서 제품의 품질은 항상 일정하며 게다가 휴식을 취할 필요가 없기 때문에 많은 양의 제품을 만들 수 있다.
또한 로봇은 위험한 작업을 대신할 수가 있다. 방호복을 입지 않고 원자력 공장에서 방사성 물질을 취급하거나, 유독 화학 물질을 취급할 수가 있으며, 인간에게는 너무 덥거나 추운 환경에서도 일할 수가 있다. 인간의 생명이 위험에 노출될 수 있는 곳에서도 로봇을 사용할 수 있다. 예를 들면 폭발물을 수색하거나 폭탄의 뇌관을 제거하는 일, 그리고 우주 공간에서의 작업도 그중의 하나이다.
로봇 로봇의 이용
로봇은 우주 공간에서의 작업에 특히 이상적이다. 지구를 돌고 있는 인공위성을 수리하거나 유지하는 데 사용되기도 하고, 보이저호와 같이 탐사와 발견을 목적으로 먼 천체까지 비행하는 데도 로봇이 사용된다.
한편 가정에서도 점점 많은 로봇이 가사를 돕기 위해 사용되고 있다. 그리고 육체적인 장애를 가진 사람들을 돌보는 일에도 많이 이용될 것으로 기대된다. 로봇 간호보조자는 장애자나 노령으로 인해 체력이 약해진 사람들이 가족들에게서 독립하여 혼자서도 살 수 있도록 해주며, 병원에 입원하지 않아도 될 수 있도록 도와 주게 될 것이다.
로봇이 사용되는 분야의 예를 들면 다음과 같다.
주로 힘이나 정밀도를 요하는 작업 담당
로봇 로봇의 이용
공장에서 제품을 생산할 때 컴퓨터를 이용하면, 제품의 생산 계획이나 설계·제조·보관·출고에 이르기까지 거의 모든 일을 처리할 수 있다. 기계 공업에서 가장 많이 사용하는 공작 기계는 금속 등을 가공할 때 사용된다. 과거에는 이 기계를 사용하기 위해 고도의 숙련된 기술이 필요했다. 그러나 최근에는 수치 제어 공작 기계가 개발되어 기술이 없어도 금속을 가공할 수 있게 되었다. 수치 제어 공작 기계는 가공하는 작업의 순서와 내용을 수치 정보로 만들어 기계에 입력시키면 기계가 자동적으로 가공 작업을 하는 것이다. 이 수치 제어 공작 기계와 자료의 입력 관리를 맡는 컴퓨터가 결합하여 만들어진 것이 컴퓨터 수치 제어 공작 기계이다. 이 수치 제어 기계에서 더 발전하여 복잡한 가공을 할 수 있도록 만든 장치가 공작 로봇이다.
주로 인내심을 요하는 작업 담당
주로 위험한 환경에서의 작업 담당
로봇 각국의 로봇
미국에서는 로봇이 생활에 도움을 주는 기계라기보다 앞으로 인류를 위협할지도 모른다는 생각이 있어서 주로 터미네이터 등 영화에서 로봇이 인류를 위협하는 존재로 나와 있다. 또 무인 조종 비행기 등 군사에서 쓰는 군사 로봇이 가장 잘 발달되어 있다.
2015년, 미국의 로봇 제조사인 한슨 로보틱스(Hanson Robotics)에서 일상을 위한 최신 인공지능 로봇 , '(Han)'을 공개하였다. 한은 사람과 대화를 할 수 있는 건 물론, 사람의 표정, 성, 나이 등을 캐치할 수 있다. 한의 가장 놀라운 점은 인간같은 표정을 지을 수 있다는 것이다.
일본 에도 시대에는 자동인형에 해당되는 가라쿠리 인형이 있었으며, 1929년에는 근대기술을 이용한 동양 최초의 로봇인 가쿠텐소쿠를 처음 제작하였다.
2000년대 들어 아시모 등과 같은 휴머노이드형 로봇이나 소니의 AIBO와 같은 애완용 로봇 그리고 산업용 로봇 외에도 인간의 모습에 가까운 로봇 개발에 힘쓰고 있다. 아톰, 건담 같은 로봇 애니메이션이 대중적인 인기를 얻고 있다.
로봇 각국의 로봇
중국에서는 로봇을 산업이나 가정에 도움을 주는 기계라보다는 사람이 조종하는 꼭두각시라고 생각한다. 그러나 중국은 미국과 일본, 심지어는 대한민국까지도 로봇공학에 힘을 쏟고 있다는 것을 인식하자 이들에게 뒤떨어지지 않기 위해 2000년에 선행자(先行者)라는 이름의 직립보행형 로봇을 개발하기도 했으나 선행자의 양 다리 사이에 설치된 파이프 모양의 부속으로 인하여 일본에서 '최종중화병기 선행자'라는 애니메이션이 발표되는 등 개그캐릭터로서 폭발적인 인기를 끌기도 했다.
중국에서는 최근 중국 로봇산업의 발전을 위해 많은 노력을 기울이고 있다.
조선시대에 물의 힘으로 여러 인형이 작동하는 물시계 자격루와 옥루를 제작한 적이 있으나, 현대적인 개념의 로봇이 들어온 것은 1978년 현대자동차 울산 제2공장에 일본에서 수입한 스풋용접용 로봇이 설치된 것이 처음이다.
로봇 각국의 로봇
1984년 6월 대우중공업 인천연구소에서 다관절형 아크용접 로봇 NOVA-10과 제어장치를 처음 국산화하였으며, 1980년대 후반 LG산전 등의 대기업들이 산업용 로봇을 본격적으로 생산하기 시작하였다. 1988년에는 10여개의 로봇 생산업체가 약 1,200여대의 산업용 로봇을 생산하는 수준까지 성장하였으나, 1997년 IMF 사태를 계기로 빈약한 로봇 관련 내수시장과 기술의 취약 등으로 인해 산업용 로봇을 제품화하는 것은 사실상 중단되었다.
1990년대부터는 로봇청소기를 비롯한 서비스 로봇과 휴머노이드형 로봇이 개발 생산되기 시작하였다. 1997년 한국과학기술연구원(KIST)에서 제작한 '센토'가 비록 반인반마의 형태였으나 한국 최초의 휴머노이드 로봇으로 공개되었으며, 2002년에는 한국과학기술원 (KAIST)에서 'KHR-1'을, 2004년에는 '휴보 (KHR-2)'를 개발했다.
물리적인 움직임 없이 사람과 의사소통하며 감정을 교류하는 소셜 로봇도 있다. 예를 들면, 2015년 5월 글로벌 크라우드 펀딩 사이트인 인디고고(Indiegogo)를 통해 처음으로 세상에 소개된 뮤지오가 있다.
깊은 생각
깊은 생각(Deep Thought)은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다.
깊은 생각 줄거리
소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다.
원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다.
체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.
표준 모형
입자물리학의 표준 모형(標準模型, 영어: Standard Model)은 자연계의 기본 입자와, 중력을 제외한 그 상호작용(강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기 상호작용)을 다루는 게이지 이론이다. 강력을 다루는 양자 색역학과, 약력과 전자기력을 다루는 와인버그-살람 이론으로 이루어진다. 표준 모형에 따르면, 전자와 중성미자 및 기타 렙톤은 기본 입자이나, 강입자는 쿼크로 이루어진다. 이들은 게이지 보손에 의하여 상호작용한다. 게이지 보손은 이론의 대칭을 나타낸다. 표준 모형의 대칭 가운데 강한 상호작용의 대칭은 색가둠으로 인하여 간접적으로만 관찰할 수 있고, 약한 상호작용의 대칭은 힉스 메커니즘으로 인하여 깨진다. 따라서 거시적으로는 전자기 상호작용의 대칭만 쉽게 관찰할 수 있다.
표준 모형은 실험적으로 힉스 메커니즘을 제외하고 1980년대에 완성되었다. 힉스 메커니즘은 2010년대 초에 실험적인 증거가 발견되었다.
표준 모형 현상론
표준 모형에서는 중성미자와 게이지 보손, 힉스 보손을 제외한 모든 입자를 디랙 입자로 나타낸다. 이들 입자는 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하를 가지고, 그 반입자와 서로 다르다. 표준 모형은 이들 입자의 질량을 예측하지 못하나, 대체로 세대가 높을 수록 더 무겁다. 표준 모형의 디랙 입자 중, 강하게 상호작용하는 입자는 쿼크, 그렇지 않는 입자는 중성미자와 함께 렙톤으로 분류한다. 쿼크는 ±⅓ 혹은 ±⅔의 전하를 가지고, 중성미자가 아닌 렙톤은 ±1의 전하를 가진다. 이들 입자는 힉스 메커니즘으로 질량을 얻는다. 중성미자는 바일 입자(손지기 페르미온)으로 나타낸다. 즉 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하가 없고, 그 반입자와 다른 손지기(chirality)를 가진다.
표준 모형 현상론
6종의 쿼크 맛깔은 시간이 지나면서 서로 다른 맛깔의 쿼크로 변할 수 있는데, 이를 쿼크 섞임이라고 한다. 쿼크가 섞이는 정도는 CKM행렬이라는 수학적 개체로 나타낸다. 이는 이탈리아의 니콜라 카비보(Nicola Cabbibo)와 일본의 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 도입하였다. 예를 들어, 중성자는 양성자로 붕괴할 수 있다 (베타 붕괴). 이 과정에서 아래 쿼크는 위 쿼크로 바뀐다. 쿼크 섞임 때문에 표준 모형은 CP 대칭을 보존하지 않는다.
렙톤의 경우, 표준 모형에서는 렙톤이 섞이지 않는다. 즉, 표준모형은 세 종류의 렙톤 수(전자 수, 뮤온 수, 타우온 수)를 개별적으로 보존한다.
표준모형의 페르미온은 다음과 같이 세 세대로 나뉜다. 각 세대의 서로 대응되는 입자는 질량을 제외하고는 정확히 같은 성질을 지닌다. 표준 모형은 왜 세대 구조가 존재하는지 설명하지 못한다.
표준 모형 현상론
표준 모형은 게이지군이 SU(3)C×SU(2)W×U(1)Y인 게이지 이론이다. 이 중 강력은 SU(3)C, 약전자기력은 SU(2)W×U(1)Y에 해당한다. 낮은 에너지에서, 약전자기력의 대칭은 힉스 메커니즘에 의해 자발적으로 깨져 전자기력의 U(1)EM만 남고, 나머지는 약력을 이룬다. 이 과정으로 인해 힉스 보손과 약력의 게이지 보손은 질량을 얻는다. (여기서 U(1)Y와 U(1)EM은 서로 다른 군이다.)
강력의 게이지 보손은 글루온이다. SU(3)가 8차원이므로, 글루온은 총 여덟가지의 색을 지닌다. 강력은 오직 쿼크에만 작용하고, 렙톤에는 작용하지 않는다. 쿼크는 세가지의 색을 지닌다. 이를 가시광선의 삼원색을 따서 통상적으로 빨강, 초록, 파랑으로 부른다. 이 때문에 강한 상호작용을 기술하는 양자장론을 양자 색역학이라고 일컫는다.
글루온을 통하여 쿼크의 색이 바뀔 수 있다. 따라서 글루온의 색을 3가지의 색을 다른 색으로 바꾸는 조합 (초록→빨강, 빨강→파랑 등)으로 볼 수 있다. 3가지의 색을 다른 3가지로 바꾸는 조합은 총 3×3=9가지이나, 그중 모든 색을 그대로 두는 (빨강→빨강, 초록→초록, 파랑→파랑) 변환을 제외하여 8가지의 색이 남는다.
전약력의 게이지 보손은 SU(2)×U(1)이 4차원이므로 4종인데, 이는 대칭 깨짐 이전의 W+, W-, W0 (약한 아이소스핀, SU(2)), B (약한 초전하, U(1))에 해당한다. 대칭 깨짐 이후, W0과 B는 광자와 Z보손으로 섞인다. 전약력의 게이지 군 가운데 SU(2)의 전하는 약한 아이소스핀, U(1)의 전하는 약한 초전하이다. 대칭이 깨지면서, 약한 아이소스핀의 한 성분과 약한 초전하가 섞여 양자전기역학의 대칭군 U(1)을 이룬다.
표준 모형 표준 모형의 이론적 구성
표준 모형은 대부분의 양자장론처럼 많은 수의 대칭을 지닌다. 대칭은 다음과 같이 분류할 수 있다.
연속적 대칭: 이들을 리 군을 이룬다. 연속적 대칭은 뇌터 정리에 의하여 해당하는 보존량을 가진다.
전반적 대칭: 모든 곳의 마당 전체를 변환하는 대칭.
시공간 대칭: 시공의 대칭군. 특수상대성이론에서는 푸앵카레 군이고, 뉴턴역학에서는 갈릴레이 군.
우연한 대칭: 이론에서 가정하지 않았으나 "우연히" 생겨난 대칭. 비(非)건드림이론 차원에서 깨질 수 있다.
게이지 대칭 (국소적 대칭): 특정한 구역의 마당만 변환하는 대칭. 이런 대칭을 가진 이론을 게이지 이론이라고 한다.
자연계에서 약력은 C 대칭과 P 대칭을 최대로 깬다. 따라서 표준 모형은 이들을 따르지 않는다. 강력의 경우 이론적으로 C 대칭을 깰 수 있으나 (강력 CP 문제), 이는 관측 불가능할 정도로 작다. 약력은 2세대 이하에서는 CP 대칭을 보존하지만 3세대 이상으로는 CP 대칭을 깬다 (CP 위반). 표준 모형은 다른 모든 특수상대론적 이론과 같이 푸앵카레 대칭을 따르므로 CPT 정리에 따라 CPT 대칭을 따른다. CPT는 이산대칭이기 때문에 뇌터 정리에 해당하지 않고,연관된 보존량도 없다.
표준 모형 표준 모형의 이론적 구성
표준 모형은 SU(3)×SU(2)×U(1)의 대칭군을 가진 게이지 이론이다. 여기서 SU(3)은 색력에 해당하고, SU(2)×U(1)은 전약력에 해당한다. SU(2)를 약한 아이소스핀, U(1)을 약한 초전하라고 부른다. 이 중 SU(2)×U(1)은 U(1)으로 깨지게 된다. 여기서 깨진 후 남은 U(1)은 전자기 대칭으로, 약한 초전하의 U(1)과는 다르다. 이에 따라 표준 모형은 색전하, 약한 아이소스핀, 약한 초전하를 보존한다.