hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
外国人1割時代 概要
2012年12月時点での日本に住む外国人は203万3656人であったのが、10年後の2022年12月時点では307万5213人に増加しており、内訳は中国、ベトナム、韓国、フィリピン、ブラジルの順に多数を占める。この10年間で日本の外国人が大幅に増えているのには、ベトナムからの技能実習生が大幅に増えているという特徴がある。外国人の割合では2012年には1.6%であったのが2022年12月には2.5%にまで増加している。経済協力開発機構によると移民を受け入れている欧米諸国の外国人の割合は軒並み10%を越えているため、日本はまだまだ低い状況であるということになる。技能実習生の制度は1993年に創設され、本来は発展途上国から来た外国人が日本で技能や技術や知識を習得して、それを母国に持ち帰って母国の経済発展に貢献するという国際貢献のための制度であったのだが、2015年ごろから大幅に増えている技能実習生は単なる低賃金の労働力を供給する手段として用いられている。外国人労働者というのは人手不足に直面する業界では必要不可欠な存在であり、技能実習制度や特定技能制度を通じての外国人に依存しなければならなくなっているという施設も少なくないというのが現状である。特に介護業界での人員の確保が深刻な問題となっており、外国人がいなければサービスを維持させることは難しくなっている。
外国人1割時代 概要
コロナ禍以降は外国人の入国は減少する状態となっていたものの、2023年9月にそれまでの1年間で24万人の入国超過とコロナ禍以前の最高記録であった19万人を上回った。それまでは中国とベトナムからの入国が多かったのであるが、それに加えてこの年にはインドネシアとミャンマーからの入国が急増すると共に、日本国内の外国人の割合を増加させることを牽引している。
朝日新聞が2024年10月に日本全国の自治体を対象にアンケートを取ったところ、外国人1割時代が到来するのは国の予想を大幅に前倒しして2050年ごろとなるかもしれないという結果が出た。コロナ禍より海外の自治体や大学から日本に人材を供給する協定が締結されていたということが地方で急増していたためでもあった。了解覚書は地方自治体が外国の人材を確保する有力な策なのであるが、朝日新聞がアンケートを取ったうちの41.8%の自治体が2014年以降に了解覚書を締結していたのであるが、このうちの半数近くは2023年以降に締結されていた。そしてこの2023年以降に締結されていたものの大部分は三大都市圏以外の自治体であった。2023年に国立社会保障・人口問題研究所が公表した推計では、2070年の日本の人口は8700万人で、このうちの1割は外国人になるとされていたものの、実際は外国人の割合は倍以上のペースで増加している。
2013年リットルインディア暴動事件
2013年リトルインディア暴動事件が致命的な交通事故はレース・コース・ロードとハンプシェ・ロードの交差点でなりましての後に怒るインド国からの移民労働者たちが関与するのバスと到着の緊急車両を攻撃されました。そこで約300労働者がいっては関与してが約２時間内に暴動しました。これは独立後のシンガポールの第２暴動事件と44年ぶりの最初暴動事件、前回は1969年の人種暴動です。暴動事件の結果はより厳しく法律とアルコール摂取と取引の罰金を上げました。そして、2015年酒類管理法を制定しました。
2013年リットルインディア暴動事件 暴動
暴動事件は2時間ぐらいに続けて、そして、状況は24時前に制御下をなりました。  特殊作戦司令部 (SOC) と グルカ兵の300警察官ぐらいを暴動するが対処のためを急送させた。  目撃者はその場所の暴動者はよっぱらったとビール瓶を投げるを報告しました。
23:45時前にすべての暴動者は周り場所へ逃げた。
2013年リットルインディア暴動事件 余波
暴動中に２５台緊急車両は損傷されたに、５台は放火されました。 ネットでポスト済むの動画撮影は暴動者が数パトカー側をひっくり返した。  として、３９警察官、４人民間防衛と補助官を怪我しました。
初期推定暴動者の数は約４００人でして 、余波で推定数は３００人に下がった。 シンガポール警察部隊 は３００機動隊官を派遣した。 ２７人は暴動によって逮捕されました。 警察部隊は１２月９日のプレス知らせに逮捕者は２４インドからの移民労働者、２人はバングラデシュからの移民労働者と１人はシンガポール永住者だって伝えた。 その後の調査はあの２人バングラデシュ人と１人シンガポール永住者が不関与です。
2013年リットルインディア暴動事件 調査
シンガポール警察部隊のお知らせに基づく、暴動は歩行者とバスの交通事故の後ですぐに始まりました。２１:２３シンガポール標準時にレース・コース・ロードとハンプシェ・ロードの交差点で歩行者「サックティベル・クマラベル(３３歳)、インド出身」はバスをぶつりました。 サックティベルは怪我過ぎって現場で死亡しました。
５５歳シンガポール運転手は交通事故をやった無罪です。 後の暴動容疑者の２７人は危険な武器を使って暴動を起訴された。
予備調査はサックティベルが酔っ払ってにアヴェリロジュ寮までのバスを乗りしようとした。 バス運転手は女性タイムキーパーはサックティベルがバスからの降る支援を聞いた。 交通事故はサックティベルが降りったすぐになりました。
スーパーJチャンネルあおもり
スーパーJチャンネルあおもり（スーパージェイチャンネルあおもり）は、青森朝日放送（ABA）で2025年（令和7年）3月31日から放送されている青森県内向けの平日夕方のローカルニュース番組である。
スーパーJチャンネルあおもり 概要
青森朝日放送ではこれまで1997年（平成9年）から2023年(令和5年)にかけて平日夕方に長年『スーパーJチャンネルABA』を放送してきたが、2023年4月から新たな報道情報番組『ハレのちあした』をスタートさせた。
祝日や夏の高校野球選手権大会の青森県大会の中継を除き16時台は県内情報を伝え、テレビ朝日制作の『スーパーJチャンネル』を挟む形で県内ニュース『スーパーJチャンネルABA』を放送していた18時台は「ハレのちあした 県内ニュース」として県内ニュースを放送していたが、2025年4月から18時台の県内ニュースを「ハレのちあした」から分離、リニューアルする形で本番組がスタートした。
これにより青森朝日放送では、2年ぶりに『スーパーJチャンネル』のローカルタイトルが復活した。キャッチコピーは『あおもりを熱く伝える』。
スーパーJチャンネルあおもり 出演者
2025年4月現在　いずれも青森朝日放送アナウンサー
キャスター
お天気（ハレのちあした16時台MCと兼務）
各曜日のキャスター2人のうち、どちらか1人は『ハレのちあした』内の県内ニュースも担当する。
スーパーJチャンネルあおもり 主なコーナー
一部の特集やコーナーはYoutube「ABA青森朝日放送ニュース」チャンネルで配信されている。
ダリア・シャホロドスカ
ダリア・ヴャチェスラヴィヴナ・シャホロドスカ（ウクライナ語: Дар'я В'ячеславівна Шаргородська,ラテン文字転写: Daria Vjatjeslavivna Sharhorodska, 2002年4月11日 - ）は、ウクライナの女子バレーボール選手。ウクライナ代表。
ダリア・シャホロドスカ 来歴
ビーラ・ツェールクヴァ出身。2018年、Khimik Yuzhnyに入団。3年間在籍しウクライナ国内リーグでは優勝1回、準優勝1回、ウクライナカップで優勝1回の成績を残した。2021年、Alantaへ移籍し1年間プレーした。2022年、SC Prometeyへ移籍し、2023/24シーズンのウクライナ国内リーグでは優勝に貢献した。2024年、カザフスタンのVC Zhetysuへ移籍し、2024/25シーズンのカザフスタンリーグで優勝を果たし、自身はベストセッター賞を受賞した。同年4月のアジアチャンピオンズリーグでは金メダルを獲得し、大会のベストセッター賞を受賞した。
アンダーカテゴリーの代表として2018年、U-17欧州選手権に出場した。2019年、シニア代表に初選出される。2021年、欧州選手権に出場した。2023年、ヨーロッパゴールデンリーグで金メダルを獲得した。同年9月のパリ五輪予選に出場した。2025年、ヨーロッパゴールデンリーグで金メダルを獲得し、ベストセッター賞を受賞した。
方北辰
方 北辰（ほう ほくしん、ファン ベイチェン、拼音: Fāng Běichén、英：Fang Beichen、1942年 - ）は、中国の歴史学者、大学教授。
四川大学歴史文化学院教授、成都武侯祠博物館顧問、三国文化研究中心主任、学術委員会委員を歴任し、中国三国時代の歴史・文化に関する学術研究の第一線に立ち続け、1991年に中国国家級の栄誉称号「卓越した貢献をした中国の博士」に選出される。
ヨーロッパ・韓国・アメリカの大学に招かれ、たびたび講義を行うなど、国際的著名な歴史学者として活躍している。
方北辰 著書
『大陸地区博士論文叢刊』
『中国名人伝記』
『中国六大史学名著叢書』
『歴史不可戯説』
『歴史名人叢書·伝記系列』
『中国古代名著全本訳注叢書』
『古典名著叢書』
『方北辰　説三国』
中国語版
日本語版：『史料で読み解く三国志の嘘と真実』
方北辰 TV出演
『百家講壇』中国中央電視台、2013年～2015年。YouTube版再生リスト。
松井昇
松井 昇（まつい のぼる）
日本語の男性の姓名。
Now Singing♪♪♪♪
『Now Singing♪♪♪♪』（ナウ・シンギング）は日本の声優ユニット・fourfoliumによる1枚目のミニ・アルバムである。2017年2月08日にKADOKAWAから発売された。
Now Singing♪♪♪♪ 概要
TVアニメ「NEW GAME!」の主要キャラクターたちを演じた声優の高田憂希、山口愛、戸田めぐみ、竹尾歩美の4人からなる声優ユニット「fourfolium」による最初のミニ・アルバムである。本アルバムの1番、2番にはNEW GAME!初のPS4/PSVitaのソフトである「NEW GAME! -THE CHALLENGE STAGE!-」のOPである「ググッとワーク☆彡」、EDである「向上上々ハイジャンプ↑↑↑↑」が収録されており、3番以降には各キャラクターのソロのキャラクターソングが収録されている。
収録曲のうち「CONTINUE…?」と「ワタシConnect*」の2曲は後にコンピレーション・アルバム『ひげこれ! HIGEDRIVER BEST in KADOKAWA ANISON』にも収録された。
チャート
オリコン週間チャートの最高順位は37位、登場回数が2回となっている。
森山達哉
森山 達哉（もりやま たつや）は、日本の農学者。
専門は食品分子機能学、食物アレルギー学、応用生物化学、細胞生物学。
森山達哉 来歴
近畿大学農学部教授、農学部長、アグリ技術革新研究所研究員。博士（農学）。
森山達哉 研究分野
大豆や果物、野菜などに含まれる食品成分の健康機能性とアレルゲン性に関する研究を行っている。特に、食物アレルギーやアレルゲンの同定を主要なテーマとし、経皮感作や消化抵抗性などの観点から食品タンパク質のアレルゲン性を評価している。
ロープウェイ (グルノーブル)
グルノーブル・バスティーユ・ロープウェイ（フランス語: Téléphérique de Grenoble Bastille）は、フランスのグルノーブルで運行されているロープウェイ。1934年に開業。
ロープウェイ (グルノーブル) 概要
球形のキャビンの形状からグルノーブルの泡とも呼ばれ、グルノーブルの中心部（ジャルダン・ド・ヴィル地区）とバスティーユの丘をとの間、イゼール川を挟んだ標高差266メートルを結ぶ観光用の交通手段である。
松井昇 (画家)
松井 昇（まつい のぼる、1853年（嘉永6年）12月17日 - 1932年、ないし、1933年）は、明治から昭和初年にかけて活動した日本の洋画家。
松井昇 (画家) 経歴
但馬国出石藩の城下町であった出石（後の豊岡市の一部）に、出石藩士・松井雄記の長男として生まれたが、両親を早くに亡くし、弟とともに、叔父にあたる中村家に引き取られて育つ。
明治維新の後、上京して川上冬崖の私塾であった聴香読画館に学び、日本における草創期の洋画の第一人者であった冬崖の下で、実用的な写実を重んじる形で、西洋絵画の技法を学んだ。
1876年11月、工部美術学校（後の工部大学校）に、創設とともに入学し、アントニオ・フォンタネージの指導を受けた。1881年の時点では、東京大学の小石川植物園に画工兼事務掛として勤務していた。
1887年の東京府の工芸共進会以降、様々な展示会に出品し、浅井忠や小山正太郎らと並んで、洋風美術家の代表格と目されるようになっていった。1889年には、浅井、小山らとともに明治美術会を結成し、印象派の影響が日本にも及ぶようになる以前の洋画界において、中核的な地位を占めた。
松井は、美術教育の教鞭を執る機会もあり、明治女学校、滋賀県師範学校、東京高等商業学校などで教壇に立った。1901年から1912年にかけて西洋画を教えた日本女子大学校における教え子のひとりが、長沼智恵子（後に高村光太郎の妻となり高村智恵子として知られる）で、智恵子は後には松井の助手も務め、松井の影響もあって明治美術会の後身にあたる太平洋画会に入会したものと考えられている。
松井昇 (画家) 経歴
松井は、同郷の妻とともに、プロテスタントの信仰をもったキリスト教徒であり、本郷教会の牧師であった海老名弾正とも交流があった。また夫婦とも佐佐木信綱門下の歌人であった。
彫刻家の荻原碌山とは家族ぐるみの親交があった。碌山は、1899年に明治女学校の校長であった巌本善治から、絵画教師の適任者について問われた際に、松井を推したことを日記に書き残しており、「松井氏は極めて温好の人、決して名を求めず、依て第一流には出でざるも手腕決して二流に下らず。人物に於て温厚、一点の申分なし。依て同氏に付きて学ぶをよしとす。」と松井の人物評を記した。
松井は、最期は静岡県で没した。没年については1932年とする資料のほか、1933年とするものもある。
松井昇 (画家) 代表作
松井が小石川植物園の画工として制作した植物画は、東京大学大学院理学系研究科附属植物園のオリジナルグッズにも流用されている。
Autcraft
Autcraft（オートクラフト）は、自閉症と診断された子どもたちのために安全な避難所となることを目的としたMinecraftサーバーである。
Autcraft 歴史
2013年に設立されたAutcraftは、自閉症を念頭に置いて作られた最初のMinecraftサーバーである。創設者はカナダ・オンタリオ州ティミンズ在住のウェブ開発者で、自閉症と診断された息子を持つスチュアート・ダンカンであり、ゲーム内では「AutismFather」として知られている。Autcraftは、このような子どもたちがいじめや差別の脅威にさらされることなく他の人とお気に入りのゲームを遊べるように作られた。Autcraftは、精神的な疾患の有無にかかわらず、大人とその友人や家族によって管理されている。2025年1月時点で、このサーバーには18,000人以上のホワイトリスト登録プレイヤーがいる。
サーバーについて尋ねられた際、ダンカンは「ただ、君たちは一人じゃないということを伝えるだけだ…。私たちはお互いのためにここにいて、必要な限り支え合う…。私たちは皆、時にどれほどひどく感じることがあるかを知っているし、誰にも同じ思いをしてほしくないのだ」と述べている。
Autcraftは、2015年にRinglandらによる会議録論文の題材となり、その中でサーバーのデジタル・エスノグラフィーから得られた実証データを用いて、自閉症の子どもの親たちが暗黙的および明示的な手段を通じていかに「安全な」仮想世界を継続的に作り出しているかが探究された。
Autcraft ゲーム内容
Autcraftのゲームプレイは基本的にバニラ版（非改造版）のMinecraftにほぼ類似しているが、モデレーションの支援、荒らし（他のプレイヤーの建築物やアイテムを無断で破壊すること）の防止、あるいはカスタムクラフトレシピの追加を目的とした、さまざまなサーバープラグインが導入されている。また、「プレイヤー・オブ・ザ・ウィーク（POTW）」イベントがあり、優れた活躍を見せたプレイヤーがその期間のPOTWとして選出される。さらに「ウィザー・ファイト」では、プレイヤーが通常の敵や著しく強力なカスタムボスの波を協力して撃退しなければならない。これらのボスはしばしば、恒久的な有益効果を付与する防具や、単なるトロフィーといった、希少で人気のあるアイテムをドロップすることがある。
協働型ネットワーク
協働型ネットワーク（きょうどうがたねっとわーく、英：collaborative network）とは、コンピューターネットワークによって支えられた、自立的で地理的に分散した、環境・文化・社会関係資本・目標の点で異質な組織または人々が、共通または共有可能な目標を達成するために協働するネットワーク。協働型ネットワークの研究では、その構造・振る舞い・経時的進化に焦点を当てる。
主な協働型ネットワークには、下記のようなものがある。
協働型ネットワーク 参照モデル
協働型ネットワークのための参照モデルとしては、ARCON（A Reference model for COllaborative Networks）が挙げられる。
協働型ネットワークに焦点を当てた年次会議としては、情報処理国際連合（IFIP）および協働型ネットワーク協会（SOCOLNET）が後援する「仮想企業に関する実務者会議」（PRO-VE）がある。
協働型ネットワーク 今後の課題
協働型ネットワークが進化し、企業およびその拡張ネットワークでますます普及するにつれて、ガバナンスとセキュリティの課題に取り組む必要がある。特に重要なのは、協働型ネットワークの挙動および参照モデルに関する研究である。
信号関手
数学の抽象代数の分野において、信号関手とは、潜在的有限部分群からアーベル群の非自明元の中心化群への写像である。信号関手定理は、そのような写像の源が実際に部分群となる条件を与える。
信号関手は、ダニエル・ゴーレンシュタインによって最初に定義された。 ジョージ・グラウバーマンは可解群に対して可解信号関手定理を証明し また、パトリック・マクブライドは一般の群に対して証明した。信号関手に関する結果は、有限単純群の分類において重要な役割を果たす。
信号関手 定義
を有限群  の非巡回基本アーベル p-部分群とする（ は素数）。 上の -信号関手（ と  が明らかな場合は単に信号関手）とは、 の非単位元集合から  の -不変 -部分群（位数がと互いに素な部分群）の集合への写像  であり、以下の性質を満たすもの：
上記の2番目の条件は均衡条件と呼ばれる。部分群  がすべて可解である場合、信号関手  自体も可解であると言われる。
信号関手 可解信号関手定理
が与えられたとき、いくつかの比較的緩やかな追加の仮定を加えることで、部分群  によって生成される  の部分群  が実は -部分群であることを証明できる。
グラウバーマンによって証明された可解信号関手定理は、 が可解であり、 が少なくとも3つの生成元を持つ場合、これが成り立つことを述べている。 この定理は、これらの仮定の下では、  自体が可解であることも示している。
グラウバーマンの証明が発表される前に、この定理のより弱いバージョンがいくつか証明された。ゴーレンシュタインは、 の階数が少なくとも5であるというより強い仮定の下で証明した。 デイヴィッド・ゴールドシュミットは、  の階数が少なくとも4であるか、階数が少なくとも3の2-群であるという仮定の下で証明した。 ヘルムート・ベンダーはZJ定理を用いて2-群に対して簡単な証明を与え、 ポール・フラベルは同様の考え方ですべての素数について証明を与えた。 グラウバーマンは、可解な信号関手について決定的な結果を与えた。 マクブライドは有限単純群の分類を用いて、 が可解であるという仮定なしに、 が -群であることを示した。
信号関手 可解信号関手定理
完備性という用語は、信号関手に関する議論でよく用いられる。 を上記の信号関手とし、次の条件を満たすすべての
-不変 -部分群  の集合 И を考える：
例えば、θ の均衡条件の結果として、部分群  は И に属する。
信号関手  は、 И が包含関係によって順序付けられたときに唯一の極大元を持つ場合、完備であると言われる。この場合、唯一の極大元は上記の  と一致することが示され、 は  の完備化と呼ばれる。  が完備であり、かつ  が可解であることが判明した場合、  は可解完備であると言われる。
したがって、可解信号関手定理は、 が少なくとも3つの生成元を持つ場合、  上のすべての可解な -信号関手は可解完備である、と言い換えることができる。
信号関手 信号関手の例
信号関手を得る最も簡単な方法は、 の -不変 -部分群  から始めて、すべての非単位元  に対し  と定義することである。しかし、一般には  から始めて、それを用いて -不変 -群を構築する方が実用的である。
実際に用いられる最も単純な信号関手は  である。
上で定義したように、 がアーベル群であるため、 は確かに  の-不変 -部分群である。しかし、この  が均衡条件を満たすことを示すには、いくつかの追加の仮定が必要になる。十分条件の1つは、任意の非単位元  に対して、群  が可解（または  p-可解、あるいは p-束縛）になることである。
この仮定の下での  の均衡条件の確認は、トンプソンの -補題を用いて行うことができる。
信号関手 素な作用
信号関手をより深く理解するには、有限群に関する以下の一般的な事実を知ることが不可欠である：
この事実は、シューア・ツァッセンハウスの定理を用いて証明することができる： の位数を割り切る任意の素数 に対して、群  は  不変な Sylow -部分群を持つ。これにより、 が -群である場合に帰着する。次に、 の位数についての帰納法により、 が基本アーベル群で、 が既約に作用する場合に帰着する。従って、群  は巡回群でなければならず、結果が従う。
この事実は、可解信号関手定理の証明と応用の両方で用いられる。
例えば、有用な結果の一つとして、 が完備であれば、その完備化は上で定義した群  となることが示される。
上記の事実から導かれるもう一つの結果は、信号関手の完備化がしばしば  において正規となることである：
信号関手 素な作用
を  上の完備な  信号関手とする。
を  の非巡回部分群とする。このとき素な作用という事実と均衡条件から、 が成り立つ。
これを確かめるため、 が "B"-不変なので、   となることに着目しよう。
上記の等式は素な作用という事実を利用し、包含関係は均衡条件を利用している。さて、 が「同変性」条件を満たすことはよくある。つまり、任意の  と非単位元  に対して、 が成り立つ。ここで、上付き文字は  による共役を表す。例えば、上記に示した信号関手の例である写像  はこの条件を満たす。
もし  が同変性を満たすならば、 の正規化群は  を正規化する。したがって、
 が  の非巡回部分群たちの正規化群によって生成されるならば、 (従って ) の完備化は  において正規となる。
アキボウ
株式会社アキボウ（英: AKIBO CORPORATION）は、大阪府堺市北区に本社を置く、スポーツサイクルおよびその関連商品の輸入・販売、ならびに自転車・オートバイ・自動車部品の輸出を主な事業とする専門商社である。
アキボウ 概要
1944年、自転車部品の輸出を主たる事業として設立。その後、時代の変化に対応し、海外の著名なスポーツサイクルブランドの日本総代理店として、完成車や関連アクセサリーの国内卸売販売を事業の中核とするようになった。取り扱いブランドには、DAHON、Tern、COLNAGO、FUJIなどがある。
企業理念として「世界を舞台に、国内外の人々の健康維持・促進に役立つモノ・コトのサービス提供と同時に人類共通の財産である地球環境の維持・改善に少しでも役に立つ事業を展開すること」を掲げている。
2025年日本国際博覧会（大阪・関西万博）では、「スマートモビリティ万博」のサプライヤーとして自社ブランド「VICCI」のEバイクを提供するほか、「大阪ヘルスケアパビリオン」への出展も予定している。
アキボウ 事業内容
海外の有名スポーツサイクルブランドおよび関連アクセサリーの日本総代理店として、国内のディーラー向けに卸売販売を行っている。製品の輸入販売だけでなく、日本市場のニーズに合わせた製品の企画・開発も手掛けている。
創業以来の事業であり、自転車、オートバイ、自動車の部品や付属品、工具などを世界各国へ輸出している。
2023年7月に公開された、自転車に関する情報発信とオンラインストアを統合したウェブプラットフォーム。「人生に新しい景色を」をテーマに、各ブランドの情報、コラム記事、製品購入などを一括して提供する。オンラインで購入し、指定の販売店で受け取ることができる「あんしんピックアップ」サービスも展開している。
アキボウ 事業所
本社 - 大阪府堺市北区中百舌鳥町5丁758番地
中部徳洲会病院
中部徳洲会病院（ちゅうぶとくしゅうかいびょういん）は沖縄県中頭郡北中城村にある医療機関である。
YouTubeテーマソング2
「YouTubeテーマソング2」（ユーチューブテーマソング ツー）は、HIKAKIN & SEIKINの楽曲。2025年8月14日に8作目の配信限定シングルとしてUUUM Recordsよりリリースされた。
YouTubeテーマソング2 概要
2025年8月14日にミュージックビデオがYouTubeチャンネル「HikakinTV」にて公開された。本楽曲は、2015年8月14日にリリースされたHIKAKIN & SEIKINの1stシングル「YouTubeテーマソング」の続編となっている。
HIKAKINは、同年7月中旬より、YouTubeチャンネル、およびXのヘッダー画像などを用いて、カウントダウンをミュージックビデオ公開前の8月14日まで行っており、8月13日に公開した動画では「明日（14日）は僕のYouTube人生の歴史に刻まれる日になると思います。間違いなく特別な日になるでしょう」と予告していた。
なお、本楽曲も「YouTubeテーマソング」同様、自主制作であり、YouTubeの公式テーマソングではない。
YouTubeテーマソング2 ミュージックビデオ
HIKAKIN & SEIKINの過去にリリースした楽曲のミュージックビデオをオマージュしたシーンや、HIKAKINなどの過去の動画、過去の姿などが内容となっており、最初の「YouTubeテーマソング」と比べると、やや歌詞やリズムが違う。再生回数は、4時間で200万を突破した。10月には、はいよろこんでなどの楽曲のアニメーションを手掛けたかねひさ和哉がアニメーションを手掛け、YouTubeテーマソング2 ANIMATED EDITIONがSeikinTVで公開され、11月には、お笑い芸人でイラストレーターの鉄拳がアニメーションを手掛けたMVがHikakinTVで公開された。
シューア・ツァッセンハウスの定理
シューア・ツァッセンハウスの定理は群論における定理であり、  が有限群であり、その正規部分群  の位数が商群  と互いに素であるとき、 は  と  の半直積（または分裂拡大）である、というものである。この定理の別の表現は、有限群  の任意の正規ホール部分群  は  において補群を持つ、というものである。さらに、 または  のいずれかが可解群の場合、シューア・ツァッセンハウスの定理によれば、  内の  のすべての補群は互いに共役である。 または  のいずれかが可解であるという仮定は、常に満たされるため省略できるが、その事実のどの証明にも、はるかに難しいフェイト・トンプソンの定理を用いることが必要になる。
シューア・ツァッセンハウスの定理は、組成列において、特定の組成因子の集合を持つ群をどのように分類できるか？という疑問に少なくとも部分的に答えている。組成因子が互いに素な位数を持たない残りの場合は、群の拡大の理論で扱われる。
シューア・ツァッセンハウスの定理 歴史
シューア・ツァッセンハウスの定理は、 ツァッセンハウス (1937, 1958, Chapter IV, section 7) によって導入された。彼がイサイ・シューアに帰した定理25は補群の存在を証明し、定理27は、 または  が可解であるという仮定の下で、すべての補群が共役であることを証明している。シューアの発表された著作の中で補群の存在を明示的に述べた記述を見つけることは容易ではないが、シューア乗数に関するシューア (1904, 1907) の結果は、正規部分群が中心に含まれる特殊な状況において補群の存在を示唆している。ツァッセンハウスは、奇数位数の群がすべて可解であれば、非可解群に対するシューア・ツァッセンハウスの定理が成り立つことを指摘し、これは後にフェイトとトンプソンによって証明された。エルンスト・ヴィットは、これがシュライアー予想からも導かれることを示した（このことに関するヴィットの1937年の未発表のメモについてはヴィット (1998, p.277) を参照）。だが、シュライアー予想は有限単純群の分類を用いてのみ証明されており、これはフェイト・トンプソンの定理よりもはるかに難しい。
シューア・ツァッセンハウスの定理 例
互いに素な条件を課さない場合、定理は成り立たない：例えば、巡回群  とその正規部分群  を考えてみよう。 が  と  の半直積である場合、 は位数2の元を2つ含まなければならないが、実際には1つしか含まない。
 の分解（つまり半直積として表現すること）の不可能性を説明する別の方法は、 の自己同型が自明群であるため、
 とそれ自身との唯一の可能な半直積は直積であることを見ればよい（これはクラインの四元群を生じ、  と同型ではない）。
シューア・ツァッセンハウスの定理が適用される例として、3つの記号上の対称群  が挙げられる。この群には位数3の正規部分群（ と同型）があり、この部分群は  において指数2を持つ（ラグランジュの定理と一致する）。したがって、 となる。2と3は互いに素であるため、シューア・ツァッセンハウスの定理が適用され、 となる。 の自己同型群は  であり、 を生成する半直積に用いられる  の自己同型は、 の2つの非単位元を置換する非自明な自己同型であることに注意しよう。さらに、 の位数2の3つの部分群（いずれも  における  の補群として機能できる）は互いに共役である。
シューア・ツァッセンハウスの定理 例
（付加的な）共役性の結論の非自明性は、クラインの四元群 を非例として用いて説明できる。 の3つの真部分群（どれも位数2）はすべて  において正規である。これらの部分群の1つを固定すると、残りの2つの（真）部分群はいずれも  において補群となるが、 のこれら3つの部分群はいずれも他の部分群と共役ではない。なぜなら、 はアーベル群だからである。
四元数群は位数4と位数2の正規部分群を持つが、半直積ではない。20世紀初頭のシューアの論文では、  や四元数群などの例を扱うために中心拡大の概念が導入された。
シューア・ツァッセンハウスの定理 証明
有限群  の正規ホール部分群  の補群の存在は、以下の手順で証明できる：
1.  の位数に関する帰納法により、任意のより小さな群に対してそれが真であると仮定できる。
2.  がアーベル群である場合、補群の存在はコホモロジー群  が消滅すること（ と は互いに素な位数を持つため）から、またすべての補群が共役であることは  が消滅することから導かれる。
3.  が可解群である場合、 には非自明なアーベル部分群  が存在する。 は  の特性部分群であり、したがって  の正規部分群である。シューア・ツァッセンハウスの定理を  に適用すると、証明は前の手順で示した  がアーベル群である場合に帰着する。
4.  の任意の p-シロー部分群  の正規化群 が  に等しい場合、 は冪零であり、特に可解であるため、定理は前段から導かれる。
5.  のある p-シロー部分群 P の正規化群  が  より小さい場合、帰納法によってシューア・ツァッセンハウスの定理が  に対して成立し、 であるため、 における  の補群は  における  の補群になる。
全力投球!コットン100%
全力投球!コットン100%（ぜんりょくとうきゅう!コットンひゃくパーセント）は、広島ホームテレビで特番で放送された、コットンの広島初冠番組。
全力投球!コットン100% 概要
西村真二の出身地、広島でのコットンの認知度を100％にすべく、どんなことにも100％全力で取り組む“ブチ全力ロケ修行バラエティ”番組。コットンの初冠番組。
視聴者の反響次第でレギュラー番組化されるという話だったが、本番組はされていない。後に同局で『スナックコットン』（2025年）がパイロット版を経てレギュラー放送されている。
TOKYO MXとBSよしもとでも放送された。
江戸川区立平井西小学校
江戸川区立平井西小学校（えどがわくりつ ひらいにししょうがっこう）は、東京都江戸川区平井にある公立小学校。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau
『近畿霊務局』（きんきれいむきょく）は、霧笛ノトによって開発・販売されたインディーゲーム。最初はSteamのみの販売であったが、後にAMATA GamesによってPlayStation 5およびXbox Series X/Sに移植・販売された。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau 概要
日本風ホラーゲームに見られる、物理的な攻撃が効かない幽霊に対して「思いっきりやり返せるホラーゲーム」をテーマに販売された。幽霊が一般的に存在する平行世界の日本が舞台であり、違法幽霊の除霊を行政が担う。
徒手格闘、ガンシューティング、ステルスアクションが主なプレイ内容となる。ゲームでは物理的攻撃が効かないことが多い幽霊に対し、本作では素手や釘バット、墓石、自動小銃、装甲車などによる暴力で殲滅する。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau ストーリー
霊務省の近畿霊務局に所属する公認除霊師の白石瑞希は、ふるさと納税ついでにSNSでフォローしていた賽河村の存在がインターネット上から消滅したことに気付く。不審に思った白石は無断欠勤および対霊小銃の勝手な持ち出しをして、奈良県の賽河村へ調査に赴く。
村では住民とは出会わず、自然発生したにしては数が多い違法幽霊と遭遇した白石は、行政代執行と称して対霊小銃で成仏させていく。何者かが結界で村を覆っていると判断した白石は、除霊課長の小日向や後輩の丸岡から助言を受けつつ賽河村の謎を追う。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau 勢力
霊務省
除霊と宗教を分離させ、除霊を担っていた寺社勢力の力を削ぐために創設された行政機関。霞ヶ関に本省を構える。違法幽霊の増加速度に対処できない状態にあり、抜本的かつ強硬な改革に臨む。
神務庁
神社を管轄する行政機関。長官を擁する。賽河神社は神務庁に属している。人手不足により霊務省とも協力関係を築いている。
賽河神社
賽河村の神社。瀬音姫命という神を祀っている。瀬音姫命は古文書を残しており、賽川絢音とその父親とで研究が進められ独自の結界を編み出した。
巫女たちは主に旧式の小銃で武装している。
違法幽霊
成仏を拒み現世に留まり続ける幽霊。孤独死や経済不況で社会に恨みを抱いた死者から生まれる者が増えており、彼らが引き起こす霊障が社会問題となっている。人が少ない田舎を好む傾向にあり、地方の過疎化の一因になっている。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau 登場人物
白石 瑞希
本作の主人公。近畿霊務局霊事部除霊一課の一級除霊師。27歳。学校の制服を着ている。
独断専行が多く、小日向の根回しがあってなんとか活動できている。業界では有名人で「どっちが悪霊か分からん」、「たまに除霊するヒグマ」と省庁を越えて噂されている。
小日向 智樹
近畿霊務局霊事部除霊一課の課長。ドローンを介して白石に指示を出す。パワーポイントのスライドを作るのが下手。
丸岡 詩織
近畿霊務局霊事部鑑識課の一級鑑識官。白石の後輩。白石から始末書の代筆をさせられたり、飲み代の返済を躱されたりしている。結界具の解析を担う。
賽川 絢音
賽河神社の主任巫女。巫女たちの中で唯一の賽河村民。
フルアームド木村
全身を防護服で覆った男。白石とは互いに気さくな会話を交わしつつ殺し合う。
粟麦 ひえ
実在するバーチャルストリーマーで、ゲスト出演している。本作の英語ローカライズを担当している。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau 開発
本作はホラーゲームが苦手な霧笛ノトによって開発された。もともと架空の大手Vtuber事務所のスキャンダルを銃火器で解決するTPSとして「AKASPA」というタイトルのゲームを開発していたが、開発に時間がかかりそうなことや、制作者が光熱費や奨学金で困窮していたため、短めのホラーゲームへと転換した。
2022年10月15日、ティザー映像が公開され、映像によれば発売時期は「良い感じになり次第」とされた。また、pixivFANBOXで制作支援を呼びかけた。
2024年9月10日、霧笛ノトは同年10月14日に発売することを発表し、Steamストアページを公開した。10月14日にSteamで発売開始。対応言語は当初、日本語、英語、簡体中文であったが、その後のアップデートで10月28日に韓国語、12月19日に繁体中文に対応した。その他のアップデートで、軽量化やバグ修正、難易度や操作性の調整、コントローラーへの対応、エンドロールへのスチルの追加、4段階の難易度選択の追加などが施された。
2025年7月16日、AMATA Gamesによって本作のPS5版およびXSX/S版が発売された。グラフィック設定はそれぞれのハードウェアに適した「おすすめ設定」があり、自由に設定もできる。
近畿霊務局 - Kinki Spiritual Affairs Bureau 評価
2024年10月4日の発売直後からプレイヤーから厳しい評価を受け、Steamのユーザーレビューで「不評」のステータスを得た。理由としては、画面が見づらい、モーションがもっさりしている、操作性が悪い、ゲームが進まない、処理が重い、最適化不足などであった。ストーリーや世界観を評価する声もあったが、ゲームプレイを阻害する要因が多く、低評価に繋がったとされる。また、「幽霊に思いっきりやり返せる」という謳い文句とのズレも不評に繋がった例もある。翌10月5日に3回、6日から11日まで5回のアップデートが入り、上述の不評の要因に対する改善がなされた。10月5日以降から不評率は低下し、少なくとも10月15日時点では「不評」から「非常に好評」に好転した。
幽霊に物理的に反撃できるという設定、ケレン味のあるブラックジョーク、キャラクター同士の掛け合い、徐々に重くなっていくシリアス展開などが相まり、重厚なストーリーが高く評価された。
舟本浩
舟本 浩（ふなもと ひろし、1970年〈昭和45年〉1月5日 - ）は、日本の運輸・国土交通官僚。
舟本浩 経歴
広島県竹原市出身。愛光中学校・高等学校での6年間の寮生活を送った。1993年（平成5年）に東京大学法学部を卒業し、運輸省に入省。関東運輸局企画部地域交通課企画課長、高木陽介国土交通大臣政務官付秘書官、在イタリア日本国大使館一等書記官、官民交流で全日本空輸アジア戦略部主席部員、総合政策局政策課政策企画官、観光庁参事官兼内閣官房まち・ひと・しごと創生本部事務局参事官、観光庁観光戦略課長（初代）、大臣官房広報課長を歴任。官民交流では、航空会社のLCC立ち上げに携わった。
2018年（平成30年）7月13日から西脇知事のもとで城福健陽の後任として京都府副知事を務め、北陸新幹線の延伸や「もうひとつの京都」周遊観光、JR奈良線の高速・複線化、観光・交通関連の各事業を担当した。府県幹部とともに岸田文雄政調会長ら自民党幹部、石井啓一国交相を訪問し、「速やかに北陸と関西が結ばれることは意義がある」と北陸新幹線の早期開業を要請した上で、慎重な調査や丁寧な地元説明などを求めた。2021年（令和3年）6月28日、退任。
観光庁総務課長、大臣官房総務課長、大臣官房審議官（公共交通政策、自動車局担当）を歴任。
2024年（令和6年）7月1日、国土交通省海事局次長。
2025年（令和7年）7月1日、内閣府総合海洋政策推進事務局長に就任。
フェイト・トンプソンの定理
数学において、フェイト・トンプソンの定理（奇数位数定理とも呼ばれる）は、奇数位数の有限群はすべて可解群であることを述べている。この定理は1960年代初頭にウォルター・フェイトとジョン・グリッグス・トンプソンによって証明された。
フェイト・トンプソンの定理 歴史
20世紀初頭、ウィリアム・バーンサイドは、すべての非可換有限単純群は偶数位数を持つと予想した。リチャード・ブラウアーは、ブラウアー・ファウラーの定理が、与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個しか存在しないことを示していることから、単純群の対合の中心化群を有限単純群の分類の基礎として用いることを提案した。奇数位数の群には対合がないので、ブラウアーのプログラムを実行するには、まず非巡回有限単純群が奇数位数を持たないことを示す必要がある。これは、奇数位数群が可解であることを示すことと等価であり、フェイトとトンプソンが証明した通りである。
バーンサイド予想への取り組みは、CA群を研究していた鈴木通夫によって開始された。CA群とは、すべての非自明元の中心化群がアーベル群となる群である。彼は先駆的な論文で、奇数位数のCA群はすべて可解であることを示した。（彼は後に、すべての単純CA群、そしてより一般に、任意の対合の中心化群が正規2-シロー部分群を持つようなすべての単純群を分類し、その過程で、見落とされていたリー型単純群の族を発見した。これらは現在では鈴木群と呼ばれている。）
フェイト・トンプソンの定理 歴史
フェイト、トンプソン、マーシャル・ホールは、鈴木の研究をCN群の族へと拡張した。CN群とは、すべての非自明元の中心化群が冪零となる群である。彼らは、奇数位数のCN群はすべて可解であることを示した。彼らの証明は鈴木の証明と類似している。その証明は約17ページにも及び、当時としては群論の証明としては非常に長いと考えられていた。
フェイト・トンプソンの定理は、この過程における次のステップと考えることができる。彼らは、奇数位数の非巡回単純群で、すべての真部分群が可解なものは存在しないことを示した。これは、すべての奇数位数の有限群が可解であることを証明している。なぜなら、最小の反例は、すべての真部分群が可解となるような単純群でなければならないからである。証明はCA定理やCN定理と同じ概要に従っているが、詳細ははるかに複雑である。最終的な論文は255ページで、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクスの第13巻第3号全体を占めた。
フェイト・トンプソンの定理 証明の重要性
すべての非可換単純群には対合が存在することから、フェイト・トンプソンの定理は、対合の中心化群を用いた有限単純群の分類が可能であるかもしれないことを示した。彼らが証明に導入した多くの手法、特に局所解析の考え方は、分類に用いられるツールへと発展した。おそらく、この証明の最も革新的な側面はその長さであった。フェイト・トンプソンの論文以前は、群論における議論は数ページを超えるものはほとんどなく、ほとんどが1日で読むことができた。群論の研究者たちがそのような長い議論が可能であることを認識すると、数百ページに及ぶ一連の論文が発表されるようになった。これらの中には、フェイト・トンプソンの論文さえも凌駕するものもあった。 
ミハエル・アッシュバッハーとスティーブン・D・スミスによる準薄群に関する論文は 1,221 ページに渡る。
フェイト・トンプソンの定理 証明の改訂
多くの数学者が、元のフェイト・トンプソンの証明の一部を簡略化してきた。しかし、これらの改善はすべて、ある意味では局所的なものである：議論の全体的な構造は依然として同じであるが、議論の細部の一部が簡略化されている。
簡略化された証明が 2 冊の本で出版されている: Bender & Glauberman (1994) は 指標理論以外のすべてをカバーし、 Peterfalvi (2000) は指標理論をカバーしている。 この改訂された証明は依然として非常に難しく、元の証明よりも長くなっているが、よりゆったりとした形式で書かれている。
完全に形式化された証明は、Rocq証明支援システムによって検証され、2012年9月にジョルジュ・ゴンティエとマイクロソフトリサーチおよびINRIAの研究者によって発表された。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
フェイト・トンプソン定理を直接記述するよりも、鈴木のCA定理を記述し、その後CN定理と奇数位数定理に必要な拡張について述べる方が簡単である。証明は3つのステップに分けられる。G をCA条件を満たす奇数位数の非可換（極小）単純群とする。
CA の場合、これは簡単である。なぜなら、「a は b と可換である」という関係が非単位元の集合上の同値関係になるからである。したがって、元は同値類に分けられ、各同値類は極大アーベル部分群の非単位元集合となる。これらの極大アーベル部分群の正規化群は、G の極大真部分群と全く同じになる。これらの正規化群はフロベニウス群であり、その指標理論は十分に明確で、指標帰納法を含む操作に適している。また、|G| の素因子の集合は、|G| の極大アーベル部分群の相異なる共役類の個数を割り切る素数に従って分割される。|G| の素因子を、 G の最大部分群 (共役を除いて) に対応する特定のホール部分群 (ホール部分群とは、位数と指数が互いに素な部分群) の共役類によって分割するこのパターンは、フェイト・ホール・トンプソンのCN定理の証明と フェイト・トンプソンの奇数位数定理の証明の両方で繰り返される。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
各極大部分群 M には、M に含まれる正規化群を持つ特定の冪零ホール部分群 Mσ が存在し、その位数は特定の素数で割り切れる。それらの素数たちは集合 σ(M) を形成する。2 つの極大部分群が共役となるのは、 σ(M) が同じである場合に限り、また、共役でない場合、 σ(M) たちは交わらない。G の位数を割り切るすべての素数は、いずれかの σ(M) に含まれる。したがって、G の位数を割り切る素数たちは、極大部分群の共役類に対応する同値類に分割される。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
CNの場合の証明は、CAの場合よりも既にかなり困難である。主な追加問題は、2つの異なるシロー部分群が単位元で交わることを証明することである。奇数位数定理の証明のこの部分は、100ページを超える論文を要している。重要なステップは、トンプソンの一意性定理の証明である。これは、正規階数が3以上のアーベル部分群は、ただ一つの最大部分群に含まれることを示しており、これは、シローp部分群の正規階数が高々2である素数pを個別に検討する必要があることを意味する。ベンダーは後に、ベンダーの方法を用いて一意性定理の証明を簡略化した。 CN の場合、結果として得られる極大部分群 M は依然としてフロベニウス群であるが、奇数位数定理の証明で生じる極大部分群はもはやこの構造を持つ必要はなく、その構造と相互作用を分析すると、I、II、III、IV、V型と呼ばれる 5 種類の極大部分群が出てくる。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
I型の部分群は「フロベニウス型」であり、これはフロベニウス群の若干の一般化で、実際、証明の後半でフロベニウス群であることが示される。これらは  という構造を持つ。ここで、 は最大の正規冪零ホール部分群であり、Uは同じべき指数を持つ部分群  を持ち、 は核  を持つフロベニウス群である。II、III、IV、V型はすべて3ステップ群であり、 という構造を持つ。ここで、 はMの導来部分群である。II、III、IV、V型への分類は、部分群Uの構造と埋め込みによって以下のように決定される：
極大部分群の 2 つのクラスを除くすべてのクラスはI型だが、極大部分群の 2 つの追加クラス (II型 のクラスと、II、III、IV、または V型 のクラス) が存在する場合もある。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
X が CA 群 G の最大アーベル部分群 A の正規化群 H の既約指標であり、その核が A を含まない場合、X を G の指標 Y に誘導することができるが、これは必ずしも既約ではない。G の構造が既知であるため、G の単位元を除くすべての元における Y の指標の値を容易に求めることができる。これは、X1 と X2 が H のそのような 2 つの既約指標であり、Y1 と Y2 が対応する誘導指標である場合、Y1 − Y2 は完全に決定され、そのノルムを計算すると、それが G の 2 つの既約指標の差であることが示されることを意味する (これらは H に関する G の例外指標と呼ばれることもある)。計数議論により、G のそれぞれの非自明な既約指標は、G のある最大アーベル部分群の正規化群に関連付けられた例外指標としてちょうど1回出現することが示される。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
同様の議論（ただし、可換ホール部分群を冪零ホール部分群に置き換える）はCN定理の証明にも当てはまる。しかし、奇数位数定理の証明においては、Gの指標を部分群の指標から構成する議論ははるかに繊細であり、指標帰納法ではなく指標環の間のデイド等長変換を用いる。これは、最大部分群はより複雑な構造を持ち、より透明性の低い方法で埋め込まれているためである。デイド等長変換を拡張するために、例外指標の理論は指標の同調集合の理論に置き換えられる。大まかに言えば、この理論は、関係する群が特定の厳密な構造を持たない限り、デイド等長変換を拡張できると述べている。
ステップ2によって、CA群Gの指標表の完全かつ正確な記述が得られる。これと、Gが奇数位数であるという事実を用いることで、|G|の推定値を得るのに十分な情報が得られ、Gが単純であるという仮定に矛盾が生じる。この議論はCN群の場合にも同様に当てはまる。
フェイト・トンプソンの定理 証明の概略
しかし、フェイト・トンプソン定理の証明においては、このステップは（いつものように）はるかに複雑になる。指標の理論は、ステップ1の後に残された可能な構成の一部のみを排除する。まず、I型の極大部分群はすべてフロベニウス群であることを示す。すべての極大部分群がI型である場合、CNの場合と同様の議論から、群Gは奇数位数の極小単純群にはなり得ないことが示される。したがって、II、III、IV、またはV型の極大部分群のクラスはちょうど2つ存在する。残りの証明の大部分は、これら2種類の極大部分群SとT、そしてそれらの関係に焦点を当てている。より指標理論的な議論から、これらがIV型またはV型には成り得ないことが示される。2つの部分群は厳密な構造を持つ：部分群 S は位数 pq×q×(p^q–1)/(p–1) であり、 位数 pq の有限体の基礎集合上のx→axσ+b の形のすべての自己同型から構成される。ここで a はノルム 1 を持ち、σ は有限体の自己同型であり、p と q は相異なる素数である。極大部分群 T は、p と q を逆にした同様の構造を持つ。部分群 S と T は密接に関連している。p>q とすると、S の位数 (p^q–1)/(p–1) の巡回部分群は、T の位数 (q^p–1)/(q–1) の巡回部分群のある部分群と共役であることがわかる。（特に、最初の数は2番目の数を割り切るので、フェイト・トンプソン予想が正しいとすれば、これは起こり得ないことを主張することになり、この時点で証明を終えるのにこれを使用することができる。しかし、この予想はまだ証明されていない。）
群 G に指標理論を適用することにより、G が次の構造を持つという結論が得られる: (p^q–1)/(p–1) が p–1 と互いに素であるような素数 p>q が存在し、G は半直積 PU によって与えられる部分群を持つ。ここで、P は位数 p^q の有限体の加法群であり、U はそのノルム 1 の元たちから成る。さらに、G は位数が p と素なアーベル部分群 Q を持ち、その Q には元 y であって、P_0 が Q を正規化し、(P_0)y が U を正規化するものがある。ここで、P_0 は位数 p の有限体の加法群である。 （p=2 の場合、群 SL2(2^q) にも同様の配置が見られ、PU は上三角行列がなすボレル部分群、Q は  によって生成される位数 3 の部分群である。）
この最後の状況を排除するために、トンプソンは生成元と関係式を用いた恐ろしく複雑な操作をいくつか使用したが、これは後に Peterfalvi (1984) によって簡略化された。 証明では、位数 p^q の有限体における元 a の集合で、a と 2–a がともにノルム 1 を持つものを調べる。まず、この集合には 1 以外の元が少なくとも 1 つあることを確認する。次に、群 G の生成元と関係式を用いたかなり難しい議論により、この集合は逆元をとる操作で閉じていることを示す。a がこの集合内にあり、1 に等しくない場合、多項式 N((1–a)x+1)–1 の次数は q であり、F_p の元 x によって与えられる少なくとも p 個の相異なる根を持つ。これは、x→1/(2–x) がこの集合をそれ自身に写像するため p≤q となり、仮定 p>q に矛盾する。
フェイト・トンプソンの定理 奇数性の使用
群 G の位数が奇数であるという事実は、証明のいくつかの箇所で、以下のように用いられている (Thompson 1963)。
フョードル・トルストイ
フョードル・ペトロヴィチ・トルストイ（ロシア語: Фёдор Петро́вич Толстой, ラテン文字転写: Fyodor Petrovich Tolstoy、1783年2月21日 - 1873年4月25日）は、ロシアの画家、彫刻家、彫金家である。
フョードル・トルストイ 略歴
サンクトペテルブルクで生まれた。トルストイ家のピョートル・アンドレーエヴィチ・トルストイ(1645-1729)の孫で政治家のアンドレイ・イワノビッチ・トルストイ伯爵（1721-1802）が祖父で、先祖と同名の父親のピョートル・アンドレーヴィチ・トルストイ伯爵(Pyotr Andreevich Tolstoy: 1746-1822)は軍人であった。有名な文学者レフ・トルストイ（1828-1910）の父親はフョードル・トルストイのいとこにあたる。
母親から絵を学び、4歳の時に描いた作品がトレチャコフ美術館に所蔵されている。1795年にポロツクのイエズス会の学校に入学し、絵画と科学を学んだ。1796年にパーヴェル1世が皇帝に即位した後、父親は解雇された。
1798年6月から1802年6月まで、海軍士官候補生学校で学び、その後、有名な科学者の指導の下で訓練を受けた。同時に独学で、静物画や肖像画、風景画を描き、ロシア帝国美術アカデミーを訪づれ、肖像画家のオレスト・キプレンスキーらに学んだ。
フョードル・トルストイ 略歴
1804年に海軍を退役し美術に専念し、蝋を素材にしたレリーフやミニアチュールの肖像画、彫金（メダル制作）などの分野で活動した。1810年からサンクトペテルブルク造幣局で働き、1812年のナポレオンによるロシア戦役（ロシアでは祖国戦争と呼ぶ）を題材にしたメダルを作成した。
1828年に美術アカデミーの副学長に任じられ、後に教授になった。彫刻家として、モスクワの救世主ハリストス大聖堂などの装飾彫刻の仕事もした。
1873年にサンクトペテルブルクで亡くなった。娘のエカテリーナは画家になり、眼科医で、サンクトペテルブルクの医学校の教授のエデュアルド・ユンゲと結婚した。