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티로신 (아미노산) 물질대사
양귀비(Papaver somniferum)의 라텍스는 티로신을 알칼로이드인 모르핀으로 전환시키는 것으로 나타났으며 생체 내 합성 경로를 추적하기 위해 방사성 원소인 14C로 표지된 티로신을 사용하여 티로신에서 모르핀으로의 생합성 경로가 밝혀졌다.
티로신 암모니아-분해효소는 천연 페놀 생합성 경로의 효소이다. 티로신 암모니아-분해효소는 L-티로신을 p-쿠마르산으로 전환시킨다.
티로신은 멜라닌 색소의 전구체이기도 하다.
유비퀴논의 일부를 형성하는 벤조퀴논 구조를 합성하려면 티로신(또는 그 전구체인 페닐알라닌)이 필요하다.
L-티로신(동의어: 파라-하이드록시페닐알라닌)의 분해는 티로신 아미노기전이효소에 의해 파라-하이드록시페닐피루브산으로의 α-케토글루타르산 의존성 아미노기 전이 반응으로 시작된다. p로 축약되는 파라는 곁사슬의 하이드록실기와 페닐기가 서로 마주 보고 있음(아래의 그림 참조)을 의미한다.
티로신 (아미노산) 물질대사
다음 산화 단계에서 p-하이드록시페닐피루브산 이산소화효소에 의해 CO2와 호모젠티스산(2,5-다이하이드록시페닐-1-아세트산)으로 분해된다. 호모젠티스산의 방향족 고리를 분해하기 위해서는 추가적인 이산소화효소인 호모젠티스산 1,2-이산소화효소가 필요하다. 따라서 추가적인 O2 분자의 통합을 통해 4-말레일아세토아세트산이 생성된다.
푸마릴아세토아세트산은 산화를 통해 하이드록실기로부터 생성된 카복실기의 회전을 통해 말레일아세토아세트산 이성질화효소에 의해 생성된다. 말레일아세토아세트산 이성질화효소는 조효소로 글루타티온을 함유하고 있다. 푸마릴아세토아세트산은 최종적으로 물 분자의 첨가를 통해 푸마릴아세토아세트산 가수분해효소에 의해 분해된다.
이로써 푸마르산(시트르산 회로의 대사 중간생성물이기도 함)과 아세토아세트산(3-케토뷰티르산)이 유리된다. 아세토아세트산은 석시닐-CoA로 활성화된 케톤체이며, 그 후 아세틸-CoA로 전환되어 시트르산 회로에 의해 산화되거나 지방산 합성에 사용될 수 있다.
플로레트산은 또한 쥐에서 티로신의 소변 대사 산물이다.
티로신 (아미노산) 오르토-티로신 및 메타-티로신
L-티로신의 세 가지 구조 이성질체가 알려져 있다. 파라 이성질체(파라-티로신, p-티로신, 4-하이드록시페닐알라닌)인 일반적인 아미노산인 L-티로신 외에도 자연에서 생성되는 두 가지 추가적인 위치 이성질체, 즉 메타-티로신(3-하이드록시페닐알라닌, L-m-티로신, m-티로신) 및 오르토-티로신(L-o-티로신, o-티로신, 2-하이드록시페닐알라닌)이 있다. 드물게 존재하는 m-티로신 및 o-티로신 이성질체는 산화 스트레스 조건에서 페닐알라닌의 비효소적 자유 라디칼 하이드록실화를 통해 생성된다.
m-티로신 및 유사체(자연에서 드물지만 합성으로 이용 가능)는 파킨슨병, 알츠하이머병 및 관절염에 적용할 수 있는 것으로 나타났다.
티로신 (아미노산) 의료용
티로신은 신경전달물질의 전구체이며 혈장 신경전달물질의 수준(특히 도파민과 노르에피네프린)을 증가시키지만 정상인의 기분에는 거의 영향을 미치지 않는다. 많은 연구에서 티로신은 스트레스, 추위, 피로(쥐의 경우), 장기간의 작업 및 수면 부족시 스트레스 호르몬 수치 감소, 동물 실험에서 볼 수 있는 스트레스 유발 체중 감소의 감소, 사람을 대상으로 한 실험에서 볼 수 있는 인지 기능 및 신체적 기능 향상에 유용하다는 것이 발견되었다.
티로신은 정상적인 상황에서 인지 기능 또는 신체적 기능에 큰 영향을 미치지 않는 것으로 보이지만 멀티태스킹 중에 작업 기억을 더 잘 유지하는 데 도움을 준다.
모노아민 산화효소 저해제(MAOI)가 티로신과 상호작용 하는지 여부는 알려져 있지 않다.
티로신 (아미노산) 산업적 합성
L-티로신 및 그 유도체(L-도파, 멜라닌, 페닐프로파노이드 등)는 의약품, 식이 보충제, 및 식품 첨가물에 사용된다. 이전에는 두 가지 방법이 L-티로신을 제조하는 데 사용되었다. 첫 번째 방법은 화학적 접근법을 사용하여 단백질 가수분해물로부터 원하는 아미노산을 추출하는 것이다. 두 번째 방법은 티로신 페놀-분해효소를 사용하여 페놀, 피루브산, 암모니아로부터 효소적으로 합성하는 것이다. 유전공학의 발전과 산업 발효의 도입으로 인해 대장균의 조작된 균주를 사용하여 L-티로신을 합성하게 되었다.
구로다 간이치
쿠로다 칸이치(일본어: 黑田 寬一 (くろだ かんいち), 1927년 10월 20일 ~ 2006년 6월 26일)는 일본의 트로츠키주의 이론가다. 소위 반제국주의 반스탈린주의를 정식화해서 제창했으며, 일본혁명적공산주의자동맹 혁명적마르크스주의파(혁마르파)의 최고지도자, 교조가 되었다. 통칭 쿠로 칸(クロカン). 필명으로 야마모토 카츠히코(山本 勝彦), 마키노 카츠히코(牧野 勝彦) 등을 사용했다. 실명 寛一도 나중에는 “칸이치”로 읽히지만 원래 본명은 “히로카즈”이며, 최초의 저작인 『헤겔과 마르크스』(1952년)에는 저자명이 “쿠로다 히로카즈”라고 후리가나가 붙어 있다.
구로다 간이치 내력
도쿄도 후추시 출신. 쿠로다 히로카즈의 본가는 후추시의 유력한 지주로, 바바다이몬 느티나무 가로수길과 고슈 가도가 정확히 만나는 모퉁이에 대저택을 가지고 있었다. 증조부 쿠로다 나오타케(1847년생)는 미타마자유당 등에서 활동했던 자유민권운동가였고, 조부 쿠로다 나오히로(1869년생)는 동경제국대학 의학부를 졸업하고 동경대학병원에서 근무한 개업의였다. 부친 쿠로다 카나마(1903년생)는 후추시의회 의원을 역임하고 의장도 맡았다.
쿠로다는 구제 동경고등학교에서 이과 을류(독일어 의학부 진학과정)와 축구부에 속했고, 아미노 요시히코・시로츠카 노보루・우지이에 세이이치로 등과 동기였다. 그러다 간장병과 피부결핵에 걸려서 학교를 중퇴하고 자택에서 공부했다. 이후 결핵이 눈에까지 미쳐 시력이 극도로 나빠졌다.
구로다 간이치 내력
학교를 중퇴한 쿠로다는 출판사 “코부시서방”을 자영했다. 그 밖에 마르크스주의 연구・저작을 거듭하여, 연구 동아리 “변증법연구회”를 발전적 해소하는 형태로 오오타 류 등과 함께 일본트로츠키스트연맹(트로련)을 결성한다. 이후 트로련이 혁명적공산주의자동맹(혁공동)이 되는데, 1957년 제4인터내셔널에서 받아온 입당전술 지령을 둘러싸고 입당전술 실행을 고집한 오오타파가 이탈하면서 쿠로다가 혁공동 의장으로 취임한다. 이것이 소위 제1차 혁공동 분열이다.
구로다 간이치 내력
이후 1959년 초엽, “오오카와”라는 인물이 일본민주청년동맹의 정보를 경시청 공안부에 팔자고 제안하고, 쿠로다도 그것을 받아들인 것 아니냐는 의혹이 발각된다(쿠로다-오오카와 스파이 문제). 이 행위 자체는 미수에 그쳤지만, 쿠로다는 혁공동 내부에서 일본공산당의 미야모토 켄지와 동류의 배신자로 간주되게 되었고, 동년 8월 혁공동 제1차 대회에서 쿠로다는 계급적 배신행위를 이유로 제명되었다. 이 때 쿠로다와 함께 “혁명적마르크스주의그룹(RMG)” 실무를 맡았던 혼다 노부요시는 일관되게 쿠로다를 변호했고, 제명된 쿠로다를 따라 혁공동을 탈당, 둘이서 혁명적공산주의자동맹 전국위원회를 결성했다. 이것이 소위 제2차 혁공동 분열이다.
1962년 제6회 참원선에서 쿠로다는 당 공천으로 전국구에 출마하지만 낙선한다. 당시 쿠로다의 득표수는 2만여 표로, 대일본애국당 총재 아카오 빈이 12만 표를 받은 것과 비교하면 대참패였다. 이 선거 패배에 따라 동년 6월, 시미즈 이쿠타로・코야마 켄이치・모리타 미노루・요시모토 타카아키 등이 「쿠로다 교조를 우러르는 광신적 종교단체 마르학동의 폭거를 용납하지 말라」는 공동성명을 제출했다.
구로다 간이치 내력
이후 쿠로다는 정세인식과 당건설 방침을 둘러싸고 혼다파와 갈등을 빚었고, 1963년 쿠로다파가 혁공동 전국위원회에서 집단탈당, 새로운 조직으로서 일본혁명적공산주의자동맹 혁명적마르크스주의파(혁마르파)를 출범시켰다. 한편 혁공동 전국위원회에 잔류한 혼다파는 현재의 중핵파가 된다. 이로써 혁공동 전국위원회는 혁마르파와 중핵파로 분열되었는데, 이것이 소위 제3차 혁공동 분열이다.
이후 쿠로다 칸이치는 혁마르파의 최고지도자로서 오랫동안 군림했다. 쿠로다 자신이 공개석상에 모습을 드러내는 경우는 거의 없었고, 연설도 녹음테이프로 대신했다. 외출할 수 없는 쿠로다를 대신해 나선 것이 마츠자키 아키라였다.
1996년 10월 건강상의 문제로 의장직을 사임하지만 사망할 때까지 여전히 최고지도자, 교조로서 남아 있었다. 2006년 6월 26일 사이타마현 가스카베시의 병원에서 간부전으로 사망했다. 향년 78세.
혁마르파는 한동안 교조 쿠로다의 죽음을 은폐했다. 8월 10일에야 교도통신・산케이신문 등에 사망이 보도되었고 이어 8월 11일 아사히・요미우리・마이니치 등 주요 일간지에서 그 죽음을 전했다. 이것을 받아 8월 12일 혁마르파 의장 우에다 타쿠마가 기자회견을 열어 쿠로다의 죽음을 확인해 주었다.
쿠로다 칸이치의 묘소는 하치오지시 미나미타마영원 23구에 소재하며, 묘비에는 한자 “투(闘)” 한 글자만 새겨져 있다.
쿠로다가 설립한 출판사 코부시서방에서는 쿠로다의 철학서들이 간행되어 현재도 혁마르파 멤버들의 필독서로 여겨지고 있는데, 내용이 난해하다. 또한 청년시대의 쿠로다에게 사상적 영향을 준 애독서들을 쿠로다 자신이 감수하여 『코부시문고』 전 60권으로 간행했는데, 그 다채로운 서목에서 젊은 날의 왕성한 지적 관심을 엿볼 수 있다.
구로다 간이치 저서
저작집
『쿠로다 칸이치 저작집』(黒田寛一著作集) 전 40권 KK書房、2020年 -
물질의 변증법(物質の弁証法)
사회의 변증법(社会の弁証法)
프롤레타리아적 인간의 논리(プロレタリア的人間の論理)
스탈린주의 철학과의 대결(スターリン主義哲学との対決)
마르크스주의의 형성의 논리(マルクス主義の形成の論理)
변혁의 철학(変革の哲学)
장소의 철학의 탐구(場所の哲学の探求)
실천과 장소 제1권 실천의 장소 상(実践と場所・第1巻 実践の場所（上）)
실천과 장소 제1권 실천의 장소 하(実践と場所・第1巻 実践の場所（下）)
실천과 장소 제2권 장소에서의 실천 상(実践と場所・第2巻 場所における実践（上）)
실천과 장소 제2권 장소에서의 실천 하(実践と場所・第2巻 場所における実践（下）)
실천과 장소 제3권 장소의 인식 상(実践と場所・第3巻 場所の認識（上）)
실천과 장소 제3권 장소의 인식 하(実践と場所・第3巻 場所の認識（下）)
공저
고디기젤
고디기젤(Godigisel, 359년-406년)은 하스딩기 반달족의 족장으로 406년 죽을 때까지 반달족을 지배했다. 그가 지배하던 반달족은 알라니족과 함께 라인강을 넘어 로마 제국의 영토로 침입했는데 이미 그곳에 살던 프랑크족과 경쟁관계에 있었다. 406년 12월 31일 고디기젤은 오늘날 마인츠 부근에서 꽁꽁 얼어붙은 라인강을 건너다가 매복해 있던 프랑크족의 기습을 받고 죽었다고 한다.
그의 사후 살아남은 맏아들 군데리크가 반달족의 족장이 되어 부족을 갈리아로 이주시켰다.
1920년 하계 올림픽
1920년 하계 올림픽(영어: 1920 Summer Olympics, Games of the VII Olympiad, 프랑스어: Jeux olympiques d'été de 1920, 네덜란드어: Olympische Zomerspelen 1920, 독일어: Olympische Sommerspiele 1920)은 1920년에 벨기에 안트베르펜에서 개최된 제7회 하계 올림픽이다.
1920년 하계 올림픽 참가국
독일, 오스트리아, 헝가리, 불가리아, 튀르키예(당시에는 오스만 제국)는 제1차 세계 대전에서 패전한 책임을 물어 참가가 금지되었다. 폴란드는 폴란드-소비에트 전쟁의 여파로 인해 불참했으며 러시아는 서방권 국가들의 봉쇄 조치로 인해 불참했다.
에스토니아, 체코슬로바키아, 아르헨티나, 브라질, 유고슬라비아, 모나코 6개국이 처음으로 하계 올림픽에 참가했다. 1908년 하계 올림픽, 1912년 하계 올림픽에서 오스트랄라시아 선수단을 결성하여 참가했던 오스트레일리아, 뉴질랜드는 이 대회부터 따로 참가했다. 1920년 하계 올림픽 참가국과 인원은 다음과 같다.
군데리쿠스
군데리쿠스(Gundericus, 379년-428년)는 반달족의 족장으로 407년 아버지 고디기젤이 죽자 그 뒤를 이어 반달족을 지배했고 나중에는 알라니족을 병합하였다.
반달족은 프랑크족과 경쟁하면서 물밀듯이 갈리아를 남하했고 닥치는 대로 황폐화시키고 아키텐까지 밀려갔다. 409년 반달족은 계속 남진하여 피레네산맥을 넘어 히스파니아로 들어갔다. 히스파니아에 이미 정착해 있던 로마 제국의 동맹 부족과 전쟁을 벌이면서 반달족은 점차 그 영역을 넓혔다. 426년 알라니족이 서고트족과의 경쟁에서 패하자 알라니족의 생존자들이 군데리크에게 도움을 요청해왔고 군데리크는 알리니족의 족장을 겸하여 반달족과 알라니족의 족장이 되었다.
그의 치세 말년은 수적으로 더 우세한 서고트족과 전투로 점철되었고 428년 그가 죽자 그의 이복동생인 가이세리크가 뒤를 이어 왕이 되었다.
오봉산 (춘천)
오봉산(五峰山)은 대한민국 강원특별자치도 춘천시에 있는 한국의 화강암 산이다. 이 산은 경운산 또는 경수산, 청평산으로도 불려 왔고 근래에 와서 비로봉, 보현봉, 문수봉, 관음봉, 나한봉의 다섯 봉우리가 연이어 있어 오봉산으로 부르게 되었다.
정상에서 남쪽 산자락에는, 고려 광종 24년(973년)에 창건한 청평사(강원특별자치도기념물 55호)가 자리잡고 있다.
사에키 토모
사에키 토모(일본어: サエキ トモ, 1973년 2월 2일 ~ ) 또는 사에키 토모는 일본의 성우이다. 주로 소년의 목소리를 자주 담당했다. 2005년 지병으로 성우 활동을 중단했다.
사에키 토모 출연작
2000년
2001년
2002년
2003년
2004년
1999년
2002년
2000년
2005년
2001년
대한민국애국부인회 사건
대한민국애국부인회 사건(大韓民國愛國婦人會事件)은  1919년 전국 여성 조직인 대한민국애국부인회(회장 김마리아)가 일제 경찰에 적발되어 관련자들이 실형을 선고받은 사건이다. 대한애국부인회 사건, 애국부인회 사건, 김마리아 사건이라고도 한다.
대한민국애국부인회 사건 사건 개요
1919년 3·1 운동 이후 민족 의식이 고양되면서 대한민국 임시정부와 연계되어 국내에서 운동 자금을 모금하기 위한 대조선독립애국부인회, 투옥 인사 옥바라지를 위주로 하는 오현관, 오현주 자매의 혈성부인회 등 여성들의 민족 운동 조직이 결성되었다. 황애덕이 1913년부터 운영해온 비밀 결사 송죽회도 있었다. 대부분 고등 교육을 받고 2·8 독립 선언이나 3·1 운동에 직간접적으로 참여한 여성들이 조직한 것이다. 이에 따라 여성 단체 통합 움직임이 자연스럽게 발생하면서 임시정부의 지도 하에 혈성부인회와 대조선독립애국부인회가 통합한 대한민국애국부인회(회장 오현주)가 결성되었다.
대한민국애국부인회 사건 사건 개요
그러나 상하이를 방문했던 오현주의 남편 강낙원이 돌아와 독립 운동에서 손을 떼기를 권유하면서 오현주는 회장직을 사임했다. 이 무렵 3·1 운동에 가담해 구속되었던 김마리아, 황애덕이 출옥하여 대한민국애국부인회에 합류했다. 김마리아는 오현주와 정신여학교 시절부터 절친한 친구이며, 혈성부인회가 한 축으로 참가한 대한민국애국부인회에는 이들의 정신여학교 동창들이 대거 포함되어 있었다. 이들은 오현주가 갑자기 조직에서 발을 뺀데 대해 분개하고 그해 10월경 정신여학교 내에서 회합하여 김마리아를 새 회장으로 선출하는 등 조직을 재정비했다.
그러나 애국부인회가 채 계획한 활동을 개시하기도 전인 11월, 오현주는 강낙원과 함께 대구의 조선인 경찰인 유근수에게 대한민국애국부인회 조직을 밀고했다. 이 때문에 김마리아를 비롯한 대한민국애국부인회 인사들이 대구 형무소에 투옥되었고, 재판 끝에 관련자들은 실형을 선고 받았다. 조직이 와해된 것은 물론, 관련자 중 김마리아는 구금 중 고문으로 병을 얻었으며 또다른 정신여학교 친구인 신의경의 어머니가 홧병으로 사망 하는 등 체포된 이들은 많은 피해를 입었다.
알란인
알란족 또는 알라니족(라틴어: Alani)은 고대의 사르마티아계 유목민족이다.
알라니(Alani)라는 명칭은 아리아인에 대한 이란어군 방언 형태이다. 마사게타이족과 관련이 되었을 수도 있는, 알란족들은 현대 역사가들에 의해서 각각 중국과 로마의 사료에서 나오는 중앙 아시아의 엄채와 아오르소이족과 연관지어졌다. 서쪽으로 이주하여 폰토스 스텝 지역에 있던 사르마티아인들에게서 우위권을 장악한, 이들은 로마인들의 기록에서 서기 1세기에 언급되었다. 그 당시에 이들은 흑해 북쪽 지역에 정착했고 파르티아 제국과 로마 제국의 코카서스 속주를 자주 약탈했다. 215–250년경에 폰토스 스텝에서 알란족의 세력은 고트족들에게 붕괴되었다.
알란인
375년 쯤에 폰토스 스텝에서 고트족이 훈족에게 패배하자, 많은 알란족들은 여러 게르만 부족들과 서쪽으로 이주했다. 알란족들은 반달족, 수에비족과 함께 406년에 라인강을 건넜고, 오를레앙과 발랑스에 정착했다. 406년경에 알란족은 피레네산맥을 넘어 이베리아반도로 향하는 반달족과 수에비족에 동참했고, 루시타니아와 카르타기넨시스에 정착했다. 이베리아의 알란족은 418년에 서고트인에게 처참하게 패배했고, 그 후에는 하스딩기계 반달족의 세력권에 투항했다. 428년에 반달족과 알란족은 북아프리카를 향해 지브롤터 해협을 건넜고, 6세기에 비잔티움의 황제 유스티니아누스 1세에게 정복될 때까지 지속된 강력한 왕국을 세웠다.
훈족의 지배 하에 남아 있었던 알란족은 중세시대 북캅카스 지역에 강력한 왕국을 세웠으며, 이 왕국은 13세기 몽골의 침략으로 멸망했다. 이 알란족들이 현재의 오세트인들의 조상이 되었다고 한다.
알란족은 이란어군에서 전래된 동부 이란어군을 구사했고, 그 언어는 북동부 이란어군을 거쳐 현재의 오세트어로 변했다.
유진희
유진희(兪鎭熙, 1893년 2월 11일 ~ 1949년 8월 31일)는 일제강점기의 사회주의 운동가이다.
유진희 생애
충청남도 예산군 출신이다. 1921년 조선노동공제회를 창설하면서 노동 운동을 시작했으며, 신생활 필화 사건 때 문제의 《신생활》 러시아 혁명 기념호에 〈민족운동과 무산계급의 전술〉을 실은 일로 징역 1년 6개월형을 선고받고 복역했다.
출옥 후에도 상하이파에서 활동하며 1925년 한국 최초의 공산주의 정당인 조선공산당을 창당했는데, 1927년 체포되어 징역 4년형을 선고받고 두 번째로 복역했다. 1932년 조선공산당 기관지 《신계단》의 발행인을 맡았다.
그는 신생활 필화 사건으로 함께 옥고를 치른 이항발, 신일용과 마찬가지로 광복 후에는 우익 정치인으로 활동했다. 광복 직후에 조선민족당 발기에 참가했다가 9월, 우파 정당 한국민주당 간부를 지냈고 미군정 하에서 남조선과도입법의원 의원에 선임되었다.
1992년 건국훈장 애족장이 추서되었다.
계량 텐서
미분기하학의 수학 분야에서, 계량 텐서, 메트릭 텐서(metric tensor)는 내적이 유클리드 공간에서 거리와 각도를 정의하는 것처럼, 다양체 M (예: 곡면 (수학))에 거리와 각도를 정의할 수 있게 해주는 추가적인 수학적 구조이다. 더 정확히 말하면, M의 한 점 p에서의 계량 텐서는 p에서의 접공간에 정의된 쌍선형 형식 (즉, 접벡터 쌍을 실수로 매핑하는 쌍선형 함수)이며, M의 계량장은 M의 각 점 p에서 p에 따라 매끄럽게 변하는 계량 텐서로 구성된다.
계량 텐서 g는 모든 0이 아닌 벡터 v에 대해 g(v, v) > 0이면 양의 정부호이다. 양의 정부호 계량 텐서가 장착된 다양체를 리만 다양체라고 한다. 이러한 계량 텐서는 다양체 상의 무한소 거리를 지정하는 것으로 생각할 수 있다. 리만 다양체 M에서, 두 점 p와 q 사이의 매끄러운 곡선의 길이는 적분을 통해 정의될 수 있으며, p와 q 사이의 거리는 그러한 모든 곡선의 길이의 하한으로 정의될 수 있다. 이는 M을 거리 공간으로 만든다. 반대로, 계량 텐서 자체는 (적절한 방식으로 취해진) 거리 함수의 미분이다.
계량 텐서
계량 텐서의 개념은 19세기 초부터 가우스와 같은 수학자들에게 어떤 의미에서는 알려져 있었지만, 특히 그레고리오 리치쿠르바스트로와 툴리오 레비치비타에 의해 텐서로서의 특성이 이해된 것은 20세기 초에 이르러서였다. 이들은 텐서의 개념을 처음으로 체계화했다. 계량 텐서는 텐서장의 한 예이다.
좌표 기저에서 계량 텐서의 성분은 대칭행렬의 형태를 띠며, 이 행렬의 원소는 좌표계 변경에 따라 공변적으로 변환된다. 따라서 계량 텐서는 공변 대칭 텐서이다. 좌표 독립적인 관점에서, 계량 텐서장은 각 접공간에서 비퇴화 대칭 쌍선형 형식으로 정의되며, 이는 점마다 매끄럽게 변한다.
계량 텐서 서론
카를 프리드리히 가우스는 1827년 그의 저서 Disquisitiones generales circa superficies curvas (곡면의 일반적인 연구)에서 곡면을 매개변수적으로 고려했는데, 곡면 위의 점들의 데카르트 좌표계 x, y, z는 두 보조 변수 u와 v에 따라 달라졌다. 따라서 매개변수 곡면은 (오늘날의 용어로) 벡터 함수
이며, 순서쌍의 실수 변수 (u, v)에 의존하며, uv-평면의 열린집합 D에 정의된다. 가우스 연구의 주요 목표 중 하나는 곡면이 공간에서 변환(예: 늘이지 않고 구부리기)되거나 동일한 기하학적 곡면의 특정 매개변수 형식이 변경되더라도 변하지 않는 함수로 설명될 수 있는 곡면의 특징을 도출하는 것이었다.
그러한 자연적인 불변량 중 하나는 곡면을 따라 그려진 곡선의 길이이다. 다른 하나는 곡면을 따라 그려지고 공통 점에서 만나는 두 곡선 사이의 각도이다. 세 번째 양은 곡면 조각의 넓이이다. 이러한 곡면의 불변량을 연구하면서 가우스는 현대 계량 텐서 개념의 전신을 도입하게 되었다.
아래 설명에서 계량 텐서는 이며, E, F, G는 행렬이 양의 정부호인 한 어떤 숫자라도 포함할 수 있다.
계량 텐서 서론
변수 u와 v가 구간 [a, b]에서 값을 취하는 세 번째 변수 t에 의존한다고 가정하면, r→(u(t), v(t))는 매개변수 곡면 M에서 매개변수 곡선을 그린다. 그 곡선의 곡선의 길이는 다음 적분으로 주어진다.
여기서 는 유클리드 노름을 나타낸다. 여기서 연쇄 법칙이 적용되었고, 아래 첨자는 편미분을 나타낸다.
적분식은 (이차) 미분의 제곱근에 대한 곡선의 제한이다.
여기서
(1)의 양 ds는 선 요소라고 불리는 반면, ds2는 M의 제1 기본 형식이라고 불린다. 직관적으로, 이는 u가 du 단위만큼 증가하고 v가 dv 단위만큼 증가할 때 r→(u, v)가 겪는 변위 제곱의 주요 부분을 나타낸다.
행렬 표기법을 사용하면 제1 기본 형식은 다음과 같이 된다.
이제 u와 v가 다른 변수 쌍 u′와 v′에 의존하도록 함으로써 다른 매개변수화를 선택한다고 가정하자. 그러면 새로운 변수에 대한 (2)의 유사체는 다음과 같다.
연쇄 법칙은 E′, F′, G′를 행렬 방정식
을 통해 E, F, G와 연관시킨다. 여기서 위 첨자 T는 전치 행렬을 나타낸다. 이 방식으로 배열된 계수 E, F, G를 가진 행렬은 좌표 변경의 야코비 행렬에 의해 변환된다.
계량 텐서 서론
이러한 방식으로 변환되는 행렬을 텐서의 한 종류라고 한다. 변환 법칙 (3)을 가진 행렬
은 곡면의 계량 텐서로 알려져 있다.
Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900)는 한 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때 이 방식으로 변환되는 계수 시스템 E, F, G의 중요성을 처음으로 관찰했다. 그 결과, 제1 기본 형식 (1)은 좌표계 변경에 대해 불변이며, 이는 E, F, G의 변환 속성에서만 비롯된다. 실제로, 연쇄 법칙에 의해,
따라서
계량 텐서의 또 다른 해석은 가우스가 고려한 것으로, 표면에 대한 접벡터의 길이를 계산하고 두 접벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 제공한다는 것이다. 현대 용어로, 계량 텐서는 표면의 매개변수적 설명과 무관하게 접벡터의 스칼라곱을 계산할 수 있게 해준다. 매개변수 곡면 M의 한 점에서의 모든 접벡터는
적절한 실수 p1과 p2에 대해 이러한 형태로 쓸 수 있다. 두 접벡터가 다음과 같이 주어진다면,
그러면 스칼라곱의 쌍선형성을 사용하여,
계량 텐서 서론
이것은 분명히 네 변수 a1, b1, a2, b2의 함수이다. 그러나 uv-평면의 벡터인 인자 쌍 a = [a1 a2]와 b = [b1 b2]를 취하는 함수로 보는 것이 더 유용하다. 즉,
이것은 a와 b에 대한 대칭 함수이며, 다음을 의미한다.
또한 쌍선형인데, 이는 각 변수 a와 b에 대해 별도로 선형임을 의미한다. 즉,
uv 평면의 모든 벡터 a, a′, b, b′ 및 모든 실수 μ와 λ에 대해 성립한다.
특히, 접벡터 a의 길이는 다음으로 주어진다.
그리고 두 벡터 a와 b 사이의 각도 θ는 다음으로 계산된다.
표면 넓이는 표면 자체에만 의존해야 하며, 매개변수화 방식에 의존하지 않아야 하는 또 다른 수치량이다. 만약 표면 M이 uv-평면의 영역 D에 걸쳐 함수 r→(u, v)에 의해 매개변수화된다면, M의 표면 넓이는 다음 적분으로 주어진다.
여기서 ×는 벡터곱을 나타내고, 절대값은 유클리드 공간에서 벡터의 길이를 나타낸다. 벡터곱에 대한 라그랑주 항등식에 의해, 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 det는 행렬식이다.
계량 텐서 정의
n차원의 매끄러운 다양체 M이라고 하자. 예를 들어, 데카르트 공간 의 곡면 (n = 2인 경우) 또는 초곡면이다. 각 점 p ∈ M에는 접공간이라고 불리는 벡터 공간 TpM이 있으며, 이 공간은 점 p에서의 다양체에 대한 모든 접벡터로 구성된다. 점 p에서의 계량 텐서는 p에서의 접벡터 쌍 Xp와 Yp를 입력으로 받아 실수 (스칼라)를 출력으로 생성하는 함수 gp(Xp, Yp)로, 다음 조건을 만족한다.
M 상의 계량 텐서장 g는 M의 각 점 p에 p에 따라 매끄럽게 변하는 방식으로 p에서의 접공간에 계량 텐서 gp를 할당한다. 더 정확히 말하면, 다양체 M의 열린 부분집합 U와 U 상의 임의의 (매끄러운) 벡터장 X 및 Y가 주어졌을 때, 실수 함수

는 p의 매끄러운 함수이다.
계량 텐서 계량의 성분
벡터장의 기저, 또는 틀 f = (X1, ..., Xn)에서 계량의 성분은 다음과 같이 주어진다.
n2개의 함수 gij[f]는 n × n 대칭행렬 G[f]의 원소를 이룬다. 만약
가 p ∈ U에서의 두 벡터라면, v와 w에 적용된 계량의 값은 쌍선형성에 의해 계수 (4)에 의해 결정된다.
행렬 (gij[f])를 G[f]로 나타내고 벡터 v와 w의 성분을 열벡터 v[f]와 w[f]로 배열하면,
여기서 v[f]T와 w[f]T는 각각 벡터 v[f]와 w[f]의 전치를 나타낸다. 어떤 가역행렬 n × n 행렬 A = (aij)에 대한 기저 변경 형식
하에서, 계량의 성분 행렬도 A에 의해 변환된다. 즉,
또는 이 행렬의 원소 측면에서,
이러한 이유로, 양 gij[f]의 시스템은 틀 f의 변경에 대해 공변적으로 변환된다고 한다.
M의 열린집합 U에서 국소 좌표계를 제공하는 n개의 실수 값 함수 (x1, ..., xn) 시스템은 U 상의 벡터장 기저를 결정한다.
계량 g는 이 틀에 상대적으로 다음과 같이 주어진 성분들을 갖는다.
새로운 국소 좌표계, 예를 들어
에 상대적으로, 계량 텐서는 다른 계수 행렬을 결정할 것이다.
계량 텐서 계량의 성분
이 새로운 함수 시스템은 연쇄 법칙에 의해 원래의 gij(f)와 다음과 같이 관련된다.
따라서
또는 행렬 G[f] = (gij[f])와 G[f′] = (gij[f′])의 측면에서,
여기서 Dy는 좌표 변경의 야코비 행렬을 나타낸다.
모든 계량 텐서에는 각 접공간에서 다음과 같이 정의된 이차 형식이 연관되어 있다.
만약 qm이 모든 0이 아닌 Xm에 대해 양수이면, 계량은 m에서 양의 정부호이다. 만약 계량이 모든 m ∈ M에서 양의 정부호이면, g는 리만 계량이라고 불린다. 더 일반적으로, 이차 형식 qm이 m과 무관하게 일정한 부호수를 가지면, g의 부호수는 이 부호수이며, g는 준 리만 계량이라고 불린다. 만약 M이 연결되어 있다면, qm의 부호수는 m에 의존하지 않는다.
실베스터 관성법칙에 의해, 접벡터의 기저 Xi는 국소적으로 다음과 같이 이차 형식이 대각화되도록 선택될 수 있다.
계량 텐서 계량의 성분
1과 n 사이의 어떤 p에 대해. q의 두 가지 표현 (M의 동일한 점 m에서)은 양수 부호의 동일한 수 p를 가질 것이다. g의 부호수는 정수 쌍 (p, n − p)로, 이러한 표현에서 p개의 양수 부호와 n − p개의 음수 부호가 있음을 나타낸다. 동등하게, 계량 gij의 행렬이 p개의 양수 고윳값과 n − p개의 음수 고윳값을 가지면 계량은 부호수 (p, n − p)를 갖는다.
응용 분야에서 자주 발생하는 특정 계량 부호수는 다음과 같다.
f = (X1, ..., Xn)를 벡터장 기저라고 하고, 위에서와 같이 G[f]를 계수의 행렬이라고 하자.
역행렬 G[f]−1을 고려할 수 있으며, 이는 역계량 (또는 켤레 계량 또는 이중 계량)과 동일시된다. 역계량은 틀 f가 행렬 A에 의해 변경될 때 다음과 같은 변환 법칙을 만족한다.
역계량은 반변적으로, 또는 기저 변경 행렬 A의 역수에 대해 변환된다. 계량 자체는 벡터장의 길이를 (또는 벡터장 사이의 각도를) 측정하는 방법을 제공하는 반면, 역계량은 공변벡터장의 길이를 (또는 공변벡터장 사이의 각도를) 측정하는 수단을 제공한다. 즉, 선형 형식의 장을 제공한다.
계량 텐서 계량의 성분
이를 보기 위해, α가 공변벡터장이라고 가정하자. 즉, 각 점 p에 대해, α는 p에서의 접벡터에 대해 정의된 함수 αp를 결정하며, 다음 선형성 조건이 모든 접벡터 Xp와 Yp, 그리고 모든 실수 a와 b에 대해 성립한다.
p가 변할 때, α는 다음 의미에서 매끄러운 함수로 가정된다.
모든 매끄러운 벡터장 X에 대해 p의 매끄러운 함수이다.
모든 공변벡터장 α는 벡터장 기저 f에서 성분을 갖는다. 이들은 다음으로 결정된다.
이러한 성분들의 행벡터를 다음으로 나타낸다.
행렬 A에 의한 f의 변경 하에서, α[f]는 다음 규칙에 의해 변경된다.
즉, 성분 행벡터 α[f]는 공변 벡터로 변환된다.
공변벡터장 쌍 α와 β에 대해, 이 두 공변벡터에 적용된 역계량을 다음과 같이 정의한다.
결과로 얻은 정의는 비록 기저 f의 선택을 포함하지만, 실제로는 f에 본질적인 방식으로 의존하지 않는다. 실제로, 기저를 fA로 변경하면
계량 텐서 계량의 성분
따라서 방정식 (6)의 우변은 기저 f를 다른 어떤 기저 fA로 변경해도 영향을 받지 않는다. 결과적으로, 이 방정식은 기저 선택과 독립적으로 의미를 부여받을 수 있다. 행렬 G[f]의 원소는 gij로 표시되며, 여기서 지수 i와 j는 변환 법칙 (5)을 나타내기 위해 위로 올라가 있다.
벡터장 기저 f = (X1, ..., Xn)에서, 모든 매끄러운 접벡터장 X는 다음 형태로 쓸 수 있다.
고유하게 결정되는 어떤 매끄러운 함수 v1, ..., vn에 대해. 비특이 행렬 A에 의해 기저 f를 변경하면, 계수 vi는 방정식 (7)이 참으로 유지되도록 변한다. 즉,
결과적으로, v[fA] = A−1v[f]이다. 다시 말해, 벡터의 성분은 비특이 행렬 A에 의한 기저 변경 하에서 반변적으로 (즉, 역으로 또는 반대 방식으로) 변환된다. vi[f]의 성분의 반변성은 vi[f]의 지수를 위쪽에 배치함으로써 표기적으로 지정된다.
틀은 또한 공변벡터를 그 성분으로 표현할 수 있게 한다. 벡터장 기저 f = (X1, ..., Xn)에 대해, 쌍대 기저를 다음을 만족하는 선형 형식 (θ1[f], ..., θn[f])로 정의한다.
계량 텐서 계량의 성분
즉, θi[f](Xj) = δji, 크로네커 델타이다.
비특이 행렬 A에 대한 기저 변경 f ↦ fA 하에서, θ[f]는 다음을 통해 변환된다.
접벡터에 대한 모든 선형 형식 α는 쌍대 기저 θ의 항으로 전개될 수 있다.
여기서 a[f]는 행벡터 [ a1[f] ... an[f] ]를 나타낸다. 기저 f가 fA로 대체될 때 성분 ai는 방정식 (8)이 계속 참이 되도록 변환된다. 즉,
그러므로 θ[fA] = A−1θ[f]이기 때문에, a[fA] = a[f]A가 성립한다. 즉, 성분 a는 공변적으로 변환된다 (역행렬 대신 행렬 A에 의해). a[f]의 성분의 공변성은 ai[f]의 지수를 아래쪽에 배치함으로써 표기적으로 지정된다.
이제 계량 텐서는 벡터와 공변벡터를 다음과 같이 식별하는 수단을 제공한다. Xp를 고정하면, 함수
접벡터 Yp는 p에서의 접공간에 대한 선형 형식을 정의한다. 이 연산은 점 p에서의 벡터 Xp를 취하고 공변벡터 gp(Xp, −)를 생성한다. 벡터장 기저 f에서, 벡터장 X가 성분 v[f]를 갖는다면, 쌍대 기저에서 공변벡터장 g(X, −)의 성분은 다음 행벡터의 원소로 주어진다.
계량 텐서 계량의 성분
기저 변경 f ↦ fA 하에서, 이 방정식의 우변은 다음을 통해 변환된다.
따라서 a[fA] = a[f]A: a는 공변적으로 변환된다. 벡터장 v[f] = [ v1[f] v2[f] ... vn[f] ]T의 (반변) 성분에 공변벡터장 a[f] = [ a1[f] a2[f] … an[f] ]의 (공변) 성분을 연관시키는 연산을 지표 내림이라고 한다. 여기서
지표를 올리려면, 계량 대신 역계량을 사용하여 동일한 구성을 적용한다. 만약 a[f] = [ a1[f] a2[f] ... an[f] ]가 쌍대 기저 θ[f]의 공변벡터의 성분이라면, 열벡터
는 반변적으로 변환되는 성분들을 갖는다.
결과적으로, 양 X = fv[f]는 기저 f의 선택에 본질적인 방식으로 의존하지 않으므로, M 상의 벡터장을 정의한다. (공변) 공변벡터 a[f]에 주어진 벡터 v[f]의 (반변) 성분을 연관시키는 연산 (9)을 지표 올림이라고 한다. 성분으로 표현하면, (9)는
ℝn의 열린집합 U라고 하고, φ를 U에서 유클리드 공간 ℝm로의 연속 미분 가능 함수라고 하자. 여기서 m > n이다. 사상 φ는 그 미분이 U의 모든 점에서 단사이면 몰입이라고 불린다. φ의 이미지는 몰입된 부분 다양체라고 불린다. 더 구체적으로, m = 3인 경우, 즉 주변 유클리드 공간이 ℝ3인 경우, 유도 계량 텐서는 제1 기본 형식이라고 불린다.
φ가 부분 다양체 M ⊂ Rm로의 몰입이라고 가정하자. ℝm에서의 일반적인 유클리드 스칼라곱은 M에 접하는 벡터로 제한될 때 이 접벡터의 스칼라곱을 취할 수 있는 수단을 제공하는 계량이다. 이것을 유도 계량이라고 한다.
v가 U의 한 점에서의 접벡터라고 가정하자. 예를 들어
여기서 ei는 ℝn의 표준 좌표 벡터이다. φ가 U에 적용될 때, 벡터 v는 다음으로 주어진 M에 접하는 벡터로 바뀐다.
(이것을 φ를 따른 v의 푸시포워드라고 한다.) 그러한 두 벡터 v와 w가 주어졌을 때, 유도 계량은 다음으로 정의된다.
좌표 벡터장 e 기저에서 유도 계량의 행렬은 다음으로 주어진다는 간단한 계산에서 알 수 있다.
여기서 Dφ는 야코비 행렬이다.
계량 텐서 계량의 내재적 정의
계량의 개념은 내재적으로 올다발과 벡터 다발의 언어를 사용하여 정의할 수 있다. 이러한 용어로, 계량 텐서는 함수이다.
M의 접다발과 그 자신의 올곱에서 R로의 함수로, 각 올에 대한 g의 제한은 비퇴화 쌍선형 사상이다.
사상 (10)은 연속이어야 하며, 관심 있는 경우와 M이 그러한 구조를 지원할 수 있는지 여부에 따라 종종 연속 미분 가능, 매끄러운, 또는 실해석적이어야 한다.
텐서곱의 보편 성질에 의해, 모든 쌍선형 사상 (10)은 TM과 그 자신의 텐서곱 다발의 쌍대의 단면 g⊗을 자연스럽게 생성한다.
단면 g⊗는 TM ⊗ TM의 단순 원소에 대해 다음으로 정의된다.
그리고 단순 원소의 선형 결합으로 선형적으로 확장하여 TM ⊗ TM의 임의의 원소에 대해 정의된다. 원래의 쌍선형 형식 g는 다음 조건이 성립할 때만 대칭이다.
여기서
는 묶음 사상이다.
M이 유한 차원이므로, 자연 동형
이 존재하므로, g⊗는 공변접다발 T*M과 그 자신의 텐서곱 다발 T*M ⊗ T*M의 단면으로도 간주된다. g가 쌍선형 사상으로서 대칭이므로, g⊗는 대칭 텐서이다.
계량 텐서 계량의 내재적 정의
더 일반적으로, 벡터 다발에서 계량에 대해 이야기할 수 있다. 만약 E가 다양체 M 위의 벡터 다발이라면, 계량은 매핑이다.
E의 올곱에서 R로의 함수로, 각 올에서 쌍선형이다.
위에서와 같이 쌍대성을 사용하여, 계량은 종종 텐서곱 다발 E* ⊗ E*의 단면과 동일시된다.
계량 텐서는 접다발에서 공변접다발로의 자연 동형을 제공하며, 때때로 음악 동형이라고 불린다. 이 동형은 각 접벡터 Xp ∈ TpM에 대해,
p에서의 접벡터 Yp를 gp(Xp,Yp)로 보내는 TpM의 선형 형식을 설정함으로써 얻어진다. 즉, TpM과 그 쌍대 공간 T∗pM 사이의 짝 [−, −]의 관점에서,
모든 접벡터 Xp와 Yp에 대해. 사상 Sg는 TpM에서 T∗pM로의 선형 변환이다. 비퇴화성 정의로부터 Sg의 핵이 0으로 축소됨이 따르고, 계수-퇴화차수 정리에 의해 Sg는 선형 동형사상이다. 또한, Sg는 다음 의미에서 대칭 선형 변환이다.
모든 접벡터 Xp와 Yp에 대해.
반대로, 모든 선형 동형사상 S : TpM → T∗pM은 다음을 통해 TpM에 대한 비퇴화 쌍선형 형식을 정의한다.
계량 텐서 계량의 내재적 정의
이 쌍선형 형식은 S가 대칭인 경우에만 대칭이다. 따라서 TpM에 대한 대칭 쌍선형 형식과 TpM에서 쌍대 T∗pM로의 대칭 선형 동형사상 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다.
p가 M에 걸쳐 변함에 따라, Sg는 접다발에서 공변접다발로의 벡터 다발 동형사상의 다발 Hom(TM, T*M)의 단면을 정의한다. 이 단면은 g와 동일한 매끄러움을 갖는다. 즉, g에 따라 연속, 미분 가능, 매끄러운, 또는 실해석적이다. M 상의 모든 벡터장에 M 상의 공변벡터장을 연관시키는 사상 Sg는 벡터장에 대한 "지표 내림"의 추상적 공식을 제공한다. Sg의 역함수는 T*M → TM으로의 사상으로, 유사하게 공변벡터장에 대한 "지표 올림"의 추상적 공식을 제공한다.
역함수 S−1g는 선형 사상
을 정의하며, 이는 모든 공변벡터 α, β에 대해 비특이적이고 다음과 같은 의미에서 대칭이다.
이러한 비특이적 대칭 사상은 (텐서-호몰로지 연접)에 의해 사상
또는 이중 쌍대 동형에 의해 텐서곱의 단면
를 생성한다.
계량 텐서 곡선의 길이와 선 요소
g가 M에 대한 리만 계량이라고 가정하자. 국소 좌표계 xi, i = 1, 2, …, n에서 계량 텐서는 좌표 벡터장에 대한 계량 텐서의 성분 gij로 구성된 행렬 (여기서는 G로 표시)로 나타난다.
M의 조각별 미분 가능한 매개변수 곡선 γ(t)가 a ≤ t ≤ b에 대해 존재한다고 하자. 곡선의 곡선의 길이는 다음으로 정의된다.
이 기하학적 응용과 관련하여, 이차 미분 형식
은 계량과 관련된 제1 기본 형식이라고 불리며, ds는 선 요소이다. ds2가 M의 곡선 이미지로 당겨질 때, 이는 곡선 길이에 대한 미분의 제곱을 나타낸다.
준 리만 계량의 경우, 제곱근 아래의 항이 음수가 될 수 있기 때문에 위의 길이 공식이 항상 정의되는 것은 아니다. 일반적으로 제곱근 아래의 양이 항상 한쪽 부호이거나 다른 부호일 때만 곡선의 길이를 정의한다. 이 경우, 다음을 정의한다.
이러한 공식은 좌표 표현을 사용하지만, 실제로는 선택된 좌표와 무관하다. 이들은 계량과 공식이 적분되는 곡선에만 의존한다.
계량 텐서 곡선의 길이와 선 요소
곡선 세그먼트가 주어졌을 때, 또 다른 자주 정의되는 양은 곡선의 (운동) 에너지이다.
이 용법은 물리학, 특히 고전역학에서 비롯된 것으로, 적분 E는 다양체 표면을 움직이는 점입자의 운동 에너지와 직접적으로 일치하는 것으로 볼 수 있다. 예를 들어, 모페르튀이 원리의 야코비 공식화에서 계량 텐서는 움직이는 입자의 질량 텐서에 해당한다고 볼 수 있다.
많은 경우, 길이가 사용되어야 하는 모든 계산에서 에너지 사용을 포함하는 유사한 계산을 수행할 수 있다. 이는 제곱근이 필요 없기 때문에 종종 더 간단한 공식을 유도한다. 예를 들어, 측지선 방정식은 길이 또는 에너지에 변분 원리를 적용하여 얻을 수 있다. 후자의 경우, 측지선 방정식은 최소 작용의 원리에서 발생하는 것으로 보인다. 즉, 다양체에 갇혀 있지만 그 외에는 다양체 내에서 일정한 운동량으로 자유롭게 움직이는 "자유 입자"(힘을 느끼지 않는 입자)의 운동을 설명한다.
계량 텐서 표준 측도와 부피 형식
곡면의 경우와 유사하게, n-차원 파라콤팩트 다양체 M에 대한 계량 텐서는 다양체의 부분집합의 n-차원 부피를 측정하는 자연스러운 방법을 제공한다. 결과로 얻은 자연적인 양의 보렐 측도는 관련된 르베그 적분을 통해 다양체 위의 함수를 적분하는 이론을 개발할 수 있게 한다.
측도는 리스 표현 정리에 의해, 다양체 위의 콤팩트 지지 연속 함수의 공간 C0(M)에 대한 양의 선형 형식 Λ를 제공함으로써 정의될 수 있다. 더 정확히 말하면, 만약 M이 (준) 리만 계량 텐서 g를 가진 다양체라면, 모든 좌표 차트 (U, φ)에 대해 유일한 양의 보렐 측도 μg가 존재하여,

모든 U에 지지되는 f에 대해 성립한다. 여기서 det g는 좌표 차트에서 계량 텐서의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식이다. Λ가 좌표 근방에 지지되는 함수에 대해 잘 정의된다는 것은 야코비안 변수 변환에 의해 정당화된다. 이것은 단위 분할을 통해 C0(M)에 대한 유일한 양의 선형 형식으로 확장된다.
계량 텐서 표준 측도와 부피 형식
만약 M이 또한 방향을 가진다면, 계량 텐서로부터 자연스러운 부피 형식을 정의하는 것이 가능하다. 양의 방향 좌표계 (x1, ..., xn)에서 부피 형식은 다음과 같이 표현된다.

여기서 dxi는 좌표 미분이고 ∧는 미분 형식의 대수에서의 외적을 나타낸다. 부피 형식은 또한 다양체 위의 함수를 적분하는 방법을 제공하며, 이 기하학적 적분은 표준 보렐 측도에 의해 얻어진 적분과 일치한다.
계량 텐서 예시
가장 친숙한 예는 초등 유클리드 기하학의 예시이다. 즉, 2차원 유클리드 계량 텐서이다. 일반적인 데카르트 좌표계 (x, y)에서 우리는 다음을 쓸 수 있다.
곡선의 길이는 다음 공식으로 줄어든다.
다른 일반적인 좌표계에서 유클리드 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다.
극좌표 (r, θ):
따라서
삼각 항등식에 의해.
일반적으로, 유클리드 공간의 데카르트 좌표계 xi에서, 편미분 ∂ / ∂xi는 유클리드 계량에 대해 정규직교이다. 따라서 이 좌표계에서 계량 텐서는 크로네커 델타 δij이다. 임의의 (곡선일 수도 있는) 좌표 qi에 대한 계량 텐서는 다음으로 주어진다.
ℝ3의 단위 구는 유도 계량 섹션에서 설명된 과정을 통해 주변 유클리드 계량으로부터 유도되는 자연스러운 계량을 갖추고 있다. 표준 구면 좌표계 (θ, φ)에서, θ는 극각, z-축에서 측정된 각도이고, φ는 xy-평면에서 x-축에서 측정된 각도이며, 계량은 다음과 같은 형태를 취한다.
계량 텐서 예시
이것은 보통 다음과 같은 형태로 쓰인다.
평탄한 민코프스키 공간 (특수 상대성이론)에서, 좌표
계량은 계량 부호수 선택에 따라 다음과 같다.
예를 들어, 시간 좌표가 일정한 곡선의 경우, 이 계량의 길이 공식은 일반적인 길이 공식으로 줄어든다. 시간꼴 곡선의 경우, 길이 공식은 곡선을 따른 고유 시간을 제공한다.
이 경우, 시공간 간격은 다음과 같이 쓰인다.
슈바르츠실트 계량은 행성이나 블랙홀과 같은 구형 대칭체 주변의 시공간을 설명한다. 좌표
로 계량을 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 G (행렬 내부)는 중력 상수이고 M은 중심 물체의 총 질량-에너지 함량을 나타낸다.
건축한계 개요
건축한계의 개념은 자전거, 인도, 차도 등 도로와 철도에서 사용된다.
도로의 경우 건축한계가 아닌 시설한계로 통칭한다. 건축한계와 유사한 도로의 외형적 공간 기준은 시설한계를 비록한 법령상의 여러 조문에 의해서 규정되어 있다. 도로의 차도에서는 높이 4.5m, 보도에서는 높이 2.5m가 건축한계로서, 이 공간 밖에서만 장애물 설치가 가능하다. 철도에서는 레일 상면으로부터 중심부 높이가 4.3m, 폭 3.8m이고, 곡선부에서는 폭이 좀더 넓어진다. 가공전동차선은 높이를 5.7m로 한다.
다만 도로에 관해서는 우회도로의 여부나 시설적인 조건 등을 감안하여 더 작은 시설한계를 허용하는 예가 다수 존재하며, 이런 경우에 이러한 축소된 시설한계를 알리기 위한 시설물이 다수 설치된다.
건축한계 개요
철도에 있어서의 건축한계는 차량이 안전하게 운행될 수 있도록 궤도상에 설정한 일정한 공간을 의미한다.
건축한계의 설정은 철도와 관련된 시설, 특히 터널 시설물이나 과선교 등 입체교차시설, 철도신호 및 전차선 등이 철도차량의 운행을 지장하거나 파손하지 않도록 하기 위함이다. 이중 터널의 경우는 표준 단면 등으로 더 많은 규약이 적용되는 예가 많다.
건축한계는 따라서 철도차량의 안전을 확보하기 위하여 궤도위에 정지된 상태에서 측정한 철도차량의 길이와 너비 및 높이의 한계인 차량한계와 관련이 깊다. 건축한계는 따라서 대개 차량한계보다 일정 치수만큼 크게 결정되어 있다.
건축한계 한국철도의 건축한계
한국의 건축한계는 대한제국 당시 철도 부설권 각축의 결과로 지금과 같이 결정되었다. 최초의 건축한계는 표준 레일 중량, 궤간, 승강장 등과 함께 결정된 사항으로, 영국, 러시아, 일본, 미국 등의 기준이 각축하였으며, 한때 러시아 기준에 맞추어 철도의 표준을 대한제국 정부가 정하기도 하였으나, 이후 다시 미국 기준을 원용하는 방향으로 전환되었으며, 이는 경인선의 부설권이 미국인 사업가 모스에게 주어짐으로서, 일단 미국 철도의 기준을 원용하는 것으로 결정되었다.
이렇게 결정된 제반 표준 및 건축한계에 관해서, 갖은 회유를 통해 모스로부터 부설권을 매수한 일본은 한국 철도의 설계를 자국의 협궤 규격으로 전환하고자 하였는데, 특히 이러한 협궤화의 주장은 일본의 민간 관료들로부터 제기된 것으로 알려져 있다. 그러나, 대륙 진출의 필요가 강조되면서 중국 등지에서 이미 쓰이고 있던 표준궤를 이용하고, 그 차량의 규격 역시 수송력이 높은 미국의 것을 그대로 유지하는 것이 되었다.
건축한계 한국철도의 건축한계
이후 일제시대를 거치면서 건축한계의 기본적 틀은 크게 변동하지 않았으나, 다만, 전기철도의 도입 등이 검토되면서 터널 단면은 단계적으로 확대 시공하도록 되었다. 해방 이후에도 터널의 단면적은 수 차례 확대 조정되었으며, 특히 전철화가 준비, 실행되는 과정에서 현재의 기준에 이르렀다.
한국철도의 건축한계는 기본적으로 반원형 곡면을 가정하는, 폭이 줄어드는 차량 상단부를 기본 형태로 하고 있으며, 승강장 부분 만큼은 안쪽 공간을 축소하는 형태로 되어 있다. 개략적인 외형 치수는 다음과 같으며, 이하의 내용에 대해서는 선구 사정 등에 따라 어느 정도 가감될 여지를 가진다.
단, 이 부분의 확대는 전차선 설치 규격 및 기타 가설공사의 상황에 따라 5,600mm~5,350mm까지 축소될 수 있음.
이러한 건축한계는 내부로 침범해서는 안되는 기준이기 때문에, 대개의 철도시설물은 필요로 하는 경우가 아니라면 이보다 더 넓은 공간을 확보하도록 설계된다.
건축한계 도시철도의 건축한계
한편, 일반철도의 차량한계와 별도로 지하철 등 도시철도에 대해서도 법에 의해 건축한계가 규정되어 있다. 다만, 구체적인 규격은 각 광역시, 도에서 조례로 정의하도록 되어 있다.
스페인 국왕 목록
스페인의 군주 항목은 오늘날의 스페인에 해당하는 지역의 역사적인 군주들에 대해서 다룬다. 따라서 본격적인 스페인 왕국이 출현하기 전의 군주에 대해서는 아래와 같은 작은 왕국의 군주를 참조하라.
1479년 카스티야의 이사벨 1세와 아라곤의 페르난도 2세의 결혼으로 최초로 스페인 통합 왕국이 탄생했다. 그러나 이들의 결혼은 느슨한 결합이었기 때문에 완전한 통일 스페인 왕국은 1516년부터 시작한다고 본다. 형식상으로는 트라스타마라 왕가의 후아나 여왕부터 시작되었다고 봐도 되지만 사실상 실권은 그녀의 아들 카를로스 1세가 갖고 있었기에 스페인의 공식 첫 국왕은 합스부르크 왕가의 카를로스 1세로 본다.
다음은 역대 스페인 국왕들의 목록이다.
스페인 국왕 목록 합스부르크 왕가
카를로스 1세(스페인의 카를로스 1세) 이후로 합스부르크 왕가가 스페인의 왕위를 계승함. 그러나 신성 로마 제국 황제의 지위는 스페인 국왕에게 계승되지 않음.
스페인 국왕 목록 부르봉 왕조
카를로스 2세가 후사를 남기지 못하고 죽자 스페인의 왕위는 카를로스 2세의 조카이자 프랑스의 루이 14세의 손자인 부르봉 왕조의 펠리페 5세에게 넘어감.
스페인 국왕 목록 보나파르트 왕가
스페인을 정복한 나폴레옹 보나파르트에 의해 왕위에 앉은 프랑스의 호세 1세의 1인 왕가. 왕의 칭호는 “신성한 축복에 의한 스페인과 인디아스의 왕”으로 변경됨.
스페인 국왕 목록 부르봉 왕조
부르봉 왕가의 첫 번째 복위. 왕의 칭호는 “신성한 축복에 의한 카스티야, 레온, 아라곤… 왕”으로 복귀함.
스페인 국왕 목록 사보이아 왕조
이사벨 2세를 폐위시킨 혁명가 아마데오 1세가 왕으로 선출됨. 왕의 칭호는 “신성한 축복과 국가의 의지에 의한 스페인의 왕”으로 변경됨.
스페인 국왕 목록 제1공화국
스페인 제1공화국 1873년 – 1874년
스페인 국왕 목록 부르봉 왕조
부르봉 왕가의 두 번째 복위. 왕의 칭호는 스페인의 입헌군주.
스페인 국왕 목록 제2공화국
스페인 제2공화국 1931년 – 1939년
스페인 국왕 목록 프란시스코 프랑코의 독재
프란시스코 프랑코는 스페인 내전이 끝나는 1936년 10월 1일부터 스페인을 독재 통치함. 1969년 프랑코는 바르셀로나 백작 후안의 아들 후안 카를로스를 자신의 사후 후계자로 지명하였고 1975년, 프랑코가 죽은 후 카를로스가 왕위에 올랐음.
스페인 국왕 목록 부르봉 왕조
부르봉 왕가의 세 번째 복위. 왕의 칭호는 스페인의 왕.
제2차 모리 내각 개조내각 (중앙 성청 개편 전)
제2차 모리 개조내각(일본어: 第2次森改造内閣)은  모리 요시로가 제86대 내각총리대신으로 임명되어, 2000년 12월 5일부터 2001년 1월 6일까지 존재한 일본의 내각이다.
제2차 모리 내각의 각료를 일부 교체하여 발족시킨 내각이며 자유민주당과 공명당, 보수당의 연립 내각이다. 성청의 통합보다는 대신·장관간이나 정무차관간의 겸임이 많은 것이 특징이다.