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クリフォード代数 普遍性による定義
数学的により厳密な定義は、圏論における普遍性を用いて行われる。この定義により、クリフォード代数が同型を除いて一意に定まることが保証される。
V を体 K 上のベクトル空間、Q: V → K をその上の二次形式とする。
クリフォード代数 Cℓ(V, Q) とは、K 上の単位的結合代数であり、以下の性質を満たす線型写像 i : V → Cℓ(V, Q) を備えたものである。
関係式の保持
任意の v ∈ V に対して、i(v)2 = Q(v)1 が成り立つ。
普遍性
A を K 上の任意の単位的結合代数とし、線型写像 j : V →  A が任意の v ∈ V に対して j(v)2 = Q(v)1A を満たすとする。このとき、次の図式を可換にする代数準同型 f : Cℓ(V, Q) → A が一意的に存在する。
すなわち、クリフォード代数は、v2=Q(v) という関係式を満たす代数の中で「最も一般的」なものである。この普遍性により、同型を除いて一意に定まることが保証される。
（標数が 2 でない場合）Q の代わりに対称双線型形式 ⟨·,·⟩ で考えると、線形写像 j に対する要求は次のようになる。
クリフォード代数 普遍性による定義
上で記述された普遍性をもつクリフォード代数は常に存在し、次のように構成できる。
V を含む最も一般的な代数であるテンソル代数 T(V) をとり、基本関係式が成り立つように適切な商をとるのである。具体的には、
の形のすべての元によって生成された T(V) の両側イデアル IQ を取り除くために、Cℓ(V, Q) を商代数
Cℓ(V, Q) ≔ T(V) / IQ
として定義する。この商によって継承される環の積はときどきクリフォード積 (Clifford product) と呼ばれ 外積やスカラー積などとは別のものとして区別される。
すると Cℓ(V, Q) は V を含み、かつ上の普遍性を満たすことが直ちに示せる。この普遍性により Cℓ は同型を除いて一意に定まる。したがって、"その (the)" クリフォード代数 Cℓ(V, Q) と呼ぶことができる。この構成から i が単射であることも従う。通常は V を Cℓ(V, Q) の部分線型空間と同一視し、埋め込み i を省略して書く。
上記のようなクリフォード代数の普遍的な特徴づけは Cℓ(V, Q) の構成が事実上関手的であることを示している。すなわち、Cℓ は二次形式を持ったベクトル空間の圏（射は二次形式を保つ線型写像）から結合代数への関手と考えることができる。普遍性は（二次形式を保つ）ベクトル空間の間の線型写像を結合クリフォード代数の間の代数準同型として一意に拡張できることを保証する。
クリフォード代数 例： 実および複素のクリフォード代数
最も重要なクリフォード代数は非退化2次形式を備えた実および複素ベクトル空間上のものである。
代数 Cℓp,q(R) と Cℓn(C) の各々は A あるいは A ⊕ A に同型である、ただし A は成分が R, C あるいは H から来る全行列環、ということが明らかになる。これらの代数の完全な分類はクリフォード代数の分類を見よ。
実クリフォード代数の幾何学的な解釈は幾何代数として知られている。
有限次元実ベクトル空間上のすべての非退化2次形式は標準対角形式
に同値である、ただし n = p + q はベクトル空間の次元である。整数の組 (p, q) は二次形式の符号数と呼ばれる。この二次形式を持った実ベクトル空間はしばしば Rp,q と表記される。Rp,q 上のクリフォード代数は Cℓp,q(R) と表記される。記号 Cℓn(R) は著者が正定値と不定値の空間どちらを好むかによって Cℓn,0(R) あるいは Cℓ0,n(R) を意味する。
Rp,q の標準正規直交基底 (ei) は互いに直交する n = p + q 個のベクトルからなり、そのうち p 個はノルム +1 を持ち、q 個はノルム −1 を持つ。代数 Cℓp,q(R) は従って平方して +1 になる p 個のベクトルと平方して −1 になる q 個のベクトルを持つ。
クリフォード代数 例： 実および複素のクリフォード代数
Cℓ0,0(R) は自然に R に同型であることに注意する。0 でないベクトルはないからである。Cℓ0,1(R) は平方して −1 になるただ 1 つのベクトル e1 によって生成される 2 次元の代数なので複素数体 C に同型である。代数 Cℓ0,2(R) は {1, e1, e2, e1e2} によって張られる 4 次元の代数である。後ろ 3 つの元は平方して −1 になりすべて反交換するので、代数は四元数体 H に同型である。Cℓ0,3(R) は 分解型双四元数と呼ばれる直和 H ⊕ H に同型な 8 次元の代数である。
複素ベクトル空間上でもクリフォード代数を考えることができる。複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は標準対角形式
（ただし n = \dim V）に同型を除いて同値である。したがって各次元 n に対してただ1つの非退化なクリフォード代数が存在する。標準二次形式を持った Cn 上のクリフォード代数は Cℓn(C) と表記される。
低次元における例は以下の通りである。
Cℓ0(C) ≅ C: 複素数体
Cℓ1(C) ≅ C ⊕ C: 双複素数環
Cℓ2(C) ≅ M(2, C): 双四元数環
ここで、M(n, C) は C 上の n×n 行列環を表す。
クリフォード代数 例：四元数と双対四元数の構成
ハミルトンの四元数 H は、クリフォード代数としていくつかの方法で構成できるが、代表的なものは Cℓ0,2(R) そのもの、あるいは Cℓ0,3(R) の偶部分代数 Cℓ00,3(R) と見る方法である。
ここでは Cℓ0,3(R) の偶部分代数としての構成を示す。
実 3 次元空間 R3 を考え、その基底 e1, e2, e3 に対して、負定値の計量 Q(ei) = -1 を導入する。
クリフォード代数の関係式は以下のようになる：
このとき、Cℓ0,3(R) の元の中で、2つの基底の積（2-ベクトル）として定義される以下の要素を考える：
これらは以下の性質を満たすことが確認できる。ここで、異なる基底同士は反可換（）であり、 であることに注意する。
同様に jk = i, ki = j も成り立ち、これらは四元数の虚数単位 i, j, k の満たす関係式と一致する。したがって、1, i, j, k で張られる部分空間（偶部分代数）は四元数体 H と同型である。
この対応関係は、四元数が単なる抽象的な代数ではなく、3次元空間の幾何学（特に回転）と密接に結びついていることを示している。
このように、クリフォード代数の視点導入することで、四元数  を「虚数」という不思議な数としてではなく、「回転の基準となる平面」という幾何学的な実体として理解できる。
クリフォード代数 例：四元数と双対四元数の構成
なお、四元数をさらに拡張した八元数（オクトニオン）も存在するが、八元数は乗法の結合法則を満たさない（ となる場合がある）ため、結合多元環であるクリフォード代数の枠組みには直接的には含まれない。しかし、クリフォード代数と同様にケーリー＝ディクソンの構成法によって体系づけられる関係にあり、高次元の物理現象の記述などで比較・研究されることがある。
R3 の直交単位ベクトルの集合を e1, e2, e3 として表記すると、クリフォード積は関係
および
を生み出す。クリフォード代数 Cℓ0,3(R) の一般の元は
によって与えられる。
Cℓ0,3(R) の偶次数元の線型結合は一般元
とともに Cℓ 00,3 (R) の偶部分代数を定義する。基底元は四元数基底元 i, j, k と
として同一視することができ、これは偶部分代数 Cℓ 00,3 (R) はハミルトンの実四元数代数であることを示している。
このセクションにおいて、双対四元数が退化二次形式を持った実四次元空間の偶クリフォード代数として構成される。
ベクトル空間 V を実四次元空間 R4 とし、その基底を  とする。ここで、 が張る部分空間上では標準的なユークリッド計量と一致し、 に対しては  かつ他の基底と直交するような退化二次形式 Q を導入する。
すなわち、任意のベクトル  に対して、以下の退化双線型形式を考える。
クリフォード代数 例：四元数と双対四元数の構成
この形式において、第4成分は計量に寄与しない（等方的な）次元となる。
ベクトル v と w のクリフォード積は
によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入していることに注意しよう。
R4 の直交単位ベクトルの集合を e1, e2,  e3, e4 として表記すると、クリフォード積は関係
と
を生み出す。
クリフォード代数 Cℓ(R4,d) の一般元は 16 個の成分を持つ。偶次数付けられた元の線型結合は次の形の一般元を持った偶部分代数 Cℓ0(R4,d)  を定義する
基底元は四元数基底元 i, j, k と双対単位 ε と
として同一視できる。これは Cℓ 00,3,1 (R) の双対四元数代数との対応を提供する。
これを見るには、次式を計算する
と
e1 と e4 の交換は偶数回符号を交代し、双対単位 ε が四元数基底元 i, j, k と交換することを示す。
クリフォード代数 性質
ベクトル空間 V が与えられると外積代数 ⋀(V) は V 上の二次形式に依存せず構成でき、その次元は 2^{\dim V} である。K の標数が 2 でなければ、⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間には、ベクトル空間としての自然な同型（線型同型）が存在する。これが代数同型であることと Q = 0 は同値である。したがってクリフォード代数 Cℓ(V, Q) を Q に依存した積で V 上の外積代数を豊かにしたもの（あるいはより正確には、量子化、 cf. 導入）と考えることができる（外積はなお Q とは独立に定義できる）。
同型を確立する最も易しい方法は V の直交基底 {ei} をとりそれを上で述べられたように Cℓ(V, Q) の基底に拡張することである。写像 Cℓ(V, Q) → ⋀(V) は
によって決定される。これは基底 {ei} が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。
K の標数が 0 であれば、反対称化によっても同型を確立できる。関数 fk: V × ⋯ × V → Cℓ(V, Q) を
クリフォード代数 性質
によって定義する、ただし和は k 個の元の上の置換群を渡って取られる。fk は交代形式なのでそれは一意的な線型写像 ⋀k(V) → Cℓ(V, Q) を誘導する。これらの写像の直和は ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間の線型写像を与える。この写像は線型同型であることを示すことができ、それは自然である。
関係を見るより洗練された方法は Cℓ(V, Q) 上フィルトレーションを構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう： F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ⋯、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで Cℓ(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。伴う次数代数
は自然に外積代数 ⋀(V) に同型である。フィルター代数の伴う次数代数は（すべての k に対してFk のコンポーネントを Fk+1 の中に選ぶことによって）つねにフィルターベクトル空間としてフィルター代数に同型であるから、これは任意の標数において、2 でさえも、（自然なものではないが）同型を提供する。
以降では標数は 2 でないとする。
クリフォード代数 性質
クリフォード代数は Z2-次数代数（超代数としても知られている）である。実際、v ↦ −v によって定義される V 上の線型写像（原点を通る反射）は二次形式 Q を保存ししたがってクリフォード代数の普遍性によって代数自己同型
α: Cℓ(V, Q) → Cℓ(V, Q)
に拡張する。α は対合（すなわち自乗すると恒等関数になる）であるから、Cℓ(V, Q) を α の正と負の固有空間に分解できる
ただし Cℓi(V, Q) ≔ {x ∈ Cℓ(V, Q)  |  α(x) = (−1)ix}。α は自己同型であるから
が従う、ただし右上の添え字は modulo 2 で読まれる。これは Cℓ(V, Q) に Z2-次数代数の構造を与える。部分空間 Cℓ0(V, Q) は Cℓ(V, Q) の部分代数をなし、偶部分代数 (even subalgebra) と呼ばれる。部分空間 Cℓ1(V, Q) は Cℓ(V, Q) の奇成分 (odd part) と呼ばれる（部分代数ではない）。この Z2-次数付けはクリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たす。自己同型 α は主対合 (main involution) あるいは次数付き対合 (grade involution) と呼ばれる。この Z2-次数付けにおいて pure な元は単に even あるいは odd と呼ばれる。
クリフォード代数 性質
注意
標数が 2 でなければ Cℓ(V, Q) の基礎ベクトル空間は N-次数付けと Z-次数付けを外積代数 ⋀(V) の基礎ベクトル空間との自然な同型から受け継ぐ。しかしながら、これはベクトル空間の次数付けでしかないことに注意することは重要である。つまり、クリフォード乗法は N-次数付けや Z-次数付けをリスペクトせず、Z2-次数付けだけなのである： 例えば Q(v) ≠ 0 であれば v ∈ Cℓ1(V, Q) だが v2 ∈ Cℓ0(V, Q) であって Cℓ2(V, Q) に入らない。幸運なことに、次数付けは自然な方法で関係している： Z2 ≅N/2N≅ Z/2Z。さらに、クリフォード代数は Z-filteredである： Cℓ≤i(V, Q) ⋅ Cℓ≤j(V, Q) ⊂ Cℓ≤i+j(V, Q)。クリフォード数の次数 (degree) は通常 N-次数付けにおける次数のことである。
クリフォード代数の偶部分代数 Cℓ0(V, Q) は、それ自身があるクリフォード代数に同型となる場合があるV がノルム Q(a) の部分空間 U のベクトル a の直交直和であれば、Cℓ0(V, Q) は Cℓ(U, −Q(a)Q) に同型である、ただし −Q(a)Q は U に制限され −Q(a) を掛けた形式 Q である。特に実数体上これは次を意味する
クリフォード代数 性質
負定値の場合にはこれは包含 Cℓ0,n−1(R) ⊂ Cℓ0,n(R) を与え、列を拡張する
R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯;
同様に、複素の場合には、Cℓn(C) の偶部分代数は Cℓn−1(C) に同型であることを示せる。
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう：
イデアル IQ はこの反転の下で不変なので、この演算は Cℓ(V, Q) の反自己同型に降り、転置 (transpose) あるいは反転 (reversal) 演算と呼ばれ、tx によって表記される。この反転は反自己同型である： t(xy) = ty tx。転置演算は Z2-次数付けを全く使わないので2つ目の反自己同型を α と転置を合成することによって定義する。この演算をクリフォード共役 (Clifford conjugation) と呼び x と表記する
2 つの反自己同型のうち転置はより基本的である。
クリフォード代数 性質
これらの演算は全て対合であることに注意しよう。それらは Z-次数付けにおいて pure な元上 ±1 として作用することを示すことができる。実際、すべての 3 つの演算は次数 modulo 4 にしか依らない。つまり、x が pure で次数 k であれば、
ただし符号は以下の表によって与えられる：
標数が 2 でないとき、V 上の二次形式 Q は Cℓ(V, Q) のすべての上の二次形式に拡張することができる（これも Q によって表記する）。1 つのそのような拡張の基底に依存しない定義は
ただし  は a のスカラー部分（Z-次数付けにおいて次数 0 の部分）を表記する。
を示すことができる、ただし vi は V の元である – この恒等式は Cℓ(V, Q) の任意の元に対しては正しく「ない」。
Cℓ(V, Q) 上の伴う対称双線型形式は
によって与えられる。これは V に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 Cℓ(V, Q) のすべての上の双線型形式が非退化であることとそれが V 上非退化であることは同値である。
転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、
および
クリフォード代数 クリフォード代数の構造
この節ではベクトル空間 V の次元は有限であり Q の双線型形式は非特異であると仮定する。K 上の中心単純代数は中心が K の（有限次元）可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。
以下の結果を用いるとクリフォード代数の構造は明示的に解明される。U の次元は偶数で判別式 d の非特異双線型形式を持っているとし、V は二次形式を持つ別の空間とする。U + V のクリフォード代数は U と (−1)dim(U)/2dV のクリフォード代数のテンソル積に同型であり、後者はその二次形式に (−1)dim(U)/2d を掛けた空間 V である。これは実数体上では特に次のことを意味する
これらの公式を用いることで実と複素のすべてのクリフォード代数の構造が導かれる。クリフォード代数の分類を見よ。
とりわけ、クリフォード代数の森田同値類（その表現論： それ上の加群の圏の同値類）は符号 (p − q) mod 8 のみに依っている。これはボットの周期性の代数的な形である。
クリフォード代数 クリフォード群
クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ (Rudolf Lipschitz) によって発見された。
このセクションにおいて V は有限次元で二次形式 Q は非退化であると仮定する。
クリフォード代数の元へのその可逆元の群による作用は、「捻られた共役 (twisted conjugation)」を用いて定義できる。これは、写像 y ↦ xyα(x)−1 （ただし α は上で定義された主対合）による作用である。
クリフォード群 Γ は、この作用の下でベクトル空間 V を不変にする (stabilize vectors) 可逆元 x の集合として定義される。これが意味するのは V のすべての v に対して：
この公式はまたノルム Q を保つベクトル空間 V 上のクリフォード群の作用を定義し、従ってクリフォード群から直交群への準同型を与える。クリフォード群はノルムが 0 でない V のすべての元 r を含み、これらは v に対する超平面での鏡映 (reflection) として V 上に作用する：
（標数 2 の場合、この操作は「直交トランスベクション (orthogonal transvection)」と呼ばれる。）
クリフォード代数 クリフォード群
クリフォード群 Γ は2 つの部分集合 Γ0 と Γ1 の非交和である、ただし Γi は次数 i の元の部分集合である。部分集合 Γ0 は Γ において指数 2 の部分群である。
V が正定値（あるいは負定値）二次形式を持った有限次元実ベクトル空間であればクリフォード群は（カルタン・デュドネの定理によって）その形式に関して V の直交群に全射し核は体 K の 0 でない元からなる。これは次の完全列を導く
他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。
任意の標数において、スピノルノルム Q はクリフォード群上
によって定義される。それはクリフォード群から K の非零元の群 K* への準同型である。それは V をクリフォード代数の部分空間と同一視したときに V の二次形式 Q と一致する。著者によってはスピノルノルムの定義が僅かに異なり、ここでのものとは Γ1 上 −1, 2, あるいは −2 の因子によって異なる。違いは標数が 2 でなければそれほど重要ではない。
クリフォード代数 クリフォード群
K の 0 でない元は体 K の非零元の平方の群 K*2 にスピノルノルムを持つ。なので V が有限次元で非特異なとき V の直交群から群 K*/K*2 への誘導写像を得、これもまたスピノルノルムと呼ばれる。ベクトル r の鏡映のスピノルノルムは K*/K*2 において像 Q(r) を持ち、この性質は直交群上それを一意的に定義する。これは次の完全列を与える：
標数 2 においては群 {±1} はただ 1 つの元を持つことに注意せよ。
代数群のガロワコホモロジーの視点から、スピノルノルムはコホモロジーの連結準同型である。1 の平方根の代数群（標数が 2 でない体上それは大雑把には自明なガロワ作用を持った 2 元群と同じである）を μ2 と書くと、短完全列
はコホモロジーの長完全列を生み出し、それは
で始まる。K に係数を持つ代数群の 0 次ガロワコホモロジー群は単に K-値点の群である： H0(G; K) = G(K)、および H1(μ2; K) ≅ K*/K*2, よって前の列を復元する：
ただしスピノルノルムは連結準同型 H0(OV; K) → H1(μ2; K) である。
クリフォード代数 スピン群とピン群
本節において V は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。（K が標数 2 であればこれは V の次元が偶数であることを含む。）
ピン群 PinV(K) はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 SpinV(K) は PinV(K) においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。
クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群を Γ0 の像として定義する。K の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。K の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。
ピン群から直交群への準同型が存在する。像はスピノルノルム 1 ∈ K*/K*2 の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、K の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から V の特殊直交群への準同型が存在する。
クリフォード代数 スピン群とピン群
V が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り V の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n) は SO(n) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくない。V がともに 2 以上の p, q に対して Rp,q であればスピン群は単連結ではないことに注意が必要である。この場合、代数群 Spinp,q は代数群として単連結であるが、その実数値点の群 Spinp,q(R) は単連結とは限らない。
クリフォード代数 スピノル
クリフォード代数 Cℓp,q(C) で p + q = 2n と偶数になるものは 2n 次元の複素表現を持つ行列代数である。群 Pinp,q(R) に制限することにより同じ次元の Pin 群の複素表現を得、これはスピン表現と呼ばれる。これをスピン群 Spinp,q(R) に制限すれば次元  2n−1 の 2 つの半スピン表現（あるいはワイル表現）の和として分解する。
p + q = 2n + 1 と奇数になればクリフォード代数 Cℓp,q(C) はそれぞれが 2n 次元の表現を持っているような 2 つの行列代数の和であり、これらもまた両方ともピン群 Pinp,q(R) の表現である。スピン群 Spinp,q(R) への制限上これらは同型になり、したがってスピン群は次元 2n の複素スピノル表現を持つ。
より一般に、任意の体上のスピノル群とピン群は正確な構造が対応するクリフォード代数の構造に依存する同様の表現を持つ：クリフォード代数がある可除代数上の行列代数である因子を持つときにはいつでもその可除代数上のピンとスピン群の対応する表現を得る。例えば実数体上の場合についてはスピノールの記事を見よ。
クリフォード代数 スピノル
実スピン表現を記述するために、スピン群がクリフォード代数の中にどのようにあるかを知らなければならない。ピン群 Pinp,q は単位ベクトルの積として書ける Cℓp,q の可逆元の集合である：
クリフォード代数の上の具体的な実現と比べて、ピン群は任意にたくさんの鏡映の積に対応する： それは全直交群 O(p, q) の被覆である。スピン群は単位ベクトルの偶数個の積であるような Pinp,q の元からなる。したがってカルタン・デュドネの定理によって Spin は固有回転の群 SO(p, q) の被覆である。
α: Cℓ → Cℓ を pure ベクトルに作用する写像 v ↦ −v によって与えられる自己同型とする。すると特に Spinp,q は元が α によって固定される Pinp,q の部分群である。
とする。（これらは Cℓp,q においてちょうど偶数次の元である。）するとスピン群は Cℓ 0p,q  の中にある。
クリフォード代数 スピノル
Cℓp,q の既約表現はピン群の表現を与えるために制限する。逆に、ピン群は単位ベクトルで生成されるから、その既約表現のすべてはこのようにして誘導される。したがって 2 つの表現は一致する。同じ理由のため、スピンの既約表現は Cℓ p,q0  の既約表現と一致する。
ピン表現を分類するためには、クリフォード代数の分類の結果を利用すればよい。（偶部分代数の表現である）スピン表現を見つけるためには、まず次の同型のいずれかを利用できる（上記参照）
Cℓ 0p,q  ≈ Cℓp,q−1 (for q > 0);
Cℓ 0p,q  ≈ Cℓq,p−1 (for p > 0).
そして符号 (p, q − 1) あるいは (q, p − 1) におけるピン表現として符号 (p, q) におけるスピン表現を実現できる。
クリフォード代数 応用
外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学にありそこではそれが滑らかな多様体上の微分形式のファイバー束を定義するために使われる。（擬）リーマン多様体の場合には、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、外束とのアナロジーでクリフォード束を定義できる。これはリーマン幾何学においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体、その付随するスピノル束そして spinc 多様体へのつながりであろう。
物理学、特に相対論的量子力学において、クリフォード代数は必須の言語となっている。ポール・ディラックは、電子の波動方程式（ディラック方程式）を導出する際、以下の反交換関係を満たす4つの係数  （ガンマ行列）を導入した。
ここで、 はミンコフスキー計量（符号  または ）、 は単位行列である。
この関係式は、まさにクリフォード代数の定義関係式  そのものである。
すなわち、ディラックが導入した「ガンマ行列」とは、時空に対応するベクトル空間上のクリフォード代数の生成元  の行列表現に他ならない。
この視点に立つと、電子のスピンなどの性質を持つ「スピノル」は、単なる列ベクトルではなく、クリフォード代数の左イデアル（あるいはその表現空間の元）として幾何学的に理解される。これにより、物理学者は抽象的な代数構造と具体的な行列計算を行き来することができる。
クリフォード代数 応用
ディラック行列は、クリフォード代数 Cℓ1,3(R) （または符号によっては Cℓ3,1(R)）の複素化 Cℓ1,3(C) が、4次複素行列環  と同型であるという事実に基づいている。
ディラック行列は最初ポール・ディラックによって、電子に対する相対論の一階波動方程式を書き、クリフォード代数から複素行列への明示的な同型を与えようとしていた時に、書き下された。結果はディラック方程式を定義しディラック作用素を導入するために用いられた。クリフォード代数全体はディラック場双線型の形式の場の量子論において現れる。
量子論を記述するためのクリフォード代数の使用は中でも Mario Schönbergによって、geometric calculus の言葉では David Hestenes と Basil Hiley と hierarchy of Clifford algebras の共同研究者によって、そして Elio Conte et al.によって進められてきた。
クリフォード代数 応用
クリフォード代数（特に幾何代数と呼ばれる文脈）は、コンピュータグラフィックス、ロボット工学、コンピュータビジョンの分野で強力なツールとして利用されている。
回転と並進の統合
従来のベクトル解析では、回転は行列や四元数、並進はベクトル加算と別々に扱われていたが、クリフォード代数（特に双対四元数や共形幾何代数）を用いることで、これらを単一の演算として統一的に記述できる。これは、ロボットのアーム制御（キネマティクス）や3Dオブジェクトの補間（スキニング）計算において、計算コストの削減や特異点（ジンバルロック）の回避に寄与する。
プリミティブ図形の扱い
点、線、面、球などを代数の元として統一的に表現でき、それらの交差判定や射影といった操作を代数的な積として簡潔に記述できる。
高次元データ解析
色情報やオプティカルフローなどの多次元データをベクトル値として直接扱う信号処理（クリフォード・フーリエ変換など）への応用も研究されている。
堀内康司
堀内 康司（ほりうち こうじ、1932年 - 2011年）は、日本の画家、競馬記者。
20代のうちに絵筆を折り、画家としての活動期間は短かかったが、池田満寿夫を世に出した人物として知られる。
堀内康司 経歴
東京府に生まれるが、職業軍人であった父に伴われ、幼少期を当時の満州や金沢市で過ごす。第二次世界大戦中に父がサイパン島で戦死し、戦後に母も病死したため、父親の出身地であった長野県松本市で育つ。松本で宮坂勝に絵画の手ほどきを受け、十代で草間彌生らとのグループ展に参加し、1952年、1953年に国画会新人賞を得て、1955年に拠点を東京に移した。
東京では福島繁太郎の支援を受けながら画家としての活動を始め、後に、無名であった池田満寿夫を見いだして、靉嘔、真鍋博とともに「実在者」を結成した。
26歳ころ以降は、雑誌の挿画を描くことはあったが、本格的な制作は止め、結婚後は競馬雑誌の記者として働きながら、美術愛好家として若手の発掘に関わり続けた。
1961年には、池田満寿夫の初の個展を企画して不忍画廊でこれを開催するなど、池田を世に出すことに努め、また、当時の池田の姿を捉えた写真を多数残した。
2011年の死去後、作品をまとめた画集『堀内康司の遺したもの』が芝野敬通の責任編集により求龍堂から出版されたのを契機に再評価が進み、各地の美術館で作品展が開かれるようになった。
ゴンザレス・ヘルメン
ゴンサーレス・ヘルマン・ヘルメン・フィラオ（Gonzalez German Germen Figao, 1987年9月23日 - ）は、ドミニカ共和国ラ・ロマーナ州グアイマテ出身のプロ野球選手（投手）。右投右打。
ゴンザレス・ヘルメン 経歴
2007年10月10日にニューヨーク・メッツと契約を結んだ。
2008年は、傘下のルーキー級ドミニカン・サマーリーグ・メッツでプロデビューを果たした。15試合に登板し、5勝2敗・防御率1.34だった。
2009年は、ルーキー級ドミニカン・サマーリーグで開幕を迎え、8試合に登板。7月に渡米し、ルーキー級ガルフ・コーストリーグ・メッツで2試合に登板した。
2010年は、アパラチアンリーグのルーキー級キングスポート・メッツで10試合に登板し、2勝5敗・防御率3.69だった。8月にA級サバンナ・サンドナッツへ昇格し、2試合に登板。1勝0敗・防御率2.77だった。
2011年は、A級サバンナで26試合に登板し、7勝7敗・防御率3.93だった。
2012年は、A+級セントルーシー・メッツで5試合に登板後、5月にAA級ビンガムトン・メッツへ昇格。7月26日にAAA級バッファロー・バイソンズへ昇格したが、翌27日にAA級ビンガムトンへ降格した。AA級ビンガムトンでは20試合に登板し、8勝12敗・防御率4.59だった。オフの11月20日にメッツとメジャー契約を結び、メジャーロースター40人枠入りを果たした。
ゴンザレス・ヘルメン 経歴
2013年3月3日にメッツと1年契約に合意した。3月10日にAA級ビンガムトンへ異動し、開幕をAAA級ラスベガス・フィフティワンズで迎えた。7月2日にメジャーへ昇格したが、登板のないまま5日にAAA級ラスベガスへ降格した。9日に再昇格し、12日のピッツバーグ・パイレーツ戦でメジャーデビュー。同点の延長11回裏から登板したが、2四球を与え、2死一・二塁の場面でジョーディー・マーサーからサヨナラ安打を打たれ、メジャー初黒星を喫した。その後はリリーフとして定着した。この年は29試合に登板し、1勝2敗1セーブ・防御率3.93だった。
2014年3月3日にメッツと1年契約に合意。開幕ロースター入りし、開幕後はリリーフとして起用されていたが、5月13日に15日間の故障者リスト入りした。6月10日に復帰後は8試合に登板したが、防御率7.27と落ち込み、7月8日にAAA級ラスベガスへ降格した。8月19日にメジャーへ再昇格し、同日のオークランド・アスレチックス戦に登板したが、1回を2安打2失点で救援に失敗し、8月22日にAAA級ラスベガスへ降格した。9月8日に再昇格した。この年は25試合に登板し、防御率4.75だった。オフの12月15日にDFAとなった。
ゴンザレス・ヘルメン 経歴
2014年12月19日に金銭トレードでニューヨーク・ヤンキースへ移籍した。
2015年1月13日にDFAとなり、1月20日に金銭トレードでテキサス・レンジャースへ移籍。しかし翌21日にDFAとなり、23日にウェイバー公示を経てシカゴ・カブスへ移籍した。カブスでは6試合に登板して勝敗なしの防御率7.50だった。7月4日にDFAとなった。
2015年7月7日、ウェイバー公示を経てコロラド・ロッキーズに移籍した。40人枠には入ったが、マイナーオプションにより傘下のAAA級アルバカーキ・アイソトープスに所属する。その後、10日に昇格した。10月14日にAAA級アルバカーキに降格となり、23日に自由契約となる。28日にマイナー契約でロッキーズと再契約した。オフはドミニカ共和国のウィンターリーグに参加した。
2016年はAAA級アルバカーキで開幕を迎え、4月22日にメジャー契約を結んで25人枠入りした。8月12日にDFAとなり、15日に40人枠を外れる形でAAA級アルバカーキへ配属された。10月6日にFAとなった。
2016年12月13日にオリックス・バファローズへの入団が発表された。背番号は42。
ゴンザレス・ヘルメン 経歴
2017年は開幕一軍に入るが4月2日に二軍降格。その後は外国人枠の関係で二軍暮らしが続いていたが、7月9日に一軍に昇格。平野佳寿が二軍で調整中している間は抑えを任された。8月20日同点の7回に登板し0点に抑え、7回裏に中島宏之が勝ち越し本塁打を放ったため、来日初勝利を挙げた。12月2日に自由契約となった。
2018年1月16日にシカゴ・ホワイトソックスとマイナー契約を結んだ。3月24日に放出された。
2018年4月30日、ベースボール・チャレンジ・リーグの群馬ダイヤモンドペガサスに入団することが発表された。 6月14日に退団（任意引退）が発表された。
2018年6月28日にアトランティックリーグのロングアイランド・ダックスと契約を結んだ。シーズン終了後にFAとなった。
2019年3月4日にメキシカンリーグのタバスコ・キャトルメンと契約を結んだ。5月17日に放出された。
2022年4月5日にカナダのアマチュアリーグであるインターカウンティベースボールリーグのブラントフォード・レッドソックスに入団した。
2022年7月13日にメキシカンリーグのオアハカ・ウォーリアーズと契約した。
ゴンザレス・ヘルメン 投球スタイル
スリークォーターから、最速球速97mph（156km/h）・平均94mph（151km/h）のフォーシームを中心に、決め球である平均86mph（138km/h）のチェンジアップ、平均86mph（138km/h）のスライダーを使用する。
MLB通算の与四球率が5.1と高い。
おもちゃの国のクリスマス
『おもちゃの国のクリスマス』（原題：Babes in Toyland）は1986年のアメリカのテレビ映画。劇場未公開作品。『E.T.』の子役で注目された、ドリュー・バリモアが主役の少女を演じる。
クリスマスの夜、主人公の少女がおもちゃ屋さんで、楽しくも不思議な体験をする、ファミリー向けミュージカル・コメディ映画。
今年のニュース決定版!
『今年のニュース決定版!』（ことしのニュースけっていばん!）は、フジテレビ（FNN系列）で毎年年末に放送される報道番組。
今年のニュース決定版! 概要
2013年にこれまで年末ニュース特番として放送していた『特命報道記者Xシリーズ』の後継番組としてスタートし、毎年年末にその年のニュースを総括する報道番組。
2013年は「FNNスピーク」担当（当時）の島田彩夏とFNNスーパーニュース担当の榎並大二郎が担当。コメンテーターとして同年CMなどで人気となった東進ハイスクール講師で歴史コメンテーターの金谷俊一郎が出演した。
2014年、2015年はフリーアナウンサーの宮根誠司と同年10月から「FNNスーパーニュース」担当になった生野陽子が担当。また昨年MCとして担当した榎並大二郎はコーナーキャスターとして、MCのアシスタントやコーナーのプレゼンターをした。その年は毎年年末夕方の「FNNニュース」や「FNNスーパーニュース」で放送されている「墓碑銘○○（○○は西暦年）」が本番組で放送された。
本番組が放送される場合、夕方の「FNNスーパーニュースWEEKEND→FNN みんなのニュース Weekend」は休止される。
2016年から2018年は同じく宮根をMCにした報道番組『FNN重大ニュース』が放送されていた。2019年以降毎年12月30日にやはり宮根がMCをする『宮根誠司の日本もうけ話』が放送されている（2023年1月現在）が経済情報バラエティへと変わっている。
今年のニュース決定版! 出演者
※ニュース担当は通常放送時の週末夕方のニュースに出演している。
ペギー・カーター
マーガレット・"ペギー"・カーター（Margaret "Peggy" Carter）は、マーベルコミックスが出版するコミックに登場する架空のキャラクターであり、主にキャプテン・アメリカをフィーチャーした作品に脇役として登場する。ライターのスタン・リーとアーティストのジャック・カービーによって創造された彼女は『テールズ・オブ・サスペンス』第77号にて、回想場面でキャプテン・アメリカの第二次世界大戦時代の恋人として初登場した。
マーベル・シネマティック・ユニバースでは、2011年の『キャプテン・アメリカ/ザ・ファースト・アベンジャー』や、2015年の彼女を主役としたテレビシリーズ『Marvel's Agent Carter』が公開・放送されている。
ペギー・カーター 出版上の歴史
キャラクターは『テールズ・オブ・サスペンス』第75号（1コマのみ）と第77号（1966年5月）でスタン・リーとジャック・カービーにより創造され、第二次世界時のキャプテン・アメリカの恋人として名前が明かされずに初登場した。彼女は『キャプテン・アメリカ』第161号（1973年5月）でシャロン・カーターの姉として再登場した。彼女は後に年齢に関する辻褄を合わせるためにシャロンの叔母に設定変更された。
ペギー・カーター キャラクターのバイオグラフィ
10代の頃にフランス・レジスタンスに参加して銃の名手となり、キャプテン・アメリカと共にいくつかの任務で活動した。2人はやがて恋に落ちるが、爆発によって記憶喪失となった彼女はバージニア州の両親のもとに送られた。キャプテン・アメリカが死亡したと思われていた間、彼女は静かに暮らしていた。キャプテン・アメリカが仮死状態から蘇った後、ペギーはヴィランのドクター・ファウスタスに捕まるが、キャプテン・アメリカにより救出される。彼女は諜報組織S.H.I.E.L.D.に参加するが後に引退して老人ホーム暮らしとなり、逝去した。
ペギー・カーター 他のバージョン
2005年に展開されたストーリーライン「ハウス・オブ・M」で登場した平行世界では、キャプテン・アメリカは北極で氷漬けにならず、彼とペギーは第二次世界大戦終了直後に結婚した。
ペギー・カーター MCU版
マーベル・シネマティック・ユニバース（MCU）では、ヘイリー・アトウェルがマーガレット・エリザベス・“ペギー”・カーター（Margaret Elizabeth "Peggy" Carter）を演じる。日本語吹替は園崎未恵が担当。
本項は、“アース616”（正史の宇宙）におけるペギーを主軸として表記する。
イギリスのロンドン出身。以前にはイギリス空軍と特殊空挺部隊、秘密情報部に勤務し、1940年に“戦略科学予備軍SSR”に入隊。連合軍諜報網の中心的存在となって、秘密結社“ヒドラ”に捕らわれていた科学者のエイブラハム・アースキンの救出から、“スーパーソルジャー計画”までを担い、第二次世界大戦下の世界に身を投じた。
冷静沈着で女性差別と受け取れる言動や行動を見せる者には容赦せず、ギルモア・ホッジに「女王陛下」と揶揄された際にはすかさず彼を殴り飛ばし、スティーブ・ロジャース/キャプテン・アメリカがプライベート・ロレインに唇を奪われた場面を目にした後にスティーブが手にした盾にいきなり銃でテストを行うなど、過激な一面も持つ。
スティーブに対しては、異性と話し慣れていない彼を睨みつけることもあったが、出会って間もない頃から強い意志と純朴さを併せ持つ人柄に少しずつ惹かれていき、単なる同僚以上の男性として想い、接するようになった。
ペギー・カーター MCU版
戦後はSSRが発展した国際平和維持組織“S.H.I.E.L.D.”の創設メンバー兼初代長官となった。また、戦後に結婚した彼女の夫は、具体的な素性は不明だが、戦時中にスティーブに救われた兵士の一人と言われており、ほかの近親者には姪孫のシャロン・カーターがいる。
マーベル・テレビジョン制作のドラマ『エージェント・カーター』では、戦後もSSRのエージェントとして多くのミッションに携わって活躍する姿が描かれた。
正史と異なる幾つかの宇宙でのペギーは、スティーブに代わる形でスーパーソルジャー計画により、超人兵士“キャプテン・カーター”となった。基本的な人格は正史のペギーと同様である。
ペギー・カーター / キャプテン・カーター（アース82111）
“アース82111”におけるペギー/キャプテン・カーター。スティーブとの仲の進展がやや早く、“超人血清”を投与された影響か、その超人的パワーを用いた初戦で爽快感を味わったり、より自信に満ちた台詞や過激さを増した一面も見せる。それでも正義の心を保ち、戦争終結に向けて奮闘した。
現代にタイムスリップするとフィールドエージェントとしてS.H.I.E.L.D.に属し、後に“ガーディアンズ・オブ・マルチバース”や“アベンジャーズ”の一員にもなった。
ペギー・カーター / キャプテン・カーター（アース838）
ペギー・カーター MCU版
“アース838”におけるペギー/キャプテン・カーター。アベンジャーズとは異なるヒーローチーム、“イルミナティ”のメンバーとなっている。過激かつタフな女性ヒーローであるが、かつて惑星“タイタン”でのサノス討伐後に、ブラッカガー・ボルタゴン/ブラックボルトがアース838を“インカージョン”から救うために堕落したスティーヴン・ストレンジ/スプリーム・ストレンジを処刑する際には、これに躊躇わずに同意し、この一件からスティーヴン・ストレンジ/ドクター・ストレンジ（アース616）に対しても一切の情を掛けずに横柄な男と切り捨てるなど冷淡な雰囲気を放っている。その反面、ストレンジ（アース616）のワンダ・マキシモフ/スカーレット・ウィッチに関する警告を聞き流すというほかのイルミナティの仲間たちと同等の浅はかさも見せた。
非常に正確な射撃能力と、近接戦法をはじめとする広範囲にわたる様々な戦術も体得し、戦略的手腕と機敏なリーダーシップ・臨機応変さにも優れており、任務によっては変装も行う。
ペギー・カーター MCU版
キャプテン・カーターとなったペギーは、投与・照射された超人血清と“ヴァイタ・レイ”の効果でより強力な体躯となり、何千キロもある重量物を持ち上げ、パンチやキック一発で敵を数メートルも突き飛ばせる超人的な筋力、駆け足だけで走る自動車に追いつく速さとひと跳びで数メートルも跳躍できる脚力、常人の約4倍分速い薬物やアルコールの代謝と治癒力など、最大限に高められた身体能力を得た。
戦闘ではこれらの身体能力をフルに活かしたアグレッシブな近接戦法と、愛用のヴィブラニウム製の盾を駆使する攻防を主な戦闘手段とし、状況によっては銃撃や戦場の仲間たちへ的確な指示も伝達するなど、正史のスティーブ/キャプテン・アメリカと同等のスーパーパワーと戦法を披露する。
ワルサーPPK
愛用のハンドガン。
M1928A1
ヒドラのスイス本部で使用。
キャプテン・カーターの装備
ペギー・カーター MCU版
ユニフォーム（Captain Carter's Uniform）
ハワード・スタークが超人兵士となったペギーのために、彼女の慰問活動用の衣装を改良したユニオンジャックモチーフの戦闘服。青を基調とし、ユーティリティ・ベルトや腰回りのポーチなど、キャプテン・アメリカのユニフォームと同等のイメージだが、専用のヘルメットは備わっていない。
21 世紀に転送された後、別のバージョンの戦闘服を着用した。ユニオンジャックは小さくなり、腹部の赤い縞模様の白いパッチが付いている。レムリアスターでの任務ではS.T.R.I.K.E.チーム仕様で濃い青にユニオンジャックのシンボルは銀色に塗られていた。
アース838におけるペギー/キャプテン・カーターも同等のユニフォームを着用するが、差異としては両前腕にも赤い配色が施されている。
キャプテン・カーターの盾（Captain Carter's shield）
ハワードがユニフォームと共に作り上げた“ヴィブラニウム”製の円盾。正史のスティーブ/キャプテンが愛用する盾と同様に、キャプテン・カーターのトレードマークにして愛用の武器となり、高い硬度を活かして、防具としてだけでなく打撃・投擲武器として多用される。アース838におけるペギーも同等の盾を愛用する。
M1911A1
サブウェポンのハンドガン。
剣
ペギー・カーター MCU版
アース82111におけるペギー/キャプテン・カーターが、“クラーケン城”内で見つけて咄嗟に持ち構えた長剣。“ヒドラの英雄”との決戦で振るう。
ジェットパック
アース838におけるペギーが有する飛行器具。ユニフォームの上から背負って装備・使用する。これにより、空中戦法も披露できる。
このほかにもペギーは、AN M18やガスマスクも使用している。
『キャプテン・アメリカ/ザ・ファースト・アベンジャー』
物語前半の訓練シーンでMCU初登場。新兵たちの訓練の監督から、戦闘の最前線にまで活動する。スーパーソルジャー計画の実験直後にアースキンに致命傷を負わせたハインツ・クルーガーを追撃した際には、優れた射撃の腕前を披露した。
スティーブとは互いにややぎこちなさがありながらも、ヒドラに囚われたバッキー・バーンズたち“107連隊の救出に、自らの「信念」で協力を申し出てハワード・スタークと共にスティーブをヒドラの兵器工場へ送ったり、彼が自分の現状に思い悩んだ時と、アースキンやバッキーを失って落ち込んでいた時には励ましたり、職務の合間にダンスに誘うなど、その仲を深めていった。
ペギー・カーター MCU版
スイスのヒドラの本部では、“ワルキューレ”に飛び移ろうとする彼とキスを交わして見送った。制圧した管制室でワルキューレを着水させる決意をしたスティーブと通信し、「土曜にクラブで会いましょう」と約束をしたが、彼が消息不明となったことで叶わなくなった。戦後には、チェスター・フィリップスから渡されたスティーブの資料を紐解き、強化前でSSRに入隊して間もない頃の彼の写真を取り出し、スティーブへの思いにふける。
『エージェント・カーター』（『マーベル・ワンショット』）
本作では、SSRの一員として働きながらも、1946年の頃の性差別を受ける姿が描かれる。
終戦から1年後、SSRのニューヨーク支部で、壮年男性のエージェントに囲まれてながら上司のジョン・フリンたちによる女性差別から3ヶ月以上も内勤のみを押し付けられて鬱屈した日々を過ごしていた。
だがある日の夜、1人オフィスで残業していたところに“ゾディアック”が搬入された倉庫の位置情報に関する連絡を受け、単身現地へ向かった。そこにいたゾディアックを保有していた一味を次々と一蹴しゾディアックを入手。その隙を突かれて背後から現れた屈強な男によって窮地を陥るも、何とか倒してその場を撤退した。
ペギー・カーター MCU版
翌日、任務を成功させたにもかかわらずフリンに叱責・罵倒され「あなたの下では活躍できません」と啖呵を切るが、直後にかかってきたハワードからの指示を受けたフリンにより、S.H.I.E.L.D.設立メンバーに選ばれたことを伝えられ、「荷物をお持ちしましょうか？」と問うフリンに「いいえ、結構よ」と返すと、ワシントンD.C.に出向するためニューヨーク支部を去る。
『キャプテン・アメリカ/ウィンター・ソルジャー』
現代を描いた本作ではS.H.I.E.L.D.を既に引退し、年老いた姿で登場。現代でも存命していたが、老衰により認知症を患い、症状はある程度改善しているものの老人ホームで病床に着いている。スティーブは度々面会に訪れ、本心を打ち明けられる数少ない相手として交流している。
物語の前半で、悩みを打ち明けるスティーブに「時代は変わったから、もう戻れない」と弱った口調で説くが、症状の影響でスティーブが帰還したことを忘れてしまい、目の前の彼に涙する。
『アベンジャーズ/エイジ・オブ・ウルトロン』
本作では、物語中盤においてスティーブがワンダに見せられた幻想の中に、若い頃の姿で登場し、彼をダンスに誘う。
『アントマン』
ペギー・カーター MCU版
冒頭の1989年時のシーンにS.H.I.E.L.D.の幹部として年季が入ったハワードと共に登場。同じく幹部だったミッチェル・カーソンに殴りかかったハンク・ピム/アントマン（初代）を制止した。
『シビル・ウォー/キャプテン・アメリカ』
本人の直接の登場は無いものの、物語の前半で故人となったことがスティーブに伝えられ、ロンドンにある彼女のお気に入りの大聖堂で葬式が執り行われた。葬式にはスティーブやシャロンのほかにも、サム・ウィルソン/ファルコンや元S.H.I.E.L.D.エージェントに政府高官まで、数多くの人々が参列した。享年98歳だった。
『アベンジャーズ/エンドゲーム』
本作では、スティーブとトニー・スターク/アイアンマンがタイムトラベルした1970年時の“キャンプ・リーハイ”に勤務する彼女が登場。オフィスで忙しなく働いているところ、潜入していたスティーブとニアミスするも、この時は彼に気づかなかったため触れ合うことは無かった。
だが物語のラストで、“ムジョルニア”と6つの“インフィニティ・ストーン”をそれぞれの時代に返還する旅を終えたスティーブと再会し、自宅でかつて交わしたダンスの約束を果たす。
『ホワット・イフ...?』
ペギー・カーター MCU版
シーズン1
本シーズンでは、アース82111におけるペギー/キャプテン・カーターが登場する。
第1話
SSRのエージェントとして戦時中の世界に身を投じていた時代、スーパーソルジャー計画の血清投与実験の際に、観覧ブースではなく実験場に留まったことから、潜入していたクルーガーの爆弾攻撃や銃撃が実験寸前に敢行されるも、すぐさまクルーガーを射殺し、重傷を負ったスティーブの代わりに咄嗟の独断で装置に入って被験者となり、超人兵士となった。当初は自身を軽視するフリンの意向で戦闘任務になかなか就けず、採血ばかり行なわされたが、ハワードの計らいで新装備を受け取り、テッセラクトとゾラの確保に単身で出動して初陣を飾ると、見事に成功させて“キャプテン”の肩書きを得た。続いてスティーブの頼みも受けてバッキーたち107連隊救出に向かい、“ヒドラ・ストンパー・アーマー”を駆るスティーブの支援もあり、107連隊救出も達成して皆からの喝采を浴びた。
それ以降、ヒドラとの多数の戦いの中でハウリング・コマンドーズやスティーブと共闘して戦功を挙げていき、スティーブとも「互いのヒーロー」と認め合うほど仲を深めていったが、“荒鷲の要塞作戦”の際に、ヨハン・シュミット/レッドスカルが乗って移動中と思われた列車の屋根に飛び乗った直後に、スティーブが罠に嵌まって一時消息不明になる事態に直面してしまった。
ペギー・カーター MCU版
これに憤慨し、ゾラへの尋問でクラーケン城の在り処を聞き出すと、ハワードやハウリング・コマンドーズと共に乗り込み、シュミットに遭遇するも、彼によって出現したヒドラの英雄との激闘に突入。自身の力だけでなく、ハワードによるワームホール制御装置の操作も、ヒドラ・ストンパーと共に戻ってきたスティーブの援護も通じず、このままでは欧州がこの怪物に食い尽くされると予見すると、自らヒドラの英雄を“地獄”へ送り返すと決意し、捨て身で相手を押し出しはじめ、スティーブに、「やりましょう、次の土曜に」と“ダンスの約束”を交わして、ヒドラの英雄と共に、閉じたワームホールの向こう側へ消えていった。
そして70年後、“ジョイント・ダーク・エナジー・ミッション・ファシリティーズ”内にワームホールが開かれた際に、複数の触手の破片と共にその場に飛び出し、ニック・フューリーとクリント・バートン/ホークアイに出迎えられ、戦争が終わったことを知らされて安堵すると共に、スティーブの心配をしつつ彼との約束を果たせなかったことに肩を落とす。
第9話
シーズン2
『ドクター・ストレンジ/マルチバース・オブ・マッドネス』
本作ではアース838におけるペギー/キャプテン・カーターが物語の後半から登場する。