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봉화 태백산사고지 개요
『조선왕조실록』을 보관해오던 태백산사고가 있던 자리로 조선시대 5대 사고중 하나이다.
조선왕조는 오대산·마니산·적상산·춘추관·태백산에 각각 사고를 지어 실록을 보관하였다. 태백산사고터는 경상감사 류영순이 추천하여 선조 39년(1606)에 짓고 1913년까지 실록을 보관하였던 곳이다.
이곳에서 보관되었던 실록은 일제시대 조선총독부에 의해 경성제국대학으로 옮겨졌고, 광복 후 서울대학교 규장각에 그대로 소장되었다가 이관되어 현재 국가기록원 부산기록관에서 소장하고 있다.
건물은 해방 전·후 불타 없어지고 산사태 등으로 매몰되었던 것을 1988년 발굴하였다. 실곡각·선원각·포쇄각·근천관의 부속 건물터가 남아있다.
고래자리 81 b
고래자리 81 b는 고래자리 방향으로 지구로부터 약 317 광년 떨어져 있는 외계 행성이다. 2008년 7월 3일 사토 연구진은 어머니 항성 고래자리 81 b이 미묘하게 흔들리는 것으로부터 이 행성의 존재를 알아냈다. 측정에 따른 행성의 최소 질량은 목성의 5.3배로, 슈퍼목성의 반열에 들어간다. 어머니 항성으로부터 2.5 천문단위(이는 태양과 화성 간격보다 멀다) 떨어져 있기 때문에 대기 상층부는 뜨거운 목성처럼 가열되어 있지는 않을 것으로 보이며, 질량이 커서 보다 단단하게 압축되어 있기 때문에 행성 크기는 목성의 93.2퍼센트 수준일 것으로 보인다. 항성을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은 2.6년이다. 상층부 대기 온도는 527 켈빈으로 수다르스키의 가스 행성 분류에 따르면 III형의 맑은 대기형에 포함된다.
언타이틀
언타이틀(Untitle)은 대한민국의 댄스 그룹이다. 유건형과 서정환의 두 멤버로 구성되어 있다. 1996년 1집 《無題(무제)》로 가요계에 데뷔해서 1999년 그룹을 해체할 때까지 많은 인기를 누렸다. 해체 이후 둘 다 작곡가와 프로듀서로 변신했으며, 2012년 2월 DJ DOC의 김창렬을 돕기 위해 공동 작업을 하기도 했다. 유건형은 비와 싸이, god
등을 포함하는 많은 가수의 앨범에 작곡가로서 참여하였다. 2012년 유건형이 싸이와 함께 공동으로 작곡한 강남스타일은 전 세계적으로 크게 히트했다.
참고로 4집에 실렸던 〈댄스! 댄스! 댄스!〉는 조지 클린턴(George Clinton)의 곡을 샘플링한 것이었다. 2007년 《카사 & 노바》가 1집 타이틀 곡이었던 〈책임져〉를 리메이크하여 디지털 싱글 앨범을 발매하였다.
OGLE-2005-BLG-390L
OGLE-2005-BLG-390L은 지구로부터 약 21,500광년 떨어져 있는 항성이다. 이 별은 그 정체가 확실하게 밝혀져 있지 않은데, 적색 왜성일 확률이 약 95 퍼센트, 백색 왜성은 약 4 퍼센트, 중성자별 또는 블랙홀일 확률은 나머지 약 1 퍼센트 미만이다.
OGLE-2005-BLG-390L 행성계
OGLE-2005-BLG-390L 주위를 도는 외계 행성 한 개가 발견된 상태이다. 발견에는 미시중력렌즈 관찰기법을 응용하였다. 최소 질량은 지구의 5배 정도이며 항성을 2.6천문단위 떨어져서 돌고 있다. 2006년 1월 25일 발견 사실이 공식적으로 발표되었다.
이 별을 도는 행성 OGLE-2005-BLG-390Lb는 그 질량을 고려할 때 슈퍼지구일 확률이 크다. 그러나 간접적으로 존재를 알아낸 것이기 때문에 질량만 가지고는 이 행성이 실제 어떤 모습을 하고 있을지는 확실히 알 수 없다. 질량 및 항성으로부터의 거리를 고려할 때, 이 행성의 표면 온도는 50 켈빈 수준일 것이며 따라서 만약 암석 행성일 경우 표면은 대부분 얼음으로 덮여 있을 것이다. 그러나 가스 행성일 경우 겉모습은 덩치 작은 천왕성이나 해왕성과 비슷해 보일 것이다.
유건형
유건형(1979년 2월 14일 ~ )은 대한민국의 가수, 작곡가, 프로듀서이다. 동아방송예술대학 방송연예과, 청운대학교 방송연기학과를 졸업 했으며 경기대학교 스포츠과학대학원에서 레저스포츠컨설팅학 석사를 수여받았다.
1996년 댄스 그룹 《언타이틀》의 멤버로 연예계에 발을 내디뎠으며 1999년 해체 후, 7년 뒤인 2006년 록 그룹 《앰프》로 가수로서 활동을 재개했다. 비와 싸이, god
등을 포함하는 많은 가수의 앨범에 작곡가로서 참여하였다. 2012년 싸이와 함께 공동으로 작곡한 강남스타일이 전 세계적으로 크게 히트했다.
용자리 42 b
용자리 42 b는 용자리 방향으로 지구로부터 약 317광년 떨어진 곳에 있는 외계 행성이다. b의 어머니 항성은 분광형 K의 거성이다. 최소 질량은 태양의 약 3.88배로 이미 슈퍼목성으로 분류할 수 있다. 궤도경사각이 어느 정도 되는지 정확히 밝혀져 있지 않기 때문에 실제 질량은 이보다 클 확률이 있다. 궤도이심률은 0.38로 큰 편이다. 2009년 3월 20일 발견 사실이 공식적으로 발표되었다.
2009년 대한민국의 시국선언
본 문서는 2009년 대한민국에서 발표된 '시국선언'의 목록이다. 대체로 이명박 정부에 비판적인 입장을 취하고 있다. 당해년도 6월, 전국 93개 대학의 교수 4500명 이상을 포함하여 각계 인사 1만명 이상 이 시국선언에 동참하였다. 본 문서에서는 발표된 시국선언들의 목록과 내용 일부를 소개한다.(일부 누락된 경우가 있을 수 있음)
2009년 대한민국의 시국선언 내용
(날짜순, 가나다순)
전국에 걸친 국민적 추모의 물결은 이명박 정부에 대한 경고의 성격을 담고 있습니다. 노무현 전 대통령의 죽음을 계기로 삼아 이명박 정부는 단절과 억압의 일방독주체제에서 벗어나야 합니다.— 선언문
서울대 신양인문학술정보관에서 '인권과 민주주의의 회복을 요구하는 시국선언'을 발표했다.
오늘 한국의 민주주의는 심각한 위기에 직면해 있다. 그간 군사독재의 망령을 떨치며 민주주의가 크게 전진돼 왔으나 이제 다시 권위주의의 그림자가 우리 사회에 짙게 드리우고 있다.— 선언문
이명박 정부에 '비민주적 권위주의적 통치방식에 대해 사과'할 것 등을 요구했다.
“민주주의의 후퇴를 우려하며, 이명박 정부의 각성을 촉구한다”
우리는 전직 대통령의 비극적인 죽음을 계기로 한국사회의 민주주의가 어디로 가고 있는가에 대해 다시 돌아보게 되었다. 현 정부 출범 이후 한국 사회의 모든 분야에서 민주주의와 인권이 후퇴하고 있다. (중략) 앞으로도 이러한 후퇴가 거듭되어 사회 혼란과 위기가 증폭될 때, 한국 사회가 직면하게 될 파국적 상황은 생각하기조차 두렵다. (이하 생략)— 선언문
2009년 대한민국의 시국선언 내용
9일(현지 시각), 미국과 캐나다 등 북미 대학에 있는 교수 240명이 현 정부 들어 대한민국의 민주주의가 여러 가지 측면에서 후퇴하고 있다고 우려하는 시국 성명서를 발표했다.
'이명박 정부는 독재정권은 반드시 붕괴된다는 역사적 교훈을 잊었는가'라며 노무현 전 대통령의 죽음과 관련한 진실을 규명할 것과 비정규직, 장애인 등을 위한 정책을 요구했다.
이명박 정권 집권 이후 계속된 억압적 통치가 국민의 우려와 저항을 불러왔다며 이명박 대통령의 사과와 미디어 법안 철회 등을 요구했다.
현 시국을 '민주주의의 아우슈비츠'라고 주장하며 이명박 정부를 규탄했다.
승려 108명은 서울 조계사 대웅전 앞에서 기자회견을 열고, 노무현 사망과 관련하여 이명박 대통령이 사과하고 당국자 문책 및 내각 개편할 것, 미디어 관련법과 비정규직법을 강제처리하지 말 것, 대북관계 개선에 노력할 것 등을 요구했다.
편협한 정치, 보복정치와 같은 국정운영 방식을 철회하고 국민과 소통하는 민주적 리더십을 다시 세워야 한다.— 선언문
"현 정부가 민주주의 역사를 부정하고 독선적으로 국정을 운영하고 있어 사회 전체를 분열과 갈등으로 몰고 가고 있다"며 정부 정책을 비판했다.
2009년 대한민국의 시국선언 내용
지금 정부와 여당은 그와 같은 성찰 없이 용서와 화해, 국민 화합만을 이야기하고 있다. 진정한 용서와 화해는 엄정한 책임소재 규명과 이에 상응하는 조치가 전제되어야 할 것이며, 국민화합은 민주주의의 회복을 통해서만이 가능할 것이다. 우리는 정부와 여당이 소통과 통합을 무시하는 독선과 아집, 이해와 공존보다는 배제와 힘의 논리에 휩싸인 채 일방통행을 계속할 경우 더 큰 국민적 저항이 뒤따를 것임을 경고하고자 한다.
국민 대화합과 남북관계 개선을 촉구했다.
우리는 과거 군사독재정권과의 오랜 싸움을 통해 이룩해온 민주화의 성취물들이 이처럼 일순간에 거품처럼 소멸되는 것을 결코 좌시할 수 없다. 이에 우리는 국민들의 피와 땀과 눈물로 이룩해 온 우리 사회의 기본가치인 자유와 민주의 이름으로 이명박 정부의 국정운영 쇄신을 아래와 같이 촉구한다.— 선언문
특권층 편향 정책을 바꾸고 시대착오적인 권위주의 통치를 중단하라.— 선언문
2009년 대한민국의 시국선언 내용
민주주의 후퇴를 우려하는 전국 철학자 시국선언
대통령은 주권자인 국민 위에 군림하는 식의 통치 스타일을 버려야 한다. 그 어떤 정책도 민주적 소통과 절차적 합의를 거쳐 추진해야 하며 사회적 약자를 배려하는 서민복지정책을 우선으로 추진해야 한다.— 선언문
한국의 민주주의 수호를 염원하는 해외거주 한인 학생 및 연구원의 시국선언
거리는 맨손의 시민들로 가득 차 있습니다. 용감한 사람들이 앞장섭니다. 시민들이 행진을 시작합니다. 경찰이 진압을 시작합니다. 방패에 찍히고 곤봉에 맞은 시민들이 길가에 구릅니다. 유혈이 낭자합니다. 맨몸의 시민들이 무장한 경찰에 의해 연행당합니다. 22년 전 암울했던 6월 어느 날 대한민국의 쓸쓸한 모습이었습니다. 하지만 아쉽게도 바로 오늘 서울의 모습이기도 합니다. (중략) 희망컨대 이 선언이 발표되기 전에 대한민국이 우리들의 대한민국으로 복원되었으면 합니다. 또한, 소통과 화해의 정치가 회복되길 진심으로 바랍니다. 하지만, 불행하게도 이 선언이 발표되어야 한다면, 우리 해외 한인학생들은 분연히 일어나 강력한 요구를 할 수 밖에 없습니다. 우리의 요구는 다음과 같습니다.
2009년 대한민국의 시국선언 내용
1. 민주주의 회복을 위한 구체적이고 진실된 국정운영의지를 표명할 것을 강력히 요구한다. 언론의 자유, 표현의 자유, 집회의 자유 등 민주주의 기본권을 보장하는 구체적이고 진실된 대안을 제시하여 단절과 대립의 정치를 포기하고 소통과 평화의 정치를 복원하라. 야당과 언론, 시민사회를 국정운영의 파트너로 인정하고 민주주의의 상징인 6월 정신을 계승하는 정치로 선회하라.

1. 노무현 전 대통령의 서거에 대해 사과할 것을 요구한다. 내각 총사퇴는 정권차원의 사과의 진정성을 담보하는 구체적 징표가 될 수 있을 것이다.

1. 용산 참사 유가족들에 대한 진심어린 사과와 합당한 보상을 실시할 것을 강력히 요구한다. 법원이 요구한 검찰수사 공개는 진심어린 사과의 첫걸음이 될 것이다.

1. 6.15 정신을 계승하여 남북화해에 대한 정책을 입안하여 수행할 것을 요구한다. 불필요한 남북경색 정국을 수습하는 것이 민족의 염원인 통일에 조금이나마 다가갈 수 있는 길임을 명심해야 할 것이다. 대한민국의 17대 대통령 이명박대통령은 15대 대통령의 국민의 정부를 이어 16대 대통령의 참여정부를 통해 수립 계승된 남북화해와 협력의 정신을 성실히 이행하라. 신자유주의 노동정책을 포기하여, 노동자의 생존권을 보장하고 민주적 노동관계를 수립할 것을 요구한다. 비정규직 개악입법의 포기는 하나의 실천적 대안이 될 것이다.

- 2009년 6월 29일 한국의 민주주의 수호를 염원하는 해외거주 한인 학생 및 연구원 일동
2009년 대한민국의 시국선언 시국선언에 대한 비판
시국선언에 대해 비판의 목소리가 있었고, 이른바 '반(反)시국선언'이라고 불리는 시국선언에 반대하는 시국선언도 있다.
일부 교수들의 의견이 마치 교수사회 전체의 의견처럼 과장되고 있다. 세계적 경기침체와 북핵 위협 등으로 국가가 위기에 처한 지금 일부 대학교수가 릴레이식으로 시국선언문을 발표하는 것은 국민에게 혼란과 분열을 일으킬 뿐이다.
국론을 분열시켜 적화통일 앞당기려는 시국선언 교수는 대한민국의 주적이다.
창수시
창수시(중국어: 常熟市, 병음: Chángshú Shì)는 중화인민공화국 장쑤성 쑤저우의 현급시로 성 남동쪽, 장강 삼각주에 위치한다. 넓이는 1263km2이고, 인구는 2007년 기준으로 1,060,000명이다. 온화한 기후와 지형 덕분에 고대 이래로 높은 농업 문명을 이룩하였기 때문에 중국어로 '항상'이라는 뜻의 창(常)과 '익다'라는 뜻의 수(熟)가 합쳐져 도시의 이름이 되었다. 주변에 있는 도시인 타이창시의 이름은 ‘커다란 곡창’이라는 뜻이다.
창수는 10개의 진과 2개의 성급 경제개발구로 이루어져있다. 역사적으로나 문화적으로 유명한 도시인 창수는 긴 역사와 아름다운 풍경, 번영하는 것으로 잘 알려져있다. 중국에서 가장 발전한 현급행정구역 중 하나로 2007년 GDP는 972억 위안(142억 달러), 1인당 GDP는 91846위안(13447 달러)에 달해 현급행정구역 중 10위권 안에 들었다.
창수시 역사
창수는 540년에 독립된 현이 되었으나 581년에 쑤저우에 속하게 되었다. 1295년에 군청 소재지로 승격되었고 1300년대에 재건 및 요새화되었으나 1370년에 현급행정구역으로 격하되었다. 15세기와 16세기에 창수는 몇 차례 왜구의 공격을 받았다.
창수는 전통적으로 지역에서 생산되는 쌀, 옥수수, 밀, 차, 뽕나무 잎이 거래되는 시장이었고 13세기 이후에는 주요 면화 생산지가 되었다. 비록 여전히 행정구역 상 쑤저우에 속하지만 장쑤 성의 외국 교역 기반이다. 현재 쑤저우와 우시를 위해 창수 주변의 양쯔 강에서 항구가 개발 중이다.
창수시 경제
창수는 지난 20년간 15~20%의 경제 성장률을 기록했다. 2007년에 창수의 GDP는 976억 위안(143억 달러)이었고 2006년에 비해 18% 증가하였다. 1차 산업은 오직 1.8%를 차지한 반면에 2차 산업은 59.18%, 3차 산업은 39%를 차지하였다.
도시의 주요 산업은 방직, 제지, 정밀 화학, 기계, 철강, 임업이다. 도시에는 4000개가 넘는 직물 및 의류 회사가 있고 이들의 연간 판매량은 500억 위안에 달한다. 제지 산업은 150억 달러 이상을 벌어들였다. 2007년 말 이 산업의 생산량은 240만 톤을 초과하였다.
샤프와 둔롭같은 유명 기업을 포함한 2000개가 넘는 외국 기업들이 창수에 투자하였다. 계약된 투자의 최소한 3분의 1이 타이완으로부터 온 것이고 500개가 넘는 타이완 기업들이 도시에 1억 달러 넘게 투자하였다. 창수의 수입과 수출 또한 최근에 증가하고 있어 2007년에 수입은 88.4% 증가한 38억 9천만 달러를 기록했고 수출은 60.4% 증가한 67억 4천만 달러를 기록했다.
창수시 인프라
옌타이-난퉁-창수-상하이를 지나는 204번 국도와 쑤저우-자싱-항저우를 연결하는 쑤자항 고속도로가 모두 창수를 통과한다. 양쯔 강을 따라 난징과 상하이를 연결하고 창수를 통과하는 새 도로가 계획 중이다. 2008년 10월에 개통된 쑤퉁교는 창수와 난퉁을 연결한다. 총 길이 32.4km의 세계에서 가장 긴 현수교가 2008년에 개통하였다.
창수항은 상하이항과 쑤저우 공업 단지를 지원하는 6위의 내륙항이다. 현재 12개의 부두가 있고 또다른 9개의 부두가 건설 중이다.
천칭자리 23 b
천칭자리 23 b는 2000년 발견된, 천칭자리 방향으로 지구로부터 약 81광년 떨어져 있는 외계 행성이다.
발견시를 기준으로 이 행성의 최소 질량은 목성의 1.62배이지만 궤도 경사각이 밝혀져 있지 않아 최대 질량은 목성의 34배 까지 불어날 수도 있다. 극대값의 경우 행성이 아니라 갈색 왜성이 된다. 이 행성은 어머니 항성의 생명체 거주 가능 영역 내를 공전하고 있는데, 거리는 0.81 천문단위로 태양계에 대입할 경우 금성 궤도 정도이다. 어머니 항성이 태양과 비슷하기는 하지만 약간 더 어둡고 덜 뜨겁기 때문에 이 거리에서도 생명체 거주 가능 영역이 형성되는 것이다.
리 대수
리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.
리 대수 정의
가환환  위에 정의된 리 대수 는 -가군 와 다음을 만족하는 선형 변환 로 이루어진다.
이 이항 연산은 리 괄호(Lie括弧, 영어: Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.
만약 에서 2의 역원 이 존재한다면 (예를 들어, 가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 에 대하여 인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)
통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자  등으로 나타낸다.
정수환  위의 리 대수를 리 환(Lie環, 영어: Lie ring)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.
가환환  위의 리 대수 의 부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) 는 리 괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉, 이며 이다.
리 대수 정의
가환환  위의 리 대수 의 리 대수 아이디얼 는 를 만족하는 -부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) 를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, 영어: graded Lie algebra)의 개념을 정의할 수 있다.
가환 모노이드 가 주어졌다고 하자. 가환환  위의,  등급을 갖는 등급 리 대수 는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,
이다.
리 대수 성질
리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.
통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 이다.
리 군과 달리, 주어진 체  위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.
이는  위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.
이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
리 대수 성질
리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 , 가 주어졌을 때, 그 곱 는 의 원소들의, 에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.
주어진 체  위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 의 핵은 의 원상 이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. 의 여핵은 그 치역 를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)
리 대수의 범주는 아벨 군의 범주  위의 풍성한 범주(영어: enriched category)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.
리 대수 성질
체  위의 단위 결합 대수의 범주 에서 체  위의 리 대수의 범주 로 가는 망각 함자
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자
이다.
리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 리 오퍼라드(영어: Lie operad) 가 존재한다. 즉, 체  위의 리 대수는 -벡터 공간의 범주 위의 -대수이다. 마찬가지로, -초 벡터 공간의 범주 위의 -대수는 리 초대수라고 한다.
다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 L∞-대수라고 한다.
리 대수 연산
가환환  위의 리 대수 의 중심(中心, 영어: center) 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.
가환환  위의 리 대수 의 리 대수 아이디얼 가 주어졌을 때, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) 를 정의할 수 있다. -가군으로서, 는 몫가군 이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.
가환환  위의 두 리 대수 , 가 주어졌을 때, 그 직합 를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
보다 일반적으로, -리 대수의 집합 이 주어졌을 때, 그 직합
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, -리 대수의 집합 이 주어졌을 때, 그 직접곱
리 대수 연산
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.
실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.
군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(擴大, 영어: extension)를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열
이 주어졌다면, 를 의 로의 확대라고 한다. 만약 가 의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(中心擴大, 영어: central extension)라고 한다.
군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합(영어: semidirect sum)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.
리 대수 연산
체  위의 리 대수  위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 -선형 변환이다.
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.
리 대수  위의 미분들의 벡터 공간을 라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수(영어: Lie algebra of derivations) 라고 한다.
이는 의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 가 아벨 리 대수라면 이다.
일 경우, 는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.
임의의 원소 에 대하여, 딸림표현 는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, 영어: inner derivation)이라고 한다.
리 대수 구조론과 분류
우선 다음 성질을 정의하자.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수
단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수
다음을 보일 수 있다.
아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.
리 대수 낮은 차원의 리 대수
3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, 비앙키 분류(영어: Bianchi classification)라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.
임의의 체 에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.
2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.
모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 반단순 리 대수는 와  두 개가 있다. 전통적으로 는 VIII형, 는 IX형으로 불린다.
3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용
는 2×2 실수 정사각 행렬 에 의하여 완전히 결정된다. 과  (, )는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다.
리 대수 낮은 차원의 리 대수
이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 이자 2차원 갈릴레이 대수 이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(영어: homothety, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 이며, VI0형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 와 같으며, VII0형은 2차원 유클리드 대수 와 같다. II형과 VI0형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.
즉,
일 경우, 로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.
3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.
3차원 복소수 단순 리 대수의 경우,  하나밖에 없다. 이는 전통적으로 VIII/IX형으로 불린다.
3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI0형과 VII0 형이 같아진다.
레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.
리 대수 예
가환환  위의 자명한 가군  위에, 자명한 리 괄호 를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.
보다 일반적으로, 가환환  위의 가군  위에 자명한 리 괄호 을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수(영어: Abelian Lie algebra)라고 한다. 만약 가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.
가환환  위의 단위 결합 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, 는 리 대수를 이룬다.
특히,  위의  정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 이다.
가환환  위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 가 주어졌다고 하자.  위의 미분들의 집합을 라고 쓰자.  위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.
그렇다면  역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 는 -리 대수를 이룬다.
리 대수 예
리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수(영어: free Lie algebra)를 정의할 수 있다. 집합  위의 자유 리 대수를 라고 하고,  위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 라고 하자. 그렇다면 는 자연스럽게 의 부분 집합을 이루며, 는 의 보편 포락 대수이다. 는  속의, 로 생성되는 부분 리 대수이다.
매끄러운 다양체  위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.
리 군  위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 를 이룬다. 즉, 는 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.
심플렉틱 다양체  위의 매끄러운 함수 에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.
그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 는 -리 대수를 이룬다. 의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.
보다 일반적으로, 푸아송 다양체 가 주어졌을 때, 는 -리 대수를 이룬다.
리 대수 예
표수가 0인 체  위의 형식적 멱급수환 을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 은 리 대수를 이룬다. 의 부분 리 대수를 형식적 벡터장 리 대수(영어: Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.
두 형식적 벡터장 리 대수 가 의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 좌표 변환 아래 동치(영어: equivalent under coordinate transformation)라고 한다.
의 차수는 다음과 같다.
여기서 우변에서 이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, 가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수  속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 는 부분 리 대수를 이룬다. 의  속의 여차원은  이하이다. 만약 의 여차원이 이라면, 을 추이적 형식적 벡터장 리 대수(영어: transitive Lie algebra of formal vector fields)라고 한다.
1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.
리 대수 예
이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 , ,  세 개이다.
대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체  위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 , , ,  4개의 무한 족과 , , , ,  5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체  위의 반단순 리 대수  속에 카르탕 부분 대수 를 잡자. 그렇다면,  속의 의 근계 를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 는 -등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, 의 등급은
이다.
군  속의 한 중심렬
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 에 대하여
라고 하자. 그렇다면, 은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.
이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.
점을 가진 공간  위의 호모토피 군  위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군
을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.
리 대수 역사
소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"(영어: infinitesimal group)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.
1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도(러시아어: И́горь Дми́триевич Адо́)가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비(이탈리아어: Eugenio Elia Levi)가 증명하였다.
리 대수 각주
Erdmann, Karin; Mark J. Wildon (2006). 《Introduction to Lie Algebras》. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi:10.1007/1-84628-490-2. ISBN 978-1-84628-040-5. ISSN 1615-2085.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Hall, Brian C. (2003). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》. Graduate Texts in Mathematics 222. Springer. arXiv:math-ph/0005032. doi:10.1007/978-0-387-21554-9. ISBN 978-0-387-40122-5. ISSN 0072-5285.
리 대수 각주
Serre, Jean-Pierre (1992). 《Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University》. Lecture Notes in Mathematics 1500 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2. ISSN 0075-8434.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Varadarajan, V.S. (1974). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations》. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1126-6. ISBN 978-0-387-90969-1. ISSN 0072-5285.
Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan; Tenorio, Ángel F. (2013). “A historical review of the classifications of Lie algebras” (PDF). 《Revista de la Unión Matemática Argentina》 (영어) 54 (2): 75–99.
디나르쿠스
디나르쿠스(그리스어: Δείναρχος, Dinarchus, 기원전 361년~기원전 291년)는 코린토스 출신의 고대 그리스의 연설문 작가이다. 그는 비잔티움 아리스토파네스와 사모트라케의 아르스타르쿠스에 의해 제본된 알렉산드리아 경전에 포함된 기원전 3세기의 마지막 10명의 아티카의 현자였다. 소스트라투스(또는 소크라테스)의 아들 디나르쿠스는 어린시절에 아테네에 정착하였다. 25세이전에 그는 로고그래퍼였다. 그는 법정을 위해서 연설문을 작성하였다. 외국인으로서 그는 논쟁에 참여할 수 없었다. 그는 테오프라스투스와 테마메트리우스 팔레레우스 둘 모두의 학생이었다. 그리고 일찍이 특정 유창함과 문체의 다양성을 취득하였다.
기원전 324년 아레오파카스는 조사 후에 알렉산더의 도망한 회계원 하르팔루스에게서 뇌물을 받았다고 보고하였다. 10명의 검찰관이 임명되었다. 디나르쿠스는 이들 검찰관의 하나 또는 이상에 대해서 현재에는 실전된 세가지 연설문을 썼다.
디나르쿠스
디나르쿠스의 동정심은 마케도니아가 조정하는 아테네 과두정치를 선호하였다. 그러나 그가 아테네 시만이 아님이 기억되어야 한다. 아에스치네스와 데마데스는 그러한 변명을 지니지 않았다. 하르팔루스 사건에서 데모스테네스는 의심없이 무죄이며 그리하여 아마도 피고인의 다른 이들이었다. 아직 히테레이데스는 가장 정렬적인 애구가로 디나르쿠스와 같은 편이었다.
그의 주인 데메트리우스 팔레레우스의 진정하래에 디나르쿠스는 큰 정치적인 영향력을 행사하였다. 기원전 317년에서 기원전 307년은 그의 인생의 가장 번영하는 해였다. 데메트리우스 팔레레우스의 유죄선고와 데메트리우스 폴리오르케테스의 민주회복에 따라 디나르쿠스는 사형이 언도되었고 에우보이아의 칼키스로의 추방으로 감형되었다. 기원전 292년 그의 친구 테오프라스투스 덕분에 그는 아티카로 돌아올수 있었다. 그리고 이전의 협회 프록세누스와 나라는 그의 거주권을 차지하였다.
데마라투스
데마라투스(그리스어: Δημάρατος, Demaratus)는 코린토스인으로 고대 로마의 다섯 번째 왕이었던 루키우스 타르퀴니우스 프리스쿠스의 조부 또는 증조부였다.
데마라투스 생애
그는 바치스가의 코린티아 귀족이었다. 그는 기원전 655년 피난처로 그리스에서 이탈리아로 도착하였다. 데마라투스는 타르퀴니이의 에트루리아 도시에 정착하였다. 그리고 타르퀴니이에서 에트루리아 귀족과 결혼하였다. 그들은 두 아들을 두었는데 루쿠모와 아룬스가 그들이다. 아룬스는 그의 아버지 데마라투스 앞에서 죽었는데 임신한 아내를 남겼다. 데마라투스는 미래의 손주가 있다는 사실을 모른 채 그를 위한 상속을 전혀 남기지 않았다. 그의 이름은 가난 때문에 에게리우스(필요한 이)였으며 루카레티아의 남편이며 타르퀴니우스 콜라티누스의 아버지였다.
데마라투스가 이탈리아의 서부 주요지로 이동할 때 그는 그의 모든 부를 가져갔다. 그리고 그리스 문화와 그리스 도자기를 도입하였다. 아마도 그는 코린토스에서 이들 도공들을 데려 왔다. 이들 도공들은 이탈리아 서부의 주요지에서 그리스 도자기의 개발에 책임이 있었다. 그라비스카의 그리스 교역 거점과 타르퀴니이에 그리스 도공이 있었다. 그리스 여행자 파우사니아스에 따르면 그의 손자와 아들이 올림피아를 방문하고 그곳에서 헌신한 첫 외국인이었다. 타시투스에 따르면 그는 에트루리아 문학을 가르쳤다.
티몰레온 어린 시절
그의 형제 티모파네스는 전투에서 그에 의해 목숨을 구하였는데 코린토스의 아크로폴리스를 소유하였다. 그리고 스스로 도시의 주인이 되었다. 티몰레온은 무효한 저항후에 묵인한 반면 그를 따르던 친구들은 티모파네스를 죽였다. 공적인 의견이 그의 행위가 애국적이라고 승인하였다. 그러나 그의 어머니의 저주와 그의 친척의 분개는 그를 20년간의 은퇴로 몰아갔다.
티몰레온 시칠리아에서
시라쿠사의 정치적인 문제와 스파르타의 위협때문에 시라쿠사인들의 일단이 코린토스의 도움을 청하였는데 그 때가 기원전 344년이었다. 코린토스는 도움을 거절할 수가 없었지만 주요 시민들은 인위적이고 혼란한 시라쿠사의 정착 정부를 세우려는 시도의 책임을 사퇴하였다. 티몰레온은 대중 단체에 의해 무기명 투표로 임무를 수행하도록 선택되었다. 그리하여 코린토스의 약간의 지도자급 시민들과 소규모의 그리스 용병부대와 함께 시칠리로 항해를 출발하였다.
그는 카르타고 선단을 피하여 타우로메니움(현재의 타오르미나)에 상륙하였다. 그곳에서 친근한 환대를 받았다.
이때에 시라큐사의 히케타스는 레온티니의 독재관으로 오르티기아 섬을 제외한 사라쿠사의 제왕이었다. 그곳은 디오니시우스 2세가 독재관으로 장악하고 있었다.
티몰레온 시칠리아에서
히케테스는 내륙의 도시, 아드라눔에서 패하였고 그리고 사라쿠사로 밀렸다. 기원전 343년 디오니시우스는 코린토스로 안전한 이동의 조건으로 오르티기아를 항복시켰다. 히케타스는 이제 카르타고로부터 6만명의 지원을 받았다. 그러나 부진은 상호 의심을 일으켰다. 카르타고인들은 히케타스를 포기하였는데 그는 레온티니에 포위되었다. 그리고 항복하도록 억압되었다. 그리하여 티몰레온은 시라쿠사의 제왕이 되었다.
그는 즉시 재건의 작업을 시작하였고 모도시와 그리스에서의 새로운 정착자를 데려오고 디오클레스의 민주 법에 기초한 대중적인 정부를 세웠다. 성은 파괴되었고 정의의 법정이 그곳에 그곳에 들어섰다. 앰피폴로스(쌍창) 또는 올림피아 제우스의 사제는 세 부족에서 해마다 제비뽑기로 선택되는데 포도(폴리스+)대장이 지원하였다. 티몰레온의 개혁의 영향은 아우구스투스의 시절까지 지속되었다.
히케테스는 다시 카르타고를 움직여 (기원전 340년~ 339년) 7만 대군을 보내게 하였다. 군대는 릴리바에움(현재의 마르살라)에 상륙하였다. 약 1만 2000명의 중간 규모의 군단, 대부분 용병과 함께 티몰레오는 섬을 가로질러서 서쪽으로 셀리누스의 이웃으로 진군하였다.
티몰레온 시칠리아에서
그리고 결정적인 크리미수스의 승리를 획득하였고 장군 자신은 보병을 이끌고 적의 완패는 비와 눈보라로 완성되었다. 이 승리는 시칠리의 그리스인들에게 카르타고로부터의 오랫동안의 평화와 안전을 주었다.
그러나 카르타고는 한번 더 노력하여 약간의 용병을 보내어 티몰레온과 독재관사이의 불화를 지연시켰다. 그러나 그것은 히케테스의 패배로 종료되었으며 그는 체포되어 처형되었다.
카르타고는 그 후 기원전 338년 조약에 합의하였다. 이 조약에 의해 시칠리내의 카르타고는 할리쿠스(플라타니)의 서쪽에만 국한되었다. 그리고 카르타고는 독재관들에게 더이상의 원조를 제공하지 않았다.
키프셀루스
키프셀루스(그리스어: Κύψελος)는 기원전 7세기 고대 코린토스의 첫 독재관이었다. 증가한 부와 더욱 복잡해진 교역 관계 그리고 사회 구조와 함께 그리스 도시 국가들은 그들의 전통적인 관습이었던 제사장 왕제도를 버리는 경향을 보였다. 코린토스는 가장 부유하였던 고대 도시로 그 길을 이끌었다. 중세 후기의 각하와 르네상스 이탈리아의 독재관들은 대개 약간의 대중적인 지지의 수뇌부에서 권력을 장악하였다.
자주 독재관들은 기존의 법과 관습을 지지하였고 숭배 관습인 제사에 대해서는 매우 보수적이었다. 그리하여 적은 위험의 안정성을 유지하여 그들 자신의 안전을 이루었다. 르네상스(문예혁명)의 이탈리아에서와 같이 개인성의 숭배는 자연스럽게 이전의 정통 왕가의 신적인 권리를 대체하였다. 코린토스의 마지막 전통적인 왕 텔레스테스가 아리에우스와 페렌테스에 의해 암살된 후에 더이상의 왕은 없었다.
대학 축전 서곡
《대학 축전 서곡 작품번호 80》(독일어: Akademische Festouvertüre)은 요하네스 브람스가 1880년 여름에 작곡한 연주회용 서곡이다.
대학 축전 서곡 배경
브람스는 사람들이 야단스레 축하의 취주를 하는 것이 싫었기 때문에 브레슬라우(현재 폴란드의 브로추아프) 대학에 감사의 표시로 자신이 손으로 쓴 음표 하나를 보내주는데 만족하였다. 그러나 브람스를 학위자로 지명했던 지휘자 베르나르트 숄츠는 그를 설득하여 학위 증서에 감사의 표시로 더 큰 반응을 해 주도록 정하였다. 대학에서는 브람스에서 음악 외에 다른 것은 기대하지 않았다. 그는 편지로 "우리에게 훌륭한 교향곡 한 곡을 작곡해주십시오! 훌륭한 관현악이지만 너무 복잡하지 않게끔!"라고 썼다.
대학 축전 서곡 악기 편성
브람스의 관현악곡, 협주곡, 관현악 반주를 수반하는 합창곡을 통틀어 가장 악기 편성이 가장 크다.
대학 축전 서곡 구조
끊기지 않는 네 부분으로 이루어져 있다.
대학 축전 서곡 초연
1881년 1월 4일 브람스 본인이 브레슬라우 대학의 특별 연주회에서 직접 초연을 지휘하였다.
우주 마이크로파 배경
우주 마이크로파 배경(영어: cosmic microwave background, CMB 또는 CMBR)은 관측 가능한 우주의 모든 공간을 채우는 마이크로파 복사이다. 그것은  원시 우주에 대한 한 중요한 자료의 소스를 제공하는 한 잔해이다. 우주 배경 복사(宇宙背景輻射영어: cosmic background radiation)라고도 한다. 한 표준 광학 망원경을 사용하면, 별들과 은하들 사이의 배경 공간은 거의 완전히 어둡다. 그렇지만, 한 충분히 민감한 전파 망원경은 거의 균일하고 또한 어떤 별, 은하 또는 다른 천체와도 관련이 없는 한 희미한 배경 발광을 감지한다. 이 발광은 전파 스펙트럼의 마이크로파 영역에서 가장 강하다. 1965년의 미국의 전파 천문학자 아노 펜지어스와 로버트 윌슨에 의한 우연한 CMB를 발견(discovery of cosmic microwave background radiation)은 1940년대에 시작된 연구의 정점이었다.
우주 마이크로파 배경
CMB는 우주의 기원에 대한 대폭발(빅뱅) 이론의 획기적인 증거이다. 대폭발 우주론 모형들에서는, 가장 초기 우주는 아원자 입자의 고밀도의 뜨거운 플라즈마로 이루어진 어떤 불투명한 안개로 가득 차 있었다. 우주가 팽창함에 따라, 이 플라즈마는 양성자들과 전자들이 결합하여, 대부분 수소의 중성 원자들을 형성하는 지점까지 냉각되었다. 플라즈마와 달리 이 원자들은 톰슨 산란(Thomson scattering)에 의해 열복사를 산란시킬 수 없었기 때문에 우주는 투명해졌다 - 때때로 유물 복사선(relic radiation)이라고도 한다. 재결합 시대로 알려진 이 디커플링(decoupling) 현상은 공간을 자유롭게 여행하기 위해 광자들를 방출했다. 그렇지만, 그 광자들은 우주 팽창과 관련된 우주론적 적색이동로 인해 에너지(photon energy)가 감소하게 되었다. 마지막 산란 표면은 공간에서 적절한 거리에 있는 껍질을 의미하므로 원래 분리 당시 방출된 광자들이 지금 수신된다.
우주 마이크로파 배경
CMB는 완전히 매끄럽고 균일하지 않으며, 민감한 감지기에 의해 매핑될 수 있는 희미한 비등방성을 보여준다. 지상 및 COBE 및 WMAP와 같은 우주 기반 실험들은 이러한 온도 비균질성들을 측정하는 데 사용되었다. 비등방성 구조는 디커플링 지점까지 물질과 광자들의 다양한 상호작용들에 의해 결정되며, 그 결과 각도 스케일에 따라 달라지는 한 특징적 덩어리진 패턴이 생긴다. 하늘을 가로지르는 비등방성 분포는 일련의 피크와 밸리를 나타내는 파워 스펙트럼(power spectrum)으로 나타낼 수 있는 주파수 성분들을 갖고 있다. 이 스펙트럼의 피크 값은 초기 우주의 물리적 특성에 대한 중요한 정보를 담고 있다: 첫 번째 피크는 전체적 우주의 곡률을 결정하고, 두 번째 및 세 번째 피크는 각각 일반 물질과 소위 암흑물질의 밀도를 자세히 설명한다. CMB 데이터에서 미세한 세부 정보를 추출하는 것은 도전적인 일로서, 이것은 그 방출이 은하단과 같은 전경 특징들에 의해서 수정되었기 때문이다.
우주 마이크로파 배경 정밀한 측정의 중요성
CMB의 정밀한 측정은 우주론에 매우 중요한데, 이것은 어떤 제안된 우주 모형들이라도 이 복사를 설명해야만 하기 때문이다. CMB는 2.72548±0.00057 K의 온도에서 열 흑체 스펙트럼을 가진다. 스펙트럼 복사휘도(spectral radiance) dEv/dν는 약 6.626×10-4 eV의 광자 에너지(photon energy)에 해당하는 주파수의 마이크로파 범위에서 160.23GHz에서 정점에 이른다. 그 대신에, 만일 스펙트럼 복사휘도(spectral radiance)가 dEλ/dλ로서 정의되면, 그 피크 파장은 1.063mm(282GHz, 1.168 × 10-3 eV 광자)이다. 발광은 모든 방향에서 매우 거의 균일하지만, 작은 잔류 변화는 현재 우주 크기로 확장된 상당히 균일하게 분포된 뜨거운 가스에서 예상되는 것과 같은 매우 특정한 패턴을 나타낸다. 특히, 하늘에서 서로 다른 관측 각도에서의 스펙트럼 복사휘도는 작은 비등방성 또는 불규칙성을 포함하며, 이것은 조사된 영역의 크기에 따라 다르다. 그것들은 상세하게 측정되었으며 또한 매우 작은 공간에서 물질의 양자 요동에 의해 생성된 작은 열 변화가 오늘날 우리가 볼 수 있는 관측 가능한 우주의 크기로 확장되었을 때 예상되는 것과 일치한다. 이것은 과학자들이 더 나은 데이터(예: 플랑크 위성)와 팽장 초기 조건들에 대한 더 나은 해석들을 모두 추구하는 한 매우 활발한 연구 분야이다. 많은 다른 과정들이 흑체 스펙트럼의 일반적인 형태를 생성할 수 있지만, 대폭발(빅뱅) 이외의 어떤 모형도 아직그 요동들을 설명하지 못했다. 결과적으로, 대부분의 우주론자들은 우주의 대폭발 모형이 CMB에 대한 최상의 설명이라고 간주한다.
우주 마이크로파 배경 정밀한 측정의 중요성
관측 가능한 우주 전체에 걸친 높은 균일성과 희미하지만 측정된 비등방성은 일반적으로 대폭발(박뱅) 모형, 특히 ΛCDM("람다 차가운 암흑물질") 모형에 대한 강력한 근거를 제공한다. 더욱이, 그 요동들은 재결합 시 겉보기 우주론적 지평선(cosmological horizon)보다 더 큰 각도 스케일에서 결맞음 상태이다. 그러한 결맞음은 비인과적으로 미세 조정되거나, 또는 우주 급팽창이 발생한 것이다.
우주 마이크로파 배경 정밀한 측정의 중요성
온도 및 편광 비등방성 외에 CMB 주파수 스펙트럼은 스펙트럼 왜곡(CMB spectral distortions)으로 알려진 흑체 법칙으로부터 미세한 이탈을 특징으로 할 것으로 예상된다. 이것들은 또한, 원시 우주와 후기에 구조의 형성들에 대한 풍부한 정보를 포함하고 있기 때문에, 향후 수십 년 내에 한 첫 번째 측정을 희망하는 활발한 연구 노력의 초점에 있다.
우주 마이크로파 배경 특징
우주 마이크로파 배경 복사는 하늘의 모든 부분에서 나오는 균일한 흑체 열 에너지의 방출이다. 그 복사는 대략 100,000분의 1정도로 등방성이다: 배경 복사의 도플러 효과에서 쌍극자 비등방성을 뺀 후 평균 제곱근으 변이는 단지  18 μK에 불과하다. 후자는 사자자리(은하 경도 264.021 ± 0.011, 은하 위도 48.253 ± 0.005)를 향해 약 369.82 ± 0.11 km/s의 속도로 움직일 때 공변하는 우주적 정지 프레임과 관련된 태양의 특이운동에 의해 발생한다. CMB 쌍극자와 더 높은 다중극에서의 수차가 측정되었는데, 이것은 은하 운동과 일치했다.