시공간 시공간의 기초 수학
질량과 에너지 사이의 밀접한 관계 때문에 사-운동량(4-운동량이라고도 불림)은 에너지-운동량 4-벡터라고도 블린다. 4-운동량을 나타내기 위해 대문자 P를 사용하고 공간 운동량을 나타내기 위해 소문자 p를 사용하여 사-운동량은 다음과 같이 쓸 수 있다.
또는 대안으로,
:129–130,180
물리학에서, 보존 법칙들은 격리된 물리적 시스템의 어떤 특정한 측정 가능한 속성은 시스템이 시간이 지남에 따라 진화해도 변하지 않는다는 것을 진술한다. 1915년에,  에미 뇌터는 각 보존 법칙의 기초가 되는 자연의 한 근본적인 대칭성을 발견했다. 물리적 과정이 공간 내의 어디서 발생하는지 상관하지 않는다는 사실(공간 평행이동 대칭(space translation symmetry))은 운동량 보존을 산출하고, 그러한 과정이 언제 발생하는지 상관하지 않는다는 사실(시간 평행이동 대칭(time translation symmetry))은 에너지의 보존을 산출한다 등. 이 섹션에서는, 우리는 상대론적 관점에서 질량, 운동량 및 에너지의 보존에 대한 뉴턴의 관점을 검토한다.
운동량 보존에 대한 뉴턴의 관점이 상대론적 맥락에서 어떻게 수정되어야 하는지 이해하기 위해 우리는 한 단일 차원으로 제한된 두 개의 충돌하는 물체들의 문제를 검토한다.
뉴턴 역학에서는, 최소 복잡성의 수학을 산출하는 이 문제의 두 가지 극단적인 경우들이 구별될 수 있다:
(1) 두 물체들은 완전히 탄성 충돌로 서로 반동한다.
(2) 두 물체들이 서로 달라붙고 또한 하나의 입자처럼 계속 움직인다. 이 두 번째 경우는 완전 비탄성 충돌의 경우이다.
(1)과 (2)의 경우 모두 운동량, 질량 및 총 에너지가 보존된다. 그렇지만, 비탄성 충돌의 경우 운동 에너지는 보존되지 않는다. 초기 운동 에너지의 어떤 부분은 열로 변환된다.
(2)의 경우, 운동량이 
및 인 두 질량들이 충돌하여 보존된 질량 이 원래 시스템의 질량 중심의 속도로 이동하는 한 단일 입자를 형성한다. 총 운동량 는 보존된다.
그림 3-10은 상대론적 관점에서 두 입자의 비탄성 충돌을 도해한다. 시간 성분들  및 는 결과 벡터의 총 E/c에 합산되며, 이는 에너지가 보존됨을 의미한다. 마찬가지로, 공간 구성요소  및 는 합산하여 결과의 벡터 p를 형성한다. 4-운동량은, 예상대로, 한 보존된 양이다. 그렇지만, 총 운동량의 불변 쌍곡선이 에너지 축과 교차하는 점에 의해 주어진 융합 입자의 불변 질량은 충돌한 개별 입자의 불변 질량의 합과 같지 않다. 과연, 그것은 개별 질량의 합보다 크다: .:94–97
이 시나리오의 사건을 역순으로 살펴보면, 우리는 질량의 비-보존이 일반적으로 발생한다는 것을 알 수 있다: 불안정한 기본 입자가 자발적으로 두 개의 더 가벼운 입자로 붕괴할 때, 총 에너지는 보존되지만, 그러나 질량은 보존되지 않는다. 질량의 일부는 운동 에너지로 변환된다.:134–138
분석을 수행할 프레임을 자유롭게 선택할 수 있으므로 특히 편리한 프레임을 선택할 수 있다. 운동량 및 에너지 문제를 분석할 때 가장 편리한 프레임은 일반적으로 "운동량 중심 프레임(center-of-momentum frame)"(영 운동량프레임 또는 COM(center of momentum) 프레임라고도 함)이다. 이것은 시스템의 전체 운동량의 공간 성분이 영인 프레임이다. 그림 3-11은 고속 입자가 두 개의 딸 입자들로 분해되는 것을 도해한다. 실험실 프레임에서 딸 입자들은 원래 입자의 궤적을 따라 지향된 방향으로 우선적으로 방출된다. 그렇지만, COM 프레임에서는, 질량들과 속도들의 크기가 일반적으로 동일하지 않지만, 두 개의 딸 입자들은 반대 방향으로 방출된다.
상호 작용하는 입자들에 대한 뉴턴식 분석에서는, 프레임들 간의 변환은 모든 속도들에 갈릴레이 변환을 적용하기만 하면 되므로 간단하다. 이므로, 운동량 . 만일 상호 작용하는 입자들 시스템의 총 운동량이 한 프레임에서 보존되는 것으로 관찰되면, 다른 프레임에서도 마찬가지로 보존되는 것으로 관찰된다.:241–245
COM 프레임에서 운동량의 보존은 충돌 전후 둘 다 p = 0이라는 요건에 해당한다. 뉴턴 분석에서는, 질량 보존은 를 지시한다. 우리가 고려하고 있는 단순화된 일차원 시나리오에서는, 입자의 나가는 운동량들을 결정하기 전에 하나의 추가 제약 조건-한 에너지 조건만 필요하다. 운동 에너지의 손실이 없는 완전 탄성 충돌의 일차원 경우에는, COM계에서 반발 입자의 나가는 속도들은 들어오는 속도들과 정확히 동일하고 반대이다. 운동 에너지가 완전히 손실된 완전 비탄성 충돌의 경우에는, 반동 입자들의 나가는 속도는 영이 된다.:241–245
로 계산되는 뉴턴 운동량은 로런츠 변환에서 제대로 작동하지 않는다. 속도들의 선형 변환 는 고도의 비선형
으로 대체되고  그래서 한 프레임에서 운동량 보존을 증명하는 어떤 계산은 다른 프레임들에서는 유효하지 않다. 아인슈타인은 운동량 보존을 포기하거나 또는 운동량의 정의를 변경해야 하는 상황에 직면했다. 이 두 번째 옵션이 그가 선택한 것이다.:104
에너지 및 운동량에 대한 상대론적 보존 법칙은 에너지, 운동량 및 질량에 대한 세 가지 고전적인 보존 법칙을 대체한다. 질량은 전체 상대론적 에너지에 포함되었기 때문에 더 이상 독립적으로 보존되지 않는다. 이것은 에너지의 상대론적 보존을 비상대론적 역학보다 더 간단한 개념으로 만드는데, 왜냐하면 총 에너지는 아무런 조건들 없이 보존되기 때문이다. 열 또는 내부 위치 에너지로 변환된 운동 에너지는 질량 증가로 나타난다.:127
예: 질량과 에너지의 동등성 때문에 기본 입자 질량은 일반적으로 에너지 단위로 표시되며, 여기서 1 MeV = 106 전자 볼트이다. 한 하전 파이온은 질량이 139.57MeV(전자 질량의 약 273배)인 입자이다. 그것은 불안정하고, 또한 질량이 105.66MeV(전자 질량의 약 207배)인 뮤온과 거의 무시할 수 있는 질량을 갖는 한 반중성미자로 붕괴한다. 파이온 질량과 뮤온 질량의 차이는 33.91MeV이다.
π− → μ− + νμ
그림 3-12a는 파이온의 정지 프레임에서 이러한 붕괴 반응에 대한 에너지-운동량 도표를 보여준다. 무시할 수 있는 질량 때문에 중성미자는 빛의 속도에 매우 가깝게 이동한다. 광자의 에너지와 같은 에너지에 대한 상대론적 표현은  이고, 이것은 또한 운동량의 공간 성분 값이기도 하다. 운동량을 보존하기 위해서, 뮤온은 중성미자 운동량의 공간 성분과 같은 값을 갖지만, 반대 방향으로이다.
이 붕괴 반응의 에너지에 대한 대수적 분석들은 온라인에서 볼 수 있고, 그래서 그림 3-12b은 대신 그래프 계산기 해를 제공한다. 중성미자의 에너지는 29.79 MeV이고, 또한 뮤온의 에너지는 33.91 MeV − 29.79 MeV = 4.12 MeV이다. 대부분의 에너지는 영-근사-질량인 중성미자에 의해서 운반된다.