hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
フラッティーニ部分群 事実
群 G のフラッティーニ部分群 Φ(G) は G のすべての非生成元 (non-generators, non-generating elements) の集合に等しい。ここで G の非生成元とは常に生成集合から取り除くことができる元である。つまり X ∪ {c} が  G の生成集合であるときには、X もまた G の生成集合であるような G の元 c を指す。
G が有限 p-群であれば、Φ(G) = G ′ Gp である。したがって、フラッティーニ部分群は商群 G/N が基本アーベル群、すなわち位数 p の巡回群の直和に同型であるような包含に関する最小の正規部分群 N である。さらに、商群 G/Φ(G) (G のフラッティーニ商 (Frattini quotient) とも呼ばれる）が位数 pk をもてば、k は G の生成元の最小の個数である（つまり G の生成集合の最小の濃度である）。とくに有限 p-群が巡回群であることとそのフラッティーニ商が（位数 p の）巡回群であることは同値である。有限 p-群が基本アーベルであることとそのフラッティーニ部分群が自明群、Φ(G) = {e} であることは同値である。
ヒルベルト・サミュエル関数
可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と Pierre Samuel にちなんで名づけられているが、写像  であってすべての  に対して
であるようなものである、ただし  は A 上の長さを表す。それは伴う次数加群  のヒルベルト関数と恒等式
によって関連付けられる。十分大きい  に対して、それは次数が  に等しい多項式関数と一致する。
ヒルベルト・サミュエル関数 例
二変数の形式的冪級数の環  を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x2 と y3 によって生成されたものとすると、
ヒルベルト・サミュエル関数 次数の制限
ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。 でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。
をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。
が有限生成 R-加群の完全列で、 の長さが有限であれば、
ただし F は次数が  の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、 であれば、  の次数は  の次数よりも真に小さい。
証明： 与えられた完全列を  でテンソルして核を計算すると、完全列
を得、これから
.
右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、
したがって、
.
これは望んだ次数の制限を与える。
退化形式
数学、とくに線型代数学において、ベクトル空間 V 上の退化 (degenerate) 双線型形式 f(x, y) とは、V から V*（V の双対空間）への  で与えられる写像が同型でないような双線型形式である。V が有限次元のときの同値な定義はそれが非自明な核をもつということである、すなわち次を満たす V の 0 でない元 x が存在する
すべての y ∈ V に対して f(x, y) = 0.
退化形式 非退化形式
非退化 (nondegenerate) あるいは非特異 (nonsingular) 形式は退化でない形式である、つまり  が同型である、あるいは有限次元では同値なことだが、
すべての y ∈ V に対して f(x, y) = 0 であれば、x = 0.
退化形式 行列式を使う
V が有限次元であれば、V のある基底に関連して、双線型形式が退化であることと伴う行列の行列式が 0 であることは同値である、つまり行列が特異であることと同値である、そしてそれゆえ、退化形式は特異形式 (singular form) とも呼ばれる。同様に、非退化形式は伴う行列が非特異である形式であり、それゆえ非退化形式は非特異形式 (non-singular form) とも呼ばれる。これらのステートメントは基底の選び方によらない。
退化形式 例
非退化形式の最も重要な例は内積とシンプレクティック形式である。対称非退化形式は次のような点で内積の重要な一般化である。要求されるすべてはしばしば写像 V → V* が同型であることであり正値性ではない。例えば、接空間に内積構造をもった多様体はリーマン多様体であるが、これを対称非退化形式に弱めると擬リーマン多様体が生まれる。
退化形式 無限次元
無限次元空間において  が単射であるが全射でない双線型形式 ƒ があることに注意しよう。例えば、有界閉区間上の連続関数のなす空間上、形式
は全射でない。例えば、ディラックのデルタ関数は双対空間にはあるが要求された形式ではない。一方、この双線型形式は次を満たす。
すべての  に対して  であれば、
退化形式 用語
ƒ がすべてのベクトル上恒等的に消えるならば、 totally degenerate と言う。V 上の任意の双線型形式 ƒ が与えられると、ベクトルの集合
は V の totally degenerate 部分空間をなす。写像 ƒ が非退化であることとこの部分空間が自明であることは同値である。
用語 anisotropic, isotropic, totally isotropic がそれぞれ nondegenerate, degenerate, totally degenerate の意味で使われることがある。これらの後者の用語の定義は著者の間でわずかに異なりうるが。
次のことに気を付けよう。ƒ(x, x) = 0 であるようなベクトル x ∈ V は双線型形式 ƒ に伴う二次形式において等方的 (isotropic) と呼ばれ、等方的直線の存在は形式が退化であることを意味しない。
既約成分
数学、とりわけ代数幾何学において、既約成分 (irreducible component) の概念は方程式 XY = 0 によって定義されるような集合は二本の直線 X = 0 と Y = 0 の和集合であるというアイデアを形式的にするために使われる。したがって空でない代数的集合 (algebraic set) が既約 (irreducible) であるとは、2つの真の代数的部分集合の和集合でないということである。次のことは古典的な代数幾何学の基本的な定理である。すべての代数的集合は有限個の既約代数的部分集合（多様体）の和集合であり、この分解はほかの部分集合に含まれるようなものをとり除けば一意的である。この一意的な分解の元は既約成分 (irreducible component) と呼ばれる。
この概念はザリスキ位相（これは閉部分集合が部分多様体であるような位相である）という位相の用語を用いて再定式化することができる：代数的集合が既約であるとはそれがザリスキ位相で閉な2つの真の部分集合の和集合でないことである。これによってトポロジーにおける一般化ができ、それを通じて、有限分解の上記の性質が必ずしも正しくないような一般のスキームに一般化できる。
既約成分 位相幾何学において
位相空間 X が可約 (reducible) であるとは、それが X の2つの空でない真の閉部分集合 ,  の和集合  として書けるということである。位相空間が既約 (irreducible)（あるいは hyperconnected）であるとは、それが可約でないということである。同じことだが、X のすべての空でない開部分集合は稠密である、あるいは任意の2つの空でない開集合は空でない共通部分をもつ。
位相空間 X の部分集合 F が既約あるいは可約であるとは、F を相対位相 (subspace topology) によって位相空間と見たときに上記の意味での対応する性質をもつということである。つまり、 が可約であるとは、それが和集合  として書ける、ただし  は  の閉部分集合でどちらも  を含まない、ということである。
位相空間の既約成分 (irreducible component) は極大既約部分集合である。ある部分集合が既約なら、その閉包も既約であり、したがって既約成分は閉集合である。
既約成分 代数幾何学において
すべてのアフィンあるいは射影代数的集合は多項式環のイデアルの零点集合として定義される。この場合、既約成分は極小素イデアルに対応する多様体である。分解の一意性と有限性を証明できるようにするのはこの同一視である。この分解はイデアルの準素分解と強く関係している。
一般のスキーム論、すべてのスキームは既約成分の和集合であるが、成分の数が有限であるとは限らない。しかしながら、「実際」上起こるたいていのケースでは、すなわちすべてのネータースキームに対しては、既約成分は有限個である。
既約成分 例
既約性は集合の位相にかなり依存する。例えば、直感に反するかもしれないが、実数全体は通常の位相で可約である：2つの閉集合 (-∞,0] と [0,+∞) の和集合である。
既約成分の概念は代数幾何学において基本的であり、数学のこの分野の外ではめったに考えられない：代数的集合
X := { (x, y) | xy = 0 }
を考えよう。これは平面の部分集合である。ザリスキ位相について、その閉部分集合はそれ自身、空集合、一元集合、x = 0 と y = 0 で定義される二本の直線である。したがって X は可約であり、二本の直線がその既約成分である。
これは（多様体 X が体 k 上定義されているとして）座標環 k[x, y]/(xy) からも読み取ることができる。その極小素イデアルは (x) と (y) である。
指標群
数学において、指標群 (character group) は複素数値関数による群の表現の群である。これらの関数は一次元行列表現と考えることができ、したがって関連した文脈である指標理論において生じる群指標の特別な場合である。群が行列によって表現されるときにはいつでも、行列のトレースによって定義される関数は指標 (character) と呼ばれる。しかしながら、これらのトレースは一般には群をなさない。これらの 1 次元指標のいくつかの重要な性質は一般の指標に適用する：
有限アーベル群の指標群の主要な重要性は数論においてである。そこではそれがディリクレ指標を構成するために使われる。巡回群の指標群はまた離散フーリエ変換の理論においても現れる。局所コンパクトなアーベル群に対して、（連続性を仮定して）指標群はフーリエ解析の中核をなす。
指標群 前書き
G をアーベル群とする。群を 0 でない複素数に写す関数  はそれが群準同型であるとき、つまり任意の  に対して  であるときに、G の指標 (character) と呼ばれる。
f が有限群 G の指標であれば、各関数値 f(g) は1の冪根である（なぜならば任意の g ∈ G に対してある k ∈ N が存在して  であり、 となるからである）。
各指標 f は G の共役類上定数である、つまり、f(h g h−1) = f(g).  この理由のため、指標は類関数 (class function) と呼ばれることがある。
位数 n の有限アーベル群はちょうど n 個の異なる指標をもつ。これらは f1, ..., fn で表記される。関数 f1 は自明な表現である、すなわち 。それは G の主指標 (principal character of G) と呼ばれる。それ以外は非主指標 (non-principal character) と呼ばれる。非主指標はある  に対して  という性質をもつ。
指標群 定義
G が位数 n のアーベル群であれば、指標 fk たちの集合は各元  に対して  という積の下でアーベル群をなす。この群は G の指標群　(character group of G) であり、 と表記されることがある。その位数は n である。 の単位元は主指標 f1 である。fk の逆元は逆数 1/fk である。任意の g ∈ G に対して  であるから逆は複素共役に等しいことに注意する。
指標群 指標の直交性
成分が 、ただし  は G の k 番目の元、であるような  行列 A=A(G) を考えよう。
A の j 行目の成分の和は次で与えられる。
if , and
.
A の j 列目の成分の和は次で与えられる。
if , and
.
で A の共役転置 (conjugate transpose) を表す。すると
.
これは指標の所望の直交性関係を意味する。すなわち、
,
ただし  はクロネッカーのデルタで  は  の複素共役である。
普遍係数定理
普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。
定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。
普遍係数定理 概要
本稿では以下の４種類の普遍係数定理を紹介する：
C*、C*をそれぞれR上のチェイン複体、コチェイン複体とし、MをR-加群とするとき、これらはそれぞれ以下の用途で利用できる（用語や記号の説明は「準備」の章を参照）：
ここで
はC*のM係数のコホモロジーである。
C*のM係数のホモロジーが
と定義されていた事を用いると、1つ目の普遍係数定理により
ができるようになる。一方、2つ目の普遍係数定理を使って
事をしようとすると、一般にはととが等しくならない事が原因でうまくいかない。このため、これら２つが等しくなる事を保証するため、若干の仮定を追加する必要がある。詳しくは後述する。
普遍係数定理 準備
本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。
Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群と写像の組で、
となるものR上のチェイン複体といい、
をのn次のホモロジー加群という。とする。
可換環Rに対し、でがR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、
をのn次のコホモロジー加群という。とする。
これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体に対し、
と定義すると
であるのではコチェイン複体である。をMに関するの双対コチェイン複体（英: dual cochain complex）という。
定義 ―
Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列
でA、Bが自由R-加群であるものを選び、
を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで
と定義する。の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義したと自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
の事をTor関手という。
普遍係数定理 準備
なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。またの事をと表記し、より一般に（n≧0）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。
Tor関手は以下の性質を満たす。
命題 ― 
Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する：
1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、
という分解が可能なので、である。
4.に関してはx倍する演算を「」と書くと、
という分解が可能であり、なので、
である。よってである。
5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RnとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、はとの直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。
Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRnと複数のR/(xi)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTorRは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorRを容易に計算できる。
Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列
でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ。そして
普遍係数定理 準備
を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで
と定義する。ここでCokerは余核である。すなわち、に対し、である。
の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義したと自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
の事をExt関手という。
またに関してもと同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、が定義できてであるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。
Ext関手は以下を満たす：
命題 ― 
Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する：
1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、
という分解が可能なので、である。
4.に関しては、x倍する演算を「」と書くと、
という分解が可能であり、
である。
ここでに対し、である。
しかもはの行き先により全てのの行き先が決まるので、である。よってである。
5.は4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RnとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、はとの直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。
TorRの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExtRを具体的に計算できる。
普遍係数定理 Torに関する普遍係数定理
次の定理が成立することが知られている：
定理 (Torに関する普遍係数定理) ― 
Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらにをR上のチェイン複体で、各nに対しがR-加群として自由なものとする。このとき
が短完全系列となるα、βが存在する。
しかもこの短完全系列はおよびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂する。
上記の定理でαはと具体的に書ける。
なお、係数環 RがでMがの場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列の特別な場合に相当する。
で各が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、は自由加群部分Fnと素数pに対するの和で書ける。（有限個の素数pを除いてである）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：
命題 ― 上記の設定のもと：
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：
定理 ― 
R、Mを上述の定理と同様に取り、を任意のコチェイン複体とすると、
が短完全系列となるα、βが存在する。
この短完全系列が、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。
普遍係数定理 Torに関する普遍係数定理
またで各が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー（例えばMを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。
Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の、を単純に置き換える事で、以下の系が従う：
系 ― 
R、Mを前述の定理と同様に取り、を任意のチェイン複体とすると、
が短完全系列となるα、βが存在する。
一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、としてやると、
であるが、の方は
であり、コホモロジーの普遍係数定理における
とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：
定理 ― 
R、Mを前述の定理と同様に取り、さらにをR上のチェイン複体で各nに対し、がR-加群として自由なものとする。
このときMがR上有限生成であるかもしくは全てのnに対してがR上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるα、βが存在する:
.
普遍係数定理 Extに関する普遍係数定理
Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
前に述べたように、チェイン複体の双対コチェイン複体に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群をにより定義する。
このとき以下の定理がしたがう：
上述の定理においてαはに対し、というの元を対応させる写像である。
で各が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、は自由加群部分Fnと捩れ部分群部分の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる：
上記により-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：
上述の定理において、αはに対し、というの元を対応させる写像である。
対数微分
数学、とくに微分積分学と複素解析学において、関数 f の対数微分あるいは対数導関数 (英: logarithmic derivative) は式
によって定義される。ただし f′ は f の導関数である。直感的には、f における無限小相対変化である。つまり、f の現在の値によってスケールされた、f の無限小絶対変化すなわち f′。
f が実変数 x の関数 f(x) で真に正の実数値をとるとき、これは ln f, すなわち f の自然対数の導関数に等しい。これは連鎖律から直ちに従う。
対数微分 基本的な性質
実の対数の多くの性質は、関数が正の実数に値を取らないときでさえ、対数導関数にも適用する。例えば、積の対数は因子の対数の和であるから、
が成り立つ。そのため正の実数値関数に対して、積の対数微分は因子の対数微分の和である。しかし積の微分に対してはライプニッツの法則を使うこともでき、次を得る
したがって、任意の関数に対して次のことが正しい。積の対数微分は因子の対数微分の和である（定義されているときは）。
これの系は関数の逆数の対数微分は関数の対数微分のマイナス1倍である：
ちょうど正の実数の逆数の対数は数の対数のマイナス1倍であるように。
より一般に、商の対数微分は被除数と除数の対数微分の差である：
ちょうど商の微分は非除数と除数の対数の差であるように。
別の方向に一般化して、（実定数の指数による）ベキの対数微分は、指数と、底の対数微分の積である：
ちょうどベキの対数は指数と底の対数の積であるように。
まとめると、微分と対数はともに積の法則、逆数の法則、商の法則、そしてベキの法則をもつ（list of logarithmic identities を比較せよ）。法則の各ペアは対数微分を通して関係している。
対数微分 対数導関数を使った普通の導関数の計算
対数導関数は積の法則を要求する導関数の計算を簡単化できる。過程は次のようである： f(x) = u(x)v(x) とし f′(x) を計算したいとする。それを直接計算する代わりに、その対数微分を計算する。つまり、次を計算する：
両辺に f をかけることによって f′ が計算できる：
このテクニックは f がたくさんの数の因子の積であるときに非常に有用である。このテクニックによって f′ の計算が各因子の対数導関数を計算し、和を取り、f を掛けることによってできるようになる。
対数微分 積分因子
対数導関数のアイデアは一階の微分方程式の積分因子手法と密接に関係している。作用素の言葉では、
と書き M はある与えられた関数 G(x) による積の作用素を表す。すると
は（積の法則によって）
と書くことができる、ただし  は今対数微分
による積作用素を表す。実際的には
のような演算子が与えられ、f は与えられ関数 h について方程式
を解きたい。するとこれは
を解くことに帰着する。これは解として F の任意の不定積分によって
をもつ。
対数微分 複素解析
与えられたような公式はより広く適用できる。例えば f(z) が有理型関数であれば、f が零点でも極でもないすべての複素数値 z において意味をなす。さらに、零点や極において対数導関数は n ≠ 0 を整数として特別な場合
zn
の言葉で容易に分析できる方法で振る舞う。このとき対数導関数は
n/z;
であり次の一般的な結論を描くことができる。有理型関数 f に対して、f の対数微分の特異点はすべて一位の極であり、位数 n の零点から留数 n、位数 n の極から留数 −n。偏角の原理を見よ。この情報は周回積分でしばしば利用される。
ネヴァンリンナ理論の分野において、重要な補題は次のことを述べている。対数導関数の proximity function はもとの関数の Nevanlinna characteristic に関して小さい、例えば 。
対数微分 乗法群
対数導関数の使用の背後には GL1 すなわち実数や他の体の乗法群についての2つの基本的な事実がある。微分作用素
は 'translation' （定数 a に対し X を aX で取りかえる）の下で不変量である。微分形式
dX/X
も同様に不変量である。したがって、GL1 への関数 F に対して、式
dF/F
は不変形式の引き戻しである。
対数微分法
微分積分学において、対数微分法 (logarithmic differentiation) あるいは対数をとることによる微分 (differentiation by taking logarithms) は関数 f の対数導関数を用いるすることによって関数を微分するために使われる手法である
このテクニックは関数自身よりもむしろ関数の対数を微分する方が簡単な場合にしばしば実行される。これは通常、対象の関数がたくさんの積からなっており対数によってそれが（微分するのがはるかに簡単な）ばらばらの和になるような場合において起こる。それはまた変数や関数のベキである関数に適用するときにも有用である。対数微分は、チェイン・ルールだけでなく、積を和に、商を差に変えるために対数（とくに自然対数、すなわち底が eの対数）の性質に依存している。ほとんどすべての微分可能な関数の微分において、これらの関数が 0 でないならば、少なくとも部分的には、原理を実行することができる。
対数微分法 概要
関数
に対して、対数微分は典型的には両辺の自然対数、すなわち底が e の対数をとることによって始まる、関数が常に正になるように絶対値をとる。
陰関数微分をすると
そして、左辺の 1/y を除去して dy/dx だけを残すために y をかける：
この手法は対数の性質によって複雑な関数の微分を素早く、単純にするために使われる。以下の性質(対数法則)を、両辺の自然対数をとったのちの微分をする前に利用できる。最もよく使われる対数法則：
大文字パイ表記を使って、
自然対数を適用すると（大文字シグマ表記を使って）
となり、微分すると、
もとの関数の導関数を得るために整理すると
対数微分法 応用
自然対数は2つの関数の積
に適用されて積を和に変える
チェインルールと和の法則を適用して微分する
整理すると
自然対数は2つの関数の商
に適用されて割り算を引き算に変える
チェインルールと和の法則を適用して微分する
整理すると
展開して共通分母公式を使った後結果は商の法則を  に直接適用したのと同じである。
次の形の関数に対して
自然対数は冪乗を積に変える
チェインルールと積の法則を適用して微分する
整理すると
同じ結果は f を exp の言葉で書き直しチェインルールを適用することによって得ることができる。
余接束
数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束（よせつそく、英語: cotangent bundle）は、多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。
余接束 対角写像による形式的な定義
M を滑らかな多様体とし M × M を M の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 Δ は M の点 p を M × M の点 (p, p) に送る。Δ の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。 を対角線上消える M × M 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層  はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。余接層はこの層の M への引き戻しである。
テイラーの定理によって、これは M の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは M 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。
余接束 多様体における反変性
多様体の滑らかな射  は M 上の引き戻し層  を誘導する。ベクトル束の誘導される写像  が存在する。
余接束 相空間としての余接束
余接束 X=T*M はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。T*M の定義が底空間 M の微分トポロジー (differential topology) に関係づける方法のために、 X は自然な 1-形式 θ （canonical one-form あるいは tautological one-form あるいは symplectic potential）を有する。θ の外微分は斜行 2-形式 (symplectic 2-form) であり、そこから非退化体積形式 (volume form) が X に対して構成できる。例えば、結果として X は常に向き付け可能な多様体である（つまり X の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 (canonical coordinates) と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
余接束 相空間としての余接束
余接束は自然 1-形式 (tautological one-form) θ（Poincaré 1-形式あるいは Liouville 1-形式とも呼ばれる）をもっている。（この形式は、混乱を招くこともあるが、canonical one-form とも呼ばれる。）これが意味するのは、T*M をそれ自身多様体と見たときに、T*M 上のベクトル束 T*(T*M) の断面が存在するということである。
この断面はいくつかの方法で構成することができる。最も初等的な手法は局所座標 (local coordinates) を使うことである。xi を基礎多様体 (base manifold) M 上の局所座標系とする。これらの基礎座標系の言葉で言うと、ファイバー座標系 pi が存在する： T*M の特定の点における 1-形式は（アインシュタインの縮約記法を使って）pidxi の形をしている。なので多様体 T*M はそれ自身局所座標 (xi, pi) をもっている、ただし x は基礎上の座標で p はファイバーにおける座標である。自然 1-形式はこれらの座標系において
余接束 相空間としての余接束
によって与えられる。本質的には、T*M の各固定された点での自然 1-形式の値は引き戻しとして与えられる。具体的には、π: T*M → M を束の射影 (projection) としよう。Tx*M の点を取ることは M の点 x と x における 1-形式 ω を選ぶことと同じであり、自然 1-形式 θ は点 (x, ω) に値
を割り当てる。つまり、余接束の接束におけるベクトル v に対して、自然 1-形式 θ の (x, ω) における v への適用は v を dπ: TT*M → TM を使って x における接束に射影し ω をこの射影に適用することで計算される。自然 1-形式は基礎 M 上の 1-形式の引き戻しではないことに注意する。
余接束は、自然 1-形式、symplectic potential、の外微分として、それ上の自然な斜交 2-形式 (symplectic 2-form) をもつ。この形式が実際に斜交であることの証明は、斜交であることは局所的な性質であることを注意することによってできる。余接束は局所的に自明であるから、この定義は  上でチェックされるだけでよい。しかしそこで定義される 1-形式は  の和であり、微分は自然な斜交形式、 の和である。
余接束 相空間としての余接束
多様体 M が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 T*M を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。
群の直和
数学における群の直和（ちょくわ、英: direct sum）は、与えられた群のあつまりからより大きな群を作り出す構成法の一つであり、また与えられた群をその特定の性質を満たす部分群によって表す方法の一つである。抽象代数学において、この構成法はベクトル空間、加群、そして他の構造の直和に一般化することができる。より多くの情報は記事加群の直和を参照されたい。
有限個の群の直和（有限直和）は群の直積に本質的に同一の概念となる一方で、無限個の群の直和（無限直和）は直積とは必ずしも同型にならないため、直和と直積の区別は無限直和において本質的である。無限直和は制限直積とも呼ばれる。群の直和が圏論的直和（双対直積）ではないことに注意せよ（群の直積の圏論的双対は群の自由積である）。
しばしば、考える群が加法的に書かれたアーベル群であるときの群の直積という意味で「直和」と呼び、アーベル群 A, B のその意味での直和を（A × B と書く代わりに） A ⊕ B で表すことがある。
群の直和 有限直和
群 G は次のようなとき 2 つの部分群 H1 と H2 の直和 (direct sum) と呼ばれる。
G が部分群 H と K の直和であるとき、G = H + K で表す。
より一般に、G が部分群の有限集合 {Hi} の直和であるとは、
G が部分群の集合 {Hi} の直和であることを、しばしば G = ∑Hi と書く。
群の直和は可換である。つまり、ふたつの部分群の直和の場合には、
G = H + K = K + H
である。また次の意味で結合的でもある。G = H + K,  K = L + M であれば、
G = H + (L + M) = (H +  L) + M である。
G = H + K であれば、次のことが証明できる：
上記の主張は G = ∑Hi の場合にも一般化できる、ただし {Hi} は部分群の有限集合。
g = h1*h2* ... * hi * ... * hn
直和と直積との類似性に注意しよう。直積では各 g は
g = (h1,h2, ..., hi, ..., hn)
として一意的に書ける。
すべての i ≠ j に対して hi * hj = hj * hi であるから、直和における元の積は直積において対応する元の積に同型であることが従う。したがって部分群の有限集合に対しては、∑Hi は直積 Π{Hi} に同型である。
群の直和 直和分解
非自明な部分群の直和として書ける群は直可約 (decomposable) と呼ばれ、そうでないとき直既約 (indecomposable) と呼ばれる。
与えられた群 G の部分群 H が G の直和成分 (direct summand) である（あるいは G から分裂する (split)）とは、別の部分群 K ≤ G が存在して G は部分群 H と K の直和に書けるときにいう。
アーベル群の場合には、H が G の可除部分群ならば H は G の直和成分となる。
有限群の直既約部分加群の直和への分解において部分群の埋め込みは一意ではない。例えば、クライン群 V4 = C2 × C2 において、次が成り立つ。
V4 = <(0,1)> + <(1,0)>
V4 = <(1,1)> + <(1,0)>
しかしながら、有限群 G = ∑Ai = ∑Bj、ただし各 Ai と各Bj は非自明で直既約、が与えられると、2つの和は順序の入れ替えと同型の違いを除いて同じ項をもつ、というのがレマク・クルル・シュミットの定理の内容である。
レマク・クルル・シュミットの定理は無限群に対しては成り立たない。なので無限 G = H + K = L + M のケースにおいて、すべての部分群が非自明で直既約であるときでさえ、H は L か M に同型であると仮定できない。
群の直和 無限直和
G が部分群の（非可算の場合も許す）無限集合の直和の場合において群の直和と直積との関係を述べるには、より多くの注意が必要である。
G が部分群の無限集合 {Hλ} の内部直和 (internal direct sum) ∑Hλであるとは、G の各元 g が適当な有限集合 S = Sg と {hi ∈ Hi : i ∈ S} を選んで、g = ∏ {hi : i ∈ S} と一意的に表せるときに言う。
g が群の無限直積 ∏{Hλ} の元であるとき、この直積における g の第 λ-成分を gλ と書くことにする。群の集合 {Hλ} の外部直和 (external direct sum)（あるいは制限直積） ∑E{Hλ} は、直積 ∏{Hλ} の次のような部分集合である。
各元 g ∈ ∑E{Hλ} の成分gλ は有限個を除くすべてが単位元  に一致する（同じことだが、gλ のうち有限個だけが単位元でない）。
外部直和における群演算は通常の直積のように成分ごとの積とする。この部分集合は確かに群をなす。特に、群の有限集合に対して、それらの外部直和は直積に等しい。
G = ∑Hλ であるとき、G は ∑E{Hλ} に同型である。したがって、このときの直和はある意味「内部」(internal) 外部直和である。
ブランコ島
ブランコ島（ポルトガル語、Ilhéu Branco）とは、アフリカ大陸のすぐ西の大西洋上に存在する、バルラヴェント諸島を構成する小さな島の1つである。バルラヴェント諸島の中では中央部に存在するサンタ・ルシア島のすぐ南東の海上に位置している。なお、ブランコ島はカーボベルデに属していて、かつては流刑者がいたものの、現在は無人島である。
ブランコ島 概要
ブランコ島（Ilhéu Branco）というのは、ポルトガル語で「白い小さな島」という意味である。この島は、長さ約4キロメートル、幅約1キロメートルの、長方形のような形をしているものの、面積は約3平方キロメートルである。島は岩がちで、その海岸線はほとんど断崖であるため、この島に上陸するのは難しい。島内で最も高い場所の標高は、約327メートルである。
かつてこの島と、すぐ近くにあるラソ島だけに生息していたオオスベトカゲは、ヒトによって乱獲されて絶滅した。その一方、鳥類にとっては、現在でも重要な生息地の1つとなっている。
ラソ島
ラソ島（ポルトガル語、Ilhéu Raso）とは、アフリカ大陸のすぐ西の大西洋上に存在する、バルラヴェント諸島を構成する、小さな島の1つである。古くはラゾ島（Razo）と呼ばれていた。なお、ラソ島はカーボベルデに属していて、かつては流刑者がいたものの、現在は無人島である。
ラソ島 概要
ラソ島は、長軸約3000メートル、短軸約2400メートルの、おおよそ楕円形をした島で、その面積は約7平方キロメートルである。この島は成層火山による火山島として形成されたと考えられていて、おおよそ今から1億2300万年前の海洋地殻も島に含まれている。その後、火山活動が停止してからは侵食されて、岩壁の海岸を持つ現在の形になった。なお、現在の島で最も高い場所の標高は、約164メートルに過ぎない。
現在の島の気候は乾燥していて、その植生は、島の南西部にわずかな植物が生育している程度である。かつてこの島と、すぐ近くにあるブランコ島だけに生息していたオオスベトカゲは、ヒトによって乱獲されて絶滅した。その一方、鳥類にとっては、現在でも重要な生息地の1つとなっている。鳥類の中には、ラザコヒバリのように、この島の固有種であり、かつ絶滅寸前の種も生息している。そのような理由もあったことから、この島は1990年に保全地域に指定された。
ムマキル
ムマキル（Mûmakil）は、ファンタジー作家J・R・R・トールキンの作品世界中つ国に棲息する巨大な野生動物である。
ムマキル 概要
姿は現生または古代の象に似ているとされ、赤い目を持つともされる。高い耐久力も相まって群れでの突進は驚異的な破壊力を持つ。ホビットのビルボ・バギンズの記した「西境の赤表紙本」やその他の記録によると、ムマキルの完全な骨格が発見されたことは一度もなかったが、成獣の体高は15ｍから30ｍ以上（50～100フィート）にまで達したとされている。口元からは上向きや真正面などさまざまな方向に生えたものも含め、大小6本もの長大な象牙が生えている。その巨体とおとなしい性質から古来より南方の地にてハラドリムの民の騎乗・戦闘兵力として調教され、さまざまな形で中つ国の者々に知られてきた（ホビット族には、サムワイズ・ギャムジーら旅の仲間が視認するまではおとぎ話に登場する伝説的な存在のごとく思われていた）。大木や柱のように太い四肢は力強く、胴体だけで家や建物よりも大きく、帆のように大きな耳と小さな赤い目を持ち、長い鼻は大蛇のごとしとされ、さらに背中にはハラドリムらが竹やキャンバスなどでこさえたとされる櫓が載せられるなど戦場では圧倒的な威容を誇っていた。皮膚は分厚く生半可な攻撃ではびくともしないどころか殺すのはほとんど不可能とされ、最も勇敢な馬でさえ本能的な恐怖にとらわれ、その足元に近づくことすらできなかった。せいぜいできることは目を狙ったり混乱させる以外になかったのである。
ムマキル 呼称
ゴンドールの民によるムマキル（Mûmakil）またはムーマキルという呼称は複数形であり、単数形はムマーク（Mûmakまたはムーマクである。ホビット族には一般的にオリファント（Oliphaunt）＝じゅうと呼ばれていた。また、ホビット族はハラドリムのことを「ムマキルに乗る、太陽の国(Sunlands)出身の大きな人ら」の意をこめてスワート人（Swerting）と称した。
ムマキル 語源
古代ギリシャ語における Oliphaunt は象・象の牙・象牙（製品）・象牙から製作された楽器・角のように見える楽器などを指すOliphant の派生表記として見られ、中英語では olifantまたはolifauntを起源とする説がある。なお、現在の英語圏でも名字のひとつとして’Oliphant’が広く残り、今日のオランダ語にても象を指す語として「Olifant」がある。
ムマキル 自然史
元は南方のハラドの地に鬱蒼と広がるジャングルに生息していたとされる。第三紀以前の不特定の時期にハラドリムとの接触があったと思われる。中つ国のほとんどの生き物はこの巨象を恐れたとされ、その巨体の生み出す破壊力と威容は龍に匹敵し、ありとあらゆる不思議な力を持っているとまでも言われた。また、指輪戦争時に見られた個体らは十分に巨大で多大な戦力であったが、記述によると古代の彼らの祖先はこれらよりもはるかに巨大であったとされる。生物の弱小化と神性や魔性の消失は、神々の影響を受けなくなった第二紀以降の中つ国では普遍的な現象であるが、ムマキルらもその影響を受けたのかは定かではない。
なお、中つ国は現在の地球の在りし日の姿であるとされるが、ムマキルが現生の象族の祖先であったかは明らかにされていない。なお、旅の仲間による最初の目撃の時点では、調教器具からは血がしたたり落ち、象使いと思われるハラドリムの命令を無視し、攻城櫓を破壊し怒り狂いながら戦地へ向かわされていたと思わしき描写がなされており、この巨獣をハラドリムの民がどのように調教に成功したのか、またハラドリムの民における資産としてのムマキルの価値などは一切が不明となっている。
ムマキル 歴史
ハラドリムは第二紀以降よりヌメノール王国と敵対していたが、ムマキルの存在が正式に確認されたのは指輪戦争時である。原著での登場は『指輪物語』中のみである。「指輪戦争」末期の攻城戦、「ペレンノール野の合戦」において初めて確認され、このときはサウロン側の暗黒軍に組したハラドリムたちの移動要塞や攻城櫓の運搬力などとして機能した。この合戦に投入された多数のムマキル部隊は、ミナス・ティリスの防衛戦力に多大な被害を与えたとされるが、長時間の戦闘を経て攻略され全滅した。
ムマキル 映画版
ピーター・ジャクソン監督による実写映像作品『ロード・オブ・ザ・リングシリーズ』の最終作「王の帰還」の後半、原作でのミナス・ティリス防衛戦にあたる部分の場面にて複数のムマキルを操るハラドリムの部隊が登場した。このとき、ムマキル部隊以外のハラドリム（歩兵など）の参戦は確認されていない。また、防衛側の馬たちがムマキルを恐れて近づかないとする原著の描写も、演出の都合上無視された。
ムマキル 映画版
造形に関して、とくに牙など顔面はステゴテトラベロドンやゴンフォテリウム、デイノテリウムやステゴドン、ミエゾウやコロンビアマンモス（または松花江マンモスなど）、Palaeoloxodon科（ナウマンゾウなど）などのいくつかの古代象をかけ合わせ怪獣化したかのような独特な趣をかもし出している。目や耳はとても小さい。体長は21.3ｍ（70フィート）以上と設定されているが、体高や体重などその他の測定はなされていない。顔面から肩にかけて部族的な文様が施され、背上の櫓は映像作品以前に描かれた絵画よりも粗雑で凶々しいものとなっており、牙の間には鉄格子のような装備も施され、オリファント自体も凶暴に見える表情をしているなど、暗黒軍の戦力にふさわしい凶悪さが描かれている。
原著で語られる「ムマキル殺し」の方法としては、目への一撃が有効とされるが映画作品では描写されなかった。ただし、ムマキルが混乱することで形勢が逆転する描写は描かれている。また、原著では全滅したとされるペレンノール野合戦のムマキルたちであるが、映画では生存し逃げのびた個体も複数確認できる。
今井集士
今井 集士（いまい あつし）は絵画心理学者。
1944年、愛知県名古屋市生まれ。1974年から延べ10万人以上の子供と親の関係を児童絵画を通してカウンセリングしてきた児童絵画心理学の第一人者。1977年の渡印で仏教美術「曼荼羅画」との出会いがあり、絵画分析、分割学の基礎を見出す。
今井集士の心理分析法は1984年、ジャパンタイムズで教育部門にて全米に重大ニュースとして報道された。また、1998年にNHK教育の『テレビコラム』にて、『絵が訴える子どものSOS』に出演し、色彩・形態・分析位置から深層心理を探る「空対理論」を発表、母子コミュニケーション」の原形となる、パソコンでの心理分析システムを開発。その後、iモード公式サイト「心診断アートロジー」の監修、心理研究の他、カウンセリング、講演活動、大学教授と幅広く活動。
2004年6月、長崎佐世保小6同級生殺傷事件加害女児のイラストに潜む心理を解明した模様が『スーパーJチャンネル』（テレビ朝日）、『EZ！TV』（フジテレビ）にて放映。2010年、
日本三晶製薬株式会社の心理カウンセリング顧問に就任。2014年10月、株式会社ソロモンとコラボレーション。現在は、企業適性検査 幼児・児童の心のSOSを解読及び拡汎性発達障害における心的発達段階の分析・解読や、一般へのコーチングを行う。
リッチランド郡区
リッチランド郡区（Richland Township）は、アメリカ合衆国の各地にある郡区の名前である。
フォンタインアス山
フォンタインアス山（ポルトガル語、Monte Fontainhas）とは、アフリカ大陸のすぐ西の大西洋上にあるブラヴァ島の中央部に存在する、山である。この山は、主にフォノライトと溶結凝灰岩によって形成されている成層火山であり、その噴火こそ有史以来知られていないものの、現在も活動中の火山であると考えられている。山頂の標高は976m程度に過ぎないが、ブラヴァ島においては、この山が最高峰である。なお、しばしば山頂部が雲に隠れる山として知られており、特に春は山頂が雲の中にあることが多い。
フォンタインアス山 付近に存在する海山について
フォンタインアス山の存在する火山島のブラヴァ島と、この山と同じく活火山として知られるフォゴ山の存在する火山島のフォゴ島との間には、カダモスト（Cadamosto）海山がある。1982年、1990年、1998年、2004年と、この付近で発生した地震は、このカダモスト海山で発生したものであり、もしかしたら、この海山も新しい火山島になるかもしれないという可能性も指摘されている

。
ちなみに、ちょうど、この付近にはホットスポットが存在していると考えられている。
カラ山
カラ山（ポルトガル語、Monte Cara）とは、アフリカ大陸のすぐ西の大西洋上に位置する、サン・ヴィセンテ島に存在する山の1つである。この山の山頂の標高は約489mで、同島の北西端部にそびえている。そして、この山の北側斜面は傾斜が急で、そのまま大西洋に落ち込むような形になっており、山の麓が、そのまま海岸となっている。なお、同島で最大の都市であるミンデロからは、港湾をはさんで西方に約5kmの位置にあって、この町からカラ山を見ることは容易で、町から港の方を見れば、この山が見える。
ベルデ山
ベルデ山（Monte Verde）とは、アフリカ大陸のすぐ西の大西洋上に位置する、サン・ヴィセンテ島に存在する山の1つである。なお「Monte Verde」というのは「緑の山」という意味のポルトガル語である。
ベルデ山 概要
ベルデの山の山頂の標高は約750mであり

、成層火山として形成された山である。そして、ベルデ山は活動中の火山だとされている。しかしながら、サン・ヴィセンテ島は活火山とされているベルデ山が存在する火山島でありながら比較的侵食の進んだ島（長らく噴火によって多くの噴出物が出るようなことが起こっていない島）であり、この程度の標高の山であっても、同島においては最高峰である。つまり、ベルデ山では長らく噴火などが起きておらず、ベルデ山自体も比較的侵食が進んでいる。
このベルデ山はカーボベルデに属しており、同国によって、この山は国立公園に指定されている

。
サン・ヴィセンテ島にはダバリア・カナリエンシスなどの固有種が存在している

。
さらに、この島には17種の絶滅危惧種の植物が存在している

。
なお、この山から西に約8kmほどの所には、サン・ヴィセンテ島の中心都市で、カーボベルデにおいては第2位の人口を有する都市であるミンデロが存在しており、この町から、この山を見ることも可能である。
マップ・トゥ・ザ・スターズ
『マップ・トゥ・ザ・スターズ』（原題: Maps to the Stars）は、2014年にアメリカ合衆国、カナダ、フランス、ドイツの4か国で製作された風刺ドラマ映画。監督はデヴィッド・クローネンバーグ、主演はジュリアン・ムーア、ミア・ワシコウスカ、ロバート・パティンソンが務める。なお、クローネンバーグとパティンソンのコラボレーションは2012年の『コズモポリス』以来2度目である。また、クローネンバーグがアメリカで映画を撮影したのは本作が初めてである。
本作では全体を通して、娯楽産業と西洋文明の関係に言及しながら、かつてのスター子役2人の惨状に焦点を当てている。また、本作は2014年5月に開催された第67回カンヌ国際映画祭のコンペティション部門に出品され、パルム・ドールを争った。パルム・ドールの受賞こそ逃したが、ジュリアン・ムーアが女優賞を受賞した。
マップ・トゥ・ザ・スターズ あらすじ
アガサという名前の女の子がロサンゼルスにやって来て、スター子役のベンジー・ワイスが以前に住んでいた家の跡地に行くために、ジェロームの運転するリムジンを利用する。アガサは顔と体にひどい火傷を負っており、さまざまな治療を受けているように見えた。ベンジーは非ホジキンリンパ腫に苦しむ少女を病院に訪ねた。しかし、少女は後に亡くなってしまう。その頃、テレビによく出演するほどの心理学者であるベンジーの父親、スタッフォード・ワイス博士は中年の女優、ハヴァナ・セグランドを治療していた。ハヴァナは大女優として知られていた母・クラリスの亡霊によって苦しめられていた。そんな中、ハヴァナのエージェントはクラリスが出演した映画『Stolen Waters』のリメイク版にハヴァナが出演できるように奮闘していた。
マップ・トゥ・ザ・スターズ あらすじ
ベンジーは薬物依存症から抜け出すためのリハビリを終え、母親のクリスティーナと共に自身の復帰作として目を付けた映画に出演するために交渉していた。ちょうどその頃、キャリー・フィッシャーは自身がTwitterを通して知り合った女の子、アガサをハヴァナに紹介した。その紹介もあり、ハヴァナは個人秘書としてアガサを雇うことにした。その後もアガサはジェロームとの交流を続けた。最初こそ、ジェロームはアガサに抵抗を示していたが、2人は恋に落ちていった。そうしているうちに、スタッフォード博士はハヴァナを通してアガサがロサンゼルスに帰ってきたことを知る。そして、アガサはスタッフォード博士とクリスティーナの娘であることが明らかになる。しかしながら、2人はアガサを執拗なほどに遠ざけていた。何を恐れたのかクリスティーナはアガサがベンジーに接触しようとしているということを必死に否定しようとした。
ハヴァナが『Stolen Waters』に出演することが決まり、アガサが製作現場に出入りする機会も増えた。アガサはセットにいたベンジーに接触し、自らが精神分裂病で、両親が寝ているときに火をつけた時に負ってしまった火傷に苦しんでいることを明かす。さらに、自らの過去を清算するためにサナトリウムを退院してロサンゼルスに戻ってきたことを示唆する。ベンジーとアガサが接触したことを知ったスタッフォード博士は烈火のごとく怒り、アガサにロサンゼルスを立ち去れと迫った。
スタッフォード博士とクリスティーナの不安は的中し、ある忌まわしい事実が明るみに出てしまう。
マップ・トゥ・ザ・スターズ キャスト
ハヴァナ・セグランド
演 - ジュリアン・ムーア、日本語吹替 - 山像かおり
非常に有名な女優ではあるが、年を重ねるごとに役をもらえなくなっている。伝説の映画スターと言われた母親の影を背負って生きており、その影にひどく苦しめられている。ムーアはハヴァナを「私の知り合いや見たことのある人をアマルガムのように混ぜ合わせたような人。ハヴァナは虚構の中で孤独に生きている女性。本当の家族はいないし、母親に虐げられたと思って、自分の母親を恨んでいる。だからハヴァナの心の中には母親の影がいる。ジークムント・フロイトが主張したような、無意識の中にある雑多なものが混ざり合っている。」と分析している。
アガサ・ワイス
演 - ミア・ワシコウスカ、日本語吹替 - あんどうさくら
マップ・トゥ・ザ・スターズ キャスト
ひどい火傷の痕があり、放火癖のある女の子。自分の家族の過ちを清算するための機会をうかがっていたところ、ハヴァナの個人秘書として雇われた。ワシコウスカは「私はアガサが大好きだ。心の中に闇を抱えていながら、多くの点で非常に楽観的な見通しを持っている。アガサという女の子には甘く切ない何かがある。セレブで強迫神経症的な両親のもとに生まれ、複雑な過去を抱える一方、両親とつながっていたいと思っている。両親はアガサを拒絶するが、ある意味では自暴自棄になって両親の生き方を真似しようとしているようだ。アガサは命がけで自分自身のアイデンティティを求めている。」「火傷した手を隠すための手袋、顔の火傷、服用している鎮痛剤、詩を用いた儀式、こうしたすべてのものがアガサが何者なのかをはっきりさせている。」と語っている。
スタッフォード・ワイス博士
演 - ジョン・キューザック、日本語吹替 - 各務立基