hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
스킴 (수학) 정의
스킴 가 주어졌을 때,  위의 스킴의 범주 는 에 대한 조각 범주이며,  위의 스킴(영어: S-scheme 또는 영어: scheme over S)은 그 대상이다. 즉, S 위의 스킴 은 스킴 와 스킴 사상 의 순서쌍이다.:78 가 체나 가환환이라면,  위의 스킴은  위의 스킴과 같다. 는 스킴의 범주의 끝 대상이므로, " 위의 스킴"은 "스킴"과 같은 뜻이다.
스킴 는 위상 공간이므로, 위상 공간으로서의 점을 정의할 수 있다. 스킴은 일반적으로 T1 공간이 아니므로, 닫힌 점과 닫히지 않은 점을 구분할 수 있다. 스킴의 닫히지 않은 점은 일반점이라고 한다. 닫힌 점은 대수다양체의 실제 "점"에 대응하며, 닫히지 않은 점은 (그 폐포를 취하면) 닫힌 부분 스킴에 대응한다.
보다 일반적으로, 임의의 스킴 에 대하여, 의 -점(영어: -point)은 스킴 사상 를 뜻한다. 고전적으로는 가 어떤 체 의 스펙트럼인 경우를 다루며, 이 경우 는 를 체  위에서 정의하였을 때의 점에 대응한다.
의 기하학적 점(幾何學的點, 영어: geometric point)은 어떤 대수적으로 닫힌 체 에 대한 -점이다.
스킴 (수학) 정의
스킴 로 매개화되는 스킴의 족(族, 영어: family of schemes)은 스킴의 사상 이다.:70 스킴의 족 의, 점 에서의 올(영어: fiber)은 에서의 줄기인 국소환 의 잉여류체 에 대한 올곱
이다.:89 는 위상 공간으로서 원상 와 위상 동형이다.:92, Exercise II.3.10 따라서, 스킴 사상 은 체 위의 스킴들의 족으로 해석할 수 있다. 예를 들어, 정수환  위의 스킴 이 주어졌을 때, 이는 각 소수 에 대한 스킴  및 유리수체 위의 스킴 의 족으로 해석할 수 있다.
스킴의 족은 매우 일반적인 개념이므로, 보통 평탄 사상을 이루는 평탄한 족(영어: flat family), 매끄러운 사상을 이루는 매끄러운 족(영어: smooth family) 등이 쓰인다.
두 국소환 달린 공간 ,  사이의 사상 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 열린 몰입(영어: open immersion)이라고 한다.
두 국소환 달린 공간 ,  사이의 사상 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 닫힌 몰입(영어: closed immersion)이라고 한다.
스킴 (수학) 정의
스킴 의 열린 부분 스킴(영어: open subscheme)은 위상 공간으로서 의 열린집합 이며,  위의 구조층은 층의 역상 이다.:79, Exercise II.2.2; 85 이에 따라, 열린 몰입 가 존재한다.
스킴  위에, 준연접층인 아이디얼 층 가 주어졌을 때, 에 대응하는 닫힌 부분 스킴(영어: closed subscheme)은 집합으로서 닫힌집합 이며, 그 위의 구조층은 이다.:85 이에 따라, 닫힌 몰입 가 존재한다. 스킴의 열린 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 열린 부분 스킴이 유일하게 결정되지만, 스킴의 닫힌 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 유일하지 않을 수 있다.
스킴 의 부분 스킴(部分scheme, 영어: subscheme, 프랑스어: sous-schéma)은 열린 부분 스킴의 닫힌 부분 스킴이다.:120, Définition I.4.1.3 의 부분 스킴 의 부분 스킴 가 주어졌을 때, 는 의 부분 스킴이다.:120–121, Proposition I.4.1.6
스킴 (수학) 성질
모든 스킴은 위상 공간으로서 차분한 공간이며 따라서 콜모고로프 공간이다. 또한, 모든 스킴은 국소 콤팩트 공간이다. 그러나 스킴은 일반적으로 T1 공간이지 않을 수 있다.
구체적으로, 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 스펙트럼 공간(영어: spectral space)이라고 한다.
그렇다면 임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:58, Theorem 9
또한, 임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.:60, Proposition 16
스킴의 범주 는 유한 완비 범주이지만, 완비 범주도, 쌍대 완비 범주도, 심지어 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 구체적으로, 스킴의 범주는 다음과 같은 (쌍대) 극한을 갖는다.
스킴 (수학) 성질
모든 유한 극한이 존재한다.
유한 곱 이 존재한다. 다만, 일반적으로 스킴의 곱은 위상 공간으로서의 곱과 다르다.
끝 대상이 존재하며, 이다. 이는 가 가환환의 범주 의 시작 대상이기 때문이다.
올곱 가 존재한다. 이 때 로 놓으면 이는 일반적인 곱이 된다. 스킴의 올곱은 밑 변환(-變換, 영어: base change)이라고 한다. 즉, 이는  위의 스킴 를  위의 스킴 으로의 밑 변환이다.
하지만 스킴의 범주에서는 다음과 같은 (쌍대) 극한들이 존재하지 않는다.
아핀 스킴의 범주 는 (대수 구조 다양체의 범주인 가환환 범주 의 반대 범주이므로) 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
아핀 스킴의 범주 는 스킴의 범주 의 반사 부분 범주이다. 포함 함자 의 왼쪽 수반 함자는 구조층의 대역적 단면환의 스펙트럼이다.
즉, 아핀 스킴의 극한은 스킴의 극한과 일치한다. 반대로, 스킴의 쌍대극한은 (만약 존재한다면) 아핀 스킴의 쌍대극한과 일반적으로 일치하지 않지만, 스킴의 쌍대극한에  함자를 가하면 이는 아핀 스킴의 쌍대극한과 일치한다.
모든 국소환 달린 공간의 범주 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
스킴 (수학) 성질
포함 함자
에 따라, 스킴의 범주는 국소환 달린 공간의 범주의 충만한 부분 범주를 이룬다.
이 포함 함자는 쌍대극한을 보존하지 않으며, 일반적 극한도 보존하지 않는다. 그러나 이는 유한 극한을 보존한다.:Theorem 8
스킴의 범주  위에는 다양한 그로텐디크 준위상들이 존재한다. 이들은 공통적으로 다음과 같은 형태로 정의된다.
어떤 스킴 사상들의 모임 이 주어졌을 때, 의 덮개는 다음 조건을 만족시키는 사상들의 집합 이다.

집합으로서, 이다.
이에 따라, 다음과 같은 위상들을 정의할 수 있다.
이 밖에도, 다음과 같은 위상들이 존재한다.
이 위상들은 다음과 같이, 섬세함에 대하여 전순서 집합을 이룬다. (여기서 오른쪽으로 갈 수록 더 섬세한 위상이다.)
비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상
fpqc 위상은 흔히 사용되는 가장 섬세한 그로텐디크 위상이므로, 흔히 사용되는 모든 그로텐디크 위상들은 준표준 위상이다 (즉, 표현 가능 준층은 항상 층을 이룬다).
스킴 (수학) 종류
스킴 이론에서는 수많은 기술적인 용어들이 사용된다. 우선, 위상 공간의 성질을 스킴에 적용할 수 있다.
(준)콤팩트 스킴(영어: (quasi-)compact scheme)은 위상 공간으로서 콤팩트 공간인 스킴이다. 주의할 것은 대수기하학에서는 "콤팩트" 대신 "준콤팩트"(영어: quasicompact)를 사용하고, "콤팩트 하우스도르프" 대신 "콤팩트"를 사용하는 경우가 잦다. 물론 스킴은 거의 항상 하우스도르프 공간이 아니다.
또한, 가환환의 성질을 스킴으로 일반화할 수 있다.
이 밖에도, 다음과 같은 용어가 사용된다.
일반적으로, 체 가 주어졌을 때,  위의 스킴의 성질 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 기하학적 성질(幾何學的性質, 영어: geometric property)이라고 한다.
스킴의 성질 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 국소적 성질(局所的性質, 영어: local property)이라고 한다.
대수적으로 닫힌 체  위의 대수다양체의 범주를 라고 하자.는  위의 스킴의 범주라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자 가 존재하며, 이에 따라 는 의 충만한 부분 범주를 이룬다.:78
스킴 (수학) 종류
대수다양체 에 대하여, 를 의 자리스키 위상 아래 닫힌 집합들의 집합이라고 하자.  위에 위상을, 닫힌 집합의 에 대한 상들이 닫힌 것으로 정의하자. 그렇다면 함수 는 연속 함수이다. 가  위의 다항식함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 층의 상(image) 는  위의 환의 층 구조를 이룬다. 이에 따라 는 국소환 달린 공간의 구조를 갖춘다. 이 사상에 따라, 아핀 다양체의 상이 아핀 스킴임을 보일 수 있다. 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체인 공간이고, 스킴은 국소적으로 아핀 스킴인 공간이므로, 가 대수다양체에서 스킴으로의 함자임을 보일 수 있다. 또한, 이 스킴 의 경우, 상수함수로 인하여 정의되는 사상 가 존재한다. 따라서 는  위의 스킴이다. 이 함자는 충실충만한 함자이다.:79 이 함자의 상은 유한형 정역 분리 스킴이다.:105
관련된 용어로서, 대수적 스킴(代數的scheme, 영어: algebraic scheme)은 체 위의 유한형 분리 스킴이다. 즉, 대수다양체는 정역 대수적 스킴이다.
스킴 (수학) 종류
상당수의 형용사는 두 스킴 사이의 사상에 적용된다. 스킴 사이의 사상은 보통 계수체/환이 주어져 있는 스킴으로 여길 수 있으므로, 이러한 형용사는 스킴에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 유한형 k 위의 스킴 는 그 사상 이 유한형인 스킴이다.
이 밖에도, 일반위상수학에서 사용되는 연속 함수의 다음과 같은 성질들이 사용된다.
(그러나 스킴의 고유 사상은 일반위상수학의 고유 함수와 관계없다.)
스킴의 사상의 성질 가 다음 조건을 만족시킨다면, 밑 변환에 대하여 안정적인 성질(영어: property stable under base change)이라고 한다.:90
예를 들어, 유한형 사상은 밑 변환에 대하여 안정적이다. 밑 변환에 대하여 안정적이지 않은 성질 에 대하여, 보편  사상(영어: universally  morphism)은 다음과 같은 사상 이다.
스킴 (수학) 예
가장 간단한 예로, 서로 동형이 아닌 체 , 를 생각하자. 모든 체의 스펙트럼은 한원소 공간이지만, 서로 동형이 아닌 체에 대응하는 아핀 스킴은 스킴으로서 서로 동형이 아니다.
스킴의 곱은 거의 항상 집합(또는 위상 공간)으로서의 곱과 일치하지 않으며, 후자보다 점이 더 많을 수도, 적을 수도 있다.
예를 들어, 가 체라고 하자. 그렇다면 는 한원소 공간이며, 따라서 위상 공간으로서의 곱을 취한다면 여전히 한원소 공간을 얻는다.
그러나
의 경우, 는 체가 아닌 축소환이므로 2개 이상의 소 아이디얼을 가지며, 따라서 한원소 공간이 아니다. 이 스킴의 점들은 구체적으로  (또는 인 경우 ) 위의 갈루아 군 에 대응한다.:footnote 39
스킴 (수학) 예
다른 예로, 와 가 서로 다른 표수의 체 위에 정의된 스킴이라면, 는 아무 점을 갖지 않는다.:footnote 38
체 위의 스킴의 경우, 체에 대한 올곱 역시 위상 공간으로서의 곱공간과 다르다. 예를 들어, 체 에 대한 아핀 스킴 을 생각하자.:91, Exercise II.3.9 그렇다면
이다. 이 경우, 의 점들의 집합은 의 점들의 집합의 제곱과 일반적으로 다르다. 이는 아핀 평면 속에는 곱으로 나타낼 수 없는 대수 곡선들이 존재하기 때문이다. 다만, 닫힌 점들로 국한할 경우, 의 닫힌 점들은 와 표준적으로 대응하므로, 의 닫힌 점들은 의 닫힌 점들의 집합의 제곱과 같다.
스킴 (수학) 역사
대수기하학의 이탈리아 학파는 대수다양체의 일반점의 개념을 도입하였으며, 바르털 레인더르트 판데르바르던은 1926년 책에서 일반점의 개념을 엄밀히 정의하였다. 이후 볼프강 크룰은 파리에서의 강의에서 임의의 가환환의 스펙트럼 및 그 위의 자리스키 위상을 정의하였으나 관중들은 크룰의 정의를 비웃었고, 크룰은 이 이론을 출판하지 않았다.
피에르 카르티에 역시 박사 학위 논문을 집필하던 중 그로텐디크의 스킴와 동치인 개념을 독자적으로 제안하였으나, 논문이 서론부터 지나치게 길어지는 것을 피하기 위하여 논문에 수록하지 않았다.
스킴의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 그의 저서 《대수기하학 원론》 1권에서 처음으로 정의하였다. 원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 초판에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(영어: prescheme, 프랑스어: préschéma)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.
그로텐디크는 스킴의 개념에 대하여 회고록에 다음과 같이 적었다.
스킴 (수학) 각주
Mumford, David (1999). 《The red book of varieties and schemes》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1358 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. ISSN 1617-9692. MR 1748380. Zbl 0945.14001.
화순군
화순군(和順郡)은 대한민국 전라남도 중앙부에 있는 군이다. 동쪽은 순천시·곡성군, 서쪽은 나주시, 남쪽은 보성군·장흥군·영암군, 북쪽은 광주광역시·담양군·곡성군과 접한다. 도곡면, 춘양면 일대의 화순 고인돌 유적은 전북 고창, 강화도와 함께 유네스코 세계문화유산으로 지정되어 있다. 군청 소재지는 화순읍이고, 행정구역은 1읍 12면이다.
화순군 역사
마한시대에는 여래비리국(능주·화순), 벽비리국(동북)이었다. 삼국시대 때 화순은 백제의 잉리아현(仍利阿縣)이었다. 신라에 와서 여미현(汝湄縣)으로 고쳤으며 능성군(綾城郡)의 영현(領縣)이 되었다. 고려 때에 화순으로 고쳐 나주에 속하였다. 후에 능성현에 속하고 감무를 두었다.
4면 - 읍내면, 서면, 동일도면, 동이도면
17면 - 능주면, 춘양면, 청풍면, 도곡면, 도암면, 화순면, 한천면, 서면, 동면, 송석면, 도림면, 동복면, 이서면, 내북면, 외북면, 내남면, 외남면
화순군 지리
전라남도의 중앙부에 위치하며 서쪽의 하천 유역을 제외하면 해발 고도 400∼900ｍ의 산지로 되어 있다. 소백산맥의 지맥 무등산맥(無等山脈)이 연연히 솟아 무등산(1,187ｍ)·모후산(母後山：919ｍ)·백아산(白鴉山：804ｍ)·천운산(天雲山：602ｍ)·화학산(華鶴山：614ｍ) 등 높은 산의 기복이 많아 대체로 산악 지대를 이루고 있는 한편 영산강과 섬진강의 여러 지류가 흘러 유역에는 비교적 넓은 평지가 있고 관개가 편하다.
대체로 온난한 편이나 내륙지방에 위치해 있기 때문에 기온의 교차가 비교적 심한 대륙성 기후이다. 연평균 기온 12.6°C, 1월 평균 기온 0.7°C, 8월 평균 기온 26.1°C이고, 연평균 강수량은 1,350 mm이다.
화순군 행정 구역
화순군의 행정 구역은 1읍 12면 188법정리로 구성되어 있다. 전체 면적은 786.91 km2로, 전라남도의 6.38%를 차지한다. 인구는 2017년 12월 말 주민등록 기준으로 6만4680 명, 2만9671 가구이고, 그 중 62.1%가 화순읍에 거주한다.
화순군 산업
농업이 주업으로 주요 농산물은 쌀이 80%를 차지하며 보리·콩·팥·면화·삼·담배와 양봉·양잠, 소의 사육 및 죽세공품 등이 생산된다. 특산물은 복숭아·방울토마토·배·느타리버섯·단감·참외·누에·포도·더덕·파프리카·영지버섯·표고버섯·마포 등이 유명하다.
산지가 75%나 되어 석탄을 비롯한 석회석·고령토·규석·납석 등 지하자원이 많이 매장되어 있다. 소량의 금 외에 특히 고생대 평안 누층군이 분포하는 화순탄전이 있어 무연탄의 매장량과 생산량이 많다. 총매장량은 약 3,600만t이며, 이 중 가채매장량은 약 1,700만t 정도로 추정된다. 1989년에 최대생산량이 연 70만t가량 기록했으며, 주로 서울·부산·광주 등에 공급되었다.
1993년 이후 민영탄광은 문을 닫고, 대한석탄공사 화순광업소에서만 채광작업을 하고 있다. 그러나 2023년 4월 27일 대한석탄공사측에서 조기 폐광을 위한 예비 신청서를 내고 사실상 추가 생산을 종료한다. 6월 30일, 개광 118년만에 공식적으로 생산종료되었다.
화순군 교통
경전선이 남북으로 종주하고 장동리(壯東里)에 이르는 화순선이 화순역에서 분기한다. 국도는 장동리에서 광주·순천·벌교의 3방면으로 통하고 국도 29호선, 국도 제22호선이 지난다. 호남선에서 분기한 경전선이 군 내를 통과한다. 기타 도로도 비교적 잘 정비되어 편리한 편이다.
광주와의 대중교통편은 시내버스를 포함하여 매우 빈번하나, 기타 지역과의 대중교통은 거의 대부분 광주에 의존하고 있다.
광주 거점의 고속버스 운송업체 금호고속의 차적지가 화순군이다.
화순군 문화·관광
능주면 일대에는 역사적 유적지가 비교적 많은데, 특히 조선 중종 때 개혁 정치를 폈던 정암 조광조가 귀양 와서 죽음을 당한 터와 적려유허추모비가 있다. 동복면에는 깎아지른 듯한 절벽과 맑은 물로 유명한 적벽이 있다. 그 밖에 남면 벽송리에 화순 고인돌군, 북면 백아산에 천연 동굴이 있다. 천태산에는 비자나무 숲과 수령이 500년이 넘는 나무들이 있다. 관광자원으로는 도암면에 있는 운주사를 비롯해 만연사·쌍봉사·유마사·개천사가 있다. 고려시대에 세운 것으로 알려진 운주사에는 석불과 석탑이 많다. 그 밖에 오성산성·예산산성·철옹산성·물염정·화순적벽이 관광지로 알려져 있다. 1995년에는 화순온천과 도곡온천이 개장되었다.
동복면 연월리 도수동 915번지 소재. 최산두가 기묘사화로 화를 입고 동북으로 유배되어 이곳 도수동에서 은거하면서 후학을 양성하고 당시 문인들과 교분을 두텁게 하며 이곳에서 일생을 마치자 후세 사람들이 최산두, 안방준, 임억령, 정구 네 분을 모시고 향사를 모셨다.
전라남도 무형문화재 제6호. 여기서 한천은 화순군 한천면이 아닌 화순군 동복면 한천리이다. 동복면 한천리에 한천농악전수관이 건립되어 있다.
아이북
아이북(iBook)은 애플이 1999년부터 2006년까지 설계, 제조 및 판매한 랩톱 라인이다. 이 라인은 애플의 고급 랩톱 라인인 파워북보다 낮은 사양과 가격으로 보급형, 소비자 및 교육 시장을 대상으로 했다. 당시 애플이 에어포트 (애플)로 브랜드를 정한 와이파이 네트워크 연결을 제공한 최초의 대량 소비자 제품이었다.
아이북은 수명 주기 동안 세 가지 다른 디자인을 가졌다. "클램셸"로 알려진 첫 번째 디자인은 당시 애플의 인기 있는 아이맥 라인의 디자인에서 영감을 받았다. 모양, 밝은 색상, 케이스에 손잡이 통합, 디스플레이 닫힘 래치 부재, 외부 포트 힌지 커버 부재, 내장 무선 네트워킹 등으로 인해 이전 휴대용 컴퓨터 디자인과 크게 달랐다. 2년 후, 2세대 모델은 원래의 컴퓨터 폼 팩터를 버리고 더 전통적인 직사각형 디자인을 채택했다. 2003년 10월에는 3세대 모델이 출시되어 PowerPC G4 칩, USB 2.0 및 슬롯 로딩 드라이브가 추가되었다. 아이북은 교육 분야에서 매우 인기가 많았으며, 헨리코 카운티 공립 학교는 미국에서 학생들에게 한 대씩 배포한 최초의 많은 학교 시스템 중 하나였다.
아이북
애플은 맥의 인텔 프로세서로의 전환 중 2006년 5월에 아이북 라인을 맥북으로 대체했다.
아이북 iBook G3 ("클램셸"; 1999-2000)
1990년대 후반, 애플은 수많은 퍼포마, 쿼드라, LC, 파워 맥 및 파워북 모델에서 데스크톱 및 휴대용 컴퓨터 각각 소비자 및 전문가 모델로 구성된 단순화된 "네 상자" 전략으로 제품 라인을 정리하고 있었다. 이 전략의 세 상자는 이미 갖춰져 있었다: 새로 출시된 아이맥은 소비자 데스크톱, 파워 매킨토시 G3는 전문가용 데스크톱을 채웠고, 파워북 G3 라인은 전문가용 휴대용 라인으로 사용되었다. 이는 소비자 휴대용 공간만 비워두었고, 잠재적인 디자인과 기능에 대한 인터넷 루머가 많이 돌았다. 이러한 추측을 종식시키기 위해 1999년 7월 21일, 스티브 잡스는 뉴욕의 맥월드 컨퍼런스 & 엑스포 기조연설에서 iBook G3를 공개했다.
아이북 iBook G3 ("클램셸"; 1999-2000)
아이맥과 마찬가지로 iBook G3는 PowerPC G3 CPU를 사용했으며, 기존 애플 인터페이스는 없었다. USB, 이더넷, 모뎀 포트 및 광 드라이브가 표준으로 제공되었다. 포트는 왼쪽에 노출되어 있었는데, 이는 이전 커넥터의 노출된 핀이 없는 iBook의 새로운 인터페이스에는 덮개가 깨지기 쉽고 불필요하다고 생각되었기 때문이다. 클램셸 디자인을 특징으로 하며, 덮개를 닫으면 힌지가 단단히 닫혀 화면에 래치가 필요 없었다. 힌지에는 통합된 운반 손잡이가 포함되어 있었다. 하단 표면의 추가 전원 커넥터를 통해 여러 iBook G3를 맞춤형 랙에서 충전할 수 있었다. iBook G3는 애플의 새로운 "통합 논리 기판 아키텍처"를 사용한 최초의 맥으로, 기계의 모든 핵심 기능을 두 개의 칩으로 압축하고 AGP 및 울트라 DMA를 지원했다.
아이북 iBook G3 ("클램셸"; 1999-2000)
iBook은 통합 무선 네트워킹을 내장하고 판매된 최초의 주류 컴퓨터였다. iBook 소개 시 필 실러 애플 마케팅 부사장은 iBook을 들고 높은 곳에서 뛰어내리면서 컴퓨터에서 다른 컴퓨터로 데이터가 전송되는 것을 시연하여 무선 네트워킹 기능을 보여주었다. 디스플레이 베젤에는 무선 안테나가 포함되어 있었는데, 이는 선택 사항인 내부 무선 카드에 연결되었다. 루슨트 테크놀로지는 이러한 무선 기능을 구축하는 데 도움을 주어 산업 표준을 확립했다. 애플은 동시에 에어포트 무선 베이스 스테이션을 출시했다.
미학, 기능, 무게, 성능 및 가격 등 많은 부분에서 열띤 논쟁이 있었다. 충분한 충격 보호를 제공하기 위해 iBook은 당시 파워북보다 크고 무거웠지만 사양은 더 낮았다. PC 카드 슬롯과 같은 표준 기능은 없었으며, 터치 스크린 및 초장시간 배터리 수명과 같은 추측된 기능도 없었다. iBook은 독특한 디자인으로 인해 "바비의 변기 시트"라는 별명을 얻었다. 그럼에도 불구하고, 이 디자인 덕분에 iBook G3는 영화와 텔레비전 프로그램에서 틀림없이 인식될 수 있었다.
아이북 iBook G3 ("클램셸"; 1999-2000)
iBook은 상업적으로 성공했다. 이 라인은 지속적으로 프로세서, 메모리, 하드 디스크 업그레이드 및 새로운 색상을 받았다. 파이어와이어 및 비디오 출력도 나중에 추가되었다. 이 디자인은 새로운 "듀얼 USB" iBook을 위해 2001년 5월에 단종되었다.
이 디자인은 애플의 소비자 데스크톱인 아이맥 G3의 영향을 분명히 받았다. 실제로 iBook의 마케팅 슬로건 중 하나는 "들고 다니는 아이맥"이었다. 클램셸 디자인은 eMate 300의 디자인도 연상시켰다. 애플은 쉘에 투명한 색상 플라스틱을 사용하는 추세를 이어갔고, 블루베리, 탠저린 색상으로 시작하여 인디고, 그래파이트, 키 라임 색상을 추가하여 iBook 클램셸 시리즈를 여러 색상으로 출시했다. 그러나 아이맥 G3와는 달리, iBook에는 핀스트라이프가 없었다. 스티브 잡스는 "조금 덜 보수적이고, 조금 더 재미있는" 키 라임 색상이 온라인 애플 스토어 전용이라고 발표했다. 이에 일부 군중은 야유를 보냈고, 잡스는 "애플 온라인 스토어에서 사는 것을 좋아하지 않습니까?"라고 답했다.
아이북 iBook G3 ("클램셸"; 1999-2000)
후속 iBook 및 파워북 노트북 컴퓨터와 비교했을 때, 클램셸 iBook은 더 신뢰할 수 있는 모델로 입증되었다. 오리지널 iBook은 런던 디자인 박물관과 예일 대학교 미술관에 전시되어 있다. iBook G3에서 처음 채택된 디자인 아이디어의 흔적은 오늘날에도 여전히 볼 수 있다: 인터페이스 포트를 뒤쪽에서 옆쪽으로 옮기고 덮개 없이 두는 것, 컴퓨터 덮개용 래치를 생략하는 것, 그리고 여러 색상 옵션을 제공하는 것.
오리지널 iBook의 고객 서비스 가능 부품은 RAM과 AirPort 카드뿐이었으며, 키보드 아래의 두 슬롯을 통해 접근할 수 있었다. 보증 기간 동안 다른 수정은 불가능했다. 추가 확장 기능을 위한 PCMCIA 포트는 없었다. 하드 드라이브에 접근하려면 40개의 나사를 제거해야 했다. 그러나 광학 드라이브는 훨씬 쉽게 접근할 수 있으며, 11개의 나사와 1개의 스탠드오프만 제거하면 된다. 나중에 일부 사용자는 최신 흰색 iBook의 1024x768 LCD를 클램셸 iBook에 이식했다. 이는 8MB의 비디오 RAM을 가진 "파이어와이어" 및 "파이어와이어 SE" 모델에서만 가능하다. 이전 모델은 4MB만 가지고 있었다.
모든 클램셸 iBook에는 Mac OS 8.6 또는 9.0이 함께 제공되었다. 모든 클램셸 iBook은 맥 OS X 10.0부터 10.3.9까지를 지원했다. 맥 OS X 타이거 (v10.4)도 설치할 수 있다.
아이북 iBook G3 듀얼 USB ("Snow"; 2001-2003)
애플은 2001년 5월 1일 쿠퍼티노에서 열린 기자 회견에서 차세대 iBook G3를 공개했다. 이전의 대담한 색상과 부피가 큰 폼 팩터는 손잡이, 래치 없는 디자인, 하단 표면의 추가 전원 커넥터와 함께 폐기되었다.
그 결과 iBook은 흰색으로만 제공되었으며, 그래서 "스노우"라는 이름이 붙었고 케이싱에 투명한 폴리카보네이트가 통합되었다. 이전 모델보다 30% 가벼웠고, 세 가지 차원 모두에서 더 작아 부피가 절반 미만을 차지했다. 그럼에도 불구하고 추가 USB 포트와 더 높은 해상도 화면이 추가되었다. 애플은 컴팩트한 디자인이 내구성을 희생하지 않았다고 주장하며 이전 모델보다 "두 배 더 내구성이 뛰어나다"고 말했다. 이는 최초의 아이팟 상업 광고에서 볼 수 있는 모델이다.
이 개정을 통해 애플은 아이맥 및 EMac과 같은 대부분의 소비자 라인에서 반투명 및 흰색 폴리카보네이트 케이싱으로 전환하기 시작했다. 이와 대조적으로 대부분의 전문가용 제품은 아노다이징된 알루미늄 마감을 사용했다. 생산 막바지에는 스노우 iBook G3 케이스가 반투명 흰색과 마그네슘 대신 불투명 흰색으로 바뀌었다.
아이북 iBook G4 (2003-2006)
애플은 2003년 10월 22일 iBook Snow 디자인에 PowerPC G4 칩을 추가하여 마침내 PowerPC G3 칩의 사용을 중단했다. 이는 Mac OS 9를 네이티브로 부팅할 수 없는 유일한 PowerPC G4 Mac 모델이다. 슬롯 로딩 광학 드라이브가 디스크 트레이를 대체했다. iBook G4 노트북은 또한 불투명한 흰색 케이스 마감과 키보드 및 플라스틱 디스플레이 힌지를 특징으로 한다. 이 모델은 맥북이 2006년에 iBook 라인을 대체하기 전에 출시된 마지막 iBook 랩톱이기도 하다.
아이북 확장성 및 업그레이드
iBook 키보드는 들어 올려 AirPort (무선) 카드와 추가 메모리 설치를 가능하게 한다. 이로 인해 특히 반투명 키보드를 가진 G3 iBook에서 키보드가 "스펀지" 같은 느낌을 주었다. "스펀지" 느낌은 PowerPC G4 모델에서 수정되었다.
하드 디스크 드라이브에 접근하는 것은 복잡하고 시간이 많이 걸리며, 장치의 부분적인 분해와 30개 이상의 다른 크기의 나사를 제거해야 한다.
iBook G4의 메모리는 착탈식 AirPort 카드로 덮여 있으며, 필립스 스크루드라이버로 RAM 쉴드를 제거하여 접근할 수 있다. 일부 초기 모델(예: 800MHz 및 933MHz)은 640MB의 RAM 제한이 명시되어 있지만, 총 1.12GB의 RAM(내장 128MB, 1GB SO-DIMM 추가) 또는 논리 보드에 256MB 또는 512MB RAM이 납땜된 후기 모델에서는 1.25GB 또는 1.5GB를 설치할 수 있다.
위에 제시된 차트 외에 macOS 버전에서 더 이상 공식적으로 지원되지 않지만, 이 시스템은 버전 3.2부터 모르프OS (아미가 호환 OS)를 통해 지원되기도 했다.
아이북 품질 문제
iBook 라인의 디스플레이 문제는 악명 높은 그래픽 칩으로 인해 발생했으며, 이는 방열판이나 공장에서 수행된 BGA 납땜 작업에 문제가 있을 수 있었다. 이는 시스템 멈춤 (그래픽 칩이 열 한계에 도달하여 멈춤) 또는 화면에 보이는 그래픽 아티팩트 (그래픽 칩 고장으로 인해 발생)와 같은 증상으로 나타난다.
애플은 2004년 1월 "iBook 논리 보드 수리 연장 프로그램"을 시작하여 iBook G3 모델의 디스플레이 문제 수리 비용을 3년간 보장했다. 2004년 6월, 수리 연장 프로그램은 모든 흰색 G3 iBook으로 확대되었다.
iBook G4의 초기 모델들도 iBook G3와 유사한 디스플레이 문제로 고통받았지만, 수리 연장 프로그램의 적용을 받지 못했다. 이러한 문제로 인해 고가의 수리가 필요했던 iBook 소유자들은 2006년 12월에 새로운 집단 소송을 제기했다.
아이북 품질 문제
2007년 5월 2일, 덴마크 소비자 위원회는 애플 iBook G4 로직 보드 문제에 관한 광범위한 제3자 보고서를 발표했다. 보도 자료는 이것이 보증 청구에 미칠 수 있는 전 세계적인 결과에 대해 언급했다.
이러한 결함을 겪은 iBook 소유자 중 일부는 방열판과 그래픽 칩 사이에 얇은 금속 심을 넣어 방열판이나 그래픽 칩에 압력을 가하여 이러한 문제를 일시적으로 해결했다. 이는 방열판과 그래픽 칩을 함께 밀어 열 간극을 연결하고, 그래픽 칩을 마더보드에 밀어 솔더 비드를 다시 일시적으로 재가열하는 효과를 가져왔다.
초과의석
초과의석(超過議席, 독일어: Überhangmandat)은 독일연방의회 의원 선거 등에서 지역구에서는 다수대표제가 채택되어 있고 전국구에서는 비례대표제가 채택되어 있는 경우, 선거인은 지역구 후보자를 위하여 투표할 뿐 아니라(제1투표) 고정명부제에 의하여 정당을 위하여 투표함으로써(제2투표) 의석수과 초과의석만큼 예외적으로 늘어날 수 있는 가능성이 있다. 즉, 한 정당이 지역구에서 획득한 의석수가 제2투표에 의하여 그 정당에 배분된 의석수보다 클 경우이다.
아이팟 나노
아이팟 나노(iPod nano)는 미국 애플사에서 판매하는 MP3 플레이어이다. 기존의 아이팟이 대부분 하드디스크를 저장장치로 사용하는 것에 반해, 아이팟 나노는 플래시 메모리를 저장장치로 사용하여 아주 가볍고 얇다. 2005년 9월에 아이팟 미니의 대체품으로 1세대를 처음 선보였으며, 7세대까지 출시되었었다. 2010년 7월 27일 iPod shuffle과 함께 마지막 세대인 7세대 출시 이후 5년여만에 단종되었다.
지원되는 오디오 포맷
아이팟 나노 개발
아이팟 나노의 디자인 개발은 불과 출시 9개월 전에 시작되었다. 그리고 2005년 9월, 애플은 2GB와 4GB의 용량의 모델과 두 가지(검은색, 흰색)의 색깔의 아이팟 나노를 출시하였다. 2006년 2월 7일에는 1GB의 아이팟 나노를 출시하였다. 또한 애플은 아이팟 나노에 적용할 수 있는 암밴드, 실리콘 튜브 등의 악세서리도 판매하기 시작했다.
아이팟 나노 모델
아이팟 나노 1세대의 크기는 다음과 같다: 너비 40mm, 길이 90mm, 두께 6.9mm, 무게 42g. 재생 시간은 14시간 정도이며, 화면은 176×132 픽셀과 대각선 길이가 38mm이다. 또한, 65,536 색상 (16비트 색상)을 지원한다. 앞면은 내부도장처리가 된 투명 아크릴, 뒷면은 스테인리스 스틸로 되어있고, 낸드 플래시를 지원한다. 검정과 흰색 등 모두 2가지의 색상이 있으며, 용량은 총 2GB, 4GB 등 2가지가 있다. 가격은 2GB가 미국 달러로 $199, 4GB가 $249로 출시되었다.
아이팟 나노 모델
2006년 9월 12일, 아이팟 나노 2세대가 공개되었다. 아이팟 나노 2세대는 아이팟 미니 2세대와 표면의 재료와 출시된 색상이 같다. 이전의 아이팟 미니 디자인과 같이 외부가 산화피막 알루미늄으로 처리되어 있어 표면이 잘 긁히지 않는 것이 특징이다. 색상은 은색, 녹색, 파랑, 핑크, 검정 등 총 5가지로 확대되었다. 다른 점은 버튼 색깔이 아이팟 나노와 '버튼'의 색이 일치하지 않는다는 것이다. 하지만, 검은색 아이팟은 '검은색 휠'을 가지고 있다. 아이팟 나노 2세대는 "더 밝은, 더 선명한 화면"을 특징으로 한다. 재생 시간은 14~24시간 정도이며, 용량은 2, 4, 8GB가 있다. 아이팟 나노 2세대는 '다음 곡으로 넘어갈 때 끊어짐 없는 음악 재생', 새로운 검색 기능, 40% 밝아진 화면을 지원한다. 2GB 용량은 은색만 가능하며, 4GB 용량은 처음에 녹색, 파랑, 핑크, 은색의 아이팟만 가능했다. 8GB 용량은 처음에 검은색 모델만 가능했으나, 나중에 PRODUCT RED가 추가되었다. 애플은 아이팟 나노 2세대의 포장이 "1세대보다 32% 더 가볍고, 부피가 52% 더 작아졌다."라고 주장하고, 그것 때문에 환경 오염을 줄이고 동시에 운송비를 줄였다고 한다.
아이팟 나노 모델
아이팟 나노 2세대 PRODUCT RED'는 2006년 10월 13일에 공개되었다.
애플은 2007년 9월 5일에 아이팟 나노 3세대를 발표하였다. 아이팟 나노 3세대는 2인치 QVGA 화면과 길이가 짧고, 너비가 길고, 무거운 디자인과 이전 세대와 다른 새로운 색상이 특징이다. 새로운 기능은 커버 플로라는 것이다. 커버 플로는 3차원 그래픽 인터페이스로, 음악을 재생하고 여러 가지 기능을 다룰 수 있다. 은색만 지원하는 4GB 용량과, 청록색·은색·민트 그린·검정·PRODUCT RED 색상을 지원하는 8GB 용량이 공개되었다. 음악을 재생할 경우에는 배터리가 약 24시간 동안 지속되며, 비디오를 재생할 경우에는 약 5시간 동안 지속된다. 2008년 1월 22일, 애플은 핑크 색상의 아이팟 나노를 공개하였다. 이 핑크 색상은 8GB 용량만 지원되었다.
아이팟 나노 3세대는 이전 세대의 특징들을 결합하였다. 앞면은 2세대와 동일한 산화피막 알루미늄으로 되어 있고, 뒷면은 1세대와 동일한 스테인리스 스틸로 되어 있다. 3세대에는 새롭게 아이팟 셔플의 전원 스위치와 비슷한 작은 '홀드 스위치'를 추가했다.
아이팟 나노 모델
2007년 10월 6일, 애플은 아이튠스를 통해 1.0.2 버전의 펌웨어 업데이트를 실시했다. 이 업데이트에는 커버 플로와 더 빠른 메뉴 검색 등 여러 기능이 업데이트되었다. 2007년 11월 28일에는, 버그를 수정하는 1.0.3 버전의 펌웨어 업데이트를 하였다. 2008년 1월 15일, '아이튠스 영화 대여' 기능과 음악에 '가사'를 삽입하는 기능을 추가했다. 이후에도, 애플은 2008년 5월과 7월에 각각 1.1.2 버전과 1.1.3 버전의 펌웨어 업데이트를 실시하였다.
아이팟 나노 4세대는 'Apple Let's Rock Event'에서 2008년 9월 10일에 공식 발표되었다. 4세대에서는, 3세대 이전의 모델처럼 다시 너비가 짧고 길이가 긴 모양이 되었다. 길이가 90.7mm, 너비가 38.7mm, 두께가 6.2mm이며 무게가 36.8g이었다. 표면은 2세대처럼 앞면과 뒷면, 둘 다 산화피막 알루미늄으로 되어 있지만 앞뒷면이 평면이 아닌 곡면이다. 애플은 음악 재생을 할 경우 24시간 동안 배터리가 지속되며, 비디오를 재생할 경우에는 3세대보다 짧은 4시간 동안 지속된다.
아이팟 나노 모델
색상은 은색·검정·보라·하늘색·녹색·노랑·오렌지·빨강·핑크 등 총 9개의 색이 있다. 또한, 아이팟 나노를 흔들면 음악이 임의로 재생되고 가로로 눕히면 화면을 90도 회전시키는 등의 기능을 제공하는 '가속도 및 중력 센서'가 포함되어 있다. 비디오는 '가로 모드'에서만 재생이 된다. 사용자 인터페이스는 새로운 하드웨어의 디자인과 어울리는 것으로 새롭게 개편되었다. '애플 호환 이어폰'이 아이팟 나노에 접속되었을 때 자동적으로 '음성 녹음'이 추가되는 기능과 'Genius' 기능이 더해졌다. 'Genius' 기능은 애플에 의해 만들어진 알고리즘을 이용해 선택한 곡들을 조합시켜 어울리는 곡들로 이루어진 재생목록을 자동적으로 생성하는 기능이다.
아이팟 나노 모델
게다가, 애플은 아이팟 나노 4세대는 "애플이 지금까지 만든 아이팟 중 가장 친환경적인 제품"이라고 주장했다. 비소가 없는 유리와 폴리염화비닐, 수은, '브롬계 내연제'가 없는 디자인으로 만들어졌다. 아이팟 나노 4세대는 4GB(유럽 일부 제한), 8GB, 16GB의 용량을 제공한다(4GB는 후에 고용량 제품에 대항하기 위해 단종되었다). 아이팟 퀴즈 게임(iPod Quiz game)이 사라졌으며, 대신에 가속도 및 중력 센서를 이용하는 미로 퍼즐이 추가되었다.
4세대부터는 파이어와이어를 이용한 전송이 완전히 불가능해지면서, 일부 거치대와의 충전과 동시에 음악을 듣는 일이 불가능해졌다.
아이팟 나노 5세대는 2009년 9월 10일 발표되었다. 5세대는 4세대에 비해 가격이 내려가고 더 커졌다. 출시 당시에, 8GB는 미국 달러로 $149, 16GB는 $179이었다. 56.3mm의 더 커진 화면의 대각선 길이와 너비도 더 넓어졌다. 기능에는 16가지 특수 효과 기능을 사용할 수 있는 '비디오 카메라', 마이크로폰, RDS을 통한 FM 라디오가 포함되었다.
아이팟 나노 모델
또한 아이팟 나노 5세대는 '라디오 생방송 녹음', 내장 만보계, Nike+iPod과 스피커를 갖추고 있다. 5세대는 은색·검정·보라·파랑·녹색·핑크·PRODUCT RED 등 총 9개의 색상이 있다. 유광코팅을 적용한 것 외에는 4세대와 큰 차이가 없다. PRODUCT RED와 노란색 아이팟 나노 5세대는 애플 온라인 상점과 애플 스토어에서만 구입이 가능하다.
2010년 9월 8일, 아이팟 나노 6세대가 발표되었다. 새로운 기능이 많이 추가되었고, 고해상도 정사각형 터치스크린을 갖추고 있다.
아이팟 나노 모델
아이팟 나노 6세대는 1.54인치 저해상도 240×240픽셀 멀티터치 스크린을 장착하였다. 저해상도라고 하지만, 220PPI를 가지고 있다. 3.7볼트를 기록하고 시간당 0.39W를 사용하는 배터리를 장착했다. 단 한 번의 충전으로 10시간 동안 음악 재생을 할 수 있고, 3시간이면 충전이 완료된다. 6세대는 이전 세대와 같이 30핀 거치대 연결대를 가지고 있다.비디오카메라, 내장 마이크, 내장 스피커, 게임 기능, 비디오 재생이 불가능해졌다. 하지만, 비디오 팟캐스트와 뮤직 비디오가 동기화될 수 있으며, 재생될 경우 단 한 장의 프레임만 스크린에 표시된다. 5세대에 있었던 기능인 Nike+iPod과 FM 라디오 기능은 남아있다.
아이팟 나노 모델
2011년 2월 28일에, 1.1 버전의 펌웨어 업그레이드가 있었다. 이 업데이트에서는 '잠자기/깨우기' 버튼을 두 번 누르면 다음 곡으로 넘어가거나 '재생/일시정지'를 할 수 있는 기능과 또한 해당 버튼을 길게 누르면 완전히 전원이 꺼지는 기능이 추가되었다. 2011년 10월 4일에는 1.2 버전의 업데이트가 애플의 "Let's Talk iPhone" 행사에서 발표되었다. 홈 버튼의 아이콘의 크기를 조정할 수 있는 기능, 향상된 피트니스 앱, 18가지의 시계 표시 기능, 추가된 배경화면이 주된 업데이트 내용이다. 역시 5세대와 같이 PRODUCT RED는 온라인 애플 스토어에서만 구입이 가능하다.
8GB와 16GB 모델이 있으며, 은색·회색·파란색·녹색·오렌지색·핑크·PRODUCT RED 등 총 7가지 색이 있다. 8 GB 모델의 제조원가는 5만원에 약간 못 미치는 수준인 4만9000원 수준인것으로 밝혀졌다.
2012년 9월 12일, 아이팟 나노 7세대가 발표되었다. 새로운 디자인을 선보였으며,
종전 6세대보다 더 커진 2.5인치 터치스크린을 갖추고 있다.
아이팟 나노 7세대는 2.5인치 240×432픽셀 멀티터치 스크린을 장착하였다. 이는 1인치당 202개의 픽셀이 있다는 202PPI의 스크린이다.
단 한 번의 충전으로 20시간 동안 음악 재생을 할 수 있고, 약 3시간이면 충전이 완료된다.
7세대는 이전 세대와 달리 Lightning-USB 케이블 연결대를 가지고 있다.
이전 5세대와 같이 비디오카메라, 내장 마이크, 내장 스피커, 게임 기능은 불가능하지만, 비디오를 동기화하여 재생하는 것이 가능해졌다. 또한 5세대부터 있었던 기능인 Nike+iPod과 FM 라디오 기능은 남아있다.
16GB 모델이 있으며, 슬레이트·실버·퍼플·핑크·옐로우·그린·블루·PRODUCT RED 등 총 8가지 색상이 있으며, 2013년 9월 10일에는 슬레이트 색상이 단종되고 스페이스 그레이 색상으로 대체되었다.
2015년 7월 15일부터는 스페이스 그레이·골드·실버·핑크·블루·PRODUCT RED 등 총 6가지 색상으로 변경되었다.
2006년 10월 13일 PRODUCT RED 특별판이 공개되었다. 용량은 8 GB이며, 애플은 이 제품을 판매하여 얻은 수익의 일부를 AIDS 퇴치 사업에 기부한다. 가격은 기존에 출시되었던 모델과 동일하다. 2세대 (PRODUCT)RED Special Edition이 출시된 이후, 3세대와 4세대까지 이어지고 있는 특별판이다. (아이팟 셔플도 이와 같은 제품이 있었으나, 2세대의 일부 모델에서만 발매되었다. 온라인 상점인 애플 스토어에서만 판매를 하며, 3세대에서는 최고용량인 8 GB만 있으며, 산화피막 처리된 빨간색이다. 빨간색의 강렬함은 2세대 보다 덜하다고들 한다. 4세대는 16 GB 버전만 (PRODUCT)RED 제품이 있다. 7세대 제품도 (PRODUCT)RED 제품이 있다.
아라비아반도
아라비아반도(영어: Arabian Peninsula)는 아시아와 아프리카를 잇는 서아시아의 사막으로 이루어진 반도로, 중동의 중앙에 위치하고 있다. 이 지역을 간단히 아라비아(Arabia)라고도 한다.
남서쪽은 아카바만, 홍해, 아덴만, 남동쪽은 인도양의 일부인 아라비아해, 북동쪽은 오만만, 호르무즈 해협, 페르시아만으로 둘러싸여 있다. 반도의 북쪽은 보통 자그로스산맥을 경계로 삼는다. 시나이반도를 통해 아프리카와 연결되어 있다.
아라비아반도는 정치적으로 아래 나라들로 나뉜다:
반도의 대부분 땅은 사우디아라비아에 속한다. 대부분 사람들은 사우디아라비아와 예멘에 살고 있다.
이곳에서 가장 큰 나라는 사우디아라비아로, 인구도 약 2,300만 명으로 제일 많다.
가환환
가환대수학에서 가환환(可換環, 영어: commutative ring)이란 곱셈이 교환 법칙을 만족시키는 환이다. 가환환과 그 위의 가군을 연구하는 환론의 분야를 가환대수학이라고 한다.
가환환 정의
환 에서, 는 아벨 군을 이루며, 은 모노이드를 이룬다. 만약 이 가환 모노이드를 이룬다면, 를 가환환이라고 한다. 즉, 가환환에서는 모든 에 대하여 이다.
마찬가지로, 유사환 에서, 은 아벨 군을 이루며, 은 반군을 이룬다. 만약 이 가환 반군을 이룬다면, 를 가환 유사환(영어: commutative pseudo-ring, commutative ring)이라고 한다.
가환환 성질
가환환과 환 준동형의 범주 는 정의에 따라 아핀 스킴의 범주 의 반대 범주와 동치이다.
구체적으로, 이 동치는 환의 스펙트럼 에 의하여 주어진다.
즉, 스킴 이론을 통해 가환환 사이의 연산을 대수기하학적으로 해석할 수 있다.
가환환의 범주는 다음과 같은 성질을 갖는다.
가환환의 범주 은 환의 범주 의 충만한 부분 범주를 이루며, 모든 극한을 보존시킨다. 즉, 환의 범주에서의 극한은 가환의 범주에서의 극한과 같다. 그러나 쌍대극한은 일반적으로 다르다.
가환환 종류
특수한 성질을 갖는 가환환들은 다음이 있으며, 이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
환 ⊋ 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
가환환 분류
일반적으로, 모든 가환환을 분류하는 것은 불가능하다. 그러나 대략 다음과 같은 3단계 구조론이 존재한다.
즉, 가환환 → 가환 축소환 → 정역 → 체로서, 점점 더 정칙적인 구조로 나타낼 수 있다.
가환환 예
가환환의 예로는 다음을 들 수 있다.
비가환환의 예로는, 실수 행렬환 이 있다. 이는  정사각 행렬로 구성된 환인데, 라면 이는 가환환이 아니다.
대구과학고등학교
대구과학고등학교(大邱科學高等學校)는 대한민국 대구광역시 수성구 황금동에 있는 공립 과학영재학교이다.
모티브 (수학)
모티브(영어: motive, 프랑스어: motif 모티프[*])는 대수기하학의 연구대상 중 한가지로, 직관적으로 말하자면, '대수다양체의 궁극적인 성질들을 가지고 있는 대상'을 뜻한다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 말하자면, '모티브 이론'이란 '대수다양체에 관한 범용 코호몰로지 이론(universal cohomology theory)'이다.
모티브 (수학)
범주론의 관점에서 보자면, 모티브들은 어떤 대수적 대응(algebraic correspondences)들의 범주 안에서 사영자(projector)라고 불리는 멱등원(idempotent)들을 통해서 정의하려고 시도하던 것이 전통적인 방식이었다. 그러나, 이 방법은 수십 년간 큰 진전을 보지 못했는데, 그것은 알렉산더 그로텐디크의 대수 사이클에 대한 표준가설들의 증명에 큰 진척이 없었기 때문이었다. 이 증명이 진척되지 않아서, 위에서 말한 대수적 대응들의 범주에서는 '충분히' 많은 사상(morphism)들을 만드는 것이 힘들었다. 알렉산더 그로텐디크가 활발하게 활동을 하던 1960년대에서 1970년대에는, 모티브의 범주는 범용 베유 코호몰로지(universal Weil cohomology)이론이 될 것이라고 생각했으나, 이러한 기대는 아직까지 이루어지지는 못했다. 그러나, 많은 다른 수학자들에 의해서 지금은 모티브 코호몰로지는 기술적으로 적합한 다른 방식으로 정의되었다.
따라서, 엄격하게 말하자면, 아직은 '모티브 이론'은 완전하게 완성되지는 못했으나, 그런 가설속의 대상들인 모티브들 사이의 관계에 대해서는 제법 많은 것들을 알게 되었고, 이러한 사실들은 대수다양체들에 대한 일반적인 바탕 인프라스트럭처를 만드는 것으로 믿어지고 있다.
모티브 (수학) 모티브란 무엇인가?
모든 대수다양체 X는, 그에 대응하는 모티브 [X]를 가지고 있다. 따라서, 가장 간단한 모티브들의 예를은 다음과 같다:
이러한 '등식'들은 많은 상황에서 성립한다. 예를 들자면:
각각의 모티브는 차수(degree)로 위계가 매겨져있다(graded). 구체적으로 말하자면, 대수다양체 X에 대해서 대응되는 모티브 [X]는 차수 0부터 차수 2 dim X까지로 위계가 매겨져있다. 대수다양체는 이러한 성질을 가지고 있지만, 모티브는 항상 모티브 전체에서 특정 차수의 모티브의 부분으로 가는 사영(projection)이 존재한다. 예를 들자면,
기본적인 철학은 다음과 같다. 즉, 모티브는 충분히 좋고 잘 정의되는 코호몰로지 이론들 안에서는 항상 같은 구조를 가져야 한다는 것이다. 예를 들어, 임의의 베유 코호몰로지(Weil cohomology)이론은 이런 '충분히 좋은' 코호몰로지이다.
모티브 (수학) 각주
모티브 이론은, 알렉산더 그로텐디크에 의해서 시작된 아주 큰 규모의 대수기하학의 프로그램의 일부이다. 이 이론의 일관성을 보장하기 위해서는, 몇가지 대수 사이클에 대한 표준가설들을 증명해야만 하고, 현재는 여러가지의 다른 모티브에 대한 정의들이 존재하고 있다. 모티브 갈루아군(motivic Galois group)같은 표현에서와 같이 다른 단어를 수식할 때의 '모티브'라는 말은, 어떤 개념적이고 직관적인 연관성이 있음을 암시하고 있기는 하지만, 아직은 이 모티브 이론은 완벽하게 만들어진 형태가 아니다. 모티브 폴리로그와 같은 곳에서도 이런 현상이 나타난다.
순수 호지 구조(pure Hodge structore)에 연관되어 혼합 호지 구조(mixed Hodge structure)가 있는 것처럼, 순수 모티브에도 혼합 모티브라는 개념이 존재한다.
모티브 코호몰로지
대수기하학에서 모티브 코호몰로지(영어: motivic cohomology)는 호몰로지 이론 중의 하나로서, 대수기하학의 연구 대상인 대수다양체 위에 정의할 수 있는 일종의 '범용 코호몰로지 이론'(universal cohomology theory)이다. 이 이론은 1960년대에, 수학자 알렉산더 그로텐디크에 의해서 처음으로 그 존재성이 예측되었다.
1960년대에 그로텐디크가 이 이론의 존재성을 예측할 당시에는, 이 이론은 아마도 대수기하학의 대수 순환에 관한 표준 가설들(the standard conjectures on algebraic cycles)이 증명되면 이론이 확립될 것이라고 생각하였다. 이러한 가설이 맞다는 가정하에서 적절한 범주론을 사용하여 그로텐디크와 엔리코 봄비에리는 베유 가설(Weil conjecture)에 대한 색다른 증명을 얻어낼 수도 있었다. (베유 가설은, 피에르 들리뉴에 의해서 다른 방식으로 증명되었다.) 하지만, 불행하게도 현재까지도 이 '대수 사이클에 관한 표준 가설들'은 증명되지 않고 있다.
모티브 코호몰로지
이러한 이유로 인해, 모티브 이론은 단지 직관적이고 모호한 상태로 남아있다. 이 때문에, 예를 들어 장피에르 세르의 경우, 모티브를 가지고 일하기보다는, 복수계의 호환되는 -진 표현(영어: system of compatible l-adic representations) 같은 구체적인 수학적 대상을 가지고 연구하는 것을 선호하였다. 이것은 모티브에 관한 가설들이 맞다면 아마도 모티브만큼 좋은 성질들을 만족할 것이라고 사람들은 생각하고 있다. 어쨌건, 세르는 모티브 대신 이러한 표현들을 이용해서, ℓ진 코호몰로지 안에서의 모티브의 구현에서 등장하는 데이터를 가지고 일하였다.
모티브 코호몰로지
그로텐디크의 관점에서 보자면, 모티브는, 이러한 ℓ진 코호몰로지에서의 정보들뿐만이 아니라 대수적 드람 코호몰로지나 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)에서 나오는 정보들도 모두 가지고 있을 가설 속의 대상이다. 즉, 어떤 의미로 보자면, 모티브 코호몰로지는, 대수기하에서 등장하는 모든 코호몰로지 이론의 어머니 쯤으로 생각할 수 있다는 것이다. 다시 말하자면, 모티브 코호몰로지를 알면, 다른 모든 코호몰로지 이론들은 모티브 코호몰로지의 어떤 일부만을 봄으로써 얻을 수 있다는 것이다. 불행하게도 이러한 가설 속의 이론 개발은 생각보다 많은 발달을 이루지는 못하였으나, 그래도 제법 꾸준한 결과들이 있었다. 예를 들자면 피에르 들리뉴의 절대 호지 순환(absolute Hodge cycle) 이론은 이러한 기술 발달에 기여를 하였다.