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Wake Up, Girls! 登場人物
「I-1club」とI-1club社長の白木の過去を知っており、早坂が事務所を訪れた際に「I-1club」に断りを入れたか気にするなど「I-1club」とは極力対立を回避する姿勢が見られる。「青春の影」で、丹下は30年前に白木がプロデュースした「セイント40」の元メンバーであり旧知の仲だったことが明かされる。東京へ進出する際に白木へ挨拶した際、忠告とセイント40時代の写真を受け取った。佐藤勝子とは「セイント40」のメンバー同士で、セイント40が辞めた後もタッグを組んでいた。
早坂相（はやさか たすく）
声 - 鈴村健一
世界で活躍している音楽プロデューサーでI-1clubのプロデューサーとしてスターダムに押し上げた立役者の1人。（ただし真夢が在籍していた時期とは重ならないともされている）。WUGに対し無償でレッスン、楽曲の提供、大型イベントへの斡旋などを行う。
Wake Up, Girls! 登場人物
仙台のライブハウスでライブを見たことがきっかけで興味を持ち、丹下に「Wake Up, Girls!に関する全権をしばらく自分に預けるかわりに、自らノーギャラでプロデュースする」という破格の条件を持ちかける。丹下と契約書を交わす際、金銭には大した興味はなく、原石のアーティストを磨きあげるなどの仕事に情熱が持てるかが生き甲斐だったため、既にスターダムに上がったI-1clubへのプロデュースの興味は失ったと語っている。その後、毎週1回来仙しWUG!に体力向上や基礎訓練などのレッスンを行う他、月に2回、1日3回公演のライブ公演を命じる。後に能力と覇気が劣る藍里に解雇通告を行い、他のメンバーにも、藍里を守るために全員解雇か、藍里を切るかの選択を迫るも、藍里の説得とメンバーに課した他の条件を守らせたことで脱退宣告などを撤回する。
その後「アイドルの祭典2014」の出場を決めWUG!に宣告し、その出場のため作詞作曲した「極上スマイル」や決勝用に「7Girls War」を提供している。
Wake Up, Girls! 登場人物
劇場版「青春の影」では、東京への進出が決まると浮かれているWUG!を心よく思っておらず、メジャーデビューのレコーディングにもディレクションせず、2ndシングルの参加を断った。しかし松田によりWUG!の現状を知り、テレビの様子やbvexの担当者の振る舞いを見て心変わりし、WUG!にアイドルの祭典に再度参加することを提案し、その条件に新曲「少女交響曲」を提供した。ただしアイドルの祭典の決勝での曲提供は、自分（早坂）に頼らないWUG!の本当の実力を見たいという理由から断った。
佐藤勝子（さとう かつこ）
声 - 佐久間レイ
グリーンリーヴスに所属していた歌手。芸名はサファイヤ麗子。「Beyond the Bottom」のみに登場するが、「七人のアイドル」には、サファイヤ麗子時代の宣材写真が登場している。TVシリーズで、丹下が会社の金を持ち逃げしたのは、彼女を助けるためだったという理由が映画で明かされる。
Wake Up, Girls! 登場人物
丹下とはアイドルグループ「セイント40」のメンバーとして以来の仲であり、セイント40の歌を作詞・作曲をゴーストライティングしゴールデンディスク大賞を受賞した過去を持つ。丹下にアイドルの祭典の新曲を依頼され渋っていたが、ダンスの自主練習をしていたWUG!を見て考えをあらため、新曲「Beyond the Bottom」を提供する。アイドルの祭典の決勝の時には丹下からまた事務所に入らないかというオファーを受けた。
「トゥインクル」。二人組の女性デュオグループで自ら作曲作詞も行っている。丹下社長とはデビュー当時の縁があったため、WUGのデビュー曲の作詞・作曲の提供者になっている。その後時々事務所を訪れ、Wake Up, Girls!に「Wake Up, Girls!」らしさや「喧嘩できているか」などの抽象的なアドバイスをたびたび行っている。なおWake Up,Girls!への提供曲は「タチアガレ」と「16歳のアガペー」。劇中では途中まで名前が特定されず、エンドクレジットでのみ役名が紹介されていたため役名と顔の関係がつかみにくいが、ツインテールにしているのがカリーナ、ショートカットにしているのがアンナである。
Wake Up, Girls! 登場人物
劇場版「Beyond the Bottom」においても登場し、丹下がアイドルの祭典の決勝に使用する新曲へのオファーを受けるも自身のツアーの多忙さに断る。その後、Run Girls, Run！にデビュー曲を提供する。名前はフランスの女優アンナ・カリーナのもじり。
カリーナ
声 - 戸松遥
アンナ
声 - 花澤香菜
Wake Up, Girls! 登場人物
「ラン ガールズ ラン」。略称は「RGR」「ランガ」。『新章』より登場の速志歩・守島音芽・阿津木いつかの3人からなるユニット。登場キャラクターと担当声優の苗字読み 及び誕生日が同じ 。ユニット名は12話でレッスン終了後に体力づくりの為ランニングで帰宅する3人をヒントに「あえて「Run」って2回付くの可愛いくないですか？」という未夕の提案から命名された。元々は同じ中学校に通うWUGファンの同級生で、「タチアガレ!」の踊ってみた動画を動画投稿サイトにアップしたり 、その後も真夢主演のドラマのエキストラやWUGのバスツアーなど積極的に参加し、それらをきっかけにアイドルになることを決意し事務所(グリーンリーヴズ)に訪れる。丹下は当初「新人を獲る気はない」と断るが、何度も足を運ぶ3人の熱意に負け渋々ながらもオーディションを受けさせ、たまたまその場に訪れた真夢の後押しもあり研究生として事務所入りする。事務所入りする前はWUG及びWUGメンバーのことをファン視点から様々な呼び方で呼んでいたが、事務所入り後はそれぞれに「さん」付けで統一している。そしてWUGの全国ツアーのファイナルで前座ながらも初めてステージに立ち、Twinkleが3人のために作った「カケルＸカケル」を披露した。
速志歩（はやし あゆみ）
声 - 林鼓子
守島音芽（もりしま おとめ）
声 - 森嶋優花
Wake Up, Girls! 登場人物
阿津木いつか（あつぎ いつか）
声 - 厚木那奈美
「ワグナー」とはアイドルユニット「Wake Up, Girls!」のファン全体を指す通称（Wake Up, Girls!の頭文字「WUG」を日本語風に「ワグ」と読み、それに「er」を付けてそれっぽくした呼称）。下記4名は頻繁にファミレスでの集会を行っており、会話がエキサイトすると大声を出し、店員に注意されるという天丼ギャグが繰り返される。
大田邦良（おおた くによし）
声 - 下野紘
仙台在住のワグナー。小太り・メガネ・ポスターブレードを背中のリュックに装備する。シリーズ開始時点ではI-1clubの古参ファンで、I-1clubを脱退した島田真夢を気にかけていた。勾当台公園で配られたWUGデビューライブのチラシに島田真夢の名前を見つけ驚愕し駆けつける。以降もワグナー繋がりで縁を持った浅津、屋沢、城本と共にWUGを応援し、「Beyond the Bottom」では私設ファンclub「わぐらぶ」 を立ち上げた。
浅津正樹（あさつ　まさき）、屋沢良（やざわ　りょう）、城本一（しろもと　はじめ）
声 - 祐仙勇、松本健太、高橋大輔
Wake Up, Girls! 登場人物
大田とつるむワグナー3名（浅津はバンダナ、屋沢はメガネ、大柄な帽子を被っているのが城本）。浅津と屋沢は元々未夕が勤務していたメイドカフェの常連客だったことからWUGでも引き続き「未夕推し」で、勾当台公園でのデビューライブにも見に行っていた（その後もWUGのライブに通い詰め、流れで大田と合流）。
劇場版第2作の前編「青春の影」での東京デビューや「b Session」のライブでも大田と一緒に駆けつけている。「新章」では、大田を差し置いて三人でバスツアーに参加する。
真夢の祖父、祖母
声 - 西村知道、定岡小百合
東京から戻ってきた娘である母親(真理)と真夢を優しく迎えるも、どこか気を使い踏み込めずにおりどちらともギクシャクしている。真夢がアイドルを再開したことを応援しているが、そのことに対しても真理と対立してしまう。
島田真理（しまだ まり）
声 - 島本須美
Wake Up, Girls! 登場人物
真夢の母。I-1clubを辞めた真夢とともに仙台に帰郷する。仕事の大変さからスレており、娘の真夢や両親に対して投げやりな態度をとっている。真夢がアイドルを再開した際には反発していたが、後に和解しアイドル活動を認め所属同意書・契約書にサインする。素直に娘を応援するようになった。フルネームは第10話での真夢の契約書に記載されていた。 新章では最終回で全国ツアーのファイナル会場に両親(真夢の祖父・祖母)とともに駆けつけているほか、第4話では真夢にドラマを見た感想をメールで送っていた。
小説版によれば白木徹がかつて立ち上げていた「セイント40」のオーディションを受け、落ちた経験もあり、真夢に自分の夢を重ねていた部分もあったようで白木の手法もある程度知っていたようである。
藍里の父親、母親
声 - 柴本浩行、伊藤美紀
夫婦で老舗和菓子屋を切り盛りしている。両親とも藍里のアイドル志望に対しては本人の自由に任せつつもどこか心配している。父親は藍里がアイドル活動を辞めようとした際に厳格な態度をとり続ける。また藍里が説得されて再開しようとする際に「継続は力なり」という言葉と応援する言葉を娘に向けた。
磯川（いそかわ）
声 - すずき紀子
実波がよく遊びにいく仮設住宅に住んでいる老年の女性。実波が歌う演歌のファンで、実波が所属するWUGに対しても応援している。仙台テレビのイベント直前に心臓の病気で入院する。
新章最終回のツアーファイナル会場にも駆けつけている。
吉田和子（よしだ かずこ）
声 - 亀井芳子
夏夜の叔母。気仙沼で旅館を営んでいる。幼いころに両親を亡くした夏夜を母親代わりとして育て、震災を機に仙台に越した夏夜を心配し手紙を送っている。そして夏夜の提案で合宿に来たWUGメンバーらを温かく迎えた。エンディングクレジットは名前のみの表記だが、夏夜に送った手紙の封筒に苗字を含めたフルネームが記載されていた。
杉本（すぎもと）
声 - 岡本寛志
松田の大学時代の旧友でバンドのメンバーであった人物。劇場版「七人のアイドル」でも松田に電話をかけている。夢は叶えられなかったものの、働きながらバンドを続けておりWUGが東京に進出する際に松田と再会する。
菜々美の父親
声 - てらそままさき
劇場版第2作の後編「Beyond the Bottom」より登場。とある会社の社長を務めている。菜々美のアイドル活動については快く思っておらず、当初の目標だった「光塚歌劇団」へと舵を切るよう菜々美に迫る。
歩の父親、母親
声 - 橘潤二、丸山有香
新章より登場。
須藤（すどう）
声 - 中尾隆聖
第1話・第2話に登場。丹下不在時のグリーンリーヴズに仕事を斡旋した芸能プロデューサー。その実態は丹下曰く「ゴロツキプロデューサー」と呼ばれる悪質な男で、世間知らずの松田とWUGを手玉にとり、水商売まがいの仕事をあてがって一儲けを目論んだ。結局、営業先に、なぜか居合わせた丹下にピンハネを見抜かれ殴打され、反撃もせずに退場する。
鈴木文明（すずき ふみあき）
声 - 松本健太
第3話・第4話に登場。テレビ局のディレクターで、真夢が仙台で活動を再開したことを知り、真夢の脱退について詳細を知るために、偽企画を用意し、グリーンリーブスに取材企画を通させてWUGメンバーに部下の山田AD（声 - 宮下栄治）とともにインタビューを始める。真夢のゴシップのための取材とバレた後は開き直りWUGや事務所へ中傷をするも怒りに任せた丹下により殴られ事務所から追い出された。エンディングクレジット表記は「鈴木ディレクター」であるが、丹下に差し出した名刺や本来の企画書（都落ちアイドル 仙台奮闘記）にフルネームが記載されている。
男鹿なまはげーず（おが-）
声 - 洞内愛（絹宮サキ）、明石香織（六代陽子）、小笠原早紀（風山唯）
第10話、「Beyond the Bottom」、『新章』に登場。アイドルの祭典の東北ブロックに出場する、秋田県の3人組のご当地アイドルユニット。なまはげの服装を羽織りつつダンスをしたりそれを脱ぎ捨ててセーラー服を用いて踊り歌うというスタイルを取り時にはヨーヨーも使う。秋田弁で喋っているため綿密に話している内容がわかるのは佳乃くらいである。
TVアニメにおいては、偵察も兼ねて帰宅帰りの真夢と佳乃の前に現れ対抗意識を丸出しにする。普段も威圧も兼ねてなまはげ姿をしているため恐れを抱くWake Up,Girls!のメンバーもいた。東北ブロック予選で負けた際には「Wake Up,Girls!が良かった」というエールを残した。
劇場版第2作の後編「Beyond the Bottom」においては、Wake Up,Girls!が全国を回る際に男鹿なまはげーずが定期公演しているライブスタジオに客演として迎い入れ共演した。再度の東北ブロック予選でのWUGとの対決でもWUGが軍配が上がったが、当初のアイドルの祭典ではイロモノ扱いの面も強く実力は言及されていなかったが、実力をメキメキ上げており来年があったらわからないと佳乃に言わしめる。
『新章』の冒頭では、事務所の倒産により解散したと大田の台詞で語られるが、第11話より再登場、フリーで活動していたことが明かされる。チラシからWUGが出場しなかった2016年度のアイドルの祭典で東北代表になっていたことが分かる。
カルロス鴨田（かるろす かもだ）
声 - 島﨑信長
続・劇場版に登場する。大手レコード会社bvexのA&Rを務めるスタッフ。アイドルの祭典において活躍したWake Up,Girls!に注目し、グリーンリーヴズに電話を掛けWake Up,Girls!と1年間のレコード契約をする。
お調子者で業界用語や高い声を出しながら演説する癖があるが、早坂頼みでスカウトしたようで、1曲目のメジャーデビューシングルである「7 Girls War」のあとに出した2ndシングル「素顔でKISS ME」の売れ行きが不調になるとWUGを見限る動きを見せ、早坂にも早坂頼りのユニットであったとおべっかを使っている。
少女交響曲を早坂から提供されたことを知ると、リリースしたい意向を出すがアイドルの祭典へ参加するために断られると渋い表情を出す。しかし松田からの要望通りにbvexの所属ながらWUG独自の自主性を重んじた活動をすることを許可した。
マキナX
声 - 三森すずこ
『新章』に登場するヴァーチャルアイドル。劇中では「Vドル」と呼ばれ、主人公たちアイドルを脅かす存在である。
Wake Up, Girls! テレビアニメ
2014年1月から3月まで、テレビ東京ほかにて放送された。全12話。また、劇場版第2弾公開決定を記念して2015年4月から6月まで再放送された（テレビ東京のみ）。
オープニングテーマ
「タチアガレ！」（TV版第1話 - 第2話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 神前暁 / 歌 - Wake Up, Girls!
第3話では劇中歌として使用。ただしBlu-ray Disc版1・2話は挿入歌となっている。
「7 Girls War」（TV版第3話 - 第12話・BD版全話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲 - 神前暁・田中秀和 / 編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
Blu-ray Disc版では全話7 Girls Warがオープニングとなっている。
エンディングテーマ「言の葉 青葉」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 岡部啓一 / 歌 - Wake Up, Girls!
「太陽曰く燃えよカオス」（第2話）
作詞 - 畑亜貴 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - 岡本未夕
「16歳のアガペー」（第5話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲 - 広川恵一 / 歌 - Wake Up, Girls!
「ジェラ」（第5話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - I-1club
Wake Up, Girls! テレビアニメ
「DATTE」（第5話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - 小早川ティナ from I-1club
「あぁ光塚歌劇団」（第8話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 高橋邦幸 / 歌 - 光塚歌劇団
「極上スマイル」（第8・10・11話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!（第8・10話）、I-1club（第11話）
2017年10月から2018年1月までテレビ東京ほかにて放送された。本編全12話と特別編1話の全13話を放送。アニメーション制作は、続・劇場版でOrdetと共同で制作をしていたミルパンセが単独で担当。スタッフが多く変わり、本編アニメのダンスシーンが3DCGによるトゥーンレンダリングへと変更され、次回予告の実写もRun Girls, Run!の3人に変更されている。
全13話であるが、第7話としてカウントされている「特別篇 わぐばん!新章」はキャストが出演する実写のバラエティ番組であり、ストーリー的には前後とは関係がない ため、実質的には全12話である。また、この回は海外や日本国内の多くの動画配信サービスでは配信が行われていない。2017年10月からの1クールの番組であるが、最終回のみ年をまたぎ、放送時間も変更された。
Wake Up, Girls! テレビアニメ
オープニングテーマ「7 Senses」（第1話 - 第6話、第8話 - 第11話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
第13話では挿入歌として使用された。
エンディングテーマ「雫の冠」（第1話 - 第6話、第8話 - 第11話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 岡部啓一 / 歌 - Wake Up, Girls!
「タチアガレ！」（第1話、第9話、第11話、第12話、第13話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 神前暁 / 歌 - Wake Up, Girls!
「7 Girls War」（第1話、第8話、第11話、第13話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲 - 神前暁、田中秀和 / 編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
「あおばブルース」（第2話）
作詞・作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - ザ・カシューナッツ
「極上スマイル」（第2話、第6話、第9話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
「止まらない未来」（第2話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - I-1club
Wake Up, Girls! テレビアニメ
「DREAM」（第3話）
作詞 - 吉田詩織 / 作曲 - 水島康貴 / 歌 - Noda Akiko、金子麻友美
「君とプログレス」（第5話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - I-1club
「レザレクション」（第5話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 帆足圭吾 / 歌 - ネクストストーム
「同じ夢を見てる」（第5話）
作詞・作曲 - 吉田詩織 / 編曲 - 久下真音 / 歌 - ミツキとヨウコ
「ワグ・ズーズー」（第6話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 高橋邦幸 / 歌 - Wake Up, Girls!
「少女交響曲」（第8話、第13話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
「ニャオンのテーマ」（第9話）
作詞 - 松田恵里子 / 作曲・編曲 - 久下真音 / 歌 - Wake Up, Girls!
「HIGAWARI PRINCESS」（第9話、第10話、第13話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一
歌（第9話、第13話） - Wake Up, Girls!
歌（第10話） - 片山実波、久海菜々美
Wake Up, Girls! テレビアニメ
「無限大ILLUSION 2017」（第11話）
作詞 - 吉田詩織 / 作曲・編曲 - 立山秋航 / 歌 - なまはげーず
「Glossy World」（第11話、第13話）
作詞	- こだまさおり / 作曲 - 山田高弘 / 編曲 - ArmySlick / 歌 - マキナX
「Polaris」（第12話、第13話）
作詞 - Wake Up, Girls! / 作曲・編曲 -  田中秀和
歌（第12話） - Wake Up, Girls!
歌（第13話） - Wake Up, Girls!、I-1club、ネクストストーム、男鹿なまはげーず、あかみそオールスターズ
「Jewelry Wonderland」（第13話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - I-1club
「カケル×カケル」（第13話）
作詞 - 只野菜摘 / 作曲 - 神前暁 / 編曲 - 広川恵一 / 歌 - Run Girls, Run!
「Beyond the Bottom」（第13話）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
Wake Up, Girls! 劇場アニメ
2014年1月10日より全国公開された。なお、公開初日には映画本編の冒頭一部がニコニコ生放送にて無料配信された 他、劇場版全編のサイマル配信を有料にて行った。また、Crunchyroll（北米・スペイン語圏・ポルトガル語圏・フランス）、Tudou・Youku（いずれも中国）のサイトを活用し、劇場映画の公開初日に本編全てを世界108ヵ国・地域に向けて同時配信を行った が2015年11月27日よりYouTubeエイベックスピクチャーズ公式アカウントにて無料配信を開始した。このような試みは世界で初の試みとしている。
公開初日に、仙台市にて舞台挨拶および「仙台シネマ」認定式が行われた。
主題歌「タチアガレ！」
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 神前暁 / 歌 - Wake Up, Girls!
挿入歌
「シャツとブラウス」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - I-1club
「リトル・チャレンジャー」
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - I-1club
「大空のプリズム」
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 神前暁 / 歌 - 島田真夢
前篇『Wake Up, Girls! 青春の影』が2015年9月25日から、後篇『Wake Up, Girls! Beyond the Bottom』が12月11日から公開された。
Wake Up, Girls! 劇場アニメ
2014年12月14日に特報とともに発表された。劇場版第1作・TVアニメを制作したタツノコプロが制作を外れ、ミルパンセが加わっている。
2015年3月19日にファンクラブ開設記念に開催された「Wake Up, Derby!」にてタイトルおよび2部構成であると発表された。
青春の影は、TVアニメの最終話からの直接の続編であり、時系列では2014年冬(2015年の年明け)から2015年晩夏まで、Beyond the Bottomは2015年晩夏から年末までを描いている。
特に追記のない限り前後編共通である。
「少女交響曲」（前篇）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
「Beyond the Bottom」（後篇）
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 田中秀和  /歌 - Wake Up, Girls!
前篇
Wake Up, Girls! 劇場アニメ
「素顔でKISS ME」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲 - 田中秀和 / 編曲 - 広川恵一 / 歌 - Wake Up, Girls!
「運命の女神」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - I-1 Club Team S
「Regain Brave」
作詞 - 吉田詩織 / 作曲・編曲 - 神保トモヒロ / 歌 - 木高ゆみ
「End of endless」
作詞 - 吉田詩織 / 作曲 - 末岡史靖 / 編曲 - 立山秋航 / 歌 - mip'o
「Go for it!」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 夏目悠一郎 / 歌 - ホットドッグ
後篇
「少女交響曲」
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 田中秀和 / 歌 - Wake Up, Girls!
「タチアガレ！」
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 神前暁 / 歌 - Wake Up, Girls!
「止まらない未来」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 広川恵一 / 歌 - I-1 Club
「レザレクション」
作詞 - 辛矢凡 / 作曲・編曲 - 帆足圭吾 / 歌 - ネクストストーム
「if you were godness」
作詞・作曲・編曲 - Noda Akiko / 歌 - 佐藤勝子（サファイア麗子）
「無限大　ILLUSION」
作詞 - 吉田詩織 / 作曲・編曲 - 立山秋航 / 歌 - 男鹿なまはげーず
Wake Up, Girls! OVA
『Wake Up, Girls! 出逢いの記録』は、2013年12月29日に秋葉原UDXで開催されたイベント で販売された前売り券に付属したDVDに付属した6分程度のテレビ&劇場未使用のショートエピソードのアニメ。
Wake Up, Girls!の島田真夢以外のメンバーがグリーンリーブスのオーディションを受けた際のエピソードをアニメ化しており、各キャラクターの自己紹介映像となっている。なお島田真夢が藍里の付き添いで来たという場面のみテレビや劇場で使用された。時系列としては、劇場版の中の話である。ディスクには、販売元としてエイベックス・エンタテインメントとしてクレジットされている以外は、スタッフなどはクレジットされていなかったが後に脚本・コンテ&演出、総作監のみ判明している。また、Blu-ray 第6巻の特典映像として再録された。
Wake Up, Girls! Webアニメ
『うぇいくあっぷがーるZOO!』は、『Wake Up Girls!』のスピンオフアニメ。略称は「わぐZOO!」。
2014年8月10日に発表され、9月5日にお試し版がYouTubeにて配信された。10月22日よりdアニメストア、バンダイチャンネル、J:COMオンデマンド、ビデオパス、U-NEXT、RakutenShowtime、TSUTAYA TV、Gyao!ストア、DMM、ビデオマーケット、GyaO!、ニコニコチャンネルで正式配信。2015年2月25日配信の第10話にて最終回を迎えた。
Wake Up Girls!にはメンバーごとイメージアニマルが設定されており、本編3話等でアニマル天気予報としてイメージアニマルに則したきぐるみを一部のメンバーが着用していた場面がある。仙台市八木山動物公園が協力としてクレジットされており、舞台のモデルとなっているとみられる。
仙台の郊外にある小さな動物園。最後の一匹の動物が死んでしまい、園長は飼育員の松田に新たな動物を探すことを命じる。集まってきたのは猛獣の女の子たちだった…。
マユ
声 - 吉岡茉祐
ライオンの女の子。
第1話で松田飼育員に勧誘されるも一旦は拒絶。思わず松田を食べてしまう。第8話ではプロレス団体WUG所属ライオネル島田として登場、マイクパフォーマンスでアイリを叩きまくった挙句食べられる。
Wake Up, Girls! Webアニメ
第9話では『WUGZOO レンジャー』のライオンレッドとして登場するが、声は青山吉能で実はカキワリ。
アイリ
声 - 永野愛理
サメの女の子。
魚類であるのに、第2話では水槽に入れられ溺死、カヤと共に第2話のEDには登場していない。第4話でも水族館で溺死した姿が見られる。第5話ではフィギュアのモデルとして、ヨシノに咬まれるポーズをマユにとらされ、その後ヨシノに食べられEDでは食べ残しの背ビレのみ映る。第8話ではプロレスのレフェリー、シャーク林田として登場するが、マユとヨシノ双方から叩かれ、ブチ切れ2人を食べ勝利する。
第9話では『WUGZOO レンジャー』のシャークネイビーとして登場するが、声は青山吉能で実はカキワリ。
ミナミ
声 - 田中美海
トラの女の子。
第6話では巨大化する。第8話ではプロレスの解説役・タイガー片山として登場するも、「うめーにゃ」としか言わない。
第9話では『WUGZOO レンジャー』のタイガーイエローとして登場するが、声は奥野香耶で実はカキワリ。
ヨシノ
声 - 青山吉能
シロクマの女の子。
第4話ではパンダの格好をしている。第5話ではフィギュアのモデルとしてアイリを食べるようなポーズをし実際に食べてしまう。第8話ではプロレス団体WUG所属ベアー七瀬として登場、マイクパフォーマンスでアイリを叩きまくった挙句食べられる。
Wake Up, Girls! Webアニメ
第9話では『WUGZOO レンジャー』のベアーブルーとして登場。本人も出演しつつ他のキャラも代役している。
第10話ではアニマルの祭典で（マユのせいで）足を怪我するもマユに押し切られる形でステージに出ることになり、上手く飛べず会場（モデルはさいたまスーパーアリーナ）を全壊させる。
ナナミ
声 - 山下七海
オオカミの少女。
第6話では巨大化する。第7話では作画、予算などメタな発言をし、EDではリアル頭身の美麗作画だが予算を使ったため口パクしかできない綺麗な止め絵で登場。
第9話では『WUGZOO レンジャー』のウルフパープルとして登場するが、声は青山吉能で実はカキワリ。
カヤ
声 - 奥野香耶
ワニの女の子。
爬虫類であるのに、第2話では水槽に入れられ溺死、アイリと共に第2話のEDには登場していない。第4話でも水族館で溺死した姿が見られる。
第9話では『WUGZOO レンジャー』のクロコダイルグリーンとして登場。本人も出演しつつ他のキャラの代役とナレーションも担当。
Wake Up, Girls! Webアニメ
ミユ
声 - 高木美佑
ワシの女の子。
第4話で自分がヒロインのゲームを作る。第6話では鳥類であるのに飛べないことが分かり、巨大化する。
第9話では『WUGZOO レンジャー』のイーグルオレンジとして登場するが、声は奥野香耶で実はカキワリ。
松田飼育員
声 - 浅沼晋太郎
動物園の唯一の飼育員。ポスターを街中に張り、猛獣達の女の子を集めてくる。マユを勧誘するも食べられ、第4話ではミナミとナナミのご飯になる。第8話ではプロレスの解説役として登場。第9話では登場するもののすぐにボコボコにされる。第10話ではマユに反論しようとして食べられる。
丹下園長
声- 日髙のり子
動物園の園長。動物が一匹しかいなくなるほどの状態になっており、経営手腕には疑問符がつく。
エンディングテーマ「ワグ・ズーズー」
作詞 - 只野菜摘 / 作曲・編曲 - 高橋邦幸 / 歌 - Wake Up, Girls!
Wake Up, Girls! Wake Up, 宮城！触れ愛プロジェクト
観光による宮城県活性化を目的として、宮城県を舞台としているWake Up, Girls！とのタイアップキャンペーンを通じて宮城県をPRすることを目的として宮城県とコラボレーションしたプロジェクトで、当初は台湾で先行してイベントと新作短編アニメーション映像が公開され、3月26日の仙台空港イベントまでいくつかのイベントが行われた。
Wake Up,Girls!とうぇいくあっぷがーるZOO!のキャラクターたちが、宮城県の各所をPRするという内容の短編アニメーション（Wake Up,Girls!編は全7分、うぇいくあっぷがーるZOO!は全9分20秒）。2016年3月31日にYouTube上で正式公開された。制作には宮城県が加わっている。スマートフォン用アプリケーションの舞台めぐりともコラボレーションし、定められた宮城県の有名な景勝地や市町村を回ると録り下ろしのオーディオドラマが聞くことができる「Wake Up,Girls! Another Real」というプロジェクトも行われた。
Wake Up, Girls! 舞台
『Wake Up, Girls! 青葉の記録』と題した舞台が2017年1月19日から2017年1月22日にAiiA 2.5Theater Tokyoで上演された。脚本は待田堂子、演出は柿ノ木タケヲが担当。主催はエイベックス・ピクチャーズ。アニメでWake Up, Girls!のキャラクター全員とI-1clubの岩崎志保を演じている声優が舞台版でもWake Up, Girls!やI-1clubの同役を務めた。
ストーリーは『Wake Up, Girls! 七人のアイドル』に沿っているが、細かい台詞やディティールに修正が加えられている。全8公演が上演され、各公演の終わりには4曲ずつのミニライブもあった。
2017年5月26日にはBlu-rayが発売された。
Wake Up, Girls!以外のキャスト
（出典：）
I-1club
岩崎志保 - 大坪由佳
近藤麻衣 - 小山梨奈
吉川愛 - 岩田華怜
相沢菜野花 - 水原ゆき
鈴木萌歌 - 山下夏生
鈴木玲奈 - 立花玲奈
小早川ティナ - 日下部美愛
グリーンリーヴス・エンタテインメント
松田耕平 - 一内侑
丹下順子 - 田中良子
大田組
浅津正樹 - 鈴木ハルニ
大田邦良 - 増留壮一朗
城本一 - 本間健大
Wake Up, Girls! 舞台
『Wake Up, Girls! 青葉の軌跡』と題したWake Up, Girls!の2度目の舞台が2018年6月7日から2018年6月10日に草月ホールで上演された。脚本は待田堂子、総合演出は松多壱岱、演出は萩原成哉が担当した。制作はオッドエンタテインメント。主要キャストは『Wake Up, Girls! 青葉の記録』と同じであるが、I-1clubメンバーのキャストの一部が変更となった。前作で登場した大田組は本作には登場しないが、Twinkleの2人、および、I-1clubの新メンバーである高科里佳が新たに登場した。
最初のテレビシリーズである『Wake Up, Girls!』と、マンガ『リトルチャレンジャー Wake Up, Girls! -side I-1 club-』の内容 をベースにしたものであるが、脚本の待田がスタッフとして関わっていない『Wake Up, Girls! 新章』で歌われた楽曲である『Polaris』の歌唱から始まる など、「現在」から過去を振り返るシーンから始まるような構成となっていた。全8公演が上演され、前作同様、公演のあとには3〜4曲を歌うミニライブコーナーもあった。
Wake Up, Girls! 舞台
本公演の模様を収録したBlu-rayは2018年11月に発売され、また、10月20日には発売記念イベントも開催された。
Wake Up, Girls!以外のキャスト
（出典：）
I-1club
岩崎志保 - 大坪由佳
近藤麻衣 - 松村芽久未
吉川愛 - 持田千妃来
相沢菜野花 - 堀越せな
鈴木萌歌 - 山下夏生
鈴木玲奈 - 立花玲奈
小早川ティナ - 日下部美愛
高科里佳 - 松田彩希
Twinkle
アンナ - 栗生みな
カリーナ - 舞川みやこ
グリーンリーヴス・エンタテインメント
松田耕平 - 一内侑
丹下順子 - 田中良子
早坂相 - 福山聖二
THE★裏ワザ
THE★裏ワザ（ジ・ウラワザ）は、日本のロックバンド。2008年結成。2012年メジャーデビュー。2013年10月27日に活動凍結。
尾花岬
尾花岬（おばなみさき）は、北海道最西端の岬である。北海道久遠郡せたな町大成区に位置し、日本海に面している。
尾花岬 概要
岬の周囲には天狗岳と毛無山があり、非常に険しい海岸線となっている。北海道道740号北檜山大成線が付近を通るが、岬付近の約7 kmは2013年4月24日に開通するまでは不通であった。道道740号は全長3,395mの太田トンネルで岬を通過しており、岬まで行くことはできない。南側の太田集落にある太田神社（太田山神社）の拝殿もしくは「定燈篭」より岬を遠望することができる。
尾花岬 付近の名所
当岬の北に、舟隠（北檜山区新成）が所在し、北海道最西端とされる。
当岬の南は、太田トンネルの出口から太田漁港、太田海岸と続く。太田山には道南五大霊場である太田山神社（北海道本土で一番西に位置する神社）の本殿、帆越山トンネルの手前には同神社の拝殿が鎮座する。
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決は、メジャーリーグベースボールに於ける、マーク・マグワイア一塁手（セントルイス・カージナルス）と、サミー・ソーサ右翼手（シカゴ・カブス）による、1998年のナショナルリーグ本塁打王争い。同年、マスコミを中心に話題となった。
両者共、1961年にニューヨーク・ヤンキースのロジャー・マリスが樹立した、シーズン61本塁打のMLB記録を更新するほどのハイレベルな争いとなり、最終的にマグワイアが70本塁打、ソーサが66本塁打で終えた。1994年からの232日間に及ぶ長期ストライキ以降に、大きく落ち込んでいたMLB全体の観客動員数も、1998年シーズンはスト以前の水準にまで戻るほどの盛り上がりを見せた。
マグワイアは、シアトル・マリナーズのケン・グリフィー・ジュニアと共にアメリカ野球人気復活の立役者となり、このシーズンに成績を大きく向上させたソーサも、母国・ドミニカ共和国の国民的英雄となった。なお、マグワイアが樹立した70本塁打のシーズン本塁打記録は、3年後の2001年にバリー・ボンズ（サンフランシスコ・ジャイアンツ）によって破られ、73本塁打に更新された。
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決 概要
1998年以前にも、ロジャー・マリスの61本塁打のシーズン記録を破る寸前まで来ていた選手も存在していた。
232日間に及ぶ長期ストライキが実施され、シーズンが途中で中断された1994年には、ジャイアンツのマット・ウィリアムズが112試合出場で43本塁打（残り47試合）、シアトル・マリナーズのケン・グリフィー・ジュニアは111試合出場で40本塁打（残り50試合）と、それぞれ中断時にシーズン61本、58本のペースで本塁打を量産していた。
1995年にクリーブランド・インディアンスのアルバート・ベルは、セシル・フィルダー以来となる、5年ぶりにシーズン50本塁打を達成した打者となった。
1996年には50本塁打以上の打者が2人出現した。ボルチモア・オリオールズのブレイディ・アンダーソンは、前年の16本塁打から3倍以上も増やす50本塁打を放ち、オークランド・アスレチックスのマーク・マグワイアは130試合出場ながら52本塁打を放った。
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決 概要
1997年はグリフィーが56本塁打で2位に12本差を付けてアメリカンリーグの本塁打王のタイトルを獲得したが、マグワイアはナショナルリーグのセントルイス・カージナルスへシーズン途中に移籍したにもかかわらず、両リーグの本塁打王を上回る58本塁打を記録した（ナショナルリーグの本塁打王はコロラド・ロッキーズのラリー・ウォーカーで49本塁打）。
1998年はスプリングトレーニングの時期から、マグワイアやグリフィーがマリスのシーズン本塁打記録を更新する可能性について盛んに語られ、注目されていた。この年は5月終了時点ではカージナルスのマグワイアが27本塁打、シカゴ・カブスのサミー・ソーサが13本塁打と14本の差があったが、ソーサが6月に月間新記録となる20本塁打を記録し、7月10日にはマグワイアが37本塁打、ソーサが35本塁打と2本差にまで縮めた。
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決 概要
マグワイアは9月8日のカブス戦で、スティーブ・トラクセルから62号本塁打を放ち、マリスの記録を破った。祝福の輪には右翼の守備位置からソーサも駆けつけ、2人でお互いにキスを投げ合って親密ぶりを見せた。マグワイアはその後に一塁側スタンドに駆け込み、かつての記録保持者マリスの遺族と抱き合った。ソーサも9月13日に62号本塁打を放ちマグワイアと並んだ。65本塁打で並んで迎えた9月25日の試合では共に66号本塁打を放ち2試合連続で並んだ。マグワイアは残りの2試合で2本塁打ずつを放ち、70本塁打でシーズンを終えた。ソーサは残りの3試合で本塁打が出ずに66本塁打で終了したが、打率.308・158打点（マグワイアは打率.299・147打点）を記録して打点王のタイトルを獲得し、MVPも受賞した。
シーズン前にはマグワイアと共に本塁打記録の更新が期待されていたグリフィーは7月10日時点でマグワイアと同数の37本塁打を記録していたが、その後に失速して56本塁打に終わり、アメリカンリーグの本塁打王のタイトルを獲得した。
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決 ステロイド疑惑
1998年夏にマグワイアは筋肉増強効果のある薬物、アンドロステンジオンの使用を認めているが、当時のMLBでは禁止されていなかった。チームメートだったホセ・カンセコは2005年2月に出版されたその著書『禁断の肉体改造』の中で、マグワイアは新人王を獲得した翌年の1988年には道義的に使用を問題視されていたアナボリックステロイドを確実に常用していたと指摘している。2005年3月に開かれたステロイド使用疑惑に関する合衆国下院公聴会に繰り返し証人喚問された際、マグワイアは薬物使用を問われて「過去の自分の行為は現在のスキャンダルとは無関係なのでお答え出来ません」と涙まじりに証言を拒否した。その後は実質的に黙秘権を行使して使用の有無の明言は避けた。しかし古巣カージナルスの打撃コーチに就任するにあたり、2010年1月11日に放送された特別番組では「愚かな過ちだった。絶対にステロイドに手を出さなければよかったし、心から謝罪する。使わずに好成績の年もあれば使っても駄目な年もあったが、ともかくやるべきではなかった」と、ステロイドを使用していたと告白した。告白によると1989年のシーズンオフ中に短期間ステロイドを使用し、1993年に故障してからは再び使用した。本塁打記録を更新した1998年シーズンを含めて早期回復と再発防止を目的に時折ステロイドを使用したとされ、記録目的ではないと答えている。
1998年のMLBシーズン最多本塁打記録対決 ステロイド疑惑
ソーサは2005年の下院公聴会でマグワイア、カンセコ、ラファエル・パルメイロらと並んで座り、「違法なパフォーマンス向上薬物を使用したことはないし、アメリカ合衆国やドミニカ共和国の法律を破っていない。私はクリーンだ」と述べている。しかし2009年6月16日、6年前に実施された名前非公表のドーピング検査で陽性反応を示していたことが報じられた。
琵琶瀬川
琵琶瀬川（びわせがわ）は、北海道厚岸郡浜中町を流れ太平洋に注ぐ普通河川である。
琵琶瀬川 地理
北海道北東部の根釧台地南部に位置する根室段丘に源を発し南流し、琵琶瀬川の中流にある霧多布泥炭地（霧多布湿原）を貫流した後に琵琶瀬湾（太平洋）に注ぐ。
琵琶瀬川 地名由来
アイヌ語の「ピパ・セイ（カラス貝の・貝殻の意）」から転訛したものである。
カルボキシメチレンブテノリダーゼ
カルボキシメチレンブテノリダーゼ(Carboxymethylenebutenolidase、EC 3.1.1.45)は、以下の化学反応を触媒する酵素である。
4-カルボキシメチルブト-2-エン-4-オリド + 水4-オキソヘキサ-2-エンジオアート
従って、基質は4-オキソヘキサ-2-エン-4-オリドと水の2つ、生成物は4-オキソヘキサ-2-エンジオアートのみである。
この酵素は加水分解酵素に分類され、特にエステル結合に作用する。系統名は、4-カルボキシメチルブト-2-エン-4-オリド ラクトノヒドロラーゼ(4-carboxymethylenebut-2-en-4-olide lactonohydrolase)である。ジエンラクトンヒドロラーゼ(dienelactone hydrolase)等とも呼ばれる。リンデン（γ-ヘキサクロロシクロヘキサン）や1,4-ジクロロベンゼンの分解に関与している。
カルボキシメチレンブテノリダーゼ 構造
2007年末時点で、10個の構造が解かれている。蛋白質構造データバンクのコードは、1DIN、1GGV、1ZI6、1ZI8、1ZI9、1ZIC、1ZIX、1ZIY、1ZJ4、1ZJ5である。
カルボキシメチレンブテノリダーゼ 出典
Schmidt E, Knackmuss HJ (1980). “Chemical structure and biodegradability of halogenated aromatic compounds. Conversion of chlorinated muconic acids into maleoylacetic acid”. Biochem. J. 192 (1):  339–47. PMC 1162339. PMID 7305906. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1162339/.
セルバーグ跡公式
セルバーグ跡公式（セルバーグせきこうしき、Selberg trace formula）とは、Selberg (1956) で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G 上のある函数のトレースにより与えられる。
Γ が余コンパクトな場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標のフロベニウス公式(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 G=R の余コンパクト部分群 Z のときには、セルバーグ跡公式は本質的にポアソン和公式である。
G/Γ がコンパクトでないときは、アイゼンシュタイン級数を使い記述された連続スペクトルとなり、より難しくなる。セルバーグは、G が群 SL2(R) の非コンパクトの場合に結果をもたらし、さらに高いランクの群への拡張がアーサー・セルバーグ跡公式(Arthur-Selberg trace formula)である。
セルバーグ跡公式
Γ がリーマン面の基本群のとき、セルバーグ跡公式は、リーマン面の測地線の長さを意味する幾何学的データの項にラプラシアンのような微分作用素のスペクトルを書き表す。この場合にはセルバーグ跡公式は、リーマンの明示公式に似た形となり、素数のリーマンゼータ函数のゼロ点に関係し、ゼータのゼロ点はラプラシアンの固有値に対応し、素数は測地線に対応する。この類似に動機を得て、セルバーグはリーマン面のセルバーグゼータ函数を導入し、解析的な性質は、このセルバーグ跡公式にエンコードされる。
セルバーグ跡公式 概要
セルバーグの跡公式は位相群上の関数空間に作用する積分作用素の跡を二通りの方法で計算することで得られる。有限次元ベクトル空間に作用する線形作用素、つまり行列の場合、対角成分の和と固有値の和はともに行列の跡に等しいので
対角成分の和 ＝ 固有値の和
が成り立つのであった。簡単にいうとこの等式の積分作用素版がセルバーグの跡公式である。
セルバーグの跡公式は次のような議論を経て導出される。G
を位相群、Γ
をその離散部分群、f
を
G
上の関数とする。G
上の関数
φ
に対して
G
上の関数
R( f )φ
を
で定義する。R( f )
は関数空間に作用する線形作用素である。φ
が左からの
Γ
作用で不変であれば
R( f )φ
もそうである。さらに
φ
が
Γ ⧵G
上の二乗可積分関数であるとき
R( f )φ
もそうなるのであれば
R( f )
はヒルベルト空間
L2(Γ ⧵G)
の線形作用素を定める。この跡を二通りの方法で計算する。
まず、スペクトル・サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは固有値の和の方である。L2(Γ ⧵G)
が
R( f )
の作用で不変な部分空間
Vπ
（π は添字）達のヒルベルト直和に分解し、L2(Γ ⧵G) = ⨁π Vπ
とかけたとする。このとき、跡の性質から
セルバーグ跡公式 概要
が成り立つ。ここで
tr(R( f )|π)
は
R( f )
を不変部分空間
Vπ
の線形作用素とみたときの跡である。これがスペクトル・サイドと呼ばれる方の計算結果である。セルバーグの跡公式といったとき、
L2(Γ ⧵G) の分解としてはこの空間を
G
の右正則表現の空間と見立てて既約表現への分解を考えることが多い。もともとのセルバーグの論文ではラプラシアンの固有空間への分解を考えていた。より荒く連続スペクトラムと離散スペクトラムへの分解でもよい。
次に幾何サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは対角成分の和の方である。まず
R( f )
の定義から簡単な計算により
がわかる。よって
R( f )
は積分核
によって定義される積分作用素である。積分核によって定義される作用素の跡は、核関数の対角集合に沿っての積分と等しくなることが知られている。つまり
が成り立つ。右辺の K を f に戻して計算を進めると
が成り立つことがわかる。ここで
{Γ}
は
Γ
の共役類の代表元全体の集合、
Gγ
と
Γγ
はそれぞれ
G
および
Γ
における
γ
の中心化群である。これが幾何サイドと呼ばれる方の計算結果である。
セルバーグ跡公式 概要
以上の
R( f )
の跡の二通りの計算から
が成り立つことがわかった。これがセルバーグの跡公式である。もちろん、以上の議論は跡の存在や無限和の収束について何も仮定を置いていない形式的なものなので、これだけでは何も証明できていない。実際に成立する等式を得るためには状況に応じて適切な前提を置き厳密な議論を行わねばならない。
簡単な場合として
G = R、Γ = Z
の場合を考える。この場合、
{Γ} = Z、
Γγ = Z、
Gγ = R
などに注意すれば幾何サイドは
∑γ ∈ Z f (γ)
と計算できる。スペクトル・サイドを計算するために
L2(Z ⧵R) = ⨁n ∈ Z C e−2πin・
という分解をとる。簡単に分かるように
C e−2πin・
は
R( f )
の不変部分空間になっており、この空間での
R( f )
の跡は
ˆf (n)
である。ここで
ˆf
は
f
のフーリエ変換である。したがってスペクトル・サイドは
∑γ ∈ Z ˆf (γ)
となるので、この場合の跡公式は
となる。この等式は実際に
f
が急減少関数であるときなどに成立し、ポアソン和公式と呼ばれている。これから、セルバーグの跡公式とはポアソンの和公式の非可換な位相群への一般化であるとも言える。
セルバーグ跡公式 概要
Γ ⧵G
がコンパクトな場合、L2(Γ ⧵G)
は既約部分空間の直和に分解し、各既約表現の重複度は有限であることが知られている。記号で書くと
L2(Γ ⧵G) = ⨁π ∈ ˆG m(π)π
となる。ここで
ˆG
は既約ユニタリ表現のユニタリ同値類である。
この分解を使ってスペクトル・サイドを計算すると、セルバーグの跡公式は
となる。右辺の
π( f )
は
∫G f (g) π(g) dg
である。
Γ ⧵G
が非コンパクトな場合、たとえば
G = SL2(R)
で
Γ = SL2(Z)
の場合、f
がコンパクト台であっても
R( f )
の"跡"は発散してしまいそもそも跡が定義できない。
それに対応するかのように、跡公式の幾何サイドにおいてもスペクトル・サイドにおいても発散する項が現れる。この場合には、これらの発散する項を相殺させることで跡公式が得られる。
セルバーグ跡公式 初期の歴史
コンパクトなリーマン面 S の場合は、特に興味をもたれている場合である。1956年にアトル・セルバーグ(Atle Selberg)が最初に論文を出したときは、ラプラス微分作用素とそのベキがこの場合を扱った。ラプラシアンのベキのトレースは、セルバーグゼータ函数を使い定義することができる。この場合の興味は、得られた公式と素数の理論の L-函数の明示公式との関係である。そこでは S 上の閉じた測地線が素数の役割を担う。
同時に、ヘッケ作用素のトレースも、セルバーグとマルティン・アイヒラー(Martin Eichler)のアイヒラー・セルバーグ跡公式(Eichler-Selberg trace formula)と関連していて、ヘッケ作用素は与えられたウェイトのモジュラー群の合同部分群に対しカスプ形式のベクトル空間の上に作用する。ここに、同一視する作用素のトレースは、ベクトル空間の次元、すなわち、与えられたモジュラー形式の空間の次元であり、リーマン・ロッホの定理により伝統的な方法の計算で求めることができる。
セルバーグ跡公式 応用
跡公式は数論幾何や数論へ応用される。例えば、アイヒラー・志村の定理を使い、モジュラー曲線の{ハッセ・ヴェイユのL-函数を計算する。志村五郎の解析を使う方法は、跡公式を使うことを意味している。アイヒラーコホモロジー（放物コホモロジーとも言う）の発展は、純粋に群コホモロジーの設定に基礎を持つ代数的設定を与えるので、非コンパクトなリーマン面やモジュラ曲線のカスプを考えることができるようになった。
また、跡公式は純粋に微分幾何学への応用も持っている。例えば、ブーサー(Buser)の結果により、リーマン面の長さスペクトル(length spectrum)は、本質的には跡公式により、同じスペクトルを持つ不変量である。
セルバーグ跡公式 後期の仕事
アイゼンシュタイン級数の一般論は、非コンパクトな場合の特徴である連続スペクトルを分離するための要求に、大きな動機を持っている。
跡公式は、しばしば、リー群というよりもアデール上の代数群の上で使われる。理由は、跡公式が対応する離散部分群 Γ を、それ以前に開発されたテクニックのより容易な体の上の代数群の上に置き換えるからである。
理論の現在の一番成功している公式はアーサー・セルバーグ跡公式(Arthur-Selberg trace formula)で、一般の半単純な G の場合に適用される。多くの跡公式の研究はラングランズ哲学の中でエンドスコピー(endoscopy)というテクニックを使う。セルバーグの跡公式は、アーサー・セルバーグ跡公式から導き出すことが可能である。（パームを参照）
セルバーグ跡公式 コンパクトな双曲曲面のセルバーグ跡公式
コンパクトな双曲曲面  を、軌道の空間として、次のように書くことができる。
ここに、 は  の部分群で、 は上半平面であり、 へは線型分数変換として作用する。
この場合のセルバーグの跡公式は、一般の場合よりも容易である。何故ならば、曲面がコンパクトであるから、連続スペクトルが存在せず、群 Γ は（同一視を除き）放物型かもしくは楕円型となるからである。
すると、X 上のラプラス・ベルトラミ作用素のスペクトルは離散的となり、ラプラス作用素はコンパクトなレゾルベント(resolvent)を持つ自己随伴作用素であるので、スペクトルは実数となる。
ここに、固有値  はラプラシアンの Γ-不変な固有函数  である。言い換えると、
変数を代入して、
とすると、固有値はラベル付けされる。
するとセルバーグ跡公式は次のように与えられる。
上式の右辺は、群 Γ の共役類を渡る和であり、第一項は同一視の元に対応していて、残りのほかの項は共役類  を渡る和を構成している（この場合はすべて双曲的である）。函数  は  上で解析的であり、次を満たす。
ここに  と  は正の定数である。函数  は  のフーリエ変換である。つまり、
である。
股島
股島（またじま）は、香川県観音寺市に属する島。
股島 地理
瀬戸内海の燧灘（ひうちなだ）にあり、観音寺市の沖合い20km、伊吹島の南西8kmに位置する。港の上の台地では畑作が行われていた。香川県最西端の地が島内にある。股島の沖合すぐに小股島がある。最高点は標高43m。
南側に石積みの防波堤を備えた港がある。港近くには金刀比羅宮を祀った祠があるほか、海岸沿いを歩くと清丹大明神社という社があった。無人島となったのちも、大漁を祈願するみなと祭りの際には伊吹島、股島、円上島の3島を巡回する神事が行われている。そのため、1981年（昭和56年）、1996年（平成8年）には清丹大明神社の社殿が改修された。
周囲の島
股島 歴史
安政5年（1858年）頃から伊吹島の住民によって股島の開拓が行われた。
戦後もしばらくは定住者がいたが、1962年（昭和37年）に無人島となった。
2022年（令和4年）8月13日には山林火災が起こり、島の大部分が焼けた。3日間で、合わせて1万リットル以上の水を放水したほか、地元消防などが島に上陸して消火に当たり、火災発生から約50時間後の8月15日正午ごろに鎮火したが、この火事で島にある清丹大明神社の社が全焼した。無人島のためけが人はいなかった。
桜井画門
桜井 画門（さくらい がもん）は、日本の漫画家。男性。東京都出身。