hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
컴퓨터 자판 기술
1970년대 초반의 첫 전자 자판에서는 키 스위치가 금속 프레임의 구멍에 삽입된 개별 스위치였다. 이 자판들은 80에서 120 USD의 비용이 들었으며 메인프레임 데이터 터미널에 사용되었다. 가장 인기 있는 스위치 유형은 리드 스위치(스위치 플런저에 장착된 자석의 영향을 받는 유리 캡슐의 진공 상태에 밀폐된 접점)였다.
1970년대 중반, 저가형 직접 접촉 키 스위치가 도입되었으나, 환경에 노출되어 스위치 사이클 수명이 훨씬 짧았다(1천만 사이클 정격). 그러나 당시 발전함에 따라 모델 수명이 점점 더 짧아지던 컴퓨터 터미널에 사용되는 것은 더 받아들여지게 되었다.
컴퓨터 자판 기술
1978년, Key Tronic Corporation은 자체 포함 스위치를 사용하지 않는 최초의 키보드 기술 중 하나인 정전용량 기반 스위치를 사용하는 키보드를 도입했다. 스위치 플런저에 전도성 코팅된 마일라 플라스틱 시트가 있는 스펀지 패드와 아래 PCB에 두 개의 반달 모양의 트레이스 패턴이 있었다. 키가 눌러지면 플런저 패드와 아래 PCB의 패턴 사이의 정전용량이 변경되었고, 이는 집적 회로(IC)에 의해 감지되었다. 이러한 키보드는 유도성 및 홀 효과와 같은 다른 "솔리드 스테이트 스위치" 키보드와 동일한 신뢰성을 가지고 있으면서도 직접 접촉 키보드와 경쟁력이 있다고 주장되었다. 키보드 가격은 60달러에 달했으며, Key Tronic은 빠르게 가장 큰 독립 키보드 제조업체가 되었다.
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한편, IBM은 자체 특허 기술을 사용하여 자판을 만들었다. 오래된 IBM 키보드의 키는 "버클링 스프링" 메커니즘으로 만들어졌다. 이 메커니즘에서는 키 아래의 코일 스프링이 사용자 손가락의 압력으로 휘어지면서 해머를 작동시켜 전도성 트레이스가 있는 두 개의 플라스틱 시트(멤브레인)를 서로 누르게 하여 회로를 완성한다. 이는 클릭 소리를 내고 타자수에게 물리적 피드백을 제공하여 키가 눌렸음을 알려준다.
최초의 전자 자판은 타자기 키 트래블 거리인 0.187인치(4.75mm)를 가지고 있었고, 키톱은 0.5인치(12.7mm) 높이였으며, 자판은 약 2인치(5cm) 두께였다. 시간이 지남에 따라 더 짧은 키 트래블이 시장에서 받아들여졌고, 결국 0.110인치(2.79mm)로 정착했다. 이와 동시에 키 트로닉은 두께가 약 1인치에 불과한 자판을 최초로 도입했다. 그리고 현재 자판의 두께는 약 0.5인치에 불과하다.
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키톱은 자판의 중요한 요소이다. 초기에는 자판 키톱이 이전 타자기처럼 위쪽에 "접시 모양"을 가지고 있었다. 자판 키 레전드는 수천만 번의 누름에 걸쳐 극도로 내구성이 있어야 한다. 손가락과 손톱으로 인한 극심한 기계적 마모에 노출되고, 손 기름과 크림에 노출되기 때문에, 이전에 개별 스위치에 대해 했던 것처럼 키 레전드를 페인트로 조각하고 채우는 것은 결코 받아들여지지 않았다. 따라서 최초의 전자 자판의 경우, 키 레전드는 투샷(또는 더블샷, 또는 두 가지 색상) 성형으로 제작되었다. 여기서 키 쉘 또는 키 레전드가 있는 키의 내부가 먼저 성형된 다음 다른 색상이 두 번째로 성형되었다. 그러나 비용을 절감하기 위해 승화 인쇄 및 레이저 각인과 같은 다른 방법이 모색되었는데, 이 두 방법은 전체 자판을 동시에 인쇄하는 데 사용될 수 있었다.
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초기에 특수 잉크를 키캡 표면에 인쇄하고 열을 가하여 잉크 분자가 플라스틱 모듈로 침투하여 혼합되는 승화 인쇄는 손 기름이 분자를 분산시키는 문제가 있었지만, 이를 방지하기 위해 필수적으로 매우 단단한 투명 코팅이 적용되었다. IBM이 자판에 고용량으로 처음 사용한 승화 인쇄와 동시에 IBM은 키 레전드의 고품질 인쇄를 용이하게 하기 위해 접시 대신 일관되게 곡선으로 된 표면을 갖는 단일 곡선 접시 키캡을 도입했다. 그러나 승화 또는 레이저 인쇄의 한 가지 문제점은 프로세스가 너무 오래 걸리고 밝은 색 키에는 어두운 레전드만 인쇄될 수 있다는 것이었다. 다른 측면에서, IBM은 키톱 베이스에 별도의 쉘 또는 "키캡"을 사용하는 데 독특했다. 이것은 다른 키보드 레이아웃의 제조를 더 유연하게 만들었을 수도 있지만, 이를 수행한 이유는 승화 인쇄에 사용해야 하는 플라스틱 재료가 표준 ABS 키톱 플라스틱 재료와 달랐기 때문이다.
세 가지 최종 기계 기술은 자판을 오늘날의 모습으로 만들었고, 비용을 10달러 미만으로 낮추었다.
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개별 스위치 하우징을 제거하고 일체형 "모노블록" 하우징을 대신 사용하는 "모노블록" 자판 디자인이 개발되었다. 이는 자판 전체에 걸쳐 스위치-플런저 구멍과 가이드에 매우 엄격한 공차를 제공할 수 있는 성형 기술 덕분에 가능했으며, 키 플런저-하우징 간극이 너무 빡빡하거나 너무 헐거워 키가 걸리는 것을 방지할 수 있었다.
모노블록 아래에 접점 스위치 멤브레인 시트 사용. 이 기술은 평판 스위치 멤브레인에서 파생되었다. 여기서 스위치 접점은 상단 및 하단 레이어 내부에 인쇄되고, 그 사이에 스페이서 레이어가 있어서 위에 압력이 가해지면 직접적인 전기 접촉이 이루어진다. 멤브레인 레이어는 매우 대량으로 저렴한 "릴투릴" 인쇄기로 인쇄할 수 있으며, 각 자판 멤브레인은 나중에 잘라내고 펀칭된다.
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플라스틱 재료는 전자 자판의 개발 및 발전에 매우 중요한 역할을 했다. "모노블록"이 등장하기 전까지 GE의 "자체 윤활" 델린은 수천만 사이클의 수명 동안 견딜 수 있는 유일한 자판 스위치 플런저용 플라스틱 재료였다. 스위치 플런저에 기름을 바르거나 윤활유를 사용하는 것은 시간이 지남에 따라 먼지를 끌어들여 결국 키 스위치의 느낌에 영향을 미치거나 심지어 키 스위치를 묶을 수 있기 때문에 바람직하지 않았다(물론 자판 제조업체는 때때로 이를 자판에 몰래 넣기도 했다. 특히 키 플런저와 하우징의 공차를 충분히 제어할 수 없어 부드러운 키 누름 느낌을 얻거나 묶이는 것을 방지할 수 없는 경우). 그러나 델린은 검정색과 흰색으로만 제공되었고 키톱에는 적합하지 않았으므로(너무 부드럽다) 키톱은 ABS 플라스틱을 사용한다. 그러나 플라스틱 성형이 엄격한 공차를 유지하는 데 발전하고 키 트래블 길이가 0.187인치에서 0.110인치(4.75mm에서 2.79mm)로 줄어들면서 단일 부품 키톱/플런저를 ABS로 만들 수 있었으며, 자판 모노블록도 ABS로 만들 수 있었다.
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일반적으로 "기계식 키보드"는 개별 기계식 키 스위치를 가진 키보드를 의미하며, 각 스위치에는 스프링과 측면에 금속 전기 접점이 있는 완전히 밀폐된 플런저가 포함되어 있다. 플런저는 스프링 위에 놓여 있으며, 플런저가 절반 정도 눌렸을 때 키가 접점을 닫는 경우가 많다. 다른 스위치는 플런저가 완전히 눌러져야 접점이 닫힌다. 접점이 닫히기 위해 플런저가 눌러져야 하는 깊이를 활성화 거리라고 한다. 활성화 거리를 소프트웨어를 통해 재구성할 수 있는 키 스위치를 가진 아날로그 키보드, 레이저 빔을 차단하여 작동하는 광학 스위치, 자석을 사용하여 홀 센서를 활성화하는 키 스위치를 사용하는 홀 효과 키보드도 사용할 수 있다.
아날로그 스틱과 유사하게 눌린 거리에 따라 다양한 입력을 허용하는 감압식 키보드도 있다.
컴퓨터 자판에는 키 입력을 컴퓨터 전자 장치가 이해할 수 있는 키 코드(일반적으로 스캔 코드)로 변환하는 제어 회로가 포함되어 있다. 키 스위치는 인쇄 회로 기판을 통해 전기 X-Y 매트릭스에 연결되어 Y 라인에 순차적으로 전압이 공급되고, 키가 눌리면 X 라인을 스캔하여 순차적으로 감지된다.
컴퓨터 자판 기술
초기 컴퓨터 키보드는 메인프레임 컴퓨터 데이터 터미널용이었으며 개별 전자 부품을 사용했다. 최초의 키보드 마이크로프로세서는 1972년 General Instruments에서 도입되었지만, 키보드는 1978년에 8048 마이크로컨트롤러 변형이 출시된 이후로 이를 사용해왔다. 키보드 스위치 매트릭스는 입력에 연결되어 키 입력을 키 코드로 변환하고, 분리형 키보드의 경우 직렬 케이블(키보드 코드)을 통해 컴퓨터 메인보드의 메인 프로세서로 코드를 전송한다. 이 직렬 키보드 케이블 통신은 컴퓨터의 전자 장치가 Caps Lock, Num Lock 및 스크롤 락 표시등의 조명을 제어하는 범위 내에서만 양방향이다.
컴퓨터가 충돌했는지 여부를 테스트하는 한 가지 방법은 Caps Lock 키를 누르는 것이다. 키보드는 키 코드를 메인 컴퓨터에서 실행 중인 키보드 드라이버로 전송한다. 메인 컴퓨터가 작동 중이면 드라이버는 표시등을 켜도록 명령한다. 다른 모든 표시등도 유사한 방식으로 작동한다. 키보드 드라이버는 또한 키보드의 Shift, Alt 및 Control 상태를 추적한다.
컴퓨터 자판 기술
일부 저품질 키보드는 부적절한 전기 설계로 인해 여러 개 또는 잘못된 키 입력이 발생하는 경우가 있다. 이는 부적절한 키 스위치 "디바운싱" 또는 여러 키를 동시에 누를 수 없는 부적절한 키 스위치 매트릭스 레이아웃으로 인해 발생하며, 두 가지 상황은 아래에서 설명한다.
자판 키를 누를 때 키 접점은 단단히 접촉하기 전에 몇 밀리초 동안 서로 "튀어 오를" 수 있다. 해제될 때, 접촉되지 않은 상태로 돌아갈 때까지 더 튀어 오른다. 컴퓨터가 각 펄스를 지켜보고 있었다면, 사용자가 단 한 번의 키 입력이라고 생각했던 것에 대해 많은 키 입력을 보게 될 것이다. 이 문제를 해결하기 위해 자판(또는 컴퓨터)의 프로세서는 시간을 통해 키 입력을 집계하여 하나의 "확인된" 키 입력을 생성함으로써 키 입력을 "디바운싱"한다.
일부 저품질 자판은 롤오버 문제(즉, 여러 키가 동시에 눌리거나 키가 너무 빨리 눌려 같은 밀리초 내에 여러 키가 눌리는 경우)도 겪는다. 초기 "솔리드 스테이트" 키 스위치 자판은 키 스위치가 서로 전기적으로 격리되어 있었기 때문에 이 문제가 없었으며, 초기 "직접 접촉" 키 스위치 자판은 모든 키 스위치에 격리 다이오드를 사용하여 이 문제를 피했다. 이 초기 자판은 "n-키" 롤오버를 가지고 있었는데, 이는 아무리 많은 키를 눌러도 자판이 다음 눌린 키를 계속 인식한다는 의미이다. 그러나 격리 다이오드가 없는 "직접 접촉" 키 스위치 매트릭스에서 세 개의 키가 동시에 눌리면(전기적으로 닫히면), 자판 전자 장치는 세 키의 X 및 Y 라인이 교차하는 네 번째 "유령" 키를 볼 수 있다. 일부 유형의 자판 회로는 한 번에 최대 수의 키만 등록한다. "세 키" 롤오버는 "유령 키 차단" 또는 "유령 키 잠금"이라고도 불리며, 세 개의 키만 등록하고 세 개의 키 중 하나가 해제될 때까지 다른 모든 키는 무시한다. 이는 특히 빠른 타자(손가락이 이전 키를 놓기 전에 새 키를 누르는 것) 및 게임(여러 키 누름을 위해 설계됨)에 바람직하지 않다.
직접 접촉 멤브레인 키보드가 인기를 얻으면서, 가장 일반적인 키 시퀀스를 분석하고 이러한 키를 전기적 키 매트릭스에서 유령 키를 잠재적으로 생성하지 않도록 배치함으로써 키의 사용 가능한 롤오버가 최적화되었다(예를 들어, 동시에 눌릴 수 있는 세 개 또는 네 개의 키를 단순히 동일한 X 또는 동일한 Y 라인에 배치하여 유령 키 교차/단락이 발생할 수 없도록 함). 따라서 세 번째 키를 차단하는 것은 일반적으로 문제가 되지 않는다. 그러나 저품질 키보드 디자인 및 무지한 엔지니어는 이러한 기술을 알지 못할 수 있으며, 다른 게임에서 매우 다르거나 구성 가능한 레이아웃으로 인해 게임에서 여전히 문제가 될 수 있다.
케이블을 사용하여 키보드를 시스템 장치(더 정확하게는 키보드 컨트롤러)에 연결하는 여러 가지 방법이 있으며, 여기에는 마더보드에서 흔히 발견되는 표준 AT 커넥터가 포함되며, 이는 결국 PS/2 및 USB 연결로 대체되었다. 아이맥 시스템 라인 이전에 애플은 자사 키보드 커넥터에 독점적인 애플 데스크톱 버스를 사용했다.
무선 키보드는 인기를 얻고 있다. 무선 키보드는 송신기를 내장하고 컴퓨터의 키보드 포트에 연결된 수신기가 있어야 한다. 이는 무선주파수(RF) 또는 적외선(IR) 신호를 통해 통신한다. 무선 키보드는 산업 표준 블루투스 무선 통신을 사용할 수 있으며, 이 경우 수신기는 컴퓨터에 내장될 수 있다. 무선 키보드는 전원 공급을 위해 배터리가 필요하며, 데이터 감청의 위험이 있을 수 있다. 무선 태양열 키보드는 자연광 또는 인공 조명을 사용하여 작은 태양 전지판으로부터 배터리를 충전한다. 1984년 Apricot Portable은 IR 키보드의 초기 예이다.
컴퓨터 자판 대체 텍스트 입력 방법
광학 문자 인식(OCR)은 이미 작성되었지만 기계 판독 가능한 형식이 아닌 기존 텍스트(예: 1940년대 라이노타이프 기계로 조판된 책)를 변환하는 데 재입력보다 선호된다. 즉, 이미지를 편집 가능한 텍스트(즉, 문자 코드 문자열)로 변환하려면, 사람이 다시 입력하거나 컴퓨터가 이미지를 보고 각 문자가 무엇인지 추론할 수 있다. OCR 기술은 이미 인상적인 수준(예: 구글 북 검색)에 도달했으며 미래에 더 많은 것을 약속한다.
음성 인식은 음성을 기계 판독 가능한 텍스트(즉, 문자 코드 문자열)로 변환한다. 이 기술 또한 진보된 단계에 도달했으며 다양한 소프트웨어 제품에 구현되어 있다. 특정 용도(예: 의료 또는 법률 구술 필사; 저널리즘; 에세이 또는 소설 쓰기)의 경우 음성 인식이 자판을 대체하기 시작하고 있다. 그러나 음성 명령 및 받아쓰기 시 사생활 보호 부족으로 인해 이러한 종류의 입력은 많은 환경에 적합하지 않다.
컴퓨터 자판 대체 텍스트 입력 방법
포인팅 장치는 물리적 자판 사용이 부적절하거나 불가능한 환경에서 텍스트 또는 문자를 입력하는 데 사용될 수 있다. 이러한 액세서리는 일반적으로 디스플레이에 문자를 표시하며, 더 자주 사용되는 문자 또는 문자 조합에 빠르게 접근할 수 있는 레이아웃으로 되어 있다. 이러한 종류의 입력의 인기 있는 예로는 그래피티, 대셔 및 화면 가상 키보드가 있다.
컴퓨터 자판 기타 문제
암호화되지 않은 블루투스 무선 키보드는 키보드와 같은 방에 은밀한 청취 장치를 설치하여 블루투스 패킷을 도청하고 기록하여 사용자가 입력한 키를 기록하는 신호 도난에 취약한 것으로 알려져 있다. 마이크로소프트 무선 키보드 2011년 및 이전 버전은 이러한 취약점이 문서화되어 있다.
키로깅은 사용자 키 입력을 캡처하고 기록하는 방법이다. 특정 사무 작업에서 직원의 생산성을 측정하거나 법 집행 기관에서 불법 활동을 파악하는 데 합법적으로 사용되지만, 해커가 다양한 불법적이거나 악의적인 행위를 위해 사용되기도 한다. 해커는 키로거를 통해 암호나 암호화 키를 얻어 다른 보안 조치를 우회하는 수단으로 사용한다.
컴퓨터 자판 기타 문제
키로깅은 하드웨어 및 소프트웨어 수단을 통해 달성될 수 있다. 하드웨어 키로거는 키보드 케이블에 연결되거나 표준 키보드 내부에 설치된다. 소프트웨어 키로거는 대상 컴퓨터의 운영체제에서 작동하며 하드웨어에 대한 무단 접근을 얻거나, OS가 제공하는 기능을 사용하여 키보드에 연결하거나, 원격 접근 소프트웨어를 사용하여 기록된 데이터를 대상 컴퓨터 외부의 원격 위치로 전송한다. 일부 해커는 또한 무선 키로거 스니퍼를 사용하여 무선 키보드와 수신기 간에 전송되는 데이터 패킷을 수집한 다음, 두 장치 간의 무선 통신을 보호하는 데 사용되는 암호화 키를 해독한다.
컴퓨터 자판 기타 문제
안티 스파이웨어 애플리케이션은 많은 키로거를 탐지하고 제거할 수 있다. 책임감 있는 모니터링 소프트웨어 공급업체는 안티 스파이웨어 프로그램에 의한 탐지를 지원하여 소프트웨어 남용을 방지한다. 방화벽 (네트워킹)을 활성화해도 키로거 자체를 막지는 못하지만, 적절히 구성하면 기록된 자료가 네트워크를 통해 전송되는 것을 막을 수 있다. 네트워크 모니터링(역방화벽이라고도 함)은 애플리케이션이 네트워크 연결을 시도할 때마다 사용자에게 경고하는 데 사용될 수 있다. 이는 사용자에게 키로거가 입력한 정보를 "콜백"하는 것을 방지할 기회를 제공한다. 자동 양식 채우기 프로그램은 키보드를 전혀 사용하지 않음으로써 키로깅을 완전히 방지할 수 있다. 역사적으로 대부분의 키로거는 로그인 자격 증명을 입력하는 것과 포커스 창의 다른 곳에 문자를 입력하는 것을 번갈아 가며 속일 수 있었다.
컴퓨터 자판 기타 문제
자판은 특수한 스파이 장비를 사용하여 감지할 수 있는 전자기 서명을 방출하여 자판에 눌러진 키를 재구성할 수 있는 것으로 알려져 있다. 신원 도용 협의회(Identity Theft Council)의 전무 이사 닐 오패럴(Neal O'Farrell)은 InformationWeek에 "25년도 더 전에 두 명의 전직 스파이가 자판의 모든 키 입력에서 발생하는 전자기 신호를 캡처하고 디코딩하여 길 건너편에 주차된 밴에서 사용자의 ATM PIN을 어떻게 캡처할 수 있었는지 보여주었다"고 밝혔다. 오패럴은 "그들은 심지어 근처 사무실의 컴퓨터에서도 키 입력을 캡처할 수 있었지만, 특정 컴퓨터에 집중할 만큼 기술이 정교하지는 않았다"고 말했다.
모든 키보드의 사용은 손, 손목, 팔, 목 또는 등에 심각한 부상(즉, 수근관 증후군 또는 기타 반복사용긴장성손상증후군)을 유발할 수 있다. 부상 위험은 한 시간마다 몇 번씩 짧은 휴식을 취하여 일어나서 걷는 것으로 줄일 수 있다. 또한 사용자는 손과 손목의 과사용을 피하기 위해 하루 종일 작업을 다양하게 해야 한다. 키보드에 입력할 때, 어깨는 편안하게 하고 팔꿈치는 옆구리에 붙인 상태로 키보드와 마우스를 놓아야 하며, 손목이 직선이 되도록 의자 높이와 키보드 트레이를 조절해야 하고, 손목을 날카로운 테이블 가장자리에 올려놓지 않아야 한다. 손목 받침대나 손바닥 받침대는 타자 (글자) 중에 사용하지 않아야 한다.
특수 자판, 마우스 대체품 및 펜 태블릿 인터페이스부터 음성 인식 소프트웨어에 이르는 일부 적응 기술은 부상 위험을 줄일 수 있다. 일시 정지 소프트웨어는 사용자에게 자주 일시 정지하도록 상기시킨다. 수직 마우스 또는 조이스틱 마우스와 같이 훨씬 더 인체공학적인 마우스로 전환하면 통증이 완화될 수 있다.
터치패드나 그래픽 태블릿에 스타일러스 펜을 사용하는 것은 마우스를 사용하는 대신 팔과 손에 가해지는 반복적인 부담을 줄일 수 있다.
볼트 (단위)
볼트(이탈리아어/영어: volt, 약자: V)는 전위의 차이, 즉 전압을 나타내는 SI 유도 단위로, 암페어와 와트로부터 유도된다. 이름은 1800년에 최초의 화학 전지를 발명한 알레산드로 볼타에서 유래했다.
1V는 1A의 전류가 도체의 두 점 사이를 흐를 때 소모되는 전력이 1W일 때 그 두 점 사이의 전압으로 정의된다. 따라서 SI 기초 단위로 볼트는 m2·kg·s-3·A-1로 표현되며, 이는 J/C에 해당한다.
1 V = 1 W/A = 1 m2·kg·s–3·A–1
1990년부터 조지프슨 효과의 실제적인 측정을 위해서 국제적으로 사용된다. 단, 18차 General Conference on Weights and Measures에서 정의된 조지프슨 상수를 사용한다.
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제타 함수
제타 함수(영어: Zeta Function)는 그리스 문자 ζ(제타)를 따라 붙여진 이름으로, 일반적으로 다음과 같은 형태를 가지는 함수를 의미한다.
가장 잘 알려진 제타 함수로 리만 제타 함수가 있다.
그러나 의  가 음수이면 에타 함수로 명하는 경우가 있다.
그리고 리만 제타 함수의 자명하지 않은 근들의 모든 실수부가 1/2이라는 가설을 리만 가설이라고 한다.
제타 함수의 종류에는 라마누잔의 제타 함수, 프라임 제타 함수, L-함수등 다양한 것들이 분류되어 있다.
리만 가설
수학에서, 리만 가설(-假說, 영어: Riemann hypothesis) 또는 리만 제타 추측은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 이라는 추측이다. 19세기 중반에 발표된 이래로 수학사에서 주요 미해결 난제의 하나로 남아 있었다. 리만 가설은 소수의 분포와 밀접하게 연관되어 있다.
리만 가설 공식 (ℜ(s)=1/2⇔∀s∈C\2Z− s.t. ζ(s)=0)
리만 제타 함수 ζ(s)=0을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 1/2이다.
리만 가설 정의
리만 제타 함수는 실수 에 대하여, 다음과 같은 수렴 급수로서 정의되고, 이에 속하지 않는 임의의 복소수 에 대해서는 해석적 연속으로 정의된다.
리만 가설은 이 영역 밖에서 s를 해석적 연속으로 근을 설명한다. 이것은 디리클레 에타 함수를 이용하여 다음과 같이 설명할 수 있다.
s의 실수부가 1보다 크면, 제타 함수는 다음의 관계를 만족한다.
그런데 오른편의 급수는 s의 실수부가 1보다 클 때 뿐만 아니라, 더욱 일반적으로 s가 양의 실수부를 가지면 수렴한다. 따라서, 위의 대안적인 급수에 의하여 제타 함수는 의 0점인 를 제외하고 Re(s) > 1 영역에서 Re(s) > 0인 영역으로 확장된다.
리만 제타 함수는 극한값을 취하는 방식으로도 확장할 수 있는데, 이러한 방식에 의하면, 단순 극값을 갖는 s=1을 제외하고 양의 실수부를 갖는 모든 s에 대하여 확장할 수 있다.
한편 0<Re(s)<1경우에서 리만 제타 함수는 다음 함수 방정식(functional equation)을 만족한다.
리만 가설 정의
그 외의 0이 아닌 모든 복소수에 대한 ζ(s)의 값은 임계대 바깥 영역에서 ζ(s)가 우측의 식과 양수가 아닌 실수부를 갖는 s에 대하여 등식이 성립하는 것으로 두어 정의 할 수 있다.
리만 제타 함수는 음의 짝수에서 영점을 갖는데, 이는 sin(πs/2)=0이기 때문이며 이러한 점들을 리만 제타 함수의 자명한 영점(trivial zero)이라고 한다.
만약 s가 양의 짝수이면 영점이 되지 않는데, 이는 사인 함수의 0점과 감마 함수에서 변수가 음의 정수일 때 발생하는 극점(pole)과 상쇄되기 때문이다.
ζ(0) = −1/2은 위 함수 방정식의 우변이 '1+1+1+...'이 되므로 함수 방정식에서는 결정될 수 없고, ζ(s)에서 s가 0으로 수렴할 때의 점근값이다.
리만 제타 함수는 자명한 영점을 제외한 다른 실수에서는 0이 되지 않아, 자명하지 않은 모든 영점 z는 복소수이고 그 실수부는 0과 1사이에 존재한다. 이 영역
을 임계대 또는 임계띠(영어: Critical strip)라 하며, 임계대의 중앙를 임계선(영어: critical line)이라 한다.
리만 가설은 다음과 같은 추측이다.
이러한 가설이 옳다면, 리만 제타 함수의 모든 영점은 임계선 위에 존재하게 된다.
리만 가설 기원
레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 제타 함수를 처음으로 사용하였다. 바젤 문제란 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야코프 베르누이와 요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다. 오일러는 이 급수가 로 수렴함을 증명하였다.
또한 오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 다음과 같은 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 급수의 수렴값, 즉 닫힌 형식을 구할 수 있는 방법을 제시하였다.
오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 소수에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.
따라서 제타 함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며, 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.
베른하르트 리만은 1859년 베를린 학술원에 가입하면서 관례에 따라 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉라는 제목의 논문을 제출하였다. 이 논문은 당시 증명되지 않았던 소수 정리에 대한 것이었다. 즉, 임의의 양의 정수 N이 아주 클 경우 N까지의 소수의 수가 로그 적분 함수
리만 가설 기원
에 점근한다는 가설을 고찰하였다. 리만은 이 논문에서 오일러의 곱셈 공식에서 출발하여 모든 소수 p와 모든 양의 정수 n에 대하여 오일러의 곱셈 공식이 복소 변수 s에 대해 수렴한다면 로 표기한다고 제타 함수를 정의하였다.:190
같은 논문에서, 리만은 훗날 리만 가설로 알려지게 된 추측을 다음과 같이 언급하였다.
그러나 리만의 논문의 주요 목적은 소수의 개수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았다.:190 리만은 논문에서 제타 함수에 관한 가설이 카를 프리드리히 가우스, 페터 구스타프 르죈 디리클레 등과 오랫동안 논의한 것으로 그런대로 믿을 만한 것이라 표현하였다.:190
리만은 1859년에 리만 가설이 참이라는 가정 아래 소수 정리를 증명하였다. 즉, 리만 가설이 참일 경우 소수의 개수는 로그 적분 함수에 점근(漸近)한다는 것을 보였다. 그러나 1866년, 리만이 사망하자 리만의 가정부가 집을 정리하면서 그의 연구자료를 불태워버려 그의 연구를 자세히 알 길이 없어졌다.
리만 가설 논리학적 성질
리만 가설은 1차 페아노 산술의 어떤  명제(예를 들어, 로뱅 부등식)와 동치이다.: 특히, 만약 리만 가설이 모형 이론적으로 거짓이라면, (증명 이론적으로) 거짓이다.
리만 가설 리만 가설과 동치인 명제
현재 수많은 명제들이 리만 가설과 서로 동치임이 증명되었다.
리만 가설은 임의의 양의 실수 에 대하여 다음이 성립한다는 것과 동치이다.
리만 가설은 모든 에 대하여,
에는 제타 함수의 도함수가 영점을 갖지 않는다는 것()과 동치이다.
리만 가설은 임의의 복소수 에 대하여, 만약 라면 다음 등식이 성립한다는 것과 동치이다.
여기서 은 뫼비우스 함수이다.
메르텐스 함수 를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 리만 가설은 메르텐스 함수가 임의의 에 대하여 다음을 만족시킨다는 것과 동치이다.
(는 점근 표기법이다.)  레드헤퍼 행렬(Redheffer matrix)의 행렬식은 M(n)과 같다. 따라서, 리만 가설은 이 행렬식이 얼마나 빨리 증가하는지에 대한 가설로 생각할 수 있다.
1985년 앤드루 오들리츠코(Andrew M. Odlyzko)와 헤르마뉘스 요하너스 요서프 테 릴러(네덜란드어: Hermanus Johannes Joseph te Riele)는 리만 가설과 레드헤퍼 행렬의 관계를 이용하여 메르텐스 추측을 반증하였다.
리만 가설 리만 가설과 동치인 명제
1984년 기 로뱅(Guy Robin)은 약수 함수에 대하여 로뱅 부등식을 발표하였다. 약수 함수는 다음과 같이 정의되며
따라서 다음의 부등식으로 표현된다.
이 때 5041 이상의 모든 n이 로뱅 부등식을 만족시키면 리만 가설은 참이 된다.
1924년에 제롬 프라넬(Jérôme Franel)과 에드문트 란다우는 리만 가설이 페어리 수열과 밀접한 관계에 있음을 보였다. 엄밀히 말하면 Fn이 순서 n에 대해 1/n에서 시작하여 1/1 이상이 되는 페어리 수열일 때 모든 ε는 ε > 0이 된다고 하면,
이는 리만 가설에 상응한다. 여기서 n에 대한 페어리 수열 안의 m번째 항은 이 된다.
리만 가설은 군론적으로도 서술할 수 있다. 1988년 장피에르 마시아(Jean-Pierre Massias)와 장루이 니콜라(Jean-Louis Nicolas, 기 로뱅(Guy Robin)은 g(n)이 n차원의 대칭군 Sn의 원소 중 최대 계수(order)에 의한 란다우 함수일 때, 리만 가설은 충분히 큰 모든 n에 대해 다음의 식과 상응함을 보였다.
리만 가설 리만 가설과 동치인 명제
리만 가설은 특정 형태의 함수들로 구성된 부분 공간이 힐베르트 공간 의 조밀 집합인 것과 동치이다. 보다 일반적으로, 임의의 에 대하여, 만약 이 부분 공간이 에서 조밀 집합이라면, 리만 제타 함수의 모든 영점 는 다음과 같은 식을 만족시킨다.
또한, 리만 가설은 어떤 적분 방정식이 자명하지 않는 유계해를 갖지 않는다는 사실과 동치이다.
리만 가설 함의
리만 가설은 다음과 같은 명제들을 함의한다.
만약 리만 가설이 참이라면, 임의의 양의 실수 에 대하여, 일 때 다음이 성립한다.
이를 린델뢰프 가설(Lindelöf hypothesis)이라고 한다.
만약 리만 가설이 참이라면, 다음이 성립한다.
만약 리만 가설이 참이라면, 소수 사이의 간격은 다음과 같다. 이는 스웨덴의 수학자 하랄드 크라메르(Harald Cramér)가 증명하였다.
또한 크라메르는 여기에 p까지의 실제 소수의 개수와 logp의 차가 O(√p log p)와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 크라메르 추측이라 하며, 이에 대한 상당한 수치적 증거가 존재한다.
리만 가설 일반화 및 관련 추측
리만 가설을 일반화하는 일반화 리만 가설이 존재한다. 이는 임의의 대수적 수체에 적용되며, 수론에서 다양한 명제들을 함의한다. 일반화 리만 가설은 디리클레 L-함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2이라는 가설이다. 디리클레 L-함수의 모든 근의 실수부는 0과 1 사이에 있다. χ가 1인 경우 리만 가설이 된다.
대수적 수체와 대수다양체의 유리 함수체는 여러 유사한 성질을 가지며, 공통적으로 대역체로 분류된다. 이에 따라, 대수다양체에 대한 리만 가설을 정의할 수 있는데, 이를 베유 추측이라고 한다. 에밀 아르틴은 2차 함수체에 대한 리만 가설을 제시하였고, 이는 앙드레 베유가 증명하였다. 이를 바탕으로, 베유는 1949년에 모든 대수다양체에 대한 추측을 제시하였고, 피에르 들리뉴가 증명하였다.
함수체 위에 정의되는 고스 제타 함수(영어: Goss zeta function)에 대한 리만 가설 역시 증명되었다.
이를 넘어서, 정수환 위의 임의의 유한형 스킴에 대하여 리만 가설을 일반화할 수 있다. 이는 대수적 수체의 경우와 함수체의 경우의 공통적인 일반화이다.
리만 가설 부분적 증명
점근적으로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들 가운데 적어도 2/5가 임계점 위에 있다. 또한, 임의의 양의 실수 에 대하여,
을 만족시키지 않는 영점 의 비율은 점근적으로 0이다.
리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점을 라고 쓰면,
인 양의 상수 가 존재한다.
또한, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점에 대하여 다음이 성립한다.
이 밖에도, 리만 제타 함수의 영점의 분포에 대한 셀베르그 추측 및 관련된 명제들이 증명되었다.
리만 가설 증명 시도
1896년에 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 샤를장 드 라 발레푸생 은 다음과 같은 약한 형태의 리만 가설을 증명하였다. 아다마르와 드 라 발레푸생은 이를 사용하여 소수 정리를 증명하였다.
리만의 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉의 주제인 소수 정리가 증명되자 수학자들의 관심은 리만 가설 자체에 집중되었다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 〈수학 문제들〉이라는 주제의 강연을 통해 20세기에 들어 해결해야할 중요한 수학 문제 23개를 제시하였으며, 이는 오늘날 힐베르트의 문제들로 불린다. 리만 가설은 이 가운데 골드바흐의 추측과 함께 8번 문제로 수록되었다.
헬리에 본 코크는 리만 가설이 소수 정리의 가장 정밀한 오류항을 제공한다는 것을 증명하였다. 즉, 소수 정리의 오류항을 더 세밀하게 측정하는 것은 제타 함수의 영점이 모두 임계선에 더 가깝게 존재한다는 것과 같다.
리만 가설 증명 시도
외르겐 페데르센 그람(Jørgen Pedersen Gram)은 1903년 리만 제타 함수의 근을 계산하는 방법을 개발하여 실수축에서 가까운 15개의 근을 계산하여, 모두 임계선 위에 위치함을 확인하였다.:271 고드프리 해럴드 하디는 1914년 임계선 위에 무한히 많은 수의 영점이 존재한다는 것을 증명하였다.:하권 246쪽
앨버트 잉햄(Albert Ingham)은 1932년 리만 가설에 의한 리만 제타 함수의 해와 주어진 수까지의 소수의 실제 개수 β간의 오차를 상한과 하한으로 표현하는 함수로서 O(xβ)를 정의하였다.
아틀레 셀베르그는 1942년에 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점 가운데, 임계선 위에 있는 것들의 비율은 (점근적으로) 양수라는 것을 증명하였다. 이후 1974년에 레빈슨(N. Levinson)은 이 비율이 ⅓ 이상이라는 것을 증명하였고, 1989년에 콘리(J. B. Conrey)는 이 비율이 ⅖ 이상이라는 것을 증명하였다.
로월 숀펠드(Schoenfeld, Lowell)는 1976년 2657이상의 x에 대하여 주어진 수까지의 실제 소수의 개수를 나타내는 함수 와 로그 적분 함수 의 오차에 다음과 같이 정리하였다.
리만 가설 증명 시도
다비트 힐베르트와 포여 죄르지는 리만 제타 함수의 영점들이 어떤 자기 수반 작용소의 고윳값들과 대응한다고 추측하였다. 자기 수반 작용소의 고윳값들은 자동적으로 허수 성분이 0이므로, 이를 통하여 왜 영점들이 모두 임계선 위에 있는지를 설명할 수 있다. 앤드루 오들리즈코(영어: Andrew M. Odlyzko)는 1987년에 리만 제타 함수의 영점들의 분포가 일부 무작위 행렬의 고윳값들의 분포와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보였다.
돈 재기어는 이러한 연산자가 상반 평면 위의 함수 공간 (보형 형식)의 라플라스 연산자라고 추측하였고, 피에르 카르티에도 이에 대한 근거를 제시하였다.
크리스토퍼 데닝거(Christopher Deninger)는 이러한 연산자가 정수환의 스펙트럼 의 일종의 "코호몰로지" 위에 작용한다고 추측하였다.
일부 학자들은 이러한 작용소가 어떤 양자역학적 계의 해밀토니언일 수 있다고 추측한다. 또한, 일부 학자들은 리만 가설이 통계 역학의 리-양 정리와 관련이 있을 수 있다고 추측한다.
알랭 콘은 리만 가설과 비가환 기하학 사이의 관계를 지적하였고, 이를 통해 리만 가설을 함의하는 비가환 기하학적 명제를 발표하였다.
리만 가설 증명 시도
대수적 수체는 1차원 스킴으로, 수체 위의 대수 곡선은 2차원 스킴으로 여길 수 있다. 일반화 리만 가설은 이렇게 1차원적인 추측이다. 2차원, 구체적으로 대수적 수체 위의 타원 곡선의 산술 제타 함수에 대한 어떤 명제가 일반화 리만 가설을 사실상 함의하며, 반대로 일반화 리만 가설은 이 명제를 함의한다.
1948년에 투란 팔은 어떤 특정 디리클레 지표에 대한 추측이 리만 가설을 함의함을 증명하였다. 그러나 이 추측은 거짓인 것으로 판명되었다.
루이 드 브랑주(Louis de Branges)는 1990년에 특정한 전해석 함수들의 힐베르트 공간의 특정한 성질로부터 리만 가설을 유추할 수 있음을 보였다. 그러나 이 성질은 사실 거짓임이 증명되었다.
프리먼 다이슨은 리만 가설이 준결정과 연관되어 있다고 추측하였다.
2004년에는 제타 함수의 처음 1013개의 영점들이 계산되었으며, 이들은 모두 임계선 위에 위치하였다.
리만 가설 증명 시도
2001년 미국 클레이 수학연구소가 7개의 밀레니엄 문제 가운데의 하나로 리만 가설에 100만 달러의 상금을 걸었다. 2004년에는 퍼듀 대학교 수학 교수인 루이 드 브랑주(Louis de Branges)가 인터넷에 23페이지 리만 가설의 증명을 올렸다. 하지만 한달 뒤, 드 브랑주의 증명을 검토하던 클레이 수학 연구소에서 드 브랑주의 논문의 오류를 발견하였다. 그는 2016년 1월까지 리만 가설의 증명을 발표했으나 성공하진 못했다.
오늘날 많은 수학자들은 리만 가설이 참일 것이라고 추측하지만, 존 이든저 리틀우드를 비롯한 몇몇 회의적인 수학자들도 존재한다.
현재까지 계산된 리만 제타 함수의 영점들의 수는 다음과 같다. 비교적 작은 영점들의 값은 출판된 표에서 찾아볼 수 있다.
이 밖에도, 앤드루 오들리츠코(영어: Andrew M. Odlyzko)는 많은 수들의 매우 큰 영점들의 위치를 계산하였다. 그 영점들의 허수부 목록은 오들리즈코의 사이트인
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/
에 들어 있다.
약수
수론에서 약수(約數, 영어: divisor) 또는 인수(因數, 영어: factor, 전 용어: 승자(乘子))는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. 다항식의 약수나 가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.
약수 정의
두 정수 , 에 대하여 를 만족하는 정수 가 존재한다면, 를 의 약수라고 하며, 이를 와 같이 표기한다.
모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
정수 의 약수 가운데 1, -1, , 을 의 자명 약수(영어: trivial divisor)라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수(영어: non-trivial divisor)라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 진약수(영어: proper divisor)라고 한다.
약수 성질
어떤 수의 배수는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상 0이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
2를 약수로 갖는 정수를 짝수, 그렇지 않은 정수를 홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다).
두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수 의 최대 공약수를 라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수 가 을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 소수의 집합을 라고 표기하자. 이는 정수의 집합 의 부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
약수 성질
진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수라고 한다.
약수의 개수는 소인수분해의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각 소인수가 곱해진 지수의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의 소인수분해는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.
각 정수 에 양의 약수의 개수 을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 을 대응시키는 함수는 약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
와 같다면, 의 모든 양의 약수의 집합은
이며, 이에 따라 의 모든 양의 약수의 개수는
이다.
약수 관련 개념
임의의 환의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 에서,
이므로,
이다.
무한 언어적 의미
무한(無限, infinity)은 '수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음'을 가리킨다. 이에 대해 수학에서는 '집합의 원소를 다 헤아릴 수 없음'으로 표현하기도하며 철학에서는 '시간이나 공간의 내부 부분이 한계가 있음에 대하여 선천적인 시간이나 공간 그 자체를 이르는 말'로 언급되기도 한다.
무한 수학에서의 의미
수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다. 무한은 기수와 서수를 뜻한다.
주어진 수열 에 대하여, 아무리 큰 수 를 고르더라도 이 모두 보다 커지는 그러한 을 찾을 수 있다면, 수열 은 "무한대로 발산한다"고 하고 기호 를 써서 나타낸다.
이곳에서 무한대는 수가 아니라 상태를 나타내는 것으로, 일반적인 실수체(real field, 모든 실수들의 집합)안에서는 두 개의 무한대를 더하거나 곱하는 등의 연산을 할 수는 없다. 그러나 를 포함시켜 콤팩트 집합의 성질을 갖도록 한 확장된 실수에서는 실수와 무한대와의 사칙연산 등을 정의하여 사용하기도 한다.
무한 수학에서의 의미
비표준 해석학에서는 다음과 같은 형태의 어떠한 것보다도 더 큰 수들을 포함한다.
이러한 수들을 ‘무한대(infinite)'라고 한다.또는 무한(infinity)이라고 한다. [[]]
발산의 무한
극한의 수렴의 무한
이것은 0.999...에 자세히 나와 있다.
1÷3의 무한
1÷3=0.33333333333333...
계산기에 1÷3을 누르면 나누어 떨어지지 않고0.333333333...이런 식으로 반복된다.
(원주)÷(지름)=3.1415926535897932...등으로 끝없이 이어진다.따라서 3 또는 3.14로 줄여쓴다.
등가원리
등가원리(equivalence principles)는 일반상대성이론의 기본 원리이다. 자세한 내용은 일반상대성이론 문서
물리학에서 등가원리(equivalence principle)는 '중력 질량과 관성 질량이 같음'을 다는 것과 연관된 몇가지 개념을 소개한다. 그리고 (지구와 같은)거대한 질량에 서 있을 때 국부적으로 느끼는 중력은 실제로비관성계(가속되는)의 관측자가 경험하는 가상의 힘과 같다고 아인슈타인은 주장한다. 중력 질량은 아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙에 의해 힘을 작용하는 양이고, 관성 질량은 운동 제2법칙에 의해 정의되는 가속에 대한 저항이다. 이 둘이 선험적으로 같아야 할 이유는 없지만, 이들이 놀랍게도 아주 똑같은 값을 갖는다. 그 이유에 대해서 아인슈타인은 일반 상대성이론에서 이 둘을 완전히 같은 물리적 개념이라는 논리로 설명한다.
서로 다른 물체가 지상에서 똑같은 가속도로 떨어진다는 것을 가장 처음 보인 사람은 갈릴레오 갈릴레이이다. 갈릴레이는 중력에 의한 질량의 가속도 실험으로 물체가 가속되는 양은 질량의 양과는 상관없음을 보였다. 이 발견은 관성 질량과 중력 질량이 같다는 중력 이론을 이끌어냈다.
등가원리
등가원리는 1907년에 아인슈타인에 의해서 확립되어 소개되었다. 그는 1g(g=9.81m/s²지구 표면에서의 표준적으로 사용되는 중력가속도)의 비율로 지구 중심 방향으로 향하는 물체의 가속도는 1g의 비율로 자유 공간으로 가속되는 로켓에서 관측되는 관성적으로 움직이는 물체의 가속도와 동등하다는 것을 관측하였다. 아인슈타인은 이를 통해
"우리는 중력장과 그와 상응하는 기준계의 가속도가 완벽히 물리적으로 동일함을 가정할 수 있다."(아인슈타인 1907)라고 주장하였다.
등가원리 발전
서로 다른 물체가 지상에서 똑같은 가속도로 떨어진다는 것을 가장 처음 보인 사람은 갈릴레오갈릴레이이다. 그는 피사의 사탑 꼭대기에서 같은 크기의 나무공과 쇠공을 떨어뜨려, 두 공이 바닥에 떨어지는 것을 증명하였다고 한다. 물론 갈릴레이가 피사의 사탑 실험에서 중력 질량과 관성 질량이 같은지를 조사한 것은 아니다. 당시에는 아리스토텔레스의 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어진다는 주장을 사람들이 그대로 믿고 있었기 때문에, 갈릴레이는 아리스토텔레스의 주장이 얼토당토하다는 것을 증명하기 위해서 이 실험을 하였고, 그의 뜻대로 성공하였다. 그러나 갈릴레이가 문제를 해결하였다기보다는 더 중요한 문제를 제기하였다고 말하는 편이 더 옳다. 무거운 물체와 가벼운 물체가 동시에 떨어진 것은 물체의 중력 질량과 관성 질량이 같기 때문인데, 왜 그들이 같아야 하는지 알 수 없었던 것이다.
등가원리 발전
관성 질량과 중력 질량이 과연 어느 정도로 같은 것인가라는 의문은 중요한 문제였기 때문에 사람들은 점점 더 정밀한 실험을 통하여 이를 확인하였다. 1969년 7월에 최초로 달 착륙에 성공한 아폴로 11호 우주인들은 달 표면에서 햄머와 새털을 떨어뜨렸는데 이들이 동시에 떨어지는 것을 확인하려고 노력하였다. 지상에서 무거운 물체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어지는 것을 볼 수가 있는데, 그것은 공기 때문이다. 달 표면에는 공기가 희박하기 때문에 갈릴레이 낙하 실험을 하는데 아주 좋은 환경을 가지고 있었던 것이다. 사람들은 계속하여 훨씬 더 정밀한 갈릴레이 실험을 추구하였다.(관성 질량과 중력 질량이 같은지를 확인하는 실험을 갈릴레이 실험이라 부른다.)
등가원리 발전
헝가리에서 출생한 외트뵈시 로란드는 1889년에 비틀림 천칭을 이용하였다. 물체의 중력 질량에 작용하는 지구에 의한 중력과 물체의 관성 질량에 작용하는 지구 자전에 의한 원심력에 의한 효과를 비교한 것이었다. 두 물체에 중력의 효과와 원심력의 효과가 다르게 작용한다면, 천칭의 양쪽에 놓은 두 물체를 바꾸어 놓았을 때 천칭의 기울기가 두 물체를 바꾸기 전과 달라질 것이라고 생각하였다. 이 실험을 통하여 외트뵈시는 중력 질량과 관성 질량이 종전에 알려진 6만분의 1의 정확도에서 훨씬 개선된 2천만분의 1의 정확도로 같다는 것을 증명하였다. 외트뵈시는 그 이후에도 실험을 꾸준히 개선하여 1919년 사망하기 전까지 관성 질량과 중력 질량이 20억분의 1의 정확도로 같다는 것을 보였다.
미국에서 출생한 로버트 헨리 디키는 외트뵈시의 실험을 개선하였다. 그는 지구의 자전에 의한 원심력을 이용하는 대신에 지구의 공전 운동에 의한 원심력을 이용하는 방법으로 정확도를 훨씬 더 개선할 수 있었다. 그리하여 로버트 헨리 디키는 1960년대에 중력 질량과 관성 질량이 1000억분의 1의 정확도로 같다는 것을 증명하였다.
등가원리 발전
이처럼 중력 질량과 관성 질량이 정확히 같다는 사실은 고전물리학 이론으로는 설명될 수가 없었다. 중력 질량은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해서 중력을 결정하는 역할을 하고, 관성 질량은 뉴턴의 운동 법칙에 의해서 물체의 가속도를 결정하는 역할을 하는데, 이 두가지 법칙이 아무런 상관이 없기 때문이다.
등가원리 발전
아인슈타인이 특수상대성이론에서 일반상대성이론으로 확장하려고 시도했을 때, 그것은 쉬운 문제가 아니었다. 그리고 곧 일반상대성이론을 위하여 관성계를 비관성계로 확장하는데 중력 질량과 관성 질량 사이의 관계가 직접 관련이 있음을 깨달았다. 즉 중력 질량과 관성 질량이 똑같이 측정되는 것은 그들 사이에 보다 더 근본적인 관계가 존재하기 때문이라고 보았다. 이 문제를 해결하기 위하여 아인슈타인은 사고 실험을 수행하였다. 같은 두 우주선 A와 B가 있다. 우주선 A는 지상에서 발사 준비를 하고 있다. 그리고 우주선 B는 광대한 우주 공간에서 일정한 가속도 g로 등가속도 운동을 계속하고 있다. 이러한 두 우주선에서 물체를 떨어뜨리면 두 우주선 모두에서 물체는 똑같은 가속도 g로 낙하하는 것을 관찰하게 된다. 그런데 만일 두 우주선의 창이 모두 가려져 있어서 우주선 내에서는 자신의 우주선이 지상에 정지해 있는지 아니면 우주 공간에서 일정한 가속도 g로 등가속도 운동을 계속하고 있는지 모른다고 가정할 때, 우주선 내에서 실험하는 사람은 물체가 가속도 g로 낙하하는 것을 보고서 우주선이 지구에 정지해 있는 것인지 아니면 우주선이 우주 공간을가속도 g로 등속도 운동을 하고 있는 것인지 구별할 방법이 없다.
등가원리 발전
이 사고 실험은 단지 물체의 낙하운동에만 적용되는 것이 아니다. 어떤 다른 역학적 실험을 수행하더라도, 두 경우 즉 우주선이 지상에 정지해 있는 경우와 우주 공간에서 가속도 g로 등가속도 운동을 하는 경우, 역학 실험의 결과만 가지고는 실제로 어떤 경우에 해당하는지 구별해 낼 방법이 존재하지 않는다. 지구에 정지해 있는 우주선에서 물체가 가속도 g로 낙하하는 것은 물체에 중력이 작용하기 때문이다. 그리고 중력은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해서 질량과 질량 사이에 작용하는 힘이다. 한편, 가속도 운동을 하는 우주선에서 물체가 가속도 g로 낙하하는 것은, 우주선이라는 비관성계에서 설명하자면 관성력을 받기 때문이라고 말할 수 있다. 그러므로 이 사고 실험의 결과를 가지고, 혹시 중력도 관성력의 일종이 아닐까하고 아인슈타인은 생각하였고, 이를 정리하여 '균일한 중력장 아래서 기술되는 물리법칙은 그 중력장에 해당하는 등가속도 운동을 하는 기준계에서 기술되는 물리법칙과 동일하다'고 1907년에 발표하였다.
아인슈타인이 일반 상대성 이론의 근거의 하나로 삼았다. 가속되는 좌표계에서의 자연법칙은 중력장 안에서의 법칙과 동일하다는 것이 등가원리이다. 예를 들면 엘리베이터가 가속됨에 따라 엘리베이터 안의 물체의 무게는 가벼워지거나 무거워진다. 이때 엘리베이터의 가속에 의한 무게의 변화와 중력의 변화에 의한 무게의 변화를 구분할 수는 없다.
아인슈타인은 등가원리를 이용해 빛 또한 중력의 영향을 받는다는 결론을 제시했다. 만약 위쪽으로 가속되는 로켓 안에서 손전등을 비추면, 그 광선은 바닥으로 휠 것이다. 그 이유는 빛의 속도는 일정하고, 광선이 로켓 내부를 통과하는 시간 동안 로켓이 위쪽으로 가속되기 때문이다. 가속에 의한 효과와 중력에 의한 효과는 같으므로 빛은 중력에 의해서도 휠 것이라고 예측할 수 있다. 그리고 이는 중력렌즈 효과의 관측으로 증명되었다.
지구 표면 근처의 물체는 모두 같은 가속도(중력가속도 g)로 낙하하는데, 뉴턴의 운동법칙과 만유인력의 법칙으로부터 (관성질량)×(가속도) = (중력) = (중력질량)×g이다. 따라서 관성질량과 중력질량은 같다.
헝가리의 외트뵈시 로란드는 1896년 실험을 통하여 관성질량과 중력질량이 비례한다는 사실을 밝혀냈다. 이는 단위를 적당히 선택하면 양자는 똑같은 것으로 생각해도 된다는 것을 의미한다. 결국 중력이 없는 공간에서 관측자가 가속도 g로 운동하는 경우와 중력가속도 g에 해당하는 중력이 있는 경우는 구분할 수 없다
장력
물리학에서 장력(tension, 문화어: 켕김힘)은 끈, 체인, 막대 등 1차원적 1차원 연속체의 한 점에 걸리는 힘이다. 다른 말로, 질량을 길이의 함수로 보았을 때 길이에 대해 적분한 양이 된다. 질량이 없는 경우 장력은 모든 끈에 균일하다. 장력은 언제나 끈의 방향과 나란하다. 보통의 일반역학에서 대부분 장력을 계산할 때, 끈의 무게는 무시할만큼 작다고 가정한다.
원자수준에서 원자나 분자는 전자기적 인력을 갖는데, 원자나 전자를 잡아당겨 멀어지게 하면 전자기 퍼텐셜 에너지를 갖게되며, 이는 곧 장력을 만들어낸다. 장력은 줄이나 막대의 늘어난 길이를 복구시키기 위해 서로 붙어있는 물체를 잡아당기게 한다
장력은 압축의 반댓말이다.
장력은 줄이나 물체의 끝부분에서 그 줄이나 막대에 연결되어있는 물체에 대해 연결부에서 줄의 방향으로 힘을 가한다. 줄에 연결된 물체의 계에서는 두가지의 기초적 가능성이 존재한다. 가속도가 0이여서 계가 평형상태에 있거나, 가속도가 있지만 계의 알짜힘은 일정한 경우이다.