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チロシン血症 診断
高チロシン血症1型は血液検査において、フマリルアセト酢酸の代謝物であるサクシニルアセトンの存在によって検出される。サクシニルアセトンは疾患の特徴的な指標であると考えられている。
高チロシン血症2型は血漿中のチロシン値の大幅な上昇によって検出される。診断は培養線維芽細胞のTAT遺伝子の変異によっても確認される。
高チロシン血症3型は培養線維芽細胞のHPD遺伝子の変異によって診断される。
チロシン血症 治療
治療はタイプによって異なる。ほとんどのケースで低タンパク食と特別なアミノ酸組成によるタンパク質の補給が必要である。ニチシノンは有効性が示されている。高チロシン血症1型の治療には、チロシン・フェニルアラニン制限食とともに4-ヒドロキシフェニルピルビン酸ジオキシゲナーゼ阻害剤が処方される。ニチシノンに応答しない高チロシン血症1型患者や、急性肝不全や肝細胞がんを抱える患者では肝移植が適応となる。
シーア
シーア・ケイト・イゾベル・ファーラー（英: Sia Kate Isobelle Furler、1975年12月18日 - ）は、シーア（[ˈsiːə]）の芸名で知られるオーストラリアの歌手、ソングライター。
シーア 略歴
1990年代中期にアシッドジャズバンド・クリスプのボーカルとしてその経歴を開始した。この頃ジャミロクワイのバッキング・ボーカルとしてレコーディングに参加したが、声が独特すぎるため使われなかった。1997年にバンド解散後、オーストラリアのレコード会社からソロデビューアルバム『OnlySee』を発表。その後、イギリスのデュオZero 7のリードボーカルとして参加。
2000年にソニー・ミュージック傘下のダンス・プールと契約し、翌年に2枚目のスタジオ・アルバム『Healing Is Difficult』を発表。
レコード会社の宣伝に不満を持った彼女はGO! Beatと契約を結び、2004年に3枚目のスタジオ・アルバム『Colour the Small One』を発表。
2012年にニーヨと共作した『Let Me Love You (Until You Learn to Love Yourself)」が全英シングルチャートで1位を獲得し、イギリスで史上49番目に売れたシングルとなった。
シーア 略歴
2014年に発表した6枚目のスタジオ・アルバム『1000 フォームズ・オブ・フィアー』は、世界的ヒットシングル『シャンデリア』を生み出した。同作は、その年度のグラミー賞において最優秀レコード賞を含む4部門にノミネートされた。また、ダンサーのマディー・ジーグラーをフィーチャーしたミュージック・ビデオも、MTV Video Music Awardsの最優秀ビデオ賞と最優秀振付賞にノミネートされる（後者を受賞）など話題になった。
彼女の音楽はヒップホップ、ファンク、ソウルをベースにしている。また、2014年にBRW誌が発表した個人資産リストで彼女は40歳未満のオーストラリア人で97番目の資産家にランク付けされた。
2016年、日本映画『秘密 THE TOP SECRET』の主題歌に「アライヴ」が採用される。日本版ミュージック・ビデオに女優の土屋太鳳（公式バージョンは空手家の高野万優）がダンサーとして出演している。当楽曲は2018年に、Honda「オデッセイ」のCMソングに起用された。
同年、劇場アニメ『ファインディング・ドリー』のエンディングテーマに「アンフォゲッタブル」(Unforgettable)が起用される。
2018年、製作総指揮をナタリー・ポートマンが務めた映画『ポップスター』の主題歌・劇中歌を担当した。
2019年7月27日、新潟 苗場スキー場での「フジロックフェスティバル’19」にて初来日公演、同日グリーンステージのトリを飾った。
2024年、カイリー・ミノーグをゲスト・ヴォーカルに迎えたシングル「ダンス・アローン」を発表。
東李苑
東 李苑（あずま りおん、1996年〈平成8年〉11月13日 - ）は、日本のタレント・女優・元アイドルであり、女性アイドルグループ・SKE48の元メンバーである。北海道札幌市出身。ディープスキル所属。
東李苑 略歴
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2022年
2023年
東李苑 SKE48在籍時の参加楽曲
SKE48名義
AKB48名義
SKE48名義
AKB48名義
チームE 3rd Stage「僕の太陽」公演
チームS 5th Stage「制服の芽」公演
チームS 6th Stage「重ねた足跡」公演
岡本和真
岡本 和真（おかもと かずま、1996年6月30日 - ）は、奈良県五條市出身で読売ジャイアンツ所属のプロ野球選手（内野手、外野手）。右投右打。
第20代読売巨人軍キャプテン。プロ野球史上最年少となる22歳での3割・30本塁打・100打点を達成。2018年から2023年にかけて6年連続シーズン30本塁打も達成している。
岡本和真 経歴
3歳の時から兄とのキャッチボールで野球に親しみ、五條市立北宇智小学校1年生で軟式野球チーム「カインド」に入り、投手兼内野手として野球を始める。野手としては3年生からクリーンナップ、4年生からは4番を打ち、投手としては3年生時に最速100km/hを記録。この頃から、智辯学園高等学校への入学と、天理高等学校に勝利し全国高等学校野球選手権大会へ出場・優勝することを目標に掲げていた。
五條東中学校へ進学すると「橿原磯城リトルシニア」で投手兼三塁手を務め、2年生時に主軸として出場した全日本中学野球選手権大会 ジャイアンツカップでベスト4に進出。同チームの1学年上には後に巨人で同僚となる鍬原拓也がいた。3年生時には右肘を剥離骨折している中シニアリーグ日本代表の4番として全米選手権に出場し、打率5割超えの活躍により優勝に貢献。中学生時は投手を主としたが、骨折の影響で高校進学時は投手ができない状態だった。
岡本和真 経歴
2012年、強豪校約20校からスカウトされる中、地元に近く憧れでもあった智辯学園高等学校に入学、1年生の春からベンチ入りし、秋から4番となる。1年生時の年間本塁打は8本、2年生時は48本。3年生時の第86回選抜高等学校野球大会1回戦三重高校戦では、大会史上19人目かつ大会タイ記録である1試合2本塁打を打った。第96回全国高等学校野球選手権では、1回戦で当時エースであった岸潤一郎を擁する明徳義塾と対戦し4-10で初戦敗退を喫した。高校通算73本塁打。大会後は第10回18Uアジア野球選手権大会の日本代表に選出され、4番打者として打率.437、5打点を記録し準優勝に貢献した。野球部には2学年先輩に青山大紀が、1学年後輩に廣岡大志が、2学年後輩に村上頌樹がいる。
2014年度プロ野球ドラフト会議にて読売ジャイアンツから1巡目で単独指名を受けた。指名後は、契約金8000万円、年俸1200万円という条件で入団契約を結んだ。当時の一軍監督だった原辰徳からの提案で、「38」を着用することになった。担当スカウトは渡辺政仁。
岡本和真 経歴
2015年は春季キャンプを二軍で迎えると、キャンプ終了後の3月に腰、公式戦開幕後の5月に下半身の不調で2度にわたって約1か月、戦線を離脱した。2度目の戦線離脱から復帰した後は、6月29日に明治神宮野球場で開催された「侍ジャパン大学日本代表 対 NPB選抜」でNPB選抜の「7番・三塁手」として先発に起用され、3打数1安打、2三振を記録した。8月27日に入団後初の出場選手登録を果たすと、8月28日の対中日ドラゴンズ戦（東京ドーム）で7回裏に高木勇人の代打として公式戦デビュー。9月5日の対横浜DeNAベイスターズ戦（横浜スタジアム）で5回表に再び坂本の代打に起用され、公式戦通算3打席目にして砂田毅樹から左翼ポール際へ2点本塁打を放ち公式戦初安打・初打点・初本塁打を記録した。レギュラー三塁手の村田修一が故障で出場選手登録を抹消された9月19日には、対東京ヤクルトスワローズ戦（神宮）で「7番・三塁手」として公式戦で初めて先発に起用され、5回表の出塁後に公式戦初盗塁を記録した。一軍公式戦では17試合に出場し、打率.214、1本塁打、4打点を記録した。なお二軍では69試合に出場し、打率.258、1本塁打、16打点であった。レギュラーシーズンの終了後には台湾で開催されたウインターリーグに参加。19試合の出場で打率.383、3本塁打、20打点という好成績を残し打点王のタイトルを獲得。12月22日、200万円増となる推定年俸1400万円で契約を更改。
岡本和真 経歴
2016年も公式戦の開幕を二軍で迎え、イースタン・リーグでは二軍監督の斎藤雅樹の方針で4番打者に固定される。この年より就任した二軍打撃コーチの二岡智宏の進言で、打席が終わるごとにメモを取る習慣を身につけ、毎日二岡に提出していた。公式戦（一軍）では、5月27日の対阪神タイガース戦（東京ドーム）に、「6番・三塁手」として先発でシーズン初出場を果たした。7月14日のフレッシュオールスターゲーム（倉敷マスカットスタジアム）では、イースタン・リーグ選抜の「4番・一塁手」としてフル出場。4打数2安打、3打点を記録したほか、チーム唯一の本塁打を打って勝利に貢献したことから、MVPに選ばれた。二軍のイースタン・リーグ優勝で迎えた福岡ソフトバンクホークスとのファーム日本選手権（10月1日・KIRISHIMAサンマリンスタジアム宮崎）でも、4番打者として4打数2安打、1本塁打、3打点を挙げて、MVPに選ばれている。最終的に二軍で打率.261、18本塁打、74打点を記録し、打点王のタイトルを獲得したが、レギュラーシーズン全体では3試合の出場にとどまった。シーズン終了後には、チームメイトの高木・平良拳太郎と共に、プエルトリコのウインターリーグへ派遣された。帰国後の12月25日に、2歳年上の女性と結婚。12月26日には、200万円減となる推定年俸1200万円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2017年は内野の守備に課題があることや、球団がケーシー・マギーを獲得したことを背景に、首脳陣が岡本を左翼手の守備に取り組ませた。同年シーズンは自身初の開幕一軍登録を果たし、「7番・左翼手」として先発に起用された4月7日の対阪神戦（甲子園）では、1回表二死満塁で迎えた打席で2点適時打を打ち、公式戦559日ぶりの打点を記録し、5回表の第3打席でも安打を打ったことによって、自身初の公式戦マルチ安打（2安打）を達成した。しかし、その後はシーズンのほとんどを二軍で過ごし打率.270、10本塁打、55打点を記録し、一軍成績は15試合出場、打率.194、0本塁打、2打点であった。11月28日、現状維持となる推定年俸1200万円で契約を更改し、同年で退団した村田の背番号「25」に変更されることになった。
岡本和真 経歴
2018年は春季キャンプで打撃コーチの二岡の助言によりグリップ位置を下げバットを立てるフォームに矯正。オープン戦で結果を残すと、前年まで正一塁手だった阿部慎之助からレギュラーの座を引き継ぎ、3月30日の対阪神戦で「6番・一塁手」として2年連続で開幕スタメンで起用された。3月31日の開幕第2戦では4打数4安打、（1本塁打）5打点でプロ初の猛打賞を記録。翌4月1日の試合でも逆転となる3点本塁打を打った。6月2日のオリックス・バファローズ戦で第89代目の4番打者として出場、第1打席で初の2桁本塁打となる左越ソロ本塁打を放った。しかし6月下旬から、7月5日のDeNA戦で今永昇太から二塁打を放つまでは32打席連続無安打を記録するなど苦しんだが、その後はシーズン終了まで4番として定着した。最終的に全試合に出場し、打率.309、33本塁打、100打点と、日本プロ野球史上最年少となる22歳シーズンでの「3割・30本塁打・100打点」を記録した。オフのベストナイン投票では、一塁手部門で174票のダヤン・ビシエドに次ぐ95票で2位、三塁手部門で250票の宮﨑敏郎に次ぐ23票で2位となり、受賞を逃した。11月に行われた2018日米野球では球団から唯一代表に選出され、14日の第5戦でジュニオル・ゲラからソロ本塁打を放った。12月19日、6800万円増となる推定年俸8000万円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2019年、「4番・一塁手」として初めて開幕4番を任される。前半戦は打率が.250前後で推移するなど調子が上がらず、監督の原から「ビッグベイビー」と揶揄され4番を外される試合もあった。8月6日の対中日戦の試合前、アドバイザーとしてチームに帯同していたウォーレン・クロマティの助言により、脚部の使い方と打球方向の意識を再確認、これがきっかけとなり8月は打率.301、9本塁打、26打点を記録するなど復調した。9月20日のDeNA戦では目標としていた30本塁打を記録。最終的には打率.265、チーム2位の31本塁打、チームトップタイの94打点を記録し、2年連続での全試合出場も達成した。また、この年先発した守備位置は、一塁69試合、三塁56試合、左翼17試合と、4番打者でありながらチーム事情に合わせてユーティリティさも見せ、一塁の守備では無失策と、自身初のリーグ優勝に貢献した。クライマックスシリーズでは前年の成績（18打数1安打、1打点）を大きく上回る15打数8安打、3本塁打、7打点の活躍でCSファイナルシリーズのMVPを受賞。23歳での受賞は、当時24歳で受賞した菅野を抜き、セ・リーグでの最年少記録となった。しかし、ソフトバンクとの日本シリーズでは低調になり、第4戦でロベルト・スアレスから2点本塁打を打つも逆転はできず、チームも4連敗を喫し日本一を逃した。またシーズン中に複数のポジションをこなしたため、オフのベストナイン投票では一塁手部門で48票、三塁手部門で101票、外野手部門で1票と得票が分散する形となり、受賞を逃した。12月3日、6000万円増となる推定年俸1億4000万円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2020年、開幕直後は好調の滑り出しをするも、8月以降は徐々に調子が下降し始め、9月16日の対阪神戦で腰痛のためスタメンから外れ（代わって丸佳浩が巨人軍第90代4番打者として先発出場）、この試合では坂本とともにベンチからも外れて途中出場もなかったため、2017年10月3日の対ヤクルト戦から続いていた連続試合出場が359試合でストップした。シーズン終盤には大山悠輔と本塁打数を争い、一時トップの座を奪われたものの逆転。最終的に打率.275、31本塁打、97打点を記録し、自身初の打撃タイトルとなる本塁打王と打点王の二冠を獲得。この年は腰痛で欠場した2試合を除いて全ての試合で4番を務め、前年まで複数のポジションで起用されていた守備位置もシーズンを通して三塁に固定された。オフにはセ・リーグの三塁手部門で自身初となるベストナインに選出された。12月16日、7000万円増となる推定年俸2億1000万円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2021年も開幕から4番を務めるが、5月終了時点で打率.249と調子が上がらず、6月16日に発表された東京オリンピック野球日本代表にも選出されなかった。7月・8月は月間打率3割台と復調したものの、9月は再び2割台に低迷。優勝争いが佳境を迎えた10月に至っては打率.207と絶不調に陥り、リーグトップをひた走っていた本塁打も10月は15日の対ヤクルト戦で放った1本のみと当たりが止まり終盤になって村上宗隆に並ばれ、打点も1点差まで詰め寄られた。クライマックスシリーズは開幕直前に左脇腹を痛め、1stステージ・ファイナルステージともに出番はなかった。結果的に打率こそ.265と低調だったものの、いずれも自身最多となる39本塁打、113打点を記録し、2年連続で本塁打と打点の二冠に輝いた。巨人における2年連続での本塁打・打点の二冠は1977年の王貞治以来44年ぶり、右打者では史上初の記録であった。この年は公式戦143試合すべてに「4番・三塁手」として先発出場し、自身初となる「全試合4番先発出場」も達成し、ゴールデングラブ賞を受賞した。オフに、9000万円増となる推定年俸3億円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2022年、オープン戦では3月18日の千葉ロッテマリーンズ戦で佐々木朗希から満塁本塁打を放つなど、12球団トップの7本塁打を記録。開幕後も本塁打と打点を量産し、4月29日の阪神戦では12球団最速の10号本塁打を放った。巨人の選手が12球団最速の10号本塁打を放つのは2004年の阿部慎之助以来18年ぶり、右打者に限定すると1982年の原辰徳以来40年ぶりであった。更に5月29日の北海道日本ハムファイターズ戦では通算150号本塁打を記録。25歳10か月での通算150本塁打は巨人の右打者としては最年少記録であった。夏場からは不調に陥り、8月11日の中日戦からは中田翔に4番を譲り、2019年9月27日以来3年ぶりに4番以外の打順に座ることとなったが、9月24日の同カードでは、球団史上3人目で右打者では球団史上初の5年連続30本塁打を記録した。しかし夏場以降の不振が長引き打率、本塁打数、打点、OPSいずれもレギュラー定着後のシーズンでは最低の数値を記録しチームも自身のレギュラー定着以後ではCS出場を初めて逃すこととなった。また、連続本塁打王も村上が56本塁打を放ち実に26本差をつけられて逃すこととなった。11月14日、2年連続となるゴールデングラブ賞を受賞した。11月23日に行われたファンフェスタの中で、原監督より翌年から坂本勇人に代わり主将を務めることが発表された。12月6日、3000万円減となる推定年俸2億7000万円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2023年は開幕を4番で迎えた。打順変動が多かったチーム状況下で3割を前後する程の成績で変わらず4番を打ち続け本塁打も量産した。セ・パ交流戦では打率.383、8本塁打、19打点の成績で自身初の交流戦MVPを受賞した。7月5日の対中日戦（バンテリンドーム ナゴヤ）では1回無死満塁の打席で髙橋宏斗から球団で1992年の原辰徳以来となる4番打者の初回満塁本塁打を放った。8月29日に発熱のため特例2023で登録を抹消されたが、9月1日に一軍復帰すると同日の対DeNA戦で東克樹から通算200本塁打となる35号本塁打を記録した。9月15日の対中日戦では自己最多を更新する40号本塁打を放った。27歳での40号到達は球団の右打者史上最年少で、生え抜き右打者では2019年の坂本以来2人目、本塁打王経験者の球団生え抜き右打者に限れば岡本が初となった。守備においては開幕からしばらくは三塁手として起用されたが、中田の離脱以降は三塁手としての動きについて原監督から苦言を呈され、新人の門脇誠が三塁で起用されるようになると4年ぶりに一塁手や左翼手を守った。中田が復帰してからもその傾向は続き、9月に坂本が三塁へコンバートされて以降はもっぱら一塁手として出場した。最終的に欠場した3試合以外の140試合全てで4番として先発出場し、打率.278、41本塁打、93打点で2年ぶり3度目の本塁打王を獲得。OPS.958はリーグ1位でキャリアハイの数値を記録した。同年のベストナインの投票は、一塁手部門で50票、三塁手部門で131票、外野手部門で2票と票が割れて受賞を逃し、最も票を得た三塁手部門は9票差で同年首位打者の宮﨑敏郎が選出された。12月6日、1億5000万円増となる推定年俸4億2000万円で契約を更改した。
岡本和真 経歴
2024年は坂本の三塁手転向に伴い一塁手に回ることになったが、143試合全て4番打者で先発出場した。3月30日の対阪神戦（東京ドーム）で両者無得点で迎えた6回無死一塁の打席で大竹耕太郎からシーズン初本塁打となる先制2点本塁打を放ち、12年連続の開幕カード勝ち越しを決める勝利に貢献した。6月27日の対DeNA戦（横浜）では8回無死一塁の打席でローワン・ウィックから2点本塁打を放ち、巨人の4番打者として史上4人目となる通算200本塁打を達成。27歳11か月での達成は長嶋茂雄の32歳5か月を更新する球団最年少記録となった。8月21日の対広島東洋カープ戦（東京ドーム）では1-1の同点で迎えた8回無死二・三塁の打席でテイラー・ハーンから決勝3点本塁打を放ち、球団で阿部慎之助と並ぶ7年連続20本塁打を記録した。9・10月は、9月5日の対ヤクルト戦（長良川球場）で5回二死一・三塁の打席で山野太一から決勝3点本塁打。同月26日の対DeNA戦（横浜）では2回に一塁走者・長野久義との重盗に成功し、プロ入り10年目で初の本盗に成功。同月28日の対広島戦（MAZDA Zoom-Zoom スタジアム広島）では6回無死一塁の打席で森下暢仁から巨人のリーグ優勝を決める決勝適時二塁打を含む4安打で3打点を挙げるなど、月間打率.351、6本塁打、18打点の成績で自身3度目の月間MVPを受賞した。最終的に7年連続30本塁打に届かなかったが、打率.280、27本塁打、83打点を記録した。10月9日に第3回プレミア12の日本代表に選出されたが、左第五腰椎分離症による腰痛のため出場を辞退した。シーズンの終了後にはセ・リーグの一塁手部門でベストナインとゴールデングラブ賞を初めて受賞。巨人における一塁手としてのベストナイン受賞は1979年の王貞治以来45年ぶりとなった。オフの12月3日に1億2000万円増となる推定年俸5億4000万円で、球団と単年契約を結んだ。
2025年は開幕から全32試合で4番打者として先発出場し、打率.308、8本塁打、25打点を記録していたが、5月6日の阪神戦の一塁守備時に走者中野拓夢と交錯し、左肘を痛めて途中交代。同日に「左肘の筋損傷」と診断されていたが、翌7日に精密検査を受け「左肘の靱帯損傷」と診断された。8月16日に一軍復帰し、4番サードで先発出場。以降は試合に出場し続け、9月14日には国内FA権を取得。最終的に69試合の出場で打率.327、15本塁打、49打点の成績を残すも、チームは3位に終わり、クライマックスシリーズもDeNAに敗北。シーズン終了後の10月22日、巨人球団は岡本のMLB挑戦を容認する形で、ポスティングシステムによるMLB移籍を容認する声明を発表した。
岡本和真 代表経歴
2023年1月26日、2023 ワールド・ベースボール・クラシックに出場する日本代表（侍ジャパン）のメンバーに選出された。三塁の守備は村上宗隆に譲るも、主に一塁のスタメンとして全7試合に出場し、打率.333、6安打、2本塁打、7打点、9四死球、出塁率.566と活躍。イタリア代表との準々決勝戦では、3点本塁打含む5打点、アメリカ代表との決勝戦では4回裏に追加点となる本塁打を打つなど、日本の3大会ぶりのWBC優勝に貢献した。
岡本和真 選手としての特徴
全方向へアーチを打ち分ける卓越した打撃技術を誇り、2年連続となる本塁打王&打点王の二冠を達成。50メートル走6秒5。遠投100メートル。
守備力に関しては、野球解説者の宮本慎也から「（三塁手として）俊敏性はやや欠けるものの、強い打球に対して球との距離の取り方がうまい、イージーミスが少ない」と評された。スローイングは「抜くような投げ方ではあるものの、悪送球はあまりなく、安定感のある肩」と評される。
本職である三塁手のほか、一塁手や左翼手もこなせるユーティリティープレイヤー。
岡本和真 人物
かつては前述のように、原辰徳から「ビッグベイビー」と呼ばれていたが、2020年からは、原の愛称であった「若大将」を原から継承された。
バットはSSK（2020年からアドバイザリースタッフ）、グラブはローリングス製品（2020年からアドバイザリースタッフ）を使用している。ローリングスのグラブはメジャーではゴールドグラブ賞を受賞した選手のみがゴールドラベルを着けることができ、2021年に岡本がゴールデングラブ賞を受賞したことから、ローリングスと契約している日本のプロ野球選手初のゴールドラベル入りグローブがローリングスから贈呈された。
結婚前から妻がサザンオールスターズのファンだという影響もあり、岡本自身もサザンオールスターズのファンであるという。そのため、登場曲にもサザンオールスターズや桑田佳祐の楽曲を使用しており、時には妻の選曲アドバイスを受けたり、打席登場時の尺を考えてなくなく諦めた楽曲もあるという。
岡本和真 人物
また、K-POPも好んでおり、登場曲にも何度かTWICEを使用していた。TWICEではジョンヨンを推している。
韓流ドラマも好きで、キャンプに取材しにきた記者に「韓国ドラマを観るコツを教えましょうか？」と独演会を披露してしまうほど熱く語ったこともある。
メロンが好物で、2019年の契約更改では球団に「（東京ドームの選手）食堂のメロンが硬いので、熟したものを」と要望。翌2020年2月に、その要望を知った浜松市のメロン農家から高級メロン24玉が球団に差し入れられた。
プロ入り前までは阪神タイガースファンであった。
2022年の契約更改時に大使について冗談を交えつつアピールし、翌2023年には奈良県五條市の観光大使に就任し、4月11日の試合前に就任式に出席した。地元特産の柿や梨を紹介したり、若い世代の流出などについてもコメントをした。今後の活動内容は観光地の紹介や、少年野球教室の開催などを予定している。
岡本和真 詳細情報
初記録
節目の記録
その他の記録
国際試合
国内試合
アポロニウスの問題
ユークリッド平面幾何学においてアポロニウスの問題（英: Problem of Apollonius）とは、平面において与えられた3つの円に接する円を描く問題である(図 1)。ペルガのアポロニウス (ca. 262 BC – ca. 190 BC)が彼の著作 「接触」 Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies")においてこの有名な問題を提起し、解決した。この著作「接触」は現在失われているが、アレキサンドリアのパップスによる、アポロニウスの成果がまとめられた4世紀のレポートは現存している。3つの与円は一般的に、その3つの円に接する8つの相異なる円を持ち(図 2)、この円が3つの円を内部に持つか外部に持つかはそれぞれ異なる。すなわち、それぞれの円は、与えられた3つの円のうち一部を内部に持ち（残りの円は外部に持つ）、濃度が3の集合の部分集合は 23 = 8 つ存在するため、そのような円は8つ存在する。
アポロニウスの問題
16世紀にアドリアン・ファン・ルーメンが交差する双曲線を用いてこの問題に解を与えたが、この解法は定規とコンパスのみを使った作図ではなかった。同じ解をフランソワ・ビエトはある種の極限（三つの与円のどれでも、それを半径 0（つまり点）にまで縮めたり、半径無限大（つまり直線）にまで拡大したりできる）に相当することを示して、定規とコンパスのみを使った解法を与えた。より単純な極限化の操作によって、より複雑なケースに対して解法を与えるというビエトのアプローチは、アポロニウスの手法の妥当な再構成であると考えられている。ファン・ルーメンの手法はアイザック・ニュートンによって単純化された。ニュートンは、アポロニウスの問題は、ある点の既知の3つの点への距離の差から、その点の位置を探し出すことに等しいことを示した。これはLORANなどの位置測定システムやナビゲーションシステムに応用されている。
アポロニウスの問題
後世の数学者は代数学的な手法を導入した。これは幾何学の問題を代数方程式に置き換えるものである。これらの手法はアポロニウスの問題に備わる数学的な対称性を利用することによって単純化された。例えば、解円は一般に2つずつの対で生じ、この対のうち一方は与円を内部に持ち、他方は外側に持つ（図 2）。ジョセフ・ジェルゴンヌ は定規とコンパスのみを使って描く、エレガントさで知られる解法を与えるために、この対称性を用いた。一方で、他の数学者は円に関する反転などの幾何学的変換を用いて、与円の配置を単純化した。これらの発展は、（リー球面幾何学を使って）代数学的手法に幾何学的設定をもたらし、さらに33の本質的に異なる与円の配置に基づく解円の分類をもたらした。
アポロニウスの問題は更なる研究を刺激した。3次元への一般化（4つの与えられた球面に接する球面をつくる）や、より高い次元についても研究がなされている。3つの互いに接する円の配置も特別な関心を寄せられている。ルネ・デカルトは解円と与円の半径を結びつける公式を与え、この公式は現在ではデカルトの定理として知られている。繰り返しアポロニウスの問題を解くことは、この場合、アポロニウスのギャスケット をもたらす。アポロニウスのギャスケットは紙上で詳述された最初期のフラクタルのひとつであり、これはフォードの円やハーディ・リトルウッドの円分法を通して、数論における重要な概念となっている。
アポロニウスの問題 アポロニウスの問題の言明
アポロニウスの問題の一般的言明は、ひとつあるいはそれ以上の円を、平面上に与えられた3つのオブジェクトに対して接するように描くというものである。オブジェクトは直線でもいいし、あるいは点や、円でもよい（この円の大きさは問わない）。これらのオブジェクトはどのようにも配置されうるし、お互いに重なりあってしまうこともある。しかし、このオブジェクトは基本的には相異なるものとして扱われる（基本的にはオブジェクトが完全に一致してしまうことはない）。アポロニウスの問題に対する解は、時に「アポロニウスの円」と呼ばれる。ただし、アポロニウスの円という名前は、アポロニウスに関連した他のタイプの円に対しても使われる。
アポロニウスの問題 アポロニウスの問題の言明
接するという性質については次のように定義されている。第一に、点、直線、円はそれ自身と接していると考える。これによって、仮に与円がすでに他の2つの与円に接していれば、その配置自体がアポロニウスの問題に対する解のひとつとしてカウントされる。2つの相異なる幾何学的オブジェクトは、もしこの2つのオブジェクトがある一点を共有していれば、これらの2つの相異なるオブジェクトは「交わっている」と言われる。ある一点が、円もしくは直線に交わっているなら、その点はその円あるいは直線と接していると定義する。なお、ここで「交わっている」というのはこの点が、この円上、または直線上にあるということでもある。このことから、2つの相異なる点は接することはできない。もし、交点における直線・円間の角度がゼロであるならば、このような直線・円は接しているとされる。この交点は接点（tangent point、あるいはpoint of tangency）と呼ばれる。なお、この「接触 tangent」という言葉はラテン語の現在分詞tangensに由来し、「接触している touching」という意味である。実際には、2つの相異なる円が一点で交わっていれば、この2つの円は互いに接している、と考えればいいだろう。もし、この2つの円の交点がゼロ、あるいは交点が2つ存在するならば、この2つの円は接していない。同じことが一つの直線と一つの円の組み合わせの場合にも言える。2つの相異なる直線は平面上では接することができない。ただし、反転幾何学や射影幾何学では2つの平行する直線は無限遠点で接しているとも考えられる。下記を参照。
アポロニウスの問題 アポロニウスの問題の言明
解円は、与えられた3つの円それぞれに、内部にであれ、外部にであれ、接している。外接（external tangency）は、解円が与円に接する点において、2つの円のカーブがお互いに逆の方向を向いているものである。これらの2つの円は、その点における接線の違う側に存在し、どちらかの円がもう一方の円を外部に持つ。この外接の場合、解円と与円の距離は、この2つの円の半径の和に等しい。これとは対照的に、内接（internal tangency）とは、解円と与円が、接している点において、円のカーブが同じ方向である場合を指す。この場合、この2つの円は、円の接線の同じ側に存在し、どちらかの円がもう一方の円を内部に持つ。この場合、この2つの円の中心同士の距離は、2つの円の半径の差に等しい。図解としては、図 1の（解である）ピンクの円が、内部で、右側の黒い中くらいの大きさの与円と接している。一方で、左側の一番小さな与円と一番大きな与円とは、外接している。
アポロニウスの問題 アポロニウスの問題の言明
アポロニウスの問題は、また、3つの「与えられた点」への距離の差が3つの既知の値と等しいような1つ（もしくはそれ以上）の点を特定する問題であると再定義することができる。ここで、半径 rs である解円と、半径がそれぞれr1, r2, r3 である3つの与円を考える。もし、解円がこれら3つすべての与円と外部で接するのであれば、それぞれ、解円の中心と3つの与円の中心の距離はそれぞれ次に等しい。d1 = r1 + rs、そしてd2 = r2 + rs、およびd3 = r3 + rs である。このため、これら距離における差は、例えばd1 − d2 = r1 − r2のように、みな一定である。これらはただ、既知の与円の半径にのみ依存し、解円の半径 rsには依存せず、解円の半径の影響は除かれる。このアポロニウスの問題の再定義では、「距離の差」を対応する「距離の和」へと変えることによって、内接の解円（円の中心間の距離が半径の差に等しい）に一般化することができ、また、「距離の差」を対応する「距離の和」へと変えることによって、解円の半径を rs とすると、その影響を同じように除くことができる。この中心間の距離に関する再定義は、アイザック・ニュートンとアドリアン・ファン・ルーメンが考案した以下の解法を考える際や、双曲線測位において、また既知の3点の距離の差から位置を特定する三辺測量において有用である。例えば、LORANのようなナビゲーションシステムは固定された3点から送られた信号の到達時間の差から受信者の位置を特定する（送信機からの受信者の距離の差に対応している）。
アポロニウスの問題 歴史
アポロニウスの問題を解決するために、豊富な幾何学的・代数学的手法が開発されてきたという歴史があり、このため、アポロニウスの問題は幾何学における「もっとも有名な問題」と呼ばれてきた。ペルガのアポロニウスの元々のアプローチは失われてしまっているものの、フランソワ・ビエトによるアポロニウスの問題に対する作図法を始めとした種々のアプローチはアレキサンドリアのパップスの記述による手がかりをもとにしている。アポロニウスの問題に対する、新しい、最初の解法は1596年にアドリアン・ファン・ルーメンによって発表された。ファン・ルーメンはこの解法において、アポロニウスの問題の解円の中心は、2つの双曲線の交点であることを発見した。このファン・ルーメンの手法は1687年にアイザック・ニュートンによって改良されており、これはニュートンのプリンキピアに記述されている。なお、同手法は1881年にジョン・ケーシィによっても改良されている。
アポロニウスの問題 歴史
ファン・ルーメンの手法は、アポロニウスの問題を解決することには成功したのだが、この手法には欠点がある。定規とコンパスのみを使って問題を解くことこそが、古典的ユークリッド幾何学において真に賛美されるものなのである。角の三等分問題のように、コンパスと定規だけでは解けない問題もたくさんある。しかしながら、そのようなコンパスと定規だけでは解けない問題は、双曲線、楕円、放物線（円錐曲線）のような、交差する曲線(intersecting curve)を使うことで解決できる場合がしばしばあるのである。例えば、立方体倍積問題（与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を作図する問題）は、コンパスと定規だけでは作図することができないが、メナイクモスは、2つの放物線の交点を用いることで、立方体倍積問題が解決可能であることを示した。よって、ファン・ルーメンの解法――2つの交差する双曲線の交点を用いる解法――は、アポロニウスの問題が「コンパスと定規のみで解決可能」であるかどうかを示さなかったのである。
アポロニウスの問題 歴史
そもそもファン・ルーメンにアポロニウスの問題に取り組むようにけしかけたのは、ファン・ルーメンの友人であるフランソワ・ビエトであったが、ビエトはコンパスと定規のみを使う手法を開発した。ビエトの解法が発表される以前は、レギオモンタヌスはアポロニスの問題がコンパスと定規のみで解決可能であるのかを疑っていた。ビエトは、まずアポロニウスの問題の単純な特別なケース、例えば3つの与えられた点をすべて通る円を描く問題のようなケースを解決した。この場合、解法はただひとつしか存在しない。それから、ビエトはより複雑な特別なケースに解を与えようとした。一部のケースでは、与円を膨らませたり、縮めたりすることによって、このようなケースに解を与えようとした。アレキサンドリアのパップスによる4世紀のレポートによれば、アポロニウスの問題について書かれたアポロニウス自身の著書「接触」 Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies"; Latin: De tactionibus, De contactibus) は似たような段階的アプローチを取っていた。これゆえに、ビエトの解法はアポロニウスの問題の説得力ある再構成であると考えられている。ただし、ビエトのものとは異なる再構成が、3人の異なる著者によって独立に発表されている。
アポロニウスの問題 歴史
アポロニウスの問題に対する他の幾何学的解法は19世紀に開発された。もっとも有名な解法はPoncelet (1811) によるものである。また、Gergonne (1814) による解法も有名なもののひとつである。ポンスレの証明は円の相似中心や、方べきの定理に依るものであったのに対して、ジェルゴンヌの手法は直線と極線の間の結合関係を利用した。円の反転を用いた手法は1879年のジュリウス・ピーターセンによるものが先駆けとなった。ひとつの例としては、コクセターによるAnnual solution methodである。また、さらに別のアプローチとしてはリー球面幾何学を用いたものが挙げられる。なお、これはソフス・リーによって開発されたものである。
アポロニウスの問題に対する代数学的解法は17世紀にルネ・デカルトとフォン・デア・プファルツによるものが先駆けとなった。なお、デカルトとフォン・デア・プファルツの解法はかなり複雑である。実際的な代数的手法は、18世紀・19世紀に一部の数学者によって開発された。この数学者にはレオンハルト・オイラーや、ニコラス・ファス、カール・フリードリヒ・ガウス、ラザール・カルノー、そしてオーギュスタン＝ルイ・コーシーが含まれる。
アポロニウスの問題 解法
van Roomen (1596) の解法は、2つの双曲線の交差に基づいている。与円をそれぞれ C1, C2, C3 とする。ファン・ルーメンは、C1 と C2 のような 2 つの与円に接する円を探すという、より単純な問題を解くことで問題全体を解いた。ファン・ルーメンが注意したのは、2つの与円に接する円の中心は双曲線上に存在するということであった。この双曲線の焦点は、2つの与円の中心に等しい。これを理解するために、解円の半径を rs, 2つの与円の半径をそれぞれ r1 と r2 とする（図 3）。解円の中心と C1 の距離 d1 は、この 2 つの円が外接するか内接するかに応じて、rs + r1 あるいは rs − r1 である。これと同様に、解円の中心と C2 の距離 d2 は、外接か内接かに応じて rs + r2 あるいは rs − r2 である。したがって、これらの距離の差 d1 − d2 は必ず、rs によらない定数である。この焦点に対して、「一定の距離の差」を持つという性質は双曲線を特徴づけるものであり、このため、解円の中心となりうる点は双曲線上に存在するのである。2つめの双曲線は与円 C2 と C3 の対に対して描くことが可能であるが、ここでは解と C2 の内接・外接は、最初の双曲線のものと矛盾のないように選ばれなければいけない。この2つの双曲線の交差は、（もし交差が存在すれば）3つの与円に内接あるいは外接するような解円の中心を与える。アポロニウスの問題に対する解の完全な集合は、3つの与円に対する、すべての可能な解円の内接・外接の組み合わせを考えることで探すことができる。
アポロニウスの問題 解法
Newton (1687) はファン・ルーメンの解法を、解円の中心が、直線と円の交点になるように改良した。ニュートンはアポロニウスの問題を三辺測量の問題として再定義した。すなわち、点 Z から3つの与えられた点 A, B, C までの距離の差が既知の値であるときに、これらの3つの点から点 Z の位置を特定する問題である。これらの4つの点（点 Z と点 A, B, C）は、解円の中心（点 Z）と3つの与円の中心（点 A, B, C）に対応している。
上記のように2つの双曲線を求めるかわりに、ニュートンはそれらの準線を描いた。任意の双曲線に対して、点 Z から焦点 A の距離と点 Z からの準線 (directrix) の距離の比率は一定であり、これは離心率と呼ばれる。2つの準線は点 T で交差し、これらの2つの既知の距離の比率から、ニュートンは、点 T を通り、さらにその線上に点 Z が存在するような直線を描いた。しかしながら、距離の比 TZ/TA もまた既知の値であるため、点 Z は既知の円上にも存在する。なぜなら、円が、2つの固定された点に対して所与の距離の比率を持つ点の集合だと定義することができるとアポロニウスが示したためである（この定義は双極座標の基礎となっている）。このため、アポロニウスの問題に対する解は円と直線の交点となるのである。
アポロニウスの問題 解法
アポロニウスの問題は、10の特別なケースがあり、円（Circle, C）、直線（Line, L）、点（Point, P）などの「与えられた3つのオブジェクト」の性質によって分類される。慣習的に、これらの10のケースは、CCPなどの3文字のコードで区別される。ビエトはこれら10のケースすべてに対して、コンパスと定規のみを使った作図問題を解決した。ビエトは、似たケースの解法を、より複雑なケースを解くのに利用した。
ビエトはPPP（3つの点）のケースを、ユークリッドの原論に記載されている手法に従って解くことから始めた。ここから、ビエトは方べきの定理に相当する補題を得た。ビエトはこの補題を用いて、LPP（1本の直線と2つの点）のケースを解決した。再度ユークリッドの手法に従い、角の二等分線定理を用いて、ビエトはLLL（3本の直線）のケースを解決した。そして、ビエトは、1点を通り、角の二等分線に対して垂直な直線を描くための補題を得た。そしてこれを、ビエトはLLP（2本の直線と1つの点）のケースを解くために用いたのである。以上はアポロニウスの問題の最初の4つのケース（これらのケースは円を含まない）を説明するものである。
アポロニウスの問題 解法
残りの問題を解決するために、ビエトは与円と解円は接点を維持したまま大きさを変更することが可能であるという事実を活用した（図 4）。もし解円の半径が Δr だけ変化したならば、内接する与円の半径は同様に Δr だけ変化し、一方で外接する与円の半径は −Δr だけ変化する。このため、解円が膨らめば、内接する与円も同様に膨らみ、一方で外接する与円は接点を保ちながら縮む。
ビエトはこのアプローチを与円の1つを点になるまで縮めるために用いた。このように、ビエトは問題そのものをより単純な、すでに解決済みのものへと変えてしまったのである。ビエトは最初にCLL（1つの円と2本の直線）のケースを、円を点に縮めて、LLPのケースにすることで解決した。ビエトはそれから、CLP（1つの円と1本の直線、1つの点）のケースを3つの補題を用いることで解決した。ビエトは再度、円の1つを点にまで縮め、CCLのケースをCLPのケースに変え、解決した。それから、CPP（1つの円と2つの点）のケースを解決し、さらに2つの補題を用いてCCPのケースを解決した。最後に、ビエトは一般のCCC（3つの円）のケースを、円の1つを点にまで縮め、問題をCCPのケースに変えることで解決した。
アポロニウスの問題 解法
アポロニウスの問題は解円の中心と半径の3つの方程式の系として再構成が可能である。なぜなら、3つの与円およびあらゆる解円は同じ平面上に存在するので、これらの円の位置は、これらの円の中心の (x, y) 座標によって記述することが可能だからである。例えば、3つの与円の中心の位置は (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) のように記述することが可能である。対して、解円の中心の位置は (xs, ys) のように記述することができる。同様に、与円と解円の半径は、それぞれ、r1, r2, r3, rs と記述することができる。解円が与円のそれぞれに厳密に接しなければいけないという条件は、次のような、xs, ys, rs に関する 3 つの連立二次方程式として表すことができる。
アポロニウスの問題 解法
上記の右辺の 3 つの数字、s1, s2, s3 は符号 (sign) と呼ばれ、±1 に等しく、求められる解円が対応する与円に内部で接するか (s = 1)、外部で接するか (s = −1) を決定する。例えば、図 1と図 4では、ピンクの解円は右側にある中くらいの大きさの与円に内接しており、左側の一番小さい与円と一番大きい与円には外接している。これらの与円を半径を基準に並べると、この解に対する符号は "− + −" となる。これら 3つの符号は独立に選択されうるため、8つの可能な等式の組み合わせ (2 × 2 × 2 = 8) が存在し、このそれぞれの組み合わせは解円の 8 つのタイプのそれぞれに対応している。
この3つの等式からなる一般方程式系は終結式を用いた手法によって解くことが可能である。この3つの等式を展開すると、3 つの等式はすべて xs2 + ys2 を左辺に持ち、rs2 を右辺に持つ。1 つの等式を他の1つの等式から引くことで、これら2次項を消すことができる。残った線形項を座標 xs と ys の式を作るために並び替えると次のようになる。
アポロニウスの問題 解法
ただし、M, N, P および Q は、与円と符号選択の既知の関数。これらの式を最初の 3 つの等式の 1 つに代入することで、rs に関する2次の等式を得ることができる。これは二次方程式の解の公式で解くことができる。また、これら線形式に対する rs の数値的な値の代入によって、xs と ys の対応する数値的値を得ることができる。
等式の右辺の、符号 s1、s2、s3 の可能な選択は 8 通り存在し、それぞれの符号の選択は最大で 2 つの解を与える。なぜなら、rs に関する等式が二次方程式であるためである。そして、これは、アポロニウスの問題に対する解が最大で 16 通り存在するという（誤った）示唆を与えるものである。しかしながら、等式の対称性により、符号 si を伴った (rs, xs, ys) が解であるならば、逆の符号 −si を伴った(−rs, xs, ys) もまた解であり、そしてこれらは、同じ解円を表している。したがって、アポロニウスの問題は最大で 8 つの独立な解しかもたない（図 2）。このような二重カウントを避けるための一つの方法は、非負の半径を持つ解円のみを考えることである。
アポロニウスの問題 解法
あらゆる二次等式の 2 つの根は 3 通りのタイプに分けられる。すなわち、2 つの異なる実数、2 つの同一の実数（i.e., 二重根）、複素共役な 2 つの根である。2 つの異なる実数根をもつケースは、通常の解に対応している。つまり、それぞれの根の対が円に関する反転によって関連づけられる解の対に対応している（図 6を参照）。2つの同一の実数を持つケースでは、2 つの根は同一であり、反転の下で自分自身に変換される解円に対応している。このケースでは、与円の一つがそれ自体、アポロニウスの問題に対する解円であり、相異なる解の数は 1 つ減る。複素共役な 2 つの半径のケースはアポロニウスの問題に対して幾何学的に可能な解には対応しない。なぜなら解円は虚数半径を持つことができないためである。よって、解の数は 2 つ減る。興味深いことに、アポロニウスの問題はちょうど 7 つの解をもつことはなく、7以外の 0 から 8 までのいずれかの数の解を持ちうる。
アポロニウスの問題 解法
同様の等式はリー球面幾何の文脈においても導くことができる。リー球面幾何では、円・直線・点が 5 次元ベクトル X = (v, cx, cy, w, sr) として統一的に表される。ただし、c = (cx, cy) は円の中心であり、r は（非負の）半径である。もし r が 0 でなければ、符号 s は正もしくは負である。視覚的な観点から言うならば、s は円の向きを表しており、反時計回りの円は正の s を持ち、時計回りの円は負の s を持つ。パラメーター w は、直線ならば 0 であり、そうでなければ 1 である。
この 5 次元の世界には、ドット積に似た双線形な乗法
が存在する。リー二次曲線とは、自身との積（二乗ノルム）が 0 となるベクトルの全体、すなわち (X | X) = 0 で定義される図形を言う。X1, X2 をこの二次曲線上の 2 つのベクトルとする。これらの差のノルムは、定義により
と書ける。一方、積は加法と減法に対して分配的（より正確にいえば双線形）であるから、
となる。後者の式において (X1 | X1) = (X2 | X2) = 0 （双方とも二次曲線上にあるから）であり、また前者の式において X1, X2 が円であるものとすれば、円に対しては w1 = w2 = 1 ゆえ、まとめるとリー二次曲線上の任意の（円に対応する）ベクトル X1, X2 に対して
アポロニウスの問題 解法
が成り立つことが分かる。ただし、c1 − c2 を挟む縦棒はこの差ベクトルの長さ（すなわちユークリッドノルム）を表す。この式から分かることは、二次曲線上の二ベクトル X1, X2 が互いに直交する（垂直である）ならば（つまり (X1 | X2) = 0 ならば）、対応する円は接するということである。このとき、もし 2 つの符号 s1, s2 が同じ（即ち、二円が同じ "向き"）ならば二つの円は内接し、
ゆえ、これら二円の中心間の距離は半径の差に等しい。対照的に、二つの符号 s1, s2 が相異なる（即ち、二円の "向き" が逆）ならば二円は外接し、
ゆえ中心間の距離は半径の和に等しい。
以上の事から、アポロニウスの問題をリー幾何においてリー二次曲線上の直交ベクトルを求める問題として定式化しなおすことができる。具体的に言えば、リー二次曲線上のベクトルで、なおかつ与円に対応するベクトル X1, X2, X3 とも直交するもの、すなわち
を満足する解ベクトル Xsol を決定する問題である。
このように言い換えることによって、線型独立ですべて直交するベクトルの最大の個数に関する線型代数の定理を援用できるというメリットがある。これによって、解の最大数を数える別の方法を得ることができ、また、定理をさらに高次元な空間に拡張することができる。
アポロニウスの問題 解法
アポロニウスの問題に対する自然な枠組みは反転幾何学である。反転法の基本的な戦略は与えられたアポロニウスの問題を、別の、より単純で解くのが簡単なアポロニウスの問題へと変換することである。元々の問題への解法は変換した問題を元に戻すことで得られる。候補となる変換はアポロニウスの問題を別のものに変えるものでなくてはならない。すなわち、与えられた点、直線、円、を別の点、直線、円に変換しなくてはならず、これ以外の形状であってはならない。円反転はこのような性質を持ち、そして反転円の中心と半径をうまく選ぶことができる。他の候補にはユークリッド平面の等長写像があるが、これは単に元々の問題を平行移動、回転、鏡映するだけなので、元々の問題を単純化するわけではない。
半径 R、中心 O の円に関する反転は次のような操作で行われる(図 5)。任意の点 P の写る先の点 P' は、O, P, P' が同一直線状にあり、P および P' の中心 O までの距離の積が R の 2 乗に等しいような点である。
アポロニウスの問題 解法
このため、もし P が円の外側に存在するのであれば、P' は円の内側に存在し、逆もまた同様である。P が O のとき、反転は P を無限大へ送ると言う（複素解析においては、「無限大」はリーマン球面の見地から定義されている）。反転は、円または直線を常に円または直線に、点を常に点に変換するという便利な性質をもっている。反転においては円は円に変換されることが"多い"が、しかし、もし円が反転円の中心を通っていれば、この円は（反転円の中心を通らない）直線に変換され、逆に、反転円の中心を通らない直線は円に変換される。重要な事に、もし円が反転円に垂直に交わるならば、これは反転によって変化することはない。すなわち、自身に変換されるのである。
円反転はリーマン球面上のメビウス変換全体の部分集合に対応している。平面上のアポロニウスの問題はステレオ投影の逆写像によって球面上の問題に翻訳できる。よって、平面上のアポロニウスの問題の解法は球面上の対応部分にも直接関連するのである。以下で解説するよく知られている平面上の問題に対する反転的解法に加えて、その他の反転的解法も適用可能である。
アポロニウスの問題 解法
アポロニウスの問題に対する解は一般には対で生じる、つまり各解円に対して共役な解円が存在する（図 6）。一方の解円は、他方の解円の内側に存在する与円に外接する。逆もまた同様である。例えば、図 6においては、一方の解円（左上のピンクの円）は2つの与円（黒い円）を内包しているが、3番目の円には外接する。これとは対照的に、共役解（右下のピンクの円）はこの3番目の与円を内包するが、他のふたつには外接する。このふたつの共役な解円は、次の議論において反転に関連している。
一般に、任意の3つの相異なる円は、その3つすべてに垂直に交わるただ1つの円（根円）を持ち、この円の中心を3つの円の根心と呼ぶ。具体例を挙げれば、図 6のオレンジの円が与円である黒い円に垂直に交わっている。この根円に関する反転は、与円を変化させることはないが、2つの共役な解円（ピンクの円）をお互いへと変換する。同じ反転の下では、対応するふたつの解円の接点もお互いへと変換される。具体例を言えば、図 6において、それぞれの緑の直線上の2つの青い点が、互いへと変換される。よって、これら共役接点を結ぶ直線は反転の下では不変である。よって、これら直線は反転の中心を通らねばならず、そしてこれは根心と呼ばれる（図6でいうと、オレンジの点に交わる緑の直線）。
アポロニウスの問題 解法
もし3つの与円のうち2つが交わらないのであれば、2つの円が同心円となるように反転の中心を選ぶことができる。この反転の下では、解円は2つの同心円の間の円環内部に存在する。従って、このとき解円は2つの1パラメータ族(one-parameter families)に属する。ひとつめの族においては（図 7）、解円は内側の同心円を内包せず、むしろ円環内の玉軸受のようになる。
2つめの族(図 8)においては、解円は内側の同心円を内包する。一般的にそれぞれの族に対して4つの解が存在し、8つの可能な解を生み出すが、これは代数学的解法とも矛盾しない。
与円のうち2つが同心円であるとき、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができる。3つの与円の半径の値は既知であるが、同心円の共通の中心から同心でない円までの距離 dnon も同様に既知の値である（図 7）。解円はその半径 rs、角度 θ、解円の中心から同心円の共通の中心までの距離 ds、解円の中心から同心でない円の中心までの距離 dT によって決定される。
解円の半径および距離 ds は既知の値である（図 7）。そして、距離 dT = rs ± rnon であり、これは解円が同心でない円に内接するか外接するかに依存する。従って、余弦定理から、
アポロニウスの問題 解法
ここで、新たな定数 C は簡潔さのために定義されたものであり、下付きの記号は解円の内接・外接を示している。三角関数を用いて整理することで、4つの解を導きだすことができる。
この式は、θ の符号の2つの選択と C に対する2つの選択に対応して、4つの解を示している。残りの4つの解は、図 8で示された rs および ds の代入を用いて、上記と同じ方法で得ることができる。すなわち、一般のアポロニウスの問題に対する8つすべての解をこの方法で得ることができる。
初期の交わりを持たない任意の2つの与円は次のように同心円に変えることができる。まず、2つの与円の根軸を作図する。この根軸上の2つの任意の点 P および Q を選ぶことで、この根軸上に P および Q を中心とし、2つの与円に直交する2つの円を描くことができる。これら作図された円はお互いに2点で交わる。そのようなある反転点 F での反転は作図された円を点 F から放射する直線に、2つの与円を同心円に変え、3つめの与円は一般に別の円になる。これは、円の系がアポロニウスの円の集合に等価であることから従い、双極座標系を形成する。