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질량 고전역학에서의 관성질량
물질의 양(라틴어 원문: quantitas materiae)은 물질의 측정이다. 이것은 부피와 밀도를 곱한 것과 같다. 따라서 공기의 밀도가 두 배가 되고 공기가 차지하는 공간이 두 배가 되면 이것의 양은 네 배가 된다. 만약 공간이 세 배라면 양은 여섯 배가 된다. 압축이나 액화의 방식으로 응축된 눈이나, 고운 먼지나 가루 역시 같은 방식으로 이해할 수 있다. 나는 여기서 물체의 부분 사이의 공간 사이로 자유롭게 스며들수 있는 매질에 대해서는ㅡ만약 이러한 매질이 있다면ㅡ고려하지 않겠다. 여기서부터 이 책의 모든 곳에서 물체 혹은 질량(라틴어 원문: corporis vel massae)은 나에게 있어서 이 양을 의미한다. 그리고 나는 물질의 양이 물체의 무게에 비례함을 진자를 이용한 아주 정확한 실험을 설계함으로써 보였기 때문에 물질의 양은 물체의 무게를 통해서도 알 수 있다.
뉴턴은 이어서 이 개념을 통해 운동의 양(라틴어: quantitas motus)과 내재적 힘(라틴어:vis insita, 영문:innate force of matter 혹은 inherent foce)을 정의했다.
질량 고전역학에서의 관성질량
정의 II: 운동의 양은 속도와 물질의 양을 곱함으로써 얻어진다...(중략)...
정의 III: 내재적 힘은 모든 물체가 정지해 있건 등속직선운동을 하건 자신의 현재 상태를 가능한 한 지속하기 위해 저항하는 힘이다. 이 힘은 언제나 물체에 비례하고 질량의 관성(라틴어 원문: inertia massae)과 전혀 다르지 않다. 이 물질의 관성 때문에 모든 물체는 아무런 어려움 없이 정지나 운동한 상태에서 벗어나지지 않는다. 따라서, 이 내재적 힘은 관성의 힘(라틴어 본문: vis inertia)이라는 중요한 의미의 이름으로 불릴 수도 있다. 하지만, 다른 힘이 어떤 물체의 상태를 바꾸기 위해 그 물체에 작용할 때만 그 물체는 이 힘을 행사한다.
반면에 뉴턴이 제시한 3개의 운동법칙에서는 앞의 정의부분에서 언급했던 질량의 개념을 직접적으로 사용하지는 않는다. 더욱이 우리가 익히 알고 있는 관계식 F=ma도 등장하지 않는다. 사실, 이러한 근대적 형태의 식으로 서술된 뉴턴의 운동법칙은 오일러의 책에서 처음으로 등장한다.
질량 고전역학에서의 관성질량
뉴턴이 그의 책 프린시피아에서 정의한 물질의 양, 즉 질량은 그에게 있어서 중요한 물리적 의미를 내포하고 있었다. 다시 말해, 그에게 있어서 물질의 양은 물질을 측정하는 양 이상의 의미가 있었다. 그는 사실 처음부터 ’질량‘이란 용어를 썼던 것은 아니었다. 그의 프린시피아 초기 원고를 보면 그때 당시에는 아직 ’질량‘이란 용어를 쓰지 않았음을 알 수 있다. 대신에 그는 ’무게‘라는 말을 썼다. 동시에 그는 프린시피아의 정의 부분을 쓰기 위해 물질이 나타낼 수 있는 양들 중 어떠한 변화ㅡ열을 가하거나, 구부러뜨리거나, 늘리거나, 압력을 가하거나, 혹은 장소를 옮긴다거나ㅡ에 대해서도 불변적인 양에 대한 정의와 용어를 찾고 있었다. 더욱이, 그는 지구와 같은 끌어당기는 물체가 없어서 중력을 고려하지 않아도 거론할 수 있는 궁극적인 양을 정의하고자 했다. 따라서 그에게 있어서 질량이란 단어 이전에 사용하던 ’무게‘는 일상적 의미로서의 무게로서 해석될 수 없었다. 왜냐하면 그는 이미 물체의 무게는 물체가 잡아당기는 인력의 크기이며, 이 양이 위치에 따라 변하는 것을 알고 있었기 때문이다. 결국 이후 뉴턴은 자신의 방식으로 정의한 물질의 양이 무게에 비례함을 진자실험을 통해 증명했다.
질량 고전역학에서의 관성질량
뉴턴이 물체에 작용하는 중력의 크기 혹은 무게가 질량에 비례함을 밝힌 것은 무게와 질량 모두의 개념의 이해의 발전에 있어서 역사적으로 중요한 대목이다. 그는 다음과 같은 과정을 거쳐서 위의 결론에 도달했다.
그는 프린키피아 제 2권의 명제 24번, 정리 19번의 따름정리 5번에서 T를 진자의 주기라 하고 m을 질량이라 하고 W를 무게라고 진자의 길이를 L이라 할 때 다음과 같은 관계를 밝혔다.
그리고 그는 이어서 제 3권 명제 6번, 정리 6번에서 금, 은, 납, 유리, 모래, 소금, 목재, 물, 밀을 이용한 앞에서 언급한 진자실험을 통해 T2/L의 값이 상수임을 밝혔다. 따라서, 위의 관계식은 다음과 같이 된다.
비록 그는 질량을 명확하게 정의하고 이후 그의 책에서의 물리적 논의를 통해 당시까지만 해도 물질의 근본적인 특성으로 이해되었던 무게의 본질을 밝혀내었지만, 그가 정의 I에서 서술한 질량에 대한 개념과 정의 III에서 거론한 내재적 힘의 개념은 이후 학자들 사이에서 많은 비판과 논쟁의 대상이 되었다.
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프린키피아 제 1권 정의 1에서 뉴턴이 제시한 질량의 정의는 이후 많은 학자들의 비판의 대상이 되었다. 뉴턴의 질량개념에 대한 비판 중 하나는 바로 그의 정의가 순환적이라는 것이다. 예를 들어, 폴크만은 밀도는 오직 단위부피당 질량으로 주어지는 값으로밖에 정의를 할 수 없기 때문에 이러한 뉴턴의 질량의 정의에 대해 순환적이라고 지적했다. 하지만 로젠베르거와 블로흐는 뉴턴이 질량을 부피와 밀도의 곱으로 정의하게 된 데는 그가 밀도를 질량에 앞서는 개념으로 생각했기 때문이라고 말했다. <프린키피아>의 유명한 번역가 버나드 코헨은 뉴턴은 독자들이 밀도에 대해서 대략 '공간상에 물질이 밀집해있는 정도'로 이해할 거라고 가정했을 거라고 주장했다. 실제로 뉴턴은 그의 책에서 밀도를 정의하지도 않았고, 주석 부분에서 질량에 대한 논의도 하지 않았다. 코헨은 뉴턴이 <프린시피아>의 초반 부분에 직접적으로 보일의 실험에 대해 언급했다는 사실을 근거로 하여 보일의 실험결과가 물질이 나타낼 수 있는 양들 중 불변적인 양으로 질량의 정의하고자 했던 뉴턴에게 큰 영향을 주었을 것이라고 주장했다. 보일의 실험결과에 따르면, 기체의 압력과 부피의 곱은 항상 일정하다. 즉, 밀도는 압력에 비례하기 때문에 밀도와 부피의 곱을 물질의 양이라 제시하면 불변적인 양이 되는 것이다. 버트 역시 코헨과 비슷한 의견을 취하여 뉴턴이 질량을 밀도로서 정의하게 된 데는 보일의 실험의 영향이 있었다고 주장했다.
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헨리 크루는 그때 당시에는 물리에서의 가장 기본적인 차원은 비중, 길이, 시간이었기 때문에 질량을 밀도로서 정의하는 것은 자연스럽고 논리적으로도 문제가 될 것이 없었을 것이라고 주장했다. 코헨 역시 크루의 의견을 지지하여 뉴턴의 정의가 당시의 과학자들은 밀도를 엄밀한 정의 없이 일반적인 느낌으로 이해했고 뉴턴의 밀도의 개념은 비중과 별 차이가 없는 물리적 개념으로 생각했던 데서 비롯된다고 주장했다.
마흐는 뉴턴의 질량에 대한 정의에 대해 순환적인 문제 뿐만이 아니라 물리적인 의미가 전혀 없다고 강하게 비판했다. 이 외에도 일부 사람들은 뉴턴이 질량을 정의 할 때 케플러의 관성에 대한 생각을 그대로 가져왔다고 지적했다.
비록 뉴턴이 그의 저서 프린키피아에서 질량을 정량적으로 정의했지만, 질량이라는 개념이 왜 물리적으로 중요성을 가지는 개념인지 명확하게 논리적으로 설명한 사람은 라이프니츠였다. 그는 또한 질량이 어떻게 하여 물리적 실체와의 연관성을 지니게 되는지에 대한 타당한 논리를 제시했다.
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라이프니츠의 물질론과 그의 질량에 대한 이해의 방식은 상당히 복잡하다. 그는 물리적 세계에 있어서 우리가 인지하는 존재를 구성하는 것에 대해서 제 1의, 제 2의 물질(primary, secondary matter)이라는 용어를 사용했다. 그는 제 1의 물질은 공간을 차지하고 같은 공간을 다른 물체가 동시에 차지하는 것을 막는 성질을 가진다고 말했다. 다시말해서, 제 1의 물질은 외연적 성질과 불가입성(不可入性, 물리에서 같은 공간을 다른 물체가 동시에 차지하는 것을 막는 성질)을 지니고 있는 물질이다. 라이프니츠는 이어서 제 2의 물질은 우리가 사는 세계에 대한 인지에 있어서 중요한 역할을 한다고 말했다. 그는 우리가 힘을 주었을 때 큰 물체를 작은 물체보다 움직이기 어렵다는 것에 대한 원인을 제공하는 외연적 성질과 불가입성을 제외한 어떤 성질 혹은 존재가 가정되어야 한다고 주장했다. 다시 말해서, 그는 기하학적 모양 혹은 크기(외연적 성질)만으로는 물리적 세계에서 일어나는 물질의 운동을 절대 설명할 수가 없다고 주장하면서, 우리의 물리적 경험과 일치시키기 위해서는 외연적 성질과 불가입성 외에 큰 물체일수록 움직이기 어렵다는 인과관계를 설명해줄 수 있는 물리적 개념이 필수적으로 요구된다고 말했다. 라이프니츠는 이러한 존재가 바로 (관성)질량이라고 말했다.
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그는 초기에 질량 혹은 물질에 대한 개념에 대한 생각에 있어서 뉴턴과는 많은 차이가 있었지만, 후에는 거의 뉴턴의 질량의 개념과 비슷해졌다. 이는 그의 저서 <Dynamica>의 한 분장을 보면 알 수 있다.
움직일 수 있는 물체의 질량은 그것의 부피와 밀도에 비례한다. 혹은 그것의 이루는 물질의 외연(영문: extension)과 내포(영문: intension)에 비례한다.
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라이프니츠는 후기에 다시 물질에 성질에 관하여 중요한 언급을 하였다. 그는 모든 물체에는 외연적 성질에 앞서는 더욱 중요한 성질이 있다고 주장하면서, 그것이 바로 물체의 활동과 운동이라 했다. 그리고 질량은 동적인 객체로서 운동의 변화에 대해 저항을 행사할 수 있게 만드는ㅡ비록 운동에 변화가 일어날 때 뿐이지만ㅡ힘의 원천이 되어야 했다. 이러한 라이프니츠의 질량에 대한 생각은 질량이 어떠한 필요성에 의해 도입된 개념인지를 설명하고 있다. 하지만 당연히 이러한 논의는 질량의 실험적 정의나 방법론적인 측면에서는 큰 의미를 가지지 못한다. 혹자는 이것이 실질적이고 방법론적인 것을 중요시했던 19세기의 유명한 철학자이자 과학자 마흐에게 있어서, 방법론적인 측면으로 볼 때, 라이프니츠가 결코 질량의 개념에 대해 생각하지 않았다는 그의 생각의 근거였다고 말한다.
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독일의 대철학자 칸트 역시 라이프니츠에 뒤이어 관성질량에 대한 개념의 논리적 틀을 다듬었다. 특히, 그는 <프린키피아>에서의 뉴턴적 질량 개념의 문제점을 명확하게 지적했다. 그가 지적한 문제점은 바로 <프린키피아>의 정의 제 3번의 관성의 힘(라틴어: vis inertiae)ㅡ당시까지만 해도 존재론적 관점에서 실재하는 물리량으로 여겨졌던ㅡ의 개념이었다. 그는 다음과 같은 논증을 통해 이 개념에 대해 비판했다: <프린키피아>에 따르면, 관성의 힘은 외부의 힘이 가해질 때만 나타나기 때문에 그 힘은 수동적으로 발생한다. 따라서, 인과적으로 볼 때, 이 힘 자체는 어떠한 운동도 야기할 수 없다. 결국 이 힘은 저항을 야기하는 힘이라 할지라도, 어떠한 운동도 일으키지 않기 때문에 아무런 물리적 의미가 없다. 물론 이 관성의 힘, 즉 내재적 힘의 크기를 운동의 변화를 일으키기 힘든 정도를 나타내는 척도로 이해하여 왜 무거운 물체의 운동상태를 변화시키기 힘든지 이해할 수는 있지만, 이 힘 자체는 저항을 나타내기만 할 뿐 결국에 어떠한 운동도 일으키지 않는다. 칸트는 이 개념을 의미없는 단어에 비유했다. 이 개념은 아무런 물리적 의미도 없기 때문에 질량을 이 개념과 연계하여 이해하는 것은 아무런 도움이 될 수 없었다. 칸트는 ’관성의 힘‘ 개념을 폐기해야 한다고 결론내렸다. 칸트는 물리적 인과관계를 설명하기 위해 ’관성의 힘‘ 대신에 새로운 ’관성의 법칙‘을 상정하였다: 운동상태의 모든 변화는 외부적 원인이 있다. 또한 칸트는 ’관성의 힘‘과 중요한 관련성을 맺고 있었던 질량을 새로운 방식으로 정의했다: 물질의 양은 다른 것과 비교하였을 때 오직 운동의 양과 속도로만 측정할 수 있다. 그는 이렇게 선언함으로써 기존의 관성의 힘의 크기를 통해 질량을 알 수 있을 것이라는 생각을 없앴다. 비록 이것 역시 실험적, 방법론적 측면은 결여되어 있지만, 이러한 칸트의 형이상학적인 ’관성의 힘‘의 개념의 폐기는 이후 질량에 대한 실증주의적이고 엄밀하고 주의깊은 사고의 틀을 마련했다.
질량 고전역학에서의 관성질량
18-19세기의 자연철학은 물질의 실체성에 대한 논의가 주를 이루었다.물질의 실체성이란 물질을 이해하는 방식 중의 하나로서, 물질을 모든 물리적 실재적인 특징 아래에 있는 근본적인 질료를 가지고 있는 존재로서 이해하는 것이다. 이 근본적인 질료는 모든 물리적인 특징을 떠안고 다니는 수송체로서의 역할을 하기 때문에 어떠한 물체에 변화가 있어도 그 변화에 영향을 받지 않는다. 관성질량에 대한 이해와 인식의 확대와 더불어 이러한 물질에 대한 형이상학적 인식은 질량 보존의 법칙의 과학적 기초를 마련하는 데 공헌을 했다. 이러한 기초의 마련에 있어서 독일의 철학자 칸트가 큰 역할을 하였다. 이어서 18세기 막바지에 프랑스의 화학자 앙투안 라부아지에는 1789년 출판된 그의 저서 <화학의 기초>(Traite elementaire de chimie)에서 화학반응에서는 질량이 항상 보존됨을 밝혔다. 더불어 18세기-19세기 즈음에는 무게가 위치에 따라 달라질 수 있다는 것이 일반적인 상식이 되면서 물리적, 화학적변화에서 보존되는 양이 질량임이 분명해졌고, 또 이러한 양은 바로 질량 뿐이었다. 이러한 일련의 인식들은 물질의 실체가 바로 질량이라는 결론을 낳게 했다.
질량 고전역학에서의 관성질량
질량에 대한 형식적이고 엄밀한 정의를 시도하려는 18-19세기 이론역학의 흐름은 맨 처음으로 프랑스의 과학자 셍 브낭(Saint-Venant)의 정의에서 나타났다. 그는 1851년 출판된 그의 저서에서 기존의 ’물질의 양‘이라는 개념은 물리적으로 아무런 중요성이 없다고 지적하면서, '질량' 만이 운동학적으로 정의가 가능한 물리적으로 적합한 개념이라고 주장했다. 그는 충돌현상을 이용한 운동학적 방법으로 다음과 같이 질량을 정의했다:
정의: 만약 같은 속도로 던져진 두 물체가 충돌 후 여전히 같은 속도를 가지고 있다면, 그 두 물체는 질량이 같다.
이어서 그는 뉴턴의 고전역학에서 유도되는 가장 중요한 정리 중 하나인 운동량 보존법칙을 이용하여 위의 결과를 일반화시켰다.
만약 두 물체의 질량이 m1, m2이고 v1, v2가 각각 충돌 전의 속도이고 충돌 후 각각 v1 + Δv1, v2 + Δv2의 속도를 가질 때, 운동량 보존법칙에 의해
즉,
따라서 우리는 다음과 같은 결론을 얻는다.
우리는 위의 (1)식은 두 물체의 질량의 비율로서 정의한다.
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후에 쥘스 앙드레데(Jules Andrade)는 그의 기사 ’Les idées directrices de la mécanique‘와 ’Leçons de mécanique physique‘에서 (1)식만이 반론의 여지가 없는 질량에 대한 정의라고 주장했다.
오스트리아의 철학자이자 과학자였던 에른스트 마흐는 1867년 질량에 대한 엄밀한 개념을 제시했다. 그 역시 과학에서의 형이상학적인 면들을 최대한 없애려고 했기 때문에, 순수한 과학은 사실들에 대한 추상적이고 정량적인 논의만이 이루어져야 한다고 주장했다. 마흐 역시 셍 브낭과 같이 물질의 양이란 개념을 받아들이지 않았고 이론물리학에 근거해 수학적으로 정의된 양인 질량이 진정한 과학적 개념이라고 했다. 마흐는 서로 상호작용하면서 동시에 다른 모든 입자들에 의해 영향을 받지 않는 두 입자를 통해 다음과 운동학적으로 질량을 정의했다.
그는 먼저 여러 실험적 명제와 정의를 제시했다.
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# 첫 번째 실험적 명제: 어떠한 특정한 환경 내에서, 두 물체는 그 두 물체를 잇는 직선의 방향을 따라서 서로 반대 방향으로 가속도를 유발한다.
정의: 두 물체의 질량의 비는 그 두 물체의 상호 유도된 가속도의 크기의 비율의 역수의 음의 값으로 주어진다.
실험적 명제: 물체들의 질량의 비는 서로를 가속시키게 하는 그 물체들의 물리적 상태와는 무관하다. 물체들의 전기적 상태, 자기적 상태가 어떻건 상관없다. 또한 질량의 비를 직접적으로 구하건 간접적으로 구하건 그 값은 언제나 같다.
실험적 명제: 어떠한 개수의 물체가 주어지건, 그 물체 A, B, C... 각각이 유도하는 물체 K의 가속도들은 서로 독립적이다.
정의: 동역학적 힘은 물체의 질량값과 유도된 가속도를 곱한 것이다.
마흐가 제시한 명제와 정의에 따라서, 우리는 간단한 수학적 과정을 거쳐 물체의 질량의 값을 정할 수 있다.
만약 를 물체 Q에 의해 유도된 물체 P의 가속도라 하고 를 물체 P에 의해 유도된 물체 Q의 가속도라 하면, 위의 실험적 명제들을 통해 이 가속도들은 서로 방향이 반대이고 이 가속도값의 비율은 입자들의 운동상태나 위치에 상관없이 독립적인 값을 가진다는 결론을 내릴 수 있다.
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위의 정의에 의해, 우리는 입자 A, B, C에 대해 아래의 관계를 얻는다.
위 (1)에서의 가속도들은 실험을 통해 그 값을 결정할 수 있다.
그리고 마흐는 일련의 사고실험을 통해, 그리고 경험에서 나온 우리의 직관을 통해 위의 질량비들은 다음과 같은 관계식이 성립한다고 밝혔다. 즉, 질량비는 전이(transitive)적 관계가 성립한다는 것이 전제될 수 있다.
따라서, 각각의 질량비는 다음과 같이 두 양수의 비로 나타내 질 수 있다.
우리는 다음과 같은 결론을 얻는다.
결국 만약 하나의 질량을 단위로서 취급한다면 다른 질량들의 값을 결정할 수 있다.
하지만 마흐의 이러한 정의는 이후 여러 학자들 사이에서 열띤 토론의 대상이 되었다. 아래는 마흐의 정의에 대한 반론과 이에 대한 해결방안들이다.
반론 1: 마흐는 실험적 명제 1에서 어떠한 특정한 환경 내에서 두 물체는 그 두 물체를 잇는 직선의 방향을 따라서 서로 반대 방향으로 가속도를 유발한다고 했는데 그 ’특정한 환경‘에 대한 구체적인 설명이 없다.
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반론 2: 마흐의 정의에 따른 질량은 기준계에 따라 변할 수 있다. 즉, 어떤 관측자가 상호작용하는 두 입자 A, B를 관측할 때, 그 관측자의 기준계에 대한 두 입자의 질량비 mA/B는 그 관측자가 움직이는 가속도 a에 의존한다. 이 결과를 확장시키면 관측계 S에 대한 n개의 입자들의 질량과 다른 관측계 S'에 대한 그 입자들의 질량은 일반적으로 다를 수 있다. 고전역학의 공리에 따르면 질량은 어떠한 관측계에 대해서도 불변량이어야 하는데 이는 고전역학과 모순된다.
반론 3: 마흐는 실험적 명제 1에서 두 물체는 그 두 물체를 잇는 직선의 방향을 따라서 서로 반대 방향으로 가속도를 유발한다고 했는데, 그렇다면 그 가속도를 유발하는 힘의 정체는 무엇인가?
반론 3에 대한 해결방안: 보통의 경우에는 두 물체는 두 물체를 잇는 선을 따라서 중력에 의해 가속된다. 이는 실험적 사실을 토대로 볼 때 분명한 사실이다.
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반론 4: 마흐의 정의를 적용하기 위해서는 고립된 계에 있는 물체 A, B를 찾을 수 있어야 하는데, 이러한 고립계는 사실상 거의 찾아보기 어렵다.
반론 4에 대한 해결방안: 두 물체 이상의 여러 물체로 이루어진 고립계를 찾을 수 있다. 그 고립계를 구성하는 N개의 입자에 대해 마흐의 질량에 대한 정의를 확장시켜 적용할 수 있다.
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위 해결방안에 대한 새로운 반론: 입자 N개가 고립계를 구성하고 있을 때, 임의의 입자 A의 가속도는 마흐의 명제에 의해 입자 A와 다른 모든 입자 B, C, D... N 각각을 잇는 선의 방향을 가리키는 가속도로 분해될 수 있다. 입자 A, B, C... 각각에 1, 2, 3... 번호를 매기면 k번째(k = 1, 2, 3, ... N)의 입자의 가속도 ak는 다음 식을 통해 표현될 수 있다:여기서 uki는 k번째 입자에서 i번째 입자를 가리키는 단위벡터이고, αki는 그에 대한 계수이다. ak와 uki는 관측을 통해 그 값을 알 수 있다. αki는 이 방정식에서의 미지수이다. 따라서 위의 방정식에서 n(n-1)개의 미지수에 대한 3n개(3차원 공간에서)의 선형방정식을 얻게 된다. 따라서 αki가 유일하게 결정되려면이어야 하는데 이는 n이 4이하일 때만 성립한다. 즉, 입자가 5개 이상으로 이루어진 계에서는 마흐의 정의에 따르면 질량을 유일하게 결정할 수가 없다.
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위 반론에 대한 새로운 해결방안: n개의 입자가 주어졌을 때, 각각의 질량을 mk(k = 1, 2, ... n)이라 하고 i번째 입자에 의해 k번째 입자에 가해진 힘을 Fkiuki(uki은 힘의 단위벡터)라 하면, 뉴턴의 작용-반작용 법칙에 의해 k번째 입자의 운동방정식은 이다. 만약 관측이 r회 실시된다면 우리는 위의 방정식에서 n + (1/2)n(n-1)r개의 미지수에 대한 3nr개의 선형 연립방정식을 얻게 된다. 더불어, 고립계에서는 선운동량과 각운동량이 보존되므로, n개의 입자들은 다음 식 역시 만족한다:우리는 위의 방정식에서 6r개의 선형연립방정식을 얻을 수 있다. 따라서, 만약 충분히 많은 관측이 실시된다면, 위의 3개의 방정식을 통해 질량을 유일하게 결정할 수 있다.
전자기학의 성립에 매우 중요한 공헌을 한 19세기의 저명한 과학자 제임스 클러크 맥스웰 역시 질량의 엄밀한 실험적 정의를 제시했다. 그는 질량을 정의함에 있어 힘의 개념을 이용했다. 다시말해서, 맥스웰은 질량을 정의하기 위해 힘의 개념을 질량의 개념에 앞선 개념으로 취급하였다. 그는 질량을 다음과 같이 정의했다:
만약 물체 A, B를 같은 고무줄이나 용수철을 이용하여 같은 길이만큼 늘려서 각각 발사했을 때, 단위시간 후 물체 A, B의 속도가 같다면, 두 물체는 질량이 같다.
그는 역학에서 수용될 수 있는 질량에 대한 유일한 정의라고 주장했다. 또한 그는 물체가 어떤 재료로 만들어져 있건 이 정의를 적용할 수 있다고 말했다. 또한, 질량의 더하기 성질(물체의 질량은 그 물체를 구성하는 물체의 질량의 합과 같다는 기본적 전제)때문에 우리는 이 정의를 통해서 두 물체의 질량을 비교할 수 있다. 그리고 어떠한 물체를 질량의 단위로서 취급하면 다른 물체들의 질량 역시 정해질 수 있다. 맥스웰의 이러한 정의는 마흐의 정의와는 달리 질량을 정의하는 데 있어서 힘의 개념에 우선권을 두었다.
맥스웰 외에도 회플러, 엥겔마이어 등의 학자들 역시 질량의 개념이 힘의 개념에 기초해야 한다는 생각에 동의했다. 특히 엥겔마이어는 물리적 개념은 우리의 감각에서 기원한다는 것에 대한 논의를 담은 기사에서 다음과 같이 주장했다:
우리의 일상적 경험으로 인해 질량의 개념보다 힘의 개념에 더 친숙하다. 따라서 질량은 유도된 물리적 차원이어야 한다.
엥겔마이어는 길이(L), 시간(T), 힘(F)을 물리량의 기본 차원으로 제시했다. 이 제시에 따르면 질량은 F1T2L-1의 차원을 갖게 된다.
’에너지론‘의 열렬한 지지자였던 빌헬름 오스트발트는 질량을 에너지의 개념에 기초해 정의해야 한다고 주장했다. 그는 그의 저서 <자연철학에 대한 강의>에서 다음과 같은 상황을 통해 에너지를 통한 질량의 정의의 타당성을 강조했다.
우리는 코르크보다 바위를 던질 때 더욱 강한 충격을 느낀다. 우리는 경험을 통해 같은 속도를 부여하는 데 돌이 더 에너지가 많이 든다는 것을 안다. 움직이는 물체의 에너지는 속도 외에도 그 물체의 어떤 특별한 성질에도 의존하는데, 그것은 ’질량‘이라 불린다.
다시말해 오스트발트는 비열이 열에너지의 용량인 것처럼 질량은 운동에너지의 용량이라고 생각했다. 또한 그는 1895년 뤼벡에서 있었던 학술대회에서 그의 정의와 그가 옹호했던 ’에너지론‘과의 일관성에 대해 강조했다. 그리고 이러한 오스트발트의 정의는 폰 튜링(Von Türin)에 의해 전자기적 현상으로까지 확장되었다.
오스트발트의 질량의 개념에 있어서 주목할 점은 그의 질량의 개념이 물체를 구성하는 물질의 실체성에 대한 생각을 배제했다는 것이다. 그는 우리가 느끼고 볼 수 있는 것은 불분명하고 부정(不定)적인 물질이 아니라 물체의 운동의 근원이라 했다. 그의 자연철학은 물리적 개념을 우리가 인지할 수 없는 것이 아닌 직접 느끼고 볼 수 있는 것을 통해 이해해야 한다는 것이었다. 따라서 이러한 맥락으로 볼 때, 오스트발트의 질량의 정의는 마흐가 옹호했던 감각론적 자연철학관의 표출이라고도 볼 수 있다.
19세기의 저명한 물리학자 하인리히 루돌프 헤르츠는 그의 저서 <역학의 원리>에서 물질 입자를 유클리드 3차원 공간상의 하나의 점으로서 생각하여 새로운 방식의 질량의 개념을 도입하였다. 그는 이어서 이론적으로 정의된 위의 질량을 실험적으로 결정하기 위해서는 무게를 재야 한다고 말했다:
우리가 통제할 수 있는 물체의 질량은 무게를 재는 것에 의해 결정된다.
헤르츠 외에도 19세기의 물리학에 관한 많은 교과서들은 질량을 저울을 사용하는 과정을 통해 정의했다. 이러한 무게에 의한 질량의 정의는 상당히 실용적이고 물체의 질량을 판단하는 데 가장 효율적이지만, 이러한 정의는 쉽게 질량과 무게의 개념에 대한 혼란을 일으킬 수 있다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
1881년 조지프 존 톰슨은 관성을 전자기적 현상으로 설명할 수 있음을 발표하였다. 톰슨은 전하를 가진 도체구가 무한한 크기의 유전체를 통과할 때를 생각하였다. 맥스웰의 전자기학 이론에 의하면 변위 전류에 의해 자기장이 만들어지므로, 도체구가 운동하면 도체구의 주위에 전자기장이 생긴다. 에너지 보존 법칙에 의해 전자기장의 에너지는 움직이는 도체구에 의해 공급된 것이다. 따라서 도체구는 유전체를 통과하며 저항을 받았을 것이다. 유전체는 전도성이 없으므로 도체구는 마치 질량이 증가한 것처럼 느끼게 된다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
톰슨은 유체역학과의 비교를 통해 도체구의 질량 변화를 표현하였다. 구의 질량이 m이라고 할 때 ½mv2의 운동에너지를 가지는 것처럼, 유전체를 통과하며 받는 저항에 의해 ½μv2의 에너지를 가지는 것으로 해석할 수 있다. 즉 도체구의 전체 에너지는 ½(m+μ)v2로 나타난다. 따라서 구의 질량이 m+μ처럼 보이며, 톰슨은 유체역학에서와 같이 μ을 유도질량이라고 하였다. 톰슨은 구가 움직일 때 도체구의 전하 분포가 변하지 않는 전기장이 구에 영향을 주지 않은 채 진행한다고 가정하였다. 톰슨이 계산한 구의 관성질량은 구의 속도와는 상관 없는 값이었다. 톰슨은 결과를 일반화하여 모든 관성질량을 유도질량으로 설명하려 하지는 않았다.
1889년 올리버 헤비사이드는 톰슨의 가정에서의 오류를 개선해 구의 운동에 의해 증가한 구 바깥의 전자기장의 에너지와 질량의 증가는 각각
,
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
임을 보였다. 반지름이 a이고 표면 전하가 q인 정지된 도체구 바깥의 전자기장 U0의 전체 에너지는 q2/2a으로 표현되므로, 표면전하가 균일하게 분포하는 움직이는 구의 질량 증가는 정지 상태의 전자기장 에너지의 4/3을 c2으로 나눈 것과 같다. 헤비사이드는 톰슨과 달리 질량의 증가분을 관성질량의 일부로 인식하였다.
헤비사이드의 논문에 이어서 전자기적 현상을 역학으로 설명하려는 연구가 여러 있었다. 예를 들어 윌리엄 톰슨과 제임스 클러크 맥스웰은 에테르를 역학적 모형으로 설명하고자 하였다. 반면 루트비히 볼츠만 등은 역학을 전자기학으로 설명할 것을 주장하였다. 빌헬름 빈은 전자기학을 역학으로 설명하는 것이 점점 복잡해지므로 맥스웰 방정식에 근거해 역학 법칙을 유도하고자 하였다. 빈은 헤비사이드의 오류를 개선해 타원체가 정지했을 때의 에너지가 U0이고 타원체의 속도가 v일 때 β=v/c이면 타원체가 움직일 때 주어지는 에너지는
임을 구하였다. 타원체의 속도가 작을 경우 두 번째 항까지 근사해서
으로 헤비사이드의 결과와 일치한다. 또한 큰 속도에서는 더 많은 항을 가지고 근사해야 하므로 빈의 결과에서 전자기적 질량은 속도에 의존한다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
막스 아브라함은 전자의 질량을 순수하게 전자기적 관점에서 설명하고자 하였다. 아브라함은 맥스웰 방정식과 힘의 밀도에 대한 로런츠 공식에서 시작해 역학적 선운동량과 전자기장의 선운동량의 합이 보존됨을 보였다. 비오-사바르 법칙을 적용해 아브라함은 전자가 속도 v로 움직일 때 전자기장의 전체 운동량
임을 유도하였다. 전자의 속도가 시간에 대해 일정하다면 전자기장의 운동량 또한 일정하며, 역학적 운동량과 장의 운동량의 합이 보존되므로 역학적 운동량 또한 일정하다. 아브라함은 이를 관성의 법칙의 전자기적 해석으로 보았다. w가 가속도이고 μ가 전자기적 질량일 때
으로 표현할 수 있다. 아브라함은 운동에 평행한 방향의 운동량과 운동에 수직한 방향의 운동량을 구분하여 운동에 평행한 방향의 질량과 운동에 수직한 방향의 질량을 각각 구한다. 작은 속도의 경우 두 방향의 질량이 같고 헤비사이드의 결과와 일치한다. 발터 카우프만은 전자의 비전하를 측정하는 실험을 통해 전자의 질량이 속도에 의존함을 확인하였으며, 특히 전자의 질량이 온전히 전자기적 질량임을 보였다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
전자기적 질량의 성공을 통해 일부 물리학자들은 전하와 자기장으로만 모든 물리법칙을 설명할 수 있다고 믿게 되었다. 질량은 물질이 통과하는 매질에서의 작용에 의해 나타나며, 이로써 질량과 물질의 양 사이의 관계가 사라졌다. 그러나 전자 이외의 다른 물질에 대해서 전자기적 질량을 일반화하는 데 실패하였고, 상대론적 질량과의 괴리로 인해 전자기적 질량에 대한 반론이 증가하였다.
갈릴레이 변환에서 운동량은 질량과 속도의 곱이며, 운동량 보존 법칙이 유지된다. 그러나 특수 상대성 이론에서는 모든 관성계에서 맥스웰 방정식에 의한 빛의 속력이 동등하게 나타나도록 하기 위해 로런츠 변환을 채택한다. 그러면 운동량에 추가적으로 감마 인자가 곱해져야한다.
1905년 아인슈타인이 발표한 논문에서는 전하 e를 가진 질량 m0의 물체의 운동을 생각한다. 물체의 위치가 x이고 전기장 E가 작용할 때 뉴턴의 운동 제2법칙에서 m0(d2x/dt2)=eE이다. 여기에 로런츠 변환을 적용하고 운동량이
로 정리된다. 하지만 아인슈타인의 상대론적 운동량의 유도는 전자기 이론에서 유도된 것이므로 전하를 띠지 않는 물체의 상대론적 운동량을 이야기하지 않는다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
1909년 길버트 루이스와 리처드 톨만은 질량이 같은 두 물체의 비탄성 충돌을 생각해 운동량 보존 법칙과 로런츠 변환에 근거해서만 상대론적 운동량을 유도한다. 엡스타인은 충돌이 운동방향에 수직인 경우에 대해 상대론적 운동량 식을 유도하였고, 외트너는 두 물체가 탄성충돌하는 경우에 대해서 식을 유도하였다. 이 연구들은 모두 운동량 보존 법칙이 로런츠 변환 후에도 성립한다고 가정하였다. 일반적으로 로런츠 변환이 일어날 때 운동량 보존 법칙이 여전히 성립하면 운동량은 속도에 의존하는 감마인자를 가진다.
운동량 보존 법칙이 로런츠 변환 후에도 성립한다고 가정하고 상대론적 식을 간단히 유도해 보자.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
두 물체 A, B의 질량이 m로 같다고 하자. 두 물체의 질량 중심이 정지한 좌표계에서 물체 A가 물체 B를 향해 좌표계에 대해 속도 -u로 접근하면, 운동량 보존 법칙에 의해 물체 B는 물체 A의 방향으로 속도 u로 움직인다. 운동량이 보존에 의해 두 물체의 완전 비탄성 충돌이 일어난 후에는 합쳐진 물체가 질량 중심이 정지한 좌표계에 대해 정지해 있을 것이다.
충돌 전 물체 A에 대해 정지한 좌표계에서 바라보자. 충돌 전 물체 B의 속도 v를 계산하면

이다. 속도 v로 움직이는 물체 B의 질량이 m일 때 운동량 보존 법칙을 적용하면

이다. v에 대한 식을 변형하여 p에 대해 정리하면

로 상대론적 운동량 식이 얻어진다.
헤르만 민코프스키는 3차원 운동량 벡터에 에너지와 관련된 성분을 추가한 4차원 에너지-운동량 벡터 Pi를 사용해 상대론적 역학을 정리하였다. 에너지-운동량 벡터는 4차원 속도벡터 Ui에 항상 평행해야 하고, 외력을 받지 않는 물체의 운동량-에너지 벡터가 일치해야 한다는 것이다. 그러면 3차원 공간과 관련된 성분은
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
로 표현된다. 물리학과 학부 교재들이 m에 감마인자를 곱한 것을 물체의 상대 질량이라고 부르는 경우가 많은데 이는 교육적 목적으로 도입한것에 가깝고 혼란을 야기한다.
존 헨리 포인팅은 1884년 포인팅 벡터를 사용해 전자기장을 통해 전달되는 에너지를 계산하였다. 1900년에 푸앙카레는 빛의 운동량을 포인팅 벡터로 표현해 전자기파의 관성질량을 E/c으로 유도한다. 푸앙카레는 전자기 에너지를 공간에 분포하는 가상의 유체로 해석할 수 있다고 하였지만, 이 유체가 보존되는 존재임은 받아들이지 않았다. 1904년 하센뇌를은 전자기 에너지가 내부가 완벽한 거울로 되어 있는 질량이 없는 빈 상자 안에 갇혀 있으면, 그 상자가 움직일 때 전자기 에너지의 크기에 비례하는 관성을 가진 것처럼 운동한다는 것을 보였다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
일반적으로 질량-에너지 등가성은 1905년 아인슈타인이 유도한 것으로 인정된다. 아인슈타인은 맥스웰 방정식으로부터 물체가 전자기 복사의 형태로 질량 E를 방출하면 물체의 질량이 E/c2만큼 감소함을 보였다. 이로부터 아인슈타인은 물체의 질량은 물체가 가지는 에너지의 척도라고 결론을 내렸다. 그러나 아인슈타인의 1905년 논문에서는 유도 과정에서 질량-에너지 동등성과 관계된 가정이 포함되어 있어 순환 논리의 오류가 있다. 질량-에너지 동등성은 1907년 막스 플랑크에 의해 올바르게 유도되었다.
물체의 운동에너지에 대해서는 질량-에너지 동등성을 간단히 증명할 수 있다. 운동에너지는
로 정리된다. mc2을 물체의 정지에너지라 한다.
만일 물체의 모든 에너지가 운동에너지로 환원될 수 있으면 정지에너지는 0이고, 질량과 에너지는 동일한 물리적 존재의 다른 표현이 된다. 질량이 남김없이 에너지를 전환될 수 있음은 물질의 쌍생성과 쌍소멸에 대한 실험에 의해 확인되었다.
질량 맥스웰 방정식으로부터 유도된 관성질량
질량과 에너지가 남김없이 상호 전환될수 있지만 항상 모든 질량이 에너지로 전환되는 것은 아니다. 고전적 관점에서 물체를 질량과 에너지로 구분하는 기준은 반응의 종류에 따라 다르다. 화학 반응에서는 최외곽 전자의 에너지만이 변화하며 물질의 핵력, 내부 전자껍질의 에너지 등의 나머지 부분은 질량으로 볼 수 있다. 반면 기본 입자의 반응에서는 입자의 모든 에너지가 다른 형태로 전환되기 때문에 입자의 변화하지 않는 질량은 존재하지 않는다.
질량-에너지 동등성이 확립되기 이전에는 운동량 보존, 질량 보존, 에너지 보존의 법칙이 각각 따로 존재하였다. 3차원 공간에서 운동량 보존 법칙은 세 성분이 존재하므로 모든 물리적 현상은 총 다섯 개의 등식을 만족해야 했다. 질량-에너지 동등성 이후에는 4차원 운동량-에너지 벡터의 보존 하나만이 존재한다. 따라서 질량 보존과 에너지 보존이 통합되어 물리적 현상 네 개의 등식만을 만족하면 된다. 더불어 질량-에너지 동등성에 의해 에너지의 단순한 차이뿐만 아니라 절대적인 값이 의미를 가지게 되었으며, 전자기적 질량이 전자기장의 에너지를 질량으로 표현하려는 노력임을 이해하게 되었다.
먼저, 상대론을 고려하면 질량은 관성의 척도가 아님을 언급한다. 관성을 일 때 라고 정의하는데, 이는 상대론에서는 관성이 감마인자를 포함하여 속력에 영향을 받을 뿐만 아니라, 추가적으로 속도와 힘이 이루는 각도에도 영향을 받는다. 힘과 속도가 수직하면,
평행하면
으로 각각 관성이 과 이다. 즉 뉴턴 역학 때처럼  일관된 관성이 정해지지 않는다.
이제 윗 항목에 나온 특수한 상황들을 보자. β=v/c일 때 아브라함의 전자기적 관성을 급수로 전개하면
이고 아인슈타인의 상대론적 관성을 전개하면
로 다르다. 전자기적 관성과 상대론적 관성 중 옳은 식을 실험을 통해 가려내고자 하는 노력이 있었다. 1902년 카우프만은 전자의 비전하를 측정하여 전자기적 질량이 참이라고 주장하였다. 그러나 막스 플랑크는 카우프만의 실험 결과를 통해 두 이론 중 참인 것을 가려낼 수 없음을 지적하였다. 전자의 비전하를 측정한 이후의 실험들의 결과는 상대론적 관성 식을 지지하였다.
에너지의 관점에서 전자기적 관성과 상대론적 관성의 차이를 이해할 수 있다. 전자기적 관성의 경우 이지만, 상대론적 관성의 경우 으로 두 개념의 질량-에너지 동등성 식에 차이가 존재한다. 전자기적 관성에 계수 4/3이 붙은 것은 아브라함의 전자기적 관성의 정의가 움직이는 입자의 부피 바깥에서만 전자기장의 에너지를 적분하였기 때문이다. 상대론적으로 올바른 전자기적 질량의 정의에서는 입자의 텐서를 포함하는 전체 에너지-운동량 텐서에 기반해야 한다.
질량 중력질량
능동적 중력질량은 물체 주위의 공간에 중력장을 만들어내는 물체의 성질이다.
요하네스 케플러는 튀코 브라헤의 행성 관측 결과를 바탕으로 행성들의 궤도를 설명하는 법칙 세 가지를 발표하였다. 세 번째 법칙인 조화의 법칙은 태양계의 모든 행성의 공전 장반경의 세제곱과 공전 주기의 제곱의 비가 일정하다는 것이다. 이 비율은 태양이 만드는 중력의 세기를 서술하므로 태양의 능동적 중력질량을 의미한다. 이 값을 표준 중력계수라 한다.
갈릴레오 갈릴레이는 케플러가 조화의 법칙을 발표한 이듬해 망원경으로 목성 주위를 도는 위성 네 개를 발견한다. 갈릴레오는 위성들의 공전 주기와 공전 장반경을 측정한다. 여기서 목성의 능동적 중력질량을 측정할 수 있는데, 그 값은 태양의 1000분의 1 정도이다.
질량 중력질량
갈릴레오 갈릴레이는 실험을 통해 낙하하는 물체의 운동을 설명하고자 하였다. 아리스토텔레스와 달리 갈릴레오는 물체의 운동이 물체의 무거운 정도와 관련이 없다고 주장하였다. 이를 증명하기 위해 갈릴레오는 두 개의 무게가 다른 물체가 실로 연결된 경우에 대한 사고 실험을 제안하였다. 고전적 사고방식에서는 두 물체의 무게의 총합이 더 커졌으므로 각각을 떨어뜨릴 때보다 더 빨리 떨어지는지, 가벼운 물체가 무거운 물체가 빨리 떨어지는 것을 방해할 것인지 모순이 생긴다. 갈릴레오는 이에 대한 결론은 모든 물체가 같은 빠르기로 운동해야 한다는 것이다.
갈릴레오는 1638년에 발간된 《두 가지 새로운 과학》에서 기울어진 면을 내려오는 구의 가속도를 측정한 실험을 소개한다. 갈릴레이는 기울어진 면의 다양한 각도에서 실험한 결과 물체는 자유낙하에서 낙하한 시간의 제곱에 비례하는 길이만큼 낙하한다고 하였다. 이로써 갈릴레이는 지구의 중력장에 의한 중력 가속도는 낙하하는 물체의 질량과 관계 없음을 보였다. 그러나 케플러의 중력 질량과 갈릴레이의 중력장은 뉴턴에 의해서야 통합된다.
질량 중력질량
로버트 훅은 1674년에 모든 천체는 다른 천체에 자신의 중심으로 향하는 인력을 작용한다고 기술하였다. 훅은 이 인력이 다른 천체가 천체의 중심에 얼마나 가까운지에 따라 인력이 증가한다고 생각하였다. 훅은 중력이 두 천체의 거리의 역제곱에 비례함을 아이작 뉴턴에게 증명하게 하였다. 뉴턴은 프린키피아에 중력의 역제곱 법칙을 서술하였다.
뉴턴은 케플러의 세 법칙으로부터 중력질량과 갈릴레오의 중력가속도를 연결하는 다음 관계를 증명하였다.
g는 천체가 중력장에 의해 받는 가속도이고, μ는 중력을 생성하는 천체의 표준 중력 계수이며, r은 두 천체 사이의 거리이다. 이제 두 가지 방법으로 지구의 질량을 측정할 수 있게 되었다. 달의 궤도를 분석해 케플러의 방법에 따라 지구의 질량을 계산할 수 있고, 지구 표면에서 중력가속도를 측정하여 지구 반지름의 제곱을 곱해 지구의 능동적 중력질량을 측정할 수도 있다. 두 방법으로 계산한 결과 지구의 질량은 태양 질량의 300만분의 1로 일치한다.
질량 중력질량
훅의 논의에서는 왜 천체만 중력장을 형성하는지와 왜 인력의 방향이 천체의 중심을 향하는지를 설명하지 않았다. 뉴턴은 천체에 대한 훅의 논의를 모든 물체로까지 보편화시켜 모든 물체가 능동적 중력질량을 가지고 따라서 중력장을 형성한다고 하였으며, 그 세기는 거리의 제곱에 반비례한다고 하였다. 뉴턴은 이를 바탕으로 큰 구형 물체가 여러 작은 질량 요소로 이루어져 있을 때 각각이 형성하는 중력장의 합을 구하여 천체가 만드는 중력장의 방향을 계산하였다. 이를 중첩원리라 한다. 계산 결과 같은 반지름에 해당하는 지점의 밀도가 모두 같을 경우 물체는 전체질량에 비례하고 물체 중심으로부터 거리의 제곱에 반비례하는 중력장을 형성하여 훅의 이론의 문제점을 설명하였다. 왼쪽 그림에서 지구의 각 부분은 능동적 중력질량을 가지므로 각 부분마다 중력장을 형성한다. 각 부분의 영향을 모두 합성하면 마치 오른쪽 그림처럼 지구 전체가 지구 중심으로 향하는 중력장을 형성한 것과 같다.
수동적 중력질량은 중력장에 의해 영향을 받는 물체의 성질이다.
물체가 중력장 내에 있을 때, 중력가속도의 크기가 g이고 물체가 받는 중력의 크기가 F일 때, 물체의 수동적 중력질량은
로 주어진다.
질량 중력질량
무게는 중력장 내에서 물체가 정지하도록 가해 주어야 하는 힘의 크기이다. 따라서 물체의 무게는 물체의 수동적 중력질량과 비례한다. 그러나 무게는 실생활에서 흔히 질량과 혼용된다. 무게는 힘의 크기이므로 단위가 뉴턴(N)이며, 중력장의 세기가 바뀌면 무게도 바뀐다. 질량은 중력장의 세기와 무관하게 주어진 값이므로 어느 곳에서나 일정하다. 하지만 지구 표면에서는 중력장의 세기가 거의 바뀌지 않기 때문에 물체의 무게는 어디서나 똑같이 느껴지고, 따라서 옛날 사람들은 무게가 물질의 근본적인 성질이라 착각하였다.
능동적 중력질량과 수동적 중력질량의 동등성은 작용 반작용의 법칙에 의해 주어진다. 물체 1의 수동적 중력질량을 , 능동적 중력질량(표준 중력계수)을 라 하고, 물체 2의 수동적, 능동적 중력질량을 각각 , 라 하자. 물체 1이 물체 2에 작용하는 중력의 크기와 이고 물체 2가 물체 1에 작용하는 중력의 크기는 각각
,
로 주어진다. 작용 반작용의 법칙에 의해 이므로
로 수동적 중력질량과 능동적 중력질량이 비례하는 것은 당연한 결과이다.
이 때 두 가지 중력질량의 비례계수를 1로 해주는 상수를 중력상수 G로 정의한다. 따라서 뉴턴의 중력법칙은
로 주어진다. 1797년 헨리 캐번디시가 처음으로 비틀림 저울을 사용해 중력상수를 측정했으며, 오늘날 중력상수의 값은
으로 알려져 있다.
질량 관성질량과 중력질량의 동등성
뉴턴의 운동 제2법칙과 중력법칙을 이용하면 물체가 중력만을 받을 때 물체의 가속도는
로 주어진다. 여기서 m은 물체의 관성질량이고 M은 물체의 중력질량이다. 따라서 물체가 똑같은 중력장 내에서 항상 일정한 가속도를 가지는 것과 물체의 관성질량과 중력질량의 동등성은 동치이다.
물체의 관성질량과 중력질량의 동등성은 실험적인 사실이다. 뉴턴은 진자를 사용한 실험을 바탕으로 관성질량과 중력질량의 동등성을 주장하였다. 이후 프리드리히 베셀은 뉴턴의 실험을 더 정확하게 발전시켰다. 외트뵈시 로란드는 중력과 지구의 회전에 의한 힘을 철사의 비틀림을 사용해 비교하였다. 로버트 헨리 딕은 비틀림 저울을 사용해 정밀도를 향상시켰다. 계속적으로 정밀도가 향상된 실험이 진행되었고, 모두 관성질량이 중력질량에 비례함을 확인하였다. 현재 관성질량과 중력질량이 5×10−13의 정밀도로 일치함이 확인되어 있다.
질량 관성질량과 중력질량의 동등성
일반 상대성 이론에서는 관성질량과 수동적 중력질량이 서로 비례하는 것이 등가원리에 의해 당연하다. 일반상대론의 등가원리에서는 '균일한 중력장 아래서 기술되는 물리법칙은 그 중력장에 해당하는 등가속도 운동을 하는 기준계에서 기술되는 물리법칙과 동일하다.' 즉 중력장에 의해 물체가 느끼는 중력과 가속되는 물체가 느끼는 힘은 동일하며, 관성질량과 수동적 중력질량이 동등하다.
반면 일반 상대성 이론에서는 작용 반작용의 법칙을 적용할 수 없으므로 수동적 중력질량과 관성적 중력질량의 동등성을 바로 유도할 수 없다. 하지만 에너지-운동량 텐서를 통해 관성질량과 능동적 중력질량의 동등성을 증명할 수 있다. 따라서 일반 상대성 이론에서는 세 가지 질량의 정의가 이론적으로 동등하다.
골뱅이표
@ 또는 골뱅이표는 아스키의 64번째 부호로, 현대에는 전자 우편 주소를 표기할 때 주로 쓰인다. 영어로는 at sign(앳 사인)이라고 부르며 흔히 at(앳)이라고 읽는다. 한국에서는 흔히 골뱅이표 또는 골뱅이라고 부른다.
전자우편 주소 표기에 널리 사용되기 이전에는 미국과 유럽에서 영어 단어 at과  뜻인 일반적인 상업부호로 사용되었다. 예를 들어 사과 15개가 2달러인 경우 장부에 간략하게 "apple 15 @ 2$"로 기입하였다.
2004년에 모스 부호에 포함되었고, 콤마트(commat)라는 명칭을 얻게 되었다. 모스 부호로는 A와 C의 연타(.--.-.)로 표시한다.
X(구 트위터) 등에서는 누군가에게 답장을 쓸 때 "OO에게"라는 의미로 사용자이름 앞에 @를 쓴다. (예: @사용자이름)
스페인어권 국가에서는 의미는 같지만 성별을 나타내기 위해 a와 o로 끝나는 단어를 동시에 나타내는 데에도 사용한다. (예: extranjer@)
골뱅이표 언어별 명칭
언어권마다 @을 부르는 방법은 다양하다.
로스앤젤레스
로스앤젤레스(영어: Los Angeles, 스페인어: Los Ángeles 로스앙헬레스[*] [Los ˈaŋxeles])는 미국 캘리포니아주의 남부에 위치한 대도시로, 총면적은 1,299.01km2이다. 2010년 미국 인구조사를 기준으로 3,792,621 명의 인구 가 거주하고 있어 캘리포니아주에서 가장 인구가 많은 도시이자, 미국 전체에서는 뉴욕에 이어 두 번째로 인구가 가장 많다. 로스앤젤레스는 약 1,800만 명으로 추정되는 로스앤젤레스 대도시권의 중심지로, 이 대도시권은 미국에서 두 번째로 크며, 세계에서 가장 큰 대도시권 중 한 곳이다. 또한 세계에서 가장 다양한 인종이 모여드는 군 중 한 곳인 로스앤젤레스군의 군청소재지이다. 로스앤젤레스에서 사는 사람들을 앤젤레노스(Angelenos)라고 부르기도 한다.
로스앤젤레스
로스앤젤레스는 1781년 9월 4일 스페인 총독 펠리페 데 네베에 의해 설립되었다. 1821년 멕시코 독립 전쟁이 일어나면서 멕시코에 편입되었다. 이후 1848년 멕시코-미국 전쟁의 결과로 과달루페 이달고 조약을 맺으면서 로스앤젤레스를 비롯한 캘리포니아 지역을 미국에게 양도했다. 로스앤젤레스는 1850년 4월 4일 지방자치제를 시작했고, 5달 후 캘리포니아 연방 자격을 획득했다.
천사의 도시라는 별명을 가지고 있는 로스앤젤레스는 사업, 국제 무역, 엔터테인먼트, 문화, 미디어, 패션, 과학, 스포츠, 기술, 교육의 중심 도시로, 세계 도시 순위 6위, 세계 파워 도시 순위 13위에 올랐다. 도시에는 문화, 경제를 비롯한 다양한 분야 기업 본사들이 밀집해 있어 미국 내 가장 중요한 경제 도시이다. 또한 할리우드는 텔레비전 제작, 비디오 게임, 음악 산업에 있어 세계를 선도하고 있으며, 영화 제작 산업으로 매우 유명하다. 1932년과 1984년에 하계 올림픽을 개최한 도시이며, 2028년에도 하계 올림픽을 개최할 예정이다.
로스앤젤레스 역사
로스앤젤레스 해안 지역은 수 천년 전부터 북미 원주민 부족 통바(또는 가브리엘리노스)와 추마시가 거주하고 있었다. 가브리엘리노는 이 지역을 "옻나무가 많은 지역"이라는 의미에서 iyáangẚ(스페인어로 양나라고 부름)라고 불렀다.
포르투갈 출신 탐험가 로드리게스 카브리요는 1542년 스페인 제국 하에 캘리포니아 남부를 발견했다. 가스파르 데 포르톨라와 프란치스코회 선교사 후안 크레스피는 1769년 8월 2일 현재의 로스앤젤레스 지역에 이르렀다.
로스앤젤레스 역사
1771년 프린치스코회 수도사 후니페로 세라는 이 지역에 미션 샌 가브리엘 교회를 지었고, 이 지역에 처음으로 전도를 했다. 1781년 9월 4일, 44명으로 이루어진 정착민 집단은 "로스 포브레도레스"로 잘 알려진 정착촌을 설립했고, 정착민들은 이곳을 "엘 푸에블로 데 누에스트라 세뇨라 라 레이나 데 로스 안겔레스 데 포르시운쿨라"라고 불렀는데, 영어로 "로스앤젤레스 강에서 온 천사의 여왕 성모 마리아의 마을"이라는 뜻이다. 천사의 여왕은 성모 마리아의 경칭이다. 정착민의 3분의 2는 아프리카계와 유럽계가 섞인 메스티소 또는 물라토였다. 정착촌은 수 십년동안 작은 목장 마을에 불과했지만, 1820년 거주자는 약 650명으로 증가했다. 오늘 날 이 지역은 로스앤젤레스에서 가장 오래 된 유적지 중 한 곳으로, 로스앤젤레스 플라자 역사 지구와 올베라 거리에 있는 역사지구로 기념되고있다.
로스앤젤레스 역사
누에바에스파냐 부왕령에 속해있던 이 지역은 1821년 스페인 제국으로부터 독립했고, 이후 멕시코 영토의 일부로 편입되었다. 멕시코 법에 따라 당시 멕시코의 통치자였던 피오 피코는 로스앤젤레스를 알타 캘리포니아 지역의 수도로 선포했다. 멕시코-미국 전쟁이 일어나던 중 멕시코의 법은 끝나면서 미국이 이 지역을 다스렸고, 1847년 1월 13일 카후엔가조약으로 전쟁이 끝났다. 전쟁에서 진 멕시코는 1848년 2월 2일 과달루페-이달고 조약으로 캘리포니아 지역을 미국에 양도했다.
1876년 서던퍼시픽은 로스앤젤레스에 철도 건설을 완료했다. 1892년부터 1923년까지는 석유가 발견되었는데, 당시 미국은 세계 석유 생산량 4분의 1을 차지하고 있었고, 캘리포니아 지역은 미국이 세계에서 가장 큰 산유국으로 만드는데 한 몫했다.