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ルイス・カルハーン 略歴
数々の映画に助演を中心に印象的な役で出演しており、中でも『アスファルト・ジャングル』（1950年）で演じた、娘ほどに若い愛人（スターになる前のマリリン・モンロー）を囲っている悪徳弁護士や、『アニーよ銃をとれ』（1950年）のバッファロー・ビル、シェイクスピア戯曲の映画化作品『ジュリアス・シーザー』（1953年）のシーザーなどで知られる。また、『The Magnificent Yankee』（1950年）では実在の法律家オリバー・ウェンデル・ホームズを演じ、第23回アカデミー賞主演男優賞や第8回ゴールデングローブ賞ドラマ部門主演男優賞にノミネートされた（いずれも受賞はならず）。なお、同原作の舞台化作品（1946年初演）でも同じ役を演じている。
様々な映画に出演する一方、1920年代から1950年代に至るまで、ブロードウェイの舞台にも立ち続けた。
1956年、映画『八月十五夜の茶屋』の撮影で訪れていた奈良県で心筋梗塞により急死する。同作の代役はポール・フォードが務めた。因みにフォードは同原作の舞台化作品（1953年初演）で同じ役を演じている。
生涯で4回結婚し、いずれも離婚している。また相手は全て女優である。
代数曲線
数学における代数曲線（だいすうきょくせん、英: algebraic curve）、特にユークリッド幾何学における平面代数曲線 (plane algebraic curve) は、ユークリッド平面内の点集合であって、各点が適当な二変数多項式函数の零点として与えられるものを言う。
様々な技術的理由を考慮するならば、多項式の任意の複素零点をその曲線上の点とみなした方が都合がよい。同様に、代数曲線の概念も、定義多項式の係数や曲線上の点の座標が任意の体に属することも許すように一般化される。代数幾何学において、体 k 上で定義された平面アフィン代数曲線 (plane affine algebraic curve) とは、K を k の適当な代数閉拡大体として、適当な k-係数二元多項式の零点を座標に持つ K-平面 K2 内の点すべてからなる集合を言う。この曲線上の点で、k に座標を持つものは k-有理点 (k-point) と総称され、k-有理点の全体をこの曲線の k-成分 (k-part) と呼ぶ。
代数曲線
より一般には、平面に含まれない（が、より高次の空間に含まれる）代数曲線というものも考えることができる。平面代数曲線ではない代数曲線は非平面的であると言う。もっとも簡単な非平面代数曲線は非平面三次曲線（三次撓線）である。射影空間に含まれる代数曲線というものも考えることができるし、もっと言えばどんなアフィン空間や射影空間へ埋め込まれるかというようなこととは独立した形で代数曲線を定義するさえこともできる。そうして代数曲線の最も一般の定義に達する:
「代数幾何学における代数曲線とは、一次元の代数多様体のことを言う。」
代数曲線 ユークリッド幾何学において
ユークリッド平面内の代数曲線とは、二元多項式方程式 p(x, y) = 0 の解を座標に持つ点全体からなる集合を言う。「y が x の函数として陽 (explicit) に定義される」ときの函数のグラフとして曲線が得られる場合と対照して、この方程式はしばしばこの曲線の陰伏方程式（あるいはこの方程式がこの曲線を陰 (implicit) に定義する）といわれる（陰函数の項も参照）。
そのような陰伏的に与えられた曲線に対して、最初の問題は曲線の形を決定して曲線を描くことである。これらの問題は、さまざまな x に対して容易に計算できない y については、函数のグラフとして陽に得られる場合と比べて容易ではない。定義方程式が多項式であるという事実は、曲線がこれら問題を解決する手助けとなるある種の構造的性質を持つということを意味する。
代数曲線 ユークリッド幾何学において
任意の代数曲線は、有限個の滑らかで単調な弧（これをこの曲線の枝あるいは分枝 (branches) と呼ぶ）を適当な点（分点、あるいは「特徴点」("remarkable point") と呼ぶ）で結んだものに一意的に分解することができる。ここに、「単調で滑らかな弧」とは x-軸内の開区間上で定義された単調かつ滑らかな函数のグラフとなるものである。どちらの方向についても、弧は非有界（無限弧 (infinite arc)）となってもよいし、端点を持ってもよい（端点は特異点（後述）でもよいし、何れかの座標軸に平行となってもよい）。
例えば、チルンハウスの三次曲線は、原点 (0,0) を端点に持つふたつの無限弧を持つ。原点はこの曲線上の唯一の特異点である。さらに二つ、原点を一方の端点に持ち、他方の端点は水平接線を持つ点とする有限弧があり、さらに後二つ、水平接線を持つ点を片方の端点とし、曲線上の唯一垂直接線を持つ点をともにもう片方の端点とする有限弧を持つ。他方、正弦曲線は明らかに代数曲線ではなく、無限個の単調弧を持つ。
代数曲線を描くためには、分点および分点での接線、無限弧となる枝と（もしあれば）その漸近線、およびそれら枝の分点での繋がり方などを知ることが重要である。変曲点も特徴点として考えるのは有効である。これらすべての情報を紙面に描き連ねたとき、曲線の形状はふつうはかなりはっきり見えてくるはずである。もし不足があるのならば、さらにいくつか曲線よく表す点および接線を描き加える。
特徴点およびその接線の計算法は後述。
代数曲線 平面射影曲線
射影空間内の曲線を考える方が望ましいということはしばしばある。射影平面内の代数曲線、あるいは平面射影曲線とは、三変数斉次多項式 P(x, y, z) の零点を射影座標に持つ射影平面内の点全体の成す集合を言う。
方程式 p(x, y) = 0 の定める任意のアフィン代数曲線は、p の斉次化
の定める方程式 hp(x, y, z) = 0 の定義する射影曲線に完備化することができる。逆に P(x, y, z) = 0 が射影曲線を定める斉次方程式ならば、P(x, y, 1) = 0 はこの射影曲線上の第三射影座標が零でないような点全体の成すアフィン曲線の方程式になる。これら二つの操作は互いに逆になっている。実際、hp(x, y, 1) = p(x, y) であり、また p が p(x, y) = P(x, y, 1) で定義されるものとすれば hp(x, y, z) = P(x, y, z) が P が z で割り切れない限り直ちに得られる。
代数曲線 平面射影曲線
これにより、アフィン曲線とその射影完備化は同じもの（より精確には、アフィン曲線は射影曲線の中で「完全な」曲線を定めるに十分大きな部分を成している）と看做すことができる。このような観点は、射影完備化の中でアフィン部分に属さない（有限個の）点をアフィン曲線に関する「無限遠点」と呼ぶことによって広く言い表される。
射影曲線はそれ自身しばしば研究の対象となるが、アフィン曲線の研究にも有用である。例えば、p(x, y) がアフィン曲線を定義する多項式ならば、偏微分 p'x, p'y を持つが、そのほかに無限遠における微分 (derivative at infinity)
を考えることは有用である。例えば、方程式 p(x, y) = 0 のアフィン曲線の点 (a, b) における接線の方程式は
で与えられる。
代数曲線 平面曲線の特徴点
本節では、二元多項式 p(x, y) の定める平面代数曲線と、p の斉次化多項式 P(x, y, z) = hp(x, y) の定める射影完備化を考える。
曲線に対して、与えられた直線との交点を知ることはしばしば有効である。座標軸との交点や漸近線との交点は曲線を描くために利用できる。軸に平行な直線との交点を考えれば、曲線の各枝に少なくとも一点を求めることができる。効果的な求根アルゴリズムが利用できるならば、x-軸上の各画素を通り y-軸に平行な任意の直線との交点をプロットすることで曲線を描きだすことが可能になる。
曲線の定義多項式が次数 d ならば、任意の直線は高々 d 個の点において曲線を横切る。 ベズーの定理は、代数閉体（例えば複素数体）上の射影平面の点について調べる限りにおいて、重複度を込めて数えれば、この数がちょうど d 個であることを主張する。以下に述べる計算法はこの単純な場合においてこの定理を再び証明するものである。
代数曲線 平面曲線の特徴点
多項式 p の定義する曲線と、直線 ax+by+c = 0 との交点を計算するために、直線の方程式を x に関して（a = 0 のときは y について）解く。それを p に代入すれば、一元方程式 q(y) = 0（直線を y について解いたときは q(x) = 0）を得て、その根は交点の座標の一つを与える。他の座標の値は直線の方程式から求められる。交点の重複度は、対応する根の重複度である。q の次数が p の次数より低いならば、無限遠点において交点が存在し、そのような無限遠点の重複度は次数の差 p − q で与えられる。
曲線上の各点 (a, b) における接線は、陰伏的に定義された任意の可微分曲線に対すると同様に、方程式 (x − a)p'x(a, b) + (y − b)p'y(a, b) = 0 の定める直線である。多項式の場合には、より単純な定数項を持ち、より対称性の高い形の接線の公式
が存在する。ただし、p'∞(x, y) = P'z(x, y, 1) は無限遠における微分である。これら二つの方程式の同値性はオイラーの斉次函数定理を P に適用した結果である。
これは直ちに射影曲線の場合にも拡張できる。方程式 P(x, y, z) = 0 の定める射影曲線の、射影座標 (a:b:c) の点における接線の方程式は
代数曲線 平面曲線の特徴点
で与えられ、この曲線上の特異点は
で与えられる（条件 P(a, b, c) = 0 は、これらの条件から、オイラーの斉次函数定理により得られる）。
代数曲線の各無限枝はその曲線の無限遠点（つまり、その射影完備化の点でアフィン部分に属さない点）に対応する。そして対応する漸近線はその無限遠点における曲線の接線である。接線に対する一般式を射影曲線に適用することはできるが、今の場合は陽には意味を成さない。
曲線の定義多項式の斉次成分への分解を p = pd + … + p0（各 pi は次数 i の単項式の和）と書けば、
および
である。この曲線の無限遠点は p の (a, b, 0) の形の零点である。あるいは同じことだが、(a, b) が pd の零点である。代数学の基本定理によれば、代数閉体（典型的には複素数体）上では、pd は一次式の積に分解される。各一次の因子は曲線の無限遠点を定義する（bx − ay をそのような因子とすれば、それは無限遠点 ((a, b, 0) を定義する）。実数体上では、pd は一次式と二次式からなる積に分解される。既約な二次の因子は非実無限遠点を定義し、一次の因子は実点を定義する。点 (a, b, 0) が曲線の無限遠点であることを、(a, b) は漸近方向であると言い表す。q = pd と置くと、対応する漸近線の方程式は
代数曲線 平面曲線の特徴点
となる。q'x(a, b) = q'y(a, b) = 0 かつ pd−1(a, b) ≠ 0 ならば漸近線は無限遠直線であり、実係数の場合には曲線は放物線のように見える枝を持つ。このことを曲線は「放物的な分枝を持つ」と言い表す。
ならば、曲線は無限遠に特異点を持ち、複数の漸近線を持ち得る。これらは特異点の接錐の計算法によって計算することができる。
次数 d の多項式 p(x,y) の定義する次数 d の曲線の特異点の全体は、連立方程式
の解の全体である。標数 0 の場合、この方程式系は
に同値である。ただし、先の節の記号に従い p'∞(x, y) = P'z(x, y, 1) である。これらの方程式系の同値性はオイラーの斉次函数定理による。後者の連立方程式では、三つ目の多項式の次数が d ではなく d − 1 である点で有利である。
同様に、次数 d の斉次多項式 P(x,y,z) の定義する射影曲線に対し、その特異点は、連立方程式
の斉次座標に関する意味での解である（正標数の場合には、方程式 P(x, y, z) = 0 も系に加える）。
代数曲線 平面曲線の特徴点
ここから、p(x,y) あるいは P(x,y,z) が平方因子を持たない 限りにおいて特異点が有限個であることが導かれる。ゆえにベズーの定理により特異点の個数が高々 (d − 1)2 となることが従うが、上記の連立方程式は過剰決定系であるから、この上界はぎりぎりの評価（上限）ではない。可約多項式も許すならば、上限は d(d − 1)/2 であり、この値が達成されるのは多項式因子が一次式となるとき、すなわち曲線が d 本の直線の合併となるときである。既約曲線および既約多項式に対しては、特異点の数は高々 (d − 1)(d − 2)/2 である。これは種数を特異点の言葉で表す公式（後述）による。最大値は、種数 0 の曲線で全ての特異点が重複度 2 かつ接線が相異なるようなものによって達成される。
特異点における接線の方程式は、その特異点における定義多項式のテイラー級数の次数最小の非零斉次成分によって与えられる。特異点を座標系の原点に取り直すとき、その特異点における接線の方程式は、従って定義多項式の次数最小の非零斉次成分で与えられ、この斉次成分の次数が特異点の重複度になる。
代数曲線 非­平面代数曲線
「代数曲線は一次元の代数多様体である」というのは、n-次元アフィン空間内のアフィン曲線が少なくとも n − 1 本の n-変数多項式によって定義されることを含意する。曲線が定まるためにはそれらの多項式がクルル次元 1 の素イデアルを生成しなければならない。この条件を実際の場面において確かめるのは容易ではない。そこで以下のように非平面曲線を表現する方法はしばしば有効である。
f, g0; g3, …, gn は n − 1 本の二変数 x1, x2 に関する多項式で f は既約とする。n-次元アフィン空間内の点でその座標が以下の等式および非等式
を満足するものの全体は、適当な代数曲線の有限個の例外を除く全ての点を表す。この曲線は、適当な整数 k をとれば g k0 h が f, x3g0 − g3, …, xng0 − gn の生成するイデアルに入るような多項式 h たちの成すイデアルの生成系によって定義される。この表現は f が定義する平面曲線と曲線の間の有理同値である。任意の代数曲線をこの方法で表現できるが、最初の二つの変数への射影がほとんど常に一対一 (injective) であるようにするために一次の変数変換が必要となることもある。変数変換が必要となるとき、それが無限体上定義されている限り直ちに、ほとんど全ての変換が有効である。
代数曲線 非­平面代数曲線
この表現により、非平面代数曲線の任意の性質（例えばそれを図示することなど）を、その平面射影に対する対応する性質から容易に演繹することが可能となる。
陰伏方程式によって定義される曲線に対する上記の表示は、最小の変数ブロックが (x1, x2) となる消去順序に対するグレブナー基底から容易に演繹できる。まず、多項式 f はこの基底の中で x1, x2 のみに依存する唯一の多項式である。i = 3, …, n に対して、函数 gi/g0 はこの基底の xi に関して一次かつ x1, x2, xi のみに依存する多項式を選ぶことで得られる。そのようなものが選べない場合というのは、その方程式が代数多様体ではない代数的集合 を定めているか、代数多様体を定めるが一次元でない場合か、座標を取り直す必要があるかの何れかである。この最後の場合というのは、f が一意に存在して、i = 3, …, n に対して先頭単項式が x1, x2, xi のみに依存する単項式が取れるときに起きる。
代数曲線 代数函数体
代数曲線の研究は既約代数曲線（より小さな曲線の合併として表すことができない曲線）の研究に還元される。双有理同値の違いを除いて、体 F 上の既約曲線全体の成す圏は F 上の一変数代数函数体全体の成す圏に圏同値である。そのような代数函数体は、F 上超越的な元 x を含む F の拡大体 K であって、x を不定元とする F 上の有理函数体 F(x) の有限次代数拡大となっているようなものである。
例えば、複素数体 C を考えると、その上に C-係数有理函数体 C(x) が定義できる。y2 = x3 − x − 1 とすれば、体 C(x, y) は楕円函数体である。元 x は一意に決まるものではなく、例えばいま挙げた例を C(y) の拡大体と看做すことも可能である。この函数体に対応する代数曲線は、単純に y2 = x3 − x − 1 を満たす点 (x, y) ∈ C2 全体の成す集合である。
代数曲線 代数函数体
F が代数閉体でない場合には、函数体を考える視点のほうが点の軌跡を考える視点よりも少しだけ一般である（これは例えば、点が一つも載っていない「曲線」なども考えるからである）。例えば、係数体 F が実数体 R であるとき、x2 + y2 = −1 は R(x) の代数拡大体を定義するが、対応する曲線は R2 の部分集合と見れば点を持たない。方程式 x2 + y2 = −1 は、スキームの意味での R 上の既約代数曲線（R 上有限型の、整かつ分離的な一次元スキーム）を定義する。この意味において、F 上の既約代数曲線の全体（を双有理同値で割ったもの）と F 上の一変数代数函数体の全体との間の一対一対応は、一般に成立する。
曲線としては同型でない二つの曲線が双有理同値となる（つまり同型な函数体を持つ）ことが起こり得る。この状況は非特異（つまり如何なる特異点も持たない）曲線を扱うときには簡単になる。すなわち、体上の二つの非特異射影曲線が同型となるための必要十分条件は、それらの函数体が同型となることである。
曾の定理は代数閉体上の代数曲線の函数体に関するものである。
代数曲線 複素曲線と実曲面
複素射影代数曲面が存在する n-次元複素射影空間 CPn は、（複素次元は n だが）実多様体として位相次元 2n のコンパクト連結かつ向き付け可能な多様体である。複素代数曲線も同様に位相次元は 2、つまり曲面になる。
この曲面の位相的種数（つまりハンドル体やドーナツ穴の数）は、代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。要するに、次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、常特異点（相異なる接線を持つ重複度 2 の特異点）しか持たないならば、その種数は (d − 1)(d − 2)/2 − k となる。ただし、k はそのような特異点の数とする。
リーマン面とは複素一次元の連結な複素解析的多様体のことであり、これを連結な実二次元多様体と看做すことができる。リーマン面がコンパクトであるとは、それが位相空間としてコンパクトとなるときに言う。
代数曲線 複素曲線と実曲面
C 上の非特異既約射影代数曲線の全体が（定数でない正則写像を射として）成す圏、コンパクトリーマン面の全体が（定数でない正則写像を射として）成す圏、C 上の一変数代数函数体の全体（が C を固定する体準同型を射として）成す圏の反対圏の三者の間には圏同値が存在する。これは、この三つの主題を研究するにあたって、そのうちの一つについて知ることはほかの二つにおいても同じであることを意味する。これにより、代数幾何学において複素解析的手法を用いたり、複素解析において代数幾何学的手法を用いたり、両方において体論的手法を用いたりすることができるようになる。これは代数幾何学におけるかなり広範なクラスの問題の持つ特徴である。
代数曲線 特異点
内在的な接空間の概念を用いて、代数曲線上の点 P を非特異（滑らか）か特異かに分類することができる。n − 1 本の n + 1 変数多項式が与えられたとき、全ての偏微分からなる (n − 1)×(n + 1) 行列としてヤコビ行列を得ることができる。この行列の階数が n − 1 ならば、これら多項式は代数曲線を定義する（さもなくばより高次元の代数多様体を定義する）。このヤコビ行列を曲線上の点 P において評価したものがやはり階数 n − 1 となるならば、その点 P は滑らかあるいは正則点であるといい、さもなくば P は特異あるいは臨界点と呼ぶ。特に、考える曲線が一本の斉次多項式方程式 f(x,y,z) = 0 で定義された平面射影代数曲線のとき、その特異点とは 1×(n + 1) ヤコビ行列の階数が零、すなわち
を満たす点 P のことに他ならない。f は多項式であるから、この定義は純代数的であり、体 F の持つ特性については何も仮定する必要はない（特に F が実数体や複素数体である必要はない）。もちろん、点 (0, 0, 0) はこの曲線上の点ではなく、したがって特異点でもないことを断っておく。
代数曲線 特異点
同様に、一つの多項式方程式 f(x, y) = 0 で定義されたアフィン代数曲線に対して、その特異点はちょうど 1 × n ヤコビ行列の階数が零、すなわち
を満たす点 P で与えられる。曲線の特異点は双有理不変ではないが、曲線の特異点の位置を特定して分類することは、双有理不変量である幾何種数を計算する一つの方法である。これをうまく行うには、曲線を射影的に考え、曲線に属する全ての特異点が考慮されるために F が代数閉体であることを仮定しなければならない。
特異点には、曲線がそこで自己交叉を持つ多重点や、例えば方程式 x3 = y2 の表す曲線の (0, 0) に見るような様々な種類の尖点がある。
曲線 C は高々有限個の特異点を持つ。特異点の数が零ならば、曲線は滑らかあるいは非特異であると言う。一般的には、この定義は代数閉体上で C が射影空間にあるとき（つまり、代数幾何学的な意味で「完備」のとき）にいうものと理解される。例えば、方程式 y − x3 = 0 の定める曲線は特異曲線で、無限遠点に特異点（尖点）を持つものと考える。
代数曲線 特異点
特異点は幾つかの不変性の意味で分類される。多重点 P の重複度 m は、P において f の m − 1 階までの微分係数がすべて消えているような最大の整数として定義される（曲線の、P における直線との間の交点数の最小値としても定義できる）。直観的に、特異点がデルタ不変量 δ を持つのは、それが P において δ 個の常二重点が寄り集まったときに起きる。これをより精確にするには、ブローアップの過程を施していわゆる無限に近い点を作り出し、各無限に近い点の重複度を m とするときの m(m − 1)/2 を全ての無限に近い点に関して足し上げたものが δ である。既約かつ被約曲線および点 P に対して、δ を  の長さとして代数的に定義することができる。ただし、 は P における局所環であり、 はその整閉包である。
特異点のミルナー数 μ は半径 ε の小球上で定義された写像 grad f(x,y)/|grad f(x,y)| の写像度（連続写像の位相的な写像度）に一致する。ここに grad f は f の（複素）勾配ベクトル場である。ミルナー–ユングの公式:
代数曲線 特異点
μ = 2δ − r + 1
は μ と δ および r を結びつける。ここに点 P における分岐数 r は、P における局所既約な分子の数を言う。例えば、常尖点において r = 1 であり常二重点において r = 2 である。m が必ず r 以上であり、P が特異であるための必要十分条件が m が 2 以上となること、さらに言えば δ は m(m - 1)/2 以上であることを注意しておく。
全ての特異点におけるデルタ不変量を計算することで、曲線の種数 g を決定することができる。すなわち、曲線の次数を d とすれば
が成り立つ。ここに和は平面複素射影曲線の特異点 P すべてに亙ってとる。これを種数公式という。
特異点に不変量 [m, δ, r]（m: 重複度、δ: デルタ不変量、r: 分岐数）を割り当てるものとすると、常尖点は不変量 [2,1,1] を持つ点であり、常二重点は不変量 [2,1,2] を持つ点であり、常 m-重点は不変量 [m, m(m−1)/2, m] を持つ点である。
代数曲線 曲線の例
有理曲線（一筆書き曲線とも言う）は直線に双有理同値な任意の曲線の総称である（ここに直線は射影直線の意味にとるものとする）。従って、この曲線の函数体を一変数有理函数体 F(x) と同一視することができる。F が代数閉体ならば、これは種数 0 の曲線に同値である。しかし、実代数多様体 x2 + y2 = −1 上で定義された実代数函数全体の成す体は、種数 0 の体ではあるが、有理函数体でない。
逆に任意の体 F 上の種数0の曲線は、その体上に一点でも点をもつならば射影直線 P1(F) に双有理同値である。実際、代数曲線 C の因子 D に対し、曲線上の有理関数 f で  となるもの全体のなすベクトル空間の次元を  とかくと代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理より l(D)=deg(D)+1 がつねに成り立つ。特に任意の点 P に対し l(P)=2 であるから
 となる、定数関数でない有理関数 f が存在する。f は P で位数1の極をもち、それ以外の極をもたない。よって任意の定数 c に対し f-c も P で位数1の極をもち、それ以外の極を持たないので、 f-c はただ一つの零点を持つ。よって f は無限大を含むすべての値を一度ずつとるので、f は C と射影直線の1対1対応を与える。
代数曲線 曲線の例
具体的に、F 上 n 次元の有理曲線は、一つの助変数 t によって定義された n 本の有理函数からなるという意味において、（孤立した例外点を除いて）パラメータ付けすることができる。分母を払って、これらの有理函数を射影空間内の n + 1 本の多項式函数にすることができる。一つの例が有理正規曲線である。
F 上定義された F-有理点を持つ任意の円錐曲線は有理曲線である。これは有理点を通る傾き t の直線を描くことによりパラメータ付けすることができ、交線は平面二次曲線になる。これは F-有理係数の多項式と一つの F-有理根をあたえるから、ほかの根もまた F-有理根（つまり F に属する）である。
例えば、楕円 x2 + xy + y2 = 1 は (−1, 0) を有理点に持つ。(−1,0) から傾き t の直線 y = t(x + 1) を描いて、楕円の方程式に代入し、因数分解して x について解けば
を得る。従って方程式から y は
と書けて、これらがこの楕円の有理媒介変数表示を定めるから、この楕円が有理曲線であることが示された。これによりこの楕円上の全ての点が、t = ∞ に対応する点 (−1,1) を除いて与えられる。従って、曲線全体は実射影直線によってパラメータ付けられている。
代数曲線 曲線の例
このような有理媒介変数表示は、初めの方の射影座標はこの媒介変数表示の分子と等しいと置き、最後の座標は表示の共通分母ととることにより射影空間内で考えることができる。この助変数が射影直線上定義されているのと同じく、この助変数に関する各多項式も斉次化を考えるべきである。つまり、例えば上記の楕円に関する射影的媒介元数表示は
となる。これら方程式から T と U を消去すれば、楕円の射影的方程式
が回復される（この式自体は上記の楕円の方程式を斉次化すれば直接に得られる）。
曲線の一覧に挙げられている多くの曲線が有理曲線であり、したがって同様の有理媒介変数表示を持つ。
楕円曲線を有理点を持つ種数 1 の任意の曲線として定義することができる。よく用いられるモデルは非特異平面三次曲線で、これは種数 1 の任意の曲線のモデルとして十分である。
種数1の曲線 E の任意の体 F 上の点 P に対し、上と同様に代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理より、n > 0 ならば l(nP) = n が成り立つ。よって  となる有理関数 X, Y がとれる。このとき7つの有理関数  はいずれも P において高々位数6の極をもち、その他の極をもたないから L(6P) に属する。しかし l(6P)=6 であるから、これらの7つの有理関数は線型従属である。したがって
代数曲線 曲線の例
となる  が存在する。ここで b, b0 のどちらかが0ならばこれは有理曲線を表すから、 b, b0 はいずれも0ではない。よって X を何倍かしてテイト–ヴァイアシュトラス形
を得る。 とおくことで射影的に
とあらわすことができる。
したがって、種数1の曲線は体 F 上に一点でも点をもつならば、 F 上、平面3次曲線に双有理同値であり、このモデルにおいて、共通して識別点 (distinguished point) を無限遠にある変曲点にとることができる。
楕円曲線には、識別点を群演算の単位元とするアーベル群の構造を入れることができる。平面三次曲線モデルにおいて、この群構造に関する意味での三点の和が零となるための必要十分条件は、それら三点が共線である（つまり同一直線上にある）ことである。複素数体上定義された楕円曲線に対して、この群は複素数平面を対応する楕円函数の周期格子で割った加法群に同型になる。
二つの二次曲面の交わりは、一般に種数 1 かつ次数 4 の非特異曲線、従ってそれが有理点を持つとき楕円曲線となる。特別の場合には、交線は有理特異四次曲線にもなり得るし、必ずしも相異ならないより小さい次数の曲線（三次曲線と直線、二つの円錐曲線、円錐曲線と二つの直線、四つの直線）に分解されることもある。
1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。有理数体上定義されたそのような曲線は、ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線、フェルマー曲線 xn + yn = zn (n ≥ 3) などが挙げられる。
十和田市高森山総合運動公園
十和田市高森山総合運動公園（とわだしたかもりやまうんどうこうえん）は、青森県十和田市の都市公園（運動公園）である。
十和田市の西部、高森山に位置し、2008年にパークゴルフコース、2009年に多目的広場が開設された。
十和田市高森山総合運動公園 球技場
十和田市高森山総合運動公園球技場（とわだしたかもりやまうんどうこうえんきゅうぎじょう）は、十和田市高森山総合運動公園内にある球技場。
2012年から青森県サッカー協会がサッカー競技の普及・強化をめざし、「青森県フットボールセンター」として整備。サッカー・ラグビー・アメリカンフットボールなど各種球技に対応できる人工芝、天然芝のグラウンド1面ずつ、ナイター設備などを整備した。
天然芝グラウンドはメインスタンドがベンチシート、バックスタンドとサイドスタンドが芝生席。屋根は設けられていない。人工芝グラウンドのピッチには住友ゴム工業のロングパイル人工芝「ハイブリッドターフ」を採用している。
天皇杯 JFA 全日本サッカー選手権大会では、第92回（2012年）・第93回（2013年）・第94回（2014年）の3年連続で1回戦の会場となった。また、2013年の第37回全国地域サッカーリーグ決勝大会ではグループリーグAの会場となった。
十和田市高森山総合運動公園 球技場
2014年、Jリーグ参入を目指していたヴァンラーレ八戸は翌2015年のJ3ライセンス取得に向けて当球技場をホームスタジアムとして届け出たが、「シャワーの数不足」「チーム更衣室の狭さ」「ドーピングコントロール室、実況放送席等が具備されていない」との理由からJリーグのスタジアム基準を満たしていないとの判断を下されており、J3リーグの開催に向けては前述の指摘事項を改善する必要があると指摘されている。なお、ヴァンラーレは後に八戸市内に建設された多賀多目的運動場（プライフーズスタジアム）をホームスタジアムとして届け出てJ3ライセンスを取得している。
十和田市高森山総合運動公園 アクセス
以下は、第94回天皇杯公式サイト内 の記述に基づく。
甲斐睦朗
甲斐 睦朗（かい むつろう、1939年 - ）は、日本の国語学者・国語教育学者。国立国語研究所名誉所員。
甲斐睦朗 人物
1961年広島大学教育学部高等学校国語教育科卒業。1973年神戸大学大学院博士課程満期退学、愛知教育大学講師、1974年助教授、1980年教授、1990年国立国語研究所言語教育研究部長、1992年同日本語教育センター長、1998年国立国語研究所所長、2005年京都橘大学教授。2010年退職、国立国語研究所名誉所員。
2009年4月瑞宝中綬章受章。
マイケル・ワカ
マイケル・ジョセフ・ワカ（Michael Joseph Wacha, 1991年7月1日 - ）は、アメリカ合衆国アイオワ州アイオワシティ出身のプロ野球選手（投手）。右投右打。MLBのカンザスシティ・ロイヤルズ所属。愛称はワッチ（Wach）。
英語発音によるとウォークァ(WALK-uh)と読むのがより近い。（"歩く"のウォークの最後に「ア」をつけた発音になる）
マイケル・ワカ 経歴
2012年のMLBドラフト1巡目（全体19位）でセントルイス・カージナルスから指名され、プロ入り。同年は傘下のルーキー級ガルフ・コーストリーグ・カージナルス、A+級パームビーチ・カージナルス、AA級スプリングフィールド・カージナルスの3球団合計で防御率0.86、21イニングで40奪三振を記録した。
マイケル・ワカ 経歴
2013年はAAA級メンフィス・レッドバーズに昇格。好成績を記録してメジャーに昇格し、5月30日のカンザスシティ・ロイヤルズ戦でメジャーデビューを果たし、7回を2安打、無四球、1失点と好投した。その後一旦マイナーに降格するが、8月に再昇格。9月からは先発に定着し、9月24日のワシントン・ナショナルズ戦で9回二死まで無安打に抑えるなど、4勝1敗、防御率2.78、64.2イニングで65奪三振を記録し、チームの地区優勝に貢献。ピッツバーグ・パイレーツとのディビジョンシリーズでは、王手をかけられた後の第4戦に先発登板し5回までパーフェクト、8回一死からペドロ・アルバレスに本塁打を浴びるまで無安打に抑えて勝利投手。ロサンゼルス・ドジャースとのリーグチャンピオンシップシリーズでは第2戦で7回途中無失点、3勝2敗と王手をかけて迎えた第6戦でも7回2安打、無失点でいずれも勝利投手となり、チームの2年ぶりのリーグ優勝に大きく貢献し、シリーズMVPを受賞した。ボストン・レッドソックスとのワールドシリーズでは第2戦に先発登板し、デビッド・オルティーズに本塁打を浴びるものの6回を2失点で勝利投手。王手をかけられて迎えた第6戦では4回途中6失点の乱調で敗戦投手となり、チームは2勝4敗で敗退した。
マイケル・ワカ 経歴
2014年はスプリングトレーニング中のプレシーズン・ゲームで5試合に登板し、3勝0敗、防御率1.77と好投。開幕ロースター入りを果たした。そして、先発ローテーションに入っていたが、5月頃から肩に違和感や疲労感を生じるようになった。その状態が解消されないため、6月中旬に精密検査を受け、肩（肩甲骨）に異常が発生している事が判明した為、手術を受ける為に故障者リスト入りした。その後9月に復帰し、4試合に投げた。この年は戦線離脱があったため、19試合の先発登板で5勝6敗、防御率3.20、WHIP1.20という成績に留まった。
2015年は、前年の故障の影響もなく先発ローテーションに定着し、30試合に先発登板した。規定投球回に達し、シーズン終盤はやや打ち込まれたが、17勝（ナショナルリーグ5位）7敗、防御率3.38、勝率.708（同3位）、153奪三振という好成績を記録。エース格の存在で、チームの地区優勝に貢献した。シカゴ・カブスとのディビジョンシリーズでは第3戦に先発登板したが、5回途中で6安打、3四球、4失点と荒れ、敗戦投手になった。
2016年は、27試合中24試合に先発登板したが、不調と8月に離脱する原因となった肩の炎症が重なり、7勝7敗、防御率5.09、WHIP1.48という成績に留まった。
マイケル・ワカ 経歴
2017年は30試合全てで先発登板し2年ぶりの2桁勝利となる12勝を記録。投球内容も防御率4.13、WHIP1.36と前年から若干改善が見られた。
2018年は7月3日のパイレーツ戦で8回まで無安打に抑えるなど好調だったが、7月下旬に左腹斜筋の張りで故障者リスト入りすると、そのままシーズンを終了した。同年は前述の離脱までに15試合に先発登板。8勝2敗と勝ち越したものの、惜しくも2桁には届かなかった。その他の成績は防御率3.20、71奪三振などであった。奪三振数は離脱があったとはいえ、過去2年から比較すると激減した。
2019年シーズンは29試合中24試合に先発登板。6勝7敗の負け越し、防御率4.76といずれも前年より成績が悪化した。唯一、奪三振のみ前年よりも向上して2年ぶりの100奪三振以上となる104奪三振を記録した。オフの10月31日にFAとなった。
2019年12月13日にニューヨーク・メッツと300万ドル（出来高あり）の1年契約を結んだ。
2020年シーズンは新型コロナウイルスの影響で60試合の短縮シーズンとなる中で8試合（1試合のみ中継ぎ）に先発登板。1勝4敗、防御率6.62、37奪三振と軒並み過去最低水準の成績に終わった。オフの10月28日にFAとなった。
2020年12月18日にタンパベイ・レイズと300万ドルの1年契約を結んだ。
マイケル・ワカ 経歴
2021年シーズンは29試合中23試合に先発登板。3勝5敗と3年連続の負け越しとなった。その他メジャー初ホールドを含む2ホールド、121奪三振などを記録した。防御率は5.05と前年よりも若干改善した。オフの11月3日にFAとなった。また、チームが地区優勝を果たしたため、6年ぶりにポストシーズンのロースターに入った。迎えたポストシーズンではレイズとの地区シリーズ第2戦（トロピカーナ・フィールド）にデビッド・ロバートソンの後を受けて4番手として登板するも2.2イニングを投げて被安打9、ラファエル・デバースにソロ本塁打を浴びるなど6失点、防御率20.25と散々な内容だった。チームもレイズに1勝3敗で敗れて敗退した。
2021年11月27日にレッドソックスと700万ドルの1年契約を結んだ。
2022年シーズンは4年ぶりに23試合すべてに先発登板。メジャー初完投を含む11勝（2敗）、防御率も3.32と大幅に改善した。その他104奪三振などを記録した。なお、2桁勝利を記録したのは実に5年ぶりとなり、奪三振数も前年よりは減少したものの3年連続で100奪三振を上回る結果となった。オフの11月6日にFAとなった。
マイケル・ワカ 経歴
2023年2月16日にサンディエゴ・パドレスと1年契約を結んだ。オフの11月3日にプレイヤーオプションを破棄し、FAとなった。この年は24試合に先発登板。2年連続の2桁勝利かつ前年を上回る14勝（4敗）、防御率3.22、現時点で5番目に良い成績となる124奪三振などを記録した。
2023年12月18日にカンザスシティ・ロイヤルズと2年総額3200万ドルの契約を結んだ。2年目の契約はプレイヤーオプションとなる。
2024年は29試合に先発登板して166.2イニングを投げ、7年ぶりに規定投球回をクリアし、3年連続の2桁勝利となる13勝（8敗）、防御率3.35、キャリアで3番目に多い145奪三振を記録した。オフにはオプトアウトする可能性もあったが、3年総額5100万ドル+球団オプション1年（総額7200万ドル）の内容でロイヤルズとの契約を延長した。また、チームはこの年ワイルドカードでポストシーズンに進出した。自身もワイルドカードシリーズから2021年以来3年ぶりとなるポストシーズンのロースター入りを果たしたものの、チームがボルチモア・オリオールズ戦（オリオール・パーク）で2連勝してシリーズ突破を決めたため登板機会は無く、自身は最低でも地区シリーズからの出場となった。迎えた地区シリーズではニューヨーク・ヤンキースとの第1戦（ヤンキー・スタジアム）と第4戦（カウフマン・スタジアム）に先発登板。第1戦では4イニングを投げてグレイバー・トーレスにソロ本塁打を浴びるなど3失点の内容だったが勝敗は付かなかった。また、第4戦では4.2イニングを投げて被安打6、2失点に抑えながらも打線の援護が無く敗戦投手となった。チームもこの試合に敗れたことで1勝3敗となり、シリーズ敗退となった。
2025年はキャリアハイを更新する31試合に先発登板。シーズン終盤の9月9日には脳震盪による特例措置で7日間の故障者リストに入り、16日に復帰した。同年は前述の離脱がありながらも4年連続の2桁勝利となる10勝を記録したが、同時に自身初の2桁敗戦となる13敗を記録するという屈辱も味わった。
リチャード・ヘイマン
リチャード・ヘイマン（Richard Hayman, 1920年3月27日 - 2014年2月5日）はアメリカ合衆国のアレンジャー、作曲家、ハーモニカ奏者、指揮者、音楽ディレクターである。アーサー・フィードラー時代のボストン・ポップス・オーケストラで、30年以上にわたってチーフ・アレンジャーを務めた。
リチャード・ヘイマン 経歴
マサチューセッツ州ケンブリッジ生まれ。18歳のときにボラ・ミネヴィッチとハーモニカ・ラスカルズ (Borrah Minevitch and His Harmonica Rascals) のハーモニカ奏者として音楽業界に入る。やがてハリウッドに出入りするなかでメトロ・ゴールドウィン・メイヤーの音楽ディレクターの目にとまり、『ガール・クレイジー (Girl Crazy) 』（1943年）、『若草の頃』（1944年）などの映画音楽のオーケストレーションを任されるようになった。このハリウッド時代にマックス・スタイナー、アルフレッド・ニューマン、エーリヒ・ヴォルフガング・コルンゴルトら映画音楽の巨匠達の薫陶を受けている。
リチャード・ヘイマン 経歴
1945-50年まで当時人気を誇ったヴォーン・モンロー・オーケストラ (Vaughn Monroe Orchestra) のレコーディングに参加、1950-65年にはマーキュリー・レコードのA&R・ディレクターとしてヴィック・ダモーン、パティ・ペイジのレコーディングに携わる傍ら自らもポップス・オーケストラを指揮して同レーベルから数々のアルバムを発表した。1960年にハリウッド・ウォーク・オブ・フェームの星を授かる。またこの時期からボストン・ポップス・オーケストラにチーフ・アレンジャーとして招かれるようになり、アーサー・フィードラーの下で数々の名編曲を生み出した。これらの編曲は、ボストン・ポップスのシェフがジョン・ウィリアムズ、キース・ロックハートの代になっても使われ続けている。
ポップス指揮者としても活躍し、セントルイス交響楽団の名誉ポップス指揮者、グランドラピッズ交響楽団、ハートフォード交響楽団及びカルガリー・フィルハーモニー管弦楽団の首席ポップス指揮者のポストを持つ。セントルイス響では2010年に彼の90歳を祝うコンサートが開催された。また1960年-68年までデトロイト交響楽団の首席ポップス指揮者を務め、ボストン・ポップスでは指揮者としてもフィードラーを補佐した。
彼自身のヒット曲に、1950年代に大ヒットした「ルビー」（映画『Ruby Gentry』のテーマ曲の編曲で、彼がハーモニカ・ソロを担当）や「ダンセロ（Dansero）」がある。レコーディングでは、1950年-60年代にマーキュリーから、80-90年代にはナクソスから、リチャード・ヘイマン＆ヒズ・オーケストラ (Richard Hayman and His Orchestra) 名義で多くのアルバムを発表している。
2014年2月5日、マンハッタンで死去した。
プルゲルノー
プルゲルノー （Plouguerneau、ブルトン語:Plougerne）は、フランス、ブルターニュ地域圏、フィニステール県のコミューン。コミューンのモットーは、ブルトン語で" Plougerne war sao"（「立ち上がれプルゲルノー」）である。
プルゲルノー 地理
沿岸河川であるアベル・ヴラク川（fr）とイギリス海峡とに挟まれた位置にあり、プルゲルノーは、中心部であるプルゲルノー、海に面した西部のリリア、内陸に面した東のグルアネックという、3つの集落から構成されている。45kmに及ぶ海岸線ゆえに、コミューンは海藻とりの中心であった。
プルゲルノーは国道12号線（レンヌ＝ブレスト間）近くにある。ランデルノーで国道を下り、プルダニエルおよびレスネヴァン方面へ向かう。最寄りのTGV駅はブレストであり、最寄りの国際空港はおよそ30km離れたギパヴァにあるブレスト＝ブルターニュ空港である。
プルゲルノー 歴史
プルゲルノー教区は、レオン司教座の下にあるケメネ＝ティリ助祭管区の一部であった。教区にはトレメネックという小教区もあった。
プルゲルノー教区の第三身分は代表議員2人を送っていた。この2名は、レスネヴァンのセネシャルに対して出された第三身分陳情書に名を連ねている。
1793年3月、プルネヴェンテル、プルダニエル、ギセニー、ケルルアンといったコミューンとともに共和国政府に対して反乱を起こしたかどで、プルゲルノーは40,600リーヴルの罰金を払うよう命じられた。
1944年4月29日、カナダ海軍の駆逐艦HMCSアタバスカン（fr）が、ドイツ駆逐艦の攻撃を受けてイル・ヴィエルジュ灯台付近で沈没し、船員128人が死亡した。この船は今も同じ場所の深さ90mの位置に沈んでいる。
プルゲルノー 人口統計
参照元:1999年までEHESS、2000年以降INSEE
プルゲルノー ブルトン語
2007年の新学期時点で、プルゲルノーの児童11.8%が二言語教育の小学校に在籍していた。2010年12月17日、コミューン議会はブルトン語の日常使用促進を掲げるYa d'ar brezhoneg憲章批准を可決した。
上野泰
上野 泰（うえの やすし、1938年 - ）は、日本の造園家、ランドスケープアーキテクト。おもに日本の公団団地計画・ニュータウン計画における土地利用や公園緑地設計などに関わった実績を持つ。1960年代末、住宅地に対する“量から質へ”という社会的ニーズの中で、横浜市が掲げた3つの基本理念を基に港北ニュータウンは造られた。オープンスペース計画であるグリーンマトリックスシステムは、最重要な基幹的システムとして位置づけられていた。
グリーンマトリックスの実現には、当時の公団設計グループに加えて、ランドスケープアーキテクトである上野が大きな役割を果たしている。上野は、港北N.T.のオープンスペース計画でチーフプロデューサー的役割を務めあげた人物である。
上野泰 経歴
1938年東京生まれ。1962年、千葉大学園芸学部旧造園学科卒業後、近代造園研究所にて、赤羽台団地や日本住宅公団の造園施設標準設計や団地計画に関わる。
1963年から1964年まで、旧武蔵工業大学工学部（現・東京都市大学）講師。1977年にウエノデザイン設立。同代表。1993年から、千葉大学非常勤講師。
上野泰 携わった事業
多摩ニュータウン
落合鶴牧地区：マスタープランおよび宝野公園、奈良原公園、鶴牧東公園（日本都市総合研究所、曽宇厚之らと共同。1977年 - 1994年、1984年に日本造園学会賞受賞）
向陽台 (稲城市)地区：マスタープランおよび城山公園、近隣2号公園、児童公園、ファインタワー、サイン計画など（日建設計土木部、日本都市総合研究所、山設計工房、斉藤邦彦、曽宇厚之、中央造園設計事務所、大石造園設計事務所、三橋建築設計事務所らと共同）
簗田氏
簗田氏（やなだし）は、日本の武家。室町時代・戦国時代に下総国・関宿城（千葉県野田市）及び水海城（茨城県古河市）を根拠として活動した。鎌倉公方・古河公方の家臣であり、特に古河公方の時代には筆頭重臣になった。嫡流の関宿簗田家、傍流の水海簗田家に分かれた。
簗田氏 歴史
『与吾（与五）将軍系図』（東昌寺所蔵） によれば、桓武平氏流大掾氏一門の平維茂の子・良衡を祖とする。良助（良資）の代に、近江国久田郡の余呉湖付近から下野国梁田郡簗田御厨（梁田御厨）に移住し、名字の地とした。
系図の信憑性の具体性は判明できないが、鎌倉時代の簗田氏は簗田御厨の小領主であり、開発領主級の大規模領主ではなかった、また、当時から足利氏家臣だったが、高い地位にはなかったと考えられている。
この通説に対し、新しい説として、早い時期に簗田氏は足利氏宗家を離れて庶流である斯波氏の譜代家臣となり、武衛家に仕えて尾張国に下った流、越前国に下った後に奥州斯波氏に仕えた流、後者の庶流と推定される関東地方に残っていた斯波氏所領の代官となった流などに分立し、その関東にいた一流が鎌倉府の勢力拡大と共にその奉公衆に組み込まれたとする説が提示されている（太田荘や『簗田家譜』に足利基氏が簗田経助に与えたと記す武蔵国小沢郷は、鎌倉府に従属した簗田氏が押領した斯波氏の所領であった可能性がある）。この説によれば、織田信長に仕えた尾張の簗田政綱や南部信直に寝返って奥州斯波氏の滅亡を作ったとされる簗田詮泰は関東の簗田氏と同族と推定されている。
簗田氏 歴史
室町時代になると、南北朝以降に鎌倉府・奉公衆となり、下河辺荘が鎌倉府の根拠地として整備される過程で、簗田御厨から武蔵国太田荘を経て下河辺荘に移住した。また、室町幕府第6代将軍足利義教の圧迫を受けて第4代鎌倉公方・足利持氏に叛旗を翻した常陸国の佐竹義人が永享8年（1436年）に持氏に降伏・帰参した際に佐竹氏の所領であった武蔵国埼西郡33郷と下総国下河辺荘関宿の7か村を降伏の仲介の労を取った簗田満助に譲ったと伝えられている。関宿に近い現在の茨城県五霞町には、簗田満助の菩提寺・東昌寺が現存することから、移住の時期は満助の頃と推定される。第4代鎌倉公方・足利持氏は、下河辺荘・古河を拠点として、上杉禅秀の乱鎮圧や北関東の京都扶持衆弾圧を行い、簗田氏はその先兵となった。さらに満助の娘が足利持氏に嫁いで血縁関係を持ったこともあり、鎌倉府内での地位を向上させていったが、持氏が京都・室町幕府と対立して、永享の乱で敗死したため、一時的に逼塞した。
簗田氏 歴史
文安4年（1447年）、第5代鎌倉公方・足利成氏のもと鎌倉府が再興されると、奏者の地位を確立。享徳4年（1455年）、成氏が古河に移座した後は、簗田持助（持資）とその子・成助（成資）は初代古河公方となった成氏の重臣になる。関宿城を本拠として、古河公方の軍事力を担い、御料所・下河辺荘の経営にも活躍した。簗田氏には水海城もあり、拠点とした時期の前後関係は不明確だが、以降は嫡流・関宿簗田氏と傍流・水海簗田氏に分かれた。
傍流の簗田政助（政資）が実質的な当主として活躍した時期には、後継者をめぐる内紛があったものの、簗田高助（高資）が家督を継ぐと収束し、所領の集中・封建的家臣団の整備・家督権の強化が進められた。高助の頃には古河公方重臣の中でも筆頭宿老となったと考えられている。後北条氏の台頭が始まると、古河公方体制内への浸透を防ごうとしたが、河越城の戦いにて、扇谷上杉氏・山内上杉氏・古河公方連合軍が北条氏康軍に敗れたため、出家して家督を簗田晴助（晴資）に譲った。
簗田氏 歴史
天文21年（1552年）、北条氏康の圧力により、古河公方後継者が簗田氏縁者の足利藤氏から、氏康の甥にあたる足利義氏に交代した。簗田氏にとって大きな打撃となったはずだが、引き続き公方重臣として活躍し、義氏が元服後に鎌倉・鶴岡八幡宮に参拝した際にも、晴助が太刀役を勤めている。後北条氏は義氏擁立に成功したものの、古河公方権力はまだ掌握しておらず、簗田氏対策がその課題として残った。
永禄元年（1558年）、第5代古河公方・足利義氏が関宿城に移座し、晴助は城を明け渡して、代わりに与えられた古河城に移った。後北条氏が簗田氏の在地支配権弱体化を計ったものと考えられる。永禄3年（1560年）、上杉謙信が関東侵攻を始めると、晴助は公方・足利義氏の元を離れ、謙信を支えて北条氏政に対抗した。義氏に対抗する古河公方として、謙信が新たに擁立した足利藤氏、および前関白・近衛前久、関東管領・上杉憲政を古河城に迎え入れている。のちに古河城は後北条氏に奪われたが、晴助も関宿城を取り戻す。永禄8年（1565年）からは3次にわたる関宿合戦が始まり、晴助・持助（持資）父子は後北条氏に対して和睦と抵抗を繰り返した。しかし天正2年（1574年）、ついに持助は降伏して関宿城を明け渡し、支城だった水海城に移って後北条氏に従属した。このときに後北条氏は古河公方権力を掌握したと考えられており、以後、古河公方は形式的・伝統的な存在となった。
簗田持助（持資）の後は、助縄（資縄）が一時的に当主となり、さらに助利（資利・貞助）に引き継がれた。
天正18年（1590年）、豊臣秀吉による小田原合戦では、簗田助利は小田原城に在陣。簗田氏は後北条氏とともに一旦滅亡したものの、慶長7年（1602年）に徳川家の家臣として再興。しかし、慶長20年（1615年）の大坂夏の陣にて、簗田助利は子の権三郎・助良（資良）とともに戦死した。
助良には嗣子がなかったが、妹の子・助政（資政）が家督を継ぎ、江戸時代に引き継がれていった。江戸小川町表猿楽町（東京都千代田区）に屋敷を拝領し、幕府の先手与力や留守居与力を代々勤めた。
簗田氏 河川と簗田氏
簗田御厨から下河辺荘に移った背景に関して、どちらも渡良瀬川・太日川水系に面していたため低湿地が多く、水害対策技術が荘園経営に必須であった点が指摘されている。簗田氏はこのための特殊な技量を持ち、鎌倉府御料所経営の適任者として認められていたと考えられている。
古河公方期にも、簗田氏が拠点とした関宿地域は、当時の関東地方の二大水系、すなわち、常陸川水系（現在の利根川下流域・霞ヶ浦・北浦）及び東京湾へ流れ出る旧利根川・渡良瀬川（太日川）水系を連結する交通・物流の要衝となっていたことは良く知られている。さらには、江戸湾～旧利根川・渡良瀬川の水上交通、すなわち、鎌倉～品川湊～水海・関宿～古河の物流ルートを把握してきたことも特筆される。
簗田氏が鎌倉公方・古河公方の重臣として地位を向上させていく背景には、川との関わりが重要な要素となっている。
簗田氏 主な当主
簗田助良は勘解由左衛門尉とも呼ばれる。称名寺（横浜市金沢区）宛に、助良が鎌倉公方・足利持氏の意向を伝える文書が残されており、持氏の奏者を勤めていたことがわかる。助良は官途や受領名から、系図にある「簗田良助」と同一人物と推定されている（ただし、簗田満助の正しい名前が助良であるとする説もある（後述））。助良・満助父子は簗田氏の直接的な祖先とされる。『簗田家譜』によれば、上杉禅秀の乱では足利持氏に従い、粉骨を尽くして傷を受けたとされる。
簗田満助は河内守とも呼ばれる。助良の子。永享10年（1438年）、永享の乱のなかで討死した。満助の娘が鎌倉公方・足利持氏の室となり、子を儲けている。『与吾将軍系図』 では、初代古河公方となる足利成氏の母とされている。ただし、古河公方関係系図には成氏の母は記載されていない。満助の娘は、もとは満助の兄・簗田直助の娘だったが、当主・満助の養女となった。
実名中の「満」は鎌倉公方・足利満兼の偏諱と考えられる。『簗田家譜』では「御家之鑑」、簗田氏中興の祖とされている。なお、満助は助良と同一人物である可能性が指摘されている。そもそも、満助の名前が登場するのは『簗田家譜』などの後世の系図のみで同時代の古文書で実在を確認できるのは助良のみであるという指摘もある。
簗田氏 主な当主
簗田持助は中務丞・中務少輔・河内守とも呼ばれる。応永29年（1422年）－文明14年4月6日（1482年4月23日）。満助の子。関宿城主。実名中の「持」は鎌倉公方・足利持氏の偏諱である。享徳の乱では、古河公方・足利成氏を軍事面で支えたほか、成氏と旗下の武将を結ぶ奏者としても活躍した。
簗田成助は中務大輔・河内守とも呼ばれる。生没年不詳だが文明～永正年間（1469 - 1521年）に活躍。持助の子。古河公方の足利成氏・ 政氏父子の家臣。関宿城主。享徳の乱では上杉方と講和交渉に携わった。
実名中の「成」は古河公方・足利成氏の偏諱と考えられる。
簗田政助は右京亮・大炊頭とも呼ばれる。生没年不詳だが長享～永正年間（1487 - 1521年）に活躍。持助の子、成助の弟。水海城主。実名中の「政」は古河公方・足利政氏の偏諱である。政氏の側近として活躍し、永正7年（1510年）の古河公方家内紛の際には政氏を支持したため、子の高助と対立した。
政助は水海・三島明神社に鰐口を寄進していることから、傍流の水海簗田氏出身だったと推定され、正式な当主であったかは不明確な点もある。兄・成助の嫡子「簗田中務少輔」が次代当主に予定されていたが、何らかの理由で政助が当主を引き継いだ、その過程では簗田氏に内訌が起こった可能性もあるとされる。　しかし当主でないとする解説もあり、統一されていない。