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보손 성질
양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 벡터 보손, 스핀 0인 입자는 스칼라 보손으로 불린다.
페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
디리클레 합성곱
디리클레 합성곱(Dirichlet convolution) 혹은 디리클레 포갬은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.
디리클레 합성곱 정의
f, g가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, f, g의 디리클레 포갬 f * g는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
여기서 덧셈은 n의 모든 양의 약수 d에 대해 이루어진다.
디리클레 합성곱 성질
이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 f(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.
나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다.
곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.
디리클레 합성곱 역원의 계산
주어진 수론적 함수 에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
그리고 일 경우는 다음과 같다.
예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.
디리클레 합성곱 디리클레 급수와의 관계
f가 수론적 함수이면, L-급수(L-series)는 다음과 같이 정의된다.
급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,
L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.
디리클레 합성곱 수론적 함수의 미분과의 관계
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.
주어진 산술함수 의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 는 망골트 함수(Mangoldt function)이다.
예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수 이 있다고 할 때, 관계식  때문에 다음이 성립한다
위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.
동치 관계
수학에서 동치 관계(同値關係, 영어: equivalence relation)는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.
동치 관계 정의
집합  위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는,  위의 이항 관계 이다.
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 에 대한 동치류(同値類, 영어: equivalence class) 는 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 의 에 대한 몫집합(-集合, 영어: quotient set) 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.
동치 관계 정의
모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임  위의 동치 관계는 곱모임 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.
모임  위에 동치 관계 가 주어졌다고 하자. 원소 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.:65
즉, 는 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 라고 할 때, 는 집합 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임
을 정의할 수 있다.:65
동치 관계 성질
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.
즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.
집합 가 주어졌을 때,  위의 동치 관계들과 의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 몫집합 은 집합의 분할이다. 즉, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 의 분할 가 주어졌다고 하자 (즉, 는 의 부분 집합들의 집합이며, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 의 원소에 속한다).  위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의하자.
그렇다면 는  위의 동치 관계이다. 과 는 서로 역함수이다. 즉,
이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.
동치 관계 성질
집합 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 에 대하여, 를 포함하는 최소의 동치 관계 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
집합  위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 는 완비 격자이다. 의 최소 원소는 (로 국한된) 등호 이며, 최대 원소는 전체 관계 이다. 동치 관계들의 집합 의 만남 는 교집합
이다. 의 이음 은 합집합 을 포함하는 최소의 동치 관계
이다.
동치 관계 격자 는 항상 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이자 반모듈러 격자(영어: semimodular lattice)이다. 유한 집합 의 경우, 는 단순 격자(영어: simple lattice, 합동 관계가 자명한 격자)이다.
동치 관계 예
임의의 집합  위에서, 등호 는 동치 관계를 이룬다.
평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.
임의의 함수 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계
는 정의역  위의 동치 관계이다. 이를테면, 가 어떤 사람들의 집합이며, 가 사람의 생일을 찾는 함수라면, 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.
동치 관계 반례
임의의 집합  위에서, 공관계
는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.
정수의 집합  위의 표준적인 순서
를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이지만, 이다.
정수 집합  위의 이항 관계
는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.
자연철학의 수학적 원리
《자연철학의 수학적 원리》(自然哲學- 數學的原理, 라틴어: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 필로소피아이 나투랄리스 프린키피아 마테마티카[*])는 서양의 과학 혁명을 집대성한 책의 하나이다. 줄여서 '프린키피아'(라틴어: Principia)라고 불리기도 한다. 1687년에 나온 아이작 뉴턴의 세 권짜리 저작으로, 라틴어로 쓰여졌다.
이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다. 당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다. 그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다.
자연철학의 수학적 원리
에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다. 뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름 아닌 핼리 혜성이다.
제1편은 운동에 관한 일반적 명제를 논술하였고, 제2편은 매질 속에서의 물체의 운동을 다루고, 마지막 제3편은 코페르니쿠스의 지동설, 케플러의 행성의 타원궤도 등의 행성의 운동을 증명하였다.
뉴턴은 그의 이론을 기술하기 위해 미적분학을 역학에 적용하였지만, 이 책에서는 주로 기하학적인 증명 방법을 사용하고 미적분을 거의 사용하지 않고 있는데, 이는 당시의 사람들의 이해를 고려해서라고 한다.
1687년에 초판, 1712년 증보 개정판, 그리고 1726년 제3판이 출간되었다.
자연철학의 수학적 원리 각 권별 내용
거리의 제곱에 반비례하는 만유 인력과 같은 힘들을 포함해서 다른 여러 가지 형태의 가상적인 힘에 의한 운동이 함께 취급되고 있다. 뉴턴은 케플러의 제 3법칙을 일반화시켰다. 그래서 모든 물체와 물체 사이에는 그 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 힘, 즉 만유 인력이 작용한다는 사실을 입증한 것이었다.
저항이 있는 공간 속에서 물질의 입자가 어떻게 운동하는지에 대한 문제를 취급하고 있다. 이 내용은 오늘날의 소위 「유체역학」에 해당한다. 이것은 주로 당시에 널리 퍼져 있던 데카르트의 「소용돌이」우주관에 케플러의 행성 운동 법칙과 어울리지 않는다는 사실을 밝히기 위한 목적에 맞추어져 있다.
가장 성과가 많은 부분이다. 태양과 다른 행성들의 질량이 추론되고, 순전히 수량적인 방식을 이용해서 지구의 평평한 모습이 설명되며, 조수의 이론 등이 상세히 제시되고 있다.
자연철학의 수학적 원리 유클리드의 ‘기하학 원론’과의 비교
『기하학 원론』이 1권에서 점, 선, 면, 평면, 각, 도형에 대한 몇 개의 기본적인 정의와 공리, 상식으로 시작하듯이 『프린키피아』의 처음에서도 물질의 양, 운동의 양, 구심력에 대한 간단하고 명료한 몇 개의 정의와 공리, 운동법칙으로 시작하고 있다. 그리고『기하학 원론』에서는 초기 가정으로 출발해서 앞에서 말한 정의와 공리들을 이용해서 논리적으로 법칙들을 정의하고 있다.
그리고 1권과 2권에서 물체에 운동에 대한 일반적인 원리를 제시한다. 그 후에 3권에서 만유인력을 예를 들어 만유인력의 법칙이 천체 현상을 어떻게 설명하는가를 구체적으로 보여주었다. 일반법칙에 만유인력이라는 특수한 경우를 적용함으로써 자유낙하 현상, 지구의 타원궤도 운동, 달이나 혜성과 같은 천체의 운동, 조수 간만 및 계절의 변화와 같은 현상들이 어떻게 그리고 왜 일어나는지를 잘 설명하고 있다.
자연철학의 수학적 원리 유클리드의 ‘기하학 원론’과의 비교
『기하학 원론』은 정의와 유클리드의 가정이라고 불리는 공리 개념으로 시작하여 논리적 순서로 정리나 문제의 해를 유도하는 공리적 체계의 전형적인 모습을 보여주고 있다. 『기하학 원론』 은 엄밀하고 정확한 논리적 증명을 확립하는데 기초를 다진 점이 높이 평가되었고, 그 구성상의 뛰어난 특징 때문에 유클리드 이후의 많은 저명한 학자들이 책을 쓸 때 『기하학 원론』의 구성 양식을 참고할만했다.
『기하학 원론』은 그리스인들의 추상적이고 정적인 사고의 영향을 받아, 현실을 설명하는데 도움을 주기보다는 명상과 사색 그리고 논리적인 두뇌 훈련을 위한 학문으로서의 역할이 강조되었다. 그 결과 구체적인 양의 계산에 대한 언급이 전혀 없고 도형을 움직인다던가 변형시킴으로써 쉽게 해결할 수 있는 문제들을 어렵게 해결하는 경우가 있다.
반면에 『프린키피아』는 상업 자본과 제조업이 발전하던 중세말기의 현실적이고 동적인 사고의 영향을 받아 물체의 운동과 천체 현상에 대한 구체적인 설명을 하고있다. 1권과 2권에서 물체의 운동에 대한 일반적인 원리들을 많은 사례와 실험데이터를 통해 설명한 뒤 3권예서 천문학적 데이터를 적절히 사용함으로써 실제 천체 현상을 잘 설명하고 있다.
자연철학의 수학적 원리 사회적, 경제적 배경
뉴턴이 살았던 시대는 봉건제가 붕괴하고 상업 자본과 제조업이 발달하기 시작한 때였다. 이 시기에는 상업이 발달하면서 더 안정적으로 많은 양의 상품을 운반해야 할 필요가 생겨났다. 그러나 장원 제도와 봉건 경제의 폐쇄성으로 인해 육상 수송의 발전은 이루어지지 못한 반면, 바다와 강을 이용한 수상 수송은 빠른 발전을 이룩하여 이의 요구에 응하였다. 그러나 이 시기의 해상수송은 먼 바다배의 위치를 확인할 방법을 찾지 못해 연안을 따라서 운행할 수밖에 없었다.
한편 상업의 발달로 교환수단인 금과 은의 수요가 늘어나게 되고 군수 산업의 발전으로 철과 동의 수요도 늘어나게 됨에 따라 중세 말기 무렵 채광업은 더욱 발전하여 거대한 산업이 된다. 이것은 새로운 광산의 개발과 함께 기존 광산의 체굴에 대한 새로운 기술을 요구하게 된다. 이리하여 교역과 군수 산업의 발달은 광산업앞에 광석인양, 갱도의 환기, 배수 및 펌프, 송풍 그리고 광석선별에 관한 기술적 문제를 제기하게 되는데 이 문제들은 기본적인 역학과 기체 정역학, 유체 정역학을 연구함으로써 해결할 수 있었다.
자연철학의 수학적 원리 사회적, 경제적 배경
또한 군사기술의 발전도 경제적 발전에서 상당히 중요한 역할을 하였다. 화약이 중국에서 유럽으로 알려지게 된 이후 화기의 급속한 증가를 가져왔고 여러 전투들을 통해 무기의 개량과 전투와 관련된 여러 가지 문제들에 대한 연구가 이어졌다. 군사의 발전은 화기의 최소중량, 안정성 그리고 탄환궤도에 관한 기술적 문제들을 제기하게 되고, 많은 학자들이 이 문제를 해결하기 위해 역학 연구에 몰두하였다.
상업자본과 제조업의 발전시기인 16세기 초반부터 17세기 후반까지 물리학자들이 다룬 연구테마를 살펴보면 교통수단, 산업 그리고 전쟁에서 기술상의 여러 요구를 분석하여 찾아낸 문제들이 대부분 역학에 관한 문제였다. 물론 이 시기에 광학, 정전기와 전기에 관한 발전도 있었지만 이러한 문제들은 모두 부차적인 의의를 가지며 연구 수준에 있어서도 역학에 훨씬 못 미쳤다.
중세의 대학들은 이러한 과제들을 해결하려 하지 않았으며 해결할 수도 없었고 오히려 발전해가는 여러 자연과학에 반대하며 적극적으로 이와 대립하였다. 구체적인 기술상의 문제들을 해결하는 과학과 기술은 영국혁명 이후 생산 제력의 발전에 강력한 자극을 주었고 이의 영향을 받아 과학계에서는 여러 물리학상의 문제들을 일반적인 방법으로 해결하기 위해 종합적인 개관을 제공하는 견고한 기본적인 기초를 쌓을 필요가 생겨났다.
슈뢰딩거 방정식
슈뢰딩거 방정식(-方程式, 영어: Schrödinger equation)은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.
슈뢰딩거 방정식 정의
파동 함수 에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
해밀토니언 연산자 는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. 는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)
해밀토니언 연산자 는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜  속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.
즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다.
슈뢰딩거 방정식 라그랑지언과 이차 양자화
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.
예를 들어, 퍼텐셜  속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.
여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다.
이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.
슈뢰딩거 방정식 역사
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를
로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.
위 식들을 각진동수 와 파수  및 를 이용해 표현하면,
및
p와 k를 벡터로 표현하면
에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.
그리고 그는
이므로
이며, 마찬가지로
이므로
이고, 따라서
및 각 방향의 부분들을 더하면
이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
(단순히 총 에너지를 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낸 것)
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.
슈뢰딩거 방정식 관련 방정식
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.
또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
엔트로피
엔트로피(entropy)는 열역학과 통계역학에서 '평형 상태로의 이동 정도' 또는 '유효하게 이용할 수 있는 에너지의 감소 정도'나 '무효 에너지의 증가 정도'를 뜻하고, 정보 이론에서는 정보 엔트로피라는 이름으로 '정보를 내보내는 근원의 불확실도를 나타내는 양' 또는 '정보량의 기대치'를 뜻한다. 이 용어와 개념은 이가 처음 인식된 고전 열역학부터 통계역학의 자연에 대한 미시적 설명, 정보 이론에서의 정보 엔트로피에 이르기까지 다양한 분야에서 사용된다. 화학과 물리학, 생물학적 시스템과 생명과의 관계, 우주론, 경제학, 사회학, 대기과학, 기후 변화 및 통신의 정보 전송을 포함한 정보 시스템에서 광범위하게 응용되고 있다.
엔트로피는 열역학 제2법칙의 핵심으로, 자연 진화에 맡겨진 고립된 시스템의 엔트로피는 시간이 지나도 감소할 수 없다는 법칙이다. 결과적으로 고립된 시스템은 엔트로피가 가장 높은 열역학적 평형을 향해 진화한다. 열역학 제2법칙의 결과는 특정 과정들은 비가역적이란 것이다.
엔트로피
열역학 개념은 1850년에 스코틀랜드의 과학자이자 엔지니어인 윌리엄 랭킨에 의해 열역학 함수 및 '열-퍼텐셜'이라는 이름으로 언급되었다. 1865년에, 열역학 분야의 주요 창시자 중 한 명인 독일의 물리학자 루돌프 클라우지우스는 이를 순간 온도에 대한 무한히 작은 양의 열의 몫이라고 정의했다. 그는 처음에는 이를 독일어로 '변환-내용(Verwandlungsinhalt)'이라고 기술했고, 나중에 '변환'을 뜻하는 그리스 단어로부터 '엔트로피'라는 용어를 만들었다.
오스트리아의 물리학자 루트비히 볼츠만은 엔트로피를 시스템의 거시적 조건에 부합하는 시스템의 개별 원자 및 분자의 가능한 미시적 배열 또는 상태의 수를 측정하는 척도로 설명했다. 이를 통해 통계적 무질서와 확률 분포의 개념을 통계역학이라는 새로운 열역학 분야에 도입했으며, 평균적인 구성에 따라 변동하는 미시적 상호작용과 거시적으로 관찰 가능한 거동 사이의 연관성을 현대 국제 단위계의 대표적 보편 상수 중 하나가 된, 비례 상수인 볼츠만 상수와 함께하는 간단한 로그 법칙의 형태로 발견했다. 참고로, 엔트로피의 반대 개념은 네겐트로피(negentropy)다.
엔트로피 역사
프랑스의 수학자 라자르 카르노는, 1803년 논문 "평형과 운동의 기본 원리(Fundamental Principles of Equilibrium and Movement)" 에서, 모든 기계에서 움직이는 부품의 가속과 충격은 활동의 순간 의 손실을 나타내며, 모든 자연 과정에는 유용한 에너지가 소멸되는 내재적 경향이 존재한다고 제안했다. 1824년에, 라자르의 아들인 사디 카르노는 이 연구를 바탕으로 모든 열-기관에서 "칼로릭(caloric)"(현재 열로 알려진 것)이 온도 차이를 통해 떨어질 때마다 뜨거운 몸에서 차가운 몸으로 떨어지는 작용에서 일 또는 원동력이 생성될 수 있다고 가정한 "불의 원동력에 대한 고찰(Reflections on the Motive Power of Fire)"을 발표했다. 그는 물레방아에서 물이 떨어지는 것을 비유로 들었다. 이는 열역학 제2법칙에 대한 초기 통찰이었다. 카르노는 열에 대한 자신의 견해를 부분적으로는 18세기 초의
엔트로피 역사
"뉴턴적 가설"에 기초하여 열과 빛이 모두, 다른 물질에 이끌리거나 밀어내는, 불멸의 물질 형태라는 것을, 부분적으로는 1789년에 대포 구멍이 가공될 때처럼 마찰로 열이 생성된다는 것을 보여준 럼포드 백작의 현대적 견해에 기초하여 설명했다. 카르노는 증기와 같은 작동 물질의 몸체가 완전한 기관 사이클이 끝날 때 원래 상태로 돌아간다면 "작동하는 몸체의 상태에는 아무런 변화가 일어나지 않는다"고 추론했다.
1843년에, 제임스 줄의 열-마찰 실험에서 추론된 열역학 제1법칙은 모든 과정에서 에너지의 개념과 그 보존을 표현하지만, 마찰과 소산의 효과를 별도로 정량화하기에는 부적합히다.
엔트로피 역사
1850 년대와 1860 년대에 독일 물리학자 루돌프 클라우지우스 작용 물체에 변화가 발생하지 않는다는 가정에 반대하고 작업이 수행 될 때, 예로서 마찰에 의해 생성된 열과 같은, 사용 가능한 열의 내재적 손실의 본질에 의문을 제기함으로써 그 변화에 수학적 해석을 부여했다. 그는 자신의 관찰을, 화학종들의 상태의 변화 중에 열역학 시스템 또는 작용 물체의 변환-내용(독일어로 Verwandlungsinhalt)에서 결과하는 에너지의 소산적 사용으로서 설명했다. 이는 아이작 뉴턴의 이론에 근거하여 열이 질량을 가진 파괴 불가능한 입자라는 이전의 견해와 대조적이었다. 클라우지우스는 증기 기관에서 증기가 입구에서 배기구로 이동하면서 사용할 수 없는 에너지가 증가한다는 사실을 발견했다. 1865년에 클라우지우스는 '에너지'의 접두사 엔-과 기존 사전에서 회전 또는 변화로 번역되고 또한 그가 흔히 영어로 변형으로 번역되는 단어인 독일어로 Verwandlung으로 만들었던, 그리스어 τροπή[트로페]로부터 이 속성을 엔트로피로 명명했다. 그 단어는 1868년에 영어로 채택되었다.
이후 루트비히 볼츠만, 조사이어 윌러드 기브스 및 제임스 클러크 맥스웰과 같은 과학자들이 엔트로피에 통계적 기초를 부여했다. 1877년에, 볼츠만은 이상 기체 입자들의 앙상블의 엔트로피를 측정하는 확률론적 방법을 시각화하여, 엔트로피를 기체가 차지할 수 있는 미시 상태의 수의 자연 로그에 비례하는 것으로 정의했다. 이 정의의 비례 상수는 볼츠만 상수라고 불리우며 현대 국제 단위계(SI)를 정의하는 보편 상수 중 하나가 되었다. 이후로는, 통계역학에서 핵심적인 문제는 주어진 양의 에너지 E가 N개의 동일한 시스템에서 어떻게 분포하는지를 결정하는 것이었다. 그리스의 수학자 콘스탄티노스 카라테오도리는, 궤적과 적분가능성의 측면에서, 엔트로피를 비가역성의 수학적 정의와 연결시켰다.
엔트로피 어원
1865년 클라우지우스는 '변환'을 뜻하는 그리스어의 이름을 따서 “시스템의 구성에 따라 달라지는 양의 미분”이라는 개념을 엔트로피라고 명명했다. 그는 “변환 내용”(Verwandlungsinhalt)을 동의어로 사용하면서 "열적 및 운동적 내용"(Wärme- und Werkinhalt)을 U의 이름으로 사용했지만, 두 개념이 "물리적 중요성이 거의 유사"하다고 생각하여 에너지라는 단어와 거의 유사한 엔트로피라는 용어를 선호했다. 이 용어는 ἔργον('에르곤', '일')의 어근을 τροπή('트로피', '변형')의 어근으로 대체하여 형성되었다.
좀 더 자세히 설명하자면, 클라우지우스는 "엔트로피"라는 이름을 선택한 이유를 다음과 같이 설명했다:
엔트로피 어원
저는 모든 살아있는 언어에서 같은 의미를 가질 수 있도록 중요한 과학적 양에 대한 이름을 고대 언어로 사용하는 것을 선호한다. 따라서 저는 그리스어 “변형”을 따서 S를 물체의 엔트로피라고 부를 것을 제안한다. 나는 의도적으로 엔트로피라는 단어를 에너지와 유사하게 만들었는데, 왜냐하면 이 두 수량은 물리적 의미가 매우 유사해서, 나에게는 종파들의 비유가 도움이 될 것 같기 때문이다.
리언 쿠퍼는 이런 식으로 덧붙였다 "그는 모든 사람에게 같은 것: 무(nothing)를 의미하는 단어를 만들어내는 데 성공했다".
엔트로피 정의와 기술
엔트로피의 개념은 고전 열역학의 거시적 관점과 통계역학의 중심이 되는 미시적 기술이라는 두 가지 주요 접근 방식으로 기술된다. 고전적 접근 방식은 부피 질량, 체적, 압력, 온도와 같이 거시적으로 측정 가능한 물리적 특성으로 엔트로피를 정의한다. 엔트로피의 통계적 정의는 처음에는 기체를 구성하는 뉴턴 입자와 같이 고전적으로 모델링된 시스템의 미시적 구성 요소의 운동의 통계로서 정의하고, 또한 나중에는 양자역학적으로(광자, 포논, 스핀 등) 엔트로피를 정의한다. 이 두 가지 접근 방식은 물리적 과정에 보편적으로 적용될 수 있는 것으로 밝혀진  열역학 제2법칙에 표현된 것과 같이 현상에 대한 일관되고 통합된 관점을 형성한다.
엔트로피 정의와 기술
많은 열역학적 속성들(thermodynamic properties)은 열역학적 평형 상태를 정의하는 물리적 변수에 의해 정의되며, 이는 본질적으로 상태변수(state variable)이다. 상태 변수는 평형 상태에만 의존하며, 해당 상태로의 경로 진화에는 의존하지 않는다. 상태 변수는 하나의 상태 변수가 다른 상태 변수의 수학적 함수라는 의미에서 상태함수라고도 하는 상태의 함수가 될 수 있다. 종종, 시스템의 일부 속성이 결정되면 시스템의 상태와 다른 속성의 값을 결정하기에 충분하다. 예를 들어, 주어진 양의 기체의 온도와 압력은 이상기체 법칙을 통해 기체의 상태와 부피를 결정한다. 특정 균일한 온도와 압력에서 단일 상의 순수한 물질로 구성된 시스템은 특정 상태가 결정되며, 따라서 특정 부피를 갖는다. 엔트로피가 상태의 함수라는 사실은 엔트로피를 유용하게 만든다. 카르노 사이클에서 작동 유체는 사이클이 시작될 때와 동일한 상태로 돌아가므로, 따라서 이 가역적인 사이클에서 엔트로피와 같은 상태함수의 변화 또는 선적분은 영이다.
엔트로피 정의와 기술
시스템의 엔트로피 변화 는 시스템의 온도 로 나눈 가역적인 과정동안 주위로부터 시스템에 전달된, 이 열전달 동안, 열 의 작은 부분으로 잘 정의될 수 있다:
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가역적인 과정은 준정적(quasistatic)(즉, 열역학적 평형에서 무한히 극소량만 벗어나면서 어떤 소멸도 없이 발생)이며, 총 엔트로피를 보존할 수 있다. 예를 들어 카르노 사이클에서 뜨거운 저장소에서 차가운 저장소로의 열 흐름은 차가운 저장소의 엔트로피 증가를 나타내지만, 가역적이고 완벽하게 저장된 작업 출력은 열 엔진을 역으로 작동하여 초기 상태로 되돌리는 데 사용할 수 있는 엔트로피 감소를 나타내므로 만일 전체 과정이 가역적이라면 총 엔트로피 변화는 항상 영이 될 수 있다.
반대로 비가역적 과정은 시스템과 주변 환경의 총 엔트로피를 증가시킨다. 열 평형에서 벗어날 만큼 빠르게 발생하는 모든 과정은 되돌릴 수 없다; 총 엔트로피는 증가하고 과정  중에 수행될 수 있는 최대 일의 퍼텐셜을 잃게 된다.
엔트로피 정의와 기술
엔트로피의 개념은 가역적 열 기관으로서 카르노 열 기관이 수행하는 열역학 사이클인 카르노 사이클에 대한 루돌프 클라우지우스의 연구에서 비롯되었다. 카르노 사이클에서, 열 는 등온 팽창 단계에서 뜨거운 저장소에서 일정한 온도 에서 작동 가스로 전달되고 또한 열 는 등온 압축 단계에서 작동 가스에서 일정한 온도 에서 차가운 저장소로 전달된다. 카르노의 정리에 따르면, 두 개의 열 저장소가 있는 열 기관이 일 를 생산할 수 있다는 것은 저장소 간에 온도 차이가 있다는 것과 동일하다. 원래, 카르노는 그가 칼로릭 이론(caloric theory)이 유효하다고 가정하면서, 열 과  사이를 구분하지 않았고 따라서 그 시스템의 총 열은 보전되었다. 그러나 실제로는 열 의 크기는 열 의 크기보다 크다. 클라우지우스와 켈빈의 노력으로, 가역적 열 기관에 의해서 한 일 은 카르노 효율 (즉, 동일한 쌍의 열 저장소를 가진 모든 가역적 열 엔진들의 효율)과 등온 팽창 중에 엔진의 작동체에 의해 흡수된 열 의 곱인 것으로 밝혀졌다:
엔트로피 정의와 기술
켈빈은 카르노 효율을 도출하기 위해 등온 팽창 중에 흡수된 열에 대한 일 출력의 비율을 카르노 함수라는 미지의 함수가 포함된 클라우지우스-클라페롱 방정식을 사용하여 평가해야 했다. 줄은 켈빈에게 보낸 편지에서 카르노 함수가 영점 온도에서 측정한 온도일 수 있다는 가능성을 제시했다. 이것은 켈빈이 그의 절대 온도 눈금을 확립할 수 있도록 하였다.
한 사이클 동안 기관에 의해서 생성된 일 
은 한 사이클 동안 기관에 의해서 흡수된 순 열 과 같다. 따라서, 열역학적 과정을 통해 전달된 열 에 대한 부호 규칙(흡수에는  그리고 소산에는 )과 더불어 우리는 다음을 얻는다:
이 등식은 카르노 사이클 전체에 걸쳐 유지되므로, 클라우지우스는 사이클의 각 단계에서, 순열 그 자체가 아니라, 일과 순열 간의 차이가 보존될 것이라는 힌트를 얻었다. 그것은   변화 인 상태 함수 가 존재한다는 것을 의미한다. 그것은 내부 에너지라고 불리며 또한 열역학 제1법칙의 중심 개념을 형성한다.
마지막으로, 카르노 사이클에서 일 결과물의 두 가지 표현들의 비교는 우리에게 다음을 부여한다:
엔트로피 정의와 기술
내부 에너지의 도출과 유사하게, 이 등식은 전 사이클에서 걸쳐서 보존되는 변화 인 상태 함수 의 존재를 의미한다.클라우지우스는 이 상태 함수를 엔트로피라고 불렀다.
추가로, 열 전달 방향의 반전은 등온 단계에서 전달되는 열의 부호 반전을 의미하므로 카르노 사이클 동안 두 열 저장소의 엔트로피 총 변화량도 역시 영이다:
여기서는 우리는 열 저장소의 엔트로피 변화를  에 의해서 나타낸는데, 여기서  는 뜨거운 저장소  또는 차가운 것 이다.
만일 카르노 사이클보다 덜 효과적인 열 기관을 고려하면(즉, 이 기관에 의한 일 는 카르노 정리에 의해 예측된 최대치보다 작다), 이 엔진의 일 출력은 다음과 같이 카르노 효율에 의해서 제한된다:
순 열로서의 일 를 위의 부등식에 대입하면 다음이 된다:
또는 엔트로피 변화 의 관점에서는:
엔트로피 정의와 기술
위에 표시된 카르노 사이클과 엔트로피는 모든 고전적인 열역학적 열 기관 연구에 유용하다는 것이 입증되었다. 오토, 디젤 또는 브레이턴 사이클과 같은 다른 사이클도 같은 관점에서 분석할 수 있다. 특별히, 카르노보다 더 큰 효율을 낸다고 주장되는 열을 일로 변환하는(즉: 열 기관) 모든 기계나 사이클 과정은 열역학 제2법칙을 위반하므로 실행 가능하지 않다.
입자 집합체와 같이 충분히 이산적인 시스템을 더 자세히 분석하려면 통계역학을 사용해야 한다. 추가로, 예로서 광전지와 같은 드브로이파의 한계 근처에서 작동하는 장치에 대한 설명은 양자통계역학와 일치해야 한다.
엔트로피 정의와 기술
엔트로피의 열역학적 정의는 1850년대 초 루돌프 클라우지우스에 의해 개발되었으며, 기본적으로 열역학적 평형 상태에 있는 고립계의 엔트로피를 그 부분들과 함께 측정하는 방법을 설명한다. 클라우지우스는 카르노 사이클을 특성화하는 데 유용한 것으로 밝혀진 크기 성질 열역학적 변수로서 엔트로피라는 용어를 만들었다. 카르노 사이클의 등온 단계(등온 팽창과 등온 압축)에서의 열 전달은 시스템의 온도(그 절대 온도로 알려짐)에 비례하는 것으로 밝혀졌다. 이 관계는 증분 열전달량을 온도로 나눈 것과 같은 엔트로피의 증분으로 표현되었다. 엔트로피는 열역학적 사이클에 따라 달라지지만 결국 모든 사이클이 끝나면 같은 값으로 돌아오는 것으로 밝혀졌다. 따라서 엔트로피는 상태, 특히 시스템의 열역학적 상태 함수라는 것이 밝혀졌다.
엔트로피 정의와 기술
클라우지우스는 가역적인 과정을 기반으로 정의를 내렸지만, 엔트로피를 변화시키는 비가역적인 과정도 존재한다. 열역학 제2법칙에 따라 고립계의 엔트로피는 비가역적 프로세스의 경우 항상 증가한다. 고립계와 패쇄 시스템의 차이점은 고립계로 그리고 그로부터 에너지가 흐르지 않을 수 있지만, 폐쇄 시스템으로 또한 그로부터 에너지가 흐를수 있다는 것이다. 그럼에도 불구하고 폐쇄 시스템과 고립계 모두, 그리고 개방 시스템에서도, 비가역적인 열역학 과정이 발생할 수 있다.
클라우지우스 등식(Clausius equality)에 따르면, 가역적 사이클 열역학적 과정의 경우에는:
이것은 선적분  는 경로-독립적이다. 따라서 우리는 엔트로피라 불리는 상태함수  를 정할 수 있다:
그러므로, 열역학적 엔트로피는 에너지의 크기를 온도로 나눈 값이며, 국제 단위계(SI)로는 켈빈당 줄(J/K) 단위를 갖는다.
엔트로피 정의와 기술
시스템의 두 상태 사이의 엔트로피 차이를 구하려면 초기 상태와 최종 상태 사이의 가역 경로에 대해 적분을 평가해야 한다. 엔트로피는 상태 함수이므로 가역 경로에 대한 시스템의 엔트로피 변화는 동일한 두 상태 사이의 가역 경로와 동일하다. 하지만, 주변으로 또는 주변으로 또는 그로부터 전달되는 열은 엔트로피 변화와 마찬가지로 다르다.
우리는 엔트로피의 변화는 위의 공식을 적분해야만 계산할 수 있다. 엔트로피의 절대값을 구하기 위해 열역학 제3법칙을 고려한다. 절대 영도에서 완벽한 결정들은 엔트로피  을 갖는다.
엔트로피 정의와 기술
거시적 관점에서, 고전 열역학에서 엔트로피는 열역학 시스템의 상태 함수로 해석된다: 즉 시스템의 현재 상태에만 의존하는 특성으로 해석도며, 그 상태가 어떻게 달성되었는지에 대해서는 무관하다. 어떤 과정에서든, 시스템이 온도  에서 에너지의  를 주변으로 방출하는 경우, 그 엔트로피는  만큼 떨어지고 또한 최소 에너지의  는 주변으로 열로 방출되어야 한다. 그렇지 않으면 이 과정은 앞으로 나아갈 수 없다. 고전 열역학에서 시스템의 엔트로피이 정의된다는 것은 그것이 열역학적 평형 상태에 있다는 것과 동일하다 (하지만 화학 평형은 필요하지는 않다: 예를 들어, 표준 조건에서 수소 2몰과 산소 1몰의 혼합물의 엔트로피는 잘 정의되어 있다).
이 통계적 정의는 1870년대에 루트비히 볼츠만이 시스템의 미시적 구성 요소의 통계적 거동을 분석하여 개발했다. 볼츠만은 이 엔트로피의 정의가 열역학적 엔트로피와 볼츠만 상수라고 알려진 일정한 계수 내에서 동일하다는 것을 보여주었다. 요컨대, 열역학적 엔트로피 정의는 엔트로피에 대한 실험적 검증을 제공하는 반면, 통계적 엔트로피 정의는 그 개념을 확장하여 엔트로피의 본질에 대한 설명과 더 깊은 이해를 제공한다.
엔트로피 정의와 기술
통계역학에서의 엔트로피 해석은 온도, 압력, 부피와 같은 관찰 가능한 거시적 특성을 고려한 후, 시스템에 대해 남아있는, 기브스의 문구로는, 불확실성, 무질서 또는 혼동성(mixedupness) 의 측정이다. 주어진 거시적 변수 집합에 대해, 엔트로피는 시스템의 확률이 여러 가능한 미시상태(microstate)에 걸쳐 분산되어 있는 정도를 측정한다. 명백하게 관찰 가능한 평균 수량을 특징짓는 거시 상태와 달리, 미시상태는 모든 분자의 위치와 운동량을 포함하여 시스템에 대한 모든 분자 상세를 열거한다. 이러한 상태가 시스템에 상당한 확률로 더 많이 존재할수록, 엔트로피는 커진다. 통계역학에서, 엔트로피는 시스템을 배열할 수 있는 방법의 수의 측정으로, 종종 "무질서"(엔트로피가 높을수록, 무질서도도 높아진다)의 측정으로 간주된다. 이 정의는 엔트로피가 시스템의 관찰 가능한 거시적 상태(거시상태)를 유발할 수 있는 시스템의 개별 원자 및 분자의 가능한 미시적 구성들(미시상태(microstates))의 수의 자연 로그에 비례한다고 기술한다. 비례 상수는 볼츠만 상수이다.
엔트로피 정의와 기술
볼츠만 상수, 그리고 따라서 엔트로피는, 에너지의 크기를 온도로 나눈 값으로, 국제 단위계에서는 켈빈당 줄(J⋅K-1)(기본 단위로는 kg⋅m2⋅s-2⋅K-1)을 단위로 한다. 물질의 엔트로피는 일반적으로 단위 질량당 엔트로피(SI 단위: J⋅K-1⋅kg-1) 또는 단위 물질의 양당 엔트로피(SI 단위: J⋅K-1⋅mol-1) 중 하나의 세기 성질로 표시된다.
구체적으로 엔트로피는 여러 상태를 가진 시스템에 대한 로그 측정으로, 각 상태가 점유될 확률  (일반적으로 볼츠만 분포에 의해 주어지는)을 갖는다:
여기서 는 볼츠만 상수이며, 시스템의 모든 가능한 미시상태에 대해 합이 수행된다.
상태가 연속적인 방식으로 정의되는 경우, 그 합은 가능한 모든 상태에 대한 적분으로 대체되거나, 동등하게 우리는 미시상태가 점유되는 확률의 로그의 기대값을 고려할 수 있다:
이 정의는 기준 상태가 상대 위상에 대한 정보가 없는 방식으로 선택된다고 가정한다. 일반적인 경우의 표현은 다음과 같다:
엔트로피 정의와 기술
여기서  는 밀도 행렬, 은 대각합류 작용소이고, 또한 은 행렬 로그(matrix logarithm)이다. 만일 그 시스템이 열 평형 상태이면 기저 상태가 해밀턴의 고유 상태(eigenstates)로 선택되는 한 밀도 행렬 형식주의는 필요하지 않다.  에 대한 다른 모든 공식이 이로부터 도출될 수 있지만, 그 반대의 경우는 아니기 때문에, 대부분의 실용적인 목적을 위해서 그것은 엔트로피의 기본 정의로서 취해질 수 있다.
통계역학의 기본 가정(the fundamental postulate in statistical mechanics)이라고 불리는 것에서, 동일한 에너지를 가진 시스템 미시상태들 사이에서 (즉, 축퇴 미시상태) 각 미시상태는 동일한 확률로 채워진다고 가정되어 , 여기서 는 시스템의 에너지와 같은 미시상태의 개수이다. 일반적으로 이 가정은 열역학적 평형 상태의 고립된 시스템에 대해 정당화된다. 그러면 고립계의 경우 이전 공식은 다음과 같이 축소된다:
열역학에서 이러한 시스템은 작은 바른틀 앙상블이라고 하는 고정된 부피, 분자 수 및 내부 에너지인 시스템이다.
엔트로피 정의와 기술
엔트로피에 대한 가장 일반적인 해석은 시스템에 대한 불확실성의 정도의 측정으로서이다. 시스템의 평형 상태는 보존된 변수를 제외한 초기 조건에 대한 모든 정보를 반영하지 않기 때문에 엔트로피를 최대화한다. 이러한 불확실성은 일상적인 주관적 불확실성이 아니라 실험 방법과 해석적 모형에 내재된 불확실성이다.
해석적 모형은 엔트로피를 결정하는 데 있어 중심적인 역할을 한다. 위의 "주어진 거시적 변수의 집합에 대해"라는 한정어는 두 관찰자가 서로 다른 거시적 변수 집합을 사용할 때 깊은 의미를 갖는다. 예를 들어 관찰자 A가 , ,  변수를 사용하고 관찰자 B가 , , ,  변수를 사용하는 경우를 생각해 보라. 관측자 B가 변수 를 변경하면 관측자 A는 변수  와 시스템에 미치는 영향에 대한 정보가 없으므로 열역학 제2법칙을 위반하는 것으로 간주된다. 즉, 시스템을 설명하기 위해서 완전한 거시적 변수의 집합, 즉 실험 중에 변경될 수 있는 모든 독립 변수를 선택해야만 한다.
엔트로피는 가역적 역학(reversible dynamics) 및 상세한 균형(Detailed balance) 속성을 가진 모든 마르코프 과정에 대해서도 정의될 수 있다.
엔트로피 정의와 기술
볼츠만은 그의 1896년“기체 이론에 관한 강연“에서 이 표현이 기체 위상에서 원자와 분자의 시스템을 위한 엔트로피의 측정을 부여하므로, 따라서 고전 열역학의 엔트로피를 위한 측정을 제공함을 보여주었다.
열역학계에서는, 평형 상태가 다른 어떤 상태보다 더 높은 확률(더 많은 가능한 미시상태(microstates)의 조합)을 가지기 때문에, 압력과 온도는 시간이 지남에 따라 균일해지는 경향이 있다. 예를 들어, 실온에서 공기 중에 있는 얼음물 한 잔의 경우, 따뜻한 방(주변)과 차가운 얼음과 물(방의 일부가 아닌 시스템)의 온도 차이는 따뜻한 주변의 열에너지의 일부가 차가운 얼음과 물의 시스템으로 퍼지면서 줄어든다. 시간이 지남에 따라 유리잔과 그 내용물의 온도와 방의 온도는 같아진다. 다른 말로는, 방의 일부 에너지가, 엔트로피가 증가하게 된, 얼음과 물로 분산하게 됨에 따라 방의 엔트로피는 감소하였다.
그렇지만, 예제에서 계산한 것처럼 얼음과 물 시스템의 엔트로피는 주변 방의 엔트로피가 감소한 것보다 더 많이 증가했다. 방과 얼음물과 같이 고립계에서 따뜻한 곳에서 차가운 곳으로 에너지가 분산되면 항상 엔트로피는 순증가한다. 따라서, 방과 얼음물 시스템의 "우주"가 온도 평형에 도달할 때, 초기 상태로부터 엔트로피 변화는 최대가 된다. 열역학계의 엔트로피는 평형화가 얼마나 진행되었는가의 측정이다.
열역학적 엔트로피는 물리학 및 화학의 과학에서 매우 중요한 비-보존 상태 함수이다. 역사적으로, 엔트로피의 개념은 일부 과정들(보존 법칙에 의해 허용되는)은 자발적으로 발생하고 반면에 그것들의 시간 역전(또한 보존 법칙에 의해 허용되는)은 발생하지 않으며; 시스템은 엔트로피를 증가시키는 방향으로 진행되는 경향을 설명하기 위해 진화해 왔다. 고립계의 경우, 엔트로피는 절대 감소하지 않는다. 이 사실은 과학에서 몇 가지 중요한 결과를 낳는다: 첫째, "영구 운동" 기계를 금지한다; 둘째, 엔트로피의 화살표가 시간의 화살과 같은 방향을 가지고 있다는 것을 의미한다. 시스템과 주변 환경의 총 엔트로피가 증가는 비가역적인 변화에 해당하는데, 이는 일부 에너지가 폐열로 소비되어, 한 시스템이 수행할 수 있는 일의 양을 제한하기 때문이다.
다른 많은 상태 함수와 달리 엔트로피는 직접 관찰할 수 없고 계산해야 한다. 물질의 절대 표준 몰 엔트로피는 측정된 열용량의 온도 의존성으로부터 계산할 수 있다. 이온의 몰 엔트로피는 영 엔트로피로 정의된 기준 상태와의 엔트로피 차이로 구할 수 있다. 열역학 제2법칙는 고립계의 엔트로피는 증가하거나 일정하게 유지되어야 한다고 진술한다. 따라서, 엔트로피는 보존되는 양이 아니다: 예를 들어, 온도가 균일하지 않은 고립계에서는 열은 비가역적으로 흐르고, 또한 온도는 더욱 균일해지며 그렇게 엔트로피는 증가한다. 화학 반응은 엔트로피의 변화를 일으키고 또한 시스템 엔트로피는, 엔탈피와 연계해서, 화학 반응이 자발적으로 진행되는 방향을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.
엔트로피의 한 사전적 정의는 순환 과정에서 "유용한 작업에 사용할 수 없는 단위 온도당 열에너지의 측정"이다. 예를 들어, 온도가 균일한 물질은 엔트로피가 최대이므로 열 기관을 구동할 수 없다. 온도가 균일하지 않은 물질은 (열 분포가 균일하도록 허용된 경우보다) 엔트로피가 낮으며 열 에너지의 일부는 열 엔진을 구동할 수 있다.
엔트로피 증가의 특별한 경우인 혼합의 엔트로피(entropy of mixing)는 두 가지 이상의 서로 다른 물질이 혼합될 때 발생한다. 만일 물질이 동일한 온도와 압력에 있다면, 열이나 일의 순 교환은 없다 - 엔트로피 변화는 전적으로 서로 다른 물질의 혼합으로 인한 것이다. 통계학적 수준에서는, 이 결과는 혼합에 따른 입자당 가용 부피의 변화로 인해 발생한다.
기본적 열역학 관계(Fundamental thermodynamic relation)와 같이 함께하는 통계역학에서의 엔트로피 - 깁스 엔트로피 공식(Gibbs entropy formula): 와 고전 열역학에서의 엔트로피:  사이의 동등성 증명은 작은 바른틀 앙상블, 바른틀 앙상블, 큰 바른틀 앙상블, 및 등온-등압 앙상블(isothermal–isobaric ensemble)로 알려져 있다. 이러한 증명들은 일반화된 볼츠만 분포의 미시상태의 확률 밀도와 열역학적 내부 에너지를 앙상블 평균 로서 식별하는 것을 기반으로 힌다. 그런 다음 열역학적 관계를 사용하여 잘 알려진 깁스 엔트로피 공식을 도출한다. 그렇지만, 깁스 엔트로피 공식과 엔트로피의 열역학적 정의 사이의 동등성은 기본적 열역학적 관계라기 보다는 일반화된 볼츠만 분포의 형식의 결과이다.
나아가, 통계역학에서 엔트로피의 정의는 다음과 같은 가정 하에서 고전 열역학 엔트로피와 동등한 유일한 엔트로피라는 것이 밝혀졌다:
엔트로피 열역학 제2법칙
열역학 제2법칙에 따르면 일반적으로 어떤 시스템의 총 엔트로피는 다른 시스템의 엔트로피를 증가시키는 것 외에는 감소하지 않는다. 따라서, 환경으로부터 고립된 시스템에서는 해당 시스템의 엔트로피가 감소하지 않는 경향이 있다. 따라서 더 차가운 물체에서 더 뜨거운 물체로 열이 흐르기 위해서는 더 차가운 물체에 일을 가하지 않으면 불가능하다. 둘째로, 사이클에서 작동하는 어떤 장치도 단일 온도 저장소에서 순열을 생성하는 것은 불가능하다. 순열을 생성하려면 더 뜨거운 저장소에서 더 차가운 저장소로 열이 흐르거나 단열 냉각을 통해 단열적 일을 수행하는 단일 팽창 저장소가 필요하다. 결과적으로 영구 운동 기계의 가능성은 없다. 화학 반응과 같은 특정한 과정에서 엔트로피 증가가 감소한다는 것은 에너지적으로 더 효율적이라는 것을 의미한다.
엔트로피 열역학 제2법칙
열역학 제2법칙에 따르면 격리되지 않은 시스템의 엔트로피는 감소할 수 있다. 예를 들어, 에어컨은 방의 공기를 냉각하고, 따라서 해당 시스템의 공기 엔트로피를 감소시킬 수 있다. 에어컨이 외부 공기로 운반하여 배출하는 실내(그 시스템)에서 방출되는 열은 항상 해당 시스템의 공기 엔트로피 감소보다 환경의 엔트로피에 더 큰 기여를 한다. 따라서, 열역학 제2법칙에 따라서, 실내의 엔트로피와 환경의 엔트로피의 총합은 증가한다.
역학에서 두 번째 법칙은 기본적 열역학 관계식(Fundamental thermodynamic relation)과 연계하여 유용한 일(useful work)을 수행하는 시스템의 능력에 제한을 가한다. 무한한 양의 열  을 흡수하는 온도  에서 시스템의 엔트로피 변화  는 가역적인 방식으로 주어진다, 보다 명시적으로,  에너지는 유용한 작업을 수행하는 데 사용할 수 없으며, 여기서  은 시스템 외부에서 가장 차가운 접근 가능한 저장소 또는 시스템
외부 방열판의 온도이다. 그 이상의 논의는, 엑서지 를 참조하라.
엔트로피 열역학 제2법칙
통계역학은 엔트로피가 확률의 지배를 받는다는 것을 보여주며, 따라서 고립계에서도 무질서가 감소할 수 있다. 비록 이것이 가능하지만, 이러한 이벤트가 발생할 확률은 매우 낮기 때문에, 가능성은 거의 없다.
열역학 제2법칙의 적용 가능성은 평형 상태에 있거나 충분히 가까운 시스템으로 제한되어 엔트로피를 정의한다. 열역학 평형을 벗어난 일부 비균질 시스템은 여전히 국소적 열역학 평형의 가설을 만족하므로 엔트로피 밀도가 국지적으로 집약된 양으로 정의된다. 이러한 시스템의 경우에는, 최대 시간 엔트로피 생성률의 의 원칙을 적용할 수 있다. 이는 이러한 시스템이 시간 엔트로피 생성률을 최대화하는 정상 상태로 진화할 수 있다는 것을 진술한다. 이는 그러한 시스템이 반드시 항상 최대 시간 엔트로피 생성률의 상태에 있다는 것을 의미하는 것이 아니라; 그것은 그러한 정상 상태로 진화할 수 있다는 것을 의미한다.
엔트로피 응용
시스템의 엔트로피는 내부 에너지와 부피와 같은 외부 매개변수에 따라 달라진다. 열역학적 극한에서 이 사실은 내부 에너지 의 변화와 엔트로피 및 외부 매개변수의 변화를 연관시키는 방정식으로 이어진다. 이 관계는 기본적 열역학 관계식으로 알려져 있다. 외부 압력 가 유일한 외부 매개변수로서 부피  에 영향을 미치는 경우, 이 관계는 다음과 같다:

내부 에너지와 엔트로피는 모두 온도 의 단조함수들이므로, 엔트로피와 부피를 지정하면 내부 에너지가 고정되어 있음을 의미하며, 이 관계는 열 평형 상태에서 만일 엔트로피와 부피가 무한소로 큰 다른 상태로의 변화가 비-준정적인(non-quasistatic) 방식으로 일어나더라도 유효하다 (따라서 이 변화 동안 시스템은 열 평형에서 매우 멀리 떨어져 전체 시스템의 엔트로피, 압력 및 온도가 존재하지 않을 수 있다).
기본적 열역학 관계식은, 시스템의 미시적 세부 사항과는 무관하게, 일반적으로 유효한 많은 열역학적 동일성들을 의미한다. 중요한 예로는 맥스웰 관계식과 열용량 관계식(relations between heat capacities)이 있다.