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디랙 델타 함수 충격 응답(Impulse response)
주어진 선형 상미분 방정식이 자율적(autonomous)일 경우 모든 초기조건을 0으로 두고 입력으로 델타 함수를 인가했을 때 얻게 되는 해를 충격 응답이라 한다. 충격 응답은 선형 상미분 방정식의 해를 구하는데 중요한 역할을 한다. 다음과 같이 선형 연산자
과 미지 함수 , 그리고 입력 로 표현된 자율적 선형 상미분 방정식을 고려하자.
이 방정식의 충격 응답을 라 하면 미분 방정식의 해는 다음과 같다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
델타 함수는 함수열의 극한으로 볼 수 있다.
여기서 는 초기 델타 함수라고도 한다. 이 극한은 약한 극한을 의미한다.
콤팩트 지지을 갖는 모든 연속 함수 에 대해, 또는 이 극한은 콤팩트 지지을 갖는 모든 매끄러운 함수 에 대해 유지된다. 약한 수렴의 이 두 가지 약간 다른 모드 사이의 차이는 종종 미묘하다. 전자는 측도의 모호한 위상에서의 수렴이고 후자는 분포의 의미에서 수렴이다.
일반적으로 초기 델타 함수 을 다음과 같은 방식으로 구성할 수 있다. 를 전체 적분값이 1인 R에 대해 절대 적분할 수 있는 함수라고 하고 다음을 정의한다.
n 차원에서는 스케일링을 대신 사용한다.
그런 다음 변수를 간단히 변경하면 도 적분 1을 가짐을 알 수 있다. ( 5 )는 모든 콤팩트 지지 연속 함수  에 대해 유지되고 따라서 은 측도의 의미에서 δ 로 약하게 수렴한다는 것을 보여줄 수 있다.
이러한 방식으로 구성된 는 항등원 근사로 알려져 있다. 이 용어는 와 가 에 있을 때마다  함수의 합성곱 연산 하에서 절대 적분 가능 함수의 공간 이 닫히기 때문이다. 그러나 합성곱 곱에 대한 에는 항등원이 없다. 모든 에 대해 인 원소 가 없다. 그럼에도 불구하고 수열 는
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
과 같은 의미에서 항등원을 근사한다. 이 극한은 평균 수렴( 의 수렴)의 의미에서 유지된다. 에 대한 추가 조건, 예를 들어 콤팩트 지지 함수와 관련된 완화자 거의 모든 곳에서 점별 수렴성을 보장하는 데 필요하다.
초기 함수  자체가 매끄럽고 콤팩트 지지인 경우 수열를 완화자라고 한다. 예를 들어, 적절하게 정규화된 범프 함수가 되도록 를 선택하여 표준 완화자를 얻는다.
수치 해석학과 같은 일부 상황에서는 항등식에 대한 조각 선형 근사가 바람직하다. 이것은 을 삼각형 함수로 취함으로써 얻을 수 있다. 을 선택하면
매끄럽지 않고 완화자는 아니지만 모두 연속적이고 콤팩트 지지된다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
확률론의 맥락에서 항등식에 대한 근사에서 초기 이 양수여야 한다는 추가 조건을 부과하는 것이 자연스럽다. 이러한 함수는 확률 분포를 나타낸다. 확률 분포가 있는 합성곱은 출력이 입력 값의 볼록 조합이므로 입력 함수의 최대값과 최소값 사이에 있기 때문에 오버슈트 또는 언더슈트가 발생하지 않기 때문에 때때로 유리하다. 을 임의의 확률 분포로 보고 위와 같이  로 하면 항등식에 대한 근사를 얻을 수 있다. 일반적으로 의 평균이 0이고 모멘트가 작은 경우 델타 함수로 더 빠르게 수렴한다. 예를 들어, 이 에 대한 균등 분포 인 경우 직사각형 함수라고도 한다.
또 다른 예는 위그너 반원 분포이다.
이것은 연속적이고 콤팩트하게 지지되지만 부드럽지 않기 때문에 완화제가 아니다.
초기 델타 함수는 종종 합성곱을 연산으로 하는 반군을 형성한다. 이는 와 의 합성곱이 충족해야 하는 추가 제약에 해당한다.
모든 에 대해 이다. 초기 델타 함수를 형성하는 의 합성곱 반군은 항상 위의 의미에서 항등식에 대한 근사이지만 반군 조건은 상당히 강력한 제한이다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
델타 함수의 응용에서, 델타 함수를 근사하는 반군은 물리학적 동기 타원 또는 포물선 편미분 방정식에 대한 기본 해 또는 그린 함수로 발생한다. 이 반군은 또한 선형 시불변 계 전기 회로의 출력으로 발생한다. 추상적으로, A가 x의 함수에 작용하는 선형 연산자인 경우 초기 값 문제를 해결하여 합성곱 반군이 발생한다.
여기서 극한은 일반적으로 약한 의미로 이해된다. 로 설정하면 관련 초기 델타 함수가 제공된다.
이러한 기본 해에서 발생하는 물리적으로 중요한 합성곱 반군의 몇 가지 예는 다음과 같다.
열핵
로 정의된 열핵은 에서 와이어의 원점에 열 에너지 단위가 저장되어 있는 경우 시간 에서 무한 와이어의 온도를 나타낸다. 이 반군은 1차원 열 방정식에 따라 전개된다.
확률 이론에서 는 분산 이고 평균 0인 정규 분포이다. 물리학에서 이것은 표준 브라운 운동을 따르는 원점에서 시작하는 입자 위치의 시간 에서의 확률 밀도를 나타낼 때 쓰인다. 이 경우, 반군 조건은 브라운 운동의 마르코프 성질의 표현이다.
고차원 유클리드 공간 에서 열 핵은 다음과 같다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
이는 열역학에서 약간의 수정을 거쳐 물리적 해석을 가진다. 그것은 또한 분포 의미에서 초기 델타 함수를 나타낸다.
푸아송 핵
푸아송 핵
는 위쪽 절반 평면에서 라플라스 방정식의 기본 해이다. 가장자리를 따라 전위가 델타 함수에서 고정된 상태로 유지되는 반무한 판의 정전기 전위를 나타낸다. 푸아송 핵은 코시 분포, Epanechnikov 및 가우스 핵 함수와도 밀접한 관련이 있다. 이 반군은 방정식에 따라 진화한다.
여기서 연산자는 푸리에 승수로 엄격하게 정의된다.
파동 전파 및 파동 역학과 같은 물리학 분야에서 관련된 방정식은 쌍곡적이므로 더 많은 특이 해를 가질 수 있다. 결과적으로 관련 코시 문제의 기본 해로 발생하는 초기 델타 함수는 일반적으로 진동 적분이다. 천음속 기체 역학의 오일러-트리코미 방정식의 해에서 나온 예는 재조정된 에어리 함수이다.
푸리에 변환을 사용하지만 이것이 어떤 의미에서 반군을 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이는 절대적으로 적분할 수 없으므로 위의 강한 의미에서 반군을 정의할 수 없다. 진동 적분으로 구성된 많은 초기 델타 함수는 측도의 의미가 아니라 분포의 의미에서만 수렴한다(예: 아래의 디리클레 핵).
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
또 다른 예에는 의 파동 방정식에 대한 다음과 같은 연립 편미분 방정식으로 나타나는 코시 문제가 있다.
이 연립 편미방의 해 는 원점에서 초기 교란이 있는 무한 탄성 용수철의 평형 상태로부터의 변위를 나타낸다.
이러한 종류의 항등식에 대한 다른 근사치에는 sinc 함수 (전자 및 전기 통신에서 널리 사용됨)가 포함된다.
및 베셀 함수
선형 편미분 방정식 연구에 대한 한 가지 접근 방식
(여기서 은 에서 정의된 미분 연산자이다.)은 먼저 방정식의 해인 근본적인 해를 구하는 것이다.
이 특히 단순할 때 이 문제는 종종 직접 푸리에 변환을 사용하여 해결할 수 있다(이미 언급한 포아송 핵 및 열 핵의 경우처럼). 보다 어려운 연산자의 경우 다음 형식의 방정식을 먼저 고려하는 것이 더 쉬운 경우가 있다.
여기서 h는 평면 파동 함수이며, 어떤 벡터 ξ에 대해
가 성립함을 의미한다. 이러한 방정식은 (의 계수가 해석 함수인 경우) 코시–코발렙스카야 정리 또는 ( 의 계수가 상수 함수인 경우) 구적법으로 풀 수 있다. 따라서 델타 함수를 평면파로 분해할 수 있으면 원칙적으로 선형 편미분 방정식을 풀 수 있다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
델타 함수를 평면파로 분해하는 것은 요한 라돈이 처음 도입한 일반적인 기술의 일부였으며 프리츠 존 (1955)이 이 형태로 개발했다. n + k 짝수 정수가 되도록 k를 선택하고 실수 s 에 대해
로 둔다. 그러면 는 단위 구 에서 에 대한 의 단위 구 측도 에 대한 적분에 라플라시안의 거듭제곱을 적용하여 구한다.
여기서 라플라시안은 약한 도함수로 해석되므로 이 방정식은 모든 시험 함수 에 대해 다음을 의미하는 것으로 본다.
이 결과는 푸아송 방정식의 기본 해인 뉴턴 포텐셜에 대한 공식에서 따른다. 이것은 초평면에 대한 적분에서 의 값을 복구하기 때문에 본질적으로 라돈 변환 에 대한 반전 공식의 한 형태이다. 예를 들어, 이 홀수이고 이면 우변의 적분은 다음과 같다.
여기서 는 의 라돈 변환이다.
Gelfand & Shilov (1966–1968, I, §3.10) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFGelfandShilov1966–1968 (help)의 평면파 분해에 대한 대안적인 등가 표현은 다음과 같다.
이 짝수인 경우
홀수.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
푸리에 급수 연구에서 주요 질문은 주기 함수와 관련된 푸리에 급수가 함수로 수렴하는지 여부와 어떤 의미에서 결정하는 것으로 구성된다. 주기 의 함수  의 푸리에 급수의  번째 부분 합은 디리클레 핵을 사용하여 합성곱(구간 에서)으로 정의된다.
따라서,
여기서
기본 푸리에 급수의 기본 결과는 디리클레 핵이 으로 제한됨을 나타낸다.  로 델타 함수의 배수가 되는 경향이 있다. 이것은 분포의 의미로 해석된다. 즉, 콤팩트하게 지지되는 모든 매끄러운 함수 에 대해
따라서 공식적으로
그럼에도 불구하고 결과는 컴팩트 지지되는 모든 연속 함수에 대해 유지되지 않는다. 즉, 은 측도의 의미에서 약하게 수렴하지 않는다. 푸리에 급수의 수렴 부족으로 인해 수렴을 생성하기 위한 다양한 합산 가능 방법이 도입되었다. Cesàro 합산 방법은 Fejér 커널로 이어진다
Fejér 커널은 콤팩트하게 지지되는 모든 연속 함수 에 대해
이는 모든 연속 함수의 푸리에 급수는 모든 점에서 함수 값으로 합산할 수 있다는 의미이다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
디랙 델타 분포는 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간 에서 조밀하게 정의된 무한 선형 형식이다. 실제로 매끄럽고 콤팩트하게 지지되는 함수는 에서 조밀하며 이러한 함수에 대한 델타 분포의 작용은 잘 정의되어 있다. 많은 응용에서 의 부분 공간을 식별하고 델타 함수가 유계 선형 범함수를 정의하는 더 강력한 위상을 제공하는 것이 가능하다.
소볼레프 공간
의 소볼레프 공간에 대한 소볼레프 매장 정리는 다음과 같은 모든 제곱 적분 가능 함수 를 의미한다.
이는 자동으로 연속적이며 특히 다음을 만족한다.
따라서 는 소볼레프 공간 에서 유계 선형 함수이다. 동등하게 는 의 연속 쌍대 공간 의 원소이다. 보다 일반적으로, n 차원에서,  일 때 이다.
복소 해석학에서 델타 함수는 코시의 적분 공식을 통해 들어간다. 이 공식은 가 매끄러운 경계를 갖는 복소 평면의 영역이면, 의 폐포에서 연속적인 의 모든 정칙 함수 에 대해
이다. 결과적으로, 델타 함수 는 코시 적분에 의해 이 정칙 함수류로 표현된다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 표현
또한, 를 의 경계까지 연속되는 의 모든 정칙 함수의 의 폐포로 구성된 하디 공간이라고 하자. 그러면 의 함수는 에서 정의된 정칙 함수로 유일하게 확장되고, 코시 적분 공식은 여전히 성립한다. 특히 의 경우 델타 함수 는에 대한 연속 선형 함수이다. 이것은 매끄러운 영역 에 대해 Szegő 핵이 코시 적분의 역할을 하는 다변수 복소 함수의 특수한 경우이다.
분리 가능한 힐베르트 공간에서 함수의 완전한 직교 정규 기저 이 주어지면, 예를 들어 콤팩트 자기수반 연산자의 정규화된 고유 벡터가 주어지면 모든 벡터 는 다음과 같이 표현될 수 있다.
계수 는 다음과 같이 구한다.
다음 표기법으로 나타낼 수 있다.
디랙의 브라켓 표기법의 한 형태. 이 표기법을 채택하면 의 확장은 이항 형식을 취한다.
가 힐베르트 공간에서 항등 연산자를 나타내도록 하면 다음 식
은 resolution of the identity이라고 한다. 힐베르트 공간이 영역 에서 제곱 적분 가능 함수의 공간 인 경우,
는 적분 연산자이며 에 대한 표현식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
우변은 공간 에서 로 수렴한다. 가 연속 함수인 경우에도 점별의 의미로 유지될 필요는 없다. 그럼에도 불구하고 표기법을 남용하고 쓰는 것이 일반적이다.
델타 함수의 표현 결과:
가 모든 콤팩트 지지 매끄러운 함수를 포함하는 적절한 갖춘 힐베르트 공간 을 사용하면 이 합은 기저 의 성질에 따라 로 수렴할 수 있다. 실질적인 관심의 대부분의 경우 정규 직교 기저는 적분 또는 미분 연산자에서 나오며, 이 경우 급수는 분포의 의미에서 수렴한다.
코시는 무한소 를 사용하여 단위 충격를 기록하고 무한히 크고 좁은 디랙 유형 델타 함수 를 만족한다  코시는 Cours d'Analyse (  )에서 0에 가까운 수열로 무한소를 정의했다. 즉, 이러한 null 수열는 코시와 라자르 카르노의 용어로는 무한소가 된다.
비표준 해석학을 통해 무한소를 엄격하게 정의할 수 있다. Yamashita (2007) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFYamashita2007 (help)의 논문에는 초실수가 제공하는 무한소가 풍부한 연속체의 맥락에서 현대 디랙 델타 함수에 대한 참고 문헌이 포함되어 있다. 비표준 해석학에서는, 푸리에와 코시가 예상한 대로, 디랙 델타가 모든 실함수 에 대해 과 같은 성질을 갖는 함수로 정의될 수 있다.
디랙 델타 함수 델타 함수의 도함수
델타 분포의 도함수 는 콤팩트 지지 매끄러운 시험 함수 에서 정의된다.
여기서 첫 번째 등식은 부분 적분의 일종이다. 가 진정한 함수이면
의 계 도함수에 의해 시험 함수에 주어진 분포와 유사하게 정의된다.
특히, 는 무한번 미분 가능한 분포이다.
델타 함수의 1차 도함수는 차분 몫의 분포 극한이다
더 적절하게는
이 성립한다. 여기서 는 로 함수 대해 정의되고 분포 애 대해
로 정의된 옮김 연산자이다. 전자기 이론에서 델타 함수의 1차 도함수는 원점에 위치한 점 자기 쌍극자를 나타낸다. 따라서 쌍극자 또는 이중선 함수라고 한다.
델타 함수의 도함수는 다음과 같은 여러 가지 기본 성질을 충족한다.
이 성질은 시험 함수 적용과 부분 적분으로 보일 수 있다.
이러한 성질 중 후자는 분포 도함수 정의, 라이프니츠의 정리 및 내적의 선형성을 적용하여 증명할 수도 있다.또한, 의 합성곱은 콤팩트 지지되는 매끄러운 함수 이다.
합성곱의 분포 도함수의 성질을 따른다.
더 일반적으로 -차원 유클리드 공간 의 열린 부분 집합 에서 에서 한 점 을 중심으로 하는 디랙 델타 분포는 모든 에 대해
디랙 델타 함수 델타 함수의 도함수
로 정의된다. 여기서 는 에서 정의된 모든 콤팩트 지지 매끄러운 함수들이 이루는 공간이다. 만약에 가 인 다중지표이고 는 연관된 혼합 편도 함수 연산자를 나타내면 의 계 미분 은
즉, 의 계 도함수는 시험 함수 에 값이 있는 분포는 에서 의 계 도함수이다.
델타 함수의 1차 부분 도함수는 좌표 평면을 따라 이중 레이어로 간주된다. 보다 일반적으로, 곡면에 지지된 단순 레이어의 방향 도함수는 해당 곡면에 지지된 이중 레이어이며 층류 자기 홀극을 나타낸다. 델타 함수의 고계 도함수는 물리학에서 다극자로 알려져 있다.
더 높은 계수인 도함수는 한 점 지지가 있는 분포의 전체 구조를 위한 구성 원소로 자연스럽게 등장한다. 만약에 가 에서 정의되었고 단일 점으로 구성된 지지 집합 을 가진 분포이면,  어떤 정수  및 계수들 에 대해
디랙 델타 함수 성질 요약
아래 성질들은 등식의 양쪽에 "적절한" 함수 를 곱하여 증명할 수 있다. 델타 함수가 적분 내부에 있는 경우를 제외하고는 최종 결과의 일부가 될 수 없다는 점을 염두에 두고 정적분을 적용한다.
구면 좌표계에서는 다음과 같다.
디랙 델타 함수 디랙 빗
디랙 빗 또는 샤 분포로 알려진 디랙 델타 측도의 소위 균일한 "펄스 트레인"은 디지털 신호 처리 (DSP) 및 이산 시간 신호 해석학에 자주 사용되는 샘플링 함수를 생성한다. 디랙 빗은 무한 합으로 주어지며, 그 극한은 분포 의미에서 이해된다.
이는 각 정수에서 점 질량의 수열이다.
전체 정규화 상수까지 디랙 빗은 자체 푸리에 변환과 동일하다. 이것은 중요하다. 가 임의의 슈바르츠 함수인 경우 의 주기화는 다음과 같이 합성곱에 의해 주어진다.
특히,
는 정확히 포아송 합 공식이다.   보다 일반적으로, 이 공식은 다음과 같은 경우에 참이다. 가 빠른 하강의 완화된 분포 또는 동등하게 다음과 같은 경우 는 조절 분포 공간 내에서 천천히 성장하는 일반적인 함수이다.
디랙 델타 함수 소호츠키-플레멜리 정리
양자 역학에서 중요한 소호스키-플레멜리 정리는 델타 함수를 분포 와 관련시킨다. 함수 의 코시 주요 값으로 다음과 같이 정의된다.
소호스키의 공식은
여기서 극한은 분포 의미에서 이해되며, 모든 콤팩트 지지 매끄러운 함수 에 대해
디랙 델타 함수 응용
확률론 및 통계에서 디랙 델타 함수는 확률 밀도 함수 (일반적으로 절대 연속 분포를 나타내는 데 사용됨)를 사용하여 이산 분포 또는 부분적으로 이산 부분적으로 연속적인 분포를 나타내는 데 자주 사용된다. 예를 들어, 점 으로 구성된 이산 분포의 확률 밀도 함수 는 해당 확률 과 함께 다음과 같이 쓸 수 있다.
또 다른 예로, 시간의 6/10은 표준 정규 분포를 반환하고 시간의 4/10은 정확히 값 3.5를 반환하는 분포를 고려한다(즉, 부분적으로 연속적이고 부분적으로 이산 혼합 분포). 이 분포의 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
델타 함수는 또한 연속적으로 미분 가능한 함수로 변환되는 무작위 변수의 결과 확률 밀도 함수를 나타내는 데 사용된다. 가 연속 미분 가능 함수이면 의 밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다.
델타 함수는 확산 과정의 국소 시간을 나타내기 위해 완전히 다른 방식으로 사용된다(예: 브라운 운동). 확률과정 의 국소 시간은 다음과 같이 지정된다.
이는 과정 범위의 x 지점에서 과정이 소비하는 시간을 나타낸다. 보다 정확하게는 한 차원에서 이 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
디랙 델타 함수 응용
여기서 는 구간 의 지시 함수이다.
델타 함수는 양자 역학에서 자주 쓰인다. 입자의 파동 함수로부터 주어진 공간 영역 내에서 입자를 찾을 확률 진폭을 계산한다. 파동 함수는 제곱 적분 함수의 힐베르트 공간 의 원소로 가정하고 주어진 구간 내에서 입자를 발견할 총 확률은 구간에 대해 제곱한 파동 함수의 크기의 적분이다. 파동 함수의 집합 이
의해 정규화되는 경우 정규 직교라고 한다. 여기서 는 크로네커 델타이다. 정규 직교 파동 함수는 어떤 파동 함수 라도
와 같이 복소수 계수 사용해 의 원소들의 선형 조합으로 표현할 수 있으면 가 제곱 적분 함수 공간에서 완비라고 한다. 여기서 이다. 파동 함수의 완비 직교 정규 계는 고유값이라고 하는 에너지 수준을 측정하는 양자 역학에서 해밀턴 (바운드 계의) 고유 함수로 자연스럽게 나타난다. 이 경우 고유값 집합은 해밀토니안의 스펙트럼으로 알려져 있다. 브라-켓 표기법에서 위와 같이 이 같음은 resolution of the identity를 의미한다.
디랙 델타 함수 응용
여기서 고유값은 이산적이라고 가정하지만 어떤 관측가능량의 고유값 집합은 연속적일 수 있다. 예를 들어 위치 관측가능량 있다. 위치의 스펙트럼(1차원)은 실수 전체이며 이 경우 연속 스펙트럼 이라고 한다. 그러나 해밀토니언과 달리 위치 연산자에는 적절한 고유 함수가 없다. 이 단점을 극복하는 기존의 방법은, 파동 함수로 분포도 허용하여 사용 가능한 함수의 범위를 확장하는 것이다. 즉, 양자역학의 힐베르트 공간을 적절한 갖춘 힐베르트 공간으로 대체하는 것이다. 이 에서 위치 연산자는 다음과 같이 주어진 실선의 점 로 레이블이 지정된 완전한 고유 분포 집합을 갖는다.
위치 연산자의 고유 함수는 과 같이 표시된다. 이는 디랙 표기법에서 위치 고유 상태로 알려져 있다.
의 스펙트럼이 연속적이고 축퇴 고유값이 없는 경우 모멘텀 연산자의 고유 상태 또는 힐베르트 공간의 다른 자체 자기 수반 무한 연산자 에도 유사한 고려 사항이 적용된다. 이 경우 실수(스펙트럼)의 집합 과 의 원소로 이름 붙여진 분포의 모음 가 있다.
디랙 델타 함수 응용
즉, 는 의 고유 벡터이다. 고유 벡터를 정규화하면
분포 의미에서 모든 시험 함수 ψ에 대해
여기서
즉, 불연속적인 경우와 마찬가지로 resolution of identity이 있다.
여기서 연산자 값 적분은 약한 의미로 다시 이해된다. 의 스펙트럼에 연속 부분과 불연속 부분이 모두 있는 경우 항등식 분해능은 불연속 스펙트럼에 대한 합산 과 연속 스펙트럼에 대한 적분을 포함한다.
델타 함수는 또한 단일 및 이중 포텐셜 우물에 대한 델타 퍼텐셜 모델과 같은 양자 역학에서 더 많은 특수 응용 분야를 가지고 있다.
델타 함수는 구조 역학에서 구조에 작용하는 과도 하중 또는 점하중을 설명하는 데 사용할 수 있다. 시간 에서 급격한 힘 충격 에 의해 여기된 단순 질량-스프링 계의 지배 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 은 질량, 는 처짐, k는 스프링 상수이다.
또 다른 예로서, 가는 빔의 정적 편향을 지배하는 방정식은 오일러-베르누일리 이론에 따라 다음과 같다.
디랙 델타 함수 응용
여기서 는 빔의 굽힘 강성, 는 처짐, 는 공간 좌표, 는 하중 분포이다. 빔이 에서 점력 에 의해 하중을 받는 경우 하중 분포는 다음과 같이 기록된다.
델타 함수의 적분으로 헤비사이드 계단 함수가 생성되므로 다중 점하중이 가해지는 얇은 빔의 정적 편향은 조각별 다항식 집합으로 설명된다.
또한 빔에 작용하는 점 모멘트는 델타 함수로 설명할 수 있다. 거리  떨어져 있는 두 개의 반대 지점 힘 를 고려하십시오. 그런 다음 빔에 작용하는 모멘트 를 생성한다. 이제 이 일정하게 유지되는 동안 거리 가 극한 0에 접근하도록 한다. 에서 작용하는 시계 방향 모멘트를 가정한 하중 분포는 다음과 같이 작성된다.
따라서 점 모멘트는 델타 함수의 도함수로 나타낼 수 있다. 빔 방정식의 통합은 조각별 다항식 편향을 다시 초래한다.
이혜천
이혜천(李惠踐, 1979년 3월 12일 ~ )은 오스트레일리안 베이스볼 리그 전 멜버른 에이시스의 투수이다.
이혜천 한국 프로야구 시절
부산상업고등학교를 졸업하고 1998년 2차 2라운드 지명을 받아 OB 베어스에 입단하여 주로 중간 계투로 등판했다. 1998년 9월 2일 현대전에서 1군 무대에 처음으로 등판한 후, 2006년 4월 27일 롯데전에서 최연소 500경기 출전을 기록(27세 1개월 15일)했다. 도하 아시안 게임에 출전하였으나 동메달에 그쳤고, 이듬해에는 허리 디스크 수술로 인해 병역 면제 판정을 받았지만 재활로 인해 정규 시즌에는 불참하고 2007년 한국시리즈에만 출전했다. 2008년 시즌에서는 선발로 등판했다.
이혜천 한국 프로야구 시절
한편, 1999년 선발로만 2승을 거두어 1992년 이진(2선발승) 이후 7년 만에 베어스에서 선발로만 2승을 기록한 투수가 됐으며 그 뒤에  2001년 4선발승 2005년 7선발승 2006년 8선발승 2008년 7선발승을 거두었는데 이진에 앞선 베어스 좌투수 2선발승 이상 투수였던 구동우는 데뷔 첫 해인 1989년 2선발승, 1990년 6선발승을 기록했으나  한오종(88년 4선발승) (1990년 쌍방울 이적) 윤석환 (1991년 삼성 이적) 이진(방위복무)(89년 3선발승 92년 2선발승) 등의 공백 탓인지 1991년 정식 감독 취임한 이재우 감독에 의해 마구잡이로 혹사당하여 1990년 이후 하락세를 걸어 1994년을 끝으로 은퇴했고 이재우 감독은 1991년 초반에 잠깐 1위를 했지만  구동우를 마구잡이로 투입시킨 것 외에도 중반의 11연패 뿐 아니라 장호연의 연봉 재계약 문제-부상 등으로 투수진이 원활하게 돌아가지 못한 탓인지 최하위로 처지자 1991년 시즌 도중 중도 사퇴했다.
이혜천 일본 프로야구 시절
2008년 시즌이 끝난 후, 일본 프로 야구 센트럴 리그 팀 도쿄 야쿠르트 스왈로스와 2년 계약을 맺었으며, 등번호는 '49'번으로 배정받았다. 2년간 1승 2패, 1세이브, 17홀드, 4점대 평균자책점을 기록하였고 계약 만료 후 방출됐다.
이혜천 한국 프로야구 복귀
야쿠르트에서 방출된 후 2010년 12월 8일 친정 팀 두산 베어스와 계약금 6억원, 연봉 3억 5,000만원, 옵션 1억 5,000만원 등 총액 12억원에 계약하며 복귀하였다. 그러나 1군 32경기에 나와 1승 4패, 1세이브, 4홀드, 6점대 평균자책점에 그쳤고, 2011년 7월에 수비 연습 도중 펑고 타구에 맞아 왼 손등에 골절상을 당해 시즌을 마감했다. 이후에도 부진이 이어졌으며 2013년에는 1군 13경기에 등판하여 1패, 11점대 평균자책점이라는 최악의 성적을 기록했다.
2013년 11월 22일에 열린 2014년 2차 드래프트를 통하여 NC 다이노스의 1라운드 지명을 받아 이적했다. 10월 9일 삼성 라이온즈와의 4번째 투수로 등판하여 1이닝 1피안타 1탈삼진 무실점을 기록하면서 역대 73번째 통산 1000이닝을 달성하였다.팀이 승리하면서 이 경기의 승리 투수가 되었다.
이혜천 한국 프로야구 복귀
준플레이오프 2경기에서 1 1/3이닝 3피안타 2볼넷 1사구 3실점을 기록하였다.
2015년 시즌 연봉에서 10% 삭감된 9,000만원에 합의하였다.
9월 13일 SK 와이번스와의 경기에서 구원 등판해 2/3이닝 1피안타 1삼진 무실점으로 막아냈다. 이 등판으로 개인 통산 700경기 출장을 기록했고, 이 기록은 역대 7번째 기록이었다.
시즌 종료 후 KBO 리그 은퇴를 선언하였다.
이혜천 호주 프로야구 시절
2016년에 입단하였다.
2017년에 입단하였다.
이혜천 투구 분석
이혜천의 투구폼은 던지기도 어려운 좌완 쓰리퀴터 투수다.좌완 투수로는 비교적 빠른 140 km 대 중후반, 최고구속 154 km 정도의 직구를 던진다. 특히 사이드암에 가까운 독특한 투구 폼을 가지고있다. 빠른 구속에 비해 제구력이 매우 부족하였다. 타석에 선 타자마저도 당황시키는 매우 불안정한 제구력을 가졌는데 이것이 오히려 타자에게 불안감을 주는 장점으로 작용하였다. 김기태, 양준혁, 이승엽 등 정상급 좌타자에게 상당히 강한 모습을 보였다.
이혜천 별명
좋지 않은 피칭을 보였을 때 ‘이핵천’, ‘12억 화염 방사기’, 이혜천재지변,‘혜르노빌’ 등으로 불린다.
월트 디즈니
월터 일라이어스 "월트" 디즈니(영어: Walter Elias "Walt" Disney, 1901년 12월 5일 ~ 1966년 12월 15일)는 미국의 애니메이터이자 영화 감독, 성우, 기업인이다.
미국 일리노이주 시카고에서 태어나 고등학교 때부터 상업 미술에 뜻을 두고 광고 만화 등을 그리기 시작하였다. '미키 마우스'를 창조하여 한층 인기가 높아졌다. 그 뒤 <미키> <도널드> 등 많은 만화 영화를 제작하였는데, 삼원색 방식인 최초 천연색 영화 <숲의 아침>으로 아카데미상을 받았다. 그 뒤에도 <돼지 삼형제>를 비롯하여 많은 걸작 만화영화를 만들었다.
1937년 세계 최초 장편 애니메이션 백설 공주와 일곱 난쟁이를 제작하고 개봉해서 당대에 엄청난 화제를 모았다. 그때까지 애니메이션은 장편 영화 상영 도중 잠시 틀어주는 소품 정도였기에 월트 디즈니의 도전은 무모하다고 했지만, 개봉 직후 모든 흥행 기록을 갈아치우며 대성공을 거두었다. 전함 포템킨의 감독 세르게이 에이젠슈타인은 백설공주를 본 뒤 영화 역사상 가장 위대한 영화라고 했다.
월트 디즈니
이 밖에도 자연 과학 영화, 기행 단편 영화, 기록 영화 등 수많은 우수한 영화를 제작하였다. 그는 TV용 영화도 만들어 대호평을 받았다. 1955년 로스앤젤레스 교외에 디즈니랜드라는 거대한 어린이 유원지를 설립하여 영화 제작자 이상의 사업가로 자리를 굳혔다.
그가 영화 업계와 세계 오락 산업에 미친 영향력은 아직까지 방대하게 남았으며, 여전히 대중문화 역사 사상 가장 중요한 인물 중 한 사람으로 꼽는다. 새터데이 이브닝 포스트는 그를 통틀어 '세계에서 가장 유명한 엔터테이너이자 가장 유명한 비정치적 공인'이라고 일컬었다.
월트 디즈니 스튜디오는 형인 로이 디즈니와 함께 1923년에 창립했고 현재까지 꾸준히 애니메이션을 제작한다. 1966년, 폐암 말기로 진단받고 사망했다(향년 만 65세 10일). 고인의 유해는 화장해 글렌데일의 포리스트 론 메모리얼 파크에 안장하였다.
한때 월트 디즈니를 냉동 보관했다는 헛소문이 돌기도 했다.
월트 디즈니 생애
월트 디즈니는 허모사 지구에서 아버지 일라이어스 디즈니와 어머니 플로라 콜 사이에서 태어났다. 그의 조상은 원래 북프랑스 노르망디 공국에서 살았었다. 1066년 윌리엄 1세가 잉글랜드를 정복할 때 같이 따라가서 링컨셔에 정착했고, 17세기에 아일랜드로 이주했다. 그리고 월트의 증조할아버지가 아일랜드에서 캐나다 온타리오주로 정착했고 월트의 아버지가 캐나다에서 미국 시카고로 이주했다.
월트가 4살 때, 월트의 부모는 시카고의 번잡한 도시생활이 아이들 교육에 방해가 된다고 생각하여 시골로 내려가 농사를 짓기 시작했다. 월트는 형들과 달리 그림에 무척 관심이 많았다. 한 번은 집 벽에 붓으로 돼지그림을 그리다가 콜타르를 뒤집어 쓴 적도 있었다. 그 즈음 월트는 친했던 의사 선생의 말을 어른 못지않게 잘 그리며 그림에 재능을 보이였다. 미술학교에 다니고 싶어했지만 당시 그의 집안은 형편이 여의치 않아 지원할 상태가 아니었고, 그의 아버지 역시 반대하였다.
월트 디즈니 생애
월트가 7살이 되었지만 학교에 들어가지 못하고 아버지와 함께 신문팔이를 시작했다. 신문팔이를 하다가 신문에 나온 만화를 자세히 볼 기회가 생기고, 그는 결국 아버지에게 그림 공부를 하고 싶다고 했다. 그의 아버지는 월트의 노력에 감동하여 허락했고, 근처 미술학원에 그를 보냈다.
학교를 졸업하자, 예전에 시카고에 살던 집으로 돌아왔다. 유럽은 제1차 세계 대전이 한창이던 시기였다. 월트는 군대에 간 형들처럼 해군에 지원했지만, 당시 16세이던 월트는 입대하지 못했다. 친구가 적십자사에 구급 부대가 새로 생겼다는 소식을 알렸다. 하지만 그곳은 1900년 생까지만 받는 조건이 있었다. 월트는 원서에 생년월일을 1901년에서 1900년으로 바꿔서 지원하였다. 훈련소에서 부상병 치료와 간호 방법을 배우고 적십자 부대 자격으로 프랑스에 도착했다.
월트 디즈니 생애
전쟁이 끝난 후에 월트가 속한 부대는 파리에 본부를 두고 활동을 지속하였다. 월트는 부대 상점에서 일하였고, 틈틈이 그림을 그렸다. 월트의 그림 솜씨는 온 부대에 알려졌고 군인들은 월트에게 그림을 그려달라고 요청했다. 그 후 크래커라는 동료의 권유로, 패전한 독일군들의 철모를 모아서 그 위에 그림을 그려서 미국에 건너와 기념품으로 팔았다. 적십자사에서 일해 번 돈 대부분은 어머니에게 부쳤다.
1919년, 월트는 본격적으로 만화가 길을 결심하고 캔자스로 갔다. 그곳에서 만화가나 혹은 그에 관련된 직업을 구하려고 했으나 구하지 못했다. 광고용 애니메이션을 만드는 회사에 취업하여, 인형을 움직이면서 촬영하는 1분짜리 애니메이션 광고를 만드는 일을 했다.
월트 디즈니 월트 디즈니 스튜디오 탄생
월트는 자기의 차고를 스튜디오로 개조해 거기서 다니던 회사 카메라를 빌려 영화 촬영 기술을 공부했다. 물론 그런 기술은 촬영방식을 확인하는 거의 원초적인 작업이었고, 당시에는 쓸만한 애니메이션 교습서가 드물었다. 당시 애니메이션에 관심 있던 사람들의 필독서, E.G 러츠의 "애니메이션 교습서"만이 월트의 유일한 교과서였고 그것을 읽으며 월트는 셀 애니메이션 기본기를 익혔다.
월트 디즈니 월트 디즈니 스튜디오 탄생
회사에서 낮일이 끝나고 나면 월트는 어브 아이웍스 등의 동료들과 함께 캔자스 시티 미술학원에 다니며 드로잉 수업을 들었다. 기본기를 갖추기 시작하면서 그는 영화광고업자로 전환한 회사의 사장 코거에게 실질적인 도움을 요청하였으나 사장은 거절했다. 새로운 매체에 관심이 많았던 코거조차도 셀 애니메이션 제작에 필름 사용을 거절했고, 월트는 결국 자력으로 첫걸음을 내딛였다.  '래프 오 그램 (Laugh-O-Gram)'이라고 이름지은 1분짜리 애니메이션 필름 릴을 회사 동료였던 하먼 형제와 만들어서 뉴먼 극장의 주인 프랭크 뉴먼을 찾아갔다. '래프 오 그램'은 그 시절 소단위 규모의 사회문제들을 풍자한 짧은 만화로 신문에 연재하는 풍자만화 영향을 받은 작품이었다. 월트가 찾아간 뉴먼은 예전에 월트가 일했던 미술가게의 페스먼이 소개한 인물이었다. 뉴먼은 1분 짧은 시사를 마친 뒤 지체 없이 그 필름을 구입하고, 월트와 시리즈 계약도 맺었다.
훗날 월트는 자신의 작품명을 따서 "래프 오 그램 필름사"를 설립하고 만 20세가 채 되지 않은 미성년자 신분으로 회사 사장이 되었다.
월트 디즈니 월트 디즈니 스튜디오 탄생
월트는 일생을 통틀어 어릴 때 살던 마을 마셀린을 잊지 못했다. 디즈니 영화가 늘 동물과 숲, 농경과 같은 끊임없는 목가적 꿈을 펼쳤던 이유도 마셀린이 월트에게 남긴 기억들을 새롭게 형성하는 과정에서 출현했다고 훗날 분석가들은 말한다. 월트는 여기서 기차에 대한 동경과 작은 동물들과 함께 놀던 추억을 가졌지만 무엇보다 공동체 삶의 긍정적 희망을 발견했다.
재정 문제로 "래프 오 그램" 운영이 쉽지 않았던 월트는 새로운 시작점을 헐리우드로 결정했다. 당대 애니메이션 중심지는 당연히 뉴욕이었다. 월트가 처음 헐리우드에 도착해서 취업하려던 분야는 애니메이션에 관련 직업이 아니라 실사영화 감독직이었다. 이전에 형과 함께 심한 고생을 하며 만든 '앨리스의 이상한 나라' 필름 판매 계약을 하려고 여러 스튜디오 문을 두드렸지만 문은 열리지 않았다. 결국 실사영화 감독도, 앨리스 코미디 판매도 이뤄지지 않은 탓에 몇 개월만에 모두 포기했다.
월트 디즈니 월트 디즈니 스튜디오 탄생
위기 속에서 기회는 찾아왔다. 헐리우드 역사상 최초 여성 배급자인 마거릿 윈클러가 월트 디즈니에게 관심을 보였다. 워너 브라더스 비서인 동시에 자신만의 캐리어 확장을 꿈꾸던 윈클러는 애니메이션 배급에서 어느 정도 성과를 거둔 상태였다. 윈클러는 월트의 '앨리스의 이상한 나라'를 보자마자 시리즈의 성공 가능성을 알아보고 시리즈 배급계약을 제의했다. 이 일을 워너브라더스에 있던 윈클러의 상사가 알았고, 월트 디즈니는 워너브라더스에서 첫 번째 경력을 시작하였다.
그렇지만 계약을 끝난 뒤에도 월트를 괴롭혔던 재정 문제는 여전히 커다란 벽이었다. 그런 월트를 도왔던 사람은 월트의 형, 로이 디즈니였다. 로이는 애니메이션이나 영화 제작에 뜻이 없었지만, 월트의 열정에 감복하여 적극적으로 도와주었다. 그는 하루의 반을 질병으로 피곤하게 누워보내면서도 사무실을 구하고 새로운 아파트 계약까지 했다. 사업 초창기에는 심지어 월트와 영화를 같이 제작했다. 셀에 구멍을 뚫고 카메라를 다루는 일도 맡으면서, 스튜디오 재정까지 책임졌고, 그런 역할을 수십 년 동안 도맡았다. 형제는 마침내 1923년 10월에 디즈니 브라더스 스튜디오 첫 간판을 달았다.
월트 디즈니 미키 마우스 시대
월트가 제작한 영화 배급을 맡던 찰스 민츠와 갈등이 있던 기간에 월트가 제작한 영화 '앨리스 코미디 시리즈' 주인공 버지니아 데이비스와 스튜디오 사이에서 새로운 문제가 생겼다. 스튜디오에 애니메이터들을 대거 고용하면서 앨리스 코미디는 달라졌고, 돈과 배급, 배우 문제가 얽히면서 스튜디오 분위기마저 침울했다.
찰스 민츠는 월트에게 앨리스 코미디 시리즈를 중단하자고 제안한다. 단시간 너무 많은 영화로 나온 앨리스 코미디는 이미 생명력을 잃었다고 판단했다. 비슷한 내용으로 무려 56 편을 만든 상황이었다. 월트 역시 새로운 시리즈 필요를 동감했다. 그런 상황에 대응하며 오스왈드 래빗 캐릭터를 개발하였다. 당시 애니메이션 업계는 팰릭스 더 캣을 비롯한 고양이 캐릭터가 득세하였다. 월트는 고양이 캐릭터들이 진부해진 틈에 토끼 캐릭터를 발표했다.
당시 애니메이션 코미디는 무분별한 슬랩스틱과 패러디 수준이었어다. 월트는 여기서 캐릭터를 더욱 입체적으로 구성하였다. 단편이지만 캐릭터에게 동기를 주고 그 동기에서 움트는 의지를 코미디 작품에 불어넣었다. 개성을 가진 캐릭터들은 최초로 퍼스낼리티 애니메이션으로 등장했고 오스왈드가 그 첫 번째 작품이었다.
월트 디즈니 미키 마우스 시대
오스왈드 래빗으로 인기는 얻었지만, 배급자 찰스 민츠와 월트의 직원이었던 애니메이터들이 철저하게 배신하였다. 월트가 뉴욕에서 돌아오는 길에 화를 억누르며 짧막한 시나리오 한 편을 썼다. 대서양을 횡단한 비행사 찰스 린드버그 이야기에서 영감을 받았다. 제목은 'Plane Crazy(미친 비행기)'였고 주인공은 쥐로 결정했다. 이 수컷 쥐는 오스왈드와 비슷했고, 월트의 회사아에서 유일하게 월트 편이었던 어브는 오스왈드 귀를 줄이고 코를 통통하게 그린 캐릭터로 수정했다. 아내 릴리언 디즈니 의견으로 미키라는 이름을 지었다. 이 캐릭터가 현재까지 월트 디즈니 컴퍼니를 대표하는 미키 마우스이다. 이후 미키 디자인은 조금씩 개선하였다. 미키 마우스 원형 디자인은 실제 쥐와 다르게 귀 부분을 둥그렇게 강조했다. 초창기 애니메이션에서도 귀 모양은 항상 둥글었다. 이런 디자인으로 시청자들이 미키 마우스를 쉽고 빠르게 알아보았다. 현재 이 귀 모양은 미키 마우스의 비공식적인 트레이드마크가 되었다. 오늘날까지 디즈니사에서 둥근 귀 로고는 미키 마우스를 상징한다.
월트 디즈니 미키 마우스 시대
월트는 시사회에서 오르간 반주로 상영했다. 그때 관객의 환호를 생각하며 작품에 소리를 입히기로 했다. 이 아이디어는 그때 제작하던 미키 마우스 세 번째 작품 '증기선 윌리'에서 실현하였다. 이 작품은 무성 영화 배우 비스티 키튼의 슬랩스틱 코미디를 패러디한 작품으로 공식적인 미키마우스의 데뷔작이다. 세계 최초의 유성 애니메이션이기도 하다.
증기선 윌리 시사회는 성공했지만, 총 네 편인 미키마우스 시리즈 계약은 쉽지 않았다. 증기선 윌리를 보았던 브로드웨이 소재 콜로니 극장 주인 해리 라이헨바흐는 작품에 감명을 받았다. 라이헨바흐는 월트에게 당시 애니메이션 상영권 가격으로 유례가 없던 2주간 상영에 1,000달러를 지급했다. 월트는 매일마다 극장에 와서 모든 상영을 지켜보며 극장 관객들의 반응을 확인했다. 관객들 반응도 폭발적이었고 이 작품은 미키 마우징이라 칭하는 언더스코어링 기법(액션과 사운드를 유기적으로 결합한 기법)을 사용한 첫 번째 애니메이션이었다. 뉴욕타임즈는 월트의 작품에 대한 긍정적 기사를 실었고, 이전까지는 디즈니 작품에 반응이 없던 배급사들이 디즈니에게 연락을 했다.
월트 디즈니 미키 마우스 시대
월트는 이전까지 애니메이션과 다른 실감나는 만화를 만들고 싶었다. 컬러 애니메이션이 그 시작이었다. 당시 컬러 출력기 수준이 낮던 시기여서 출력한 색이 너무 짙어서 눈을 자극하거나 반대로 너무 옅은 색만 보이는 상황이었다. 월트는 이미 유니버설에서 일하던 월터 랜츠가 최초로 사운드와 컬러를 입혀 일부분에 색채가 나타나는 애니메이션 '재즈가수'를 보고 연구에 몰두했다.
그렇게 나온 애니메이션 '꽃과 나무'는 삼색 인쇄법을 활용한 최초의 컬러 애니메이션이다. 이미 월터 랜츠가 컬러 애니메이션을 시도했지만 그 작품보다 '꽃과 나무' 영화가 더 뛰어난 평가를 받았다. 그 작품은 화면 색이 선명했고, 풍부한 색상으로 구현한 놀라운 사실성을 지녔다. 이전과 색이 전혀 다른 애니메이션이 처음 등장했다. 영화는 상업적으로 큰 성공을 거두었고, 또한 비평 부문에서도 큰 성과를 남겼다. 그 해 생긴 아카데미 단편 애니메이션 부문에서 첫 수상하는 영광을 누린다. 월트 디즈니는 그 부문에서 그 후 8년 동안 상을 받았다.
월트 디즈니 미키 마우스 시대
디즈니 애니메이션의 전성기는 1930~1940년대다. 1970년대 이후 버블 경제 성장을 배경으로 삼은 일본 애니메이션이 미국에서 성장하였다. 일본 작품의 인기가 높아지며, 디즈니는 시장 독점 시기를 보내고, 시장 경쟁 시기를 맞이했다. 불행히 시장 경쟁에 익숙하지 않던 디즈니사 작품은 시장과 경쟁에서 힘을 잃어갔다. 그러나 1989년 인어공주(The Little Mermaid)를 시작으로 미녀와 야수, 알라딘, 라이온킹에 이르는 4개 작품으로 디즈니는 제2의 전성기를 맞이한다. 1994년 라이온 킹 이후 좋은 평가를 받는 작품이 없었으나 2013년 겨울왕국이 비평과 상업적인 면에서 크게 성공을 거두었다.
아우디 A4
아우디 A4(Audi A4)는 아우디에서 생산하는 중형 승용차이다.
아우디 A4 1세대(B5)
1994년에 출시된 A4는 80의 후속 차종으로 개발되었으며, 당시 아우디의 새로운 작명법에 의해 차명이 A4로 되었다. 세로로 설치된 엔진을 탑재한 전륜구동 방식이라는 점이 특징이지만, 실제 많이 판매된 건 4륜구동(콰트로)이다. 스테이션 왜건은 1996년에 출시되었다. 아우디는 경주용 차에 사용되었던 부품을 일반 승용차에 적용해 실린더당 5개의 밸브를 장착한 새로운 1.8 엔진을 만들었고, 이 엔진을 장착한 최초의 차종이 A4이다. 1997년에 페이스 리프트를 거쳤다. 1997년에 카북에 의해 27개의 베스트 모델 중 하나로 선정되었다. 센과 치히로의 행방불명에서 치히로의 가족이 탔던 차종이기도 하다.
아우디 A4 2세대(B6)
2000년에 풀 모델 체인지를 거쳐 당시 판매되고 있던 A6(C5)와 궤를 같이하는 디자인으로 완성되었다. 스테이션 왜건은 2001년에 출시되었으며, 2002년에는 1세대 A4에 없었던 카브리올레도 출시되었다. 세로로 배치된 엔진에 전륜구동 또는 4륜구동(콰트로)인 독특한 메커니즘을 계승했다. 카브리올레는 4륜구동(콰트로) 없이 전륜구동만 적용되었으며, 2004년에 단종된 세단과 스테이션 왜건과는 달리 2006년에 단종되었다. 2000년부터 아우디의 CVT인 멀티트로닉 미션이 추가되었다. 콰트로에는 장착되지 않고, 세로 배치 전륜구동 방식을 위해 조합된다. 덧붙여 이러한 전륜 종치(세로 배치 엔진+전륜구동) 방식은 대우 아카디아와 혼다 레전드에서도 사용되었으며, 현재 이러한 엔진 및 변속기 조합을 쓰는 곳은 아우디뿐이다.
아우디 A4 3세대(B7)
실질적으로는 2세대 A4의 마이너 체인지에 지나지 않으나, 서스펜션은 A6(C6)의 것을 적용하고 차체는 루프를 제외하고 새롭게 변경되는 등 큰 폭으로 개선되었다. 아우디의 패밀리 룩이 반영된 싱글 프레임이라고 불리는 대형 라디에이터 그릴이 적용되었다. 200마력 2.0ℓ 가솔린 직분사 터보 엔진과 255마력 V6 3.2ℓ 가솔린 직분사 엔진 등이 새롭게 추가되었다. 세단과 스테이션 왜건은 2004년에 출시되어 각각 2007년과 2008년에 단종되었고, 카브리올레는 2006년에 출시되어 2009년에 단종된 후 A5로 분리됐다. 4륜구동(콰트로)에는 팁트로닉 자동변속기가 장착됐고, 전륜구동에는 세로 배치 전륜구동이라는 아우디의 특징 때문에 CVT의 일종인 멀티트로닉 변속기가 적용됐다.
아우디 A4 4세대(B8)
2007년에 개최된 프랑크푸르트 국제 모터쇼에서 공개되었고, 같은 해 출시되었다. 스테이션 왜건형은 2008년에 개최된 제네바 모터쇼에서 공개되었으며, 2009년에는 특정 도로에 제한 받지 않는 주파 능력을 겸비한 올로드 콰트로가 더해졌다. 카브리올레는 A5로 분리되었다. 2008년에 독일의 자동차 전문지 아우토 빌트에 의해 올해의 가장 아름다운 차로 선정되었다. 4륜구동(콰트로)의 앞 바퀴와 뒷 바퀴에 동력을 배분하는 비율이 50:50에서 40:60으로 바뀌었고, 축거가 160mm 증가되어 넓은 실내 공간과 개선된 주행 안정성에 기여했다. 알루미늄을 사용해 경량화를 실현했고, 유로 NCAP이 실시한 후방 추돌 테스트에서 Good 등급을 받았다. 2011년에는 페이스 리프트를 거쳐 후드가 둥근 아치형으로 바뀌었고, 싱글 프레임 라디에이터 그릴의 상단에 각이 추가되어 육각형으로 바뀌었다. 헤드 램프의 디자인도 살짝 바뀌었다. 페이스 리프트된 4세대부터 대한민국에 2.0ℓ TDI 디젤 엔진이 들어오기 시작했다. 아우디에서 멀티트로닉의 단종을 발표함에 따라 CVT가 달린 마지막 A4가 된다.
아우디 A4 5세대(B9)
2015년에 공개되었다. MLB 에보 플랫폼이 적용되어 100kg 이상의 경량화를 실현하였다. 보다 직선화된 디자인은 날렵하면서도 공격적인 표현을 더하였고, 12.3인치의 LCD 화면을 통하여 운전자에게 상세한 정보를 알려주는 버추얼 콕핏이 적용되었다. 승객은 물론 다른 보행자나 차량을 보호하는 프리 센스 시티 보조 시스템이 적용되어 카메라를 통한 전방 시야의 위험한 주행 상황을 3단계에 걸쳐 경고 후에 충돌이 임박한 경우 운전자가 반응하지 않으면 차가 자동으로 멈춘다.
데메테르
데메테르(아티케: Δημήτηρ Dēmḗtēr; 도리스: Δαμάτηρ Dāmā́tēr)는 고대 그리스 종교와 그리스 신화에서 올림포스 12신 중 수확과 농업의 여신으로, 곡물, 밀, 음식, 대지의 비옥함을 관장한다. 데메테르는 주로 농경의 여신으로 알려져 있지만 건강, 출산, 결혼의 여신으로도 숭배되었으며, 지하세계와도 관련이 있었다. 데오(Δηώ Dēṓ)라고도 불린다.
그리스 전통에서 데메테르는 티탄인 레아와 크로노스의 둘째 자식이며, 헤스티아, 헤라, 하데스, 포세이돈, 제우스의 누나이다. 제우스를 제외한 다른 형제자매들과 마찬가지로, 어린 시절 아버지에게 삼켜졌다가 제우스에 의해 구출되었다. 제우스를 통해 비옥의 여신이자 부활의 신인 페르세포네의 어머니가 되었다.
데메테르
호메로스 찬가 중 하나인 《데메테르에 대한 호메로스 찬가》는 하데스에 의한 페르세포네의 납치와 데메테르가 찾아 나서는 이야기를 담고 있다. 지하세계의 왕인 하데스는 페르세포네를 아내로 삼고 싶어했고, 제우스의 허락을 받아 꽃을 따고 있을 때 들판에서 납치했다. 데메테르는 실종된 딸을 찾기 위해 온 사방을 헤맸지만 소용이 없었고, 결국 하데스가 지하세계로 데려갔다는 소식을 듣게 되었다. 이에 데메테르는 농업의 여신으로서의 의무를 소홀히 하여 대지를 치명적인 기근에 빠뜨렸고, 아무것도 자라지 않아 필멸자들이 죽어갔다. 제우스는 이 재앙을 막기 위해 하데스에게 페르세포네를 어머니에게 돌려보내라고 명령했다. 그러나 페르세포네는 지하세계의 음식을 먹었기 때문에 영원히 데메테르와 함께 있을 수 없었고, 일년 중 일부를 어머니와 남편 사이에서 보내야만 했다. 이는 페르세포네가 떠나 있는 동안 데메테르가 식물을 자라게 하지 않아 발생하는 계절의 순환을 설명한다.
데메테르
숭배될 때 사용되는 다른 이름으로는 음식이나 곡물의 수호자로서 "곡물의 여신"을 의미하는 시토(Σιτώ)와 비밀스러운 여성 전용 축제인 테스모포리아와 관련된 "관습의 수호자" 또는 "입법자"를 의미하는 테스모포로스(θεσμός, 테스모: 신성한 질서, 불문율; φόρος, 포로스: 수호자, 운반자)가 있다. 데메테르는 종종 단순히 수확의 여신으로 묘사되지만, 또한 종교법과 생사 주기를 관장했다. 데메테르와 페르세포네는 엘레우시스 밀의종교의 중심 인물이었는데, 이 밀의종교는 입문자들에게 행복한 내세를 약속했다. 이 종교적 전통은 농경 공동체의 고대 농경 숭배에서 유래했으며, 아마도 기원전  1400c.~1200년경의 미케네 시대에 뿌리를 두고 있었고, 올림포스 판테온보다 앞선 것이었다.
데메테르는 종종 아나톨리아 여신 키벨레와 동일시되었으며, 로마 여신 케레스와도 동일시되었다.
데메테르 어원
데메테르는 선형문자 A에서 다-마-테(da-ma-te)로 세 문서에 나타나며, 이 세 문서 모두 종교적인 상황과 관련되어 있고 이름(AR Zf 1과 2에는 i-da-ma-te)만을 담고 있다. 선형문자 B(미케네 그리스어) 명문(PY En 609)에 다-마-테(da-ma-te)도 데메테르를 가리킨다는 주장이 있었으나, 현대에는 단어 𐀅𐀔𐀳, 다-마-테(da-ma-te)는 "가구"를 의미하는 것으로 여겨진다. 반면에, 𐀯𐀵𐀡𐀴𐀛𐀊, 시-토-포-티-니-야(si-to-po-ti-ni-ja), "곡물의 포트니아"는 청동기 시대 데메테르의 원형 또는 별명 중 하나를 지칭하는 것으로 간주된다.
데메테르 어원
데메테르의 대지모신으로서의 성격은 이름의 두 번째 요소인 메테르(μήτηρ)가 인도유럽조어(PIE) *méh₂tēr(어머니)에서 파생된 것이라는 점에서 확인된다. 고대에는 이미 이름의 첫 번째 요소에 대한 다양한 설명이 제시되었다. 아티케에서 게(Γῆ)에 해당하는 단어인 다(Δᾶ)는 지하의 대지 여신의 옛 이름인 데(Δῆ), "대지"의 도리스 형태일 수 있으며, 데메테르는 "대지의 어머니"일 수 있다. 리델 & 스콧(Liddell & Scott)은 이를 "개연성이 낮다"고 보며, 비크스(Beekes)는 "[da]가 "대지"를 의미한다는 증거는 없다"고 썼지만, 선형문자 B 명문 에-네-시-다-오-네(E-ne-si-da-o-ne), "땅을 흔드는 자"에서 발견된 포세이돈의 이름에서는 그렇게 가정되었다. 존 채드윅 또한 데메테르 이름의 dā 요소가 "대지"와 그렇게 간단하게 동일시될 수 없다고 주장한다.
데메테르 어원
M. L. 웨스트는 데메테르(Demeter)라는 단어가 원래 다마테르(Damater)였으며, 메사피아어 여신 다마투라(Damatura)에서 빌려온 일리리아 신의 이름일 수 있다고 제안했다. 이 경우 다-(dā-, PIE *dʰǵʰ(e)m-에서 유래한 "대지")는 -마투라(-matura, "어머니")에 붙어 있으며, 일리리아 신 데이파투로스(Dei-paturos, dei-는 "하늘", -paturos는 "아버지")와 유사한 형태를 띠고 있다. 레스보스 형태인 도-(Dō-)는 단순히 그리스어가 아닌 이름의 다른 구어체 발음을 반영하는 것일 수 있다.
또 다른 이론은 데(De-) 요소가 데메테르의 별명인 데오(Deo)와 관련이 있으며, 크레타어 단어 데아(δηά), 이오니아어 제이아(ζειά)에서 유래했을 수 있다고 제안한다. 이 단어는 현대 학자들에 의해 다양하게 에머밀, 스펠트밀, 호밀 또는 다른 곡물로 식별되는데, 따라서 데메테르는 일반적으로 음식의 어머니이자 공급자라는 것이다. 이 견해는 영국 학자 제인 엘렌 해리슨도 공유하며, 데메테르의 이름이 "대지의 어머니" 대신 "곡물의 어머니"를 의미한다고 주장한다.
또 다른 인도유럽어족 어원으로는 포트니아(Potnia)와 데스포이나(Despoina)를 통해 데스(Des-)가 인도유럽조어 *dem(집, 돔)의 파생어를 나타내고, 데메테르(Demeter)는 "집의 어머니"(PIE *dems-méh₂tēr에서 유래)를 의미한다는 설이 있다. R. S. P. 비크스는 그리스어 해석을 거부하지만, 인도유럽어족 해석을 반드시 거부하는 것은 아니다.