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パプアニューギニアの都市の一覧
パプアニューギニアの都市の一覧。
首都・最大都市はポートモレスビー。
学びのフェス
学びのフェスとは、毎年春と夏に科学技術館で開催されている親子向けイベントである。主催は毎日新聞社と毎日メディアカフェ、毎日小学生新聞。当初は夏休みと春休みに毎日新聞東京本社で開催されていたが、2016年より科学技術館に場所を移した。
学びのフェス 展示内容
環境や食、労働などをテーマに企業や団体の出前授業が行われているが、NGO・NPO、大学などの教育機関からの出展もある。
学びのフェス 出展社・団体
2017年春
味の素、ＡＬＳＯＫ、エコマジシャン・ミヤモ、エクスプレス・タックス、オルガニート愛好会、カシオ計算機、カスペルスキー、ガリレオ工房、ＫＤＤＩ、才能教育研究会、湘南クリーンエイド倶楽部、女子栄養大学、ＳＵＢＡＲＵ、スリーボンド、そらべあ基金、デジタルアーツ、東京医療専門学校、東燃ゼネラル石油、ニコリ、日本漢字能力検定協会、日本数学検定協会、日本郵船・全日本海員組合、日本労働組合総連合会、野村ホールディングス、バンダイ、ビーチクラブ全国ネットワーク、富士山クラブ、ほけんの窓口グループ、毎日小学生新聞、ＭＩＹＡの工作室、吉田チヱ子、ライオン
2016年春
カシオ計算機、戸田建設、東燃ゼネラル石油、味の素、ライオン、KDDI、バンダイ、ALSOK、太平洋セメント、キユーピー、デジタルアーツ、SAPIX小学部、連合、カスペルスキー、そらべあ基金、（公財）日本数学検定協会、エコマジシャン・ミヤモ、ガリレオ工房、MIYAの工作室、ニコリ、ドジ井坂のサーフィン教室、タカラトミーアイビス、国土緑化推進機構、ヤスコーン、こども応援団、ユーグレナ、ノビルコアプリスクール、プレシーズ、富士山クラブ、吉田チエ子、荒川クリーンエイド・フォーラム、JINRIKI、Cui Cui、楽天、大地を守る会、アスリートセーブジャパン
球根栽培法
球根栽培法（きゅうこんさいばいほう）とは、戦後に武装闘争方針を採っていた日本共産党主流派が、1951年11月から1952年2月にかけて発行した地下出版物。
球根栽培法 概要
元々は『内外評論』という名称で発行された機関誌であり、日本共産党の武装闘争方針等を掲載した。「球根栽培法」などの名称は擬装のための名称で、幾度も名前を変えている。実際の武器製造方法については、「栄養分析表」や「料理献立表」などの偽装文書として発行された。ガリ版刷りで本文21ページになっている。
後に新左翼諸セクト内でも『球根栽培法』のコピー版が出回り、1974年の東アジア反日武装戦線による『腹腹時計』登場まで武装闘争の指針となっていた。
「球根栽培法」の一部の巻号が、Amazon Kindleの文書として販売されており、またOPACでオンライン公開されている。
蹴上発電所
蹴上発電所（けあげはつでんしょ）は、京都府京都市左京区粟田口鳥居町1番地に設置され、関西電力が管理する水路式・流込み式の水力発電所である。
蹴上発電所 概要
琵琶湖疏水（第1疏水）から取水し、琵琶湖疏水に放水している。
蹴上発電所 歴史
1890年（明治23年）に通水を開始した琵琶湖疏水第1疏水に関連して、翌1891年（明治24年）6月に第一期蹴上発電所が運転を開始した。営業用としては日本最初の水力発電所である。当発電所の電力は、近接する蹴上インクラインの動力源として用いられ、近隣に配電されたほか、1895年（明治28年）に開通した京都電気鉄道（後の京都市電）でも使われた。
1912年（明治45年）、第2疏水の完成に伴い第一期蹴上発電所が取り壊され、第二期蹴上発電所が開業した。正面には、久邇宮邦彦王の書「功天亮（てんこうをたすく）」を石刻した扁額が掲げられている。
1936年（昭和11年）には、第一期発電所の跡地に第三期発電所が建設された。
1942年（昭和17年）に京都市から関西配電に現物出資され、2025年（令和7年）現在は関西電力所管。第二期の特徴的なレンガ造りの建物は現存するが発電所としては使われておらず、白いコンクリート造りの第三期発電所が現役で稼働している。
蹴上発電所 歴史
1992年（平成4年）3月27日、世界で初めて超電導発電機の実系統停電の減少を狙いとした試験に成功した。
2001年（平成13年）に「琵琶湖疏水の発電施設群」として、夷川発電所、墨染発電所とともに土木学会選奨土木遺産に認定されている。
2016年（平成28年）、米国電気電子学会（IEEE）より『IEEEマイルストーン』に認定された。
2018年（平成30年）2月5日、関西電力による蹴上発電所見学会の募集が開始された。同年3月2日以降、毎週金曜日の午前と午後の2回に分けて開催される。1回あたりの定員は20人（予約制）。
オーモンド伯爵 (アイルランド)
オーモンド伯爵（英語: Earl of Ormond）と、それに連なるオーモンド公爵（英語: Duke of Ormond）、オーモンド侯爵（英語: Marquess of Ormonde）は長く複雑な歴史を持つ貴族の爵位。アイルランド貴族としてのオーモンド伯爵位は3回創設された。
オーモンド伯爵 (アイルランド) 歴史
14世紀、エドマンド・バトラーはキャリック伯爵に叙された。ただし、この称号は息子ジェームズ・バトラーには継承されなかった。父の死後、ジェームズは1328年にオーモンド伯爵位を受爵した。1449年、第5代オーモンド伯ジェームズ・バトラーはイングランド貴族としてウィルトシャー伯爵にも叙されたが、1461年に私権剥奪処分を受け、貴族位の没収が宣告された。オーモンド伯爵位は彼の弟ジョン・バトラーに返還され、第6代伯爵になった。
一方、（デ・ジュリではない）事実上の伯爵、ピアーズ・バトラーは、1528年に伯爵位の継承権を放棄させられた。これによって2回目の創設が容易となり、ヘンリー8世の王妃アン・ブーリンの父トマス・ブーリンにオーモンド＝ウィルトシャー伯爵の称号が認められた。ブーリンは第7代伯爵の女系の孫であるため、本来継承順位は低かった。なお、彼はアンを通じ、エリザベス1世の祖父でもある。ブーリンの息子ジョージは大逆罪で父に先立って刑死しており、ブーリンの死により第2期の伯爵位は断絶した。
オーモンド伯爵 (アイルランド) 歴史
愛国心と寛大さを賞して、第7代伯爵の孫ピアーズ・バトラーは称号を返還した5日後にオソリー伯爵に叙爵された。1538年にピアーズ・バトラーに対して3回目の伯爵位創設が行われたが、これはブーリンの追放に先立って本来の継承権を認められたにすぎない。第3期の5代オーモンド伯爵ジェームズ・バトラーはアイルランド貴族として1642年にオーモンド侯爵、1660年にオーモンド公爵を授けられ、イングランド貴族としては1682年にオーモンド公爵に叙されている。
12代伯ジェームズがアイルランド貴族としてのオーモンド公爵を受爵された1682年以降、オーモンドの名前はほとんど普遍的に用いられるようになった。公爵位の従属称号として、イングランド貴族としてブレックノック伯爵（1660年）とバトラー男爵（1660年）、アイルランド貴族としてオーモンド伯爵（1328年）とオソリー伯爵（1528年）、サールス子爵（1536年）があった。
1715年に初代オーモンド公の孫の第2代オーモンド公爵は私権剥奪処分を受け、イングランド貴族位の没収が宣告された。1758年には第2代オーモンド公の弟で法律上の第3代公爵（アイルランド）が死去し、公爵位と侯爵位は廃絶した。
1816年に第18代オーモンド伯爵ウォルター・バトラーがオーモンド侯爵を受けた。侯爵位は彼の死により廃絶したが、伯爵位は彼の弟、ジェームズに継承され、彼は1825年に連合王国貴族としてのオーモンド侯爵に叙された。この称号は1997年に廃絶し、伯爵位は休止中である。
なお、当伯爵位とは無関係だが、スコットランド貴族としてオーモンド伯爵が2回創設されている。
オーモンド伯爵 (アイルランド) オーモンド＝オソリー伯 (1328年/1538年; 復帰)
第7代オーモンド侯爵の保持するオーモンド＝オソリー伯爵の法定推定相続人は第8代オーモンド伯爵の次男リチャードの男系子孫にあたる第18代マウントギャレット子爵と考えられる。しかし、彼は法定推定相続人であることを貴族院に対し主張していない。
ユーマ (お笑い芸人)
ユーマ（生年非公表 8月17日 - ）は、日本のお笑い芸人。男性。
大阪市阿倍野区出身。ホリプロコム所属。本名・奥村 和宏（おくむら かずひろ）
ユーマ (お笑い芸人) 来歴
大阪市立第二工芸高等学校卒業 吉本総合芸能学院（NSC）大阪校23期生出身。19歳で吉本新喜劇の研究生になり、端役で出演。しかし結局新喜劇の正式座員にはなれず、1年と少しで退団。大阪を拠点に活動していた時は「大木三郎」（おおき さぶろう）の芸名で活動、吉本興業大阪本社に約7年間所属。大木三郎として出場した2005年のR-1ぐらんぷりでは、準決勝まで進出。その後25歳くらいの頃に上京。2010年の頃には芸名を「大木サブロー」に改め、泉ピン子の付き人をしながら活動していた。
その後ゲイバー通いを始め、この時は本名ではなく「ユーマ」を名乗っており、後にこれを現在の芸名とする。この名前は中学2年生の時の初恋相手の男子の名前に由来している。ホリプロコムに入った理由も、妻夫木聡、鈴木亮平、向井理、中尾明慶と好きな俳優が多いからということを話している
2012年頃から新宿二丁目で自分のゲイバーを2店経営している。
ユーマ (お笑い芸人) 人物
母子家庭で母との二人暮らしで育った。父親が居なかったこともあり男性への接し方が解らず、そのようなことから男性への興味が強くなったかも知れないと話している。ゲイの意識は10代の頃から薄々あり、その頃から女子よりも男子の体の方に目が行っていたとのことで、女子と恋愛したり交際したりしていたこともあったがしっくり来なかったという。25歳の頃に40歳くらいの男性に出会い交際した時にゲイに本格的に目覚め、ゲイをカミングアウトするようになった。
ユーマ (お笑い芸人) 芸風
「オネエショートコント」と題した一人コントを演じる。内容やオチはどうしても下ネタになってしまうという。「教習所」などのネタを持つ。
夷川発電所
夷川発電所（えびすがわはつでんしょ）は、京都府京都市左京区にある水力発電所である。
夷川発電所 概要
1912年の第二琵琶湖疏水完成に伴い、1914年4月に運転を開始した。
2017年現在は関西電力の発電所となっている。
1992年から1993年にかけて、水車および発電機を交換する設備更新工事が行われた。
2001年に「琵琶湖疏水の発電施設群」として、蹴上発電所、墨染発電所とともに土木学会選奨土木遺産に認定されている。
森見登美彦の小説「有頂天家族」や「四畳半神話大系」では、本発電所も舞台の一部として登場する。
夷川発電所 設備
発電設備は水路式（流込み式）で、国産のS形チューブラ水車と同期発電機を備える。認可最大出力300kW、常時出力280kW、最大使用水量は13.91立方メートル毎秒、常時使用水量は9.41立方メートル毎秒で、有効落差は3.42mである。
運開時は、ボビング社製4連フランシス水車およびウェスティングハウス社製三相同期発電機を使用していた。
墨染発電所
墨染発電所（すみぞめはつでんしょ）は、京都府京都市伏見区深草墨染町にある水力発電所である。
墨染発電所 概要
1912年の第二琵琶湖疏水完成に伴い、伏見インクラインの落差を利用し1914年5月に運転を開始した。鴨川運河の深草に位置する。旧名称は伏見発電所。
2017年現在は関西電力の発電所となっている。
2001年に「琵琶湖疏水の発電施設群」として、蹴上発電所、夷川発電所とともに土木学会選奨土木遺産に認定されている。
墨染発電所 設備
発電設備は水路式（流込み式）で、立軸カプラン水車および立軸三相交流誘導発電機を備える。認可最大出力2,200kW、最大使用水量は20.00立方メートル毎秒、有効落差は14.31mである。
東谷英人
東谷 英人（あずまや えいと、1982年12月24日 - ）は日本の俳優。DULL-COLORED POP所属。
東谷英人 人物
宮城県仙台市出身。谷賢一主宰のDULL-COLORED POP所属。1982年12月24日金曜日生まれ。血液型はO型。身長181cm、体重70kg。好きなものは芝居、漫画、沖縄。好きな音楽はYMO、吉田拓郎（特に「流星」）、井上陽水、ブランキー・ジェット・シティ、フジファブリック、FISHMANS、エレファントカシマシ、奥田民生、ドビュッシー。好きな漫画は「喧嘩稼業」好きな映画は「竜二」「リリィ・シュシュのすべて」「レザボア・ドッグス」など。好きな作家は熊谷達也。きれい好き。
12歳で野球をはじめ、中学、高校時代は野球漫画を読むか、野球をするかの生活をしていた。
ひとりでランニングするときはいつもエレファントカシマシの「今宵の月のように」を熱唱していた。自転車に乗ってるときは「Baby自転車」を絶唱。なにもすることがない夜には「何も無き一夜」を枕に顔を当てながら絶叫。
中学、高校と野球漬けの生活であったので、進学校ではあったが、図書館や学習室で勉強する同級生を横目に「俺、どうしよう」と考える。
東谷英人 人物
そんな中、学校をサボって行った映画館で「はつ恋」(田中麗奈主演)を観て感動し、自分のやりたいことは俳優や表現活動にあるんじゃないだろうかと感じ始め、さらに「自立して家を出たい」思いから浪人して進学、上京することを決意。浪人時代は単館映画館が近くにあるCAP予備校にいきつつ、その映画館に通い日々を過ごす。予備校よりもむしろその映画館に通い詰めた日々、その体験を本人は人生で始めて芝居に触れた経験と言っている。
早稲田大学文学部日本文学専修卒業。卒論テーマは「日本語におけるエレファントカシマシの汚らしさの力」。入学して1年目はどのサークルにも所属できなかったが、2年次に当時早稲田を主戦場として活動していたナンセンスコメディー集団、カカフカカ企画「ボギベエ!って3回も言われた」をたまたま観て、その会場の熱気と生のライブでどっかんどっかん笑いが起きてる事象に感銘を受け、その後の手伝い募集に名乗り出たらば直後の公演で出演が決定。初舞台のタイトルは「ハヤオの働く城」、役名はアサノ(当時、表情も隠れるほどのロングヘアーだったのが浅野忠信の雰囲気と似ていたため)、ピッコロ、バイキンマンなどにもなる。
東谷英人 人物
その後、カカフカカ企画には6年ほど所属、パイプカットされた囚人たちのリーダー役、ある局部だけが異常に大きなサイボーグ役、デスノートをなぜか使える犬役、ベジータ、などを演じ早稲田界隈で人気を博し、看板俳優として本公演、企画公演、ライブ活動など団体の中心人物として八面六臂の活躍を見せる。
そんな中、ふと自分のやってることがいったいどこに向かっているのか疑問に感じ、いったい俺はどうなりたいのかと自問自答を繰り返した末、カカフカカ企画を退団し、フリーの俳優として活動していくことを決意。オーディションやワークショップなどを手当たり次第に受けつつ、舞台に立ち続ける中で、2010年、ProjectBUNGAKU(太宰治作品を演劇にして4団体が競うショーケース公演)に出演が決定。その作品がDULL-COLORED POPの「人間失格」であり、それが谷賢一と出会って最初の仕事となる。それまで劇団としては活動休止状態だったDULL-COLORED POPが2011年の活動再開するタイミングで劇団員となる。ちなみに劇団員として初の公の仕事は谷賢一劇場結婚式でのプログラム、結婚式演劇における谷賢一役だった。
東谷英人 人物
活動再開公演「Caesiumberry Jam」以降、2016年の活動再休止公演「演劇」まで全本公演に出演。劇団というと、裏方などの雑務も劇団員の仕事というのは常識であるが、本人は裏方仕事が一切できないため、団体内では「ほらいくぞ!」「さあやるぞ!」と声を掛ける役割を担っている。外部活動も多岐に渡り、近年ではカクシンハン、燐光群、LondonPANDA、流山児★事務所などに出演。カカフカカ企画時代の仲間とともにPodcastでラジオ番組「ゲスバカ天国」を毎週火曜日配信中。
2017年1月30日時点で自分がWikipediaに載っていないことを知らなかった。載っていると思っていたかは不明である。目つきの悪いその目は、出目すぎるため「いつかこぼれ落ちるわよ」と高円寺の母（占い師）に豪語されたことがある。ファミリーマートの特典で当選しモーニング娘の握手会に行き加護亜依と握手したことがある。
2017年3月23日 - 26日「女王と呼ばれた女」（鳥居みゆき主演）に出演。
赤井 (川口市)
赤井（あかい）は、埼玉県川口市の大字及び町名。現行行政地名は大字赤井、赤井一丁目から四丁目。町丁部分は住居表示実施済み。郵便番号は334-0073。
赤井 (川口市) 地理
川口市の東部に位置する。見沼代用水を境に大字地区と住居表示実施部分に分かれる。三ツ和との境界には毛長川が流れる。
赤井 (川口市) 歴史
もとは江戸期より存在した足立郡舎人領に属する赤井村であった。
赤井 (川口市) 世帯数と人口
2018年（平成30年）3月1日現在の世帯数と人口は以下の通りである。
赤井 (川口市) 小・中学校の学区
市立小・中学校に通う場合、学区（校区）は以下の通りとなる。
桂年挙
桂 年挙（かつら としたか、生没年不詳）とは、明治時代の浮世絵師。
桂年挙 来歴
月岡芳年の門人。姓は桂、俗称は荘助。作画期は明治とされ、明治31年（1898年）建立の月岡芳年翁之碑に「芳年門人」として「桂年挙」の名がある。
阪巻年玉
阪巻 年玉（さかまき としたま、生没年不詳）とは、明治時代の浮世絵師。
阪巻年玉 来歴
月岡芳年の門人。『浮世絵師人名辞書』に「芳年門人、阪巻氏、明治」とあるが、その他の経歴や作については不明。
遺伝医学
遺伝医学 (いでんいがく) または医科遺伝学 (いかいでんがく) とは、遺伝子疾患の診断や治療を扱う医学の一分野である。ヒト遺伝学は医学に応用されるか否か不明の科学領域であるが、遺伝医学 (genetic medicine) は遺伝学 (genetics) を医療 (medicine) に応用することをその名自体が言及している。この点において二者は異なると言えよう。例えば、遺伝子疾患の原因と継承性はヒト遺伝学と遺伝医学の両方の分野に含まれるが、遺伝子疾患を持つ人の診断、治療、カウンセリングは遺伝医学の一部であり、ヒト遺伝学には含まれないだろう。一方、目の色の遺伝学といったような非医学的な表現型の研究はヒト遺伝学に含まれるが、それは必ずしも遺伝医学とは関連しない (アルビノ等の場合はその限りでない)。"genetic medicine" (直訳: 遺伝医学) は "medical genetics" (直訳: 医科遺伝学) の新しい用語であり、遺伝子治療、個別化医療、急速に発達している新たな医学分野である予防医学などの領域を包括している。
秋山源兵衛
秋山源兵衛（あきやま げんべえ）
秋山源兵衛 - 貴族院議員。
秋山源兵衛 (開拓者) - 江戸時代の伊達藩の開拓者。
秋山源兵衛 (衆議院議員) - 千葉県選出
ディアマンテ・ネグロ
ディアマンテ・ネグロ (diamante negro)
「黒いダイヤモンド」を意味するスペイン語の語句。特定の人物の愛称などとして用いる場合は、定冠詞をつけて「エル・ディアマンテ・ネグロ (El Diamante Negro)」とされる。
大舎人
大舎人（おおとねり）は、律令制において天皇に伴奉して雑使などをつとめた下級官人である。
大舎人 概要
養老令では、中務省被管の左右の大舎人寮に各800人が所属し、分番で禁中に宿直していた。「大舎人」は「内舎人」に対する呼称で、後者の方が天皇から受ける信頼度は強く、21歳以上の五位以上の子孫で、鋭敏・端正なる者を内舎人に採用し、残りが大舎人・東宮舎人・中宮舎人に任じられている。また、同じく21歳以上の内六位以下八位以上の人の嫡子・庶子を簡試し、上等（端正・書算堪能）・下等（劣弱・文章不知）を式部省に送り、簡試の上で上等を大舎人、下等を使部に任じ、中等（強幹で弓馬に熟達）を兵部省に送り兵衛とした。
弘仁11年（820年）4月の太政官符により、左右合わせて400人に減少した。
『日本書紀』には、安康天皇の「大舎人」某が大泊瀬幼武皇子（のちの雄略天皇）に安康天皇が眉輪王に暗殺されたことを告げる場面があり、『出雲国風土記』には欽明天皇に、倉舎人君の祖先である「日置臣志毘」という大舎人が仕えていたとある。天武天皇2年（673年）の詔によると、「初めて宮仕えをするものはまず大舎人になり、しかるべきのちに適職に当たらせよ」となっており、大舎人が仕官者の関門で、官人養成機関の役をするものとして整えられたことが記されている。朱鳥元年（686年）の河内王の誄（しのびごと）では、左右大舎人のことが語られたとあり、太政官には所属してはおらず、天皇家の家政機関的な色彩が強く表れている。
ホップ代数
数学において，ホップ代数（ホップだいすう，英: Hopf algebra）は，ハインツ・ホップに因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たす反自己同型を備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである．
ホップ代数は，その起源であり H 空間の概念と関係する代数的位相幾何学，群スキームの理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それらは物性物理学や量子的場の理論から弦理論まで多様な応用を持つ．
定理 (ホップ) A を標数 0 の体上の有限次元次数付き可換次数付き余可換ホップ代数とする．このとき A は（代数として）奇数次の生成元による自由外積代数である．
ホップ代数 定義
正式には，ホップ代数は体 K 上の（結合的かつ余結合的）双代数 H であって，次の図式が可換であるような（対蹠射または対合射と呼ばれる）K 線型写像 S: H → H を持つものである：
ここで Δ は双代数の余積であり，∇ は積，η は単位射，ε は余単位射である．スウィードラーの記法を用いて，この性質は次のようにも書ける：
代数に関しては，上の定義において基礎体 K を可換環 R に置き換えることができる．
ホップ代数の定義は（上の図式の対称性に表れているように）自己双対であるので，H の双対を定義できるならば（H が有限次元ならいつでも可能である），それは自動的にホップ代数になる．
基礎ベクトル空間の基底  を固定して，代数を構造定数を用いて定義できる．積に対して
余積に対して
対合射に対して
すると結合律は
であり，余結合律は
である．上の図式の可換性は
である．
対蹠射 S は K 線型逆写像を持つよう要求されることもある．これは有限次元の場合や，H が可換あるいは余可換（あるいはより一般に準三角）であるとき，自動的に成り立つ．
一般に，S は反準同型なので，S2 は準同型で，したがって S が可逆ならば同型である．
ホップ代数 定義
対蹠射が対合、すなわち S2 = idH ならば，ホップ代数は対合的 (involutive) といわれる（そして台となる対合付きの代数は *-環となる）．H が標数 0 の体上有限次元半単純，可換，あるいは余可換ならば，対合的である．
双代数 B が対合射 S を持つならば，S は一意である（「双代数は高々 1 つのホップ代数構造を持つ」）．
対合射は g を逆元 g−1 に送る群上の写像の類似である．
ホップ代数 H の部分代数 A が部分ホップ代数であるとは，H の部分余代数であり，対合射 S が A を A の中に写すことをいう．言い換えると，部分ホップ代数 A は，H の積，余積，余単位射，対合射を A に制限したとき（さらに H の単位元 1 は A に属しているとき）それ自身ホップ代数である．Nichols–Zoeller freeness theorem は H が有限次元であるときに自然な A 加群 H は階数有限の自由加群であることを（1989年に）確立した．これは部分群に対するラグランジュの定理の一般化である．これと積分論の系として，半単純有限次元ホップ代数の部分ホップ代数は自動的に半単純である．
ホップ代数 定義
部分ホップ代数 A がホップ代数 H において右正規であるとは，安定性の条件，すべての h ∈ H に対して adr(h)(A) ⊆ A, を満たすことをいう．ここで右随伴写像 adr はすべての a ∈ A と h ∈ H に対して adr(h)(a) = S(h(1))ah(2) によって定義される．同様に，部分ホップ代数 A が H において左正規であるとは，adl(h)(a) = h(1)aS(h(2)) によって定義される左随伴写像で安定なことをいう．正規性の2つの条件は対合射 S が全単射なときには同値であり，この場合 A は正規ホップ部分代数といわれる．
H の正規部分ホップ代数 A は（H の部分集合の等式の）条件 HA+ = A+H を満たす，ただし A+ は K 上の余単位射の核を表す．この正規性条件は HA+ が H のホップイデアルである（すなわち余単位射の核の代数イデアルで，余代数余イデアルで，対合射で安定である）ことを意味する．したがって，商ホップ代数 H/HA+ と全射準同型 H → H/A+H があり，群論における正規部分群と商群に類似の理論がある．
分数体 K をもつ整域 R 上のホップ整環 O とは，K 上のホップ代数 H における整環であって，代数と余代数の演算で閉じている，特に余積 Δ は O を O⊗O に送る，もののことである．
群的元とは非零元 x であって Δ(x) = x ⊗ x なるものである．群的元たちは対合射によって与えられる逆元を持つ群をなす．原始元 x は Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x を満たす．
ホップ代数 表現論
A をホップ代数とし，M と N を A 加群とする．このとき，M ⊗ N も次のようにして A 加群である：m ∈ M, n ∈ N, Δ(a) = (a1, a2) に対して，
さらに，自明表現を基礎体 K に m ∈ K に対して
として定義できる．最後に，A の双対表現が定義できる：M が A 加群で M* がその双対空間のとき，f ∈ M* と m ∈ M に対して
Δ, ε, S の間の関係により，ベクトル空間のある自然な準同型は実際 A 加群の準同型であることが保証される．例えば，ベクトル空間の自然な同型 M → M ⊗ K と M → K ⊗ M は A 加群の同型でもある．また，ベクトル空間の写像 M* ⊗ M → K, f ⊗ m → f(m) も A 加群の準同型である．しかしながら，写像 M ⊗ M* → K は A 加群の準同型であるとは限らない．
ホップ代数 例
有限群上の関数たちは群環と同一視できるが，これらはより自然に双対と考えられることに注意――群環の元は群の元の（重み付き）有限和であり，したがって群上の関数との内積が和の各項の群の元をその函数で評価することによって与えられる．
ホップ代数 リー群のコホモロジー
リー群のコホモロジー環はホップ代数である：積はカップ積で与えられ，余積
は群の積 G × G → G によって与えられる．この観察は実はホップ代数の概念の源であった．この構造を用いて，ホップはリー群のコホモロジー環の構造定理を証明した．
定理 (Hopf)
A を標数 0 上の有限次元次数付き可換次数付き余可換ホップ代数とする．このとき A は（代数として）奇数次の生成元を持った自由外積代数である．
ホップ代数 量子群と非可換幾何学
上の例はほとんど可換（すなわち積が可換）か余可換（すなわち Δ = T ∘ Δ ただし twist map T: H ⊗ H → H ⊗ H は T(x ⊗ y) = y ⊗ x によって定義される）である．他の面白いホップ代数は，可換でも余可換でもない，普遍包絡環や正則関数環，座標環のある種の「変形」あるいは「量子化」である．これらのホップ代数はしばしば量子群と呼ばれ，この用語は今のところ漠然としか定義されていない．それらは非可換幾何学において重要であり，思想は以下のようである：普通の代数群はその正則関数の普通のホップ代数によってよく記述される；このホップ代数の変形版をある種の「普通でない」あるいは「量子化された」代数群（もはや代数群ではない）と考えることができる．これらの対象を定義したり扱ったりする直接的な方法は存在しないように思われるが，ホップ代数を研究することはなおでき，実際それらをホップ代数と同一視する．したがって名前「量子群」である．
ホップ代数 群との類似
群はホップ代数と同じ図式（同じことだが演算）によって公理化できる，ただし G は加群の代わりに集合と取られる．この場合：
この哲学において，群は「一元体」上のホップ代数と考えることができる．
関手圏
圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、英: functor category）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる：
関手圏 定義
C を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、D を任意の圏とする。C から D への関手全体のなす圏は、Fun(C, D), Funct(C, D), [C, D], DC などと書かれ、対象として C から D への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意：μ(X): F(X) → G(X) が関手 F: C → D から関手 G: C → D への自然変換で、η(X): G(X) → H(X) が関手 G から関手 H への自然変換であるとき、集まり η(X)μ(X): F(X) → H(X) は F から H への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、DC は圏の公理を満たす。
全く同様に、C から D への反変関手全体の圏を考えることもできる；これはFunct(Cop, D) と書かれる。
C と D がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、C から D への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、Add(C, D) と書かれる。
関手圏 例
任意の環 R は対象が1つの前加法圏と考えることができる；R 上の左加群の圏は加法的関手圏 Add(R, Ab) と同じであり（ただし Ab はアーベル群の圏を表す）、右 R 加群の圏は Add(Rop, Ab) である。この例により、任意の前加法圏 C に対して、圏 Add(C, Ab) を「C 上の左加群の圏」、Add(Cop, Ab) を「C 上の右加群の圏」と呼ぶことがある。
位相空間 X 上の前層の圏は関手圏である：位相空間を対象が X の開集合で、U が V に含まれるとき、かつそのときに限り U から V へのただ1つの射があるような圏 C と思う。すると X 上の集合（あるいはアーベル群、環）の前層の圏は C から Set（あるいは Ab, Ring）への反変関手の圏と同じである。この例により、圏 Funct(Cop, Set) は、位相空間から生じない一般の圏 C に対してさえも、「C 上の集合の前層の圏」と呼ばれることがある。一般の圏 C 上の層を定義するには、さらなる構造が必要である、すなわち C 上のグロタンディーク位相である。（SetC に同値な圏を“前層圏”と呼ぶ著者もいる。）
関手圏 事実
D において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、C の各対象に対してバラバラに実行することで、DC においても実行できる。例えば、D の任意の2つの対象 X と Y が積 X × Y を持つとき、DC の任意の2つの関手 F と G は次で定義される積 F × G を持つ：C の任意の対象 c に対して (F × G)(c) = F(c) × G(c). 同様に、ηc: F(c)→G(c) が自然変換で各 ηc が圏 D において核 Kc をもつとき、関手圏 DC における η の核は、C のすべての c に対して K(c) = Kc なる関手 K である。
結果として、関手圏 DC は D のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 rule of thumb がある：
また次も成り立つ：
なので上の例から、有向グラフ、G 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、G の表現、環 R 上の加群、位相空間 X 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。
先に述べた圏 C の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。C の任意の対象 X に対して、Hom(–, X) を C から Set への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て
関手圏 事実
が圏 C の圏 Funct(Cop, Set) への充満埋め込みであると言っている。したがって C は自然にトポスの中にいる。
同じことは任意の前加法圏 C に対して実行できる：すると米田は C の関手圏 Add(Cop, Ab) への充満埋め込みを生む。したがって C は自然にアーベル圏の中にいる。
上でのべた直感（D で実行できる構成は DC に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 F: D → E は（F との合成により）関手 FC: DC → EC を誘導する。F と G が随伴関手の対であるとき、FC と GC もまた随伴関手の対である。
関手圏 DC は指数対象のすべての形式的な性質を有する；特に関手たち E × C → D は E から DC への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏 Cat はしたがってデカルト閉圏である。
指標理論
数学、特に群論において、群の表現の指標（しひょう、英: character）は、群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像である。指標は表現の本質的な情報をより凝縮された形で持っている。ゲオルク・フロベニウスは最初に、指標のみに基づいて、表現の明示的な行列表示は用いずに、有限群の表現論を発展させた。これは有限群の複素表現はその指標によって（同型を除いて）決定されるから可能である。正標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の場合には、状況はより繊細であるが、リチャード・ブラウアーはこの場合にも指標の強力な理論を発展させた。有限群の構造に関する多くの深い定理はモジュラー表現の指標を用いる。
指標理論 応用
既約表現の指標には群の多くの重要な性質が反映されており、したがってその構造の研究に用いることができる。指標理論は有限単純群の分類において本質的な道具である。Feit–Thompson の定理の半分近くは指標の値の入り組んだ計算を伴う。指標理論を使う、より容易だがなお本質的な結果は、バーンサイドの定理（純粋に群論的な証明は見つかっているが、バーンサイドのもともとの証明のあと半世紀以上経ってからである）や、有限単純群はシロー 2-部分群として一般四元数群を持つことはできないというブラウアー・鈴木の定理である。
指標理論 定義
V を体 F 上の有限次元ベクトル空間とし、ρ: G → GL(V) を群 G の V 上の表現とする。ρ の指標 (character) とは関数
である、ただし Tr はトレースである。
指標 χρ が既約 (irreducible) あるいは単純 (simple) とは、ρ が既約表現であることをいう。指標 χ の次数 (degree) は ρ の次元である；標数 0 ではこれは値 χ(1) に等しい。次数 1 の指標は線型 (linear) と呼ばれる。G が有限で F が標数 0 のとき、指標 χρ の核 (kernel) は正規部分群
であり、これはちょうど表現 ρ の核である。
指標理論 性質
はすべての x ∈ G に対して代数的整数である。
ρ と σ を G の表現とする。このとき以下の等式が成り立つ：
ここで、ρ ⊕ σ は直和で、ρ ⊗ σ はテンソル積で、ρ∗ は ρ の共役転置を表し、Alt2 は交代積 Alt2 ρ = ρ ∧ ρ であり、Sym2 は対称平方で次で決定される：
指標理論 指標表
有限群の既約複素指標は群 G についての多くの有用な情報を凝縮された形で表現する指標表をなす。各行は既約表現によってラベルづけられ、行の成分は G のそれぞれの共役類上の表現の指標である。列は G の共役類（の代表元）によってラベル付けられる。第一行を自明指標でラベル付け、第一列を単位元（の共役類）でラベル付けるのが通例である。第一列の成分は単位元における既約指標の値、既約指標の次数である。
ここに u を生成元とする位数3の巡回群
の指標表を書く。
ただし ω は 1 の原始3乗根である。
指標表は正方形である、なぜならば既約表現の同型類の個数は共役類の個数に等しいからである。指標表の第一行は（上述の通例により） 1 たちからなり、自明表現（成分が 1 の 1 × 1 行列からなる 1 次元表現）に対応する。
有限群 G の複素数値類関数の空間は自然な内積を持つ：
ただし β(g) は β(g) の複素共役である。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の正規直交基底をなし、これは指標表の行の直交関係を生む：
指標理論 指標表
G の元 g, h に対して、列の直交関係は次のようである：
ただし和は G の既約指標 χi 全体を渡り、記号 |CG(g)| は g の中心化群の位数を表す。
直交関係式は以下を含む多くの計算の助けとなる：
群 G のある性質はその指標表から結論できる：
指標表は一般には群を同型の違いを除いて決定しない：例えば、四元数群 Q と位数 8 の二面体群 D4 は同じ指標表を持つ。ブラウアーは指標表を共役類の元の冪がどのように分布しているかの知識と合わせて有限群を同型を除いて決定できるかどうかを問うた。1964年、これは E. C. Dade によって否定的に解かれた。
線型指標たちは指標群をなし、これは数論と重要な関係がある。
指標理論 誘導指標とフロベニウス相互律
この節で議論される指標は複素数値であると仮定する。H を有限群 G の部分群とする。G の指標 χ が与えられたとき、χH でその H への制限を表す。θ を H の指標とする。ファルディナンド・ゲオルグ・フロベニウスは今ではフロベニウスの相互律と呼ばれるものを用いて θ から G の指標を構成する方法を示した。G の既約指標たちは G の複素数値類関数の空間の正規直交基底をなすから、次の性質を持つ G の類関数 θG が一意的に存在する：G の各既約指標 χ に対して
（左辺の内積は G の類関数に対するもので、右辺の内積は H の類関数に対するものである）。G の指標の部分群 H への制限は再び H の指標であるから、この定義は θG が G の既約指標の非負線型結合でありしたがって実際 G の指標であることを明らかにする。それは  θ から誘導される G の指標と呼ばれる。フロベニウス相互律の定義式は一般の複素数値類関数に拡張できる。
指標理論 誘導指標とフロベニウス相互律
H の行列表示 ρ が与えられたとき、フロベニウスは後に G の行列表現を構成する明示的な方法を与え、ρ から誘導される表現と呼ばれ、同様に ρG と書かれる。これは誘導指標 θG の別の記述を導いた。この誘導指標は H のどんな元とも共軛でない G のすべての元上消える。誘導指標は G の類関数であるから、H の元での値の記述だけが必要である。G を H の右剰余類の直和として
と書けば、元 h ∈ H が与えられると、
となる。θ は H の類関数だから、この値は剰余類の代表元の選び方に依存しない。
誘導指標のこの別の記述により H の G への埋め込みについての比較的小さい情報から明示的な計算ができることがあり、特定の指標表の計算にしばしば有用である。θ が H の自明指標であるとき、得られる誘導指標は（H の剰余類上の）G の置換指標 (permutation character) と呼ばれる。
指標の誘導の一般的な技術と後の精密化は有限群論と数学のいたるところに多数の応用があり、フロベニウスの後にもエミール・アルティン、リチャード・ブラウアー、Walter Feit, 鈴木通夫のような数学者によってなされた。
指標理論 マッキー分解
マッキー分解はリー群の文脈でジョージ・マッキー (George Mackey) によって定義され研究されたが、有限群の指標理論や表現論において強力な道具である。その基本的な形は、有限群 G の部分群 H から誘導された指標（あるいは加群）が G の（異なってもよい）部分群 K に再び制限したときにどのように振る舞うかを考え、G の (H, K)-両側剰余類 への分解を用いる。
が非交叉和で、θ が H の複素類関数ならば、マッキーの公式は
である、ただし θt はすべての h ∈ H に対して θ t(t−1ht) = θ(h) によって定義される t−1Ht の類関数である。誘導加群の部分群への制限に対する類似の公式もあり、任意の環上の表現に対して成り立ち、代数とトポロジーの広範な文脈で応用がある。
指標理論 マッキー分解
マッキー分解は、フロベニウスの相互律とあわせて、部分群 H と K から誘導された2つの類関数 θ と ψ の内積に対する有名で有用な公式を生む。その有用性は H と K の共役がお互いにどのように交わるかのみに依るという事実にある。（導出とともに）公式は：
（ただし T は前のように (H, K)-両側剰余類の完全代表系）。この公式は θ と ψ が線型指標であるときにしばしば用いられ、このとき右辺の和に現れるすべての内積は 1 か 0 で、線型指標 θ t と ψ が t−1Ht ∩ K への制限で同じになるか否かに対応する。θ と ψ がともに自明指標ならば、内積は単に |T | となる。
指標理論 “捩れ”次元
表現の指標をベクトル空間の「捩れ」次元と解釈できる。指標を群の元の関数 χ(g) と扱うことで、その単位元での値は空間の次元である、なぜならば χ(1) = Tr(ρ(1)) = Tr(IV) = dim(V) だからである。したがって、指標の他の値を「捩れ」次元と見ることができる。
次元についての主張の指標や表現についての主張への類似や一般化を見つけることができる。これの洗練された例はモンストラス・ムーンシャインの理論において現れる：j 不変量はモンスター群の無限次元次数付き表現の次数付き次元であり、次元を指標で置き換えることでモンスター群の各元に対してマッキー・トンプソン列を得る。
指標理論 リー群とリー環の指標
G をリー群、 をそのリー環とし、H と  をそれぞれカルタン部分群、カルタン部分環とする。
V を G の表現とする。V のウェイト空間を Vλと書いて、リー群とリー環の形式指標を
と定義できる、ここで和はウェイト格子のすべてのウェイトを走る。上の式で eλ は e λ ⋅ e μ = e λ+μ を満たす形式的な対象である。この形式指標は他の群の通常の指標と関係する。eX ∈ H, ただし H は G のカルタン部分群（つまり X は  に属する）、ならば、
である。テンソル積や他の表現の分解の上の議論は形式指標に対しても成り立つ。コンパクトリー群の場合には、ワイルの指標公式を形式指標を計算するのに使うことができる。
広義固有ベクトル
線型代数学において，n × n 行列 A の広義（あるいは一般）固有ベクトル（こうぎこゆうベクトル，いっぱんこゆうベクトル，英: generalized eigenvector）は，（通常の）固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである．
V を n 次元ベクトル空間とする．φ を V から V への線型写像とする．A をある基底についての φ の行列表示とする．
V の完全な基底をなす A の n 個の線型独立な固有ベクトルがいつも存在するとは限らない．つまり，行列 A は対角化可能とは限らない．これは少なくとも1つの固有値 λi の代数的重複度がその幾何学的重複度（行列 A − λiI の退化次数，あるいはその零空間の次元）よりも大きいときに起こる．この場合，λi は不足固有値と呼ばれ，A は不足行列と呼ばれる．
広義固有ベクトル
λi に対応する広義固有ベクトル xi は，行列 A − λiI とあわせて，V の不変部分空間の基底をなす線型独立な広義固有ベクトルのジョルダン鎖を生成する．
広義固有ベクトルを用いて，A の線型独立な固有ベクトルの集合を必要ならば V の完全な基底に拡張できる．この基底は A に相似なジョルダン標準形にある「ほとんど対角な行列」J を決定するのに用いることができ，これは A のある行列関数を計算するのに有用である．行列 J は A が対角化可能とは限らないときに線形微分方程式系 x′ = Ax を解く際にも有用である．
広義固有ベクトル 概要と定義
（通常の）固有ベクトルを定義するいくつかの同値な方法がある．n × n 行列 A の固有値 λ の固有ベクトル x とは，(λI − A)x = 0 なる零でないベクトルである，ただし I は n × n の単位行列であり，0 は n 次元の零ベクトルである．つまり，x は変換 A − λI の核に属する．A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持てば，A は対角行列 D に相似である．つまり，ある可逆行列 M が存在して，A は相似変換 D = M−1AM により対角化可能である．行列 D は A のスペクトル行列と呼ばれる．行列 M は A の モード行列 と呼ばれる．対角化可能な行列は，その行列関数が容易に計算できるなどの特長がある．
一方，n × n 行列 A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持たないとき，A は対角化可能ではない．
定義
ベクトル xm が行列 A の固有値 λ に対応する階数 m の広義（あるいは一般）固有ベクトル (英: generalized eigenvector) であるとは， を満たすが， であることをいう．
広義固有ベクトル 概要と定義
明らかに，階数 1 の広義固有ベクトルは通常の固有ベクトルである．すべての n × n 行列 A は n 個の線型独立な広義固有ベクトルを持ち，ジョルダン標準形の「ほとんど対角」な行列 J に相似であることを示すことができる．つまり，可逆行列 M が存在して，J = M−1AM となる．このときの行列 M は A の 広義モード行列 と呼ばれる．λ が代数的重複度 μ の固有値ならば，A は λ に対応する μ 個の線型独立な広義固有ベクトルを持つ．これらの結果は，A のある種の行列関数を簡易に計算する際に有用となる．
与えられた λ に対するすべての広義固有ベクトルによって張られる集合は λ の広義（あるいは一般）固有空間 (英: generalized eigenspace) をなす．
広義固有ベクトル 例
広義固有ベクトルの概念を説明するいくつかの例を挙げる．詳細のいくつかは後で記述される．
まず，固有値が重複しても異なる（通常の）固有ベクトルが得られる例について示す．
とする．A の固有値は，det(λI − A) = 0 を満たす λ であり，これを解くと， となり，ただ1つの固有値 λ = 1 が得られる．その代数的重複度は  である．この固有値 λ = 1 に対する（通常の）固有ベクトルを求めてみよう． とおき， を満たすゼロでないベクトルを求めると，
となり，x1, x2 とも任意でよい．たとえば，
も，もいずれも固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルとなる．この2つの固有ベクトルは互いに線形独立である．
なお，
であり，幾何学的重複度は γ = 2 である．実際に，固有値 λ = 1 に対して，2つの互いに線形独立な固有ベクトルが得られることがわかる．
固有値が重複する場合に異なる（通常の）固有ベクトルが得られない例について示す．
とする．A の固有値は，det(λI − A) = 0 を満たす λ であり，これを解くと，(λ − 1)2 = 0 となり，ただ1つの固有値 λ = 1 が得られる．その代数的重複度は μ = 2 である．例 1 と異なり，
広義固有ベクトル 例
で，幾何的重複度は γ = 1 である．すなわち，例 1 とは異なり，固有値 λ = 1 に対する（通常の）固有ベクトルは1つしかない．
では，この固有値 λ = 1 に対する（通常の）固有ベクトルを求めよう．今， とおき，(1I − A)x = 0 を満たすゼロでないベクトルを求めると，
となり，x1 は任意であるが，x2 = 0 でなくてはならない．したがって，たとえば， は固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルとなる．なお，x1 は任意であるから， もまた固有ベクトルであるが， と  は互いに独立ではないことにも注意されたい．
つぎに，この（通常の）固有ベクトル  を x1 として，一般固有ベクトル x2 を求めよう．これは， とおき， を解くことによって求めることができる．具体的には，
を解くと，x21 は任意であり，x22 = 1 となる．すると階数 2 の一般固有ベクトルは  である，ただし a は任意のスカラー値である．a = 0 とするのが最も単純である．
x1 と x2 は線型独立であり，ベクトル空間 V の基底をなす．
広義固有ベクトル 例
行列 A は，対角化可能ではないことに注意されたい．この行列は1つの 優対角成分があるから，階数が 1 よりも大きい一般化固有ベクトルが1つある（あるいは，ベクトル空間 V の次元は 2 だから階数が 1 よりも大きい広義固有ベクトルは高々1つであることも分かる）．あるいは，(λI − A) の零空間の次元が p = 1 であることを計算でき，したがって階数が 1 よりも大きい広義固有ベクトルは m − p = 1 個ある．
さて，求めた（通常の）固有ベクトルと（一般）固有ベクトルを並べた行列
に対して，
となり，A は対角化はできていないが，J には A の固有値が対角成分に現れ，右上に“1” が配置されたジョルダン標準形となっていることがわかる．
この例は例 2 よりも複雑である．低い次数のよい例題を構成することはやや少し難しい．
行列
の固有値は
det(λI − A) = (λ − 1)2(λ − 2)3 =0
の解なので，固有値 λ1 = 1 と λ2 = 2 を持ち，その代数的重複度はそれぞれ μ1 = 2 と μ2 = 3 である．λ1 = 1 に対して，
広義固有ベクトル 例
となるので，幾何学的重複度は γ1 = 1 である．λ2 = 2 に対して，
となるので，幾何的重複度は γ2 = 1 である．
はじめに，λ1 = 1 に対する（通常の）固有ベクトル x11 を求める．幾何学的重複度は γ1 = 1 なので，残りの一般固有ベクトルは，x11 から逐次的に求められる．具体的には，次のように求めた．
つぎに，λ2 = 2 に対する（通常の）固有ベクトル x21 を求め，幾何学的重複度は γ2 = 1 なので，残りの一般固有ベクトル x22 と x23 は，x21 から逐次的に求められる．具体的には，次のように求めた．
。
これは A の各広義固有空間の基底となる．広義固有ベクトルの2つの鎖と合わせて5次元列ベクトル全体の空間を張る．
A に相似な「ほぼ対角」なジョルダン標準形の行列 J は以下のようにして得られる：
ただし M は A の 広義モード行列 であり，M の列は A の標準基底であり，AM = MJ である。
広義固有ベクトル ジョルダン鎖
定義
xm を行列 A の固有値 λ に対応する階数 m の広義固有ベクトルとする．xm によって生成される鎖とは次で与えられるベクトルの集合  である：
したがって，一般に，
(2) によって与えられるベクトル xj は固有値 λ に対応する階数 j の広義固有ベクトルである．鎖はベクトルの線型独立な集合である．
広義固有ベクトル 標準基底
定義：n 個の線型独立な広義固有ベクトルの集合が標準基底 (canonical basis) であるとは，ジョルダン鎖の全体からなることをいう．
したがって，階数 m の広義固有ベクトルが標準基底に入っていることを一度決定すれば，xm によって生成されるジョルダン鎖に入っている m − 1 個のベクトル  も標準基底に入っていることが従う．
λi を A の代数的重複度 μi の固有値とする．まず，行列  の階数を求める．整数 mi は  の階数が n − μi となる「最初の整数」として決定される（n は A の行や列の個数である，つまり A は n × n である）．
さて
と定義する．変数 ρk は A の標準基底に現れる固有値 λi に対応する階数 k の線型独立な広義固有ベクトルの個数を表す．
に注意．
広義固有ベクトル 広義固有ベクトルの計算
これまでの節で n × n 行列 A に付随するベクトル空間 V に対する標準基底の n 個の線型独立な広義固有ベクトルを得る方法を見た．これらの方法を結合して手順を得る：
固有値 λi と代数的重複度 μi に対する A の特性方程式を解く；
各 λi に対して：
n − μi を決定する；
mi を決定する；
k = 1, ..., mi に対して ρk を決定する；
λi に対して各ジョルダン鎖を決定する；
行列
の固有値は
の解であり，これを解くと λ1 = 5（代数的重複度 μ1 = 3）および λ2 = 4（代数的重複度 μ2 = 1）が得られる．また，n = 4 である．λ1 = 5 に対して n − μ1 = 4 − 3 = 1 である．
の階数が n − μ1 = 1 になる最初の整数 m1 は m1 = 3 である．
次のように定義する：
したがって，3つの線型独立な広義固有ベクトルが存在する；階数 3, 2, 1 に1つずつである．λ1 は3つの線型独立な広義固有ベクトルのただ1つの鎖に対応するので，λ1 に対応する階数 3 の広義固有ベクトルであって
なるものが存在することを知っている．方程式 (3) と (4) は x3 について解くことができる線型方程式系を表す．
広義固有ベクトル 広義固有ベクトルの計算
とする．すると
および
である．したがって，条件 (3) と (4) を満たすためには，x34 = 0 かつ x33 ≠ 0 でなければならない．x31 と x32 には何の制約もない．x31 = x32 = x34 = 0, x33 = 1 と選ぶことで，λ1 = 5 に対応する階数 3 の広義固有ベクトルとして
を得る．x31, x32, x33 で x33 ≠ 0 なる異なる値を選ぶことによって階数 3 の他の広義固有ベクトルを無限個得ることができることに注意．しかしながら，我々の最初の選択が最も単純である．
さて方程式 (1) を用いて，x2 と x1 をそれぞれ階数 2 と 1 の広義固有ベクトルとして得る，ただし
および
である．代数的重複度が 1 の固有値 λ2 = 4 は標準的な手法で扱うことができ，通常の固有ベクトル
を持つ．A の標準基底は
である．x1, x2, x3 は λ1 に伴う広義固有ベクトルである．y2 は λ2 に伴う通常の固有ベクトルである．
これはかなり単純な例であることに注意すべきである．一般に，階数 k の線型独立な広義固有ベクトルの個数 ρk は必ずしも等しくない．つまり，特定の固有値に対応する異なる長さのいくつかの鎖があるかもしれない．
広義固有ベクトル 広義モード行列
A を n × n 行列とする．A の広義モード行列 (generalized modal matrix) M とは，n × n 行列であって，その列が，ベクトルと考えたときに，A の標準基底をなし，M において以下の規則に従って現れるものをいう：