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불확정성 원리 역사
후에 하이젠베르크는 자신이 불확정성 원리를 창안할 수 있었던 것은 알베르트 아인슈타인의 영향을 받았기 때문이라고 회고했다. 아인슈타인은 "관찰이란 현상과 그것에 관련된 자연법칙을 알고 있을 때만 의미가 있으며, 관찰할 수 있는 것이 무엇인지를 결정해주는 것이 이론이다."라고 말했는데, 하이젠베르크는 이러한 관점하에 새로운 현상에 대한 연구를 수행한 결과 불확정성 원리에 대한 기본적인 착상을 할 수 있었다고 한다. (아이러니하게도 그러한 계기를 제공한 아인슈타인은 양자역학의 불확정성, 비결정론적인 특성을 매우 못마땅하게 생각했다.) 불확정성 원리에 대한 수학적인 논증을 완성한 하이젠베르크는 이후 사고 실험을 통하여 빛과 물질의 파동, 입자의 이중성이 불확정성으로 연결된다는 것을 입증하려고 했다.
불확정성 원리 역사
하이젠베르크의 1927년 논문은 와 가 무엇을 의미하는지 정확히 명시하지 않았고, 다음과 같은 형태였다.
.
같은 해 7월에 미국의 얼 케너드(Earle Hesse Kennard)가 오늘날과 같이 와 를 관측가능량의 표준편차로 정의하고, 오늘날과 같은 형태의 부등식
을 증명하였다.
불확정성 원리 역사
현미경으로 입자를 관측하는 사고 실험인 하이젠베르크의 현미경(Heisenberg's microscope)은 하이젠베르크가 불확정성의 원리를 설명하는데 사용했던 대표적인 방법이었다. 하이젠베르크는 현미경에 사용하는 빛의 파장이 짧을수록 상을 형성하는 해상도가 높다는 사실을 토대로 원자 속 전자의 위치를 정밀하게 측정하기 위해서는 관측에 사용되는 빛은 감마선 정도여야 한다고 생각했다. 원자 속의 전자를 관측하기 위해 감마선과 같이 짧은 파장(높은 진동수)의 광자를 쏠 경우 감마선 광자가 가진 운동량은 매우 커서 원자가 전자를 잡아두는 에너지를 초과한다. 따라서 이 경우 전자의 위치는 정확히 관측되지만, 광자는 전자에 큰 임의의 운동량을 전달하므로 컴프턴 효과에 의해 전자의 운동량은 부정확하게 측정된다. 반대로 전자를 관측하기 위해 긴 파장(낮은 진동수)의 광자를 쏠 경우 광자의 충돌이 전자의 운동량에 큰 영향을 주지 않지만, 전자에 의해 크게 산란된 광자는 관측자에게 전자의 위치를 정확히 전달해 줄 수 없다. 위의 두 상황에 의해, 전자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 아는 것은 불가능하다.
불확정성 원리 유도 과정
작은입자가 x축 방향으로 놓인 폭이 a인 슬릿을 통과하는 경우를 생각해보자. 이 경우 x축으로의 불확정성은 가 된다. 이 입자는 드브로이의 물질파에 해당되는 파동의 성질을 가지고 있기 때문에 슬릿을 통과한 입자의 파동은 회절하게 되고, 인 곳에서 첫 번째 간섭무늬가 나타나게 된다. 이 경우 전자가 발견될 확률은 회절된 파동함수의 제곱에 비례하기 때문에, 입자의 확률적 분포가 절반각인 에 해당되는 영역 안으로 제한될 것을 의미한다. 따라서 운동량의 불확정도는 다음과 같다.
이때 드브로이의 물질파 관계식으로부터 운동량 이므로 위치와 운동량의 불확정도는 다음과 같다.
이 과정은 일반적인 수학적 증명이 아니라, 위치와 운동량 불확정성이 어떻게 발생하는지 설명하는 발견적 논의(heuristic argument)이므로 그 결과는 정성적이다. 즉, 위 식의 우변인 h는 수학적으로 엄밀한 불확정도가 아니다.
임의의 관측량 A에 대한 분산은 다음과 같다.
마찬가지로 관측량 B의 분산은 다음과 같다.
불확정성 원리 유도 과정
이에 대해 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 다음의 식을 얻는다.
한편, 임의의 복소수 z는 복소수의 일반적인 성질에 의해 다음의 식이 항상 성립한다.
따라서 우변의 에 위의 관계를 적용하면 다음과 같다.
위 식 우변의 괄호 안의 내적을 계산하면 다음과 같다.
마찬가지로,
그러므로 부등식 괄호 안의 내적은 최종적으로 다음과 같이 표현된다.
위 계산결과는 다음과 같이 두 연산자에 대한 교환자 표기법으로 나타낼 수 있다.
따라서 최종적으로 다음의 식을 얻게 된다.
이것이 일반화된 불확정성 원리이다.
여기서 는 임의의 연산자이므로 교환자가 0이 아닌 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 따라서 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성은 일반화된 불확정성의 특정한 예라고 할 수 있다.
1차원(x축) 공간 상에 존재하는 입자의 위치와 운동량을 측정하는 경우를 생각해보자.
양자역학에서 운동량을 측정하는 연산자는 다음과 같다.
위치와 운동량 연산자의 교환자는 다음의 과정을 통해 계산된다.
임의의 함수 f를 제거하면 위치-운동량 교환자를 얻을 수 있다.
불확정성 원리 유도 과정
이것을 일반화된 불확정성 원리에 대입하면 다음과 같다.
양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.
이것이 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성 원리이다.
불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니며 양자역학의 기본 가정으로부터 유도되는 하나의 결과이다. 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성에 대한 보다 엄밀한 전개로써 2003년 1월에 나고야 대학의 오자와 마사나오(小澤正直) 교수는 측정의 한계, 측정 행위에 의한 교란과 양자 자체의 성질에 의한 양자의 움직임을 엄밀하게 구별하는 식을 제안했다. 본래의 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성
은 물리량 와 그것을 측정하는 결과 연산자 와의 차이에 대한 제곱평균제곱근을 의미하는 와
측정 도중의 의 변화량(요동)의 제곱평균제곱근을 의미하는 를 도입하면
와 같게 되는데, 오자와는 보다 일반적인 위치-운동량 불확정성 원리의 보완식으로써 두 개의 항이 추가되는
을 제시하였다. 이 식에 따르면 작은 양자에 대하여 기존의 위치-운동량 불확정성의 '측정의 한계'를 넘는 측정이 가능하게 된다.
불확정성 원리 유도 과정
이것은 이후 빈 공과 대학교와 나고야 대학의 공동 연구에 의하여 특정 조건에서 놓인 중성자의 두 종류 스핀 값을 동시에 정확하게 측정하는 실험으로써 증명되었으며, 2012년 1월 15일 《네이쳐 피직스》에 개재되었다.
임의의 관측량 의 기댓값을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.
슈뢰딩거 방정식을 적용하면
이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
는 헤르미트이므로 ,
따라서 임의의 관측량와 그것에 대한 연산자 , 해밀토니안  사이에는 다음의 관계가 성립한다.
연산자가 시간에 무관하다고 가정하면 마지막 항은 0이 된다.
이제 위 식을 일반화된 불확정성 원리를 적용하면 다음과 같다.
위 식의 양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.
여기서 에너지와 시간을 다음과 같이 정의할 수 있다.
따라서 다음의 관계식을 얻을 수 있다.
이 식이 바로 에너지-시간의 불확정성 원리이다.
불확정성 원리 주요 반론
보어-아인슈타인 논쟁은 아인슈타인이 당시 점차 표준으로 받아들여지고 있던 양자역학의 코펜하겐 해석에 대해 여러 차례에 걸쳐 이의를 제기하고, 이에 대해 닐스 보어가 반박한 사건을 말한다. 대표적으로 제5차(1927년) 솔베 회의에서 언급된 '아인슈타인의 슬릿'과 제6차(1930년) 솔베 회의에서 언급된 '아인슈타인의 박스'가 불확정성원리에 대한 대표적인 반론이다.
또한 양자역학의 측정에 대해 문제를 제기한 정교한 사고실험인 'EPR 역설'(1935년)이 있다.
'아인슈타인의 슬릿'은 아인슈타인의 사고실험으로서, 그 내용을 요약하면 다음과 같다.
입자가 좁은 슬릿을 통과하는 경우, 슬릿을 통과한 입자는 슬릿의 폭에 반비례하는 운동량의 불확정성을 갖게 된다. 하지만 입자의 운동량을 측정하는게 아니라, 입자가 충돌한 벽이 후퇴한 정도를 측정하여 운동량 보존법칙을 이용하면 입자의 정확한 운동량을 측정할 수 있다.
이에 대한 보어의 반론은 다음과 같다.
벽 역시 양자역학의 불확정성 원리를 따르므로 입자가 충돌하기 전 벽의 운동량 역시 불확정성을 지닌다. 따라서 충돌 후 벽이 후퇴한 정도를 측정할 때 벽 역시 위치의 불확정성을 갖게 되어 정확한 측정이 불가능하다.
불확정성 원리 주요 반론
아인슈타인의 상자는 알베르트 아인슈타인이 고안한, 에너지-시간 관계의 불확정성에 대한 사고 실험이다. 그 내용을 요약하면 다음과 같다.
낮은 밀도의 전자기 복사선으로 채워져 있고 내부에는 시계에 의해 작동되는 셔터를 갖춘 상자를 가정하자. 단 하나의 광자만 상자로부터 빠져나올 수 있도록 시계가 특정한 시간 간격으로 셔터를 열고 닫을 수 있게 설정되어 있다. 광자가 빠져나온다면 상자 내부의 에너지가 감소되는 것이므로 질량-에너지 등가원리에 의해 광자가 빠져나오기 전, 후 상자의 질량에는 변화가 있을 것이다. 따라서 시계가 셔터를 열고닫은 시간과 에너지차이를 정확히 계산할 수 있기 때문에 에너지 차이와 시간간격의 곱을 불확정성 원리에 위배되는 정도로 작게 만들 수 있을 것이다.
이에 대한 닐스 보어의 반론은 다음과 같다.
광자가 상자를 빠져나갈 때 발생하는 질량 손실은 중력장의 변화를 유발시키고, 따라서 상자 내부의 시계의 속도에 영향을 주게 된다.
보어는 이 효과가 불확정성 관계에 정확하게 일치함을 보일 수 있었고, 아인슈타인은 자신의 이론에 의해 반박당할 수밖에 없었다. 이후 아인슈타인은 양자역학의 모순성보다는 불완전성의 문제에 집중하였다.
불확정성 원리 주요 반론
"Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?"이라는 제목의 논문으로 발표된 EPR 역설은 1935년 알베르트 아인슈타인, 보리스 포돌스키, 네이선 로젠에 의해 발표되었다(EPR이란 명칭은 세명의 앞글자를 딴 것이다). 물리계는 측정하기 전에 이미 물리적 성질들을 실제로 가지고 있다는 국소적 실재론 관점을 고수하던 아인슈타인은 포돌스키, 로젠과 함께 이를 입증하기 위한 정교한 가상실험을 설계했다. EPR측은 어떠한 물리적 영향력도 빛의 속도보다 빠르게 전달될 수 없다는 '국소성의 원리'를 근본 원리로 가정하고 있다. 양자역학의 전통적인 입장에 따르면 측정에 의한 파동함수의 붕괴는 거리에 관계없이 먼 곳에 순식간에 영향을 미치게 되는 것(action-at-a-distance)이므로, 양자역학은 국소성의 원리에 어긋나는 역설적인 상황을 발생시키게 된다. 따라서 양자역학은 불완전 체계이며, 물리계의 상태를 완벽하게 알아내기 위해선 파동함수 이상의 '숨은 변수'가 존재해야 한다고 주장했다.
불확정성 원리 주요 반론
1964년 존 벨은 EPR 역설을 검증할 수 있는 실제 실험을 고안했다. 벨은 실험의 결과가 '벨의 부등식'을 판별한다고 말했는데, 부등식이 성립한면 EPR측의 주장이 옳은 것이고 부등식이 성립하지 않는다면 양자역학의 체계가 유지되며 어떠한 숨은 변수도 허용되지 않음이 밝혀지는 것이었다. 이후 벨부등식을 입증하기 위한 다양한 실험을 수행한 결과, 부등식이 성립하지 않는다는 것이 밝혀져 양자역학의 비국소적 특징이 밝혀짐과 동시에 양자역학의 체계가 유지될 수 있었다.
벨의 실험과는 별개의 방법으로 EPR이 주장한 나타난 양자역학의 비국소적 특징을 설명할 수도 있다. 만약 EPR측의 주장처럼 파동함수의 붕괴가 유한한 속도로 일어난다면 국소성의 원리보다 더 우선시되는 원리인 '각운동량 보존법칙'이 깨어지게 된다.(이렇게 될 경우 물리화학에서 있을 수 없는 상황이 발생할 수도 있다.) 따라서 파동함수의 붕괴는 순간적으로, 즉 비국소적으로 일어날 수밖에 없다.
질량
질량(質量, mass)은 물리학에서 물질이 가지고 있는 고유한 양을 일컫는 말이다. 질량의 SI 단위는 킬로그램(kg)이다. 질량의 개념은 고대 그리스의 여러 철학자들의 물질이나 물질관에 대한 토론으로부터 비롯되었다. 질량은 일반적으로 다음 세 가지 방법으로 정의된다.
관성질량은 에른스트 마흐의 방식에 따라 뉴턴의 운동법칙으로 정의된다. 뉴턴의 작용-반작용 법칙에 가속도의 법칙을 적용해 "두 물체를 작용시켰을 때, 두 물체의 가속도는 항상 반대 방향이며, 그 크기의 비는 두 물체에 고유한 양이 된다."라고 해석하고, 물체의 질량을 기준물체의 질량에 대한 배수로 정의한다. 즉 물체의 관성질량이 m이고 이 물체에 F의 힘이 작용하면, 가속도 a=F/m으로 주어진다.
질량
상대론적 질량은 기준계의 운동과 관계없이 맥스웰 방정식이 동일한 형태로 유지되도록 로런츠 변환을 적용하는 과정에서 등장하였다. 로런츠 변환을 적용할 때 운동량 보존 법칙이 성립하려면 물체의 질량이 속도에 의존하는 값이 된다. 운동량 보존 법칙에서 유도된 상대론적 질량 또한 관성질량이다. 상대론적 질량은 물체가 기준계에 대해 불변량이 정지해 있을 때의 질량으로 나타내지며, 이를 고유 질량 또는 정지 질량이라고 한다. 전자의 비전하에 대한 실험 결과 전자기적 질량이 틀린 이론이고 상대론적 질량이 옳은 이론임이 확인되었다. 특수 상대성 이론에서 질량-에너지 동등성을 유도된다. 쌍생성, 쌍소멸의 경우와 같이 질량과 에너지는 남김없이 변환될 수 있다.
능동적 중력질량과 수동적 중력질량은 뉴턴의 중력법칙으로 질량을 정의한다. 전자는 물체가 주위에 만드는 중력장의 크기의 비로 질량을 정의하고, 후자는 중력장을 만드는 물체에서 같은 거리만큼 두 물체가 떨어져 있을 때, 두 물체에 작용하는 중력의 크기의 비로 질량을 정의한다. 즉, 지구 표면에서 지구가 물체에 작용하는 힘의 크기를 Fg, 중력가속도의 크기를 g라 하면, 물체의 수동적 중력질량은 Fg/g가 된다. 관성질량과 수동적 중력질량은 실험적으로 높은 정밀도로 확인되어 있으며, 능동적 중력질량과 수동적 중력질량의 동등성은 작용 반작용의 법칙에서 유도된다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서는 관성질량과 수동적 중력질량이 같은 것으로 가정되므로 세 가지 질량의 정의가 이론적으로 동등하다.
질량 어원
고대 그리스의 여러 철학자들의 물질이나 물질관에 대한 토론으로부터 비롯되었다.
질량 단위
현재 국제단위계(SI 단위계)에 따르면 질량은 킬로그램이라는 단위로 측정된다. 킬로그램에 대한 공식적인 정의는 다음과 같다.
이 정의는 1901년 제 1차 국제도량형총회(CGPM)에서 정해진 것이다. 이 정의가 있기 전까지 킬로그램은 4 °C의 물 1L의 질량이라고 정의되어 있었지만 물의 밀도의 불안정성 때문에 1889년 미터 조약에서 1kg에 해당하는 질량 원기를 만들게 되었다. 7개의 SI단위 가운데 유일하게 질량만이 인공적으로 만든 원기를 표준으로 삼아 질량의 단위를 정의하고 있었는데, 이 이유는 국제킬로그램원기를 통해 원자 하나가 측정될 때 수반되는 오차 수준의 정밀도보다 높은 정밀도로 측정하고자 하는 물체의 질량을 알 수 있기 때문이다. 또한 이 당시에는 원자질량단위가 생각되는 시대가 아니었다. 이 원기는 질량이 50㎍ 줄어서 2019년 5월 20일부터 두 번째 정의가 발효되었다.
질량 단위
질량의 단위는 킬로그램 외에도 여러가지가 있는데, 그중 대표적인 단위가 바로 원자질량단위이다. 원자질량단위는 1961년 IUPAC 회의에 따라 다음과 같이 정의된다.
수식으로 쓰면
이로써 주어지는 원자질량단위를 킬로그램으로 환산하면 대략 1.66×10−27kg 정도가 된다.
여기까지 언급하지 않은 질량의 단위로는 주로 영국에서 쓰는 파운드(lb), 입자물리학에서 볼 수 있는 플랑크 질량(mp), 천문학에서 볼 수 있는 태양질량 등이 있다.
질량 질량에 대한 개념 요약
질량은 물체가 가지는 고유한 양이고, 어느 곳에서 측정하든 같은 값이다. 이와 달리, 무게는 질량과 중력가속도의 곱이고, 어느 곳에서 측정하는가에 따라 중력가속도가 다르기에 무게도 다를 수 있다. 예를 들어, 어떤 물체를 지구에서 측정한 무게는 그 물체를 달에서 측정한 무게와 다르다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
‘질량’의 개념이 아이작 뉴턴에 의해 처음으로 명확하게 정의되었는데, 그 바탕에는 고대 그리스로부터 시작되어 뉴턴시대까지 이어지는 물질에 대한 이해의 역사적 발전의 성과가 있었다. 고대 그리스의 아리스토텔레스가 저술한 책들 《자연학》, 《형이상학》, 《천체에 관하여》을 통해 고대인들의 물질에 대한 체계적이고 깊이있는 탐구의 시도를 볼 수 있다. 이후 위의 책들의 저술로서 파생되었던 아리스토텔레스의 물질론을 보완하기 위한 10~12세기의 이븐 시나, 이븐 루시드와 같은 이슬람의 자연철학자들의 활약이 있었다. 비슷한 시기에 중세 유럽의 신학자들은 신학에서의 중요한 문제를 아리스토텔레스의 학문과 연관짓기 위해 여러 시도를 하였다. 아리스토텔레스의 물질론에 대한 이븐 루시드의 저술은 이후 토마스 아퀴나스와 아지디우스 로마누스(Aegidius Romanus)와 같은 신학자들에게 큰 영향을 끼쳤다. 마침내 아지디우스 로마누스는 질량과 근접한 개념인 '질료량'을 명확하게 정의하였다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
고대 문명에서 교역이 발달하고 상품의 무역의 규모가 확대되면서, 상품들의 양을 측정할 방법이 필요해지기 시작했다. 고대에도 역시 무게와 부피를 결정하는 방법이 있었다는 것을 아래 여러 역사적 사례를 통해 알 수 있다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
오른쪽 그림을 보면 고대 이집트의 신 아누비스가 심장의 무게를 저울을 통해 재는 것을 볼 수 있다. 또한 고대 이집트의 오시리스 종교에서는 측정의 용도로 저울의 중요성을 강조했다.
성경에서도 무게를 쟀다는 기록을 찾아볼 수 있다. 창세기 제 23장 16절에서, "아브라함이 에브론의 말을 좇아 에브론이 헷 족속의 듣는데서 말한대로 상고의 통용하는 은 사백 세겔을 달아 에브론에게 주었더니"를 통해 이 부분에서는 돈의 무게를 달았던 시대를 가리킴을 알 수 있다.
흥미로운 사실은, 최초의 측정의 기준은 무게의 단위가 아니라 부피의 단위었다. 기원전 2800년경에 발견된 최초의 부피의 단위를 나타내는데 쓰였던 수메르 초기왕조시대의 라가슈에서 출토된 엔테메나라는 은제항아리는 10 실라(sila)(대략 5리터)를 정의하는 데 쓰였다. 반면에 무게의 단위는 그 당시에는 장소마다 매우 다양했다. 아시리아왕국의 살마나사(Salmanassar)5세 때 미나(mina)(대략 1킬로그램)가 공식적인 무게의 단위로 쓰인 것이 전부였다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
하지만 여기서 중요한 사실은 다른 상품의 양은 다른 단위를 통해 측정되었다는 것이다. 다시 말해서, 비록 고대부터 무게 또는 상품의 양을 비교하기 위해 저울을 이용했지만, 고대 사람들에게 있어서 무게는 현대에 우리가 이해는 것과 같이 물질의 양이나 질량에 비례하는 힘이나 다른 역학적인 개념으로 이해되지 않았다. 오히려 무게는 물체가 가지고 있는 색깔, 냄새와 같은 특성의 일종으로 이해되었다. 피에르 부트루(Pierre Boutroux)라는 학자는 이러한 현상이 바로 자유낙하는 물체에 대한 아리스토텔레스의 잘못된 결론에 기인한다고 주장했다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
고대 그리스의 많은 철학자들은 자연의 본성, 또는 자연의 현상에 대한 설명에 있어서 활발한 토론을 하였다. 그리스의 많은 자연철학자 중에서 아리스토텔레스는 그 중심에 서 있었다고 말할 수 있을 정도로 자연에 대해 많이 탐구하였고, 《물리학》(Physics), 《형이상학》(Metaphysics)과 같은 방대한 저서를 남겼다. 이 외에도, 이 시기에 물질의 본성에 대해서 루크레티우스, 심플리치우스와 같은 자연철학자들, 그리고 스토아 학파, 플라톤 학파, 아리스토텔레스주의자들과 같은 여러 학파들 사이에 많은 토론이 오갔다. 하지만 기록으로 남아있는 여러 고대문헌들을 통해서 고대에는 정량적인 의미로서의 ‘물질의 양’,즉 질량과 연관성을 가지는 개념은 존재하지 않았다는 결론을 내릴 수 있다. 아리스토텔레스의 물질론은 고대를 거쳐 중세까지 매우 깊은 영향을 끼쳤다. 특히 중세시대의 이슬람의 이븐 시나, 이븐 루시드와 같은 자연철학자들은 아리스토텔레스의 물질론을 보완하기 위해 여러 생각들을 내놓았다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
기원전 4세기의 그리스의 자연철학자 아리스토텔레스는 생애 동안 물리학, 형이상학, 시, 희극, 음악, 논리학, 정치학, 윤리학에 걸치는 방대한 양의 글을 남겼다. 대부분의 아리스토텔레스의 글은 서양 철학의 전반적인 형성에 큰 기여를 했다. 특히, 비록 아리스토텔레스의 물리학은 후에 아이작 뉴턴에 의한 고전역학의 등장으로 사장되었지만, 그의 물리학에 대한 글은 이후 중세를 거쳐 르네상스에 이르기까지 큰 영향을 미쳤다. 사실 그의 이론을 후세 사람들이 보완하고 수정하는 과정에서 근대적 질량의 개념이 나오게 되었다.
아리스토텔레스의 운동이론은 다음과 같이 크게 두 원리로 요약될 수 있다:
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
자연운동의 경우에는 물체의 자연본성이 그 움직여주는 것에 해당한다. 그래서 어떤 물체가 자연운동을 수행해서 태어난 장소에 도달하면 그것의 운동은 종결된다. 중요한 부분은 강제운동을 다루는 대목인데, 강제운동의 경우에는 움직여주는것은 외부의 힘이다. 외부의 힘은 그 물체로 하여금 그 자연본성을 어기고 자신이 태어난 장소와는 다른 방향으로 움직이도록 하는데, 여기서 이 외부힘이 사라지면 운동은 중단된다. 힘만이 물체의 운동을 유일하게 결정하지는 않았다. 지상계에서의 모든 운동은 외부의 힘에 대한 저항력이 작용하게 되는데, 아리스토텔레스는 이 저항력과 외부의 힘이 운동의 빠르기를 결정할 것이라고 생각했다.
그는 이렇게 자연운동을 논의하는 가운데 《천체에 관하여》와 《물리학》에서 다른 무게를 가진 두 물체의 낙하운동에 대해 다음과 같이 설명했다:
만약 두 개의 물체가 무게 또는 가벼움을 제외한 다른 모든 특징들이 같다면, 무거운 물체가 두 물체의 무게의 비율에 따라 빠르게 움직인다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
이 문장은 보통 '무거운 물체는 더 빨리 떨어진다. 그리고 그들의 무게에 비례하여 더욱 빨리 떨어진다.'라는 말로 요약된다. 더불어, 아리스토텔레스의 생각에 따르면 물질을 구성하는 입자의 무게는 그 입자가 큰 물체를 구성하는 입자인지 작은 물체를 구성하는 입자인지에 따라 결정된다. 다시 말해서, 만약 어떤 입자가 작은 물체의 구성요소였다가 큰 물체의 구성요소가 된다면, 그 입자의 무게는 무거워진다. 이러한 생각들을 종합해 볼때, 고대에 있어서 무게는 크기성질이 아닌 세기성질에 더 가까웠다. 두 물체의 낙하운동에 대한 아리스토텔레스의 결론으로 미루어 볼 때, 현재 받아들여지고 있는 물질의 양(질량)과 무게 사이의 정비례관계와는 달리 아리스토텔레스에게 있어서 무게는 결코 물질의 양을 나타내는 척도가 될 수 없었다. 사실 애초부터 이러한 무게와 질량사이의 관계는 아리스토텔레스에서의 물질관에서는 절대 고려될 수가 없었다. 아리스토텔레스에게 있어서 불은 물질을 구성하는 하나의 원소였다. 그리고 불은 가벼운 성질을 가지는 원소였다. 여기서 아리스토텔레스가 의미하고자 했던 바는 상대적 의미에서의 가벼움이 아닌 절대적인 의미에서의 가벼움이었고, 따라서 불은 가볍기 때문에 지상계의 외곽으로 상승한다고 하였다. 곧 이것은 아리스토텔레스에게 있어서 무게(우주 중심으로 하강하려는 자연본성)를 가지지 않는 물질은 충분히 존재할 수 있었다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
자연운동으로서의 물체의 낙하운동이 아닌 외부의 요인에 의한 강제운동에 있어서도 ‘물질의 양’, 즉 질량의 개념을 찾아 보기 힘들다. 지상계에서의 모든 강제운동에서는 외부의 힘 뿐만 아니라 매질의 저항 역시 작용한다. 즉, 모든 운동은 기동력(움직여 주는 힘)과 저항에 의존한다. 강제운동에 대한 아리스토텔레스의 이러한 생각은 그의 저서 《물리학》에 다음과 같이 기술되어 있다.
...매질은 운동에 차이를 야기하는데 이 이유는 매질이 물체가 움직이는 것을 방해하기 때문이다...(중략)...따라서 어떠한 물체 A가 주어진다면 밀한 매질 B를 통과하는 데 C의 시간이 걸리고 소한 매질 D를 통과하는 데 E의 시간이 걸린다. 만약 B와 D의 길이가 같다면 이 거리를 지나는데 걸리는 시간은 각 매질의 밀도에 비례한다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
아리스토텔레스는 앞에서 언급한 강제운동에서의 두가지 운동의 요인인 무게와 매질의 저항을 제외하고는 다른 요인을 배제한다. 물체 자체의 내재적인 저항(관성질량)과 가속시키는 힘의 존재에 대한 부정에 대한 암시를 그의 저서 《천체에 관해서》(라틴어:De Caelo, 영문:On the heavens)에서 찾아볼 수 있다. 이러한 일련의 서술들은 아리스토텔레스의 물리학은 질량에 대한 개념이 없었다는 주장을 더욱 뒷받침해 준다.
다른 아리스토텔레스의 물리학 그 어느 곳에서도 ‘물질의 양’ 과 관련된 개념은 찾아보기 힘들다. 사실 그에게 있어서 물리학은 자연본성(physis)에 더 가까웠다. 아리스토텔레스의 글에서 '질료'(hylē, 본래 고대 그리스어에서는 목재를 의미했다)를 비롯한 여러 용어들은 사실 유기체와 유기체적 현상과의 관련성을 가지고 있었다. 유기물은 항상 변화하기 때문에 불변적인 성질들은 쉽게 찾아볼 수 없다. 이는 변하지 않는 ‘물질의 양’의 개념과는 거리가 멀었다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
피타고라스의 학파의 영향을 받은 고대 그리스의 철학자 플라톤과 이후 그의 철학을 따랐던 사람들은 물질의 형이상학적 본질은 공간이라고 했고, 물리학을 기하학적 관점에서 보려고 했다. 물리학을 기하학적 관점에서 보는데 토대가 되었던 생각은 기하학적 크기는 어디서나 불변이고 항상 일정하다는 사실이었다. 플라톤에게 있어서 공간은 모든 것들의 모체였고 영구적이기 때문에 기하학적 크기는 물질의 정량적인 특징을 나타내는 신빙성있는 양이 될 수 있었다.
하지만 이러한 플라톤 학파의 생각은 스토아 학파의 큰 반대에 부딪혔다. 스토아 학파는 공간과 물체의 구별을 강조했다. 스토아 학파의 주장의 핵심은 바로 물체는 단지 수학적인 공간의 크기이상의 성질을 가지는 물리적 객체라는 것이었다. 그들에 따르면, 수학적인 기하학적 객체와 물리적 객체를 구분짓는 요소는 바로 물리적인 압력에 저항하는 물체의 저항성이었다. 이 성질은 물체가 완전히 구부러지거나 모든 원소들이 섞이는 것을 막는다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
이후 2세기경 로마와 알렉산드리아에서 살았다고 보고되는 엠피리쿠스는 물체는 크기, 모양, 저항, 무게를 갖는 존재라고 말했다. 그에게 있어서 크기, 모양은 물체에게 공간적 크기를 부여하여 기하학적 객체를 획득하게 하는 요소들이고 저항과 무게는 그 기하학적 객체를 물리적 객체로 만드는 요소들이었다. 하지만, 안타깝게도 여기서의 저항과 무게가 물질의 양을 나타낼 수 있는 척도로서 이용될 수 있다는 사실은 전혀 고려되지 않았다. 고대인들에게 있어서 물질 자체는 절대 정량적인 값으로 나타낼 수 없는 것이었다. 현대의 우리들에게 있어서 크기, 모양, 저항, 무게는 모두 세기 성질과 관련지어 질량을 나타내는 척도로 이용될 수 있지만, 그 당시에 사람들에게 있어서 이러한 물체의 성질들은 물질의 양과는 거리가 먼 물체의 부수적인 형상에 불과했다.
비록 고대 철학과 과학에서 ‘물질의 양’에 대한 개념의 흔적은 찾아보기 힘들지만, 그렇다고 물질이 보존된다는 생각을 고대에서 찾아볼 수 없었던 것은 아니다.
데모크리토스는 물질의 영구적, 불멸적인 성질의 개념에 대해 초석을 놓았다. 그의 형이상학에서는 다음과 같이 이를 서술하고 있다.
질량 고대, 중세의 물질에 대한 개념
아무것도 무(無)에서 생겨나지 않고 아무것도 무(無)로 변하지 않는다.
고대 로마의 시인이자 철학자였던 루크레티우스는 《만물의 본성에 관하여》On the nature of things)라는 장편의 서사시를 남겼다. 이 서사시는 물질이 영구적으로 보존되는 성질에 대해 논하는 매우 유명하고 대표적인 시 중 하나이다. 그의 시에는 다음과 같은 말이 있다.
아무것도 초자연적인 힘에 의해 창조될 수 없다.
자연은 모든 것을 이 모든 것을 구성하는 원자로 분해하지만 절대로 그것들을 무(無)로 만들지는 않는다.
이 두 문장은 분명히 분해되지 않고 창조되지 않는 물질의 성질에 대해 거론함을 알 수 있다. 그는 이러한 생각을 기초로 하여 다음과 같이 말했다.
우리는 어떻게 같은 부피를 가진 물체들 사이에서 무게가 더 나가는 것을 찾을 수 있을까? 만약 털로된 공과 납으로 된 공이 같은 양만큼의 물질을 가지고 있다면, 그 두개가 같은 무게가 나가는 것은 자연스러운 생각이다. 왜냐하면 모든 것을 아래로 누르려는 것이 물질의 기능이기 때문이다, 반면에 무게가 없는 상태로 남아있으려 하는 것은 공간의 기능이다.
이러한 문장들은 루크레티우스는 분명 아리스토텔레스의 사고체계와는 다른 사고체계를 가졌음이 틀림없음을 증명한다. 또한, 막스 야머는 위의 문장들을 통해 루크레티우스가 물질의 양과 무게의 비례관계에 대한 생각을 분명히 가지고 있었음을 보여주기 때문에 그에게 있어서 무게는 물질의 양에 대한 척도의 기능을 했을 거라고 주장했다.
고대 그리스의 대표적인 수학자이자 과학자로 손꼽히는 아르키메데스와 부력에 관한 일화는 대중에게 많이 알려져 있다. 히에로 2세는 아르키메데스에게 신에게 바칠 왕관이 순금으로 되어있는지 의뢰했는데, 그는 이 문제를 고민한 끝에 사람이 욕조에 들어가면 물이 차오르는 것을 보고 부력의 원리를 깨달았다고 기록되어 있다. 또한, 그가 저술한 책 《뜨는 물체에 관하여》에서는 자신이 발견한 지금 불리는 '아르키메데스의 원리'에 대해 설명한다. 이러한 일련의 아르키메데스와 부력의 원리와의 관련성 때문에 어떤 사람들은 아르키메데스가 비중과 밀도의 개념을 통해 질량의 개념에 대해 인식하고 있지 않았을까 하고 주장한다. 하지만 이러한 주장은 별로 신빙성이 없는 것으로 밝혀졌다.
종종 현대의 많은 과학서적에서는 아르키메데스가 비중과 밀도의 개념을 도입한 사람이라고 서술되어있다. 더불어, 많은 물리학의 교과서들이 역학에서의 질량의 개념을 도입하고 얼마 되지 않아 아르키메데스의 원리에 대해 서술한다. 사실, 아르키메데스의 일화의 대중화에 공헌한 비트루비우스는 기원전 15년경 쓰인 그의 유명한 저서 《건축에 대하여》(De architectura)에서 이 일화를 소개하는 글에 다음과 같이 서술했다.
...그는 왕관과 같은 무게를 가지는 두개의 질량(영어로 번역: two masses, 라틴어 원문: duas massas)을 이용한 것으로 전해진다(후략).
여기서 질량(Massa)은 이 문맥에서 덩어리(lump)를 의미하는데, 과학적인 용어의 질량으로서 해석하는 것은 아르키메데스가 질량의 개념과 연관이 있었다는 오해를 불러일으킬 수 있다. 비록 그의 유체정역학에 대한 설명에서 비중의 개념이 암시되어 있지만, 이 용어는 아르키메데스가 정의하지도 않았고 사용하지도 않았다.
신학서에 등장하는 창조, 죽음, 그리고 성변화(聖變化, transubstantiation)와 관련된 현상을 언급하는 문구들을 이성적, 논리적으로 설명하고자 했던 중세 신학자들의 여러 시도는 물질과 질량의 개념의 형성에 큰 역할을 했다. 그러한 설명들은 물질의 생성, 소멸, 그리고 변화의 자연철학과 전적으로 형이상학적인 물질의 보존원리에 기초를 두고 있었다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
아리스토텔레스는 물체의 운동을 자연운동과 강제운동으로 구별하여 서술한다. 하지만 그의 운동이론은 강제운동의 특수한 사례에 대한 설명을 하는 과정에서 난점에 봉착하게 된다. 그 사례는 바로 투척된 물체의 사례이다. 아리스토텔레스는 움직여 주는 요인이 없으면 운동도 있을 수 없다고 했는데, 투척된 물체의 경우 그 물체를 던지는 사람의 손(움직여 주는 요인)을 떠나는 순간 그 물체를 움직여 주는 요인은 존재하지 않게 된다. 그런데 손을 떠나도 투척된 물체의 지속되는 운동을 어떻게 설명하냐는 것이 문제였다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
이러한 난점을 해결하기 위해 제시된 설명은 움직이는 물체가 통과해 가는 매질이 운동원인으로 작용한다는 모호한 설명이었다. 다시 말하자면, 물체가 처음 움직이면서 매질을 움직이게 되고, 그 움직임 때문에 매질이 다시 물체에 운동원인으로 작용한다는 것이었다. 강제운동의 원인을 전부 외부에 의한 요인으로 설명하려는 시도는 결코 다른 학자들에게 쉽게 받아들여질 수 없었다. 사실 이러한 문제는 고대 말부터 제기되기 시작했다. 결국 이러한 강제운동의 원인을 외부의 매질에 의한 것이 아닌 비물질적 운동원인을 가정하도록 만들었다. 이러한 개념은 ‘임페투스(Impetus)’라 불리게 되었고 존 뷔리당(John Buridan)에 의해 체계적으로 정립되었다. 그는 그의 임페투스 이론을 다루는 책에서 다음과 같이 서술했다.
(물질의)양이 많을수록 물체에는 더욱 많은 물질이 있다, 그리고 그 양만큼 물체는 더욱 강한 임페투스를 수용할 수 있다. 이제 밀도가 크고 무거운 물체는 가볍고 듬성듬성한 물체와 비교했을 때 두 물체의 다른 특징은 모두 같다고 한다면 무거운 물체가 더욱 많은 제 1의 물질(prime matter)을 가지고 있다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
이 서술을 통해 임페투스는 물질의 양에 비례하는 양임을 알 수 있다. 임페투스의 속도와의 연관성 역시 찾아볼 수 있다.
기동자(mover)가 어떤 물체를 운동상태에 놓이게 할 때 그 사람은 특정한 임페투스를 그 물체에 가한다. 여기서 이 임페투스는 그 사람이 그 물체를 위로든, 아래로든, 옆으로든, 혹은 원형의 궤적으로든 움직이게 하려는 방향. 그 가해진 임페투스는 속도와 같은 비율로 증가한다. 이 임페투스가 있기 때문에 기동자가 그 물체를 움직이는 것을 멈춘 후에도 물체가 계속 운동을 하는 것이다. 하지만 운동의 반대방향으로 작용하는 이 추동력에 의해 유발되는 공기저항(그리고 그 돌의 중력) 때문에 임페투스는 시간이 지남에 따라 약해진다. 그래서 돌의 운동은 점점 느려진다, 그리고 결국 임페투스는 사라지고 돌의 중력이 우세하게 된다. 따라서 돌은 자연운동을 하게 되어 아래로 떨어진다.
위의 두 서술을 종합해 볼 때, 임페투스는 아래와 같은 간단한 수식적 관계로 환원시킬 수 있다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
이 관계식은 고전역학에서의 운동량 개념과 일부 유사성을 띠고 있다. 더불어, 뷔리당과 그의 학파는 물체 속에 있는 물질의 양이 기동력에 저항하는 저항력을 결정한다고 생각했다. 이러한 일련의 고전역학과 임페투스 이론간의 유사성 때문에 오늘날의 역사가들은 뷔리당의 임페투스 이론을 근현대 역학의 발전의 중요한 단계로 평가하기 위해 노력해왔다. 하지만, 언제까지나 임페투스는 아리스토텔레스의 운동이론의 필요성에서 나온 것이고 뷔리당 역시 아리스토텔레스주의의 개념틀을 벗어나지는 못했다. 즉, 임페투스는 운동량이 아니고 여기서의 저항은 절대 관성이 아니다.
뷔리당 이외에도 색소니의 앨버트(Albert of Saxony)와 니콜 오렘의 저술에서 역시 물질의 양과 임페투스 이론과의 연관성을 찾아볼 수 있다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
뷔리당을 비롯한 중세시대의 아리스토텔레스의 역학에 대한 연구가들은 그의 역학의 문제점을 보완하기 위해 '임페투스'의 개념 도입 등 여러 방면에서의 노력을 기울였다. 이러한 연구의 흐름은 15, 16세기에 접어들어서 스콜라 학문의 일부를 이루게 되어 대학에서 이러한 문제들이 논의되기 시작했다. 갈릴레오는 바로 이 시기에 등장하여 중세 학자들이 해결하려 했었던 아리스토텔레스의 역학의 문제에서 그의 탐구를 시작했다. 하지만 그는 후에 근대 역학의 근간을 이루는ㅡ당시로서는 혁명적인 관성의 개념, 운동의 상대성ㅡ개념과 원리들을 이끌어냈다. 비록 그의 관성에 대한 개념이 근대의 관성의 개념과는 완전히 일치하지는 않았지만, 이러한 개념이 익숙해진 후에 여러 학자들에 의해 보완되고 수정되어 관성질량의 개념의 토대를 이루게 되었다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
그의 관성에 관련한 언급은 <두 개의 세계 체계에 관한 대화>(Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo)에 처음 등장한다. 이 책에서 등장하는 코페르니쿠스 우주체계를 옹호하는 살비아티는 지구가 움직이면 지구 위의 물체가 뒤로 뒤처지니 않냐는 심플리치오의 질문에 대해 배에서의 운동을 예로 들어 설명한다. 여기서 물체의 관성적 운동에 대한 암시가 드러난다.
살비아티: 누가 시험을 하던 간에, 그는 지금까지 서술된 것과는 다른 결과를 얻을 것이오. 그는 배가 멈추어 있건 어떠한 속도로 움직이고 있건, 돌은 항상 배의 같은 자리에 떨어지는 것을 볼 것이오.
그는 1632년 교황청에 의해 종교재판에 회부되어 유죄판결을 받은 이후 역학에 연구에 몰두하여 1638년 <새로운 두 과학>(Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze)을 출판했다. 이 책에는 갈릴레이의 관성에 대한 생각이 더욱 구체적으로 표현되어 있다. 이 책에서 관성과 관련된 문장에 주목해보자.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
(1)더욱이, 우리는 물체가 어떤 속력으로 움직이던 간에 가속이나 뒤처짐의 원인이 제거되고 수평한 평면 위에서 움직인다면 그 물체는 그 속도를 고수할 것이다...
(2)마찰 없는 수평한 평면 위에 발사된 입자를 상상해보라. 그러면 우리는 앞에서 충분히 설명되었던 것을 통해서 만약 이 평면이 무한히 넓다면(제한이 없다면) 이 물체가 같은 평면 위에서 균질한 운동을 계속할 것이라는 것을 안다.
위 두 문장을 통해서 갈릴레이의 관성에 대한 개념이 얼마나 고전역학에서의 관성의 개념에 근접해있는지를 알 수 있다. 하지만, 고전역학에서의 관성은 수평한 평면위에서 운동해야 한다는 조건을 고려하지 않는다는 점에서 그의 관성의 개념과는 차이가 있다. 또한, 위의 갈릴레이의 말에 따르면 물체는 속도를 유지하며 균질한 운동을 계속한다고 했는데, 여기서 이 균질한 운동이 등속 직선운동을 말하는 것인지 아니면 등속 원운동을 말하는 것인지에 대해서는 갈릴레이에 대해 연구하는 학자들 사이에서 논란이 많다.
비록 그는 관성의 개념을 도입했지만, 이 개념을 질량과 연계시키지는 못했다. 그는 1623년 출판된 책 <Assayer>에서 물질에 대한 생각을 다음과 같이 서술했다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
나는 물질적이고 유형(有形)적인 존재를 생각할 때마다 나는 즉시 그것이 크기가 제한되어 있고 어떠한 모양을 가지고 있다는 것을 느낀다. 그것은 또한 다른것과 관련하여 크거나 작고, 특정한 시간에 특정한 장소에 있고, 정지해있거나 운동하고 있다. 그것은 다른 물체와 접촉하고 있거나 접촉하고 있지 않고, 그것은 개수가 하나거나, 몇개 정도 있거나, 많이 있다. 이러한 조건에서 나의 상상의 한계 내에서 그러한 물질(질량)을 구별해 낼 수가 없다.
그는 물질의 일차적인 특성들을 나열했지만, 물질의 비기하학적이고 지속적인 특징(질량)을 고려하지는 못했다는 것을 알 수 있다. 이후 그의 저서 <두개의 세계 체계에 관한 대화>에 대한 주석에서도 갈릴레오는 질량에 대해 정의를 할 수 없었다는 것으로 묘사된다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
..따라서, 물질에는 내재적이고(자연적인) 수학적인 특징이 있다. 하지만, 질량의 경우에는 이것 역시 수학적인 양으로 표현할 수 있음에도 불구하고, 그러한 양들 중의 하나가 아니다. 왜냐하면 질량은 물질 자체의 또다른 이름이지만 기하학적이고 추상적인 물질과는 구별되기 때문이다. 물리적 실체와 질량은 운동을 할 수 있다는 것을 뜻하는 두가지 이름일 뿐이다. 따라서 질량은 어떠한 것으로도 정의될 수가 없다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
독일의 수학자이자 천문학자였던 케플러는 그의 스승 티코 브라헤로부터 얻은 당시로서는 아주 정확한 천문 관측 데이터를 통해 천체들이 등속원운동을 한다는 기존의 이론이 들어맞지 않고 타원 궤도로 교체되어야한다는 것을 깨닫게 되었다. 기존에는 단순하고, 완벽하고, 연속성을 띠는 원의 성질 때문에 플라톤 때부터 행성의 원운동은 자연스러운 운동으로 인식되었지만, 케플러는 행성이 타원 궤도로 움직인다는 것을 발견한 이후 과연 이러한 타원궤도의 운동이 일어나는 것이 여전히 '자연스러움'이라는 것 때문인지 아니면 이러한 현상이 일어나게 된 인과적 원인을 밝혀주는 법칙이 존재하기 때문인지 고민에 빠지게 되었다. 곧 케플러는 이러한 행성들의 운동에 대한 동역학적 설명을 제시하는 일에 몰두하게 되었다. 그는 이러한 과정으로부터 단순히 형이상학적 개념에 머물렀던 관성에 대한 개념을 구체화시키는 데 막대한 공헌을 했다. 케플러의 관성에 대한 생각은 뉴턴 이전의 관성개념의 구체화 단계에서 아주 중요한 부분이고 이후 뉴턴이 관성에 대한 개념을 정립하는 데 큰 영향을 미치게 되었다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
사실, 케플러의 관성에 대한 개념은 타원궤도를 발견하기 이전부터 꾸준히, 그리고 점진적으로 발전되어 나갔다. 그의 초기의 관성에 대한 생각을 그의 저서 <De stella nova in Pede Serpentarii>에서 찾을 수 있다. 이후 그는 그의 저서 <신천문학>에서 행성은 운동을 하지 않으려는 명백하고 내재적인 경향이 보인다고 말했다. 또한, 그는 상호 끌어당김 현상을 통해 역학적 관점에서의 질량의 개념을 언급한다.
만약 두 개의 돌이 서로 근처에 있지만 다른 제3의 물체의 영향권 밖에 있으면, 두 물체가 어디에 놓아지더라도 두 물체는 결국 두 물체의 중간 위치로 모이게 된다. 그리고 각각이 만나는데까지 움직이는 거리는 서로 다른 물체의 질량에 비례한다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
케플러가 제시한 위의 중요한 관계는 질량의 실험적 정의의 바탕이 되는 원리로서도 이용될 수 있다. 이 원리는 후에 마흐가 질량을 정의하는 데 쓰였던 방법과도 유사하다. 하지만 안타깝게도 케플러는 이러한 가능성을 인식하지는 못했다. 그러나, 케플러는 마침내 형이상학적인 추측에 불과했던 관성의 개념을 물리학적 사유의 대상으로 끌어들였다. 다음 문장에서 관성의 개념이 어떻게 물리학적인 논리에 사용되었는지 알 수 있다.
만약 천체가 무게와 뭔가 비슷한 관성을 가지고 있지 않다면 이들이 움직이는데는 힘이 전혀 필요하지 않을 것이다. 아주 작은 힘만으로도 천체는 무한한 속도를 얻을 수 있을 것이다. 하지만, 천체들의 공전주기는 유한한 시간이 걸리고 어떤 천체는 공전주기가 길고 어떤 것은 짧다. 따라서 물질은 이러한 공전주기의 차이를 불러일으키는 관성을 가지고 있어야 한다.
케플러에게 있어서 관성은 자기자신이 공간상에서 움직일 수 없는 물질의 성질인 뿐만 아니라, 외부의 자극에 대한 저항이기도 했다. 그리고 이 저항, 즉 관성의 정도는 물질의 양에 비례한다고 주장했다.
케플러의 다른 저서에서도 관성의 세기와 다른 물리적 양과의 관계를 찾을 수 있다.
질량 뉴턴 이전의 관성질량 개념의 역사적 발전
위의 인용문에 따른 관성의 세기와 물리적 양과의 관계는 후에 뉴턴이 질량을 정의하면서 제시했던 관계식과도 유사하다. 케플러는 관성질량의 개념의 형성에 있어서 아주 중요한 역할을 한 인물이지만, 케플러의 관성은 어디까지나 전적으로 자발적인 운동의 불가능성에 대한 것이었다. 그는 관성의 개념에 있어서 운동상태를 유지하는 측면은 거의 고려하지 않았다.
데카르트는 관성질량의 발전과정에 있어서 어떠한 역할을 했는지에 대해 의견이 분분하다. 데카르트 역학은 17세기 초에 출현하여 ‘기계적 철학’체계의 일부로서 동시대의 인물인 보일, 가쌍디(Gassendi)와 더불어 세계관에 대한 새로운 관점을 제시하기 시작했다. 그의 역학이 관성을 고려했는지 아니면 배제했는지에 대해서도 의견이 다르다. 분명한 것은, 그의 역학에 따르면, 물질의 유일한 본질은 외연(外延), 즉 공간을 차지하는 성질이다. 물질의 양은 무게에 비례하는 양이 아닌 부피로서 주어졌다. 그에게 있어서 무게는 물질의 부수적인 특징에 불과하고 물질의 양과 무게는 비례하는 관계가 성립하지 않았다. 이러한 데카르트의 체계는 동시대의 다른 자연철학자들 뿐만 아니라 신학자들에게도 비판의 대상이 되었다. 하지만, 데카르트의 저서 <철학원리>(Principia philosophiae)에서는 그는 다음과 같은 자연법칙을 서술했다.
#자연의 첫 번째 법칙은 모든 것은 가능한 한 같은 상태를 고수하려 한다. 그리고 한번 움직여진 것은 계속 움직임을 지속하려 한다.
자연의 두 번째 법칙은 모든 운동 자체는 직선이다. 따라서, 원을 따라 움직이는 물체는 그들이 도는 원으로부터 언제나 멀어지려고 한다. 모든 물체의 부분은 절대 곡선을 따라서가 아니고 직선을 따라서 움직임을 지속하려고 한다.
위의 법칙들은 물체의 관성적 특성에 대해서 거의 정확히 서술하고 있다. 그러나 데카르트는 이 책에서 ’관성(inertia또는 natural inertia)‘이란 단어를 언급하지는 않았다. 놀랍게도 데카르트가 말한 이 자연법칙들은 뉴턴의 <프린시피아>에서 비슷한 형태로 재서술되어 있다. 사실 프린시피아의 ’공리들, 혹은 운동의 법칙‘의 제 1법칙에 서술되어 있는 관성의 법칙은 뉴턴이 데카르트의 <철학원리>의 위의 법칙으로부터 배운 것이었다. 이를 통해 데카르트 체계가 후의 뉴턴의 개념형성에 영향을 주었음을 알 수 있다.
17세기 네덜란드의 물리학자 하위헌스는 물질의 동역학적인 측면에 있어서 폭넓은 탐구를 했다. 그는 지금까지 정성적으로만 논의되었던 원심력에 대해서 처음으로 정량적인 논의를 제시했다. 또한, 그는 충돌현상에 대해서도 체계적으로 탐구하여 데카르트의 충돌이론을 반박하고 후에 뉴턴역학과도 일치하는 두 물체의 충돌시의 속도와 질량과의 관계를 정량적으로 얻어냈다. 하위헌스의 이러한 일련의 연구들은 관성질량 개념의 성립에 있어서 중요한 기여를 했다.
그는 그의 저서 <원심력에 대하여>(De vi cetnrifuga)에서 원운동을 하는 물체에 작용하는 힘과 물체의 변하지 않는 양(solid quantities)사이의 관계를 제시했다.
{{인용문|우리는 여기서 같지 않은 두 물체가 같은 반경을 가지고 같은 속도로 운동할 때, 각각의 물체에 작용하는 구심력의 크기는 그 물체의 무게, 혹은 어떤 변하지 않는 양에 대응한다.
고전역학에 따르면 원심력의 세기는 F = mv2/r 로 주어지는데, 만약 원운동을 하는 질량이 다른 두 물체가 운동반경(r)이 같고 속력(v)이 같다면 두 물체는 당연히 아래의 관계를 만족한다.
하위헌스는 ’질량‘이란 말을 직접적으로 언급하지는 않았지만, 위의 서술로 미루어 볼때 하위헌스는 (1)과 같은 관계식을 염두에 두었음이 명백하다.
하위헌스는 이어서 1668년 그의 저서 <충돌하는 물체에 대하여>(De motu corporum ex percussione)에서 물체들이 충돌했을 때 충돌 후 물체들의 속력을 초기속력을 통해 구하는 방법을 서술했다. 충돌에 대한 하위헌스의 설명은 그가 탄성충돌시 운동에너지의 보존의 원리와 질량의 개념에 대해 생각하고 있었음을 암시한다. 하지만 하위헌스는 ’질량‘이란 용어를 직접적으로 쓰지는 않았고 단지 그 용어를 대신하여 ’규모‘(magnitude)란 말을 이용하여 질량에 대한 개념을 나타냈다.
질량 고전역학에서의 관성질량
고전역학적 질량의 개념의 도입은 뉴턴에 의해 이루어졌다. 그는 그의 저서 <프린키피아>에서 질량은 물체의 부피와 밀도를 곱함으로써 얻어진다고 정의했다. 또한 그는 질량과 무게가 다른 물리적 개념이라는 것을 확실히 밝혔다. 뉴턴과 동시대 인물인 라이프니츠 역시 질량이라는 물리적 개념의 도입이 왜 필요한지에 대해 논리적 이유를 제시함으로써 질량의 물리적 중요성을 한층 높였다. 비록 뉴턴이 처음으로 질량을 정량적인 방식으로 다루었지만, 그의 질량에 대한 개념은 여러 논리적 문제를 야기했고 이로 인해 이후 여러 자연철학자들의 심도높은 연구의 대상이 되었다. 특히 독일의 철학자 칸트는 뉴턴적 질량개념에서의 논리적 문제점을 지적함으로써 질량과 관성의 힘(vis inertiae)을 연계시켜 생각했던 기존의 사고방식을 없애야 한다고 주장했다.
관성의 힘의 개념을 배제하여 질량의 엄밀하고 형식적인 정의를 처음으로 제시한 사람은 레온하르트 오일러였다. 그가 제시한 정의를 보다 현대적으로 서술하면,
여기서 m은 질량, F는 물체에 작용한 힘의 크기, a는 그 물체의 가속도이다.
질량 고전역학에서의 관성질량
이 정의가 바로 현재 우리가 친숙히 알고 있는 뉴턴의 제 2법칙에 따른 고전역학적 질량에 대한 정의이다.
하지만 18-19세기의 학문의 기초를 정립하고자 하는 사조의 흐름은 뉴턴의 역학체계는 심도 높은 검토의 대상이 되게끔 만들었다. 그 결과 기존의 힘의 개념은 불분명한 형이상학적 개념이라는 판정을 받게 되었다. 다시말해 질량은 엄밀하고 체계적인 실험적 과정에 기초하여 정의되어야 한다. 이러한 요구에 응답하여 18-19세기의 생 브낭, 에른스트 마흐, 제임스 클러크 맥스웰, 하인리히 헤르츠, 빌헬름 오스트발트 등의 물리학자들은 실험적 과정에 기초한 여러 질량의 정의를 제시했다. 그들이 제시한 정의를 요약하면 다음과 같다:
질량 고전역학에서의 관성질량
위의 정의들은 질량을 도입하는 데 기초한 물리량에서 차이를 보이고 있다. 사실 질량의 정의에 있어서 어떠한 물리량에 우선권을 둘 것인가에 대해서는 학자들마다 견해가 달랐다. 게다가 질량을 측정하는 실험적 과정에 있어서도 학자들마다 생각이 달랐다. 즉, 같은 물리량에 우선권을 부여하더라도 방법적인 측면에 있어서는 차이가 날 수 있다. 그래서 질량이란 개념을 도입하는 데 과연 어느 정의를 이용할 것인가에 대해서는 현재에도 많은 물리학자들 사이에서 여전히 논란이 되고 있다.
뉴턴은 17세기까지 이어져왔던 자연철학자들의 물질의 관성적, 동역학적 이해를 종합하고 체계화시켜 1687년 출판된 그의 걸작 <자연철학의 수학적 원리>(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)에서 물질의 양(quantitas materiae)에 대한 명확한 정의를 제시했다. 프린키피아의 정의 1번에 따르면 질량(라틴어: massa)는 다음과 같이 정의된다.