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モンテカルロ積分 重点サンプリング
重点サンプリング（Importance Sampling）は、モンテカルロ積分を実行するための非常に重要な手法である。この手法の本質は、領域 Ω 上での一様サンプリングを、より一般的な分布  によるサンプリングへと拡張する点にある。重要度サンプリングでは、積分の推定量 QN の分散を小さくするために、関数 f にとって「重要な領域」からサンプルを選ぶ確率を高める分布を選ぶ。
例えば、中心 0、標準偏差 1 の正規分布を持つガウス関数を、範囲 [-1000, 1000] で数値積分したいとする。このとき、一様分布からサンプルを取ると、有効なサンプル（積分に寄与する点）はほとんど得られない。代わりに、同じく中心 0、標準偏差 1 の正規分布に従ってサンプリングすれば、積分値の推定ははるかに効率的になる。この「適切な分布」は被積分関数 f に依存する。
形式的には、以下のようにして推定量を構成する：
与えられたサンプル集合が、という分布 から得られたとき、積分 I の推定量 QN は次のように表される：
直感的には、あるサンプルが他のサンプルよりも2倍の頻度で選ばれた場合、そのサンプルの重みは半分にする、という考え方である。この推定量は、 が一定である一様分布の場合にも成り立つ。
モンテカルロ積分 重点サンプリング
実際のサンプル生成には、主にメトロポリス・ヘイスティングス法が使われる。これは、指定された分布 に従って効率的にサンプルを生成でき、積分計算に役立つ。
VEGASアルゴリズムは、関数 f のヒストグラムを作成し、それに基づいてサンプリング分布を改善することで、目的の分布に近づくよう設計された反復的な重要度サンプリング手法である。
VEGAS法は以下のように動作する：
まず、積分領域上で複数回パスを行い、被積分関数のヒストグラムを構築する。各パスによって得られたヒストグラムは、次のパスで使用するサンプリング分布を定義する。この操作を繰り返すことで、サンプリング分布が最適化されていく。
VEGASでは、ヒストグラムビン数が次元数 d に対して指数関数的（Kd）に増加するのを避けるために、確率分布を分離可能な関数として近似する：この近似により、必要なビンの数は Kd に抑えられる。この近似は、関数のピークを各座標軸方向に投影して得るという意味を持つ。
VEGAS法の効率は、この近似の妥当性に依存する。特に、被積分関数のピークが空間的に集中している場合には効率が高くなる。逆に、関数がこの形に書き換えられない（すなわち、軸方向に明確なピークが存在しない）場合には効率が低下する。
VEGAS法は、層化抽出と重点サンプリングの両方の特徴を組み合わせている。
ホウ素欠乏症
ホウ素欠乏症（ホウそけつぼうしょう）は、以下のいずれかを指す。
マルクズ・ブイルク・カン
マルクズ・ブイルク・カン（モンゴル語: Marquz Buiruq Qan、? - 1100年）は、11世紀末頃に活躍したモンゴル高原中央部の遊牧民集団ケレイト部のカン。
漢文史料の『遼史』において「阻卜諸部長」として言及される磨古斯と同一人物であったと考えられている。『集史』などのペルシア語史料の表記ではمرغوز بویروق خان（Marghūz Būīrūq Khān）と表記される。
マルクズ・ブイルク・カン 概要
ケレイト部族の前身は、『イェニセイ碑文』などに見える「九姓タタル国（toquz tatar eli）」、また『遼史』などの漢文史料で阻卜として言及される遊牧集団であったと考えられている。10世紀初めに興った契丹国（遼朝）はモンゴル高原の阻卜に幾度も出兵し、特に開泰元年（1012年）11月にはウイグル帝国の旧都オルド・バリク（窩魯朶城）を拠点に阻卜が兵を挙げたが、遼朝の蕭図玉らによって平定された。なお、この時反乱軍を率いた人物は「石烈太師阿里底」あるいは「七部太師阿里底」と表記されるが、「石烈」は「克烈（ケレイト）」の誤記、「七部太師」は『集史』の伝える「ケレイトに往昔一人の部族長がおり、七人の息子がいた……」という伝承に対応する称号と見る説があり、ケレイト部族長の遠祖と推定される。
一連の戦役を経てケレイトは一時遼朝に屈服したようで、重熙14年（1045年）には「阻卜大王屯禿古斯（トン・トクズ）が諸酋長を率いて来朝した」とされ、続いて重熙22年（1053年）にも馬や駱駝を献上したとの記録がある。これより、おおよそ30年にわたってケレイトと遼朝は良好な関係を維持した。
マルクズ・ブイルク・カン 概要
しかし、大安年間までにモンゴル高原では「北阻卜酋長磨古斯」なる人物が登場し、大安5年（1089年）には遼朝より「阻卜諸部長」と認められた。この人物こそがペルシア語史料の『集史』でオン・カンの祖父として名が挙げられるマルクズ・ブイルク・カンに相当すると考えられている。
大安8年（1092年）、知西北路招討使事の耶律何魯掃古は耶睹刮を討伐するためマルクズに協力を要請したが、この時契丹軍が誤って磨古斯を攻撃したことをきっかけに、マルクズは遼に反抗するようになった。耶律何魯掃古はマルクズ討伐を図ったものの果たせずして帰り、大安9年（1093年）3月には都監の蕭張九がマルクズ討伐に派遣されたが敗戦を喫した。さらに、同年10月には耶律撻不也が新たに起用されるも、マルクズは偽りの投降を申し出て油断させたところを急襲し、敗北した耶律撻不也は戦死するに至った。
大安10年（1094年）3月、連年の敗戦を受けて遼朝は新たに耶律斡特剌を都統に、耶律禿朶を副統に、耶律胡呂を都監にそれぞれ任じ、マルクズ討伐のため派遣した。同年10月、耶律斡特剌・耶律那也・耶律特麼らは大雪の中マルクズ率いる軍団を補足し、斬首1千級余りを得る勝利を収めた。これによってマルクズは劣勢となり、同年12月および寿昌元年（1095年）7月にも耶律斡特剌がマルクズに勝利を収めたとの報告がなされた。
マルクズ・ブイルク・カン 概要
しかしマルクズの叛乱の完全平定にはまだ長い時間がかかり、遼軍によって遂にマルクズが捕らえられたのは寿昌6年（1100年）正月のことであった。マルクズは同年2月に遼の道宗の下に連行され、市中で磔にされたと伝えられている。
『集史』ケレイト部族志においてマルクズ自身の記録はさほど多くないが、マルクズの没後に妻のクトクタイが仇討ちを果たしたことについて下記の通り詳細に記述している。
オン・カンの祖父は名をマルグズ（Marghūz）といった。彼のことをブイルク・ハン（Buirūg Khān）とも言っていた。当時、タタル諸部族は人口が多く、強力であったが、常にヒタイ、ジョルジャ（Jurja）の君主達に臣従していた。当時、タタル部族長達の中に一人の人物がおり、〔彼のことを〕ナウル・ブイルク・ハン（Näuūr Büirūq Khān）と言った。遊牧地はブユル・ナウルと呼んでいる地の領域にあった。ある時、〔ナウル・ブイルク・ハンは〕機会をとらえ、ケレイト部族長マルグズ・ブイルクを捕えてジョルジャの君主のもとに送った。ジョルジャの君主は彼を木に打ちつけて殺した。
マルクズ・ブイルク・カン 概要
しばらくしてからクトクタイ・ハリグチ（Qūtūqtai Harikjī）と呼んでいるマルグズの妻は彼女達の遊牧地がタタル諸部族と隣接していたので人を遣わして言った。「タタル部族長ナウル・ブイルク〔様〕に盃を一献さし上げたい。つきましては、百頭の羊と十頭の雌驟馬と、百オンドルの馬乳酒（qumiz）をそれぞれに五百マンの馬乳酒をおさめて、車に積んでいきます」と。〔彼女は〕夫の仇を討ちたいと考えて、完全武装の百名の勇士をそのオンドルの中に隠して車に乗せた。到着すると羊は料理人達に渡し、〔料理人は〕料理にとりかかった。〔彼女は〕言った。「宴会の時のために馬乳酒を車に積んで持ってきております」と。宴会〔場〕に着くとオンドルを積んだあの百台の車を家の向かいに持ってきて開けた。勇士達がとび出してきて、〔マルグズ・ブイルクの〕妻の従者達と共に、タタル部族長を捕えて殺した。そこにい多数のタタル人達も同様に殺した。 マルグズ〔ブイルク〕の妻がこのようなやり方で己が夫の復讐をとげたというこの事件はよく知られている。 — ラシードゥッディーン、『集史』ケレイト部族志
なお、『集史』はマルクズを殺害したのをジョルジャの君主（＝金朝皇帝）としているが、上述の通りマルクズ＝磨古斯であるならば、「ヒタイの君主（＝遼朝皇帝）」が正しいことになる。
マルクズ・ブイルク・カン サリク・カン
『集史』ケレイト部族志には見られないが、タタル部族志でのみ言及されるケレイト部族長として、サリク・カンという人物がいる。『集史』タタル部族志によると、サリク・カンはある時タタル首長の一人コリダイ・ダイル（Qōrïdāī Dāyīr）に不意を突かれて大敗を喫するも、ベテキン・ナイマン族のブイルク・カンの助けを得てタタル部族を破ったという。また、チンギス・カンと同時代のケレイト部族長オン・カンは「幼いころ母とともにタタル部の捕虜となったことがある」との記録があり、オン・カンがタタル部の捕虜になったのは、まさに上記サリク・カンの時代のことであったと考えられている。
このサリク・カンについて、ポール・ペリオはマルクズと同一人物と見て、「サリク・カン」がテュルク語名、「マルクズ」がネストリウス派キリスト教徒としての洗礼名であると論じ、日本の村上正二もこの説を支持している。
しかし、陳得芝は「オン・カンが幼いころタタル部の捕虜となった」逸話は1140年代ころの事件と推定されることから、『遼史』で寿昌6年（1100年）に死去したと記される磨古斯＝マルクズと同一人物とはみなせないと論じた。陳得芝はサリク・カンがマルクズの没後にケレイト部族長になった人物で、本来はサリク・カンこそがオン・カンの祖父であったが、「クルジャクス・カン」という称号を共有したことから息子と混同されたのであろう、と論じている。
戦争のはらわたII
『戦争のはらわたII』（せんそうのはらわた、Steiner - Das Eiserne Kreuz, 2. Teil,英題:Breakthrough）は、西部戦線の特にノルマンディーの海岸を舞台とした1979年の西ドイツの戦争映画。サム・ペキンパー監督作『戦争のはらわた』の続編で、数人の登場人物が今作にも登場する。
今作にはリチャード・バートン、ロバート・ミッチャム、ロッド・スタイガー、クルト・ユルゲンスといった大物俳優が出演した。バートン（シュタイナー）とヘルムート・グリーム（シュトランスキー）は前作でジェームズ・コバーンとマクシミリアン・シェルがそれぞれ演じた役を今作で演じている。クラウス・レーヴィッチとディーター・シャイダーは前作からの出演者で、それぞれ同じ役のクルーガーとアンゼルムを演じている。
またクレジット表記はないがクリストフ・ヴァルツが出演しており、これが彼の映画デビュー作である。
日本では劇場未公開、『戦場の黄金律／戦争のはらわた II 』という題名でビデオリリースされた。
戦争のはらわたII ストーリー
1944年5月下旬、ドイツ軍が東部戦線から撤退している中、シュトランスキー少佐はロシア軍による鉄道トンネルの使用を妨害するため、トンネルの爆破をシュタイナー軍曹に命じる。
しかしシュタイナー軍曹の小隊はロシア軍の戦車と遭遇し、任務は失敗。その後連合軍がノルマンディー上陸作戦を開始する頃、シュタイナーは休暇をとりパリに向かう。
シュタイナーの部隊はフランスに移動し、サン・ボローニュ村を占領する。ホフマン将軍はシュタイナーへ近くの敵の領域に入り、 アメリカ軍のロジャース大佐とウェブスター准将との協議を命じ、ドイツ国防軍最高司令部がヒトラーの暗殺を計画しており、降伏を望んでいることも伝える。ロジャース大佐に計画について話し軍上層部に伝えてもらおうとするが、上層部が取り合わず失敗、さらにこの目論見がドイツ軍上層部に伝わりホフマン将軍は自決を迫られ、彼は拳銃自殺する。アメリカ軍はサン・ボローニュ村のドイツ軍に攻撃を開始し、村ではシュトランスキーがアメリカ軍と村人を殲滅すべく爆発する計画を企てていた。
戦争のはらわたII ストーリー
ロジャース大佐とアンダーソン軍曹は白旗を掲げたジープでサン・ボローニュ村へ接近する。しかし、ドイツ軍はシュトランスキーの命令で彼らに向けて発砲、ロジャースとアンダーソンは戦車に引き返した。アメリカ軍は村に仕掛けられた爆弾に気づくことなく、サン・ボローニュへ進軍を開始する。
シュタイナーはシュトランスキーに爆発計画の中止を訴えるが、シュトランスキーは彼を撃ち去っていった。
ドイツ軍の見張りが殺され、アメリカ軍が広場に入ってきたとき、ドイツ軍は爆発準備を開始する。だが一命をとりとめていたシュタイナーは、爆弾のメインスイッチを取り外す。そして階段を上がり、ドイツ軍兵士とシュトランスキーを撃ちロジャースを救う。ドイツ軍が戦車へ発砲を始め、シュタイナーは村民を避難させる。残ったドイツ軍兵士は降伏する。
シュタイナーは燃え盛る街を歩いていた。その時ドイツ軍兵士の一人がアンダーソンに発砲するが、シュタイナーはその兵士を撃ち殺し、再度ロジャースを救った。
戦争のはらわたII キャスト
※括弧内は2025年5月9日発売のBD版日本語吹替
ヴァイセズ・アンド・ヴァーチューズ (アート・オブ・ダイングのアルバム)
『ヴァイセズ・アンド・ヴァーチューズ』（原題: Vices and Virtues）は、カナダのハードロック・バンドであるアート・オブ・ダイングが2011年3月22日に発売した2作目のスタジオ・アルバム。同日にはアメリカ合衆国のポップ・ロック・バンドであるパニック!アット・ザ・ディスコが3作目のスタジオ・アルバムとして同名の『悪徳と美徳』（原題: Vices & Virtues）を発売している。2014年9月までに本作は5万枚を売り上げた。
ヴァイセズ・アンド・ヴァーチューズ (アート・オブ・ダイングのアルバム) 背景・リリース
2009年12月1日、ディスターブドのデイヴィッド・ドレイマンとダン・ドネガンによるレコードレーベル、イントゥクシケーション・レコードと契約したことを発表。この発表と同時に、アート・オブ・ダイングがハワード・ベンソンをプロデューサーに迎えてアルバム制作を行なっていることが報じられる。
2011年3月22日に本作からのリード・シングルとして「Die Trying」が発売され、アルバム発売後の7月14日に第2弾シングルとして「Get Thru This」、2012年2月8日に第3弾シングルとして「Sorry」、2013年1月17日に第4弾シングルとして「Raining」が発売された。
ヴァイセズ・アンド・ヴァーチューズ (アート・オブ・ダイングのアルバム) 評価
『オールミュージック』のジェームズ・クリストファー・モンガーは、ゴッドスマックやニッケルバックを思わせる「Die Trying」と「You Don't Know Me」、3声コーラスを披露する「Sorry」について好意的に見る一方で、「I Will Be There」「Best I Can」「Get Thru This」「Whole World's Crazy」について「（アルバムの）メッセージ性を損なわせる」とし、「結果的にまったくつまらないわけでもなければ、最高のものとなることもめったにないレコードになった」と評した。
日刊紙『ヴァージニアン・パイロット』のパティ・ジェンキンスは、「（アルバムの）特に聴く価値のある曲」として「Whole World's Crazy」と「Completely」の2曲を挙げた。
オリクム
オリクム（アルバニア語: Orikum）はアルバニアのヴロラ州の街である。2015年にヴロラ基礎自治体の街になった。街名は古代の都市のオリコに由来する。2011年のアルバニアの国勢調査によると、人口は5,503人だった。12年後の人口は4,927人だった。コムーナはオリクム街、ドゥカト・フシャ、ドゥカト、トラグヤスおよびラドヒマを含む。
ブルース・ウェイン (ダークナイト三部作)
ブルース・ウェイン（英語: Bruce Wayne）は、バットマン（英語: Batman）というヒーローの正体でクリストファー・ノーラン監督のダークナイト三部作に登場する架空のキャラクター。ボブ・ケインとビル・フィンガーによって創造された同名のキャラクターをもととし、クリスチャン・ベールが演じている。
映画の中で、ブルースはテクノロジー企業ウェイン・エンタープライズの相続人である。8歳の時、両親が強盗に射殺されるのを目撃した。大人になると、犯罪者と闘い、家業を取り戻すため厳しい訓練を受けることを目的に世界中を旅した。その後、彼はバットマンとしてゴッサム・シティで犯罪と戦い始めた。
BFA東アジアカップ2024
BFA東アジアカップ2024（英語:BFA XIV East Asia Cup 2024）は、アジア野球連盟（BFA）が主催する、東アジアの各国・地域代表で競われる東アジアカップの第14回大会、大会方式が東西に分かれてからは第5回にあたる大会である。期間は2024年10月29日から11月3日、開催地はフィリピンのパンパンガ州マバラカット。
優勝国のフィリピンは大会5連覇を果たした。
BFA東アジアカップ2024 試合結果
時間はいずれもフィリピン標準時(UTC+8)
重点サンプリング法
重点サンプリング法（じゅうてんサンプリングほう、importance sampling）は、モンテカルロ法の一種であり、関心のある確率分布からのサンプルを直接得ることが難しい場合に、異なる分布から得られたサンプルを用いてその分布の特性を評価する手法である。この手法が統計学に導入されたのは、テウン・クルークとヘルマン・K・ファン・ダイクによる1978年の論文とされている。 しかしながら、その前身はすでに1949年の統計物理学におけるモンテカルロ法の文献に見られる。
重点サンプリングは、計算物理学におけるアンブレラサンプリングとも関連しており、用途によっては、代替分布からのサンプリング手法そのもの、推論手順、あるいはその両方を指す場合がある。
重点サンプリング法 基本理論
を確率空間  上の確率変数とする。 に関して  の期待値  を推定したいとする。 に従う独立なサンプル  が得られれば、その期待値の経験的推定値は
となり、この推定の精度は  の分散に依存する：
重点サンプリングの基本的な考え方は、 に従って直接サンプリングするのが難しい場合や、推定値の分散を減らしたい場合に、他の分布からサンプルを取得することである。
そのために、まず非負の確率変数  を選び、 かつ  にほとんど至る所で  を満たすようにする。そして、 により定義される新たな確率分布  に対して
が成り立つようにする。
この を  の下でサンプリングすることで、 を推定できる。この推定の分散が
となれば、推定はより精度の高いものになる。
が常に一定の符号を持つ場合、理想的な選択は  であり、このとき  は定数 となり、1つのサンプルのみで期待値が得られることになる。しかしながら、が求める値である以上、このような を選ぶことは現実的ではない。この理論的な最適ケース から、重点サンプリングについて重要な洞察を得られる。それは、 の「重要な」値に対してサンプルを集中させ、その貢献度に応じて重みを付けていることである。すなわち、通常の分布ではなく、 への貢献度に比例するように分布を再構築する。このことが「重点サンプリング」と呼ばれる理由である。
重点サンプリング法 確率的推論への応用
この手法は、解析的に扱うのが困難な確率モデルにおいて、事後分布や期待値の推定に頻繁に用いられる。例として、ベイジアンネットワークや、重み付き変分オートエンコーダなどがある。
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
重点サンプリングは、モンテカルロ法における分散減少法である。重点サンプリングの背景には、シミュレーション内で入力となる確率変数の中に、推定しようとするパラメータに対して他よりも大きな影響を与えるものがあるということがある。もしそれらの重要な値をより頻繁にサンプリングするようにすれば、推定量の分散を削減することができる。したがって、重点サンプリングの基本的な手法は、重要な値を「強調する」ような分布を選択することである。このような「バイアスのある」分布をシミュレーションに直接適用すると推定量にバイアスが生じる。しかしながら、シミュレーション出力に重みを与えてこのバイアスを補正することで、新しい重点サンプリング推定量は不偏（バイアスがない）になる。この重みは、真の基礎分布に対するバイアス付きシミュレーション分布のラドン＝ニコディム導関数、すなわち尤度比によって与えられる。
重点サンプリングシミュレーションを実装する際の基本的課題は、入力変数の重要な領域を強調するようなバイアス分布を選択することである。良いバイアス分布を選ぶことで大幅な実行時間の節約が可能になる一方で、悪い分布を選ぶと、通常のモンテカルロシミュレーションよりも長い実行時間がかかってしまう可能性がある。
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
をサンプルとし、を尤度比（ここで  は目的とする分布の確率密度関数、 はバイアス／提案／サンプル分布の確率密度関数）とした場合、この問題はスケーリングされたサンプルの分散を最小にするようなサンプル分布  を選ぶ問題として定式化される：
以下の分布  がこの分散を最小にすることが示されている：
ただし、の場合、この分散は 0 になる点に注意。
確率変数  が与えられており、その累積分布関数を 、確率密度関数を （ここでプライム記号は導関数を表す）とする。イベント  が生じる確率 をシミュレーションにより推定する例を考える。独立同分布（i.i.d.）に従う長さ  の列  を、分布  から生成し、閾値  を超える乱数の個数を  とする。このとき、確率変数  は二項分布に従う：
このとき、   であり、 , となる。したがって、  の極限で を得られる。  のとき分散が小さくなることに注目する。
重点サンプリングでは、バイアスをもつ密度関数 （通常は「バイアス付き密度」と呼ばれる）を用いる。この密度関数により、イベント  がより頻繁に発生し、一定の推定量の分散を保ちながら必要なサンプル数  を削減できる。また、同じ  に対しては、通常のモンテカルロ推定よりも小さな分散を得ることができる。
定義から、に対して以下のように を導入できる：
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
ここで、
は尤度比であり、重み関数とも呼ばれる。
この式の最後の等式は以下の推定量を導く：
これは  の重点サンプリング推定量であり、不偏である。すなわち、推定手順としては、 に従ってi.i.d.なサンプルを生成し、それらが を超えた場合に、重み関数 を評価してその値を加算する。結果は 回の試行で平均される。
この重点サンプリング推定量の分散は、次のように簡単に求められる：
さて、重点サンプリングの課題は、重点サンプリング推定量の分散が、一般的なモンテカルロ推定法の分散よりも小さくなるようなバイアス付き密度関数  を見つけることである。あるバイアス付き密度関数がこの分散を最小化し、さらに特定の条件下では分散をゼロにまで減らすことができる場合、そのような関数は「最適なバイアス付き密度関数（optimal biasing density function）」と呼ばれる。
重点サンプリングには様々なバイアス手法が存在するが、以下の2つの手法が最も広く応用されている。
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
確率変数  を1より大きい係数で正のスケーリングを行うことにより、イベント領域  に確率質量を移動させる。これによって、密度関数の分散（および平均）も増加し、密度の裾が重くなってイベントの発生確率が増加する。スケーリングは最も古くから知られているバイアス手法の1つであり、実務において広く使用されてきた。実装が簡単であり、他の方法と比べて堅実なシミュレーション利得をもたらすことが多い。
スケーリングによる重点サンプリングでは、スケーリングされた確率変数 （通常 、しっぽ確率推定のため）が持つ密度関数を、シミュレーションでの密度関数として選ぶ。変数変換によって、
となり、対応する重み関数は、
スケーリングはイベント領域に確率質量を移動させるが、同時に補集合領域（すなわち）にも質量を押しやってしまうという副作用がある。もし  が  個の確率変数の和である場合、この分布の広がりは  次元空間にわたって発生する。これにより、重点サンプリングの利得が  の増加に従って減少することになり、これを「次元効果（dimensionality effect）」と呼ぶ。
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
スケーリングの現代的な応用例として「シグマスケーリング法（sigma-scaled sampling、SSS）」がある。これは、異なるスケーリング係数を用いて複数のモンテカルロ解析を実行するものである。SSSは、高収率推定法（例えばworst-case distances：WCD）とは異なり、次元効果の影響をあまり受けない。また、複数のモンテカルロ出力を扱っても効率が劣化しない。
ただし、WCDとは異なり、SSSはガウス統計変数のみを対象として設計されており、統計的な「コーナー」を正確に再現するようには設計されていない。さらに、スケーリング係数が大きい場合、モデルやシミュレータの収束問題によりシミュレーションが困難になることがある。
また、SSSには「バイアスと分散のトレードオフ」問題がある：スケーリング係数を大きくすれば結果は安定するが、バイアス誤差も増大する。もし特定の応用においてSSSの利点が重要でない場合、他の手法のほうが効率的である可能性が高い。
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
もう一つの単純かつ効果的なバイアス付け手法は、確率密度関数（したがって確率変数）を平行移動することで、その確率質量の大部分をまれな事象の領域に配置するものである。平行移動は次元効果の影響を受けず、データ転送システムのシミュレーションなど、いくつかの応用において成功裏に使用されてきた。この方法はしばしば、スケーリングよりも優れたシミュレーション上の利得をもたらす。
ここで、 はシフト量であり、重点サンプリング推定量の分散を最小化するように選ばれる。
重点サンプリングにおける根本的な課題は、システムの複雑さが増すにつれて、良好なバイアス分布を設計することがますます困難になることである。複雑なシステムとは、入力数が少なくても複雑な処理を行う「長期記憶」を持つシステムを指す。この次元性（または記憶）によって、以下の3つの側面で問題が生じる可能性がある：
重点サンプリング法 シミュレーションへの応用
原理的には、こうした状況でも重点サンプリングの基本的な考え方は変わらないが、設計はより困難になる。この問題に対する有効なアプローチの1つは、シミュレーション全体を、より明確に定義された複数の小さな問題に分割することである。その後、それぞれの単純化された問題に対して重点サンプリング戦略を適用する。シミュレーションを分割するための手法としては、「条件付け（conditioning）」や「エラー事象シミュレーション（error-event simulation, EES）」、「再生シミュレーション（regenerative simulation）」などがある。
重点サンプリング手法の有効性を特定するには、重点サンプリングを使用したことによる実行時間の節約量を定量化できることが有用である。一般的に用いられる性能指標は、であり、これは、重点サンプリング推定器が、通常のモンテカルロ推定器と同じ精度を達成するのに必要な速度向上係数として解釈される。この値は、推定量の平均が解析的に求まらない場合が多いため、経験的に算出する必要がある。重点サンプリング推定器を評価する上で有用な他の概念としては、分散の上限や、漸近効率性（asymptotic efficiency）の概念がある。これに関連する指標として、「有効サンプルサイズ（Effective Sample Size、ESS）」がある。
シミュレーションの損失関数は一つではないが、多くの文献では、損失関数として分散が用いられている。
分散を損失関数に用いる場合の問題として、比率  は、重み関数を計算するために必要な追加の計算時間を含まないため、重点サンプリングによる実行時間の節約を過大評価してしまうことが挙げられる。したがって、実際の実行時間の改善を評価するために、さまざまな他の手法が用いられる場合がある。それには重点サンプリングにおける重大なオーバーヘッド、すなわち技術の考案やプログラミングに必要な時間、および目的とする重み関数を解析的に導出するために必要な時間を考慮する必要がある。
異なる提案分布 , を用いてサンプル を同時に生成する場合、さまざまな適切な重み付け関数を使用することができる（参照）。
適応的な設定では、提案分布 ,  が、適応的な重点サンプリングアルゴリズムの各イテレーション t で更新される。つまり、複数の提案密度を使用するため、サンプリングと重み付けスキームの適切な組み合わせがいくつも採用可能となる。これにより、提案分布の多様性を活かした柔軟な重点サンプリングが可能になり、特に高次元問題や複雑な分布に対して効率的な推定が行える。
2025 サウジ・スーパーカップ
2025 サウジ・スーパーカップ（英語: 2025 Saudi Super Cup）は、2025年8月に香港の香港スタジアムで行われた第12回サウジ・スーパーカップである。
アル・アハリが決勝でアル・ナスルに勝利し、2度目のタイトルを獲得した。
2025 サウジ・スーパーカップ 大会形式
サウジ・プロリーグの優勝クラブと準優勝クラブ、サウジ国王杯の優勝クラブと準優勝クラブの計4チームが、シングルエリミネーション方式でタイトルを争う。アル・イテハドが2冠を達成したため、リーグ3位のアル・ナスルが繰り上がって出場する。
アル・ヒラルはFIFAクラブワールドカップ2025の終了後、複数の選手の体調をチェックした際、極度の疲労の兆候が見られ大会を辞退した。代わりにリーグ5位のアル・アハリが出場権を得た。
ELDEN RING NIGHTREIGN
『ELDEN RING NIGHTREIGN』（エルデンリング ナイトレイン）は2025年にフロム・ソフトウェアが開発し、バンダイナムコエンターテインメントが販売する協力型サバイバルアクションゲーム。2022年にリリースされた『ELDEN RING』（エルデンリング）のスピンオフ作品である。『ELDEN RING』の基本システムを踏襲しつつ、ローグライクと協力プレイに主軸をおいた作品となっている。物語上は『ELDEN RING』のパラレルワールドとし、プレイヤーは「夜渡り」と呼ばれる存在となり、3日間を生き抜いて「夜の王」を倒すことを目的とする。
The Game Awards 2024で発表され、2025年5月30日にPlayStation 4、PlayStation 5、Windows、Xbox One、Xbox Series X/S向けにリリースされた。
ELDEN RING NIGHTREIGN ゲーム内容
本作はプロシージャル生成された「リムベルド」（『ELDEN RING』のリムグレイブに相当）という土地を舞台とする。シングルプレイモードもあるが、基本は3人1チームとするマルチ協力プレイを基本とし、ゲーム内時間で3日間（実時間で約40分）を生き延び、最後にラスボスに挑むことを想定している。
バトルロワイヤル系ゲームと同じく、ステージは時間経過に従って縮小していき、各1日の終わりに現れるボスを倒すとリセットされる。
ELDEN RING NIGHTREIGN 開発
本作は2024年10月24日にバンダイナムコエンターテインメントによって商標登録され、その年の12月に開催されたThe Game Awards 2024で正式発表された。最初のネットワークテストは2025年2月にPlayStation 5とXbox Series X/Sで行われ、事前登録したプレイヤーがプレイすることができた。
本作のディレクターは、『DARK SOULS』『Bloodborne』『DARK SOULS III』『ELDEN RING』のデザイナー（レベルデザイナー、バトルデザイナー）を担当した石崎淳也である。『ELDEN RING』の世界観構成を担当した作家のジョージ・R・R・マーティンは関わっていない。
ELDEN RING NIGHTREIGN 開発
本作はバトルの部分が中心に据えられており、マップやビルドがそれを取り巻くように配置されている。一方、バトルデザインの根幹は『ELDEN RING』本編と同じだと石崎は「PS Blog」とのインタビューの中で語っている。3人という人数は、バランス調整を考慮した末に決まった。また、本作の1セッションあたりのプレイ時間は40分と、マルチプレイ作品としてはやや長めの時間設定であり、これは1セッション内に濃密な体験をしてほしいという開発者の意図によるものであり、石崎は「PS Blog」とのインタビューの中で、実際はやるべきことがたくさんあるため、むしろ短く感じるかもしれないと述べている。
ELDEN RING NIGHTREIGN 評価
レビュー集計サイトのMetacriticでは「概ね好意的」となっている。OpenCriticでは批評家の支持率を79％としている。
本作はリリース開始24時間で200万本の売上を達成した。5日で350万本を達成している。
ケチャップ・チップス
ケチャップ・チップス（英: ketchup chips）は地域的に人気があるポテトチップスのフレーバーの一つ。1970年代に登場した。最初に発売したメーカーはカナダのホステス・ポテトチップスだとされるが、同時期に米国でも考案されていた可能性がある。カナダでは広く販売されており、国民的アイデンティティと結びつけられている。ポップカルチャーの中で取り上げられることもある。他国でも一部で販売されている。
ケチャップ・チップス 歴史
ケチャップ・チップスはカナダのブランドであるホステス・ポテトチップスによって考案されたと信じられている。ホステスは1970年代初頭に新奇で実験的な商品を販売し始めた。オレンジ味やグレープ味などのフレーバーが短命に終わった中で、唯一定着したのがケチャップ味だった。一方米国では、ハーズ・スナックスが1980年代にケチャップ・チップスを販売し始めた。それぞれ国内のみで営業していたホステスとハーズのどちらが先に考案したのかは正確にはわかっていない。
ケチャップ味のポテトチップスはカナダで人気があり、プーティンやメープルシロップなどに次ぐ重要なカナダ固有の食文化と見なされている。ホステスの現親会社であるフリトレーはケチャップ味のポテトチップスを大量に展開している。カバードブリッジのような小規模メーカーもケチャップ味の商品を出している。ケチャップ・チップスはカナダの大半の食料品店に置かれており、国民的アイデンティティと強く結びつけられている。特にマニトバ州で人気が高い。
ケチャップ・チップス 味
The Daily Mealは、ケチャップ・チップスをドリトスのランチドレッシング味と比較して、ケチャップ味というより「ケチャップ・インスパイア味」だとした。ウェブメディア The Takeoutのライターによると、ケチャップ・チップスの味はケチャップそのものではなく、煮込みトマトや砂糖のようにケチャップを連想させる風味から構成されている。ある米国のジャーナリストはトマトに酢を振ったような味だと述べ、別の米国ジャーナリストはトマトとビートスープを合わせた味だとした。英国人の俳優フローレンス・ピューはシュリンプカクテル味のポテトチップスに近いと述べた。「甘さ強めのバーベキュー味」と形容されることもある。一方で、Thrillistのライターはケチャップ・チップスの味が「ケチャップのビンが破裂して」「チップスに均一に振りかけられた」ようだと書いている。
ケチャップ・チップスの塩分を減らしたり、天然の香料を使用すると味が大きく変わってしまうため、こうした健康志向のバリエーションは商品化されていない。これは製品開発の幅を狭める要因となっている。
ケチャップ・チップス カナダ国外
米国でもフライドポテトとケチャップの組み合わせは存在するが、カナダではケチャップ・チップスを含めて米国よりも酢が効いたフレーバーの人気が高い。米国における同種のポテトチップスはよりクリーミーな味付けが一般的である。こうした嗜好の差異は、移民構成が異なることや、カナダと英国の文化的つながりの強さに影響されていると見られる。たとえば、カナダでは英国と同じくフライドポテトにホワイトビネガーをかけることが多いが、アメリカではあまり見られない。
ケチャップ・チップスはカナダでは広く普及しているが、米国での生産は限定的である。米国でもオンライン小売業者から購入することは可能だが高額になる。1984年のある新聞記事では、ケチャップ・チップスが失敗したビジネスであり、シカゴでしか人気がないと評されている。オールド・ダッチは過去にカナダと米国の両国でケチャップ・チップスを販売していたが、米国市場では利益が上がらず販売中止に至った。フリトレーも米国ではケチャップ・チップスを販売していない。米国でケチャップ・チップスを生産しているのはハーズ・スナックスのような小規模企業のみである。同社は発売当初オリジナルの味付けを行っていたが、1980年代にハインツとの提携に切り替えた。
ケチャップ・チップス カナダ国外
英国では2000年代以前にチューダー・クリスプスがトマトケチャップ味のポテトチップスを販売していた。その後、2001年にウォーカーズがハインツと提携してケチャップ・チップスのブランドを立てた。同社は2024年に期間限定でソーセージ＆ケチャップ味を発売した。
日本では一般的なフレーバーではないが、2006年に湖池屋が、2013年にカゴメとの提携のもとでカルビーが、それぞれケチャップ味のポテトチップスを販売している。
ケチャップ・チップス 受容、ポップカルチャーにおける位置づけ
インターネットではケチャップ・チップスが魅力的なスナックであるか否かを巡る論戦が頻繁に行われており、カナダ人の間でも賛否両論がある。俳優のアンドリュー・ガーフィールドはインタビュー中にケチャップ・チップスを「一種の罪悪」と呼び、ポテトチップスのフレーバーの中でもっとも不味だと述べた。
2019年に8人の米国人ジャーナリストが13品のケチャップ・チップスを試食してランク付けを行い、ドリトス、グレート・ヴァリュー、オールド・ダッチの3ブランドをトップに評価した。2024年4月、Chatelaine誌はカナダに存在するケチャップ・チップスのブランド11種をランキングした。1位と2位はコンプリメンツのフレーバー2種で、ラッフルズがそれに次いだ。
2023年、カナダ放送協会は、米国人の親子がケチャップ・チップスを40袋買い込むために米国バージニア州からカナダのナイアガラフォールズを訪れたことを報じた。これはオンラインで話題となり、あるカナダの食料品店は親子にポテトチップスを9ケース贈呈した。
ミニーホーク (競走馬)
ミニーホーク（Minnie Hauk）は、アイルランドで生産・調教されている競走馬である。主な勝ち鞍は2025年のオークスステークス、アイリッシュオークス、ヨークシャーオークス。
ミニーホーク (競走馬) 概要
10月1日にコーク競馬場の未勝利戦にてウェイン・ローダンを背にデビューして2着に入った。
続いて10月19日のレパーズタウン競馬場の未勝利戦にて初勝利を挙げた。
5月7日のチェシャーオークスにライアン・ムーアを乗せて出走。好スタートを決めて2番手を確保して最終コーナーで先頭に立つと直線で差を広げてシークレットオブラヴに詰め寄られるも押し切って1馬身差で勝利した。
6月6日のオークスステークスでは、デザートフラワーに次ぐ8.5倍の2番人気の支持を受けて出走。逃げるワールから少し離れた2番手を追走。直線に入ると伸びあぐねるデザートフラワーを尻目に、残り3ハロンのところで仕掛けて粘るワールを追撃。2頭で一騎打ちの形となり、長い叩き合いの果てにクビ差で交わして勝利を掴んだ。
7月19日のアイリッシュオークスでは、3番手でレースを進めると最後の直線では2番人気ウィーマイトテイクドロングウェイをねじ伏せて勝利。史上16頭目の英愛オークスダブル制覇を達成した。
古馬と初対戦となった8月21日のヨークシャーオークスでは、最後の直線で楽な手ごたえのまま進出すると、追撃するエストレンジを寄せ付けず3馬身半差で圧勝した。
フランスに遠征して挑んだ10月5日の凱旋門賞では、4番手付近でレースを進めると最後の直線ではダリズとの激しい叩き合いにもつれ込み、アタマ差の二着に敗れた。
与野本町通り
与野本町通り（よのほんまちどおり）は、埼玉県さいたま市中央区に位置する埼玉県道165号大谷本郷さいたま線の一部で、本町東六丁目の氷川神社から本町西一丁目の庚申堂に至る通りの通称である。
与野本町通り 歴史
起源：1587年（天正15年）徳川家康は関東に入り新しい施策を実施する。この施策の一部として、本町地区には南北の道を普請し、短冊状に屋敷地をつくった。小村田氷川神社（本町6丁目）から、南の庚申堂（本町西1丁目）の二又までの1.5㎞を通称「本町通り」という。
1824年（文政7年）頃の与野本町を描いた「与野町絵図」によると市場町と宿場町として栄え、両側に連なる茅葺きの家にまじり瓦葺・漆喰壁の商家が描かれている。与野本町通りは、相模甲斐の二国より陸奥国への往来により栄えた。往還を三分してその区切りに石地蔵を置く。北の地蔵より南を上町、次を中町、南の方を下町という。
与野本町通りは、市の立つ町として栄えてきたため、市場の名残である空間が残っておりその開催場や荷さばきの場になっていたといわれる。さいたま市は与野本町駅周辺地区まちづくりマスタープランとして、歴史・文化等の地域資源を活用しながら、中央区役所をはじめとする公共施設の再編や駅周辺の利便性、住環境の向上等から、暮らしやすく魅力的なまちを目指している。
与野本町通り 文化的・社会的意義
江戸時代、与野本町通りは鎌倉街道の要所として交易の拠点であった。室町時代の文書として伝わる「市場祭文」には、近郷32ヶ所の市の一つとして与野の市の名が見られ、江戸時代には「四・九の市」として、4と9が付く日に「六斎市」が開かれていた。現在でも通り沿いに残っている蔵造りの家は、通りと家の間に広いスペースがあり、商品の荷捌き場となっていたことがわかる。
昭和初期まで沿道には桜が並び、明治年末に与野を訪れた柳田國男は著書「豆の葉を太陽」に、「桜並木の最も美しきは埼玉県与野町なり、浦和及大宮より各一里あり、春の末に此町へ遊びに行きしに町には市立ち落花街に満ちて夢の国を行くが如くなりき」と記している。
与野夏祭りは、毎年7月中旬の2日間、与野本町通り周辺で行われている祭り。上町、仲町、下町、上峰の四町の御輿が、1日目は揃いで、2日目はそれぞれ本町通り周辺を渡御（とぎょ）する。宝永年間(1704年〜1711年)から続いていると言われる歴史ある祭り。
与野本町通り 街並みガイドライン
2015年（平成27年）11月に「与野本町駅周辺地区まちづくりマスタープラン」が策定され、翌年には「与野本町駅周辺地区まちづくり推進協議会」が設立。更に2017年（平成29年）2月には、リーディングプロジェクトの一つとして「歴史を伝える本町通りのまちづくり分科会」が設立され、施策実現に向けた活動を行っている。さらに、2022年（令和4年）3月、本町通り沿道住民による「与野本町通り街並みづくり会議」が設置され、会議において協議を行い、翌年3月に「与野本町通り町並みづくり方針」を策定。将来像を「これまで継承してきた空間を活かし、地域の人や訪れる人が、安心して楽しみながら歩ける与野本町通り」とした。これを受け、2025年（令和7年）2月に「与野本町通り街並みガイドライン」を策定した。
与野本町通り 地理
大宮台地の東側を流れる鴻沼川と西側を流れる鴨川の間に挟まれている与野支台の標高が一段高い地域を南北に通る街道である。
本町通りには多くの寺社仏閣があり、一部の寺社仏閣では与野七福神を構成している。
稲垣田龍
稲垣田龍（いながき でんりゅう、1789年 - 1861年12月9日）は、江戸時代の日本の天文学者、武術家、教育者。暦学や天文観測に貢献した。
稲垣田龍 生涯
寛政元年（1789年）3月、武蔵国足立郡鈴谷村で名主の稲垣新右衛門の子として生まれる。諱は玄節、正雄、字は仙松、号は田龍、剛弼という。
田龍の生まれた鈴谷村は正保期（1644-1648)に旗本保々・牧両氏の知行地であり、元禄元年（1688年）牧氏の知行地は幕府の直轄地となったため、保々氏の支配地を上組、幕府代官の支配地を下組と呼ぶ。稲垣家は、代々鈴谷村下組・鈴谷村新田新右衛門組の名主を務めており、のちに田龍も名主を継いだ。
幼い頃から武道に親しみ、初めは石井氏から「戸田流棒術」を学び、やがて、江戸で小野派一刀流の流れをくむ高橋玄門斎展歴の門下生となり、剣術・柔術を学んだ。
文化元年（1804年）1月、16歳の時に「兵法秘術巻」を伝授された。この時のあて名が稲垣新右衛門玄節となっており、田龍が少年時代から江戸に出て修行していたことがわかる。
剣術は伊藤一刀斎景久の流れをくむ一刀流で、文政2年（1819年）9月31歳の時「一刀兵法目録」を伝授されている。この時のあて名は稲垣仙松。
文政7年(1824年)36歳で玄門斎から「無海流目録」を伝授されている。剣術・棒術ともに奥義を究めた。
稲垣田龍 生涯
江戸での武術修行と並行して、当時深川で広斉舎という私塾を開いていた幕臣の浅野野水に入門し、西洋流の天文学や暦学などを学んだ。入門した時期は不明だが、文政3年（1820年）31歳の時に「天文風説図」を書き写しており、前年に「一刀流兵法目録」を伝授されていることから、これを契機に天文学・暦学の研究を始めたのではないかと考えられる。
「天文風説図」は、文政三年六月朔日写之　稲垣仙松と署名されている。内容は気象についての記述が大半であり、天文に関することは少ないが、巻頭に星座が図示され、続いて気象現象や予報について記されている。陰陽論に基づく解釈や漢書からの引用があり、西洋学の影響は認められない
「暦日早繰集・天象星銘録並附録」は、師である浅野北水が文化9年（1812年）に著したものを文政3年（1820年）7月に写したものである。内容は暦の算出方法と星の名前、位置を言葉で表したもので、図示されたものは、文政4年（1821年）に待野大梁が作成した全天星図「天文図」が残されている。大きさ2.53m×7.25mの大きなもので、中国式の星座名で表されている。
稲垣田龍 生涯
「三説造化論」師である浅野北水が著したものを文政7年（1824年）に写したもの。三説とは天動説・地動説・須弥山説で、それぞれの宇宙観と自然現象について書かれている。漢学の知見だけでなく蘭学の知識に基づいて、融合した内容が書かれている。第1の天文部にはオランダ語、ラテン語の記述がある。末尾に浅野北水先生門人、稲垣仙松書写とあり、36歳の田龍が江戸に在住し、「無海流棒術目録」を伝授された同年に並行して浅野北水に師事して学んでいたことがわかる。
天保14年（1843年）には「望気の図および覚」を書き残している。望気は観天望気であり、天気予報のようなもので、観察を描き、覚書を記したものである。蝗害・疫病・大水・豊作を予想することは、農業国では重要な意義のあるものである。田龍の天文暦学研究のねらいは、農業の発展にあったのではないかと推測される。
稲垣田龍 生涯
「地転新図」は弘化3年（1846年）6月に「徴古究理堂正本地転新図」の解説文を写したもので、地動説の始まりからコペルニクスによる学説の確立、カッシーニやニュートンによって大成したことなどが記されている。巻末には「余文化年間より始めて地動家説本教に近きよしを論ず」と書かれており、田龍が若いころから地動説を支持していたことがわかる。これと一組である地動説に基づいた西洋流の天体図「天文図すなわち地転新図（大きさ40cm×55.1㎝）」を写しており、惑星の円軌道、星の直径、公転・自転の周期、太陽からの距離などが記されている。これは与野郷土資料館に展示されている。
多くの資料を稲垣家文書に残しており、自然科学関係資料43点が与野市文化財に指定されている。
晩年も武道を学び、越後流兵学家の加藤昇三郎景淳から安政2年（1855年）67歳で「上杉謙信公所感照天一貫之図」を、ついで安政3年（1856年）に「伝統（上杉謙信軍法印可状）」を授与され、剛弼の号を贈られている。
安政5年（1858年）70歳で詳細な天体図を書き写しており、これが天文関係の最後の作である。
稲垣家過去帳によると、家族は父母と姉で、与野町の岩崎利八の娘しんと結婚したが、子に恵まれず、幕臣で御弓組の山本源五郎の次男（嫡子との説もある）の茂吉を7歳のころ養子とした。茂吉は後に墓碑を建立した稲垣新右衛門正就である。
稲垣田龍 生涯
田龍は鈴谷村で道場を開き、文武の両方で多くの人の指導にあたった。入門者は数百人といわれ、武道の修行者が田龍を訪ねることもあった。国学者の井上頼圀などに和算を教授した大熊渓雲などが弟子と伝えられる。
鈴谷村の名主として晩年まで農業にも勤しみ、村人の模範となるような生活で人々から尊敬されていた。
文久元年（1861年）12月9日73歳に病気で没し、妙行寺の稲垣家墓地に埋葬された。
文久2年10月に養子の稲垣新右衛門正就が田龍と妻しんの墓を建立した。墓碑は3段で、屋根のような上段の中央には稲垣家の家紋が彫刻されている。中段が碑面で、正面には田龍の戒名真僊玄節居士、しんの戒名真月妙教大姉と彫られている。左側面から背面、右側面にかけて田龍が各種の武術を極めたこと、天文学のほか国学、神道を教え、その名声は遠方にも届き数百人の人が教えを乞うたこと、それでもへりくだった態度だったため、弟子たちは心服していたこと、子がなかったため、山本家の次男を養子とし、この養子が墓誌を建立したことが刻まれている。墓誌の書と撰文は小泉蘭斎である。小泉蘭斎は浦和で漢学の私塾を開き、生前の田龍と交流があり、田龍と同じく多くの門人に慕われたとのこと。
平成4年12月鈴谷の天神社 (さいたま市中央区)に稲垣先生の碑が建立された。
稲垣田龍 稲垣家文書
稲垣家文書は稲垣家が所蔵する慶安2年（1649年以降）の302点文書である。稲垣家は鈴谷村の名主であり、村政、租税などの年貢関係資料が約3分の２である。
稲垣田龍に関する資料は、文書のうち天文関係資料は43点である。そのほか兵法、棒術の目録や秘伝書、神道関係書、和歌等がある。
線形計画法の基本定理
線形計画法の基本定理（せんけいけいかくほうのきほんていり、英: fundamental theorem of linear programming）とは、数理最適化の線形計画法における定理で、凸多面体上での線型関数の極値をとり得るものはその多面体上の頂点に存在することをいう。また、極値をとるような頂点が二つ存在する場合は、その頂点を端点としてもつ線分上もまた極値をとる解であることをいう。
線形計画法の基本定理 命題
以下の最適化問題が与えられているとする:
ただし、 とする。もし、 が有界な多面体であり、 を最適化問題の最適解としたとき、最適解  は多面体  の端点（頂点）あるいは、多面体の面  に存在する。
線形計画法の基本定理 証明
今、（すなわち、 が  の内部にある）であるとする。このとき、ある  が存在して、半径  の開球  が  に含まれる。すなわち、 である。
それゆえ、
かつ、
がいえるため、 は最適解ではなく、矛盾が生じる。このことから、 は  の境界上に存在しなければならない。
もし、 が頂点でないならば、 は  の頂点  の凸結合で表すことができる。すなわち、 および 、 によって表される。
このとき、
がいえる。
は最適解であることから、総和内の各項  はすべて非負でなければならない。そして、それらの和が 0 となるためには、各項が 0 でなければならない。すなわち、すべての  に対して  が成り立つ。よって、すべての  もまた最適解であり、頂点  をもつ面上のすべての点が最適解となる。
山梨県立甲府支援学校
山梨県立甲府支援学校（やまなしけんりつ こうふしえんがっこう）は、山梨県甲府市下飯田に所在する、肢体不自由児を対象とした特別支援学校であり、小学部・中学部・高等部を設置している。
また、国立病院機構甲府病院に入院している生徒や家庭療養中の生徒に対して、訪問学級を設置している。
山梨県立甲府支援学校 概要
通学支援としてスクールバスを運行しているほか、通学が困難な生徒を対象に、約20名が入舎可能な寄宿舎も設置されている。
給食は、初期食・中期食・後期食・普通食を提供しているほか、アレルギー除去食にも対応している。
甲府市立池田小学校、甲府市立新田小学校、甲斐市立敷島中学校、山梨県立甲府城西高等学校と交流学習を実施している。
在宅および病院における訪問授業は、年間35週以上実施される。
在宅の小学部児童には、週8単位時間（1単位時間45分換算）として、1回120分・週3回または1回90分・週4回を標準とする。中学部および高等部の生徒には、週8単位時間（1単位時間50分換算）として、1回100分・週4回を標準とする。
甲府病院内の児童生徒には、週8単位時間（1単位時間45分換算）として、1回90分・週4回の授業が実施される。
山梨県立甲府支援学校 沿革
1963年（昭和38年）
4月1日 - 山梨県立養護学校を開校。甲府市下飯田町975県立盲学校内に小1～2、3～4、5～6の複式学級発足。あけぼの学園内の北中・北新小の分教室を山梨県立養護学校あけぼの分校と称す。この間、第1期工事着工。
12月2日 - 甲府市下飯田町1010の現在地に本館（851.4㎡）が完成。盲学校敷地内より移転。この日を創立記念日と定める。
山梨県立甲府支援学校 所在地
〒400-0064　山梨県甲府市下飯田2-10-3
かわたな・はさみタウンバス
かわたな・はさみタウンバスは、西肥自動車バス路線「川棚～内海（波佐見）線」が2025年4月1日付で廃止になったことに伴い、沿線自治体である川棚町と波佐見町が運行を開始したバスである。
運行方式は自家用有償旅客運送（市町村有償運送）による定時定路線運行、運行主体は川棚町・波佐見町、運行区間は波佐見町（内海）から川棚町（川棚バスセンター）間（一部便は川棚特別支援学校まで運行）となっている。
二人の男と飲む女
『二人の男と飲む女』（ふたりのおとことのむおんな、蘭: Vrouw drinkt met Twee Mannen、英: A Woman Drinking with Two Men）は、オランダ黄金時代の画家ピーテル・デ・ホーホが1658年ごろ、キャンバス上に油彩で制作した風俗画である。1871年に第2代準男爵ロバート・ピール卿から購入されて以来、ロンドン・ナショナル・ギャラリーに所蔵されている。
二人の男と飲む女 作品
1657年以前のド・ホーホは、村の居酒屋における兵士の休息や娯楽をもっぱら描いていた。1658年ごろの作品である本作は、明晰きわまる現実的な室内空間の設定と陽光の精緻な描写を特色とする画家の新たな傾向を示している。
左側の窓から陽光が差し込む明るい部屋の中で、窓際に置かれたテーブルを囲んで2人の若い男が鑑賞者に背を向けて立つ娘とにこやかに談笑している。右側では、1人の女の召使が暖炉の前にたたずんでいる。19世紀初頭の競売目録の記載に記述されている通り、手に白く長いパイプを2本交差させて持ち、正面向きに座っている男は、それをヴァイオリンに見立てて弾くふりをしているように見える。もう1人の男も指揮者のように右手でデュエットのリズムをとる身振りをしているところから、デ・ホーホは当初、娘が歌を歌っているところを描くつもりであったと思われる。
この部屋にはミステリーのような雰囲気がある。左側に立っている女は背を向けているため、顔の表情はわからず、左手でどんな動作をしているのかもわからない。おそらく、右手に持つワイングラスを満たした水差しを持っているのであろう。あるいは、彼女は歌いながら、水差しを胸にあてているのかもしれない。
二人の男と飲む女 作品
異なる解釈の余地を残す場面は、17世紀オランダ絵画に典型的なものである。音楽の集いの場面は純粋な娯楽を表す場合もあり、卑猥な会合を表す場合もあって、とりわけ意味的に曖昧なものであった。本作に関しては、描かれている場面が娯楽を表しているかどうか以前に、音楽の集いであるかどうかさえ定かではない。実際、デ・ホーホは、曖昧さを増すために画面に変更を加えたのかもしれない。赤外線画像では、場面に石炭を運んでいる召使の女の左側にもう1人の白髭の男 (おそらく彼女と戯れていた) が描かれていたことが判明している。彼は召使が描き加えられる前に消去されたのかもしれないが、そうでなければ、画家は男女の戯れの印象を減じるために彼を消去したのであろう。