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빈 역사
나폴레옹 전쟁이 벌어지던 1804년 빈은 새로 등장한 오스트리아 제국의 수도가 되었다. 이후 1814년부터 2년에 걸쳐 빈 회의를 개최하는 등 유럽과 세계 정치에서 영향력을 넓혀나갔다. 한편 1848년 합스부르크 왕조에 불만을 품은 대규모 반란이 일어났으나 진압 당했다. 1867년 오스트리아-헝가리 협정 이후, 빈은 오스트리아-헝가리의 수도로 남게 된다. 이 시기에 하이든, 모차르트, 베토벤 등 고전 음악의 거장이 다수 등장해 빈악파라는 용어가 생겨났다.
19세기 후반 시 정부는 원래 보루와 글라시였던 곳을 순환도로로 재개발하며 현대적 도시의 기반을 다졌다. 이 도로를 링슈트라세라고 부른다. 1918년 제1차 세계 대전 이후 빈은 독일계 오스트리아 공화국의 수도가 되었으며, 1919년 제1공화국에서도 마찬가지였다.
나치 독일에 강제 합병 당하기 전까지 상류층 문화와 모더니즘의 본고장으로 남았다. 브람스, 브루크너, 말러, 리하르트 슈트라우스와 같은 작곡가들을 길러냈다. 이 밖에도 빈 분리파, 정신분석학, 제2빈악파, 모더니즘 건축, 비트겐슈타인을 필두로 한 빈 학파 철학 등 여러 분야에서 서양 문명에 큰 영향을 주었다.
빈 역사
1913년의 빈은 아돌프 히틀러, 레온 트로츠키, 조시프 브로즈 티토, 지그문트 프로이트, 이오시프 스탈린 등이 도시 중심부 몇 킬로미터 반경 안에 동시에 거주하던 곳이었다. 심지어 그 중 일부는 같은 카페에 자주 모습을 보였다. 이 무렵 오스트리아인들은 빈을 사회주의 정치의 중심지로 여기며 붉은 빈이란 별명을 붙였다. 1934년 오스트리아 내전에서, 엥겔베르트 돌푸스 총리는 사회주의 민병대가 점령한 칼 마르크스 호프와 같은 공영 주택을 포격하기 위해 오스트리아 군대를 파견하기도 했다.
1938년, 대중의 인기를 누리며 빈에 입성한 나치 독일의 아돌프 히틀러는 헬덴 광장의 발코니에서 연설을 했다. 이때부터 나치는 빈에 살던 유대인들을 괴롭히고, 그들의 집을 약탈하며, 외딴 곳으로 내몰거나 처형했다. 1938년 벌어진 강제 병합에 의해 오스트리아는 나치 독일의 일부가 되었고, 빈은 베를린에게 수도의 지위를 내줘야 했다.
빈 역사
한편 전쟁 동안 빈은 하인리히 마이어가 주축이 된 레지스탕스 운동의 진앙지였다. 이들은 비밀리에 추축국의 주요 장비인 V-1, V-2, 티거 전차, 메서슈미트 도면을 입수해 연합국에 넘기기도 했다. 이들 대부분은 나중에 발각되어 게슈타포에게 처형 당하고 만다.
전후 빈은 1945년 9월까지 소련 점령 지역의 일부였다. 베를린과 마찬가지로 미국, 영국, 프랑스, 소련으로 이뤄진 위원회가 빈을 네 구역으로 나눠서 감독했다. 차이점은 도심 지역인 1구를 각 국가가 한 달씩 교대로 통제하는 국제 지대로 설정했다는 것이다. 이 같은 방법은 "지프에 탄 네 명의 군인" 방식으로 유명한데 사실상 네 국가 모두가 매일 서로를 감시하는 구조였다. 1948년 베를린 영공 차단 사태로 인해, 서양은 소련이 빈에서도 같은 행동을 반복할 수 있을 것이라는 우려를 품게 되었다. 영국 하원의원 앤소니 너팅은 "빈은 베를린과 완전히 같은 상황에 놓여 있다. 정부는 이와 유사한 상황에 대비한 계획이 있나?"라며 문제를 제기했다.
넷으로 나뉜 빈은 그레이엄 그린의 1949년 작품 《제3의 사나이》의 배경이 되었다. 이 영화는 소설로 탈바꿈해 출판되었다. 이러한 냉전 시대의 분위기는 필립 커의 1991년 소설 《독일의 레퀴엠》에서도 묘사된 바 있다.
1955년 5월 오스트리아 국가 조약이 체결되면서 갈라졌던 빈이 하나가 되었고, 복원 작업을 거친 국립 오페라 극장과 부르크 극장도 운영을 재개했다. 소련은 연합군이 철수한 뒤, 오스트리아가 중립을 선언할 것을 연방 정부로부터 확실히 보장 받기 전까지 오스트리아 국가 조약에 서명하지 않았다. 1955년 10월 말 통과된 이 중립에 관한 법은 현대 오스트리아가 북대서양 조약 기구나 소련 진영 중 어느 쪽에도 속하지 않을 것을 담보하며, 1995년 오스트리아가 EU에 가입을 망설인 이유 중 하나로 여겨진다.
1970년대, 오스트리아 총리 브루노 크라이스키는 국제 기구들을 위한 업무 단지인 빈 국제 센터를 개관했다. 빈은 유엔 (유엔 산업 개발 기구, 유엔 빈 사무국, 마약 범죄 사무소), 유엔 포괄적 핵실험 금지 조약 기구, IAEA, OPEC, OSCE와 같은 단체의 사무국을 유치하며 이전의 외교적 영향력을 되찾았다.
빈 주민
1867년부터 1918년까지 빈은 오헝제국의 수도였다. 이때 산업화와 대규모 이주로 인한 급격한 인구 증가가 발생했다. 1910년 빈의 주민은 2백만 명이 넘었는데, 이는 당시 런던과 파리에 이어 유럽에서 세 번째로 많은 인구였다. 20세기 초 빈은 체코 수도 프라하를 제외하면 전세계에서 체코인이 가장 많이 거주하는 도시이기도 했다. 1차 세계대전이 끝난 뒤, 많은 체코인들과 헝가리인들이 본국으로 돌아가면서 빈의 인구는 감소하게 된다. 또한 2차 세계대전 이후 소련이 유럽 각지에 퍼진 동유럽 이민자, 특히 체코, 슬로바키아, 헝가리 출신 주요 인력을 고향으로 돌려보내 공산주의 진영의 경제 발전을 꾀하면서 인구 감소가 가속화되었다. 이러한 경향은 2000년 인구 조사에서 가파른 성장을 보일 때까지 지속되었다. 2020년 빈의 인구는 1916년 보고된 인구 정점을 한참 밑돈다.
빈 주민
뿐만 아니라 빈은 유대인의 보금자리였다. 1930년대 초, 오스트리아 유대인 중 17만 8,000명에 이르는 많은 인구가 빈에 거주했다. 하지만 나치 독일의 오스트리아 합병 이후 65,000명에 달하는 유대인이 추방 당하거나 강제 수용소로 보내져 죽음을 맞이했다. 총 13만 명의 유대인이 원래 살던 곳을 떠난 것으로 추산된다.
2012년 오스트리아 통계청의 공식 보고서에 따르면, 빈 인구의 38.8퍼센트인 66만명 이상이 이민자 조상을 둔 것으로 나타났으며 유고슬라비아, 튀르키예, 독일, 폴란드, 루마니아, 헝가리 출신이 주를 이뤘다.
2005년부터 2015년까지 빈의 인구는 10.1퍼센트 성장했다. 유엔 인간 주거 계획은 빈을 17개의 유럽 대도시 가운데 2025년까지 가장 빠르게 성장할 수 있는 도시로 지목했다.
빈 주민
2001년 인구조사 결과, 주민의 49.2%가 천주교이었으며, 무신론자가 25.7%, 무슬림가 7.8%, 동방정교도가 6.0%, 개신교 신자는 4.7% (대부분 루터교), 유대교도 0.5%였고, 기타 종교나 답변하지 않은 사람들이 6.3%였다. 그러나 2011년 국제응용시스템분석연구소(IIASA)의 보고서에서 따르면 천주교 41.3%, 무신론자 31.6%, 이슬람교도 11.6%, 동방정교도 8.4%, 개신교 신자 4.2%, 그리고 기타 종교가 2.9%였다.
각 종교 단체가 시 정부에 직접 신고한 회원 정보를 토대로 작성된 2018년 빈 통계 연감에 따르면 약 610,269명 (인구의 32.3%)이 천주교이며, 195,000명 (10.3%)이 이슬람교, 70,298명 (3.7%)이 동방정교, 57,502명 (3.0%)이 기타 개신교, 9,504명 (0.5%)이 다른 종교였다. 빈 인구통계 연구소에서 실시한 2018년 연구에서는 천주교 34%, 무신론자가 30%, 이슬람교도가 15%, 동방정교도가 10%, 개신교 신자는 4%, 기타 종교가 6%였다.
2014년 봄 기준으로 빈의 학생 인구 가운데 30%는 무슬림이다.
빈은 천주교 대주교구의 본부가 있으며, 오스트리아 비잔틴 전례 천주교 집행부도 이 구역에 속한다. 현재 대주교는 크리스토프 쇤본 추기경이다. 중심가의 많은 천주교 교회에서는 고전 음악이나 오르간 연주와 함께 열리는 미사를 비롯한 많은 공연이 열린다. 성스테판 대성당(Stephansdom), 카를 교회(Karlskirche), 페터 교회(Peterskirche)와 보티프 교회(Votivkirche) 등 역사적인 건물 중 다수가 천주교 교회이다. 다뉴브강 둔치에는 일본산 묘법사의 승려들이 지은 불교평화탑이 있다.
빈 지리
오스트리아 북동부에 위치한 빈은 알프스 동쪽 끝자락인 빈 분지 위에 지어졌다. 오늘날 빈 도심에 해당하는 가장 오래된 정착지는 도나우강의 남쪽 둔치를 따라 형성되었으며 나중에 강 반대편으로 확장되었다. 해발고도는 최저 151미터에서 최고 542미터다. 면적은 414.65 제곱킬로미터에 달해 오스트리아에서 가장 넓은 도시다.
빈 지리
쾨펜의 기후 구분에 따르면 빈의 기후는 서안 해양성 기후로, 선선한 여름과 비교적 따뜻한 겨울이 특징이다. 강수량은 7월과 8월에 집중되어 있으며 각각 66.6mm와 66.5mm 수준의 비가 내린다. 6월부터 9월까지의 평균 최고 기온은 약 21°C에서 27°C(70°F에서 81°F) 사이이며, 최고 기온 기록은 38°C(100°F)를 넘어가고, 9월의 최저 기온은 5.6°C(42°F)이다. 겨울 평균 기온은 0°C를 조금 넘는다. 봄은 일교차가 심하고 가을은 서늘하며, 11월에는 눈이 내릴 가능성이 높다. 강수량은 일반적으로 연간 약 550mm(21.7인치)로, 지역별로 상당한 차이가 있다. 서쪽 비엔나 숲 지역은 연간 700mm에서 800mm(28인치에서 31인치)로 가장 습기가 많은 지역이며, 동쪽의 평평한 평야는 연간 500mm에서 550mm(20인치에서 22인치)로 가장 건조한 지역이다. 겨울에는 눈이 자주 오지는 않지만, 오스트리아의 서부 및 남부 지역과 비교하면 많은 편이다.
빈 행정 구역
빈은 23개 구(Bezirke)로 이뤄져 있다. 빈 행정 구역 사무소는 다른 오스트리아 주의 사무소와 비슷한 역할을 맡고 있으며, 경찰을 제외한 공무원들은 빈 시장 아래서 일한다. 경찰은 연방 정부가 관리한다.
각 구의 주민들은 오스트리아 국적 혹은 EU 영주권을 가졌다면 구 의회(Bezirksvertretung) 의원을 선출할 권한이 있다. 공공시설을 위한 운영 예산은 시청에서 분배하지만 우선 순위를 정해 예산을 사용하는 일은 각 구의 독립적인 권한이다. 하지만 구에서 이뤄진 모든 결정은 시 의회(Gemeinderat) 혹은 담당 시 의원이 뒤바꿀 수 있다.
빈 행정 구역
오늘날 인네레슈타트의 대부분을 차지하는 도시 중심부는 들판으로 둘러싸인 요새였다. 1850년 포어슈테테(Vorstädte)라고 불린 34곳의 인접한 마을이 황제의 명령으로 빈에 흡수된다. 현재 빈의 2구~9구 지역이다. 1857년 자연스럽게 성벽이 철거되면서 도심이 확장될 수 있는 공간이 만들어졌다. 새로 생긴 공간에 링슈트라세라고 이름 붙인 넓은 거리가 조성되었다. 20세기 초 여러 건축물, 기념비, 공원이 링슈트라세를 따라 지어졌다. 라트하우스, 부르크 극장, 빈 대학교, 의회의사당, 자연사박물관과 미술관, 국립 오페라 극장 등이 들어선 것이다. 또한 호프부르크의 새로운 측동, 제국 황궁, 1913년 완공된 제국 국방부 건물도 있었다. 도시 중앙의 슈테판 광장에는 대체로 고딕 양식을 따른 슈테판 대성당이 있다. 황실은 공사비를 마련하기 위해 도시 재건 기금을 설립하고 상당량의 부지를 개인 투자자들에게 매각했다.
빈 행정 구역
1850년부터 1890년까지, 리닌발(Linienwall)이라는 또 다른 성벽이 남서쪽의 도시 경계로 간주되었다. 이곳을 통과하려면 통행료인 리닌겔트(Liniengeld)를 내야 했다. 1873년 경, 성벽 바깥을 둘러싼 순환도로인 귀르텔(Gürtel)이 건설되었다. 1890년, 포어오르테라 불린 33곳의 교외 지역을 빈과 통합시킨다는 결정이 내려졌다. 1892년 1월 1일부터 빈의 일부가 된 이 지역은 지금의 11~19구다. 리닌발은 1894년 초 철거되었다. 20구인 브리기테나우는 1900년 2구에서 분리된 지역이다.
1850년부터 1904년까지 빈의 확장은 도나우강의 오른쪽 기슭에서만 일어났다. 1904년 강 왼편의 플로리드스도르프, 카그란, 슈타드라우, 히르쉬슈테텐, 아스페른을 통합한 21구가 생겨났고, 이어서 1910년 슈트레베르스도르프가 통합되었다. 1938년 10월 15일, 나치 오스트리아 정부는 26개 구와 96개 마을을 합쳐 대빈(Great Vienna)을 만들었다. 이때 통합된 마을 가운데 80곳은 1954년 니더외스터라이히주로 되돌려졌다. 이렇게 형성된 23개 구로 이루어진 도시가 지금의 빈이다.
빈 문화
볼프강 아마데우스 모차르트. 요제프 하이든, 루트비히 판 베토벤, 프란츠 슈베르트, 요하네스 브람스, 구스타프 말러, 아르놀트 쇤베르크 등이 빈에서 활동했다.
빈의 예술과 문화는 연극, 오페라, 고전 음악과 순수 미술 분야를 아우르는 긴 역사를 가지고 있다. 부르크 극장은 함께 운영되는 아카데미 극장과 더불어 독일어권 최고의 공연장 중 하나로 여겨진다. 폴크스 극장과 요제프슈타트 극장도 명성을 누리고 있다. 작은 극장도 많이 존재하며, 이들 대부분은 현대적이고 실험적인 연극이나 카바레와 같은 덜 대중적인 공연 예술을 위한 장소다.
또한 다수의 오페라 극장이 자리 잡고 있는데, 테아터 안 데어 빈, 빈 국립 오페라 극장, 폴크스 오퍼 등이 대표적이다. 후자는 전형적인 빈 오페레타를 내걸곤 한다. 빈 필하모니 관현악단의 보금자리인 빈 음악협회는 매년 개최하는 신년 연주회로 유명하고, 빈 콘체르트하우스는 빈 교향악단의 공연을 선보인다. 대부분의 공연장이 관광객을 대상으로 한 연주회를 열며, 모차르트, 요한 슈트라우스 1세와 2세의 음악이 인기 있는 주제다.
비너리트는 빈에서 유래한 독창적인 가곡이다. 지금까지 약 70,000곡에 달하는 비너리트가 발표되었다.
빈 문화
유로비전 송 콘테스트 2014의 우승자는 오스트리아의 콘치타 부르스트였는데, 우승한 나라가 이듬해 대회를 개최하는 전통에 따라 2015년 대회는 빈에서 열렸다. 이때 오스트리아는 무득점을 기록한 첫 개최국이라는 불명예를 안았다.
빈에는 다양한 건축 양식이 존재한다. 잘 알려진 예시는 로마네스크 양식으로 지어진 성 루퍼트 교회와 바로크 양식으로 지어진 카를 성당이다. 빈의 건축 양식은 고전주의부터 모더니즘까지 다양한데, 비교적 최근 등장한 아르 누보가 도시에 많은 영향을 끼쳤다. 빈 분리파 전시관, 카를플라츠 슈타트판 역사, 오토 바그너가 설계한 슈타인호프 교회는 아르 누보 건축을 정의하는 작품으로 손꼽힌다. 슬로베니아 출신으로 오토 바그너의 학생이었던 요제 플레치니크도 빈에 커다란 흔적을 남겼다.
빈 문화
1990년대 도시 외곽이라고 할 수 있는 다뉴브강 북쪽의 도나우슈타트와 도시 남부 비너베르크에서 대규모 개발 프로젝트가 시작되었다. 220미터 높이의 DC 타워 1은 다뉴브 강 인근에 건설되었고 2013년 완공되었다. 아직까지 빈에서 가장 높은 건물이다. 빈은 다른 대도시와 견주어 건물 대다수가 비교적 낮은 높이로 건설되었는데 2006년 초 조사에 따르면 40미터 이상의 건물은 100채에 불과했다. 녹지를 확보하고 세계 문화 유산 구역을 보전하려는 노력의 일환으로 강력한 규제가 이뤄지고 있다. 따라서 도시 중심부에 고층 건물이 거의 없다.
아르 누보 운동, 이른바 유겐트 스틸과 경쟁한 모더니즘은 화려한 장식을 거부하고 직선과 기능을 강조했다. 빈 모더니즘을 이끈 인물로는 "장식은 죄악"이라 선언한 아돌프 로스가 있다. 한편, 로스는 전통을 철저히 배격하는 독일 공작연맹에 반대했다. 로스하우스, 아메리칸 바, 슈타이너 주택 등이 빈에 남아있는 로스의 대표작이다.
프리덴스라이히 훈데르트바서가 설계한 훈데르트바서하우스는 빈의 상징과도 같은 모더니즘 건축의 말끔한 인상과 정반대의 모습을 띈다. 환경주의자였던 훈데르트바서는 앞서 활동한 오스트리아 건축가들과 달리 자연을 참조한 곡선을 선호했다. 이곳의 계약서는 특이하게도 세입자가 자신의 창문을 장식할 수 있다는 점을 명시하고 있다. 오늘날 빈에서 가장 인기있는 관광지 중 하나다. 비슷한 곳으로 조각가 프리츠 보트루바가 지은 보트루바 성당이 있다.
빈 스포츠
많은 축구 구단이 빈을 연고지로 삼고 있다. 가장 잘 알려진 지역 구단은 FK 아우스트리아 빈과 SK 라피트 빈이며, 가장 오래된 구단은 1894년 창단된 퍼스트 비엔나 FC이다. 아우스트리아와 라피트 간의 라이벌 의식은 매우 치열해서 두 팀이 맞붙는 비너 더비(Wiener Derby)가 열리는 날이면 여러 건의 기물 파손과 폭력 행위가 보고되곤 한다.
빈은 여러 국제적인 스포츠 행사를 개최해왔다. 비엔나 도심 마라톤이 대표적이다. 해마다 5월이 되면 10,000명이 넘는 참가자가 모여든다. 또한 오스트리아에서 개최된 2005년 아이스하키 월드컵의 결승전 경기는 빈에서 열렸다. 빈에 위치한 에른스트 하펠 슈타디온은 1964년, 1987년, 1990년, 1995년 네 번의 UEFA 챔피언스리그 결승 경기가 열린 곳이다. 스페인이 독일을 상대로 승리한 UEFA 유로 2008 결승전 경기도 이곳에서 열렸다. 비너 슈타트할레는 1974년부터 테니스 대회인 비엔나 오픈을 개최하고 있다.
빈 관광지
1996년, 쇤브룬궁과 정원 군이 유네스코 세계 문화 유산에 등재되었다. 2001년에 시내 중심부가 추가로 등재되며 빈 역사 지구로 명명되었다. 빈 역사 지구는 몇 가지 역사적인 건물, 성 슈테판 성당 및 문화 기관을 포함한다.
빈 국제 관계
국제 기구가 여럿 모인 빈의 특성상 스파이가 많이 활동하는 도시로 알려져 있다. 빈은 냉전 시절에 양측 정보원들이 활발하게 활동하면서 공식적으로 협상을 맺는 장소이기도 했으며 냉전이 끝난 지금도 그 지위는 여전하다. 특히 2001년 9·11 테러 이후 정치 상황이 매우 불안정한 이라크 등의 중동 국가를 대신해 스파이들의 중요한 활동무대로 기능해 왔다. 2014년 보도에 따르면 빈에서 활동 중인 스파이의 수는 7천 명에 달하며, 교육 및 의료 수준이 높아 부양할 가족이 있는 스파이들이 특히 빈을 선호한다. 스파이 활동 전문가인 에밀 보비는 빈의 외교관 중 절반이 자국 정보요원들과 밀접한 관계를 맺고 있으며 모든 대사관은 요원들로 가득 차 있다고 저술한 바 있다.
빈 국제 관계
빈은 국제사회의 경제 제제를 받고 있는 조선민주주의인민공화국의 밀수 통로다. 100명 가량의 조선민주주의인민공화국 국적자가 오스트리아에 거주하는 것으로 추산되며 빈에서 활동하는 국가보위성 관계자는 10명 내외로 파악되고 있다.
유엔 빈 사무국 뿐만 아니라, 유엔 산업 개발 기구, 국제 원자력 기구(IAEA), 유엔 난민 기구 (UNHCR), 유엔 국제 무역법 위원회 (UNCITRAL), 유럽 안보 협력 기구 (OSCE), 석유 수출국 기구(OPEC)가 빈에 본부를 두었다.
빈은 자매 도시를 갖고 있지 않다. 하지만 다음 도시와 협력 관계를 유지하고 있다.
빈 인물
헤디 라마르, 크리스토프 발츠, 존 배너, 크리스티아네 회르비거, 에릭 폴먼, 보리스 코조, 젠타 베르거 등이 빈에서 태어나거나 자랐다.
다뉴브강
다뉴브강(라틴어: Danubius 다누비우스[*], 영어: Danube 다뉴브[*]) 또는 도나우강(독일어: Donau, 문화어: 두나이강)은 독일 남부에서 발원하여 루마니아 동쪽 해안을 통해 흑해로 흘러가는, 길이 2,860 km의 유럽에서 두 번째로 긴 강이다. 다뉴브강은 독일 남부의 브레게강과 브리가흐강이 합류하면서 시작되어 동쪽으로 흘러 오스트리아와 헝가리의 대평원을 지나 헝가리의 수도 부다페스트에 이른다. 여기서 강은 남쪽으로 방향을 바꾸어 흐르면서 카르파티아산맥과 발칸산맥 사이를 통과하는데 이곳은 철문(鐵門, Iron Gates)이라고 불리는 유럽에서 가장 깊은 협곡이다.
하류에 이르면 저지대인 루마니아 남부의 왈라키아 평원을 지나게 되고 도브루자 구릉지대를 만나면서 북쪽으로 방향을 바꾸어 흐르다가 다시 동쪽으로 흘러 비로소 흑해로 유입된다. 강 하구에서는 세 개의 주요 분류로 나뉘면서 삼각주를 형성하는데 그 면적은 약 5,000 km2이다.
다뉴브강
강이 흐르는 지역에 따라 불리는 이름은 다음과 같다.
독일의 라인 마인 도나우 운하가 1992년 건설된 이후 다뉴브강은 북해의 로테르담으로부터 흑해의 술리나까지 전 유럽을 가로지르는 3500km 수로의 일부가 되었다. 다뉴브강으로 운송된 화물량은 1987년에 1950년 수준의 13.3배인 9천 180만 톤으로 집계되었다.
1999년 코소보 전쟁 시기에 있었던 북대서양 조약 기구(NATO)의 유고슬라비아 공습 과정에서 세르비아 교량 3곳이 파괴되어 다뉴브강 운행이 한동안 힘들어졌다가 2002년 그 잔해가 모두 치워졌다.
오스트리아의 작곡가 요한 슈트라우스 2세의 유명한 왈츠로 '아름답고 푸른 도나우(An der schönen, blauen Donau)'가 있다.
다뉴브강 명칭과 어원
다뉴브강은 인도유럽조어 다누 (*dānu)에서 유래한, 원시 유럽 강의 이름이다. 동일한 어근에서 만들어진 다른 강에는 두나이강, 치비나/다우가바강, 돈강, 도네츠강, 드네프르강, 드네스트르강, 지스나강, 타나강/데아트누강, 투오니강이 있다. 베다어에서, 다누는 "흐르는, 떨어지다"를 뜻하며, 아베스타어에서는 같은 단어가 "강"을 의미한다. 리그베다에서 다누는 “강의 수로를 막는 용”인 브리트라의 어머니로 한번 등장하기도 했다. 핀란드어로 다뉴브강을 뜻하는 토나바는 스웨덴어, 독일어 명칭인 도나우강에서 전래한 것으로 보인다. 사미어 명칭인 데아트누는 “거대한 강”을 뜻한다. 아베스타어의 경우처럼, 스키타이어의 다누가 “강”에 대한 총칭어일 가능성이 있다. 다나프리스(Danapris)와 다나스티우스(Danastius)에서 전래한 드네프르강과 드네스트르강은 각각 스키타이어 다누 아파라 (*dānu apara, "먼 강")과 다누 나즈디야 (*dānu nazdya, "가까운 강")에서 지속된 것으로 가정한다.
다뉴브강은 고대 그리스인들에게 이스트로스(고대 그리스어: Ἴστρος)로 알려졌다.
망델브로 집합
망델브로 집합(Mandelbrot set, /ˈmændəlbroʊt, -brɒt/)은 복소평면에서 정의된 2차원 집합으로, 함수 가 에서 시작하여 반복될 때 무한대로 발산하지 않는 복소수 를 만족하는 집합이다. 즉, 수열 ,  등이 절댓값이 유계로 유지되는 의 집합이다.
이 집합은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 처음 정의되고 그려졌다. 이후 1980년 브누아 망델브로는 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 작업하면서 이 집합의 고품질 시각화를 만들었다.
망델브로 집합
망델브로 집합의 이미지는 확대할수록 점진적으로 더 미세한 재귀적 세부 사항을 드러내는 무한히 복잡한 경계를 보여준다. 수학적으로 망델브로 집합의 경계는 프랙탈 곡선이다. 이러한 재귀적 세부 사항의 "모양"은 확대하는 집합 경계의 영역에 따라 달라진다. 망델브로 집합 이미지는 복소수를 샘플링하고 각 샘플 지점 에 대해 수열 이 무한대로 가는지 테스트하여 생성할 수 있다. 의 실수 부분과 허수 부분을 복소평면의 화소 좌표로 취급하여, 수열 이 임의로 선택된 임계값(임계값은 최소 2여야 하는데, −2는 집합 내에서 가장 큰 크기를 가진 복소수이기 때문이다. 하지만 그 외에는 임계값이 임의적이다.)을 얼마나 빨리 넘어서는지에 따라 픽셀에 색을 입힐 수 있다. 만약 를 상수로 유지하고 의 초기값을 변경하면, 해당 지점 에 대한 쥘리아 집합을 얻을 수 있다.
망델브로 집합은 정의가 상대적으로 간단함에도 불구하고 시각화 및 확대 시 복잡한 프랙탈 구조를 보여준다는 점에서 수학계 외부에서도 잘 알려져 있으며, 수학적 미의 예시로 흔히 인용된다.
망델브로 집합 역사
망델브로 집합은 20세기 초 프랑스의 수학자 피에르 파투와 가스통 쥘리아가 처음 연구한 분야인 복소역학에서 기원한다. 이 프랙탈은 1978년 로버트 W. 브룩스와 피터 마텔스키가 클라인 부분군 연구를 하면서 그 일환으로 처음 정의되고 그려졌다. 1980년 3월 1일 뉴욕주 요크타운 하이츠에 있는 IBM의 IBM 왓슨 연구소에서 브누아 망델브로가 처음으로 이 집합을 시각화했다.
망델브로는 1980년에 출판된 논문에서 이차 다항식의 매개변수 공간을 연구했다. 망델브로 집합에 대한 수학적 연구는 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드(1985)의 연구로 본격적으로 시작되었다. 둘은 이 집합의 많은 기본 속성을 확립하고 프랙탈 기하학에 대한 망델브로의 영향력 있는 업적을 기려 이 집합에 망델브로의 이름을 붙였다.
망델브로 집합 역사
수학자 하인츠-오토 파이젠과 피터 리히터(Peter Richter)는 사진, 책(1986), 그리고 독일 독일 문화원의 국제 순회 전시회(1985)를 통해 이 집합을 홍보하여 잘 알려지게 되었다.
1985년 8월 사이언티픽 아메리칸의 표지 기사는 망델브로 집합을 계산하는 알고리즘을 소개했다. 표지는 브레멘 대학교의 파이젠, 리히터 및 디트마르 자우페가 만들었다. 망델브로 집합은 1980년대 중반 개인용 컴퓨터가 고해상도로 집합을 그릴 수 있을 만큼 강력해지면서 컴퓨터 그래픽 데모로 유명해졌다.
두아디와 허버드의 연구는 복소역학과 추상 수학에 대한 관심이 증가하던 시기에 이루어졌으며, 망델브로 집합의 위상수학적 및 기하학적 연구는 복소역학 분야에서 중요한 주제로 남아있다.
망델브로 집합 공식적인 정의
망델브로 집합은 복소평면에서 이차 사상
의 임계점 의 반복에 따른 궤도가 유계로 유지되는  값의 비가산 집합이다. 따라서 복소수 는 에서 시작하여 이를 반복할 때 의 절댓값이 모든 에 대해 유계로 유지되면 망델브로 집합의 원소이다.
예를 들어, 일 때 수열은 0, 1, 2, 5, 26, ... 이고 이는 무한으로 발산하므로 1은 망델브로 집합의 원소가 아니다. 반면, 일 때 수열은 0, −1, 0, −1, 0, ... 이고 이는 유계이므로 −1은 집합에 속한다.
망델브로 집합은 이차 다항식  계열의 연결성 국소로도 정의될 수 있으며, 이는 해당 다항식의 쥘리아 집합이 연결 집합을 형성하는 매개변수  공간의 부분 집합이다. 마찬가지로 망델브로 집합의 경계는 이 이차 계열의 분기 국소로 정의될 수 있으며, 이는 다항식의 동적 거동(반복적으로 반복될 때)이 의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 매개변수의 부분 집합이다.
망델브로 집합 기본 속성
망델브로 집합은 닫혀 있고 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판에 포함되어 있으므로 콤팩트 집합이다. 점 는 모든 에 대해 인 경우에만 망델브로 집합에 속한다. 다시 말해, 가 망델브로 집합 에 속하려면 의 절댓값이 2 이하로 유지되어야 하며, 만약 그 절댓값이 2를 초과하면 수열은 무한대로 발산한다. 이므로 가 성립하며, 이는 가 항상 원점을 중심으로 하는 반지름 2의 닫힌 원판 안에 있음을 의미한다.
과 실수축의 교집합은 구간 이다. 이 구간을 따라 있는 매개변수는 실 로지스틱 계열의 매개변수와 일대일 대응을 이룰 수 있다.
대응은 다음으로 주어진다.
이는 로지스틱 계열의 전체 매개변수 공간과 망델브로 집합의 매개변수 공간 사이에 대응을 제공한다.
망델브로 집합 기본 속성
두아디와 허버드는 망델브로 집합이 연결되어 있음을 보였다. 둘은 망델브로 집합의 여집합과 닫힌 단위 원판의 여집합 사이에 명시적인 등각 사상을 구성했다. 망델브로는 원래 망델브로 집합이 단절되어 있다고 추측했다. 이 추측은 의 다른 부분을 연결하는 가는 실을 감지할 수 없는 프로그램으로 생성된 컴퓨터 그림을 기반으로 했다. 추가 실험을 통해 그는 자신의 추측을 수정하여 이 연결되어야 한다고 결정했다. 2001년 제레미 칸이 연결성에 대한 위상수학적 증명을 발견했다.
망델브로 집합의 연결성에 대한 두아디와 허버드의 증명에서 비롯된 망델브로 집합의 여집합의 균일화에 대한 동적 공식은 망델브로 집합의 외부 반직선을 만든다. 이 반직선은 망델브로 집합을 조합론적 용어로 연구하는 데 사용될 수 있으며 요코즈 파라퍼즐의 중추를 형성한다.
망델브로 집합의 경계는 이차 다항식 계열의 분기 국소이다. 다시 말해, 망델브로 집합의 경계는 이차 사상 의 기동이 에 대한 민감한 의존성을 보이는, 즉 의 임의로 작은 변화에 대해 급격히 변화하는 모든 매개변수 의 집합이다. 이는 일반적인 유형의 다항식 렘니스케이트로 알려진 일련의 평면 대수 곡선, 즉 망델브로 곡선의 극한 집합으로 구성될 수 있다. 망델브로 곡선은 로 설정한 다음, 복소평면의 점 집합 를 실수 데카르트 평면에서 x와 y에 대한 차 곡선으로 해석하여 정의된다. 각 곡선 은 에 의한 반지름 2의 초기 원의 사상이다. 이러한 대수 곡선은 아래에서 언급된 "탈출 시간 알고리즘"을 사용하여 계산된 망델브로 집합 이미지에 나타난다.
망델브로 집합 기타 속성
망델브로 집합에서 가장 큰 심장형(하트 모양의 영역)은 주기 1 대륙이다. 이는 사상 가 끌림 고정점을 갖는 매개변수 의 영역이다. 이 영역은 열린 단위 원판의 에 대해  형태의 모든 매개변수로 구성된다.
주요 심장형의 왼쪽에  지점에서 붙어 있는 원형 다발, 즉 주기-2 다발이 보인다. 이 다발은 가 끌림 주기 2 사이클을 갖는 로 구성된다. 이는 -1을 중심으로 하는 반지름 1/4의 채워진 원이다.
보다 일반적으로, 모든 양의 정수 에 대해 주요 심장형에 접하는 개의 원형 다발(여기서 는 오일러 피 함수를 나타냄)이 있는데, 이를 주기-q 다발이라고 한다. 이 여러 다발은 가 주기 의 끌림 주기를 갖는 매개변수 로 구성된다. 더 구체적으로, 각 원시 차 단위근 (여기서 )에 대해  다발이라는 주기-q 다발이 하나씩 존재한다. 이 다발은 매개변수 에서 주요 심장형에 접하며, 조합 회전수 를 갖는 -주기를 가진 매개변수를 포함한다. 더 정확히 말하면, 끌림 주기를 포함하는 개의 주기적 파투 성분은 모두 공통점(일반적으로 -고정점이라고 불림)에서 접한다. 이 성분을 각각 반시계 방향으로 이라고 하면, 는 성분 를 성분 으로 사상한다.
망델브로 집합 기타 속성
에서 발생하는 행동 변화를 분기라고 한다. 즉, 끌림 고정점이 반발 주기-q 사이클과 "충돌"한다. 분기 매개변수를 지나 -다발로 들어가면, 끌림 고정점은 반발 고정점(-고정점)으로 변하고 주기-q 사이클은 끌림 사이클이 된다.
망델브로 집합의 내부 성분으로 사상 가 끌림 주기 사이클을 갖는 다발을 쌍곡선 성분이라고 한다.
이것들이 의 유일한 내부 영역이며 에서 조밀하다는 추측이 있다. 쌍곡선 조밀성(density of hyperbolicity)으로 알려진 이 문제는 복소역학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나이다. 망델브로 집합의 가설적인 비쌍곡선 성분은 종종 "괴상한" 또는 유령 성분이라고 불린다. 실수 이차 다항식의 경우, 이 질문은 1990년대 류비히(Lyubich)와 그라치크(Graczyk), 스비아텍(Świątek)이 각각 독립적으로 증명했다. (실수 축과 교차하는 쌍곡선 성분은 파이겐바움 다이어그램의 주기적 창에 정확히 해당한다. 따라서 이 결과는 다이어그램의 모든 매개변수 근처에 이러한 창이 존재한다는 것을 나타낸다.)
망델브로 집합 기타 속성
모든 쌍곡선 성분이 망델브로 집합의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있는 것은 아니다. 그러한 성분은 작은 망델브로 복사본(아래 참조)의 주 심장형에서 직접적인 분기열을 통해 도달할 수 있다.
각 쌍곡선 성분에는 중심이 있는데, 이는 의 내부 파투 영역이 초끌림 주기(즉, 끌림이 무한대)를 갖는 점 이다. 이는 주기가 임계점 0을 포함하며, 몇 번의 반복 후에 0으로 다시 반복된다는 것을 의미한다. 따라서 어떤 n에 대해 이다. 이 다항식을 (z 대신 c에 의존하도록 함)라고 하면, 이고 의 차수는 이다. 따라서 쌍곡선 성분의 중심은 방정식 을 차례로 풀어서 구성할 수 있다. 각 단계에서 생성되는 새로운 중심의 수는 Sloane의 OEIS A000740로 주어진다.
망델브로 집합은 국소적으로 연결되어 있다는 추측이 있다. 이 추측은 MLC(Mandelbrot locally connected의 약자)로 알려져 있다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드의 연구에 따르면, 이 추측은 망델브로 집합의 간단한 추상적 "꼬집힌 원판" 모델을 제시할 것이다. 특히, 이는 위에서 언급한 중요한 쌍곡선 추측을 함축한다.
망델브로 집합 기타 속성
장크리스토프 요코즈의 연구는 모든 유한하게 재규격화 가능한 매개변수에서 망델브로 집합의 국소 연결성을 확립했다. 즉, 대략적으로 말하면 유한한 수의 작은 망델브로 복사본에만 포함된 매개변수이다. 그 이후로 의 다른 많은 지점에서 국소 연결성이 증명되었지만, 전체 추측은 여전히 미해결 상태이다.
망델브로 집합은 미슈레비치 점 근처에서 확대 시 자기유사성을 보인다. 또한 일반화된 파이겐바움 점 (예: -1.401155 또는 -0.1528 + 1.0397i) 주변에서 극한 집합으로 수렴하는 의미에서 자기유사성을 보인다고 추측된다. 망델브로 집합은 일반적으로 유사자기유사성을 보이는데, 이는 작고 약간 다른 형태의 집합이 임의의 작은 스케일에서 발견될 수 있기 때문이다. 이러한 망델브로 집합의 복사본은 모두 약간씩 다르며, 대부분 집합의 본체에 연결되는 얇은 실 때문에 완전히 같진 못하고 차이점이 전부 조금씩 있다.
망델브로 집합 기타 속성
망델브로 집합 경계의 하우스도르프 차원은 시시쿠라 미쓰히로의 결과에 따라 2와 같다. 이것이 위상 차원 1보다 정수 하나만큼 크다는 사실은 망델브로 집합 경계의 극단적인 프랙탈 성질을 반영한다. 대략적으로 말하면, 시시쿠라의 결과는 망델브로 집합 경계가 너무 "구불구불"해서 국소적으로 2차원 평면 영역만큼 효율적으로 공간을 채운다는 것을 의미한다. 하우스도르프 차원 2인 곡선은 (위상적으로) 1차원이지만 종종 0이 아닌 넓이(더 형식적으로는 0이 아닌 평면 르베그 측도)를 가질 수 있다. 이것이 망델브로 집합 경계의 경우에도 해당되는지는 미해결 문제이다.
더 높은 차원의 초복소수 공간에서 일반화된 망델브로 집합(즉, 반복 변수 의 거듭제곱 가 무한대로 가는 경우)이 단위 (−1)-구로 수렴한다는 것이 입증되었다.
망델브로 집합 기타 속성
블럼–슈브–스메일 머신의 실수 계산 모델에서는 망델브로 집합은 계산 불가능하지만, 그 여집합은 계산적으로 열거 가능하다. 많은 간단한 객체(예: 지수 함수의 그래프)도 BSS 모델에서 계산 불가능하다. 현재 망델브로 집합이 "컴퓨터로 집합을 그리는" 직관적인 개념에 더 가깝게 대응하는 계산 가능한 해석학을 기반으로 한 실수 계산 모델에서 계산 가능한지는 알려져 있지 않다. 허틀링(Hertling)은 쌍곡선 추측이 참이라면 망델브로 집합이 이 모델에서 계산 가능함을 보였다.
망델브로 집합의 정의에 따라 주어진 지점에서의 망델브로 집합의 기하학과 해당 쥘리아 집합의 구조 사이에는 밀접한 관계가 있다. 예를 들어,  값이 망델브로 집합에 속하는 것은 해당 쥘리아 집합이 연결되어 있는 경우에만 해당한다. 따라서 망델브로 집합은 연결된 쥘리아 집합의 지도로 볼 수 있다.
이 원리는 망델브로 집합에 대한 거의 모든 심오한 결과에서 활용된다. 예를 들어, 시시쿠라는 망델브로 집합 경계의 조밀한 매개변수 집합에 대해 쥘리아 집합이 하우스도르프 차원 2를 가진다는 것을 증명한 다음, 이 정보를 매개변수 평면으로 전달한다. 마찬가지로, 요코즈는 해당 매개변수에서 망델브로 집합에 대해 확립하기 전에 먼저 쥘리아 집합의 국소 연결성을 증명했다.
망델브로 집합 기하학
서로소인 정수 에 대해, 모든 유리수 에 대해 주기 q의 쌍곡선 성분은 내부 각도 에 해당하는 심장형 가장자리 지점에서 주 심장형으로부터 분기된다. 이 분기점에서 주 심장형에 연결된 망델브로 집합의 부분을 /-돌기라고 한다. 컴퓨터 실험에 따르면 돌기의 지름은 처럼 0으로 수렴한다. 현재 알려진 최상의 추정치는 요코즈 부등식으로, 크기가 처럼 0으로 수렴한다고 말한다.
주기-q 돌기에는 상단에 개의 "안테나"가 있다. 주어진 다발의 주기는 이 안테나의 수를 세어 결정된다. 회전수의 분자 는 돌기에서 반시계 방향으로 각 안테나에 1부터 까지 번호를 매기고 어떤 안테나가 가장 짧은지 찾아서 결정된다.
망델브로 집합 기하학
망델브로 집합에는 숫자 의 발생으로 이어지는 흥미로운 실험이 있다. 인 매개변수 에 대해, 가 망델브로 집합에 속하지 않음을 확인하는 것은 수열이 임의의 반지름 의  주변 원판을 벗어날 때까지  수열을 에서 시작하여 반복하는 것을 의미한다. 이는 실수 부분이 인 수직선이 실수선을 벗어난 지점에서 망델브로 집합과 교차하는지 여부에 대한 (여전히 미해결된) 질문에서 이어진다. 필요한 반복 횟수에 를 곱하면 원주율로 수렴한다는 것이 밝혀졌다. 예를 들어,  = 0.0000001이고 일 때, 반복 횟수는 31415928이고 곱은 3.1415928이다. 이 실험은 1990년대 초 (혹은 그 이전에도) 데이비드 볼(David Boll)을 비롯한 많은 사람들이 독립적으로 수행해 확인했다.
유사한 관찰은 매개변수  및 에서도 이루어졌다(후자의 경우 필요한 수정이 있음). 2001년 아론 클레바노프(Aaron Klebanoff)는 에서 이 현상에 대한 (개념적이지 않은) 증명을 발표했다.
2023년, 폴 지웨르트(Paul Siewert)는 학사 논문에서  값에 대해서도 개념적인 증명을 개발하여, 원주율이 발생하는 이유(기하학적으로 단위 원 둘레의 절반)를 설명했다.
망델브로 집합 기하학
2025년, 세 명의 고등학생인 티스 브록뮐러(Thies Brockmöller), 오스카 셰르츠(Oscar Scherz), 네딤 스르칼로비치(Nedim Srkalovic)는 이 이론과 개념 증명을 망델브로 집합의 모든 무한한 분기점으로 확장했다.
망델브로 집합은 수많은 다발이 직접 붙어 있는 기본 심장형 모양을 특징으로 한다. 이러한 다발의 배열을 이해하려면 망델브로 집합의 경계를 자세히 조사해야 한다. 기하학적 관점에서 특정 부분을 확대하면, 경계 내의 위치와 해당 다발에서 추출된 매개변수에 대한 해당 동적인 성질에 대한 정확하고 추론 가능한 정보가 나타난다.
망델브로 집합 내의 주 심장형에 달린 다발 중 하나에서 추출된 매개변수 에 대한 이차 다항식 의 반복은 지정된 주기 와 회전수 를 갖는 끌개 주기를 특징으로 하는 사상을 생성한다. 이 맥락에서, 의 끌개 주기는 중심 고정점을 중심으로 회전 운동을 보이며, 각 반복에서 평균 번 회전한다.
망델브로 집합 기하학
망델브로 집합 내의 다발은 끌개 주기와 구조의 기하학적 특징 모두로 구별된다. 각 다발은 접합점에서 뻗어 나와 특정 수의 살을 보여주는 안테나를 가지며, 이는 그 주기를 나타낸다. 예를 들어,  다발은 회전수 를 갖는 끌개 주기로 식별된다. 그 독특한 안테나형 구조는 접합점에서 5개의 살이 뻗어 나온다. 이 살들 중에서 주된 살은  다발에 직접 붙어 있고, '가장 작은' 비주류 살은 주된 살에서 반시계 방향으로 약  회전하는 위치에 있어 -다발로 명확하게 식별된다. 이 때문에 '가장 작은' 살이 무엇인지 어떻게 구별하는가 하는 의문이 제기된다. 아드리앵 두아디와 존 H. 허버드가 개발한 외부 반직선 이론에서는 망델브로 집합의 위성 쌍곡선 성분의 근 지점에 정확히 두 개의 외부 반직선이 닿는다. 이 각 반직선은 각도 이중 사상   아래에서 이중화되는 외각을 가진다. 이 정리에 따르면, 두 반직선이 같은 지점에 떨어질 때 그 사이에 다른 반직선이 교차할 수 없다. 따라서 이 영역의 '크기'는 두 각도 사이의 호 길이를 가지고 알 수 있다.
망델브로 집합 기하학
주 심장형의 근 지점이 의 첨점이라면, 주 심장형은 -다발이다. 다른 다발의 근은 단순히 이 다발이 주 심장형에 부착된 지점이다. 이는  다발과  다발의 근 사이에 있는 가장 큰 다발은 무엇인가라는 질문을 제기한다. 이는 분명히 -다발이다. 그리고 은 이전 두 분수에서 페리 합을 통해 얻어진다. 즉, 분자끼리 더하고 분모끼리 더하는 방식이다.
마찬가지로,  다발과  다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 -다발이며, 역시 페리 합으로 주어진다.
다발과  다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 -다발이며,  다발과  다발 사이에 있는 가장 큰 다발은 -다발이다. 망델브로 집합 내의 다발 배열은 과  사이의 모든 유리수를 포함하는 페리 나무라는 구조를 따르는 놀라운 패턴을 따른다. 이 순서는 주 심장형의 경계를 따라 각 다발을 단위 구간의 유리수와 정확히 일치시킨다.
망델브로 집합 기하학
상단에 있는  다발에서 시작하여  원으로 진행하면, 수열은 체계적으로 전개된다. 와  사이에 있는 가장 큰 다발은 이고, 와  사이에는  등이 있다. 흥미롭게도 망델브로 집합에서 순차적인 스케일의 원형 다발 주기의 분모는 이전 두 항을 더하여 만들어지는 피보나치 수열을 따른다 – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
피보나치 수열은 망델브로 집합의 독특한 지점에서 나선형 팔의 개수로 나타나며, 상단과 하단 모두에 반영된다. 이 독특한 위치는 상세한 프랙탈 시각화를 위해 가장 많은 반복 횟수를 요구하며, 확대할수록 복잡한 세부 사항이 반복된다.
망델브로 집합의 경계는 이미지를 더 가까이 보거나 확대할수록 더욱 복잡한 세부 사항을 보여준다. 다음은 선택된 c 값으로 확대하는 여러 이미지의 예시이다. 표시된 영역은 "-0.75 + 0.1i" 지점을 중심으로 하는 망델브로 집합 영역인 "해마 계곡"으로 알려져 있다.
첫 번째 이미지에 대한 마지막 이미지의 배율은 약 1010배이다. 일반적인 컴퓨터 모니터와 비교하자면 이는 지름 4백만 킬로미터의 망델브로 집합 부분을 나타낸다.
망델브로 집합 기하학
해마 "몸통"은 각각 12개의 "살"로 이루어진 두 그룹과 주 심장형에 연결된 1개의 "살"로 구성된 25개의 "살"로 이루어져 있다. 이 두 집단은 망델브로 집합의 "윗손"의 두 "손가락"에 대한 어떤 변형에 기인할 수 있다. 따라서 "살"의 수는 한 "해마"에서 다음 "해마"로 2씩 증가한다. "허브"는 미슈레비치 점이다. "몸통 윗부분"과 "꼬리" 사이에는 왜곡된 망델브로 집합의 복사본이 있는데, 이를 "위성"이라고 한다.
세 번째 마지막 단계의 섬은 해당 쥘리아 집합 의 경우처럼 무한히 많은 부분으로 구성된 것처럼 보인다. 이들은 미세한 구조로 연결되어 전체가 단일 연결 집합을 이룬다. 이 미세한 구조는 중앙의 위성에서 서로 만나는데, 이 확대율에서는 너무 작아서 인식할 수 없다. 해당 에 대한  값은 이미지 중심이 아니라, 망델브로 집합의 본체에 대해 6단계에서 보여진 위성에 대한 이 이미지 중심과 같은 위치를 가진다.
망델브로 집합은 일반적으로 외부 경계의 세부 사항을 보여주도록 렌더링되지만, 유계 집합 내의 구조도 드러낼 수 있다. 예를 들어, 주어진 c 값이 유계인지 비유계인지 계산하는 동안 유계로 남아있을 때 이 숫자가 도달하는 최대값을 해당 위치의 c 값과 비교할 수 있다. 제곱합 방법을 사용하면 계산된 숫자는 max:(실수^2 + 허수^2) − c:(실수^2 + 허수^2)가 된다. 이 계산의 크기는 그라디언트 값으로 렌더링될 수 있다.
위 계산을 하면 다음과 같은 결과를 생성한다. 경계에 접근할수록 뚜렷한 가장자리와 윤곽선을 가진 그라디언트가 나타난다. 애니메이션은 그라디언트 경계를 강조한다.
망델브로 집합 일반화
멀티브로 집합은 다음의 일반적인 단일변수 다항식 재귀족의 구성원에 대해 복소평면에서 발견되는 유계 집합이다.
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정수 d에 대해, 이 집합들은 동일한 공식으로 구성된 쥘리아 집합의 연결성 국소이다. 완전한 3차 연결성 국소도 연구되었는데, 여기서 2매개변수 재귀 를 고려한다. 이 재귀의 두 임계점은 매개변수 k의 복소 제곱근이다. 매개변수는 두 임계점이 모두 안정적이면 3차 연결성 국소에 속한다. 일반적인 정칙 함수 계열의 경우, 망델브로 집합의 경계는 분기 국소로 일반화된다.
멀티브로 집합은 지수 d의 값을 변경하여 얻어진다. 이 문서에는 d = 0에서 7까지의 발달을 보여주는 비디오가 있으며, 이때 둘레 주위에 6개, 즉 개의 엽이 있다. 일반적으로 d가 양의 정수일 때, 이들 각 집합의 중심 영역은 항상 개의 첨점을 갖는 에피사이클로이드이다. 음의 정수 지수로 유사한 발달을 하면 고리의 안쪽에 개의 갈라짐이 생기는데, 이때 집합의 주요 중심 영역은 개의 첨점을 갖는 하이포사이클로이드이다.
망델브로 집합 일반화
망델브로 집합을 3D로 완벽하게 확장할 수는 없다. 3D에는 복소수의 아날로그가 없어 반복할 수 없기 때문이다. 복소수를 4차원으로 확장한 사원수는 망델브로 집합과 쥘리아 집합을 4차원으로 완벽하게 확장한다. 그런 다음 이들을 3D 구조로 단면도를 그리거나 투영할 수 있다. 사원수(4차원) 망델브로 집합은 2차원 망델브로 집합(j-k 평면)의 단순한 회전체이므로 흥미롭지 않다. 에서 3차원 단면을 취하면 실수 축을 중심으로 2차원 망델브로 집합의 회전체가 된다.
트리콘 프랙탈은 망델바 집합이라고도 불리며, 반정칙 함수 계열 의 연결성 국소이다. 이는 존 밀너가 실수 삼차 함수 다항식의 매개변수 단면을 연구하던 중 발견했다. 이는 국소적으로 연결되어 있지 않다. 이 속성은 실수 삼차 다항식의 연결성 국소로 계승된다.
또 다른 비해석적 일반화는 다음을 반복하여 얻어지는 버닝 쉽 프랙탈이다.
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망델브로 집합 컴퓨터로 그리기
컴퓨팅 장치를 통해 망델브로 집합의 그래프를 그리기 위한 다양한 알고리즘이 존재한다. 여기서는 가장 인기 있고 가장 간단한 알고리즘 중 하나인 순진한 "탈출 시간 알고리즘"을 보여줄 것이다. 탈출 시간 알고리즘에서는 그래프의 각 x, y 지점에 대해 반복 계산을 수행하고 해당 계산의 동작에 따라 픽셀의 색상을 선택한다.
각 지점의 x 및 y 위치는 반복 계산(아래에서 자세히 설명)의 시작 값으로 사용된다. 각 반복의 결과는 다음 반복의 시작 값으로 사용된다. 값은 각 반복 동안 확인되어 임계 "탈출" 조건 또는 "탈출"에 도달했는지 확인한다. 해당 조건에 도달하면 계산이 중지되고 픽셀이 그려진 다음 다음 x, y 지점이 검사된다.
각 점의 색상은 값이 탈출점에 얼마나 빨리 도달했는지를 나타낸다. 종종 검정색은 최대 반복 제한 전에 탈출에 실패한 값을 나타내는 데 사용되며, 점차 색상이 밝아질수록 더 빨리 탈출한 점에 사용된다. 이는 탈출 조건에 도달하기 전에 필요한 주기 수를 시각적으로 표현한다.
망델브로 집합 컴퓨터로 그리기
이러한 이미지를 렌더링하려면 고려 중인 복소평면 영역이 특정 수의 화소로 세분된다. 이러한 픽셀에 색을 입히려면 를 해당 픽셀의 중간점으로 둔다.  아래에서 임계점 0을 반복하고, 각 단계에서 궤도 점의 반지름이 2보다 큰지 확인한다. 이 경우 는 망델브로 집합에 속하지 않으므로, 이를 확인하는 데 사용된 반복 횟수에 따라 픽셀에 색을 입힌다. 그렇지 않으면 고정된 단계 수까지 반복한 후, 매개변수가 "아마도" 망델브로 집합에 속하거나 적어도 매우 가까이 있다고 판단하여 픽셀을 검정색으로 칠한다.
의사코드로 구현한 이 알고리즘은 다음과 같다. 이 알고리즘은 복소수를 사용하지 않으며, 복소수 자료형이 없는 사용자를 위해 두 개의 실수로 복소수 연산을 수동으로 시뮬레이션한다. 프로그래밍 언어에 복소수 자료형 연산이 포함되어 있다면 프로그램은 단순화될 수 있다.
망델브로 집합 컴퓨터로 그리기
여기서 의사코드와 , , 의 관계는 다음과 같다.
따라서 x와 y의 계산에서 의사코드에서 볼 수 있듯이
집합의 다채로운 이미지를 얻기 위해 실행된 반복 횟수의 각 값에 색상을 할당하는 것은 다양한 함수(선형, 지수 등) 중 하나를 사용하여 수행할 수 있다.
다음은 위의 알고리즘을 파이썬으로 구현한 코드이다.
다음은 위의 코드를 numba로 최적화한 코드이다.
'power' 변수의 값은 동등한 멀티브로 집합()의 이미지를 생성하도록 수정할 수 있다. 예를 들어, 'p = 2'로 설정하면 관련 이미지가 생성된다.
망델브로 집합 대중문화에 미친 영향
망델브로 집합은 가장 인기 있는 프랙탈로 널리 알려져 있으며, 대중문화에서 여러 번 언급되었다.
쥘리아 집합
쥘리아 집합(영어: Julia set)은 가스통 쥘리아가 고안한 프랙탈의 일종이다.
쥘리아 집합 정의
쥘리아 집합은 주어진 복소수 c에 대해서 다음 점화식에 따라 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 복소수 z의 집합으로 정의된다.
zn+1 = zn2 + c
위의 점화식은 망델브로 집합의 것과 같지만, 망델브로 집합은 z0=0+0i일 때 z를 발산하지 않게 하는 c의 집합이라는 점이 다르다. 즉, z와 c의 역할이 뒤바뀐 것이다.
쥘리아 집합은 망델브로 집합과 동일하게 자기유사성을 가지며 가까운 두 점이 서로 다른 양상을 보이는 초기 조건의 민감성도 가진다.
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수도
수도(한국 한자: 首都, 영어: Capital city)는 한 국가의 정치, 행정의 중심이 되는 도시를 말한다. 수도에는 대부분 중앙정부가 소재해, 국가원수 등 국가의 최고 지도자가 거점으로 두는 도시다. 다만 중앙 정부의 소재와는 별도로 그 나라의 상징적 존재로 인정되고 있는 도시가 수도로 여겨지기도 한다.
국가에 따라서는 여러 개의 수도가 있기도 하며, 수도에 실제 행정부가 위치하지 않거나, 주요 국가 기관이 여러 도시에 나뉘어 위치하기도 한다. 예를 들어 남아프리카공화국의 행정부는 프리토리아에, 입법부는  케이프타운에, 사법부는 블룸폰테인에 있다. 네덜란드의 헌법은 암스테르담을 수도로서 명시하고 있으나, 실제 정부와 최고 법원은 헤이그에 위치해 있다.
수도 기원
농업 생산량이 증가하고 잉여 식량이 확보됨에 따라 도시가 형성되고 잉여 식량을 관리하기 위해 중앙집권화가 이루어 졌다. 이후 경제, 문화, 정치적 중심지가 나타나고 각 지역들이 연합하고 점령을 진행하면서 한 도시는 계속해서 커지게 되고 다양한 목적을 가진 사람들로 인해 인구가 증가하고 여러 자본이 유입되면서 수도가 등장했다.