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土岐隼一 出演
アンダーグラウンドシンフォニー
イケメン革命◆アリスと恋の魔法（ムース＝アトラス）
OCTOPATH TRAVELER
カルマオンライン -KARMA online-（テセール）
グリムノーツ Repage（エル）
シンエンレジスト（カデナ）
ゴッドイーター3（ジーク・ペニーウォート）
紡ロジック（宰司）
DREAM!ing（槙千鶴）
ピオフィオーレの晩鐘（レオ・カヴァニス）
2019年
SHOW BY ROCK!!（カナート）
眠りと境界のアルカナ（狐面の男，バクタ）
クイズRPG 魔法使いと黒猫のウィズ（2019年 - 2025年、ルタージュ、ヴィルジリオ）
乙女剣武蔵（勝海舟）
グリムエコーズ（エル）
なむあみだ仏っ!-蓮台 UTENA（摩虎羅大将、金剛華菩薩）
魔法使いの約束（ルチル）
刀剣乱舞-ONLINE-（松井江）
CARAVAN STORIES（ソロ）
神式一閃 カムライトライブ（クズリ）
2020年
土岐隼一 出演
星屑ヘリオグラフ（天地理音）
阿卡迪亞（維瓦爾第、高橋隼人）
戦国布武〜我が天下戦国編〜（伊達政宗）
DAIROKU: AYAKASHIMORI（八雲匡）
プロジェクトセカイ カラフルステージ! feat. 初音ミク（2020年 - 2025年、神代類）
神獄塔 メアリスケルターFinale（千昭）
ピオフィオーレの晩鐘 -Episodio1926-（レオ・カヴァニス）
ホーンテッド・オバケストラ Vol.1 Awaking（レインレイ）
2021年
土岐隼一 出演
幕末維新 天翔ける恋（沖田総司）
アイドルマスター ポップリンクス（都築圭）
WAVE!! 波乗りボーイズ（木戸ナオヤ）
Caligula2（マキナ）
サンクタス戦記-GYEE-（ゲーニー）
君は雪間に希う（比弥那、比弥衛）
共闘ことばRPG コトダマン（2021年 - 2023年、羽宮一虎）
LOST JUDGMENT 裁かれざる記憶（天沢研人）
キャプテン翼ZERO 〜決めろミラクルシュート〜（月居英志）
アイドルマスター SideM GROWING STARS（2021年 - 2023年、都築圭）
終遠のヴィルシュ -ErroR:salvation-（ダハト）
ラグナドール 妖しき皇帝と終焉の夜叉姫（木の葉天狗）
ウインドボーイズ（丸山小次郎）
アストリア アセンディング（アレック）
ウォッチドッグス レギオン（ジャクソン・ピアース）
機動戦士ガンダム 戦場の絆II（男性アバター1）
2022年
黒騎士と白の魔王（スサノオ）
センチメンタルフォトグラフィ（藍沢星）
テクノロイド UNISON HEART（ルゥマ）
ホーンテッド・オバケストラ Vol.2 Bianke（レインレイ）
eBASEBALLパワフルプロ野球2022（猪狩守）
神界奇伝〜八百万神の幻想譚〜（干將）
メイプルストーリー（ナイトロード〈男〉）
セブンナイツ2（ジェイブ）
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ミリオンダラーボーイズ（ムギ）
東京リベンジャーズ ぱずりべ！全国制覇への道（羽宮一虎）
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モンスターストライク（羽宮一虎）
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メビウス・コード（三条怜也）
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餓狼伝説 City of the Wolves（キム・ジェイフン）
9 R.I.P. sequel（伊音響）
紅の錬金術師と白の守護者 〜レスレリアーナのアトリエ〜（スレイ・クロスリッター）
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僕は君のいいなり（2017年 - 2018年、林）
僕は君のいいなり2
愛犬Honey 〜Amore〜（タロー）
2018年
願いを叶える流れ星 -Liam-（リアム）
キューピッドに落雷（2018年 - 2020年、輝人）
キューピッドに落雷 追撃
恋するサノバビッチ（波田）
私の知らない彼らのヒミツ3（森下勇司）
2019年
ハローモーニングスター（宗一郎）
めぐみとつぐみ（2019年 - 2021年、真木スバル）
めぐみとつぐみ2
とろけて開いて（泉）
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2021年
こころ-わたしの恋- BL版ドラマCD（私）
有休オメガ（桐生明良）
ナカまであいして（2021年 - 2023年、楪郁巳）
ナカまであいして ※2巻アニメイト限定版ドラマCD付
ナカまであいして2
ナカまであいして3
あなたのアナは僕のもの（小間井）
2022年
プリフェクトの箱庭3（東院月人）※コミックスドラマCD付き特装版
鬼上司・獄寺さんは暴かれたい。2（2022年－2024年、獄寺亜武）
鬼上司・獄寺さんは暴かれたい。3
鬼上司・獄寺さんは暴かれたい。4
セックスセールスドライバー（恋ヶ谷一心）
愛の夜明けを待て!（黄辺髙也）
会長、イイコはもう終わり（朝日 慧）
2023年
おやすみ、いとしい小鳥さま（ライ）
エンゲージ1（鈴森盟）
かわにさざなみ（2023年－2024年、宇田川香）
かわにさざなみ 3巻ミニドラマCD付
かわにさざなみ やまない愛編
かわにさざなみ 4巻ミニドラマCD付
君、シヲレルコト勿レ 初回限定盤（吉良薫）
幕が下りたら僕らは番（瀬兎真啓）
フィルイン・カラー（御子柴優十）
2024年
君の夜に触れる(御緑佳澄)
つよがりオメガは僕らの番 1 （高雛なつお）
溺愛スリーピングボイス（榛名慧）
アフター・ミッドナイト・スキン 1（2024年－2025年虎谷光平）
アフター・ミッドナイト・スキン 2
ヤンキーはなちゃんの猫かわいがり彼氏（三嶋渉）
フロウフルレメディ 上（羽柴蓮司）
フロウフルレメディ 下
二人でパパはじめました（青山倖久）
2025年
可哀想な君は僕だけの甘やかな傷（冴木密里）
※はインターネット配信。
※はインターネット配信。
ヨハン・ゴットフリート・シヒト
ヨハン・ゴットフリート・シヒト（Johann Gottfried Schicht, 1753年9月29日 - 1823年2月16日）は、ドイツの作曲家、カペルマイスター、トーマスカントル。
ヨハン・ゴットフリート・シヒト 生涯
シヒトはザクセン選帝侯領のライヒェナウ（現ポーランド、ボガティニャ）に生まれた。1776年からライプツィヒで法学を学ぶ。シヒトはヨハン・アダム・ヒラーが催す演奏会で伴奏者、ヴァイオリニストを務め、その後ライプツィヒ・ゲヴァントハウス管弦楽団でも働くようになる。1785年にはヒラーの後任としてゲヴァントハウス管弦楽団を任された。翌年、コンスタンツァ・アレッサンドラ・オクタフィア・ファルデシュトゥリア（Constanza Alessandra Oktavia Valdesturia）と結婚するものの、彼女は3年後にこの世を去ってしまう。2人の間に生まれた4人の子供のうち、ヘンリエッテ・ヴィルヘルミネを除く3人は幼いうちに死亡している。シヒトはノイキルヒェの音楽監督だった他、1802年には共同でライプツィヒ・ジングアカデミーを創設して首席指揮者に就任した。
シヒトはライプツィヒ・ゲヴァントハウス管弦楽団の楽長職に1810年まで留まった。それ以降、1823年にライプツィヒで没するまでトーマスカントルを務めた。門下からはカール・ゴットリープ・ヘリングなどが輩出している。
ヨハン・ゴットフリート・シヒト 作品
最も重要な作品は、1819年の大合唱曲集であると考えられている。シヒトはそれ以外にミサ曲、モテット、カンタータ、詩篇100篇、4つのテ・デウム、ピアノ協奏曲を1曲、ソナタ、カプリッチョなどを作曲している。
平方因子をもたない整数
数学において、無平方数（むへいほうすう、英: square-free integer）または平方因子を持たない整数 (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち 1 より大きい完全平方で割り切れないような整数（通例として正の整数）をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は無平方 (square-free, quadratfrei) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9 = 32 で割り切れるので無平方数でない。無平方な正整数は小さい順に
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005117）
平方因子をもたない整数 性質
任意の正整数 n は、互いに素である多冪数 a と無平方数 b の積で一意的に表すことができる。実際
と素因数分解したとき、b は  となるような素数  すべての積である。
任意の正整数 n は、また正整数 m と無平方数 k によって
の形に一意的に表せる。実際上記の素因数分解に対して、 とおくと
である。つまり k は  が奇数となるような素数  すべての積（下記の）である。
平方因子をもたない整数 同値な特徴づけ
正整数 n が無平方であることと、n の素因数分解においてどの素数も 1 回よりも多く現れることがないことは同値である。別の言い方をすれば、n の各素因数 p に対して、素数 p は  n / p を割らない。また別の言い方をすれば、n が無平方であることと、すべての分解 n = ab に対して因数 a と b が互いに素であることは同値である。この定義から直ちに、任意の素数は無平方である。
正整数 n が無平方であることと、μ(n) ≠ 0 は同値である。ただし μ はメビウス関数を表す。
正整数 n が無平方であることと、 n を正整数 m と無平方数 k によって
の形に表したとき  となることは同値である。このこととメビウス関数の性質から、正整数 n が無平方であることと
は同値である。この和は  に一致するからである。
平方因子をもたない整数 同値な特徴づけ
正整数 n が無平方であることと、位数 n のすべてのアーベル群が同型であることは同値であり、それらがすべて巡回群であることとも同値である。このことは有限生成アーベル群の分類から従う。
正整数 n が無平方であることと、剰余環 Z/nZ （合同算術を参照）が体の積であることは同値である。このことは中国の剰余定理と Z/kZ の形の環が体であることと k が素数であることが同値であることから従う。
すべての正整数 n に対して、n のすべての正の約数からなる集合は、整除性で順序を入れることによって半順序集合になる。この半順序集合はつねに分配束である。それがブール代数であることと n が無平方であることは同値である。
整数の根基は常に無平方である。整数が自身の根基に等しければ無平方である。
平方因子をもたない整数 ディリクレ母関数
無平方数のディリクレ母関数は
（ここで ζ(s) はリーマンゼータ関数）で与えられる。このことはオイラー積
から容易に確かめられる。
平方因子をもたない整数 分布
Q(x) を x を超えない無平方数の個数とする。大きい n に対して、n より小さい正の整数の 3/4 は 4 で割り切れない、8/9 は 9 で割り切れない、など。これらの事象は独立であるから、次の近似を得る。
この議論は厳密に行うことができる。非常に初等的な評価によって
（円周率とランダウの記号を参照）が得られる。というのは上記の特徴づけ (*) から
となるが、最後に現れる和の中の項は  のとき 0 になるから
となるからである。
Ivan Matveyevich Vinogradov、M.N. Korobov、Hans-Egon Richert によるリーマンゼータ関数の最大の知られている零点のない領域を利用することによって、誤差項の最大サイズは Arnold Walfiszによって減らされていて、ある正の定数 c に対して
である。リーマン予想を仮定すれば誤差項はさらに減らせて、
n 以下の無平方数の個数と round(n/ζ(2)) のレースを A158819 で参照。
したがって無平方数の漸近密度あるいは自然密度は
ただし ζ はリーマンゼータ関数であり 1/ζ(2) は約 0.6079 である（整数の 3/5 以上は無平方である）。
平方因子をもたない整数 分布
同様に、Q(x,n) で 1 から x までの n-free な整数（例えば 3-free な整数とは無立方 (cube-free) な整数のこと）の個数を表せば、以下を示すことができる。
4 の倍数は平方因子 4 = 22 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
（ C は定数）
となるが、これは上記の漸近密度と矛盾するからである。
また、平方因子をもつ、任意の長さの連続した整数が存在する。というのは  を相異なる素数とし n を連立合同式
の解とすると  はそれぞれ pi 2 で割り切れるからである。しかし、
よりある定数 c に対して x と  の間には必ず無平方数が存在することが分かる。さらに、初等的な議論によりある定数 c に対して x と  の間には必ず無平方数が存在することが知られている。一方、ABC予想を仮定すれば任意の ε > 0 に対し、十分大きな x と  の間には必ず無平方数が存在する。
平方因子をもたない整数 二進数としてエンコード
無平方数を無限積
として表現すれば、それらの  をとってそれらを二進数のビットとして使うことができる。すなわち
例えば、無平方数 42 は分解 2 × 3 × 7 をもち、無限積として表すと 21 · 31  · 50 · 71 · 110 · 130 · ...。したがって数 42 は二進列 ...001011 あるいは十進で11としてエンコードできる（二進数の桁は無限積の順番から逆になっていることに注意）。
すべての数の素因数分解は一意なので、無平方数のすべての二進エンコーディングも一意である。
逆もまた正しい。すべての正の整数は一意的な二進表現をもつので、このエンコーディングを逆にして一意的な無平方数にデコードすることができる。
再び例えば数 42 で、今回は単に正の整数として、始めれば、その二進表現は 101010 である。これをデコードすると20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273。
したがって無平方数を順番にエンコードするとすべての整数の集合の置換になる。
OEIS の A019565, A048672, A064273 を参照。
平方因子をもたない整数 エルデシュの無平方予想
ポール・エルデシュは、中心二項係数
が n > 4 に対して無平方でないと予想した。このことは1985年に András Sárközy によって十分大きいすべての整数に対して証明され、1996年にオリヴィエ・ラマレと Andrew Granville によってすべての整数に対して証明された。
平方因子をもたない整数 無平方核
乗法的関数  は、素数の指数を t を法として見ることによって、正整数 n を t-free な数に写すことで定義される。
とくに、 の値域の集合は無平方数全体である。それらのディリクレの生成関数は
である。OEIS では例えば A007913 (t=2), A050985 (t=3), A053165 (t=4)。
正則環
可換環論において、正則環 (regular ring) は可換ネーター環であって任意の素イデアルにおける局所化が正則局所環であるようなものである。つまり、すべてのそのような局所化は、その極大イデアルの生成元の最小個数がクルル次元と等しいという性質をもつ。
Jean-Pierre Serre は正則環を大域ホモロジー次元が有限の可換ネーター環として定義し、これは上記の定義と同値であることを示す。正則環のクルル次元は大域ホモロジー次元と一致する。
正則環の例は（次元0である）体やデデキント整域を含む。A が正則であれば A[X] も正則であり、次元が1だけ増える。
正則環は被約であるが整域である必要はない。例えば、2つの正則整域の積は正則だが整域でない。
正則環 非可換環
可換とは限らない環は、大域次元が有限で、polynomial growth をもっていて（GK次元が有限で）、ゴレンシュタイン環であるときに、正則と呼ばれる。
楕円代数 も参照のこと。
コーエン・マコーレー環
数学において、コーエン・マコーレー環 (英: Cohen–Macaulay ring, CM ring) は局所等次元性のような非特異多様体の代数幾何的な性質のいくつかをもった可換環のタイプである。
名称は純性定理を多項式環に対して証明したMacaulay (1916)と、純性定理を形式的冪級数環に対して証明したCohen (1946)による。すべての Cohen–Macaulay 環は純性定理が成り立つ。
可換ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環
コーエン・マコーレー環 定義
R を可換ネーター環とする。以下ではBruns & Herzog (1998)に従って定義を述べる。
局所環の場合
R がさらに局所環であるとする。有限生成 R-加群 M ≠ 0 が dimM = depthM を満たすとき、M はコーエン・マコーレー加群であるという。さらに dimM = dimR が成り立つとき、M は極大コーエン・マコーレー加群であるという。また正則加群 R がコーエン・マコーレー加群のとき、R はコーエン・マコーレー環であるという。
一般の場合
R-加群 M はすべての極大イデアル m ∈ SuppM に対して局所化 Mm がコーエン・マコーレー加群のとき、M はコーエン・マコーレー加群であるという。さらに極大イデアル m ∈ SuppM に対して Mm が極大コーエン・マコーレー加群のとき、M は極大コーエン・マコーレー加群であるという。また正則加群 R がコーエン・マコーレー加群のとき、R はコーエン・マコーレー環であるという。
コーエン・マコーレー環 例
以下の環は Cohen–Macaulay である。
有理特異性は Cohen–Macaulay だが Gorenstein とは限らない。
コーエン・マコーレー環 条件の帰結
Cohen–Macaulay の条件の1つの意味は coherent duality theory において見られる。ここで条件はアプリオリ に導来圏にある dualizing object がただ1つの加群（連接層）によって表現されるケースに対応する。するとより良い Gorenstein の条件は射影的なこの加群（可逆層）によって表現される。非特異性（正則性）はなお強い条件である。これは幾何学的な対象のある点における滑らかさの概念に対応する。したがって、幾何学的な意味で、Gorenstein と Cohen–Macaulay の概念は滑らかな点よりも広い範囲の点、滑らかとは限らないが多くの意味で滑らかな点のように振る舞う点、を捕らえる。
コーエン・マコーレー環 純性定理
ネーター環 A のイデアル I は、A/I の任意の素因子 P に対して ht(I) = ht(P) であるときに純 (unmixed) と呼ばれる。環 A に対して純性定理 (unmixedness theorem) が成り立つとは、イデアル I であって ht(I) 個の元で生成されるものがすべて純であることをいう。ネーター環が Cohen–Macaulay であることと純性定理が成り立つことは同値である。
ゴレンシュタイン環
可換環論において、Gorenstein 局所環 (Gorenstein local ring) はネーター可換局所環 R であって、R-加群として有限の移入次元をもつものである。同値な条件がたくさんあり、そのうちのいくつかは以下にリストされるが、多くはある種の双対の条件を扱う。
Gorenstein 環は Grothendieck によって導入され、彼が名前を付けたが、その理由は Gorenstein (1952) によって研究された特異平面曲線の双対の性質との関係である（Gorenstein は Gorenstein 環の定義を理解していないと主張することを好んだ）。0次元のケースは Macaulay (1934) によって研究されていた。Serre (1961) と Bass (1963) は Gorenstein 環の概念を公表した。
0次元 Gorenstein 環の非可換環における類似はフロベニウス環と呼ばれる。
ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環
ゴレンシュタイン環 定義
Gorenstein 環 は可換環であって素イデアルにおける各局所化が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環の特別な場合である。
古典的な定義は：
局所コーエン・マコーレー環 R は既約イデアルを生成する極大イデアルにおいて極大R-正則列が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。
クルル次元 n のネーター可換局所環  に対して、以下は同値である。
（可換とは限らない）環 R は左 R-加群としても右 R-加群としても R の入射次元が有限なときに Gorenstein と呼ばれる。R が局所環であれば、R を局所 Gorenstein 環という。
ゴレンシュタイン環 性質
ネーター可換局所環が Gorenstein であることとその完備化が Gorenstein であることは同値である。
次数付き Gorenstein 環 R の 正準加群 は R を何次かずらしたものに同型である。
剰余加群
抽象代数学において、加群と部分加群が与えられると、それらの剰余加群、商加群 (quotient module) を構成することができる。この構成は、以下で書かれるが、整数を整数 n を法として環を得る方法の類似である。合同式を見よ。剰余群や剰余環に用いられるのと同じ構成である。
環 R 上の加群 A と A の部分加群 B が与えられると、商空間 A/B は次の同値関係によって定義される。A の任意の元 a と b に対して
a ~ b ⇔ b − a は B の元。
A/B の元は同値類 [a] = { a + b : b ∈ B } である。
A/B の加法の演算 は2つの同値類に対してこれらの類の2つの代表元の和の同値類として定義される。R の元による積についても同様である。このようにして A/B はそれ自身 R 上の加群となり、商加群 や 剰余加群 (quotient module) と呼ばれる。記号で書けば、すべての a, b ∈ A と r ∈ R に対して [a] + [b] = [a+b], r·[a] = [r·a] である。
剰余加群 例
実数の環 R と R-加群 A = R[X]、実係数の多項式環を考えよう。A の部分加群
B = (X2 + 1) R[X]
つまり、X2+1 で割り切れるすべての多項式からなる部分加群を考えよう。この加群によって決定される同値関係は
P(X) ~ Q(X) ⇔ P(X) と Q(X) は X2 + 1 で割ったときに余りが同じになる
であることが従う。それゆえ、剰余加群 A/B において、X2 + 1 は 0 と同じである。なので A/B を R[X] から X2 + 1 = 0 とすることによって得られると考えることができる。この剰余加群は複素数全体と、R上の加群として同型である。
既約イデアル
数学において、可換環のイデアルはより大きい2つのイデアルの共通部分として書けないときに、既約 (irreducible) という。
すべての素イデアルは既約である。ネーター環のすべての既約イデアルは準素イデアルであり、したがってネーター環に対して既約分解は準素分解である。主イデアル整域のすべての準素イデアルは既約イデアルである。すべての既約イデアルは primal イデアルである。
整域の元が素元であることとそれで生成されるイデアルが0でない素イデアルであることは同値である。これは既約イデアルに対しては正しくない。つまり、既約イデアルは既約元でない元によって生成されることがある。例えば、 のイデアル は2つの真に大きいイデアルの共通部分ではない。
環 A のイデアル I が既約であるのはそれが定義する代数的集合がザリスキ位相で既約である（つまり任意の空でない開部分集合が稠密である）ときに限る。あるいは同じことだが、I を含む素イデアルからなる Spec A の閉空間がスペクトル位相について既約であるときに限る。逆は正しくない。例えば1つ目と2つ目の順番の消える項をもつ二変数多項式のイデアルは既約でない。
k が代数的閉体であれば、k 上の多項式環の既約イデアルの根基を選ぶことはそのNullstelleからなるアフィン多様体のアフィン空間への埋め込みを選ぶことと同じである。
可縮空間
数学において、位相空間 X は次のようなとき可縮 (contractible) である。X 上の恒等写像が0にホモトープ、すなわち、ある定値写像にホモトープである。直感的には、可縮空間は連続的に一点に縮められるような空間である。
可縮空間はちょうど点のホモトピー型の空間である。可縮空間のすべてのホモトピー群は自明であることが従う。それゆえ非自明なホモトピー群をもつ任意の空間は可縮ではありえない。同様に、特異ホモロジーはホモトピー不変であるから、可縮空間の被約ホモロジー群はすべて自明である。
位相空間 X に対して以下は全て同値である（ここで Y は任意の位相空間である）
空間 X 上の錐は常に可縮である。したがって任意の空間は可縮空間に埋め込むことができる。（このことはまた可縮空間の部分空間が可縮とは限らないことも示している。）
さらに、X が可縮であることと、X の錐から X へのレトラクションが存在することは同値である。
すべての可縮空間は弧状連結かつ単連結である。さらに、全ての高次ホモトピー群は消えるから、全ての可縮空間は全ての n ≥ 0 に対して n連結 である。
可縮空間 局所可縮空間
位相空間が局所可縮 (locally contractible) とは、すべての点が可縮近傍からなる局所基をもつときにいう。可縮空間が局所可縮とは限らないし、逆も同様である。例えば、櫛空間は可縮だが局所可縮ではない（仮にそうだとしたら局所連結になるがそうではない）。局所可縮空間はすべての n ≥ 0 に対して局所 n-連結である。とくに、それらは局所単連結、局所弧状連結、そして局所連結である。
Tor関手
ホモロジー代数において、Tor 関手 (英: Tor functor, torsion functor) はテンソル積の関手の導来関手である。それらは最初一般に代数トポロジーにおいてKünnethの定理と普遍係数定理を表現するために定義された。
特に R を環とし、R-Mod で左 R-加群の圏を、Mod-R で右 R-加群の圏を表す。R-Mod の加群 B をひとつ選んで固定する。Mod-R の対象 A に対し、T(A) = A⊗RB とおく。すると T は Mod-R からアーベル群の圏 Ab への右完全関手である。そして、その左導来関手 LnT が定義される。
とおく。すなわち、射影分解
をとり A の項を取り除き射影分解に B をテンソルして複体
を得る。そしてこの複体のホモロジーをとる。
Tor関手 性質
であり、ここから用語 Tor (すなわち Torsion) が来ている。捩れ部分群参照。
すべての n ≥ 2 に対して、TorZn(A, B) = 0 である。理由：自由アーベル群の部分群は自由アーベル群なので、すべてのアーベル群 A は長さ1の自由分解をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、n ≥ 2 の Tor 関手は消える。さらに、 f : A → A で"k 倍写像"を表すと TorZ1(Z/kZ, A) = Ker(f) である。
Horseshoe lemma
ホモロジー代数において、horseshoe lemma は、simultaneous resolution theorem と呼ばれることもあるが、2つの対象  と  の分解を  の  による拡張の分解に関係づけるステートメントである。それは次のようなものである。対象  が の  による拡張であれば、 の分解は、分解の n 番目の項が  と  の分解における n 番目の項の余積に等しいように帰納的に構成することができる。補題の名前は補題の仮定を描く図式の形に由来する。
Horseshoe lemma 正式なステートメント
を 十分な射影をもったアーベル圏とする。
が  における図式であって列が完全で行がそれぞれ  と  の射影分解であれば、可換図式
にすることができる。ただしすべての列は完全で、真ん中の行は  の射影分解で、すべての n に対して  である。 が十分な入射をもったアーベル圏であれば、双対命題もまた成り立つ。
補題は帰納的に証明できる。帰納法の各段階で、射影対象の性質が  の射影分解の写像を定義するのに使われる。するとスネークレンマの助けを借りてこのように構成された分解の行が完全であることが示される。
完全環
環論という抽象代数学の分野において、左完全環 (left perfect ring) はすべての左加群が射影被覆をもつような環のことである。右完全環も同様に定義される。条件は左右対称でない、つまり、一方の側で完全だがもう一方では完全でないような環が存在する。完全環は (Bass 1960) で導入された。
半完全環 (semiperfect ring) はすべての有限生成左加群が射影被覆をもつような環である。この性質は左右対称的である。
完全環 完全環
左完全環 R の以下の同値な定義は (Anderson,Fuller & 1992, p.315) にある。
N×N で添え字づけられた成分をもつ無限次行列であって対角線より上には有限個しか零でないようなものがないもの全体の集合をとり、この集合を J と表記する。また、対角線上にすべて 1 が並んだ行列  をとり、集合
を作る。R は単位元をもつ環であり、そのジャコブソン根基は J であることを示すことができる。さらに、R/J は体なので、R は局所環であり、R は右完全だが左完全ではない。 (Lam 2001, pp. 345–346)
左完全環 R に対して
完全環 半完全環
R を環とする。このとき R は以下の同値な条件のうちいずれでもが成り立てば半完全である。
半完全環の例は以下を含む。
環 R が半完全であることとすべての単純左R-加群が射影被覆をもつことは同値なので、半完全環に森田同値なすべての環はまた半完全である。
ヘンゼル環
ヘンゼル環 (ヘンゼルかん、Henselian ring あるいは Hensel ring) は、数学においてヘンゼルの補題が成り立つような局所環である。それらはAzumaya (1951) によって導入され、Kurt Hensel にちなんで名づけた。東屋はもともとヘンゼル環に非可換環を許したが、たいていの著者は今では可換環に制限している。
ヘンゼル環のいくつかの標準的な参考文献は (Nagata 1962, Chapter VII), (Raynaud 1970), そして (Grothendieck 1967, Chapter 18) である。
ヘンゼル環 定義
非可換ヘンゼル環の理論もあるが、この記事では環は可換と仮定する。
極大イデアル m をもつ局所環 R はヘンゼルの補題が成り立つときにヘンゼル (Henselian) と呼ばれる。これが意味するのは、P が R[x] の単多項式であれば、(R/m)[x] における P の像の互いに素な単多項式の積への任意の分解が R[x] における分解に持ち上げられる。
局所環がヘンゼルであることとすべての有限環拡大が局所環の積であることは同値である。
ヘンゼル局所環は剰余体が分離的閉であるときに strictly Henselian と呼ばれる。
付値をもった体はその付値環がヘンゼルであるときにヘンゼルという。
環は有限個のヘンゼル局所環の直積であるときにヘンゼルと呼ばれる。
ヘンゼル環 代数幾何におけるヘンゼル環
ヘンゼル環はNisneivich位相に関して「点」の局所環であり、そのためこれらの環のスペクトルは Nisnevich 位相に関して非自明な連結被覆をもたない。同様に strict Henselian rings はエタール位相において幾何的な点の局所環である。
ヘンゼル環 ヘンゼル化
任意の局所環 A に対して、A からヘンゼル環への任意の局所射が B に一意に拡張できるような、A によって生成される普遍的なヘンゼル環 B が存在する。これを A のヘンゼル化 (Henselization) といい、Nagata (1953) によって導入された。A のヘンゼル化は一意的な同型を除いて一意的である。A のヘンゼル化は A の完備化の代数的な代用物である。A のヘンゼル化は A と同じ完備化と剰余体をもち、A 上平坦加群である。A がネーター、被約、正規、正則、あるいは優秀であれば、そのヘンゼル化もそうである。
同様に、A によって生成される強ヘンゼル環も存在し、A の強ヘンゼル化 (strict Henselization) と呼ばれる。強ヘンゼル化は完全には普遍的でない。それは一意的だが、一意的でない同型を除いてなのである。より正確には、それは A の剰余体の分離代数閉包の取り方に依存し、この分離代数閉包の自己同型は対応する強ヘンゼル化の自己同型に対応する。
ヘンゼル環 ヘンゼル化
例。多項式環 k[x,y,...] の、点 (0,0,...) で局所化されるヘンゼル化は代数的形式的冪級数（代数方程式を満たす形式的冪級数）の環である。これは完備化の「代数的な」部分と考えることができる。
例。p進数体の強ヘンゼル化は p と素な位数の1のすべての冪根によって生成される極大不分岐拡大によって与えられる。それは非自明な自己同型をもつので「普遍的」ではない。
分離多項式
数学において、与えられた体 K 上の多項式 P(X) が分離的 (separable) であるとは、K の代数的閉包においてその根が相異なる、つまり、重複を考えない根の個数が多項式の次数に等しいことをいう。
この概念は平方因子をもたない多項式と密接に関係している。K が完全体であれば2つの概念は一致する。一般に、P(X) が分離的であることと、K を含む任意の体上で平方因子をもたないことは同値であり、これは P(X) がその形式微分 P '(X) と互いに素なとき、かつそのときに限り成り立つ。
分離多項式 以前の定義
昔の定義では、P(X) は K[X] におけるその既約因子の各々が現代の定義で分離的であるときに、分離的と考えられていた。例えば、有理数係数の多項式 (X − 1)2 はこの意味で分離的である。この定義では、分離性は体 K に依存した。例えば、完全体上の任意の多項式は分離的と考えられていた。例えば、有限体上の一変数有理関数体 Fp(t) 上の多項式 Xp − t は、Fp(t) の代数的閉包上 (X − t1/p)p と分解するので、Fp(t) 上では分離的でないが、代数閉包上では分離的であるということになってしまう。（任意の代数閉体は定義によって完全体である。）
この定義は、ガロワ理論には便利かもしれないが、もはや使われていない。
分離多項式 分離体拡大
分離多項式は分離拡大を定義するのに使われる。体拡大 K ⊂ L が分離拡大であるとは、K 上代数的なすべての α ∈ L に対して、α の K 上の最小多項式が分離多項式であるときにいう。
非分離拡大（分離的でない拡大）は正標数においてのみ起こり得る。
上記の判定法から P が既約であって分離的でなければ、P '(X) = 0 であるという結論をすぐに得る。したがって
P(X) = Q(Xp)
でなければならない。Q は K 上の多項式で、素数 p は標数である。
この手がかりを使って例を構成することができる。
P(X) = Xp − T
p 個の元をもつ有限体上の、不定元 T の有理関数体 K 上の多項式。ここで P(X) が既約で分離的でないことを直接証明できる。これは実はなぜ非分離性が問題になるかの典型的な例である。幾何学的に言えば P は座標を p 乗に写す有限体上の射影直線上の写像を表す。そのような写像は有限体上の代数幾何学において基本的である。別の言い方をすれば、その設定においてガロワ理論では'見る'ことのできない被覆が存在する。（よりレベルの高い議論は radical morphism を見よ。）
分離多項式 分離体拡大
L が体拡大
K(T1/p),
であれば、言い換えるとP の分解体であれば、L/K は純非分離体拡大の例である。それは次数 p だが、K を固定する自己同型を恒等写像の他にもたない。なぜならば T1/p は P の唯一の根だからである。このことはガロワ理論がここで使えなくなることを直接示している。そのような拡大のない体は完全と呼ばれる。有限体が完全であることはアポステリオリにそれらの知られている構造から従う。
この例に対して体のテンソル積 L ⊗K L は 0 でない冪零元をもつことを証明できる。これは非分離性の別の表現である。つまり、体上のテンソル積の演算は体の直積である環を生み出す必要はない（なので可換半単純環でない）。L/K が分離拡大であることと L ⊗K L が被約であることは同値である。
P(x) が分離的であり、その根が群（体 K の部分加法群）をなせば、P(x) は加法的多項式である。
分離多項式 ガロワ理論における応用
分離多項式はガロワ理論において頻繁に現れる。
例えば、P を整数係数の既約多項式として p を P の leading 係数を割らない素数とする。Q を、P の係数を法 p で還元して得られる、p 個の元をもつ有限体上の多項式とする。このとき、Q が分離的であれば（これは有限個を除くすべての p でそうだが）、Q の既約因子の次数は P のガロワ群のある置換のサイクルの長さである。.
他の例。P を上記のとおりとして、群 G の レゾルベント (resolvent) R は係数が P の係数における多項式であるような多項式であり、P のガロワ群についての情報をいくつか提供してくれる。具体的には、R が分離的で有理根をもてば、P のガロワ群は G に含まれる。例えば、D が P の判別式であれば、X2 − D が交代群のレゾルベントである。このレゾルベントは P が既約であればつねに分離的（標数は2でないと仮定する）であるが、たいていのレゾルベントはつねに分離的というわけではない。
反転環
代数学において、環の逆、逆転、反対あるいは反転 (opposite) は同じ元と同じ加法演算をもつ環であって、積が逆順で行われるものである。
より正確には、環 (R, +, ·) の反転は環 (R, +, *) であって、積 '*' が a * b = b · a によって定義される。（環の加法は定義から常に可換である。）
反転環 性質
環 (R, +, · ) が可換であることとその反転環が可換であることは同値である。2つの環 R1 と R2 が同型であれば、対応する反転環も同型である。環の反転の反転はもとの環と同型である。環とその反転環は逆同型 (anti-isomorphic; 反同型) である。
可換環はつねにその反転環と等しい。非可換環はその反転環と同型かもしれないし同型でないかもしれない。
女房学校批判
『女房学校批判』（仏語原題： La Critique de l'École des femmes ）は、モリエールの戯曲。1663年発表。パレ・ロワイヤルにて同年6月1日初演。モリエールの演劇に対する考えが明瞭に表現されているだけでなく、彼の今後の進路を決定づけた作品であり、彼の作品の中でも特に重要な意味を持つ。モリエールが「対話の形式で書いた論説」と呼ぶように、劇としての動きはほぼない。
女房学校批判 あらすじ
舞台はパリ。ユラニーの家から。
ユラニーとエリーズの会話から始まる。エリーズは馬鹿げた駄洒落が大好きな侯爵や、才女気取りのクリメーヌが大嫌いで、厳しい批評を加えていた。そこへクリメーヌがやってきた。ふらふらと気分を悪そうにしているので、ユラニーが理由を尋ねたところ「パレ・ロワイヤルで『女房学校』などという狂言を見てしまった」のでこうなったのだと言う。ユラニーとエリーズは『女房学校』を高く評価していたため、クリメーヌとの議論が始まった。クリメーヌは登場人物の台詞を言葉通りに受け取ろうとせず、裏に隠された意図を読み取ろうと的外れな勘繰りばかりしているため、ユラニーは「見せてくれる通りに見ればよいのであって、存在しない物(台詞の裏に隠された意図など)を見ようとしてもしょうがない」と諭すのであった。ところがエリーズがクリメーヌの意見に賛同して、批判派に回ってしまった。
女房学校批判 あらすじ
そこへ『女房学校』批判派の侯爵と、擁護派のドラントがやってきた。侯爵は「平土間の観客たちが大笑いしていたことが、『女房学校』が駄作であることのこれ以上ない証拠」であるという。ドラントは「平土間の観客こそ、偏見を持たずに観劇できる常識ある連中である」と反駁、さらに「高い身分の者が、何も判らないくせに批判、批評するなど、滑稽な真似をするのは今すぐ止めるべきだ」と主張し、『女房学校』に的外れな批判を加える人々を散々に扱き下ろした。そこへリジダスがやってきた。リジダスは「『女房学校』のような下らない作品に観客が押し掛け、堂々たる傑作にまるっきり人が入らないのは、情けなく、フランスの恥である」とまで言い切る。だがドラントとユラニーは「悲劇よりも喜劇のほうが上手く書くのは難しい」とし、「宮中にいる良識と才智を持った人々が『女房学校』を高く評価している以上は、素晴らしい作品」なのだと反論した。リジダスは「演劇理論を遵守していないこと」を『女房学校』の欠点として挙げたが、「理論に従っている戯曲がつまらなくて、従っていない戯曲が面白いとなると、それは理論が間違っているということだ」とドラントに反論されてしまう。それでもなおリジダスは引き下がらず、他の欠点を挙げ、ドラントの解答を求めた。ドラントは逐一解答していったが、批判派はそれでも納得せず、議論は行き詰った。そこへガロパンが食事を持ってやってきた。擁護派、批判派ともに仲良く食卓に着く。幕切れ。
女房学校批判 成立過程
1662年に公開された『女房学校』の成功は、モリエールが生涯獲得した中でも、もっとも輝かしいものであった。初演以後、翌年の復活祭までに31回の公演が行われ、モリエールの死去する1673年までに88回行われた。公開から1870年までに行われた公演は1300回以上に上るという。この作品の大成功によって、モリエールは国王から1000リーヴルの年金を獲得しただけでなく、自分の息子の代父母として国王ルイ14世夫妻を持つなど、演劇界と宮廷における地位を不動のものとするに至った。
当然、モリエールの大成功は同業者たちの嫉妬心を激しく炙りたてた。その上モリエールは、1659年に公開した「才女気取り」においてプレシューズたちの反発を買っており、こうした人々も加わって、「喜劇の戦争」と呼ばれる論争が勃発したのである。
本作は「喜劇の戦争」において、敵対者たちの批判にこたえるために制作された。1663年6月1日に『女房学校』とともに初演にかけられ、好評を博した。9月12日には御前公演をも行っているが、『女房学校』が年が変わっても続演されたのに対して、本作は時事的作品として、同時上演はされなかった。
女房学校批判 解説
モリエールは本作において、それまで様々な方向から向けられていた批判に対して、まとめて反撃に出た。その上、自分に批判的な人物たちの特徴をそっくりそのまま作中人物にも与え、変人であったり、論理的でなかったりと、碌でもない描き方をすることで、印象付け、さらに登場人物のドラントやユラニーを通じて反論に出た。
『女房学校』に批判的な人物として、初めて登場したクリメーヌは、第3場にて『女房学校』第1幕第1景におけるアルノルフの台詞を以下のように批判する:
クリメーヌ:「耳から子供が生まれる」なんていうのもいやな趣味ですし、「クリーム・タルト」も気分が悪くなるし、「ポタージュ」と聞いて本当に吐きそうでしたわ。
(中略)
ユラニー:(女房学校の中で)いやだとお思いになった場面を一つだけ伺いたいの。
クリメーヌ:例のアニェスが出る場面で、あの娘が「誰かから何かをとられた」というでしょう、あの場面で沢山じゃありませんか？
(中略)
クリメーヌ:ほんとに腹が立ってしまいますわ、あの無礼な作者は私たちを「けだもの」なんて申しましたわね。
女房学校批判 解説
「耳から子供が生まれる」というのは、アルノルフがアニェスの純真無垢さを表現するために言った台詞だが、クリメーヌによれば卑猥な当てこすりで、唾棄すべきものであるという。「クリーム・タルト」というのは、「韻探し(コルビヨン)に何を入れますか？」と問われた時のアニェスの返答である。コルビヨンとは韻探しという意味のほかに、小さな籠という意味も持つので、韻探しさえ知らない無知さを示しているのである。ところが、クリメーヌはこの台詞に、無邪気な少女を好む一種の好色性が現れているという。「ポタージュ」も同じように卑猥な表現であるとしたが、最も許せない個所として、「アニェスがアレをとられた」場面を挙げる。アレとはリボンのことなのだが、その表現方法がとんでもなく卑猥だというのである。。
以上に挙げたようなクリメーヌの馬鹿げた批判は、単なるモリエールによる創作などではなく、実際に『女房学校』に加えられた批判の主だったものである。「けだもの」とは、実際はアルノルフが腹立ちまぎれに言った言葉であって、他意はないが、モリエールの敵対者たちはここから論理を飛躍させて「モリエールは『女房学校』で女性全体を攻撃している」のだと批判した。「誰かから何かをとられた」とは、『女房学校』の第2幕第5景の以下のシーンである:
女房学校批判 解説
アルノルフ:何かほかに、アニェス、お前からとらなかったかい？(アニェスがまごつくのを見て)ううっ！
アニェス:ええ、あのかた、あたしの…
アルノルフ:なに？
アニェス:取ったんですの…
アルノルフ:ええっ！
アニェス:あの…
アルノルフ:なんだって？
アニェス:言えませんわ、きっとお怒りになるんですもの。
(中略)
アルノルフ:地獄の苦しみだ。
アニェス:あの方、あなたが下さったリボンを取っちゃったの。ほんとに、どうにもできなかったんですの。
この場面におけるアニェスの反応が卑猥であるとして、実際多くの批判を集めた。アルマン・ド・ブルボン (コンティ公)やブールソーが加えた批判はその代表例である。
だが、こういった馬鹿げた批判に、モリエールはユラニーを通して反論する:
女房学校批判 解説
ユラニー:女のたしなみというものは、妙に顔をしかめることではありませんよ。(略)淑女気取りはほかの気取りよりもいっそう嫌なものね。何かにつけて難癖をつけたり、無邪気な言葉を汚らわしい意味にとったり、物事の粗ばかり見て怒ったり、そんなことで上品ぶるのって、おかしいじゃありませんか？
(中略)
ユラニー:アニェスはやましいことは一言も申しませんわ。もしアニェスの言葉の裏に何かあるとお考えになるなら、そんないやらしい意味はあなた(=クリメーヌ)がお考えになったもので、アニェスではありません。だって、アニェスはただリボンを取られただけなのですもの。
次に侯爵が登場する。侯爵は非論理的な人物として描かれており、リザンドル( Lysandre )なる男を信奉している。この男は作中にて「自分が最初に意見を述べて、聞き手がそれを恭しく拝聴しなければ気が済まない男」と描かれているが、このモデルとなったのがジャン・ドノー・ド・ヴィゼであるとする研究者もいる。ヴィゼは「喜劇の戦争」におけるモリエール批判派の急先鋒で、『女房学校』公開後に真っ先に批判のための作品を書いているため、偶然とはいえず、モリエールの密かな意図が隠されている。
モリエールはその後も、ドラントを通じて自説を開陳する:
女房学校批判 解説
ドラント:要するに、私は平土間の評番を信頼しますね。というのは、土間の観客層の中には、劇を劇の法則に従って批判できる人々もいますし、劇を穏当な見方で批判する人、つまり事物に即して盲目的な偏見や、わざとらしいお世辞、滑稽な気難しさのない人がいるのです。
(中略)
ドラント:難しさから言うと、(悲劇と比べて)喜劇のほうがより一層難しいと言われても大体間違いはないでしょうな。何故かと言えば(略)あなたが英雄を描かれる場合はどのようにお描きになってもよろしいのです。どんな肖像でも、お好み次第で、似ているか似ていないかは問題とならないのです。(略)しかし、生きた人間を描くときには自然に従わなければなりません。そういう肖像は似ていなければならないのです。(略)簡単に言えば、生真面目な劇作では悪口を言われたくなければ、良識にかなったことを述べてそれが文法通りに書いてあればよいのです。しかし喜劇では、それだけでは十分でない。戯れなければならないのです。思慮分別のある人間を笑わせるのは、並大抵の仕事じゃありませんよ。
女房学校批判 解説
これらの台詞には、モリエールの演劇観が現れている。『女房学校』を制作した当時のモリエールは、喜劇の重要性を認識し、打ち込もうと決意していたのであった。古くは盛名座結成時から、悲劇に強い思い入れを抱いていたが、ドン・ガルシ・ド・ナヴァールの大失敗を見て、悲劇に対しては何の才能も有していないことを理解、訣別したのである。ちなみに、このドラントの台詞が、悲劇で名を馳せていたコルネイユ兄弟の心証を害し、「喜劇の戦争」に参入させるきっかけとなるなど、しばらくの間の不和を招いた。「喜劇の戦争」沈静化とともに和解している。
次にリジダスが登場。リジダスはアリストテレスやホラティウスを持ち出し、『女房学校』が芸術のあらゆる法則に違反していると批判する。ドラントはこれに対して、以下のようにやり返した:
女房学校批判 解説
ドラント:何もホラティウスやアリストテレスに助けを求める必要はない。すべての法則の中の最大の法則は、楽しませるということで、その目的に適っていないのなら正道とは言えません。大体、こういう問題で観客が間違うでしょうか？芝居が面白いかつまらんかは、自分で判るじゃありませんか。
(中略)
ドラント:法則に従っている戯曲がつまらなくて、面白い戯曲が法則に従っていないとなると、必然的に法則そのものが間違っていることになります。(略)心底から我々をつかむものに素直に興味を示せばいいのであって、そこに楽しみを邪魔するような理屈を求める必要はありませんね。
リジダスはなおも引き下がらず、『女房学校』の欠点を指摘し、特に第3幕第2景でアルノルフがアニェスに朗読させる結婚の誓いについて、「みっともなく、宗教劇に対する尊厳を傷つける」と批判する。しかし、モリエールは作中で、この件については特に意見を展開させようとしていない。わざと議論を押さえたようなこの姿勢は「喜劇の戦争」において、ヴィゼに攻撃されることとなった。
この「宗教の尊厳を傷つける」という点は、モリエールが受けた批判の中でも、特に根深いものであった。そもそも『女房学校』においてアニェスは、修道院で育った「無知で馬鹿な」女性として描かれている。モリエールは女性の教育問題に関して、自然の善性を信じる、即ち「教育は不要で、自然に任せて育てればよい」という考えを持っていたので、この描写にはカトリックの女子教育に対する批判が込められているのである。「結婚の誓い」も同様に、宗教的な要素を取り入れ、それを卑猥な連想を喚起させるような描写を用いることで、神聖なものを滑稽にしているのである。
当然、「触れてはいけないものに触れ、尊ぶべきものを戯画化し、宗教を誹謗した」と非難する者が現れた。モリエールも当然そのような批判が噴出することを予想していたが、徐々にその勢力の強大さに気づいたようで、本作では宗教に関する点について、大っぴらに触れられなかったのだった。モリエールはルイ14世の母后アンヌ・ドートリッシュに本作を捧げることで、とりあえずは激烈な非難を回避しようとしたようである。
リジダスの批判に真面目に答えようとするユラニーやドラントであったが、侯爵のふざけた妨害に遭い、反論できないまま幕は閉じる。上記で見てきたように、作中では批判者たちの独善的で、非論理的な姿勢が特に強調されているため、観客に『女房学校』にこそ正当性があるのだ、と印象付けることに成功している。
このような作品を公開したことで、当然モリエールの敵対者たちはますます怒りを募らせた。こうして「喜劇の戦争」がより一層激化するわけであるが、それと同時に『女房学校』はより注目を集めるようになり、大勢の観客を動員することに成功した。これは、劇作家であり、興行主でもあるモリエールの戦略であったと見る研究者もいる。
キリングベクトル場
キリングベクトル場（Killing vector field、別名：キリング場、Killing field）は、ヴィルヘルム・キリング(Wilhelm Killing)の名前に因む。キリング場は、リーマン多様体や擬リーマン多様体上のベクトル場であって計量を保存するものを指す。キリング場は、等長変換群(isometry)の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成されるフロー (幾何学)は、多様体上の等長写像の連続群を為す。より平易に表現すると、対象の上の各点をキリング場の方向に同じ距離だけ移動したときに点の間の距離の関係が保たれるという意味での対称性がキリング場により生成される。
キリングベクトル場 定義
特に、計量 g の X に関するリー微分が 0 となる、つまり、
であるとき、ベクトル場 X をキリングベクトル場という。
レヴィ・チヴィタ接続の言葉で書けば、これは任意のベクトル場 X と Y について、
が成り立つことに対応する。局所座標では、キリング方程式
で書かれる。この条件は共変形式で書かれているので、一つの座標系で確かめれば任意の座標系で満たされることが分かる。
キリングベクトル場 例
を仮定すると、
 であり、
である。ここで、 より、キリングの条件
を得る。このキリング条件は
このことは、 であることから、成り立っていることが分かる。
キリングベクトル場 性質
キリング場は、ある点でのベクトルとその勾配（つまり、点における場のすべての共変微分により決定される。
2つのキリング場のリーブラケットもまたキリング場であるので、多様体 M 上のキリング場は、M 上のベクトル場のリー代数を形成する。M が完備であれば、この代数は多様体の等長群(isometry group)のリー代数となる。
コンパクトな多様体に対し、
すべてのキリングベクトル場の発散は 0 となる。
がキリングベクトル場で  が調和ベクトル場であれば、 は調和函数である。
がキリングベクトル場で  が調和 p-形式であれば、 である。
各々のキリングベクトルは、測地線(geodesics)に沿って保存される量に対応する。この保存量はキリングベクトルと測地線の接ベクトルとの間の計量積である。すなわち、同じアフィンパラメータ  の測地線に沿って、方程式  が成立する。これは、対称性をもつ時空の運動を解析的に研究する目的を持っている。
篠田あゆみ
篠田 あゆみ（しのだ あゆみ、1980年11月16日 - ）は、日本の元AV女優。
篠田あゆみ 略歴・人物
神奈川県出身。2010年3月18日に「池田美和子」（いけだ みわこ）の芸名でデビューした熟女系の巨乳AV女優。同年7月1日に引退。
AVデビュー前の男性との初体験は高校時代に。
2014年4月25日に、「篠田あゆみ」としてAVに復帰。
2015年3月3日に、スカパー!アダルト放送大賞2015 で、「熟女女優賞」と「夕刊フジ賞」を受賞。
2016年6月16日、Twitterにて引退を発表。