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ジョージア＝トルコ国境
ジョージア＝トルコ国境（ジョージア＝トルコこっきょう、グルジア語: საქართველო–თურქეთის საზღვარი,トルコ語: Gürcistan–Türkiye sınırı）は、ジョージアとトルコの間の国境である。
西はジョージアのサルピのすぐ南の黒海の海岸から始まり、東はアルメニアとの三国国境まで、延長は273キロメートルである。途中でカルツァヒ湖を横切る。ジョージア側は、国境の西側3分の1をアジャリア自治共和国が接している。
ジョージア＝トルコ国境 歴史
コーカサス地方は19世紀を通して、衰退しつつあったオスマン帝国、ガージャール朝（ペルシャ）、南下を意図していたロシア帝国の間で争われていた。ロシアは1828年までにコーカサス地方のペルシャ領の大半を占領し、次はオスマン領に侵攻した。1829年のアドリアノープル条約により、ロシアは現在のジョージア領の大部分（イメレティ州、サメグレロ州、グリア州を含む）を獲得し、現在のジョージア＝トルコ国境の北側に国境線が画定された。
1878年のサン・ステファノ条約で、ロシアは現在のトルコ東部の土地を獲得した。この条約によるバトゥミ、カルス、アルダハンのロシアによる獲得は1878年のベルリン条約で確認されたが、バヤズィッド（現在のドゥバヤジト）周辺とエレシュキルト渓谷の一部はオスマンに返還された。
第一次世界大戦中、ロシア帝国はオスマン帝国東部に侵攻した。ロシア革命後の混乱の中で、共産党による新政府は戦争への関与を終結させようとし、1918年にドイツ、オスマンとブレスト＝リトフスク条約を締結した。この条約によって、ロシアはサン＝ステファノ条約とベルリン条約で獲得した地域をオスマンに返還した。
ジョージア＝トルコ国境 歴史
ロシアやオスマンからの独立を目指すコーカサス南部の人々は、1918年4月にザカフカース民主連邦共和国の建国を宣言し、オスマン帝国との和平交渉を開始した。同年5月にジョージアが連邦から離脱し、その直後にアルメニアとアゼルバイジャンも脱退して連邦は崩壊した。オスマン帝国がコーカサス地方に侵攻して急速に勢力を拡大したため、これらの3共和国は1918年6月4日にバトゥム条約に調印させられ、オスマンとの国境が1878年以前のものとなった。1920年のアレクサンドロポリ条約でアルメニアにおけるオスマンの権益が強化される一方で、ソビエトロシアは1920年のモスクワ条約でジョージアの独立を承認した。
第一次世界大戦でオスマンが敗北したことにより、1920年のセーヴル条約において、オスマンの領土は大きく減らされることになった。この条約により、オスマンはジョージアとアルメニアの独立を承認し、両国にトルコ東部の広大な土地を割譲し、ジョージアはラジスタンの大部分を獲得した。トルコの民族主義者たちはこの条約の内容に激怒し、トルコ革命（祖国解放戦争）が勃発したことで、セーヴル条約は無効となった。
ジョージア＝トルコ国境 歴史
1920年、ソビエトロシアの赤軍がアゼルバイジャンとアルメニアに侵攻し、1921年にはジョージアに侵攻して、ジョージアの独立は終了した。オスマン帝国もジョージア南西部に侵攻し、アルトヴィン、アルダハン、バトゥミなどを占領した。ソビエトロシアとオスマンは、両国間の全面戦争を避けるために1921年3月にモスクワ条約を締結し、新しいソ連＝オスマン国境を画定した。しかし、現地では戦いが終結せず、話し合いは膠着状態となった。1921年10月にカルス条約が締結され、このとき確定したソ連とトルコの国境が、現在のジョージア＝トルコ国境となった。この条約に基づいて、トルコはバトゥミの領有権を放棄し、バトゥミの大部分を占めるイスラム教徒を保護するために、ソ連領内にアジャリア自治ソビエト社会主義共和国が創設された。その後、1925年3月から1926年7月にかけて、ソ連とトルコの合同委員会によって実際の国境線が画定された。トルコの独立は、1923年のローザンヌ条約で承認された。
ジョージアは当初、アルメニア、アゼルバイジャンとともにソ連領内のザカフカース社会主義連邦ソビエト共和国に編入されたが、1936年にグルジア・ソビエト社会主義共和国として分割された。ソ連は何度か、カルス条約による国境線を変更するべきだと主張したが（フルシチョフの「トルコに対するソ連の領土権主張」など）、トルコはアメリカからの支持を背景としてこの問題の協議を拒否し、南側の隣国との関係改善を求めたソ連もこの問題を取り下げた。
1991年のソビエト連邦崩壊を受けて、ジョージアは独立した。トルコは1991年12月16日にジョージアの独立を承認した。1992年5月21日に両国間の外交関係樹立議定書が調印され、国境線が確認された。
ジョージア＝トルコ国境 国境通過点
国境通過点は以下の3か所あり、そのうち1か所には鉄道も通っている。
チュドゥル・アクタス＝カルツァヒ国境は、当初の合意から20年後の2015年に開通した。国境管理に関するジョージアの政令において、1996年から2008年までカルツァヒについての記載はなかった。2010年、トルコとジョージアは、国境と税関の協力を合理化するための協定に署名し、その中にチュドゥル・アクタス＝カルツァヒ間の検問所についても記載されていた。この国境通過点は、バクー＝トビリシ＝カルス鉄道プロジェクトの中で優先事項となった。これ以降、国境管理に関するジョージアの政令にカルツァヒについて記載されるようになった。
アゼルバイジャン、ジョージア、トルコの3カ国を通るバクー＝トビリシ＝カルス鉄道は2017年10月30日に開通した。2021年夏現在では、この国境を通るトルコ発着の旅客列車は運行されておらず、長距離貨物列車のみが運行されている。将来的には旅客列車の運行が行われる見込みである。
ケサランタ
ケサランタ（Kesäranta、スウェーデン語: Villa Bjälbo）は、フィンランド首相の公邸と称される建物。
ケサランタ 概要
ケサランタはフィンランドの首都ヘルシンキに設置されており、歴代の首相の公邸として使われてきた歴史を持つ。
現在はフィンランド政府によってケサランタ上空は飛行禁止となっている。
サンナ・マリン首相は2020年8月3日にケサランタで結婚式を行なったと発表した。
千石層
千石層（せんごくそう、英：Sengoku Formation）は、日本の九州の地層。関門層群・脇野亜層群の最下部の層であり、オーテリビアン期 - バレミアン期に相当する。
齋藤真哉
齋藤 真哉（さいとう しんや、1959年〈昭和34年〉 - ）は、日本の会計学者。
横浜国立大学大学院国際社会科学研究院教授を経て、同大名誉教授。財務会計基準機構理事。元内閣府公益認定等委員会参与。
齋藤真哉 人物・経歴
1959年神戸市生まれ。兵庫県西宮市出身。関西学院中学部・高等部を経て、1982年関西学院大学商学部卒業。平松一夫ゼミ出身。
1984年関西学院大学大学院商学研究科博士課程前期課程修了。1986年一橋大学大学院商学研究科修士課程修了、商学修士。1989年一橋大学大学院商学研究科博士課程単位取得満期退学。
1989年青山学院大学経営学部専任講師。1993年青山学院大学経営学部助教授。2000年青山学院大学経営学部教授。2006年日本学術会議連携会員、公認会計士試験委員。2007年内閣府公益認定等委員会参与、神奈川県公益認定等審議会会長。
2009年横浜国立大学経営学部教授。2011年横浜国立大学大学院国際社会科学研究科教授。2012年神奈川県第三セクター等改革推進部会会長、日本会計研究学会理事。
2013年財務会計基準機構理事、総務省政策評価・独立行政法人評価委員会臨時委員。2014年税理士試験委員。2015年税務会計研究学会副会長。2019年非営利法人研究学会会長。2021年関西学院同窓会評議員。
ミロク情報サービス税経システム研究所顧問、横浜市民間資金等活用事業審査委員会委員長なども務めた。
2025年4月、横浜国立大学名誉教授。
専攻は会計学。
島田神社
島田神社（しまだじんじゃ）は、京都府福知山市畑中にある神社である。
島田神社の創立は詳らかではないが、本殿の建立は内陣内西妻内法貫（にしつまうちのりぬき）の墨書より文亀2年（1502年）の建立と判明し、国重要文化財の指定を受ける。
島田神社 歴史
発祥は、同じ畑中に所在する真言宗の雲龍寺によれば、寺を開いた空也が島田神社の方角に瑞雲を見たのを契機に庵を開いたのを開基したとするという縁起が伝わる。2007年（平成19年）から2009年（平成21年）の修理に伴う基壇確認調査でも平安時代に遡る前身建物遺構が確認されたことから、古代に遡る神社といえる。江戸時代には、旧北山・畑中・樽水・談・小牧の近在5か村の総鎮守とされている。
再建工事の際に、床板の下が黒く煤けているのが発覚。基壇上面からは焼土壙の跡が見つかり、中央部の焼土は特に大きな土壙となっており、長年にわたって火が焚かれた痕跡であることが確認された。その左右にも同じく焼土壙が設けられていて、過去には本殿床下で火を焚く行事が行われていたとされている。当社に祭られた3柱の神の真下で火を焚く祭祀が行われていたことになり、その関係が注目される。
島田神社 改修工事
本殿建立後の修理については記録がなく不明であるが、1934年（昭和9年）には村社昇格に際し、本殿覆屋の改築、拝殿、幣殿の新築とともに本殿の修理も一部行われた。また、近年では1959年（昭和34年）に小修理、1979年（昭和54年）に本殿正面の軒廻りの修理、2007年（平成19年）から2009年（平成21年）まで2年かけて京都府教育委員会による福知山最古の木造建築を継承することを目的とした解体修理工事が行われた。覆屋を外して、建立時の姿に戻すべく修復工事が為され、こけら葺の屋根や縁を復元し、鮮やかな朱塗りの建物となる。
大谷朝子
大谷 朝子（おおたに あさこ、1990年 - ）は、日本の小説家。千葉県生まれ。横浜市在住。
大谷朝子 経歴
2022年、新型コロナ下でルームシェアする女性二人を描いた「がらんどう」で第46回すばる文学賞を受賞してデビュー。
東方三博士の礼拝 (ホッサールト)
『東方三博士の礼拝』（とうほうさんはかせのれいはい、蘭: De aanbidding van de koningen、英: The Adoration of the Kings）は、初期フランドル派の画家ヤン・ホッサールト (生まれた時の名はジャン・ホッサールトで、ヤン・マブーセとしても知られる) が1510-1515年にオーク板上に油彩で制作した絵画で、「東方三博士の礼拝」を主題としている。ある。ホッサールトの名が東方三博士の1人であるバルタザールの豪華な刺繍を施した王冠と、彼のターバンを巻いた従者が着けているカラーに署名されているが、絵画は17世紀と18世紀には時折アルブレヒト・デューラーに帰属された。2010年に、研究者のエインズワースは、作品がホッサールトとヘラルト・ダヴィトの共同制作になるものだと提言した。作品はロンドン・ナショナル・ギャラリーに所蔵されている。
東方三博士の礼拝 (ホッサールト) 絵画
本作は、絵画史の中でも類を見ないほど豪華な「東方三博士の礼拝」である。この逸話は「マタイによる福音書」 (2章11) に記述されおり、東方から3人のマギ (東方三博士) が星を追跡してやってくると、ベツレヘムの厩に幼子イエス・キリストを見出すという出来事である。
画面中央では聖母マリアが建物の廃墟に腰かけ、幼子イエスは玉座に座るかのように聖母の膝の上に座っている。右側の東方三博士の1人であるカスパールが聖母子に金貨の入った金の盃を贈り物として捧げたところである。彼の名前は帽子の傍らにある盃の蓋と、聖母の衣服の裾近くに置かれた金色の杖に刻まれている。カスパールの頭上の柱頭には、キリストの磔刑に先立つ出来事であるイサクの犠牲の場面が表されている
カスパールの右側にはメルキオールが4人の従者に付き添われ、贈り物 (乳香の入った金色の容器) を高く掲げて立っている。左側ではバルタザールが3人の従者に付き添われており、彼の名前は王冠の上部周囲に記されている。彼は祭壇の前の司祭のように布を隔てて貴重な贈り物 (没薬の入った金色の容器で、裸の赤ん坊の像で装飾されている) ) を持っているが、布の縁には「サルヴェ・レジーナ」という聖母讃歌の「幸あれ、天后よ、慈悲、命、優しさの母よ…」という初めの部分が刺繍されている。
東方三博士の礼拝 (ホッサールト) 絵画
6人の羊飼い、ロバ、牛が背後から様子を見ている。左側の柱の後ろには白い髭を生やした聖ヨセフが上空を舞う天使たちを見ている。彼の明るい赤色の衣服は聖母マリアの伝統的な藍色の衣服と対照的である。左端では、異国情緒ある身なりをした他の2人の従者が窓から情景を見ている。また、おそらくホッサールトの自画像と思われる人物が牡牛の背後の狭い扉口からこちらを覗いている。
9人の天使たち (おそらく天使の9つの位階を表している) が廃墟となった建物から見下ろしつつイエスを礼拝している。1人は「グロリア・イン・エクチェルシス・デオ」という文字の書かれた巻物を持っている。カスパールの真後ろには2人の羊飼いがおり、1人は楽器をもち、もう1人は麦わら帽子と羊の群れを統御する道具を持っている。遠景には、同じ羊飼いたちが天使からキリスト誕生の知らせを受けているのが見える。「ルカによる福音書」 (2章8-18) にある通り、東方三博士のように彼らも幼子イエスを礼拝しにきたのである。三位一体の聖霊を象徴するハトが上空を飛び、画面上部には東方三博士を導いてきたベツレヘムの星が明るく輝いている。
東方三博士の礼拝 (ホッサールト) 技術的詳細と構図
絵画は縦に並べられた6枚のオーク材の板上に描かれており、縦117.2センチ、横161.8センチである。絵具は、動物の膠と混合されたチョーク地と、わずかな鉛錫黄と混合された鉛白の薄いプライマーの上に塗られている。多くの下絵がなされており、絵具が透明になっている部分で見える。数々の細部がすでに彩色された箇所に後に加えられている。それらは、左端の窓辺にいる2人の人物、牡牛とロバ、ロバの後ろの2人の羊飼い、遠景の羊飼い、聖ヨセフの杖、カスパールのゴブレットの蓋である。
ホッサールトの構図にはいくつかの典拠がある。主に触発されているのは、フーゴー・ファン・デル・グースの『モンフォルテ祭壇画』 (ベルリン絵画館) である。『モンフォルテ祭壇画』は、豪華な身なりの聖母マリアと東方の三博士を従者、見物者たちとともに建築物の廃墟に配置しており、背後には風景があり、上空には天使がいる。2匹の犬が多くの壊れたタイルのある前景の床にいるが、1匹はデューラーのエングレービング『聖エウスタキウス』から採られ、もう1匹はマルティン・ショーンガウアーのエングレービング『東方三博士の礼拝』から採られている。他の要素もまた、ショーンガウアーとデューラーの他の版画から借用されている。
東方三博士の礼拝 (ホッサールト) 歴史
この絵画は、ホッサールトがイタリアに旅立つ前の1510-1515年の間に、ブルラーレの領主であったダニエル・ファン・ブホウト (Daniel van Boechout) のために制作したと思われる。この時期に画家はユトレヒトの司教であったブルゴーニュのフィリップに仕えていたが、ブホウトはフィリップと密接な関係があったのである。絵画は、ヘントの南で、ブリュッセルの西の東部フランドルの町ヘラールトスベルヘンにあるベネディクト会派聖ハドリアヌス修道院の聖母マリア礼拝堂の祭壇画として委嘱された。1600年に、この修道院で絵画は初めて歴史的記録に残されている。
東方三博士の礼拝 (ホッサールト) 歴史
1600年、ネーデルラントを支配していたハプスブルク家の統治者アルブレヒト・フォン・エスターライヒとその妻イサベルの目に留まり、翌年、夫妻により購入された。彼らは絵画に2,100ポンドを支払い、絵画をブリュッセルにあった彼らの宮殿内の礼拝堂祭壇画として移した。宮殿は1731年2月の火災で焼失したが、礼拝堂とその中にあったものは無事であった。礼拝堂は1770年代に取り壊されたものの、絵画はオーストリア領ネーデルラントの知事カール・アレクサンダー・フォン・ロートリンゲンにより移動済みであった。1781年のカールの死後、絵画は、ブリュッセルとブラバント州の年金受給者エマニュエル＝マリー・ド・コック (Emmanuel-Marie de Cock) に売却された。
1787年に、本作と思われる絵画がロンドンにもたらされ、翌年、ジョン・グリーンウッドにより開催されたロンドンの競売で売却された。1795年に画商のマイケル・ブライアンの所有となった後、第5代カーライル伯フレデリック・ハワードに売却され、ハワード城に展示された。1884年、ウィリアム・モリルにより修復され、ネイワース城に移された。
第9代カーライル伯ジョージ・ハワードは、30年以上ロンドンのナショナル・ギャラリーの理事を務めていたが、1911年の死の直前に絵画をナショナル・ギャラリーに売却することを申し出た。彼の未亡人は彼の意志を尊重し、1911年の遅い時期にナショナル・ギャラリーは絵画を40,000ポンドで購入した。
横川町
横川町（よこがわちょう、よこかわまち）
旧自治体
横川町 - 鹿児島県姶良郡にあった自治体。現在は霧島市の一部。
地名
横川町 (郡山市)
横川町 (八王子市)
横川町 (半田市)
横川町 (広島市)
ほんとうにやくにたつ機関車
『ほんとうにやくにたつ機関車（汽車のえほん27）』（ほんとうにやくにたつきかんしゃ きしゃのえほん27、原題 Really Useful Engines）は、低学年の児童向け絵本シリーズ「汽車のえほん」の第27巻である。
ほんとうにやくにたつ機関車 概要
1983年にイギリスで発行されたクリストファー・オードリー執筆による汽車のえほんシリーズの第27巻。4話の短編作品を収録。挿絵はクライヴ・スポングが担当。
日本ではシリーズ上陸50周年を記念し、2023年11月にポプラ社から3回目の新装版『新・汽車のえほん』の続刊として翻訳版が出版された。翻訳は故桑原三郎と清水周裕に代わり、金原瑞人が担当した。
ほんとうにやくにたつ機関車 成立の過程
1945年よりほぼ毎年に1冊ずつ続刊してきた本シリーズであったが、1972年の『わんぱく機関車』を最後に新作の出版は途絶えていた。年鑑などの関連書籍は刊行されていたものの、原作者のウィルバート・オードリー牧師は続編の執筆へ踏み切れずにいた。
1982年、牧師の息子であるクリストファーが、彼の息子リチャードのために「パーシー､ダック､トーマスの3じゅうれん」を創作した。そのエピソードを読んだ牧師はクリストファーに出版を勧め、シリーズの続編を託すこととなった。
ほんとうにやくにたつ機関車 収録作品
どろぼうをつかまえろ! (Stop Thief!)
パーシーとじてんしゃ (Mind That Bike)
さかなにはきをつけて (Fish)
パーシー､ダック､トーマスの3じゅうれん (Triple-Header)
ほんとうにやくにたつ機関車 登場キャラクター
テレビシリーズの機関車紹介と重複する解説は省略、本巻の内容で特筆すべきものを紹介。
メインキャラクター
トーマス
パーシー：この巻で初めて郵便列車を担当する様子が描かれる。
ダック
トップハム・ハット卿：日本語版では原語版と異なり、従来の「ふとっちょの局長」という呼び名が一切使用されていない。また、この巻のみ髭を生やしている。
サブキャラクター
アニーとクララベル　
バーティー：言及のみの登場。
トム・ティッパー：ロイヤルメールの郵便配達員。
ヘンリー
ゴードン
太平塚古墳
太平塚古墳（おおひらづかこふん）は、大阪府南河内郡太子町春日にある古墳。形状は方墳と推定される。磯長谷古墳群を構成する古墳の1つ。史跡指定はされていない。
太平塚古墳 概要
大阪府南東部、飛鳥川北側の丘陵南斜面に山寄せで築造された古墳である。現在は石室上を近鉄南大阪線が通過する。これまでに発掘調査は実施されていない。
墳丘は鉄道敷設の際に改変を受けているため、元々の墳丘は明らかでないが、一辺25メートル程度で前面2段築成以上の段ノ塚式の方墳（または直径30メートル程度の円墳）と推測される。埋葬施設は両袖式の横穴式石室で、南南西方向に開口する。石室全長14メートル程度と推定される大型石室であり、石室の石材には切石が使用される。石室内の副葬品は詳らかでない。
築造時期は、古墳時代終末期の7世紀後半（または7世紀前半）ごろと推定される。被葬者は明らかでないが、古墳築造に際しての風水思想の導入から上位階層の人物と推測され、大坂道（虫峠越え）の入り口に所在する立地から真の孝徳天皇陵（大阪磯長陵、現陵は太子町山田の山田上ノ山古墳）とする説などが挙げられる。
太平塚古墳 埋葬施設
埋葬施設としては両袖式横穴式石室が構築されており、南南西方向に開口する。石室の規模は次の通り。
石室の石材は石英安山岩（玄室側壁）・片麻状黒雲母花崗岩（玄室奥壁、玄室天井石第2石）・角閃石黒雲母花崗岩（玄室天井石第1・3石、羨道側壁）の切石。玄室では、奥壁は一枚石の巨石、西側壁は2段積みで3石の上に4石、東側壁は前部で2段・奥部で3段積み中・下段とも4石、天井石は3石。羨道では、側壁・天井とも1石である。
カルタン幾何学
カルタン幾何学（かるたんきかがく）（英: Cartan geometry）とは、微分幾何学における概念で、多様体の各点における「一次近似」がクラインの幾何学とみなせるものの事である。カルタンの幾何学はクラインの幾何学とリーマン幾何学を包括する幾何学概念として提案された。
以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数、バンドル等といった場合はC∞級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。
カルタン幾何学 概要
カルタン幾何学の背景にあるのはクラインのエルランゲン・プログラムである。エルランゲン・プログラムは、当時「幾何学」、例えばユークリッド幾何学、双曲幾何学、球面幾何学、射影幾何学等が乱立していた状況に対し、それらを統一する手法を提案したものであり、今日の言葉で言えば、これらはいずれも等質空間の概念を使う事で統一的に記述できる事を示した。
すなわちクラインの意味での幾何学（以下単にクライン幾何学と呼ぶ）とは、リー群Gとその閉部分リー群Hの組を等質空間上に「幾何学を保つ」変換群Gが作用しており、X上の一点の等方部分群がHであるとみなしたものである。
しかしエルランゲン・プログラムには、当時すでに知られていたリーマン幾何学が記述できない、という限界があった。実際リーマン多様体は等質空間にはなっていないので、エルランゲン・プログラムでは記述できない。
カルタンの意味での幾何学（以下単にカルタン幾何学と呼ぶ）は上記の事情を背景に、クラインの幾何学とリーマン幾何学を包含する形で定義された幾何学概念である：
多様体自身にクライン幾何学の構造が入れば、すなわちであれば、Mの各点の接ベクトル空間は自然にと同型になる。ここで、はそれぞれG、Hのリー代数である。
カルタン幾何学 概要
そこでちょうどリーマン幾何学の「一次近似」である接ベクトル空間がユークリッド幾何学になっているように、カルタン幾何学では、多様体Mの「一次近似」である接ベクトル空間に、クライン幾何学の「一次近似」であるを対応させる。このとき、多様体Mには等質空間をモデル空間とするカルタンの幾何学の構造が入っている、という。
しかしあくまで「一次近似」がクラインの幾何学と等しいだけなので、実際にはカルタン幾何学はクライン幾何学とはズレる。このズレを図るのがの曲率である。
カルタン幾何学を導入するもう一つの動機が滑りとねじれのない転がしである。これはm次元のリーマン多様体をm次元平面上「滑ったり」、「捻れたり」する事なく「転がした」ときにできる軌跡に関する研究である。
この軌跡はユークリッド幾何学をモデルにするカルタン幾何学を使うことで定式化が可能であり、曲線の発展という。ユークリッド幾何学はm次元平面上の幾何学であるので、m次元平面上の軌跡になるが、一般のクライン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の発展は、上の軌跡となる。
カルタン幾何学 定義の背後にある直観
本節ではを参考に、2次元ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学を直観的に説明する。を2次元ユークリッド空間とし、をの合同変換群とする。すなわちはとを使ってと書ける変換全体の集合である。はと同一視できる。
Mを2次元多様体とし、M上に人が一人立っているとする。人が立っている場所をとし、人の前方向をx軸、左方向をy軸とすると、接ベクトル空間の基底が定義できる。Mはユークリッド空間をモデルにしているので、その人は自分の近傍をユークリッド空間だと思っている。
の正規直交基底全体の集合をとし、とすると、は自然にM上の-主バンドルとみなせる。以上の議論から、の元は、M上にいる人（とその向き）であるとみなせる。
M上にいる人をと表すとき、その人がM上の位置（＝u）を変えずに向きだけを「無限小だけ」変えた場合、その向きの変化を表す速度ベクトルはの元とみなせるが、これは人の向きを変えた回転変換の微分なので、回転変換群の無限小変換群（＝に対応するリー代数）であるの元であるともみなせる。
カルタン幾何学 定義の背後にある直観
すなわち、の元をの元と対応させる事ができる：
また人がM上の位置uから無限小だけ歩いた場合は、歩いたことによるの変化の速度ベクトルはの元とみなせるが、その人は自分がユークリッド空間を歩いているのだと理解しているので、速度ベクトルをの無限小変換群（＝のリー代数）であるの元であるとみなす。すなわちの元をと対応付けて考える。
結局、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学とは、M上の-主バンドルで、ファイバーごとの線形写像
を持ち、各に対し、uのファイバーの接バンドルへのωの制限が
を満たすもので「性質の良いもの」（後述）である。
カルタン幾何学 準備
本節ではカルタン幾何学の定式化に必要となる用語を定義する。
Gをリー群とし、をそのリー代数とし、さらにNをGが右から作用する多様体（例えばG-主バンドルの全空間P）とする。
定義 (基本ベクトル場) ― リー代数の元と点に対し、
により、N上のベクトル場を定義する。をAに対応するNの基本ベクトル場（英: fundamental vector field on N associated to A）という。
なお、NがG-主バンドルの全空間Pの場合にはは垂直部分空間の元である事が容易に示せる。
定義 (リー群の随伴表現) ― Gをリー群としをそのリー代数とする。このとき、Gの線形表現
をに対し、
により定義し、AdをGの随伴表現（英: adjoint representation）という。
ここでは上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義はの取り方によらずwell-defninedである。
カルタン幾何学 準備
クライン幾何学の構造を調べる準備としてモーレー・カルタン形式を導入する。
定義 (モーレー・カルタン形式) ― Gをリー群とし、をそのリー代数とするとき、Gの各点gに対しG上の値1-形式を
により定義し、ωGgをGのgにおけるモーレー・カルタン形式という。
ここでは群の左作用が誘導する写像である。
モーレー・カルタン形式は以下を満たす：
定理 ―
ここでは上のリー括弧であり、-値1-形式α、βに対し、である。
上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式（英: Maurer-Cartan equation）、もしくはリー群Gの構造方程式（英: structure equation）という。
カルタン幾何学 定義と基本概念
リー群Gとその閉部分リー群の組でが連結になるものをクライン幾何学、もしくは（カルタン幾何学のモデルになるので）モデル幾何学（英: model geometry）という。
をモデル幾何学とし、、をそれぞれG、Hのリー代数とする。
定義 (クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ― 
多様体M上のタイプのカルタン幾何学（英: Cartan geomerty of type  over M）とは、M上のH-主バンドルとP上の-値1-形式
の組で以下の性質を満たすものの事である：
ωをH-主バンドルのカルタン接続（英: Cartan connection）という。また紛れがなければMの事をカルタン幾何学という。
3つの条件の直観的な意味を説明する。
なお、は同型なので、M上定義できるカルタン幾何学には
という制約が課せられる事になる。
カルタン接続の定義は主バンドルの接続（主接続）の接続形式の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、H-主バンドルの主接続の接続形式はHのリー代数に値を取るが、カルタン接続はGのリー代数に値を取っている。しかし、ををモデル幾何学とする多様体M上のカルタン幾何学とするとき、H-主バンドル上定義されたカルタン接続は、自然に
というG-主バンドル上の-値1-形式
カルタン幾何学 定義と基本概念
に拡張する事ができ、はG-主バンドルの接続形式である。逆にを任意のG-主バンドルとし、をQ上定義された接続形式とするとき、のH-部分バンドルでであり、しかもであればωのTPへの制限はP上のカルタン接続になる。
なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述する。
定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は、、およびHには依存しているが、Gには直接依存していない。これは、、およびHはM上のカルタン幾何学の局所的な構造を定めるのに対し、Gはクライン幾何学の大域的な構造を定めるものであるため、Gが不要である事による。
リー代数に対応するリー群Gは一意ではなく、これが原因で大域的な構造を定めるGはカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではGを（に対応する）別のリー群に取り替える必要が生じてしまう。
そこでGに直接言及せず、を使ったカルタン幾何学の定式化も導入する。そのために以下の定義をする：
定義 ― リー代数とその部分リー代数の組を無限小クライン幾何学（英: infinitesimal Klein geometry）もしくはクライン対（英: Klein pair）という。
Hををリー代数
とするリー群とし、さらに
カルタン幾何学 定義と基本概念
をHの線形表現で、任意のに対し、のへの制限がHのへの随伴表現と等しいものとする。ここでは上のリー代数としての自己同型全体の集合である。
このとき、組をモデル幾何学という。
以下、特に断りがなければ、が効果的である事を仮定する。ここでが効果的であるとは、に含まれるのイデアルがのみである事を意味する。G、Hを、に対応するリー群とすると、が効果的である事は、、とするとき、Kが離散群になる事と同値である。
定義 (無限小クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ― 
Mを多様体とし、をモデル幾何学とし、
このとき、組をHを伴うをモデルとするM上のカルタン幾何学（英: Cartan geometry on M modeled on  with H）という。
本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。をクライン幾何学とし、とし、とする。ここではGの単位元eの同値類である。このとき
は自然にH-主バンドルとみなせる。G上のモーレー・カルタン形式がカルタン接続の定義を満たす事を示せるので、はをモデルとするカルタン幾何学になる。
カルタン幾何学 定義と基本概念
リー群Gとその閉部分リー群の組を考える。Gの離散部分群で、へのGからの作用のへの制限が効果的なものを考える（が効果的な事はである事と同値である）。このとき、による商集合を考える。Mが連結なとき、を局所クライン幾何学（英: locally Klein geometry）という。
局所クライン幾何学M上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まずが効果的なのでとすると、商写像
には自然にH-主バンドルの構造が入る。またG上のモーレー・カルタン形式はその定義より左不変なので、商写像に対し
を満たす一意な-値1-形式をとする事で、にカルタン接続がwell-definedされ、上にをモデルとするカルタン幾何学が定義できる。
２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：
定義 ― をモデル幾何学とし、M1、M2を多様体とし、、をそれぞれをモデル幾何学とするM1、M2上のカルタン幾何学とする。
バンドル写像
でがはめ込みであり、によるの引き戻しが
となるものをカルタン幾何学間の局所幾何学的同型（英: local geometric isomorphism）という。とくにfが（可微分）同相写像であれば、を幾何学的同型（英: geometric isomorphism）という。
任意のに対しては同型写像であるので、TPはωにより
カルタン幾何学 定義と基本概念
という同一視ができ、TPはベクトルバンドルとして自明である。
よって特にを各に対してωの逆写像でTpPに移すことで、TP上のベクトル場を作る事ができる。
定義 (定数ベクトル場) ― に対し、を各点にを対応させるベクトル場とする。
このベクトル場を定数ベクトル場（英: constant vector field）という。
定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる：
定義 (普遍共変微分) ― 
Vをベクトル空間とし、を（滑らかな）写像とする。このとき、fにベクトル場（は接ベクトル空間の元なので自然に微分作用素とみなしたもの）を作用させた
をfのAによる普遍共変微分（英: universal covariant derivative）という。
モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分を導く。これについては後述。
本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。
ををモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とする。はHのへの作用を定義するが、のへの制限は上の随伴表現である（のではを保つ）ことから、はHのへの作用を誘導する。またHはH-主バンドルPに作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル
を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：
カルタン幾何学 定義と基本概念
定理 (接バンドルと無限小クライン幾何学の関係) ― ベクトルバンドルとしての同型
が成立する。
具体的には写像
はwell-definedであり、ベクトルバンドルとしての同型写像である。ここでは同型写像の逆写像でをに移したものである。
クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式ωGと等しいので、カルタン接続は構造方程式
を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える：
定義 (曲率) ― 
カルタン接続ωを持つ多様体M上のカルタン幾何学に対し、P上の-値2-形式
をカルタン幾何学の曲率（英: curvature）という。
Ωは（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率は恒等的に0である。
曲率は以下を満たす：
定理 (カルタン接続のビアンキ恒等式) ― カルタン接続ωとその曲率Ωは下記の恒等式（ビアンキ恒等式、英: Bianchi identity）を満たす：
点のファイバーPuにはHが単純推移的に作用するので、をfixして、によりHとPuを同一視すると、TPu上にモーレー・カルタン形式ωHが定義できる。しかもωHはの取り方に依存しないことも容易に証明できる。実は曲率のPuへの制限はωHに一致する。
カルタン幾何学 定義と基本概念
定理 ― 任意のに対し、曲率ΩのTPuへの制限はTPu上のωHに一致する。よって特に、任意のに対し、である。
なお、実はv、wの少なくとも一方がTpPuに属していれば、である事が知られている。よって特に次が成立する：
定理 ― M上の-値2-形式Ω'が存在し、任意のと任意のに対し、以下が成立する：
このΩ'は次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。
が同型写像であったことから、写像の合成
を定義できる。またすでに述べたようにv、wの少なくとも一方がTpPuに属していれば、である事が知られている事から、この写像は上の写像をwell-definedに誘導する。
定義 ― 
が上に誘導する写像
をカルタン幾何学の曲率関数（英: curvature function）という。
曲率がM上の-値2-形式Ω'を誘導する事を前に見た。このΩ'は曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。
さらに以下の定義をする：
定義 (捩率) ― 
曲率Ωを商写像
と合成したはP上の-値2-形式となる。をカルタン幾何学の捩率（英: torsion）といい、がP上恒等的に0になるカルタン幾何学を捩れなし（英: torsion free）であるという。
モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソルに一致する。詳細は後述。
本節の目標は、商写像
カルタン幾何学 定義と基本概念
とカルタン接続の合成の幾何学的意味を説明する事である。
まず、は以下のように特徴づける事ができる：
定理 (の特徴づけ) ― は下記を可換にする唯一の写像である：
ここではにを対応させる写像である。
上記の特徴付けから、の幾何学的意味は同型に関係しているので、この同型の幾何学的意味を見る。にベクトル空間としての基底をfixし、同型
によるの像をとすると、はの基底をなす。
よって特に、とすると、FはM上のフレームバンドル（＝各点のファイバーがTMの基底からなるバンドル）になる。
一般には対応
は全単射ではないが、の定義から、カルタン幾何学が下記の意味で「一階」であれば、この写像は全単射になる：
定義 ― 
随伴表現
が忠実なとき、クライン幾何学（およびをモデルに持つカルタン幾何学）は一階（英: first order）であるといい、そうでないとき高階（英: higher order）であるという。
以上の準備のもと、を幾何学的に意味付ける：
定理 (の解釈) ― 記号を上と同様に取り、カルタン幾何学が一階であるとする。このとき、の基底でという同一視を行うと、に対し、
は基底でを成分表示したときの係数を対応させる値1-形式であるとみなせる。
上述の定理より写像
はに等しいので、に対し、を
と成分表示すると、
が成立する。よって基底によりという同一視を行うと、
が成立する。
上記のような、にとなるを対応させる-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式（英: canonical form）という。上述の定理はカルタン幾何学が一階であればは標準形式として意味づけられる事を保証する。
カルタン幾何学 簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学
本節ではモデル幾何学が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。
まず簡約可能性を定義する：
定義 ― 
モデル幾何学が簡約可能（英: reductive）であるとは、作用により不変な部分ベクトル空間が存在し、、を満たす事を言う。
なお、の取り方は一意とは限らないので注意されたい。
Gが2つのリー群の半直積で書けている場合は、G、Hに対応するモデル幾何学は、Bのリー代数をとして選ぶ事で簡約可能である。
よって特にユークリッド幾何学の等長変換群は直交群と平行移動のなす群の半直積で書けるので対応するモデル幾何学は簡約可能である。アフィン幾何学も同様である。
ををモデル幾何学にする多様体M上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学が、と簡約可能なとき、の元はの元との元の和で一意に表現できるので、カルタン接続も
のように「部分」と「部分」の和で書ける。この分解を用いると、カルタン接続と主接続の接続形式との関係性を以下のように記述できる：
定理 (簡約可能な場合のカルタン接続と接続形式の関係) ― をと簡約可能なモデル幾何学とし、Mを多様体とし、をH-主バンドルとする。
カルタン幾何学 簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学
このときP上のカルタン接続ωをと分解すると、
はP上の主接続の接続形式の定義を満たす。
したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式が得られることになる。
一方、は
によりをと同一視すると、はと同一視でき、前述のように（カルタン幾何学が一階であれば）は標準形式であるとみなせる。
したがって分解はカルタン接続を接続形式と標準形式に分解するものであるが、実は逆に接続形式と標準形式からカルタン接続を復元できる：
定理 (一階で簡約可能な場合における接続形式からカルタン接続の再現) ― を一階のクライン幾何学で対応するリー代数の組がと簡約可能なものとする。Mを多様体とし、をTMの主バンドルとし、PをH-フレームバンドルFと前述の方法で同一視する。
さらにγをP=F上の接続形式とし、θをFの標準形式とする。
このとき、
はP=F上のカルタン接続の公理を満たす。
前述した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する。
カルタン幾何学 簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学
モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続ωから定義されるはH-主バンドルPの接続形式になる。ベクトル空間V上のHの線形表現があれば、ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続）の一般論から、接続形式はM上のベクトルバンドルにKoszul接続を定める。
よって特に、接バンドルは
と書けたので、はTM上のKoszul接続、すなわちアフィン接続∇を定める。
このことから分かるようにモデル幾何学がアフィン幾何学でなくても、簡約可能でありさえすればアフィン接続を誘導する。
しかし特にモデル幾何学がアフィン幾何学であれば、アフィン変換群Gの上の随伴表現は上のアフィン変換になる事を示す事ができ、この意味においてはアフィン空間のバンドルとなる。後述するように、この事実が例えばモデルがユークリッド幾何学の場合には重要になる。
をベクトル空間V上のHの線形表現とし、がM上のベクトルバンドルに定めるKoszul接続を∇とする。
Eの切断sとに対し、となるが一意に存在し、fsはPからVへの関数とみなせる。
定理 ― M上の任意のベクトル場とEの任意の切断sに対し、以下が成立する：
ここではとなるPの接ベクトルである
。
上記のようにはKoszul接続と関係するが、それに対しの方は自明なものになってしまう：
カルタン幾何学 簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学
定理 ― M上の任意のベクトル場とEの任意の切断sに対し、以下が成立する：
ここでγ*はEを定義する線形表現が誘導する写像上の線形写像である。
本節ではモデル幾何学がと簡約可能でしかも
となっている場合、すなわちとしての部分リー代数になっているものを取れる場合に対し、曲率の「部分」と「部分」を具体的に書き表す。
先に進む前にこの条件を満たすモデル幾何学の具体例を述べる。例えばに対応するリー群Gが2つのリー群の半直積で書けている場合に、としてBのリー代数を取れば上述の条件を満たす。特に、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、アフィン変換群は線形変換と平行移動のなす群の半直積で書け、しかもをBのリー代数とすると、
というより強い条件が成立する。モデル幾何学がユークリッド幾何学の場合も同様である。
曲率Ωはに値を取るので、曲率を
と「部分」と「部分」に分解する。商写像が同型になることから、という同一視をすると、
とがカルタン幾何学の捩率に対応する事が分かる。
とくにアフィン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合、はアフィン変換群の並進部分であるに対応するリー代数であるので、アフィン幾何学をモデルとする場合、捩率とは並進に関する曲率であるとみなせる。
カルタン幾何学 簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学
曲率の定義から、
が成立するので、仮定を使うと以下が成立する事が分かる：
定理 (分解した場合の構造方程式) ―
が接続形式に対応している事から、上記の定理の１つ目の式は、接続形式が定義する主接続に対する第二構造方程式である事がわかる。よって特に、は主接続の曲率形式である事がわかる。したがって
一方2本目の式においてはに一致し、標準形式θとして解釈できるので、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合のようにであれば、2本目の式は
となり、第一構造方程式に対応している事が分かる。よってこの場合の捩率は接続形式がTMによって定まる主接続の捩率テンソルに一致する。
前述したカルタン接続のビアンキ恒等式
を「部分」と「部分」に分解することで以下の定理が結論づけられる：
定理 (分解した場合のビアンキ恒等式) ―
が接続形式に対応している事から、上記の定理の1本目の式は接続形式が定義する主接続に関する第二ビアンキ恒等式である。
一方、2本目の式は、構造方程式の場合と同様、モデル幾何学がアフィン幾何学のようにを満たせば、
と第一ビアンキ恒等式に一致する。
カルタン幾何学 曲線の発展
ををモデルとするM上のカルタン幾何学とし、を区間上定義されたP上の曲線とするtを[a,b]上の点とすると、にはカルタン接続ωによりの元が対応している。次の事実が知られている：
定理・定義 ― 記号を上述のように取り、gをGの元とするとき、G上の曲線で、任意のに対し、
が成立し、しかもを満たすものがが一意に存在するが成立する。ここではGのモーレー・カルタン形式である。
曲線を曲線のgからのωに関する発展(英: development)という。
モーレー・カルタン形式は、G上の接ベクトルをGの作用によりに移す変換であったので、上記の定理はがGの作用による移動を除いてに一致する事を意味する。
上記の定理の直観的な意味を説明する。クライン幾何学においてGは等質空間における同型写像のなす群であったので、そのリー代数の元は上の「無限小同型変換」、すなわち同型写像の微分とみなせた。
カルタン幾何学の付与された多様体Mとは「一次近似」がクライン幾何学に見える空間であり、TpPの元vpはカルタン接続によりの元と対応しており、はにおける「無限小同型変換」を意味していた。
上記の定理は曲線に沿って「無限小同型変換」であるの元を束ねていくとその「積分曲線」として同型変換であるGの元があらわれる事を意味している。
カルタン幾何学 曲線の発展
もしMがそのものであれば、この同型変換は実際にM上の同型変換になる事を後述する。
補題 ― をM上の曲線とし、をを曲線とする。このとき、の発展との発展は以下を満たす：
をGからへの商写像とすると、上記の補題から次が成立する：
定理・定義 ― をM上の曲線とし、xをの元とする。を満たすP上の曲線とを満たすを任意に選んでのgからの発展を作り、上の曲線
を考えると、は、gの取り方によらずwell-definedである。
曲線をのにおけるxからのωに関する発展（英: development）という。
Mが連結であるとし、とを満たすをfixし、をu0を基点とするM上の閉曲線とする。を満たすP上の閉曲線でp0を基点とするものとすると、前述した補題から、の単位元からの発展の終点はの取り方によらず等しい。そこで以下のような定義をする：
定理・定義 ― 記号を上のように取り、をu0を基点とする閉曲線全体の空間とする。このとき、
の終点
は閉曲線の結合に関して準同型であり、はGの部分群をなす。
を閉曲線cの基点u0のリフトp0に関するホロノミー（英: holonomy with respect to p0）といい、をp0に関するM上のカルタン幾何学のホロノミー群（英: 
holonomy group of  with respect to p0）という。
カルタン幾何学 曲線の発展
ホロノミー群は基点やそのリフトを取り替えても、共役を除いて一意に定義できる。実際、基点u0のリフトp0を別の点p0h, where に取り替えると、ホロノミーはを満たす。また基点u0を別の基点u1に変えると、を満たすが存在する。
の元のうち、0-ホモトープな閉曲線全体はの正規部分群になる。を制限ホロノミー群（英: restricted holonomy group）という。
写像は基本群からの群準同型写像
をwell-definedに誘導する。上記の写像をカルタン幾何学のモノドロミー表現（英: monodromy representation of ）という。
定義 ― なんらかのに対し、定数ベクトル場（定義は前述）の積分曲線をでMに射影したものをM上の一般化円（英: generarized circle）という。
またがと簡約可能なとき、なんらかのに対し、定数ベクトル場の積分曲線をでMに射影したものをM上の測地線（英: geodesic）という。
特にクライン幾何学に対し、上の一般化円は、の元の1-パラメーター変換群の軌跡のへの射影である。よって「一般化円」という名称であるが、ユークリッド幾何学での「一般化円」は螺旋になる事もあるので注意されたい
カルタン幾何学 曲線の発展
がと簡約可能なとき、に属する元のG上の1-パラメーター変換群の軌跡のへの射影を直線（英: straight line）という。
この事実を使うと、一般化円と測地線は以下のように言い換える事ができる：
定理 ― 
をモデルとするクライン幾何学の定義された多様体M上の曲線が一般化円になる必要十分条件は、その一般化円の発展が上の一般化円になる事である。
同様にがと簡約可能なとき、がM上の測地線（英: geodesic）となる必要十分条件は、の発展が上の直線である事である。
前述したように、が簡約可能なときは、TM上にアフィン接続∇が定義できるので、となる曲線を測地線として定義する事もできる。この２つの測地線の定義は同値である。
定理 ― 
がと簡約可能であるとし、カルタン接続ωをと分解したときPの主接続（の接続形式）がTMにに誘導するアフィン接続を∇とする。
このとき、M上の曲線が上述したカルタン幾何学における測地線である必要十分条件は、以下が成立する事である：
証明に入る前にまず記号を整理し、簡単な考察をする。Hを構造群とする主バンドルを、TM上のH-フレームバンドルと自然に同一視する。
カルタン幾何学 曲線の発展
各に対し、が同型だったので、自然にとみなせる。これを写像とあわせると可換図式
が描け、にベクトル空間としての基底をfixしての元をと書くと、とvの組に対応するTMの元はである。
∇はが誘導するアフィン接続であったので、以上のことからM上の曲線上のFHの切断がに関して平行である必要十分条件は、をTMの基底とみなしたとき、が∇に関して平行な基底である事である。
（）M上の曲線がカルタン幾何学における測地線の定義を満たせば、測地線はなんらかのとなんらかのを使って
where
と書けるので、前述の可換図式から
である。基底はに沿って平行なので、もに沿って平行であり、これはとなる事を意味する。
（）M上の曲線が通常の意味での測地線、すなわちであれば、はに沿って平行である。よって基底をに沿って平行なように選ぶと、
となるが存在する。したがって
where
と書ける。
カルタン幾何学 クライン幾何学との関係
カルタン幾何学はクライン幾何学をモデルとしており、しかも（局所）クライン幾何学はカルタン幾何学として平坦（英: flat）、すなわち曲率が恒等的に0である事を前述した。
本章はこの逆向きについて述べる。すなわち平坦なカルタン幾何学がいかなる条件を満たせば局所クライン幾何学と等しいかを特定するのが本章の目標である。
ダルブー導関数の一般論から、以下が従う：
よって特に、Mの点uの十分小さい開近傍を取り、上にを制限したは（Uのへのリフトを考えることで）局所幾何学的同型を持つことが分かる。
このように被覆空間を考えたり、あるいは各点の開近傍に制限したりすれば、平坦なカルタン幾何学がクライン幾何学に局所幾何学的同型である事を示す事ができる。しかしこれだけではM自身が（局所）クライン幾何学と幾何学的同型になるか否かはわからない。
そこで本章ではまずM自身が局所クライン幾何学と幾何学的同型になる条件を定式化し、次にこれらの条件を満たす平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と幾何学同型になる事を見る。
本節では平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と同型であるための条件である「幾何学的向き付け可能性」と「完備性」を定義する。
カルタン幾何学 クライン幾何学との関係
幾何学的向きを定義するため、まず記号を導入する。Mを多様体とし、ををモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とし、Gをに対応するリー群の一つとすると、その随伴表現はリー群間の写像なので、対応するリー代数間の写像
を誘導する。adはリー代数に対応するリー群Gの取り方によらずwell-definedであり、
が成立する。adとカルタン接続の合成
を考え、以下の定義をする：
定義 ― 記号を上と同様に取り、を取る。クライン幾何学に対し、が基点に関して幾何学的な向きを保つ（英: geometrically orientation preserving with respect to the base point p）とは、pとphを結ぶP上の曲線で以下の条件を満たすものが存在する事を言う：
のに関する単位元からの発展の終点がになる
定理・定義 ― Pが連結であれば幾何学的向き付けの定義はpに依存しない。Pが連結なとき、幾何学的向き付け可能なHの元全体の集合をと書く。
adの定義より、曲線がPのファイバー内にあれば、その発展の終点は必ずになる。よってを単位元eを含むHの連結成分とすると
カルタン幾何学 クライン幾何学との関係
が成立する。
しかし上記の定義は曲線がファイバー内に収まる事は仮定しておらず、よって一般にはHorの方がHeより大きいこともある。なお、Pが連結であれば、HorはHの正規部分群になる事が知られている。
定義 ― Mを多様体とし、ををモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学でPが連結であるものする。
次が成立する：
定義 ― 局所クライン幾何学（に定まるクライン幾何学）は、Gが連結なら幾何学的向き付け可能である。
Mを多様体とし、ををモデル幾何学とするM上のカルタン幾何学とする。
定義 ― が以下を満たすとき、は完備（英: complete）であるという
任意のに対し、定数ベクトル場（定義は前述）の積分曲線は任意のおよび任意のに対して定義可能である。
定理 ― 局所クライン幾何学（に対応するカルタン幾何学）は完備である。
局所クライン幾何学におけるカルタン接続ωの定義より、をの被覆空間であるGに引き戻したもをとすると、はを通る左不変ベクトル場であるので、は任意の任意のおよび任意のに対し定義可能であり、任意のおよび任意のに対し、はをに射影したものであるので、定理が成立する。ここでpはgの商写像による像である。
カルタン幾何学 クライン幾何学との関係
完備かつ平坦で幾何学的に向き付可能なカルタン幾何学は局所クライン幾何学と幾何学的同型になる：
定義 ― Mを連結な多様体とし、をモデル幾何学とし、をM上のをモデルとする平坦かつ完備で幾何学的に向き付けられたカルタン幾何学とする。
このとき、をリー代数とする連結なリー群GでHを閉部分群として含むものと、Gの部分群Γで局所クライン幾何学とその上のカルタン幾何学構造がMとその上のカルタン幾何学と幾何学的同型になる。
なお、すでに見たように局所クライン幾何学は平坦かつ完備であり、しかもGが連結であれば局所クライン幾何学はカルタン幾何学として向き付け可能であるので、連結なGを考える場合は、これ以上条件を減らす事はできない。

なお、Gを固定すると、上述の定理が存在を保証するΓは共役を除いて一意に定まる：
定義 ― 、ををモデルに持つ２つの局所クライン幾何学とする。
このとき、M1とM2がクライン幾何学として幾何学的同型であれば、あるが存在し、であり、しかもM1とM2はgの左からの作用から誘導される。