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スタディオン・ポド・ゴリツォム 歴史
第二次世界大戦終結後間もない1945年に完成。当初の収容人数は5,000人だった。初代スタジアムは1952年に火災で失われ、再建時には17,000人に拡張した。
ユーゴスラヴィア解体後、スタジアムは東スタンドの撤去と北スタンドの新設が行われた。
直近の改修は2004年から2006年に実施されたもので、南北スタンドが二階建てになった。また東スタンドが新設された。
スタディオン・ポド・ゴリツォム 事件
2011年、モンテネグロ代表対イングランド代表の試合において、モンテネグロのウルトラスがピッチに侵入し、イングランド代表のジョー・ハートに対して発炎筒が投げつけられた。
2015年3月、UEFA EURO 2016予選・グループGのモンテネグロ代表対ロシア代表の試合において、ロシア代表のドミトリ・コムバロフやイゴール・アキンフェエフにものが投げつけられるなどしたため、67分に試合は打ち切られた。
AD-LIVE
AD-LIVE（アドリブ）は、2008年から行われている日本の即興舞台劇。主宰は声優の鈴村健一。
AD-LIVE 概要
企画のきっかけとなったのは、アニメイトTV（現・アニメイトタイムズ）で配信されていたインターネットテレビ番組「鈴村健一の超人タイツ ジャイアント」で、2008年に開催した鈴村が脚本を書いたドラマCDの発売記念イベント「『鈴村健一の超人タイツ ジャイアント』微妙にスケジュールがあいませんでした ～SAKURAI～/～IWATA～」において、観客に詳細を伝えずに行った舞台が始まりである。プロジェクト名が指す通り、ほぼ全編アドリブ（ただし、この舞台の性質上、エチュードの様相を呈している）を主体としているが、これは当初、稽古をする時間を確保出来なかったために全部アドリブで行ったものが、舞台終了後のタネ明かしでの観客の評判が良かったためである。2008年の初公演から2012年までの鈴村以外のキャストは、前述のドラマCDに出演していた櫻井孝宏・岩田光央のみが出演していた（なお、演劇出身の岩田からは当初「こんなリスキーなことをやる人はいない」と強く反対されていた）が、鈴村が総合プロデューサーを務めるようになった2014年からは多数の声優がキャストとして参加している。
AD-LIVE 舞台上のルール
事前に決められているのは、世界観の設定とストーリーの進行に必要な最小限のプロットのみである。アドリブ舞台では世界観が設定されているだけでなく、例えばあるタイミングで電話に着信があったり、宅配便で荷物が届くなど、要所にはストーリーの進行に必要なプロットが組み込まれている。その上で、出演者の設定は日程ごとに毎回異なったものとなっており、出演者がどんな設定のキャラクターなのか事前に知ることなく舞台に上がる。本番で初めて共演者のキャラクターを知るため、そのキャラクター設定に適応しながらアドリブ芝居を展開しなければならなくなり、予想できない共演者のキャラクターに対してどう対応するのかというのがアドリブ舞台の見どころである。
一部の舞台ではキャストの他、案内役のストーリーテラーも舞台に上がることがある。
アドリブ舞台では一般募集したキーワードをセリフとして使うことができる。ただし、それらはひとまとめにアドリブバッグに詰めこまれた状態となっているため、どんなキーワードが出るかは本人もわからない。また、一度引いたキーワードの引き直しは出来ず、必ずセリフに組み込まなければならない。なお、キーワードを出すタイミングは本人の演技が続く間であるならば、キーワードを見た後で演技して、その後に出すこともできる。
AD-LIVE 舞台上のルール
場面にマッチした奇跡のようなキーワードを引くか、あるいはデタラメなキーワードを引くかといった具合で出演者同士を動かし、ここでも出演者のアドリブ能力が試される。
2008年（『鈴村健一の超人タイツ ジャイアント』微妙にスケジュールがあいませんでした ～SAKURAI～/～IWATA～）
「惑星ダーウィン」が地球に衝突する日に偶然出会った2人を描く。
2011年（『鈴村健一の超人タイツ ジャイアント』微妙にスケジュールがあいませんでした ～再会・SAKURAI～/～再会・IWATA～）
「惑星ダーウィン」衝突後の地球が舞台。「リチギー星人」によって惑星衝突は回避された代わりに人類が支配されることとなり、彼らがテレビ番組で企画したとあるゲームに巻き込まれる2人を描く。
2012年（『鈴村健一の超人タイツ ジャイアント』～ついにスケジュールがあいました 2012・秋～）
ロボットが店長を務めるコンビニを舞台に、店員・強盗・他の客というそれぞれの立場で3人がストーリーを進めていく。
2014年（AD-LIVE）
2008年の設定を踏襲し同じく「惑星ダーウィン」が地球に衝突する日に偶然出会った2人を描く。舞台が2面構成になっている。
2015年（AD-LIVE 2015）
AD-LIVE 舞台上のルール
テーマは「友達」。友達作りを斡旋する会社「トモダチファクトリー」を舞台に、トラウマを抱えた2人が様々な試練を乗り越え友情を育む。鈴村は2人を見守るスタッフ役として全公演に出演。
2016年（AD-LIVE 2016）
テーマは「会いたい人」。深層心理を舞台に、「ベルソン社」が開発した「マインドダイブ」で、心を閉ざしたり植物状態にある相手の心の中に入り込む。
2017年（AD-LIVE 2017）
テーマは「秘密」。キャラ設定、2人の関係、相手の知らない「キャラに関する秘密」と最後の行動が決められた上で、全12公演それぞれ違う舞台設定、脚本の下、「彩-LIVE」と称したアンサンブルキャストと共にストーリーを進めていく。途中、前述の「ヒミツ」が明らかにされる。
2018年（AD-LIVE 2018）
テーマは「究極のアドリブ」。「惑星ダーウィン」の発見記念パーティーを第1幕、ダーウィンが衝突する直前の10年後の地球を第2幕とした2部構成。第2幕ではストーリーテラーの鈴村が舞台に直接結末の行動以外の演習指示を出せるようになる。
2019年（AD-LIVE ZERO）
事前の世界観やギミックを定めず、人物設定・ギミック・世界観など全てをくじで決定する。また、くじによるそれらの設定は本番直前で行う。
2020年（AD-LIVE 2020）
AD-LIVE 舞台上のルール
テーマは「脱出」。リアル脱出ゲームの制作・運営を手掛けるSCRAPとコラボ。豪華客船を舞台に、謎解きをしながら即興劇を進めなければならない。
2021年（AD-LIVE 2021）
テーマは「建前と本音」。日本一のホテル王・叶夢ノ助が設立した「夢ノ助本舗」という会社を舞台に、各公演で同じ設定・ストーリーによる二幕構成で行われる。一幕では建前で、二幕では本音でそれぞれ物語を進行し、一幕目の演出やオチはくじ引きで設定する。鈴村は「ユメノスケ」というキャラクターで全公演に出演。
2022年（AD-LIVE 2022）
テーマは「痛快群像劇！」。各公演3名が出演し、とあるテレビ番組の生放送を舞台にした即興劇を作り上げる。3名の登場人物のうち、番組制作スタッフ（キャラクターA）と現場に偶然居合わせた謎の人物（キャラクターB）を12名の声優が演じ、番組に急遽出演することになった人物（キャラクターC）に「AD-LIVE」初出演となるレジェンド声優1名と2.5次元舞台を中心に活動する俳優5名が挑む。
2023年（AD-LIVE 2023）
テーマは「運命のやりなおし」。不慮のトラブルで突如命を落とした人物（キャラクターB）。予測しなかった神様は、ゆかりのある人物（キャラクターA）を召喚するが、縁があった人物は記憶も姿も別の人物になってしまい、命を落とした人間も記憶が曖昧な状態で復活してしまった。2人は神から与えられた「未来をも変える運命の玉」の力を使いながら真実の結末を目指す。特別公演ではゆかりのある人物（キャラクターA）が3人となり、本物が1人だけ混じっているというよりカオスな状況になる。キャラクターAの人物設定、向かうべき真実の結末などは運命の玉に書かれており、舞台公演本番中に明かされることとなる。。
AD-LIVE 主な出演者
鈴村健一（出場13回）
本企画の発案者であり、2015年より総合プロデューサーを務める。
森久保祥太郎（出場9回）
鈴村曰く「ミスターAD-LIVE」。2014年夜の部や2017年夜の部など出演した公演はファンの中でも語り草となっている。2019年のAD-LIVE ZEROでは「クリエイティブプロデューサー」として演出部も兼任した。
浅沼晋太郎（出場7回）
声優活動の他、劇団「ハイブリッド・アミューズメント・ショウ bpm」を立ち上げ、舞台役者に留まらず、脚本や演出も手掛ける。2016年から参加し鈴村や川尻恵太（SUGARBOY）とともに演出部を兼任していたが、2019年以降は出演者のみとして参加している。
岩田光央（出場6回）
2008年の企画立ち上げから参加。舞台経験者として黎明期のAD-LIVEを支えた。役柄として女装をすることが多い。
櫻井孝宏（出場6回）
AD-LIVE 主な出演者
岩田と同じく2008年の企画立ち上げから参加。抜群のトーク力、フォローや切り返しの上手さから「業界一のレシーバー」とも云われる。
梶裕貴（出場6回）
自他共に認める「AD-LIVE好き」「AD-LIVEのスペシャリスト」。ストーリーの構築とレシーブの上手さに定評がある。後述の「AD-LIVE TV」にも出演。
津田健次郎（出場6回）
出演者として参加するほか、ドキュメント作品「MATSU-LIVE」、映画「ドキュメンターテイメント AD-LIVE」の監督を務めた。舞台経験が豊富であることから、2018年通常公演のトリを浅沼とともに務めた。
小野賢章（出場6回）
子役出身であり、声優業のみならず舞台経験も豊富なことから常連として名を連ねている。
下野紘（出場5回）
過去4回の出演全てで同一のキャラを演じた。特技の即興ソングも披露している。
蒼井翔太（出場5回）
AD-LIVE 各公演詳細
サブキャスト（2017年より「彩-LIVE」と呼称）
2012年 - 山村真也、横島裕
2014年 - 向山智成
2015年 - 向山智成
2016年 - 犬飼若博、大堀こういち、川本成（あさりど）、小山めぐみ、竹井亮介（親族代表）、西山宏幸、廣瀬詩映莉、松本寛也、諸岡立身（トーキョーハイライト）、安田ユーシ、山岸拓生（拙者ムニエル）、外崎友亮、向山智成
2017年 - 猪狩敦子（bpm）、小山めぐみ、渋木のぼる、砂川禎一郎（夜ふかしの会）、辻本耕志（フラミンゴ）、廣瀬詩映莉、向山智成、矢部遼平、浅沼晋太郎
2018年 - 猪狩敦子、砂川禎一郎、辻本耕志、青地洋、原彩弓、小山めぐみ、向山智成
2019年 - 鈴村健一、森久保祥太郎、足立信彦（順風男女）、向山智成
2020年 - 足立信彦、猪狩敦子、南大介、原彩弓
2021年 - 青地洋、足立信彦、安田ユーシ
2022年 - 鈴村健一、砂川禎一郎
AD-LIVE 映画
2019年に映画化。鈴村は実写映画初主演、監督を務める津田健次郎にとっても監督デビュー作となる。
AD-LIVEの打ち合わせや本番直前、AD-LIVEの原点に還る旅の様子など、普段は見られないAD-LIVEの裏側に密着した映画になっている。
BUNCH
BUNCH（バンチ）は、1970年代のメインフレームのメーカーのうち、IBMの競争相手となっていた以下の5社をまとめて呼んだものである。
IBMの市場シェアが全ての競合他社よりもはるかに高いため、まとめて呼ばれるようになった。
1960年代、IBMと上記の5社、およびRCAとゼネラル・エレクトリック(GE)は、「IBMと7人の小人」(IBM and the Seven Dwarfs)と呼ばれていた。1970年にGEがコンピュータ事業をハネウェルに売却、1971年にRCAがコンピュータ事業をスペリー（UNIVACの親会社）に売却したことによって「5人の小人」となり、5社の頭文字を取って"BUNCH"と呼ばれるようになった。なお、"bunch"は英語で「束」「一団」の意味である。BUNCHの5社は、1980年代にIBMを追ってPC/AT互換機によってマイクロコンピュータ市場に参入した。
BUNCH BUNCHのその後
バロースとUNIVAC
1986年9月、バロースがスペリー（UNIVACの親会社）を買収・合併し、社名をユニシスに変更した。
NCR
1982年、NCRはUNIX搭載のTOWER 16/32からオープンシステムアーキテクチャに関わり、メインフレームよりも小型のコンピュータを重視するようになった。1991年にNCRはAT&Tに買収された。1996年にAT&Tの再編が行われ、1997年1月1日にNCRが別会社として再設立された。1998年、NCRはコンピュータハードウェア製造資産をソレクトロンに売却し、汎用コンピュータシステムの製造を中止した。
CDC
CDCは、イギリスのBTグループのBTグローバルサービスの子会社・Syntegraとなった。
ハネウェル
1991年にハネウェルのコンピュータ部門はフランスのコンピュータ会社グループ・ブルに売却された。
BUNCH 1960年代と1970年代の他のメインフレームメーカー
ディジタル・イクイップメント・コーポレーション(DEC)は1957年にコンピュータ部品を製造するために設立され、PDPシリーズなどの多くのミニコンピュータを製造した。 これらはメインフレームではなくミニコンピュータとして分類されたが、しばしばメインフレームと競合した。DECはいろいろあった後、最終的にコンパックに買収され、そのコンパックはヒューレット・パッカードに買収された。
シャタパタ・ブラーフマナ
『シャタパタ・ブラーフマナ』（サンスクリット: शतपथब्राह्मण Śatapatha-Brāhmaṇa）は、白ヤジュルヴェーダに対するブラーフマナで、現存する全ブラーフマナのうちでもっとも詳細なものである。
シャタパタ・ブラーフマナ 概要
シャタパタ・ブラーフマナとは「百の道のブラーフマナ」という意味で、全部で100の章（アディヤーヤ）から構成されているためにこの名がある:212:192。
マーディヤンディナとカーンヴァの2種類の版があり、前者は全14巻(kāṇḍa)、後者は17巻から構成される:212-213:192。ひとつの巻がいくつかの章(adhyāya)に分かれ、各章がブラーフマナに分かれ、各ブラーフマナが節に分かれる。
マーディヤンディナ本の最初の9巻は白ヤジュルヴェーダのヴァージャサネーイ・サンヒターの最初の18巻に対する注釈である。残る5巻のうち、巻10は火の祭壇の神秘を扱い、巻11はそれまでの巻の祭儀の繰り返し、巻12-13はさまざまな補足的な出来事を扱う。最終巻14の最初はプラヴァルギヤ祭 (Pravargya) で、その終わりの6章はブリハッド・アーラニヤカ・ウパニシャッドである:212-213:192-194。
シャタパタ・ブラーフマナ 内容
シャタパタ・ブラーフマナには祭儀に関する議論のほか、後の叙事詩やプラーナ文献に見られるような伝説も載せられている。
巻1第8章の第1ブラーフマナでは大洪水とマヌ、イダーの伝説が伝えられていることでよく知られる。『マハーバーラタ』のアルジュナの子孫とされるクル国王ジャナメージャヤ（13.5.4.1）や、のちにカーリダーサによって戯曲化されたプルーラヴァスとウルヴァシーの伝説（11.5.1.1。ただしすでにリグ・ヴェーダ10.95に見えている）や、シャクンタラーの話（13.5.4.13）も登場する:216。巻6では創造神話が語られる。
シャタパタ・ブラーフマナ 翻訳
『シャタパタ・ブラーフマナ』のマーディヤンディナ本の本文はアルブレヒト・ヴェーバーによって校訂出版された:212。
東方聖典叢書にジュリアス・エッゲリングによる英訳が含まれている（巻12・26・41・43・44の5巻。1882-1900年。ただしブリハッド・アーラヤニカ・ウパニシャッドは同じ叢書の別の巻にマックス・ミュラーの翻訳があるために省略）。
日本美術オーラル・ヒストリー・アーカイヴ
日本美術オーラル・ヒストリー・アーカイヴ（にほんびじゅつオーラル・ヒストリー・アーカイヴ）とは、日本の有志の美術研究者、キュレータによって行われている、日本の主に現代美術関係者を聞き取り対象にしたオーラル・ヒストリーを蒐集し、保存することを目的としたプロジェクトである。2006年12月に発足され、その成果は書き起し、校正、註釈の末、2009年6月より公式ウェブサイト上で順次公開されている。公益財団法人石橋財団の文化活動分野における寄附助成対象事業である。
アメリカ合衆国のスミソニアン学術協会が1958年から行っているアメリカ美術アーカイヴのオーラル・ヒストリー蒐集活動に影響を受けて、2006年8月頃から美術史家の加治屋健司と池上裕子を中心に構想を練り始め、同年12月、他に住友文彦（キュレーター）、鷲田めるろ（キュレーター）、足立元（美術史家）、栗田大輔（美術批評家）を含めた6人の研究者、学芸員を初期メンバーとして始められた。聞き取り対象者選定などの方針検討ののち、聞き取り事業自体は2007年8月から開始された。設立から2024年3月まで加治屋健司が代表、池上裕子が副代表を務めていたが、同年4月に足立元と中嶋泉が共同代表に就任した。
日本美術オーラル・ヒストリー・アーカイヴ
主に美術家への聞き取りが中心だが、以外にも、批評家、学芸員、ドキュメンタリスト、家族への聞き取りも行われ、他に画廊主、編集者、行政官も含めた幅広く現代美術に関る人物を対象に聞き取りすることが考えられている。また、日本在住以外の日本美術関係者も聞き取り対象である。実際の聞き取りはメンバーがインタヴュアーを務めるが、メンバー以外にもインタヴュイーに詳しい専門家に依頼することもあり、複数人で聞き取りに挑み、多角的に質問ができるようにしている。
Adam's Apple
Adam's Apple（アダムスアップル）は、青葉りんごの1枚目のオリジナルアルバム。2011年1月28日にロックンバナナから発売された。
カール5世のアントワープ入城
『カール5世のアントワープ入城』（カール5せいのアントワープにゅうじょう、ドイツ語: Der Einzug Karls V in Antwerpen）は、ハンス・マカルトによる巨大な歴史画。『五感』と並ぶマカルトの代表的な絵画作品である。
カール5世のアントワープ入城 解説
ピーテル・パウル・ルーベンス（1577年生）の生誕300年を記念して、1878年に制作された。公開から数日のうちに、3万人を遥かに超える人々が美術館に押し寄せ、町はこの話題でもちきりだったという。
キュンストラーハウスに押しかけた見物人はあらゆる階層にわたっており、まだこの絵をみていないものなど話にならないといった風であった。入口の混乱を整理するために警察まで出動した。……この異常な人気にはわけがある。これはウィーンでこそ描かれる絵であって、もっと正確には、ウィーンがおのずから描きだした絵というべきだろう。 — 3月24日付新聞記事より
ハプスブルク家の領土をスペインとその属領に及ぼした神聖ローマ皇帝カール5世を中央に描き、裸に近い女人群像ときらびやかな衣装をまとう人々をその周囲に配置した、豪華絢爛な作品である。
縦に520cm、横に952cmという巨大な絵画であり、現在収蔵されているドイツ・ハンブルク美術館では、展示室の中で圧倒的な存在感を放っている。
量子力学の数学的定式化
本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化（りょうしりきがくのすうがくてきていしきか）を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。
量子力学の数学的定式化 状態空間のヒルベルト空間による定式化
量子力学において系 の（純粋）量子状態は、状態ベクトルと呼ばれる単位ベクトルによって表現され、状態ベクトルとその定数倍のなすベクトル空間を状態空間という。状態空間はヒルベルト空間という数学的概念によって定式化される。そこで本節ではヒルベルト空間の定義を述べる。
ヒルベルト空間の概念を定義するため、まずは複素計量ベクトル空間を定義する：
定義 (複素計量ベクトル空間) ― 
を複素ベクトル空間とする。任意のに対して以下の性質を満たす二項演算子を上の内積もしくは計量という：
複素ベクトル空間上に内積を一つ指定してできる組を複素計量ベクトル空間という。
複素計量ベクトルの元に対し、内積に対応するのノルムを
により定義し、の間の距離を
により定義するとはこの距離に関して距離空間の公理を満たす。
定義 (ヒルベルト空間) ― 
複素計量ベクトル空間がノルムから定まる距離に関して完備であるとき、複素計量ベクトル空間を複素ヒルベルト空間、あるいは単にヒルベルト空間という。
紛れがなければ以下内積を省略し、記号だけでヒルベルト空間を表すものとする。特に断りがない限り、本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを考える。
量子力学の数学的定式化 状態空間のヒルベルト空間による定式化
上述の定義より、内積は、第二成分に関しては線形であるが、第一成分に対しては反線形性
が成立する。なお、ここで提示した内積の定義は量子力学では一般的なものだが、数学の文献では、ここに載せたのとは逆に、第一成分に対して線形、第二成分に対して反線形であるものを用いる事が多い。
ヒルベルト空間、に対し、全単射線形写像で
が全てのに対して成立するものが存在するとき、とは同型であるという。
可分な無限次元ヒルベルト空間は同型を除いて１つしか存在しない。すなわち以下が成立する：
定理 (可分なヒルベルト空間の一意性) ― 
、を任意の可分な無限次元ヒルベルト空間とするとき、とは同型である。
前述のように本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを取り扱う。よって本項で登場するヒルベルト空間で次元が無限のものは全て同型である。
量子力学では以下の仮定を課す：
仮定 (状態空間に関する仮定) ― 
量子力学において状態空間は複素ヒルベルト空間である新井(p210)。状態空間の単位ベクトルを状態ベクトルと呼び、各状態ベクトルは何らかの量子状態に対応している。また２つの状態ベクトルψ、φがを満たす何らかの複素数aでφ=aψという関係を満たすとき、ψとφは同一の量子状態を表す新井(p210)。
量子力学の数学的定式化 状態空間のヒルベルト空間による定式化
本節では以降、こうした量子力学の仮定を幾つか述べるが、新井の本やHallの本など多くの本ではこうした仮定の事を公理(axiom)と呼んでいる。しかしこうした仮定は数学的な意味での公理ではないH13(p64)ので、本項ではその事を明確化するため、F15に従い、「公理」と呼ばず「仮定 (postulate)」と呼ぶものとする。
すでに述べたように(可分な)無限次元ヒルベルト空間は全て同型なので、任意に一つ無限次元ヒルベルト空間を持って来れば、原理的にはそのヒルベルト空間を状態空間とみなした量子力学を定式化できる。しかし通常の量子力学では、物理的な解釈をわかりやすくするため、L2空間というヒルベルト空間を用いて量子力学を展開する事が多い。そこで本節ではL2空間の定義を述べる。
L2空間を定義するには、測度論の概念を必要とする。そこでまず測度論を直観的説明する。厳密な説明は当該項目を参照されたい。
測度空間Xとは、Xの部分集合の「大きさ」の概念が定義された空間で、「大きさ」の具体例としては元の個数、面積、体積などがある。測度空間上定義された「大きさ」のことを測度という。Xの全ての部分集合に測度が定義されている必要はなく、測度が定義可能な部分集合を可測な部分集合という。
量子力学の数学的定式化 状態空間のヒルベルト空間による定式化
測度空間上では積分を定義可能な事が知られている。ただし測度の場合と同様、全ての関数に対してその積分が定義できるわけではない。積分概念を定義可能な関数の事を可測関数という。
測度空間X上の２つの可測関数ψ、φが
Xの可測部分集合AでAの測度が0であるものが存在し、
を満たすとき、ψとφはほとんど至るところ等しいといい、
a.e.
と表記する（「a.e.」は「almost everywhere」の略）。
Xを測度空間とする。量子力学の文脈ではXはの可測部分集合である事が多い。X上の可測関数ψで
となるものを考え、こうした関数全体の集合に
a.e.
という同値類を定義する。
定義 (L2関数、L2空間) ― 記号を上述のように定義し、
と定義する。の元をX上のL2関数という。
さらにL2(X)上の内積を
により定義すると、組はヒルベルト空間をなすことが知られている。このヒルベルト空間をX上のL2空間という。
粒子がk個からなる系の場合、各粒子が3次元分の自由度を持つので、L2(R3k)空間を利用すれば量子力学を自然に展開できる。また例えば（ポテンシャルの壁に遮られるなどして）粒子が有限の区間Iの内部しか動けないようなケースに対しても、X=Iの場合のL2空間L2(I)を利用できる。
量子力学の数学的定式化 状態空間のヒルベルト空間による定式化
以上で述べたように、量子力学の数学的定式化にはヒルベルト空間、特にL2空間の概念が有効である。ただし、物理学者が量子力学で用いている議論の全てをヒルベルト空間上で数学的に正当化できる事を意味しているわけではない。
例えば物理学者が量子力学の記述に通常用いるデルタ関数は、そもそも通常の意味での関数ではないので、L2空間には属さない。後の章でL2空間にさらに元を添加する事でデルタ関数をも取り扱う数学的手法についても述べるが、この手法は万能ではなく、例えばデルタ関数同士の積が定義できないという欠点を抱える。よって特にデルタ関数同士の内積を定義できず、デルタ関数を添加した空間はヒルベルト空間にはならない。
こうした数学的な困難を避けるため、以降の議論は、基本的にデルタ関数のような「関数もどき」は慎重に排除した上で展開するものとする。
量子力学の数学的定式化 有界作用素
ヒルベルト空間上で定義可能な関数のクラスとして最も自然なものの一つに有界作用素があり、量子力学における主要概念の一つであるユニタリ作用素は有界作用素の一つである。そこで本節では有界作用素の概念とユニタリ作用素の概念を定式化する。
次の事実が知られている：
したがって有界線形作用素とは、連続線形作用素と言い換えても良い。
有界線形作用素の例としてユニタリ作用素がある。後述するように量子力学ではユニタリ作用素は時間発展を記述するのに用いられる。
上記の条件をみたすときは、明らかにUは単射なので、Uは全単射である事になる。したがってユニタリ作用素とはから自分自身への同型写像（自己同型写像）である。
なお、が有限次元の場合には、単射性から全射性が従うため、ユニタリ作用素の定義において全射という条件は必要ない。しかしが無限次元の場合には、全射ではない単射線形作用素も存在するため、全射の条件は必須となる。
定義から明らかに次が成立する：
量子力学の数学的定式化 ブラベクトルとケットベクトル
本節では共役ベクトル空間の概念を定義することでディラックのブラベクトル、ケットベクトルの概念を数学的に定式化し、さらにリースの表現定理を導入することで、ブラベクトルの概念を別の角度から再定式化する。
ヒルベルト空間で使われている足し算「＋」、（スカラーとの）掛け算「・」、および内積を明示して、をと書くことにする。
定義 (共役ベクトル空間) ― 
ヒルベルト空間の元と定数
a∈C、に対し、
と定義すると、もヒルベルト空間になる。ここではaの複素共役である。をの共役ベクトル空間という。
定義より、共役ベクトル空間は掛け算以外は元の空間と同一である。以下、掛け算を明示しなくても共役ベクトル空間を区別できるようにするため、の共役ベクトル空間をと表記する。またがの元である事が文脈から明らかな場合は、を略記して単にと表記する。
ヒルベルト空間上の内積は、第一成分に対して反線形、第二成分に対して線形であった。しかし内積の第一成分を共役ベクトル空間をとみなして
量子力学の数学的定式化 ブラベクトルとケットベクトル
だとすれば、内積は、第一成分、第二成分双方に関して線形である事になるので便利である。そこで量子力学ではの元との元とを区別して考え、以下のように呼ぶ：
定義 (ブラベクトルとケットベクトル) ― 
の元をブラベクトル、の元をケットベクトルと呼ぶF15(p23)。
ブラベクトルに対し、線形作用素
を考えると、コーシー＝シュワルツの不等式
より、この作用素は有界作用素である。実は複素数値の有界線形作用素はこの形のものに限られる事が知られている：
定理 (リースの表現定理) ― 
を有界線形作用素とすると、以下の性質を満たすが一意に存在する
任意のに対し、
なおが有限次元であれば上に述べた事実は自明であるが、無限次元であってもこの事実が成り立つ所にこの定理の主眼がある。以上の事実から、ブラベクトルを以下のように特徴づけられる事がわかる：
系 ― 
ブラベクトルと複素数値の有界線形作用素は１対１に対応する。
量子力学の数学的定式化 オブザーバブル
既に述べたように作用素が有界である事はその作用素が連続である事を意味している為、有界性はヒルベルト空間上の作用素の最も自然な概念の一つである。しかし量子力学で用いられる作用素の多くは有界ではないし、しかもの部分領域でしか定義できない。この原因は、量子力学で用いられる作用素の多くが微分を用いて定義されており、微分作用素が有界でもなければ全域で定義できるわけでもない事にある。
幸運な事に、これら量子力学で用いる作用素は「稠密に定義された可閉作用素」という、比較的扱いやすいクラスに属している事が知られている。そこで本節では、まず「稠密に定義された」という概念と「可閉」という概念を定式化する。
次に本節では、この「稠密に定義された可閉作用素」の概念をベースとして、量子力学におけるオブザーバブルの概念を定式化する。すなわち、稠密に定義された可閉作用素の共役作用素の概念を定式化し、共役作用素の概念を用いて自己共役作用素の概念を定式化し、最後に量子力学におけるオブザーバブルの概念を自己共役作用素により定式化する。
オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。
量子力学の数学的定式化 オブザーバブル
定義 (稠密に定義された作用素) ― 
、をヒルベルト空間とする。の部分集合Dom(T)で定義された線形作用素がで稠密に定義されているとは、Dom(T)がの稠密部分集合である事をいい新井(p71)、以下のように書き表す。
（稠密に定義されている）
紛れがなければ上稠密に定義された作用素を単に
と書く
特にが成立しているとき、Tはの全域で定義されているという。
稠密に定義された作用素に対し以下の拡大の概念を定義できる：
定義 (稠密に定義された線形作用素の拡大) ― 
稠密に定義された２つの線形作用素が、　Dom(S)  ⊂ Dom(T) かつT|Dom(S) = Sを満たすとき、TはSの拡大であるといい、以下のように書き表す：
S ⊂ T
有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている：
定理 (BLT定理) ― 
稠密に定義された作用素 Tがその定義域において有界な線形作用素であれば、Tを全域に一意に拡張可能である。すなわち、全域で定義されたが一意に存在し、である新井(p71)
したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。
量子力学の数学的定式化 オブザーバブル
定義 (閉作用素、可閉作用素、閉包作用素) ― 
稠密に定義された線形作用素が以下を満たすとき、Tは閉作用素であるという：
点列がとなる(φ,χ)を持てば、であり、しかもχ=T(φ)が成立する新井(p86-87)。
また稠密に定義された線形作用素が、拡大でSが閉作用素であるものを持つとき、Tは可閉作用素であるという新井(p86-87)。
Tが可閉作用素であるとき、Tの拡大線形作用素で上記の性質を満たす（包含関係に関する）最小のものが必ず存在することが知られており、をTの閉包作用素という新井(p86-87)。
Tが可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列ψn∈Dom(T)に対し、n→∞のときψn→0かつT(ψn)→χであればχ=0が成立する事である新井(p87)。
を稠密に定義された線形作用素とする。ベクトルに対し、以下の性質を満たすを考える：
任意のに対し、
このようなは常に存在するとは限らないが、存在すれば一意である事を示せる新井(p82-83)。そこで共役作用素を以下のように定義する：
定義 (共役作用素) ―
上述の性質を満たすが存在する
とし、線形写像T*を
により定義し、T*をTの共役作用素という新井(p82-83)。
定義より明らかに
任意のに対し、
量子力学の数学的定式化 オブザーバブル
であるが、Tが有界とは限らない時、Tが稠密に定義されていたとしてもT*が稠密に定義されることもT**とTの定義域が一致する事も無条件には保証されない新井(p83-84)が、Tが可閉であればこれらは保証される：
定理 ― 
Tが可閉であれば以下が成立する：
定義 (自己共役作用素とその関連概念) ― 
をヒルベルト空間とし、を稠密に定義されているとは限らない線形作用素とする。
量子力学では以下の仮定を課す：
仮定 (オブザーバブルに関する仮定) ― 
量子力学におけるオブザーバブルは自己共役作用素として表現される。
明らかに次が成立する：
命題 ―
Tは自己共役作用素⇒Tは対称作用素⇒Tはエルミート作用素
しかし逆向きは一般には成り立たない。与えられた作用素が自己共役かどうかを決定する問題を自己共役性の問題といい、それだけで一冊の本が書けるほど難しい問題である新井(p228)。
自己共役作用素とその関連概念に対し以下が知られている：
定理 ―
上記定理の性質3はTが可閉作用素である必要十分条件はT*が稠密に定義されることと性質2から従う新井(p90)。
性質1より、以下本項ではTが本質的に自己共役な場合には、紛れがなければTとを混用する。
自己共役作用素は必ず掛け算作用素として表現できる事が知られている：
定理 (掛け算作用素によるスペクトル定理H13(p207)) ― 
を自己共役作用素とする。このときσ-有限な可測空間(X,μ)とユニタリ作用素と可測な実数値関数が存在し、TU:=UTU-1とすると以下が成立する：
量子力学の数学的定式化 オブザーバブルの具体例
本節では
の場合に対して、オブザーバブルの具体例を述べる。
量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。
定義 (微分作用素) ― 
非負整数α1、…、αd≧0からなるベクトル(α1、…、αd)に対し、
とする（この記法を多重指数表記という）。
の形で書ける作用素をm次の微分作用素という。ここで添え字αは非負整数の組で、和は有限和であり、ψα(x)はRd上の複素数値の局所自乗可積分な関数である。なおDの定義において、α1=…=αd=0の項はψ0(x)倍する演算子とみなす。
本節の目標は、微分作用素Dのうち性質の良いものを上定義されたオブザーバブルとみなす事である。しかしそもそも偏微分はが可微分でなければそもそも定義できないので、単純にDをの元に作用させることはできない。そこで以下の事実を用いる：
定義・定理 (C∞0(Rd)のにおける稠密性) ― 
の部分集合C∞0(Rd)を
C∞級関数 s.t. ある有界閉集合Kが存在し、ψはRd＼K上で恒等的に0である
と定義すると次が成立する：
C∞0(Rd)はの稠密部分集合である新井(p43)
微分作用素DはC∞0(Rd)上で明らかに定義可能であり、しかもC∞0(Rd)の元をL2(Rd)に写すので、以下の系が従う：
量子力学の数学的定式化 オブザーバブルの具体例
系 ― 
微分作用素Dを上稠密に定義された線形作用素とみなす事ができる。
定義 (掛け算作用素・位置作用素) ― 
実数値可測関数
に対して線形作用素Mfを
と定義し、Mfの閉包を掛け算作用素という。ここで
である。
特にj = 1,...,dでf(x)=xjという形の掛け算作用素を第j位置作用素という。
定理 ― 
掛け算作用素は自己共役作用素である。
上記の定理は以下のように証明できる。可測性から
なのでMfは稠密に定義された作用素であり、しかも明らかにMfは対称作用素である。さらにとすれば、任意のに対し、をみたすので、
である。の任意性より、これは a.eを意味する。χの自乗可積分性とDom(Mf)の定義より、である。よってDom(Mf*)=Dom(Mf)であり、掛け算作用素Mjは自己共役作用素である。
定義 (運動量作用素) ― 
線形作用素
の閉包を第j運動量作用素という。
定理・定義 ― 
各jに対し第j運動量作用素Pjは本質的に自己共役である。より一般に
…(A1)
という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である新井(p198)。特に
の閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。
量子力学の数学的定式化 オブザーバブルの具体例
(A1)の形の微分作用素Dが自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、Dが対称作用素である事は以下のように示すことができる。φ, ψ ∈C∞0(Rd)に対し、部分積分の公式から
である。(A1)の形の微分作用素はの実数係数多項式であるので、
が成立する。Dの定義域C∞0(Rd)はで稠密だったので、これはDが対称作用素である事を意味する。
量子力学では時刻tに依存するかもしれないポテンシャルと呼ばれる実数値局所可積分関数V(x,t)を固定し、シュレディンガー作用素と呼ばれる作用素
を考える。ここでmjは何らかの定数で、物理的にはj番目の粒子の質量を表す。またlは次元であり、物理学的なセッティングでは3である。各時刻tに対しシュレディンガー作用素は常に対称作用素であるが新井(p227)、本質的に自己共役であるか否かはポテンシャルによる。
定理 (時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素の自己共役性) ― 
時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素
に関しては、以下の条件をみたすときには本質的に自己共役であるP01(p82)：
を満たす非負かつ非減少な連続関数Q(r)でとなるものが存在する。
また時間非依存かつ一粒子のハミルトニアンが以下の条件を場合もハミルトニアンは本質的に自己共役であるP01(p88)H13(p192)：
で、しかも
ここではの元との元の和で書ける関数の集合である。
量子力学の数学的定式化 超関数によるデルタ関数の定式化
量子力学を定式化するため、ディラックはデルタ関数
を導入した。数学的に見た場合、このような「関数」は存在しないものの関数概念を一般化した「超関数」の概念を使う事でデルタ関数を数学的に定式化でき、これによりディラックの議論をある程度の部分まで数学的に正当化ができる（全ての議論を正当化できるわけではない。詳細後述）。そこで本稿では超関数の概念を導入し、デルタ関数を超関数の概念を使って定式化し、超関数の性質を調べる。
本節では超関数の概念を定式化するのに必要な概念を導入する。
定義 (C∞0(Ω)と) ― Rdの領域Ω⊂Rdに対し、
C∞級関数 s.t. ある有界閉集合K⊂Ωが存在し、ψはΩ＼K上で恒等的に0である
とする。
さらにα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、及びC∞級関数ψ : Rd → Cに対し、
、ここで
と定義する。C∞級関数ψ : Rd → Cが
任意のα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、
という性質を満たすとき、ψを急減少関数といい、Rn上の急減少関数全体の集合と書き、をシュワルツ空間というF15(p109)。
明らかに
である。また前述したようにC∞0(Rd)はL2(Rd)の稠密部分空間なので、次の事実が成り立つ：
量子力学の数学的定式化 超関数によるデルタ関数の定式化
はL2(Rd)の稠密部分空間である新井(p190-191)。
定義から明らかなようには次を満たす
ψ(x1,...,xn)∈なら、任意のα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、
よって特に、位置作用素や運動量作用素はの元をの元に写す。
C∞0(Ω)の元の列およびの元の列の収束性を定義する。
定義 ― 
以下の2条件を満たす時、C∞0(Rd)の元の列{φn}はC∞0(Ω)の元φに収束するというF15(p103)：
また以下の性質が満たされているとき、の元の列{ψn}はの元ψに収束するという：
任意のα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、
ΩをRdの領域とし、ψ : Ω → Cを局所可積分関数とするとき、C∞0(Ω)上の線形汎関数Tψを
、
により定義することで、局所可積分関数ψにC∞0(Ω)上の線形汎関数Tψを対応させる事ができる。この対応関係が単射な事は容易に確かめられるので、ψとTψを自然に同一視することにすると、C∞0(Ω)上の線形汎関数の集合は局所可積分関数の集合を部分集合として含むことになるので、C∞0(Ω)上の線形汎関数を局所可積分関数よりも広いクラスの「関数」であるとみなせる。そこでC∞0(Ω)上の線形汎関数で「連続」なものの事を「シュワルツ超関数」、あるいは単に「超関数」と呼ぶことにする。
量子力学の数学的定式化 超関数によるデルタ関数の定式化
定義 (超関数) ― 
線形汎関数
T : C∞0(Ω)→R
で連続なものをシュワルツ超関数、あるいは単に超関数という。
ここでC∞0(Ω)上の線形汎関数Tが連続であるとは、C∞0(Ω)の元の列がC∞0(Ω)の元に収束するときは常に
が成立する事を言うF15(p103)。
超関数全体の集合をと表記する。
２つの超関数に対してその線形和を自然に定義できるため、超関数全体の集合はベクトル空間をなす。同様に緩増加超関数を以下のように定義する：
定義 (緩増加超関数) ― 
線型汎関数
で、の元の列{ψn}がの元ψに収束するなら
を満たすものを連続であるといい、からCへの連続な線型汎関数を緩増加超関数といい、緩増加超関数全体の集合をと書き表す。
以下、超関数Tと局所可積分関数ψに対し、
と表記する。緩増加超関数に対しても同様の表記を用いる。なお上述の表記は内積に似ているが、内積の定義では複素共役を取っている事が原因で、
となることに注意されたい。
Tを緩増加超関数とするとき、Tの定義域をの部分集合C∞0(Rd)に制限した
は超関数になる。よって制限写像により緩増加超関数全体の集合から超関数全体の集合への写像
、
を考える事ができる。この写像は単射である事が知られているので、この写像により自然にをの部分集合とみなすことができる。
量子力学の数学的定式化 超関数によるデルタ関数の定式化
ディラックのデルタ関数の概念は、緩増加超関数の概念を用いて定式化する事ができる。
定義 (デルタ超関数) ― 
ΩをRdの開集合とするとき、以下のように定義される超関数をデルタ超関数という：
、
内積の定義より、これは
を意味する。上式をL2空間における内積の定義と照らし合わせると、上式はディラックの議論における
を数学的に正当化したものとみなせる。
超関数に対する偏微分の概念を定義する為、まずはC∞0(Ω)の元の偏微分に関して簡単な考察をする。φ、ψをC∞0(Ω)の２つの元とするとき、C∞0(Ω)の定義よりφ(x)、ψ(x)が0でないxの集合は有界閉集合であるのに対し、ΩをRdの開集合であるので、Ωの境界上ではφ(x)、ψ(x)は0になる。よって微分積分学の基本定理から、
が成立する。よってライプニッツルールにより
が成立する。そこで上式を参考にして、超関数の偏微分を以下のように定義する：
定義 (超関数の偏微分) ― 
超関数Tの偏微分を
により定義する。
C∞0(Ω)の元は無限回微分可能なので、上記の定義は常に意味を持つ。より一般に微分作用素を
も定義可能である。
量子力学の数学的定式化 超関数によるデルタ関数の定式化
ここで注意すべきことは、局所可積分関数ψそれ自身が偏微分不能な関数であっても、は定義可能な事である。これはψの偏微分は通常の関数としては存在しなくとも、超関数の中にはψ（と同一視されるTψ）の偏微分が存在する事が原因である。紛れがなければ以下の事を単にと書き、をψの超関数としての偏微分と呼ぶ。
また通常の関数の場合、仮に二階偏微分可能であってもとが異なる関数になる場合があるが、超関数としての微分を考えた場合、とは必ず同一の超関数になる事を簡単に確認できる。
以上で示したように、超関数の概念を用いる事でディラックによるデルタ関数の議論の一部を数学的に正当化できるが、超関数を用いても全ての議論を正当化できるわけではない。例えば以下の議論は超関数では正当化されない：
関数ψの超関数としての微分が関数で書けるとき、その関数をψの弱微分という：
定義 (弱微分) ― 
ΩをRdの開集合とする。局所可積分関数ψ、χ : Ω → Cに対応する超関数Tψ、Tχが
を満たす時、χはψの弱微分であるとい、
と表記する。
定理 (運動量作用素の定義域) ― 
運動量作用素（の閉包作用素）Pjの定義域は以下のように書くことができる：
量子力学の数学的定式化 フーリエ変換
本節では、関数 f: R → C のフーリエ変換
とその逆変換に当たるフーリエ逆変換
の厳密な定義を述べ、その性質を調べ、そして最後に位置作用素と運動量作用素が（換算プランク定数を除いて）フーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
フーリエ変換とその逆変換を定義する上で問題になるのは、fやgがどのようなクラスに属すればこれらの変換が定義でき、変換によってできあがる関数、がどのようなクラスに属するか、という事である。本節ではまずシュワルツ空間という関数空間のクラスを定義し、フーリエ変換がシュワルツ空間上の全単射になっている事を示す。次に本節では、シュワルツ空間上の線型汎函数である「緩増加超関数」に対してもフーリエ変換が定義可能なことを見る。そして最後にフーリエ変換がL2空間上の全単射になっている事を見る。
次が成立する事を簡単な計算で確かめることができる：
定理 ― 
フーリエ変換とフーリエ逆変換は上定義可能である。しかもこれらの変換は上の全単射であり、フーリエ変換とフーリエ逆変換は逆写像の関係にあるF15(p112)
またこれらの変換は連続である：
定理 ― 
の元の列{ψn}がの元ψに収束するなら、とが成立するF15(p112)。
量子力学の数学的定式化 フーリエ変換
に対し、超関数の時と同様
と定義する事で、シュワルツ関数に緩増加超関数Tψを対応させることができる。
定理 ― 写像
は単射かつ連続で、しかもその像は値域において稠密であるM07(p17)。
の元ψ、χに対し、プランシュレルの定理
が成り立つので、とする事で、
となる事が分かる。これを参考にして緩増加超関数Tのフーリエ変換を以下のように定義する：
定義 ― 
緩増加超関数Tのフーリエ変換
により定義し、同様にフーリエ逆変換を
により定義する。
これらの変換は緩増加超関数全体の集合で逆写像の関係にある事を以下のように簡単に示すことができる：
上のフーリエ変換が連続であることから、上に定義した上のフーリエ変換も連続である事が従う。
L2関数ψに緩増加超関数
を自然に対応させることで、L2空間をの部分集合とみなせる。よって上でフーリエ変換の定義域をL2空間に制限する事でL2空間にもフーリエ変換が定義できる。次の事実が成り立つことが知られている：
定理 ― 
L2関数のフーリエ変換はL2関数であり、しかもフーリエ変換は上の内積を保つ新井(p197)M07(p17)。
すなわち、L2関数のフーリエ変換は上のユニタリ変換である新井(p197)
量子力学の数学的定式化 フーリエ変換
実はこのような性質を満たすフーリエ変換の拡張は一意である：
定理 ― 
上ユニタリ変換で、への制限が上のフーリエ変換と一致するものはただ一つである新井(p197)。
L2関数ψのフーリエ変換は
という形式で書くことがでるとは限らない。なぜならψがL2関数の場合は上述の積分は一般には定義できるとは限らないからである。しかし
は定義でき新井(p197)、L2関数のフーリエ変換は以下を満たすことが知られている：
定理 ―
R→∞のとき、
すなわちFR(ψ)はにL2収束する新井(p197)。
最後に、位置作用素と運動量作用素とがフーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
そのためにより一般に微分作用素
(の閉包作用素)を考え、多項式Fを
と定義すると、以下が成立することが知られている新井(p198)：
定理 ―
ここでMFはFを乗じる掛け算作用素である。よって特に運動量作用素
（の閉包作用素）は以下を満たす：
系 ―
xj倍する掛け算作用素は位置作用素であったことから、上式は換算プランク定数を除いて位置作用素と運動量作用素が移り合うことを意味する。
量子力学の数学的定式化 スペクトル
スペクトルとは、有限次元における固有値・固有ベクトルの理論の「無限次元版」であり、量子力学では物理量を観測する時に得られる値の集合となる。本節の目標は、ヒルベルト空間上定義された自己共役作用素のスペクトルの概略を述べる。
無限次元におけるスペクトル理論について述べる前に、まず有限次元の固有値の性質を調べる。λがの固有値である事は明らかに
を意味し、これはA-λIは単射ではない事を意味する。が有限次元であれば線形写像が単射である事は全射である事と同値なので、λがAの固有値である事はA-λIが全単射でない事と同値である。したがってλがAの固有値ではない場合、A-λIは全単射である為、
が存在し、逆にRλが存在すればλはAの固有値ではない。
しかし無限次元の場合には
が存在するため、このような単純な関係は存在しない。スペクトル理論は、上述のような作用素の存在を考慮した上で、固有値・固有ベクトルの理論を適切に「無限次元化」したものである。
これまで同様をヒルベルト空間とし、を稠密に定義された（有界とは限らない）閉作用素とし、λを複素数とする。恒等写像Iは全域で定義されているので、A-λIもAと同一の定義域を持つ作用素として定義できる。
定義 ―
量子力学の数学的定式化 スペクトル
が全単射である複素数λ全体の集合をρ(A)と書き、Aのレゾルベント集合といいS12(p7)、その補集合をAのスペクトルというS12(p7)K12(p30)。さらにスペクトルσ(A)に属するλをAのスペクトル点であるというH13(p177)。
なお、本稿で述べているレゾルベント集合を狭義のレゾルベント集合と呼び、「レゾルベント集合」という語には別の意味を与えているテキストも存在するので注意されたい。
定義 ― 
λがレゾルベント集合ρ(A)に属していればは全単射なので、A-λIの逆写像
が定義できる。RλをAのλにおけるレゾルベントという。
次の事実が知られている：
定理 ― 
Aが閉作用素の場合、Rλは必ず有界であるL04(p38)。
なお本稿ではAが閉作用素の場合に限定してレゾルベント集合を定義したが、Aが閉作用素でない場合にレゾルベント集合の定義を拡張する際は、A-λIが全単射になり、しかもRλが有界になるλの全体をレゾルベント集合と定義する新井(p125)。
スペクトルσ(A)の定義より、λがσ(A)に属する場合、A-λIは全単射でない。すなわちA-λIは「全射でない」かもしくは「単射でない」事を意味する。
定義 ― 
σ(A)の元のうち、A-λIが単射でない複素数λ全体の集合をσP(A)と書き、σP(A)をAの点スペクトルというK12(p30)新井(p92)。
量子力学の数学的定式化 スペクトル
λがσP(A)の元であれば明らかに
であるので、
となる0でないが存在する。すなわち点スペクトルσP(A)の元はAの固有値であるK12(p30)。σP(A)の元λに対し、の0でない元をAのλに対応する固有ベクトルといい、をλの多重度というK12(p30)。
有限次元の場合と違い、A-λIが単射であるにもかかわらず、全射ではない事が起こりうる。よっては一般には空集合ではない。の詳細については後述する。
スペクトルσ(A)に属するλのうち、A-λIが単射でないもの全体が点スペクトルσP(A)であった。それ以外のσ(A)の元、すなわちA-λIが単射ではあるが全射でないものは２つのタイプに分類できる。
定義 ― 
A-λIが単射であるが全射でなく、しかもその像
が値域で稠密になるλ全体の集合をσc(A)と書き、Aの連続スペクトルという。一方A-λIが単射であるが全射でなく、しかもがで稠密ではないもの全体の集合をσr(A)と書き、Aの剰余スペクトルというS12(p12)。
量子力学の数学的定式化 スペクトル
λがAの剰余スペクトルもしくは連続スペクトルに属していれば、A-λIは単射であるので、A-λIの像の上定義された逆写像を定義できる。この意味において、レゾルベント集合においてもA-λIの逆写像が定義できるので、この意味で剰余スペクトルや連続スペクトルはレゾルベント集合に類似しているが、違いは逆写像の定義域にある。レゾルベント集合においてははの全域で定義され、しかも（Aが閉作用素であれば）は必ず有界である。それに対し連続スペクトルの場合はのの稠密部分空間で定義されているに過ぎず、しかもは有界ではない新井(p125)。さらに剰余スペクトルにおいてはの定義域はで稠密ですらない。
以上で定義した概念をまとめると次のようになる。
定理 ― 
複素数の集合Cはレゾルベント集合ρ(A)とスペクトルσ(A)により、
と互いに交わらない和として書き表す事ができ、さらにスペクトルσ(A)は点スペクトルσP(A)と連続スペクトルσc(A)と剰余スペクトルσr(A)により、
と互いに交わらない和として書き表せる。
なお連続スペクトルは本稿で述べたのとは別の定義があり、その定義を採用した場合には連続スペクトルと剰余スペクトルは排他的になるとは限らないK12(p30)。
量子力学の数学的定式化 スペクトル
点スペクトルσP(A)以外ではA-λIが単射になるので、A-λIの像の上で逆写像が定義できるが、剰余スペクトルではの定義域は有界ではなく、連続スペクトルでは稠密に定義されているが有界ではなく、レゾルベント集合では全域で定義されていてしかも有界である。
本節では以下、を（稠密に定義された有界とは限らない）自己共役作用素とする。このときσ(A)は実数体Rの閉部分集合である事が知られているH13(p177-178)。またσ(A)の元は必ずしも点スペクトルではないため、が0となるψ≠0が存在するとは限らないが、をいくらでも0に近く取る事ができるH13(p177-178)：
定理 ― 
を（稠密に定義された有界とは限らない）自己共役作用素とする。
このとき、である必要十分条件は、Dom(A)に属する単位ベクトルの列{ψn}n∈Nが存在してとなる事である。
なお上の後半の性質を満たすλ全体の集合をσapp(A)と書き、近似スペクトルというS12(p12)。したがって上述の事実は、自己共役作用素のスペクトルは近似スペクトルと一致する事を意味する。さらに次が成立する事が知られている：
定理 ― 
自己共役作用素の剰余スペクトルσr(A)は必ず空集合であるK12(p30)。
以上をまとめると、以下が成立する。
定理 ― 
を（稠密に定義された有界とは限らない）自己共役作用素とすると、
量子力学の数学的定式化 スペクトル分解と観測
スペクトル分解とは、有限次元ベクトル空間における線形作用素の固有値分解を無限次元に拡張したものであるが、単純に有限次元の固有値分解を無限次元に拡張することはできない。これは無限次元の場合、有限次元と違って連続スペクトルが存在し、連続スペクトルには点スペクトル（＝固有値）と違い、対応する固有ベクトルが存在しないことに起因する。
本稿では自己共役作用素をスペクトル分解する方法として、以下の３種類を紹介する：
これら３つのスペクトル分解のうちで、量子力学において通常用いられるスペクトル分解の定式化、すなわちデルタ関数を用いたスペクトル分解に最も近いのは最後にあげたゲルファントの三つ組によるものである。しかしこのゲルファントの三つ組によるスペクトル分解は、すべての自己共役作用素に対して適応できるわけではないという欠点を持つ上、この手法でスペクトル分解するには数学的な準備が必要となる。そこでこの手法によるスペクトル分解は後の節にまわし、本節では残り２つのスペクトル分解を紹介し、これらをもとに、量子状態の観測の概念を数学的に定式化する。
が有限次元の場合、を
のように直和として表記可能である。ここでAは上の自己共役作用素であり、は固有値λに対応する固有空間である。さらに任意のに対し、