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量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
である。
一方が無限次元の場合には、Aは非可算無限個のスペクトル点を持ちうるので、単純に上式を無限次元に拡張する事はできない。しかしベクトル空間の「直和」の代わりに「直積分」という概念を用いる事で無限次元の場合も同種の公式が成立する事が知られており、これをAの直積分によるスペクトル分解と呼ぶ。本節では直積分の概念を数学的に定式化し、直積分を用いて上式を無限次元の場合に拡張する。
直積分の概念を定式化するため、「切断」の概念を導入する：
定義 (ヒルベルト空間の族の切断) ― 
X⊂Rを可測な集合とし、を（有限次元または無限次元の可分な）ヒルベルト空間の族とし、上の内積をと書き表す。さらにμをσ-有限なX上の測度とする。で
を満たすもので、「可測」（詳細後述）なものをの切断(section)と呼ぶ。
さらに２つの切断、に対し、sとtの内積を
により定義することができる。
定義 (直積分) ― 
自分自身との内積が有限になる切断全体のなすベクトル空間を考え、このベクトル空間を測度μに関してほとんど至る所等しい切断を同一視する事で得られるベクトル空間を
と表記し、のμによる直積分と呼ぶH13(p144-147)。
直積分は前述した内積に関して完備であることが知られており、よって直積分はヒルベルト空間になるH13(p144-147)。
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
前節でペンディングしていたの可測性の定義を述べる。可測性を定義するには、に技術的な付加構造を加える必要がある（よって直積分はにこの付加構造を付け加えた場合のみ定義可能である）。まずその付加構造を定義する：
定義 ― 
以下の3条件を満たす可算個の切断の組が存在するとき、をの同時正規直交基底(simultaneous orthonormal basis)といいH13(p144-147)、と同時正規直交基底の組を可測構造(measurability structure)つきのヒルベルト空間族というH13(p144-147)：
なお、写像が可測であるときは、は必ず同時正規直交基底を持つことが知られている。
定義 (切断の可測性) ― 
上の可測構造を一つ固定したとき、以下の性質を満たす切断は可測であるというH13(p144-147)：
任意のj∈Nに対し、は可測。
以上の準備のもと、直積分によるスペクトル分解を定式化する：
定理 (直積分によるスペクトル定理) ― 
をヒルベルト空間とし、Aを上の自己共役作用素とする。このときAのスペクトルσ(A)上のσ-有限測度μAと可測構造つきヒルベルト空間族が存在し、以下が成立するH13(p206-207)
ヒルベルト空間としての同型写像
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
が存在する。さらにAU := UAU-1とするとき、任意のに対し、
である。ここで、
。
上述の定理はが無限次元の場合も、をAの「固有空間」の直積分に分解でき、しかも直積分の元sのAUによる像AU(s)の「成分」である(AU(s))(λ)はsの「成分」s(λ)を「固有値」λ倍したものになっている事を意味するように見えるので、をλに対応するAの一般化した固有空間、の元をλに対応するAの一般化した固有ベクトルであるとみなし得るH13(p147-148)。実際、スペクトル点τ∈σ(A)においてμ({τ})>0であれば、sτ∈に対し切断を
により定義すると、写像
は
を満たすので、の元はAUの0でない固有ベクトルになる。しかしμ({τ})=0の場合にはmτが恒等的に0である為、は通常の意味での固有空間にはならない。
直積分によるスペクトル定理は、前述した掛け算作用素によるスペクトル定理から容易に従う。実際、掛け算作用素によるスペクトル定理より、は何らかのL2空間と同型で、Aは上で実数値関数を乗じる作用素として表現できるので、hの像である実数直線R上に測度h*(μ)を入れれば、
、　　　ここで
と表記できる。が{0}でないλの集合がσ(A)と一致する事を容易に確認できるので、上記の積分をσ(A)に制限すれば、直積分によるスペクトル定理が従う。
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
本節の目標は、非有界作用素のもう一つのスペクトル分解方法であるスペクトル測度によるスペクトル分解を定式化する事である。まず、スペクトル測度の概念を定式化する動機を与える為に、有限次元における固有値分解を復習する。
を有限次元のヒルベルト空間とし、Aを上の自己共役作用素とする。有限次元の場合、自己共役作用素は必ず固有値分解可能な事が知られている。すなわちAの固有値をλ1、…、λnとし、これらの固有値に対応する固有空間をV1、…、Vnとすると、の元ψは必ず
ψ=ψ1＋…＋ψn、　　ψ1∈V1、…、ψn∈Vn
と表現でき、
Aψ=λ1ψ1＋…＋λnψn
が成立する。そこでの元のVjへの射影変換をPjとすると、明らかに
が成立する。
スペクトル測度μは、以上の考察を無限次元に拡張する事を可能にする概念であり、Rのボレル可測部分集合Bに対し、の閉部分線形空間への正射影変換μ(B)を対応させる。スペクトル測度μの概念を直観的に説明するため、再び有限次元の場合を考えると、Bとスペクトルσ(A)={λ1,…,λn}の共通部分がであるとき、スペクトル測度μによるBの像μ(B)は、の元をの部分空間
に射影する射影変換である。
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
スペクトル測度の概念を厳密に定式化する。なお、スペクトル測度の概念それ自身は、Aのスペクトルとは無関係に定義する。スペクトル測度の概念がAのスペクトルと結びつくのは、後述するスペクトル定理においてである。をの元をの閉部分線形空間に対応させる正射影作用素全体の集合とする。すなわち
（閉部分線形空間）  s.t.
さらにをR上のボレル加法族とする。直観的にはこのRは、自己共役作用素のスペクトルやレゾルベントの取りうる値の集合である。
定義 (スペクトル測度) ― 
写像が以下の３性質を満たすとき、μをスペクトル測度、正射影作用素値測度、もしくは単位の分解というH13(p138)新井(p136)：
をスペクトル測度とするとき、次の事実が成り立つことが知られているH13(p139)新井(p138)。ここではの内積である：
定理 ― 定理
ψをの元とする。この時、写像はRd上の複素数値の測度である。
上述のように定義される測度をと書くとき、次が成立する事が知られている：
定理・定義 (作用素値積分) ― 
μψによる（有界とは限らない）可測関数fのルベーグ積分は何らかの非有界線形作用素Ffを用いて、
for 、
と書けるH13(p202)。
この線形作用素Ffを
と表記し、スペクトル測度μによるfの作用素値積分(operator-valued integral)というH13(p139)。
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
なお任意の可測関数fに対しDom(Ff)はで稠密であることが知られているのでH13(p203)、作用素値積分は上稠密に定義された線形作用素である。またfが実数値可測関数の場合は作用素値積分は必ず自己共役作用素になる事も知られているH13(p204)。
以上の準備のもと、スペクトル定理を定式化する：
定理 (スペクトル測度によるスペクトル分解定理H13(p141)) ― 
をヒルベルト空間とし、を稠密に定義された非有界な任意の線形作用素とする。このときスペクトル測度μが一意に存在し、以下が成立する：
なお、μはAのレゾルベント集合上で0になる事が知られているのでH13(p141)、上述の積分を
と書き表す事もできる。
スペクトル分解定理は前述した有限次元の場合の固有値分解
の無限次元版である。実際、ディラック測度δx(B)を
により定義し、スペクトル測度μを
とすれば、両者が一致する事を確認できる。
スペクトル測度によるスペクトル分解定理は直積分によるスペクトル定理から容易に従う。実際、直積分によるスペクトル定理からは直積分として表現できるので、B⊂σ(A)に対してμ(B)をとすればよい。ここでχBはBの特性関数である。
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
Aを何らかの物理量を表す自己共役作用素とし、μをAのスペクトル測度とする。量子力学では以下を仮定する：
仮定 (物理量の観測確率に関する仮定) ― 
を単位ベクトルとするとき、状態ψにある系でAを観測した観測値λがボレル集合に属している確率はである新井(p212)。
直積分を使うと、上の仮定をより直観的に表現できる。状態空間をAのスペクトルでスペクトル分解して
と直積分で書き表し、ψを直積分の切断として
と書き表すと、直積分とスペクトル測度の関係により、状態ψにある系でAを観測した観測値λがボレル集合に属している確率は
に一致する。
また簡単な計算により、Aを観測した観測値の期待値が
となる事を確かめられる新井(p213)。
量子力学では以下を仮定する：
仮定 (波束の収縮に関する仮定) ― 
物理量Aを観測した観測値λがAの固有値であれば、観測直後の状態ベクトルはAのλに対する固有ベクトルになる新井(p212)。
上述の仮定では観測値が固有値、すなわち点スペクトルに属していた場合の事を述べているが、観測値が連続スペクトルに属していた場合については何も規定していない事に注意されたい。
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
前節までで見たように、状態空間が無限次元である場合のスペクトル分解においては連続スペクトルが生じるため、全てのスペクトル点に対して対応する「固有関数」が存在するわけではないという困難を抱える。そこでディラックは、状態空間にデルタ関数のような超関数を添加し、これら超関数を一種の固有関数だとみなす事でこの困難を解消する道筋を建てた。
本節では、このディラックのアイデアを拡張することで得られるゲルファントの三つ組の概念を用いて、自己共役作用素をスペクトル分解する方法を説明する。
ゲルファントの三つ組の定義の基本的な雛形は、（緩増加）超関数の概念である。そこで、まず、緩増加超関数の定義を振り返る。今シュワルツ空間からヒルベルト空間へは自然な単射
が存在する。に対し、写像ι†(ψ)を
と定義すると、
なので、写像
を定義する事ができ、ι†は反線形写像となる。
以上の議論を踏まえ、より一般に位相の定義されたベクトル空間からヒルベルト空間への連続な単射
があるとき、の双対空間を
、連続かつ線形
と定義すると、シュワルツ空間のときと同様の方法により、反線形写像
、
を定義できる。
定義 (ゲルファントの三つ組) ― 
がで稠密なとき、このようにしてできた三つ組
を、をに付随するゲルファントの三つ組もしくはrigged Hilbert spaceというM66(p1)BG(p8)F15(p117)。
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
写像
は反線形な埋め込み写像なので、、の共役線形空間をそれぞれ、とすると、
はいずれも線形な埋め込みとなる。
物理学的に見た場合、、はそれぞれブラベクトル、ケットベクトルの空間であったので、それを含んでいる、もやはり（一般化された意味での）ブラベクトル、ケットベクトルの空間とみなすことにする。
既に述べたように、連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」はやの中には存在しなかった。そこでブラベクトル、ケットベクトルの空間をやより広い空間であるやへと拡張し、やから連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を探す、というのがゲルファントの三つ組の基本的なアイデアである。
とくにである場合は、は緩増加超関数の空間に一致するので、「固有ベクトル」としてからデルタ超関数を選ぶ事ができる。したがってこの場合は、ゲルファントの三つ組のアイデアはディラックの元々のアイデアと合致する。
先に進む前にゲルファントの三つ組に関する諸概念を定義する。
定義 ― 
の元はの線形写像なので、の元Tとの元ψの内積を
によって定義する。
φをの元とするとき、
となるので、上述した内積は上の内積と両立する。
定義 ― 
の点列{φn}nとの元φが全てのに対し
を満たすとき、{φn}nはφに収束するというF15(p117)。
言い換えるとこれはにはweak-*位相を入れたものを考えるという事である。
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
ディラックがデルタ関数を量子力学に導入したそもそもの動機は、デルタ関数を位置作用素に対する「固有ベクトル」とみなすというものであった。すなわち、第j方向の位置作用素
に形式的に
を代入すると、この関数はa以外で0になる事から、
であり、したがってδaはの「固有値」ajに対応する「固有ベクトル」であるとみなせるのである。数学的に見た場合、ヒルベルト空間において自己共役作用素はそもそも固有値を持たないし、当然それに対応する固有ベクトルも存在しない。しかしこれはそもそもデルタ関数がに属さない事に起因しており、ゲルファントの三つ組の概念を用いれば、こうしたデルタ関数による固有値・固有ベクトルの概念を正当化できる。本節ではまず、固有値概念の一般化であるスペクトルの概念を定式化し、ゲルファントの三つ組においてスペクトルに対応する固有ベクトル概念に相当する一般化固有ベクトルの概念を定式化する。
をゲルファントの三つ組とし、Aを上の自己共役作用素とする。本節の目標はよりも広い空間であるからAの固有ベクトルを探す事にあるが、そもそもAは上でしか定義されていないので、の元をAの固有ベクトルとみなすには、まずAの定義域を上に拡張する必要がある。
そこでAとして以下の２性質を満たすものを考えるF15(p118)。なおこの２性質を満たすとき、Aはに付随するゲルファントの三つ組と両立するという：
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
Aが上述の性質を満たす時、に対し、写像A'(T)を
により定義すると、前述の２性質からこの定義はwell-definedであり、となる事を確かめられる。よって上の線形写像
が定義できる。
上述のように定義したA'は埋め込み写像ι†と
という関係を満たすという意味でAの拡張になっている。実際、任意のに対し、Aの対称性から
であるので、φ、ψの任意性から上述の事実が従う。
そこで一般化固有値・固有ベクトルを以下のように定義する：
定義 (一般化固有値・一般化固有ベクトル) ―
を満たすを、Aの一般化固有値λ∈Cに対する一般化固有ベクトルというF15(p118)。
なお、なので、ここでいう「一般化固有ベクトル」はブラベクトルであるが、共役線形空間を考えることで、ケットベクトルの空間上にも同様に一般化固有ベクトルの概念を考える事ができる。であったので、Aの通常の意味での固有ベクトルは一般化固有ベクトルでもある。
定義から明らかなように、一般化固有ベクトルの定義はに依存している。Aと両立するは複数考えられるので、の取り方に依存して異なる一般化固有ベクトルの概念が存在する事になる。
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
有限次元のベクトル空間の場合、自己共役作用素の固有値分解を行うと、ベクトル空間上の任意のベクトルは、固有ベクトルの線形和として書き表す事ができる事が知られている。この性質を満たす時、自己共役作用素は固有ベクトルの完全系を持つというが、一般化固有ベクトルの場合も類似した完全系の概念を考える事ができる。
実数λ∈Rに対し、一般化固有値λに属する一般化固有ベクトル全体の集合(すなわちλの（一般化）固有空間)
を考える。に対し、ψとの内積
のE(λ)への制限写像
はE(λ)の双対空間E(λ)'の元である：
有限次元空間の場合であればは「ψのE(λ)方向成分」に相当するものであるので、完全系の概念を以下のように定義する：
定義 ― 
にの族
を対応させる写像
が単射になる時、Aはに関して一般化固有ベクトルの完全系を持つというF15(p119)。
なお、Aが運動量作用素である場合は、上述した写像は、フーリエ変換と自然に同一視できる事が知られている（詳細後述）。そこで上述した写像のことを一般化フーリエ変換というF15(p119)。
完全形の概念はweak-*位相の言葉を用いても定式化できることが知られている：
定理 ―
Aがに関して一般化固有ベクトルの完全系を持つ必要十分条件は、がweak-*位相に関してで稠密である事であるF15(p119)
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
の場合に対し、運動量作用素と位置作用素の一般化固有ベクトルを調べる。
運動量作用素
がと両立する事は既に述べた。に対し、
とすると、一般化固有値λ対するの一般化固有ベクトルは
を満たすので、任意のに対し、
となる。よって
という微分方程式の解がとなる。したがって
for some
という形のものは全て解となる。ここで上式右辺はを乗じて積分する超関数を表す。またこれ以外に解がない事も知られているF15(p120)。
以上の議論からの一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は
である。これは一次元空間なので、である。したがってに対し、
は、
である。すなわちを倍する写像である。したがってに関するの一般化フーリエ変換
は自然に
と同一視できる。これはをフーリエ変換したものに相当する。これがを一般化フーリエ変換と呼ぶ理由であるF15(p120)。
位置作用素
とに対し、
とすると、の一般化固有値λ対する一般化固有ベクトルは
を満たすので、
デルタ関数の定数倍
がこの解になる事を簡単に確認でき、しかもこれ以外に解がない事も知られているF15(p120)。
以上の議論からの一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は
である。これは一次元空間なので、である。したがってに対し、
は、
である。すなわちを倍する写像である。したがってに関するの一般化フーリエ変換
は自然に
量子力学の数学的定式化 ゲルファントの３つ組によるスペクトル分解
と同一視でき、これはそれ自身と同一視できる。よってに関するの一般化フーリエ変換はそれ自身である。
本節ではに付随するゲルファントの三つ組に対するスペクトル定理について述べる。このスペクトル定理は、が核型フレシェ空間、もしくはより一般に核型局所凸空間の場合に対して成立するF15(p123,125)。核型局所凸空間の定義はテクニカルなものなので、本項ではその定義について述べるのは避けるが、重要なのは以下の集合がいずれも核型局所凸空間になるという事である：
定理 (ゲルファントの三つ組によるスペクトル定理F15(p123,125)) ― を核型局所凸空間であるとし、Aをと両立する自己共役作用素とする。このとき、Aはに対して一般化固有ベクトルの完全系を持つ。
しかも集合K、の元の族、および有限ボレル測度の族が存在し、任意のに対し
、
である。さらに以下が成立する：
既に述べたように完全系は一般化フーリエ変換であるとみなせるが、このようにみなした場合最後の式はプランシュレルの定理に対応しているF15(p123)。
なお、スペクトル分解が固有値分解の「無限次元版」であったことを考えると、上述したスペクトル定理における積分区間をR全体ではなくσ(A)に置き換えたほうが自然である。しかしにおけるAのスペクトルはにおけるAのスペクトルより大きくなる事があるのでA97(p8)、積分区間のRをσ(A)に置き換えられない。Rをσ(A)に置き換えられるとき、はAにtightly riggingしているというA97(p8)。
量子力学の数学的定式化 時間発展
本節では、ポテンシャルが時間に依存しない場合に対する系の時間発展について述べる。
を状態空間とし、上の自己共役作用素Hを任意に固定し、ハミルトニアンと呼ぶことにする。量子力学ではHがという形で書き表せる場合を扱うが、本節の議論はHが必ずしもこの形でなくとも成立する。
定義 (シュレディンガー方程式) ― に対し、以下の形の微分方程式をシュレディンガー方程式と呼ぶ：
ここで微分は強微分の意味で考える。すなわち
を満たすが存在する時、をt=t0におけるの強微分といい、
と書き表す。量子力学では、の時間発展がシュレディンガー方程式に従う事を仮定する。
Hが有界作用素であれば、シュレディンガー方程式を以下のように解くことができる。まず
と定義すると、右辺が一様作用素位相で収束する事をHの有界性から示すことができるM16(p84)。そこで
と定義する。これを形式的に微分すると、
となり、シュレディンガー方程式を満たす事になる。詳細は省略するが、この形式的な議論は数学的にも正当化可能である。
しかしHが有界作用素ではない場合はテイラー展開
は一般には意味を持たない。実際、たとえHがで稠密に定義されていたとしてもはで稠密になるとは限らない為、上述のテイラー展開が意味を持つ集合は非常に小さくなってしまうかもしれない。またたとえψがに入っていたとしても、が収束するとは限らないM16(p84)。
量子力学の数学的定式化 時間発展
そこで本節ではテイラー展開に頼らずを定義する作用素解析という手法を導入し、に関するストーンの定理を導入する事で上述の問題を解決する。
を状態空間とし、Hを上の（有界とは限らない）自己共役作用素とする。スペクトル測度によるスペクトル定理より、スペクトル測度μが一意に存在し、が成立する。
そこで有界可測関数に対し、線形作用素f(A)を
により定義する事ができるH13(p141)新井(p144)。この手法により線形作用素f(A)を定義する手法を作用素解析新井(p149)(operational calculus)という。特に関数fとして指数関数を選ぶことで、
を定義できる。
作用素解析により、
と定義すると、Utはユニタリ変換であり、しかも準同型性を満たす。すなわち任意のに対し、
が成立する事が知られているH13(p207-209)。さらにUtはtに関して強連続である。すなわち任意のと任意のに対し、
であるH13(p207-209)。
一般に上のユニタリ変換の族で準同型性と強連続性とを満たすものを強連続１パラメータユニタリ群というH13(p207)。
量子力学の数学的定式化 時間発展
実は強連続１パラメータ変換は、上述した指数関数のものに限られる事が知られている：
定理 (ストーンの定理H13(p210, 208)) ― 
を上の強連続１パラメータユニタリ群とする。このとき、の無限小生成元(infinitesimal generator)を
により定義すると、の稠密部分集合上で上式右辺はノルム位相に関して収束する。しかも無限小生成元Aは自己共役作用素であり、任意のに対し、
が成立する。
以上の事から、写像により、上の自己共役作用素に強連続１パラメータ変換を対応させる事ができ、逆にに対してその無限小生成元対応させる事で、強連続１パラメータ変換に自己共役作用素を対応させる事ができる。両者は逆写像の関係になっており、自己共役作用素と強連続１パラメータ変換は１対１に対応するH13(p209)：
を状態空間とし、Hを上の（有界とは限らない）自己共役作用素とする。このときを作用素解析の手法により定義し、
とすると次が成立する：
定理 ― 
はシュレディンガー方程式の解である新井(p233)。
実際、前節で述べた事と強微分の定義から、
量子力学の数学的定式化 時間発展
が成立する。さらに作用素解析の定義より、
である。最後の等号は作用素値積分の定義より従う。よって
となり、ψ(t)はシュレディンガー方程式の解となる。
これまで我々はいわゆるシュレディンガー描像で時間発展を記述してきた。すなわち任意のオブザーバブルAは時間に関して不変であり、状態ベクトルψの方が
により
と時間発展するとみなしてきた。一方同じ時間発展をハイゼンベルク描像で記述することも可能である。この場合状態ベクトルψは時間に対して不変であり、オブザーバブルAの方が
と時間発展するとみなせる。
Hを上の自己共役作用素とし、Aを上の自己共役作用素で、
を満たすものとし、
を取り、
、ここで
とすると、これまでの議論から、が任意のに対して成立し、しかも
が成立する事が示せる新井(p239)。ここで上式左辺の時間微分は強微分である新井(p239)。
一般に自己共役作用素の族と、の元ψに対し、
という形のに関する方程式をハイゼンベルクの運動方程式という新井(p239)。上述したに関する議論は、ハイゼンベルクの運動方程式の解が存在する十分条件を示した事になる。
量子力学の数学的定式化 ネーターの定理
を状態空間とし、上の（有界とは限らない）自己共役作用素Hをハミルトニアンとして固定し、
とする。
を強連続１パラメータユニタリ変換群とし、Aをその無限小生成元とする。
このとき以下が成立する：
定理 (ネーターの定理) ― 
次の３つは同値であるM16(p86)：
これは以下に述べる理由により量子力学におけるネーターの定理M16(p86)であるとみなせる。
まず最初の条件は、ハミルトニアンHが強連続１パラメータユニタリ変換群に対して不変である事を示している。すなわち、Hによって記述される系は対称性を持つ。
一方２番目の条件はの左辺はハイゼンベルク描像で見たときのAの時間発展であるので、この条件は対称性を定義する無限小生成元が運動の不変量である事を意味している。
解析力学におけるネーターの定理は系の対称性の無限小変換が運動の不変量になり、その逆も成り立つというものだったので、上述した２条件の同値性は量子力学におけるネーターの定理であると解釈できる。なお３番目の条件は、時間発展してから対称性で系を動かす行為と、対称性で系を動かしてから時間発展する事とが同一である事を意味している。
量子力学の数学的定式化 ネーターの定理
なお、ほとんどの物理の教科書では、上述した量子力学におけるネーターの定理を時間微分と交換子を用いて記述しているがM16(p86)、そのような記述方法は作用素の定義域に関する多くの問題点を含むM16(p86)。
上のユニタリ変換全体の集合をと表記すると、強連続１パラメータユニタリ変換群は実数にユニタリ変換を対応させる準同型写像
とみなす事ができる。解析力学におけるネーターの定理はこうした実数からの写像だけでなく、一般の有限次元リー群からの写像に対しても成立していた。そこで本節では量子力学における有限次元リー群のネーターの定理を見出す。有限次元リー群Gからへの写像
で準同型性
と強連続性
とを満たすものをGの上のユニタリ表現というH13(p360)。なおここで「強」連続と呼ぶのは、弱位相における連続性と区別するためである。
をGのリー環とし、Xをの元とする時、
とすると（上式のexpはリー環の元にリー群の元を対応させる写像である）、は強連続１パラメータユニタリ変換群になるので、ストーンの定理より、
量子力学の数学的定式化 ネーターの定理
を満たす自己共役作用素AXが存在する（ここで左辺のexpは前述の通りリー環の元にリー群の元を対応させる写像、右辺のexpは自己共役作用素に1パラメータ変換を対応させる写像）。よっての元に自己共役作用素を対応させる写像
が定義可能である。
上の自己共役作用素Hをハミルトニアンとして固定し、
とすると、強連続１パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理から、以下の３つは同値である：
これが一般のリー群に関するネーターの定理であるが、強連続１パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理と違い、さらにのリー括弧に関しても、以下の性質が言える事であるH13(p360)：
定理 ―
なお、自己共役作用素の括弧積
はがの稠密部分集合になる場合にしか自己共役作用素ならないが、のユニタリ表現の場合には
を満たすの稠密部分集合Dが必ず存在する事が知られているので、括弧積は必ず自己共役作用素となるH13(p360)。
量子力学の数学的定式化 フォン・ノイマンの一意性定理
位置作用素と運動量作用素は、状態空間の稠密部分集合で定義された作用素である。よってこれらの交換子もの稠密部分集合上で定義可能であり、以下の関係式（正準交換関係）を満たす。ここでIは単位行列であり、はクロネッカーのデルタである：
なおBLT定理より、これらの交換子はの全域に拡張可能であり、上式はの全域で成立する。
フォン・ノイマンの一意性定理新井(p230)（「ストーン＝フォン・ノイマンの定理」ともH13(p286)）は、正準交換関係のやや強いバージョンである「ヴァイルの関係式」を満たす有限個の「既約な」作用素の組は同型を除いて、位置作用素と運動量作用素に限られるというものである。
なお、フォン・ノイマンの一意性定理を示すには、「ヴァイルの関係式」をはじめとした正準交換関係よりも強い仮定を課す事が必須であり、正準交換関係を満たすにもかかわらずフォン・ノイマンの一意性定理が成立しない反例で、物理的にも興味深い例が存在する新井(p230)。
フォン・ノイマンの一意性定理を定式化するために必要な概念を定義する。
上の自己共役作用素に対し、正準交換関係を指数関数の上に乗せた下記の式をヴァイルの関係式という新井(p230)H13(p284)：
量子力学の数学的定式化 フォン・ノイマンの一意性定理
通常の正準交換関係の場合には、の定義域の共通部分がで稠密でないとそもそも交換子が定義できないという問題を抱えていたが、ヴァイルの関係式の場合、を指数関数の上に乗せた結果出来上がるユニタリ変換を取り扱っており、しかもBLT定理よりこれらのユニタリ変換の定義域は全体であるので、こうした定義域の問題は起こらない。
正準交換関係をヴァイル関係式で表す事を、正準交換関係のヴァイル表現という。なお、一般には通常の正準交換関係よりもヴァイルの関係式の方が強い制約条件であり、両者は同値ではない。
上の自己共役作用素がヴァイル表現として規約であるとは、の共通の不変真部分閉空間がのみである事をいう。すなわち閉部分空間が
をみたすなら
である事をいう。
次の事実をフォン・ノイマンの一意性定理という：
定理 (フォン・ノイマンの一意性定理H13(p286-287)) ― 
上の自己共役作用素がヴァイルの関係式を満たし、しかもヴァイル表現として規約であれば、以下を満たす上のユニタリ作用素Uが存在する：
しかもUは絶対値1の複素数倍を除いて一意である。
量子力学の数学的定式化 フォン・ノイマンの一意性定理
フォン・ノイマンの一意性定理は、量子力学に重要なリー群であるハイゼンベルク群を用いる事でより簡潔に表現できる。
d次のハイゼンベルク群とは、
に以下のような積を入れる事で定義されるリー群であるW(p1-3)：
ここで、は上の内積である。
ハイゼンベルク群が量子力学で重要なのは、対応するリー環（ハイゼンベルクリー環）が正準交換関係（でにしたもの）を満たすからである。すなわち、d次のハイゼンベルクリー環は、
と表記でき、j=1,…,dのとき、j=d+1,…,2dのとき、j=2d+1のときそれぞれ、座標軸の事を、、と書くと、これらのリー・ブラケットは
を満たすW(p1-3)。
まずフォン・ノイマンの一意性定理の仮定をハイゼンベルク群を用いて表現する。をヒルベルト空間とし、を上のユニタリ作用素全体の集合とする。
を
を満たす強連続な写像とし、さらに
とする。するとフォン・ノイマンの一意性定理の条件であるヴァイルの関係式は、Πが準同型である事を意味している。すなわちヴァイルの関係式を満たすΠはハイゼンベルク群の強連続なユニタリ表現である。このように見た時、ヴァイル表現に関する規約性の条件は、このヴァイル表現が規約である事と同値である。なお、ハイゼンベルク群のニタリ表現の事をシュレディンガー表現というZ13(p3)。
量子力学の数学的定式化 フォン・ノイマンの一意性定理
一方、フォン・ノイマンの一意性定理の結論部分は、このユニタリ表現が同型を除いて一意であり、その唯一のユニタリ表現によるの像がそれぞれ
まとめると、以下の結論が得られるW(p3)：
定理 ― 
強連続なシュレディンガー表現
で
を満たすものは、同型を除いて１つしか存在しない。必要ならΠを同型なものと取り替えると、
が成立する。ここで、はそれぞれ位置作用素、運動量作用素である。
Mackeyはより弱い条件のもとフォン・ノイマンの一意性定理を示しているM16(p94-95)：
定理 (Mackeyの定理) ― 
を可分とは限らないヒルベルト空間とし、上の自己共役作用素との稠密部分集合Dが以下の４条件をすべて満たしているとする。
このとき、同型写像
が存在し、
よって特に、（可分性を仮定しなかったにもかかわらず）が可分である事が従う。
梅谷駅
梅谷駅（メゴクえき）は、大韓民国京畿道楊平郡にある韓国鉄道公社（KORAIL）中央線の駅である。
一部のムグンファ号が停車する。
梅谷駅 隣の駅
韓国鉄道公社
中央線 
日新駅 - 梅谷駅 - 楊東駅
VALU
VALU（バリュー）は、日本の株式会社VALU（バリュー、代表取締役小川晃平）によって運営されていたフィンテックサービス。2017年からベータ版が運営されていたが、2020年3月末でサービスが終了した。
VALU 概要
名称の由来は「VAL(VALUE=価値) + U (YOU=あなた)」。個人が株式会社のようにVAとよばれる擬似株式を発行することができ、売りに出されたVAは自由に売買することができる。取引は全てビットコインを用いて行われる。
2017年5月31日にβ版としてリリースされた。対応言語は日本語・英語。取引可能時間は9時から21時まで。VAの発行者数は2017年7月21日に約1万2000人と報道された。
VALU 開発の経緯
小川晃平は2011年にグリーに入社し、翌年からシリコンバレーにある米国支社でサーバーエンジニアを務めた。帰国後、フリーランスのエンジニアに転身。複数の新規事業の立ち上げに従事したのものの、いずれも資金不足によって事業拡大を諦めるほかなかった。ビットコインと出会ったのはそうした状況であった。
開発者の一人である中村洋基はVALUの始まりについて、自身と小川晃平、堀江貴文が出会ったことがきっかけだったと明かしている。
カウンターパーティーとはビットコインに実装されている機能のひとつで、この機能を用いることでビットコインと互換性のある独自通貨を発行することができる。堀江はこのときすでに「ホリエモンカード」という名称で独自通貨を発行していた。三人はアイデアを出しあっていくうちに、この独自通貨を自由に売買できる仕組みを整えれば、個人が株式会社のようにふるまって資金調達を行うことができる可能性に気づいていった。
VALU 開発の経緯
2016年11月1日、株式会社VALU設立。中村が設立者の一人でありクリエイティブディレクターを務める広告・デザイン企業PARTYが出資を行っている。その他出資者には家入一真もいる。堀江は取締役に名を連ねた。
中村は「このサービスは、使い方によっては破壊的になりえる」と認識しており、開発にあたってはクローズドベータで何回もテストを重ねたという。また金融庁にも頻繁に足を運び、1つ1つの機能について法律面の問題がないか確認を行ったとしている。
しかし、19年5月末に成立した改正資金決済法への対応が困難とのことからサービス終了となった。
ポール・ハルモス
ポール・リチャード・ハルモス（英語: Paul Richard Halmos、ハンガリー語: Halmos Pál、1916年3月3日 - 2006年10月2日）はユダヤ系ハンガリー人として生れたアメリカの数学者。数理論理学、確率論、統計学、作用素論、エルゴード理論、関数解析学（特にヒルベルト空間論）に基礎的な貢献をした。 また数学を見事に伝えることのできる数学者(great mathematical expositor)として広く認められている。
ポール・ハルモス 生い立ちと教育
13歳のときにアメリカに移民したが、生涯ハンガリー語のアクセントがあった。学士位(B.A.)をイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校から得る。数学専攻であったが数学と哲学両方の学位取得条件を満していた。わずか3年で学位を得たため、卒業したときはまだ19歳であった。その後同大学に留まり哲学の博士課程に進んだ。しかし、修士課程の口頭試験に不合格になり 、専攻を数学に変え1938年に卒業した。指導教官はジョゼフ・L・ドゥーブ、博士論文の題は"Invariants of certain stochastic transformations: The mathematical theory of gambling systems"（ある種の確率的変換の不変量：ギャンブルのシステムの数学的理論）であった。
ポール・ハルモス 経歴
卒業後すぐに職も助成金も得られないままプリンストン高等研究所に異動する。半年後、ジョン・フォン・ノイマンの下で働くことになるが、これはハルモスにとって決定的な経験となった。高等研究所に所属している間にハルモスは初の著書"Finite-Dimensional Vector Spaces"を著す。これによりすぐに彼は数学の優れた解説者としての評判を確固たるものとした。
ハルモスはシラキュース大学、シカゴ大学(1946–60)、ミシガン大学(〜1961–67)、カリフォルニア大学サンタバーバラ校 (1976–78)、ハワイ大学システム、インディアナ大学で数学を教えた。 1985年インディアナ大学から引退の後は死去まで所属はサンタクララ大学の数学科にあった。
ポール・ハルモス 業績
1962年の著書"Algebraic Logic"にリプリントされている一連の論文でハルモスはpolyadic algebraを提案した。polyadic algebraは一階述語論理の代数版であり、よりよく知られているアルフレト・タルスキとその弟子達によるCylindric algebraとは異なる。polyadic algebraの初等的なものは記事monadic Boolean algebraで説明されている。
研究によるオリジナルな貢献に加え、ハルモスは説明が非常に明快で人をひきつける大学レベルの数学の教科書を書いたことで知られる。レスター・R・フォード賞を1971年さらに再び1977年(W. P. Ziemer, W. H. Wheeler, S. H. Moolgavkar, J. H. Ewing, W. H. Gustafsonと共同で)受賞している。1973年に出版された学術レベルでの数学に関するAMSスタイルガイドを著したアメリカ数学会(AMS)の委員会でハルモスは議長をつとめた。1983年には数学の優れた解説、説明的な著述に対しあたえられるAMSのSteele Prize for Mathematical Expositionを受賞している。
ポール・ハルモス 業績
『アメリカン・サイエンティスト』56(4): 375–389でハルモスは数学は創造的な芸術であり、数学者は数をいじる職業(number cruncher)ではなく芸術家と捉えられるべきだと議論している。彼は数学をmathologyとmathophysicsに分けて考えるべきだと主張し、更に数学者と画家の考え方や仕事の仕方はよく似通っていると議論している。
1985年の著書である"automathography"（数学的自伝。数学mathと自伝autobiographyをもとにした造語）"I Want to Be a Mathematician"では20世紀の数学者として生きるとはどういうことであるかについて書かれている。ハルモスがこの本を自伝autobiographyでなくautomathographyと呼んだのは、本の中心が私的生活ではなく数学者としての人生であるからである。この本にはハルモスにとって数学をするとはどういうことであったかを示す次の言葉がある。
FMみはら
株式会社FMみはら（エフエムみはら）は、広島県三原市の一部地域を放送区域として超短波放送（FM放送）をする特定地上基幹放送事業者である。FOR LIFE RADIO FMみはら（フォーライフレディオ - ）の愛称でコミュニティ放送をしている。ステーションコールは小林克也が担当。
FMみはら 概要
2018年（平成30年）開局。MCAT、三原商工会議所、道の駅みはら、三原市の四者がマスメディア集中排除原則にいう支配関係にある。
送信所
自主制作番組以外はミュージックバードの番組を放送
FMみはら 沿革
2017年（平成29年）
2018年（平成30年）
2019年（令和元年）
FMみはら FM告知端末ラジオ
三原市は、FM告知端末ラジオ（緊急告知FMラジオ）を全世帯に配布
している。
ラジオ有型とラジオ無型の２種類あり、ラジオ無型はFMみはら以外は聞けない専用受信機で無料、ラジオ有型はFMみはら以外の県内FM放送やAM放送局も受信でき有料である。
EtherNet/IP
EtherNet/IPは、CIP (共通産業プロトコル) を標準Ethernetに適用した産業用ネットワークプロトコル。 米国の主要な産業用プロトコルの1つであり、製造、ハイブリッド、プロセス等、多様な産業で広く使われている。EtherNet/IPとCIPの両テクノロジーはODVAが管理している。ODVAは1995年に設立された企業連合で、300社以上の会員企業を擁しており、世界規模の取引と標準の発展・開発を行っている。
EtherNet/IPは、インターネットプロトコルスイートとIEEE 802プロジェクトというもっとも広範に使用されているEthernet標準を用いてトランスポート層、ネットワーク層、データリンク層、そして物理層の機能や特徴を定義している。CIPはオブジェクト指向デザインを用いてリアルタイム制御アプリケーションに必要なサービスとデバイスプロファイルをEtherNet/IPに提供し、多様な製品エコシステム全体での一貫したオートメーション機能の実装を推進している。さらに、Ethernet/IPはCIPのオブジェクトモデルフレームワークに対して、Ethernetの標準機能とサービスからUDP等の主要な要素を採用している。EtherNet/IPでは、UDPはI/Oメッセージの搬送に使用される。
EtherNet/IP 歴史
EtherNet/IPの開発は、取引と標準の発展・開発を行う組織であるControlNet International, Ltd. (CI) の技術作業部会内で1990年代に始まった。EtherNet/IPを開発するため、ODVAとCIは2000年に共同技術協定 (JTA) を結んだ。2009年、JTAは終了し、EtherNet/IPはODVAとそのメンバーが単独で管理するようになった。今日、EtherNet/IPは、DeviceNet、ControlNet、そしてCompoNetと並んで、CIPを産業用ネットワークに適用した4大ネットワークの1つに数えられている。
EtherNet/IP 技術的詳細
EtherNet/IPでは、Ethernetノードは特定の振る舞いを持つ所定のデバイスに分類される。これによって、特に以下のことが可能になる。
EtherNet/IP オープンソースの実装
OpENer というポータブルなオープンソース (修正BSDライセンス)の実装が2009年に開始された。ソースコードはGitHubで入手可能。
佐々木靖之
佐々木 靖之（ささき やすゆき、1980年 - ）は、日本の撮影監督である。
佐々木靖之 来歴
宮城県出身。東京芸術大学映像研究科を修了した。『ディストラクション・ベイビーズ』で第38回ヨコハマ映画祭の撮影賞を受賞した。
2017年ハンガリーグランプリ
2017年ハンガリーグランプリ (2017 Hungarian Grand Prix) は、2017年のF1世界選手権第11戦として、2017年7月30日にハンガロリンクで開催された。
正式名称は「FORMULA 1 PIRELLI MAGYAR NAGYDÍJ 2017」。
2017年ハンガリーグランプリ レース前
このレースでピレリが供給するドライタイヤのコンパウンドは、ミディアム、ソフト、スーパーソフトの3種類。
7月27日、ザウバーはホンダとの2018年からの供給契約が白紙撤回されたことを発表。翌28日にフェラーリの最新仕様パワーユニット供給契約を発表した。
2017年ハンガリーグランプリ フリー走行
開催日時は現地時間 (UTC+2、以下同じ）。
2017年7月28日 10:00
気温22度、路面温度27度、晴天のドライコンディション。ハースはこのセッションに限り、ケビン・マグヌッセンに代わってアントニオ・ジョヴィナッツィが走行。路面コンディションが良くなく、かつスリッピーだったこともあり、22分にストフェル・バンドーン、24分にロマン・グロージャン、29分にセバスチャン・ベッテルがスピンを喫した。32分にはジョヴィナッツィがターン11でクラッシュし赤旗中断となった。39分にセッションは再開されたが路面コンディションは向上せず、バランスを崩すマシンが多く見られた。その中でもメルセデスはフェラーリやレッドブルに1秒近い差を付ける速さを見せたが、残り30分になってダニエル・リカルドが1:18.486のトップタイムを出した。セッション終盤、上位勢はレースペースを想定した走行を行なったためタイム更新はなかったが、メルセデスはレッドブルより0.4秒速いペースで走行した。残り1分でジョリオン・パーマーがターン4でコースオフした際にフロントウィングが接地して破損し、右フロントタイヤがパンク。デブリが多く飛び散ったため赤旗終了となった。
2017年ハンガリーグランプリ フリー走行
2017年7月28日 14:00
気温25度、路面温度33度、晴天のドライコンディション。マグヌッセンとパーマーはマシン修理に時間がかかりコースインが遅れた。各車ソフトで走行した序盤はルイス・ハミルトンが1:18.779でトップタイムを出し、リカルドが2位。30分頃から各車スーパーソフトでのアタックを始める。ここでトップタイムを出したのはリカルドで1:18.455、以下、ベッテル、バルテリ・ボッタス、キミ・ライコネン、ハミルトン、マックス・フェルスタッペンが0.5秒以内の差でひしめく。52分にパスカル・ウェーレインがターン11でクラッシュし赤旗中断となる。ウェーレインにはケガはなく15時3分にセッションは再開されるが、13分にパーマーが最終ターンでクラッシュして再び赤旗中断となった。18分に再開されたが、上位勢のタイムは変わらなかった。
2017年7月29日 11:00
2017年ハンガリーグランプリ フリー走行
路面温度45度、気温25度、晴天のドライコンディション。このセッションはフェラーリ勢が好調で、15分にライコネンが1:17.909のトップタイムを出すと、18分にはベッテルがスーパーソフトで1:17.790を出して更新する。一方、前日の両セッションでトップタイムを出したリカルドがセッション中盤にギアボックスのトラブルでストップした。セッション後半にはベッテルが1:17.017を出してさらにタイムを更新した。
フェリペ・マッサはフリー走行2回目から体調不良を訴えており、このセッションには出場したものの12周を走行するに留まった。ウィリアムズはリザーブドライバーのポール・ディ・レスタが予選以降のセッションで代走を務めることを決めた。
ニコ・ヒュルケンベルグは6戦以内のギアボックス交換のため、5グリッド降格が決まった。
2017年ハンガリーグランプリ 予選
2017年7月29日 14:00
ベッテルがロシアGP以来7戦ぶり、シーズン2回目のポールポジションを獲得した。フェラーリはモナコGP以来5戦ぶり、シーズン2回目のフロントロー独占となった。
気温26度、路面温度57度、晴天のドライコンディションで行われた。
Q1
全車スーパーソフトでタイムアタック。各車連続アタックでタイムを更新していき、最終的にトップタイムを記録したのはベッテルで、フェルスタッペンが続いた。2017年のマシンでは初走行のディ・レスタはチームメイトのランス・ストロールとともにQ1敗退となったが、最後のアタックでマーカス・エリクソンを上回り最下位を免れた。
Q2
ハミルトンが「タイヤに少しバイブレーションがある」と訴え不安を残す。1回目のアタックではベッテルが1:16.802でトップ、フェルスタッペンが2位。2回目のタイムアタックはフェラーリ勢、レッドブル勢、ヒュルケンベルグがピットで待機する中、メルセデス勢はタイヤのバイブレーション問題もあってコースインし、ハミルトンがベッテルを上回った。しかし、ハミルトンはアタック終了後にも「大きなバイブレーションが出ている」と訴えていた。マクラーレン勢が2台揃ってQ3に進出する一方、フォース・インディア勢がQ2敗退となっている。
2017年ハンガリーグランプリ 予選
Q3
開始直後にコースインしたハミルトンだったが、マシンバランスに不満を訴えターン4でコースオフしてしまいアタックを断念。一方、ベッテルはQ3でも好調で1:16.276でトップ、以下ボッタス、フェルスタッペン、リカルドが続く。2回目のアタックでもハミルトンはタイヤのバイブレーションを訴えタイムが伸び悩み4位に終わった。ベッテルはタイムを更新できなかったがポールポジションを決め、ライコネンが2位に浮上してフェラーリ勢のフロントロー独占となった。
追記
2017年ハンガリーグランプリ 決勝
2017年7月30日 14:00
ベッテルがポール・トゥ・ウィンで今シーズン4勝目、フェラーリは今シーズン2回目のワン・ツー・フィニッシュを飾った。
気温29度、路面温度54度、晴天のドライコンディションで行われた。
スタート直後のターン1でヒュルケンベルグにヒットされたグロージャンが押し出され順位を落とし、ターン2ではフェルスタッペンがリカルドのサイドポッドにヒットした。リカルドのラジエーターは破損して冷却水やオイルがコース上に漏れ出し、ターン3でストップした。これによりセーフティカーが導入され、フェルスタッペンに10秒ペナルティが科された。この時点でベッテル、ライコネン、ボッタスの順位は変わらないが、ハミルトンはフェルスタッペンに抜かれ5位に後退している。レースは6周目に再開され、首位のベッテルはファステストラップを連発して徐々に他車を引き離す。
20周目にグロージャンがスローパンクチャーのためピットインするが、左リアタイヤを締め終えていない状態でコースへ送り出してしまったため、ホイールが外れてリタイアとなった。
2017年ハンガリーグランプリ 決勝
25周目、ここまで順調に首位を独走していたベッテルだったが、「ステアリングが左に曲がる」「徐々に悪化している」と無線で訴え、徐々にペースを落としていく。ベッテルの背後に接近していた2位のライコネンは「セブ（ベッテル）に引っかかっている」と訴える。
各車タイヤ交換のタイミングとなり、30周目にボッタスがピットインするが、フロントジャッキが引っかかり1秒のタイムロス。31周目にハミルトン、32周目にベッテル、33周目にライコネンが順調にタイヤ交換を終える。フェルスタッペンは42周目まで引っ張り、ここで10秒ペナルティを消化してタイヤ交換も行った。この時点でベッテル、ライコネン、ボッタス、ハミルトン、フェルスタッペンの順となり、ベッテルからハミルトンまでは各車1.5秒差となっている。
2017年ハンガリーグランプリ 決勝
46周目にボッタスがハミルトンに先を行かせ、ベッテルのステアリングトラブルでペースが上がらないフェラーリ勢を揺さぶりにかかる。その際に両者に対して「フェラーリ勢を抜けなかったら順位を戻す」約束をしていた。しかし、ハミルトンはフェラーリ勢に迫ることができない。ベッテルの遅いペースに付き合わされていたのはライコネンも同じで、チームに順位の入れ替えを要求するが受け入れられなかった。65周目にはペースを落としたボッタスがフェルスタッペンに迫られるが何とか凌ぎ、最終周では前述の約束通り、ハミルトンがペースを落としボッタスに先行させてフィニッシュした。
ドライバーズポイント争いでハミルトンに1ポイント差にまで迫られていたベッテルが優勝し、4位に終わったハミルトンとの差を14ポイントに広げて前半戦を終えた。フェルナンド・アロンソはレース終盤の69周目にファステストラップを記録して6位に入賞、チームメイトのストフェル・バンドーンも10位に入賞し、マクラーレンは今シーズン初のダブル入賞でコンストラクターズランキング最下位を脱した。
ファステストラップ
ラップリーダー
追記
服部和彦
服部 和彦（はっとり かずひこ、英: Kazuhiko Hattori、1944年 - ）は、日本の音楽家・音楽批評家・音楽プロデューサー・作曲家・朗読演出家。
東京都出身。
服部和彦 経歴
1966年日本大学第二工学部卒業。1976年から1977年まで民族音楽研究のため、アジア、中東、アフリカの各国を歴訪。
1973年に作曲コンクールに1位入賞すると音楽活動を開始。
1975年、国際芸術連盟会長に就任。琴祥流琴祥会(大正琴)会長、日韓音楽文化交流委員会代表などを歴任している。
室内楽を中心に独奏曲、管弦楽、劇音楽など数多くのジャンルで活躍。Asia Composers Leagueのフェスティバルで室内楽作品が6回・声楽アンサンブルが1回入選。
これまでに20回を超える作品個展を開いている。CD、楽譜の出版も多数。
プロデューサーとしての活動も活発で、
国内外の現代音楽の紹介やフェスティバルなどを制作。
また朗読台本の執筆、脚色、演出を手がけるほか、朗読家の発掘育成にも力を注いでいる。
40年来、東洋思想、超心理学、量子物理学、神智学、史学を学び、それらの学際的研究も重ねている。またこれらと並行して講演や執筆活動を行う。
国際芸術連盟会長、琴祥流琴祥会(大正琴)会長、朗読季の会主宰。東京国際室内楽作曲コンクール、東京国際声楽作曲コンクール審査員長。
服部和彦 作曲作品
2016年8月16日「日本現代音楽展」での『ミザール」』の楽曲解説においては、以下のように語っている。
『「ミザール」とは、北斗七星の中の一番明るい星の名称である。“ミザール”という言葉に出会ったとき、この言葉の響きや質感が私の創作意欲を誘発した。
光と闇、動に対する静のように、互いに対立しながら一体融合している存在を想い続けた。漆黒の空間に放散してゆく繊細な光の束をイメージした。
言葉のイメージを喚起する力を思い知ったのだった』
チオシアン酸銅(I)
チオシアン酸銅(I)（チオシアンさんどう いち、英: copper(I) thiocyanate）はチオシアン酸の銅(I)塩で、化学式CuSCNで表される化合物。
チオシアン酸銅(I) 合成
実験室レベルで合成するには、二酸化硫黄の存在下でチオシアン酸アンモニウムまたはチオシアン酸カリウムの水溶液に、硫酸銅(II)など水溶性の銅イオンを加えるだけでよい。
アントマン&ワスプ
『アントマン&ワスプ』（原題: Ant-Man and the Wasp）は、マーベル・コミックのキャラクター「アントマン」と「ワスプ」をベースとした、2018年のアメリカ合衆国のスーパーヒーロー映画。監督はペイトン・リード、出演はポール・ラッド、エヴァンジェリン・リリー、マイケル・ペーニャら。『アントマン』（2015年）の続編であり、「マーベル・シネマティック・ユニバース」（MCU）の20作目。マーベル・スタジオ製作、ウォルト・ディズニー・スタジオ・モーション・ピクチャーズ配給。
アントマン&ワスプ 概要
「マーベル・コミック」のアメリカン・コミックヒーロー『アントマン』の実写映画化作品。2015年の映画『アントマン』の続編となるシリーズ第2作。また、様々な「マーベル・コミック」の実写映画を、同一の世界観のクロスオーバー作品として扱う『マーベル・シネマティック・ユニバース』シリーズとしては、第20作品目の映画となる。
『アベンジャーズ/インフィニティ・ウォー』以前の時間軸を選んだ理由について監督のペイトン・リードは「あの物語の後を舞台にすると、人々が混乱に陥って大変ですからね」と苦笑した。また、『シビル・ウォー/キャプテン・アメリカ』から今作に至るまでのストーリーについて、「スコットが無断でスーツを持ち出してアベンジャーズと戦ったことは無視できなかった。私が『シビル・ウォー』のラフカットを見た時に感じたのは、ハンク・ピム博士と娘のホープが（スコットに対して）どういう心境を抱いているのかということでした。もちろん怒りですし、裏切り行為とも捉えられるでしょう。これが、本作のスタート地点として適しているなと思いました」と話した。
アントマン&ワスプ 概要
マーベル・スタジオ社長のケヴィン・ファイギは本作について「ミクロ化して量子世界に消えた初代ワスプのジャネットを見つけ出す物語です。それ以外に、『アベンジャーズ/エンドゲーム 』に直接つながる物語でもあります。それにより本作に登場するキャラクターたちは、今後かなり重要になります。」と明かした。