hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
빌리 아이흘러 정치입문
상인집안에서 태어난 아이흘러는 1922년부터 괴팅겐의 철학자 레오나르드 넬손(Leonard Nelson)의
비서로 일했다. 1923년에 독일사회민주당에 입당한다. 넬손의 추종자로 넬손이 만든 국제사회주의자투쟁동맹의
방침에 따르다가 사회당민주당으로부터 1926년 출당된다. 1932/33년에 아이흘러는 나치반대 투쟁을 위해
국제사회주의자투쟁동맹이 만든 일간지 'Der Funke'의 편집인을 역임한다. 1932년 제국의회 선거에서
독일 공산당과 독일사회민주당의 공동선거운동을 위한 활동으로 많은 유명지식인과 학자들의 지지를 얻는다.
빌리 아이흘러 망명
1933년 프랑스로 이주한다. 루테티아 그룹(Lutetia-Kreis)에 속해 히틀러 독재에 대항하는 인민전선의 형성을 시도한다.
후에 영국으로 가서 다시 독일사회민주당에 합류한다.
빌리 아이흘러 귀환이후
1946년 그는 독일로 돌아와서 독일사회민주당 재건에 참여한다. 동시에 '정신과 행동'이라는 잡지를 창간하고 그가 사망하는 1971년까지 발행자를 지낸다. 또한 1951년까지 라인신문의 편집장으로 일한다. 정치 경력으로는 사민당 중부라인지역 대표와 1947/48년 노르트라인베스트팔렌주의 주의원을 지냈다. 1946년에서 1968년까지 독일사민당 최고위원을 지냈으며 슈마허 사후에는 대표의 역할을 했다. 그 외에도 고데스베르크 강령 준비위원회 대표를 지냈으며, 1947/48년에는 영국군정의 자문위원회 위원을 지냈고, 독일 경제 재건에 관한 일을 했던 프랑크푸르트의 경제자문위원회의 위원도 역임했다. 1949년에서 1953년까지 연방의원을 지냈으며 1952년부터는 언론, 방송, 영화관련 상임위원회 부위원장을 지낸다.
아이흘러는 전후 독일사회민주당의 영향력있는 강령이론가 중의 하나였으며, 고데스베르크 강령을 초안작성과 수정에 중요한 역할을 했다. 후에 독일 사회민주당 관련 재단인 프리드리히 에버트 재단의 공동대표로 일했다.
지오이드
지오이드(영어: geoid)는 지구상에서 높이(해발고도)를 측정하는 기준이 되는 가상면이다. 이 면은 중력 퍼텐셜이 같은 등퍼텐셜면이고, 중력 가속도를 측정할 때 기준면이 된다. 물체는 이 면에 대해서 수직 방향의 중력을 받는다. 지오이드의 형태(즉, 위치에 따른 중력의 작용선)의 변화를 측정하면, 지표 아래에 주변과 다른 밀도를 갖는 물질의 존재를 파악할 수 있다.
지오이드는 바다에서는 평균 해수면으로 정의하고, 육지에서는 바다에서 시작하여 가상의 수로를 팠을 때, 수로의 수면으로 정의한다.
지오이드 형태
실제 지오이드 면은 굴곡이 심해 측지측량에는 활용할 수 없다. 준거타원체와 거의 동일한 모양이다.
우정식 병음
우정식 병음(郵政式拼音, postal romanization)은 20세기 초 중국에서 우편 행정용으로 사용한 로마자 표기법을 말한다.
고데스베르크 강령
고데스베르크 강령(Godesberger Programm)은 1959년에서 1989년까지 독일사회민주당의 강령을 말한다. 1959년 11월 15일 본 근처에 위치한 바드 고데스베르크시에서 개최된 독일사회민주당 임시 당대회에서 324대 16으로 채택되었다.
이 강령은 사민당이 '사회주의 노동자당'에서 '실용주의적 국민정당'으로 전환을 강령에 반영한 것이다. 사민당은 지금까지 이 입장을 견지하고 있다. 공식적으로 1925년 채택된 하이델베르크 강령이 직전 강령이지만 사실상 1946년의 '사민당의 정치적 기본입장'에 의해 이미 많이 약화되어 있는 상태였다. 고데스베르크 강령은 1989년 베를린 강령에 의해 대체된다.
고데스베르크 강령 성립
사회민주당은 바이마르 공화국과 나치시대를 거치면서 큰 변화를 경험한다. 정권참여, 10여년후에 뒤따른 공화국의 붕괴 그리고 망명의 경험은 강령에 대해서 새로운 검토를 필요로 했다. 지속적이 빈번한 대립 끝에 빌리 아이흘러의 하의 강령위원회는 초안을 제출한다.
강령은 빌리 아이흘러가 가장 큰 영향을 미쳤으며 칼로 슈미트, 발데마르 폰 크뇌링엔, 프리츠 엘러등이 영향을 미쳤다.
헤르베르트 베너가 자유민주주의 기본입장을 강령에 포함하기로 입장을 바꾼것이 강령이
성공적으로 채택되는데 결정적인 역할을 했다. 이 강령을 통해 사민당은 계급투쟁, 주요산업의 사회화나 계획경제같은 마르크스주의개념들로부터 결별을 하게 된다.
1960년 베너는 사민당의 대외정책 전환을 한다. 그 내용은 기존에 독일을 중립적 통일 정책에서 친서방정책으로 전환을 핵심으로 한다.
1975년 '지침 85'를 통해 강령에 약간의 수정이 가해진다. 최종적으로 1989년 12월 20일 베를린 강령으로 대체된다.
고데스베르크 강령 내용
이 강령은 자유로운 사회주의와 자유롭지만 책임지는 민주주의에 대한 찬성을 통해 많은 요구들을 새로운 것으로 대체되었다. 계획경제는 시장경제의 일반지식에 의해 대체되어 폐기되었다. '부르조아 계급지배의 철폐'는 생산수단의 사적이지만 공동체 지향적인 소유의 수용으로 대체되었다.
이 강령의 핵심 요구는 '법치국가', '사회적 시장경제' 그리고 '인간의 자유로운 발전'이다.
강령의 첫 문장은 "사회주의자는 모든 사람들이 자유속에서 그들의 개성을 발전시킬수 있는 공동체지향하는 한편 정치, 경제, 문화생활에 공동체의 일원으로 책임있게 임하는 인간성을 함께 발전시키는 공동체를 지향한다."라고 하고 있다.
강령에서 사민당은 아래 구절을 통해 자기 규정하고 있다.
"사회주의는 지속적인 과제이며, 자유와 정의를 위해 투쟁하는 것이며, 자유와 정의를 지키는 것이며, 자유와 정의 속에 지켜지는 것이다."
유향 그래프
그래프 이론에서 유향 그래프(영어: directed graph 또는 digraph) 또는 방향 그래프는 방향을 가진 그래프이다.
유향 그래프 정의
유향 그래프는 는 집합 와, 의 순서쌍들로 구성된 집합 의 순서쌍이다. 이 경우, 라면 를 에서 로 가는 변이라고 하며, 꼭짓점 는 변 의 머리(영어: head 헤드[*], 꼭짓점 는 변 의 꼬리(영어: tail 테일[*])라고 한다.
유향 그래프 용도
유향 그래프로 나타내는 것에는 먹이그물와 게임 트리 등이 있다.
유향 그래프 내차수와 외차수
정점의 경우 정점에 인접한 머리 끝부분의 수를 정점의 내차수(indegree)라고 하며 정점에 인접한 꼬리의 끝부분의 수를 외차수(outdegree)라고 부른다.
스탬퍼드브리지 전투
스탬퍼드교 전투(Battle of Stamford Bridge)는 잉글랜드 북부에 있는 스탬퍼드브리지에서 이루어진 전투이다. 잉글랜드의 해럴드와 그의 동생 토스티그를 주축으로 형제간에 벌어진 전투이다. 그러나 실질적으로는 하랄 3세가 토스티그 편의 군사들을 지휘했다.
참회왕 에드워드가 사망하자 이를 계기로 잉글랜드 왕국의 왕위를 노린 노르웨이의 하랄드 3세가 1066년 9월 8일, 침략군을 이끌고 잉글랜드 북부에 상륙했고, 그곳에서 형에 향한 복수의 칼을 갈고 있던 해럴드의 동생 토스티그 고드윈슨과 손을 잡았다. 그들은 지역 저항군들을 무찌르며 거침없이 진격했다. 소식을 들은 머시아의 에드윈 백작과 노섬브리아의 모카 백작의 군대가 맞서 싸웠으나, 9월 20일 요크 근처에서 벌어진 풀포드 전투에서 패배했고 요크가 함락되었다. 그 후 5일뒤 소식을 들은 해럴드는 자신이 직접 군대를 이끌었고, 스탬퍼드브리지에서 만난 양쪽 군대간 격렬한 전투가 시작되었다. 이 전투에서 하랄드 하르드라다와 토스티그가 전사하였고, 노르웨이의 침략군은 패배했다.
체비쇼프 부등식
확률론에서 파프누티 체비쇼프의 이름을 딴 체비쇼프 부등식(체비세프 부등식, 체비쇼프 정리, 비에나메-체비쇼프 부등식)은 확률 분포에서 그 어떠한 데이터 샘플 혹은 확률 분포에서 거의 모든 값이 평균값에 근접하며 "거의 모든" 과 "근접하는"의 양적 설명을 제공한다.
예를 들자면,
등등이다. 일반적으로:
체비쇼프 부등식 일반 공식
이 부등식은 측도를 사용하여 상당히 일반적으로 나타낼 수 있다; 그렇다면 확률론의 언어로 나타낸 식은 측도 1의 공간을 위한 특정 사례로써 따르게 된다.
측도 공간 (X,Σ,μ)와, X 상에 정의된 확장된 실수값을 갖고 잴 수 있는 함수 f가 있다고 하자. 그렇다면 어떤 실수 t > 0에 대해서도 다음 부등식이 성립한다:
좀 더 일반적으로, 만약 g 가 음수가 아닌 확장된 실수값을 갖고 잴 수 있는 함수이며, f의 범위에서 감소하지 않는다면,
그렇다면 위의 정의는 g(t)를
로써 정의하고 f 대신 |f|를 취함으로써 따르게 된다.
기댓값이 μ이고 분산이 σ2인 확률 변수 X가 있다고 하자. (이때, 분산은 유한한 값이다) 그러면 어떠한 실수 k > 0에 대해서도 다음 부등식이 성립한다.
k > 1인 경우에만 의미있는 정보를 제공한다.
예제에서처럼, k=√2를 사용하는 것은 값들의 최소한 절반이 (μ − √2 σ, μ + √2 σ)의 범위에 놓여있다는 것을 보여준다.
체비쇼프 부등식 일반 공식
보통, 이 법칙은 비교적 느슨한 한계를 제공한다. 그러나, 체비쇼프의 부등식에 의하여 제공되는 한계는 일반적으로 (임의의 분포의 변수들에게는 여전히 유효한 상태로 남아있다) 더 향상될 수 없다. 예를 들면, 그 어떠한 k > 1 에 대해서도, 다음 예제는 (여기서 σ = 1/k) 한계에 정확히 들어맞는다.
이 법칙은 느슨한 한계에도 불구하고 유용할 수 있는데, 그 이유는 이 법칙이 그 어떠한 분포의 확률변수에 대해서도 적용되기 때문이며 분포에 관하여 평균과 분산 이외에 대하여 아는 바가 없을 때에도 이러한 한계들이 계산될 수 있기 때문이다.
체비쇼프의 부등식은 큰 수의 약한 법칙을 증명하기 위하여 사용된다.
구체적인 예를 들면, 출판물에서의 문서들과 같이 많은 분량의 텍스트를 가지고 있다고 가정하자. 이 문서들이 평균 1000 글자 길이로 200 글자의 표준편차를 가진다는 것을 우리가 알고 있다고 가정하자. 체비쇼프의 부등식으로부터 우리는 모든 문서 중 최소한 75%는 길이가 600에서 1400 글자 (k = 2) 사이라는 것을 추론할 수 있다.
체비쇼프 부등식 변형: One-sided 체비쇼프 부등식
A one-tailed variant with k > 0, is
체비쇼프 부등식의 one-sided version 은 칸텔리 부등식이라 불리며 Francesco Paolo Cantelli으로부터 기인한다.
체비쇼프 부등식 증명
At 가 At = {x ∈ X | f(x) ≥ t} 로 정의된다고 가정하고, :
가 At 집합의 표시 함수라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 확인하는 것은 쉬운 일이다
그러므로,
원하는 부등식은 위의 부등식을 g(t) 로 나눔으로써 따르게 된다.
마르코프 부등식은 어떤 실수값 확률 변수 Y와 그 어떤 양수 a에 대해서도, Pr(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a가 성립한다는 부등식이다. 마르코프 부등식을 확률 변수 Y = (X − μ)2 에 a = (σk)2에 적용하면 체비쇼프 부등식을 증명할 수 있다.
직접적인 증명도 가능하다. 어떤 이벤트 A에 대하여, IA를 A의 표시 확률 변수라고 가정하자, 즉 IA은 A가 발생하면 1이고 아니면 0이다. 그렇다면
이 직접 증명은 왜 한계가 일반적 경우에서 매우 느슨한지를 보여준다: "≥" 의 좌측에 있는 숫자 1은 "≥" 의 우측의 [(X − μ)/(kσ)]2 의 값이 1을 초과할 때마다 이 값으로 교체된다. 어떤 경우에는 매우 넓은 차이를 두고 1을 초과한다.
이항 관계
수학에서 이항 관계(二項關係, 영어: binary relation)는 “…는 …보다 크다” 또는 “…와 …는 같다”와 같이, 두 대상에 대하여 정의되는 성질을 집합론적으로 실현한 개념이다. 기술적으로, 이항 관계는 순서쌍들로 구성된 집합이다. 어떤 순서쌍이 이항 관계의 원소라면, 순서쌍의 두 성분 사이에 관계가 성립한다고 해석한다.
예를 들어, “…는 …의 약수”라는 조건은 두 정수 사이의 이항 관계 를 정의한다. 이 이항 관계는 기술적으로 이 의 약수인 경우의 모든 순서쌍 들의 집합이다. 은 이 이항 관계의 원소이며, 은 이항 관계의 원소가 아니다 (5는 20의 약수이며, 6은 13의 약수가 아니다). 보통 나  대신
이항 관계
와 같이 적는다.
이항 관계의 개념은 모임 위로 확장할 수 있다. 모임 위의 이항 관계는 모임이며, 고유 모임일 수 있다. 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없으므로, 주어진 두 모임 사이의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 없다. 반면, 주어진 집합 위의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 있으며, 이는 항상 집합이다.
이항 관계는 관계의 항수가 2인 경우이다. 이항 관계의 이론은 다른 항수의 관계보다 풍부하다. 일부 문헌에서는 이항 관계를 단순히 관계라고 부른다. 혹자는 이항 관계를 대응(對應, correspondence)이라고 일컫는다.
이항 관계 정의
이항 관계는 다음 조건을 만족시키는 집합 이다.:10:26, Definition I.6.1
만약 라면, 와  사이에 관계 가 성립한다고 해석한다. 는 를 뜻한다. 는 를 뜻한다. 는 이며 임을 뜻한다.
집합 와  위의 이항 관계는 이항 관계 를 뜻한다. 집합  위의 이항 관계는 와  위의 이항 관계 를 뜻한다. 모든 이항 관계 는 어떤 집합 (예를 들어, ) 위의 이항 관계이다.
이항 관계 연산
이항 관계 와 의 합성 는 다음과 같다.
이항 관계의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다.
증명:
이에 따라, 범주 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
집합과 이항 관계의 범주 은 모든 작은 곱과 쌍대곱을 가지며, 둘 모두 분리합집합으로 주어진다. 또한, 동등자를 가지지 않지만, 모든 작은 약한 동등자(영어: weak equalizer)를 갖는다.
또한, 이항 관계 의 거듭제곱
을 정의할 수 있다. 이에 대하여 다음 항등식들이 성립한다.
증명:
그 밖에도, 다음 항등식들이 성립한다.
증명:
이항 관계 의 역관계 는  속 순서쌍의 두 성분을 뒤바꾼 이항 관계이다.
역관계는 자명하게 대합을 이룬다.
증명:
역관계와 합성은 다음과 같이 호환된다.
증명:
특히,
이다.
증명:
이항 관계 가 주어졌을 때,
만약 라면, 이므로, 이다. 따라서, 이항 관계의 상·원상·정의역·치역은 항상 집합이다.:27, Definition I.6.6, Justification
임의의 이항 관계 에 대하여, 다음이 성립한다.
증명:
코시 열
코시 열(Cauchy列, 영어: Cauchy sequence)은 해석학에서 점 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 프랑스의 수학자인 오귀스탱 루이 코시에서 이름을 따서 명명되었다. 보다 정확히 말하면 작은 양수의 거리가 주어진 경우에, 유한한 수의 원소를 제외한 수열의 모든 원소간의 거리가 주어진 거리보다 작다.
각 항이 "이전" 항에 임의로 근접하는 것은 충분하지 않다. 예를 들어 자연수의 제곱근 수열은 다음과 같다.
연속 항은 다음과 같이 임의로 서로 가까워진다.
그러나 지수 n의 값이 증가함에 따라 an 항은 임의로 커지게 된다. 따라서 모든 지수 n과 거리 d에 대해 am – an > d을 만족하는 충분히 큰 지수 m이 존재한다. 실제로 m > (√n + d)2이면 충분하다. 결과적으로, 얼마나 멀리 가더라도 수열의 나머지 항은 서로 가까워지지 않으므로 수열은 코시 열이 아니다.
코시 열
코시 열의 효용성은 완비 거리 공간(모든 그러한 수열이 극한으로 수렴한다고 알려진 곳)에서 수열의 수렴 기준이 극한을 사용하는 정의와는 다르게 수열의 항 자체에만 의존하는 점에 있다. 이는 이론 및 응용 알고리즘에서 종종 이용되는데 반복적 프로세스는 반복법으로 구성된 코시 열을 생성하기 위해 상대적으로 쉽게 보여질 수 있으며 따라서 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킨다.
보다 추상적인 균등 공간에서 코시 열은 코시 필터와 코시 그물의 형태로 일반화 할 수 있다.
코시 열 실수에서의 활용
실수의 수열 이 있다고 하자. 모든 양수인 ε에 대해 양의 정수 N이 있어서, 모든 자연수 m, n > N이 다음 조건을 만족한다면, 이 수열을 코시 열이라고 부른다.
여기서 수직 막대는 절댓값을 나타낸다. 비슷한 방법으로 유리수나 복소수의 코시 열을 정의할 수 있다. 코시는 이러한 조건을 무한대인 m, n의 모든 쌍에 대해 이 무한소가 되는 것으로 공식화했다.
실수 r의 경우에는 r의 잘린 소수 확장 수열은 코시 열을 형성한다. 예를 들어 r = π일 때 이 수열은 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)이다. m < n을 가정할 때 m번째와 n번째 항은 최대 101−m만큼 달라지며 m이 커짐에 따라 고정된 양수 ε보다 작아진다.
만약 가 집합 의 수열인 경우에는 수열에 대한 "코시 수렴 계수"는 자연수 집합에서 자신에게 와 같은 함수 이다.
코시 열 실수에서의 활용
코시 수렴 계수가 있는 모든 수열은 코시 열이다. 코시 열을 위한 계수의 존재는 자연수의 순서적 특성에서 비롯된다 (는 코시 열의 정의에서 가능한 가장 작은 이 되도록 하여 을 로 한다). 또한 계수의 존재는 선택 공리의 약한 형태인 의존적 선택 공리로부터 따르며 또한 AC00이라고 불리는 훨씬 더 약한 조건으로부터 온다. "정규 코시 열"은 주어진 코시 수렴 계수(보통  또는 )의 수열이다. 코시 수렴 계수를 갖는 모든 코시 열은 정규 코시 열과 동일하다. 이것은 어떠한 형태의 선택 공리도 사용하지 않고 증명될 수 있다.
코시 수렴 계수는 어떠한 형태의 선택도 사용하지 않으려는 구성주의 수학자들에 의해 사용된다. 코시 수렴 계수를 사용하면 구성주의 해석학에서 정의와 이론을 모두 단순화할 수 있다. 정규 코시 열은 에렛 비숍(Errett Bishop)의 구성적 해석학 기초(Foundations of Constructive Analysis)에서, 더글러스 브리지(Douglas Bridges)의 비구성적 교과서(ISBN 978-0-387-98239-7)에서 사용되었다.
코시 열 거리 공간에서의 활용
코시 열의 정의는 거리 개념만 포함하므로 이를 거리 공간 X로 일반화하는 것이 간단하다. 이를 위해 |xm − xn|은 xm과 xn 사이의 거리 d (xm, xn) (여기서 d는 거리를 나타냄)로 대체된다.
일반적으로 주어진 거리 공간 (X, d)의 수열은 x1, x2, x3, ...이다. 코시 열(d(xm, xn) < ε)은 모든 양의 실수 ε > 0인 경우 모든 양의 정수 m, n > N에 대해 거리d(xm, xn) < ε인 양의 정수 N이 있다는 것을 의미한다.
대략적으로 말해서 수열의 항은 X에 극한이 있어야 한다는 것을 암시하는 방식으로 점점 더 가까워지고 있다. 그럼에도 불구하고 그러한 극한은 항상 X 내에 존재하는 것은 아니다. 모든 코시 열이 공간에서 수렴하는 공간의 속성을 완비성이라고 하며 아래에 자세히 설명되어 있다.
코시 열 완비성
모든 코시 열이 X의 원소로 수렴되는 거리 공간(X, d)을 완비 거리 공간이라고 한다.
실수는 일반적인 절댓값에 의해 유도된 거리 아래에서 완비이며 실수의 구성 가운데 유리수의 코시 열을 포함한다. 이 구조에서 특정한 꼬리 행동을 가진 유리수의 코시 열의 각 동치류, 즉 서로 임의로 가까워지는 수열의 모임은 실수이다.
다소 다른 유형의 예는 이산 위상을 가진 거리 공간 X이다. X 원소의 모든 코시 열은 어떤 지점 이후에는 값이 일정해야 하며, 결국 반복해서 등장하는 값으로 수렴한다.
유리수 Q는 일반적인 거리에서 완비가 아니다. 무리수 R에 수렴하는 일련의 유리수들이 있는데 이들은 Q에 극한이 없는 코시 열들이다. 실수 x가 무리수인 경우에 n번째 항이 x의 소수점 확장에서 n번째 항이 잘린 소수점 자리인 수열(xn)은 무리수인 극한 x를 가진 유리수의 코시열을 제공한다. 무리수는 확실히 R에 존재한다. 예를 들면 다음과 같다.
코시 열 완비성
R에 보통 거리가 있는 실수의 집합에서 열린 구간 는 완비 공간이 아니다. 그 안에 수열 이 있는데 이것은 코시 열(임의적으로 작은 거리 경계 의 경우 의 모든 항 이  구간에 적합하다)이다. 그러나 "극한"인 수 은 공간 에 속하지 않는다.
수열의 완비성 공리
어떤 수열에 유계가 존재하고 단조증가이거나 단조감소이면 이 수열은 어떤 값t에 수렴한다.
이는 공리이므로 증명을 제시하지 않는다.
임의의 거리 공간에서 극한 s와 수렴된 수열을 갖는 코시 열은 동일한 극한 그 자체로 수렴한다. 왜냐하면 원래 수열의 일부 고정점을 넘어서 임의의 실수 r > 0이 주어지기 때문에 수열의 모든 항은 s의 r/2 안에 있고 원래 수열의 두 항은 각각 거리 r/2 안에 있기 때문이다. 원래 수열의 모든 항은 s의 거리 r 안에 있다.
코시 열 완비성
볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리는 이들의 마지막 2가지 특성과 밀접하게 관련된 실수의 완비성에 대한 표준 증거를 제시한다. 실수의 코시 열은 유계이고 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 수렴하는 부분 수열을 갖기 때문에 그 자체를 스스로 수렴한다. 실수의 완전성에 대한 이 증거는 암시적으로 최소 상계 성질을 이용한다. 위에서 언급한 유리수의 완성으로서 실수를 구성하는 대안적 접근 방식은 실수의 완전성을 자율적으로 만든다.
코시 열로 작업하고 완비성을 사용할 수 있는 이점을 보여주는 표준 삽화 가운데 하나는 무한히 연속되는 실수의 합계(또는 보다 일반적인 노름 공간 또는 바나흐 공간의 원소)를 고려하여 제공된다. 이러한 급수 은 부분합 의 수열이 수렴하는 경우에만 수렴하는 것으로 간주된다. 여기서 이라는 등식이 성립된다. 양수 p > q인 경우에는 이라는 등식을 통해 부분합의 수열이 코시 열인지 아닌지를 판단할 수 있다.
만약 가 거리 공간 M과 N 사이의 균등 연속 함수이고 (xn)가 M의 코시 열이라면, 는 N의 코시 열이다. 만약 와 가 유리수, 실수 또는 복소수에서 2개의 코시 열이라면, 합계 와 곱  역시 코시 열이다.
코시 열 일반화
위상 벡터 공간 에 대한 코시 열의 개념도 있다. 먼저 0에 대한 국소기저인 의 를 선택한다. ()는 각 구성체가 일 때에 이 의 원소일 때에 코시 열이다. 의 위상 배치가 변환 불변 공간 와 호환된다면 2가지 정의는 일치한다.
코시 열의 위상 벡터 공간 정의는 연속적인 "추출" 연산만 있으면 되기 때문에 위상군의 맥락에서 설명될 수 있다. 위상군 의 수열 는 의 항등원의 모든 열린 근방 에 대해 이 존재할 때마다 를 따르는 일부 이 존재한다면 코시 열이다.
거리 공간의 완비화 구성과 마찬가지로 에 있는 모든 열린 근방 에 대해 이 을 따르도록 몇 개의 이 존재한다면 와 가 동등하다는 코시 열에 대한 이진 관계를 정의할 수 있다. 이러한 관계는 동치관계이고 이러한 수열은 반사적인 코시 열이다. 이러한 수열은 이기 때문에 대칭이며 이는 역의 연속성에 의해 항등원의 또다른 열린 근방이기 때문에 대칭이다. 에서 와 는 와 같이 항등원의 개방된 근방이기 때문에 추이적 관계이다. 이러한 쌍들은 군 연산의 연속성에 의해 존재한다.
코시 열 일반화
군에는 코시 열 개념도 있다: 은 유한 지수 의 정규 부분군이 감소하는 수열이다. 의 수열 는 코시 열(w.r.t. )이라고 표현하는데 과 같은 인 경우에 이 있는 경우에만 해당된다. 기술적으로 이것은 의 위상 배치를 위한 코시 열과 동일하며 가 국소기저이다.
이러한 코시 열의 집합 는 (성분별 결과물인 경우) 군을 형성하며 Null 수열(s.th. )의 집합 은 의 정규 부분군이다. 요인 그룹 은 와 관련하여 의 완성이라고 한다. 그런 다음에 이러한 완비가 수열 의 역극한과 같은 형이라는 것을 확인할 수 있다.
정수론과 대수기하학에서 익숙한 이러한 구조의 예는 소수 p에 대한 p진수 완비 구조이다. 이 경우 G는 추가되는 정수이고 Hr은 pr의 정수 배수로 구성된 가법 부분군이다. 만약 가 공종 집합 수열이라면(즉 유한 지수의 모든 정규 부분군은 을 포함한다) 이 완비는 의 역극한과 동일하다는 점에서 표준이다. 여기서 는 유한 지수의 "모든" 정규 부분군에 걸쳐 변화한다.
코시 열 일반화
실제 수열 은 일반적인 자연수 n 이외에 지수 n의 초정수 값에 대해 정의된 자연적인 초실수 확장 H를 갖고 있다. 무한대인 H와 K에 대해 값이 표시되는 경우()만 코시 열이다. 여기서 "st"는 표준부분함수이다.
헤닝 크라우제(Henning Krause)는 2018년에 범주의 코시 완비화에 대한 개념을 도입했다. Q(유리수를 대상으로 하며, 작은 유리수에서 큰 유리수로의 사상을 가지는 얇은 범주)의 범주 코시 완비화는 R(마찬가지의 범주)이다.
고타 강령
고타 강령(고타 綱領, 독일어: Gothaer Programm)은 독일사회주의노동자당(Sozialistische Arbeiterpartei Deutschlands)의 강령이다. 아우구스트 페르디난트 베벨과 빌헬름 리브크네히트의 지도하에 있던 사회민주노동자당과 빌헬름 하젠클레버 하의 전독일노동자협회가 1875년 5월 22일부터 27일까지 고타에서 열린 당대회에서 통합을 선언하고 고타 강령을 당 강령으로 채택한다.
사회민주노동자당 강령의 핵심은 "자유로운 국가와 사회주의적 사회, 임노동제의 철폐를 통한 구시대적 임금법의 분쇄, 모든 사회에서의 착취의 지양, 모든 사회적 정치적 불평등의 제거"였다. 양당의 통합을 주도한 인물은 리브크네히트와 베벨와 함께 빌헬름 하젠클레버였다.
고타 강령
고타 강령은 당시 런던에서 망명하고 있던 사회주의 이론가 칼 마르크스가 많은 비판을 했다. 마르크스는 고타 강령이 개혁주의적인 전독일노동자협회의 입장에 기울어져 있다고 봤기 때문이다. 리브크네히트는 강령보다 독일에 단일한 노동자 정당을 건설하는 것이 중요하다고 생각했기 때문에 독일 사회주의노동자당에 참여한다. 그는 후에 1876년 창간된 당기관지 '전진'을 통해 마르크스주의의 재수용과 사회주의노동자당의 혁명적 내용을 지지한다.
고타 강령은 1890년 사회주의 탄압법이 철폐된 후 1891년 당대회에서 에르푸르트 강령으로 대체된다.
티베트고원
티베트고원 또는 청장고원(티베트어: བོད་ས་མཐོ།, 중국어: 青藏高原, 병음: Qīngzàng Gāoyuán 칭짱 가오위안[*], 영어: Tibetan Plateau 또는 Qing-Zang Plateau)은 동아시아의 고원으로, 중화인민공화국의 티베트 자치구와 칭하이성, 인도 카슈미르의 라다크 지역에 걸쳐 있다.
남북으로 1,000 km, 동서로 2,500 km 가량되며 평균 고도는 4,500 m이다. 세계의 지붕이라고도 불리며 넓이는 250만 km2로 세계에서 가장 높고 가장 큰 고원이다.
티베트고원은 남쪽은 히말라야산맥, 서쪽은 카라코람산맥, 북쪽은 쿤룬산맥과 치롄산맥, 동쪽은 헝돤산맥 등 높은 산맥으로 둘러싸여 있다.
인도판과 유라시아판의 충돌로 대략 5,500만 년 전에 형성되었다. 현재도 진행 중이다.
티베트고원 설명
티베트고원은 동아시아에 위치한 넓고 높은 고원이다. 티베트 자치구와 중화인민공화국 칭하이성, 그리고 인도 카슈미르에 걸쳐 있는 티베트고원은 남북 1000 km, 동서 2500 km에 뻗어 있으며, 그 평균 높이는 4500 m가 넘는다. '세계의 지붕'으로 불릴 만큼 세계에서 가장 높고 크며 면적은 약 250만 km2나 된다. 이 고원은 인도판와 유라시아판이 신생대에 충돌하며 생성되었으며 그 과정은 지금도 진행되고 있다.
이 고원은 산맥과 소금 호수가 분포한 고원의 건조, 스텝 지대를 형성하고 있다. 한 해 평균 강수량은 100 mm에서 300 mm로, 강수량의 대부분은 우박을 이룬다. 유목민들은 고원의 남부 및 동부 경계의 한 해 6개월가량 서리가 내리는 목초지에서 유목 생활을 유지하고 있다. 고원의 북부과 북서부에 위치한 외딴 커커시리 지역에 이르기까지 북서부로 갈수록, 고원의 고도가 높아지며, 기온이 떨어지며, 토질이 척박해짐을 알 수 있다. 이 지역 평균 고도는 5,000 m(16,500 ft)가 넘으며, 대기 속 산소량은 해수면 산소량의 60%에 맞먹으며, 한 해 평균 영하 4'C의 기온을 나타내며, 최저 기온은 영하 40'C까지 떨어진다.
티베트고원 설명
커커시리는 이러한 극한의 환경으로 인하여, 전 아시아에서 가장 인구 밀도가 희박하며 전 세계적으로 남극과 북쪽의 그린란드 다음인 세 번째로 인구 밀도가 희박한 지역으로 잘 알려져 있다. 티베트고원의 북서부 지역은 타림 분지와 경계를 이루는 쿤룬산맥에, 북동쪽은 고비 사막과 경계를 이루는 치롄산맥과 맞닿아, 고원의 남부 지역은 히말라야 기슭을 통해 뻗어있는 브라마푸트라강 계곡과 인도의 광활한 갠지스 평야로 둘러싸여 있다. 한편, 고원의 동부과 남동부 지역은 땅륀강, 메콩강을 비롯한 쓰촨 분지 서쪽의 창장 삼림 계곡과 산 상류의 산등성이를 마주하며, 서쪽은 카슈미르 북쪽에 위치한 융단과 같은 카라코람 고개의 능선으로 둘러싸여 있다.
티베트고원 지질학
티베트고원은 신생대 초기(약 5500만 년 전)에 인도판과 유라시아판의 충돌로 형성되기 시작하였다. 티베트고원이 형성되면서 상당한 기후 패턴의 변화가 있었으며, 아시아 열대 몬순에 영향을 주었다고 생각된다. 6월에서 10월에 걸친 인도 몬순 시기에 남쪽으로부터 불어오는 습한 열대 공기는 히말라야산맥에 막혀 비그늘을 만드는데, 이 때문에 인도 북부는 매우 습하게 되는 반면, 티베트고원 지역은 매우 건조하게 된다. 바람은 고원을 지나며 남아있던 습기를 모두 잃어버리며, 더욱 건조하게 되어 북쪽으로 이동하며 타클라마칸 사막이나 고비 사막을 만들게 된다.
세계적으로도 긴 강들이 티베트고원에서 발원하는데, 장강, 황하, 인더스강, 사틀루즈강, 브라마푸트라강, 메콩강, 이라와디강, 땅륀강 등이 포함된다. 이들 강들은 전 세계에서 유실되는 토양의 1/4을 침식하여 수송하고 있다.
지구 온난화의 영향으로 빙하가 녹아 칭짱철도도 우려되다.
티베트고원은 몇 번 빙하의 지세와 침전물에 의한 빙하의 전진을 경험했다.
티베트고원 문화
인류 문화에서 이룩한 가장 큰 진보 중 하나는 유목적 목축의 발달이다. 유목민의 적응은 생존을 위한 것으로, 그 지역에 적합하지 않은 곡식 대신에 목초지에서 가축류를 기르면서 이루어졌다. 유목민들은 지금도 티베트고원과 히말라야산맥 등지에서 살아가고 있다. 그들의 삶은 역사적으로 아시아와 아프리카로 확산되었던 유목이 여전히 남아있는 경우에 해당한다.
밴쿠버 국제공항
밴쿠버 국제공항(영어: Vancouver International Airport)은 캐나다 브리티시컬럼비아주 밴쿠버에 있는 국제공항으로 이 공항은 다운타운에서 12km 떨어져있는 리치먼드에 위치해있다.
밴쿠버 국제공항 역사
1931년 7월 1일 "밴쿠버 국제 수상기 공항(Vancouver International Water Airport)"으로 개항했다. 당시에는 폭격기를 제외하면 대형 수상기 정도만이 대륙간 대양횡단 또는 대륙횡단 비행을 할 수 있었기 때문으로, 당시 기술로는 그정도 비행거리를 가지는 항공기가 여객을 목적으로 광동체화할 경우 그 중량과 착지충격을 감당할 노반을 그렇게 대규모로 짓기가 곤란했던 것이 크다. 거기다 당시 광동체 대륙간 여객기로 주로 쓰던 보잉 314는 내부에 호화 여객선과 견줄만한 시설을 넣었고, 그 바람에 중량은 당시 많이 쓰이던 경쟁기종인 쌍발 DC-3는 물론, 314가 대체했던 팬암의 단 3대뿐이었으나 모조리 추락사고로 파괴 및 영구소실됐던 4발 협동체 수상기 마틴 M-130과 비교해도 압도적으로 무거웠었다. 따라서 4발 광동체 대륙간 여객기는 물 위가 아니면 운용 자체가 아예 불가능했고 그나마 장거리 폭격기를 다뤄야 하는 군사기지가 그래도 전략 목적으로 그정도 중량의 항공기가 쓸수있는 활주로 노반을 지었던 것이 고작이었다. 그래서 수상기 전용공항으로 개항했던 것이다. 그러다 결국 지상공항화를 하면서 제2차 세계대전 중 군용기지로 활용됐고, 1947년 밴쿠버가 공항 관리를 재개하면서 민항기 운항이 시작됐다. 1968년에 현재의 주 터미널이 건립되었고, 1996년에 국제선 터미널이, 2005년에 국내선 터미널이 증축되었다. 2011년 현재 여객 터미널은 국제선과 국내선 터미널과 별도의 사우스터미널 등 3개가 있다. 2010년 현재 승객 및 비행횟수 측면에서 토론토 피어슨 국제공항에 이어 캐나다에서 두 번째로 붐비는 공항이다. 스카이트랙스(Skytrax)가 발표한 북미 공항 최고상을 2007년과 2010년부터 2018년까지 9회 연속 수상하는 등 수상하는 등 북미 최고의 공항으로 불려왔다.
밴쿠버 국제공항 터미널
1968년 완공된 터미널. 탑승구는 A1,6, B11,22, C25,52의 3블록으로 나뉘는데, A블록은 주로 웨스트 제트가 C블록은 주로 에어 캐나다가 사용하고 있다. A블록 보딩 브리지는 특수한 구조 도중에서 2가지로 나뉘며 한쪽은 기체 전방의 문, 다른 한쪽은 기체의 주익을 넘어 기체 뒤쪽 문에서 탑승할 수 있다. 항공사나 이용 등급에 불구하고 유료로 이용할 수 있는 라운지(Plaza Premium Lounge)도 마련되고 있다.
1996년에 국내선 터미널을 확장하는 형태로 새롭게 건설완료했다. 미국의 사전 입국 시설(즉 도착 시는 다른 미국 국내선과 같은 장소에 내려옴)이 있어 미국으로 떠나는 여행객은 그 이외의 여객과 동선이 구분되면서 이 구역은 종종 USA터미널(탑승구 E70~96)으로 안내되고 있어. 그것 이외 일반의 국제선의 탑승구는 D50, D78이지만, 일부의 탑승구는 수요에 응하고 국내선과 미국선용으로 이용할 수 있도록 동선을 구절레루게 되고 있다. 항공사나 이용 등급에 불구하고 유료로 이용할 수 있는 라운지(Plaza Premium Lounge)도 마련되고 있다.
밴쿠버 국제공항 터미널
최고의 터미널에서 주로 주 내를 맺은 지역 항공사나 제너럴 애비에이션용이다. 수상기와 헬기는 이 터미널을 이용한다. 메인 터미널 사이는 무료 셔틀 버스가 접속하고 있다. 탑승구는 G1,3이다.
사슬
사슬은 다음과 같은 뜻을 갖는다.
호몰로지 대수학에서, 사슬 복합체는 멱영 사상으로 연결된 아벨 범주의 대상들의 열이며, 사슬(chain)은 사슬 복합체의 원소이다.
순서론에서, 사슬(chain)은 부분순서집합의 전순서 부분집합을 말한다.
사슬은 류미오 주연 영화이다.
사슬(Chained Up)은 2015년 11월 10일 발표된 빅스의 2번째 정규 앨범 타이틀곡이다.
로마 (드라마)
《로마》(Rome)는 미국의 HBO, 영국의 BBC, 이탈리아의 RAI가 공동제작한 TV 역사 드라마이다. 기원전 1세기 고대 로마가 공화국에서 제국으로 변모하던 시기를 그린 작품이다.
시즌 1은 미국의 HBO 케이블 텔레비전에서 2005년 8월 28일부터 11월 20일까지 방영되었다. BBC에서는 2005년 11월 2일부터 2006년 1월 4일까지 방영되었다. RAI에서는 2006년 3월 17일부터 4월 28일까지 방영되었다.
시즌 2는 2007년 1월 4일부터 3월 25일까지 미국에서 방영되었다. 국내에서는 SBS 외화시리즈로 2006년 11월 9일 ~ 2007년 2월 15일까지는 시즌 1를 2008년 9월 20일 ~ 2008년 10월 18일까지 시즌 2를 방영하여 전부 방영했다.
2006년과 2007년에 각각 3개와 4개의 에미상을 수상했다.
로마 (드라마) 시즌 1 방영 목록
1: The Stolen Eagle
2: How Titus Pullo Brought Down the Republic
3: An Owl in a Thornbush
4: Stealing from Saturn
5: The Ram Has Touched the Wall
6: Egeria
7: Pharsalus
8: Caesarion
9: Utica
10: Triumph
11: The Spoils
12: Kalends of Februa Synopsis
로마 (드라마) 시즌 2 방영 목록
1: Passover
2: Son of Hades
3: These Being the Words of Marcus Tullius Cicero
4: Testudo et Lepus (The Tortoise and the Hare)
5: Heroes of the Republic
6: Philippi
7: Death Mask
8: A Necessary Fiction
9: Deus Impeditio Esuritori Nullus (No God Can Stop a Hungry Man)
10: De Patre Vostro (About Your Father)
로마의 일인자
《로마의 일인자》는 가시나무새들(The Thorn Birds)로 유명한 [콜린 매컬로]가 쓴 <마스터스 오브 로마 Masters Of Rome> 시리즈(총 7부작)중 제1부에 해당하는 작품이며, <뉴욕 타임스> 베스트셀러이다.
로마의 일인자 스보베
<마스터스 오브 로마> 1부
<마스터스 오브 로마> 2부
<마스터스 오브 로마> 3부
<마스터스 오브 로마> 4부
절판
껀저현
껀저현(Huyện Cần Giờ)은 호찌민 시의 동남쪽에 위치한 해변에서 가까운 현이다. 호찌민 시내 중심에서 약 50km의 거리에 있다. 면적은 704.45km2이다. 행정구역 상으로는 호찌민시에 속해 있다.
껀저현 역사
베트남 전쟁 당시에 전투가 격렬했던 곳으로 꾸찌(Củ Chi), 떠이닌(Tây Ninh)과 함께 껀저는 3대 혁명 사적지 중에 한 곳이다.
껀저현 행정 구역
껀저 현은 1개의 티쩐(thị trấn)과 6개의 싸(xã)로 나뉘어 있다.
껀저현 자연
껀저 지역은 2000년 유네스코에 의하여 생물권보전지역으로 지정되어 있다. 동·식물이 그대로 잘 보존되어 있고, 특히 수백 마리의 원숭이가 반야생으로 생활하고 있다.
스펙트럼 (약학)
스펙트럼은 항생물질에게 감수성이 있는 세균의 범위(균주)와 그 작용 강도(효과)를 표시하는 것이다. 항균 스펙트럼, 항균역(抗菌域)이라고도 하고 영어로는 spectrum으로 표기한다.
선위
선위(禪位) 또는 양위(讓位)는 군주(군왕)가 아직 살아 있으면서 다른 사람에게 군주의 지위를 물려주는 일을 가리킨다. 보통 같은 왕조에서 아버지가 아들에게 왕위를 물려주고 자신은 상왕(上王) 또는 상황(上皇)으로 물러나 있는 것을 말한다. 중국의 역사에서는 아들을 제쳐두고 혈통이 다른 인물에게 왕위를 물려주는 것을 선양(禪讓)이라고 하여 유교적 이상향의 하나로 여긴다. 이처럼 선양도 선위의 일종이다.
선위 중국의 선위
중원
진 경공 → 진 여공
정 성공 → 공자 수
월자 부담 → 월왕 윤상
초 회왕 → 초 경양왕 (초 회왕의 폐위로 인하여 아들 경양왕이 대리집정공을 1년간 거친 이후 군주 보위에 오름.)
조 무령왕 → 조 혜문왕
서진 혜제 → 사마륜
북위 헌문제 → 북위 효문제
고담 → 고위
원랑 → 북위 효무제
고위 → 고항
고항 → 고개
우문윤 → 우문천
수 양제 → 수 공제
수 공제 → 당 고조 (수나라 왕조의 멸망)
당 고조 → 당 태종
당 중종 → 당 예종
이중무 → 당 예종
당 예종 → 당 현종
당 현종 → 당 숙종
당 순종 → 당 헌종
당 희종 → 이온
당 소종 → 이유
북송 휘종 → 북송 흠종
남송 고종 → 원의태자
남송 고종 → 남송 효종
남송 효종 → 남송 광종
남송 광종 → 남송 영종
서하 신종 → 서하 헌종
툴루이 → 우구데이 칸
금 애종 → 금 말제
원 문종 → 원 명종
대한송제국 송명황제 → 대한송제국 송오황제 (주군 송 명제 한임아가 승상 겸 총리대신 성문욱에게 선위.)
정통제 → 경태제
서나라 태조 → 서나라 사황제 (주군 서 태조 장헌충이 총리대신 손가망에게 선위.)
순치제 → 강희제
건륭제 → 가경제
동치제 → 광서제
광서제 → 보경제
극대 원소와 극소 원소
수학, 특히 순서론에서 극대 원소(極大元素, 영어: maximal element)와 극소 원소(極小元素, 영어: minimal element)는 부분 순서 집합에서 그와 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 이는 최대 원소, 최소 원소보다 약한 개념이다. 줄여서 극대원, 극소원이라고도 한다.
극대·극소 원소는 각각 존재하지 않을 수도, 유일하게 존재할 수도, 둘 이상 존재할 수도 있다. 극대 원소가 존재할 충분조건은 초른 보조정리에 의해 제시된다. 이 정리에 의하면, 부분 순서 집합의 모든 사슬이 상계를 가지면 그 부분 순서 집합은 극대 원소를 가진다. 이는 정렬 정리, 선택 공리와 동치인 명제이다.
극대 원소와 극소 원소 정의
부분 순서 집합 의 극대 원소 는 다음의 서로 동치인 두가지 정의가 있다.
부분 순서 집합 의 극소 원소는 반대 순서 집합 의 극대 원소이다. 즉, 다음의 서로 동치인 성질 중 하나를 만족하는 이다.
극대 원소와 극소 원소 존재성과 유일성
극대 원소와 극소 원소는 존재하지 않을 수 있다.
극대 원소와 극소 원소는 유일하지 않을 수 있다.
극대 원소와 극소 원소 최대·최소 원소와의 관계
모든 최대 원소는 극대 원소이며, 모든 최소 원소는 극소 원소이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
전순서 집합에서는 극대 원소와 최대 원소, 극소 원소와 최소 원소의 개념이 동등하다.
최대 원소와 최소 원소가 각각 많아야 하나뿐인 반면, 부분 순서 집합의 극대 원소와 극소 원소는 여러 개일 수 있다. 다만, 어떤 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 이는 최소 원소에 대해서도 마찬가지다.
극대 원소와 최대 원소가 동일시 되는 경우는 전순서뿐만이 아니다. 임의의 집합 에 대해, 그의 멱집합과 포함 관계로 이루어진 부분 순서 집합 은 극대와 최대, 극소와 최소 원소가 각각 유일하며 같으나, 이는 일반적으로 전순서가 아니다(의 원소가 없거나 하나 뿐일 때에만 전순서이다).
부분 순서 집합
순서론에서 부분 순서 집합(部分順序集合, 영어: partially ordered set, poset) 또는 반순서(半順序)는 먼저와 나중, 크고 작음, 멀고 가까움, 좋고 나쁨, 선호 등의 순서적 개념을 추상화한 이항 관계를 갖춘 집합이다. 사람들 사이의 조상-후손 관계를 예로 들 수 있다. 부분 순서 집합은 비교 불가능한 두 원소를 가질 수 있다. 예를 들어, 어떤 두 사람은 둘 다 상대방의 조상이 아닐 수 있다. 또한, 부분 순서는 추이적 관계이어야 하며 (조상의 조상은 조상), 반대칭적이어야 한다 (동시에 조상이자 후손일 수 없음). 부분 순서는 반사적인 것(, 에서의 )과 비반사적인 것(, 에서의 )으로 나뉜다. 두 종류의 부분 순서는 일대일 대응하며, 어느 한 종류의 부분 순서가 주어지면 남은 하나도 자동으로 따라온다.
부분 순서 집합
유한 부분 순서 집합은 하세 도형을 통해 시각적으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 가계도는 어떤 가문의 조상-후손 부분 순서를 그린 하세 도형이다. 하세 도형에서, 집합의 원소들은 원으로 나타내며, 원소 사이의 순서 관계는 두 원을 잇는 선분으로 나타낸다. 원이나 선분은 서로 겹치지 않아야 하며, 작은 원소는 큰 원소보다 낮은 곳에 있어야 한다. 유한 개의 원소를 갖는 경우, 이는 항상 만족 가능하다.
부분 순서 집합의 개념은 원순서 집합보다 강하고, 전순서 집합보다 약하다. 전순서 집합는 임의의 두 원소가 비교 가능한 부분 순서 집합이다. 원순서 집합의 개념은 부분 순서 집합의 개념에서, 서로 다른 두 원소가 똑같은 순위를 가지는 경우를 허용하여 얻는다. 범주론적으로, 부분 순서 집합의 개념은 서로 다른 대상이 동형이 아닌 작은 얇은 범주의 개념과 동치이다. 위상수학적으로, 부분 순서 집합은 알렉산드로프 콜모고로프 공간의 개념과 동치이다. 즉, 이들 개념은 같은 이론의 서로 다른 측면들이다.
부분 순서 집합 정의
부분 순서 집합의 개념은 통상적으로 반사 관계를 사용하여 정의된다. 집합  위의 (반사/비절대/비순) 부분 순서((反射/非絶對/非純)部分順序, 영어: (reflexive/non-strict) partial order)는 다음 세 조건을 만족시키는 이항 관계 이다.
부분 순서 집합 은 부분 순서를 갖춘 집합이다. 여기에서 반대칭 조건을 생략하면, 원순서의 개념을 얻는다. 부분 순서 집합이 다음 조건을 추가로 만족시키면, 전순서 집합이라고 한다.
다음 정의는 비반사 관계를 사용하며, 반사 관계를 통한 사용한 정의와 동치이다. 집합  위의 비반사/절대/순 부분 순서(絶對/純部分順序, 영어: irreflexive/strict partial order)는 다음 두 조건을 만족시키는 이항 관계 이다.
두 조건으로부터 추가로 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.
부분 순서 집합 은 비반사 부분 순서를 갖춘 집합이다. 부분 순서 집합이 다음 조건을 추가로 만족시키면, 전순서 집합이라고 한다.
부분 순서 집합 정의
반사 관계를 통한 정의와 비반사 관계를 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 반사 부분 순서 가 주어졌을 때, 이항 관계
는 비반사 부분 순서를 이룬다. 반대로, 비반사 부분 순서 가 주어졌을 때, 이항 관계
는 반사 부분 순서이다. 또한, 두 방향의 대응 관계는 서로의 역이며, 따라서 주어진 집합 위 반사 부분 순서와 비반사 부분 순서 사이의 일대일 대응을 이룬다.
부분 순서 집합 에서, 는 를 뜻하는 표기이다. 는 를 뜻한다.
범주론적으로, 원순서 집합의 개념은 작은 얇은 범주의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 원순서 집합 은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.
이 경우, 부분 순서 집합은 다음 조건을 추가로 만족시키는 작은 얇은 범주이다.
위상수학에서, 원순서 집합의 개념은 알렉산드로프 공간의 개념과 동치이다. 이 경우, 원순서 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 부분 순서 집합의 개념은 콜모고로프 공간인 알렉산드로프 공간의 개념과 동치이다. 사실, 서로 수반 함자를 이루는 두 함자 를 적절히 제한하면, 부분 순서 집합의 범주 와 콜모고로프 공간의 범주  사이의 한 쌍의 수반 함자
부분 순서 집합 정의
를 얻는다. 또한,  대신 콜모고로프 알렉산드로프 공간의 범주를 사용하면, 두 범주 사이의 동형을 얻는다.
두 부분 순서 집합 ,  사이의 함수 가 다음 조건을 만족시키면, 순서 보존 함수(영어: order-preserving map)라고 한다.
또한, 가 다음 조건을 만족시키면, 순서 반사 함수(영어: order-reflecting map)라고 한다.
또한, 순서 보존 순서 반사 함수를 순서 매입(영어: order-embedding)라고 하며, 전사 순서 매입를 순서 동형(영어: order isomorphism)라고 한다.
부분 순서 집합 정의
예를 들어, 자연수 집합(약수 관계에 의한 부분 순서)에서 그 멱집합(포함 관계에 의한 부분 순서)으로 가는 함수 가 임의의 자연수를 소인수들의 집합으로 대응시킨다면, 이는 순서 보존 사상이다. 임의의 자연수는 그의 약수의 소인수를 소인수로 가지기에 그러하다. 하지만 이는 단사가 아니며 () 순서 반사도 아니다(, 하지만 ). 자연수를 소수 거듭제곱 형식의 약수들의 집합으로 대응시키는 함수 는 순서 보존, 순서 반사이며 따라서 순서 매입이다, 전단사가 아니므로 (의 역상이 존재하지 않는다) 순서 동형은 아니다. 그러나 공역을 으로 제한하면 순서 동형이 된다. 집합과 멱집합 사이의 순서 동형은 더 넓은 의미의 부분 순서인 분배 격자로 일반화할 수 있다(버코프의 표현 정리 참조).
부분 순서 집합 에는 최대 · 최소, 극대 · 극소, 상계 · 하계의 개념이 존재한다.
최대 원소와 최소 원소
모든 에 대해 인 를 의 최대 원소라고 한다. 모든 에 대해 인 를 의 최소 원소라고 한다. 부분 순서 집합은 최대 · 최소 원소를 많아야 하나씩 가질 수 있다.
극대 원소와 극소 원소
부분 순서 집합 정의
인 가 존재하지 않는 를 의 극대 원소라고 한다. 인 가 존재하지 않는 를 의 극소 원소라고 한다. 만약 최대 원소가 존재한다면 그가 바로 유일한 극대 원소이다. 그렇지 않은 경우 극대 원소는 여러 개 있을 수 있다. 극소 원소와 최소 원소 사이에도 비슷한 관계가 있다.
상계와 하계
의 부분집합 에 대하여, 의 상계 는 를 모든 에 대해 성립하게 하는 의 원소이다. 의 하계 는 를 모든 에 대해 성립하게 하는 의 원소이다. 상계와 하계 모두 에 속하지 않을 수 있다. 의 최대 원소와 최소 원소가 존재한다면, 그들은 각각 의 하나의 상계, 하계이다.
예를 들어 양의 정수 집합과 약수 관계로 이루어진 부분 순서 집합 를 생각하면, 1은 그의 최소 원소이다. 최대 원소와 극대 원소는 존재치 않는다. 여기에 0을 추가하면 0이 최대 원소가 된다. 1보다 큰 정수만을 생각하면, 최소 원소가 존재하지 않게 되고, 모든 소수가 극소 원소가 된다. 이러한 집합에서, 부분 집합 은 상계 60을 가지며 하계는 존재하지 않는다. 2의 거듭제곱들의 집합은 2를 하계로 가지며 상계가 존재하지 않는다.
부분 순서 집합 연산
부분 순서 집합 이 주어졌을 때,  위에 다음과 같은 부분 순서 를 정의할 수 있다.
이 경우, 를 의 반대 순서 집합이라고 한다.
부분 순서  · 절대 부분 순서  · 반대 부분 순서  · 반대 부분 순서의 절대 부분 순서  가운데 임의의 하나가 결정되면, 나머지 셋 역시 결정된다.
부분 순서 집합의 전순서 집합 이 주어졌을 때, 분리 합집합  위에 다음과 같은 부분 순서 를 정의할 수 있다.
이를 선형합(영어: linear sum)이라고 한다.
부분 순서 집합의 족 이 주어졌을 때, 곱집합  위에 다음과 같은 부분 순서 를 정의할 수 있다.
이 경우, 를 의 직접곱(영어: direct product)이라고 한다.
마찬가지로, 절대 부분 순서 집합의 직접곱을 정의할 수 있으며, 이에 대응하는, 곱집합 위의 부분 순서는 다음과 같다.
부분 순서 집합의 정렬 집합 이 주어졌을 때, 곱집합  위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의할 수 있다.
이를 사전식 순서라고 한다.
부분 순서 집합 성질
크기 의 집합 위의 부분 순서의 수는 다음과 같다. ()
1, 1, 3, 19, 219, 4231, 130023, ... (OEIS의 수열 A1035)
크기 의 집합 위의 부분 순서의 동형류의 수는 다음과 같다. ()
1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, 2045, 16999, 183231, 2567284, ... (OEIS의 수열 A112)