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노무현 평가와 비판
2018년 8월 23일 통계청이 발표한 2분기 가계동향조사(소득 부문) 결과에 따르면, 노무현정부(2004~2007년·2003년은 통계 작성 시작연도로 전년과 비교 불가)에서의 1분위 가구 연평균 소득성장률은 4.0%였으며, 5분위 가구는 5.0%를 기록해 큰 차이를 보이지 않았다. 보수정권으로 분류되는 이명박·박근혜정부에서는 오히려 1분위 가구의 소득성장률이 높게 나타났다. 이명박정부에서 1분위 가구의 가계소득은 연평균 6.6%나 오른 반면 5분위 가구 성장률은 4.6%에 그쳤다. 박근혜정부는 1분위 가구가 2.5%, 5분위 가구는 2.0%의 성장률을 보였다. 보수 정권기에는 소득 5분위 배율과 지니계수가 개선되었으나 진보 정권기에는 도리어 악화된 것으로 나타났다. 이두원 연세대 경제학과 교수는 "보수정권에서 양극화가 심해질 것이란 통념과 달리 2000년대 이후로는 보수·진보 정권을 가리지 않고 사회보장성 제도가 대폭 확대돼 왔다"며 "오히려 높은 경제성장을 통해 분배도 개선시키는 방식이 효율적임을 보여주는 지표"라고 말했다. 문재인 정부가 추진 중인 소득주도성장은 이번 2분기 가계소득 통계를 통해 그 실상이 적나라하게 드러났다고 평가된다. 그동안 정부는 최저임금 인상을 통해 취약계층의 소득을 올려주는 방식으로 새로운 성장 모델을 만들어낼 수 있다고 주장했으나 지난 1분기에 이어 이번 2분기에도 저소득층의 소득이 절대적으로는 물론 상대적으로도 큰 폭으로 감소한 게 확인됐기 때문이다.
노무현 평가와 비판
2003년 7.23배였던 소득 5분위 배율은 해마다 증가해 2006년 7.64배까지 벌어졌고, 지니계수는 2003년 0.341에서 2006년 0.351로 증가해 소득 불평등이 심화됐다. 소득 5분위 배율은 상위 20% 소득을 하위 20% 소득으로 나눈 값이고, 지니계수는 1에 가까울수록 불평등하고 0에 가까울수록 평등함을 나타낸다. 양극화를 해소할 참여정부의 정책이 없었다는 비판이 있으며, 관료들이 주도한 정책은 양극화를 더 심화시켰다는 비판 역시 존재한다. 유종일 한국개발원(KDI) 국제정책대학원 교수(경제학)는 “참여정부는 출범 초기에 ‘국민소득 2만불론’이라는 성장우선주의 담론을 내걸었고, 집권하자마자 법인세 인하 조치를 취했다고 비판했다.
노무현 평가와 비판
2003년 4월 교육행정정보시스템(NEIS)의 논쟁이 뜨거웠다. 토론회, 집회 등에 여러 가지 양상으로 도입 반대 의견들이 쏟아졌다. 결국 출결, 성적만 관리하는 형태인 호주의 경우와 달리 모든 업무를 관리하는 초기 설계로 관철 되었다. 반대측에 우려대로 운영 초기 시스템 부하 문제 등이 발생하였으나 일선 교사들은 전산화로 업무가 편해졌다고 찬사를 보낸다. 산간 벽지에 폐교 위기의 학교가 아닌 부촌에 사립 학교 조차 IoT, Cloud 등을 도입하여 전산 시스템을 증설하기 힘든 결함이 존재한다.
황우석 사건에서의 태도 또한 비판의 대상이 되고 있다. 2005년 11월 27일, 청와대 홈페이지에 "PD수첩이 황당한 취재를 한다는 이야기를 들었다. 심지어 협박과 위협도 한다고 한다. 말도 안 된다고 생각한다"라는 글을 올리면서 PD수첩의 줄기세포에 진위에 대한 취재에 대해 부정적인 언급을 했으며, 이후 줄기세포가 가짜로 판명된 후에도 "자, 이걸로 정리를 하자"라는 말로 상황을 무마시키려 했다는 비판이 있다.
노무현 평가와 비판
이후 2006년 12월 28일에는 황우석 사건을 통해 대통령에게 제대로 보고하지 않은 책임을 지고 같은 해 1월에 물러난 박기영 전 대통령 정보과학기술 보좌관이 정책기획위원으로 발탁되었는데, "박 전 보좌관이 정책기획위원을 맡을 수 없을 정도로 심각한 도덕적 문제를 일으켰다고 판단하지는 않는다"라고 발언을 해 논란이 되기도 하였다.
한편 2007년 12월 노동운동계에서는 노무현 정권에서 구속되거나 희생당한 노동자 수가 김영삼 정권의 두 배라며 비판하였다. 일부 노동단체는 노무현 정권에게 인권을 유린당했다고 주장하였으며 20여 명의 구속 노동자가 무기한 단식 농성에 돌입한 일도 있었다. 단식 농성에 참여한 구속 노동자들은 "하중근 사망 사건" 관련 싸움을 진행했던 포항건설 노조의 9명, 타워크레인 노동자 5명, 뉴코아-이랜드 관련 2명, 비정규직 철폐와 한미 FTA 반대 집회에서 연행 구속된 3명, 노사관계 로드맵 야합에 반대하며 한국노총 점거 농성을 진행한 2명의 노동자 등이다. 언론에서는 이렇게 많은 수가 감옥에서 단식 농성에 돌입한 것은 독재 타도를 외치던 80년대 이후 처음이라는 주장도 나왔다.
노무현 평가와 비판
한편 언론지 '참세상'의 조사에 따르면, 구속 노동자 후원회가 집계한 2007년 11월 30일 당시 구속 노동자는 총계 62명으로 집계하였으며, 노무현 정권에만 1천 37명의 노동자가 구속된 바 있다고 주장했다. 그중 2007년 11월에만 17명이 구속되었다. 이는 문민정부가 들어섰다는 김영삼 정권 때 632명보다 두 배에 가까운 수치이다. 구속 노동자들은 그 외에 "강제 구금당한 이주 노동자의 수는 너무 많아서 집계가 불가능할 정도"라고 주장하기도 했다.
노무현은 2003년 6월의 일본 방문에서 한 "김구는 실패한 정치인" 발언과, 2004년 7월의 한일 정상회담에서 독도를 다케시마라 발언한 것을 두고 비판 여론이 제기되었다. 당시 한나라당에서는 그의 외교 정책을 "굴종 외교"로 규정하였다.
2004년 한일정상회담 직후에는 한나라당 이상배 정책위의장이 그의 외교를 '등신외교'라고 비판하자 청와대와 민주당이 강력 반발, 국회 본회의를 거부하는 등 여야가 정면 충돌하기도 했다. 이때문에 국회 의사 진행이 중단되는 등의 파행이 벌어지기도 했다.
노무현 평가와 비판
2007년 남북정상회담에서 NLL을 포기했다는 주장이 있었다. 이에 따르면 노무현 대통령이 "실질적으로는 거의 아무 이해관계가 없는 문제를 놓고 괜히 어릴 적 땅따먹기.할 때 땅에 줄 그어놓고 니 땅 내 땅 그러는 것 같다"면서 NLL이 안보상의 실질적 문제가 아닌 정서적인 문제라고 발언했다고 한다. 이어 "대강 그려도 아무 문제가 없는데 어느 쪽도 대강그릴 수 없는 심리적 상태, 이것이 우리의 비극"이라고 덧붙였다고 한다. 그리고 NLL이 '영토선'이라는 시각에 대해서도 "내가 NLL이 무슨 영토선이냐고 했더니 '목숨 걸고 지킨 우리의 영토선이고 방위선'이라고 하던데 일리가 있지만 한편으로는 그 선 때문에 아까운 목숨을 잃은 것이니까 그 선이 합의가 되어있는 선이라면 목숨을 잃지 않아도 되는 거 아니냐"면서 NLL에 대한 새로운 합의 필요성을 역설적으로 설명했다고 한다.
이에 송대성 세종연구소 수석연구위원은 노무현의 민주평통 NLL발언에 대해 "어떻게 국군통수권자로서 농담처럼 NLL문제를 얘기할 수 있냐"고 반문하면서 "영토문제에 대해 통수권자가 이렇게 말하는 경우는 세계에 유례가 없을 것"이라고 비판했다. 이어 "북측은 NLL이 일방적으로 그어졌다고 주장하면서도 70년대 중반까지 실제적인 영토선으로 준수해왔으나 대북햇볕정책이 실시되면서부터 북한이 본격적으로 시비를 걸기 시작했다"고 지적했다.
김영호 성신여자대학교 정치외교학과 교수는 "대한민국을 수호해야 하는 대통령으로서 대단히 부적절한 발언"이라고 말했다. 이어 "NLL이 무너질 경우 수도권 방어가 어렵고, 국익과 안보에 위해가 올 것이기 때문에 NLL 준수가 바람직하다고 생각하는데 대통령은 국민들보다도 안보의식이 해이한 것 같다"면서 "노 대통령이 임기말 대북관계에서 억지 성과를 내려는 데 집착해 누가 봐도 납득이 안 되는 이상한 망언들을 하고 있다"고 비판했다.
이렇게 보수적인 색채를 띄는 사람들이 NLL(북방한계선)에 대하여 기본적으로 영토선적인 인식을 가지고 노무현 정부를 비판하지만, 이런 문제는 김영삼 정부 시절 국방부 장관이 국회에서 한 발언을 볼 때 단순히 '트집잡기'에 지나지 않으므로 건설적인 대안을 마련해야 한다는 시각도 있다.
한편 대북低(저)자세 외교라는 비판과 함께 민간 차원의 북한 반대 운동을 탄압하여 표현의 자유를 억압하였다는 주장이 있었다. 민간단체의 인공기 소각 퍼포먼스에 대해 대통령이 직접 북한에 사과한 것에 대해서도 대북 굴종 외교 논란이 있다.
이런 태도에 대하여 반론도 있다. 대한민국 헌법에 의하여 조국의 평화적 통일을 위한 성실한 의무(헌법 제66조 제3항)를 다하여야 하는 대통령 입장에서 대북 적대를 하여 괜히 국익에 이로울 것이 없다고 판단하여 남북관계개선의 기반이 된다고 할 수 있는 남북신뢰를 다지기 위한 전략적 발언이라고 볼 수 있으며, 그 결과 2007년 남북 정상 회담을 통한 2007 남북정상선언문을 이끌어낼 수 있었다.
진보적 가치 실현, 사회적 약자에 대한 관심 등등을 노무현 정신으로 이야기하는 사람들이 많다. 하지만 노무현 정신의 핵심을 한마디로 정리하면 바보 노무현
의 삶처럼 사람 냄새 나는 삶의 실현이었던 듯하다. '대통령의 언어'가 아닌 '서민의 언어'로 말하고 서민의 몸짓으로 행동하던 노무현 전 대통령의 언행은 오해를 불러일으키는 일도 많았고, 그로 인해 안티도 많았다. 이 모든 해프닝은 노무현 전 대통령이 청와대에 입성한 뒤에도 털어내지 못한 서민적 언행에서 비롯된 것들이었다. 노무현 전 대통령의 서민적 풍모는 전직 대통령으로는 처음으로 낙향해 살면서 보여준 봉하마을 생활에서도 그대로 드러났다.
2011년, 미국의 폭로 전문 웹사이트 위키리크스는 노무현에 대한 미국 대사관의 평가를 공개했다. 이 문서에서는 노무현을 "고졸 출신의 대통령으로서 국제 무대에서는 신인이지만 주관이 뚜렷하고 신념이 확고하다"고 평가했다.
2010년 10월, 30여개 분야 전문가 1,500여명을 대상으로 시행된 조사에서 응답자 가운데 가장 많은 11.1%가 노무현 전 대통령을 '우리 시대 영웅'으로 꼽았다. 이어 김대중 전 대통령과, 박정희 전 대통령이었다. 또한 정치, 통일, 국제, 외교 분야에서 가장 존경받는 인물로는 김대중 전 대통령에 이어 2위를 기록했다. 이어 12월 4일 중앙일보가 실시한 여론조사에서도 정치발전에 대한 긍정 평가가 67.9%에 달해 박정희 전 대통령에 이어 2위를 차지했다. 특히 남북 화해 부분에서는 80% 이상이 긍정적인 평가를 내렸다.
2011년 5월 12일에 더 좋은 민주주의 연구소가 리서치뷰에 의뢰해 실시한 여론조사에 따르면 노무현 전 대통령은 다시 대선에 출마할 경우 다시 뽑겠다는 응답이 47.4%로 나타나 박정희 전 대통령에 이어 2위를 기록했다. 또한 전현직 대통령들 중 가장 호감 가는 인물을 묻는 단순 호감도 조사에서도 30.3%로, 31.9%를 기록한 박정희 전 대통령에 이어 2위를 차지했다.
노무현 논란과 의혹
2006년 1월 18일 그는 2006년도 대국민 신년연설을 통해 한미 FTA 협상 의지를 발표 하였다. 2월 3일 당시 미국시각으로는 2월 2일 그는 미국으로 간 통상교섭본부장 김종훈을 통해 미국 의회에서 협상 출범을 선언했다. 이후 노무현이 대통령에 재임 중인 2007년 4월 2일 한미 FTA가 타결되었다.
6월 5일부터 6월 9일 미국 워싱턴 D.C.에서 한미 자유무역협정(FTA) 1차 협상이 개최되었다.
2006년부터 그는 한미 FTA 추진을 강행한다. 그러나 한미 FTA 반대운동에 적극 참여하던 허세욱은 결국 협상이 타결 직전에 이르러 가자 2007년 4월 1일 협상장인 서울 하얏트 호텔 정문 부근에서 분신하였다. 그는 의식이 혼미한 상태로 실려 가면서까지 한미FTA 중단과 노무현 정권 퇴진을 요구하였다.
노무현 논란과 의혹
4월 3일 민주노동당은 지역위원회별로 모금운동을 시작했다고 언론에 밝혔고, 4월 4일 참여연대 등도 '병원비가 많이 나올 텐데 조금이라도 힘이 되어주자'며 성금 모금 활동이 있었다. 참여연대 게시판 등에도 많은 네티즌들의 격려와 후원이 있었다. 그러나 그는 사망하면서 모두가 비정규직이니 모금성금은 하지 말아달라는 유언을 남기기도 했다. 2007년 3월 8일부터 3월 12일 한미 FTA 8차 협상이 서울에서 개최되었다. 협상은 1개월만에 체결된다.
2007년 4월 2일 한미 FTA가 최종 타결된다. 그러나 6월 16일 미국 측에서 노동, 환경 등 7개 분야 수정안 제의하여 6월 21일부터 6월 22일 FTA 추가협상 1차 협상을 개최하여 6월 29일 추가협상도 최종타결되었다.
한편 분신자살기도로 입원중인 허세욱을 문병왔다가 허세욱으로부터 입당 권유를 받은 경제학자이자 노무현 정부의 청와대 경제비서관 출신정태인(鄭泰仁)은 그의 뜻에 따라 민주노동당에 입당했다. 정태인은 이후 노무현 정부와 결별했고, 더불어 그의 30년 친구인 유시민 등과도 결별을 선언하기도 했다. 2008년 진보신당 창당 이후 정태인은 진보신당에 입당하였다.
노무현 논란과 의혹
노무현 전 대통령의 사돈인 배병렬(62) 전 NH-CA자산운용(구 농협CA투자신탁운용, 이하 CA자산운용) 상임감사가 검찰의 조사를 받았다. 2005년 자신의 삼촌이 회장으로 있던 회사가 농협에서 수십억원대의 대출을 받는 과정에서 개입, 압력을 행사했다는 의혹이 불거졌기 때문이다.
경남 김해시 소재 농협 내외동지점 부지점장을 역임한 김모 씨 주장에 따르면, 배씨는 자신의 삼촌 배OO이 회장으로 일하던 T개발이 아파트를 짓는 과정에서 농협 대출이 원활히 이뤄지지 않자 농협 김해 내외동지점과 심사를 맡은 농협중앙회 등에 압력을 행사해 대출이 가능토록 했다. 김 전 부지점장은 당시 대출을 진행하는 과정에서 여러 차례 배 전 감사를 만났고 압력에 가까운 지시를 받았다고 주장하였다.
당시 T개발에 대한 대출이 문제가 있었음은 이 대출에 직간접적으로 관여한 농협 인사들을 통해서도 확인된다.
2007년 남북정상회담에서 서해상 북방한계선을 포기하겠다는 발언을 했다고 새누리당 서상기, 정문헌 의원이 주장하여 논란이 일었다. 당시 공세를 주도했던 윤상현 새누리당 의원은 2007년 남북정상회담 당시 노무현 대통령이 서해 북방한계선(NLL) 포기 발언을 하지 않았다고 훗날 밝혔다.
노무현 언론과 노무현
노무현이 3당 합당을 거부하고 통합민주당 대변인이 된 직후인 1991년 10월 조선일보는 주간조선 보도를 통해 이력과 재산을 문제 삼았다. 노무현은 주변의 만류에도 불구, 정치인으로는 이례적으로 조선일보를 상대로 명예훼손 소송에 나서 승소했다. 국민의 정부 때 해양수산부 장관으로서 언론사 세무조사를 앞장서 지지하고 2002년 민주당 대선 후보 경선 당시 언론사 소유 지분 제한에 공개 찬성했다. 보수 언론과의 적대적 관계가 고착화되기 시작했다.
처음 '이인제 대세론'에 묻혀 있다가 2002년 3월 16일 광주 지역 경선부터 본격적인 노풍(盧風)을 일으켰고, 언론들은 이 현상을 신기한 듯 부쩍 관심을 보였다. 그러나 노무현 바람에 심상치 않은 무게가 실리자 보수 언론의 견제가 본격화됐다. 대선 당일 조선일보가 사설에서 "지금 시점에서 분명한 것은 후보 단일화에 합의했고, 유세를 함께 다니면서 노무현 후보의 손을 들어줬던 정몽준 씨마저 '노 후보는 곤란하다'고 판단한 상황"이라며 "이제 최종 선택은 유권자들의 몫"이라고 방점을 찍은 일은 두고두고 회자되었다.
노무현 언론과 노무현
대권을 잡은 이후에는 집권 1년 만에 보수 언론의 포화 속에 헌정 사상 유례없는 탄핵을 당하기도 했다. 탄핵 반대 촛불 여론으로 권좌를 되찾은 후에도 보수 언론의 공격은 그치지 않았으며, 여기에 이라크 파병과 한미 FTA 협정 추진, 대연정 구상 등으로 인해 진보 언론도 노무현에게 칼을 겨누기 시작했다. 임기 말에는 취재 지원 시스템 선진화 방안이 기자실 폐쇄로 이어지면서 보수와 진보를 가리지 않은 모든 언론이 비판을 퍼부었다.
'박연차 회장 비리 사건'에 연루된 정황이 드러나면서 진보 언론마저 완전히 등을 돌리고 말았다. 언론들은 검찰발로 노무현의 가족과 관련된 비리를 낱낱이 보도하며 노무현을 부도덕과 비리의 몸통인 양 매도했다고 해도 과언이 아니었다.
사망으로 노무현의 생애가 역사의 뒤안길로 넘어가면서 언론의 긍정적인 평가들이 등장했다. 한국 정치사에서 언론과의 관계가 가장 순탄치 않았던 정치인으로 평가되었다.
노무현 종교
1986년 당시 천주교 부산교구 당감 본당의 주임신부였던 송기인 신부로부터 영세를 받아 '유스토'라는 세례명을 얻었지만 열심히 신앙생활도 못하고 성당도 못 나가 프로필의 종교란에는 무교로 쓴다고 밝힌 적이 있다.
대통령 후보 시절인 2002년 6월 20일에 서울 종로구 혜화동 가톨릭대 주교관이던 김수환 추기경을 방문했다. 서로 이야기를 주고받다가 노무현이 먼저 신앙 문제를 화제로 꺼냈다. 노무현은 "1986년 부산에서 송기인 신부로부터 영세를 받아 '유스토'라는 세례명을 얻었다."라고 소개하고 "하지만 열심히 신앙생활도 못하고 성당도 못 나가 프로필 쓸 때 종교란에 '무교'로 쓴다."라고 고백했다.
이에 김수환은 "하느님을 믿느냐."고 물었고, 노무현은 "희미하게 믿는다."라고 답했다. 김수환이 "어려울 때 하느님께 모든 것을 맡기라."고 말하자 노무현은 "앞으로는 종교란에 '방황'이라고 쓰겠다."고 대답했다.
노무현 종교
노무현은 자택 옆에 있던 정토원이라는 사찰에서 사시 공부를 하였다. 이후에는 김해시 장유면 대청리 장유암에 머무르면서 사시를 준비했으며, 틈틈이 불교 경전을 탐독했다. 9년간 사시 공부를 하여 1975년 3월 30세에 제17회 사법시험에 합격하였다. 평소 불심이 깊은 것으로 알려진 아내 권양숙은 2002년 10월 1일 당시 대선을 앞두고 합천 해인사에 머물고 있는 조계종 종정인 법전 스님으로부터 보살계와 '대덕화'(大德花)라는 법명을 받았는데, '대덕화'는 대한민국 제5·6·7·8·9대 대통령 박정희의 아내 육영수가 받은 법명과 같은 것이었다. 이러한 법명 수계는 불교계의 민심이 실린 것으로 볼 수 있으며, 불교계의 기대를 받고 있음을 보여주는 것이다. 이후 노무현은 재임 기간 동안 해인사를 무려 세 차례나 방문해 현직 대통령으로서는 최다 방문을 하였다. 2003년 12월 22일에 노무현은 아내와 함께 경남 합천 해인사를 불시 방문해 조계종 종정 법전스님, 총무원장 법장스님과 환담한 뒤 오찬을 함께 했다. 사패산 터널 문제에 대한 공약을 지키게 못하게 되었다면서 양해를 구했다.
노무현 종교
또한 노무현은 2005년 8월 30일에 T-50 골든이글 양산 1호기 출고식에 참석했다. 그리고 대한민국 최고 목조 불상인 쌍둥이 비로자나불이 발견되었다는 소식에 해인사에 들러 비행기 사고 없이 잘 날아다니고 잘 팔아 달라고 부처님께 기도를 했다. 취임 이래 2번째로 해인사를 방문했고 해인사 대비로전 건립에 30여억 원의 국고 지원을 즉석에서 약속했다. 2007년 11월 24일 해인사 대비로전(大毘盧殿) 낙성 대법회에 참석하면서 축사를 하였는데 3번째로 해인사를 방문했다.
2009년 5월 23일에 과거 사시 공부를 했던 정토원의 법당에 모셔진 부모와 장인의 위패에 예를 표한 뒤 그 옆의 부엉이 바위에서 투신자살하였다.봉하마을 뒤편 봉화산에 자리 잡은 정토원은 그가 투신한 부엉이 바위에서 약 200M 거리에 위치한 사찰이다.2009년 5월 24일 해인사의 승려 300여 명이 분향소를 찾아 노무현의 죽음을 애도했다.
노무현 별명
노짱은 노무현의 애칭이다. 노무현 짱의 줄임말로, 한국어 '짱'이 아닌 일본어: ちゃん 짱, 쨩[*]을 붙인 것으로 오해하는 경우도 있다. 다만 사용하는 의미는 ちゃん(친하게 부르는 접미사)와 같아서 큰 문제는 되지 않는다.
2000년대 초, 노사모의 회원들은 노무현을 노무현 짱이라는 말을 줄인 '노짱'으로 친근하게 불렀다. 또한 노무현 자신도 자신을 노짱이라고 언급한 적이 있다.
또한 언론에서도 사용된다.
노무현 저작물
생전에 출간된 저서
《사람 사는 세상》 (1989.09.19)
《여보, 나좀 도와줘》 (새터, 1994.09.01) ISBN 89-87175-19-7
《의원님들 요즘 장사 잘돼요?》 (공저 노무현 외 10인, 1997.09.25)
《마음 먹었을 때 시작해라》 (공저 노무현 외 54인, 우민OK논술교실, 2000.06.01) ISBN 89-91499-27-9
《노무현이 만난 링컨》 (학고재, 2001.11.30) ISBN 89-85846-89-2
《노무현: 상식, 혹은 희망》 (공저 노무현 외 13인, 행복한책읽기, 2002.02.28) ISBN 978-89-89571-03-2
《노무현의 리더십 이야기》 (행복한책읽기, 2002.10.15) ISBN 89-89571-07-3
《성공하고 싶다면 군대에 가라 2》 (공저 노무현 외 48인, 국방일보, 중앙M&B, 2003.12.12) ISBN 89-8375-824-4
《로마의 논리와 감성》 (공저 노무현 외 81인, 우민OK논술교실, 2005.12.01) ISBN 89-91499-27-9
노무현 저작물
사후 출간된 저서
《성공과 좌절 (노무현 대통령 못 다 쓴 회고록)》 (노무현 저, 학고재, 2009.09.22) ISBN 978-89-5625-096-0
《진보의 미래 (다음 세대를 위한 민주주의 교과서)》 (노무현 저, 동녘, 2009.11.27) ISBN 978-89-7297-608-0
《운명이다 (노무현 자서전)》 (노무현 저, 유시민 정리, 노무현재단 엮음, 돌베개, 2010.04.26) ISBN 978-89-7199-386-6
《봉하일기 (그곳에 가면 노무현이 있다)》 (공저 노무현 외 11인, 부키, 2012.01.12) ISBN 978-89-6051-192-7
《노무현의 사람 사는 세상》 (2018.05.21)
《그리하여 노무현이라는 사람은》 (2019.05.03)
노무현 저작물
"제가 생각하는 이상적인 사회는 더불어 사는 사람 모두가 먹는 것 입는 것 이런 걱정 좀 안 하고 더럽고 아니꼬운 꼬라지 좀 안 보고 그래서 하루하루가 좀 신명나게 이어지는 그런 세상이라고 생각합니다. 만일 이런 세상이 좀 지나친 욕심이라면 적어도 살기가 힘이 들어서 아니면 분하고 서러워서 스스로 목숨을 끊는 그런 일은 좀 없는 세상, 이런 것이라고 생각합니다." (1988년 13대 국회 대정부질의)
TV 토론 등에서 "맞습니다, 맞고요"라는 발언을 하여, 이 발언이 대통령 취임 초기 한동안 유행어로 회자되기도 했다. 당시 KBS의 예능 프로그램인 《개그콘서트》에서 출연하고 있는 개그맨 김상태를 비롯한 여러 연예인들이 그를 흉내내기도 했다. 넷피아의 한글인터넷 도우미를 설치한 컴퓨터에서 "맞습니다맞고요"라는 한글 주소를 입력하면 청와대 홈페이지에 연결되었다. 그러나, 노무현이 퇴임한 현재는 그의 개인 사이트인 '사람사는 세상'으로 연결된다.
노무현 기타 사항
후보 시절 그의 말버릇으로 '맞습니다 맞고요' 가 유행을 타기도 하였다. 특히 KBS2 《개그콘서트》 코너 '봉숭아 학당' 에서 개그맨 김상태가 노무현을 패러디해 연기한 노통장 캐릭터의 주된 대사 역시 '맞습니다 맞고요'였다. 한 검색엔진에서는 사이트 URL에 '맞습니다 맞고요' 를 검색하면 청와대 홈페이지로 리다이랙트 되도록 설정해 놓기도 했다.
노무현은 청와대 온라인 행정업무 처리 표준화 시스템인 'e지원'을 개발하게 하였다. e지원 시스템으로 청와대에서 종이 서류를 없애고 대신, 대통령의 모든 지시가 'e지원' 을 통해 이뤄지고 있다고 설명했다. 또한 e지원으로 인해 행정관이나 비서관의 업무 기안이 온라인에서 이뤄지고 대통령을 비롯해 간부들은 실시간으로 추진 중인 업무에 대해 댓글로 지시, 보완하고 결재까지 해서 간소화되었다. 노무현은 임기 후 e지원의 복사본을 제작해 봉하 마을에 설치하였는데, 국가정보 보안과 관련하여 문제가 제기되었고, 복사본을 제작하여 사유하는 것에 대하여 법적 근거가 없다는 법제처의 해석이 나오기도 했다. 차후 국가기록원에 반납 처리되었다.
노무현 기타 사항
사법 시험 준비생 시절 그는 '개량 독서대'를 고안해 특허받기도 했다. 아울러 민주당 최고위원 시절인 지난 1994년에는 정치인을 위한 인명록 통합 관리 프로그램인 '한라 1.0'을 개발했고, 이는 버전 업을 거쳐 몇 년 후 '노하우(KnowHow) 2000'으로 업그레이드하기도 했다. 또한 의자 등받이를 높게 해 윗부분을 옷걸이 모양으로 해 웃옷을 걸어놓은 '옷걸이 의자'도 발명했지만 큰 빛을 보지 못했다. 퇴임 후에는 인터넷 토론 사이트 《민주주의 2.0》을 개설했다.
노무현 기타 사항
2009년 9월 23일, 참여정부 시절 인사들로 구성된 재단준비위원회는 사람사는세상 노무현재단을 출범시켰다. '사람사는세상' 은 노무현의 정치 슬로건 중 하나였으며, 1989년 통일민주당 소속으로 국회의원에 당선됐을 때부터 사용했다. '사람사는세상' 의 어원은 노무현이 생전 즐겨부르던 민중가요 《어머니》의 가사 첫 줄인 '사람사는세상이 돌아와~'이다. 2000년 총선에서 낙선한 뒤 노무현은 개인 인터넷 홈페이지를 개설했고, 홈페이지의 이름 역시 '사람사는세상' 이었다. 이 홈페이지는 2003년 2월 노무현이 대통령으로 취임한 이후 일시 폐쇄되었다가, 노무현이 임기를 마치고 봉하마을로 낙향한 뒤 다시 개설하여 서거 직전까지 사용하였다. 노무현의 서거 이후 노무현재단이 출범한 뒤에는 노무현재단의 홈페이지로 개편되었다.
노무현 기타 사항
사람사는세상 노무현재단은 전직 대통령에 대한 예우 관련 법률에 의거, 전직 대통령 기념사업 및 민주당계 정치세력의 싱크탱크 역할을 한다. 초대 이사장은 한명숙이 맡았으며, 이 후 문재인, 이병완, 유시민 등이 이사장직을 거쳐갔다. 2022년 9월 정세균이 이사장으로 취임하였다. 본사는 서울특별시 종로구 창덕궁길 73에 있으며, 노무현시민센터 건물 내에 위치해있다.
한편 '재단법인 봉하'는 부인 권양숙이 이사장을 맡아 출범시켰다. 재단법인 봉하는 봉하마을 내 대통령 묘역 및 시설 관리 등을 주된 업무로 두고 있으며, 재단의 성격상 노무현재단과 분리되어 운영된다.
노무현은 생전 노래를 즐겨불렀고, 대중문화에 큰 관심을 가진 정치인으로 평가받았다. 그가 생전 자주 즐겨부르던 노래는 양희은의 《상록수》, 해바라기의 《사랑으로》, 민중가요 《어머니》, 《바위처럼》, 《작은 연인들》, 문성재의 《부산갈매기》 등이었다. 2002년 대통령 선거 당시 노무현은 대선 광고에서 직접 기타를 치며 《상록수》를 불렀고, 《사랑으로》는 연주자의 피아노 연주에 맞춰 불렀다. 또한 부산에서 열린 유세에서는 《부산갈매기》를 직접 부르며 지지를 호소하기도 하였다.
또한 2002년 11월 9일 서울극장에서 열린 '문화예술인의 밤'에 참석하여 직접 문화융성정책을 발표하고 《상록수》를 부르기도 했다.
노무현 가족 관계
어머니(친모) : 이순례 (李順禮, 1914년 ~ 1998년)
형 : 노영현 (盧英賢, 1932년 ~ 1972년)
조카 : 노태국 (盧泰國, 1959년 ~ )
조카 : 노지원 (盧智源, 1965년 ~ )
조카 : 노태진 (盧泰鎭, 1966년 ~ )
누나 : 노영옥 (盧英玉, 1938년 ~ )
조카사위 : 정재성 (1960년 ~ )
형 : 노건평 (盧建平, 1942년 1월 30일 ~ )
형수 : 민미영 (閔美迎, 1945년 ~ )
조카 : 노지연(盧志姸, 1972년 ~ )
조카 : 노상욱 (盧尙煜, 1975년 ~ )
조카 : 노희정 (盧希正, 1981년 ~ )
배우자 : 권양숙 (權良淑, 1948년 2월 2일 ~ )
아들 : 노건호 (盧建昊, 1973년 ~ )
자부 : 배정민 (裵晶旻, 1976년 ~ )
손녀 : 노서은 (盧敍銀, 2004년 ~ )
손자 : 노하진 (盧荷蓁, 2008년 ~ )
손녀 : 노영진 (盧映臻, 2010년 ~ )
딸 : 노정연 (盧靜姸, 1975년 ~ )
사위 : 곽상언 (郭相彦, 1971년 11월 18일 ~ )
곱셈적 함수
수론에서 곱셈적 함수(-的函數, 영어: multiplicative function) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.
곱셈적 함수 정의
함수 가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.
함수 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, 영어: completely multiplicative function)라고 한다.
(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.:413
곱셈적 함수 성질
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.:417
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가
일 경우, 다음이 성립한다.
만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.:416
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.:415; 417; 421, 따름정리3
여기서 는 뫼비우스 함수이다.
곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면,
이다.:417
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱
와 디리클레 역원
은 곱셈적 함수이다.:423, 정리5; 429, 문제22
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가
일 경우, 다음이 성립한다.:418, 정리1; 423, 식(27)
만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
곱셈적 함수 예
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
즉,
이다.
폰 망골트 함수
는 이 어떤 소수 의 양의 정수 제곱일 경우 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.
체비쇼프 다항식
수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.
체비쇼프 다항식 정의
(실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)
실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식이라고 한다.
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다.
체비쇼프 다항식 성질
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.
즉, 다음이 성립한다.
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간  속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.
예를 들어,
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은  및 이다. 마찬가지로,
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점  및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각  및 이다.
이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
체비쇼프 다항식 예
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)
체비쇼프 다항식 역사
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.
파이의 날
파이의 날(영어: Pi Day 파이 데이[*])은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.
3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.
분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 파이 근삿값의 날로 부르기도 한다.
코사인 법칙
기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, 영어: law of cosines)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.
코사인 법칙 정의
삼각형 의 세 각 가 마주하는 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 코사인 법칙이라고 한다.:67
코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.:67
코사인 법칙에서 가 직각일 경우, 이므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻는다.:67
코사인 법칙 역사
유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다.
코사인 법칙 역사
명제12둔각 삼각형에서, 둔각을 마주하는 변 위의 정사각형은 둔각을 이루는 변들 위의 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 둔각의 변, 그리고 둔각을 향한 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 밖에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 많다.Proposition 12†In obtuse-angled triangles, the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the (sum of the) squares on the sides containing the obtuse angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the obtuse angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off outside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the obtuse angle.
— :64
코사인 법칙 역사
명제13예각 삼각형에서, 예각을 마주하는 변 위의 정사각형은 예각을 이루는 변들 위의 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 예각의 변, 그리고 예각을 향하는 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 안에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 적다.Proposition 13†In acute-angled triangles, the square on the side subtending the acute angle is less than the (sum of the) squares on the sides containing the acute angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the acute angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off inside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the acute angle.
— :65
레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》(라틴어: De Triangulis)에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다.:238-239, §12.4 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》(라틴어: Canon Mathematicus)에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.:239-240, §12.4
코사인 법칙 증명
그림과 같이, 를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 의 높이선 를 긋자. 그렇다면, 는 를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다.
또한, 이므로, 다음이 성립한다.
마지막 두 항을 직각 삼각형 에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다.
이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라
이므로, 코사인 법칙
이 가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다.:64-65 가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.
삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.
세 등식의 양변에 각각 를 곱하면 다음을 얻는다.
이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.
이로써 코사인 법칙이 증명된다.
다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
그렇다면, 벡터 의 길이는 각각 이며, 벡터 와  사이의 각도는 이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.:78
코사인 법칙 비유클리드 기하학의 경우
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 세 각 가 마주하는 세 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, 영어: (first) spherical law of cosines)이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.
이를 제2 구면 코사인 법칙(第二球面cosine法則, 영어: second spherical law of cosines)이라고 한다.
이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.
다음과 같은 벡터들을 정의하자.
즉, 는 각각 에서 를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면,  사이의 각도는 이다. 또한, 는 각각 평면 의 정규 직교 기저를 이루므로, 를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.
따라서, 다음이 성립한다.
단위 구면의 중심을 라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
코사인 법칙 비유클리드 기하학의 경우
그렇다면, 의 길이는 모두 1이며,  사이의 각도는 이며,  사이의 각도는 이며,  사이의 각도는 이다. 따라서, 벡터곱 , , 의 길이는 각각 , , 이다. 또한, 와  사이의 각도는 이며, 와  사이의 각도는 이며, 와  사이의 각도는 이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.
여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.
이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.
구면 삼각형 의 극삼각형을 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 에 적용하면, 구면 삼각형 에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 세 각 이 마주하는 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, 영어: (first) hyperbolic law of cosines)이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
이를 제2 쌍곡 코사인 법칙(第二雙曲cosine法則, 영어: second hyperbolic law of cosines)이라고 한다.
코사인 법칙 비유클리드 기하학의 경우
이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.:72
특히, 가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.:72
복소 평면  위의 열린 단위 원판  위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 의 세 각의 크기를 , 세 변의 길이를 라고 하자.  위에 적절한 등거리 변환을 가하여 을 각각 원점 0, 양의 실수 , 허수부 가 0보다 큰 복소수 로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 와 같으므로, 새로운 삼각형 에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
여기서 은 자연 로그이며, 은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
여기서 는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.:72-74
코사인 법칙 비유클리드 기하학의 경우
쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.
이에 따라 각 의 사인 값은 다음과 같다.
또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 의 코사인 값은 다음과 같다.
따라서, 다음이 성립한다.
마지막 등호에는 항등식 이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.:74-75
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.
이 경우, 일 때 쌍곡 거리 는 유클리드 거리의 2배 로 수렴하며, 쌍곡각 은 유클리드 각 로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.
이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.
다음에 주의하여, 양변에 을 곱한 뒤 극한 을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.
그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.:113-114
제2 쌍곡 코사인 법칙
에 극한 을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.
이는 이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.:114
사인 법칙
기하학에서 사인 법칙(-法則, 영어: law of sines) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.
사인 법칙 정의
삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.:20, 52
여기서 은 삼각형 의 외접원의 반지름이다.
사인 법칙 증명
삼각형 의 변  위의 높이를 라고 하자.:20 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다.
자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.
양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.
삼각형 의 외접원을 그리자.:52 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.
만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.:180
결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.
사인 법칙 구면 사인 법칙
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, 영어: spherical law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.
사인 법칙 구면 사인 법칙의 증명
구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.
남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.:21, Art. 42
구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.
따라서 다음이 성립한다.
여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.:20-21, Art. 40, 41
사인 법칙 쌍곡 사인 법칙
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, 영어: hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.:72
여기서 는 쌍곡 사인이다.
사인 법칙 쌍곡 사인 법칙의 증명
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.:74
벡터 공간
선형대수학에서 벡터 공간(vector空間, 영어: vector space, 문화어: 벡토르공간, 선형공간) 또는 선형 공간(線型空間, 영어: linear space)은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(영어: vector, 문화어: 벡토르)라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.
벡터 공간 정의
체  위의 벡터 공간 은 에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.
이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
실수체 에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, 영어: real vector space)이라고 하며, 복소수체 에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, 영어: complex vector space)이라고 한다.
체  위의 벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 가 의 부분 벡터 공간(部分vector空間, 영어: vector subspace)이라고 한다.
즉, 부분 벡터 공간은 의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.
벡터 공간 의 부분 집합 에 대하여, 의 생성(영어: span) 는 를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 에서, 인 원소 가 존재하지 않는다면, 가 선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다.
벡터 공간 정의
선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원(次元, 영어: dimension) 이라고 한다.
두 벡터 공간 사이의 선형 변환은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다.
벡터 공간 분류
선택 공리를 가정하자. 체 에 대한 벡터 공간 에 대하여 다음이 성립한다.
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 는 의 개의 직합이며, 인 경우 이는 곱집합과 다르다.
벡터 공간 연산
같은 체  위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.
체  위의 벡터 공간 와 그 임의의 부분 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.
몫공간(몫空間, 영어: quotient space) 는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합(=동치류들의 집합)이다.
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.
위의 벡터 공간들의 집합 이 주어졌을 때, 이들의 직접곱
은 집합으로서 들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운 -벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다.
위의 벡터 공간들의 집합 이 주어졌을 때, 이들의 직합은 다음과 같다.
벡터 공간 연산
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
가 존재하며, 따라서 각 는 의 부분 공간을 이룬다.
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 가 의 기저라면,
는 의 기저를 이룬다. 따라서,
이다. 여기서 우변은 기수의 합이다.
위의 벡터 공간들의 집합 이 주어졌을 때, 이들의 텐서곱
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다. 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.
임의의 두 벡터 공간 , 에 대하여, 다음이 성립한다.
여기서 은 기수의 곱셈이다.