hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1a1d 台湾（タオ族、ブヌン族、ツォウ族、ルカイ族、パイワン族）、タイ王国、中国（0.618%）、フィリピン、ベトナム、カンボジア、マレーシア、シンガポール
F1a1e (F1a1+T8433C) 中国（江蘇省漢族1人・計0.0046%）
F1a1f (F1a1+A10972G)
F1a1g (F1a1+A16497G) 中国（漢族 0.143%）、ロシア（カルムイク人）、日本
F1a1g1 (F1a1g+G7976A)
F1a1g2 (F1a1g+T1896C) 中国（新疆ウイグル族）
F1a1g3 (F1a1g+T4313C)
F1a1h (F1a1+T9141C)
F1a1h1 (F1a1h+T16243C) ベトナム（ラフ族）、中国、台湾
F1a1h1a (F1a1h1+A5265G) タイ王国（カーラシン県プータイ族）
F1a1h1b (F1a1h1+A1763G) ベトナム
F1a1h2 (F1a1h+T15283C) タイ王国（リス族）
F1a1h3 (F1a1h+A3579G) ベトナム（ホーチミン市キン族）、タイ王国（中部タイ人）、中国
F1a1i (F1a1+G15884A) 中国（湖南省漢族1人・四川省漢族1人・広東省漢族1人・計0.014%）
F1a1i1 (F1a1i+G11176A) タイ王国（ヤオ族・北部タイ人）、中国（貴州省ミャオ族）
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1a1i2 (F1a1i+A1860G) 台湾、中国
F1a1j (F1a1+G94A) 中国（漢族 0.037%）
F1a1j1 (F1a1j+A12715G) 中国（土家族）
F1a1j1a (F1a1j1+G5147C)
F1a1j1b (F1a1j1+C1310T) 韓国、日本（愛知県）
F1a1j1c (F1a1j1+A9336G) 韓国
F1a1j1c1 (F1a1j1c+G8251A) 中国（黒竜江省ダウール族2人）
F1a1j1d (F1a1j1+G750A)
F1a1j2 (F1a1j+T6071C) 中国
F1a1k (F1a1+G8697A) 中国（江西省漢族1人・山東省漢族1人・浙江省漢族1人・江蘇省漢族1人・計0.018%）
F1a1k1 (F1a1k+G14258A) 中国（福建省漢族1人）
F1a1k2 (F1a1k+A5258G)
F1a1l (F1a1+C5435T) 韓国
F1a1l1 (F1a1l+T6216C) ロシア（チェルカン・テレウト）
F1a1m (F1a1+A5322C) 中国（安徽省漢族1人・計0.0046%）
F1a1n (F1a1+A16335G) 中国（漢族 0.037%）、カザフスタン
F1a1n1 (F1a1n+A8507G)
F1a1n1a (F1a1n1+C14225T) 馬祖島
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1a1n1b (F1a1n1+G16244A) 中国（河北省）、ベトナム（キエンザン省）
F1a1n2 (F1a1n+G251A) 中国
F1a1o (F1a1+C8282A) 中国（新疆ウイグル族）
F1a1p (F1a1+C16292T) タイ王国
F1a1q (F1a1+C6927T)
F1a1r (F1a1+C14773T) 韓国
F1a2 ベトナム、中国（0.180%）、タイ王国
F1a2a (F1a2+C16465T) 中国（トン族等）、ベトナム（Thai族）、タイ王国（Mon族）
F1a2a1 (F1a2a+G7444A) 中国
F1a2a1a (F1a2a1+A8659G) タイ王国（Nyaw族・プータイ族）
F1a2a2 (F1a2a+A9053G!) 中国（湛江市漢族）
F1a2b (F1a2+C5191T) タイ王国（クイ族・コンムアン・中部タイ人）、中国（傣族・貴州省漢族）
F1a2b1 (F1a2b+T16224C) タイ王国（Hmong族）
F1a2b1a (F1a2b1+G7853A) タイ王国（Hmong族）、ベトナム（Hmong族）
F1a2b1a1 (F1a2b1a+G8902C) タイ王国（Hmong族）
F1a2b2 (F1a2b+C13599T) タイ王国（タイユアン族）
F1a3
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1a3a フィリピン（パラワン島バタク族・バターン州アエタ族・アバクノン語話者）、台湾、中国（0.046%）
F1a3a1 (F1a3a+A16129G!!+G16390A) 台湾
F1a3a1a (F1a3a1+T8705C+A16284G) 日本（中部北陸地方・計0.1%、愛知県・東京都）、韓国、中国（吉林省朝鮮族）
F1a3a1b (F1a3a1+G3531A) 台湾（ブヌン族・プユマ族等）
F1a3a2 (F1a3a+C150T+C4011T+T16189C!) フィリピン（イバタン族）
F1a3a3 (F1a3a+C15452T) フィリピン（イバタン族）、台湾
F1a3a3a (F1a3a3+G14323A) 台湾（アミ族・ブヌン族・ツォウ族等）
F1a3a3a1 (F1a3a3a+A5432G) 台湾（ツォウ族）
F1a3a4 (F1a3a+T11899C) インドネシア（バンジャルマシンバンジャル族）
F1a3a5 (F1a3a+A8985G) 台湾（プユマ族・アミ族等）
F1a3a6 (F1a3a+T10463C) 中国（河南省漢族1人・上海市漢族1人・山東省漢族1人・浙江省漢族1人・江蘇省漢族1人・計0.023%）
F1a3a7 (F1a3a+G4113A) フィリピン
F1a3a9 (F1a3a+G15148A) フィリピン、マレーシア、インドネシア
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1a3+T318C 中国
F1a3+T318C+G54C+A8718G
F1a3b (F1a3+T318C+G54C+A8718G+G53A+C13044T) 中国（0.120%）、台湾、カザフスタン
F1a3c (F1a3+C10223T) タイ王国（フアン族・タイダム族）、中国（漢族）
F1a3c1 (F1a3c+C868T) タイ王国（タイダム族）
F1a3c2 (F1a3c+C3116T) タイ王国（タイユアン族）
F1a3c2a (F1a3c2+A1037G) タイ王国（パラウン族）
F1a3c3 (F1a3c+T8618C) タイ王国（タイユアン族・中部タイ人）
F1a3d (F1a3+T8618C) 中国（湖北省漢族1人・計0.0046%）
F1a3e (F1a3+C11860T) タイ王国（中部タイ人）
F1a3e1 (F1a3e+G5252A) 中国（ウイグル族）
F1a3f (F1a3+A15322G) 中国
F1b
F1b1 ミャンマー（ナガ族）
F1b1a 日本（3.2%）、朝鮮民族、中国（0.106%）、アメリカ合衆国
F1b1a1
F1b1a1* 日本（0.3%）、韓国、中国
F1b1a1a 日本（2.3%）、韓国、アメリカ合衆国（黒人）、中国（0.046%）
F1b1a2 日本（0.5%）
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1b1b　ロシア（シベリア先住民のケット・トゥヴァ・トファ・ヤクート・エヴェン、コーカサス先住民のアディゲ、ペルミ州のロシア人等）、トルコ、カザフ、キルギス、アフガニスタン（タジク）、中国（ウイグル、ダウール、漢族[0.018%]等）
F1b1c 中国（イ族、漢族[0.162%]等）、ベトナム（ラチ族、ロロ族）、ミャンマー（ビルマ族）、ネパール、パキスタン、ウズベキスタン（カラカルパク）、グルジア、ロシア（ハムニガン、ブリヤート、バシコルトスタン）
F1b1d 日本（0.2%）、韓国
F1b1e ロシア（ヤクート、ブリヤート、ハムニガン、カラノガイ）、トルコ、キルギス、モンゴル、中国（ウイグル、ダウール、オロチェン、漢族[0.180%]等）
F1b1f ロシア（エヴェンキ、ヤクート、ブリヤート）、中世のハンガリー（アヴァール）、トルコ、カザフスタン、モンゴル、中国（ウイグル、漢族[0.032%]）
F1b1g (F1b1+C3533T+G13759A+A15398G) アゼルバイジャン
F1b1h (F1b1+A8774G) ロシア（ロシア人）、クロアチア、トルコ、トルクメン、キルギス、ハンガリー（中世の人骨）
F1c ミャンマー、韓国、中国（0.711%）、日本（0.1%）、パキスタン、バングラデシュ、インド、ウクライナ
F1c1a1 ミャンマー（ビルマ族）
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1c1a2 ミャンマー（チン族・ラカイン族・ビルマ族・ナガ族・計5.5%）
F1d 香港、シンガポール、ミャンマー、ネパール、台湾、中国（0.512%）、北マケドニア、日本（0.2%）、南アフリカ
F1d2 (F1d+G5460A) 香港、ネパール
F1d1'3 （F1d+T146C!） 日本、中国、阿史那皇后
F1d1 中国（0.065%）、日本
F1d1a (F1d1+A16284G) 中国（チベットや北京等）、ネパール、ミャンマー、タイ王国、南アフリカ
F1d3 (F1d+T146C!+A16309G) 中国、台湾、シンガポール、日本、北マケドニア
F1e 中国（0.568%）、日本（0.2%）
F1e1 中国（0.078%）
F1e1a 日本（0.1%、東北地方及び中部北陸地方）、中国（漢族 江西省1人・安徽省1人・上海市1人・江蘇省1人・計0.018%）
F1e1b (F1e1+A238G) 中国（貴州省ミャオ族）
F1e2'3
F1e2 中国（0.037%）、タジキスタン（キルギス族）
F1e3 中国（0.254%）、香港、ベトナム、タイ王国、ラオス
F1f ミャンマー、ベトナム、タイ王国、カンボジア、中国（0.323%）、インドネシア
ハプログループF (mtDNA) 系統樹
F1g 中国（0.669%）、ネパール、タジキスタン（キルギス人）、パキスタン（コー人）、インド（パールシー）、サウジアラビア、ロシア（ハカシヤ）、ベトナム（キン族、フラ族）、タイ王国（タイ・ルー族、Mon族）
F1g1 中国（0.249%）、ベトナム（ヤオ族、Hmong族）、タイ王国（Hmong族）
F2
F2a
F2a(xF2a1) 中国（1.02%）、台湾、日本（0.5%、九州・沖縄地方以外全国）、カザフスタン、ベトナム（パテン族）、カナダ、ハンガリー（今より約1030年前の人骨）
F2a1 中国（0.448%）、香港、台湾、ベトナム（Phu La族）、タイ王国（ラフ族、リス族）、マレーシア、シンガポール、日本（0.1%、中部北陸地方）
F2b 中国（0.383%）、台湾、ネパール、ベトナム、タイ王国、シンガポール、ロシア（ヤクート、チェルカン、トゥバ、ブリヤート）
F2c 中国（0.360%）
F2c1 中国（0.152%）、日本
F2c+A761G カザフスタン
F2c2 中国（0.042%）、キルギス
F2d 中国（0.443%）、シンガポール、カザフスタン、日本（0.1%、九州地方）
F2e 中国（0.125%）、ベトナム（キン族、ヤオ族）、タイ王国（フアン族、ユアン族・コンムアン）、シンガポール
F2f 中国（0.157%）、韓国、日本（0.1%、関東甲信越地方及び東北地方）、パキスタン（ハザーラ）、アゼルバイジャン（タリシュ）、ロシア（バシキール）、ポーランド
F3 (旧名 R9a) スマトラ・中国（1.038%）・ボルネオ・フィリピン・台湾など。
F3a タイ王国、中国 (0.905%)、日本（0.1%、中部北陸地方）
F3a1 タイ王国、中国（0.628%）、ベトナム
F3b 中国（0.111%）、日本（0.3%、中部北陸地方・近畿地方・九州地方）、タイ王国
F3b1 レユニオン、フィリピン、台湾、インドネシア、中国（0.028%）、アメリカ合衆国、フランス、スペイン
F4 中国（0.831%）
F4a
F4a1
F4a1a 台湾、中国（0.245%）、日本（0.1%、中部北陸地方）、カナダ（ケベック州）
F4a1b 韓国、中国（0.157%）、日本
F4a2 中国（0.175%）、台湾、タイ王国、ラオス、カンボジア
F4b フィリピン、中国（0.166%）、台湾（特に原住民）、シンガポール、タイ王国、マダガスカル、アメリカ合衆国
占領下アラブ湾岸解放人民戦線
占領下アラブ湾岸解放人民戦線（英語: Popular Front for the Liberation of the Occupied Arabian Gulf、アラビア語: الجبهة الشعبية لتحرير الخليج العربي المحتل）は、湾岸アラブ諸国の共産主義組織の一つである。1968年にドファール解放戦線を発展改組して結成された。
この団体はアラブナショナリズムとマルクス主義を掲げていた。この団体は湾岸アラブ諸国で活動していた。その中でとくにオマーンとバーレーンで活発な活動をしていた。
占領下アラブ湾岸解放人民戦線は南イエメンに事務所を開設しており、南イエメンの支援を受けゲリラ戦を行った。1968年8月の時点ではラヒュートを支配下に置き、最盛期はドファール西部で強い影響力を持っていた。1971年にはドファール革命政府を樹立。1975年まで反乱を継続した。ドファール解放戦線に引き続きアラブ民族主義運動と連携していた。1974年にオマーン解放人民戦線とバーレーン解放人民戦線に分裂した。
見前館
見前館（みるまえだて）は、岩手県盛岡市西見前8地割館にあった日本の城。別称は見前城、見舞館。
見前館 概要
東を北上川が南流する沖積平野内にあり、平坦だが周囲の沖積低地より1 - 2メートル高くなっている低位段丘上に、東西150メートル・南北250メートルの規模で館跡が所在した。付近に堀田、大館、大手先、搦手などの地名が残っているが、現在、畑や水田になっていて館の地表上での遺構は全く見られない。
1998年（平成10年）5月に個人住宅建築に伴い行われた発掘調査では、地表下40センチメートルまで掘り下げた遺構検出面から中世の掘立柱建物跡5棟と井戸2基、溝1条が検出され、16世紀 - 17世紀初頭の唐津焼皿が1点出土した。
見前館 沿革
陸奥国志和郡西見前村に所在し、古くは見舞とかいて「みるまえ」と訓んだという（『都南村史』）。
築城時期は不明であるが、郡主・斯波氏の家臣・見前氏の本拠地で、元亀・天正にはたびたび南部勢と戦火を交え、斯波氏の前線基地であったと伝えられている。天正16年（1588年）、斯波氏滅亡のころには、南部方の日戸氏が見前の館主となっている。
天正20年（1592年）の諸城破却書上には「見舞 平城 破 信直抱 代官 日戸中務」とあり、破却された。
角谷道弘
角谷 道弘（かどや みちひろ、1963年10月7日 - ）は大阪府出身の登山家、山岳ガイド。
角谷道弘 経歴
1988年、信州大学農学部を卒業。1995年に勤務していた会社を退社して山岳ガイドを始めた。2000年に日本テレビの番組『ウッチャンナンチャンのウリナリ』内でマッターホルン (4,478 m) 登頂部のコーチを務め、2010年からは同局の番組『世界の果てまでイッテQ!』の番組内企画であるイッテQ登山部のガイドとして登山企画などに関わる。
2012年3月8日、八ヶ岳で日本山岳ガイド協会試験の講師を務めていたところ、受験者の滑落事故に巻き込まれ、大腿部の付根および骨盤の一部を粉砕骨折。人工骨を埋め込むこととなった。手術後リハビリを続け、2013年8月にマッターホルン登頂。2014年に予定されていた『世界の果てまでイッテQ!』登山部のエベレスト挑戦に参加するため、2013年9月、番組のマナスル挑戦企画に合流した。
現在は角谷道弘ガイド事務所代表を務めるほか、日本山岳ガイド協会認定ガイド、UIAGM国際山岳ガイド、フランス国家認定ガイド、国立登山研修所講師、日本プロガイド協会会長も兼ねる。2012年より石井スポーツ神戸三宮店にも勤務している。
エテルベーク
エテルベーク（Etterbeek、仏: [ɛtəʁˈbek];  蘭: [ˈɛtərˌbeːk] ( 音声ファイル)）は、ベルギーのブリュッセル首都圏地域を構成する19の基礎自治体の一つである。ブリュッセル＝ヴィル、イクセル、オーデルゲム、ウォルウェ・サン・ピエール、ウォルウェ・サン・ランベール、スカールベークと隣接している。
オランダ語大学のブリュッセル自由大学(VUB)のメインキャンパスは、フランス語大学であるブリュッセル自由大学(ULB)デ・ラ・プレーンキャンパスと同じ場所にあり、厳密には隣接する自治体であるイクセルに属しているが、エテルベークキャンパスと呼ばれている。
エテルベーク 歴史
伝説によると、ピピン1世の娘ニヴェルのゲルトルードはこの地に8世紀に礼拝堂を作ったとされる。神聖ローマ皇帝オットー1世が966年に発表した文書では、この礼拝堂は 英語: Iatrebache と記されていた。英語: Ietrebecca の名は、恐らく「俊敏な動き」を意味するケルト語の ett と流れを意味するオランダ語の beek が合わさって出来たもので、1127年に初めて現れた。現在の綴りは11年後の1138年、新しい大きな教会が建てられた頃に初出している。
中世、エテルベークは、1300年前後の、ブラバント公ジャン2世がブリュッセルにビールの課税権を与えた時代を抜いて考えると、ブリュッセルからほぼ独立した村落であった。その後、1489年にはザクセン公アルブレヒト3世が神聖ローマ皇帝マクシミリアン1世に対する反乱軍への攻撃のため、街を破壊した。1580年には宗教改革の聖像破壊運動によって再び街は破壊された。その後、平和が再び訪れたのはオーストリア大公アルブレヒト7世と妃イサベル・クララ・エウヘニアの時代になってからであった。
エテルベーク 歴史
1673年、スペイン王カルロス2世が男爵領にこの地を組み入れたことで、隣のロド・サン・ジュネーズから独立を果たした。最初の男爵はオランダ陸軍の出納係、ドン・ディエゴ・ヘンリケーズ・デ・カストロ（スペイン語: Don Diego-Henriquez de Castro）であった。カストロの家は1766年に売却され、現在でも市内最古の建物として見ることが出来る。
フランスの治世下では、エテルバークはヴォルウェ・サン・テティエンヌ小郡のコミューンに組み込まれた。それ以来、特に1830年のベルギー独立革命以降、ブリュッセルが首都として発展していくにつれて、エテルバークの人口は飛躍的に増大した。1876年には既に1万人を超える人口がおり、1900年には2万人を超え、1910年には3万3千人を数えた。レオポルド2世の治世下では、建設が盛んに行われ、街の様相を現在の広い通りと居住域を持つ物へと一変させた。
エテルベーク 見所
市内にある2つのカトリック教会（サン＝アントワーヌ教会またはシント＝アントニウス教会（オランダ語: Saint-Antoine、フランス語: Sint-Antonius）とノートル＝ダム＝ド＝サクレ＝クール教会（フランス語: Notre-Dame-du-Sacré-Coeur）） 。もう一つの教会（サンテ＝ゲルトルード教会（オランダ語: Sainte-Gertrude、フランス語: Sint-Gertrude）は1990年代に破壊された。
エテルベーク 交通
エテルベークにはエテルベーク駅があるが、自由大学同様、この駅もイクセルに跨っている。また、メロード駅（地上鉄道も）とティエフリー駅、ペティヨン駅の地下鉄駅も存在する。
エテルベーク 再開発計画
デ・カセルナ大通り附近の地域を再開発する計画が存在している。この計画では町役場と警察署が行政中心地の新しい建物に移転する事となっている。この新しい位置はレ・ジャルダン・デ・ラ・シャッセ（フランス語: Les Jardins de la Chasse）あるいはチューネン・ファン・デ・ヤヒト（オランダ語: Tuinen van de Jachtと呼ばれている。
エテルベーク イベント
エテルベークは毎年5月末に市の南部の槍騎兵第二聯隊大通り（フランス語: Avenue du 2ème Régiment de Lanciers）で開かれる中世風市の開催地となっている。
ウィリー・フェレロ
ウィリー・フェレロ（Willy Ferrero、1906年3月21日 - 1954年3月24日）は、アメリカ合衆国出身で、主にヨーロッパやロシアで活躍した指揮者。
メイン州ポートランドのイタリア人の両親の元に生まれる。
2歳でイタリアに移住し、3歳8カ月でパリのトロカデロに於いてオーケストラを指揮してジュール・マスネを驚嘆させた。
4歳でフォリー・ベルジェールのオーケストラ、6歳でコスタンツィ劇場のコンサートを指揮。7歳の時にはロシア皇帝ニコライ2世の招きでサンクトペテルブルクに演奏旅行に行って聖スタニスラウス勲章を授与されたり、ローマ教皇ピウス10世に謁見したりしている。
1914年にはロンドンのロイヤル・アルバート・ホールでアレクサンドラ王妃列席の下イギリス・デビューを飾り、1917年にはローマ教皇ベネディクトゥス15世に謁見した。
その後ウィーン音楽院でマックス・スプリンガーに師事。1924年に卒業後はミラノやローマを中心に音楽活動を続け、指揮者として世界各地のオーケストラに客演する傍らで、ルキノ・ヴィスコンティの『揺れる大地』の映画音楽の作曲やヴィットリオ・デ・シーカの『自転車泥棒』の映画音楽の指揮、オーソン・ウェルズの『オテロ』の音楽ディレクターなどを務めた。
ローマにて死去。
ファビアン・シェア
ファビアン・ルーカス・シェア（Fabian Lukas Schär, 1991年12月20日 - ）は、スイス・ザンクト・ガレン州ヴィル出身のサッカー選手。スイス代表。プレミアリーグ・ニューカッスル・ユナイテッドFC所属。ポジションはDF。
ファビアン・シェア 経歴
1999年からFCヴィル1900のユースチームでキャリアをスタートさせし、2009年にトップチーム昇格した。2012年7月4日、FCバーゼルに3年契約で移籍した。同シーズンのバーゼルではリーグ優勝も経験した。
2015年6月4日、TSG1899ホッフェンハイムへ4年契約での移籍が決定した。
2017年7月21日、デポルティーボ・ラ・コルーニャと4年契約を結んだ。ラ・リーガ初挑戦となったが、8月20日のレアル・マドリード戦で先発出場。さらにリーグ戦では2得点を挙げたがチームは降格した。
2018年7月26日、ニューカッスル・ユナイテッドFCに移籍した。契約期間は3年間で、背番号は5番。ラファエル・ベニテスの信頼を掴み、11節以降はリーグ戦では5バックを敷くチームのDFラインのひとりになった。安定したパフォーマンスに終始し、シーズン終了後には地元紙の採点で10点満点をもらうなど高評価を受けた。
スイス代表として各年代でプレーし、ロンドンオリンピックに出場した。2013年8月14日、親善試合のブラジル代表戦でA代表デビューを果たした。9月6日、アイスランド代表戦で初ゴールを記録。
ファビアン・シェア 経歴
2019年3月、EURO2020予選のジョージア戦では、相手選手との競り合いで頭部同士が交錯してグラウンドに倒れこんだが、治療を受けた後にプレーを再開した。グラウンドに倒れこんだ際に、意識を失っており、脳震盪と見られる症状だったがプレーを再開したことについて、FIFAの医療部門はスイス代表の対応を批判した。
2021年、シャーはUEFA EURO 2020のスイス代表メンバーとして参加しました。 2022年11月、彼はカタールで開催された2022 FIFAワールドカップのスイス代表に選ばれました。 2024年6月7日、シャーはUEFA EURO 2024のスイス代表メンバーに選出されました。 2024年8月26日月曜日、シャーは国際大会からの引退を発表しました。
ファビアン・シェア 代表歴
2012年 - ロンドンオリンピック (グループステージ敗退)
2014年 - 2014 FIFAワールドカップ (ベスト16)
2016年 - UEFA EURO 2016 (ベスト16)
2018年 - 2018 FIFAワールドカップ (ベスト16)
2021年 - UEFA EURO 2020 (ベスト8)
2022年 - 2022 FIFAワールドカップ (ベスト16)
2024年 - UEFA EURO 2024 (ベスト8）
モーネ・ナゲル
モーネ・ナゲル（Morne Nagel、1978年3月23日 ‐ ）は、南アフリカの元陸上競技選手。専門は短距離走。200mの自己ベストは元南アフリカ記録の20秒11。室内60mの自己ベストは白人選手最高記録および南アフリカ記録の6秒48。2001年エドモントン世界選手権男子4×100mリレーの金メダリストである。
モーネ・ナゲル 経歴
8月、エドモントンで開催された世界選手権に出場すると、男子100mは2次予選で自己ベスト（当時10秒15）に迫る10秒20をマークするも敗退した。しかし、1走（ナゲル、Corné du Plessis、リー＝ロイ・ニュートン、マシュー・クイン）を務めた男子4×100mリレーでは予選と準決勝を突破すると、決勝では38秒47の南アフリカ記録（当時）を樹立。アメリカ（37秒96）に次いで2位に入り、オリンピックを含めてもこの種目で南アフリカ初のメダルとなる銀メダル獲得に貢献した。その後、2005年にアメリカのリレーメンバーだったティム・モンゴメリのドーピング問題が発覚し、アメリカの金メダルが剥奪されたため南アフリカが繰り上がりで金メダルを獲得した。
1月27日、ドルトムントで開催された室内大会の男子60mにおいて、白人選手初の6秒4台となる6秒48の室内南アフリカ記録を樹立。ガーナのレオナード・マイルズ＝ミルズ（6秒45）次いで、ナイジェリアのデジ・アリウ（6秒48）と並ぶ室内60mアフリカ歴代2位タイに名を連ねた。
モーネ・ナゲル 経歴
2月24日、リエヴァンで開催された室内大会の男子60mにおいて、50mの途中計時で5秒62をマーク。ナイジェリアのデジ・アリウ（5秒61）に次いで、ガーナのエリック・ヌカンサー（5秒62）と並ぶ室内50mアフリカ歴代2位タイに名を連ねた。
4月5日、ゲルミストンで開催された大会の男子200mにおいて、標高1000mを超える高地記録ながら20秒11（-0.8）の南アフリカ記録（当時）を樹立し、1995年にRiaan Dempersがマークした20秒16を塗り替えた。ナミビアのフランク・フレデリクス（19秒68）、ナイジェリアのフランシス・オビクウェル（19秒84））、ナイジェリアのダニエル・エフィオン（20秒10）に次いで、ナイジェリアのオラパデ・アデニケン（20秒11）と並ぶ200mアフリカ歴代4位タイ（当時）に名を連ねた。
3月、バーミンガムで開催された世界室内選手権の男子60mに出場すると、予選を突破して世界大会の個人種目で初のセミファイナリストになったが、準決勝は自己ベスト（6秒48）に程遠い6秒65の組4着で敗退した。しかし、これはこの種目における南アフリカ最高成績となっている（2018年バーミンガム大会終了時）。
モーネ・ナゲル 経歴
7月、ブラザヴィルで開催されたアフリカ選手権に出場すると、1走を務めた男子4×100mリレーは39秒59をマークしての銀メダル獲得に貢献した。男子200mは決勝で20秒83（0.0）をマークし、ジョゼフ・バタンドン（20秒46）、Ambrose Ezenwa（20秒75）に次いで3位に入り、主要国際大会の個人種目で初のメダルとなる銅メダルを獲得した。
7月、アルジェで開催されたアフリカ競技大会に出場すると、1走を務めた男子4×100mリレーで39秒11をマークしての銀メダル獲得に貢献した。
小野心
小野 心（おの しん、1982年12月27日 - ）は、日本のプロボクサー。神奈川県横浜市出身。ワタナベボクシングジム所属。第32代OPBF東洋太平洋ライトフライ級王者、第29代日本ミニマム級王者。
小野心 来歴
中3の時に地元の花形ボクシングジムに入門し、17歳でプロテスト合格。
2001年2月2日、横浜市でスーパーフライ級4回戦を行い、4回判定勝ちを収めデビュー戦を白星で飾った。
2012年1月、ワタナベボクシングジムへ移籍。
2012年4月22日、後のWBC世界ミニマム級王者熊朝忠に判定勝ちを収め世界ランク入りを果たす。
2012年7月16日、ウイング・ハット春日部で行われたダブル世界戦の前座で桜井康弘に判定勝利。
2013年1月12日、OPBF東洋太平洋ライトフライ級王者宮崎亮の王座返上に伴いオマリ・キムウェリとOPBF東洋太平洋同級王座決定戦を行い、2-1（117-110、114-113、113-114）の判定勝ちを収め王座獲得に成功した。
しかし、試合後に左手親指の腱が切れていたことが発覚したため、防衛戦をせぬまま王座を返上。
2013年10月16日、再起戦として守屋和明と対戦して判定勝利。
2014年5月7日、大阪府立体育会館でIBF世界ミニマム級王者高山勝成とIBF世界同級タイトルマッチを行うも、12回0-3の判定負けを喫し王座獲得に失敗した。
小野心 来歴
2015年9月17日、堀川謙一と日本ライトフライ級王座決定戦を行うも、7回1分33秒TKO敗けで王座獲得に失敗した。
2016年9月19日、フードパル熊本で日本ミニマム級王者の福原辰弥と日本同級タイトルマッチを行うも、3回1分40秒負傷判定で引き分けた為、王座獲得に失敗した。
2016年11月1日、WBAは最新ランキングを発表し、小野をWBA世界ミニマム級14位にランクインした。
2016年12月14日、ナコーンラーチャシーマー県でWBA世界ミニマム級王者のノックアウト・CPフレッシュマートとWBA世界同級タイトルマッチを行うも、12回0-3の判定負けを喫し王座獲得に失敗した。
2017年5月15日、再起戦でヤイ・プーケットトップチームと対戦し、4回2分13秒TKO勝ちを収めた。
2017年9月3日、京都府立体育館（島津アリーナ京都）で日本ミニマム級王者の小西伶弥と日本同級タイトルマッチを行うも、10回0-2で判定負けを喫し王座獲得に失敗した。
小野心 来歴
2018年4月22日、神戸芸術センターで平井亮輝と日本ミニマム級王座決定戦を行い、10回3-0で判定勝ちを収めて王座獲得に成功した。
2018年8月24日、後楽園ホールで日本ミニマム級1位の加納陸(大成)と日本同級タイトルマッチを行い、8回2分46秒TKO勝ちを収め初防衛に成功した。
2019年1月12日、後楽園ホールで日本ミニマム級1位の指名挑戦者である田中教仁（三迫）と日本同級タイトルマッチを行うも、8回22秒TKO負けを喫し2度目の防衛に失敗、王座から陥落した。
その後再起に成功するも、2020年12月8日、後楽園ホールで薮崎賢人（セレス）と対戦し、8回0-3（74-77×2、73-78）で判定負けを喫した。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
数学の関数解析学の分野において、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素（ヒルベルトくうかんじょうのコンパクトさようそ、英: Compact operator on Hilbert space）は、行列の直接的な拡張である。すなわち、ヒルベルト空間において、それらはまさしく一様作用素位相における有限ランク作用素の閉包である。したがって、行列理論で得られる結果はしばしば同様の議論によってコンパクト作用素へと拡張することが出来る。対照的に、無限次元空間上の一般的な作用素の研究には、しばしば異なる手法が必要となる。
例えば、バナッハ空間上のコンパクト作用素のスペクトル理論は、行列のジョルダン標準形と非常によく似た形式を取る。ヒルベルト空間の文脈では、正方行列がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規作用素であることである。ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても、対応する結果が得られる（より一般に、コンパクト性の仮定は除くことも出来る。しかし、上述のように、用いられる手法はより特殊なものとなる）。
この記事では、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素に関する結果を紹介する。コンパクト作用素のサブクラスを考える前に、一般的な性質について述べる。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 いくつかの一般的な性質
H をヒルベルト空間とし、L(H) を H 上の有界作用素の集合とする。T ∈ L(H) がコンパクト作用素であるとは、T の下での各有界集合の像が相対コンパクトであることを言う。コンパクト作用素のいくつかの一般的な性質を以下に挙げる。
X と Y がヒルベルト空間（実際、X はバナッハで Y はノルム空間であれば十分）であるとき、T: X → Y がコンパクト作用素であるための必要十分条件は、それが弱位相を備える X から（ノルム位相を備える）Y への写像と見なしたときに連続であることである（(Zhu 2007, Theorem 1.14, p.11)を参照されたい。また、この文献では、F ⊆ X が (∀φ є Hom(X, K)) sup{x**(φ) = φ(x):x} < ∞ を満たすときに一様有界性が適用されることに注意されたい。ここで K は考えている体である。ノルム位相を備える Hom(X, K) はバナッハ空間であり、写像 x**:Hom(X,K) → K はこの位相に関して連続準同型であるため、一様有界性の原理が適用される)。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 いくつかの一般的な性質
コンパクト作用素の族は L(H) 内のノルム閉・両側 *-イデアルである。したがって、コンパクト作用素 T は、H が無限次元である場合には有界な逆を持たない。もし ST = TS = I が成立するなら、恒等作用素はコンパクトなるが、これは矛盾である。
強作用素位相における有界作用素の列が Sn → S を満たし、T がコンパクトであるなら、SnT はノルムにおいて ST に収束する。例えば、標準基底 {en} を備えるヒルベルト空間 l2(N) を考える。Pm を {e1 ... em} の線型包の上の正規直交射影とする。列 {Pm} は恒等作用素 I に強収束するが一様収束はしない。今 T を Ten = (1/n)2 · en と定義する。T はコンパクトであり、上述のように、一様作用素位相において PmT → I T = T が成立する。すなわち、すべての x に対して、
が成立する。各 Pm は有限ランク作用素であることに注意されたい。同様の理由で、T がコンパクトであるなら、T はある有限ランク作用素の列の一様極限であることが示される。
コンパクト作用素のイデアルのノルム閉性により、逆も同様に成り立つ。
コンパクト作用素を法とする L(H) の商 C*-環は、カルキン環と呼ばれ、そこにおいてはある作用素の性質をコンパクトな摂動に至るまで考えることが出来る。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
ヒルベルト空間 H 上の有界作用素 T が自己共役であるとは、T = T* を満たすこと、あるいは同値であるが
を満たすことを言う。全ての x ∈ H に対して <Tx, x> は実数となるため、T の固有値は存在するならば常に実数となる。H の閉線型部分空間 L が T の下で不変であるなら、T の L への制限は L 上の自己共役作用素であり、さらに L の直交補空間 L⊥ も T の下で不変である。例えば、その空間 H は二つの T–不変な閉線型部分空間の直交直和に分解することが出来る。そのような二つの空間とはすなわち、T の核とその核の直交補空間 (ker T)⊥（この空間は任意の有界自己共役作用素 T に対し、その値域の閉包となる）である。これらの基本的な事実は、後述のスペクトル定理の証明において重要な役割を果たす。
n × n エルミート行列の分類に関する結果が、次のスペクトル定理である：M = M* であるなら、M はユニタリ対角化可能であり、その対角化行列は実成分を持つ。T をあるヒルベルト空間 H 上のコンパクトな自己共役作用素とする。このような T に対して、同様の次の内容の証明を行う：作用素 T は、それぞれが実固有値に対応するような、ある固有ベクトルの正規直交集合によって対角化することが出来る。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
定理 実あるいは複素ヒルベルト空間 H 上のすべてのコンパクトな自己共役作用素 T に対し、T の固有ベクトルからなる H の正規直交基底が存在する。より具体的に言うと、T の核の直交補空間は、T の固有ベクトルの有限な正規直交基底か、T の固有ベクトルの可算無限個の正規直交基底 {en} で対応する固有ベクトル {λn} ⊂ R が λn → 0 を満たすようなもののいずれかとなる。
言い換えると、コンパクトな自己共役作用素はユニタリ対角化可能ということになる。これがスペクトル定理である。
H が可分であるなら、基底 {en} を T の核の可算な正規直交基底と混合することが出来、T の固有ベクトルと、対応する実固有値 {μn} が μn → 0 を満たすようなものからなる H に対する正規直交基底 {fn} が得られる。
系 可分な実あるいは複素無限次元ヒルベルト空間 H 上のすべてのコンパクトな自己共役作用素 T に対し、T の固有ベクトルと対応する固有値 {μn} ⊂ R で μn → 0 を満たすようなものからなる、H の可算無限個の正規直交基底 {fn} が存在する。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
n × n エルミート行列に対するスペクトル定理の証明は、ある固有ベクトル x の存在を示すことにかかっている。もしもこれが示されたなら、エルミート性により x の線型包と直交補空間のいずれもが T の不変部分空間となる。すると求める結果は反復法により求められる。そのような固有ベクトルの存在を示すには、少なくとも次の二つの方法がある：
注釈 無限次元の場合、第一の手法の一部分はより一般的に適用される。すなわち、必ずしもエルミートでなくてもよく、任意の正方行列が固有ベクトルを持つ、となる。これはヒルベルト空間上の一般的な作用素に対しては単純に真とはならない。
コンパクト自己共役の場合のスペクトル定理も同様に得ることが出来る。すなわち、上述の第二の無限次元に関する議論を拡張することで、ある固有ベクトルを得ることが出来、そののち反復法を使えば良い。初めに、行列についての議論を紹介する。
R2n 内の閉単位球 S はコンパクトであり、f は連続であるため、f(S) は実直線上でコンパクトであり、したがって S 上のある単位ベクトル y においてある最大値を取る。ラグランジュの定理により、y は
をある λ に対して満たす。エルミート性により、Ty = λy が成立する。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
しかしながら、ラグランジュ乗数は無限次元の場合へ簡単に一般化はなされない。代わりに、z ∈ Cn を任意のベクトルとする。もし単位ベクトル y が単位球上で <Tx, x> を最大化するなら、それは次のレイリー商も最大化する：
関数 h : R → R, h(t) = g(y + t z) を考える。計算により、h ′(0) = 0、すなわち
が得られる。m = <Ty, y> / <y, y> とする。いくつかの代数的操作により、上述の表現は以下のようになる（ここで Re は複素数の実部を意味する）。
しかし z は任意であるため、Ty − my = 0 が成立する。これが数学的な場合のスペクトル定理の証明の要点となる。
主張  T をある非ゼロのヒルベルト空間 H 上のコンパクトな自己共役作用素とし、
を定めるなら、m(T) あるいは −m(T) は T の固有値である。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
m(T) = 0 であるなら、極化恒等式より　T = 0 が成立するため、この場合は明らかである。f(x) = <Tx, x> で定義される函数 f: H → R を考える。必要であれば T を −T に置き換えることで、閉単位球 B ⊂ H 上での f の上限が m(T) > 0 に等しいと仮定することが出来る。f がある単位ベクトル y において B 上の m(T) の最大値を達成するなら、行列に対して用いられた議論と同様の議論により、y は T の固有ベクトルで、対応する固有値は λ = < λy, y> = <Ty, y> = f(y) = m(T) であることが分かる。
バナッハ＝アラオグルの定理と H の回帰性により、閉単位球 B は弱コンパクトであることが分かる。また T のコンパクト性は、弱位相を備える X からノルム位相を備える X への写像 T が連続であることを意味する（上述の議論を参照）。これらの二つの事実より、f は弱位相を備える B 上で連続であり、したがってある y ∈ B において B 上の最大値 m を達成することが分かる。すると極大性により ||y|| = 1 であり、これは y がレイリー商 g(x)（上記参照）も最大化することを意味する。このことから、y は T の固有ベクトルであり、主張の証明は完成される。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
注釈 T のコンパクト性は本質的に重要である。一般に、f は単位球 B 上の弱位相に対して必ずしも連続でなくても良い。例えば、T を恒等作用素とすれば、これは H が無限次元の場合にはコンパクトとならない。任意の正規直交列 {yn} を考える。このとき yn は 0 に弱収束するが、lim f(yn) = 1 ≠ 0 = f(0) となる。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
T をあるヒルベルト空間 H 上のコンパクト作用素とする。ある有限（空であることもあり得る）あるいは可算無限の、T の固有ベクトルからなる正規直交列 {en} でその対応する固有値が非ゼロであるようなものは、次のような手順で帰納的に構成される。H0 = H とし、T0 = T とする。m(T0) = 0 であるなら、T = 0 であり、この場合は固有ベクトル en を構成することなく手順は終了する。つづいて、T の正規直交な固有ベクトルe0, …, en − 1 が見つかった場合を考える。このとき、En:= span(e0, …, en − 1) は T の下で不変であり、自己共役性により、En の直交補空間 Hn は T の不変部分空間となる。今、T の Hn への制限を Tn と表す。m(Tn) = 0 であるなら、Tn = 0 であり、手順は終了する。そうでないなら、Tn に上述の主張を適用することにより、Hn における T のノルム 1 の固有ベクトル en で対応する非ゼロの固有値が λn = ± m(Tn) であるようなものが存在することが分かる。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
F =  (span{en})⊥ とする。ただし {en} は上の帰納的手順により構成された有限あるいは無限の列とする。自己共役性により、F は T の下で不変である。T の F への制限を S と表す。有限回のステップでもし手順が終了したなら、その最後のベクトルを em−1 とすれば、構成法により F= Hm および S =  Tm = 0 であることが分かる。無限の場合には、T のコンパクト性と en の 0 への弱収束性から、Ten=  λn en → 0 が分かり、したがって λn → 0 となる。F はすべての n に対して Hn に含まれるため、m(S) ≤ m(Tn) =  |λn| がすべての n に対して成立し、したがって m(S) = 0 となる。これはふたたび S = 0 を意味する。
S = 0 という事実は、F が T の核に含まれることを意味する。反対に x ∈ ker(T) であるなら、自己共役性により、x は非ゼロの固有値に対応するすべての固有ベクトル en と直交する。したがって、F = ker(T) であり、{en} は T の核の直交補空間に対する正規直交基底である。T の対角化はその核の正規直交基底を上手く選ぶことによって完成される。以上より、スペクトル定理の証明は完成される。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
より短いが抽象的な証明は次のようなものである。ツォルンの補題より、U を次の三つの性質を満たすような H の極大部分集合とする：U のすべての元は T の固有ベクトルであり、それらのノルムは 1 であり、U の任意の二つの異なる元は直交する。F を U の線型包の直交補空間とする。F ≠ {0} であるなら、それは T の非自明な不変部分空間であり、初めの主張から F 内には T のノルム 1 のある固有ベクトル y が存在することが分かる。しかし U ∪ {y} であるから、これは U の極大性に矛盾する。したがって F = {0} であり、span(U) は H 内で稠密となる。このことから、U は T の固有ベクトルからなる H の正規直交基底であることが分かる。
T がある無限次元ヒルベルト空間 H 上のコンパクト作用素であるなら、T は可逆ではなく、したがって T のスペクトル σ(T) には常に 0 が含まれる。するとスペクトル定理により、σ(T) は T の固有値 {λn} と（0 が固有値に含まれていない場合には）0 から構成されることが分かる。そのような集合 σ(T) は、実直線に含まれるコンパクト部分空間であり、固有値は σ(T) において稠密である。
どのようなスペクトル定理も、汎函数計算の観点から再構成することが出来る。ここでは次の定理に触れる：
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
定理 C(σ(T)) を、σ(T) 上の連続関数のC*-環とする。このとき、Φ(1) = I および Φ(f) = T を恒等関数 f（f(λ)= λ）に対して満たすような等長準同型写像 Φ: C(σ(T)) → L(H) が唯一つ存在する。さらに、σ(f(T)) = f(σ(T)) が成立する。
汎函数計算写像 Φ は自然な方法で定義される：{en} を H の固有ベクトルの正規直交基底とし、対応する固有値は {λn} とする。f ∈ C(σ(T)) に対して、汎函数計算写像 Φ(f) は
を全ての n に対して定めることで定義される。このような写像は正規直交基底 {en} に関して対角である。そのため、その写像のノルムは対角係数の絶対値の上限
に等しい。Φ の他の性質については簡単に確かめられる。逆に、この定理の条件を満たすような任意の準同型写像 Ψ は、f が多項式である場合には Φ と一致する。ワイエルシュトラスの近似定理より、多項式函数は C(σ(T)) において稠密であり、Ψ = Φ が成立する。このことから Φ は一意的であることが分かる。
より一般的な連続汎函数計算は、ヒルベルト空間上の任意の自己共役（複素数の場合には、正規）な有界線型作用素に対して定義される。ここで述べたコンパクトな場合は、汎函数計算の特に簡単な例であった。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
あるヒルベルト空間 H（例えば、有限次元空間 Cn）と、自己共役作用素からなるある commuting set  を考える。このとき、適切な条件下で、同時（ユニタリ）対角化を行うことが出来る。すなわち、それらの作用素の共通の固有ベクトルからなる正規直交基底 Q が存在する。式で表すと、
となる。
補題： 内のすべての作用素はコンパクトであると仮定する。このとき、すべての閉かつ非ゼロな -不変部分空間 S ⊆ H には、 に対して共通の固有ベクトルが存在する。
証明（補題）：
ケース I：すべての作用素がちょうど一つの固有値を持つ場合。このときは、単位長の任意の  が共通の固有ベクトルとなる。
ケース II：少なくとも二つの固有値を持つある作用素   が存在する場合。このときは  とすれば、T のコンパクト性と α ≠ 0 であることから、 は有限次元（したがって閉）非ゼロ -不変部分空間となる（なぜならば、作用素はすべて T と交換され、 および  に対して  が成立するからである）。特に、 が必ず得られる。したがって、次元についての帰納法により、 は  に対して共通の固有ベクトルを持つことを前もって議論することが可能であった。
定理 1：  内のすべての作用素がコンパクトであるなら、それらは同時（ユニタリ）対角化可能である。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな自己共役作用素
証明（定理 1）： 包含関係によって半順序付けられる  an orthonormal set of common eigen vectors for  を考える。これは明らかにツォルンの性質を持つ。したがって Q を極大元としたとき、Q がヒルベルト空間 H の全体に対する基底であるなら、証明は完成される。もしそうでないなら、 とすることで、これは -不変な非自明閉部分空間であることが簡単に分かる。したがって、上述の補題により、作用素に対する共通の固有ベクトルがそこに存在しうることがわかる（必ず Q に直交する）。しかしその場合、P 内に Q の真の拡張が存在することとなり、これは極大性に矛盾する。
定理 2：  内にある単射のコンパクト作用素が存在するなら、その作用素は同時（ユニタリ）対角化可能である。
証明（定理 2）： コンパクトな単射  を固定する。このとき、ヒルベルト空間上のコンパクトな対象作用素のスペクトル理論により、次式を得る。。ここで  は離散的な可算集合で、すべての固有空間は有限次元である。 は commuting set であるため、すべての固有空間は不変となる。その（有限次元の）固有空間に制限された作用素はすべてコンパクトであるため、それらの各々に定理 1 を適用することが出来、 に対する正規直交基底  を見つけることが出来る。 は対称であるため、 は（可算）正規直交集合である。また、はじめに述べた分解により、それは H の基底でもある。
定理 3： H を有限次元ヒルベルト空間とし、 を作用素の可換集合で、各々の作用素が対角化出来るようなものとする。このとき、それらの作用素は同時対角化可能である。
証明（定理 3）： ケース I： すべての作用素がちょうど一つの固有値を持つ場合。このときは、H の任意の基底に対して成立する。
ケース II： 少なくとも二つの固有値を持つ作用素  を固定し、 が対称作用素となるように  を定める。今  のある固有値を α とする。このとき、 および  が非自明な -不変部分空間であることが容易に分かる。次元についての帰納法により、その部分空間には線型独立な基底  が存在し、それらは  内の作用素がその部分空間上で同時対角化可能であることを示すものとなる。すると明らかに  は  内の作用素が同時対角化可能であることを示すものとなる。
ここで証明には行列の手法を直接使う必要が無かったことに注意されたい。それらの手法を使う別の証明も存在する。
上の定理を、すべての作用素が単にそれらの随伴作用素と可換である場合に拡張することも出来る。この場合、対角化における「直交」という語を取り除くこととなる。ワイル＝ピーターによる表現から生じる作用素に対する、より弱い結果も存在する。G をある固定された局所コンパクトなハウスドルフ群とし、定数倍の不定性を除いて一意な G 上のハール測度に関する自乗可積分な可測関数の空間  を定める。連続なシフト作用  を考える。ここで  とする。このとき、G がコンパクトであるなら H のある有限次元の既約な不変部分空間の可算直和への分解が唯一つ存在する（これは本質的には作用素の族  の対角化である）。G がコンパクトでないが、アーベルである場合には、対角化は達成されない。しかし、H の 1-次元不変部分空間への「連続な」分解が唯一つ存在する。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 コンパクトな正規作用素
エルミート行列の族は、ユニタリ対角化可能な行列の真部分集合である。ある行列 M がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規であること、すなわち M*M = MM* が成立することである。同様の内容がコンパクトな正規作用素に対しても成立する。
T をコンパクトとし、T*T = TT* が成立するものとする。T に対して、以下のデカルト分解を適用する：
を定める。自己共役なコンパクト作用素 R および J は、それぞれ T の実部および虚部と呼ばれる。T がコンパクトであることは T* がコンパクトであることを意味し、結果として R および J もコンパクトとなる訳である。さらに、T の正規性から R と J は可換であることが分かる。したがって、それらは同時に対角化可能であり、以下の主張が成立する。
コンパクトな準正規作用素（特に、部分正規作用素）は、正規作用素である。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 ユニタリ作用素
ユニタリ作用素 U のスペクトルは、複素平面内の単位円上に存在する。単位円全体であることもあり得る。しかし、U が恒等作用素にコンパクトな摂動を加えた作用素として与えられるなら、U は可算個のスペクトルのみを持ち、それには 1 が含まれ、有限集合あるいは単位円上で 1 へと収束する列が含まれ得る。より正確に、コンパクトな C に対して U = I + C であると仮定する。このとき、方程式 UU* = U*U = I および C = U − I より、C は正規作用素であることが分かる。C のスペクトルは 0 を含み、有限集合か、あるいは 0 に収束する列を含み得る。U = I + C であることから、U のスペクトルは C のスペクトルを 1 だけシフトすることで得られる。
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 例
で定義される乗算作用素 M は H 上の有界な自己共役作用素であって固有値を持たない。したがってスペクトル定理により、M はコンパクト作用素であり得ない。
で定義する。このとき TK は H 上のコンパクトなヒルベルト＝シュミット作用素である。
を満たすと仮定する。このとき TK は H 上のコンパクトな自己共役作用素である。{φn} が固有ベクトルの正規直交基底で、対応する固有ベクトルを {λn} としたとき、次が示される。
ここでの函数の級数の和は、[0, 1]2 上のルベーグ測度に対する L2 収束で解釈される。マーサーの定理により、級数が K(x, y) に各点収束するための条件、および [0, 1]2 上で一様収束するための条件が得られる。
岡部周治
岡部 周治（おかべ しゅうじ、1891年〈明治24年〉4月17日 - 1967年〈昭和42年〉11月30日）は日本の政治家。衆議院議員（1期、日本社会党）、群馬県議会議員（2期）、群馬県新田郡強戸村長。
岡部周治 経歴
1891年（明治24年）4月17日、群馬県新田郡強戸村大字強戸（現・太田市強戸町）に岡部駒次郎・よし夫婦の次男として生まれる。生家は地主で、父駒次郎は群馬県会議員・強戸村長を務めた。1909年（明治42年）群馬県立太田中学校（現・群馬県立太田高等学校）、1911年（明治44年）東京府青山師範学校第二部、1915年（大正4年）に法政大学専門部法律科を卒業する。
家業の農業に従事し、戦前は強戸村農会長、東毛乾繭販売利用組合理事、新田郡農会長、県農地委員会委員などを歴任。群馬県農業会理事・同副会長を務めた後、戦後は県蚕糸業会理事、県地方森林会議員、強戸村農業協同組合長、群馬県販売農業協同組合連合会長などを歴任した。
1939年（昭和14年）から1940年（昭和15年）にかけて強戸村長に在職。1942年（昭和17年）から1945年（昭和20年）まで群馬県会議員を1期、戦後も1947年（昭和22年）から1951年（昭和26年）まで地方自治法のもとで群馬県議会議員を1期務める。当初は政友会に属したが群馬県議会議員の時は日本社会党に所属して県支部連合会副会長も務め、のち右派社会党中央委員となる。
岡部周治 経歴
1952年（昭和27年）、第25回衆議院議員総選挙に群馬2区から右派社会党で出馬し、当選する。衆議院議員を1期務め、1953年（昭和28年）の第26回衆議院議員総選挙には出馬しなかった。
群馬県遺族会評議員も務めていた。
1967年（昭和42年）11月30日、自宅で心不全により死去、76歳。死没日をもって勲五等双光旭日章追贈、従五位に叙される。菩提寺・墓所は太田市強戸町の曹洞宗瑞光寺。群馬県会議員を務めた新田郡宝泉村の赤石武一郎は岳父。
フモレスケ (シューマン)
『フモレスケ』（Humoreske）変ロ長調 作品20 は、ロベルト・シューマンが1839年に作曲したピアノ独奏曲。