시공간 특수 상대성이론에서의 시공간
두 그림들 모두에서 사건으로서 원점 O (= O′)를 지정할 수 있는데, 여기서 각각의 "움직이는 시계"는 두 비교들에서 "정지 중인 첫 번째 시계"와 함께 배치된다. 분명히, 이 사건의 경우 두 비교에서 두 시계들 모두의 판독값은 영이다. 그 결과, 움직이는 시계들의 세계선은 오른쪽 ct′축(위 그림, 시계 W')으로 기울어져 있고, 또한 왼쪽 ct축(아래 그림, 시계 W)으로 기울어져 있다. W1 및 W'1의 세계선들은 해당하는 수직 시간 축이다(위 그림의 ct, 아래 그림의 ct′).
위의 그림에서 W2의 위치는 Ax > 0으로 간주되므로, 따라서 이 시계의 세계선(그림에는 표시되지 않음)은 A라고 표시된 사건에서 움직이는 시계(ct′축)의 세계선과 교차한다. 여기서 "두 개의 시계는 동시에 한 장소에 있다". 아래 그림에서 W'2 위치는 Cx′ < 0인 것으로 간주되므로, 또한  이 측정에서 움직이는 시계 W는 사건 C에서 W'2를 통과한다.
위 그림에서 사건 A(W2의 판독값)의 ct좌표 At 는 B로 표시되고, 따라서 W1과 W2로 측정된 두 사건 사이의 경과 시간을 OB로 제공한다. 비교를 위해, W'로 측정한 시간 간격 OA의 길이는 ct축의 눈금으로 변환되어야만 한다. 이것은 A를 통한 불변 쌍곡선(그림 2-8 참조)에 의해 수행되며, A와 원점으로부터 동일한 시공간 간격을 가진 모든 사건들을 연결한다. 이것은 ct-축에 사건 C를 산출하고, 또한 분명히: OC < OB 이라서, "움직이는" 시계 W'는 느리게 간다.
바로 위 그림에서 상호 시간 팽창을 보여주기 위해 사건 D는 x′ = 0(S에서 시계 W의 위치)에서의 사건으로 구성될 수 있으며, 이는 S에서 C(OC는 OA 와 동일한 시공간 간격을 가진다)와 동시적이다. 이것은 시간 간격 OD가 OA보다 길다는 것을 보여주며, "움직이는" 시계가 느리게 간다는 것을 보여준다.:124
아래 그림에서 프레임 S는 정지된 프레임 S'에서 −v의 속도로 움직이고 있다. 시계 W의 세계선은 ct축(왼쪽으로 기울어진)이고, W'1의 세계선은 세로 ct′축이며, 또한 W'2는 ct′-좌표 D가 있는 사건 C를 통한 수직이다. 사건 C를 통한 불변 쌍곡선은 시간 간격 OC를 OD보다 짧은 OA로 조정한다; 또한 B는 (위 그림의 D와 유사하게) x = 0에서 S의 A와 동시에 구성된다. 결과 OB > OC는 다시 위와 부합한다.
"측정"이라는 단어가 중요하다. 고전 물리학에서 한 관찰자는 한 관찰된 대상에 영향을 줄 수 없지만, 그러나 그 대상의 운동 상태는 관찰자의 대상에 대한 관찰들에 영향을 줄 수 있다.
특수 상대성이론에 대한 많은 소개는 일련의 "역설"을 제시함으로써 갈릴레이 상대성이론과 특수 상대성이론의 차이점을 설명한다. 이러한 역설은 사실, 빛의 속도에 필적하는 속도에 익숙하지 않기 때문에 발생하는 잘못된 문제이다. 해결책은 특수 상대성이론의 많은 문제를 해결하고 소위 반직관적 예측에 익숙해지는 것이다. 시공간을 연구하는 기하학적 접근 방식은 현대적인 직관력을 개발하는 가장 좋은 방법 중 하나로 간주된다.
쌍둥이 역설은 일란성 쌍둥이가 고속 로켓을 타고 우주로 여행을 갔다가 집으로 돌아와 지구에 남아 있던 쌍둥이가 더 늙어가는 것을 발견하는 사고 실험이다. 이 결과는 각 쌍둥이가 다른 쌍둥이가 움직이는 것을 관찰하기 때문에 어리둥절해 보이고, 언뜻 보기에는 서로가 덜 늙었다고 생각해야 하는 것처럼 보일 것이다. 쌍둥이 역설은 세 번째 시계에 대한 요구 사항을 피함으로써 위에서 제시된 상호 시간 팽창의 정당성을 회피한다.:207  그럼에도 불구하고, 쌍둥이 역설은 특수 상대성이론의 맥락에서 쉽게 이해되기 때문에 진정한 역설이 아니다.
역설이 존재한다는 인상은 특수 상대성이론에 대한 오해에서 비롯된다. 특수 상대성이론은 모든 기준 프레임들이 동등하다고 선언하지 않고, 관성 프레임들만을 그렇다고 선언한다. 여행 중인 쌍둥이의 프레임은 가속하는 동안에는 관성적이 아니다. 게다가, 쌍둥이 사이의 차이는 관찰할 수 있다. 여행 중인 쌍둥이는 집으로 돌아가기 위해 로켓을 발사해야 하지만 집에 있는 쌍둥이는 그렇지 않다.
이러한 구별은 쌍둥이의 나이 차이가 발생해야 한다. 그림 2-11의 시공간 도표는 x축을 따라 직선으로 갔다가 즉시 되돌아오는 쌍둥이의 간단한 경우를 나타낸다. 재택 쌍둥이의 입장에서 볼 때 쌍둥이 역설은 전혀 당혹스러울 것이 없다. O에서 C까지 여행하는 쌍둥이의 세계선을 따라 측정한 고유 시간과 C에서 B까지 측정한 고유 시간은 O에서 A에서 B로 측정된 재택 쌍둥이의 고유 시간보다 짧다. 더 복잡한 궤적은 여행 중인 쌍둥이가 경험한 고유 시간의 총량을 계산하기 위해서는 곡선을 따라(즉, 선적분) 각 사건 사이의 고유 시간을 적분하여야 한다.
쌍둥이 역설을 여행하는 쌍둥이의 관점에서 분석하면 문제가 발생한다.
집에 있는 쌍둥이를 테렌스Terence로, 여행 중인 쌍둥이를 스텔라Stella로 지정하는 바이스Weiss의 명명법이 이후에 사용된다.
스텔라는 관성 프레임에 있지 않다. 이 사실을 감안할 때, 쌍둥이 역설의 완전한 해결은 일반 상대성이론을 필요로 한다고 잘못 언급되는 경우가 있다.
순수한 SR(특수 상대성) 분석은 다음과 같다. 스텔라의 정지 프레임에서 분석하면 그녀는 전체 여행 동안 움직이지 않는다. 그녀가 선회를 위해 로켓을 발사할 때, 그녀는 중력과 유사한 유사 힘을 경험한다. 그림 2-6 및 2-11은 동시성의 선(평면) 개념을 보여준다: 관찰자의 x-축(xy-평면)에 평행한 선은 관찰자 계에서 동시에 발생하는 일련의 사건 나타낸다. 그림 2-11에서 파란색 선은 스텔라의 관점에서 그녀의 세계선에서 사건과 동시에 발생하는 테렌스 세계선에서 사건을 연결한다. (테렌스는 동시에 일련의 수평선을 관찰할 것이다.) 스텔라의 여정의 출발 및 복귀 구간 모두에서 그녀는 테렌스의 시계가 자신보다 느리게 작동하는 것으로 측정한다. 그러나 방향 전환을 하는 동안(즉, 그림에서 굵은 파란색 선 사이), 스텔라가 동시성으로 간주하는 테렌스의 세계선에서 사건의 빠른 건너뛰기에 해당하는 동시성 선의 각도에서 이동이 발생한다.  따라서 여행이 끝나면 스텔라는 테렌스가 자신보다 더 늙었다는 것을 알게 된다.
쌍둥이 역설을 분석하는 데 일반 상대성이론이 필요하지는 않지만 일반 상대성이론의 등가 원리를 적용하면 주제에 대한 추가 통찰력을 얻을 수 있다. 스텔라는 관성 프레임에서 고정되어 있지 않다. 스텔라의 정지 프레임으로 분석하면 그녀는 전체 여행 동안에 움직이지 않는다. 그녀가 코스팅(coasting)할 때 그녀의 정지 프레임은 관성적이며 테렌스의 시계는 느리게 작동하는 것처럼 보인다. 그러나 그녀가 방향 전환을 위해 로켓을 시동할 때, 그녀의 정지 프레임은 한 가속된 프레임이고 또한 그녀는 마치 중력장에 있는 것처럼 그녀를 밀어내는 어떤 힘을 경험한다. 테렌스는 그 장에서 높은 위치에 있는 것처럼 보일 것이며 또한 중력 시간 팽창으로 인해, 그의 시계가 빠르게 작동하는 것처럼 보일 것이므로, 최종 결과는 그들이 다시 만났을 때 테렌스는 스텔라보다 더 나이들게 될 것이다. 중력 시간 팽창을 예측하는 이론적 주장들은 일반 상대성이론에만 국한되지 않는다. 만일, 뉴턴의 이론을 포함하여, 등가 원리를 존중한다면 모든 중력의 이론들은 중력 시간 팽창을 예측할 것이다.:16
이 입문 섹션은 설명하기 가장 쉬운 특수 상대성이론의 시공간에 초점을 맞췄다. 민코프스키 시공간은 평평하고 중력을 고려하지 않고 전체적으로 균일하며 그 안에서 일어나는 사건에 대한 정적 배경에 불과하다. 중력의 존재는 시공간의 기술을 매우 복잡하게 만든다. 일반 상대성이론에서 시공간은 더 이상 정적인 배경이 아니라 그 안에 포함된 물리적 시스템과 능동적으로 상호 작용한다. 물질이 있는 상태에서 시공간 곡선은 파동을 전파하고 빛을 구부리며 기타 여러 현상을 나타낼 수 있다.:221  이러한 현상 중 몇 가지에 대해서는 이 문서의 나중 섹션들에서 설명한다.