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大島富士子 プロフィール
1957年、兵庫県神戸市生まれ。 3歳より桐朋学園子供のための音楽教室で学ぶ。
恵泉女学園高等部を経て、1977年 フェリス女学院短期大学音楽科の声楽を卒業後、ウィーン国立音楽大学声楽科とピアノ室内楽科に入学。1981年、同大学を卒業。
声楽を江口元子、エドウィン･サモジー、ウェイン･グリフィッツ、ツェーガー･ファンダステーネ、ピアノをハンス･カーン、ノーマン･シェトラー等、リートをインゴマー･ライナー、ツェーガー･ファンダステーネおよびダルトン・ボールドウィンに師事。
卒業後は数多くのリーダーアーベントをヨーロッパと日本を中心に開催。1995年から5年間、ホセ･ヴァスケスの率いる「オルフェオン･コンソート」のソプラノ歌手としてバロック音楽のレパートリーを広げ、イタリアやオーストリアで演奏活動をする。チェンバロおよびオルガン奏者のインゴマー･ライナーと共にリーダーアーベントを開催、1990年のシューベルト生誕200年記念コンサートとしてウィーンより日本へハンマークラヴィアを持ち込み、シューベルトによるプログラムで演奏旅行をした。ボンのベートーヴェン祭、リンツのブルックナー祭、ウィーンのイースタークラング祭、イタリアのオーロラ祭やアゾロのイースター祭などに出演。
大島富士子 プロフィール
2009年、ウィーン在住33年後日本へ帰国。同年、シューベルトの歌曲だけで一晩のプログラムを歌い、ボールドウィンより「シューベルト歌手」として認められ、以降 ボールドウィンは伴奏者として大島を支える存在となる。2013年、2度目のシューベルト歌曲の夕べをボールドウィンと開催する。また、オーストリアでは国家公認日本語裁判通訳･翻訳者として、さらには会議通訳者としてヨーロッパ各地で活動した。2014年7月オーストリア･ブルゲンランド州々都自由都市アイゼンシュタット市よりヨーゼフ･ハイドン記念名誉銀メダルを授与される。
代数的な元
体論において、可換体 K の拡大体 L の元は、K 係数の 0 でない多項式が存在してその根となっているときに、K 上代数的であると言う。K 上代数的でない元は K 上超越的であると言う。
これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体 Q の拡大体 C の元であって、Q 上代数的な複素数である。したがって  は Q 上代数的な実数であって、自然対数の底 e や円周率 π は Q 上超越的な実数である。Q 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 a+bi は実数体 R 上代数的である。なぜなら (X − a)2+b2 の根だからである。
代数的な元 特徴づけ
K のすべての元 a は明らかに K 上代数的である、なぜならば X − a の根だからだ。より一般に、
実際、K の有限次（n 次としよう）拡大は K 上有限次元のベクトル空間である。したがって 1, a, a2, ..., an の間には線型従属な関係があり、a を根に持つ多項式が得られる。
代数的あるいは超越的な元という概念を、K と a を含む L の最小の部分環である K[a] を使って特徴づけることができる。環 K[a] の元は a の多項式として書ける L の元である。すなわち K[a] は多項式環 K[X] の X を a に写す環準同型 φ による像である。この準同型が単射でないことと多項式が a で消えることは同値である。また、a が K[X] の多項式の根であれば、a は K[a] が根体であるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると
K(a) を、a を含む L の最小の部分体とする（K(a) の元は a の有理式として書けるような L の元である）。これによって再び定式化することができる。
（したがって1つ目の性質から、K 上代数的な任意の元は K の有限次拡大の元である）。
代数的な元 安定性
この特徴づけによって次のことが証明できる。K 上代数的な2つの元の和と積は K 上代数的である。実際、a と b が K 上代数的であれば、a + b と ab は K(a, b) に属する。これは K(a) の b による拡大が K 上したがって K(a) 上代数的であることからわかる。よって拡大 K(a, b) は K(a) の、したがって K の、有限次拡大である（これは拡大次数の性質である）。そのすべての元は K 上代数的である。
さらに、K 上代数的な元 a は 0 でなければその逆元は a を根にもつ多項式の相反多項式の根であり K 上代数的である。結論：
n についての帰納法で次のことも言える。
すべての元が代数的であるような拡大を代数拡大と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない（記事代数拡大を参照）。
代数的な元 次数と最小多項式
K 上代数的な元の 次数 は拡大 K(a) / K の次数である。a は代数的なので、それは K-ベクトル空間 K[a] の次元である。したがってそれはまた a の最小多項式（a が消える最小次数のモニック多項式）の次数でもある。
代数的な元 結合多元環
K の拡大 L は体 K 上の結合多元環であり、定義はこの構造しか使っていない。したがってこれを一般化することができる。可換体 K 上の単位的結合多元環 E の元が K 上代数的であるとは、それを根にもつ K 係数の 0 でない多項式が存在することである。体の拡大の場合と同様に、多元環 E が K 上有限次元のとき、E のすべての元は K 上代数的である。
五十嵐彩伽
五十嵐 彩伽（いがらし あやか、2001年7月9日）は、日本の女優。女性アイドル、元子役である。千葉県出身。
五十嵐彩伽 来歴
2016年までジュネス (企業)に所属し、ジュネス☆プリンセスのメンバーで、リーダーとして活動していた。2017年5月よりChu☆Oh!Dollyのサニーオレンジとして加入、2018年12月脱退。2020年9月よりSilly°Honeyのオレンジ、推しアトラクション：メリーゴーランドとして加入。2021年12月5日活動終了。2023年1月にPrinceCHU!に加入。2025年1月にClaire♡Dollsに加入
国立病院機構三重病院
独立行政法人国立病院機構三重病院（みえびょういん）は、三重県津市大里窪田町にある独立行政法人国立病院機構が運営する総合病院である。旧国立療養所三重病院。
国立病院機構三重病院 概要
総合成育医療機関として、子供から高齢者までの医療を提供し、とくに、三重県内唯一の小児救急医療拠点病院として、周辺地域の小児救急医療を24時間体制で担っている。三重県保健医療計画では、三重大学医学部附属病院、国立病院機構三重中央医療センターとともに三重子ども病院群として連携し、専門性の高い小児医療および障害児医療を提供するとされており、三重病院は救急をはじめとする小児の急性疾患(感染症や川崎病、けいれんなど)に加え、小児慢性疾患医療（アレルギー、糖尿病、肥満症、てんかん、心身症、など）を重点的に担当している。
小児病棟60床、重症心身障害児者病棟が50床設置されており、さらに2017年（平成29年）には同様の医療型障害児入所施設として病院南側に、県立草の実リハビリテーションセンターおよび県立小児心療センターあすなろ学園を統合移転した「三重県こども心身発達医療センター（仮称）」が設置される予定である。近隣の三重県立緑ヶ丘特別支援学校を含む連携により、三重県の障害を持った子どもに対する発達支援の拠点として総合的な療育支援体制が構築される。
2024年5月時点、三重県選挙管理委員会より、不在者投票のできる施設の一つとして指定されている。
国立病院機構三重病院 外来診療
※ 紹介状なしで外来を受診する場合、初診時保険外併用療養費2,700円を徴収している。
SpiderOak
SpiderOakとはアメリカ合衆国に拠点を置くサービスで、オフサイトサーバーを使用してデータのバックアップ、共有、同期、アクセス、保存を行う。Windows、Mac、LinuxといったコンピュータプラットフォームやiOS、Android、N900 Maemoといったモバイルプラットフォームに対応したアプリケーションでアクセスすることができる。また、ユーザーは自身のコンピュータにある任意のフォルダをバックアップすることができる。自社によれば、暗号化されたオンラインストレージとクライアントサイド暗号鍵生成を使用することで自社社員がユーザーの情報にアクセス出来ないようになっている。コンポーネントの一部はオープンソースで初期の2009年には将来全てオープンソースにすることを表明していたが、2014年現在未だにクライアントにソースは公開されていない。
2014年中期の時点でサービスの利用者数は100万人を超えており、本社はシカゴ郊外にあり、社員数は42人でCEOはエサン・オバーマン(Ethan Oberman)が務めている。2013年にはサンフランシスコやカンザス・シティにも事務所を置いていて、米国内外に従業員がいる。
SpiderOak
複数の機器間でファイルやフォルダを同期したりデータを自動でデデュプリケーションすることで他の競合と差別化している。
最大容量が制限される無料サービスだけでなく月額のプレミアムサービスや招待割引を提供している。
2009年、MacLife誌に「Awesome」と評価されるだけでなく、同年5月にComputer Shopper誌のエディターズ・チョイスに選出された。2014年7月、エドワード・スノーデンはDropboxと比べて政府による監視に対する保護に優れているとインタビューの中で評価している。
SpiderOak 歴史
2007年にエサン・オバーマンとアラン・フェアレスが「ゼロ・ナレッジ」と称したプライベートバックアッププログラムとして立ち上げた。2013年、Cryptonという「ユーザーに代わって保存するが内容は把握しないサーバーに対応するアプリケーションを構築するためのJavaScriptフレームワーク」の開発を始めた。開発者が容易にモバイルアプリケーションへ暗号化セキュリティを追加できるオープンソースプロジェクトとなっている。
ブレークスルー・オブ・ザ・イヤー
ブレークスルー・オブ・ザ・イヤー(Breakthrough of the Year)は、サイエンス誌がその年の最も発展的な研究に与える賞である。1989年に始まった「今年の分子」(Molecule of the Year)に由来し、『タイム』誌のパーソン・オブ・ザ・イヤーに着想を得て、1998年にBreakthrough of the Yearと改名された。ブレークスルー・オブ・ザ・イヤーは、科学の世界で最も際立った成果の1つと広く認識されている。
ブレークスルー・オブ・ザ・イヤー 今年の分子（モレキュール・オブ・ザ・イヤー）
2002年以降、「今年の分子」は、International Society For Molecular and Cell Biology and Biotechnology Protocols and Researches (ISMCBBPR)によって表彰されるようになった。
ブレークスルー・オブ・ザ・イヤー ブレークスルー・オブ・ザ・イヤー受賞の必要条件
ハーバード大学は、2020年のブレークスルー・オブ・ザ・イヤーを受賞した、記録的な速さで開発およびテストされたCOVID-19に対するワクチン開発について、科学的なブレークスルーを達成するために必要なものほとんどのブレークスルーには、繰り返される懐疑論、嘲笑、拒絶に耐えることができる科学者の粘り強さが私たちの生活を変えるのに必要であるとコメントした。つまり、開放性の高い人と同じく、不協調性が高い性格の人は創造的である。アメリカで最も大きな創造性研究機関であるカリフォルニア大学ロサンゼルス校を中心とする神経精神医学団体のテネンバウムセンター所長によると、創造性と嫌悪感の間は関連性があるため、それが必要なために時々不快感を喜んで受け入れる必要がある。つまり、協調性が低い人は、より高い創造的成果を示す傾向がある。現状に挑戦し、他の人が言ったからといって物事を信じない傾向がある人は創造的な達成者である。アメリカの科学史家トーマス・クーンは、1962年、『科学革命の構造』The Structure of Scientific Revolutions を著し、科学は「通常科学」と「科学革命」より構成されると主張、特定の科学者集団が奉じるパラダイム（一定の期間その集団の科学者に、問いと答えの範型を与える古典的な業績）にしたがって「通常科学」の研究がおこなわれるが、その過程で変則性が顕現するにいたって当該パラダイムに危機が生じ、ついに「科学革命」がなされて、別のパラダイムが生み出され、それと交代する事実があることを指摘した。
藤田聖吾
藤田 聖吾（ふじた せいご、1981年5月9日 - ）は、北海道出身のサッカー指導者。
藤田聖吾 来歴
大学まで選手としてプレー。卒業後は指導者の道へ進み、2年間筑波大学蹴球部でスタッフを務めた。
2012年、アビスパ福岡のテクニカルスタッフに就任し、2014年より分析担当のコーチを務める。
2015年シーズンからジュビロ磐田の分析担当テクニカルスタッフに就任。2016年シーズン限りで磐田との契約を満了。
成宮梓
成宮 梓（なりみや あずさ、1993年〈平成5年〉4月12日 - ）は、日本のAV女優。バンビプロモーション所属。
身長:152cm。スリーサイズ:B83(F)・W55・H83cm。血液型:O型。趣味・特技:ピアノ、フルート。
冪零元
数学において、環 R の元 x はある正の整数 n が存在して xn = 0 となるときに冪零元（べきれいげん、英: nilpotent element）という。
冪零 (nilpotent) という言葉は、ベンジャミン・パースによって、多元環の元のある冪が 0 になるという文脈で1870年頃に導入された。
冪零元 例
は A3 = 0 なのでベキ零である。より多くの情報は冪零行列を見よ。
このとき AB = 0, BA = B である。
冪零元 性質
（唯一の元 0 = 1 をもつ零環 {0} を除いて）冪零元は決して単元ではない。すべての 0 でない冪零元は零因子である。
体係数の n 次正方行列 A が冪零であることとその固有多項式が tn であることは同値である。
x が冪零であれば、1 − x は単元である、なぜならば xn = 0 によって
であるからだ。より一般に、単元 u とベキ零元 x の和 u + x はそれらが交換する（すなわち ux = xu である）ときには冪零である。
冪零元 可換環
可換環  のベキ零元全体はイデアル  をなす。これは二項定理の結果である。このイデアルは環の冪零根基である。可換環のすべての冪零元  はその環のすべての素イデアル  に含まれる、なぜならば  だからだ。したがって  はすべての素イデアルの共通部分に含まれる。
が冪零でなければ、 の冪によって局所化することができる。つまり、 によって局所化して零でない環  を得る。この局所化環の素イデアルはちょうど  であるような素イデアル  と対応する
。すべての零でない可換環は極大イデアルをもちそれは素イデアルでもあるので、どの冪零でない  もある素イデアルに含まれない。したがって  はちょうどすべての素イデアルの共通部分である。
ジャコブソン根基と単純加群の零化 (annihilation) の特徴づけに似た特徴づけが冪零根基に対してもできる。環 R の冪零元はちょうど環 R に internal なすべての整域（すなわち素イデアル I に対して R/I の形のもの）を零化する元である。このことは冪零根基はすべての素イデアルの共通部分であるという事実から従う。
冪零元 リー環の冪零元
をリー環とする。このとき  の元は  に入っていて  が冪零変換であるときに冪零であるという。リー環におけるジョルダン分解 も参照せよ。
冪零元 物理学における冪零性
Q2 = 0 を満たすオペランド Q は冪零である。フェルミオンの場の経路積分表現を許すグラスマン数は、その平方が消えるので、冪零である。BRST 電荷 は物理学における重要な例である。
線型演算子は結合多元環従って環をなすので、これは初めの定義の特別な場合である。より一般に、上記の定義の観点から、演算子 Q は n∈N が存在して Qn = 0 （零写像）であるときに冪零である。したがって、線型写像が冪零であることとそれがある基底で冪零行列をもつことは同値である。これの別の例は外微分である（再び n = 2 である）。エドワード・ウィッテンによって有名な論文で示されているように、超対称性とモース理論も通して、両者は繋がっている。
ソースのない平面波の電磁場は、物理的空間の代数学の言葉で表現されるとき、冪零である。
冪零元 代数的冪零元
2次元の二重数は冪零空間を含む。冪零空間を含む多元環や数としては他に 分解型四元数 (coquaternions)、分解型八元数、双四元数 、そして複素八元数  がある。
伴吉夫
伴 吉夫（ばん よしお、1918年7月6日 - 没年不明）は、愛知県出身のプロ野球選手（二塁手、三塁手）。
伴吉夫 来歴・人物
享栄商業学校（現・享栄高等学校）時代は、1934年夏の甲子園に補欠ながら出場した。
1936年に大東京軍の結成に参加。しかし守備が非常に拙く、公式戦開幕前の4月5日に行われた、大東京軍にとって球団結成4試合目に当たる東京ガス（ノンプロ）との練習試合では9回表に6失策を喫した。この試合では大東京軍は8回まで7-6とリードしていたが、伴の6失策と漆原進左翼手の2失策が祟り、一挙に9点取られて7-15と逆転負けした。その事で、激怒した球団代表の鈴木龍二によって監督の永井武雄が解任される事件も起こった（日本プロ野球史上初の監督解任。尚、永井はその後二度とプロ野球界に戻ることなく、2年後の1938年4月19日に中国北部郭里集で戦死した。）。言わば、永井監督とチームの運命を暗転させた事態を引き起こしたのである。
公式戦に入っても、プレーが冴える事がなく、5月の5試合に出たのみで、1936年限りで引退。引退後の消息は不明。
2034 FIFAワールドカップ
2034 FIFAワールドカップ（英: 2034 FIFA World Cup）は、2034年に開催される予定の25回目のFIFAワールドカップ。2023年10月31日のFIFAの締め切りに間に合うように入札を提出した唯一の国であるサウジアラビアで開催される予定。
2024年12月に無競争での開催が発表され、サウジアラビアで開催されることが決まった。2002年の日韓大会、2022年のカタール大会に続き、アジアで開催される3回目の大会となる。サウジアラビアは、12年間で アラビア半島からの開催国としては2番目となる。
FIFAは、2030年のFIFAワールドカップを3大陸（アフリカ（CAF）、ヨーロッパ（UEFA）、南米（CONMEBOL））で開催することを決定した後、開催資格をアジア（AFC）またはオセアニア（OFC）に制限した。オブザーバーはこれを、競合する開催候補を大幅に減らすことでサウジアラビアが2034年大会を開催する道を開くためにFIFAの規則を曲げたと特徴づけた。FIFAはまた、予想外に入札スケジュールを少なくとも3年早め、他の潜在的な入札者の妨げになった。ニューヨークタイムズの報道によると、FIFA会長のジャンニ・インファンティーノは、FIFAの規則を曲げてサウジアラビアの開催地選定を促進する上で重要な役割を果たした。
2034 FIFAワールドカップ 開催国選定の経緯
2034年ワールドカップの招致プロセスは2023年10月4日に始まり、当初は2030年ワールドカップと同じ要件が使用されていた。FIFAは後に、最低収容人数4万人の既存スタジアムの数の要件を7つから4つに引き下げた。FIFAの連盟ローテーションポリシーにより、アジアサッカー連盟とオセアニアサッカー連盟の加盟協会のみが開催資格があった。FIFAは2030年ワールドカップを3大陸（アフリカ、ヨーロッパ、南米）で開催することを決定し、2026年ワールドカップは北米で開催されることになっていたため、2034年ワールドカップは必然的にアジアかオセアニアで開催する必要が生じた。
2023年10月31日、FIFA会長ジャンニ・インファンティーノは、サウジアラビアが2034年のワールドカップを開催すると発表した。これにより、アジアサッカー連盟がワールドカップを開催するのは、日本と韓国で開催された2002年大会、カタールで開催された2022年大会に続いて3回目となる。また、中東での開催も、カタール2022年に続いて2回目となる。
2034 FIFAワールドカップ 開催国選定の経緯
ニューヨーク・タイムズの調査報道によると、インファンティーノ氏は開催地としてのサウジアラビアの選定に重要な役割を果たした。同氏はサウジアラビアのために私的外交に従事し、ギリシャが2030年ワールドカップの開催でサウジアラビアと提携する意思があるかどうかを探った。スペイン、ポルトガル、モロッコが2030年ワールドカップの共同開催を発表したとき、サウジアラビアは彼らの入札に勝つ可能性は低いと考えた。そのため、サウジアラビアは2030年の入札から撤退した。その後、FIFAはニューヨーク・タイムズが「奇妙」と評した2つの動きを見せ、FIFAは2030年ワールドカップの最初の3試合をウルグアイ、アルゼンチン、パラグアイで、残りをスペイン、モロッコ、ポルトガルで開催すると発表した。この決定により、ヨーロッパ、アフリカ、南米は2034年ワールドカップの潜在的な入札国から除外され、入札可能な国はアジアとオセアニアのみとなった。FIFAはまた、2034年ワールドカップの入札プロセスを予想外に加速させ、関心のある国が開催の意思を表明する期間をわずか25日間とした。数分以内にサウジアラビアが開催の意思を表明した。
2024年12月11日、FIFAは2034年ワールドカップをサウジアラビアで開催することを確認した。この決定はFIFA臨時総会で発表され、投票により2030年と2034年の両大会の開催国が決定した。
2034 FIFAワールドカップ 開催都市
公式スタジアムリストは2024年7月31日の招致書で確認された。大会はリヤド、ジェッダ、アル・コバール、アブハー、ネオムの5都市で開催され、合計15のスタジアム（うち11は新設）で開催される。リヤドのキング・サルマン・スタジアムでは開幕戦と決勝戦が行われる予定である。
会場に加えて、各開催都市に2つのFIFAファンフェスティバル会場が提案されている。グループの抽選は、ネオムのザ・ラインに計画されているライン・コンベンションセンターで行われる。
2034 FIFAワールドカップ スケジュール
サウジアラビアの気候のため、同国でのスポーツイベントは通常、一年のうち涼しい時期に開催される。例えば、サウジ・プロリーグ2024-2025シーズンは8月から5月まで開催されている。特に、北半球の夏のピーク月は、5月から9月までの夜間の最低気温が26℃から29℃、日中の平均気温が33℃から37℃となり、同国でスポーツをするには特に厳しい条件となる。
隣国カタールの気候はサウジアラビアと似ている。カタールが2022年FIFAワールドカップを開催した際、快適なプレー環境を確保するため、大会は11月と12月に開催された。そのため、2034年の本大会も同様の時期に開催されるのではないかとの憶測もある。
欧州のサッカーリーグはおよそ8月から5月まで開催されるため、2022年のスケジュールは欧州のサッカーシーズンを中断させたことになる。しかし、FIFAワールドカップの選手も出場する世界の他の多くの地域のサッカー大会は、北半球の冬にはまったく開催されないか（中国、日本、ブラジルなど）、北半球の冬に非常に近い時期に開始または終了し、この時期の競技への混乱は最小限に抑えられている（アルゼンチン、コロンビア、エジプトなど）。
2034 FIFAワールドカップ スケジュール
それにもかかわらず、世界最高の選手の大半はヨーロッパのリーグや大会で競い合っている。ヨーロッパのクラブシーズンの真っ最中に主要な国際大会に出場することの影響に関する学術的なメタ分析では、他の大会と比較してスケジュールの変更によって選手のパフォーマンスが向上したと示唆されている。解説者も、サッカーの質の高さから試合が面白いと示唆している。
カタール大会の開催日程に対する懸念は、FIFAワールドカップをヨーロッパの真夏に体験することに慣れ、バーや公共の公園などの屋外スペースで試合を観戦する習慣があったヨーロッパのファンからのものだった。冬にそれができなくなることで、その体験が損なわれると感じていたのだ。しかし、6月や7月に開催される大会を社交的に観戦するには気候が厳しい世界の地域では、冬季大会は初めてファンがこのような体験ができることを意味した。
その他の潜在的なスケジュール上の問題としては、 12月のラマダンや、11月と12月にサウジアラビアが開催する2034年アジア競技大会などが挙げられる。国際オリンピック委員会（IOC）は、 FIFAワールドカップと米国のソルトレイクシティで開催される2034年冬季オリンピックのスケジュールが重なるリスクはないと述べた。
零環
数学の環論において、零環（英: the zero ring）または自明環（trivial ring）は1つの元からなる（同型を除いて）唯一の環である。（あまり一般的ではないが、“零環”（zero ring）という用語は任意の rng of square zero, すなわちすべての x と y に対して xy = 0 であるような rng を指すために使われることもある。この記事では1つの元からなる環の意味で使う。）
環の圏において、零環は終対象である。始対象は有理整数環 Z である。
零環 定義
零環は一元集合 {0} において演算 + と · を 0 + 0 = 0 と 0 · 0 = 0 で定義したものであり、{0} あるいは単に 0 と表記される。
積閉集合
抽象代数学における積閉集合（せきへいしゅうごう、英: multiplicatively closed set）あるいは乗法的集合（じょうほうてきしゅうごう、英: multiplicative set）は、（有限）積に関して閉じている集合を言う。
積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。
積閉集合 定義
単位的環 R の部分集合 S が積閉あるいは乗法的であるとは、以下の二つの条件
を満たすときに言う。別な言葉で言えば、積閉集合 S は環 R の乗法モノイドの部分モノイドである。空積は 1 に等しいものと約束すれば、上記の二条件は「S は有限積をとる操作について閉じている」ことと等価である。
同様に、環 R の部分集合 S が飽和 (saturated) であるとは、それが「因子をとる操作に関して閉じている」(z ∈ S, z = xy ⇒ x, y ∈ S) ときに言う。
積閉集合 例
よくある積閉集合の例として以下のようなものが挙げられる:
ダニー・ピュー
ダニエル・アダム・"ダニー"・ピュー（Daniel Adam "Danny" Pugh, 1982年10月19日 - ）は、イングランド・グレーター・マンチェスター出身の元サッカー選手、サッカー指導者。現役時代のポジションはDF、MF。
ダニー・ピュー 経歴
マンチェスター・ユナイテッドFCのアカデミー出身。2004年にマンチェスター・ユナイテッドがリーズ・ユナイテッドAFCよりアラン・スミスを獲得した際、契約の一部に伴って交換要員としてリーズへと移籍する。
プレミアリーグからの降格、多大なる金銭問題から選手数も足りず、満足に練習グラウンドすら使えなかった苦境のリーズだったが、ピューはいち早く活躍を見せた。本来は守備的な選手だが、クラブ事情から攻撃的である左サイドハーフでの起用にも応えてチームを牽引。2004-05シーズンのクラブ得点王となるデイヴィッド・ヒーリーが入団してからは主に左サイドバックとしてプレーし、50試合に出場し5得点を記録した。翌季は当時監督のケヴィン・ブラックウェルから構想外とされ、殆ど出番は無くシーズンを終えた。2006年にリーズを退団。
2006年6月にプレストン・ノースエンドFCに移籍。プレストンでは中盤としての起用も見られ、本職の左サイドではないプレーを多く経験した。
ダニー・ピュー 経歴
2007年11月2日、ストーク・シティFCはピューを獲得した。完全移籍を含んだローン契約で、2008年1月3日には完全移籍を果たす。主に左サイドのMFと左サイドバックとして活躍した。その翌年には控えに回るが、レギュラーのダニー・ヒギンボザムが負傷すると代役を務めた。ストークがプレミアリーグに昇格してからはそれほどレギュラーとしてプレーしていなかったが、当時ストーク監督のトニー・ピューリスはピューを評価して2010年12月20日に2013年までの契約を締結した。
2011年9月22日、完全移籍のオプション付きローンでリーズに移籍。5年振りの古巣復帰を果たした。ローンが終了する間際、ピューリスはもう少しの間ピューをストークに留めておきたい意向を明かしたが、2012年1月2日に2年半年契約でリーズに移籍。リーズでは本職の左サイドバックを務めたが、負傷者が出ると中盤でもプレーした。2013年1月に当時監督であったニール・ウォーノックの構想から外れ、シェフィールド・ウェンズデイFCへとローンで放出された。そのまま完全に放出される憶測が飛び交ったが、その後のリーズ監督であるブライアン・マクダーモットはピューを評価してチームに留めた。2013年はまるで出番が無かったが、2014年に入ってから出場機会を得始める。そのままレギュラーとしてシーズンを終えた。
2014年5月16日、契約満了によりリーズを退団。
2014年7月16日、1年契約でフットボールリーグ1の古豪であるコヴェントリー・シティFCに移籍。シーズンオフに契約満了し、退団した。2015年7月、自身の地元クラブであるベリーFCと１年契約で移籍した。2017年1月31日、ブラックプールFCとの契約を双方合意の下解除しポート・ヴェイルFCにシーズン終了までの契約で加入した。
始対象と終対象
数学の抽象的な分野である圏論において、圏 𝒞 の始対象（したいしょう、英: initial object, coterminal object）とは、𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 I → X が存在するような 𝒞 の対象 I のことを指す。圏 𝒞 の終対象（しゅうたいしょう、英: final object, terminal object）とは、始対象の双対概念であり、 𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 X → T が存在するような 𝒞 の対象 T  のことを指す。
始対象でも終対象でもあるような対象は零対象（れいたいしょう、ゼロたいしょう、英: zero object, null object）と呼ばれる。点付き圏 (pointed category) とは零対象を持つ圏を言う。
始対象と終対象 例
X が位相空間であり（上記のように圏と見なす）𝒞 が小さい圏であれば、自然変換を射とすることで、X から 𝒞 へのすべての反変関手からなる圏を作ることができる。この圏は 「𝒞 に値を持つ X 上の前層の圏」と呼ばれる。𝒞 が始対象 c をもてば、すべての開集合を c に送る定値関手は前層の圏における始対象である。同様に、𝒞 が終対象をもてば、対応する定値関手が終前層となる。
アーベル群の準同型 ƒ: A → B を固定すれば、すべてのペア (X, φ) ただし X はアーベル群で φ: X → A は群準同型で ƒφ = 0 となるようなものからなる圏 C を考えることができる。ペア (X, φ) からペア (Y, ψ) への射は ψr = φ という性質をもった群準同型 r: X → Y として定義される。ƒ の核はこの圏の終対象である。これは核の普遍性の言い直しに過ぎない。類似の構成によって、ƒ の余核 もある適切な圏の始対象と見ることができる。
始対象と終対象 性質
始対象や終対象は与えられた圏において存在するとは限らない。しかしながら、存在すればそれらは本質的に一意である。具体的には、I1 と I2 が2つの異なる始対象であれば、それらの間に唯一の同型が存在する。さらに、I が始対象であれば、I に同型な任意の対象はまた始対象である。同様のことは終対象に対しても正しい。
完備圏に対しては始対象の存在定理が存在する。具体的には、（局所的に小さい完備圏 𝒞 が始対象をもつことと、集合 I（真クラスでない）と I で添え字づけられた 𝒞 の対象の族 (Ki) が存在して、𝒞 の任意の対象 X に対して少なくとも1つの射 Ki → X がある i ∈ I に対して存在することは同値である。
圏 𝒞 における終対象は唯一の空図式 ∅ → 𝒞 の極限として定義することもできる。空圏は自明に離散圏なので、終対象は空積と考えることができる（積は実際一般に離散図式 {X_i} の極限である）。双対的に、始対象は空図式 ∅ → 𝒞 の余極限であり空余積あるいは圏論的和と考えることができる。
始対象と終対象 性質
極限を保つ任意の関手は終対象を終対象に写すことと、余極限を保つ任意の関手は始対象を始対象に写すことが、従う。例えば、自由対象をもった任意の具体圏における始対象は空集合で生成された自由対象になる。（なぜならば自由関手は Set への忘却関手への左随伴であり、余極限を保つからである。）
始対象と終対象は普遍性と随伴関手の言葉で特徴づけることもできる。1 をただ1つの対象（• と表記する）からなる離散圏とし、U: 𝒞 → 1 を 1 への唯一の（定値）関手とする。すると
圏論における多くの自然な構成は適切な圏における始対象や終対象を見つけることによって定式化できる。
アンフィトリオン (戯曲)
『アンフィトリオン』（仏語原題： Amphitryon  ）は、モリエールの戯曲。1668年発表。パレ・ロワイヤルにて同年1月13日初演。本作のヘラクレス誕生にまつわる一連の話は、それまでにもたびたび演劇の主題として採り上げられてきたものである。
アンフィトリオン (戯曲) あらすじ
舞台はテーベ、アンフィトリオンの家の前から。
美しいアルクメーネーとの結婚初夜の後、戦争へと旅立つアンフィトリオン。ジュピターはアルクメーネーの美しさに魅了され、アンフィトリオンに化けて地上へと降りてきた。ともに連れてきたマーキュリーは、アンフィトリオンの使用人「ソジー」に姿を変えた。戦場で戦っていたアンフィトリオンは大活躍し、それを知らせるためにソジーを家へ向かわせた。ソジーは、彼そっくりに変身しているマーキュリーによって迎えられたが、彼にぶちのめされ、マーキュリーこそが「本物のソジー」であると納得させられてしまう。本物のアンフィトリオンは、アルクメーネーと再会するが、当然状況が呑み込めないので困惑し、さらに情事があったことを知ってショックを受けてしまう。他にも2人のアンフィトリオンの対立など、色々と同じような出来事が起きた後、ジュピターはアンフィトリオンの姿をとるのを止め、本物のアンフィトリオンに彼女の節操の硬さや献身的な姿勢のこと、すでに彼女が懐妊していることを伝える。それが半神半人のヘーラクレースである。ジュピターとマーキュリーは、天上の世界へと再び戻っていった。
アンフィトリオン (戯曲) 成立過程
序幕を含む4幕からなる作品で、ギリシャ神話の人物であるアムピトリュオーンを題材としたプラウトゥスの戯曲を参考としている。粉本となったのはジャン・ロトルーの「2人のソジー( Les Deux Sosies )」である。
本作の制作に当たって、おそらくラテン語の原文と、1658年に刊行されたプラウトゥスのフランス語訳を読み返したものと考えられる。さらにモリエールは、当時のありとあらゆる宮廷の情事について知っており、劇中の登場人物であるジュピターにルイ14世を、アンフィトリオンにモンテスパン侯爵夫人フランソワーズ・アテナイスを見立てて、その姦通行為を題材に取り上げた。この作品が公開された1668年はモンテスパン侯爵夫人がルイ14世の寵姫となったばかりのころであり、その不貞行為を諷刺しているわけである。第3幕第10景の「ジュピターと妻を共有するのは、決して不名誉なことではない」という台詞にそれが如実に表れている。モリエールがこの国王の不貞行為を知りながら、なぜそれを本作において肯定するような内容に仕上げたか、その理由はわからない。国王におもねる下劣な心からであると考える研究者もいるが、正反対の論陣を張る研究者もいて、特に決定的な資料はないので確実なことは何もわからない。。
アンフィトリオン (戯曲) 成立過程
1月13日にパレ・ロワイヤルで初演が行われ、相当な成功を収めた。初演の3日後、1月16日にテュイルリー宮殿の庭園にて御前公演が催された。モリエールの生存中に53回上演され、1715年までに363回上演されている。モリエールがソジーを演じたこと以外は、他の配役については記録が残っていない。
本作は、公開後フランスの宮廷人や上流階級の人間たちに大好評を博し、1668年の復活祭までに29回もの公演が行われた。その人気は、登場人物の名前がフランス語の単語として取り入れられたことからもわかるように、大変なものであった。「アンフィトリオン」という単語には、現在のフランス語において「主人,饗応役」という意味が、もう1つの登場人物の名前であり、初演の際、モリエールが演じた「ソジー (Sosie)」には「そっくりさん」という意味が与えられている。これは、メルクリウスのドッペルゲンガーとして、描かれたためである。
アンフィトリオン (戯曲) 解説
作中においてたびたび、2人のアンフィトリオンを前にして、そのどちらが本物かわからない、といったシーンが登場する。「見た目が同じなのはわかるが、それを飛び越えて、内面における違いは見破れない」という視覚への懐疑的な姿勢は、だまし絵が大変流行したバロック時代の感性と通じるものがある。このような描写は粉本となったロトルーの「2人のソジー」には見られず、モリエールの独断によるものである。モリエールのこうした姿勢は「ドン・ジュアン」や「タルチュフ」にもその主人公を通して描かれているが、本作がそれら2作と違うのは、ジュピターが何の罰も受けずに天上へ帰還している点にある。ドン・ジュアンやタルチュフのように奔放な行いをしても社会的地位が高ければ許される、というのは本作において新たに描かれた状況であるが、モリエールはこの描写によって、見事に国王を諷刺しているのである。
作中には荘重なアレクサンドランもあるが、6～10音節からなる軽快な詩句をも有している点で、形式上では極めて特殊な作品である。
河井重藏
河井 重藏（かわい じゅうぞう、1854年8月5日（安政元年7月12日） - 1925年（大正14年）1月26日）は、日本の政治家。河井 重蔵（かわい じゅうぞう）と表記されることもある。
静岡県会議員（2期）、衆議院議員（3期）などを歴任した。
河井重藏 来歴
1854年、遠江国佐野郡上張村にて生まれた。父である河井重高は上張村の庄屋であった。
静岡県会議員選挙に立候補し当選を果たし、2期に渡って務めた。在任中は、静岡県磐田郡佐久間村（のちの浜松市）にて発生した久根鉱山の鉱毒事件の解決に取り組んだ。この頃、足尾銅山にて同じく鉱毒事件の解決に取り組んでいた、政治家の田中正造と知り合う。1897年に足尾銅山を視察に訪れた際には、田中が案内役を買って出ている。また、河井が選挙に立候補した際に田中が応援に駆けつけるなど、親密な交友が続いた。また、静岡県佐野郡掛川町（のちの掛川市）への東海道本線の誘致運動を展開した。1901年から1902年にかけては、同じく憲政本党に所属していた衆議院議員の島田三郎らとともに、立憲政友会の政治腐敗を追及した。
その後、第7回衆議院議員総選挙に立候補し、当選を果たした。さらに、第9回衆議院議員総選挙においても当選を果たした。また、松浦五兵衛と沢田寧の退任にともない、1909年に衆議院議員に補欠当選するなど、3期に渡って務めた。これらの活動から「遠州の熱血児」などと呼ばれることもあった。
河井重藏 政策・主張
農政分野について積極的に取り組んでおり、地元の山林問題について取り組んだ。また、短冊状の苗代の問題点を指摘する「短冊苗代亡国論」を展開するなど、活発な主張を展開した。没後、食糧問題に関する政策は『食糧問題に對する卑見』として纏められ、息子の河井彌八により書籍化された。
静岡県佐野郡掛川町に鉄道を敷設するよう説き、東海道本線の誘致運動を展開した。また、産業の育成を図るため、掛川銀行の設立に尽力した。
地元である静岡県小笠郡南郷村（上張村が他村と合併して発足。のちの掛川市）の青少年に教育の機会を与えようと、尋常小学校の設立に奔走した。その結果、1901年4月に、南郷村立尋常小学校の開校に漕ぎ着けた。なお、このとき建設された校舎は、その後も南郷公民館や南郷地域生涯学習センターに転用されるなど、112年間に渡って使用し続けられた。この旧校舎は2013年1月に取り壊されることになり、入居していた南郷地域生涯学習センターは、河井の生家跡地に移転することになった。
静岡県磐田郡佐久間村にて発生した久根鉱毒事件に関心を持ち、その解決に奔走した。1897年には、久根鉱山での採掘を停止させるよう建議した。この建議を静岡県会に提出し、本会議にて採択させることに成功した。
河井重藏 人物
新聞を愛読しており、家族や近所の者にも回覧させていた。そのうえで、読み終わった新聞を、自宅の土蔵の中に保存していた。その結果、土蔵の中には、『静岡民友新聞』など明治年間から大正年間にかけての新聞が、多数蓄積されることになった。この新聞のコレクションは、1957年に河井家より静岡大学附属図書館に寄贈された。後年、静岡大学の春山俊夫の手により「河井家寄贈新聞目録」として整理、分類されている。
政治家の田中正造とは、同じ憲政本党に所属した政治家同士ており、両者とも鉱毒事件の対策に取り組んでいた。これらの経緯から交友が深く、書簡のやり取りなども行っていた。その一部は、歴史学者である由井正臣と小松裕が編纂した書簡集などにも収められている。一方、河井家にも、書簡など田中に纏わる文物が遺されていた。河井家から掛川市教育委員会に寄贈された資料を調査したところ、その中から田中の直筆とみられる書簡や絵が発見されている。
河井重藏 家族・親族
河井家は代々庄屋を務めていた家系であり、重藏は9代目の当主にあたる。もともと河井家は、寛永年間頃に遠江国佐野郡掛川宿に住んでいた三河屋徳兵衛を家祖としている。その後、2代を経て当主が三河屋弥八を名乗り、以降は歴代当主が「弥八」を襲名していた。掛川藩の御用達を務めるほどの繁栄を見せたが、文政年間に三度火事に罹災したことから、掛川宿の南に位置する上張村に邸宅を移すことにした。息子の河井彌八は、内務官僚を経て宮内省で皇后宮大夫や侍従次長を務め、のちに貴族院議員や参議院議長を務めた。
Dream Catcher
『Dream Catcher』（ドリーム・キャッチャー）は2015年1月14日に発売された浜田省吾の通算3枚目のEP盤（ミニアルバム）。
Dream Catcher 背景
2005年7月6日発売17枚目のアルバム『My First Love』以来、約10年ぶりとなる書き下ろし新曲「夢のつづき」を収録した全6曲入りのEP盤（ミニアルバム）で、1987年にリリースされた『CLUB SURFBOUND』以来28年ぶりとなる。
ライナーノーツは、大森寿美男が寄稿している。
Dream Catcher 音楽性
リードトラックである「夢のつづき」は、東映映画『アゲイン 28年目の甲子園』主題歌に起用され、浜田初の映画主題歌となった。
Dream Catcher リリース
2015年1月14日にSME Recordsのレーベルであるクリアウォーターから、限定1万枚の7インチ紙ジャケット仕様の完全生産限定盤と通常盤の2形態でリリースされた。
2021年6月23日に、『SHOGO HAMADA 45th Anniversary "DISCOGRAPHY COLLECTION"』シリーズとして再発された。
Dream Catcher チャート成績
2015年1月26日付のオリコン週間シングルランキングで2位にランクインした。
オリコン2015年上半期ランキング発表時点で、推定で57,446枚の売上げを記録した。
サン＝マルタン＝ヴァルムルー
サン＝マルタン＝ヴァルムルー （Saint-Martin-Valmeroux）は、フランス、オーヴェルニュ＝ローヌ＝アルプ地域圏、カンタル県のコミューン。
サン＝マルタン＝ヴァルムルー 地理
サン＝マルタン＝ヴァルムルーはマロンヌ谷の中にあるコミューンである。谷はマリー山の西側麓にあり、東西に向けて開いている。火山性の堆積物によって刻まれた谷である。火山砕屑岩が、サレール周囲の台地上で見られるように、時として特定の玄武岩の表面を削ったのである。
サン＝マルタン＝ヴァルムルーの家屋は玄武岩で建てられ、スレート屋根が葺かれている。
マロンヌ谷は大半が草原で覆われ、そこでは赤い角を持つ有名なサレール種のウシが草を食んでいる。村の南側にあるオズラルの森のように、急な斜面に森林がはりついている。
サン＝マルタン＝ヴァルムルーは、南のオーリヤックと北のモーリアックとを結ぶ県道38号線、西のサントゥラリーと東のフォンタンジュとを結ぶ県道37号線の交差点にあたる。
ナポレオンの土地台帳で示されているように、村はマロンヌ右岸に位置し、20世紀初頭から橋の対岸へ面積を拡張していった。
サン＝マルタン＝ヴァルムルー 人口統計
参照元:1999年までEHESS、2004年以降INSEE
モジュラー群
数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。
モジュラー群 定義
モジュラー群  は、ad − bc = 1 を満たす整数 a, b, c, dによって、
と表せる複素上半平面の一次分数変換の群である。群演算は写像の合成である。
この変換の群は、特殊射影線型群 PSL(2, Z) に同型である。PSL(2, Z)は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Z) をその群の中心 {I, −I} で割った商である。言い換えると、PSL(2, Z) は、
ad − bc = 1 を満たす整数a, b, c, dによって
と表される全ての行列で構成される。ただし、行列 A と -A は同一視する。群の演算は通常の行列の積である。
モジュラー群を PSL(2, Z) であると定義する著者がいる一方で、より大きな群である SL(2, Z) であると定義する者もいる。
数学的な関係より、+1または-1の行列式をもつ行列の群 GL(2, Z) を考えることを求めることもある。（ SL(2, Z) はこの群の部分群である。）同様に、PGL(2, Z) は商群 GL(2,Z)/{I, −I} である。単位行列式を持つ 2 × 2 行列は、シンプレクティック行列であるので、SL(2, Z) = Sp(2, Z) は 2 × 2 行列のなすシンプレクティック群である。
モジュラー群 数論的性質
の行列式が１であるということは、分数 a/b, a/c, c/d, b/d がすべて既約であること、つまり、共通因子を持たないこと（もちろん分母が 0 ではないという条件で）を意味する。もっと一般的には、p/q が既約分数であれば、
も既約となる（繰り返すが、分母は 0 ではないという条件で）。既約分数の任意のペアは、このように関連つけることができる。つまり、任意の既約分数のペア p/q と r/s に対して、
と
となるような
が存在する。
モジュラー群の元は、2次元の周期格子上の対称性をもたらす。 と  を 2つの比率が実数でないような 2つの複素数とすると、点の集合
は、平面上の平行四辺形の格子となる。異なるベクトルのペア  と  が全く同じ格子を生成することと、の行列を用いて
と書けることは等価である。このため、楕円函数のような二重周期函数(doubly periodic function)は、モジュラー群対称性を持つ。
モジュラー群 数論的性質
有理数に対するモジュラー群の作用は、格子点 (p, q) が分数 p/q を表している正方格子として可視化すると、最も容易に理解することができる（ユークリッドのオーチャード(Euclid's orchard)を参照のこと）。この格子においては、既約分数は原点から見ることのできる点である。分数上のモジュラー群の作用は、見ることのできる点を見ることができない（既約な）点へ変換することは決してないし、逆も成り立つ。
と  が 連続した２つの連分数の近似分数あれば、行列
は GL(2, Z) に属する。特に、a < b かつ c < d である正の整数 a, b, c, d に対し、bc − ad = 1 であれば、a/b と c/d は max(b, d) に対応するファレイ数列において隣接する。連分数の近似分数の特別に重要な例として、フィボナッチ数列とペル方程式の解がある。どちらの場合も、モジュラー群の半群を形成するように数列を並べることができる。
モジュラー群 群論的な性質
モジュラー群は、次の 2つの変換
により生成されると見ることができ、すべてのモジュラー群の元は、S と T の（一意ではない）合成により表すことができる。幾何学的には、S は単位円に関する反転をしてから虚軸に対して線対称の位置への移動を表し、T は右方向への１単位の移動を表す。
生成元 S と T は関係式 S2 = 1 と (ST)3 = 1 を満たす。 これらは関係式の完全な集合であることが示されており、よって、モジュラー群は次の表示(presentation)を取る。
この表示は、回転する三角形群(triangle group) (2,3,∞) （∞ は T 上の関係式が存在しない）としてモジュラー群を記述する。また、関係式 Tn = 1 を加えることにより、三角形群 (2,3,n) 全体の上へ写像する。たとえば、これは合同部分群 Γ(n) を発生させる。
モジュラー群 群論的な性質
生成元 S と ST を S と T の代わりに使うと、このことからモジュラー群は巡回群 C2 と C3 の自由積(free product)に同型である。すなわち、
ブレイド群 B3は、モジュラー群の中心拡大（central extension）である。即ち、の中心をにより表すとき以下の短完全列を満たす：
従ってである。
実際、ブレイド群の表示を
として、
と定義すると、a2 = b3となる。
一方モジュラー群は上述の通り表示
を有するので明らかにの準同型が存在し、その核はが生成するである。
c は、
よりB3 の中心に含まれることがわかるが、実は更にである。
モジュラー群 双曲幾何学との関係
モジュラー群は、双曲平面の等長(isometries)群の部分群をなすので、重要である。双曲平面の幾何学の上半平面モデル H を考えると、H のすべての向きを保つ(orientation-preserving)等長群は、a, b, c, d を普通の実数の代わりに整数とし、ad − bc = 1 とすると、
形のメビウス変換のすべてから構成される。また、これとは別に次の式に従う H 上の PSL(2, R) 群の作用でもある。
この（左-）作用は、忠実であり、PSL(2, Z) は PSL(2, R) の部分群であるので、モジュラー群は H の向きを保つ等長群の部分群である。
モジュラー群 Γ は H 上に PSL(2, R) の離散部分群(discrete subgroup)として作用する、つまり、H の各々の 元 z に対して、z の近傍をとり、z の軌道の他の元を含まないようにすることができる。このことはまた、基本領域を構成することができることを意味する。（大まかには、）基本領域は H の中のすべての z の軌道からちょうど一つずつの代表元を選ぶことで構成することができる。（領域の境界に注意が必要である。）
モジュラー群 双曲幾何学との関係
基本領域を構成する方法は多数あるが、すべてに共通なことは、領域
は、垂直線 Re(z) = 1/2 と Re(z) = −1/2 と円 |z| = 1 により囲まれていることであり、双曲三角形である。また、頂点 1/2 + i√3/2 と −1/2 + i√3/2 を持ち、辺どうしのなす角度が π/3 であり、三番目の頂点が無限点では、辺どうしのなす角度が 0 である。
この領域をモジュラー群の各々の元で変換すると、合同双曲三角形により双曲平面のタイリングが作られる。そのような三角形は無限点か、または実軸 Im(x) = 0 上のどちらかに一つの頂点を持つことに注意する。このタイリングはポアンカレ円板の拡張であり、そこではすべての双曲三角形が円板の境界に一つの頂点を持つ。ポアンカレ円板のタイリングは、モジュラー群の下に不変であるJ-不変量により自然な方法で与えられ、すべての複素数にこれらの領域の各々の三角形の中のひとつの点が与えられる。
モジュラー群 双曲幾何学との関係
このタイリングは、各々の領域を半分づつに分割（黒色と白色と塗り分けて）し、反対の向きを加えることで、少し改善することができる。(x, y) ↦ (−x, y) と変換し、領域 R (Re(z) ≥ 0) の右半分をとることは、通常のタイリングをとることである。まず、このタイリングは(Klein & 1878/79a),で提示され、このことはリヒャルト・デデキント(Richard Dedekind)による(Dedekind 1877) を参照した。
（モジュラー群から三角形群への）写像 (2, 3, ∞) → (2, 3, n) の群は、このタイリングのことばで（モジュラー曲線のタイリングである）右図のように可視化することができる。
モジュラー群 合同部分群
モジュラー群 Γ の重要な部分群には、合同部分群(congruence subgroup)と呼ばれる群があり、付帯する行列の上に合同関係式を導入することにより与えられる。
自然な準同型 SL(2, Z) → SL(2, Z/NZ) が各要素に対して modulo N をとることにより得られる。このことはモジュラー群の準同型 PSL(2, Z) → PSL(2, Z/NZ) を導く。この準同型の核は、レベル N の主合同部分群(principal congruence subgroup)と呼ばれ、Γ(N) と書く。次の短完全系列を得る。
.
準同型の核 Γ(N) はモジュラー群 Γ の正規部分群である。群 Γ(N) は、a ≡ d ≡ ±1 (mod N) であり b ≡ c ≡ 0 (mod N) であるすべてのモジュラー変換
の集合である。
レベル 2 の主合同部分群 Γ(2) はモジュラー群 Λと呼ばれる。PSL(2, Z/2Z) は対称群 S3 と同型であるので、Λ は指数 6 の部分群である。群 Λ は、a と d が奇数で、b と d が偶数であるすべてのモジュラー変換からなる。
モジュラー群 合同部分群
他の重要な合同部分群の族に、モジュラー群ガンマ0(modular group Γ0(N))が c ≡ 0 (mod N)、同じことであるが、N を modulo として上三角変換のすべてのモジュラー変換の集合として定義される。Γ(N) は Γ0(N) の部分群である。これらの群に付帯するモジュラー曲線は、モンストラス・ムーンシャインの一側面でもある。ある素数 p に対し、正規化されたモジュラー曲線の種数が 0 であることと、p がモンスター群の位数を割ることとは同値である。同じことであるが、p が超特異素数(supersingular prime)とは同値である。
モジュラー群 写像トーラス
群 GL(2, Z) は、標準格子 Z2 を保存する線形写像であり、SL(2, Z) はこの格子の向きを保存する写像である。これらは、（SL 写像は向きを保存する）トーラスの半同相(self-homeomorphism)となり、実際、トーラスの（拡張された）写像類群(mapping class group)に同型な写像は、トーラスのすべての半同相写像は、この形の写像と等方的(isotopic)となる。GL(2, Z) の元としての代数的性質はトーラスの誘導写像の力学と対応する。